(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 175 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 9. 1) 3x − 6 ÷ x2 − 2x x2 −1 x3 − 2x2 + 2x −1 3(x − 2) x(x − 2) = ( x −1)( x +1) ÷ ( x −1)( x2 − x +1) 3( x − 2) ( x −1)( x2 − x +1) = ( x −1)( x +1) × x( x − 2) 3( x2 − x +1) เมอื่ x ≠1 และ x ≠ 2 = x( x +1) 2)  ( x − x x − 2) − ( x 2 x − 3)  ⋅ x x 4   − 1)( −1)( =  x( x − 3) − 2(x − 2)  ⋅ x x 4  ( x −1)( x − 2)(x − 3)  − = ( x x2 − 5x + 4 − 3) ⋅ x x 4 x − −1)( − 2)(x ( x −1)( x − 4) x = ( x −1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = x เม่ือ x ≠1 และ x ≠ 4 (x − 2)(x − 4) 10. จาก a + 2x − 3 a(x2 + 2) + (2x − 3)(2x − 1) 2x −1 x2 + 2 = −1)( x2 + 2) (2x จัดรูปสมการใหมไดเปน a+ 2x −3 = (a + 4) x2 − 8x + (2a + 3) 2x −1 x2 + 2 (2x −1)( x2 + 2) จะไดวา x2 + bx + c = (a + 4) x2 − 8x + (2a + 3) นนั่ คือ a + 4 =1, b =− 8 และ =c 2a + 3 ดงั น้นั a =− 3, b =− 8 และ c = − 3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 176 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 11. จาก 3 + 1 =4 x −1 x2 − 3x + 2 x2 −1 จดั รูปสมการใหมไดเ ปน x 3 + x2 − 1 + 2 − 4 =0 −1 3x x2 −1 จะได x 3 + ( x − 1 x − 2) − ( x 4 x + 1) = 0 −1 1)( −1)( 3( x − 2)( x +1) + ( x +1) − 4( x − 2) =0 ( x −1)( x − 2)( x +1) 3x2 − 6x + 3 =0 ( x −1)( x − 2)( x +1) 3( x −1)2 =0 ( x −1)( x − 2)( x +1) 3( x −1) = 0 เมอ่ื x ≠ 1 ( x − 2)( x +1) จะได x −1 =0 และ ( x − 2)( x +1) ≠ 0 และ x ≠ 1 นนั่ คอื x = 1 โดยท่ี x ≠ 2 และ x ≠ −1 และ x ≠ 1 ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คอื ∅ 12. 1) ขอ ความทีก่ าํ หนดใหเ ปน เทจ็ เชน ให=a 1,=b 2=, c 3 และ d = 5 เนอื่ งจาก 1< 2 และ 3 < 5 นนั่ คอื a < b และ c < d แต 1− 3 > 2 − 5 นัน่ คือ a − c > b − d 2) ขอความทกี่ าํ หนดใหเ ปนเท็จ เชน ให a = 1, b = 2, c = −3 และ d = −2 เนื่องจาก 1< 2 และ −3 < −2 นัน่ คอื a < b และ c < d แต 1(−3) > (2)(−2) นั่นคอื ac > bd 13. วิธที ี่ 1 ให A =[−4, 1) ∪[2, 6] และ B =(−3, 3] ∪[4, 5) จะได A − B = [−4, 1) ∪ [2, 6] − (−3, 3] ∪ [4, 5) เขยี นแสดง A , B และ A − B บนเสนจํานวนไดด ังนี้ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 177 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ดงั น้นั เขยี นแสดง [−4,− 3]∪ (3,4) ∪[5,6] บนเสนจาํ นวนไดดงั นี้ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 วิธีท่ี 2 เนอื่ งจาก [−4, 1) ∪[2, 6] − (−3, 3] ∪[4, 5) = [−4, − 3] ∪ (3, 4) ∪[5, 6] เขียนแสดง [−4, 1) ∪[2, 6] − (−3, 3]∪[4, 5) บนเสน จาํ นวน โดยการเขยี น แสดง[−4, − 3]∪ (3, 4) ∪[5, 6] บนเสนจาํ นวนไดดงั น้ี –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 14. จาก ( 4 x − 1)2 x (x + 1)2 ( x − 3)3 ( x − 8) ≤ 0 (x −1)( x )( x − 5)4 −2 เนอ่ื งจาก (4x −1)2 ≥ 0, ( x +1)2 ≥ 0, ( x − 3)2 ≥ 0 และ ( x − 5)4 ≥ 0 เสมอ นั่นคือ ตองหาเซตคําตอบของอสมการ x (x − 3)( x − 8) ≤ 0 เม่ือ x≠5 ( x −1)( x − 2) พจิ ารณาเสนจาํ นวน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 178 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื (−∞ ∪ 0] ∪ (1, 2) ∪[3, 5) ∪ (5, 8] 15. 1) จาก x + 2 =5 กรณีท่ี 1 x + 2 ≥ 0 น่ันคือ x ≥ −2 จะได x + 2 =5 x = 3 ซ่ึง 3 ≥ −2 นนั่ คือ 3 เปน คําตอบของสมการ กรณที ่ี 2 x + 2 < 0 นน่ั คือ x < −2 จะได −( x + 2) =5 x = − 7 ซง่ึ −7 < −2 น่ันคอื −7 เปน คาํ ตอบของสมการ ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื {−7, 3} สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 179 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 2) จาก x2 − 4 = 4 − x2 กรณีท่ี 1 x2 − 4 ≥ 0 นั่นคือ x2 ≥ 4 ( x ≤ −2 หรือ x ≥ 2) จะได x2 − 4 = 4 − x2 2x2 = 8 x2 = 4 x = − 2 หรือ x = 2 ดงั นน้ั คา x ทีส่ อดคลองคือ x = − 2 หรือ x = 2 กรณีท่ี 2 x2 − 4 < 0 น่นั คอื x2 < 4 (−2 < x < 2) จะได ( )− x2 − 4 = 4 − x2 −x2 + 4 = 4 − x2 0 = 0 ซึง่ เปนจริงทุกจาํ นวนจริง x ดังนนั้ คา x ทส่ี อดคลองคือ คือ x∈(−2, 2) ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื [−2, 2] 16. 1) จากอสมการ x2 − 5 ≥ 4 จะได x2 − 5 ≤ −4 หรือ x2 − 5 ≥ 4 x2 ≤ 1 หรือ x2 ≥ 9 x2 −1 ≤ 0 หรอื x2 − 9 ≥ 0 ( x −1)( x +1) ≤ 0 หรอื ( x − 3)( x + 3) ≥ 0 −1 ≤ x ≤ 1 หรือ x ≤ − 3 หรือ x ≥ 3 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ (−∞, − 3]∪[−1,1]∪[3, ∞) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 180 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 2) จาก 31− x −1 ≥ 1 x −1 +1 เนื่องจาก 1− x = x −1 จะได 3 x −1 −1 ≥ 1 x −1 +1 3 x −1 −1 ≥ 0 −1 x −1 +1 (3 x −1 −1) − ( x −1 +1) ≥0 x −1 +1 2 x −1 − 2 ≥ 0 x −1 +1 2( x −1 −1) ≥ 0 x −1 +1 x −1 −1 ≥0 x −1 +1 เนอื่ งจาก x −1 ≥ 0 เสมอ จะไดว า x −1 +1≥ 0 เสมอ นนั่ คอื x −1 −1 ≥ 0 x −1 ≥ 1 จะได x −1 ≤ −1 หรือ x −1 ≥ 1 x ≤ 0 หรอื x ≥ 2 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ (−∞, 0]∪[2, ∞) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 181 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 17. แสดงสงิ่ ท่โี จทยกําหนดไดด ังรูปตอ ไปนี้ จากรปู จะไดปรมิ าตรของกลอง คือ x(3 − 2x)(4 − 2x) ลูกบาศกฟ ตุ เนอ่ื งจาก โจทยกําหนดใหกลองใบน้มี ีปรมิ าตร 2 ลกู บาศกฟตุ จะได x(3 − 2x)(4 − 2x) = 2 2x(3− 2x)(2 − x) = 2 x(3− 2x)(2 − x) = 1 2x3 − 7x2 + 6x −1 = 0 ( x −1)(2x2 − 5x +1) = 0 น่นั คอื x −1 =0 หรอื 2x2 − 5x +1 =0 ถา x −1 =0 จะได x =1 ถา =2x2 − 5x +1 =0 จะได x −(−5) ± (−5)2 − 4(2)(1) 5 ± 17 =2 ( 2 ) 4 แตเ นอื่ งจากความกวาง ความยาว และความสงู ของกลอ งตองมากกวา 0 นั่นคือ x > 0 , 3 − 2x > 0 และ 4 − 2x > 0 จะไดว า x ∈  0, 3   2  สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 182 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ดงั นัน้ คา ของ x ท่เี ปนไปได คอื 1 หรอื 5 − 17 4 18. จาก x2 − ax − a + 3 = 0 จดั รูปสมการใหมไดเปน x2 − ax + (3 − a) = 0 จะได x= −(−a) ± (−a)2 − 4(1)(3 − a) 2(1) x = a ± a2 + 4a −12 2 จะไดวา x จะเปนจาํ นวนจรงิ กต็ อ เม่ือ a2 + 4a −12 ≥ 0 นนั่ คือ x จะเปน จํานวนจรงิ ก็ตอเมื่อ (a − 2)(a + 6) ≥ 0 ดงั นัน้ คาของ a จะอยใู นชว ง (−∞, − 6]∪[2, ∞) 19. ให x แทนความกวางของกระเปา ใบน้ีในหนวยเดซิเมตร จะไดว า กระเปามีความยาว 2x เดซิเมตร และความสูง 11− 3x เดซิเมตร เนือ่ งจากตอ งการใหกระเปา มีปรมิ าตรอยา งนอย 40 ลูกบาศกเ ดซิเมตร จะได x ⋅ 2x ⋅ (11− 3x) ≥ 40 6x3 − 22x2 + 40 ≤ 0 2( x − 2)(3x2 − 5x −10) ≤ 0 2(x − 2 )  x − 5 + 145  x − 5 − 145  ≤ 0 6   6  น่นั คือ x  −∞, 5 − 145  ∪  5 + 145  ∈  6  2, 6    แตค วามกวา งของกระเปา ตองมากกวา 0 นนั่ คือ x ∈  5 + 145  2, 6   ดังน้ัน กระเปาใบนี้ควรมคี วามกวา งอยางนอ ย 2 เดซเิ มตร สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 183 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 3.8 เฉลยแบบฝก หัด คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 แบงการเฉลยแบบฝกหัด เปน 2 สวน คือ สวนท่ี 1 เฉลยคําตอบ และสวนที่ 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซึ่งเฉลยแบบฝกหัดท่ีอยูในสวนน้ีเปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ตามครสู ามารถศึกษาวิธีทาํ โดยละเอียดของแบบฝก หัดไดใ นสว นทา ยของคมู ือครูเลมนี้ แบบฝก หัด 3.1 1. พจิ ารณาการเปน จํานวนนับ จาํ นวนเต็ม จํานวนตรรกยะ หรือจาํ นวนอตรรกยะ ของจาํ นวนท่ีกําหนดให ไดดังนี้ จาํ นวน จาํ นวนนบั จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ ทีก่ าํ หนดให -  - 0 2 - - -  3 −22 - -  - 7 - - - 3.1416  -    - 4 +1     1− (−8) - - - -  6 −1 - - 7π - -  - 22 0.09 −12 -   - 3 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 184 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จาํ นวน จํานวนนับ จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ ทีก่ ําหนดให ( )2   -  - 2 --  - –3.999  ( −1)2 2. 1) เปน จรงิ 2) เปนจริง 3) เปน เทจ็ 4) เปน เทจ็ 5) เปน จรงิ 6) เปนจรงิ 7) เปน เทจ็ 8) เปนจริง 9) เปนเทจ็ แบบฝกหัด 3.2 2) สมบตั ิการมเี อกลักษณของการบวก 4) สมบตั ปิ ดของการคูณ 1. 1) สมบัติการสลับที่ของการคูณ 6) สมบัติการแจกแจง 3) สมบัติการมเี อกลักษณของการคูณ 8) สมบตั กิ ารเปล่ียนหมูของการคูณ 5) สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมูของการบวก 10) สมบตั ิการสลับทขี่ องการบวก 7) สมบัตกิ ารมีตัวผกผนั ของการคูณ 9) สมบัติการมีตัวผกผันของการบวก สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 185 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 2. ตวั ผกผนั การบวกและตวั ผกผันการคูณของจาํ นวนทกี่ าํ หนดใหเปนดังนี้ จํานวนที่กําหนดให ตัวผกผันการบวก ตวั ผกผันการคูณ −4 4 −1 4 5 −5 1 2 5 7 −2 7 −5 7 2 11 5 11 − 11 1− 7 5 −(1− 7 ) หรือ 32 1 −1 + 7 1− 7 −8 2+ 3 −3 2 1 32 −  −8  หรือ 2+ 3  − 2+ 3 8 8 2+ 3 3. พิจารณาสมบัติของเซตที่กําหนดใหไ ดด งั น้ี เซตทก่ี าํ หนดให สมบัตปิ ด สมบตั ปิ ด สมบัตปิ ด สมบตั ปิ ด 1) เซตของจาํ นวนนับ ของ ของ ของ ของการหาร การลบ การคณู (ตัวหารไมเปน การบวก ศนู ย) - - 2) เซตของจาํ นวนเต็ม  - 3) เซตของจํานวนค่ีลบ --- - 4) เซตของจาํ นวนคู  - 5) เซตของจํานวนเตม็ ที่หารดว ย 3 ลงตวั    - สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 186 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 เซตท่กี าํ หนดให สมบตั ิปด สมบัติปด สมบตั ิปด สมบัติปด ของ ของ ของ ของการหาร 6) เซตของจํานวนตรรกยะ การลบ การคูณ (ตัวหารไมเ ปน การบวก   ศนู ย)   7) { ..., − 5, 0, 5, 10 } --- - 8) { −1, − 2, − 3, ...} - 9) { −1, 0, 1} - -  - - 10) , 1, 1, 1, 1 , 1, 2, 4, 8, 16,  - -   16 8 4 2  แบบฝก หดั 3.3 1. =a 5=, b 3 และ c = 0 2. 1) p ( x) + q ( x) = 2x2 − 2x + 2 2) q( x) − p( x) = −2x + 4 3) p ( x) q ( x) = x4 − 2x3 + 2x2 + 2x − 3 3. p ( x) q ( x) = 3x6 + 5x5 −16x4 − 25x3 + 26x2 + 35x − 7 4. a + b =12 และ ab = − 28 5. a = 1 และ b = 2 6. x4 + 3x3 − x2 − 2x −1 7. 1) ผลหาร คือ 4x2 − 3x + 2 และเศษเหลือ คือ −5 2) ผลหาร คอื x และเศษเหลือ คือ −2x − 2 3) ผลหาร คอื x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21 และเศษเหลอื คือ −44 4) ผลหาร คือ x3 − x และเศษเหลอื คือ x +1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 187 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 5) ผลหาร คอื x3 + 2 และเศษเหลอื คือ 3 แบบฝกหัด 3.4 2) เศษเหลือ คือ 20 4) เศษเหลือ คือ 7 1. 1) เศษเหลอื คือ 15 3) เศษเหลอื คือ 0 2) m = 16 5) เศษเหลือ คือ 0 9 4. 1) m = 115 2) ( x + 2)2 ( x − 3) 3) m = − 2 หรอื m = − 3 4) ( x −1)( x2 + x +1) 5. 1) ( x − 2)( x + 2)( x −1) 6) ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 2) 8) ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4) 3) ( x +1)( x − 3)( x2 + 2) 2) ( x +1)(3x + 2)(2x − 3) 5) ( x −1)( x +1)( x2 +1) 4) ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2) 7) ( x −1)( x − 2)( x2 + x + 2) 6. 1) ( x −1)(3x −1)(2x −1) 3) (2x +1)2 (2x2 +1) แบบฝก หัด 3.5 1. 1) { − 2, 1, 3} 2) { − 2, 3} 3)  − 1 , 1  4)  − 1, − 1, 2   2   3  5)  − 2, 1, 3  6)  2 , 1 + 5 , 1− 5   2 2   2 2      7)  − 3 , 1, 2  8) { 2 }  2    9)  − 2, 3  10)  1 , 1, 2 , 3   4   2      สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 188 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 11)  − 1, − 1, 1 , 2  12)  − 1, 2 , 1, 2   2 2   3      13) { − 3, −1, 2, 4 } 2. จาํ นวนที่นอยทีส่ ุด คือ 9 3. ลูกบอลจะลอยอยูในอากาศนาน 6 วนิ าที กอ นตกกระทบพ้ืนดินคร้ังแรก แบบฝก หดั 3.6 1. 1) x2 + x +1 เม่อื x ≠ 1 2) 2x −3 เม่ือ x≠−3 x −1 2 3) x +1 เมอ่ื x ≠1 x2 − 2x −1 2. 1) x เม่อื x ≠ − 2, x ≠ 2 และ x ≠ 3 x +1 2) x2 −1 3) x − 2 เมื่อ x ≠ − 2 และ x ≠ − 5 4) 2x + 2 เม่ือ x ≠ 0 และ x ≠ 4 x+4 3. 1) 3x2 + 6x + 2 2) 2x2 − x + 2 x( x +1)( x + 2) (x − 2)( x + 2)(x + 3) −x2 − 3x + 4 4) x2 + 4x −1 เมื่อ x≠2 3) 3x( x +1)( x + 2) ( x + 2)(x − 3) แบบฝก หดั 3.7 1. 1) { 2 } 2)  − 1 , 1     2 2 3) 1 4) { −1}    2  5) ∅ 6) { 2 } สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 189 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 7)  − 1, 3− 41 , 3 + 41  8) { −1, 1}  2 2    2. 1,000 กิโลเมตรตอชั่วโมง แบบฝกหดั 3.8 1. ไมจรงิ 2. ไมจ รงิ 3. จรงิ 4. จรงิ 5. จรงิ 6. จริง 7. กรณีท่ี a และ b เปน จํานวนจรงิ บวกท้ังคู หรือ กรณีที่ a และ b เปน จํานวนจริงลบท้งั คู 8. กรณีท่ี a เปน จาํ นวนจรงิ บวก แต b เปนจาํ นวนจรงิ ลบ แบบฝกหัด 3.9ก 1. 1) { x | − 3 ≤ x < 1} –4 –3 –2 –1 0 1 2 2) { x | x > − 2 } – 3 –2 –1 0 1 2 3 3) { x | 4 ≤ x ≤ 7 } 2 3 4 5 67 8 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 190 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 4) { x | − 3 < x < 0 } –4 –3 –2 –1 0 1 2 5) { x | x < − 3} –5 –4 –3 –2 –1 0 1 6) { x | x ≥ 1} –2 –1 0 1 2 3 4 7) { x | −1 < x ≤ 4 } –2 –1 0 1 2 3 4 8) { x | x ≤ 1} –4 –3 –2 –1 0 1 2 9) { x | −10 < x < − 8} –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 10) { x | 2.5 ≤ x ≤ 4 } –2 –1 0 1 2 2.5 3 4 2. 1) ( −1, 4 ] 2) [ 0, 2 ) 3) ( −1, 0 ) 4) [ 2, 4 ] 6) { 2 } 5) ∅ 3. 1) { x | −1 < x ≤ 4 } หรอื ( −1, 4 ] 2) { x | 2 ≤ x ≤ 4} หรอื [ 2, 4 ] 3) { x | −1 < x ≤ 5} หรอื ( −1, 5 ] 4) { x | 2 ≤ x < 3} หรือ [ 2, 3 ) 5) { x | −1 < x < 2 } หรอื ( −1, 2 ) 6) { x | 3 ≤ x ≤ 4 } หรือ [ 3, 4 ] 7) { x | 1 < x ≤ 4} หรอื ( 1, 4 ] สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 191 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 8) { x | 1 < x ≤ 4} หรือ ( 1, 4 ] แบบฝกหัด 3.9ข 1. ( − ∞, − 2 ) 2.  − 5 , ∞   2  3.  − 1, ∞  4. ( 1, ∞ )  3  5. [ − 2, 3 ] 6. ( − ∞ , − 3] ∪ − 1 , ∞  2  7. [ 1, 5 ] 8. ( − 3, 1 ) 9. ( − 5, 3 ) 10.  − ∞ , 1 ∪ [ 2, ∞)  3  11. ( − ∞, − 2 ] ∪ [ 0, 5 ] 13. ( −1, 1 ) ∪ ( 2, ∞ ) 12. [ −1, ∞ ) 14. ( − ∞, 0 ) ∪ ( 1, 4 ) 15. ( − ∞, − 3 ] ∪ [ 1, 2 ) 16.  − 2, 3  ∪ ( 5, ∞ )  2  17. ( 0, 3 ) ∪ ( 4, ∞ ) 19. ( 1, 7 ) 18. ( − ∞, 0 ) ∪ [ 2, 3 ] 21. [ − 2, 4) ∪ [ 5, ∞ ) 20. ( 1, 3 ) 22. ( − ∞, − 4 ] ∪ ( − 2, 2 ] 23. ( − ∞, −1 ) ∪ ( 1, 2 ) ∪ ( 3, ∞ ) 24.  − ∞, − 3  ∪ ( − 1, 0 ) ∪  2, ∞   2   3  25. ( − ∞, − 4 ) ∪ ( −1, ∞ ) 26.  − 2, 3  ∪ [ 5, ∞ )  2  27. ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 ) ∪ [ 2, ∞ ) 28. ( − ∞, 0 ] ∪  3, 3  ∪ [ 4, ∞ )  2  29. ( − ∞, − 5 ) ∪ ( − 5, − 3 ] ∪ { 2 } ∪ ( 3, ∞ ) 30. ( 1, ∞ ) 31. ( − ∞, 1 ) −{ − 2 } หรอื ( − ∞, − 2 ) ∪ ( − 2, 1 ) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 192 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 32.  − 1, − 1   2  แบบฝก หัด 3.10 1. 1) 4 2) 0 3) 50 4) −36 14 6) 0.5 5) 3 2. 1) เปน เท็จ เชน เมอ่ื a = 1 และ b = 1 2) เปนเทจ็ เชน เมือ่ a = 1 3) เปน จรงิ 4) เปน จริง 5) เปน เท็จ เชน เม่ือ a = 1 และ b = 1 6) เปน เทจ็ เชน เมอ่ื a = −1 3. 1) กรณีที่ x เปน จาํ นวนจรงิ บวก แต y เปน จํานวนจรงิ ลบ หรอื กรณที ี่ x เปน จาํ นวน จรงิ ลบ แต y เปนจาํ นวนจริงบวก 2) กรณีที่ x หรือ y ตัวใดตัวหนงึ่ หรือทั้งสองตวั เปน ศนู ย หรอื กรณที ี่ x และ y เปนจํานวนจริงบวกทง้ั คู หรือ กรณีท่ี x และ y เปน จาํ นวนจริงลบท้งั คู แบบฝกหดั 3.11ก 2. {1, 7 } 4. { −1} 1. { − 2, 1} 6. { − 2, −1, 2, 3} 3. ∅ 5. {1} สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 193 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 7. { − 2, 0 } 8.  − 8, − 4   3    แบบฝก หัด 3.11ข 1. 1) ( 1, 3 ) 2) ( − ∞, − 8 ) ∪ ( 2, ∞ ) 3) ( − ∞ , − 3 ] ∪  − 1 , ∞  4) [ − 5, 6 ]  3  5)  −∞ , 4  ∪ ( 4, ∞ ) 6)  − 3 , − 1   3   2  7)  − 3 , ∞  8) ( − ∞, 3 ) ∪ [ 3, ∞ ) หรือ   5  9)  1 , ∞  10)  − 7 , − 1  2   3 11) [ 0, 6 ] 12)  −∞ , − 1  ∪ ( 5 , ∞ )  7  13)  − 8, − 8  − { − 4} หรือ ( − 8, − 4) ∪  − 4, − 8   3   3  14) [ − 4, −1 ] ∪ [ 1, 4 ] 15) ( − ∞, 0 ) 16)  4, 2  ∪ ( 2, 4 )  3  2. ต้งั แต −140 ถงึ −28 องศาเซลเซยี ส 3. 0 ≤ x ≤ 41 หรอื 59 ≤ x ≤ 100 แบบฝก หดั ทา ยบท 1. 1) เปน เทจ็ เชน เมือ่ a = − 2 2) เปนเท็จ เชน เม่ือ a = 1 และ b = − 2 3) เปน เท็จ เชน เม่ือ a = −1 และ b = − 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 194 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 2. a = 2 และ b = 1 3. 1) ผลหาร คือ x2 + 3 และเศษเหลือ คือ −1 2) ผลหาร คอื 2x2 − 1 และเศษเหลือ คือ 13 22 3) ผลหาร คือ x3 + 4x และเศษเหลือ คือ 13x + 6 4) ผลหาร คือ 1 x2 − 3 และเศษเหลือ คือ −3x − 7 24 4 5) ผลหาร คอื 2x6 + 2x5 + 2x4 และเศษเหลือ คือ 3 6) ผลหาร คอื x5 − 2x2 − 3 และเศษเหลือ คือ 4x3 + 6x + 2 7) ผลหาร คอื x8 + x6 + x4 + x2 +1 และเศษเหลือ คือ −2x + 2 8) ผลหาร คือ −3x7 + 3x4 − 3x และเศษเหลือ คือ −x2 + 3x + 3 9) ผลหาร คือ x4 − 7x + 2 และเศษเหลือ คือ 8x4 −10x3 − 7x + 2 4. 1) −3 2) 5 3) 75 4) 11 5) −2 6) −1 5. 15 2) m = b3 6. −7 2) ( x − 2)( x2 + 4) 7. 1) m = 2 4) ( x + 2)( x − 3)( x2 + 2) 8. a = y3 9. 1) ( x +1)( x + 2)( x + 3) ( )( )3) ( x + 3) x +1− 5 x +1+ 5 5) ( x − 2)4 6) (4x +1)( x2 + x +1) 7) (2x −1)( x2 + 3) 8) ( x −1)2 (2x +1)2 9) ( x −1)( x + 2)(2x − 3)( x + 5) 10) ( x + 2) ( 2x − 1)  x −  3 − 5   x −  3 + 5    2    2    สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 195 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 { }10. 1) 1− 5 , 1+ 5 2) { − 4, 1, 3} 3) { − 4, − 3, 2 } 4) { − 2, 2 } 5) { − 3, 2 } 6)  1, −1 + 5 , −1− 5   2 2    7) { 2 } 8)  − 1 , 2   2    9)  1, 1, 1  10)  1 , 2   3 2   2      11)  − 1 , −1 + 5 , −1− 5  12)  − 1 , 1, 3 + 13 , 3 − 13   2 2 2   2 2 2      11. 1) A = 2 และ B = 3 2) A = − 4 และ B = 4 และ C = − 7 และ C = − 2 3) 33 4) 12. 1) A = −1 และ B = 1 3) A = 13 และ B = − 33 และ C = 6 {−2} 2) {−4} 4) { }−1+ 2 , −1− 2 { }1+ 2 , 1− 2 5)  5 + 7, 5− 7  6) ∅  2   2  7) { −1} 8) { − 3} 9) ∅ 10)  1 − 3, 1+ 3   2   2  13. 1) ( − ∞, 0 ) 2)  − 5 , ∞   2  3) ( 1, ∞ ) 4)  − ∞ , − 3  ∪ [ 2 , ∞ ) 5)   2  7) ∅ 6) [ − 5, 4 ] 8) ( −1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 196 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 9) ( − ∞, 1 ) ∪ ( 2, 4 ) 10) [2, 4] 12) [ −1, 4 ] ∪ { 6 } 11) ( − ∞, 2 ] ∪ { 3} ∪ [ 4, ∞ ) 2) ( − ∞, 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) 14. 1) ( − ∞, −1 ) ∪ ( 0, ∞ ) 4) ( − 2, ∞) 3) ( − ∞, 1 ) 5) ( − ∞, − 4 ) ∪ ( −1, ∞ ) 6) ( − ∞, − 2 ) ∪  3, 5  7) ( − ∞, 0 ) ∪ { 2 }  2  8) ( − ∞, − 2 ) ∪ ( −1, ∞ ) 9) ( −1, 3 ) 10) ( − ∞, 2 ) ∪ { 3} ∪ ( 5, ∞ ) 11)  12) ∅ ( )13) − ∞, − 2 − 17  ∪ ( −1, 2 ) ∪  − 2 + 17 , ∞ 14) [ 1, 2 ) ∪ ( 2, 3 ) ∪ ( 3, 4 ) 15) [ − 3, 3 ) 15. โรงงานจะตอ งผลิตกลอ งดินสออยางนอย 7,500 กลอง 16. บรษิ ทั ตอ งผลิตและจาํ หนา ยสินคาอยางนอยท่สี ดุ 1,200 ช้นิ 17. ความยาวของฐานของรปู สามเหล่ียมมคี าอยูระหวา ง 7 และ 8 เซนตเิ มตร 18. ผลคณู ท่มี ากท่ีสดุ ท่ีเปน ไปไดของท้ังสามจาํ นวนเทา กับ 5× 7×9 =315 19. ชางตดั เสื้อซื้อผา มาราคาเมตรละ 24 บาท 20. 1) 2 2) { −1, 5} 3)   5)  3  { }4) 3, 1+ 2  − 2, 3  6) { −1, 2, 6 }  2    { − 3, 2} 7) ∅ 8)  − 1, 3   5    9) {0, 3} 10) { −1, 1, 3} 21. 1) ( − ∞,1) ∪ ( 5, ∞ ) 2) [ 4, ∞ ) ∩ [1, 4 ) หรอื [1, ∞ ) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 197 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 3) ( 4, ∞ ) 4) ( − ∞, −1 ] ∪ { 2 } 5) [ −1, 5 ] 17 , 3  ∪ 131,  หรอื  11 ,  (6)   3   − 17 − {4, 5}  − 17 , 3  ∪ 4 ∪ 4, 17  7) [ − 5, − 2) ∪ ( 2, 5 ] ( )8) ( −12, − 2 ) ∪ 3, 2 6 9) ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 ) ∪ (0, 1 ] 22. รา นคา ตง้ั อยทู ีห่ ลกั กิโลเมตรท่ี 4 หรือหลักกโิ ลเมตรท่ี 8 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

198 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 เฉลยแบบฝกหัดและวิธที าํ โดยละเอียด บทท่ี 1 เซต แบบฝก หัด 1.1ก 1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8} 3) {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  } 5) { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 7) ∅ 8) ∅ 9) { −14, 14 } 10) {ชลบุร,ี ชัยนาท, ชยั ภูมิ, ชมุ พร, เชยี งราย, เชยี งใหม} 2. 1) ตัวอยางคาํ ตอบ {x | x เปนจาํ นวนคี่บวกท่นี อยกวา 10} หรือ {x∈ | x เปน จํานวนคตี่ ง้ั แต 1 ถงึ 9} 2) ตัวอยางคําตอบ {x | x เปนจาํ นวนเต็ม} 3) ตวั อยา งคําตอบ {x∈ | x มรี ากที่สองเปนจาํ นวนเตม็ } หรอื {x | x = n2 และ n เปน จํานวนนบั } 4) ตวั อยางคาํ ตอบ {x∈ | x หารดว ยสิบลงตัว} หรอื {x | x = 10n และ n เปน จาํ นวนนบั } 3. 1) A มีสมาชกิ 1 ตวั 2) B มสี มาชกิ 5 ตัว 3) C มีสมาชิก 7 ตวั 4) D มีสมาชิก 9 ตวั 5) E มีสมาชิก 0 ตวั สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 199 4. 1) เปนเท็จ 2) เปนจรงิ 3) เปนเทจ็ 5. 1) เปนเซตวาง 2) ไมเ ปนเซตวาง (มี 5 และ 7 เปนสมาชกิ ของเซต) 3) ไมเ ปนเซตวา ง (มี 1 เปนสมาชิกของเซต) 4) เปน เซตวาง 5) ไมเ ปน เซตวา ง (มี −2 และ −1 เปนสมาชิกของเซต) 6. 1) เซตอนันต 2) เซตจํากัด 3) เซตอนนั ต 4) เซตจํากดั 5) เซตอนันต 6) เซตอนันต 7. 1) จากโจทย A = { 0, 1, 3, 7 } และเขยี น B แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน B= { , − 2, −1, 0, 1, 2,  , 9} ดงั นัน้ A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ B ท่ไี มเปนสมาชกิ ของ A เชน −1∈ B แต −1∉ A 2) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเป=น A { , − 2, 0, 2, 4, 6, 8 } และ B = { 2, 4, 6, 8 } ดงั นัน้ A ≠ B เพราะมสี มาชกิ ของ A ท่ไี มเ ปน สมาชิกของ B เชน 0∈ A แต 0∉ B 3) จากโจทย A = { 7, 14, 21,  , 343} และเขียน B แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน B = { 7, 14, 21,  , 343} ดงั นน้ั A = B เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน สมาชกิ ของ B และสมาชกิ ทกุ ตวั ของ B เปน สมาชกิ ของ A สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 จ 4) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน A =  0, 1, 2, 3, 4 ,    2 3 4 5    และ B =  0, 1, 2, 3, 4,   2 3 4 5    ดงั น้นั A = B เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของ A เปน สมาชกิ ของ B และสมาชิกทกุ ตวั ของ B เปน สมาชิกของ A 5) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน A= {−6, 6} และ B = { 6} ดงั น้นั A ≠ B เพราะมีสมาชิกของ A ทีไ่ มเปน สมาชิกของ B คอื −6∈ A แต −6∉ B 8. จากโจทย เขยี น A, B, C และ D แบบแจกแจงสมาชิก ไดดงั นี้ A = {ก, ร, ม} B = {ม, ร, ค} C = {ม, ก, ร, ค} D = {ร, ก, ม} ดังน้นั A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ A ที่ไมเปนสมาชิกของ B คือ ก∈ A แต ก∉ B A ≠ C เพราะมีสมาชกิ ของ C ทีไ่ มเปน สมาชกิ ของ A คือ ค∈C แต ค∉ A A = D เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ D และสมาชกิ ทกุ ตัว ของ D เปนสมาชกิ ของ A B ≠ C เพราะมสี มาชกิ ของ C ท่ีไมเปนสมาชิกของ B คือ ก∈C แต ก∉ B B ≠ D เพราะมสี มาชกิ ของ D ทไ่ี มเ ปน สมาชิกของ B คือ ก∈ D แต ก∉ B C ≠ D เพราะมสี มาชกิ ของ C ที่ไมเ ปน สมาชิกของ D คอื ค∈C แต ค∉ D สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 201 แบบฝกหดั 1.1ข 1. 1) ถูก 2) ผดิ 3) ผดิ 4) ถูก 5) ถกู 6) ผดิ 2. เขยี น A และ B แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน A = {2, 4, 6} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } และจากโจทย C = { 2, 4} ดังนัน้ A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตวั ของ A เปน สมาชิกของ B C ⊂ A เพราะสมาชกิ ทุกตัวของ C เปน สมาชิกของ A C ⊂ B เพราะสมาชกิ ทุกตัวของ C เปนสมาชิกของ B 3. เขยี น Y แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน Y = {1, 3, 5, 7, 9, 11} 1) เปน จรงิ เพราะสมาชิกทุกตวั ของ X เปนสมาชกิ ของ Y 2) เปนจริง เพราะสมาชิกทุกตัวของ Y เปนสมาชิกของ X 3) เปน จรงิ เพราะ X ⊂ Y และ Y ⊂ X 4. 1) ∅ และ {1} 2) ∅, {1}, { 2} และ {1, 2} 3) ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1} 4) ∅, { x }, { y } และ { x, y } 5) ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c } 6) ∅ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5. 1) {∅, { 5}} 2) {∅, { 0 }, {1}, { 0, 1}} 3) {∅, { 2 }, { 3}, { 4 }, { 2, 3}, { 2, 4 }, { 3, 4 }, { 2, 3, 4 } } 4) {∅} แบบฝกหัด 1.1ค 1. จากสิง่ ท่กี าํ หนดให A และ B ไมม สี มาชกิ รวมกนั เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A และ B ไดดงั นี้ 2. กําหนดให U เปน เซตของจํานวนนบั 1) จากสิง่ ที่กาํ หนดให จะได B ⊂ A เขยี นแผนภาพเวนนแสดง A และ B ไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 203 2) จากสิง่ ทก่ี ําหนดให จะได C ⊂ B และ B ⊂ A เขยี นแผนภาพเวนนแสดง A, B และ C ไดดงั นี้ 3) จากสิ่งทก่ี าํ หนดให จะได B ⊂ A และ C ⊂ A โดยที่ B และ C มีสมาชกิ รว มกนั คือ 5 เขยี นแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดดงั นี้ 3. 1) สมาชกิ ทีอ่ ยูใน A แตไมอยใู น B มี 1 ตวั (คือ a ) 2) สมาชกิ ที่ไมอ ยใู น A และไมอ ยูใน B มี 2 ตวั (คอื d และ e ) 3) สมาชิกทอ่ี ยูทัง้ ใน A และ B มี 3 ตัว (คือ x, y และ z ) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

204 คูม ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 แบบฝกหดั 1.2 1. วิธีที่ 1 1) A มสี มาชิก คอื 0, 1, 2 และ 8 B มีสมาชิก คอื 0, 2, 4, 7 และ 9 ดงั นัน้ A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9} 2) A และ B มีสมาชกิ รวมกนั คือ 0 และ 2 ดังนั้น A ∩ B ={ 0, 2} 3) สมาชกิ ทอี่ ยูใน A แตไมอ ยูใน B คือ 1 และ 8 ดังนั้น A − B ={1, 8} 4) สมาชิกทอ่ี ยูใน B แตไมอ ยูใน A คอื 4, 7 และ 9 ดังนัน้ B − A ={ 4, 7, 9} 5) สมาชกิ ที่อยูใน U แตไมอ ยใู น A คอื 3, 4, 5, 6, 7 และ 9 ดงั น้ัน A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9} 6) สมาชกิ ที่อยูใน U แตไมอ ยูใ น B คอื 1, 3, 5, 6 และ 8 ดังนนั้ B′ = {1, 3, 5, 6, 8} 7) A มีสมาชกิ คอื 0, 1, 2 และ 8 B′ มสี มาชกิ คอื 1, 3, 5, 6 และ 8 ดังน้ัน A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} 8) A′ มสี มาชกิ คอื 3, 4, 5, 6, 7 และ 9 B มีสมาชิก คอื 0, 2, 4, 7 และ 9 จะได A′ และ B มสี มาชกิ รว มกนั คือ 4, 7 และ 9 ดังนน้ั A′∩ B ={ 4, 7, 9} สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 205 วธิ ีที่ 2 A และ B มสี มาชิกรวมกนั คือ 0 และ 2 เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A และ B ไดด ังน้ี จากแผนภาพ จะได 1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } 2) A ∩ B ={ 0, 2 } 3) A − B ={1, 8} 4) B − A ={ 4, 7, 9 } 5) A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } 6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8} 7) A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} 8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 } =2. ให U { 0, 1, 2, 3, =4, 5, 6, 7, 8 } , A {=0, 2, 4, 6, 8} , B {1, 3, 5, 7 } และ C ={3, 4, 5, 6} วธิ ที ่ี 1 1) A และ B ไมมีสมาชกิ รว มกัน ดงั น้นั A ∩ B =∅ 2) B มสี มาชิก คอื 1, 3, 5 และ 7 C มสี มาชิก คอื 3, 4, 5 และ 6 ดังนั้น B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 } 3) B และ C มสี มาชิกรวมกนั คอื 3 และ 5 ดังนน้ั B ∩ C ={ 3, 5} สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

206 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 4) A และ C มีสมาชิกรวมกนั คอื 4 และ 6 ดังน้นั A ∩ C ={ 4, 6} 5) สมาชิกที่อยูใน U แตไ มอยูใน C คอื 0, 1, 2, 7 และ 8 ดังนัน้ C′ = { 0, 1, 2, 7, 8} 6) C′ และ A มสี มาชกิ รวมกนั คือ 0, 2 และ 8 ดงั นั้น C′∩ A ={ 0, 2, 8} 7) C′ และ B มีสมาชกิ รวมกนั คือ 1 และ 7 ดงั นน้ั C′∩ B ={1, 7 } 8) A ∩ B เปน เซตวา ง B มสี มาชกิ คอื 1, 3, 5 และ 7 ดงั นัน้ ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 } วธิ ที ี่ 2 A และ B ไมม สี มาชิกรว มกนั A และ C มีสมาชกิ รวมกัน คือ 4 และ 6 B และ C มีสมาชกิ รวมกนั คือ 3 และ 5 เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดดงั นี้ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 207 จากแผนภาพ จะได 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 } 4) A ∩ C ={ 4, 6 } 1) A ∩ B =∅ 6) C′∩ A ={ 0, 2, 8} 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 } 3) B ∩ C ={ 3, 5} 5) C′ = { 0, 1, 2, 7, 8} 2) B′ d 7) C′∩ B ={1, 7 } 3. 1) A′ 3) A′∩ B′ 4) ( A ∪ B)′ s 5) A′∪ B′ 6) ( A ∩ B)′ s สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

208 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 7) A − B 8) A ∩ B′ d 4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 2) A ∪ ( B ∪ C ) d 3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s 5) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 209 5. 1) A ∩ C ก 2) C ∪ B′ 3) B − A ก 2) A 6. 1) ∅ ก 3) ∅ ก 4) U 5) U ก 6) ∅ 7) A′ ก 8) ∅ แบบฝกหัด 1.3 1. เขียนแผนภาพเพอื่ แสดงจํานวนสมาชกิ ของเซตไดดังนี้ จากแผนภาพ จะไดจาํ นวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ดังตอ ไปน้ี เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′ จาํ นวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

210 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 2. เขยี นแผนภาพเพือ่ แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดด งั น้ี จากแผนภาพ จะได 1) n( A ∪ B) = 12 +13 +17 = 42 2) n( A − B) =12 ก 3) n( A′∩ B′) =8 ป 3. เขียนแผนภาพเพอ่ื แสดงจํานวนสมาชกิ ของเซตไดด งั น้ี จากแผนภาพ จะได 1) n( A ∪ C ) =3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 =40 2) n( A ∪ B ∪ C ) = 3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 + 3 = 43 ก 3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก 4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก 5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 211 4. ให A และ B เปนเซตจํากัด โดย=ที่ n( A) 1=8, n(B) 25 และ n( A ∪ B) =37 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได 37 = 18 + 25 − n( A ∩ B) n( A ∩ B) = 18 + 25 − 37 =6 ดังน้นั n( A ∩ B) =6 5. จาก n( A − B) =20 และ n( A ∪ B) =80 เขยี นแผนภาพเพ่อื แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดด ังนี้ จากแผนภาพ จะได n(B) = n(A∪ B)−n(A− B) = 80 − 20 = 60 ดังน้นั n(B) = 60 6. ให U แทนเซตของพนกั งานบรษิ ทั แหงหน่ึงท่ไี ดรับการสอบถาม A แทนเซตของพนักงานท่ชี อบดื่มชา B แทนเซตของพนักงานท่ีชอบด่ืมกาแฟ A∪ B แทนเซตของพนักงานทช่ี อบดื่มชาหรอื กาแฟ A∩ B แทนเซตของพนักงานที่ชอบดื่มทง้ั ชาและกาแฟ จะได n( A ∪ B) = 120 n( A) = 60 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

212 คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 n( B) = 70 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได 120 = 60 + 70 − n( A ∩ B) นน่ั คือ n( A ∩ B) = 60 + 70 – 120 n( A ∩ B) = 10 ดงั นัน้ มพี นักงานทช่ี อบดม่ื ทั้งชาและกาแฟ 10 คน 7. ให U แทนเซตของผปู วยทเ่ี ขารวมการสาํ รวจ A แทนเซตของผปู วยที่สบู บหุ ร่ี B แทนเซตของผูปว ยท่เี ปนมะเร็งปอด A′∩ B′ แทนเซตของผปู วยท่ีไมส ูบบหุ รีแ่ ละไมเปน มะเร็งปอด A∩ B แทนเซตของผปู วยทีส่ ูบบุหรี่และเปน มะเรง็ ปอด จะได n(U ) = 1,000 n( A) = 312 n( B) = 180 n( A′∩ B′) = 660 วิธีท่ี 1 เน่ืองจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′ ดังนนั้ n( A′∩ B′) = n( A ∪ B)′ จะได n( A ∪ B) = n(U ) − n( A ∪ B)′ = n(U ) − n( A′∩ B′) = 1,000 − 660 = 340 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได 340 = 312 +180 − n( A ∩ B) n( A ∩ B) = 312 + 180 – 340 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 213 น่ันคอื n( A ∩ B) = 152 ดงั นนั้ มีผูปว ยทส่ี บู บุหรแ่ี ละเปน มะเร็งปอด 152 คน คดิ เปนรอ ยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจํานวนผูส ูบบุหรี่ท้ังหมด 312 วิธีท่ี 2 ให x แทนจาํ นวนผปู วยท่ีสบู บุหร่ีและเปน มะเร็งปอด นั่นคอื =x n( A∩ B) เขียนแผนภาพเพือ่ แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดด งั น้ี เนือ่ งจาก โรงพยาบาลแหง น้ีทําการสํารวจขอมูลจากผูปวยทั้งหมด 1,000 คน จะได 1,000 = (312 − x) + x + (180 − x) + 660 นั่นคือ 1,000 = (492 − x) + 660 x = 492 + 660 −1, 000 x = 152 ดงั น้นั มผี ปู วยที่สูบบุหรี่และเปนมะเร็งปอด 152 คน 8. ให คดิ เปน รอ ยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจํานวนผสู ูบบหุ รี่ทัง้ หมด 312 U แทนเซตของนักเรยี นช้นั มัธยมศึกษาตอนปลายหองหนง่ึ A แทนเซตของนักเรียนทส่ี อบผา นวชิ าคณติ ศาสตร B แทนเซตของนักเรียนทส่ี อบผา นวชิ าสังคมศึกษา C แทนเซตของนักเรียนท่ีสอบผา นวชิ าภาษาไทย A∩ B แทนเซตของนักเรียนที่สอบผานวชิ าคณติ ศาสตรแ ละสงั คมศึกษา B ∩C แทนเซตของนักเรียนท่สี อบผานวิชาสงั คมศกึ ษาและภาษาไทย สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

214 คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 A∩C แทนเซตของนักเรียนท่ีสอบผา นวชิ าคณติ ศาสตรและภาษาไทย A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรยี นท่สี อบผานทงั้ สามวิชา จะได n( A) = 37 n( B) = 48 n(C ) = 45 n( A ∩ B) = 15 n( B ∩ C ) = 13 n(A∩C) = 7 n(A∩ B∩C) = 5 วิธีท่ี 1 เขยี นแผนภาพเพ่อื แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดดงั น้ี จากแผนภาพ จะไดว า มีนักเรียนทีส่ อบผานอยางนอยหนง่ึ วิชา เทากับ คน20 + 10 + 25 + 2 + 5 + 8 + 30 =100 วธิ ที ี่ 2 เน่อื งจากนักเรยี นทสี่ อบผา นอยา งนอ ยหน่ึงวิชา คอื นักเรียนทสี่ อบผา น วิชาคณิตศาสตร หรือสอบผานวชิ าสังคมศกึ ษา หรอื สอบผานวชิ าภาษาไทย ซงึ่ คอื A ∪ B ∪ C จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) = 37 + 48 + 45 −15 − 7 −13 + 5 = 100 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 215 ดังนัน้ มีนักเรยี นทสี่ อบผา นอยา งนอยหน่งึ วิชา 100 คน 9. ให U แทนเซตของผูถือหุนในตลาดหลักทรัพยแ หงประเทศไทยที่รวมการสํารวจ A แทนเซตของผถู ือหุนบริษัท ก B แทนเซตของผูถือหนุ บริษัท ข C แทนเซตของผถู ือหนุ บรษิ ัท ค A∩ B แทนเซตของผถู ือหนุ บรษิ ัท ก และ ข B ∩ C แทนเซตของผูถ ือหุนบริษัท ข และ ค A∩ C แทนเซตของผถู ือหนุ บรษิ ัท ก และ ค A ∩ B ∩ C แทนเซตของผูถ ือหนุ ท้ังสามบรษิ ัท จะได n(U ) = 3,000 n( A) = 200 n( B) = 250 n(C ) = 300 n( A ∩ B) = 50 n( B ∩ C ) = 40 n( A ∩ C ) = 30 n(A∩ B∩C) = 0 วิธที ี่ 1 เขยี นแผนภาพเพ่อื แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดดงั น้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

216 คูม ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 วิธที ่ี 2 จากแผนภาพ จะไดวามีผทู ี่ถอื หนุ บรษิ ัทอ่นื ๆ ที่ไมใชหุน ของสามบรษิ ทั น้ี 2,370 คน ให A ∪ B ∪ C แทนเซตของผูถือหนุ บริษัท ก หรือ ข หรือ ค ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใ ชห นุ ของสามบริษัทนี้ จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) = 200 + 250 + 300 − 50 − 30 − 40 + 0 = 630 จะได n( A ∪ B ∪ C )′ = n(U ) − n( A ∪ B ∪ C ) = 3,000 – 630 นนั่ คือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 2,370 ดงั นน้ั มผี ูที่ถือหนุ บริษทั อน่ื ๆ ทีไ่ มใ ชห นุ ของสามบริษัทน้ี 2,370 คน แบบฝกหัดทา ยบท 1. 1) { 48} ด 2) ∅ 3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 } 5) {1, 2, 3,  , 10 } ด 2. 1) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x | =x 3n − 2 เมอ่ื n∈ และ 1 ≤ n≤ 5} 2) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 } 3) ตัวอยางคําตอบ { x |=x 4n +1 เมอ่ื n∈} } 4) ตัวอยางคาํ ตอบ { x | x = n3 เมื่อ n∈} } 3. 1) เซตจาํ กัด 2) เซตอนนั ต 3) เซตจํากัด 4) เซตจํากัด สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 217 5) เซตอนันต 2) จรงิ 4. 1) จริง 4) จริง 6) เท็จ 3) เทจ็ 5) จริง 7) จริง 8) จรงิ 9) เทจ็ 5. จาก=U { 5, 6, 7, 8, 9 }=, A { x | x > 7 } และ B = { 5, 6 } เขียน A แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน A = {8, 9} จะได P( A)= { ∅, { 8}, { 9}, { 8, 9}} P( B)= { ∅, { 5}, { 6}, { 5, 6 }} A ∩ B =∅ และ A′ = { 5, 6, 7 } 1) P( A) ∩ P( B) ={ ∅ } 2) P( A ∩ B) ={ ∅ } 3) P( A) ∪ P( B) ={ ∅, { 5}, { 6 }, { 8}, { 9 }, { 5, 6 }, { 8, 9 }} 4) P( A′)= { ∅, { 5}, { 6 }, { 7 }, { 5, 6 }, { 5, 7 }, { 6, 7 }, { 5, 6, 7 } } 6. 1) A จ 2) ∅ 3) U จ 4) A 5) A จ 6) U 7. 1) เน่อื งจาก A ∪ ( B − A) = A ∪ ( B ∩ A′ ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ A′ ) = (A∪ B)∩U = A∪B สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

218 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 ดังนัน้ A ∪ B = A ∪ (B − A) 2) เนือ่ งจาก A − ( A ∩ B) = A ∩ ( A ∩ B)′ = A ∩ ( A′ ∪ B′ ) = ( A ∩ A′ ) ∪ ( A ∩ B′ ) = ∅ ∪ ( A ∩ B′ ) = A ∩ B′ ดงั นั้น A ∩ B′ = A − ( A ∩ B) 3) เนือ่ งจาก U − ( A ∪ B) = U ∩ ( A ∪ B)′ = U ∩ ( A′∩ B′ ) = A′∩ B′ ดงั นั้น A′∩ B′ = U − ( A ∪ B) จ8. 1) A′∩ B ก จ 2) ( A ∩ B′ )′ 3) ( A ∪ B′ )′ ก สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 219 9. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C 3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B) 5) ( A∩ B′) ∪ C ก 6) A′∩ (C′∩ B) 7) A ∪ (C′∩ B)′ ก สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

220 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 10. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15} 3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 } 5) {1, 4, 12} จ 6) { 4, 7, 12 } 7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15} 11. เนือ่ งจาก A ∩ B =∅ ดังน้นั เขียนแผนภาพแสดงเซตไดด งั น้ี 1) จากแผนภาพ จะเห็นวา A ⊂ B′ ดังนั้น ขอ ความ “ A ⊂ B′ ” เปนจรงิ 2) จากแผนภาพ จะเห็นวา B ⊂ A′ ดงั นั้น ขอความ “ B ⊂ A′ ” เปน จรงิ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 221 3) จากแผนภาพ จะเห็นวา A′∪ B′ =U ดงั น้ัน ขอความ “ A′∪ B′ =U ” เปนจรงิ 12. เนอ่ื งจาก A ⊂ B ดงั นน้ั เขยี นแผนภาพแสดงเซตไดด ังนี้ 1) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∪ B =B ดังน้ัน ขอ ความ “ A ∪ B =B ” เปนจริง A∪B 2) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∩ B =A ดังนนั้ ขอ ความ “ A ∩ B =A ” เปนจริง A∩B 3) B′ A′ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะเห็นวา B′ ⊂ A′ ดงั นนั้ ขอ ความ “ B′ ⊂ A′ ” เปน จรงิ 4) จากแผนภาพ จะเห็นวา A ∩ B′=∅ ดงั นน้ั ขอ ความ “ A ∩ B′=∅ ” เปน จริง A ∩ B′ 5) จากแผนภาพ จะเห็นวา A′∪ B =U ดงั นน้ั ขอ ความ “ A′∪ B =U ” เปนจริง A′ ∪ B 13. ให A และ B เปนเซตทมี่ ีจํานวนสมาชิกเทา กัน คือ x ตัว น่ันคอื n=( A) n=(B) x จากโจทย n( A ∩ B) =101 และ n( A ∪ B) =233 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได 233 = x + x −101 น่นั คือ 2x = 233 + 101 x = 167 ดังนั้น n( A) = 167 14.ดให U แทนเซตของผปู วยท่ีเขา รวมการสํารวจ A แทนเซตของผปู ว ยที่เปน โรคตา B แทนเซตของผูปว ยทเี่ ปน โรคฟน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 223 A∩ B แทนเซตของผปู ว ยทเี่ ปน ทง้ั สองโรค A′ ∩ B′ แทนเซตของผูปวยที่ไมเปน โรคตาและไมเ ปน โรคฟน จะได n(U ) = 100 n( A) = 40 n( B) = 20 n(A∩ B) = 5 วธิ ีท่ี 1 นําขอ มูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดดงั น้ี จากแผนภาพ จะไดวามีผปู วยท่ไี มเ ปน โรคตาและไมเ ปน โรคฟน 45% วิธีที่ 2 เนอื่ งจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′ น่ันคอื เซตของผปู วยท่ีไมเปน โรคตาและไมเ ปน โรคฟน คอื ( A∪ B)′ จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได n( A ∪ B) = 40 + 20 − 5 = 55 จาก n( A ∪ B)′ = n(U ) − n( A ∪ B) จะได = 100 − 55 = 45 ดงั นน้ั มีผูป วยทีไ่ มเปนโรคตาและไมเ ปนโรคฟน 45% สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

224 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 15. ให U แทนเซตของลกู คา ที่เขา รว มการสาํ รวจ A แทนเซตของลูกคาที่ใชพ ดั ลมชนิดตัง้ โตะ B แทนเซตของลกู คา ท่ีใชพ ดั ลมชนดิ แขวนเพดาน A∩ B แทนเซตของลกู คาที่ใชพ ดั ลมทั้งสองชนิด จะได n(U ) = 100 n( A) = 60 n( B) = 45 n( A ∩ B) = 15 วิธีท่ี 1 นาํ ขอมลู ท้งั หมดไปเขียนแผนภาพไดดงั น้ี จากแผนภาพ จะไดวา 1) มีลูกคา ท่ีไมใชพดั ลมทง้ั สองชนิดนี้ 10% 2) มลี กู คา ที่ใชพดั ลมเพยี งชนิดเดียวเทา กบั 45% + 30% = 75% วิธที ่ี 2 จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B) จะได n( A ∪ B) = 60 + 45 −15 = 90 1) มลี กู คา ท่ีไมใชพดั ลมทงั้ สองชนดิ นี้เทากับ 100% – 90% = 10% 2) มีลูกคา ท่ีใชพ ดั ลมชนิดเดยี วเทากบั 90% – 15% = 75% สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี