(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

บทท่ี 1 | เซต 39 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 2) 3) 3. 1) 1 ตัว (คอื a ) 2) 2 ตัว (คอื d และ e ) 3) 3 ตวั (คือ x, y และ z ) แบบฝกหดั 1.2 2) A ∩ B ={ 0, 2 } 4) B − A ={ 4, 7, 9 } 1. 1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } ก 6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8 } 3) A − B ={1, 8} ก 8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 } 5) A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } ก 7) A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8 } ก สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 40 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 2. 1) A ∩ B =∅ ก 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 } 3) B ∩ C ={ 3, 5} 4) A ∩ C ={ 4, 6 } 5) C′ = { 0, 1, 2, 7, 8 } 6) C′∩ A ={ 0, 2, 8 } 7) C′∩ B ={1, 7 } 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 } 3. 1) A′ 2) B′ d 3) A′∩ B′ 4) ( A ∪ B)′ s 5) A′∪ B′ 6) ( A ∩ B)′ s สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 41 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 7) A − B 8) A ∩ B′ d 4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 2) A ∪ ( B ∪ C ) d 3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s 5) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 42 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5. 1) A ∩ C ก 2) C ∪ B′ 3) B − A ก 2) A 6. 1) ∅ ก 4) U 3) ∅ ก 6) ∅ 5) U ก 8) ∅ 7) A′ ก แบบฝก หดั 1.3 1. ก เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′ จาํ นวนสมาชกิ 34 19 59 60 75 41 2. 1) n( A ∪ B) =42 2) n( A − B) =12 ก 2) n( A ∪ B ∪ C ) =43 ก 3) n( A′∩ B′) =8 ป 3. 1) n( A ∪ C ) =40 3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก 4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก 5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก 4. n( A ∩ B) =6 ก 5. n( B) = 60 ก 6. 10 คน 7. 152 คน คิดเปน รอยละ 48.72 ของจํานวนผสู ูบบหุ รท่ี ั้งหมด 8. 100 คน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 43 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 9. 2,370 คน แบบฝกหดั ทา ยบท 1. 1) { 48} ด 2) ∅ 3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 } 5) {1, 2, 3,  , 10 } ด 2. 1) ตวั อยางคําตอบ { x | =x 3n − 2 เมอื่ n∈ และ 1 ≤ n≤ 5} 2) ตวั อยางคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 } 3) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x |=x 4n +1 เมอื่ n∈} } 4) ตวั อยางคําตอบ { x | x = n3 เมอื่ n∈} } 3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนันต 3) เซตจํากดั 4) เซตจาํ กดั 5) เซตอนนั ต 4. 1) เปน จรงิ 2) เปน จรงิ 3) เปน เท็จ 4) เปนจริง 5) เปนจรงิ 6) เปนเทจ็ 7) เปน จริง 8) เปน จริง 9) เปน เทจ็ 5. 1) P( A) ∩ P( B) ={ ∅ } 2) P( A ∩ B) ={ ∅ } 3) P( A) ∪ P(B) ={ ∅, { 5}, { 6}, { 8}, { 9}, { 5, 6}, { 8, 9}} 4) P( A′)= { ∅, { 5}, { 6}, { 7 }, { 5, 6}, { 5, 7 }, { 6, 7 }, { 5, 6, 7 }} สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 44 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 6. 1) A จ 2) ∅ 3) U จ 4) A 5) A จ 6) U 7. 1) A ∪ B = A ∪ ( B − A) จ 2) A ∩ B′ = A − ( A ∩ B) จ 3) A′∩ B′ = U − ( A ∪ B) จ จ 2) ( A ∩ B′ )′ 8. 1) A′∩ B ก 3) ( A ∪ B′ )′ ก 9. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 45 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B) 5) ( A∩ B′) ∪ C ก 6) A′∩ (C′∩ B) 7) A ∪ (C′∩ B)′ ก 10. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15} 3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 } 5) {1, 4, 12 } จ 6) { 4, 7, 12 } 7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15 } เปนจริงจ 11. 1) เปนจรงิ 2) เปนจริง 3) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 46 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 12. 1) เปนจรงิ 2) เปน จรงิ 3) เปน จรงิ จ 4) เปนจรงิ 5) เปนจรงิ จ 2) 75% ด 13. n( A) = 167 ก 2) 10 คนั 14. 45% ด 2) 84% ก 15. 1) 10% ด 4) 13%ก 16. 1) 13 คัน 2) 864 คน 17. 405 คน 18. 1) 72% ก 2) 7 4) 14 3) 65% ก 19. 1) 52 คน 3) 136 คน 20. 16%ก 21. 1% 22. 1) 46จ 3) 37จ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 47 คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 บทท่ี 2 ตรรกศาสตร การศกึ ษาเรอ่ื งตรรกศาสตรมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปนรากฐานและเคร่ืองมือที่ สําคัญในการสื่อสารและสื่อความหมายในวิชาคณิตศาสตรและศาสตรอ่ืน ๆ เน้ือหาเรื่อง ตรรกศาสตรท่นี าํ เสนอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 มีเปาหมายเพื่อใหน ักเรียนเรยี นรเู กยี่ วกบั สัญลกั ษณแ ละภาษาทางตรรกศาสตร ซึ่งเพียงพอที่จะ ใชในการส่ือสารและสื่อความหมายทางคณิตศาสตรเพื่อเปนเครื่องมือในการเรียนรูเน้ือหา คณติ ศาสตรในหัวขอ ตอไป ในบทเรียนนม้ี งุ ใหน กั เรยี นบรรลุตัวชวี้ ดั และจดุ มุง หมายดงั ตอ ไปน้ี ตวั ชวี้ ัด / ผลการเรียนรู ตัวชี้วัด เขาใจและใชความรูเกี่ยวกับเซตและตรรกศาสตรเบื้องตน ในการสื่อสารและสื่อความหมาย ทางคณติ ศาสตร ผลการเรียนรู เขา ใจและใชความรูเก่ยี วกบั ตรรกศาสตรเบ้ืองตนในการสอื่ สาร สอ่ื ความหมาย และอางเหตุผล สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 48 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 จุดมุง หมาย 1. จําแนกขอความวาเปน ประพจนหรอื ไมเปน ประพจน 2. หาคาความจริงของประพจนทม่ี ตี ัวเช่ือม 3. ตรวจสอบความสมมูลระหวา งประพจนสองประพจน 4. จาํ แนกประพจนวาเปนสัจนิรันดรหรอื ไมเ ปน สจั นิรันดร 5. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอา งเหตุผล 6. หาคาความจรงิ ของประโยคท่ีมีตัวบง ปรมิ าณตวั เดียว 7. ตรวจสอบความสมมลู ระหวา งประโยคสองประโยคท่ีมีตัวบงปรมิ าณตัวเดยี ว 8. หานเิ สธของประโยคที่มตี ัวบง ปรมิ าณตัวเดียว 9. ใชค วามรูเกีย่ วกับตรรกศาสตรใ นการแกปญหา ความรกู อนหนา • ความรเู กยี่ วกบั จาํ นวนและสมการในระดับมัธยมศึกษาตอนตน • เซต 2.1 เนอื้ หาสาระ 1. ประพจน คือ ประโยคหรือขอความที่เปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหน่ึงเทาน้ัน ซึ่ง ประโยคหรือขอความดังกลาวจะอยูในรูปบอกเลาหรือปฏิเสธก็ได ในตรรกศาสตรเรียก การเปน “จรงิ ” หรอื “เท็จ” ของแตล ะประพจนวา “คาความจรงิ ของประพจน” สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 49 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 2. ให p และ q เปนประพจนใด ๆ เม่ือเช่ือมดวยตัวเช่ือม “และ” ( ∧ ) “หรือ” ( ∨ ) “ถา...แลว...” ( → ) และ “ก็ตอเมื่อ” ( ↔ ) จะมีขอตกลงเก่ียวกับคาความจริงของ ประพจนที่ไดจากการเช่ือมประพจน p และ q โดยให T และ F แทนจริงและเท็จ ตามลําดบั ดังน้ี p q p∧q p∨q p→q p↔q TTTTTT T FFT FF FT FT T F FFFFT T ถา p เปนประพจนใด ๆ แลว นิเสธของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ  p และเขียน ตารางคาความจริงของ  p ไดดังน้ี p p TF FT 3. ให p, q และ r เปน ประพจนซ งึ่ ยงั ไมกําหนดคา ความจรงิ จะเรียก p, q และ r วาเปน ตวั แปรแทนประพจนใด ๆ และเรยี กประพจนทม่ี ีตัวเช่อื ม เชน  p, p ∧ q, p ∨ q, p → q, p ↔ q วา “รูปแบบของประพจน” 4. ถารปู แบบของประพจนส องรปู แบบใดมีคาความจริงตรงกันกรณีตอกรณี แลวจะสามารถ นาํ ไปใชแทนกันได เรียกสองรูปแบบของประพจนดังกลาววาเปน รูปแบบของประพจนท่ี สมมูลกนั รูปแบบของประพจนที่สมมูลกนั ทีค่ วรทราบมีดงั นี้ p ≡  ( p) p∧q ≡ q∧ p สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 50 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 p∨q ≡ q∨ p  ( p ∧ q) ≡  p∨  q  ( p∨ q) ≡  p∧  q p →q ≡  p∨q p → q ≡  q → p p ↔ q ≡ ( p → q)∧(q → p) p ∧(q∨ r) ≡ ( p ∧q)∨( p ∧ r) p∨(q ∧ r) ≡ ( p∨q)∧( p∨ r) 5. รูปแบบของประพจนท ม่ี ีคาความจริงเปน จรงิ ทุกกรณี เรียกวา สัจนิรันดร 6. การอางเหตุผลคือ การอางวา เมื่อมีประพจน p1, p2,  , pn ชุดหนึ่ง แลวสามารถสรุป ประพจน C ประพจนหนึ่งได การอางเหตุผลประกอบดวยสวนสําคัญสองสวนคือ เหตุ หรือส่ิงท่ีกําหนดให ไดแก ประพจน p1, p2,, pn และ ผลหรือขอสรุป คือ ประพจน C โดยใชตัวเช่ือม ∧ เชื่อมเหตทุ ้งั หมดเขา ดวยกัน และใชตัวเช่ือม → เชื่อมสวนท่ีเปนเหตุกับ ผลดังนี้ ( p1 ∧ p2 ∧  ∧ pn ) → C จะกลา ววา การอางเหตผุ ลนี้สมเหตสุ มผล เมื่อรูปแบบของประพจน ( p1 ∧ p2 ∧∧ pn ) → C เปนสจั นริ ันดร 7. ประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลา หรือประโยคปฏิเสธท่ีมีตัวแปร และเมื่อแทนตัวแปรดวย สมาชกิ ในเอกภพสัมพัทธแ ลวไดประพจน 8. เรียก “สําหรับ...ทุกตัว” และ “สําหรับ...บางตัว” วา ตัวบงปริมาณ แทนดวยสัญลักษณ ∀ และ ∃ ตามลาํ ดบั โดยใชสัญลักษณ ∀x แทน สาํ หรับ x ทุกตัว ∃x แทน สาํ หรบั x บางตวั สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 51 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ถา P(x) เปนประโยคเปดที่มี x เปนตัวแปร คาความจริงของ P(x) ท่ีมีตัวบงปริมาณ ตวั เดยี ว เปน ดงั น้ี ∀x P(x) มีคาความจริงเปนจริง ก็ตอเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย สมาชิกแตละตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนที่มีคาความจริง เปน จริงท้ังหมด ∀x P(x) มีคาความจริงเปนเท็จ ก็ตอเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย สมาชิกอยางนอยหน่ึงตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนท่ีมี คาความจริงเปน เท็จ ∃x P(x) มีคาความจริงเปนจริง ก็ตอเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย สมาชิกอยางนอยหน่ึงตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนที่มี คาความจริงเปนจรงิ ∃x P(x) มีคาความจริงเปนเท็จ ก็ตอเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ดวย สมาชิกแตละตัวในเอกภพสัมพัทธ แลวไดประพจนท่ีมีคาความจริง เปนเทจ็ ท้ังหมด 2.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกับการสอน ประพจน ประเดน็ สําคญั เกีย่ วกบั เน้ือหาและสิ่งท่ีควรตระหนกั เกยี่ วกับการสอน • การจําแนกขอความวาเปนประพจนหรือไมเปนประพจน อาจไมจําเปนตองทราบ คาความจริงทแ่ี นน อนของประพจนน้ัน เชน มสี ิ่งมีชวี ิตอยบู นดาวอังคาร สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 52 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 • การเลือกตัวอยางในช้ันเรียนหรือแบบทดสอบระหวางเรียนที่จะใหนักเรียนบอก คาความจริงของประพจนท่ีไมใชขอความทางคณิตศาสตร ครูควรเลือกใหเหมาะสมกับ ความรูและประสบการณของนักเรียน เชน ยุงลายเปนพาหะของโรคไขเลือดออก โรคเลือดออกตามไรฟนเปนโรคท่ีเกิดจากการขาดวิตามินซี และหลีกเล่ียงตัวอยางขอความ ท่ีใชความรูสึกในการตดั สินวา ขอความนั้นเปนจริงหรือเท็จ เชน นารสี วย ปกรณเ ปนคนดี • ในการสอนเกี่ยวกับประพจน ครูไมควรยกตัวอยางขอความท่ีใชสรรพนามบุรุษที่ 2 และ 3 เชน เขาซ้ือขนม ลุงกับปาไปเท่ียวตางประเทศ ซึ่งอาจทําใหนักเรียนเกิดความสับสนวา ขอความดังกลาวเปนประพจนหรือไม เนื่องจากนักเรียนจะตองทราบบริบทของขอความ ดังกลาวจึงจะสามารถสรุปคาความจริงของขอความดังกลาวได เชน “เขา” “ลุง” “ปา” หมายถึงใคร ประเดน็ สาํ คัญเก่ยี วกับแบบฝก หดั แบบฝกหดั 2.1 2. จงเขียนประโยคหรือขอความที่เปนประพจนมา 5 ประพจน พรอมทั้งบอก คาความจริงของประพจนน้นั ๆ แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ โดยอาจเปนไดทั้งขอความทางคณิตศาสตร เชน ∅∈{1, 2, 3} และไมใ ชขอความทางคณิตศาสตร เชน หนึ่งปมีสิบสองเดือน ควรใหนักเรียน มีอิสระในการเขียนประโยคหรือขอความที่เปน ประพจน ซึ่งคําตอบของนักเรียนไมจําเปนตอง ตรงกับทีค่ รูคิดไว สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 53 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 การเชือ่ มประพจน การเชอื่ มประพจนดว ยตัวเชื่อม “และ” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเช่ือม “และ” โดยให นักเรยี นทาํ กจิ กรรมตอไปน้ี กิจกรรม : การแตงกายของลูกปด ให p แทนขอความ “ลูกปด ใสเ ส้ือสขี าว” และ q แทนขอความ “ลูกปด ใสกางเกงสีฟา” จะไดว า p ∧ q แทนขอ ความ “ลกู ปดใสเ ส้ือสขี าวและลูกปด ใสกางเกงสฟี า” หรือเขยี นโดยยอเปน “ลูกปดใสเ ส้ือสีขาวและกางเกงสฟี า ” ข้นั ตอนการปฏิบัติ 1. ครใู หนักเรียนเติมตารางคาความจริง ตอ ไปน้ี ลูกปด ใสเ สอ้ื สีขาว ลูกปดใสก างเกงสีฟา ลกู ปด ใสเสื้อสีขาวและ ( p) (q) กางเกงสฟี า ( p ∧q) 2. ครใู หน ักเรยี นรว มกนั อภปิ รายเกยี่ วกับตารางคา ความจริงทไ่ี ดจ ากขอ 1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 54 คูม อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “และ” มีขอตกลง วาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีท่ีประพจนที่นํามาเชื่อมกันนั้นเปนจริงทั้งคู กรณีอื่น ๆ เปน เท็จทกุ กรณี จากนนั้ ครูสรปุ การเขยี นตารางคาความจริงของ p ∧ q ประเด็นสําคัญเกยี่ วกับเน้ือหาและส่งิ ทีค่ วรตระหนักเกยี่ วกับการสอน สําหรับภาษาท่ีใชในชีวิตประจําวัน อาจแทนตัวเชื่อม “และ” ดวยคําอื่นซ่ึงใหความหมาย อยา งเดียวกัน เชน “แต” “นอกจากนั้นแลว” “ถึงแมวา” “ในขณะท่ี” ตัวอยางประโยค ที่พบไดในชีวิตประจําวัน เชน วรรณชอบวิชาคณิตศาสตรแตนุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ สมศกั ดเิ์ ปน หัวหนาหองนอกจากน้ันแลวเขายังเปนประธานนักเรียนดวย วิชัยทํางานหนัก ถึงแมว า เขาปวย นํ้าผ้งึ อานหนังสอื ในขณะทนี่ า้ํ ฝนดูโทรทัศน การเชอื่ มประพจนด วยตัวเชอ่ื ม “หรอื ” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “หรือ” โดยให นกั เรยี นทาํ กจิ กรรมตอไปนี้ กิจกรรม : สัตวเ ลยี้ งของตน นา้ํ ให p แทนขอความ “ตน นาํ้ เลีย้ งแมว” และ q แทนขอความ “ตนน้าํ เลีย้ งนก” จะไดวา p ∨ q แทนขอ ความ “ตนนํา้ เลยี้ งแมวหรือตนนา้ํ เลย้ี งนก” หรอื เขยี นโดยยอ เปน “ตน น้าํ เลีย้ งแมวหรือนก” สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 55 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ขนั้ ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครูใหนกั เรียนเติมตารางคาความจรงิ ตอ ไปน้ี ตน นํา้ เลยี้ งแมว ตนนา้ํ เลีย้ งนก ตน นํา้ เลี้ยงแมวหรือนก ( p ∧q) ( p) (q) 2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภปิ รายเก่ยี วกบั ตารางคา ความจรงิ ท่ีไดจากขอ 1 เมอื่ จบกิจกรรมนแี้ ลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเชื่อมประพจนดวย “หรือ” มีขอตกลง วา ประพจนใหมจะเปนเท็จในกรณีท่ีประพจนที่นํามาเช่ือมกันเปนเท็จทั้งคู กรณีอื่น ๆ เปนจริง ทกุ กรณี จากนัน้ ครสู รุปการเขียนตารางคาความจริงของ p ∨ q ประเด็นสาํ คญั เก่ยี วกบั เนื้อหาและสงิ่ ท่คี วรตระหนักเกยี่ วกับการสอน การใชตัวเชื่อม “หรือ” ในทางตรรกศาสตรจะหมายถึงการเลือกอยางใดอยางหนึ่งหรือ ทงั้ สองอยา ง การเช่อื มประพจนด วยตัวเช่ือม “ถา...แลว ...” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพ่ือใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “ถา...แลว...” โดยใหน ักเรยี นทํากิจกรรมตอ ไปนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 56 คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 กจิ กรรม : สญั ญาระหวา งพอกบั จิ๋ว ให p แทนขอ ความ “จ๋วิ กวาดบาน” และ q แทนขอความ “พอ ใหขนม” จะไดว า p → q แทนขอความ “ถา จิ๋วกวาดบา นแลว พอ จะใหขนม” การรักษาสัญญาของพอจะเทียบกบั คาความจริงของ p → q ซ่ึงในกรณีท่ี p → q เปนจริง หมายถงึ พอรกั ษาสญั ญา ในกรณที ี่ p → q เปน เทจ็ หมายถึง พอ ไมร ักษาสัญญา ขน้ั ตอนการปฏิบตั ิ 1. ครใู หน ักเรยี นเติมคาความจริงลงในตารางตอไปน้ี จิ๋วกวาดบา น พอ ใหขนม พอ รักษาสัญญา ( p) (q) ( p → q) 2. ครใู หนักเรยี นรว มกนั อภิปรายเกี่ยวกับตารางคา ความจริงท่ไี ดจ ากขอ 1 เม่ือจบกิจกรรมนี้แลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ถา...แลว...” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนเท็จในกรณีที่เหตุเปนจริงและผลเปนเท็จเทานั้น กรณีอ่ืน ๆ เปนจริงทุกกรณี ครูควรชี้แจงเพิ่มเติมวาประพจนซึ่งตามหลังคําวา ถา เรียกวา “เหตุ” สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 57 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 สวนประพจนซ่ึงตามหลังคําวา แลว เรียกวา “ผล” จากนั้นครูสรุปการเขียนตารางคาความจริง ของ p → q การเช่ือมประพจนดวยตวั เช่ือม “กต็ อเมื่อ” ครอู าจนาํ เขา สบู ทเรียนเพอื่ ใหนกั เรยี นเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ก็ตอเม่ือ” โดยให นักเรียนทํากิจกรรมตอ ไปนี้ กิจกรรม : เกรดวชิ าคณติ ศาสตรข องปุยนนุ คาความจริงของประพจนทีม่ ีตัวเชื่อม “กต็ อ เมอื่ ” อาจพิจารณาจากสถานการณใ นชวี ติ จริงได เชน โรงเรียนแหงหนึ่งกําหนดวา “นักเรียนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือนักเรียนไดคะแนน ต้ังแต 80% ของคะแนนเต็ มวิ ชาคณิ ตศาสตร ” สมมติ ว าปุ ยนุ นเป นนั กเรี ยน ของโรงเรียนแหงน้ี ให p แทนขอความ “ปยุ นุนไดเ กรด 4 วชิ าคณติ ศาสตร” และ q แทนขอ ความ “ปยุ นุนไดคะแนนตั้งแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร” จะไดวา p ↔ q แทนขอความ “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือปุยนุน ไดคะแนนตั้งแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณติ ศาสตร” การเกดิ ขึ้นไดของสถานการณน้ีจะเทียบไดกับคาความจรงิ ของ p ↔ q ในกรณีทส่ี ถานการณน ีเ้ กดิ ข้ึนไดจริง จะไดวา p ↔ q เปน จรงิ ในกรณีทีส่ ถานการณน ไ้ี มส ามารถเกิดขึ้นได จะไดว า p ↔ q เปนเท็จ ขั้นตอนการปฏิบตั ิ 1. ครใู หน กั เรยี นเติมคาความจริงลงในตารางตอไปนี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 58 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ปุยนุน ไดเกรด 4 วชิ า ปุยนนุ ไดคะแนนตง้ั แต การเกิดขนึ้ ไดของ คณติ ศาสตร 80% ของคะแนนท้ังหมด สถานการณน ้ี ( p) (q) ( p ↔ q) 2. ครูใหน ักเรียนรวมกันอภปิ รายเกีย่ วกบั ตารางคา ความจริงท่ีไดจ ากขอ 1 เม่ือจบกิจกรรมนี้แลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ก็ตอเมื่อ” มีขอตกลง วาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีท่ีประพจนท่ีนํามาเชื่อมกันน้ันเปนจริงทั้งคูหรือเปนเท็จทั้งคู เทา นนั้ กรณอี ่ืน ๆ เปนเทจ็ เสมอ จากนั้นครูสรุปการเขียนตารางคาความจริงของ p ↔ q ประเดน็ สําคญั เก่ียวกบั เน้อื หาและสงิ่ ท่ีควรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน ตัวเชอื่ ม “ก็ตอเม่ือ” พบไดบ อยในการศึกษาคณิตศาสตร เชน บทนยิ ามเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม หนาจั่ว ซ่ึงกลาววา “รูปสามเหลี่ยมหนาจ่ัว คือ รูปสามเหล่ียมท่ีมีดานยาวเทากันสองดาน” หมายความวา “รูปสามเหลี่ยมใดจะเปนรปู สามเหล่ียมหนาจ่วั ก็ตอเม่ือรูปสามเหลี่ยมน้ันมีดาน ยาวเทากันสองดา น” ซง่ึ มีความหมายเดียวกับ “ถารูปสามเหลี่ยมใดเปนรูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว แลวรปู สามเหลี่ยมนั้นจะมีดานยาวเทากันสองดาน และ ถารูปสามเหลี่ยมใดมีดานยาวเทากัน สองดานแลวรปู สามเหลี่ยมนน้ั จะเปน รปู สามเหล่ยี มหนา จั่ว” สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 59 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 นิเสธของประพจน ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพ่ือใหนักเรียนเขาใจเก่ียวกับนิเสธของประพจน โดยใหนักเรียนทํากิจกรรม ตอไปน้ี กจิ กรรม : งานอดเิ รกของหนดู ี ให p แทนขอ ความ “หนูดอี านหนงั สอื ” จะไดวา  p แทนขอความ “หนูดีไมไดอ า นหนงั สือ” จะไดตารางคาความจริง ดังนี้การ ขั้นตอนการปฏิบัติ 1. ครใู หน กั เรียนเติมคา ความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้ หนูดีอานหนงั สือ หนูดีไมไ ดอ านหนงั สือ ( p) ( p) 2. ครูใหน ักเรียนรวมกนั อภิปรายเกี่ยวกับตารางคา ความจริงทีไ่ ดจากขอ 1 เม่ือจบกิจกรรมนี้แลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาคาความจริงของนิเสธจะตรงขามกับ คา ความจรงิ ของประพจนเดิมเสมอ จากน้นั ครสู รุปการเขียนตารางคาความจริงของ  p สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 60 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 การหาคาความจรงิ ของประพจน ประเดน็ สาํ คัญเก่ยี วกับเนอ้ื หาและสิง่ ที่ควรตระหนกั เก่ียวกับการสอน • ครูควรเขียนวงเล็บในตัวอยางท่ีตองการใหนักเรียนพิจารณาคาความจริงทุกคร้ัง ไมควรละวงเล็บไวใหนักเรียนตัดสินใจเอง ยกเวนตัวเช่ือม “  ” ซึ่งในหนังสือเรียน ของ สสวท. ไมไดใสวงเล็บไวเชนกัน เน่ืองจากถือวาเปนตัวเชื่อมท่ีตองหาคาความจริง กอน เชน สําหรับประพจน p∨  p นั้น ตองหาคาความจริงของ  p กอน แลวจึงหา คาความจรงิ ของ p∨  p ซงึ่ มคี วามหมายเชน เดียวกบั p ∨ ( p) • การหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเช่ือมสามารถทําไดหลายวิธี ท้ังน้ีครูควรให นั ก เ รี ย น ฝ ก ฝ น ก า ร ห า ค า ค ว า ม จ ริ ง ข อ ง ป ร ะ พ จ น ที่ มี ตั ว เ ชื่ อ ม โ ด ย ใ ช แ ผ น ภ า พ ซ่ึงสามารถเขียนแสดงไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแผนภาพ โดยไมจาํ เปนจะตอ งตรงกับทีค่ รูคิดไว จะเปนประโยชนใ นการศกึ ษาหัวขอตอ ๆ ไป รูปแบบของประพจนท ี่สมมลู กัน ประเดน็ สาํ คัญเกี่ยวกบั เนือ้ หาและสง่ิ ท่คี วรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน • การพิจารณารูปแบบของประพจนท ี่สมมูลกันสามารถทําไดโดยพิจารณาจากตาราง คาความจรงิ และเมื่อนกั เรียนรจู ักรปู แบบของประพจนทส่ี มมูลกันทคี่ วรทราบแลว นกั เรยี นสามารถใชร ปู แบบของประพจนเ หลา นัน้ ชวยในการพจิ ารณาการสมมลู กนั ของ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 61 คูม ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 รูปแบบของประพจนคูอื่น ๆ ได ดังน้ันครูควรช้ีแนะนักเรียนและฝกฝนใหนักเรียนจํา รูปแบบของประพจนที่สมมูลกันใหได เน่ืองจากนักเรียนจะตองนําความรูนี้ไปใชเปน พืน้ ฐานในการเรยี นคณิตศาสตร • รูปแบบของประพจนที่สมมูลกันสามารถเทียบไดกับสมบัติการสลับท่ี การเปลี่ยนหมู และการแจกแจงของการบวกหรอื การคูณจํานวน • p →q ≡  p∨ q เปนรูปแบบของประพจนท่สี มมูลกนั ทีส่ าํ คญั มาก เนื่องจากจะใชเปน พืน้ ฐานในการแสดงการสมมลู ของรปู แบบของประพจนค ูอนื่ ๆ ประเดน็ สาํ คัญเก่ียวกบั แบบฝก หดั แบบฝก หัด 2.5 1. จงเขยี นขอความทีส่ มมลู กับขอความตอไปน้ี 1) 2 เปนจํานวนตรรกยะ กต็ อเม่ือ 2 เปนจํานวนจริง 2) ภพหรอื ภูมิเปนนกั เรยี น และ ภพหรอื ภทั รเปนนักเรยี น แบบฝกหัดน้มี คี ําตอบไดห ลายแบบ โดยใชค วามรเู กีย่ วกบั รูปแบบของประพจนทสี่ มมูลกัน ครูควรใหน ักเรียนมีอสิ ระในการเขยี นประโยคหรือขอความท่ีเปนประพจน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 62 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 สจั นริ ันดร ประเด็นสําคญั เก่ียวกบั เนอ้ื หาและสง่ิ ท่คี วรตระหนกั เกี่ยวกับการสอน • ในหวั ขอ นี้จะเนนการตรวจสอบการเปน สัจนิรนั ดรของรูปแบบของประพจนท เ่ี ชื่อมดวย “ถา ... แลว ...” เนื่องจากจะเปนพืน้ ฐานในการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลในหัวขอถัดไป • การตรวจสอบการเปนสัจนริ นั ดรสามารถทําไดหลายแบบ เชน วิธีการใชตารางคาความจริง วิธีการหาขอขัดแยง • รปู แบบของประพจนท เ่ี ชอ่ื มดว ย “ถา ... แลว ...” จะเปนเท็จไดเพียงกรณีเดียว คือ เหตุ เปนจริง แตผลเปนเท็จ ดังน้ันในการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบของ ประพจนท ี่เชื่อมดว ย “ถา ... แลว ...” สามารถทาํ ไดโดยใชว ิธีการหาขอ ขัดแยง • การตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบของประพจนท่ีสมมูลกันท่ีเช่ือมดวยตัวเช่ือม “ก็ตอเมื่อ” สามารถทําได เชน  ( p∨ q) กับ  p ∧  q เน่ืองจากรูปแบบของประพจน ทั้งสองสมมูลกัน เม่ือนํามาเช่ือมดวยตัวเชื่อมก็ตอเม่ือ จะได  ( p∨ q) ↔ ( p ∧  q) เปนสัจนิรันดร เพราะ  ( p∨ q) กับ  p∧  q ตางก็มีคาความจริงตรงกันกรณีตอกรณี นอกจากนี้สัจนิรันดรท่ีเช่ือมดวยตัวเช่ือมก็ตอเมื่อ สามารถสรุปไดวารูปแบบของประพจน สองขางของเครื่องหมาย ↔ สมมลู กนั ดวย ความเขาใจคลาดเคลื่อน นักเรียนมักเขาใจวาเมื่อใชวิธีหาขอขัดแยงในการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบ ของประพจนท ่ีเช่อื มดว ย “ถา ... แลว ...” แลว พบขอขัดแยงแลวจะสรุปโดยทันทีวารูปแบบ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 63 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ของประพจนนนั้ เปน สัจนิรันดร ซ่ึงเปนความเขาใจท่ีไมถูกตอง เน่ืองจากการใชวิธีการหาขอ ขัดแยงจะตองตรวจสอบใหครบทุกกรณี ซ่ึงเมื่อพบขอขัดแยงในกรณีหนึ่งแลว อาจยังมี กรณีอื่น ๆ อีกท่ีไมมีขอขัดแยง เชน ในการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของ  p → (q → r) → ( p → q) → r จะพบกรณีท่ีเกิดขอขัดแยง ดังแสดงในแผนภาพตอไปน้ี F TF TT TF FF TT ขดั แยง กัน อยางไรก็ตามกรณี รูปแบบของประพจนนี้มีกรณีท่ีไมเกิดขอขัดแยง ดังแสดงในแผนภาพ ตอ ไปน้ี F T F FT TF FF FF สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 64 คูม อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 จะเห็นวา ขอความ  p → ( q → r ) → ( p → q ) → r ไมเปนสัจนิรันดร จากตัวอยางน้ี จึงสรุปไดวา ในกรณีที่ใชวิธีหาขอขัดแยงในการตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรของรูปแบบของ ประพจนท่ีเชื่อมดวย “ถา ... แลว ...” แลวเกิดขอขัดแยง นักเรียนจําเปนตองพิจารณาวามี กรณีอื่น ๆ ที่ไมเกิดขอขัดแยงหรือไม ถามีกรณีอ่ืนท่ีไมเกิดขอขัดแยง แสดงวารูปแบบของ ประพจนท่กี าํ หนดใหส ามารถเปนเท็จได นนั่ คอื รูปแบบของประพจนน ี้ไมเปนสัจนิรนั ดร ประเดน็ สาํ คัญเกยี่ วกับแบบฝกหดั ในการตรวจสอบรูปแบบของประพจนวาเปนสัจนิรันดรหรือไม ครูควรสนับสนุนใหนักเรียน ใชแผนภาพ เน่ืองจากจะเปนพื้นฐานในการศึกษาเร่ืองการอางเหตุผล แตในกรณีท่ีนักเรียน ไมสามารถใชแผนภาพเพื่อตรวจสอบการเปนสัจนิรันดรได ครูอาจเปดโอกาสใหนักเรียนใช ตารางคาความจริงได ท้ังน้ีเมื่อนักเรียนฝกฝนมากพอจะสามารถเลือกวิธีท่ีเหมาะสมสําหรับ โจทยแ ตละขอ ได ประโยคเปด ประเด็นสาํ คญั เกย่ี วกบั เนอ้ื หาและสงิ่ ท่ีควรตระหนักเกย่ี วกบั การสอน ในการยกตัวอยางประโยคเปด ครูไมควรยกตัวอยางประโยคที่มีตัวแปรบางประโยค เชน x + x =2x , x2 + 3x + 2 = ( x +1)( x + 2) เนื่องจากประโยคเหลาน้ีเปนประพจนท่ีเปนจริง เม่อื พจิ ารณาวาเปน การเขียนแบบละตวั บง ปรมิ าณ ∀x สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 65 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 ตัวบง ปรมิ าณ ประเดน็ สําคัญเก่ยี วกบั แบบฝก หดั แบบฝก หดั 2.9 1. จงเขียนขอความตอไปน้ีในรูปสัญลักษณ เม่ือ U =  4) จาํ นวนเตม็ ทุกจาํ นวนเปน จาํ นวนจรงิ แบบฝก หดั นห้ี ากไมกําหนดเอกภพสัมพัทธ สามารถเขยี นในรูปสญั ลักษณไดเปน ∀x[x ∈ ], U = หรือ ∀x[x ∈ → x ∈ ], U = สมมูลและนิเสธของประโยคทม่ี ตี ัวบงปริมาณ ประเดน็ สําคัญเกีย่ วกับแบบฝก หัด แบบฝก หัด 2.11 2. จงหานิเสธของขอความตอ ไปนี้ แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ โดยใชความรูเกี่ยวกับนิเสธของประพจนที่มี ตัวบง ปริมาณ ครูควรใหน กั เรียนมีอสิ ระในการเขียนนเิ สธของขอ ความท่กี าํ หนด สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 66 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ประเด็นสาํ คัญเกย่ี วกับแบบฝกหัด แบบฝกหดั ทายบท 3. จงเขียนประโยคหรือขอความท่ีเปนประพจนเชิงประกอบที่ใชตัวเช่ือม “ไม” “และ” “หรอื ” “ถา...แลว...” และ “กต็ อ เมื่อ” มาอยางละ 1 ประพจน แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ โดยอาจเปนไดท้ังขอความทางคณิตศาสตร และไมใช ขอความทางคณิตศาสตร ครูควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนประโยคหรือขอความท่ีเปน ประพจน ซงึ่ คําตอบของนกั เรยี นไมจ ําเปนตอ งตรงกบั ท่ีครคู ิดไว 7. กาํ หนดให p, q และ r เปนประพจน จงตรวจสอบวา รูปแบบของประพจนในขอ ตอ ไปนีส้ มมลู กันหรือไม 1) p →( q ∧ r ) กับ ( p → q) ∨ ( p → r ) 2) ( p ∨ q) ∧ r กบั ( p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ) 3)  ( p → q)→ r กบั  ( p ∧ q ∧ r ) 4)  p ↔ q กบั  ( p → q) ∧ (q → p) แบบฝกหัดนี้ในการตรวจสอบวารูปแบบของประพจนที่กําหนดใหไมสมมูลกัน นอกจากจะ แสดงไดโดยใชต ารางคา ความจรงิ แลว อาจแสดงไดโดยใชก ารจดั รูปประพจนท่ีกําหนดใหโดย ใชรูปแบบของประพจนที่สมมูลกันพรอมใหเหตุผลประกอบ เชน รูปแบบของประพจน p →( q ∧ r) กับ ( p → q) ∨ ( p → r) สามารถแสดงการตรวจสอบวา p →( q ∧ r) กบั ( p → q) ∨ ( p → r) สมมลู กนั หรอื ไม ไดด ังนี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 67 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 ( p → q) ∨ ( p → r) ≡ ( p∨  q) ∨ ( p∨ r) ≡  p∨  q∨  p∨ r ≡ ( p∨  p)∨( q∨ r ) ≡  p∨( q∨ r ) ≡ p →( q ∧ r) ซ่ึงจะเห็นวา  q∧ r ไมสมมูลกับ  q∨ r เนื่องจากในการเชื่อมประพจนดวย “และ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีที่ประพจนท่ีนํามาเช่ือมกันนั้นเปนจริงทั้งคู กรณีอ่ืน ๆ เปนเท็จทุกกรณี แตในการเชื่อมประพจนดวย “หรือ” มีขอตกลงวาประพจน ใหมจะเปนเท็จในกรณีที่ประพจนที่นํามาเช่ือมกันเปนเท็จท้ังคู กรณีอ่ืน ๆ เปนจริงทุกกรณี ทําใหไดวา p →( q ∧ r) ไมสมมูลกับ p →( q ∨ r) ดังน้ัน p →( q ∧ r) ไมสมมูล กบั ( p → q) ∨ ( p → r ) 8. จงเขียนขอความทส่ี มมูลกบั ขอความตอไปน้ี แบบฝกหดั นี้มคี ําตอบไดหลายแบบ โดยใชค วามรเู กย่ี วกับรปู แบบของประพจนทีส่ มมูลกนั ครู ควรใหน ักเรียนมีอิสระในการเขียนประโยคหรือขอความท่เี ปนประพจน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 68 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 2.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สอื เรียน กจิ กรรม : ใครคือฆาตกร ถาคุณไดรับหนาที่ใหสอบสวนผูตองสงสัย 3 คน ในคดีฆาตกรรม ซ่ึงแตละคนมีคําใหการ ดังตอไปน้ี นาย ก : นาย ข เปน ฆาตกร และนาย ค เปนผบู ริสทุ ธิ์ นาย ข : ถา นาย ก เปนฆาตกร แลวนาย ค จะเปน ฆาตกรดวย นาย ค : ผมบรสิ ุทธ์ิ แตค นท่เี หลืออยา งนอ ยหน่ึงคนเปนฆาตกร ถามีเพยี งคนเดยี วท่พี ดู จริง โดยผบู รสิ ุทธ์พิ ูดจริง และฆาตกรพูดเท็จ คณุ สามารถบอกไดห รือไมว า  ใครคอื ฆาตกร ขนั้ ตอนการปฏบิ ัติ 1. ถา กาํ หนดให p แทนประพจน “นาย ก เปนผบู ริสุทธิ์” q แทนประพจน “นาย ข เปน ผูบ ริสุทธ์ิ” r แทนประพจน “นาย ค เปน ผูบริสทุ ธิ์” จงเขียนคาํ ใหก ารของท้งั สามคนโดยใช p, q และ r 2. สมมติให นาย ก เปนคนเดยี วที่พูดจริง 2.1 หาคาความจริงของประพจน p, q และ r 2.2 หาคา ความจริงของคาํ ใหการของนาย ก นาย ข และนาย ค 2.3 คาความจริงท่ีไดในขอ 2.2 สอดคลองกับที่สมมติวานาย ก เปนคนเดียวที่พูดจริง หรือไม สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 69 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 3. สมมตใิ ห นาย ข เปน คนเดียวทพ่ี ดู จริง 3.1 หาคา ความจริงของประพจน p, q และ r 3.2 หาคาความจริงของคําใหก ารของนาย ก นาย ข และนาย ค 3.3 คาความจริงท่ีไดในขอ 3.2 สอดคลองกับท่ีสมมติวานาย ข เปนคนเดียวที่พูดจริง หรอื ไม 4. สมมติให นาย ค เปนคนเดยี วท่พี ูดจรงิ 4.1 หาคา ความจรงิ ของประพจน p, q และ r 4.2 หาคาความจริงของคําใหการของนาย ก นาย ข และนาย ค 4.3 คาความจริงที่ไดในขอ 4.2 สอดคลองกับท่ีสมมติวานาย ค เปนคนเดียวที่พูดจริง หรอื ไม 5. จากขอ 2, 3 และ 4 ขอใดที่คาความจริงที่ไดจากคําใหการของนาย ก นาย ข นาย ค สอดคลองกับท่สี มมติไว สรปุ ไดว าใครคอื คนที่พูดจริง และใครคอื ฆาตกร เฉลยกจิ กรรม : ใครคอื ฆาตกร 1. จากสถานการณที่กําหนด จะไดวา คนเปนฆาตกรคือคนท่ไี มเปนผูบริสทุ ธิ์ สามารถเขยี นคาํ ใหก ารของทัง้ สามคนไดดังน้ี นาย ก :  q ∧ r นาย ข :  p → r นาย ค : r ∧ ( p∨  q) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 70 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 2. 2.1 เนอ่ื งจากมคี นเดยี วที่พดู จรงิ จะไดว า นาย ข และนาย ค พูดเทจ็ เนอ่ื งจากผบู รสิ ุทธิ์พูดจรงิ และฆาตกรพดู เท็จ ดงั นั้น นาย ก เปน ผูบรสิ ุทธิ์ นาย ข และนาย ค เปนฆาตกร นนั่ คือ p เปน จรงิ q เปนเท็จ และ r เปน เท็จ 2.2 เนือ่ งจาก p เปนจรงิ q เปนเท็จ และ r เปนเท็จ ดังนั้น คําใหก ารของนาย ก :  q ∧ r เปนเทจ็ คาํ ใหก ารของนาย ข :  p → r เปน จรงิ คําใหก ารของนาย ค : r ∧ ( p∨  q) เปนเท็จ 2.3 ไมสอดคลอ ง 3. 3.1 เนื่องจากมคี นเดียวที่พดู จรงิ จะไดวา นาย ก และนาย ค พูดเทจ็ เนือ่ งจากผูบริสุทธิ์พดู จรงิ และฆาตกรพดู เทจ็ ดังนั้น นาย ข เปน ผูบริสทุ ธ์ิ นาย ก และนาย ค เปน ฆาตกร นัน่ คอื p เปนเท็จ q เปน จริง และ r เปน เท็จ 3.2 เน่ืองจาก p เปนเท็จ q เปนจรงิ และ r เปน เทจ็ ดงั นน้ั คําใหก ารของนาย ก :  q ∧ r เปนเทจ็ คําใหการของนาย ข :  p → r เปน จริง คําใหการของนาย ค : r ∧ ( p∨  q) เปนเทจ็ 3.3 สอดคลอ ง สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 71 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 4. 4.1 เนื่องจากมคี นเดยี วท่ีพดู จริง จะไดว า นาย ก และนาย ข พูดเทจ็ เนอื่ งจากผบู รสิ ุทธ์ิพดู จรงิ และฆาตกรพดู เท็จ ดงั นนั้ นาย ค เปน ผบู รสิ ทุ ธิ์ นาย ก และนาย ข เปนฆาตกร นน่ั คอื p เปน เท็จ q เปน เทจ็ และ r เปน จรงิ 4.2 เนือ่ งจาก p เปน เทจ็ q เปน เทจ็ และ r เปนจริง ดังน้ัน คําใหก ารของนาย ก :  q ∧ r เปนจริง คาํ ใหการของนาย ข :  p → r เปน เทจ็ คําใหการของนาย ค : r ∧ ( p∨  q) เปน จรงิ 4.3 ไมสอดคลอง 5. ขอ 3 เปน ขอ เดยี วท่ีคาความจริงที่ไดจากคาํ ใหการของนาย ก นาย ข และนาย ค สอดคลองกบั ท่ีสมมติไว สรุปไดวา นาย ข เปน คนเดียวที่พดู จริง นั่นคอื นาย ข เปนคนเดียวท่เี ปนผบู ริสุทธิ์ ดังนนั้ ฆาตกรคอื นาย ก และนาย ค แนวทางการจัดกิจกรรม : ใครคอื ฆาตกร เวลาในการจัดกิจกรรม 50 นาที กจิ กรรมน้ีเสนอไวใ หนกั เรยี นใชความรู เร่ือง ตรรกศาสตรเบ้ืองตน เพื่อแกปญหาในสถานการณ ทก่ี ําหนดให โดยกิจกรรมนี้มสี ื่อ/แหลงการเรยี นรู และข้นั ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี สอื่ /แหลงการเรียนรู ใบกจิ กรรม “ใครคอื ฆาตกร” สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 72 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ขน้ั ตอนการดาํ เนินกจิ กรรม 1. ครแู บง กลุม นักเรยี นแบบคละความสามารถ กลุม ละ 3 – 4 คน 2. ครูแจกใบกิจกรรม “ใครคือฆาตกร” จากน้ันบอกภารกิจท่ีจะมอบหมายใหนักเรียนแตละ กลมุ ชวยกันสอบสวนผูตอ งสงสยั จากสถานการณท ่ีกาํ หนดให 3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันตอบคําถามท่ีปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติขอ 1 – 4 ในใบ กิจกรรม ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหท่ัวถึงทุกกลุม และ สอบถามความคิดเห็นหรือแนวคิดที่ใชในการแกปญหา ท้ังน้ี ครูควรเนนย้ํากับนักเรียนวา เง่ือนไขสําคัญของสถานการณน้ี คือ มีเพียงคนเดียวท่ีพูดจริง โดยผูบริสุทธ์ิพูดจริง และ ฆาตกรพูดเท็จ 4. ครูสุมเลอื กกลุมนกั เรยี น 3 กลุม นาํ เสนอแนวคิดและเหตุผลท่ีสนับสนุนคําตอบของตนเอง และใหนกั เรียนกลุมอ่ืน ๆ รวมกันอภิปรายเก่ียวกับความสมเหตุสมผลของคําตอบ โดย เปดโอกาสใหกลุมท่ีมีคาํ ตอบแตกตา งกนั ไดนําเสนอแนวคิด 5. ครสู รปุ คําตอบพรอมแนวทางทถี่ ูกตอ งในการแกปญ หา 2.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน การวดั ผลระหวา งเรียนเปนการวดั ผลการเรยี นรเู พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรู ระหวา งเรียนของนักเรยี น ซ่ึงหนงั สือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 2 ตรรกศาสตร ครูอาจใชแ บบฝก หัดเพื่อวัดผลประเมนิ ผลความรใู นแตล ะเน้ือหาไดดงั นี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร 73 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 เน้อื หา แบบฝก หดั ประพจนแ ละคา ความจริงของประพจน 2.1ก ขอ 1, 2 การเชือ่ มประพจน 2.2ก ขอ 1 – 4 การหาคา ความจริงของประพจน 2.3 ขอ 1, 2 การสรา งตารางคา ความจรงิ 2.4 ขอ 1 – 6 รูปแบบของประพจนท่ีสมมูลกันและรูปแบบของประพจน 2.5 ขอ 1 – 3 ทเ่ี ปน นเิ สธกนั สัจนริ นั ดร 2.6ก ขอ 1 – 5 การอา งเหตุผล 2.7ก ขอ 1, 2 ประโยคเปด 2.8 ขอ 1 – 10 ตวั บง ปรมิ าณ 2.9 ขอ 1, 2 คา ความจริงของประโยคทม่ี ีตวั บงปริมาณตวั เดยี ว 2.10 ขอ 1 – 10 สมมูลและนิเสธของประโยคทม่ี ีตวั บงปรมิ าณ 2.11 ขอ 1, 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร 74 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 2.5 การวิเคราะหแ บบฝก หัดทา ยบท หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีจุดมุงหมายวา เม่ือนกั เรียนไดเรียนจบบทท่ี 2 ตรรกศาสตร แลว นักเรยี นสามารถ 1. จาํ แนกขอความวาเปน ประพจนหรือไมเ ปน ประพจน 2. หาคาความจริงของประพจนท มี่ ีตวั เช่ือม 3. ตรวจสอบความสมมูลของประพจนสองประพจน 4. จําแนกประพจนว าเปน สัจนิรันดรหรือไมเ ปนสจั นิรนั ดร 5. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอางเหตุผล 6. หาคาความจรงิ ของประโยคท่มี ีตวั บง ปริมาณตัวเดียว 7. ตรวจสอบความสมมลู ระหวา งประโยคสองประโยคท่ีมีตวั บงปรมิ าณตัวเดยี ว 8. หานเิ สธของประโยคท่มี ีตวั บงปริมาณตวั เดียว ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดทายบทท่ีประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือ วัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความ นา สนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียน ตามจุดมุงหมายของบทเพื่อตรวจสอบวานักเรียนมีความสามารถตามจุดมุงหมายเม่ือเรียนจบ บทเรียนหรือไม ทัง้ น้ี แบบฝก หดั ทา ยบทแตล ะขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 บทท่ี 2 ตรรกศาสตร สอดคลองกบั จุดมุงหมายของบทเรียน ดังน้ี สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

จ ขอ ขอ จําแนกขอความ หาคาความจริง ตรวจสอบ จาํ แนกประพจน ตร ยอ ย วาเปน ประพจน ของประพจนท่ี ความสมมูล วา เปนสจั นริ ันดร สมเ หรือไมเ ปน ของประพจน กา มตี ัวเชื่อม สองประพจน หรอื ไมเ ปน ประพจน สจั นริ ันดร 1. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  2. 1)  2)  3)  4)  3. โจท

จดุ มงุ หมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคา ความจริง ความสมมลู หานเิ สธของ ใชค วามรู มเหตุสมผลของ ของประโยคที่มี ระหวา งประโยค ประโยคที่มี เกย่ี วกบั ารอา งเหตุผล ตัวบงปรมิ าณ สองประโยคทมี่ ี ตัวบงปรมิ าณ ตรรกศาสตร ตัวบง ปรมิ าณ ตวั เดียว ในการแกป ญ หา ตวั เดยี ว ตัวเดยี ว ทยฝ กทักษะ

จ ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ หาคา ความจริง ตรวจสอบ จาํ แนกประพจน ตร ยอ ย วาเปนประพจน ของประพจนท ่ี ความสมมลู วา เปน สจั นริ ันดร สมเ หรือไมเปน ของประพจน กา มตี วั เชื่อม สองประพจน หรอื ไมเ ปน ประพจน สจั นริ นั ดร 4. 1)  2)  3)  4)  5)   5. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)

จดุ มงุ หมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคา ความจรงิ ความสมมลู หานเิ สธของ ใชค วามรู มเหตุสมผลของ ของประโยคทม่ี ี ระหวางประโยค ประโยคท่มี ี เกี่ยวกบั ารอางเหตผุ ล ตัวบงปรมิ าณ สองประโยคที่มี ตวั บง ปริมาณ ตรรกศาสตร ตวั บง ปรมิ าณ ตัวเดยี ว ในการแกป ญ หา ตวั เดยี ว ตัวเดียว

จ ขอ ขอ จําแนกขอ ความ หาคา ความจริง ตรวจสอบ จําแนกประพจน ตร ยอ ย วาเปนประพจน ของประพจนที่ ความสมมูล วาเปน สัจนริ ันดร สมเ หรอื ไมเ ปน ของประพจน กา มีตัวเชือ่ ม สองประพจน หรือไมเ ปน ประพจน สจั นริ นั ดร 12)  6. 1)   2)  3) 7. 1)  2)  3)  4)  8. 1)  2)  3)  4)  9. 1)  2)  3)  4) 

จดุ มงุ หมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคา ความจรงิ ความสมมลู หานเิ สธของ ใชความรู มเหตุสมผลของ ของประโยคทม่ี ี ระหวางประโยค ประโยคท่มี ี เกย่ี วกบั ารอางเหตผุ ล ตัวบงปรมิ าณ สองประโยคที่มี ตวั บง ปริมาณ ตรรกศาสตร ตวั บง ปรมิ าณ ตัวเดยี ว ในการแกป ญหา ตวั เดยี ว ตัวเดียว

จ ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ หาคา ความจริง ตรวจสอบ จําแนกประพจน ตร ยอย วา เปน ประพจน ของประพจนที่ ความสมมูล วาเปนสจั นิรันดร สมเ หรือไมเปน ของประพจน กา มีตวั เชื่อม สองประพจน หรอื ไมเ ปน ประพจน สัจนริ ันดร 5)  6)  7)  8)  9)  10)  10. 1) 2)  3)  4)  5)  6)  7)  11. 1)  2) 3)

จดุ มุง หมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคา ความจรงิ ความสมมลู หานิเสธของ ใชค วามรู มเหตุสมผลของ ของประโยคทม่ี ี ระหวางประโยค ประโยคท่ีมี เก่ียวกบั ารอา งเหตผุ ล ตวั บง ปรมิ าณ สองประโยคท่มี ี ตวั บง ปรมิ าณ ตรรกศาสตร ตวั บงปริมาณ ตวั เดยี ว ในการแกป ญหา ตวั เดียว ตัวเดียว   

จ ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ หาคาความจรงิ ตรวจสอบ จาํ แนกประพจน ตร ยอย วา เปน ประพจน ของประพจนท ่ี ความสมมลู วา เปนสจั นริ ันดร สมเ หรือไมเปน ของประพจน กา มีตัวเชอ่ื ม สองประพจน หรอื ไมเปน ประพจน สัจนริ ันดร 4) 5) 12. 1) 2) 3) 4) 5) 13. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

จุดมงุ หมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคาความจริง ความสมมลู หานิเสธของ ใชความรู มเหตุสมผลของ ของประโยคทมี่ ี ระหวา งประโยค ประโยคที่มี เกี่ยวกบั ารอางเหตุผล ตวั บง ปรมิ าณ สองประโยคทมี่ ี ตวั บงปรมิ าณ ตรรกศาสตร ตวั บงปรมิ าณ ตวั เดียว ในการแกป ญหา ตวั เดียว ตัวเดยี ว                

จ ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ หาคาความจรงิ ตรวจสอบ จําแนกประพจน ตร ยอย วา เปน ประพจน ของประพจนที่ ความสมมลู วา เปน สจั นิรันดร สมเ หรอื ไมเปน ของประพจน กา มตี ัวเชื่อม สองประพจน หรือไมเปน ประพจน สัจนริ นั ดร 10) 11) 12) 13) 14) 15) 14. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 15. 1) 2)

จดุ มุงหมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคาความจริง ความสมมูล หานเิ สธของ ใชความรู มเหตุสมผลของ ของประโยคทม่ี ี ระหวางประโยค ประโยคท่ีมี เกยี่ วกบั ารอางเหตุผล ตัวบง ปริมาณ สองประโยคทม่ี ี ตวั บงปริมาณ ตรรกศาสตร ตัวบง ปริมาณ ตวั เดียว ในการแกป ญ หา ตัวเดยี ว  ตวั เดยี ว                     

จ ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ หาคาความจรงิ ตรวจสอบ จาํ แนกประพจน ตร ยอย วาเปน ประพจน ของประพจนท ่ี ความสมมูล วา เปนสัจนริ นั ดร สมเ หรอื ไมเ ปน ของประพจน กา มตี ัวเช่อื ม สองประพจน หรอื ไมเปน ประพจน สจั นิรันดร 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 16. 17. 18.

จดุ มงุ หมาย ตรวจสอบ รวจสอบความ หาคาความจรงิ ความสมมลู หานเิ สธของ ใชความรู มเหตุสมผลของ ของประโยคที่มี ระหวา งประโยค ประโยคทม่ี ี เกยี่ วกบั ารอางเหตุผล ตัวบงปรมิ าณ สองประโยคทม่ี ี ตัวบง ปรมิ าณ ตรรกศาสตร ตัวบงปริมาณ ตวั เดยี ว ในการแกป ญ หา ตัวเดียว  ตัวเดยี ว          