(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 ล.1

ค�มู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ



คูม อื ครู รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ ๔ เลม ๑ ตามผลการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรูคณิตศาสตร (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ จัดทาํ โดย สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



คํานาํ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาที่ในการพัฒนา หลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝกทักษะ กิจกรรม และสอื่ การเรียนรเู พอื่ ใชประกอบการเรียนรใู นกลมุ สาระการเรียนรูวิทยาศาสตรและ คณติ ศาสตรข องการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๔ เลม ๑ นี้ จัดทํา ตามผลการเรยี นรกู ลมุ สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสตู ร แกนกลางการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ โดยมีเนื้อหาสาระ ขอเสนอแนะเก่ียวกับ การสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท ความรูเพิ่มเติม สําหรับครูซ่ึงเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน ตัวอยาง แบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมทั้งเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือเรียน รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ ๔ เลม ๑ ทีต่ องใชค วบคกู นั สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูเลมน้ีจะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู และ เปน สว นสําคัญในการพฒั นาคุณภาพและมาตรฐานการศกึ ษากลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ขอขอบคุณผูทรงคุณวุฒิ บุคลากรทางการศึกษาและหนวยงานตาง ๆ ที่มีสวนเก่ียวของ ในการจดั ทาํ ไว ณ โอกาสน้ี (นางพรพรรณ ไวทยางกูร) ผูอํานวยการสถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

คําชีแ้ จง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจัดทําตัวชี้วัดและ สาระการเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีจุดเนนเพื่อตองการพัฒนา ผูเรียนใหม คี วามรูค วามสามารถท่ีทัดเทียมกบั นานาชาติ ไดเรียนรูคณิตศาสตรที่เช่ือมโยงความรู กับกระบวนการ ใชก ระบวนการสบื เสาะหาความรูและแกปญ หาที่หลากหลาย มกี ารทาํ กิจกรรม ดวยการลงมือปฏิบัติเพ่ือใหผูเรียนไดใชทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร และทักษะแหง ศตวรรษท่ี ๒๑ สสวท. จึงไดจ ัดทาํ คมู อื ครูประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี ๔ เลม ๑ ที่เปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพ่ือเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไป จัดการเรียนการสอนในชั้นเรียน คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี ๔ เลม ๑ น้ี ประกอบดวยเนื้อหา สาระ ขอเสนอแนะเก่ียวกบั การสอน แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผล ระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจากเนื้อหาในหนังสือเรียน ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซึ่งครูผูสอนสามารถนําไปใช เปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุจุดประสงคท่ีต้ังไว โดยสามารถนําไปจัด กจิ กรรมการเรียนรไู ดตามความเหมาะสมและความพรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลมน้ี ไดรับความรวมมือเปนอยางดียิ่งจากผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมท้ังครูผูสอน นักวชิ าการ จากสถาบัน และสถานศกึ ษาทง้ั ภาครัฐและเอกชน จึงขอขอบคณุ มา ณ ท่ีน้ี สสวท. หวงั เปนอยา งยิ่งวาคูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร เลมนี้ จะเปนประโยชน แกผูสอน และผูที่เกี่ยวของทุกฝาย ท่ีจะชวยใหจัดการศึกษาดานคณิตศาสตรไดอยางมี ประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดท่ีจะทําใหคูมือครูเลมน้ีมีความสมบูรณยิ่งข้ึน โปรดแจง สสวท. ทราบดว ย จะขอบคุณย่งิ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ

แนะนําการใชค ูม ือครู ในหนังสือเลมน้ีแบงเปน 3 บทตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 โดยแตละบทจะมีสวนประกอบ ดงั น้ี ตวั ชีว้ ัด ตัวชี้วัดระบุสิ่งท่ีนักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมทั้งคุณลักษณะของผูเรียนในแตละ ระดับชั้น ซึ่งสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมีความเปน รูปธรรม นําไปใชในการกําหนดเน้ือหา จัดทําหนวยการเรียนรู จัดการเรียนการสอน และเปนเกณฑส าํ คัญสําหรับการวดั ประเมินผลเพ่อื ตรวจสอบคุณภาพผเู รียน จุดมุงหมาย เปา หมายทน่ี ักเรียนควรไปถึงหลังจากเรยี นจบบทน้ี ความรูก อ นหนา ความรทู ี่นักเรียนจาํ เปน ตอ งมกี อ นทจ่ี ะเรียนบทน้ี

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกบั เน้ือหาและสิ่งที่ควรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน ประเด็นเกี่ยวกับเน้ือหาที่ครูควรเนนยํ้ากับนักเรียน ประเด็นเก่ียวกับเนื้อหาที่ครูควร ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน เน้ือหาที่ควรทบทวน กอนสอนเนอ้ื หาใหม และประเด็นเก่ยี วกบั การสอนท่ีครูพึงระลึก ความเขา ใจคลาดเคล่ือน ประเดน็ ท่ีนักเรยี นมักเขา ใจผิดเกยี่ วกบั เน้ือหา ประเดน็ สาํ คญั เก่ียวกบั แบบฝก หัด ประเด็นที่ครูควรทราบเกี่ยวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด ประเด็นท่ีครูควรใหความสําคัญในการทําแบบฝกหัดของนักเรียน เนื้อหาท่ีควร ทบทวนกอนทําแบบฝก หดั กจิ กรรมในคูมือครู กิจกรรมทค่ี ูมือครเู ลม น้ีเสนอแนะไวใ หค รูนําไปใชใ นชั้นเรียน ซงึ่ มีทงั้ กจิ กรรมนําเขา บทเรียน ท่ีใชเพื่อตรวจสอบความรูกอนหนาท่ีจําเปนสําหรับเน้ือหาใหมที่ครูจะสอน และกิจกรรมท่ีใชสําหรับสรางความคิดรวบยอดในเน้ือหา โดยหลังจากทํากิจกรรม แลว ครคู วรเช่อื มโยงความคดิ รวบยอดทีต่ องการเนน กบั ผลทไี่ ดจากการทํากิจกรรม กจิ กรรมเหลานีค้ รูควรสง เสรมิ ใหน ักเรยี นไดล งมือปฏิบัตดิ ว ยตนเอง

กจิ กรรมในหนังสือเรียน กิจกรรมท่ีนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดดวยตนเอง เพ่ือชวยพัฒนาทักษะการ เรียนรแู ละนวตั กรรม (learning and innovation skills) ท่ีจําเปนสําหรับศตวรรษที่ 21 อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิด แบบมีวิจารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving) การสื่อสาร (communication) และการรวมมอื (collaboration) เฉลยกิจกรรมในหนังสือเรียน เฉลยคาํ ตอบหรือตัวอยางคาํ ตอบของกจิ กรรมในหนงั สือเรียน แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สอื เรียน ตัวอยางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ที่มีขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม ซึ่งเปด โอกาสใหน ักเรยี นไดใ ชแ ละพฒั นาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

สารบัญ บทที่ 1 – 2 หนา บทท่ี เน้ือหา 1 2 1 บทที่ 1 เซต 5 1.1 เนือ้ หาสาระ 17 เซต 1.2 ขอเสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน 18 1.3 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรยี น 22 d 1.4 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 23 1.5 ความรเู พม่ิ เตมิ สําหรับครู 2 1.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและ 35 เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท ตรรกศาสตร 1.7 เฉลยแบบฝก หัด 47 48 บทที่ 2 ตรรกศาสตร 51 2.1 เน้ือหาสาระ 68 2.2 ขอ เสนอแนะเกยี่ วกับการสอน 72 2.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนังสือเรยี น 74 2.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรยี น 82 2.5 การวเิ คราะหแบบฝกหดั ทายบท 84 2.6 ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครู 2.7 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและ 89 เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 2.8 เฉลยแบบฝกหัด

สารบญั บทที่ 3 หนา บทท่ี เนื้อหา 106 108 3 บทที่ 3 จํานวนจริง 117 3.1 เน้ือหาสาระ 128 จํานวนจรงิ 3.2 ขอ เสนอแนะเกยี่ วกบั การสอน 133 3.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนังสอื เรยี น 135 d 3.4 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรียน 143 3.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 166 d 3.6 ความรูเพ่ิมเติมสาํ หรบั ครู 183 3.7 ตวั อยา งแบบทดสอบประจําบทและ เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 198 198 3.8 เฉลยแบบฝก หดั 235 328 เฉลยแบบฝก หดั และวธิ ีทําโดยละเอียด บทที่ 1 เซต บทที่ 2 ตรรกศาสตร บทท่ี 3 จาํ นวนจริง

แหลงเรยี นรู 478 เพิ่มเตมิ 479 480 บรรณานุกรม คณะผูจ ดั ทํา

บทท่ี 1 | เซต 1 คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 บทท่ี 1 เซต การศึกษาเรื่องเซตมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปนรากฐานและเครื่องมือที่สําคัญ ในการพฒั นาองคความรูใ นวชิ าคณติ ศาสตรสมัยใหมทุกสาขา เนอื้ หาเร่ืองเซตท่ีนําเสนอในหนังสือ เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีเปาหมายเพื่อใหนักเรียนเรียนรู เกยี่ วกับสัญลกั ษณและภาษาทางคณิตศาสตร ซึ่งเพียงพอท่ีจะใชในการส่ือสารและสื่อความหมาย ทางคณิตศาสตรเพื่อเปนเคร่ืองมือในการเรียนรูเนื้อหาคณิตศาสตรในหัวขอตอไป ในบทเรียนน้ี มงุ ใหนกั เรยี นบรรลตุ วั ชว้ี ดั /ผลการเรยี นรูและจุดมุงหมายดังตอ ไปน้ี ตัวชวี้ ัด / ผลการเรยี นรู ตวั ชี้วัด เขาใจและใชความรูเกี่ยวกับเซตและตรรกศาสตรเบื้องตน ในการสื่อสารและส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร ผลการเรียนรู เขาใจและใชค วามรเู กย่ี วกับเซต ในการสื่อสารและสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 2 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 จุดมุงหมาย 1. ใชสญั ลักษณเกย่ี วกบั เซต 2. หาเพาเวอรเซตของเซตจํากัด 3. หาผลการดําเนนิ การของเซต 4. ใชแผนภาพเวนนแ สดงความสัมพันธระหวางเซต 5. ใชค วามรูเกยี่ วกบั เซตในการแกปญ หา ความรูกอ นหนา • ความรูเกี่ยวกบั จาํ นวนและสมการในระดับมธั ยมศึกษาตอนตน 1.1 เน้อื หาสาระ 1. ในวิชาคณติ ศาสตร ใชคาํ วา “เซต” ในการกลาวถงึ กลมุ ของสงิ่ ตาง ๆ และเมื่อกลาวถึงกลุมใด แลวสามารถทราบไดแนนอนวาส่ิงใดอยูในกลุม และสิ่งใดไมอยูในกลุม เรียกสิ่งท่ีอยูในเซต วา “สมาชิก” คําวา “เปนสมาชิกของ” หรือ “อยูใน” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “∈” คาํ วา “ไมเปน สมาชิกของ” เขยี นแทนดวยสญั ลักษณ “∉ ” 2. การเขียนแสดงเซตเบ้ืองตนมีสองแบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไขของ สมาชิก 3. เซตท่ีไมม สี มาชกิ เรยี กวา “เซตวา ง” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “{ }” หรือ “∅” 4. เซตที่มีจํานวนสมาชิกเปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย เรียกวา “เซตจํากัด” เซตท่ีไมใช เซตจํากดั เรยี กวา “เซตอนันต” สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 3 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5. ในการเขียนเซตจะตองกําหนดเซตที่บงบอกถึงขอบเขตของส่ิงท่ีจะพิจารณา เรียกเซตน้ีวา “เอกภพสมั พทั ธ” ซง่ึ มักเขยี นแทนดวย U เอกภพสมั พัทธท ี่พบบอ ย ไดแ ก  แทนเซตของจาํ นวนนับ  แทนเซตของจาํ นวนเต็ม  แทนเซตของจาํ นวนตรรกยะ ' แทนเซตของจํานวนอตรรกยะ  แทนเซตของจาํ นวนจริง 6. เซต A เทากับ เซต B หมายถงึ สมาชกิ ทกุ ตวั ของเซต A เปน สมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดวย A = B เซต A ไมเทา กบั เซต B หมายถึง มีสมาชกิ อยา งนอยหนงึ่ ตวั ของเซต A ที่ไมใ ชสมาชิกของเซต B หรอื มสี มาชกิ อยางนอ ยหนง่ึ ตัวของเซต B ทีไ่ มใ ชสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย A ≠ B 7. เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดวย A ⊂ B เซต A ไมเ ปน สบั เซตของเซต B ก็ตอ เมอ่ื มสี มาชิกอยางนอ ยหน่ึงตวั ของเซต A ทไ่ี มเปน สมาชกิ ของเซต B เขยี นแทนดวย A ⊄ B 8. เซตของสบั เซตทั้งหมดของเซต A เรยี กวา เพาเวอรเซตของเซต A เขียนแทนดวย P( A) 9. เรียกแผนภาพแสดงเซตวา “แผนภาพเวนน” การเขียนแผนภาพมักจะแทนเอกภพสัมพทั ธ U ดว ยรปู สี่เหล่ยี มผืนผา หรือรูปปดใด ๆ สว นเซตอน่ื ๆ ซึ่งเปน สับเซตของ U นน้ั อาจเขียนแทน ดวยวงกลม วงรี หรือรปู ปดใด ๆ 10. การดาํ เนนิ การระหวางเซต 1) อนิ เตอรเซกชนั ของเซต A และ B เขยี นแทนดว ย A ∩ B โดยที่ A ∩ B= { x x ∈A และ x ∈ B} สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 4 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 2) ยูเนียนของเซต A และ B เขียนแทนดวย A ∪ B โดยท่ี A ∪ B= { x x ∈A หรือ x ∈ B} 3) คอมพลเี มนตของเซต A เมอ่ื เทียบกบั U หรือคอมพลเี มนตข องเซต A เขียนแทน ดวย A′ โดยที่ A′ = { x | x ∈U และ x∉ A} 4) ผลตา งระหวา งเซต A และ B หมายถงึ เซตท่ีมีสมาชิกอยูใ นเซต A แตไมอยูใ นเซต B เขียนแทนดว ย A− B โดยท่ี A − B= { x x ∈A และ x ∉ B} 11. สมบัติของการดําเนนิ การของเซต ให A, B และ C เปน สับเซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได 1) A ∪ B = B ∪ A A∩B = B∩ A 2) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A∩ B)∩C = A∩(B ∩C) 3) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C) 4) ( A ∪ B)′ =A′ ∩ B′ ( A ∩ B)′ =A′ ∪ B′ 5) A − B = A ∩ B′ 6) A=′ U − A 12. ถาเซต A, B และ C เปน เซตจํากดั ใด ๆ ที่มจี ํานวนสมาชกิ เปน n( A), n(B) และ n(C) ตามลําดบั แลว n( A ∪ B)= n( A) + n( B) − n( A ∩ B) n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B) − n( A∩C) − n(B ∩C) + n(A∩B∩C) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 5 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 1.2 ขอ เสนอแนะเก่ียวกับการสอน เซต ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพ่ือใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเก่ียวกับเซตและสมาชิกของเซต โดยใช กจิ กรรมการจัดกลมุ ดงั นี้ กจิ กรรม : การจดั กลุม ข้ันตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครูแบง กลุมนักเรียนกลมุ ละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากน้ันครูเขียนคําตอไปน้ี บนกระดาน หญิง จันทร A พุธ อาทิตย ชาย E อังคาร ศุกร U I พฤหัสบดี O เสาร 2. ครใู หน กั เรียนแตล ะกลมุ อภิปรายวาจะจัดกลมุ คําทเ่ี ขยี นบนกระดานอยางไร 3. ครูใหตัวแทนนักเรียนแตละกลุมนําเสนอการจัดกลุมคํา แลวรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับ กลมุ คาํ ทจ่ี ัด ในประเด็นตอไปนี้ 3.1 จัดกลุมคําไดก ี่กลุม พรอ มใหเ หตผุ ลประกอบ 3.2 กลุมคําที่กลุมของตนเองจัดไดเหมือนหรือแตกตางจากกลุมคําของเพ่ือนกลุมอื่น หรือไม อยา งไร สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 6 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 หมายเหตุ • แนวคําตอบ เชน จัดเปน 3 กลุม ไดแก กลุมคําที่แสดงเพศ กลุมคําท่ีแสดงช่ือวัน ในหนึง่ สปั ดาห และกลมุ คําท่ีแสดงสระในภาษาอังกฤษ คําตอบของนักเรียนอาจมีได หลากหลายขนึ้ กับเหตผุ ลประกอบคาํ ตอบ • ครูอาจเปลี่ยนเปนคําอื่น ๆ หรือรูปภาพอื่น ๆ เพ่ือใหนักเรียนสามารถจัดกลุม ไดหลายแบบ • ครูอาจจัดกิจกรรมนอกหองเรียน เชน ในสวนพฤกษศาสตร แลวใหนักเรียนจัดกลุม พนั ธพุ ืช ครูสามารถเชื่อมโยงการจัดกลุมในกิจกรรมน้ีกับเน้ือหาเรื่องเซต โดยแตละกลุมคําท่ีนักเรียนจัด เปรียบไดกับเซต และคําที่อยูในแตละกลุมเปรียบไดกับสมาชิกของเซต เม่ือนักเรียนไดศึกษา เกย่ี วกับการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกแลว ครูอาจให นกั เรยี นเขียนกลุมของคาํ ในรูปของเซต ทัง้ แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเงือ่ นไขของสมาชกิ ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกบั เน้อื หาและส่ิงท่คี วรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน สมาชกิ ของเซต ตวั อยางท่ี 1 ให A = {0, 1, 2} จงพจิ ารณาวา ขอความตอ ไปนีเ้ ปนจริงหรือเทจ็ 1) 0 ∈ A 2) {0} ∈ A 3) {1, 2} ∉ A สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 7 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 ตัวอยางนี้มีไวเพื่อสรางความเขาใจเก่ียวกับการเปนสมาชิกของเซต และการใช สัญลักษณแทนการเปน สมาชกิ ของเซต โดยเฉพาะอยา งย่งิ ในขอ 1) และ 2) ครูควรให นักเรียนรวมกันอภิปรายทีละขอเก่ียวกับการเปนสมาชิกหรือไมเปนสมาชิกของเซต ที่กาํ หนดให และอาจใหตวั อยางเพมิ่ เตมิ เพ่อื ตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียน การเขยี นแสดงเซต ในการเร่ิมตน ยกตวั อยา งการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกน้ัน ครูควรเริ่มตนจาก การยกตัวอยางเซตท่ีหาสมาชิกของเซตไดงาย เพ่ือเปนการใหความสําคัญกับการเขียน แ ส ด ง เ ซ ต แ บ บ แ จ ก แ จ ง ส ม า ชิ ก ม า ก ก ว า ก า ร คํ า น ว ณ เ พ่ื อ ห า ส ม า ชิ ก ข อ ง เ ซ ต เชน เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย เซตของจํานวนคู เซตของจํานวนนับท่ีนอยกวา 5 เซตของจํานวนเต็มทย่ี กกําลงั สองแลวได 16 เอกภพสัมพัทธ ในการเขยี นเซตจะตอ งกําหนดเซตที่บงบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตนี้ วา เอกภพสัมพัทธ โดยมีขอตกลงวา เม่ือกลาวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไมกลาวถึง ส่ิงอ่ืนท่ีนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ ดังนั้นเอกภพสัมพัทธจึงมีความสําคัญ ในการพิจารณาสมาชิกของเซต โดยเซตท่ีมีเง่ือนไขเดียวกันแตมีเอกภพสัมพัทธตางกัน อาจมสี มาชิกตา งกัน เชน A ={x ∈ } x2 =4} และ B ={x ∈ }x2 =4 เขยี น A และ B แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน A = { 2 } และ B= { − 2, 2} สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 8 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 เซตวา ง • เซตวางเปนท้งั สบั เซตและสมาชกิ ของเพาเวอรเ ซตของเซตใด ๆ • เพาเวอรเซตของเซตวา ง คือ {∅} สบั เซต • เซตวางเปน สับเซตของเซตทุกเซต • เซตทกุ เซตเปน สบั เซตของตวั เอง • ไมสามารถหาสับเซตท่เี ปนไปไดท ้งั หมดของเซตอนนั ต ความเขาใจคลาดเคลอื่ น เซตจาํ กดั • นักเรยี นคดิ วาเซตวางไมใชเซตจํากัด ซ่ึงครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาเซตวางเปนเซตท่ี ไมม ีสมาชิกหรอื มีสมาชกิ 0 ตวั ดังนน้ั เซตวา งจึงเปนเซตจาํ กดั • นักเรียนเขาใจวา { x | x∈ , 0 ≤ x ≤ 1} เปนเซตจํากัด เนื่องจากเขาใจวา มีสมาชิกตัวแรกคือ 0 และสมาชิกตัวสุดทายคือ 1 ซ่ึงครูควรใหนักเรียนพิจารณา เอกภพสมั พัทธของเซตนี้ ซึง่ เปนเซตของจาํ นวนจริง จงึ ไดวา เซตน้เี ปนเซตอนนั ต เซตวา ง นักเรียนสับสนเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนเซตวาง เชน ใช {∅} แทนเซตวาง ซ่ึงเปนการใชสัญลักษณท่ีไมถูกตอง ครูควรใหนักเรียนพิจารณาจํานวนสมาชิกของ {∅} จะไดวาเซตนี้มีสมาชิก 1 ตัว ดังน้ัน เซตน้ีจึงไมใชเซตวาง นอกจากนี้ครูอาจ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 9 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ยกตัวอยางเปรียบเทียบเซตวางกับกลองเปลา โดยเซตวางคือเซตท่ีไมมีสมาชิกและ กลองเปลาคือกลองที่ไมมีอะไรบรรจุอยูภายในเลย แตถานํากลองเปลาใบท่ีหนึ่ง ใสลงไปในกลองเปลาใบท่ีสองแลว จะพบวากลองใบท่ีสองไมใชกลองเปลาอีกตอไป เพราะมกี ลอ งเปลาใบแรกบรรจุอยูภ ายใน สับเซต นักเรียนมีความสับสนเก่ียวกับความหมายและสัญลักษณที่ใชแทนการเปนสมาชิก ของเซต (∈) และการเปนสับเซต (⊂) เม่ือนักเรียนมีความเขาใจเก่ียวกับการเขียนแผนภาพเวนนสําหรับ 2 เซต และสําหรับ 3 เซต แลว ครูอาจใหนกั เรียนทํากิจกรรมเพ่มิ เตมิ เกย่ี วกับแผนภาพเวนนสําหรบั 4 เซต ดังนี้ กจิ กรรม : รบั สมคั รงาน บริษัทแหงหนึ่งเปดรับสมัครงานหลายตําแหนง โดยหลังจากประกาศรับสมัครงานผานไป หน่งึ เดือน มีผูทส่ี นใจสง ใบสมัครทั้งหมด 15 คน แตละคนมคี ุณสมบตั ดิ งั น้ี นางหน่งึ อายุ 32 ป จบการศกึ ษาปรญิ ญาตรี มีใบอนุญาตขับขี่ นายสอง อายุ 42 ป จบการศึกษาช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 ไมมใี บอนญุ าตขบั ข่ี นายสาม อายุ 22 ป จบการศกึ ษาปริญญาตรี ไมม ใี บอนุญาตขับข่ี นายส่ี อายุ 25 ป จบการศึกษาปรญิ ญาโท มใี บอนญุ าตขบั ข่ี นางหา อายุ 23 ป จบการศึกษาปริญญาตรี มีใบอนุญาตขบั ข่ี นายหก อายุ 34 ป จบการศึกษาปริญญาตรี ไมมีใบอนญุ าตขบั ข่ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 10 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 น.ส.เจด็ อายุ 20 ป จบการศกึ ษาช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 มใี บอนุญาตขับข่ี นางแปด อายุ 40 ป จบการศึกษาปรญิ ญาตรี ไมมีใบอนญุ าตขับข่ี นางเกา อายุ 32 ป จบการศกึ ษาชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 มใี บอนญุ าตขับขี่ นายสิบ อายุ 19 ป จบการศกึ ษาช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 มใี บอนุญาตขบั ขี่ น.ส.สบิ เอด็ อายุ 34 ป จบการศกึ ษาปริญญาโท ไมม ีใบอนุญาตขบั ข่ี นายสิบสอง อายุ 30 ป จบการศึกษาชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 ไมม ใี บอนญุ าตขับขี่ นางสบิ สาม อายุ 35 ป จบการศกึ ษาช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 ไมมใี บอนญุ าตขบั ขี่ นายสิบส่ี อายุ 30 ป จบการศกึ ษาชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 มีใบอนญุ าตขบั ขี่ นายสบิ หา อายุ 36 ป จบการศกึ ษาปรญิ ญาโท มีใบอนุญาตขับข่ี ขัน้ ตอนการปฏิบัติ 1. ครูใหนักเรียนแตละคนนํารายช่ือผูสมัครตามที่กําหนดให มาจัดลงในแผนภาพตอไปน้ี ตามคณุ สมบตั ิของผสู มคั ร มีใบอนญุ าตขับขี่ เพศชาย อายุ 25 – 35 ป จบการศกึ ษาอยา งตาํ่ ระดบั ปรญิ ญาตรี 2. ครใู หนักเรยี นหาวามผี สู มคั รคนใดบางท่ีมคี ณุ สมบัติตรงกับตาํ แหนงตอไปน้ี 2.1 พนกั งานขบั รถ เพศชาย จบการศกึ ษาระดบั ใดกไ็ ด มีใบอนญุ าตขบั ขี่ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 11 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 2.2 เจาหนา ท่ีธรุ การ เพศหญิง จบการศกึ ษาอยางตา่ํ ระดบั ปรญิ ญาตรี 2.3 พนกั งานรับ-สงสินคา เพศหญงิ หรอื ชายกไ็ ด อายุ 25 – 35 ป จบการศกึ ษาระดับใดกไ็ ด มใี บอนญุ าตขบั ขี่ 2.4 เจา หนาทีพ่ ัสดุ เพศหญงิ หรือชายก็ได อายุ 25 – 35 ป จบการศกึ ษาอยางต่ําระดบั ปรญิ ญาตรี 2.5 พนักงานฝา ยขาย เพศหญิงหรือชายก็ได อายุ 25 – 35 ป จบการศึกษาอยางตํ่าระดับ ปริญญาตรี มใี บอนุญาตขบั ขี่ 2.6 พนักงานทําความสะอาด เพศหญงิ จบการศึกษาระดบั ใดกไ็ ด 2.7 เจา หนาทข่ี นยายสินคา เพศชาย อายุ 25 – 35 ป จบการศกึ ษาระดับใดก็ได 3. ครแู ละนักเรยี นรว มกันอภปิ รายเกย่ี วกบั คาํ ตอบทไี่ ด ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝก หดั แบบฝกหัด 1.1ก 2. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก 1) {1, 3, 5, 7, 9} 2) {..., − 2, −1, 0, 1, 2, ...} 3) {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} 4) {10, 20, 30, ...} แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ เนื่องจากการเขียนแสดงเซตแบบบอกเงื่อนไขของ สมาชิกสามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเงื่อนไขของสมาชิก ของเซต ซึง่ เง่อื นไขของนักเรยี นไมจ ําเปน ตองตรงกบั ท่ีครคู ิดไว สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 12 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 การดําเนินการระหวา งเซต เม่ือนักเรียนมีความเขาใจเกี่ยวกับการเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซตแลว ครูใชกิจกรรมตอไปนี้ เพื่อสรา งความเขาใจเกี่ยวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต และผลตาง ระหวางเซต กิจกรรม : หาเพ่อื น ขัน้ ตอนการปฏิบตั ิ 1. ครูใหนักเรยี นจับคูกัน แลว ครูเขยี นแผนภาพน้ีลงบนกระดาน 2. ครใู หน กั เรยี นแตล ะคูอภปิ รายในประเด็นตอไปน้ี 2.1 สมาชิกตัวใดบางทเ่ี ปน สมาชิกของทั้งเซต A และเซต B 2.2 สมาชกิ ตัวใดบา งทเี่ ปน สมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือท้งั สองเซต 2.3 สมาชิกตัวใดบา งที่เปนสมาชกิ ของ U แตไมเปนสมาชิกของเซต A 2.4 สมาชกิ ตวั ใดบา งท่เี ปนสมาชกิ ของ U แตไ มเปน สมาชกิ ของเซต B 2.5 สมาชกิ ตวั ใดบางทเ่ี ปน สมาชิกของเซต A แตไมเปน สมาชิกของเซต B 2.6 สมาชกิ ตวั ใดบา งทีเ่ ปน สมาชิกของเซต B แตไมเปนสมาชกิ ของเซต A 3. ครูและนกั เรยี นรวมกันอภิปรายเกีย่ วกับคาํ ตอบทไ่ี ดในขอ 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 13 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ครูสามารถเชื่อมโยงคําตอบท่ีไดในกิจกรรมนี้กับเน้ือหาเรื่องการดําเนินการระหวางเซต ไดแก อนิ เตอรเซกชนั ยูเนียน คอมพลีเมนต และผลตา งระหวา งเซต ประเดน็ สาํ คัญเก่ยี วกบั เน้ือหาและสงิ่ ท่คี วรตระหนกั เกีย่ วกับการสอน ลําดบั การดาํ เนินการระหวา งเซต การเขียนวงเล็บมีความสําคัญกับลําดับการดําเนินการระหวางเซตในกรณีท่ีมีการ ดําเนินการตางชนิดกัน เชน ( A ∪ B) ∩ C มีลําดับการดําเนินการแตกตางกับ A ∪ (B ∩ C) เพ่ือไมใหเกิดการสับสนเกี่ยวกับลําดับในการดําเนินการ จึงจําเปนตอง ใสว งเลบ็ เพ่อื บอกลาํ ดบั การดําเนนิ การระหวา งเซตเสมอ ประเด็นสําคญั เก่ยี วกับแบบฝกหดั แบบฝกหัด 1.2 3. จงแรเงาแผนภาพทีก่ าํ หนดใหเ พอื่ แสดงเซตตอไปน้ี 1) A′ 2) B′ 3) A′ ∩ B′ 4) ( A ∪ B)′ 5) A′ ∪ B′ 6) ( A ∩ B)′ 7) A − B 8) A ∩ B′ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 14 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 4. จงแรเงาแผนภาพที่กําหนดใหเ พ่อื แสดงเซตตอไปนี้ 1) ( A ∪ B) ∪ C 2) A ∪ ( B ∪ C ) 3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) 5) ( A ∪ B) ∩ C 6) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) แบบฝกหัดทั้งสองขอนี้มีไวเพื่อเปนตัวอยางของการแสดงสมบัติของการดําเนินการของเซต จากการแรเงาแผนภาพนักเรียนจะสังเกตเห็นวา แผนภาพท่ีแรเงาไดในบางขอเปนแผนภาพ เดยี วกันซ่ึงสอดคลองกบั สมบัติของการดาํ เนินการของเซต การแกป ญหาโดยใชเ ซต เมื่อนักเรียนมีความเขาใจเก่ียวกับการเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซตและการดําเนินการแลว ครูอาจใชกิจกรรมตอไปนี้เพื่อสรางความเขาใจเก่ียวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน ยูเนียน คอมพลเี มนต และผลตา งระหวา งเซต สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 15 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 กจิ กรรม : แรเงา ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครูใหน ักเรยี นจับคูกนั แลว ครูเขยี นแผนภาพน้ีลงบนกระดาน 2. ครูถามนักเรียนวาจํานวนสมาชิกของเซต A เปนเทาใด เมื่อนักเรียนตอบไดแลว ใหครู แนะนาํ วาจํานวนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย n( A) 3. ครูใหน กั เรียนแตละคหู า 3.1 n( B) 3.2 n( A ∪ B) 3.3 n( A ∩ B) 4. ครูใหนักเรียนแตละคูพิจารณาวา n( A ∪ B) มีความสัมพันธกับ n( A), n(B) และ n( A ∩ B) อยา งไร โดยครอู าจใหนกั เรยี นพจิ ารณาจากแผนภาพ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 16 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 5. จากแผนภาพตอ ไปน้ี ครูใหนกั เรยี นแรเงาเซต A จากนนั้ แรเงาเซต B โดยใชอีกสหี นง่ึ และใหนกั เรยี นพจิ ารณาวา 5.1 สว นที่แรเงาทั้งหมดแทนเซตใด 5.2 สวนที่แรเงา 2 ครง้ั แทนเซตใด 5.3 จากการแรเงา n( A ∪ B) มีความสมั พนั ธก ับ n( A), n(B) และ n( A ∩ B) อยางไร ครูสามารถเชื่อมโยงคําตอบที่ไดในกิจกรรมนี้กับเนื้อหาเร่ืองการแกปญหาโดยใชเซต ในการหา จํานวนสมาชิกของเซต A ∪ B และครูยังสามารถทํากิจกรรมในทํานองเดียวกันนี้ในการหา จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A ∪ B ∪ C ประเด็นสําคัญเกี่ยวกบั เนอื้ หาและสงิ่ ท่คี วรตระหนกั เกี่ยวกบั การสอน • ในการแกปญหาโดยใชเซตน้ัน ครูอาจเสนอแนะใหนักเรียนใชวิธีเขียนแผนภาพแสดง เซตเพอ่ื ชว ยในการหาคําตอบ • ตัวเลขที่แสดงในแผนภาพแสดงเซตอาจหมายถึง สมาชิกของเซต หรือจํานวนสมาชิก ของเซต ดงั นั้น ครูควรเนนใหนักเรียนมคี วามเขาใจทชี่ ดั เจน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 17 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 ประเดน็ สาํ คญั เก่ยี วกบั แบบฝกหัด แบบฝกหดั ทายบท 2. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเงือ่ นไขของสมาชกิ 1) {1, 4, 7, 10, 13} 2) {−20, −19, −18,  , −10} 3) {5, 9, 13, 17, 21, 25, } 4) {1, 8, 27, 64, 125, 216, } แบบฝกหัดนี้มีคําตอบไดหลายแบบ เนื่องจากการเขียนแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของ สมาชิกสามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเงื่อนไขของสมาชิก ของเซต ซ่งึ เงือ่ นไขของนักเรียนไมจ าํ เปน ตองตรงกับที่ครคู ิดไว 1.3 การวัดผลประเมินผลระหวางเรยี น การวัดผลระหวางเรียนเปนการวัดผลการเรยี นรเู พื่อปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเน้ือหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 1 เซต ครูอาจใช แบบฝกหดั เพอ่ื วดั ผลประเมนิ ผลความรูในแตล ะเน้ือหาไดด ังนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 18 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 เลม 1 เนอื้ หา แบบฝก หดั 1.1ก ขอ 3, 4, 5 ความหมายของเซต สมาชิกของเซต จํานวนสมาชิกของเซต เซตวา ง เอกภพสมั พัทธ 1.1ก ขอ 1, 2 การเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข ของสมาชิก 1.1ก ขอ 6 เซตจํากัดและเซตอนนั ต 1.1ก ขอ 7, 8 เซตท่ีเทา กัน 1.1ข ขอ 1 – 4 สับเซต 1.1ข ขอ 5 เพาเวอรเ ซต 1.1ค ขอ 1, 2, 3 การเขยี นแผนภาพเวนนแ สดงเซต 1.2ก ขอ 1 – 6 การดาํ เนินการระหวา งเซต (อนิ เตอรเซกชัน ยเู นียน คอมพลีเมนต ผลตา งระหวา งเซต) 1.3ก ขอ 1 – 9 การแกปญหาโดยใชเซต 1.4 การวิเคราะหแบบฝก หัดทา ยบท หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 มีจุดมุงหมายวา เมือ่ นักเรียนไดเ รยี นจบบทที่ 1 เซต แลว นกั เรียนสามารถ 1. ใชสัญลกั ษณเกยี่ วกับเซต 2. หาเพาเวอรเซตของเซตจํากดั 3. หาผลการดาํ เนินการของเซต สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 19 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 4. ใชแผนภาพเวนนแสดงความสัมพนั ธระหวา งเซต 5. ใชค วามรูเก่ียวกับเซตในการแกป ญหา ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดทายบทท่ีประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือ วัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซึ่งประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความ นา สนใจและโจทยท าทาย ครอู าจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียน ตามจุดมุงหมายของบทเพื่อตรวจสอบวานักเรียนมีความสามารถตามจุดมุงหมายเมื่อเรียนจบ บทเรียนหรือไม ทง้ั น้ี แบบฝก หดั ทา ยบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 บทที่ 1 เซต สอดคลอ งกับจุดมงุ หมายของบทเรยี น ดงั นี้ ขอ ขอ ใชสัญลักษณ หาเพาเวอรเ ซต จดุ มงุ หมาย ใชแผนภาพเวนน ใชค วามรเู กย่ี วกบั เซต ยอ ย เกย่ี วกบั เซต ของเซตจาํ กัด แสดงความสมั พันธ ในการแกปญหา หาผลการดําเนนิ การ  ของเซต ระหวางเซต  1. 1)  2)  3)  4)  5)   2. 1)  2) 3) 4) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 20 คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 จดุ มงุ หมาย ขอ ขอ ใชส ญั ลกั ษณ หาเพาเวอรเซต หาผลการดําเนินการ ใชแ ผนภาพเวนน ใชค วามรูเ กยี่ วกับเซต ยอ ย เก่ยี วกบั เซต ของเซตจาํ กัด ของเซต แสดงความสมั พันธ ในการแกปญ หา ระหวางเซต 3. 1)  2)  3)  4)  5)   4. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  5. 1)  2)  3)  4)  6. 1)  2)  3)  4)  5)  6)   7. 1) 2)  3)   8. 1)  2) 3) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 21 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 จดุ มุงหมาย ขอ ขอ ใชสญั ลักษณ หาเพาเวอรเซต หาผลการดาํ เนนิ การ ใชแผนภาพเวนน ใชความรเู กย่ี วกบั เซต ยอ ย เกีย่ วกบั เซต ของเซตจาํ กัด ของเซต แสดงความสัมพันธ ในการแกปญ หา ระหวางเซต 9. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)   10. 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)   11. 1)  2)  3)   12. 1)  2)  3) 4)  5)   13.  14. 15. 1) 2) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 22 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 จุดมงุ หมาย ขอ ขอ ใชสญั ลักษณ หาเพาเวอรเ ซต หาผลการดําเนนิ การ ใชแ ผนภาพเวนน ใชค วามรูเ กยี่ วกบั เซต ยอย เก่ียวกบั เซต ของเซตจํากดั ของเซต แสดงความสมั พันธ ในการแกป ญหา ระหวา งเซต 16. 1)  2)   17.  18. 1)   2)  3)  4)  19. 1)  2)  3) 20. แบบฝกหดั ทาทาย 21. แบบฝกหัดทาทาย แบบฝกหดั ทาทาย 22. 1) แบบฝก หดั ทาทาย แบบฝกหัดทาทาย 2) 3) 4) 1.5 ความรูเพ่มิ เตมิ สําหรับครู • เซตอนนั ต จําแนกไดเปน 2 แบบ คือ แบบท่ี 1 เปนเซตอนนั ตน บั ได (countable infinite) เชน เซตของจํานวนนบั เซตของ จํานวนเตม็ เซตของจํานวนตรรกยะ { x ∈ }− | x ≤ 1 , { x ∈  | x ≠ 0} แบบที่ 2 เปน เซตอนนั ตนับไมไ ด (uncountable infinite) เชน เซตของจาํ นวนจริง { x ∈  | 1 < x < 2} ซึง่ เซตเหลา นไี้ มสามารถเขยี นแจกแจงสมาชกิ ทั้งหมดได สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 23 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 • สมบัติของการดําเนนิ การของเซต สมบัติของการดําเนินการของเซตเทียบเคียงไดกับสมบัติบางขอในสัจพจนเชิงพีชคณิต ของระบบจาํ นวนจรงิ ดงั น้ี ให A, B และ C เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได 1) สมบัตกิ ารสลับท่ี A∪B = B∪ A A∩B = B∩ A 2) สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู (A∪ B)∪C = A∪(B ∪C) (A∩ B)∩C = A∩(B ∩C) 3) สมบัติการแจกแจง A∪(B∩C) = (A∪ B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C) 1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 1 เซต สําหรับรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ท่ีตองการวดั ผลประเมินผล สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 24 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ 1) เซตของจํานวนเฉพาะที่อยรู ะหวาง 0 และ 20 { }2) x ∈  2x2 − x − 3 =0 2. จงเขยี นเซตตอไปน้ีแบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ 1)  1 , 1 , 1 , 1, 2, 4  8 4 2   2) { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, } 3. ให A = { a, b, c, {d}} จงพิจารณาวาขอ ความตอ ไปนเี้ ปนจริงหรือเทจ็ 1) a ∈ A 2) {d}∉ A 3) {{d}} ⊂ A 4) { a, b } ∈ A 5) {b, {d}} ⊂ P( A) 6) {∅, {d}} ⊂ P( A) 4. จงหาจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) {{1, 2, 3, …}} { }2) x ∈ x2 < 150 5. กาํ หนดให A, B เปน เซตอนันต และ A ≠ B จงพจิ ารณาวาขอ ความตอไปน้เี ปน จรงิ หรือเทจ็ ถา เปน เทจ็ จงยกตวั อยา งคา น 1) A ∩ B เปนเซตอนันต 2) A ∩ B เปนเซตจํากัด 3) A − B เปนเซตอนันต 4) A − B เปน เซตจํากัด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 25 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 6. กําหนดให A = {a, b, c, d, e} 1) จงหาจาํ นวนสับเซตของ A ทม่ี ี a เปน สมาชกิ 2) จงหาจาํ นวนสบั เซตของ A ท่ไี มมี a เปน สมาชิก 3) จงหาจํานวนสับเซตของ A ทม่ี ี a หรอื b เปน สมาชกิ 7. กาํ หนดให A = {1, {2, 3}} จงหา P( A) − A 8. ให A, B และ C เปนเซตใด ๆ ท่ีไมใชเซตวาง จงเขยี นแผนภาพแสดงเซตตอไปนี้ 1) ( A − B) ∪ ( B − A) 2) (( A − B) − ( A − C )) ∪ (B − ( A ∪ C )) 9. จงพจิ ารณาวา ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทากันหรือไม 10. ถา A มจี ํานวนสมาชกิ มากกวา B อยู 1 ตวั และ n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75 จงหาจาํ นวนสมาชกิ ของ A 11. กาํ หนดให U = {1, 2, , 100} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ท่ีเปน จํานวนคูแตหารดวย 3 ไมลงตวั 12. กําหนดให U = {1, 2, , 60} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ที่หารดวย 3 ลงตัว หรือ หารดว ย 4 ลงตวั หรอื หารดว ย 5 ลงตวั 13. ในหองเรยี นหนงึ่ มีนักเรียนท่ีเลี้ยงสุนัข 32 คน มีนักเรียนท่ีเลี้ยงแมว 25 คน และมีนักเรียนท่ี เล้ียงสุนขั หรือแมวเพยี งชนิดเดียว 47 คน จงหาจํานวนของนักเรียนที่เล้ียงทั้งสุนัขและแมว 14. ในการสํารวจงานอดเิ รกของคน 140 คน พบวา 72 คน ชอบดูภาพยนตร 65 คน ชอบออกกาํ ลงั กาย 58 คน ชอบอา นหนงั สือ 23 คน ชอบดูภาพยนตรและออกกําลงั กาย สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 26 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 เลม 1 18 คน ชอบดูภาพยนตรและอานหนงั สอื 40 คน ชอบออกกําลงั กายและอา นหนังสือ 10 คน ไมสนใจงานอดเิ รกขา งตน จงหาจํานวนคนทีช่ อบทั้งดูภาพยนตร ออกกาํ ลงั กาย และอานหนังสอื 15. ในงานเลย้ี งแหงหน่ึงมีผูเขารวมงาน 200 คน โดยท่ีทุกคนชอบรับประทานกุง ปลา หรือปู จากการสํารวจปรากฏวามีคนท่ีชอบรับประทานกุง ปลา และปู 63%, 42% และ 55% ตามลําดับ มีคนที่ชอบรับประทานกุงและปลา 24% ชอบรับประทานปลาและปู 17% และชอบรับประทานทงั้ สามอยา ง 9% จงหาจํานวนของคนที่ชอบรับประทานทง้ั กุงและปู 16. ในการสํารวจขอมูลเก่ียวกับการทองเท่ียวของนักทองเที่ยวชาวตางชาติจํานวน 500 คน พบวา นกั ทอ งเทีย่ วทกุ คนเคยไปเชียงใหม กระบี่ หรือชลบรุ ี โดยมีนักทองเที่ยวท่ีเคยไปทั้ง เชียงใหม กระบี่ และชลบุรี จํานวน 39 คน เคยไปเชียงใหมและกระบ่ีเทาน้ัน 78 คน เคยไปเชยี งใหมและชลบรุ เี ทานัน้ 96 คน เคยไปกระบี่และชลบุรีเทานั้น 111 คน และมี คนที่ไมเคยไปกระบี่ 208 คน จงหาจาํ นวนคนที่เคยไปกระบี่เพียงจงั หวัดเดียว เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท 1. 1) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 2) จาก 2x2 − x − 3 = 0 (2x − 3)( x +1) = 0 นัน่ คอื x = 3 หรอื x = −1 2 เนื่องจาก 3 ไมใ ชจ าํ นวนเตม็ จึงได −1 เปน คําตอบของสมการ 2 ดงั นนั้ เขียน {x∈ 2x2 − x − 3 =0} แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน {−1} สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 27 คูม ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 {2. 1) x x = 2n−4 เม่ือ n ∈  และ n ≤ 6} 2) {x x = n เมอื่ n ∈ }} 2) เทจ็ 10 3. 1) จริง 3) จรงิ 4) เทจ็ 5) เท็จ 6) เทจ็ 4. 1) เนอ่ื งจาก {{1, 2, 3, …}} มีสมาชกิ คือ {1, 2, 3, …} ดงั นั้น {{1, 2, 3, …}} มจี ํานวนสมาชกิ 1 ตวั { }2) เนอ่ื งจาก x ∈ x2 < 150 ={−12, −11, … , 0, 1, … , 12} นัน่ คอื {x ∈ }x2 < 150 มสี มาชกิ คือ −12, −11, … , 0, 1, … , 12 ดงั น้ัน {−12, −11, … , 0, 1, … , 12} มีจํานวนสมาชิก 25 ตวั 5. 1) เปนเทจ็ เชน เมอ่ื A เปนเซตของจํานวนคู และ B เปนเซตของจํานวนค่ี จะได A ∩ B =∅ ซึ่ง ∅ เปนเซตจํากดั ดังน้ัน A ∩ B ไมเ ปนเซตอนนั ต 2) เปนเท็จ เชน เมือ่ A =  และ B =  จะได A ∩ B = ซึ่ง  เปน เซตอนันต ดังนั้น A ∩ B ไมเปนเซตจาํ กดั 3) เปน เทจ็ เชน เมือ่ A=  ∪{0} และ B =  จะได A − B ={0} ซง่ึ {0} เปนเซตจาํ กดั ดังนนั้ A − B ไมเ ปนเซตอนนั ต 4) เปน เทจ็ เชน เมอื่ A =  และ B เปนเซตของจํานวนค่ี จะได A − B คอื เซตของจาํ นวนคู ซงึ่ เซตของจาํ นวนคเู ปน เซตอนันต ดงั นั้น A − B ไมเปน เซตจํากัด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 28 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 6. จาก A = {a, b, c, d, e} จะได สบั เซตของ A ที่มีสมาชิก 0 ตัว ไดแก ∅ สบั เซตของ A ที่มสี มาชิก 1 ตัว ไดแ ก {a}, {b}, {c}, {d} และ {e} สับเซตของ A ทมี่ สี มาชกิ 2 ตวั ไดแก {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c}, {b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e} และ {d,e} สับเซตของ A ท่มี ีสมาชิก 3 ตวั ไดแ ก {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e},{a, d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e} และ {c,d,e} สับเซตของ A ที่มสี มาชกิ 4 ตัว ไดแก {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e} และ {b,c,d,e} สบั เซตของ A ทมี่ สี มาชิก 5 ตวั ไดแก {a,b,c,d,e} 1) สับเซตของ A ทม่ี ี a เปนสมาชิก มอี ยู 16 สบั เซต 2) สบั เซตของ A ทไี่ มมี a เปน สมาชกิ มีอยู 25 −16 =16 สบั เซต 3) ให S เปน เซตของสับเซตของ A ทีม่ ี a เปน สมาชิก T เปนเซตของสบั เซตของ A ทม่ี ี b เปนสมาชิก จะได= n(S ) 1=6, n(T ) 16 และ n(S ∩T ) =8 จาก n(S ∪T ) = n(S ) + n(T ) − n(S ∩T ) = 16 +16 − 8 = 24 ดังนน้ั สับเซตของ A ท่มี ี a หรอื b เปน สมาชิก มอี ยู 24 สับเซต 7. จาก A = {1, {2, 3}} จะได P(A)= { ∅, {1}, {{ 2, 3}}, {1, { 2, 3}}} ดงั นน้ั P(A) − A =P(A) ={ ∅, {1}, {{ 2, 3}}, {1, { 2, 3}}} สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 29 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 8. 1) เขยี นแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) ไดดังนี้ 2) เขียนแผนภาพแสดง (( A − B) − ( A − C)) ∪ (B − ( A ∪ C)) 9. เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) ไดดงั นี้ ( A − B) ∪(B − A) (A∪ B)−(A∩ B) จากแผนภาพ จะไดว า ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) ดงั นัน้ ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทา กัน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 30 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 10. จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) จะได n( A ∪ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n(B) เน่ืองจาก n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75 และ n=(B) n( A) −1 นน่ั คอื 75 = n( A) + n( A) −1 2 n( A) = 76 จะได n( A) = 38 ดงั นัน้ จํานวนสมาชกิ ของ A คือ 38 11. ให A แทนเซตของจาํ นวนที่เปน สมาชกิ ของ U ซง่ึ เปนจาํ นวนคู จะได n( A) = 50 B แทนเซตของจาํ นวนที่เปนสมาชกิ ของ U ซงึ่ หารดวย 3 ลงตัว จะได n(B) = 33 และ A ∩ B แทนเซตของจาํ นวนท่เี ปนสมาชิกของ U ซึ่งเปนจํานวนคูและหารดวย 3 ลงตัว เนือ่ งจาก จาํ นวนคูท่ีหารดว ย 3 ลงตวั คอื จํานวนทห่ี ารดวย 6 ลงตัว จะได n( A ∩ B) =16 ดงั นั้น จํานวนสมาชกิ ของ U ซึ่งเปนจํานวนคทู ี่หารดว ย 3 ไมลงตัว มีอยู n( A) − n( A ∩ B) = 50 −16 = 34 ตัว 12. ให A แทนเซตของจํานวนทเี่ ปนสมาชกิ ของ U ซึ่งหารดวย 3 ลงตัว B แทนเซตของจํานวนทเ่ี ปน สมาชิกของ U ซงึ่ หารดวย 4 ลงตัว และ C แทนเซตของจํานวนท่เี ปนสมาชิกของ U ซงึ่ หารดวย 5 ลงตัว จะได A = { 3, 6, , 60} นัน่ คือ n( A) = 20 B = { 4, 8, , 60} นนั่ คอื n( B) =15 C = { 5, 10, , 60} นนั่ คือ n(C ) =12 ให A ∩ B แทนเซตของจาํ นวนทเี่ ปน สมาชกิ ของ U ซงึ่ หารดวย 3 และ 4 ลงตวั A ∩ C แทนเซตของจํานวนท่เี ปนสมาชิกของ U ซึ่งหารดว ย 3 และ 5 ลงตัว สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 31 คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 B ∩ C แทนเซตของจํานวนทเี่ ปน สมาชิกของ U ซงึ่ หารดวย 4 และ 5 ลงตวั และ A ∩ B ∩ C แทนเซตของจํานวนท่เี ปน สมาชกิ ของ U ซ่งึ หารดวย 3 และ 4 และ 5 ลงตวั จะได A ∩ B ={12, 24, 36, 48, 60 } นนั่ คอื n( A ∩ B) =5 A ∩ C ={15, 30, 45, 60} น่นั คือ n( A ∩ C ) =4 B ∩ C ={ 20, 40, 60 } นน่ั คือ n( A ∩ C) =3 A ∩ B ∩ C ={ 60 } น่ันคอื n( A ∩ B ∩ C) =1 วิธที ่ี 1 เขยี นแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของ A, B และ C ไดดังนี้ จากแผนภาพ จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 12 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 +1 = 36 ดงั น้นั จํานวนสมาชกิ ของ U ทห่ี ารดวย 3 ลงตวั หรือหารดว ย 4 ลงตัว หรือหาร ดวย 5 ลงตัว มีอยู 36 ตัว วิธีที่ 2 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) −n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 20 +15 +12 − 5 − 4 − 3 +1 = 36 ดงั นัน้ จํานวนสมาชกิ ของ U ทหี่ ารดว ย 3 ลงตัว หรือหารดว ย 4 ลงตัว หรือหาร ดวย 5 ลงตวั มีอยู 36 ตวั สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 32 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เลม 1 13. ให A แทนเซตของนักเรียนที่เลยี้ งสุนขั จะได n( A) = 32 B แทนเซตของนักเรยี นทเ่ี ลย้ี งแมว จะได n(B) = 25 และ x แทนจาํ นวนนกั เรยี นท่เี ลยี้ งท้ังสุนัขและแมว เขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของ A และ B ไดดงั นี้ เนื่องจาก มีนักเรียนที่เล้ียงสุนัขหรือแมวเพียงชนดิ เดยี ว 47 คน จะได (32 − x) + (25 − x) = 47 57 − 2x = 47 2x = 10 x =5 ดังนนั้ จํานวนของนักเรยี นท่ีเลี้ยงทัง้ สนุ ัขและแมว เทา กบั 5 คน 14. ให A แทนเซตของคนทชี่ อบดภู าพยนตร จะได n( A) = 72 B แทนเซตของคนท่ชี อบออกกําลังกาย จะได n(B) = 65 C แทนเซตของคนทช่ี อบอา นหนังสือ จะได n(C) = 58 A ∩ B แทนเซตของคนที่ชอบดูภาพยนตรและออกกําลงั กาย จะได n( A ∩ B) =23 A ∩ C แทนเซตของคนท่ชี อบดูภาพยนตรและอา นหนังสอื จะได n( A ∩ C) =18 B ∩ C แทนเซตของคนทช่ี อบออกกําลังกายและอานหนังสือ จะได n(B ∩ C) =40 และ ( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของคนท่ไี มชอบงานอดิเรกขา งตนเลย สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 33 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 จะได n( A ∪ B ∪ C )′ =10 นั่นคือ n( A ∪ B ∪ C )= 140 −10= 130 วิธที ่ี 1 ให x แทนจาํ นวนคนท่ชี อบท้ังดภู าพยนตร ออกกําลังกาย และอา นหนังสือ เขียนแผนภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดด ังน้ี วิธที ่ี 2 จากแผนภาพ จะได (31+ x) + (23 − x) + (2 + x) + (18 − x) + x + (40 − x) + x = 130 x +114 = 130 x = 16 ดังนน้ั มีคนท่ชี อบท้งั ดูภาพยนตร ออกกาํ ลงั กาย และอานหนังสอื 16 คน จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) −n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 20 +15 +12 − 5 − 4 − 3 +1 130 = 72 + 65 + 58 − 23 −18 − 40 + n( A ∩ B ∩ C ) นน่ั คือ n( A ∩ B ∩ C ) = 16 ดงั นน้ั มีคนทชี่ อบทงั้ ดภู าพยนตร ออกกาํ ลังกาย และอา นหนังสอื 16 คน สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 34 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลม 1 15. ให A แทนเซตของคนทีช่ อบรบั ประทานกงุ B แทนเซตของคนท่ชี อบรับประทานปลา C แทนเซตของคนที่ชอบรบั ประทานปู A ∩ B แทนเซตของคนท่ีชอบรับประทานกงุ และปลา B ∩ C แทนเซตของคนท่ชี อบรบั ประทานปลาและปู A ∪ B ∪ C แทนเซตของคนทีช่ อบรบั ประทานกุง ปลา หรือปู และ A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนท่ชี อบรับประทานทั้งสามอยาง จะได n( A) = 63 × 200 = 126 100 n( B) = 42 × 200 = 84 100 n(C ) = 55 × 200 = 110 100 n( A ∩ B) = 24 × 200 = 48 100 n( B ∩ C ) = 17 × 200 = 34 100 n( A ∩ B ∩ C )= 9 × 200= 18 100 เนอื่ งจาก มีคนมารวมงานท้ังหมด 200 คน โดยแตละคนชอบรับประทานกุง ปลา หรือปู จะได n( A ∪ B ∪ C ) =200 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C ) −n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) จะได 200 = 126 + 84 +110 − 48 − n( A ∩ C ) − 34 +18 น่นั คอื n( A ∩ C) = 56 ดงั น้นั มีคนทช่ี อบรบั ประทานทงั้ กงุ และปู 56 คน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 35 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 16. ให A แทนเซตของนักทองเทย่ี วที่เคยไปเชยี งใหม B แทนเซตของนักทองเที่ยวทเ่ี คยไปกระบี่ และ C แทนเซตของนักทองเท่ยี วท่ีเคยไปชลบรุ ี ให a แทนจาํ นวนนกั ทองเท่ยี วทเี่ คยไปเชยี งใหมเ พียงจงั หวัดเดียว b แทนจํานวนนักทองเที่ยวทเ่ี คยไปกระบี่เพยี งจังหวัดเดยี ว และ c แทนจํานวนนักทองเที่ยวทเ่ี คยไปชลบรุ เี พยี งจงั หวดั เดยี ว เขยี นแผนภาพแสดงไดดังน้ี เน่อื งจากมีนักทอ งเทีย่ วทไี่ มเ คยไปกระบ่ี 208 คน จากแผนภาพ จะไดว า a + c + 96 =208 นั่นคือ a + c =112 จะได b = 500 − [112 + 78 + 96 +111+ 39] = 64 ดงั นน้ั จํานวนคนท่ีเคยไปกระบี่เพียงจงั หวดั เดียวมี 64 คน 1.7 เฉลยแบบฝก หดั คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 แบงการเฉลยแบบฝกหัด เปน 2 สวน คือ สวนท่ี 1 เฉลยคําตอบ และสวนที่ 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 36 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 เลม 1 ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัดที่อยูในสวนน้ีเปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ตามครสู ามารถศึกษาวิธที ําโดยละเอียดของแบบฝก หัดไดใ นสว นทา ยของคมู ือครเู ลม นี้ แบบฝกหัด 1.1ก 1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8} 3) {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  } 5) { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 7) ∅ 8) ∅ 9) { −14, 14 } 10) {ชลบรุ ,ี ชยั นาท, ชยั ภมู ิ, ชุมพร, เชยี งราย, เชียงใหม} 2. 1) ตวั อยางคาํ ตอบ { x x เปนจาํ นวนคบี่ วกท่ีนอยกวา 10} หรอื { x∈ x เปนจาํ นวนคต่ี ั้งแต 1 ถึง 9} 2) ตวั อยางคําตอบ { x x เปน จาํ นวนเตม็ } 3) ตวั อยา งคําตอบ { x∈ x มีรากทส่ี องเปน จาํ นวนเตม็ } หรือ { x x = n2 และ n เปนจํานวนนบั } 4) ตัวอยางคาํ ตอบ { x∈ x หารดว ยสิบลงตวั } หรอื { x x =10n และ n เปน จํานวนนับ} 3. 1) 1 ตวั 2) 5 ตวั 3) 7 ตวั 4) 9 ตัว 5) 0 ตวั 4. 1) เปน เทจ็ 2) เปนจรงิ 3) เปนเทจ็ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 37 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 เลม 1 5. 1) เปน เซตวาง 2) ไมเปน เซตวาง 3) ไมเ ปนเซตวาง 4) เปน เซตวา ง 5) ไมเ ปนเซตวา ง 2) เซตจํากัด 6. 1) เซตอนันต 4) เซตจาํ กดั 3) เซตอนนั ต 6) เซตอนันต 5) เซตอนันต 2) A ≠ B 7. 1) A ≠ B จ 3) A = B จ 4) A = B 5) A ≠ B จ 8. A = D จ แบบฝก หัด 1.1ข 1. 1) ถกู 2) ผดิ 3) ผดิ 4) ถูก 5) ถกู 6) ผิด 2. A ⊂ B, C ⊂ A, C ⊂ B จ 3. 1) เปน จรงิ 2) เปน จรงิ 3) เปน จรงิ 4. 1) ∅ และ {1} 2) ∅, {1}, { 2} และ {1, 2 } 3) ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1} 4) ∅, { x }, { y } และ { x, y } สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 38 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 5) ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c } 6) ∅ 5. 1) {∅, { 5}} 2) {∅, { 0}, {1}, { 0, 1}} 3) {∅, { 2}, { 3}, { 4}, { 2, 3}, { 2, 4}, { 3, 4}, { 2, 3, 4}} 4) {∅ } แบบฝก หัด 1.1ค 1. 2. 1) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี