(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 425 น่นั คอื x = − 2 โดยท่ี x ≠ 0 , x ≠ 2 และ x ≠ 3 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { − 2} 2) จาก x( x + 3) = 4 ( x + 2)( x −1) ( x + 2)( x −1) ( x x( x + 3) 1) − ( x + 4 x − 1) = 0 + 2)(x − 2)( x2 + 3x − 4 =0 ( x + 2)( x −1) ( x + 4)( x −1) ( x + 2)( x −1) = 0 x+4 =0 เม่ือ x ≠ 1 x+2 จะได x + 4 =0 และ x + 2 ≠ 0 นน่ั คือ x = − 4 โดยท่ี x ≠ − 2 และ x ≠ 1 ดังนั้น เซตคําตอบของสมการ คอื { − 4} 3) จาก x3 + 3x2 + x −1 = 0 x2 −1 ( x +1)( x2 + 2x −1) =0 ( x −1)( x +1) x2 + 2x −1 = 0 เมอื่ x ≠ −1 x −1 จะได x2 + 2x −1 =0 และ x −1 ≠ 0 นนั่ คือ x =−1+ 2 หรือ x =−1− 2 โดยที่ x ≠ 1 และ x ≠ −1 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1+ 2 , −1− 2 } 4) จาก 1+1 =1 x −1 x +1 1 + 1 −1 = 0 x −1 x +1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

426 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 ( x +1) + ( x −1) − ( x −1)( x +1) =0 ( x −1)( x +1) ( x +1) + ( x −1) − ( x2 −1) =0 ( x −1)( x +1) −x2 + 2x +1 =0 ( x −1)( x +1) x2 − 2x −1 =0 ( x −1)( x +1) จะได x2 − 2x −1 =0 และ ( x −1)( x +1) ≠ 0 น่นั คือ x= 1+ 2 หรือ x= 1− 2 โดยที่ x ≠ −1 และ x ≠ 1 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {1+ 2 , 1− 2 } 5) จาก 1 +1 = 3 x2 −1 x − 2 x +1 ( x − 1 x + 1) + x 1 2 − x 3 1 = 0 − + 1)( ( x − 2) + ( x −1)( x +1) − 3( x −1)( x − 2) =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) ( x − 2) + ( x2 −1) − (3x2 − 9x + 6) =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) −2x2 + 10x − 9 =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) 2x2 −10x + 9 =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) จะได 2x2 −10x + 9 =0 และ ( x −1)( x +1)( x − 2) ≠ 0 นน่ั คอื x = 5 + 7 หรือ x = 5 − 7 โดยที่ x ≠ −1 , x ≠ 1 และ x ≠ 2 22 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  5+ 7 , 5− 7   2 2    สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 427 6) จาก 1 + 1 +1 =0 x2 − 2x − 8 x2 − 5x + 4 x2 + x − 2 =0 =0 ( x + 1 x − 4) + ( x − 1 x − 4) + ( x − 1 x + 2) =0 =0 2)( 1)( 1)( =0 ( x −1) + ( x + 2) + ( x − 4) ( x −1)( x + 2)( x − 4) 3x − 3 ( x −1)( x + 2)( x − 4) 3( x −1) ( x −1)( x + 2)( x − 4) 3 เมอื่ x ≠ 1 (x + 2)(x − 4) จะเหน็ วา ไมม ีจาํ นวนจรงิ x ทีท่ ําให ( x + 3 x − 4) = 0 2)( ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื ∅ 7) จาก x + 1 + 2x =0 x + 4 x + 2 x2 + 6x + 8 =0 =0 x x 4 + x 1 2 + ( x + 2x + 2) =0 + + =0 4)(x =0 =0 x(x + 2) + (x + 4) + 2x (x + 4)(x + 2) (x2 + 2x) + (x + 4) + 2x (x + 4)(x + 2) x2 + 5x + 4 (x + 4)(x + 2) ( x + 4)( x +1) (x + 4)(x + 2) x +1 เม่อื x ≠ − 4 x+2 จะได x +1 =0 และ x + 2 ≠ 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

428 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 น่ันคือ x = −1 โดยท่ี x ≠ − 4 และ x ≠ − 2 ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื { −1} 8) จาก 2x2 + 5x − 7 1 = 2x2 + x − 3 2x + 3 (2x + 7)( x −1) = 1 (2x + 3)( x −1) 2x + 3 2x + 7 = 1 เมื่อ x ≠ 1 2x + 3 2x + 3 2x + 7 − 1 =0 2x + 3 2x + 3 2x + 6 = 0 2x + 3 2(x + 3) =0 2x + 3 x+3 = 0 2x + 3 จะได x + 3 =0 และ 2x + 3 ≠ 0 น่นั คอื x = − 3 โดยท่ี x ≠ − 3 และ x ≠ 1 2 ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 3} 9) จาก 2x +1 − 2 = 5 x2 −1 x − 2 x2 + x ( x 2x +1 − x 2 2 = 5 − −1)( x +1) x( x +1) ( x 2x +1 1) − x ( 5 1) = 2 x+ x−2 − 1) (x+ (2x +1)( x) − 5( x −1) = 2 x( x −1)( x +1) x−2 (2x2 + x) − (5x − 5) = 2 x−2 x( x −1)( x +1) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 429 2x2 − 4x + 5 = 2 x−2 x( x −1)( x +1) 2x2 − 4x + 5 − x 2 2 =0 − =0 x( x −1)( x +1) =0 (2x2 − 4x + 5)( x − 2) − 2x( x −1)( x +1) x( x −1)( x +1)( x − 2) (2x3 − 8x2 +13x −10) − (2x3 − 2x) x( x −1)( x +1)( x − 2) −8x2 + 15x −10 =0 x( x −1)( x +1)( x − 2) 8x2 −15x + 10 =0 x( x −1)( x +1)( x − 2) จะได 8x2 −15x +10 =0 และ x( x −1)( x +1)( x − 2) ≠ 0 เนื่องจาก (−15)2 − 4(8)(10) < 0 จะไดว า ไมมจี ํานวนจรงิ x ทท่ี ําให 8x2 −15x +10 =0 ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คอื ∅ 10) จาก 1 +1 = 2 x2 − 3x + 2 x2 −1 = x−2 ( x 1 x − 2) + ( x − 1 x + 1) 2 x−2 −1)( 1)( ( x 1 x − 2) + ( x − 1 x + 1) − x 2 2 = 0 − −1)( 1)( ( x +1) + ( x − 2) − 2( x −1)( x +1) =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) ( x +1) + ( x − 2) − (2x2 − 2) =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) −2x2 + 2x + 1 =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

430 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 2x2 − 2x −1 =0 ( x −1)( x +1)( x − 2) จะได 2x2 − 2x −1 =0 และ ( x −1)( x +1)( x − 2) ≠ 0 นั่นคือ x = 1+ 3 หรอื x = 1− 3 โดยที่ x ≠ −1 , x ≠ 1 และ x ≠ 2 22 ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  1− 3, 1+ 3   2   2  13. 1) จาก 2( x +1) < x + 2 จะได 2x + 2 < x + 2 x <0 ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 0 ) 2) จาก 4x + 7 > 2( x +1) จะได 4x + 7 > 2x + 2 2x > −5 x > −5 2 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื  − 5, ∞   2  3) จาก 4 − (3 − x) < 3x − (3 − 2x) จะได 4 − 3 + x < 3x − 3 + 2x 4x > 4 x >1 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( 1, ∞ ) 4) จาก 2x2 − x − 6 ≥ 0 จะได ( x − 2)(2x + 3) ≥ 0 พจิ ารณาเสนจํานวน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 431 x–2 < 0 x–2 > 0 2x + 3 < 0 2x + 3 > 0 −–23 –1 0 1 2 3 4 2 ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื  − ∞ , − 3  ∪ [ 2, ∞ )  2  5) จาก x2 ≥ 2x − 3 จะได x2 − 2x + 3 ≥ 0 ( x2 − 2x +1) −1+ 3 ≥ 0 ( x −1)2 + 2 ≥ 0 ( x −1)2 ≥ −2 เน่อื งจาก ( x −1)2 ≥ 0 เสมอ ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ  6) จาก x( x +1) ≤ 20 จะได x2 + x ≤ 20 x2 + x − 20 ≤ 0 (x − 4)(x + 5) ≤ 0 พิจารณาเสน จาํ นวน x–4 < 0 x–4 > 0 x+5 < 0 x+5 > 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

432 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื [ − 5, 4 ] 7) จาก ( x −1)( x − 4) > ( x − 2)( x − 3) จะได ( x −1)( x − 4) − ( x − 2)( x − 3) > 0 (x2 − 5x + 4) − (x2 − 5x + 6) > 0 4−6 > 0 เปน เท็จ −2 > 0 นั่นคอื ไมมจี ํานวนจริงทท่ี าํ ให ( x −1)( x − 4) > ( x − 2)( x − 3) ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ∅ 8) จาก x3 + 4 > 3x2 จะได x3 − 3x2 + 4 > 0 ( x − 2)2 ( x +1) > 0 วธิ ีที่ 1 พจิ ารณาเสน จาํ นวน x–2 < 0 x–2 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( −1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) วธิ ที ี่ 2 เนอื่ งจาก (x − 2)2 ≥ 0 เสมอ จะได x +1 > 0 เม่อื x ≠ 2 จะได x > −1 เมื่อ x ≠ 2 ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( −1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 433 9) จาก ( x −1)( x − 2)( x − 3) < ( x −1)( x − 2) จะได ( x −1)( x − 2)( x − 3) − ( x −1)( x − 2) < 0 ( x −1)( x − 2) ( x − 3) −1 < 0 ( x −1)( x − 2)( x − 4) < 0 พิจารณาเสน จํานวน x–1 < 0 x–1 > 0 x–2 < 0 x–2 > 0 x–4 < 0 x–4 > 0 –1 0 1 2 3 4 5 ดังนั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 1 ) ∪ ( 2, 4 ) 10) จาก ( x − 2)( x − 3)2 ( x − 4) ≤ 0 วธิ ที ี่ 1 พิจารณาเสน จํานวน x–2 < 0 x–2 > 0 x–3 < 0 x–3 > 0 x–4 < 0 x–4 > 0 –1 0 1 2 3 4 5 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื [2,4] วธิ ีท่ี 2 เนอ่ื งจาก (x − 3)2 ≥ 0 เสมอ จะได ( x − 2)( x − 4) ≤ 0 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

434 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 พจิ ารณาเสนจํานวน x–2 < 0 x–2 > 0 x–4 < 0 x–4 > 0 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื [2,4] 11) จาก ( x − 2)( x − 3)2 ( x − 4) ≥ 0 วิธีท่ี 1 พิจารณาเสน จํานวน x–2 < 0 x–2 > 0 x–3 < 0 x–3 > 0 x–4 < 0 x–4 > 0 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 2 ] ∪ { 3} ∪ [ 4, ∞ ) วิธีท่ี 2 เน่ืองจาก (x − 3)2 ≥ 0 เสมอ จะได ( x − 2)( x − 4) > 0 พจิ ารณาเสน จํานวน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 435 x–2 < 0 x–2 > 0 x–4 < 0 x–4 > 0 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ] ∪ { 3} ∪ [ 4, ∞ ) 12) จาก ( x +1)(4 − x)( x − 6)2 ≥ 0 จะได ( x +1)( x − 4)( x − 6)2 ≤ 0 วธิ ีท่ี 1 พจิ ารณาเสน จาํ นวน x–4< 0 x–4> 0 x+1 < 0 x+1 > 0 x–6 < 0 x–6 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คือ [ −1, 4 ] ∪ { 6} วธิ ที ่ี 2 เนื่องจาก (x − 6)2 ≥ 0 เสมอ จะได ( x +1)( x − 4) ≤ 0 พิจารณาเสน จาํ นวน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

436 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 x+1 < 0 x+1 > 0 x–4< 0 x–4> 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ −1, 4 ] ∪ { 6} 14.ด 1) จาก 1> 1 จะได x x +1 1− 1 >0 x x +1 ( x +1) − x x( x +1) > 0 1 > 0 x( x +1) พิจารณาเสน จํานวน x<0 x>0 x+1 < 0 x+1 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 ดังน้นั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, −1 ) ∪ ( 0, ∞ ) 2) จาก 3 ≤1 จะได x −1 3 −1 ≤ 0 x −1 3 − ( x −1) ≤ 0 x −1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 437 −x + 4 ≤ 0 x −1 x−4 ≥ 0 x −1 พิจารณาเสนจํานวน x–4 < 0 x–4 > 0 x–1 > 0 x–1 < 0 –1 0 12 3 4 56 7 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) 3) จาก 2x − 4 ≥ 2 x −1 จะได 2x − 4 − 2 ≥ 0 x −1 (2x − 4) − 2( x −1) ≥ 0 x −1 −2 ≥ 0 x −1 1 ≤0 x −1 พจิ ารณาเสนจาํ นวน x–1 < 0 x–1 > 0 –2 –1 0 12 34 ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 1 ) 4) จาก x +1 < 1 x+2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

438 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 จะได x +1 −1 < 0 < 0 x+2 < 0 > 0 ( x +1) − ( x + 2) x+2 −1 x+2 1 x+2 พจิ ารณาเสนจํานวน x+2 < 0 x+2 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังนน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − 2, ∞) 5) จาก 1≥ 1 x +1 x + 4 จะได 1− 1 ≥0 x +1 x + 4 ( x + 4) − ( x +1) ≥ 0 ( x +1)( x + 4) 3 ≥ 0 ( x +1)( x + 4) พิจารณาเสน จํานวน x+4 < 0 x+4 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –4 –3 –2 –1 0 1 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 439 ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 4 ) ∪ ( −1, ∞ ) 6) จาก 1≤ 1 จะได x+2 2x −3 1− 1 ≤0 x + 2 2x −3 (2x − 3) − (x + 2) ≤ 0 (x + 2)(2x − 3) x−5 ≤ 0 (x + 2)(2x − 3) พจิ ารณาเสนจาํ นวน x–5 < 0 x–5 > 0 2x – 3 < 0 2x – 3 > 0 x+2 < 0 x+2 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 2 ) ∪  3, 5   2  7) จาก x+4 ≤ 4 x x+ 4−4 ≤ 0 x x2 − 4x + 4 ≤0 x ( x − 2)2 ≤0 x พิจารณาเสนจํานวน สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

440 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 x–2 < 0 x–2 > 0 x<0 x>0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 0 ) ∪ { 2} 8) จาก x2 − 3 < x +1 x +1 จะได x2 − 3 − ( x +1) < 0 x +1 ( x2 − 3) − ( x +1)( x +1) <0 <0 x +1 ( x2 − 3) − ( x2 + 2x +1) x +1 −2x − 4 < 0 x +1 x+2 > 0 x +1 พจิ ารณาเสน จาํ นวน x+2 < 0 x+2 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –3 –2 –1 0 1 2 ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, − 2 ) ∪ ( −1, ∞ ) 9) จาก 2x2 − 6x +1 ≤ 1 x2 − 2x − 3 จะได 2x2 − 6x +1 −1 ≤ 0 x2 − 2x − 3 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 441 (2x2 − 6x +1) − ( x2 − 2x − 3) ≤0 x2 − 2x − 3 x2 − 4x + 4 ≤0 x2 − 2x − 3 ( x − 2)2 ≤ 0 ( x +1)( x − 3) วิธีท่ี 1 พจิ ารณาเสน จาํ นวน x–3 < 0 x–3 > 0 x–2 < 0 x–2 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( −1, 3 ) วิธที ่ี 2 เนื่องจาก (x − 2)2 ≥ 0 เสมอ จะได 1 ≤ 0 ( x +1)( x − 3) พิจารณาเสนจาํ นวน x–3 < 0 x–3 > 0 x+1 < 0 x+1 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดังนั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ( −1, 3 ) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

442 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 10) จาก 1− x ≤1 จะได ≤0 (x − 2)(x − 5) ≤0 วิธีท่ี 1 ≤0 ( x − 1− x − 5) −1 ≤0 ≥0 2)(x ≥0 (1− x) − ( x − 2)( x − 5) x–5 < 0 (x − 2)(x − 5) (1− x) − ( x2 − 7x +10) (x − 2)(x − 5) −x2 + 6x − 9 (x − 2)(x − 5) x2 − 6x + 9 (x − 2)(x − 5) ( x − 3)2 (x − 2)(x − 5) พจิ ารณาเสนจาํ นวน x–5 > 0 x–3 < 0 x–3 > 0 x–2 < 0 x–2 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นน้ั เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ) ∪ { 3} ∪ ( 5, ∞ ) วิธีที่ 2 เนอ่ื งจาก (x − 3)2 ≥ 0 เสมอ จะได 1 ≥0 (x − 2)(x − 5) พิจารณาเสนจาํ นวน สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 443 x–5 < 0 x–5 > 0 x–2 > 0 x–2 < 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ( − ∞, 2 ) ∪ { 3} ∪ ( 5, ∞ ) 11) จาก x ≤1 จะได x2 +1 2 x −1 ≤0 x2 +1 2 2x − ( x2 +1) ≤0 2( x2 +1) ( )x2 − 2x +1 ≥ 0 2 x2 +1 ( x −1)2 ≥0 2( x2 +1) เน่ืองจาก ( x −1)2 ≥ 0 และ x2 +1 > 0 เสมอ ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื  12) จาก x ≥3 จะได x2 + 2 x −3 ≥ 0 x2 + 2 x − 3(x2 + 2) ≥0 x2 + 2 −3x2 + x − 6 ≥ 0 x2 + 2 x2 − 1 x + 2 ≤0 3 x2 + 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

444 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1  x2 − 1 x + 1  − 1 + 2  3 36  36 ≤ 0 x2 + 2  x − 1 2 + 71  6  36 ≤ 0 x2 + 2 เน่อื งจาก  x − 1 2 + 71 > 0 และ x2 + 2 > 0  6  36 ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คอื ∅ 13) จาก 11 − 5x ≤1 จะได x2 − x − 2 11− 5x −1 ≤ 0 x2 − x − 2 (11− 5x) − ( x2 − x − 2) ≤0 x2 − x − 2 −x2 − 4x +13 ≤ 0 x2 − x − 2 x2 + 4x −13 ≥ 0 ( x − 2)( x +1) ( ) ( )   −      x − −2 − 17 x −2 + 17 ( x − 2)( x +1) ≥0 พิจารณาเสน จาํ นวน สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 445 x+1 < 0 x–2 < 0 x–2 > 0 x+1 > 0 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ ( − ∞, − 2 − 17  ∪ ( −1, 2 ) ∪  − 2 + )17 , ∞ 14) จาก ( x −1)( x − 2)( x − 3) ≤ 0 ( x − 2)( x − 3)( x − 4) จะได x −1 ≤ 0 เมอ่ื x ≠ 2 และ x ≠ 3 พจิ ารณาเสนจาํ นวน x−4 x–4 < 0 x–4 > 0 x–1 < 0 x–1 > 0 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื [1, 2 ) ∪ ( 2, 3 ) ∪ ( 3, 4 ) 15) จาก ( x2 + 3x −10)( x2 + x − 6) ≤ 0 จะได ≤ 0 x2 + 2x −15 ( x + 5)( x − 2)( x − 2)( x + 3) ( x + 5)( x − 3) ( x − 2)2 ( x + 3) ≤ 0 เม่อื x ≠ − 5 (x − 3) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

446 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 x–3 < 0 x–3 > 0 x–2 < 0 x–2 > 0 พจิ ารณาเสนจํานวน x+3 < 0 x+3 > 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ [ − 3, 3 ) 15. ใหโ รงงานผลิตกลอ งดนิ สอสัปดาหละ x กลอ ง เนือ่ งจาก โรงงานมคี าใชจา ยในการผลิตกลองดินสอ กลองละ 26 บาท ดงั น้นั ในการผลติ กลองดนิ สอ x กลอง ตองเสยี คาใชจา ย 26x บาท และโรงงานผลิตกลอ งดินสอมีคา ใชจายอืน่ ๆ อีกสปั ดาหละ 30,000 บาท นนั่ คอื ในหน่ึงสปั ดาหโรงงานมตี น ทุนในการผลิตกลองดินสอ x กลอ ง เปน เงนิ 30000 + 26x บาท และเนอ่ื งจาก โรงงานขายกลองดนิ สอกลอ งละ 30 บาท ดงั นน้ั โรงงานจะขายกลอ งดินสอ x กลอง เปนเงิน 30x บาท เมอื่ โรงงานผลิตและจาํ หนา ยกลองดนิ สอโดยไมขาดทุน จะไดวา 30000 + 26x ≤ 30x 4x ≥ 30000 x ≥ 30000 4 x ≥ 7500 ดังนน้ั ในหนึง่ สปั ดาห โรงงานจะตองผลิตกลองดินสออยางนอย 7,500 กลอ ง จึงจะไมขาดทุน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 447 16. ให x แทนจาํ นวนสนิ คา ที่บรษิ ัทผลติ และจาํ หนา ย (ชนิ้ ) p(x) แทนรายไดจ ากการขายสินคา x ชนิ้ (บาท) โดยรายไดของบริษทั สอดคลองกับสมการ p( x) =30x2 − 35940x − 72000 บริษทั ผลิตและจาํ หนายสินคา โดยไมข าดทนุ นน่ั คือ p(x) ≥ 0 จะได 30x2 − 35940x − 72000 ≥ 0 x2 −1198x − 2400 ≥ 0 ( x + 2)( x −1200) ≥ 0 นัน่ คือ x ≤ − 2 หรือ x ≥ 1200 เนอื่ งจาก x ≥ 0 ดังนั้น บรษิ ทั ตอ งผลิตและจําหนา ยสนิ คาอยา งนอยที่สดุ 1,200 ชน้ิ จึงจะไมขาดทนุ 17. ใหฐ านของรูปสามเหล่ยี มยาว x เซนติเมตร เนื่องจาก ฐานของรปู สามเหลยี่ มนี้สัน้ กวาสว นสูง 5 เซนติเมตร นั่นคือ รูปสามเหลี่ยมนีส้ งู x + 5 เซนติเมตร จะไดว า รูปสามเหล่ียมน้มี ีพ้ืนที่ x(x + 5) ตารางเซนติเมตร 2 เนอื่ งจากพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียมนมี้ ีคา อยูระหวา ง 42 และ 52 ตารางเซนติเมตร จะไดวา 42 < x(x + 5) < 52 2 x(x + 5) นั่นคอื x( x + 5) > 42 และ 2 < 52 จะได < 104 2 x(x + 5) x( x + 5) > 84 และ x2 + 5x − 84 > 0 และ x2 + 5x −104 < 0 ( x +12)( x − 7) > 0 และ ( x +13)( x − 8) < 0 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

448 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 ดังนั้น x < −12 หรือ x > 7 และ −13 < x < 8 เนอ่ื งจาก x > 0 จะไดว า 7 < x < 8 น่ันคือ ความยาวของฐานของรปู สามเหลยี่ มมคี าอยรู ะหวา ง 7 และ 8 เซนติเมตร 18. ใหจ าํ นวนคสี่ ามจาํ นวนเรียงกัน คือ x − 2 , x , x + 2 เนอ่ื งจากผลคูณของจํานวนคี่สามจาํ นวนนี้ไมมากกวา 315 จะไดวา ( x − 2) x( x + 2) ≤ 315 x3 − 4x ≤ 315 x3 − 4x − 315 ≤ 0 ( x − 7)( x2 + 7x + 45) ≤ 0 ( x − 7)  x2 + 7x + 49  − 49 + 45 ≤ 0  4  4 ≤ 0 ( x − 7)  x + 7 2 + 131 2   4  เน่ืองจาก  x + 7 2 + 131 > 0 เสมอ  2  4 จะไดวา x − 7 ≤ 0 นนั่ คอื x ≤ 7 จะไดว า จํานวนคี่ท่ีมากทส่ี ดุ 3 จํานวนท่เี รยี งตดิ กัน ทีม่ ีผลคณู ไมม ากกวา 315 คือ 5, 7 และ 9 ดังนนั้ ผลคณู ทีม่ ากที่สดุ ท่เี ปนไปไดของท้งั สามจาํ นวนเทากับ 5× 7×9 =315 19. วธิ ีท่ี 1 ใหช างตัดเสอ้ื ซื้อผามาราคาเมตรละ x บาท เนื่องจากชางตัดเสอ้ื ซ้ือผา มาทงั้ สน้ิ 600 บาท จะไดว าชา งตดั เส้ือซ้ือผามา 600 เมตร x ตัดเกบ็ ไว 5 เมตร นัน่ คือจะเหลอื ผา 600 − 5 เมตร x ขายผาท่ีเหลือไปในราคาสูงกวาตนทุนเมตรละ 10 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 449 นน่ั คือ ขายผาท่ีเหลือไปราคาเมตรละ x +10 บาท เนื่องจากขายผาทเี่ หลือไปไดก ําไร 80 บาท จะไดว าขายผา ทเ่ี หลอื ไปไดเ งินท้ังหมด 680 บาท นัน่ คอื  600 − 5  ( x + 10) = 680  x 600 − 5 = 680 x x +10 600 − 5x = 680 x x +10 600 − 5x − 680 =0 x x +10 (600 − 5x)( x +10) − 680x =0 x( x +10) (550x − 5x2 + 6000) − 680x =0 x( x +10) −5x2 −130x + 6000 =0 x( x +10) x2 + 26x −1200 =0 x( x +10) ( x − 24)( x + 50) =0 x( x +10) จะได ( x − 24)( x + 50) =0 และ x( x +10) ≠ 0 นั่นคอื x = 24 หรอื x = − 50 โดยท่ี x ≠ 0 และ x ≠ −10 เน่อื งจาก x > 0 จะได เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 24} ดังนนั้ ชา งตัดเส้อื ซื้อผา มาราคาเมตรละ 24 บาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

450 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 วธิ ีที่ 2 ใหช างตดั เสอ้ื ซื้อผา มาท้ังหมด x เมตร เปน เงนิ 600 บาท ดังน้นั ชางตัดเสอ้ื ซ้ือผา มาราคาเมตรละ 600 บาท x ตดั ผาเกบ็ ไว 5 เมตร เหลอื ผา x − 5 เมตร ขายผาทเี่ หลอื ไปในราคาสงู กวาทนุ เมตรละ 10 บาท นัน่ คอื ขายผา ไปราคาเมตรละ 600 +10 บาท x ดงั นัน้ ขายผาท่เี หลอื ไปไดเงินทัง้ หมด ( x − 5)  600 + 10  บาท  x  เน่อื งจากขายผา ทเี่ หลือไปไดก ําไร 80 บาท จะไดวาขายผาทีเ่ หลอื ไปไดเงินท้ังหมด 680 บาท นน่ั คอื ( x − 5)  600 + 10  = 680  x  600 +10 = 680 x x−5 600 +10x = 680 x x−5 60 + x = 68 x x−5 60 + x − 68 =0 x x−5 (60 + x)( x − 5) − 68x =0 x(x − 5) ( x2 + 55x − 300) − 68x =0 x(x − 5) x2 −13x − 300 = 0 x(x − 5) ( x +12)( x − 25) =0 x(x − 5) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 451 จะได ( x +12)( x − 25) =0 และ x( x − 5) ≠ 0 นนั่ คอื x = −12 หรอื x = 25 โดยท่ี x ≠ 0 และ x ≠ 5 เนื่องจาก x > 0 จะได เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 25} นั่นคอื ชา งตัดเสื้อซือ้ ผามา 25 เมตร ดงั นน้ั ชางตดั เสือ้ ซ้ือผามาราคาเมตรละ 600 = 24 บาท 25 20. 1) วิธีท่ี 1 จาก x − 2 = 2x กรณที ี่ 1 x − 2 ≥ 0 หรอื x ≥ 2 จะได x − 2 = 2x x = −2 ซึง่ −2 < 2 น่นั คือ −2 ไมใชคําตอบของสมการ กรณีที่ 2 x − 2 < 0 หรือ x < 2 จะได −( x − 2) = 2x x − 2 = −2x 3x = 2 x = 2 ซง่ึ 2 < 2 33 นน่ั คือ 2 เปน คําตอบของสมการ 3 ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  2   3    วธิ ีท่ี 2 จาก x − 2 = 2x ยกกาํ ลังสองทง้ั สองขา ง สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

452 คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 x − 2 2 = (2x)2 ( x − 2)2 = (2x)2 ( x − 2)2 − (2x)2 = 0 ( x − 2) − 2x ( x − 2) + 2x = 0 = 0 (−x − 2)(3x − 2) = 0 (x + 2)(3x − 2) จะได x = − 2 หรือ x = 2 3 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x − 2 = 2x ดวย −2 จะได − 2 − 2 = 2(−2) − 4 = −4 เปน เท็จ 4 = −4 แทน x ในสมการ x − 2 = 2x ดวย 2 จะได 3 2−2 = 2  2  3 3  −4 = 4 33 4=4 เปน จริง 33 ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื  2   3    2) วธิ ที ี่ 1 จาก 2x −1 = x + 4 กรณีที่ 1 2x −1 ≥ 0 หรอื x ≥ 1 2 จะได 2x −1 = x + 4 x = 5 ซึง่ 5 ≥ 1 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 453 นัน่ คือ 5 เปน คําตอบของสมการ กรณที ่ี 2 2x −1 < 0 หรอื x < 1 2 จะได −(2x −1) = x + 4 วิธีท่ี 2 2x −1 = −(x + 4) 2x −1 = −x − 4 3x = −3 x = −1 ซ่ึง −1 < 1 2 นัน่ คอื −1 เปน คาํ ตอบของสมการ ดงั น้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { −1, 5} จาก 2x −1 = x + 4 ยกกําลงั สองทั้งสองขา ง 2x −1 2 = ( x + 4)2 (2x −1)2 = ( x + 4)2 (2x −1)2 − ( x + 4)2 = 0 (2x −1) − ( x + 4) (2x −1) + ( x + 4) = 0 ( x − 5)(3x + 3) = 0 ( x − 5)( x +1) = 0 จะได x = 5 หรอื x = −1 ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 2x −1 = x + 4 ดว ย 5 จะได 2(5) −1 = 5 + 4 10 −1 = 9 9 =9 9=9 เปน จริง แทน x ในสมการ 2x −1 = x + 4 ดว ย −1 จะได สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

454 คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 2(−1) −1 = −1+ 4 − 2−1 = 3 −3 = 3 3=3 เปน จริง ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คอื { −1, 5} 3) จาก 3x −1 = x − 5 ยกกําลงั สองท้งั สองขา ง 3x −1 2 = x−5 2 (3x −1)2 = ( x − 5)2 (3x −1)2 − ( x − 5)2 = 0 (3x −1) − ( x − 5) (3x −1) + ( x − 5) = 0 (2x + 4)(4x − 6) = 0 ( x + 2)(2x − 3) = 0 จะได x = − 2 หรอื x = 3 2 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ 3x −1 = x − 5 ดวย −2 จะได 3(−2) −1 = − 2 − 5 −7 = −7 7=7 เปนจริง แทน x ในสมการ 3x −1 = x − 5 ดวย 3 จะได 2 3 3  − 1 = 3 −5 2  2 7 = −7 22 7=7 เปนจรงิ 22 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 455 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คอื  − 2, 3   2  4) จาก x2 − 3x +1 = x−2 ยกกาํ ลังสองทัง้ สองขา ง x2 − 3x +1 2 = ( x − 2)2 ( )x2 − 3x +1 2 = ( x − 2)2 ( )x2 − 3x +1 2 − ( x − 2)2 = 0 ( x2 − 3x +1) − ( x − 2) ( x2 − 3x +1) + ( x − 2) = 0 ( x2 − 4x + 3)( x2 − 2x −1) = 0 x( ) ( )(−1)(x− 3)  x − 1+ 2   x − 1− 2  =0     จะได x = 1 หรอื x = 3 หรอื x= 1+ 2 หรอื x= 1− 2 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดวย 1 จะได (1)2 − 3(1) +1 = 1− 2 −1 = −1 1 = −1 เปนเท็จ แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดว ย 3 จะได (3)2 − 3(3) +1 = 3 − 2 1 =1 1=1 เปน จริง แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดวย 1+ 2 จะได ( ) ( ) ( )2 1+ 2 −3 1+ 2 +1 = 1+ 2 −2 ( ) ( )1+ 2 2 + 2 − 3 + 3 2 +1 = −1+ 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

456 คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 1− 2 = 2 −1 ( )− 1− 2 = 2 −1 2 −1 = 2 −1 เปนจริง แทน x ในสมการ x2 − 3x +1 = x − 2 ดวย 1− 2 จะได ( ) ( ) ( )2 1− 2 −3 1− 2 +1 = 1− 2 −2 ( ) ( )1− 2 2 + 2 − 3 − 3 2 +1 = −1− 2 ( )1+ 2 = − 1+ 2 1+ 2 = −(1+ 2 ) เปน เท็จ ดงั น้นั เซตคําตอบของสมการ คอื { 3, 1+ 2 } 5) จาก x2 + 2x −1 = x+5 ยกกําลังสองท้ังสองขา ง x2 + 2x −1 2 = ( x + 5)2 ( )x2 + 2x −1 2 = ( x + 5)2 ( )x2 + 2x −1 2 − ( x + 5)2 = 0 ( x2 + 2x −1) − ( x + 5) ( x2 + 2x −1) + ( x + 5) = 0 (x2 + x − 6)(x2 + 3x + 4) = 0 ( x − 2)( x + 3)( x2 + 3x + 4) = 0 เน่อื งจาก (3)2 − 4(1)(4) < 0 จะไดวา ไมมจี าํ นวนจริงท่ีทาํ ให x2 + 3x + 4 =0 ดังนั้น x = 2 หรือ x = − 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 457 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x2 + 2x −1 = x + 5 ดว ย 2 จะได (2)2 + 2(2) −1 = 2 + 5 แทน x ในสมการ 7 =7 จะได 7 = 7 เปนจรงิ x2 + 2x −1 = x + 5 ดวย −3 (−3)2 + 2(−3) −1 = (−3) + 5 2 =2 2 = 2 เปน จรงิ ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { − 3, 2} 6) จาก x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ยกกําลังสองทัง้ สองขาง x2 − 3x − 4 2 = 2x + 2 2 ( )x2 − 3x − 4 2 = (2x + 2)2 ( )x2 − 3x − 4 2 − (2x + 2)2 = 0 ( x2 − 3x − 4) − (2x + 2) ( x2 − 3x − 4) + (2x + 2) = 0 (x2 − 5x − 6)(x2 − x − 2) = 0 ( x +1)( x − 6)( x +1)( x − 2) = 0 จะได x = −1 หรือ x = 6 หรือ x = 2 ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ดว ย −1 จะได (−1)2 − 3(−1) − 4 = 2(−1) + 2 0 =0 0 = 0 เปนจริง สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

458 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 แทน x ในสมการ x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ดวย 6 จะได (6)2 − 3(6) − 4 = 2(6) + 2 14 = 14 14 = 14 เปน จรงิ แทน x ในสมการ x2 − 3x − 4 = 2x + 2 ดวย 2 จะได (2)2 − 3(2) − 4 = 2(2) + 2 −6 = 6 6= 6 เปนจริง ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { −1, 2, 6} 7) วิธีท่ี 1 จาก x + x−3 = 2 x−3 = 2− x ยกกาํ ลงั สองท้งั สองขาง x − 3 2 = (2 − x )2 ( x − 3)2 = (2 − x )2 x2 − 6x + 9 = 4 − 4 x + x 2 x2 − 6x + 9 = 4 − 4 x + x2 4 x = 6x −5 ยกกาํ ลงั สองทง้ั สองขาง (6x − 5)2 = (4 x )2 (6x − 5)2 = (4x)2 (6x − 5) − 4x (6x − 5) + 4x = 0 (2x − 5)(10x − 5) = 0 (2x − 5)(2x −1) = 0 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 459 จะได x = 5 หรอื x = 1 22 ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ x + x − 3 = 2 ดว ย 5 จะได 2 5 + 5 −3 =2 22 5+1 =2 22 3=2 เปนเทจ็ แทน x ในสมการ x + x − 3 = 2 ดว ย 1 จะได 2 1 + 1 −3 =2 22 1+5 =2 22 3=2 เปนเท็จ ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คอื ∅ วิธีที่ 2 จากบทนยิ ามของคาสมั บรู ณ กรณที ่ี 1 x < 0 จะได −x − ( x − 3) = 2 −2x = −1 ซึ่ง x > 0 x= 1 เปน เท็จ 2 นนั่ คือ 1 ไมเ ปนคาํ ตอบของสมการ 2 กรณีท่ี 2 0 ≤ x < 3 จะได x − ( x − 3) = 2 3=2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

460 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 น่นั คอื ไมม คี ําตอบของสมการ กรณีท่ี 3 x ≥ 3 จะได x + ( x − 3) = 2 2x = 5 x= 5 ซึ่ง x < 3 2 นน่ั คอื 5 ไมเปน คาํ ตอบของสมการ 2 ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ ∅ 8) วธิ ที ี่ 1 จาก 4 x = x −2 +1 ยกกําลงั สองทง้ั สองขาง (4 x )2 = ( x − 2 +1 )2 16x2 = ( x − 2)2 + 2 x − 2 +1 16x2 = x2 − 4x + 4 + 2 x − 2 +1 15x2 + 4x − 5 = 2 x − 2 ยกกาํ ลงั สองทั้งสองขา ง ( )15x2 + 4x − 5 2 = (2 x − 2 )2 ( )15x2 + 4x − 5 2 = 2( x − 2)2 ( )15x2 + 4x − 5 2 − 2( x − 2)2 = 0 ( 15x2 + 4x − 5) − 2( x − 2) ( 15x2 + 4x − 5) + 2( x − 2) = 0 (15x2 + 2x −1)(15x2 + 6x − 9) = 0 (15x2 + 2x −1)(5x2 + 2x − 3) = 0 (5x −1)(3x +1)(5x − 3)( x +1) = 0 จะได x = 1 หรือ x = − 1 หรือ x = 3 หรือ x = −1 5 35 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 461 ตรวจคําตอบ แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดว ย 1 จะได 5 4 1 = 1 −2 +1 55 4  1  = − 9 +1  5  5 4 = 9 +1 55 4 = 14 เปนเทจ็ 55 แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดวย − 1 จะได 3 4 −1 = − 1 −2 +1 33 4  1  = − 7 +1  3  3 4 = 7 +1 33 4 = 10 เปนเท็จ 33 แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดวย 3 จะได 5 4 3 = 3 −2 +1 55 4  3  = − 7 +1  5  5 12 = 7 +1 55 12 = 12 เปนจริง 55 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

462 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 แทน x ในสมการ 4 x = x − 2 +1 ดว ย −1 จะได 4 −1 = −1− 2 +1 4(1) = − 3 +1 4 = 3+1 4=4 เปนจรงิ ดังน้นั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ  − 1, 3   5    วิธที ี่ 2 จากบทนยิ ามของคาสัมบรู ณ กรณที ่ี 1 x < 0 จะได 4(−x) = −( x − 2) +1 −4x = −x + 2 +1 −3x = 3 x = −1 ซ่งึ −1 < 0 นั่นคือ −1 เปน คําตอบของสมการ กรณที ี่ 2 0 ≤ x < 2 จะได 4x = −( x − 2) +1 4x = −x + 2 +1 5x = 3 x = 3 ซงึ่ 0 ≤ 3 < 2 55 น่ันคือ 3 เปน คาํ ตอบของสมการ 5 กรณที ี่ 3 x ≥ 2 จะได 4x = ( x − 2) +1 4x = x − 2 +1 3x = −1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 463 x = − 1 ซ่งึ − 1 < 2 33 นัน่ คือ − 1 ไมเปนคาํ ตอบของสมการ 3 ดังน้นั เซตคําตอบของสมการ คือ  − 1, 3   5    9) วิธที ี่ 1 จาก x −1 + x − 2 = 3 x −1 −3 = − x − 2 ยกกาํ ลังสองท้ังสองขาง ( x −1 − 3 )2 = ( − x − 2 )2 ( x −1 − 3 )2 = ( x − 2)2 ( x −1)2 − 6 x −1 + 9 = ( x − 2)2 ( )x2 − 2x +1 − 6 x −1 + 9 = x2 − 4x + 4 x −1 = x +3 3 ยกกําลงั สองท้งั สองขา ง x −1 2 =  x + 3 2  3  ( x −1)2 =  x + 3 2  3  ( x − 1)2 −  x + 3 2 =0  3  ( x − 1) −  x + 3  ( x − 1) +  x + 3  =0  3   3   2x − 6  4x  = 0  3  3  4x( x − 3) = 0 จะได x = 0 หรือ x = 3 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

464 คูม ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x −1 + x − 2 = 3 ดวย 0 จะได 0−1 + 0− 2 = 3 −1 + − 2 = 3 3 = 3 เปน จรงิ แทน x ในสมการ x −1 + x − 2 = 3 ดว ย 3 จะได 3−1 + 3− 2 = 3 2+1 = 3 2+1 = 3 3 = 3 เปนจรงิ ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของสมการ คือ { 0, 3} วิธีที่ 2 จากบทนยิ ามของคาสัมบรู ณ กรณที ี่ 1 x <1 จะได −( x −1) − ( x − 2) = 3 −2x + 3 = 3 −2x = 0 x = 0 ซ่งึ 0 <1 นนั่ คอื 0 เปน คาํ ตอบของสมการ เปน เท็จ กรณที ่ี 2 1≤ x < 2 จะได ( x −1) − ( x − 2) = 3 1=3 นัน่ คอื ไมม คี ําตอบของสมการ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 465 กรณที ี่ 3 x ≥ 2 จะได ( x −1) + ( x − 2) = 3 2x −3 = 3 2x = 6 10) วธิ ีท่ี 1 x =3 ซงึ่ 3 ≥ 2 น่นั คือ 3 เปนคําตอบของสมการ x −1 ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการ คอื { 0, 3} จาก x − x − 2 = ( x −1)2 ยกกาํ ลังสองทั้งสองขาง ( x −1)2 ( x −1)2 ( x − x − 2 )2 = x2 − 2x +1 x 2 −2 x x−2 + x−2 2 = 2 x(x − 2) x2 − 2 x( x − 2) + ( x − 2)2 = = 2 x2 − 2x x2 − 2 x(x − 2) + (x2 − 4x + 4) ( )2 x2 − 2x 2 x2 − 2x + 3 = ( )2 x2 − 2x 2 x2 − 2x + 3 = 0 ยกกาํ ลังสองทง้ั สองขา ง 0 0 ( )x2 − 2x + 3 2 = 0 0 ( )x2 − 2x + 3 2 = ( ) ( )x2 − 2x + 3 2 − 2 x2 − 2x 2 = ( x2 − 2x + 3) − 2( x2 − 2x) ( x2 − 2x + 3) + 2( x2 − 2x) = = (−x2 + 2x + 3)(3x2 − 6x + 3) = ( x2 − 2x − 3)( x2 − 2x +1) ( x +1)( x − 3)( x −1)2 = สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

466 คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จะได x = −1 หรือ x = 1 หรือ x = 3 ตรวจคาํ ตอบ แทน x ในสมการ x − x − 2 = x −1 ดวย −1 จะได −1 − −1− 2 = −1 −1 −1 − − 3 = −2 1− 3 = −2 −2 = −2 เปน จริง แทน x ในสมการ x − x − 2 = x −1 ดวย 1 จะได 1 − 1− 2 = 1−1 1 − −1 = 0 1−1 = 0 0 = 0 เปนจรงิ แทน x ในสมการ x − x − 2 = x −1 ดว ย 3 จะได 3 − 3− 2 = 3−1 3−1 = 2 3−1 = 2 2 = 2 เปนจริง ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { −1, 1, 3} วิธีท่ี 2 โดยบทนิยามของคาสัมบูรณ กรณที ี่ 1 x < 0 จะได −x + ( x − 2) = x −1 x = −1 ซง่ึ −1 < 0 น่ันคอื −1 เปน คาํ ตอบของสมการ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 467 กรณีที่ 2 0 ≤ x < 2 จะได x + ( x − 2) = x −1 x − 2 = −1 x = 1 ซ่ึง 0 ≤1< 2 นน่ั คือ 1 เปนคําตอบของสมการ กรณีท่ี 3 x ≥ 2 จะได x − ( x − 2) = x −1 x −1 = 2 x = 3 ซงึ่ 3 ≥ 2 น่นั คือ 3 เปนคาํ ตอบของสมการ ดงั น้ัน เซตคําตอบของสมการ คือ { −1, 1, 3} 21. 1) จากบทนิยามของคาสัมบรู ณ กรณีท่ี 1 2x − 4 ≥ 0 จะได x ≥ 2 และ 2x − 4 > x +1 x>5 ดังนั้น คา x ทส่ี อดคลอง คือ x > 5 กรณที ี่ 2 2x − 4 < 0 จะได x < 2 และ −(2x − 4) > x +1 −2x + 4 > x +1 −3x > −3 x <1 ดงั นัน้ คา x ที่สอดคลอง คือ x < 1 ดงั น้นั เซตคําตอบของอสมการ คือ ( − ∞, 1 ) ∪ ( 5, ∞ ) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

468 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 2) วธิ ที ี่ 1 จาก x − 4 ≤ 2x +1 วธิ ีที่ 2 เนอื่ งจาก x − 4 ≥ 0 ดังนน้ั 2x +1 ≥ 0 หรอื x ≥ − 1 2 จะได −(2x +1) ≤ x − 4 ≤ 2x +1 ดงั นน้ั −(2x +1) ≤ x − 4 และ x − 4 ≤ 2x +1 −2x −1 ≤ x − 4 และ x ≥ −5 −3x ≤ −3 x ≥1 ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ คอื [1, ∞ ) จากบทนิยามของคาสมั บรู ณ กรณีท่ี 1 x − 4 ≥ 0 จะได x ≥ 4 และ x − 4 ≤ 2x +1 x ≥ −5 น่นั คอื คา x ท่ีสอดคลอ ง คือ x ≥ 4 กรณีที่ 2 x − 4 < 0 จะได x < 4 และ x − 4 ≥ −(2x +1) x − 4 ≥ −2x −1 3x ≥ 3 x ≥1 นนั่ คอื คา x ทีส่ อดคลอง คอื 1 ≤ x < 4 ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ 4, ∞ ) ∩ [1, 4 ) หรือ [1, ∞ ) 3) วิธีที่ 1 จาก 2x − 3 < 3x − 7 เน่ืองจาก 2x − 3 ≥ 0 ดังน้นั 3x − 7 > 0 หรอื x > 7 3 จะได −(3x − 7) < 2x − 3 < 3x − 7 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 469 ดังนนั้ −(3x − 7) < 2x − 3 และ 2x − 3 < 3x − 7 −3x + 7 < 2x − 3 และ x > 4 −5x < −10 x >2 ดงั นั้น เซตคําตอบของอสมการ คือ ( 4, ∞ ) วธิ ที ่ี 2 จากบทนิยามของคา สมั บรู ณ กรณที ่ี 1 2x − 3 ≥ 0 จะได x ≥ 3 2 และ 2x − 3 < 3x − 7 x >4 นั่นคอื คา x ท่สี อดคลอ ง คือ x > 4 กรณีท่ี 2 2x − 3 < 0 จะได x < 3 2 และ 2x − 3 > −(3x − 7) 2x − 3 > −3x + 7 5x > 10 x >2 น่นั คือ ไมมี x ที่สอดคลองกับอสมการ ดังนัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื ( 4, ∞ ) ∪ ∅ หรือ ( 4, ∞ ) 4) เนอ่ื งจาก x2 − 4 ≥ 0 และ x2 − 2x ≥ 0 สําหรับทกุ คา x ∈  จะได x2 − 4 2 ≤ x2 − 2x 2 x2 − 2x 2 ( ) ( )x2 − 4 2 ≤ ( ) ( )x2 − 4 2 − x2 − 2x 2 ≤ 0 ( x2 − 4) − ( x2 − 2x) ( x2 − 4) + ( x2 − 2x) ≤ 0 (2x − 4)(2x2 − 2x − 4) ≤ 0 (x − 2)(x2 − x − 2) ≤ 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

470 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ( x − 2)( x − 2)( x +1) ≤ 0 ( x − 2)2 ( x +1) ≤ 0 ดังน้ัน เซตคําตอบของอสมการ คอื ( − ∞, −1] ∪ { 2} 5) เนอื่ งจาก 2x2 − 5x −1 ≥ 0 และ x2 − x + 4 ≥ 0 สาํ หรบั ทุกคา x ∈  จะได 2x2 − 5x −1 2 ≤ x2 − x + 4 2 ( ) ( )2x2 − 5x −1 2 ≤ x2 − x + 4 2 ( ) ( )2x2 − 5x −1 2 − x2 − x + 4 2 ≤ 0 ( 2x2 − 5x −1) − ( x2 − x + 4) ( 2x2 − 5x −1) + ( x2 − x + 4) ≤ 0 ( x2 − 4x − 5)(3x2 − 6x + 3) ≤ 0 ( x2 − 4x − 5)( x2 − 2x +1) ≤ 0 ( x +1)( x − 5)( x −1)2 ≤ 0 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื [ −1, 5 ] 6) จากโจทย ทราบวา x ≠ 5 และ x ≠ 4 จาก 2 x −1 ≤ x −5 x−5 x−4  x −1 2 ≤ x−5 2 2  x−4  x−5  2  x − 1 2 ≤  x − 5 2  x − 5   x − 4   2  x −1 2 −  x − 5 2 ≤0 x −5   x − 4   2  x −1  −  x − 5   2  x −1  +  x − 5  ≤0 x −5   x − 4  x −5   x − 4   2( x −1)( x − 4) − ( x − 5)2   2( x −1)( x − 4) + ( x − 5)2  ≤ 0     (x − 5)(x − 4)   (x − 5)(x − 4)  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 471 (2x2 −10x + 8) − ( x2 −10x + 25)  (2x2 −10x + 8) + ( x2 −10x + 25)   ≤0     (x − 5)(x − 4)   (x − 5)(x − 4)  x2 −17  3x2 − 20x + 33 ≤ 0      ( x − 5) ( x − 4)   ( x − 5) ( x − 4)  ( )( )x − 17 x + 17 ( x − 3)(3x −11) ≤0 ( x − 5)2 ( x − 4)2 ดงั น้ัน เซตคําตอบของอสมการ คือ  − 17 , 3  ∪ 131, 17  − {4, 5} หรือ  ( −17,3  ∪  11 , 4  ∪ 4, 17   3  7) จากโจทย ทราบวา x ≠ − 2 และ x ≠ 2 จาก 1≥ 2 กรณที ี่ 1 x < 0 x −2 x +1 จะได 1≥2 −x − 2 −x +1 1 ≤2 x+2 x −1 1 −2 ≤0 x + 2 x −1 ( x −1) − 2( x + 2) ≤0 ( x + 2)( x −1) −x −5 ≤ 0 ( x + 2)( x −1) x+5 ≥ 0 ( x + 2)( x −1) ดังน้นั คา x ทส่ี อดคลอง คือ [ − 5, − 2) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

472 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 กรณีที่ 2 x ≥ 0 จะได 1 ≥ 2 x −2 x +1 1 −2 ≥0 x −2 x +1 ( x +1) − 2( x − 2) ≥0 ( x − 2)( x +1) −x +5 ≥0 ( x − 2)( x +1) x−5 ≤0 ( x − 2)( x +1) ดงั นั้น คา x ทสี่ อดคลอ ง คอื ( 2, 5 ] ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ [ − 5, − 2) ∪ ( 2, 5 ] 8) จากโจทย ทราบวา x ≠ − 2 และ x ≠ 3 จาก x +6 +1 < x กรณที ี่ 1 x < 0 x+2 x−3 จะได −x + 6 +1 < −x x+2 x−3 x −6 −1 > x x+2 x−3 x −6 − x −1 > 0 x+2 x−3 ( x − 6)( x − 3) − x( x + 2) − ( x + 2)( x − 3) >0 (x + 2)(x − 3) ( x2 − 9x +18) − ( x2 + 2x) − ( x2 − x − 6) >0 (x + 2)(x − 3) −x2 −10x + 24 >0 (x + 2)(x − 3) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 473 x2 +10x − 24 ( x + 2)( x − 3) < 0 ( x +12)( x − 2) (x + 2)(x − 3) < 0 ดงั นั้น คา x ท่สี อดคลอ ง คอื ( −12, − 2 ) กรณที ่ี 2 x ≥ 0 จะได x +6 +1 < x x+2 x−3 x +6 − x +1 < 0 x+2 x−3 ( x + 6)( x − 3) − x( x + 2) + ( x + 2)( x − 3) <0 ( x + 2)(x − 3) ( x2 + 3x −18) − ( x2 + 2x) + ( x2 − x − 6) <0 (x + 2)(x − 3) x2 − 24 ( x + 2)( x − 3) < 0 (x−2 6)(x+ 2 6) <0 (x + 2)(x − 3) ดังนน้ั คา x ทสี่ อดคลอง คือ ( 3, 2 6 ) ดงั นัน้ เซตคําตอบของอสมการ คอื (( −12, − 2 ) ∪ 3, 2 6 ) 9) จากโจทย ทราบวา x ≠ 0 และ x ≠ − 2 จาก x − 3 ≥ x+5 x+2 x x−3 > 0 กรณีท่ี 1 x < 0 จะได x − 3 < 0 ดงั นั้น x จะไดอสมการเปน x−3 ≥ x+5 x x+2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

474 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 x−3− x+5 ≥ 0 x x+2 ( x − 3)( x + 2) − x( x + 5) ≥ 0 x(x + 2) (x2 − x − 6) − (x2 + 5x) ≥0 x(x + 2) (−6x − 6) ≥ 0 x(x + 2) ( x +1) ≤ 0 x(x + 2) ดังน้ัน คา x ทส่ี อดคลอง คือ ( − ∞, − 2 ) ∪ [ −1, 0 ) กรณที ่ี 2 0 < x < 3 จะได x − 3 < 0 ดังนนั้ x − 3 < 0 x จะไดอสมการเปน −  x − 3  ≥ x+5 x  x+2 x+5 + x−3 ≤ 0 x+2 x x( x + 5) + ( x − 3)( x + 2) ≤ 0 x(x + 2) (x2 + 5x) + (x2 − x − 6) ≤0 x(x + 2) 2x2 + 4x − 6 ≤ 0 x(x + 2) x2 + 2x − 3 ≤ 0 x(x + 2) ( x −1)( x + 3) ≤ 0 x(x + 2) ดงั นั้น คา x ที่สอดคลอ ง คือ ( 0, 1] สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี