คณิตศาสตร O-NET / A-NET 101 เรขาคณติ วิเคราะห นั่นคือ 7 (x + 2)2+ 16(y − 3)2 = 112 นําตัวเลขทีเ่ หลือทางขวา คือ 112 หารตลอดสมการ จะได (x + 2)2 + (y − 3)2 = 1 16 7 ตอบ เปน วงรีตามแกนนอน จดุ ศนู ยกลางคือ (−2, 3) เนือ่ งจากคา a = 4, b = 7 จะได c = 16 − 7 = 3 ดงั นนั้ จุดยอดคือ (−2± 4, 3) จดุ โฟกัสคือ (−2± 3, 3) และจดุ ปลายแกนโทคือ (−2, 3± 7) แบบฝกึ หัด 4.6 (79) จงหาสมการรูปทัว่ ไปของวงรี ทีม่ ลี ักษณะดงั แตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ (79.1) จดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (3, −1) แกนเอกขนานกบั แกน y และยาว 8 หน่วย สว่ นแกนโทยาว 6 หน่วย (79.2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาํ เนิด มีจดุ ยอดอยู่ที่ (0, 8) และมโี ฟกัสอยทู่ ี่ (0, −5) (79.3) จดุ ยอดอยทู่ ่ี (−4, 2) และ (2, 2) โดยแกนโทยาว 4 หน่วย (79.4) จดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (−2, 1) มจี ดุ โฟกัสท่ี (−2, 4) และผา่ นจดุ (−6, 1) (79.5) จดุ ศูนยก์ ลางอย่ทู ี่ (2, 1) มจี ดุ ยอดที่ (2, −4) และคา่ c : a = 2 : 5 (80) ให้หาสว่ นประกอบตา่ งๆ ทง้ั หมดของวงรี (80.1) 4x2+ 9y2= 36 (80.2) 9x2+ 5y2− 54x − 50y + 26 = 0 (80.3) 5x2+ 9y2− 10x = 40 (81) ใหห้ าสมการแสดงทางเดินของจดุ P (x, y) ซ่งึ (81.1) ระยะหา่ งจากจดุ (4, 0) และจดุ (−4, 0) รวมกันเปน็ 12 หนว่ ย (81.2) ระยะห่างจากจดุ (2, 7) และจดุ (2, 1) รวมกนั เป็น 10 หน่วย (82) ฐานของสามเหลย่ี มยาว 6 หน่วย และผลบวกของอกี สองดา้ นเปน็ 10 หน่วย (82.1) ถ้าฐานตรึงอยกู่ ับท่ี กราฟท่ปี ระกอบด้วยจุดยอดของสามเหล่ียมจะเป็นรูปใด (82.2) ใหห้ าสมการกราฟดงั กล่าว ถา้ ฐานตงั้ อยู่บนแกน x โดยมีจุดกําเนิดอยตู่ รงกลาง (83) [Ent’39] ให้หาสมการเส้นตรงที่ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงรี 4x2+ 9y2− 48x + 72y + 144 = 0 และตั้งฉากกบั 3x + 4y = 5 (84) [Ent’37] ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงคูข่ นานท่ที าํ มมุ 45° กับแกน x และผ่านจุดโฟกัสทัง้ สอง ของวงรี x2+ 3y2− 4x − 2 = 0 มคี ่าเท่าใด (85) [Ent’38] ให้จดุ F1 และ F2 เปน็ จดุ โฟกสั ของวงรี kx2+ 4y2− 4y = 8 และวงรีนตี้ ัดแกน y ที่ จุด B ซงึ่ อยเู่ หนือแกน x ถ้าสามเหลี่ยม F1F2B มีพ้ืนที่ 3 7/4 ตารางหนว่ ย แล้วคา่ k เปน็ เท่าใด (86) นายแดงปีนขึ้นไปบนสะพานโค้งทมี่ ีลักษณะเปน็ ครงึ่ วงรี ปลายทั้งสองห่างกัน 4 เมตร และมี ระยะสูงสุด 1 เมตร ถ้าเขาอยู่บนสะพานในตําแหนง่ ที่หา่ งจากปลายขา้ งหน่ึง เป็นระยะตามแนวราบ 80 ซม. เขาจะอยูส่ งู จากพน้ื กี่เซนตเิ มตร Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 102 เรขาคณติ วเิ คราะห 4.7 ภาคตดั กรวย : ไฮเพอร์โบลา นิยาม ไฮเพอรโ์ บลา คือ “เซตของคู่อันดับท่ี ผลตา่ งของระยะทางไปถึงจดุ คงทส่ี องจดุ มีคา่ เท่ากนั ” เรียกจุดคงท่ีสองจุดน้ัน ว่า จุดโฟกสั (F1, F2 ) และนอกจากนี้ ผลต่างระยะทางซงึ่ เปน็ ค่าคงท่ี น้ัน จะมคี า่ เท่ากับ ความยาวของแกนตามขวาง (2a) พอดี ไฮเพอรโ์ บลาท่ีมจี ุดศนู ย์กลางที่ C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว 2b จะมีสมการเป็น ⎜⎝⎛ x ⎟⎠⎞2− ⎜⎝⎛ y ⎟⎠⎞2= 1 (แบบออ้ มแกน x) หรอื ⎜⎝⎛ y ⎠⎟⎞2− ⎝⎜⎛ x ⎟⎠⎞2= 1 (ออ้ มแกน y) a b a b ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง) B1 (h,k+b) (x −h)2 − (y −k)2 =1 a2 b2 จุดศูนย์กลาง C (h, k) ⎫ b c ⎬ แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b (⎭hC,k)(hV+a1 ,k) F2 V2 a (hF+1 c,k) ระยะโฟกสั c = a2+ b2 B2 รปู ทั่วไป Asymptote a(y-k)=b(x-h) Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Asymptote ไฮเพอร์โบลา (ตงั้ ) Asymptote F1 (h,k+c) (y −k)2 − (x −h)2 =1 b(y-k)=a(x-h) a2 b2 จุดศูนย์กลาง C (h, k) B2 V1 (h,k+a) แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b Asymptote b C (h,k) B1 (h+b,k) ระยะโฟกัส c = a2+ b2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎬ a c ⎨ ⎭ รูปทว่ั ไป ⎩⎪ V2 F2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 นยิ าม แกนตามขวาง (Transversal Axis) V1V2 และ แกนสังยุค (Conjugate Axis) B1B2 ใชใ้ นการสร้าง เสน้ กาํ กับ (Asymptote) สองเสน้ เพ่อื บงั คับความกว้างของไฮเพอร์โบลา ข้อสังเกต 1. การวาดกราฟไฮเพอรโ์ บลา เปรยี บเสมือนว่ามีวงรอี ยู่ในกรอบตรงกลาง โดยใช้จุดศนู ยก์ ลางร่วมกนั และแกนตามขวางกับแกนสงั ยุคจะทบั แกนเอกและโทของวงรีพอดี แตส่ าํ หรบั ไฮเพอรโ์ บลา a ไม่จําเปน็ ต้องมากกวา่ b (แกนใดเครอื่ งหมายบวก จะอ้อมแกนนนั้ ) 2. ถา้ a = b (ส่เี หล่ียมจัตรุ ัส) รูปวงรตี รงกลางจะกลายเปน็ วงกลม สามารถเรยี กไฮเพอรโ์ บลานั้น ว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 103 เรขาคณิตวเิ คราะห • ตัวอยา ง ใหสรา งสมการไฮเพอรโ บลาทีม่ ีจุดศนู ยกลางที่ (2, 1) มีจุดโฟกสั ที่ (2, −4) และจดุ ยอดที่ (2, 4) และตอบในรปู Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสทิ ธท์ิ กุ ตัวเปน จํานวนเต็ม วธิ ีคดิ จุดศนู ยก ลาง จดุ โฟกสั และจุดยอด เรียงกนั โดยคา x เทา กนั และ y ตา งกนั แสดงวา เปน ไฮเพอรโ บลาออ มแกนตง้ั ... สมการคือ (y −k)2 − (x −h)2 = 1 a2 b2 เนือ่ งจากคา a = (4) − (1) = 3 และคา c = (−4) − (1) = 5 ดังนน้ั b = 52−32 = 4 แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน (y −1)2 − (x −2)2 = 1 32 42 กระจายสมการ 16(y−1)2− 9(x−2)2 = 144 → 16y2−9x2−32y+36x−164 = 0 หมายเหตุ อาจตอบใหอ ยใู นรปู สมั ประสทิ ธ์ิของ x เปนบวก กไ็ ด โดยนํา −1 คณู ท้ังสมการ กลายเปน 9x2−16y2−36x+32y+164 = 0 • ตวั อยาง ใหห าสวนประกอบตา งๆ ของรูปไฮเพอรโ บลาทีม่ ีสมการเปน x2−5y2+10y−25 = 0 วิธีคิด จัดกําลงั สองสมบูรณเ หมือนเดมิ ...x2 − 5(y2− 2y) = 25 สังเกตไดวา ไมม ีพจน x กาํ ลงั หนง่ึ แสดงวาทีแ่ กน x ไมม ีการเลือ่ นแกน และไมต อ งจัดรูป เติมตัวเลขทง้ั สองขาง เปน x2 − 5(y2− 2y + 1) = 25 - 5 ... นน่ั คือ x2 − 5(y − 1)2 = 20 (การจดั รปู กาํ ลงั สองสมบรู ณใ นขอนี้ หลายจดุ ตอ งระวงั พลาดเรื่องเครือ่ งหมายลบ) นําตัวเลขทีเ่ หลือทางขวา คือ 20 หารตลอดสมการ จะได x2 − (y − 1)2 = 1 20 4 ตอบ เปนสมการไฮเพอรโ บลา (ออ มแกนนอน) จดุ ศูนยก ลางคือ (0, 1) เนื่องจากคา a = 20, b = 2 จะได c = 20 + 4 = 24 ดังนน้ั จดุ ยอดคือ (± 20, 1) จุดโฟกัสคือ (± 24, 1) และจุดปลายแกนสังยุคคือ (0, 1±2) นยิ าม สําหรบั วงรแี ละไฮเพอรโ์ บลา ความเยอ้ื งศูนย์กลาง (Eccentricity; e) คอื ค่าทบ่ี อก วา่ จุดโฟกัสและจดุ ยอด อยู่หา่ งจากจดุ ศูนย์กลางเปน็ อัตราสว่ นเทา่ ใด นน่ั คอื e = c / a จะพบว่าค่า e ของวงรี อยรู่ ะหว่าง 0 กบั 1 เสมอ (ถ้า e ย่งิ มากขน้ึ วงรีจะยิ่งแคบลง) และคา่ e ของไฮเพอรโ์ บลา มากกว่า 1 เสมอ (ถ้า e ยงิ่ มากขนึ้ กราฟจะยงิ่ กวา้ งข้นึ ) เพ่ิมเติม S e·¤¹i¤¡ÒèíÒ! S 1. รูปวงรี และไฮเพอรโ์ บลา ก็มีเลตสั เรกตมั และ เส้นไดเรกตริกซด์ ้วย (คิดไม่เหมือนกบั พาราโบลา) ǧÃÕ a ÂÒÇ·èÊÕ u´ äÎe¾oÃoºÅÒ c ÂÒÇ·èÊÕ ´u แตไ่ ม่ไดก้ ล่าวถึงในหลกั สตู ร ม.ปลาย ´§a ¹¹éa a2=c2+b2 ´§a ¹¹éa c2=a2+b2 2. ภาคตัดกรวยในรูปเต็มคือ ca ac Ax 2+ By 2+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 b b โดยท่ี C ≠ 0 ลกั ษณะกราฟจะเป็นเหมอื นรปู ใดรูปหน่ึงใน 4 รูปท่ี ไดศ้ ึกษาแลว้ แตแ่ กนจะถกู หมนุ ไปจากเดมิ เชน่ อาจ เปน็ รูปวงรเี ฉยี งๆ ... จะได้ศกึ ษาการจัดสมการและ เขียนกราฟเหลา่ นีใ้ นระดบั มหาวิทยาลัย Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 104 เรขาคณติ วเิ คราะห นอกจากนี้ไฮเพอร์โบลามมุ ฉากอีกรปู แบบหน่งึ ได้แก่สมการในรูป xy = k เมือ่ k เปน็ ค่าคงท่ี ไฮเพอร์โบลาน้มี ีแกนนอนและแกนตง้ั เปน็ เสน้ กาํ กับ และมีส่วนประกอบต่างๆ ดงั ภาพ F1 ไฮเพอร์โบลามุมฉาก V1 C (0,0) xy = k k > 0 V2 จุดศนู ยก์ ลาง C (0, 0) F2 จุดยอด V1 ( k, k) V2 (− k, − k) จุดโฟกสั F1 ( 2k, 2k) F2 (− 2k, − 2k) F1 ไฮเพอร์โบลามุมฉาก V1 C (0,0) xy = −k k > 0 V2 F2 จดุ ศนู ย์กลาง C (0, 0) จุดยอด V1 (− k, k) V2 ( k, − k) จดุ โฟกัส F1 (− 2k, 2k) F2 ( 2k, − 2k) แบบฝกึ หดั 4.7 (87) จงหาสมการรปู ท่วั ไปของไฮเพอร์โบลา ที่มีลกั ษณะดงั แตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ (87.1) จุดศูนย์กลางอยู่ท่ี (−3, 1) มีจดุ ยอดท่ี (2, 1) และแกนสงั ยคุ ยาว 6 หน่วย (87.2) จดุ โฟกัสอยทู่ ่ี (−1, −6) และ (−1, 4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หน่วย (87.3) จุดโฟกสั อยู่ท่ี (0, 4) และ (0, −4) และมจี ดุ ปลายแกนสังยคุ เป็น (3, 0) (88) ใหห้ าสว่ นประกอบตา่ งๆ ท้ังหมดของไฮเพอรโ์ บลา (88.1) 9x2− 4y2= 36 (88.2) 9x2− 16y2− 18x − 64y − 199 = 0 (88.3) 6x2− y2− 36x − 2y + 59 = 0 (88.4) 6x2− 10y2− 12x − 40y − 94 = 0 (89) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจดุ P (x, y) ซงึ่ ผลตา่ งของระยะทางจาก P (x, y) ไปยังจุด (3, 0) กบั (−3, 0) เปน็ 4 หนว่ ย Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 105 เรขาคณติ วเิ คราะห (90) [Ent’32] ใหห้ าสมการกราฟทีท่ าํ ให้ผลคณู ระยะทางจาก P (x, y) ใดๆ ในกราฟ ไปยงั เส้นตรง 4x − 3y = −11 และ 4x + 3y = −5 เป็น 144/25 (91) ให้หาส่วนประกอบของกราฟรูปตอ่ ไปน้ี (91.1) จดุ ยอด และจุดโฟกสั ของ xy = −4 (91.2) จดุ ศนู ย์กลางของ xy + 2x − y = 3 (92) [Ent’32,36] ถา้ ภาคตัดกรวยรูปหนงึ่ มีสมการเปน็ 9x2− 18x = 16y2+ 64y + 199 แล้ว ผลรวม ของระยะทางจากจุดโฟกัสทง้ั สองไปถงึ เสน้ ตรง 3x + 4y = 8 เป็นเทา่ ใด (93) [Ent’34] ถ้า F1 เปน็ จดุ โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา 6x2− 10y2− 12x − 40y − 94 = 0 และอยู่ใน ควอดรนั ตท์ ี่ 4 แลว้ ให้หาสมการพาราโบลาทม่ี ีจุดยอดอย่ทู ี่ F1 และมีไดเรกตริกซเ์ ปน็ แกนสังยุคของ ไฮเพอรโ์ บลา (94) [Ent’39] กําหนดไฮเพอร์โบลา 9(x−1)2− 4(y−2)2= 36 ให้หาสมการวงรีซ่งึ ผลบวกของ ระยะทางจากจดุ ใดๆ บนวงรี ไปยงั จดุ ท่ีไฮเพอร์โบลาตัดแกน x ท้ังสองจดุ เป็น 8 หนว่ ย (95) [Ent’37] กาํ หนด E แทนวงรี 6x2+ 5y2+ 12x − 20y − 4 = 0 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลาทมี่ ีจุด ศูนยก์ ลางร่วมกับ E, มีจดุ ยอดอย่ทู ่ีเดียวกบั จดุ โฟกัสของ E, และมีความยาวแกนสังยคุ เท่ากับความ ยาวแกนโทของ E พอดี (96) ให้สังเกตวา่ กราฟของสมการแต่ละขอ้ เป็นภาคตดั กรวยรูปใด โดยไมต่ ้องคาํ นวณ (96.1) x2+ y2− 6x − 8y + 12 = 0 (96.6) 3x2+ 3y2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.2) x2+ 2y2− 2x + 4y − 13 = 0 (96.7) 3x2− 3y2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.3) x2+ 2x − y + 3 = 0 (96.8) 3x2− 2 = −y2+4y (96.4) x2− y2− 2x − 2 = 0 (96.9) 3x2− 2 = y2+4y (96.5) x2− y2= 4 (96.10) 3x2− 2 = 4y เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) 61 (2) 2 (26) ... (27) 2x + 3y = 6 (46) −11/12 + 41/12 = 2.5 (3) 5 (4) หนา้ จัว่ (28) 1/48 (29) y = 4 x − 16 (47) 40/ 58 (5) 2 × (9 2 + 34) (30) 5 (31) 2x + 3y + 1 = 0 (48) −88 + 16 = −72 (6) 3 10 (7) ถกู ทุกขอ้ (49) (2, −11/4), (8, 1/4) (8) (29/4 , 0) (9) (4, 3) (32) (0, −20/9) (33) (−7/3, 0) (50) 45° (51) 75° (52) 3 (10) 41 + 26 + 17 (34) y = x + 3/5 (35) 10 (53) x − 7y − 7 = 0 หรือ (11) –3 (12) 10 (36) (−2, 3), Q2 (37) 16/3 7x + y − 5 = 0 (13) 72, (5, 4) (14) 15 (38) ถูกทั้งสองข้อ (15) ผดิ ทง้ั สองขอ้ (16) 31 (39) y = (11/2) x + 1 , (54) y = 3x + 6 (17) 3 (18) 2 (55) 4x − 3y + 20 = 0 , (19) (−4, 6),(8, −3) a = −2/11, b = 1 (20) ขนาน (21) (2, 3) 3x + 4y + C = 0 (22) –30 (23) –2 (40) x + 2y − 7 = 0 (24) –8/5 (25) 10 (56) (−1/2, −1/2) (41) −1/2, (6, 0) หรอื 4, (−3, 0) (57) (4, 2) (42) 7.5 (43) 19.5 (44) 13/2 (45) 0, 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 106 เรขาคณิตวิเคราะห (58.1) (4, −3) (58.2) (−1, −2) (58.3) (−1, 2) (79.4) 25x2+ 16y 2+ 100x − 32y − 284 = 0 (59.1) x2+ y2− 6x − 8y + 12 = 0 (79.5) 25x2+ 21y 2− 100x − 42y − 404 = 0 (59.2) x2+ y2− 3x − 3y + 4 = 0 (80.1) C (0, 0), V (±3, 0) , F (± 5, 0) , (59.3) x2+ y2− 4x + 2y = 0 (59.4) x2+ y2+ 4x − 6y − 3 = 0 B (0, ±2) (59.5) x2+ y2− 3x + 3y − 8 = 0 (60) 3 (61.1) x + y = 4 (80.2) C (3, 5), V (3, 5±6) , F (3, 5±4), (61.2) 4x − y = ± 17 (61.3) 4x + 3y = 20 , 12x − 5y = −52 B (3± 20, 5) (62.1) (x−2)2+ (y−2)2= 4 (62.2) (x−2)2+ (y−2)2= 1 , (x+1)2+ (y+1)2= 1 (80.3) C (1, 0), V (1±3, 0), F (1±2, 0), (62.3) (x+1)2+ (y−2)2= 13 (63) k < 25 (64) 4 3 (65) y = 2x , (x+1)2+ (y+2)2= 5 B (1, ± 5) (66) 9 (67) 12x2− 4y2= 3 (68.1) y2− 28x − 6y − 47 = 0 (81.1) 5x2+ 9y2= 180 (68.2) y2+ 12x = 0 (68.3) y2+ 9x = 0 (81.2) 25x2+ 16y2− 100x − 128y − 44 = 0 (68.4) x2− 4x − 40y − 116 = 0 (82.1) วงรี (82.2) 16x2+ 25y2= 400 (68.5) x2− 10x − 2y + 21 = 0 (83) 4x − 3y = 36 (84) 2 2 (68.6) y2− 8x − 4y + 4 = 0 (85) 9/4 (86) 80 (68.7) 2y2− x − 12y + 19 = 0 (87.1) 9x2− 25y2+ 54x + 50y − 169 = 0 (68.8) x2+ 2x − y + 3 = 0 (87.2) 9x2− 16y2+ 18x − 32y + 137 = 0 (69) 1465/8 (70.1) (0, 3) , y + 3 = 0 , 12 (87.3) 7x2− 9y2+ 63 = 0 (70.2) V (−3, 5) , F (−6, 5), เลตสั เรกตมั ยาว (88.1) C (0, 0), V (±2, 0) , F (± 13, 0), 12, ไดเรกตริกซค์ อื แกน y (70.3) (7, 2) (70.4) (± 2, 0) B (0, ±3) (71.1) x2+ 4x − 24y + 52 = 0 (71.2) y2− 4x − 2y + 9 = 0 (88.2) C (1, −2), V (1±4, −2) , F (1±5, −2) , (72) 12 (73) 6 5 (74) 4x − 3y + 14 = 0 (75) x2− 6x + 12y − 15 = 0 B (1, −2±3) (76) y2+ 3x = 0 (77) 145/16 (78) 2/3 หน่วย (88.3) C (3, −1), V (3, −1± 6), (79.1) 16x2+ 9y2− 96x + 18y + 9 = 0 F (3, −1± 7), B (3±1, −1) (79.2) 64x2+ 39y2= 2496 (88.4) C (1, −2), V (1± 10, −2) , (79.3) 4x2+ 9y2+ 8x − 36y + 4 = 0 F (1±4, −2), B (1, −2± 6) (89) 5x2− 4y2= 20 (90) 16x2− 9y 2+ 64x + 18y + 55 = ± 144 (91.1) V (±2, ∓2) , F (±2 2, ∓2 2) (91.2) (1, −2) (92) 6 (93) y2− 16x + 4y + 84 = 0 (94) 23x2+ 36y2− 46x = 345 (95) x2− 5y2+ 2x + 20y − 14 = 0 (96.1) วงกลม (96.2) วงรี (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอรโ์ บลา (96.5) ไฮเพอรโ์ บลา (96.6) วงกลม (96.7) ไฮเพอรโ์ บลา (96.8) วงรี (96.9) ไฮเพอรโ์ บลา (96.10) พาราโบลา Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 107 เรขาคณิตวเิ คราะห เฉลยแบบฝกึ หดั (วิธคี ดิ ) (1) |P1P2 | = (1 + 5)2 + (7 − 2)2 = 62 + 52 = 61 ข. |DE| = 42 + 82 = 80 = 4 5 (2) P (2 + 6 , 7 − 3) = (4, 2) Q (−2 + 8 , 5 + 1) |EF| = 72 + 142 = 245 = 7 5 22 22 |DF| = 32 + 62 = 45 = 3 5 = (3, 3) ∴|PQ| = 12 + 12 = 2 พบว่า |DE|+|DF|=|EF| แสดงว่า (3) |OD|= 22 + 42 = 20 ดงั นน้ั D, E, F อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกนั ... ถูกตอ้ ง (จุด E กับ F เปน็ จุดปลาย) |PC|= 20 = 5 หน่วย ∴|PQ|= 5 ดว้ ย ค. |AB| = 42 + 22 = 20 = 2 5 2 |BC | = 42 + 22 = 2 5,| AC | = 82 + 42 = 4 5 และเนอื่ งจาก DC อยู่ท่ีความสงู y = 4 พบว่า |AB|+ |BC|=|AC| แสดงว่า ดงั นน้ั PQ อยทู่ ี่ y = 2 A, B, C อยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกนั ... ถูกตอ้ ง (8) สมมติจดุ P มีพิกดั (x, 0) ก็จะไดว้ า่ ความสูงของ Δ จาก C มายงั PQ คือ 2 หนว่ ย (x − 1)2 + 22 = (x − 3)2 + 52 กระจายได้ จะได้ พ้นื ท่ี Δ = 1 × 2 × 5 = 5 ตร.หนว่ ย x2 − 2x + 1 + 4 = x2 − 6x + 9 + 25 2 น่ันคอื 4x = 29 → x = 29 ∴ P(29 , 0) (4) |AB| = 112 + 42 = 137 , |BC| = 44 72 + 72 = 98 ,|AC| = 42 + 112 = 137 (9) สมมตจิ ดุ ศนู ยก์ ลางมพี ิกดั (x, y) ดงั นน้ั (x − 1)2 + (y − 7)2 = (x − 8)2 + (y − 6)2 → |AB|=|AC| แสดงวา่ เปน็ Δ หนา้ จวั่ = (x − 7)2 + (y + 1)2 (เทา่ กันทง้ั สามกอ้ น) (5) เส้นรอบรูป Δ ABC จะยาวเปน็ 2 เท่าของเสน้ นาํ มาเขียนสมการเป็น 2 คู่ เพอื่ หา x, y เช่น รอบรูป Δ PQR เสมอ A x2 −2x+1+y2 −14y+49 = x2 −16x+64+y2 −12y+36 เพราะ |AB|= 2|PQ|, R คอื 7x − y = 25 ..... (1) และอกี สมการ |BC| = 2|QR| Q x2 −2x+1+y2 −14y+49 = x2 −14x+49+y2 +2y+1 และ |AC| = 2|PR| B คือ 3x − 4y = 0 ..... (2) P จะได้ x = 4, y = 3 ดังนนั้ ตอบ (4, 3) C (10) A ไปยังจดุ กงึ่ กลางของ BC (คือ (4 − 2 , 3 + 5) = (1, 4)) → 12 + 52 = 26 หาค่า |PQ| = 72 + 12 = 50 = 5 2 , 22 |QR| = 32 + 52 = 34 และ B ไปยังจดุ กง่ึ กลางของ AC |PR| = 42 + 42 = 32 = 4 2 (คอื (0, 2)) → 42 + 12 = 17 C ไปยงั จดุ ก่ึงกลางของ AB ดังนน้ั เสน้ รอบรปู Δ ABC = 2 × (9 2 + 34) (คอื (3, 1)) → 52 + 42 = 41 รวม 26 + 17 + 41 (6) P(3(2) + 1(6) , 3(8) + 1(12)) = (3, 9) (11) จุดตัดของเสน้ มธั ยฐาน 44 Q(1(6) + 3(−2) , 1(12) + 3(−4)) = (0, 0) (m, n) = (4 − 4 + 4 , 5 + 7 + 1) = (4 , 13) 3 3 33 44 ∴| PQ | = 32 + 92 = 90 = 3 10 จะได้ m − n = − 9 = −3 3 (7) ก. |AB|= 72 + 32 = 58 |BC | = 32 + 72 = 58 , | AC | = 42 + 102 = 116 พบวา่ |AB|2 + |BC|2 =|AC|2 แสดงวา่ Δ ABC เป็นสามเหลยี่ มมุมฉาก ... ถูกตอ้ ง (มุม B เป็นมมุ ฉาก) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 108 เรขาคณติ วิเคราะห (12) จุดกึ่งกลางของ BC คือ (16) ลาํ ดับที่เขยี น ตอ้ งเรียงทวนเขม็ นาฬกิ า D (6 − 4 , 7 − 3) = (1, 2) เช่น A, E, D, B, C, A E 22 DA 14 วธิ คี ดิ 1 หาจดุ A(x, y) โดย BC 1⋅ −2 7 (x + 6 − 4 , y + 7 − 3) = (4 , 1) → 2 3 33 พื้นที่ = −4 5 −3 −2 (x, y) = (2, −1) ดงั นนั้ เสน้ มธั ยฐาน จาก A(2, −1) −1 −3 ไปยงั D(1, 2) มขี นาด 12 + 32 = 10 ... ตอบ 14 วธิ ีคดิ 2 หาระยะจาก P(4 , 1) ไปยัง D(1, 2) ได้เปน็ 3 = 1 (8 + 28 + 15 − 2 + 3 + 7 − 10 + 8 + 9 − 4) 2 (1)2 + 12 = 10 และใชส้ มบตั ิวา่ เสน้ มธั ยฐาน = 31 ตร.หนว่ ย 33 (17) mAB = mAC → k −2 = 4−2 ∴k = 3 2−1 3−1 |AD|= 3 เทา่ ของ |PD|→ ∴ ตอบ 10 (13) P(0, 0) , Q(3, 12) , R(12, 0) (18) วธิ คี ดิ เหมอื นขอ้ ทแ่ี ลว้ คอื y − 6 = −2 − 6 ดงั น้นั y = 2 1+2 4+2 พื้นที่ = 1 × สูง × ฐาน Q (3,12) (19) จากภาพ A 2 จะได้ A (−4, 6) 3 = 1 × 12 × 12 2 และ B (8, −3) 43 = 72 ตร.หน่วย P R (12,0) 43 B จดุ ตัดของเสน้ มธั ยฐาน 4 (0 + 3 + 12 , 0 + 12 + 0) = (5, 4) (20) mAB = 5−2 = 1, mCD = 8−4 = 1 33 4−1 2+2 (14) พลอ็ ตจุดคร่าวๆ เพอ่ื หาลาํ ดับ A ∴mAB = mCD → ขนานกนั ของจุดบนเสน้ รอบรปู ได้ดังภาพ B 13 (21) สมมติ D(x, y) จะไดว้ า่ mAB = mCD 1⋅ พนื้ ท่ี ΔABC = 2 −2 0 C → 1 + 4 = y + 2 → 5x − y = 7 ..... (1) 3 −5 −4 + 5 x − 1 13 = 1 (6 + 5 + 10 + 9) = 15 ตร.หนว่ ย และ mAD = mBC → y−1 = −2 + 4 2 x+4 1+5 สว่ น PQR ไมเ่ ปน็ Δ เพราะอยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั → 3y − x = 7 ..... (2) ดังนน้ั พืน้ ท่ี = 0 ∴ ตอบ 15 ตร.หนว่ ย แก้ระบบสมการได้ D(x, y) = (2, 3) (15) ก. |PQ| = 52 + 52 = 5 2 (22) ความชนั (3, 2),(1, −4) คอื −4 − 2 = 3 1− 3 |QR| = 22 + 12 = 5, |PR| = 32 + 62 = 3 5 ∴ ความชนั (k, 7),(−3, −2) คือ − 1 จะได้ความยาวรอบรูป = 4 5 + 5 2 หนว่ ย 3 1⋅ 3 −2 QR ดงั นน้ั − 1 = 7 + 2 → k = −30 2 3 k+3 ข. พนื้ ที่ = 0 4 −2 3 6−5 1 3 −2 (23) mAB = 3−1 = 2 ∴ mCD = −2 = 1 (8 − 9 + 12 + 4) = 7.5 ตร.หนว่ ย P จะได้ −2 = 4 + m → m = −2 2 m+1 (24) ความชนั ของรศั มที ผี่ ่าน (5, 6) กบั (−3, 1) คอื ดงั นน้ั ก. ผดิ และ ข. ผดิ 6 − 1 = 5 ... และเนอ่ื งจากเสน้ สมั ผสั จะต้ังฉากกบั 5+3 8 รัศมีเสมอ จึงไดว้ ่า mL = −8 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 109 เรขาคณิตวเิ คราะห (25) mAB = − 1, mAC = −4, mBC =7 แสดง (32) ความชันของ 3x − 4y + 5 = 0 คอื 3 → 7 3 4 ว่า AB ⊥ BC ดังรปู B ความชนั ของอีกเส้น คือ − 4 และเนอ่ื งจาก 3 A วงกลมที่ลอ้ มรอบ Δ มุมฉาก ผ่านจดุ ตดั แกน x คือ (− 5 , 0) → 3 จะทาํ ให้ ดา้ นตรงข้ามมุมฉาก C สรา้ งสมการ y = − 4 (x + 5) เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง เสมอ 33 ∴ ความยาวเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง =|AC| จะหาจดุ ตดั แกน y ของเสน้ น้ไี ดเ้ ปน็ = 62 + 82 = 10 หน่วย (0, − 4 ⋅ 5) = (0, − 20) (26) ก. 3, −7, 5 33 9 7 3 2 (33) ความชันของ 2x + 3y + 5 = 0 คอื mAB = mBC = mAC = → AB ⊥ BC −2 → mL = 3 3 2 ข. mDE = −2, mEF = −2 → DE // EF สมการ L คือ y − 5 = 3 (x − 1) → ค. mAB = 1, mBC = 1 → AB // BC 2 2 2 ดังนนั้ ถูกทุกขอ้ จุดตัดแกน x (แทน y ดว้ ย 0) คอื (− 7 , 0) 3 (27) x-intercept = 3 , y-intercept = 2 → (34) mM = 1 → mL = 1 , x + y = 1 → 2x + 3y − 6 = 0 32 ระยะตดั แกน y ของ N (แทน x = 0 ) คอื 3 5 3+5 8 (28) สรา้ งสมการของ L กอ่ น → mL = 1+2 = 3 ∴ L มคี วามชนั 1 และผา่ นจดุ (0, 3) 5 → y − 3 = 8 (x − 1) → 8x − 3y + 1 = 0 → y − 3 = 1x → y = x + 3 3 55 จากนน้ั หาระยะตัดแกน x และ y (โดยแทน (35) L1 ; y = (2 − 0)(x + 2) → y = 1x+1 2+2 2 y = 0 และแทน x = 0 ตามลําดบั ) L L2 ; mL2 = −2 → y = −2(x + 2) = −2x − 4 ได้เปน็ − 1 และ 1 83 1/3 L3 ; x+ y = 1→ y = 3x − 4 (4 / 3) −4 แสดงวา่ 1/8 จะได้ จุดตดั L1, L2 คอื (−2, 0) พ้นื ที่ Δ = 1 × 1 × 1 = 1 ตร.หน่วย จุดตัด L2, L3 คอื (0, −4) L1 2 8 3 48 จดุ ตดั L3, L1 คอื (2, 2) L2 L3 (29) จดุ ตัดแกน x คอื (4, 0) 22 1⋅ → mL = 8−0 = 4 ∴ พน้ื ท่ี = 2 −2 0 6−4 0 −4 สมการคอื y = 4(x − 4) → y = 4x − 16 2 2 (30) สรา้ งสมการเส้นทแยงมุม AC กับ BD = 1 (4 + 8 + 8) = 10 ตร.หนว่ ย 2 AC ; y − 2 = (2 + 6)(x − 1) → y = 2x (36) mL1 = 2 = mL2 → 1+ 3 3 BD ; y + 1 = ( −1 + 5)(x + 2) → y = −x − 3 L2 : y − 3 = 2 (x + 2) → y = 2 x + 13 ..... (1) −2 − 2 3 33 จุดตดั ของเส้นทัง้ สอง คอื P(−1, −2) mL3 = −3 → L3 :y +1= − 3 (x − 2) 2 2 3 ตอบ 12 + 22 = 5 → y = − 3 x ..... (2) (31) m = − A = − 2 , จดุ ตดั ของ x + y = 1 2 B3 สมการเสน้ ตรงทง้ั สองตดั กนั ทจ่ี ุด (−2, 3) → Q2 และ 2x + y = 5 คือ (4, −3) ดังนน้ั สมการทต่ี อ้ งการคอื y + 3 = − 2 (x − 4) → 2x + 3y + 1 = 0 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 110 เรขาคณติ วิเคราะห (37) หาจุด A(3, k) → 4 = 32 + k2 (41) x + y = 1 → ผา่ นจดุ (−2, 4) → k = 7 (Quadrant 1 ) ∴ A(3, 7) a 9−a จากน้นั mOA = 7 → mL = − 3→ จะได้ −2 + 4 = 1 → a2 − 3a − 18 = 0 3 7 a 9−a → ได้ a = 6, −3 L : y − 7 = − 3 (x − 3) ถา้ a = 6 → b = 3 → สมการคอื 7 x + y =1→ y = − 1x+3 → 7y = − 3x + 16 → ระยะตดั แกน x = 16 63 2 3 ถา้ a = −3 → b = 12 → สมการคอื (38) L ⊥ AB → mAB = 2+1 = −1 − x + y = 1 → y = 4x + 12 −1 − 2 3 12 → mL = 1 → L : y + 1 = 1(x − 2) → ตอบ ความชัน − 1 ตดั แกน x ท่ี (6, 0) 2 ∴y=x−3 3 หรอื ความชนั 4 ตัดแกน x ท่ี (−3, 0) ระยะตดั แกน x = 3 (42) L : y = 0.5(x + 3) → จุด A คอื (0, 1.5) ระยะตดั แกน y = − 3 3 32 → mL = 0.5 ∴ mAB = −2 ก. ความยาวรอบรปู Δ = 3 + 3 + 3 2 = 6 + 3 2 AB : y − 1.5 = −2(x) → y = −2x + 1.5 ... ถูก เสน้ ตรงขนานแกน y ผ่านจดุ B ข. พนื้ ที่ Δ = 1 × 3 × 3 = 4.5 ตร.หน่วย ... ถูก 2 ตัดแกน x ที่ (−3, 0) B(-3,y) L A (39) |AB|= 62 + 32 = 45, แสดงว่าจุด B เป็น (−3, y) ดงั ภาพ C(-3,0) |BC | = 22 + 112 = 125, | AC | = 42 + 82 = 80 จดุ กงึ่ กลางของดา้ นทสี่ น้ั คอื กง่ึ กลาง AB → หาจุด B จากสมการ AB ได้ เป็น (−2 + 4 , 5 + 8) = (1, 13) B(−3, 7.5) → ∴|BC| = 7.5 22 2 (43) หาพิกดั จดุ B โดยสรา้ งสมการ AB และ BC นาํ มาแกห้ าจดุ ตดั .. และกง่ึ กลาง AC → (−2 + 2 , 5 − 3) = (0, 1) 22 AB : y − 5 = 3 (x + 3) → y = 3 x + 19 2 22 ดงั นนั้ สมการเสน้ ตรง คอื y − 1 = (13/2 − 1)(x) 1−0 BC : y + 4 = − 2 (x − 4) → y = − 2 x − 4 3 33 → y = 11 x + 1 2 หาจดุ ตัด (จดุ B ) ได้เปน็ (−5, 2) ตอบ ระยะตดั แกน x = − 2 , แกน y = 1 ∴ พนื้ ที่ Δ = 1 × |AB| × |BC| 11 2 (40) x + y = 1 → ผ่านจดุ (1, 3) = 1 × 22 + 32 × 92 + 62 = 1 × 13 × 3 13 2b b 22 จะได้ 1 + 3 = 1 → b = 7 ∴ a = 7 = 19.5 ตร.หนว่ ย 2b b 2 หมายเหตุ หาพกิ ัดจดุ B โดยความชนั ก็ได้ สมการเสน้ ตรงน้ี คอื x + y = 1 → x + 2y − 7 = 0 mAB = 3 → y −5 = 3 7 (7 / 2) 2 x +3 2 mBC = −2 → y+4 = −2 3 x−4 3 ซง่ึ รูปสมการกเ็ หมอื นกับการสร้างเส้นตรงอยนู่ ั่นเอง.. (44) 2x − 3y = 6 คอื 4x − 6y − 12 = 0 → ระยะหา่ ง = | −12 − (−25) | = 13 = 13 42 + 62 42 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 111 เรขาคณิตวิเคราะห (45) สมมติเส้นตรงทตี่ อ้ งการ 3x − 4y + K = 0 (51) mL1 = 2−1 = 1 L1 3 −0 3 จะได้ 1 = | −5 − K | → ± 5 = −5 − K 60° 32 + 42 แสดงว่า L1 ทาํ มมุ 60° กับแนวนอน ในลักษณะดงั ภาพ ดงั นนั้ → K = 0 หรอื −10 คําตอบคอื 3x − 4y = 0 หรอื 3x − 4y − 10 = 0 mL2 = 3−4 = −1 L2 2−1 แตโ่ จทยใ์ ห้ Ax + 2y + C = 0 แสดงวา่ L1 ทาํ มมุ 45° กับแนวนอน 45° จึงตอ้ งนํา -1/2 คณู สมการใหก้ ลายเปน็ ในลักษณะดงั ภาพ ดงั นนั้ เสน้ ตรงทง้ั สอง L2 L1 − 3 x + 2y = 0 กับ − 3 x + 2y + 5 = 0 22 ทาํ มุมกนั 75° ดังภาพ 45° 75° 60° ดังนน้ั ตอบ C = 0 หรอื 5 (52) L1; y = 3(x − 1) → mL1 = 3 (46) L อยตู่ รงกลางระหว่าง L1, L2 พอดี แสดงว่า ห่างดา้ นละ 2 หนว่ ย → หาสมการ L1, L2 โดย → tan 30° = mL1 − mL2 1 + mL1mL2 2 = | −15 − C | → −15 − C = ±26 122 + 52 จะได้ 1 = 3 − mL2 → mL2 = 1 3 1+ 3mL2 3 ดังนนั้ C = 11 หรอื −41 ... สมการ L1, L2 คอื → L2 : y = 1x (ผา่ นจดุ กาํ เนดิ ) 12x − 5y + 11 = 0, 12x − 5y − 41 = 0 3 มีส่วนตัดแกน x (ระยะตัดแกน x ) = − 11 และ ดงั นนั้ หาจดุ C (จดุ ตดั ของ )L1, L2 12 41 → ตอบ −11 + 41 = 2.5 ได้เป็น (3 , 3) 22 12 12 (47) สมการ BC : y − 4 = (−3 − 4)(x − 5) → |CO| = (3)2 + ( 3)2 = 3 2−5 22 → 7x − 3y − 23 = 0 (53) | 3x + 4y + 1 | = | 4x − 3y − 6 | 55 ระยะจาก A มาตงั้ ฉาก BC หาจาก → 3x + 4y + 1 = ± (4x − 3y − 6) | 7(−2) − 3(1) − 23 | = 40 หน่วย ดังนน้ั ตอบ x − 7y − 7 = 0 และ 7x + y − 5 = 0 72 + 32 58 (54) A(−2, 0), B(0, 6) → (48) 4 = | 5(−3) − 12(2) + 3 − k | AB : y = (6)(x + 2) → y = 3x + 6 52 + 122 2 → ± 52 = −36 − k → k = 16, −88 (55) P(1 − 5 , 0 + 8) = (−2, 4), Q(1, 8) → 22 ดงั นน้ั ตอบ −72 PQ : y − 4 = (4)(x + 2) → 4x − 3y + 20 = 0 (49) ให้จดุ ทต่ี ้องการคอื (x, y) → 3 2x − 4y = 15 → y = 2x − 15 แทนคา่ ในสมการ 4 เส้นตรงตัง้ ฉากกบั PQ จะต้องมคี วามชัน − 3/4 ระยะทางจากจุดไปยงั เสน้ ตรง แต่โจทยไ์ มบ่ อกวา่ ผ่านจดุ อะไร จงึ ตอบตดิ คา่ C ไว้ ดงั น้ี 3x + 4y + C = 0 | 3x + 4(2x − 15) − 10 | 4 (56) mL = 1 → สร้างสมการเส้นตรงต้ังฉากกับ → 3= L และผา่ นจุด (−2, 1) ไดเ้ ปน็ 32 + 42 → ± 15 = 5x − 25 ..จะได้ x = 2 หรอื 8 ถา้ x = 2 → y = −11 / 4 y − 1 = −1(x + 2) → y = − x − 1 ถา้ x = 8 → y = 1 / 4 พบวา่ ตัดกบั L (ตัง้ ฉาก) ท่จี ดุ (− 1 , − 1) 22 ดงั นนั้ ตอบว่า (2, − 11) และ (8, 1) 44 ดังนนั้ โพรเจคชนั ของ (-2,1) บน L คอื (− 1 , − 1) 22 (50) tan θ = 5 − (2/3) = 1 → ∴ θ = 45° 1 + 5 (2/ 3) [หมายเหตุ เนอ่ื งจากเปน็ เสน้ ตรง y=x จึงสามารถใช้ สูตรลดั ไดด้ ว้ ยวา่ (−2 + 1 , −2 + 1) = (− 1 , − 1) ] 22 22 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 112 เรขาคณติ วิเคราะห (57) วิธีคดิ เชน่ เดียวกบั ขอ้ ทแ่ี ล้ว (59.4) รจู้ ดุ ผ่าน 3 จดุ ต้องแกร้ ะบบสมการ 3 mL = 4 → สรา้ งเสน้ ตัง้ ฉากและผา่ น (0, 7) ไดเ้ ปน็ สมการ เพ่ือหา D, E, F ดงั น้ี 5 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y−7 = −5x 4 (−6)2 + (3)2 + D(−6) + E(3) + F = 0 ..... (1) (2)2 + (3)2 + D(2) + E(3) + F = 0 ..... (2) พบวา่ ตดั กับ L ทจ่ี ดุ (4, 2) ... ดงั นน้ั ตอบ (4, 2) (−2)2 + (7)2 + D(−2) + E(7) + F = 0 ..... (3) (58.1) (h, k) = (4, −3) แก้ระบบสมการได้ D = 4, E = −6, F = −3 (58.2) y + 2 =|x + 1| → (h, k) = (−1, −2) (58.3) (x2 + 2x +1) + (y2 − 4y +4) = 9 − 5 +1 +4 ดังนน้ั ตอบ x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 (59.5) หาจดุ ตดั ของวงกลมท้งั สองกอ่ น → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 → (h, k) = (−1, 2) โดยนําสมการลบกันเปน็ 5x = 5y → y = x (59.1) (h, k) = (3, 4) แทนคา่ เข้าไปอีกครงั้ ในสมการใดสมการหนง่ึ ไดเ้ ป็น x = 2 → y = 2 r = (3 − 1)2 + (4 − 1)2 = 13 หรอื x = −2 → y = −2 ดังนนั้ สมการวงกลมคอื ∴ จุดตดั มสี องจดุ คอื (2, 2),(−2, −2) → (x − 3)2 + (y − 4)2 = 132 ต่อมา หาสมการวงกลมท่ีผา่ นจุด (1, −5),(2, 2),(−2, −2) โดยคดิ วธิ ีเดยี วกบั ข้อทแี่ ล้ว กระจายได้ x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16 − 13 = 0 ( )x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 แก้ 3 สมการได้ D = −3, E = 3, F = −8 → x2 + y2 − 6x − 4y + 12 = 0 ดังนนั้ ตอบ x2 + y2 − 3x + 3y − 8 = 0 (59.2) (h, k) = (1 + 2 , 1 + 2) = (1.5, 1.5) 22 r = (2 − 1)2 + (2 − 1)2 = 2 22 → (x − 1.5)2 + (y − 1.5)2 = ( 2)2 (60) 3x2 + 3y2 + 11x + 15y = −9 → 2 x2 + y2 + 11 x + 5y + 3 = 0 → x2 − 3x + 2.25 + y2 − 3y + 2.25 = 0.5 3 → x2 + y2 − 3x − 3y + 4 = 0 จะไดว้ า่ เสน้ สัมผสั จากจดุ (0, 1) มีความยาว (59.3) หาจดุ ศนู ยก์ ลาง C(h, k) → หา่ งจากจดุ = (0)2 + (1)2 + 11 (0) + 5(1) + 3 = 9 = 3 หนว่ ย กาํ เนดิ (0, 0) และ (1, 1) เป็นระยะเท่ากนั 3 (h − 1)2 + (k − 1)2 = h2 + k2 (61.1) mรศั มี = 2−0 = 1 → mเส้นสัมผัส = −1 2−0 → h2 − 2h + 1 + k2 − 2k + 1 = h2 + k2 → y − 2 = −1(x − 2) → x + y = 4 → h + k = 1 ..... (1) (61.2) r = 17, C(h, k) = (0, 0) → และ CO ตง้ั ฉากกบั y = 2x (m = 2) สร้างสมการเสน้ ตรงผา่ น (0, 0) และ m = 4 ดังนนั้ −1 k = − 1 ..... (2) mCO = 2 → จะได้ y = 4x จากนน้ั h2 แกร้ ะบบสมการได้ (h, k) = (2, −1) ขยบั เส้นตรงนอี้ อกไปจากเดิม ∴r = 22 + 12 = 5 และสมการวงกลมคอื เป็นระยะ 17 หนว่ ย จะไดว้ า่ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 52 17 = | C − 0 | → C = 17, −17 → → x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 5 42 + 12 → x2 + y2 − 4x + 2y = 0 ดังนนั้ ตอบ y = 4x ± 17 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 113 เรขาคณติ วิเคราะห (61.3) วิธีแรก สมการเสน้ ตรงผา่ น (−1, 8) คอื ข. (h, k) ไปยงั เสน้ ตรง y = x + 2 เปน็ 1 หน่วย y − 8 = m(x + 1) → y = mx + m + 8 → | h − k + 2 | = 1 ..... (2) 12 + 12 เสน้ ตรงเส้นนส้ี มั ผัสวงกลม x2 + y2 = 16 แสดงวา่ ตัดวงกลมเพียงจดุ เดยี ว นั่นคอื สมการ แกร้ ะบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรอื (−1, −1) x2 + (mx + m + 8)2 = 16 จะตอ้ งมคี าํ ตอบเดียว จงึ ตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 12 หรอื กระจายสมการไดเ้ ปน็ (x + 1)2 + (y + 1)2 = 12 (m2 + 1) x2 + (2m2 + 16m) x + (m2 + 16m + 48) = 0 (62.3) ระยะทางจากจดุ C(h,k) ไปยังเสน้ ตรงทง้ั นนั่ คอื B2 − 4AC = 0 ได้ m = − 4 หรอื 12 สาม จะตอ้ งเทา่ กัน (เพราะเป็นรศั มวี งกลม) นน่ั คือ 35 | 2h − 3k + 21 | = | 3h − 2k − 6 | ตอบ 4x + 3y = 20, 12x − 5y = −52 22 + 32 32 + 22 วิธที ส่ี อง คดิ โดยหาระยะทางจากจดุ (−1, 8) ไป สัมผัสวงกลม x2 + y2 = 16 กอ่ น ไดเ้ ปน็ = | 2h + 3k + 9 | = r 32 + 22 (−1)2 + 82 − 16 = 7 หน่วย จากนั้นหาจดุ สัมผัสบนวงกลมซงึ่ อย่หู า่ งจาก (−1, 8) แกร้ ะบบสมการทลี ะคู่ ได้ (h, k) = (25, 2) หรอื (−1, 2) หรอื (−7.5, 34.5) หรือ (−7.5, −4.5) เป็นระยะ 7 หนว่ ย → (x + 1)2 + (y − 8)2 = 7 แตจ่ ากการวาดกราฟครา่ วๆ จะทราบวา่ จดุ (h, k) ท่ี อย่ภู ายใน Δ นจี้ รงิ ๆ คอื (−1, 2) เทา่ น้ัน → (x + 1)2 + (y − 8)2 = 72 จะได้ r = 13 → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 13 (เปน็ สมการวงกลมรัศมี 7 จากจดุ (−1, 8) นนั่ เอง) (63) จาก (x2 − 6x) + (y2 + 8y) = −k → → นาํ ไปตดั กับ x2 + y2 = 16 แกร้ ะบบสมการได้ (x2 − 6x + 9) + (y2 + 8y + 16) = −k + 9 + 16 x = − 48 → y = 20 , x = 16 → y = 12 13 13 5 5 → (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 − k ∴ จุดสมั ผสั คอื (− 48 , 20) กบั (16 , 12) จะเปน็ สมการวงกลมเมื่อ 25 − k > 0 → k < 25 13 13 55 จากนั้นสรา้ งสมการเสน้ สัมผสั ได้ (ระหวา่ ง 2 จดุ ) (64) คดิ แบบเดยี วกับข้อ 61.3 (วิธแี รก) → y = kx สัมผสั x2 + y2 − 14x + 49 = k2 (−1, 8) กบั (− 48 , 20) → ได้ 12x − 5y = − 52 13 13 แสดงว่า ตดั กราฟแคจ่ ดุ เดยี ว (ระบบสมการมีคาํ ตอบ เดยี ว) → แก้ระบบสมการได้ (−1, 8) กับ (16 , 12) → ได้ 4x + 3y = 20 55 x2 + (kx)2 − 14x + 49 − k2 = 0 (62.1) หาพกิ ดั ของจดุ ศนู ย์กลาง (h, k) โดย → (k2 + 1) x2 − 14x + 49 − k2 = 0 ก. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง ตอ้ งการ B2 − 4AC = 0 จะไดว้ า่ (6, 2) เป็น 4 หนว่ ย (h,k) 2 2 142 − 4(k2 + 1)(49 − k2) = 0 → (h − 6)2 + (k − 2)2 = 4 2 (6,2) → k = 0, 4 3, − 4 3 (12,-1) ข. ระยะทางจาก (h, k) ไปยงั โจทย์ตอ้ งการ k > 0 เทา่ น้ัน จงึ ตอบ 4 3 (2, −1) เป็น 3 หนว่ ย (65) x2 + 4x + 2 = −(y2 + 8y + 9) → → (h − 2)2 + (k + 1)2 = 3 (x2 + 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = − 2 − 9 + 4 + 16 แกร้ ะบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรอื (122 , − 46) → (x + 2)2 + (y + 4)2 = 32 25 25 เปน็ สมการวงกลม ซงึ่ มจี ดุ ศูนยก์ ลางท่ี C(−2, −4) หาสมการเส้นตรง OC ไดเ้ ปน็ แตใ่ นทีน่ ตี้ อ้ งการ (h, k) ใน Q1 จงึ เปน็ (2, 2) y = −4 x → y = 2x เท่าน้ัน... และตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 22 −2 (62.2) วงกลม x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0 จดั รปู ไดเ้ ปน็ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22 หาสมการวงกลมท่ีมี OC เปน็ เส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนนั้ จดุ ศนู ย์กลาง (h, k) ทีต่ อ้ งหาในขอ้ นี้ → (h, k) = (−2 + 0 , −4 + 0) = (−1, −2) 22 จะมีสมการระยะทางเปน็ ก. (h, k) ไปยัง (2, −1) เป็น 3 หนว่ ย r = 12 + 22 = 5 → (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 (รัศมีวงกลม 2 วง รวมกัน 2 + 1 = 3 ) → (h − 2)2 + (k + 1)2 = 3 ..... (1) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 114 เรขาคณิตวิเคราะห (66) x2 + y2 − 4x + 2y = 4 (68.5) แสดงวา่ อ้อมแกน y จะได้ มีจุดศนู ยก์ ลางท่ี (2, −1) (x − 5)2 = 4c(y + 2) แทนคา่ (3, 0) เพอื่ หาคา่ c ดังนน้ั สมการเสน้ ตรงคอื y + 1 = − 4 (x − 2) 4 = 4c(2) → 4c = 2 3 ตอบ (x − 5)2 = 2(y + 2) แกร้ ะบบสมการหาจุดตดั ของเสน้ ตรงกับวงกลม ไดเ้ ปน็ A(0.2, 1.4) และ B(3.8, −3.4) → → x2 − 10x − 2y + 21 = 0 Δ ABD = 1 ⋅ 0.2 1.4 (68.6) Directrix : x = − 2, F(2, 2) แสดงวา่ ออ้ ม 2 แกน x, หาจุดยอดไดเ้ ป็น (0, 2) [ก่ึงกลางระหวา่ ง พนื้ ที่ −1 −2 โฟกสั กบั ไดเรกตรกิ ซ]์ ดงั นน้ั c = 2 3.8 −3.4 0.2 1.4 = 1 × (0.68 + 7.6 + 1.4 + 5.32 + 3.4 − 0.4) ตอบ (y − 2)2 = 4(2)(x) 2 → y2 − 8x − 4y + 4 = 0 = 9 ตร.หนว่ ย (67) (x − 1)2 = (1 − y)(1 + y) → (68.7) ออ้ มแกน x → y2 + Dx + Ey + F = 0 หา คา่ D, E, F โดยแทนคา่ (1, 3),(9, 1), และ (51, −2) (x − 1)2 = (1 − y2) → (x − 1)2 + y2 = 12 จะไดว้ า่ (3)2 + D(1) + E(3) + F = 0 ..... (1) (เปน็ รปู วงกลม) ... ใหห้ าสมการซง่ึ (x, y) เป็นจดุ (1)2 + D(9) + E(1) + F = 0 ..... (2) ศูนยก์ ลางวงกลมทีส่ ัมผสั วงกลมน้ี และผา่ น (−1, 0) และ (−2)2 + D(51) + E(−2) + F = 0 ..... (3) แสดงวา่ ระยะทางจากจดุ (x, y) ไปยงั (−1, 0) = r และระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง (1, 0) = r + 1 แกร้ ะบบสมการได้ D = − 1 , E = −6, F = 19 22 จะได้ (x + 1)2 + y2 + 1 = (x − 1)2 + y2 → ดังนนั้ ตอบx2 + 2x + 1 + y2 + 2 (x + 1)2 + y2 + 1 = x2 − 2x + 1 + y2 y2 − 1 x − 6y + 19 = 0 22 → 2 (x + 1)2 + y2 = − 4x − 1 จากนนั้ ยกกาํ ลังสอง → 2y2 − x − 12y + 19 = 0 (68.8) ลองพลอ็ ตกราฟ → 4(x + 1)2 + 4y2 = 16x2 + 8x + 1 คร่าวๆ จะรู้วา่ เปน็ พาราโบลา (3,18) → 12x2 − 4y2 = 3 เปน็ สมการทีต่ อ้ งการ ออ้ มแกน y เทา่ นน้ั จงึ ตั้ง (-2,3) (0,3) สมการวา่ (68.1) แสดงว่า ออ้ มแกน x และ c = 7 x2 + Dx + Ey + F = 0 → แทนคา่ จุดทงั้ สามเพือ่ แก้ → (y − 3)2 = 4(7)(x + 2) → y2 − 28x − 6y − 47 = 0 ระบบสมการเชน่ เดียวกับขอ้ ทแ่ี ล้ว ได้คาํ ตอบเปน็ (68.2) แสดงวา่ อ้อมแกน x และ c = −3 D = 2, E = −1, F = 3 → (เพราะอัตราส่วนระยะโฟกัส ตอ่ ความยาวเลตสั เรก ตมั ตอ้ งเปน็ 1 : 4 เสมอ จึงไม่ใชอ่ อ้ มแกน y) ดังนนั้ ตอบ x2 + 2x − y + 3 = 0 → y2 = 4(−3)(x) → y2 + 12x = 0 (69) 2x2 + 3y = 0 → x2 = − 3 y 2 (68.3) แกน x เปน็ แกนสมมาตร แสดงวา่ ออ้ มแกน x ... จะได้ y2 = 4cx → x2 = 4(− 3)y เปน็ พาราโบลาคว่ํา 8 แทนค่า (−4, −6) เพือ่ หาคา่ c มจี ดุ ยอดท่ี V(0, 0) จดุ โฟกสั ที่ (0, − 3) 8 → 36 = 4c(−4) → 4c = −9 ตอบ 42 + (3 − 3)2 = 1,465 หน่วย ตอบ y2 = −9x → y2 + 9x = 0 88 (68.4) แกนสมมาตรต้ังฉากแกน x แสดงวา่ ออ้ ม แกน y ... จะได้ (x − 2)2 = 4c(y + 3) (70.1) x2 = 4(3)y → จุดยอด (0, 0) ออ้ มแกน y แทนค่า (8, −2.1) เพ่ือหาค่า c ตอบ จดุ โฟกัส F(0, 3), ความกวา้ งทีจ่ ดุ โฟกสั = 4(3) = 12 หน่วย, สมการไดเรกตริกซ์ 36 = 4c(0.9) → 4c = 40 y=−3 → y+3=0 ตอบ (x − 2)2 = 40(y + 3) → x2 − 4x − 40y − 116 = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 115 เรขาคณติ วิเคราะห (70.2) y2 − 10y + 25 = − 12x − 61 + 25 (74) y2 − 4y + 4 = 4x + 8 + 4 → (y − 5)2 = 4(−3)(x + 3) → ออ้ มแกน x → (y − 2)2 = 4(1)(x + 3) → ออ้ มแกน x, จุดยอด ตอบ จดุ ยอด V(−3, 5), จดุ โฟกสั F(−6, 5), V(−3, 2) และจดุ โฟกสั F(−2, 2) → ความกวา้ ง ณ โฟกสั = 12, สมการไดเรกตรกิ ซ์ สมการเสน้ ตรงทตี่ อ้ งการคอื x = − 3 + 3 = 0 (ก็คอื แกน y) y − 6 = (6 − 2)(x − 1) → 4x − 3y + 14 = 0 1+2 (70.3) Directrix: x = 1 (75) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 2y + 1) = 6 + 9 + 1 จุดยอด (4, 2) แสดงวา่ (4,2) → (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16 → จดุ ศนู ย์กลางคือ เปดิ ขวา, c = 3 → C(3, −1) → หาพาราโบลาทม่ี ี Directrix: y = 5, โฟกสั F(3, −1) → อ้อมแกน y ดงั นนั้ จดุ F(7, 2) x=1 จุดยอดคือ V(3, 2) → c = −3 → สมการที่ได้ (70.4) V(0, − 1), F(0, 7) แสดงวา่ หงาย, 36 c = 7 − (− 1) = 3 → x2 = 4(3)(y + 1) → (x − 3)2 = 4(−3)(y − 2) → 6 32 23 หาจดุ ตดั แกน x; แทน y ดว้ ย 0 จะได้ x2 − 6x + 12y − 15 = 0 x2 = 4(3)( 1) = 2 → x = ± 2 (76) แกร้ ะบบสมการหาจดุ ตดั ไดเ้ ป็น (0, 0) กบั 23 (−3, −3) → หาพาราโบลาทผ่ี ่าน 2 จดุ นี้ และแกน สมมาตรคอื แกน x → แสดงวา่ (0, 0) เปน็ จดุ ยอด ดังนน้ั ตอบ ( 2, 0),(− 2, 0) จะได้ (y)2 = 4c(x) → แทน (−3, −3) เพอ่ื หาคา่ c (71.1) พาราโบลา มี y = −4 เป็น Directrix, มี → 9 = 4c(−3) → 4c = −3 F(−2, 8) → ออ้ มแกน y → หาจดุ ยอดไดเ้ ปน็ (จดุ ดงั นนั้ ตอบ y2 = −3x → y2 + 3x = 0 กง่ึ กลางระหวา่ ง F กับ Directrix) V(−2, 2) → c = 6 ดงั นนั้ ได้สมการ (x + 2)2 = 4(6)(y − 2) (77) y2 − 4y + 4 = −8x + 20 + 4 → (y − 2)2 = 4(−2)(x − 3) → ออ้ มแกน x, → x2 + 4x − 24y + 52 = 0 (71.2) เทคนคิ การคดิ คอื ขยับเสน้ ตรง x = −4 จุดยอด V(3, 2), จุดโฟกสั F(1, 2) → ไดเรกตรกิ ซ์ ไปทางขวาเขา้ หาจดุ F(3, 1) เปน็ ระยะ 5 หนว่ ย จะ x = 3 + 2 = 5 → จุดตดั ของไดเรกตริกซ์กบั แกน ได้ Directrix: x = −4 + 5 = 1 → ออ้ มแกน x สมมาตร ก็คือ P(5, 2) ดงั นนั้ โจทย์ใหห้ าวงกลมที่ ผา่ นจุด (0, 0), (1, 2),(5, 2) → จดุ ยอดคอื V(2, 1) → c = 1 → ไดส้ มการเปน็ แกร้ ะบบสมการ หา D, E, F จาก (y − 1)2 = 4(1)(x − 2) → y2 − 4x − 2y + 9 = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (72) (x − 1)2 = 4(1)(y) เช่นเดยี วกับโจทยข์ อ้ (59.4),(59.5) ได้เปน็ อ้อมแกน y, จดุ ยอด V(1, 0) → จดุ โฟกสั F(1, 1) หาจดุ บนโคง้ นท้ี ห่ี า่ งจาก F(1, 1) อยู่ 13 หน่วย D = −6, E = 1 , F = 0 → สมการวงกลมทไี่ ด้ คอื สมมติจดุ นน้ั เปน็ (a, b) จะได้วา่ 2 x2 + y2 − 6x + 1 y = 0 → จัดรปู เพอ่ื หารัศมี 2 13 = (a − 1)2 + (b − 1)2 ..... (1) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 1 y + 1 ) = 9 + 1 ดงั น้นั และ (a − 1)2 = 4b ..... (2) 2 16 16 แก้ระบบสมการได้ b = 12, − 14 กาํ ลงั สองของรศั มีวงกลม = 9 + 1 = 145 16 16 (78) วาดพาราโบลาลงบนแกน ถ้า b = 12 → a = 1 ± 4 3 เพอื่ ชว่ ยคาํ นวณ โดยใหเ้ ปดิ ขวา (6,4) และมีจดุ ยอดท่ี (0, 0) จะได้ (6,-4) จุด (a, b) = (1 + 4 3, 12) หรือ (1 − 4 3, 12) สมการเปน็ y2 = 4cx → ถ้า b = −14, เปน็ ไปไม่ได้ (หาค่า a ไมไ่ ด)้ หาค่า c จากจดุ ทีผ่ ่าน คือ (6, 4) ∴ หา่ งจากแกน x อยู่ 12 หนว่ ย (73) แกร้ ะบบสมการหาจุดตัดไดเ้ ปน็ (8, 8) กับ → 16 = 4c(6) → c = 16 = 2 (2, −4) ดังนนั้ ความยาวคอรด์ ท่ีเกิดขึ้น 24 3 = 62 + 122 = 180 = 6 5 หนว่ ย ∴ระยะโฟกสั = 2 หนว่ ย 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 116 เรขาคณติ วิเคราะห (79.1) C(3, −1), a = 4, b = 3, รตี ามแกน y (80.2) 9(x2 − 6x +9) + 5(y2 − 10y +25) → (y + 1)2 + (x − 3)2 =1 = −26 + 81 + 125 42 32 → 9(x − 3)2 + 5(y − 5)2 = 180 → 9(y + 1)2 + 16(x − 3)2 = 144 นํา 180 หาร → (x − 3)2 + (y − 5)2 = 1 → 16x2 + 9y2 − 96x + 18y + 9 = 0 20 36 (79.2) C(0, 0), V(0, 8) แสดงวา่ a = 8 และ รตี ามแกน y (a = 6, b = 20, c = 4) ตอบ C(3, 5), V(3, 5±6) รตี ามแกน y, F(0, −5) แสดงวา่ c = 5 → b = 82 − 52 = 39 จะไดส้ มการเปน็ F(3, 5±4), B(3± 20, 5) y2 + x2 = 1 → 64x2 + 39y2 = 2496 (80.3) 5(x2 − 2x +1) + 9(y2) = 40 +5 82 39 (79.3) V(−4, 2),(2, 2) แสดงวา่ รตี ามแกน และ → 5(x − 1)2 + 9y2 = 45 → x นํา 45 หาร → (x − 1)2 + y2 = 1 จดุ ศนู ยก์ ลาง C(−1, 2) → a = 3 95 → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 รตี ามแกน x (a = 3, b = 5, c = 2) 32 22 ตอบ C(1, 0), V(1±3, 0), F(1±2, 0), B(1, ± 5) (81.1) F(4, 0),(−4, 0) แสดงวา่ รตี ามแกน x → 4(x + 1)2 + 9(y − 2)2 = 36 c = 4, C(h, k) = (0, 0) → ระยะทางรวมเปน็ 12 → 4x2 + 9y2 + 8x − 36y + 4 = 0 (79.4) C(−2, 1), F(−2, 4) แสดงวา่ รตี ามแกน y และ C = 3 , ผา่ นจดุ (−6, 1) แสดงว่าจดุ ปลายแกน แสดงว่า a = 6 → b = 62 − 42 = 20 โทเปน็ B(−6, 1) สมการทต่ี อ้ งการคือ x2 + y2 = 1 จะได้ b = 4, a = 32 + 42 = 5 → 62 20 (y − 1)2 + 2)2 → 5x2 + 9y2 = 180 52 42 + (x =1 (81.2) F(2, 7),(2, 1) แสดงวา่ รีตามแกน y c = 3, C(h, k) = (2, 4) → ระยะทางรวม เปน็ 10 → 16(y − 1)2 + 25(x + 2)2 = 400 แสดงว่า a = 5 → ∴ b = 52 − 32 = 4 → → 25x2 + 16y2 + 100x − 32y − 284 = 0 (79.5) C(2, 1), V(2, −4) แสดงวา่ รตี ามแกน y สมการทต่ี ้องการ คือ (y − 4)2 + (x − 2)2 = 1 25 16 และ a = 5 , ค่า c : a = 2 :5 แสดงวา่ c = 2 → 25x2 + 16y2 − 100x − 128y − 44 = 0 → b = 52 − 22 = 21 ดังน้นั ไดส้ มการ (82.1) รปู วงรี (เพราะตรงตามนิยามของวงรพี อด)ี (82.2) 6 = 2c → c = 3 → (y − 1)2 + (x − 2)2 =1 52 21 10 = 2a → a = 5 ∴ b = 4 → 21(y − 1)2 + 25(x − 2)2 = 525 x2 y2 → 25x2 + 21y2 − 100x − 42y − 404 = 0 ไดส้ มการ 52 + 42 =1 (80.1) นาํ 36 หาร → x2 + y2 = 1 → → 16x2 + 25y2 = 400 94 (83) 4(x2 − 12x +36) + 9(y2 + 8y +16) รตี ามแกน x (a = 3, b = 2 → c = 32 − 22 = 5) = − 144 +144 +144 ตอบ C(0, 0), V(3, 0), (−3, 0), → 4(x − 6)2 + 9(y + 4)2 = 144 เป็นสมการวงรที ่ีมี C(h, k) = (6, −4) → หาสมการเสน้ ตรงท่ผี า่ น F( 5, 0), (− 5, 0), B(0, 2), (0, −2) (6, −4) และตง้ั ฉากกบั 3x + 4y = 5 (m = − 3) 4 แสดงว่า mL = 4 → y + 4 = 4 (x − 6) 3 3 ตอบ 4x − 3y − 36 = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 117 เรขาคณติ วิเคราะห (84) (x2 − 4x + 4) + 3(y2) = 2 + 4 (87.3) F(0, 4),(0, −4) แสดงวา่ ออ้ มแกน y C(0, 0), c = 4 ... จุด B(3, 0) แสดงวา่ → (x − 2)2 + 3y2 = 6 → (x − 2)2 + y2 = 1 → 62 b = 3 → a = 42 − 32 = 7 รีตามแกน x C(h, k) = (2, 0), c = 6 − 2 = 2 สมการคอื y2 x2 7 32 ∴ F(2 ± 2, 0) = (4, 0) กบั (0, 0) → โจทย์ให้หา − =1 ระยะระหว่างเสน้ ตรงที่ผา่ น (4, 0) และผา่ น (0, 0) → 9y2 − 7x2 − 63 = 0 โดยทาํ มุม 45° กับแกน x (หรือ 7x2 − 9y2 + 63 = 0 ก็ได)้ ดงั ภาพ 4 (88.1) 9x2 − 4y2 = 36 → นาํ 36 หาร d ∴ d = 4 sin 45° → x2 − y2 = 1 → ออ้ มแกน x, 49 = 2 2 หน่วย (85) kx2 + 4(y2 − y + 1) = 8 +1 a = 2, b = 3 → c = 4 + 9 = 13 4 ตอบ C(0, 0), V(±2, 0), F(± 13, 0), B(0, ±3) → kx2 + 4(y − 1)2 = 9 2 (88.2) 9(x2 − 2x +1) − 16(y2 + 4y +4) x2 (y − 1)2 = 199 +9 −64 / k)2 2 → (3 + (3 / 2)2 = 1 B → 9(x − 1)2 − 16(y + 2)2 = 144 3/2 c พบวา่ ต้องรีตามแกน x F1 (0,1/2) → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 → ออ้ มแกน x 16 9 จึงจะเกิด Δ ได้ ดงั ภาพ F2 a = 4, b = 3, c = 5 c = a2 − b2 = 9 − 9 ตอบ C(1, −2), V(1±4, −2), F(1±5, −2) k4 B(1, −2±3) (88.3) 6(x2 − 6x +9) − (y2 + 2y +1) ∴ พน้ื ที่ Δ = 3 7 = 1 ⋅ (2 9 − 9) ⋅ (3) = −59 +54 − 1 4 2 k4 2 → k=9 → 6(x − 3)2 − (y + 1)2 = −6 4 → (y + 1)2 − (x − 3)2 = 1 → ออ้ มแกน y 61 (86) ต้งั แกนไว้ให้จดุ C(h, k) = (0, 0) จะไดว้ ่า a = 6, b = 1, c = 7 x2 + y2 =1 โจทย์ถามตาํ แหนง่ P ซ่ึงหา่ งจาก ตอบ C(3, −1), V(3, −1± 6), F(3, −1± 7) 22 12 ปลายหนง่ึ 80 ซม. → แสดงวา่ x = 1.2 → หา B(3±1, −1) (1.2)2 y2 (88.4) 6(x2 − 2x +1) − 10(y2 + 4y +4) 22 12 คา่ ความสงู y → + = 1 = 94 +6 − 40 → y = 0.8 จงึ ตอบว่า สงู จากพื้น 80 ซม. → 6(x − 1)2 − 10(y + 2)2 = 60 (87.1) C(−3, 1), V(2, 1) แสดงว่า ออ้ มแกน x → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 → ออ้ มแกน x 10 6 a = 5, แกนสังยคุ ยาว 6 หน่วย แสดงวา่ a = 10, b = 6, c = 4 b = 3 → สมการคอื (x + 3)2 − (y − 1)2 = 1 ตอบ C, (1, −2), V(1± 10, −2), F(1±4, −2) 52 32 → 9x2 − 25y2 + 54x + 50y − 169 = 0 B(1, −2± 6) (87.2) F(−1, −6),(−1, 4) แสดงวา่ อ้อมแกน y (89) F(3, 0), (−3, 0) → C(h, k) = (0, 0), c = 3 , อ้อมแกน x , ผลตา่ งระยะทาง 4 หนว่ ย C(h, k) = (−1, −1) → c = 5 ... แกนตามขวางยาว → 2a = 4 → a = 2 ∴ b = 32 − 22 = 5 6 หน่วย แสดงวา่ a = 3 → b = 52 − 32 = 4 สมการคอื (y + 1)2 − (x + 1)2 = 1 ∴ สมการคอื x2 − y2 = 1 32 42 22 5 → 16y2 − 9x2 + 32y − 18x − 137 = 0 → 5x2 − 4y2 − 20 = 0 (หรือนํา -1 คณู กลายเป็น ก็ได)้9x2 − 16y2 + 18x − 32y + 137 = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 118 เรขาคณิตวิเคราะห (90) |4x − 3y + 11| ⋅ |4x + 3y + 5| = 144 (94) จดุ ตดั แกน x ของไฮเพอรโ์ บลา (แทน 42 + 32 42 + 32 25 y = 0 ) คอื 9(x − 1)2 − 16 = 36 → |(4x − 3y + 11)(4x + 3y + 5)| = 144 → x = 1 ± 52 ... คอู่ นั ดบั (1 ± 52 , 0) 33 → 16x2 − 9y2 + 64x + 18y + 55 = ±144 หาสมการวงรีทีม่ ี F(1 ± 52 , 0) และผลบวกเปน็ 8 ตอบ 16x2 − 9y2 + 64x + 18y + 199 = 0 หรอื 3 16x2 − 9y2 + 64x + 18y − 89 = 0 แสดงว่า C(h, k) = (1, 0), รีตามแกน x, (91.1) อยใู่ นรปู แบบไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก xy = − k จดุ ยอด (2, −2), (−2, 2) c = 52 , a = 4 → ∴ b = 16 − 52 = 92 จุดโฟกสั (2 2, −2 2),(−2 2, 2 2) 3 93 (91.2) จดั รปู ดงั นี้ xy + 2x − y = 3 ตอบ (x − 1)2 + 9y2 = 1 → → x(y + 2) − (y +2) = 3 −2 16 92 23(x − 1)2 + 36(y2) = 368 → (x − 1)(y + 2) = 1 อยใู่ นรูปแบบไฮเพอรโ์ บลามุม ฉาก xy = k ... มีจุดศนู ย์กลางที่ (1, −2) → 23x2 + 36y2 − 46x − 345 = 0 (95) 6(x2 + 2x +1) + 5(y2 − 4y +4) = 4 +6 + 20 (92) 9(x2 − 2x +1) − 16(y2 + 4y +4) → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 วงรี รตี ามแกน y 56 = 199 +9 − 64 → 9(x − 1)2 − 16(y + 2)2 = 144 C(h, k) = (−1, 2), a = 6, b = 5, → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 ออ้ มแกน x c = 6−5 = 1→ 16 9 V(−1, 2± 6), F(−1, 2±1) → หาสมการไฮเพอร์โบลา C(1, −2), c = 16 + 9 = 5 → จุดโฟกสั อยทู่ ่ี ท่ี C(−1, 2), V(−1, 2±1), แกนสังยคุ ยาวเทา่ แกนโท (1 ± 5, −2) = (6, −2) กับ (−4, −2) ผลรวมระยะทางที่ตอ้ งการ คอื ของวงรี ( b = 5 เทา่ กนั ) |3(6)+ 4(−2)− 8| + |3(−4)+ 4(−2)− 8| → (y − 2)2 − (x + 1)2 = 1→ 12 5 32 + 42 32 + 42 5(y − 2)2 − (x + 1)2 = 5 = 2 + 28 = 6 หน่วย → 5y2 − x2 − 20y − 2x + 14 = 0 55 (หรือ x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 ก็ได)้ (93) 6(x2 − 2x +1) − 10(y2 + 4y +4) (96) ยา้ ยขา้ งสมการให้อยู่ในรูป = 94 +6 − 40 Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 ออ้ มแกน x ... ถา้ A หรอื B เป็น 0 ⇒ พาราโบลา 10 6 ถา้ A = B ⇒ วงกลม ถ้า A ≠ B แตเ่ ครื่องหมายเดียวกนั ⇒ วงรี C(1, −2) , c = 10 + 6 = 4 → F(1±4, −2) ดงั นน้ั F1 คอื (5, −2) [Q4] → แกนสังยคุ ของไฮเพอรโ์ บลา ถ้า A กับ B เครื่องหมายตรงขา้ มกนั ⇒ คือ x = 1 → สรา้ งสมการพาราโบลาทม่ี จี ดุ ยอด ไฮเพอร์โบลา V(5, −2) และ Directrix: x = 1 → แสดงว่าอ้อม ดังนนั้ แตล่ ะขอ้ ไดค้ าํ ตอบดังนี้ (96.1) วงกลม (96.2) วงรี แกน x และ c = 4 → (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอรโ์ บลา (96.5) ไฮเพอรโ์ บลา (96.6) วงกลม (y + 2)2 = 4(4)(x − 5) (96.7) ไฮเพอรโ์ บลา (96.8) วงรี → y2 − 16x + 4y + 84 = 0 (96.9) ไฮเพอรโ์ บลา (96.10) พาราโบลา Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 119 ความสมั พันธแ ละฟง กชัน f(n)=c+tn º··Õè 5 ¤ÇÒÁÊÁa ¾¹a ¸/¿§ ¡ª¹a ความรเู้ กี่ยวกบั ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชนั จะ เปน็ ประโยชน์ในการแก้ปญั หาทีเ่ กี่ยวขอ้ งกบั ตวั แปร และเป็นพ้นื ฐานของการประยกุ ตใ์ ชค้ ณิตศาสตรใ์ นการ ทาํ งาน ทง้ั ดา้ นพาณชิ ยศาสตร์ ดา้ นวิศวกรรม ฯลฯ ซ่งึ ในบทน้เี ราจะไดร้ ู้จักลกั ษณะเบ้ืองต้นของความสัมพนั ธ์ และฟงั กช์ ัน ค่อู ันดับ (Ordered Pair) ประกอบด้วยสมาชิกสองตัวในรปู (a, b) ซึง่ ไม่สามารถเปลย่ี น ลําดบั สมาชิกตัวหน้ากบั ตัวหลงั ได้ และ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเม่อื a = c และ b = d เทา่ นน้ั ผลคูณคารท์ เี ซียน (Cartesian Product) คือผลคณู ระหว่างเซตสองเซต เซต A × B (เอคูณบี) คอื เซตของคอู่ ันดับ ท่ีสมาชิกตวั หน้ามาจากเซต A และสมาชกิ ตวั หลงั มาจากเซต B ครบทกุ คู่ หรือเขยี นแบบเงื่อนไขไดว้ ่า A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B } เชน่ , จะได้A = {0, 1, 2} B = {1, 3} A × B = {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} A × A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} ขอ้ สังเกต 1. n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) 2. n(A × ∅) = n(A) ⋅ n(∅) = 0 ดังน้ัน A × ∅ = ∅ 3. A × B = B × A กต็ ่อเมือ่ A = B หรอื มีเซตใดเซตหน่งึ เป็น ∅ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 120 ความสมั พันธและฟงกช นั 5.1 ลกั ษณะของความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ (Relation : r) คือเซตทส่ี มาชิกทุกตัวเป็นคอู่ นั ดบั หรือกลา่ วว่า เซตท่นี าํ ไปเขียนกราฟ (2 มิติ บนแกน x,y) ได้ จดั วา่ เปน็ ความสัมพนั ธ์ นยิ าม “ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B” (from A to B) คอื เซตของค่อู นั ดบั ทส่ี มาชิกตัวหน้าอย่ใู นเซต A และสมาชกิ ตวั หลงั อยู่ในเซต B แต่ไม่จาํ เป็นตอ้ งครบ ทุกคู่ ... ดงั นนั้ “ความสัมพันธจ์ าก A ไป B” คอื สบั เซตของ A × B และเป็นไปไดท้ ัง้ หมด 2n(A×B) แบบ สญั ลกั ษณ์ท่ีใช้แทนคําว่า “ความสัมพันธจ์ าก A ไป B” คอื r = {(x, y) ∈ A × B | .....} ตวั อย่างเช่น A = {2, 3, 4} และ B = {1, 3, 5, 8} จะได้ A × B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 8), (3, 1), (3, 3), (3, 5), ..., (4, 8)} และมี r ⊂ A × B ทงั้ สิน้ 23×4 = 4096 แบบ ... ทกุ แบบสามารถเขยี นเงอื่ นไขได้ เช่น จะได้r1 = {(x, y) ∈ A × B | y < x } r1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 3),(4, 1), (4, 3)} r2 = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1} จะได้ r2 = {(2, 3),(4, 5)} r3 = {(x, y) ∈ A × B | x หาร y ลงตัว } จะได้ r3 = {(2, 8),(3, 3),(4, 8)} r4 = {(x, y) ∈ A × B | x3 < y } จะได้ r4 = ∅ หมายเหตุ 1. เนื่องจากความสัมพันธจ์ ดั เป็นเซตชนดิ หน่งึ จงึ เขียนแสดงความสัมพนั ธไ์ ด้ 2 ลักษณะ ไดแ้ ก่ แจก แจงสมาชิก และบอกเงือ่ นไข 2. r = {(x, y) ∈ A × A | .....} เรยี กว่า “ความสัมพนั ธ์ภายใน A” (in A) 3. ถ้าไม่ระบวุ ่าเป็นความสมั พันธ์จากเซตใดไปเซตใด จะหมายถึงเซตจํานวนจริง R × R แบบฝึกหดั 5.1 (1) กาํ หนดให้เอกภพสมั พัทธ์เปน็ เซตของจํานวนจริง ข้อความต่อไปนถี้ กู หรือผดิ (1.1) ∀a∀b [ (a, b) ≠ (b, a) ] (1.2) ∀a∀b [ (a, b) ≠ (c, d) → a ≠ c และ b ≠ d ] (1.3) ∃a∃b [ (a + 2b, 1) = (−1, b + a/2) ] (2) ถา้ (3x + 5, 8 − 4y) = (−5, −6) และ (y, 2) = (−p, 2) แลว้ ใหห้ า (xp, x/p) (3) กาํ หนดให้ (a, b) ∗ (c, d) = (a − c, b + d) ถ้า (3, 4) ∗ (0, 0) = (x, y) ∗ (3, 4) แลว้ ให้หา (x, y) (4) กําหนด A, B, C เปน็ เซตใดๆ แล้ว ข้อความตอ่ ไปน้ีถูกหรอื ผิด (4.1) ถ้า A เป็นเซตอนนั ต์ และ B เป็นเซตจํากดั แล้ว A × B เปน็ เซตอนันต์ (4.2) ถ้า A × B เป็นเซตอนนั ต์ แลว้ A เปน็ เซตอนันต์ หรือ B เป็นเซตอนันต์ (4.3) ถ้า A × B = A × C แล้ว B = C Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 121 ความสมั พันธแ ละฟงกช นั (4.4) ถ้า A × B = ∅ แล้ว A = B = ∅ (4.5) A × B = B × A ก็ตอ่ เมือ่ A = B (4.6) (A ∩ B)× C ⊂ A × C ⊂ (A ∪ B)× C (4.7) A × B ≠ A และ A × B ≠ B (4.8) มีเซต A บางเซต ที่ทําให้ A ∩(A × B) ≠ ∅ (5) ข้อความตอ่ ไปนีถ้ ูกหรือผิด (5.1) ถ้า A = {4, 5, 6, {4, 5, 6}} และ B = {4, 5, {4, 5}} แลว้ n [P (A)× P (B)] = 128 (5.2) ถ้า A = {3, 4, 5, ..., 32} , B = {7, 8, 9, ..., 40} และ C = {0, 1, 2, ..., 25} แล้ว n [(A × B) ∩ (A × C)] = 570 (5.3) ถา้ A = {0, 1, 2, ..., 28} และ B = {−3, −2, −1, ..., 4} แลว้ n [(A × B) ∪ (B × A)] = 439 (6) กําหนดให้ A ,= {a1, a2, a3, ..., am} B = {a1, a2, a3, ..., ak} โดยท่ี m < k ถา้ (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B)× (B ∩ A) แลว้ n [(A × B) ∪ (B × A)] มีเท่าใด (7) ถ้า n(U) = 10 , n(A ' ∩ B ') = 2 , n(A ' ∪ B ') = 9 และ n(B) − n(A) = 1 แลว้ ใหห้ า จํานวนความสมั พันธต์ ่างๆ กันจาก A ไป B (8) [Ent’39] ถา้ n(A) = 10 แล้ว ใหห้ าจํานวนความสมั พันธท์ งั้ หมดจาก A × A ไป A (9) กําหนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {0, 4} แลว้ ข้อความต่อไปนีถ้ ูกต้องหรอื ไม่ (9.1) มคี วามสัมพันธ์จาก A ไป B ทงั้ หมด 64 เซต (9.2) มคี วามสัมพันธ์จาก A ไป B ท่โี ดเมนเท่ากบั A ทงั้ หมด 27 เซต (10) กาํ หนดให้ n(A) = 3 และ n(B) = 4 แล้ว ข้อความต่อไปนีถ้ ูกต้องหรอื ไม่ (10.1) จาํ นวนความสมั พันธ์จาก A ไป B เท่ากบั จํานวนความสัมพันธ์จาก B ไป A (10.2) จํานวนความสมั พนั ธ์จาก A ไป B ท่โี ดเมนเปน็ A มีท้ังหมด 153 เซต (10.3) จาํ นวนความสัมพันธจ์ าก B ไป A ทโ่ี ดเมนเปน็ B มีท้ังหมด 2401 เซต (10.4) จํานวนความสัมพันธ์ภายใน A ทีโ่ ดเมนเป็น A มที ้ังหมด 343 เซต (11) ใหเ้ ขยี น r1 ∩ r2 แบบแจกแจงสมาชิก เม่อื (11.1) r1 = {(x, y) ∈ I × I | x + y = 1} , r2 = {(x, y) ∈ I × I | x − y = 3 } (11.2) r1 = {(x, y) | x2 + y2 = 16 } , r2 = {(x, y) | y = 4 − x2} (12) ถา้ A = {1, 2, 3, ..., 20} , B = {0, 1, 2, ..., 25} และ r = {(x, y) ∈ A × B | y > x } ให้หาจํานวนคูอ่ ันดบั ภายใน r 5.2 โดเมน เรนจ์ และตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ โดเมน (Domain; D) ของความสัมพนั ธ์ คอื เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ ันดบั เรนจ์ หรือ พสิ ัย (Range; R) ของความสมั พันธ์ คอื เซตของสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ นั ดับ นัน่ คือ Dr = { x | (x, y) ∈ r } และ Rr = { y | (x, y) ∈ r } Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 122 ความสัมพันธและฟงกช นั เช่นในตัวอย่างขา้ งต้น Dr1 = {2, 3, 4} , Rr1 = {1, 3} , Dr2 = {2, 4} , Rr2 = {3, 5} และ Dr4 = Rr4 = ∅ ถ้า r เป็นความสมั พันธ์จาก A ไป B แลว้ Dr ⊂ A และ Rr ⊂ B การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ภายใน R ซงึ่ บอกมาเป็นเงื่อนไข (สมการ) ใหพ้ ิจารณาทเ่ี ง่ือนไขว่าหากมสี ิ่งเหล่านค้ี ือ การหาร, การถอดราก, คา่ สัมบรู ณ,์ การยกกาํ ลัง จะมขี อ้ จาํ กัดเกิดข้นึ กล่าวคือ ถ้ามี a = b จะได้ว่า c ≠ 0 c ถา้ มี a = n b ถา้ n เป็นจํานวนคู่ จะไดว้ ่า a > 0 และ b > 0 ถ้ามี a = bn ถ้า n เป็นจํานวนคู่ จะไดว้ า่ a > 0 ถ้ามี a = b จะได้วา่ a > 0 โดยการหาโดเมน ควรจะพจิ ารณาในรูปสมการ y = ...(x)... (เขยี น y ในเทอมของ x) และการหาเรนจ์ หากเป็นไปได้ควรจดั รปู ให้กลายเปน็ x = ...(y)... (เขยี น x ในเทอมของ y) แล้ว คอ่ ยพจิ ารณา • ตัวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจข อง r = {(x, y) | y = 4 − x2 } วิธีคิด (1) การหาโดเมน พบวามีรากทีส่ อง ดงั นนั้ 4 − x2 > 0 หรือ −2 < x < 2 (2) การหาเรนจ เนือ่ งจากมีรากทีส่ อง ดงั นนั้ y > 0 เสมอ จากนัน้ จัดรูปเปน x = ± 4 − y2 ซึง่ จะไดว า 4 − y2 > 0 กค็ ือ −2 < y < 2 นําเงือ่ นไขมารวมกนั ไดเปน 0 < y < 2 ดังน้นั ตอบ Dr = [−2, 2] และ Rr = [0, 2] y 2 • หมายเหตุ หากไดศกึ ษาเรื่องกราฟวงกลมในบทเรียน “เรขาคณติ วิเคราะห” จะทราบวา สมการ y = 4 − x2 อยใู นรปู แบบของวงกลม x2 + y2 = 4 ดังภาพ 2x (แตกลายเปนครงึ่ วงกลม เนือ่ งจากมีเครื่องหมายรากที่สอง -2 O ทําให y > 0 เทา นนั้ ) ซ่ึงถา เขียนกราฟจะมองเห็นโดเมนและเรนจไ ดช ัดเจนกวาการคํานวณ r−1 คอื ตวั ผกผนั หรอื อินเวอร์ส (Inverse) ของ r โดยที่ r−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r } อธิบายไดว้ ่า r−1 สามารถหาได้จาก การสลบั ทส่ี มาชกิ ตวั หนา้ และหลังของคอู่ ันดับใน r หรือถา้ เปน็ ความสัมพนั ธแ์ บบเงือ่ นไข กห็ าไดจ้ ากการสลบั ที่ระหวา่ ง x และ y น่นั เอง เชน่ ถา้ r = {(2, 1),(3, 3),(4, 5),(0, −1)} จะได้ r−1 = {(1, 2),(3, 3),(5, 4),(−1, 0)} แต่ถ้าเปน็ แบบเงอื่ นไข r = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x − 3 } สามารถเขยี น r−1 ได้หลายแบบ เช่น r−1 = {(y, x) ∈ B × A | y = 2x − 3 } หรือ r−1 = {(x, y) ∈ B × A | x = 2y − 3 } หรอื r−1 = {(x, y) ∈ B × A | y = x + 3 } ซ่ึงแบบสดุ ท้าย (เขียนในรูปของ y) น้เี ปน็ ที่นิยมมากกวา่ 2 ข้อสังเกต Dr−1 = Rr และ Rr−1 = Dr เสมอ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 123 ความสมั พนั ธแ ละฟงกช ัน แบบฝึกหัด 5.2 (13) ใหห้ าโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนี้ (13.1) r = {(x, y) | xy = 2 } (13.2) r = {(x, y) | (x − 2)(y − 1) = 1} (13.3) r = {(x, y) | y = 1 } x−1 (13.4) r = {(x, y) | y = 2x − 3 } x+1 (13.5) r = {(x, y) | y = x + 1 , x > 1} x−1 (14) ใหห้ าโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธ์ตอ่ ไปนี้ [ Hint : บางสมการควรจัดรปู ให้เปน็ กําลังสองสมบรู ณ์ ] (14.1) r = {(x, y) | y = x2} (14.2) r = {(x, y) | y = x } (14.3) r = {(x, y) | y = x2 − 2x − 3 } (14.4) r = {(x, y) | y = 3 + x + 1 } (14.5) r = {(x, y) | x2 + y2 = 16 } (14.6) r = {(x, y) | y = 16 − x2 } (14.7) r = {(x, y) | y = 1 4 − 3x − x2 } 2 (14.8) r = {(x, y) | x2 + y2 − 6x + 4y − 3 = 0 } (15) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธต์ อ่ ไปนี้ (15.1) r = {(x, y) | y = 1 x } x2 − (15.2) r = {(x, y) | y = x2 − 1 + 3 } 4x (15.3) r = {(x, y) | y = x + 1 } x (15.4) r = {(x, y) | 2x2 + y2 − 2xy + x + 1 = 0 } (15.5) r = {(x, y) | x2y2 − y2 − x − 2 = 0 } (15.6) r = {(x, y) | xy2 − xy − 2y2 + 2y − 6x + 11 = 0 } (16) ใหห้ าโดเมนและเรนจข์ องความสมั พันธต์ ่อไปน้ี (16.1) r = {(x, y) | y = 3 } x+3 −4 (16.2) r = {(x, y) | y = x + 2 − x } (16.3) r = {(x, y) | y = x2 − 4 } (17) ใหห้ าเรนจ์ ของอนิ เวอรส์ ของความสมั พันธ์ต่อไปนี้ (17.1) r = {(x, y) | y = x2 1 4 } − Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 124 ความสัมพนั ธแ ละฟง กช ัน (17.2) r = {(x, y) | y = 1 } x2 − 4 (17.3) r = {(x, y) | y = x } x −2 (17.4) r = {(x, y) | y = 3x − 1 + 2 2x2 − 3x − 2 } (18) ให้ r = {(x, y) | xy = 1 + y } แลว้ Rr − Dr เป็นเซตใด (19) ให้ r เป็นความสมั พนั ธ์ภายใน R ซึ่ง r = {(x, y) | y = ⎧⎪ x −2 , x < 11 ⎨ } ⎪⎩ 15 − x , x > 11 ถา้ A = Dr ∩ Rr แล้ว ผลบวกของคา่ ขอบเขตบนน้อยสุดกับค่าขอบเขตลา่ งมากสุดเป็นเท่าใด (20) กําหนดให้ r = {(x, y) | y2− 2xy2− x + 1 = 0 } จาํ นวนเต็มบวกทน่ี อ้ ยทสี่ ุดทเ่ี ปน็ สมาชกิ ของ Rr ∩ Dr' เปน็ เทา่ ใด (21) ถา้ r = {(x, y) | y = x2 − 1 − 3 } แล้ว ใหห้ าคอมพลีเมนต์ของ Dr−1 2x (22) ถา้ ให้เอกภพสัมพัทธเ์ ป็น Rr โดยท่ี r = {(x, y) | y2 = (9 − x2)−1} แล้ว ขอ้ ใดถกู ก. ∃x∀y [x + y = y] ข. ∀x∃y [x + y = 0] 5.3 กราฟของความสมั พนั ธ์ “กราฟของความสัมพันธ์ r” ก็คือเซตของจุดบนแกนมุมฉาก (x, y) ซึง่ แต่ละจดุ แทนสมาชิก ใน r (โดยให้สมาชิกตัวหน้าเปน็ แกนนอน และสมาชิกตวั หลังเป็นแกนตง้ั ) เชน่ ถา้ r1 = {(1, 2),(−1, 2),(2, 3),(−2, 0),(0, −2)} ×r2 = {(x, y) ∈ I I | y = x2} = {(0, 0),(±1, 1),(±2, 4), ...} และ r3 = {(x, y) ∈ R × R | y = x2} จะได้กราฟดงั ภาพ yyy 3 r1 4 r2 r3 2 x x 1 x O -2 -1 O 1 2 -2 -1 O 1 2 -2 การเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะชว่ ยให้เหน็ โดเมนและเรนจ์ไดช้ ัดเจนยิ่งขึน้ รูปแบบของกราฟทีค่ วรรจู้ ักมีดังนี้ ... หมายเหตุ ควรศกึ ษาเทคนิคการเขยี นกราฟ (การเลอื่ นแกน, การปรบั ขนาดกราฟ) ซึ่งอธบิ ายไว้ในบทเรยี น “เรขาคณิตวิเคราะห”์ เพื่อช่วยในการหาโดเมนและเรนจ์ต่อไป Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 125 ความสัมพันธแ ละฟงกช ัน 1. กราฟเสน้ ตรง y = mx + c m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน y y yy m>0 m<0 c m=0 cc xO x x OO 2. กราฟพาราโบลา y = ax2 หรอื x = ay2 y a คือคา่ คงท่ีใดๆ ท่ไี มใ่ ช่ศูนย์ y y y = ax2 O x = ay2 O a>0 a>0 x x y = ax2 O x a<0 3. กราฟคา่ สมั บูรณ์ (ที่คล้ายพาราโบลา) y = a x หรอื x = a y y yy x = a|y| a>0 y = a|x| Ox a>0 y = a|x| Ox Ox a<0 4. กราฟวงกลม x2+ y2 = r2 r คอื รศั มีของวงกลม (มากกวา่ ศนู ย์) 5. [Ent’22] กราฟคา่ สมั บรู ณ์ (ท่คี ล้ายวงกลม) x + y = k k คอื คา่ คงทท่ี ่มี ากกวา่ ศูนย์ y y S e¾iÁè eµiÁ! S r k ¡ÃÒ¿ã´æ ·ÕÁè Õ¤Ò ÊÁa ºÃÙ ³¹¹éa ¨aÁÕ -r O r x -k O x Åa¡É³a¤ÅÒÂÀÒ¤µa´¡ÃÇ e¾Õ§ k æ¤eÃÒÁo§¤Ò ÊaÁºÃÙ ³e »¹ ¡¡Òí ŧa Êo§ e¾×oè ãËä ´eʹ o¤§ æÅÇ »ÃaºãË -r -k ¡ÅÒÂe»¹eʹµÃ§e·Ò ¹¹éa .. 6. กราฟไฮเพอรโ์ บลามุมฉาก x y = c y y c คอื คา่ คงท่ใี ดๆ ทีไ่ มใ่ ช่ศนู ย์ c>0 c<0 Ox Ox Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 126 ความสมั พันธแ ละฟง กชัน กราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น “พ้นื ท่ี (แรเงา)” ในระนาบ หากว่าความสมั พันธน์ ั้นเป็น “อสมการ” โดยมหี ลกั ในการเขียนกราฟคอื คดิ ว่าเป็นเครอ่ื งหมายเทา่ กับแล้วเขยี นกราฟของสมการ ก่อน จากนัน้ ตรวจสอบวา่ บริเวณใดของพ้นื ทตี่ รงตามเง่อื นไขของอสมการ จงึ แรเงา (เส้นกราฟทบึ แสดงว่าจุดบนเสน้ นนั้ อยูใ่ น r, เสน้ ประแสดงว่าจดุ บนเสน้ น้ันไมอ่ ยใู่ น r) yy y y < x+2 2 2 y > 3x2 2x Ox O x -2 O x2 + y2 > 4 -2 กราฟของอนิ เวอรส์ (r−1) มคี วามเกีย่ วขอ้ งกบั กราฟของ r คอื เกดิ จากการหมนุ กราฟโดยมี เสน้ ตรง y = x เปน็ แกนหมุน … เท่ากับเป็นการสลับแกน x กับ y กนั นัน่ เอง y เส้นตรง y y=x r r-1 (-3,-1) O x x (-1,-3) แบบฝกึ หดั 5.3 (23) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธต์ อ่ ไปนี้ โดยอาศัยการเขียนกราฟ (23.1) r = {(x, y) | x + y = 4 } (23.2) r = {(x, y) | x − 2 + y = 2 } (23.3) r = {(x, y) | y = x2 + 2x − 2 } (23.4) [Ent’24] r = {(x, y) | y = x2 + 2x − 2 , − 3 < x < 2 } (24) ขนาดพนื้ ที่ของบรเิ วณในแต่ละข้อเป็นก่ีตารางหน่วย เม่อื กาํ หนดให้ r1 = {(x, y) | x + y < 1 } r2 = {(x, y) | x − y < 1 } r3 = {(x, y) | y − x < 1 } r4 = {(x, y) | y > 0 } และ r5 = {(x, y) | x > 0 } (24.1) r1 ∩ r2 ∩ r5 (24.3) r1 ∩ r3 ∩ r4 (24.2) r1 ∩ r4 ∩ r5 (24.4) r3 ∩ r4 ∩ r5 (25) ให้หาขนาดพน้ื ที่ (ตารางหนว่ ย) ของ r1 ∩ r2 ∩ r3 เมือ่ r1 = {(x, y) | x − y + 1 > 0 } r2 = {(x, y) | 2x + y − 4 < 0 } และ r3 = {(x, y) | y + 1 > 0 } (26) ใหห้ าขนาดพน้ื ท่ี (ตารางหน่วย) ของ r1 ∩ r2 เมอื่ (26.1) r1 = {(x, y) | 2 < x + y } และ r2 = {(x, y) | x + y < 4 } Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 127 ความสัมพนั ธและฟง กชัน (26.2) r1 = {(x, y) | x + 2 y < 4 } และ r2 = {(x, y) | 2 x + y > 2 } (26.3) [Ent’21] r1 = {(x, y) | y2 < 4 − x2} และ r2 = {(x, y) | y > x } (26.4) r1 = {(x, y) | y < และ16 − x2 } r2 = r1−1 (27) ให้หาขนาดพ้นื ท่ี (ตารางหนว่ ย) ของ r ∪ r−1 เมอ่ื r = {(x, y) | 2 x + y < 8 } (28) ถ้า A = โดเมนของ r1 ∩ r2 และ B = เรนจ์ของ r1 ∩ r2 โดยท่ี r1 = {(x, y) | x + y > 2 } และ r2 = {(x, y) | x + 2 y < 4 } แลว้ ผลบวกของจํานวนเตม็ ใน A ∩ B ' เปน็ เท่าใด (29) ถ้า r1 = {(x, y) | x − y = 5 } และ r2 = {(x, y) | x2 + y2 < 53 } แลว้ โดเมนของ r1 ∩ r2 เป็นช่วงใด (30) ถา้ A = {x | x2 − 2x < 3 } และ r = {(x, y) ∈ A × R | x2 − y − 1 = 0 } แล้ว เรนจข์ อง r เปน็ ช่วงใด (31) ขอ้ ความต่อไปน้ถี กู หรือผิด (31.1) ถา้ r = {(x, y) ∈ R × R | y = x2 } แล้ว r−1 = r (31.2) ถ้า r = {(x, y) ∈ R+× R | y = x2 } แล้ว r−1 = r (31.3) ถ้า r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 25 } แลว้ r−1 = r (31.4) ถา้ r = {(x, y) ∈ R+× R | x2 + y2 = 25 } แล้ว r−1 = r y (32) ให้หาขนาดพนื้ ทีข่ องอาณาบรเิ วณ ท่ถี ูกลอ้ มด้วยกราฟของ r และ r−1 (0,1) (2,2) เม่ือกาํ หนดกราฟของ r เป็นดงั ภาพ Ox (-2,-2) (0,-1) 5.4 ลกั ษณะของฟังกช์ นั จากท่ศี กึ ษาผา่ นมาแล้ววา่ ความสมั พนั ธ์ คือเซตของค่อู ันดบั (และท่ีพบบอ่ ยจะเขยี นอยู่ใน รปู สมการ) หากความสมั พันธ์ใดมีลักษณะดังต่อไปน้ีดว้ ย จะเรียกวา่ เป็น ฟังก์ชนั (Function : f) “สมาชิกตวั หนา้ แตล่ ะตัว จะคู่กบั สมาชกิ ตัวหลงั ได้เพียงแบบเดียวเทา่ น้นั ” หรือกลา่ วว่า สําหรบั x แตล่ ะตวั จะคกู่ บั y ไดเ้ พยี งแบบเดยี วเท่านน้ั เชน่ r1 = {(0, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4)} S e¾èiÁeµÁi ! S ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 1 ค่กู บั ทง้ั 2 และ 3 ¿§ ¡ª a¹ e»ÃÕºeÊÁ×o¹e¤Ã×oè §¨a¡Ã·eèÕ ÃÒãÊ x e¢Ò ä» r2 = {(0, 1),(1, 2),(3, 1),(2, 4)} æÅa¼Ò ¹¡ÃaºÇ¹¡ÒäÒí ¹Ç³¨¹¡Ãa·§èa ä´ y oo¡ÁÒ.. ´a§¹aé¹ ¡Òèae»¹¿§¡ª a¹ä´ ¶ÒeÃÒãÊ x 溺e´iÁ เป็นฟังกช์ ัน เพราะไม่มีการใช้สมาชิกตวั หนา้ ซาํ้ เลย e¢Ò仡¤ç Çèaä´¤ Ò y e·Òe´iÁoo¡ÁÒ¹¹èa eo§.. (หา้ มใชส้ มาชิกตัวหนา้ ซ้าํ แต่ใช้สมาชิกตัวหลงั ซ้าํ ได)้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 128 ความสัมพนั ธและฟงกชนั 0 r1 1 0 r2 1 2 1 1 3 2 2 24 34 ไม่เปน็ ฟังกช์ นั เปน็ ฟังกช์ นั r3 = {(x, y) | y2= x } ไม่เป็นฟงั ก์ชัน สมมติ x = 4 จะไดว้ า่ y = 2 หรอื −2 r4 = {(x, y) | y = x2} เป็นฟงั ก์ชัน เพราะไมว่ า่ จะแทน x คา่ ใด กไ็ ด้ y เพียงค่าเดียว เมอื่ เขียนกราฟของความสมั พันธ์ จะเหน็ ได้ชัดเจนว่า x แต่ละตวั คู่กบั y เพียงตวั เดยี ว หรือไม่ (ลากเส้นแนวต้งั ดวู า่ ท่ี x แตล่ ะคา่ เส้นน้ีตัดกราฟไม่เกนิ หนึ่งจุดหรอื ไม่) yy r3 r4 Ox Ox ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั เป็นฟังกช์ นั ส่งิ ทีค่ วรทราบ 1. ความสัมพันธ์ทเ่ี ขยี นในรปู y = ...(x)... ได้แบบเดียว จะเป็นฟังกช์ นั เสมอ * 2. ถ้า f เป็นฟงั กช์ นั จะเขียนแทน y ดว้ ยคาํ ว่า f (x) (อา่ นวา่ เอฟเอกซ์) เช่น f (x) = x2 ลกั ษณะของฟังก์ชนั S ¨u´·è¼Õ i´ºo Â! S “ฟงั กช์ ันจาก A ไป B” (from A into B หรอื f : A > B ) ¿§ ¡ª a¹¨Ò¡ A ä» B ¨aµo §ãª o´eÁ¹ (¤×oe«µ A) ãˤú·u¡µaÇ คือฟังกช์ ันซง่ึ Df = A และ Rf ⊂ B ¹a¤Ãaº ¼i´¡aº¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸¨Ò¡ A ä» B «Ö§è äÁµ o§ãª A ËÁ´¡äç ´ “ฟังก์ชนั จาก A ไปทัว่ ถึง B” (from A onto B หรอื f : A )onto > B คือฟงั ก์ชนั ซึ่ง Df = A และ Rf = B 0 r5 a 0 r6 a 0 r7 a 1 b 1b 2 2c 1 b 3d 2 3c AB AB A B เปน็ ฟังก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไป B เป็นฟงั ก์ชนั จาก A ไปทว่ั ถงึ B “ฟังกช์ ันหนึ่งตอ่ หนง่ึ จาก A ไป B” (one-to-one หรือ f : A )1−1> B คอื ฟงั กช์ ันท่ี Df = A และ Rf ⊂ B และ “สําหรับ y แตล่ ะตวั จะคู่กบั x เพยี งตัวเดยี วด้วย” “ฟังก์ชันหน่งึ ตอ่ หน่งึ จาก A ไปท่วั ถึง B” (one-to-one correspondence หรอื f:A )1− 1>B onto คือฟงั ก์ชันท่ี Df = A และ Rf = B และ “สําหรบั y แตล่ ะตัว จะคู่กบั x เพยี งตวั เดยี วด้วย” Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 129 ความสมั พันธแ ละฟง กช นั 0 r5 1 r8 a 0 r9 a 1 2 b 1b 2 a c 2c b 4d 3d AB AB A B เป็นฟังกช์ ัน 1-1 เป็นฟังก์ชนั 1-1 จาก A ไป B เป็นฟงั ก์ชนั 1-1 จาก A ไปทวั่ ถงึ B เมอ่ื เขยี นกราฟของความสัมพันธ์ จะทาํ การตรวจสอบว่า y แต่ละตัว คกู่ ับ x เพยี งตวั เดยี ว หรือไม่ โดยลากเส้นแนวนอนและดูว่าที่ y แตล่ ะคา่ เส้นน้ตี ดั กราฟไม่เกินหน่งึ จดุ หรือไม่ y yy r3 r4 r10 O x O xO x ไม่เปน็ ฟังก์ชนั เป็นฟังกช์ นั แต่ไมเ่ ปน็ 1-1 เปน็ ฟงั ก์ชัน 1-1 ฟังก์ชนั แบบเฉพาะต่างๆ ทคี่ วรรู้จกั ฟังก์ชนั คงตวั (Constant Function) f (x) = a (กราฟเส้นตรงแนวนอน) ฟงั ก์ชนั เชิงเส้น (Linear Function) f (x) = ax + b (กราฟเส้นตรงเฉียงๆ) ฟงั ก์ชนั กาํ ลังสอง (Quadratic Function) f (x) = ax2+ bx + c (กราฟพาราโบลาหงายหรือควํา่ ) ฟงั ก์ชันพหุนาม (Polynomial Function) f (x) = anxn + an−1xn−1+ an−2xn−2 + ... + a0 ฟงั กช์ ันตรรกยะ (Rational Function) f (x) = p(x) ..เมื่อ p(x), q(x) เปน็ ฟงั กช์ นั พหุนาม q (x) ฟงั ก์ชนั ค่าสมั บูรณ์ (Absolute Value Function) f (x) = ax + b + c (กราฟรูปตัววีหงายหรอื คว่ํา) ฟงั กช์ ันเพิม่ (Increasing Function) และ ฟังก์ชนั ลด (Decreasing Function) มนี ิยามดังนี้ ... สําหรับทุกๆ x1, x2 ∈ [a, b] ฟงั ก์ชนั f จะเป็นฟงั ก์ชันเพ่มิ ในชว่ ง [a, b] ก็ตอ่ เมื่อ ถา้ x2 > x1 แลว้ f (x2) > f (x1) และ ฟังก์ชัน f เปน็ ฟังก์ชันลดในช่วง [a, b] กต็ ่อเม่ือ ถา้ x2 > x1 แล้ว f (x2) < f (x1) เพม่ิ เติม การเขียนกราฟของฟงั ก์ชนั พหนุ าม และ การหาชว่ งทเ่ี ป็นฟงั ก์ชนั เพมิ่ หรือลด จะไดศ้ กึ ษา อยา่ งละเอียดในเรือ่ งอนพุ นั ธ์ (บทที่ 15) ตัวอยา งการแกฟงกชัน (1) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหหา f (3x − 1) วธิ ีคิด จาก f (Δ) = 2(Δ) − 3 จะได f (3x − 1) = 2(3x − 1) − 3 = 6x − 5 ... ตอบ • f (3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f (x) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 130 ความสมั พนั ธและฟง กช นั วิธีคดิ ให A = 3x − 1 น่ันคือ x = A+1 3 จะไดว า f (3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน f (A) = 6(A + 1) − 5 = 2A − 3 3 ดังน้ัน f (x) = 2x − 3 ... ตอบ • f (3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f (2) วิธีคิด ให 2 = 3x − 1 ไดเลย น่ันคือ x = 1 จะไดวา f (3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน f (2) = 6(1) − 5 = 1 ... ตอบ • f (x) = 2x − 3 ใหห า f (3x − 1) ในรูปของ f (x) วิธีคิด หา f (3x − 1) = 2(3x − 1) − 3 = 6x − 5 กอน จากนั้นเปลีย่ น x เปน f (x) โดย f (x) = 2x − 3 → x = f (x) + 3 2 จะไดว า f (3x − 1) = 6(f (x) + 3) − 5 = 3 f (x) + 4 ... ตอบ 2 แบบฝึกหดั 5.4 (33) f ทกี่ าํ หนดใหใ้ นแต่ละข้อ เป็นฟงั ก์ชันจรงิ หรือไม่ และถ้าเป็นฟงั ก์ชันใหร้ ะบุเพ่ิมเตมิ ดว้ ยวา่ เป็นฟงั ก์ชนั หน่ึงต่อหนง่ึ หรือไม่ (33.1) f (x) = x2 (33.6) f (x) = 1/x (33.2) [f (x)]2 = x (33.7) f (x) = x2 + x + 1 (33.3) f (x) = x (33.8) f (x) = x3 (33.4) f (x) = x (33.9) f (x) = 1/x2 (33.5) f (x) = x (33.10) f (x) = x2/3 (34) ความสมั พันธต์ ่อไปน้เี ปน็ ฟังกช์ นั หรือไม่ (34.1) r = {(x, y) | x + y < 1} (34.2) r = {(x, y) | x + y = 1} (35) ความสมั พันธต์ อ่ ไปน้เี ป็นฟังกช์ นั หรือไม่ (35.1) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.2) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.3) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.4) r = {(x, y) | x + y = 1} (36) ฟงั กช์ ันต่อไปนีเ้ ปน็ ฟงั ก์ชนั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ หรอื ไม่ (36.1) f = {(x, y) | 2x + y − 3 = 0 } (36.2) f = {(x, y) | (x − 4)(y + 3) = 1} (36.3) f = {(x, y) | y − 3 = (x + 4)3} (36.4) f = {(x, y) | x2 − y + 3 = 0 } Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 131 ความสัมพันธแ ละฟงกชนั (37) ฟงั กช์ นั ต่อไปน้เี ป็นฟังก์ชัน f : R > R หรอื ไม่ (37.1) f = {(x, y) | y = 9 − x2 } (37.2) f = {(x, y) | y = 9 + x2 } (37.3) f = {(x, y) | y x = 1} (37.4) f = {(x, y) | x + y − 5 = 0 } (38) ฟังก์ชนั ต่อไปนเ้ี ป็นฟงั ก์ชนั f : R onto > A เม่อื A = [0, ∞) หรือไม่ (38.1) f = {(x, y) | y = x4} (38.2) f = {(x, y) | y = x2 − 2x + 3 } (38.3) f = {(x, y) | y = x2 − 4 } (38.4) f = {(x, y) | y = x3 + 3x2 + 3x + 1 } (39) ฟังกช์ นั ต่อไปนี้เป็นฟงั ก์ชนั เพิ่มใน R หรือไม่ (39.4) f (x) = x2 + 2x + 1 (39.1) f (x) = 5x − 2 (39.5) f (x) = (x − 2)3 + 2 (39.6) f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 (39.2) f (x) = −2x + 5 (39.3) f (x) = x2 + 3 (40) ให้หาโดเมน และเรนจ์ ของฟงั กช์ ันตอ่ ไปนี้ (40.1) f (x) = x2 − 2x + 4 (40.2) f (x) = x2 − 25 x −5 (40.3) f (x) = 1 + x2 x (41) กําหนด f (x) = x2 เมอื่ −2 < x < 8 ถามว่า f (t + 3) เทา่ กับเทา่ ใด และจะมคี วามหมาย เม่ือ t อยใู่ นช่วงใด (42) ใหห้ าค่าของ (42.1) f (x) เมอื่ f (x + 1) = x2 + 3x + 9 (42.2) f (2) เมื่อ f ( x2 − 1) = x2 + 2 (42.3) f (4x) ในเทอมของ f (x) เมอ่ื f (x) = x x+2 5.5 ฟงั กช์ นั ประกอบ และฟงั ก์ชนั ผกผนั ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) 0f 3g7 ให้ f และ g เป็นฟงั ก์ชันดังแผนภาพ 1 4 2 5 8 จะได้ว่า f (0) = 3 และ g(3) = 7 A 69 อาจกล่าวว่า g(f (0)) = 7 กไ็ ด้ BC นอกจากนนั้ g(f (1)) = 8 และ g(f (2)) = 7 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 132 ความสัมพนั ธแ ละฟง กชัน ฟงั กช์ นั g(f (x)) เปน็ ฟังก์ชันจาก A ไป C เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ g(f (x)) = (gD f)(x) เรียกว่าฟังก์ชันประกอบของ f และ g และอ่านวา่ จโี อเอฟเอกซ์ ฟงั กช์ ัน (gD f)(x) จะหาได้ก็เมือ่ มสี มาชกิ บางสว่ นของ Rf กับ Dg รว่ มกัน หรอื กลา่ วว่า (gD f)(x) จะหาได้ กเ็ ม่อื Rf ∩ Dg ≠ ∅ f f g g AB C AB C หา gof ได้ หา gof ไมไ่ ด้ * โดยทว่ั ไป ถ้า Rf ⊂ Dg จะได้วา่ Dgof = Df (คือโดเมนของ f ทกุ ตวั ใชไ้ ดห้ มด) แต่ถา้ Rf ⊄ Dg (กรณีน้ีพบบอ่ ยเป็นปกต)ิ จะไดว้ ่า Dgof ⊂ Df เท่านั้น (คอื โดเมนของ f บางตวั ใช้ ไม่ได้ เพราะเรนจข์ องตวั น้ันไม่ได้อยใู่ นโดเมน g) ... การหาโดเมนของ gD f จงึ ตอ้ งระวัง • ตัวอยางเชน f (x) = x − 1 และ g(x) = x2 ตองการหา Dgof ... จะไดว า (g D f)(x) = g(f (x)) = g( x − 1) = x − 1 ซงึ่ ดูจากลกั ษณะแลว คา x นา จะเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ (Dgof = R ) แตทีจ่ รงิ แลว f (x) = x − 1 นนั้ x > 1 จากนั้นนาํ f (x) ไปใชกบั g พบวาใชไดท ง้ั หมด ดงั น้ันจงึ สรปุ วา Dgof = [1, ∞) ตวั อยางการแกฟ ง กช นั (2) • ถา f (x) = 2x − 3 และ g(x) = 3x + 4 ใหหา (g D f)(x) วิธีคดิ จาก (g D f)(x) = g(f (x)) = g(2x − 3) = 3(2x − 3) + 4 = 6x − 5 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ g(x) = 3x + 4 ใหหา f (x) วิธีคดิ จาก (gD f)(x) = g(f (x)) = 3(f (x)) + 4 แตโจทยกําหนด (gD f)(x) = 6x − 5 ดังน้ัน 3(f (x)) + 4 = 6x − 5 ยายขา งสมการได f (x) = 2x − 3 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ g(x) = 3x + 4 ใหห า f (2) วธิ ีคิด จาก (g D f)(2) = g(f (2)) = 3(f (2)) + 4 แต (g D f)(2) = 6(2) − 5 = 7 ดงั น้นั 3(f (2)) + 4 = 7 ยา ยขางสมการได f (2) = 1 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ f (x) = 2x − 3 ใหห า g(x) วิธีคดิ จาก (gD f)(x) = g(f (x)) = g(2x − 3) แตโ จทยก าํ หนด (gD f)(x) = 6x − 5 ดงั นน้ั g(2x − 3) = 6x − 5 ใชเทคนคิ การแกฟ งกชนั ตามเดมิ ได g(x) = 3x + 4 ... ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 133 ความสัมพนั ธแ ละฟง กช นั • (g D f)(x) = 6x − 5 และ f (x) = 2x − 3 ใหหา g(1) วธิ ีคิด ตอ งการ g(1) จงึ ให f (x) = 1 จะได 2x − 3 = 1 → x = 2 แทนคา x ดวย 2 จะได (gD f)(2) = g(1) = 6(2) − 5 = 7 ... ตอบ ฟงั กช์ ันผกผัน (Inverse Function) เราทราบแล้ววา่ ความสมั พันธ์ r ใดๆ สามารถหาอินเวอร์ส (r −1) ไดเ้ สมอ เช่นเดียวกนั ฟงั กช์ นั f ใดๆ ก็จะหาอินเวอร์ส f −1 ได้เสมอ แต่ f −1 อาจไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ัน ถา้ f −1 เปน็ ฟงั กช์ นั จะเรียกวา่ ฟงั กช์ ันอินเวอรส์ หรอื ฟงั ก์ชนั ผกผนั และเขยี นเปน็ f −1(x) ได้ จากหลกั การเขยี นกราฟของอินเวอร์ส ทําใหพ้ บวา่ f −1 จะเป็นฟงั ก์ชนั กเ็ มือ่ f เปน็ ฟังก์ชนั หนึง่ ตอ่ หนงึ่ เทา่ นัน้ และ f −1(,) = Δ มคี วามหมายเดียวกบั f (Δ) = , สมบตั ขิ องอนิ เวอรส์ ได้แก่ (f D g)−1 = g−1D f−1 และ (f−1)−1 = f ตัวอยา งการแกฟงกช นั (3) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหห า f −1(x) วธิ ีคดิ จาก f (x) = 2x − 3 → f −1(2x − 3) = x จากนั้นใชเ ทคนิคการแกฟง กช ันตามเดมิ ได f −1(x) = 0.5 x + 1.5 ... ตอบ (หมายเหตุ อาจใชว ิธีหาอินเวอรส เหมือนในบทเรียนความสัมพันธ คือสลับตัวแปร x กบั y ) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหห า f −1(5) วิธีคดิ จาก f (x) = 2x − 3 → f −1(2x − 3) = x แลวให 2x − 3 = 5 นนั่ คือ x = 4 ดังนน้ั แทนคา x ดวย 4 จะได f −1(5) = 4 ... ตอบ • ถา f (x − 1) = 4x − 3 ใหห า f − 1(x) วธิ ีคิด จาก f (x − 1) = 4x − 3 → f −1(4x − 3) = x − 1 จากนั้นใชเทคนิคการแกฟ ง กชนั ตามเดมิ ได f −1(x) = 0.25 x − 0.25 ... ตอบ • ถา f (x − 1) = 4x − 3 ใหห า f − 1(5) วิธีคดิ จาก f (x − 1) = 4x − 3 → f −1(4x − 3) = x − 1 แลว ให 4x − 3 = 5 นัน่ คือ x = 2 ดงั นนั้ แทนคา x ดว ย 2 จะได f −1(5) = 1 ... ตอบ • [Ent’35] ถา f −1(x) = x และ (f D g)(x + 2) = 3x + 6 ใหห า g(2) x −2 วธิ ีคิด ตองการ g(2) จึงให x + 2 = 2 นนั่ คือ x = 0 แทนคา ใน (f D g)(x + 2) = 3x + 6 จะไดว า (f D g)(2) = 6 หรือ f (g(2)) = 6 จากน้ันใชส มบัตขิ องอนิ เวอรส กลายเปน f −1 (6) = g(2) ซึ่ง f −1(6) = 6 = 1.5 ดังน้ัน g(2) = 1.5 ... ตอบ 6−2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 134 ความสมั พนั ธและฟงกช ัน พีชคณิตของฟังกช์ ัน (Algebra of Function) ซงึ่(f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x) Df ∗g = Df ∩ Dg เครื่องหมาย ∗ เป็นไดท้ ัง้ +, −, ×, ÷ (โดยกรณีหาร g(x) ≠ 0 ) แบบฝึกหัด 5.5 (43) ให้หา gD f และ f D g ของฟงั ก์ชนั ทก่ี าํ หนดให้ในแต่ละขอ้ (43.1) f (x) = 2x และ g(x) = x + 3 (43.2) f (x) = x + 1 และ g(x) = x (43.3) f (x) = 4x + 1 และ g(x) = x2 * (43.4) f (x) = ⎧⎪ 4−x ,x < 0 และ g(x) = x2 + 1 เมอื่ x >2 ⎨ ⎪⎩ 6 − x , x > 4 (44) [Ent’33] ถา้ (g D f)(x) = 3 [f (x)]2 − 2 f (x) + 1 และ g(x) = x2 − x + 2 ใหห้ า (g D f)(1) (45) ถา้ f (x) = x + 1 เมอื่ x ≠ 0 และ (f D g)(x) = x ให้หา g(x) x (46) ถา้ g(x) = x2 + x + 2 และ (g D f)(x) = x2 − x + 2 แล้วให้หา f (x) (47) ถ้า f (x) = Ax + B โดยท่ี A > 0 และ (f D f)(x) = 4x − 9 ให้หาคา่ B (48) อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี เปน็ ฟงั ก์ชันหรือไม่ (48.1) f = {(x, y) | y = x x } (48.2) f = {(x, y) | y = (x + 1)2} (48.3) f = {(x, y) | y = 9 − x2 } (48.4) f = {(x, y) | y = 1 / x } (49) ใหห้ าฟงั ก์ชันผกผัน f−1(x) เม่ือกําหนดให้ (49.5) f (x) = x − 2 (49.1) f (x) = 5 − x x−3 (49.2) f (x) = 5x + 4 (49.6) f (x) = x 2x − 1 (49.3) f (x) = x − 1 3 (49.7) f (x) = 2x − 3 3x − 2 (49.4) f (x) = 1 x−1 (50) ใหห้ า f−1(x) เมื่อกําหนดให้ f (x) = ⎪⎧2x + 2 , x > 0 ⎪⎩⎨−x2 − 1 , x < 0 (51) ให้หา f−1(x) เมื่อกาํ หนดให้ (51.1) f (3x − 4) = 4x + 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 135 ความสัมพันธและฟง กชัน (51.2) [Ent’21] f (x + 1) = x − 1 22 (51.3) f (x + 1) = 5x − 7 x−3 (51.4) f − 1[ 3 f (2x + 1) − 3x + 2 ] = 2x + 1 (52) ถา้ f (x − 1) = x3 − 3x2 + 3x + 5 แล้วค่าของ f−1(5) เป็นเท่าใด (53) กาํ หนดให้ f (x + 3) = 4x − 5 และ g(x − 3) = 2 − 3x ใหห้ าค่าของ (53.1) (f D g−1)(5) (53.3) (f−1D g−1)(−4) (53.2) (g D f−1)(−1) (53.4) (g−1D f−1)(3) (54) กําหนดให้ f (x + 1) = 2x + 3 และ g(x) = ⎧2x + 1 , x>0 ใหห้ าค่าของ ⎩⎨3x + 1 , x<0 (54.1) (f−1D g−1)(0) (54.2) (g−1D f−1)(0) (55) กําหนดให้ f (x) = ⎧−2x , x > 0 และ g(x) = ⎪⎧ x2 , x > 3 ให้หา ⎨ ⎩⎪⎨−x , x < 3 ⎩ 3,x<0 (55.1) (f − g)(x) (55.2) Df/g (56) ถ้า f (x) = x + 1 , g(x) = 1 − x และ h(x) = 1 − x2 แลว้ ให้หา (56.1) [(g D f) + h](x) (56.2) (f D g)(x) h (57) ถ้า f (2x − 3) = 3x − 2 และ (f + g)(x) = x2 + x − 3 แลว้ ให้หา (57.1) (g + f−1)(x) (57.2) (g)(x) f (58) ถา้ f (x) = x + 5 และ (gD f)(x) = x2 − 25 แลว้ ใหห้ า (f)(x) g (59) ถา้ f (x) = 4x , g(x) = x2 + 1 และ h (x) = ⎧x + 1 , x>0 แล้ว ใหห้ า ⎨⎩x − 1 , x<0 (59.1) (f−1+ g + h−1)(−2) (59.2) [(g D f−1) ⋅ h](2) (60) ถา้ (f + g)(x) = 2x + 1 และ (f − g)(x) = 3 − 4x แลว้ ใหห้ า (60.1) (f D g)−1(−2) (60.2) [(g−1+ f−1) D f](1) (61) ถา้ f−1(x) = x และ (f D g)(x) = x + 2 แล้ว ใหห้ า x −2 (61.1) (f + g)(2) (61.2) [(g D f) ⋅ f−1](4) (62) ถ้า f−1(x + 1) = 2x + 3 และ (f D g)(x − 1) = 5x + 1 แล้ว ใหห้ า (62.1) (f + f−1)(3) (62.2) [(fg) D f−1](1) g Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 136 ความสัมพนั ธและฟง กชนั เฉลยแบบฝึกหดั (คําตอบ) (1) ผดิ ทกุ ขอ้ (23.4) [−3, 2), [−3, 6) (49.2) x2 − 4 เม่อื x > 0 (2) (35/3, 20/21) (3) (6, 0) (24.1) 1 (24.2) 0.5 5 (4) ขอ้ (4.2) และ (4.6) ถกู (24.3) 1 (24.4) หาคา่ ไมไ่ ด้ (49.3) 3x + 1 (5) ถกู ทกุ ขอ้ (6) 2mk − m2 (25) 6.75 (26.1) 24 (49.4) 1 + 1 / x เมื่อ x ≠ 0 (7) 220 (8) 21,000 (26.2) 12 (26.3) π (49.5) 3x − 2 เมอื่ x ≠ 1 (9) ถูกทกุ ขอ้ (10) ถูกทกุ ขอ้ (26.4) 4π (27) 85.33 x−1 (11.1) {(2, −1)} (28) 0 (29) [−7, −5] ∪ [5, 7] (49.6) x เมอ่ื x ≠ 1 2x − 1 2 (11.2) {(0, 4), ( 7, −3), (− 7, −3)} (30) [−1, 8] (32) 4 (49.7) 2x − 3 เม่ือ x ≠ 2 (12) 310 (31) ข้อ (31.2) และ (31.3) ถูก 3x − 2 3 (13.1) Dr = R − {0} , (33) ขอ้ (33.2) และ (33.5) ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน ขอ้ (33.3), (33.6), (50) f−1(x) = ⎪⎧ 0.5x + 1 , ,x>2 Rr = R − {0} (33.8) เป็นฟังกช์ นั หน่งึ ตอ่ หนึง่ ⎪⎩⎨− −x − 1 x<−1 (34.1) ไม่เปน็ (34.2) เปน็ (13.2) R − {2} , R − {1} (35) ข้อ (35.4) เท่านัน้ ทีเ่ ปน็ (51.1) 3x − 25 (51.2) x + 2 (13.3) R − {1} , R − {0} (36) ขอ้ (36.4) เท่านั้นทไ่ี มเ่ ปน็ (13.4) R − {−1} , R − {2} (37) ขอ้ (37.2) เทา่ นนั้ ทเี่ ปน็ 4 (13.5) (1, ∞) , (1, ∞) (51.3) 4x − 12 เมอ่ื x ≠ 5 x −5 (14.1) R , [0, ∞) (38) ขอ้ (38.2) เท่านั้นไม่เปน็ (51.4) 4x + 7 (52) –1 (14.2) [0, ∞), [0, ∞) (39) ขอ้ (39.1), (39.5), (14.3) R , [−4, ∞) 3 (14.4) [−1, ∞), [3, ∞) (14.5) [−4, 4] , [−4, 4] (39.6) เปน็ (40.1) R , [3, ∞) (53.1) –33 (53.2) –19 (14.6) [−4, 4] , [0, 4] (53.3) 4 (53.4) –4 (14.7) [−4, 1] , [0, 1.25] (40.2) R − {5} , R − {10} (54.1) –2/3 (54.2) –1/2 (40.3) R − {0} , R − (−2, 2) (55.1) 3 + x, x < 0 และ (41) (t + 3)2 เมือ่ −5 < t < 5 −x, 0 < x < 3 และ (42.1) x2 + x + 7 (42.2) 7 −2x − x2, x > 3 (14.8) [−1, 7] , [−6, 2] (42.3) 4 f (x) (55.2) R − {0} (15.1) R − {0, 1} , R − (−4, 0] 3 f (x) + 1 (15.2) R − {1, 3} , R − (−1, 0] (43.1) (g D f)(x) = 2x + 3 , (56.1) 1 − x + 1 + 1 − x2 (15.3) [−1, ∞) − {0} , R (f D g)(x) = 2x + 6 เมือ่ −1< x < 0 (15.4) ∅ , ∅ (43.2) (g D f)(x) = x + 1 (56.2) 1 + 1 − x 1 − x2 (15.5) [−2, −1) ∪ (1, ∞) , R เมอ่ื x > −1, (15.6) ,R − (46/25, 2] R − {3, −2} (f D g)(x) = x + 1 เมอ่ื x > 0 เมอ่ื x ∈ (−∞, 1) − {−1} (57.1) x2 + x − 43 (16.1) ,R − {−7, 1} R − (−3/4, 0] (43.3) (g D f)(x) = (4x + 1)2 , (16.2) R , [0, 2] 6 (f D g)(x) = 4x 2 + 1 (16.3) R , [0, ∞) 2x2 − x − 11 (17.1) R − {−2, 2} (43.4) (gD f)(x) = ⎪⎧ 5 −x , x < 0 (57.2) 3x + 5 (17.2) R − [−2, 2] ⎨ − x)2 + 1 , x > 8เมอ่ื x (17.3) R − {2} (17.4) [2, ∞) ⎩⎪(6 ≠ −5/3 (18) {1} (19) 5 (20) 2 และ (f D g)(x) = 5 − x2 (58) x + 5 เม่ือ เม่อื x > 2 (44) 11/4 หรอื 2 x (x − 10) x ≠ 0, 10 (21) (−1/4, 0] (22) ข. (45) 1 เมอ่ื x ≠ 1 (59.1) 7/2 (59.2) 15/4 (60.1) 5/3 (60.2) 5/3 (23.1) [−4, 4] , [−4, 4] x−1 (61.1) 6 (61.2) 7/2 (23.2) [0, 4] , [−2, 2] (23.3) R , [−3, ∞) (46) x − 1 หรอื −x (47) –3 (62.1) 7 1 (62.2) 43 (48) ขอ้ (48.1) เทา่ นนั้ ทีเ่ ป็น 43 (49.1) 5 − x2 เมื่อ x > 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 137 ความสมั พนั ธและฟง กช ัน เฉลยแบบฝึกหัด (วธิ ีคดิ ) (1.1) ผิด เพราะมีบาง a, บาง b (5.3) จากสตู รเร่ืองเซต n[(A × B) ∪ (B × A)] = ซึง่ (a, b) = (b, a) เชน่ a = 2, b = 2 (1.2) ผดิ เพราะ (a, b) ≠ (c, d) ไม่ได้แปลวา่ n(A × B) + n(B × A) −n[(A × B) ∩ (B × A)] a ≠ c และ b ≠ d พร้อมๆ กนั เสมอไป ต้องใชว้ า่ a ≠ c หรอื b ≠ d จึงจะถูก พบว่า A ∩ B = {0, 1, 2, 3, 4} (1.3) ข้อนจี้ ะถกู กเ็ มอื่ a + 2b = −1 และ ดงั นนั้ (A × B) ∩ (B × A) จะมอี ยู่ 5 × 5 คอู่ นั ดับ 1 = b + a → 2 = 2b + a ซงึ่ เปน็ ไปไมไ่ ด้ ทําใหไ้ ด้ (29 × 8) + (8 × 29) − (5 × 5) = 439 ถูก 2 (6) จาก n[(A × B) ∪ (B × A)] เพราะสมการทั้งสองขัดแยง้ กนั (ไม่มีคําตอบ) ดงั นน้ั ขอ้ นจี้ งึ ผดิ = n(A × B) + n(B × A) − n[(A × B) ∩ (B × A)] (2) 3x + 5 = −5 → x = −10 / 3 และ 8 − 4y = −6 → y = 7 / 2 (ตัวท่ขี ดี เสน้ ใต้ โจทยใ์ หเ้ ปน็ (A ∩ B)×(B ∩ A) ) y = −p → p = −7 / 2 จะได้ = mk + km − mm = 2mk − m2 ดังนนั้ (xp, x) = (35 , 20) (7) n(A '∩ B ') = 2 แสดงวา่ n(A ∪ B) = 8 p 3 21 (วาดรปู ประกอบจะเหน็ ชัด) (3) (3, 4) ∗ (0, 0) = (3 − 0, 4 + 0) = (3, 4) และ (x, y) ∗ (3, 4) = (x − 3, y + 4) n(A '∪ B ') = 9 แสดงวา่ x1 y ดงั นนั้ 3 = x − 3 → x = 6 และ 2 4 = y + 4 → y = 0 ตอบ (6, 0) n(A ∩ B) = 1 (4.1) ผิด มีกรณีที่ A × B กลายเปน็ เซตจาํ กดั คือเมอ่ื B = ∅ จะทาํ ให้ A × B = ∅ และจาก n(B) − n(A) = 1 AB (4.2) ถกู เพราะถา้ n(A × B) หาคา่ ไมไ่ ด้ แสดงวา่ n(A) หรอื n(B) ต้องหาคา่ ไมไ่ ด้ จะไดว้ า่ (y + 1) − (x + 1) = 1 และ x + 1 + y = 8 (4.3) ผดิ ไมจ่ าํ เปน็ วา่ B = C หากวา่ A = ∅ (4.4) ผิด A = ∅ หรอื B = ∅ แก้ระบบสมการได้ x = 3 , y = 4 ดังนนั้ อยา่ งใดอย่างหนง่ึ ก็ได้ ไมต่ ้องเปน็ ∅ ทั้งคู่ (4.5) ผดิ ถา้ A = ∅ n(A) = 4 , n(B) = 5 และความสมั พนั ธจ์ าก A ไป กท็ ําให้ A × B = B × A ได้ (4.6) ถูก เพราะ A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B B มที ัง้ ส้นิ 24×5 = 220 แบบ (8) แบบ2n(A × A)⋅n(A) = 2100 × 10 = 21,000 (4.7) ผดิ เชน่ A = ∅ จะทาํ ให้ A × B = A ได้ (9.1) 23×2 = 26 = 64 ถูก (หรอื B = ∅ จะทาํ ให้ A × B = B ) (9.2) โดเมนเปน็ {1, 2, 3} ครบทุกจาํ นวน ดงั นนั้ (4.8) ผดิ เพราะสมาชกิ ของ A กบั สมาชกิ ของ A × B ยอ่ มไมม่ ตี วั ใดซาํ้ กนั อย่แู ลว้ ตอ้ งคิดแบบการนบั ( A × B มสี มาชิกเป็นคอู่ นั ดบั ) ส่วนของโดเมนเป็น 1 จะมไี ด้ 3 แบบ คือ ดังนน้ั A ∩ (A × B) = ∅ เสมอ (1, 0) / (1, 4) / (1, 0),(1, 4) (5.1) n(P(A)) = 24 , n(P(B)) = 23 คิดจาก 22− 1 (สับเซตของ B ทุกแบบ ทไ่ี ม่ใช่ ∅ ) → n(P(A) × P(B)) = 24 ⋅ 23 = 128 ถูก โดเมนเปน็ 2 กม็ ี 3 แบบ, เปน็ 3 กม็ ี 3 แบบ (5.2) เน่อื งจาก (A × B) ∩ (A × C) = A × (B ∩ C) ดังนน้ั ประกอบกนั ท้ังสามส่วน ได้ 3× 3× 3 =27 ถูก n(A) = 30 n(B ∩ C) = 19 → (10.1) ถกู คอื 212 แบบ (10.2) โดเมนเปน็ ตวั แรก มี 15 แบบ → คดิ จาก n[(A × B) ∩ (A × C)] = 30 × 19 = 570 ถกู 24 − 1 (สับเซตของ B ทกุ แบบทไ่ี มใ่ ช่ ∅ ) ตวั สองและสาม ก็ 15 แบบ ดังนน้ั ได้ 15 × 15 × 15 ถกู (10.3) คดิ เชน่ เดียวกบั ขอ้ (10.2) คือ แตล่ ะตวั ของ โดเมน B จะมีได้ 23 − 1 = 7 แบบ รวมกนั ทั้ง 4 ตัว เป็น 7 × 7 × 7 × 7 = 2,401 ถกู (10.4) คดิ เชน่ เดมิ 23 − 1 = 7 → 7 × 7 × 7 = 343 ถูก (11.1) r1 ∩ r2 ได้จากการแกร้ ะบบสมการ คอื (x, y) = (2, −1) เทา่ นั้น (เปน็ จาํ นวนเต็มพอด)ี จึงตอบ r1 ∩ r2 = { (2, −1) } Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 138 ความสัมพันธแ ละฟง กช ัน (11.2) แก้ระบบสมการ (14.1) y = x2 → Dr = R , Rr = [0, ∞) ได้ y2 − y − 12 = 0 → y = 4 หรอื −3 หมายเหตุ เปน็ กราฟพราโบลาหงาย ถ้า y = 4 → x = 0 , (14.2) y = x → Dr = [0, ∞) , Rr = [0, ∞) ถ้า y = −3 → x = ± 7 หมายเหตุ เปน็ กราฟพาราโบลาหงายเหมือนขอ้ ทแี่ ลว้ ดังนนั้ r1 ∩ r2 = {(0, 4), ( 7, −3), (− 7, −3)} แต่มเี พยี งซีกขวาเท่านั้น เพราะ x หา้ มตดิ ลบ (12) ถ้า x = 1 ได้ y = 1, 2, 3, ..., 25 → 25 แบบ ถา้ x = 2 ได้ y = 2, 3, ..., 25 → 24 แบบ ... 14.1 14.2 จนถึง x = 20 ได้ y = 20, 21, ..., 25 (6 แบบ) รวมจาํ นวนคอู่ นั ดับ = 25 + 24 + 23 + ... + 6 = 310 (ควรใช้สูตรอนกุ รมบทที่ 13 ในการบวกเลข) (14.3) y = x2 − 2x − 3 → y + 3 +1 = x2 − 2x +1 (13.1) ก. y = 2 → x ≠ 0 → Dr = R − {0} → y + 4 = (x − 1)2 x ดังนน้ั Dr = R , Rr = [−4, ∞) ข. x = 2 →y ≠ 0 → Rr = R − {0} y หมายเหตุ เปน็ กราฟพาราโบลาหงาย จุดยอด (1,-4) (ไม่วา่ จะวาดกราฟหรอื ไม่ กต็ อ้ งจดั กาํ ลังสองสมบูรณ์ หมายเหตุ เปน็ กราฟ ให้เหลือ x กบั y เพียงอยา่ งละตวั เดยี วเสมอ) (14.4) y − 3 = x + 1 ไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก (เป็นพาราโบลา (y − 3)2 = x + 1 แต่มเี พยี งซีกบน) ดังนี้ (13.2) ก. y − 1 = 1 x + 1 > 0 → Dr = [−1, ∞) x −2 y − 3 > 0 → Rr = [3, ∞) → x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2 → Dr = R − {2} (14.5) ถ้าคดิ ดว้ ยกราฟ จะได้รปู วงกลม ข. x −2 = 1 → y ≠ 1→ Rr = R − {1} y−1 Dr = [−4, 4], Rr = [−4, 4] หมายเหตุ เปน็ กราฟไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก เหมอื นใน หรอื คิดโดยจดั รปู สมการกไ็ ด้ คอื ข้อที่แล้ว แตเ่ ลอ่ื นจุด (0,0) ไปอยู่ที่ (2,1) ก. y = ± 16 − x2 → 16 − x2 > 0 (13.3) ก. y = 1 → x ≠ 1 → Dr = R − {1} x−1 → (x − 4)(x + 4) < 0 → −4 < x < 4 ข. x−1= 1 →y ≠ 0 → Rr = R − {0} ข. x = ± 16 − y2 → ... → −4 < y < 4 y (14.6) y = 16 − x2 เป็นครงึ่ วงกลม เพราะ หมายเหตุ เปน็ กราฟไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก y > 0 เสมอ ดงั นนั้ Dr = [−4, 4], Rr = [0, 4] (13.4) ก. y = 2x − 3 → x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 (14.7) 2y = 4 − 3x − x2 → ลองยกกาํ ลงั สอง x+1 ได้ 4y2 = 4 − 3x − x2 เปน็ สมการวงรี จัดรปู ดงั น้ี (x2 + 3x + 2.25) + 4y2 = 6.25 → Dr = R − {−1} ข. xy + y = 2x − 3 → xy − 2x = −y − 3 → x = −y − 3 → y −2 ≠ 0 → Rr = R − {2} → (x + 1.5)2 + y2 = 1 y −2 6.25 1.5625 จากภาพจะได้ 1.25 (13.5) ก. y = x + 1 → x ≠ 1 Dr = [−4, 1] และ 2.5 x−1 (1.5,0) โจทยเ์ พิ่มวา่ x > 1 ดงั นน้ั Dr = (1, ∞) Rr = [0, 1.25] ข. xy − y = x + 1 → xy − x = y + 1 → วงรดี า้ นลา่ งหายไปเพราะ x = y + 1 ... แตเ่ นอื่ งจาก x > 1 จะได้ y + 1 > 1 ในโจทยม์ ีรทู้ ทาํ ให้ y > 0 เสมอ y−1 y−1 (14.8) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 → y +1−1> 0 → y + 1− y + 1 > 0 y−1 y−1 → (x − 3)2 + (y + 2)2 = 42 → 2 >0→ y > 1 ดังนัน้ Rr = (1, ∞) เป็นวงกลมท่ีมีจดุ ศูนย์กลางที่ (3, −2) รศั มี 4 y−1 หนว่ ย ดงั นน้ั Dr = [−1, 7], Rr = [−6, 2] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 139 ความสัมพนั ธแ ละฟงกชนั (15.1) ก. x2 − x ≠ 0 → x(x − 1) ≠ 0 2(y − 1)2 − 21 22 → Dr = R − {0, 1} (15.6) ก. x = → (y − 1)2 − 1 ข. x2 − x = 1 → x2 − x + 1 = 1 + 1 24 y 4 y4 มอง (y-1/2) เป็นก้อนๆ หนง่ึ → (x − 1)2 = y + 4 → y + 4 > 0 2 4y 4y แลว้ ยา้ ยขา้ งแบบขอ้ (13.4) จะได้ เขยี นเส้นจํานวน จะได้ Rr = R − (−4, 0] (y − 1)2 = 25x − 46 → 25x − 46 > 0 (15.2) ก. x2 − 4x + 3 ≠ 0 → (x − 3)(x − 1) ≠ 0 2 4x − 8 4x − 8 เขยี นเสน้ จํานวนได้ Dr = R − (46 , 2] 25 → Dr = R − {1, 3} ข. x 2y2 − 2y − 11 ข. x2 − 4x + 3 = 1 → x2 − 4x + 4 = 1 + 1 = y2 − y −6 → (y − 3)(y + 2) ≠ 0 yy → Rr = R − {3, −2} → (x − 2)2 = y + 1 → y + 1 > 0 yy (16.1) ก. | x + 3 |− 4 ≠ 0 → x + 3 ≠ ±4 เขียนเส้นจํานวน จะได้ Rr = R − (−1, 0] → Dr = R − {−7, 1} (15.3) ก. x + 1 > 0 → x > −1 , และ ข. | x + 3 | − 4 = 3 → | x + 3 |= 3 + 4 x ≠ 0 → Dr = (−1, ∞) − {0} yy ข. y = x+ 1 → y2 = x+1 → → 3 + 4 > 0 → 3 + 4y > 0 x x2 yy x2y2 − x − 1 = 0 → x = 1 ± 1 + 4y2 ดังนน้ั Rr = R − (− 3 , 0] 2y2 4 → (16.2) ก. x ∈ R → Dr = R 1 + 4y2 > 0 → y2 > − 1 (เป็นจริงเสมอ) เนอ่ื งจากไม่มขี อ้ จํากดั ใดๆ สาํ หรบั ค่า x 4 ข. y = |x + 2|−|x| → แยกช่วงย่อยคดิ .. ∴ Rr = R ถ้า x > 0 → y = | x + 2 − x |= 2 (15.4) ก. y2 − 2xy + 2x2 + x + 1 = 0 ถ้า −2< x < 0 → y = |x + 2 + x | = |2x + 2| → y = 2x ± 4x2 − 8x2 − 4x − 4 2 ถา้ x < −2 → y =| −x − 2 + x | = 2 → y = x ± −x2 − x − 1 จะได้กราฟดงั ภาพ → − x2 − x − 1 > 0 → x2 + x + 1 < 0 และ Rr = [0, 2] 2 แยกตัวประกอบไม่ออก แสดงวา่ กอ้ นน้ีเปน็ บวกเสมอ หรอื ทดลองจดั กาํ ลังสองสมบรู ณก์ ็ได้ ไดผ้ ลดังนี้ -1 → (x + 1)2 + 3 <0 เปน็ ไปไม่ได้ ∴ Dr = ∅ (16.3) กราฟสรา้ งจากพาราโบลา y = x2 − 4 2 4 แตว่ า่ มคี า่ สมั บรู ณ์ ข. เนอื่ งจาก Dr = ∅ จะได้ Rr = ∅ ดว้ ย ทาํ ให้ y > 0 เสมอ กราฟดา้ นล่างทค่ี า่ y ตดิ ลบ (15.5) ก. y2 = x+2 → x+2 > 0 → จะถูกพลกิ ขนึ้ ดา้ นบนใหเ้ ปน็ x2 − 1 x2 − 1 คา่ บวก ดงั ภาพ x + 2 > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนได้ ∴ Dr = R, Rr = [0, ∞) (x − 1)(x + 1) (17.1) Rr−1 = Dr ⇒ Dr = [−2, −1) ∪ (1, ∞) x2 − 4 ≠ 0 → (x − 2)(x + 2) ≠ 0 หมายเหตุ x2 − 1 ≠ 0 รวมอย่ใู นเส้นจาํ นวนแลว้ ดังนนั้ Rr−1 = R − {2, −2} ข. x2y2 − x − y2 − 2 = 0 (17.2) x2 − 4 ≠ 0, x2 − 4 > 0 → x = 1± 1 + 4y4 + 8y2 2y2 ดงั นน้ั x2 − 4 > 0 → Rr−1 = R − [−2, 2] (17.3) Rr−1 = R − {2} → 1 + 4y4 + 8y2 > 0 เป็นจริงเสมอ ดังนนั้ Rr = R Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 140 ความสมั พันธแ ละฟง กชัน (17.4) เงอ่ื นไข 2x2 − 3x − 2 > 0 จะได้ (22) y2 = 1 → 9 − x2 = 1 → 9 − x2 y2 (2x + 1)(x − 2) > 0 → x ∈(−∞, −1/2] ∪ [2, ∞) และ เงอ่ื นไข 3x − 1 + 2 2x2 − 3x − 2 > 0 x2 = 9 − 1 = 9y2 − 1 → 9y2 − 1 > 0 y2 y2 y2 นนั่ คอื 2 2x2 − 3x − 2 > 1 − 3x ซึง่ อสมการนว้ี ธิ กี ารคดิ จะต้องแบง่ เปน็ สองกรณี น่นั คอื (3y − 1)(3y + 1) > 0 เขียนเสน้ จาํ นวนได้ผล y2 กรณที ่ี 1 − 3x > 0 → x < 1 3 เป็น Rr = R − (− 1 , 1) = U 33 จะได้อสมการ 4(2x2 − 3x − 2) > 1 − 6x + 9x2 ก. ∃x∀y[x + y = y] ไมถ่ กู เพราะ x + y = y → x2 + 6x + 9 < 0 → (x + 3)2 < 0 → x = −3 แสดงวา่ x = 0 แตใ่ น U ไม่มี 0 (เป็นไปไม่ไดใ้ นกรณีน)ี้ ข. ∀x∃y[x + y = 0] ถูก เพราะไมว่ า่ หยิบ x ตัวใด กรณที ่ี 1 − 3x < 0 → x > 1 กจ็ ะหา y ทตี่ รงเงอ่ื นไขได้เสมอ 4 3 (23.1) Dr = [−4, 4] จะไดอ้ สมการเปน็ จรงิ เสมอ ทุกคา่ x ท่ีใชไ้ ดใ้ นรทู้ Rr = [−4, 4] นนั่ คอื x ∈(−∞, −1/2] ∪ [2, ∞) (ซ่ึงคาํ นวณไวแ้ ลว้ ) แต่เงอื่ นไขของกรณีนค้ี ือ x > 1/3 เทา่ นน้ั .. -4 4 ∴ Rr−1 = [2, ∞) (23.2) Dr = [0, 4] -4 (18) x = 1+ y → Rr = R − {0} Rr = [−2, 2] 22 y (2,0) xy −y = 1→ y = 1 → Dr = R − {1} x−1 ดังนน้ั Rr − Dr = {1} (23.3) y + 2 = x2 + 2x → y + 3 = (x + 1)2 (19) ก.>x 11; x − 2 0 → x 2 Dr = R x > 11; 15 − x > 0 → x < 15 Rr = [−3, ∞) นาํ มารวมกนั ไดเ้ ป็น Dr = [2, 15] (-1,-3) ข. ในชว่ ง 2 < x < 11 จะได้ y2 = x − 2 (23.4) กราฟเหมือนขอ้ ทแ่ี ล้ว (2,6) แตม่ แี คช่ ่วงเดยี ว (-1,-3) แสดงว่า y มคี า่ เพมิ่ ขน้ึ จาก 0 ไปถึง 3 สว่ นในชว่ ง 11 < x < 15 จะได้ y2 = 15 − x Dr = [−3, 2) (-3,1) แสดงวา่ y มีค่าลดลงจาก 2 ถึง 0 Rr = [−3, 6) (จะใชว้ ิธที ดลองพลอ็ ตเปน็ กราฟพาราโบลากไ็ ด)้ สรปุ Rr = [0, 3] → A = Dr ∩ Rr = [2, 3] (24) 1 และผลบวก 3 + 2 = 5 (20) x = y2 + 1 → Rr = R 2y2 + 1 1 x−1 x−1 <0 = (1 , 1] y2 = 1 − 2x → 2x − 1 → Dr 2 1 -1 ดังนนั้ Rr ∩ Dr ' = R − (1 , 1] 1 2 จาํ นวนเต็มบวกทนี่ ้อยทส่ี ดุ คอื 2 (24.1) 1 ตร.หน่วย (24.2) 1/2 ตร.หนว่ ย (21) Dr−1 = Rr → x2 − 2x − 3 = 1 → 1 y -1 1 1 x2 − 2x +1 = 1 + 3 +1 → -1 y (24.3) 1 ตร.หนว่ ย (24.4) หาคา่ ไมไ่ ด้ (x − 1)2 = 1 + 4 = 4y + 1 → 4y + 1 > 0 yy y เขียนเสน้ จาํ นวนได้ (−∞, −1 / 4] ∪ (0, ∞) ดงั นนั้ คอมพลีเมนตค์ อื (−1 / 4, 0] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 141 ความสัมพันธแ ละฟงกช นั (25) หาจุดยอดของ Δ ไดเ้ ปน็ (30) A = [−1, 3] (3,8) (1, 2), (−2, −1), (2.5, −1) 4 (-1,0) 1 ดงั นน้ั พื้นที่ = 1 × 3 × 4.5 -1 2 (0,-1) 2 -1 r = {(x, y) | x2 = y + 1, x ∈ [−1, 3]} = 6.75 ตร.หนว่ ย 4 จะได้ Rr = [−1, 8] (26.1) 2 (31) พนื้ ที่ = 1 × 8 × 8 24 r r−1 r = r−1 2 2 − 1×4×4 2 (31.1) ผิด (31.2) ถกู 14 2 r = r−1 r r−1 2 = 32 − 8 = 24 ตร.หนว่ ย (26.2) (31.3) ถูก (31.4) ผดิ พ้ืนท่ี = 4 × (1 × 2 × 3) 2 = 12 ตร.หนว่ ย (26.3) พน้ื ท่ี = 1 × (π × 22) 4 = π ตร.หนว่ ย (26.4) (32) พน้ื ที่ = 4(1 × 1 × 2) 2 2 4 r2 = r1−1 = 4 ตร.หนว่ ย r1 4 1 พ้ืนท่ี = 1 (π × 42) 4 r1 ∩ r2 (33) ใชว้ ธิ สี งั เกตว่า x เดียวใหค้ า่ y เดยี วหรอื ไม่ 4 (ถา้ มี yเลขคู่ หรอื |y| จะไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน, ถา้ มี xเลขคู่ 4 หรอื |x| จะไม่เปน็ 1-1) หรอื จะใช้วธิ เี ขียนรปู กราฟก็ = 4π ตร.หนว่ ย ได้ (ถ้ามเี สน้ ตรงในแนวตั้งท่ีตดั กราฟเกิน 1 จดุ ได้ จะ ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั , ถา้ มีเสน้ ตรงแนวนอนทตี่ ดั กราฟเกนิ (27) 1 จดุ ได้ จะไม่เปน็ 1-1) 8 33.1 33.3 33.2 พนื้ ที่ = 4 ( + ) 4 (8/3,8/3) 48 (33.1) เปน็ ฟงั กช์ ันแตไ่ ม่เปน็ 1 − 1 (33.2) ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั = 4 (1 × 8 × 4 + 1 × 8 × 4) 2 (33.3) เปน็ ฟังกช์ ัน 1 − 1 2 23 2 33.4 33.5 33.6 = 256 ≈ 85.33 ตร.หนว่ ย 24 3 (33.4) เป็นฟังกช์ นั แต่ไมเ่ ป็น 1 − 1 (33.5) ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน (28) (33.6) เปน็ ฟังกช์ นั 1 − 1 A = Dr1∩ r2 = [−4, 4] B = [−2, 2] A − B = [−4, −2) ∪ (2, 4] ผลบวก = −4 − 3 + 3 + 4 = 0 (29) แกร้ ะบบสมการ ไดจ้ ุดตดั ท้ังสีเ่ ปน็ - 53 -5 5 53 (±7, ±2) ดังนน้ั Dr1∩r2 = [−7, −5] ∪ [5, 7] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 142 ความสัมพันธแ ละฟง กช ัน 33.7 33.8 (38) ฟังก์ชนั จาก R ไปทว่ั ถงึ [0, ∞) แสดงวา่ Df = R และ Rf = [0, ∞) (33.7) f(x) = (x + 1)2 + 3 เป็นฟังกช์ นั แตไ่ ม่ พิจารณาทกุ ขอ้ แลว้ Df = R แนน่ อน เพราะ x 24 เปน็ เทา่ ใดก็ได้ ดงั นนั้ ตอ้ งพจิ ารณา Rf วา่ เปน็ เทา่ ใด (38.1) ใช่ เพราะ y > 0 เปน็ 1 − 1 (38.2) ไมใ่ ช่ เพราะ y − 2 = (x − 1)2 → y > 2 (33.8) เปน็ ฟงั กช์ ัน 1 − 1 (38.3) ใช่ เพราะ x2 − 4 > −4 → y > 0 (33.9) เปน็ ฟงั กช์ นั แตไ่ ม่เป็น 1 − 1 (38.4) ใช่ เพราะ y =|x + 1|3 → y > 0 (33.10) เป็นฟังก์ชนั แต่ไม่เปน็ 1 − 1 (39.1) เปน็ เพราะเปน็ เสน้ ตรง ความชนั 5 (39.2) ไม่เป็น (ความชัน −2 ) 34.1 34.2 (39.3) และ (39.4) ไม่เป็น เพราะเปน็ พาราโบลา หงาย (มชี ว่ งทเ่ี กดิ ฟงั ก์ชันลดด้วย) (34.1) ไมเ่ ป็น (34.2) เป็น (39.5) f(x) − 2 = (x − 2)3 และ (35) มีเพียง (35.4) ทเ่ี ปน็ ดงั รปู (39.6) f(x) = (x + 1)3 เป็นท้งั สองข้อ ดงั รูป 35.1 35.2 39.5 39.6 (2,2) (-1,0) x+y=1 (40.1) y = x2 − 2x + 4 → y − 3 = (x − 1)2 x+y=-1 → Df = R, Rf = [3, ∞) (รูปพาราโบลาหงาย) 35.3 (40.2) y = (x − 5)(x + 5) → Df = R − {5} x −5 35.4 ดงั นนั้ Rf = R − {10} ... เพราะ x ≠ 5 (40.3) ก. y = 1 + x2 → Df = R − {0} x (36) เป็น 1 − 1 ทุกข้อยกเวน้ (36.4) ดงั รปู ข. x2 − xy + 1 = 0 → x = y ± y2 − 4 2 36.1 36.2 3 (4,-3) → y2 − 4 > 0 → Rf = R − (−2, 2) 3/2 (41) −2 < t + 3 < 8 → − 5 < t < 5 ดงั นนั้ f(t + 3) = (t + 3)2 เมอื่ −5 < t < 5 (42.1) ให้ A = x + 1 → x = A − 1 → จะได้ 36.3 36.4 3 f(A) = (A − 1)2 + 3(A − 1) + 9 (-4,3) = A2 + A + 7 ดงั นนั้ f(x) = x2 + x + 7 (42.2) ให้ 2 = x2 − 1 จะได้ x2 = 5 ดังนนั้ f(2) = 5 + 2 = 7 (37) ฟงั กช์ นั จาก R ไป R แสดงว่า Df = R (37.1) ไม่ใช่ เพราะ 9 − x2 > 0 แสดงวา่ −3 < x < 3 เทา่ นนั้ (37.2) ใช่ เพราะ 9 + x2 > 0 เสมอ → x ∈ R (37.3) ไม่ใช่ เพราะ x ≠ 0 (37.4) ไมใ่ ช่ เพราะ x = 5 −|y|→ x < 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 143 ความสมั พนั ธและฟง กช นั (42.3) f(4x) = 4x (48) อนิ เวอร์สจะเปน็ ฟงั กช์ นั กต็ อ่ เมือ่ f เปน็ 4x + 2 ฟงั กช์ นั 1-1 ดังนนั้ ใหต้ รวจสอบวา่ แตล่ ะขอ้ เปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 หรือไม่ ดังนี้ แต่ f(x) = x → xf(x) + 2f(x) = x (48.1) เปน็ เพราะ y = x2 เมือ่ x > 0 x +2 และ y = −x2 เมื่อ x < 0 ดงั รปู → xf(x) − x = −2f(x) → x = −2f(x) 48.1 f(x) − 1 48.2 ดงั น้ัน f(4x) = 4x = 1 1 = 4x + 2 1+ 2x 1 1) = 4f(x) 1 1 − (f(x) − 3f(x) + 4f(x) (43.1) (gof)(x) = g(2x) = 2x + 3 48.3 และ (fog)(x) = f(x + 3) = 2x + 6 (43.2) (gof)(x) = g(x + 1) = x + 1 48.4 และ (fog)(x) = f( x) = x + 1 (48.2) ไม่เปน็ เช่น y=1 จะได้ x=0 หรือ -2 (48.3) ไมเ่ ป็น เช่น y=0 จะได้ x=3 หรอื -3 (43.3) (gof)(x) = g(4x + 1) = (4x + 1)2 (48.4) ไม่เป็น เชน่ y=1 จะได้ x=1 หรอื -1 (49.1) จาก y = 5 − x ; y > 0 กลายเปน็ และ (fog)(x) = f(x2) = 4x2 + 1 (43.4) ก. กรณแี รก (gof)(x) = g( 4−x) = 4 − x + 1 = 5 − x x = 5 − y → y = 5 − x2 ; x > 0 เม่อื “ x < 0 และ 4 − x > 2 ” → x < 0 (49.2) จาก y = 5x + 4 ; y > 0 กลายเป็น กรณที ่สี อง (gof)(x) = g(6 − x) = (6 − x)2 + 1 x = 5y + 4 → y = x2 − 4 ; x > 0 เมอ่ื “ x > 4 และ |6 − x| > 2 ” → x > 8 5 ข. กรณีแรก (fog)(x) = 4 − (x2 + 1) = 3 − x2 (49.3) จาก y = x − 1 กลายเปน็ 3 เม่ือ “|x|> 2 และ x2 + 1 < 0 ” ... เปน็ ไปไมไ่ ด้ กรณที ่สี อง (fog)(x) = 6 − (x2 + 1) = 5 − x2 x = y − 1 → y = 3x + 1 เมือ่ “|x| > 2 และ x2 + 1 > 4 ” →|x| > 2 3 (44) 3f(x)2 − 2f(x) + 1 = f(x)2 − f(x) + 2 → (49.4) จาก y = 1 กลายเป็น x−1 x = 1 → y = 1 + 1; x ≠ 0 2f(x)2 − f(x) − 1 = 0 → f(x) = − 1 หรอื 1 y−1 x 2 (49.5) จาก y = x − 2 กลายเปน็ ดงั นน้ั (gof)(1) = g(f(1)) = g(− 1) หรอื g(1) x−3 2 x = y − 2 → xy − 3x = y − 2 = 11 / 4 หรอื 2 y−3 (45) g(x) + 1 = x → xg(x) = g(x) + 1 → y = 3x − 2 ; x ≠ 1 g(x) x−1 → g(x) = 1 ; x ≠ 1 (49.6) จาก y = x กลายเปน็ x−1 2x − 1 x = y → 2xy − x = y (46) f(x)2 + f(x) + 2 = x2 − x + 2 2y − 1 → [f(x) + 1]2 = [x − 1]2 22 → y = x ;x ≠ 1 2x − 1 2 → f(x) = x − 1 หรอื f(x) = −x (47) (fof)(x) = 4x − 9 (49.7) จาก y = 2x − 3 กลายเปน็ 3x − 2 → A(Ax + B) + B = 4x − 9 → x = 2y − 3 → 3xy − 2x = 2y − 3 3y − 2 A2 = 4 และ AB + B = −9 โจทยใ์ ห้ A > 0 ดงั นนั้ A = 2 → B = −3 → y = 2x − 3 ; x ≠ 2 3x − 2 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 144 ความสัมพนั ธและฟง กชนั (50) กรณแี รก x = 2y + 2 ; y > 0 (53.2) หา f−1(−1) → 4x − 5 = −1 → x = 1 → y = x + 1 ;x > 2 → f−1(−1) = 1 + 3 = 4 2 (gof−1)(−1) = g(4) → ให้ x − 3 = 4 → x = 7 (เงอื่ นไขมาจาก y > 0 ∴ 2y + 2 > 2 ) กรณที ่ีสอง x = −y2 − 1 ; y < 0 → g(4) = 2 − 3(7) = −19 (53.3) หา g−1(−4) → 2 − 3x = −4 → x = 2 → y = − −x − 1 ; x < −1 → g−1(−4) = 2 − 3 = −1 (เคร่ืองหมายลบเทา่ นั้น เพราะ y < 0 เสมอ) (f−1og−1)(−4) = f−1(−1) = 4 (หาไวแ้ ล้วในข้อทแ่ี ลว้ ) (เงื่อนไขมาจาก y < 0 → −y2 < 0 → )∴ −y2 − 1 < −1 (53.4) หา f−1(3) → 4x − 5 = 3 → x = 2 → f−1(3) = 2 + 3 = 5 ดังนน้ั ⎧⎪ x +1 ; x>2 (g−1of−1)(3) = g−1(5) = −4 (หาไว้แล้วในข้อแรก) ⎨ 2 f−1(x) = (54.1) กรณีแรก g−1(0) = − 1 2 ⎪⎩ − x − 1 ; x < −1 (51.1) f−1(4x + 3) = 3x − 4 ใช้ไม่ได้เพราะ − 1 >0 2 ให้ A = 4x + 3 → x = A − 3 → 4 กรณที ่สี อง g−1(0) = − 1 ใช้ได้ เพราะ − 1 < 0 33 จะได้ f−1(A) = 3(A − 3) − 4 = 3A − 25 44 ต่อมา f−1(− 1) หาโดยให้ 2x + 3 = − 1 33 → f−1(x) = 3x − 25 4 → x = −5 ∴ f−1(− 1) = − 5 + 1 = − 2 3 (51.2) f−1(x − 1) = x + 1 → 33 3 22 (54.2) f−1(0) หาจาก 2x + 3 = 0 → x = − 3 ให้ A = x − 1 → x = 2(A + 1) → 2 2 → f−1(0) = − 3 + 1 = − 1 f−1(A) = 2(A + 1) + 1 = A + 2 → f−1(x) = x + 2 22 2 กรณีแรก g−1(− 1) = − 3 ใช้ไม่ไดเ้ พราะ − 3 > 0 (51.3) f−1(5x − 7) = x + 1 → 24 4 x−3 กรณที ี่สอง g−1(− 1) = − 1 ใชไ้ ดเ้ พราะ − 1 < 0 ให้ A = 5x − 7 → x = 3A − 7 22 2 x−3 A −5 ตอบ − 1 2 ∴ f−1(A) = 3A − 7 + 1 = 4A − 12 A −5 A −5 (55.1) กรณแี รก (f − g)(x) = −2x − x2 → f−1(x) = 4x − 12 ; x ≠ 5 เมือ่ x > 0 และ x > 3 → x > 3 x −5 กรณที สี่ อง (f − g)(x) = −2x + x = −x (51.4) f(2x + 1) = 3f(2x + 1) − 3x + 2 เมอื่ x > 0 และ x < 3 → 0 < x < 3 กรณที ่สี าม (f − g)(x) = 3 + x → f(2x + 1) = 3 x − 1 → f−1(3 x − 1) = 2x + 1 22 เมอ่ื x < 0 และ x < 3 → x < 0 (55.2) Df / g = Df ∩ Dg โดยท่ี g(x) ≠ 0 ให้ A = 3 x − 1 → x = 2 (A + 1) → 23 ดงั นนั้ x ≠ 0 → Df / g = R − {0} จะได้ f−1(A) = 2(2)(A + 1) + 1 = 4A + 7 (56.1) [(gof) + h](x) = 1 − x + 1 + 1 − x2 33 เงือ่ นไขคอื x + 1 > 0 → x > −1 ∴ f−1(x) = 4x + 7 และ 1 − x + 1 > 0 → x < 0 3 น่นั คอื เงอื่ นไขของ x เปน็ −1 < x < 0 (52) f−1(x3 − 3x2 + 3x + 5) = x − 1 → (56.2) (fog)(x) = 1− x + 1 ให้ x3 − 3x2 + 3x + 5 = 5 h 1 − x2 จะได้ x = 0 เทา่ นนั้ → ∴ f−1(5) = 0 − 1 = −1 (53.1) หา g−1(5) โดย g−1(2 − 3x) = x − 3 → เงอ่ื นไขคอื 1 − x > 0 → x < 1 ให้ 2 − 3x = 5 → x = −1 → g−1(5) = −4 หา (fog−1)(5) = f(−4) โดยให้ x + 3 = −4 1 − x + 1 > 0 → เป็นจริงเสมอ → x = −7 → f(−4) = −33 และ 1 − x2 ≠ 0 → x ≠ 1, x ≠ −1 สรุปเงอ่ื นไขของ x คอื x ∈ (−∞, 1) − {−1} Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 145 ความสัมพันธแ ละฟงกช ัน (57.1) f(2x − 3) = 3x − 2 (60.2) f(1) = 2 − 1 = 1 → → f(A) = 3(A + 3) − 2 → f(x) = 3x + 5 หา g−1(1) + f−1(1) = 2 + 1 = 5 22 33 ∴ f−1(x) = 2x − 5 ... (61.1) หา f(2) โดย f( x ) = x → 3 x −2 จาก (f + g)(x) = x2 + x − 3 จะได้ ให้ x = 2 → x = 4 → f(2) = 4 x −2 g(x) = x2 + x − 3 − 3x + 5 2 หา g(2) โดย (fog)(x) = x + 2 → f(g(2)) = 4 ∴ (g + f−1)(x) = x2 + x − 3 − 3x + 5 + 2x − 5 → g(2) = f−1(4) = 4 = 2 23 4−2 = x2 + x − 43 ดังนน้ั (f + g)(2) = 4 + 2 = 6 6 (61.2) f−1(4) = 2 (หาแลว้ ในขอ้ ท่แี ลว้ ) x2 + x − 3 − 3x + 5 (gof)(4) = g(f(4)) 2 (57.2) (g)(x) = หา f(4) โดย x = 4 → x = 8 f 3x + 5 2 x −2 3 = 2x2 − x − 11 ; x ≠ − 5 → f(4) = 8 3x + 5 3 3 (58) g(x + 5) = x2 − 25 หา g(8) โดย f(g(8)) = 8 + 2 = 14 3 33 3 → g(A) = (A − 5)2 − 25 → g(x) = x2 − 10x → g(8) = f−1(14) = 14 / 3 = 7 ∴ (f)(x) = x +5 ; x ≠ 0, 10 3 3 14 / 3 − 2 4 g x2 − 10x ดงั นนั้ ตอบ 7 ⋅ 2 = 7 (59.1) f−1(−2) → 4x = −2 → x = − 1 42 2 → f−1(−2) = − 1 (62.1) หา f(3) + f−1(3) → g(3) 2 f(3) ได้จาก f(2x + 3) = x + 1 → 2x + 3 = 3 g(−2) = (−2)2 + 1 = 5 จะได้ กรณแี รก h−1(−2) = −3 ใชไ้ มไ่ ด้ เพราะ −3>0 → x=0 ∴ f(3) = 1 กรณที ี่สอง h−1(−2) = −1 ใช้ได้ เพราะ −1 < 0 f−1(3) ได้จาก f−1(x + 1) = 2x + 3 → x + 1 = 3 ดงั นนั้ ไดค้ าํ ตอบ − 1 + 5 − 1 = 7 → x = 2 → f−1(3) = 2(2) + 3 = 7 22 g(3) ไดจ้ าก f(g(3)) ⇒ x − 1 = 3 → x = 4 (59.2) หาคา่ (gof−1)(2) ⋅ h(2) → f(g(3)) = 20 + 1 = 21 → f−1(2) → 4x = 2 → x = 1 2 g(3) = f−1(21) = 2(20) + 3 = 43 → f−1(2) = 1 ; g(1) = 1 + 1 = 5 ดงั นน้ั ตอบ 1 + 7 = 7 1 2 24 4 43 43 h(2) = 2 + 1 = 3 → ได้คาํ ตอบ 5 ⋅ 3 = 15 (62.2) f−1(1) หาจาก x + 1 = 1 → x = 0 44 → f−1(1) = 2(0) + 3 = 3 (60.1) f(x) + g(x) = 2x + 1 และ หา (fg)(3) = f(3) ⋅ g(3) f(x) − g(x) = 3 − 4x หาแลว้ จากขอ้ แรก คอื 1 ⋅ 43 = 43 แก้ระบบสมการ จะได้ f(x) = 2 − x และ g(x) = 3x − 1 → (fog)(x) = 2 − (3x − 1) = 3 − 3x หา (fog)−1(−2) → ให้ 3 − 3x = −2 → x = 5 3 → (fog)−1(−2) = 5 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 146 ความสัมพนั ธและฟงกช นั eÃèo× §æ¶Á หลกั ในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั fog.. สมมตวิ า่ f (x) = x2 + 6 และ g(x) = 3 − x2 ตอ้ งการหา Dfog ไมค่ วรคดิ โดยหา fog ก่อนแล้วจึงหาโดเมนและเรนจ์ เพราะคาํ ตอบทไ่ี ดอ้ าจผดิ ในตัวอยา่ งนี้ หากคิดโดยหา fog ก่อน จะเปน็ 2 3 − x 2 + 6 = 3 − x2 + 6 = 9 − x2 ( )(f D g)(x) = หาโดเมนไดจ้ ากเงอื่ นไข 9 − x2 > 0 จะไดค้ าํ ตอบคอื x ∈ [−3, 3] แตเ่ ปน็ คําตอบท่ผี ดิ !! เชน่ เมอ่ื เราพจิ ารณาคา่ (f D g)(2) จะพบวา่ g(2) นั้นไมน่ ิยาม.. ฟังกช์ นั fog จึงไม่ควรมี 2 อยใู่ นโดเมน สาเหตทุ ่ีคาํ ตอบผิดกเ็ พราะในการหา fog นน้ั มีขน้ั ตอนท่เี ครอ่ื งหมายรทู้ ถกู ยกกาํ ลังสองใหห้ ายไป เงื่อนไขของโดเมน (ทอ่ี ยใู่ นรทู้ ) ก็เลยหายไปดว้ ย.. หลักในการหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ นั ประกอบ (เช่น fog) ทถี่ กู ตอ้ งเปน็ ดังนี้ (1) เขยี น f(g(x)) โดยใส่ g(x) ลงไปใน f ก่อน (ตอ้ งคงคา่ g(x) ไว้ อย่าเพงิ่ แทน x ลงไป) (2) ถา้ หา Dfog ใหพ้ จิ ารณาโดเมนของ f(g(x)) ท่เี ราเขียน วา่ g(x) เป็นอะไรได้บา้ ง แล้วจงึ ยอ้ นไปคดิ x ถ้าหา Rfog ใหห้ าเรนจข์ อง g(x) ก่อนแล้วเอามาใสล่ งใน f(g(x)) ที่เราเขียนไว้ เพื่อใหท้ ราบเรนจ์ ตัวอย่าง กาํ หนดให้ f (x) = 1 และ g (x) = 4 − x2 ใหห้ าเซต Dfog และ Rfog 1− x2 เรมิ่ ตน้ เขียน (f D g)(x) = 1 ก่อน 1 − g(x)2 ก. หาโดเมน; พจิ ารณาเงอื่ นไขรทู้ และเปน็ ตัวสว่ น ดงั นั้น 1 − g(x)2 > 0 แยกตัวประกอบแลว้ เขยี นเส้นจํานวน จะได้ −1 < g(x) < 1 จากน้นั จึงแทน x ลงไปได้วา่ −1 < 4 − x2 < 1 → 0 < 4 − x2 < 1 → 3 < x2 < 4 ดังนน้ั Dfog = [−2, − 3) ∪ ( 3, 2] ข. หาเรนจ;์ เร่ิมจากหาเรนจข์ อง g(x) ซ่งึ อาจมองลดั ไดด้ งั น้ี จาก x ∈ R → x2 > 0 → 4 − x2 < 4 → 0 < 4 − x2 < 2 ...แสดงวา่ g(x) มีค่าในชว่ ง [0,2] นาํ ขอบเขตของคา่ g นี้ไปใส่ใน f ต่อ ได้เปน็ 0 < g (x) < 2 → 0 < g (x)2 < 4 → − 3 < 1 − g (x)2 < 1 → 0 < 1 − g (x)2 < 1 ดังนน้ั 1 < 1 <∞ แสดงวา่ Rfog = [1, ∞) 1 − g (x)2 เพือ่ ทดสอบความเข้าใจ ลองดัดแปลงวธิ เี พ่อื หา Dgof และ Rgof ของตวั อยา่ งนดี้ ูนะครับ (เรม่ิ จากเขียน g(f(x)) โดยคงคา่ f(x) ไว้ อยา่ เพง่ิ แทน x ลงไป) คาํ ตอบท่ีถูกคือ [− 3/2, 3/2] และ [0, 3] ตามลาํ ดบั .. และนอกจากนี้ยังมีในขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั อยหู่ ลายครง้ั ดว้ ย ก็ลองฝกึ ทําไดค้ รบั (ตามเลขขอ้ ทรี่ ะบไุ วใ้ น “ขอ้ สอบเข้าฯ แยกตามหวั ขอ้ ”) :] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 147 กําหนดการเชิงเสน linear º··Õè 6 ¡íÒ˹´¡ÒÃeªi§eʹ กาํ หนดการเชิงเสน้ (Linear Programming) เปน็ เทคนิคทเ่ี ริ่มใชใ้ นปี ค.ศ. 1947 ในชว่ งที่ สหรัฐอเมรกิ ากาํ ลงั ประสบปญั หาทรพั ยากรไมเ่ พยี งพอ และตอ้ งหาวธิ จี ดั สรรใหไ้ ด้ประโยชน์สูงท่ีสุด เทคนคิ การแกป้ ญั หาแบบนี้นําไปใชใ้ นหลายดา้ น เชน่ การ ผลิตสนิ ค้าแต่ละประเภทดว้ ยวัตถุดบิ ทม่ี ใี หไ้ ด้กําไรสงู ทส่ี ุด การขนส่งใหส้ ิน้ เปลอื งนอ้ ยท่ีสุด การหาปรมิ าณ วตั ถุผสมให้ได้ส่วนประกอบตามตอ้ งการโดยเสยี คา่ ใช้จา่ ยนอ้ ยทีส่ ุด การมอบหมายงานให้แตล่ ะกลมุ่ เพ่ือใหง้ านสาํ เร็จในเวลาน้อยท่สี ดุ ฯลฯ ตวั อยา่ งสถานการณ์ ในการผลิตเก้าอสี้ องชนิดคือขนาดเลก็ และขนาดใหญ่ พบว่า เกา้ อี้ ขนาดเลก็ แต่ละตัวต้องเสียเวลาในการเลื่อยไม้ 1 ช่วั โมง ประกอบและตกแต่ง 2 ช่วั โมง ขายไดก้ ําไร ตวั ละ 30 บาท ส่วนเก้าอี้ขนาดใหญต่ อ้ งเสยี เวลาในการเล่ือยไม้ 2 ชั่วโมง ประกอบและตกแต่ง 2 ชัว่ โมง และขายไดก้ ําไรตวั ละ 50 บาท ถ้าหากคนงานเลอ่ื ยไม้ทํางานได้วันละไมเ่ กนิ 8 ชั่วโมง และ คนงานประกอบตกแต่งทาํ งานไดว้ นั ละไม่เกิน 10 ชวั่ โมง ต้องการทราบวา่ ในแตล่ ะวนั ควรจะผลิตเก้าอ้ี แตล่ ะชนดิ เปน็ จํานวนเท่าใดจงึ จะได้กาํ ไรมากท่ีสดุ และไดก้ ําไรเท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 148 กาํ หนดการเชงิ เสน ข้นั ตอนการแก้ปัญหา จะเร่ิมจากการเปล่ยี นสถานการณใ์ ห้เป็น แบบจําลองทาง คณิตศาสตร์ ก่อน โดยสมมติตัวแปร x และ y แทนจาํ นวนผลิตทเี่ ราตอ้ งการทราบ นั่นคอื ให้ x แทนจํานวนเกา้ อ้ีขนาดเล็กทผี่ ลิตใน 1 วนั y แทนจํานวนเก้าอีข้ นาดใหญท่ ี่ผลติ ใน 1 วัน 1. สง่ิ ที่เราต้องการคอื กําไรมากทสี่ ุด ดงั น้นั ถ้าให้ P แทนกําไรทีไ่ ด้ จะเขยี นเปน็ สมการไดด้ ังน้ี P = 30 x + 50 y เรียกว่า สมการจุดประสงค์ หรอื ฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ (P เป็นฟงั กช์ นั ท่ีขน้ึ กบั ตัวแปร x และ y) 2. เงือ่ นไข (หรือขอ้ จาํ กัด) ทมี่ ีอยู่ ไดแ้ กจ่ าํ นวนชัว่ โมงทํางานของคนงานเลือ่ ยไม้ และคนงาน ประกอบตกแต่ง ซง่ึ นํามาเขยี นเป็นอสมการได้ดังนี้ (เลอื่ ยไม)้ x+2y < 8 (ประกอบตกแตง่ ) 2 x + 2 y < 10 คา่ x และ y เปน็ จาํ นวนเกา้ อี้ จึงไม่สามารถเป็นคา่ ติดลบได้ x>0 y>0 เนอื่ งจาก x และ y ตอ้ งอยู่ภายใต้เงอ่ื นไขเหล่านี้ จงึ เรยี กอสมการท้ังส่ีวา่ อสมการข้อจาํ กดั 3. เขยี นกราฟของระบบอสมการข้อจํากัด และแรเงาบริเวณท่ี “ตรงตามเงื่อนไขทกุ ขอ้ ” y เรยี กบริเวณที่แรเงานี้ว่า อาณาบรเิ วณทห่ี าคาํ ตอบได้ 5 (Feasible Region) เน่อื งจากคา่ x และ y ทเ่ี ป็น 4 2x + 2y = 10 ไปได้ จะตอ้ งอยู่ในบริเวณที่แรเงาเท่านน้ั x + 2y = 8 O 58 x 4. หาจุดยอดมุมท้งั หมดของบริเวณทแ่ี รเงา (ถา้ เปน็ จุดที่เกิดจากเสน้ ตรงตดั กนั ไมไ่ ดอ้ ย่บู นแกน x หรือ y ก็ต้องใชว้ ธิ ีแกร้ ะบบสมการเพ่ือหาจุดตดั ) ในตวั อยา่ งนหี้ าจดุ ยอดมุมได้เป็น (0, 0),(0, 4),(2, 3),(5, 0) คอู่ ันดับ x และ y เหลา่ นเ้ี ทา่ นน้ั ทีม่ ีโอกาสทําใหเ้ กดิ ค่า P มากท่ีสดุ ดังต้องการ 5. นาํ คู่อนั ดบั x และ y ท้ังส่จี ุดท่ีได้ ไปหาค่า P จะพบวา่ คา่ P ที่มากท่ีสุดเกิดเม่อื (x,y) = (2,3) คอื P = 30 (2) + 50 (3) = 210 สรปุ ว่า ใน 1 วัน ควรผลิตเกา้ อี้ขนาดเล็ก 2 ตวั ขนาดใหญ่ 3 ตวั จงึ จะทาํ ใหไ้ ดก้ าํ ไรมากทส่ี ดุ และ กาํ ไรทมี่ ากท่สี ดุ น้นั เท่ากบั 210 บาท ข้อสังเกต 1. ฟงั ก์ชันท่ตี อ้ งการคา่ สูงสุดมักให้ชือ่ เปน็ P (Profit), ค่าตํา่ สดุ เป็น C (Cost) 2. ในทกุ สถานการณ์ นอกจากข้อจํากัดทโ่ี จทยใ์ ห้มาแล้ว มักจะตอ้ งเพ่ิมอสมการ x > 0 , y > 0 ดว้ ยเสมอ (คอื คา่ x และ y โดยส่วนมากไม่สามารถเปน็ ค่าลบได้) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 149 กาํ หนดการเชงิ เสน 3. ในบางสถานการณ์ คา่ x หรือ y อาจต้องเปน็ จาํ นวนเตม็ เท่าน้นั หากค่าทไ่ี ด้เป็นคาํ ตอบไม่ใช่ จาํ นวนเต็ม ก็จําเป็นจะต้องเลอื กจดุ ขา้ งเคยี ง (ภายในบริเวณท่ีแรเงา) ท่เี ป็นจํานวนเตม็ และให้ผล ใกลก้ ับค่าทีต่ อ้ งการมากท่ีสดุ ดังแสดงให้เหน็ ในตัวอย่างถัดไป 4. ในบางครงั้ อาณาบริเวณท่ีแรเงาอาจลอ้ มรอบด้วยเสน้ ประ (เช่น กรณที ่ีในขอ้ จํากดั ใช้คาํ ว่าระหวา่ ง, น้อยกวา่ , หรอื มากกว่า) จุดยอดมุมทีไ่ ดเ้ ป็นคําตอบยงั ไม่สามารถใชไ้ ด้ ก็ต้องใช้วธิ ีเลอื กจุดขา้ งเคยี ง ภายในบริเวณที่แรเงา เชน่ เดยี วกนั • ตัวอยาง โดยปกติเครือ่ งบินลําหน่ึงมีทีน่ ่งั 15 ทีน่ งั่ บรรจผุ ูโดยสารและสินคารวมกนั ได 1,500 กก. แตถา นํา้ หนกั สนิ คามากกวาน้ําหนักผโู ดยสารเกิน 200 กก. เครือ่ งบินจะเอียงและบนิ ไมไ ด (สมมติวาผูโดยสารแต ละคนมีนา้ํ หนกั เฉลี่ย 75 กก.) ถามวา เทีย่ วบินแตล ะเที่ยวจะมีรายไดม ากทีส่ ดุ เทา ใด หากคาโดยสารที่นั่งละ 6,000 บาท และคา ขนสงสนิ คากโิ ลกรมั ละ 100 บาท วิธีคิด ใหจ ํานวนผูโ ดยสารเปน x คน และนํ้าหนกั สนิ คา เปน y กิโลกรัม และ Z เปน รายไดตอเที่ยวที่ตองการ ดงั นน้ั ฟงกช นั จุดประสงคคือ Z = 6000 x + 100 y สว นเงือ่ นไขทีม่ ีไดแ ก (1) ที่นัง่ ผโู ดยสารมี 15 ทีน่ ง่ั 0 < x < 15 (2) เครือ่ งบนิ บรรทุกได 1,500 กก. 75 x + y < 1500 (3) น้าํ หนกั สินคา มากกวาผโู ดยสารไดไ มเกิน 200 กก. y − 75 x < 200 (4) (เพม่ิ เตมิ เอง) นํา้ หนกั สนิ คา ไมเปนคา ตดิ ลบ y>0 หาอาณาบริเวณที่เปน คําตอบไดด งั กราฟ และจดุ ยอดมมุ ทง้ั หมดไดแ ก y (0,0), (0,200), (8.67,850), (15,375), และ (15,0) 1,500 เมื่อแทนคา ในฟงกชนั จุดประสงคแ ลว พบวา จุด (8.67,850) ใหค ารายไดมากที่สุด คือ Z = 137,000 (8.67,850) แตม ีปญหาวา x เปนจํานวนผโู ดยสาร ตอ งเปน จาํ นวน 200 (15,375) เตม็ เทา น้นั เมือ่ พิจารณาจุดใกลเ คียงในบริเวณทีแ่ รเงา จะ x มี (8,800) ซ่งึ ใหคา Z = 128,000 บาท O 15 20 และ (9,825) ซึ่งใหคา Z = 136,500 บาท ดงั นนั้ จงึ ตอ งเลือกจดุ หลัง และไดค ําตอบวาเที่ยวบนิ แตละเที่ยวจะมีรายไดมากทีส่ ุด 136,500 บาท (เมือ่ มีผโู ดยสาร 9 คน, สนิ คา 825 กก.) หมายเหตุ 1. การแกป้ ญั หาดว้ ยกําหนดการเชิงเส้น นอกจากใชห้ าคา่ สงู สดุ ของฟังก์ชันจดุ ประสงค์แล้ว ยงั ใช้กับ หาคา่ ต่าํ สุดได้เชน่ กนั โดยจดุ คาํ ตอบจะเป็นหนึง่ ในบรรดาจุดยอดมุม ที่ทาํ ให้คา่ ฟังก์ชันน้อยกวา่ จดุ อ่ืน 2. การทคี่ ําตอบทกุ ขอ้ จะเป็นหน่งึ ในจดุ ยอดมุมเสมอ ก็เพราะฟังกช์ ันจดุ ประสงค์ Z = a x + b y มี ลักษณะเปน็ สมการเส้นตรง (ความชัน –a/b) ที่แปรเปลีย่ นระดับความสงู ไปตามค่า Z ดังภาพ จะ เห็นวา่ ค่าสูงสุดหรือต่าํ สดุ ของ Z ย่อมเกดิ ทจ่ี ุดยอดมุมสุดท้าย กอ่ นเสน้ ตรงเส้นน้ีจะหลดุ ออกนอก บรเิ วณท่ีแรเงา (ดูภาพในหน้าถัดไปประกอบ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 150 กาํ หนดการเชงิ เสน y y 6000x + 100y = 140000 6000x + 100y = 137000 6000x + 100y = 70000 x O xO 6000x + 100y = 0 3. ในตัวอย่างข้อนหี้ ากเปลี่ยนตวั เลขเปน็ S e¾èiÁeµiÁ! S ค่าโดยสารทน่ี ่งั ละ 8,000 บาท จะทําให้ ฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์เปล่ยี นเปน็ Ëŧa ¨Ò¡ÅÒ¡eʹµÃ§æµÅ aeʹæÅÇ eʹµÃ§¨a溧ÃÙ»oo¡e»¹Êo§ÊÇ ¹ ... eÃÒ Z = 8000 x + 100 y (ความชันเปลี่ยน) ¾¨i ÒóÒÇÒ¨aæÃe§Òã¹Êǹã´ä´Ë ÅÒÂǸi Õ eª¹ (1) ·´Åo§¹Òí ¨´u ã´¡äç ´ã ¹ºÃei dz˹§Öè ä»æ·¹ã¹oÊÁ¡Òà ¶Ò¾ºÇÒoÊÁ¡Òà ซ่งึ จุดยอดมมุ ที่ทาํ ใหเ้ กิดคา่ มากท่สี ดุ e»¹¨Ã§i ¡¨ç aæÃe§ÒÊÇ ¹¹é¹a ¶Òe»¹ e·¨ç ¡ãç Ëæ Ãe§Òã¹oÕ¡ÊÇ ¹·èeÕ ËÅ×o กลายเปน็ จดุ (15,375) กจ็ ะไมม่ ปี ญั หา (2) ãªÇ¸i ÕÁo§Å´a ¤×o¶Ò x > .. æÃe§Ò´Ò¹¢ÇÒ, ¶Òe»¹ x < .. æÃe§Ò´Ò¹«Ò  เรื่องคา่ x เปน็ ทศนิยม ËÃ×o´·Ù èÕ y ¡äç ´ ¶Òe»¹ y > .. æÃe§Ò´Ò ¹º¹, ¶Ò e»¹ y < .. æÃe§Ò´Ò ¹ÅÒ § ** æµËÒÁ´µÙ aÇæ»Ã·ÕÊè aÁ»ÃaÊi·¸iìµ´i ź¹a¤Ãaº! (e¾ÃÒa¼Å¨a¡Åºa ´Ò ¹¡a¹) แบบฝกึ หดั (1) จงเขียนกราฟแสดงบรเิ วณท่เี ปน็ คําตอบของระบบอสมการแตล่ ะขอ้ พร้อมทง้ั หาจุดยอดมุมที่ เกิดขน้ึ ทงั้ หมดด้วย x+y < 4 x+y < 4 (1.1) 3 x − 2 y < 6 (1.2) 2 x − y < 4 x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 x+2y > 4 5x+3y > 0 (1.3) 2 x + 4 y < 12 (1.4) x − 2 y > 0 x > 0, y > 0 2<x<4 3x+y < 6 S ¨´u ·¼èÕ ´i ºo Â! S (1.5) x−y < 1 ÊÒí ËÃaºº·¹ËéÕ Ò¡ÁÕ¡ÃÒ¿eʹ µÃ§ÁÒ¡¡ÇÒ 2 eʹ æÅÇ ¤ÇÃe¢ÂÕ ¹ x+y < 4 ¡ÃÒ¿ãËã¡Åe¤Õ§Êa´Êǹ¨Ã§i ÁÒ¡·ÕÊè u´ e¾×èoäÁã ËÊ aºÊ¹ÇÒ ¨´u Âo´ÁÁu ¢o§¾×¹é ·èæÕ Ãe§Ò¹a¹é e¡i´¨Ò¡eʹ㴵´a ¡ºa eʹ ã´ºÒ§.. x > 0, y > 0 (2) สําหรับข้อ (2.1) ถงึ (2.3) ให้หาคา่ P ทส่ี ูงท่ีสดุ หรือคา่ C ทต่ี าํ่ ทสี่ ดุ และสาํ หรับขอ้ (2.4) ถึง (2.8) ให้หาทง้ั คา่ สงู สดุ และต่ําสุดของฟังกช์ ันจุดประสงค์ P = 5x+3y (2.2) [พน้ื ฐานวศิ วะ’37] C = 2x+3y 2 x + 5 y < 300 x+y > 4 5 x + 2.5 y < 25 (2.1) x + y < 90 0<x<5 0<y<5 0 < x < 70 y>0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 660
Pages:
