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MATEMÁTICA BÁSICA I18. Dos poblaciones, A y B, están a 324 km. una de otra. A las 6 horas sale de A un automóvil para hacer el viaje de ida y regreso a B, y a las 8:15 horas sale un camión de B para hacer el mismo recorrido. Se encuentran por primera vez a las 10 horas y vuelven a encontrarse siete horas más tarde en el viaje de regreso. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que cada uno perdió una hora antes de iniciar el viaje de regreso.19. Dos pedazos de metal contienen 10 por ciento y 25 por ciento de cobre, respectivamente. Encuéntrese el peso de cada uno sabiendo que al fundirlos conjuntamente se obtienen 60 kg., de una aleación con 20 por ciento de cobre.20. Dos diferentes clases de leche, una con 4 por ciento de grasa y la otra con 3 por ciento, se mezclaron para obtener 80 litros de leche con 3 ¼ por ciento de grasa. Encuéntrese cuántos litros de cada clase de leche se emplearon.21. Dos soluciones de un ácido, una con 97 por ciento y otra con 90 por ciento, se mezclaron para obtener 21 litros de solución con 95 por ciento. ¿Cuántos litros de cada solución se emplearon?22. Un pintor y su ayudante aplican una primera mano de pintura a una casa en 3 3 días. Si la aplicación de la segunda mano 5 requiere cuatro días de los cuales sólo tres trabaja el ayudante, ¿cuánto tiempo emplea cada uno en aplicar una mano?. Considérese que la aplicación de cada una de las dos manos requiere igual tiempo.23. Un aeropuerto B está a 700 km. al este de otro A. Un piloto sale de A hacia B al mismo tiempo que otro sale de B hacia A y sus 251

MATEMÁTICA BÁSICA I aviones se encuentran después de transcurridas dos horas. El avión que viaja al este completa su recorrido en 1 ½ hora más tarde, y el que viaja hacia el oeste lo hace 2 2 después de haber 3 encontrado al otro. Si estuvo soplando viento del oeste a razón de 20 km/kr., encuéntrese la velocidad relativa al aire de cada avión.24. Una persona cerca un terreno rectangular, uno de cuyos lados menores limita con una carretera. Al mismo tiempo lo divide en dos partes con una cerca paralela a los lados mayores. A lo largo de la carretera el costo de la cerca fue S/. 15.00 metro y en las otras partes S/. 12.00 metro. El costo total fue S/. 5,400.00 y la cerca de la orilla de la carretera costó S/.3,400.00 menos que la del resto. Encuéntrese las dimensiones del terreno.25. Un joven compró un “bat”, una pelota y un guante de béisbol en $ 80.00. El costo del guante fue S/. 10.00 mayor que el costo de la pelota y el “bat” juntos, y el precio de la pelota fue S/. 40.00 menor que el del “bat” y el guante juntos. ¿Cuánto costó cada uno?26. Un equipo de fútbol está formado con 45 jugadores de las escuelas de Preparatoria, de Ingeniería y de Contabilidad. La suma del número de jugadores de Ingeniería y de Contabilidad es cinco unidades mayor que el de los de Preparatoria y la suma de los de Preparatoria e Ingeniería es el doble de los de Contabilidad. Encuéntrese cuántos miembros de cada escuela hay en el equipo.27. Una colecta produjo S/. 32.00 en monedas de diez, veinticinco y cincuenta centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase había si en total eran 150 y la suma de monedas de diez y de veinticinco centavos importó S/. 22.00? 252

MATEMÁTICA BÁSICA I28. La suma de los tres dígitos de un número es 11. Si se añade 396 al número, se intercambian los dígitos de las centenas y de las unidades. Si se agrega 27 al número original, los dígitos de las decenas y de las unidades del número quedan intercambiados. Encuéntrese este número.29. La suma de las edades de un padre, de su hijo y de su hija es 65 años. Si diez años más tarde el padre tiene el doble de la edad del hijo y hace cinco años la edad de éste era el doble de la de su hermana, encuéntrense las edades de cada uno.30. Un granjero camina a caballo hasta su rancho a razón de 9.6 km/hr., luego toma su automóvil y se dirige a la estación de ferrocarril a 64 km/kr., y asciende al tren que lo lleva a 80 km/kr., hasta la ciudad más próxima. La distancia total recorrida fue 577.20 km. y el tiempo empleado 9 ½ horas. Si permaneció 5 horas más en el tren que en el recorrido a caballo, encuéntrense las distancias de cada tramo.31. Tomas, Ricardo y Enrique pueden segar un campo en 1 1 hora 3 trabajando conjuntamente. Cuando sólo trabajan Tomás y Enrique se necesitan 2 2 hora para hacer la misma tarea, y Ricardo y 3 Enrique pueden hacerlo en 2 horas. ¿Qué tanto tiempo emplearía cada uno trabajando solo? 253

MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse por medio de determinantes los siguientes sistemas deecuaciones.17. 3x – y = 5 2x + 3y = 718. 2x + 5y = -4 x - 3y = 919. x + 2y = 4 3x + y + 3 = 020. 4x – 5y = -3 3x + 2y + 8 = 0Resuélvanse las ecuaciones simples de segundo grado, señaladas enlos problemas 2 a 20.Observación: a. Si son cuadrados perfectos, factorice y resuelva. EJERCICIO RESUELTO1. 25x2 – 36 = 025x 2 36 0 0 65x 6 5x 6 x1 55x 6 05x 6 0 x2 6 5 254

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS2. x2 – 4 = 03. 16x2 – 1 = 04. 49x2 – 9 = 0b. Se puede simplificar convierta en cuadrados perfectos. EJERCICIO RESUELTO5. 7x2 – 28 = 07x 2 28 0;x2 4 0 x 2x 2 0x2 0 x1 2x2 0 x2 2EJERCICIOS PROPUESTOS6. 8x2 – 32 = 07. 3x2 – 27 = 08. 2x2 – 18 = 0 255

MATEMÁTICA BÁSICA Ic. Si al simplificar no encuentra cuadrados perfectos; procesa a su desarrollo: EJERCICIOS RESUELTOS9. 3x2 – 4 = 03x2 4 0 x 233x2 4 3x2 4 x1 2 3 ; x2 23 3 3 3x 4; x 2 10. 3x2 + 27 = 0 3 33x2 27 0 3x2 27 3x2 9 x9x 31x1 3i x 91 x 3i 1 i x2 3i EJERCICIOS PROPUESTOS11. 2x2 – 9 = 0 17. 4x2 -100 = 012. 4x2 – 12 = 0 18. 16 x2 + 9 = 013. 10x2 – 45 = 0 19. 8x2 + 50 = 014. x2 – 4 = 0 20. x2 + 5 = 015. 5x2 + 45 = 0 21. 3x2 + 21 = 016. 6x2 + 24 = 0 256

MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse por factorización las ecuaciones siguientes:EJERCICIOS RESUELTOS22. x2 – x – 2 = 0 x2 0 x1 2 x2 x 2 0 x1 0 x2 x2 1 x1 1 x 2x 1 023. 2x2 + 7x + 3 = 0 2x 1 02x2 7x 3 0 2x1 1x 11x 36 x1 1 2 7 x3 0 x2 3 2x 1 x 3 024. 14x = 8x2 + 314x 8x2 3 2 - Se ordena. 8x2 14x 3 0 12 - Si el término cuadrático tiene 148x2 14x 3 0 signo negativo, se cambiará4x 1 de signo.2x 3 257

MATEMÁTICA BÁSICA I 2x 3 0 2x 3 4x 1 0 x3 4x 1 x1 2 4 EJERCICIOS PROPUESTOS25. x2 – x – 6 = 0 38. 4x2 = 11x + 326. x2 + 36 = 0 39. 6x2 = 1 – x27. x2 + x = 20 40. 6x2 = 3 – 7x28. x2 + 4x + 3 = 0 41. 6x2 + 17x + 5 = 029. x2 + 2 = 3x 42. 6 = 6x2 + 5x30. x2 + 12 = 7x 43. 6x2 – 6 = 5x31. x2 – 6x + 5 = 0 44. 10x2 = 3 – 13x32. 2x2 + 1 = 3x 45. 12x2 = 3x + 233. 3x2 – 2x = 1 46. 10x2 – 11x = 634. 4x2 = 1 – 3x 47. 20x2 + 6 = 23x35. 2x2 + 3x + 1 = 0 48. 16x2 = 2x + 536. 3x2 + 2 = 7x 49. x2 – x – 6 = 037. 4x2 + 7x = 2 258

MATEMÁTICA BÁSICA I50. 40x2 + 6 = 31x 60. 36x2 + 69x + 28 = 051. 21x2 = 5x + 6 61. 34x + 15 = 72x252. x2 – x – 6 = 0 62. x2 + 2ax = 3a253. 52x = 12 + 35x2 63. 6x2 + bx – 2b2 = 054. 33x = 40x2 – 18 64. 2a2x2 – abx – 3b2 = 055. 7x = 15 - 36x2 65. 3d2x2 + 2dcx – 8c2 = 056. 35x2 + 94x + 24 = 0 66. x2 – ax – bx + ab = 057. 16x2 = 54x - 35 67. abx2 + a2x + b2x + ab = 058. 15 = 64x2 + 68x 68. 2x2 – ax + 2bx – ab = 059. 45x2 = 69x + 10 69. 3ax2 + 9ax + 2x + 6 = 0Resuélvanse, completando el cuadrado, las ecuaciones de losproblemas 4 a 60. EJERCICIOS RESUELTOS1. x2 = 4x + 21x 2 4x 21 0 - Se pasa el términox 2 4x 21 independiente alx 2 4x 4 21 4 segundo término.x 2 2 24x 2 24 - Se forma el trinomiox 2 24 cuadrado.x 2 46x 2 26 - Se factoriza. - Se halla la raíz. - Se despeja y simplifica.x1 2 1 6x2 2 1 6 259

MATEMÁTICA BÁSICA I 2. x2 + ax = 2a2x2 ax a 2 2a 2 a2 4 4 9x2 5 18x a 2 9a 2 9x2 18x 5x 9x2 18x 9 9 5 24 a 9a2 3x 3 2 4x 3x 3 4 24x a 3a 3x 3 2 22 3x 3 2 2a x 32x1 2 ; x1 a 3x2 4a ; x2 2a x1 5 ; x2 1 2 3 33. a2x2 – a3x + a2b – b2 = 0a2x2 a3x a2b b2 0 a4a2x2 a3x a4 b2 a2bax a 2 2 b 2 a 2b a 4ax a 2 b2 a2b a4ax a 2 b2 a 2b a 4 a2 b2 a2b a4x a a2 b2 a2b a4x1 a a2 b2 a2b a4x2 a 260

MATEMÁTICA BÁSICA IEJERCICIOS PROPUESTOS4. x2 + 4x + 3 = 0 20. 6x2 = x + 155. x2 + 2x – 8 = 0 21. 6x2 + 2 = -7x6. x2 + 2x – 24 = 0 22. 10x2 + 3 = - 17x7. 9x2 + 5 = 18x 23. 8x2 – 22x – 21 = 08. x2 = 2 - x 24. 12x2 = -11x – 29. x2 + x – 6 = 0 25. 10x2 – 7x = 1210. x2 = 5x – 6 26. x2 + 6x = 511. x2 – 4 = 3x 27. x2 – 2x = 112. 4x2 + 15 = 16x 28. x2 + 1 = 4x13. 4x2 = 8x + 5 29. x2 + 7 = 6x14. 3x2 – 2x = 5 30. x2 = 2x + 215. 2x2 + 3x = 2 31. 4x2 = 4x + 116. 3x2 + 7x - 6 = 0 32. 9x2 + 1 = 12x17. 2x2 – x = 0 33. 4x2 + 1 = 12x18. 3x2 – 5x = 2 34. 4x2 – 2x = 119. 3x2 + 10x = 8 35. 3x2 + 6x + 2 = 0 261

MATEMÁTICA BÁSICA I 49. x2 + 5x + 7 = 0 50. 9x2 + 18x + 14 = 0 36. 9x2 + 9x + 1 = 0 51. x2 – 3b2 = 2bx 37. 4x2 + 9 = 16x 52. x2 – ab = (a – b) x 38. 9x2 + 23 = 30x 53. x2 – 2ab = (b – 2a) x 39. x2 + 2x + 2 = 0 54. x2 – 2ax + a2 – b2 = 0 40. x2 + 5 = 4x 55. b2x2 – b3x = a2 – ab2 41. x + 2x + 10 = 0 56. abx2 – (a2 – b2) x – ab = 0 42. x2 + 13 = 6x 57. 6x2 + (2b - 3a) x = ab 43. 2x2 + 1 = 2x 58. (a + b) x2 – 2ax = b – a 44. 2x2 + 5 = 6x 59. a2x2 – a2x = ab + b2 45. 9x2 – 6x + 5 = 0 60. (a2 - b2) x2 + 4abx + 1 = 0 46. 9x2 – 12x + 5 = 0 47. 4x2 + 7 = 8x 48. 4x2 + 8x + 7 = 0Resolver las ecuaciones: 4. x2 – 2x – 8 = 01. x2 – 5x + 6 = 0 5. 2x + 3 = 7x2. x2 – 5x + 4 = 0 6. 3x2 + x = 23. x2 + x – 6 = 0 262

7. 4x2 + 7x – 2 = 0 MATEMÁTICA BÁSICA I8. 5x2 + 3x – 2 = 09. 6x2 + 5x = 6 14. 8x2 + 18x + 9 = 010. 15x2 = 14x + 8 15. 27x2 = 12x + 711. 12x2 + 6 = 17x 16. 56x2 + 17x – 28 = 012. 40x2 = 7x + 20 17. x2 – 2x = 113. 16x2 + 18x + 5 = 0 18. x2 + 4x = - 1 19. x2 – 6x + 7 = 0 20. x2 + 6x + 4 = 0Use la fórmula de la ecuación de segundo grado para efectuar lasoperaciones que se requieran en los problemas 22 a 28. EJERCICIO RESUELTOS21. Resuélvase 4x2 – 9y2 - 2x + 9y – 2 = 0 para y. 4x2 9y2 2x 9y 2 0 Ordene para “y” 9y2 9y 4x2 2x 2 0 Cambie de signo 9y2 9y 4x2 2x 2 0 Represente la fórmula de una ecuación de segundo grado. b b2 4ac y 2a Indique las constantes a 9;b 9;c x2 2x 2 Reemplace y desarrolle. 263

MATEMÁTICA BÁSICA I y1 6x 6 18 9 81 4 9 x2 2x 2 y x1 y1 3 29 y 9 81 36x2 72x 72 x2 y2 3 18 y 9 36x2 36x 9 18 9 36x2 36x 9 y 18 9 6x 3 2 y 18 y 9 6x 3 18 EJERCICIOS PROPUESTOS22. Resuélvase y2 – x2 – 3x + y – 2 = 0 para y.23. Resuélvase y2 – x2 + 5x + y – 6 = 0 para y.24. Resuélvase y2 – 4x2 + 8x - 2y – 3 = 0 para x.25. Resuélvase 9x2 – y2 -- 3x + 3y – 2 = 0 para x.26. Resuélvase y2 – 9x2 + 12x - 4 = 0 para x.27. Resuélvase x2 – 16y2 + 24y - 9 = 0 para y.28. Resuélvase 9y2 – 16x2 + 6y + 16x – 3 = 0 para x.264

MATEMÁTICA BÁSICA IResuélvanse las ecuaciones de los problemas 29 a 40 empleando lafórmula de la ecuación de segundo grado, y encuéntrense las raícescon tres cifras decimales con ayuda de la Tabla.29. 3x2 – 2x – 2 = 0 35. 7x2 = 2x + 130. 2x2 = 3x + 18 36. 8x2 + 6x = 331. 4x2 + 6x = 9 37. 10x2 – 3 = 4x32. 6x2 + 8x = 9 38. 3x2 = 12x – 133. 5x2 – 5x + 1 = 0 39. 12x2 – 4x = 334. 2x2 – 9 = 4x 40. 9x2 – 3x – 4 = 0Para resolver una ecuación que comprende radicales de segundo orden,se efectúan los pasos siguientes:1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre sí.3. Si la ecuación que se obtenga no contiene radicales se resuelve para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales se resuelve para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación para x. 265

MATEMÁTICA BÁSICA I4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos para x en el paso anterior y se determinan los valores de x que son raíces y los que no lo son.El proceso de aplicar los pasos 1 y 2, hasta liberar la ecuación deradicales, se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS PROPUESTOS1. Encuéntrense dos números consecutivos, enteros, positivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85.2. Encuéntrense dos números consecutivos enteros, cuyo producto es mayor en 41 a su suma.3. Encuéntrense un número positivo tal que su cuadrado menos cinco veces el número, sea igual a 14.4. Encuéntrense un número negativo talque su cuadrado más tres veces el mismo número sea 40.5. Encuéntrense dos números que difieran entre sí en 18 y cuyo producto sea 144.6. Encuéntrense dos números cuya diferencia sea 2, y cuyo producto sea 288.7. Divídase 40 en dos partes tales que el producto de ellas sea 256.8. Divídase 33 en dos partes tales que el producto de ellas sea 216. 266

MATEMÁTICA BÁSICA I9. Si cada lado de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, la superficie se multiplica por 4. Encuéntrense la longitud original de los lados.10. La suma de un número y de su recíproco es 13/6. Encuéntrense el número.11. Encuéntrense el número que es 4 veces mayor que 12 veces su recíproco.12. La suma de un entero y del recíproco de su consecuente es 13/4. Encuéntrense el número.13. El área de un rectángulo es 36mt2 y el largo excede al ancho en 5 mts. Encuéntrense las dimensiones del rectángulo.14. La superficie de un terreno rectangular es 9,800 mts2, y el largo excede en 70 mts. al ancho. Encuéntrense las dimensiones del terreno.15. El área del piso de un cuarto rectangular es 240 mts. Encuéntrense sus dimensiones sabiendo que el largo es 4 metros menor que el doble del ancho.16. El largo de un rectángulo es 7 cm. mayor que el ancho, y la diagonal mide 13 cm. Encuéntrense las dimensiones del rectángulo.17. El perímetro de un rectángulo mide 40 mts. y el área 96 mts2 Encuéntrense sus dimensiones.18. Un granjero construye un establo rectangular aprovechando para uno de los lados la pared de un granero. La superficie del establo 267

MATEMÁTICA BÁSICA I es 200mts2, y en los otros lados emplea 40 mts. de cerca. Encuéntrense las dimensiones del establo.19. Encuéntrense los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que difieren entre sí y en 7 mts. y que el área es 30 mts.2.20. El área de un triángulo rectángulo es 84 mts.2. Encuéntrense las dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 metros.21. El lado de un cuadrado es 3 cm. menor que el largo de un rectángulo y 4 cm. mayor que el ancho. Encuéntrense las dimensiones de cada uno sabiendo que el área del cuadrado es el doble de la del rectángulo.22. Las dimensiones exteriores de un cuadro enmarcado son 20 y 18 cms. Encuéntrense el ancho de la moldura sabiendo que su área es ¼ del área del cuadro sin marco.23. Dos muchachos reman en una canoa y recorren 6 km. Río abajo. Regresan a su punto de partida empleando en total 4 horas. Si la velocidad de la corriente es 2 km/hr., encuéntrese la velocidad de la canoa relativa al agua.24. Un piloto hizo un viaje contra el viento y regresó a su punto de partida en 4 ½ horas. Encuéntrese la velocidad del avión relativa al aire, sabiendo que la velocidad del viento fue 20 km/hr. y el recorrido total 400 kms.25. Un avión recorrió 1,000 kms. a velocidad uniforme. Su hubiera ido 50 km/hr. más aprisa hubiera empleado 1 hora menos en el viaje. Encuéntrese la velocidad de crucero. 268

MATEMÁTICA BÁSICA I26. Un automóvil viajó 140 kms. a velocidad uniforme. Otro recorrió 180 kms. a una velocidad mayor a la del anterior en 5 km/hr., y empleó 30 minutos más en su recorrido. Encuéntrese la velocidad de cada automóvil.27. Un mensaje debe ser transportado a una distancia de 35 kms. Una persona lo lleva durante 20 kms. a una velocidad uniforme, y otra lo lleva el resto de la distancia a una velocidad que es menor en 2 ½ km/hr. Encuéntrese cada velocidad si el tiempo total del recorrido es de 4 horas.28. Un carpintero puede hacer cierto trabajo en 2 días menos que su ayudante. Trabajando conjuntamente puede hacer el trabajo en 2 2/5 días ¿Cuántos días empleará cada uno en hacerlo trabajando separadamente?29. Un hombre y su hijo pueden pintar un automóvil en dos días. ¿En cuánto tiempo pueden pintarlo cada uno si el hijo requiere para ello 3 días más que el padre?30. Un hombre compró dos granjas en $ 450,000.00 cada una. Si pagó $ 500.00 más por hectárea en una que en otra y si en total compró 750 hectáreas, encuéntrense el precio por hectárea de cada una.31. Un comerciante vendió 2 lotes de huevos en $ 220.00 y $ 150.00 respectivamente, habiendo 10 docenas más en el primero que en el segundo. Si el precio por docena del primer lote fue 50 centavos mayor que el del segundo, encuéntrense cuántas docenas había en cada uno. 269

MATEMÁTICA BÁSICA I32. Los muchachos de cierta familia compraron a prorrata un automóvil usado en $ 6,000.00. Después de 6 meses uno de ellos vendió su parte a los otros en $ 900.00. Cuando este costo adicional se repartió entre los demás hermanos, cada uno contribuyó con una cantidad de $ 120.00 menor que la aportada originalmente. ¿Cuántos muchachos eran? 270

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO VI DESIGUALDADES: INECUACIONESSe dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando ladiferencia a – b es positiva. Así 4, es mayor que –2 porque la diferencia4–(-2) = 4 + 2 = 6 es positiva; -1 es mayor que –3 porque –1–(-3)=-1+3=2es una cantidad positiva.Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando ladiferencia a – b es negativa. Así, -1 es menor que 1 porque la diferencia–1 –1 = -2 es negativa: -4 es menor que –3 porque la diferencia –4 – (-3)= -4 + 3 = -1 es negativa.De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidadnegativa.Así, 0 es mayor que –1 porque 0 – (-1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.6.1 DESIGUALDAD Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menorque otra.Los signos de desigualdad son , que se lee mayor que, y que se leemenor que. Así 5 3 se lee 5 mayor que 3; -4 -2 se lee –4 menor que–2. 271

MATEMÁTICA BÁSICA IMIEMBROSSe llama miembro de una desigualdad a la expresión que está a laizquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo dedesigualdad.Así, en a + b c – d el primer miembro es a + b y el segundo c – d.TÉRMINOSDe una desigualdad son las cantidades que están separadas de otraspor el signo + 0 – 0 la cantidad que está sola en un miembro. En ladesigualdad anterior los términos son a, b, c y –d.Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentidocuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos, que lossegundos.Así, a b y y c d son desigualdades del mismo sentido.Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismosentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores omenores que los segundos miembros. Así, 5 3 y 1 2 sondesigualdades de sentido contrario.PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o restauna misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.Así, dada la desigualdad a b, a + c b + c y a – c b – c.podemos escribir: 272

MATEMÁTICA BÁSICA IConsecuencia:Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de unmiembro al otro cambiándole el signo.Así, en la desigualdad b + c podemos pasar c al primer miembrocon signo – y quedará a – c b, porque equivale a restar c a losdos miembros. En la desigualdad a – b c podemos pasar b con signo + alsegundo miembro y quedará a b + c, porque equivale a sumar b alos dos miembros.2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican odividen por una misma cantidad positiva, el signo de ladesigualdad no varía.Así, dada la desigualdad a b y siendo c ac bc y a b ccuna cantidad positiva, podemos escribirConsecuencia:Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin quevaríe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicartodos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, porel m.c.m. de los denominadores.3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.Así, si en la desigualdad a b, 273

MATEMÁTICA BÁSICA I -ac -bc a -bmultiplicamos ambos miembros ccpor –c, tendremos:y dividiéndolos por –c, o seamultiplicando por - 1 , tendremos: cConsecuencia:Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dosmiembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varíaporque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdadpor –1.Así, si en la desigualdad a – b - c cambiamos el signo a todoslos términos, tendremos: b – a c4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Así, si a b es evidente que b a.5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. Así, siendo a b se tiene que 1 1 . ab6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, 5 3. Elevando al cuadrado: 52 32 o sea 25 9 274

MATEMÁTICA BÁSICA I7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, - 3 - 5. Elevando al cubo: (-3)3 (-5)3 o sea – 27 - 125. 2 - 2. Elevando al cubo: 23 (-2) o sea 8 - 8.8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: (-3)2 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9 25.9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: 32 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9 25. Cambia. 8 - 2. Elevando al cuadrado: 82 = 64 y queda 64 4. No Cambia.10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, si a b y n es positivo, tendremos: n a n b .11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Así, si a b y c d, tendremos: a + c b y ac bd 275

MATEMÁTICA BÁSICA I12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. Así, 10 8 y 5 2. Restando miembro a miembro: 10 – 5 = 5 y 8 – 2 = 6; luego queda 5 6; cambia el signo.Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 8y5 4,tenemos 10 = 2 y 8 = 2; luego queda 2 = 2, igualdad. 546.2 INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o máscantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica paradeterminados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llamantambién desigualdades de condición.Así, la desigualdad 2x – 3 x + 5 es una inecuación porque tiene laincógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8.En efecto: Para x = 8 se convertiría en igualdad y para x 8 seconvertiría en una desigualdad de signo contrario.Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas quesatisfacen la inecuación.276

MATEMÁTICA BÁSICA IPRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCIÓN DE LASINECUACIONESLa resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de lasdesigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que delas mismas se derivan.RESOLUCIÓN DE INECUACIONES1. Resolver la inecuación 2x – 3 x + 5Pasando x al primer miembro y 3 al segundo: 2x – x 5 + 3Reduciendo: x 8. R.8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada sólose verifica para los valores de x mayores que 8.2. Hallar el límite de x en 7 - x 5x - 6 23 Suprimiendo denominadores: 42 – 3x 10x – 36Transponiendo: -3x – 10x - 36 – 42. -13x - 78Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar elsigno de la desigualdad, se tiene: 13 x 78.Dividiendo por 13: x 78 o sea x 6. R. 136 es el límite superior de x, es decir, que la desigualdad dada sólose verifica para los valores de x menores que 6. 277

MATEMÁTICA BÁSICA I3. Hallar el límite de x en (x + 3) (x – 1) (x – 1)2 + 3x. (x 3)(x 1) (x 1)2 3x x2 2x 3 x2 2x 1 3x Transponiendo: x2 x2 2x 2x 3x 1 3 Simplificando x4 El límite superior es 4; se verifica el valor de x, para números menores que “4” 4 04Hallar el límite de x en las inecuaciones siguientes:EJERCICIOS RESUELTOS1. 2x - 5 x + 10. 0 33 3 2x 5 x 10 33 6x 5 x 10 6x x 10 5 5x 15 x3 278

MATEMÁTICA BÁSICA I2. 6 (x2 + 1) – (2x – 4) (3x + 2) 3 (5x + 2) 6(x2 2x 1) 4x2 (x 7) 4(x3 6x2 12x 8) 6x2 12x 6 4x3 28x2 4x3 24x2 48x 32 4x3 4x3 22x2 24x2 12x 48x 6 32 0 2x2 36x 38 0 x2 18x 19 0 (x 19)(x 1) 0 x 19 x1 1 19 1 x 19EJERCICIOS PROPUESTOS3. x – 5 2x – 6. 6. 3x – 14 7x – 2.4. 5x – 12 3x – 4. 7. 3x – 4 + x 5x + 25. x – 6 21 – 8x. 42 8. (x –1)2 – 7 (x – 2)29. (x + 2) (x – 1) + 26 (x + 4) (x + 5)10. 3(x-2) +2x (x + 3) (2x – 1) (x + 4)11. (x – 4) (x + 5) (x – 3) (x – 2)12. (2x – 3)2 + 4x2 (x – 7) 4 (x – 2)3 279

MATEMÁTICA BÁSICA I13. 2x 1 2x 5 3x 1 3x 2 x3 4 x14. - 33 x215. 5 - 9 23x 1 9x2 1 3x 116. 1 1-1 x2 x x2 x x2 xRESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SEREDUCEN A PRIMER GRADOVamos a estudiar la resolución de ecuaciones en las cuales la incógnitaaparece bajo el signo radical.Ejemplos:1. Resolver la ecuación 4x2 15 2x 1 Aislando el radical: 4x2 15 2x 1 Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical: (4x2 15)2 = (2x – 1)2 o sea 4x2 – 15 = 4x2 – 4x + 1. Suprimiendo 4x2 en ambos miembros: -15 = - 4x + 1 4x = 16 x = 4. R.2. Resolver la ecuación: x 4 x 1 5 Aislando un radical: x 4 5 x 1 280

MATEMÁTICA BÁSICA IElevando al cuadrado: ( x 4)2 (5 x 1)2 O sea: x + 4 = 52 – 2 x 5 x 1 + (x 1)2Efectuando: x + 4 = 25 – 10 x 1 + x – 1Aislando el radical: x + 4 - 25 – x + 1 = - 10 x 1Reduciendo: - 20 = - 10 x 1 20 = 10 x 1Dividiendo por 10: 2 = x 1Elevando al cuadrado: 4 = x – 1 x = 5. R.3. Resolver la ecuación : x 7 x 1 2 x 2 0 Aislando un radical: x 7 + x 1 = 2 x 2 Elevando al cuadrado: (x 7)2 + 2 ( x 7 ) ( x 1) + (x 1)2 4(x 2) Efectuando: x + 7 + 2 x2 6x 7 + x – 1 = 4x + 8 Aislando el radical: 2 x2 6x 7 = 4x + 8 – x – 7 – x + 1 Reduciendo: 2 x2 6x 7 = 2x + 2 Dividiendo por 2: x2 6x 7 = x + 1 Elevando al cuadrado: x2 + 6x – 7 = (x + 1 )2 O sea : x2 + 6x – 7 = x2 + 2x + 1 6x – 2x = 7 + 1 4x = 8 x = 2. R. 281

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSResolver las ecuaciones:1. x 8 = 2 15. 5x 1 3 5x 262. 5 - 3x 1 = 0 16. 13 13 4x 2 x3. 7 + 3 5x 2 9 17. x 4 x 4 2 x 14. 9x2 5 3x 1 18. 9x 7 x 16x 7 05. x2 2x 1 9 x 19. 9x 10 2 x 3 x 26. 15 - 3 7x 1 12 20. 18x 8 2x 4 2 2x 1 07. x x 7 7 21. 8x 9 18x 34 2x 7 08. 3x 5 3x 14 99. x 10 x 19 1 22. x 2 x 5 4x 2310. 4x 11 7 2x 29 23. x 6 9x 70 2 x 911. 5x 19 5x 1 24. x a x a 4x 2a12. x 2 5 x 53 25. x 4ab 2b x13. 9x 14 3 x 10 4 26. x 4a x 2a 1 114. x 16 x 8 4 282

MATEMÁTICA BÁSICA IECUACIONES CON RADICALES EN LOS DENOMINADORESResolver la ecuación: x4 x 1 2 x1Suprimiendo denominadores: x2 3x 4 (x 1)2 2 x2 3x 4 (x 1) 2Elevando al cuadrado: x2 3x 4 x 1 x2 + 3x – 4 = x2 + 2x + 1 3x – 2x = 4 + 1 = R. EJERCICIOS PROPUESTOSResolver las ecuaciones:1. x x5 10 6. x 3 8 x9 x x92. 4x 11 2 x 55 7. x 4 x 11 4x 11 x2 x13. x x7 4 8. 2 x 6 4x 3 9 x 4x 34. x 2 x1 x2 2x 5 x4 x 13 9. 2x 1 x25. 6 x8 x 10. x 14 x 7 6 x5 x7 283

MATEMÁTICA BÁSICA IResolver las ecuaciones exponenciales siguientes: EJERCICIOS RESUELTOS1. (a x )x (a8 )2 a x2 a16 x2 16 x 16 x4 x1 4 x2 4 Los resultados negativos no tienen validez en las ecuaciones exponenciales y logarítmicas2. (105-x)6-x = 100 105 x 6 x 100 10 5 x 6 x 102 30 11x x2 2 0 x2 11x 28 0 x 7x 4 0 x1 7 x2 4 EJERCICIOS PROPUESTOS3. (a x )2 (a x )x 6. x a ax4. (ab-x)x = ax 7. 100 . 10x = x 100055. (43-x)2-x = 1 8. 2x+1 + 4x = 80 284

MATEMÁTICA BÁSICA I9. 2x + 4x = 272 11. 3x+2 + 9x+1 = 81010. 2x+3 + 4x+1 = 320Resolver las ecuaciones siguientes: EJERCICIOS RESUELTOS1. 7 x2 5x 5 16807 7x2 5x 9 7.5x2 5x 9 5x2 5x 4 0x 4x 1 0x1 4x2 12. 3x 2 9x 1 8109 3x 9 32x 810 032x 3x 90 03x 10 3x 9 03x 10 3x 9 3x 32 x2 EJERCICIOS PROPUESTOS2. 3x = 177 147 4. 3x/2 = 768 5. 243x-2 = 10 0003. 3 x 51 1 4 2 285

MATEMÁTICA BÁSICA I6. 3 x = 243 15. . 32x – 7 . 3x – 3 456 = 07. 5x-3x = 6258. x x2 7x 12 = 1 16. 2 . 5x - 779 3759. 6 x4 18x2 86 = 7 776 -3 = 010. 2x+1 + 4x = 80 5x11. 3x + 9x = 6 64212. 2x+3 + 4x+1 = 320 17. 3x+1 + 3x-2 - 15 = 24713. 52x – 7 . 5x – 450 = 0 3x 1 3x 214. 72x – 6 . 7x + 5 = 0 18. 3x+1 - 3x-2 - 3x-3 + 3x-4 = 750 19. 32x . 52x-3 = 7x-1 . 4x+3 20. 2x+3 = 192 . 3x-3 21. (a4 – 2ª2b2 + b4)x-1 = (a b)2x (a b)2 22. a . a3 . a5 . a7 … a2x-1 = 11Aplicación: a = 2, n = 512 ; a = 2, n = 65 536 286

MATEMÁTICA BÁSICA I LOGARITMOSHistoria: El calculo quedo muy simplificado a principios del siglo XVII(1614) con la invención de los logaritmos. Dio las pautas Vieta (1590) loreferente a los logaritmos.El varon Napier o Neper de Menchistaun (Escoces, 1500-1617) inventolos logaritmos, que le costo mas de 20 años razonan las propiedades y laexistencia de los logaritmos. En la que  es la base del logaritmo natural.1 1 1 ........... 10! 1! 2! n!Operacional muchas tablas y 1630 los logaritmos formaban parte delequipo de los astrónomos.Briggs (ingles 1561-1631) publico su tabla en base diez y es utilizadasimultáneamente.Definición: Es el exponente, a la que se debe elevar un numero llamadobase; para encontrar el número dado.Clases: Tal como hemos indicado en la ligera historia de los logaritmos:1. Logaritmos Naturales o Neperianos, cuya base es el numero trascendente epsilon 2.718281828......(Ln)2. Logaritmos comunes vulgares de Briggs, cuya base es el numero diez(10) (log) 287

MATEMÁTICA BÁSICA I Propiedades: I. Los números negativos no tienen logaritmos. II. EL logaritmo del numero UNO (1) es (0). III. El logaritmo de los números mayores que el número uno (1) son positivos. IV. El logaritmo de los números mayores que cero (0) y menores que el numero uno (1) son negativos. V. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de las expresiones a efectuar; log a,b,c log a log b log c VI. El logaritmo de un cociente, es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. log ab log a log b log c log d cdVII. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el log de la base anbm log cu nlog n mlog b u log cVIII. El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo de la expresión sub- radical, dividido entre el índice de la raíz.amb y mlog a y log b x log c u log dlog n c xd u n 288

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIO RESUELTO1. log x log 288 3log x 2 log x 3log x log 288 2log x log 288 x3 2 x 288 x3 8 8x 288x3 8 288x2 x 288 8 x 36 x6 x1 6 EJERCICIOS PROPUESTOS1. x + y = 65 6. log x – log 288 = 3 log x/22. x2 + y2 = 425 7. log x + log y = 23. logx = = log24 - log 8 8. x4 + y4 = 6414. 2logx = log 192 + log ¾ 9. 2log x + 2 log y = 25. log x = 3 log 18 – 4 log 12 10. log x + log y = 3 289

MATEMÁTICA BÁSICA I 18. 116x-7y = 14 641 19. log x + log y = 3/2 11. 5x2 – 3y2 = 11 300 20. log x – log y = 1/2 12. log x - log 5 = 0,5 21. 3x . 4y = 3 981 312 13. log x + 2 log y = 1,505150 22. 2y . 5x = 400 000 14. 2 log y – log x = 0,124939 23. x x y 2 15. log3+2logx+logy = 1,732393 24. (x + y) 3x = 279 936 16. logx – log 5 = log 10 17. 53x-2y = 3 125290

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO VII RELACIONESEstablecer una relación en matemática es utilizado con frecuencia; así,como en la vida cotidiana: “es igual a”, “es menor que b”; “es congruentea”; etc. Una de las relaciones más importantes es la:7.1 RELACIÓN BINARIA Si se tienen dos conjuntos A y B; se denomina relación binaria al conjunto formado con un elemento de A y otro, de B; en ese orden: Ej: A = {a; b; c; d} y B = {f; g; h} R. B. = { (a; f) ; (a; h) ; (d; f) ……. }Las Relaciones Binarias se representan entre paréntesis.Al conjunto A se le denomina Dominio o Primera Proyección y alConjunto B: Recorrido o segunda Proyección.Se denomina Relación Inversa y se representa R-1 a la relaciónque existe entre B y A.Existen también relaciones: Ternaria; lo mismo que N-ARIAcuando intervienen tres o más conjuntos:PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIASUna relación binaria R entre elementos de un conjunto A puedeser:1) reflexiva : x : x A (x; x) R. 291

MATEMÁTICA BÁSICA I x / x A (x; x) R. x : x A (x; x) R. 2) no reflexiva : 3) a-reflexiva :La propiedad 2 es la negación de la propiedad reflexiva.En el caso 3 ninguna cupla con elementos iguales pertenece a larelación.4) simétrica : (a; b) R (b; a) ‟R‟5) no – simétrica : (a; b) R / (b; a) R.6) a-simétrica : (a; b) R (b; a) R.7) anti-simétrica : [(a; b) R (b; a) R] a = b8) transitiva : [(a; b) R (b; c) R] (a; c) R9) No-transitiva : (a; b) R (b; c) R / (a; c) R10) a-transitiva : [(a; b) R (b; c) R ] (a; c) R11) lineal o conexa : [a A b A a b] (a;b) R v(b;a) RLey de tricotomía: a A, b A: a R b v b R a v a = bTIPOS DE RELACIONESLas relaciones binarias definidas en un conjunto pueden cumplir ono las propiedades anteriores. Las relaciones más usuales enmatemática son:a) Relaciones de equivalencia.b) Relaciones de orden.c) Relaciones funcionales o aplicaciones. 292

MATEMÁTICA BÁSICA I7.2 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Definición: una relación binaria R en un conjunto A es de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.O sea, una relación binaria R (simbolizada ) en un conjunto A esuna relación de equivalencia si y sólo si posee las siguientespropiedades:E1 : aA aaE2 : ab baE3 : [a b b c] a cEjemplos:a) La relación de “congruencia módulo n” para n númeronatural, definida en el conjunto de los números enteros, esuna relación de equivalencia.Sea Z el conjunto de los enteros y a b3 a – b = 3q conq Z. Z, a – a = 0 a a3E1 : aE2 : a Z, b Z, a – b = 3q b - a = 3 (-q) o sea a b3 b a3E3 : a Z, b Z, c Z, [a – b = eq b – c = 3q‟] a – c = 3 (q + q‟) = 3h o sea [a b3 b a3] a c3b) Otras relaciones de equivalencia:A = {a/a número natural} y R: “idéntico a” 293

MATEMÁTICA BÁSICA I B = {b/b círculo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual radio que” C = {c/c triángulo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual área que” D = {p/p es una proposición} y R: “sí y sólo sí”Clases de equivalencia y conjunto cocienteYa se ha probado que la relación de congruencia módulo n,definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación deequivalencia.Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relaciónsepara a los números enteros en tres clases no vacías y disjuntas:Z0 = {......., -9, -6, -3, 0, 3, 6.....}Z1 = {......., -8, -5, -2, 1, 4, 7.....}Z3 = {......., -7, -4, -1, 2, 5, 8.....}7.3 PARTICIÓN DE UN CONJUNTO La serie de lemas anteriores permite demostrar, según ya se ha indicado, que toda relación de equivalencia definida en un conjunto separa a sus elementos, de manera única, en clases no vacías y disjuntas dos a dos, es decir, establece una partición del conjunto dado.Definición:Un conjunto {A1, A2, A3, A4,......} de subconjuntos no vacíos de unconjunto A es una partición de A si y sólo si: 294

MATEMÁTICA BÁSICA I 1) A es la unión de A1, A2, A3 ...... es decir, A = U A. 2) La intersección de dos subconjuntos distintos es el conjunto vacío. Además, toda partición de un conjunto define sobre el mismo una relación de equivalencia. Se llega así, al siguiente enunciado, básico en el estudio de relaciones de equivalencia.7.4 RELACIONES DE ORDEN Las colecciones ordenadas abundan en matemáticas: puntos de una recta, números naturales, etc. La noción es tan fundamental e intuitiva que aparece en la vida cotidiana: se ordenan libros, sillas, alumnos, etc. ¿Cuál es el significado intuitivo de un “orden”? Simplemente, dados dos objetos x e y, x “precede a” y, o y “precede a” x. Usualmente en el caso de puntos de una recta horizontal “precede” significa “a la izquierda de”; en el caso de números naturales, significa “menor que”; en el caso de calles que corren de norte a sur, “precede” significa “al este de”, etc. En matemática, el concepto de orden admite distintas variantes. Se habla de orden amplio, estricto, parcial, total, de buena ordenación, etc. 1) Orden Amplio Definición: Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden amplio sí y sólo sí es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 295

MATEMÁTICA BÁSICA IEs decir, A1 : x A x R x A2 : (x R y y R x) x = y A3 : (x R y y R x) x R zEjemplos:a) En z = {x/x número entero} se define ab c número natural o cero tal que a + c = bb) En z = {x/x número entero} se define a b c Z/b =a.cc) Sea A = {1,2,3,4,5} y la relación caracterizada por x y x = y o el camino de x a y tiene el sentido indicado en el diagrama: 123 5 42) Orden EstrictoDefinición:Una relación binaria R definida en un conjunto A es de ordenestricto sí y sólo si es a-reflexiva, a-simétrica y transitiva.Es decir, S1 : xRy x y S2 : xRy yRx S3 : (x R y y R z) x R z 296

MATEMÁTICA BÁSICA ILa relación R de orden estricto se indica “ ”Ejemplos:a) Z = {x/x número entero} y a b c N /a + c = bb) A = {a, b, c, d}y R = { (a;b) , (a;c), (a;d); (b;c), (b;d), (c;d) }3) Orden parcial y totalSi un conjunto A está ordenado en forma amplia o estricta segúnlas condiciones anteriores, pueden existir elementos del conjuntopara los cuales a R b b R a, es decir, elementos nocomparables según la relación dada. En esta situación el ordendefinido es parcial.Es decir, el conjunto de propiedades A1, A2 y A3 es de ordenparcial amplio y el conjunto S1, S2 y S3 es de orden parcialestricto.Si a las propiedades de orden amplio se agrega la propiedad linealse obtiene un orden total amplio. Si a las de orden estricto seañade la ley de tricotomía, el orden es total y estricto.En ambos casos no existen elementos incomparables.Ejemplos:a) La relación R, definida en el ejemplo anterior, es de orden estricto total.b) La relación definida en el tercer ejemplo de orden amplio es parcial, pues existen elementos incomparables. Por ejemplo: 4R5 5R4 4 5 297

MATEMÁTICA BÁSICA I Es conveniente aclarar que las denominaciones de orden varían según los autores. Algunos prefieren considerar simplemente la siguiente clasificación: 1) Orden parcial: relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. 2) Orden lineal: relación a-reflexiva, lineal y transitiva. 4) Buena ordenación Interesan especialmente los conjuntos ordenados donde cada subconjunto no vacío tiene primer elemento o elemento mínimo. Un elemento a, perteneciente a un conjunto totalmente ordenado A, es primer elemento de A sí y sólo si (x A x a) a R x- Definición: Una relación binaria R definida en A es de buena ordenación sí y sólo si es de orden total y todo subconjunto no vacío de A tiene primer elemento.7.5 POSTULADO DE CANTOR – DEDEKIND Los puntos de una recta orientada son coordinables con los números:- ................ –3 -2 -1 0 1 2 3 ............ +298

MATEMÁTICA BÁSICA IDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSEs igual al punto terminal menos el punto inicial, en valor absoluto. P1(X1) P2(X2)P1P2 = /X2 - X1/ P2(X2)DIVISIÓN DE UN SEGMENTOMediante una razón:P1(X1) P(x) p1 p----------- = r p p2 x – x1----------- = r x2 – xx – x1 = r (x2 – x)x – x1 = rx2 – rxx + rx = x2r + x1x (1+r) = r x2 + x1 x1 + r x 2x = -------------------- ; para r -1 1+r 299

MATEMÁTICA BÁSICA I7.6 SISTEMA CARTESIANO RECTANGULAR Es la intersección perpendicular de dos semi-rectas orientadas. y ordenada x abscisa 0Dibujar una figura para cada ejercicio. EJERCICIOS RESUELTOS1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:(-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (-12). AB AB-5 0 6 0 36AB b 5 11u AB 6 3 3u AB AB-8 -7 0 -12 -8 0 AB 7 8 1u AB 8 12 4u 300