(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 375 x–3<0 x–3>0 x–2<0 x–2>0 x–1<0 x–1>0 x+1<0 x+1>0 –3 –2 –1 01 2 34 ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, −1 ) ∪ ( 1, 2 ) ∪ ( 3, ∞ ) 24. จาก x+6 <6 x( x +1) จะได x x+6 − 6 <0 ( x +1) ( x + 6) − 6x( x +1) <0 x( x +1) <0 (x + 6) − (6x2 + 6x) x( x +1) −6x2 − 5x + 6 <0 x( x +1) 6x2 + 5x − 6 >0 x( x +1) (3x − 2)(2x + 3) >0 x( x +1) พจิ ารณาเสน จาํ นวน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

376 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 3x – 2 < 0 3x – 2 > 0 x< 0 x > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 2x + 3 < 0 2x + 3 > 0 4 3 –2 –1 0 1 2 3 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − ∞, − 3  ∪ ( − 1, 0 ) ∪  2 , ∞   2   3  25. จาก 1>1 จะได x +1 x + 4 1− 1 >0 x +1 x + 4 ( x + 4) − ( x +1) ( x +1)( x + 4) > 0 3 > 0 ( x +1)( x + 4) พจิ ารณาเสน จาํ นวน x+1 < 0 x+1 > 0 x+4 < 0 x+4 > 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 4 ) ∪ ( −1, ∞ ) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 377 26. จาก 1 >1 x+2 2x −3 จะได 1 − 1 >0 >0 x + 2 2x −3 >0 (2x − 3) − (x + 2) x–5 < 0 x–5 > 0 (x + 2)(2x − 3) x−5 (x + 2)(2x − 3) พิจารณาเสน จํานวน 2x – 3 < 0 2x – 3 > 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื  − 2, 3  ∪ [ 5, ∞ )  2  27. จาก x >1 x+2 x จะได x − 1 > 0 x+2 x x2 − (x + 2) >0 x(x + 2) x2 − x − 2 >0 x(x + 2) ( x +1)( x − 2) >0 x(x + 2) พิจารณาเสน จํานวน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

378 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 x–2 < 0 x–2 > 0 x<0 x>0 x+1 < 0 x+1 > 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –3 –2 –1 0 1 234 ดงั นนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 ) ∪ [ 2, ∞ ) 28. จาก x +1 > 1 จะได 2x −3 x−3 x +1 − 1 >0 2x −3 x −3 ( x +1)( x − 3) − (2x − 3) >0 (2x − 3)( x − 3) ( x2 − 2x − 3) − (2x − 3) >0 (2x − 3)( x − 3) x2 − 4x >0 (2x − 3)( x − 3) x(x − 4) (2x − 3)( x − 3) > 0 พจิ ารณาเสน จาํ นวน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 379 x–4 < 0 x–4 > 0 x–3 < 0 x–3 > 0 2x – 3 < 0 2x – 3 > 0 x<0 x>0 –2 –1 0 1 2 3 45 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞ , 0 ] ∪  3 , 3  ∪ [ 4 , ∞ )  2  29. จาก ( x2 + 3x −10)( x2 + x − 6) >0 x2 + 2x −15 จะได ( x − 2)( x + 5)( x − 2)( x + 3) >0 ( x − 3)( x + 5) ( x − 2)( x − 2)( x + 3) >0 เมอ่ื x ≠ − 5 ( x − 3) ( x − 2)2 ( x + 3) >0 เมอ่ื x ≠ − 5 (x − 3) วิธที ่ี 1 พจิ ารณาเสน จํานวน x–3 < 0 x–3 > 0 x–2 < 0 x–2 > 0 x+3 < 0 x+3 > 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 5 ) ∪ ( − 5, − 3 ] ∪ { 2} ∪ ( 3, ∞ ) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

380 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 วธิ ที ี่ 2 จาก ( x − 2)2 ( x + 3) >0 เมือ่ x ≠ − 5 (x − 3) เม่อื x ≠ − 5 เนอื่ งจาก ( x − 2)2 ≥ 0 เสมอ จะได x+3 > 0 x−3 พิจารณาเสนจํานวน x–3 < 0 x–3 > 0 x+3 < 0 x+3 > 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 5 ) ∪ ( − 5, − 3 ] ∪ { 2} ∪ ( 3, ∞ ) 30. จาก ( x −1)3 ( x + 2)4 > 0 วิธีที่ 1 พิจารณาเสน จํานวน x–1 < 0 x–1 > 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –4 –3 –2 –1 0 12 34 5 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( 1, ∞ ) วิธที ี่ 2 จาก ( x −1)3 ( x + 2)4 > 0 เนื่องจาก ( x + 2)4 ≥ 0 และ ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ จะได x −1 > 0 เม่ือ x ≠ − 2 นั่นคอื x > 1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 381 31. จาก ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( 1, ∞ ) วิธีที่ 1 ( x −1)3 ( x + 2)4 < 0 พิจารณาเสน จํานวน x–1 < 0 x–1 > 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –4 –3 –2 –1 0 12 34 5 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ ( − 2, 1 ) วธิ ีที่ 2 จาก ( x −1)3 ( x + 2)4 < 0 32. จาก เน่อื งจาก ( x + 2)4 ≥ 0 และ ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ วธิ ที ี่ 1 จะได x −1 < 0 เมื่อ x ≠ − 2 น่นั คอื x <1 และ x ≠ − 2 ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 1 ) −{ − 2} หรือ ( − ∞, − 2 ) ∪ ( − 2, 1 ) (2x +1)3 ( x +1)5 < 0 พจิ ารณาเสน จํานวน 2x + 1 < 0 2x + 1 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − 1, − 1   2  สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

382 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 วธิ ีที่ 2 จาก (2x +1)3 ( x +1)5 < 0 เน่ืองจาก (2x +1)2 ≥ 0 และ ( x +1)4 ≥ 0 เสมอ จะได (2x +1)( x +1) < 0 พิจารณาเสนจาํ นวน 2x + 1 < 0 2x + 1 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 1, − 1   2  แบบฝก หดั 3.10 1. 1) −12 + 8 = − 4 = 4 0 2) − 25 + − 25 = −25 + 25 = 50 3) − 5(10) = − 50 = −36 14 4) − 6 2 = −(6)2 = 3 5) − 28 = − 14 = − 0.5 63 6) − 2.5 − 3 = 2.5 − 3 = = 0.5 2. 1) เปนเท็จ เชน เม่ือ a = 1 และ b = 1 จะได a + (−b) = 1−1 = 0 = 0 แต a + − b = 1 + −1 = 1+1 = 2 จะเหน็ วา a + (−b) ≠ a + − b สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 383 ดงั นั้น ขอ ความ “ a + (−b)= a + − b ” เปน เท็จ 2) เปนเท็จ เชน เมอ่ื a = 1 จะได − a 2 =−1 2 =(1)2 =1 แต −(a2 ) =− (1)2 =−1 จะเห็นวา ( )− a 2 ≠ − a2 ดังนั้น ขอความ “ − a 2 =− (a2 ) ” เปน เท็จ 3) เปนจริง 4) เปนจรงิ 5) เปนเทจ็ เชน เมือ่ a = 1 และ b = 1 จะได − a − b = −1−1 = − 2 = 2 แต − a − b = −1 − 1 = 1−1 = 0 จะเห็นวา − a − b > − a − b ดงั นั้น ขอความ “ − a − b ≤ − a − b ” เปนเท็จ 6) เปนเท็จ เชน เมื่อ a = −1 จะได a = −1 =1 จะเห็นวา a > a ดังนั้น ขอความ “ถา a < 0 แลว a < a ” เปน เทจ็ 3. 1) กรณที ่ี x เปนจาํ นวนจริงบวก แต y เปน จาํ นวนจริงลบ หรือ กรณที ี่ x เปนจาํ นวน จรงิ ลบ แต y เปน จํานวนจรงิ บวก 2) กรณที ี่ x หรอื y ตัวใดตัวหน่ึงหรือท้งั สองตัวเปน ศูนย หรอื กรณที ่ี x และ y เปนจํานวนจริงบวกท้งั คู หรือ กรณที ี่ x และ y เปนจาํ นวนจริงลบทง้ั คู สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

384 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 แบบฝกหดั 3.11ก 1. วิธที ี่ 1 จาก 2x +1 = 3 กรณีท่ี 1 2x +1 ≥ 0 นัน่ คือ x ≥ − 1 2 จะได 2x +1 = 3 2x = 2 x = 1 ซึ่ง 1 ≥ − 1 2 นัน่ คือ 1 เปน คําตอบของสมการ กรณีท่ี 2 2x +1 < 0 นนั่ คือ x < − 1 2 จะได −(2x +1) = 3 2x +1 = −3 2x = −4 x = −2 ซ่งึ −2 < − 1 2 นั่นคอื −2 เปน คาํ ตอบของสมการ ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการ คอื { − 2, 1} วิธีที่ 2 จาก 2x +1 = 3 ยกกาํ ลังสองท้งั สองขา ง 2x + 1 2 = 32 (2x +1)2 − 32 = 0 (2x +1− 3)(2x +1+ 3) = 0 (2x − 2)(2x + 4) = 0 จะได x = 1 หรือ x = − 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 385 ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 2x +1 = 3 ดวย 1 จะได 2(1) +1 = 3 2+1 = 3 3 = 3 เปน จรงิ แทน x ในสมการ 2x +1 = 3 ดวย −2 จะได 2(−2) +1 = 3 −4+1 = 3 −3 = 3 3 = 3 เปน จริง ดังนั้น เซตคําตอบของสมการ คือ { − 2, 1} 2. วธิ ีท่ี 1 จาก 2x −5 = x + 2 กรณที ี่ 1 2x − 5 ≥ 0 น่นั คือ x ≥ 5 2 จะได 2x − 5 = x + 2 x = 7 ซง่ึ 7 ≥ 5 2 นนั่ คือ 7 เปนคาํ ตอบของสมการ กรณีที่ 2 2x − 5 < 0 น่ันคือ x < 5 2 จะได −(2x − 5) = x + 2 2x −5 = −(x + 2) 2x −5 = −x − 2 3x = 3 x = 1 ซง่ึ 1 < 5 2 นน่ั คอื 1 เปนคําตอบของสมการ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

386 คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการ คอื {1, 7} วธิ ีที่ 2 จาก 2x −5 = x + 2 ยกกาํ ลงั สองทั้งสองขาง 2x − 5 2 = ( x + 2)2 (2x − 5)2 − ( x + 2)2 = 0 (2x − 5) − ( x + 2) (2x − 5) + ( x + 2) = 0 ( x − 7)(3x − 3) = 0 จะได x = 1 หรือ x = 7 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ 2x − 5 = x + 2 ดวย 1 จะได 2(1) − 5 = 1+ 2 2−5 = 3 −3 = 3 3 = 3 เปน จริง แทน x ในสมการ 2x − 5 = x + 2 ดว ย 7 จะได 2(7)−5 = 7 + 2 14 − 5 = 9 9 =9 เปนจรงิ 9=9 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {1, 7} 3. วธิ ที ่ี 1 จาก 3x − 2 = x −1 กรณีท่ี 1 3x − 2 ≥ 0 น่นั คือ x ≥ 2 3 จะได 3x − 2 = x −1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 387 2x = 1 1<2 23 x = 1 ซึง่ กรณที ี่ 2 2 นัน่ คอื 1 ไมเ ปน คาํ ตอบของสมการ 2 3x − 2 < 0 น่ันคอื x < 2 3 จะได −(3x − 2) = x −1 วิธีท่ี 2 3x − 2 = −( x −1) 3x − 2 = −x +1 4x = 3 x = 3 ซึง่ 3 > 2 4 43 นั่นคอื 3 ไมเปน คําตอบของสมการ 4 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื ∅ จาก 3x − 2 = x −1 ยกกําลังสองท้ังสองขาง 3x − 2 2 = ( x −1)2 (3x − 2)2 − ( x −1)2 = 0 (3x − 2) − ( x −1) (3x − 2) + ( x −1) = 0 (2x −1)(4x − 3) = 0 จะได x = 1 หรอื x = 3 24 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ 3x − 2 = x −1 ดว ย 1 จะได 2 3 1  − 2 = 1 −1 2  2 −1 = −1 2 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

388 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 1 = − 1 เปน เทจ็ 22 แทน x ในสมการ 3x − 2 = x −1 ดวย 3 จะได 4 3 3  − 2 = 3 −1 4  4 1 = −1 44 1 = − 1 เปน เทจ็ 44 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คือ ∅ 4. วธิ ที ่ี 1 จาก x = x+2 กรณีท่ี 1 x ≥ 0 จะได x = x + 2 0 = 2 เปนเท็จ นัน่ คอื ไมมคี ําตอบของสมการ กรณที ี่ 2 x < 0 จะได −x = x + 2 x = −(x + 2) x = −x − 2 2x = −2 x = −1 ซึง่ −1 < 0 น่นั คือ −1 เปน คําตอบของสมการ ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คอื { −1} วธิ ที ี่ 2 จาก x = x+2 ยกกาํ ลังสองท้ังสองขาง สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 389 x 2 = ( x + 2)2 ( x)2 − ( x + 2)2 = 0 x − ( x + 2) x + ( x + 2) = 0 −2(2x + 2) = 0 จะได x = −1 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x = x + 2 ดว ย −1 จะได −1 = −1 + 2 1 = 1 เปน จรงิ ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการ คือ { −1} 5. วิธที ่ี 1 จาก x = 3− 2x กรณีที่ 1 x ≥ 0 จะได x = 3 − 2x 3x = 3 ซ่งึ 1 ≥ 0 x =1 น่นั คอื 1 เปนคําตอบของสมการ กรณที ่ี 2 x<0 จะได −x = 3− 2x x = −(3− 2x) x = −3 + 2x x = 3 ซึ่ง 3 > 0 นน่ั คอื 3 ไมเ ปนคาํ ตอบของสมการ ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ {1} วิธีที่ 2 จาก x = 3− 2x ยกกําลงั สองท้งั สองขา ง สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

390 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 x 2 = (3 − 2x)2 ( x)2 − (3 − 2x)2 = 0 x − (3 − 2x) x + (3 − 2x) = 0 (3x − 3)(−x + 3) = 0 จะได x = 1 หรอื x = 3 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x = 3 − 2x ดวย 1 จะได 1 = 3 − 2(1) 1 = 3–2 1 = 1 เปน จริง แทน x ในสมการ x = 3 − 2x ดว ย 3 จะได 3= 3 − 2(3) 3= 3= 3–6 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {1} −3 เปนเท็จ 6. จาก x2 − x − 4 =2 ยกกําลังสองทง้ั สองขาง x2 − x − 4 2 = 22 ( )x2 − x − 4 2 = 22 ( )x2 − x − 4 2 − 22 = 0 ( x2 − x − 4) − 2 ( x2 − x − 4) + 2 = 0 (x2 − x − 6)(x2 − x − 2) = 0 ( x − 3)( x + 2)( x − 2)( x +1) = 0 จะได x = −1 หรอื x = − 2 หรอื x = 2 หรือ x = 3 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดวย −1 จะได (−1)2 − (−1) − 4 = 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 391 1+1−4 = 2 −2 = 2 2 = 2 เปน จริง แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดว ย −2 จะได (−2)2 − (−2) − 4 = 2 4+2−4 = 2 2 =2 2 = 2 เปนจรงิ แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดว ย 2 จะได 22 − 2 − 4 = 2 4−2−4 = 2 −2 = 2 2 = 2 เปน จรงิ แทน x ในสมการ x2 − x − 4 = 2 ดว ย 3 จะได 32 − 3 − 4 = 2 9−3−4 = 2 2 =2 2 = 2 เปน จรงิ ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 2, −1, 2, 3} 7. จาก x −1 = 2x +1 ยกกาํ ลงั สองท้งั สองขาง x −1 2 = 2x +1 2 ( x −1)2 − (2x +1)2 = 0 ( x −1) − (2x +1) ( x −1) + (2x +1) = 0 (−x − 2)(3x) = 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

392 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จะได x = 0 หรอื x = − 2 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x −1 = 2x +1 ดวย 0 จะได 0 −1 = 2(0) +1 −1 = 1 1 = 1 เปน จริง แทน x ในสมการ x −1 = 2x +1 ดวย −2 จะได − 2 −1 = 2(−2) +1 −3 = −3 3= 3 เปน จรงิ ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ { − 2, 0} x−2 8. จาก 2 x+3 = ยกกาํ ลงั สองทัง้ สองขาง (2 x + 3 )2 = x − 2 2 4( x + 3)2 − ( x − 2)2 = 0 2( x + 3) − ( x − 2) 2( x + 3) + ( x − 2) = 0 (x + 8)(3x + 4) = 0 จะได x = − 8 หรอื x = − 4 3 ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 2 x + 3 = x − 2 ดว ย −8 จะได 2 −8+3 = −8−2 2 − 5 = −10 2(5) = 10 10 = 10 เปนจรงิ แทน x ในสมการ 2 x + 3 = x − 2 ดวย − 4 จะได 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 393 2 −4+3 = − 4 −2 3 3 25 = − 10 3 3 2  5  = 10  3  3 10 = 10 เปนจริง 3 3 ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คอื  − 8, − 4     3 แบบฝก หดั 3.11ข 1. 1) จาก x−2 < 1 จะได −1 < x − 2 < 1 −1 + 2 < x < 1+ 2 1< x <3 ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( 1, 3 ) ด 2) จาก x+3 > 5 จะได x + 3 < −5 หรือ x + 3 > 5 5−3 x < −5 − 3 หรอื x> 2 x < −8 หรือ x> 4 4−5 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 8 ) ∪ ( 2, ∞ ) 3) จาก 3x + 5 ≥ 4 จะได 3x + 5 ≤ −4 หรอื 3x + 5 ≥ 3x ≤ −4 − 5 หรือ 3x ≥ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

394 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 3x ≤ −9 หรอื 3x ≥ −1 x ≤ −9 หรอื x≥ −1 3 3 −1 x ≤ −3 หรือ x≥ 3 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, −3]∪  − 1, ∞  ด  3  4) จาก 2x −1 ≤ 11 จะได −11 ≤ 2x −1 ≤ 11 −11+1 ≤ 2x ≤ 11 +1 −10 ≤ 2x ≤ 12 12 −10 ≤ x ≤ 2 2 6 −5 ≤ x ≤ ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ [ − 5, 6 ] 5) จาก 2 x−2 >x จากบทนิยามของคา สัมบรู ณ กรณที ่ี 1 x − 2 ≥ 0 นนั่ คือ x ≥ 2 จะได 2( x − 2) > x 2x − 4 > x x >4 ดังนนั้ คา x ท่ีสอดคลอง คือ x > 4 กรณที ี่ 2 x − 2 < 0 นั่นคือ x < 2 จะได −2( x − 2) > x 2(x − 2) < −x 2x − 4 < −x 3x < 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 395 x< 4 3 ดงั นัน้ คา x ทีส่ อดคลอง คือ x < 4 3 ดงั นนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื  −∞ , 4 ∪ ( 4, ∞ ) ด  3  6) วธิ ีที่ 1 จากอสมการ 3x + 4 ≤ x + 2 เนื่องจาก 3x + 4 ≥ 0 ดังนัน้ x + 2 ≥ 0 หรือ x ≥ − 2 จะได −( x + 2) ≤ 3x + 4 ≤ x + 2 ดังนน้ั −x − 2 ≤ 3x + 4 และ 3x + 4 ≤ x+2 −2 −4x ≤ 6 และ 2x ≤ x ≥ − 3 และ x ≤ −1 2 จะได − 3 ≤ x ≤ −1 2 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 3 , −1   2  วิธีที่ 2 จากบทนิยามของคา สัมบรู ณ กรณที ่ี 1 3x + 4 ≥ 0 นนั่ คือ x≥−4 จะได 3x + 4 ≤ 3 x+2 2x ≤ −2 x ≤ −1 ดังน้ัน คา x ท่สี อดคลอง คือ − 4 ≤ x ≤ −1 3 กรณที ี่ 2 3x + 4 < 0 นัน่ คอื x<−4 จะได −(3x + 4) ≤ 3 x+2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

396 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 −4x ≤ 6 x ≥ −3 2 ดงั นนั้ คา x ทีส่ อดคลอง คือ − 3 ≤ x < − 4 23 ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื  − 3 , − 4  ∪ − 4, − 1   2 3  3  หรือ  − 3 , − 1   2  7) วิธที ี่ 1 จากอสมการ 2x +1 < 3x + 2 เนือ่ งจาก 2x +1 ≥ 0 ดังนั้น 3x + 2 > 0 หรือ x > − 2 3 จะได −(3x + 2) < 2x +1 < 3x + 2 ดงั นั้น −3x − 2 < 2x +1 และ 2x +1 < 3x + 2 −5x < 3 และ −x < 1 x > − 3 และ x > −1 5 จะได x > − 3 5 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  − 3, ∞   5  วธิ ที ่ี 2 จากบทนยิ ามของคา สัมบรู ณ กรณที ่ี 1 2x +1 ≥ 0 นัน่ คือ x ≥ − 1 2 จะได 2x +1 < 3x + 2 −x < 1 x > −1 ดังน้นั คา x ท่สี อดคลอง คือ x ≥ − 1 และ x > −1 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 397 นัน่ คือ x≥−1 หรอื − 1 , ∞  2 2  กรณีที่ 2 2x +1 < 0 น่นั คอื x < − 1 2 จะได −(2x +1) < 3x + 2 −2x −1 < 3x + 2 −5x < 3 x > −3 5 ดังนั้น คา x ท่ีสอดคลอง คือ x < − 1 และ x > − 3 25 น่นั คือ −3 < x<−1 หรอื  − 3 , − 1  52  5 2  ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ − 1 , ∞  ∪  − 3 , − 1  2   5 2  หรอื  − 3, ∞   5  8) วิธที ี่ 1 จากอสมการ x +1 > x−3 เนอ่ื งจาก x +1 ≥ 0 ทกุ จาํ นวนจริง x ดงั น้นั x − 3 ≥ 0 หรอื x − 3 < 0 กรณที ี่ 1 x − 3 ≥ 0 นนั่ คอื x ≥ 3 จะได x +1 ≥ x − 3 หรือ −( x +1) ≥ x − 3 น่ันคือ 1 ≥ −3 หรอื x ≤1 จะได คา x ท่สี อดคลองกับอสมการ คือ x ∈  หรือ x ≤ 1 แตเน่ืองจาก x ≥ 3 ดังน้นั คา x ทีส่ อดคลองกับอสมการ คือ x ≥ 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

398 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 กรณีท่ี 2 x − 3 < 0 นนั่ คือ x < 3 ดงั นน้ั คา x ทส่ี อดคลองกับอสมการ คอื x < 3 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 3 ) ∪ [ 3, ∞ ) หรือ  วธิ ที ่ี 2 จากบทนิยามของคา สมั บูรณ กรณีท่ี 1 x +1 ≥ 0 นน่ั คือ x ≥ −1 จะได x +1 > x − 3 1 > −3 ดงั นั้น คา x ทสี่ อดคลอง คือ x ≥ −1 และ x ∈  กรณที ่ี 2 นนั่ คือ x ≥ −1 หรอื [−1,∞) x +1 < 0 นั่นคอื x < −1 จะได −( x +1) > x − 3 −x −1 > x −3 −2x > −2 x< 1 ดงั น้ัน คา x ทส่ี อดคลอง คือ x < −1 และ x < 1 นน่ั คือ x < −1 หรือ (−∞,−1) ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, −1 ) ∪ [ −1, ∞ ) หรอื  9) เน่ืองจาก x ≥ 0 และ x −1 ≥ 0 สําหรบั ทกุ คา x ∈  จะได x2 ≥ x −1 2 x2 ≥ ( x −1)2 x2 ≥ x2 − 2x +1 2x ≥ 1 x≥ 1 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 399 ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ  1 , ∞   2  10) เนื่องจาก x + 2 ≥ 0 และ x + 3 ≥ 0 สาํ หรับทกุ คา x ∈  จะได 4 x + 2 2 < x + 3 2 4( x + 2)2 < ( x + 3)2 ( )4 x2 + 4x + 4 < x2 + 6x + 9 4x2 + 16x + 16 < x2 + 6x + 9 3x2 +10x + 7 < 0 (3x + 7)( x +1) < 0 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − 7 , − 1  3 11) เนื่องจาก x − 2 ≥ 0 และ x + 6 ≥ 0 สาํ หรับทุกคา x ∈  จะได 9 x − 2 2 ≤ x + 6 2 9(x − 2)2 ≤ (x + 6)2 ( )9 x2 − 4x + 4 ≤ x2 +12x + 36 9x2 − 36x + 36 ≤ x2 +12x + 36 8x2 − 48x ≤ 0 8x(x − 6) ≤ 0 ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื [ 0, 6 ] 12) เนื่องจาก 2x −1 ≥ 0 และ x +1 ≥ 0 สําหรับทุกคา x ∈  จะได 4 2x −1 2 > 9 x +1 2 4(2x −1)2 > 9( x +1)2 4(4x2 − 4x +1) > 9( x2 + 2x +1) 16x2 −16x + 4 > 9x2 + 18x + 9 7x2 − 34x − 5 > 0 (7x +1)( x − 5) > 0 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

400 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ  −∞ , − 1  ∪ ( 5, ∞ )  7  13) จากโจทย ทราบวา x ≠ − 4 จาก x >2 x+4 จะได x > 2 x+4 เมอ่ื x ≠ − 4 x 2 > (2 x + 4 )2 x2 > 2( x + 4)2 x2 − 2( x + 4)2 > 0 x − 2( x + 4) x + 2( x + 4) > 0 (−x −8)(3x + 8) > 0 (x + 8)(3x + 8) < 0 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื  − 8, −8  − { − 4 } หรือ  3  ( − 8, − 4) ∪  − 4, − 8   3  14) จากโจทย ทราบวา x ≠ 0 จาก x − 4 ≤ 3 x จะได x − 4 2 ≤ 9 x  x − 4 2 ≤ 9  x   x2 − 4 2 ≤ 9    x  ( x2 − 4)2 ≤9 x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 401 ( )x2 − 4 2 ≤ 9x2 เมื่อ x ≠ 0 ( x2 − 4)2 ≤ (3x)2 ( x2 − 4)2 − (3x)2 ≤ 0 ( x2 − 4) − 3x ( x2 − 4) + 3x ≤ 0 ( x − 4)( x +1)( x + 4)( x −1) ≤ 0 ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คือ [ − 4, −1] ∪ [1, 4 ] 15) จากโจทย ทราบวา x ≠ 1 จาก x +1 < 1 x −1 x +1 < x −1 เมือ่ x ≠ 1 x +1 2 < x −1 2 ( x +1)2 < ( x −1)2 ( x +1)2 − ( x −1)2 < 0 ( x +1) − ( x −1) ( x +1) + ( x −1) < 0 2(2x) < 0 x<0 ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 0 ) 16) จากโจทย ทราบวา x ≠ 2 จาก x > 2 x−2 x > 2 x−2 เมอ่ื x ≠ 2 x 2 > 4 x−2 2 x2 > 4( x − 2)2 x2 > 2( x − 2)2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

402 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 x2 − 2( x − 2)2 > 0 x − 2( x − 2) x + 2( x − 2) > 0 (−x + 4)(3x − 4) > 0 (x − 4)(3x − 4) < 0 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  4, 2  ∪ ( 2, 4 )  3  2. จากโจทย ให C แทนอุณหภูมบิ นพืน้ ผวิ ดาวองั คารในหนว ยองศาเซลเซียส ซง่ึ เปน ไปตามอสมการ นนั่ คอื C + 84 ≤ 56 −56 ≤ C + 84 ≤ 56 −56 − 84 ≤ C ≤ 56 − 84 −140 ≤ C ≤ −28 ดงั นนั้ อุณหภูมิบนพ้ืนผิวของดาวอังคารท่ีเปน ไปได คือ ตั้งแต −140 ถึง −28 องศาเซลเซียส 3. จากโจทย ให x แทนจํานวนคร้ังที่เกดิ หวั ในการโยนเหรยี ญ ซง่ึ เปนไปตามอสมการ x − 50 ≥ 1.645 5 จะได x − 50 ≥ 1.645 5 x − 50 ≥ 8.225 จะได x − 50 ≤ −8.225 หรือ x − 50 ≥ 8.225 8.225 + 50 x ≤ 50 − 8.225 หรอื x≥ 58.225 x ≤ 41.775 หรอื x≥ ดงั นน้ั คา x ทส่ี อดคลองกับอสมการ คอื x ≤ 41.775 หรอื x ≥ 58.225 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 403 เน่อื งจาก x ∈{ 0, 1, 2, 3, ... , 100} ดังน้นั คา ของ x ทท่ี าํ ใหเหรยี ญไมเ ที่ยงตรง คือ 0 ≤ x ≤ 41 หรอื 59 ≤ x ≤ 100 แบบฝก หัดทา ยบท 1. 1) เปนเท็จ เชน เมอ่ื a = − 2 จะได a−1 = − 1 2 จะเห็นวา a < 1 แต a−1 >/ 1 2) เปน เท็จ เชน เม่ือ a = 1 และ b = − 2 จะได a2 = 1 และ b2 = 4 จะเห็นวา a2 < b2 แต a </ b 3) เปน เทจ็ เชน เม่อื a = −1 และ b = − 2 จะได ab = 2 จะเห็นวา ab > 1 , a < 1 แต b >/ 1ด 2. จาก x2 + 4x + 5 = ( x + a)2 + b2 จะได ( )x2 + 4x + 5 = x2 + 2ax + a2 + b2 ( )x2 + 4x + 5 = x2 + 2ax + a2 + b2 นั่นคอื 2a = 4 และ a2 + b2 =5 เนอื่ งจาก b > 0 จะได a = 2 และ b = 1 3. 1) จาก p( x) = x3 − x2 + 3x − 4 และ q( x)= x −1 ใชก ารหารยาวดังนี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

404 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 x2 + 3 x −1 x3 − x2 + 3x − 4 x3 − x2 3x − 4 3x − 3 −1 จะได ( )x3 − x2 + 3x − 4 = ( x −1) x2 + 3 −1 ดังนนั้ ผลหาร คือ x2 + 3 และเศษเหลอื คือ −1 2) จาก p ( x)= 4x3 + 2x2 − x + 6 และ q( x=) 2x +1 ใชก ารหารยาวดังน้ี 2x2 − 1 2 2x +1 4x3 + 2x2 − x + 6 4x3 + 2x2 −x+6 −x − 1 2 13 2 จะได 4x3 + 2x2 − x + 6= ( 2 x + 1)  2 x2 −1  + 13  2  2 ดงั นน้ั ผลหาร คือ 2x2 − 1 และเศษเหลอื คือ 13 22 3) จาก p( x) = x5 + 2x3 + 5x + 6 เขียนใหมไดเ ปน p( x) =x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 + 5x + 6 และ q( x=) x2 − 2 ใชการหารยาวดงั น้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 405 x3 + 4x x2 − 2 x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 + 5x + 6 x5 − 2x3 4x3 + 0x2 + 5x + 6 4x3 − 8x 13x + 6 จะได x5 + 2x3 + 5x + 6= ( x2 − 2)( x3 + 4x) + (13x + 6) ดังนั้น ผลหาร คอื x3 + 4x และเศษเหลือ คอื 13x + 6 4) จาก p(x) = x4 − 3x − 4 เขียนใหมไดเ ปน p( x) = x4 + 0x3 + 0x2 − 3x − 4 และ q(=x) 2x2 + 3 ใชก ารหารยาวดังน้ี 1 x2 − 3 24 2x2 + 3 x4 + 0x3 + 0 x2 − 3x − 4 x4 + 3 x2 2 − 3 x2 − 3x − 4 2 − 3 x2 −9 2 4 −3x − 7 4 จะได ( )x4 − 3x −=4  1 x2 3   7 2x2 +3  2 − 4  +  −3x − 4  ดังนัน้ ผลหาร คือ 1 x2 − 3 และเศษเหลอื คือ −3x − 7 4 24 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

406 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 5) จาก p(x) = 2x7 − 2x4 + 3 เขยี นใหมไดเปน p( x) = 2x7 + 0x6 + 0x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3 และ q( x)= x −1 ใชก ารหารยาวดงั น้ี 2x6 + 2x5 + 2x4 x −1 2x7 + 0x6 + 0x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3 2x7 − 2x6 2x6 + 0x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3 2x6 − 2x5 2x5 − 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 3 2x5 − 2x4 3 จะได 2x7 − 2x4 + 3= ( )( x −1) 2x6 + 2x5 + 2x4 + 3 ดังน้นั ผลหาร คอื 2x6 + 2x5 + 2x4 และเศษเหลือ คือ 3 6) จาก p ( x) =x9 − 3x4 + 2 เขียนใหมไดเ ปน p( x) =x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 − 3x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 2 และ q( x=) x4 + 2x ใชการหารยาวดังนี้ x5 − 2x2 − 3 x4 + 2x x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 − 3x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 2 x9 + 2x6 − 2x6 + 0x5 − 3x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 2 −2 x 6 − 4x3 − 3x4 + 4x3 + 0x2 + 0x + 2 − 3x4 − 6x 4x3 + 6x + 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 407 จะได x9 − 3x4 + 2= ( x4 + 2x)( x5 − 2x2 − 3) + (4x3 + 6x + 2) ดงั น้ัน ผลหาร คอื x5 − 2x2 − 3 และเศษเหลือ คือ 4x3 + 6x + 2 7) จาก p ( x) = x10 − 2x +1 เขยี นใหมไดเปน p ( x) = x10 + 0x9 + 0x8 + +0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1 และ q( x=) x2 −1 ใชการหารยาวดังน้ี x8 + x6 + x4 + x2 + 1 x2 −1 x10 + 0x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x + 1 x10 − x8 x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1 x8 − x6 x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1 x6 − x4 x4 + 0x3 + 0x2 − 2x +1 x4 − x2 x2 − 2x +1 x2 −1 −2x + 2 จะได ( )( )x10 − 2x +1= x2 −1 x8 + x6 + x4 + x2 +1 + (−2x + 2) ดังน้นั ผลหาร คือ x8 + x6 + x4 + x2 +1 และเศษเหลือ คอื −2x + 2 8) จาก p ( x) =3 − 3x10 − x2 เขยี นใหมไดเ ปน p ( x) =− 3x10 + 0x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3 และ q( x=) x3 +1 ใชการหารยาวดังนี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

408 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 −3x7 + 3x4 − 3x x3 + 1 −3x10 + 0x9 + 0x8 + 0x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3 −3x10 − 3x7 3x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3 3x7 + 3x4 − 3x4 + 0x3 − x2 + 0x + 3 −3x4 − 3x −x2 + 3x + 3 จะได 3 − 3x10 − x=2 ( x3 +1)(−3x7 + 3x4 − 3x) + (−x2 + 3x + 3) ดงั นน้ั ผลหาร คอื −3x7 + 3x4 − 3x และเศษเหลอื คือ −x2 + 3x + 3 9) จาก p ( x) = x10 − 6x7 + 2x6 − 8x3 เขยี นใหมไดเ ปน p ( x) = x10 + 0x9 + 0x8 − 6x7 + 2x6 + 0x5 + 0x4 − 8x3 + 0x2 + 0x + 0 และ q( x) = x6 + x3 −1 ใชก ารหารยาวดังนี้ x4 − 7x + 2 x6 + x3 −1 x10 + 0x9 + 0x8 − 6x7 + 2x6 + 0x5 + 0x4 − 8x3 + 0x2 + 0x + 0 x10 + x7 − x4 − 7x7 + 2x6 + 0x5 + x4 − 8x3 + 0x2 + 0x + 0 −7 x7 − 7x4 + 7x 2x6 + 0x5 + 8x4 − 8x3 + 0x2 − 7x + 0 2x6 + 2x3 −2 8x4 −10x3 −7x + 2 ( )( ) ( )จะได x10 − 6x7 + 2x6 − 8x3 = x6 + x3 −1 x4 − 7x + 2 + 8x4 −10x3 − 7x + 2 ดงั น้ัน ผลหาร คอื x4 − 7x + 2 และเศษเหลอื คือ 8x4 −10x3 − 7x + 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 409 4. 1) ให p( x) = x3 − 3x +15 และ q( x)= x + 3 จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมื่อหาร p(x) ดว ย q(x) จะไดเศษเหลอื คือ p(−3) โดยที่ p(−3) = (−3)3 − 3(−3) +15 = −27 + 9 +15 = −3 ดังนั้น เศษเหลือ คือ −3 2) ให p ( x) = x15 − 3x12 + 7 และ q ( x)= x −1 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดว ย q(x) จะไดเ ศษเหลือ คือ p(1) โดยที่ p (1) = (1)15 − 3(1)12 + 7 = 1−3+7 =5 ดงั นัน้ เศษเหลอื คอื 5 3) ให p ( x) = x6 − x4 −125x3 + 25x2 + 75 และ q ( x)= x − 5 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p(x) ดวย q(x) จะไดเ ศษเหลอื คือ p(5) โดยที่ p(5) = (5)6 − (5)4 −125(5)3 + 25(5)2 + 75 = 56 − 54 − 5353 + 5252 + 75 = 56 − 54 − 56 + 54 + 75 = 75 ดงั นน้ั เศษเหลอื คอื 75 4) ให p ( x)= x100 + 8x97 + x2 − x + 5 และ q ( x)= x + 2 จากทฤษฎีบทเศษเหลอื เมื่อหาร p(x) ดวย q(x) จะไดเศษเหลือ คือ p(−2) โดยท่ี p (−2) = (−2)100 + 8(−2)97 + (−2)2 − (−2) + 5 = 2100 − 2100 + 4 + 2 + 5 = 11 ดงั นั้น เศษเหลือ คอื 11 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

410 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 5) ให p( x) = x6 + ax5 − 2 และ q( x)= x + a เมอื่ a เปนจาํ นวนจรงิ จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เมื่อหาร p(x) ดวย q(x) จะไดเศษเหลือ คือ p(−a) โดยที่ p(−a) = (−a)6 + a(−a)5 − 2 = a6 − a6 − 2 = −2 ดงั นนั้ เศษเหลือ คอื −2 6) ให p( x)= 4x3 + x − 2 และ q( x)= x − 1 2 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p( x) ดว ย q( x) จะไดเศษเหลือ คือ p  1   2  โดยที่ p  1  = 4  1 3 + 1 − 2  2   2  2 = 1+1−2 22 = −1 ดงั น้นั เศษเหลอื คือ −1 5. ใหผลหารและเศษเหลือจากการหารพหนุ าม p(x) ดว ย x2 −1 คือ q(x) และ 2x +13 ตามลาํ ดับ นนั่ คือ p( x) = ( x2 −1)q( x) + (2x +13) จะได p(1) = (1)2 −1 q( x) + 2(1) +13 = 0 + (2 +13) = 15 6. ใหผ ลหารและเศษเหลือจากการหารพหนุ าม p(x) ดว ย x2 − 5x + 6 คอื q(x) และ 7x − 8 ตามลาํ ดับ น่นั คอื p(x) = (x2 − 5x + 6)q(x) + (7x −8) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 411 จะได p(2) = (2)2 − 5(2) + 6 q( x) + 7(2) − 8 = (4 −10 + 6) q( x) + (14 − 8) =6 และ p(3) = (3)2 − 5(3) + 6 q( x) + 7(3) − 8 = (9 −15 + 6) q( x) + (21− 8) = 13 ดงั น้นั p(2) − p(3) = 6 −13 = − 7 7. 1) ให p( x=) x3 − 3 และ q( x)= x − m เน่ืองจาก q(x) หาร p(x) เหลอื เศษ 5 จะได p(m) = 5 นั่นคือ m3 − 3 = 5 m3 = 8 ดงั น้นั m = 2 2) ให p(a) = a3 − 3a2b + b3 + m และ q(a)= a − b เนือ่ งจาก q(a) หาร p(a) ลงตวั จะได p(b) = 0 นั่นคือ b3 − 3b2b + b3 + m = 0 ดงั นนั้ b3 − 3b3 + b3 + m = 0 −b3 + m = 0 m = b3 จ8. ให p( x) = x3 − 3yx2 + y3 + a และ q( x)= x − y เนื่องจาก q(x) เปน ตัวประกอบของ p(x) จะได p( y) = 0 นัน่ คอื ( )y3 − 3y y2 + y3 + a = 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

412 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 −y3 + a = 0 ดงั น้นั a = y3 9. 1) ให p ( x) =x3 + 6x2 +11x + 6 ก เนอ่ื งจากจาํ นวนเต็มท่ีหาร 6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6 พิจารณา p(−1) p (−1) =(−1)3 + 6(−1)2 +11(−1) + 6 =0 จะเห็นวา p(−1) =0 ดังนั้น x +1 เปนตวั ประกอบของ x3 + 6x2 +11x + 6 นํา x +1 ไปหาร x3 + 6x2 +11x + 6 ไดผลหารเปน x2 + 5x + 6 ดงั นน้ั x3 + 6x2 +11x + 6 = ( x +1)( x2 + 5x + 6) = ( x +1)( x + 2)( x + 3) 2) ให p ( x) = x3 − 2x2 + 4x − 8 เนอื่ งจากจํานวนเต็มท่หี าร −8 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4, ± 8 พิจารณา p(2) p (2=) (2)3 − 2(2)2 + 4(2) − 8= 0 จะเหน็ วา p(2) = 0 ดังนนั้ x − 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − 2x2 + 4x − 8 นํา x − 2 ไปหาร x3 − 2x2 + 4x − 8 ไดผลหารเปน x2 + 4 ดงั นั้น ( )x3 − 2x2 + 4x − 8 = ( x − 2) x2 + 4 3) ให p ( x) = x3 + 5x2 + 2x −12 ก เน่ืองจากจาํ นวนเต็มที่หาร −12 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12 พิจารณา p(−3) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 413 p (−3) =(−3)3 + 5(−3)2 + 2(−3) −12 =0 จะเหน็ วา p(−3) =0 ดังนนั้ x + 3 เปน ตวั ประกอบของ x3 + 5x2 + 2x −12 นํา x + 3 ไปหาร x3 + 5x2 + 2x −12 ไดผลหารเปน x2 + 2x − 4 ดังนนั้ ( )x3 + 5x2 + 2x −12 = ( x + 3) x2 + 2x − 4 ( ) ( )=   ( x + 3) x − −1+ 5   x − −1 − 5   ( )( )= ( x + 3) x +1− 5 x +1+ 5 4) ให p ( x) = x4 − x3 − 4x2 − 2x −12 เนอ่ื งจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร −12 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12 พิจารณา p(−2) p (−2) =(−2)4 − (−2)3 − 4(−2)2 − 2(−2) −12 =0 จะเหน็ วา p(−2) =0 ดังนนั้ x + 2 เปน ตัวประกอบของ x4 − x3 − 4x2 − 2x −12 นาํ x + 2 ไปหาร x4 − x3 − 4x2 − 2x −12 ไดผลหารเปน x3 − 3x2 + 2x − 6 ดังนนั้ x4 − x3 − 4x2 − 2x −12 = ( x + 2)( x3 − 3x2 + 2x − 6) = ( x + 2) ( x3 − 3x2 ) + (2x − 6) = ( x + 2) x2 ( x − 3) + 2( x − 3) = ( x + 2)( x − 3)(x2 + 2) 5) ให p ( x) =x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 ก เน่ืองจากจาํ นวนเต็มที่หาร 16 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 4, ± 8, ±16 พจิ ารณา p(2) p (2)= (2)4 − 8(2)3 + 24(2)2 − 32(2) +16= 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

414 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จะเห็นวา p(2) = 0 ดังนั้น x − 2 เปน ตวั ประกอบของ x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 นาํ x − 2 ไปหาร x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 ไดผลหารเปน x3 − 6x2 +12x − 8 ดังนนั้ ( )x4 − 8x3 + 24x2 − 32x +16 = ( x − 2) x3 − 6x2 +12x − 8 ให q ( x) =x3 − 6x2 +12x − 8 เน่ืองจากจํานวนเต็มทหี่ าร −8 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 4, ± 8 พจิ ารณา q(2) q (2=) (2)3 − 6(2)2 +12(2) − 8= 0 จะเหน็ วา q(2) = 0 ดงั นน้ั x − 2 เปน ตวั ประกอบของ x3 − 6x2 +12x − 8 นาํ x − 2 ไปหาร x3 − 6x2 +12x − 8 ไดผลหารเปน x2 − 4x + 4 จะได ( )x3 − 6x2 +12x − 8 = ( x − 2) x2 − 4x + 4 = (x − 2)(x2 − 4x + 4) = ( x − 2)( x − 2)2 ดงั นน้ั = ( x − 2)3 x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = ( x − 2)( x − 2)3 = ( x − 2)4 6) ให p ( x) = 4x3 + 5x2 + 5x +1 เนอ่ื งจากจํานวนเต็มที่หาร 1 ลงตวั คอื ±1 และจาํ นวนเตม็ ท่หี าร 4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4 พจิ ารณา p  − 1   4  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 415  1   1 3  1  2 5 1   4   4   4  4  p − = 4 − + 5 − + − + 1 = 0 จะเห็นวา p  − 1  =0  4  ดงั น้ัน x + 1 เปนตัวประกอบของ 4x3 + 5x2 + 5x +1 4 นาํ x + 1 ไปหาร 4x3 + 5x2 + 5x +1 ไดผ ลหารเปน 4x2 + 4x + 4 4 ดังนั้น ( )4x3 + 5x2 + 5x +1  1  =  x + 4  4x2 + 4x + 4 = 4  x + 1  ( x2 + x + 1) 4 = (4x +1)( x2 + x +1) 7) วิธที ี่ 1 ให p( x) = 2x3 − x2 + 6x − 3 เนอ่ื งจากจาํ นวนเต็มทหี่ าร −3 ลงตวั คือ ±1, ± 3 และจาํ นวนเต็มท่ีหาร 2 ลงตัว คือ ±1, ± 2 พจิ ารณา p  1   2  p =12  2  1 3 −  1 2 + 6  1 =− 3 0  2   2   2 จะเหน็ วา p  1  = 0  2  ดังนั้น x − 1 เปน ตวั ประกอบของ 2x3 − x2 + 6x − 3 2 นาํ x − 1 ไปหาร 2x3 − x2 + 6x − 3 ไดผลหารเปน 2x2 + 6 2 ดงั นัน้ ( )2x3 − x2 + 6x − 3 =  1   x − 2  2x2 +6 =  x − 1  ( 2) ( x2 + 3)  2  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

416 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 = (2x −1)( x2 + 3) วิธีท่ี 2 2x3 − x2 + 6x − 3 = (2x3 − x2 ) + (6x − 3) = x2 (2x −1) + 3(2x −1) = (2x −1)( x2 + 3) ก 8) ให p ( x) = 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 เนอ่ื งจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร 1 ลงตวั คือ ±1 และจํานวนเต็มท่ีหาร 4 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 4 พิจารณา p(1) p (=1) 4(1)4 − 4(1)3 − 3(1)2 + 2(1) +=1 0 จะเหน็ วา p(1) = 0 ดงั นน้ั x −1 เปน ตวั ประกอบของ 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 นํา x −1 ไปหาร 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 ไดผลหารเปน 4x3 − 3x −1 ดังนน้ั ( )4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 = ( x −1) 4x3 − 3x −1 ให q( x) = 4x3 − 3x −1 เนื่องจากจํานวนเต็มท่หี าร −1 ลงตวั คือ ±1 และจํานวนเต็มทหี่ าร 4 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4 พิจารณา q(1) q (=1) 4(1)3 − 3(1) −=1 0 จะเห็นวา q(1) = 0 ดังน้นั x −1 เปน ตัวประกอบของ 4x3 − 3x −1 นาํ x −1 ไปหาร 4x3 − 3x −1 ไดผ ลหารเปน 4x2 + 4x +1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 417 จะได 4x3 − 3x −1 = ( x −1)(4x2 + 4x +1) = ( x −1)(2x +1)2 ดงั น้นั 4x4 − 4x3 − 3x2 + 2x +1 = ( x −1)2 (2x +1)2 9) ให p ( x) = 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 เน่ืองจากจาํ นวนเต็มท่ีหาร 30 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ±10, ±15, ± 30 และจํานวนเตม็ ท่หี าร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2 พจิ ารณา p(1) p (1)= 2(1)4 + 9(1)3 −12(1)2 − 29(1) + 30= 0 จะเหน็ วา p(1) = 0 ดังนนั้ x −1 เปนตัวประกอบของ 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 นาํ x −1 ไปหาร 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 ไดผลหารเปน 2x3 +11x2 − x − 30 ดงั น้นั 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 = ( x −1)(2x3 +11x2 − x − 30) ให q ( x)= 2x3 +11x2 − x − 30 เน่ืองจากจํานวนเต็มทหี่ าร −30 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ±10, ±15, ± 30 และจํานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ ±1, ± 2 พจิ ารณา q(−2) q (−2) = 2(−2)3 +11(−2)2 − (−2) − 30 = 0 จะเห็นวา q(−2) =0 ดังนั้น x + 2 เปนตวั ประกอบของ 2x3 +11x2 − x − 30 นํา x + 2 ไปหาร 2x3 +11x2 − x − 30 ไดผลหารเปน 2x2 + 7x −15 จะได ( )2x3 +11x2 − x − 30 = ( x + 2) 2x2 + 7x −15 = ( x + 2)(2x − 3)( x + 5) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

418 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ดังนน้ั 2x4 + 9x3 −12x2 − 29x + 30 = ( x −1)( x + 2)(2x − 3)( x + 5) 10) ให p ( x) = จ2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 เนอื่ งจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร −2 ลงตวั คือ ±1, ± 2 และจํานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ ±1, ± 2 พิจารณา p(−2) p (−2) =2(−2)4 − 3(−2)3 − 9(−2)2 + 9(−2) − 2 =0 จะเห็นวา p(−2) =0 ดงั นนั้ x + 2 เปน ตวั ประกอบของ 2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 นาํ x + 2 ไปหาร 2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 ไดผ ลหารเปน 2x3 − 7x2 + 5x −1 ดังนั้น ( )2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 = ( x + 2) 2x3 − 7x2 + 5x −1 ให q ( x) = 2x3 − 7x2 + 5x −1 เนอื่ งจากจาํ นวนเต็มทหี่ าร −1 ลงตัว คือ ±1 และจาํ นวนเตม็ ทห่ี าร 2 ลงตวั คอื ±1, ± 2 พจิ ารณา q  1   2  q =12  2  1 3 − 7  1 2 + 5 1 =− 1 0 2   2  2 จะเห็นวา q  1  = 0  2  ดังนัน้ x − 1 เปน ตัวประกอบของ 2x3 − 7x2 + 5x −1 2 นาํ x − 1 ไปหาร 2x3 − 7x2 + 5x −1 ไดผลหารเปน 2x2 − 6x + 2 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 419 จะได ( )2x3 − 7x2 + 5x −1 = 1   x − 2  2x2 − 6x + 2 = 2  x − 1  ( x2 − 3x + 1) 2  = (2 x − 1)  x −  3 − 5   x −  3 + 5    2    2    จะได 2x4 − 3x3 − 9x2 + 9x − 2 = ( x + 2)(2 x − 1)  x −  3 − 5   x −  3 + 5    2    2    10. 1) จาก x2 − 2x − 4 =0 จะได x = 1± 5 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ {1− 5 , 1+ 5 } จ 2) เนอ่ื งจาก x3 −13x +12 = ( x −1)( x2 + x −12) = ( x −1)( x − 3)( x + 4) จะได ( x −1)( x − 3)( x + 4) =0 ดังนั้น x −1 =0 หรอื x − 3 =0 หรือ x + 4 =0 จะได x = 1 หรอื x = 3 หรือ x = − 4 ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 4, 1, 3} 3) เนอ่ื งจาก x3 + 5x2 − 2x − 24 = ( x − 2)( x2 + 7x +12) = ( x − 2)( x + 3)( x + 4) จะได ( x − 2)( x + 3)( x + 4) =0 ดงั น้นั x − 2 =0 หรือ x + 3 =0 หรอื x + 4 =0 จะได x = 2 หรือ x = − 3 หรือ x = − 4 ดังน้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ { − 4, − 3, 2} จ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

420 คูม อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 4) จดั รูปสมการใหมไดเปน x3 + 2x2 − 4x − 8 =0 เนอื่ งจาก ( )x3 + 2x2 − 4x − 8 = ( x − 2) x2 + 4x + 4 = ( x − 2)( x + 2)2 จะได ( x − 2)( x + 2)2 =0 ดังน้ัน x − 2 =0 หรอื x + 2 =0 จะได x = 2 หรือ x = − 2 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 2} 5) เนื่องจาก x3 − x2 − 8x +12 = ( x − 2)( x2 + x − 6) = ( x − 2)( x − 2)( x + 3) = ( x − 2)2 ( x + 3) จะได ( x − 2)2 ( x + 3) =0 ดังนน้ั x − 2 =0 หรือ x + 3 =0 จะได x = 2 หรอื x = − 3 ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คอื { − 3, 2}จ 6) เน่ืองจาก x3 − 2x +1 = ( x −1)( x2 + x −1) จะได ( x −1)( x2 + x −1) =0 ดงั นนั้ x −1 =0 หรอื x2 + x −1 =0 จะได x = 1 หรอื x = −1+ 5 หรือ x = −1− 5 22 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คอื  1, −1 + 5 , −1− 5   2 2    7) จดั รปู สมการใหมไดเ ปน x3 − x2 − x − 2 =0 เนอื่ งจาก x3 − x2 − x − 2 = ( x − 2)( x2 + x +1) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 421 จะได ( x − 2)( x2 + x +1) =0 ดงั นนั้ x − 2 =0 หรอื x2 + x +1 =0 ถา x − 2 =0 จะได x = 2 ถา x2 + x +1 =0 และเนื่องจาก (1)2 − 4(1)(1) =− 3 จะไดว า ไมมจี ํานวนจรงิ ทเ่ี ปนคาํ ตอบของสมการนี้ ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คือ { 2} จ 8) เนอ่ื งจาก 4x3 − 4x2 − 7x − 2 = ( x − 2)(4x2 + 4x +1) = ( x − 2)(2x +1)2 จะได ( x − 2)(2x +1)2 =0 ดังนั้น x − 2 =0 หรือ 2x +1 =0 จะได x = 2 หรอื x = − 1 2 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 1 , 2   2    9) จดั รูปสมการใหมไดเ ปน 6x3 −11x2 + 6x −1 =0 เนือ่ งจาก 6x3 −11x2 + 6x −1 = ( x −1)(6x2 − 5x +1) = ( x −1)(3x −1)(2x −1) จะได ( x −1)(3x −1)(2x −1) =0 ดังน้ัน x −1 =0 หรอื 3x −1 =0 หรือ 2x −1 =0 จะได x = 1 หรอื x = 1 หรอื x = 1 32 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  1, 1 , 1   3 2    สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

422 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 10) เนอื่ งจาก 2x4 − 7x3 + 9x2 − 7x + 2 = ( x − 2)(2x3 − 3x2 + 3x −1) = 2( x − 2 )  x − 1  ( x2 − x + 1) 2  จะได ( x − 2 )  x − 1  ( x2 − x + 1) =0 2  ดังนนั้ x − 2 =0 หรือ x − 1 =0 หรือ x2 + x +1 =0 2 ถา x − 2 =0 จะได x = 2 ถา x − 1 =0 จะได x = 1 22 ถา x2 + x +1 =0 และเนือ่ งจาก (1)2 − 4(1)(1) =− 3 จะไดว า ไมมีจาํ นวนจรงิ ทเี่ ปนคําตอบของสมการนี้ ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คอื  1, 2   2    11) จดั รปู สมการใหมไดเ ปน 4x4 + 8x3 + x2 − 3x −1 =0 เนอื่ งจาก ( )4 1 2 4x4 + 8x3 + x2 − 3x −=1  x + 2  x2 + x −1 จะได ( )4 1 2  x + 2  x2 + x −1 =0 ดังนน้ั x + 1 =0 หรือ x2 + x −1 =0 2 จะได x = − 1 หรือ x = −1+ 5 หรือ x = −1− 5 22 2 ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการ คอื  − 1, −1 + 5 , −1− 5   2 2 2    12) จดั รปู สมการใหมไดเปน 2x4 − 7x3 + 4x +1 =0 เนือ่ งจาก 2x4 − 7x3 + 4x + 1= 2 ( x − 1)  x + 1  ( x2 − 3x − 1)  2  สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 423 จะได 2( x − 1)  x + 1  ( x2 − 3x −1) =0 2 ดังนนั้ x −1 =0 หรอื x + 1 =0 หรือ x2 − 3x −1 =0 2 จะได x = 1 หรอื x = − 1 หรือ x = 3 ± 13 22 ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื  − 1 , 1, 3 + 13 , 3 − 13   2 2 2    11. 1) จาก 5x − 7 = A+B x −3 x +1 ( x − 3)( x +1) 5x − 7 = A( x +1) + B( x − 3) ( x − 3)( x +1) ( x − 3)( x +1) 5x − 7 = ( A + B) x + ( A − 3B) ( x − 3)( x +1) ( x − 3)( x +1) 5x − 7 = ( A + B) x + ( A − 3B) จะได A + B =5 และ A − 3B =− 7 ดังนน้ั A = 2 และ B = 3 2) จาก 3x3 + 2x − 4 = 3 + A + Bx + C x3 + 3x x x2 + 3 3x3 + 2x − 4 − 3 = A + Bx + C x3 + 3x = x x2 + 3 (3x3 + 2x − 4) − 3(x3 + 3x) A( x2 + 3) + ( Bx + C )( x) x(x2 + 3) x3 + 3x −7x − 4 = ( A + B) x2 + Cx + 3A x3 + 3x x3 + 3x −7x − 4 = ( A + B) x2 + Cx + 3A จะได A + B =0 และ C = − 7 และ 3A = − 4 ดังน้นั A = − 4 และ B = 4 และ C = − 7 33 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

424 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 3) จาก 2x2 − x + 5 = A+ B − C x3 + 4x2 − 5x x x −1 x +5 2x2 − x + 5 = A( x −1)( x + 5) + Bx( x + 5) − Cx( x −1) x3 + 4x2 − 5x x( x −1)( x + 5) 2x2 − x + 5 ( Ax2 + 4Ax − 5A) + ( Bx2 + 5Bx) − (Cx2 − Cx) = x3 + 4x2 − 5x x3 + 4x2 − 5x 2x2 − x + 5 = ( A + B − C) x2 + (4A + 5B + C) x − 5A x3 + 4x2 − 5x x3 + 4x2 − 5x 2x2 − x + 5 = ( A + B − C) x2 + (4A + 5B + C) x − 5A จะได A + B − C =2 และ 4A + 5B + C =−1 และ −5A =5 ดงั น้นั A = −1 และ B = 1 และ C = − 2 4) จาก Ax + B = 6+7 x2 − 5x + C x−3 x−2 Ax + B = 6( x − 2) + 7( x − 3) x2 − 5x + C (x − 3)(x − 2) Ax + B (6x −12) + (7x − 21) = x2 − 5x + C x2 − 5x + 6 Ax + B = 13x − 33 x2 − 5x + C x2 − 5x + 6 ( Ax + B)( x2 − 5x + 6) = (13x − 33)( x2 − 5x + C ) Ax3 − 5Ax2 + 6Ax + Bx2 − 5Bx + 6B = 13x3 − 65x2 + 13Cx − 33x2 +165x − 33C Ax3 − (5A − B) x2 + (6A − 5B −13C ) x + (6B + 33C ) = 13x3 − 98x2 +165x จะได A = 13 และ 5A − B =98 และ 6A − 5B −13C =165 และ 6B + 33C =0 ดงั น้นั A = 13 และ B = − 33 และ C = 6 12. 1) จาก x( x − 3)( x + 2) x( x − 3)( x − 2) = 0 (x + 2) = 0 เม่อื x ≠ 0 และ x ≠ 3 (x − 2) จะได x + 2 =0 และ x − 2 ≠ 0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี