MATH ebook

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 301 ลมิ ิตและความตอเนือ่ ง แบบฝึกหัด 14.3 (14) ฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้ มีความตอ่ เนือ่ งที่ x = 2 หรอื ไม่ (14.1) f (x) = x3−8 (14.2) f (x) = ⎧ x2−4 , x≠2 x−2 ⎪ x−2 x=2 ⎨ ⎪⎩ 4 , (15) ฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปน้มี ีความต่อเน่ืองทจี่ ดุ ใดบา้ ง (15.1) f (x) = ⎧⎪ x2−x , x≠0 (15.3) h (x) = ⎪⎧ x , x≠0 ⎨ x ⎨x ⎩⎪ 1 , x = 0 ⎪⎩ 2 , x = 0 (15.2) ⎧ x2−9 , x≠3 ⎪ x=3 g(x) = ⎨ x−3 ⎪⎩ 2 , (16) ฟังก์ชนั f (x) = x+1 ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = −1 หรือไม่ ⎧ −3/2 , x < −1 (17) [Ent’ม.ี ค.42] กาํ หนดให้ f (x) = ⎪⎨⎪⎪22x(2x++x1−)1 , −1 < x < 1 แล้ว ขอ้ ความใดถกู บ้าง ⎪ ⎪ 1− x , x>1 ⎩⎪ 1−x ก. f ตอ่ เนอื่ งท่ี x = −1 ข. f ต่อเนื่องท่ี x = 1 ⎧ 1, 0<x<1 ⎪ 3x+1 ⎪⎪ x = 1 แล้ว ขอ้ ความใดถูกบ้าง (18) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้ f (x) = ⎨ 1, ⎪ 2− 5−x x>1 ⎪ , ⎩⎪ x−1 ก. lim f (x) = lim f (x) ข. f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องท่ี x = 1 x → 1− x → 1+ ⎧3x+a , x = 2 (19) จงหาค่า a ทท่ี ําให้ฟงั ก์ชนั ⎪ มคี วามต่อเนือ่ งท่ี x = 2 f (x) = ⎨ x2−4 , x≠2 ⎩⎪ x−2 (20) จงหาคา่ b ท่ีทาํ ใหฟ้ ังก์ชนั f (x) = ⎧ 1−x2 , x ∈ (−∞, 1) เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่อื ง ⎨ x+b , x ∈ [1, ∞) ⎩ ⎧ 2, x<1 ⎪ (21) จงหาคา่ b ทีท่ าํ ให้ f (x) = ⎪ x−5 , 1< x <2 ตอ่ เนื่องที่ x = 2 ⎨ x−2 −b ⎪ ⎪⎩ x2−5 , x>2 และถามวา่ ค่า b ทไี่ ด้น้ีทาํ ให้ f (x) ตอ่ เน่อื งที่ x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด ⎧ ax , x < 1 (22) ถา้ ฟังกช์ ัน ⎪ x=1 ต่อเนอ่ื งทีจ่ ดุ ซงึ่ x = 1 แลว้ จงหาค่า a, b f (x) = ⎨ 4, ⎩⎪x+b , x > 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 302 ลิมิตและความตอเนื่อง (23) จงหาคา่ h, k ในแตล่ ะข้อ เมือ่ ฟังก์ชันที่กาํ หนดให้นี้มคี วามต่อเน่อื งบนชว่ ง [1, 3] ⎧(x−2)2 , x >2 ⎧ h, x=1 ⎪ x=2 (23.1) f (x) = ⎪ x2−4 (23.2) f (x) = ⎪⎪ x+1 , 1< x < 3 ⎨ ⎨ ⎪ h, ⎪ x2−4x ⎪⎩ 2x+k , x < 2 ⎪⎩ k , x=3 (24) [Ent’37] กาํ หนดให้ f (x) = x3−2x2−x+2 ถา้ ตอ้ งการให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนอื่ งบนเซตของ x2−1 จาํ นวนจริงแล้ว จะตอ้ งนยิ ามเพิม่ เติมให้ f (−1) และ f (1) มีคา่ เท่าใด (25) [Ent’ต.ค.42] กําหนดให้ f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื ง โดยที่ f (x) = x3−x2−4x+4 เมอื่ x ≠ ±2 4−x2 และ f (2) = a, f (−2) = b แลว้ a และ b มคี ่าเท่าใด เฉลยแบบฝกึ หดั (คาํ ตอบ) (1.1) –1, ไม่มี (9.4) 1/2a (10.1) 1/2 (15.2) ทกุ จุดยกเวน้ ท่ี x = 3 (1.2) 0, ไมม่ ี (2.1) 3 (2.2) 18 (10.2) –4 (10.3) 1/2 (15.3) ทกุ จดุ ยกเว้นที่ x = 0 (3.1) –1 (3.2) 12 (10.4) 12 (10.5) 1/2 (16) ต่อเนอื่ ง (3.3) หาคา่ ไม่ได้ (4.1) ไมม่ ี (10.6) 1/4 2 (11) 1/2 (17) ก.ถูก และ ข.ถูก (4.2) ไมม่ ี (4.3) 3 (4.4) ไม่มี, 8 (5) 2x (12.1) 3/2 (12.2) 1/3 (18) ก.ถกู และ ข.ผิด (6) –1, 1, ไมม่ ี (12.3) –2 (12.4) 3/4 (19) –2 (20) –1 (7) 0, ไม่มีลมิ ติ (13) 0 + (−2) = −2 (21) 3, ไมต่ อ่ เนอื่ งที่ x = 1 (8) –4/3 (9.1) 4 เพราะลมิ ติ ซา้ ยไมเ่ ท่ากับขวา (9.2) 4/5 (9.3) –2 (14.1) ไม่ต่อเนอื่ ง เพราะไมม่ ี f (2) (22) 4, 3 (23.1) 0, –4 (23.2) –2/3, –4/3 (14.2) ตอ่ เนอ่ื ง (15.1) ทกุ จุดยกเว้นท่ี x = 0 (24) –3, –1 (25) –1, 3 เฉลยแบบฝกึ หดั (วิธคี ดิ ) (1.1) พจิ ารณาจากกราฟ ที่ x = −1 (2.2) lim f(x) = 8 + 8 + 2 = 18 x →2 กราฟผา่ นจดุ (−1, −1) ทง้ั ทางซา้ ยและขวา (3.1) 1 + 1 = −1 ดังนน้ั lim f(x) = −1 1− 3 x → −1 (3.2) 9 + 3 = 12 แตท่ ่ี x = 1 กราฟแยกกนั (3.3) 1 คอื หาคา่ ไมไ่ ด้ (∞) lim f(x) = −1 และ lim f(x) = 0 0 x → 1− x → 1+ (4) ในขอ้ นี้มีการแยกกรณี จึงตอ้ งพจิ ารณาซา้ ยและ ดงั นนั้ lim f(x) ไม่มีคา่ (ไม่มีลิมิต) ขวาแยกกนั x→1 (4.1) lim f(x) = 2 + 1 = 3 (1.2) lim f(x) = 0 แต่ lim f(x) ไมม่ ีค่า x → 2− x → −1 x→1 แต่ lim f(x) = 2 ดงั นนั้ ไมม่ ลี ิมติ (เนอ่ื งจาก lim f(x) = 2 และ lim f(x) = −2 ) x → 2+ x → 1− x → 1+ (4.2) lim f(x) = 3 − 5 = −2 (2) และ (3) สามารถแทนคา่ ไดเ้ ลย ไม่มีปญั หา x → 3− เพราะฟงั ก์ชันเปน็ ฟังก์ชันเดียว (ไมแ่ ยกเงือ่ นไข และ แต่ lim f(x) = 3 + 2 = 5 ดงั นนั้ ไมม่ ลี มิ ิต x → 3+ ไมต่ ิดคา่ สมั บูรณ)์ (2.1) lim f(x) = 1 + 2 = 3 x→2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 303 ลมิ ติ และความตอเนือ่ ง (4.3) lim f(x) = 8 − 5 = 3 (8) lim f(x2) พจิ ารณาวา่ x → 0 ทางซา้ ย x → 4− x → 0− และ lim f(x) = 4 + 5 = 3 ดังนน้ั x2 → 0 ทางขวา จึงตอ้ งเลอื กใช้กรณกี ลาง x → 4+ มาคิด (0 < x < 1) ได้เป็น จงึ ตอบว่า lim f(x) = 3 lim f(x2) = lim (x2 − 1) = −1 x→4 x → 0− x → 0− (4.4) lim f(x) = 32 = 9 และเช่นกนั lim ⎛ f(x − 1)⎞ ถ้า x→1 ทางขวา x → 3− ⎝⎜ x + 2 ⎠⎟ x → 1+ แต่ lim f(x) = 2(3) = 6 ดงั นนั้ lim f(x) ไม่มี x → 3+ x→3 จะได้วา่ x − 1 → 0 ทางขวา จงึ ใช้กรณกี ลาง ส่วน lim f(x) มี เทา่ กับ 2(4) = 8 x→4 เชน่ เดิม ไดเ้ ปน็ (พิจารณาที่ x ใกล้ๆ 4 จึงมองเพียงกรณลี ่าง คอื lim ⎛ f(x − 1)⎞ = lim ⎝⎜⎛ x − 1 − 1⎠⎟⎞ = − 1 ⎜⎝ x + 2 ⎠⎟ x + 2 3 x > 3 เทา่ นนั้ ) x → 1+ x → 1+ (5) แทนคา่ ยงั ไมไ่ ดเ้ พราะเปน็ 0 ดงั นนั้ ตอบ −1 − 1 = − 4 0 33 จงึ ควรกระจายกอ่ น (9.1) lim (x − 2)(x + 2) = lim(x + 2) = 4 ⎛ x2 + 2xh + h2 + 1− x2 − 1⎞ x →2 x −2 x→2 ⎝⎜ h ⎟⎠ lim (9.2) lim (x − 2)(x + 2) = lim ⎛ x + 2⎞ = 4 x → 2 (x − 2)(x + 3) ⎝⎜ x + 3 ⎠⎟ 5 h→0 x →2 = lim ⎛ 2xh + h2 ⎞ = lim(2x + h) = 2x (9.3) lim (x + 1)(x − 3) = −4 = −2 ⎝⎜ h ⎟⎠ x → −1 (x + 1)(x + 3) 2 h→0 h→0 (6) f(x) = (x − 2)2 = x − 2 (9.4) lim x − a = 1 x −2 x −2 x → a (x − a)(x + a) 2a หา lim f(x) โดยมองที่ x < 2 เล็กนอ้ ย x → 2− (10.1) lim 1 − x = 1 = 1 x → 1 (1 − x)(1 + x) 1 + 1 2 จึงถอดคา่ สมั บรู ณอ์ อกได้ แตต่ อ้ งตดิ ลบ (เพราะ x − 2 < 0 ) หรืออกี วธิ หี นง่ึ lim ⎛ 1− x ⎞ ⎛1 + x⎞ ⎝⎜ 1− x ⎠⎟ ⎜ + ⎟ → lim −(x − 2) = lim (−1) = −1 x→1 ⎝ 1 x ⎠ x → 2− x − 2 x → 2− = lim 1− x =1 และหา lim f(x) โดยมองที่ x > 2 เลก็ นอ้ ย x → 1 (1 − x)(1 + x) 2 x → 2+ x−1 ⎛ 2 + x + 3 ⎞ จึงถอดคา่ สมั บูรณไ์ ด้เลยทนั ที (10.2) lim ⎜ ⎟ x → 1 (2 − x + 3) ⎝ 2 + x + 3 ⎠ (เพราะ x − 2 > 0 ) = lim (x − 1)(2 + x + 3) ดังนน้ั lim f(x) = −1 , lim f(x) = 1 , x→1 1 − x x → 2− x → 2+ และ lim f(x) ไมม่ ีคา่ = lim − (2 + x + 3) = −4 x →2 x→1 (7) lim f(x) แทนคา่ x = −3 ไดท้ นั ทไี ม่มีปญั หา (10.3) ⎛ x − 2 − 1⎞ ⎛ x − 2 + 1⎞ x → −3 lim ⎜ ⎟⎠ ⎜ ⎟ x→3 ⎝ x−3 ⎝ ไดเ้ ป็น 0 = 0 x − 2 + 1⎠ −6 = lim (x − 3) =1 แต่ lim f(x) แทนเลยไมไ่ ด้เพราะเปน็ 0 x → 3 (x − 3)( x − 2 + 1) 2 x→3 0 (10.4) ⎛ 2x ⎞ ⎛ x + 9 + 3⎞ ⎝⎜ +9 3 ⎠⎟ ⎜ จงึ ตอ้ งถอดคา่ สัมบรู ณ์ เพอ่ื แยกตวั ประกอบมาตดั กนั lim x − ⎝ x + 9 + 3 ⎟ ⎠ x→0 lim f(x) = lim − (x2 − 9) = lim (2x)( x + 9 + 3) x → 3− x → 3− x − 3 x→0 x = lim − (x + 3) = −6 = lim 2( x + 9 + 3) = 12 x → 3− x→0 แต่ lim f(x) = lim (x2 − 9) = 6 (10.5) lim ⎛ x + 1 − 1⎞ ⎛ x + 1 + 1⎞ x → 3+ x → 3+ x − 3 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ x + 1 + 1⎟⎠ x→0 x ⎝ ดงั นนั้ lim f(x) ไมม่ คี ่า x→3 = lim x = 1 x → 0 (x)( x + 1 + 1) 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 304 ลิมติ และความตอเนื่อง (10.6) lim ⎛ x − 2⎞⎛ x+ 2⎞ (14.1) แมว้ ่าจะหา lim f(x) ไดโ้ ดยการแยกตวั ⎜ x2 ⎟⎜ x+ ⎟ x →2 x →2 ⎝ − 2x ⎠ ⎝ 2⎠ ประกอบ (ได้เปน็ 12) แตท่ ่จี รงิ แล้ว f(2) ไมน่ ิยาม = lim (x − 2) =1 ดงั นนั้ ไมต่ อ่ เนอื่ ง ที่ x = 2 x →2 (x)(x − 2)( x + 2) (2)(2 2) (14.2) f(2) = 4 (กรณลี า่ ง) =1 หา lim f(x) โดยกรณีบน ไดเ้ ป็น 42 x →2 (11) ⎛ x2 + 3 − 2 ⎞ ⎛ x2 + 3 + 2 ⎞ lim(x + 2) = 4 ดังน้นั ตอ่ เนือ่ ง ที่ x = 2 lim ⎜ x−1 ⎟ ⎜⎜⎝ x2 + 3 + 2 ⎟⎟⎠ x→1 ⎝ ⎠ x →2 (x2 − 1) (15) ฟังกช์ นั ท่ัวไปจะไม่ต่อเนอื่ งแคเ่ พียงบางจดุ การ = lim หาว่าต่อเน่ืองทจ่ี ดุ ใดบา้ ง ควรหาในแงก่ ลบั กันวา่ “จดุ x → 1 (x − 1)( x2 + 3 + 2) ใดไม่ตอ่ เนือ่ งบ้าง” แลว้ ตอบวา่ “ตอ่ เนอื่ งทกุ จดุ ยกเวน้ = lim (x + 1) = 2 = 1 ที่ ......” และจุดท่ีมปี ัญหามักเปน็ จุดท่แี ยกกรณพี อดี x → 1 ( x2 + 3 + 2) 4 2 เช่นขอ้ (15.1) ควรพิจารณาเฉพาะทจี่ ดุ x = 0 (12.1) lim (x − 1)(x2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 (15.1) f(0) = 1 x → 1 (x − 1)(x + 1) 1+ 1 และ lim f(x) = lim x(x − 1) = 0 − 1 = −1 =3 x→0 x→0 x 2 ดังนน้ั ตอบวา่ ตอ่ เน่อื งทุกจดุ ยกเวน้ ทจี่ ุดซึง่ x = 0 ⎛ 1⎞ ⎛⎜⎝⎜ ((xx 1)2 / 3 1)1/ 3 ⎞ (12.2) lim ⎜ 3 x−1− ⎟ − 1)2 / 3 + (x − 1)1/ 3 + 1 ⎠⎟⎟ (15.2) g(3) = 2 x →2 ⎝ x −2 ⎠ − + (x − + 1 และ lim g(x) = lim (x − 3)(x + 3) = 6 (x − 2) x→3 x → 3 (x − 3) = lim − 2)((x − 1)2/ 3 +(x − 1)1/ 3 + 1) x → 2 (x ต่อเนือ่ งทุกจุดยกเว้นจดุ ซง่ึ x = 3 = 1 =1 (15.3) h(x) = ⎨⎪⎧−11,, x>0 1+ 1+ 1 3 x<0 ⎩⎪ 2, x = 0 (12.3) แสดงวา่ ลมิ ติ ซา้ ย, ขวา, และคา่ ฟงั กช์ ัน ไม่เท่ากันเลย ⎛ 1 − x − 3 ⎞ ⎛ 1 − x + 3 ⎞ ⎛ 4 − 23 x + x2/ 3 ⎞ lim ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ จึงตอบวา่ ตอ่ เนอ่ื งทกุ จดุ ยกเวน้ ทจ่ี ุดซง่ึ x = 0 ⎝x → −8 2+ 3 x ⎠⎝ 1− x + 3 ⎠ ⎝ 4 − 23 x + x2 / 3 ⎠ = lim (−x − 8)(4 − 23 x + x2/ 3) (16) f(−1) = 0 = 0 x → −8 (8 + x)( 1 − x + 3) lim f(x) = lim − (x + 1) = −0 = 0 x → −1− x → −1− = lim − ⎛ 4 − 23 x + x2/ 3 ⎞ และ lim f(x) = lim (x + 1) = 0 ⎜ ⎟ x → −1+ x → −1+ x → −8 ⎝ 1 − x + 3 ⎠ ดังนนั้ ต่อเนอ่ื ง ที่ x = −1 = − 4 + 4 + 4 = −2 3+3 (17) ก. พิจารณาที่ x = −1 คอื กรณบี นกบั กลาง (12.4) lim ⎛ 4 x − 1⎞ ⎛ 4 x + 1 ⋅ x + 1 ⎞ ⎛ x2/ 3 + x1/ 3 + 1 ⎞ (กรณบี น บอกลมิ ติ ซา้ ยและคา่ f, สว่ นกรณีกลาง x→1 ⎝⎜ 3 x − 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 x + 1 x + 1 ⎟⎠ ⎜ x2 / 3 + x1/ 3 + ⎟ บอกลมิ ติ ขวา) ⎝ 1⎠ lim f(x) = f(−1) = − 3 = lim (x − 1)(x2/ 3 + x1/ 3 + 1) x → −1− 2 (x − 1)(4 x + 1)( + 1) x→1 x และ lim f(x) = lim 2x2 + x − 1 = 1+ 1+ 1 = 3 x → −1+ x → −1+ 2(x + 1) (1 + 1)(1 + 1) 4 = lim (x + 1)(2x − 1) = − 3 ดงั นน้ั ก. ถูก (13) lim f(x) = lim x − 1 = lim x−1 x → −1+ 2(x + 1) 2 x → 1− x → 1− 1 − x x → 1− 1− x ข. พจิ ารณาที่ x = 1 คอื กรณีกลางกบั ลา่ ง จะไดว้ ่า = lim −(1 − x) = lim − 1 − x = 0 x → 1− 1 − x x → 1− lim f(x) = f(1) = 2(1)2 + 1 − 1 = 1 และ lim f(x) = lim 1 − x = lim −(1 − x) x → 1− 2(1 + 1) 2 x → 1+ x → 1+ 1 − x x → 1+ 1 − x และ lim f(x) = lim ⎛1 − x⎞ = x → 1+ ⎝⎜ 1 − x ⎠⎟ = lim −(1 − x)(1 + x) = lim − (1 + x) x → 1+ x → 1+ 1− x x → 1+ lim 1 − x = 1 ดงั นนั้ ข. ถูก x → 1+ (1 − x)(1 + x) 2 = −2 ดังนนั้ ตอบ 0 − 2 = −2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 305 ลิมิตและความตอเนือ่ ง (18) ก. ลิมติ ซา้ ยคอื กรณบี น (23.1) ตอ่ เน่ืองบนช่วง [1,3] แสดงวา่ ต่อเน่ืองทจี่ ดุ x = 2 ดว้ ย lim f(x) = 1 = 1 x → 1− 3(1) + 1 4 lim f(x) = f(2) ลมิ ิตขวาคอื กรณลี ่าง x → 2− lim f(x) = lim ⎛2 − 5− x ⎞ ⎛2 + 5− x⎞ ⎡ lim (x − 2)(x − 2) = 0 = 0⎦⎥⎤ = h ⎝⎜ x −1 + ⎢⎣ (x − 2)(x + 2) 4 x → 1+ x → 1+ ⎠⎟ ⎜ ⎟ x → 2− ⎝ ⎠ 2 5 − x → h=0 = lim (x − 1) = 1 ดงั นน้ั ก. ถกู และ lim f(x) = f(2) → 2(2) + k = 0 x → 2+ x → 1+ (x − 1)(2 + 5 − x) 4 ข. ผิด เพราะ f(1) = 1 ไม่เท่ากับลิมติ ในขอ้ ก. → k = −4 (จงึ ไม่ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 1) (23.2) ต่อเน่ืองบนชว่ ง [1,3] แสดงวา่ (19) lim f(x) = f(2) ต่อเนือ่ งทางขวาของ 1 และทางซา้ ยของ 3 ดว้ ย x→2 ดงั นน้ั f(1) = lim f(x) → h = 1 + 1 = − 2 → ⎢⎣⎡xli→m2 (x − 2)(x + 2) = 4⎦⎥⎤ = 3(2) + a x → 1+ 1−4 3 x+2 และ f(3) = lim f(x) → k = 3 + 1 = − 4 → a = −2 x → 3− 9 − 12 3 (20) lim f(x) = f(1) → 1 − 12 = 1 + b (24) พิจารณา f(x) = (x2 − 1)(x − 2) = x −2 x → 1− (x2 − 1) → b = −1 เมอื่ x ≠ 1, −1 (21) ตอ่ เนอื่ งท่ี x = 2 แสดงว่า ต้องการใหต้ อ่ เนอื่ ง จงึ ตอ้ งนยิ ามให้ lim f(x) = f(2) → 2 − 5 = 22 − 5 f(−1) = lim f(x) = −1 − 2 = −3 x → 2− 2−2 −b x → −1 → 3 = −1 → b = 3 และให้ f(1) = lim f(x) = 1 − 2 = −1 −b x→1 และพจิ ารณาท่ี x = 1 บ้าง ... f(1) = 2 และ (25) พิจารณา f(x) = (x2 − 4)(x − 1) = 1− x (4 − x2) lim f(x) = 1 − 5 = 4 = −2 x → 1+ 1−2 −3 1−3 เมื่อ x ≠ 2, −2 แสดงว่า คา่ b = 3 ทาํ ให้ f(x) ไมต่ ่อเน่ือง ที่ ถ้าตอ้ งการใหต้ อ่ เน่อื งจงึ ต้องนิยามให้ x = 1 เพราะ f(1) ≠ lim f(x) f(2) = a = lim f(x) = 1 − 2 = −1 x → 1+ x→2 (หรอื ตอบวา่ เพราะไม่มลี ิมติ ก็ได,้ เนอื่ งจากลมิ ิต และให้ f(−2) = b = lim f(x) = 1 − (−2) = 3 x → −2 ซา้ ยเป็น 2 ลิมิตขวาเป็น -2) (22) lim f(x) = f(1) → a(1) = 4 → a = 4 x → 1− lim f(x) = f(1) → 1 + b = 4 → b = 3 x → 1+ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 306 ลิมติ และความตอเนือ่ ง eÃèo× §æ¶Á การคาํ นวณลมิ ติ ในรปู แบบยังไม่กาํ หนด ดว้ ยกฎของโลปตี าล.. (1) รูปแบบยงั ไม่กําหนด (Indeterminate Form) มี 7 แบบ ได้แก่ 0 ∞ 0 ⋅ ∞ ∞ − ∞ 00 ∞0 1∞ 0∞ เราจะพบสองรปู แบบแรกบอ่ ยในระดับมัธยมศึกษา ซง่ึ การหาลิมิตรูปแบบ 0 และ ∞ นอกจากจะหา 0∞ โดยการจดั รูปแลว้ สามารถหาอยา่ งงา่ ยๆ ไดโ้ ดย กฎของโลปตี าล (L’Hôpital’s Rule) ซงึ่ จะต้องอาศยั สตู รในการหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั จงึ ควรมีความรพู้ ้นื ฐานของบทท่ี 15 (ในหวั ขอ้ 15.2) กอ่ น.. (2) กฎของโลปตี าลกลา่ วว่า lim f (x) = lim f′ (x) ... เมือ่ f (a) = g(a) = 0 หรอื f (a) = g(a) = ∞ x → a g (x) x → a g′ (x) เรานาํ ไปใช้งานโดยเมอ่ื ทดลองแทนคา่ พบวา่ ลิมติ ของฟังกช์ นั อย่ใู นรปู แบบ 0 หรือ ∞ แลว้ เราสามารถหา 0∞ อนพุ ันธ์ของเศษและของสว่ น เพอื่ ใหไ้ ดฟ้ ังกช์ นั ใหม่ที่ยงั คงมีคา่ ลมิ ติ เทา่ เดิม หากลองแทนคา่ แลว้ ยงั เปน็ 0 0 หรอื ∞ อยอู่ ีกก็ใหใ้ ชก้ ฎของโลปตี าล (คือหาอนพุ นั ธเ์ ศษและส่วน) ซํา้ เรอ่ื ยๆ จนกวา่ จะไดค้ ําตอบ ∞ (3) ตัวอย่างเช่น ต้องการหาคา่ ของ lim ⎛ x3− 3x +2 ⎞ ⎝⎜⎜ 2x3−3x2+1 ⎠⎟⎟ x→1 ลองแทน x ด้วย 1 แลว้ พบวา่ เปน็ รปู แบบ 0 จึงใชก้ ฎของโลปีตาลได้ ดงั น้ี 0 lim ⎛ x3− 3x +2 ⎞ = lim ⎛ 3x2 −3 ⎞ ⎜⎜⎝ 2x3−3x2+1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 6x2 − 6x ⎟⎠ x→1 x→1 จากนน้ั ลองแทน x ดว้ ย 1 แล้วยงั เปน็ 0 จึงใชก้ ฎโลปีตาลอกี ครงั้ เป็น 0 lim ⎛ 3x2 −3 ⎞ = lim ⎛ 6x 6 ⎞ = 6 = 1 ⎝⎜ 6x2 − 6x ⎠⎟ ⎝⎜ 12x − ⎟⎠ 6 x→1 x→1 ดังนน้ั คา่ ของลมิ ติ เทา่ กับ 1 (4) ตวั อย่างตอ่ มา ตอ้ งการหาคา่ lim ⎛ x2−2x ⎞ ⎜⎝⎜ x− 2 ⎟⎟⎠ x→∞ ลองแทน x ดว้ ย ∞ พบวา่ เปน็ รปู แบบ ∞ จึงใช้กฎของโลปตี าลได้ ดงั น้ี ∞ lim ⎛ x2−2x ⎞ = lim ⎛ 2x − 2 ⎞ = lim [(4x − 4) x] ⎝⎜⎜ x− 2 ⎟⎟⎠ ⎜ ⎟ x→∞ x→∞ ⎜ 1 x−1/ 2 ⎟ x→∞ ⎝2 ⎠ จากน้ันลองแทน x ด้วย ∞ อกี คร้งั พบวา่ ได้ ∞ ... ดงั นน้ั คาํ ตอบคอื หาค่าไมไ่ ด้ หมายเหตุ (1) โจทยท์ ุกขอ้ ในแบบฝกึ หัด 14.2 ทผ่ี ่านมา สามารถใชก้ ฎของโลปตี าลเพอ่ื ใหค้ าํ นวณได้งา่ ยขนึ้ (ลองฝกึ ทาํ ดสู ิครบั ) แต่ในข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั มักจะตง้ั โจทย์ในรปู แบบทหี่ าอนพุ นั ธ์ยาก กจ็ ําเปน็ ตอ้ งใช้ วธิ ีจดั รูปเชน่ เดิม (2) นาํ ไปใชก้ ับลิมติ ของลําดับไดด้ ว้ ย ถา้ พบว่าอยใู่ นรูปแบบ ∞/∞ ** (3) ไม่วา่ กรณใี ดๆ ถา้ ไมใ่ ช่ลมิ ิตรูปแบบ 0/0 หรอื ∞/∞ แตไ่ ปใช้กฎโลปีตาลคดิ จะไดค้ าํ ตอบทีผ่ ดิ นะครับ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 307 อนุพันธและการอินทเิ กรต calculus º··Õè 15¡Òoùou¾i¹¹a·¸ei ¡æÃŵa หลกั การของวชิ าแคลคูลัสทจ่ี ะไดศ้ กึ ษาในบทน้ี ได้แก่ การหาอนพุ ันธ์ และการอนิ ทเิ กรต ซงึ่ เปน็ การ กระทาํ กบั ฟังก์ชันเพ่ือใหไ้ ด้ฟังกช์ นั ใหม่ไปใชป้ ระโยชน์ โดยอนุพนั ธค์ อื ความชนั ของเส้นกราฟ และการอินทิ เกรตคอื การกระทําย้อนกลบั ของอนพุ นั ธ์ และเปน็ การ หาพนื้ ท่ใี ต้กราฟดว้ ย 15.1 อตั ราการเปลยี่ นแปลง ในฟงั กช์ นั y = f (x) ใดๆ เราพิจารณาหา “อัตราการเปลยี่ นแปลงของคา่ ฟงั กช์ นั ” ได้ดงั น้ี ท่จี ดุ x = x1 จะได้ y = f (x1) ทจี่ ุด x = x2 = x1+h จะได้ y = f (x1+h) ดงั นนั้ อัตราการเปล่ยี นแปลงโดยเฉล่ยี ของ y เทยี บกบั x ในชว่ ง x1 ถงึ x1+h คอื Δy = f (x1+h) − f (x1) = f (x1+h) − f (x1) Δx (x1+h) − (x1) h หรอื “อตั ราการเปลย่ี นแปลงโดยเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x (ในช่วง x ถงึ x+h ใดๆ)” คอื f (x+h) − f (x) หรือ Δy h Δx และเมื่อเราบบี ช่วง h ใหแ้ คบลงจนใกล้ 0 กจ็ ะไดอ้ ัตราการเปล่ยี นแปลง ณ จุด x ท่กี ําหนด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 308 อนุพันธและการอนิ ทิเกรต ฉะนัน้ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุด x ใดๆ)” คอื lim f (x+h) − f (x) หรอื lim Δy h→0 h Δ x → 0 Δx (ไม่สามารถแทน h = 0 ลงไปตรงๆ ได้ เพราะจะเป็น 0 จึงตอ้ งใชล้ มิ ติ ช่วยในการคาํ นวณ) 0 • ตวั อยาง ถา y = f (x) = 2x2+ 3x − 4 ใหห าอัตราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกับ x ก. โดยเฉลี่ยในชว ง x = 1 ถงึ 4 วธิ ีคดิ Δy = f (4) − f (1) = 40 − 1 = 13 Δx 4 − 1 4 − 1 (แปลวาในชวงทีก่ ําหนดนี้ เมือ่ x เพมิ่ ขึน้ 1 หนวยแลว y จะเพมิ่ ข้นึ ประมาณ 13 หนวย) ข. ทีจ่ ุดซ่ึง x = 2 วธิ ีคดิ lim Δy = lim f (2+h) − f (2) = lim [2(2+h)2 + 3 (2+h) − 4] − 10 Δx → 0 Δx h → 0 (2+h) − 2 h→0 h = lim 11h + 2h2 = lim (11 + 2h) = 11 h→0 h h→0 (คาํ นวณโดยติดคา x ใดๆ ไวก อน จนไดผ ลเปน 4x + 3 แลวจึงแทนคา x = 2 ลงไปกไ็ ด) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f (x) S ¨u´·è¼Õ i´ºo‹ Â! S ท่ีจุด x ใดๆ เรียกอีกอยา่ งไดว้ ่า อนุพนั ธ์ eª¹‹ e´ÕÂÇ¡aºã¹º··èæÕ Ånj ¶ŒÒ¹Œo§æ ¢éeÕ ¡ÂÕ ¨e¢ÂÕ ¹¤íÒÇ‹Ò lim (Derivative) h→0 สญั ลักษณท์ ี่ใช้แทนอนพุ นั ธข์ อง f (x) ¹Òí ˹ŒÒ测ÅaºÃ÷a´ã¹eÇÅÒ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·Òí oÒ¨Å×Áæ·¹ ¤‹Ò h ´ÇŒ  0 æÅa¤Òí µoº¡¨ç a¼´i ¹a¤Ãºa ไดแ้ ก่ f′(x) หรอื dy หรอื d f (x) หรือ y′ dx dx ส่วนสัญลกั ษณ์ทใ่ี ชเ้ จาะจงตําแหนง่ เชน่ อนพุ ันธท์ ่ีจุดซ่งึ x = 3 จะใช้ f′(3) หรอื dy dx x = 3 ฉะน้นั อนุพนั ธ์ของ f (x) ก็คอื lim f (x+h) − f (x) = dy น่ันเอง h→0 h dx นอกจากนนั้ เรยี กว่าเป็นคา่ ความชนั (Gradient) ของกราฟ y = f (x) ณ จุดนัน้ ๆ ด้วย แบบฝึกหัด 15.1 (1) ให้ y = x2−x+1 จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงโดยเฉลย่ี ของ y เมอ่ื เทียบกบั x ในชว่ ง x = 3 ถึง 5 (2) จงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงของ y (2.1) y = 2x2+3x−4 เม่ือ x มคี ่าใดๆ (2.2) y = 3x2+7x+1 ที่จดุ x = 2 (3) ให้ y = x2 จงหาอัตราการเปล่ียนแปลง (3.1) โดยเฉล่ียของ y เมอื่ เทียบกับ x ในชว่ ง x = x1 ถงึ x = x1+h (3.2) โดยเฉล่ียของ y เม่ือเทียบกับ x ในชว่ ง x = 10 ถงึ 13 (3.3) ของ y ทจ่ี ุด x = x1 (3.4) ของ y ทจ่ี ดุ x = 10 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 309 อนุพันธและการอนิ ทิเกรต (4) ถา้ f (x) = 1 จงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ f (x) เทียบกบั x x (4.1) ในช่วง x = 4 ถึง x = 5 (4.2) ในชว่ ง x = 4 ถึง x = 4.5 (4.3) ในช่วง x = 4 ถงึ x = 4.01 (4.4) ท่ีจุดซง่ึ x = 4 (5) จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลีย่ ของปริมาตรทรงกลม เทียบกบั รัศมี เมื่อรัศมีเปล่ยี นจาก 2 ถึง 3 หน่วย (6) จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ (6.1) พ้นื ท่ีรูปส่ีเหลยี่ มจัตรุ ัสเทียบกับความยาวด้าน ขณะท่ีด้านยาว 5 ซม. (6.2) พื้นท่ีวงกลมเทียบกบั รัศมี ขณะท่รี ศั มยี าว 10 นิ้ว (7) ให้หาอัตราการเปลีย่ นแปลงของปริมาตรกรวยกลมตรง (7.1) เทียบกบั รัศมีฐาน r เมือ่ ส่วนสงู H คงตวั (7.2) เทียบกับสว่ นสูง H เมื่อรัศมีฐาน r คงตวั (8) ในการสบู นาํ้ ออกจากสระแหง่ หนึ่ง หลงั จากสูบได้ t นาที จะมนี ้าํ เหลืออยใู่ นสระเปน็ ปริมาตร Q ลบ.ม. โดยท่ี Q = (12 − t )2 จงหาอัตราการเปลยี่ นแปลง 10 (8.1) โดยเฉลีย่ ของปริมาตรนํ้าในสระ เทยี บกับเวลา ในช่วง t = 0 ถงึ t = 10 นาที (8.2) ของปริมาตรนา้ํ ในสระ เทยี บกบั เวลา ขณะท่ี t = 10 นาที (9) จงหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั f (x) ทีจ่ ดุ x ใดๆ และท่ีจุด x = 2 (9.1) f (x) = 2x2 (9.2) f (x) = x2−2x+4 (9.3) f (x) = 3 (9.4) f (x) = 2−3t (10) ถา้ y = x−2x2 เปน็ สมการเสน้ โคง้ จงหา (10.1) ความชันของเส้นโคง้ น้ที จี่ ดุ (2, −6) (10.2) สมการเส้นสัมผัสโคง้ ณ จุดเดยี วกันน้ี (11) ให้หาสมการเสน้ สัมผัสโคง้ y = x3 ณ จดุ (−1, −1) 15.2 สตู รในการหาอนพุ นั ธ์ เนือ่ งจากการใช้ลมิ ติ คาํ นวณน้ันไมส่ ะดวก จงึ ไดม้ ีการคดิ สตู รในการหาอนพุ นั ธ์ไว้ดงั น้ี 1. สตู รทวั่ ไป • dx=1 • dc=0 dx dx • d xn = n xn−1 • d c f (x) = c d f (x) dx dx dx 2. การบวกลบคูณหารฟงั ก์ชนั Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 310 อนพุ นั ธแ ละการอินทเิ กรต • d [f (x) ± g(x)] = f′ (x) ± g′ (x) dx • d [f (x) ⋅ g(x)] = f (x) g′ (x) + g(x) f′ (x) (หน้า ดิฟหลัง + หลัง ดฟิ หนา้ ) dx • d ⎡ f (x)⎤ = g (x) f′ (x) − f (x) g′ (x) ((ลา่ ง ดิฟบน - บน ดิฟลา่ ง) ส่วน ลา่ งกําลงั สอง) dx ⎢ (x)⎥⎦ ⎣ g [g (x)] 2 3. ฟังกช์ นั ประกอบ (กฎลูกโซ;่ Chain Rule) • d g (f (x)) = dg ⋅ df หรือเขยี นอกี แบบว่า (gD f)′(x) = g′(f (x)) ⋅ f′(x) dx df dx หมายเหตุ กฎลกู โซจ่ ะเขยี นยาวกท่ี อดกไ็ ด้ เชน่ dg = dg ⋅ dh ⋅ df ⋅ dx dt dh df dx dt • ตัวอยา ง ใหห าคา lim ⎛(x + h)n − xn ⎞ ⎜ ⎟ h→0 ⎝ h ⎠ วิธีคิด ในขณะนีเ้ ราไมส ามารถกระจาย (x + h)n จึงไมม ีวิธีคดิ หาลมิ ิตแบบตรงๆ ได แตพ บวาอยูในรปู แบบนิยามของอนพุ นั ธพ อดี ..ดงั น้นั คาํ ตอบคือ อนพุ นั ธของ xn ตอบ n xn−1 • ตวั อยา ง ใหหาความชนั ของเสน สัมผัสโคง y = 2x − 3x2+ x3 ที่จดุ (4, 24) วิธีคิด dy = 2 − 3(2x) + (3x2) ดังนน้ั dy = 2 − 24 + 48 = 26 dx dx x = 4 • ตวั อยา ง ถา f (x) = (2x + 1)(3x2− 2) ใหห าคา f′(x) วธิ ีคิด ใชส ูตรดฟิ ผลคณู ดังนี้ f′(x) = (2x + 1)(6x) + (3x2− 2)(2) = 18x2+ 6x − 4 • ตัวอยาง ถา f (x) = (2x + 1)3/2 ใหหาคา f′(4) วธิ ีคิด f′(x) = 3 (2x + 1)1/2 ⋅ 2 = 3 2x + 1 2 (การดิฟลกู โซ .. มอง 2x+1 เปนตวั แปรกอ นหน่ึง เมือ่ ดฟิ แลว จะตอ งคณู กับดฟิ ของ 2x+1 ดว ย) เพราะฉะนั้น f′(4) = 3 2(4) + 1 = 9 • ตวั อยาง ถา f (x) = (1 − 3x2)2 1 + 3x2 ใหห าอัตราการเปลีย่ นแปลงของ f (x) เทียบกับ x ขณะที่ x = 1 วิธีคิด อตั ราการเปลี่ยนแปลงทีก่ ลาวถึงกค็ ือ f′(x) ... ขอนี้ใชส ตู รดิฟผลหาร ปนกบั ดฟิ ลูกโซ ดังนี้ f′(x) = (1 + 3x2) ⋅ 2 (1 − 3x2)(−6x) − (1 − 3x2)2 ⋅ (6x) จากนน้ั แทนคา x = 1 (1 + 3x2)2 จะได f′(1) = 4.5 ... จงึ ตอบวา อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) ขณะที่ x = 1 เทากบั 4.5 อนุพันธ์อันดับสูง สมมติ f (x) = y = x3−2x2+x+5 ดงั นนั้ หาอนุพนั ธไ์ ด้เป็น f′(x) = dy = 3x2−4x+1 dx หากเราหาอนพุ ันธ์ของ f′(x) ตอ่ ไปอกี จะเรียกว่าเปน็ อนุพันธ์ อนั ดับสูง (Higher Order) เช่น อนุพนั ธ์อันดบั สอง คือ f′′ (x) = d2y = 6x−4 dx2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 311 อนพุ ันธและการอินทเิ กรต อนุพันธอ์ นั ดับสาม คอื f′′′ (x) = d3y = 6 dx3 อนพุ ันธอ์ ันดบั สี่ คือ f(4)(x) = d4y = 0 ... ฯลฯ dx4 การเขียนสัญลกั ษณ์ อนุพันธอ์ ันดบั ท่ี n จะเปน็ dny หรอื f(n)(x) dx n แตอ่ นั ดบั ทห่ี นึง่ สอง และสาม นยิ มใชเ้ ครื่องหมายขดี เป็น f′(x), f′′(x), f′′′(x) ขอ้ สังเกต ตัวอยา่ งท่ียกมาเปน็ พหุนามดีกรี 3 จะเห็นไดว้ ่า อนพุ นั ธอ์ ันดับท่สี ี่ข้ึนไปล้วนมีคา่ เป็น 0 • ตวั อยาง ถา f (x) = (2x + 1)3/2 ใหห าคา f′′(4) วธิ ีคิด จาก f′(x) = 3 (2x + 1)1/2 ⋅ 2 = 3(2x + 1)1/2 (ดิฟลูกโซ) 2 จะได f′′(x) = 3(1)(2x + 1)−1/2 ⋅ 2 = 3 (ดิฟลกู โซอีกครัง้ หน่ึง) 2 2x + 1 เพราะฉะน้นั f′′(4) = 3 = 1 2 (4) + 1 แบบฝกึ หดั 15.2 (12) จงหาค่า f′(x) เม่อื กาํ หนด f (x) ใหด้ ังน้ี (12.7) f (x) = (3x3−4x2) + (7x2−5) (12.1) f (x) = 5 (12.8) f (x) = x5−x − 3 (12.2) f (x) = x (12.9) f (x) = 1/x (12.3) f (x) = −3x (12.10) f (x) = 2/x2 (12.4) f (x) = −3x2 (12.11) f (x) = 6 x (12.5) f (x) = x2+x (12.12) f (x) = 1 / 3x x (12.6) f (x) = 3x2−5x+1 (13) จงหาคา่ f′(x) เมอ่ื กําหนด f (x) ใหด้ งั นี้ (13.1) f (x) = (6x2+4)(3x3+5) (13.2) f (x) = (2x4+1)(x2+x+1) (13.3) f (x) = 4x2+7x+1 3x2+8 (13.4) f (x) = x2+4x+7 3x−1 (14) จงหาคา่ f′(x) เม่อื กาํ หนด f (x) ให้ดังนี้ (14.1) f (x) = (x+3)2 (14.2) f (x) = (x2+1)3 (14.3) f (x) = (x3−x2+2x+1)2 (14.4) f (x) = (1−4x)4/5 (15) ตรวจสอบคําตอบขอ้ (2), (3.3), (3.4), (4.4), (6), (7), (8.2) โดยใชส้ ูตรในการหาอนุพันธ์ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 312 อนพุ นั ธและการอนิ ทเิ กรต (16) จงหาค่า f′(x) เมื่อกาํ หนด f (x) ใหด้ งั น้ี (16.1) f (x) = (2x+3)(3x−4) (16.2) f (x) = 4x5−10x3+6x−8 2x2 (16.3) f (x) = 1+3x 1−3x (16.4) f (x) = (3x−5)3 (17) จงหาค่าของ (17.1) dy เมือ่ y = f (x) = (2x+1)2(3x−2)3 dx x = 1 (17.2) f′(1) เมอ่ื f (x) = 2 3 x2−2x+3 (17.3) ความชันเส้นสัมผสั โคง้ ณ จดุ ที่ x=1 เมอ่ื f (x) = x2+8(x2−3)4 (17.4) อตั ราการเปลีย่ นแปลงของ f (x) ณ จุดที่ x=1 เมอื่ f (x) = x2−1 (18) ใหห้ าคา่ อนพุ ันธอ์ นั ดบั สูง f′′(x), f′′′(x) และ f(4)(x) ของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปนี้ (18.1) f (x) = x4+3x3+5x2 −7x−3 (18.2) f (x) = x5+3x4−4x3 +x−1 (19) จงหาค่า f (−3), f′ (−3), f′′ (−3) เมือ่ f (x) = x2 +x−3 (20) หาค่า (f′′+g′′)(1) เมือ่ f (x) = 2−x และ g(x) = (1−3x)2 (21) จงหา f(n)(x) เมื่อ f (x) = 1/x 15.3 ฟงั กช์ นั เพิม่ ฟังกช์ ันลด และค่าสุดขดี ความหมายของฟงั กช์ นั เพ่ิมคือ เม่อื x เพิ่มขน้ึ แลว้ f (x) กจ็ ะเพม่ิ ข้ึนด้วย หรอื กล่าวว่า ความชนั เปน็ บวก ส่วนฟังกช์ นั ลดน้ัน เม่อื x เพ่ิมข้ึนแลว้ f (x) กลบั ลดลง หรอื กล่าววา่ ความชัน เปน็ ลบน่ันเอง ดงั นน้ั เมอ่ื พิจารณาถงึ อนุพนั ธ์ f′(x) ซงึ่ เปน็ คา่ ความชันของกราฟ จะไดก้ ฎวา่ ช่วงที่ f′(x) > 0 เปน็ ฟังกช์ ันเพม่ิ และช่วงท่ี f′(x) < 0 เปน็ ฟงั ก์ชนั ลด และเน่อื งจากตําแหน่งทฟี่ งั ก์ชันจะเปลี่ยนจากเพมิ่ ไปลด หรอื จากลดไปเพ่ิม จะตอ้ งมกี ารวกกลบั ของ กราฟ ซง่ึ ทาํ ให้เกิดจุดยอด (จุดสดุ ขีด; Extreme Point) ขน้ึ สามารถหาโดย f′(x) = 0 เราเรยี กค่า x ณ ตาํ แหนง่ ที่ f′(x) = 0 วา่ คา่ วกิ ฤต (Critical Value) จดุ สดุ ขีดมี 2 แบบคือจุดสูงสดุ และจดุ ต่าํ สุด ถา้ ความชันเปลยี่ นจากลดไปเพ่ิม จะเกิดจุดตํา่ สุด และ ถ้าความชันเปล่ียนจากเพิม่ ไปลด กจ็ ะเกิดจุดสูงสดุ หมายเหตุ 1. f′(x) = 0 ไม่ได้เป็นจุดสงู สดุ หรือตํา่ สุดเสมอไป อาจเป็นจดุ เปลย่ี นความเวา้ เทา่ นัน้ เราสามารถพิจารณาใหล้ ะเอยี ดได้จาก อัตราการเปล่ยี นแปลงของความชนั หรือ f′′(x) หาก f′′(x) > 0 แสดงว่าความชนั มากขึ้นเร่ือยๆ (เปล่ยี นจากลบไปบวก) เกิดจุดต่าํ สดุ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 313 อนุพนั ธแ ละการอินทิเกรต หาก f′′(x) < 0 แสดงวา่ ความชันนอ้ ยลงเรอื่ ยๆ (เปลย่ี นจากบวกไปลบ) เกดิ จุดสงู สุด หาก f′′(x) = 0 อาจเปน็ จุดเปลี่ยนความเวา้ หรอื จดุ สงู สุด หรือจดุ ตํ่าสุดก็ได้ 2. เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดต่าํ สุด (Maximum & Minimum) ของฟงั ก์ชัน ในการคาํ นวณโจทย์ ปญั หาทีเ่ ป็นเหตกุ ารณจ์ รงิ เชน่ มีฟังก์ชันกาํ ไร P(x) แลว้ หาค่า x ทที่ ําใหไ้ ด้กําไรมากท่สี ดุ พจิ ารณากราฟตอ่ ไปนี้ เพื่อทําความเขา้ ใจเรอื่ ง สมั พทั ธ์ (Relative) และ สัมบรู ณ์ (Absolute) ฟังก์ชันหนง่ึ ๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจดุ นนั้ ว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์ (แปลวา่ เทยี บกบั จดุ ขา้ งเคียง จงึ มไี ดห้ ลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟงั กช์ ันมากทสี่ ุดหรอื นอ้ ยที่สุดของ กราฟแล้ว จะเรียกจดุ น้ันวา่ จุดสดุ ขีดสัมบูรณ์ด้วย Cy de x (สงู สุดกับตาํ่ สุด มไี ด้อยา่ งละ 1 จุด) A E จดุ สงู สุดสัมพทั ธ์ไดแ้ ก่ จดุ A, C, E B จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือจุด C เท่าน้ัน จดุ ตํ่าสดุ สัมพทั ธ์ไดแ้ ก่ จุด B, D ab c O จดุ ตาํ่ สดุ สัมบูรณ์ ไม่มี D • ตวั อยาง f (x) เปนฟง กชันพหนุ ามกาํ ลงั สาม ซง่ึ หารดว ย x + 1 แลว เหลือเศษ 6 ... สัมผสั กับ เสนตรง 12x + y + 7 = 0 ณ จุดตดั แกน y ... และมีคาวกิ ฤตคาหนง่ึ เปน 1 ก. ใหหาฟงกชัน f (x) นี้ วิธีคดิ โดยทัว่ ไปพหุนามกาํ ลงั สาม ตอ งมีลกั ษณะเปน Ax3+ Bx2+ Cx + D ซึ่งมีสมั ประสทิ ธิ์ 4 ตวั เรา จงึ ใชคําใบท ีโ่ จทยใ หมา 4 อยา ง ในการสรางระบบสมการเพือ่ หาสมั ประสทิ ธ์ิ 4 ตวั นี้ ... จากทฤษฎีเศษเหลือ (ในเนือ้ หาจาํ นวนจริง) จะไดวา f (−1) = 6 หรือ −A + B − C + D = 6 .....(1) ตดั แกน y ที่จดุ เดียวกบั 12x + y + 7 = 0 คือจุด (0, −7) จะไดว า f (0) = −7 หรือ A (0)3 + B(0)2 + C (0) + D = −7 = D .....(2) มีความชนั เทา กบั เสน ตรง 12x + y + 7 = 0 ทีจ่ ุด (0, −7) จะไดวา f′(0) = −12 หรือ 3 A (0)2 + 2 B(0) + C = −12 = C .....(3) มีคาวิกฤตคาหนงึ่ เปน 1 (คาวิกฤตคือคา x ณ จดุ ทีค่ วามชันเปน ศนู ย) จะไดว า f′(1) = 0 หรือ 3 A + 2 B + C = 0 .....(4) แกส ีส่ มการรวมกนั ไดผ ลเปน A = 2 , B = 3 ... ดงั นนั้ f (x) = 2x3+ 3x2− 12x − 7 ข. ฟง กชนั นีม้ ีคาสงู สุดสมั พัทธ และคาตํา่ สุดสมั พทั ธเ ปน เทา ใด วธิ ีคดิ จาก f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7 จะได f′(x) = 6x2 + 6x − 12 หาก f′(x) = 0 จะได 6x2 + 6x − 12 = 0 → x = −2, 1 เนื่องจาก f (−2) = 13 และ f (1) = −14 ดังนั้นคา สูงสดุ สมั พัทธเทา กบั 13 และคาต่ําสุดสมั พทั ธเ ทากับ −14 ค. ฟง กชนั นีเ้ ปน ฟง กช ันลดในชว งใดบาง วิธีคิด จาก f′(x) = 6x2+ 6x − 12 คือความชนั และเราตอ งการความชันติดลบ ก็คือ 6x2+ 6x − 12 < 0 → 6(x + 2)(x − 1) < 0 ... ไดค าํ ตอบเปนชว งเปด (−2, 1) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 314 อนุพนั ธและการอนิ ทิเกรต • ตัวอยาง ตอ งการสรางถงั รูปทรงกระบอกเพื่อเกบ็ นํ้ามนั ปรมิ าตร 16π ลกู บาศกเ มตร โดยสน้ิ เปลือง วสั ดกุ อ สรา ง (รวมฝาบนและลา ง) ใหนอ ยทีส่ ุด ถังใบนี้จะตองมีรศั มีหนา ตดั ยาวเทาใด วิธีคิด ใหพืน้ ทีผ่ วิ เปน A และใหค วามสงู h , รัศมีหนาตัด r จะไดฟ ง กชัน A ในรปู ของ h, r ดังนี้ ... A = 2πrh + 2(πr2) ในขอนีเ้ ราตอ งการหาคาตา่ํ สุดของ A (หาคา h, r ทีท่ ําใหคา A ต่ําที่สุด) ... เนื่องจากโจทยกําหนดปรมิ าตรคงที่ 16π = πr2h → h = 16/r2 จงึ ไดฟ งกชนั A = 2πr (16/r2) + 2(πr2) = 32π/r + 2πr2 = 2π(16/r + r2) จากน้นั dA = 2π(−16/r2 + 2r) = 0 → 2r = 16/r2 S e¾ièÁeµiÁ! S dr ¡ÒÃËÒ¤‹Òʧ٠Êu´ µÒèí Êu´ ¢o§¿§˜ ¡ª a¹ ´ÇŒ Âo¹u¾a¹¸ µÒ‹ §¨Ò¡ → r = 2 แสดงวา A ทีต่ ํ่าทีส่ ุดเกดิ เมื่อ r = 2 เมตร ตอบ º·eÃÕ¹eÃ×èo§¡íÒ˹´¡ÒÃeª§i eʌ¹ µÃ§·èÇÕ ‹Ò º·¹a¹é ÁÕµaÇ æ»ÃµŒ¹ 2 µaǤ×o x æÅa y e»¹š µaÇæ»ÃµŒ¹·§éa ¤Ù‹ æÅa x แบบฝึกหัด 15.3 ¡aº y ÁÕ¢oŒ ¨Òí ¡a´Ã‹ÇÁ¡¹a ºÒ§oÂҋ § (ã¹Ã»Ù oÊÁ¡Òà eʹŒ µÃ§) 浺‹ ·¹ÁéÕ ÕµaÇæ»ÃµŒ¹e»š¹ x e¾Õ§µÇa e´ÕÂÇ... (22) จากกราฟในหน้าท่ีแลว้ ใหห้ าช่วงทีเ่ ป็น 1. µŒo§¡ÒÃËÒ¤‹Òã´µÒèí Ê´u ËÃ×oʧ٠Êu´ ãˌe¢Õ¹¤‹Ò¹aé¹ã¹ÃÙ» ฟงั กช์ นั เพิ่ม และช่วงทเ่ี ปน็ ฟังก์ชนั ลด ¿§˜ ¡ª a¹¢o§¤‹Òo×¹è æ (¤×oãˌe»š¹ y) æÅaµŒo§ÁÕµÇa æ»ÃµŒ¹ e¾Õ§oÂҋ §e´ÂÕ Ç eª‹¹¶ŒÒ x e»š¹µaÇæ»Ãµ¹Œ ¡µç oŒ §·Òí µaÇ (23) หาค่าสงู สุดและตา่ํ สุด ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี æ»Ão×¹è æ ãˌoÂã‹Ù ¹ÃÙ» x (23.1) f (x) = −x2−x (23.2) f (x) = x2−x−1 2. ËÒ¡Áդҋ Çi¡ÄµËÅÒ¤ҋ ãˌe»ÃÕºe·ÕºNjҤ‹Òã´··èÕ Òí ãˌ (23.3) f (x) = 3x+2 e¡´i ¨´u µÒíè Ê´u ËÃ×oÊ٧ʴu ´§a ·Õ赌o§¡Òà (24) จงหาค่าสดุ ขดี ทั้งหมด และระบชุ ่วงทเี่ ป็นฟังก์ชนั เพม่ิ ฟังก์ชันลด สําหรับฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้ (24.1) f (x) = x2−4x+5 (24.2) f (x) = x3−3x (24.3) f (x) = 2x3+3x2 −12x−7 (24.4) f (x) = x4−3x3+3x2−x (24.5) f (x) = x3 (24.6) f (x) = x2−2x+1 ; x ∈ [−1, 2] (25) ใหห้ าค่าสูงสุดสัมพทั ธ์ และต่ําสุดสัมพัทธ์ทง้ั หมดของฟงั ก์ชันต่อไปนี้ โดยไม่ตอ้ งวาดกราฟ (25.1) f (x) = 3−x2 (25.2) f (x) = x2+3x+4 (25.3) f (x) = x3−3x+3 (25.4) f (x) = x4−2x2 +3 (25.5) f (x) = x3+x2 −8x−1 (26) ให้เขียนกราฟและบอกคา่ สุดขีดสัมพัทธ์ของ y = 2x5−30x3 (27) วัตถุเคลื่อนท่ไี ด้ระยะทาง s = 3t2−2t+1 เมตร ในเวลา t วนิ าที จงหา (27.1) ความเร็ว v ของวตั ถุ ขณะเริ่มตน้ และขณะ t = 2 วนิ าที Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 315 อนพุ ันธและการอนิ ทิเกรต (27.2) ระยะทางทไี่ กลที่สดุ จากจุดเริ่มต้นทวี่ ตั ถุเคลื่อนท่ีไปถงึ (ก่อนจะวกกลบั ) (28) จงหาจํานวนเตม็ บวกสองจาํ นวนซง่ึ รวมกนั ได้ 8 โดยทีผ่ ลบวกของกาํ ลงั สามมีคา่ น้อยที่สุด (29) ชาวสวนปลกู มะม่วง 22 ตน้ ตอ่ ไร่ จะได้ต้นละ 500 ผล และเขาพบว่าหากปลูกเพิ่มอีกไร่ละตน้ จะทําให้ผลลดลงตน้ ละ 10 ผล ดังนั้นแล้วเขาควรจะปลกู ไร่ละกีต่ น้ จงึ จะได้ผลมากท่ีสุด (30) จากภาพ บริษัทกอ่ สรา้ งต้องการวางท่อจากจุด P ไปยัง Q ตามแนว S Q PR และ RQ (โดยจุด R อยูท่ ใ่ี ดกไ็ ด้บนเส้น TS) จงหาวา่ R อยูท่ ่ีคา่ x R 5 km เปน็ เท่าใด จงึ ส้ินเปลืองค่าวางทอ่ นอ้ ยทีส่ ดุ กําหนดให้คา่ ก่อสร้าง (หน่วย เป็นลา้ นบาท) ระหว่าง P ถงึ R เป็นสองเท่าของกําลงั สองของระยะทาง x และระหว่าง R ถึง Q เปน็ สามเทา่ ของกาํ ลงั สองของระยะทาง P 3 km T 4 km (31) สามเหล่ยี มมุมฉากยาวดา้ นละ 90, 120, 150 หนว่ ย ใหห้ าวา่ จะ บรรจสุ ี่เหลยี่ มมุมฉากลงไปภายในสามเหลย่ี มน้ี (ใหม้ ีมุมฉากร่วมกนั ดงั ภาพ) ไดพ้ น้ื ท่มี ากทสี่ ดุ เทา่ ใด (32) ให้คาํ นวณค่าต่างๆ เม่ือตอ้ งการทาํ ให้เกิดค่ามากทส่ี ดุ ในแต่ละรปู ตอ่ ไปนี้ (32.1) พืน้ ท่สี ี่เหลีย่ มมมุ ฉากมากท่ีสุด (32.4) ปริมาตรกล่องมากที่สุดท่พี บั ได้ บรรจุในสามเหล่ยี มมุมฉาก ใช้มุมฉากรว่ มกัน เมอื่ ตัดมุมกระดาษรูปสเี่ หล่ียมจตั รุ สั ออก กว้างยาว = ________ x = _________ x พืน้ ที่ = ___________ x aa b a (32.2) พนื้ ที่สี่เหลี่ยมมมุ ฉากมากทีส่ ดุ (32.5) ปริมาตรกรวยกลม มากทสี่ ุด บรรจใุ นวงกลมขนาดเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง d บรรจุในทรงกลมรศั มี r กว้างยาว = _______ ความสูงกรวย = ________ พื้นท่ี = __________ d หากเป็นคร่งึ วงกลม จะไดพ้ ืน้ ที่ = _________ (32.6) ปรมิ าตรทรงกระบอกมากที่สุด บรรจใุ นกรวยกลมตรง สงู H (32.3) พ้ืนทส่ี ี่เหล่ยี มมุมฉากมากทส่ี ุด ความสูงทรงกระบอก = _________ บรรจใุ นพาราโบลา โดยวางด้านหนึ่งบนโฟกัส BF = _______ VB F Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 316 อนุพันธแ ละการอินทเิ กรต โจทยท์ บทวนเร่ืองอนุพันธ์ (33) [Ent’38] กาํ หนดให้ f (x) = 3x+1 และ g(x) = 3x2 +1 อนุพันธข์ อง [f (x) + g(x)] ที่ 2x−1 x = 1 เทา่ กบั เท่าใด (34) [Ent’38] สมการเส้นสัมผัสโคง้ y = 3 x2+2 ท่จี ดุ ซ่งึ x = 5 เปน็ สมการใด (35) [Ent’39] กําหนดให้ f (x) = 2x−a โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริงซึ่งไมใ่ ชศ่ นู ย์ ถ้า x+b f′(0) = 4 และ f′′(0) = −8 แล้ว คา่ ของ f (0) เปน็ เทา่ ใด (36) [Ent’38] กาํ หนดให้ f (x) = x3+bx2+cx เมื่อ b, c เปน็ จํานวนจริง ถา้ x = −2 เปน็ ค่า วกิ ฤตของฟงั กช์ นั f และ f′′(−1) = 6 แล้ว ขอ้ ใดถูก ก. f เปน็ ฟงั ก์ชันเพ่มิ ข. f เป็นฟงั ก์ชนั ลด ค. x = −2 ใหค้ ่าสูงสุดสัมพัทธ์ ง. x = −1 ใหค้ ่าตาํ่ สดุ สัมพทั ธ์ (37) [Ent’40] กาํ หนดให้ f (x) = ax3+bx2+cx+d มี x−1 เป็นตวั ประกอบหนึง่ และ f (0) = 0 , f′(0) = 2 , f′′(0) + f′′′(0) = 1 ดงั นั้น f (2) มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด (38) [Ent’37] ให้ f (x) = 3x−10 และ h(x) = (f D g)(x) = ax2+bx+c ถา้ h(0) = 1 และ h มี ค่าสูงสดุ สัมพทั ธท์ ี่ x = −2 คอื 5 แลว้ คา่ g(1) เปน็ เท่าใด (39) [Ent’41] กําหนดให้ f (x) = (x2−1)3 โดยที่ g(2) = f′(2) = 3 แล้ว จงหา g′(2) g (x) (40) [Ent’40] กําหนดให้ f (x) = (3x2+5x)g(x) ถ้า g เป็นฟังก์ชันพหนุ ามท่มี คี า่ สูงสุดสัมพัทธ์ เทา่ กับ 5 ที่จุดซึ่ง x = 1 แล้ว f′(1) มีค่าเท่าใด (41) [Ent’39] กําหนดให้ g(x) เป็นพนุนามท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ป็นจาํ นวนจริง และ f (x) = (x−1)2 g(x) ถา้ x−2 หาร f (x) เหลอื เศษ 3 และ x−2 หาร f′(x) เหลือเศษ 4 แล้ว ค่าของ g′(2) เป็นเท่าใด (42) [Ent’36] ให้ f (x) = x + x แลว้ จงหาเซตของจาํ นวนจรงิ x ซึง่ ทาํ ให้ f′(x) > 3 (43) [Ent’39] กําหนดให้ f (x) = x2/3(x2−16) จงหาเซต A = { x ∈ R | f′(x) > 0 } (44) [Ent’41] ถา้ f (x) = x+1 , g(x) = x และ F(x) = (f D g)(x) เมื่อ x > 1 แลว้ (F−1)′(2) มี ค่าเทา่ กับเท่าใด (45) [Ent’39] สามเหลีย่ มมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านท้งั สามยาว 3, 4, 5 นว้ิ ตามลําดับ สี่เหล่ยี มผนื ผา้ ทมี่ ีพ้ืนทมี่ ากทีส่ ุดที่สามารถบรรจลุ งในสามเหลี่ยมน้ไี ด้ จะมพี ้ืนท่กี ่ีตารางนิ้ว (46) [Ent’38] สินค้าชนดิ หนง่ึ ขายราคาชิ้นละ 24 บาท ตน้ ทนุ ในการผลติ x ชิ้นเท่ากบั 16+6x+0.2x3/2 บาท ถา้ N เป็นจํานวนช้นิ ของสนิ ค้าท่ีผลิตเพื่อให้ไดก้ าํ ไรสงู สุดแล้ว ข้อใดเป็นจริง ก. 1 < N < 2000 ข. 2000 < N < 4000 ค. 4000 < N < 6000 ง. 6000 < N < 8000 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 317 อนุพนั ธแ ละการอินทิเกรต 15.4 สตู รในการอินทิเกรต การกระทาํ ท่ตี รงข้ามกับกระบวนการหาอนุพนั ธ์ เราเรยี กวา่ การอินทิเกรต (Integration) นน่ั คือ ถ้า d F(x) = f (x) แล้ว (การหาอนุพันธ)์ dx จะไดว้ า่ ∫ f (x) dx = F(x) (การอนิ ทิเกรต) สัญลักษณ์ ∫ เรยี กวา่ เคร่ืองหมายอนิ ทกิ รลั และเรยี ก f (x) วา่ ตวั ถูกอนิ ทเิ กรต (Integrand) สงิ่ ท่ีหาอนพุ ันธ์ไดต้ รงตามค่าท่ีตอ้ งการ จะเรียกว่า ปฏยิ านุพนั ธ์ (Antiderivative) ท้งั หมด ตัวอย่างเช่น F1(x) = x2 , F2(x) = x2+1, F3(x) = x2+5 , F4(x) = x2−7 ต่างกเ็ ป็นปฏยิ านุพันธข์ อง f (x) = 2x เนือ่ งจากลว้ นทาํ ให้ d F(x) = f (x) dx เราพบว่า รปู ท่ัวไปของปฏิยานพุ นั ธ์ของ f (x) = 2x คอื x2+c เมือ่ c เป็นคา่ คงทใ่ี ดๆ เรียก “รูปทั่วไปของปฏิยานุพนั ธ”์ นว้ี ่า อินทกิ รัลไม่จํากัดเขต (Indefinite Integral) ของ f (x) และเขยี นสัญลักษณ์เปน็ ∫ f (x)dx ดงั น้ันอนิ ทกิ รัลไม่จาํ กดั เขต ∫ f (x)dx = x2+c น่ันเอง ข้อสังเกต ปฏิยานพุ ันธม์ ไี ด้หลากหลาย แต่อินทิกรัลไม่จํากดั เขตมีแบบเดียวเสมอ บางตําราใชค้ ําวา่ ปริพนั ธ์ แทนคําวา่ อนิ ทกิ รลั สูตรในการหาอนิ ทิกรัล 1. สูตรทัว่ ไป • ∫ x n dx = xn+1 + c • ∫ k dx = kx+c n+1 • ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx 2. การบวกลบฟงั ก์ชนั • ∫ [f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx • การคูณและหาร ไม่มีสูตร 3. ฟงั กช์ นั ประกอบ อาศัยเทคนคิ การอนิ ทิเกรตโดยเปลยี่ นตวั แปร (เทคนิคการอนิ ทิเกรตเปน็ เรือ่ งทเี่ กนิ หลักสูตร จึงไดอ้ ธิบายไวใ้ นหนา้ แถม ท้ายบทน้)ี • ตัวอยา งเชน ∫ (x3 − 2x2 + 3) dx = x4 − 2x3 + 3x1 + C 4 3 1 ∫ (4t3 − 3t2 + 2t − 1) dt = 4t4 − 3t3 + 2t2 − 1t1 + C = t4− t3+ t2− t + C 4 321 ∫ (2x3+ 3x2+ 4) dx = ∫ (2x + 3 + 4x−2) dx = 2x2 + 3x1 + 4x−1 + C = x2+ 3x − 4 + C x2 2 1 −1 x ∫ 6(x + 2)(x − 1) dx = ∫ (6x2+ 6x − 12) dx = 2x3+ 3x2− 12x + C หมายเหตุ สูตร ∫ x n dx = xn+1 + c ใชไ้ ด้เม่อื n ≠ −1 เทา่ น้นั n+1 สว่ น ∫ (x−1) dx จะไมม่ ใี นหลกั สตู ร ม.ปลาย ... (ผลลพั ธท์ ่ีได้เปน็ ln x + C ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 318 อนุพันธและการอนิ ทเิ กรต • ตวั อยา ง ถา F′(x) = −2 − x และ F(−1) = 1 จะไดฟ ง กช นั F(x) เปนอยา งไร x3 วธิ ีคิด F′(x) = −2x−3 − x−2 จะอนิ ทเิ กรตได F(x) = −2x−2 − x−1 + C = 1 + 1 + C −2 −1 x2 x โจทยใหค า F (−1) = 1 จงึ หาคา C ได ... 1 + 1 + C = 1 → C=1 (−1)2 (−1) ... ดังนั้นตอบ F (x) = 1 + 1 + 1 x2 x แบบฝกึ หดั 15.4 (47) จงหาคา่ F(x) ทที่ ําให้ F′(x) = f (x) เมอื่ กําหนดให้ (47.1) f (x) = x (47.5) f (x) = x3 (47.2) f (x) = 2x (47.6) f (x) = x x (47.3) f (x) = 7 (47.7) f (x) = 1 / x5 (47.4) f (x) = 3x2 (48) ใหห้ าค่า ∫ f (x)dx เม่อื กาํ หนดให้ (48.4) f (x) = x3− 3 + 4 (48.1) f (x) = 5x4+3x2−2 x3 (48.2) f (x) = 2x − 1 (48.5) f (x) = x−2 x2 x3 (48.3) f (x) = x2(x−3) (48.6) f (x) = (4x2+1)(x−1) (49) f (x) = 3x2−3 และ F เปน็ ปฏยิ านพุ ันธข์ อง f หาก F(0) = 4 แล้ว จงหาค่า F(1) (50) [Ent’41] ถ้า dy = 5x4+3x2−4x และ −y (1) = y (−1) แล้วจงหาค่าของ y (0) dx (51) โคง้ C มีความชันทีจ่ ุดใดๆ เปน็ x2+2x−3 จงหาสมการโค้งนั้น ถ้าโค้งผ่านจดุ (0, 1) (52) [Ent’ต.ค.43] ถา้ เส้นโคง้ y = f (x) ผา่ นจดุ (0, 1) และ (4, c) เมือ่ c เปน็ จาํ นวนจรงิ และ ความชันของเส้นโค้งนที้ ีจ่ ดุ (x, y) ใดๆ มคี ่าเท่ากับ x − 1 แลว้ c มีค่าเทา่ ใด (53) [Ent’40] ถ้าเสน้ โคง้ y = f (x) มีอัตราการเปลยี่ นแปลงของความชันทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ บนโค้ง เป็น 2x−1 และเส้นสัมผัสเสน้ โคง้ ทจี่ ดุ (1, 2) ตงั้ ฉากกับเส้นตรง x+2y−1 = 0 แล้ว ความชนั ของโคง้ นีท้ ี่จุดซ่งึ x = 0 เท่ากับเท่าใด (54) [Ent’30] จดุ ตดั ระหว่างวงกลมทม่ี ีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่ (0, 1) รศั มี 2 หน่วย กบั เสน้ โค้งที่ผ่าน จุด (3, 10) และมคี วามชันทีจ่ ุด (x, y) ใดๆ เป็น 2x จะอยใู่ นจตุภาคใด (55) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้ f เปน็ ฟังกช์ นั ซ่ึง f (2) = −1, f′(1) = −3 , และ f′′(x) = 3 ทกุ ๆ ค่า x แล้ว f (0) มคี า่ เท่าใด (56) ในเวลา t วินาที รถไฟวงิ่ ดว้ ยความเรง่ a ฟุตต่อวินาที2 โดย a = 12t2+6t+10 หากเมอ่ื เวลา เริ่มตน้ พบวา่ ระยะทางเป็น 10 ฟตุ และความเรว็ เป็นศนู ย์ จงหาระยะทางเม่ือเวลาผา่ นไป 5 วินาที Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 319 อนพุ ันธแ ละการอนิ ทิเกรต (57) [Ent’40] ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งเคล่ือนทดี่ ้วยความเร่งขณะเวลา t ใดๆ เปน็ 24t2 เมตร/วนิ าท2ี และ ขณะเวลาเป็น t = 1 วินาที มีความเร็ว 16 เมตร/วินาที และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 8 เมตร แลว้ เม่อื เวลา t = 2 วนิ าที วตั ถจุ ะเคลือ่ นทไ่ี ด้ระยะทางเท่าไร (58) [Ent’28] ถ้ากําลงั คนของบรษิ ทั แห่งหนง่ึ ที่มใี นปัจจุบันทําใหไ้ ด้ผลผลิต 3,000 ชิ้นตอ่ วนั และ เม่อื คนเพิ่ม x คน จะมอี ัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต 80 − 6 x ชนิ้ ตอ่ วัน ถามว่าเม่ือเพิ่มคน 25 คน บริษัทแหง่ นจ้ี ะได้ผลผลิตกี่ชิน้ ต่อวัน 15.5 อินทกิ รลั จาํ กดั เขต และพื้นทใ่ี ต้โคง้ อนิ ทิกรัลจาํ กดั เขต (Definite Integral) จะมีการระบชุ ่วงของ x ทเ่ี คร่อื งหมายอินทิกรลั ดังสัญลักษณ์ a ∫b ∫โดยมคี ่าเป็น a b = F (x) b = F (b) − F (a) f (x) dx a f (x) dx • ตวั อยาง กาํ หนดให f (x) = x2− 1 จะได 0 ∫3 มีคา เทากับเทาใด f (x) dx ∫วิธีคดิ0 3 = ⎡ x3 − x + ⎤ 3 = (6 + C) − (C) = 6 ... ตอบ ⎣⎢ 3 C⎥⎦ 0 f (x) dx (ขอ สงั เกตคือ การอินทเิ กรตแบบจาํ กดั เขตไมต องเขียน + C ก็ได เพราะจะลบกนั หมดเสมอ) • ตวั อยา ง กาํ หนดฟง กช นั f (x) = x2 − 4x ใหห าคา a ทีท่ ําให ∫a = 18 f (x) dx -a วธิ ีคิด จาก ∫−a a ⎡ x3 − 2x2 ⎤ a = ⎛ a3 − 2a2 ⎞ − ⎛ a3 − 2a2 ⎞ = 2a3 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ x = −a ⎠⎟ ⎝⎜ − ⎠⎟ 3 f (x) dx = ⎝⎜ 3 3 ดงั น้นั 2a3 = 18 → a3 = 27 → a = 3 ... ตอบ 3 คา่ ของอินทกิ รลั จาํ กัดเขตทค่ี าํ นวณได้ กค็ ือพื้นท่ีระหว่างโค้ง f (x) กบั แกน x ตงั้ แต่ x = a จนถึง b โดยหากสว่ นใดของโค้งน้นั อยใู่ ตแ้ กนกจ็ ะได้ผลเปน็ ค่าติดลบ หากเราต้องการหาพนื้ ทีร่ ะหวา่ งโคง้ f (x) กับแกน x ทแ่ี ท้จรงิ จะต้องตรวจสอบว่ามชี ่วงใดของโค้งท่ี อย่ใู ต้แกน x ก่อน เพอ่ื แยกชน้ิ ส่วนในการคํานวณ ไม่ให้พื้นที่บรเิ วณใดมีคา่ ติดลบ ... เชน่ ในตัวอย่างทีแ่ ล้ว f (x) = x2− 4x พบว่า −3 ∫3 = 18 แตเ่ นอื่ งจากจดุ ตดั แกน x คอื 0 f (x) dx กบั 4, ซงึ่ 0 อยู่ภายในชว่ ง (−3, 3) แสดงวา่ พ้นื ทไ่ี มน่ ่าจะเปน็ 18 ตารางหนว่ ย จากกราฟท่ีสมมตขิ น้ึ น้ี จะคํานวณได้ค่า ∫3 f(x) 5 ตร.หน่วย f (x) dx = 5 1 และ 3 ∫4 = −2 และหากคาํ นวณพร้อมกนั จะได้ 4 x f (x) dx O1 3 1 ∫4 = 3 ซ่ึงถ้าต้องการหาพน้ื ทท่ี แ่ี รเงาทแ่ี ท้จรงิ จะต้องคดิ 2 ตร.หน่วย f (x) dx จาก 5 + 2 = 7 ตารางหนว่ ย (คอื อนิ ทิเกรตทลี ะชิ้นส่วน ซ่ึงจะมี บางส่วนท่ีไดค้ ่าติดลบ แต่ให้คิดขนาดพนื้ ท่ีเป็นคา่ บวกเสมอ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 320 อนุพันธและการอนิ ทิเกรต • ตวั อยาง จากตวั อยางทีแ่ ลว f (x) = x2− 1 พืน้ ทีท่ ี่ปดลอมดว ยเสนโคง y = f (x) และแกน x ในชวง x = 0 ถงึ x = 3 มีขนาดเทา ใด วิธีคิด ถงึ แม 0 ∫3 = 6 แตพื้นทีป่ ด ลอมในชวง x=0 ถงึ x=3 อาจไมเทากับ 6 f (x) dx เราตองตรวจสอบวา มีจดุ ตดั แกน x อยูภายในชว ง (0, 3) หรือไม หาจดุ ตัดแกน x จาก f (x) = x2− 1 = 0 → x = 1, −1 (มีสองจดุ แตเราสนใจที่ x = 1 ) จงึ ทราบวา ในชว ง (0, 1) กับชว ง (1, 3) นน้ั กราฟชว งหนึ่งอยูเหนือแกน อีกชวงอยูใ ตแกน (ตองการทราบวา ชวงใดเหนือแกน ชว งใดใตแ กน ทําไดโ ดยลองหาคา f (x) บริเวณน้ัน) ฉะนั้น อนิ ทิเกรตแยกช้ิน ... 0 ∫1 = −2/ 3 (คาที่ไดต ดิ ลบ บง บอกวา กราฟอยใู ตแ กน) f (x) dx และ 1 ∫3 (กราฟสว นนีต้ อ งอยเู หนือแกน) f (x) dx = 20/3 ... พื้นที่ทีไ่ ดคือ 2/3 + 20/3 = 22/3 ตารางหนวย ... ตอบ หมายเหตุ 1. ถา้ กราฟไมม่ ีจดุ ตดั แกน x ภายในชว่ ง (0, 3) จะตอบ 6 ตารางหน่วยไดท้ นั ที 2. เน่อื งจาก ∫1 + ∫3 จะต้องมคี ่าเท่ากบั 0 ∫3 พอด.ี . f (x) dx f (x) dx f (x) dx 01 ดังนั้นถา้ บังเอญิ เราคํานวณ ∫3 = 6 ไว้แลว้ และคาํ นวณ ∫1 f (x) dx f (x) dx = −2/3 00 เรากจ็ ะทราบว่า 1 ∫3 = 20/ 3 โดยไมต่ อ้ งแทนคา่ อินทิเกรตอีกครง้ั f (x) dx ⎧ x−3,x > 2 6 ∫• ตัวอยาง กําหนด f (x) = ⎨ −1 ,x < 2 ใหห า f (x) dx ⎩ 0 วิธีคดิ วธิ ีแรก อินทิเกรตทีละชวงโดยตรง ∫ ∫2 2 2 f (x) dx = (−1) dx = [−x] = (−2) − (0) = −2 00 0 และ ∫ ∫6 6 6 = [x2/2 − 3x] 2 f (x) dx = (x − 3) dx = (0) − (−4) = 4 2 2 ∫ ∫ ∫6 2 6 ดงั น้ัน f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = −2 + 4 = 2 ... ตอบ 0 02 วิธีคดิ วธิ ีทีส่ อง คิดจากพืน้ ทีใ่ นกราฟ (เนือ่ งจากเห็นวาเปนสมการเสนตรง) กราฟตัดแกน x ที่ x = 3 และมีลกั ษณะดังรูป y 4.5 ตร.หน่วย 3 พืน้ ที่ชน้ิ ลาง (สี่เหลีย่ มคางหมู) 2.5 ตารางหนว ย O 23 6 x พืน้ ทีช่ น้ิ บน (สามเหลีย่ ม) 4.5 ตารางหนวย -1 (คาํ นวณจากสตู รพื้นที่ตามปกต)ิ 2.5 ตร.หน่วย ดังนนั้ 0 ∫6 = −2.5 + 4.5 = 2 ... ตอบ f (x) dx (โจทยไ มไ ดถามพืน้ ที่ แตถ ามคา อินทเิ กรต ดังนนั้ ชน้ิ สวนที่อยใู ตแกนจะตองตดิ ลบ แตถ า โจทยถ ามพืน้ ที่ คาํ ตอบจะกลายเปน 2.5 + 4.5 = 7 ตารางหนว ย) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 321 อนพุ ันธแ ละการอินทิเกรต แบบฝึกหัด 15.5 (59) จงหาคา่ ของ ∫(59.1) 4 ∫(59.2) 2 (3−x) dx (2x−1) dx 0 −2 (59.3) พ้ืนทป่ี ิดล้อมดว้ ยเสน้ ตรง y = 3−x กับแกน x ในช่วง x = 0 ถึง 4 (59.4) พน้ื ทีป่ ดิ ล้อมดว้ ยเส้นตรง y = 2x−1 กบั แกน x ในช่วง x = −2 ถงึ 2 (60) จงหาค่าของ ∫(60.1) 2 ∫(60.3) 4 −1 −1 (3x2−2x) dx (6+x−x2) dx ∫(60.2) 3 −1 (x3−4x) dx (60.4) พ้ืนที่ปิดล้อมดว้ ยโค้ง y = 3x2−2x กับแกน x ในช่วง x = −1 ถงึ 2 (60.5) พ้นื ทปี่ ิดล้อมด้วยโคง้ y = x3−4x กับแกน x ในช่วง x = −1 ถงึ 3 (60.6) พื้นทปี่ ิดลอ้ มดว้ ยโค้ง y = 6+x−x2 กับแกน x ในช่วง x = −1 ถงึ 4 (61) จงหาพื้นทีท่ ีล่ ้อมดว้ ยโคง้ f (x) = x2−1 กับแกน x ในชว่ งที่กาํ หนดให้ตอ่ ไปนี้ (61.1) ในช่วง x = 1 ถึง 2 (61.2) ในช่วง x = −1 ถึง 1 (61.3) ในชว่ ง x = −2 ถงึ 0 [Ent’40] ค่าของ 2⎛ x4 + 1⎞ 1 เทา่ กบั เทา่ ใด ⎝⎜ x2 ⎟⎠ ∫ ∫(62) 1 dx + (4 − x)2 dx 0 (63) [Ent’ต.ค.41] พนื้ ทปี่ ดิ ล้อมดว้ ยโค้ง y = x2−3x+2 จาก x = 0 ถงึ x = 2 เฉพาะส่วนท่อี ยู่ เหนือแกน x เท่ากับเท่าใด (64) [Ent’ต.ค.42] ให้ f (x) = x2−c โดย c เป็นคา่ คงตัวซ่ึง c > 4 ถา้ พืน้ ท่ที ป่ี ิดล้อมดว้ ย เสน้ โค้ง y = f (x) จาก x = −2 ถงึ x = 1 เท่ากับ 24 ตารางหนว่ ย แลว้ c มีค่าเทา่ ใด (65) กําหนดให้ f (x) มกี ราฟเปน็ คร่งึ วงกลมดังภาพ y (2,7) (8,7) จงหาค่า 5 ∫8 f (x) dx (66) [Ent’39] กําหนดฟงั กช์ นั y = f (x) มีกราฟเป็นเส้นตรง x ตดั แกน x ทจี่ ดุ (−1, 0) และผา่ นจุด (3, 6) แลว้ ค่าของ −1 ∫3 เท่ากับเท่าใด f (x) dx (67) f (x) เป็นกราฟเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ (3, 5) และ (−2, 2) จงหาค่า −2 ∫3 f (x) dx (68) [Ent’ม.ี ค.42] ถ้า θ ∈ R และ sin θ ∫1 = 0 แลว้ คา่ cos 2θ เปน็ เท่าใด (4x−3) dx (69) [Ent’40] ถา้ ∫ sin θ = −2 แลว้ 1 + sin θ + cos θ เทา่ กบั เท่าใด x2 dx 3 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 322 อนพุ ันธและการอินทิเกรต (70) [Ent’39] ถา้ ∫ (f D g)(x) dx = x2+5x+c โดยที่ c เปน็ คา่ คงตวั และ f (x) = 4x−3 แล้วคา่ ของ 0 ∫1 เปน็ เทา่ ใด g (x) dx (71) [Ent’41] ให้ b, c เปน็ จํานวนจริง ถ้าเส้นโคง้ y = x2+bx+c มีจุด (−1, −4) เปน็ จดุ ตา่ํ สดุ สมั พทั ธแ์ ลว้ จงหาพ้ืนทีท่ ถี่ ูกปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ นแี้ ละแกน x จาก x = −1 ถงึ x = 1 เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1) 7 (2.1) 4x+3 (16.1) 12x+1 (24.6) ตา่ํ สดุ สมั พัทธแ์ ละ (2.2) 19 (3.1) 2x1+h (16.2) 6x2−5− 3 + 8 สัมบรู ณ์ 0 สงู สดุ สัมพทั ธไ์ มม่ ี x2 x3 สงู สดุ สมั บรู ณ์ 4 ฟงั กช์ นั ลด (3.2) 23 (3.3) 2x1 (3.4) 20 (4.1) –1/20 (16.3) 6 /(1−3x)2 (16.4) ในชว่ ง (−1, 1) เพ่มิ ในชว่ ง (1, 2) (4.2) –1/18 (4.3) − 1 9(3x−5)2 (17.1) 93 (17.2) 0 (25.1) สูงสดุ 3 เมอ่ื x = 0 (17.3) –186.67 (17.4) หาคา่ ไมไ่ ด้ (25.2) ตาํ่ สุด 7 เม่ือ x = − 3 16.04 4 2 (18.1) 12x2+18x+10 , 24x+18 , (4.4) –1/16 24 (18.2) 20x3+36x2−24x , (25.3) ตา่ํ สดุ 1 เมื่อ x = 1 (5) 76π ลบ.หนว่ ย ตอ่ หนว่ ย และสงู สดุ 5 เมอ่ื x = −1 60x2+72x−24 , 120x+72 3 (25.4) ต่ําสดุ 2 เมอ่ื x = 1, −1 (6.1) 10 ตร.ซม. ตอ่ ซม. (19) 3, –5, 2 (20) 17.75 และสูงสดุ 3 เมอื่ x = 0 (21) (−1)n ⋅ n! (25.5) ตํา่ สดุ –203/27 (6.2) 20π ตร.นิว้ ตอ่ น้วิ เมอื่ x = 4 / 3 (7.1) 2 πrH (7.2) 1 πr2 xn+1 (22) เพ่ิม (−∞, a) ∪ (b, c) ∪ (d, e) และสงู สดุ 11 เมอื่ x = −2 33 (8.1) –2.3 ลบ.ม. ตอ่ นาที (26) ตาํ่ สดุ –324 เมอ่ื x = 3 และสงู สดุ 324 เมื่อ x = −3 (8.2) –2.2 ลบ.ม. ต่อนาที และลด (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞) (9.1) 4x, 8 (9.2) 2x–2, 2 (23.1) สูงสดุ 1/4 ต่ําสดุ หาคา่ ไมไ่ ด้ (9.3) 0, 0 (9.4) 0, 0 (23.2) สูงสุดหาค่าไม่ได้ ตา่ํ สดุ -5/4 โดยมีจุดเปลี่ยนเว้าที่ (0, 0) (10.1) –7 (10.2) y = −7x+8 (23.3) สูงสดุ และตา่ํ สดุ หาคา่ ไมไ่ ด้ (27.1) -2 เมตร/วนิ าที (11) y=3x+2 (12.1) 0 (24.1) ตา่ํ สดุ สมั พัทธแ์ ละสมั บรู ณ์ 1 และ 10 เมตร/วนิ าที (12.2) 1 (12.3) –3 สงู สดุ สัมพทั ธไ์ มม่ ี สัมบรู ณห์ าคา่ (27.2) 2 เมตร (28) 4, 4 (12.4) –6x (12.5) 2x+1 ไมไ่ ด้ ฟงั ก์ชันลดในชว่ ง (−∞, 2) 3 (12.6) 6x−5 (12.7) 9x2+6x เพมิ่ ในช่วง (2, ∞) (12.8) 5x4+3x−4 (12.9) −1 / x2 (24.2) ต่าํ สุดสมั พัทธ์ –2 สมั บรู ณ์ (29) 36 ตน้ (30) 3 กม. (12.10) −4 / x3 (12.11) 3 / x (31) 2,700 ตร.หน่วย (12.12) −1 / 2x2 x หาคา่ ไมไ่ ด้ สูงสดุ สัมพทั ธ์ 2 สัมบรู ณ์ (32.1) a,b และ ab (13.1) 90x4+36x2+60x หาค่าไม่ได้ 22 (13.2) 12x5+10x4+8x3+2x+1 ฟังกช์ ันลดในช่วง (−1, 1) (32.2) 4 เพม่ิ ในชว่ ง d, (13.3) −21x2+58x+56 (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 2 d และ (24.3) ตาํ่ สดุ สมั พทั ธ์ –14 สมั บรู ณ์ 2 หาค่าไมไ่ ด้ สูงสดุ สัมพทั ธ์ 13 d2 และ d2 (32.3) 2 VF 2 4 3 สมั บรู ณห์ าค่าไมไ่ ด้ ฟงั ก์ชนั ลดในชว่ ง (32.4) a/6 (32.5) 4r/3 (3x2+8)2 (−2, 1) เพมิ่ ในชว่ ง (−∞, −2) ∪ (1, ∞) (32.6) H/3 (33) –7/2 (13.4) 3x2−2x−25 (24.4) สูงสดุ สมั พทั ธ์ไม่มี สัมบรู ณ์ (34) 10x−27y+31 = 0 หาคา่ ไม่ได้ ตา่ํ สดุ สัมพทั ธแ์ ละ (35) –2 (36) ก. (37) 1 (3x−1)2 (14.1) 2x+6 (14.2) 6x (x2+1)2 สมั บูรณ์ –27/256 ฟังก์ชนั เพิ่มใน (38) 2 (39) 11 (40) 55 ช่วง (1 / 4, ∞) ลดในชว่ ง (−∞, 1 / 4) (14.3) 2(x3−x2+2x+1)(3x2−2x+2) (24.5) สูงสดุ และตํา่ สดุ สมั พทั ธ์ไมม่ ี, (41) –2 (42) (0, 1 ] (14.4) − 16 (15) ... สมั บูรณห์ าคา่ ไมไ่ ด้ ฟงั กช์ นั เพิม่ ใน R 16 5 5 1−4x Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 323 อนุพันธแ ละการอนิ ทเิ กรต (43) (−2, 0) ∪ (2, ∞) (44) 2 (45) 3 (59.1) 4 (59.2) –4 (59.3) 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หนว่ ย (46) ข. (47.1) x2 / 2 + c (47.2) x2+c (59.4) 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หนว่ ย (60.1) 6 (60.2) 4 (60.3) 95/6 (47.3) 7x+c (47.4) x3+c (47.5) x4 / 4 + c (60.4) 2 + 4 + 4 4 = 6 8 ตร.หนว่ ย (47.6) 2 x5/2 / 5 + c (47.7) −1 / 4x4 + c 27 27 27 (48.1) x5+x3−2x+c (48.2) x2+ 1/ x + c (60.5) 1 3 + 4 + 6 1 = 12 ตร.หนว่ ย 44 (48.3) x4 − x3+ c (48.4) x4 + 3 + 4x +c 4 2x2 (60.6) 112 + 17 = 21.5 ตร.หนว่ ย 4 66 (48.5) − 1 + 1 +c (48.6) x4− 4x3 + x2 −x+c (61) 4/3, 4/3, 2 ตร.หนว่ ย (62) 14 x x2 3 2 (63) 5 (64) 9 (65) 21 − 9π ≈ 7.07 (49) 2 (50) 2 (51) y = x3 +x2−3x+1 64 3 (66) พท.+ ได้ 12 (67) พท., ได้ 17.5 (68) –1 หรือ 1/2 (69) 0 (70) 2.25 (52) 7/3 (53) 2 (71) 16/3 (54) จดุ (±1, 2) → จตภุ าคที่ 1 และ 2 (55) 5 (56) 885 ฟตุ (57) 46 เมตร (58) 4,500 เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธคี ดิ ) (1) Δy = f(5) − f(3) = 21 − 7 = 7 (4.2) 1 −1 1 Δx 5 − 3 2 4.5 4 =− (2.1) lim Δy = lim f(x + h) − f(x) 4.5 − 4 18 Δx → 0 Δx h → 0 h 1 −1 1 = lim ⎣⎡2(x + h)2 + 3(x + h)− 4⎦⎤ − ⎡⎣2x2 + 3x − 4⎤⎦ (4.3) 4.01 4 = − 16.04 4.01 − 4 h→0 h (4.4) ดูแนวโนม้ จากข้อ 4.1 ถงึ 4.3 จะได้ − 1 = lim 4xh + 2h2 + 3h = lim(4x + 2h + 3) 16 h h→0 h→0 ⎡ 1 1⎤ + = 4x + 3 หรอื คํานวณจาก ⎢ 4 h − 4 ⎥ กไ็ ด้ ⎣⎢ h ⎥⎦ (2.2) lim Δy = lim f(2 + h) − f(2) lim h→0 Δx → 0 Δx h → 0 h (5) V = 4 πr3 → ΔV = V(3) − V(2) 3 Δr 3 − 2 = lim ⎡⎣3(2 + h)2 + 7(2 + h)+ 1⎤⎦ − ⎣⎡3(2)2 + 7(2)+ 1⎤⎦ h→0 h = 4 π33 − 4 π23 = 76 π ลบ.หน่วย/หน่วย = lim 12h + 3h2 + 7h = lim(19 + 3h) = 19 33 3 h→0 h h→0 (6.1) A = x2 → lim ΔA = lim (5 + h)2 − 52 [หรอื คิดเปน็ x กอ่ น แลว้ แทนคา่ x ดว้ ย 2 ก็ได]้ Δx → 0 Δx h → 0 h (3.1) Δy = f(x1 + h) − f(x1) = lim 10h + h2 = 10 ตร.ซม./ซม. Δx h h→0 h = (x1 + h)2 − (x1)2 = 2x1 + h (6.2) A = πr2 h → lim ΔA = lim π(10 + h)2 − π(10)2 (3.2) แทน x1 = 10, h = 3 → Δy = 23 Δr → 0 Δr h→0 h Δx = lim π(20h + h2) = 20π ตร.น้ิว/นว้ิ (3.3) lim Δy = hli→m0(2x1 + h) = 2x1 h→0 h Δx → 0 Δx (7.1) V = 1 πr2H (3.4) แทน x1 = 10 → lim Δy = 20 3 Δx → 0 Δx 1 π(r + h)2H − 1 πr2H (4.1) 1− 1 1 → lim ΔV = lim 54 33 5−4 =− 20 Δr → 0 Δr h→0 h Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 324 อนพุ ันธแ ละการอนิ ทิเกรต = lim 1 π (2rh + h2)H = 2 πrH (10.2) y − y1 = m(x − x1) 3 → y + 6 = −7(x − 2) → y = −7x + 8 h→0 h 3 (7.2) ΔV = 1 πr2(H + h) − 1 πr2H (11) dy = lim (x + h)3 − x3 dx h → 0 h lim lim 33 ΔH → 0 ΔH h → 0 h = lim 3x2h + 3xh2 + h3 = 3x2 = 1 πr2 h→0 h 3 ความชนั หาจาก dy = 3 dx x = −1 (8.1) ΔQ = Q(t + h) − Q(t) Δt h สมการเสน้ สมั ผสั คอื ⎝⎜⎛ 12 − t + h ⎞2 − ⎝⎜⎛ 12 − t ⎞2 y + 1 = 3(x + 1) → y = 3x + 2 10 ⎠⎟ 10 ⎟⎠ = (12.1) f′(x) = 0 h (12.2) f′(x) = 1x0 = 1 (12.3) f′(x) = −3x0 = −3 = − 12 + t + h (12.4) f′(x) = −6x 5 50 100 (12.5) f′(x) = 2x + 1 (12.6) f′(x) = 6x − 5 ∴ ท่ี t = 0 ถงึ 10 นาที จะได้ (12.7) f′(x) = 9x2 − 8x + 14x = 9x2 + 6x (12.8) f′(x) = 5x4 + 3x−4 → ΔQ = − 12 + 0 + 10 = −2.3 ลบ.ม./นาที Δt 5 50 100 (8.2) lim ΔQ = lim ⎛ − 12 + t + h⎞ Δt → 0 Δt ⎜⎝ 5 50 100 ⎠⎟ h→0 = − 12 + t (12.9) f(x) = x−1 → f′(x) = −x−2 = − 1 5 50 x2 ∴ ท่ี t = 10 นาที จะได้ → lim ΔQ = − 12 + 10 = −2.2 ลบ.ม./นาที (12.10) f(x) = 2x−2 → f′(x) = −4x−3 = − 4 Δt → 0 Δt 5 50 x3 (9.1) dy = lim 2(x + h)2 − 2x2 1 −1 3 dx h → 0 h (12.11) f(x) = 6x2 → f′(x) = 3x 2 = x = lim 4xh + 2h2 = 4x → dy =8 (12.12) 1 −3 1 −5 h→0 h dx x = 2 f(x) = → f′(x) = − x2 x2 32 (9.2) [ ] [ ]dy = lim (x + h)2 − 2(x + h) + 4 − x2 − 2x + 4 dx h → 0 h = − 1 2x2 x = lim 2xh + h2 − 2h = 2x − 2 h→0 h (13.1) f′(x) = (6x2 + 4)(9x2) + (3x3 + 5)(12x) และ dy = 2 = 90x4 + 36x2 + 60x dx x = 2 (13.2) f′(x) = (2x4 + 1)(2x + 1) + (x2 + x + 1)(8x3) (9.3) dy = lim 3 − 3 = lim 0 = 0 = 12x5 + 10x4 + 8x3 + 2x + 1 dx h → 0 h h→0 (13.3) f′(x) (3x2 + 8)(8x + 7) − (4x2 + 7x + 1)(6x) (3x2 + 8)2 และเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดงั นน้ั dy = 0 = dx x = 2 = −21x2 + 58x + 56 (9.4) dy = lim 2 − 3t − 2 − 3t = lim 0 = 0 (3x2 + 8)2 dx h → 0 h h→0 (13.4) (3x − 1)(2x + 4) − (x2 + 4x + 7)(3) (3x − 1)2 และเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดงั นน้ั dy = 0 f′(x) = dx x = 2 3x2 − 2x − 25 (10.1) dy = lim ⎣⎡(x + h)− 2(x + h)2 ⎤⎦ − ⎣⎡x − 2x2 ⎤⎦ = (3x − 1)2 dx h → 0 h (14.1) f′(x) = 2(x + 3)(1) = 2x + 6 = lim h + 4xh − 2h2 = 1 − 4x (14.2) f′(x) = 3(x2 + 1)2(2x) = 6x(x2 + 1)2 h→0 h (14.3) f′(x) = 2(x3 − x2 + 2x + 1)(3x2 − 2x + 2) เปน็ ความชนั ณ x ใดๆ ดังนนั้ ความชนั ท่จี ดุ (2,-6) เท่ากบั dy = −7 (14.4) f′(x) = 4 (1 − −1 = −16 dx x = 2 5 5 5 1 − 4x 4x) 5(−4) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 325 อนุพนั ธและการอินทเิ กรต (15) ..(2.1) dy = 4x + 3 (17.4) f′(x) = 1 (x2 − 1)−1/2(2x) dx 2 (2.2) dy = (6x + 7) x = 2 = 19 → f′(1) = 1 (0)−1/2(2) = 1 → หาคา่ ไม่ได้ dx 20 x=2 (18.1) f′(x) = 4x3 + 9x2 + 10x − 7 (3.3) dy = (2x) x = x1 = 2x1 dx → f′′(x) = 12x2 + 18x + 10 x = x1 (3.4) dy = (2x) x = 10 = 20 → f′′′(x) = 24x + 18 → f(4)(x) = 24 dx x = 10 (18.2) f′(x) = 5x4 + 12x3 − 12x2 + 1 (4.4) dy = ⎝⎜⎛ − 1⎞ =− 1 → f′′(x) = 20x3 + 36x2 − 24x (6.1) dx x2 ⎟⎠ 16 → f′′′(x) = 60x2 + 72x − 24 (6.2) x=4 x=4 → f(4)(x) = 120x + 72 dA = d(x2) = (2x) x =5 = 10 (19) f(−3) = (−3)2 + (−3) − 3 = 3 dx dx x =5 x =5 f′(−3) = (2x + 1) x = −3 = 2(−3) + 1 = −5 dA = d(πr2) = (2πr)r =10 = 20π dr r =10 dr r =10 (7.1) dV = d ⎛1 πr2H ⎞ = 2 πrH f′′(−3) = (2) x = −3 = 2 dr dr ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 (20) (f′′ + g′′)(1) = f′′(1) + g′′(1) (7.2) dV = d ⎛⎜⎝ 1 πr2H⎟⎞⎠ = 1 πr2 จาก f(x) = (2 − x)1/2 dH dH 3 3 → f′(x) = 1 (2 − x)−1/2(−1) = − 1 (2 − x)−1/2 (8.2) dQ = ⎡⎢⎣2 ⎜⎝⎛ 12 − t ⎠⎞⎟ ⎛ − 1 ⎞⎤ 22 dt 10 ⎜⎝ 10 ⎠⎟⎦⎥ t = 10 t = 10 1 −3 f′′(1) = − 1 ∴ f′′(x) = 4 1) ⎝⎜⎛ − 1 ⎟⎞⎠ 4 (2 − x) 2(−1) → 10 = 2(12 − = −2.2 จาก g(x) = (1 − 3x)2 (16.1) f′(x) = (2x + 3)(3) + (3x − 4)(2) = 12x + 1 → g′(x) = 2(1 − 3x)(−3) = −6 + 18x (16.2) f(x) = 2x3 − 5x + 3x−1 − 4x−2 ดงั นน้ั g′′(x) = 18 → g′′(1) = 18 → f′(x) = 6x2 − 5 − 3 + 8 ตอบ − 1 + 18 = 17 3 x2 x3 44 (16.3) f′(x) = (1 − 3x)(3)−(1+ 3x)(−3) = 6 (21) f(x) = 1 → f′(x) = − 1 (1 − 3x)2 − 3x)2 x x2 (1 (16.4) f′(x) = 3(3x − 5)2(3) = 9(3x − 5)2 → f′′(x) = 2 → f′′′(x) = − 6 (17) คําถามทัง้ สขี่ อ้ กค็ อื อยา่ งเดยี วกัน x3 x4 • dy จะไดว้ า่→ 24 f(n)(x) (−1)n ⋅ n ! dx x = 1 • f′(1) f(4)(x) = x5 ... = xn + 1 • ความชนั โค้ง ณ x = 1 (22) เป็นฟังก์ชนั เพ่มิ ในช่วง (−∞, a) ∪ (b, c) ∪ (d, e) • อตั ราการเปลีย่ นแปลงของ f(x) ณ x = 1 และลดในช่วง (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞) (17.1) f′(x) = (2x + 1)2(3)(3x − 2)2(3) (23.1) f′(x) = −2x − 1 = 0 → x = 1/2 + (3x − 2)3(2)(2x + 1)(2) แสดงวา่ มกี ารวกกลบั ท่ี x = 1/2 หน่งึ คร้ัง ∴ f′(1) = (9)(3)(1)(3) + (1)(2)(3)(2) = 93 แทนคา่ f(1/2) ได้ 1/4 และลองแทน x คา่ อน่ื (17.2) f(x) = 2(x2 − 2x + 3)−1/ 3 เชน่ x = 0 เพอ่ื ดวู า่ เปน็ กราฟ (1/2,1/4) → f′(x) = − 2 (x2 − 2x + 3)−4/ 3(2x − 2) หงายหรอื ควาํ่ จะวาดไดด้ งั ภาพ (ควํ่า) 3 ดงั นน้ั คา่ สงู สดุ ของฟงั ก์ชนั =1/4 ∴ f′(1) = ⎛ − 2 ⎞ (2)−4 / 3(0) = 0 และคา่ ตา่ํ สดุ หาคา่ ไม่ได้ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ [หรอื จดั รปู สมการแบบภาคตัดกรวยก็ได้(พาราโบลา)] (17.3) f′(x) = ( x2 + 8)(4)(x2 − 3)3(2x) (23.2) f′(x) = 2x − 1 = 0 → x = 1/2 + (x2 − 3)4(1)(x2 + 8)−1/2(2x) → f(1/2) = −5/4 วาดกราฟ 2 [แทน x = 0 ได้ y = −1 ∴ f′(1) = (3)(4)(−8)(2) + (16)(1/2)(1/3)(2) แสดงว่าเปน็ พาราโบลาหงาย] (1/2,-5/4) = −192 + 16/3 = −186.67 ตอบ คา่ สูงสดุ หาคา่ ไมไ่ ด,้ คา่ ตา่ํ สดุ -5/4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 326 อนุพนั ธแ ละการอนิ ทิเกรต (23.3) f′(x) = 3 → เปน็ กราฟเสน้ ตรง ความชนั 3 (24.5) f′(x) = 3x2 = 0 → x = 0, 0 ไมม่ ีการวกกลับ m=3 (เปลี่ยนความเว้า) (0,0) ∴ คา่ สงู สุดและตา่ํ สุด 2 หาค่าไม่ได้ f′(x) + - + เพิม่ 0 0 เพิ่ม (24.1) f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2 ตอบ สงู สดุ และต่ําสดุ สมั พทั ธ์ ไม่มี, สมั บูรณ์ หาคา่ ไมไ่ ด้ f(2) = 1 และทดลองคิด f(0) = 5 และเป็นฟงั กช์ นั เพ่ิมใน R (x ทกุ คา่ ) วาดกราฟได้ดงั รปู (24.6) f′(x) = 2x − 2 = 0 → x = 1 ตอบ สงู สดุ สัมพทั ธไ์ ม่มี (2,1) ซง่ึ f(1) = 0 , f(−1) = 4 , สูงสดุ (สัมบูรณ์) หาคา่ ไม่ได้ และ f(2) = 1 (-1,4) (2,1) ตอบ สูงสดุ สัมพทั ธ์ไม่มี (1,0) ต่ําสุดสัมพทั ธแ์ ละสัมบรู ณ์ = 1 ฟังกช์ นั เพ่ิมในช่วง (2, ∞) ลดในชว่ ง (−∞, 2) สงู สดุ สัมบูรณ์ 4 (24.2) f′(x) = 3x2 − 3 = 0 → x = −1, 1 ตา่ํ สดุ สมั พทั ธแ์ ละสัมบูรณ์ 0 f(−1) = 2 , f(1) = −2 (-1,2) เป็นฟังก์ชนั เพิ่มในชว่ ง (1, 2) ลดในชว่ ง (−1, 1) (25.1) f′(x) = −2x = 0 → x = 0 ตอบ สงู สดุ สมั บรู ณ์และ f(0) = 3 → และเนอ่ื งจาก f(1) = 2 ต่ําสุดสมั บูรณ์ หาคา่ ไมไ่ ด้ แสดงวา่ เปน็ พาราโบลาคว่ํา ดังนน้ั สงู สดุ สมั พทั ธ์ = 3 , ตา่ํ สุดสมั พัทธ์ ไม่มี สูงสดุ สัมพทั ธ์ = 2 (1,-2) (25.2) f′(x) = 2x + 3 = 0 → x = −3/2 ต่ําสดุ สมั พทั ธ์ = −2 f(−3/2) = 7/4 → และเนือ่ งจาก f(0) = 4 ฟงั กช์ นั เพม่ิ ในชว่ ง (−∞, −1) ∪ (1, ∞) แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย สงู สดุ สมั พทั ธ์ ไม่มี , ตาํ่ สดุ สมั พทั ธ์ 7/4 ลดในชว่ ง (−1, 1) (25.3) f′(x) = 3x2 − 3 = 0 → x = 1, −1 (24.3) f′(x) = 6x2 + 6x − 12 = 0 → x = 1, −2 ซึง่ f(1) = 1, f(−1) = 5 f(1) = −14 และ f(−2) = 13 ดังนน้ั สงู สดุ สัมพทั ธ์ 5 , ตํา่ สดุ สมั พัทธ์ 1 (25.4) f′(x) = 4x3 − 4x = 0 → x = −1, 0, 1 ตอบ สงู สดุ สมั บรู ณ์และ (-2,13) → f(−1) = f(1) = 2, f(0) = 3 ต่าํ สุดสมั บรู ณ์ หาคา่ ไม่ได้ ∴ สงู สุดสมั พทั ธ์ 3 , ตํ่าสุดสัมพทั ธ์ 2 สงู สดุ สัมพทั ธ์ = 13 (1,-14) (25.5) f′(x) = 3x2 + 2x − 8 = 0 ตํา่ สดุ สัมพทั ธ์ = −14 → (3x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4/ 3, −2 ฟงั กช์ นั เพม่ิ ในชว่ ง (−∞, −2) ∪ (1, ∞) ซง่ึ f(4/3) = −203/27, f(−2) = 11 ลดในชว่ ง (−2, 1) ดังนน้ั สงู สุดสัมพทั ธ์ 11 , ต่าํ สดุ สัมพทั ธ์ −203/27 (24.4) f′(x) = 4x3 − 9x2 + 6x − 1 = 0 (4x − 1)(x − 1)2 = 0 ดังน้ัน x = 1/4, 1, 1 ซึ่ง f( 1) = − 27 และ f(1) = 0 4 256 มีการวกกลับท่ี x = 1 สองคร้งั ดงั นั้นท่ี x = 1 เปน็ เพยี งจดุ เปลีย่ นความเวา้ ไมใ่ ช่จุดสงู สดุ ตาํ่ สุด (ดจู าก (26) dy = 10x4 − 90x2 = 0 dx เครอ่ื งหมายบนเส้นจํานวน) + -+ → 10x2(x2 − 9) = 0 → x = 0, 0, 3, −3 f′(x) - ลด 1/4 เพมิ่ 1 1 เพิ่ม ซงึ่ f(3) = −324, f(0) = 0, f(−3) = 324 ตอบ สูงสดุ สมั พทั ธไ์ มม่ ี (ที่ x=0 เป็นจุดเปลยี่ นความเวา้ ดงั รูป) สูงสดุ สัมบรู ณ์ หาคา่ ไมไ่ ด้ ตํ่าสุดสัมพทั ธแ์ ละสมั บรู ณ์ (1,0) (-3,324) = −27 / 256 (1/4,-27/256) O (3,-324) ฟังกช์ นั เพมิ่ ในช่วง (1 , ∞) 4 ตอบ คา่ สูงสุดสมั พทั ธ์ 324, คา่ ต่าํ สุดสมั พทั ธ์ -324 ลดในชว่ ง (−∞, 1) 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 327 อนพุ ันธและการอินทิเกรต (27) ความเรว็ คือ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ (32.1) พจิ ารณา Δ คลา้ ย ระยะทาง เทียบกบั เวลา (ทําเชน่ เดยี วกับข้อ 31) x a (27.1) v = dS = 6t − 2 m/s b−x = b →h=a− ax dt ha b h v(0) = −2 m/s และ v(2) = 10 m/s b (27.2) หา Smax → dS =0→ 6t − 2 = 0 พนื้ ที่ A = x ⎜⎝⎛ a − a x ⎟⎠⎞ = ax − a x2 dt b b ได้ t = 1 s. ดังนน้ั Smax = S ( 1) = 2 m. dA = a − 2a x = 0 → x = b และจะได้ h = a 3 3 3 dx b 2 2 (28) ใหจ้ าํ นวนทตี่ อ้ งการเปน็ x กบั 8-x ∴ ตอบ กวา้ งยาว a , b พน้ื ที่ = ab 22 4 จะได้ผลบวก y = x3 + (8 − x)3 → xd (32.2) h = d2 − x2 ymin หาจาก dy = 3x2 + 3(8 − x)2(−1) = 0 dx → A = x ⋅ d2 − x2 → 3(−64 + 16x) = 0 → x = 4 ดังนน้ั x = 4 เปน็ ค่าทที่ ําให้เกดิ คา่ y ตาํ่ สดุ ตาม ต้องการ Amax คิดจาก h ตอ้ งการ ตอบ 4 กับ 4 (29) สมมตปิ ลกู เพ่มิ ไรล่ ะ x ตน้ จะได้ ( )dA ⎛ 1 ⎞ ผล y = (22 + x)(500 − 10x) → ⎜⎝⎜ d2 − ⎟⎟⎠ dx ตอ้ งการ ymax จงึ คดิ จาก = (x) x2 (−2x) + d2 − x2 (1) = 0 dy = (22 + x)(−10) + (500 − 10x)(1) = 0 2 dx → − x2 + d2 − x2 = 0 → x = 14 ตน้ เปน็ คา่ ทที่ ําให้เกดิ ymax ตาม ต้องการ ตอบ ปลูกไรล่ ะ 22+14 = 36 ต้น → x = d และจะได้ h = d (30) ค่ากอ่ สร้าง y = 2(32 + x2) + 3(42 + (5 − x)2) 22 ต้องการ ymin คดิ จาก ตอบ กวา้ งยาว d , d พนื้ ที่ d2 22 4 dy = 4x + 6(5 − x)(−1) = 0 → x = 3 dx (32.3) สมมตสิ มการ y2 = 4cx ดงั นน้ั คา่ x ควรเป็น 3 km จึงเสยี เงนิ นอ้ ยสดุ จะได้วา่ พน้ื ท่ี A = (c − x)(2y) (x,y) (31) สมมตดิ า้ นนอนเป็น x หน่วยดงั รปู → หา ความสงู h ในรปู ของ x โดยพิจารณา Δ คล้าย = (c − y2 )(2y) x y 4c y = 2cy − y3 → c-x 2c ∴ dA = 2c − 3y2 = 0 → y = 2c dy 2c 3 120 − x = 120 x และจะได้ x = c → ∴ BF = 2 VF h 90 33 → h = 90 − 3 x 90 150 (32.4) ปรมิ าตร V = (a − 2x)2(x) h 4 = a2x − 4ax2 + 4x3 ∴ พนื้ ทสี่ เี่ หลี่ยม A = xh 120 ตอ้ งการ คิดจาก dV = a2 − 8ax + 12x2 = 0 = x ⋅ ⎛⎝⎜ 90 − 3 x ⎠⎞⎟ = 90x − 3 x2 Vmax dx 4 4 → (a − 6x)(a − 2x) = 0 → x = a หรอื a ต้องการ Amax คดิ จาก 26 → dA = 90 − 3 x = 0 → x = 60 หน่วย แต่ถา้ x=a จะได้ V = 0 (Vmin) dx 2 2 ∴ h = 90 − 3 (60) = 45 หนว่ ย ดงั นนั้ คาํ ตอบคือ x = a 4 6 และ พน้ื ท่ี Amax = 60 ⋅ 45 = 2,700 ตร.หนว่ ย (32.5) ปรมิ าตรกรวย }r ∗ หมายเหตุ ขอ้ (27.2) ถงึ (31) เนอื่ งจากไดค้ า่ V = 1 πx2(r − y) วกิ ฤต (x) เพยี งคา่ เดยี วเทา่ น้ัน จงึ สรุปได้เลยวา่ เปน็ }y 3 ค่าที่โจทยต์ อ้ งการ (โดยไม่ตอ้ งตรวจสอบวา่ เปน็ x (x,y) จดุ สูงสดุ หรอื ตา่ํ สดุ ) [ใช้ r-y เพราะคา่ y ติดลบ] แต่ x2 + y2 = r2 ดงั นั้น V = 1 π(r2 − y2)(r − y) 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 328 อนุพันธแ ละการอินทิเกรต ตอ้ งการ Vmax คิดจาก (36) f′(x) = 3x2 + 2bx + c → f′(−2) = 0 dV = 1 π ⎣⎡(r2 − y2)(−1) + (r − y)(−2y)⎤⎦ = 0 ดงั นนั้ 12 − 4b + c = 0 .....(1) dy 3 f′′(x) = 6x + 2b → f′′(−1) = 6 ดังน้นั → 3y2 − 2ry − r2 = 0 → (3y + r)(y − r) = 0 −6 + 2b = 6 .....(2) → y = − r ,r ได้ b = 6, c = 12 3 ∴ f(x) = x3 + 6x2 + 12x แต่ y = r ไม่ได้ เพราะส่วนสูงจะกลายเปน็ ถ้า f′(x) = 0 → 3x2 + 12x + 12 = 0 → r − y = r − r = 0 (Vmin) x = −2, −2f′(xแ)สดงวา่ +มกี ารเ-ปลีย่ น+เวา้ ท่ี x = −2 ∴ ตอบ y=−r คือ สว่ นสูง r − ⎜⎛⎝ − r ⎞⎟⎠ =4r 3 3 3 เพิ่ม -2 -2 เพมิ่ (32.6) พจิ ารณา Δ คลา้ ย ⎫ ดงั นนั้ ตอบ ก. f เปน็ ฟังกช์ นั เพิ่ม (ไม่มีจดุ วกกลบั ) H−h = H → r =R−Rh r ⎪ H (37) หา a, b, c, d เชน่ เดิม โดยสมการ rR H ⎬ ดงั นนั้ ปรมิ าตร V = πr2h h ⎭⎪ f(1) = 0, f(0) = 0, f′(0) = 2, และ f′′(0) + f′′′(0) = 1  จะได้ d = 0, c = 2, a = 5/4, b = −13/4 R ดังนน้ั f(2) = 1 = π ⎝⎜⎛R − R h ⎟⎠⎞2h = πR2 ⎛ − 2h2 + h3 ⎞ (38) หา a, b, c จากสมการ H ⎝⎜ h H H2 ⎠⎟ h(0) = 1, h(−2) = 5, h′(−2) = 0 ตอ้ งการ Vmax คิดจาก dV = πR2 ⎛ 1 − 4 h + 3 h2 ⎞ = 0 ได้ c = 1, a = −1, b = −4 dh ⎝⎜ H H2 ⎠⎟ H2 − 4Hh + 3h2 = 0 → (H − 3h)(H − h) = 0 → h(x) = −x2 − 4x + 1 → h = H/3, H = (fog)(x) = 3(g(x)) − 10 แต่ h = H ไมไ่ ด้ เพราะ r = 0 → V = 0 (Vmin) ∴ g(x) = − x2 − 4x + 11 จะได้ g(1) = 2 ตอบ h = H / 3 3 33 (33) [f(x) + g(x)]′ = f′(x) + g′(x) (39) f′(2) = (g(2))(3)(22 − 1)2(2)(2) − (22 − 1)3 ⋅ g′(2) [g(2)]2 → f′(x) = (2x − 1)(3)−(3x + 1)(2) → f′(1) = −5 3 = (3 ⋅ 3 ⋅ 9 ⋅ 4) − (27)g′(2) ∴ g′(2) = 11 (2x − 1)2 9 g′(x) = 1 (3x2 + 1)−1/2(6x) (40) g(1) = 5, g′(1) = 0 2 → f′(1) = [3(1)2 + 5(1)] [g′(1)] + [g(1)] [6(1) + 5] 1 ⎝⎜⎛ 1 ⎠⎟⎞ 3 ตอบ −5 + 3 = − 7 → g′(1) = 2 2 (6) = 2 22 = 8 ⋅ 0 + 5 ⋅ 11 = 55 (34) ความชัน dy 1 (x2 −2 (41) f(2) = 3, f′(2) = 4 → หา g(2) โดย = + 2) 3(2x) f(2) = 3 = (2 − 1)2 ⋅ g(2) → g(2) = 3 dx x = 5 3 x=5 = 1 −2 = 10 → สรา้ งสมการ → f′(2) = (2 − 1)2 ⋅ g′(2) + g(2) ⋅ 2(2 − 1)(1) → 4 = g′(2) + 3 ⋅ 2 → ∴ g′(2) = −2 (27) 3(10) 3 27 ผ่านจดุ (5, 3) → y − 3 = 10 (x − 5) (42) f′(x) = 1 + 1 → 1 + 1 > 3 27 2x 2x → 10x − 27y + 31 = 0 → 1 >2→ x < 1 → 0< x< 1 2 x 4 16 (35) f′(x) = (x + b)(2) − (2x − a)(1) (x + b)2 ตอบ (0, 1 ] ... [เป็น 0 ไมไ่ ด้ เพราะเปน็ ตวั สว่ น] 16 = 2b + a → f′(0) = 4→ 2b + a = 4 .....(1) (x + b)2 b2 (43) f(x) = x8/ 3 − 16x2/ 3 f′′(x) = −2(2b + a) → f′′(0) = −8 → f′(x) = 8 x5/ 3 − 32 x−1/ 3 (x + b)3 33 → −2(2b + a) = −8 .....(2) จะได้→ f′(x) > 0 x5/ 3 − 4x−1/ 3 > 0 b3 นาํ x4/3 คณู ตลอด กลายเปน็ x3 − 4x > 0 จะได้ b = 1, a = 2 → f(0) = −a = −2 ตอบ (−2, 0) ∪ (2, ∞) b Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 329 อนพุ ันธแ ละการอนิ ทเิ กรต (44) F(x) = x + 1 → F−1(x) = (x − 1)2 (50) y = ∫ (5x4 + 3x2 − 4x) dx → (F−1)′ (x) = 2(x − 1)(1) = x5 + x3 − 2x2 + c ∴ (F−1)′ (2) = 2 โจทยบ์ อกใบ้ −y(1) = y(−1) (45) วิธคี ดิ เชน่ เดยี วกับขอ้ (31) และ (32.1) จะ จะได้ −c = −4 + c ∴ c = 2 = y(0) ได้ว่า พน้ื ที่ , = 3 ⋅ 4 = 3 ตร.นวิ้ (51) ความชนั = dy = x2 + 2x − 3 22 dx (46) ตอ้ งการกาํ ไรสงู สดุ ∴y = ∫ (x2 + 2x − 3) dx = x3 + x2 − 3x + c ∴ ให้ y = กาํ ไร = รายรบั - ตน้ ทนุ 3 โคง้ ผ่านจดุ (0, 1) ∴ c = 1 = 24x − (16 + 6x + 0.2x3/2) dy = 0 → 24 − 6 − 0.3x1/2 = 0 ตอบ y = x3 + x2 − 3x + 1 dx 3 → x1/2 = 60 → x = 3,600 ชิน้ (52) เชน่ เดยี วกบั ข้อ (51) คอื dy = x − 1 dx ∴ คา่ N = จาํ นวนช้ินทไ่ี ด้กาํ ไรสงู สุด = 3,600 ชน้ิ 2 x3/2 (47.1) ∫ f(x) dx = ∫ x dx = x2 +c → y = ∫( x − 1) dx = 3 −x+K 2 โค้งผ่านจดุ (0, 1) ∴ K = 1 (47.2) 2x2 + c = x2 + c ∫ f(x) dx = 2 → y = 2 x3/2 − x + 1 3 (47.3) ∫ f(x) dx = 7x + c โจทยถ์ าม c = y(4) = 7 / 3 (47.4) ∫ f(x) dx = 3x3 + c = x3 + c 3 (53) อัตราการเปลย่ี นแปลงความชนั คอื f′′(x) [เพราะความชันคอื f′(x)] (47.5) ∫ f(x) dx = x4 +c 4 ∴ f′′(x) = 2x − 1 (47.6) 3 x5/ 2 + c = 2 5 +c → f′(x) = ∫ (2x − 1) dx = x2 − x + C1 5/2 ∫ x2 dx = 5 x2 หาคา่ C1 โดยคําใบท้ ีว่ า่ ท่ีจุด (1, 2) ความชันตง้ั ฉาก (47.7) ∫ x−5 dx = x−4 + c = − 1 +c กบั x + 2y − 1 = 0 ⎣⎢⎡m = − 1⎤ ดงั นนั้ −4 4x4 2 ⎥⎦ (48.1) ∫ f(x) dx = x5 + x3 − 2x + c f′(1) = 2 [เพราะความชนั คูณกนั ตอ้ งได้ -1] (48.2) ∫ (2x − x−2) dx = 2x2 − x−1 + c → ∴ C1 = 2 → f′(x) = x2 − x + 2 2 −1 โจทย์ถามความชนั ที่ x = 0 คอื f′(0) = 2 = x2 + 1 + c (54) สมการวงกลมคอื (x)2 + (y − 1)2 = 2 x และสมการโค้งคอื y = ∫ (2x) dx = x2 + c (48.3) ∫ (x3 − 3x2) dx = x4 − x3 + c (ผา่ นจดุ (3, 10) ∴ c = 1 ) → y = x2 + 1 4 แก้ระบบสมการหาจดุ ตัดไดเ้ ป็น (48.4) ∫ (x3 − 3x−3 + 4) dx = x4 − 3x−2 + 4x + c 4 −2 (y − 1)2 + (y − 1) − 2 = 0 x4 3 = 4 + 2x2 + 4x + c → (y − 1 + 2)(y − 1 − 1) = 0 (48.5) ∫ (x−2 − 2x−3) dx = x−1 − 2x−2 +c จะได้ y = −1 → x = เปน็ ไปไมไ่ ด้ −1 −2 หรอื y = 2 → x = ±1 = − 1 + 1 + c ดงั นน้ั จดุ ตดั คอื (1,2), (-1,2) อยูใ่ น Q1 และ Q2 x x2 (55) f′′(x) = 3 → f′(x) = 3x + C1 (48.6) ∫ (4x3 − 4x2 + x − 1) dx แต่ f′(1) = −3 ∴ C1 = −6 → f′(x) = 3x − 6 = x4 − 4 x3 + x2 − x + c → f(x) = 3x2 − 6x + C2 32 2 แต่ f(2) = −1 ∴ C2 = 5 → (49) F(x) = ∫ (3x2 − 3) dx = x3 − 3x + c f(0) = 5 → F(0) = 4 ∴c = 4 และจะได้ F(1) = 1 − 3 + 4 = 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 330 อนพุ นั ธและการอินทิเกรต (56), (57) ต้องทราบว่า ds = v, dv = a ∫(60.1) −1 2 − 2x) dx = (x3 − x2) 2 dt dt −1 (3x2 จึงจะแก้ปญั หาได้ = (8 − 4) − (−1 − 1) = 6 (56) a = 12t2 + 6t + 10 ∫(60.2) −1 3 ⎛ x4 2x2 ⎞ 3 ⎜⎝ 4 ⎠⎟ −1 → v = ∫ a dt = 4t3 + 3t2 + 10t + C1 (x3 − 4x) dx = − แต่ v(0) = 0 ∴ C1 = 0 = ⎝⎜⎛ 81 − 18⎠⎟⎞ − ⎝⎜⎛ 1 − 2 ⎠⎟⎞ = 4 4 4 S = ∫ v dt = t4 + t3 + 5t2 + C2 4 แต่ S(0) = 10 ∴ C2 = 10 ∫(60.3) −1 4 = ⎡ x2 − x3 ⎤ −1 ⎣⎢6x + 2 3 ⎦⎥ (6 + x − x2) dx → S = t4 + t3 + 5t2 + 10 64 1 1 95 3 2 3 6 จะได้ S(5) = 625 + 125 + 125 + 10 = 885 ฟตุ = ⎝⎛⎜24 + 8 − ⎞⎟⎠ − ⎝⎜⎛ −6 + + ⎠⎟⎞ = (57) a = 24t2 → v = 8t3 + C1 (60.4) y = 3x2 − 2x แต่ v(1) = 16 → C1 = 8 → S = 2t4 + 8t + C2 แต่ S(1) = 8 ∴ C2 = − 2 → S = 2t4 + 8t − 2 มจี ุดตดั แกน x ที่ 2 4/27 → ∴ S(2) = 32 + 16 − 2 = 46 เมตร x = 0, 2/3 ดงั ภาพ (58) ให้ y แทนปรมิ าณผลผลติ ทไ่ี ด้ -1 0 2/3 2 เม่อื เพ่มิ x คน อตั ราการเปล่ียนแปลงผลผลติ 4+4/27 80 − 6 x ชิ้นตอ่ วนั = dy การหาพนื้ ทีป่ ดิ ลอ้ ม ตอ้ งแยกคดิ ทีละช่วง dx เพราะชว่ ง 0 ถึง 2/3 จะไดต้ ิดลบ ∴ y = ∫ (80 − 6 x) dx = 80x − 4x3/2 +C (ตอ้ งเอาเครอ่ื งหมายลบออก) แต่โจทยใ์ บ้ว่า ถา้ ไมเ่ พิม่ คนเลย (x = 0) จะได้ ∫ ∫ ∫0 2/3 2 3,000 ชิ้นตอ่ วนั → C = 3,000 = f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx ตอบ y(25) = 80 ⋅ 25 − 4 ⋅ 125 + 3,000 −1 0 2 /3 = 4,500 ชนิ้ ตอ่ วัน (ใสล่ บตรงสว่ นทอ่ี ยู่ใตแ้ กน เพอ่ื ใหค้ า่ กลายเปน็ บวก) = (x3 − x2) 0 − (x3 − x2) 2/ 3 + (x3 − x2) 2 −1 0 2/3 4 ⎡ x2 ⎤ 4 = 2 − ⎝⎛⎜ − 4 ⎞⎠⎟ + 44 = 68 ตร.หนว่ ย ⎣⎢3x 2 ⎥⎦ 0 27 27 27 ∫(59.1) (3 − x) dx = − 0 [เชค็ ขอ้ 60.1 จะได้ 2 − 4 + 4 4 = 6 ถูกตอ้ ง] 27 27 = (12 − 8) − (0 − 0) = 4 (60.5) y = x3 − 4x ∫(59.2) 2 − 1) dx = [x2 − x] 2 มจี ุดตดั แกน x ที่ 0, 2, −2 −2 −2 (2x = (4 − 2) − (4 + 2) = −4 ดังภาพ 1+3/4 6+1/4 (59.3) y = 3 − x 4.5 ตร.หน่วย 4 มีจุดตดั แกน x (แทน y=0) 3 -2 -1 0 2 3 ทจี่ ดุ (3, 0) ดงั ภาพ O 34 -1 02 3 f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx พ้นื ที่ = 1 × 3 × 3 + 1 × 1 × 1 0.5 ตร.หน่วย ∫ ∫ ∫พน้ื ที่ = 22 −1 0 2 = 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หนว่ ย = 1 3 − (−4) + 6 1 = 12 ตร.หน่วย 44 [ข้อ 59.1 คดิ จาก 4.5 − 0.5 = 4 กไ็ ด]้ [เช็คขอ้ 60.2 จะได้ 1 3 − 4 + 6 1 = 4 ถกู ตอ้ ง] (59.4) y = 2x − 1 6.25 3 2.25 44 มีจุดตดั แกน x ที่ (1 , 0) -2 0.5 2 (60.6) y = 6 + x − x2 2 มจี ดุ ตดั แกน x ท่ี 112/6 ดงั ภาพ x = −2, 3 ดงั ภาพ 4 พ้นื ที่ = 1 × 2.5 × 5 + 1 × 1.5 × 3 -5 -2 -1 3 22 17/6 = 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หนว่ ย [ขอ้ 59.2 คดิ จาก −6.25 + 2.25 = −4 กไ็ ด]้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 331 อนพุ นั ธแ ละการอินทิเกรต 34 (65) f (x) dx − f (x) dx ∫ ∫พน้ื ที่ = ∫8 −1 3 f (x) dx = พนื้ ท่ใี ตก้ ราฟ = 112 − ⎛ − 17 ⎞ = 21.5 ตร.หน่วย 5 7 6 ⎜⎝ 6 ⎠⎟ 3 = พน้ื ที่ , − 1 พื้นทวี่ งกลม [เชค็ ขอ้ 60.3 จะได้ 112 − 17 = 95 ถูกต้อง] 4 (61) y = x2 − 1 666 = 7 × 3 − π32 = 21 − 9π ≈ 7.07 มีกราฟดังภาพ 4/3 44 4/3 4/3 (66) ไมจ่ ําเปน็ ตอ้ งสรา้ ง สมการเสน้ ตรงเพ่ืออนิ ทเิ กรต 6 -2 1 1 2 เพราะเป็นรูป Δ -1 3 2 2 ∫3 ∫(61.1) ⎛ x3 ⎞ 1 4 ตร.น. (x2 − 1) dx ⎜⎝ 3 − x ⎟⎠ 3 → f (x) dx −1 1 = = = 1 × 4 × 6 = 12 2 ∫(61.2) − 1 = − ⎛ x3 ⎞ 1 4 ตร.น. 5 −1 ⎝⎜ 3 − x ⎠⎟ (67) เช่นเดียวกบั ข้อ (66) คือ 2 (x2 − 1) dx = 3 ∫3 −1 f (x) dx = พน้ื ท่ี, คางหมู −1 0 −2 f (x) dx − f (x) dx ∫ ∫(61.3) = 1 × 5 × (2 + 5) = 17.5 -2 3 −2 −1 2 = 4 − ⎛⎝⎜ − 2 ⎞⎟⎠ =2 ตร.หนว่ ย (68) ∫sin θ 1 1 3 3 sin θ (4x − 3) dx = [2x2 − 3x] 2 x4 + 2 x2 1 dx ∫ ∫(62) 1 = (x2 + x−2) dx = −1 − 2 sin2 θ + 3 sin θ = 0 1 ⎡ x3 1⎤ 2 ⎝⎛⎜ 8 1 ⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 1 1⎠⎟⎞ 25 → (2 sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0 ⎢⎣ 3 x ⎥⎦ 1 3 2 3 6 = − = − − − = → sin θ = 1 , 1/2 → cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ ∫ ∫1 1 = −1 หรอื 1/2 (4 − x)2 dx = (16 − 8 x + x) dx (69) ∫1 sin θ ⎡ x3 ⎤ sin θ 00 ⎣⎢ 3 ⎥⎦ 1 x2 ⎡ 16 x2 ⎤ 1 ⎛ 16 1⎞ dx = ⎣⎢16x 3 2 ⎥⎦ 0 ⎝⎜ 3 2 ⎠⎟ = − x3/2 + = 16 − + = sin3 θ − 1 = − 2 → sin θ = −1 333 = 11 1 ตอบ 14 6 ∴ 1 + sin θ + cos θ = 1 − 1 + 0 = 0 (63) พิจารณากราฟ (70) (fog)(x) = 2x + 5, f(x) = 4x − 3 → พน้ื ท่เี หนอื แกน x เทา่ กับ แกฟ้ ังก์ชนั หา g(x) ได้เปน็ g(x) = x + 2 ∫1 2 (x2 − 3x + 2) dx 1 (x + 2) dx ⎛ x2 ⎞ 1 1 +2 0 2 ⎜⎝ 4 + 2x ⎟⎠ 0 4 = ⎡ x3 − 3x2 ⎤ 1 01 2 ∫∴ = = = 2.25 ⎢⎣ 3 2 + 2x⎥⎦ 0 0 = 1 − 3+2= 5 (71) หา b, c จาก f(−1) = −4, f′(−1) = 0 → 32 6 ได้ b = 2, c = −3 (64) y = x2 − c y = x2 + 2x − 3 -3 -1 1 ถา้ c > 4 แสดงวา่ วาดกราฟได้ดังรปู ตัดแกน x ท่ี ±c -2 1 เกนิ ±2 ดงั ภาพ 1 ∫ดังนนั้ 1 ∫พ้นื ท่ี = − (x2 + 2x − 3) dx −1 −2 (x2 − c) dx = −24 → ⎛ x3 ⎞ 1 −24 = − ⎛ x3 + x2 − ⎞ 1 = 16 / 3 ⎜⎝ 3 − cx ⎠⎟ ⎝⎜ 3 3x ⎠⎟ −1 = −2 → ⎝⎜⎛ 1 − c ⎞⎟⎠ − ⎛ − 8 + 2c ⎞ = −24 → c = 9 3 ⎝⎜ 3 ⎟⎠ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 332 อนุพันธและการอินทิเกรต eÃèo× §æ¶Á เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลย่ี นตวั แปร.. ฟงั ก์ชนั ประกอบที่หาอนพุ นั ธ์ไวโ้ ดยใชก้ ฎลกู โซ่ (หรือดฟิ กอ้ น) เมอื่ เราตอ้ งการจะอนิ ทเิ กรตกลบั ไปต้องอาศัย เทคนิค การเปล่ียนตัวแปร (Substitution) มฉิ ะนน้ั จะอนิ ทิเกรตไมไ่ ด้ ตวั อยา่ งเชน่ f (x) = (3x3 + 4)10 มอี นพุ ันธเ์ ปน็ f′ (x) = 10(3x3 + 4)9(9x2) = 90x2(3x3 + 4)9 ถา้ เราตอ้ งการหาคา่ ∫ 90 x2(3x3+ 4)9 dx เราไมส่ ามารถกระจายฟงั ก์ชนั กําลงั 9 ได้ จงึ ต้องใชเ้ ทคนคิ เปลยี่ นตวั แปร x ให้เปน็ u ที่เหมาะสม ... ในตวั อยา่ งนีใ้ ห้ u = 3x3 + 4 จะได้ du = 9x2 นนั่ คอื dx = du (ย้ายขา้ งสมการ) dx 9x2 แทนคา่ ตัวแปรใหมล่ งไปใน ∫ 90 x2(3x3 + 4)9 dx ไดเ้ ปน็ ∫ 90 x2(u)9 du 9x2 เศษส่วนหารกนั ได้ ∫ 10(u)9 du จะพบวา่ เหลอื ตวั แปร u ลว้ นๆ และอยู่ในรปู ทอี่ นิ ทิเกรตได้ (แสดงวา่ เลือกตวั แปร u ไดถ้ ูกตอ้ ง) ผลทไ่ี ด้คอื u10 + C = (3x3 + 4)10 + C น่ันเอง.. หลกั ในการเลอื กวา่ ใหก้ ้อนใดเปน็ u ก็คอื ตอ้ งเลอื กกอ้ นทเ่ี มอื่ ดฟิ แลว้ ออกมาคลา้ ยสว่ นทเี่ หลอื (เพ่อื ใหส้ ามารถกําจดั x ทีย่ ังคงเหลอื ไปใหห้ มด) เชน่ จาก ∫ t (1−2t2)8dt เราเลอื ก u = 1−2t2 เพราะเมอื่ ดฟิ แลว้ ได้ −4t มาตัดกับ t ทเ่ี หลอื ไดพ้ อดี หรือ จาก ∫ x3(4−x2)3dx ถ้าเลอื ก u = x3 เมอ่ื ดฟิ แล้วจะได้ 3x2 ไม่สามารถไปตดั กับ 4 −x2 ได้ จึงตอ้ งเลอื ก u = 4 −x2 เมอ่ื ดฟิ แลว้ ได้ −2x ตดั กบั x3 เหลอื x2 ซงึ่ สามารถเปล่ียนเป็น x2 = 4 − u ได้ จาก ∫ x3(4−x2)3dx ให้ u = 4 − x2 → du = −2x จะได้ ∫ x3u3dx = ∫ x3u3 du dx −2x = − 1 ∫ x2u3du = − 1 ∫ (4 − u)u3 du = − 1 ∫ (4u3 − u4) du = − 1 ⎢⎣⎡u4 − u5 ⎤ + C 2 2 2 2 5 ⎥⎦ = − 1 ⎡ − x2)4 − (4 − x2)5 ⎤ + C 2 ⎢⎣(4 5 ⎥⎦ ทดลองทาํ ดนู ะครับ เฉลย ก. ∫ t (1−2t2)8dt ก. − u9 + c เมือ่ u = 1−2t2 ข. ∫ (3x2+2) 2x3+4x+1 dx 36 ค. ∫ x+3 (x+1)2dx ข. 1 u3/2+ c เมอ่ื u = 2x3+4x+1 3 ค. 2 7 8 5 8 3 c เม่อื u = x+3 2x u2 − u2 + u2 + ง. (1−x)2/ 3 753 ∫ dx 1 4 ง. 3 c เมือ่ u = 1−x −6u3 + u3+ จ. 18+12x 2 ∫ (4−9x−3x2)5 dx 1 จ. 2 u4 +c เมือ่ u = 4−9x−3x2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 333 ความนาจะเปน Pr,o+ b! º··Õè 16 ¤ÇÒÁ¹Ò‹ ¨ae»š¹ ความนา่ จะเปน็ และสถิติ เป็นวชิ าท่มี บี ทบาท สาํ คญั ทง้ั ในทางพาณิชยศาสตร์ วศิ วกรรมศาสตร์ รวม ไปถึงการแพทย์และจติ วทิ ยาด้วย ทฤษฎมี ากมายใน ปัจจุบนั ถกู พัฒนาขึน้ จากหลกั การของความนา่ จะเป็น นอกจากประโยชน์ดงั กลา่ วแล้ว เรายังปรบั ใช้ความ นา่ จะเปน็ ในชวี ิตประจําวนั ไดโ้ ดยอาจไมร่ ตู้ วั เช่น การ นบั จํานวนแบบทเี่ ปน็ ไปได้ การคาดคะเนโอกาสที่ เหตุการณห์ นงึ่ ๆ (หรือหลายเหตุการณ์) จะเกิดข้นึ 16.1 หลักมลู ฐานเกี่ยวกบั การนับ ถา้ เราตอ้ งทาํ งาน k อยา่ ง โดยทงี่ านอยา่ งแรกมีทางเลือกทําได้ n1 แบบ และในแตล่ ะแบบก็ เลือกทาํ งานอย่างทีส่ องได้ n2 แบบ และในแตล่ ะแบบ... (ไปเร่อื ยๆ) จะมีจาํ นวนวธิ เี ลอื กทํางานจน ครบทุกอยา่ ง เท่ากับ n1 × n2 × ... × nk วิธี เรยี กกฎนว้ี ่า หลักมลู ฐานเกีย่ วกบั การนับ (Fundamental Principles of Counting) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 334 ความนา จะเปน ตัวอยา ง มีเสือ้ 3 ตวั กางเกง 4 ตัว ก1 (ส1,ก1) จะจัดเปนชุดทีไ่ มซ าํ้ กนั เลยไดกี่แบบ ตอบ 3 × 4 = 12 แบบ ส1 ก2 (ส1,ก2) เขียนเปนแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ไดดังรปู ก3 (ส1,ก3) ตัวอยาง มีเรือวงิ่ ขามฟาก 3 ลํา ก4 (ส1,ก4) จะนั่งเรือไปและกลบั ไมใ หซ ํา้ ลาํ กนั ไดกีว่ ิธี ก1 (ส2,ก1) ตอบ 3 × 2 = 6 วิธี ส2 ก2 (ส2,ก2) ตวั อยาง ทอดลกู เตา 2 ครั้ง จะมีผลออกมาไดก ี่แบบ ก3 (ส2,ก3) ตอบ 6 × 6 = 36 แบบ ก4 (ส2,ก4) ก1 (ส3,ก1) ส3 ก2 (ส3,ก2) ก3 (ส3,ก3) ก4 (ส3,ก4) แบบฝึกหัด 16.1 (1) จากตาราง เรามีวิธเี ดินทางจาก การเดนิ ทาง รถยนต์ เรือ รถไฟ เครอ่ื งบิน เมือง ก ไปเมือง ง โดยผา่ นทกุ เมอื งไดก้ ่ีวิธี ก→ข ได้ ไม่ได้ ได้ ได้ ข→ค ได้ ได้ ไม่ได้ ไมไ่ ด้ ค→ง ไมไ่ ด้ ได้ ได้ ได้ (2) มหี บี 5 ใบวางเรียงกนั จะมวี ธิ ีเอาบอล 3 ลกู ใส่ในหีบ ทลี ะลกู ๆ ทงั้ หมดกี่วิธี (3) รา้ นฟาสต์ฟูด้ มีเบอร์เกอร์อยู่ 6 ชนดิ และเครือ่ งดื่ม 4 ชนิด โดยเครื่องด่มื แตล่ ะชนิดน้ันมี 3 ขนาด จะมวี ธิ จี ัดชุดอาหารกบั เครอื่ งด่มื คูก่ นั กี่แบบ (4) นําอักษรจากคําว่า SPECIAL มาสลับเปน็ คําไดท้ ้ังหมดกแี่ บบ (ไม่คํานึงถงึ ความหมาย) (5) มถี งุ 2 ใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 3 ลกู สีดํา 2 ลกู สขี าว 1 ลูก (ซง่ึ แตล่ ะลูกถือวา่ ตา่ งกัน) ใบท่ี สองมบี อลสีแดง 2 ลกู สีดํา 2 ลกู สีขาว 2 ลูก หยิบลกู บอลจากใบแรกไปใส่ในใบทีส่ อง 1 ลูก และ หยบิ จากใบที่สองออกมา 1 ลกู มีกวี่ ิธซี ่ึงบอลท่ีหยิบจากใบแรกเปน็ สีแดง และบอลทห่ี ยิบออกจากใบท่ี สองไม่ใช่สีขาว (6) ขอ้ สอบฉบับหนึ่งประกอบด้วย โจทย์ปัญหาแบบถกู -ผิด 5 ขอ้ และปรนัย (ก,ข,ค,ง) อกี 7 ขอ้ จะมวี ธิ เี ดาข้อสอบท่ีไม่ซาํ้ กนั เลยไดก้ แ่ี บบ S ¨´u ·è¼Õ ´i º‹oÂ! S (7) กลอ่ งใบหน่ึงบรรจุสลากเลข 0 ถึง 9 อยา่ งละใบ ถ้า o¨·Âº·¹ÇéÕ i¸¤Õ ´i ʹéa ÁÒ¡æ 测¡µç oº¼´i ä´§Œ ҋ  หยบิ มา 2 ใบ (ทีละใบโดยไมใ่ สค่ นื ) จะมกี ว่ี ธิ ที ่ีผลรวมเลข ¹oŒ §æ ËÅÒ¤¹eË¹ç µaÇeÅ¢ã¹o¨·Â¡ Ëç ÂiºÁÒ¤Ù³¡a¹ ËÃ×o¡¡Òí Åa§¡a¹´×éoæ eÅ 溺¹ÕéäÁ‹¤ÇäÃaº Áa¹äÁä‹ ´Œ เป็นจํานวนคี่ e»¹š 溺¹aé¹·¡u ¢Œo o‹·Ù èÊÕ ¶Ò¹¡Òó㏠¹o¨·Â´ nj Â.. (8) [Ent’24] ใชต้ ัวเลข 0 ถึง 5 มาสรา้ งจํานวน 3 หลัก Çi¸Õ·è´Õ Õ·èÊÕ ´u ¤×o¤o‹ Âæ ¹Ö¡Çҋ ¢Œo¹éÁÕ Õ¡Ò÷íÒ§Ò¹ จะสร้างได้ก่จี าํ นวน ถ้ากําหนดให้ (8.1) แตล่ ะหลักไมซ่ าํ้ กัน (ËÃ×o¡Òõa´Ê¹i ã¨) ¡è¢Õ ¹éa µo¹ ¨a䴌eoÒ¨Òí ¹Ç¹·Ò§eÅ×o¡ (8.2) เป็นจํานวนค่ี และแต่ละหลักไม่ซา้ํ กัน ã¹æµÅ‹ a¢é¹a µo¹ÁÒ¤³Ù ¡a¹ä´Œ¶¡Ù µoŒ § (8.3) มีค่ามากกว่า 350 และแตล่ ะหลักไมซ่ ้ํากัน ».Å. äÁ‹¤Ç÷‹o§ÊµÙ ÃÅ´a »ÃaeÀ·Çҋ ʧèi ÁªÕ ÇÕ iµ äÁ‹ÁÕ ªÕǵi ã¤ÃÁÒ¡¡Òí Åa§ã¤Ã ÏÅÏ e¾ÃÒaÁa¹¼´i §‹ÒÂæÅa㪌 (8.4) หาร 10 ลงตวั äÁä‹ ´eŒ ÊÁo仹a¤Ãaº ¤´i µÃ§æ ªaÇÃʏ u´! Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 335 ความนา จะเปน (9) ตอ้ งการเลือกประธาน รองประธาน และเหรญั ญกิ ตําแหนง่ ละ 1 คน โดยเลือกจากนกั เรียน ชาย 5 คน หญงิ 4 คน จะเลือกไดก้ ี่ชดุ หากกําหนดว่าประธานและรองประธานเป็นเพศเดียวกัน และคนละเพศกับเหรญั ญกิ 16.2 วิธเี รยี งสับเปล่ียน จาํ นวน วธิ ีเรียงสบั เปลี่ยน (Permutation) สงิ่ ของต่างๆ กัน n สงิ่ จะมี n! วธิ ี แตถ่ ้าเอามาเรยี งเพยี งแค่ r สง่ิ จะมี n! วธิ ี เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ Pn,r หรอื nPr (n−r)! เครอ่ื งหมาย ! เรียกวา่ แฟคทอเรยี ล (Factorial) มนี ยิ ามวา่ n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 เมือ่ n เปน็ จาํ นวนนบั และกาํ หนดให้ 0! = 1 เพือ่ ใหส้ อดคล้องกับสมการ Pn,n = n! ตัวอยา ง 3! = 3 × 2 × 1 = 6 8 ! = 8 × 7 × 6! = 56 6! 6! P7, 3 = 7! = 7×6×5 4! ตวั อยา ง จัดคน 3 คน ใหยืนเรียงแถวเปน เสน ตรง ไดก ี่วธิ ี ตอบ คิดแบบการนับ ได 3 × 2 × 1 = 6 วิธี หรือคิดแบบเรียงสบั เปลีย่ น P3,3 = 3! = 6 วิธี ตัวอยา ง มีธง 5 ผืน ผืนละสีไมซ ้าํ กนั จะมีวธิ ีสงสญั ญาณโดยเอาธง 3 ผืนมาวางเรียงกัน ไดกี่วิธี ตอบ คดิ แบบการนบั 5× 4× 3 = 60 วธิ ี หรือคดิ แบบเรียงสบั เปลีย่ น P5,3 = 5! = 60 วธิ ี 2! จาํ นวนวิธเี รยี งสับเปล่ยี นสิง่ ของทัง้ หมด n ส่ิง ทม่ี สี ิง่ ของซ้าํ กนั k1 ส่งิ , k2 ส่ิง, ... จะเรยี งได้ n! วิธี k1 ! ⋅ k2 ! ⋅ ... (แตถ่ ้าไมน่ ํามาเรยี งครบท้ัง n สิง่ ก็จะต้องพิจารณาการซา้ํ กันนัน้ แยกเปน็ หลายๆ กรณี) จํานวนวิธเี รยี งสับเปล่ียนส่ิงของต่างๆ กนั n ส่งิ เป็นรปู วงกลม (Circular Permutation) จะ ทําให้ไม่มีหวั แถวหรือปลายแถว ดังนั้นจาํ นวนวิธีจงึ ลดลง ใหค้ ดิ ว่าระบุตาํ แหน่งเจาะจงกอ่ น 1 สง่ิ แลว้ ทีเ่ หลอื จึงจดั แบบเส้นตรงปกติ นั่นคอื (n−1)! วธิ ี (แต่หากการจัดน้ีสามารถมองได้สองด้าน จํานวนวธิ จี ะลดลงอีก เหลือ (n−1)! วธิ )ี 2 แบบฝกึ หัด 16.2 (10) ให้หาค่าของ 10! , 6!3! , P4,3 , และ P7,3 7! 4!7! (11) ถา้ (n+3)! = 30 จงหาคา่ n (n+1)! Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 336 ความนา จะเปน (12) ใหห้ าคา่ n ซึ่งทาํ ให้ 2 Pn,2 + 50 = P2n,2 S ¨u´·è¼Õ i´º‹oÂ! S (13) ของต่างๆ กนั 4 ช้ิน นาํ มาจดั เป็นแถวไดก้ วี่ ิธี ถา้ ÂÒéí oÕ¡·ÕÇҋ ÁÒ¶Ö§ËÂiºµaÇeÅ¢·eèÕ Ëç¹ä»¤Ù³ ËÃ×o (13.1) ใชท้ กุ ชน้ิ เท่านน้ั ¡¡Òí Åa§ ËÃ×oãÊæ‹ ¿¤·oeÃÕÂÅæËÅ¡eÅÂäÁ‹ä´¹Œ a (13.2) ใชม้ ากกวา่ 1 ช้นิ ¤Ãaº µoŒ §¤o‹ Âæ ¤´i eËÁ×o¹ËaÇ¢Œo·èæÕ Ånj ¡‹o¹.. æÅa ¶ŒÒºa§eo­i Áa¹ÁÕeÅ¢e´ÕÂÇ¡a¹¤Ù³¡a¹«Òíé æ Áa¹¡çe¡´i (14) นําอกั ษรจากคําวา่ STAND มาเรียงเปน็ คําได้กีแ่ บบ ถ้า ¡Òá¡Òí Åa§¢Öé¹eo§ ËÃ×o¶ŒÒ¤³Ù æŌÇeÅ¢¤‹oÂæ (14.1) ใช้ทุกตวั Ŵŧæ Áa¹¡eç ¡i´æ¿¤·oeÃÕÂÅ¢Öé¹eo§ (14.2) เลือกมาเพียง 3 ตวั ¤×o¡Òä´i µÃ§æ ÁÒ¡‹o¹ æÅnj e¢Õ¹¤Òí µoºãˌ (15) คําวา่ HONESTY สามารถนําอกั ษรมาเรียงเป็นคาํ ไดก้ ค่ี าํ ÊǧÒÁã¹Ã»Ù ¡¡Òí ŧa ËÃ×o濤·oeÃÕš礋oÂÇ‹Ò หาก (15.1) S และ T ต้องติดกนั เสมอ ¡a¹ËÅa§¨Ò¡¹a鹤Ãaº.. (15.2) S และ T ต้องไมต่ ดิ กัน (16) มีชาย 3 คน หญิง 2 คน จะจัดคนทง้ั 5 มายนื เรยี งแถว โดยผ้ชู ายยนื ติดกันและผหู้ ญิงยนื ตดิ กนั ไดก้ ่วี ิธี และถา้ บังคับให้ยนื สลบั กันจะได้กวี่ ิธี (17) จงหาจํานวนวิธที ่ีจะจัดชาย 5 คน หญิง 4 คน นง่ั บนเกา้ อี้เรียงยาว โดยตอ้ งไม่มผี หู้ ญิงคนใดนง่ั ติดกนั (18) มีชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยใน 2 คนน้ีมี ด.ญ.อ้อ รวมอยู่ดว้ ย จะจัดแถวได้กี่แบบ ถ้า ด.ญ. ออ้ ต้องยนื หัวแถวหรือทา้ ยแถวเสมอ (19) อักษรคําว่า TRIANGLE นํามาจดั เป็นคําได้กีค่ าํ หากตอ้ งขนึ้ ตน้ ดว้ ย T และลงท้ายด้วย E (20) สลบั ทีต่ ัวอักษรจากคาํ วา่ AMPLITUDE (โดยไม่คํานึงถงึ ความหมาย) ได้กคี่ ํา เม่อื (20.1) สระไม่ตดิ กัน (20.2) พยญั ชนะไม่ตดิ กัน (20.3) ต้องขน้ึ ต้นดว้ ยพยัญชนะ และสระต้องไม่ติดกนั (20.4) ตอ้ งขนึ้ ต้นดว้ ยสระ และสระตอ้ งไม่ติดกัน (21) นาํ อกั ษรในคาํ วา่ MISSISSIPPI มาเรยี งสับเปลย่ี นได้ก่ีแบบ (22) นาํ อักษรในคาํ ว่า TROTTING มาเรียงสับเปลีย่ นไดก้ ี่แบบ ถา้ บังคบั ว่า ต้องข้ึนตน้ ดว้ ยสระ และ ลงท้ายดว้ ยตัว T (23) นาํ อักษรในคําว่า ALGEBRA มาเรยี งสบั เปล่ยี นไดก้ ีแ่ บบ ถ้าต้องรกั ษาลาํ ดับของสระและ พยญั ชนะให้เป็นแบบเดิม B (24) มวี ธิ ีเดนิ ทางจาก A ไป B ได้กีแ่ บบ ถา้ เดนิ ทางได้ตาม N เสน้ ทกี่ าํ หนดเท่าน้นั และเดินทางได้เฉพาะทิศเหนอื กับทศิ ตะวนั ออก (25) นาํ อักษรจากคําวา่ ARRANGE มา 3 ตวั เพอื่ จัดเป็นคาํ A จะจัดได้ก่ีแบบ (26) จดั คน 4 คน คอื ก, ข, ค, ง นั่งล้อมเปน็ วงกลมไดก้ ่ีวิธี ใหต้ รวจสอบคําตอบโดยการเขียนวิธี ท้ังหมด (27) จัดลูกปัด 4 สี มารอ้ ยเป็นวงไดก้ ีว่ ธิ ี ให้ตรวจสอบคําตอบโดยการเขยี นวิธที ั้งหมด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 337 ความนาจะเปน (28) มชี าย 3 คน หญิง 3 คน จะนัง่ สลบั ชายหญงิ รอบโต๊ะอาหารวงกลมได้กี่แบบ (29) ชาย 6 คน หญงิ 6 คน นัง่ รอบโตะ๊ กลม โดยชายหญงิ ตอ้ งสลับกนั ครัง้ ละ 2 คน จะมวี ิธจี ดั ก่ี แบบ (30) สามภี รรยาเชิญแขกมารับประทานอาหาร 4 คน จะจดั ท่นี ่ังรอบโตะ๊ กลมได้กี่แบบ หากสามี ภรรยาต้องนั่งติดกนั เสมอ (31) มวี ธิ จี ดั ชาย 5 คน หญงิ 4 คน นัง่ รอบโต๊ะกลมได้ก่วี ธิ ี ถ้าไม่มีหญิงคนใดนง่ั ตดิ กันเลย 16.3 วธิ ีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม วธิ จี ัดหมู่ (Combination) ต่างจากเรียงสบั เปลย่ี น ตรงท่จี ะไมค่ าํ นึงถึงลําดับกอ่ นหลัง เชน่ สมมตมิ ีตวั อักษร 3 ตวั คอื ABC จะไดว้ ่า P3,2 = 6 ได้แก่ AB, AC, BA, BC, CA, CB แต่ C3,2 = 3 ได้แก่ AB, AC, BC AB กับ BA การเรยี งสับเปล่ยี นถอื ว่าตา่ งกนั แตก่ ารจดั หมถู่ ือว่าเป็นวิธีเดยี วกัน จํานวนวธิ จี ดั หมู่สิ่งของตา่ งๆ กัน n ส่งิ โดยทค่ี ดั ออกมา r สิ่ง จะมี n! วิธี (n−r)! ⋅ r ! เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Cn,r หรอื n Cr และนิยมเขียนเป็น ⎛n⎞ อ่านว่า “n เลอื ก(choose) r” ⎜⎝ r ⎠⎟ ข้อสังเกต สตู รการจดั หมู่ คิดโดยนําการเรยี งสับเปลีย่ นมาแล้วหารลาํ ดบั ท้ิงไป คอื n Cr = nPr r! ตวั อยาง จงหาจํานวนวิธีที่จะหยิบสลาก 5 ช้ิน ออกมาจากกองทีม่ ีอยู 12 ชิ้น 12 ! 7!⋅ 5! ตอบ วธิ ี⎛12⎞= = 792 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ขอ สังเกต หรือ⎛ 12 ⎞=⎛ 12 ⎞ ⎛n⎞ = ⎛n⎞ ⎝⎜ 7 ⎟⎠ ⎝⎜ r ⎟⎠ ⎜⎝n−r ⎟⎠ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ตวั อยา ง ดนิ สอสี 1 โหล มีสีตางๆ กนั ตองการหยบิ 5 แทง ตามเงือ่ นไขตอไปนี้ จะไดกีว่ ธิ ี (ก) แตละครั้งตองมีสีแดง ตอบ วิธี⎛1⎞ ⎛11⎞= 330 ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ (ข) แตล ะครงั้ ตองไมม ีสีแดง ตอบ ⎛ 11⎞ = 462 วธิ ี ⎜⎝ 5 ⎟⎠ หรือ คิดจาก จํานวนวิธีทง้ั หมด ลบดวยจาํ นวนวธิ ีทีม่ ีสีแดง กไ็ ด ⎛ 12 ⎞ − 330 = 462 วธิ ี ⎜⎝ 5 ⎠⎟ จากการหยิบของ 5 ชิ้น ออกจากกองทีม่ ี 12 ช้นิ 12 5 ก็เหมือนการแบง่ แยกของออกเปน็ สองกลุ่ม กลมุ่ ละ 5 และ 7 ช้ิน 7 ซงึ่ แบง่ กลุ่มได้ 12! วิธี เรียกวา่ กฎการแบง่ กลมุ่ (Partitioning Law) 5 5!⋅ 7! 4 12 ขยายผลออกไปถึงการแบง่ ของ 12 ชนิ้ เปน็ สามกอง ดังน้ี 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 338 ความนา จะเปน กจ็ ะมีจํานวนวิธเี ปน็ 12! วิธี (พิสูจน์ได้จาก )⎛12⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛3⎞ 2 5!⋅ 4!⋅ 3! ⎝⎜ 5 ⎟⎠ ⎝⎜ 4⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠ แตถ่ ้ามีกองใดท่ีจํานวนเท่ากัน ท่ีถือว่าไมแ่ ตกต่างกนั จาํ นวนวธิ ีจะ 12 2 ลดลงโดยคิดเช่นเดียวกบั การสับเปลี่ยน เชน่ จากแผนภาพด้านขวาน้ี 2 1 จะแบง่ ได้ 12! วธิ ี 5 (2 !)3 ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 ! 3! ที่เพิ่มเขา้ มา เน่ืองจากมี 3 กองทส่ี ลบั กนั เองไมม่ ีความหมาย จาํ นวนวธิ ีจงึ ต้องลดลง ตัวอยา ง มีคน 4 คน จดั เปนสองกลุม กลมุ ละ 2 คน ไดกี่แบบ ตอบ แบบ4 != 3 (2 !)2 ⋅ 2 ! ตัวอยาง คน 12 คน แบง เปน 5 กลมุ ทีม่ ีจาํ นวน 2, 2, 2, 3, 3 คน ไมใหซาํ้ แบบกนั เลยไดก ีแ่ บบ 12 ! = 138, 600 3 ! ⋅ (3 !)2 ตอบ แบบ(2!)3 ⋅ ⋅ 2! แบบฝึกหดั 16.3 (32) ถา้ C18,r = C18,r +2 จงหาคา่ r (33) [Ent’20] มีนวนยิ ายท่ีนา่ อา่ นวางอยู่ 10 เล่ม ขอยมื ไปอ่าน 3 เลม่ จะมีวธิ ีเลอื กหนังสอื กวี่ ธิ ี (34) จดุ 6 จุด กระจายกนั อยบู่ นเส้นรอบวงกลม จะสรา้ งสามเหลีย่ มจากจุดเหล่านี้ได้ก่ีรปู (35) หาจํานวนวธิ เี ลอื กกรรมการชดุ ละ 8 คน จากนกั เรยี นหญิง 6 คน ชาย 10 คน โดย (35.1) ไม่มีเงือ่ นไขเพิม่ เติม (35.2) ตอ้ งมหี ญิง 2 คนเทา่ นนั้ (35.3) ต้องมีหญิงอย่างน้อย 5 คน (35.4) ตอ้ งมีหญงิ มากกว่า 1 คน (36) ถงุ ใบหนึง่ มบี อลสขี าว 6 ลูก สดี ํา 5 ลูก จะมีกี่วิธีทห่ี ยบิ บอลออกมา 4 ลกู พรอ้ มกนั และไดส้ ี ขาวกบั ดาํ อย่างละ 2 ลูก (37) ในการประชุม มีนกั ธรุ กิจ 3 คน นักวิชาการ 8 คน และอาชีพอื่นๆ 10 คน ตอ้ งการเลือก กรรมการ 4 คน โดยตอ้ งมนี ักธรุ กิจรวมอยอู่ ย่างน้อยครึ่งหน่งึ จะมวี ธิ จี ดั กรรมการกแี่ บบ (38) รถโรงเรยี น 2 คนั มี 6 และ 9 ทนี่ ัง่ ตามลาํ ดบั จะจัด S ¨u´·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S นักเรยี น 13 คน ประจาํ รถได้กแี่ บบ (มที ีว่ ่าง 2 ที)่ ( ) ( ) ( )¤‹Ò¢o§7¡aº7 6 äÁe‹ ·‹Ò¡¹a ¹a¤Ãaº (39) มอี กั ษร A, B, C, m, p, q, r, s, a, e, o, u นําอกั ษร 2 1 1 ทงั้ หมดมาจดั เป็นคาํ โดยให้มอี ักษรตวั พิมพ์ใหญ่ขน้ึ ต้น และ พยัญชนะตวั เล็ก 3 ตัว สระ 2 ตวั ไดก้ ค่ี าํ eÃÒµoŒ §eÅ×o¡ãªŒãˌ¶Ù¡æºº ...¤ÇÒÁ浡µÒ‹ §¤×o (40) อกั ษรชุดหนง่ึ ไดแ้ ก่ a, a, a, b, b, c, c, d, d, e, f ( ) ( )76 ¹é¹a ÁÅÕ íÒ´ºa e¡´i ¢Öé¹´ŒÇ (Êèi§·eèÕ Å×o¡ÁÒ䴌 นาํ มาจดั เป็นคําที่มีความยาว 4 ตวั อกั ษร ไดก้ ี่แบบ 1 1 ã¹æµÅ‹ a¢¹éa µo¹¶×oNjÒÊźa ¡¹a æÅnj ¼ÅÅa¾¸e»ÅÂÕè ¹) ( )测7 ¹é¹a eÅ×o¡¾ÃŒoÁæ ¡a¹ o´ÂäÁ‹¤Òí ¹Ö§ÅÒí ´aº 2 ¡o‹ ¹ËÅa§ (Êo§ª¹éi ·eèÕ Å×o¡ÁÒ¶×oÇҋ Èa¡´iìÈÃÕe·‹Ò¡a¹) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 339 ความนาจะเปน (41) การแข่งขันเทนนิสมนี ักกีฬาเขา้ ร่วมแขง่ ขัน 10 คน เปน็ การแข่งแบบพบกันหมด หากใน 1 วัน จดั แข่งได้ 4 คู่ จะตอ้ งใชเ้ วลาท้ังหมดก่ีวนั (42) มคี น 9 คน แบง่ เปน็ 3 กล่มุ ตามเง่ือนไขต่อไปน้ีได้กวี่ ิธี (42.1) 4, 3, 2 คน (42.2) กลุ่มละ 3 คน (43) นักกฬี าเทนนสิ 9 คน ถูกแบง่ เปน็ 3 กลมุ่ กลุ่มละ 3 คน เพ่ือไปแข่งทส่ี หรัฐอเมริกา, อังกฤษ , ฝรั่งเศส จะแบ่งไดก้ ่วี ธิ ี (44) นกั เรียน 7 คน เข้าห้องพกั 3 หอ้ ง ซ่ึงมีขนาด 3, 2, 2 คน แตล่ ะหอ้ งถอื วา่ ต่างกนั จะจดั ได้กี่ วิธี (ลองคดิ แบบแบ่งกลมุ่ กอ่ น แลว้ ค่อยจัดเข้าห้อง) 16.4 การนับในกรณอี ่นื ๆ การนับรูปเรขาคณิต 1. จํานวนเสน้ ตรง จุด 5 จุด (ท่ไี มม่ ีสามจุดใดอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดียวกัน) สร้างเสน้ ตรงได้ ⎛5⎞ เส้น ⎝⎜ 2 ⎠⎟ แตถ่ า้ มี 3 จดุ อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั สร้างเสน้ ตรงได้ ⎛5⎞ − ⎛3⎞ + 1 เส้น ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ หมายเหตุ การลบ ⎛3⎞ แลว้ บวก 1 หมายความว่า จดุ สามจุดในแนวเดยี วกนั ทาํ ให้จาํ นวนเส้นตรงท่ี ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ไดน้ ัน้ หายไปหมด เหลอื เพยี งเสน้ เดียว จงึ ลบเส้นตรงทีเ่ กดิ จากสามจุดน้ีออกให้หมด แลว้ บวกกลับไป เพยี ง 1 เสน้ 2. จาํ นวนสามเหลยี่ ม จดุ 5 จดุ (ทไ่ี ม่มีสามจดุ ใดอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั ) สรา้ งสามเหลี่ยมได้ ⎛5⎞ รูป ⎝⎜ 3⎟⎠ แต่ถา้ มี 3 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกนั สร้างสามเหลย่ี มได้ ⎛5⎞ − ⎛3⎞ รปู ⎜⎝ 3⎠⎟ ⎜⎝ 3⎟⎠ 3. จาํ นวนจดุ ตัดของเสน้ ตรง กับวงกลม เสน้ ตรง 8 เส้น จะมจี ุดตดั เกิดข้ึนได้มากทสี่ ุด ⎛8⎞ จดุ ⎜⎝2 ⎟⎠ วงกลม 5 วง รัศมตี ่างๆ กนั จะมจี ุดตดั เกิดขน้ึ มากท่สี ดุ 2 ⋅ ⎛5⎞ จุด ⎜⎝ 2 ⎟⎠ เสน้ ตรง 8 เส้นกบั วงกลม 5 วง ตดั กนั เกดิ จุดตัดมากทสี่ ดุ ⎛8⎞ + 2 ⋅ ⎛5⎞ + 2 ⋅ ⎛8⎞ ⎛5⎞ จุด ⎝⎜2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 1 ⎟⎠ ⎝⎜ 1 ⎠⎟ 4. จํานวนส่เี หล่ียม เส้นขนานสองชุด จาํ นวน 5 เส้น กับ 4 เส้น ดงั ภาพ จะเกดิ รปู สีเ่ หล่ียมข้นึ ⎛5⎞ ⎛4⎞ รูป ⎜⎝2⎟⎠ ⎝⎜2 ⎟⎠ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 340 ความนา จะเปน การจดั หมสู่ ่ิงของท่ีเหมือนกันหมด (Stars and Bars) กรณที สี่ ิ่งของทีเ่ ราจะจดั หมู่นน้ั เหมอื นกนั หมด เชน่ การแจกลกู อมใหเ้ ดก็ ๆ และต้องการคิด ว่าแบง่ เป็นปริมาณตา่ งๆ กนั ไดก้ ี่ลกั ษณะ จะต้องใช้หลกั Stars and Bars ดังตวั อย่างนี้ ตัวอยาง มีลูกอมที่เหมือนกนั 9 เมด็ ตอ งการแบง ใหเ ดก็ 3 คน ตามเงือ่ นไขตอ ไปนี้ จะไดก ีว่ ธิ ี (ก) ทกุ คนตอ งไดรบั (อยา งนอ ยคนละ 1 เมด็ ) วิธีคดิ นําลูกอมมาวางเรียงแถวกนั 9 เม็ด จะเกดิ ชอ งวา ง 8 ชอง (เปรียบเทียบลกู อมเหมือน ดวงดาว) ใหเ ราเอาไม 2 อนั ไปวางก้ันในชอ งสองชองใดๆ ก็จะไดล กู อมเปน 3 กองพอดี นนั่ คือ ⎛8⎞ วธิ ี ⎜⎝2 ⎟⎠ (ข) บางคนอาจจะไมไดร ับ (คือแบง อยางไรกไ็ ด) วิธีคิด ใหเ พม่ิ ลกู อมเขาไปเทา จาํ นวนคนกอน กลายเปน 12 เม็ด มีชอง 11 ชอง แบงใหค นสาม คนตามหลกั Stars and Bars ในขอ (ก) ซึง่ ทุกคนจะไดอ ยางนอ ย 1 เมด็ แลว ไมว าจะแบง วิธีใดกเ็ อาคืนมา จากเดก็ คนละเมด็ (เหลือ 9 เมด็ เทา เดมิ ) จะทาํ ใหบางคนไมม ีลกู อมอยูเลย ดังนนั้ แบงได ⎛ 11⎞ วิธี ⎝⎜ 2 ⎟⎠ การแบ่งของแบบ Stars and Bars นั้น ของแตล่ ะกลุม่ ที่ได้ถอื ว่าตา่ งกัน (มลี าํ ดับเกิดขึ้น) เช่น เปน็ การแบ่งลกู อมใหเ้ ดก็ 3 คน ชื่อ ก, ข, ค ตามลําดับ.. แตห่ ากจะแบ่งลกู อมเปน็ กองๆ 3 กอง (ซึง่ สลบั กันไมม่ ีความหมาย) จะใช้ Stars and Bars ไมไ่ ด้ ต้องนับเอาโดยตรง การนบั “จาํ นวนเตม็ ทห่ี ารลงตัว” เราสามารถนําการนบั เบอื้ งตน้ ผสมกับการสงั เกต เพอื่ นับจาํ นวนเกี่ยวกับการหารลงตวั ได้ ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี 8 = 23 มีจํานวนเตม็ บวกท่ีหารลงตวั 4 จํานวน คอื 20, 21, 22, 23 25 = 52 มจี าํ นวนเต็มบวกที่หารลงตัว 3 จํานวน คือ 50, 51, 52 120 = 23 × 31 × 51 มีจํานวนเต็มบวกทหี่ ารลงตวั 16 จาํ นวน (4x2x2) คอื | | |20 × 30 × 50 20 × 30 × 51 20 × 31 × 50 20 × 31 × 51 | | |21 × 30 × 50 21 × 30 × 51 21 × 31 × 50 21 × 31 × 51 | | …22 × 30 × 50 22 × 30 × 51 | 23 × 31 × 51 แบบฝึกหดั 16.4 (45) จุด 6 จดุ ไม่มี 3 จดุ ใดทอี่ ยใู่ นแนวเดียวกนั เลย จะสร้างเสน้ ตรงได้กี่เส้น และสรา้ งรูปเหลย่ี ม ใดๆ ไดก้ ี่รูป (46) จดุ 7 จุด มี 4 จุดอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดียวกนั และอกี 3 จดุ ก็อยูใ่ นแนวเส้นตรงเช่นกัน จะ สามารถลากเส้นตรงได้ก่ีแบบ และสรา้ งสามเหลีย่ มไดก้ ่รี ูป (47) รูปหกเหล่ียม มีจดุ ยอด 6 จุด จดุ ก่งึ กลางด้านอีก 6 จุด จะลากเสน้ เช่ือมจุดได้กี่เส้น (48) รูป 20 เหลีย่ มดา้ นเท่า มเี ส้นทแยงมมุ ก่ีเส้น (49) เส้นตรง 5 เส้นไมข่ นานกัน กบั วงกลมรัศมตี ่างๆ กนั 4 วง จะเกิดจุดตัดมากทีส่ ุดเท่าใด (50) เส้นขนานชดุ หนึง่ มี 6 เสน้ อกี ชุดมี 3 เส้น ตดั กนั จะเกดิ ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานกี่รูป Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 341 ความนาจะเปน (51) [พน้ื ฐานวศิ วะ '39] รปู ท่ีกําหนดให้น้ี มรี ปู ส่ีเหล่ยี มอยู่ทั้งหมดกรี่ ูป (52) มบี อล 6 ลูกซงึ่ เหมอื นกัน แบง่ ให้ นาย ก และ ข จะแบ่งได้กีว่ ธิ ี หากกาํ หนดวา่ (52.1) แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลกู (52.2) บางคนอาจไม่ไดร้ ับ (53) มีบอล 6 ลกู ซึ่งเหมือนกัน แบ่งออกเป็น 2 กอง จะแบง่ ได้ก่วี ธิ ี หากแตล่ ะกองต้องมอี ย่างนอ้ ย 1 ลกู เทยี บผลกบั ขอ้ (52.1) (54) ลกู อมแบบเดยี วกนั 7 เม็ด แบง่ ใหเ้ ด็ก 4 คน ได้กวี่ ิธี (54.1) แตล่ ะคนไดอ้ ยา่ งน้อย 1 เมด็ (54.2) แบง่ อยา่ งไรกไ็ ด้ (55) ลกู อมแบบเดียวกัน 7 เม็ด แบง่ เป็น 4 กอง ได้กว่ี ธิ ี ถา้ แตล่ ะกองตอ้ งมอี ยา่ งนอ้ ย 1 เม็ด เทียบผลกบั ขอ้ (54.1) (56) มจี าํ นวนเต็มบวกที่หาร 100,000 ลงตวั ก่จี ํานวน (57) มจี าํ นวนที่หาร 120 ลงตัว กจี่ ํานวน (จํานวนเต็มบวก, เตม็ ลบ) (58) มจี ํานวนที่หาร xayb ลงตวั ก่จี ํานวน ถ้า x, y เปน็ จาํ นวนเฉพาะ 16.5 ทฤษฎบี ททวินาม (a + b)0 = 1 สามเหลย่ี มของปาสคาล (a + b)1 = a + b 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 11 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 121 13 31 146 41 ทฤษฎีบททวนิ าม (Binomial Theorem) คอื ทฤษฎีที่กล่าวถงึ การกระจายทวนิ าม (a + b)n เม่ือ a และ b เป็นจํานวนจรงิ , n และ r เป็นจาํ นวนนบั โดย 0 < r < n จะได้ (a + b)n = ⎛ n⎞ anb0 + ⎛n⎞ an − 1b1 + ⎛n⎞ an − 2b2 + ... + ⎛n⎞ a0bn ⎜⎝ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎝⎜2⎠⎟ ⎝⎜ n ⎠⎟ เรยี กพจน์ที่ r+1 เปน็ พจน์ท่วั ไป Tr + 1 = ⎛n⎞ an − rbr และเรียก ⎛n⎞ ใดๆ ว่าสัมประสทิ ธ์ิทวนิ าม ⎜⎝ r ⎠⎟ ⎝⎜ r ⎟⎠ ข้อสังเกต 1. จํานวนพจนท์ งั้ หมดจะมี n+1 พจน์ คือเร่ิมจากสมั ประสทิ ธิ์ ⎛n⎞ ถึง ⎛n⎞ ⎝⎜ 0 ⎟⎠ ⎝⎜ n ⎟⎠ กําลงั ของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะทกี่ ําลงั ของ b เพ่ิมขน้ึ และนํากําลงั มารวมกนั จะได้ n เสมอ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 342 ความนาจะเปน 2. สัมประสทิ ธิ์ทวนิ ามอาจไมใ่ ชส่ มั ประสทิ ธ์จิ ริงๆ ของพจน์นน้ั (หากใน a หรอื b มีสัมประสิทธอ์ิ ยูอ่ กี ) 3. ⎛ n⎞ + ⎛n⎞ + ⎛n⎞ + ... + ⎛n⎞ = 2n ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝2⎟⎠ ⎜⎝ n ⎟⎠ ดงั เชน่ เคยพบตอนทหี่ าจาํ นวนสับเซตทัง้ หมด ของเซตทม่ี ีสมาชกิ n ตวั แบบฝึกหดั 16.5 (59) จงกระจายโดยอาศัยทฤษฎีบททวินาม (59.1) (a + b)5 (59.2) (2x − 3y)4 (59.3) (1 − 2x + x2)4 (60) จากการกระจาย (3x + 1)8 จงหา y (60.1) พจนท์ ี่ 4 (60.2) สัมประสิทธท์ิ วินามของพจนท์ ่ี 6 (60.3) สมั ประสทิ ธท์ิ วนิ ามของพจน์ที่มี x6 (60.4) สัมประสิทธข์ิ องพจน์กลาง (61) จากการกระจาย (x2 + 3 )12 จงหา x4 (61.1) พจนท์ ี่ 6 (61.2) สมั ประสทิ ธท์ิ วนิ ามของพจน์ท่ี 6 (61.3) สัมประสิทธิข์ อง x6 (61.4) พจน์ที่ไมม่ ตี วั แปร x (62) จงหาคา่ โดยประมาณของ (2.001)7 โดยบอกทศนิยม 6 ตําแหน่ง [ Hint : (2 + ]0.001)7 * (63) จากการกระจาย (2x + 3y)7 จงหา (63.1) ผลบวกของสมั ประสิทธ์ิทวินามของทกุ พจน์ (63.2) ผลบวกของสมั ประสทิ ธ์ิของทุกพจน์ โจทย์ทบทวนเร่ืองเทคนคิ การนับ (64) หาจาํ นวนวธิ ีในการแบง่ หนงั สอื 12 เล่มต่างๆ กัน ออกเปน็ กองๆ 3 กอง (64.1) กองละ 3, 4, 5 เลม่ (64.2) ทุกกองจํานวนเท่ากัน (65) หนังสือ 9 เลม่ แบ่งให้นาย ก, ข, ค ได้กีว่ ธิ ี ถ้าหาก (65.1) คนหน่ึงได้ 2 เลม่ อีกคนได้ 3 เล่ม อีกคนได้ 4 เล่ม (65.2) คนหนึง่ ได้ 5 เลม่ อีก 2 คนได้เทา่ กนั (65.3) หนงั สอื ทั้ง 9 เล่มเหมือนกนั หมด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 343 ความนา จะเปน (66) เด็กคนหนง่ึ มีบอลต่างๆ กนั 10 ลูก จะแบ่งเปน็ 5 กอง โดยมี 3 กองท่กี องละ 2 ลูก และอกี 2 กองมกี องละลกู ได้กีว่ ิธี (67) เด็กคนหนึ่งมบี อลตา่ งๆ กัน 10 ลูก จะแบง่ ให้เพ่อื น 5 คน โดยมี 3 คนได้คนละ 2 ลกู และ อกี 2 คนได้คนละลูก ได้กี่วธิ ี (68) แบง่ ชาย 5 คน หญิง 3 คน เข้าพักในห้อง 3 ห้องท่ีมีขนาด 3, 3, 2 คน (หอ้ งตา่ งกนั ) จงหา จํานวนวธิ แี บง่ เมื่อ (68.1) ใครอยูห่ ้องไหนกไ็ ด้ (68.2) ผ้หู ญงิ 3 คนตอ้ งอยูด่ ว้ ยกัน (68.3) ผู้หญงิ 3 คนต้องอยคู่ นละห้องกัน (69) จงหาจํานวนวิธีแบง่ พนักงาน 6 คนเป็น 3 กลุ่ม (กลมุ่ ละกค่ี นกไ็ ด้) เพ่ือไปทํางาน 3 อย่าง (69.1) ทีแ่ ตกตา่ งกนั (69.2) ท่ีเหมอื นกนั (70) ครมู ีหนงั สอื 8 เล่มท่ตี ่างกนั จะแบง่ ใหเ้ ดก็ 3 คน อย่างน้อยคนละเลม่ ได้กี่วธิ ี (71) นักเรยี น 12 คน ในจาํ นวนน้มี ีนาย ก, ข, ค ด้วย แบง่ เปน็ 3 กลุ่ม เท่าๆ กนั จะแบ่งได้กี่วิธี ถา้ (71.1) ไม่มเี งอื่ นไขเพิม่ เติม (71.2) นาย ก, ข, ค อยู่ด้วยกัน (71.3) นาย ก, ข, ค อยูแ่ ยกกันหมด (72) เดก็ คนหน่งึ มลี ูกแก้วเหมือนกนั 12 ลกู ต้องการแบ่งให้เพอื่ น 3 คน จงหาจาํ นวนวิธี เมอื่ (72.1) แต่ละคนไดอ้ ยา่ งนอ้ ย 1 ลกู (72.2) แตล่ ะคนไดอ้ ย่างนอ้ ย 2 ลูก (72.3) อาจมีบางคนไม่ไดร้ บั เลย (73) จดหมายเหมอื นกนั 9 ฉบบั ต้องการใส่ต้ไู ปรษณีย์ 5 ตู้ จะมีกวี่ ิธี เมือ่ (73.1) ทุกตตู้ ้องมจี ดหมาย (73.2) ใส่เพยี ง 3 ตเู้ ทา่ นน้ั (74) ชายคนหนึง่ ประกอบรถยนตจ์ าํ หน่าย เขามีตวั ถังรถ 4 ชนดิ เคร่อื งยนต์ 2 ชนิด สพี ่นรถ 5 สี เขาจะผลิตรถยนต์ต่างๆ กันไดก้ ี่แบบ (75) ผตู้ รวจงานจะตอ้ งตรวจเคร่ืองจักร 6 เครอื่ งทกุ วัน เขาพยายามเปลย่ี นลําดับก่อนหลังในการ ตรวจ เพื่อไม่ให้พนกั งานรตู้ วั จงหาวิธีทัง้ หมดทจ่ี ะใชไ้ ด้ (76) สารเคมชี นิดหน่ึงเกดิ จากสาร 5 ชนดิ ผสมกนั โดยเทสารผสมทีละอย่าง จงหาวา่ มีวิธีผสมกวี่ ิธี ถ้าสมมตวิ า่ เทสารใดก่อนหลงั ก็ได้ (77) ในการจดั แถวเดก็ ชาย 5 คน ซง่ึ มี ด.ช.บอย รวมอยดู่ ว้ ย และมเี ด็กหญงิ อีก 5 คน จงคาํ นวณ วิธจี ัด ถา้ (77.1) ด.ช.บอย ต้องยนื หวั แถวเสมอ (77.2) ด.ช.บอยยนื หัวแถว และสลบั ชายหญิง (78) เซต A = { 3, 4, 5 } จงหาวา่ มีเลขกีจ่ าํ นวนซ่ึงประกอบดว้ ยเลขจากเซต A และ (78.1) มคี า่ นอ้ ยกว่า 500 (78.2) มีค่านอ้ ยกวา่ 500 และเป็นจาํ นวนคู่ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 344 ความนา จะเปน (79) มกี ีจ่ ํานวนท่ปี ระกอบจากเลข 2, 4, 6, 8 (ใช้ไดเ้ พียงตัวละคร้ัง) แล้วมีค่ามากกวา่ 999 (80) นําอักษรในคําวา่ SPECTRUM มาเรียงเปน็ คาํ ท่มี ี 4 อกั ษร โดยอกั ษรในคาํ ไม่ซ้ํากนั (80.1) ไดก้ ่ีคาํ (80.2) ถา้ ตวั สุดทา้ ยเป็นสระเสมอ ไดก้ ีค่ าํ (81) จงหาจาํ นวนวธิ ีท้ังหมดที่จะจัดนกั เรยี น 6 คน น่งั ลอ้ มรอบโต๊ะกลม โดยทนี่ าย ก และ ข ซึ่งอยู่ ในจาํ นวน 6 คนนั้น จะต้องน่งั ติดกันเสมอ (82) มจี ุด 10 จุดบนเสน้ รอบวงกลม จะสร้างหกเหล่ียมไดก้ ร่ี ูป (83) มจี ํานวนบวก 6 จาํ นวน, จาํ นวนลบ 8 จาํ นวน, ถา้ เลือกมา 4 จํานวนโดยการสมุ่ จงหาจาํ นวน วธิ ที ี่เลข 4 จาํ นวนน้ันคูณกันแล้วได้ผลลพั ธ์เป็นบวก (84) มีหนังสือบนช้นั 12 เล่ม จงหาจาํ นวนวธิ แี บง่ หนังสอื ใหน้ าย ก 4 เล่ม และนาย ข 3 เล่ม (85) ตะกรา้ ใบหนง่ึ บรรจบุ อลสีแดง 5 ลูก ขาว 4 ลกู ถ้าหยิบมา 3 ลูก จะมกี ่วี ิธีที่บอล 3 ลูกนน้ั มี สขี าวอยา่ งน้อย 1 ลูก เมอื่ (85.1) หยบิ ออกมาทีละลูก โดยไมใ่ ส่คนื (85.2) หยบิ พรอ้ มกันทงั้ 3 ลกู (86) จงหาจํานวนวธิ ีเลือกไพ่ 4 ใบจากไพส่ าํ รับหนึ่ง แลว้ ได้ A, K, Q, J โดยท่ไี พเ่ หล่าน้ี (86.1) มาจากชุดต่างกนั หมด (86.2) มาจากชุดเดียวกนั หมด (86.3) มาจากชุดใดก็ได้ หมายเหตุ ชุดของไพ่ มี 4 ชดุ (ดอก) และ ชนดิ ของไพ่ มี 13 ชนิด (เลข) (87) แจกไพท่ ีละ 5 ใบ จงหาจํานวนวิธที ั้งหมด ที่ไพ่ในมือหน่ึงจะเป็นชดุ เดียวกันท้ัง 5 ใบ (88) หาวิธีทไ่ี พใ่ นมือหน่งึ มโี พดํา 5 ใบ โพแดง 5 ใบ และ ข้าวหลามตัด 5 ใบ (89) หาวธิ ีท่ีไพใ่ นมอื หนึ่งซงึ่ มี 5 ใบ จะมีชนดิ เดยี วกัน 3 ใบ และอกี ชนดิ 2 ใบ เช่น AAA22 (90) หาวิธีทีไ่ พ่ในมอื หนึง่ ซึ่งมี 5 ใบ จะมชี นิดเดียวกัน 2 ใบ อกี ชนิด 2 ใบ และอีกชนดิ 1 ใบ เชน่ AA223 (91) ชาย 5 คน หญิง 5 คน ถา่ ยรปู รว่ มกนั โดยผ้ชู ายยนื แถวหลัง ผหู้ ญงิ น่งั แถวหนา้ ไดก้ ีแ่ บบ (92) จงหาจาํ นวนผลลัพธท์ ่เี กิดขึ้นได้ จากการยิงปนื 10 นดั ไปยังเปา้ ทแี่ บง่ เป็น 5 สว่ น (93) ทมี ฟตุ บอล 10 ทมี จดั ประกบคกู่ ัน 5 คู่ โดยแขง่ วนั ละคู่ จะมกี ารจัดที่เปน็ ไปไดก้ ่แี บบ (94) ระบายสี 6 สีบนลกู เตา๋ ดา้ นละสี ได้ก่ีแบบ (95) ระบายสี 5 สีบนลกู เตา๋ ดา้ นละสี โดยไมใ่ หส้ ีเดียวกันอย่ตู ดิ กนั ไดก้ แี่ บบ (96) ระบายสีบนลกู บาศกห์ นา้ เกลย้ี ง ด้านละสี ไดก้ แี่ บบ ถา้ (96.1) ระบาย 6 สี (96.2) ระบาย 5 สี โดยสีเดยี วกนั ตอ้ งไม่อยตู่ ิดกัน (96.3) ระบาย 4 สี โดยสีเดียวกันตอ้ งไม่อยู่ตดิ กัน (97) นาย ก และ ข อยใู่ นหมู่ 7 คน จงหาวิธจี ัด 7 คนนั่งลอ้ มวง โดยไมใ่ ห้ 2 คนนี้อย่ตู ดิ กนั Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 345 ความนา จะเปน (98) จาํ นวนเต็มบวกท่ีหาร 25,000,000 ลงตวั มีกี่จาํ นวน B (99) เสน้ ทางการเดินทางจากเมือง A ไป B เปน็ ดังรูป ถา้ N ไปไดท้ างทิศเหนือกับตะวันออกเท่านน้ั จะไปไดก้ เ่ี สน้ ทาง F และหากตอ้ งแวะเติมนาํ้ มันท่จี ดุ F ดว้ ย จะเหลือก่เี ส้นทาง (100) คณะผูแ้ ทนไทย 25 คนไปเยี่ยมประเทศจีน และมี A เจ้าภาพมาตอ้ นรบั 15 คน ถ้าผู้แทนทกุ คนต้องทักทาย เจ้าภาพใหค้ รบทุกคนดว้ ย จะมกี ารทกั ทายเกิดขน้ึ ทั้งหมดกี่ครง้ั (101) ในงานเล้ียงศิษยเ์ ก่า มผี ไู้ ปงาน 150 คน ถ้าทุกคนทกั ทายกันและกัน จะมีการทกั ทายกคี่ รั้ง (102) มีกจี่ าํ นวนทส่ี ร้างจาก 0 0 1 1 2 3 3 แล้วมีค่าเกนิ 1 ลา้ น (103) จัดคน 5 คน เขา้ พกั ในหอ้ ง 3 ห้องตา่ งๆ กัน ซ่ึงจหุ ้องละ 2 คน ได้ทงั้ หมดกีว่ ิธี (104) แบง่ นักเรียน ชาย 3 คน หญิง 5 คน ออกเป็น 2 กล่มุ เท่ากัน เป็นกลุ่ม A และ B โดยแต่ ละกลุ่มต้องมีผู้ชายอย่ดู ว้ ย ไดก้ ่ีแบบ (105) ชาย 5 คน หญงิ 5 คน ยนื สลับกนั ในแถวตรง โดยนาย ก กบั นางสาว ข ตอ้ งอยู่ตดิ กันเสมอ ได้ก่ีแบบ (106) นักเรยี น 10 คน เรยี งแถวเป็นวงกลม โดยมี 1 คนอยู่กลางวง ไดก้ แ่ี บบ (107) แจกของเลน่ 5 ช้ินตา่ งๆ กนั ใหเ้ ดก็ 3 คน (ทกุ คนตอ้ งไดอ้ ยา่ งน้อย 1 ชนิ้ ) ไดก้ ีว่ ิธี (108) แบ่งทอฟฟ่ี 5 ชนิด ชนิดละ 2 เม็ด ให้เด็ก 2 คน คนละ 5 เม็ด ได้กีแ่ บบ (109) บ้านพักมี 5 หอ้ ง เปน็ หอ้ งคู่ 3 ห้อง และหอ้ งเด่ียว 2 ห้อง สามารถจดั คน 8 คนเขา้ พักโดย ในจํานวนนี้มสี ามภี รรยาค่หู นึ่งตอ้ งพักด้วยกัน ได้ทั้งหมดก่วี ธิ ี (110) ลูกเตา๋ 2 ลกู ทีต่ า่ งกนั นาํ มาวางประกบกนั ไดท้ ั้งหมดก่ีแบบ (111) นาย ก และนาย ข เขา้ ไปจอดรถในทจี่ อดซึง่ เป็นแถวยาว จอดได้ n คนั โดย ก และ ข ต้อง จอดห่างกันเว้น 1 ชอ่ ง สามารถทําไดก้ ่ีแบบ (ขณะน้ันไม่มีรถคันอ่นื อย่เู ลย) * (112) กําหนด A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7} ถ้าให้ C = { E | E ⊂ A และ E ∩ B ≠ ∅ } จงหาจํานวนสมาชิกของเซต C * (113) A = {1, 2, 3, 4} (113.1) มีความสัมพนั ธ์ภายใน A ท้งั หมดก่แี บบ (113.2) มีความสัมพันธ์ภายใน A ทมี่ ี A เป็นโดเมน ทัง้ หมดกีแ่ บบ (113.3) มฟี ังก์ชนั จาก A ไป A ทง้ั หมดก่ีแบบ (113.4) มฟี งั ก์ชันหน่งึ ตอ่ หนงึ่ จาก A ไปทั่วถงึ A ทง้ั หมดก่ีแบบ 16.6 ความน่าจะเป็น การทดลองส่มุ (Random Experiment) คือการกระทาํ ที่เราไมส่ ามารถบอกไดว้ ่าแต่ละคร้งั จะเกิด ผลลัพธ์ (Outcome) อะไร แตส่ ามารถบอกไดว้ ่ามีผลลพั ธ์อะไรบา้ งท่ีเปน็ ไปได้ เซตของ “ผลลัพธท์ ีเ่ ปน็ ไปได้ท้ังหมด” เรียกวา่ ปรภิ มู ิตวั อยา่ ง (Sample Space; S) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 346 ความนาจะเปน และเซตของ “ผลลพั ธใ์ ดๆ ทเี่ ราสนใจ” เรยี กว่า เหตุการณ์ (Event; E) ดงั น้ัน E ⊂ S ตวั อยา ง การทดลองสมุ โยนเหรียญ 1 อนั 3 ครงั้ มีผลลพั ธท ี่เปน ไปไดตา งๆ กนั 8 แบบ ดังนน้ั ปรภิ ูมิตวั อยา ง S = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT } มีเหตุการณ E ⊂ S ที่เปนไปได 28 = 256 แบบ เชน E1 = ออกหัวเกนิ 1 ครั้ง = { HHH, HHT, HTH, THH } S ¨u´·è¼Õ ´i º‹oÂ! S E2 = ออกอยา งใดอยา งหนึง่ ลว น = { HHH, TTT } E3 = ออกกอยในครัง้ ทีส่ อง = { HTH, HTT, TTH, TTT } ÃaÇa§ÊaºÊ¹ÃaËÇҋ §¤íÒÇ‹Ò “e˵¡u Òó” ¡aº¤Òí Ç‹Ò “¼ÅÅa¾¸” ¹a¤Ãaº µoŒ §¤´i ãËÌ oº¤oºÇҋ o¨·Â E4 = ออกหวั และกอยเทา ๆ กนั = ∅ ¶ÒÁoaäà ความน่าจะเป็น (Probability) ของเหตุการณท์ ่ีเราสนใจ จะหาไดเ้ ฉพาะเหตกุ ารณ์ทเี่ ป็นการทดลองสุ่มซ่ึงโอกาสเกดิ แต่ละผลลัพธ์มีค่าเทา่ ๆ กนั เท่านั้น โดยความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์ P(A) จะคาํ นวณไดจ้ าก P(A) = n(A) n (S) เมอื่ n(A) คือจาํ นวนผลลัพธ์ที่อยู่ใน A และ n(S) คอื จํานวนผลลพั ธ์ท้งั หมดทีเ่ ปน็ ไปได้ สมบัติของความนา่ จะเป็น 1. ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณใ์ ดๆ มคี า่ อยใู่ นช่วง 0 ถงึ 1 เท่าน้นั 0 < P(A) < 1 โดยความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ท่ีไม่มีผลลัพธเ์ ลย มีค่าเป็น 0 P (∅) = 0 และความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ท่ีมีผลลพั ธไ์ ด้ทุกแบบ มคี า่ เปน็ 1 P(S) = 1 2. ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ่ีเราสนใจ รวมกบั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ท่เี หลอื (ที่เราไม่ สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P (A) = 1 − P (A ') 3. ความน่าจะเปน็ ของสองเหตุการณ์ หาไดจ้ าก P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ซง่ึ จากสมบัตขิ อ้ 2 และ 3 ทําใหเ้ ราสามารถใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ช่วยคํานวณได้ หมายเหตุ ความหมายของ A ∩ B กค็ ือเหตุการณ์ “A และ B” (เกิดขน้ึ ครบทั้งสองอยา่ ง) ส่วน A ∪ B กค็ อื เหตกุ ารณ์ “A หรอื B” (เกิดขนึ้ อย่างใดอยา่ งหนึง่ หรือท้งั สองอย่างกไ็ ด้) หากเหตุการณ์สองเหตกุ ารณ์ มลี กั ษณะดงั นี้ A ∩ B = ∅ เราจะเรยี กเหตกุ ารณ์ A และ B ว่าเป็นเหตุการณ์ทีไ่ ม่เกดิ ร่วมกัน (Mutually Exclusive) (หรือ Disjoint) และจะทาํ ให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) แต่หากเหตกุ ารณส์ องเหตุการณม์ ีลกั ษณะดังนี้ P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) เราจะเรียกเหตกุ ารณ์ A และ B วา่ เปน็ เหตุการณท์ ี่ไม่ขึ้นต่อกัน หรอื อิสระจากกนั (Independent) และจะทาํ ให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) ⋅ P (B) แบบฝกึ หัด 16.6 (114) โยนลูกเตา๋ 2 ลูกพร้อมกนั สนใจผลรวมแต้มของลูกเต๋า จงหาปริภูมติ วั อย่าง (115) ผลลัพธ์ของหนา้ ลกู เต๋าสองลกู (ลกู เตา๋ ไม่ตา่ งกนั ) ท่ีโยนพร้อมๆ กนั มีกีแ่ บบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 347 ความนาจะเปน (116) โยนเหรียญ 1 อนั และสนใจหนา้ เหรียญทหี่ งายขน้ึ จะมเี หตุการณก์ ี่แบบ อะไรบา้ ง (117) ถา้ P (A) = 0.48 , P (B) = 0.32 , และ P (A ∩ B) = 0.25 จงหา P (A ∪ B) , P (A − B), P (A ') , และ P (B ') (118) ถ้า P (A) = 0.4 , P (B) = 0.55 , และ P (A ∩ B) = 0.15 จงหาความนา่ จะเป็นของ (118.1) เหตุการณ์ A และ B (118.2) เหตุการณ์ A หรอื B (118.3) เหตกุ ารณ์ท่ไี มใ่ ช่ท้งั A และ B (119) [Ent’39] ความน่าจะเปน็ ท่สี มศกั ดจิ์ ะสอบผ่านวชิ าคณติ ศาสตร์ และเคมี เปน็ 2 และ 4 39 ตามลําดบั ถ้าความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านท้ังสองวชิ า เปน็ 1 จงหา 4 (119.1) P {ผา่ นอย่างนอ้ ย 1 วิชา} (119.2) P {ผ่านเพยี งวชิ าเดยี ว} (119.3) P {ไมผ่ า่ นทั้ง 2 วชิ า} (120) [Ent’39] ลูกเตา๋ ลกู หนึ่ง ถูกถ่วงนํ้าหนกั ใหแ้ ตม้ คูแ่ ต่ละหน้ามีโอกาสเกิดเปน็ 2 เท่าของแต้มคี่ จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณต์ อ่ ไปนีใ้ นการโยนแตล่ ะครั้ง (120.1) ได้แต้มคู่ (120.2) ได้แตม้ คี่ (120.3) ได้จํานวนเฉพาะ (120.4) ได้แตม้ 1 หรือแต้มคู่ (121) โยนลกู เต๋าทแี่ ตกตา่ งกนั 2 ลกู 1 คร้งั จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ (121.1) ผลรวมแต้มได้ 8 (121.2) ผลรวมแต้มเปน็ จํานวนเฉพาะ (121.3) ผลรวมแตม้ เปน็ จาํ นวนคู่ (122) ถ้าสลับอักษรในคาํ ว่า STATISTICS อย่างส่มุ จงหาความน่าจะเป็นที่คาํ ที่ไดน้ ั้นจะ (122.1) มีตวั T ติดกนั 3 ตัว (122.2) มตี ัว T ตดิ กัน 2 ตวั (123) กล่องใส่ลกู บอลสองใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 3 ลูก และกล่องทสี่ องมบี อลสีแดง 3 ลูก สขี าว 4 ลูก ถ้าสุ่มหยิบบอลอยา่ งสุม่ ออกมากลอ่ งละ 2 ลูก จงหาความน่าจะเปน็ ที่ (123.1) ไดส้ ีแดงท้ัง 4 ลูก (123.2) ได้สีขาวท้ัง 4 ลกู (123.3) ไดส้ ีแดงอยา่ งน้อย 1 ลกู (123.4) ได้สขี าวอย่างน้อย 1 ลกู (123.5) ไดส้ ีละ 2 ลกู (124) [Ent’38] ในการประกวดร้องเพลงคร้ังหน่งึ มีผ้เู ขา้ รอบ 3 คน แตล่ ะคนต้องสุ่มเลอื กเพลงทจ่ี ะ รอ้ ง 1 เพลง จากเพลงบังคับท่ีมีอยู่ 5 เพลง จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ต่อไปนี้ (124.1) เลือกร้องเพลงเดียวกันท้งั 3 คน (124.2) เลอื กร้องเพลงเดียวกันเพียง 2 คน (124.3) มคี นร้องเพลงซาํ้ กนั (124.4) ไม่มคี นรอ้ งเพลงซํ้ากัน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 348 ความนาจะเปน (125) มเี ลข 9 จํานวน ซง่ึ เปน็ บวก 6 จํานวน ลบ 2 จํานวน และศนู ย์ 1 จาํ นวน ในจาํ นวนบวกมี เลขคู่กบั คเ่ี ท่าๆ กัน ในจาํ นวนลบกเ็ ชน่ กนั ถ้าสุ่มเลขดังกลา่ วมา 4 จํานวน จงหา (125.1) P{ผลคูณของเลขสจ่ี าํ นวน เป็นศูนย์} (125.2) P{ผลคูณของเลขสจี่ าํ นวน มากกวา่ ศูนย}์ (125.3) P{ผลคณู ของเลขสจ่ี าํ นวน นอ้ ยกวา่ ศนู ย}์ (125.4) P{ผลคูณของเลขสจ่ี าํ นวน มากกว่าศูนยแ์ ละเป็นจํานวนคู่} (125.5) [Ent’37] P{ผลคณู ของเลขส่จี าํ นวน นอ้ ยกว่าศนู ย์และเป็นจาํ นวนค}ี่ (126) นักเรียน ม.4, 5, 6 สง่ ตวั แทนชายหญงิ มาชัน้ ละคู่ หากสมุ่ เลอื กตวั แทนออกมา 2 คน ความ น่าจะเป็นท่ีจะไดช้ ายและหญงิ ที่มาจากช้ันตา่ งกัน เปน็ เทา่ ใด (127) ครมู ีหนังสอื เรียน 5 วชิ า วิชาละ 2 เล่ม (ทเี่ หมือนกนั ) นาํ มาแบ่งให้นักเรยี น 2 คน คนละ 5 เลม่ อย่างสุ่ม ใหห้ าความน่าจะเป็นท่นี กั เรยี นแต่ละคนจะไดห้ นังสอื ครบทกุ วิชา (128) จากการกระจาย (4a + 5b)8 ถ้าสุม่ หยิบสมั ประสิทธท์ิ วนิ ามออกมา 2 จํานวน ใหห้ าความ น่าจะเปน็ ท่ีจํานวนท้ังสองจะมีค่าไม่เท่ากนั (129) กลอ่ งใบหน่ึงมสี ลากตวั เลขจาํ นวนเตม็ ที่ไมซ่ ํ้ากัน ทกุ ใบเป็นจํานวนท่ีหารดว้ ย 4 หรือ 6 ลงตวั และมคี า่ มากกว่า 10 แต่ไมเ่ กิน 100 หากสมุ่ หยบิ สลากออกมา 1 ใบ ให้คํานวณหาโอกาสท่ตี ัวเลข นนั้ จะหารด้วย 4 ไม่ลงตวั หรอื หารด้วย 6 ไมล่ งตวั (130) กําหนดเมตรกิ ซ์ A = ⎡k −4 1⎤ และเซต B = { x ∈ I | x2 < 21x } ส่มุ สมาชกิ จาก B ⎢⎣ k k −6⎦⎥ มา 1 ตวั เพอ่ื แทนค่า k ในเมตรกิ ซ์ A จงหาโอกาสท่ี A จะเป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์ (131) ตารางขนาด 12 ช่องนี้ ถกู ทาสีลงไปตามลําดับทีละชอ่ งอยา่ งสมุ่ B A C โดยการโยนเหรียญ คอื ถ้าเหรยี ญออกหวั จะทาสีแดง และถา้ ออกกอ้ ยจะ D ทาสีเขยี ว ทาํ เชน่ นีจ้ นครบทกุ ชอ่ ง จงหาความนา่ จะเป็นที่ชอ่ ง A, B, C, D จะเป็นสีแดงหมดทง้ั สี่ชอ่ ง (132) สลากเลข 1 ถงึ 4 อยู่ในกล่อง ส่มุ หยบิ ขน้ึ มาทลี ะใบจนครบทกุ ใบ ใหห้ าความน่าจะเปน็ ที่จะได้ เลขเรียงจากน้อยไปมากพอดี (ลองคิดทั้งแบบการนบั และแบบความน่าจะเปน็ คณู กนั ) (133) ในโรงพยาบาลมีผู้ป่วยโรคหดื หรือหอบ 60% เป็นหืด 41% เปน็ หอบ 28% ถ้าสุม่ เลือกผู้ปว่ ย มา 1 คน ใหห้ าความนา่ จะเป็นท่คี นไข้คนน้ีจะเปน็ โรคหดื เพยี งอยา่ งเดยี ว เฉลยแบบฝกึ หดั (คาํ ตอบ) (15) 6!2! , 7 !− 6!2! (26) 3! (27) 3! (28) 2! 3! (16) 24, 12 (17) 5!× P6,4 2 (18) 4!× 2 (19) 6! (29) 2 × 5!6! (30) 2! 4! (31) 4!× P5,4 (32) 8 (1) 18 (2) 125 (3) 72 (4) 7 ! (5) 15 (6) 2547 (7) (5×5) + (5×5) (8) 100, 48, 43, 30 (9) 140 (10) 720, 1/28, 24, 210 ( ) ( ) ( )(11) 3 (12) 5 (13) 4!, P4,2+P4,3 +P4,4 = 60 (14) 5! , 5! 2! (20) 5! ×P6,4 , 4 !5!, 5! ×P5,4 , (33) 10 (34) 6 (35) 16 , 3 3 8 4×5 ! ×P5,3 (21) 11! ⎜⎛⎝ 62 ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ 10 ⎟⎞⎠ , ⎜⎛⎝65⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝ 130⎞⎠⎟ + ⎛⎜⎝66⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 120⎟⎞⎠ , 4!4!2! 6 (22) 2 × 6! × 1 (23) 3! 4! 2! 2! ⎛⎜⎝ 186⎟⎠⎞ − ⎝⎜⎛61 ⎟⎠⎞ ⎝⎜⎛ 170⎠⎟⎞ − ⎝⎜⎛ 180⎞⎟⎠ (24) 7! (25) (2×4× 3 !) + P5, 3 4!3! 2! Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 349 ความนาจะเปน (36) ⎜⎛⎝62⎠⎞⎟ ⎜⎝⎛52⎠⎞⎟ (37) ⎜⎛⎝23⎠⎟⎞ ⎝⎛⎜ 128⎟⎠⎞ + ⎝⎛⎜ 33⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 18 ⎞⎟⎠ (74) 40 (75) 6! (76) 5! 1 (77) 9! , 5! 4! (78) 30, 10 (79) 4! (80) ,P8,4 7×6×5×2 (81) 2 ! 4 ! (38) ⎜⎝⎛ 163⎟⎞⎠ + ⎛⎜⎝ 13 ⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ 143⎟⎞⎠ (39) ⎝⎛⎜31 ⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛53⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜24⎠⎟⎞ 5! 5 (40) 20 + 36 + 480 + 360 (41) ⎛⎝⎜ 10 ⎟⎞⎠ ÷ 4 → 12 (82) ⎝⎜⎛ 10 ⎞⎟⎠ (83) ⎝⎛⎜ 64 ⎞⎟⎠ + ⎝⎛⎜62⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝82 ⎞⎟⎠ + ⎝⎜⎛ 8 ⎞⎟⎠ 2 6 4 (42.1) 9! (42.2) 9! (43) 9! (84) 12! (85.1) 9×8×7 − 5×4×3 4!3!2! (3 !)33 ! (3 !)3 3!4!5! (44) 7 ! (45) ⎜⎛⎝62⎠⎟⎞ , ⎜⎛⎝63⎠⎞⎟+⎝⎛⎜64⎠⎞⎟+⎜⎝⎛65⎠⎞⎟+⎝⎜⎛66⎠⎞⎟ (85.2) ⎝⎛⎜93⎠⎞⎟ − ⎜⎛⎝53⎟⎠⎞ (86) 4 ! , 4 , 44 3!2!2! (46) ⎝⎜⎛27⎠⎟⎞−⎜⎝⎛24⎠⎟⎞+1−⎝⎛⎜23⎞⎟⎠+1 , ⎛⎝⎜ 37 ⎠⎟⎞−⎝⎛⎜ 4 ⎞⎠⎟−⎛⎝⎜ 33 ⎞⎟⎠ (87) ⎜⎛⎝153⎟⎠⎞ × 4 (88) ⎛⎝⎜ 13 ⎠⎟⎞3 3 5 (47) ⎜⎝⎛ 122⎞⎠⎟−6 ⎝⎜⎛ 3 ⎞⎟⎠+6 (48) ⎛⎜⎝220⎠⎟⎞−20 (89) ⎝⎜⎛ 113 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 4 ⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛ 112⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝ 24 ⎟⎞⎠ 2 3 (49) ⎛⎜⎝52⎠⎟⎞+2 ⎜⎛⎝24⎟⎞⎠+2 ⎛⎜⎝51⎠⎞⎟ ⎛⎝⎜ 41 ⎞⎠⎟ (50) ⎝⎛⎜62 ⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜ 3 ⎠⎟⎞ (90) ⎝⎜⎛ 123 ⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜ 24 ⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜ 4 ⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝ 111⎟⎠⎞ ⎛⎝⎜ 41 ⎞⎟⎠ (91) 5!5! 2 2 (51) ⎝⎜⎛ 52 ⎟⎠⎞ ⎝⎛⎜ 23 ⎟⎞⎠ + ⎜⎝⎛ 3 ⎞⎟⎠ ⎜⎝⎛ 4 ⎞⎠⎟ −⎝⎜⎛ 23 ⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 23 ⎠⎟⎞ (52) ⎛⎜⎝51 ⎟⎠⎞ , ⎜⎛⎝ 7 ⎠⎞⎟ (92) 610 (93) 10! (94) 6! 2 2 1 (2 !)5 (53) 3 (54) ⎜⎝⎛63⎟⎠⎞ , ⎜⎝⎛130⎠⎟⎞ (55) 3 (56) 36 (95) ⎜⎛⎝51 ⎠⎟⎞ ⎛⎝⎜ 3 ⎟⎞⎠ 4 ! (96) ⎝⎛⎜51 ⎞⎠⎟ 3 ! , ⎝⎜⎛51 ⎟⎠⎞ 3 ! ÷ 2 , (57) 32 (58) 2(a+1)(b+1) 1 (59.1) a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4 −56x3+b5 ⎛⎝⎜24⎞⎟⎠ (97) 6!− 2!5! (98) 63 (59.2) 16x4−96x3y+216x2y2−216xy3+81y4 (98) 10! , 4! × 6! (100) 25 × 15 (59.3) 1−8x+28x2 +70x4−56x5+28x6−8x7+x8 5!5! 2!2! 3!3! (60.1) ⎜⎝⎛ 8 ⎠⎟⎞ (3x)5( 1)3 (60.2) ⎜⎛⎝ 8 ⎟⎠⎞ (60.3) ⎛⎜⎝82⎞⎟⎠ (101) ⎛⎜⎝1520⎟⎞⎠ (102) 450 3 y 5 (103) 5! (104) 60 (60.4) ⎛⎝⎜ 8 ⎟⎠⎞ (61.1) ⎜⎛⎝ 12 ⎠⎞⎟ (x2)7(x34 1!(2 !)22 ! × 3 ! 4 5 (34) )5 (105) 9(4 ! 4 !) × 2 (106) 10 × 8! (61.2) ⎝⎛⎜ 12 ⎞⎠⎟ (61.3) พจนท์ ี่ 4 → ⎛⎜⎝ 12 ⎠⎟⎞ (33) (107) ⎛ 5! + 5! ⎞ 3! 5 3 ⎝⎜ 1!(2 !)22 ! (1!)22 ! 3 !⎠⎟ (61.4) พจน์ท่ี 5 → ⎜⎛⎝ 12 ⎞⎠⎟ (x2)8(x34 )4 (108) ⎛⎝⎜ 52 ⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜ 3 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜51 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 43⎞⎟⎠ 4 1 + + 1 (62) 128.448673 (63.1) 27 (63.2) 57 (109) 6! (110) ⎜⎛⎝61 ⎠⎞⎟ ⎜⎛⎝61 ⎟⎠⎞ × 4 (64) 12! , 12! (65) 9! 3! , (2 !)2(1!)2 × 3 3 ! 4 ! 5 ! (4 !)33 ! 2!3!4! (111) 2(n−2) (112) 26 − 23 5 9! ! 3 ! , ⎛⎝⎜82 ⎞⎠⎟ (66) ⎛⎜⎝ 10 ⎠⎟⎞ (2 !)3 8! ! (113) 216 , 154 , 44 , 4 ! !(2 !)22 8 3 !(1!)22 (67) ข้อท่ีแลว้ × 5! (68) 8! , 5!2! , 5! 3! (114) S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (115) 21 แบบ (116) 4 แบบ 3! 3!2! 3!2! 1!2!2! (69.1) ⎛ 6! + 6! + 6! ⎞ × 3! คือ E1 = ∅ , E2 = {H} , E3 = { T} , ⎝⎜(1!)22 ! 4 ! 1!2! 3! (2 !)33 !⎟⎠ E4 = {H, T} (117) 0.55, 0.23, 0.52, 0.68 (69.2) เหมอื นขอ้ ที่แล้ว แตไ่ มต่ อ้ งคูณ 3! (118) 0.15, 0.8, 0.2 (70) ⎛ 8 ! + 8! + 8! + 8! + 8! ⎞ 3! (119) 31/36, 11/18, 5/36 1! 2 ! 5 ! 1! 3! 4! (2 !)22 ! 4 ! 2 !(3 !)22 ! ⎠⎟ (120) 2/3, 1/3, 4/9, 7/9 ⎝⎜ (1!)22 ! 6 ! (71) 12! , 9! , (3 9! ! 3 ! (121) 5/36, 15/36, 18/36 !)3 3 (122) 1/15, 7/15 (4 !)33 ! (4 !)22 ! 1! (72) ⎛⎝⎜ 121⎞⎟⎠ , ⎜⎝⎛ 8 ⎞⎟⎠ , ⎛⎝⎜ 124⎟⎞⎠ (73) ⎛⎜⎝84⎟⎠⎞ , ⎝⎛⎜53⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜82⎠⎞⎟ (123) 1/70, 3/35, 32/35, 69/70, 29/70 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 350 ความนา จะเปน (124) 1/25, 12/25, 13/25, 12/25 (128) 8/9 (129) 1 – (8/30) (125) 4/9, 5/21, 20/63, 5/21, 1/126 (130) 9/10 (131) 1/16 (126) 2/5 (127) 1/51 (132) 1/24 (133) 32% เฉลยแบบฝึกหดั (วธิ ีคดิ ) (1) มกี ารเลือกอยู่ 3 ข้นั ตอน (ก ไป ข, ข ไป ค, (8.3) • กรณหี ลกั ร้อยเป็น 3 ค ไป ง) จํานวนวิธีของขนั้ ตอนแรก คอื 3 วธิ ี หลกั ร้อยได้ 1 วธิ ี คอื 3, หลักสบิ ได้ 1 วธิ ีคอื 5 ขั้นตอนสอง คือ 2 วิธี และขัน้ ตอนสามคอื 3 วธิ ี หลกั หน่วย 3 วิธี (ตอ้ งไมเ่ ปน็ 0 เพราะจะได้ 350) จึงได้วา่ 3 × 2 × 3 = 18 วธิ ี จึงได้ 1 × 1 × 3 = 3 (2) มี 3 ขนั้ ตอน คอื • กรณหี ลักรอ้ ยเป็น 4 หรอื 5 - บอลลกู แรกใสห่ บี ไหนดี (5 วธิ )ี หลักร้อยเลอื กได้ 2 วธิ ,ี หลกั สิบกบั หลกั หนว่ ยเปน็ - บอลลกู สองใสห่ บี ไหนดี (5 วธิ )ี อะไรกไ็ ด้ จึงได้ 2 × 5 × 4 = 40 - บอลลกู สามใสห่ บี ไหนดี (5 วิธ)ี ∴ ตอบ 43 จํานวน (นําผลแต่ละกรณีมาบวกกัน) ตอบ 5 × 5 × 5 = 125 วิธี (8.4) ไม่ได้บอกว่าแต่ละหลกั หา้ มซา้ํ กนั ! (3) 6 × 4 × 3 = 72 แบบ หลกั หนว่ ย ได้ 1 วธิ ี คอื 0, หลกั รอ้ ยได้ 5 วธิ ี คอื 1 (4) เอาตัวไหนมาวางหนา้ สดุ เลอื กได้ 7 วธิ ี ถึง 5, หลักสบิ เป็นอะไรกไ็ ด้ คือ 6 วธิ ี ตัวถดั มาเหลอื 6 วิธี เพราะหา้ มใชต้ วั ซา้ํ จึงได้ 1 × 5 × 6 = 30 ถัดมากเ็ หลอื 5, 4, 3 ไปเร่อื ยๆ จนถงึ 1 (9) • กรณี ช ญ ช 5 × 4 × 4 = 80 ดงั นนั้ คาํ ตอบคือ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 • กรณี ญ ช ญ 4 × 5 × 3 = 60 รวม 140 ชุด = 5,040 แบบ (10) 10 ! = 10 × 9 × 8 × 7 ! = 720 (5) หยิบสแี ดงจากถุงใบแรก ได้ 3 วธิ ี 7! 7! หยิบจากถงุ ใบสองได้ 5 วธิ ี (ถุงใบสองมสี แี ดง 3 ลกู 6!3! = 1 = 1 P4, 3 = 4! = 24 แล้ว และมสี ดี าํ 2 ลูก) ดังนนั้ 3 × 5 = 15 วิธี 4 ! 7 ! 4 ⋅ 7 28 1! (6) มกี ารตดั สนิ ใจเลอื กอยู่ 12 ครง้ั ดงั นี้ P7, 3 = 7! = 7×6×5 = 210 4! (11) (n + 3)(n + 2) = 30 → n2 + 5n − 24 = 0 2×2× 2 × 2 × 2 × 4×4×4 × 4 × ... × 4 ถกู -ผดิ ก,ข,ค,ง → (n + 8)(n − 3) = 0 → n = 3 เทา่ นน้ั = 25 ⋅ 47 = 16,416 แบบ (เพราะถา้ n = − 8 จะทาํ ใหห้ นา้ แฟคทอเรียลตดิ ลบ) (7) คดิ แบบแยกกรณี (12) 2 (n)(n − 1) + 50 = (2n)(2n − 1) • กรณแี รก คู่ + คี่ = 5 × 5 = 25 → 50 = 2n2 → n = 5 เทา่ นนั้ (13.1) 4 × 3 × 2 × 1 ( = P4,4) = 24 วธิ ี • กรณสี อง ค่ี + คู่ = 5 × 5 = 25 รวม 50 วิธี (13.2) • ใช้ 2 ช้ิน 4 × 3 ( = P4,2) = 12 หรือคดิ แบบไมต่ อ้ งแยกกรณกี ็ได้ ดังนี้ • ใช้ 3 ชน้ิ 4 × 3 × 2 ( = P4,3) = 24 ใบแรกเปน็ ใบไหนกไ็ ด้ = 10 วธิ ี ไม่วา่ ใบแรกจะเปน็ เลขใด ใบทส่ี องกจ็ ะเลอื กได้ 5 วธิ ี จงึ ได้ 10 × 5 = 50 วธิ ี • ใช้ 4 ชนิ้ P4,4 = 24 ดงั น้ันได้ 60 วธิ ี (8.1) หลักรอ้ ยหา้ มเปน็ เลข “0” จะเลอื กได้ 5 แบบ (14.1) P5,5 = 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 หลกั สิบหา้ มซา้ํ กบั หลักรอ้ ย จึงเหลอื ใหเ้ ลอื ก 5 แบบ (รวม 0 ด้วย, ใช้ 1 ถึง 5 ไปแลว้ ในหลกั รอ้ ย 1 ตวั ) (14.2) P5,3 = 5 × 4 × 3 = 60 หลักหน่วย เหลอื ใหเ้ ลอื ก 4 แบบ จงึ ได้ 5 × 5 × 4 = 100 จาํ นวน (15.1) มอง S กบั T ตดิ กนั จะเหลอื อกั ษรเพยี ง 6 ตวั คอื H, O, N, E, ST, Y สลบั ได้ 6! แบบ (8.2) เลอื กหลกั หน่วย ได้ 3 แบบ แต่ในทุกแบบสามารถสลับภายใน ST ได้ 2! แบบ หลกั ร้อย เหลอื 4 แบบ แลว้ มาหลักสบิ ก็ 4 แบบ ด้วย (คอื ST, TS) ∴ ตอบ 6! × 2 ! = 1,440 คํา จึงได้ 3 × 4 × 4 = 48 จาํ นวน (15.2) ใชว้ ธิ ลี บออก ดงั น้ี (สงั เกต ควรคิดจากหลกั ที่มเี งอ่ื นไขมากๆ กอ่ น) ST ไมต่ ิดกนั = วธิ ีทง้ั หมด - ST ติดกนั = 7 ! − 6 ! 2 ! = 3,600 คํา Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )