คณิตศาสตร O-NET / A-NET 251 จํานวนเชงิ ซอ น Cplx º··Õè 11 ¨íҹǹeª§i «o ¹ ระบบจํานวนที่ศกึ ษากนั โดยปกติ คือระบบ จํานวนจริง (Real Number; R) ซ่งึ เราพบว่าบาง สมการไม่มคี ําตอบทเี่ ป็นจํานวนจรงิ เชน่ x2+4 = 0 หรือ x2+x+2 = 0 ฯลฯ (เพราะในรากท่สี องติดลบ) จึง ได้มกี ารสมมตจิ ํานวนแบบใหม่ข้นึ มาใช้เพ่มิ เตมิ เพ่ือให้ ทุกปญั หามีคําตอบเสมอ จํานวนแบบใหม่น้เี รยี กว่า จาํ นวนจนิ ตภาพ (Imaginary Number; Im ) จาํ นวนจนิ ตภาพ อยใู่ นรูป bi โดย b ∈ R และนยิ ามให้ i = −1 เช่น สมการ x2+4 = 0 จะได้คาํ ตอบเปน็ x = ± − 4 นนั่ คอื x = 2 i, − 2 i สมการ x2+x+2 = 0 ใชส้ ตู รหาคาํ ตอบจะได้ x = −1 ± − 7 นั่นคอื x = − 1 ± 7 i 2 22 ระบบจาํ นวนทใี่ หญ่ที่สุด ซงึ่ ประกอบด้วยสว่ นจรงิ และส่วนจนิ ตภาพ ในรปู a + bi (โดย a, b ∈ R ) เรียกว่า จํานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Number; C ) มี a เป็นส่วนจริง (Real Part) และ b เป็นส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) และมักแทนตวั แปรที่เปน็ จํานวนเชิงซ้อนด้วย z หมายเหตุ 1. จาก z = a + bi บางทีเขยี นวา่ a = Re (z) และ b = Im(z) ก็ได้ เช่น ถ้า z1 = 3 − 2 i จะได้ Re (z1) = 3 และ Im(z1) = −2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 252 จํานวนเชงิ ซอ น 2. บางตาํ ราใช้ j = −1 แทน i เพือ่ ป้องกันการสบั สนกบั ตัวแปรอื่น เช่น กระแสไฟฟ้า * 3. ข้อสงั เกต กาํ ลังของ i มี 4 แบบหมุนเปล่ียนกัน เร่ิมจาก i2= −1 ... i3= − i ... i4= 1 i5= i ... i6= −1 ... i7= − i ... i8= 1 ... แผนภาพของจาํ นวนเชงิ ซ้อน เปล่ยี นจากเสน้ จาํ นวนในแกนนอน im 3 re 1 มิติ กลายเปน็ ระนาบ 2 มิติ (คือมแี กนจรงิ ; Real Axis กบั แกน (3,-2) จินตภาพ; Imaginary Axis ตัง้ ฉากกนั ) เรยี กวา่ ระนาบเชงิ ซ้อน 0 (Complex Plane) ... และใชค้ อู่ ันดับ (a, b) หรอื เวกเตอร์ที่ชจี้ าก -2 (0, 0) มายงั (a, b) แทนจาํ นวนเชงิ ซ้อน z = a + bi ได้ S ¨u´·¼èÕ ´i ºoÂ! S Ãaǧa oÂÒÊaºÊ¹¡ºa eÇ¡eµoùa¤Ãaº ... ã¹eÃ×èo§eÇ¡eµoùaé¹æ¡¹¹o¹ÁÕ i 桹µ§éa ÁÕ j 浨íҹǹeª§i «o ¹æ¡¹¹o¹äÁÁ ÕÊaÅ¡a ɳo aäÃeÅ æÅa桹µ§aé ÁÕ i 11.1 การคาํ นวณเบ้ืองตน้ ในการคํานวณเราปฏิบัตเิ หมือนวา่ i เป็นตวั แปรหนึ่ง (ซ่งึ i2= −1 ) เพียงเท่าน้นั 1. การเทา่ กัน a + bi = c + di กต็ อ่ เมื่อ a = c และ b = d หรือเขยี นเปน็ คู่อนั ดับ (a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เม่ือ a = c และ b = d 2. การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i หรอื เขยี นเปน็ คู่อันดบั (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) 3. การคณู (a + bi) × (c + di) = (ac−bd) + (ad+bc)i หรอื เขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) × (c, d) = (ac−bd, ad+bc) สมบัติของจํานวนเชงิ ซ้อน เหมือนกบั สมบัตขิ องจํานวนจรงิ ทกุ ประการ (และจาํ นวนจริงก็คอื จาํ นวนเชิงซ้อนประเภทหน่ึง) นั่นคือ มสี มบัตปิ ิด, การสลบั ทก่ี ารบวกและคณู , การเปลย่ี นกลุ่มการ บวกและคณู , การแจกแจง, และการมีเอกลักษณก์ ับอินเวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกกค็ ือ 0 หรอื 0 + 0 i หรือ (0, 0) และเอกลักษณก์ ารคูณคอื 1 หรือ 1 + 0 i หรือ (1, 0) เชน่ เดียวกับในระบบ จํานวนจริง ... สรุปส้นั ๆ ว่า ทกุ กฎทีเ่ คยใช้กับจาํ นวนจรงิ จะยงั คงใช้ได้ ดังน้ัน อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คอื −z = −a − bi S ¨´u ·è¼Õ ´i ºoÂ! S และอินเวอร์สการคูณของ z = a + bi คือ z−1 = 1 = 1 ¡ÒúǡæÅaź¨Òí ¹Ç¹eªi§«o ¹ z a + bi ¹a¹é äÁÁ ÕoaäÃÂu§ÂÒ¡ 浡Òä³Ù æÅa¡ÒÃËÒÃ¹Ò ¨a½¡ ½¹ãË ซึง่ สามารถทาํ ให้อยู่ในรปู ปกติได้โดยนาํ a − bi คูณท้งั เศษและสว่ น จะได้ ¤u¹e¤Â¹a¤Ãºa 1 = a − bi = ⎛a⎞ − ⎛ b ⎞ i a + bi a2+b2 ⎜ ⎟ ⎜ a2+b2 ⎟ ⎝ a2+b2 ⎠ ⎝ ⎠ และมที ฤษฎีบทเก่ยี วกบั อินเวอร์สการคูณว่า (z1z2)−1 = z1−1 z2−1 และ (zn)−1 = (z−1)n = z−n หมายเหตุ 1. ในระบบจาํ นวนเชงิ ซอ้ นจะไมม่ กี ารเปรยี บเทยี บมากกวา่ , นอ้ ยกวา่ 2. สมการ a × b = ab จะไม่เปน็ จริง หากวา่ a, b ติดลบท้งั สองจาํ นวน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 253 จํานวนเชงิ ซอ น • ตัวอยา ง ใหห าผลบวก ลบ คูณ และหาร ของจาํ นวนเชงิ ซอน z1 = 3 − 2 i ดวย z2 = 1 + i ตอบ z1+ z2 = (3 − 2 i) + (1 + i) = 4 − i z1− z2 = (3 − 2 i) − (1 + i) = 2 − 3 i z1z2 = (3 − 2 i) ⋅ (1 + i) = 3 + 3 i − 2 i − 2 i2 = 5 + i ... (อยา ลืม )i2 = −1 z1 = 3 − 2 i = 3−2i ⋅ ⎛1− i⎞ = 3 − 3 i − 2 i + 2 i2 = 1−5i = (1/2) − (5/2) i z2 1 + i 1+i ⎜ ⎟ 1 − i + i − i2 2 ⎝ 1 − i ⎠ • ตัวอยา ง ใหหาคา (1 + i)12 (1 − i)10 วธิ ีคิด เนือ่ งจาก (1 + i)2 = 1 + 2 i + i2 = 2 i และ (1 − i)2 = 1 − 2 i + i2 = −2 i ดังนั้น (1 + i)12 = (2 i)6 = 64 i6 = −2 i (1 − i)10 (−2 i)5 −32 i5 หรือคิดไดอีกวธิ ีดังนี้ ... เนือ่ งจาก ⎛1+ i⎞ = ⎛1+ i⎞ ⋅ ⎛1+ i⎞ = 2i =i ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1 − i ⎠ ⎝ 1 − i ⎠ ⎝ 1 + i ⎠ (1 + i)12 ⎝⎜⎛ 1 + i ⎟⎠⎞10(1 1 − i ดังน้นั ... (อยาลืม )(1 − i)10 = + i)2 = (i)10(2 i) = 2 i11 = −2 i i 11 = i 3 = − i แบบฝกึ หัด 11.1 (1) z1 = (2, −3) , z2 = (−4, −1) , z3 = (−2, 1) จงหาคา่ (1.1) z1 + z2 (1.4) z1z2 (1.2) z1 − z3 (1.5) z1z3 (1.3) 2 z1 + 3 z2 (1.6) z1 (z2 +z3) (2) จงหาอินเวอร์สการบวก และอนิ เวอรส์ การคูณ ของ (2.1) z1 = (2, −3) (2.3) z3 = (−2, 1) (2.2) z2 = (−4, −1) (2.4) z4 = (1, 0) (3) จงหาคา่ ของ (3.4) (3, −2) ÷ (5, 4) (3.1) (6, 4) − (3, 5) (3.5) (7, 2) ÷ (0, 3) (3.6) (6, 3) ÷ (3, 0) (3.2) (−3, −2) − (−4, 2) (3.3) (−4, 3) − (5, −6) (4) จงหาคา่ จํานวนจรงิ x และ y เมอื่ (4.1) (x, y) + (−2, 4) = (−4, −1) (4.2) [Ent’25] (x, y) × (2, −3) = (−5, −3) (4.3) (3, 1) ÷ (x, y) = (1, −2) (4.4) x − 2y i = 1 + i + 2 + i … [ขอ้ สังเกต : 1 = − i ] ii i (5) x2 + y2 + 2xy i − 1 − i = 0 จงหาค่า x และ y Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 254 จาํ นวนเชงิ ซอน (6) ถ้า z1 = (2, −3) จงหาคา่ 2 z1−2 (7.3) −14 + 23 i + 16 + 12 i 3 + 4i 4i (7) จงหาค่าของ (7.1) 2 + 3 i 4 − 2i (7.2) 2 + i + 3 + 4 i 2 − i 1 + 2i (8) จงหาค่าของ ⎛ 3+4 i − 3−4 i ⎞3 ⎜ ⎟ ⎝ 3−4 i 3+4 i ⎠ (9) ใหห้ าค่าตอ่ ไปน้ี (9.3) i451 (9.1) i29 (9.4) i4,040 (9.2) i42 (10) จงหาค่า และi135 + i136 + i137 + i138 i 135 i 136 i 137 i 138 (11) [Ent’มี.ค.44] กาํ หนดให้ z = i9 + i10 + ... + i126 เมื่อ i2= −1 แลว้ จงหาคา่ 2 z−1 (12) จงหาอินเวอร์สของ (1 + i)4 (13.3) (1 + i)16 1−i (1 − i)10 (13) จงหาคา่ ของ (13.1) (1 + i)12 (13.2) (1 + i)2 + (1 + i) + 1 1+ i (14) จงหาคา่ m ∈ I+ ท่ีน้อยท่ีสดุ ท่ีทําให้ ⎛ 1 + i ⎞5m = ⎛ 1 − i ⎞m ⎝⎜ 1 − i ⎟⎠ ⎝⎜ 1 + i ⎠⎟ 11.2 สังยุค และคา่ สัมบรู ณ์ ในเศษสว่ นหนึง่ ๆ เม่ือมีจํานวนเชงิ ซอ้ น a + bi เปน็ ตัวสว่ น จะนํา สงั ยคุ (conjugate) ของ a + bi คือ a − bi มาคณู ท้งั เศษและส่วน เพ่ือให้ตวั สว่ นกลายเป็นเลขจํานวนจริง ( a2+b2 ) สัญลกั ษณท์ ี่ใชแ้ ทนสังยคุ ของ z = a + bi คอื z = a − bi ค่าสมั บรู ณ์ (absolute value) ของจาํ นวนจริงและจาํ นวนเชิงซ้อนใดๆ คอื ระยะห่างจากจุด นั้นไปถงึ จดุ กําเนิด (0, 0) ดังนั้น z = a + bi = a2+b2 สมบตั ิของสงั ยุคและคา่ สมั บูรณ์ 1. z = z ก็ตอ่ เมอ่ื z เปน็ จาํ นวนจรงิ เทา่ น้ัน และ z = z เสมอ 2. และ(z−1) = (z)−1 z−1 = z −1 3. (zn) = (z)n และ zn = z n n ∈ I+ 4. z1 ± z2 = z1 ± z2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 255 จํานวนเชงิ ซอน 5. และz1z2 = z1z2 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 6. และz1z2 = z1 z2 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 7. z มคี า่ มากกว่าหรอื เทา่ กับ 0 เสมอ และ z ⋅ z = z 2 8. z = −z = z • ตวั อยา ง ถา z1 = 1 + 2 i และ z1z2 − z2 = i จงหาคา z2−1 วธิ ีคิด จาก z1z2 − z2 = i → z2(z1 − 1) = i → z2 = i 1 z1 − จากนั้นใสส งั ยุคทงั้ สองขา งของสมการ เพือ่ ใหทางซายไมตดิ สังยคุ ... จะได z2 = −i 1 z1 − และหาอนิ เวอรสไดเปน z2−1 = z1 − 1 = 2i = −2 −i −i (2−2 3 i) (3+4 i)3 • ตวั อยา ง ใหหาคาของ z เมื่อ z = (2 − i)2(1 + i) (2−2 3 i)1/2(3+4 i)3 2−2 1/ 2 3+4 i 3 = (4)1/ 2(5)3 ( 5)2( 2) ตอบ (2 − i)2(1 + i) 3i = 2−i2 1+i = 25 2 แบบฝกึ หัด 11.2 (15) z1 = 2 + 3 i , z2 = 3 − 4 i จงหาคา่ ของ (15.4) ⎛ z1 ⎞ ⎜⎝ z2 ⎟⎠ (15.1) z1 + z2 (15.5) (z21) (15.2) z1 − z2 (15.3) z1z2 (16) ถ้า z1 = 3 + 4 i และ z1z2 + z2 − 4 = 0 จงหาคา่ z2−1 (17) จงหาค่า z ทสี่ อดคลอ้ งกับสมการ z + i + 3 − 2 z = 1 + 2 i (18) จงหาค่าของ (18.4) −4 + 0 i (18.1) 3 + 4 i (18.5) (0, −5) (18.2) −5 + 12 i (18.3) − 7 i (19) จงหาคา่ z เมื่อ z คอื (19.3) (3+4 i)4 (19.1) (1+ 3 i)2( 3 − i)4 (1 + i)16 (1− 3 i)2 (19.4) ((1, 1)−1)4 (19.2) −2 i(1+ 3 i)5 (1+ 2 i)6 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 256 จาํ นวนเชงิ ซอ น (20) จงหาคา่ ของ (2−i)(3+2 i)(4−3 i)(5+4 i) 3 (1+2 i)(2−3 i)(−4−5 i) (21) ถ้า z = (1+ 3 i)( 3 − i)(1 + i) จงหาคา่ z−1 (22) ถ้า z1 + z2 = 0 และ z1 = z2 = 1 จงหาคา่ 1+ 1 z1 z2 (23) ให้แก้ระบบสมการตอ่ ไปนี้ เพื่อหาคา่ z (โดยสมมติ z = a + b i ) (23.1) z+1 = 1 และ z= 149 z + 3 − 2i (23.2) [Ent’31] z+1 = 1 และ z z = 29 z + (3 − 2 i) (23.3) z−4 = 1 และ z − 12 =5 z−8 z − 8i 3 (24) ถา้ z+12 = 2 z+3 จงหาค่า z (25) เมื่อ z ≠ 1 จงหาคา่ Re ⎛⎝⎜ 1 + z ⎞⎟⎠ 1 − z (26) [Ent’ต.ค.41] ถ้า z เปน็ จํานวนเชิงซอ้ นซ่ึง (i+1)(z+1) = −1 แล้ว จงหาส่วนจรงิ ของจาํ นวน เชงิ ซ้อน z(z − z)15 (27) ขอ้ ใดไม่ใชก่ ราฟวงกลม ค. z + z = z 2 ก. z z = 1 ง. 3z+i = z+3 i ข. z + z = z (28) จงเขียนกราฟของ (28.1) z−(2+3 i) = 1 (28.2) z+2 = 3 z−2+4 i (28.3) z+2 i + z−2 i = 10 หมายเหตุ โจทย์ขอ้ นอี้ าจเปลีย่ นเป็น “จงหาค่า z ทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการต่อไปน”ี้ ก็ได้ และคําตอบจะ มีไดม้ ากมาย (ทกุ ๆ จุดในกราฟ) เพราะตวั แปร z นัน้ สมการเดยี วไม่เพียงพอ 11.3 รูปเชิงข้วั การอา้ งถงึ พกิ ัด (a, b) ของจาํ นวนเชงิ ซ้อน อาจจะกล่าวไดอ้ กี แบบเป็น (r, θ) im โดยที่ r แทน “ระยะหา่ งจากจดุ กาํ เนดิ ” (modulus) และ θ แทน “ทิศทาง” (argument) (มุมวัดทวนเข็มนาฬกิ าจาก br z (a,b) แกน +x ) เรยี กรูปแบบนี้วา่ รูปเชิงข้ัว (Polar Form) O θ a re ซ่งึ ความสัมพันธ์ระหวา่ งสองระบบน้ีเป็นดังนี้ a = r cos θ r = a2 + b2 = z b = r sin θ tan θ = (b/a) เราอาจเขียนรูปทว่ั ไปของ z = a + bi เป็น z = (r cos θ) + (r sin θ)i หรอื z = r (cos θ + i sin θ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 257 จํานวนเชงิ ซอน หมายเหตุ 1. จาก z = r (cos θ + i sin θ) บางทีเขียนว่า r = Abs (z) และ θ = Arg(z) 2. บางตําราใช้สัญลักษณ์ z = r ∠θ หรอื z = r cis θ เพื่อความสะดวกในการเขยี น, คํานวณ รูปเชิงขวั้ สามารถนํามาใชป้ ระโยชน์ในการคณู หาร ยกกําลัง และถอดรากของจํานวน เชงิ ซอ้ นได้สะดวก โดยมีทฤษฎอี ยดู่ ังน้ี ถา้ z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) แลว้ 1. z1z2 = r1r2 (cos (θ1+θ2) + i sin (θ1+θ2)) 2. z1/ z2 = (r1/r2)(cos (θ1−θ2) + i sin (θ1−θ2)) 3. zn = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)) → ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟ์ (De Moivre’s Theorem) 4. รากท่ี n ของ z นนั้ จะมีอยู่ n แบบเสมอ เพราะมาจากสมการดีกรี n คือ (root)n = z คาํ ตอบแรกได้แก่ n r (cos (θ) + i sin(θ)) nn และคาํ ตอบท่ีเหลอื จะมขี นาดเท่ากันแต่มุมต่างๆ กนั ... หาค่ามมุ ไดจ้ ากการแบ่งวงกลม 360° ออกเปน็ n สว่ นเทา่ ๆ กนั โดยมีมุม θ/n นเ้ี ป็นจดุ ๆ หนึ่งในบรรดาคําตอบ หรอื เขียนเปน็ สตู รว่า n z = n r (cos (k 360° + θ) + i sin (k 360° + θ)) โดย k = 0, 1, 2, ..., (n−1) nn nn สูตรลัดในการหารากทีส่ องของ a + b i คือ ⎛ r+a + r−a ⎞ เมื่อ b>0 ... และ ⎛ r+a − r−a ⎞ เมื่อ b<0 ±⎜ 2 2 i⎟ ±⎜ 2 2 i⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ • ตวั อยาง ถา z1 = 2 + 2 3 i และ z2 = − 3 + i ใหอาศัยรูปเชิงข้วั เพื่อหาคาของ ก. z1z2 และ z1/z2 วธิ ีคดิ แปลง z1 และ z2 ใหอ ยใู นรปู เชงิ ขว้ั ไดด งั นี้ z1 = 22 + (2 3)2 = 4 และมีมมุ เทากบั 60° (หามมุ วิธีเดียวกับเวกเตอรแ ละตรีโกณฯ) z2 = ( 3)2 + 12 = 2 และมีมมุ เทา กบั 150° ดังนั้น z1 = 4(cos 60° + i sin 60°) หรือเขียนยอๆ วา z1 = 4 ∠60° และ z2 = 2(cos 150° + i sin 150°) หรือเขียนยอ ๆ วา z2 = 2 ∠150° จะได หรือz1z2 = (4 ⋅ 2) ∠(60° + 150°) = 8 ∠210° 8 (cos 210° + i sin 210°) = −4 3 − 4 i และจะได z1/z2 = (4/2) ∠(60° − 150°) = 2 ∠(−90°) หรือ − 2 i ... (มมุ −90° คือ − i ) ข. z24 วิธีคิด จาก z2 = 2 ∠150° ใชท ฤษฎีบทของเดอมัวฟ ไดเปน z24 = 24∠(150° ⋅ 4) = 16 ∠600° = 16 ∠240° หรือตอบวา 16 (cos 240° + i sin 240°) = −8 − 8 3 i • ตัวอยา ง ถา z = 64 i ใหหารากทีส่ ามของ z วิธีคดิ แปลงเปน เชงิ ขว้ั ได z = 64 ∠90° ดังน้ันรากทีส่ าม (คาํ ตอบแรก) คือ 641/3∠(90°/3) = 4 ∠30° หรือ 2 3 + 2 i Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 258 จาํ นวนเชงิ ซอน อีกสองคําตอบหาไดโดยบวกมุมเขาไป เพือ่ ใหต ัดแบงวงกลม (ขนาด 4 หนวย) ออกเปน 3 สว นเทา ๆ กนั ... น่นั คือ สวนละ 120 องศา คําตอบทีส่ อง คือ 4 ∠(30° + 120°) = 4 ∠150° หรือ −2 3 + 2 i คาํ ตอบทีส่ าม คือ 4 ∠(150° + 120°) = 4 ∠270° หรือ − 4 i แบบฝึกหัด 11.4 (29) ใหเ้ ขยี นจํานวนเชงิ ซ้อนต่อไปนเ้ี ป็นรปู เชิงขว้ั (29.4) −5 (29.1) −1− 3 i (29.5) 4 i (29.6) −3 i (29.2) (4, −4) (29.3) (10, 0) (30) ถา้ z1 = 4 (cos 30° + i sin 30°) และ z2 = 3(cos 180° + i sin 180°) จงหาคา่ z1z2 ในรปู a + bi (31) ถา้ z1 = 2(cos 18° + i sin 18°), z2 = −3(cos 72° + i sin 72°) และ z3 = −4 (cos 30° + i sin 30°) จงหาค่า z1z2z3 และ z1z2 ในรปู a + bi z3 (32) ถ้า z1 = 2(cos 15° + i sin 15°) , z2 = 2 (cos π − i sin π) จงหาค่า z61 และ z28 ในรูป 3 3 a + bi (33) จงหาค่า ( 3 + i)8 โดยวธิ ียกกําลงั โดยตรง และวิธีแปลงเปน็ เชงิ ขัว้ ก่อน (34) [Ent’ต.ค.42] ถา้ z = −2+2 3 i เมอ่ื i2= −1 แลว้ z17 อยู่ในควอดรนั ตใ์ ด (35) จงหาค่า z0 และ z−10 เมือ่ z = −1+ 3 i (36) จงหาคา่ ของ (36.1) ⎛ 3 + i ⎞50 ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ (36.2) ⎛ −1+ −3 ⎟⎞−8+ ⎛ −1− −3 ⎞−8 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ (36.3) (1 + i)30 ( 2 − 2 i)10 (37) [Ent’ม.ี ค.44] ถ้า 2 z3 = 1+ 3i และ z18 = a + bi เมื่อ a และ b เป็นจาํ นวนจริง i − z27 จงหาคา่ a + b (38) [Ent’ต.ค.43] กาํ หนดให้ z1 และ z2 เป็นจาํ นวนเชิงซอ้ นที่ 2 z1z2 = 1 + z2 และ z1 = (cos π +i sin π )6 จงหาอนิ เวอรส์ การคณู ของ z2 18 18 (39) จงหาค่า Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 259 จํานวนเชิงซอน (39.1) รากท่ีส่ีของ −8 + 8 3 i (39.2) รากทีส่ ามของ 8 i ในรูป a + bi (39.3) รากทสี่ ามของ −8 i (39.4) รากที่สองของ −4+4 3 i (39.5) รากทส่ี องของ −2 3 − 2 i (39.6) รากทส่ี องของ −15 − 8 i (40) จงหารากท่ีสองของ 3 + 4 i โดยวธิ ีสมมติคําตอบ (x + y i)2 = 3 + 4 i (41) [Ent’24] ถา้ สมการ x2 = −2 − 2 3 i มีคําตอบเปน็ z1 และ z2 แล้ว จงหา z1 2+ z2 2 11.4 สมการพหนุ าม จากนี้สมการพหนุ ามดกี รี n ในรปู anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+ ... + a0 = 0 จะหาคาํ ตอบ ได้ n จาํ นวนเสมอ ซงึ่ ใน n คําตอบน้ี อาจเป็นจาํ นวนจริงและจาํ นวนเชิงซ้อนปนกนั อยู่ สามารถ คํานวณโดยแยกคําตอบทเ่ี ปน็ จาํ นวนจรงิ ออกจนเหลือเพียงดกี รีสอง แล้วอาศัยสตู ร −b ± b2−4ac ชว่ ยในการหาคําตอบทเ่ี ป็นจาํ นวนเชิงซ้อน x= 2a ข้อสังเกต 1. จากสูตร x = −b ± b2−4ac ทําให้เราพบวา่ ในสมการทส่ี ัมประสิทธิ์ทัง้ หมดเป็นจาํ นวนจรงิ ถ้า 2a A + B i เป็นคาํ ตอบหนง่ึ ของสมการแล้ว จะมสี ังยคุ A − B i เปน็ อีกคาํ ตอบด้วยเสมอ 2. หากไม่ตอ้ งการใช้สตู ร อาจใชว้ ิธจี ัดกาํ ลังสองสมบูรณก์ ไ็ ด้ เช่น x2 + 4x + 7 = 0 → (x2 + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2)2 + 3 = 0 → x = −2 ± 3 i 3. ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ (หารลงตัว) ของพหุนาม ท่เี คยไดศ้ ึกษาในหัวข้อจํานวน จรงิ ยังคงใช้ไดก้ ับจาํ นวนเชิงซอ้ น และนอกจากนก้ี ารหารสังเคราะห์ก็ยังใช้ไดเ้ ช่นกนั • ตัวอยา ง ใหหาเซตคําตอบ (ทกุ คาํ ตอบ) ของสมการ x3− 3x2+ 9x + 13 = 0 วธิ ีคดิ ใชว ิธีแยกตัวประกอบ (จากบทเรียนเรือ่ งพหุนาม) เชน การหารสังเคราะห จะไดผ ลเปน (x + 1)(x2 − 4x + 13) = 0 ซ่ึงวงเลบ็ หลังมีดีกรีสอง แตห าตวั เลขเพื่อแยกตัวประกอบไมไ ด จึงใชสตู รไดว า 4± (−4)2− 4 (1)(13) = 4± −36 = 4 ± 6i = 2 ± 3i x= 2 (1) 2 2 ดังน้นั เซตคาํ ตอบของสมการนีค้ ือ { 1, 2 + 3 i, 2 − 3 i } • ตวั อยาง ใหหาเซตคาํ ตอบของสมการ x4− 3x3+ 6x2− 6x + 4 = 0 เมื่อทราบวา มี 1 + i เปน คําตอบหนงึ่ วธิ ีคดิ การมี 1 + i เปนคําตอบหนึง่ แสดงวา ตอ งมี 1 − i เปน อีกคาํ ตอบดว ย Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 260 จํานวนเชงิ ซอ น หรือกลา ววา มี (x − (1 + i))(x − (1 − i)) เปนตวั ประกอบของพหุนาม และ เนื่องจาก (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = (x − 1 − i)(x − 1 + i) = x2 − 2x + 2 เราจงึ นํา x2− 2x + 2 ไปหารพหนุ ามในโจทย (ตง้ั หารยาว) เพือ่ แยกตวั ประกอบ ไดเ ปน (x2 − 2x + 2)(x2 − x + 2) = 0 ดังนนั้ หาสองคําตอบทีเ่ หลือไดจากสตู ร x = 1 ± (−1)2− 4(1)(2) = 1 ± −7 2 (1) 2 เซตคําตอบของสมการนี้คือ { 1 + i, 1 − i, (1/2) + ( 7 /2)i , (1/2) − ( 7 /2)i } แบบฝึกหดั 11.4 (42) จงหาคาํ ตอบของสมการต่อไปนี้ (42.1) x2 + 16 = 0 (42.2) 2x2 − 3x + 4 = 0 (42.3) 2x3 − x + 1 = 0 (43) [Ent’26] ใหห้ าคา่ สมั บูรณ์ของรากของสมการ z2(1−z2) = 16 * (44) ใหห้ าคาํ ตอบของสมการ (44.1) 2x2 + (1 − 2 i) x + 1 = 8 i (44.2) 2 i x2− 3x − 3 i = 0 (44.3) x2 + 2(i − 1) x − 1 − 2 i = 0 (44.4) x2 − (2+3 i) x − 1 + 3 i = 0 [Hint : สตู รของสมการดีกรสี อง สามารถจัดรูปใหมไ่ ด้วา่ (2ax+b)2 = ]b2−4ac (45) จงแสดงว่า 2 + 3 i เป็นคําตอบหนึง่ ของ x3 − 3x2 + 9x + 13 = 0 โดยการแทนคา่ และการ แยกตวั ประกอบ (46) จงหาค่าสัมบรู ณข์ องผลบวกของรากสมการ x3 − 17x2 + 83x − 67 = 0 (47) จงหาผลบวก และผลคณู ของรากทั้งหมดของสมการ z3 + 2z2 + 9z + 18 = 0 [Hint : anxn+an − 1xn − 1+ ... + a0 =0 มีผลบวกรากเป็น − an − 1 และผลคณู (−1)na0 ] an an (48) ถ้าสมการกําลงั สอง Ax2 + Bx + C = 0 มรี ากหนงึ่ เปน็ 4 + 3 i แลว้ คา่ A + B + C เมอื่ A = 1 เป็นเท่าใด (49) 2 และ 1 − i เป็นคําตอบของสมการกําลงั สาม สมการใด (50) จงหาสมการพหุนามกาํ ลงั สี่ ซึง่ มีสัมประสทิ ธิเ์ ปน็ จํานวนจริง และมี z1 = 2 − 2 3 i กับ z2 = −4 i เปน็ คําตอบของสมการ (51) ถ้า 2 + 2 i เป็นคําตอบของ x4 − 4x3 + x2 + 28x − 56 = 0 จงหาคาํ ตอบที่เหลือ (52) จงแกส้ มการ x4 + 2x3 = 4x + 4 โดยทราบว่ามี −1 − i เปน็ คําตอบหนึง่ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 261 จาํ นวนเชิงซอน (53) ถา้ −1 + 3 i เปน็ รากหน่ึงของสมการ x5 + 9x3 − 8x2 − 72 = 0 จงหารากท้งั หมด (54) จงหารากของสมการ (54.1) x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 [Hint : (xn−1) = (x − 1)(xn − 1+ xn −2+ ... + x + 1)] (54.2) x5 + 3x4 + 2x3 − 8x2 − 24x − 16 = 0 (55) จงหาผลบวกของรากสมการ x6 − x5 + x4 − x2 + x − 1 = 0 (56) จงหาผลบวกของคา่ สมั บูรณข์ องรากสมการ (56.1) [Ent’มี.ค.43] z4 + z2 + 2 = 0 (56.2) x4 − 2x3 + 12x2 − 8x + 32 = 0 * (56.3) [Ent’27] x5 − 3 i x4 + 4x − 12 i = 0 * (57) x3 − (5−2 i) x2 + (7−10 i) x + k หาร x + 2 i ลงตัว จงหาค่า k (58) ถ้า x = −2 − 3 i จงหาคา่ 2x4 + 5x3 + 7x2 − x + 4 [Hint : จากทฤษฎเี ศษเหลือ จะไดว้ ่า f (−2 − 3 i) คอื เศษของ f (x) ] x2+4x+7 (59) [Ent’ม.ี ค.42] ให้ P(x) เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามกาํ ลังสาม ซึง่ มสี ัมประสทิ ธ์เิ ป็นจํานวนจริง และ สัมประสิทธิข์ อง x3 เปน็ 1 ถา้ x − 2 หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ 1+ 3 i เป็นรากหน่งึ ของ P(x) แล้ว รากทีเ่ ป็นจาํ นวนจรงิ ของ P(x) มคี ่าเท่าใด เฉลยแบบฝึกหัด (คาํ ตอบ) (1.1) (−2, −4) (1.2) (4, −4) (7.1) 1 + 4 i (7.2) 14 + 2 i (19.4) 1/4 (20) 125 (1.3) (−8, −9) (1.4) (−11, 10) 10 5 5 5 (21) 1/4 2 (22) 0 (1.5) (−1, 8) (1.6) (−12, 18) (7.3) 5 + i (8) − ⎛ 48 ⎞⎟⎠3i (23.1) 7 + 10 i หรอื (2.1) (−2, 3),(2/13, 3/13) ⎜⎝ 25 −10 − 7 i (2.2) (4, 1),(−4/17, 1/17) (9.1) i (9.2) –1 (9.3) –i (23.2) 2 + 5 i หรอื −5 − 2 i (2.3) (9.4) 1 (10) 0, –1 (11) –1–i (23.3) 6 + 17 i หรอื 6 + 8 i (2.4) (2, −1),(−2/5, −1/5) (3, −1) (12) −1 + i (13.1) –64 (24) 6 (25) 1 − z 2 4 4 (−1, 0),(1, 0) (3.1) (3.2) (1, −4) (3.3) (−9, 9) (13.2) 5 + i (13.3) 8 i 1− z 2 (3.4) (7/41, −22/41) (14) 2 22 18 − i (26) 1/2 (27) ข. (3.5) (2/3, −7/3) (3.6) (2, 1) (15.2) (28.1) กราฟวงกลม รศั มี 1 (4.1) (−2, −5) (15.1) 5 + i หนว่ ย มจี ดุ ศนู ยก์ ลางที่ (2, 3) (4.2) (− 1 , − 21) (4.3) (1 , 7) (15.4) −1 − 7 i (15.3) (28.2) กราฟวงกลม รัศมี 4.5 −6 − 17 i หน่วย จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ 25 25 13 13 5 5 (15.5) −5 − 12 i (16) 1 + i (2.5, −4.5) (4.4) 2, 3/2 (17) 2 + i (18.1) 5 (28.3) กราฟวงรตี ามแกน y มี ศนู ยก์ ลางท่ีจดุ กาํ เนดิ แกนเอกยาว (5) 1 , 1 หรอื − 1 ,− 1 3 2 2 10 แกนโทยาว 2 21 หน่วย 22 (18.2) 13 (18.3) 7 (18.4) 4 (29.1) 2 (cos 240° + i sin 240°) (18.5) 5 (19.1) 16 (6) (− 10 , 24 ) (19.2) 64 (19.3) 625 169 169 81 256 หรือ 2 ∠240° Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 262 จาํ นวนเชงิ ซอ น (29.2) 4 2 ∠315° (38) − 3 i (44.3) 2–i, –i (29.3) 10 ∠0° (39.1) 2 ∠30° , 2 ∠120° , (44.4) 1 + 2 i, 1 + i (29.4) 5 ∠180° 2 ∠210° , 2 ∠300° (29.5) 4 ∠90° (39.2) −2 i , i ± 3 (45) (x+1)(x2−4x+13)=0 (29.6) 3 ∠270° (39.3) 2 ∠90° , 2 ∠210° , (30) −6 3 − 6 i (46) 17 (47) z = −2, ± 3 i (31) −12+12 3 i และ 2 ∠330° ตอบ –2, –18 (48) 18 3+3 3 i (39.4) 2 2 ∠60° , 2 2 ∠240° (49) x3−4x2+6x−4=0 44 (39.5) 2 ∠105° , 2 ∠285° (39.6) ± (1−4 i) (40) ±(2 + i) (50) x4− 4x3+ 32x2−64x +256=0 (32) 64 i และ −8−8 3 i (41) 8 (42.1) ±4 i (51) 2−2 i, ± 7 (52) −1 ± i , ± 2 (53) −1± 3 i, 2, ±3 i (33) −128−128 3 i (42.2) 3 ± 23 i (54.1) −1, ± 1± 3 i (34) 44 (35) 240° → Q3 ∠240°(42.3) −1, 1 ± i (43) 2 22 1 ∠0° และ 2−10 (54.2) −1, ±2, −1± 3 i (36.1) 1 + 3 i (44.1) 1 + 2 i , − 3 − i (55) 1 (56.1) 4 4 2 22 2 (56.2) 4+4 2 (36.2) –1 (36.3) –32 (44.2) ± 15 − 3 i (56.3) 3+4 2 (57) 14 i (58) –31 (59) 3/4 (37) 1/2 + (−1/2) = 0 44 เฉลยแบบฝกึ หัด (วธิ ีคดิ ) (1) z1 + z2 = (−2, −4) , z1 − z3 = (4, −4) , (3.4) 3 − 2i = (3 − 2 i)(5 − 4 i) ,2 z1 + 3 z2 = (4, −6) + (−12, −3) = (−8, −9) 5 + 4i 52 + 42 z1z2 = (2 − 3 i)(−4 − i) = 15 − 10 i − 12 i − 8 = ( 7 , − 22) 41 41 41 ,= −8 − 2 i + 12 i − 3 = (−11, 10) (3.5) 7 + 2 i = (7 + 2 i)(−i) = −7 i + 2 = (2 , − 7) z1z3 = (2 − 3 i)(−2 + i) 3i 3 3 33 = −4 + 2 i + 6 i + 3 = (−1, 8) [ข้อสงั เกต 1 = −i ] z1 (z2 +z3) = z1z2 +z1z3 = (−12, 18) i (2.1) อนิ เวอรส์ การบวก คอื −z1 = (−2, 3) (3.6) 6 + 3 i = (2, 1) 3 อนิ เวอรส์ การคณู คือ z1−1 = 1 2 − 3i (4.1) (x, y) = (−4, −1) − (−2, 4) = (−2, −5) = 2 + 3i = (2 , 3) (4.2) (x, y) = −5 − 3 i = (−5 − 3 i)(2 + 3 i) 22 + 32 13 13 2 − 3i 13 (2.2) −z2 = (4, 1) = (−10 + 9) + (−6 − 15) i = (− 1 , − 21) 13 13 13 z2−1 1 −4 +i = (− 4 , 1 ) = −4 − i = (−4)2 + 12 17 17 (4.3) (x, y) = 3 + i = (3 + i)(1 + 2 i) (2.3) −z3 = (2, −1) 1− 2i 5 z3−1 = 1 = −2 −i = (− 2 , − 1) = (3 − 2) + (1 + 6) i = ( 1 , 7) −2 + i (−2)2 + 12 55 5 55 (2.4) −z4 = (−1, 0), z4−1 = 1 = (1, 0) (4.4) x − 2yi = 1 + 1 + 2 + 1 1 ii = −i + 1 − 2 i + 1 = 2 − 3 i (3.1) (3, −1) (3.2) (1, −4) ∴ x = 2, y = 3 / 2 (3.3) (−9, 9) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 263 จํานวนเชิงซอ น (5) (x2 + y2) + (2xy) i = 1 + i (12) จาก (1 + i)4 = [(1 + ]i)2 2 1−i 1−i เทยี บสัมประสทิ ธ์ิ ส่วนจรงิ x2 + y2 = 1 .....(1) (1 + 2 i − 1)2 (2 i)2 −4 = 4 และสว่ นจนิ ตภาพ 2xy = 1 .....(2) = == 1 − i 1 − i 1 − i −1 + i แก้ระบบสมการได้ x = 1 , y = 1 ∴ อนิ เวอรส์ คอื −1 + i 2 2 4 หรอื x = − 1 , y = − 1 [ขอ้ สังเกต (1 + i)2 = 2 i ] 22 (1 + i)2 = 2 i 2 2 (1 − i)2 = −2 i (6) 2z1−2 = z12 = − 3 i)2 (2 ⎜⎝⎛ 1 + i ⎠⎞⎟ 1 − i = i = 2 = 2 = 2(−5 + 12 i) ⎛1 − i⎞ = −i (4 − 9) − 12 i −5 − 12 i 169 ⎝⎜ 1 + i ⎠⎟ = (− 10 , 24 ) (13.1) (1 + i)12 = (2 i)6 = 64 i2 = −64 169 169 (13.2) (1 + i) + (1) + ⎝⎜⎛ 1 1 i ⎠⎟⎞ (7.1) (2 + 3 i)(4 + 2 i) = 2 + 16 i = 1 + 4 i + 20 20 10 5 (7.2) (2 + i)2 + (3 + 4 i)(1 − 2 i) = (1 + i) + (1) + (1 − i) = 5 + 1 i 55 2 22 = (4 − 1) + 4 i + (3 + 8) + (4 − 6) i = 14 + 2 i (13.3) ⎛⎝⎜ 1 + i ⎞10 (1 + i)6 = i10(2 i)3 = 8 i13 = 8i 5 55 1 − i ⎠⎟ (7.3) (−14 + 23 i)(3 − 4 i) + (4 + 3) (14) ⎛ 1 + i ⎞5m = ⎛ 1 − i ⎞m → ⎛ 1 + i ⎞6m = 1 25 i ⎝⎜ 1 − i ⎠⎟ ⎝⎜ 1 + i ⎠⎟ ⎝⎜ 1 − i ⎠⎟ = 50 + 125 i + (−4 i + 3) = 5 + i → i6m = 1 → m = 2 25 (15) z1 + z2 = 5 − i = 5 + i (8) ⎛(3 + 4 i)2 (3 − 4 i)2 ⎞3 ⎜ − ⎟ z1 − z2 = −1 + 7 i = −1 − 7 i ⎝ 25 25 ⎠ z1z2 = (2 − 3 i)(3 + 4 i) = 18 − i ⎛ (9 − 16 + 24 i) − (9 − 16 − 24 i)⎞3 = ⎜⎝ 25 ⎟⎠ 2 − 3i (2 − 3 i)(3 − 4 i) (z1 / z2) = 3 + 4i = 25 = ⎛ 48 i ⎞3 = − ⎛ 48 ⎞3 i = − 6 − 17 i ⎜⎝ 25 ⎠⎟ ⎝⎜ 25 ⎟⎠ 25 25 (9) i29 = i1 = i , i42 = i2 = −1 , (z21) = (2 − 3 i)2 = −5 − 12 i i451 = i3 = −i , i4,040 = i4 = 1 (16) จาก z1z2 + z2 − 4 = 0 → z2 = 4 z1 + 1 (10) i135 + i136 + i137 + i138 (ส่ีตวั เรยี งกนั ) เท่ากับ (−i) + (1) + (i) + (−1) = 0 → z2 = ⎛4 ⎞ = 4 1 ⎝⎜ z1 + 1⎠⎟ z1 + i135 ⋅ i136 ⋅ i137 ⋅ i138 = (−i)(1)(i)(−1) = −1 ∴ z2−1 = z1 + 1 = 4 + 4i = 1+ i (11) z = i9 + i1 0 + i 11 + i12 + N... 4 4 (17) ให้ z = a + bi จะได้ว่า 00 (a + bi) + i + 3 − 2(a − bi) = 1 + 2 i + i121 + i12 2 + i 123 + i1 24 + i125 + i126 0 นน่ั คอื a + 3 − 2a = 1 , b + 1 + 2b = 2 = i125 + i126 = i − 1 → a = 2, b = 1 → ∴ z = 2 + 1 i 33 ดงั นน้ั 2z−1 = 2 = 2(−i − 1) = −1 − i i−1 2 (18.1) 32 + 42 = 5 (18.2) 13 (18.3) 7 (18.4) 4 (18.5) 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 264 จาํ นวนเชิงซอน (19.1) 22 ⋅ 24 = 16 (24) (a + 12)2 + b2 = 2 (a + 3)2 + b2 → 22 a2 + 24a + 144 + b2 = 4a2 + 24a + 36 + 4b2 (2)(2)5 (19.2) ( 3)6 = 64 → 108 = 3a2 + 3b2 → 36 = a2 + b2 81 → z =6 (19.3) 54 625 216 = 256 (25) 1 + z = 1 + a + bi 1 − z 1 − a − bi (19.4) (( ))2 −1 4 = 1 4 = [(1 + a) + bi] [(1 − a) + bi] 5 + 4 i ⎞3 (1 − a)2 + b2 −4 − 5 i ⎟⎟⎠ (20) ⎛ 2−i ⋅ 3 + 2i ⋅ 4 − 3i ⋅ = 1 + 2bi − b2 − a2 ⎜⎜⎝ 1 + 2 i 2 − 3i 1 − z2 = (1 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 1)3 = 125 ∴ Re ⎛⎝⎜ 1 + z ⎠⎟⎞ = 1 − (a2 + b2) = 1 − z2 1 − z 1 − z2 1 − z2 (21) z = (2)(2)( 2) = 4 2 → z−1 = (4 2)−1 = 1 (26) (i+1)(z+1) = − 1 → z+1 = −1 = −1 + i 42 i+1 2 (22) 1 + 1 = z2 + z1 = 0 → z = −1 + i − 1 = − 3 − 1 i z1 z2 z1z2 2 22 (หมายเหตุ โจทย์บอก z1 กบั z2 เพอื่ ป้องกนั ดงั นน้ั z = − 3 + 1 i 22 ไมใ่ ห้สว่ นเปน็ ศูนย์ เทา่ นนั้ ) หาคา่ z(z − z)15 = ⎛⎝⎜ − 3 + 1 i⎟⎠⎞ (i)15 (23) การหาคา่ z จากสมการค่าสมั บูรณ์ 2 2 ต้องทราบ 2 สมการ จงึ แกห้ า a, b ได้ = ⎛ − 3 + 1 i⎞⎟⎠ (−i) = 1 + 3 i ⎝⎜ 2 2 2 2 (23.1) a + bi + 1 = 1 a + bi + 3 − 2 i ∴ ส่วนจรงิ คอื 1 / 2 → (a + 1)2 + b2 =1 (27) ก. a2 + b2 = 1 เป็นกราฟวงกลม (a + 3)2 + (b − 2)2 ข. 2a = a2 + b2 → 4a2 = a2 + b2 → (a + 1)2 + b2 = (a + 3)2 + (b − 2)2 → 3a2 − b2 = 0 → 3a = b, 3a = −b → − 4a + 4b − 12 = 0 → a − b = − 3 .....(1) เปน็ กราฟเสน้ ตรงสองเสน้ (ตอบ ข.) ค. 2a = a2 + b2 → 1 = a2 + 2a + 1 + b2 และ z = 149 → a2 + b2 = 149 .....(2) แก้ระบบสมการได้ b = 10 → a = 7 หรือ → 1 = (a + 1)2 + b2 เปน็ กราฟวงกลม b = −7 → a = −10 ง. (3a)2 + (3b + 1)2 = a2 + (b + 3)2 ∴ ตอบ z = 7 + 10 i หรอื −10 − 7 i → 8a2 + 8b2 = 8 → a2 + b2 = 1 (23.2) สมการแรกเหมอื นข้อ (23.1) คอื เป็นกราฟวงกลม a − b = −3 .....(1) (28.1) (a − 2)2 + (b − 3)2 = 1 และสมการท่สี อง คอื a2 + b2 = 29 .....(2) → (a − 2)2 + (b − 3)2 = 1 เป็นกราฟวงกลม รศั มี 1 หน่วย และมจี ุดศนู ยก์ ลางท่ี (2, 3) แก้ระบบสมการได้ b = 5 → a = 2 หรอื (28.2) (a + 2)2 + b2 = 3 (a − 2)2 +(b + 4)2 b = −2 → a = −5 ∴ ตอบ z = 2 + 5 i หรอื −5 − 2 i (23.3) (a − 4)2 + b2 = (a − 8)2 + b2 → a2 − 5a + b2 + 9b = −22 → − 8a + 16 = −16a + 64 → a = 6 (a − 2.5)2 + (b + 4.5)2 = − 22 + 6.25 + 20.25 = 4.5 และ (a − 12)2 + b2 = 5 a2 + (b − 8)2 → เปน็ กราฟวงกลม รัศมี 4.5 หนว่ ย และมีจดุ 3 ศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (2.5, −4.5) แทนคา่ a = 6 ได้ b = 17 หรอื 8 ตอบ z = 6 + 17 i หรอื 6 + 8 i Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 265 จาํ นวนเชิงซอ น (28.3) a2 + (b + 2)2 + a2 + (b − 2)2 = 10 วิธเี ชงิ ขว้ั → ( 3 + i)8 = (2∠30°)8 = 256∠240° → 25 − 2b = 5 a2 + (b − 2)2 = −128 − 128 3 i → 25a2 + 21b2 = 525 (34) z = −2 + 2 3 i = 4∠ 2π → a2 + b2 = 1 → เป็นกราฟวงรตี ามแกน y มี 3 21 25 → z17 = 417 ∠ 34π = 417 ∠ 4π → อยู่ใน Q3 ศนู ย์กลางท่จี ดุ กาํ เนดิ แกนเอกยาว 10 หน่วย และ 33 แกนโทยาว 2 21 หนว่ ย (29.1) คิดจาก −1 − 3 i = 2 (35) z = −1 + 3 i = 2∠ 2π 3 และคิดมุมจากอตั ราสว่ น −1 : − 3 คอื 240° ดังนน้ั −1 − 3 i = 2(cos 240° + i sin 240°) → z0 = 20∠0(2π) = 1∠0 = 1 หรือเขยี นย่อว่า 2∠240° กไ็ ด้ 3 (29.2) 4 2∠315° (29.3) 10∠0° [ขอ้ สงั เกต z0 = 1 เสมอ] (29.4) 5∠180° (29.5) 4∠90° → z−10 = 2−10 ∠(− 20π) = 2−10∠ 4π (29.6) 3∠270° หมายเหตุ ในหลกั สตู ร ควรเขยี นตอบแบบเตม็ 33 เท่าน้นั คอื r(cos θ + i sin θ) ส่วนสญั ลกั ษณแ์ บบ = 2−10(cos 240° + i sin 240°) ยอ่ ใช้เพอื่ ความสะดวกขณะคาํ นวณ (30) z1z2 = r1r2∠(θ1 + θ2) = 12∠210° (36.1) (1∠ π)50 = 150∠ 50π = 150∠ 2π 6 66 = 1∠60° = 1 + 3 i 22 (36.2) ⎛ 1 + 3 ⎞−8 + ⎛ − 1 − 3 ⎞−8 ⎝⎜ − 2 2 i⎟⎠ ⎝⎜ 2 2 i⎟⎠ = (1∠ 2π)−8 + (1∠ 4π)−8 33 = 12 (cos 210° + i sin 210°) = −6 3 − 6 i = 1∠(− 16π) + 1∠(− 32π) = 1∠ 2π + 1∠ 4π (31) z1z2z3 = r1r2r3 ∠(θ1 + θ2 + θ3) 3 3 33 = 24∠120° = 24(cos 120° + i sin 120°) = ⎛ 1 + 3 ⎞ + ⎛ 1 − 3 ⎞ = −1 ⎜⎝ − 2 2 i ⎠⎟ ⎝⎜ − 2 2 i⎠⎟ = −12 + 12 3 i (36.3) ( 2∠45°)30 = ⎛ 2∠45° ⎞10 ⋅( 2∠45°)20 (2∠45°)10 ⎝⎜ 2∠45° ⎠⎟ z1z2 = r1r2 ∠(θ1 + θ2 − θ3) = 3 ∠60° = ⎛ 2 ⎞10 (210)∠900° = 25 ∠180° = −32 z3 r3 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ = 3+3 3i (37) z3 = 1 + 3 i = 1∠60° 44 2 (32) z61 = r16∠6θ1 = 64∠90° = 64 i → z18 = (z3)6 = 16 ∠360° i − z27 i − (z3)9 i − 19∠540° และสังเกต z2 = 2 (cos π − i sin π) = 1 = 1 = 1 − 1i 33 i − (−1) 1 + i 2 2 ตรงกลางเปน็ เครอื่ งหมาย ลบ ตอ้ งทําเปน็ บวกกอ่ น 2 (cos(− π) + i sin(− π)) ∴ a + b = 1/ 2 − 1/ 2 = 0 → z2 = 33 จึงคาํ นวณต่อได้ (38) ⎜⎝⎛ π ⎠⎟⎞6 π 1 3i → z1 = 1∠ = 1∠ = 2 + 2 18 3 16∠(− 8π) = 16∠ 4π z28 = r28∠8θ2 = จาก 2z1z2 = 1 + z2 → z2 = 1 3 3 2z1 − 1 = −8 − 8 3 i → z2 = 1= 1 (1 + 3 i) − 1 3i (33) วธิ ยี กกําลงั โดยตรง → ( 3 + i)8 [( 3 + ]i)2 4 = (2 + 2 3 i)4 → z2 = − 1 → z2−1 = − 3 i 3i = ⎡⎣(2 + 2 3 i)2 ⎦⎤2 = (−8 + 8 3 i)2 = −128 − 128 3 i Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 266 จาํ นวนเชิงซอน (39.1) −8 + 8 3 i = 16∠120° (42.3) 2x3 − x + 1 = 0 รากทส่ี จ่ี ะเริม่ จาก 1 120° คือ → (x + 1)(2x2 − 2x + 1) = 0 164 ∠ 4 2∠30° เฉพาะกาํ ลังสอง ได้ x = 2 ± 4 − 8 = 1 ± i 2 และอกี สามคําตอบทเ่ี หลอื จะบวกไปทลี ะ ∴ x = −1, 1 ± i 360° = 90° (43) z4 − z2 + 16 = 0 4 → z2 = 1 ± 1 − 64 = 1 ± 3 7 i ได้แก่ 2∠120°, 2∠210°, 2∠300° 2 22 ∴ ตอบ 2∠30°, 2∠120°, 2∠210°, 2∠300° (39.2) 8 i = 8∠90° → z2 = ⎛ 1 ⎞2 + ⎛3 7 ⎞2 = 4 ∴z =2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ รากท่ีสามเริม่ จาก 1 90° คอื ∠ 2∠30° 83 3 (44.1) x = −(1− 2 i)± (1− 2 i)2 − 4(2)(1− 8 i) 4 จากนัน้ บวกไปทลี ะ 360° = 120° = −(1 − 2 i) ± −11 + 60 i 3 4 ไดแ้ ก่ 2∠150°, 2∠270° ถอดรากด้วยวธิ ีขอ้ 39.6, 40 ตอบ (ในรปู a + bi ) 3 + i , − 3 + i , − 2 i (39.3) −8 i = 8∠270° → = −(1 − 2 i) ± (5 + 6 i) = 1 + 2 i, −3 / 2 − i คําตอบแรกคือ 2∠90° 4 ∴ ตอบ 2∠90°, 2∠210°, 2∠330° (44.2) x = 3 ± 9 − 4(2 i)(−3 i) (39.4) −4 + 4 3 i = 8∠120° → 4i คาํ ตอบแรกคือ 2 2∠60° = 3 ± 9 − 24 = 3 ± 15 i = − 3 i ± 15 ∴ ตอบ 2 2∠60°, 2 2∠240° 4i 4i 4 4 (39.5) −2 3 − 2 i = 4∠210° → (44.3) −2(i − 1)± [2(i − 1)]2 − 4(1)(−1− 2 i) คําตอบแรกคือ 2∠105° x= ∴ ตอบ 2∠105°, 2∠285° 2 (39.6) ใช้เชิงขว้ั คิดจะยาก เพราะไมท่ ราบมุม θ = −2(i − 1)± 4 = −2 i + 2 ± 2 = 2 − i, − i จึงใชว้ ธิ ีสมมตคิ าํ ตอบเปน็ x + yi ดงั นั้น 22 (x + yi)2 = −15 − 8 i → x2 − y2 = −15 .....(1) และ 2xy = −8 .....(2) (44.4) (2 + 3 i)± (2 + 3 i)2 − 4(1)(−1+ 3 i) แก้ระบบสมการได้ x = 1 → y = −4 x= หรอื x = −1 → y = 4 2 ∴ ตอบ 1 − 4 i และ −1 + 4 i (40) x2 − y2 = 3 และ 2xy = 4 → = (2 + 3 i)± −1 = 2 + 3 i ± i = 1 + 2 i, 1 + i จะได้ x = 2 → y = 1 22 หรือ x = −2 → y = −1 → ∴ ตอบ 2 + i และ −2 − i (45) วธิ แี ทนคา่ (41) z1 กบั z2 เป็นรากทีส่ องของ −2 − 2 3 i (2 + 3 i)3 − 3(2 + 3 i)2 + 9(2 + 3 i) + 13 ∴ z1 2 + z2 2 = −2 − 2 3 i + −2 − 2 3 i = (−46 + 9 i) + (15 − 36 i) + (18 + 27 i) + 13 = 0 = 4+4 = 8 วธิ ีแยกตวั ประกอบ x3 − 3x2 + 9x + 13 (42.1) x2 = −16 → x = ± −16 = ±4 i = (x + 1)(x2 − 4x + 13) = 0 ∴ x = 4 ± 16 − 52 = 2 ± 3 i 2 (46) x3 − 17x2 + 83x − 67 = (x − 1)(x2 − 16 + 67) = 0 เฉพาะกาํ ลังสอง ได้ x = 16 ± 256 − 268 = 8 ± 3 i 2 ∴ ตอบ (1) + (8 + 3 i) + (8 − 3 i) = 17 (42.2) x = 3 ± 9 − 32 (47) z3 + 2z2 + 9z + 18 = (z + 2)(z2 + 9) = 0 4 → z = −2, ± 3 i = 3 ± −23 = 3 ± 23 i 44 44 ตอบ ผลบวก = −2 ผลคณู = −18 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 267 จํานวนเชิงซอ น (48) แสดงวา่ อกี รากคอื 4 − 3 i (54.2) แยกตวั ประกอบได้ ∴ Ax2 + Bx + C = (x − 4 + 3 i)(x − 4 − 3 i) (x + 1)(x − 2)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = 0 = x2 − 8x + 25 → A + B + C = 18 ∴ ตอบ −1, ± 2, − 1 ± 3 i (49) (x − 2)(x − 1 + i)(x − 1 − i) = 0 (55) แยกตวั ประกอบได้ (x4 − 1)(x2 − x + 1) = 0 (x − 2)(x2 − 2x + 2) = 0 → (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 − x + 1) = 0 → x3 − 4x2 + 6x − 4 = 0 → x = ± 1, ± i, 1 ± 3 i ตอบ ผลบวก = 1 22 (50) (x − 2 + 2 3 i)(x − 2 − 2 3 i) (x + 4 i)(x − 4 i) = 0 (56.1) z2 = −1 ± 1 − 8 2 → (x2 − 4x + 16)(x2 + 16) = 0 → z2 = ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 = 2 → x4 − 4x3 + 32x2 − 64x + 256 = 0 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ + ⎝⎜ 2 ⎠⎟ (51) (x − 2 + 2 i)(x − 2 − 2 i) = x2 − 4x + 8 ∴ z = 4 2 → ผลบวก 4 คําตอบ = 44 2 จากโจทย์แยกได้ (x2 − 4x + 8)(x2 − 7) = 0 คาํ ตอบทเ่ี หลือคอื 2 − 2 i, ± 7 (56.2) (x2 + 4)(x2 − 2x + 8) = 0 (52) (x + 1 + i)(x + 1 − i) = x2 + 2x + 2 → x = ± 2 i, 1 ± 7 i จากโจทย์แยกได้ (x2 + 2x + 2)(x2 − 2) = 0 คาํ ตอบคอื −1 ± i, ± 2 ตอบ 2 i + −2 i + 1 + 7 i + 1 − 7 i = 4 + 4 2 (53) (x + 1 − 3 i)(x + 1 + 3 i) = x2 + 2x + 4 (56.3) (x4 + 4)(x − 3 i) = 0 จากโจทยแ์ ยกได้ → x = 3 i หรอื x4 = −4 ผลบวกคา่ สัมบรู ณ์ = 3 i + 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 4 (x2 + 2x + 4)(x3 − 2x2 + 9x − 18) = 0 = 3+4 2 → (x2 + 2x + 4)(x − 2)(x2 + 9) = 0 (57) แสดงวา่ p(−2 i) = 0 [ทฤษฎตี วั ประกอบ] ∴ คําตอบคอื −1 ± 3 i, 2, ± 3 i (−2 i)3 − (5 − 2 i)(−2 i)2 + (7 − 10 i)(−2 i) + k = 0 (54.1) เน่ืองจากสมการ x6 − 1 = 0 แยกตวั → k = 14 i ประกอบได้ (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + 1) = 0 (58) ถ้าแทนคา่ x ลงไปในพหุนามจะคาํ นวณยาก จงึ ใชท้ ฤษฎีเศษเหลอื ตามคาํ ใบ้ในโจทย์ (ซึง่ ตอ้ งตงั้ แสดงวา่ คําตอบของพหนุ ามดกี รี 5 ในโจทย์ กค็ อื หารยาว เพราะหารสงั เคราะห์กาํ ลงั สองไม่ได้, หาร คําตอบของสมการ x6 − 1 = 0 ยกเวน้ x=1 นั่นเอง สังเคราะห์กาํ ลังหน่ึงก็ยาก เพราะตดิ i) → x6 − 1 = 0 → x6 = 1 ดังน้นั x เปน็ รากที่ 6 ของ ไดค้ าํ ตอบ (คอื เศษ) = −31 1 (ซึง่ เราจะหาคาํ ตอบทัง้ 6 ได้ โดยอาศัยรูปเชงิ ขว้ั ) (59) P(x) = x3 + Bx2 + Cx + D ตอบ −1 , ± 1 ± 3 i จาก 1 + 3 i เป็นรากของ P(x) 22 → (x − 1 − 3 i)(x − 1 + 3 i) = x2 − 2x + 4 เพิม่ เตมิ จากเน้อื หาเรอ่ื งลาํ ดับและอนุกรม ถา้ ศกึ ษาเรื่องอนกุ รมเรขาคณติ ในบทท่ี 13 แล้ว จะ แสดงว่า P(x) = (x2 − 2x + 4)(x − c) สามารถจัดรปู สมการ x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0 P(2) = 5 จะได้ c = 3 / 4 ∴ รากทเี่ ปน็ จาํ นวนจรงิ ของ P(x) คือ c = 3 / 4 ใหเ้ ปน็ x6 − 1 = 0 ได้อย่างงา่ ยดายครับ! x−1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 268 จาํ นวนเชิงซอ น eÃèo× §æ¶Á ใช้จาํ นวนเชงิ ซ้อนช่วยคาํ นวณเก่ียวกบั วงจรไฟฟา้ กระแสสลับ.. การคาํ นวณวงจรไฟฟา้ กระแสสลบั ในวิชาฟสิ ิกสร์ ะดบั ม.ปลาย ไม่ได้กลา่ วถึงจํานวนเชงิ ซ้อนเลย แตใ่ ห้ใช้เวกเตอรใ์ นการหาขนาดและมมุ หรือทเี่ รียกกันวา่ ใช้ เฟสเซอร์ (Phaser) แต่อนั ทจี่ รงิ แลว้ วงจรไฟฟา้ กระแสสลบั นน้ั เกยี่ วขอ้ งกับจาํ นวนเชงิ ซอ้ นโดยตรง สว่ นเฟสเซอรเ์ ปน็ เพยี งการนาํ ผลที่ไดจ้ ากจาํ นวนเชงิ ซอ้ น (ในรปู เชงิ ขวั้ ) ไปเขยี นเป็นรปู ภาพเทา่ นนั้ เอง.. หากมคี วามรู้ในเร่ืองจํานวนเชงิ ซอ้ นจะทาํ ใหค้ าํ นวณวงจรไฟฟา้ กระแสสลับได้โดยงา่ ย เพราะเปน็ การคาํ นวณขนาดและมุมไปในตวั พรอ้ มๆ กนั ไมต่ ้องยุ่งยากกบั เฟสเซอร์เลยครับ (โดยเฉพาะในข้อสอบ พืน้ ฐานวิศวะนนั้ จาํ เปน็ มากทจี่ ะตอ้ งใช้จาํ นวนเชงิ ซอ้ นคดิ เนอ่ื งจากวงจรคอ่ นขา้ งซับซ้อน) สิ่งทต่ี อ้ งทราบเพอื่ ใชใ้ นการคาํ นวณ (ดว้ ยจาํ นวนเชงิ ซ้อน) มดี ังนี้ (1) นิยมใช้ j แทน i เพอ่ื ไม่ใหส้ บั สนกับตวั แปร i ทีใ่ ชแ้ ทนกระแสไฟฟา้ (2) นิยมใหแ้ หลง่ จา่ ยแรงดนั กระแสสลับ (สญั ญาณรูปไซน)์ มมี ุมเป็นศนู ย์ (คอื แรงดัน = V∠0° ) (3) ค่าอมิ พีแดนซ์ (Z) หน่วยเปน็ โอห์ม ของแต่ละอุปกรณเ์ ปน็ ดงั น้ี ตวั ตา้ นทาน ZR = R (มแี ตส่ ว่ นจริง ไมม่ สี ว่ นจนิ ตภาพ) ตัวเหนยี่ วนาํ ZL = j ωL (ชข้ี น้ึ ขนาดเทา่ กบั ωL หรอื เขยี นในรปู ωL∠90° ) ตัวเก็บประจุ ZC = 1 = −j ⎜⎝⎛ 1 ⎞⎠⎟ (ชลี้ ง ขนาดเท่ากับ 1 หรือเขยี นในรปู 1 ∠−90° ) jωC ωC ωC ωC (4) เราคาํ นวณในวงจรเสมอื นว่าเปน็ วงจรไฟฟา้ กระแสตรงตามทคี่ นุ้ เคย เพยี งแคค่ ดิ เลขเปน็ จาํ นวนเชงิ ซอ้ น (กฎทกุ กฎใช้ไดห้ มด ไมว่ ่าจะเปน็ V = I Z , การรวมคา่ โอหม์ แบบอนกุ รมและแบบขนาน, กฎการแบง่ กระแส, การแบง่ แรงดนั , กฎของเคอร์ชอฟฟ์ ฯลฯ) ตวั อย่าง ถ้าแหลง่ กําเนดิ แรงดนั รปู ไซนม์ ขี นาด 10 โวลต(์ rms) และอปุ กรณแ์ ต่ละชน้ิ มีคา่ อมิ พแี ดนซต์ ามท่ี ระบใุ นรปู (คาํ นวณเปน็ โอหม์ ใหแ้ ลว้ ) ใหห้ าอมิ พแี ดนซร์ วม และกระแสรวมในวงจรน้ี (แบบ rms) วิธคี ิด ถา้ เป็นวงจรไฟฟา้ กระแสตรง เราจะใชว้ ิธีรวม R อนุกรมใน แต่ละเสน้ แล้วนาํ ทง้ั สองเสน้ มารวมกันแบบขนาน จะไดค้ า่ R รวม 10 V 3 Ω 4 Ω ของวงจร แลว้ กใ็ ช้สตู ร V = I R ก็จะไดค้ า่ กระแสรวมของวงจร 4 Ω 3 Ω ถงึ แม้วงจรน้เี ปน็ ไฟฟา้ กระแสสลบั เรากย็ งั ยดึ วธิ คี ดิ แบบเดมิ ได้ เสน้ ขวา มี 4 โอห์ม กับ j3 โอหม์ ตอ่ แบบอนกุ รม จงึ ได้ Zขวา = 4 + j3 โอหม์ เสน้ กลาง มี 3 โอห์ม กบั -j4 โอห์ม ต่อแบบอนุกรม จงึ ได้ Zกลาง = 3 − j4 โอหม์ (อย่าลมื ว่า C ต้องชลี้ งในทศิ -j) จากน้นั รวมสองเสน้ แบบขนาน Zรวม = (4 + j3) //(3 − j4) = (4 + j3)(3 − j4) = 24 − j7 = 3.5 − j0.5 โอหม์ ... คดิ เปน็ ขนาด 3.52 + 0.52 = 3.54 โอหม์ (4 + j3) + (3 − j4) 7 − j1 ดังนน้ั Iรวม = V = 10 = 2.8 + j0.4 แอมแปร์ ..คดิ เปน็ ขนาด 2.82 + 0.42 = 2.83 แอมแปร์ Zรวม 3.5 − j0.5 (ถา้ ไมต่ ้องการทราบมมุ ตอ้ งการเพยี งขนาด กค็ ดิ ตามนกี้ ไ็ ดค้ รบั Iรวม = V = 10 = 2.83 ) Zรวม 3.54 หมายเหตุ ค่า Zรวม = 3.5 − j0.5 และ Iรวม = 2.8 + j0.4 นนี้ ําไปวาดเฟสเซอรร์ ว่ มกบั คา่ V ได้เลย ตามสดั สว่ นค่าจรงิ , จินตภาพ ทไี่ ด้ออกมา เหมอื นกับว่าคาํ นวณทีเดียวไดท้ ้งั ขนาดและมุมพรอ้ มกนั ... และถา้ ตอ้ งการหากระแสในแต่ละเสน้ หรอื ความตา่ งศกั ย์แต่ละจุดกค็ งจะดัดแปลงวธิ กี ารต่อไปได้แลว้ นะครับ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 269 ทฤษฎีกราฟ G,r,A,p,H º··èÕ 12 ·ÄɮաÃÒ¿ กราฟ (Graph) ในทน่ี ไี้ ม่ไดห้ มายถึงกราฟของ ความสัมพนั ธ์หรอื ฟงั กช์ ัน แบบทเี่ คยศึกษาผา่ นมาแล้ว (คือกราฟของสมการระหวา่ ง x กบั y) แต่จะหมายถึง แผนภาพซ่งึ ประกอบดว้ ยจดุ และเสน้ ที่เชอื่ มจดุ เช่น แผนภาพแสดงเสน้ ทางเดินรถไฟ, โครงสรา้ งทางเคม,ี วงจรไฟฟ้า... บางตําราจะใชค้ าํ วา่ ขา่ ยงาน (Network) การศึกษา ทฤษฎกี ราฟ (Graph Theory) จะช่วย แก้ปญั หาบางอยา่ งไดเ้ ช่น การหาเส้นทางเดนิ ให้ผา่ น ทุกจุดโดยไม่ซ้ําทางเดมิ , การหาเส้นทางไปยงั จุดหมาย ให้สั้นทสี่ ุด, การเลอื กวางเส้นทางให้เชือ่ มทกุ ๆ จุดโดย ประหยัดทส่ี ุด เปน็ ต้น สมมติกราฟ G เปน็ กราฟท่ีใช้แทนเมอื ง 4 เมือง คอื A e1 B A, B, C, D และมีถนนเช่อื มระหว่างเมือง A–B, A–C, B–C, B–D, และ C–D จะเขยี นแผนภาพของ G ไดด้ ังรูป e2 e3 e4 C e5 D Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 270 ทฤษฎีกราฟ 12.1 สว่ นประกอบของกราฟ ส่วนประกอบของกราฟมี 2 เซต คือ เซตของ จุดยอด (Vertex) : V (G) และเซตของ เสน้ เชอื่ ม (Edge) : E(G) ในตวั อยา่ งกราฟ G น้ี จะได้ V (G) = {A, B, C, D} และ E(G) = {AB, AC, BC, BD, CD} หรอื อาจเขียนเปน็ E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5} การเกดิ เป็นกราฟไดจ้ ะต้องมจี ุดอยา่ งนอ้ ยหน่ึงจดุ แตก่ ราฟอาจไม่มเี สน้ เลยก็ได้ (หมายความวา่ เซต V (G) ห้ามเปน็ เซตวา่ ง แต่เซต E(G) สามารถเปน็ เซตวา่ งได)้ ข้อตกลงในการเขียนแผนภาพของกราฟ คือ จะวางจดุ ยอดจุดใดไวต้ ําแหน่งใดก็ได้ และจะ ลากเสน้ เชื่อมเปน็ เส้นตรงหรอื โคง้ กไ็ ด้ (แตห่ ากเสน้ เช่ือมสองเสน้ ทลี่ ากข้ึนนน้ั ตดั กนั จดุ ตดั ที่เกดิ ขึน้ จะไมน่ บั เปน็ จดุ ยอดของกราฟ) ... ดังน้ันกราฟ G ดังทีก่ ําหนดให้ อาจเขียนแผนภาพแบบอ่นื ๆ ได้ มากมาย เช่น B A e1 e1 e4 A e1 B e4 e2 B e3 C e5 D e4 A e3 D e3 D e5 C e2 e5 e2 C พิจารณากราฟ G ดังรูป A e7 e1 B 1. พบวา่ e5 และ e6 เป็นเส้นที่เช่ือมจดุ ปลาย คูเ่ ดียวกนั e4 เรียก e5 และ e6 ว่า เสน้ เชอื่ มขนาน (Parallel Edges) e2 e3 D C e5 หมายเหตุ กราฟนี้มีเสน้ เชอื่ มขนาน เราไม่สามารถใช้คาํ วา่ CD เขียนแทน e6 ท้งั e5 กับ e6 ได้ จะตอ้ งเขยี น E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} เทา่ นน้ั 2. พบวา่ e7 เป็นเสน้ เช่ือมทม่ี ปี ลายท้งั สองเป็นจุดๆ เดยี ว เรยี ก e7 ว่า วงวน (Loop) 3. เรียกจดุ ยอด A กับ B ว่า จดุ ยอดที่ประชิดกนั (Adjacent Vertices) A e1 B เน่อื งจากมเี สน้ เชื่อมระหว่างจดุ ยอดท้งั สอง (ตัวอย่างจดุ ยอดทไ่ี มป่ ระชิดกันเชน่ จุดยอด A กับ D) e2 e3 e4 D 4. เรยี กเส้นเชื่อม e1 “เกดิ กับ (Incident) จุดยอด A” C e5 เน่อื งจากจุดยอด A เปน็ ปลายของ e1 E (หรอื จะกลา่ วว่า e1 เกิดกับจดุ ยอด B กถ็ ูกเช่นกนั ) 5. ดกี รี (Degree) ของจดุ ยอด คือจาํ นวนครง้ั ท่ีมเี สน้ เชอื่ มเกิดกับจดุ ยอดน้ัน “ดกี รขี องจุดยอด A” ใชส้ ญั ลักษณ์ deg A ดังนน้ั ในกราฟรปู ลา่ ง deg A = 2 , deg B = 3 , deg C = 2 , deg D = 3 , และ deg E = 0 เรียกจดุ ยอดที่มีดกี รีเปน็ จาํ นวนคูว่ ่า จดุ ยอดคู่ (Even Vertex) เชน่ จุด A, จดุ C, จดุ E และเรียกจุดยอดทม่ี ีดีกรีเปน็ จาํ นวนควี่ า่ จดุ ยอดค่ี (Odd Vertex) เชน่ จุด B, จดุ D Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 271 ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีบททส่ี าํ คัญ ไดแ้ ก่ S e¾èÁi eµÁi ! S 1. ผลรวมดีกรีของจดุ ยอดทัง้ หมดในกราฟ จะเปน็ 2 เท่าของ จํานวนเสน้ เช่อื ม (ดงั น้ัน ผลรวมดีกรยี อ่ มเปน็ จํานวนค่เู สมอ) Ǹi Õ¡ÒÃËÒ´Õ¡ÃÕ¢o§¨u´Âo´oÂÒ §§ÒÂæ ¤×o เชน่ ในตวั อย่างทีแ่ ลว้ ... deg รวม = 10 และจาํ นวนเส้นเชอ่ื ม = 5 e¢Õ¹ǧ¡ÅÁ¢¹Ò´eÅ¡ç æ Åo ÁÃoº¨u´Âo´¹¹éa 2. เนื่องจากผลรวมดีกรตี ้องเป็นจาํ นวนคู่ ทาํ ให้จํานวนจุดยอดค่ี ของกราฟเปน็ จํานวนคเู่ สมอ (ส่วนจดุ ยอดคูจ่ ะมีเทา่ ใดก็ได)้ ǧ¡ÅÁ¹µéÕ a´¡aºeʹ eª×oè Á¡è¤Õ çéa ¨u´Âo´¡¨ç aÁÕ เชน่ ในตวั อย่างทแ่ี ลว้ มจี ดุ ยอดคีอ่ ยู่ 2 จดุ ´Õ¡ÃÕe·Ò ¹é¹a ¤Ãaº.. แบบฝกึ หดั 12.1 (1) ใหเ้ ขียนแผนภาพของกราฟ G ขอ้ ละ 1 แบบ เมอ่ื กําหนด V (G) และ E(G) ให้ดังนี้ (1.1) V (G) = {w, x, y, z} และ E(G) = {wx, wy, wz, xy, xz, yz} (1.2) V (G) = {A, B, C, D} และ E(G) = {AB, AC, BC, DD} (1.3) และV (G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E (G) = {v1v3, v2v4, v2v5, v3v6, v4v6, v5v5} (2) จากกราฟ G ที่กาํ หนดให้แต่ละข้อ ใหเ้ ขียน V (G) , E(G), deg A , deg D และตอบว่าจดุ ยอด D กับจดุ ยอดใดที่เปน็ จดุ ยอดประชิด, และ เส้นเชื่อม e3 เกดิ กบั จุดยอดใด (2.1) B (2.3) E e1 e5 D e1 F A e4 D e6 e2 (2.2) B e3 e2 e5 C e5 e3 C C A e1 B e4 A e6 e4 e2 D e3 (3) โดยอาศัยทฤษฎีเกย่ี วกบั จุดยอดคี่ ใหต้ อบว่าแต่ละเหตุการณต์ อ่ ไปนีเ้ ป็นไปได้หรือไม่ (3.1) กราฟ G มีจุดยอดท้ังส้ิน 4 จุด ซงึ่ แต่ละจุดมีดีกรีเท่ากบั 1, 2, 3, และ 3 (3.2) ในจํานวน 5 เมือง มีเมืองทีม่ ถี นนเชื่อมไปยงั เมอื งอื่น 3 สาย อยู่ 1 เมอื ง, 2 สาย อยู่ 2 เมอื ง, และเมืองที่เหลือมถี นนเชอ่ื มไปยังเมอื งอน่ื เพยี งเมอื งละ 1 สาย (3.3) นักเทนนิส 15 คน ทุกคนลงแขง่ กับใครกไ็ ดใ้ นกล่มุ น้ี 3 ครง้ั (4) ใหใ้ ชท้ ฤษฎกี ราฟเบ้ืองตน้ ชว่ ยแกป้ ัญหาต่อไปน้ี (4.1) หากมีขอ้ มลู ว่า ประเทศไทยมีอาณาเขตติดตอ่ กับประเทศพมา่ ลาว กมั พชู า และ มาเลเซยี , ประเทศลาวมีอาณาเขตติดตอ่ กบั กัมพชู า พม่า และเวียดนาม, กมั พชู ามีอาณาเขตตดิ ตอ่ กบั เวียดนาม, มาเลเซียตดิ กับสงิ คโปร์ ... ตอ้ งการระบายสีแผนท่ีของประเทศท่กี ล่าวมานี้ โดยอาณา บรเิ วณแต่ละประเทศท่ีตดิ ตอ่ กันตอ้ งใช้คนละสี จะตอ้ งเตรียมสีอย่างนอ้ ยกส่ี ี [ Hint : ใหจ้ ดุ ยอดแทนประเทศ และให้เสน้ เช่อื มแทนการมอี าณาเขตตดิ ต่อกัน ] (4.2) รา้ นกาแฟแหง่ หนึ่งมีลูกค้าประจาํ 7 คน ซ่ึงจะมานงั่ ด่มื กาแฟในเวลาดังน้ี เกษม และขจร จะมาดมื่ กาแฟดว้ ยกันทุกครัง้ ภายในชว่ งเวลา 8.15 – 8.45 น. คะนึง และงาม จะมานั่งดื่มกาแฟด้วยกัน ภายในชว่ งเวลา 8.30 – 9.00 น. จรูญ มานั่งดื่มกาแฟคนเดียว ภายในชว่ งเวลา 8.20 – 8.40 น. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 272 ทฤษฎีกราฟ ฉลอง มานัง่ ดมื่ กาแฟคนเดยี ว ภายในช่วงเวลา 8.50 – 9.15 น. และชรสั มาน่ังดม่ื กาแฟคนเดียว ภายในชว่ งเวลา 8.00 – 8.25 น. ร้านกาแฟจะตอ้ งจดั ทน่ี ั่งไว้รับรองลูกค้าประจาํ กลุ่มน้ี อยา่ งนอ้ ยทสี่ ดุ กที่ ี่ [ Hint : ใหจ้ ุดยอดแทนตวั ลกู ค้า และใหเ้ สน้ เช่ือมแทนการมีช่วงเวลาทับซ้อนกนั ] (4.3) เพือ่ นสนิทกลุ่มหนง่ึ ซงึ่ มี 5 คน มีการคยุ โทรศพั ทร์ ะหว่างกนั ในรอบสปั ดาห์ทีผ่ ่านมา เป็นจํานวน 2, 3, 3, 4, 4 ครง้ั ตามลาํ ดับ แสดงวา่ มีการโทรศพั ท์เกดิ ข้ึนรวมทัง้ หมดก่ีคร้ัง (4.4) การแข่งขนั เทนนิสมีนักกีฬาเข้าร่วมแข่งขัน 10 คน เป็นการแขง่ แบบพบกนั หมด หาก ใน 1 วนั จัดแข่งได้ 4 คู่ จะตอ้ งใชเ้ วลาทง้ั หมดก่วี ัน 12.2 กราฟออยเลอร์ มีปญั หาทีค่ ลาสสคิ อยู่ข้อหน่ึง กลา่ วถึงสะพานขา้ มแมน่ ํา้ แผน่ ดิน C พรเี กลในเมืองเคอนกิ ส์แบร์ก ประเทศเยอรมนี ... เรียกวา่ เกาะ A เกาะ B ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก (Königsberg Bridge Problem) สะพานเหล่าน้ีเชื่อมเกาะและแผน่ ดินในลกั ษณะดงั รปู ปัญหาถามวา่ เป็นไปไดไ้ หมท่ีเราจะเร่ิมต้นจากจดุ หนึ่ง บนแผ่นดนิ แล้วเดินขา้ มสะพานให้ครบทกุ อนั จนกลับมายงั จดุ เร่ิมตน้ แผน่ ดนิ D โดยไมซ่ ํา้ สะพานเดิมเลย ลกั ษณะของปัญหาเหมือนกับ “การลากเสน้ วาดรูปโดยไมย่ กดินสอ” C นนั่ เอง ซึ่งการจะตอบปญั หาลักษณะน้ไี ด้ ต้องเข้าใจเก่ยี วกับกราฟออยเลอร์ e1 e2 e7 e4 e5 e6 กอ่ น ถ้าเราแปลงปญั หาน้ีเป็นกราฟ โดยให้แผ่นดนิ และเกาะเปน็ จดุ ยอด A B และใหส้ ะพานเปน็ เสน้ เชอื่ ม จะได้แผนภาพของกราฟดงั นี้ D เราสามารถเดนิ ทางจากจุด C ไปยังจดุ D ได้หลายทาง e3 เชน่ C → B → D เขียนเปน็ ลําดับไดว้ ่า C, e7, B, e6, D หรอื C → A → D เขียนเป็นลาํ ดบั ไดว้ ่า C, e1, A, e3, D หรือ C, e1, A, e4, D หรอื อ่ืนๆ หรือ C → B → A → D เขียนเป็นลาํ ดับได้วา่ C, e7, B, e5, A, e3, D หรืออ่นื ๆ เรียกลาํ ดบั (ท่ีประกอบดว้ ยจุดสลับกบั เส้น) เหล่านี้ว่า แนวเดนิ (Walk) ทกี่ ลา่ วมาทั้งหมดก็คือตวั อย่างของ “แนวเดิน C–D” หมายเหตุ หากกราฟไม่มีเส้นเชอ่ื มขนานและไมม่ ีวงวน สามารถเขยี นลําดบั ของแนวเดนิ โดยใช้เฉพาะจุด ไม่ตอ้ ง บอกเส้นเชอื่ มก็ได้ เช่น C, B, D หรอื C, A, D หรอื C, B, A, D ฯลฯ ... แตใ่ นตวั อย่างนี้ทาํ ไมไ่ ด้ เพราะมีเสน้ เชอื่ มขนาน (คําวา่ C, A, D จะเปน็ ไปไดห้ ลายทาง ไม่ชัดเจน) กราฟนเี้ ปน็ กราฟเช่อื มโยง (Connected Graph) เน่ืองจากทกุ ๆ จุดยอดมีแนวเดนิ ถึงกนั แนวเดินซ่งึ เริ่มและจบทีจ่ ุดเดยี วกัน โดยไม่ใช้เสน้ เชื่อมซ้าํ กันเลย เรยี กว่า วงจร (Circuit) ถา้ วงจรนั้นผ่านจุดยอดและเสน้ เช่อื มท้งั หมดท่ีมใี นกราฟ เรียกว่า วงจรออยเลอร์ (Euler Circuit) กราฟใดท่ีสามารถหาวงจรออยเลอรไ์ ด้ จะถูกเรียกวา่ เปน็ กราฟออยเลอร์ (Eulerian Graph) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 273 ทฤษฎีกราฟ ปัญหาสะพานเคอนิกสแ์ บร์ก ถกู แกโ้ ดยนักคณติ ศาสตรช์ ่อื เลออนารด์ ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1736 ... เม่ือได้แผนภาพแลว้ การแก้ปญั หาก็เพียงพิจารณาว่าแผนภาพท่ีได้นั้น “เป็นกราฟออยเลอร์ หรือไม่” และเหตผุ ลทีเ่ ขาอธิบายคอื “กราฟออยเลอร์จะตอ้ งเปน็ กราฟเชือ่ มโยง และจดุ ยอดทกุ จุดต้องเป็นจดุ ยอดคู่” (เพราะไม่วา่ จดุ ใด จะต้องมีเส้นทางให้เดนิ เข้าเป็นจํานวนเท่ากบั เส้นทางใหเ้ ดนิ ออก) ... ดงั นน้ั คําตอบของปัญหาสะพานเคอนิกส์แบรก์ คอื “เป็นไปไมไ่ ด้” เพราะเปน็ จุดยอดคีท่ ั้ง 4 จุด หมายเหตุ ปจั จุบันเมอื งเคอนกิ สแ์ บรก์ เปลี่ยนชือ่ เป็น Kaliningrad และกลายเปน็ สว่ นหนง่ึ ของรสั เซยี แบบฝกึ หัด 12.2 (5) มีแนวเดนิ จากจดุ A ไปยงั จุด D ซ่ึงไมซ่ าํ้ เสน้ ทางเดมิ E C ทง้ั หมดกแี่ บบ ได้แกอ่ ะไรบ้าง D C BA B (6) สาํ หรบั ระบบเครือขา่ ยคอมพิวเตอร์ซ่งึ ประกอบ DA ด้วยคอมพิวเตอร์ 6 เครื่อง เช่ือมต่อเพอ่ื รบั ส่งข้อมูล ระหวา่ งกนั ตามรปู คอมพวิ เตอร์เคร่อื งใดควรเฝ้าระวงั F ไม่ให้เสยี หายมากท่ีสดุ ให้อธบิ ายเหตุผลโดยอ้าง E ทฤษฎกี ราฟ (7) กราฟต่อไปนี้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่, ถา้ เปน็ ใหเ้ ขียนลําดับแสดงวงจรออยเลอร์ด้วย (7.1) E (7.2) E (7.3) E FF C C C A BA BA B (7.4) B (7.5) B (7.6) B A C A CA C D D D F (7.7) A (7.9) A (7.8) A FB B FB C E C EC D D DE Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 274 ทฤษฎีกราฟ (8) จากกราฟตา่ งๆ ในข้อ (7) ใหพ้ จิ ารณาว่า กราฟในขอ้ ใดสามารถลากเส้นจนครบทงั้ รปู โดยไม่ทับ เส้นทางเดมิ และเส้นท่ีลากน้นั ไมข่ าดตอน ... เมื่อกําหนดเง่ือนไขวา่ (8.1) จดุ เร่ิมต้นและจุดส้ินสุด ตอ้ งเปน็ จดุ เดียวกนั (8.2) จดุ เร่ิมต้นและจุดสนิ้ สุด ต้องเป็นคนละจดุ กนั [ Hint : มีจุดยอดค่ไี ด้ 2 จุด … ใหจ้ ุดหนึง่ เป็นจดุ เริม่ ต้น อกี จุดเปน็ จุดส้ินสุด ] (9) บ้านหลงั หนงึ่ มแี บบแปลนช้ันลา่ ง ดงั รปู A B C เปน็ ไปได้หรือไมท่ จ่ี ะออกเดินจากจดุ ๆ หน่งึ D E F ให้ผ่านครบทกุ ประตู ประตูละคร้งั เดยี ว (9.1) แล้วกลบั มาที่จดุ เร่ิมต้นพอดี G H (9.2) ไม่ต้องกลบั มายงั จดุ เรมิ่ ต้นกไ็ ด้ [ Hint : ให้จุดยอดแทนห้องและนอกตวั บา้ น (9 จดุ ) และให้เสน้ เชอ่ื มแทนประตู (15 เสน้ ) ] (10) ตอบคาํ ถามต่อไปนี้ (10.1) หากปญั หาสะพานเคอนิกส์แบรก์ ยกเว้นเงือ่ นไขที่วา่ จะต้องกลับมาสิ้นสดุ ท่จี ดุ เร่ิมตน้ แล้วคาํ ตอบของปญั หานีจ้ ะกลายเป็น “เป็นไปได้” หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด (10.2) ถา้ ขอ้ ท่แี ลว้ ตอบวา่ “ไม่” ... ให้พจิ ารณาวา่ เราสามารถสร้างสะพาน 1 อัน เพ่มิ เตมิ ระหว่างจุดใด เพอ่ื ให้คําตอบกลายเปน็ “เปน็ ไปได”้ 12.3 วถิ ที ส่ี ั้นทีส่ ุด และตน้ ไมแ้ ผ่ท่ัวทน่ี อ้ ยท่สี ดุ เรานาํ ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้ ไปประยุกต์ใชแ้ กป้ ญั หาบางอยา่ งได้ ดังทีเ่ อ่ยถงึ แล้วเชน่ การหา เสน้ ทางมุง่ ไปยังจุดหมายใหส้ น้ั ทสี่ ดุ และการเลอื กวางเสน้ ทางให้เช่ือมทกุ จดุ โดยประหยดั ท่สี ุด ซง่ึ มี รายละเอียดคร่าวๆ ดงั น้ี.. (วธิ ีข้นั สูงจะยังไมศ่ กึ ษาในระดับ ม.ปลาย) B C 3 รูปนเี้ ป็นตวั อยา่ งของ กราฟถว่ งน้ําหนกั 2 (Weighted Graph) ... คอื กราฟท่เี ส้นเชื่อมทุกเส้นมี 1 22 F จาํ นวนจรงิ บวกเขียนกาํ กับไว้ เรยี กจํานวนน้ีว่า คา่ 5E นา้ํ หนกั (Weight) ซ่ึงอาจใชแ้ ทนระยะทางระหวา่ งจุด, A 4 ระยะเวลาทีใ่ ช้เดินทางระหว่างจดุ , คา่ ใชจ้ ่ายในการ 3 สรา้ งเส้นทาง, หรืออ่นื ๆ เพอื่ บง่ บอกให้ทราบความ D6 แตกตา่ งระหวา่ งแต่ละเสน้ 1. การหา วถิ ที สี่ ้ันทสี่ ดุ (Shortest Path) วถิ ี (Path) คอื แนวเดินซ่งึ ไมซ่ ํ้าจดุ ยอดเดิม ... วถิ ที ี่สน้ั ท่ีสดุ คือวิถที ่ีผลรวมค่าน้ําหนักน้อยที่สุด เช่นในรูปตัวอย่าง วิถี A–F ทีส่ นั้ ท่ีสดุ คือ A, B, C, F ซงึ่ มคี า่ นา้ํ หนกั รวม 1 + 2 + 3 = 6 วถิ ี D–E ท่ีสนั้ ทสี่ ุด คอื D, C, E ซ่งึ มคี า่ น้ําหนกั รวม 5 + 2 = 7 วิถี B–D ทสี่ น้ั ท่สี ดุ คือ B, A, D หรือ B, D ก็ได้ เพราะมคี ่านาํ้ หนกั รวมเป็น 4 เหมอื นกนั 2. การหา ตน้ ไม้แผ่ทัว่ ที่น้อยทสี่ ดุ (Minimal Spanning Tree) ตน้ ไม้ (Tree) คอื กราฟเชอื่ มโยง ซ่งึ ไม่มรี ปู ปิด ... (รปู ปิด เรียกว่า วฏั จักร (Cycle)) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 275 ทฤษฎีกราฟ ตน้ ไมแ้ ผท่ ัว่ (Spanning Tree) คือต้นไม้ท่ใี ชจ้ ดุ ยอดครบทุกจดุ ... ในตัวอยา่ งทกี่ ําหนดให้ จะสรา้ งต้นไม้แผท่ ่วั ไดม้ ากมาย เช่น B C3 BC 12 2 A F A4 2 6 F E H1 H2 3 3 5E D D F H4 BC F B C 12 H3 12 2 A 22 A4 E 3E D 6 D นอกจากน้ยี งั มแี บบอ่ืนๆ อกี ... แต่ “ต้นไมแ้ ผ่ทั่วทีน่ อ้ ยท่สี ุด” (คือมีคา่ นาํ้ หนักรวมนอ้ ยทส่ี ุด) ได้แก่ แบบ H3 ซ่ึงมคี า่ นํ้าหนกั รวมเทา่ กบั 10 วธิ ีหาตน้ ไม้แผ่ทั่วทีน่ อ้ ยทสี่ ุดคอื เลือกเส้นเชอ่ื มทีละเส้นๆ เรยี งจากเส้นทค่ี ่านา้ํ หนกั นอ้ ยไป มาก โดยไมเ่ ลือกเสน้ ที่ทําใหเ้ กิดรปู ปิด ขอ้ สังเกต ตน้ ไม้แผท่ ่วั ของกราฟทม่ี ีจดุ ยอด n จุด จะมีเส้นเช่ือม n – 1 เส้นเสมอ แบบฝกึ หัด 12.3 (11) ให้หาวถิ ี X–Y ทส่ี ้นั ทีส่ ดุ ของกราฟถว่ งนํ้าหนักต่อไปน้ี (11.1) C3 Y (11.2) D 3 B4 Y 8 X 2 4 11 X 52 23 (11.4) 1 12 C (11.3) A 4B 2 7 X1 C A C B 12 D1 A 6 33 4 D A 2 2 12 G 2 B7 5 E F 1 4 3 X 8Y Y Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 276 ทฤษฎีกราฟ จังหวดั A B C D E (12) กําหนดระยะเวลาเดนิ ทางดว้ ยรถโดยสาร A - 45 - 70 - ระหวา่ งจงั หวดั ต่างๆ (หน่วยเป็นนาที) เป็นดงั ตาราง B 45 - 40 55 - ใหห้ าเส้นทางทีเ่ รว็ ทส่ี ุดในการเดินทางดว้ ยรถโดยสาร C - 40 - 30 60 จากจังหวัด A ไปยงั E D 70 55 30 - 70 E - - 60 70 - (13) ใหห้ าต้นไมแ้ ผ่ทว่ั ท่ีนอ้ ยท่ีสุด ของกราฟถ่วง น้าํ หนกั ในขอ้ (11) (14) ใหห้ าเสน้ ทางการวางสายโทรศัพทไ์ ปตามถนนเพ่อื ให้เชอื่ มต่อกันได้ครบทกุ หมู่บ้าน โดยเสยี คา่ ใช้จา่ ยในการวางสายน้อยทส่ี ุด (ค่าใชจ้ า่ ยแปรผนั ตามระยะทาง) กาํ หนดให้ถนนระหว่างหมู่บ้านมี ระยะทางเป็นดังนี้ ... AB = 30 , AF = 40 , BC = 10 , BE = 50 , BF = 20 , CD = 20 , CE = 30 , DE = 10 , DF = 30 , และ EF = 60 (หนว่ ยเป็นกิโลเมตร) เฉลยแบบฝึกหัด (คาํ ตอบ) (1) ดใู นเฉลยวธิ คี ิด (4.1) 3 สี (4.2) 5 ที่ (9.1) เปน็ ไปไมไ่ ดเ้ พราะ (2.1) V (G) = {A, B, C, D} , (4.3) 8 ครั้ง (4.4) 12 วนั ไม่ใชก่ ราฟออยเลอร์ E(G) = {AB, AC, BC, BD, CD} , (5) 5 แบบ ได้แก่ A, C, D ... (9.2) เปน็ ไปได้เพราะมี A, B, C, D … A, B, E, C, D … จดุ ยอดคี่สองจดุ deg A = 2 , deg D = 2 , A, C, B, E, C, D … และ (10.1) ยงั คงเป็นไปไม่ได้ เพราะมจี ดุ ยอดคมี่ ากกวา่ 2 จุดยอดประชดิ กบั D คอื B กับ C, A, C, E, B, C, D จดุ (มถี งึ 4 จดุ ) เส้นเชอ่ื ม e3 เกดิ กบั จุด A และ C (6) เครอ่ื ง B เพราะถ้าขาดไป (2.2) V (G) = {A, B, C, D} , กราฟจะไม่เชอื่ มโยงถึงกัน (แตกเปน็ (10.2) ระหวา่ งจดุ ใดก็ได้ ,E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} สองกลมุ่ คอื A, F กบั C, D, E) เพราะจะทําให้เหลือจดุ ยอดคี่ (7) ขอ้ ท่ีเป็นไดแ้ ก่ (7.1), (7.4), เพยี ง 2 จุด deg A = 2 , deg D = 4 , (11.1) X, B, C, Y (7.7), (7.9) โดยมีวงจรออยเลอร์ (11.2) X, D, B, C, Y จดุ ยอดประชิดกบั D คอื A, B, C, ดังนี้ (วงจรออยเลอรใ์ นแตล่ ะขอ้ เส้นเชอื่ ม e3 เกดิ กบั จดุ C และ D สามารถเขียนไดห้ ลายแบบ) (11.3) X, B, A, Y (2.3) V (G) = {A, B, C, D, E, F} , (7.1) A, B, C, E, A (11.4) X, Y E(G) = {AA, AB, AE, BC, CE, EF} , (7.4) C, D, C, B, D, A, C หรอื X, E, F, G, Y (12) A, D, E deg A = 4 , deg D = 0 , (7.7) B, C, F, E, D, F, B, D, A, B จดุ ยอดประชิดกบั D ไม่ม,ี (7.9) A, C, E, A, B, C, D, E, F, A (13) ดใู นเฉลยวธิ ีคดิ เส้นเชอื่ ม e3 เกดิ กบั จดุ A (8.1) คาํ ตอบเหมือนในขอ้ (7) (14) วางสายโทรศัพทไ์ ปตาม (8.2) กราฟทที่ าํ ได้คือ (7.2), (7.5), ถนน AB, BC, BF, CD, DE (3) เป็นไปไมไ่ ดเ้ ลยสกั ขอ้ และ (7.8) เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) x (1.2) B (1.3) v1 v3 v6 w A z y C v5 v2 v4 D กราฟในขอ้ นีเ้ ปน็ เพยี งตัวอยา่ ง 1 แบบ คาํ ตอบทถ่ี ูกสามารถเขยี นตา่ งจากน้ไี ดม้ ากมาย Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 277 ทฤษฎีกราฟ (2.1) V (G) = {A, B, C, D} , (4.2) ให้จดุ ยอดแทนตวั ลกู คา้ และให้เสน้ เชอื่ มแทน ,E (G) = {AB, AC, BC, BD, CD} การมีช่วงเวลาทบั ซ้อนกนั ขอ้ นีพ้ เิ ศษตรงท่มี ีลกู คา้ บาง คนมาพรอ้ มกนั เสมอ คือ ก+ข และ ค+ง จึงเขยี นให้ deg A = 2 , deg D = 2 , สองคนเปน็ จุดเดยี วกัน เพอ่ื ใหค้ ิดงา่ ยขน้ึ จดุ ยอดประชดิ กบั D คอื B กับ C , ก+ข เสน้ เชอื่ ม e3 เกดิ กบั จุด A และ C (2.2) V (G) = {A, B, C, D} , ค+ง ฉ ,E (G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} ช deg A = 2 , deg D = 4 , จ จุดยอดประชิดกบั D คือ A, B, C , ให้ ก+ข นัง่ ทท่ี ่ี 1 กับ 2 ..และ ค+ง นั่งท่ที ่ี 3 กบั 4 เส้นเชอื่ ม e3 เกดิ กบั จุด C และ D จากน้ันหาคนทไ่ี มช่ นเวลากบั ก+ข จะใหน้ ง่ั ทที่ ่ี 1 (2.3) V (G) = {A, B, C, D, E, F} , ด้วย คอื ฉ ... สว่ นคนท่ีไม่ชนกับ ค+ง จะให้น่ังทท่ี ่ี 3 ด้วย คอื ช ... เหลอื จ ซงึ่ ยังไมม่ ีท่นี ัง่ ก็ใหน้ ั่งทใ่ี หม่ E (G) = {AA, AB, AE, BC, CE, EF} , คอื ท่ที ี่ 5 สรุปแล้วตอ้ งเตรียมไวอ้ ย่างนอ้ ย 5 ท่ี deg A = 4 , deg D = 0 , จดุ ยอดประชดิ กบั D ไมม่ ,ี (4.3) จดุ ยอด 5 จดุ แต่ละจดุ มดี ีกรี 2, 3, 3, 4, 4 เสน้ เชอ่ื ม e3 เกดิ กบั จดุ A ซง่ึ รวมดีกรีได้เปน็ 16 ดงั นนั้ จาํ นวนเสน้ เชอ่ื มคอื (3) เปน็ ไปไม่ไดเ้ ลยสกั ขอ้ เพราะแตล่ ะขอ้ เปน็ กราฟ 16/2 = 8 เสน้ ที่มจี ดุ ยอดค่ีเปน็ จาํ นวนคีจ่ ดุ ดงั นี้ (4.4) จุดยอด 10 จดุ ทกุ จดุ มีดกี รี 9 เหมอื นกนั (3.1) จดุ ยอดทม่ี ีดกี รี 1,3,3 เปน็ จุดยอดคสี่ ามจดุ รวมดกี รไี ดเ้ ปน็ 90 ดงั นนั้ จาํ นวนครัง้ ทแ่ี ข่งคอื 90/2 เปน็ ไปไม่ได้ (ถา้ ลองวาดจะพบวา่ ไมส่ ามารถวาดได)้ = 45 คร้ัง (หรอื 45 ค)ู่ แสดงว่าตอ้ งใช้เวลา 12 วัน (3.2) เป็นกราฟท่ีมีจดุ ยอด 5 จดุ ดกี รเี ทา่ กบั 3, 2, (คิดจาก 45 หารดว้ ย 4 แลว้ ปดั เศษขน้ึ เพราะวนั สุดทา้ ยแมแ้ ข่งไมค่ รบ 4 คู่ กต็ อ้ งนับเป็นวนั แขง่ 2, 1, 1 ซึ่งกเ็ ป็นจุดยอดคีส่ ามจดุ เปน็ ไปไมไ่ ด้ (3.3) มจี ดุ ยอด 15 จดุ แตล่ ะจดุ มีดีกรเี ทา่ กบั 3 เชน่ กนั ) (5) 5 แบบ ไดแ้ ก่ เป็นไปไมไ่ ด้ (4.1) นาํ ขอ้ มูลที่มีมาเขยี นเป็นกราฟกอ่ น โดยใหจ้ ดุ A, C, D A, B, C, D ยอดแทนประเทศ และถ้าประเทศใดมีอาณาเขต A, B, E, C, D A, C, B, E, C, D ตดิ กนั กจ็ ะลากเสน้ เชอ่ื มถงึ กนั จะได้ลักษณะดังน้ี (ไมจ่ าํ เป็นต้องไดร้ ปู เหมอื นเป๊ะนะครับ) และ A, C, E, B, C, D ลาว (6) เครอ่ื ง B ควรระวังมากทสี่ ดุ เพราะถา้ เครอื่ ง ใดๆ ทไี่ ม่ใช่ B เสยี ไป เครอื่ งอนื่ ๆ ยงั ส่งขอ้ มลู ถงึ กนั ได้อยู่ (ส่งผา่ นหลายทอดก็ได)้ แตถ่ า้ เคร่อื ง B เสยี กราฟจะไมเ่ ชอื่ มโยงถงึ กัน ..จะแตกเปน็ สองกลมุ่ คือ พมา่ ไทย กัมพชู า เวยี ดนาม A, F กบั C, D, E ซง่ึ สง่ ขอ้ มลู ไปหาอกี กลมุ่ ไม่ไดแ้ ล้ว (7) กราฟออยเลอรจ์ ะตอ้ งเป็นกราฟเชอ่ื มโยง (ทกุ มาเลเซยี จดุ เดนิ ทางไปหากนั ได)้ และจุดยอดทกุ จดุ เปน็ จดุ ยอด สงิ คโปร์ คูเ่ ทา่ นนั้ .. ซ่งึ ขอ้ ที่เป็นกราฟออยเลอรไ์ ด้แก่ (7.1), (7.4), (7.7), และ (7.9) โดยมวี งจรออยเลอร์ ไทยและลาวมเี สน้ เช่ือมมากทส่ี ดุ คือ 4 เสน้ จงึ ให้ ดงั นี้ (วงจรออยเลอรใ์ นแตล่ ะขอ้ สามารถเขียนได้ ไทยเปน็ สที ่ี 1 และลาวเปน็ สที ่ี 2 (ใชค้ นละสเี พราะ หลายแบบ) อยตู่ ดิ กนั ) จากนนั้ หาประเทศทไี่ มต่ ดิ กบั ไทย คอื (7.1) A, B, C, E, A สิงคโปร์และเวยี ดนาม จะใหใ้ ชส้ ที ี่ 1 ไดด้ ว้ ย.. สว่ น (7.4) C, D, C, B, D, A, C ประเทศท่ไี ม่ตดิ กบั ลาว คือมาเลเซยี จะใหใ้ ช้สที ่ี 2 (7.7) B, C, F, E, D, F, B, D, A, B ด้วย.. ตอนน้ีเหลอื พมา่ และกัมพูชาทย่ี งั ไมม่ ีสี กใ็ หใ้ ช้ (7.9) A, C, E, A, B, C, D, E, F, A สีท่ี 3 (ใช้สีเดียวกนั ได้เพราะไมต่ ดิ กนั ) ดังนน้ั จะใช้ (8.1) คําตอบเหมอื นในขอ้ (7) เพราะถา้ เราสามารถ ลากเสน้ จนครบทง้ั รูปโดยไมท่ ับเสน้ ทางเดมิ ไม่ขาด สนี อ้ ยทส่ี ดุ 3 สี ตอน และจบทจ่ี ดุ เริม่ ได้ แสดงวา่ กราฟนนั้ ตอ้ งเปน็ กราฟออยเลอรน์ นั่ เอง Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 278 ทฤษฎีกราฟ (8.2) ถ้าเราสามารถลากเสน้ จนครบทงั้ รปู โดยไมท่ บั (13) วิธหี าตน้ ไมแ้ ผ่ทั่วท่ีนอ้ ยทส่ี ดุ คือ เลอื กเสน้ ทม่ี ี เสน้ ทางเดมิ ไม่ขาดตอน และจบคนละจดุ กบั จุดเรมิ่ นํา้ หนกั นอ้ ยทสี่ ุด เรียงไปมาก จนกว่าจะครบ n-1 แสดงว่าต้องเปน็ กราฟเชื่อมโยง ซ่งึ มจี ดุ ยอดค่ี 2 จุด เส้น (เม่ือ n คือจํานวนจุด) หากเสน้ ใดลากแลว้ ทาํ ให้ เทา่ นน้ั (ใช้จุดหนึ่งเปน็ จดุ เริม่ ตน้ อกี จุดเป็น เกิดรปู ปดิ ก็จะขา้ มเสน้ นน้ั ไปไมต่ อ้ งเลอื ก จดุ สิน้ สดุ ) กราฟทท่ี าํ ไดค้ อื (7.2), (7.5), (13.1) มี 5 จุด จงึ ตอ้ งเลอื ก 4 เสน้ .. และ (7.8) - เลอื กนาํ้ หนักนอ้ ยทสี่ ดุ 2 คอื XA และ CB (9) เขียนกราฟโดยใหจ้ ดุ ยอดแทนหอ้ ง (A ถึง H) - เลอื กนา้ํ หนัก 3 ..พบวา่ XA โคง้ ๆ เลอื กไม่ได้ โดยมจี ดุ ยอดแทนบรเิ วณนอกตวั บ้านด้วย (จดุ O) (เน่อื งจากเลอื กแล้วเกดิ รปู ปดิ ) จงึ เลอื กเฉพาะ CY และใหเ้ ส้นเชอื่ มแทนประตู เพอื่ แปลงปญั หาให้เปน็ - เลือกนา้ํ หนัก 4 คอื AB ... ไดถ้ ึง 4 เสน้ แลว้ กห็ ยดุ กราฟซึง่ ตอ้ งการเดินผา่ นครบทกุ เส้น (ทกุ ประต)ู X C3 Y โดยไม่ซ้ําเส้นเดมิ (ประตเู ดมิ ) 2 O 4B A BC 2 A DE F (13.2) ได้คาํ ตอบดงั รปู (เลือก XA แทน XD กไ็ ด)้ DB 23 11 Y GH X1 มีจดุ ยอดคอ่ี ยู่ 2 จดุ คอื O กบั D ดังนนั้ ข้อ (9.1) C A ทาํ ไม่ได้ เพราะไม่ได้มีจุดยอดคทู่ กุ จุด (กราฟออย X1 C เลอร)์ แตข่ อ้ (9.2) ทาํ ได้ โดยใหเ้ ริ่มตน้ และสน้ิ สดุ ท่ี จุด O กับ D (13.3) (10.1) ยังคงเปน็ ไปไมไ่ ด้ เพราะมีจุดยอดคมี่ ากกวา่ A 2 3 D 2 จดุ (มถี ึง 4 จดุ ) 3 (10.2) ระหวา่ งจดุ ใดกับจุดใดก็ได้ เพราะจะทําให้ B กลายเปน็ จุดยอดคู่ไป 2 จุด และเหลอื จดุ ยอดคเ่ี พยี ง 4 2 จดุ .. จะเหมอื นขอ้ (8.2) และ (9.2) Y (11) วิธกี ารคดิ ในระดับชั้นนี้ยงั ไม่ได้อธบิ ายไว้ ให้ C ทดลองบวกคา่ นา้ํ หนกั ของแตล่ ะเสน้ ทาง เพอ่ื เลอื ก (13.4) B 1 D1 เส้นทางทนี่ ํา้ หนกั รวมนอ้ ยทสี่ ุดเอง.. A1 12 G (11.1) X, B, C, Y E2 F 1 (11.2) X, D, B, C, Y 3 (11.3) X, B, A, Y (11.4) X, Y XY หรอื X, E, F, G, Y (12) แปลงตารางใหเ้ ป็นกราฟ ได้ดงั น้ี (14) เขยี นแผนภาพกราฟ (พยายามวางจดุ แบบ B ไม่ใหม้ ีเส้นลากไขว้ทบั กนั เพอื่ ไมใ่ หง้ ง) แลว้ หาตน้ ไม้ 45 40 แผท่ วั่ ทีน่ อ้ ยทส่ี ดุ ไดด้ งั เสน้ หนาในรปู จงึ ตอบวา่ ตอ้ ง วางสายโทรศัพทไ์ ปตามถนน AB, BC, BF, CD, DE 55 C 60 E 30 A 70 70 B 10 C D 30 50 30 20 20 E แล้วหาวถิ ี A-E ทส่ี น้ั ทสี่ ดุ ได้คาํ ตอบเปน็ A,D,E (นํา้ หนักรวมเปน็ 140 นาที) A 40 60 10 F 30 D Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 279 ลําดับและอนกุ รม s+e+r+i+e+s º··Õè 13 ÅíÒ´aºæÅao¹¡u ÃÁ ลาํ ดับ (Sequence) คือฟังก์ชนั ทม่ี ีโดเมนเปน็ เซตจาํ นวนนบั 1,2,3, ... เชน่ สมมตเิ รามฟี งั กช์ ัน f(n)=n2+1 เมอื่ n=1,2,3,... เราจะได้ f(1)=2, f(2)=5, f(3)=10, f(4)=17, ... คา่ ฟังก์ชันเหลา่ นีท้ ่เี ขยี นต่อกนั เป็น 2, 5, 10, 17, ... จะเรยี กวา่ ลาํ ดบั นิยมเขยี นฟังก์ชนั ดว้ ย an คอื ใช้ a1, a2, a3, ..., an แทน f (1), f (2), f (3), ..., f (n) เพ่ือให้ ทราบวา่ เปน็ ลาํ ดับ (โดเมนเป็นจาํ นวนนับเท่านน้ั ) เรียก a1 ว่า “พจน์ (term) ท่ี 1” ของลาํ ดับ, เรียก a2 ว่าพจนท์ ่ี 2 ของลาํ ดบั , ไปเร่อื ยๆ จนถึงพจนท์ ่ี n ใดๆ เขียนแทนด้วย an จะเรียกว่า พจน์ ทั่วไป (general term) ของลําดบั เช่น ลาํ ดบั 2, 5, 10, 17, ... มีพจน์ทวั่ ไปเป็น an = n2+1 หรอื อ่ืนๆ 1, 2, 3, 4, ... มีพจน์ทั่วไปเปน็ an = n หรืออน่ื ๆ 3, 6, 9, 12, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น an = 3 n หรืออื่นๆ 1, 3, 5, 7, ... มีพจน์ท่ัวไปเปน็ an = 2 n − 1 หรอื อืน่ ๆ 1, 4, 9, 16, ... มีพจน์ทวั่ ไปเปน็ an = n2 หรอื อื่นๆ 1, 3 , 5 , 7 , ... มีพจนท์ ่ัวไปเป็น an = 2 n−1 หรอื อน่ื ๆ 4 9 16 n2 −1, 1, −1, 1, ... มพี จน์ทวั่ ไปเปน็ an = (−1)n หรืออื่นๆ 1, −2, 3, −4, ... มพี จน์ท่วั ไปเป็น an = (−1)n−1n หรอื อืน่ ๆ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 280 ลําดับและอนกุ รม 3, 17, 47, 99, 179, ... มีพจนท์ ว่ั ไปเปน็ an = n(n+1)2−1 หรืออ่ืนๆ คําวา่ “หรอื อ่นื ๆ” ในทนี่ ้ีเนอ่ื งจากลําดบั หน่งึ ๆ ท่ใี หม้ า จะหาพจน์ทวั่ ไปไดม้ ากกว่า 1 แบบ เสมอ เช่น ลาํ ดับ 2, 4, 8, ... อาจมีพจน์ท่ัวไปเป็น an = 2n ซง่ึ ทําให้ a4 = 16 หรอื มีพจนท์ ว่ั ไปเปน็ an = (n+1)(n2−n+6)/6 ซ่ึงทําให้ a4 = 15 ลําดบั 1, 2, 3, 4, ... อาจมีพจนท์ ่ัวไปเปน็ an = n ซงึ่ ทําให้พจน์ที่ 5 มคี ่าเทา่ กบั 5 หรือ an = (n−1)(n−2)(n−3)(n−4) + n = n4−10n3+35n2−49n+24 ก็ได้ ซงึ่ ทําให้ a5 = 29 (กลายเป็นลําดับทต่ี ่างกัน) ลาํ ดับทม่ี จี าํ นวนพจน์ท่แี นน่ อน เช่น 8 พจน์, 15 พจน,์ หรอื n พจน์ก็ได้ จะเรยี กว่า ลาํ ดับ จาํ กัด (finite sequence) สว่ นลําดับทมี่ ีจํานวนพจน์มากจนนบั ไมไ่ ด้ จะเรยี กวา่ ลําดบั อนันต์ (infinite sequence) 13.1 ลาํ ดบั เลขคณิตและเรขาคณิต ลาํ ดบั ทเ่ี ราพบบ่อย มสี องประเภท คือ ลาํ ดับเลขคณติ (Arithmetic Sequence) และ ลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) 1. ลําดบั เลขคณิต คือลําดับท่ี “ผลตา่ งของพจนต์ ิดกันเปน็ คา่ คงตัว” เรยี กค่านว้ี ่า ผลต่าง รว่ ม (Common Difference) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ d น่ันคือ an+ 1 − an = d เสมอ พจนท์ ัว่ ไปของลาํ ดับเลขคณติ เป็น an = a1 + (n−1)d 2. ลาํ ดบั เรขาคณติ คือลําดบั ที่ “ผลหารของพจนต์ ดิ กนั เป็นคา่ คงตวั ” เรยี กค่าน้วี า่ อตั ราส่วนรว่ ม (Common Ratio) ใชส้ ัญลักษณ์ r นั่นคือ an+ 1 ÷ an = r เสมอ พจน์ทวั่ ไปของลาํ ดบั เรขาคณิต เปน็ an = a1 ⋅ r(n−1) ขอ้ สังเกต ลําดบั เลขคณติ จะมีพจน์ทว่ั ไปเป็นแบบ สมการเสน้ ตรง ที่มีความชนั = d ส่วนลําดบั เรขาคณติ จะมพี จนท์ ่ัวไปเปน็ แบบ สมการเอ็กซโ์ พเนนเชยี ล ท่มี ฐี าน = r นอกจากลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณิตแล้ว ยงั มลี ําดับอีกหลายประเภท เชน่ ลาํ ดับสลบั (Alternating Sequence) มเี คร่ืองหมายบวกลบสลบั กนั ไปในแต่ละพจน์ ลําดบั ฮารโ์ มนกิ (Harmonic Sequence) สว่ นกลับของแต่ละพจน์ เป็นลําดบั เลขคณิต ลําดบั ฟีโบนักชี (Fibonacci Sequence) พจน์ทีส่ ามขนึ้ ไปหาได้จากผลบวกของ 2 พจนก์ อ่ นหน้า ลําดบั โคชี (Cauchy Sequence) ผลตา่ งของพจนต์ ิดกนั มีคา่ เข้าใกลห้ รือเป็น 0 เม่ือ n ย่ิงเพ่มิ ขนึ้ แบบฝึกหดั 13.1 (1) ให้หา 4 พจน์แรก ของลําดบั ต่อไปนี้ (1.3) an = ⎛ 1 ⎞n (1.1) an = 2n ⎝⎜ 2 ⎠⎟ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 281 ลาํ ดับและอนกุ รม (1.2) an = 4 n−2 (1.4) an = (−1)n n (n+1)2 (2) ให้หาพจน์ทัว่ ไปของลําดับตอ่ ไปนี้ ขอ้ ละ 1 แบบ S ¨´u ·è¼Õ ´i ºoÂ! S (2.1) 1, 1 , 1 , 1 , ... o¨·Âã ¹º·¹é¤Õ ÇÃoÒ ¹o¨·ÂãËÃoº¤oºÇÒ 248 e»¹ eÅ¢¤³iµ ËÃ×o eâҤ³µi Á©i a¹¹aé oÒ¨ãªÊٵü´i æÅa¤Òí µoº¼´i ä»ä´. . (2.2) 1, 1 , 1 , 1 , ... 4 9 16 (2.3) 1, 5, 13, 29, ... (2.4) 3, 0.3, 0.03, 0.003, ... (2.5) 2, 6, 12, 20, ... (3) ใหบ้ อกวา่ ลําดบั ต่อไปนเ้ี ปน็ ลําดบั เลขคณิตหรอื เรขาคณติ และหาพจนท์ ่ัวไปของลําดับด้วย (3.1) 15, 12, 9, 6, ... (3.5) 10, −5, 5 , ... (3.2) 2, 4, 8, 16, ... 2 (3.6) 4, 8, 12, ... (3.3) x, x+2, x+4, ... (3.7) 3, 3, 3, ... (3.4) log 2, log 4, log 8, log 16, ... (4) ใหห้ าพจน์ท่ี 4, 5, 6 และ 20 ของลําดบั เลขคณิตต่อไปน้ี 3, 3.5, 4, ... (5) ใหห้ าพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 20 ของลําดับเรขาคณิตตอ่ ไปนี้ 1 , 1 , 1, ... 42 (6) พจนท์ ว่ั ไปของลําดบั เลขคณติ ที่มีพจนท์ ่ี 4 เปน็ 20 และพจนท์ ่ี 16 เป็น 56 คอื อะไร (7) ลาํ ดับเลขคณิตมีผลบวกพจนท์ ่ี 2 กบั พจนท์ ่ี 13 เป็น 0 และผลบวกพจน์ที่ 4 กับพจนท์ ่ี 8 เป็น 12 จงหาส่พี จนแ์ รกของลําดับน้ี (8) ถา้ พจน์ท่ี 7 ของลาํ ดับเรขาคณติ ทม่ี อี ัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 คือ 128 จงหาสองพจนแ์ รก (9) หาสี่พจน์แรกของลาํ ดบั เรขาคณิตท่มี ีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ a1+a2 = 8 , a3+a4 = 72 (10) [Ent’41] ให้ x, y, z, w เป็นพจน์ 4 พจน์เรียงกันในลําดับเรขาคณิต ถ้า y + z = 6 และ z + w = −12 จงหาค่าสมั บูรณข์ องพจน์ท่ี 5 ของลําดบั นี้ (11) ลาํ ดับเลขคณิต 20, 16, 12, ... มเี ลข –96 อยู่หรือไม่ ถา้ มีให้บอกว่าเปน็ พจน์ท่ีเท่าใด (12) พจน์ทเี่ ทา่ ใดของลาํ ดบั เลขคณิต 3, 7, 11, ... มคี ่า 75 (13) [Ent’40] พจน์แรกที่เป็นจํานวนเต็มลบของลาํ ดบั เลขคณิต 200, 182, 164, 146, ... มีคา่ ตา่ งจาก พจน์ที่ 10 อยเู่ ท่าใด (14) [Ent’39] จงหาค่า m ซึ่งเป็นจํานวนเต็มท่ีนอ้ ยท่ีสดุ ที่ทําใหพ้ จน์ท่ี m ของลาํ ดบั เลขคณิต 2, 5, 8, ... มคี า่ มากกวา่ 1,000 (15) ใหห้ าลาํ ดับเรขาคณิต ท่มี ผี ลบวกของสามพจน์แรกเป็น –3 และผลคณู เป็น 8 (16) ถา้ p, 5p, 6p+9 เปน็ ลาํ ดบั เลขคณิต จงเขยี น 3 พจนถ์ ัดไป (17) ต้องนําจาํ นวนเท่าใดมาบวกทุกพจนข์ องลําดบั 3, 20, 105 จึงทาํ ใหก้ ลายเป็นลาํ ดบั เรขาคณิต Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 282 ลําดับและอนุกรม (18) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ a, b, c เปน็ 3 พจน์เรยี งกันในลาํ ดบั เรขาคณิต และมีผลคูณเปน็ 27 ถ้า a, b+3, c+2 เป็น 3 พจน์เรยี งติดกันในลาํ ดับเลขคณิตแล้ว a + b + c มีค่าเทา่ ใด (19) จงหาตัวกลางเลขคณติ ตามเงือ่ นไขท่กี าํ หนดให้ (19.1) พจนส์ องพจน์ระหว่าง 7 กบั 16 ทที่ าํ ให้ 4 พจนน์ ้ีอยใู่ นลําดบั เลขคณิต (19.2) ส่ีพจนก์ ลางระหว่าง 130 กบั 55 เมือ่ ลําดบั นี้เปน็ ลําดับเลขคณติ (20) จงหาตัวกลางเรขาคณิต ตามเงื่อนไขท่กี าํ หนดให้ (20.1) พจนก์ ลางสพี่ จนข์ องลาํ ดบั เรขาคณิตท่ีอยู่ระหวา่ ง 3 กบั 96 (20.2) พจนส์ ามพจนร์ ะหว่าง 4 กับ 27 ท่ที าํ ให้ 5 พจน์นี้อยใู่ นลาํ ดับเรขาคณิต 3 64 (21) ลาํ ดบั หนง่ึ มีรูปทวั่ ไปเป็น 2 an+1 = an + 3 และมีพจน์ท่ี 5 เป็น 5 จงหาคา่ a3 + a6 (22) เศรษฐี 3 คนแยง่ กนั ประมลู สนิ คา้ โดยจะเสนอราคาสงู ข้ึนเปน็ 2 เท่าเสมอ และผลัดกันเสนอ ราคาทลี ะคนโดยไมแ่ ซงควิ กัน หากเศรษฐคี นที่ 1 เร่ิมประมูลโดยเสนอราคา 1 ลา้ นบาท ถามว่าใคร จะเสนอราคาเกิน 250 ล้านบาทเป็นคนแรก 13.2 ลมิ ิตของลาํ ดบั อนนั ต์ หากต้องการทราบว่า ในลําดับอนนั ตล์ ําดับหน่งึ นั้น ถ้า n ยิ่งมากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞ (n → ∞ ) แล้ว ค่าของ an จะเข้าใกลค้ ่าใด ( an → ? ) เราเรยี กว่า การหาลิมติ ของลําดับ นนั่ เอง และคา่ ทไี่ ด้นี้เรียกวา่ ลิมิต (limit) ลาํ ดบั an = ⎛ 1 ⎞n หรือ 1 , 1 , 1 , ... พบว่า เมอ่ื n มากขึน้ จนเขา้ ใกล้ ∞ แลว้ ค่าของ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 248 an จะเข้าใกล้ 0 จงึ กลา่ วว่า “ลิมิตของลําดับน้เี ทา่ กับ 0” และเขียนด้วยสญั ลกั ษณ์ lim an = 0 n→∞ ลําดบั ทหี่ าคา่ ลมิ ิตได้ เรียกวา่ ลาํ ดับลู่เข้า (Convergent Sequence) และลําดับท่ีไม่มีลิมิต หรือหาค่าลมิ ติ ไมไ่ ด้ จะเรียกว่า ลําดับลูอ่ อก (Divergent Sequence) เช่น ลําดบั 1, 2, 3, 4, ... ถา้ n→∞ แลว้ an → ∞ ดว้ ย แสดงวา่ lim an หาค่าไม่ได้ n→∞ สว่ นลําดับ cos π, cos 2π, cos 3π, ... พบวา่ มคี า่ เป็น –1 กับ 1 สลับกันไปตลอด ไม่ไดเ้ ขา้ ใกลค้ า่ ใดค่าหนงึ่ เป็นพิเศษเลย แสดงว่า lim an ไม่มีค่า หรือ ลาํ ดับนไี้ ม่มลี ิมิต n→∞ การหาคา่ ลมิ ิต สามารถใช้สมบัตกิ ารกระจาย แจกแจงได้ทกุ รูปแบบ ทัง้ การบวก ลบ คูณ หาร ยกกาํ ลงั หรือถอดราก (แตค่ ่าสมั บูรณน์ ้ัน ใส่ลิมติ เข้าขา้ งในไมไ่ ดเ้ สมอไป) an = 5n3+2n−1 จะได้ lim an = lim ⎛ 5n3+2n−1 ⎞ = lim ⎛ 5 + 2 − 1⎞ = 0+0−0 = 0 7n2−8n4 n→∞ ⎜⎜⎝ 7n2−8n4 ⎟⎟⎠ ⎜ n n3 n4 ⎟ 0−8 n→∞ n→∞ ⎜⎝ 7 −8 ⎟⎠ n2 ข้อสังเกต 1. ลําดับท่ีเป็นผลหารของพหุนาม lim P(n) เป็น 0 เมอื่ ดีกรี P น้อยกว่า Q, เปน็ สัมประสิทธิต์ วั แรกหารกนั เมือ่ ดีกรขี อง n → ∞ Q (n) P และ Q เท่ากัน, และหาค่าไมไ่ ด้ เมื่อดกี รี P มากกวา่ Q Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 283 ลาํ ดับและอนกุ รม 2. ลาํ ดบั เรขาคณติ lim (rn) เมอื่ r เป็นคา่ คงท่ี จะมไี ด้สก่ี รณี คอื ไมม่ ีลิมติ เม่ือ r < −1, เปน็ 0 เม่อื n→∞ | r |< 1, เป็น 1 เมือ่ r = 1 , และหาค่าไมไ่ ด้ เมื่อ r > 1 3. ลําดับเลขคณิต ลิมติ หาคา่ ไมไ่ ด้เสมอ (ยกเว้นกรณีท่ี d = 0 ) แบบฝึกหดั 13.2 (23) ลําดบั ตอ่ ไปนี้มคี ่า lim an เปน็ เท่าใด n→∞ (23.1) an = 2 n−1 (23.3) an = sin nπ (23.4) an = cos nπ (23.2) an = 1 n (24) ให้หาลมิ ิตของลาํ ดับตอ่ ไปน้ี (24.1) an = 4n+3 (24.4) an = 5n2+4 3n+1 n5+8 (24.2) an = 2n2+n−3 (24.5) an = 6n2+7 5n2−1 3n−1 (24.3) an = 6n+7 (24.6) an = n7+4 5n2+4 n+1 (25) ให้หาค่าลมิ ติ ของ an เม่ือ (25.1) an = 1−2n−3n3 (25.4) an = (2n+1) n! (3n+1)3 (n+1)! (25.2) an = n+1 (25.5) an = ⎛ n+5 ⎞5 n−1 ⎜⎝⎜ 3 n−1⎟⎠⎟ (25.3) an = n2− 3 S ¨u´·¼èÕ i´ºoÂ! S ã¹¢o 25.1 ËÒ¡ã¤ÃãªÇ ¸i ÅÕ a´ (Áo§ÊaÁ»ÃaÊi·¸ìi) oÒ¨Å×Á¡¡íÒÅa§·µèÕ Ça Êǹ (26) จงหาคา่ (26.1) ( )lim ⎛ 2 + 1 n⎞ (26.2) lim ⎢⎣⎡⎢⎜⎛⎜⎝ 2n2+4n+ 1 ⎞2 ⎛ 1+ 4n ⎟⎠⎞⎦⎤⎥⎥ ⎜ 2⎟ n→∞ 3n2 ⎟⎟⎠ ⎜ 5n n→∞ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎝ 3 (26.3) [Ent’27] ลิมติ ของลาํ ดับอนนั ต์ 3, 3 3, 3 3 3, 3 3 3 3 , ... (27) [Ent’41] ถ้า an = n2+n+1 และ bn = 2n−5n แล้ว ลิมติ ของลาํ ดบั ที่มีพจนท์ ่ี n เปน็ 3n2+1 5n+9 an−bn+anbn มีคา่ เทา่ ใด (28) [Ent’38] สําหรบั จํานวนเต็มบวก n ใดๆ ให้ Mn = ⎡ 1/n n⎤ และ an = det (Mn) แล้ว ⎢⎣−1/n n+1⎦⎥ lim an มคี า่ เทา่ ใด n→∞ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 284 ลาํ ดับและอนุกรม 13.3 อนุกรมและซกิ มา่ อนกุ รม (Series) คอื ผลบวกของแตล่ ะพจน์ในลาํ ดับ อนกุ รมทพี่ บบอ่ ยคอื อนกุ รมเลขคณิต (Arithmetic Series) และ อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) เช่น ลําดบั เลขคณติ 5, 9, 13, 17, ... เปน็ อนุกรมเลขคณติ 5 + 9 + 13 + 17 + ... ลาํ ดบั เรขาคณติ 2, 4, 8, 16, ... เป็นอนุกรมเรขาคณติ 2 + 4 + 8 + 16 + ... ในทาํ นองเดยี วกนั อนกุ รมจํากัด (finite series) เกดิ จากลําดับจาํ กัด และอนุกรมอนันต์ (infinite series) เกดิ จากลาํ ดับอนนั ต์ ค่าของอนุกรมสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ซิกมา่ (sigma) ในรปู n ได้ เชน่ ∑ ai i=1 ลาํ ดับ an = 1 หรอื 1, 1 , 1 , 1 , ... จะเขยี นเป็นอนุกรมได้ว่า 1+ 1 + 1+ 1 + ... n 234 2 3 4 และมีค่าเท่ากับ ∞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ i ⎠⎟ ∑ i=1 “ผลบวกยอ่ ย (partial sum) n พจน์แรก” ของอนกุ รม จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ Sn = n ∑ ai i=1 ดังน้นั คา่ ของอนกุ รมอนนั ต์ก็คอื S∞ = ∞ = lim Sn ∑ ai n→∞ i=1 สมบัติของ Σ สตู รผลบวก n • n = n (n+1) 2 • ∑k = n ⋅ k ∑i i=1 i=1 nn • n = n (n+ 1)(2n+1) 6 • ∑ k ai = k ⋅ ∑ ai ∑ i2 i=1 i=1 i=1 n nn • n i3 = ⎡n (n+1)⎤2 • ∑ (ai ±bi) = ∑ ai ± ∑ bi ⎢⎣ 2 ⎥⎦ i=1 i=1 i=1 ∑ i=1 เพิ่มเติม เรือ่ งซกิ มา่ และสมบตั ขิ องซกิ มา่ น้จี ะไดใ้ ชง้ านอกี คร้งั ในบทเรียนสถิติ (บทท่ี 17) แบบฝึกหัด 13.3 (29) ถ้า f (x) = 3x+1 และ u1 = 3, u2 = 2, u3 = 1, u4 = 5 จงหาคา่ 4 ∑ ui f (ui) i=1 (30) จงเขยี นอนุกรมต่อไปน้ีโดยใช้สญั ลักษณ์ Σ (30.1) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + 50 ⋅ 51 (30.2) 1 + 1 + 1 + ... + 1 246 2n (30.3) 1 + 3 + 7 + 15 + ... + พจนท์ ่ี n (30.4) a rp + a rp + 1 + a rp +2 + ... + a rp + q (30.5) 1 + 1 + 1 + ... 456 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 285 ลาํ ดับและอนุกรม (31) หาคา่ ของอนกุ รมตอ่ ไปนี้ (31.1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 (31.2) 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 102 (31.3) 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 73 (32) ให้หาคา่ ของอนกุ รมตอ่ ไปนี้ (32.1) 4 (32.3) 6 ⎛ k+4 ⎞ ⎜⎝⎜ k−1 ⎟⎟⎠ ∑ i2(i−3) ∑ i=1 k =2 (32.2) 3 (n2+3) ∑ n=1 (33) [Ent’มี.ค.42] ถ้า f (x) = x−1 แลว้ 30 (f D f)(n2) มีคา่ เท่าใด ∑ n = 10 (34) ให้หาคา่ ผลบวกตอ่ ไปนี้ [หมายเหตุ หากรูปทัว่ ไปของอนุกรมเปน็ แบบ เลข ⋅ เลข จะคาํ นวณด้วยสตู รซิกมา่ ] (34.1) ผลบวก 10 พจน์แรก ของอนกุ รม 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n+1) (34.2) S10 ของอนกุ รม 1 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅ 8 + 3 ⋅ 6 ⋅ 9 + ... (34.3) S8 ของอนกุ รม 1 ⋅ 22 + 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 42 + ... + n(n+1)2 (34.4) S20 ของอนกุ รม 1 + (1+2) + (1+2+3) + ... + (1+2+3+...+n) (35) [Ent’39] สาํ หรับแตล่ ะจํานวนเตม็ n>4 จงหาค่าลมิ ติ ของ 13 + 23 n4 + 1 + 33 + ... + n3 (36) [Ent’มี.ค.43] ถา้ ลําดับเลขคณิต a1, a2, a3, ... มพี จน์ท่ี 10 และพจน์ที่ 15 เป็น –19 และ –34 ตามลาํ ดบั แล้ว 20 + 2 i) มคี ่าเท่าใด ∑ (ai i=1 (37) [Ent’ต.ค.42] ให้ a เปน็ จํานวนจริง กําหนดพจน์ที่ n ของอนกุ รมคอื 1 + (n−2) a 1− a ถา้ พจน์ท่ี m คอื 1 + 38 a แลว้ ผลบวก m พจน์แรกของอนุกรมมีค่าเทา่ ใด 1− a 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ อนกุ รมที่หาคา่ S∞ ได้ เรยี กวา่ อนุกรมลู่เข้า (Convergent Series) และอนุกรมทหี่ าคา่ S∞ ไม่ได้ เรียกวา่ อนุกรมลู่ออก (Divergent Series) อนุกรมใดๆ จะหาคา่ S∞ ได้ (ล่เู ขา้ ) ก็ตอ่ เมื่อ lim rn <1 และ lim an = 0 เทา่ นน้ั n→∞ n→∞ 1. อนุกรมเลขคณิต Sn = n + (i−1) d⎤⎦ = n (a1+an) S e¾iÁè eµiÁ! S 2 ∑ ⎣⎡a1 1. ÅÒí ´ºa ÅeÙ ¢Ò ¡ºa o¹u¡ÃÁÅeÙ ¢Ò äÁeËÁ×o¹¡¹a i=1 ¹a¤Ãaº ÅÒí ´aºÅeÙ ¢Ò¤×oËÒ¾¨¹o¹¹a µä ´ æµ o¹¡u ÃÁÅeÙ ¢Ò¤×oËҼźǡ¶§Ö ¾¨¹o ¹a¹µä ´. . หรืออาจเขยี นเปน็ Σ เพื่อใช้สูตรคํานวณค่ากไ็ ด้ 2. o¹¡u ÃÁ¨aÅÙe ¢Òä´¹¹éa ÅÒí ´ºa µo §ÅeÙ ¢Ò ÊÙ 0 ¡o¹ æµÅ Òí ´aº·ÅÕè eÙ ¢Ò ÊÙ 0 o¹¡u ÃÁoÒ¨¨aäÁÅ Ù S∞ หาคา่ ไม่ได้เสมอ (ยกเวน้ อนุกรม 0 + 0 + 0 + …) e¢Ò ¡çä´¹a¤Ãºa Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 286 ลาํ ดับและอนกุ รม 2. อนุกรมเรขาคณติ Sn = ∑n ⎣⎡ a1 r(i−1)⎦⎤ = a1(1 − rn) i=1 1−r แต่ S∞ หาค่าไดก้ เ็ มื่อ | r |< 1 เทา่ นัน้ และคา่ ท่ไี ดค้ ือ S∞ = a1 1−r 3. อนุกรมใดๆ ทีไ่ มใ่ ช่สองแบบขา้ งตน้ จะมวี ธิ คี าํ นวณต่างๆ กันไป ซง่ึ จะแนะนาํ วิธคี ดิ ไว้เป็นหมายเหตุ ในแบบฝึกหัดขอ้ (34), (49), (56), (58) สรุปครา่ วๆ ได้ดงั น้ี - ¶Ò û٠·aÇè ä»e»¹ ÊÁ¡ÒÃeʹ µÃ§ e»¹o¹¡u ÃÁeÅ¢¤³µi (ãªÊ ÙµÃeÅ¢¤³µi ËÃo× ÊµÙ Ã Σ ¡íÒŧa ˹è§Ö ¡äç ´) - ¶Òû٠·Çaè ä»e»¹ เลข + เลข ¡çãËæ ¡«i¡ÁÒ¤´i ·ÕÅaÊÇ ¹ - ¶Òû٠·Çèa ä»e»¹ ¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ËÃ×oÊÒÁ ¨aoÂãÙ ¹ÃÙ» เลข ⋅ เลข (ãªÊ ÙµÃ Σ ¡íÒÅa§Êo§, ¡íÒÅa§ÊÒÁ) ËÁÒÂe˵u ¶ÒËÒ¼ÅµÒ §¢o§¼ÅµÒ§ (ź¡a¹Êo§ª¹aé ) æÅÇ e»¹ ¤Ò ¤§·Õè æÊ´§ÇÒ e»¹ ¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ ¶ÒËÒ¼ÅµÒ §o´Âź¡a¹ÊÒÁª¹aé æÅÇ e»¹ ¤Ò ¤§·Õè æÊ´§ÇÒ e»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊÒÁ eËÅÒ ¹éËÕ Òû٠·Çaè ä»ä´o´Âe¢Õ¹ÃÙ»·aèÇ仢o§¾Ë¹u ÒÁ æÅÇ æ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃe¾oè× ËÒÊaÁ»ÃaÊ·i ¸ìiæµÅ aµaÇ - ¶Ò û٠·Çèa 仢o§o¹¡u ÃÁe»¹ 1 eÃÕ¡ÇÒo¹¡u ÃÁÎÒÃo Á¹¡i ..äÁä´ÈÖ¡ÉÒã¹·¹èÕ éÕ เลข - ¶Òû٠·èÇa 仢o§o¹¡u ÃÁe»¹ 1 ¨a¤Òí ¹Ç³o´Âæ¡e»¹eÈÉÊÇ ¹Âo  เลข ⋅ เลข - ¶Òû٠·Çaè ä»e»¹ eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅ e»¹ o¹¡u ÃÁeâҤ³iµ (e¢ÂÕ ¹æ¨¡æ¨§oo¡ÁÒæÅÇ ãªÊ ÙµÃeâÒ) - ¶Òû٠·aèÇä»e»¹ 1 , เรขา ⋅ เรขา , ËÃ×o เรขา 1 ¡çÂa§¤§e»¹ o¹¡u ÃÁeâҤ³µi เรขา ⋅ เรขา (模樧oo¡ÁÒæÅÇ ãªÊ ÙµÃeâÒ) - ¶Ò û٠·aèÇä»e»¹ เรขา + เรขา ¡çãËæ ¡«¡i ÁÒ ¤´i ·ÕÅaÊǹ - ¶Ò û٠·aèÇä»e»¹ เลข ⋅ เรขา ËÃ×o เลข eÃÕ¡ÇÒ o¹u¡ÃÁ¼ÊÁ (¹Òí ¤Ò r ¢o§eâҤٳµÅo´ เรขา æÅǵéa§ÊÁ¡ÒÃź¡¹a e¾×èoãËÊ Ç ¹·eèÕ »¹ eÅ¢¤³µi ËÒÂä»eËÅ×oæµeâҤ³iµÅÇ ¹æ) เรขา - ¶Òû٠·Çaè ä»e»¹ เลข ..äÁä´ÈÖ¡ÉÒã¹·è¹Õ éÕ แบบฝึกหัด 13.4 (38) ให้หาผลบวกยอ่ ย 18 พจน์แรก ของอนกุ รม 2 + 6 + 10 + ... (39) ให้หาผลบวกย่อย 8 พจน์แรก ของอนกุ รม 1 + 1 + 2 + ... 2 (40) จงหาคา่ ของ 1 + 3 + 5 + ... + 101 (41) ลําดับเลขคณติ มีผลตา่ งรว่ มเป็น 4 และมีพจนท์ ี่ 13 เป็น 51 จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รก (42) อนุกรมเลขคณิตมพี จน์ที่สบิ เป็น 20 พจนท์ ห่ี ้าเปน็ 10 จงหาผลบวกยอ่ ย a8 ถงึ a15 (43) อนุกรมเรขาคณิตมคี ่า a3 = 80 และ S3 = 65 จงหาพจนแ์ รก และอัตราสว่ นร่วม (44) อนุกรมเรขาคณิตมีพจนแ์ รกเป็น 160 และอัตราส่วนรว่ มเป็น 3/2 ถา้ ผลบวก n พจนแ์ รกเปน็ 2,110 แล้ว จงหาค่า n Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 287 ลําดับและอนกุ รม (45) [Ent’ต.ค.43] ให้ 5, x, 20, ... เป็นลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีผลบวกของ 12 พจนแ์ รกเป็น a และ 5, y, 20, ... เป็นลําดับเรขาคณติ ทม่ี พี จน์ท่ี 6 เปน็ b โดยท่ี y < 0 แลว้ จงหา a + b (46) [Ent’40] a+3, a, a-2 เปน็ ลําดับเรขาคณิตท่ีมีอตั ราส่วนรว่ มเปน็ r จงหาคา่ ∞ ∑ a rn − 1 n=1 (47) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวกทท่ี ําให้ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลข คณติ 7 + 15 + 23 + ... มคี า่ เทา่ กับ 217 แลว้ (2n + 2n+ 1 + ... + 22n) / 28 มคี ่าเทา่ กับเท่าใด (48) [Ent’36] จาํ นวนเต็มบวก m ซ่ึงมากท่สี ุด ทท่ี ําให้อนกุ รม 1 − 1 + 1 − 1 + ... 2m 2m + 1 2m + 2 2m + 3 มผี ลบวกมากกวา่ 0.01 คือเทา่ ใด (49) ให้หาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรม 4 + 44 + 444 + 4444 + ... [Hint : ทาํ เป็นเลข 9 ทุกตัวก่อน เพือ่ เปลีย่ นเปน็ 10n − 1] (50) จงหาค่าของอนกุ รมเรขาคณิตต่อไปน้ี (50.1) 1+ 1+ 1 + ... + 2 3 + ... 26 18 ⋅ 3n (50.2) 1− 1 + 1 − ... + (−1)n + 1 + ... 24 8 2n (50.3) 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103 −n + ... (50.4) 3 + 2 + 4 + 8 + ... 39 (50.5) 6 − 3 + 3 − 3 + ... 24 (50.6) 1+ 1 + 1 + 1 + ... 0.9 (0.9)2 (0.9)3 (51) ชายคนหน่งึ เดนิ ลากทอ่ นไม้ไปตามแนวราบ ก้าวแรกเขาเดินไดร้ ะยะทาง 0.5 เมตร และดว้ ย ความลา้ ทําใหก้ า้ วถัดไปได้ระยะทางเพียง 80% ของก้าวก่อนหน้าเสมอ ถามวา่ เม่อื เขาเดนิ ครบ 10 ก้าว จะอยู่หา่ งจากจดุ เริม่ ต้นเทา่ ใด และถา้ ปล่อยใหเ้ ดนิ ไปเรื่อยๆ จะได้ระยะทางเทา่ ใด (52) จงหาคา่ x ท่ที ําให้ 1 + x + x2 + ... = 4 (53) [Ent’39] ถ้าอนุกรม 1+ 2x + 22x + 23x + ... มผี ลบวกเทา่ กบั 9 แลว้ 1+2x (1+2x)2 (1+2x)3 จงหาคา่ ผลบวกของอนุกรม log2 x − (log2 x)2 + (log2 x)3 − (log2 x)4 + ... (54) [Ent’36] ถา้ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวกซึง่ ทาํ ให้ 1 + log 2 2 + log32 2 + ... + logn2 2 = n2−21 แลว้ 1 + 2 + 22 + ... + 2n มคี า่ เทา่ ใด (55) [Ent’41] ถา้ a1, a2, ... เป็นลาํ ดับคอนเวอร์เจนต์ มีลิมติ เป็น 1 แล้ว อนุกรม a1 + ∞ มีผลบวกเปน็ เท่าใด ∑ (an + 1−an) n=1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 288 ลําดับและอนุกรม (56) ให้หาคา่ ผลบวกต่อไปนี้ [หมายเหตุ หากรูปทว่ั ไปของอนกุ รมเป็น 1 เลข ⋅ เลข จะคํานวณโดยแยกเปน็ เศษสว่ นย่อย เช่น 1 = (1 − 1) ⋅ 1 ] 3⋅5 3 5 2 (56.1) 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 3⋅5 5⋅7 7⋅9 (2n+1)(2n+3) (56.2) S30 ของ 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 1⋅3 3⋅5 5⋅7 (2n−1)(2n+1) (56.3) 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 1⋅3⋅5 3⋅5⋅7 5⋅7 ⋅9 (2n−1)(2n+1)(2n+3) (56.4) S20 ของ 1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 6 24 60 120 n3 + 3n2 + 2n (57) ให้หาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รม log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n + ... 234 n+1 (58) [Ent’35] อนกุ รม ∞ ⎛ 5 − n (n3+ 1) ⎠⎟⎟⎞ มผี ลบวกเป็นเท่าใด ⎜⎜⎝ 2n ∑ n=1 (59) ใหห้ าค่าผลบวกต่อไปน้ี เลข เรขา [หมายเหตุ หากรปู ท่ัวไปของอนกุ รมเป็น เลข ⋅ เรขา หรือ (เรยี กวา่ อนกุ รมผสม) จะคาํ นวณโดยนําค่า r ของเรขา คณู ตลอดแล้วตงั้ สมการลบกนั เพื่อใหส้ ่วนท่เี ปน็ เลขคณติ หายไป เหลอื แต่เรขาคณิต] ตวั อยางเชน หาคา S∞ = 5 + 8 + 11 + 14 + ... 2 4 8 16 นาํ 1 คณู จะได 1 S∞ = 5 + 8 + 11 + 14 + ... 2 2 4 8 16 32 สองสมการลบกนั 1 S∞ = 5 + ⎛ 3 + 3 + 3 + ...⎞⎠⎟ = 5 + ⎛ 3/4 ⎞ = 4 ..ดังนนั้ S∞ = 8 2 2 ⎝⎜ 4 8 16 2 ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1/2 ⎠ (59.1) Sn ของ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2 n−1 + ... 2 4 8 16 2n (59.2) 2 + 3 + 1+ 5 + ... + n+1 + ... 2 8 2n − 1 (60) เขียนจํานวนตอ่ ไปนใ้ี นรปู เศษสว่ น (60.3) 7.256256... (60.1) 0.212121... (60.4) 2.9999... (60.2) 0.61041041... เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1.1) 2,4,8,16 (1.2) 2,6,10,14 (1.4) − 1 , 2 , − 3 , 4 (2.3) 2n + 1−3 (2.4) 3 4 9 16 25 10n − 1 (1.3) 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16 (2.1) ⎛⎝⎜ 1 ⎠⎞⎟n − 1 (2.2) ⎛⎝⎜ 1 ⎟⎞⎠2 (2.5) n(n+1) 2 n (3.2) เรขาคณติ , 2n (3.1) เลขคณติ , 18−3 n Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 289 ลําดับและอนกุ รม (3.3) เลขคณติ , x+2 n−2 (23.1) หาค่าไมไ่ ด้ (23.2) 0 (40) 2601 (41) 210 (3.4) เลขคณติ , n log 2 (23.3) 0 (23.4) 1 (24.1) 4/3 (42) 184 (3.5)เรขาคณติ , (−20) ⎝⎛⎜ − 1 ⎟⎞⎠n (24.2) 2/5 (24.3) 0 (24.4) 0 (43) 5, –4 หรอื 45, –4/3 2 (24.5 และ 24.6) หาคา่ ไม่ได้ (44) 5 (45) 395 (25.1) -1/9 (25.2) 1 (3.6) เลขคณติ , 4 n (46) 18 (47) 127.5 (25.3) หาคา่ ไม่ได้ (25.4) 2 (48) 6 (3.7) เป็นทัง้ เลขคณติ และ (25.5) 1 / 35 (26.1) 2/3 (26.2) 4/9 (26.3) 9 (27) 1 เรขาคณติ , an = 3 (49) 4 ⎝⎜⎛ 10 (10n− 1)−n ⎟⎠⎞ 9 9 (4) 4.5, 5, 5.5, 12.5 (5) 2, 4, 8, 217 (6) 3 n+8 (28) 2 (29) 128 (50.1) 3/4 (50.2) 1/3 (7) 26, 22, 18, 14 (8) 2, 4 (30.1) 50 (30.2) n ⎛ 1 ⎞ (50.3) 1000/9 (50.4) 9 (9) 2, 6, 18, 54 (10) 48 (30.3) (30.4) ⎜ ⎟ (50.5) 4 (50.6) ลอู่ อก (11) ม,ี พจนท์ ่ี 30 (12) พจนท์ ่ี 19 ∑ i (i+1) ∑ (51) 2.23 และ 2.5 i=1⎝2 i⎠ (52) 3/4 i=1 q+1 1 n (13) 54 (14) 334 ∑ a rp + i − ∑ (2i−1) i=1 i=1 (53) หาไมไ่ ด้ (ไดเวอร์เจนต)์ (15) 8 หรอื (−2)n (30.5) ∞ ⎛ 1⎞ (31.1) 1275 ⎜ ⎟ (54) 255 (55) 1 ∑ (−2)n i=1⎝i + 3⎠ (56.1) 1/6 (56.2) 30/61 2 (16) 39, 51, 63 (17) 5/4 (31.2) 385 (31.3) 784 (32.1) 10(56.3) 1/12 (18) 13 (19.1) 10, 13 (32.2) 23 (32.3) 197/12 (56.4) 115/462 (19.2) 115, 100, 85, 70 (33) 9128 (34.1) 440 (57) − log(n+1) (58) 2 (20.1) 6, 12, 24, 48 (34.2) 7480 (34.3) 1740 (59.1) 2 n+3 (20.2) 1, 3 , 9 หรอื −1, 3 , − 9 (34.4) 20 i (i+1) = 1, 540 3 − 2n ∑ 4 16 4 16 i=1 2 (59.2) 6 (60.1) 21/99 (60.2) 3049/4995 (21) 15 (22) คนที่ 3 (35) 4 (36) 10 (37) 40 + 740 a (60.3) 7249/999 1− a (60.4) 3 (38) 648 (39) 127.5 เฉลยแบบฝกึ หัด (วธิ ีคดิ ) (1.1) 21, 22, 23, 24 → 2, 4, 8, 16 (2.3) an : 1, 5, 13, 29, ... (1.2) 4(1) − 2, 4(2) − 2, 4(3) − 2, 4(4) − 2 → an + 3 : 4, 8, 16, 32 → 22, 23, 24, 25 → 2, 6, 10, 14 ∴ an + 3 = 2n + 1 → an = 2n + 1 − 3 (1.3) ⎛⎜⎝ 1 ⎠⎞⎟1 , ⎜⎛⎝ 1 ⎟⎞⎠2 , ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎠⎟3 , ⎝⎛⎜ 1 ⎠⎞⎟4 (2.4) 3 , 3 , 3 , 3 → an = 3 2 2 2 2 100 101 102 103 10n − 1 (2.5) an : 2, 6, 12, 20, ... → 1, 1, 1, 1 2 4 8 16 → an − n : 1, 4, 9, 16, ... = n2 (1.4) (−1)1 1 , (−1)2 2 , (−1)3 3 , (−1)4 4 → ∴ an = n2 + n 22 32 42 52 หรอื อกี วธิ หี นง่ึ → − 1,2,− 3 , 4 4 9 16 25 an ÷ n : 2, 3, 4, 5, ... = n + 1 (2.1) 1 , 1 , 1 , 1 → an = 1 = ⎛ 1 ⎞n − 1 → ∴ an = n(n + 1) = n2 + n 20 21 22 23 2n − 1 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ (3.1) ลําดับเลขคณติ (2.2) 1 , 1 , 1 , 1 → an = 1 = ⎝⎜⎛ 1 ⎠⎞⎟2 → an = 15 + (n − 1)(−3) = 18 − 3n 12 22 32 42 n2 n (3.2) ลาํ ดบั เรขาคณติ → an = 2(2)n− 1 = 2n Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 290 ลาํ ดับและอนุกรม (3.3) ลาํ ดบั เลขคณติ วธิ ที ส่ี อง หาพจนแ์ รกทตี่ ดิ ลบ โดยสมการ → an = x + (n − 1)(2) = x + 2n − 2 200 + (n − 1)(−18) < 0 จะได้ n > 12.11 (3.4) log 2, 2 log 2, 3 log 2, 4 log 2, ... → แสดงวา่ เริ่มตดิ ลบท่ีพจน์ 13 ลาํ ดบั เลขคณติ ! a13 = 200 + (12)(−18) = −16 ..กจ็ ะไดค้ าํ ตอบ an = log 2 + (n − 1)(log 2) = n log 2 (14) 2 + (n − 1)(3) > 1, 000 → n > 333.67 (3.5) ลาํ ดบั เรขาคณิต แสดงวา่ คา่ m ทีต่ ้องการคือ 334 ⎛ 1 ⎞⎠⎟n − 1 ⎛ 1 ⎟⎞⎠n (15) a1 + a1r + a1r2 = −3 .....(1) ⎝⎜ 2 ⎜⎝ 2 a1a1ra1r2 = a13r3 = 8 .....(2) → an = 10 − = −20 ⋅ − แกร้ ะบบสมการได้ (3.6) ลาํ ดบั เลขคณติ an = 4 + (n − 1)(4) = 4n r = − 2 → a1 = − 1 , r = − 1/2 → a1 = − 4 (3.7) มองเปน็ ลาํ ดับเลขคณติ หรอื เรขาคณิตก็ได้ ลาํ ดับเลขคณติ → an = 3 + (n − 1)(0) = 3 หรอื∴ an (−2)n ลําดับเรขาคณติ → an = 3(1)n− 1 = 3 = −1(−2)n − 1 = 2 (4) a4, a5, a6 = 4.5, 5, 5.5 an = −4(− 1)n − 1 = −8 2 (−2)n → a20 = 3 + (19)(0.5) = 12.5 (16) ค่า d → 5p − p = 6p + 9 − 5p (5) a4, a5, a6 = 2, 4, 8 → 1 (2)(19) a20 = 4 = 217 → ∴ p = 3 จงึ ไดล้ ําดับเปน็ 3, 15, 27 (6) a4 → a1 + 3d = 20 .....(1) ตอบ 39, 51, 63 a16 → a1 + 15d = 56 .....(2) (17) ลําดบั คือ 3 + x, 20 + x, 105 + x ... แกร้ ะบบสมการ ได้ a1 = 11, d = 3 หาคา่ x โดยคา่ r → 105 + x = 20 + x 20 + x 3 + x ∴ an = 11 + (n − 1)(3) = 3n + 8 → 315 + 108x + x2 = 400 + 40x + x2 (7) a1 + d + a1 + 12d = 0 .....(1) → ∴ x = 85/68 = 5/ 4 a1 + 3d + a1 + 7d = 12 .....(2) แก้ระบบสมการ ได้ a1 = 26, d = −4 (18) b = c .....(1) abc = 27 .....(2) ตอบ 26, 22, 18, 14 ab (8) a1(2)(6) = 128 → a1 = 2 ตอบ 2, 4 (9) a1 + a1r = 8 .....(1) b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3) a1r2 + a1r3 = 72 → r2(a1 + a1r) = 72 .....(2) แกร้ ะบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3, ac = 9 → แกร้ ะบบสมการ (2) /(1) ได้ r = 3, a1 = 2 ใสค่ ่า b ใน (3) ได้ a + c = 10 ตอบ 2, 6, 18, 54 บังเอญิ โจทยถ์ าม a + b + c จงึ ได้ 10 + 3 = 13 (10) xr + xr2 = 6 .....(1) (ไม่ต้องแก้ a, c ต่อ) xr2 + xr3 = r(xr + xr2) = −12 .....(2) [สมมตถิ า้ แก้สมการตอ่ จะไดผ้ ลเป็น a = 1, c = 9 แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = −2, x = 3 หรอื a = 9, c = 1 ก็ได]้ (19.1) 7, _, _, 16 → 16 = 7 + 3d ∴ a5 = 3(−2)4 = 48 → d = 3 → ตอบ 10, 13 (19.2) 130, _, _, _, _, 55 → 55 = 130 + 5d (11) −96 = 20 + (n − 1)(−4) → n = 30 → d = −15 → ตอบ 115, 100, 85, 70 ตอบ ม,ี พจนท์ ่ี 30 (20.1) 3, _, _, _, _, 96 → 96 = 3 ⋅ r5 (ถ้าแกส้ มการแลว้ n ไม่เป็นจาํ นวนนับ แสดงวา่ ไมอ่ ยู่ → r = 2 → ตอบ 6, 12, 24, 48 ในลําดบั นน้ั ) (20.2) 4 , _, _, _, 27 → 27 = 4 ⋅ r4 (12) 75 = 3 + (n − 1)(4) → n = 19 3 64 64 3 ตอบ พจนท์ ่ี 19 → ⎛ 3 ⎞4 = r4 → r = 3 หรอื −3 → (13) a10 = 200 + (9)(−18) = 38 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 4 วิธีแรก จะได้ ..., 38, 20, 2, − 16, ... ตอบ 1, 3 , 9 หรอื −1, 3 , − 9 พบวา่ 38 กับ -16 ตา่ งกันอยู่ 54 ตอบ 4 16 4 16 [อยา่ ลืมวา่ กาํ ลงั เลขคู่ จะตอ้ งมี 2 คาํ ตอบเสมอ!] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 291 ลําดับและอนกุ รม (21) การบอกวา่ 2an+ 1 = an + 3 แบบนีจ้ ะตอ้ ง (24.6) ⎛ 1 + 4 ⎞ 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ หาคา่ a3 กับ a6 โดยไล่แทนคา่ ไปจาก a5 ⎜ n7 ⎟ 0 คอื 2a6 = a5 + 3 → a6 = 4 lim ⎜ 1 1 ⎟ = ⇒ และ 2a5 = a4 + 3 → a4 = 7 ⎜⎝⎜ n6 n7 ⎠⎟⎟ n→∞ + ขอ้ สงั เกต จากขอ้ 24 ลาํ ดับท่ีเปน็ ฟังก์ชันตรรกยะ → 2a4 = a3 + 3 → a3 = 11 (คอื พหนุ ามหารกนั ) P(n) จะมลี ิมิตเป็น Q(n) ตอบ a3 + a6 = 11 + 4 = 15 (22) ลําดบั เรขาคณติ → 1 ⋅ (2)n− 1 > 250 • 0 เมือ่ ดกี รี บน < ล่าง → n = 9 ∴ ตอบ คนที่ 3 • หาคา่ ไมไ่ ด้ เมอื่ ดกี รี บน > ล่าง • สปส.ของตัวทดี่ กี รีสงู สุด เม่อื ดกี รเี ทา่ กนั (23.1) หาคา่ ไมไ่ ด้ lim an = (25.1) ⎛ 1 − 2n − 3n3 ⎞ −3 −1 ⎝⎜ 27n3 + ... ⎠⎟ 27 9 n→∞ lim = = (ลาํ ดบั เลขคณิต ท่ี d ≠ 0 จะหาลมิ ิตไมไ่ ด้ เสมอ) n→∞ (23.2) lim an = 1 =0 ⎛ 1 + 1⎞ ∞ ⎜ ⎟ n→∞ (25.2) lim ⎜ n ⎟ = 1 = 1 1 ⎟⎠⎟ 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 , ... → 0 ) n → ∞ ⎜⎝⎜ 1 − n 12 3 4 (23.3) lim an =1 (25.3) lim n2 − 3 ⇒ หาคา่ ไม่ได้ n→∞ n→∞ (เพราะ sin π = 1, sin 2π = 1, sin 3π = 1, ... ) (25.4) lim ⎜⎝⎛ 2n + 11⎠⎟⎞ =2 n+ (23.4) lim an =1 n→∞ n→∞ (25.5) ⎛ ⎜⎝⎛ n + 5 ⎞ ⎞5 ⎛ 1 ⎞5 1 ⎝⎜ 3n − 1⎟⎠⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 35 (เพราะ cos π = −1 = 1, cos 2π = 1 = 1, ... ) lim = = n→∞ (24) ในขอ้ นี้ ลาํ ดับเปน็ ฟงั ก์ชันพหนุ ามหารกนั [ลิมิตแจกแจงไดเ้ สมอ ไมว่ ่าจะบวกลบคณู หาร, ยก ⎛ P(n) ⎞ แทน n=∞ ไมไ่ ด้ เพราะจะกลายเปน็ กําลงั , ถอดราก] ⎜⎝ Q(n)⎟⎠ (26) ข้อนีใ้ ชห้ ลกั ทีว่ า่ lim rn = 0 เม่อื r < 1 รูปแบบไม่กําหนด ⎛⎜⎝ ∞ ⎠⎟⎞ n→∞ ∞ ⎛ + ⎛ 1 ⎟⎠⎞n ⎞ (24.1) ตอ้ งใช้ n หารทง้ั เศษและสว่ น (26.1) ⎜2 ⎜⎝ 2 ⎟ 2+0 2 lim ⎜⎜⎝ ⎟⎠⎟ = 3 = 3 3 ⎛ 3⎞ n→∞ ⎜ 4 + n ⎟ 4 + 0 4 ⎛ 2n2 + 4n + 1 ⎞2 ⎡ ⎛ 4 ⎞n ⎤ 1 ⎟ 3 + 0 3 ⎝⎜ 3n2 ⎠⎟ ⎢1 → lim ⎜ n ⎟⎠⎟ = = (26.2) lim ⋅ lim ⎣ + ⎜⎝ 5 ⎠⎟ ⎥ n → ∞ ⎜⎝⎜ 3 + n→∞ ⎦ n→∞ (24.2) ใช้ n2 หารทั้งเศษและส่วน = ⎛ 2 ⎞2 ⋅ (1 + 0) = 4 ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 9 ⎛ 1 3 ⎞ ⎜ 2 + n − n2 ⎟ 2 (26.3) หารูปทวั่ ไปของลาํ ดับกอ่ น 5 ⎟ 5 → lim ⎜ − 1 ⎟⎟⎠ = 3 7 15 2 −( 1)n− 1 n → ∞ ⎜⎝⎜ n2 → 31, 32 , 34 , 3 8 , ... → an = 32 ⎛6 + 7 ⎞ ∴ lim an = 32 − 0 = 9 + n2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 0 n→∞ ⎜ n2 ⎠⎟⎟ 5 (24.3) lim n = =0 (27) lim an = 1 3 n→∞ ⎜⎝⎜ 5 n→∞ ⎛ 5 4 ⎞ lim bn = lim ⎛ (2 / 5)n − 1⎟⎞ = 0−1 = −1 ⎜ n3 n5 ⎟ ⎜ ⎟⎠⎟ 1+ 0 ⎜ + ⎟ n→∞ n→∞ ⎜⎜⎝ 1 9 (24.4) ⎜⎝⎜ ⎠⎟⎟ 0 + 5n lim = 5 =0 8 n→∞ 1 + n5 ∴ lim (an − bn + anbn) = 1 − (−1) + (− 1) = 1 3 3 ⎛ 7 ⎞ n→∞ ⎜ n2 ⎟ (24.5) 6 + 1 ⎟ 6 หาคา่ ไม่ได้ (28) an = det(Mn) = n+1+1=2+ 1 − n2 ⎟⎟⎠ 0 nn lim ⎜ 3 = ⇒ ⎜⎝⎜ n n→∞ 1) = n → lim an = lim (2 + 2 n→∞ n→∞ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 292 ลําดับและอนกุ รม (29) 4 (34.3) S8 = 8 ∑ ui f(ui) = u1f(u1) + u2f(u2) + u3f(u3) + u4f(u4) ∑ (i3 + 2 i2 + i) i=1 i=1 = ⎡8(9)⎤2 + 2 (8)(9)(17) + 8(9) = 1,740 = (3)(10) + (2)(7) + (1)(4) + (5)(16) = 128 ⎢⎣ 2 ⎦⎥ 6 2 (30.1) 50 n(n + 1) 2 ∑ (i)(i + 1) (34.4) i=1 an = 1 + 2 + 3 + ... + n = (30.2) n ⎛ 1 ⎞ 20 ⎜ 2i ⎟ ∑ ⎝ ⎠ ∑ (i2 + i) i=1 i=1 (30.3) an : 1, 3, 7, 15, ... → S20 = 20 i (i + 1) = 2 2 → an + 1 : 2, 4, 8, 16, ... = 2n ∑ i=1 → an = 2n − 1 = 1 ⎛⎝⎜ 20(21)(41) + 202(21)⎟⎞⎠ = 1,540 2 6 ∴ ตอบ n (35) lim n4 +1 = lim ⎛ n4 n4 + 1 n→∞ ⎛ n(n + 1)⎞2 + 2n3 + n2 ⎞ ∑ (2i − 1) n→∞ 4 ⎠⎟ i=1 (30.4) หรอืq q+1 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ ∑ ar(p + i) ∑ ar(p + i − 1) ⎛ 4n4 + 4⎞ ⎝⎜ n4 + 2n3 + n2 ⎠⎟ i=0 i=1 (30.5) ∞ ⎝⎜⎛ 1i ⎠⎟⎞ หรอื ∞ ⎛ 1⎞ = lim = 4 ⎝⎜ i + 3 ⎟⎠ ∑ ∑ n→∞ i=4 i=1 (36) a1 + 9d = −19 .....(1) (31.1) 50 50(51) = 1,275 a1 + 14d = −34 .....(2) 2 ∑i = i=1 (31.2) 10 = 10(11)(21) = 385 → a1 = 8, d = −3 6 ∑ i2 ∴ an = 8 + (n − 1)(−3) = 11 − 3n i=1 (31.3) 7 = ⎡ 7(8)⎤2 = 784 โจทย์ใหห้ า 20 20 ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ∑ i3 ∑ (ai + 2 i) = ∑ (11 − 3 i + 2 i) i=1 i=1 i=1 (32.1) 4 (i3 −3 i2) = 4 i3 − 3 4 i2 = 20 i) = 20(11) − 20(21) = 10 2 ∑ ∑ ∑ ∑ (11 − i=1 i=1 i=1 i=1 = ⎡ 4(5)⎤2 − 3 ⎛ 4(5)(9)⎞ = 10 (37) an = 1 + (n−2) a และ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ⎜⎝ 6 ⎠⎟ 1− a (32.2) 3 n2 + 3 3 = 3(4)(7) + (3)(3) = 23 am = 1 + 38 a ∴ m = 40 1− a ∑ ∑ 6 n=1 n=1 (32.3) เปน็ เศษส่วนซ่ึงหารไมไ่ ด้ จงึ ตอ้ งกระจายเพื่อ วธิ แี รก หา 40 ⎡1 + (i − 2) a⎤ ⎢⎣ 1 − a ⎦⎥ คดิ ตรงๆ → 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 197 ∑ 1 2 3 4 5 12 i=1 (33) (fof)(n2) = f(n2 − 1) = n2 − 1 − 1 = n2 − 2 = 40 ⎛ 1 −2 a ⎞ + 40 ⎛ i a ⎞ ⎝⎜ 1− a ⎠⎟ ⎜⎝ 1 −a ⎠⎟ ∑ ∑ i=1 i=1 30 30 30 = 40 − 80 a + 40(41) ⋅ a 1− a 2 1−a → ∑ (n2 − 2) = ∑ n2 − ∑ 2 n = 10 n = 10 n = 10 30 9 30 = 40 + 740 a ตอบ = ∑ n2 − ∑ n2 − ∑ 2 1− a n=1 n=1 n = 10 วธิ ที ส่ี อง ใชส้ ูตร Sn ของอนุกรมเลขคณติ ก็ได้ จะ = 30(31)(61) − 9(10)(19) − (21)(2) = 9,128 66 คาํ นวณง่ายกวา่ มาก แต่ตอ้ งสงั เกตเหน็ กอ่ นวา่ เปน็ อนุกรมเลขคณิตจรงิ ๆ (34.1) S10 = 10 10 ∑ i (i + 1) = ∑ (i2 + i) i=1 i=1 40 ⎛ 1 + (− a) 1 + 38 a⎞ = 10(11)(21) + 10(11) = 440 S40 = 2 ⎜⎝ 1 −a + 1− a ⎠⎟ 62 (38) อนกุ รมเลขคณติ คิดได้ 2 วธิ ี (34.2) 10 S10 = วิธีแรก ใช้สตู ร Sn ของเลขคณติ ∑ i (i + 3)(i + 6) i=1 10 → Sn = n (a1 + an) 2 = ∑ (i3 + 9 i2 + 18 i) i=1 18 (2 = ⎡ 10(11)⎤2 + 9 (10)(11)(21) + 18 ⎡ 10(11)⎤ → S18 = 2 + [2 + (17)(4)]) = 648 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 6 ⎣⎢ 2 ⎥⎦ = 7,480 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 293 ลําดับและอนุกรม วิธีทสี่ อง ใชส้ ตู รซิกมา่ ใหห้ า ∞ = 6 + 4 + 8 + ... 3 18 18 ∑ arn − 1 → ∑ (2 + (i − 1)(4)) = ∑ (4 i − 2) n=1 i=1 i=1 = 6 = 18 (สตู รอนุกรมเรขาคณติ ) 1 − 2/3 = 4(18)(19) − 18(2) = 648 2 (47) Sn = 217 = n (7 + 7 + (n − 1)(8)) 2 (39) อนกุ รมเรขาคณติ คดิ ได้วธิ เี ดยี วคอื ใชส้ ตู ร Sn → 4n2 + 3n − 217 = 0 1 (1 − 28) a1(1 − rn) → 2 → (4n + 31)(n − 7) = 0 ∴ n = 7 เท่านนั้ → Sn = 1−r S8 = 1−2 = 255 = 127.5 ⎛ 27(1 − 28)⎞ 2 ⎜⎝ ⎠⎟ → 27 + 28 + 29 + ... + 214 = 1−2 (40) an = 1 + (n − 1)(2) = 2n − 1 28 28 (จากสูตรอนกุ รมเรขาคณติ จาํ นวนพจน์ n=8) 51 (1 + 101) = 2,601 ผลบวก 51 พจน์ → S51 = 2 = 27(28 − 1) = 127.5 28 (41) 51 = a1 + 12(4) → a1 = 3 (48) a1 1 / 2m 2 → S10 = 10 (3 + (3 + (9)(4))) = 210 1−r = 1 − (− 1) = 3 ⋅ 2m > 0.01 2 (42) a1 + 9d = 20 .....(1) 2 a1 + 4d = 10 .....(2) → 1 > 0.015 → 2m < 66.67 2m ∴ m มากทส่ี ดุ คอื 6 → a1 = 2, d = 2 → an = 2 + (n − 1)(2) = 2n (49) sn = 4 + 44 + 444 + ... + 444444..4 หา 15 = 2 ⎡(15)(16) − (7)(8)⎤ = 184 ⎣⎢ 2 2 ⎥⎦ 9 ∑ (2 i) 4 Sn = 9 + 99 + 999 + ... + 999999..9 i=8 (43) คิดดว้ ยสตู ร Sn จะแกส้ มการยาก = 10 − 1 + 100 − 1 + 1,000 − 1 + ... + 10n − 1 ควรคดิ ตรงๆ คอื สมมตเิ ปน็ a, b, 80 = (10 + 100 + 1,000 + ... + 10n) − n จะได้ 80 = b .....(1) และ = 10(1 − 10n) − n = 10 (10n − 1) − n ba 1 − 10 9 a + b + 80 = 65 .....(2) ∴ Sn = 4 ⎡ 10 (10n − 1) − n⎥⎦⎤ จะได้ b = −20, a = 5 หรอื b = −60, a = 45 9 ⎣⎢ 9 ∴ a1 = 5, r = −4 หรอื a1 = 45, r = −4 / 3 (50) ข้อนเี้ ปน็ อนุกรมเรขาคณติ อนนั ต์ (44) ( )160 1 − (3/2)n = 2,110 (50.1) 1 / 2 = 3 1 − 3/2 1− 1/ 3 4 → ⎛ 3 ⎞n − 1 = 2,110 → ⎛ 3 ⎞n = 243 (50.2) 1 / 2 = 1 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 320 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 32 1 − (−1 / 2) 3 ∴n = 5 (50.3) 100 = 1,000 1 − 0.1 9 (45) ก. 20 = 5 + 2d → d = 7.5 → (50.4) 3 = 9 หาคา่ a = S12 = 12 (5 + 5 + (11)(7.5)) = 555 1− 2/ 3 2 ข. 20 = 5 ⋅ r2 → r2 = 4 → r = −2 (50.5) 6 = 4 1 − (−1 / 2) (เพราะ y < 0 ) หาคา่ b = a6 = 5(−2)5 = −160 (50.6) หาคา่ ไมไ่ ด้ (ลูอ่ อก) ∴ a + b = 555 − 160 = 395 เพราะ r = 1 > 1 [ถา้ ใช้สตู รคดิ เลยทนั ทจี ะผิด] 0.9 (46) หาคา่ a โดย a = a − 2 a+3 a (51.1) (1/2)(1 − (0.8)10) ≈ 2.23 เมตร (Sn ) 1 − 0.8 → a2 = a2 + a − 6 → a = 6 1/2 ลําดบั คือ 9, 6, 4 (51.2) 1 − 0.8 = 2.5 เมตร (S∞ ) (52) 1 = 4 → x = 3 1− x 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 294 ลาํ ดับและอนกุ รม (53) 1 = 9 → 2x = 8 (57) (log 1 − log 2) + (log 2 − log 3) + ... 1 + 2x 9 1 − ⎛ 2x ⎞ + (log n − log(n + 1)) ⎜⎝ + 2x ⎠⎟ 1 = log 1 − log(n + 1) = − log(n + 1) → 2x = 8 → x = 3 (เพราะ log1 = 0) ดงั นน้ั อนกุ รมท่ีโจทย์ถามเปน็ อนกุ รมเรขาคณติ (58) ∞ ⎡5⎤ ∞ ⎡ 3 ⎤ ⎣⎢2n ⎦⎥ ⎣⎢ n(n + 1)⎦⎥ มคี า่ r = − log2 3 ซ่งึ น้อยกวา่ −1 ∑ −∑ n=1 ตอบ หาคา่ ไม่ได้ (เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต)์ n=1 (54) 1 + 2 + 3 + ... + n = n2 − 21 ( ) ( ) ( )= 5 + 5 + 5 + ... − 3 ⎡ 1− 1 + 1− 1 + ...⎥⎦⎤ 248 ⎢⎣ 1 2 23 → n(n + 1) = n2 − 21 แก้สมการได้ n = 7 = 5/2 − 3 = 5− 3 = 2 2 1− 1/2 ตอบ 1(1 − 28) = 255 (59.1) Sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1 1−2 2 4 8 2n (55) ∞ 1 Sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 3 + 2n − 1 2 4 8 16 2n 2n + 1 a1 + ∑ (an + 1−an) ลบกัน (โดยนําพจนท์ ่มี ีสว่ นเทา่ กนั ตง้ั ลบกนั ) ได้เปน็ n=1 = a1 + ( a 2 − a 1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + ... 1 Sn = 1 + ⎡2 + 2 + 2 + ... + 2 ⎤ − 2n − 1 a 2 2 2 ⎣⎢ 4 8 16 2n ⎦⎥ 2n + 1 a3 1 Sn = 1 + ⎡2/ 4 (1 − (1/2)n − 1)⎤ − 2n − 1 = a∞ ตอบ 1 2 2 2n + 1 ⎢⎥ (56.1) 1 ⎝⎜⎛ 1 1 ⎞⎟⎠ 1 ⎛⎝⎜ 1 1 ⎟⎞⎠ 1 ⎜⎛⎝ 1 1 ⎞⎠⎟ ⎢⎣ 1 − 1/2 ⎦⎥ 2 3 5 2 5 7 2 7 9 − + − + − + ... 1 1 ⎛ 1 ⎞n − 1 2n − 1 2 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 2n + 1 → Sn = + 1 − − = 1 ⎛⎜⎝ 1 ⎠⎟⎞ = 1 4 2n − 1 2n + 3 2 3 6 2n 2n 2n ∴ Sn = 1+ 2 − − = 3− ( ) ( ) ( )(56.2) 1 1 − 1 + 1 1 − 1 + ... + 1 1 − 1 (59.2) 2 + 3 + 4 + 5 + ... 21 3 23 5 2 59 61 S∞ = 1248 = 1 ⎝⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞⎠ = 30 1 2 3 4 5 2 61 61 2 2 4 8 16 → S∞ = + + + + ... (56.3) 1 ⎛ 1 1 − 3 1 ⎞ + 1 ⎛ 3 1 − 5 1 ⎞ ลบกัน ไดเ้ ปน็ 4 ⎜ ⋅3 ⋅5 ⎟ 4 ⎜ ⋅5 ⋅7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 1 1 1 2 1 ⎜⎛⎝ 2 4 8 + ...⎠⎞⎟ + 1 ⎛1 − 1⎞ + ... → S∞ = + + + 4 ⎜ 5 ⋅ 7 7 ⋅ 9 ⎟ = 2 + 1/ 2 = 3 → ⎝ ⎠ 1− 1/2 ∴ S∞ = 6 1 ⎛⎝⎜ 1 ⎞⎠⎟ 1 = 4 1 ⋅3 = 12 (60.1) 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ... (56.4) จากโจทย์จะได้ = 0.21 = 21 = 21 = 7 1 − 0.01 100 − 1 99 33 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 1⋅2⋅3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 (n)(n+1)(n+2) (60.2) 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + ... ดงั นนั้ = 0.6 + ⎛ 0.0104 ⎞ = 0.6 + 104 = 3,049 ⎜⎝ 1 − 0.001 ⎠⎟ 9,990 4,995 S20 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 1⋅2⋅3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 20 ⋅ 21 ⋅ 22 (60.3) 7 + 0.256 + 0.000256 + ... = 1 ⎛1 − 1⎞ + 1 ⎛1 − 1⎞ = 7 + 0.256 = 7 + 256 = 7,249 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⎠ ⎝ 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 ⎠ 1 − 0.001 999 999 (60.4) 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... 1 ⎛1 1⎞ + ... + 2 ⎜ − ⎟ = 2 + 0.9 = 2 + 1 = 3 ⎝ 20 ⋅ 21 21 ⋅ 22 ⎠ 1 − 0.1 = 1 ⎛⎜⎝ 1 1 − 21 1 ⎠⎟⎞ = 115 [หมายเหตุ 0.9999... = 1 ] 2 ⋅2 ⋅ 22 462 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 295 ลิมติ และความตอเนือ่ ง lim t t→0 º··èÕ 14 ÅiÁiµ/¤ÇÒÁµo e¹èo× § คณติ ศาสตร์สาขาแคลคลู สั (Calculus) ถูกใช้ ประโยชนใ์ นทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยอี ยา่ ง กว้างขวาง โดยเฉพาะในด้านฟสิ ิกส์ แนวคดิ พืน้ ฐาน ของวชิ าแคลคูลัสก็คือเร่อื งลิมติ ของฟงั กช์ ัน ซ่ึงจะได้ ศกึ ษาในบทเรยี นนี้ และขยายความไปสูอ่ นพุ ันธ์และ การอนิ ทิเกรตในบทถดั ไป.. ในบทเรียนเรือ่ งลําดับเคย ได้ศึกษาถงึ ลมิ ติ บ้างแลว้ ว่า การพจิ ารณาวา่ เมอื่ x มี คา่ เขา้ ใกล้จาํ นวนจริงคา่ ใดค่าหน่งึ แลว้ ฟังก์ชนั f(x) จะมีคา่ เข้าใกลค้ า่ ใด เรียกวา่ การหาลิมติ ของฟังกช์ ัน และค่าลมิ ิตทไี่ ด้จะเขียนเป็นสญั ลักษณว์ า่ lxi→ma f(x) ตวั อย่างเชน่ ฟังก์ชัน y = f (x) = x+3 พบวา่ เมือ่ x มีค่าเข้าใกล้ 5 (ไมว่ ่า x จะมากกวา่ หรือนอ้ ยกวา่ 5) แล้ว y จะมคี า่ เข้าใกล้ 8 ดงั นนั้ จงึ เขียนเปน็ สัญลกั ษณ์ lim f (x) = 8 x →5 การหาค่าลิมิตของฟังกช์ ันนน้ั มีรายละเอียดยอ่ ย 2 แบบ คือ ลิมติ ซ้าย (Left-handed limit) ซ่งึ หาไดจ้ ากกรณที ่ี x มคี ่าเขา้ ใกล้ a ทางด้านซ้าย (หรอื x < a ) และ ลิมิตขวา (Right- handed limit) ซงึ่ หาไดจ้ ากกรณที ่ี x มคี ่าเขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวา (หรือ x > a ) สัญลักษณ์ทีใ่ ช้แทนลิมิตซ้ายและลมิ ติ ขวา คอื lim f (x) กบั lim f (x) ตามลําดับ x → a− x → a+ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 296 ลิมิตและความตอเนือ่ ง ฟังก์ชันใดๆ จะมคี ่า lim f (x) = L กต็ ่อเมอื่ lim f (x) = lim f (x) = L เทา่ น้ัน แตถ่ ้า x→a x → a− x → a+ ลิมติ ซา้ ยกบั ลิมิตขวาไม่เทา่ กันจะกลา่ วว่า ไม่มีลมิ ิต 14.1 ทฤษฎบี ทเกยี่ วกับลมิ ติ lim c = c lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n x→a x→a x→a lim x = a lim n f (x) = n lim f (x) x→a x→a x→a lim xn = an lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) x→a x→a x→a x→a lim c f (x) = c lim f (x) lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x) x→a x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ÷ g(x)] = lim f (x) ÷ lim g(x) x→a x→a x→a • ตัวอยาง ใหห าคา ลมิ ิตในแตล ะขอ ตอ ไปนี้ ก. lim (x2+ x + 1) x → −1 ตอบ แทนคา x = −1 ลงไปไดเ ลย ไดล มิ ิตเทา กบั 1 * ข. ⎛ x3 − 8 ⎞ lim ⎝⎜⎜ x − 2 ⎟⎠⎟ x→0 วธิ ีคิด หากแทนคา x → 0+ (หรือมากกวา 0 เลก็ นอ ย) จะไดเ ปน (−8) /(− 2) = 4 2 แตเมื่อ x → 0− ( x นอยกวา 0 เล็กนอ ย) จะทําให x ไมม ีคา (ในรูทตดิ ลบ) สรปุ วาลมิ ิตขวาเปน 4 2 แตไมม ีลมิ ติ ซา ย ... ดงั น้ันคําตอบขอ นี้คือ ไมมีลมิ ติ ค. ⎛ x2 − 9 ⎞ lim ⎜⎝⎜ 3−x ⎠⎟⎟ x→3 วิธีคดิ เมื่อลองแทนคา x = 3 จะได 0/0 ทําใหไมท ราบคาํ ตอบ เราตอ งแยกคิดลมิ ิตซาย และลิมติ ขวา เพื่อใหถอดคาสมั บรู ณอ อกได (ตามนยิ ามของคา สัมบรู ณ) ลมิ ติ ซาย ทดลองแทนเลขทีน่ อยกวา 3 เล็กนอ ยลงไปเพือ่ ดูเครือ่ งหมายและถอดคาสมั บรู ณ xl→im3− ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3− ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3− (− (x + 3)) = −6 ⎜⎜⎝ 3−x ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ 3− x ⎟⎟⎠ ตอ มาลมิ ิตขวา ทดลองแทนเลขทีม่ ากกวา 3 เลก็ นอ ยลงไปเพือ่ ถอดคาสมั บรู ณ ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3+ ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3+ (x + 3) = 6 xl→im3+ ⎜⎜⎝ 3−x ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ x − 3 ⎟⎟⎠ พบวา ลิมติ ซายกบั ขวามีคาไมเ ทากนั ดงั นัน้ ขอ นี้ตอบ ไมม ีลมิ ิต ง. lim ⎛ 5 − 2x − 3 ⎞ x→4 ⎜⎜⎝ x − 4 ⎟⎟⎠ วธิ ีคดิ เมื่อลองแทนคา x = 4 กจ็ ะได 0/0 เราตอ งถอดคาสมั บูรณอ อกเชนเดมิ แตข อนี้บรเิ วณ x = 4 (ไมวา จะซายหรือขวา) นนั้ ถอดคา สมั บูรณไ ดแ บบเดียวคือ ⎛ 5 − 2x − 3 ⎞ = lim ⎛ −5 + 2x − 3 ⎞ = lim ⎛ 2x − 8 ⎞ = lim (2) = 2 x − 4 ⎠⎟⎟ ⎜ x −4 ⎟ ⎜ x−4 ⎟ x→4 ⎝ ⎠ x→4 ⎝ ⎠ x→4 ⎜⎜⎝... ตอบlim x→4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 297 ลิมติ และความตอเนือ่ ง จ. เมือ่xl→im5− f (x) f (x) = ⎪⎧ x /x , x < −4.99 ⎪⎨⎩− x /x , x > 4.99 วิธีคดิ ที่ x นอยกวา 5 เล็กนอ ย เชน 4.999999 จะตองใชเ งื่อนไขลา ง จะได ... ตอบxl→im5− f (x) = xl→im5− (− x / x) = xl→im5− (−1) = −1 ฉ. lim f (x) เมื่อ f (x) = ⎧x−4 , x < 6 ⎨ x →6 ⎩ x − 5 , x > 6 วิธีคดิ ลิมติ ซาย ( x นอ ยกวา 6 เล็กนอย) ใชเงือ่ นไขบน ไดเทากับ 2 ลิมิตขวา ( x มากกวา 6 เลก็ นอย) ใชเ งื่อนไขลาง ไดเทากบั 1 ... ดังน้นั ขอนีต้ อบวา ไมม ีลมิ ติ แบบฝึกหัด 14.1 (1) จากกราฟ จงหาค่า lim f (x) และ lim f (x) x → −1 x→1 (1.1) y (1.2) y O1 x 2 x -1 -1 1 -2 (2) จงหาคา่ ของ lim f (x) เม่ือ (2.2) f (x) = x3+2x2+x x →2 (2.1) f (x) = 1+x (3) จงหาค่าของ (3.1) lim ⎛ x2+1⎞ (3.3) lim ⎛ x x 1 ⎞ ⎜⎜⎝ x−3 ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ − ⎠⎟⎟ x→1 x→1 (3.2) lim x2+x S e¾ièÁeµiÁ! S x→3 ÃaÇa§ÊaºÊ¹¤Òí ÇÒ äÁÁÅÕ Ái iµ ¡ºa ËÒ¤ÒäÁä ´. . (4) จงหาคา่ ของ äÁÁÅÕ Ái iµ (ËÃ×oÅÁi µi äÁÁ ¤Õ Ò ) æ»ÅÇÒäÁä´e¢Ò ã¡Å¤Ò ã´e»¹ ¾ei ÈÉ (eª¹ ÅÁi µi «Ò ¡aºÅiÁµi (4.1) lim f (x) เมอื่ f (x) = ⎧x+1 , x<2 ¢ÇÒäÁe·Ò ¡a¹) ⎨⎩2 , x >2 æµ ËÒ¤Ò äÁä ´ æ»ÅÇÒ ÁÅÕ Ái µi e»¹ ∞ ¤Ãºa x →2 ( ∞ eÃÕ¡e»¹ ÀÒÉÒä·ÂÇÒ ËÒ¤ÒäÁä ´) (4.2) lim f (x) เม่ือ f (x) = ⎧x+2 , x>3 ⎨ x<3 x→3 ⎩ x −5 , (4.3) lim f (x) เมื่อ f (x) = ⎧⎪ x+5 , x>4 ⎨ x<4 x→4 ⎪⎩ 2x−5 , (4.4) lim f (x) และ lim f (x) เมื่อ f (x) = ⎧ x2, x<3 ⎨⎩2x , x>3 x→3 x→4 (5) จงหาค่าของ lim ⎛ [(x+h)2+1] − (x2+1)⎞ ⎝⎜⎜ h ⎟⎟⎠ h→0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 298 ลิมิตและความตอเนื่อง (6) [Ent’39] จงหาคา่ lim f (x) , lim f (x) , และ lim f (x) เม่อื f (x) = (x −2)2 x → 2− x → 2+ x →2 x−2 (7) [Ent’41] กําหนดให้ f (x) = x2−9 จงหาค่า lim f (x) และ lim f (x) x−3 x → −3 x→3 ⎧ x2, x > 1 จงหาคา่ lim f (x2) + lim ⎡ f (x−1)⎤ x → 0− x → 1+ ⎢ ⎥ * (8) [Ent’มี.ค.43] f (x) = ⎨⎪x-1, 0 < x < 1 ⎣ x+2 ⎦ ⎩⎪ 0 , x < 0 14.2 ลิมติ ในรูปแบบยงั ไม่กาํ หนด ตวั อยา่ ง หาคา่ lim f (x) เม่ือ f (x) = x2 − 9 x→3 x − 3 ในตัวอยา่ งน้ี จะพบวา่ ไมส่ ามารถหาลมิ ิตด้วยทฤษฎีบทไดใ้ นทนั ที เพราะจะให้ผลเปน็ 0 ซงึ่ 0 เรยี กว่า รูปแบบยังไมก่ าํ หนด (indeterminate form) คอื ยงั สรุปไม่ได้วา่ ค่าลิมติ เป็นเท่าใด วธิ คี ดิ lim x2 − 9 = lim (x+3)(x−3) = lim (x+3) =6 x→3 x − 3 x→3 x − 3 x→3 เทคนิคการคาํ นวณทใ่ี ช้คอื พยายามให้ x−3 ในเศษและส่วนมาตัดกนั เพ่ือไมใ่ ห้เหลอื ตัวประกอบใน เศษและส่วนเป็นเลข 0 (ในตวั อยา่ งใช้วิธแี ยกตวั ประกอบ แตน่ อกจากนยี้ งั มอี ีกหลายเทคนิค เช่นการ นําพหุนามมาคูณทงั้ เศษและส่วนตามความเหมาะสม) สาเหตุท่ีเราสามารถกําจัด x−3 ท้ังเศษและส่วนได้ y ก็เพราะการหาลิมิตนนั้ ไม่ได้คํานงึ ถงึ ตําแหน่งที่ x = 3 อยแู่ ลว้ 6 x จะเหน็ ว่าตัวอยา่ งนแี้ ม้ f (3) จะหาค่าไม่ได้ แต่ lim กย็ งั หาค่าได้ O3 x→3 (เท่ากบั 6) (ดูกราฟประกอบ) • ตวั อยา ง ใหหาคา ลิมติ ในแตล ะขอ ตอ ไปนี้ ก. ⎛ ⎜⎝⎜ x2 + 9 − 5 ⎞ lim x−4 ⎠⎟⎟ x→4 วธิ ีคดิ เมื่อลองแทนคา x = 4 จะพบวา อยูใ นรูปแบบ 0/0 ทาํ ใหยงั ไมท ราบคําตอบ ขอนี้มีรากทีส่ อง เราจงึ จดั รปู ใหมโ ดยใช x2+ 9 + 5 คณู ทัง้ เศษและสวน (เพือ่ ใหรูทหายไป) ตามกฎที่วา (A − B)(A + B) = A2− B2 ... จะได ⎛ ⎝⎜⎜ x2 + 9 − 5 ⎞ ⎛ x2 + 9 + 5 ⎞ = ⎛ x2 + 9 − 25 ⎞ lim x−4 ⎠⎟⎟ ⎜ ⎟ lim ⎜ ⎟ ⎝⎜ x2 + 9 + 5 ⎠⎟ x → 4 ⎝⎜(x − 4)( x2 + 9 + 5)⎠⎟ x→4 ⎛ x2 − 16 ⎞ ⎛ x+4 ⎞ = 8 ⎜⎜⎝ (x 4)( x2 + 9 5)⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ x2 + 9 + 5 ⎟⎠⎟ 10 ... ตอบ= = lim lim − + x→4 x→4 ⎛ x2 + 2x − 3 + 9 − x ⎞ ข. lim ⎜ ⎟ x→0 ⎝ x ⎠ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 299 ลิมติ และความตอเนือ่ ง วิธีคดิ เมือ่ ลองแทนคา x = 0 จะพบวา อยใู นรูปแบบ 0/0 เชนกัน ใชวธิ ีจดั รปู เหมือนขอ ก. ⎛ 3− 9−x⎞ ⎛3− 9−x⎞ lim ⎜ x + 2 − ⎟ = lim (x + 2) − lim ⎜ ⎟ x→0 ⎝ x ⎠ x→0 x→0 ⎝ x ⎠ ⎛3− 9−x⎞⎛3+ 9 − x ⎞ 2 lim ⎛ 9 − (9 − x) ⎞ = 2 − lim ⎜ ⎟ ⎜⎝⎜ 9 − x ⎟⎠⎟ = − ⎜ (x)(3 + 9− x)⎠⎟ x→0 ⎝ x ⎠ 3 + x→0 ⎝ = 2 − lim ⎛ x ⎞ = 2 − lim ⎛ 1 ⎞ = 2− 1 = 11 ⎜ + ⎟ ⎜ 9− ⎟ 6 6 x→0 ⎝ (x)(3 9 − x) ⎠ x→0 ⎝ 3 + x ⎠ ⎛ 3 2 − 3 x ⎞ ⎜⎜⎝ 2 − x ⎠⎟⎟ ค. lim x →2 วธิ ีคิด โจทยร ปู แบบ 0/0 ขอ นีม้ ีรากที่สาม ดงั น้ันพจนท ีน่ ํามาคณู เพือ่ ใหร ทู หายไป จะตา งจากเดมิ ตาม กฎที่วา (A − B)(A2+ AB + B2) = A3− B3 ... และขอ นี้ตองคณู ถึงสองรอบ เพราะตัวสว นกม็ ีรากที่สองดวย ⎛ 3 2 − 3 x ⎞ ⎛ 22/ 3+ (2x)1/ 3+ x2/3 ⎞ ⎛ 2+ x⎞ ⎛ 2 − x ⎞ ⎛ 2+ x ⎞ ⎜⎜⎝ 2 − x ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 22/ 3+ (2x)1/ 3+ x2/3 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2+ x ⎟⎟⎠ ⎜ 2 − x ⎟ ⎜⎜⎝ (2x)1/ 3+ ⎟⎟⎠ lim = lim ⎝ ⎠ 22/ 3+ x 2/ 3 x →2 x →2 = lim ⎛ 22/ 3+ 2+ x x2/3 ⎞ = 2+ 2 = 22 = 25/6 ⎝⎜⎜ (2x)1/ 3+ ⎟⎟⎠ 22/ 3+ 22/ 3+ 22/ 3 3 × 22/3 3 x →2 เพม่ิ เติม จากเนอื้ หาเรือ่ งอนพุ ันธ์ บทที่ 15 S ¨u´·¼èÕ i´ºoÂ! S การหาลมิ ิตในรปู แบบยังไมก่ ําหนด มีวธิ กี ารคํานวณอกี ¹o §æ Á¡a ¢eéÕ ¡Õ¨e¢Õ¹¤Òí ÇÒ xli→m, ¹Òí ˹ÒæµÅaºÃ÷´a ã¹eÇÅÒ แบบซึง่ ง่ายขนึ้ เรยี กว่า กฎของโลปตี าล (L’Hôpital’s ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·íÒ ... «§èÖ ¶Ò äÁe¢Õ¹¹o¡¨Ò¡¨a¼´i ¤ÇÒÁËÁÒ Rule) ไดอ้ ธบิ ายไว้ท้ายบทน้ีแลว้ (ในหนา้ แถม) æÅÇ Âa§oÒ¨Å×Áæ·¹¤ÒµaÇeÅ¢´Ç ¤Òí µoº¡¨ç a¼i´¹a¤Ãaº แบบฝกึ หดั 14.2 (9) หาคา่ ของลมิ ติ ตอ่ ไปน้ี (9.1) lim ⎛ x2−4 ⎞ (9.3) lim ⎛ x2−2x−3 ⎞ ⎜⎜⎝ x−2 ⎠⎟⎟ x → −1 ⎜⎜⎝ x2+4x+3 ⎟⎟⎠ x →2 (9.2) lim ⎛ x2−4 ⎞ (9.4) lim ⎛ x−a ⎞ x→2 ⎜⎜⎝ x2+x−6 ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ x2−a2 ⎟⎠⎟ x→a (10) หาค่าของลมิ ิตต่อไปน้ี (10.1) lim ⎛ 1− x ⎞ (10.4) lim ⎛ 2x ⎞ ⎝⎜⎜ 1−x ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ x+9 −3 ⎠⎟⎟ x→1 x→0 (10.2) lim ⎛ x −1 ⎞ (10.5) lim ⎛ x+1 −1⎞ ⎜⎝⎜ 2− x+3 ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ x ⎠⎟⎟ x→1 x→0 (10.3) lim ⎛ x−2 −1⎟⎟⎞⎠ (10.6) lim ⎛ x− 2⎞ ⎜⎝⎜ x−3 ⎜⎝⎜ x2−2x ⎠⎟⎟ x→3 x→2 (11) [Ent’ม.ี ค.44] ⎛ x2+3 −2 ⎞ มคี ่าเท่ากบั เท่าใด lim ⎜ ⎟ x → 1 ⎝⎜ x−1 ⎠⎟ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 300 ลิมิตและความตอเนื่อง (12) จงหาค่าของ (12.1) lim ⎛ x3−1⎞ (12.3) lim ⎛ 1−x −3 ⎞ ⎜⎝⎜ x2−1⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2 + 3 x ⎟⎟⎠ x→1 x → −8 (12.2) lim ⎛ 3 x−1 −1⎞ (12.4) lim ⎛ 4 x −1⎞ ⎝⎜⎜ x − 2 ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ 3 x −1⎟⎟⎠ x →2 x→1 ⎧ x −1 , x<1 ⎪ 1−x x>1 (13) [Ent’38] จงหาคา่ lim f (x) + lim f (x) เมื่อ f (x) = ⎪ x → 1+ ⎨ x → 1− ⎪ 1-x , ⎩⎪1− x 14.3 ความต่อเนอื่ งของฟงั กช์ นั การพิจารณาความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ กค็ อื การบอกวา่ กราฟของฟังก์ชันขาด ตอนที่จดุ นั้นหรอื ไม่ โดยสาํ หรับฟงั กช์ นั f (x) ใดๆ จะต่อเนอื่ งท่ี x = a ก็ตอ่ เมือ่ lim f (x) = f (a) = lim f (x) เทา่ นนั้ (และตอ้ งหาค่าได้ท้ังสามตวั ) x → a− x → a+ นยิ ามของ ความตอ่ เน่ืองบนช่วง 1. ฟงั ก์ชัน f (x) ต่อเนื่องบนชว่ งเปิด (a, b) กต็ อ่ เมื่อ f (x) ต่อเนอ่ื งทุกๆ จุดในช่วง (a, b) 2. ฟงั ก์ชัน f (x) ตอ่ เนื่องบนชว่ งปิด [a, b] กต็ อ่ เมอ่ื f (x) ตอ่ เนอื่ งบนช่วง (a, b) , ต่อเน่ืองทางขวา ของ a [คอื f (a) = lim f (x) ], และตอ่ เนอื่ งทางซ้ายของ b [คือ f (b) = lim f (x)] x → a+ x → b− ⎧ f (x) , x < 1 • ตวั อยา ง กาํ หนดให f (x) = mx + 1 เมื่อ m เปน คาคงตวั และ g(x) = ⎪⎨f (x+1) , x > 1 ⎪ ⎩ −1 ,x=1 ก. ถา g(x) มีลมิ ิตที่ x = 1 แลว m มีคาเทาใด วิธีคดิ g(x) มีลมิ ิตที่ x = 1 แสดงวา xl→im1− g(x) = xl→im1+ g(x) ... นนั่ คือ f (1) = f (1 + 1) f (1) = f (2) → m + 1 = 2 m + 1 → m = 0 ... ตอบ ข. ถา g(x) ตอ เนื่องในชวง [0, 1] แลว m มีคา เทา ใด วธิ ีคดิ g(x) ตอ เนื่องในชวง [0, 1] แสดงวา xl→im1− g(x) เทากบั g(1) ... นัน่ คือ f (1) = −1 → m + 1 = −1 → m = −2 ... ตอบ ค. ถา g(x) ตอเนือ่ งในชว ง [1, 2] แลว m มีคา เทาใด วธิ ีคดิ g(x) ตอ เนือ่ งในชว ง [1, 2] แสดงวา xl→im1+ g(x) เทากับ g(1) ... นนั่ คือ f (2) = −1 → 2 m + 1 = −1 → m = −1 ... ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 660
Pages:
