(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 82 คูม ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 2.6 ความรเู พิ่มเติมสําหรับครู • เปาหมายประการหน่ึงของวิชาคณิตศาสตร คือ การศึกษาทําความเขาใจธรรมชาติ หรือ ปรากฏการณตาง ๆ โดยใช “ระบบเชิงคณิตศาสตร” (mathematical system) ซึ่งระบบ เชิงคณิตศาสตรเปนแนวคิดเชิงนามธรรมท่ีใชแทนธรรมชาติ หรือปรากฏการณอยางใด อยางหน่ึง เชน “ระบบจํานวนจริง” (real number system) เปนแนวคิดท่ีใชแทนจํานวนหรือ ขนาดของสิ่งตาง ๆ หรือ “เรขาคณิตแบบยุคลิด” (Euclidean geometry) เปนแนวคิดหน่ึง ที่ใชแทนวัตถุตาง ๆ ในปรภิ มู ิ เปน ตน • ระบบเชงิ คณิตศาสตรแตล ะระบบ มอี งคประกอบดงั ตอไปนี้ 1. เอกภพสัมพัทธ (universe) คือ เซตของสิ่งท่ีจะศึกษาในระบบน้ัน เชน เซตของ จาํ นวนนับ เซตของจาํ นวนเต็ม เซตของจํานวนจริง 2. คําอนิยาม (undefined term) ไดแก คําซึ่งเปนท่ีเขาใจความหมายกันโดยทั่วไป โดยไมตองอธิบาย เชน คําวา “เหมือนกัน” หรือคําวา “จุด” และ “เสน” ใน เรขาคณิตแบบยคุ ลดิ เปน ตน 3. คาํ นยิ าม (defined term) คอื คําทสี่ ามารถใหค วามหมายโดยใชค ําอนยิ าม หรอื คาํ นยิ าม อื่นที่มีมากอนแลวได เชน คําวา “จํานวนคู” หรือคําวา “รูปสามเหล่ียมมุมฉาก” เปน ตน 4. สจั พจน (axiom) คอื ขอความทก่ี ําหนดใหเ ปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตรน้ันโดย ไมตองพิสูจน เชน สัจพจนเชิงพีชคณิตของระบบจํานวนจริง สัจพจนเชิงอันดับของ ระบบจาํ นวนจรงิ สจั พจนความบรบิ ูรณข องระบบจาํ นวนจริง 5. ทฤษฎบี ท (theorem) คือ ขอความท่ีพิสูจนแลววาเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตร ที่กาํ หนด โดยการพิสูจน (proof) คือ กระบวนการอางเหตุผลตามหลักตรรกศาสตร สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 83 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 เพื่อนําไปสูขอสรุปที่ตองการ ซ่ึงมักตองนําคําอนิยาม คํานิยาม รวมท้ังสัจพจน หรือ ทฤษฎีบททม่ี ีอยกู อนแลวมาใชในการพสิ ูจน เชน ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ในบางกรณี ขอความท่ีพิสูจนแลววาเปนจริง อาจไมเรียกวาทฤษฎีบทเสมอไป โดยมี คําเฉพาะที่ใชเรียกทฤษฎีบทบางประเภท เชน “บทต้ัง” (lemma) ท่ีใชเรียกทฤษฎีบทซ่ึง จะนําไปใชพิสูจน ทฤษฎีบทถัดไปท่ีเปนทฤษฎีบทหลัก หรือทฤษฎีบทท่ีมีความสําคัญ มากกวา และ “บทแทรก” (corollary) ที่ใชเรียกทฤษฎีบทซ่ึงเปนผลอยางงายจาก ทฤษฎบี ททม่ี ีมากอ นหนา นอกจากน้ี ในบางกรณี จะใชคําวา “สมบัติ” (property) แทนขอความท่ีเปนจริงใด ๆ ใน ระบบเชิงคณิตศาสตรร ะบบหน่งึ โดยสมบตั ิอาจเปนความจริงเก่ียวกับคํานิยาม สัจพจน หรือทฤษฎีบทก็ได และอาจใชคําวา “กฎ” (law) สําหรับความจริงท่ีเปนสัจพจนหรือ ทฤษฎีบทอกี ดวย ครูควรระลึกอยูเสมอวา ความรูทางคณิตศาสตรที่กําลังพิจารณา เปนองคประกอบใด ของระบบเชิงคณิตศาสตร น่ันคือ ควรทราบวาสิ่งใดเปนสัจพจน สิ่งใดเปนทฤษฎีบท เชน ไมค วรพยายามพสิ จู นสัจพจนเก่ียวกับจํานวนจรงิ ในระบบจํานวนจริง เปนตน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 84 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 2.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 ตรรกศาสตร สําหรับรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ทต่ี องการวดั ผลประเมินผล ตวั อยางแบบทดสอบประจําบท 1. จงพิจารณาประโยคหรอื ขอความตอไปนว้ี าเปนประพจนหรอื ไม ถาเปนประพจน จงหาคา ความจรงิ ของประพจนน ้ัน 1) งว งนอนจัง 2) เธอตอ งไปเด๋ียวนี้ 3) π = 22 7 4) 1∉{2, 3} 5) 2 ไมใชจ าํ นวนจรงิ 6) 1, 2, 3,  7) ทําไม a + b = b + a 2. กําหนดให p, q และ r เปน ประพจน ซึ่ง p และ q มคี าความจริงเปนจริงและ เท็จตามลาํ ดบั จงหาคา ความจรงิ ของประพจนตอ ไปนี้ 1) ( p ↔ q) → r 2) ( p∧  q) ∨ r 3. กําหนดให p และ q เปนประพจนใด ๆ ถา r เปนประพจนเชิงประกอบที่เกิดจาก การเช่ือมประพจน p กับ q ซงึ่ มคี า ความจริงดังตารางตอ ไปน้ี สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 85 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 pq r TT F TFT FT T FF F จงเขยี นประพจน r ในรปู ประพจน p กบั q 4. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซึ่ง p → q, q → r และ r → p มีคาความจริง เปนจริง จงหาคา ความจรงิ ของประพจน p ↔ r 5. จงหานิเสธของขอความ “ถา x เปน จํานวนนับ แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปนจํานวนคี่” 6. กําหนดให p และ q เปน ประพจน จงตรวจสอบวา p → q สมมูลกบั ( p ↔ q) ∨ p หรอื ไม 7. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน จงตรวจสอบรปู แบบของประพจนท ี่กาํ หนดให วา เปนสจั นิรนั ดรหรอื ไม 1) ( p → q) ∧ (q → r ) ∧ ( p ∨ q) → r 2) ( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r ) → (q ∨ s) 8. จงตรวจสอบวาการอางเหตผุ ลตอ ไปน้สี มเหตุสมผลหรอื ไม เหตุ 1. ถาแทนไทสอบไดท่หี นึง่ แลว แมจะใหร างวัล 2. ถาแมใหรางวลั แลว แทนไทจะนําไปซือ้ ของขวญั 3. แทนไทสอบไดทห่ี นงึ่ หรอื แมจะใหรางวลั ผล แทนไทจะซื้อของขวัญ 9. จงหาคาความจรงิ ของประพจนท ม่ี ีตัวบงปรมิ าณตอ ไปน้ี 1) ∀x x2 =4 → 2x =4 เม่อื U =  2) ∃x 0 < x3 < x2  เมอ่ื U =  สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 86 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท 1. 1) ไมเ ปน ประพจน 2) ไมเ ปน ประพจน 3) เปนประพจน มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 4) เปน ประพจน มคี าความจริงเปนจริง 5) เปนประพจน มีคาความจริงเปน เทจ็ 6) ไมเปนประพจน 7) ไมเปนประพจน 2. 1) จาก p เปน จรงิ และ q เปน เทจ็ จะได p ↔ q เปน เท็จ ดงั นัน้ ( p ↔ q) → r มคี า ความจรงิ เปนจริง 2) จาก q เปน เท็จ จะได  q เปน จรงิ จาก p เปน จริง และ  q เปนจริง จะได p ∧  q เปน จริง ดงั น้นั ( p ∧  q) ∨ r มีคาความจริงเปนจริง 3. ตัวอยา งคาํ ตอบ  ( p ↔ q)  ( p → q) ∧ (q → p) 4. พิจารณาตารางคา ความจรงิ ดังนี้ p q r p→q q→r r→ p TTT T T T TTF T F T T FT F T T T FF F T T FTT T T F FTF T F T FFT T T F FFF T T T สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 87 คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 สังเกตวาถา p → q, q → r และ r → p มีคาความจรงิ เปน จริง จะได p, q และ r ตองมคี า ความจรงิ เปน จริงทง้ั หมด หรือเปน เทจ็ ท้ังหมด ดงั นั้น p ↔ r มคี า ความจริงเปน จริง 5. ให p แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนนับ” q แทนประพจน “ x เปน จํานวนคู” r แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนคี่” จะไดวาขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจํานวนคี่” เขียนแทนดวยรปู แบบของประพจน p → (q ∨ r) นิเสธของ p → (q ∨ r) คอื   p → (q ∨ r ) เนอื่ งจาก   p → (q ∨ r ) ≡   p ∨ (q ∨ r ) ≡ p∧  (q ∨ r) ≡ p∧  q∧  r โดยที่รูปแบบของประพจน p∧  q∧  r แทนขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ และ x ไม เปน จาํ นวนคู และ x ไมเ ปนจาํ นวนคี่” ดงั นัน้ นเิ สธของขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจํานวนค่ี” คอื “ถา x เปนจํานวนนับ และ x ไมเ ปน จาํ นวนคู และ x ไมเปนจํานวนค่ี” 6. สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p → q กบั ( p ↔ q) ∨ p ไดดังน้ี p q p → q  p  p ↔ q ( p ↔ q)∨ p TT T F F T TF F F T T FT T T T T FF T T F F สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 88 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 จะเห็นวาคาความจริงของ p → q กบั ( p ↔ q) ∨ p มบี างกรณีทต่ี า งกัน ดงั นนั้ p → q ไมสมมลู กบั ( p ↔ q) ∨ p 7. 1) สมมติให ( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q) → r เปน เท็จ ( p → q) ∧ (q → r ) ∧ ( p ∨ q) → r F T TT F FF FF TF ขดั แยง กัน จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ p เปน ไดทั้งจรงิ และเทจ็ ดงั น้ัน รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q) → r เปน สจั นริ นั ดร 2) สมมตใิ ห ( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r) → (q ∨ s) เปน เทจ็ ( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r ) → (q ∨ s) F T TT F FF F FFF FT ขดั แยงกนั สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 89 คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ r เปนไดท้งั จรงิ และเทจ็ ดงั น้ัน รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r) → (q ∨ s) เปนสจั นิรนั ดร 8. ให p, q และ r แทนประพจน “แทนไทสอบไดท ี่หนึง่ ” “แมใ หร างวลั ” และ “แทนไทซือ้ ของขวญั ” ตามลําดับ จะไดร ูปแบบประพจน คือ ( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q) → r จากขอ 7. ขอ ยอย 1) ( p → q) ∧ (q → r) ∧ ( p ∨ q) → r เปนสจั นริ ันดร ดังน้นั การอา งเหตุผลนสี้ มเหตสุ มผล 9. 1) พิจารณาประโยคเปด x2 =4 → 2x =4 แทน x ดว ย −2 จะได (−2)2 =4 ซึง่ เปนจริง และ 2−2 = 4 ซ่ึงเปนเท็จ ดังนนั้ (−2)2 =4 → 2−2 =4 เปน เทจ็ จะได ∀x x2 =4 → 2x =4 เปน เท็จ 2) พจิ ารณาประโยคเปด 0 < x3 < x2 แทน x ดว ย 0.1 จะได 0 < (0.1)3 < (0.1)2 ซง่ึ เปน จริง ดงั นัน้ ∃x 0 < x3 < x2  เปนจรงิ 2.8 เฉลยแบบฝกหดั คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 แบงการเฉลยแบบฝกหัด เปน 2 สวน คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนท่ี 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัดท่ีอยูในสวนน้ีเปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยา งไรก็ตามครสู ามารถศึกษาวธิ ที าํ โดยละเอียดของแบบฝกหัดไดในสว นทา ยของคมู ือครูเลม นี้ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 90 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 แบบฝก หัด 2.1 1. 1) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปนเท็จ 2) เปน ประพจน ทมี่ คี าความจรงิ เปนจรงิ 3) เปนประพจน ท่ีมีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 4) ไมเปนประพจน 5) ไมเ ปน ประพจน 6) เปน ประพจน ทม่ี ีคา ความจริงเปนจริง 7) เปน ประพจน ที่มีคาความจริงเปนเทจ็ 8) เปน ประพจน ทมี่ คี าความจริงเปน เทจ็ 9) ไมเปนประพจน 10) เปน ประพจน ทม่ี ีคาความจริงเปน จริง 11) เปนประพจน ทมี่ ีคาความจริงเปนเทจ็ 12) เปน ประพจน ทม่ี คี า ความจรงิ เปนจริง 13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเ ปนประพจน 15) เปนประพจน ทม่ี ีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 16) ไมเปนประพจน 17) ไมเปน ประพจน 18) เปนประพจน ที่มคี า ความจริงเปนจริง 2. ตัวอยางคําตอบ 2 > 3 เปนประพจน ทมี่ ีคาความจริงเปนเท็จ ∅ ∈ {1, 2, 3} เปน ประพจน ท่ีมีคาความจริงเปน เท็จ หนง่ึ ปม ีสบิ สองเดือน เปน ประพจน ที่มีคา ความจรงิ เปน จริง 4 เปน จาํ นวนอตรรกยะ เปนประพจน ทีม่ คี า ความจริงเปน เท็จ เดอื นมกราคม มี 31 วัน เปน ประพจน ทม่ี คี าความจรงิ เปน จริง สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 91 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 แบบฝกหัด 2.2 1. 1) เปน เทจ็ 2) เปนจรงิ 3) เปน จรงิ 4) เปนเทจ็ 5) เปน เท็จ 6) เปนเทจ็ 7) เปนจริง 8) เปนจรงิ 9) เปน จริง 10) เปนเทจ็ 11) เปนจรงิ 12) เปนเทจ็ 13) เปนจรงิ 14) เปนจริง 2. 1) นิเสธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คอื 4 + 9 ≠ 10 + 3 มคี าความจริงเปน เท็จ 2) นเิ สธของประพจน − 7 > 6 คอื − 7 > 6 มคี าความจรงิ เปนจริง 3) นเิ สธของประพจน เซตของจาํ นวนนบั ทีเ่ ปน คาํ ตอบของสมการ x2 +1 =0 เปนเซตวา ง คอื เซตของจาํ นวนนับท่ีเปน คาํ ตอบของสมการ x2 +1 =0 ไมเปน เซตวาง มีคา ความจริงเปน เท็จ 4) นเิ สธของประพจน { 3, 4} ∪{1, 3, 5} ={1, 3, 4, 5} คือ { 3, 4} ∪{1, 3, 5} ≠ {1, 3, 4, 5} มีคา ความจริงเปน เทจ็ 5) นิเสธของประพจน {{ 2}} ⊄ { 2} คือ {{ 2}} ⊂ { 2} มีคาความจริงเปนเท็จ 6) นิเสธของประพจน − 3 + 6 ≤ − 3 + 6 คอื − 3 + 6 > − 3 + 6 มีคา ความจริงเปน เท็จ 7) นเิ สธของประพจน 15 ไมใ ชจํานวนจรงิ คอื 15 เปน จาํ นวนจริง มคี า ความจรงิ เปนจรงิ 8) นเิ สธของประพจน วาฬเปน สัตวเ ล้ยี งลกู ดวยน้ํานม คอื วาฬไมเปน สัตวเลย้ี งลูก ดวยน้าํ นม มคี า ความจรงิ เปนเทจ็ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 92 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 3. 1)  p แทนประพจน “ฉันไมต ื่นนอนแตเ ชา ” 2) p→ q แทนประพจน “ถาฉันตนื่ นอนแตเชา แลว ฉันมาเรยี นไมทันเวลา” 3) p ∧ q แทนประพจน “ฉนั ต่ืนนอนแตเชาและฉนั มาเรยี นทันเวลา” 4) p ↔ q แทนประพจน “ฉนั ตน่ื นอนแตเชา ก็ตอเมอื่ ฉันมาเรยี นทนั เวลา” 5)  p∨  q แทนประพจน “ฉันไมต ื่นนอนแตเชาหรอื ฉันมาเรียนไมทันเวลา” 6)  p ∨ ( p → q) แทนประพจน “ฉันไมต ืน่ นอนแตเ ชา หรือ ถาฉนั ตน่ื นอนแตเชาแลว ฉันมาเรียนทันเวลา” 4. 1)  p ∧ q มคี าความจริงเปน เทจ็ 2) p ∨ q มคี าความจริงเปน จรงิ 3)  q→ p มคี า ความจริงเปนจริง 4)  p ↔q มีคาความจรงิ เปนเทจ็ แบบฝก หัด 2.3 2) มคี าความจรงิ เปน จริง 4) มีคาความจริงเปนเทจ็ 1. 1) มคี าความจรงิ เปนจริง 6) มีคาความจรงิ เปน จริง 3) มคี าความจริงเปน จรงิ 8) มคี า ความจรงิ เปนจริง 5) มคี าความจริงเปนจรงิ 10) มีคา ความจริงเปนเท็จ 7) มีคาความจรงิ เปน เทจ็ 12) มคี าความจรงิ เปนจรงิ 9) มคี าความจรงิ เปน เทจ็ 11) มีคา ความจริงเปนจริง สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 93 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 2. 1) p เปน จริง และ q เปน จรงิ 2) p เปน จรงิ และ q เปนเท็จ 3) ( p ∧  q) → r เปน จริง 4) ( p ∨ q) ∧ r เปน เทจ็ 5) ( p ∧ r) ↔ (q ∧ s) เปน จริง แบบฝก หัด 2.4 1. สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p ∨ (q → p) ไดด ังน้ี p q q→ p p ∨(q → p) TT T T T TF T F T FT F FF T 2. สรางตารางคาความจริงของ ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) ไดดังน้ี p q q p∨q p∨  q ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) T TF T T T T FT T T T F TF T F F F FT F T F สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 94 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 3. สรางตารางคาความจรงิ ของ p → ( p→ q) ไดดงั น้ี p q  p  p→q p →( p→ q) T TF T T T FF T T F TT T T F FT F T 4. สรา งตารางคา ความจรงิ ของ (q∨  q) ↔ r ไดดงั น้ี q r  q q∨  q (q∨  q) ↔ r T TF T T T FF T F F TT T T F FT T F 5. สรางตารางคาความจริงของ  q ↔  p ∧ (q → p) ไดดงั นี้ p q  p  q q → p p ∧ (q → p)  q ↔  p ∧ (q → p) T TF F F F T T FF T T T T F TT F T F T F FT T T F F สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 95 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 6. สรางตารางคาความจริงของ (q ∧ r) → (r ∨ p) ไดดังนี้ pq r q∧r r∨ p (q ∧ r) →(r ∨ p) T T TT T T TT F F T T TF T F T T TF F F T T FT T T T T FT F F F T FF T F T T FF F F F T แบบฝก หดั 2.5 1. 1) ตวั อยางคาํ ตอบ • 2 เปนจาํ นวนจริง ก็ตอเม่ือ 2 เปนจาํ นวนตรรกยะ • ถา 2 เปนจํานวนตรรกยะแลว 2 เปน จาํ นวนจริง และถา 2 เปนจาํ นวนจริง แลว 2 เปนจํานวนตรรกยะ 2) ตวั อยางคาํ ตอบ • ภพหรอื ภัทรเปนนักเรียน และ ภพหรอื ภมู ิเปนนักเรยี น • ภพเปน นกั เรียน หรอื ภูมแิ ละภัทรเปน นกั เรยี น 2. 1) (ข) 2) (ก) 3) (ข) 4) (ก) 5) (ข) 6) (ข) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 96 คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 3. 1) p ∧ q กบั  p ∧  q ไมเ ปนนิเสธกัน 2) p ∨ q กบั  p ∧  q เปน นเิ สธกนั 3) p → q กับ p ∧  q เปนนเิ สธกนั 4) p → q กับ  p→ q ไมเปนนิเสธกนั 5) p ↔ q กับ ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปนนเิ สธกัน 6) “ 2 หรอื 3 เปนจํานวนตรรกยะ” กับ “ 2 หรอื 3 เปนจาํ นวนอตรรกยะ” ไมเปนนิเสธกนั 7) “ถา 2 + 1 = 3 แลว 3 เปนจํานวนนับ” กับ “3 ไมใ ชจ าํ นวนนบั แต 2 + 1 = 3” เปนนเิ สธกนั 8) “4 เปน จาํ นวนคแู ละเปนจาํ นวนเต็ม” กับ “4 เปนจํานวนคี่หรอื ไมใชจาํ นวนเตม็ ” เปน นิเสธกนั แบบฝกหดั 2.6 2. เปน สจั นริ นั ดร 4. ไมเปน สัจนริ นั ดร 1. เปนสจั นริ นั ดร 3. เปนสจั นิรันดร 5. เปน สัจนริ นั ดร แบบฝกหดั 2.7 2) ไมสมเหตุสมผล 1. 1) สมเหตสุ มผล 4) ไมสมเหตุสมผล 3) ไมสมเหตสุ มผล 5) สมเหตุสมผล สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 97 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 2. 1) ไมส มเหตุสมผล 2) สมเหตุสมผล 3) สมเหตสุ มผล 4) ไมสมเหตุสมผล 5) สมเหตุสมผล แบบฝก หดั 2.8 2. เปนประพจน 4. เปนประโยคเปด 1. ไมใ ชท ้งั ประพจนแ ละประโยคเปด 6. ไมเ ปน ท้ังประพจนและประโยคเปด 3. เปน ประโยคเปด 8. เปน ประพจน 5. ไมเปน ทั้งประพจนแ ละประโยคเปด 10. เปน ประโยคเปด 7. เปนประโยคเปด 9. เปน ประพจน แบบฝกหดั 2.9 1. 1) ∀x[x ∈  → x ⋅1 =x] 2) ∃x x2 =2 3) ∃x[| x | +1 ≤ 1] 4) ∀x[x ∈  → x ∈ ] 2. 1) สําหรบั จาํ นวนจรงิ x ทกุ จํานวน ถา x < 2 แลว x2 < 4 2) สาํ หรบั จาํ นวนจรงิ y ทุกจํานวน y2 − 4 = ( y − 2)( y + 2) 3) มจี ํานวนจรงิ y ซ่ึง 2y +1 =0 4) สําหรบั จํานวนจรงิ x บางจาํ นวน ซง่ึ ถา x เปน จาํ นวนตรรกยะ แลว x2 = 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 98 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 แบบฝก หดั 2.10 2. เปน เทจ็ 4. เปน เท็จ 1. เปนเท็จ 6. เปน เท็จ 3. เปนจริง 8. เปน จรงิ 5. เปน จรงิ 10. เปน จริง 7. เปน เท็จ 9. เปนจรงิ แบบฝก หดั 2.11 1. 1) (ข) 2) (ก) 3) (ก) 4) (ข) 5) (ข) 6) (ก) 7) (ก) 8) (ข) 2. 1) นิเสธของ ∃x[x + 2 ≤ 0] คอื ∀x[x + 2 > 0] 2) นเิ สธของ ∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0] คอื ∀x[x ≠ 0] ∧ ∀x[x ≤ 0] 3) นเิ สธของ ∀x x2 < 0 → x < 0 คือ ∃x x2 < 0 ∧ x ≥ 0 4) นิเสธของ ∃x x > 2∨  ( x +1≥1) คือ ∀x[x ≤ 2 ∧ x +1 ≥1] 5) นิเสธของ ∃x P( x)∧  Q( x) คือ ∀x  P( x) ∨ Q( x) 6) นเิ สธของขอความ “จํานวนตรรกยะทุกจาํ นวนเปนจาํ นวนจริง” คอื “มจี ํานวนตรรกยะบางจํานวนทไ่ี มเ ปน จํานวนจรงิ ” สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 99 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 7) นเิ สธของขอความ “จํานวนเต็มบางจาํ นวนเปน จํานวนจริง” คอื “จํานวนเตม็ ทุกจาํ นวนไมเปน จาํ นวนจริง” 8) นเิ สธของขอความ “จํานวนจรงิ บางจาํ นวนนอยกวา หรือเทากับศูนย และมีจํานวนจรงิ บางจาํ นวน เมอ่ื ยกกาํ ลังสองแลวไมเทากับศูนย” คือ “จํานวนจริงทุกจํานวนมากกวาศูนย หรือจาํ นวนจริงทกุ จํานวนเมอื่ ยกกาํ ลงั สองแลว เทา กบั ศนู ย” แบบฝกหัดทา ยบท 1. 1) ไมเ ปน ประพจน 2) เปน ประพจน ทีม่ คี าความจรงิ เปนจริง 3) เปนประพจน ท่มี คี าความจริงเปนจรงิ 4) เปน ประพจน ที่มคี าความจรงิ เปน เท็จ 5) ไมเปนประพจน 6) เปนประพจน ทมี่ คี าความจรงิ เปน เท็จ 7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเ ปนประพจน 9) เปน ประพจน ที่มีคาความจริงเปนจริง 10) เปน ประพจน ทีม่ ีคาความจรงิ เปนจริง 2. 1) นิเสธของประพจน −20 + 5 > −17 คอื −20 + 5 ≤ −17 มคี า ความจริงเปน เท็จ 2) นเิ สธของประพจน 37 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ คอื 37 เปน จํานวนเฉพาะ มีคา ความจรงิ เปน จริง 3) นิเสธของประพจน 2 ∈ คอื 2 ∉ มีคา ความจรงิ เปน จรงิ 4) นิเสธของประพจน  ⊂  คือ  ⊄  มคี า ความจริงเปนเท็จ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 100 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 3. ตวั อยางคําตอบ • π ไมเ ปน จํานวนตรรกยะ • นดิ าและนัดดาเปนนักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 • รูปสีเ่ หล่ียมอาจเปน รูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากหรอื รูปสเ่ี หลีย่ มดา นขนานกไ็ ด • รูปสามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทาก็ตอเม่ือรูปสามเหล่ียม ABC มดี านยาวเทากนั ทกุ ดาน 4. 1) มคี า ความจริงเปนจริง 2) มีคา ความจริงเปน เท็จ 3) มีคา ความจรงิ เปนจรงิ 4) มีคา ความจรงิ เปน จริง 5) มคี าความจรงิ เปนเท็จ 5. 1) ประพจนท ่ีกําหนดใหอยใู นรปู p → q และมคี า ความจริงเปนจรงิ 2) ประพจนท ่ีกาํ หนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมคี า ความจรงิ เปนจรงิ 3) ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรปู p ∨ q และมีคาความจรงิ เปนจรงิ 4) ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรปู p ∨ q และมีคา ความจริงเปนจรงิ 5) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูใ นรปู p ∧ q และมคี า ความจริงเปน เท็จ 6) ประพจนที่กําหนดใหอยูในรูป p ∧ q และมคี าความจริงเปน จรงิ 7) ประพจนที่กําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมีคาความจริงเปนเท็จ 8) ประพจนที่กาํ หนดใหอยูในรปู p ∨ q และมคี าความจริงเปน จริง 9) ประพจนที่กาํ หนดใหอยูในรปู  p→ q และมีคา ความจริงเปนเท็จ 10) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรปู ( p ∧ q) → r และมีคา ความจริงเปน จรงิ 11) ประพจนท ่ีกําหนดใหอยใู นรปู p ↔ q และมีคา ความจรงิ เปนเท็จ 12) ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยูในรปู p ↔ (q ∨ r) และมคี า ความจรงิ เปนจรงิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 101 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 6. 1) ( p∨ q) ↔ ( p ∨ q) มคี าความจริงเปน เทจ็ 2) p เปนเทจ็ และ q เปนเทจ็ 3) p เปนจริง q เปนจรงิ r เปนเทจ็ และ s เปนจริง 7. 1) p → ( q ∧ r) ไมสมมูลกับ ( p → q) ∨ ( p → r) 2) ( p ∨ q) ∧ r ไมส มมลู กบั ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 3)  ( p→ q) → r ไมส มมลู กบั  ( p ∧ q ∧ r) 4)  p ↔ q สมมลู กับ  ( p → q) ∧ (q → p) 8. 1) แนวทางการตอบ • “ถา 8 ไมนอยกวา 7 แลว 8 เปน จํานวนคู” สมมลู กับ “ 8 นอ ยกวา 7 หรือ 8 เปน จํานวนคู” 2) แนวทางการตอบ • “ 12 ∉ ก็ตอ เม่ือ 5 ไมเ ปนตวั ประกอบของ 12 ” สมมลู กบั “ถา 12 ∉ แลว 55 5 ไมเปน ตัวประกอบของ 12 และ ถา 5 ไมเปน ตวั ประกอบของ 12 แลว 12 ∉  ” 5 • “ 12 ∉ กต็ อเม่ือ 5 ไมเ ปน ตัวประกอบของ 12 ” สมมูลกบั “ 5 ไมเปน 5 ตวั ประกอบของ 12 กต็ อ เมื่อ 12 ∉ ” 5 3) แนวทางการตอบ • “ไกแ ละเปด เปนสัตวป ก หรอื นกและไกเปนสตั วป ก” สมมลู กับ “ไกเ ปนสัตวป ก และ เปดหรอื นกเปน สตั วป ก” สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 102 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 4) แนวทางการตอบ • “ถา พอและแมของแหนมมเี ลือดหมู O แลว แหนมมเี ลอื ดหมู O ” สมมลู กบั “พอหรือแมข องแหนมไมมีเลือดหมู O หรอื แหนมมีเลอื ดหมู O ” 9. 1) p → q กบั q → p ไมเ ปน นเิ สธกัน 2) p ↔ q กับ  p ↔  q ไมเปนนเิ สธกนั 3) p → (q → r) กับ p ∧ q∧  r เปนนเิ สธกัน 4) p → (q → r) กับ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) เปน นเิ สธกนั 5) p → (q ∨ r) กบั (q ∨ r) →~ p ไมเ ปน นิเสธกัน 6) q ∧ (r∧ ~ s) กับ q → (r → s) เปน นเิ สธกัน 7) ( p → q) ∨ r กบั p ∧  q∧  r เปน นิเสธกัน 8) ( p∨q) → r กบั  r ∧ ( p ∨ q) เปน นเิ สธกัน 9) “12 เปน ตวั ประกอบของ 24 แลว 4 เปนตัวประกอบของ 24 ” กบั “ 4 ไมเปน ตัวประกอบของ 24 แต 12 เปนตวั ประกอบของ 24 ” เปน นิเสธกัน 10) “ a และ b ไมเปน สระในภาษาอังกฤษ หรือ e เปนสระในภาษาอังกฤษ” กบั “ e เปน สระในภาษาอังกฤษ แต ถา a ไมเ ปน สระในภาษาองั กฤษ แลว b เปน สระ ในภาษาองั กฤษ” ไมเ ปน นิเสธกัน 10. 1) รูปแบบของประพจน  p → (q → r) → ( p → q) → r ไมเ ปนสจั นริ ันดร 2) รูปแบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ไมเ ปน สจั นริ ันดร 3) รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนสจั นริ นั ดร 4) รปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r เปน สัจนริ ันดร 5) รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) เปนสัจนริ ันดร สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 103 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 6) รปู แบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r เปนสัจนิรนั ดร 7) รปู แบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปน สัจนริ นั ดร 11. 1) ไมสมเหตสุ มผล 2) ไมสมเหตสุ มผล 3) ไมสมเหตสุ มผล 4) สมเหตสุ มผล 5) สมเหตสุ มผล 12. 1) ไมสมเหตุสมผล 2) สมเหตุสมผล 3) สมเหตุสมผล 4) ไมสมเหตสุ มผล 5) ไมส มเหตสุ มผล 13. 1) เปนจริง 2) เปน จริง 3) เปน จรงิ 4) เปนเท็จ 5) เปน เทจ็ 6) เปน จริง 7) เปนจริง 8) เปน จรงิ 9) เปนเทจ็ 10) เปน เทจ็ 11) เปนเทจ็ 12) เปน จริง 13) เปนเทจ็ 14) เปนจรงิ 15) เปน จริง 14. 1) นิเสธของ  ∀x  ( x ≠ 5) คือ ∀x[x ≠ 5] 2) นิเสธของ ∃x[ x ∈  ∧ x ≥ 5 ] คือ ∀x[ x ∉  ∨ x < 5 ] 3) นเิ สธของ ∀x  x2 − 5 < 4→ x − 2 ≠ 0 คอื ∃x  x2 − 5 < 4∧ x − 2 =0 4) นิเสธของ  ∃x[x − 7 < 5] → ∀x[x ≥ 2] คอื ∀x[ x − 7 ≥ 5 ] ∧ ∃x[ x < 2 ] สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 104 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 5) นิเสธของ ∀x[x ∈ ∧ x − 2 > 8] ∨ ∃x x = 5∨  ( x ≠ 6) คอื ∃x[ x ∉ ∨ x − 2 ≤ 8 ] ∧ ∀x[ x ≠ 5 ∧ x ≠ 6 ] 6) นเิ สธของ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ] คอื ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∧ ∃x[ x= 2 ∨ x < 6 ] 7) นิเสธของขอความ “มจี ํานวนตรรกยะบางจํานวนเปนจาํ นวนคีแ่ ละจาํ นวนค่ี ทุกจาํ นวนไมเ ปนจํานวนอตรรกยะ” คือ “จํานวนตรรกยะทุกจาํ นวนไมเ ปน จํานวนค่หี รอื มีจาํ นวนค่บี างจํานวนเปน จาํ นวนอตรรกยะ” 8) นิเสธของขอความ “จาํ นวนนบั ทุกจํานวนมากกวาศนู ยแตจํานวนเต็มบางจํานวน ยกกําลังสองไมม ากกวาศูนย” คือ “มีจํานวนนับบางจาํ นวนนอยกวา หรือเทา กับ ศูนยหรือกาํ ลังสองของจาํ นวนเตม็ ใด ๆ มีคามากกวา ศูนย” 15. 1) ∀x[ x ∈  ∧ x ∉ ] ไมส มมลู กับ ∀x[ x ∈ ∨ x ∉  ] 2) ∀x  x > 0 → x3 > 0  ไมส มมูลกับ ∀x  x > 0 ∨ x3 > 0  3) ∃x  x2 > 0  สมมูลกับ 0 ∀x x2 ≤ 0 4)  ∀x x =9 ∧ x ≠ 3 ไมสมมลู กับ ∃x  x = 3 → x = 9  5) ∃x[ x ∈  ]∧  ∃x[ x + 3 < 7 ] ไมส มมลู กับ ∀x[ x + 3 < 7 ] ∧ ∃x[x ∈ ] ( )6) ∀x[ x > 0 ] ∧ ∃x  x2 −1 < 0  สมมูลกบั 0 ∀x[x > 0] → ∀x x2 −1 ≥ 0 7) 0 ∃x x2 − 7 ≠ 0 ∨ ∀x[x > −5] ไมสมมลู กับ ∃x[ x ≤ −5 ] ∨ ∀x x2 − 7 =0 8)  (∀x[x ∈]∧  ∀x[x ≠ 7]) สมมูลกับ ∃x[x ≠ 7] → ∀x[x ∈] 9) “จํานวนคีท่ ุกจํานวนมากกวาศูนย” สมมูลกับ “ไมจริงที่วาจาํ นวนคีบ่ างจํานวน นอยกวาหรอื เทา กบั ศูนย” สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 105 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 10) “มีจาํ นวนตรรกยะ x ที่ x2 = 0 หรอื x ≠ 0 ” ไมส มมูลกับ “ไมจริงท่ีวา จํานวนตรรยะ x ทกุ จํานวน ที่ x2 ≠ 0 หรอื x = 0 ” 16. ฟา ใสมสี ิทธ์ไิ ดเ ลื่อนตําแหนง 17. สุรยิ าจะไดรบั เงินรางวลั 45,000 บาท เมฆาจะไมไดร บั เงินรางวัล กมลจะไดรับเงินรางวัล 140,000 บาท และทวิ าจะไดรบั เงนิ รางวลั 800,000 บาท 18. มานแกวจะสามารถกเู งินกับบริษทั นีไ้ ด สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 106 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 บทที่ 3 จํานวนจรงิ การศึกษาเร่ืองจํานวนจริงมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตร เพราะความเขาใจเกี่ยวกับจํานวน ไมไดหมายความเพียงการคิดคํานวณเทานั้น แตหมายความรวมถึงความเขาใจในระบบ เชิงคณิตศาสตร ซ่ึงประกอบไปดวย เอกภพสัมพัทธ คําอนิยาม คํานิยาม สัจพจน ทฤษฎีบท บทตั้ง และบทแทรก เนื้อหาเร่ืองจํานวนจริงท่ีนําเสนอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 มีจุดมุงหมายเพ่ือใหนักเรียนเขาใจและนําระบบ เชงิ คณิตศาสตรไปใชใ นการแกป ญหา และเพื่อเปนรากฐานสําหรับการเรียนคณิตศาสตรในหัวขอ ตอไป ในบทเรียนนม้ี ุง ใหนกั เรียนบรรลุตัวช้ีวัดและจดุ มุงหมายดังตอ ไปนี้ ผลการเรยี นรู • เขาใจจํานวนจรงิ และใชสมบัตขิ องจาํ นวนจรงิ ในการแกปญหา • แกส มการและอสมการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรไี มเ กนิ สี่ และนาํ ไปใชใ นการแกป ญหา • แกส มการและอสมการเศษสว นของพหนุ ามตวั แปรเดียว และนําไปใชในการแกปญ หา • แกส มการและอสมการคาสมั บูรณข องพหนุ ามตวั แปรเดียว และนําไปใชในการแกป ญ หา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 107 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 จดุ มุงหมาย 1. ใชความรเู กี่ยวกบั จาํ นวนจรงิ ในการแกป ญ หา 2. หาผลหารของพหนุ ามและเศษเหลือ 3. หาเศษเหลอื โดยใชทฤษฎบี ทเศษเหลอื 4. แยกตวั ประกอบของพหุนาม 5. แกสมการและอสมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 6. แกส มการและอสมการเศษสว นของพหุนามตวั แปรเดยี ว 7. แกส มการและอสมการคา สมั บูรณข องพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 8. ใชค วามรเู กีย่ วกับพหุนามในการแกปญหา ความรกู อ นหนา • ความรเู กี่ยวกบั จํานวน สมการ อสมการ และพหนุ ามในระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน • เซต สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 108 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 3.1 เนื้อหาสาระ 1. แผนผงั แสดงความสัมพันธของจํานวนชนดิ ตา ง ๆ จาํ นวนเชิงซอ น จํานวนจรงิ จํานวนเชงิ ซอนทไ่ี มใชจ ํานวนจริง จํานวนอตรรกยะ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะที่ไมใ ชจํานวนเต็ม จาํ นวนเต็มลบ ศนู ย จาํ นวนเต็มบวกหรอื จํานวนนบั 2. ระบบจาํ นวนจรงิ ประกอบดวยเซตของจํานวนจริงและการดําเนินการ ไดแก การบวกและ การคูณ (, +, ⋅ ) 3. สจั พจนก ารเทากันของระบบจํานวนจรงิ 1) กฎการสะทอน (reflexive law) สาํ หรบั จาํ นวนจริง a จะไดวา a = a 2) กฎการสมมาตร (symmetric law) สําหรบั จาํ นวนจรงิ a และ b ถา a = b แลว b = a 3) กฎการถา ยทอด (transitive law) สําหรับจํานวนจรงิ a, b และ c ถา a = b และ b = c แลว a = c สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 109 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 4. สจั พจนเชงิ พชี คณิต การคณู ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ จะไดว า สมบตั ิ การบวก สมบตั ปิ ด a+b∈ ab ∈  สมบัตกิ ารสลับที่ a+b = b+a ab = ba สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมู (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ a+0 = a = 0+a a⋅1 = a = 1⋅a สมบตั ิการมีตวั ผกผนั เรยี ก 0 วา เรียก 1 วา “เอกลักษณการบวก” “เอกลกั ษณก ารคูณ” a +(−a) = 0 = (−a)+ a ถา a ≠ 0 แลว เรยี ก −a วา a−1 ⋅a =1 = a ⋅a−1 “ตัวผกผันการบวก หรอื อินเวอรส การบวกของ a ” เรยี ก a−1 วา “ตวั ผกผนั การคูณ หรอื อินเวอรส การคูณของ a ” สมบตั กิ ารแจกแจง a (b + c) = ab + ac และ (a + b)c =ac + bc สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 110 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 5. ทฤษฎีบท 1 กฎการตดั ออกสําหรับการบวก ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ 1) ถา a + c = b + c แลว a = b 2) ถา a +b = a + c แลว b = c 6. ทฤษฎีบท 2 กฎการตัดออกสาํ หรับการคณู ให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ 1) ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b 2) ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c 7. ทฤษฎีบท 3 ให a เปนจาํ นวนจรงิ จะได a ⋅0 =0 8. ทฤษฎีบท 4 ให a เปนจํานวนจริง จะได (−1)a =− a 9. ทฤษฎบี ท 5 ให a และ b เปน จํานวนจรงิ จะได ab = 0 กต็ อ เม่ือ a = 0 หรือ b = 0 10. ทฤษฎีบท 6 ให a และ b เปนจํานวนจริง จะไดวา 1) a (−b) =− ab 2) (−a)b =− ab 3) (−a)(−b) =ab สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 111 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 11. บทนยิ าม 1 ให a และ b เปน จาํ นวนจรงิ a ลบดว ย b เขียนแทนดวยสญั ลักษณ a − b โดยที่ a − b = a + (−b) 12. บทนิยาม 2 ให a และ b เปนจาํ นวนจรงิ โดยท่ี b ≠ 0 a หารดวย b เขยี นแทนดวยสัญลกั ษณ a b โดยท่ี a= a ⋅b−1 b 13. ทฤษฎบี ท 7 ให a, b และ c เปน จํานวนจริง จะไดวา 1) a (b − c) = ab − ac 2) (a − b)c =ac − bc 14. ทฤษฎีบท 8 ให a เปนจาํ นวนจริง ถา a ≠ 0 แลว a−1 ≠ 0 15. ทฤษฎีบท 9 ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจรงิ จะไดวา a = a เมื่อ b ≠ 0 และ c ≠ 0 1)  b  bc เมอ่ื b ≠ 0 และ c ≠ 0 ac เมอ่ื b ≠ 0 และ d ≠ 0 c bc เมื่อ b ≠ 0 และ d ≠ 0 ad + bc a = สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 2) bd ac b bd 3) a + c = bd 4)  a  c  =  b  d 

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 112 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 5)  b −1 c เมื่อ b ≠ 0 และ c ≠ 0  c  = b a ad เม่ือ b ≠ 0, c ≠ 0 และ d ≠ 0 6)  b  = c bc  d  16. ทฤษฎบี ท 10 ข้ันตอนวธิ ีการหารสาํ หรับพหุนาม ถา a(x) และ b(x) เปนพหุนาม โดยที่ b(x) ≠ 0 แลวจะมีพหุนาม q(x) และ r (x) เพยี งชุดเดยี วเทา นัน้ ซ่ึง =a( x) b( x)q( x) + r ( x) เมื่อ r ( x) = 0 หรือ deg(r ( x)) < deg(b( x)) เรียก q(x) วา “ผลหาร” และเรียก r(x) วา “เศษเหลือจากการหารพหุนาม a(x) ดวยพหนุ าม b(x)” 17. ทฤษฎีบท 11 ทฤษฎีบทเศษเหลือ ให p(x) เปน พหุนาม an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0 n −1 n−2 โดยท่ี n เปน จํานวนเต็มบวก และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปนจาํ นวนจรงิ ซง่ึ an ≠ 0 ถาหารพหนุ าม p(x) ดวยพหุนาม x − c เมื่อ c เปน จาํ นวนจรงิ แลว เศษเหลือจะเทา กับ p(c) 18. ทฤษฎบี ท 12 ทฤษฎีบทตัวประกอบ ให p(x) เปนพหนุ าม an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0 n −1 n−2 โดยท่ี n เปน จาํ นวนเต็มบวก และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปนจาํ นวนจริง ซึง่ an ≠ 0 พหนุ าม p(x) มี x − c เปน ตัวประกอบ กต็ อ เมื่อ p(c) = 0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 113 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 19. ทฤษฎบี ท 13 ทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ ให เปน พหุนามp(x) an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0 n −1 n−2 โดยท่ี n เปนจํานวนเตม็ บวก และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปน จาํ นวนเต็ม ซ่ึง an ≠ 0 ถา x − k เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจํานวนเต็ม m ซง่ึ m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากับ 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว 20. สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว คอื สมการท่ีเขยี นไดในรปู an xn + a xn−1 + a xn−2 +  + a1x + a0 =0 n −1 n−2 เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนจํานวนลบ และ an, an−1 , an−2 ,  , a1 , a0 เปนจํานวนจริง ทเ่ี ปนสัมประสทิ ธ์ขิ องพหนุ าม 21. สมการกําลังสอง คือ สมการที่เขียนไดในรูป ax2 + bx + c =0 เมื่อ a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ โดยท่ี a ≠ 0 ถา b2 − 4ac ≥ 0 แลว จะมจี าํ นวนจริงท่ีเปนคาํ ตอบของสมการกําลังสองนี้ โดยคาํ ตอบของสมการ คือ −b ± b2 − 4ac 2a ถา b2 − 4ac < 0 แลว จะไมม ีจาํ นวนจรงิ ทเี่ ปน คําตอบของสมการกําลงั สองนี้ 22. ให p(x) และ q(x) เปน พหนุ าม โดยท่ี q(x) ≠ 0 จะเรียก p(x) วา q(x) “เศษสว นของพหุนาม” ท่ีมี p(x) เปนตัวเศษ และ q(x) เปนตวั สว น สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 114 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 23. การคูณและการหารเศษสว นของพหุนาม 1) เมื่อ p( x), q( x), r ( x) และ s(x) เปนพหุนาม โดยท่ี q( x) ≠ 0 และ s( x) ≠ 0 จะไดวา p(x) r(x) p(x)r(x) q( x) ⋅ s( x) =q( x) s( x) 2) เม่อื p( x), q( x), r ( x) และ s(x) เปนพหุนาม โดยที่ q( x) ≠ 0, r ( x) ≠ 0 และ s(x) ≠ 0 จะไดวา p(x) ÷ r( x) = p(x) ⋅ s( x) q(x) s( x) q(x) r( x) 24. การบวกและการลบเศษสวนของพหนุ าม เม่ือ p(x), q(x) และ r (x) เปนพหนุ าม โดยที่ q(x) ≠ 0 จะไดวา p(x) r(x) p(x)+ r(x) q( x) + q( x) =q( x) p(x) r(x) p(x)−r(x) q( x) − q( x) =q( x) 25. สมการเศษสว นของพหุนาม คอื สมการทส่ี ามารถจัดใหอยใู นรปู p(x) q(x) = 0 เม่ือ p(x) และ q(x) เปนพหนุ าม โดยที่ q(x) ≠ 0 26. บทนยิ าม 3 ให a และ b เปน จํานวนจรงิ a > b หมายถงึ a − b > 0 a < b หมายถงึ a − b < 0 (หรือ b − a > 0 ) a ≥ b หมายถึง a − b > 0 หรือ a = b a ≤ b หมายถงึ a − b < 0 หรือ a = b สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 115 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 27. ทฤษฎบี ท 14 ให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ 1) สมบตั กิ ารถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2) สมบตั กิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่เี ทากัน ถา a > b แลว a + c > b + c 3) สมบัตกิ ารคูณดว ยจาํ นวนที่เทากันทไ่ี มเ ปนศนู ย กรณีท่ี 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณีที่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4) สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 5) สมบัติการตัดออกสําหรบั การคูณ กรณีท่ี 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีท่ี 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b 28. ทฤษฎบี ท 15 ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจรงิ ถา a > b และ c > d แลว a + c > b + d 29. บทนยิ าม 4 ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ a < b < c หมายถงึ a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c a < b ≤ c หมายถงึ a < b และ b ≤ c สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 116 คูม ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 a ≤ b < c หมายถงึ a ≤ b และ b < c 30. บทนิยาม 5 ให a และ b เปนจํานวนจรงิ ซงึ่ a < b ชวงเปด (a, b) หมายถงึ {x a < x < b } ชว งปด [a, b] หมายถึง {x a ≤ x ≤ b } ชวงครึ่งเปด หรือชว งครึง่ ปด (a, b] หมายถึง {x a < x ≤ b} ชว งคร่งึ เปดหรือชว งคร่ึงปด [a, b) หมายถึง {x a ≤ x < b} ชว งเปดอนนั ต (a, ∞) หมายถึง {x x > a } ชว งเปดอนนั ต (−∞, a) หมายถึง {x x < a } ชวงปด อนันต [a, ∞) หมายถึง {x x ≥ a } ชว งปดอนันต (−∞, a] หมายถงึ {x x ≤ a } 31. บทนยิ าม 6 ให a เปน จํานวนจรงิ คาสัมบรู ณของจาํ นวนจรงิ a เขียนแทนดวย สัญลกั ษณ a โดยที่ เมื่อ เมอ่ื 32. ทฤษฎบี ท 16 ให x และ y เปนจาํ นวนจรงิ จะไดวา 1) x = − x 2) xy = x y 3) x = x เมอ่ื y ≠ 0 yy 4) x − y = y − x สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 117 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5) x 2 = x2 6) x + y ≤ x + y 33. ทฤษฎีบท 17 ให a เปน จํานวนจริงบวก เซตคําตอบของสมการ x = a คอื {−a, a} 34. ทฤษฎีบท 18 ให a เปน จาํ นวนจรงิ บวก 1) x < a กต็ อ เมอ่ื −a < x < a 2) x ≤ a กต็ อเม่อื −a ≤ x ≤ a 3) x > a ก็ตอ เมอ่ื x < −a หรือ x > a 4) x ≥ a กต็ อ เมื่อ x ≤ −a หรอื x ≥ a 3.2 ขอเสนอแนะเกีย่ วกบั การสอน จาํ นวนจรงิ ครอู าจทบทวนเกีย่ วกับจาํ นวนประเภทตาง ๆ โดยใชก จิ กรรมการจําแนกประเภทของจํานวน ดงั นี้ กจิ กรรม : การจาํ แนกประเภทของจํานวน ข้นั ตอนการปฏิบตั ิ 1. ครูแบงกลุมนักเรียนกลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากน้ันครูเขียนจํานวน ตอไปน้ีบนกระดาน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 118 คูม ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 7π −7 + 8 −(−5) − 6 5− 5 − 225 3 8 ⋅ 18 8 1 49 + 144 2 2 ( −7 )3 22 2.3 85.71 27 − 10 −0.57871234… 363 7.321321321... 4.5 073 3 22 10−3 0.123456 7 −32 2. ครใู หน กั เรียนแตล ะกลุมอภปิ รายวา จะจําแนกประเภทของจํานวนอยางไร 3. ครูใหตัวแทนนักเรียนแตละกลุมนําเสนอการจัดประเภทของจํานวน แลวรวมกันอภิปราย ในประเด็นตอไปน้ี 3.1 จดั ประเภทของจํานวนไดก ีก่ ลุม พรอ มใหเหตุผลประกอบ 3.2 ประเภทของจํานวนที่กลุมของตนเองจัดได เหมือนหรือแตกตางจากเพ่ือนกลุมอื่น หรอื ไม อยางไร 4. หลงั การอภิปราย ครูใหนักเรียนแตละกลุมเขียนแผนผังแสดงความสัมพันธของจํานวนประเภท ตาง ๆ จากน้ันครูสุมกลุมนักเรียนกลุมหนึ่งมานําเสนอการจัดประเภทของจํานวน พรอมท้ังให นกั เรยี นกลุมอ่ืน ๆ รวมกันเพม่ิ เติมประเภทของจํานวนจากที่เพ่ือนนําเสนอใหส มบรู ณ หมายเหตุ • แนวคําตอบ เชน จําแนกประเภทของจํานวนเปน 2 กลุม ไดแก จํานวนตรรกยะ และ จํานวนอตรรกยะ • ครูอาจเปลยี่ นเปน จํานวนอื่น ๆ ซ่ึงจาํ นวนเหลาน้ันควรจําแนกประเภทไดห ลายแบบ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 119 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 กิจกรรมนี้มีไวเพื่อทบทวนเก่ียวกับประเภทของจํานวนซ่ึงนักเรียนไดศึกษามาแลวในระดับ มธั ยมศึกษาตอนตน และใชเพอื่ ตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนเก่ียวกับหัวขอน้ีไดดวย ซ่ึงในกรณี ท่คี รูพบวานกั เรยี นมคี วามเขาใจเก่ียวกับประเภทของจํานวนเปนอยางดีแลว ครูสามารถสอนเน้ือหา เกีย่ วกับระบบจาํ นวนจริงซ่ึงอยูในหัวขอถัดไปไดโ ดยไมตองสอนเร่ืองนอี้ ีก ประเด็นสาํ คญั เกี่ยวกบั แบบฝกหัด แบบฝก หดั 3.1 2. ขอความตอ ไปนเ้ี ปน จรงิ หรอื เท็จ 9) มีจาํ นวนตรรกยะท่มี ากทีส่ ดุ ท่ีนอยกวา 9 แบบฝกหัดนี้ครูควรกระตุนและเปดโอกาสใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบการหาคําตอบ โดยนักเรียนอาจใหเหตุผลวาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะที่มากท่ีสุดท่ีนอยกวา 9 ได เน่อื งจากจะมีจาํ นวนตรรกยะที่อยูระหวางจํานวนจริง 2 จํานวนเสมอ ระบบจํานวนจริง ประเดน็ สาํ คัญเกยี่ วกับเนื้อหาและสง่ิ ทค่ี วรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน • เนื้อหาในหัวขอน้ีโดยสวนใหญเปนเร่ืองที่นักเรียนไดศึกษามาแลวในระดับมัธยมศึกษา ตอนตน แตในระดับน้ีเปนการนําเน้ือหามาจัดตามโครงสรางของระบบคณิตศาสตร โดยจะกลาวถึงสัจพจนการเทากันของระบบจํานวนจริงและสัจพจนเชิงพีชคณิต แตจะไมไ ดกลา วถงึ สัจพจนความบริบูรณ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 120 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 • บทเรียนน้ีไมไดเนนการพิสูจนทฤษฎีบท แตครูอาจใหความรูเพิ่มเติมเก่ียวกับการพิสูจน ทฤษฎบี ทสาํ หรบั นกั เรียนทีส่ นใจได ทฤษฎบี ทเศษเหลือ ประเด็นสาํ คญั เกีย่ วกับเนื้อหาและสิง่ ท่คี วรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน ตวั อยางท่ี 10 จงหาเศษเหลอื จากการหาร 9x3 + 4x −1 ดวย x − 1 2 คาํ ถาม 1. จงหาร 9x3 + 4x −1 ดวย x − 1 โดยวิธีหารยาว แลวพิจารณาวาเศษเหลือ 2 ท่ีไดเ ทากับ p  1  หรือไม  2  2. จงหาร 9x3 + 4x −1 ดว ย 2x −1 โดยวิธหี ารยาว แลวพิจารณาวา เศษเหลอื ท่ีได เทา กับ p  1  หรอื ไม  2  จากคําถามสองขอนี้นักเรียนควรสังเกตเห็นวาเศษเหลือที่ไดจากการหาร 9x3 + 4x −1 ดวย x − 1 โดยวธิ ีหารยาว และเศษเหลือท่ไี ดจ ากการหาร 9x3 + 4x −1 ดวย 2x −1 โดยวิธีหาร 2 ยาว ตางก็เทากับ 17 ซึ่งคือ p  1  นั่นเอง เน่ืองจาก เมื่อเขียนแสดง 2x −1 ใหอยูในรูป  2  8 x − c แลว จะได x − 1 2 ซงึ่ ในกรณที วั่ ไป ถาให p(x) เปนพหนุ าม และ a, b เปน จํานวนจรงิ โดยที่ a ≠ 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 121 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จากข้ันตอนวิธีการหาร เม่ือหาร p(x) ดวย ax + b จะมีผลหาร q(x) และเศษเหลือ เปน คาคงตัว d ซึง่ p( x) =(ax + b)q( x) + d สามารถจดั รปู สมการใหมไ ดเปน p ( x) = x + b  ( a ⋅ q ( x)) + d a  นั่นคือ เมื่อหาร p(x) ดว ย x + b จะไดผลหารเปน a ⋅ q(x) และเศษเหลือเปนคาคงตวั d a ดังน้ัน เศษเหลือท่ีไดจากการหาร p(x) ดวย ax + b เทากับ เศษเหลือที่ไดจากการหาร p(x) ดวย x+ b ซ่งึ เทา กบั p  b  a  a  ทฤษฎีบทตัวประกอบ ประเด็นสาํ คัญเก่ยี วกับเน้ือหาและสง่ิ ท่ีควรตระหนักเกีย่ วกับการสอน ในบทเรียนน้ีนําเสนอการแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบท ตัวประกอบตรรกยะ แตการแยกตัวประกอบของพหุนามทําไดหลายวิธี นักเรียนสามารถ ใชวิธีอื่น ๆ ได ดังน้ันครูควรใหนักเรียนมีอิสระในการเลือกวิธีท่ีตนเองถนัดในการแยก ตัวประกอบของพหุนามโดยไมจ ําเปน ตอ งตรงกับวิธีที่ครูคิดไว แตครูควรฝกฝนใหนักเรียนแยก ตัวประกอบของพหุนามโดยใชทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะดวย ซง่ึ จะเปน ประโยชนในการศึกษาหวั ขอ ตอไป สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 122 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 สมการพหุนามตัวแปรเดียว ประเด็นสาํ คญั เกี่ยวกบั เนื้อหาและสงิ่ ทคี่ วรตระหนกั เก่ยี วกบั การสอน ในบทเรียนนี้นักเรียนตองใชความรูเก่ียวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามในการแกสมการ พหุนามตัวแปรเดียว ซ่ึงการแยกตัวประกอบของพหุนามทําไดหลายวิธี ดังน้ัน ครูควร ใหนักเรียนมีอิสระในการเลือกวิธีที่ตนเองถนัดในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดย ไมจําเปน ตองตรงกบั วิธีทีค่ รูคดิ ไว เศษสวนของพหุนาม ประเดน็ สาํ คัญเก่ียวกบั เนอ้ื หาและสิง่ ทีค่ วรตระหนักเกย่ี วกบั การสอน • ในการเขียนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จนั้น นักเรียนควรระมัดระวังวาพหุนาม ท่เี ปนตัวสว นจะตองไมเ ทา กับศนู ย • ครูอาจเปดโอกาสใหนักเรียนอภิปรายในประเด็นตอไปนี้ ซึ่งจะเปนประโยชนในการแก สมการเศษสวนของพหนุ าม 1) ถา a = a เมอ่ื b ≠ 0, c ≠ 0 และ b ≠ c แลว a = 0 bc 2) ถา a = a เม่ือ a ≠ 0, b ≠ 0 และ c ≠ 0 แลว b = c bc สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 123 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 สมการเศษสวนของพหนุ าม ประเด็นสาํ คัญเกี่ยวกบั เน้อื หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนักเกี่ยวกับการสอน ในการเขียนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จนั้น นักเรียนควรระมัดระวังวาพหุนามที่เปนตัว สวนจะตองไมเทากับศูนย ดังน้ันนักเรียนจึงตองระวังในการสรุปเซตคําตอบของสมการเศษสวน ของพหุนาม การไมเ ทา กันของจํานวนจรงิ ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกบั แบบฝกหดั แบบฝก หดั 3.8 กําหนดให a และ b เปน จาํ นวนจริง 1. จริงหรือไม ถา a > b แลว a2 > b2 2. จริงหรือไม ถา a ≠ 0, b ≠ 0 และ a > b แลว 1 < 1 ab 3. จริงหรือไม ถา a > b แลว −a < −b 4. จริงหรอื ไม ถา a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0 5. จริงหรอื ไม ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0 6. จริงหรอื ไม ถา a > 0 แลว 1 > 0 a สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 124 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 ครูควรสนับสนนุ ใหน กั เรียนยกตัวอยางคานสําหรับขอท่ีนักเรียนคาดการณวาขอความที่กําหนดให ไมเ ปนจรงิ 7. กรณีใดบา ง ถา a > b แลว 1 < 1 เมอ่ื a ≠ 0 และ b ≠ 0 ab 8. กรณีใดบา ง ถา a > b แลว 1 > 1 เมอื่ a ≠ 0 และ b ≠ 0 ab แบบฝกหดั สองขอ น้ี สามารถแสดงการพิสูจนไ ดดังน้ี ให a และ b เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ซง่ึ a > b และ a ≠ 0 และ b ≠ 0 พิจารณา กรณีที่ ab > 0 จะได 1 > 0 ab และจาก a > b จะไดวา a  1  > b  1   ab   ab  น่นั คือ 1 > 1 หรือ 1 < 1 ba ab พิจารณา กรณีท่ี ab < 0 จะได 1 < 0 ab และจาก a > b จะไดว า a  1  < b  1  น่นั คอื 1 < 1  ab   ab  ba จากทั้งสองกรณจี ะเห็นวา “ถา a > b แลว 1 < 1 เมือ่ a ≠ 0 และ b ≠ 0” จะเปน จรงิ ab เมื่อ a และ b เปนจาํ นวนจรงิ บวกทง้ั คู หรือ a และ b เปนจํานวนจรงิ ลบท้ังคู และ “ถา a > b แลว 1 > 1 เม่อื a ≠ 0 และ b ≠ 0” จะเปนจริง เมอื่ a เปน จาํ นวนจริงบวก ab แต b เปนจํานวนจริงลบ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 125 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 อสมการพหุนามตัวแปรเดยี ว ประเดน็ สาํ คัญเก่ยี วกับเนือ้ หาและส่งิ ทค่ี วรตระหนักเกี่ยวกบั การสอน • จากบทนิยาม 5 จะไดวาชวงเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง • ครูควรฝกฝนนักเรียนใหใชแนวทางการแกอสมการพหุนามตัวแปรเดียวโดยพิจารณาเสน จํานวนตามท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน เน่ืองจากสามารถนําไปใชในการแกอสมการกรณีที่ แยกตวั ประกอบของพหุนามแลว ไดต ัวประกอบซาํ้ รวมถงึ การแกอ สมการเศษสวนของพหนุ าม ประเดน็ สําคัญเก่ียวกบั แบบฝกหดั แบบฝกหัด 3.9ข 12. x3 − x2 − x + 1 ≥ 0 แบบฝกหัดน้ีควรกระตุนและเปดโอกาสใหนักเรียนแสดงวิธีการหาคําตอบพรอมใหเหตุผล ประกอบการหาคําตอบ นักเรียนอาจแสดงโดยพิจารณาเสนจํานวนตามท่ีนําเสนอในหนังสือ เรยี น หรอื อาจใชสมบตั ขิ องจํานวนจริง ซึ่งในทีน่ ้ีจะไดว า (x −1)2 ≥ 0 ( x −1)( x + 3) 15. ≤ 0 x−2 แบบฝกหดั ขอ นน้ี กั เรยี นตองระมดั ระวงั วา พหุนามทเี่ ปน ตัวสวนจะตอ งไมเทา กบั ศนู ย น่ันคือ x − 2 ≠ 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 126 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 คาสัมบูรณ ประเด็นสําคัญเก่ียวกบั เนือ้ หาและสิ่งที่ควรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน ครูควรเนนยํ้าบทนิยามของคาสัมบูรณ ดังแสดงในบทนิยาม 6 ซ่ึงจะเปนพื้นฐานสําคัญ ในการแกสมการและอสมการคา สัมบูรณของพหุนามตัวแปรเดียว ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกบั แบบฝกหดั แบบฝก หดั 3.10 3. จงหาเง่อื นไขของจํานวนจรงิ x และ y ที่ทําให 1) x + y < x + y 2) x + y = x + y แบบฝกหดั ขอนี้ สามารถแสดงการพิสจู นโ ดยแยกเปน กรณี ดงั นี้ กรณี x = 0 และ y = 0 จะได x + y = 0 + 0 = 0 = 0 และ x + y = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 ดงั น้ัน x + y = x + y กรณี x > 0 และ y > 0 จะได x + y > 0 และ=x x=, y y ดังนัน้ x + y =x + y และ x + y =x + y สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 127 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ดงั นั้น x + y = x + y กรณี x > 0 และ y < 0 จะได x = x, y = −y อาจแยกไดเปน 1) x + y =0 จะได x + y =0 เน่ืองจาก y < 0 ดงั น้นั −y > 0 จะได x + (−y) > 0 ดงั นั้น x + y < x + (− y) จาก x = x, y = − y ดงั น้นั x + y = x + (− y) ดังน้ัน x + y < x + y 2) x + y > 0 จะได x + y =x + y เน่ืองจาก y < 0 ดังน้นั −y > 0 จะได y < (−y) ดังนัน้ x + y < x + (− y) จาก x + y =x + y และ x + y = x + (− y) ดังนั้น x + y < x + y 3) x + y < 0 จะได x + y =−( x + y) =(−x) + (− y) เน่ืองจาก x > 0 ดงั น้นั −x < 0 นนั่ คือ −x < x จะไดวา (−x) + (− y) < x + (− y) จาก x + y = (−x) + (− y) และ x + y = x + (− y) ดังนน้ั x + y < x + y กรณี x < 0 และ y > 0 แสดงไดใ นทํานองเดียวกันกับ กรณี x > 0 และ y < 0 กรณี x < 0 และ y < 0 จะได x + y < 0 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 128 คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ดงั นน้ั x + y =−( x + y) =(−x) + (− y) เพราะวา x < 0 และ y < 0 ดงั น้นั x = −x และ y = −y ดงั นัน้ x + y = (−x) + (−y) จะไดว า x + y = x + y จากกรณีท่ีแสดงขา งตนจะเห็นวา กรณที ี่ x > 0 และ y < 0 และกรณีท่ี x < 0 และ y > 0 จะทาํ ให x + y < x + y ดังน้นั จึงสรุปไดว า เมื่อ xy < 0 จะทําให x + y < x + y จากกรณีที่แสดงขางตน จะเห็นวา กรณีที่ x = 0 และ y = 0 กรณีท่ี x > 0 และ y > 0 และกรณีที่ x < 0 และ y < 0 จะทําให x + y = x + y ดงั นน้ั จงึ สรุปไดวา เมอ่ื xy ≥ 0 จะทําให x + y = x + y 3.3 แนวทางการจดั กจิ กรรมในหนังสอื เรยี น กจิ กรรม : การหาคา ประมาณของ π ดว ย GeoGebra Willebrord Snell และ Christiaan Huygens ไดพัฒนาวิธีของ Archimedes ในการหา คาประมาณของ π กลาวคือ เม่ือ un แทนความยาวรอบรูปของรปู n เหลีย่ มดา นเทามมุ เทาแนบในวงกลมหนึง่ หนวย และ Un แทนความยาวรอบรูปของรูป n เหล่ียมดานเทามุมเทาแนบนอกวงกลมหนึ่งหนวย Archimedes หาคา ประมาณของ π โดยคํานวณจาก 1  un +Un  2  2  สว น Snell-Huygens หาคา ประมาณของ π โดยคาํ นวณจาก 1  2 un + 1U n  2  3 3  หากใชรูปหลายเหล่ยี มดานเทามุมเทา ทมี่ ีจํานวนดานเทา กนั คาประมาณของ π สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 129 คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 ท่ีคํานวณไดจากวิธีของ Snell-Huygens จะใกลเคียงกวาวิธีของ Archimedes ดังแสดง ไดดวยโปรแกรม GeoGebra หมายเหตุ คา ประมาณของ π ทศนยิ ม 20 ตําแหนง คือ 3.14159 26535 89793 23846 ขนั้ ตอนการปฏิบัติ 1. เปดเวบ็ ไซต goo.gl/6xnUw4 2. พมิ พ 6 ลงในชอง “จาํ นวนดาน =” ที่อยูใน Graphics View แลว สังเกตสิง่ ท่ีเกิดขึ้นใน Graphics View และ Spreadsheet View 3. เปลี่ยนจํานวนดา นจาก 6 เปน 12, 24, 48 และ 96 ตามลําดับ แลว เปรยี บเทียบคาประมาณ ของ π ท่ีไดจากวิธขี อง Archimedes และ Snell-Huygens ใน Spreadsheet Viewก เฉลยกิจกรรม : การหาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra 1. - 2. จะเห็นวา ในหนา Graphics View แสดงรูปหกเหลย่ี มดานเทา แนบในวงกลม (สแี ดง) แ ล ะ รูปหกเหลี่ยมดานเทาแนบนอกวงกลม (สีน้ําเงิน) และในหนา Spreadsheet View แสดงคาประมาณของ π ดว ยวิธีของ Archimedes และวธิ ีของ Snell-Huygens 3. จะเห็นวาเมื่อจํานวนดานมากขึ้น คาประมาณของ π โดยวิธีของ Archimedes และ Snell-Huygens จะใกลเคยี งกับคา π มากข้ึน แตวิธีของ Snell-Huygens ใหคาประมาณ ที่ใกลเคียงมากกวาวิธีของ Archimedes เชน เมื่อจํานวนดานเปน 96 ดาน วิธีของ Archimedes ใหคาประมาณของ π ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงท่ี 3 ในขณะที่วิธีของ Snell-Huygens ใหคาประมาณของ π ถกู ตอ งถงึ ทศนิยมตาํ แหนงที่ 6 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 130 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 แนวทางการจดั กจิ กรรม : การหาคาประมาณของ π ดว ย GeoGebra เวลาในการจดั กจิ กรรม 20 นาที กิจกรรมน้ีเสนอไวใหนักเรียนเปรียบเทียบคาประมาณของ π ท่ีไดจากวิธีของ Archimedes และ Snell-Huygens ในการทํากิจกรรมนี้นักเรียนแตละกลุมควรมีเครื่องคอมพิวเตอร อยา งนอ ย 1 เคร่ือง โดยครอู าจเลือกจัดกิจกรรมนี้ในหองคอมพิวเตอร กิจกรรมน้ีมีส่ือ/แหลง การเรยี นรู และขั้นตอนการดําเนนิ กิจกรรม ดงั นี้ ส่อื /แหลงการเรียนรู 1. ใบกจิ กรรม “หาคาประมาณของ π ดว ย GeoGebra” 2. ไฟลกจิ กรรม “หาคา ประมาณของ π ดว ย GeoGebra” จากเว็บไซต goo.gl/6xnUw4 ขั้นตอนการดําเนนิ กจิ กรรม 1. ครแู บง กลุมนกั เรียนแบบคละความสามารถ กลมุ ละ 3 – 4 คน 2. ครูแจกใบกิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra” ใหกับนักเรียนทุกคนแลวให นกั เรยี นศึกษาการประมาณคา π โดยวธิ ขี อง Archimedes และ Snell-Huygens ก 3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมเปดไฟลกิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra” จากเวบ็ ไซต goo.gl/6xnUw4 4. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามท่ีปรากฏในแนวทางการปฏิบัติขอ 2 ใน ใบกิจกรรม โดยใหนกั เรียนพิจารณาสิง่ ที่เกิดขึ้นในหนาจอ 5. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามท่ีปรากฏในแนวทางการปฏิบัติขอ 3 ใน ใบกจิ กรรม จากน้ันครนู าํ นักเรยี นอภิปรายเกยี่ วกบั ประเดน็ ของคําตอบ ดงั นี้ • พิจารณาวาเม่ือเพ่ิมจํานวนดานของรูปหลายเหล่ียมจะทําใหคาประมาณของ π ทีไ่ ดจ ากแตล ะวธิ ีเปนอยา งไร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 131 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 • พิจารณาวาเม่ือจํานวนดานเทากัน คาประมาณท่ีไดจากแตละวิธีเปนอยางไร เมื่อเทียบกบั คา ประมาณของ π ทีก่ าํ หนดใหใ นใบกิจกรรม ความรูเ พมิ่ เติมสาํ หรับกจิ กรรม : การหาคา ประมาณของ π ดว ย GeoGebra π คือ จํานวนที่ไดจากการหารความยาวรอบรูปวงกลมดวยความยาวของเสนผานศูนยกลาง ของรปู วงกลม ซ่ึงเปนคา คงตวั Archimedes ไดหาคาประมาณของ π โดยประมาณความยาวของเสนรอบรูปวงกลม จากคา เฉลี่ยของความยาวรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลมและความ ยาวรอบรปู ของรูปหลายเหลยี่ มดานเทา มมุ เทา แนบนอกวงกลม น่นั คือ Archimedes ประมาณคา π โดยคํานวณจาก 1  un +Un  2  2  เมื่อ un แทนความยาวรอบรูปของรูป n เหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลมที่มีรัศมี ยาวหนง่ึ หนวย และ Un แทนความยาวรอบรูปของรูป n เหล่ียมดานเทามุมเทาแนบนอกวงกลมที่มี รัศมียาวหน่ึงหนว ย ตอมา Willebrord Snell และ Christiaan Huygens ไดพัฒนาวิธีการของ Archimedes ในการหาคาประมาณของ π โดยใช 2 un + 1 U n แทน un + Un 3 3 2 ( )นั่นคอื Snell-Huygens ประมาณคา 1 2 1 π โดยคาํ นวณจาก 2 3 un + 3 U n จากกิจกรรม “หาคาประมาณของ π ดวย GeoGebra” นักเรียนจะเห็นไดวาเม่ือใช รูปหลายเหล่ียมดานเทามุมเทาท่ีมีจํานวนดานเทากัน คาประมาณของ π ที่คํานวณไดจากวิธี ของ Snell-Huygens จะใกลเ คยี งมากกวาวธิ ขี อง Archimedes ดังแสดงในตารางตอไปน้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี