(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 325 10) “มีจํานวนตรรกยะ x ที่ x2 = 0 หรือ x ≠ 0 ” เขียนใหอ ยูในรปู สัญลักษณไ ด เปน ∃x ∈ [x2 = 0 ∨ x ≠ 0] “ไมจรงิ ที่วา จาํ นวนตรรกยะ x ทกุ จํานวน ท่ี x2 ≠ 0 หรอื x = 0 ” เขียนใหอยู ในรปู สัญลกั ษณไดเ ปน 0 ∀x∈ [x2 ≠ 0 ∨ x =0] เนอ่ื งจาก 0 ∀x ∈ [x2 ≠ 0 ∨ x =0] สมมลู กับ ∃x ∈ [x2 = 0 ∧ x ≠ 0] และ x2 =0 ∧ x ≠ 0 ไมส มมลู กบั x2 =0 ∨ x ≠ 0 ดงั น้ัน มจี ํานวนตรรกยะ x ท่ี x2 = 0 หรอื x ≠ 0 ไมส มมูลกบั ไมจริงทีว่ า จํานวนตรรกยะ x ทกุ จาํ นวน ที่ x2 ≠ 0 หรอื x = 0 16. แสดงคณุ สมบัตขิ องพนักงานกับเง่ือนไขของการเล่ือนตําแหนงดังตารางตอไปน้ี เงือ่ นไข อายไุ มตา่ํ กวา จบปรญิ ญาโท ทาํ งานบริษัทน้อี ยา งนอ ย 3 ป ชอื่ พนักงาน 30 ป ข้นึ ไป หรือทํางานดานคอมพิวเตอร อยางนอย 7 ป ฟาใส    รงุ นภา    ธนา    จากตารางจะเห็นวา ฟา ใส เปนพนักงานคนเดียวท่ีมีคุณสมบตั ิสอดคลองกับเงอ่ื นไขของการ เล่อื นตาํ แหนงท้ัง 3 ขอ ดงั นัน้ ฟาใสมสี ทิ ธิไ์ ดเลอ่ื นตําแหนง สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

326 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 17. แสดงคณุ สมบัตขิ องพนักงานกบั เงือ่ นไขของการไดร บั เงินรางวลั ดังตารางตอไปนี้ เงื่อนไข ทาํ ยอดขายใน 1 ป ได ทํายอดขายใน 1 ป ได ทํายอดขายใน 1 ป ได ชื่อพนักงาน เกนิ 3,000,000 บาท เกนิ 5,000,000 บาท เกิน 10,000,000 บาท และไมล ากจิ ไมล าพักผอ น และไมลากิจ สุริยา    เมฆา    กมล    ทิวา    เนอื่ งจากพนักงานแตละคนจะสามารถรับเงินรางวัลทีด่ ที ีส่ ุดไดเพยี งรางวัลเดยี ว ดงั นัน้ สุริยาจะไดร บั เงนิ รางวลั 30,000 × 1.5 =45,000 บาท เมฆาจะไมไดรบั เงนิ รางวัล กมลจะไดร ับเงนิ รางวลั 70,000 × 2 =140,000 บาท และทวิ าจะไดรับเงนิ รางวลั 200,000 × 4 =800,000 บาท 18. แสดงคณุ สมบัติของผูกูกบั เง่อื นไขของการกเู งนิ ดังตารางตอไปนี้ เงื่อนไข ผกู ตู องมีเงินเดือน ถาผกู มู ีคสู มรส ผกู ูต องมเี งนิ เหลือ ไมน อ ยกวา แลว ผกู ูแ ละคูสมรส หลงั หกั คา ใชจายใน ตอ งมีเงินเดอื นรวมกัน ชื่อผกู ู 30,000 บาท ไมนอ ยกวา 70,000 บาท แตล ะเดือน มากกวา 5,000 บาท สญั ญา   กวิน   มา นแกว    ไมมีคสู มรส  สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 327 จากตารางจะเห็นวา มานแกว เปน ผูกูคนเดียวที่มีคณุ สมบตั ิสอดคลอ งกบั เงื่อนไขของ การกเู งินท้ัง 3 ขอ ดงั น้ัน มา นแกว จะสามารถกูเงนิ กับบรษิ ัทนี้ได สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

328 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 บทท่ี 3 จาํ นวนจริง แบบฝกหัด 3.1 1. พิจารณาการเปน จํานวนนับ จํานวนเตม็ จํานวนตรรกยะ หรอื จาํ นวนอตรรกยะ ของจํานวนท่ีกาํ หนดให ไดด งั น้ี จาํ นวนท่ี จาํ นวนนบั จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ กําหนดให -  - 0 2 - - -  3 −22 - -  - 7 - - -  - 3.1416    -  4 +1    - 1− (−8) - - -  - - 6 −1 - -  - - - 7π   -  - 22   - 0.09 -  -  − 12  3  ( )2 2 –3.999 ( −1)2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 329 2. พจิ ารณาการเปน จริงหรือเท็จของขอ ความที่กําหนดให ไดดังนี้ 1) เปนจริง 2) เปนจรงิ 3) เปน เท็จ 4) เปน เทจ็ 5) เปนจริง 6) เปนจรงิ 7) เปน เท็จ 8) เปนจริง 9) เปน เทจ็ แบบฝก หดั 3.2 1. 1) สมบัตกิ ารสลับที่การคณู 2) สมบัตกิ ารมเี อกลักษณการบวก 3) สมบัตกิ ารมเี อกลักษณการคูณ 4) สมบตั ิปด การคูณ 5) สมบัติการเปล่ียนหมูการบวก 6) สมบัตกิ ารแจกแจง 7) สมบัติการมตี วั ผกผนั การคณู 8) สมบัตกิ ารเปล่ียนหมูการคูณ 9) สมบตั ิการมตี วั ผกผนั การบวก สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

330 คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 10) สมบัติการสลับทกี่ ารบวก 2. ตวั ผกผนั การบวกและตัวผกผันการคณู ของจํานวนที่กาํ หนดใหเปนดังน้ี จาํ นวนทก่ี ําหนดให ตัวผกผันการบวก ตวั ผกผันการคณู −4 4 −1 4 5 −5 1 2 −2 5 7 7 −5 7 2 11 5 1− 7 11 − 11 5 −(1− 7 ) หรอื 1 −1 + 7 1− 7 1 32 −3 2 32 −8 −  −8  หรอื − 2+ 3 2+ 3  2+ 3  8 8 2+ 3 3. พจิ ารณาสมบัติของเซตที่กําหนดใหไดด ังน้ี สมบตั ิปด สมบตั ปิ ด สมบตั ิปด สมบัตปิ ด ของการ ของการ ของการ ของการหาร เซตท่กี ําหนดให บวก (ตวั หารไม ลบ คูณ เปนศนู ย) 1) เซตของจาํ นวนนบั  2) เซตของจํานวนเตม็  -  - 3) เซตของจํานวนคีล่ บ   4) เซตของจาํ นวนคู - -  - - สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี   - -

คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 331 เซตทีก่ ําหนดให สมบัติปด สมบัติปด สมบัตปิ ด สมบตั ปิ ด ของการ ของการ ของการ ของการหาร 5) เซตของจาํ นวนเตม็ ท่หี ารดว ย 3 ลงตัว บวก (ตัวหารไม 6) เซตของจํานวนตรรกยะ ลบ คูณ เปน ศนู ย)    -     7) { ..., − 5, 0, 5, 10 } --- - - 8) { −1, − 2, − 3, ...} - -  9) { −1, 0, 1} - - 10)  , 1 , 1 , 1 , 1, 1, 2, 4, 8, 16,   - -   16 8 4 2    แบบฝก หดั 3.3 1. จากพหุนาม p( x) = 3x4 + 2x2 − ax + 3 เขียนใหมไดเ ปน p( x) = 3x4 + 0x3 + 2x2 − ax + 3 จาก p( x) = q( x) จะได= a 5=, b 3 และ c = 0 2. ให p( x=) x2 −1 และ q( x) = x2 − 2x + 3 1) p( x) + q( x) = ( x2 −1) + ( x2 − 2x + 3) = 2x2 − 2x + 2 2) q( x) − p( x) = ( x2 − 2x + 3) − ( x2 −1) 3) p( x)q( x) = −2x + 4 = ( x2 −1)( x2 − 2x + 3) = x2 ( x2 − 2x + 3) −1( x2 − 2x + 3) ( ) ( )= x4 − 2x3 + 3x2 − x2 − 2x + 3 = x4 − 2x3 + 2x2 + 2x − 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

332 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 3. ให p ( x) = 3x2 + 5x −1 และ q( x) =x4 − 5x2 + 7 จะได p( x)q( x) = ( 3x2 + 5x −1)( x4 − 5x2 + 7) ( ) ( ) ( )= 3x2 x4 − 5x2 + 7 + 5x x4 − 5x2 + 7 −1 x4 − 5x2 + 7 ( ) ( ) ( )= 3x6 −15x4 + 21x2 + 5x5 − 25x3 + 35x − x4 − 5x2 + 7 = 3x6 + 5x5 −16x4 − 25x3 + 26x2 + 35x − 7 4. ให x2 −12x − 28 = ( x − a)( x − b) นนั่ คอื x2 −12x − 28 = x( x − b) − a( x − b) = ( x2 − bx) − (ax − ab) = x2 − (a + b) x + ab จะได a + b =12 และ ab = − 28 5. ให x2 − 2x + 5 = ( x − a)2 + b2 โดยที่ b > 0 นน่ั คอื ( )x2 − 2x + 5 = x2 − 2ax + a2 + b2 = x2 − 2ax + (a2 + b2 ) จะได −2a = −2 นนั่ คือ a = 1 และ a2 + b2 = 5 น่ันคอื b = 2 ดงั น้ัน a = 1 และ b = 2 6. ให p(x) =x2 + 3x , q( x) =x2 −1 และ r ( x)= x −1 จะได p( x)q( x) + r ( x) = ( x2 + 3x)( x2 −1) + ( x −1) = x2 ( x2 −1) + 3x( x2 −1) + ( x −1) = ( x4 − x2 ) + (3x3 − 3x) + ( x −1) = x4 + 3x3 − x2 − 2x −1 7. 1) วธิ ที ่ี 1 พิจารณา ( )4x4 − 3x3 + 2x2 − 5 = 4x4 − 3x3 + 2x2 − 5 ( )= x2 4x2 − 3x + 2 − 5 ดงั น้นั ผลหาร คอื 4x2 − 3x + 2 และเศษเหลอื คือ −5 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 333 วธิ ีท่ี 2 จาก a ( x) = 4x4 − 3x3 + 2x2 − 5 เขียนใหมไดเ ปน a( x) = 4x4 − 3x3 + 2x2 + 0x − 5 ใชการหารยาวดงั น้ี 4x2 −3x + 2 x2 4x4 − 3x3 + 2x2 + 0x − 5 4x4 − 3x3 + 2x2 + 0x − 5 −3x3 2x2 + 0x − 5 2x2 −5 จะได 4x4 − 3x3 + 2x2=− 5 ( )x2 4x2 − 3x + 2 − 5 ดงั นน้ั ผลหาร คือ 4x2 − 3x + 2 และเศษเหลอื คอื −5 2) จาก a( x=) x3 − 2 เขยี นใหมไดเ ปน a( x) = x3 + 0x2 + 0x − 2 และ b( x=) x2 + 2 ใชการหารยาวดังน้ี x x2 + 2 x3 + 0x2 + 0x − 2 x3 + 2x −2x − 2 จะได x3 − 2= ( x2 + 2)( x) + (−2x − 2) ดังน้ัน ผลหาร คอื x และเศษเหลอื คอื −2x − 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

334 คูม อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 3) ใชก ารหารยาวดังน้ี x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21 x + 2 x5 − x4 − x3 − x2 − x − 2 x5 + 2x4 − 3x4 − x3 − x2 − x − 2 − 3x4 − 6x3 5x3 − x2 − x − 2 5x3 + 10x2 −11x2 − x − 2 −11x2 − 22x 21x − 2 21x + 42 −44 ( )จะได x5 − x4 − x3 − x2 − x − 2 = ( x + 2) x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21 − 44 ดงั นนั้ ผลหาร คอื x4 − 3x3 + 5x2 −11x + 21 และเศษเหลือ คอื −44 4) จาก a( x=) x5 +1 เขียนใหมไดเปน a( x) =x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x +1 และ b( x=) x2 +1 ใชการหารยาวดังนี้ x3 − x x2 +1 x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x +1 x5 + x3 − x3 + 0x2 + 0x +1 − x3 −x x +1 จะได x5 +1= ( x2 +1)( x3 − x) + ( x +1) ดงั นัน้ ผลหาร คือ x3 − x และเศษเหลอื คือ x +1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 335 5) จาก a ( x) = x6 + x3 +1 เขยี นใหมไดเ ปน a( x) =x6 + 0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x +1 และ b( x=) x3 −1 ใชก ารหารยาวดังน้ี x3 + 2 x3 −1 x6 + 0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x +1 x6 − x3 2x3 + 0x2 + 0x +1 2x3 − 2 3 จะได x6 + x3 +1= ( x3 −1)( x3 + 2) + 3 ดงั น้ัน ผลหาร คอื x3 + 2 และเศษเหลอื คอื 3 แบบฝกหัด 3.4 1. 1) ให p( x) = x4 − 3x + 5 จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เมื่อหาร p(x) ดวย x − 2 จะไดเ ศษเหลอื คือ p(2) โดยท่ี p(2) = (2)4 − 3(2) + 5 = 16 − 6 + 5 = 15 ดังน้ัน เศษเหลือ คอื 15 2) ให p ( x) = 2x3 + 7x2 − 5x − 4 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p(x) ดวย x + 3 จะไดเ ศษเหลอื คือ p(−3) โดยท่ี p(−3) = 2(−3)3 + 7(−3)2 − 5(−3) − 4 = 2(−27) + 7(9) − 5(−3) − 4 = −54 + 63 +15 − 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

336 คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 = 20 ดงั น้นั เศษเหลอื คอื 20 3) ให p ( x) = 6x3 +13x2 − 4 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดว ย x + 2 จะไดเศษเหลอื คือ p(−2) โดยท่ี p(−2) = 6(−2)3 +13(−2)2 − 4 = 6(−8) +13(4) − 4 = −48 + 52 − 4 =0 ดงั นน้ั เศษเหลอื คอื 0 (แสดงวา x + 2 หาร 6x3 +13x2 − 4 ลงตัว) 4) ให p ( x) = x4 − 3x3 + 4x2 − x + 6 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดว ย x −1 จะไดเ ศษเหลือ คือ p(1) โดยท่ี p(1) = (1)4 − 3(1)3 + 4(1)2 −1+ 6 = 1−3+ 4−1+ 6 =7 ดังนน้ั เศษเหลอื คือ 7 5) ให p ( x) = 2x4 − 5x3 − x2 + 3x +1 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p( x) ดวย x + 1 จะไดเศษเหลอื คือ p  − 1   2  2 โดยท่ี p  − 1  = 2  − 1 4 − 5  − 1 3 −  − 1 2 + 3 − 1  +1  2   2   2   2  2  = 2  1  − 5 − 1  − 1 + 3 − 1  + 1 16  8  4 2  = 1 + 5 − 1 − 3 +1 8842 =0 ดงั นัน้ เศษเหลือ คือ 0 (แสดงวา x + 1 หาร 2x4 − 5x3 − x2 + 3x +1 ลงตัว) 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 337 2. ให p ( x) = x3 − 2x2 − 5x + 6 จะได p(1) = (1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 6 = 1−2−5+6 =0 ดังนั้น x −1 เปนตวั ประกอบของ x3 − 2x2 − 5x + 6 3. ให p ( x) = x3 + x2 + x +1 จะได p(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) +1 = −1 +1 −1 +1 =0 ดงั นน้ั x +1 เปนตวั ประกอบของ x3 + x2 + x +1 4. 1) ให p ( x) = x3 − 2x2 + 8x − m จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดวย x − 5 จะไดเศษเหลอื คือ p(5) โดยที่ p(5) = (5)3 − 2(5)2 + 8(5) − m = 125 − 50 + 40 − m = 115 − m เนื่องจาก x − 5 หาร x3 − 2x2 + 8x − m ลงตวั นน่ั คอื p(5) = 0 จะได 115 − m =0 นน่ั คือ m =115 ดงั น้นั x − 5 หาร x3 − 2x2 + 8x − m ลงตวั เมอ่ื m =115 2) ให p ( x) = 3x4 − 2x3 + mx −1 จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เมื่อหาร p( x) ดวย x + 2 จะไดเ ศษเหลือ คือ p  − 2   3  3 โดยที่ p  − 2  = 3 − 2 4 − 2  − 2 3 + m  − 2  −1  3  3   3   3  = 3 16  − 2  − 8  + m  − 2  − 1 81  27   3  = 16 + 16 − 2 m − 1 27 27 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

338 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 = 5 − 2m 27 3 เนอื่ งจาก x + 2 หาร 3x4 − 2x3 + mx −1 เหลือเศษ −1 นนั่ คือ p  − 2  =−1  3  3 จะได 5 − 2 m =−1 นัน่ คือ m = 16 27 3 9 ดงั น้ัน x + 2 หาร 3x4 − 2x3 + mx −1 เหลอื เศษ −1 เม่ือ m = 16 39 3) ให p( x) = x2 − 5x − 2 จากทฤษฎบี ทเศษเหลอื เมื่อหาร p(x) ดว ย x + m จะไดเศษเหลอื คือ p(−m) โดยท่ี p(−m) = (−m)2 − 5(−m) − 2 = m2 + 5m − 2 เนื่องจาก x + m หาร x2 − 5x − 2 เหลอื เศษ −8 น่ันคอื p(−m) =− 8 จะได m2 + 5m − 2 = −8 m2 + 5m + 6 = 0 (m + 2)(m + 3) = 0 จะได m = − 2 หรอื m = − 3 ดงั น้ัน x + m หาร x2 − 5x − 2 เหลือเศษ −8 เมื่อ m = − 2 หรอื m = − 3 5. 1) วธิ ีที่ 1 ให p( x) = x3 − x2 − 4x + 4 เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร 4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4 พจิ ารณา p(1) p (1)= (1)3 − (1)2 − 4(1) + 4= 0 จะเหน็ วา p(1) = 0 ดงั นัน้ x −1 เปน ตวั ประกอบของ x3 − x2 − 4x + 4 นํา x −1 ไปหาร x3 − x2 − 4x + 4 ไดผลหารเปน x2 − 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 339 ดงั นนั้ ( )x3 − x2 − 4x + 4 = ( x −1) x2 − 4 วิธที ่ี 2 = ( x −1)( x − 2)( x + 2) ( )x3 − x2 − 4x + 4 = x3 − x2 − (4x − 4) = x2 ( x −1) − 4( x −1) = ( x2 − 4)( x −1) = ( x − 2)( x + 2)( x −1) 2) ให p ( x) = x3 + x2 − 8x −12 เนื่องจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร −12 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12 พจิ ารณา p(−2) p (−2) = (−2)3 + (−2)2 − 8(−2) −12 = 0 จะเห็นวา p(−2) =0 ดงั นน้ั x + 2 เปนตวั ประกอบของ x3 + x2 − 8x −12 นํา x + 2 ไปหาร x3 + x2 − 8x −12 ไดผลหารเปน x2 − x − 6 ดงั นน้ั ( )x3 + x2 − 8x −12 = ( x + 2) x2 − x − 6 = (x + 2)(x + 2)(x − 3) = ( x + 2)2 ( x − 3) d 3) ให p ( x) = x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6 เนื่องจากจํานวนเต็มทห่ี าร −6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6 พิจารณา p(−1) p (−1) =(−1)4 − 2(−1)3 − (−1)2 − 4(−1) − 6 =0 จะเหน็ วา p(−1) =0 ดงั นั้น x +1 เปนตัวประกอบของ x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6 นํา x +1 ไปหาร x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6 ไดผ ลหารเปน x3 − 3x2 + 2x − 6 ดงั นนั้ ( )x4 − 2x3 − x2 − 4x − 6 = ( x +1) x3 − 3x2 + 2x − 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

340 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 = ( x +1) ( x3 − 3x2 ) + (2x − 6) = ( x +1) x2 ( x − 3) + 2( x − 3) = ( x +1)( x − 3)( x2 + 2) 4) ให p( x=) x3 −1 เนือ่ งจากจํานวนเต็มทีห่ าร −1 ลงตัว คอื ±1 พิจารณา p(1) p (1)= (1)3 −1= 0 จะเห็นวา p(1) = 0 ดงั น้นั x −1 เปน ตวั ประกอบของ x3 −1 นาํ x −1 ไปหาร x3 −1 ไดผ ลหารเปน x2 + x +1 ดังนั้น x3 −1 = ( x −1)( x2 + x +1) s 5) วิธีที่ 1 ให p( x=) x4 −1 เน่ืองจากจาํ นวนเต็มทีห่ าร −1 ลงตัว คอื ±1 พจิ ารณา p(1) p (1=) (1)4 −1= 0 จะเห็นวา p(1) = 0 ดงั นน้ั x −1 เปนตัวประกอบของ x4 −1 นาํ x −1 ไปหาร x4 −1 ไดผ ลหารเปน x3 + x2 + x +1 ดังนั้น ( )x4 −1 = ( x −1) x3 + x2 + x +1 วธิ ที ่ี 2 = ( x −1) ( x3 + x2 ) + ( x +1) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี = ( x −1) x2 ( x +1) + ( x +1) = ( x −1)( x +1)( x2 +1) ( )x4 −1 = x2 2 −1 = ( x2 −1)( x2 +1) = ( x −1)( x +1)( x2 +1)

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 341 6) วิธที ่ี 1 ให p( x) =x4 − 5x2 + 4 เน่ืองจากจาํ นวนเต็มท่ีหาร 4 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4 พจิ ารณา p(1) p (1)= (1)4 − 5(1)2 + 4= 0 จะเหน็ วา p(1) = 0 ดังนั้น x −1 เปนตวั ประกอบของ x4 − 5x2 + 4 นาํ x −1 ไปหาร x4 − 5x2 + 4 ไดผ ลหารเปน x3 + x2 − 4x − 4 ดงั นั้น ( )x4 − 5x2 + 4 = ( x −1) x3 + x2 − 4x − 4 = ( x −1) ( x3 + x2 ) − (4x + 4) = ( x −1) x2 ( x +1) − 4( x +1) = ( x −1)( x +1)( x2 − 4) = ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 2) วิธีท่ี 2 ( )( )x4 − 5x2 + 4 = x2 −1 x2 − 4 = ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 2) s 7) ให p ( x) = x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 เนื่องจากจาํ นวนเต็มทีห่ าร 4 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 4 พจิ ารณา p(1) p (1)= (1)4 − 2(1)3 + (1)2 − 4(1) + 4= 0 จะเห็นวา p(1) = 0 ดงั นั้น x −1 เปนตัวประกอบของ x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 นํา x −1 ไปหาร x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 ไดผ ลหารเปน x3 − x2 − 4 ดังนนั้ x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 = ( x −1)( x3 − x2 − 4) ให q ( x) = x3 − x2 − 4 เน่อื งจากจาํ นวนเต็มที่หาร −4 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

342 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 พจิ ารณา q(2) q (2)= (2)3 − (2)2 − 4= 0 จะเห็นวา q(2) = 0 ดงั นั้น x − 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − x2 − 4 นํา x − 2 ไปหาร x3 − x2 − 4 ไดผ ลหารเปน x2 + x + 2 ดังนน้ั ( )x3 − x2 − 4 = ( x − 2) x2 + x + 2 จะได ( )x4 − 2x3 + x2 − 4x + 4 = ( x −1)( x − 2) x2 + x + 2 8) ให p ( x) =x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 เน่ืองจากจาํ นวนเต็มท่ีหาร 24 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ±12, ± 24 พิจารณา p(−1) p (−1) =(−1)4 − 2(−1)3 −13(−1)2 +14(−1) + 24 =0 จะเหน็ วา p(−1) =0 ดังน้นั x +1 เปน ตัวประกอบของ x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 นํา x +1 ไปหาร x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 ไดผลหารเปน x3 − 3x2 −10x + 24 ดังนน้ั x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 = ( x +1)( x3 − 3x2 −10x + 24) ให q ( x) =x3 − 3x2 −10x + 24 เนือ่ งจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร 24 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ±12, ± 24 พิจารณา q(2) q (2) = (2)3 − 3(2)2 −10(2) + 24 = 0 จะเหน็ วา q(2) = 0 ดงั น้ัน x − 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − 3x2 −10x + 24 นาํ x − 2 ไปหาร x3 − 3x2 −10x + 24 ไดผ ลหารเปน x2 − x −12 ดงั นั้น ( )x3 − 3x2 −10x + 24 = ( x − 2) x2 − x −12 จะได ( )x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 = ( x +1)( x − 2) x2 − x −12 = ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 343 6. 1) ให p ( x) = 6x3 −11x2 + 6x −1 เน่อื งจากจํานวนเต็มทห่ี าร −1 ลงตัว คอื ±1 และจํานวนเตม็ ทหี่ าร 6 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 3, ± 6 พจิ ารณา p(1) p (=1) 6(1)3 −11(1)2 + 6(1) −=1 0 จะเห็นวา p(1) = 0 ดังนนั้ x −1 เปน ตัวประกอบของ 6x3 −11x2 + 6x −1 นํา x −1 ไปหาร 6x3 −11x2 + 6x −1 ไดผ ลหารเปน 6x2 − 5x +1 ดงั นนั้ 6x3 −11x2 + 6x −1 = ( x −1)(6x2 − 5x +1) = ( x −1)(3x −1)(2x −1) ก 2) ให p ( x) = 6x3 + x2 −11x − 6 เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร −6 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6 และจํานวนเต็มท่ีหาร 6 ลงตัว คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6 พจิ ารณา p(−1) p (−1) = 6(−1)3 + (−1)2 −11(−1) − 6 = 0 จะเหน็ วา p(−1) =0 ดังนน้ั x +1 เปน ตวั ประกอบของ 6x3 + x2 −11x − 6 นาํ x +1 ไปหาร 6x3 + x2 −11x − 6 ไดผลหารเปน 6x2 − 5x − 6 ดังน้ัน 6x3 + x2 −11x − 6 = ( x +1)(6x2 − 5x − 6) = ( x +1)(3x + 2)(2x − 3) 3) ให p ( x) = 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1 เนื่องจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร 1 ลงตวั คือ ±1 และจาํ นวนเตม็ ทีห่ าร 8 ลงตัว คือ ±1, ± 2, ± 4, ± 8 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

344 คูม ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 พจิ ารณา p  − 1   2  p  − 1  =8 − 1 4 + 8 − 1 3 + 6  − 1 2 + 4  − 1  + 1 =0  2  2  2  2  2  จะเหน็ วา p  − 1  =0 ดงั น้นั x+1 เปน ตวั ประกอบของ 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1  2  2 นํา x + 1 ไปหาร 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1 ไดผ ลหารเปน 8x3 + 4x2 + 4x + 2 2 ดงั นน้ั 8x4 + 8x3 + 6x2 + 4x +1 = ( ) 1  8x3 2   x + + 4x2 + 4x + 2 =  x + 1  ( 8x3 + 4 x2 ) + ( 4x + 2)  2  =  x + 1   4 x 2 ( 2x + 1) + 2 ( 2x + 1)  2  =  x + 1  ( 2 x + 1) ( 4 x2 + 2)  2  = 2  x + 1  (2x + 1) ( 2 x2 + 1)  2  = (2x +1)(2x +1)(2x2 +1) = (2x +1)2 (2x2 +1) ก 4) ให p ( x) = 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 เน่อื งจากจํานวนเต็มที่หาร −4 ลงตวั คือ ±1, ± 2, ± 4 และจาํ นวนเตม็ ทีห่ าร 3 ลงตวั คอื ±1, ± 3 พจิ ารณา p(1) p (1=) 3(1)4 − 8(1)3 + (1)2 + 8(1) −=4 0 จะเหน็ วา p(1) = 0 ดงั น้ัน x −1 เปน ตัวประกอบของ 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 นํา x −1 ไปหาร 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 ไดผ ลหารเปน 3x3 − 5x2 − 4x + 4 ดังน้นั 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 = ( x −1)(3x3 − 5x2 − 4x + 4) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 345 ให q ( x) = 3x3 − 5x2 − 4x + 4 เนื่องจากจาํ นวนเต็มทหี่ าร 4 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 4 และจาํ นวนเตม็ ที่หาร 3 ลงตวั คือ ±1, ± 3 พจิ ารณา q(−1) q (−1) = 3(−1)3 − 5(−1)2 − 4(−1) + 4 = 0 จะเห็นวา q(−1) =0 ดงั น้ัน x +1 เปนตวั ประกอบของ 3x3 − 5x2 − 4x + 4 นาํ x +1 ไปหาร 3x3 − 5x2 − 4x + 4 ไดผลหารเปน 3x2 − 8x + 4 ดงั น้นั ( )3x3 − 5x2 − 4x + 4 = ( x +1) 3x2 − 8x + 4 จะได ( )3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 = ( x −1)( x +1) 3x2 − 8x + 4 = ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2) แบบฝก หัด 3.5 1. เขียนแผนภาพเพอื่ แสดงจํานวนสมาชกิ ของเซตไดด ังนี้ 1) เนื่องจาก x3 − 2x2 − 5x + 6 = ( x −1)( x2 − x − 6) = ( x −1)( x + 2)( x − 3) จะได ( x −1)( x + 2)( x − 3) =0 ดังนั้น x −1 =0 หรือ x + 2 =0 หรอื x − 3 =0 จะได x = 1 หรือ x = − 2 หรอื x = 3 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 2, 1, 3} 2) เน่ืองจาก x3 + x2 − 8x −12 =( x + 2)( x + 2)( x − 3) จะได ( x + 2)( x + 2)( x − 3) =0 ดังนน้ั x + 2 =0 หรือ x − 3 =0 จะได x = − 2 หรอื x = 3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

346 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 2, 3} ก 3) เน่ืองจาก 1− 3x2 + 2x3 =( x −1)( x −1)(2x +1) จะได ( x −1)( x −1)(2x +1) =0 ดังนัน้ x −1 =0 หรือ 2x +1 =0 จะได x = 1 หรอื x = − 1 2 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 1 , 1   2    4) จดั รปู สมการใหมไดเ ปน 3x3 − 2x2 − 7x − 2 =0 เนื่องจาก 3x3 − 2x2 − 7x − 2 = ( x +1)( x − 2)(3x +1) จะได ( x +1)( x − 2)(3x +1) =0 ดงั น้นั x +1 =0 หรอื x − 2 =0 หรือ 3x +1 =0 จะได x = −1 หรือ x = 2 หรอื x = − 1 3 ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ  − 1, − 1, 2   3    5) เนื่องจาก 6 −13x + 4x3 =( x + 2)(2x −1)(2x − 3) จะได ( x + 2)(2x −1)(2x − 3) =0 ดงั นั้น x + 2 =0 หรอื 2x −1 =0 หรือ 2x − 3 =0 จะได x = − 2 หรือ x = 1 หรอื x = 3 22 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 2 , 1, 3   2 2    6) เนื่องจาก x3 − 3x2 + x + 2 = ( x − 2)( x2 − x −1) จะได ( x − 2)( x2 − x −1) =0 ดังนน้ั x − 2 =0 หรอื x2 − x −1 =0 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 347 จะได x = 2 หรอื x = 1± 5 2 ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ  2 , 1 + 5 , 1− 5   2 2    7) จดั รูปสมการใหมไดเปน 2x3 − 3x2 − 5x + 6 =0 เน่อื งจาก 2x3 − 3x2 − 5x + 6 = ( x −1)( x − 2)(2x + 3) จะได ( x −1)( x − 2)(2x + 3) =0 ดังนั้น x −1 =0 หรอื x − 2 =0 หรอื 2x + 3 =0 จะได x = 1 หรือ x = 2 หรอื x = − 3 2 ดังนั้น เซตคําตอบของสมการ คอื  − 3 , 1, 2   2    8) เนื่องจาก x3 − x2 − x − 2 = ( x − 2)( x2 + x +1) จะได ( x − 2)( x2 + x +1) =0 ดงั นัน้ x − 2 =0 หรือ x2 + x +1 =0 ถา x − 2 =0 จะได x = 2 ถา x2 + x +1 =0 และเน่ืองจาก (1)2 − 4(1)(1) =− 3 จะไดวา ไมม ีจํานวนจริงที่เปนคําตอบของสมการนี้ ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { 2} 9) เนื่องจาก 4x3 +13x2 + 4x −12 = ( x + 2)( x + 2)(4x − 3) จะได ( x + 2)( x + 2)(4x − 3)=0 ดงั นน้ั x + 2 =0 หรอื 4x − 3 =0 จะได x = − 2 หรอื x = 3 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

348 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการ คอื  − 2, 3   4  10) จัดรูปสมการใหมไดเปน 2x4 −13x3 + 28x2 − 23x + 6 =0 เน่ืองจาก 2x4 −13x3 + 28x2 − 23x + 6 = ( x −1)( x − 2)( x − 3)(2x −1) จะได ( x −1)( x − 2)( x − 3)(2x −1) =0 ดงั นนั้ x −1 =0 หรือ x − 2 =0 หรอื x − 3 =0 หรือ 2x −1 =0 จะได x = 1 หรือ x = 2 หรอื x = 3 หรอื x = 1 2 ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  1 , 1, 2, 3   2    11) เนอื่ งจาก 4x4 − 4x3 − 9x2 + x + 2 = ( x +1)( x − 2)(2x −1)(2x +1) จะได ( x +1)( x − 2)(2x −1)(2x +1) =0 ดงั นั้น x +1 =0 หรอื x − 2 =0 หรือ 2x −1 =0 หรือ 2x +1 =0 จะได x = −1 หรอื x = 2 หรือ x = 1 หรอื x = − 1 22 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 1, − 1, 1, 2   2 2    12) จัดรูปสมการใหมไดเปน 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 =0 เนื่องจาก 3x4 − 8x3 + x2 + 8x − 4 = ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2) จะได ( x −1)( x +1)( x − 2)(3x − 2) =0 ดงั นัน้ x −1 =0 หรือ x +1 =0 หรือ x − 2 =0 หรอื 3x − 2 =0 จะได x = 1 หรือ x = −1 หรือ x = 2 หรอื x = 2 3 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  − 1, 2 , 1, 2   3    สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 349 13) เนื่องจาก x4 − 2x3 −13x2 +14x + 24 = ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4) จะได ( x +1)( x − 2)( x + 3)( x − 4) =0 ดังน้ัน x +1 =0 หรอื x − 2 =0 หรือ x + 3 =0 หรอื x − 4 =0 จะได x = −1 หรอื x = 2 หรือ x = − 3 หรอื x = 4 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 3, −1, 2, 4} 2. ใหจํานวนค่สี ามจาํ นวนที่เรียงติดกัน คือ x − 2, x, x + 2 ดงั นั้น ( x − 2)( x)( x + 2) =1,287 นั่นคอื x3 − 4x −1287 = 0 ( x −11)( x2 +11x +117) = 0 ดงั นัน้ x −11 =0 หรือ x2 +11x +117 =0 ถา x −11 =0 จะได x = 11 ถา x2 +11x +117 =0 และเนื่องจาก (11)2 − 4(1)(117) =− 347 จะไดวาไมมจี าํ นวนจริงท่เี ปน คาํ ตอบของสมการน้ี ดงั นั้น x = 11 สรุปไดว า จํานวนทนี่ อยท่สี ดุ คอื 11− 2 =9 3. ความสมั พันธระหวางเวลากับความสูงของลกู บอลจากพ้นื ดินแทนดว ยสมการ s (t ) =12 + 28t − 5t2 จัดรปู สมการใหมไดเ ปน s(t) =− 5t2 + 28t +12 ลูกบอลจะกระทบพื้นเม่อื s(t) = 0 นน่ั คือ −5t2 + 28t +12 = 0 5t2 − 28t −12 = 0 (5t + 2)(t − 6) = 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

350 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 ดังนั้น 5t + 2 =0 หรอื t − 6 =0 จะได t = − 2 หรือ t = 6 5 ดงั นน้ั ลกู บอลจะลอยอยูในอากาศนาน 6 วนิ าที กอ นตกกระทบพื้นดนิ ครัง้ แรก แบบฝก หดั 3.6 1. 1) x3 −1 = ( x −1)( x2 + x +1) x −1 x −1 = x2 + x +1 เมื่อ x ≠ 1ด 4x2 − 9 (2x − 3)(2x + 3) 2) 2x2 + x − 3 = (2x + 3)( x −1) = 2x −3 เมอ่ื x ≠ − 3 x −1 2 ( )3) x3 − x2 − x +1 = x3 − x2 − ( x −1) ( ) ( )x4 − 4x3 + 4x2 −1 x4 −1 − 4x3 − 4x2 x2 ( x −1) − ( x −1) = ( x2 −1)( x2 +1) − 4x2 ( x −1) x2 ( x −1) − ( x −1) = ( x −1)( x +1)( x2 +1) − 4x2 ( x −1) ( x −1)( x2 −1) เมอ่ื x ≠ 1 = ( x −1) ( x +1)( x2 +1) − 4x2  ( x −1)( x +1) ( )= x3 + x2 + x +1 − 4x2 ( x −1)( x +1) = x3 − 3x2 + x +1 ( x −1)( x +1) = ( x −1)( x2 − 2x −1) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 351 = x +1 เม่อื x ≠ 1 ด x2 − 3x ⋅ x2 − 4 = x2 − 2x −1 x2 − x − 2 x2 − x − 6 2. 1) x( x − 3) ( x − 2)( x + 2) 2) ( x − 2)( x +1) ⋅ ( x − 3)( x + 2) 3) 4) = x เมอื่ x ≠ − 2, x ≠ 2 และ x ≠ 3 3. 1) x +1 x3 −1 ⋅ x3 +1 ( x −1)( x2 + x +1) ( x +1)( x2 − x +1) =⋅ x2 − x +1 x2 + x +1 x2 − x +1 x2 + x +1 = ( x −1)( x +1) เนือ่ งจาก x2 ± x +1=  x ± 1 2 + 3 > 0  2  4 = x2 −1 x2 + 3x −10 ÷ x + 5 = x2 + 3x −10 ⋅ x + 2 x+2 x+2 x+2 x+5 = (x + 5)(x − 2) ⋅ x + 2 x+2 x+5 = x − 2 เมื่อ x ≠ − 2 และ x ≠ − 5 2x − 8 ÷ x2 −16 = 2x − 8 ⋅ x3 + x2 x2 x3 + x2 x2 x2 −16 = 2( x − 4) x2 ( x +1) = x2 ⋅ (x − 4)(x + 4) = 1+ 1 + 1 = 2( x +1) เมือ่ x ≠ 0 และ x ≠ 4 x x +1 x + 2 = x+4 2x + 2 เมอ่ื x ≠ 0 และ x ≠ 4 x+4 ( x +1)( x + 2) + x( x(x + 2) 2) + x( x( x +1) 2) x( x +1)( x + 2) x +1)( x +1)( x + x+ (x2 + 3x + 2) + (x2 + 2x) + (x2 + x) x( x +1)( x + 2) = 3x2 + 6x + 2 x( x +1)( x + 2) สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

352 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 2) x + x −1 = ( x − x x + 3) + ( x + x −1 + 3) x2 + x − 6 x2 + 5x + 6 = 2)( 2)(x ( x − x(x + 2) x + 3) + ( x ( x −1)( x − 2) 3) 2)(x + 2)( − 2)(x + 2)(x + = (x2 + 2x) + (x2 − 3x + 2) (x − 2)(x + 2)(x + 3) = 2x2 − x + 2 3) 2 − 2 + 1 = (x − 2)(x + 2)(x + 3) 3x x +1 x + 2 = 2( x +1)( x + 2) − 2(3x)( x + 2) + (3x)( x +1) 2) 3x( x +1)( x + 2) 3x( x +1)( x + 2) 3x( x +1)( x + (2x2 + 6x + 4) − (6x2 +12x) + (3x2 + 3x) 3x( x +1)( x + 2) = −x2 − 3x + 4 3x( x +1)( x + 2) 4) x2 − 5 − 4 = ( x x2 − 5 3) − ( x − 2 4 x + 2 ) x2 − 5x + 6 x2 − 4 − 2)(x − )( (x2 − 5)(x + 2) 4( x − 3) = ( x − 2)( x + 2)( x − 3) − ( x − 2)( x + 2)( x − 3) = ( x3 + 2x2 − 5x −10) − (4x −12) = ( x − 2)(x + 2)(x − 3) x3 + 2x2 − 9x + 2 (x − 2)( x + 2)(x − 3) = ( x − 2)( x2 + 4x −1) = (x − 2)(x + 2)(x − 3) x2 + 4x −1 เม่อื x ≠ 2 ( x + 2)( x − 3) สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 353 แบบฝกหัด 3.7 1. 1) จดั รปู สมการใหมไดเ ปน ด ( x x ( x −1) 2) − ( x + 2 x + 2 ) =0 + 1)( x + 1)( x2 − x − 2 =0 ( x +1)( x + 2) ( x − 2)( x +1) ( x +1)( x + 2) = 0 x−2 =0 เม่ือ x ≠ −1 x+2 จะได x − 2 =0 และ x + 2 ≠ 0 นนั่ คอื x = 2 โดยที่ x ≠ − 2 และ x ≠ −1 ดังนนั้ เซตคําตอบของสมการ คือ { 2} 2) จาก x + x +1 =0 x −1 x =0 =0 x2 + ( x + 1) (x− 1) x− x(x − 1) x ( 1) ( )x2 + x2 −1 x( x −1) 2x2 −1 = 0 x( x −1) จะได 2x2 −1 =0 และ x( x −1) ≠ 0 จะได x = − 1 หรือ x = 1 โดยที่ x ≠ 0 และ x ≠ 1 22 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คอื  − 1 , 1     2 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

354 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 3) จดั รูปสมการใหมไดเปน 1− x+6 = 0 x x2 + 3 = 0 = 0 x x2 +3 − (x+ 6)(x) 0 (x )2 + 3 x(x )2 + 3 1 1 (x2 + 3) − (x2 + 6x) 1 x(x2 + 3) 1 0 −6x + 3 = 0 0 x(x2 + 3) จะได −6x + 3 =0 และ x( x2 + 3) ≠ 0 เน่อื งจาก x2 + 3 > 0 เสมอ จะได x = 1 โดยท่ี x ≠ 0 2 ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  1  ด  2    4) จาก 1− 4 = x x −1 x x −1 − x ( 4 x = x ( x −1) − 1) ( x −1) − 4x = x( x −1) −3x −1 = = x( x −1) = = −3x −1 − 1 x( x −1) −3x −1 − x(x − 1) x(x − 1) x( x −1) (−3x −1) − x( x −1) x( x −1) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 355 (−3x −1) − ( x2 − x) =0 x( x −1) −x2 − 2x −1 =0 x( x −1) x2 + 2x +1 =0 x( x −1) ( x +1)2 = 0 x( x −1) จะได ( x +1)2 =0 และ x( x −1) ≠ 0 น่ันคือ x = −1 โดยท่ี x ≠ 0 และ x ≠ 1 ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1} 5) จาก 1+ 1 = 1 + 1 ด x +1 x2 + x x x2 x 1 + 1 = 1+ 1 +1 x x2 x( x +1) x( x + x( 1 = x+1 x2 x2 x +1) x +1) x +1 = x +1 x2 x( x +1) x +1 − x+ 1 = 0 x2 x ( x +1) x( x +1) ( x +1)( x +1) =0 x2 ( x +1) − x2 ( x +1) x( x +1) − ( x +1)( x +1) =0 x2 ( x +1) ( x2 + x) − ( x2 + 2x +1) =0 x2 ( x +1) −x −1 =0 x2 ( x +1) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

356 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 x +1 =0 x2 ( x +1) 1 = 0 เมื่อ x ≠ −1 x2 จะเหน็ วาไมมีจํานวนจริง x ที่ทําใหส มการนเี้ ปนจรงิ ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื ∅ 6) จดั รปู สมการใหมไดเปน 1 + 1 −6 = 0 x2 +1 x −1 5 0 0 ( x −1)(5) + ( x2 +1)(5) − 6( x −1)( x2 +1) = 5( x −1)( x2 +1) (5x − 5) + (5x2 + 5) − (6x3 − 6x2 + 6x − 6) = 5( x −1)( x2 +1) −6x3 + 11x2 − x + 6 =0 5( x −1)( x2 +1) 6x3 −11x2 + x − 6 =0 5( x −1)( x2 +1) ( x − 2)(6x2 + x + 3) =0 ( x −1)( x2 +1) จะได ( x − 2)(6x2 + x + 3) =0 และ ( x −1)( x2 +1) ≠ 0 เนอื่ งจาก 12 − 4(6)(3) < 0 จะไดว า ไมมีจาํ นวนจรงิ x ทที่ าํ ให 6x2 + x + 3 =0 และเนอ่ื งจาก x2 +1 > 0 เสมอ จะได x = 2 โดยท่ี x ≠ 1 ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { 2} สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 357 7) จาก 1− x =1 x − 2 x2 +1 6 ( x − x2 +1 + 1) − ( x x (x −2 ) 1) = 1 − 2) 6 2) ( x2 ( x2 + ( x2 +1) − ( x2 − 2x) = 1 ( x − 2)( x2 +1) 6 2x +1 = 1 6 ( x − 2)( x2 +1) ( x − 2x +1 + 1) − 1 =0 6 2) ( x2 6(2x +1) ( x − 2)( x2 +1) 6( x − 2)( x2 +1) − 6( x − 2)( x2 +1) = 0 (12x + 6) − ( x3 − 2x2 + x − 2) =0 6( x − 2)( x2 +1) −x3 + 2x2 + 11x + 8 =0 6( x − 2)( x2 +1) x3 − 2x2 −11x − 8 =0 ( x − 2)( x2 +1) ( x +1)( x2 − 3x − 8) =0 ( x − 2)( x2 +1) จะได ( x +1)( x2 − 3x − 8) =0 และ ( x − 2)( x2 +1) ≠ 0 เน่อื งจาก x2 +1 > 0 เสมอ จะได x = −1 , x = 3 − 41 หรือ x = 3 + 41 โดยที่ x ≠ 2 22 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 1, 3 − 41 , 3 + 41   2   2  8) จาก 1−1 = 2 x2 − x +1 x2 + x +1 3x สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

358 คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 ( x2 + x +1) − ( x2 − x +1) = 2 ( x2 − x +1)( x2 + x +1) 3x 2x = 2 3x ( x2 − x +1)( x2 + x +1) ( x2 − x 2x + x + 1) − 2 =0 3x +1)( x2 ( x2 − x + x x2 + x + 1) − 1 =0 3x 1)( ( x)(3x) − ( x2 − x +1)( x2 + x +1) =0 ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) ( )3x2 − x4 + x2 +1 =0 ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) −x4 + 2x2 −1 =0 ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) x4 − 2x2 +1 =0 ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) ( x2 )−1 2 =0 ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) ( x −1)2 ( x +1)2 =0 ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) จะได ( x −1)2 ( x +1)2 =0 และ ( x2 − x +1)( x2 + x +1)(3x) ≠ 0 เนือ่ งจาก (−1)2 − 4(1)(1) < 0 จะไดวา ไมมจี ํานวนจรงิ x ทท่ี ําให x2 − x +1 =0 และเนอื่ งจาก 12 − 4(1)(1) < 0 จะไดว า ไมมีจํานวนจริง x ทที่ ําให x2 + x +1 =0 จะได x = −1 หรอื x = 1 โดยที่ x ≠ 0 ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1, 1} 2. ใหอ ัตราเรว็ ของการบนิ ปกติ คือ x กโิ ลเมตรตอช่วั โมง สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 359 ในการบนิ ระยะทาง 1,500 กิโลเมตร ดวยอตั ราเรว็ ปกติ จะใชเ วลา 1500 ชว่ั โมง x เนอ่ื งจากเคร่ืองบินพบกับสภาพอากาศแปรปรวน จงึ บินดวยอตั ราเร็วลดลง 100 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง นน่ั คอื เม่ือพบสภาพอากาศแปรปรวน เครื่องบินจะบนิ ดวยอัตราเร็ว x −100 กิโลเมตรตอช่วั โมง ดังน้ัน เม่อื พบสภาพอากาศแปรปรวน เครือ่ งบินจะใชเวลาบนิ 1500 ชัว่ โมง x −100 เน่ืองจากการบนิ ในสภาพอากาศแปรปรวนจะถึงที่หมายชากวา ปกติอยู 10 นาที ดงั นนั้ 1500 − 1500 = 10 x −100 x = 60 = 1 1500 − 1500 = 6 x −100 x 0 1500 − 1500 − 1 0 x −100 x 6 1500(6x) − (1500)(6)( x −100) − x( x −100) 6x( x −100) 9000x − 9000x + 900000 − x2 +100x =0 6x( x −100) x2 −100x − 900000 =0 6x( x −100) ( x + 900)( x −1000) =0 6x( x −100) จะได ( x + 900)( x −1000) =0 และ 6x( x −100) ≠ 0 น่นั คอื x = − 900 หรือ x = 1,000 โดยที่ x ≠ 0 และ x ≠ 100 เนอื่ งจาก x > 0 จะได เซตคําตอบของสมการ คอื {1000} ดงั นนั้ อัตราเรว็ ของการบินปกติ คอื 1,000 กิโลเมตรตอช่ัวโมง สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

360 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 แบบฝกหดั 3.8 1. ไมจริง (เชน a = −1 และ b = − 2 จะได a2 = 1 และ b2 = 4 ซ่ึงจะเหน็ วา a > b แต a2 < b2 ) ด 2. ไมจรงิ (เชน a = 1 และ b = −1 จะได 1 = 1 และ 1 = −1 ab ซึ่งจะเหน็ วา a > b และ 1 > 1 ) ab 3. จรงิ 4. จรงิ 5. จรงิ 6. จรงิ 7. กรณีที่ a และ b เปน จํานวนจรงิ บวกทัง้ คู หรอื กรณีท่ี a และ b เปน จํานวนจรงิ ลบทั้งคู 8. กรณีที่ a เปน จํานวนจริงบวก แต b เปน จาํ นวนจรงิ ลบ แบบฝก หัด 3.9ก –4 –3 –2 –1 0 1 2 – 3 –2 –1 0 1 2 3 1. 1) { x | − 3 ≤ x < 1} 2) { x | x > − 2} 2 3 4 5 67 8 3) { x | 4 ≤ x ≤ 7 } สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 361 4) { x | −3 < x < 0} –4 –3 –2 –1 0 1 2 5) { x | x < − 3} –5 –4 –3 –2 –1 0 1 6) { x | x ≥ 1} –2 –1 0 1 2 3 4 7) { x | −1 < x ≤ 4} –2 –1 0 1 2 3 4 8) { x | x ≤ 1} –4 –3 –2 –1 0 1 2 9) { x | −10 < x < − 8} –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 10) { x | 2.5 ≤ x ≤ 4 } –2 –1 0 1 2 2.5 3 4 2. เขียนแสดง A และ B บนเสน จํานวนไดด ังน้ี –2 –1 0 1 2 3 4 1) A ∪ B =( −1, 4 ] ด 2) A ∩ B =[ 0, 2 ) 3) A − B =( −1, 0 ) ด 4) B − A =[ 2, 4 ] 5) A′ = ( − ∞, −1 ] ∪ [ 2, ∞ ) ด สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

362 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 6) B′ = ( − ∞, 0 ) ∪ ( 4, ∞ ) 3. เขยี นแสดง A , B และ C บนเสน จํานวนไดดงั น้ี –1 0 1 2 3 4 5 จากเสน จาํ นวนจะไดวา 1) { x | −1 < x ≤ 4} หรือ ( −1, 4 ] 2) { x | 2 ≤ x ≤ 4} หรอื [ 2, 4 ] 3) { x | −1 < x ≤ 5} หรือ ( −1, 5 ] 4) { x | 2 ≤ x < 3} หรือ [ 2, 3 ) 5) { x | −1 < x < 2} หรือ ( −1, 2 ) 6) { x | 3 ≤ x ≤ 4} หรือ [ 3, 4 ] 7) { x | 1 < x ≤ 4} หรือ ( 1, 4 ] 8) { x | 1 < x ≤ 4} หรอื ( 1, 4 ] แบบฝก หัด 3.9ข 3x +1 < 2x −1 3x − 2x < −1 −1 1. จาก จะได x < −2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 363 ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 2 ) ด 2. จาก 4 y + 7 > 2( y +1) จะได 4y + 7 > 2y + 2 4y −2y > 2−7 2 y > −5 y> −5 2 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − 5, ∞   2  3( y −1) 3. จาก 2(3y −1) > จะได 6y − 2 > 3y − 3 6 y − 3y > −3 + 2 3y > −1 y> −1 3 ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื  − 1 , ∞   3  3x − (3 − 2x) 4. จาก 4 −(3− x) < จะได 4 − 3 + x < 3x − 3 + 2x x − 3x − 2x < −3 − 4 + 3 −4x < −4 1 x> ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( 1, ∞ ) 5. จาก x2 − x − 6 < 0 จะได ( x − 3)( x + 2) < 0 พิจารณาเสน จาํ นวน สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

364 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 x–3 < 0 x–3 > 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 ดงั นนั้ เซตคําตอบของอสมการ คือ [ − 2, 3 ] 6. จาก 2x2 + 7x + 3 > 0 0 จะได (2x +1)( x + 3) > พจิ ารณาเสน จาํ นวน 2x + 1 < 0 2x + 1 > 0 x+3 < 0 x+3 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞ , − 3] ∪ − 1 , ∞  2  7. จาก 6x − x2 ≥ 5 จะได x2 − 6x + 5 < 0 ( x − 5)( x −1) < 0 พจิ ารณาเสนจํานวน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 365 x–5 < 0 x–5 > 0 x–1 > 0 x–1 < 0 0 12 3 45 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื [1, 5 ] 8. จาก 2x < 3 − x2 0 จะได x2 + 2x − 3 < 0 ( x −1)( x + 3) < พิจารณาเสน จาํ นวน x+3 < 0 x+3 > 0 x–1 < 0 x–1 > 0 –4 –3 –2 –1 0 1 ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − 3, 1 ) 9. จาก x2 + 2x < 15 0 จะได x2 + 2x −15 < 0 ( x − 3)( x + 5) < พิจารณาเสนจํานวน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

366 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 x–3 < 0 x–3 > 0 x+5 < 0 x+5 > 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − 5, 3 ) 10. จาก 3x2 + 2 > 7x 0 จะได 3x2 − 7x + 2 > 0 (3x −1)( x − 2) > พจิ ารณาเสนจาํ นวน 3x – 1 < 0 3x – 1 > 0 x–2 < 0 x–2 > 0 –1 0 1 2 3 4 ดังนัน้ เซตคําตอบของอสมการ คือ  − ∞ , 1  ∪ [ 2, ∞ )  3  11. จาก x3 − 3x2 < 10x จะได x3 − 3x2 −10x < 0 x( x2 − 3x −10) < 0 x(x + 2)(x − 5) < 0 พิจารณาเสน จาํ นวน สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 367 x+2 < 0 x< 0 x> 0 x+2 > 0 x–5 < 0 x–5 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ดังนนั้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ] ∪ [ 0, 5 ] 12. จาก x3 − x2 − x +1 > 0 จะได ( x3 − x2 ) − ( x −1) > 0 x2 ( x −1) − ( x −1) > 0 ( x −1)( x2 −1) > 0 ( x −1)( x −1)( x +1) > 0 ( x −1)2 ( x +1) > 0 วธิ ีที่ 1 พิจารณาเสน จาํ นวน x–1 < 0 x–1 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –3 –2 –1 0 1 23 วิธที ี่ 2 ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื [ −1, ∞ ) จาก ( x −1)2 ( x +1) > 0 เน่ืองจาก ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ จะได x +1 > 0 x > −1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

368 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 13. จาก ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ −1, ∞ ) จะได x3 − x > 2x2 − 2 x3 − 2x2 − x + 2 > 0 (x3 − 2x2 ) − (x − 2) > 0 x2 (x − 2) − (x − 2) > 0 ( x − 2)( x2 −1) > 0 ( x − 2)( x −1)( x +1) > 0 พิจารณาเสน จาํ นวน x–2 < 0 x–2 > 0 x–1 < 0 x–1 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( −1, 1 ) ∪ ( 2, ∞ ) 14. จาก ( )x x2 + 4 < 5x2 จะได ( )x x2 + 4 − 5x2 < 0 x3 − 5x2 + 4x < 0 x(x2 − 5x + 4) < 0 x( x −1)( x − 4) < 0 พิจารณาเสนจาํ นวน สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 369 x<0 x>0 x–1 < 0 x–1 > 0 x–4 < 0 x–4 > 0 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 0 ) ∪ ( 1, 4 ) 15. จาก ( x −1)( x + 3) พจิ ารณาเสนจํานวน <0 x−2 x–2 < 0 x–2 > 0 x–1 < 0 x–1 > 0 x+3 > 0 x+3 < 0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 3 ] ∪ [1, 2 ) 16. จาก 2x −3 >0 (x + 2)(x − 5) พิจารณาเสน จํานวน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

370 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 x–5 < 0 x–5 > 0 2x – 3 > 0 2x – 3 < 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ  − 2, 3  ∪ ( 5, ∞ )  2  17. จาก x2 + 12 >7 x จะได x2 +12 − 7 > 0 x x2 − 7x + 12 >0 x >0 (x − 3)(x − 4) x พจิ ารณาเสน จํานวน x–3< 0 x–3> 0 x–4< 0 x–4> 0 x<0 x>0 –1 0 1 2 3 4 5 ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( 0, 3 ) ∪ ( 4, ∞ ) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 371 18. จาก x2 + 6 <5 จะได x พิจารณาเสนจํานวน x2 + 6 − 5 < 0 x x2 − 5x + 6 <0 x <0 (x − 2)(x − 3) x x –3 < 0 x –3 > 0 x –2 < 0 x –2 > 0 x<0 x>0 –2 –1 0 1 2 3 4 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 0 ) ∪ [ 2, 3 ] 19. จาก 6 >1 จะได x −1 พิจารณาเสน จํานวน 6 −1 > 0 x −1 6 − ( x −1) >0 x −1 −x + 7 >0 x −1 x−7 < 0 x −1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

372 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 x–7 < 0 x–7 > 0 x–1 < 0 x–1 > 0 –1 0 12 3 4 567 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( 1, 7 ) 20. จาก 2x − 4 < 1 จะได x −1 < 0 2x − 4 −1 < 0 พิจารณาเสน จํานวน x −1 < 0 (2x − 4) − ( x −1) x −1 x−3 x −1 x–3 < 0 x–3 > 0 x–1 < 0 x–1 > 0 –2 –1 0 12 34 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( 1, 3 ) 21. จาก 6 < x +1 จะได x−4 < 0 < 0 6 − ( x +1) x−4 6 − ( x +1)( x − 4) x−4 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 373 6 − (x2 − 3x − 4) <0 <0 x−4 >0 −x2 + 3x + 10 >0 x−4 x–5 < 0 x–5 > 0 x2 − 3x −10 x–4 < 0 x–4 > 0 x−4 (x − 5)(x + 2) x−4 พิจารณาเสนจาํ นวน x+2 < 0 x+2 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ − 2, 4) ∪ [ 5, ∞ ) 22. จาก 8 >x จะได x+2 >0 >0 8 −x >0 x+2 >0 <0 8 − x(x + 2) x+2 8 − (x2 + 2x) x+2 −x2 − 2x + 8 x+2 x2 + 2x − 8 x+2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

374 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 พจิ ารณาเสน จาํ นวน (x + 4)(x − 2) <0 x–2>0 x+2 x–2<0 x+2<0 x+2>0 x+4<0 x+4>0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 4 ] ∪ ( − 2, 2 ] 23. จาก 5− x <1 x2 − 3x + 2 จะได 5− x −1 < 0 x2 − 3x + 2 (5 − x) − (x2 − 3x + 2) <0 x2 − 3x + 2 −x2 + 2x + 3 <0 x2 − 3x + 2 x2 − 2x − 3 >0 x2 − 3x + 2 >0 ( x +1)( x − 3) ( x −1)( x − 2) พจิ ารณาเสน จํานวน สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี