คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 351 ความนา จะเปน (16) ยนื ตดิ กนั (22) เลอื กสระหนา้ สดุ ได้ 2 แบบ นาํ ตัว T ไปวาง ชายสลับกนั เอง 3! , หญิงสลบั กันเอง 2! หลงั สุดได้ 1 แบบ (ไม่ต้องเลอื กเพราะ T ทั้งสามตวั และนาํ มาวางตอ่ กนั ไดอ้ กี 2! แบบ ถือว่าเหมอื นกนั ) และเหลอื ตรงกลาง 6 ตวั ซง่ึ มี T (คอื ชชชญญ กบั ญญชชช) ซา้ํ กนั อยู่ 2 ตัว จะได้ 2 × 1 × 6! = 720 แบบ ∴ ตอบ 3 ! 2 ! 2 ! = 24 วิธี 2! ยืนสลบั กนั (23) ส พพ ส พพ ส เรียงพยัญชนะสลบั กนั เอง ได้ 4! แบบ 3 ×2× 2 × 1× 1 เรียงสระได้ 3! ← (มี A ซา้ํ กนั ) ช ญช ญช 2! หรอื มองเฉพาะชาย 3! , หญิง 2! กไ็ ด้ (นํามาตอ่ กนั ไดเ้ พยี ง 1 แบบ คือ ชญชญช) ∴ ตอบ 4 ! × 3 ! = 72 แบบ ∴ ตอบ 3! 2! = 12 วธิ ี 2! (24) ไมว่ ่าจะไปด้วยเส้นทางใด จะตอ้ งมกี ารข้นึ เหนือ (17) (N) 3 ครง้ั และไปทางตะวนั ออก (E) 4 คร้งั ∗ ¢o ¹¤éÕ ÇÃÈÖ¡ÉÒe·¤¹¤i ¡Òä´i ãË´Õ ∗ ∴ เปรยี บเหมอื นการสลบั ลาํ ดับในคาํ วา่ NNNEEEE ¼ÙË §i 4 ¤¹ËÒ Áµi´¡¹a ¨a¤i´æººÊaºËÇÒ § eËÁo× ¹¢o 16 ตอบ 7 ! = 35 แบบ 3!4! äÁä´ e¾ÃÒa¡ÒÃËÒ ÁËi§µi´¡a¹¹¹éa ªÒµi´¡¹a ä´ ... ËÃo× ¶Ò ¨a¤i´ (25) • กรณี 1-1-1 (ไมใ่ ช้อักษรซาํ้ เลย) 溺ź¡a¹eËÁo× ¹¢o 15.2 ¡çäÁä ´ e¾ÃÒaµo§ÅºËÅÒÂ¡Ã³Õ มี A,R,N,G,E → 5 × 4 × 3 = 60 แบบ (P5,3) æÅa¤íҹdzÂÒ¡ (·§éa ËÁ´ - µ´i 4 ¤¹ - µi´ 3 ¤¹ - µi´ 2 ¤¹) • กรณี 2-1 (ใช้อักษรซา้ํ 1 คู่) มที งั้ หมด 8 กรณี ไดแ้ ก่ AAR, AAN, AAG, AAE, เทคนคิ การคดิ คอื วางผู้ชาย 5 คนเป็นแถวกอ่ น ได้ 5 4 3 2 1 = 5! วธิ ี RRA, RRN, RRG, RRE (คิดจาก 2x4 กไ็ ด้) จะมีช่องว่าง 6 ชอ่ ง (นบั ชอ่ งหนา้ สุดและหลังสดุ ดว้ ย) ในแตล่ ะแบบสลบั ทไ่ี ด้ → 3 ! = 3 แบบ จะใหผ้ หู้ ญงิ 4 คน เลอื กอยกู่ นั คนละชอ่ ง (เพอ่ื จะได้ 2! ∴ ตอบ 60 + 8 (3) = 84 แบบ ไม่ตดิ กนั ) ได้ 6 × 5 × 4 × 3 (26) = 3! = 6 วิธี ไดแ้ ก่ ∴ ตอบ 5 ! × P6,4 = 43,200 วธิ ี ก กก (18) สลับคน 4 คน ได้ 4! แบบ ข ง ค งง ค ข้อนเี้ กิดได้ 2 กรณี คือ ออ้ อยหู่ วั / อยู่ท้าย ค ขข ดังนน้ั คาํ ตอบคอื 4 ! × 2 = 48 แบบ กกก (19) T 6 ตวั E 6 ตวั ท่สี ลบั กนั ได้ (27) 3! (หาร 2 ข คค ข ง ข T กับ E สลบั ไม่ได้ กจ็ ะเหลอื เพยี ง ไดแ้ ก่ งง ค ดงั นน้ั จะได้ 6! = 720 คํา 2A = BD เพราะพลกิ ด้านได้) 3 วธิ ี (20) คดิ เหมอื นข้อ 17 คอื ... C (20.1) วางพยญั ชนะ 5! AA C DB C วางสระ 6 × 5 × 4 × 3 ตอบ 5 ! × P6,4 คํา BD (20.2) วางสระ 4! วางพยญั ชนะ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ตอบ 4 !5! คาํ (28) ไม่ตอ้ งเลอื ก (ใครก็ได้ เพศใดก็ได)้ 3 ! 2 ! = 24 แบบ (สงั เกต ใช้ครบทุกช่องพอดี = สบั หว่าง) (20.3) พยญั ชนะตวั หนา้ สดุ เลอื กได้ 5 แบบ เหลอื พยัญชนะกบั สระอยา่ งละ 4 ตวั (29) มี 2 กรณดี งั รูป จงึ ตอบ 5 × 4 ! × 5 × 4 × 3 × 2 = 5 ! × P5,4 คาํ จึงได้ 6! 5! × 2 (20.4) สระตวั หนา้ สดุ เลือกได้ 4 แบบ = 172,800 แบบ 2 ! × 4 ! = 48 แบบ เหลอื พยัญขนะ 5 และสระ 3 ตวั (30) ส ภ จงึ ตอบ 4 × 5 ! × 5 × 4 × 3 = 4 × 5 ! × P5,3 คาํ (เราเร่มิ เลอื กชอ่ งจาก 5 ชอ่ งเทา่ นัน้ เพราะชอ่ งแรก สุดห้ามใช้ มิฉะนนั้ สระอาจจะติดกนั ) (21) 11! = 34,650 แบบ 4!4!2! Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 352 ความนาจะเปน (31) วธิ คี ลา้ ยขอ้ 17 แตเ่ ปล่ียนเป็นวงกลม (40) • กรณี 1-1-1-1 วางผชู้ ายเปน็ วงกลมกอ่ น = 4! วธิ ี เลือก a, b, c, d, e, f → ⎛⎜⎝ 6 ⎟⎞⎠ สลับ 4 ! → 360 พบว่ามีชอ่ งวา่ ง 5 ช่อง 4 ผูห้ ญงิ จงึ เลอื กทอี่ ยู่ได้ 5 × 4 × 3 × 2 วธิ ี • กรณี 2-1-1 ∴ ตอบ 4 ! × P5,4 = 2,880 วธิ ี เลือก a, b, c, d → ⎜⎝⎛ 4 ⎟⎠⎞ ⎝⎛⎜ 52 ⎟⎞⎠ สลบั 4 ! → 480 1 2! ( )(32) 18 = ⎛⎜⎝r1+82⎞⎟⎠ แสดงวา่ 1 คู่ เดย่ี ว 2 r • กรณี 3-1 r + (r + 2) = 18 ∴ r = 8 เลือก a → ⎛⎝⎜11⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝51 ⎟⎠⎞ สลับ 4 ! → 20 3! (33) ⎛⎝⎜ 130⎞⎟⎠ = 10 ! = 10 × 9 × 8 = 120 แบบ 1 สาม เดย่ี ว 1 7!3! 3×2 • กรณี 2-2 [เป็น C10,3 ไมใ่ ช่ P10,3 เพราะเราไม่สนใจลาํ ดบั การ สลับกนั , แตถ่ า้ ตอ้ งเลอื กยืมวันจนั ทร์ องั คาร พธุ ที เลือก a, b, c, d → ⎝⎜⎛ 4 ⎠⎞⎟ สลบั 4 ! → 36 ละเล่ม แบบนล้ี าํ ดับถอื วา่ สาํ คญั ต้องใช้ ]P10,3 2 2!2! (34) สามเหลย่ี มรูปหน่ึงเกดิ จากการเลือกจดุ มา 3 2 คู่ จดุ และแนน่ อนว่าไมค่ าํ นงึ ลาํ ดับ เช่น Δ ABC กบั ∴ ตอบ 896 แบบ Δ BCA ถือเปน็ รูปเดียวกัน (41) จาํ นวนคทู่ เ่ี กิดขนึ้ = ⎝⎜⎛120⎟⎠⎞ = 45 คู่ ดังนนั้ จะได้ ⎜⎛⎝63⎞⎟⎠ = 6 ! = 20 รปู ∴ ใช้เวลา 12 วัน 3!3! (42.1) กฎการแบ่งกลุม่ 9! = 1,260 วธิ ี (35.1) ⎜⎝⎛186⎟⎠⎞ [เลอื กทเี ดียว 8 คน และไมม่ ลี าํ ดับ] 4!3!2! (35.2) ⎝⎜⎛ 62 ⎠⎟⎞ × ⎜⎝⎛ 10 ⎠⎟⎞ (42.2) กฎการแบ่งกลุ่ม 9! = 280 วธิ ี 6 (3 !)33 ! ญช (43) 9! × 3! = 1,680 วธิ ี (3 !)3 ⋅ 3 ! (35.3) ญ5 +ญ6 ⎝⎜⎛ 65 ⎟⎠⎞ ⎝⎜⎛ 130⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝66⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜ 10 ⎞⎟⎠ = + 2 เลอื กกลมุ่ (C) สลบั ประเทศ (P) (35.4) ใชว้ ธิ ีบวกกนั จะยาว (44) 7 ! × 2! 3 !(2 !)2 ⋅ 2 ! (ญ2 + ญ3 + ญ4 + ญ5 + ญ6) จึงใช้ วธิ ที ัง้ หมด ลบดว้ ย ญ1 และลบดว้ ย ญ0 จดั กลุม่ สลับเข้าหอ้ ง ⎜⎛⎝ 16 ⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝61 ⎟⎠⎞ ⎝⎛⎜ 10 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 60 ⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 10 ⎠⎞⎟ หมายเหตุ การสลบั เข้าห้องเปน็ 2! เพราะกล่มุ 8 7 8 = − − ขนาด 3 คนนั้นนําไปใสเ่ ขา้ หอ้ งขนาดเลก็ ไม่ได)้ (36) ⎜⎝⎛62⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜52⎠⎟⎞ (45) ⎝⎛⎜62⎟⎞⎠ เสน้ , ⎜⎝⎛63⎟⎠⎞ + ⎜⎛⎝64⎟⎠⎞ + ⎜⎝⎛65⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝66⎟⎠⎞ รปู (37) นกั ธุรกจิ 2 + นักธรุ กจิ 3 (สามเหลี่ยม + ส่ีเหลยี่ ม + ห้าเหลยี่ ม + หกเหลยี่ ม) = ⎝⎛⎜ 23 ⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 128⎠⎞⎟ + ⎛⎝⎜ 3 ⎠⎞⎟ ⎛⎝⎜ 18 ⎞⎠⎟ (46) ⎜⎝⎛27⎟⎠⎞ − ⎜⎝⎛24⎠⎟⎞ + 1 − ⎝⎜⎛23⎟⎠⎞ + 1 เสน้ 3 1 (38) 6 7 + 5 8 + 4 9 ⎜⎝⎛ 37 ⎠⎞⎟ − ⎛⎝⎜ 4 ⎠⎟⎞ − ⎝⎛⎜ 33⎠⎞⎟ รปู 3 = ⎛⎝⎜ 13 ⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜ 7 ⎟⎠⎞ + ⎛⎜⎝ 153⎠⎟⎞ + ⎜⎛⎝ 13 ⎟⎠⎞ (47) ⎛⎝⎜ 12 ⎞⎠⎟ − 6 ⋅ ⎛⎝⎜ 23 ⎞⎟⎠ + 6 เสน้ 6 7 4 2 [หมายเหตุ ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎟⎞ , ⎝⎜⎛ 88⎟⎠⎞ , ⎝⎜⎛ 99 ⎠⎟⎞ =1 ไม่ตอ้ งคดิ ] (มีแนวเดยี วกนั อยู่ 6 แนว) 7 หรอื ถา้ มองอกี คนั หนงึ่ เปน็ หลัก อาจตอบในรูป (48) เลอื กจดุ สองจดุ ใดๆ จะสรา้ งเส้นตรงได้ 1 เส้น ⎝⎜⎛ 13 ⎟⎞⎠ + ⎝⎛⎜ 13 ⎠⎞⎟ + ⎝⎜⎛ 193⎞⎠⎟ กไ็ ด้ แต่ถา้ ไปเลอื กโดนจดุ ทต่ี ิดกนั จะเกิดเสน้ รอบรปู ไม่ใช่ 7 8 เสน้ ทแยงมมุ (มีเส้นรอบรปู 20 เส้น) (39) การคดิ จะเริ่มจาก “เลือก” แล้วคอ่ ย “สลับ” ดังนนั้ ตอบ ⎛⎜⎝220⎞⎠⎟ − 20 เสน้ เลอื ก ⎝⎛⎜ 3 ⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛ 53 ⎠⎞⎟ ⎛⎜⎝ 4 ⎟⎠⎞ → สลบั 1× 5! 1 2 (49) ⎜⎝⎛ 52 ⎠⎞⎟ 4 ⎜⎝⎛51 ⎞⎠⎟ 4 ใหญ่ เล็ก สระ ∴ ตอบ ⎜⎛⎝ 3 ⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝ 53 ⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛ 4 ⎟⎞⎠ 5 ! + 2 ⎜⎝⎛ 2 ⎟⎠⎞ + 2 ⎛⎝⎜ 1 ⎠⎞⎟ 1 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 353 ความนาจะเปน (50) ⎝⎜⎛ 62 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 3 ⎟⎞⎠ รปู (60.1) T4 = ⎝⎛⎜ 8 ⎞⎠⎟ (3x)5( 1)3 2 3 y (51) คิดด้วยวธิ ดี งั รูป (คลา้ ยสตู รในเรอ่ื งเซต) (60.2) ⎜⎝⎛58⎟⎞⎠ (60.3) ⎛⎜⎝82⎟⎠⎞ [มาจาก 8 (3x)6( 1)2 2 y = +- T3 ]= ⎛⎜⎝ ⎠⎟⎞ = ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝ 23 ⎟⎠⎞ + ⎝⎜⎛ 23 ⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛ 52 ⎟⎞⎠ − ⎜⎛⎝ 23 ⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 23 ⎠⎞⎟ = 39 รปู (60.4) ⎝⎛⎜ 8 ⎞⎟⎠ (34) 2 4 (52.1) stars&bars 6 : 2 [สัมประสทิ ธิ์ ไมเ่ หมือนกับสมั ประสทิ ธิ์ทวินาม] → ⎛⎜⎝51⎟⎞⎠ = 5 วิธี ได้แก่ 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 (61.1) T6 = ⎛⎝⎜ 12 ⎟⎞⎠ (x2)7(x34 )5 5 (52.2) stars&bars 8 : 2 (ใสเ่ ผื่อเขา้ ไป 2 ลกู เพื่อจะดงึ ออกคนละลูกทหี ลัง) (61.2) ⎝⎜⎛ 12 ⎟⎞⎠ 5 ⎜⎝⎛ 7 ⎞⎠⎟ วธิ ี (61.3) หาวา่ พจน์ใดเปน็ x6 ก่อน 1 → = 7 ( )โดย 12 (x2)12 − r ⎛ 3 ⎞r มองทกี่ ําลงั ของ x r ⎝⎜ x4 ⎟⎠ ได้แก่ 6,0 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 0,6 Tr = (53) ต้องใชว้ ธิ นี ับเอาเทา่ นน้ั (เพราะ stars&bars → 2 (12 − r) − 4r = 6 ∴ r = 3 จะตอ้ งมีคนรอรบั ของแล้ว) ตอบ สัมประสิทธิ์ = ⎝⎛⎜ 12 ⎟⎞⎠ (33) 3 ได้เป็น 5, 1 4, 2 3, 3 → 3 วธิ ี (61.4) หาวา่ พจนใ์ ดเปน็ x0 (54.1) stars&bars 7 : 4 → ⎜⎛⎝63⎟⎞⎠ = 20 วธิ ี → 2 (12 − r) − 4r = 0 ∴ r = 4 หมายเหตุ อาจคดิ อกี วิธีโดย 1, 1, 1, 4 สลบั ได้ 4 !/ 3 ! = 4 วธิ ี ตอบ พจน์นนั้ = ⎜⎝⎛ 12 ⎟⎠⎞ (34) [ไม่มี x ในพจน์น]ี้ 1, 1, 2, 3 สลบั ได้ 4 !/ 2 ! = 12 วธิ ี 4 1, 2, 2, 2 สลบั ได้ 4 !/ 3! = 4 วิธี รวม = 20 วิธี (62)(2 + 0.001)7 = ⎛⎜⎝ 7 ⎞⎟⎠ (2)7 + ⎛⎝⎜ 7 ⎞⎠⎟ (2)6(0.001) + 0 1 (54.2) stars&bars 11 : 4 → ⎜⎛⎝130⎟⎞⎠ = 120 วธิ ี ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎟⎞ (2)5(0.001)2 + ⎝⎜⎛ 7 ⎠⎟⎞ (2)4(0.001)3 + ... (55) 1, 1, 1, 4 1, 1, 2, 3 1, 2, 2, 2 → 3 วธิ ี 2 3 (56) 100,000 = 25 ⋅ 55 → ตอบ 6 × 6 = 36 = 128 + 0.448 + 0.000672 + 0.000000560 + ... (57) 120 = 23 × 31 × 51 ดงั นน้ั จาํ นวนเต็มบวกมอี ยู่ 4×2×2 = 16 จาํ นวน = 128.448673 ตอบ 32 (เพราะมจี ํานวนเตม็ ลบอีก 16 จาํ นวน) (58) 2 (a + 1)(b + 1) (63.1) ⎜⎛⎝ 7 ⎞⎠⎟ + ⎝⎜⎛ 7 ⎟⎞⎠ + ⎝⎛⎜27 ⎠⎞⎟ + ⎛⎝⎜ 7 ⎟⎞⎠ + ... + ⎝⎜⎛ 7 ⎠⎞⎟ 0 1 3 7 = 27 = 128 [พสิ ูจน์ จาก ( ) ( ) ( )(a + b)n =n n n 0 anb0 + 1 an − 1b1 + ... + n a0bn (คูณ 2 เพราะตอ้ งนับจาํ นวนลบด้วย) แทน a = b = 1 จะได้วา่ (59.1) ⎛⎜⎝50⎞⎟⎠ a5b0 + ⎛⎜⎝51 ⎞⎠⎟ a4b1 + ⎛⎜⎝52⎞⎟⎠ a3b2 + ( ) ( ) ( ) ( )2n =n n n n 0 + 1 + 2 + ... + n ⎛⎜⎝ 53 ⎟⎠⎞ a2b3 + ⎜⎝⎛ 5 ⎟⎞⎠ a1b4 + ⎝⎜⎛55⎠⎞⎟ a0b5 เชน่ ขอ้ นี้ ให้ 2x = 1, 3y = 1 ] 4 (63.2) อยากทราบคา่ ผลบวกสมั ประสทิ ธิ์ ก็ทาํ ตอบ a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 คลา้ ยๆ ข้อ 63.1 แต่เราจะแทนเพยี ง x และ y ด้วย (59.2) ⎜⎝⎛ 4 ⎟⎠⎞ (2x)4 ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎟⎞ (2x)3(−3y) 0 + 1 + 1 ... ก็จะไดว้ า่ ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎠⎟ (2x)2(−3y)2 + ⎜⎛⎝ 4 ⎟⎠⎞ (2x)(−3y)3 + ⎝⎜⎛ 4 ⎞⎠⎟ (−3y)4 (2 + 3)7 = ⎝⎜⎛ 7 ⎟⎠⎞ (2)7(3)0 + ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎟⎞ (2)6(3)1 + ... 2 3 4 0 1 ตอบ 16x4 − 96x3y + 216x2y2 − 216xy3 + 81y4 นัน่ คอื ผลบวกสมั ประสทิ ธิเ์ ทา่ กบั (2 + 3)7 = 57 (59.3) ⎣⎡(1 − x)2 ⎦⎤4 = (1 − x)8 (64-71) ใชก้ ฎการแบง่ กล่มุ (แล้วจะคณู การสลบั = 1 − 8x + 28x2 − 56x3 + 70x4 − 56x5 + 28x6 − 8x7 + x8 ลําดับอีกหรอื ไม่ ก็แลว้ แต่สถานการณข์ อ้ นั้น) (64.1) 12! 3!4!5! Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 354 ความนา จะเปน (64.2) 12! (72.3) ใส่เพ่มิ 3 ลูกเปน็ 15 (4 !)33 ! (แลว้ ค่อยดึงออกคนละลกู ทีหลงั ) ∴ ได้ ⎝⎜⎛ 14 ⎟⎠⎞ วธิ ี 2 (65.1) 9! × 3! (3! เกิดจากการสลบั ใหค้ น) 2!3!4! (73.1) stars&bars 9 : 5 → ⎝⎛⎜84⎟⎞⎠ (65.2) 9! × 3! (73.2) ⎜⎛⎝53⎟⎠⎞ × ⎛⎝⎜ 82 ⎠⎟⎞ 5 !(2 !)22 ! (65.3) stars&bars ⎝⎜⎛82⎠⎟⎞ เลอื กตู้ stars&bars 9 : 3 (66) สงั เกต 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8 ลกู เทา่ นน้ั (74) 4 × 2 × 5 = 40 (75) 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! จงึ ตอ้ งไดเ้ ปน็ ⎝⎜⎛ 10 ⎠⎞⎟ (2 !)3 8! !)22 ! (76) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 ! 8 3 !(1 (67) นําคาํ ตอบข้อ 66 มาคณู 5! (77.1) บอย 9 คน = 9! (68.1) 8! × 2! (77.2) บอย ญชญชญชญชญ = 5! 4! (3 !)22 ! 2 ! (78) การดึงเลขจากเซต ใช้ซา้ํ ได้ จัดกลุ่มคน สลบั ห้อง และระวงั .. โจทยไ์ ม่ได้บอกวา่ ตอ้ งเปน็ เลข 3 หลกั (68.2) หญงิ 3 คน ไมต่ อ้ งแบง่ กล่มุ ฉะนั้น มี 3 กรณี ดงั นี้ ชาย 5 คน ต้องแบง่ เป็น 3 และ 2 คน (78.1) • 3 หลกั 2 × 3 × 3 = 18 ตอบ 5! × 2! (2! เกดิ จากการสลับหอ้ ง) • 2 หลกั 3 × 3 = 9 3!2! • 1 หลัก 3 = 3 ตอบ 30 จาํ นวน (68.3) ชาย 5 คน แบ่งกลุม่ เปน็ 2, 2, 1 คน (78.2) 2 × 3 × 1 + 3 × 1 + 1 = 10 จาํ นวน → 5! × 3! × 2! (79) ประกอบยงั ไงกม็ ากกวา่ 999 อยู่แลว้ ถา้ มี 4 (2 !)22 ! 1! หลกั ... ดงั นัน้ ตอบ 4! จดั หญิงลงกลมุ่ สลับหอ้ ง (80.1) 8 × 7 × 6 × 5 = P8,4 หรอื ⎜⎛⎝84⎟⎠⎞ × 4 ! กไ็ ด้ (69.1) อาจแบง่ 6 คน เปน็ 1,1,4 หรือ 1,2,3 หรือ 2,2,2 จึงไดว้ า่ ⎛ 6! + 6! + 6! ⎞ × 3! (80.2) 2 × 7 × 6 × 5 (81) 2 ! × 4 ! ⎜⎝(1!)22 ! 4 ! 1!2! 3! (2 !)33 !⎟⎠ ตัวสดุ ทา้ ย 3 ตวั แรก กข จดั กลมุ่ คน มอบหมายงาน (69.2) ขอ้ นีง้ านเหมอื นกนั หมด (82) ⎝⎛⎜ 10 ⎟⎞⎠ 6 จงึ ตอบเหมอื นข้อ 69.1 โดยไมต่ อ้ งคณู 3! (70) หนงั สอื ตา่ งกัน จึงไมใ่ ช่ stars&bars (83) มี 3 กรณี คือ แตต่ อ้ งคดิ แยกกรณตี รงๆ เหมอื นขอ้ 69.1 คอื อาจ บวกท้ังหมด, บวก 2 ลบ 2, ลบทงั้ หมด แบ่งเปน็ 1,1,6 หรือ 1,2,5 หรอื 1,3,4 หรือ 2,2,4 ∴ ตอบ ⎛⎜⎝ 64 ⎞⎠⎟ + ⎝⎛⎜ 62 ⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝ 8 ⎞⎠⎟ + ⎜⎛⎝ 8 ⎞⎠⎟ 2 4 หรอื 2,3,3 ∴ ตอบ (84) 7 แบ่งเปน็ 4 (ก) กบั 3 (ข) ( )(1!)22!6! 1!2!5! 1!3!4! (2!)22!4! 2!(3!)22! 8! 8! 8! 8! 8! +++ + × 3! ⎜⎝⎛ 172⎠⎟⎞ × 7! 12 ! (71.1) แบ่ง 12 คน เปน็ 4,4,4 จะได้ 12! 4!3! = 5!4!3! (4 !)33 ! หรอื มองเปน็ 12 แบ่งเปน็ 5 (เกบ็ ), 4 (ก), 3 (ข) (71.2) แบ่ง 9 คน เปน็ 1,4,4 จะได้ 9! กไ็ ด้ 12! เช่นกนั 1!(4 !)22 ! 5!4!3! (85.1) วิธที งั้ หมด - วธิ ที ่ไี ม่มสี ขี าวเลย (กลมุ่ ท่ีมี 1 คน จะถกู เตมิ ก,ข,ค ลงไปด้วย) (71.3) แบ่ง 9 เป็น 3,3,3 จะได้ 9! × 3! = 9×8×7 −5×4×3 (3 !)33 ! (85.2) ⎛⎜⎝93⎞⎟⎠ − ⎛⎜⎝53⎞⎠⎟ (3! เกิดจากการเลอื กใส่ ก,ข,ค ลงไปกลุม่ ละ 1 คน) (72.1) stars&bars 12 : 3 → ⎝⎜⎛121⎞⎟⎠ (86.1) A K Q J = 4 ! = 24 วิธี ? ? ? ? (72.2) แจกไปกอ่ นเลยคนละ 1 ลกู , (86.2) ⎛⎝⎜41 ⎞⎠⎟ = 4 วธิ ี แล้วจงึ คิดแบบ stars&bars 9 : 3 → ⎛⎝⎜82⎟⎞⎠ (86.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 256 วิธี Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 355 ความนาจะเปน [สงั เกตความตา่ งของแตล่ ะขอ้ จะเป็น (96.3) 4 ดา้ นแรก (2 คู่) ]4 × 3 × 2 × 1 → 4 × 1 × 1 × 1 → 4 × 4 × 4 × 4 เลอื กสีทจี่ ะใชซ้ าํ้ ได้ (87) ดอกเดียวกนั 5 ใบ ⎛⎝⎜41 ⎟⎠⎞ ⎝⎜⎛153⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛24⎠⎞⎟ แบบ เลอื กดอก เลอื กเลข อกี 2 ดา้ นท่เี หลอื ทา 2 สีได้เลย (88) ความหมายของโจทยค์ ือ ถือไพอ่ ยู่ 15 ใบ (สลับกันไมน่ ับ เพราะพลกิ ดา้ นได้ เกดิ สภาพเดมิ ) เราตอ้ งเลอื กเลขสาํ หรบั แตล่ ะดอก ดังนนั้ ตอบ ⎛⎜⎝ 153⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛ 13 ⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 153⎠⎟⎞ ∴ ตอบ ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎠⎟ =6 วิธี 5 2 (89) ⎜⎛⎝ 113⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 4 ⎟⎠⎞ × ⎝⎛⎜ 112⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝ 24⎠⎞⎟ (97) วิธที ง้ั หมด - สองคนตดิ กนั = 6! − 2!5! 3 (98) 25,000,000 = 26 ⋅ 58 ดงั นนั้ ตอบ 7 × 9 = 63 สาํ หรบั 3 ตวั ซํา้ สาํ หรับ 2 ตัวซาํ้ (99) จาก A ไปถึง B (N5, E5) → 10! เสน้ ทาง (90) ⎜⎛⎝ 123⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 4 ⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝ 4 ⎟⎞⎠ × ⎜⎛⎝ 111⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 41 ⎟⎞⎠ 2 2 สาํ หรบั 2 คู่ สาํ หรบั 1 เด่ยี ว 5!5! หมายเหตุ ใช้ ⎜⎝⎛ 13 ⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝ 112 ⎠⎟⎞ แทน ⎜⎛⎝ 123⎟⎞⎠ ไมไ่ ด้นะครบั ! จาก A ไปถึง F (N2E2) และ F ไปถงึ B (N3E3) 1 → 4! × 6! เสน้ ทาง (91) 5!5! 2!2! 3!3! (92) 6 × 6 × 6 × ... × 6 = 610 [ถ้าโจทย์ถามเส้นทางทไี่ มผ่ า่ น F, กเ็ อาคําตอบทีไ่ ดล้ บกนั ] [นบั แตล่ ะครั้งเปน็ 6 แบบ เพราะมกี ารยงิ ไม่โดนด้วย] (100) 25 × 15 (101) ⎝⎜⎛ 150 ⎠⎞⎟ 2 (93) 10 ! × 5! [สังเกตความแตกต่างของขอ้ 100 กบั 101 นะครบั ] (2 !)55 ! (102) ต้องใชค้ รบทุกเลข จัดกลุ่ม เลอื กวนั แข่ง • หลกั ลา้ นเป็น 1 หรอื 3 → 2 × 6! 2!2! (94) เน่อื งจากลกู เตา๋ มีหมายเลขกาํ กบั จงึ มองเปน็ การจบั ค่หู มายเลข 1 ถงึ 6 เขา้ กบั สี 6 สี → 6! • หลักลา้ นเป็น 2 → 1 × 6! (95) เลือกสที ่จี ะใช้สองครง้ั ได้ 5 วธิ ี 2!2!2! เลือกด้านคตู่ รงขา้ มกันเพอื่ ทจี่ ะทาสีซาํ้ นน้ั ได้ 3 วธิ ี บวกกนั = 450 หรอื คดิ จาก วธิ ที ้ังหมด - วธิ ที ขี่ น้ึ ด้วย 0 เหลอื 4 ดา้ น 4 สี จับคกู่ นั ได้ 4! ดงั นนั้ จะได้ 5 × 3 × 4! = 7! − 6! = 5 × 6! = 450 2!2!2! 2!2! (2 !)3 (96) ลูกบาศกห์ นา้ เกล้ียง จะคิดตา่ งจากลูกเตา๋ เน่อื งจากไม่มีหมายเลขประจําด้าน (แตล่ ะดา้ นไม่ (103) แบ่ง 5 เป็น 2,2,1 ต่างกัน) และลูกบาศก์เปน็ ทรงสามมิติทหี่ มุนไดแ้ ละ → (2 5! 1! × 3 ! (คณู 3! = เข้าห้อง) !)22 ! พลกิ ดา้ นได้ ตอ้ งคิดคลา้ ยการจดั แบบวงกลม ดังนี้ (104) แบ่งชาย 3 คน เปน็ 1,2 (96.1) ไม่ตอ้ งนบั ดา้ นแรก แบ่งหญงิ 5 คน เป็น 3,2 ใชส้ ใี ดกไ็ ดท้ าดา้ นใดกไ็ ด้ไปก่อน (แล้วชายกับหญงิ ก็จะรวมกนั 1+3 และ 2+2 คน) ดา้ นตรงขา้ ม ดังนน้ั ตอบ 3! × 5! × 2! = 60 เลอื กสไี ด้ 5 แบบ 1!2! 3!2! เหลอื ด้านรอบๆ 4 ดา้ น (2! คอื การให้ชอื่ กลุม่ ) สลบั สเี ปน็ วงกลม 3! แบบ หรอื คิดจาก วธิ ที ัง้ หมด - วธิ ที ีช่ ายอยกู่ ลุ่มเดยี วกนั (แบง่ หญิง 5 คน เปน็ 4,1 ชาย 3 คนไมต่ อ้ งแบ่ง) ∴ ตอบ 5 × 3 ! = 30 วิธี (96.2) คแู่ รกเลือกสที จ่ี ะใช้ซา้ํ → ⎡ 8! − 5! ⎤ × 2! = 60 ได้ 5 แบบ แล้วกท็ าลงไป ⎣⎢(4 !)22 ! 4 ! 1!⎥⎦ เหลอื 4 ด้านรอบๆ (105) กข + 8 คนสลับกัน สลับสีเปน็ วงกลม ได้ จดั คน 8 คนสลบั กนั ได้ 4!4! x 2 แบบ 3 ! ÷ 2 แบบ [คูณ 2 เพราะมี 2 กรณ]ี [หาร 2 เพราะวงกลมพลกิ ดา้ นแลว้ เกิดสภาพเดิม] และให้ ก, ข ไปอย่ใู นชอ่ งวา่ ง ได้ 9 ชอ่ ง ∴ ตอบ 5 × 3 ! = 15 วิธี ดงั นน้ั ตอบ 4 ! 4 ! × 2 × 9 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 356 ความนา จะเปน (106) เลอื กตรงกลางวงได้ 10 แบบ (116) S = {H, T} → n(S) = 2 นอกนนั้ จัดแบบวงกลมได้ 8! แบบ จงึ ตอบ 10 ⋅ 8! ∴ เหตกุ ารณ์ E จะมี 22 = 4 แบบ ได้แก่ ∅, {H}, {T}, {H, T} (107) คดิ เหมือนขอ้ 70 → (117) P(A ∪ B) = 0.48 + 0.32 − 0.25 = 0.55 แบ่ง 5 เปน็ 1,1,3 หรอื 1,2,2 P(A − B) = 0.48 − 0.25 = 0.23 ตอบ ⎡ 5! 5! ⎤ ⎢⎣(1!)22 ! 3 ! + 1!(2 !)22 !⎥⎦ × 3! P(A') = 1 − 0.48 = 0.52 (108) • กรณไี มซ่ ้าํ เลย = 1 แบบ P(B') = 1 − 0.32 = 0.68 • กรณีซา้ํ 1 คู่ = ⎜⎝⎛51 ⎠⎟⎞ ⎝⎜⎛ 4 ⎟⎞⎠ = 20 แบบ (118.1) P(A ∩ B) = 0.15 3 (118.2) P(A ∪ B) = 0.4 + 0.55 − 0.15 = 0.8 (118.3) P [(A ∪ B)'] = 1 − 0.8 = 0.2 • กรณีซาํ้ 2 คู่ = ⎝⎜⎛ 52 ⎠⎞⎟ ⎛⎝⎜ 3 ⎠⎞⎟ = 30 แบบ 1 (119) ให้ M = คณติ ศาสตร,์ C = เคมี จะไดว้ า่ .. ∴ ตอบ 51 วธิ ี (119.1) P(M ∪ C) = 2 + 4 − 1 = 31 (109) แบง่ 6 คนเปน็ 2,2,1,1 และอีกกล่มุ เปน็ สามี 3 9 4 36 ภรรยา (2 คน) (119.2) P [(M − C) ∪ (C − M)] จะได้ 6! × 3!2! = ⎛2 − 1⎞ + ⎜⎝⎛ 4 − 1 ⎟⎠⎞ = 11 (2 !)22 !(1!)22 ! ⎝⎜ 3 4 ⎠⎟ 9 4 18 (3!2! คือการสลบั เขา้ หอ้ ง) (119.3) P [(M ∪ C)'] = 1 − 31 = 5 36 36 (110) เลือกหนา้ ทจี่ ะชนกนั ได้ 6 x 6 แบบ (120) แต้ม 1 2 3 4 5 6 จากน้ันแต่ละวิธยี ังบิดได้ 4 แบบ จึงตอบ 6 × 6 × 4 โอกาส x 2x x 2x x 2x (111) ก ข ... ก ข 1 n−2 ∴ x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 → x = 1 / 9 เลอ่ื นจากหัวถงึ ทา้ ย ได้ n −2 ตาํ แหนง่ (120.1) แต้มคู่ = 2x + 2x + 2x = 6/9 = 2 / 3 (120.2) แต้มคี่ = x + x + x = 1 / 3 ในแต่ละตาํ แหน่งยังสลบั ก,ข ได้อกี 2 แบบ (120.3) จํานวนเฉพาะ (2,3,5) ตอบ 2 (n − 2) (112) วิธที ้ังหมด - วิธที ่ี E ∩ B = ∅ = 2x + x + x = 4 / 9 = 26 − 23 = 56 (120.4) 1 หรอื คู่ = x + 2x + 2x + 2x = 7 / 9 {1, 2, 3, ..., 6} {2, 4, 6} (121) วธิ ที ั้งหมด n(S) = 6 × 6 = 36 เรอื่ งของผลบวก ตอ้ งนับจาํ นวนเอาโดยตรง (113) ข้อนใี้ หศ้ กึ ษาจากเรอ่ื งแถมทา้ ยบทนะครบั :] (121.1) ผลรวมเปน็ 8 ได้แก่ (113.1) 24×4 = 216 (2, 6) (6, 2) (3, 5) (5, 3) และ (4, 4) (113.2) (24 − 1)4 = 154 (113.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 44 ∴ ความนา่ จะเป็น = 5 / 36 (113.4) 4 × 3 × 2 × 1 = 4 ! (114) S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (121.2) ผลรวมเป็น 2,3,5,7,11 ได้แก่ (115) ถ้าลูกเตา๋ ตา่ งกนั จะมี 6 × 6 = 36 แบบ คือ (1, 1) (1, 2) (1, 3) ไปจนถงึ (6, 6) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2) (1, 6) (6, 1) (2, 5) แตว่ า่ ลกู เตา๋ ไมต่ ่างกัน ฉะนน้ั (1, 2) ถือว่าซ้ํากับ (5, 2) (3, 4) (4, 3) (5, 6) (6, 5) (2, 1)... ฯลฯ ผลลพั ธ์จะลดลงเหลอื เพียง 21 แบบ (ลองเขยี นแลว้ นบั ดู จะรวู้ า่ ทาํ ไมไมใ่ ช่ 18) ∴ ความนา่ จะเป็น = 15 / 36 = 5 / 12 (121.3) ผลรวมเปน็ คู่ มีวธิ อี ยู่ 6 × 3 = 18 แบบ ∴ ความนา่ จะเป็น = 18 / 36 = 1 / 2 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (122) วิธที ้งั หมด = 10! (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3!3!2! (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (122.1) มอง T เปน็ 1 ตวั ตดิ กนั จะได้ 8! (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 3!2! (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) (ไมต่ ้องสลบั T ภายใน, เพราะ T ถอื วา่ เหมอื นกนั ) จะได้ ความนา่ จะเปน็ = 8! / 3!2! = 1 10 ! / 3 ! 3 ! 2 ! 15 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 357 ความนาจะเปน (122.2) วิธที ง้ั หมด - T ตดิ กัน 3 ตวั - T ไมต่ ดิ เลย (125.5) น้อยกว่าศนู ยแ์ ละเปน็ คี่ เป็นไปได้ = 1− 1 − 7! ! × ⎝⎜⎛ 83 ⎞⎟⎠ = 1− 1 − 7 = 7 คอื + + + - (คที่ กุ ตวั ) = ⎛⎜⎝ 33⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 11⎟⎞⎠ ÷ ⎛⎜⎝ 94 ⎟⎞⎠ = 1 3!2 126 15 10 ! / 3 ! 3 ! 2 ! 15 15 15 (126) วิธที ัง้ หมด = ⎜⎛⎝62⎞⎟⎠ = 15 (123) วธิ ที ั้งหมด = ⎝⎛⎜52⎠⎟⎞ ⎜⎝⎛27⎞⎠⎟ วธิ ที ส่ี นใจ = 6 × 2 = 6 2! (123.1) ⎜⎝⎛22⎠⎞⎟ ⎛⎝⎜23⎟⎠⎞ ÷ ⎛⎜⎝52⎟⎠⎞ ⎛⎝⎜27 ⎠⎞⎟ = 1 70 (6 คอื ใครกไ็ ด,้ แต่ไม่วา่ คนแรกจะเป็นใคร คนทส่ี อง (123.2) ⎛⎝⎜ 3 ⎞⎠⎟ ⎛⎜⎝ 4 ⎞⎟⎠ ÷ ⎝⎛⎜ 52 ⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 7 ⎟⎠⎞ = 3 จะเหลอื เพียง 2 วธิ ,ี จากนนั้ หาร 2! เพอ่ื กาํ จัด 2 2 2 35 ลําดับท้ิงไป) ∴ ตอบ = 6 / 15 = 2 / 5 (123.3) วธิ ที ้ังหมด - วธิ ที ี่ไม่มแี ดงเลย = 1 − 3/ 35 = 32 / 35 → หรอื คดิ จาก ⎛⎝⎜23⎞⎟⎠ × 2! กไ็ ด้ (123.4) 1 − 1/ 70 = 69 / 70 (123.5) มี 3 กรณี คอื ดด/ขข ดข/ดข ขข/ดด เลือกชั้น ม.4,5,6 สลับเพศ ∴ จะได้ (127) ใช้ผลจากข้อ 108 ⎜⎛⎝ 22⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜ 4 ⎠⎞⎟ + ⎝⎛⎜ 21 ⎠⎟⎞ ⎜⎛⎝ 3 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 31 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 4 ⎠⎟⎞ + ⎜⎝⎛23⎟⎞⎠ ⎛⎝⎜23⎞⎠⎟ • ไม่ซํา้ เลย 1 แบบ • ซํ้า 1 คู่ 20 แบบ 2 1 1 = 29 • ซ้ํา 2 คู่ 30 แบบ ⎛⎝⎜52⎟⎠⎞ ⎜⎛⎝27 ⎞⎠⎟ 70 ∴ ตอบ 1 =1 1 + 20 + 30 51 (124) วธิ ที ั้งหมด = 5 × 5 × 5 (128) สปส.ทวนิ ามได้แก่ ⎜⎝⎛ 80 ⎠⎟⎞ , ⎛⎝⎜ 8 ⎞⎠⎟ , ⎜⎛⎝ 82 ⎠⎞⎟ , ..., ⎛⎝⎜ 88⎟⎠⎞ (124.1) ⎛⎜⎝51 ⎞⎟⎠ ÷ (5 × 5 × 5) = 1 1 25 ซ่งึ มี 9 ตวั และมคี า่ เทา่ กนั เปน็ คๆู่ 4 คู่ (124.2) วธิ ที ้งั หมด - ซา้ํ 3 - ไม่ซ้ําเลย (ตรงกลางคอื ⎛⎝⎜ 8 ⎞⎠⎟ ไมเ่ ท่ากับตัวอื่นเลย) = 1 − 1 − 5 × 4 × 3 = 12 4 25 5 × 5 × 5 25 → หยบิ 2 ตวั แลว้ ไมเ่ ท่ากนั คิดงา่ ยๆ จาก (124.3) 1 − 5 × 4 × 3 = 13 5 × 5 × 5 25 วธิ ที งั้ หมด - หยบิ 2 ตวั แล้วเทา่ กัน (ซึง่ มี 4 ค)ู่ (124.4) 5 × 4 × 3 = 12 = 1− 4 = 1 − 1/ 9 = 8/9 5 × 5 × 5 25 ⎛⎜⎝ 92 ⎞⎟⎠ (125) วิธที ง้ั หมด = ⎛⎜⎝ 9 ⎟⎠⎞ (129) U 4 กขค (125.1) ตอ้ งมศี ูนย์ → ⎝⎛⎜ 11⎞⎠⎟ ⎛⎜⎝ 8 ⎟⎠⎞ ÷ ⎝⎜⎛ 94 ⎟⎞⎠ = 4 ง 3 9 หาร4 หาร6 (125.2) ตอ้ งเปน็ + + + + หรอื + + - - ให้ F = หาร 4 ลงตวั และ S = หาร 6 ลงตวั → ⎛ ⎜⎛⎝ 6 ⎟⎞⎠ + ⎝⎜⎛ 62 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 22 ⎠⎟⎞ ⎞ ÷ ⎝⎛⎜ 94 ⎟⎠⎞ = 5 → ช้ิน ข คอื F ∩ S ⎝⎜ 4 ⎟⎠ 21 หาจาํ นวนจาก “หาร 12 (ค.ร.น.ของ 4 กับ 6) ลงตวั ” คือ 12, 24, 36, ..., 96 → 8 ตวั (125.3) ตอ้ งเปน็ + + + - เท่านน้ั → n(F) = 23, n(S) = 15 → ⎛⎝⎜63⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛21⎟⎞⎠ ÷ ⎜⎝⎛94⎞⎟⎠ = 20 63 หรือคดิ จาก 1 − 4 − 5 = 20 ก็ได้ ∴ n(F ∪ S) = 23 + 15 − 8 = 30 ตวั 9 21 63 → โจทย์ถาม “หาร 4 หรือ 6 ไมล่ งตัว” (125.4) การคณู กนั แลว้ เป็นจํานวนคู่ แปลวา่ ตอ้ งมี คือ ก + ค → ตอบ 1 − 8 / 30 = 11 / 15 เลขคอู่ ยา่ งนอ้ ย 1 ตัว แต่ถา้ คณู กนั ไดจ้ าํ นวนค่ี แสดง (130) จาก x2 < 21x → x (x − 21) < 0 วา่ เปน็ เลขค่ที งั้ หมด → B = {1, 2, 3, ..., 20} ∴ คิดจาก มากกวา่ ศนู ย์ - มากกวา่ ศูนยแ์ ละเปน็ ค่ี ซ่ึงพบวา่ มากกวา่ ศนู ยแ์ ละเปน็ คน่ี ้ัน เป็นไปไมไ่ ด้ และพบวา่ A ≠ 0 กเ็ มอ่ื (k − 4)(k − 6) − k ≠ 0 จงึ ตอบ 5 / 21 แก้สมการกาํ ลงั สอง ได้ k ≠ 3, 8 ดังนน้ั ตอบ 1 − 2 / 20 = 9 / 10 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 358 ความนา จะเปน (131) พจิ ารณาเฉพาะ 4 ชอ่ ง A-B-C-D (เพราะชอ่ ง คดิ แบบความนา่ จะเป็น แตล่ ะขนั้ ตอน อน่ื ไมม่ ผี ลตอ่ การคํานวณ) จะไดว้ ่า โอกาสทีแ่ ตล่ ะ โอกาสทจ่ี ะหยิบถกู ทุกครั้ง = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 ช่องจะเป็นสีแดง = 1 / 2 (จากการโยนหวั กอ้ ย) 432 24 ∴ ตอบ 1 × 1 × 1 × 1 = 1 (133) U ก + ข = 41% 2 2 2 2 16 ข + ค = 28% ก ข ค ง หรือ คดิ จากจํานวนวธิ ี 1 = 1 2 × 2 × 2 × 2 16 หดื หอบ ก + ข + ค = 60% (คือสีแดงลว้ น 1 วธิ ี และวิธที ้งั หมดสตี ่างๆ 16 วธิ ี) P{หดื อยา่ งเดยี ว} = 60% − 28% = 32% (132) คิดแบบการนับ (ช้ินสว่ น ก) วธิ ที ี่ถกู ตอ้ ง มี 1 วธิ ี และวิธที ั้งหมดมี 4x3x2x1 วธิ ี จะได้ 1 = 1 4 × 3 × 2 × 1 24 eÃèo× §æ¶Á เรอื่ งของการนับจาํ นวนความสัมพนั ธ์ จาํ นวนฟงั กช์ นั .. (1) ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B ... จะใช้ A ก่ีตวั กไ็ ด้ และ B ก่ตี ัวกไ็ ด้ ดงั นน้ั เราสรา้ งเซต AxB ข้นึ กอ่ น ซึง่ มสี มาชิกเปน็ คอู่ ันดบั จาํ นวน n(A)xn(B) คอู่ นั ดับ แล้วความสมั พนั ธ์จาก A ไป B จะเลือกคูอ่ นั ดบั ไปจากเซตนี้กค่ี ู่อนั ดบั ก็ได้ เปรยี บเหมอื นสบั เซตของ AxB นนั่ เอง จะมที ัง้ หมด 2n(A)×n(B) แบบ (2) ความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่งบงั คบั วา่ โดเมนเทา่ กับ A ... แปลวา่ ตอ้ งใช้สมาชกิ A ใหค้ รบทกุ ตัว เราจะพจิ ารณาสมาชิกในโดเมนทลี ะตัว สมาชิกตัวหนึง่ สามารถจับคกู่ บั สมาชิกของ B กีต่ ัวกไ็ ด้ (แตไ่ ม่จบั เลย ไมไ่ ด้) สมาชิกตวั น้จี งึ เลอื กคไู่ ด้ 2n(B) − 1 แบบ แต่ตอ้ งใชส้ มาชกิ ทกุ ตวั ของ A ใหค้ รบ แสดงว่าตอ้ งคูณกนั n(A) ครงั้ ...ดงั นน้ั จะมที งั้ หมด (2n(B) − 1)n(A) แบบ (3) ฟังกช์ นั จาก A ไป B ... จะต้องใช้ A ให้ครบเสมอ แต่ใช้สมาชกิ B กี่ตวั ก็ได้ และดว้ ยความเปน็ ฟงั กช์ ัน สมาชกิ ใน A แตล่ ะตวั จงึ จับคสู่ มาชกิ B ไดเ้ พยี ง 1 ตัวเทา่ นน้ั คอื n(B) แบบ เราจงึ คดิ จาํ นวนฟงั กช์ นั โดยการคณู n(B) เปน็ จาํ นวน n(A) ครง้ั ... ดงั นั้นคาํ ตอบคอื (n(B))n(A) แบบ (4) ฟงั กช์ นั หนึง่ ต่อหนงึ่ จาก A ไป B ... นอกจากเงอื่ นไขของฟงั กช์ นั จาก A ไป B ในขอ้ ทีแ่ ล้ว ยังตอ้ งเพมิ่ เงอื่ นไขวา่ สมาชกิ ใน B ต้องไมถ่ ูกเลอื กซ้ํา (แสดงว่า n(B) ต้องไมน่ อ้ ยกวา่ n(A)) คําตอบทไี่ ด้คอื n(B ) ⋅ (n (B ) − 1 ) ⋅ (n( B) − 2) ⋅ ... n(A) ตัว (5) ฟงั ก์ชนั จาก A ไปทวั่ ถงึ B ... ใช้วิธลี บออก คอื จาํ นวนแบบทั้งหมดลบด้วยจาํ นวนแบบท่ีไมท่ วั่ ถงึ ตวั อย่าง กาํ หนด A = {1, 2, 3} , B = {2, 3} , และ C = {−1, 0, 2, 5} * ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B มีทง้ั หมด 23×2 = 64 แบบ * ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B ซ่ึงมีโดเมนเปน็ A มีท้งั หมด 3 × 3 × 3 = 27 แบบ * ความสมั พันธภ์ ายใน A (แปลว่าจาก A ไป A) มีทงั้ หมด 23×3 = 512 แบบ * ความสมั พันธภ์ ายใน A ซ่งึ มีโดเมนเปน็ A มที ัง้ หมด 7 × 7 × 7 = 343 แบบ * ฟังกช์ นั จาก C ไป B มที ั้งหมด 2 × 2 × 2 × 2 = 16 แบบ * ฟังก์ชนั จาก C ไปท่วั ถงึ B มีทง้ั หมด 16 − 2 = 14 แบบ * ฟงั ก์ชันหนงึ่ ตอ่ หน่งึ จาก A ไป C มีทั้งหมด 4 × 3 × 2 = 24 แบบ * ฟงั ก์ชันจาก A ไป C ซ่งึ f (x) < x (แปลว่าตวั หลงั < ตัวหนา้ ) มที ัง้ หมด 2 × 3 × 3 = 18 แบบ หมายเหตุ ไมค่ วรทอ่ งเปน็ สตู รเพราะในขอ้ สอบอาจจะเพิม่ เงอื่ นไขให้แปลกไป ควรทาํ ความเขา้ ใจในวธิ คี ดิ :] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 359 สถติ ิ stat º··Õè 17 ʶiµi สถิตศิ าสตร์ (Statistics) คอื วชิ าที่เกีย่ วกับการ เกบ็ รวบรวม นําเสนอ และวเิ คราะห์ข้อมลู เมื่อเรามี ข้อมลู (Data) จาํ นวนหนงึ่ เรามกั จําเป็นต้องวเิ คราะห์ ขอ้ มูลกอ่ นถงึ จะนําไปใช้ประโยชน์ (เพอ่ื การตดั สนิ ใจ หรอื การวางแผน) ต่อได้ การวเิ คราะหข์ อ้ มูลแบง่ เป็น การวิเคราะหเ์ บอื้ งตน้ เชน่ การแจกแจงความถ่,ี การ หาค่ากลาง, การหาคา่ การกระจาย และการวเิ คราะห์ ข้นั สงู เชน่ การประมาณค่า, การหาความสัมพนั ธ์ ระหวา่ งข้อมลู สองชุด โดยสิง่ ทไี่ ดจ้ ากการวเิ คราะหจ์ ะ เรียกวา่ สารสนเทศ หรอื ข่าวสาร (Information) ลกั ษณะของข้อมลู 1. ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) เป็นข้อมลู ทใี่ ช้แทนขนาดหรอื ปริมาณท่วี ัดเป็นตัวเลข เชน่ นํา้ หนัก สว่ นสูง คะแนนสอบ ... สามารถนําไปคาํ นวณหรอื เปรียบเทยี บไดโ้ ดยตรง อาจเปน็ ข้อมูลที่ ต่อเน่ือง (เช่นส่วนสงู จะมคี ่าทศนิยมเท่าใดก็ได้) หรือไม่ต่อเนอ่ื ง (เช่นยอดขายสนิ ค้า จะตอ้ งเปน็ จาํ นวนนับเท่าน้นั ) 2. ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) ไม่ไดเ้ ป็นตัวเลข เชน่ เพศ ศาสนา สี ความพึงพอใจ ... หากเราตอ้ งการวิเคราะหอ์ าจจะต้องกําหนดตวั เลขเพื่อใช้แทนข้อมลู เหลา่ น้ีก่อน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 360 สถิติ 17.1 การรวบรวมและนาํ เสนอข้อมูล ประเภทข้อมูลแบง่ ตามแหลง่ ทมี่ า 1. ขอ้ มลู ปฐมภูมิ (Primary Data) คือข้อมลู ทไี่ ดจ้ ากการสาํ รวจเองโดยตรง (ไม่ว่าจะเปน็ การนบั การวดั การทดลอง การสอบถาม การสงั เกต) ซ่ึงจะเก็บรวบรวมได้ใน 2 ระดับ คือ - ระดับประชากร (Population) เกบ็ ข้อมลู จากทกุ ๆ สงิ่ ทเ่ี ราสนใจ เรยี กว่า การสาํ มะโน (Census) - ระดบั ตัวอยา่ ง (Sample) เกบ็ ข้อมลู จากสิ่งที่สุ่มเลอื กมา เรยี กวา่ การสํารวจตัวอยา่ ง (Sample Survey หรอื Sampling) 2. ขอ้ มูลทุตยิ ภมู ิ (Secondary Data) คอื ข้อมลู ท่มี ีผู้รวบรวมไว้แล้ว (และมกั ผา่ นการวิเคราะห์ ขั้นต้นแล้วด้วย) ผูใ้ ชไ้ มต่ ้องทาํ การสาํ รวจเอง เช่น ขอ้ มูลจากหนว่ ยงานราชการ องค์กรของรัฐ รายงานและบทความจากหนังสอื การนาํ เสนอข้อมลู 1. ขอ้ ความ บทความ ใช้เม่ือข้อมูลทีต่ ้องการนาํ เสนอมีไมม่ ากนัก บางครัง้ อาจมกี ารจัดตัวเลขเรียงเป็นแถวคล้าย ตารางเพอ่ื ให้อา่ นง่าย 2. ตาราง 2.1 การนําเสนอข้อมลู โดยใช้ ตาราง (Table) เปน็ การจดั ระเบียบขอ้ มูลตามลักษณะตา่ งๆ ท่ีน่าสนใจ ทําให้เปรยี บเทียบขอ้ มลู ได้สะดวกกว่าการนาํ เสนอดว้ ยข้อความ ... ซงึ่ ตารางที่ใช้ อาจเปน็ ตารางแบบทางเดียว แบบสองทาง (จาํ แนกข้อมูลเป็นสองแถว) หรอื แบบหลายทาง (จาํ แนกยอ่ ยลง ไปมากกว่าสองแถว) 2.2 การสร้าง ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) คอื การจัดขอ้ มูลท่ี มอี ยใู่ หเ้ ป็นกลุ่มๆ โดยใหข้ อ้ มูลที่มีค่าใกลเ้ คียงกันอยู่ด้วยกัน เพ่ือความสะดวกในการวิเคราะหแ์ ละ การจดั เก็บ ... มขี ัน้ ตอนดังน้ี (1) แบง่ ค่าขอ้ มูลท่เี ปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดออกเปน็ ช่วงๆ ตามทีต่ ้องการ เรยี กแตล่ ะชว่ งว่า อนั ตร ภาคช้นั (Class Interval) เช่น “30 – 39”, “40 – 49”, “50 – 59” (2) พิจารณาวา่ บรรดาขอ้ มลู ที่มีนั้น มคี า่ ตกอยูใ่ นแตล่ ะช่วงเป็นปริมาณเทา่ ใด เรยี กปริมาณ ขอ้ มลู ทป่ี รากฏในแตล่ ะชว่ งวา่ ความถ่ี (Frequency) มกั เขยี นอนั ตรภาคชั้นและความถีข่ องแตล่ ะชั้น ในรูปตารางขนาดประมาณ 5 ถึง 20 ชั้น และมักกําหนดความกว้างแตล่ ะชนั้ เทา่ ๆ กัน ... แมโ้ ดยทว่ั ไปไม่จาํ เป็นตอ้ งเท่ากันกไ็ ด้ อีกท้งั อันตร ภาคชน้ั ตํ่าสดุ หรอื สงู สุดอาจเป็น อันตรภาคชน้ั เปดิ (Open-Ended Class Interval) ก็ได้ เช่น “น้อย กวา่ 30”, “มากกว่า 60” • ตัวอย่างเชน่ ขอ้ มูลนํ้าหนกั (กก.) ของนักเรียน 40 คนในช้ันเรียน ได้แก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 41 50 55 51 53 54 40 43 48 53 55 58 62 64 61 50 48 48 56 58 58 59 64 63 68 59 65 61 67 66 64 หากต้องการตารางแจกแจงความถี่ขนาด 6 ช้ัน อาจเขียนไดด้ งั น้ี Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 361 สถติ ิ นํา้ หนัก (กก.) จาํ นวนนกั เรยี น • อันตรภาคชัน้ ไดแ้ ก่ 40 – 44, 45 – 49, 50 – 5 54, 55 – 59, 60 – 64, และ 65 – 69 โดยมี 40 – 44 7 ความถ่ีของแตล่ ะช้นั ได้แก่ 5, 7, 9, 8, 7, และ 4 45 – 49 9 ตามลาํ ดบั 50 – 54 8 55 – 59 7 • คา่ ขอบลา่ ง (Lower Boundary) และ ขอบบน 60 – 64 4 (Upper Boundary) คือคา่ ก่งึ กลางระหว่างรอยต่อ 65 – 69 40 อันตรภาคชน้ั เช่น ช้ัน 45 – 49 มีค่า 44.5 เป็น ขอบลา่ ง ซึง่ คา่ 44.5 กเ็ ปน็ ขอบบนของช้ัน 40 – 44 ด้วย รวม • ความกว้างอันตรภาคชน้ั หาได้จาก “ผลต่างของขอบบนและขอบลา่ งของช้ันน้ัน” ในตวั อย่างน้ี ความกว้างแตล่ ะช้ันเปน็ 5 เท่ากนั หมด ความถี่สะสม (Cumulative Frequency; CF หรือ Σf) คือ “ผลรวมความถีช่ ั้นน้ัน กบั ความถี่ชนั้ ท่มี ีคา่ ข้อมูลต่าํ กว่าทงั้ หมด” ในบางครั้งอาจให้ความถ่ีสะสมเปน็ ผลรวมความถชี่ น้ั น้ันกบั ชน้ั ทคี่ ่าขอ้ มลู สงู กว่าท้งั หมดก็ได้ แตไ่ ม่เปน็ ทน่ี ยิ ม ความถ่ีสมั พัทธ์ (Relative Frequency) และ ความถ่ีสะสมสมั พัทธ์ (Relative Cumulative Frequency) กค็ ืออัตราสว่ นความถหี่ รือความถ่ีสะสม เทยี บกบั ความถี่รวม (N) ดังนน้ั ความถี่สมั พัทธ์ รวมทกุ ช้นั ต้องได้ 1 เสมอ และความถ่ีสะสมสัมพัทธข์ องชั้นสูงสดุ ก็ต้องเปน็ 1 เชน่ กัน (บางคร้ังจะใช้ เปน็ หน่วย “รอ้ ยละ” ซงึ่ จะปรับให้ผลรวมความถ่เี ป็นร้อยละ 100) 3. แผนภูมิ กราฟ การนําเสนอขอ้ มูลแบบนส้ี ะดวกทส่ี ุด เมอ่ื ต้องการผลสรุปในเชงิ เปรยี บเทยี บ 3.1 แผนภมู แิ ทง่ (Bar Chart) และ แผนภมู ิเชงิ เส้น (Line Chart) นิยมใชแ้ สดงขอ้ มูลที่ เปลี่ยนไปตามเวลา เช่น ยอดขายผลติ ภณั ฑ์ชนดิ หนึง่ ในแตล่ ะเดอื น ... ส่วน แผนภูมิวงกลม (Pie Chart) นิยมใช้แสดงสดั สว่ นข้อมลู เป็นร้อยละ เชน่ ส่วนแบง่ ตลาดของผลติ ภณั ฑ์แต่ละยห่ี อ้ 3.2 ฮสิ โทแกรม (Histogram) คือแผนภูมแิ ท่งส่เี หล่ยี มวางเรียงชดิ กนั ใช้แสดงข้อมลู จาก แตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน โดยใหแ้ กนนอนแทนค่าข้อมูล x เขยี นกํากบั ดว้ ยขอบบน-ขอบล่างของช้ัน หรือ ด้วย จุดก่งึ กลางช้ัน (Midpoint) กไ็ ด้ และให้แกนตัง้ แทนคา่ ความถี่ f … ความสูงของแทง่ สี่เหล่ียม จะแปรตามความถี่ช้นั น้ันๆ รปู หลายเหลี่ยมของความถี่ (Frequency Polygon) คือรปู ทีเ่ กดิ จากการลากเสน้ ตรงเชอื่ ม จุดกงึ่ กลางยอดแท่งส่เี หล่ยี มของฮสิ โทแกรมแต่ละแทง่ (โดยสมมติให้มีอันตรภาคชน้ั กอ่ นหนา้ และ หลังอันตรภาคชน้ั ทง้ั หมดทม่ี อี ยู่ ฝ่งั ละ 1 ชนั้ และลากเส้นตรงไปบรรจบแกนนอนท่ีกึง่ กลางชนั้ ทัง้ สอง นี้ เพอ่ื ให้เป็นรูปปดิ ที่มีพื้นท่ีเท่ากบั ฮสิ โทแกรมเดิม) เส้นโค้งของความถี่ (Frequency Curve) คอื รูปท่เี กิดจากการปรบั เสน้ ตรงในรปู หลาย เหล่ียมของความถี่ ใหเ้ ปน็ เสน้ โคง้ เรยี บ และพยายามให้พื้นท่ีใต้เสน้ โค้งมีขนาดใกล้เคียงพื้นทร่ี ปู เดิม ทส่ี ดุ ถา้ เราสร้างฮิสโทแกรมโดยใชค้ วามถีส่ ะสม และปรบั ให้เป็น เสน้ โคง้ ของความถ่สี ะสม (Ogive) จะได้เสน้ โคง้ ท่ีเร่ิมจาก 0 ขน้ึ ไปถึง N เสมอ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 362 สถิติ นาํ้ หนกั (กก.) ความถ่ี ความถ่ีสะสม f (ความถี่) 40 – 44 5 5 8 45 – 49 7 12 50 – 54 9 21 6 55 – 59 8 29 60 – 64 7 36 4 65 – 69 4 40 2 รวม 40 O 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 x (กก.) ฮสิ โทแกรม (1) แสดงนํ้าหนกั นกั เรียน 40 คน f (ความถ)่ี f (ความถ่)ี 8 8 6 6 4 4 2 2 O 42 47 52 57 62 67 x O 37 42 47 52 57 62 67 72 x (กก.) (กก.) ฮิสโทแกรม (2) แสดงนา้ํ หนกั นกั เรียน 40 คน รปู หลายเหลย่ี มของความถี่ แสดงนา้ํ หนักนกั เรยี น 40 คน f (ความถี่) cf (ความถี่สะสม) 8 40 6 30 4 20 2 O 37 42 47 52 57 62 67 72 x 10 x (กก.) O 37 42 47 52 57 62 67 72 (กก.) เส้นโค้งของความถี่ แสดงนาํ้ หนกั นกั เรยี น 40 คน เส้นโค้งของความถ่ีสะสม (Ogive) แสดงนาํ้ หนกั นักเรยี น 40 คน 3.3 แผนภาพลําตน้ -ใบ (Stem-and-Leaf Diagram) ใชจ้ ดั ข้อมูลให้เปน็ กลมุ่ เพอ่ื เห็นลกั ษณะครา่ วๆ และมีข้อดีคือข้อมลู ดิบแตล่ ะค่าไม่สญู หายไป (การ สร้างตารางแจกแจงความถี่ หรือสร้างฮิสโทแกรม จะทําให้รายละเอียดของข้อมลู สูญหายไป) การเขยี นแผนภาพลาํ ต้น-ใบ จะตดั เลขในหลกั ขวาออกกอ่ น (ก่ีหลกั แล้วแต่ความเหมาะสม) แล้วนําหลักทีเ่ หลอื มาเรียงไวเ้ ป็นลําต้นในแนวต้ัง จากนน้ั จงึ นาํ เลขท่ีตดั ออกมาเขยี นต่อทา้ ยในบรรทดั เดยี วกัน เรยี กว่าใบ (ควรเรียงลําดับจากน้อยไปมากด้วย เพ่อื ใหเ้ ปน็ ระเบียบและวิเคราะหข์ ้อมลู ได้ สะดวก) ในตัวอย่างข้างตน้ จะเขียนแผนภาพลําต้น-ใบ ได้ดงั นี้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 363 สถิติ ตน้ ใบ 4 001 235668889 5 0001 1 233455688899 6 1 1 234445678 จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวิเคราะห์ข้อมูลคร่าวๆ ไดว้ า่ (1) มองเป็นแผนภมู แิ ท่งแนวนอน จะได้วา่ ชว่ งข้อมลู 50 – 59 มีความถมี่ ากทีส่ ุด (2) ข้อมูลท่ตี ํ่าท่ีสุดคือ 40 และสูงท่ีสุดคือ 68 ... มีคา่ ต่างกันอยู่ 28 (3) ข้อมูลตรงกลางมีค่าประมาณ 53 หรือ 54 • ตัวอย่าง ข้อมลู คะแนนสอบของนกั เรียน 20 คนในห้อง ก และ ข ไดแ้ ก่ ก 158 162 164 161 150 148 180 156 145 158 ข 180 163 160 158 162 167 181 175 175 172 เราสามารถเขยี นแผนภาพของขอ้ มูลสองชุดน้ีดว้ ยกัน ดงั น้ี ใบ (หอ้ ง ก) ต้น ใบ (หอ้ ง ข) 5 8 14 0 6 8 8 15 8 1 2 4 16 0 2 3 7 17 2 5 5 0 18 0 1 จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวเิ คราะห์ขอ้ มลู คร่าวๆ ว่า (1) นกั เรยี นหอ้ ง ก ส่วนมากได้คะแนน 150 – 159 และห้อง ข สว่ นมากไดค้ ะแนน 160 – 169 (2) คะแนนต่าํ สุดของแตล่ ะห้อง คือ 145 และ 158, คะแนนสูงสุดคือ 180 และ 181 (3) ห้อง ก มี ขอ้ มูลทผ่ี ดิ ปกติ (Outlier) คอื 180 (4) คะแนนเฉล่ยี ของนักเรียนห้อง ข น่าจะสงู กว่าห้อง ก 17.2 คา่ กลางของข้อมูล คา่ กลางของขอ้ มูล (Central Value) เปน็ ตวั เลขทีใ่ ชแ้ ทนข้อมูลท้ังหมด จะช่วยใหว้ ิเคราะหข์ อ้ มลู ได้ อยา่ งกวา้ งๆ ซงึ่ ค่ากลางท่นี ยิ มใช้ มี 3 ชนดิ ได้แก่ คา่ เฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ ม 1. คา่ เฉล่ียเลขคณติ (Arithmetic Mean) คา่ เฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู x1, x2, x3, ..., xN ใชส้ ญั ลกั ษณ์ว่า X (อา่ นว่า x-bar) เป็นค่ากลางทใ่ี หค้ วามสําคญั กับ คา่ ของข้อมูล โดยตรง จงึ เหมาะกับชุดขอ้ มูลทม่ี คี า่ ใกล้เคียงกันทุกคา่ ไมม่ คี า่ ใดสงู หรือต่ําผดิ ปกติไปจากค่าอนื่ ๆ (มิฉะนัน้ ค่าทไ่ี ดจ้ ะไมม่ ีคุณภาพ) ข้อมูลทย่ี งั ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ (Ungrouped Data) N ∑ xi X = x1 + x2 + x3 + ... + xN = i=1 NN xi คอื ข้อมลู ตวั ที่ i, และมจี าํ นวนข้อมลู (Units) ทง้ั หมดเท่ากบั N ตวั Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 364 สถติ ิ ข้อมลู ทยี่ ังไมไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ คดิ แบบถว่ งนา้ํ หนกั (Weighted) N ∑ wixi X = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ... + wNxN = w1 + w2 + w3 + ... + wN i=1 N ∑ wi i=1 xi คอื ข้อมลู ตวั ที่ i, wi คอื นา้ํ หนักของขอ้ มูลตวั ที่ i, และมขี ้อมูลทง้ั หมด N ตวั ข้อมูลทีแ่ จกแจงความถ่ีแลว้ (Grouped Data) kk ∑ fixi ∑ fixi X = f1x1 + f2x2 + f3x3 + ... + fkxk = = f1 + f2 + f3 + ... + fk i=1 i=1 k N ∑ fi i=1 xi ก่งึ กลางช้ันท่ี i, fi คอื ความถ่ชี ้นั ที่ i, มีทัง้ หมด k ชัน้ , และมขี อ้ มลู ทงั้ หมด N ตวั ขอ้ มูลท่แี จกแจงความถี่แลว้ (สตู รลดทอน) k ∑ fidi X = a + ID เมอื่ D = i=1 N a คอื กึ่งกลางของช้ันใดชน้ั หนึ่งท่เี ลอื ก (ชน้ั ใดก็ได)้ , I คือความกวา้ งชนั้ (เทา่ กันทกุ ชน้ั ) di เป็นจํานวนเตม็ โดยใหช้ นั้ ทีม่ คี า่ a นน้ั เปน็ d = 0 และช้ันทมี่ ีขอ้ มลู น้อยลง d = −1, −2, ... ไปเรอื่ ยๆ สว่ นชน้ั ทขี่ ้อมลู สงู ขึน้ d = 1, 2, ... ไปเรือ่ ยๆ หมายเหตุ สญั ลกั ษณ์ ∑ (Capital Sigma) อ่านว่า Summation ใช้แทนผลรวมของพจนต์ ่างๆ โดยมตี วั แปร i กาํ กับไว้วา่ ในแตล่ ะพจน์จะแปรคา่ จากเท่าใดจนถงึ เทา่ ใด (เช่น i = 1 ถงึ N) สมบัติของ ∑ ท่คี วรทราบมีดังน้ี N N NN • ∑c = N⋅ c • ∑ (xi ±yi) = ∑ xi ± ∑ yi i=1 i=1 i=1 i=1 NN c เป็นคา่ คงที่ • ∑ c xi = c ⋅ ∑ xi i=1 i=1 ค่าเฉล่ยี เลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean) ของขอ้ มูลหลายๆ ชุด k ∑ Nixi Xc = (∑ x)c = N1x1 + N2x2 + N3x3 + ... + Nkxk = Nc N1 + N2 + N3 + ... + Nk i=1 k ∑ Ni i=1 xi คอื ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มลู ชดุ ที่ i, Ni คอื จาํ นวนข้อมลู ชุดท่ี i จากทงั้ หมด k ชุด หมายเหตุ อาจมองในแงว่ า่ เปน็ การนาํ คา่ เฉลยี่ แตล่ ะชุด มาถ่วงนาํ้ หนักด้วยจํานวนข้อมูลกไ็ ด้ ในตําราสถติ ิ นิยมใช้สญั ลกั ษณแ์ ทนค่าเฉลยี่ เลขคณติ เปน็ μ (Mu) และ X โดยให้นิยามว่า μ คอื ค่าเฉล่ยี เลขคณิตของข้อมลู ท้งั หมด (Population Mean) เป็นค่าแทจ้ รงิ และ X คอื ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของกลุ่มตัวอยา่ ง (Sample Mean) เป็นคา่ ประมาณ นั่นคอื ถา้ N คอื จํานวนข้อมลู ทัง้ หมด และถูกสุม่ มาเปน็ ตัวอยา่ งจาํ นวน n ข้อมูล จะได้ Nn ∑ xi ∑ xi μ = i=1 และ X = i=1 N n แต่ในหนังสอื เล่มน้ีจะใช้สญั ลกั ษณ์ X กล่าวรวมถึงค่าเฉล่ียเลขคณิตท้งั สองแบบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 365 สถิติ 2. มัธยฐาน (Median; Med) มัธยฐาน คอื คา่ ท่ีมีตาํ แหน่งอยกู่ ่งึ กลางของขอ้ มูลทง้ั หมด (เมื่อเรียงลําดบั ข้อมูลจากน้อยไป มาก หรือมากไปนอ้ ย) เป็นค่ากลางทีใ่ หค้ วามสาํ คญั กบั ลาํ ดับของขอ้ มลู (บอกให้ทราบวา่ มีขอ้ มูลทม่ี ี คา่ มากกว่าค่านี้ กับน้อยกว่าคา่ นี้ อยู่ปริมาณเท่าๆ กัน) จงึ ยังคงใช้ได้ดีกับขอ้ มลู ชดุ ทม่ี บี างค่าสงู หรือ ตาํ่ กวา่ ค่าอ่นื อยา่ งผดิ ปกติ ขอ้ มูลทย่ี งั ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ Med คอื ข้อมลู ในตําแหนง่ ท่ี N + 1 (ตําแหนง่ กง่ึ กลาง) 2 เม่อื มีข้อมลู ทงั้ หมด N ตวั และเรียงลาํ ดับแลว้ ขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถี่แลว้ ⎛N − ∑ fL ⎞ ขอ้ สงั เกต ใช้ N/2 โดยไม่ตอ้ งบวกหน่งึ ⎜ ⎟ Med = L + I ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ fMed L คอื ขอบลา่ งช้นั ที่มีมธั ยฐานอยู่ (ตวั ท่ี N/2) ซ่งึ ชนั้ นนั้ มีความกวา้ ง I และมคี วามถ่ีเปน็ fMed ∑ fL คอื ความถส่ี ะสมจนถึงขอบลา่ ง หมายเหตุ บางตําราใช้สญั ลกั ษณ์ Med = Xi 3. ฐานนยิ ม (Mode; Mo) ฐานนิยม คือค่าขอ้ มูลตวั ทป่ี รากฏบ่อยครงั้ ที่สดุ (มคี วามถี่สงู ท่สี ดุ ) เปน็ ค่ากลางทใี่ ห้ความ- สําคญั กับ ความถ่ขี องข้อมูล จะเหมาะสมทสี่ ุดกับข้อมูลเชงิ คณุ ภาพ เชน่ การลงคะแนนเลอื กตั้ง ขอ้ มูลทย่ี ังไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ Mo คือข้อมลู ตัวทมี่ ีความถีม่ ากที่สุด หมายเหตุ โดยทวั่ ไปจะเปน็ ฐานนยิ มร่วมกันไดไ้ ม่เกิน 2 คา่ ข้อมลู ท่ีแจกแจงความถแ่ี ล้ว Mo = L + I ⎛ dL dL dU ⎞ ⎜⎝ + ⎟⎠ L คือขอบล่างชั้นทม่ี ีฐานนยิ มอยู่ (ช้ันทค่ี วามถี่สงู สดุ ) ซ่งึ ทกุ ๆ ชนั้ มคี วามกว้าง I dL คือผลตา่ งความถี่ ชน้ั นน้ั กบั ชนั้ ทคี่ ่าขอ้ มูลน้อยลง (ขอบลา่ ง) dU คือผลต่างความถี่ ช้ันนนั้ กบั ชน้ั ทคี่ ่าขอ้ มลู มากขน้ึ (ขอบบน) หมายเหตุ บางตําราใชส้ ญั ลักษณ์ Mo = Xl • ตัวอยาง ขอมูลนาํ้ หนกั (กก.) ของนกั เรียน 9 คนเปน ดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคา เฉลี่ยเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม ของขอมูลชุดนี้ ตอบ ก. คาเฉลีย่ เลขคณิต X = 40 + 45 + 46 + 46 + 50 + 51 + 49 + 52 + 42 = 46.78 กก. 9 ข. มัธยฐาน (ตองเรียงลาํ ดับขอมลู กอ น กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52) อยูตาํ แหนง ก่งึ กลาง คือตําแหนง ที่ 9 + 1 = 5 S ¨u´·è¼Õ i´ºoÂ! S 2 ¤Ò (N+1)/2 e»¹µÒí æ˹§¢o§Áa¸Â°Ò¹ äÁã ª¤ Ò มีคา เปน Med = 46 กก. ¢o§Á¸a °ҹo´ÂµÃ§ ´§a ¹é¹a ËÒÁe¢ÂÕ ¹ÇÒ Med = (9+1)/2 = 5 ¹a¤Ãºa e¾ÃÒa·¨èÕ Ã§i Med = 46 ค. ฐานนยิ ม (ดูจากขอมลู ที่ปรากฏบอยคร้งั ที่สุด) มีคา เปน Mo = 46 กก. Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 366 สถิติ • ตัวอยา ง ขอ มลู นาํ้ หนกั (กก.) ของนักเรียน 10 คนเปน ดงั นี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 50 ใหหาคาเฉลีย่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม ของขอมลู ชดุ ดงั กลา ว ตอบ ก. คาเฉลีย่ เลขคณิต X = 40 + 45 + 46 + 46 + 50 + 51 + 49 + 52 + 42 + 50 = 47.1 กก. 10 ข. มธั ยฐาน (เรียงลําดับขอ มลู ไดเ ปน 40 42 45 46 46 49 50 50 51 52) อยูตําแหนงกึง่ กลาง คือตําแหนง ที่ 10 + 1 = 5.5 ... แปลวา ก่ึงกลางระหวา ง 46 และ 49 2 ดังนนั้ มีคาเปน Med = 46 + 49 = 47.5 กก. (ใชวธิ ีเฉลีย่ แบง ครง่ึ เอา) 2 ค. ฐานนยิ ม ในตวั อยา งนีม้ ีคาเปน Mo = 46 และ 50 กก. หมายเหตุ มีขอมลู ที่เปน ฐานนยิ มรว มกันได 2 คา (หากเกนิ จะถือวา ขอมูลชุดนีไ้ มมีฐานนิยม) • ตัวอยา ง ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนจํานวน 100 คน เปน ดงั นี้ คะแนน จํานวนนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน 20 – 29 2 60 – 69 30 30 – 39 9 70 – 79 15 40 – 49 13 80 – 89 10 50 – 59 20 90 – 99 1 ก. ใหหาคาเฉลีย่ เลขคณติ ของคะแนนสอบ วธิ ีคิด การหาคา เฉลี่ยเลขคณติ จะใชวธิ ีถว งนํ้าหนกั โดยตรงก็ได แตค ํานวณยากมาก นนั่ คือ X = 24.5(2) + 34.5(9) + 44.5(13) + ... + 94.5(1) = 60.2 คะแนน 100 (สงั เกต : คา ขอมลู ทีใ่ ชเปน ตัวแทนของแตละชั้น คือกง่ึ กลางของช้ันนั้น) เราสามารถใชวธิ ีลัดในการหาคา เฉลีย่ เลขคณติ ไดเสมอ โดยตอ งเพมิ่ ชอ ง d กอ นดังนี้ x fd x f d 0 20 – 29 2 -4 60 – 69 30 1 2 30 – 39 9 -3 70 – 79 15 3 40 – 49 13 -2 80 – 89 10 50 – 59 20 -1 90 – 99 1 หลกั ในการกําหนดคา d คือ เลือกช้ันใดกไ็ ด 1 ชั้น กาํ หนดคา d = 0 จากนนั้ พิจารณาช้ันที่มีคา ขอมูล (คา x ) สงู ขน้ึ ให d = 1, 2, 3, ... ตามลาํ ดับ สวนช้ันที่มีคาขอ มูล (คา x ) ตา่ํ ลง ก็ให d = − 1, −2, −3, ... ตามลําดบั เชนกัน วิธีคํานวณคา เฉลี่ยเลขคณิต คือ X = a + I D โดย a คือก่งึ กลางของช้นั ที่ d = 0 ดังน้นั ในตัวอยา งนี้ a = 64.5 ... I = ความกวา งช้นั = 10 ... และ D = − 4(2) − 3(9) − 2(13) − 1(20) + 0(30) + 1(15) + 2(10) + 3(1) = −0.43 100 จึงสรปุ ไดวา X = 64.5 + (10)(−0.43) = 60.2 คะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 367 สถติ ิ จะเห็นวา วธิ ีคํานวณ X ดวย D นี้ ทาํ ใหส ะดวกมากขน้ึ และผลลพั ธทีไ่ ดจะถูกตอ งเสมอ (ไมใ ชคาํ ตอบจาก การประมาณ) S ¢o ¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Òe©ÅÂèÕ eÅ¢¤³iµ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËà aÇa§ÇÒ µÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò ¹ (Áҡ仹o Â) ËÃo× äÁ 2. ¤Ò e©ÅèÂÕ eÅ¢¤³µi ·è¤Õ Òí ¹Ç³ä´ äÁ¨Òí e»¹µo §ÁÕ¤ÒoÂãÙ ¹ªé¹a ·èÕeÅo× ¡ d = 0 eÊÁoä» e¾ÃÒa·èÕ¨Ãi§¨aeÅ×o¡ªéa¹ã´¡çä´ ä´¤íÒµoºe·Ò¡a¹ (·Çèa ä»Áa¡eÅo× ¡ªé¹a ·¤èÕ ÇÒÁ¶ÊèÕ Ù§Ê´u e¾è×oãˤi´eÅ¢§Ò Â) 3. Êٵà X = a + I D ¹ãéÕ ªä ´e Áè×o¤ÇÒÁ¡ÇÒ § (I) ·u¡æ ª¹éa e·Ò ¡a¹e·Ò¹¹éa ข. ใหหามธั ยฐานของคะแนนสอบ วิธีคดิ มัธยฐาน อยูตาํ แหนง ที่ 100 = 50 (สาํ หรับขอ มลู ทีแ่ จกแจงความถี่แลว จะใช N ) 22 การหาคามัธยฐาน ตองเพิม่ ชอ งความถี่สะสมกอ น ดงั นี้ x f cf x f cf 20 – 29 2 2 60 – 69 30 74 30 – 39 9 11 70 – 79 15 89 40 – 49 13 24 80 – 89 10 99 50 – 59 20 44 90 – 99 1 100 จะพบวา มัธยฐาน (คือตวั ที่ 50) นั้นอยใู นชัน้ “60 – 69” (เพราะเกนิ ตัวที่ 44 แตย งั ไมถึง 74) ⎛N −∑ fL ⎞ + (10)(503−044) = ⎜ fMed ⎟ ดังน้ัน มธั ยฐาน Med = L + I ⎜ 2 ⎟ = 59.5 61.5 คะแนน ⎠ ⎝ L คือขอบลางของชนั้ ที่มธั ยฐานอยู คือ 59.5 ซึ่งชั้นน้นั มีความกวา ง I คือ 10 และมีความถีเ่ ปน fMed คือ 30 สวน ∑ fL คือความถีส่ ะสมที่ขอบลาง คือ 44 S ¢o ¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤ÒÁ¸a °ҹ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËÃaÇa§ÇÒ µÒÃÒ§¢o ÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò¹ (Áҡ仹o Â) ËÃo× äÁ 2. ãËʧa e¡µÇÒ¤Ò Áa¸Â°Ò¹·¤èÕ Òí ¹Ç³ä´ oÂãÙ ¹ªé¹a 60 – 69 ¨Ã§i ËÃo× äÁ ¶ÒäÁãªæ Ê´§ÇÒ¤i´¼i´ ค. ใหห าฐานนิยมของคะแนนสอบ วธิ ีคดิ ฐานนยิ มจะคาํ นวณงา ยทีส่ ดุ ในบรรดาคากลางทัง้ สามอยา ง เพราะไมต องเพมิ่ ชองในตาราง ... ฐาน นยิ มจะอยูในชน้ั ทีม่ ีความถี่สูงสดุ ในตวั อยางนีก้ ็คือชน้ั “60 – 69” คะแนน จํานวนนักเรียน คะแนน จาํ นวนนักเรียน 20 – 29 2 60 – 69 30 30 – 39 9 70 – 79 15 40 – 49 13 80 – 89 10 50 – 59 20 90 – 99 1 คาํ นวณจาก Mo = L + I ⎛ dL dL dU ⎞ = 59.5 + (10)( 10 ) = 63.5 คะแนน ⎝⎜ + ⎟⎠ 10 + 15 L คือขอบลางของชนั้ ที่ฐานนิยมอยู คือ 59.5 ... ซึ่งช้ันน้ันมีความกวา ง I คือ 10 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 368 สถิติ สว น dL คือผลตา งความถี่ ชนั้ นนั้ กบั ช้ันที่คา ขอมลู นอ ยลง (ขอบลา ง) คือ 30-20 = 10 dU คือผลตา งความถี่ ชน้ั นน้ั กบั ชน้ั ทีค่ า ขอมลู มากข้ึน (ขอบบน) คือ 30-15 = 15 S ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Ò°Ò¹¹iÂÁ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËà aÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢o ÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò ¹ (Áҡ仹o Â) ËÃo× äÁ 2. ãËÊ §a e¡µÇÒ¤Ò °Ò¹¹Âi Á·¤èÕ Òí ¹Ç³ä´ oÂãÙ ¹ªé¹a 60 – 69 ¨Ãi§ËÃo× äÁ ¶Ò äÁã ªæÊ´§ÇÒ¤i´¼i´ ง. เมือ่ นาํ ความถีใ่ นตารางไปสรา งเสนโคง ของความถี่ จะพบวามีการแจกแจงแบบใด (ขอ ง. นี้ ใชความรใู นบทเรียนสถติ ิ (2) ประกอบดวย) ตอบ มีวิธีคดิ สองแบบ คือดูแนวโนมจากคาความถี่ในตาราง พบวา ซีกขวาสงู กวาซีกซาย กไ็ ด หรือจะดู จากคา ทีค่ าํ นวณไวในขอ ก. ถึง ค. กไ็ ด ... X < Med < Mo แสดงวาเปนโคงเบซา ย จ. หากตัดอนั ตรภาคช้ัน 20 – 29 และ 30 – 39 ทิง้ ไป ใหเ หลือขอมูลเพียง 89 จํานวน แลว คาเฉลี่ยเลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยม จะเปลีย่ นแปลงอยางไร ตอบ คาเฉลีย่ เลขคณติ และมัธยฐาน จะเพิม่ ขน้ึ (คดิ งา ยๆ วา ถาเพิ่มขอมลู ในชน้ั ลา งสุดมากๆ คา เฉลีย่ เลขคณิตและมธั ยฐาน ยอ มถกู ดึงใหล ดลง ดงั นนั้ ในทางกลบั กัน ถาตดั ชน้ั ลา งสดุ ท้งิ ไป คา เฉลีย่ เลขคณติ และมธั ยฐาน ก็ยอ มเพม่ิ ขน้ึ ) สว นฐานนิยมนนั้ เทาเดมิ สังเกตไดจากสองชนั้ ลา งสุดไมไดม ีผลในการคํานวณฐานนยิ มเลย นอกจากการคํานวณจากขอ้ มลู โดยตรงแล้ว เรายงั สามารถหาค่ามธั ยฐานไดจ้ ากเส้นโค้งของ ความถสี่ ะสม และหาฐานนิยมไดจ้ ากฮสิ โทแกรม ดงั ภาพ cf (ความถส่ี ะสม) การหาค่ามธั ยฐานจาก f (ความถ)่ี การหาคา่ ฐานนยิ มจากฮสิ โทแกรม N เสน้ โคง้ ของความถี่สะสม N/2 O Med xO Mo x ในการคํานวณค่ากลาง จะพบวา่ ขอ้ มลู บางลักษณะไมเ่ หมาะสมกับค่ากลางบางชนิด ซ่ึงมี ผลสรปุ ไวค้ รา่ วๆ ดงั ตารางนี้ แจกแจง ยังไม่ ลักษณะข้อมลู คา่ เฉลยี่ เลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม แล้ว แจกแจง - ขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพ ไมเ่ หมาะสม ไม่เหมาะสม ใชไ้ ด้ - เกาะกลมุ่ กนั ปกติ ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ - บางคา่ ตา่ งไปจนผดิ ปกติ ไมเ่ หมาะสม ใชไ้ ด้ ใชไ้ ด้ - ทุกชนั้ กวา้ งเท่ากัน ใช้ได้ ใช้ได้ ใชไ้ ด้ - มีอันตรภาคชั้นเปิด ไม่เหมาะสม ใชไ้ ด้ ใช้ได้ - บางชนั้ กวา้ งไมเ่ ทา่ กัน ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ไมเ่ หมาะสม Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 369 สถิติ สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณติ (1) NX = N คา่ เฉลยี่ เลขคณติ คูณกบั จํานวนข้อมลู จะไดเ้ ป็นผลรวมขอ้ มลู ทัง้ หมด ∑ xi i=1 (2) N ผลรวมของคา่ เบ่ยี งเบนทัง้ หมดเปน็ ศูนย์ ∑ (xi − X) = 0 i=1 (3) N − K)2 จะน้อยทส่ี ดุ กเ็ มอื่ K = X ∑ (xi i=1 สมบัติของมธั ยฐาน N จะนอ้ ยทีส่ ดุ ก็เม่ือ K = Med (คล้ายข้อ 3 ของ X ) ∑ xi − K i=1 สมบัติของค่ากลางท้ัง 3 ชนิด (1) คา่ กลางที่ได้ จะมีค่าอยู่ระหว่างขอ้ มลู ที่น้อยท่ีสดุ กับมากท่สี ดุ เสมอ (2) ถา้ ขอ้ มูลชุด Y ทกุ ๆ ตัว สมั พันธก์ บั ขอ้ มูลชดุ X แต่ละตัว ตามสมการ yi = m xi + c จะได้วา่ (คา่ กลางของY) = m ⋅ (ค่ากลางของX) + c ด้วย เช่น Y = m X + c • ตัวอยา ง ใหหาคา a ที่ทําให 5 (a − xi)2 มีคา นอยทีส่ ดุ สาํ หรบั ขอ มูล x : 2, 3, 6, 12, 20 ∑ i=1 8 และหาคา b ที่ทาํ ให ∑ b − yi มีคา นอยทีส่ ดุ สําหรับขอ มลู y : 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 i=1 ตอบ คา a กค็ ือ X นัน่ เอง เพราะ 5 (a − xi)2 กเ็ หมือนกบั 5 (xi − a)2 ดงั นน้ั a = 8.6 ∑ ∑ i=1 i=1 88 สว นคา b กค็ ือ Medy เพราะ ∑ b − yi เหมือนกบั ∑ yi− b ดังนน้ั b = 7.5 i=1 i=1 • ตัวอยาง ในการวดั ความสงู ของนักเรียนกลุมหนง่ึ ไดค าเฉลีย่ เลขคณิตเปน 155 ซม. แตพ บวา ไมเ มตรที่ ใชใ นการวดั มีขอผิดพลาด สวนสงู จรงิ ของแตละคนตอ งเพมิ่ ขึ้น 3 ซม. แสดงวาคาเฉลี่ยเลขคณติ ทีแ่ ทจริง เปนเทา ใด ตอบ ขอ มลู ทกุ ตัวถกู บวก 3 ดังน้ัน คาเฉลีย่ เลขคณติ ก็บวก 3 เปน 158 ซม. • ตวั อยาง ในการวัดความสูงของนักเรียนกลมุ หนงึ่ ไดคา เฉลีย่ เลขคณิตเปน 155 ซม. แตพ บวาไมเ มตรที่ ใชใ นการวัดมีขอ ผิดพลาด สว นสงู จริงของแตล ะคนตอ งเพม่ิ ขน้ึ เปน 1.02 เทา แสดงวา คา เฉลี่ยเลขคณิตที่ แทจรงิ เปนเทาใด ตอบ ขอมูลทกุ ตัวถกู คูณ 1.02 ดงั นน้ั คาเฉลี่ยเลขคณิตกค็ ณู 1.02 เปน 158.1 ซม. • ตวั อยา ง สมการแทนความสมั พนั ธร ะหวางนา้ํ หนัก ( W : กก.) กบั สวนสูง (H : ซม.) ของนักเรียน กลุมหนึ่ง เปน W = H − 2 ถาทราบวา สวนสงู เฉลี่ย เทากับ 162 ซม. แลวนาํ้ หนกั เฉลีย่ จะเปน เทาใด 3 ตอบ เนื่องจาก W = H − 2 เสมอ ทกุ ๆ คา H 3 ดงั น้ัน W = H − 2 ดว ย ... สรปุ วา W = 162 − 2 = 52 กก. 33 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 370 สถติ ิ 4. ค่ากลางอื่นๆ (ไมน่ ยิ มใช)้ คา่ เฉลยี่ เรขาคณติ (Geometric Mean; GM) ใชแ้ ทนค่าเฉลี่ยเลขคณติ ในกรณที มี่ ขี ้อมูลบางตัวค่าสงู หรอื ต่ําผิดปกติ เพราะค่าเหล่านีม้ ผี ล เปล่ยี นแปลงคา่ เฉลีย่ เรขาคณิตไมม่ ากนกั ข้อมูลทีย่ ังไม่ได้แจกแจงความถ่ี N GM = N x1x2x3...xN = N ∏ xi i=1 xi คือขอ้ มลู ตวั ที่ i, และมขี อ้ มูลทง้ั หมด N ตัว โดยทุกขอ้ มลู เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก k x x∑ fi ข้อมลู ท่ีแจกแจงความถแี่ ลว้ GM = f1 f2 x3f3 ...xkfk =N k i=1 12 ∏ xifi i=1 xi กง่ึ กลางช้นั ท่ี i, fi คอื ความถชี่ ้ันที่ i, มีทง้ั หมด k ช้ัน, และมีข้อมลู ทง้ั หมด N ตวั โดยทกุ ขอ้ มลู เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก หมายเหตุ 1. สัญลักษณ์ ∏ (Pi) ใช้แทนผลคณู โดยมตี ัวแปร i กํากับไวว้ า่ ในแต่ละตวั คูณจะแปรคา่ จากเทา่ ใดจนถึงเทา่ ใด (เช่น i = 1 ถึง N) คลา้ ยสญั ลักษณ์ ∑ (Sigma) 2. นยิ มใชส้ มบตั ิของ log ช่วยในการคํานวณรากท่ี N ดังน้ี ... และlog GM1N log GM 1 N = n log xi = n fi log xi ∑ ∑ i=1 i=1 ค่าเฉลีย่ ฮาร์โมนิก (Harmonic Mean; HM) ใชห้ าค่าเฉลย่ี ของข้อมลู ทเี่ ป็นอัตราส่วน เชน่ กโิ ลเมตรต่อช่วั โมง, ราคาต่อชนิ้ ฯลฯ ข้อมูลทย่ี งั ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี HM = N = N +1 1+ 1 + ... + 1 N ⎛ 1 ⎞ x1 x2 x3 xN ⎜⎝ xi ⎠⎟ ∑ i=1 xi คือข้อมลู ตวั ที่ i, และมขี อ้ มูลทั้งหมด N ตวั k ∑ fi ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถีแ่ ลว้ f1 + f2 + f3 + ... + fk = i=1 =N HM = f1 + f2 + f3 + ... + fk k ⎛ fi ⎞ k ⎛ fi ⎞ x1 x2 x3 xk ⎜ xi ⎟ ⎜ xi ⎟ ∑ ⎝ ⎠ ∑ ⎝ ⎠ i=1 i=1 xi กึง่ กลางช้นั ที่ i, fi คอื ความถ่ชี น้ั ที่ i, มที ั้งหมด k ชัน้ , และมขี อ้ มูลทั้งหมด N ตวั กง่ึ กลางพสิ ยั (Midrange) ข้อมูลทย่ี ังไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี Midrange = xmax + xmin 2 xmax คือข้อมลู ทม่ี คี ่าสงู ทสี่ ุด, Xmin คอื ขอ้ มลู ทม่ี คี า่ ตา่ํ ทสี่ ดุ ขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถี่แล้ว Midrange = Umax + Lmin 2 Umax คอื ขอบบนของชนั้ ทีค่ า่ ขอ้ มูลสงู ทสี่ ดุ , Lmin คอื ขอบลา่ งของชน้ั ทค่ี า่ ขอ้ มลู ตาํ่ ทีส่ ดุ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 371 สถติ ิ แบบฝกึ หัด 17.2 (1) สว่ นสงู นักเรยี น 8 คน วดั ไดด้ ังนี้ 112, 120, 114, 122, 112, 110, 114, 112 ซม. จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ ม (2) [Ent’38] จากขอ้ มลู ทีก่ าํ หนดให้ ชดุ A: 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3 และชดุ B: 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดถกู หรอื ผดิ บา้ ง ก. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มูลสองชดุ นี้ เทา่ กัน ข. มธั ยฐานของขอ้ มลู สองชดุ น้ี เท่ากัน (3) [Ent’31] ข้อมูลชุดหนง่ึ ประกอบด้วย 5, 1, 3, 2, 5, 4, 2, 7, 8, 3, 2, 1, 9, 8, 3, 5, 6, 9, 4, 3 แลว้ ข้อมูลชดุ นี้มีการแจกแจงแบบใด ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ มเป็นเท่าใด (4) จงหาขอ้ มูล 4 จาํ นวน ซึ่งมีฐานนยิ มและมัธยฐานเปน็ 70 เทา่ กนั มคี า่ เฉล่ียเลขคณติ เป็น 75 และพิสัยเปน็ 80 (5) ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของคะแนนสอบของนกั เรียน 10 คน เป็น 65 คะแนน ถา้ นักเรยี น 7 คนแรก มีคะแนนสอบดังน้ี 55, 43, 67, 80, 85, 74, 38 คะแนน ส่วนอีก 3 คน มีคนได้คะแนนเท่ากนั 2 คน และมากกว่าอีกคนหนง่ึ อยู่ 11 คะแนน จงหามัธยฐาน และฐานนยิ มของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คนนี้ (6) [Ent’ต.ค.41] ข้อมูลชุดหน่ึงเรยี งลําดับจากน้อยไปมากได้ 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถา้ ฐานนิยมและมธั ยฐานเป็น 30 และ 40 ตามลาํ ดบั แล้ว ข้อมลู ชุดต่อไปนี้จะมีค่าเฉล่ียเลข คณติ เทา่ ใด 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 (7) [Ent’40] คะแนนสอบของนกั เรียนกลุ่มหนึ่งมเี สน้ โค้งความถี่เปน็ โคง้ เบ้ซ้าย โดยที่ 80 เปอร์เซ็นตข์ องนกั เรียนทงั้ หมดสอบได้คะแนนเท่ากนั คอื 75 คะแนน สมชายสอบได้คะแนนเท่ากับ คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบ โดยทคี่ ะแนนของสมชายต่างจากฐานนิยมอยู่ 6 คะแนน สมชาย สอบไดค้ ะแนนเทา่ ใด (8) ครอบครวั หนง่ึ มีบุตร 5 คน คนโตอายุ 15 ปี คนสุดท้องอายุ 4 ปี ค่าเฉลีย่ อายุบตุ รทกุ คนเปน็ 11 ปี มัธยฐานเปน็ 12 ปี หากบุตรคนที่ 4 อายุน้อยกว่าคนท่ี 2 อยู่ 4 ปี จงหาค่าเฉลย่ี ของอายุบุตร ในอีก 3 ปีข้างหน้า (9) [Ent’41] ความสัมพนั ธร์ ะหว่างกําไร (y) และราคาทุน (x) ของสนิ ค้าชนดิ หนง่ึ เปน็ y = 7 + 0.25 x ถา้ ราคาทนุ ของสนิ ค้า 5 ชิ้นเปน็ 32, 48, 40, 56, 44 บาท แลว้ จงหา ค่าเฉล่ียเลขคณิตของกําไรของสินค้า 5 ช้ินน้ี (10) [Ent’22] จากการวเิ คราะห์ความสมั พันธ์ระหว่างน้ําหนกั (กก.; W) กับสว่ นสงู (ซม.; H) ของ คน 15 คน พบว่าเป็นไปตามสมการ 3 W = H − 15 ถา้ คา่ เฉลยี่ ของส่วนสูง 6 คนแรกเป็น 159 ซม. และของอีก 9 คนทเี่ หลอื เป็น 156 ซม. ให้หาคา่ เฉล่ยี ของนํา้ หนักคน 15 คนนี้ (11) ขอ้ มูลชุดหน่งึ มี X เปน็ 11 ถา้ มีข้อมูลคา่ 29 เพิ่มอีกตวั จะทาํ ให้ X กลายเปน็ 13 ให้หาว่า เดิมมีข้อมูลอยู่กต่ี วั (12) ขอ้ มูล N จํานวน มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15 ภายหลังพบว่าอา่ นข้อมูลผิด คือจาก 21 อา่ นผิด เป็น 12 จึงทาํ การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ ใหมไ่ ด้เป็น 16 จงหาจํานวนข้อมลู Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 372 สถิติ (13) จากการหาตัวกลางเลขคณิต หรอื X ของขอ้ มลู 10 ตัว ไดค้ ่าเปน็ 12 แตป่ รากฏวา่ อ่านขอ้ มลู ผิดไป จากขอ้ มูลจริงคอื 3 แตอ่ า่ นเปน็ 8 ดังนน้ั ค่า X ทแี่ ท้จรงิ คอื เท่าใด (14) นํา้ หนกั เฉล่ยี ของนกั เรยี นชายเป็น 70 กก. นักเรยี นหญิงเป็น 55 กก. และน้ําหนกั เฉล่ียของ นกั เรยี นท้ังหมด 150 คน เปน็ 60 กก. ให้หาจาํ นวนนกั เรยี นชาย และนักเรียนหญิง (15) จากผลสอบของนักเรียน 30 คนในห้องหนงึ่ พบว่าคา่ เฉลยี่ ของคะแนนนกั เรียนชายเทา่ กับ จํานวนนกั เรยี นชายพอดี และคา่ เฉล่ยี ของคะแนนนกั เรียนหญิงกเ็ ท่ากับจํานวนนกั เรยี นหญิงดว้ ย หาก คา่ เฉลีย่ รวมท้งั หอ้ งเป็น 50/3 คะแนน และจาํ นวนนักเรยี นชายนอ้ ยกวา่ นักเรียนหญงิ จงหาจาํ นวน นักเรียนชาย (16) คนกลุ่มหนงึ่ เป็นชาย 40 คน และหญงิ 60 คน เงินรวมกัน 18,630 บาท ถ้าค่าเฉลย่ี ของเงินท่ี ผหู้ ญิงมนี อ้ ยกว่าคา่ เฉลี่ยของเงินท่ีผชู้ ายมี อยู่ 10 บาท จงหาผลรวมของค่าเฉลี่ยทง้ั สองนี้ (17) [Ent’41] ตารางตอ่ ไปน้ีเปน็ เกณฑ์การคิดคะแนนท่ผี สู้ อนกาํ หนดไว้ และผลการเรยี นของ นักเรยี นคนหนงึ่ ถา้ นักเรียนคนนไ้ี ด้คะแนนเฉล่ยี ตลอดภาคเป็น 79% แลว้ ใหห้ าคะแนนสอบปลาย ภาคทนี่ กั เรียนคนนีไ้ ด้รบั เกณฑ์ การบ้าน สอบย่อย สอบปลายภาค คะแนนท่ไี ด้ (100) คร้ังที่ 1 ครั้งที่ 2 30% 20% 20% 30% 92 84 63 (18) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ x1, x2, ..., x10 มีค่าเป็น 5, 6, a , 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลาํ ดับ โดยท่ี a < 15 ถ้าพิสยั ของขอ้ มูลชุดนค้ี ือ 12 b เป็นจํานวนจริงทท่ี าํ ให้ 10 มคี ่าน้อยทส่ี ดุ ∑ (xi − b)2 i=1 และ c เป็นจํานวนจรงิ ทท่ี าํ ให้ 10 xi − c มีคา่ น้อยทส่ี ุด แล้ว a + b + c มีคา่ เทา่ ใด ∑ i=1 (19) [Ent’มี.ค.43] ขอ้ มลู ชุดหน่งึ ประกอบด้วย x1, x2, ..., x20 โดยมสี มบัติดังนี้ 20 มีค่านอ้ ยท่ีสดุ เม่ือ a = 5 และ 20 − b)2 มีคา่ นอ้ ยที่สุดเมอื่ b = 8 ∑ xi − a ∑ (xi i=1 i=1 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดถูกหรอื ผดิ บ้าง ก. ขอ้ มลู ชดุ นี้มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตน้อยกวา่ มัธยฐาน ข. ผลรวมของข้อมลู ชุดนี้ท้งั หมด เท่ากับ 100 (20) กาํ หนดให้ 3 และ 3 หากต้องการให้ 3 − a)2 มีค่าน้อยทสี่ ุด ∑ (xi + yi) = 9 ∑ (xi − yi) = 7 ∑ (xi i=1 i=1 i=1 เท่าทีเ่ ปน็ ไปได้ a ตอ้ งมีคา่ เท่าใด (21) กาํ หนดข้อมลู ชุดหนงึ่ เป็น x1, x2, x3, ..., xN และกาํ หนดเงื่อนไขตอ่ ไปนี้ จงหาค่า X (21.1) 20 + 1)2 = 20 − 3)2 ∑ (xi ∑ (xi i=1 i=1 (21.2) 8 = 1 และ 8 = 9 ∑ (xi + 1)2 ∑ (xi + 2)2 i=1 i=1 (21.3) N =A และ N =B ∑ x2i ∑ (xi + 2)2 i=1 i=1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 373 สถิติ (22) ให้หาค่าเฉลีย่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม ของข้อมูลตารางแจกแจงความถ่ตี อ่ ไปน้ี (22.1) ขอ้ มูล ความถี่ (22.2) คะแนน ความถี่ 3 – 5 10 0 – 19 5 6 – 8 12 20 – 39 10 9 – 11 15 40 – 59 15 12 – 14 5 60 – 79 25 15 – 17 3 80 – 99 20 (22.4) อนั ตรภาคชั้น ความถ่ี (22.3) อันตรภาคชนั้ ความถ่ี 30 – 39 1 40 – 49 2 10 – 14 10 50 – 59 6 15 – 19 12 60 – 69 20 20 – 24 15 70 – 79 21 25 – 29 9 80 – 89 8 30 – 34 4 90 – 99 2 (22.5) อนั ตรภาคชน้ั ความถี่ รวม 60 0–9 5 10 – 19 8 (22.6) รายได้ (บาท) จาํ นวนคน 20 – 29 7 2,100 – 2,199 1 30 – 39 12 2,000 – 2,099 2 40 – 49 28 1,900 – 1,999 6 50 – 59 20 1,800 – 1,899 10 60 – 69 10 1,700 – 1,799 12 70 – 79 10 1,600 – 1,699 7 รวม 100 1,500 – 1,599 2 รวม 40 (22.7) ราคา (บาท) 90 – 94 95 – 99 100 – 104 105 – 109 110 – 114 จํานวนรา้ นค้า 5 20 30 35 10 (22.8) น้าํ หนกั (กก.) 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74 ความถีส่ ัมพัทธ์ 0.05 0.18 0.42 0.27 0.08 (23) [Ent’30] ความสัมพันธร์ ะหวา่ งค่าทส่ี ังเกตได้ กับร้อยละของความถสี่ ะสมสัมพทั ธ์ของค่าเหลา่ น้ี เปน็ ไปตามตาราง ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู x -4 -3 1 2 3 y 30 50 60 80 100 (24) จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ มของคะแนนสอบ จากผลสอบดังต่อไปนี้ น้อยกวา่ 10 คะแนน 5 คน น้อยกวา่ 50 คะแนน 60 คน นอ้ ยกวา่ 20 คะแนน 13 คน นอ้ ยกว่า 60 คะแนน 80 คน น้อยกว่า 30 คะแนน 20 คน นอ้ ยกว่า 70 คะแนน 90 คน น้อยกว่า 40 คะแนน 32 คน น้อยกวา่ 80 คะแนน 100 คน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 374 สถติ ิ (25) [Ent’มี.ค.42] เมอ่ื สร้างตารางแจกแจงความถข่ี องคะแนนของนักเรยี น 36 คน โดยใช้ความ กวา้ งแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันเปน็ 10 แลว้ ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอย่ใู นช่วง 50 – 59 ถ้า มีนักเรียนท่ีสอบได้คะแนนตาํ่ กวา่ 49.5 อยู่ 12 คน และตาํ่ กว่า 59.5 อยู่ 20 คน แลว้ มัธยฐาน ของคะแนนสอบมีค่าเท่าใด (26) [Ent’38] อายขุ องเด็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้ ถ้ามัธยฐานเป็น 7 ปแี ลว้ a มคี า่ เทา่ ใด อายุ (ปี) 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12 จํานวนเดก็ 3 a 6 4 (27) ตารางต่อไปนีแ้ สดงรายจา่ ยต่อเดอื นของครอบครัวจํานวน 100 ครวั เรอื น หากมัธยฐานเปน็ 49.5 แล้วค่า f1 , f2 เปน็ เทา่ ใด รายจ่าย (ร้อยบาท) 0 – 19 20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99 จํานวนครัวเรือน 14 f1 28 f2 15 (28) [Ent’35] ในการสอบวิชาภาษาไทยของนกั เรยี น 25 คน สมัยเป็นนักเรียนคนหนึง่ ท่ีเขา้ สอบ พบว่าได้ 62 คะแนน เป็นมธั ยฐานพอดี และมี 8 คนทไ่ี ด้สงู กวา่ 69 คะแนน ถ้ามกี ารจดั กลมุ่ คะแนนสอบเป็นชว่ งๆ กวา้ งเทา่ กนั และคะแนนของสมัยตกอยใู่ นอนั ตรภาคชัน้ 60 – 69 แลว้ จาํ นวนนักเรียนทส่ี อบไดใ้ นช่วง 60 – 69 คะแนน เป็นเทา่ ใด 17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล ในหัวข้อท่ีแล้วเราได้ศกึ ษาการหาค่ากลางของข้อมูล ซ่งึ เปน็ ตัวเลขท่ีใช้แทนคา่ ข้อมลู ทัง้ หมด ทนี่ ิยมใชม้ ี 3 ชนดิ ได้แก่ ค่าเฉล่ยี เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยม โดยท่ี มัธยฐาน เป็นค่าข้อมูลใน ตําแหน่งกง่ึ กลางเม่ือถูกเรียงลาํ ดบั จากนอ้ ยไปมากแล้ว ค่ามธั ยฐานบอกใหท้ ราบวา่ มีขอ้ มลู ที่ค่าสูง กวา่ ค่าน้ี และคา่ ตํา่ กว่าค่าน้ี อยู่เปน็ ปริมาณเท่าๆ กนั เมอื่ เรียงลําดับข้อมลู จากน้อยไปมากแลว้ นอกเหนอื จากการระบตุ าํ แหนง่ กึง่ กลางของขอ้ มูล (คือแบ่งขอ้ มูลออกเปน็ สองส่วนเทา่ ๆ กนั ) เรายงั สามารถระบุตาํ แหนง่ ใดๆ ของขอ้ มูลกไ็ ด้ (คอื แบง่ ข้อมลู ออกเป็นกสี่ ว่ นก็ได)้ ถา้ เราแบง่ ข้อมูลออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆ กัน จดุ แบ่งทั้งสามจดุ น้นั จะเรยี กวา่ ควอรไ์ ทล์ (Quartile) ท่ี 1 หรอื Q1 , ควอรไ์ ทลท์ ี่ 2 ( Q2 ), และควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 ( Q3 ) ตามลาํ ดบั ความหมายของควอรไ์ ทล์ท่ี 1 คอื มขี ้อมลู ทตี่ าํ่ กว่าคา่ นี้อยเู่ ป็นปรมิ าณ 1/4 และมากกว่าค่านอ้ี ยอู่ ีก 3/4 โดยประมาณ Med Q1 Q2 Q3 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 นอ้ ย x (ข้อมลู ) มาก การบอกตาํ แหนง่ ขอ้ มลู ที่นิยมใช้กนั มอี ีก 2 ชอ่ื นน่ั คือ เดไซล์ (Decile; D) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 10 ส่วน และ เปอร์เซน็ ไทล์ (Percentile; P) แทนการแบ่งข้อมลู เปน็ 100 ส่วน ทง้ั มัธยฐาน ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ เรียกวา่ ตาํ แหน่งสมั พัทธข์ องขอ้ มลู (Relative Standing) การคาํ นวณหาคา่ ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ตอ้ งการ เป็นแบบ เดยี วกบั การคาํ นวณหามธั ยฐาน ดงั สรปุ ได้ดังน้ี Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 375 สถติ ิ ข้อมูลท่ยี ังไม่ได้แจกแจงความถ่ี Qr คอื ขอ้ มลู ในตําแหน่งที่ r (N + 1) Dr คอื ข้อมลู ในตาํ แหนง่ ท่ี r (N + 1) 4 10 Pr คอื ข้อมลู ในตําแหนง่ ท่ี r (N + 1) 100 เมอ่ื มีข้อมลู ทงั้ หมด N ตัว และเรยี งลาํ ดับจากนอ้ ยไปมากแล้ว ข้อมลู ทีแ่ จกแจงความถ่แี ลว้ Qr = L + I ⎛ r N − ∑ fL ⎞ Dr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ ⎜ 4 fQr ⎟ ⎜ 10 fDr ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ ขอ้ สงั เกต ใช้ r N, r N, r N โดยไมต่ ้องบวกหนง่ึ ⎜ 100 fPr ⎟ 4 10 100 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L คอื ขอบล่างชน้ั ท่ีมคี วอร์ไทล์ (หรอื เดไซลห์ รอื เปอรเ์ ซน็ ไทล)์ ทตี่ อ้ งการอยู่ ซ่งึ ชัน้ นนั้ มคี วามกวา้ ง I และมคี วามถีเ่ ปน็ fQr (หรือ fDr หรอื )fPr ∑ fL คอื ความถส่ี ะสมท่ขี อบล่าง และสามารถหาคา่ ไดจ้ ากเสน้ โค้งของความถี่สะสม cf (ความถส่ี ะสม) ด้วยเช่นกัน ภาพด้านขวาเปน็ ตัวอย่างการหาคา่ ควอรไ์ ทลท์ ี่ 1, 2, และ 3 จากกราฟ N 3N/4 2N/4 N/4 O Q1 Q2 Q3 x (ขอ้ มูล) • ตัวอยา ง ขอมูลนา้ํ หนัก (กก.) ของนกั เรียน 9 คนเปน ดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหห าคามัธยฐาน ควอรไ ทลท ี่ 3 และเปอรเ ซน็ ไทลที่ 14 ของขอ มลู ชดุ ดงั กลา ว ตอบ (ตอ งเรียงลําดบั ขอมลู กอ น กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52) ก. มธั ยฐาน อยตู ําแหนง กึง่ กลาง คือตําแหนง ที่ 9+ 1 = 5 ... มีคาเปน Med = 46 กก. 2 ข. ควอรไ ทลท ี่ 3 อยตู ําแหนง ที่ 3 (9 + 1) = 7.5 ... มีคาเปน Q3 = 50 + 51 = 50.5 กก. 4 2 ค. เปอรเซน็ ไทลท ี่ 14 อยตู าํ แหนง ที่ 14 (9 + 1) = 1.4 ... มีคา เปน 100 กก.P14 = 40 + 0.4 (42 − 40) = 40.8 ขอสังเกต : เมื่อตาํ แหนงที่ตอ งการนนั้ ไมล งตวั (เปนทศนยิ ม) จะใชว ธิ ีเทียบสดั สว นเอา เชน ขอมลู ตาํ แหนงที่ 1.4 หาโดย นําขอมลู ตําแหนงที่ 1 มาบวกเพม่ิ ไป 0.4 ของระยะหาง S ¨u´·è¼Õ ´i ºoÂ! S ÊÁÁµÇi ÒÁ¤Õ aæ¹¹¢o§¹¡a eÃÕ¹oÂÙ 200 ¤¹ e»oÃe «¹ç ä·Å·èÕ 75 ËÁÒ¶§Ö Êoºä´· èÕ 150 ãªÃeÖ »ÅÒ ¤Ãºa ... ¶Ò¿§ e¼i¹æ ¡çeËÁ×o¹¨a㪠海¨èÕ Ã§i æÅÇ äÁã ª¹ a¤Ãaº e¾ÃÒae»oÃe«ç¹ä·Å¹ ¹éa eÃÕ§¨Ò¡¤aæ¹¹¹oÂä»ÁÒ¡ æµÊ oºä´·eèÕ ·Ò ã´¹¹éa eÃÕ§¨Ò¡¤aæ¹¹Áҡ仹o ©a¹¹éa µo §µoºÇÒÊoºä´· èÕ 50 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 376 สถิติ • ตวั อยา ง สว นสงู ของนักเรียนกลมุ หน่ึงเปนดังนี้ สว นสูง (ซม.) จาํ นวนคน ความถีส่ ะสม (กอ นศกึ ษาตวั อยางนี้ ใหทบทวนการหามธั ยฐานของ 150 – 154 5 5 ขอมูลแบบตาราง ในตัวอยา งหัวขอที่แลว) 155 – 159 10 15 ก. สมชายและสมหญิงเปน นกั เรียนในกลมุ 160 – 164 12 27 165 – 169 14 41 นี้ โดยสมชายมีสว นสูงอยใู นตาํ แหนงควอรไ ทลที่ 3 170 – 174 8 49 และสมหญิงมีสวนสงู อยูใ นตําแหนงเปอรเซน็ ไทลท ี่ 175 – 179 7 56 45 ดงั นน้ั สมชายสงู กวา สมหญงิ อยูเทาใด 180 – 184 4 60 วธิ ีคดิ การวัดตาํ แหนงของขอมูล (มธั ยฐาน ควอรไทล เดไซล และเปอรเซน็ ไทล) จะตอ งเพิม่ ชองความถี่ สะสม (ซึ่งในตารางนี้มีแลว ) ... ควอรไ ทลท ี่ 3 อยตู ําแหนง ที่ 3 × 60 = 45 4 จะพบวา ควอรไ ทลท ี่ 3 (คือตวั ที่ 45) นนั้ อยูในชน้ั “170 – 174” ⎛ 3N − ∑ fL ⎞ 169.5 + (5)(45 − 41) = ⎜ 4 ⎟ 8 = L + I ⎜ ⎟ = 172 fQ3 ⎠ ดังน้นั ซม.Q3 ⎝ * ขอสังเกต : ตาํ แหนงที่ตองการ (45) อยกู งึ่ กลางระหวา ง 41 กบั 49 พอดี จึงทาํ ใหข อมูลทีค่ าํ นวณได เปน ก่งึ กลางช้นั (ระหวาง 170 – 174) และจะเปน แบบนี้เสมอ ดงั นั้นถา พบวา ตาํ แหนง ทีต่ อ งการอยูต รงกลางพอดี กใ็ หตอบก่ึงกลางชนั้ ไดเ ลย ... ไมตองใชส ตู ร ตอมา หาเปอรเซน็ ไทลที่ 45 พบวา อยตู าํ แหนง ที่ 45 × 60 = 27 100 ซงึ่ ตาํ แหนง นีอ้ ยตู วั สุดทา ยของชนั้ “160 – 164” พอดี! จงึ ไดค าเปนขอบบนของชน้ั ดงั นน้ั P45 = 164.5 ซม. (ไมต อ งใชสูตรเชนกนั ) ถาลองคํานวณจากสตู รก็จะไดผ ลเทา กัน P45 = 159.5 + (5)(27 − 15) = 164.5 ซม. 12 สรปุ วา สมชายสงู กวา สมหญงิ อยู 172 − 164.5 = 7.5 ซม. ข. สว นสูง 159.5 เซนติเมตร คดิ เปนเดไซลท ีเ่ ทา ใด วิธีคิด สวนสงู 159.5 ซม. อยูข อบบนของชนั้ “155 – 159” พอดี แปลวามีจาํ นวนคนทีส่ วนสูงนอยกวานี้ อยู 15 คน และมากกวานีอ้ ยู (ที่เหลือ) 45 คน ดงั นน้ั สว นสูง 159.5 ซม. คิดเปน เดไซลท ี่ 15 × 10 = 2.5 60 (คือเทียบสดั สวน วา จาํ นวนคน 15 ใน 60 นนั้ คดิ เปน เทา ใดใน 10 สว น) แผนภาพชนิดหนึง่ ชว่ ยใหม้ องการกระจายของข้อมลู ในแต่ละสว่ นยอ่ ยๆ ได้ เรยี กว่า แผนภาพกล่อง (Box-and-Whisker Plot) ... เขยี นได้โดยอาศัยข้อมูลต่ําสดุ , ข้อมูลสงู สุด, และข้อมลู ในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 เชน่ นาํ้ หนกั (กก.) ของนักเรยี น 9 คนได้แก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 พบว่า xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 , และ xmax = 52 จะเขียนแผนภาพไดด้ ังนี้ (บรเิ วณ 40 – 43.5 และ 50.5 – 52 เรียกวา่ หนวด หรือ Whisker, บริเวณ 43.5 – 50.5 เรยี กว่ากลอ่ ง หรือ Box) 40 42 44 46 48 50 52 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 377 สถิติ ทาํ ใหเ้ ราทราบว่า (1) ขอ้ มูลในชว่ ง 40 – 43.5 และในชว่ ง 50.5 – 52 มปี ริมาณเท่ากนั (2) ขอ้ มูลในช่วง 43.5 – 50.5 มีปรมิ าณเป็นครง่ึ หนงึ่ ของท้งั หมด คือ 40 – 52 (3) ขอ้ มูลในชว่ ง Q2 – Q3 มกี ารกระจายมากทสี่ ุด และช่วง Q3 – Q4 มกี ารกระจายน้อยท่สี ุด แบบฝกึ หัด 17.3 (29) “สมพรสอบไดค้ ะแนนคิดเป็นเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 80 จากจาํ นวนผ้สู อบ 4,000 คน” ขอ้ ใดถูกต้อง ก. สมพรสอบได้ที่ 80 ข. สมพรสอบได้ 80% ของคะแนนเต็ม ค. ผ้ทู ่ไี ด้คะแนนนอ้ ยกว่าสมพร มปี ระมาณ 80 คน ง. ผูท้ ีไ่ ดค้ ะแนนมากกว่าสมพร มีประมาณ 800 คน (30) ผลคะแนนสอบของนักเรียน 15 คนเป็นดงั น้ี 16, 19, 32, 30, 4, 9, 4, 12, 20, 26, 12, 31, 20, 17, 24 จงหาคะแนนที่ตรงกบั ควอรไ์ ทล์ที่ 3, เดไซล์ที่ 6, และเปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 80 (31) จากข้อมูลชุดหนึ่งได้แก่ 4, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 19, 23 จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของ ,P10 D2 , P60 และ Q3 (32) ขอ้ มูลท่ีเรียงลาํ ดับแลว้ เป็นดังน้ี 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, x, 23, 24, 27, 28, 30 ถ้าทราบว่า D6 = 20 แล้วจงหาค่า x (33) กําหนดข้อมูลชุดหนง่ึ เป็น 28, 15, 19, 11, 29, 12, 27, 24, 30 จงหาวา่ (33.1) 28 คดิ เป็นเปอร์เซน็ ไทล์ทเี่ ทา่ ใด (33.2) 15 คิดเป็นควอร์ไทล์ที่เทา่ ใด Y (ความถสี่ ะสม) (34) ผลสอบของนกั เรียน 32 คน เขียนเป็น 32 256 X (คะแนน) กราฟของความถี่สะสมได้ดงั ภาพ โดย O1 เส้นโค้งนีต้ รงกบั สมการ Y = 4 log2 X จงหาวา่ ควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 กบั เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 50 มคี า่ ต่างกนั อย่เู ท่าใด นํ้าหนัก (กก.) จาํ นวน (คน) (35) จากการสาํ รวจนํา้ หนักของนักเรยี นได้ผลดงั ตาราง จงหาเดไซลท์ ่ี 6 และเปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 92 31 – 40 3 41 – 50 7 51 – 60 24 61 – 70 10 71 – 80 5 81 – 90 1 คะแนน จํานวนคน (36) ผลการสอบของนักเรยี น 40 คนเป็นดังตาราง หาก 30 – 39 2 อาจารยต์ ้องการตดั เกรดเพยี ง 3 เกรดคอื A, B, F โดย 40 – 49 5 50 – 59 6 ต้องการใหเ้ กรด A มีจํานวนนักเรียน 20% เกรด B มีจาํ นวน 60 – 69 40% และท่ีเหลือไดเ้ กรด F ถามว่าจะต้องตัดเกรดทคี่ ะแนน 11 70 – 79 11 เทา่ ใด และหากได้ 71 คะแนนจะได้เกรดใด 80 – 89 4 90 – 99 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 378 สถิติ คา่ จา้ ง (บาท) จาํ นวนคน (37) [Ent’37] กําหนดค่าจ้างรายวันของคนงานกลมุ่ หน่งึ มกี าร แจกแจงดงั ตาราง ถา้ ขอ้ มลู ชุดนมี้ ีคา่ เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 25 เป็น 81 – 85 1 100.5 บาท และควอร์ไทลท์ ี่ 3 เปน็ 110.5 บาทแล้ว จํานวน 86 – 90 3 คนงานท่ีได้ค่าจา้ งรายวนั ต่าํ กวา่ 105.5 บาท เท่ากับเท่าใด 91 – 95 x 96 – 100 5 101 – 105 8 106 – 110 y 111 – 115 10 116 – 120 4 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล พจิ ารณาข้อมูลสองชดุ ได้แก่ ชุดท่ี 1; 8, 10, 12, 20, 5, 1, 7, 7 มคี า่ เฉล่ียเลขคณิต 7.5 และชุดท่ี 2; 8, 7, 7, 8, 7, 8, 8, 7 มีคา่ เฉล่ียเลขคณติ 7.5 เท่ากัน จะเหน็ ว่าคา่ กลางของข้อมลู นนั้ ไมส่ ามารถบอกลกั ษณะขอ้ มูลชดุ ตา่ งๆ ได้อย่างสมบูรณ์ ควรใช้อีกคา่ หนง่ึ รว่ มกันด้วย น่ันคือค่า การกระจาย (Dispersion) คา่ การกระจายย่ิงมาก แสดงวา่ ข้อมลู ย่งิ แตกตา่ งกัน ไม่เกาะกล่มุ กัน เชน่ ในตัวอย่างข้างตน้ ข้อมลู ชุดที่ 1 จะมคี ่าการกระจายมากกว่าชดุ ที่ 2 การวดั การกระจายแบ่งเปน็ 2 ประเภท คอื การกระจายสมั บรู ณ์ (Absolute Variation) ซ่งึ ใช้สําหรับข้อมูลชดุ น้ันเพียงชดุ เดยี ว และการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) ซึ่งใช้ เปรยี บเทียบการกระจายระหว่างขอ้ มลู สองชดุ ได้ การกระจายสัมบรู ณ์ทีน่ ิยมใช้ มี 4 แบบ ดังน้ี 1. พสิ ัย (Range) เปน็ คา่ ทว่ี ัดได้รวดเรว็ แต่จะมขี ้อผดิ พลาดมากหากข้อมลู บางจํานวนมคี ่าสูงเกินไป หรอื ต่ําเกนิ ไปแบบ ผิดปกติ จงึ เหมาะกับการวดั โดยคร่าวๆ ทีไ่ ม่ตอ้ งการความแม่นยาํ มากนัก ข้อมลู ท่ียังไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี Range = xmax − xmin xmax คือข้อมลู ท่มี คี ่าสงู ทส่ี ดุ , xmin คอื ขอ้ มูลท่มี ีคา่ ตาํ่ ทีส่ ดุ ขอ้ มลู ทีแ่ จกแจงความถแี่ ลว้ Range = Umax − Lmin Umax คือขอบบนของชน้ั ทค่ี า่ ขอ้ มลู สงู ที่สดุ , Lmin คือขอบลา่ งของชน้ั ทคี่ า่ ข้อมูลตาํ่ ทส่ี ดุ 2. สว่ นเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ (Quartile Deviation; QD) บางครงั้ เรยี กวา่ ก่งึ พิสยั ควอร์ไทล์ (Semi-interquartile Range) ถงึ แมว้ า่ การวัดท่ีได้จะไม่ละเอียดนัก เพราะใชเ้ พียงขอ้ มลู ทีใ่ กลเ้ คยี งกับควอรไ์ ทลท์ ี่ 1 และ 3 เทา่ น้นั แต่ก็มีส่วนดีเน่ืองจากใชไ้ ดก้ ับการแจกแจงความถที่ ี่มอี ันตรภาคชั้นเปดิ และใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มลู ชุดที่มีบาง จาํ นวนคา่ สูงหรือตํ่าเกนิ ไปแบบผิดปกติ ขอ้ มูลทยี่ งั ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ หรอื ขอ้ มูลทแี่ จกแจงความถแี่ ลว้ QD = Q3 − Q1 2 Q3 คอื ขอ้ มลู ในตาํ แหนง่ ควอรไ์ ทล์ที่ 3, Q1 คือขอ้ มลู ในตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 379 สถิติ 3. สว่ นเบีย่ งเบนเฉลยี่ (Mean Deviation; MD หรอื Average Deviation) เป็นคา่ ท่วี ัดได้ละเอยี ดกวา่ สองแบบแรกเพราะคํานวณจากขอ้ มลู ทกุ ตวั แตม่ ีข้อเสียท่ีการคํานวณ ยงุ่ ยากกว่า ขอ้ มลู ที่ยังไมไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ MD = x1 − X + x2 − X + ... + xN − X N N ∑ xi − X = i=1 N xi คือขอ้ มลู ตวั ท่ี i จากทง้ั หมด N ตัว, X คอื ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มลู ขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถแ่ี ลว้ MD = f1 x1 − X + f2 x2 − X + ... + fk xk − X k f1 + f2 + ... + fk ∑ fi xi − X = i=1 N xi กง่ึ กลางชนั้ ท่ี i จาก k ช้ัน ซึ่งมคี วามถี่ fi , และมขี ้อมลู ท้งั หมด N ตัว, X คอื คา่ เฉลีย่ เลขคณติ 4. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation; SD หรอื s) เปน็ ค่าที่นิยมใชม้ ากท่สี ดุ เนื่องจากมีความละเอียด เช่อื ถือได้ สามารถคาํ นวณได้ง่ายกวา่ ส่วน เบย่ี งเบนเฉล่ยี (โดยใช้สูตรทจ่ี ดั รูปแลว้ ) และนําไปใชใ้ นการวิเคราะห์ข้อมูลข้ันสูงได้ ขอ้ มลู ท่ียงั ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี s= (x1 − X)2 + (x2 − X)2 + ... + (xN − X)2 = N ∑ (xi − X)2 i=1 NN หรือจดั รปู ไดว้ ่า s = N ∑ x2i i = 1 − X2 N xi คอื ข้อมลู ตวั ที่ i จากทง้ั หมด N ตัว, X คือค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มูล ข้อมูลท่ีแจกแจงความถีแ่ ล้ว s= f1(x1 − X)2 + f2(x2 − X)2 + ... + fk(xk − X)2 = k ∑ fi(xi − X)2 i=1 f1 + f2 + ... + fk N N N k ∑ fidi หรอื จดั รปู ได้ว่า s = ∑ fix2i ∑ fid2i เมื่อ D = i=1 i = 1 − X2 = I ⋅ i = 1 − D2 N N N xi กึง่ กลางชั้นที่ i จาก k ชน้ั ซ่ึงมคี วามถี่ fi , และมีข้อมูลทัง้ หมด N ตวั , X คอื คา่ เฉลย่ี เลขคณิต di เป็นจํานวนเต็ม โดยใหช้ นั้ ท่ีมคี า่ a นน้ั เปน็ d = 0 และชน้ั ทมี่ ีขอ้ มลู ค่านอ้ ยลง d = −1, −2, ... ไปเรอื่ ยๆ ส่วนชัน้ ท่ขี อ้ มลู คา่ สงู ขน้ึ d = 1, 2, ... ไปเร่อื ยๆ ในตาํ ราสถิติ นยิ มใช้สัญลักษณแ์ ทนสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเปน็ σ (Sigma) และ s โดยให้นยิ ามวา่ σ คอื ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ทงั้ หมด เป็นค่าแทจ้ ริง และ s คอื สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง เปน็ คา่ ประมาณ น่นั คอื ถ้า N คอื จํานวนขอ้ มูลทงั้ หมด และถูกสุ่มมาเปน็ ตวั อย่างจาํ นวน n ข้อมูล จะได้ N − μ)2 N และ s = n ∑N n X2 σ= ∑ (xi ∑ x2i − μ2 ∑ (xi − X)2 x2i i=1 = i=1 i=1 = i=1 − n−1 N N n−1 n−1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 380 สถิติ ข้อสังเกต 1. ในระดบั ประชากรใชต้ ัวหารเป็น N แตใ่ นระดับตัวอย่างใชต้ วั หารเปน็ n – 1 ซ่งึ กาํ หนดเช่นน้ีเพอื่ ให้สนบั สนุนสมบตั ิต่างๆ ในสถติ ขิ ั้นสูง (และยงั ไม่กล่าวถงึ ในระดบั ม.ปลาย) แต่ จะสังเกตไดว้ ่า ยงิ่ มีจาํ นวนข้อมูลมากๆ การใช้ตวั หาร N กบั n – 1 จะยง่ิ ให้ผลใกล้เคียงกัน 2. ในทางปฏบิ ตั นิ ยิ มใชต้ ัวหารเปน็ n – 1 เพราะมกั เป็นการคํานวณในระดับตัวอย่าง แตก่ ารศกึ ษาระดับชน้ั นี้ เราใช้ตัวหารเป็น N เพราะในโจทย์จะบอกข้อมลู ให้เราทราบครบทกุ ตวั และในหนงั สือเล่มน้ีจะใชส้ ัญลักษณ์ s กล่าวรวมถึงส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานท้งั สองแบบ • ตวั อยาง อายุของสมาชกิ ในครอบครัวหนงึ่ ซ่งึ มี 5 คน ไดแ ก 15, 35, 35, 35, 55 ป ใหห าคา การกระจายของขอ มลู ชุดนี้ ในแบบตางๆ ก. พสิ ยั ตอบ ปRange = 55 − 15 = 40 ข. สว นเบีย่ งเบนควอรไ ทล ตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนควอรไทล จะตองรู Q1 และ Q3 กอ น Q1 อยูใ นตําแหนงที่ 1 × (5 + 1) = 1.5 ... ดงั น้ัน Q1 = 15 + 35 = 25 ป 4 2 Q3 อยูในตําแหนง ที่ 3 × (5 + 1) = 4.5 ... ดังนนั้ Q3 = 35 + 55 = 45 ป 4 2 สรุปวา QD = Q3 − Q1 = 45 − 25 = 10 ป 22 ค. สว นเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตอบ การหาคา สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตอ งรู X กอ น ... X = 15 + 35 + 35 + 35 + 55 = 35 ป 5 จากสตู ร MD = 20 + 0 + 0 + 0 + 20 = 8 ป 5 (นาํ ผลตางระหวา ง ขอ มลู แตล ะตวั กบั X มาเฉลีย่ กนั ) ง. สว นเบีย่ งเบนมาตรฐาน ตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตอ งรู X กอ น ... คาํ นวณแลวในขอ ค. ได X = 35 ป จากสตู ร SD = 202 + 02 + 02 + 02 + 202 = 160 ≈ 12.65 ป 5 (วิธีหา SD คลา ยกบั MD ... แตผ ลตา งทีไ่ ด ตองนาํ มายกกําลังสองทกุ ตวั และถอดรทู ตอนจบ) ขอสังเกต : คา QD, MD, SD ทีไ่ ด จะใกลเ คียงกันเสมอ สมบตั ิของคา่ การกระจายสมั บูรณ์ (1) คา่ การกระจายเปน็ บวกหรอื ศนู ย์เสมอ โดยเป็นศนู ย์กเ็ มอื่ ขอ้ มลู ทกุ คา่ เหมือนกนั หมด (2) ถา้ ขอ้ มูลชุด Y ทกุ ๆ ตวั สมั พนั ธก์ บั ข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ yi = m xi + c จะได้วา่ คา่ การกระจายของข้อมูลชดุ Y เปน็ m เท่าของชุด X ขอ้ สังเกต คา่ กลาง ถูกกระทบท้งั การบวกและคณู แต่ ค่าการกระจาย ถูกกระทบเฉพาะการคูณ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 381 สถติ ิ สมบตั ิของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (1) จากสมบัตขิ องคา่ เฉลย่ี เลขคณิต ทว่ี ่า N − K)2 จะนอ้ ยท่สี ดุ กเ็ ม่ือ K = X ∑ (xi i=1 ทาํ ใหเ้ ราทราบว่า คา่ M = ⎛ N (xi − K)2 ⎞ ÷ N จะน้อยทีส่ ุดกเ็ มื่อ M = SD (K = X) ⎜⎝ ⎠⎟ ∑ i=1 (2) ค่า s2 หรือ σ2 เรยี กวา่ ความแปรปรวน (Variance; Var) ความแปรปรวนรวม (Combined Variance หรอื Pooled Variance) ของข้อมูลหลายชุด คํานวณจาก k ∑ Ni(s2i + X2i ) s2p + X2c = N1(s21 + X21) + N2(s22 + X22) + ... + Nk(s2k + X2k) = N1 + N2 + ... + Nk i=1 k ∑ Ni i=1 Xi คอื ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลชดุ ท่ี i, s2i คอื ความแปรปรวนของขอ้ มลู ชุดที่ i Ni คอื จํานวนของขอ้ มูลชุดที่ i จากทง้ั หมด k ชดุ ส่วนการกระจายสมั พัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณไดจ้ ากการกระจายสัมบรู ณ์ โดยใชค้ ําว่า สัมประสิทธ์ขิ อง... (Coefficient of…) นําหนา้ ไดแ้ ก่ สมั ประสิทธข์ิ องพิสยั = xmax − xmin xmax + xmin สัมประสทิ ธ์ิของส่วนเบีย่ งเบนควอรไ์ ทล์ = Q3 − Q1 Q3 + Q1 สัมประสิทธ์ิของส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี = MD X สมั ประสิทธิข์ องสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน = s X ซ่ึงสัมประสิทธ์ิของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานน้ี เปน็ ค่าการกระจายสมั พทั ธท์ น่ี ยิ มใช้มากทส่ี ุด เรยี กสั้นๆ ว่า สัมประสิทธกิ์ ารแปรผัน (Coefficient of Variation; CV) ขอ้ สังเกต ค่ากลาง และ คา่ การกระจายสมั บรู ณ์ มหี น่วยอยา่ งเดียวกับข้อมลู ความแปรปรวน มหี น่วยเหมือนขอ้ มูลยกกําลงั สอง แต่ คา่ การกระจายสัมพทั ธ์ ไม่มีหน่วย • ตัวอยาง (ตวั อยางนี้มีการทบทวนเนื้อหาเรื่องสมบัตขิ องคา กลางดวย) ในการสอบครง้ั หนึง่ คาเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนักเรียน เปน 14 คะแนน และ 1.4 คะแนน2 ตามลาํ ดับ ก. หากผสู อนเพมิ่ คะแนนเก็บใหท ุกคน คนละ 5 คะแนน แลวคา เฉลี่ยเลขคณิตและความ แปรปรวนของคะแนนชุดใหม เปน เทาใด ตอบ ขอมูลทุกตัวถกู บวก 5 ดังน้ัน คาเฉลีย่ เลขคณติ กบ็ วก 5 เปน 19 คะแนน แตก ารบวกไมม ีผลตอ คาการกระจาย ดงั น้ัน ความแปรปรวนยงั คงเปน 1.4 คะแนน2 ข. หากผูสอนปรบั คะแนนเตม็ จากเดมิ 20 คะแนน ใหก ลายเปน 60 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณติ และความแปรปรวนของคะแนนชดุ ใหม เปนเทาใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 382 สถิติ ตอบ ขอ มลู ทกุ ตวั ถูกคณู 3 ดงั น้ัน คา เฉลี่ยเลขคณิตก็คณู 3 เปน 52 คะแนน และสว นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( s ) กจ็ ะกลายเปน 3 เทาจากเดมิ ดวย แตข อนีค้ ิดความแปรปรวน ( s2 ) ดังนนั้ จะตอ งเพมิ่ ขึ้นเปน 1.4 × 32 = 12.6 คะแนน2 หมายเหตุ : สวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน s2= 3s1 ทาํ ใหความแปรปรวน s22= (3s1)2 = 32s21 แบบฝกึ หัด 17.4 (38) ข้อมูลชุดหนง่ึ มคี ่า 12, 14, 14, 17, 18, 21 จงหาค่าการกระจายสัมบูรณท์ ง้ั สี่แบบ (39) โค้งความถ่ีสะสมของคะแนนนักเรียนจาํ นวน 400 คน เปน็ ไปตามสมการ F = 100 log4 X จง หาคา่ ส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ (40) ข้อมูลชุดหนึ่งมีส่วนเบยี่ งเบนควอรไ์ ทลเ์ ปน็ 2 และสัมประสิทธขิ์ องส่วนเบีย่ งเบนควอรไ์ ทลเ์ ปน็ 2/3 จงหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 75 (41) [Ent’38] ข้อมลู 4 จาํ นวนมคี ่าดงั นี้ 5, a, b, 1 โดยท่ี 1 < a < b ถ้าข้อมลู ชุดนม้ี ีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ 4 และความแปรปรวนเทา่ กับ 5 แล้ว จงหาคา่ ของ b – a (42) [Ent’37] ขอ้ มูล 7 จาํ นวนมีค่าต่างกนั ดงั นี้ 9, 6, 15, a, 2, 4, 12 โดยที่ 2 < a < 12 ถ้า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมลู เป็น 2 เท่าของสว่ นเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ คา่ a จะเป็นเท่าใด (43) ในการวัดความสูงของนกั เรยี น คํานวณคา่ s ได้ 10 ซม. แตพ่ บวา่ สเกลของไมเ้ มตรผิดพลาด ขาดไป 10% ของส่วนสูงจริง ดังนนั้ คา่ s ทีถ่ กู ตอ้ งคอื เท่าใด (44) นกั เรียนคนหนงึ่ คิดวา่ ค่าเฉล่ียเลขคณติ เปน็ 42 จึงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 6 แตม่ าพบว่า ท่ีจรงิ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตเปน็ 40 ดงั นั้นสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานที่แทจ้ รงิ เป็นเท่าใด (45) จงหาคา่ ความแปรปรวนของขอ้ มลู แตล่ ะชุด และความแปรปรวนรวมของท้งั สองชดุ ชดุ ที่ 1; 3, 6, 9, 12, 15 ชุดที่ 2; 3, 9, 15 (46) ขอ้ มูลสองชุดมีจํานวนเท่ากัน ชดุ แรกมีค่าเฉลีย่ เลขคณติ 5 สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0 และชดุ ท่ีสองมีคา่ เฉลี่ยเลขคณติ 3 ถ้าพบว่าข้อมูลรวมมสี ่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 3 จงหาสว่ นเบ่ยี งเบน มาตรฐานของข้อมลู ชุดท่ี 2 (47) นกั เรยี นชาย m คน ทกุ คนอายุ x ปี และนักเรียนหญงิ n คน ทกุ คนอายุ y ปี จงหาความ แปรปรวนรวมของอายนุ กั เรียนทง้ั หมด (48) [Ent’36] ในการสอบของนกั เรยี นหอ้ งหนึ่งซึ่งมี 60 คน ได้คะแนนรวม 1,320 คะแนน โดยมี ความแปรปรวนเป็น 100 คะแนน2 ถา้ มีนกั เรียนได้ 32 คะแนนอยู่ 10 คน จงหาความแปรปรวนของ คะแนนของนกั เรียน 50 คนท่ีเหลอื (49) [Ent’36] ถา้ นักเรยี น 20 คนมสี ่วนสงู เฉล่ีย 150 ซม. และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเป็น 3 ซม. นกั เรยี นชายซง่ึ มี 12 คนมีสว่ นสูงเฉลยี่ 150 ซม. และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 2 ซม. ถามวา่ ส่วนสูง ของนกั เรยี นหญงิ หรือชายมกี ารกระจายมากกวา่ กนั และมากกวา่ กันก่เี ท่า (50) จงหาความแปรปรวนของขอ้ มลู ชุดหนง่ึ ซง่ึ มี 10 = 60 และ 10 = 370 ∑ xi ∑ (xi − 5)2 i=1 i=1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 383 สถิติ (51) จากการสํารวจอายกุ ารใช้งานแบตเตอร่ี 2 ยีห่ ้อ ได้ผลดังนี้ ย่ีหอ้ A; 30, 26, 32, 46, 21 เดือน ค่าเฉลยี่ เลขคณิตเป็น 31 ย่หี ้อ B; 28, 53, 40, 18, 34, 31 เดอื น คา่ เฉลย่ี เลขคณิตเปน็ 34 อยากทราบวา่ ยหี่ อ้ ใดมีคณุ ภาพดกี ว่ากัน [คุณภาพดี หมายถึงผลติ ออกมาใชง้ านได้ใกล้เคยี งกันทุกชนิ้ ] คะแนน ความถ่ี (52) กําหนดตารางแจกแจงความถข่ี องคะแนนสอบนกั เรียน 100 50 – 59 15 คน จงหาคา่ การกระจายสัมบรู ณ์ทงั้ สีแ่ บบ 60 – 69 20 70 – 79 40 15 80 – 89 10 90 – 99 17.5 คา่ มาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ สมมตนิ าย ก สอบวชิ าภาษาไทยได้ 80% และสอบวิชาภาษาอังกฤษได้ 87% ยงั สรปุ ไม่ได้ ทนั ทวี า่ เขาสอบวิชาใดได้ดกี ว่ากนั เพราะตอ้ งคาํ นงึ ถึงค่าเฉลีย่ และค่าการกระจายของคะแนนแต่ละ วชิ าประกอบกันด้วย คา่ มาตรฐาน (Standard Score หรอื Z-Score; z) เป็นคา่ ท่ีใช้เทียบข้อมลู ทด่ี ึงมาจากตา่ ง ชุดกนั ได้ เพราะเปน็ การปรับค่าเฉล่ยี เลขคณติ และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานให้เทา่ กนั zi = xi −X i = 1, 2, 3, ..., N s ข้อสังเกต 1. คา่ z ไม่มหี น่วย 2. คา่ z ของข้อมลู ทคี่ า่ มากกว่าคา่ เฉลยี่ เลขคณิต จะเครือ่ งหมายบวก, นอ้ ยกว่าคา่ เฉลยี่ จะเปน็ ลบ, ตรงกบั ค่าเฉลย่ี พอดี จะเปน็ 0 xi − μ 3. สามารถเขียนดว้ ยสัญลกั ษณอ์ ีกแบบได้เป็น zi = σ โดย i = 1, 2, 3, ..., N 4. อาจเขียนขอ้ มูลท่ีตําแหน่ง z = c ในรูปแบบ x = X + c s ก็ได้ เชน่ X − 2 s หมายถงึ ขอ้ มูลทีม่ ีค่า z = −2 , หรือ X + 0.5 s หมายถึงข้อมูลที่มคี ่า z = 0.5 สมบัติของค่ามาตรฐาน (1) N = 0 (ผลรวมของข้อมลู ชุด z ใดๆ เปน็ 0 เสมอ) ∑ zi i=1 (2) Z = 0 เสมอ (ผลจากข้อ 1) และ sZ = 1 เสมอ (3) The 95% Rule : “โดยทว่ั ไปข้อมลู ทอ่ี ย่รู ะหวา่ ง z = −2 ถงึ z = 2 จะมีปริมาณร้อยละ 95 ของจํานวนขอ้ มลู ทั้งหมด” ... หมายความวา่ ข้อมลู เกอื บทกุ ค่าจะอยู่ในชว่ ง (X − 2 s, X + 2 s) และ เราอาจประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (คอื เมอื่ ทราบค่าพสิ ัย จะประมาณค่า s ได้) • ตวั อยา ง ในการสอบวิชาคณติ ศาสตรข องนกั เรียนหอ งหน่งึ ปรากฏวาคา เฉลี่ยเลขคณิตและสว น เบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน 60 และ 10 คะแนน ตามลําดับ โดยที่นาย ก ไดค ะแนนคดิ เปน คา มาตรฐานเทา กับ 1.3 และนาย ข ไดค ะแนนนอยกวานาย ก อยู 8 คะแนน ก. นาย ข ไดกีค่ ะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 384 สถิติ วิธีคิด คํานวณหาคะแนนของนาย ก จากสมการ zก = xก − X → 1.3 = xก − 60 s 10 ไดเปน xก = 73 คะแนน ... ดังนนั้ คะแนนของนาย ข เทา กับ xข = 73 − 8 = 65 คะแนน ข. เมือ่ รวมคะแนนเกบ็ ซึ่งทกุ คนได 5 คะแนนเทา กันแลว คะแนนรวมของนาย ข คดิ เปนคา มาตรฐานเทากบั เทา ใด วธิ ีคดิ คะแนนรวมของนาย ข คือ 70 คะแนน คิดเปน คา มาตรฐาน zรวม, ข = 70 − 65 = 0.5 10 (สงั เกต : X ตอ งเปลี่ยนเปน 65 เพราะขอมูลทกุ ตัวถกู บวก 5, แตการบวกไมมีผลกับ s ) การคาํ นวณเกี่ยวกับเสน้ โคง้ ของความถ่ี ลักษณะของเส้นโค้งของความถมี่ ี 3 แบบ (หรือกล่าวว่าลกั ษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คอื (1) โค้งปกติ (Normal Curve) หรอื โค้งรูประฆงั (Belled-Shaped Curve) เป็นโค้งของข้อมูลท่พี บ บอ่ ยท่สี ุดโดยเฉพาะขอ้ มลู จากธรรมชาติ เช่น ส่วนสูง น้ําหนกั ปริมาณผลผลิตการเกษตร (2) โค้งเบ้ลาดทางซา้ ย (หรอื ทางลบ) (Negatively Skewed Curve) (3) โค้งเบล้ าดทางขวา (หรือทางบวก) (Positively Skewed Curve) ซ่งึ โค้งแต่ละแบบ บอกความสมั พนั ธ์ระหว่างค่าเฉลย่ี เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม ดังภาพ f โคง้ ปกติ f โค้งเบ้ซ้าย f โค้งเบข้ วา O x = Med = Mo x O x < Med < Mo x O Mo < Med < x x เน่อื งจากพนื้ ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งจะเทา่ กบั ความถ่รี วมพอดี S ¨´u ·¼èÕ i´ºo Â! S (เปน็ สงิ่ ที่ได้จากการสร้างฮิสโทแกรม) เราจึงสามารถคาํ นวณ เก่ียวกับการวดั ตาํ แหนง่ ของขอ้ มลู (มธั ยฐาน, ควอรไ์ ทล์, o¤§ eº« Ò ÂÂo ÁÒ¨Ò¡ o¤§eº ÅÒ´·Ò§«Ò o¤§eº เดไซล์, เปอรเ์ ซ็นไทล์) ได้ โดยจะศึกษาเฉพาะโค้งปกตซิ ง่ึ ¢ÇÒÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§ eº ÅÒ´·Ò§¢ÇÒ ... ¶Ò ¶ÒÁÇÒ ÃÙ» ใชต้ ารางทา้ ยบทเรียนในการหาคา่ พืน้ ทีใ่ ต้โค้ง ä˹e»¹o¤§eº«Ò  û٠ä˹o¤§eº¢ ÇÒ ¹o §æ ÊÇ ¹ÁÒ¡¨ae´ÒÊźa ¡¹a ©a¹é¹a ãËÊa§e¡µ´æÕ ¹a¤Ãaº ¾oeÃÕ¡Âo æÅÇoÒ¨·Òí ãËe¢Ò 㨤ÇÒÁËÁÒ¼i´ä» ในทางปฏิบตั นิ น้ั เปน็ ไปไมไ่ ด้ท่ีจะสรา้ งตารางหลายตาราง X x เพ่ือใชแ้ ทนข้อมูลท่มี คี ่ากลางและค่าการกระจายตา่ งๆ กนั ดังนัน้ z จงึ ตอ้ งใช้วธิ ีเปล่ียนคา่ x ให้เป็นค่ามาตรฐาน z ก่อน (คา่ เฉลยี่ -3 -2 -1 0 1 2 3 จะเป็น 0 และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเปน็ 1 ไมว่ า่ จะเปน็ ข้อมลู ชดุ ใด) เรียกโคง้ ปกติทีป่ รับคา่ ขอ้ มลู ให้เป็นคา่ มาตรฐานแล้วนี้วา่ โคง้ ปกตมิ าตรฐาน สิ่งสาํ คัญในตารางแสดงพน้ื ท่ีใตก้ ราฟของโคง้ ปกตมิ าตรฐาน 1. พ้นื ทใี่ ต้โคง้ รวมกันทง้ั หมด (ความถี่รวม) จะมคี ่าเท่ากับ 1.00 พอดี 2. ค่าที่ระบุในตาราง แสดงพน้ื ทีท่ วี่ ัดระหว่าง z=0 ไปถงึ z ใดๆ โดยมีเพยี งคา่ z เปน็ บวก เท่านัน้ (ซีกขวาของโคง้ ) เราสามารถหาพื้นท่ีซกี ซา้ ยไดโ้ ดยอาศัยความสมมาตรของรูปกราฟ 3. หาคา่ เปอรเ์ ซ็นไทล์ (เดไซล,์ ควอรไ์ ทล)์ ได้โดยการนําพ้ืนท่ีทีต่ ้องการไปเทยี บเป็นคา่ z Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 385 สถิติ ตัวอย่างเชน่ เราสามารถหาวา่ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 65 มีค่าเท่าใด A = 0.15 จากการเปิดตารางทพี่ น้ื ที่ 0.15 ซึง่ ในตารางระบุว่า z=0.385 A = 0.3 (จากนน้ั นําไปคาํ นวณกลับเปน็ ค่าขอ้ มูล x ได้) ในทาํ นองเดยี วกัน เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 20 หาได้จากการเปิดตาราง x z ท่พี ้นื ที่ 0.3 ไดค้ า่ z=0.841 แต่เน่ืองจากเป็นพ้ืนท่ที างซกี ซา้ ย P20 P65 คา่ z ที่แท้จรงิ จงึ เป็น -0.841 -0.841 0.385 ใชส้ ตู ร เปดิ ตาราง เทียบสดั สว่ น x ←⎯⎯⎯→ z ←⎯⎯⎯→ A ←⎯⎯⎯→ P, D, Q • ตัวอยา ง ถา คะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวน เทา กบั 60 และ 25 ตามลาํ ดบั และผสู อบผา นตอ งไดค ะแนนไมน อ ยกวา 54 คะแนน สมมตนิ าย ก, นาย ข, และนาย ค ทราบวาตนเองไดค ะแนนอยใู นตาํ แหนง เปอรเ ซน็ ไทลท ี่ 10, 15, และ 33 ตามลําดบั กําหนดตารางแสดงพื้นทีใ่ ตโ คงปกติ z 0.35 0.40 0.44 1.20 ตัง้ แตคา มาตรฐาน 0 ถงึ z ดงั นี้ A 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849 ก. นาย ค สอบไดกี่คะแนน วธิ ีคิด ขอ นีเ้ ราทราบตําแหนงเปอรเ ซน็ ไทล (P33 ) และตอ งการเทียบเปน ขอ มูลคะแนน ( xค ) เรมิ่ จากการเทียบ P33 เปนพืน้ ที่ จะพบวาอยูทางซีกซา ยของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.17 ซึง่ ระบุ ในตารางวา คามาตรฐานเปน 0.44 เนือ่ งจากอยูท างซา ย จึงตอ งไมล ืมวา คา มาตรฐานทีแ่ ทจ ริงเปน −0.44 ... จากนนั้ ทาํ การ คาํ นวณเปน คา xค ไดตามตอ งการ คือ −0.44 = xค − 60 → xค= 57.8 คะแนน 5 (อยาลืมวาตัวเลข 25 ทีโ่ จทยใ หม าเปนความแปรปรวน ตองถอดรทู กอนจงึ เปน คา s ) ข. นักเรียนสามคนนี้ ใครสอบผา นบาง วิธีคิด นกั เรียนที่สอบผา นจะตองได 54 คะแนนขึ้นไป ฉะนนั้ ผลจากการคาํ นวณขอ ก. เราทราบแลววานาย ค สอบผา น ... ตอ มาจะใชวิธีเดิมเพื่อคาํ นวณหาคะแนนนาย ก (P10 ) และ ข (P15 ) ดว ย ... เริ่มจากการ เทียบ P10 และ P15 เปนพืน้ ที่ จะพบวา อยทู างซีกซา ยของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.40 และ 0.35 ตามลําดับ แตป รากฏวาในตารางไมไดก ําหนดคา มาให! (ขอควรระวงั : อยาดู z กบั A สลบั ชองกนั เชน ในตารางมีคา z = 0.35, 0.40 มาให แตไมไ ดใช ... เพราะที่เราตองการคือ A = 0.35, 0.40 ซง่ึ ไมม ีให) ดงั นัน้ ขอ นีจ้ ึงตองคดิ ดว ยวิธีอื่น คือแปลงจากคะแนน 54 คะแนน มาเปนเปอรเ ซ็นไทลบา ง แบบนี้ กจ็ ะชว ยใหเทียบวา ใครสอบผา น ไดร วดเร็วกวาเดมิ อีก ... การคาํ นวณเริ่มจากคิด 54 ใหเปนคา มาตรฐาน z54 = 54 − 60 = −1.2 ดใู นตาราง ไดพืน้ ทีเ่ ทา กับ 0.3849 (แตอ ยซู ีกซายของโคง) นน่ั คือเปอรเ ซ็นไทล 5 ที่ 50 − 38.49 = 11.51 ... แสดงวา ผสู อบผานตองไดเปอรเ ซน็ ไทลที่ 11.51 ข้นึ ไป ... สรุปวา นาย ข และนาย ค สอบผาน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 386 สถิติ • ตัวอยาง คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรมีคาเฉลีย่ เลขคณติ เทา กบั 64 คะแนน และการแจกแจงเปนโคง รูป ระฆงั ถา มีนกั เรียนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอยู 15.87% และพื้นทีใ่ ตโ คงปกตริ ะหวา ง z = 0 ถึง 1 เทากบั 0.3413 แลว สมั ประสิทธิก์ ารแปรผันของคะแนนสอบนี้เปน เทาใด วธิ ีคิด สมั ประสทิ ธิ์การแปรผนั หาไดจ าก s/X ... เราทราบคา X แลว แตยังไมท ราบ s สามารถหาคา s ไดจ ากคําใบท ีว่ า “มีนกั เรียนสอบไดม ากกวา 80 คะแนนอยู 15.87%” นนั่ คือ คะแนน 80 อยูใ นตําแหนง พื้นที่ 0.5 − 0.1587 = 0.3413 ... ซง่ึ ระบุคา z = 1 ดังนนั้ 1 = 80 − 64 ไดคา s = 16 ... สรปุ วา สมั ประสิทธ์ิการแปรผนั = 16/64 = 0.25 s เพ่ิมเติม จากเนอื้ หาเรื่องการอินทเิ กรต (บทที่ 15) S ¨u´·è¼Õ i´ºoÂ! S นอกจากจะใช้ตารางแลว้ ยงั หาพืน้ ท่ใี ต้กราฟอย่างละเอยี ดไดโ้ ดย µo§·Òí ¤ÇÒÁe¢Òã¨eÃ×oè § x, z, A ãË´ Õæ ¹a¤Ãaº e¾×oè ใชเ้ ครือ่ งช่วยคํานวณอนิ ทิเกรตสมการของเสน้ โค้งปกติ คือ ¨aä´äÁe »´ µÒÃÒ§Êźa ¡¹a ÃaËÇÒ§ z ¡aº A 1 ⎝⎜⎛ x − μ ⎟⎠⎞ 2 e− 2 σ f (x) = ÷ σ 2π (ซึ่งจะพบว่ามีการเลอ่ื นแกน และความสูงของกราฟ ตา่ งๆ กันไปตามค่า μ และ σ ) และสมการของโคง้ ปกติมาตรฐาน ทก่ี ลายเปน็ − 1 z2 2 π (ซ่ึงจะไม่ข้นึ กับคา่ μ และ σ ) f (z) = e 2 ÷ แบบฝกึ หดั 17.5 (53) นาย ก สอบวิชาภาษาไทยได้ 48 คะแนน และภาษาอังกฤษได้ 35 คะแนน โดยคา่ เฉล่ียของ คะแนนสอบวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษเป็น 45 กบั 32 คะแนนตามลาํ ดับ และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเป็น 12 กบั 10 คะแนนตามลําดับ ถามว่าเขาสอบวิชาใดได้ดีกวา่ กัน (54) นกั เรียน 40 คนมีอายุรวมกัน 640 ปี และมีคา่ ความแปรปรวนของอายเุ ปน็ 4 ป2ี ถ้า ก และ ข อยใู่ นกลุ่มนโี้ ดยท่ี ก อายุ 18 ปี และคา่ มาตรฐานของอายุ ก น้อยกว่า ข อยู่ 0.5 แลว้ จงหาอายุ ของ ข (55) คนงาน 100 คน มอี ายเุ ฉลี่ยและสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 25 และ 13 ปี ตามลําดับ ถา้ ผลรวมของค่ามาตรฐานของอายคุ นงาน 99 คน เปน็ -0.25 แล้ว อายขุ องคนงานอกี คนทีเ่ หลอื เปน็ เทา่ ใด (56) คา่ มาตรฐานคะแนนสอบของ ก ข และ ค เป็น -1.6, 1.28, 2.4 ตามลาํ ดับ ถ้า ก ไดค้ ะแนน น้อยกวา่ คา่ เฉล่ียเลขคณติ อยู่ 5 คะแนน และ ข ได้ 60 คะแนน ถามว่าคะแนนของ ค เปน็ เทา่ ใด (57) [Ent’38] จากขอ้ มูลการสอบของนักเรยี น 6 คนดงั ตาราง จงหาสมั ประสิทธิข์ องการแปรผัน คะแนน 30 40 45 60 85 100 ค่ามาตรฐาน -1.2 -0.8 -0.6 0 1.0 1.6 (58) [Ent’35] ในการสอบ นักเรยี นทไ่ี ด้ 70 คะแนนคดิ เปน็ คา่ มาตรฐาน 1 ถา้ สมั ประสทิ ธ์ิการแปร ผนั คอื 30% แล้ว จงหาคะแนนเฉลีย่ และคา่ เบี่ยงเบนมาตรฐาน พรอ้ มทั้งบอกดว้ ยว่าคนทีไ่ ดค้ ่า มาตรฐานเปน็ -1 นนั้ มคี ะแนนสอบเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 387 สถติ ิ ตารางต่อไปนี้แสดงคา่ พน้ื ที่ใต้โคง้ ปกติมาตรฐาน ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = z A ใช้สาํ หรบั โจทย์แบบฝึกหัดตงั้ แตข่ อ้ 59 เปน็ ตน้ ไป (ยกเว้นขอ้ ทโี่ จทย์ระบคุ า่ มาให้) 0.4750 zA z A z A z 0.4773 0.00 0.0000 0.72 0.2642 1.20 0.3849 1.96 0.4788 0.44 0.1700 0.84 0.3000 1.25 0.3944 2.00 0.4938 0.50 0.1915 1.00 0.3413 1.29 0.4000 2.03 0.4987 0.67 0.2500 1.12 0.3686 1.50 0.4330 2.50 0.71 0.2612 1.19 0.3830 1.56 0.4400 3.00 (59) ให้หาพนื้ ทใี่ ต้โคง้ ปกตมิ าตรฐาน ในช่วงคา่ z ท่ีกําหนด (59.1) z = 0 ถงึ 1.12 (59.4) z = 2 ถงึ 3 (59.2) z = 0 ถงึ -2.03 (59.5) z < -1.19 (59.3) z = -1.19 ถงึ 2 (60) [Ent’40] คะแนนสอบท่ีมีการแจกแจงปกตชิ ดุ หน่ึงมีสมั ประสทิ ธิ์การแปรผัน 24% และส่วน เบ่ยี งเบนมาตรฐาน 12 คะแนน ให้หาตาํ แหน่งเปอร์เซน็ ไทลข์ องนกั เรยี นท่ไี ด้ 65 คะแนน (61) ผลการสอบของนักเรียน 300 คน มกี ารแจกแจงแบบปกติ คา่ เฉลย่ี ของคะแนนสอบเป็น 72 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ผูท้ ่สี อบไดเ้ ปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 10 จะสอบได้กค่ี ะแนน (62) [Ent’36] ถา้ คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยมีการแจกแจงปกติ คา่ เฉลยี่ 80 คะแนน ส่วนเบีย่ งเบน มาตรฐาน 15 คะแนน นักเรยี นทไ่ี ด้คะแนนเป็นเดไซลท์ ่ี 3.3 จะมผี ลสอบกคี่ ะแนน (63) [Ent’35] ในการสอบครั้งหน่ึงซง่ึ มีการแจกแจงแบบปกติ และมคี ะแนนเต็ม 100 คะแนน ถ้า ค่าเฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ 60 และความแปรปรวนเทา่ กบั 100 ข้อใดต่อไปน้มี ีค่าสูงทสี่ ุด ก. คะแนน ณ เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 80 ข. คะแนนมาตรฐาน 1.50 ค. คะแนนดิบ 85 ง. คะแนน ณ เดไซล์ท่ี 7 (64) [Ent’38] ขอ้ มูลทีแ่ จกแจงแบบปกติชุดหนงึ่ มีคา่ สูงสดุ เป็นเปอร์เซน็ ไทล์ที่ 97.5, คะแนนตาํ่ สดุ เปน็ เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 33 และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเป็น 10 ให้หาพิสยั ของข้อมลู ชดุ น้ี (65) จากการสํารวจผู้สอบคณิตศาสตรก์ ล่มุ หนงึ่ พบวา่ ผลการสอบมกี ารแจกแจงแบบปกติ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ เป็น 97 คะแนน ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเป็น 20 คะแนน สว่ นเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ของ คะแนนสอบเป็นเท่าใด [กาํ หนดพ้ืนทท่ี างขวาของ z=0 เป็น 50%, z=0.25 เป็น 40.13%, z=0.5 เปน็ 30.85%, z=0.675 เป็น 25.00%, และ z=0.75 เปน็ 22.66%] (66) การแจกแจงความถ่ขี องรายไดพ้ นักงานบริษทั แหง่ หนึ่งเป็นแบบปกติ ผมู้ ีรายได้ต่อเดอื นต่าํ กว่า 3,000 บาทมีอยู่ 33% ผู้มรี ายไดใ้ นชว่ ง 3,000 ถึง 5,000 บาทมี 61% และทเ่ี หลือได้มากกว่า 5,000 บาท จงหาสมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผนั ของรายไดท้ ั้งหมดน้ี (67) [Ent’39] คะแนนสอบท่ีมีการแจกแจงเป็นโคง้ รปู ระฆัง มจี ํานวนนักเรียนได้ต่ํากวา่ 40 คะแนน อยู่ 15.87% และสูงกว่า 70 คะแนนอยู่ 2.27% จงหาสัมประสทิ ธ์ิการกระจายของคะแนนสอบกลมุ่ นี้ และหาวา่ มนี ักเรียนท่สี อบได้มากกว่า 30 คะแนนอยู่ร้อยละเท่าใด (68) [Ent’40] ผลการสอบของนักเรยี นห้องหน่ึงเป็นการแจกแจงปกติท่ีมคี วามแปรปรวน 9 ถา้ จํานวนนกั เรยี นทไี่ ด้น้อยกว่า 60 คะแนนเท่ากับคนที่ได้มากกว่า 72 คะแนน ให้หาวา่ จํานวนคนทีไ่ ด้ นอ้ ยกว่า 60 คะแนนคิดเป็นรอ้ ยละเท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 388 สถติ ิ (69) ผลสอบของ 500 คนเป็นการแจกแจงปกติ มีส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 20 คะแนน, ก และ ข เปน็ นกั เรียนในกล่มุ นโ้ี ดย ก สอบได้ 40% ของคะแนนเต็ม และ ข สอบได้ 20% ของคะแนนเตม็ ถา้ การสอบนเี้ ต็ม 200 คะแนนและมีคนไดค้ ะแนนน้อยกวา่ ก อยู่ 450 คน ขอ้ ใดถูกตอ้ ง ก. คะแนนของ ก ได้เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80 ข. คะแนนของ ข ไดเ้ ปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ค. มีคนได้คะแนนน้อยกวา่ ข 119 คน ง. ไมส่ ามารถหาคา่ เฉล่ียได้เพราะข้อมลู ไมพ่ อ (70) [Ent’33] คะแนนสอบของนกั เรยี น 1,000 คนมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมสี ่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน 10 ถ้ามีนักเรียน 900 คนได้ต่ํากว่า 80 คะแนน (กาํ หนดพ้ืนที่ใตโ้ ค้งระหว่าง z=0 ถงึ 1.3 เป็น 0.4) ข้อใดผิด ก. คะแนนเฉล่ียนอ้ ยกวา่ 80 ข. คะแนน 54 เปน็ ค่ามาตรฐาน -1.3 ค. คะแนน 54 เป็นเปอร์เซ็นไทล์ 10 ง. ผไู้ ดค้ ะแนน 54 ถึง 80 มมี ากกว่า 800 คน (71) [Ent’39] คะแนนสอบของนักเรียนกลมุ่ หน่ึงมกี ารแจกแจงปกติ โดยมสี มั ประสิทธกิ์ ารแปรผนั 1/4 ถา้ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 3 แล้ว มธั ยฐานเทา่ กบั เท่าใด (72) [Ent’39] กําหนดพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ ปกตมิ าตรฐานทางขวามือของ z=0.67 เป็น 0.25 ถา้ ข้อมูลชดุ หนงึ่ แจกแจงแบบปกตโิ ดยส่วนเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์เป็น 2 และสัมประสิทธิ์ส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์เป็น 2/3 จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ และความแปรปรวน 17.6 ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างขอ้ มลู หากเรามคี ่อู นั ดับ (x, y) จาํ นวนหนง่ึ หลังจากสร้าง แผนภาพการกระจายตวั (Scatter Plot) เราจะเห็นลักษณะความสัมพนั ธ์ระหว่างตัวแปร x กบั y และสามารถหาความสมั พนั ธ์ระหว่าง x กบั y เปน็ สมการในรูป y = f (x) “เพื่อใชท้ ํานายค่า y” ท่คี ่า x ตามต้องการได้ รูปแบบความสัมพันธท์ ี่พบบ่อย ได้แก่ เส้นตรง พาราโบลา และเอกซ์โพเนนเชียล แต่ละรูปแบบเราจะตอ้ งคํานวณหาคา่ คงตวั ทบ่ี ่งบอกลกั ษณะของกราฟ ดงั น้ี 1. ฟังก์ชันเส้นตรง รปู ท่วั ไป Y = mX + c y O หาคา่ คงตัว m กบั c โดยสมการ Σy = mΣx + c N __________(1) Σxy = mΣx2 + cΣx ________(2) x (N คอื จํานวนคอู่ ันดบั หรอื จาํ นวนจุด) S ¨´u ·è¼Õ i´ºoÂ! S ¤Ò Σxy ≠ Σx ⋅ Σy ¹a¤Ãaº.. µo §¤³Ù x ⋅ y ãˤ ú¡o ¹æÅǨ§Ö ÃÇÁ 2. ฟงั ก์ชนั พาราโบลา รปู ทัว่ ไป Y = aX2 + bX + c y O หาคา่ คงตวั a, b และ c โดยสมการ Σy = aΣx2 + bΣx + c N ________(1) Σxy = aΣx3 + bΣx2 + cΣx ______(2) x Σx2y = aΣx4 + bΣx3 + cΣx2 _____(3) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 389 สถิติ x 3. ฟังก์ชันเอกซโ์ พเนนเชียล รูปท่วั ไป Y = abX y หรือ log Y = log a + X log b O หาค่าคงตัว log a กบั log b โดยสมการ Σ (log y) = N log a + log b Σx _______(1) Σ (x log y) = log a Σx + log b Σx2 _____(2) ข้อสังเกต สมการเหล่าน้เี รยี กว่า สมการปกติ (Normal Equations) หาได้จากกระบวนการเดียวกนั คือ สมการท่ีหนง่ึ เตมิ เคร่อื งหมาย Σ ทั้งสองข้างของสมการ สมการทีส่ อง นําสมการแรกมาเตมิ ตวั แปรตน้ คอื x ไว้ภายใน Σ ทุกพจน์ สมการต่อๆไป หากจํานวนสมการยังไมค่ รบ ให้เพิม่ x ไว้ภายใน Σ อกี ทีละตวั ๆ การหาค่าคงตวั ดว้ ยสมการเหล่าน้ี เรยี กว่า ระเบยี บวิธีกาํ ลังสองนอ้ ยท่สี ุด (Method of Least Squares) เปน็ วธิ ีทที่ าํ ให้คา่ y ท่ไี ด้ มี ความคลาดเคล่ือนกาํ ลงั สอง (Square Error หรือ Σ (yi − Yl)2 ) นอ้ ยที่สดุ Y คอื คา่ จริง และ Yl (อ่านวา่ y-hat) คือค่าท่ไี ดจ้ ากการประมาณดว้ ยฟงั กช์ ัน ... ซ่ึงการ ทํานายค่าของ y ท่คี ่า x ภายในพิสยั ของข้อมูลทม่ี ี เรยี กว่า การพยากรณ์ในชว่ ง (Interpolation) และท่ีค่า x นอกพสิ ัยทมี่ ี เรยี กวา่ การพยากรณน์ อกชว่ ง (Extrapolation) ขอ้ ควรระวงั สมการทีห่ าได้ไม่สามารถทาํ นายคา่ x จาก y ได้ ... ถา้ ต้องการประมาณคา่ x ก็ต้อง เปลีย่ นฟังกช์ ันทั้งหมด ให้เป็น x = f (y) แทน (คอื ให้ y เปน็ ตวั แปรต้น) • ตวั อยาง จากการสอบถามรายจา ยของ 8 ครอบครัวในหมบู านหนง่ึ ไดผ ลสมั พนั ธก ับรายได ดงั ตาราง จงหาความสัมพนั ธท ีใ่ ชประมาณรายจา ยจากรายได และถามวาถา ครอบครวั หน่ึงในหมูบานนีม้ ีรายได 4, 500 บาท จะมีรายจา ยประมาณเทา ใด รายได (พนั บาท) 1 3 4 6 8 9 11 14 รายจา ย (พนั บาท) 1 2 4 4 5 7 8 9 วธิ ีคิด โจทยต อ งการทาํ นายรายจาย จากรายได แสดงวาในทีน่ ี้ Y คือรายจา ย และ X คือรายได เมื่อวาง คูอันดับเหลา นี้ลงในแกนพกิ ดั ฉากแลว พบวา มีความสมั พันธกนั แบบเสน ตรง ดังนนั้ สมการทีเ่ ราจะใชค ือ Y = mX + c และดาํ เนนิ การหาคา m, c โดย.. → Σy = mΣx + c N และ Σxy = mΣx2 + cΣx แทนคา Σy = 40 , Σx = 56 , N = 8 , Σxy = 364 และ Σx2 = 524 จะได. . และ→ 40 = 56m + 8c 364 = 524m + 56c แกระบบสมการ ไดค าํ ตอบ m = 0.636 และ c = 0.545 (1) ความสมั พนั ธท ีใ่ ชป ระมาณรายจา ยจากรายได คือ Y = 0.636 X + 0.545 เมือ่ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พนั บาท) ตอบ (2) Yl = 0.636(4.5) + 0.545 = 3.407 ดงั นน้ั ครอบครวั ที่มีรายได 4, 500 บาท จะมีรายจา ยประมาณ 3, 407 บาท ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 390 สถิติ • ตัวอยา ง จากตวั อยางทีแ่ ลว ถามวาถา ครอบครวั หน่ึงในหมบู านนีม้ ีรายจาย 3,500 บาท จะมีรายได ประมาณเทาใด * วิธีคิด โจทยตอ งการทาํ นายรายไดจ ากรายจาย แสดงวาหากเราจะใช Y เปนรายจา ย และ X เปน รายไดเ ชน เดมิ จะตองเปลี่ยนรูปสมการเปน X = mY + c และหาคา m, c โดย.. → Σx = mΣy + c N และ Σxy = mΣy2 + cΣy แทนคา Σx = 56 , Σy = 40 , N = 8 , Σxy = 364 และ Σy2 = 256 จะได.. และ56 = 40m + 8c 364 = 256m + 40c แกระบบสมการ ไดคาํ ตอบ m = 1.5 และ c = −0.5 ดงั น้ัน ความสมั พนั ธท ีใ่ ชประมาณรายไดจ าก รายจาย คือ X = 1.5Y − 0.5 เมือ่ Y คือรายจา ย (พนั บาท) และ X คือรายได (พนั บาท) จงึ ไดว า ครอบครวั ที่มีรายจาย 3, 500 บาท จะมีรายไดป ระมาณ 4, 750 บาท ตอบ • ตัวอยา ง ถาความสมั พนั ธเชงิ ฟงกชนั ทีใ่ ชท ํานายกําไร ( y : พันบาท) จากตนทุน ( x : รอยบาท) อยู ในรูป y = mx + c โดยมีสมการทีไ่ ดจากระเบียบวิธีกาํ ลงั สองนอ ยทีส่ ดุ ดังนี้ ___19 = 30 m + 10 c (1) และ 6.6 = 10 m + 4 c ___ (2) ก. เมือ่ ตนทุนเปน 400 บาท จะทํานายกาํ ไรไดเ ปน กีบ่ าท วิธีคดิ การทํานายกาํ ไร ( y ) จากตนทนุ ( x ) สามารถทาํ ได แกระบบสมการ ได m = 0.5 และ c = 0.4 ... นน่ั คือสมการทีใ่ ชไดแก y = 0.5 x + 0.4 ... และเมื่อตน ทนุ เปน 400 บาท ( x = 4 ) จะได y = 0.5(4) + 0.4 = 2.4 ดังนัน้ ตอบวา กาํ ไรเทากบั 2,400 บาท ข. เมื่อกาํ ไรเปน 400 บาท จะสามารถทาํ นายตน ทนุ ได ตองกาํ หนดคา ใดเพิ่มเตมิ ให วิธีคดิ จากสมการที่โจทยใ หมา คือสมการ Σy = mΣx + c N และ Σxy = mΣx2 + cΣx ซ่งึ ใชท ํานายคา y จาก x ... แตถา ตอ งการทํานายคา x จาก y ตอ งใชส มการ Σx = mΣy + c N และ Σxy = mΣy2 + cΣy ซง่ึ เมือ่ เทียบกนั ดแู ลว พบวา ยังตองทราบเพมิ่ อีกอยา งหนง่ึ นัน่ คือ Σy2 ค. ตน ทนุ เฉลี่ย X เทา กับกีบ่ าท วิธีคดิ จากขอ ข. เทียบกบั สมการในโจทย ไดว า Σy = 6.6 , Σx = 10 , N = 4 , Σxy = 19 , และ Σx2= 30 ... จากนน้ั หา X จาก Σx/N = 10/4 = 2.5 หรือตน ทนุ เฉลีย่ เทากับ 250 บาท • ตวั อยา ง ถาใหส มการแทนความสมั พันธเชงิ ฟงกช ันที่ใชประมาณน้ําหนัก ( W : กก.) จากสว นสงู (H : ซม.) ของนกั เรียนกลมุ หน่งึ เปน W = H − a โดยทีท่ ราบวานาํ้ หนักเฉลีย่ และสว นสงู เฉลี่ย เทา กับ 52 3 กก. และ 162 ซม. ตามลาํ ดบั ก. นกั เรียนคนหนง่ึ ในกลมุ นี้สูง 159 ซม. จะมีน้าํ หนักประมาณเทา ใด วิธีคิด จากสมการ W = H − a ยงั ทาํ นายนา้ํ หนักไมไ ดเพราะไมทราบคา a 3 เราสามารถหาคา a ไดจากคาํ ใบท ีว่ า W = 52 และ H = 162 จากความสมั พนั ธ W = H − a ... แทนคา 52 = 162 − a ... จะได a = 2 33 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 391 สถติ ิ ดงั นน้ั นักเรียนทีส่ ูง 159 ซม. จะมีนํา้ หนกั Wl = 159/3 − 2 = 51 กก. (หมายเหตุ : การทีถ่ า W = H − a แลว W = H − a ดว ย จะบอกถึงทีม่ าในแบบฝก หดั ขอ 79) 33 ข. หากนกั เรียนคนหนึง่ สงู ขึ้น 12 ซม. น้ําหนกั จะเพิ่มข้นึ ประมาณเทา ใด * วิธีคดิ ขอ นีห้ า มคาํ นวณจาก W = 12/3 − 2 เดด็ ขาด! เพราะการที่ H เพม่ิ ขน้ึ 12 ซม. ไมไดแ ปลวา H = 12 ... วธิ ีคดิ ทีจ่ ริงคือ +W += H/3 เทา นนั้ คือ +W = 12/3 = 4 กก. (หมายเหตุ ในกราฟเสน ตรง สัดสวนการเปลี่ยนแปลงของ y และ x จะดทู ี่ความชนั m เทา นัน้ ... สว น คา c จะเปน เทาใด ก็เพียงทาํ ใหกราฟยกขน้ึ ลง แตไ มม ีผลตอ การเปลีย่ นแปลงเลย) ข้อมลู ในรูปอนุกรมเวลา หากขอ้ มูลทเี่ ราสนใจ (Y) เป็นข้อมลู ท่ีตวั แปรตน้ มีชว่ งหา่ งเทา่ ๆ กนั เช่น ตวั แปรตน้ เปน็ ปี พ.ศ. ท่หี า่ งเทา่ ๆ กันแล้ว เราจะเรยี กข้อมูล Y ชดุ นัน้ ว่า ขอ้ มูลในรปู อนกุ รมเวลา (Time Series Data) ซ่ึงจะสามารถแทนค่าตัวแปรตน้ X ดว้ ยตวั เลขคา่ นอ้ ยๆ ได้เพือ่ ให้สะดวกในการคํานวณ วิธที ่ี นยิ มท่สี ุดคอื ให้ขอ้ มูลตรงกลางเปน็ เลข 0 แลว้ นับข้นึ ลงเปน็ ±1, ± 2 ต่อไปจนครบทกุ จุด เพราะวิธี นีจ้ ะทาํ ให้ Σx = 0 จึงแกร้ ะบบสมการหาค่าคงที่ (เชน่ m, c) ได้งา่ ย โดยเฉพาะสมการเส้นตรง กบั สมการเอกซ์โพเนนเชยี ล หากจาํ นวนขอ้ มลู เป็นจาํ นวนคู่ ไมม่ ีจดุ ตรงกลาง กจ็ ะใหป้ ีระหว่างกลางนัน้ เป็น ±1 และคู่ ถดั ไปเป็น ±3, ± 5 ไปเรอ่ื ยๆ (เพ่ือรักษาระยะห่างใหเ้ ทา่ ๆ กนั ) แบบน้ีก็ยังได้ Σx = 0 เชน่ กนั • ตวั อยาง จงสรางสมการทาํ นายประชากรในทอ งทีห่ นึง่ ถา กําหนดขอ มลู ที่สํารวจไดด ังตาราง และจากน้นั ใหประมาณจํานวนประชากรในทอ งทีน่ ีใ้ นป 2547 พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543 จํานวนประชากร (พนั คน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0 วิธีคดิ ให Y คือจาํ นวนประชากร และให X เปน −2, −1, 0, 1, 2 แทน พ.ศ. 2535, 2537, ... ตามลําดับ เมือ่ วางคูอ ันดับเหลานี้ลงในแกนพิกัดฉากแลวพบวา มีความสัมพันธกนั แบบเอก็ ซโ พเนนเชียล ดังนน้ั สมการที่เราจะใชคือ log y = log a + x log b และจะหาคา log a, log b โดย.. และΣ (log y) = N log a + log b Σx Σ (x log y) = log a Σx + log b Σx2 แทนคา Σ (log y) = ,0.345 Σx = 0 , N = 5 , Σ (x log y) = 0.988 และ Σx2 = 10 จะได. . และ→ 0.345 = 5 log a 0.988 = 10 log b ไดค ําตอบ log a = 0.069 และ log b = 0.0988 (1) ความสมั พนั ธทีใ่ ชป ระมาณจาํ นวนประชากร คือ log Yl = 0.069 + 0.0988 X เมื่อ Y คือจํานวน ประชากร (พันคน) และ X แทนเวลาตามที่ไดก ําหนด ตอบ (2) ป พ.ศ. 2547 มีคา X = 4 จะได log Yl = 0.069 + 0.0988(4) = 0.4642 หรือ Yl = 100.4642 = 2.912 … ในป พ.ศ. 2547 จะมีประชากรประมาณ 2, 912 คน ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 392 สถิติ แบบฝึกหดั 17.6 (73) [Ent’40] พิจารณาแผนภาพแสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งตัวแปร y O x และ y ดังรูป สมการทใี่ ชแ้ ทนความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x และ y อยใู่ นรปู ใดต่อไปน้ี ก. y = x − 1 ข. y = a − bx, a, b > 0 ค. y = a − bx2, a, b > 0 ง. y = a + bx, a, b > 0 x (74) [Ent’38] จากการทดลองวัดความสมั พนั ธ์ระหว่างเวลา t (วินาท)ี และระยะทาง s (เมตร) ของวตั ถุที่เคลื่อนท่ี ได้ผลดังนี้ t 1234 s 2 8 18 32 ถ้าความสมั พนั ธเ์ ป็นแบบเสน้ ตรงแล้ว เราจะทํานายระยะทางท่วี ัตถุเคล่อื นท่ไี ด้ ในขณะที่ t = 1.5 วินาทไี ด้เท่าใด (75) [Ent’30] ในการประมาณความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั เสน้ ตรง ของ x กบั y โดยวิธกี าํ ลังสองนอ้ ย ท่สี ดุ เม่อื มขี ้อมูล (x, y) ดงั นี้ (0, 5) , (1, 2), (2, 1) จงทํานายคา่ y เมอื่ x = 1 3 (76) [Ent’ต.ค.43] ถ้า y = mx + c เป็นความสัมพนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั เพอ่ื การทาํ นายรายจ่ายหมวด บริการลกู คา้ (y) จากจํานวนพนักงานของโรงแรม (x) ในจงั หวัดหนึ่ง จาํ นวนข้อมูลที่นํามาสร้าง ความสัมพนั ธ์เท่ากับ 5 และมสี มการดงั นี้ 28 = 5c + 10m และ 67 = 10c + 30m พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ขอ้ ใดถกู หรือผดิ บา้ ง ก. ถา้ x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9 ข. X = 5.6 (77) [Ent’31,ต.ค.41] กาํ หนดใหค้ วามสมั พันธ์ระหวา่ งรายได้ (x) และรายจา่ ย (y) ตอ่ เดือนของ ครอบครัวที่อาศัยในอาํ เภอหนง่ึ เปน็ y = 200 + 0.85x ถ้าครอบครัว 2 ครอบครัวมรี ายได้ต่างกัน 1,000 บาท จะมรี ายจ่ายโดยประมาณ ตา่ งกันเท่าใด (78) [Ent’ต.ค.42] พิจารณาขอ้ มูลของ x และ y ดงั น้ี x -3 -1 0 1 3 y 0 a a+3 a+4 a+6 เมอื่ a เป็นค่าคงที่ ให้ x และ y มีความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชันเปน็ กราฟเสน้ ตรงความชัน 1.55 ถา้ x = 4 จะประมาณค่า y ไดเ้ ทา่ ใด (79) [Ent’ม.ี ค.43] ถ้าให้สมการท่ีใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ใช้สาํ หรบั ประมาณจํานวนห้องพัก ท่ีมีแขกมาพกั (แทนดว้ ย y) จากจาํ นวนห้องพกั ทม่ี ีการขอจองล่วงหนา้ (x) คอื y = a + 0.75x โดยท่ี X = 40 , Y = 60 ถามว่าถ้า x = 60 แลว้ จํานวนห้องพักท่มี แี ขกมาพกั จรงิ โดยประมาณ เทา่ กับเท่าใด [Hint : จากสมการที่ 1 ของสมการเส้นตรง นํา N หารสองขา้ ง จะได้ Y = mX + c ] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 393 สถิติ (80) [Ent’37] จากการสอบถามครอบครวั n ครอบครวั ทีม่ ีรายไดต้ อ่ เดือน 5,000 ถงึ 20,000 บาท เกย่ี วกบั รายจา่ ยต่อเดอื น ปรากฏผลดงั น้ี รายได้ (พันบาท) : x x1 x2 x3 … xn รายจ่าย (พนั บาท) : y y1 y2 y3 … yn และมีค่า X = 12 , Y = 5 โดยสมการเส้นตรงท่ีแทนความสัมพันธน์ ้ีตัดแกน y ทีจ่ ุด (0, −3) ถ้า ครอบครวั มรี ายได้ 15,000 บาท จะมีรายจา่ ยโดยประมาณเป็นเท่าใด (81) [Ent’35] ถ้าค่าของตัวแปร x และ y คอื x -1 0 1 2 3 y 1 0 1 3 10 และสมการทใ่ี ช้ประมาณความสัมพนั ธ์ระหว่างสองตัวแปรน้คี อื y = kx2 จงหาคา่ k (82) [Ent’36] จากการสอบถามถึงรายจ่ายของครอบครวั 8 ครอบครัว ทีม่ รี ายได้ต้ังแต่ 1,000 ถึง 14,000 บาท ไดส้ มการที่ใชแ้ สดงความสัมพันธข์ องรายได้ (X) และรายจ่าย (Y) คอื Y = 0.636 X + 0.545 พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ข้อใดถกู หรอื ผิดบา้ ง ก. เราสามารถใชส้ มการข้างต้นประมาณ S ¢o ¤ÇÃÃaÇa§! S รายได้ เม่อื ทราบรายจ่าย 1. ¶Ò ÁÊÕ Á¡Òà Y = ...X... æÊ´§ÇÒ㪷 Òí ¹Ò Y eÁo×è ºo¡¤Ò X ÁÒ ข. ถ้าเพ่มิ ข้อมูลอีก 7 ครอบครัว สมการท่ี ãËe ·Ò¹aé¹ äÁÊÒÁÒöeoÒä»ãª·Òí ¹Ò X ¨Ò¡¤Ò Y ä´ ¶ÒoÂÒ¡ ใชแ้ ทนความสัมพนั ธ์ยังคงเป็นสมการเดมิ ·Òí ¹Ò¨aµo §ãˤÙo a¹´aºÁÒe¾×oè ÊÃÒ §ÊÁ¡ÒÃãËÁã¹ÃÙ» X = ...Y... (83) [Ent’33] สมการแสดงความสัมพันธเ์ ชิงฟังก์ชัน 2. ¶Ò ºo¡¤Ò X ·eèÕ »ÅÕÂè ¹ä» (e¾Áiè ¢Ö¹é ËÃ×oŴŧ¡çä´) ÁÒãË æÅÇ ระหวา่ งตน้ ทนุ (Y: พนั บาท) กับจํานวนสนิ คา้ ทผ่ี ลติ ¶ÒÁ Y ·eèÕ »ÅÕÂè ¹ä» ¨a¤i´e©¾Òa m e·Ò¹é¹a ... e¾ÃÒa㹡ÃÒ¿ (X: รอ้ ยชิน้ ) คอื Y = 2X + 5 ขอ้ ความต่อไปน้ี eʹµÃ§ Êa´ÊÇ ¹¡ÒÃe»ÅÕè¹æ»Å§¢o§ Y æÅa X ¨a¢éÖ¹¡ºa ¤ÇÒÁ ªa¹ m e¾Õ§oÂÒ§e´ÂÕ Ç (¤Ò c äÁÁ ¼Õ Å) ขอ้ ใดถูกหรือผิดบา้ ง ก. ถา้ ต้นทุนเป็น 7,000 บาท คาดว่าผลิตได้ 100 ชนิ้ ข. ถ้าผลติ เพิ่ม 200 ชิ้น คาดว่าตน้ ทุนเพิม่ 4,000 บาท (84) [Ent’23] ตารางท่ีกําหนดให้นเี้ ป็นขอ้ มลู เกี่ยวกบั เงินทใ่ี ชโ้ ฆษณาสินคา้ ต่อเดือน (X: หม่นื บาท) และเงินทไ่ี ด้จากการขายต่อเดือน (Y: แสนบาท) x 51342 y 10 3 6 7 4 หาคา่ ตา่ งๆ ไดด้ งั น้ี Σx = 15 , Σy = 30 , Σx2 = 55 , Σy2 = 210 , Σxy = 107 และ กาํ หนดใหส้ มั พันธ์กนั แบบเสน้ ตรง หากต้องการขายสินค้าให้ไดเ้ ดือนละ 12,000,000 บาท ควร ลงทนุ โฆษณาเท่าใด (85) [Ent’26] จากตารางซึ่งขอ้ มลู สัมพนั ธก์ นั แบบเส้นตรง พิจารณาวา่ ขอ้ ความใดถกู หรือผิดบ้าง x 1234 y 2578 ก. ถา้ y = 10 ทํานาย x ได้ 4.75 ข. Yl = 2X + 0.5 (86) [Ent’34] ขอ้ มลู อนกุ รมเวลา (Y) มีคา่ ดังน้ี พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530 y 20 30 20 40 60 ถา้ Y สัมพนั ธ์กับเวลาในลักษณะเส้นตรงแลว้ จะสามารถทาํ นายคา่ Y ในปี 2535 ได้เท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 394 สถติ ิ (87) [Ent’31] มลู คา่ อตุ สาหกรรมสงิ่ ทอสง่ ออกระหว่างปี 2520 ถงึ 2524 เป็นดังน้ี พ.ศ. 2520 2521 2522 2523 2524 มลู ค่า (ลา้ นบาท) 1 3 4 5 9 ถา้ พยากรณโ์ ดยใช้ความสัมพันธ์เสน้ ตรงแบบกําลังสองน้อยทส่ี ุด จงหามลู ค่าสง่ ออกเฉลย่ี 6 เดอื น แรก ของปี 2525 สูตรสําเรจ็ ของสมการเสน้ ตรง ในกรณที ั่วๆ ไป ระบบสมการท่ีใชห้ าพารามิเตอรน์ น้ั มกั จะแก้หาคําตอบได้ยาก (เนื่องจาก ความแตกตา่ งของตัวเลขสัมประสิทธิ)์ สาํ หรบั รูปแบบเสน้ ตรงนัน้ เราใช้เมตริกซ์แกร้ ะบบสมการ ไดผ้ ลเป็นสูตรสําเรจ็ ดังนี้ 1. หาค่า m จากสูตร m = N Σ(xy) − Σx Σy N Σ(x2) − (Σx)2 2. ตอ่ จากนั้นอาจหาค่า c โดยอาศัยสมบตั ขิ องค่าเฉล่ียเลขคณติ คือ ใชส้ มการ Y = mX + c (สมการน้ีไดจ้ าก นํา N ไปหารสมการปกติท่ี (1) ของรูปแบบเสน้ ตรง นั่นเอง) เฉลยแบบฝึกหดั (คําตอบ) (1) 114.5, 113, 112 ซม. (24) 44.5, 45.93, 46.17 (59.1) 0.3686 (2) ก. ถูก ข. ผดิ (25) 57 คะแนน (26) 5 คน (59.2) 0.4788 (3) เบข้ วา, 4.5, 4, 3 (27) 22, 21 (28) 6 คน (59.3) 0.8603 (4) 40, 70, 70, 120 (29) ง. (30) 26, 20, 29.2 (59.4) 0.0214 (5) 70, 73 คะแนน (31) (4+5+15+18)/4=10.5 (59.5) 0.1170 (6) 55.5 (7) 69 คะแนน (32) 18 (33) 70, 1.2 (60) 89.44 (8) 14 ปี (9) 18 บาท (34) 64-16=48 คะแนน (61) 59.1 คะแนน (10) 47.4 กก. (11) 8 ตวั (35) 58.83, 74.5 กก. (62) 73.4 คะแนน (12) 9 ตวั (13) 11.5 (36) 62.23, 76.77 คะแนน, เกรด B (63) ค. (64) 24 (14) 50, 100 คน (15) 10 คน (37) 22 คน (65) 13.5 คะแนน (16) 192.3+182.3= 374.6 บาท (38) 9, 2.625, 2.67, 3 (66) 0.29 (17) 83 คะแนน (18) 19 (39) (64-4)/2=30 (40) 5 (67) 0.2, 97.73 (19) ผดิ ท้ัง 2 ขอ้ (20) 8/3 (41) 7–3=4 (42) 8 (68) 2.27 (69) ค. (21.1) 1 (21.2) –1 (43) 11.11 ซม. (44) 14.14 (70) ง. (71) 12 (21.3) B − A − 1 (45) 18, 24, 20.25 (46) 4 (72) 3, 8.91 (73) ข. (74) 5 เมตร (75) 4 4N (47) mx2 + ny2 − ⎜⎝⎛ mx + ny ⎞2 (76) ก. ถกู และ ข. ผดิ m+n m + n ⎟⎠ (22.1) 8.6, 8.6, 9.2 (22.2) 61.5, 65.5, 72.83 (48) 96 (49) หญิง, 16.5 / 2 เทา่ (77) 850 บาท (78) 11.2 (79) 75 (80) 7,000 บาท (22.3) 20.5, 20.5, 21.17 (50) 36 (51) ยห่ี ้อ A (81) 1 (82) ก. และ ข. ผดิ (22.4) 69.5, 69.98, 70.21 (52) 50, 7.5, 8.95, 11.52 (53) องั กฤษ (54) 19 ปี (83) ก. ผดิ และ ข. ถกู (22.5) 44.50, 45.93, 46.17 (84) 676,000 บาทตอ่ เดือน (85) ก. ผดิ และ ข. ถกู (22.6) 1802, 1791.17, 1770.93 บาท (55) 28.25 ปี (22.7) 103.25, 103.67, 105.33 บาท (56) 63.5 คะแนน (86) 97 (87) 4.9 ลา้ นบาท (22.8) 67.45, 67.43, 67.35 (57) 5/12 (23) –0.7 (58) 53.85, 16.15, 37.7 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 395 สถติ ิ เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธีคดิ ) (1) X = 112 + 120 + 114 + 122 + 112 + 110 + 114 + 112 ∴ ขอ้ มลู ทง้ั หมด 10 จาํ นวน ได้แก่ 8 38, 43, 55, 62, 67, 73, 73, 74, 80, 85 = 916 = 114.5 ซม. 8 ตอบ Med = (67 + 73) = 70 คะแนน, 2 หรอื ใชส้ มบตั ขิ องคา่ กลางช่วยคดิ โดยการลดทอน ตัวเลขลงใหค้ าํ นวณงา่ ยขนึ้ เชน่ นํา 115 ไปลบออก Mo = 73 คะแนน ทุกจาํ นวน กลายเป็น −3, 5, −1, 7, −3, −5, −1, −3 (6) ฐานนยิ ม = 30 แสดงว่า a = 30 หาคา่ เฉลยี่ ไดเ้ ปน็ (เพราะตอ้ งมี 30 อยา่ งนอ้ ย 3 ตวั ) −3 + 5 − 1 + 7 − 3 − 5 − 1 − 3 = −4 = −0.5 มธั ยฐาน = 40 แสดงวา่ a + b = 40 88 2 ดังนน้ั (บวก 115 กลับคนื ไป) ∴ b = 50 → หา X ของขอ้ มูล X = −0.5 + 115 = 114.5 ซม. Med → เรยี งลาํ ดบั ขอ้ มูลเปน็ 11, 22, 33, 34, 35, 56, 67, 68, 99, 130 110, 112, 112, 11 2 , 1 1 4 , 114, 120, 122 → X = 555 = 55.5 10 Med (7) ฐานนยิ ม = 75 เพราะมีผ้ไู ด้คะแนน 75 ∴ Med = 113 ซม. (อยตู่ าํ แหนง่ ตรงกลางพอด)ี เหมือนๆ กันอยถู่ ึง 80% ของจาํ นวนคนทงั้ หมด และ Mo = 112 ซม. (มีข้อมูลซํา้ มากทสี่ ุด) สมชายได้คะแนน = X = 75 − 6 = 69 คะแนน (2) A : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 → XA = 3 และ [ใช้ 75-6 เพราะเป็นโค้งเบซ้ า้ ย ดงั นนั้ X < Mo ] (8) ไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งคดิ ละเอยี ดถงึ ขนาดหาอายขุ องแต่ MedA = 3 ละคน เพราะวา่ X = 11 ปี → อีก 3 ปีข้างหนา้ จะได้ X ใหม่ = 11 + 3 = 14 ปี B : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5 → XB = 3 และ [เป็นสมบตั ิของคา่ กลาง คอื ถา้ y = mx + c แลว้ MedB = 2.5 ดงั นน้ั ก. ถกู และ ข. ผดิ (3) เรยี งลําดับขอ้ มูล Y = mX + c ดว้ ย] (9) Y = 7 + 0.25 X ดว้ ย → ดังนนั้ หาคา่ X 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 X = 4.5 , Med = 4 , Mo = 3 กอ่ นไดเ้ ลย → X = 32 + 48 + 40 + 56 + 44 = 44 การแจกแจงเปน็ แบบ “เบ้ลาดทางขวา” 5 (เพราะข้อมลู สว่ นมากไปอยทู่ างคา่ นอ้ ย, หรืออาจมอง ∴ Y = 7 + (0.25)(44) = 18 บาท (10) 3W = H − 15 ด้วย จาก Mo < Med < X กไ็ ด้) → หา H โดย H = ∑ H (4) A, B, C, D 15 Mo = 70, Med = 70 แสดงวา่ B = C = 70 = 6(159) + 9(156) = 157.2 ซม. จากนน้ั หา A กบั D จากพิสยั และ X 15 โดย A + 70 + 70 + D = 75 .....(1) → ∴ W = 157.2 − 15 = 47.4 กก. 4 3 และ D − A = 80 .....(2) (11) จาก Xเดมิ = ∑ xเดิม → แกร้ ะบบสมการ ได้ A = 20, D = 100 N ∴ ตอบ ขอ้ มูล 4 จาํ นวนได้แก่ 20, 70, 70, 100 → 11 = ∑ xเดิม → ∑ xเดมิ = 11 N (5) N = 10, X = 65 N → ∑ x = 65 × 10 = 650 คะแนน Xใหม่ = ∑ xเดมิ + 29 = 13 N+1 7 คนแรกไดค้ ะแนนรวม → 11N + 29 = 13 → N = 8 ตวั N+1 55 + 43 + 67 + 80 + 85 + 74 + 38 = 442 (12) ∑ xผดิ = 15N ∴ 3 คนที่เหลอื มคี ะแนนรวมกนั 208 คะแนน → ∑ xถกู = 15N − 12 + 21 = 15N + 9 a , a + 11, a + 11 → 3a + 22 = 208 → a = 62 ∴ 16 = 15N + 9 → N = 9 ตัว N Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 396 สถิติ (13) ∑ xผิด = 12 × 10 = 120 (21.3) ∑ x2 = A .....(1) และ ∑ x2 + 4 ∑ x + 4 N = B .....(2) → ∑ xถูก = 120 − 8 + 3 = 115 แทนค่า (1) ใน (2) จะได้ A + 4 ∑ x + 4 N = B ∴ Xถูก = 115 = 11.5 10 ดงั นนั้ ∑ x = B − A − 4N → X = B − A − 1 4 4N (14) จาก Xรวม = Nชxช + Nญxญ Nช + Nญ (22.1) ข้อมลู ความถ่ี d CF จะได้ 60 = Nช(70) + Nญ(55) .....(1) 3–5 10 -2 10 150 6–8 12 -1 22 9 – 11 15 0 37 และโจทยก์ ําหนด Nช + Nญ = 150 .....(2) 12 – 14 5 1 42 แก้ระบบสมการได้ Nช = 50 คน, Nญ = 100 คน 15 – 17 3 2 45 (15) สมมติ Nช = Xช = A, Nญ = Xญ = B จะไดว้ า่ A + B = 30 .....(1) สําหรับคิด x สําหรบั คดิ Med และจากสตู ร Xรวม จะได้ 50 = A2 + B2 .....(2) X = a + ID = 10 + 3 ⎛ −20 − 12 + 5 + 6⎞ 3 30 ⎜⎝ 45 ⎠⎟ แกร้ ะบบสมการ ได้ A = 10, B = 20 = 10 − 1.4 = 8.6 (เพราะโจทยร์ ะบวุ า่ A < B ) ∴ ตอบ ชาย 10 คน (16) 18,630 = 40Xช + 60Xญ [หมายเหตุ การคดิ X อาจเลอื กชนั้ ใดกไ็ ด้ ไม่ จําเปน็ ตอ้ งคิดตรงตามน้ี แต่คาํ ตอบจะเทา่ กนั เสมอ] ( )Med = 40Xช + 60 (Xช − 10) = L + I ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ = 8.5 + 3 22.5 − 22 ⎜ fMed ⎟ 15 จะได้ Xช = 192.3 บาท ⎝ ⎠ ∴ Xญ = 182.3 บาท รวมกนั เป็น 374.6 บาท = 8.5 + 0.1 = 8.6 (17) 79 = 20(92) + 20(84) + 30(63) + 30(x) Mo = L + I ⎛ dL ⎞ = 8.5 + 3 ⎛ 3 3 ⎞ ≈ 9.2 100 ⎜⎝ dL + dU ⎟⎠ ⎜⎝ + 10 ⎟⎠ ∴ x = 83 คะแนน [หมายเหตุ การคิด Med กบั Mo ต้องเลอื กชนั้ ตามนี้ (18) พิสยั = 12 และ a < 15 → ดงั นนั้ a = 3 เท่าน้นั ] ∑ (xi − b)2 นอ้ ยสดุ → ดังน้นั b = X = 8 ∑ xi − c นอ้ ยสดุ → ดงั นนั้ c = Medx = 8 (22.2) X = 69.5 + 20 ⎛⎜⎝ −15 − 20 − 15 + 20 ⎞⎟⎠ 75 ตอบ 3 + 8 + 8 = 19 = 69.5 − 8 = 61.5 Med = 59.5 + 20 ⎛ 37.5 − 30 ⎞ = 59.5 + 6 ⎝⎜ 25 ⎠⎟ (19) ก. a = Medx = 5, b = X = 8 ดงั นั้น ก.ผิด ข. ∑ x = N X = (20)(8) = 160 ดงั นน้ั ข.ผิด = 65.5 (20) ∑ x + ∑ y = 9 .....(1) Mo = 59.5 + 20 ⎛ 10 5 ⎞ = 59.5 + 13.33 = 72.83 ⎝⎜ 10 + ⎟⎠ ∑ x − ∑ y = 7 .....(2) ∴ ∑ x = 8, ∑ y = 1 ( )(22.3) X = 22 + 5 −20 − 12 + 9 + 8 = 22 − 1.5 50 ตอ้ งการ ∑ (xi − a)2 น้อยสดุ = 20.5 ดังนนั้ a = X = ∑ x = 8 / 3 N Med = 19.5 + 5 ⎛ 25 − 22 ⎞ = 19.5 + 1 = 20.5 ⎝⎜ 15 ⎠⎟ หมายเหตุ ค่า N ไดม้ าจากบนซกิ ม่า 3 Mo = 19.5 + 5 ⎛ 3 ⎞ ≈ 19.5 + 1.67 ≈ 21.17 →∑ ⎝⎜ + ⎟⎠ i=1 3 6 (21.1) ∑ x2 + 2 ∑ x + ∑ 1 = ∑ x2 − 6 ∑ x + ∑ 9 (22.4) ⎜⎛⎝ −30 ⎠⎟⎞ 60 8 ∑ x = ∑ 9 − ∑ 1 = 180 − 20 X = 74.5 + 10 = 69.5 ∴ ∑ x = 20 → X = 20 = 1 Med = 69.5 + 10 ⎝⎛⎜ 30 − 29 ⎠⎞⎟ ≈ 69.98 20 21 (21.2) ∑ x2 + 2 ∑ x + 8 = 1 .....(1) Mo = 69.5 + 10 ⎛ 1 ⎞ ≈ 70.21 และ ∑ x2 + 4 ∑ x + 32 = 9 .....(2) ⎝⎜ 1+ 13 ⎟⎠ (2)-(1) ; 2 ∑ x = −16 → ∑ x = −8 → X = −8 / 8 = −1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 397 สถติ ิ (22.5) X = 44.5 + 10(0) = 44.5 (27) 49.5 = 39.5 + 20 ⎜⎝⎛ 50 − (14 + f1)⎠⎞⎟ 28 Med = 39.5 + 10 ⎛ 50 − 32 ⎞ ≈ 45.93 ⎜⎝ 28 ⎠⎟ → f1 = 22 คน คน∴ f2 = 100 − (14 + 22 + 28 + 15) = 21 Mo = 39.5 + 10 ⎛⎜⎝ 16 ⎞⎟⎠ ≈ 46.17 16 + 8 หรอื ถา้ สงั เกตวา่ 49.5 อยกู่ งึ่ กลางชนั้ พอดี (22.6) ขอ้ นร้ี ะวงั ตาราง “ตีลงั กา” แสดงว่าแบง่ 28 ออกเปน็ ฝงั่ ละ 14 คน X = 1,749.5 + (100) ⎛ 21 ⎞ = 1,802 บาท คอื 14 + f1 + 14 = 50 คน (ซา้ ย) ⎜⎝ 40 ⎟⎠ และ 14 + f2 + 15 = 50 คน (ขวา) กจ็ ะได้ f1 = 22 , f2 = 21 โดยง่าย.. ( ) บาทMed = 1,699.5 + 100 20 − 9 ≈ 1,791.17 12 บาทMo = ⎛ 5 ⎞ ≈ (17 ) 1,699.5 + 100 ⎝⎜ 5 + 2 ⎟⎠ 1,770.93 (28) 62 = 59.5 + 10 ⎛ 12.5 − − fMed ⎞ ⎜ fMed ⎟ (22.7) ⎛ −75 ⎞ บาท ⎝ ⎠ ⎝⎜ 100 ⎠⎟ X = 107 + 5 = 103.25 คน→ fMed = 6 (29) P80 จาก 4,000 คน แปลวา่ มคี นท่ีได้คะแนน Med = 99.5 + 5 ⎛⎜⎝ 50 − 25 ⎠⎟⎞ ≈ 103.67 บาท นอ้ ยกว่าอยู่ 80% และมากกวา่ อยู่ 20% 30 Mo = 104.5 + 5 ⎝⎜⎛ 5 5 ⎞⎠⎟ ≈ 105.33 บาท ดังนน้ั ข้อ ง. จึงถูก (20% ของ 4,000 = 800 คน) + 25 สว่ นข้อ ข. นนั้ ไม่เกย่ี วขอ้ งเลย (P80 ไมส่ ามารถบอก (22.8) X = 67 + 3(0.15) = 67.45 กก. ได้วา่ ได้ก่ีคะแนน) ( ) กก.Med = 65.5 + 3 0.50 − 0.23 ≈ 67.43 0.42 (30) เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก เทา่ นน้ั 0.24 4, 4, 9, 12, 12, 16, 17, 19, 20, 20, 24, 26, 30, 31, 32 0.24 + 0.15 กก.Mo = ⎛ ⎞ 65.5 + 3 ⎝⎜ ⎟⎠ ≈ 67.35 Q3 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 3 (15 + 1) = 12 4 (23) ข้อมลู -4 -3 1 2 3 D6 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 6 (15 + 1) = 9.6 ความถี่ 30 20 10 20 20 10 ดังนน้ั Q3 = 26 และ D6 = 20 X = −4(30) − 3(20) + 1(10) + 2(20) + 3(20) = −0.7 P80 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 80 (15 + 1) = 12.8 100 100 (24) แปลงข้อมลู เปน็ ตาราง คะแนน จาํ นวนคน ∴ P80 = 26 + (0.8)(4) = 29.2 แล้วจงึ คาํ นวณ 0–9 5 (ในกรอบเปน็ การเทยี บสดั สว่ น... 0.8 คอื ตาํ แหนง่ ที่ 10 – 19 8 20 – 29 7 ต้องการ และ 4 คือผลตา่ งระหวา่ ง 26 กับ 30) 30 – 39 12 (31) P10 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 10 (9 + 1) = 1 100 40 – 49 28 50 – 59 20 D2 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 2 (9 + 1) = 2 10 60 – 69 10 ดงั นน้ั P10 = 4 และ D2 = 5 70 – 79 10 X = 44.5 + 10(0) = 44.5 คะแนน และ P60 = 15, Q3 = 18 (คิดแบบเดยี วกนั ) ( )Med = 39.5 + 10 50 − 32 ≈ 45.93 คะแนน ∴ ค่าเฉลย่ี = 4 + 5 + 15 + 18 = 10.5 28 4 Mo = 39.5 + 10 ⎛ 16 ⎞ ≈ 46.17 คะแนน (32) D6 อยตู่ าํ แหน่งท่ี 6 (13 + 1) = 8.4 ⎜⎝ 16 + ⎟⎠ 10 8 ∴ 20 = x + (0.4)(23 − x) → x = 18 ( )(25) Med = 49.5 + 10 18 − 12 = 57 คะแนน 8 (33.1) เรยี งขอ้ มลู เปน็ ⎛ ⎜⎝⎛ 13 + a ⎠⎞⎟ − (3 + a) ⎞ 11, 12, 15, 19, 24, 27, 28, 29, 30 ⎜ 2 ⎟ (26) ⎜ ⎟ 28 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 7 จาก 9 7 = 6.5 + 3 ⎝6⎠ → a = 5 คน → ∴ r (9 + 1) = 7 → r = 70 (P70) 100 (ในกรอบเปน็ สมการบอก “ตําแหนง่ ท”่ี ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 398 สถิติ (33.2) 15 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 3 จาก 9 P25 = 100.5 และ Q3 = 110.5 → ∴ r (9 + 1) = 3 → r = 1.2 (Q1.2) ถ้าสงั เกตดๆี จะพบวา่ 100.5 กบั 110.5 เป็นขอบ 4 ของชน้ั พอดี แสดงวา่ ตารางโดนตดั แบ่งเปน็ อตั ราส่วน 1 : 2 : 1 ดังแสดงใหด้ ู (34) Q3 อยตู่ าํ แหน่งท่ี 3 (32) = 24 ∴ จะหาคา่ x ได้ จาก 1 + 3 + x + 5 = 10 + 4 4 และ ตอบ 1 + 3 + x + 5 + 8 = 14 + 8 = 22 คน → 24 = 4 log2 x → x = 64 = Q3 [หมายเหตุ อาจจะหา x = 5 กอ่ นก็ได,้ และยัง สามารถหา y ได้โดย 8 + y = 2(10 + 4) ด้วย] P50 อยตู่ ําแหนง่ ท่ี 50 (32) = 16 100 (38) Range = 21 − 12 = 9 → 16 = 4 log2 x → x = 16 = P50 QD = Q3 − Q1 → ต้องหาคา่ Q3, Q1 กอ่ น ∴ ตอบ 64 − 16 = 48 คะแนน Q3 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 3 (6 + 1) = 5.25 4 (35) กก. คน CF ∴ Q3 = 18 + (0.25)(3) = 18.75 31 – 40 3 3 41 – 50 7 10 Q1 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 1 (6 + 1) = 1.75 51 – 60 24 34 4 61 – 70 10 44 71 – 80 5 49 ∴ Q1 = 12 + (0.75)(2) = 13.5 81 – 90 1 50 D6 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 6 (50) = 30 → QD = 18.75 − 13.5 = 2.625 10 2 ∴ D6 = 50.5 + (10) ⎛⎝⎜ 30 − 10 ⎠⎟⎞ ≈ 58.83 กก. MD กับ SD ต้องหาค่า X ก่อน 24 X = 12 + 14 + 14 + 17 + 18 + 21 = 16 P92 อยตู่ ําแหนง่ ท่ี 92 (50) = 46 6 100 MD = 4 + 2 + 2 + 1 + 2 + 5 = 2.67 ∴ P92 = 70.5 + (10) ⎛ 46 − 44 ⎞ = 74.5 กก. 6 ⎝⎜ 5 ⎟⎠ SD = 42 + 22 + 22 + 12 + 22 + 52 = 9 = 3 (36) 6 F 40% B 40% A 20% ขอ้ สังเกต QD, MD, SD จะตอ้ งมีค่าใกลเ้ คยี งกนั P40 P80 (39) Q3 อยตู่ าํ แหนง่ 300 แสดงว่าต้องการทราบคา่ คะแนนทตี่ รงกับ P40, P80 → 300 = 100 log4 x → x = 64 = Q3 P40 อยตู่ ําแหนง่ ท่ี 40 (40) = 16 Q1 อยตู่ ําแหนง่ 100 100 → 100 = 100 log4 x → x = 4 = Q1 ( )→ P40 = 59.5 + 10 16 − 13 ≈ 62.23 คะแนน ∴ QD = 64 − 4 = 30 คะแนน 11 2 P80 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 80 (40) = 32 (40) จาก Q3 − Q1 = 2 และ Q3 − Q1 = 2 100 2 Q3 + Q1 3 ( )→ จะได้ Q1 = 1, Q3 = 5 ดังน้ัน P75 = Q3 = 5 P80 = 69.5 + 10 32 − 24 ≈ 76.77 คะแนน 11 (41) 1, a, b, 5 → 1 + a + b + 5 = 4 .....(1) 4 ∴ ตอบ ตดั เกรดที่ 62.23 กบั 76.77 คะแนน และ 32 + (a − 4)2 + (b − 4)2 + 12 = 5 .....(2) และถา้ ได้ 71 คะแนน จะได้เกรด B 4 (37) ค่าจ้าง (บาท) จํานวนคน แกร้ ะบบสมการได้ a = 3, b = 7 (เพราะโจทย์กาํ หนด a < b ) → ∴ b − a = 4 81 – 85 1 86 – 90 3 1 :2:1 91 – 95 x 96 – 100 5 101 – 105 8 106 – 110 y 111 – 115 10 116 – 120 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 399 สถติ ิ (42) X = 2QD → หา X ได้เป็น 48 + a (48) Xรวม = 1,320 = 22 คะแนน 7 60 หา QD ได้ 2 กรณี ดังนี้ → กลมุ่ 10 คน X1 = 32, s1 = 0 ก. ถ้าเรยี งขอ้ มลู เป็น 2, a , 4, 6, 9, 12 , 15 → กลุ่ม 50 คน X2 = 1,000 = 20, s2 =? จะได้ QD = 12 − a → a = 4.5 (ผิด) 50 2 สตู ร 100 + 222 = 10(02 + 322)+ 50(s22 + 202) ข. ถา้ 4 < a < 12 จะได้ขอ้ มลู เปน็ 60 2, 4 , 6 9 , 12 , 15 → s22 = 96 คะแนน 2 (a) (a) (a) (49) สูตร Xรวม = 150 = 12(150) + 8(Xญ) (คา่ a อยทู่ ่ใี ดทห่ี นง่ึ ใน 3 ชอ่ งน)้ี 20 ซึ่งพบวา่ QD = 12 − 4 → a = 8 (ถูก) → Xญ = 150 ซม. ดว้ ย 2 สูตร s2รวม ไมต่ อ้ งคดิ X เพราะสองกลมุ่ เท่ากัน (43) 90% ของ sจรงิ = 10 ซม. = 10 × 100 12(22) + 8(s2ญ) → 90 20 ซม.→ → 32 = Sญ = 16.5 sจรงิ = 11.11 (44) 6 = ∑ x2 − 422 → ∑ x2 = 1,800 สปส.การแปรผนั ⎝⎛⎜ s ⎞⎠⎟ ญ= 16.5 , ช = 2 NN X 150 150 → sจรงิ = 1,800 − 402 = 200 ≈ 14.14 จึงตอบวา่ หญงิ กระจายมากกวา่ อยู่ 16.5 / 2 เทา่ (45) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 (50) ∑(x − 5)2 = ∑ x2 − 10 ∑ x + 250 = 370 5 X1 = =9 แทนค่า ∑ x = 60 จะได้ ∑ x2 = 720 และ X2 = 3 + 9 + 15 =9 ความแปรปรวน s2 = ∑ x2 − X2 3 N เนอื่ งจาก X1 = X2 ดงั นน้ั สตู รหาความแปรปรวน = 720 − ⎛ 60 ⎞2 = 36 10 ⎝⎜ 10 ⎟⎠ รวม จะลดเหลือเพียง s2รวม = N1s21 + N2s22 N1 + N2 (51) การวดั คณุ ภาพการผลติ ไมไ่ ดเ้ ทียบกนั ท่ี X ซง่ึ ขอ้ น้ี s21 = 62 + 32 + 02 + 32 + 62 = 18 แต่จะเทยี บกันทก่ี ารกระจาย ดงั นัน้ เราตอ้ งหา s / X 5 sA = 12 + 52 + 12 + 152 + 102 = 70.4 ≈ 8.39 และ s22 62 + 02 + 62 5 = 3 = 24 → s = 8.39 = 0.27 จงึ ได้ s2รวม = 5(18) + 3(24) = 20.25 X 31 8 62 + 192 + 62 + 162 + 02 + 32 ≈ (46) Xรวม = N(5) + N(3) = 4 sB = 6 116.33 2N ≈ 10.79 → s = 10.79 = 0.32 สูตร s2รวม → 32 + 42 = N(02 + 52)+ N(s22 + 32) X 34 2N ∴ ยหี่ อ้ A คุณภาพดกี ว่า (เพราะคา่ การกระจาย → s2 = 4 น้อยกวา่ ) (52) Range = 99.5 − 49.5 = 50 คะแนน (47) Xช = x, Xญ = y, sช = 0, sญ = 0 (เพราะทกุ คนอายุเท่ากนั หมด) QD → หา Q3 กับ Q1 ก่อน Q3 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 75 → Q3 = 79.5 (ขอบพอด)ี จะได้ Xรวม = mx + ny Q1 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 25 → Q1 = 64.5 (ก่งึ กลางชนั้ m+n พอด)ี ∴ QD = 79.5 − 64.5 = 7.5 คะแนน สตู ร s2รวม + X2รวม = m(02 + x2)+ n(02 + y2) 2 m+n mx2 + ny2 ⎝⎜⎛ mx + ny ⎠⎟⎞2 m+n m + n ปี∴ s2รวม = − 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 400 สถติ ิ MD กับ SD ตอ้ งหา X กอ่ น (59.1) 0.3686 (59.2) 0.4788 → X = 74.5 + (10) ⎛⎝⎜ −15 ⎠⎟⎞ = 73 คะแนน 100 MD = 15(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5) (59.3) 0.3830 + 0.4773 = 0.8603 100 = 8.95 คะแนน และ SD = 15(18.5)2 + 20(8.5)2 + 40(1.5)2 + 15(11.5)2 + 10(21.5)2 100 (59.4) 0.4987 − 0.4773 = 0.0214 = 132.75 ≈ 11.52 คะแนน (59.5) 0.5 − 0.3830 = 0.1170 (53) z ไทย = 48 − 45 = 0.25 (60) s = 12, s = 0.24 ∴ X = 50 12 X x = 65 → z = 65 − 50 = 1.25 zองั กฤษ = 35 − 32 = 0.3 10 12 ∴ อังกฤษดกี ว่า → A = 0.3944 ทางขวา (54) X = 640 = 16 ปี s = 2 ปี คดิ เป็น P89.44 40 (61) P10 → A = 0.4 ทางซา้ ย → zn = 18 − 16 = 1→ zข = 1.5 2 → z = −1.29 = x − 72 10 xข − 16 2 → x = 59.1 คะแนน ปี∴ 1.5 = → (62) (เหมอื นขอ้ ทีแ่ ล้ว) xข = 19 D3.3 → A = 0.17 ทางซา้ ย (55) จากสมบัตวิ า่ ∑ z = 0 ดังนน้ั → z = −0.44 = x − 80 15 x − 25 13 → x = 73.4 คะแนน ปีzคนสดุ ท้าย (63) แปลงทุกขอ้ ใหอ้ ยู่ในรปู เดียวกนั = 0.25 = → x = 28.25 (เชน่ แปลงเปน็ คา่ z ก็ได้) ก. P80 → A = 0.3 ทางขวา → z = 0.84 (56) จาก zก = xก − X ข. z = 1.50 s ค. z = 85 − 60 = 2.5 จะได้ −1.6 = −5 → s = 3.125 คะแนน 10 s ง. D7 คอื P70 จงึ นอ้ ยกว่า P80 ในขอ้ ก. แนน่ อน จาก zข = 1.28 = 60 − X → X = 56 คะแนน ∴ ตอบ ค. 3.125 ∴ 2.4 = xค − 56 → xค = 63.5 คะแนน 3.125 (57) เลือกใช้ 2 ชอ่ งใดๆ คาํ นวณก็ได้ แตถ่ ้าเลอื ก z = 0 จะงา่ ย เพราะได้ x = X เลย นนั่ คอื ถา้ z = 0 → 0 = 60 − X → X = 60 s และจาก 1.0 = 85 − 60 → s = 25 s ดงั นนั้ สัมประสทิ ธิ์การแปรผนั = 25/60 = 5 / 12 (58) 1 = 70 − X → 70 − X = s .....(1) s s = 0.3 → s = 0.3X .....(2) X แก้ระบบสมการได้ X = 53.85 คะแนน s = 16.15 คะแนน และ −1 = x − 53.85 → x = 37.7 คะแนน 16.15 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 660
Pages:
