(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 132 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 รปู หลายเหลี่ยม จาํ นวนดาน วิธขี อง วิธีของ ดานเทา มมุ เทา Archimedes Snell-Huygens คา ประมาณของ π ถูกตองถึง 6 หลักหนวย ทศนยิ มตําแหนงท่ี 1 12 ทศนิยมตาํ แหนง ท่ี 1 ทศนยิ มตําแหนงที่ 2 24 ทศนิยมตาํ แหนง ที่ 2 ทศนิยมตาํ แหนงที่ 3 48 ทศนยิ มตําแหนง ที่ 2 ทศนิยมตาํ แหนง ที่ 5 s สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 133 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 รปู หลายเหลี่ยม จาํ นวนดา น วธิ ีของ วธิ ขี อง ดานเทา มมุ เทา Archimedes Snell-Huygens คาประมาณของ π ถูกตอ งถึง 96 ทศนยิ มตาํ แหนง ที่ 3 ทศนยิ มตําแหนงท่ี 6 ก 3.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน การวัดผลระหวางเรียนเปนการวัดผลการเรียนรเู พื่อปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรู ระหวางเรียนของนักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 3 จํานวนจริง ครูอาจใชแ บบฝกหดั เพือ่ วดั ผลประเมนิ ผลความรใู นแตล ะเน้อื หาไดดังน้ี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 134 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 เน้ือหา แบบฝก หดั จาํ นวนนับ จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ 3.1 ขอ 1, 2 สัจพจนเ ชิงพชี คณิต ทฤษฎบี ท และสมบตั ิตา ง ๆ ท่เี กี่ยวขอ ง 3.2 ขอ 1 ,2, 3 ขั้นตอนวิธีการหารสาํ หรบั พหนุ ามและการหารยาว 3.3 ขอ 1 – 7 ทฤษฎบี ทเศษเหลอื 3.4 ขอ 1 – 4 ทฤษฎบี ทตวั ประกอบและทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ 3.4 ขอ 5, 6 สมการพหุนามตวั แปรเดียว 3.5 ขอ 1, 2, 3 เศษสว นของพหุนามในรูปผลสําเร็จ 3.6 ขอ 1 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม 3.6 ขอ 2 การบวกและการลบเศษสว นของพหนุ าม 3.6 ขอ 3 สมการเศษสวนของพหุนาม 3.7 ขอ 1, 2 การไมเ ทากนั ของจํานวนจรงิ 3.8 ขอ 1 – 8 การเขยี นเซตในรปู ชวงและการเขียนกราฟของชวง 3.9ข ขอ 1 – 32 บนเสน จาํ นวน คา สัมบรู ณและทฤษฎีบทท่ีเกี่ยวกบั คาสมั บรู ณ 3.10 ขอ 1, 2, 3 สมการคา สมั บรู ณของพหุนามตวั แปรเดยี ว ขอ 1 – 8 อสมการคาสมั บรู ณของพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 3.11ก ขอ 1, 2, 3 3.11ข สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 135 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 3.5 การวเิ คราะหแ บบฝกหัดทา ยบท หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีจุดมุงหมายวา เมื่อนักเรยี นไดเรียนจบบทท่ี 3 จํานวนจรงิ แลว นักเรียนสามารถ 1. ใชความรเู กี่ยวกบั จาํ นวนจรงิ ในการแกปญ หา 2. หาผลหารของพหนุ ามและเศษเหลอื 3. หาเศษเหลือโดยใชท ฤษฎบี ทเศษเหลอื 4. แยกตวั ประกอบของพหุนาม 5. แกสมการและอสมการพหนุ ามตวั แปรเดียว 6. แกสมการและอสมการเศษสวนพหนุ ามตวั แปรเดยี ว 7. แกส มการและอสมการคาสัมบูรณของพหุนามตัวแปรเดียว 8. ใชค วามรูเ กีย่ วกบั พหนุ ามในการแกป ญ หา ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ทายบทที่ประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรู ความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซึ่งประกอบดวยโจทยฝกทักษะที่มีความนาสนใจและ โจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ของบทเพื่อตรวจสอบวานกั เรียนมคี วามสามารถตามจุดมงุ หมายเมอ่ื เรยี นจบบทเรียนหรอื ไม ทั้งน้ี แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 บทที่ 3 จาํ นวนจรงิ สอดคลองกับจดุ มงุ หมายของบทเรยี น ดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

ขอ ขอ ใชความรูเกย่ี วกบั หาผลหารของ หาเศษเหลือโดยใช แยกตวั ประก ยอ ย จํานวนจริง พหนุ าม ทฤษฎีบทเศษเหลอื ของพหนุ า ในการแกปญหา และเศษเหลอื 1. 1)  2)  3)  2.  3. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  4. 1)  2)  3) 

จดุ มุงหมาย กอบ แกส มการ แกสมการ แกส มการ ใชค วามรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เกยี่ วกบั พหุนาม พหุนามตวั แปรเดยี ว เศษสว นพหนุ าม คา สัมบูรณของ ในการแกปญหา ตวั แปรเดยี ว พหุนามตัวแปรเดยี ว

ขอ ขอ ใชค วามรูเกย่ี วกับ หาผลหารของ หาเศษเหลือโดยใช แยกตวั ประก ยอย จํานวนจรงิ พหุนาม ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ของพหนุ า ในการแกป ญหา และเศษเหลอื 4)  5)  6)  5.  6.  7. 1)  2)  8.  9. 1) 2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  

จดุ มุงหมาย กอบ แกส มการ แกสมการ แกส มการ ใชค วามรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เกยี่ วกบั พหุนาม พหุนามตวั แปรเดยี ว เศษสว นพหนุ าม คา สัมบูรณของ ในการแกปญหา ตวั แปรเดยี ว พหุนามตัวแปรเดยี ว

ขอ ขอ ใชความรูเก่ียวกับ หาผลหารของ หาเศษเหลอื โดยใช แยกตวั ประก ยอ ย จํานวนจริง พหนุ าม ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ของพหุนา ในการแกป ญหา และเศษเหลือ 9)  10)  10. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12) 

จดุ มงุ หมาย กอบ แกสมการ แกสมการ แกสมการ ใชความรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เกี่ยวกบั พหนุ าม พหุนามตวั แปรเดยี ว เศษสวนพหุนาม คา สมั บรู ณข อง ในการแกป ญ หา ตวั แปรเดยี ว พหุนามตวั แปรเดียว            

ขอ ขอ ใชความรูเกย่ี วกบั หาผลหารของ หาเศษเหลือโดยใช แยกตวั ประก ยอย จาํ นวนจรงิ พหนุ าม ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ของพหุนา ในการแกป ญหา และเศษเหลือ 11. 1)   2)   3)   4)   12. 1)   2)   3)   4) 5)   6)   7)   8)   9)   10)     13. 1)   2)   3)  

จดุ มุงหมาย กอบ แกส มการ แกส มการ แกส มการ ใชความรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เกย่ี วกบั พหนุ าม พหุนามตวั แปรเดยี ว เศษสวนพหนุ าม คาสมั บรู ณของ ในการแกปญ หา ตวั แปรเดียว พหุนามตัวแปรเดียว                 

ขอ ขอ ใชค วามรูเก่ียวกับ หาผลหารของ หาเศษเหลือโดยใช แยกตวั ประก ยอย จาํ นวนจรงิ พหนุ าม ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ของพหนุ า ในการแกป ญ หา และเศษเหลอื 4)   5)  โจ  6)   7)   8)   9)   10)  11)   12)  14. 1)   2)  3)   4)   5)   6)   7)  8)    

จดุ มงุ หมาย กอบ แกสมการ แกสมการ แกสมการ ใชความรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เก่ยี วกบั พหนุ าม พหนุ ามตวั แปรเดยี ว เศษสวนพหนุ าม คา สมั บรู ณของ ในการแกป ญหา ตวั แปรเดียว พหนุ ามตวั แปรเดียว  จทยท า ทาย               

ขอ ขอ ใชค วามรูเกยี่ วกับ หาผลหารของ หาเศษเหลือโดยใช แยกตวั ประก ยอย จํานวนจรงิ พหุนาม ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ของพหุนา ในการแกปญ หา และเศษเหลือ 9)   10)   11)   12)   13)   14)   15)   15. 16.  17.  18.  19. 20. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

จดุ มงุ หมาย กอบ แกสมการ แกสมการ แกส มการ ใชค วามรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เกีย่ วกบั พหุนาม พหุนามตวั แปรเดยี ว เศษสว นพหุนาม คาสมั บรู ณของ ในการแกป ญหา ตวั แปรเดียว พหนุ ามตัวแปรเดียว                       

ขอ ขอ ใชค วามรูเก่ยี วกับ หาผลหารของ หาเศษเหลอื โดยใช แยกตวั ประก ยอย จาํ นวนจริง พหุนาม ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ของพหนุ า ในการแกป ญหา และเศษเหลอื 7) โจ 8) โจ 9) 10) 21. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 22.

จุดมงุ หมาย กอบ แกสมการ แกส มการ แกส มการ ใชค วามรู าม และอสมการ และอสมการ และอสมการ เก่ียวกบั พหุนาม พหนุ ามตวั แปรเดยี ว เศษสว นพหุนาม คาสมั บูรณของ ในการแกปญ หา ตัวแปรเดยี ว พหุนามตวั แปรเดยี ว      จทยทาทาย จทยท า ทาย          

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 143 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 3.6 ความรูเพมิ่ เตมิ สําหรับครู • ระบบจาํ นวนจรงิ คอื ระบบเชิงคณติ ศาสตรทปี่ ระกอบดวยเอกภพสัมพทั ธ  ซง่ึ สอดคลอง กบั สจั พจน 3 กลุม 01 ดงั น้ี 1. สจั พจนเชงิ พชี คณิต (algebraic axioms) 2. สัจพจนเ ชิงอนั ดับ (order axioms) 3. สจั พจนความบรบิ รู ณ (completeness axiom) เรียก  วา “เซตของจํานวนจริง” และเรยี กสมาชกิ ใน  วา “จาํ นวนจรงิ ” • สัจพจนเ ชิงพชี คณิต ให + และ ⋅ เปนสัญลักษณแทนการบวกและการคูณ ตามลําดับ สัจพจนเชิงพชี คณิต ของระบบจาํ นวนจริง ไดแ ก (A1) a + b∈ สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนจรงิ a, b (A2) a + (b + c) = (a + b) + c สําหรับทกุ จํานวนจริง a, b, c (A3) a + b = b + a สําหรับทุกจํานวนจรงิ a, b (A4) มจี าํ นวนจริง 0 ซ่งึ a + 0 = 0 + a = a สําหรบั ทกุ จํานวนจรงิ a (A5) สาํ หรับแตล ะจาํ นวนจรงิ a มีจาํ นวนจรงิ b ซ่ึง a + b = b + a = 0 (M1) a ⋅b∈ สาํ หรับทกุ จํานวนจริง a, b (M2) a ⋅(b ⋅ c) = (a ⋅b) ⋅ c สาํ หรบั ทกุ จํานวนจรงิ a, b, c (M3) a ⋅b = b ⋅ a สําหรับทุกจาํ นวนจริง a, b (M4) มีจาํ นวนจริง 1 ซงึ่ a ⋅1 =1⋅ a = a สาํ หรบั ทุกจาํ นวนจรงิ a 1 ในหนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 นาํ เสนอเพยี งสัจพจนเชงิ พชี คณติ ในระบบจาํ นวนจรงิ และสัจพจนเชงิ อนั ดบั ในระบบจํานวนจรงิ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 144 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 (M5) สําหรับแตละจาํ นวนจริง a ซ่ึง a ≠ 0 มีจํานวนจริง b ซง่ึ a ⋅b = b ⋅ a =1 (D) a ⋅(b + c) = a ⋅b + a ⋅ c และ (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a สาํ หรับทกุ จํานวนจรงิ a, b, c หมายเหตุ ในท่ีน้ี อกั ษร A ใชบ ง ถึงสจั พจนเ กย่ี วกับการบวก (addition) อกั ษร M ใชบ งถึงสัจพจนเ ก่ียวกับการคูณ (multiplication) และอักษร D ใชบ ง ถึงสัจพจนเ กยี่ วกับการแจกแจง (distribution) • สจั พจนเ ชงิ อนั ดับ มีสบั เซต + ของ  ซึ่งสอดคลองกับเงอื่ นไขทุกขอ ตอไปน้ี 1. ถา a, b ∈ + แลว a + b ∈ + 2. ถา a, b ∈ + แลว a ⋅ b ∈ + 3. สําหรับจาํ นวนจริง a ใด ๆ a ∈ + หรอื a = 0 หรือ −a∈ + เพยี งอยางใดอยา งหน่ึง • สัจพจนค วามบริบรู ณ ถา A เปนสับเซตท่ีไมใชเซตวางของ  ซ่ึงมีขอบเขตบนใน  แลว A มีขอบเขต บนนอยสุดใน  • ความหนาแนน (Density) ของ  และ ′ ใน  สามารถศึกษาไดจากหนังสือเรียนรู เพิ่มเติมเพื่อเสริมศักยภาพคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 เร่ืองระบบจํานวนจริง หนา 61 – 63 • ทฤษฎีบทท่ีไมไดแสดงการพิสูจนในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 แสดงการพิสูจนไดด ังนี้ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 145 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ทฤษฎีบท 1 กฎการตัดออกสาํ หรับการบวก ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ 1) ถา a + c = b + c แลว a = b 2) ถา a +b = a + c แลว b = c พิสูจน 1) ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี a + c = b + c จะได (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c) a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)) (สมบตั ิการเปลย่ี นหมูของการบวก) a+0 = b+0 (สมบัติการมีตวั ผกผันของการบวก) a = b (สมบตั ิการมเี อกลักษณของการบวก) ดงั น้ัน ถา a +c = b+c แลว a = b 2) ให a, b และ c เปน จํานวนจริงใด ๆ โดยที่ a +b = a +c จะได (a + b) + (−a) = (a + c) + (−a) (−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) (สมบตั กิ ารสลบั ทขี่ องการบวก) ((−a) + a) + b = ((−a) + a) + c (สมบตั ิการเปลย่ี นหมูของการบวก) 0+b = 0+c (สมบัติการมตี วั ผกผันของการบวก) b = c (สมบตั ิการมีเอกลักษณของการบวก) ดงั นัน้ ถา a +b = a +c แลว b = c ทฤษฎีบท 2 กฎการตัดออกสําหรบั การคณู ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ 1) ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b 2) ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 146 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 พิสูจน 1) ให a, b และ c เปนจาํ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี ac = bc และ c ≠ 0 จะได (a c)c−1 = (bc)c−1 a (c c−1 ) = b(c c−1 ) (สมบัตกิ ารเปล่ยี นหมูของการคูณ) a ⋅1 = b ⋅1 (สมบตั ิการมีตัวผกผันของการคณู ) a = b (สมบัติการมเี อกลักษณของการคูณ) ดงั นัน้ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b 2) ให a, b และ c เปน จาํ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี ab = ac และ a ≠ 0 จะได (a b) a−1 = (a c) a−1 a−1 (ab) = a−1 (ac) (สมบัติการสลบั ทข่ี องการคูณ) (a−1a)b = (a−1a)c (สมบตั ิการเปล่ยี นหมขู องการคณู ) 1⋅b = 1⋅c (สมบตั ิการมตี ัวผกผันของการคูณ) b = c (สมบัติการมเี อกลักษณของการคูณ) ดงั นัน้ ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎีบท 3 ให a เปน จาํ นวนจริง จะได a ⋅0 =0 พิสจู น ให a เปนจํานวนจริงใด ๆ จาก 0 + 0 = 0 จะได a(0 + 0) = a ⋅ 0 a⋅0+a⋅0 = a⋅0 (สมบตั กิ ารแจกแจง) a⋅0+a⋅0 = a⋅0+0 (สมบัติการมีเอกลักษณข องการบวก) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 147 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 a⋅0 = 0 (กฎการตัดออกสําหรบั การบวก) ดงั นนั้ ให a เปนจํานวนจริง จะได a ⋅0 =0 ทฤษฎีบท 4 ให a เปน จาํ นวนจริง จะได (−1)a =− a พิสูจน ให a เปน จํานวนจริงใด ๆ จาก a + (−1)a = 1a + (−1)a (สมบตั ิการมเี อกลกั ษณข องการคณู ) a + (−1)a = (1+ (−1) )a (สมบัติการแจกแจง) a + (−1)a = 0 ⋅ a (สมบัติการมีตัวผกผันของการบวก) a + (−1)a = a ⋅ 0 (สมบัติการสลับที่ของการคณู ) a + (−1)a = 0 (ทฤษฎีบท 3) a + (−1)a = a + (−a) (สมบตั ิการมตี วั ผกผันของการบวก) (−1)a = −a (กฎการตัดออกสําหรับการบวก) ดังน้นั ให a เปน จํานวนจรงิ จะได (−1)a =− a ทฤษฎบี ท 5 ให a และ b เปนจาํ นวนจรงิ จะได ab = 0 ก็ตอ เมื่อ a = 0 หรือ b = 0 พสิ ูจน ให a และ b เปนจาํ นวนจริงใด ๆ 1) จะแสดงวา ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ให ab = 0 โดยทฤษฎีบท 3 จะไดว า a = 0 หรือ b = 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 148 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 นั่นคือ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 2) จะแสดงวา ถา a = 0 หรอื b = 0 แลว ab = 0 กรณที ี่ 1 ให a = 0 แต b ≠ 0 โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดว า ab = 0 กรณีท่ี 2 ให b = 0 แต a ≠ 0 โดยทฤษฎีบท 3 จะไดว า ab = 0 กรณที ่ี 3 ให a = 0 และ b = 0 โดยทฤษฎีบท 3 จะไดว า ab = 0 จากท้งั สามกรณี จะไดว า ถา a = 0 หรอื b = 0 แลว ab = 0 ดังน้นั ให a และ b เปนจํานวนจริง จะได ab = 0 กต็ อ เมื่อ a = 0 หรอื b = 0 ทฤษฎีบท 6 ให a และ b เปนจาํ นวนจริง จะไดวา 1) a (−b) = −ab 2) (−a)b = −ab 3) (−a)(−b) = ab พสิ ูจน 1) ให a และ b เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ จะได a ⋅ 0 = 0 (ทฤษฎบี ท 3) a b + (−b) = 0 (สมบตั ิการมตี วั ผกผันของการบวก) ab + a (−b) = 0 (สมบัตกิ ารแจกแจง) ab + a (−b) + (−ab) = 0 + (−ab) (สมบัติการสลบั ทขี่ องการบวก) (−ab) + ab + a(−b) = 0 + (−ab) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 149 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 (−ab) + ab + a (−b) = 0 + (−ab) (สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมขู องการบวก) 0 + a (−b) = 0 + (−ab) (สมบตั กิ ารมีตวั ผกผนั ของการบวก) (สมบตั ิการมเี อกลักษณของการบวก) a (−b) = −ab (สมบัติการสลับทข่ี องการคูณ) ดงั น้ัน a(−b) = −ab (ทฤษฎบี ท 6 ขอ 1) 2) ให a และ b เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ (สมบตั กิ ารสลบั ที่ของการคูณ) จะได (−a)b = b(−a) (ทฤษฎบี ท 3) (สมบตั ิการมีตวั ผกผนั ของการบวก) = −ba (สมบตั ิการแจกแจง) (ทฤษฎบี ท 6 ขอ 1) = −ab (สมบตั กิ ารสลับที่ของการบวก) ดงั น้นั (−a)b = −ab (สมบตั ิการเปลีย่ นหมขู องการบวก) 3) ให a และ b เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ (สมบัตกิ ารมตี วั ผกผนั ของการบวก) (สมบัติการมีเอกลักษณข องการบวก) จะได (−a) ⋅ 0 = 0 (−a) b + (−b) = 0 (−a)b + (−a)(−b) = 0 (−ab) + (−a)(−b) = 0 (−ab) + (−a)(−b) + ab = 0 + ab ab + (−ab) + (−a)(−b) = 0 + ab ab + (−ab) + (−a)(−b) = 0 + ab 0 + (−a)(−b) = 0 + ab (−a)(−b) = ab ดังนั้น (−a)(−b) = ab สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 150 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ทฤษฎีบท 7 ให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ จะไดว า 1) a (b − c) = ab − ac 2) (a − b)c = ac − bc พิสจู น 1) ให a, b และ c เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ จะได a(b − c) = a b + (−c) (บทนยิ าม 1) = ab + a(−c) (สมบตั กิ ารแจกแจง) = ab + (−ac) (ทฤษฎบี ท 6 ขอ 1) = ab−ac (บทนิยาม 1) ดงั นั้น a(b − c) = ab − ac 2) ให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ จะได (a − b)c = a + (−b) c (บทนิยาม 1) = ac +(−b)c (สมบัตกิ ารแจกแจง) = ac + (−bc) (ทฤษฎีบท 6 ขอ 1) = ac −bc (บทนยิ าม 1) ดังน้นั (a − b)c = ac − bc ทฤษฎบี ท 8 ให a เปน จํานวนจรงิ ถา a ≠ 0 แลว a−1 ≠ 0 พสิ ูจน โดยวธิ ีหาขอ ขัดแยง สมมติให a = 0 จะไดว า a ⋅ a−1 =0 ⋅ a−1 =0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 151 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 ซ่งึ ขดั แยงกับสมบัติการมตี ัวผกผันของการคูณ ซึ่ง a ⋅ a−1 =1 ดงั นั้น ถา a ≠ 0 แลว a−1 ≠ 0 ทฤษฎบี ท 9 ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจริง จะไดวา a =a เมอ่ื b ≠ 0 และ c ≠ 0 1)  b  bc c 2) a = ac เมอ่ื b ≠ 0 และ c ≠ 0 b bc 3) a + c = ad + bc เมือ่ b ≠ 0 และ d ≠ 0 bd bd 4)  a  c  = ac เมื่อ b ≠ 0 และ d ≠ 0  b  d  bd 5)  b −1 =c เมือ่ b ≠ 0 และ c ≠ 0  c  b a = ad เม่ือ b ≠ 0, c ≠ 0 และ d ≠ 0 6)  b  bc c  d  พสิ จู น 1) ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ b ≠ 0 และ c ≠ 0 จะได ( )a = a b c−1 −1 (บทนิยาม 2) bc ( )= ab−1 c−1 (สมบัตกิ ารเปล่ยี นหมูข องการคูณ) ab−1 (บทนิยาม 2) = (บทนิยาม 2) c a =  b  c สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 152 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 a ดงั นน้ั  b  = a c bc 2) ให a, b และ c เปนจาํ นวนจริงใด ๆ โดยที่ b ≠ 0 และ c ≠ 0  ac  ac =  b  จะได bc c (ทฤษฎบี ท 9 ขอ 1) = ac ⋅ c−1 (บทนยิ าม 2) b (บทนยิ าม 2) ( )= ac ⋅ b−1 c−1 ( )= c−1 ac ⋅b−1 (สมบตั กิ ารสลบั ทข่ี องการคณู ) ( )= c−1 ⋅ ac b−1 (สมบตั ิการสลบั ทข่ี องการคณู ) ( )= ac ⋅c−1 b−1 (สมบัติการสลับท่ขี องการคูณ) = ( )a c ⋅c−1 b−1 (สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมขู องการคูณ) = (a ⋅1)b−1 (สมบัติการมตี ัวผกผนั ของการคูณ) = ab−1 (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณของการคณู ) = a (บทนยิ าม 2) b ดงั นนั้ a = ac b bc 3) ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี b ≠ 0 และ d ≠ 0  ad + bc  (ทฤษฎีบท 9 ขอ 1) จะได ad + bc =  b  bd d = ad + bc ⋅ d −1 (บทนิยาม 2) b = (ad + bc)b−1  d −1 (บทนยิ าม 2) = b−1 ⋅(ad + bc) d −1 (สมบัติการสลับทข่ี องการคณู ) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 153 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 = b−1 (ad ) + b−1 (bc) d −1 (สมบัติการแจกแจง) ( ) ( )=  b−1 ⋅ a d + b−1 ⋅b c d −1 (สมบัตกิ ารเปลีย่ นหมขู องการคูณ) ( )=  −1 (สมบตั ิการมีตัวผกผนั ของการคณู )  b−1 ⋅ a d +1⋅ c  d ( )= d + c d −1 (สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณข องการคณู )  b−1 ⋅ a ( )=  b−1 ⋅ a d + c d −1 (สมบัติการมีเอกลกั ษณของการคูณ) ( ) ( )=  b−1 ⋅ a d  ⋅ d −1 + c ⋅ d −1 (สมบัติการแจกแจง) ( )( ) ( )b−1  (สมบัติการเปล่ยี นหมขู องการคูณ)   = ⋅a d ⋅ d −1 + c ⋅ d −1 ( ) ( )= b−1 ⋅ a ⋅1+ c ⋅ d −1 (สมบัตกิ ารมีตัวผกผนั ของการคณู ) ( ) ( )= b−1 ⋅ a + c ⋅ d −1 (สมบัติการมีเอกลกั ษณข องการคณู ) ( ) ( )= a ⋅ b−1 + c ⋅ d −1 (สมบตั ิการสลบั ท่ขี องการคณู ) = a+c (บทนยิ าม 2) bd ดังนนั้ a + c =ad + bc b d bd 4) ให a, b, c และ d เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี b ≠ 0 และ d ≠ 0  ac  (ทฤษฎีบท 9 ขอ 1) จะได ac =  b  (บทนิยาม 2) (บทนยิ าม 2) bd d (สมบตั ิการสลบั ทีข่ องการคูณ) =  ac  d −1  b  ( )= ac ⋅ b−1 d −1 ( )= b−1 ⋅ ac d −1 ( )=  b−1 ⋅ a c d −1 (สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมูข องการคณู ) ( )( )= b−1 ⋅ a c ⋅ d −1 (สมบตั ิการเปลี่ยนหมขู องการคูณ) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 154 คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 ( )( )= a ⋅b−1 c ⋅ d −1 (สมบัติการสลับทีข่ องการคูณ) =  a  c  (บทนิยาม 2)  b  d  ดังน้นั  a  c  = ac  b   d  bd 5) ให b และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี b ≠ 0 และ c ≠ 0  b −1 bc−1 −1 ( )จะได  c  = (บทนิยาม 2) (บทนยิ าม 2) = 1 (ทฤษฎบี ท 9 ขอ 2) bc−1 (สมบตั ิการเปล่ยี นหมูของการคูณ) = 1⋅ c bc−1 ⋅ c 1⋅ c ( )= b c−1 ⋅ c = 1⋅c (สมบัติการมตี วั ผกผนั ของการคณู ) b ⋅1 = c (สมบตั ิการมีเอกลักษณของการคูณ) b ดังนนั้  b −1 = c  c  b 6) ให a, b, c และ d เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ b≠ 0 และ d ≠ 0 a ( ) b  = ab−1 จะได ( ) c  cd −1 (บทนยิ าม 2)  d  ( )ab−1 b (บทนิยาม 9 ขอ 2) ( )= cd −1 b สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจรงิ 155 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ( )a b−1b (สมบตั กิ ารสลบั ทข่ี องการคูณและ สมบัติการเปลยี่ นหมูของการคณู ) = (cb) d −1 a ⋅1 (สมบัตกิ ารมีตัวผกผนั ของการคณู ) = (cb) d −1 a (สมบัตกิ ารมเี อกลักษณข องการคณู ) = (cb) d −1 = a −1 ⋅ d (บทนิยาม 9 ขอ 2) d ( cb ) d ad (บทนยิ าม 9 ขอ 4) (สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูข องการคูณ) = (cb) d −1  d ad = (cb)(d −1d ) = ad (สมบตั ิการมีตัวผกผนั ของการคูณ) cb ⋅1 = ad (สมบตั ิการมเี อกลกั ษณข องการคณู ) cb ดงั น้ัน a  b  = ad  c  bc  d  ทฤษฎีบท 10 ขัน้ ตอนวิธกี ารหารสาํ หรบั พหุนาม ถา a(x) และ b(x) เปนพหุนาม โดยท่ี b(x) ≠ 0 แลว จะมีพหุนาม q( x) และ r(x) เพียงชดุ เดียวเทา นน้ั ซ่ึง =a( x) b( x)q( x) + r ( x) เม่อื r ( x) = 0 หรือ deg(r ( x)) < deg(b( x)) สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 156 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 พิสูจน ให a(x) และ b(x)เปน พหนุ าม โดยท่ี b(x) ≠ 0 โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะไดวา มพี หุนาม q(x) และ r(x) โดยที่ r ( x) = 0 หรือ deg(r ( x)) < deg(b( x)) ซึ่งทาํ =ให a(x) b(x)q(x) + r (x) ------- (1) เหลอื เพียงแสดงวามี q(x) และ r(x) ไดเ พียงชดุ เดียว สมมติวา q1 (x) และ r1 (x) เปนพหนุ ามอีกชุดหนงึ่ โดยที่ r1 ( x) = 0 หรือ deg(r1 ( x)) < deg(b( x)) ซึ่งทํา=ให a(x) b(x)q1 (x) + r1 (x) ------- (2) จาก (1) และ (2) จะได a( x) − a( x) = b( x)q( x) + r ( x) − b( x)q1 ( x) + r1 ( x) 0 = b( x) q ( x) − b( x) q1 ( x) + r ( x) − r1 ( x) 0 = b( x) q ( x) − q1 ( x) + r ( x) − r1 ( x) b( x) q ( x) − q1 ( x) = r ( x) − r1 ( x) สมมตวิ า q(x) ≠ q1 (x) จะไดวา q(x) − q1 (x) ≠ 0 และ r (x) ≠ r1 ( x) ซึ่งทําให deg(r1 ( x) − r ( x=)) deg(b( x)) + deg(q( x) − q1 ( x)) ≥ deg(b( x)) ------- (3) จากเงื่อนไขของ r(x) และ r1 (x) สามารถพิจารณาไดเปน 3 กรณี ดงั นี้ กรณที ี่ 1 r ( x) = 0 และ deg(r1 ( x) )< deg(b( x)) จะไดวา deg(r1 ( x)− r ( x)) =deg(r1 ( x)) ดังนนั้ deg(r1 (x)− r (x)) < deg(b(x)) ซง่ึ ขดั แยง กับ (3) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 157 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 กรณที ี่ 2 deg(r ( x)) < deg(b( x)) และ r1 (x) = 0 จะไดวา deg(r1 ( x)− r ( x)) =deg(r ( x)) ดงั น้นั deg(r1 (x)− r (x)) < deg(b(x)) ซงึ่ ขดั แยง กับ (3) กรณีท่ี 3 deg(r ( x)) < deg(b( x)) และ deg(r1 ( x) )< deg(b( x)) จะไดว า deg(r1 (x)− r (x)) < deg(b(x)) ซึง่ ขดั แยง กบั (3) จากทง้ั สามกรณี จะไดว า ขอความท่สี มมติเปนเทจ็ นนั่ คือ q(x) = q1 (x) ซ่ึงทาํ ใหไดว า r (x) = r1 (x) ดว ย ดังนัน้ ถา a( x) และ b(x) เปน พหุนาม โดยที่ b(x) ≠ 0 แลวจะมีพหนุ าม q( x) และ r (x) เพียงชุดเดียวเทา น้ัน ซ=ึ่ง a( x) b( x)q( x) + r ( x) เม่ือ r (x) = 0 หรอื deg(r ( x)) < deg(b( x)) ทฤษฎบี ท 13 ให p( x) เปน พหนุ าม anxn + an−1xn−1 +  + a1x + a0 โดยท่ี n เปน จํานวนเต็มบวก และ an , an−1 ,  , a1 , a0 เปนจาํ นวนเตม็ ซึ่ง an ≠ 0 ถา x − k เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจาํ นวนเต็ม m ซ่ึง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากับ 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตวั พิสูจน ให m และ k เปนจาํ นวนเต็ม ซ่งึ m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากบั 1 ซึ่งทําให x − k เปนตวั ประกอบของพหุนาม p( x)= an xn + a xn−1 ++ a1 x + a0 n −1 m โดยท่ี n เปน จํานวนเตม็ บวก และ an , an−1 ,  , a1 , a0 เปนจํานวนเตม็ ซ่งึ an ≠ 0 p( )โดยทฤษฎีบทตวั ประกอบ จะไดวาk =0 m สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 158 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 n−1 +  + a1 ( ) ( ) ( )an นนั่ คอื k n k k + a0 =0 m m m + an−1 คูณทัง้ สองขา งของสมการดวย mn จะได ank n + an−1k mn−1 +  + a1kmn−1 + a0mn = 0 ------ (1) 1) จะแสดงวา m หาร an ลงตวั จาก (1) จะไดว า an−1k n−1m +  + a1kmn−1 + a0mn = −ank n ( )− a k n−1 ++ a1kmn−2 + a0 m n −1 m = ank n n −1 จะเหน็ วา m หาร ankn ลงตวั แตเ นอื่ งจาก ห.ร.ม. ของ m และ k เทา กบั 1 จะไดว า m หาร an ลงตัว 2) จะแสดงวา k หาร a0 ลงตวั จาก (1) จะไดวา ank n + an−1k n−1m +  + a1kmn−1 = −a0mn ( )− ank n−1 + an−1k n−2m +  + a1mn−1 k = a0mn จะเหน็ วา k หาร a0mn ลงตัว แตเ นื่องจาก ห.ร.ม. ของ m และ k เทากบั 1 จะไดวา k หาร a0 ลงตวั ดังน้นั m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ทฤษฎีบท 14 ให a, b และ c เปน จํานวนจริง 1) สมบตั กิ ารถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2) สมบัตกิ ารบวกดวยจํานวนท่เี ทากนั ถา a > b แลว a + c > b + c สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 159 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 3) สมบัตกิ ารคูณดว ยจาํ นวนท่ีเทากันทไี่ มเ ปน ศนู ย กรณีท่ี 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณีท่ี 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4) สมบตั ิการตดั ออกสาํ หรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 5) สมบตั กิ ารตัดออกสาํ หรบั การคูณ กรณที ี่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีท่ี 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b พสิ ูจน 1) ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ โดยท่ี a > b และ b > c เนอื่ งจาก a > b หมายถงึ a − b > 0 ------- (1) และ b > c หมายถึง b − c > 0 ------- (2) จาก (1) และ (2) จะได (a − b) + (b − c) > 0 นนั่ คือ a−c > 0 a >c ดงั นั้น ถา a > b และ b > c แลว a > c 2) ให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a > b เนื่องจาก a > b หมายถงึ a − b > 0 และ (a + c) − (b + c) =a − b จะได (a + c) − (b + c) > 0 นั่นคอื a + c > b + c สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 160 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ดงั น้ัน ถา a > b แลว a + c > b + c 3) ให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a > b นนั่ คือ a − b > 0 กรณที ่ี 1 c > 0 เนอ่ื งจาก (a − b)c =ac − bc จะได ac − bc > 0 นน่ั คือ ac > bc ดังนัน้ ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณีที่ 2 c < 0 เน่อื งจาก (a − b)c =ac − bc จะได ac − bc < 0 น่นั คอื ac < bc ดงั น้นั ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b 4) ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใด ๆ โดยท่ี a + c > b + c นั่นคอื (a + c) − (b + c) > 0 a+c−b−c > 0 จะได a − b > 0 นั่นคอื a > b ดังนนั้ ถา a + c > b + c แลว a > b สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 161 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5) ให a, b และ c เปน จาํ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี ac > bc กรณีท่ี 1 c > 0 โดยวธิ หี าขอขัดแยง สมมติให a >/ b นั่นคือ a = b หรือ a < b - เม่อื a = b จะได ac = bc ซ่งึ ขดั แยง กับที่กาํ หนดให ac > bc - เมือ่ a < b จะได ac < bc ซง่ึ ขดั แยง กบั ท่ีกําหนดให ac > bc ดังน้นั ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณที ่ี 2 c < 0 โดยวิธีหาขอ ขดั แยง สมมติให a </ b นั่นคอื a = b หรอื a > b - เมื่อ a = b จะได ac = bc ซง่ึ ขัดแยง กับท่ีกาํ หนดให ac > bc - เมอ่ื a > b จะได a − b > 0 เนอื่ งจาก ac − bc = (a − b)c จะได (a − b)c > 0 เนอ่ื งจาก a − b > 0 จะได c > 0 ซ่งึ ขดั แยง กับท่ีกาํ หนดให c < 0 ดังน้ัน ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b ทฤษฎีบท 15 ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจริง ถา a > b และ c > d แลว a + c > b + d สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 162 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 พสิ ูจน ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ ซงึ่ a > b และ c > d โดยสมบตั ิการบวกดว ยจาํ นวนท่เี ทากนั จะได a + c > b + c และ b + c > b + d โดยสมบัตกิ ารถายทอด จะได a + c > b + d ทฤษฎีบท 16 ให x และ y เปนจาํ นวนจรงิ จะไดวา 1) x = − x 2) xy = x y 3) x = x เมอ่ื y ≠ 0 yy 4) x − y = y − x 5) x 2 = x2 6) x + y ≤ x + y พิสูจน 1) แสดงการพิสูจนด ังตวั อยา งท่ี 36 2) ให x และ y เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ กรณที ่ี 1 x ≥ 0 และ y ≥ 0 จะได xy ≥ 0 จากบทนยิ ามของคาสมั บรู ณ จะได= x x=, y y และ xy = xy จะเห็นวา xy= x=y x y กรณีท่ี 2 x ≥ 0 และ y < 0 จะได xy ≤ 0 จากบทนิยามของคาสมั บูรณ จะได x = x, y = − y และ xy = −xy สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจริง 163 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 จะเห็นวา xy =− xy =x y กรณีท่ี 3 x < 0 และ y ≥ 0 จะได xy ≤ 0 จากบทนิยามของคาสัมบรู ณ จะได x =− x, y =y และ xy = −xy จะเหน็ วา xy =− xy =x y กรณีที่ 4 x < 0 และ y < 0 จะได xy > 0 จากบทนิยามของคา สมั บรู ณ จะได x =− x, y =− y และ xy = xy จะเห็นวา xy= x=y x y จากทั้งสี่กรณี จะไดวา xy = x y 3) ให x และ y เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ ซึ่ง y ≠ 0 กรณีท่ี 1 x ≥ 0 และ y > 0 จะได x ≥ 0 y จากบทนยิ ามของคาสัมบรู ณ จะได= x x=, y y และ x = x yy จะเหน็ วา x= x= x yyy กรณีท่ี 2 x ≥ 0 และ y < 0 จะได x ≤ 0 y จากบทนยิ ามของคา สัมบูรณ จะได x = x, y = − y และ x = − x yy จะเหน็ วา x =− x =x y yy สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 164 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 กรณที ี่ 3 x < 0 และ y > 0 จะได x < 0 y จากบทนยิ ามของคา สัมบรู ณ จะได x =− x, y =y และ x = − x yy จะเห็นวา x =− x x = y yy กรณที ่ี 4 x < 0 และ y < 0 จะได x > 0 y จากบทนยิ ามของคาสัมบูรณ จะได x =− x, y =− y และ x = x yy จะเหน็ วา x= x= x yy y จากทั้งสกี่ รณี จะไดว า x = x yy 4) แสดงการพิสูจนด ังตวั อยา งที่ 37 5) ให x เปนจํานวนจริงใด ๆ กรณที ่ี 1 x ≥ 0 จากบทนยิ ามของคา สมั บูรณ จะได x = x ทําใหไ ดวา x 2 = x ⋅ x = x2 กรณที ่ี 2 x < 0 จากบทนิยามของคา สัมบรู ณ จะได x = − x ทําใหไ ดว า x 2 =(−x)(−x) =x2 จากท้งั สองกรณี จะไดว า x 2 = x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจริง 165 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 6) ให x และ y เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ กรณีท่ี 1 x ≥ 0 และ y ≥ 0 น่นั คอื x + y ≥ 0 จากบทนิยามของคาสมั บูรณ จะได x = x, y = y และ x + y =x + y จะเห็นวา x + y = x + y = x + y กรณที ี่ 2 x ≥ 0 และ y < 0 นัน่ คอื x + y ≥ 0 หรอื x + y < 0 - เมือ่ x + y ≥ 0 จากบทนยิ ามของคา สัมบูรณ จะได x = x, y = − y และ x + y =x + y จะเหน็ วา x + y =x + y แต x + y =x − y เนอ่ื งจาก x ≥ 0 และ y < 0 จะไดว า x + y < x − y น่นั คือ x + y < x + y - เมือ่ x + y < 0 จากบทนยิ ามของคาสัมบูรณ จะได x = x, y = − y และ x + y =−( x + y) =−x − y จะเห็นวา x + y =−x − y และ x + y =x − y เน่อื งจาก x ≥ 0, y < 0 จะไดวา −x − y < x − y น่นั คอื x + y < x + y กรณที ี่ 3 x < 0 และ y ≥ 0 น่นั คอื x + y ≥ 0 หรือ x + y < 0 - เมื่อ x + y ≥ 0 จากบทนิยามของคาสมั บรู ณ จะได x = − x, y = y และ x + y =x + y สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 166 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 จะเหน็ วา x + y =x + y แต x + y =−x + y เนือ่ งจาก x < 0 และ y ≥ 0 จะไดว า x + y < −x + y นน่ั คือ x + y < x + y - เมือ่ x + y < 0 จากบทนิยามของคาสมั บูรณ จะได x = − x, y = y และ x + y =−( x + y) =−x − y จะเหน็ วา x + y =−x − y และ x + y =−x + y เนอื่ งจาก x < 0 และ y ≥ 0 จะไดวา −x − y < −x + y นัน่ คือ x + y < x + y กรณที ่ี 4 x < 0 และ y < 0 นน่ั คอื x + y < 0 จากบทนิยามของคา สมั บูรณ จะได x = − x, y = − y และ x + y =−( x + y) =−x − y จะเห็นวา x + y =−x − y =x + y จากทงั้ สีก่ รณี จะไดวา x + y ≤ x + y 3.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 3 จํานวนจริง สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงค การเรยี นรูท่ีตองการวัดผลประเมินผล สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 167 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. จงพจิ ารณาวาจาํ นวนที่กําหนดให จาํ นวนใดบา งเปน จาํ นวนนบั จาํ นวนเต็ม จํานวนตรรกยะ หรือจํานวนอตรรกยะ a 3 1.01001000100001 −3 28 (−25) ⋅ 1 4 2 (−5) ( )π 2 5 1− 7 2.33444444444 49 2. จงยกตัวอยา งจาํ นวนอตรรกยะ a และ b ท่แี ตกตา งกัน ซง่ึ ทาํ ให 1) a − b เปน จาํ นวนตรรกยะ 2) a − b เปนจาํ นวนอตรรกยะ 3) ab เปนจํานวนตรรกยะ 4) ab เปนจาํ นวนอตรรกยะ 5) a เปน จาํ นวนตรรกยะ b 6) a เปน จาํ นวนอตรรกยะ b 3. จงระบุสมบตั ขิ องจาํ นวนจริงที่ใชในแตล ะขั้นตอนของบทพิสจู น a ⋅0 = a ⋅0 + 0 สาํ หรับทุกจํานวนจรงิ a พิสูจน ให a เปน จํานวนจริงใด ๆ จะไดวา a⋅0 = a⋅0+0 = a ⋅0 + ((a ⋅0) + (−a ⋅0)) = (a ⋅0 + a ⋅0) + (−a ⋅0) = a ⋅(0 + 0) + (−a ⋅0) = a ⋅0 + (−a ⋅0) =0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 168 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 4. จงหาจํานวนจรงิ a ทท่ี าํ ใหเมอ่ื หารพหนุ าม x4 − ax +1 ดว ย x − 2 แลว ไดเศษเหลอื เทากับ 3 5. จงหาจํานวนจรงิ a และ b ทีท่ าํ ใหเมื่อหารพหนุ าม x3 + ax2 + bx −1 ดว ย x2 + x +1 แลวเหลือเศษ x + 2 6. จงแยกตวั ประกอบพหนุ ามตอ ไปน้ี 1) x3 − 4x2 − 3x +18 2) 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 7. จงหาจํานวนเต็ม k ทั้งหมดที่ทาํ ใหสมการ x3 − kx + 2 =0 มคี าํ ตอบท่ีเปน จาํ นวนตรรกยะ 8. จงหาเซตคาํ ตอบของสมการตอไปนี้ 1) x3 − 5x2 +12 =8x 2) x4 + x2 = 2x3 + 4 9. จงหาผลลพั ธใ นรปู ผลสาํ เรจ็ 1) 3x − 6 ÷ x2 − 2x x2 −1 x3 − 2x2 + 2x −1 2)  ( x x x − 2) − ( x − 2 x − 3)  ⋅ x x 4   − −1)( 1)( 10. จงหาจํานวนจริง a, b และ c ท่ีทาํ ให ( )x2 + bx +=c a + 2x −3 2x −1 x2 + 2 x2 + 2 (2x −1) 11. จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 3 + 1 =4 x −1 x2 − 3x + 2 x2 −1 12. จงพจิ ารณาวา ขอ ความตอไปนีเ้ ปน จริงหรอื เท็จ พรอ มทั้งพสิ ูจนหรือยกตวั อยางคาน 1) ให a, b, c และ d เปน จาํ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี a < b และ c < d จะไดว า a − c < b − d 2) ให a, b, c และ d เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a < b และ c < d จะไดว า ac < bd 13. จงเขยี นกราฟของ ([−4,1) ∪[2, 6]) − ((−3, 3]∪[4, 5)) บนเสนจาํ นวน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 169 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 14. จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ (4x −1)2 x ( x +1)2 ( x − 3)3 ( x − 8) ≤0 ( x −1)( x − 2)( x − 5)4 15. จงหาเซตคําตอบของสมการตอ ไปน้ี 1) x + 2 =5 2) x2 − 4 =4 − x2 16. จงหาเซตคําตอบของอสมการตอ ไปน้ี 1) x2 − 5 ≥ 4 31− x −1 2) ≥1 x −1 +1 17. กระดาษแข็งรปู สเี่ หล่ยี มมุมฉากแผนหนง่ึ กวาง 3 ฟุต และยาว 4 ฟตุ เม่ือตัดมุมกระดาษท้ัง ส่ีเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่ยาวดานละ x ฟุตออก จะสามารถประกอบเปนกลอง ทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉากซึ่งไมมีฝาปดได ถากลองดังกลาวมีปริมาตร 2 ลูกบาศกฟุต จงหา คา ของ x 18. จงหาจํานวนจรงิ a ทง้ั หมดที่ทําใหส มการ x2 − ax − a + 3 =0 มคี ําตอบเปนจํานวนจรงิ 19. ปริศาตองการออกแบบกระเปาเดินทางทรงสี่เหล่ียมมุมฉากใหมีความกวาง ความยาว และ ความสูงรวมกันได 11 เดซิเมตร โดยมีความยาวเปนสองเทาของความกวาง ถาตองการให กระเปามปี รมิ าตรอยา งนอย 40 ลูกบาศกเดซิเมตรแลว กระเปาใบน้ีควรมีความกวางอยางนอย เทาไร เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. พิจารณาจํานวนที่กําหนดให วาเปนจํานวนนับ จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ หรือจํานวน อตรรกยะ ไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจรงิ 170 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จํานวนทก่ี ําหนดให จาํ นวนนบั จาํ นวนเตม็ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ 3    - - - -  1.01001000100001 - -  -    −3   - 4   - -  28 - - - - - - - - 2     ( −25) ⋅ ( 1 −5) π 5 1− 7 2.33444444444 ( )2 49 2. ตัวอยา งคาํ ตอบ 1) a =1+ 2, b =2 2=) a 2=2, b 2 3=) a 2=2, b 2 4)=a =2, b 3 5=) a 2=2, b 2 6)=a =6, b 2 สมบัตกิ ารมีเอกลักษณข องการบวก 3. a ⋅ 0 = a ⋅ 0 + 0 = a ⋅0 + ((a ⋅0) + (−(a ⋅0))) สมบัตกิ ารมตี ัวผกผันของการบวก = (a ⋅0 + a ⋅0) + (−(a ⋅0)) สมบตั กิ ารเปล่ียนหมูของการบวก สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จํานวนจรงิ 171 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 = a ⋅(0 + 0) + (−(a ⋅0)) สมบตั กิ ารแจกแจง = a⋅0 + (−(a⋅0)) สมบัตกิ ารมเี อกลักษณข องการบวก = 0 สมบัติการมตี ัวผกผันของการบวก 4. ให p ( x) = x4 − ax +1 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เม่ือหาร p(x) ดว ย x − 2 จะไดเศษเหลือ คือ p(2) เน่อื งจาก เศษเหลือท่ีไดจ ากการหาร p(x) ดวย x − 2 คือ 3 น่นั คือ p(2) = 3 จะได 3 = 24 − 2a +1 2a = 14 a =7 ดังน้ัน a = 7 5. พิจารณาการหารยาวดังน้ี x + (a −1) x2 + x +1 x3 + ax2 + bx − 1 x3 + x2 + x (a −1)x2 + (b −1)x − 1 (a −1)x2 + (a −1)x + (a −1) (b − a)x − a จากการหารยาวจะไดว า เศษเหลอื จากการหาร x3 + ax2 + bx −1 ดวย x2 + x +1 คอื (b − a) x − a เนื่องจาก โจทยกําหนดวา เศษเหลือจากการหาร x3 + ax2 + bx −1 ดว ย x2 + x +1 คอื x + 2 จะไดว า (b − a) x − a = x + 2 น่นั คอื b − a =1 และ −a =2 b = −1 และ a = −2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จํานวนจริง 172 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ดงั นน้ั a = −2 และ b = −1 6. 1) ให p ( x) = x3 − 4x2 − 3x +18 เน่อื งจากจาํ นวนเต็มทห่ี าร 18 ลงตวั คอื ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ±18 พจิ ารณา p(−2) p (−2) =(−2)3 − 4(−2)2 − 3(−2) +18 =0 จะเหน็ วา p(−2) =0 ดังนั้น x + 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − 4x2 − 3x +18 นํา x + 2 ไปหาร x3 − 4x2 − 3x +18 ไดผลหารเปน x2 − 6x + 9 น่ันคอื ( )x3 − 4x2 − 3x +18 = ( x + 2) x2 − 6x + 9 = ( x + 2)( x − 3)2 ดงั นน้ั x3 − 4x2 − 3x +18 = ( x + 2)( x − 3)2 2) ให p ( x) = 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 เนือ่ งจากจํานวนเต็มทห่ี าร 3 ลงตวั คอื ±1, ± 3 และจํานวนเต็มทีห่ าร 2 ลงตวั คอื ±1, ± 2 พิจารณา p(−3) p (−3) = 2(−3)4 + 5(−3)3 − 2(−3)2 + 4(−3) + 3 = 0 จะเหน็ วา p(−3) =0 ดังนั้น x + 3 เปน ตัวประกอบของ 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 นาํ x + 3 ไปหาร 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 ไดผ ลหารเปน 2x3 − x2 + x +1 ดงั น้ัน 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 = ( x + 3)(2x3 − x2 + x +1) ให q ( x)= 2x3 − x2 + x +1 เนอ่ื งจากจํานวนเต็มท่หี าร 1 ลงตัว คอื ±1 และจํานวนเตม็ ทีห่ าร 2 ลงตวั คือ ±1, ± 2 พจิ ารณา q  − 1   2  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | จาํ นวนจรงิ 173 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 q  − 1  = 2  − 1 3 −  − 1 2 +  − 1  + 1= 0  2  2   2   2  จะเหน็ วา q  − 1  =0 ดังน้ัน x + 1 เปนตวั ประกอบของ 2x3 − x2 + x +1  2  2 นาํ x + 1 ไปหาร 2x3 − x2 + x +1 ไดผลหารเปน 2x2 − 2x + 2 2 นน่ั คอื ( )2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 = ( 3)  1  x +  x + 2  2x2 − 2x + 2 = ( x + 3)  x + 1  ⋅ 2( x2 − x + 1)  2  = ( x + 3)(2x +1)( x2 − x +1) ดังนัน้ 2x4 + 5x3 − 2x2 + 4x + 3 = ( x + 3)(2x +1)( x2 − x +1) 7. ให p ( x) = x3 − kx + 2 เนื่องจากจํานวนเต็มท่ีหาร 2 ลงตัว คือ ±1, ± 2 ถา x +1 เปนตัวประกอบของ x3 − kx + 2 นนั่ คอื p(−1) =0 จะได (−1)3 − k (−1) + 2 = 0 ดงั น้ัน k = −1 ถา x −1 เปน ตัวประกอบของ x3 − kx + 2 นน่ั คือ p(1) = 0 จะได 13 − k (1) + 2 = 0 ดงั นน้ั k = 3 ถา x + 2 เปนตัวประกอบของ x3 − kx + 2 นน่ั คือ p(−2) =0 จะได (−2)3 − k (−2) + 2 = 0 ดังนน้ั k = 3 ถา x − 2 เปนตวั ประกอบของ x3 − kx + 2 นนั่ คือ p(2) = 0 จะได 23 − k (2) + 2 = 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | จาํ นวนจริง 174 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ดังนน้ั k = 5 จะได จาํ นวนเต็ม k ที่เปนไปไดท้งั หมด คือ −1, 3 หรือ 5 8. 1) จาก x3 − 5x2 +12 =8x จัดรปู สมการใหมไดเปน x3 − 5x2 − 8x +12 =0 เนอื่ งจาก x3 − 5x2 − 8x +12 = ( x −1)( x2 − 4x −12) = ( x −1)( x + 2)( x − 6) จะได ( x −1)( x + 2)( x − 6) =0 ดังน้ัน x −1 =0 หรอื x + 2 =0 หรือ x − 6 =0 จะได x = 1 หรือ x = − 2 หรือ x = 6 ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คือ { − 2, 1, 6} 2) จาก x4 + x2 = 2x3 + 4 จัดรปู สมการใหมไดเปน x4 − 2x3 + x2 − 4 =0 เนอ่ื งจาก x4 − 2x3 + x2 − 4 = ( x − 2)( x +1)( x2 − x + 2) จะได ( x − 2)( x +1)( x2 − x + 2) =0 ดงั นน้ั x − 2 =0 หรือ x +1 =0 หรือ x2 − x + 2 =0 ถา x − 2 =0 จะได x = 2 ถา x +1 =0 จะได x = −1 ถา x2 − x + 2 =0 และเนอื่ งจาก (−1)2 − 4(1)(2) =− 7 จะไดว า ไมมีจาํ นวนจริงทเี่ ปน คาํ ตอบของสมการนี้ ดงั นัน้ เซตคําตอบของสมการ คือ {−1, 2} สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี