libromatematicabas

MATEMÁTICA BÁSICA I9.3 ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) YEJE PARALELO A UN EJE COORDENADOFrecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de unaparábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea paralelo,y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados.De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice es elpunto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejescoordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origenO‟ coincida con el vértice (h, k), se sigue, por el teorema 1 laecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X‟ y Y‟está dada por: (1) y ‟2 = 4 px‟en donde la coordenadas del foco F son (p, 0) referido a losnuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a losejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación (1) usando lasecuaciones de transformación del teorema 1, Artículo 50, a saber, x = x‟ + h, y = y‟ + k,de donde, x‟ = x - h, y‟ = y - k,Si sustituimos estos valores de x‟ y y‟ en la ecuación (1),obtenemos (y – k)2 = 4p (x - h) (2)Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyoeje es paralelo al eje Y tiene por ecuación (x – h)2 = 4p (x – h)en donde /p/ es la longitud de aquella porción del eje comprendidaentre el foco y el vértice. 401

MATEMÁTICA BÁSICA I Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, generalmente, segunda ecuación ordinaria de la parábola.Los resultados anteriores, junto con los obtenidos en el teorema,conducen al siguiente TEOREMA 2La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al ejeX, es de la forma (y – k)2 = 4p (x – h),siendo /p/ la longitud del segmento del eje comprendido entre elfoco y el vértice.Si p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p 0, laparábola se abre hacia la izquierda.Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo aleje Y, su ecuación es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k)Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, la parábola seabre hacia abajo.Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es elpunto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también laecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. 402

MATEMÁTICA BÁSICA ISolución. Como el vértice V y el foco F de una parábola estánsobre su eje, y como en este caso cada uno de estos puntos tienela misma abscisa 3, se sigue que el eje a es paralelo al eje Y,como se indica. Por tanto, por el teorema 2, la ecuación de laparábola es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k)Como el vértice V es el punto (3, 4), la ecuación puede escribirse (x – 3)2 = 4p (y – 4)Ahora bien, /p/ = /FV/ = /4 – 2/. Pero, como el foco F está abajodel vértice V, la parábola se abre hacia abajo y p es negativo. Portanto, p = -2, y la ecuación de la parábola es (x – 3)2 = -8 (y – 4)y la longitud del lado recto es 8.Designemos por A el punto en que el eje a corta a la directriz l.Como V (3, 4) es el punto medio del segmento AF, se sigue quelas coordenadas de A son (3, 6). Por tanto, la ecuación de ladirectriz es y = 6.Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación (y – k)2 = 4p (x – h),Obtenemos y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph =) 0,que puede escribirse en la forma: (4) y2 +a1x + a2y + a3 = 0 403

MATEMÁTICA BÁSICA I en donde a1 = -4p, a2 = -2k y a3 = k2 + 4ph. Recíprocamente, completando el cuadrado en y, podemos demostrar que una ecuación de la forma (4) representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje X.Al discutir la ecuación de la forma (4) suponemos que a1 0. Si a1= 0, la ecuación toma la forma:y2 +a2y + a3 = 0 (5)que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si lasraíces de (5) son reales y desiguales, digamos r y r2, entonces laecuación (5) puede escribirse en la forma: (y – r1) (y – r2) = 0y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectasdiferentes, y = r1 y y = r2, paralelas ambas al eje X. Si las raícesde (5) son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dosrectas coincidentes representadas geométricamente por una solarecta paralela al eje X. Finalmente, si las raíces de (5) soncomplejas, no existe ningún lugar geométrico.Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segundaecuación ordinaria de la parábola: (x – h)2 = 4p (y – k),Los resultados se resumen en el siguiente: 404

MATEMÁTICA BÁSICA ITEOREMA 3Una ecuación de segundo grado en las variables x y y quecarezcan del término en xy puede escribirse en la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Si A = 0, C 0 y D 0, la ecuación representa una parábolacuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, D =0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X,dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugargeométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean realesy desiguales, reales e iguales o complejas.Si A 0, C = 0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyoeje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E = 0, laecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y, dosrectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico,según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales ydesiguales, reales e iguales o complejas.Ejemplo 2. Demostrar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y delfoco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.Solución. Por el teorema 3, la ecuación: (6) 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.405

MATEMÁTICA BÁSICA ISi reducimos la ecuación (6) a la segunda forma ordinaria,completando el cuadrado en x, obtenemosx 5 2 = 6 (y – 3) (7) 2De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas delvértice son 5 , 3 . Como 4p = 6, p 3 , y la parábola se abre 22hacia arriba. Entonces, como el foco está sobr e2l eje y el eje esparalelo al eje Y, se sigue que las coordenadas del foco son5 , 3 3 , o sea, 5 , 9 . La ecuación de la directriz es y = 3 -22 223 , o sea, y = 3 , y la longitud del lado recto es /4p/ = 6.22Se recomienda al estudiante que dibuje la figura correspondientea este ejemplo. También se recomienda resolver el problema portraslación de los ejes coordenados.En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de laparábola, dadas por el teorema 2, hay tres constantes arbitrariasindependientes o parámetros, h, k y p. Por tanto, la ecuación decualquier parábola cuyo eje sea paralelo a uno de los ejescoordenados puede determinarse a partir de tres condicionesindependientes. Veamos un ejemplo.Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paraleloal eje X y que pasa por los tres puntos 3 , 1 , (0, 5) y (-6, -7). 2 406

MATEMÁTICA BÁSICA ISolución. Por el teorema 2, la ecuación buscada es de la forma (y – k)2 = 4p (x – h)Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la formadada por el teorema 3, a saber, Cy2 + Dx + Ey + F = 0Como C 0, podemos dividir toda la ecuación por C, obteniendoasí (8) Y2 + D‟x + E‟y + F0 = 0En donde D‟ = D , E‟ = E y F‟ = F son tres constantes por CC Cdeterminarse.Como los tres puntos dados están sobre la parábola, suscoordenadas deben satisfacer la ecuación (8). Por tanto,expresando este hecho, obtenemos las tres ecuaciones siguientescorrespondiendo a los puntos dados: (3/2, -1) , 1 + 3/2 D‟ - E‟ + F‟ = 0 (0,5), 25 + 5E‟ + F‟ = 0 49 – 6D‟ – 7E‟ + F‟ = 0 (-6, -7),que pueden escribirse así, 3/2,D‟ - E‟ + F‟ = - 1, 5E‟ + F‟ = - 25 6D‟ + 7E‟ - F‟ = 49 407

MATEMÁTICA BÁSICA I La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da D‟ = 9, E „ = -2, F‟ = -15. Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos Y2 + 8x – 2y – 15 = 0, que es la ecuación de la parábola que se buscaba. El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo y verificar el hecho de que las coordenadas de cada uno de los tres puntos dados satisfacen la ecuación de la parábola. También debe obtener la misma ecuación usando la forma (y – k)2 = 4p (x – h),Dibujar para cada ejercicio la figura correspondiente. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Deducir y discutir la ecuación ordinaria (x – h)2 = 4p (y – k).2. Por transformación de coordenadas, reducir las dos formas de la segunda ecuación ordinaria a las dos formas correspondientes de la primera ecuación ordinaria de la parábola.3. Demostrar que si se tiene la ecuación de la parábola en la forma (y – k)2 = 4p (x – h), las coordenadas de su foco son (h + p, k), y la forma de ecuación de su directriz es x = h – p.4. Demostrar que si se tiene la ecuación de una parábola en la forma (x – h)2 = 4p (y – k), las coordenadas de su foco son (h, k + p), y la ecuación de su directriz es x = k – p.5. Por medio de la primera ecuación ordinaria, deducir la siguiente propiedad geométrica de la parábola: Si desde un punto 408

MATEMÁTICA BÁSICA I cualquiera de un parábola se baja una perpendicular a su eje, el cuadrado de la longitud de esta perpendicular es igual al producto de las longitudes de su lado recto y del segmento del eje comprendido entre el pie de dicha perpendicular y el vértice. Toda parábola, cualquiera que sea su posición relativa a los ejes coordenados, posee esta propiedad geométrica llamada propiedad intrínseca de la parábola.6. Por medio de la propiedad intrínseca de la parábola, establecida en el ejercicio 5, deducir las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de dicha curva.7. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son los puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y su eje.8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.9. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0, y su foco es el punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.10. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.En cada uno de los ejercicios 11-15, redúzcase la ecuación dada a lasegunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y hallar lascoordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, yla longitud del lado recto. 409

MATEMÁTICA BÁSICA I11. 4y2 – 48x – 20y = 71.12. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0.13. y2 + 4x = 7.14. 4x2 – 48y + 12x = 159.15. y = ax + bx + c.16. Resolver el ejemplo 2 del Artículo 56 trasladando los ejes coordenados.17. Resolver el ejercicio 14 trasladando los ejes coordenados.18. Discutir la ecuación Ax2 + Cy + Dx + Ey + F = 0 cuando A = E = 5 = 0 y C 0, D 0.19. Resolver el ejemplo 3 del Artículo 56 tomando la ecuación en la forma (y – k)2 = 4p (x – h).20. Hallar las coordenadas del foco y el vértice, las ecuaciones de la directriz y el eje, y la longitud del lado recto de la parábola del ejemplo 3 del Artículo 56.21. Determinar la ecuación de la familia de parábolas que tienen un foco común (3, 4) y un eje común paralelo al eje Y.22. La ecuación de una familia de parábolas es y = 4x2 + 4x + c. Discutir cómo varia el lugar geométrico cuando se hace variar el valor del parámetro c.23. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx. Hállese la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos (2, 8) y (-1, 5).24. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0, 0), (8, -4) y (3, 1). 410

MATEMÁTICA BÁSICA I25. Hallar la ecuación de la parábola de vértice del punto (4, -1), eje la recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (3, -3).26. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta paralela al eje de una parábola corta a ésta en uno y solamente en un punto.27. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P1 (x1, y1) de la parábola (y – k)2 = 4p (x – h) es igual a /x1 – h + p/.28. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola. y2 + 4x + 2y – 19 = 0 cuya ordenada es igual a 3.29. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).30. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta y – 1 = 0 y a la circunferencia x2 + y2 = 9.9.4 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA La determinación de la tangente a la parábola no requiere la introducción de ningún concepto nuevo. Como la ecuación de una parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse empleando la condición para tangencia estudiada. 411

MATEMÁTICA BÁSICA I Como para la circunferencia, consideraremos tres casos:1. Tangente en un punto de contacto dado. Vamos adeterminar la ecuación de la tangente a la parábola x2 = 4px (1)en un punto cualquiera P1 (x1, y1) de la parábola.La ecuación de la tangente buscada es de la forma Y – y1 = m (x – x1) (2)en donde está por determinarse la pendiente m. Si el valor de ydado por la ecuación (2) es sustituido en la ecuación (1), seobtiene (y1 + mx – mx1)2 = 4px.la cual se reduce a m2x2 + (2my1 – 2m2y1 – 4p) x + (y12 + m2x12 – 2mx1y1) = 0Para la tangencia, el discriminante de esta ecuación debeanularse, y escribimos (2my1 – 2m2y1 – 4p)2 - 4m2 + (y12 + m2x12 – 2mx1y1) = 0la cual se reduce a (3) x1 m2 - y1m + p = 0de donde, m = y1 y12 4px1 2x1 412

MATEMÁTICA BÁSICA IPero, como P1 (x1, y1) está sobre la parábola (1), tenemos y12 = 4px1 (4)de donde m = y1 . Si sustituimos este valor de m en (2), 2x1obtenemos, después de simplificar y ordenar los términos, 2x1y = y1 (x + x1)De la ecuación (4), 2x1 = y 2 y si se sustituye este valor en la 1 2púltima ecuación se obtiene la forma más común de la ecuación dela tangente, y1y = 2p (x + x1)Muchas propiedades interesantes e importantes de la parábolaestán asociadas con la tangente en un punto cualquiera de lacurva. La deducción de tales propiedades es más sencilla, engeneral, usando la forma canónica (1) y, por tanto, la ecuación dela tangente que acabamos de obtener es especialmente útil. 413

MATEMÁTICA BÁSICA I INTEGRALES MULTIPLES 1. INTEGRAL DOBLE Sea en el plano 0xy un dominio cerrado D, limitado por una curva L. Sea dada en el dominio D una función continua Dividamos el dominio D mediante curvas arbitrarias en n partes: , , ..., Las que llamaremos dominios parciales o elementos. Para no introducir nuevos símbolos designemos por …, no sólo a los propios elementos, sino también sus áreas. En cada (en su interior o en la frontera), elijamos un punto ; entonces obtenemos n puntos: , , ..,Sean , ,…, los valores de la función en los puntoselegidos; formemos la suma de productos de la forma : (1) ,Que se llama suma integral de la función en el dominio D. 414

MATEMÁTICA BÁSICA ISi en el dominio D, entonces cada sumando sepuede representar geométricamente como el volumen de uncilindro elemental de base y de altura .Así, es la suma de los volúmenes de los cilindros elementalesindicados, es decir, el volumen de un cierto cuerpo “escalonado”.Examinemos una sucesión arbitraria de las sumas integrales,formadas con ayuda de la función en el dominio dado D: , , …, , …Para diferentes métodos de división del dominio D en las partes . Supongamos que el diámetro máximo de los elementostiende a cero, cuando . En este caso resulta válido elsiguiente teorema que citemos aquí sin demostración.Teorema 1. Siendo una función continua en el dominiocerrado D, la sucesión (2) de las sumas integrales (1) tienen unlímite, si el diámetro máximo de tiende a cero, mientras que. Este límite siempre es el mismo para cualquier sucesiónde la forma (2), es decir, no depende del modo de división deldominio en los elementos no de la elección del punto dentrodel dominio en los elementos . 415

MATEMÁTICA BÁSICA I extendida Este límite se llama integral doble de la función por el dominio D y se designa así:Es decir,Aquí D se llama dominio de integración.Si es la integral doble de extendida por eldominio D es igual al volumen Q de un cuerpo limitado por lasuperficie , el plano y la superficie cilíndrica,cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz es lafrontera del dominio D.Examinemos ahora los siguientes teoremas acerca de la integraldoble.Teorema 2. La integral doble de la suma de dos funciones , extendida por un dominio D es igual a la sumade las integrales dobles extendidas por este dominio D de cadauna de las funciones por separado:Teorema 3. El factor constante se puede sacar fuera del signo dela integral doble:Si = const, tenemos: 416

MATEMÁTICA BÁSICA ILa demostración de estos dos teoremas se efectúa de modoanálogo al que hemos practicado para demostrar teoremascorrespondientes de la integral definida.Teorema 4. Si el dominio D está dividido en dos dominiosparciales y , sin poseer puntos interiores comunes, y lafunción es continua en todos los puntos del dominio D,entonces: (3)Demostración: La suma integral por el dominio D se puederepresentar en la forma: (4)Donde la primera suma contiene términos correspondientes a loselementos del dominio , y la segunda, términoscorrespondientes a los elementos del dominio . En efecto, comola integral doble no depende del modo de dividir el dominio ,dividámoslo de manera que la frontera común de y seatambién una frontera de los elementos . Pasando en laigualdad (4) al límite, cuando , obtenemos la igualdad (3).Es evidente que este teorema es válida para cualquier número desumandos. 417

MATEMÁTICA BÁSICA I 2. CALCULO D LA INTEGRAL DOBLE Sea un dominio del plano tal que toda recta paralela a uno de los ejes de coordenadas (por ejemplo, al eje ) y que pasa por un punto interior) del dominio, corta su frontera en dos puntos y .Supongamos que en el caso examinado el dominio está limitadopor las curvas: , y las rectas, , ;que: ,;y además las funciones son continuas en elsegmento . Convengamos llamar tal dominio regular en ladirección del eje . De modo semejante se determina el dominioregular en la dirección del ejeUn dominio regular en las direcciones de ambos ejes decoordenadas llamaremos simplemente dominio regular.Sea una función continua en el dominio .Examinemos la expresión 418

MATEMÁTICA BÁSICA Ila que llamaremos integral iterada de segundo orden de la función , extendida por el dominio . En esta expresión al principiose calcula la integral entre paréntesis. La integración se realizarespecto a , considerando constante. Como resultado de laintegración obtenemos una función continua de :Integramos la última función respecto a entre los límites desdehasta :En definitiva obtenemos un número constante.Ejemplo 1. Hallar la integral iterada de segundo ordenSolución. Calculemos al principio la integral interior, (entreparéntesis):Integrando la función obtenida desde 0 hasta 1 hallamos: 419

MATEMÁTICA BÁSICA IDeterminemos el dominio . En el caso dado es un dominiolimitado por las líneas:,, ,A veces puede ocurrir que el dominio es tal que una de lasfunciones , no puede ser dada por una solaexpresión analítica en todo el intervalo de la variación de (desdehasta ). Sea, por ejemplo, ,y en el segmento , en el segmento ,Donde y son funciones dadas analíticamente.En este caso escribamos la integral iterada de la manerasiguiente_ 420

MATEMÁTICA BÁSICA ILa primera de estas igualdades está escrita en virtud de lapropiedad conocida de la integral definida y la segunda, porque enel segmento tenemos y en el segundo ,Si la función es dada por diferentes expresiones analíticasen varias partes del segmento , la inscripción de la integraliterada de segundo orden será análoga.Determinemos ciertas propiedades de la integral iterada desegundo orden.Propiedad 1. Si un dominio regular en la dirección del eje lodividimos en dos dominios y , mediante una recta paralela aleje o al eje , la integral iterada de segundo ordenextendida por el dominio será igual a la suma de integralessemejantes extendidas por los dominios y , es decir, (1)Demostración. a) Supongamos que la rectadivide el dominio en dos dominios y regulares en ladirección del eje . Entoncesb) Supongamos que la recta divide el dominio en dosdominios y regulares en dirección del eje . Designemospor y los puntos de intersección de la recta con la 421

MATEMÁTICA BÁSICA I frontera y . Designemos las abscisas de estos puntos por y . El dominio está limitado por las curvas continuas:1) ;2) La curva , cuya ecuación escribimos convencionalmenteen la forma ,Teniendo en cuenta que cuando y , y que , cuando3) Las rectas ,El dominio está limitado por las curvas , , dondeAplicando a la integral interior el teorema sobre la descomposicióndel intervalo de integración, escribamos la identidad siguiente: 422

MATEMÁTICA BÁSICA IDescompongamos la última integral en tres integrales aplicando elmismo teorema a la integral exterior:Como en los segmentos y , lasintegrales primeras y tercera son idénticamente iguales a cero.Por eso :Aquí la primera integral es una integral iterada de segundo ordenpor el dominio y la segunda, por el dominio . Porconsiguiente,La demostración será semejante cualquier que sea la posición dela secante . Si la recta divide a en tres o, incluso, enmayor número de dominios, obtenemos una relación, análoga a la(1) con el número correspondiente de los sumandos en elsegundo miembro. 423

MATEMÁTICA BÁSICA I Corolario. Cada uno de los dominios obtenidos podemos dividir de nuevo en dominios regulares en la dirección del eje mediante una paralela a o a , y aplicar a éstos la igualdad (1). Por consiguiente, se puede dividir en cualquier número de dominios regulares mediante paralelas a los ejes de coordenadas En este caso también será válida la afirmación de que la integral iterada de segundo orden extendida por el dominio es igual a la suma de estas integrales extendidas por los dominios parciales, es decir: Propiedades 2. (Evaluación de la integral iterada de segundo orden). Sean y los valores mínimos y máximo de la función en el dominio . Designaremos por el área del dominio . En este caso tenemos la correlación 424

MATEMÁTICA BÁSICA IDemostración. Evaluamos la integral interior, designándola por :Obtenemos:Es decir,Análogamente tenemos:Es decir.De las desigualdades y se deduce la correlación (3):En el párrafo siguiente aclaremos el significado geométrico deeste teorema.Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral de segundoorden de una función , extendida por un dominio delárea es igual al producto de por el valor de la función en ciertopunto del dominio , es decir. 425

MATEMÁTICA BÁSICA IDemostración. De la correlación (3) obtenemos:El número está comprendido entre los valores máximo ymínimo de la función en el dominio . En virtud de lacontinuidad de la función , ésta toma en cierto punto deldominio el valor igual a , es decir.de donde: (5)3. CALCULO DE LA INTEGRAL DOBLE (CONTINUACION) Teorema. La integral doble de una función continua extendida por un dominio regular , es igual a la integral iterasa de segundo orden de esta función extendida por , es decir,Demostración. Dividamos el dominio por las paralelas a losejes de coordenadas en n dominios regulares (rectangulares):En virtud de la propiedad 1 [formula (2)] del párrafo anteriortenemos: (1) 426

MATEMÁTICA BÁSICA ITransformemos cada sumando del segundo miembro utilizando elteorema de la media para la integral iterada de segundo orden:Entonces, la igualdad (1) toma la forma , (2)donde es un punto en . A la derecha tenemos una sumaintegral para la función extendida por el dominio . Delteorema sobre la existencia de la integral doble se deduce que ellímite de esta suma existe y es igual a la integral doble de lafunción por , cuando y el diámetro máximo de losdominios parciales tiende a cero.El valor numérico de la integral iterada de segundo orden delprimer miembro de la igualdad (2) no depende de . Por tanto,pasando al límite en la igualdad (2) obtenemos: (3) 427

MATEMÁTICA BÁSICA IEscribiendo la expresión de la integral iterada de segundo ordenen forma más detallada, en definitiva obtenemos: (4)Observación 1. Cuando , la fórmula (4) toma unainterpretación geométrica ilustrativa. Analicemos un cuerpolimitado por la superficie , el plano y la superficiecilíndrica cuyas generatrices son paralelas al eje y la directrizsigue la frontera del dominio . Calculemos el volumen de e(5s)tecuerpo. Hemos indicado ya que el volumen de este cuerpo esigual a la integral doble de la función extendida por eldominio :Calculemos ahora el volumen de este cuerpo utilizando losresultado de (4). Sobre el cálculo del volumen de un cuerpo segúnlas áreas de secciones paralelas. Tracemos el plano secante , que corta el cuerpo. Calculemos el áreade la figura obtenida en la sección . 428

MATEMÁTICA BÁSICA IEsta figura es un trapecio curvilíneo limitado por las líneas ,, . Porconsiguiente, esta área se expresará mediante la integral (6)Conociendo las áreas de las secciones paralelas, es fácil hallar elvolumen del cuerpo:o, sustituyendo en esta fórmula por su expresión de (6),tenemos: (7)Los primeros miembros de las fórmulas (5) y (7) son iguales portanto son iguales también sus segundos miembros:No es difícil aclarar ahora el significado geométrico del teoremasobre la evaluación de la integral iterada de segundo orden (laspropiedad 2 del párrafo anterior): el volumen V de un cuerpolimitado por la superficie , el plano y la superficiecilíndrica, cuya directriz sigue la frontera del dominio . Esto sededuce de que la integral iterada de segundo orden es igual alvolumen de este cuerpo.Ejemplo 1. Calcular la integral doble , si eldominio está limitado por las rectas , , , . 429

MATEMÁTICA BÁSICA I Solución. En virtud de la fórmula tenemos:Ejemplo 2. Calcular la integral doble de lafunción , extendida por eldominio por las líneas: , ,,.Observación 2. Supongamos que el dominio regular en ladirección del eje está limitado por las líneasSiendo (8)Es evidente, que en este caso tenemos: 430

MATEMÁTICA BÁSICA IPara calcular una integral doble es preciso representarla en formade una integral de segundo orden. Esto se puede hacer por dosprocedimientos, utilizando la fórmula (4) o la (8). En cada casoconcreto, para calcular la integral doble elijamos una u otrafórmula según del dominio o del integrando.Ejemplo 3. Cambiar el orden de integración en la integralSolución. El dominio de integración está limitado por la rectay la parábola .Toda paralela al eje corta la frontera del dominio no más queen dos puntos. Por tanto, se puede calcular la integral según lafórmula (8) poniendoEntonces: 431

MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo 4. Calcular: Si el dominio es un triángulo limitado por las rectas Solución. Sustituyamos la integral doble dad por una integral iterada de segundo orden, utilizando la fórmula (4). (Si usáramos la fórmula (8), tendríamos que integrar la función respecto a ; pero esta integral no se expresa mediante las funciones elementales): Observación 3. Si el dominio no es regular en la dirección del eje (es decir, si existen rectas verticales y horizontales que pasan por los puntos interiores del dominio y cortan la frontera del dominio en más dos puntos), entonces podemos presentar la integral doble extendida por este dominio en la forma de una integral iterada de segundo orden. Si logramos dividir el dominio irregular en un número finito de dominio regulares en dirección del eje ó entonces, al calcular la integral doble por cada uno de estos dominios parciales (con ayuda de la 432

MATEMÁTICA BÁSICA Iintegral iterada de segundo orden) y al sumar los resultados,obtenemos la integral buscada extendida por el dominioEjemplo 5. Calcular la integral dobleExtendida por el dominio , encerrado entre dos cuadrados con elcentro en el origen de coordenadas y los lados paralelos a los ejesde coordenadas, si cada lado del cuadrado interior es igual a 2 yel del exterior a 4.Solución. El dominio es irregular. Sin embargo, las rectas y lo dividen en cuatro dominios regulares Por eso:Representando cada una de estas integrales en forma de unaintegral iterada de segundo orden, hallamos: 433

MATEMÁTICA BÁSICA I Observación 4. En adelante escribamos la integral iterada de segundo orden Omitiendo los paréntesis de la integral interior, es decir, en la forma: Aquí, (igual que en el caso, en que se ponen los paréntesis) convengamos que la primera integración se realiza respecto a la variable, cuya diferencial está escrita primera y después, respecto a la otra variable, cuya diferencial está escrita en el segundo lugar. Notemos, sin embargo, que esta regla no está generalmente aceptada. En algunas obras adoptado el procedimiento contrario: al principio, la integración se realiza respecto a la variable, cuya diferencial ocupa el último lugar). 434

MATEMÁTICA BÁSICA I4. CALCULO DE AREA Y VOLUMENES CON AYUDA DE INTEGRALES DOBLES1. Volumen. Como hemos visto en (1), el volumen V de uncuerpo, limitado por una superficie , donde esuna función no negativa, el plano y la superficie cilíndrica,cuyas generatrices son paralelas al eje , y la directriz sigue lafrontera del dominio , es igual a la integral doble de de la funciónextendida por :Ejemplo 1. Calcular el volumen de un cuerpo limitado por lassuperficiesSoluciónDonde es el dominio en forma triangular del plano limitadopor las rectasPoniendo los límites en la integral doble, calculemos el volumen: 435

MATEMÁTICA BÁSICA IAsí, unidades cúbicas.Observación 1. Si el cuerpo, cuyo volumen se busca, estálimitado por arriba y por debajo por las superficies ,respectivamente, siendo la proyección de ambas superficiessobre el plano , entonces, el volumen V de este cuerpo esigual a la diferencia entre los volúmenes de dos cuerpos“cilíndricos”, el primero de los cuales tiene como base inferior yla superficie como base superior, y el segundo tienetambién como base inferior y la superficie comobase superior.Por eso, el volumen V es igual a la diferencia de dos integralesdobles: (1)Es fácil demostrar que la fórmula (1) es válida no sólo cuando y son funciones no negativas, sino también,cuando y son funciones continuas arbitrarias quesatisfacen la correlación: 436

MATEMÁTICA BÁSICA IObservación 2. Si la función cambia de signo en eldominio , divida nos a éste en dos dominios: 1) dominio ,donde ; 2) dominio , donde . Supongamosque será positiva e igual al volumen del cuerpo dispuesto porencima del plano . La integral extendida por será negativa eigual por su valor absoluto al volumen del cuerpo dispuesto pordebajo del plano . Por consiguiente, la integral extendida por eldominio expresará la diferencia de los volúmenescorrespondientes.2. Cálculo del área de un dominio plano. Si formamos unasuma integral para la función por el dominio ,obtenemos el áreaCualquiera que sea la división. Pasando al límite en el segundomiembro de la igualdad, obtenemos: 437

MATEMÁTICA BÁSICA I Si el dominio es regular, el área se expresará mediante la integral interada de segundo orden Después de la integración de la integral entre paréntesis, tenemos:Ejemplo 2. Calcular el área de un dominio limitado por las curvas.Solución. Determinemos el área los puntos de intersección de lascurvas dadas. Las ordenadas de dos curvas son iguales en puntode intersección es decir,De donde: ,Hemos obtenido dos puntos de intersección:Por tanto, el área buscada es:5. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES Sea dado en el sistema de coordenadas polares un dominio tal, que todo rayo pasante por un punto interior de corta la frontera del dominio no más que en dos puntos. Supongamos, 438

MATEMÁTICA BÁSICA Itambién que el dominio está limitado por las curvas ,y los rayos , y , siendo y. Diremos que un dominio tal es regular.Sea dada en el dominio una función continua de lascoordenadas y :Dividamos arbitrariamente en los dominios parcialesFormemos la suma integral:Donde es un punto en .Del teorema sobre la existencia de la integral doble se deduce quecuando el diámetro máximo de tiende a cero, la suma integral(1) tiene un límite V. Según la definición, este límite C es laintegral doble de la función extendida por el dominio D: (2)Calculemos aquí esta integral doble.Como el límite de la suma integral no depende del modo de dividirD en los dominios parciales , podemos dividirlo, para lacomodidad, mediante rayos , , ,…,(donde , , ) y lascircunferencias concéntricas , [dondees igual al valor mínimo de la función y , al valor máximode en el intervalo ; ]. 439

MATEMÁTICA BÁSICA IDesignaremos por el dominio parcial limitado por las líneas . Sean aquí tres tipos de los dominioparciales : 1) los que no se cortan por la frontera y se sitúandentro del dominio D; 2) los que se cortan por la frontera y sesitúan fuera del dominio D; 3) lo que se cortan por la frontera deldominio D.La suma de los términos, correspondientes a los dominiosparciales cortados, tiene por límite cero, cuando y, por lo que estos sumandos no se toman en cuenta. Losdominios parciales que se encuentran fuera de D y no entranen la sima integral no nos interesan por consiguiente, se puedeescribir la suma integral en la forma:Donde es un punto arbitrario de .El signo de suma doble significa aquí, que al principio sumamospor el índice , considerando constante (es decir, sumamostodos los términos que corresponden a los dominios parcialescomprendidos entre dos rayos vecinos). El signo de suma externo 440

MATEMÁTICA BÁSICA Isignifica que nosotros unimos todas las sumas obtenidas durantela primera adición (es decir, sumamos por el índice ).Hallemos la expresión del área del dominio parcial , que secortan por la frontera de D. El área es igual a la diferencia de lasáreas de dos sectores:ó , dondeAsí, la suma integral tiene la formaDonde es un punto de . Saquemos el factor fueradel signo de la suma interior (esto se permite, puesto que es unfactor común para todos los términos de esta suma):Supongamos que y queda constante. En este caso, laexpresión entre paréntesis tenderá a la integralSuponiendo ahora que , definitiva obtenemos: (3)La fórmula (3) sirve para calcular integrales dobles en lascoordenadas polares. 441

MATEMÁTICA BÁSICA ISi la primera integración se realiza por , y la segunda, por ,obtenemos la formula: (3’ )Supongamos que es preciso calcular integral doble de la función , dada en coordenadas rectangulares y extendidas por eldominio :Si es un dominio regular en coordenadas polares , el cálculode la integral dada se puede reducir a la determinación de unaintegral iterada de segundo orden en coordenadas polares. Enefecto, puesto que , ,Por tanto, tenemos (4) 442

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo 1. Calcular el volumen V del cuerpo limitado por lasuperficie esféricay el cilindroSolución. Como el dominio de integración se puede tomar, eneste ejemplo la base de un cilindro , es decir,un circulo de radio y centro en el punto (0, ). La ecuación deeste círculo se puede escribir en la forma .Calculemos la cuarta parte del volumen V, es decir, la partedispuesta en el primer octante. Entonces, en la calidad deldominio de integración debemos tomar un semicírculo, cuyasfronteras son determinadas por las ecuaciones: ,,El integrado esPor tanto,Transformemos la integral obtenida para las coordenadas polares :Determinemos los límites de integración. Para esto escribamos laecuación de circunferencia dada en coordenadas polares: puestoque 443

MATEMÁTICA BÁSICA I , , ,Tenemos:óPor consiguiente, las fronteras del dominio en coordenadaspolares se determinan por las ecuaciones: , ,,,el integrado tiene la formaPor consiguiente, obtenemos: 444

MATEMÁTICA BÁSICA I6. SUSTITUCION DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE (CASO GENERAL) Sea dado en el plano un dominio D limitado por la curva L. Supongamos también que las coordenadas e son las funciones de las nuevas variables y : (1)Donde las funciones y son uniformes, continuas yque en las derivadas continuas en cierto dominio D´ que serádefinido abajo. En este caso, según la fórmula (1), a cada par devalores y corresponde un solo para de valores e .Supongamos, ahora, que las funciones son tales que, sidamos a e los valores determinados en el dominio D,entonces, según las fórmulas (1) determinemos los valoresdefinidos de y .Analicemos el sistema de coordenadas rectangulares . De loexpuesto arriba se deduce, que a todo punto en el plano 445

MATEMÁTICA BÁSICA Icorresponde uniformemente un punto del planode coordenadas definidas por las fórmulas (1). Los númerosy se llaman coordenadas curvilíneas del punto P.Si un punto describe en el plano la curva cerrada L que limitael dominio D, entonces en el plano el punto correspondientedescribirá una curva cerrada L‟ que limita un cierto dominio D´;además, a cada punto de D‟ le corresponde un punto de D.Por consiguiente, las fórmulas (1) establecen una correspondenciabiunívoca entre los puntos de los dominios D y D‟, o, como se dicetambién, representan biunívocamente a D en D‟.Analicemos en D‟ una recta . En general, por lasfórmulas (1) hallemos que en el plano le corresponde unacierta curva. Del modo igual a toda recta del planole corresponde una cierta curva en el plano .Mediante rectas y dividamos el dominio D‟ enlos dominios parciales rectangulares (no tomamos enconsideración los rectángulos que tocan la frontera de D‟). Lascurvas correspondientes dividen el dominio D en ciertoscuadriláteros curvilíneos.Analicemos en el plano un rectángulo , limitado por lasrectas , ,, y elcuadrilátero curvilíneo que le corresponde en el plano . Lasáreas de estos dominios parciales designémoslas por y ,respectivamente. Es evidente que:Hablando en general, las áreas y son diferentes.Sea dada una función continua. 446

en un dominio D. MATEMÁTICA BÁSICA IA todo valor la funciónmismo valor de la función del dominio D, corresponde un en D‟, dondeExaminemos las sumas de las integrales de la funciónextendidas por el dominio D. Evidentemente, se verifica laigualdad siguiente: (2)Calculemos , es decir, el área del cuadrilátero curvilíneo en el plano .Determinemos las coordenadas de sus vértices: (3)Al calcular el área del cuadrilátero curvilíneo ,consideremos que las líneas , , , son, por pares,rectas paralelas; además, sustituyamos los incrementos de lafunciones por sus diferenciales correspondientes. De este modo,menospreciamos las infinitesimales de orden superior encomparación con las , . En este caso , las fórmulas (3) tomanla forma: 447

MATEMÁTICA BÁSICA I (3’ )Hechas las suposiciones mencionadas, podemos considerar elcuadrilátero curvilíneo como un paralelogramo. Su áreaes aproximadamente igual al área duplicada del triánguloy se determina mediante la aplicación de la fórmulacorrespondiente de la geometría analítica:Las líneas verticales secundarias exteriores de las determinantessignifican que ésta se toma por su valor absoluto. Introduzcamosla designación:Por consiguiente, (4) 448

MATEMÁTICA BÁSICA ILa determinante I se llama determinante funcional o jacobiano (porel nombre del matemático alemán Jacobi) de las funciones .Las igualdades (4) es sólo aproximada, puesto que, al calcular elárea de , hemos menos preciado las infinitesimales de ordensuperior. Sin embargo, cuanto menores son las dimensiones delos dominios parciales y tienden a cero:Apliquemos ahora la igualdad obtenida al cálculo de la integraldoble. En virtud de la igualdad (2), podemos escribir:(la suma integral del segundo miembro se extiende por el dominioD‟) Pasando al límite, cuando , obtenemos la igualdadexacta: (5)Esta es la fórmula de transformación de las coordenadas dentrode la integral doble. Ella permite reducir el cálculo de una integral449

MATEMÁTICA BÁSICA I doble extendida por el dominio D al cálculo de una integral doble extendida por el dominio D‟, lo que puede simplificar el problema. La primera demostración rigurosa de esta fórmula pertenece al distinguido matemático rus M. V. Ostrogradski. Observación. El paso de las coordenadas rectangulares a las polares, examinado en el párrafo anterior, es un caso particular del cambio de variables en una integral doble. Aquí tenemos ,: Calcular el jacobino de la transformación de las coordenadas cartesianas e en las polares y :Por consiguiente, , entonces7. CALCULO DE LAS AREAS DE SUPERFICIESSupongamos que es preciso calcular el área de una superficielimitada por una curva T; sea dada la superficie por una ecuación, donde la función es continua y tiene lasderivadas parciales continuas. 450