(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 225 16. ให U แทนเซตของรถท่ีเขามาซอมที่อูข องแดน A แทนเซตของรถทต่ี องซอมเบรก B แทนเซตของรถท่ีตองซอมระบบทอ ไอเสีย A∪ B แทนเซตของรถทีต่ องซอมเบรกหรอื ระบบทอไอเสยี ( A ∪ B)′ แทนเซตของรถท่มี สี ภาพปกติ A∩ B แทนเซตของรถทตี่ องซอมทั้งเบรกและระบบทอไอเสีย จะได n(U ) = 50 n( A) = 23 n( B) = 34 n( A ∪ B)′ = 6 นนั่ คอื n( A ∪ B) = 50 − 6 = 44 วิธที ี่ 1 ให x แทนจาํ นวนรถทต่ี อ งซอมทั้งเบรกและระบบทอไอเสยี น่นั คือ n( A ∩ B) =x นาํ ขอมูลทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพไดด ังนี้ 1) จากแผนภาพ จะไดว า 44 = (23 − x) + x + (34 − x) 44 = 57 − x จะได x = 13 ดงั น้นั มรี ถทต่ี องซอมทัง้ เบรกและระบบทอ ไอเสยี 13 คัน สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

226 คูม ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 2) จากแผนภาพ จะไดว า มีรถทต่ี องซอมเบรกแตไ มตองซอมระบบทอไอเสยี เทากบั 23 – 13 = 10 คัน วธิ ีที่ 2 1) จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B) จะได 44 = 23 + 34 − n( A ∩ B) นัน่ คือ n( A ∩ B) = 23 + 34 − 44 n( A ∩ B) = 13 ดังนน้ั มรี ถทต่ี องซอมทง้ั เบรกและระบบทอ ไอเสีย 13 คัน 2) มีรถที่ตองซอมเบรกแตไมตองซอ มระบบทอไอเสยี เทา กับ 23 – 13 = 10 คัน 17. ให U แทนเซตของผูใชบรกิ ารขนสง ท่เี ขารว มการสาํ รวจ A แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสง ทางรถไฟ B แทนเซตของผใู ชบ ริการขนสง ทางรถยนต C แทนเซตของผูใชบริการขนสงทางเรอื A∩ B แทนเซตของผูใชบ รกิ ารขนสง ทางรถไฟและรถยนต B ∩C แทนเซตของผูใชบริการขนสงทางรถยนตและเรือ A∩ C แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสง ทางรถไฟและเรอื A ∩ B ∩ C แทนเซตของผูใชบ ริการขนสงทงั้ ทางรถไฟ รถยนต และเรอื ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผูใชบริการขนสง อื่น ๆ ท่ไี มใ ชทางรถไฟ รถยนต หรือเรอื A ∪ B ∪ C แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสง ทางรถไฟ รถยนต หรือเรอื จะได n( A) = 100 n( B) = 150 n(C ) = 200 n( A ∩ B) = 50 n( B ∩ C ) = 25 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 227 n(A∩C) = 0 n(A∩ B∩C) = 0 n( A ∪ B ∪ C )′ = 30 วธิ ีที่ 1 นําขอมูลท้ังหมดไปเขยี นแผนภาพไดดงั น้ี 0 0 วิธีท่ี 2 จากแผนภาพ จะไดวา มีผูใชบ รกิ ารขนสงทีเ่ ขา รวมการสํารวจทงั้ หมด เทา กับ 50 + 50 + 75 + 25 +175 + 30 =405 คน จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 100 +150 + 200 − 50 − 0 − 25 + 0 = 375 จาก n( A ∪ B ∪ C )′ = 30 จะได n(U ) = n( A ∪ B ∪ C ) + n( A ∪ B ∪ C )′ = 375 + 30 = 405 ดังนน้ั มผี ใู ชบรกิ ารขนสงที่เขารวมการสาํ รวจทงั้ หมด 405 คน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

228 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 18. ให U แทนเซตของคนทํางานที่เขา รวมการสํารวจ A แทนเซตของคนทาํ งานทช่ี อบการเดนิ ปา B แทนเซตของคนทํางานทชี่ อบการไปทะเล C แทนเซตของคนทาํ งานทช่ี อบการเลนสวนนํ้า A∩ B แทนเซตของคนทาํ งานที่ชอบการเดินปา และการไปทะเล A∩C แทนเซตของคนทํางานทช่ี อบการเดนิ ปา และการเลน สวนน้ํา B ∩C แทนเซตของคนทํางานทช่ี อบการไปทะเลและการเลน สวนนาํ้ A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทาํ งานที่ชอบท้งั การเดินปา การไปทะเล และการเลนสวนนํ้า จะได n( A) = 35 n( B) = 57 n(C ) = 20 n(A∩ B) = 8 n( A ∩ C ) = 15 n(B∩C) = 5 n(A∩ B∩C) = 3 นาํ ขอ มลู ทัง้ หมดไปเขยี นแผนภาพไดดงั น้ี จากแผนภาพ จะไดว า สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 229 1) มคี นที่ชอบการไปทะเลหรือชอบการเลนสวนนาํ้ เทา กบั 5% + 47% +12% + 3% + 2% + 3% =72% 2) มคี นทีช่ อบการเดินปาหรือชอบการไปทะเล เทา กบั 15% + 5% + 47% +12% + 3% + 2% =84% 3) มีคนทีช่ อบทํากิจกรรมเพียงอยา งเดยี ว เทา กับ 15% + 47% + 3% =65% 4) มีคนท่ีไมช อบการเดนิ ปา หรือไปทะเล หรือเลนสวนน้ํา 13% 19. ให U แทนเซตของประชาชนทเี่ ขารวมการสาํ รวจ A แทนเซตของคนที่ชอบทเุ รยี น B แทนเซตของคนทช่ี อบมังคดุ C แทนเซตของคนทช่ี อบมะมว ง A∩ B แทนเซตของคนทช่ี อบทุเรยี นและมงั คดุ B ∩ C แทนเซตของคนทช่ี อบมงั คดุ และมะมว ง A∩ C แทนเซตของคนที่ชอบทเุ รียนและมะมว ง A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนท่ีชอบผลไมท้ังสามชนดิ นี้ จะได n( A) = 720 n( B) = 605 n(C ) = 586 n( A ∩ B) = 483 n( B ∩ C ) = 470 n( A ∩ C ) = 494 n( A ∩ B ∩ C ) = 400 นําขอ มูลทัง้ หมดไปเขยี นแผนภาพไดดังน้ี สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

230 คูม ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะไดวา 1) มคี นทช่ี อบมงั คุดอยา งเดยี ว 52 คน 2) มคี นที่ชอบผลไมอยางนอยหนึ่งชนดิ ในสามชนิดนี้ เทา กบั 143 + 83 + 52 + 94 + 400 + 70 + 22 =864 คน 3) มีคนที่ไมช อบผลไมช นดิ ใดเลยในสามชนดิ นี้ 136 คน 20. ให U แทนเซตของนักเรยี นทีเ่ ขารวมการสํารวจ A แทนเซตของนักเรยี นที่ชอบวิชาคณิตศาสตร B แทนเซตของนักเรยี นทชี่ อบวิชาฟส ิกส C แทนเซตของนักเรยี นที่ชอบวิชาภาษาไทย ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของนักเรียนที่ไมช อบวชิ าใดเลยในสามวิชาน้ี จะได n( A) = 56 n( B) = 47 n(C ) = 82 นน่ั คือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 4 n( A ∪ B ∪ C ) = 100 − 4 = 96 ให x แทนจาํ นวนนกั เรยี นท่ีชอบวิชาคณติ ศาสตรและฟส กิ ส แตไมช อบวชิ าภาษาไทย y แทนจํานวนนกั เรียนท่ชี อบวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทย แตไมชอบวิชาฟสิกส สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 231 z แทนจาํ นวนนกั เรยี นทีช่ อบวิชาฟส กิ สและภาษาไทย แตไมช อบวิชาคณิตศาสตร k แทนจาํ นวนนกั เรยี นท่ชี อบทั้งสามวชิ า วิธที ่ี 1 นําขอ มลู ทัง้ หมดไปเขียนแผนภาพไดด ังน้ี จากแผนภาพ จะไดว า 96 = (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k ) + x + y + z + k 96 = 185 − x − y − z − 2k 89 = ( x + y + z) + 2k เน่ืองจาก มีนกั เรยี นท่ีชอบเพียง 2 วชิ าเทา น้นั จาํ นวน 71% นน่ั คอื x + y + z =71 จะได 89 = 71+ 2k 2k = 18 ดังน้ัน k = 9 จะไดวา (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k ) = 185 − 2x − 2 y − 2z − 3k = 185 − 2( x + y + z) − 3k = 185 − 2(71) − 3(9) = 185 −142 − 27 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 = 16 ดงั นน้ั มนี กั เรียนท่ีชอบเพียงวชิ าเดียวเทาน้ัน จาํ นวน 16 % วิธที ่ี 2 นาํ ขอมูลทั้งหมดไปเขียนแผนภาพไดดงั น้ี 21. ให เนอ่ื งจาก มีนกั เรยี นทชี่ อบเพียง 2 วิชาเทา น้นั จาํ นวน 71% น่นั คือ x + y + z =71 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) −n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได 96 = 56 + 47 + 82 − ( x + k ) − ( y + k ) − ( z + k ) + k x + y + z + 2k = 89 71 + 2k = 89 2k = 18 k =9 ดงั น้นั มนี ักเรียนทช่ี อบเพยี งวิชาเดยี วเทานั้น เทากับ 96% – 9% – 71% = 16 % U แทนเซตของคนกลมุ นี้ A แทนเซตของคนที่มีแอนตเิ จน A B แทนเซตของคนทีม่ ีแอนตเิ จน B Rh แทนเซตของคนทีม่ ีแอนตเิ จน Rh+ A ∩ B แทนเซตของคนท่ีมีหมเู ลอื ด AB สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 233 A − B แทนเซตของคนทม่ี หี มเู ลอื ด A B − A แทนเซตของคนทมี่ ีหมูเลือด B ( A ∩ Rh) − B แทนเซตของคนที่มหี มูเ ลอื ด A+ (B ∩ Rh) − A แทนเซตของคนท่มี ีหมูเลอื ด B+ A ∩ B ∩ Rh แทนเซตของคนที่มีหมูเ ลอื ด AB+ จะได n( A) = n( A+ ) + n( A− ) + n( AB) = 29 n( B) = n( B+ ) + n( B− ) + n( AB) = 39 n( A ∩ B) = n( AB) = 9 n(( A ∩ Rh) − B) = n( A+ ) = 18 n(( B ∩ Rh) − A) = n( B+ ) = 29 n( A ∩ B ∩ Rh) = n( AB+ ) = 8 n( Rh − ( A ∪ B)) = n(O+ ) = 40 จากแผนภาพที่กาํ หนดให นาํ ขอมลู ท้ังหมดไปเขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดด ังนี้ จากแผนภาพ จะไดวามีคนกลุมน้ี 1% ท่ีมีเลอื ดหมู O− 22. เขียน A, B และ C แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด ังนี้ U = {0, 2, 4, ... , 100} น่ันคอื n(U ) = 51 A = {0, 6, 12, ... , 96} น่ันคือ n( A) = 17 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

234 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 B = {0, 4, 8, ... , 100} นัน่ คือ n(B) = 26 C = {0, 10, 20, 30, ... , 100} น่ันคอื n(C ) = 11 จะได A ∩ B แทนเซตของจาํ นวนคูตง้ั แต 0 ถึง 100 ท่ีหารดว ย 3 และ 4 ลงตัว A ∩ C แทนเซตของจํานวนคูตั้งแต 0 ถึง 100 ทห่ี ารดว ย 3 และ 5 ลงตวั B ∩ C แทนเซตของจาํ นวนคูต้ังแต 0 ถงึ 100 ทีห่ ารดวย 4 และ 5 ลงตัว A ∩ B ∩ C แทนเซตของจํานวนคูตง้ั แต 0 ถงึ 100 ทหี่ ารดว ย 3, 4 และ 5 ลงตวั เขยี น A ∩ B, A ∩ C , B ∩ C , A ∩ B ∩ C แบบแจกแจงสมาชกิ ไดดังนี้ A ∩ B = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} นั่นคอื n( A ∩ B) = 9 A ∩ C = {0, 30, 60, 90} นัน่ คอื n( A ∩ C) = 4 B ∩ C = {0, 20, 40, 60, 80, 100} น่ันคือ n(B ∩ C) = 6 A ∩ B ∩ C = {0, 60} นั่นคือ n( A ∩ B ∩ C ) = 2 นําขอมูลทง้ั หมดไปเขยี นแผนภาพไดด งั น้ี จากแผนภาพ จะไดวา 1) n( B ∪ C′ ) = 7 +13 + 2 + 4 + 6 +14 = 46 2) n( A ∩ B ∩ C′) =7 3) n( A ∪ B ∪ C ) = 6 + 7 +13 + 2 + 2 + 4 + 3 = 37 4) n( A ∪ B ∪ C )′ =14 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 235 บทที่ 2 ตรรกศาสตร แบบฝก หดั 2.1 1. 1) เปนประพจน ที่มคี าความจรงิ เปน เท็จ 2) เปน ประพจน ท่ีมีคาความจรงิ เปนจรงิ 3) เปน ประพจน ท่ีมีคาความจริงเปน เท็จ 4) ไมเ ปน ประพจน 5) ไมเปนประพจน 6) เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปน จริง 7) เปน ประพจน ที่มีคาความจรงิ เปนเท็จ 8) เปน ประพจน ท่ีมคี า ความจรงิ เปนเท็จ 9) ไมเปนประพจน 10) เปน ประพจน ท่ีมคี าความจรงิ เปนจริง 11) เปน ประพจน ที่มคี าความจริงเปน เทจ็ 12) เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปน จรงิ 13) ไมเปน ประพจน 14) ไมเปนประพจน 15) เปนประพจน ท่ีมีคา ความจริงเปนเทจ็ 16) ไมเปนประพจน 17) ไมเปนประพจน 18) เปน ประพจน ท่ีมีคา ความจริงเปนจริง 2. ตัวอยางคําตอบ • 2 > 3 เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปนเท็จ • ∅ ∈ {1, 2, 3} เปน ประพจน ท่ีมีคา ความจริงเปน เทจ็ • หน่ึงปมีสบิ สองเดือน เปนประพจน ทม่ี คี าความจริงเปน จริง • 4 เปน จาํ นวนอตรรกยะ เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปนเทจ็ • เดอื นมกราคม มี 31 วนั เปน ประพจน ที่มีคาความจริงเปน จรงิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

236 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 แบบฝกหดั 2.2 1. 1) 0 เปนจํานวนนบั และ 6 เปนจํานวนเต็ม มคี า ความจรงิ เปนเท็จ เพราะ 0 เปน จาํ นวนนบั มคี า ความจรงิ เปน เทจ็ 2) 9 ไมเ ทา กบั 10 หรือ 10 ไมนอยกวา 9 มีคาความจรงิ เปน จริง เพราะ 9 ไมเ ทา กับ 10 มคี าความจริงเปนจริง 3) 2 และ −1 เปน จาํ นวนจริง มีคาความจรงิ เปนจรงิ เพราะ 2 เปน จํานวนจริง มคี า ความจริงเปน จริง และ −1 เปนจํานวนจริง มีคาความจรงิ เปนจรงิ 4) ถา 1∉{1, 2} แลว 1⊂ {1, 2} มคี าความจริงเปน จรงิ เพราะ 1∉{1, 2} มคี า ความจริงเปนเท็จ 5) 3 เปนจาํ นวนตรรกยะ และไมใ ชจํานวนจรงิ มีคาความจริงเปนเท็จ เพราะ 3 เปนจาํ นวนตรรกยะ มีคาความจรงิ เปนเท็จ 6) 2 เปน ห.ร.ม. ของ 4 และ 6 กต็ อเมื่อ 2 หาร 4 + 6 ไมลงตัว มีคา ความจริงเปนเทจ็ เพราะ 2 เปน ห.ร.ม. ของ 4 และ 6 มีคา ความจริงเปนจรงิ แต 2 หาร 4 + 6 ไมล งตัว มคี าความจริงเปนเทจ็ 7) ถา 3 เปน จํานวนค่ี แลว 32 เปนจาํ นวนค่ี มีคา ความจรงิ เปน จริง เพราะ 3 เปน จาํ นวนค่ี มคี า ความจรงิ เปน จริง และ 32 เปน จาํ นวนค่ี มีคาความจรงิ เปนจริง 8) 2 เปนจํานวนจริงหรือจาํ นวนอตรรกยะ มคี าความจรงิ เปนจริง เพราะ 2 เปนจํานวนจรงิ มคี า ความจรงิ เปน จริง สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 237 9) 13 เปน จาํ นวนเฉพาะ ก็ตอเมื่อ 13 มตี ัวประกอบคือ 1 กบั 13 มคี า ความจริงเปน จริง เพราะ 13 เปน จาํ นวนเฉพาะ มีคาความจรงิ เปน จริง และ 13 มีตวั ประกอบคอื 1 กับ 13 มีคาความจรงิ เปนจริง 10) ถา { 3} ⊂ { 3, 4} แลว 3∉{ 3, 4} มีคาความจรงิ เปน เทจ็ เพราะ { 3} ⊂ { 3, 4} มีคาความจริงเปนจรงิ แต 3∉{ 3, 4} มคี า ความจรงิ เปนเทจ็ 11) (2 + 6) + 4 =12 หรือ =12 2(5) + 2 มคี า ความจริงเปนจริง เพราะ (2 + 6) + 4 =12 มีคาความจริงเปนจริง 12) ถาแมงมมุ เปน แมลง แลว แมงมมุ ตอ งมี 6 ขา มีคาความจรงิ เปนจรงิ เพราะ แมงมุมเปน แมลง มีคาความจริงเปนเท็จ 13) งเู หาและงจู งอางเปน สัตวมีพิษ มคี า ความจรงิ เปน จรงิ เพราะ งเู หา เปน สตั วมพี ิษ มคี าความจริงเปน จรงิ และ งูจงอางเปน สตั วมพี ษิ มีคา ความจริงเปน จรงิ 14) โลมาหรือคนเปนสัตวเ ลี้ยงลกู ดว ยนา้ํ นม มคี า ความจริงเปนจรงิ เพราะ โลมาเปน สตั วเลย้ี งลกู ดว ยน้ํานม มีคา ความจริงเปน จรงิ 2. 1) นเิ สธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คือ 4 + 9 ≠ 10 + 3 มคี าความจรงิ เปนเท็จ 2) นเิ สธของประพจน − 7 >/ 6 คอื − 7 > 6 มคี าความจริงเปนจริง 3) นิเสธของประพจน เซตของจาํ นวนนับท่เี ปน คําตอบของสมการ x2 +1 =0 เปนเซตวา ง คือ เซตของจํานวนนับทเี่ ปน คาํ ตอบของสมการ x2 +1 =0 ไมเ ปน เซตวา ง มคี าความจริงเปนเท็จ 4) นเิ สธของประพจน { 3, 4} ∪{1, 3, 5} ={1, 3, 4, 5} คอื { 3, 4} ∪{1, 3, 5} ≠ {1, 3, 4, 5} มีคาความจรงิ เปนเท็จ 5) นิเสธของประพจน {{ 2}} ⊄ { 2} คือ {{ 2}} ⊂ { 2} มีคาความจริงเปนเท็จ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

238 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 6) นเิ สธของประพจน − 3 + 6 ≤ − 3 + 6 คือ − 3 + 6 > − 3 + 6 มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 7) นเิ สธของประพจน 15 ไมใชจํานวนจรงิ คือ 15 เปนจาํ นวนจริง มคี าความจรงิ เปน จริง 8) นเิ สธของประพจน วาฬเปน สัตวเ ลยี้ งลกู ดว ยนา้ํ นม คือ วาฬไมเ ปนสตั วเลย้ี งลูก ดว ยนํา้ นม มคี า ความจรงิ เปนเท็จ 3. ให p แทนประพจน “ฉนั ต่ืนนอนแตเ ชา ” และ q แทนประพจน “ฉนั มาเรียนทันเวลา” 1)  p แทนประพจน “ฉนั ไมตนื่ นอนแตเชา” 2) p → q แทนประพจน “ถาฉนั ตื่นนอนแตเ ชา แลว ฉนั มาเรยี นไมทันเวลา” 3) p ∧ q แทนประพจน “ฉนั ต่ืนนอนแตเ ชาและฉนั มาเรียนทันเวลา” 4) p ↔ q แทนประพจน “ฉนั ตน่ื นอนแตเ ชา ก็ตอ เมือ่ ฉันมาเรียนทนั เวลา” 5)  p∨  q แทนประพจน “ฉันไมต ืน่ นอนแตเ ชาหรอื ฉนั มาเรยี นไมทนั เวลา” 6)  p ∨ ( p → q) แทนประพจน “ฉนั ไมตืน่ นอนแตเ ชา หรอื ถาฉนั ต่ืนนอนแตเ ชาแลว ฉันมาเรยี นทนั เวลา” 4. ให p แทนประพจน “12 หารดวย 3 ลงตวั ” และ q แทนประพจน “ 4 − 3 < 2 ” 1)  p ∧q มคี าความจรงิ เปนเท็จ 2) p ∨ q มีคาความจรงิ เปน จริง 3)  q → p มคี า ความจริงเปนจรงิ 4)  p ↔ q มคี า ความจรงิ เปนเท็จ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 239 แบบฝกหดั 2.3 1. กาํ หนดให p, q, r, s และ t เปน ประพจนมคี า ความจริงเปน จรงิ เทจ็ จริง เท็จ และเท็จ ตามลําดบั 1) วิธที ี่ 1 จาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปนจริง จาก p ∨ q เปนจริง และ r เปนจรงิ ดงั นัน้ ( p ∨ q) ∧ r มีคาความจรงิ เปน จรงิ วธิ ีท่ี 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ 2) วิธีที่ 1 ดงั น้นั ( p ∨ q) ∧ r มคี า ความจรงิ เปนจรงิ วิธีท่ี 2 จาก p เปนจรงิ และ r เปน จริง จะได p ∧ r เปน จรงิ ดงั นัน้ ( p ∧ r) ∨ (t ∧ s) มีคาความจรงิ เปน จรงิ กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ ดังนนั้ ( p ∧ r) ∨ (t ∧ s) มคี า ความจริงเปน จรงิ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

240 คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 3) วิธที ่ี 1 จาก p เปนจริง จะได p∨  s เปนจรงิ จาก r เปน จริง จะได q ∨ r เปนจรงิ จาก p∨  s เปน จรงิ และ q ∨ r เปนจริง ดงั น้นั ( p∨  s) ∧ (q ∨ r) มคี า ความจรงิ เปน จรงิ วิธีที่ 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ ดังนัน้ ( p∨  s) ∧ (q ∨ r) มีคา ความจรงิ เปนจรงิ 4) วิธที ี่ 1 จาก p เปนจรงิ และ q เปน เทจ็ จะได p∧  q เปน จรงิ จาก p∧  q เปน จริง และ t เปนเท็จ ดงั น้ัน ( p∧  q) ∧ t มีคาความจริงเปนเท็จ วิธที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ ดังนนั้ ( p∧  q) ∧ t มคี าความจรงิ เปนเทจ็ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 241 5) วิธีที่ 1 จาก r เปนจรงิ จะได r∨  s เปนจริง จาก r∨  s เปนจรงิ และ p เปนจริง จะได  (r∨  s) ∧ p เปนเทจ็ ดงั น้ัน   (r∨  s) ∧ p มคี า ความจรงิ เปน จริง วธิ ที ี่ 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ ดงั นน้ั   (r∨  s) ∧ p มีคา ความจรงิ เปน จริง 6) วิธที ่ี 1 จาก p เปนจริง จะได p∨  q เปน จริง จาก r เปนจรงิ จะได r ∨ t เปนจริง จาก p∨  q เปน จรงิ และ r ∨ t เปนจริง ดังนน้ั ( p∨  q) → (r ∨ t) มีคา ความจริงเปนจรงิ วธิ ที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ ดังน้ัน ( p∨  q) → (r ∨ t) มคี า ความจริงเปนจรงิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

242 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 7) วิธที ี่ 1 จาก q เปน เท็จ จะได  r ∧ q เปนเท็จ จาก s เปน เทจ็ จะได s∧  t เปนเทจ็ จาก  r ∧ q เปน เท็จ และ s∧  t เปน เทจ็ ดงั นน้ั ( r ∧ q) ↔ (s∧  t) มีคา ความจริงเปนเทจ็ วิธที ่ี 2 กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ ดงั น้ัน ( r ∧ q) ↔ (s∧  t) มีคาความจริงเปน เท็จ 8) วิธที ่ี 1 จาก p เปน จริง และ q เปนเท็จ จะได p → q เปน เท็จ จาก r เปนจรงิ และ s เปนเทจ็ จะได r → s เปน เท็จ จาก p → q เปนเท็จ และ r → s เปนเท็จ ดังน้ัน ( p → q) ↔ (r → s) มีคา ความจรงิ เปนจริง วธิ ีท่ี 2 กําหนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ ดังนัน้ ( p → q) ↔ (r → s) มคี าความจริงเปน จริง สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 243 9) วิธที ่ี 1 จาก s เปน เทจ็ จะได s∧  p เปน เท็จ จาก q เปนเทจ็ จะได q → r เปนจริง จาก s∧  p เปนเทจ็ และ q → r เปน จริง ดงั นนั้ (s∧  p) ↔ (q → r) มีคาความจริงเปน เท็จ วธิ ีท่ี 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็ 10) วธิ ที ี่ 1 ดังนน้ั (s∧  p) ↔ (q → r) มีคาความจรงิ เปนเท็จ วธิ ที ี่ 2 จาก r เปน จริง จะได q ∨ r เปน จรงิ จาก q เปนเท็จ และ s เปน เทจ็ จะได q ↔ s เปน เทจ็ จาก q ∨ r เปน จรงิ และ q ↔ s เปนเทจ็ ดังนั้น (q ∨ r) → (q ↔ s) มีคา ความจริงเปนเท็จ กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเท็จ ดงั นน้ั (q ∨ r) → (q ↔ s) มคี าความจริงเปนเท็จ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

244 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 11) วธิ ที ่ี 1 จาก p เปน จรงิ และ q เปน เท็จ จะได p → q เปนเทจ็ วธิ ที ่ี 2 จะได ( p → q) ∧ (t → r) เปน เท็จ ดังน้ัน ( p → q) ∧ (t → r) → s มคี า ความจรงิ เปนจรงิ กาํ หนดให T แทนจริง และ F แทนเทจ็ 12) วิธีที่ 1 ดังนนั้ ( p → q) ∧ (t → r) → s มีคา ความจริงเปนจรงิ จาก p เปนจริง จะได p ∨ q เปน จริง จาก t เปน เท็จ และ s เปนเทจ็ จะได t ∨ s เปนเท็จ จาก p ∨ q เปน จรงิ และ t ∨ s เปน เทจ็ จะได ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) เปน เทจ็ จาก q เปน เทจ็ จะได q → r เปน จริง จาก q → r เปนจริง และ s เปน เท็จ จะได (q → r) → s เปน จรงิ จาก ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) เปนเทจ็ และ (q → r) → s เปน จริง ดังนน้ั ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) ∨ (q → r) → s มคี าความจรงิ เปน จรงิ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 245 วธิ ที ี่ 2 กําหนดให T แทนจรงิ และ F แทนเทจ็ ดังนนั้ ( p ∨ q) ∧ (t ∨ s) ∨ (q → r) → s มคี า ความจรงิ เปนจรงิ 2. กําหนดให p, q, r และ s เปน ประพจน 1) จาก p ∧ q เปน จรงิ ดังน้นั p เปน จริง และ q เปน จริง 2) จาก p → q เปนเทจ็ ดังนั้น p เปน จริง และ q เปน เท็จ 3) จาก p ∨ q เปนเทจ็ จะได p เปน เท็จ และ q เปน เทจ็ จะได p ∧ q เปน เท็จ ดงั น้นั ( p ∧ q) → r มคี าความจริงเปนจรงิ 4) จาก p → r เปน เท็จ จะได p เปน จริง และ r เปน เท็จ จาก r เปน เทจ็ ดังน้ัน ( p ∨ q) ∧ r มคี าความจรงิ เปนเท็จ 5) จาก ( p ∧ q) → ( r ∨ s) เปน เท็จ จะได p ∧ q เปนจริง และ  r ∨ s เปน เท็จ จาก p ∧ q เปนจรงิ จะได p เปน จรงิ และ q เปน จริง จาก  r ∨ s เปน เท็จ จะได r เปน จรงิ และ s เปนเท็จ จาก p เปนจริง จะได  p ∧ r เปน เทจ็ จาก s เปน เท็จ จะได q ∧ s เปนเท็จ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

246 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ดงั นั้น ( p ∧ r) ↔ (q ∧ s) มีคาความจรงิ เปนจริง แบบฝก หัด 2.4 1. ประพจน p ∨ (q → p) ประกอบดว ยประพจนย อยสองประพจน คือ p และ q จงึ มีกรณีเกย่ี วกบั คาความจรงิ ทอ่ี าจเกิดขน้ึ ไดท ง้ั หมด 4 กรณี จะไดต ารางคาความจริงของ p ∨ (q → p) ดังน้ี p q q → p p ∨(q → p) TT T T TF T T FT F F FF T T 2. ประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) ประกอบดวยประพจนย อ ยสองประพจน คือ p และ q จงึ มีกรณเี กี่ยวกบั คาความจริงท่อี าจเกิดขน้ึ ไดทงั้ หมด 4 กรณี จะไดต ารางคา ความจริงของ ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) ดงั นี้ p q q p∨q p∨  q ( p ∨ q) ∧ ( p∨  q) T TF T T T T FT T T T F TF T F F F FT F T F สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 247 3. ประพจน p → ( p → q) ประกอบดวยประพจนยอ ยสองประพจน คือ p และ q จึงมีกรณีเกย่ี วกับคาความจริงท่ีอาจเกดิ ข้นึ ไดทง้ั หมด 4 กรณี จะไดต ารางคา ความจรงิ ของ p → ( p → q) ดังน้ี p q  p  p→q p →( p → q) T TF T T T FF T T F TT T T F FT F T 4. ประพจน (q∨  q) ↔ r ประกอบดว ยประพจนย อยสองประพจน คือ q และ r จงึ มกี รณเี กย่ี วกบั คาความจริงทอ่ี าจเกดิ ขึ้นไดท ง้ั หมด 4 กรณี จะไดต ารางคาความจรงิ ของ (q∨  q) ↔ r ดงั น้ี q r  q q∨  q (q∨  q) ↔ r T TF T T T FF T F F TT T T F FT T F 5. ประพจน  q ↔  p ∧ (q → p) ประกอบดว ยประพจนย อ ยสองประพจน คือ p และ q จงึ มีกรณเี ก่ยี วกับคา ความจริงท่อี าจเกดิ ขนึ้ ไดทงั้ หมด 4 กรณี จะไดตารางคาความจริงของ  q ↔  p ∧ (q → p) ดงั น้ี สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

248 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 p q  p  q q → p p ∧ (q → p)  q ↔  p ∧ (q → p) T TF F F F T T FF T T T T F TT F T F T F FT T T F F 6. ประพจน (q ∧ r) → (r ∨ p) ประกอบดว ยประพจนยอยสามประพจน คือ p, q และ r จึงมีกรณเี กีย่ วกบั คาความจรงิ ที่อาจเกิดขน้ึ ไดท้งั หมด 8 กรณี จะไดต ารางคาความจรงิ ของ (q ∧ r) → (r ∨ p) ดงั นี้ pq r q∧r r∨ p (q ∧ r) → (r ∨ p) TT T T T T TT F F T T TF T F T T TF F F T T FT T T T T FT F F F T FF T F T T FF F F F T สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 249 แบบฝก หดั 2.5 1. 1) ตวั อยา งคาํ ตอบ ให p แทน “ 2 เปนจาํ นวนตรรกยะ” q แทน “ 2 เปน จํานวนจรงิ ” จะได p ↔ q แทน “ 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ กต็ อเม่ือ 2 เปน จาํ นวนจรงิ ” แนวการตอบท่ี 1 เนื่องจาก p ↔ q สมมลู กับ q ↔ p ดงั นนั้ “ 2 เปนจาํ นวนตรรกยะ ก็ตอ เมื่อ 2 เปนจาํ นวนจรงิ ” สมมูลกบั “ 2 เปน จาํ นวนจรงิ กต็ อ เมื่อ 2 เปน จํานวนตรรกยะ” แนวการตอบที่ 2 เนอ่ื งจาก p ↔ q สมมูลกบั ( p → q) ∧ (q → p) ดังนัน้ “ 2 เปน จํานวนตรรกยะ ก็ตอเม่ือ 2 เปนจาํ นวนจรงิ ” สมมูลกบั “ถา 2 เปนจาํ นวนตรรกยะ แลว 2 เปนจํานวนจริง และ ถา 2 เปน จํานวนจริง แลว 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ” 2) ตัวอยา งคําตอบ ให p แทน “ภพเปน นักเรียน” q แทน “ภูมิเปนนกั เรยี น” r แทน “ภทั รเปน นักเรียน” จะได ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) แทน “ภพหรอื ภูมเิ ปนนักเรียน และ ภพหรือภัทร เปนนักเรียน” สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

250 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 แนวการตอบท่ี 1 เนอื่ งจาก ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) สมมลู กบั ( p ∨ r) ∧ ( p ∨ q) ดงั นน้ั “ภพหรอื ภูมเิ ปนนักเรียน และ ภพหรือภัทรเปน นักเรียน” สมมูลกับ “ภพหรือภทั รเปนนกั เรยี น และ ภพหรอื ภูมิเปนนักเรียน” แนวการตอบที่ 2 เนื่องจาก ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) สมมูลกบั p ∨ (q ∧ r) ดังน้นั “ภพหรือภูมเิ ปนนกั เรียน และ ภพหรอื ภทั รเปนนักเรียน” สมมูลกับ “ภพเปน นกั เรียน หรอื ภูมิและภทั รเปนนกั เรยี น” 2. 1) p ↔ q ≡ ( p → q)∧(q → p) ≡ ( q → p) ∧ ( q ∨ p) ดังน้นั ประพจนท ี่กําหนดใหสมมลู กบั ประพจนใ นขอ (ข) 2) ( p → q) → r ≡  ( p → q) ∨ r ≡  ( p∨ q)∨ r ≡ ( p∧  q) ∨ r ≡ ( p∨ r)∧( q∨ r) ≡ ( p → r)∧(q → r) ดังนั้น ประพจนท ี่กาํ หนดใหสมมลู กบั ประพจนในขอ (ก) 3) ( p → r ) ∧ (q → r ) ≡ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p∧  q) ∨ r ≡  ( p∨ q)∨ r ดงั นัน้ ประพจนที่กาํ หนดใหสมมลู กับประพจนในขอ (ข) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 251 4) p →  (q → p) ≡ p →  ( q ∨ p) ≡  p∨  ( q ∨ p) ≡  p ∨ (q∧  p) ≡  p∨( p ∧ q) ดงั นนั้ ประพจนที่กําหนดใหสมมลู กบั ประพจนในขอ (ก) 5)  p → q → (r ∨ p) ≡  p →  q ∨ (r ∨ p) ≡ p∨( q∨ r ∨ p) ≡ ( p∨ p)∨( q∨ r) ≡ p∨( q∨ r) ≡ ( p∨  q) ∨ r ดังนน้ั ประพจนท ่ีกําหนดใหสมมูลกับประพจนในขอ (ข) 6)  ( p ∧ q) → ( q ∨ r ) ≡   ( p ∧ q) ∨ ( q ∨ r ) ≡  ( p∨  q) ∨ ( q ∨ r ) ≡   p ∨ ( q ∨  q) ∨ r ≡  ( p∨  q ∨ r) ≡   p ∨ (q → r ) ≡ p∧  (q → r) ดังน้ัน ประพจนที่กําหนดใหสมมูลกบั ประพจนในขอ (ข) 3. 1) สรา งตารางคา ความจริงของ p ∧ q กบั  p∧  q ไดด ังนี้ p q  p q p∧q  p∧  q T TF F T F T FF T F F F TT F F F F FT T F T สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

252 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จะเห็นวา มีคาความจริงของ p ∧ q บางกรณีทต่ี รงกบั คา ความจริงของ  p∧  q ดังนั้น p ∧ q กับ  p∧  q ไมเปน นเิ สธกนั 2) วธิ ีท่ี 1 สรางตารางคาความจริงของ p ∨ q กับ  p∧  q ไดดังน้ี p q  p q p∨q  p∧  q T TF F T F T FF T T F F TT F T F F FT T F T จะเห็นวา คา ความจริงของ p ∨ q ตรงขามกับคาความจริงของ  p∧  q ทุกกรณี ดงั นั้น p ∨ q กบั  p∧  q เปนนิเสธกัน วิธีท่ี 2 เนอื่ งจาก  ( p ∨ q) เปนนเิ สธของ p ∨ q และ  ( p ∨ q) สมมลู กบั  p∧  q จะได  p∧  q เปน นเิ สธของ p ∨ q ดังน้ัน p ∨ q กับ  p∧  q เปน นิเสธกัน 3) วิธที ี่ 1 สรางตารางคาความจรงิ ของ p → q กับ p∧  q ไดด งั น้ี p q q p→q p∧  q T TF T F T FT F T F TF T F F FT T F สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 253 จะเห็นวาคาความจริงของ p → q ตรงขามกับคาความจรงิ ของ p∧  q ทกุ กรณี ดงั นน้ั p → q กบั p∧  q เปนนเิ สธกัน วธิ ีท่ี 2 เน่ืองจาก  ( p → q) เปนนิเสธของ p → q และ  ( p → q) ≡  ( p ∨ q) ≡ p∧  q จะได p∧  q เปนนิเสธของ p → q ดังน้นั p → q กับ p∧  q เปนนเิ สธกนั 4) สรางตารางคา ความจริงของ p → q กับ  p → q ไดด งั นี้ p q  p  q p → q  p → q T TF F T T T FF T F T F TT F T F F FT T T T จะเหน็ วา มคี าความจรงิ ของ p → q บางกรณีทีต่ รงกบั คา ความจริงของ  p → q ดังนัน้ p → q กับ  p → q ไมเปนนิเสธกนั 5) วิธที ่ี 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ p ↔ q กบั ( p∧  q) ∨ (q∧  p) ไดดังน้ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

254 คูม ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 p q  p  q p ↔ q p∧  q q∧  p ( p∧  q) ∨ (q∧  p) T TF F TF F F T FF T FT F T F TT F FF T T F FT T TF F F จะเห็นวา คา ความจริงของ p ↔ q ตรงขา มกับคาความจรงิ ของ ( p∧  q) ∨ (q∧  p) ทุกกรณี ดังน้นั p ↔ q กับ ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปน นเิ สธกัน วิธที ่ี 2 เน่ืองจาก  ( p ↔ q) เปน นิเสธของ p ↔ q และ  ( p ↔ q) ≡  ( p → q) ∧ (q → p) ≡  ( p ∨ q) ∧ ( q ∨ p) ≡  ( p∨ q)∨  ( q∨ p) ≡ ( p∧  q) ∨ (q∧  p) จะได ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปน นเิ สธของ p ↔ q ดงั น้นั p ↔ q กับ ( p∧  q) ∨ (q∧  p) เปนนเิ สธกัน 6) ให p แทน “ 2 เปน จาํ นวนตรรกยะ” และ q แทน “ 3 เปนจํานวนตรรกยะ” จะได p ∨ q แทน “ 2 หรือ 3 เปนจาํ นวนตรรกยะ” และ  p∨  q แทน “ 2 หรือ 3 เปน จํานวนอตรรกยะ” สรา งตารางคา ความจริงของ p ∨ q กับ  p∨  q ไดดงั น้ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 255 p q  p q p∨q  p∨  q T TF F T F T FF T T T F TT F T T F FT T F T จะเหน็ วา มีคา ความจรงิ ของ p ∨ q บางกรณีท่ตี รงกับคา ความจริงของ  p∨  q ดงั นั้น p ∨ q กบั  p∨  q ไมเ ปน นิเสธกนั นนั่ คอื “ 2 หรือ 3 เปน จาํ นวนตรรกยะ” กบั “ 2 หรอื 3 เปนจํานวนอตรรกยะ” ไมเ ปนนิเสธกัน 7) ให p แทน “ 2 +1 =3 ” และ q แทน “3 เปนจาํ นวนนบั ” จะได p → q แทน “ถา 2 +1 =3 แลว 3 เปน จํานวนนบั ” และ  q ∧ p แทน “3 ไมใ ชจ ํานวนนับ แต 2 +1 =3 ” วิธีที่ 1 สรางตารางคา ความจรงิ ของ p → q กับ  q ∧ p ไดด งั น้ี p q q p→q q∧ p T TF T F T FT F T F TF T F F FT T F จะเห็นวาคา ความจริงของ p → q ตรงขามกับคา ความจริงของ  q ∧ p ทุกกรณี ดงั นนั้ p → q กับ  q ∧ p เปน นเิ สธกนั สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

256 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 น่นั คอื “ถา 2 +1 =3 แลว 3 เปนจํานวนนับ” กบั “3 ไมใชจาํ นวนนับ แต 2 +1 =3 ” เปน นเิ สธกัน วธิ ีที่ 2 เนอ่ื งจาก  ( p → q) เปนนิเสธของ p → q และ  ( p → q) ≡  ( p ∨ q) ≡ p∧  q ≡ q∧ p จะได  q ∧ p เปนนเิ สธของ p → q ดังน้ัน p → q กบั  q ∧ p เปน นิเสธกนั นนั่ คือ “ถา 2 +1 =3 แลว 3 เปน จาํ นวนนบั ” กับ “3 ไมใ ชจ ํานวนนบั แต 2 +1 =3 ” เปน นเิ สธกัน 8) ให p แทน “4 เปน จํานวนคู” และ q แทน “4 เปนจํานวนเต็ม” จะได p ∧ q แทน “4 เปนจาํ นวนคแู ละเปน จาํ นวนเตม็ ” และ  p∨  q แทน “4 เปนจาํ นวนค่ีหรอื ไมใชจาํ นวนเตม็ ” วิธที ี่ 1 สรา งตารางคาความจรงิ ของ p ∧ q กับ  p∨  q ไดดงั น้ี p q  p  q p ∧ q  p∨  q T TF F T F T FF T F T F TT F F T F FT T F T จะเหน็ วาคา ความจริงของ p ∧ q ตรงขามกับคาความจริงของ  p∨  q ทกุ กรณี สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 257 ดงั นั้น p ∧ q กบั  p∨  q เปน นิเสธกัน นน่ั คอื “4 เปนจํานวนคแู ละเปน จาํ นวนเตม็ ” กับ “4 เปน จาํ นวนคีห่ รอื ไมใ ช จํานวนเต็ม” เปนนิเสธกนั วิธีที่ 2 เนอื่ งจาก  ( p ∧ q) เปน นิเสธของ p ∧ q และ  ( p ∧ q) สมมลู กบั  p∨  q จะได  p∨  q เปน นิเสธของ p ∧ q ดังนน้ั p ∧ q กบั  p∨  q เปนนเิ สธกนั น่นั คือ “4 เปน จํานวนคแู ละเปนจาํ นวนเต็ม” กับ “4 เปนจาํ นวนคห่ี รอื ไมใ ช จาํ นวนเต็ม” เปน นเิ สธกนั แบบฝกหดั 2.6 1. วิธที ่ี 1 สรา งตารางคาความจริงของ ( p → q) → p → p ไดด ังน้ี p q p → q ( p → q) → p ( p → q) → p → p TT T T T TF F T T FT T F T FF T F T จะเหน็ วา รปู แบบของประพจน ( p → q) → p → p เปน จรงิ ทกุ กรณี ดังน้ัน รูปแบบของประพจน ( p → q) → p → p เปนสัจนิรันดร วธิ ีท่ี 2 สมมตใิ ห ( p → q) → p → p มีคา ความจรงิ เปน เท็จ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

258 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ขดั แยง กัน จากแผนภาพ จะเหน็ วา คาความจริงของ p เปนไดท ั้งจรงิ และเทจ็ เกดิ การขัดแยง กับทีส่ มมติไวว า ( p → q) → p → p เปน เทจ็ ดังนน้ั รปู แบบของประพจน ( p → q) → p → p เปนสัจนิรันดร 2. วธิ ีท่ี 1 สรางตารางคาความจริงของ  ( p → q) → q ไดดังน้ี p q p → q  ( p → q)  q  ( p → q) → q TT T F F T TF F T T T FT T F F T FF T F T T จะเหน็ วารปู แบบของประพจน  ( p → q) → q เปน จริงทกุ กรณี ดงั น้นั รูปแบบของประพจน  ( p → q) → q เปน สจั นริ ันดร สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 259 วิธที ่ี 2 สมมติให  ( p → q) → q มีคา ความจริงเปน เท็จ ขดั แยง กัน จากแผนภาพ จะเห็นวาคา ความจรงิ ของ q เปน ไดทัง้ จรงิ และเทจ็ เกิดการขัดแยงกับทสี่ มมติไวว า  ( p → q) → q เปน เทจ็ ดังน้ัน รูปแบบของประพจน  ( p → q) → q เปน สัจนิรนั ดร 3. วิธที ี่ 1 สรางตารางคาความจริงของ  ( p → q) → ( p ↔ q) ไดด ังน้ี p q  p p → q  ( p → q)  p ↔ q  ( p → q) → ( p ↔ q) T TF TF F T T FF FT T T F TT TF T T F FT TF F T จะเห็นวา รูปแบบของประพจน  ( p → q) → ( p ↔ q) เปน จรงิ ทกุ กรณี นั่นคือ รูปแบบของประพจน  ( p → q) → ( p ↔ q) เปนสจั นริ ันดร วิธีท่ี 2 สมมตใิ ห  ( p → q) → ( p ↔ q) มีคา ความจรงิ เปนเทจ็ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

260 คูม ือครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะได p เปนจริง และ q เปนเท็จ ดังนั้น  p ↔ q เปน จริง แตจ ากแผนภาพ  p ↔ q เปนเทจ็ เกิดการขดั แยง กับทสี่ มมติไววา  ( p → q) → ( p ↔ q) เปน เทจ็ ดังนั้น รูปแบบของประพจน  ( p → q) → ( p ↔ q) เปนสจั นิรนั ดร 4. วธิ ีที่ 1 สรางตารางคาความจริงของ  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) ไดด งั น้ี p q p ∧ q  ( p ∧ q) p ↔ q  ( p ↔ q)  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) TT TF TF T TF FT FT T FT FT FT T FF FT TF F จะเหน็ วา กรณที ี่ p เปน เท็จ q เปนเทจ็ จะไดว า รปู แบบของประพจน  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) เปน เทจ็ ดังน้ัน รูปแบบของประพจน  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) ไมเปน สัจนิรันดร วธิ ีที่ 2 สมมตใิ ห  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) มีคา ความจริงเปน เทจ็ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 261 จากแผนภาพ การหาคาความจริงของ p และ q จะพจิ ารณาจาก p ↔ q ซ่งึ มคี า ความจริงเปนจรงิ ทาํ ใหคาความจรงิ ของ p และ q มไี ด 2 กรณีคอื เปน จรงิ ท้งั คู หรอื เปน เทจ็ ท้งั คู แตเ นอื่ งจาก p ∧ q เปน เท็จ แสดงวา p และ q ตองเปน เท็จท้งั คู จะเหน็ วา มกี รณีที่ p เปนเทจ็ และ q เปนเท็จ ทท่ี ําให  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) เปนเทจ็ ดงั นน้ั รูปแบบของประพจน  ( p ∧ q) → ( p ↔ q) ไมเปนสัจนริ ันดร 5. วิธที ่ี 1 สรางตารางคาความจริงของ ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) ไดด งั นี้ p q r p → q q → r p → r ( p → q) ∧ (q → r ) ( p → q) ∧ (q → r ) → ( p → r ) TTT T T T T T TTF T F F F T TFT F T T F T TFF F T F F T FTT T T T T T FTF T F T F T FFT T T T T T FFF T T T T T สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

262 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จะเหน็ วารูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน จรงิ ทกุ กรณี ดงั นัน้ รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน สจั นริ นั ดร วธิ ที ี่ 2 สมมติให ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) มีคา ความจรงิ เปนเท็จ ขดั แยง กัน จากแผนภาพ จะเห็นวา คา ความจรงิ ของ r เปน ไดท ง้ั จรงิ และเท็จ เกิดการขดั แยงกับท่สี มมติไวว า ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน เท็จ ดังน้ัน รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปนสจั นริ ันดร แบบฝกหดั 2.7 1. กาํ หนดให p, q, r และ s เปนประพจน ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท ไี่ ดในแตละขอวาเปนสจั นิรันดรห รือไม 1) สมมตใิ ห ( p ∧ q) ∧ ( p → (q → r)) → r เปน เท็จ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 263 ขดั แยงกนั จากแผนภาพ จะเหน็ วา คา ความจริงของ r เปนไดท้ังจริงและเทจ็ เกดิ การขัดแยง กบั ทสี่ มมติไววา ( p ∧ q) ∧ ( p → (q → r)) → r เปน เท็จ นัน่ คอื รูปแบบของประพจน ( p ∧ q) ∧ ( p → (q → r)) → r เปน สัจนิรันดร ดังนั้น การอา งเหตผุ ลนีส้ มเหตสุ มผล 2) สมมตใิ ห ( p → (q ∨ r)) ∧ ( q∨  r) → p เปน เทจ็ จากแผนภาพ จะเหน็ วา มีกรณีที่ p เปนจรงิ q เปนจริง และ r เปนเทจ็ ท่ที ําให ( p → (q ∨ r)) ∧ ( q∨  r) → p เปน เท็จ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

264 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 นน่ั คือ รปู แบบของประพจน ( p → (q ∨ r)) ∧ ( q∨  r) → p ไมเ ปน สัจนริ ันดร ดังนัน้ การอา งเหตุผลนไ้ี มส มเหตสุ มผล 3) สมมตใิ ห ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)∧  r → p เปน เทจ็ จากแผนภาพ จะเห็นวา มีกรณที ี่ p เปน เท็จ q เปนจรงิ และ r เปน เท็จ ท่ีทําให ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)∧  r → p เปน เทจ็ นั่นคอื รูปแบบของประพจน ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)∧  r → p ไมเ ปน สัจนิรนั ดร ดังนั้น การอางเหตุผลนไี้ มส มเหตุสมผล 4) สมมติให ( p → q) ∧ p ∧ r →  q เปน เท็จ จากแผนภาพ จะเห็นวามีกรณีที่ p เปน จรงิ q เปนจริง และ r เปน จรงิ ที่ทําให ( p → q) ∧ p ∧ r →  q เปนเทจ็ น่ันคือ รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ p ∧ r →  q ไมเ ปนสจั นิรนั ดร ดงั นัน้ การอา งเหตผุ ลน้ไี มส มเหตุสมผล สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 265 5) สมมติให ( p →  q) ∧ (r ∨ p) ∧ q ∧ (r → s) → s เปน เทจ็ ขดั แยงกัน จากแผนภาพ จะเห็นวาคาความจรงิ ของ q และ  q เปนจรงิ ท้งั คู เกิดการขดั แยงกับท่ีสมมตไิ วว า ( p →  q) ∧ (r ∨ p) ∧ q ∧ (r → s) → s เปน เทจ็ นนั่ คอื รูปแบบของประพจน ( p →  q) ∧ (r ∨ p) ∧ q ∧ (r → s) → s เปนสัจนิรันดร ดังนัน้ การอา งเหตผุ ลนสี้ มเหตุสมผล 2. 1) ให p แทนประพจน “พฒั นาชอบสีฟา ” q แทนประพจน “พฒั นชี อบสชี มพู” เขียนแทนขอความในรูปสญั ลักษณไดดงั น้ี เหตุ 1. p ∨ q 2.  p ผล  p ดงั นน้ั รปู แบบของประพจนใ นการอางเหตุผลน้ี คอื ( p ∨ q)∧  p → q ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ีไ่ ดว า เปนสจั นริ นั ดรหรือไม สมมติให ( p ∨ q)∧  p → q เปนเทจ็ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

266 คูม อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 จากแผนภาพ จะเห็นวา มกี รณีที่ p เปน เทจ็ และ q เปน จริง ทท่ี ําให ( p ∨ q)∧  p → q เปน เทจ็ น่ันคอื รปู แบบของประพจน ( p ∨ q)∧  p → q ไมเปน สัจนริ ันดร ดังนนั้ การอา งเหตผุ ลน้ีไมสมเหตุสมผล 2) ให p แทนประพจน “โชคสรา งบา นหลงั ใหมเ สร็จ” q แทนประพจน “ครอบครัวของโชคยายมาอยูดว ย” r แทนประพจน “โชคไดด แู ลพอแมทีช่ ราแลว ” เขยี นแทนขอความในรูปสัญลักษณไดดงั น้ี เหตุ 1. p → q 2. q → r ผล p → r ดงั นั้น รปู แบบของประพจนในการอา งเหตุผลน้ี คือ ( p → q) ∧ (q → r ) → ( p → r ) ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท่ีไดว า เปนสัจนริ ันดรห รอื ไม สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 267 สมมตใิ ห ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน เทจ็ ขดั แยงกัน จากแผนภาพ จะเห็นวา คาความจรงิ ของ r เปน ไดทัง้ จริงและเทจ็ เกดิ การขัดแยงกบั ที่สมมตไิ วว า ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน เท็จ นนั่ คอื รปู แบบของประพจน ( p → q) ∧ (q → r) → ( p → r) เปน สัจนริ นั ดร ดังน้นั การอางเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 3) ให p แทนประพจน “ชยั ทาํ ยอดขายตามเปาหมายทผ่ี ูจัดการตั้งไว” q แทนประพจน “ชัยไดรับโบนัส” เขยี นแทนขอความในรูปสัญลักษณไดดงั นี้ เหตุ 1. p → q 2. p ผล q ดงั นนั้ รปู แบบของประพจนใ นการอา งเหตผุ ลนี้ คอื ( p → q) ∧ p → q ตรวจสอบรปู แบบของประพจนทไ่ี ดวา เปนสัจนิรนั ดรห รือไม สมมติให ( p → q) ∧ p → q เปนเท็จ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

268 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ขดั แยงกัน จากแผนภาพ จะเหน็ วาคาความจริงของ q เปน ไดท ัง้ จรงิ และเท็จ เกดิ การขดั แยงกับทสี่ มมติไววา ( p → q) ∧ p → q เปนเท็จ นนั่ คอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ p → q เปน สัจนริ ันดร ดังนนั้ การอา งเหตผุ ลนส้ี มเหตสุ มผล 4) ให p แทนประพจน “องิ ฟาซอ้ื กระเปา ถือสดี ํา” q แทนประพจน “องิ ฟาซื้อรองเทา สดี ํา” เขยี นแทนขอความในรปู สญั ลักษณไดดงั น้ี เหตุ 1. p → q 2. q ผล p ดงั นั้น รปู แบบของประพจนใ นการอา งเหตุผลนี้ คือ ( p → q) ∧ q → p ตรวจสอบรูปแบบของประพจนที่ไดวาเปน สจั นิรันดรหรอื ไม สมมติให ( p → q) ∧ q → p เปน เท็จ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 269 จากแผนภาพ จะเห็นวามกี รณที ่ี p เปนเท็จ และ q เปนจริง ทท่ี ําให ( p → q) ∧ q → p เปนเทจ็ น่นั คอื รูปแบบของประพจน ( p → q) ∧ q → p ไมเ ปนสจั นิรันดร ดังนนั้ การอางเหตผุ ลนี้ไมส มเหตสุ มผล 5) ให p แทนประพจน “มะนาวพบคนพิการที่ขายสลากกนิ แบงรฐั บาล” q แทนประพจน “มะนาวซื้อสลากกินแบงรัฐบาล” เขียนแทนขอความในรูปสญั ลักษณไดด งั นี้ เหตุ 1. p → q 2.  q ผล  p ดงั นั้น รูปแบบของประพจนในการอา งเหตผุ ลนี้ คอื ( p → q)∧  q → p ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท ไ่ี ดวาเปน สัจนิรนั ดรหรือไม สมมตใิ ห ( p → q)∧  q → p เปนเท็จ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

270 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 ขัดแยงกนั จากแผนภาพ จะเห็นวาคาความจริงของ p และ  p เปนจริงทงั้ คู เกิดการขดั แยงกบั ทส่ี มมติไววา ( p → q)∧  q → p เปน เทจ็ น่ันคอื รูปแบบของประพจน ( p → q)∧  q → p เปนสัจนริ ันดร ดงั น้นั การอางเหตุผลน้สี มเหตสุ มผล แบบฝกหัด 2.8 2. เปนประพจน 4. เปน ประโยคเปด 1. ไมใ ชท ้งั ประพจนและประโยคเปด 6. ไมเปน ทั้งประพจนแ ละประโยคเปด 3. เปน ประโยคเปด 8. เปนประพจน 5. ไมเ ปนทั้งประพจนและประโยคเปด 10. เปนประโยคเปด 7. เปน ประโยคเปด 9. เปนประพจน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 271 แบบฝกหัด 2.9 1. ให U =  1) ∀x[x ∈ → x ⋅1 =x] 2) ∃x x2 =2 3) ∃x[| x | +1 ≤ 1] 4) ∀x[x ∈ → x ∈ ] 2. 1) สําหรบั จํานวนจริง x ทุกจาํ นวน ถา x < 2 แลว x2 < 4 2) สาํ หรบั จาํ นวนจริง y ทุกจํานวน y2 − 4 = ( y − 2)( y + 2) 3) มีจาํ นวนจรงิ y ซงึ่ 2y +1 =0 4) สาํ หรับจํานวนจรงิ x บางจาํ นวน ซ่งึ ถา x เปนจาํ นวนตรรกยะ แลว x2 = 2 แบบฝกหัด 2.10 1. ∀x x2 > 8 เปนเท็จ เมือ่ U= { −1, 0, 2} เพราะวา เม่ือแทน x ดว ย 0 ใน x2 > 8 จะไดป ระพจนทีเ่ ปนเทจ็ 2. ∃x[x < 0] เปน เท็จ เมือ่ U = { 0, 4, 7 } เพราะวา เมื่อแทน x ดว ย 0, 4 หรือ 7 ใน x < 0 จะไดประพจนที่เปน เทจ็ เสมอ 3. ∃x x2 ≥ 0 เปนจรงิ เม่ือ U =  เพราะวา เม่ือแทน x ดว ย 1 ใน x2 ≥ 0 จะไดป ระพจนท ่ีเปนจริง 4. ∀x[x +1 =4] เปนเท็จ เมอื่ U = {1, 2, 3, 4} เพราะวา เมื่อแทน x ดว ย 1 ใน x +1=4 จะไดป ระพจนท ่ีเปน เทจ็ 5. ∃x[5 + x ≠ 5] เปนจริง เมื่อ U =  เพราะวา เมื่อแทน x ดวย 1 ใน 5 + x ≠ 5 จะไดประพจนทีเ่ ปน จรงิ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

272 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 6. ∀x [ x เปน จาํ นวนอตรรกยะ] เปนเทจ็ เมอื่ U =  เพราะวา เม่ือแทน x ดว ย 1 ใน x เปนจาํ นวนอตรรกยะ จะไดป ระพจนท เ่ี ปน เท็จ 7. ∀x [ถา x เปนจาํ นวนคี่ แลว x เปนจาํ นวนเฉพาะ] เปนเท็จ เมือ่ U = { 0, 1, 2, 3,4,5} เพราะวา เม่ือแทน x ดว ย 1 ใน ถา x เปนจํานวนคี่ แลว x เปนจํานวนเฉพาะ จะไดประพจนท่ีเปน เทจ็ 8. ∃x [ x เปนจาํ นวนนบั หรือเปนจาํ นวนเฉพาะ] เปนจรงิ เม่อื U = { 0, 2, 4, 6} เพราะวา เม่ือแทน x ดวย 2 ใน x เปนจํานวนนบั หรอื เปน จาํ นวนเฉพาะ จะไดประพจนที่เปน จริง 9. ∀x [ x เปน จํานวนตรรกยะ] ∨ ∃x [ x เปน ตวั ประกอบของ 2] เปน จริง เมอื่ U = { 0, 1, 2} เพราะวา ∀x [ x เปน จํานวนตรรกยะ] เปน จริง เมอื่ U = { 0, 1, 2} เนือ่ งจาก เม่อื แทน x ดว ย 0, 1 หรือ 2 ใน x เปนจํานวนตรรกยะ จะไดประพจนทเ่ี ปน จรงิ เสมอ 10. ∃x [ x2 เปน จํานวนคู] ∧∀x [ x เปนจาํ นวนนับแลว 2x เปนจาํ นวนคู] เปน จรงิ เม่อื U = { 0, 1, 2} เพราะวา ∃x [ x2 เปน จาํ นวนคู] เปน จรงิ เมือ่ U = { 0, 1, 2} เนอื่ งจาก เมือ่ แทน x ดวย 2 ใน x2 เปน จํานวนคู จะไดป ระพจนท ่เี ปน จริง และ ∀x [ x เปน จาํ นวนนบั แลว 2x เปนจํานวนคู] เปน จรงิ เม่อื U = { 0, 1, 2} เน่อื งจาก เมอ่ื แทน x ดวย 0, 1 หรอื 2 ใน x เปน จํานวนนับ แลว 2x เปน จาํ นวนคู จะไดป ระพจนทเ่ี ปน จรงิ เสมอ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 273 แบบฝก หดั 2.11 1. 1) ให P( x) แทน x > 0 และ Q( x) แทน x2 > 0 เนอื่ งจาก P( x) → Q( x) สมมูลกบั  P( x) ∨ Q( x) จะได ∀x x > 0 → x2 > 0 สมมลู กับ ∀x x ≤ 0 ∨ x2 > 0 ดังนัน้ ขอ ความทีก่ ําหนดใหสมมลู กบั ขอความในขอ (ข) 2) ให P( x) แทน x + 2 =5 และ Q( x) แทน x ∈ เนอ่ื งจาก P( x) ∧ Q( x) สมมลู กบั Q( x) ∧ P( x) จะได ∃x[x + 2 = 5 ∧ x ∈] สมมลู กบั ∃x[x ∈ ∧ x + 2 =5] ดงั น้ัน ขอ ความทก่ี าํ หนดใหสมมลู กบั ขอความในขอ (ก) 3) ให P( x) แทน x ≥ 0 เนือ่ งจาก ∀x P( x) สมมูลกับ  ∃x  P( x) จะได ∀x[x ≥ 0] สมมลู กับ 0 ∃x[x < 0] ดังนัน้ ขอ ความที่กําหนดใหสมมลู กับขอความในขอ (ก) 4) ให P( x) แทน x = 4 และ Q( x) แทน x ≠ 16 เนอ่ื งจาก  ∃x[P(x) ∧ Q(x)] สมมลู กบั ∀x  (P( x) ∧ Q( x)) สมมูลกับ ∀x  P( x)∨  Q( x) สมมลู กบั ∀x P( x) →  Q( x) จะได  ∃x  x = 4 ∧ x ≠ 16 สมมลู กบั ∀x  x = 4 → x =16 ดงั นน้ั ขอ ความท่กี ําหนดใหสมมลู กับขอความในขอ (ข) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 5) ให P( x) แทน x ∈  และ Q( x) แทน x ∈ เนื่องจาก ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] สมมูลกบั  ∃x[Q(x)] →  ∀x[P(x)] สมมลู กบั ∀x[ Q(x)] → ∃x[ P(x)] จะได ∀x[x ∈] → ∃x[x ∈] สมมลู กับ ∀x[x ∉] → ∃x[x ∉] ดงั นน้ั ขอความทีก่ ําหนดใหสมมลู กบั ขอความในขอ (ข) 6) ให P( x) แทน x + 2 > 5 และ Q( x) แทน x2 ≤ 0 เน่อื งจาก  (∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)]) สมมลู กับ  ∃x[P(x)]∨  ∃x[Q(x)] สมมูลกบั ∀x[ P(x)] ∨ ∀x[ Q(x)] ( )จะได 0 ∃x[x + 2 > 5] ∧ ∃x x2 ≤ 0 สมมูลกบั ∀x[x + 2 ≤ 5] ∨ ∀x x2 > 0 ดงั นั้น ขอ ความทีก่ าํ หนดใหส มมลู กับขอความในขอ (ก) 7) ให P(x) แทน “x เปนจาํ นวนเฉพาะ” ขอความที่กําหนดเขยี นแทนดวยสญั ลักษณ ∃x  P(x) เม่อื U เปน เซตของ จาํ นวนคี่ เน่อื งจาก ∃x  P( x) เมื่อ U เปน เซตของจํานวนคี่ สมมลู กบั  ∀x P(x)  เมอื่ U เปน เซตของจํานวนคี่ จะไดว า ขอความ “มจี าํ นวนค่ีบางจาํ นวนไมใชจ าํ นวนเฉพาะ” สมมูลกับขอความ “ไมจริงทว่ี า จํานวนคีท่ ุกจํานวนเปน จาํ นวนเฉพาะ” ดังน้นั ขอความที่กาํ หนดใหส มมูลกบั ขอความในขอ (ก) 8) ให P(x) แทน “x เปนเซตจาํ กดั ” ขอ ความท่ีกําหนดเขียนแทนดวยสญั ลักษณ  ∃x P(x) เมือ่ U เปนเซตของ สบั เซตของเซตอนนั ต สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี