(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 275 เนอื่ งจาก  ∃x P(x) เมื่อ U เปน เซตของสับเซตของเซตอนันต สมมลู กับ ∀x  P(x)  เมอ่ื U เปน เซตของสบั เซตของเซตอนนั ต จะไดวา ขอความ “ไมจ ริงที่วามสี บั เซตของเซตอนนั ตเ ปนเซตจาํ กัด” สมมูลกับ ขอ ความ “สับเซตของเซตอนันตเ ปนเซตอนนั ต” ดังนน้ั ขอ ความทีก่ าํ หนดใหส มมลู กบั ขอความในขอ (ข) 2. 1) นิเสธของ ∃x[x + 2 ≤ 0] เขียนแทนดว ย 0 ∃x[x + 2 ≤ 0] ซงึ่ สมมูลกับ ∀x[x + 2 > 0] ดังน้ัน นเิ สธของ ∃x[x + 2 ≤ 0] คอื ∀x[x + 2 > 0] 2) นิเสธของ ∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0] เขียนแทนดว ย 0 (∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0]) ซง่ึ สมมลู กบั 0(0 ∀x[x ≠ 0] ∨ ∃x[x > 0]) และสมมูลกบั ∀x[x ≠ 0] ∧ ∀x[x ≤ 0] ดังนน้ั นิเสธของ ∀x[x ≠ 0] → ∃x[x > 0] คอื ∀x[x ≠ 0] ∧ ∀x[x ≤ 0] 3) นิเสธของ ∀x x2 < 0 → x < 0 เขียนแทนดวย 0 ∀x x2 < 0 → x < 0 ซงึ่ สมมูลกบั (0∀x0 x2 < 0) ∨ x < 0 และสมมลู กับ ∃x x2 < 0 ∧ x ≥ 0 ดงั นน้ั นเิ สธของ ∀x x2 < 0 → x < 0 คอื ∃x x2 < 0 ∧ x ≥ 0 4) นเิ สธของ ∃x x > 2 ∨ ( x +1≥1) เขยี นแทนดว ย  ∃x x > 2 ∨ ( x +1≥1) ซงึ่ สมมลู กับ ∀x[x ≤ 2 ∧ x +1≥1] ดงั นั้น นเิ สธของ ∃x x > 2 ∨ ( x +1≥1) คือ ∀x[x ≤ 2 ∧ x +1≥1] 5) นิเสธของ ∃x P( x) ∧ Q( x) เขียนแทนดวย  ∃x P( x) ∧ Q( x) ซ่ึงสมมลู กับ ∀x  P( x) ∨Q( x) ดังนนั้ นิเสธของ ∃x P( x) ∧ Q( x) คือ ∀x  P( x) ∨Q( x) 6) ให P(x) แทน “ x เปน จํานวนจรงิ ” ขอ ความทก่ี ําหนดแทนดวยสัญลักษณ ∀x P(x), U = สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

276 คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 โดยท่นี เิ สธของ ∀x P( x), U = เขยี นแทนดว ย  ∀x P( x), U = ซึ่งสมมูลกับ ∃x  P( x), U = ดังน้นั นิเสธของขอความ “จาํ นวนตรรกยะทุกจํานวนเปน จํานวนจริง” คอื “มจี ํานวนตรรกยะบางจํานวนท่ไี มเ ปน จาํ นวนจรงิ ” 7) ให P(x) แทน x เปน จาํ นวนจรงิ ขอ ความทกี่ ําหนดแทนดวยสัญลกั ษณ ∃x P(x), U = โดยท่ีนเิ สธของ ∃x P( x), U = เขยี นแทนดว ย  ∃x P( x), U = ซง่ึ สมมลู กับ ∀x  P( x), U = ดงั นน้ั นิเสธของขอความ “จํานวนเตม็ บางจํานวนเปน จํานวนจริง” คอื “จํานวนเตม็ ทกุ จาํ นวนไมเปนจํานวนจรงิ ” 8) ให P( x) แทน x ≤ 0 Q( x) แทน x2 ≠ 0 ขอ ความทกี่ าํ หนดแทนดว ยสัญลกั ษณ ∃x P( x) ∧ ∃x Q( x) โดยท่นี เิ สธของ ∃x P( x) ∧ ∃x Q( x) เขียนแทนดว ย  (∃x P( x) ∧ ∃x Q( x)) ซ่งึ สมมูลกบั  ∃x P( x) ∨  ∃x Q( x) แสะสมมลู กบั ∀x  P( x) ∨ ∀x  Q( x) ดงั น้นั นเิ สธของขอความ “จํานวนจรงิ บางจํานวนนอยกวา หรอื เทา กับศนู ย และ มีจํานวนจริงบางจํานวน เมอ่ื ยกกาํ ลงั สองแลวไมเ ทา กับศูนย” คือ “จาํ นวนจริง ทกุ จํานวนมากกวา ศูนย หรอื จาํ นวนจรงิ ทกุ จาํ นวนเมื่อยกกําลงั สองแลว เทา กับศนู ย” สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 277 แบบฝก หัดทา ยบท 1. 1) ไมเ ปนประพจน 2) เปนประพจน ที่มีคาความจรงิ เปน จรงิ 3) เปนประพจน ท่มี คี าความจรงิ เปนจริง 4) เปน ประพจน ทมี่ คี า ความจริงเปนเทจ็ 5) ไมเ ปน ประพจน 6) เปนประพจน ทมี่ คี าความจริงเปนเท็จ 7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเปน ประพจน 9) เปน ประพจน ท่มี คี า ความจรงิ เปน จริง 10) เปนประพจน ท่ีมคี า ความจริงเปนจริง 2. 1) นิเสธของประพจน −20 + 5 > −17 คือ −20 + 5 ≤ −17 มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 2) นเิ สธของประพจน 37 ไมเปน จํานวนเฉพาะ คือ 37 เปนจํานวนเฉพาะ มคี า ความจรงิ เปนจริง 3) นเิ สธของประพจน 2 ∈ คอื 2 ∉ มคี าความจริงเปนจรงิ 4) นเิ สธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มีคาความจรงิ เปน เทจ็ 3. ตัวอยางคําตอบ • π ไมเ ปน จาํ นวนตรรกยะ • นดิ าและนัดดาเปนนักเรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 • รปู สี่เหล่ยี มอาจเปน รปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉากหรือรปู สี่เหลยี่ มดานขนานก็ได • ถา นํ้ามนั ดบิ ในตลาดโลกมีราคาสูงขน้ึ แลว รัฐบาลไทยจะตรงึ ราคาขายปลีกน้ํามนั ไว กอ นเพอ่ื ไมใหประชาชนตองเดอื ดรอ น • รูปสามเหล่ยี ม ABC เปนรปู สามเหล่ียมดา นเทา กต็ อเม่ือรปู สามเหลยี่ ม ABC มีดา นยาวเทากนั ทุกดาน 4. 1) วิธีที่ 1 จาก p เปน จรงิ และ q เปนจรงิ จะได p ∧ q เปนจรงิ จาก p ∧ q เปนจรงิ และ r เปนเทจ็ จะได ( p ∧ q) ∨ r เปนจรงิ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

278 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ดงั นั้น ( p ∧ q) ∨ r มคี าความจรงิ เปน จริง วธิ ที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ ดังนน้ั ( p ∧ q) ∨ r มคี าความจรงิ เปนจริง 2) วธิ ีที่ 1 จาก q เปน จรงิ จะได  q เปน เทจ็ จาก  q เปนเทจ็ และ r เปนเทจ็ จะได  q ∨ r เปนเท็จ จาก  q ∨ r เปนเทจ็ และ p เปน จรงิ จะได ( q ∨ r) ∧ p เปนเทจ็ ดังนั้น ( q ∨ r) ∧ p มีคาความจรงิ เปนเท็จ วธิ ที ี่ 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็ ดงั นนั้ ( q ∨ r) ∧ p มีคาความจริงเปนเท็จ 3) วธิ ที ่ี 1 จาก p เปน จริง จะได  p เปน เท็จ และจาก r เปนเทจ็ จะได r ↔ p เปนจริง ดังนัน้ r ↔ p มีคาความจรงิ เปน จริง วิธีที่ 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 279 ดงั นั้น r ↔ p มีคาความจรงิ เปน จริง 4) วิธีที่ 1 จาก p เปนจรงิ จะได  p เปนเท็จ จาก r เปนเท็จ จะได  r เปนจริง จะได  p∨  r เปน จริง ดงั นั้น  p∨  r มคี า ความจริงเปน จริง วิธที ี่ 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ ดังนนั้  p∨  r มีคาความจริงเปนจริง 5) วิธที ่ี 1 จาก p เปน จรงิ และ q เปนจรงิ จะได p ∧ q เปน จริง จาก q เปน จริง และ r เปน เทจ็ จะได q ∧ r เปนเทจ็ จาก p ∧ q เปน จรงิ และ q ∧ r เปน เทจ็ จะได ( p ∧ q) → (q ∧ r) เปน เท็จ ดังนัน้ ( p ∧ q) → (q ∧ r) มีคาความจรงิ เปน เท็จ วธิ ที ี่ 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 ดังน้ัน ( p ∧ q) → (q ∧ r) มีคา ความจรงิ เปนเท็จ 5. 1) ให p แทนประพจน “4 เปนจาํ นวนเฉพาะ” และ q แทนประพจน “4 เปน จํานวนคี่” ดงั นั้น ขอ ความ “ถา 4 เปนจํานวนเฉพาะ แลว 4 เปน จาํ นวนค”่ี แทนดวย p → q จาก p เปน เทจ็ จะได p → q เปน จริง ดังนน้ั ขอ ความ “ถา 4 เปน จาํ นวนเฉพาะ แลว 4 เปนจาํ นวนค”่ี มีคาความจริงเปนจริง 2) ให p แทนประพจน “ 3 ≥ 2 ” และ q แทนประพจน “ −2 ≥ −3 ” ดังนน้ั ขอ ความ “ 3 ≥ 2 และ −2 ≥ −3 ” แทนดวย p ∧ q จาก p เปน จริง และ q เปน จรงิ จะได p ∧ q เปน จริง ดังน้ัน ขอ ความ “ 3 ≥ 2 และ −2 ≥ −3” มคี าความจรงิ เปน จรงิ 3) ให p แทนประพจน “100 กิโลกรมั เทากับ 1 ตนั ” และ q แทนประพจน “10 ขีด เทากบั 1 กิโลกรมั ” ดงั นัน้ ขอ ความ “100 กโิ ลกรมั เทากับ 1 ตนั หรือ 10 ขีด เทากบั 1 กิโลกรัม” แทนดวย p ∨ q จาก q เปนจริง จะได p ∨ q เปน จรงิ ดังนน้ั ขอความ “100 กิโลกรมั เทากบั 1 ตนั หรอื 10 ขดี เทา กบั 1 กโิ ลกรมั ” มีคา ความจริงเปนจริง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 281 4) ให p แทนประพจน “{x∈} | 3 < x < 4} เปนเซตวา ง” และ q แทนประพจน “{x∈} | x2 =1} ไมเ ปน เซตวา ง” ดงั นั้น ขอความ “{x∈} | 3 < x < 4} เปนเซตวาง หรอื {x∈} | x2 =1} ไมเปน เซตวา ง” แทนดว ย p ∨ q จาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปนจรงิ ดังน้ัน ขอความ “{x∈} | 3 < x < 4} เปน เซตวา ง หรอื {x∈} | x2 =1} ไมเปน เซตวา ง” มคี าความจริงเปนจรงิ 5) ให p แทนประพจน “ A ∪ A =A ” และ q แทนประพจน “ A − ∅ =U ” ดังนัน้ ขอความ “ A ∪ A =A และ A − ∅ =U ” แทนดวย p ∧ q จาก q เปน เทจ็ จะได p ∧ q เปน เทจ็ ดังนน้ั ขอความ “ A ∪ A =A และ A − ∅ =U ” มคี าความจรงิ เปน เท็จ 6) ให p แทนประพจน “เตา เปนสตั วเ ลอ้ื ยคลาน” และ q แทนประพจน “จระเขเ ปน สตั วเ ลื้อยคลาน” ดงั นัน้ ขอความ “เตาและจระเขเ ปน สตั วเ ลือ้ ยคลาน” แทนดว ย p ∧ q จาก p เปนจรงิ และ q เปน จริง จะได p ∧ q เปนจริง ดังนั้น ขอ ความ “เตา และจระเขเ ปน สัตวเ ล้ือยคลาน” มคี าความจรงิ เปนจรงิ 7) ให p แทนประพจน “ −1 เปนจาํ นวนนับ” และ q แทนประพจน “ 1 เปนจํานวนเต็ม” 3 ดังนน้ั ขอ ความ “ −1 เปนจาํ นวนนบั และ 1 เปนจํานวนเต็ม” แทนดวย p ∧ q 3 จาก p เปน เทจ็ จะได p ∧ q เปน เท็จ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

282 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ดงั นน้ั ขอ ความ “ −1 เปน จาํ นวนนบั และ 1 เปนจาํ นวนเต็ม” มคี าความจริงเปนเท็จ 3 8) ให p แทนประพจน “ผลคูณของ 4 กับ −4 นอ ยกวา −12 ” และ q แทนประพจน “ −12 ไมเทา กบั 4 ลบดวย 16 ” ดังนั้น ขอความ “ผลคูณของ 4 กับ −4 นอยกวา −12 หรอื −12 ไมเ ทา กับ 4 ลบดวย 16 ” แทนดวย p ∨ q จาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จรงิ ดงั นัน้ ขอความ “ผลคูณของ 4 กบั −4 นอ ยกวา −12 หรือ −12 ไมเ ทากับ 4 ลบดวย 16 ” มคี า ความจริงเปน จรงิ 9) ให p แทนประพจน “จงั หวดั อบุ ลราชธานอี ยูในภาคใตของประเทศไทย” และ q แทนประพจน “จงั หวดั อุดรธานีอยูใ นภาคเหนือของประเทศไทย” ดงั นั้น ขอ ความ “ถา จังหวดั อุบลราชธานไี มอ ยูในภาคใตข องประเทศไทย แลว จงั หวดั อดุ รธานีอยใู นภาคเหนอื ของประเทศไทย” แทนดว ย  p → q จาก p เปนเท็จ จะได  p เปนจริง และจาก q เปน เทจ็ จะได  p → q เปน เทจ็ ดังนัน้ ขอ ความ “ถา จงั หวัดอุบลราชธานีไมอยใู นภาคใตของประเทศไทย แลวจังหวัด อดุ รธานอี ยูใ นภาคเหนอื ของประเทศไทย” มีคา ความจรงิ เปนเท็จ 10) ให p แทนประพจน “ 5 เปนจาํ นวนตรรกยะ” q แทนประพจน “ 5 เปนจํานวนตรรกยะ” และ r แทนประพจน “ 25 ไมเ ปน จาํ นวนอตรรกยะ” ดงั นั้น ขอ ความ “ถา 5 และ 5 เปน จาํ นวนตรรกยะ แลว 25 ไมเ ปนจํานวน อตรรกยะ” แทนดว ย ( p ∧ q) → r จาก q เปน เทจ็ จะได p ∧ q เปน เท็จ จะได ( p ∧ q) → r เปนจริง สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 283 ดังนัน้ ขอ ความ “ถา 5 และ 5 เปน จาํ นวนตรรกยะ แลว 25 ไมเ ปน จาํ นวนอตรรกยะ” มีคา ความจริงเปนจริง 11) ให p แทนประพจน “ขนาดของมุมภายในทงั้ สามมุมของรูปสามเหล่ียม รวมกันเทากบั 180 องศา” และ q แทนประพจน “มมุ ฉากคอื มมุ ท่ีมีขนาดเทา กับ 180 องศา” ดังนน้ั ขอความ “ขนาดของมุมภายในทง้ั สามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เทากบั 180 องศา ก็ตอเมื่อ มุมฉากคอื มุมที่มีขนาดเทากับ 180 องศา” แทนดวย p ↔ q จาก p เปนจริง และ q เปนเทจ็ จะได p ↔ q เปนเท็จ ดงั นั้น ขอความ “ขนาดของมุมภายในทัง้ สามมุมของรูปสามเหลย่ี มรวมกนั เทากบั 180 องศา กต็ อเมื่อ มุมฉากคือมมุ ที่มีขนาดเทากับ 180 องศา” มคี า ความจริงเปน เท็จ 12) ให p แทนประพจน “ 6 เปน จาํ นวนคู” q แทนประพจน “3 เปนจาํ นวนเฉพาะ” และ r แทนประพจน “9 เปนจํานวนเฉพาะ” ดงั นน้ั ขอความ “ 6 เปน จํานวนคู ก็ตอ เม่อื 3 หรอื 9 เปน จาํ นวนเฉพาะ” แทนดว ย p ↔ (q ∨ r) จาก q เปนจรงิ จะได q ∨ r เปน จรงิ และจาก p เปน จริง จะได p ↔ (q ∨ r) เปนจรงิ ดังนั้น ขอ ความ “ 6 เปน จํานวนคู กต็ อเมอื่ 3 หรือ 9 เปนจาํ นวนเฉพาะ” มคี า ความจริงเปนจริง สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

284 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 6. 1) จาก p → q มีคา ความจริงเปนเท็จ จะได p เปนจริง และ q เปน เทจ็ หาคาความจรงิ ของ ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) วิธที ่ี 1 จาก p เปนจริง และ q เปน เท็จ จะได  p ∨ q เปน เท็จ และ p ∨ q เปน จรงิ จาก  p ∨ q เปนเทจ็ และ p ∨ q เปนจริง จะได ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) เปนเทจ็ ดังนนั้ ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) มีคาความจรงิ เปนเท็จ วธิ ีที่ 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ ดังนน้ั ( p ∨ q) ↔ ( p ∨ q) มีคาความจริงเปนเท็จ 2) วิธที ่ี 1 จาก  p ∨ ( q) ∨ ( p ∨ q) ∧  ( p ∨ q) ∨ ( p ∧ q) มีคา ความจริง เปนจริง จะได  p ∨ ( q) ∨ ( p ∨ q) มีคา ความจริงเปนจริง และ  ( p ∨ q) ∨ ( p ∧ q) มคี าความจริงเปน จริง จาก ( p ∧ q) มคี าความจรงิ เปนเท็จ และ  ( p ∨ q) ∨ ( p ∧ q) มคี าความจรงิ เปน จริง จะได  ( p ∨ q) มีคา ความจรงิ เปน จริง น่นั คือ ( p ∨ q) มคี าความจริงเปน เทจ็ จะได p เปนเทจ็ และ q เปน เท็จ ซึ่งทําให  p ∨ ( q) ∨ ( p ∨ q) มีคาความจริงเปน จรงิ ตามที่กําหนดไว สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 285 ดังน้นั p เปน เท็จ และ q เปน เทจ็ วิธีที่ 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ ดงั น้นั p เปนเท็จ และ q เปนเทจ็ 3) วิธที ่ี 1 จาก  p ∧ ( q → r) → ( s ∨ r) มีคาความจริงเปนเท็จ จะได p ∧ ( q → r) มีคา ความจรงิ เปน จริง และ  s ∨ r มคี า ความจริงเปน เท็จ จาก  s ∨ r มคี า ความจริงเปนเท็จ จะได s เปน จริง และ r เปน เท็จ จาก p ∧ ( q → r) มคี า ความจริงเปนจริง จะได p เปนจรงิ และ  q → r เปนจริง จาก  q → r เปน จรงิ และ r เปนเทจ็ จะได q เปนจริง ดงั นัน้ p เปน จริง q เปนจรงิ r เปน เทจ็ และ s เปนจรงิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

286 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 วิธที ี่ 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ ดังน้ัน p เปน จรงิ q เปน จรงิ r เปน เทจ็ และ s เปนจริง 7. 1) วธิ ที ่ี 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ p → ( q ∧ r) กับ ( p → q) ∨ ( p → r) ไดดงั นี้ p q r  q  q ∧ r p → q p →r p →( q ∧ r) ( p → q)∨( p → r) TTT F FF TF T TTF TFT F FF FF F TFF FTT T TT TT T FTF FFT T FT FF T FFF F FT TT T F FT TT T T TT TT T T FT TT T จะเหน็ วาคา ความจริงของ p → ( q ∧ r) กบั ( p → q) ∨ ( p → r) มบี างกรณที ีต่ างกัน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 287 ดังน้ัน p → ( q ∧ r) ไมส มมลู กบั ( p → q) ∨ ( p → r) วธิ ที ่ี 2 ( p → q) ∨ ( p → r ) ≡ ( p ∨  q) ∨ ( p ∨ r) ≡ ( p∨  p) ∨ ( q ∨ r) ≡  p ∨ ( q ∨ r) * ≡ p →( q∨ r) ซ่งึ p → ( q ∨ r) ≡/ p → ( q ∧ r) ดังนั้น p → ( q ∧ r) ไมสมมลู กบั ( p → q) ∨ ( p → r) 2) วิธที ี่ 1 สรางตารางคาความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ r กบั ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ไดด ังนี้ p q r p ∨ q p ∨ r q∨ r ( p∨ q)∧ r ( p ∨ r)∧(q ∨ r) TTT T T T T T TTF T T T F T TFT T T T T T TFF T TF F F FTT T T T T T FTF T FT F F FFT F T T F T FFF F FF F F วธิ ที ่ี 2 จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ r กับ ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r) มบี างกรณีที่ตา งกนั ดังนนั้ ( p ∨ q) ∧ r ไมสมมูลกบั ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r) จาก ( p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q) ∨ r ซง่ึ ( p ∧ q) ∨ r ≡ ( p ∨ q) ∧ r * เมอ่ื p เปน ประพจนใ ด ๆ จะไดวา  p∨  p ≡  p สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

288 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ดังนน้ั ( p ∨ q) ∧ r ไมส มมูลกับ ( p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 3) วิธีที่ 1 สรางตารางคา ความจริงของ  ( p → q) → r กับ  ( p ∧ q ∧ r) ไดด ังนี้ p q r p → q  ( p → q) p ∧ q ∧ r  ( p → q) → r  ( p ∧ q ∧ r) TTT T F T TF TTF T F F TT TFT F T F TT TFF F T F FT FTT T F F TT FTF T F F TT FFT T F F TT FFF T F F TT จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ  ( p → q) → r กับ  ( p ∧ q ∧ r) มบี างกรณที ี่ตา งกนั ดงั นัน้  ( p → q) → r ไมส มมูลกับ  ( p ∧ q ∧ r) วิธีที่ 2 จาก  ( p → q) → r ≡ ( p → q) ∨ r ≡ ( p∨ q)∨ r ≡  p∨q∨r ≡  ( p∧  q∧  r) ซึ่ง  ( p∧  q∧  r ) ≡/  ( p ∧ q ∧ r ) ดังนน้ั  ( p → q) → r ไมสมมูลกับ  ( p ∧ q ∧ r) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 289 4) วธิ ีท่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ  p ↔ q และ  ( p → q) ∧ (q → p) ไดดังนี้ p q  p p → q q → p ( p → q) ∧ (q → p)  p ↔ q  ( p → q) ∧ (q → p) TT F T T T FF TF F F T F TT FT T T F F TT FF T T T T FF วิธีที่ 2 จะเหน็ วา คา ความจริงของ  p ↔ q กับ  ( p → q) ∧ (q → p) เหมือนกนั ทกุ กรณี ดงั นนั้  p ↔ q สมมูลกบั  ( p → q) ∧ (q → p) จาก  p ↔ q ≡ ( p → q) ∧ (q → p) ≡ ( p∨ q)∧( q ∨  p) ≡ ( p ∨ q) ∧  q ∨ ( p ∨ q) ∧  p ≡ ( p∧  q)∨ (q∧  q)∨ ( p∧  p)∨ (q∧  p) ≡ ( p∧  q) ∨ (q∧  p) ** ≡  ( p∨ q)∨  ( q∨ p) ≡  ( p → q)∨  (q → p) ≡  ( p → q) ∧ (q → p) ดงั น้ัน  p ↔ q สมมลู กับ  ( p → q) ∧ (q → p) 8. 1) ให p แทน “ 8 ไมนอยกวา 7 ” q แทน “8 เปน จํานวนคู” ** เมอื่ p เปน ประพจนใด ๆ จะไดว า p∧  p ≡ F และ p ∨ F ≡ p สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

290 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 จะได p → q แทน “ถา 8 ไมนอยกวา 7 แลว 8 เปนจาํ นวนคู” แนวทางการตอบ เน่ืองจาก p → q สมมลู กบั  p ∨ q ดังนน้ั “ถา 8 ไมนอ ยกวา 7 แลว 8 เปนจาํ นวนคู” สมมลู กบั “8 นอ ยกวา 7 หรือ 8 เปนจาํ นวนคู” 2) ให p แทน “ 12 ∉ ” 5 q แทน “ 5 ไมเปน ตวั ประกอบของ 12 ” จะได p ↔ q แทน “ 12 ∉ ก็ตอเมื่อ 5 ไมเ ปนตวั ประกอบของ 12 ” 5 แนวทางการตอบที่ 1 เน่ืองจาก p ↔ q สมมูลกับ ( p → q) ∧ (q → p) ดงั น้ัน “ 12 ∉ กต็ อ เมื่อ 5 ไมเ ปนตวั ประกอบของ 12 ” สมมลู กบั 5 “ถา 12 ∉ แลว 5 ไมเ ปนตัวประกอบของ 12 และ ถา 5 ไมเ ปนตวั ประกอบ 5 ของ 12 แลว 12 ∉ ” 5 แนวทางการตอบท่ี 2 เน่อื งจาก p ↔ q สมมลู กับ q ↔ p ดังนั้น “12 ∉ กต็ อ เม่ือ 5 ไมเปน ตวั ประกอบของ 12 ” สมมูลกบั 5 “ 5 ไมเ ปนตัวประกอบของ 12 ก็ตอ เมอ่ื 12 ∉ ” 5 3) ให p แทน “ไกเปนสัตวปก” q แทน “เปดเปน สตั วป ก” r แทน “นกเปนสัตวปก ” สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 291 จะได ( p ∧ q) ∨ (r ∧ p) แทน “ไกและเปดเปน สัตวปก หรอื นกและไกเปนสัตวป ก” แนวทางการตอบ เน่อื งจาก ( p ∧ q) ∨ (r ∧ p) สมมูลกบั p ∧ (q ∨ r) ดังน้นั “ไกแ ละเปดเปน สตั วป ก หรอื นกและไกเ ปน สตั วปก ” สมมลู กบั “ไกเปนสัตวป ก และ เปดหรอื นกเปน สัตวป ก ” 4) ให p แทน “พอ ของแหนมมีเลือดหมู O ” q แทน “แมข องแหนมมเี ลอื ดหมู O ” r แทน “แหนมมเี ลือดหมู O ” จะได ( p ∧ q) → r แทน “ถา พอและแมข องแหนมมีเลอื ดหมู O แลวแหนมมเี ลอื ด หมู O ” แนวทางการตอบ เนื่องจาก ( p ∧ q) → r สมมลู กับ  p∨  q ∨ r ดังนน้ั “ถา พอและแมข องแหนมมีเลือดหมู O แลว แหนมมีเลือดหมู O ” สมมูลกับ “พอหรอื แมข องแหนมไมมีเลอื ดหมู O หรอื แหนมมีเลอื ดหมู O ” 9. 1) สรางตารางคา ความจริงของ p → q กบั q → p ไดด งั น้ี p q p→q q→ p TT T T TF F T FT T F FF T T จะเหน็ วามคี าความจริงของ p → q บางกรณีท่ตี รงกับคาความจริงของ q → p ดังนน้ั p → q กบั q → p ไมเ ปนนิเสธกนั สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

292 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 2) สรางตารางคา ความจรงิ ของ p ↔ q กับ  p ↔  q ไดด งั นี้ p q  p q p↔q  p↔q T TF F T T T FF T F F F TT F F F F FT T T T จะเห็นวาคาความจริงของ p ↔ q ตรงกับคาความจรงิ ของ  p ↔  q ทุกกรณี น่ันคือ p ↔ q สมมูลกับ  p ↔  q ดงั นน้ั p ↔ q กบั  p ↔  q ไมเปน นิเสธกัน 3) วิธีที่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ p → (q → r) กบั p ∧ q∧  r ไดดงั น้ี p q r q → r  r p → (q → r) p ∧ q∧  r TTT T F T F TTF F T F T TFT T F T F TFF T T T F FTT T F T F FTF F T T F FFT T F T F FFF T T T F จะเห็นวา คาความจริงของ p → (q → r) ตรงขามกับคาความจรงิ ของ p ∧ q∧  r ทุกกรณี ดังนนั้ p → (q → r) กบั p ∧ q∧  r เปน นเิ สธกัน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 293 วิธีท่ี 2 เนอ่ื งจาก   p → (q → r) เปน นเิ สธของ p → (q → r) และ   p → (q → r ) ≡   p ∨ (q → r ) ≡   p ∨ ( q ∨ r ) ≡ p∧  ( q ∨ r) ≡ p ∧ q∧  r จะได p → (q → r) เปนนเิ สธของ p ∧ q∧  r ดังน้นั p → (q → r) กบั p ∧ q∧  r เปนนิเสธกัน 4) วธิ ที ี่ 1 สรา งตารางคาความจริงของ ( p → q) → r กับ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) ไดด ังน้ี p q r  p  r p → q  p∧  r q∧  r ( p → q) → r ( p∧  r) ∨ (q∧  r) T TTF F T FF T F T TFF T T FT F T T FTF F F FF T F T FFF T F FF T F FTTT F T FF T F FTFT T T TT F T FFTT F T FF T F FFFT T T TF F T จะเหน็ วา คาความจริงของ ( p → q) → r ตรงขามกับคา ความจริง ของ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) ทกุ กรณี ดังนั้น p → (q → r) กับ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) เปนนิเสธกนั สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

294 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 วิธที ี่ 2 เน่ืองจาก  ( p → q) → r เปนนเิ สธของ ( p → q) → r และ  ( p → q) → r ≡   ( p → q) ∨ r ≡ ( p → q)∧  r ≡ ( p∨ q)∧  r ≡ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) จะได ( p → q) → r เปนนเิ สธของ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) ดังน้นั p → (q → r) กับ ( p∧  r) ∨ (q∧  r) เปน นิเสธกนั 5) สรา งตารางคา ความจรงิ ของ p → (q ∨ r) กับ (q ∨ r) → p ไดดังน้ี p q r  p q ∨ r p → (q ∨ r) (q ∨ r) → p T T TF T T F T T FF T T F T F TF T T F T F FF F F T F T TT TT T F T FT TT T F F TT TT T F F FT F T T จะเหน็ วามคี า ความจริงของ p → (q ∨ r) บางกรณีท่ีตรงกับคา ความจริงของ (q ∨ r) → p ดังนนั้ p → (q ∨ r) กบั (q ∨ r) → p ไมเปน นเิ สธกัน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 295 6) วิธที ี่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ q ∧ (r∧  s) กับ q → (r → s) ไดดงั นี้ q r s  s r∧  s r → s q ∧ (r∧  s) q → (r → s) TT T F F TF T TT F T T FT F TF T F F TF T TF F T F TF T FT T F F TF T FT F T T FF T FF T F F TF T FF F T F TF T วิธีท่ี 2 จะเห็นวา คา ความจริงของ q ∧ (r∧  s) ตรงขามกับคา ความจริง ของ q → (r → s) ทุกกรณี ดังนั้น q ∧ (r∧  s) กับ q → (r → s) เปน นิเสธกนั เนอ่ื งจาก  [q ∧ (r∧  s)] เปนนิเสธของ q ∧ (r∧  s) และ  [q ∧ (r∧  s)] ≡  q∨  (r∧  s) ≡  q∨( r ∨ s) ≡ q →( r ∨ s) ≡ q →(r → s) จะได q ∧ (r∧ ~ s) เปนนิเสธของ q → (r → s) ดงั น้ัน q ∧ (r∧  s) กบั q → (r → s) เปน นิเสธกัน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

296 คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 7) วิธีท่ี 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ ( p → q) ∨ r กบั p∧  q∧  r ไดด งั นี้ p q r p → q  q  r ( p → q) ∨ r p∧  q∧  r TTT T F F TF TTF T F T TF TFT F T F TF TFF F T T FT FTT T F F TF FTF T F T TF FFT T T F TF FFF T T T TF จะเห็นวา คา ความจริงของ ( p → q) ∨ r ตรงขา มกับคาความจรงิ ของ p∧  q∧  r ทุกกรณี ดังนน้ั ( p → q) ∨ r กบั p∧  q∧  r เปน นเิ สธกัน วธิ ีที่ 2 เน่ืองจาก  ( p → q) ∨ r เปน นิเสธของ ( p → q) ∨ r และ  ( p → q) ∨ r ≡  ( p ∨ q) ∨ r ≡  ( p ∨ q)∧  r ≡ p∧  q∧  r จะได ( p → q) ∨ r เปนนิเสธของ p ∧  q∧  r ดงั นั้น ( p → q) ∨ r กับ p∧  q∧  r เปน นิเสธกัน 8) วธิ ีที่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ ( p∨q) → r กบั  r ∧ ( p ∨ q) ไดดงั นี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 297 p q r p ∨ q  r ( p∨q) → r  r ∧ ( p ∨ q) TTT T F TF TTF T T FT TFT T F TF TFF T T FT FTT T F TF FTF T T FT FFT F F TF FFF F T TF จะเห็นวาคาความจริงของ ( p∨q) → r ตรงขามกับคา ความจริงของ  r ∧ ( p ∨ q) ทุกกรณี ดังนั้น ( p∨q) → r กบั  r ∧ ( p ∨ q) เปน นเิ สธกัน วธิ ที ี่ 2 เนอ่ื งจาก  [ ( p∨q) → r ] เปน นิเสธของ ( p∨q) → r และ  [ ( p ∨q) → r ] ≡  [ ( p ∨q) ∨ r] ≡ ( p ∨ q)∧  r ≡  r ∧( p ∨ q) จะได ( p∨q) → r เปนนิเสธของ  r ∧ ( p ∨ q) ดังน้นั ( p∨q) → r กบั  r ∧ ( p ∨ q) เปนนเิ สธกัน 9) ให p แทน “12 เปน ตวั ประกอบของ 24 ” q แทน “ 4 เปนตวั ประกอบของ 24 ” จะได p → q แทน “ถา 12 เปน ตัวประกอบของ 24 แลว 4 เปน ตวั ประกอบของ 24 ” และ  q ∧ p แทน “ 4 ไมเปน ตัวประกอบของ 24 แต 12 เปน ตัวประกอบของ 24 ” วธิ ีท่ี 1 สรางตารางคาความจรงิ ของ p → q กบั  q ∧ p ไดด ังน้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

298 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 p q q p→q q∧ p T TF T F T FT F T F TF T F F FT T F จะเห็นวา คาความจริงของ p → q ตรงขามกับคาความจรงิ ของ  q ∧ p ทกุ กรณี ดังนนั้ p → q กับ  q ∧ p เปนนิเสธกนั นัน่ คอื “12 เปนตัวประกอบของ 24 แลว 4 เปน ตัวประกอบของ 24 ” กบั “ 4 ไมเปน ตวั ประกอบของ 24 แต 12 เปน ตวั ประกอบของ 24 ” เปนนเิ สธกัน วธิ ีที่ 2 เน่ืองจาก  ( p → q) เปน นิเสธของ p → q และ  ( p → q) ≡  ( p ∨ q) ≡ p∧  q ≡ q∧ p จะได  q ∧ p เปน นิเสธของ p → q ดงั นั้น p → q กับ  q ∧ p เปนนเิ สธกนั น่นั คือ “12 เปนตัวประกอบของ 24 แลว 4 เปนตัวประกอบของ 24 ” กับ “ 4 ไมเปนตัวประกอบของ 24 แต 12 เปนตัวประกอบของ 24 ” เปน นเิ สธกนั 10) ให p แทน “ a เปนสระในภาษาองั กฤษ” q แทน “ b เปนสระในภาษาอังกฤษ” r แทน “ e เปนสระในภาษาอังกฤษ” สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 299 จะได ( p∧  q) ∨ r แทน “ a และ b ไมเ ปนสระในภาษาอังกฤษ หรือ e เปนสระในภาษาองั กฤษ” และ r ∧ ( p → q) แทน “ e เปน สระในภาษาองั กฤษ แต ถา a ไมเ ปนสระ ในภาษาอังกฤษ แลว a เปน สระในภาษาอังกฤษ” สรางตารางคาความจริงของ ( p∧  q) ∨ r กบั r ∧ ( p → q) ไดด งั นี้ p q r  p  q  p∧  q  p → q ( p∧  q) ∨ r r ∧ ( p → q) T T TF F F T TT T T FF F F T FF T F TF T F T TT T F FF T F T FF F T TT F F T TT F T FT F F T FF F F TT T T F TF F F FT T T F TF จะเหน็ วา มีคา ความจรงิ ของ ( p∧  q) ∨ r บางกรณีท่ีตรงกบั คาความจริง ของ r ∧ ( p → q) ดงั น้ัน ( p∧  q) ∨ r กับ r ∧ ( p → q) ไมเปน นิเสธกัน น่นั คือ “ a และ b ไมเ ปนสระในภาษาองั กฤษ หรือ e เปนสระในภาษาองั กฤษ” กบั “ e เปนสระในภาษาองั กฤษ แต ถา a ไมเปน สระในภาษาอังกฤษ แลว b เปนสระในภาษาอังกฤษ” ไมเ ปน นเิ สธกัน 10. 1) วิธที ี่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ  p → (q → r) → ( p → q) → r ไดด งั นี้ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

300 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 p q r p → q q → r p → (q → r ) ( p → q) → r  p → (q → r ) → ( p → q) → r TTT T T T T T TTF T F F F T TFT F T T T T TFF F T T T T FTT T T T T T FTF T F T F F FFT T T T T T FFF T T T F F จะเหน็ วา มีกรณีที่ p เปน เทจ็ q เปนจรงิ และ r เปนเทจ็ และกรณีท่ี p, q และ r เปน เทจ็ ทท่ี าํ ใหรูปแบบของประพจน  p → (q → r ) → ( p → q) → r เปน เทจ็ ดังน้นั รูปแบบของประพจน  p → (q → r) → ( p → q) → r ไมเปน สจั นริ นั ดร วธิ ที ี่ 2 สมมติให  p → (q → r) → ( p → q) → r มีคา ความจริงเปนเท็จ จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณีที่ p เปน เท็จ q เปน เทจ็ และ r เปน เทจ็ ที่ทําให  p → (q → r) → ( p → q) → r เปนเทจ็ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 301 ดงั นัน้ รปู แบบของประพจน  p → (q → r) → ( p → q) → r ไมเ ปน สจั นิรันดร 2) วิธที ่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ไดด งั นี้ p q  p  q  p ∧ q p ∨ ( p ∧ q)  p∧  q  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) T TF F FT FT T FF T FT FT F TT F TT FT F FT T FF TF จะเห็นวา กรณที ่ี p และ q เปนเท็จ รูปแบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) เปนเท็จ ดังน้นั รปู แบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ไมเ ปน สจั นิรันดร วธิ ที ี่ 2 สมมติให  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) มคี าความจริงเปนเทจ็ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

302 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณที ี่ p เปนเท็จ และ q เปนเท็จ ท่ีทําใหรูปแบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) มคี า ความจรงิ เปน เทจ็ ดงั น้นั รปู แบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ไมเ ปนสัจนริ ันดร วิธที ่ี 3 เน่ืองจาก p ∨ ( p ∧ q) ≡ ( p∨  p) ∧ ( p ∨ q) ≡ p∨q จะได  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ≡  ( p ∨ q) → ( p∧  q) ≡   ( p ∨ q) ∨ ( p∧  q) ≡ ( p ∨ q)∧  ( p∧  q) ≡ ( p∨ q)∧( p∨ q) ≡ p∨q ซง่ึ เมอื่ p และ q เปน เท็จ จะได p ∨ q เปน เทจ็ นั่นคือ p ∨ q ไมเ ปนสจั นิรนั ดร ดังนนั้ รูปแบบของประพจน  ( p ∨ ( p ∧ q)) → ( p∧  q) ไมเ ปน สจั นริ ันดร 3) วธิ ีท่ี 1 สรา งตารางคา ความจริงของ  p ∧ ( p ∨ q) → q ไดดงั น้ี p q  p p ∨ q  p ∧ ( p ∨ q)  p ∧ ( p ∨ q) → q T TF TF T T FF TF T F TT TT T F FT FF T สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 303 จะเห็นวารูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนจรงิ ทกุ กรณี ดงั น้นั รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปน สจั นิรนั ดร วิธที ี่ 2 สมมติให  p ∧ ( p ∨ q) → q มคี าความจรงิ เปนเท็จ ขดั แยงกนั จากแผนภาพ จะเห็นวาคาความจรงิ ของ q เปนไดท้ังจรงิ และเท็จ เกดิ การขัดแยงกบั ท่ีสมมติไววา  p ∧ ( p ∨ q) → q เปน เท็จ ดังนนั้ รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนสัจนิรันดร วิธที ่ี 3 จาก  p ∧ ( p ∨ q) → q ≡   p ∧ ( p ∨ q) ∨ q ≡  p ∨  ( p ∨ q) ∨ q ≡  p ∨ ( p∧  q) ∨ q ≡ ( p∨  p) ∧ ( p∨  q) ∨ q ≡ ( p∨  q) ∨ q ≡ p∨( q∨ q) เน่อื งจาก  q ∨ q เปน จรงิ เสมอ จะไดว า p ∨ ( q ∨ q) เปนจริงเสมอ ดงั น้ัน รูปแบบของประพจน  p ∧ ( p ∨ q) → q เปนสัจนริ ันดร สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

304 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 4) วิธที ี่ 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r ไดด ังนี้ p q r ( p ∨ q) ∧ ( p → r ) ∧ (q → r ) ( p ∨ q) ∧ ( p → r ) ∧ (q → r ) → r TTT T T T TF F T T FT T T T FF F T FTT T T FTF F T FFT F T F FF F T จะเห็นวารูปแบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r เปนจรงิ ทกุ กรณี ดังนนั้ รปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r เปน สจั นิรนั ดร วธิ ีที่ 2 สมมตใิ ห ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r มคี าความจริงเปน เทจ็ ขัดแยงกัน จากแผนภาพ จะเห็นวาคา ความจรงิ ของ p เปน ไดท้งั จรงิ และเท็จ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 305 เกิดการขดั แยงกับที่สมมติไวว า ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r เปนเทจ็ ดังนั้น รูปแบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r) → r เปนสัจนิรนั ดร 5) วธิ ีท่ี 1 สรา งตารางคา ความจริงของ ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) ไดด ังนี้ p q r ( p → q) ∧ ( p → r ) p → (q ∧ r ) ( p → q) ∧ ( p → r ) ↔  p → (q ∧ r ) TT T T T T TTF F F T TF T F F T TFF F F T FT T T T T FT F T T T FF T T T T FF F T T T จะเห็นวา รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) เปน จริงทุกกรณี ดังนน้ั รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) เปนสจั นริ นั ดร วธิ ที ี่ 2 สมมติให ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) มีคา ความจรงิ เปน เท็จ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

306 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 กรณีที่ 1 ขดั แยง กัน จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ r เปน ไดท ั้งจรงิ และเท็จ เกดิ การขัดแยง กบั ทสี่ มมติไวว า ( p → q) ∧ ( p → r ) ↔  p → (q ∧ r ) เปน เท็จ กรณีท่ี 2 ขัดแยงกนั จากแผนภาพ จะเหน็ วาคา ความจริงของ q เปน ไดท ้ังจรงิ และเท็จ เกดิ การขดั แยงกับทสี่ มมตไิ วว า ( p → q) ∧ ( p → r ) ↔  p → (q ∧ r) เปนเทจ็ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 307 วธิ ที ่ี 3 จากท้ังสองกรณี จะไดว ารปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) เปน สจั นิรันดร จาก ( p → q) ∧ ( p → r ) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r ) ≡  p∨(q ∧ r) ≡ p →(q ∧ r) น่นั คอื ( p → q) ∧ ( p → r) สมมูลกับ p → (q ∧ r) ดงั นั้น รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ↔  p → (q ∧ r) เปนสจั นิรันดร 6) วิธีที่ 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r ไดด ังนี้ p q r ( p → r ) ∧ (q → r ) ( p ∨ q) → r ( p → r ) ∧ (q → r ) ↔ ( p ∨ q) → r TT T T T T TT F F F T TF T T T T TF F F F T FT T T T T FT F F F T FF T T T T FF F T T T จะเหน็ วารูปแบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r เปน จริงทุกกรณี ดงั น้ัน รปู แบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r เปนสจั นริ ันดร สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

308 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 วิธีที่ 2 สมมติให ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r มีคาความจริงเปน เทจ็ กรณที ่ี 1 ขัดแยงกัน จากแผนภาพ จะเห็นวา คาความจรงิ ของ p เปน ไดทงั้ จรงิ และเท็จ เกิดการขัดแยงกับทสี่ มมตไิ ววา ( p → r) ∧ (q → r ) ↔ ( p ∨ q) → r เปน เท็จ กรณีท่ี 2 ขดั แยง กนั จากแผนภาพ จะเหน็ วาคาความจริงของ r เปน ไดท ัง้ จริงและเท็จ เกดิ การขัดแยง กบั ที่สมมตไิ ววา ( p → r) ∧ (q → r ) ↔ ( p ∨ q) → r เปน เทจ็ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 309 วธิ ที ่ี 3 จากท้งั สองกรณี จะไดวา รปู แบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r เปน สัจนิรนั ดร จาก ( p → r ) ∧ (q → r ) ≡ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p∧  q) ∨ r ≡  ( p∨ q)∨ r ≡ ( p∨ q) → r น่นั คอื ( p → r) ∧ (q → r) สมมลู กับ ( p ∨ q) → r ดงั นน้ั รปู แบบของประพจน ( p → r) ∧ (q → r) ↔ ( p ∨ q) → r เปน สัจนิรันดร 7) วิธที ่ี 1 สรา งตารางคา ความจรงิ ของ ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) ไดดังนี้ pq p↔q p∧q  p∧  q ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) TT TT FT T TF F F F F T FT F F F F T FF T F T T T จะเหน็ วารปู แบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปน จรงิ ทกุ กรณี ดังน้นั รูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปน สัจนริ ันดร สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 วธิ ีท่ี 2 สมมติให ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ กรณที ี่ 1 ขดั แยง กัน จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจริงของ q เปน ไดท ง้ั จรงิ และเทจ็ เกิดการขดั แยง กบั ทสี่ มมตไิ ววา ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปน เทจ็ กรณที ี่ 2 ขัดแยง กนั สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 311 จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ p เปนไดทง้ั จริงและเท็จ เกดิ การขดั แยง กบั ทสี่ มมติไววา ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปนเทจ็ จากทง้ั สองกรณี จะไดว ารูปแบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปน สจั นิรนั ดร วิธที ่ี 3 จาก ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) ≡ ( p ∧ q)∨  p ∧ ( p ∧ q)∨  q ≡ ( p∨  p) ∧ (q∨  p) ∧ ( p∨  q) ∧ (q∨  q) ≡ (q∨  p) ∧ ( p∨  q) ≡ ( p∨ q)∧( q∨ p) ≡ ( p → q)∧(q → p) ≡ p↔q นัน่ คอื p ↔ q สมมลู กบั ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) ดงั นั้น รปู แบบของประพจน ( p ↔ q) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p∧  q) เปน สัจนริ ันดร สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

312 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 11. 1) สมมตใิ ห (( p ∧ q) → (r ∨ s))∧  (r ∨ s) →  q เปน เทจ็ จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณีที่ p เปนเทจ็ q เปน จริง r เปนเทจ็ และ s เปน เท็จ ท่ีทาํ ให (( p ∧ q) → (r ∨ s))∧  (r ∨ s) →  q เปน เท็จ นัน่ คอื รูปแบบของประพจน (( p ∧ q) → (r ∨ s))∧  (r ∨ s) →  q ไมเ ปนสัจนิรนั ดร ดงั น้นั การอางเหตผุ ลนี้ไมสมเหตสุ มผล 2) สมมตใิ ห ( p ∨ q)∧  q → ( p ∨ q) เปน เทจ็ จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณที ี่ p เปนเท็จ และ q เปนเทจ็ ทีท่ าํ ให ( p ∨ q)∧  q → ( p ∨ q) เปนเท็จ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 313 นัน่ คอื รปู แบบของประพจน ( p ∨ q)∧  q → ( p ∨ q) ไมเ ปนสัจนริ นั ดร ดังนั้น การอา งเหตุผลน้ีไมสมเหตสุ มผล 3) สมมติให ( p ∨ r) ∧ (( p → q) ∨ ( q → r)) →( r → p) เปน เท็จ จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณีท่ี p เปน เท็จ q เปนเทจ็ และ r เปน จรงิ ทีท่ าํ ให ( p ∨ r) ∧ (( p → q) ∨ ( q → r)) →( r → p) เปนเท็จ นน่ั คือ รปู แบบของประพจน ( p ∨ r) ∧ (( p → q) ∨ ( q → r)) →( r → p) ไมเ ปนสัจนิรันดร ดงั นั้น การอา งเหตผุ ลนไ้ี มส มเหตุสมผล 4) สมมติให ( p → q) ∧ ( p → r) ∧ ( p ∧ s) →(r → s) เปนเทจ็ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

314 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ s เปน ไดท้ังจรงิ และเทจ็ เกิดการขัดแยง กับทีส่ มมติไวว า ( p → q) ∧ ( p → r) ∧ ( p ∧ s) →(r → s) เปน เท็จ น่นั คอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( p → r) ∧ ( p ∧ s) →(r → s) เปน สจั นริ นั ดร ดงั น้ัน การอางเหตผุ ลนสี้ มเหตสุ มผล 5) สมมติให ( p → q) ∧ p ∧ (q → r) ∧ (r ↔  p) →(q ∨ r) เปน เทจ็ ขัดแยง กนั จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจรงิ ของ p เปนไดท ง้ั จริงและเท็จ เกิดการขัดแยง กับท่สี มมติไวว า ( p → q) ∧ p ∧ (q → r) ∧ (r ↔  p) →(q ∨ r) เปนเทจ็ นน่ั คือ รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ p ∧ (q → r) ∧ (r ↔  p) →(q ∨ r) เปนสัจนริ นั ดร ดงั นัน้ การอา งเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล 12. 1) ให p แทนประพจน “ชะอมไปเลน ฟตุ บอล” q แทนประพจน “ไขเจียวไปเลนบาสเกตบอล” r แทนประพจน “แกงสม ไปเลนปงปอง” เขียนแทนขอความในรูปสญั ลักษณไดดงั นี้ เหตุ 1. p → q 2.  q → r ผล p ∧ r สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 315 ดงั น้นั รูปแบบของประพจนในการอา งเหตผุ ลน้ี คือ ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) ตรวจสอบรูปแบบของประพจนที่ไดว าเปนสจั นริ ันดรห รือไม สมมตใิ ห ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) เปน เทจ็ จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณีท่ี p เปนเทจ็ q เปน เทจ็ และ r เปน จรงิ ทท่ี าํ ให ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) เปน เท็จ นนั่ คอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ ( q → r) →( p ∧ r) ไมเปน สัจนริ นั ดร ดังนนั้ การอางเหตผุ ลนไ้ี มสมเหตุสมผล 2) ให p แทนประพจน “ขา วสวยทํางานหนัก” q แทนประพจน “ขา วหอมทํางานหนกั ” r แทนประพจน “ขาวปนทาํ งานหนกั ” เขียนแทนขอความในรูปสญั ลักษณไดดงั น้ี เหตุ 1. p ∨ q 2.  q ผล p ∨  r ดงั นนั้ รูปแบบของประพจนใ นการอา งเหตุผลน้ี คือ ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) ตรวจสอบรปู แบบของประพจนทีไ่ ดวาเปน สจั นิรันดรหรอื ไม สมมติให ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปนเท็จ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

316 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ขดั แยงกัน จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจรงิ ของ p เปน ไดทัง้ จรงิ และเทจ็ เกิดการขัดแยง กับท่สี มมตไิ วว า ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปน เท็จ นน่ั คือ รูปแบบของประพจน ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปนสัจนิรันดร ดังนั้น การอางเหตุผลนส้ี มเหตสุ มผล 3) ให p แทนประพจน “ชะเอมซ้อื สินคาโดยใชบตั รเครดิต” q แทนประพจน “ชะเอมซ้อื สินคาโดยใชเ งินสด” เขียนแทนขอความในรปู สัญลักษณไดด ังน้ี เหตุ 1. p ∨ q 2.  p ผล q ดงั นั้น รูปแบบของประพจนใ นการอางเหตผุ ลน้ี คอื ( p ∨ q) ∧  p → q ตรวจสอบรปู แบบของประพจนที่ไดว า เปน สจั นิรันดรหรือไม สมมติให ( p ∨ q) ∧  p → q เปน เทจ็ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 317 ขัดแยง กนั จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ p เปน ไดท้ังจริงและเทจ็ เกดิ การขดั แยง กบั ท่สี มมติไวว า ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปนเท็จ นั่นคอื รปู แบบของประพจน ( p ∨ q) ∧  q →( p∨  r) เปน สจั นิรนั ดร ดงั น้นั การอา งเหตุผลนส้ี มเหตุสมผล 4) ให p แทนประพจน “หนดู ูหนัง” q แทนประพจน “แนนดหู นัง” r แทนประพจน “หน่งึ ดหู นงั ” เขียนแทนขอความในรปู สญั ลักษณไดดังนี้ เหตุ 1. p 2. q →  p 3.  p →  r ผล q ∨ r ดงั นั้น รปู แบบของประพจนใ นการอา งเหตผุ ลน้ี คือ  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r ) →(q ∨ r ) ตรวจสอบรปู แบบของประพจนทไ่ี ดว า เปน สัจนริ ันดรหรือไม สมมติให  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r) →(q ∨ r) เปน เทจ็ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

318 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณที ี่ p เปนจรงิ q เปน เท็จ และ r เปน เท็จ ทท่ี าํ ให  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r) →(q ∨ r) เปน เท็จ นั่นคอื รปู แบบของประพจน  p ∧ (q →  p) ∧ ( p →  r) →(q ∨ r) ไมเปนสัจนิรนั ดร ดังนัน้ การอา งเหตผุ ลนี้ไมสมเหตุสมผล 5) ให p แทนประพจน “วิจิตไปกินขาวนอกบา น” q แทนประพจน “วรี ชยั อยบู าน” r แทนประพจน “นธิ ไิ ปออกกําลังกาย” s แทนประพจน “พชรไปเดินเลน ” เขยี นแทนขอความในรูปสัญลักษณไดด ังน้ี เหตุ 1. p ↔ q 2.  q → r 3. s ∧ p ผล s → r ดงั น้ัน รปู แบบของประพจนในการอางเหตผุ ลน้ี คอื ( p ↔ q) ∧ ( q → r ) ∧ (s ∧ p) →(s → r ) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 319 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท่ไี ดว า เปนสจั นริ นั ดรห รือไม สมมติให ( p ↔ q) ∧ ( q → r) ∧ (s ∧ p) →(s → r) เปนเทจ็ 13. 1) จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณที ี่ p เปนจรงิ q เปนจริง r เปน เทจ็ และ s เปนจรงิ 2) ทีท่ ําให ( p ↔ q) ∧ ( q → r) ∧ (s ∧ p) →(s → r) เปน เท็จ 3) น่นั คือ รปู แบบของประพจน ( p ↔ q) ∧ ( q → r) ∧ (s ∧ p) →(s → r) 4) ไมเปนสัจนริ ันดร ดงั น้ัน การอางเหตุผลน้ไี มสมเหตสุ มผล ∀x[x > 0] เปนจรงิ เม่ือ U =  เพราะวา เมื่อแทน x ดว ยจาํ นวนนับ ใน “ x > 0 ” จะไดประพจนทเี่ ปน จริง ∀x[x + x = x ⋅ x] เปน จริง เมือ่ U = {0, 2} เพราะวา เม่ือแทน x ดว ย 0 และ 2 ใน “ x + x = x ⋅ x ” จะไดประพจนท ี่เปนจรงิ ∃x x =x2  เปนจริง เมอ่ื U = { 0, 1} เพราะวา เมื่อแทน x ดว ย 0 ใน “ x = x2 ” จะไดป ระพจนท ่ีเปนจรงิ ∀x x < 2 ↔ x2 ≥ 4 เปน เท็จ เมอื่ U =  เพราะวา เมื่อแทน x ดวย 0 ใน “ x < 2 ↔ x2 ≥ 4 ” จะไดป ระพจนท่ีเปน เท็จ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5) ∃y[ y + 2 = y − 2] เปนเทจ็ เม่ือ U =  เพราะวา ไมสามารถหาจํานวนจริง y แทนใน “ y + 2 = y − 2 ” แลวไดป ระพจน ทเี่ ปน จรงิ 6)  ∀x[x ∈ → x ∈] เปนจรงิ เมอื่ U =  เน่อื งจาก  ∀x[x ∈ → x ∈] สมมูลกบั ∃x[x ∈ ∧ x ∉] และเม่ือแทน x ดวย 1 ใน “ ∃x[x∈ ∧ x∉] ” จะไดประพจนที่เปนจรงิ 2 7) ∃x [ x เปน จาํ นวนคู] เปน จริง เมือ่ U =  เพราะวา เมื่อแทน x ดว ย 2 ใน “ x เปนจํานวนคู” จะไดประพจนท เี่ ปนจรงิ 8) มีจํานวนตรรกยะ x ซึ่ง x > 0 เปน จริง เพราะวา เมื่อแทน x ดวย 2 ใน “ x > 0 ” จะไดประพจนที่เปนจริง 9) มจี าํ นวนอตรรกยะ x ซึง่ x2 = 4 เปนเท็จ เพราะวา ไมส ามารถหาจํานวนอตรรกยะ x แทนใน “ x2 = 4 ” แลว ไดประพจน ท่เี ปนจรงิ 10) สําหรบั จํานวนจรงิ x ทกุ ตวั x2 +1 > 4 เปน เทจ็ เพราะวา เม่ือแทน x ดว ย 0 ใน “ x2 +1 > 4 ” จะไดประพจนที่เปนเทจ็ 11) ∃x x2 −1 < 0 ∧ 0 ∃x[x ≠ 0] เปน เท็จ เม่อื U =  เน่ืองจาก 0 ∃x[x ≠ 0] สมมลู กบั ∀x[x =0] และเมื่อแทน x ดว ย 1 ใน “ x =0 ” จะไดประพจนที่เปนเทจ็ 12) ∀x [ ถา x เปนจาํ นวนเฉพาะแลว x เปน จํานวนคี่ ] ∨∃x[ x2 ≠1] เปน จรงิ เมอ่ื แทน x ดว ย 2 ใน “ x2 ≠1 ” จะไดประพจนท ่ีเปนจริง สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 321 13)  ∀x[x −1= 7] → ∀x x2= 2x เปน เทจ็ เมือ่ U =  เน่ืองจาก  ∀x[x −1 =7] สมมลู กบั ∃x[x −1 ≠ 7] เมื่อแทน x ดว ย 0 ใน “ x −1 ≠ 7 ” จะไดประพจนท ่ีเปน จรงิ แตเ มื่อแทน x ดวย 1 ใน “ x2 = 2x ” จะไดประพจนท่เี ปนเทจ็ 14) ∃x[ x ∈′ → x2 เปนจาํ นวนคู ] ↔ ∀x[ x ∈  → x −1≥ 0] เปน จรงิ เม่ือแทน x ดวย 2 ใน “ x∈′ → x2 เปน จาํ นวนคู” จะไดป ระพจนทเี่ ปน จรงิ และเมื่อแทน x ดว ยจํานวนจริง ใน “ x∈ → x −1≥ 0 ” จะไดประพจนทเี่ ปนจริง 15) มีจาํ นวนอตรรกยะบางจํานวนที่ยกกาํ ลังสองแลว เทากบั ศูนยห รือจํานวนเต็ม ทุกจํานวนเปนจาํ นวนตรรกยะ เปน จริง โดยเขยี นขอ ความดงั กลา วใหอ ยูในรปู สัญลักษณไดด ังน้ี ( )∃x x2= 0 ,U= ′ ∨ (∀x[x ∈], U= ) เมอ่ื แทน x ดวยจํานวนเต็ม ใน x∈ จะไดประพจนท ่เี ปนจริง 14. 1) นิเสธของ  ∀x   ( x ≠ 5)  เขยี นแทนดวย  ( ∀x   ( x ≠ 5) ) ซงึ่ สมมลู กบั ∀x[ x =5 ] ดังนั้น นเิ สธของ  ∀x   ( x ≠ 5)  คอื ∀x[ x ≠ 5 ] 2) นิเสธของ ∃x[ x∈ ∧ x ≥ 5 ] เขยี นแทนดว ย  (∃x[ x∈∧ x ≥ 5 ]) ซึง่ สมมลู กับ ∀x[ x∉ ∨ x < 5 ] ดงั นนั้ นเิ สธของ ∃x[ x∈ ∧ x ≥ 5 ] คอื ∀x[ x∉ ∨ x < 5 ] 3) นเิ สธของ ∀x  x2 − 5 < 4→ x − 2 ≠ 0 เขยี นแทนดวย (0 ∀x  x2 )− 5 < 4→ x − 2 ≠ 0 ซึ่งสมมลู กบั 0 ∀x  x2 − 5 ≥ 4∨ x − 2 ≠ 0 และสมมูลกบั ∃x  x2 − 5 < 4∧ x − 2 =0 ดงั นน้ั นเิ สธของ ∀x  x2 − 5 < 4→ x − 2 ≠ 0 คือ ∃x  x2 − 5 < 4∧ x − 2 =0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

322 คูม ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 4) นิเสธของ  ∃x[ x − 7 < 5 ] → ∀x[ x ≥ 2 ] เขยี นแทนดวย  ( ∃x[ x − 7 < 5 ] → ∀x[ x ≥ 2 ]) ซงึ่ สมมูลกบั  (∃x[ x − 7 < 5 ] ∨ ∀x[ x ≥ 2 ]) และสมมลู กบั ∀x[ x − 7 ≥ 5 ] ∧ ∃x[ x < 2 ] ดงั น้นั นเิ สธของ  ∃x[ x − 7 < 5 ] → ∀x[ x ≥ 2 ] คอื ∀x[ x − 7 ≥ 5 ] ∧ ∃x[ x < 2 ] 5) นิเสธของ ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ] ∨ ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6)  เขียนแทนดวย ( ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ] ∨ ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6) ) ซึง่ สมมูลกับ  ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ]∧  ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6)  และสมมูลกับ ∃x[ x ∉ ∨ x − 2 ≤ 8 ] ∧ ∀x[ x ≠ 5 ∧ x ≠ 6 ] ดังนั้น นิเสธของ ∀x[ x ∈∧ x − 2 > 8 ] ∨ ∃x  x = 5∨  ( x ≠ 6)  คอื ∃x[ x ∉ ∨ x − 2 ≤ 8 ] ∧ ∀x[ x ≠ 5 ∧ x ≠ 6 ] 6) นเิ สธของ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ] เขียนแทนดวย  (∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ]) ซงึ่ สมมูลกบั  ( ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∨ ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ]) และสมมูลกบั ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ]∧  ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ] และสมมูลกับ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∧ ∃x[ x= 2 ∨ x < 6 ] ดงั นัน้ นิเสธของ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] → ∀x[ x ≠ 2 ∧ x ≥ 6 ] คือ ∃x[ x − 5 < 6 → x > −2 ] ∧ ∃x[ x= 2 ∨ x < 6 ] 7) นเิ สธของขอความ “มีจาํ นวนตรรกยะบางจํานวนเปนจาํ นวนคีแ่ ละจาํ นวนคี่ ทุกจาํ นวนไมเปน จํานวนอตรรกยะ” คือ “จาํ นวนตรรกยะทุกจํานวนไมเปน จํานวนค่ีหรือมจี าํ นวนคี่บางจาํ นวนเปน จาํ นวนอตรรกยะ” สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 323 8) นเิ สธของขอความ “จํานวนนบั ทุกจํานวนมากกวา ศูนยแตจํานวนเตม็ บางจํานวน 15. 1) ยกกําลังสองไมม ากกวาศนู ย” คือ “มีจํานวนนับบางจาํ นวนนอยกวา หรือเทากบั ศูนยหรอื กาํ ลังสองของจํานวนเต็มใด ๆ มีคามากกวา ศูนย” 2) ∀x[ x ∈  ∧ x ∉ ] สมมลู กบั ∀x ( x ∈∨ x ∉)  3) เนอื่ งจาก ( x∈∨ x∉) ไมสมมูลกบั x∈ ∨ x∉  4) ดงั น้ัน ∀x[ x∈  ∧ x∉ ] ไมสมมูลกับ ∀x[ x∈ ∨ x∉  ] ∀x  x > 0 → x3 > 0  สมมลู กับ ∀x  x ≤ 0 ∨ x3 > 0  5) เน่อื งจาก x ≤ 0 ∨ x3 > 0 ไมส มมูลกบั x > 0 ∨ x3 > 0 ดังนนั้ ∀x  x > 0 → x3 > 0  ไมส มมูลกับ ∀x  x > 0 ∨ x3 > 0  ∃x  x2 > 0  สมมลู กับ (00 ∃x  x2 > 0 ) ซ่ึงสมมูลกบั (0 ∀x  x2 ≤ 0 ) ดงั น้นั ∃x  x2 > 0  สมมลู กบั (0 ∀x  x2 ≤ 0 )  ∀x  x =9 ∧ x ≠ 3  สมมูลกับ ∃x  x ≠ 9 ∨ x =3  ซงึ่ สมมลู กบั ∃x  x =9 → x =3  เนอ่ื งจาก x =9 → x =3 ไมส มมูลกับ x =3 → x =9 ดงั นั้น  ∀x  x =9 ∧ x ≠ 3  ไมสมมูลกับ ∃x  x =3 → x =9  ∃x[ x ∈]∧  ∃x[ x + 3 < 7 ] สมมลู กับ  ∃x[ x + 3 < 7 ] ∧ ∃x[ x ∈] ซึ่งสมมลู กบั ∀x[ x + 3 ≥ 7 ] ∧ ∃x[ x∈ ] เน่ืองจาก ∀x[ x + 3 ≥ 7 ] ไมสมมูลกับ ∀x[ x + 3 < 7 ] ดงั นนั้ ∃x[ x ∈]∧  ∃x[ x + 3 < 7 ] ไมส มมูลกับ ∀x[ x + 3 < 7 ] ∧ ∃x[x ∈ ] สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

324 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ( ) ( )6) 0 ∀x[ x > 0 ] → ∀x x2 −1 ≥ 0 สมมูลกบั 00 ∀x[ x > 0 ] ∨ ∀x x2 −1 ≥ 0 ซ่ึงสมมูลกบั ∀x[ x > 0 ] ∧ ∃x x2 −1< 0 ดงั นน้ั ( )∀x[ x > 0 ] ∧ ∃x  x2 −1 < 0  สมมลู กับ 0 ∀x[ x > 0 ] → ∀x x2 −1≥ 0 7) 0 ∃x  x2 − 7 ≠ 0  ∨ ∀x[ x > −5 ] สมมูลกับ ∀x[ x > −5 ] ∨ 0 ∃x  x2 − 7 ≠ 0  ซึง่ สมมูลกบั ∀x[ x > −5 ] ∨ ∀x  x2 − 7 =0  และสมมลู กบั 0 ∃x[ x ≤ −5 ] ∨ ∀x  x2 − 7 =0  เน่ืองจาก  ∃x[ x ≤ −5 ] ไมสมมลู กบั ∃x[ x ≤ −5 ] ดังนน้ั 0 ∃x  x2 − 7 ≠ 0  ∨ ∀x[ x > −5 ] ไมส มมูลกับ ∃x[ x ≤ −5 ] ∨ ∀x x2 − 7 =0 8)  (∀x[ x ∈]∧  ∀x[ x ≠ 7 ]) สมมลู กบั  ∀x[ x ∈] ∨ ∀x[ x ≠ 7 ] ซ่งึ สมมลู กับ ∀x[ x ≠ 7 ] ∨  ∀x[ x∈] และสมมูลกบั  ∃x[ x = 7 ] ∨  ∀x[ x∈] และสมมูลกบั ∃x[ x = 7 ] →  ∀x[ x∈] ดงั นนั้  (∀x[ x ∈]∧  ∀x[ x ≠ 7 ]) สมมูลกับ ∃x[ x = 7 ] →  ∀x[ x ∈] 9) “จาํ นวนค่ีทกุ จํานวนมากกวา ศูนย” เขียนใหอ ยูใ นรูปสญั ลักษณไดเปน ∀x[x > 0], U เปน เซตของจาํ นวนคี่ “ไมจรงิ ท่ีวา จํานวนคบ่ี างจํานวนนอ ยกวา หรือเทากับศนู ย” เขียนใหอ ยูในรูป สญั ลกั ษณไดเปน 0 ∃x[x ≤ 0], U เปน เซตของจํานวนคี่ เน่ืองจาก ∀x[x > 0] สมมลู กับ 0 ∃x[x ≤ 0] ดังน้ัน จาํ นวนคี่ทุกจํานวนมากกวาศูนย สมมลู กบั ไมจ ริงท่ีวาจาํ นวนค่บี างจํานวน นอยกวา หรอื เทา กับศูนย สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี