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MATEMÁTICA BÁSICA I UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vice Rectorado de Investigación\"MATEMÁTICA BÁSICA I\" TINS Básicos DERECHO, ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP Lima - Perú 2007 1

MATEMÁTICA BÁSICA I© MATEMÁTICA BÁSICA IDesarrollo y Edición: Vice Rectorado de InvestigaciónElaboración del TINS: • Dr. Juan José Sáez VegaDiseño y Diagramación: • Julia María Saldaña Balandra • Fiorella Zender Espinoza VillanuevaSoporte académico: Instituto de InvestigaciónProducción: Imprenta Grupo IDATQueda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformaciónde esta obra. 2

MATEMÁTICA BÁSICA IPRESENTACIÓNLa matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el conciertode las Ciencias, desde los albores de la civilización humana siguesiendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestromundo.De allí, que en la formación académica, la UTP privilegia el estudiode la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantesfirme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.En esta proyección se ha desarrollado el presente texto deinstrucción, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación,para la Asignatura de Matemática Básica I.Plasma la preocupación institucional de innovación de laorientación del aprendizaje en educación universitaria, que enacelerada continuidad promueve la producción de materialeseducativos, actualizados en concordancia a las exigencias deestos tiempos.La estructura del contenido del texto permitirá lograrconocimientos de Matemática; progresivamente modelada enfunción del syllabus de la Asignatura acotada líneas arriba;contenido elaborado mediante un proceso acucioso de3

MATEMÁTICA BÁSICA Irecopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentesbibliográficas.La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo ydedicación académica del Profesor: Dr. Juan José Sáez Vega. Larecopilación aludida de temas pertinentes, consistentes yactualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguienteordenamiento temático:Conjuntos básicos y numéricos que permiten aclarar las nocionesde números y su clasificación en naturales, enteros, racionales,irracionales hasta completar los reales.Ecuaciones e inecuaciones que son básicas para el estudio delÁlgebra.Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensiónde las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.Los lugares geométricos: rectas y circunferencias conectadas anociones algebraicas con problemas diversos dentro de lacarrera.Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo ytrabajo de los profesores que han permitido la elaboración delpresente texto y la dedicación paciente del Dr. José ReateguiCanga en la revisión de los contenidos. Vice-Rectorado de Investigación 4

MATEMÁTICA BÁSICA IINDICECAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL 8 8 SEMANA 01 10 1. Enunciados ………………………………………………………. 2. Proposiciones Simples …………………………………………. 16 3. Relaciones Proposicionales ……………………………………. 20 24 SEMANA 02 25 4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 5. Regla de Inferencia ……………………………………………… 6. Cuantificadores ………………………………………………….. 7. Negación de Cuantificadores …………………………………..CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS 31 33 SEMANA 03 36 1. Determinación de un Conjunto ………………………………… 40 2. Clases de Conjuntos ……………………………………………. 3. Relaciones entre conjuntos ……………………………………. 43 4. Representación gráfica de los Conjuntos ……………………. 47 SEMANA 04 5. Operaciones con los conjuntos ………………………………… SEMANA 05 6. Problemas con los conjuntos ……………………………………CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS 63 1. Teoría de los Números ………………………………………….. 76 SEMANA 06 2. Exponentes y Radicales …………………………………………CAPITULO IV: MATRICES 1. Definición. Generalidades ………………………………………. 113 2. Suma de matrices ……………………………………………….. 114 SEMENA 07 3. Multiplicación de matrices por una escalar……………………. 115 4. Multiplicación de matrices ………………………………………. 115 SEMANA 08 5. La matriz de identidad ………………………………….……….. 117 6. Problemas de matrices ...………………………………………… 121 SEMANA 09 7. Determinación de la matriz A …………………………………… 127 8. Problemas de determinantes ….……………………………….. 131 SEMANA 11CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES 1. Desigualdad: Propiedades ……………………………………… 188 2. Inecuaciones ……………………………………………………... 190 3. Resolución de ecuaciones con radicales ……………………… 1945

MATEMÁTICA BÁSICA ISEMANA 12 4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196 5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítmicas …………………………. 203CAPITULO VI: RELACIONES 205 207 SEMANA 13 208 1. Relación binaria: propiedades …………………………………. 2. Relaciones de equivalencia ……………………………………. 212 3. Partición de un Conjunto ……………………………………….. 214 218 SEMANA 14 4. Postulado de Cantor-Dedekind ………………………………… 219 5. Sistema Cartesiano Rectangular ……………………………… 224 6. Carácter de la Geometría Analítica …………………………… 231 SEMANA 15 7. Distancia entre puntos ………………………………………….. 8. Pendiente de una recta …………………………………………. 9. Discutir y graficar una recta …………………………………….CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA 269 289 SEMANA 16 1. Ecuación de la Circunferencia …………………………………. 2. Familias de Circunferencias .……………………………….…..CAPITULO VIII: LA PARABOLA 305 306 SEMANA 17 1. Definiciones ……………………………………………………… 325 2. Ecuación de la Parábola ……………………………………….. SEMANA 18 3. Ecuación de la Tangente a una Parábola ……………………. 6

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO I LÓGICA SIMBÓLICA Y CÁLCULO PROPOSICIONALEl autor que definió por primera vez en la historia fue Russell: “Unaproposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Uno de los finesdel cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones dela matemática; así, apela al llamado principio del circulo vicioso de todolo que afecta a una colección total y no, a una parte de la misma; talcomo lo indica Burali-Forti: “Si una colección tuviera un total, tendrámiembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tantodicha colección no tiene total”.Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada queese es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra)separaron las funciones proporcionales en tipos según posiblesargumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en ellenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma dereducibilidad es equivalente a la hipótesis de que „toda combinación odesintegración de predicados es equivalente a un solo predicado„” en lainteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada encontenido”.Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es laestructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida.Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al 7

MATEMÁTICA BÁSICA Irazonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales,proposiciones, definiciones, teoremas, eliminación de complicaciones,eliminar falacias y ambigüedades.La prestancia y calidad de la matemática es necesaria para evitar elrechazo del estudiante a esta ciencia formal, básico para el desarrollo deotras ciencias, denominadas fácticas. Es la misión de todo maestro:Educar y formar sin rechazo al estudiante.1.1 ENUNCIADOS Son palabras que se emiten para comunicarse con otras personas. Ej: 1. ¿Estuviste de viaje? 2. Pase adelante y siéntese. 3. El clima está fresco. 4. 8 es un número impar. 5. Vamos al estadio. 6. Antonio es amigo de Lizet. Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro últimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen como: proposiciones.1.2 PROPOSICIONES Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son verdaderas o falsas. 8

MATEMÁTICA BÁSICA IPodemos decir con propiedad que: Proposición es elsignificado de toda oración declarativa. Toda proposición serepresenta con una letra minúscula: p; q; r; s; t ................Ejemplos:p : El sol está radiante.q : Carlos es estudioso.r : Fernando es un buen profesional.s : Lizet es bonita.t : La rosa es bella.u : Está lloviendo.De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si sonverdaderas o falsas.Negación de Proposiciones.- La negación de la proposición p es~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio “no” a la primera.Ejemplo:p : Hace frío~p : No hace frío.~q : Carlos no es deportista.q : Carlos es deportista. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Indique 10 ejemplos de enunciados.2. Diga cuáles son proposiciones y represente con una letra.3. Niegue las proposiciones indicadas. 9

MATEMÁTICA BÁSICA I1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos omás proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivoconjunción ( ) si se les interponen la letra “y”. Ejemplo.p: Está lloviendo.q: Hace frío.p q: Está lloviendo y hace frío.q: Carlos estudia.s: Carlos es deportista.q r: Carlos estudia y es deportista.Principio del valor de verdad.- La conjunción es verdadera, sí ysólo si, ambas proposiciones son verdaderas.Considera la corriente eléctrica; si pasa la corriente es verdadera ysí se interrumpe es falsa. pq pq VV V VF F FV F FF FLa conjunción es verdadera, sí y sólo sí, ambas proposiciones sonverdaderas.Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones:1) p ~ q 3) p q2) ~ p ~ q 4) ~ p q 10

MATEMÁTICA BÁSICA I1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos omás proposiciones forman una disyunción, si se les interponen laletra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:p: me compro zapatillas.q: me compro una camisa.pvq : me compro zapatillas o una camisa.Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción esfalsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas. V V V V V F F V V F F F pq pq VV V VF V FV V FF F 11

MATEMÁTICA BÁSICA I La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas.1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposicionesforman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra“o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as).Principio del valor de verdad pq pq VV F VF V FV V FF FEl conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, unade las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ().-Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicacióno condicional (pq); cuando se le antepone a la primeraproposición la palabra “si” y se les interponen la palabra“entonces”.Ejemplo: Estudio mis asignaturas.p: Aprobaré mis exámenes.q: Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes.pq: : Antecedentep : Consecuenteq 12

MATEMÁTICA BÁSICA IPrincipio del valor de verdadPara demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos unejemplo muy humano con un niño:p: Juanito se porta bien.q: Le regalaré un chocolate.pq : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un chocolate.- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es verdadera (V).- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es injusto, luego es falsa (F).- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le regala el chocolate (V); es verdadero (V).- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo, luego es verdadero (V). pq pq VV V VF F FV V FF VLa implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primeraproposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda(consecuente) es falsa (F). 13

MATEMÁTICA BÁSICA I 1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina bicondicional o doble implicación a la proposición (p  q) (q  p).Principio del valor de verdad pq pq V VV F VF F FV V FFLa bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí,ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas lasproposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativasí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones: (~p ~q) (p q)Principio del valor de verdadp q p q ~p ~q ~p ~q p q pqVV V F F F VV FVF F F V F VF FFV F V F F FV FFF F VV V FF VLa conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambasproposiciones son falsas (F). 14

MATEMÁTICA BÁSICA IEJERCICIOS PROPUESTOS1. Dadas las siguientes proposiciones:Si: p : Hace fríoq: La manzana es agradabler : Juan es inteligentes: Lorena es bonitaRepresentar con oraciones declarativas las proposiciones:1. p q 7. ~p q2. r s 8. s ~r3. p  s 9. ~p  s4. s q 10. s ~q5. q s 11. ~q s6. r q 12. r ~q3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:a) p q g) ~p qb) t r h) ~r tc) s  p i) ~s  ~pd) q s j) q ~se) p q k) ~q pf) s t r) ~s ~t 15

MATEMÁTICA BÁSICA I1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS Si una proposición compuesta, se relaciona con otras proposiciones simples o compuestas mediante signos de colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se les separan con punto y coma (;).Ejemplos:p: está lloviendo.q: La fruta es deliciosa.r : Juan es estudioso.(p ~q)  rSi está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan esestudioso.p (q ~r)Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no esestudioso. EJERCICIOS PROPUESTOSp : está nevando.q : Antonio es inteligente.r : La rosa es bella.Representar con oraciones declarativas:1. p  (q r)2. (r ~q) v p3. (p ~r) v (q p)4. (p r) (q ~p) 16

MATEMÁTICA BÁSICA ITAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DELÁLGEBRA PROPOSICIONALA. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las proposiciones simples.B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta, forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las proposiciones simples.C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son tautológicas ni contradictorias. EJERCICIOS PROPUESTOS Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas, contradictorias o son una contingencia. 1. (~ p q) (p ~ q) 2. ~ (p q) (~p ~q) 3. ~ (p  ~q) (p q) 4. [(p  q) (p  q)] p q 5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q) 17

MATEMÁTICA BÁSICA I 1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 1. Idempotencia pp p pp p 2. Involución ~ (~p) p3. Asociativa (p q) r p (q r) (p q) r p (q r)4. Conmutativa pq q p p q qp5. Distributiva (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p r) v (q r)6. Identidad 6.2 p v p 6.1 p f  f 6.4 p V v 6.3 p f p7. Complemento 7.2 p ~ p v 7.1 p ~p f 7.4 ~f v 7.3 ~ ~ p p 7.5 ~ v f 18

MATEMÁTICA BÁSICA I8. Leyes de Morgana) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a las negaciones de la disyunción ~ (p q) ~ p ~ qb) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~ p ~ qc) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a la primera proposición y la segunda proposición negada. ~ (p  q) p ~ q9. Implicaciones asociadasDirecta pqRecíproca qpContraria ~p~qContra-recíproca ~ q  ~ ppq Recíproca qpContrarias Contrarias~p~q Recíprocas ~q~pSe puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-recíprocas: son tautológicas. 19

MATEMÁTICA BÁSICA I Demostrar: 1) (p  q) (~ q  ~ p) 2) (~ p  ~ q) (q  p) Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o contraria. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO Lo más importante en la matemática es el razonamiento deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación, cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del teorema recíproco y contrario. El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que es válido o no.1.5. REGLA DE INFERENCIA Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es tautológica; y son: 20

MATEMÁTICA BÁSICA Ia) Inferencia de la separación (modus ponens) pq p. qb) Principio de la inferencia negativa (modus tolens) pq q pc) Principio del silogismo pq qr pr 21

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOSa) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las siguientes proposiciones: 1. (p F) (p p) 2. (p V) (p ~p) 4. (p F) (p V) 5. p (p q) 6. p (~p q) 7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es inteligente. 8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto. 9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita. 10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no son bellas. 11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es bonita. 12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico: - Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las flores son bellas; y, - Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es deportista y Ana es estudiosa; Entonces: Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces las flores son bellas. 22

MATEMÁTICA BÁSICA I13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y, - Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos, entonces no está lloviendo. Entonces: Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está lloviendo; y, Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando.14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición: Si, hace frío entonces está lloviendo. Si, no está nevando entonces está lloviendo. Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es agradable. Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.15. Demostrar la validez de las inferencias: 15.1 [ (p  q) p] ↔ p 15.2 [ (p  q) ~p] ↔ ~q 15.3 [ { (p q)  (q r) } { (~p q)  r } ] ↔ ~p 15.4 [ {p  (q ~r) } {q (r  p) } ] ↔ ~ (p q) 23

MATEMÁTICA BÁSICA I1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES Toda proposición expresa una cualidad o característica a un sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica; denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida la función preposicional con una variable. p(x) no es una proposición. A partir de funciones preposicionales es posible obtener proposiciones generales que se conocen como cuantificadores. Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para algunos o todos los sujetos.1. Cuantificador Universal [ x : p(x)] Cuando una cualidad o característica se cumple para todos los sujetos: x : p(x) Todos los hombres son mortales. x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón.2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)]Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí ysólo sí, alguna cualidad o característica se cumple paraalgunos sujetos.x : p(x) Algunas damas son virtuosas.y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas.z : r(z) Algunos perros muerden. 24

MATEMÁTICA BÁSICA I1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES 1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí, existencial; y la proposición queda negada ~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x)2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la proposición queda negada. ~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x)Ejemplos:1. Negar todos los jóvenes son deportistas. Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas.2. Algunas aves vuelan. Rpta. Todas las aves no vuelan.3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días estálloviendo. y : ~ q (y)~ [ x : p (x)]  y: q(y)]  x : p (x)Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no estálloviendo.4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienenplumas. y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y) ~ ( x: p(x)Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las avesno tienen plumas. 25

MATEMÁTICA BÁSICA I EJERCICIOS PROPUESTOS Enunciados1. Indicar diez ejemplos de enunciados.2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú.4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.5. Proposiciones De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................6. Negación de proposiciones Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q; ~ r; ...................7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo conjunción. Represente sus tablas de verdades.8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo disyunción. Representar las tablas de verdades.9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades. Ejemplo: 9.1. (p q) r p (q r) Responda con oraciones declarativas.10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e implicación. 26

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo: r) 10.1. (p q)  (q r) 10.2. (p  q) (pResponda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas deverdades.11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con losconectivos: conjunción, disyunción, implicación y dobleimplicación.Ejemplo: 11.1. (p q)  (r ↔ q) } (p  r) 11.2. { p ↔ ~(q r) }  (r q)Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas deverdades.12. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con losconectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicacióny conjunción negativa, ejemplo:Ejemplos: ~ r) } ↔ (p ~ q) 12.1. { (p ↓ q)  (q ~ p) } ↔ (~ q p) 12.2. { (p ↔ q) ↓ (rResponda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestresus tablas de verdades.13. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con losconectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación;conjunción negativa y disyunción exclusiva. Ejemplos:{ (p q) ↓ (q  r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p){ (p  ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) } 27

MATEMÁTICA BÁSICA ICUANTIFICADORES1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:p: Las flores son bellasq: Carlos es deportistar : María es estudiosas: Antonio es libreRepresentar con oraciones declarativas, utilizando lasproposiciones indicadas.1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x)1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y)1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z)1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u)Las proposiciones: relacionar mediante la conjunción.(1.1) y (1.3) relacionar mediante la disyunción.(1.2) y (1.4) relacionar mediante la implicación.(1.5) y (1.4) relacionar mediante la doble(1.6) y (1.8) implicación. relacionar mediante la conjunción(1.7) y (1.2) negativa. relacionar mediante la disyunción(1.5) y (1.1) exclusiva.Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionalesanteriores libremente. 28

MATEMÁTICA BÁSICA IRepresentar con oraciones declarativas las proposiciones:x : p(x)  y : ~ q (y)y : q (y)  p z ~ r (<)x ~ p (x) ↔ {q  z: ~ r(2)}{p y : q(y)} v { y: ~ q(y)  ~ p}{p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) }Con las proposiciones:p: las flores son bellas.q: El caballo es de paso.r : Fernando es buen profesional.s: Lizeth es bonita.Negar las proposiciones compuestas y representar con oracionesdeclarativas la respuesta:x : p (x) y : ~ q (y)x : ~ p(x) ↔ y : q (y)x : p(x)  z : ~ r (z)z : r(z) y : ~ q (y)u : s(u) z : ~ r (z)u : ~ s(z)  z : r (z)z : ~ r(z) u : s (u)Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del ÁlgebraProposicional.1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p  q)3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q)5) ~ (~ p  ~ q) 6) ~ (~ p  ~ q) 29

MATEMÁTICA BÁSICA I Simplificar las siguientes proposiciones: 1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las violetas son azules. 2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo. 3. No es verdad que, él es bajo o galán. 4. No es verdad que, hace frío está lloviendo. 5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío. 6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las violetas no son azules. Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar: 1. (p q) ~ p 2. p (p q) 3. ~ (p q) (~p q) Demostrar los siguientes silogismos: 1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es responsable; y Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí, Lizeth es bonita; entonces Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí, Lizeth es bonita. 2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está lloviendo. 30

MATEMÁTICA BÁSICA I CAPÍTULO II ÁLGEBRA DE CONJUNTOSCONCEPTO PRIMITIVOSon palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano.2.1. CONJUNTO En 1772 Kurt Grrellng escribió el primer libro referente a la teoría de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecoró con el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le entendió y todos les repetían que estaba loco. Efectivamente Kurt Grrellng llegó a un estado de esquizofrenia y murió en un sanatorio psiquiátrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillería aliada. Lo que llevó a la formación de un equipo de científicos que estudiaron la cibernética y la telemetría; con lo que los aviones alemanes fueron derribados fácilmente y el ejército Alemán y sus aliados fueron derrotados. La noción conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de fútbol; lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los departamentos del Perú; los países de Europa; etc. Nos dan ideas de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C; D; E; ....... 31

MATEMÁTICA BÁSICA I Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada departamento; cada país; son elementos del conjunto y se representa con letras minúsculas, entre llaves.A = {a; b; c; d; e}B = {a; b; c; d;...}C = {a; b; c; d;...}Se puede también representar con palabras:D = {Jorge, Manuel, Javier, Antonio}E = {España, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia}DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓNUn conjunto se determina, por extensión; nombrando a cada unode sus elementos.Números pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... }Polígonos : P = {cuadrado, rombo, rectángulo,Damas : Trapecio,.......} Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......}DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓNUn conjunto se determina por comprensión, mediante unacualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o nopertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x talque x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo,al elemento del conjunto: 32

MATEMÁTICA BÁSICA IA = {x/x países del Asia}B = {y/y departamentos del Perú}C = {z/z capitales de los países Americanos}Si representamos por extensión:A = {Japón, China....}B = {Lima, La Libertad, Ayacucho.....}C = {Lima, Quito, La Paz}2.2. CLASES DE CONJUNTOS Para un estudio más detallado, encontramos los siguientes tipos o clases de conjuntos:2.2.1 CONJUNTO NULO O VACÍO: { } ,Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidado característica.Ejemplo:A = {x/x, Hombres que tiene alas}Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo conlas características del ejercicio: no existe y se representa, encualquiera de las dos formas:A={} A = ; de ninguna manera A = { }, el cualrepresentaría a un conjunto unitario. 33

MATEMÁTICA BÁSICA IPodemos indicar otros ejemplos:1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe ningún número entre 7 y 8; que sea natural. Para losnúmeros racionales, no sería nulo.El ejemplo dado se representa:A={ } A=2. B = {y/y, fábrica de aviones en el Perú}3. C = {z/z, automóviles en el salón}4. También se puede representar: P(x) : Un extraterrestre enla Universidad. D={ }D = {x/x; p(x)}2.2.2 CONJUNTO UNITARIOEs aquel que contiene un solo elemento,Ejemplos:A= { a}B = {x/x; Bandera del Perú}C = {y/y; Rector de la U.T.P.}D = {z/z; g < x < 11} para los números naturales.2.2.3 CONJUNTO FINITOEs aquel que se puede determinar por extensión a todos suselementos.Ejemplos:A = {a, b, c, d}B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}C = {y/y, países americanos}D = {z/z, polígonos} 34

MATEMÁTICA BÁSICA I2.2.4 CONJUNTO INFINITOSon aquellos que no se pueden determinar por extensión a todossus elementos (se le recomienda leer el texto: “Matemáticas eimaginación” por Edward Cassner).Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan conexpresiones matemáticas;Ejemplos.1. A = {x/x números naturales} A = {0; 1; 2; 3 ................. + } B = {y/y números enteros} B = {- ...... –2; -1; 0; 1; 2 ..........+ } C = {2/2 puntos en una Recta} C = {a, b, c, d, e, f, g, .......}2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL (  )Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un análisisparticular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no esuna totalidad, mucho menos un universo.Ejemplo:1. Si: A = {0; 1; 2; 3} B = {2; 3; 5; 6} C = {4; 6; 7; 8}  = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};ó; U = Numeros naturales2. A = {x/x; Ayacuchanos} B = {y/y; Piuranos} C = {z/z; Tacneños}  = {u/u; Peruanos} 35

MATEMÁTICA BÁSICA I 3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos} B = {y/y; estudiantes villarrealinos} C = {z/z; estudiantes Utepinos} U = {u/u; estudiantes universitarios}2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS 2.3.1 SUB-CONJUNTO ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es subconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos de B; pertenecen al conjunto A. Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} 2. A = {a; b; c; d} B = {b; c; d} A B (A no es sub-conjunto de B) 3. A = {x/x frutas} B = {y/y naranjas, uvas, limas} BA 2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que no pertenecen a B. 36

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo:A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}En la relación sub-conjunto; no, necesariamente algunoselementos de A pertenecen a B.Ejemplos:1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14}B A = {11; 12; 13; 14} ABEste ejemplo especifica que la relación sub-conjunto esamplia.2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b} BA2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=)Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual alconjunto B; y se representa A = B; sí A y B tienen elementoscomunes. {A B B A}  A = BEjemplo:A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} A=B2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2)Se denomina así, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos,del conjunto A. 37

MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo: A = {a; b; c} 2A = {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; } 23 = 8 sub-conjuntos 2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relación de coordinabilidad entre los elementos de A y B; si y sólo sí, todos los elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de conjuntos, se les dice que están en relación Bionívoca [No necesariamente deben tener elementos comunes] Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3}B = {a; b; c; d} A B Coordinables( B) DisjuntosAB2. A = {x/x ciudadanos peruanos} B = {y/y número del DNI}2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( )Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B;son disjuntos, si A no contiene ningún elemento B; B tampococontiene ningún elemento de A. 38

MATEMÁTICA BÁSICA IEjemplo:1. A = {0; 1; 2; 3}B = {a; b} DisjuntosAB2. A = {x/x damas}B = {y/y caballeros}AB Disjuntos2.3.7 PERTENENCIA ( )Es la relación de elemento a conjunto.Ejemplo:A = {0; 1; 2}0 A (cero pertenece al conjunto A)1 A (uno pertenece al conjunto A)2 A (dos pertenece al conjunto A)3 A (tres no pertenece al conjunto A)No se puede representar:{1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto}{1} A {es lo correcto}2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLES BDos o más conjuntos son comparables, sí y sólo si AB A; no son comparables si A B v B A. 39

MATEMÁTICA BÁSICA I Ejemplo: 1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable con A; pues, B es un sub-conjunto de A. B A. 2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables; pues O C y D D; 3 D y 3 C.2.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS 2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER Es la representación gráfica de los conjuntos, mediante polígonos. Estos diagramas están sujetos a las siguientes premisas: 1 Premisa N° 1.- El conjunto Universal o Referencial se representa con el rectángulo. U 2 Premisa N° 2.- Los otros polígonos se pueden representar al interior del rectángulo; jamás al contrario. A ABU U 40

MATEMÁTICA BÁSICA I AB C U3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan intersecados; jamás separados, así sean disjuntos.AB A B C CORRECTOA B C INCORRECTO 41

MATEMÁTICA BÁSICA IDIAGRAMAS LINEALESSe utilizan para los sub-conjuntos.Ejemplo:1. A B B A C2. A B B C B A3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3} C D = {1; 2; 4} D B4. A = {1} A C = {1; 2} A B = {2} B C 42

MATEMÁTICA BÁSICA I5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3} E = {1;2;4} DE C AB2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS2.5.1 REUNIÓN O UNIÓN ( )Dados los conjuntos A y B; se denomina reunión entre loselementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, quecontiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existereunión entre conjuntos nulos).Ejemplo:1. A = {a} B={} A B= A B2. A = {a; b; c} B = {c; d} A B = {a; b; c; d} Aa cc d B b AB 43

MATEMÁTICA BÁSICA I B En la reunión se marcan todos los polígonos Por comprensión se puede definir: A B = {x/x, x A v x B} a) Cumplen con la propiedad conmutativa. A B =B A Concretamente: A (A B) B (A B) b) Cumplen con la propiedad asociativa. (A B) C = A (B C) A ABCC2.5.2 INTERSECCIÓN (A B)Dados Los conjuntos A y B; se denomina intersección entre loselementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C,que contiene los elementos comunes de A y B.Ejemplo:Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f} A B = {d}44

MATEMÁTICA BÁSICA I A a B b de cf A B = {d/d , d A d B} por comprensión.1. Cumplen con la propiedad conmutativa. A B = B A  (A B) A = (A B) B2. Cumplen con la propiedad asociativa. (A B) C = A (B C) A BA B = C C3. Cumplen con la propiedad distributiva con relación a la reunión. A (B C) = (A B) (A C) A BA B = C C 45

MATEMÁTICA BÁSICA I2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVODados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre loselementos de A y B; y, se representa A – B = C; al conjunto C, quecontiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B.Notación: A – B, ó , A \ B, ó , CEjemplo:1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}A – B = {0; 1; 2} A 0 34 B 1 5 22.5.4 COMPLEMENTO (A’)Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denominaComplemento y se representa A‟ = U – A; a los elementos delconjunto universal que no pertenecen al conjunto A.Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b}A‟ = {c; d}A‟ = {x/x, x U x A A’ A UA A‟ = UA A‟ =U‟ =(A‟)‟ = A 46

MATEMÁTICA BÁSICA I2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y serepresenta A B = C; al conjunto que contiene todos loselementos de (A – B) U (B – A)A–B B–A AB EJERCICIOS PROPUESTOS1. Diga, por qué las nociones: Elemento “Conjunto” “pertenencia” son términos no definidos.2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones: A no incluye a B. B contiene al conjunto de A. a no pertenece a B. e es elemento de A. C no es sub-conjunto de B. B es parte propia de A.3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones:3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces ¿b = A?3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qué afirmaciones son correctas ycuáles incorrectas? 47

MATEMÁTICA BÁSICA I 3.2.5 {b} A 3.2.6 d A 3.2.1. a A 3.2.7 c A 3.2.2. c A 3.2.8 b A 3.2.3. d A 3.2.4 {b} A4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas; luego, representa en forma tabular: A = {x/x; x3 = 64} B = {x/x; x – 5 = 8} C = {x/x; x es un número positivo y x es un número negativo} D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO}Representar los siguientes conjuntos, constructivamente: A : está formado por las letras a; b; c; d B : es un número par positivo. C : es un país sudamericano. D = {x/x, x – 2 = 7} E = {x/x, Presidente del Perú luego de Alan García}¿Cuáles son conjuntos finitos y cuáles son infinitos? A = {2; 3; 4 ........... 99; 100} B = {x/x, meses del año} C = {y/y, departamento del Perú} D = {z/z, habitantes de la tierra} E = {u/u, número par} F = {x/x,0 < x 5 para todo número racional} G = {y/y, 3 y 20} 48

MATEMÁTICA BÁSICA I ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique: A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA} B = {x/x, las letras de la palabra TACTO} C = {x/x, es una letra de la palabra COTA} D = {a; c; o; t} Indique la similitud o diferencia entre las palabras: “vacío” “cero” y“nulo”. Entre las expresiones que siguen ¿cuáles son diferentes? ; {o} ; { }; p Cuáles de estos conjuntos son nulos: A = {x/x, en el alfabeto, letra después de z} B = {x/x, x2=9 3x=5} C = {y/y; y y} D = {z/z, 2 + 8 = 8} Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d} Definir los siguientes conjuntos de polígonos en el plano Euclidiano ycuáles son sub-conjuntos propios. A = {x/x, es un cuadrado} B = {x/x, es un rectángulo} C = {x/x, es un rombo} D = {x/x, es un cuadrilátero} 49

MATEMÁTICA BÁSICA I Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice. Conjunto vacío , entonces A = .Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c} D = {a; b} ; E = {a; b; d}Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones:1. D C 6. E C2. B A 7. A C3. B E 8. D E4. E D 9. C = B5. E A 10. B DSean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9}D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2}Sea x un conjunto desconocido.- Cuáles de los conjuntos:A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con lassiguientes relaciones:1. x A y x B 3. x A y x C2. x B y x C 4. x B y x C.Si se tienen las relaciones:A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a A; b B y c C; además de A; e B , f C; cuálesde las afirmaciones son verdaderas: 50