MATH ebook

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 601 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 (11) r1 มีขอบเขตเป็นพาราโบลา y + 3 < x2 (15) f (x) = x2 − 1 และ g−1(x) = x3 − 1 จึงทาํ ให้ r '1 มขี อบเขตเปน็ พาราโบลา y + 3 > x2 ก. f + g−1 = x3 + x2 คือพาราโบลาหงาย จดุ ยอด (0,–3) แรเงาดา้ นใน.. ข. fog−1 = (x3 + 1)2 − 1 = x6 + 2x3 สว่ น r2 มีขอบเขตเปน็ เส้นตรง 2y > x − 3 ท้ังสองขอ้ เปน็ ฟังก์ชันเพ่มิ บนชว่ ง [0, ∞) จริง คือเสน้ ประเฉียงขน้ึ ผา่ นจดุ (0,–3/2) แรเงาด้านบน.. (เพราะถา้ x เพม่ิ ข้ึน y ยอ่ มเพิม่ ด้วย) ตอบ ขอ้ 1. ข้อ 1. กบั 2. r '1∩ r2 (16) สมการวงกลมมีจดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ที่ C(-2,4) ไม่มจี ดุ สงู สดุ (สงู ขึน้ ไดเ้ รอื่ ยๆ) ดงั นน้ั mOC = −2 และสมการ OC คือ y = −2x และไมม่ ีจุดตา่ํ สดุ (เพราะขอบเขตเปน็ เสน้ ประ) ความยาว OC เทา่ กับ 22 + 42 = 20 = 2 5 ดังนนั้ วงกลมท่มี ี OC เปน็ เสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง จะตอ้ ง ข้อ 3. กับ 4. r '1− r2 = r '1∩ r '2 มีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (-1,2) และรศั มียาว 5 หน่วย.. จดุ สูงสดุ คอื (3/2,–3/4) สรา้ งสมการได้ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5 (หาโดยแก้ระบบสมการ) และจดุ ตาํ่ สดุ คอื (0,–3) ดังรปู กระจายเปน็ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 ตอบ ขอ้ 1. ตอบ ขอ้ 4. (17) 6 (x2 + 2x + 1) + 5 (y2 − 4y + 4) = 4 + 6 + 20 (12) จาก gof = (f − 1)2 หาโดเมน; เนอ่ื งจาก (f − 1)2 น้ัน f เป็นอะไรก็ได้ → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 เปน็ วงรแี นวตง้ั ดังนน้ั x + 1 เป็นอะไรกไ็ ด.้ . นน่ั คือ x > 0 56 สรุป Dgof = [0, ∞) หาเรนจ;์ เนอื่ งจาก x > 0 → x + 1 > 1 มจี ดุ ศูนยก์ ลางที่ (-1,2), a = 6, b = 5, c = 1 ดังนนั้ f > 1 ..ทาํ ให้ f − 1 > 0 → (f − 1)2 > 0 ดังนนั้ V(−1, 2± 6), F(−1, 2±1) หาสมการไฮเพอร์โบลาที่ C(−1, 2), V(−1, 2±1), แกนสงั ยคุ ยาวเทา่ แกนโทของวงรี (คอื b = 5 ) จะได้ (y − 2)2 − (x + 1)2 = 1 15 นัน่ คอื 5 (y − 2)2 − (x + 1)2 = 5 สรปุ Rgof = [0, ∞) กระจายได้ 5y2 − x2 − 20y − 2x + 14 = 0 จาก fog = g + 1 หรอื ใช้เปน็ x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 ตอบ หาโดเมน; เนือ่ งจาก g + 1 นน้ั g > 0 เท่านนั้ (18) 1 0 −x2 = x3 − 6x2 + 5 = 0 จึงได้วา่ (x − 1)2 > 0 ซง่ึ เป็นจริงเสมออยูแ่ ลว้ 21 0 x3 5 สรุป Dfog = R → (x − 1)(x2 − 5x − 5) = 0 → x = 1, 5 ± 3 5 หาเรนจ;์ เนือ่ งจาก (x − 1)2 > 0 → g > 0 2 จงึ ทาํ ให้ g > 0 → g + 1 > 1 สรปุ Rfog = [1, ∞) ตอบ ขอ้ 3. (ก. ผดิ , ข. ถูก) แต่ 5 − 3 5 มคี า่ ตดิ ลบ.. จงึ มจี าํ นวนจรงิ บวกทีเ่ ปน็ 2 คําตอบเพยี ง 2 จํานวน ตอบ (13) จาก g = 1 (19) 3I − A = ⎡3−a 0 −2⎤ 2− 2+x ⎢0 1 0⎥ ⎣⎢ −a 0 5 ⎥⎦ จะได้ gof = 1 2− 4+x det (3 I − A) = 15 − 5a − 2a = 8 → a = 1 หาโดเมน; 2 − 4 + x ≠ 0 → x ≠ 0 ดังนน้ั A = ⎡1 0 2⎤ และ det(A) = –4–4 = –8 และ 4 + x > 0 → x > −4 ⎢0 2 0⎥ ดงั นนั้ Dgof = [−4, 0) ∪ (0, ∞) และ ⎣⎢ 1 0 −2⎦⎥ Dgof− A = [−4, 0) มจี าํ นวนเต็ม 4 จาํ นวน ตอบ (14) หา g−1(1) โดยให้ x3 − x2 − x − 1 = 1 แลว้ หา ประโยค ⎣⎡ A I ⎦⎤ ~ ⎣⎡ I B ⎦⎤ แปลวา่ B = A−1 ค่า x โดยหารสงั เคราะห์ ( x3 − x2 − x − 2 = 0 ) ได้ x=2 หมายความวา่ g(2) = 1 ดงั นัน้ g−1(1) = 2 จาก det (B adj A) = det(adjA) = (det(A))n−2 ตอบ (fog−1)(1) = f (2) = 4 − 2 − 1 = 1 det(A) ตอบ (−8)3 −2 = −8 [หมายเหตุ วธิ พี สิ ูจน์ det(adjA) = (det(A))n−1 อยู่ ในแบบฝกึ หัดเรอ่ื งเมตรกิ ซ์ ข้อ 67] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 602 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 1 (20) จากโจทยจ์ ะได้ (2)x (1−x) > (2)−2 ฐานเทา่ กนั (24) เขียนกราฟของเงอ่ื นไขไดด้ งั รูป 33 y สมมตวิ า่ P สูงสดุ เกดิ ท่ี ตัดทิ้งได้ (แต่เปน็ ฟังกช์ ันลด ตอ้ งพลกิ เครอ่ื งหมาย) (2,3) จะได้ว่า จะได้ x (1 − x) < −2 → x − x2 + 2 < 0 4 (2,3) 150 = (a/2)(2)+25(3) แยกตัวประกอบได้ (x − 2)(x + 1) > 0 นนั่ คอื a = 75 ดังนนั้ A = (−∞, −1) ∪ (2, ∞) และ A ' = [−1, 2] O5 x ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง เซต B ท่ีตรงตามที่โจทยต์ อ้ งการคือขอ้ 1. ตอบ โดยแทนคา่ (0,4) (21) จากโจทย์ จดั รูปฝงั่ ซา้ ยของอสมการได้ดงั น้ี และ (5,0) ลงไป พบวา่ P(5,0)=187.5 ซึง่ มากกวา่ log 3(x − 3) − 1 log 3(x − 3) + 1 log 3(x − 3) − ... 2 4 150 แสดงวา่ ทจี่ รงิ แลว้ P สูงสดุ เกิดทจี่ ดุ (5,0) = (1 − 1 + 1 − 1 + ...)(log 3(x − 3)) ดังนน้ั 150 = (a/2)(5)+25(0) ... ได้ a = 60 2 4 8 ตอบ ข้อ 3. 1 )(log 2 = ( + 1/2 3(x − 3)) = 3 (log 3(x − 3)) (25) lim f(x) = lim x − 2 = lim x −2 1 2−x x → 2− x → 2− 2 − x x → 2− ดังนน้ั จากโจทยจ์ ะได้ 2 (log 3(x − 3)) < 1 = lim −(2 − x) = lim − 2 − x = 0 3 x → 2− 2 − x x → 2− → (log3(x− 3)) < 3 → x− 3<3 3 และ lim f(x) = lim 2 − x = lim −(2 − x) 2 x → 2+ x → 2+ 2 − x x → 2+ 2 − x → x<4 3 = lim −( 2 − x)( 2 + x) = lim − ( 2 + x) x → 2+ 2− x x → 2+ แตต่ อ้ งคาํ นงึ ถึงเงื่อนไขของสง่ิ ทอ่ี ย่ใู น log ด้วย คอื x − 3 > 0 → x > 3 = −2 2 ดังนน้ั ตอบ ขอ้ 4. สรปุ .. ช่วง (a,b) คอื ( 3, 4 3) ตอบ 5 3 ส่วนที่สอง ตอนที่ 1 (1) จาก x = tan (arctan (1/3) + arctan (1/2)) (22) เซต A; 3 x2 − 8x + 16 + 2 3 x − 4 + 1 = 0 ให้ 3 x − 4 = a จะได้ a2 + 2a + 1 = 0 ใชส้ ตู ร tan(A+B) จะไดเ้ ป็น นั่นคอื a = −1 → 3 x − 4 = −1 → x = 3 x = 1/3 + 1/2 = 1 1 − (1/3)(1/2) ดงั นน้ั เซต A = {3} และจาก y = sin (arcsin (1/ 10) + arcsin (1/ 5)) เซต B; log 39 + (log3 x)2 = 2 log3 3x ใช้สตู ร sin(A+B) จะไดเ้ ปน็ น่ันคอื 2 + (log3 x)2 = 2 y = ( 1 )( 2 ) + ( 3 )( 1 ) = 5 = 1 log3 3 + log 3 x 10 5 10 5 50 2 ให้ log3 x = a จะได้ 2 + a2 =2 (หาคา่ cos ไดจ้ ากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก) 1+ a ตอบ (x − y)(x + y) = x2 − y2 = 1 − 1 = 0.5 → 2 + a2(1 + a) = 2 (1 + a) → a3 + a2 − 2a = 0 2 (2) พืน้ ที่ส่เี หลย่ี ม ||˜˜AABB ||⋅⋅||˜˜AADD|| sin θ = 24 → a (a + 2)(a − 1) = 0 → a = 0, −2, 1 = และจาก ˜AB ⋅ ˜AD = cos θ = 3 ดงั นน้ั x = 30, 3−2, 31 = 1, 1/9, 3 นาํ สองสมการมาหารกนั จะได้ tan θ = 8 ตอบ เซต C; มีสมาชกิ เปน็ log 3 a ได้แก่ b (3) จาก z − z = (1 − 3 i) − (1 + 3 i) = − 3 i , ,log3 3 3 = 3 3 0 22 22 1 = 1 log 3 1/9 log 3 3 = และ i17 = i1 = i และ ตอบ {0,1,3} z18 = (1∠(π/ 3))18 = 118∠(18π/ 3)) = 1∠6π = 1 (23) เขยี นกราฟของ y ดงั นน้ั z−z = − 3i = 3 เงื่อนไข ไดด้ งั รปู i 17+ z 18 i+1 2 (0,10) ⎛ z − z ⎞2 คา่ ตา่ํ สุดของ C ⎜⎝⎜ i 17+ z 18 ⎠⎟⎟ ตอบ ค่าสัมบูรณข์ อง คือ ( 3)2 = 1.5 เกดิ ที่ (3,1) 2 ตอบ Cmin = 17 (3,1) (4,1/2) Ox Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 603 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 (4) ⎛⎜⎝ 23 ⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝ 7 ⎟⎠⎞ + ⎜⎝⎛27 ⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝ 3 ⎟⎞⎠ = 21 + 63 = 0.7 ตอบ (10) ตารางทใ่ี หม้ า คะแนน จาํ นวน CF 1 1 120 เรียงขอ้ มลู จากมาก ไปนอ้ ย จึงควรกลบั 30 – 39 1 1 ⎜⎝⎛ 10 ⎟⎞⎠ 40 – 49 4 5 3 ดา้ นก่อน และเขยี น 50 – 59 10 15 (5) ให้ขอ้ มูลทั้งสีไ่ ด้แก่ a, b, c, d ความถส่ี ะสมไดด้ งั นี้ 60 – 69 20 35 มีสองคนหนกั เทา่ กนั และนอ้ ยกว่าอกี สองคนท่เี หลอื 70 – 79 30 65 แสดงวา่ a, b เทา่ กันและเปน็ ฐานนยิ มด้วย = 40 มธั ยฐานอยู่ตาํ แหน่ง 80 – 89 25 90 มัธยฐาน = 41 แสดงวา่ c = 42 ท่ี 100/2 = 50 90 – 99 10 100 พสิ ยั = 6 แสดงว่า d = 46 ซึง่ พบวา่ อยู่กง่ึ กลางชน้ั 70-79 พอดี ดงั นนั้ มธั ยฐาน ดงั นนั้ ขอ้ มูลทั้งสคี่ ือ 40, 40, 42, 46 กก. เทา่ กับจดุ กง่ึ กลาง คอื 74.5 คะแนน คาํ นวณค่าเฉลย่ี เลขคณติ ไดเ้ ท่ากบั 42 กก. ตอบ s2 = 22 + 22 + 02 + 42 = 24 = 6 ควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 อยู่ตาํ แหนง่ ท่ี (3/4)(100) = 75 44 ดงั นนั้ Q3 = 79.5 + 10 (75 − 65) = 83.5 คะแนน (6) จาก 4 sin2 x + 11 cos x − 1 = 0 จะได้ 25 ตอบ ตา่ งกนั อยู่ 9 คะแนน 4 (1 − cos2 x) + 11 cos x − 1 = 0 → 4c2 − 11c − 3 = 0 → (4c + 1)(c − 3) = 0 ส่วนที่สอง ตอนที่ 2 (1) จาก det (2At) = 22 det(A) แต่ cos x = 3 ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ cos x = –1/4 เท่านน้ั = 4 (sin 3θ cos θ + cos 4θ sin 2θ) โจทยถ์ าม cot2(x + π) + 1 2 cos (x − 3π) = tan2 x + 1 = (± 15)2 + 4 = 19 ตอบ = 2 (sin 4θ + sin 2θ + sin 6θ − sin 2θ) − cos x (หาคา่ tan x มาจากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก) = 2 (sin π/3 + sin π/2) = 2 ( 3 + 1) 2 (7) จาก an = znzn = (1 − 2 −n − 3 i)(1 − 2 −n + 3 i) = 3 + 2 ตอบ = (1 − 2 − n)2 + 32 = 1− 2 + 2 +9 (2) ข้อ 1. กบั 2. ผิด เพราะคา่ ทไี่ ดอ้ าจเปน็ บวกหรอื 2n 22n ติดลบก็ได้ ข้ึนอยู่กับควอดรนั ต์ ดงั นน้ั ตอบ lim an = 1 − 0 + 0 + 9 = 10 ขอ้ 4. ผดิ เพราะ arccos ติดลบ กบั arctan ติดลบ n→∞ น้นั อยู่คนละควอดรันตก์ นั (ไมม่ ที างเทา่ กนั ได)้ แตถ่ งึ แมว้ า่ ขอ้ 4. จะผดิ ขอ้ 3. ก็ยงั ถกู เพราะคา่ (8) จาก ∫ (fog)(x) dx = x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − c tan ของมมุ ๆ นนั้ เทา่ กบั -2 จรงิ ๆ (เพียงแตเ่ ขียนเปน็ แสดงวา่ (fog)(x) = 5x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 คาํ วา่ arctan(-2) ไม่ได!้ ) ตอบ ข้อ 3. จากน้ันใชก้ ฎลูกโซ่ คอื (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) ตอ้ งการหาคา่ f′(6) จงึ พยายามแทนค่า g(x) เปน็ 6 (3) แยกตวั ประกอบได้ (sin θ)( 2 sin θ − 1) > 0 ซ่ึงจากโจทยพ์ บวา่ g(1) = 6 เราจึงแทน x ด้วย 1 2 cos θ − 1 ตลอดสมการ ไดเ้ ป็น (fog)′(1) = f′(6) ⋅ g′(1) กรณีแรก บน > 0 และล่าง > 0 ดงั นนั้ f′(6) = (fog)′ (1) = 20(1)3 − 12(1)2 + 6(1) − 2 เขียนเส้นจาํ นวนแล้วหาคาํ ตอบในวงกลม π/π3/4 g′(1) 6(1)2 + 6(1) sin θ = 12 = 1 ตอบ 0 1/ c2os θ 0 2π 12 5π/3 1/2 (9) วิธที ้ังหมด ลบดว้ ย วธิ ที ่ผี ูช้ ายทุกคนอยู่ดว้ ยกนั * วธิ ที ผ่ี ูช้ ายอยดู่ ว้ ยกนั คอื แบ่งผหู้ ญงิ เป็น 4 กับ 1 พบวา่ ในเซตคาํ ตอบมีจาํ นวนนบั 1 และ 6 คน ได้ 5! = 5 วธิ ี แตต่ ้องตง้ั ชอื่ กล่มุ เปน็ A, B (คิดโดยประมาณคา่ π ≈ 3.14 ) 4! 1! กรณที ีส่ อง บน < 0 และลา่ ง < 0 ด้วย จงึ คูณอกี 2! ได้เปน็ 10 วิธี * วิธที ั้งหมดคือแบ่งคน 8 คนออกเป็น 4 กบั 4 คน sin θ 3π/4 ได้ 8! = 35 วิธี แตต่ อ้ งตัง้ ชอ่ื กลมุ่ เปน็ A, B 0 1/ 2 π 4!4!2! cos θ เชน่ กนั จงึ คณู อกี 2! ได้เปน็ 70 วิธี 1/2 ตอบ 1 − 10 = 6 ≈ 0.86 พบว่าในเซตคาํ ตอบมจี ํานวนนบั คอื 3 70 7 ตอบ มจี าํ นวนนับรวม 3 จาํ นวน Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 604 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 1 (4) ให้ u = v = a จะไดว้ า่ (10) x-2 หาร f(x) และ f’(x) เหลอื เศษ 3 และ 4 a2 + a2 + 2a2 cos θ = 2 a2 + a2 − 2a2 cos θ หมายความว่า f(2)=3 และ f’(2)=4 (ทฤษฎเี ศษ) ยกกําลงั สองท้งั สองขา้ ง และดึงตวั รว่ มไดเ้ ปน็ ดังนน้ั จาก g(x) = f(x) จะได้ (x − 1)2 2a2(1 + cos θ) = 4 (2a2)(1 − cos θ) dg (x − 1)2 f′(x) − f(x) 2 (x − 1) ∴ cos θ = 0.6 ตอบ ข้อ 2. dx = g′(x) = (x − 1)4 (เพราะ cos 45° ≈ 0.707 และ cos 90° = 0 ) แทนคา่ g′(2) = (1)2 (4) − (3)2 (1) = −2 ตอบ (1)4 (5) สมมตจิ ดุ B มพี ิกดั เปน็ (˜Ax,B3xเท-2่า)กับ ดังนนั้ ความชนั ของเวกเตอร์ (11) f(x) = x3 + Ax2 + Bx + C (3x − 2) − (−2) * x-1 เป็นตวั ประกอบ แปลวา่ f(1)=0 (x) − (1) * x-2 หาร f’(x) และ f’’(x) เหลอื เศษ 2 เท่ากนั แปลวา่ f’(2)=2 และ f’’(2)=2 (ทฤษฎเี ศษ) แตค่ วามชนั ของเวกเตอร์ u เทา่ กับ 4/2 = 2 * เนอื่ งจาก f′(x) = 3x2 + 2Ax + B และ แเตวสอกดบเตงว|อ˜่าAรจส์Bดุ อ|ง:Bอนัuคนอื ีค้=(ว-3า2ม,:-ช82นั)เ=ทแลา่1.กะ5ัน˜AแBก้ส=ม−ก3ารi ไ−ด6้ xj=-2 f′′(x) = 6x + 2A (6) จาก v = i + j แสดงวา่ v = 2 จงึ ไดว้ า่ f′′(2) = 6(2) + 2A = 2 → A = −5 f′(2) = 3(2)2 − 10(2) + B = 2 → B = 10 และ v ทาํ มมุ 45° กับแกน x f(1) = (1)3 − 5(1)2 + 10(1) + C = 0 → C = −6 u ⋅ v = 3 = ( 2)( 2)(cos θ) → cos θ = 3 * หาสมการเสน้ สัมผัสโคง้ น้ี ณ จุดซงึ่ x=2 2 ความชนั = f’(2) = 2 (โจทยใ์ หม้ าแลว้ ) จดุ ทส่ี ัมผสั .. f(2) = (2)3 − 5(2)2 + 10(2) − 6 = 2 น่ันคอื มมุ ระหวา่ ง u กับ v เปน็ 30° ดังนนั้ u ทาํ มมุ กบั แกน x เทา่ กบั 15° หรอื 75° ก็ได้ ดังนนั้ สมการเสน้ ตรงคอื y = 2x − 2 ตอบ ตอบ ขอ้ 1. (7) z ⋅ z = (a − bi)(a + bi) = a2 + b2 (12) f (x) = 1 +x = 1 +x 10 log (x −4) 25 x − 4 25 ดงั นน้ั Re(z ⋅ z) = a2 + b2 ดว้ ย f′(x) = − (x 1 +1 แทนคา่ a ตามในโจทยไ์ ด้ และเนอื่ งจาก |z|= a2 + b2 − 4)2 25 เราจงึ หา Re(z ⋅ z) ไดโ้ ดย |z|2 f′(a) = − 24 = − (a 1 + 1 → (a − 4)2 = 1 จากโจทย์ ใสค่ า่ สัมบูรณ์ได้ (13)|z|3 (5) = (130)|z| 25 − 4)2 25 (เพราะ | z |=|z| เสมอ) ... ดงั นน้ั a = 3 หรอื 5 ... แตใ่ นโจทย์มี log จงึ มี จากน้นั ย้ายข้างได้ |z|2 = 2 ตอบ เงื่อนไขทาํ ให้ x > 4 เทา่ นัน้ ตอบ 1 จาํ นวน (8) จากสมการในโจทย์ z3 = −5 + 2 i 2 x4 + 1 dx 2 ∫ ∫(13) 1 x2 = (x2 + x−2) dx 1 ดงั นนั้ |z|3= |− 5 + 2 i| = 27 = ⎡ x3 − 1⎤ 2 = ⎝⎛⎜ 8 − 1 ⎠⎞⎟ − ⎝⎜⎛ 1 − 1⎠⎟⎞ = 25 แสดงวา่ ทกุ ๆ คาํ ตอบยอ่ มมขี นาดเปน็ |z| = ⎢⎣ 3 x ⎦⎥ 1 3 2 3 6 ตอบ z21 + z22 + z23 = 3 + 3 + 3 = 9 3 11 (4 − x)2 dx = (16 − 8 x + x) dx ∫ ∫และ 00 (9) จาก F(2) = 3 จะได้ = ⎡ − 16 x3 / 2 + x2 ⎤ 1 = ⎝⎛⎜ 16 − 16 + 1 ⎠⎟⎞ ⎢⎣16x 3 2 ⎥⎦ 0 3 2 3 = (f(2))2 + 2(2) + 1 → f(2) = 2 (โจทยบ์ อกวา่ f(2) > 0 เท่าน้นั ) = 11 1 ดงั นน้ั ตอบ 14 และจาก F′(x) = (1) 2 f(x) f′(x) + 2 6 2 (f(x))2 + 2x + 1 ∫(14) ก. −1 3 − 4x) dx = ⎛ x4 − 2x2 ⎞ 3 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ −1 จะได้ F′(2) = (1) 2 (2)(4) + 2 = 3 ตอบ (x3 23 = ⎛ 81 − 18⎞⎟⎠ − ⎜⎝⎛ 1 − 2⎠⎟⎞ = 4 ⎝⎜ 4 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 605 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 ข. y = x3 − 4x 7/4 25/4 (20) ก. Δy = 2 Δx = 2 (2) = 4 มีจุดตดั แกน x ท่ี 4 แสดงวา่ กําไรเพมิ่ 4,000 บาทเท่านนั้ 0, 2, –2 ดงั รปู (การคดิ X, Y ทเี่ ปล่ยี นแปลงไป จะไมข่ ึน้ กับคา่ c) -2 -1 0 2 3 ข. ทราบคา่ Y แลว้ จะทํานายคา่ X แบบน้ี ทาํ ไมไ่ ด้! ตอบ ขอ้ 4. 0 2 3 (21) ก. ∑ x = m ∑ y + cN → 0 = 6m + 4c f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx ∫ ∫ ∫พนื้ ทแี่ รเงา = −1 0 2 ∑ xy = m ∑ y2 + c ∑ y → 14 = 30m + 6c = 7 − (−4) + 25 = 12 ตารางหนว่ ย ตอบ ข้อ 1. แกร้ ะบบสมการได้ m=2/3 และ c=-1 44 ดังนนั้ ที่ y=1 จะได้ Xˆ = (2/3)(3) − 1 = 1 (15) จาก f(x) = x4 − x จะได้ f′(x) = x3 − 1 ข. ∑ y = m ∑ x + cN → 6 = 0m + 4c 4 a2 a2 = a6 + a3 ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 14 = 10m + 0c f′′(x) dx = จะได้ m=1.4 และ c=1.5 ∫ ( )ดังนน้ั ดงั นน้ั ท่ี x=1 จะได้ Yˆ = 1.4 (1) + 1.5 = 2.9 x3 − 1 −a −a ตอบ ขอ้ 2. (22) การเปรยี บเทยี บข้อมลู สองกลุ่ม ตอ้ งเทยี บดว้ ย จงึ ได้ a6 + a3 = − 1 → 4a6 + 4a3 + 1 = 0 4 → (2a3 + 1)2 = 0 → a3 = − 1 2 ความชนั ณ x=a คือ f′(a) ค่ามาตรฐาน (z) เทา่ นน้ั .. หาค่าเฉล่ยี เลขคณติ วิชา = a3 − 1 = − 1 − 1 = − 3 ตอบ คณติ ศาสตร์ได้ 80 คะแนน และเคมี 78 คะแนน.. 22 คณติ ศาสตร;์ z = 90 − 80 = 10 ≈ 1 กวา่ ๆ (16) แบ่งเป็น 4,1,1 จะได้ 6! × 3! = 90 8.6 8.6 4 !(1!)22 ! เคมี; z = 90 − 78 = 12 ≈ ไม่ถึง 1 แบ่งเป็น 3,2,1 จะได้ 6! × 3! = 360 14.2 14.2 3!2! 1! ตอบ เขาเรยี นวชิ าคณิตศาสตรไ์ ด้ดกี วา่ เคมี แบ่งเป็น 2,2,2 จะได้ 6! × 3! = 90 (23) ถ้าให้ Y=โบนัส และ X=เงินเดอื น จะได้ (2 !)33 ! Y = 1000 + 2X ... ดังนนั้ จากสมบัตขิ องคา่ กลาง รวม 90+360+90 = 540 วธิ ี ตอบ และค่าการกระจาย จะได้ (17) ก. 2! 3! = 6 วธิ ี ก. Y = 1000 + 2X 2 ข. sY = 2 sX → s2Y = 4 s2X ตอบ ขอ้ 4. (หาร 2 เพราะเปน็ การจดั วงกลมแบบพลิกดา้ นได)้ (24) จาก P97.5 → A = 0.475 ทางขวา ข. 2! 3! = 12 วธิ ี ตอบ ข้อ 3. (18) หยบิ พรอ้ มกันให้ได้แต้มรวมเปน็ 10 มดี งั น.้ี . จะได้ z = 1.960 = xmax − X .....(1) 1,2,7 1,3,6 1,4,5 2,3,5 รวม 4 กรณี 20 ตอบ 4 = 4 = 1 และจาก P33 → A = 0.17 ทางซ้าย ⎜⎛⎝ 130⎟⎞⎠ 120 30 จะได้ z = −0.440 = xmin − X .....(2) (19) เสน้ ทลี่ ากขน้ึ ระหวา่ งจดุ ยอด 2 จุดในรปู สิบ 20 เหล่ยี ม จะมที ้งั หมด ⎝⎛⎜ 10 ⎠⎞⎟ = 45 เส้น (1)-(2); xmax − xmin = 39.2 + 8.8 = 48.0 2 ดงั นนั้ พสิ ยั เทา่ กบั 48.0 คะแนน ตอบ (25) นกั เรียนทไี่ ด้ค่ามาตรฐาน แตใ่ นจาํ นวนนี้เปน็ ดา้ น (เสน้ รอบรปู ) อยู่ 10 เสน้ ระหวา่ ง -1 และ 1 มอี ยู่ 75% แสดงวา่ พืน้ ทีแ่ รเงาในรปู ดังนนั้ มเี สน้ ท่ไี ม่ใช่ด้าน อยู่ 45–10=35 เสน้ มฝี ัง่ ละ 37.5% 0.375 0.375 ใหห้ าความนา่ จะเปน็ ทเ่ี สน้ นี้ไม่ผา่ นจุดศนู ย์กลาง -1 0 1 ซง่ึ เราพบวา่ มีเสน้ ท่ผี า่ นจุดศนู ยก์ ลางอยู่ 5 เส้น z ตอบ 35 − 5 = 6 คะแนนของนาย ก คดิ เปน็ คา่ z = 50 − 40 = 1 35 7 10 จงึ คดิ เปน็ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 50+37.5 = 87.5 ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 606 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 2 o¨·Â·´Êoº ª´u ·Õè 2 (กมุ ภาพนั ธ์ 2548) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 10 เปน็ ข้อสอบแบบอัตนยั ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ P เปน็ จดุ ๆ หนงึ่ บนวงรี (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 ซง่ึ มี F1 , F2 เป็นจุดโฟกัส 9 16 ถ(˜P้าFร1ะย⋅ ะ˜PหF2า่ )งรsะeหcว(่าF1งPˆจFดุ 2) P และจดุ โฟกัสจดุ หนงึ่ ของวงรคี ือ 2 หน่วย แลว้ มคี า่ เท่ากบั เท่าใด 2. ผลคูณของทุกคาํ ตอบของสมการ x2(log x)2= 10 x3 มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด 3. กําหนดให้รูปสามเหล่ยี ม ABC มดี ้าน BC ยาว 5 หน่วย ดา้ น AC ยาว 8 หนว่ ย ถ้ามุม B = arccos (12/13) − arcsin(−3/5) แล้วคา่ ของ 7 cosec A cos B เท่ากับเท่าใด 4. ถา้ สมการจุดประสงคค์ อื P = 14x − 7y และอสมการขอ้ จาํ กดั คือ x + y < 12 , 2x + 5y > 30 , 5x + 2y > 30 แลว้ ผลรวมของค่าสูงสุดและคา่ ตาํ่ สดุ ของ P เท่ากบั เท่าใด 5. ใหเ้ มตรกิ ซ์ ⎡a11 a12 a13 ⎤ ถ้า ⎡ 1 0 −1 1 0 0⎤ ⎡ 1 0 0 a11 a12 a13 ⎤ ⎣⎢⎢⎢01 01⎥⎦⎥⎥ ⎣⎢⎢⎢00 A = ⎢⎣⎢aa2311 a22 a23 ⎥ 1 1 0 1 ~ 1 0 a21 a22 a23 ⎥ a32 a33 ⎥ −1 0 0 0 0 1 a31 a32 a33 ⎥ ⎦ ⎦ แล้ว ค่าของ det (2 A2adj A) เทา่ กบั เท่าใด 6. ถา้ z = 2 − 3i แลว้ ค่าสมั บูรณ์ของ ⎛ z2+ 7 i ⎞2 เท่ากับเท่าใด ⎜⎜⎝ z − 1 − i ⎠⎟⎟ 7. ถ้าจํานวนเตม็ ทีม่ ากท่ีสดุ ทห่ี าร 105 เหลือเศษ 3 และหาร 601 เหลือเศษ 6 นัน้ หาร 353 เหลอื เศษเทา่ กบั a , และให้พหุนาม x2+ bx + c หาร x3− 2x2− x − 2 เหลอื เศษ 4 เมอื่ b, c เปน็ จํานวนจรงิ ดังนัน้ a + b + c มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด 8. รหัสสินคา้ จํานวน 6 หลกั ของบรษิ ัทแห่งหน่งึ ประกอบข้นึ จากเลข 0 ถึง 9 โดยสองหลักแรกระบปุ ี ท่ีผลติ (เช่น 48 แทน พ.ศ. 2548) และหลกั สุดท้ายเปน็ ตวั เลขตรวจสอบความถูกต้อง ซึง่ ไดม้ าจาก หลักหน่วยของผลบวกของเลขในหา้ หลกั แรก บรษิ ัทนีจ้ ะสามารถตงั้ รหัสสินค้าท่ีผลติ ในปี พ.ศ. 2548 ให้มเี ลข 0 ไม่เกนิ 2 หลัก ได้มากทสี่ ุดกรี่ หัส 9. ผลบวกของสัมประสทิ ธิข์ องทกุ พจน์ และผลบวกของสัมประสิทธิท์ วินามของทุกพจน์ ในการ กระจาย (3a − 2b)7 มีคา่ ต่างกนั อยู่เทา่ ใด 10. ถา้ B = {−2, −1, 1, 3, 4, 7} และ S = { A | A ⊂ B และ ( 1∉ A หรือ n(A)∉ A )} แล้ว จาํ นวนสมาชกิ ของ S เทา่ กบั เท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 607 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจาํ นวนใดๆ และ a, b เปน็ จาํ นวนจรงิ ข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ถา้ P (a + b i) = 0 แสดงว่า x − a + b i เปน็ ตวั ประกอบหนง่ึ ของ P (x) 2. หากสมการ P (x) = 0 มี a + b i เป็นคาํ ตอบหนึง่ แล้ว a − b i จะเป็น คําตอบของสมการน้ีด้วย 3. เมื่อ n เปน็ จํานวนนับ สมการพหุนามกาํ ลงั n ยอ่ มมี n คําตอบต่างๆ กัน 4. เมื่อ n เปน็ จํานวนนับ รากที่ n ของจาํ นวน a + b i ย่อมมี n คําตอบต่างๆ กัน 2. ข้อความในข้อใดตอ่ ไปนผี้ ิด 1. ถ้า a, b, c เป็นจาํ นวนเต็มบวก ซึ่ง a| b และ a|c แล้ว จะได้ว่า a หารผลรวมเชิงเส้นของ b และ c ลงตัวดว้ ย 2. ถ้า a, b, c เป็นจาํ นวนเต็มบวก ซึ่ง a| b หรอื a|c แล้ว จะได้ว่า a หารผลคูณ bc ลงตัวด้วย 3. ถา้ a, b, n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก และ a| bn แลว้ จะได้วา่ a| b 4. ถ้า a, b, n เป็นจาํ นวนเต็มบวก และ an | b แล้ว จะได้วา่ a| b 3. ถา้ f (x) และ g(x) เปน็ ฟงั ก์ชันซึง่ หาอนพุ ันธ์ได้ โดย { }f (2x + 1) = [g(x2+ 2)]2+ 1 3 และเสน้ สัมผสั โคง้ g(x) ท่ี x = 3 มสี มการเป็น y = 3x − 8 แล้วอนุพันธข์ อง f (x) ที่ x = 3 อยใู่ นเซตใด ต่อไปน้ี 1. {12, 18} 2. {24, 36} 3. {54, 72} 4. {84, 108} 4. ถ้า F1 และ F2 เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา x2− 3y2− 2x − 23 = 0 ระยะทางระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ทาํ มุม 60° กับแกน x และผา่ น F1 และ F2 ตามลาํ ดับ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 4 2. 4 2 3. 4 3 4. 4 6 5. ให้ Aอ,ยบู่B,นCด้านเปน็ BจCุดยโอดดยขทอ่ี |งร˜Bปู Dส|า:ม|เ˜BหCลย่ี|ม=ใด3ๆ: 4 จุด D พจิ ารณก.าข˜A้อBคว=าม4ต˜Aอ่ ไDปน−ี้ 3 ˜AC ข. ถา้ |˜AB| = |˜AC| = 3 |˜AD| แลว้ มุม A มขี นาดประมาณ 120° 2 ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 6. จํานวนคําตอบท่ีเปน็ จํานวนเตม็ ของอสมการ x + 1 < x2− 6 < 5 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ x 1. 5 2. 6 3. 8 4. 12 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 608 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 2 7. เส้นโค้งพาราโบลา x = ay2+ 1 มีสมการเส้นสัมผัส ณ จดุ (3, b) คือ x + 4y + c = 0 เมอ่ื a, b, c เปน็ จาํ นวนจริง จะได้ว่า a + b + c มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −4 2. −2 3. 2 4. 4 8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถา้ ประพจน์ [(p ∧ q) → r)] ↔ (p ∨ q) มีค่าความจริงเปน็ เท็จ แลว้ (p → q) ∨ r มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ ข. นิเสธของข้อความ ∃y∀x [ Q (x, y) → P (x) ] คือ ∃x∀y [ Q (x, y) ∧ ~ P (x) ] ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 9. กําหนดเอกภพสมั พัทธค์ ือช่วงเปิด (1, 4) พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ประพจน์ ∀x [ x2− 5x + 4 < 0 ] มีค่าความจริงเป็นจรงิ ข. ประพจน์ ∃x [ 2x3− 5x2− 5x − 7 > 0 ] มีค่าความจริงเป็นจรงิ ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 10. กําหนดให้ f (x) = x2− 5 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ x−3 ก. f เป็นฟังก์ชันลดในชว่ ง (1, 5) − {3} ข. อนิ เวอร์สของ f เป็นฟงั ก์ชนั ข้อใดต่อไปนีจ้ ริง 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 11. กาํ หนดให้ r = ln (1/3) ผลบวกของอนกุ รมในข้อใดตอ่ ไปนี้เทา่ กบั 1 1+ r 1. ∞ rn 2. ∞ 3. ∑∞ 1 4. ∑∞ (−1)n n=0 r n+1 n=0 r n+1 ∑ ∑ (−1)n r n n=0 n=0 12. ให้ f (x) = x3 + ax2+ bx + c เมอื่ a, b, c เป็นจาํ นวนจรงิ ถา้ x − 1 หาร f (x) แล้วเหลอื เศษ 2 และ i − 2 เป็นรากหนง่ึ ของสมการ f′(x) = 0 แลว้ ค่าของ f (−1) เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. −30 2. −26 3. −10 4. −26/3 13. กําหนดให้ f (x) = ,9 − x2 g(x) = x2+ 5 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีผิด 1. (f g)(x) = 4 − x2 เม่ือ x ∈ [−2, 2] 2. (g f)(x) = 14 − x2 เมอ่ื x ∈ [− 14, 14] 3. และRfog = [0, 2] Rgof = [ 5, 14] 4. f และ g เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนือ่ งบนชว่ ง [−3, 3] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 609 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 2 14. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 1 − 11ex > 9 + e2x ถ้า a และ b เป็นสมาชกิ ของ S ทมี่ ีคา่ มากทสี่ ดุ และน้อยทสี่ ดุ ตามลําดับ แล้ว a − b เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. ln 1 2. ln 10 3. 2 ln 3 4. ln 11 15. กาํ หนดให้ θ ∈ [0, 2π] ถ้า tan θ = 2 − sec θ แลว้ sin(π + 2θ) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 2 1. 7 2. − 7 3. 7 , −1 4. 7 , −1, 1 25 25 25 25 16. กําหนดให้ y = f (x) เป็นฟงั ก์ชนั พหนุ ามซึ่งมคี ่าตํ่าสดุ สมั พัทธ์เท่ากับ 4 ทีจ่ ุดซง่ึ x = 1 และมีเส้นตรง x + y + 3 = 0 เป็นเสน้ สัมผสั กราฟท่ีจดุ (a, −2) ถา้ f (x) ⋅ g(x) = x2 แล้ว ค่าของ −1 ∫1 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี g′′(x) dx 1. 3 2. 3 3. − 3 4. − 3 2 44 2 17. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนกั เรียนห้องหนง่ึ เป็นดังน้ี คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น 30 – 39 5 40 – 49 10 50 – 59 a 60 – 69 b 70 – 79 2 เมอื่ สุ่มเลือกนักเรยี นกล่มุ น้ีมาหนง่ึ คน ความนา่ จะเปน็ ทน่ี ักเรยี นคนนีไ้ ด้คะแนนน้อยกวา่ และมากกว่า 49.5 คะแนน มีคา่ เท่ากนั และคะแนน 59.5 คิดเปน็ เดไซล์ท่ี 8 ดังนัน้ ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทลข์ อง คะแนนชดุ นเี้ ทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 0.01 2. 7.92 3. 10.01 4. 49.92 18. ให้ x1, x2, ..., x5 เปน็ ข้อมลู ชดุ หนงึ่ ซ่งึ มคี ่าเฉล่ยี เลขคณติ เทา่ กับ 8 และ 5 5)2 = 75 ∑ (x i − i=1 ดังนนั้ หากมีข้อมลู 2 เพิ่มอีกหนึ่งจํานวน ความแปรปรวนจะเท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 10 3. 39 4. 52 19. ตารางแสดงความสมั พันธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันเสน้ ตรง ระหว่างผลการเรยี นทไี่ ด้กบั จาํ นวนชั่วโมงที่ใช้ ทบทวนบทเรยี นของนกั เรียน 6 คนในห้องเรียนหนงึ่ เปน็ ดังน้ี จาํ นวนช่วั โมงที่ใช้ 3 4 7 8 10 10 ผลการเรยี นที่ได้ 1 12233 ถา้ นกั เรียนคนหน่งึ ในหอ้ งนนั้ ไดผ้ ลการเรียน 4 จะทํานายได้ว่าใชเ้ วลาทบทวนบทเรยี นก่ชี ่ัวโมง 1. 13.50 2. 14.50 3. 14.75 4. 15.25 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 610 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 2 20. กาํ หนดให้ Mij คือเมตริกซท์ ี่ได้จากการตดั แถวท่ี i และหลักท่ี j ของเมตริกซ์ A ออก ถ้า ⎡−13 −14 a ⎤ ⎡−1 −1⎤ และ ⎡d −1⎤ ⎢ −−81 ⎦⎥⎥ ⎢⎣ c 3 ⎦⎥ ⎣⎢−1 2 ⎦⎥ adj A = ⎢ −5 b M22 = M 31 = ⎣ 17 11 แล้ว det ((2A)−1) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −1/152 2. −1/38 3. −2/19 4. −8/19 21. กําหนดให้ S คอื เซตของคูอ่ นั ดบั ดงั น้ี {(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3)} และ A = {0, 1, 2} ความน่าจะเป็นในการสุ่มหยิบ xi และ yi ท้ังหมดจากเซต A และได้ S เป็นฟงั ก์ชันจาก A ไป A เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 2 2. 4 3. 2 4. 4 9 9 81 81 22. กลอ่ งใบหนงึ่ บรรจุสลากทีแ่ ต่ละใบเขยี นหมายเลขกาํ กับไว้ เปน็ จํานวนสามหลกั ซึง่ แตล่ ะหลกั ไม่ ซ้าํ กนั เลยครบทกุ แบบทีเ่ ป็นไปได้ หากสุม่ หยิบสลากหนึ่งใบจากกล่อง ความน่าจะเปน็ ท่ไี ดจ้ าํ นวนซง่ึ ประกอบด้วยเลขโดดคี่เรียงกนั ตามลาํ ดับน้อยไปมากหรือมากไปนอ้ ย เทา่ กับเทา่ ใด 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 240 216 120 108 23. คา่ ของ 0 ∫4 x (4−x) ) dx อยูใ่ นชว่ งตอ่ ไปน้ี ( x (8− x) − 1. [0, 2) 2. [2, 6) 3. [6, 12) 4. [12, 20) 24. ถา้ A เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ 5 zk = 0 ∑ k=0 และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของระบบสมการ z = 1 และ z = 1 z+1 แลว้ จาํ นวนสมาชิกของ A ∪ B เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 25. ถ้า vn = 3− 3 i + 1 j เมอื่ n = 1, 2, 3, ..., 100 n2 n แล้วค่าของ 99 ใกล้เคียงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ ากท่สี ุด ∑ (vn+1− vn) n=1 1. 1.414 2. 1.571 3. 1.732 4. 1.995 เฉลยคําตอบ ตอนท่ี 1 (1) 12 (2) 100 (3) 6.6 (4) 84 (5) 0.5 (6) 10 (7) 16 (8) 996 (9) 127 (10) 53 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 3 (3) 3 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 1 (10) 2 (11) 4 (12) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 3 (17) 2 (18) 2 (19) 1 (20) 1 (21) 1 (22) 4 (23) 3 (24) 1 (25) 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 611 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 เฉลยวธิ คี ดิ (ต==1อ||)น˜˜PPโทFFจ11่ี ท||1ย⋅⋅์ถ||า˜˜PPมFF22 ||(˜PcFo1 s⋅Pˆ˜PsFe2)c sec (F1Pˆ F2) (5) ⎡1 0 −1 ⎤⎡ I ⎤ Pˆ ⎢0 1 1 A⎥ ⎣⎢ 1 −1 0 I ⎥~⎢ ⎦⎥ ⎦⎥ ⎢⎣ แปลวา่ ⎡1 0 −1⎤ = A−1 ⎢0 1 1⎥ ⎣⎢ 1 −1 0 ⎦⎥ ซงึ่ สามารถใช้สมบัติทว่ี า่ ระยะทางจากจดุ ๆ หนง่ึ ไปยัง 1 0 −1 จดุ โฟกัสทงั้ สอง บวกกันแลว้ เปน็ คา่ คงท่ี = 2a เสมอ โดยที่ 0 1 1 =2 → det(A) = 1 วงรที ่ีโจทยใ์ หม้ ามคี ่า a = 4 ดงั นัน้ 2a = 8 1 −1 0 2 ถา้ ระยะทางหนง่ึ เปน็ 2 หน่วย อกี ระยะทางหนงึ่ ยอ่ ม โจทย์ถาม 2n (det(A))2 (det(A))n−1 เท่ากบั 8–2=6 หน่วย ตอบ 2 ⋅ 6 = 12 ตอบ= 23 (1/2)2 (1/2)3−1 = 0.5 (2) จากโจทยจ์ ะได้ log(x2 (log x)2) = log(10 x3) (6) จาก z2+ 7 i = (4 − 12 i − 9) + 7 i = −5 − 5 i → 2 (log x)2 log(x) = log 10 + log(x3) z − 1 − i (2 + 3 i) − 1 − i 1+ 2i ให้ log(x) = A จะได้ จะได้ ⎛ z2+ 7 i ⎞2 = ⎛5 2 ⎞2 = 25 ⋅ 2 = 10 ตอบ ⎝⎜⎜ z − 1 − i ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ 5 ⎠⎟⎟ 5 → 2A3 = 1 + 3A → 2A3 − 3A − 1 = 0 (7) หาร 105 เหลอื เศษ 3 แปลว่าหาร 102 ลงตวั → (A − 1)(2A2 − 2A − 1) = 0 หาร 601 เหลอื เศษ 6 แปลวา่ หาร 595 ลงตวั ซ่งึ 102 = 2 × 3 × 17 , 595 = 5 × 7 × 17 ดังนนั้ A = 1 หรือ 1 ± 3 2 แสดงว่า จาํ นวนเตม็ ท่มี ากทสี่ ดุ นนั้ คือ 17 (ห.ร.ม.) 1+ 3 1− 3 จะได้ x = 10 หรือ 10 2 หรอื 10 2 ซง่ึ ผลคณู ของทุกคําตอบ เท่ากับ 100 ตอบ และ 17 หาร 353 เหลอื เศษ a = 13 (3) cos B = cos(arccos (12/13) − arcsin (−3/5)) ตอ่ มา พหนุ ามหาร x 3− 2x2− x − 2 เหลือเศษ 4 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −3 ⎞ 33 = ⎝⎜ 13 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 ⎟⎠ + ⎝⎜ 13 ⎟⎠ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ = 65 ก็ย่อมแปลวา่ หาร x 3− 2x2− x − 6 ลงตัว ตอ่ มา หามุม A ไดจ้ ากกฎของไซน์ในรูปสามเหลยี่ ม ซึ่ง x 3− 2x2− x − 6 = (x − 3)(x2 + x + 2) แสดงวา่ คือ BC = AC → 5 = 8 พหนุ าม x2+ bx + c น้ันคอื x2 + x + 2 (เพราะเปน็ sin A sin B sin A sin B พหนุ ามกาํ ลงั สองที่มสี มั ประสทิ ธ์ิเป็นจาํ นวนจริง) จะได้ cosec A = 8 ตอบ a+b+c = 13+1+2 = 16 5 sin B (8) ควรคดิ โดยวธิ ลี บออก คอื จาํ นวนรหสั ทงั้ หมด ลบ ซึง่ sin B = sin(arccos (12/13) − arcsin (−3/5)) ดว้ ย จาํ นวนรหัสทีม่ เี ลข 0 เกิน 2 หลัก.. ⎛ 5 ⎞ ⎛4⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ 56 = ⎝⎜ 13 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ − ⎝⎜ 13 ⎟⎠ ⎝⎜ 5 ⎟⎠ = 65 สมมตวิ า่ รหัสอยใู่ นรูป 4 8 A B C S จํานวนรหสั ทงั้ หมด 10 × 10 × 10 × 1 = 1000 แบบ ดงั นน้ั cosec A = ⎛ 8 ⎞ ⎛ 65 ⎞ = 13 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 56 ⎠⎟ 7 (หลัก S เป็น 1 แบบเพราะถกู สรา้ งจากหลกั หน่วย ของผลบวก 4,8,A,B,C เทา่ น้นั เราเลอื กเองไม่ได)้ ตอบ 7 cosec A cos B = 7 ⎛ 13 ⎞ ⎛ 33 ⎞ = 6.6 จํานวนรหสั ทีม่ เี ลข 0 เกิน 2 หลกั ⎜⎝ 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 65 ⎠⎟ กรณแี รก; A,B,C เป็น 0 ทกุ หลกั (จะได้ S เปน็ 2) มีอยู่ 1 แบบ (คอื “0002”) (4) Pmax เกิดท่ี (10,2) กรณที สี่ อง; A,B,C เปน็ 0 เพียง 2 หลัก จะตอ้ ง บงั คับให้ S เปน็ 0 ดว้ ย เพอื่ ใหม้ เี ลข 0 เกนิ 2 หลกั Pmax = 126 (2,10) (แสดงวา่ A,B,C อกี 1 หลักทเ่ี หลอื ตอ้ งเปน็ เลข 8) และ Pmin เกิดที่ (2,10) (30/7,30/7) (10,2) Pmin = −42 ตอบ ผลรวม = 84 มอี ยู่ ⎜⎝⎛ 3 ⎠⎟⎞ =3 แบบ (คือ “0080, 0800, 8000”) 2 ส่วนกรณที ี่ A,B,C,S เปน็ 0 ทกุ หลัก เปน็ ไปไมไ่ ด้ ตอบ 1000 − 4 = 996 รหสั Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 612 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 2 (9) เนื่องจาก (3a − 2b)7 = (4) (x2 − 2x + 1) − 3(y2) = 23 + 1 ( ) ( ) ( )7 7 7 → (x − 1)2 − 3y2 = 24 → (x − 1)2 − y2 = 1 1 7 24 8 0 (3a)7(−2b)0 + (3a)6(−2b)1 + ... + (3a)0(−2b)7 ออ้ มแกน x, C(h, k) = (1, 0), c = 24 + 8 = 4 2 ผลบวกของสมั ประสิทธิ์ คอื ⎛⎝⎜ 7 ⎞⎠⎟ (3)7(−2)0 + ⎝⎜⎛ 7 ⎟⎠⎞ (3)6(−2)1 + ... + ⎜⎛⎝ 7 ⎟⎞⎠ (3)0(−2)7 ∴ F(1± 4 2, 0) โจทย์ให้หาระยะระหวา่ งเสน้ ตรงที่ 0 1 0 ซงึ่ หาคา่ ได้โดยแทน a และ b ดว้ ย 1 ในสมการแรก ผา่ นสองจดุ น้ี โดยทํามมุ 60° กบั แกน x ดังรปู ได้ผลลพั ธ์เปน็ (3(1) − 2(1))7 = 17 = 1 82 สว่ นผลบวกของสัมประสิทธ์ทิ วนิ าม เทา่ กับ ∴ d = (8 2) sin 60° d ⎛⎝⎜07 ⎟⎠⎞ ⎝⎛⎜ 7 ⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜27 ⎞⎟⎠ ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎟⎞ ⎛⎝⎜ 7 ⎠⎟⎞ = 4 6 หน่วย ตอบ + 1 + + 3 + ... + 7 = 27 = 128 (5) ก. 3ใช˜A้สCตู ร+กา1ร˜AแBบ่งเวกเตอร์ (สามารถพสิ จู นไ์ ด้โดยแทนคา่ 3a=1 และ -2b=1) ˜AD A C = 1 ตอบ 128–1 = 127 4 D ดงั นน้ั ˜AB 4 ˜AD 3 ˜AC (10) ในโจทยม์ คี ําวา่ “หรอื ” คดิ โดยตรงยาก ควรใช้ = − 3 วธิ ลี บออก คอื จาํ นวนสบั เซตของ B ทกุ แบบ ลบดว้ ย ข. ให้ |˜AB | = |˜AC | = a แบบทไี่ มต่ ้องการ นนั่ คือ “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ” จะได้ |˜AD | = 2 a B * จาํ นวนสบั เซตของ B ทุกแบบ = 26 = 64 แบบ จากขอ้ ก. 3 ˜AB + 3 ˜AC = 4 ˜AD * จํานวนแบบที่ “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ” เราทราบวา่ กรณี A มีสมาชกิ 0 ตัว (คอื เซตว่าง) เปน็ ไปไมไ่ ด้ คดิ เฉพาะขนาดไดด้ งั น.ี้ . กรณี A มสี มาชกิ 1 ตวั มี 1 แบบ คือ {1} กรณี A มีสมาชกิ 2 ตวั เป็นไปไม่ได้ a2 + (3a)2 + 2 (a)(3a) cos A = 4 (2 a) 3 กรณี A มสี มาชกิ 3 ตวั มี 4 แบบ คือ {1,3,?} → 10a2 + 6a2 cos A = 64 a2 → cos A = − 13 9 27 กรณี A มีสมาชกิ 4 ตัว มี 6 แบบ คอื {1,4,?,?} กรณี A มสี มาชกิ 5 หรอื 6 ตัว เป็นไปไมไ่ ด้ เนอ่ื งจาก cos A มีคา่ ประมาณ -0.5 แสดงวา่ มุม A ตอบ 64 − 1 − 4 − 6 = 53 มขี นาดประมาณ 120° ตอบ ขอ้ 1. (6) ซีกซา้ ย; x + 1 < x2 − 6 x ตอนท่ี 2 → x + 1 − x2 − 6 < 0 → x2 + x − x2 + 6 < 0 (1) ข้อ 1. ผิด ตอ้ งแก้เปน็ x − (a + b i) xx ขอ้ 2. ผดิ กฎนใี้ ช้ไดเ้ มอ่ื P(x) มสี มั ประสิทธิท์ กุ ตัว เปน็ จาํ นวนจรงิ เทา่ นั้น (สัมประสทิ ธติ์ ดิ i จะใช้ไม่ได)้ → x + 6 < 0 ได้ช่วงคาํ ตอบ [–6,0) x ข้อ 3. ผดิ มี n คาํ ตอบจรงิ แต่บางคาํ ตอบอาจซ้ํากนั ซีกขวา; x2 − 6 < 5 ข้อ 4. ถกู (เพราะ n คาํ ตอบนน้ั จะไม่เหมอื นกนั เลย) x (2) ขอ้ 1. ถูก เป็นกฎทค่ี วรทราบ (ผลรวมเชงิ เสน้ → x2 − 6 − 5 < 0 → x2 − 5x − 6 < 0 ของ b, c คือ bx+cy เมื่อ x, y เป็นจาํ นวนเตม็ ใดๆ) x x ขอ้ 2. ถกู ถา้ หารตวั ใดตวั หนง่ึ ได้ ย่อมหารผลคณู ได้ → (x − 6)(x + 1) < 0 ได้คาํ ตอบ (−∞, −1] ∪ (0, 6] x ขอ้ 3. ผิด เช่น 4 | 62 แต่ 4 |/ 6 นําสองสว่ นมาอนิ เตอรเ์ ซค ไดผ้ ลลพั ธ์เปน็ [–6,–1] ข้อ 4. ถกู ถา้ หลายตัวหารได้ ตวั เดียวยอ่ มหารได้ ตอบ มจี าํ นวนเต็มทเี่ ปน็ คาํ ตอบ 6 จาํ นวน (3) เส้นสัมผสั g(x) ที่ x=3 คือ y=3x-8 แปลวา่ g(3) = 3(3)-8 = 1 และ g’(3)=3 ... จากนนั้ { }f (2x + 1) = [g(x2+ 2)]2+ 1 3 จะได้ { }f′(2x + 1) ⋅ (2) = 3 2 (x 2+ [g (x 2+ 2)]2+ 1 2 [g 2)] ⋅ ⋅ g′′(x 2+ 2) ⋅ (2x) แทน x ด้วย 1 ตลอดสมการ ไดเ้ ป็น { }f′(3) ⋅ (2) = 2 3 [g (3)]2+ 1 2 [g (3)] ⋅ g′′(3) ⋅ (2) ⋅ { }→ f′(3) = 3 2 ตอบ [1]2+ 1 → f′(3) = 72 ⋅ 2 [1] ⋅ 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 613 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 (7) จดั รูปสมการพาราโบลาเปน็ y = ± x − 1 (11) ขอ้ 1. 1 + r + r2 + … a ขอ้ 2. 1 − r + r2 − … พาราโบลานี้จะมคี วามชนั dy = ± 1 ln 1 = − ln 3 = − log 3 ≈ − log 3 ≈ −1. กวา่ ๆ dx 2 a x − 1 3 log e log 2.7 แตส่ มการเส้นตรง x + 4y + c = 0 มีความชนั -1/4 ดงั นนั้ ขอ้ 1. กับ 2. ผดิ แน่นอน เพราะเปน็ อนกุ รม แสดงว่าพาราโบลามคี วามชนั -1/4 ณ จดุ ที่ x=3 อนนั ตท์ ี่มอี ตั ราสว่ นรว่ มนอ้ ยกวา่ –1 หรือมากกวา่ 1 แทนคา่ dy = − 1 = − 1 → a = 2 ซ่งึ ไมส่ ามารถหาผลบวกถึงอนนั ตไ์ ด้ dx 4 2 a 3 − 1 ขอ้ 3. 1 1 1 (1 / r) = 1 r + r2 + r3 +… = 1 − (1 / r) r − 1 (ตอ้ งใชพ้ าราโบลาซกี ทเ่ี ปน็ เครอ่ื งหมายลบจึงคดิ ได)้ ดงั นนั้ y = − x − 1 และคา่ b = − 3 − 1 = −1 ข้อ 4. 1 − 1 + 1 −… = (1 / r) = 1 22 r r2 r3 1 + (1 / r) 1+r สว่ นคา่ c หาจาก 3 + 4 (−1) + c = 0 → c = 1 ตอบ ขอ้ 4. (12) f(x) เป็นพหนุ ามดกี รสี าม แสดงวา่ f’(x) เปน็ ตอบ a+b+c = 2 พหนุ ามดีกรสี อง ซึง่ โจทย์บอกว่า i − 2 เปน็ รากหนึง่ (8) ก. เชอื่ มดว้ ยเครอ่ื งหมาย “กต็ ่อเมอื่ ” มเี ทจ็ ได้ 2 (เป็นคําตอบหนง่ึ ) ของสมการ f′(x) = 0 แสดงวา่ กรณี คอื T,F และ F,T สมมตวิ า่ คิดแบบ T,F จะได.้ . − i − 2 เป็นอีกคาํ ตอบหนึง่ จะได้ [(p ∧ q) → r)] ↔ (p ∨ q) F FT ? F F FF (พบวา่ r จะเปน็ จริงหรือเทจ็ ก็ได)้ f′(x) = k (x − (i − 2))(x − (− i − 2)) = k (x2 + 4x + 5) ดงั นน้ั อนิ ทเิ กรตได้ f (x) = k (x3 + 2x2 + 5x + c1) 3 คําถามคอื (p → q) ∨ r จะเป็นเทจ็ เสมอหรอื ไม่ แตใ่ นโจทยใ์ หส้ มั ประสทิ ธห์ิ นา้ สุดเป็น 1 แสดงวา่ k=3 ลองแทน p เปน็ เท็จ และ q เปน็ เท็จ ไดผ้ ลเป็น น่นั เอง.. จึงได้ f (x) = x3 + 6x2 + 15x + c T ∨ r ซงึ่ เปน็ จริงเสมอ ดังนนั้ ก. ผดิ ต่อมา หาค่า c ไดจ้ ากประโยค x-1 หาร f(x) เหลอื ข. ในวงเล็บถูกตอ้ งแลว้ แตผ่ ดิ ทต่ี วั บ่งปรมิ าณ ต้อง เศษ 2 หมายความว่า f(1)=2 (จากทฤษฎเี ศษ) เป็น ∀y∃x (สลับท่ไี มไ่ ด้) ตอบ ขอ้ 4. 2 = (1)3 + 6(1)2 + 15(1) + c → c = −20 (9) ก. จะได้เปน็ ∀x [ (x − 4)(x − 1) < 0 ] ตอบ f (−1) = (−1)3 + 6(−1)2 + 15(−1) − 20 = −30 นนั่ คอื ∀x [ 1 < x < 4 ] ...ซงึ่ ทุกค่าในเอกภพ (13) 1. fog = 9 − g2 = 9 − (x2 + 5) = 4 − x2 สัมพทั ธก์ ็ใหผ้ ลเป็นจรงิ ตามเงอ่ื นไขน้ี ดังนนั้ ก. ถกู หาโดเมน; เนื่องจาก 9 − g2 น้ัน 9 − g2 > 0 ข. จะได้ ∃x [ (2x − 7)(x2+ x + 1) > 0 ] เท่านัน้ จึงได้วา่ −3 < g < 3 นนั่ คือ ซ่งึ พจน์ (x2+ x + 1) แยกตวั ประกอบไม่ได้ และจะมี −3 < x2 + 5 < 3 → 0 < x2 + 5 < 9 ค่าเปน็ บวกเสมอ จงึ ตัดท้ิงได้ ไมม่ ผี ลตอ่ อสมการ → 0 < x2 < 4 → −2 < x < 2 ดังนั้น ก. ถูก ..กลายเป็น ∃x [ 2x − 7 > 0 ] นน่ั คือ 2. gof = f2 + 5 = 9 − x2 + 5 = 14 − x2 ∃x [ x > 3.5 ] ซึ่งพบว่ามี x บางคา่ ตรงตามนจ้ี รงิ หาโดเมน; เนื่องจาก f2 + 5 นน้ั f เปน็ อะไรกไ็ ด้ ตอบ ขอ้ 1. ดังนน้ั 9 − x2 เป็นอะไรกไ็ ด้ จึงได้ −3 < x < 3 สรุป ขอ้ 2. ผดิ เพราะโดเมนตอ้ งเป็น [-3,3] (10) f′(x) = (x − 3)(2x) − (x2 − 5)(1) (x − 3)2 = x2 − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) 3. fog; จาก x2 + 5 > 5 → g > 5 (x − 3)2 (x − 3)2 จงึ ทาํ ให้ g2 > 5 → 9 − g2 < 4 ค่าวกิ ฤตคอื x=1 และ 5 → 0 < 9 − g2 < 2 สรปุ Rfog = [0, 2] gof; จาก x2 > 0 → 9 − x2 < 9 โดยท่ี x=3 นั้นความชัน จงึ ทาํ ให้ 0 < f < 3 → 5 < f2 + 5 < 14 หาค่าไม่ได.้ . (1,2) (5,10) → 5 < f2 + 5 < 14 สรุป Rgof = [ 5, 14] 4. ถูก เพราะชว่ ง [-3,3] ตลอดทง้ั ช่วงอยู่ในโดเมน ลองแทน x ตา่ งๆ และ 3 ของ f กบั g และกไ็ ม่มีค่า x ใดทีฟ่ งั ก์ชันไมน่ ิยาม เขียนกราฟไดด้ งั รปู (เช่นทําใหม้ สี ว่ นเป็น 0) ก. เปน็ ฟงั ก์ชันลดในช่วง (1, 3) ∪ (3, 5) ..ถกู ข. ผดิ เพราะ f ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1 ตอบ ขอ้ 2. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 614 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 2 (14) ให้ ex = A จะได้ |1 − 11 A| > 9 + A2 (17) ประโยค “ความน่าจะเปน็ ทน่ี กั เรียนคนน้ีได้ กรณีแรก ถา้ A > 1 จะทาํ ใหใ้ นคา่ สมั บรู ณ์ตดิ ลบ คะแนนนอ้ ยกวา่ และมากกวา่ 49.5 คะแนน มีคา่ เทา่ กัน” แปลวา่ 49.5 คอื มัธยฐานนน่ั เอง (มีจาํ นวน 11 คนทไ่ี ดม้ ากกวา่ และนอ้ ยกวา่ อยู่เทา่ กนั ) ซงึ่ ถอดคา่ สัมบูรณไ์ ด้ 11 A − 1 > 9 + A2 → A2 − 11A + 10 < 0 → (A − 11)(A − 1) < 0 ซึ่ง 49.5 นั้นเปน็ ขอบของชน้ั พอดี แสดงวา่ 5+10=a+b+2 นนั่ คอื a+b=13 .....(1) ดังนน้ั 1 < A < 11 → 1 < ex < 11 ประโยค “คะแนน 59.5 คดิ เปน็ เดไซลท์ ี่ 8” และ → ln 1 < x < ln 11 ชว่ งคาํ ตอบคอื [ln1,ln11] 59.5 กเ็ ป็นขอบของชน้ั พอดี แสดงวา่ กรณที ีส่ อง ถา้ 0 < A < 1 จะทาํ ใหใ้ นคา่ สมั บรู ณ์ 5+10+a = 4(b+2) นนั่ คอื 4b-a=7 .....(2) แกร้ ะบบสมการได้ a=9 และ b=4 11 นักเรยี นกลุ่มนี้มี 5+10+9+4+2=30 คน เปน็ ศนู ยห์ รอื เปน็ บวก ซ่ึงถอดได้ 1 − 11 A > 9 + A2 หาส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์.. → A2 + 11A + 8 < 0 ดังนน้ั −11 − 89 < A < −11 + 89 Q3 อยู่ตาํ แหน่งที่ (3/4)(30) = 22.5 22 แต่ช่วงคําตอบทไ่ี ด้นผี้ ดิ จากเงอื่ นไขแรก (เพราะไดค้ า่ ⎛ 22.5 − 15 ⎞ A ตดิ ลบตลอดทง้ั ช่วง) กรณีนจ้ี งึ ไมม่ คี ําตอบ Q3 = 49.5 + 10 ⎝⎜ 9 ⎟⎠ = 57.83 ตอบ a − b = ln 11 − ln 1 = ln 11 Q1 อยตู่ าํ แหน่งท่ี (1/4)(30) = 7.5 (15) นาํ cos x คูณสองขา้ งของสมการ จะได้ Q3 = 39.5 + 10 ⎛ 7.5 − 5⎞ = 42 ⎜⎝ 10 ⎠⎟ sin x = 2 cos x − 1 ..... (1) แต่ sin2 x + cos2 x = 1 ..... (2) ตอบ Q3 − Q1 = 57.83 − 42 = 7.92 22 แทน sin x จาก (1) ลงใน (2) (18) X = 8 → ∑ x = 8 ⋅ 5 = 40 แกส้ มการได้ cos x = 0 หรอื 4/5 และจาก ∑ (x − 5)2 = ∑ x2 − 10 ∑ x + ∑ 25 แต่ในโจทยม์ คี าํ วา่ tan x กับ sec x ดังนนั้ เทา่ นนั้ จะได้ ∑ x2 − 10 (40) + 125 = 350 → ∑ x2 = 350 cos x = 0 ไมไ่ ด!้ ..ตอ้ งเปน็ ถา้ มีขอ้ มลู 2 มาเพม่ิ อกี จาํ นวน จะได;้ cos x = 4/5 โจทย์ถาม sin(π + 2 θ) = cos 2 θ ∑ x = 40 + 2 = 42 → X = 42 = 7 2 6 = 2 cos2 θ − 1 = 2 (16/25) − 1 = 7/25 ตอบ และ ∑ x2 = 350 + 22 = 354 (16) ประโยค “ค่าตาํ่ สดุ สมั พทั ธเ์ ท่ากับ 4 ทจ่ี ดุ ซง่ึ ดังนนั้ s2 = ∑ x2 − X2 = 354 − (7)2 = 10 ตอบ x=1” แปลวา่ f(1)=4 และ f’(1)=0 N6 ประโยค “เสน้ ตรง x+y+3=0 เป็นเสน้ สมั ผสั กราฟที่ (19) ให้จาํ นวนชว่ั โมงเปน็ Y และผลการเรียนเปน็ X จดุ (a,-2)” ทําให้หาคา่ a ไดจ้ าก a + (−2) + 3 = 0 จะได้ ∑ y = m ∑ x + cN → 42 = 12m + 6c ดงั นนั้ a = −1 ..น่นั คอื f(-1)=-2 ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 97 = 28m + 12c และเมื่อพิจารณาความชนั จะได้ f’(-1)=-1 แก้ระบบสมการได้ m=3.25 และ c=0.5 โจทย์กาํ หนด f (x) ⋅ g (x) = x2 → g (x) = x2 ดังนน้ั ที่ x=4 จะได้ Yˆ = 3.25(4) + 0.5 = 13.5 f (x) ตอบ ขอ้ 1. → g′(x) = f (x) ⋅ (2x) − x2 ⋅ f′(x) (20) นํา M22 และ M31 มาประกอบกนั ได้เปน็ (f (x))2 ⎡−1 d −1⎤ และเรามี ⎡−13 −14 a⎤ ∫และโจทย์ใหห้ า 1 A = ⎢ • −1 2 ⎥ adj A = ⎢ −5 b −1 ⎥ ⎣⎢ c • 3 ⎦⎥ ⎢⎣ 17 11 −8⎥⎦ −1 g′′(x) dx = g′(1) − g′(−1) แทนคา่ ไดด้ งั นี้ g′(1) = f (1) ⋅ (2) − f′(1) = 8 = 1 จึงใช้สมบตั ิ (adj A) ⋅ A = ⎡det(A) 0 0⎤ (f (1))2 16 2 ⎢ 0 det(A) 0⎥ ⎢⎣ 0 0 det(A)⎦⎥ g′(−1) = f (−1) ⋅ (−2) − f′(−1) = 5 หา det(A) ไดจ้ ากแถวที่ 3 ของ adjA คณู กบั หลกั ท่ี (f (−1))2 4 3 ของ A น่นั คอื (17)(−1) + (11)(2) + (−8)(3) = −19 ตอบ 1 − 5 = − 3 โจทยถ์ าม det((2A)−1) = det(1 A−1) 24 4 2 = (1)3 ( 1 ) = − 1 ตอบ 2 −19 152 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 615 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 (21) วิธที ้ังหมดคอื หยบิ xi กับ yi เปน็ 0, 1, หรอื (24) A; จาก 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 = 0 2 กไ็ ด้ เปน็ จาํ นวน 6 ครัง้ (ซ้ํากนั อยา่ งไรกไ็ ด)้ ได้ทั้งหมด 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 แบบ จดั รปู อนุกรมเรขาคณิตไดเ้ ป็น z6 − 1 = 0 z−1 วธิ ีทต่ี อ้ งการคอื หยิบ xi ไดเ้ ลข 0, 1, 2 อยา่ งละตวั ดงั นนั้ คาํ ตอบของสมการคอื คา่ z ทท่ี ําให้ z6 = 1 พอดี (3! แบบ) และหยบิ yi เปน็ เลขใดก็ได้ (ซํา้ กนั เราหาคาํ ตอบทง้ั 6 ได้ โดยอาศัยรูปเชงิ ขวั้ ได้) น่ันคอื ไดท้ ง้ั หมด 3! ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ 34 แบบ ไดเ้ ปน็ z = −1 , ± 1 ± 3 i ดังนน้ั ความน่าจะเป็น = 2 ⋅ 34 = 2 ตอบ 22 36 9 (22) จาํ นวนทงั้ หมด = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 จาํ นวน (เหลอื 5 คําตอบเพราะ z หา้ มเป็น 1) B; จาก z = 1 → a2 + b2 = 1 (ข้ึนตน้ ด้วยเลข 0 ไมไ่ ด้ ขนั้ ตอนแรกจงึ เปน็ 9 วธิ )ี และเนอื่ งจาก z = 1 นําไปแทนในสมการแรก จะ สว่ นจาํ นวนทตี่ อ้ งการ ไดแ้ ก่ 135, 357, 579 และ กลับดา้ น (มากไปนอ้ ย) ได้อกี รวม 6 จาํ นวน ไดว้ า่ z + 1 = 1 → (a + 1)2 + b2 = 1 ตอบ ความนา่ จะเป็น = 6 = 1 แกร้ ะบบสมการได้ a = − 1 และ b = ± 3 9 ⋅ 9 ⋅ 8 108 22 (23) พิจารณา y1 = x (8 − x) จะได้ ดงั นน้ั z = − 1 ± 3 i (ซงึ่ สองคา่ นกี้ ็อยู่ใน A ด้วย) 22 y1 = −(x2 − 8x + 16) + 16 = −(x − 4)2 + 16 สรปุ .. A และ B มีสมาชกิ รวม 5 ตวั ตอบ นน่ั คอื y2 + (x − 4)2 = 16 ... เปน็ สมการครงึ่ วงกลม รัศมี 4 หนว่ ย จุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (4,0) (25) จากโจทย์ 99 ∑ (vn+1 − vn) n=1 และในทาํ นองเดยี วกนั y2 = x (4 − x) จะได้ = |(v2 − v1) + (v3 − v2) + ... + (v100 − v99)| y2 = −(x2 − 4x + 4) + 4 = −(x − 2)2 + 4 = | v100 − v1 | นัน่ คอื y2 + (x − 2)2 = 4 ... เป็นสมการครงึ่ วงกลม = |( 3 − 0.0003 i + 0.01 j)− (0 i + 1 j)| รศั มี 2 หนว่ ย จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (2,0) ≈ | 3 i − 1 j | ≈ 2 ตอบ ขอ้ 4. หมายเหตุ ในขอ้ น้ถี า้ คดิ แบบแมน่ ยาํ จะไดเ้ ป็น โจทยใ์ หอ้ นิ ทิเกรตจาก | 2.9997 i − 0.99 j | = 3.9798 = 1.995 0 ถึง 4 แสดงวา่ ถาม พ้ืนทีแ่ รเงาดงั ภาพ.. 48 หาได้จากสตู รพนื้ ทวี่ งกลม = 1 π (4)2 − 1 π (2)2 = 2π ≈ 6.28 42 ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 616 ฉบบั เขมขน Math E-BooÀkÒ©¤º¼ºa e¹¢ŒÁÇ¢¡Œ¹ เซต 1. เซต คือ “กล่มุ ของสง่ิ ตา่ งๆ” และเรียกสิ่งท่ีอยภู่ ายในแตล่ ะเซตวา่ “สมาชกิ ” นยิ มตั้งชือ่ เซตด้วยอกั ษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสญั ลกั ษณแ์ ทนเซตดว้ ยปกี กา { } 2. ในการเขียนแจกแจงสมาชกิ ของเซตนนั้ - จะคั่นระหว่างสมาชิกแตล่ ะตวั ดว้ ยลูกน้ํา (จุลภาค) - สามารถสลับที่สมาชิกในเซตไดโ้ ดยความหมายไมเ่ ปลยี่ น - สมาชิกตวั ที่ซา้ํ กันนบั เป็นตวั เดียวกัน และไมต่ ้องเขียนซาํ้ - หากมีสมาชิกเปน็ จํานวนมาก อาจใช้เครอ่ื งหมาย “...” เพอื่ ละสมาชกิ บางตัวไวใ้ นฐานท่ีเข้าใจ 3. เซตสองเซตจะเท่ากนั กต็ อ่ เมื่อเปน็ เซตเดียวกนั (สมาชกิ ทกุ ตัวตอ้ งเหมอื นกัน) เท่านัน้ 4. สญั ลกั ษณ์ท่ีใช้แทนคําวา่ “เปน็ สมาชกิ ของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C สัญลกั ษณ์ทีใ่ ช้แทนคําวา่ “ไมเ่ ป็นสมาชิกของ” คอื ∉ เชน่ 2.5 ∉ B , 4 ∉ C 5. ภายในเซต จะมเี ซตหรอื คู่อันดบั หรอื อะไรก็ได้ท้ังนน้ั และจะนับ 1 กอ้ นเป็นสมาชกิ 1 ตวั 6. เซตจาํ กดั คอื เซตทห่ี าจํานวนสมาชกิ ได้ เซตอนันตค์ อื เซตท่จี ํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไมไ่ ด้ สญั ลกั ษณ์ท่ใี ช้แทน “จํานวนสมาชกิ ของ A” คอื n(A) เชน่ n(A) = 7 , n(B) = 5 7. เซตทไ่ี ม่มีสมาชิกเลย เรยี กว่า เซตวา่ ง ใช้สญั ลักษณ์ { } หรือ ∅ ดงั น้ันจะได้วา่ n(∅) = 0 8. เซตอนันตบ์ างเซตไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชกิ แตเ่ ขียนแบบบอกเงอื่ นไขได้ ในรปู { สมาชกิ | เง่อื นไข} อา่ นว่า “เซตของ (สมาชกิ ) โดยท่ี (เงอ่ื นไข)” 9. ขอบเขตของสิง่ ที่เราสนใจ เรียกวา่ เอกภพสมั พทั ธ์ หรอื เซต U มผี ลต่อเซตแบบบอกเงอื่ นไข - สมาชิกของเซตทุกเซตจะตอ้ งอยใู่ น U ทัง้ หมด และจะไมส่ นใจสิง่ ท่ีอยภู่ ายนอก U - โดยทวั่ ไปถา้ ไม่ได้ระบเุ อกภพสมั พัทธ์ ใหถ้ อื วา่ U เป็นเซตทใ่ี หญท่ ่สี ุดเทา่ ท่จี ะเปน็ ไปได้ 10. สบั เซต คอื เซตย่อย ...B เปน็ สับเซตของ A กต็ อ่ เม่ือ สมาชกิ ทุกตวั ของเซต B อย่ใู น A ดว้ ย หรือเมอ่ื B เป็นเซตวา่ งกไ็ ด้ (และ B ไม่เปน็ สบั เซตของ A หากมีสมาชกิ บางตัวของ B ไมอ่ ยใู่ น A) 11. สัญลกั ษณ์ทีใ่ ช้แทนประโยค “B เป็นสบั เซตของ A” คือ B ⊂ A สญั ลักษณ์ท่ีใชแ้ ทนประโยค “B ไมเ่ ป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ A 12. เซตทมี่ สี มาชิก n ตวั จะมสี บั เซตตา่ งๆ กนั ทัง้ ส้นิ 2n แบบ 13. เซตวา่ งเปน็ สับเซต(ท่ีเล็กท่ีสดุ )ของทกุ เซต และเซตทกุ เซตเปน็ สบั เซต(ทีใ่ หญท่ ีส่ ุด)ของตัวเอง 14. เพาเวอร์เซต คอื เซตทบ่ี รรจดุ ว้ ยสบั เซตทัง้ หมดที่เป็นไปได้ - เพาเวอร์เซตของ A ใช้สญั ลกั ษณว์ ่า P(A) - ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแลว้ P(A) ย่อมมสี มาชิก 2n ตวั 15. ประโยค {a, b} ∈ P(A) แปลว่า {a, b} ⊂ A และประโยค {a, b} ⊂ A ก็แปลไดอ้ กี ทอดวา่ “ a ∈ A และ b ∈ A ” Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 617 ฉบบั เขม ขน 16. การแสดงเซตด้วยแผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ จะให้เอกภพสัมพทั ธ์เป็นกรอบสเ่ี หลี่ยม ซ่งึ ภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ทใ่ี ชแ้ ทนขอบเขตของเซตต่างๆ และแต่ละเซตมักมีการ ซอ้ นทบั กนั 17. การดําเนนิ การเกีย่ วกับเซต ทาํ ใหเ้ กดิ เซตใหมข่ น้ึ จากเซตที่มีอยู่เดิม - ยูเนียน ... เซต A ∪ B คอื เซตของสมาชิกทีอ่ ยใู่ น A หรอื B ทัง้ หมด - อินเตอรเ์ ซกชนั ... เซต A ∩ B คอื เซตของสมาชกิ ทอี่ ยู่ในท้งั A และ B - คอมพลเี มนต์ ... เซต A' คอื เซตของสมาชกิ ท่ีไมไ่ ดอ้ ย่ใู น A (บางตาํ ราใช้สญั ลกั ษณ์ Ac , A ) - ผลต่าง ... เซต B − A คอื เซตของส่ิงทอ่ี ยูใ่ น B แต่ไมอ่ ยูใ่ น A ... เขียนไดอ้ ีกแบบว่า B ∩ A' 18. โดยท่วั ไปค่าของ n(B − A) ต้องคิดจาก n(B) − n(A ∩ B) เท่านั้น (ห้ามคิดจาก n(B)-n(A)) 19. การแจกแจง 20. คอมพลีเมนต์ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B)' = A ' ∩ B' A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B)' = A ' ∪ B' 21. โจทยป์ ัญหาท่เี ป็นเหตกุ ารณ์ - จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณช้นิ ส่วนตา่ งๆ - ในขอ้ สอบมักตั้งใจให้ใช้สตู รในการหาจาํ นวนสมาชิกแตล่ ะชิ้นส่วนดังนี้ สองเซต ... n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) สามเซต ... n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) ระบบจํานวนจรงิ 1. จํานวนท่ีคดิ ขึน้ ครัง้ แรกใชน้ ับสงิ่ ของต่างๆ เรยี กวา่ จาํ นวนธรรมชาติ หรอื จํานวนนบั ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, ... สญั ลักษณแ์ ทนเซตของจํานวนนับคอื เซต N 2. จาํ นวนนับ จาํ นวนศนู ย์ และจํานวนเตม็ ลบ เรยี กรวมกันว่า จาํ นวนเต็ม (เซต I ) 3. จาํ นวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเตม็ เรียกรวมกันวา่ จาํ นวนตรรกยะ (เซต Q ) - เศษส่วนของจาํ นวนเตม็ จะเขยี นเป็นทศนยิ มซํา้ ได้เสมอ - จาํ นวนอ่ืนๆ จะเป็นทศนยิ มไมซ่ ํา้ เรียกว่า จํานวนอตรรกยะ ( Q' ) เชน่ 2 , 3 , π , e 4. จาํ นวนท้ังหมดที่กล่าวมานี้ เรียกรวมกนั ว่าจํานวนจริง (เซต R ) - จํานวนซ่ึงไม่ใช่จาํ นวนจริง ไดแ้ ก่ จาํ นวนซึ่งในรู้ทตดิ ลบ เช่น −2 (เรยี กว่าจาํ นวนจินตภาพ) และจํานวนซง่ึ ตัวส่วนเปน็ 0 (จะถือวา่ หาคา่ ไมไ่ ด้และไม่ใช่จํานวนจริง) 5. คาํ ศพั ท์เพิ่มเตมิ เก่ียวกบั จํานวนเต็ม - จาํ นวนคู่ คอื จาํ นวนเต็มทีห่ าร 2 ลงตัว (ไดแ้ ก่ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …) จํานวนเตม็ อนื่ ๆ เรียกวา่ จํานวนค่ี เปน็ จํานวนเตม็ ที่หาร 2 ไม่ลงตัว (ไดแ้ ก่ 1, -1, 3, -3, …) - จาํ นวนเฉพาะ คือจํานวนเต็มทไี่ ม่ใช่ 0, 1, -1 และมจี ํานวนเต็มทีห่ ารลงตัวเพยี ง ±1 และ ± ตัว มนั เอง เทา่ น้นั (จาํ นวนเฉพาะสามารถติดลบไดด้ ้วย เชน่ -2, -3, -5, -7, …) - จาํ นวนเตม็ อ่ืนๆ ที่ไมใ่ ชจ่ าํ นวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, -1 จดั เป็นจํานวนประกอบ (คอื จํานวนซ่งึ แยกตัวประกอบได)้ 6. สมบตั ิปดิ หมายความว่า เม่ือนาํ สมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลที่ได้ยังคงเปน็ สมาชิก ของเซตนั้นอยู่ เช่น เซตจํานวนนับมสี มบัตปิ ิดการบวกและคูณ แตไ่ มม่ สี มบัตปิ ิดการลบ - สมบตั อิ ื่นของจาํ นวนจรงิ ได้แก่ การสลบั ท่ี การเปล่ียนกลุม่ การแจกแจง การมีเอกลกั ษณ์ และ การมีอินเวอร์ส 7. “เอกลักษณ์” คอื จํานวนที่ไปดาํ เนินการกบั จํานวน a ใดก็ตาม แล้วไดผ้ ลลัพธ์ a เท่าเดิม - เอกลกั ษณ์การบวกของจํานวนจรงิ คือ 0 และเอกลักษณ์การคูณของจาํ นวนจรงิ คือ 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 618 ฉบบั เขมขน 8. “อนิ เวอร์สของ a” คือจาํ นวนทไ่ี ปดําเนนิ การกบั จาํ นวน a แล้วได้ผลลัพธเ์ ป็นเอกลักษณ์ - เอกลกั ษณ์การบวกของ a คอื −a และเอกลักษณ์การคณู ของ a คอื 1/a (หรือเขียนเป็น )a−1 9. ทบทวนการคาํ นวณเก่ียวกับเศษส่วน |a + d = ac + bd a ⋅ d = ad | ⎝⎛⎜ a ⎟⎠⎞−1 = b bc bc b c bc b a ab = a | a = ac | a b = ad c bc bc b c d bc 10. ทฤษฎีบทเศษเหลือ ชว่ ยในการแยกตวั ประกอบพหุนามทมี่ ีดีกรีมากกวา่ สอง - พหนุ าม p (x) คอื พหุนามท่ีมี x เปน็ ตัวแปร และอยใู่ นรูป anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 - ทฤษฎบี ทเศษเหลือ ... ถ้าหาร p(x) ด้วย (x − c) แล้ว จะเหลือเศษเท่ากับ p(c) - ทฤษฎีบทตวั ประกอบ ... หาก p(c) = 0 จะกลา่ วว่า (x − c) เปน็ ตวั ประกอบของ p(x) - อีกทฤษฎที ที่ ําใหห้ าคา่ c ทเ่ี ปน็ ตัวประกอบได้เร็ว คอื ทฤษฎบี ทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ ซ่งึ กล่าววา่ ถา้ (x −(k m)) เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว k ต้องเป็นตัวประกอบของ a0 และ m ต้องเป็นตวั ประกอบของ an ... (k m เป็นเศษสว่ นอยา่ งตํ่าเทา่ นั้น) (แต่หาก c ไม่ใชจ่ าํ นวนตรรกยะ เชน่ x2− 2 = (x − 2)(x + 2) จะใช้ทฤษฎีนี้ไม่ได้) 11. สมการ คอื ประโยคทมี่ ตี ัวแปรและกลา่ วถงึ การเท่ากนั - การแก้สมการ คอื การหาคา่ ของตวั แปรทท่ี ําใหป้ ระโยคนน้ั เป็นจรงิ - อาจกลา่ ววา่ เป็นการหา “เซตคาํ ตอบของสมการ” หรือการหา “รากของสมการ” ก็ได้ คาํ ว่าจงหา “รากของสมการ” แปลวา่ ใหห้ าคาํ ตอบของสมการ (ไม่เกีย่ วกบั การถอดรทู้ อะไรใดๆ) 12. สมบตั ิเกีย่ วกับสมการ a = b → a±c = b±c a = b → ac = bc a = b → a / c = b / c เม่อื c ≠ 0 13. ขอ้ ควรระวังในการแก้สมการใดๆ - การบวกหรือลบทั้งสองขา้ ง (ยา้ ยขา้ งบวกลบ) และการตดั ออกสาํ หรบั การบวกหรอื ลบ ทําได้เสมอ - การคณู ทัง้ สองขา้ ง (ยา้ ยขา้ งคณู ) ทาํ ได้เสมอ การหารทัง้ สองขา้ ง (ย้ายขา้ งไปหาร) ห้ามเปน็ 0 - การตดั ออกสําหรับการคูณ ทาํ ได้เมอ่ื มน่ั ใจว่าเลขทตี่ ัดออกทัง้ สองข้างไม่ใช่ 0 - การยกกาํ ลงั สองทัง้ สองข้าง ทําไดเ้ สมอ แตก่ ารตัดกําลังสองออกจะมผี ล 2 กรณี คือสองขา้ งเท่ากัน หรอื สองข้างเปน็ ติดลบของกันและกัน 14. สมบตั ิท่ีสาํ คญั ในการแก้สมการกําลังสองคอื หาก a b = 0 แลว้ จะได้วา่ a = 0 หรือ b = 0 สมการกําลงั สองมรี ูปทวั่ ไปเปน็ Ax2 + Bx + C = 0 ควรแยกตวั ประกอบใหอ้ ยู่ในรปู (Dx + E)(Fx + G) = 0 ก่อน เพอื่ จะได้ทราบวา่ คาํ ตอบของสมการกําลงั สองไดแ้ ก่ x = − E หรือ x = − G DF 15. ถา้ แยกตัวประกอบในใจไมส่ าํ เรจ็ ต้องใช้สูตรหาคาํ ตอบคือ x = −B ± B2 − 4AC 2A และถา้ พบวา่ ในรู้ทเปน็ จํานวนติดลบจงึ ค่อยสรุปว่าแยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ และสมการไม่มีคําตอบ 16. อสมการ คือประโยคทม่ี ตี วั แปรและกล่าวถึงการไม่เท่ากัน (ไดแ้ ก่ > > < < หรือ ≠ ) - การแก้อสมการ คือการหาคา่ ของตัวแปรทีท่ าํ ใหป้ ระโยคน้นั เปน็ จรงิ - อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของอสมการ” ก็ไดเ้ ช่นกัน 17. ช่วง คือเซตชนิดหนึ่งซึ่งมีสมาชิกเป็นค่าต่อเนอื่ งกัน อาจเปน็ ชว่ งเปดิ ช่วงปดิ หรือชว่ งครึง่ เปิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 619 ฉบับเขมขน 18. สมบัตเิ กี่ยวกบั อสมการ a > b → a±c > b±c a > b → a c > b c เม่อื c > 0 a > b → a c < b c เมื่อ c < 0 19. ข้อควรระวังในการแก้อสมการใดๆ - การบวกหรอื ลบทั้งสองข้าง (ย้ายขา้ งบวกลบ) และการตดั ออกสาํ หรับการบวกหรือลบ ทําไดเ้ สมอ - การคูณหรอื หารทง้ั สองขา้ ง (ย้ายข้างคูณหาร) จะตอ้ งระวังเร่อื งการเปลี่ยนเครอ่ื งหมาย (ถา้ เลขทย่ี า้ ยเป็นค่าติดลบ ตอ้ งพลิกดา้ นเครอ่ื งหมาย) - การยกกําลงั สองทงั้ สองข้าง ทาํ ได้เม่อื ม่ันใจว่าเป็นบวกท้งั สองขา้ ง หรือตดิ ลบท้ังสองข้างเทา่ น้นั (โดยกรณตี ดิ ลบตอ้ งพลิกด้านเครอ่ื งหมายด้วย) 20. การแก้อสมการของพหนุ าม ควรใช้เทคนิคดังน้ี - สมั ประสิทธ์หิ น้า x ดีกรสี งู สดุ ตอ้ งไมต่ ิดลบ (ถา้ ตดิ ลบให้คูณ -1 เพื่อกลับดา้ นเคร่ืองหมายก่อน) - แยกตัวประกอบ แลว้ กําหนดจุดเหลา่ นน้ั ลงบนเสน้ จํานวน - ใส่ +, -, +, -, ... สลับกนั ไปโดยให้ช่วงขวาสดุ เปน็ บวก ถ้า > 0 ตอบช่วงบวก, < 0 ตอบชว่ งลบ - ถา้ อสมการมีเครื่องหมาย = ดว้ ย ใหต้ อบจดุ เหล่านัน้ ด้วย (กลายเปน็ ช่วงปดิ ) 21. ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของชว่ ง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คอื ค่า b ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ (−∞, ∞) หาไมไ่ ด้ 22. “คา่ สัมบรู ณ์ ของจํานวนจรงิ a ” ใช้สัญลักษณ์ a - ความหมายเชิงเรขาคณิต คือ a เทา่ กบั ระยะห่างระหว่างจดุ ทีแ่ ทน a กบั จดุ 0 - และ a − b เทา่ กบั ระยะห่างระหว่างจดุ ทแ่ี ทน a กบั จดุ ทีแ่ ทน b 23. การถอดคา่ สัมบูรณ์ในกรณีทั่วๆ ไป a = ⎧⎪ a เมื่อ a > 0 ⎨ 24. ทฤษฎีเกย่ี วกบั ค่าสมั บูรณ์ ⎪⎩−a เมือ่ a < 0 - คา่ สัมบรู ณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ - ค่าสมั บูรณ์ไม่คํานึงถึงเคร่ืองหมายลบ a = −a a−b = b−a - คา่ สัมบรู ณ์กระจายได้ สําหรบั การคณู ab = a b an = a n - คา่ สัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการหาร a a โดย b ≠ 0 = bb - ยกกําลงั ดว้ ยเลขคูไ่ มต่ อ้ งใส่ค่าสัมบูรณ์ a2 = a 2 = a2 - คา่ สมั บรู ณ์กระจายไม่ได้ สําหรบั การบวกลบ a+b < a + b a−b > a − b - นิยามการถอดรากท่ี n ของกําลัง n n an = ⎪⎧ a เมื่อ n = จาํ นวนคู่ ⎨ เมื่อ n = จาํ นวนค่ี ⎪⎩ a 25. ทฤษฎที ช่ี ว่ ยแกส้ มการและอสมการ ทม่ี ีค่าสัมบรู ณ์ (เมอ่ื b > 0) - สมการ x = b และสมการ x = b มคี วามหมายเดยี วกับสมการ x2 = b2 และสรปุ ได้ว่า “ x = b หรือ x = −b ” - อสมการ x < b คือ −b < x < b อสมการ x > b คอื “ x < −b หรือ x > b ” 26. บทนิยามของการหารจาํ นวนเตม็ ลงตวั - “m หารด้วย n ลงตัว” เขียนเปน็ สัญลักษณ์ n m Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 620 ฉบบั เขม ขน - สําหรบั จํานวนเต็ม m, n โดยท่ี n ≠ 0 จะได้วา่ n m กต็ อ่ เมือ่ m = n q และ q ∈ I - สมบัตกิ ารถา่ ยทอด ถ้า a b และ b c แลว้ a c - ผลรวมเชิงเส้น ถา้ a b และ a c แลว้ a (bx±cy) - เลขยกกาํ ลงั ถ้า a b แลว้ a bn ... และถ้า an b แลว้ a b 27. บทนิยามของการหารจาํ นวนเตม็ ใดๆ - สําหรบั จาํ นวนเตม็ m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้วา่ m = n q + r และ q∈ I , 0 < r < n มีจาํ นวนเตม็ q, r ชุดเดียวเท่านัน้ เรยี ก q วา่ ผลหาร ... และเศษคือ r 28. สัญลกั ษณ์ทใ่ี ช้แทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ท่เี ปน็ บวก คือ (a, b) สัญลกั ษณ์ทใี่ ชแ้ ทน ค.ร.น. ของ a กบั b ทเ่ี ป็นบวก คอื [a, b] - ห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ (เม่อื a คูณ b ได้เป็นบวก) - ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d, b/d) = 1 - ถา้ (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เปน็ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ 29. ขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ a กับ b แบบยคุ ลดิ เริ่มโดยเขียน a กบั b ในรูปการหาร แล้วนาํ เศษท่ไี ดไ้ ปหารต่อๆ ไป คือ a = b q1 + r1 ... b = r1q2 + r2 ... r1 = r2q3 + r3 ... r2 = r3q4 + r4 ... ทาํ ไปเรอ่ื ยๆ จนกวา่ จะหารลงตวั (เศษเป็น 0) จะได้วา่ ห.ร.ม. เทา่ กบั เศษตวั สดุ ท้าย (rk ) ตรรกศาสตร์ 1. ประโยคทุกประโยคที่มีค่าความจริง เปน็ จรงิ หรือเป็นเท็จอย่างใดอยา่ งหนึ่ง เรยี กวา่ ประพจน์ - ประโยคบอกเลา่ ประโยคปฏเิ สธ เป็นประพจน์ - ประโยคคาํ ถาม คําส่งั ขอรอ้ ง แสดงความปรารถนา ประโยคอทุ าน เหล่าน้ไี ม่ใช่ประพจน์ 2. สัญลกั ษณท์ ี่ใช้แทนประพจน์ตา่ งๆ เปน็ ตวั อกั ษรเลก็ เช่น p, q, r - แตล่ ะประพจนจ์ ะมคี ่าความจรงิ ทีเ่ ปน็ ไปได้ 2 แบบ คอื เปน็ จรงิ (T) หรือเป็น เทจ็ (F) - เครือ่ งหมาย ~ เรยี กว่านิเสธ ใชเ้ พอื่ กลับค่าความจรงิ ให้เป็นตรงกันข้าม pq p และ q p หรอื q ถ้า p แลว้ q p กต็ ่อเมอื่ q ไม่ p (p ∧ q) (p∨ q) (p → q ) (p ↔ q) (~p ) TT TF T T T T F FT T F F F FF F T F T F F T T T F T 3. ตารางข้างบน เรียกว่า ตารางคา่ ความจริง ... เปน็ ตารางแสดงรูปแบบที่เป็นไปได้ทงั้ หมด เชน่ ถา้ มี 1 ประพจนจ์ ะเปน็ ไปได้ 2 แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ, หรอื 2n น่นั เอง 4. หากรูปแบบของประพจนใ์ ดให้คา่ เป็นจริงเสมอทกุ ๆ กรณี จะเรยี กรูปแบบน้ันวา่ สัจนิรันดร์ - การตรวจสอบวา่ เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ สามารถใช้ “วธิ ีพยายามทําให้เปน็ เท็จ” คอื หากพยายามทาํ ให้รูปแบบน้ันเป็นเทจ็ ไม่ได้เลย รูปแบบนัน้ กจ็ ะเป็นสัจนริ ันดร์ แต่ถา้ ทาํ เป็นเท็จไดแ้ ม้เพยี งกรณเี ดยี ว รปู แบบน้นั ยอ่ มไม่ใช่สัจนริ นั ดร์ 5. รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ทีใ่ หค้ า่ ความจรงิ ตรงกันทกุ ๆ กรณี จะกลา่ ววา่ สมมลู กัน (แปลว่า สามารถใช้แทนกนั ได)้ ... สัญลกั ษณ์ท่ีใชแ้ สดงการสมมลู กัน คือ ≡ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 621 ฉบบั เขมขน - ถา้ ≡ แล้ว จะได้ว่า → เปน็ สัจนริ ันดร์ และ ↔ กเ็ ป็นสัจนริ ันดร์ 6. รปู แบบประพจนท์ ่สี มมูลกัน (ท่ีควรทราบ) - การแจกแจง - การเตมิ นเิ สธ p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q ~ (p → q) ≡ p ∧ ~ q - การเปล่ียนตวั เชอ่ื ม p→q ≡ ~p∨ q ≡ ~q→~p ~ (p ↔ q) ≡ ~ p ↔ q ≡ p ↔ ~ q p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 7. ตวั เช่ือม และ มีสมบตั คิ ลา้ ยอินเตอร์เซคชัน ... ตวั เชื่อม หรือ มีสมบัติคลา้ ยยเู นียน ... นอกจากนัน้ นิเสธ ก็มีสมบตั ิคล้ายคอมพลีเมนต์ 8. ประโยคเปิด คือประโยคที่ยงั ตดิ ค่าตวั แปร และเมอื่ แทนค่าตัวแปรแลว้ จึงกลายเปน็ ประพจน์ - สัญลกั ษณ์ที่ใช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ท่ีติดค่าตวั แปร x) ไดแ้ ก่ P(x), Q(x), R(x) ฯลฯ 9. ตวั บง่ ปริมาณ คือขอ้ ความทใ่ี ชบ้ ่งบอกความมากน้อยของค่าตวั แปร x - ตัวบ่งปรมิ าณมี 2 แบบ ได้แก่ “สําหรับ x ทกุ ตัว” ( ∀x ) และ “มี x บางตัว” ( ∃x ) - เม่อื ใช้ตวั บง่ ปรมิ าณร่วมกับเอกภพสัมพทั ธ์ จะทําใหป้ ระโยคเปิดมีคา่ ความจริง 10. สามารถแจกแจงตัวบง่ ปริมาณไดเ้ พียงสองรปู แบบนี้เท่านั้น ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] 11. ประโยคเปิดทีม่ ีสองตวั แปร (มีตวั บ่งปริมาณสองตวั ) การอ่านตอ้ งคาํ นึงถงึ ลําดบั กอ่ นหลัง เชน่ ∀x∃y [...] แทนประโยค “สําหรับ x ทกุ ๆ ตัว จะใช้ y ไดบ้ างตัว ...” แต่ ∃y∀x [...] แทนประโยค “มี y บางตวั ท่ใี ช้ x ได้ครบทุกตวั ...” 12. การหานเิ สธ ตอ้ งเปลีย่ นตวั บง่ ปริมาณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เปน็ ∀ และใส่นิเสธทีป่ ระโยคเปดิ ภายในเครอ่ื งหมายวงเลบ็ ด้วย เช่น นเิ สธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คือ ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] 13. การอ้างเหตุผล คอื การกลา่ วว่าถ้ามีเหตุเป็นขอ้ ความ p1, p2, p3, ..., pn ชดุ หนงึ่ แล้วสามารถสรุปผลเป็นขอ้ ความ q อนั หนึง่ ได้ - การอ้างเหตุผลมที ้งั แบบทสี่ มเหตสุ มผล และไมส่ มเหตุสมผล 14. วิธีตรวจสอบความสมเหตสุ มผล ของการอ้างเหตผุ ล - ตรวจสอบสัจนิรันดร์ ... จะสมเหตุสมผลก็เมอื่ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เปน็ สัจนริ ันดร์ (หรอื กลา่ ววา่ ไม่สมเหตสุ มผลเพียงกรณเี ดยี วเท่าน้ัน คอื เหตุเป็นจรงิ ท้งั หมด แต่ผลเป็นเทจ็ ) - เทียบกับรปู แบบท่พี บบอ่ ย การอา้ งเหตุผลทุกรปู แบบต่อไปน้ี สมเหตุสมผล (4) เหตุ p → q (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q (3) เหตุ p → q r→s p ~q q→r p∨r ผล q ผล ~ p ผล p → r ผล q ∨ s (5) เหตุ p ∨ q (6) เหตุ p → q (7) เหตุ p ∧ q (8) เหตุ p ผล p ผล p ∨ q ~p ~q→~p ผล q ผล ~ p ∨ q 15. การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั เปน็ การใชค้ วามจริงจากส่วนยอ่ ยนําไปสรปุ ความจรงิ ของส่วนรวม หรอื กล่าวว่า เป็นการสรุปผลท่ีจะเกิดขึ้น ซึง่ มาจากการสงั เกตหรือทดลองในกรณียอ่ ยๆ หลายครั้ง ขอ้ ควรระวังคอื ขอ้ สรุปทไ่ี ด้ไม่จําเปน็ ต้องถกู ต้องทกุ ครัง้ เน่ืองจากเป็นขยายผลออกไปจากส่งิ ทเ่ี ห็น Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 622 ฉบบั เขม ขน 16. สง่ิ ท่คี วรคํานึงเพราะมีผลต่อความนา่ เชอ่ื ถือไดแ้ ก่ จาํ นวนข้อมลู ท่มี ีเพยี งพอหรือไม่, ขอ้ มูลท่ใี ช้นน้ั เป็นตวั แทนทีด่ แี ล้วหรอื ไม่, และข้อสรปุ ท่ีตอ้ งการมีความซบั ซอ้ นเกนิ ไปหรอื ไม่ 17. ตวั อยา่ งการให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั - ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} สมาชิกตัวท่เี หลือน่าจะเปน็ 12, 14, 16, ... - ลาํ ดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... พจน์ถัดไปน่าจะเป็น 63 (ดจู ากผลตา่ งของพจน์ตดิ กนั ) - ถา้ ผลบวกของเลขโดดเป็นจํานวนทหี่ ารด้วย 3 ลงตวั แลว้ จํานวนนบั นนั้ จะหารดว้ ย 3 ลงตวั 18. การใหเ้ หตุผลแบบนิรนัย เปน็ การใช้ความจริงที่เปน็ ทีย่ อมรับโดยทัว่ ไป เพ่อื นําไปสขู่ ้อสรุปย่อย ขอ้ ควรระวงั คือ ถ้าใช้ความรู้สกึ เพยี งผวิ เผินอาจจะคดิ ว่าสมเหตสุ มผล ท้ังทจี่ ริงไม่ใช่ 19. การตรวจสอบความสมเหตุสมผล สามารถทาํ ไดอ้ ยา่ งรอบคอบโดยใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออย เลอร์) ถา้ พบว่าแผนภาพเปน็ ไปตามทสี่ รปุ ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น จะถอื วา่ สมเหตุสมผล แต่ถ้าเปน็ แบบอนื่ ไดด้ ้วย จะถือว่าไม่สมเหตสุ มผล 20. ข้อสรปุ ท่ีสมเหตสุ มผล อาจจะขดั แย้งกบั ความจรงิ ในโลกก็ได้ เพราะเรากล่าวในรูปแบบการอา้ ง เหตุผล น่นั คอื การสมเหตสุ มผลไม่ได้หมายความวา่ ผลจะเป็นจริงทันที แตเ่ มื่อใดเหตทุ ุกข้อเปน็ จรงิ ผลจงึ จะจรงิ ด้วย 21. ตัวอยา่ งการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ท่ีสมเหตสุ มผล) - เหตุ (1) นักเรยี นทกุ คนต้องทาํ การบา้ น ... (2) สุดาเปน็ นกั เรียน ผล สุดาต้องทาํ การบา้ น - เหตุ (1) นกทุกตัวบนิ ได้ ... (2) คนบนิ ไมไ่ ด้ ผล คนไมใ่ ช่นก - เหตุ (1) สัตว์ปีกทุกตัวบินได้ ... (2) แมวบางตวั เปน็ สตั ว์ปกี ผล แมวบางตัวบนิ ได้ 22. ตวั อยา่ งการให้เหตุผลแบบนิรนยั (ที่ไม่สมเหตุสมผล) - เหตุ (1) นกทุกตวั บินได้ ... (2) ยงุ บินได้ ผล ยุงเป็นนก - เหตุ (1) นกทกุ ตัวบินได้ ... (2) คนไมใ่ ช่นก ผล คนบนิ ไม่ได้ - เหตุ (1) นักเรียนบางคนเป็นนักกีฬา (2) นกั กฬี าบางคนแข็งแรง ผล นักเรยี นบางคนแขง็ แรง เรขาคณติ วเิ คราะห์ 1. ระบบพิกดั ฉาก ประกอบดว้ ยแกน 2 แกนท่ีตั้งฉากกนั ณ จุดกาํ เนดิ (จดุ O) y เรยี กชอื่ แกนนอนและแกนตั้ง ว่าแกน x และแกน y ตามลาํ ดับ Q2 Q1 - แกนทง้ั สองน้ตี ัดกนั แบ่งพ้นื ที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน เรียกแตล่ ะส่วนว่าจตุภาค (ควอดรันต์, Q) ดงั ภาพ (−, +) (+, +) x 2. การอา้ งถึงพิกัดในระบบพกิ ัดฉาก จะเขียนในรูปค่อู นั ดบั Q3 O Q4 สมาชกิ ตวั แรกแทนระยะในทิศ +x และตวั หลงั แทนระยะในทศิ +y 3. การเขียนชอ่ื จุดนิยมใช้ตวั อักษรใหญ่ เชน่ จุด P, จดุ Q (−, −) (+, −) - อาจเขยี นกาํ กับดว้ ยคู่อนั ดบั เป็น P(x, y) เชน่ Q (2, 4) ใชแ้ ทนจดุ Q และมีพิกัด (2,4) 4. ระยะห่างระหวา่ งจุด P กบั Q คอื PQ Q (x2,y2) PQ = (x2−x1) 2+ (y2−y1) 2 P (x1,y1) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 623 ฉบับเขม ขน 5. จุดกึง่ กลางระหวา่ งสองจุด 6. จดุ ที่แบง่ ระยะทางเปน็ อัตราสว่ น m:n Q (x2,y2) Q (x2,y2) m R (x1+ x2 , y1+ y2) n R (mx1+ nx2 , my1+ ny2) 22 m+n m+n P (x1,y1) P (x1,y1) 7. จุดตัดของเส้นมธั ยฐานของสามเหลยี่ ม (เรยี กวา่ จุดเซนทรอยด)์ R (x3,y3) P (x1,y1) C C (x1+ x2+ x3 , y1+ y2+ y3) 33 Q (x2,y2) - เสน้ มัธยฐาน คือเสน้ ตรงท่ีเชื่อมจดุ ยอดจดุ หน่ึง กับจุดก่ึงกลางของด้านตรงข้าม - จดุ ตดั ของเส้นมัธยฐาน จะแบ่งเสน้ มัธยฐานแต่ละเสน้ ออกเปน็ อัตราส่วน 2 : 1 เสมอ 8. เราสามารถสรา้ งเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ สองจดุ ท่ีกาํ หนดให้ เช่น จดุ P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ - เขียนแทน “สว่ นของเสน้ ตรง” ท่ีเช่อื มระหวา่ งจุด P กบั Q ดว้ ยสัญลกั ษณ์ PQ - นิยมต้ังช่อื “เส้นตรง” ดว้ ยอักษร L เชน่ เสน้ ตรง L1 , เส้นตรง L2 9. ความชนั (m) ของเส้นตรง ท่ที ราบจุดผา่ นสองจดุ Q (x2,y2) =m = tan θ y2− y1 x2− x1 θ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั ( ) ก็ตอ่ เม่ือ มีความชนั เท่ากนั เส้นตรงสองเส้นตง้ั ฉากกัน ( ⊥ ) กต็ อ่ เม่อื ความชันคูณกนั ได้ -1 P (x1,y1) 10. สมการของเสน้ ตรง m - เม่อื ทราบจดุ ผา่ นจุดหนึง่ (x1, y1) และคา่ ความชัน m P (x1,y1) จะได้สมการ y − y1 = m (x − x1) - เมอ่ื ทราบจุดผ่านสองจดุ ,(x1, y1) (x2, y2) Q (x2,y2) ให้คํานวณค่าความชันจากสองจดุ นก้ี ่อน แลว้ เลอื กใชจ้ ุดใดกไ็ ด้จดุ เดยี วมาสรา้ งสมการด้วยวธิ เี ดิม P (x1,y1) 11. สมการเสน้ ตรงทนี่ ยิ มใชป้ ระโยชนม์ ีอยู่ 3 รปู แบบ ไดแ้ ก่ - รูปแบบ y = m x + c เมอื่ m คือความชนั และ c คอื ระยะตัดแกน y y yy m>0 m<0 c m=0 cc xO x x OO - รูปแบบ y − y1 = m (x − x1) เมือ่ m คือความชัน และกราฟผา่ นจุด (x1, y1) - รูปแบบ x+y =1 เมอื่ a, b คือ ระยะตดั แกน x และ y ตามลําดบั ab Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 624 ฉบับเขม ขน 12. สมการเส้นตรงในรปู ท่ัวไปไดแ้ ก่ A x + B y + C = 0 ... จะมีคา่ ความชนั m = − A B 13. ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรงคูข่ นานสองเส้น 14. ระยะห่างระหวา่ งจดุ กบั เสน้ ตรง d = C2− C1 d = A x1 + B y1 + C A2+ B2 A2+ B2 Ax+By+C1=0 P (x1,y1) d d Ax+By+C2=0 Ax+By+C=0 15. ภาพฉาย (โพรเจคชัน) บนเสน้ ตรง ภาพฉายของ P1P2 บนเส้นตรง L คือ Q1Q2 ภาพฉายของจดุ P บนเสน้ ตรง L คือจุด Q P2 (x2,y2) P (x1,y1) L: Ax+By+C=0 Q P1 (x1,y1) Q2 L: Ax+By+C=0 Q1 - การคํานวณหาตําแหนง่ ภาพฉาย วธิ ีท่ีสะดวกทส่ี ดุ คือสร้างสมการเส้นตรงทผี่ ่านจดุ P และตั้งฉาก กบั เส้นตรง L แลว้ แกร้ ะบบสมการหาจดุ ตัดของเสน้ ตรงท้ังสอง 16. ความสมั พันธท์ พ่ี บบอ่ ย นอกจากจะมีกราฟเปน็ เสน้ ตรงแล้ว ยังมีกราฟเสน้ โคง้ ไดแ้ ก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโ์ บลาด้วย กราฟทั้งสรี่ ปู น้ีเรยี กรวมกันว่า ภาคตัดกรวย 17. พื้นฐานการเขยี นกราฟใดๆ - เมอื่ มีคา่ คงทมี่ าบวกหรือลบ จะเกดิ การเลื่อนแกนทางขนาน หากเปลย่ี นรปู สมการจาก f (x, y) = 0 ไปเป็น f (x−h, y-k) = 0 จุดกําเนดิ จะถูกเล่ือนไปยงั คู่อนั ดับ (h, k) และรูปกราฟทั้งหมดถกู เลอ่ื นตามไปด้วย - เมอ่ื มคี า่ คงที่ (ทเี่ ปน็ บวก) มาคณู หรือหาร จะเกิดการปรับขนาดทางแกนน้ัน หากเปลี่ยนรูปสมการจาก y = f (x) ไปเป็น my = f (nx) เมอื่ m, n มากกว่า 1 กราฟรปู เดิมจะถกู บบี ลงทางแนวนอน n เทา่ และบีบลงทางแนวต้งั m เท่า (ส่วนกรณที ี่ m, n น้อย กวา่ 1 จะมองวา่ เปน็ การหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน) - หากสมการมีทงั้ การบวกลบและคณู หาร ร่วมกัน.. จะตอ้ งจดั รูปสมการใหบ้ วกลบอย่ใู นวงเล็บ (กระทาํ กบั ตัวแปรโดยตรง) แล้วถดั มาจึงเปน็ การคูณหาร.. นั่นคือใชแ้ กน h, k ท่ีได้จากการเล่ือน แกนแล้ว เปน็ แกนกลางสําหรับบีบหรอื ขยายรูปกราฟ - เม่อื มคี ่าคงท่ี (ทีเ่ ป็นลบ) มาคณู หรอื หาร นอกจากจะมีการขยายหรือบบี แลว้ ยังเกิดการพลกิ รปู กราฟ โดยใช้แกน h, k นเ้ี ปน็ แกนหมนุ ด้วย (หากตวั แปร x ถกู คณู ด้วยลบ จะพลิกสลบั ซ้ายขวา, และหากตวั แปร y ถูกคณู ดว้ ยลบ จะพลกิ สลบั บนล่าง) 18. วงกลม คอื “เซตของคอู่ ันดับทีอ่ ย่หู า่ งจากจุดคงท่ีจุดหน่งึ เปน็ ระยะเท่าๆ กนั ” เรยี กจุดคงทจี่ ดุ นัน้ ว่า จดุ ศนู ยก์ ลาง (C) และเรียกระยะทางนัน้ วา่ รศั มี (r) - สมการวงกลม ทมี่ ีจุดศนู ย์กลางอยทู่ ่ี C (0, 0) และรศั มยี าว r หนว่ ย คือ x2+ y2 = r2 - เสน้ สัมผัสวงกลม คือเสน้ ตรงที่ลากผ่านจดุ บนวงกลมเพยี งจดุ เดยี วเทา่ นัน้ (เรียกวา่ จดุ สัมผัส) และเสน้ สัมผัสวงกลมทกุ เส้นจะต้งั ฉากกับรัศมี (ทีเ่ ชือ่ มจุดศนู ยก์ ลางกบั จุดสัมผัส) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 625 ฉบบั เขมขน r วงกลม C (h,k) (x−h)2 + (y−k)2 = r 2 จุดศนู ย์กลาง C (h, k) รัศมี r หน่วย รปู ท่วั ไป x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 19. พาราโบลา คือ “เซตของค่อู ันดับท่มี รี ะยะไปถึงจดุ คงท่จี ดุ หนง่ึ เทา่ กับระยะไปถงึ เสน้ ตรงเส้น หนงึ่ ” เรียกจุดคงทจี่ ดุ นัน้ ว่า จดุ โฟกสั (F) เรียกเส้นตรงเสน้ นั้นวา่ ไดเรกตริกซ์ - สมการพาราโบลา ที่มีจดุ ยอดอยู่ท่ี V (0, 0) และระยะโฟกัสยาว c หน่วย คือ x2 = 4 c y (ออ้ มแกน y, กราฟหงายเมือ่ คา่ c เปน็ บวก, กราฟควาํ่ เม่ือค่า c ตดิ ลบ) หรอื y2 = 4 c x (ออ้ มแกน x, กราฟเปิดขวาเมื่อ c เป็นบวก, กราฟเปิดซา้ ยเมอ่ื c ตดิ ลบ) 2c F (h,k+c) พาราโบลา (ตัง้ ) c ⎧ (x−h)2 = 4 c (y−k) ⎨ ⎩ จดุ ยอด V (h, k) ระยะโฟกสั c หนว่ ย c ⎧ V (h,k) เลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วย ⎨ ⎩ รูปท่วั ไป Directrix : y=k-c x2+ Dx + Ey + F = 0 Axis : x=h ⎫ พาราโบลา (ตะแคง) ⎪ c c ⎬ 2c (y−k)2 = 4 c (x−h) ⎪⎭ จุดยอด V (h, k) Axis : y=k V F (h+c,k) ระยะโฟกสั c หน่วย (h,k) เลตสั เรกตัม ยาว 4c หน่วย Directrix : รปู ทวั่ ไป x=h-c y 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 626 ฉบับเขม ขน 20. วงรี คือ “เซตของคู่อนั ดบั ที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจดุ คงท่สี องจดุ มีค่าเทา่ กัน” เรียกจุดคงทส่ี องจดุ นนั้ ว่าจุดโฟกัส (F1, F2 ) และระยะทางรวมนัน้ เท่ากับความยาวแกนเอก (2a) - สมการวงรีท่มี จี ดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี C (0, 0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หนว่ ย คอื ⎛⎜⎝ x ⎞⎠⎟2+ ⎛⎜⎝ y ⎞⎠⎟2= 1 (รีตามแกน x) หรือ ⎛⎜⎝ y ⎞⎠⎟2+ ⎛⎜⎝ x ⎞⎟⎠2= 1 (รตี ามแกน y) a b a b - สําหรับวงรีนัน้ a > b เสมอ ดังน้ันตัวเลขใดมีค่ามากกวา่ ตวั น้ันกจ็ ะเป็น a (เปน็ แกนเอก) วงรี (นอน) B1 (h,k+b) (x −h)2 + (y −k)2 =1 a2 b2 จดุ ศูนยก์ ลาง C (h, k) ⎫ b a ⎬ แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b V2 F2 c ⎭C (h,k) (h+Fc1 ,k) (hV+1a,k) ระยะโฟกสั c = a2− b2 B2 รปู ท่ัวไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 V1 (h,k+a) วงรี (ตงั้ ) (y −k)2 + (x−h)2 = 1 a2 b2 F(h1 ,k+c) จดุ ศูนย์กลาง C (h, k) B2 b C (h,k) B1 (h+b,k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b ⎧ ⎫⎬c ระยะโฟกสั c = a2− b2 ⎪ ⎭F2 รูปทั่วไป a ⎪⎪ ⎨ Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ⎪ ⎪ V2 ⎪⎩ 21. ไฮเพอรโ์ บลา คอื “เซตของคอู่ นั ดับท่ี ผลต่างของระยะทางไปถงึ จดุ คงทส่ี องจุด มีค่าเท่ากัน”เรยี ก จดุ คงทสี่ องจดุ นน้ั วา่ จุดโฟกัส และผลต่างระยะทางเทา่ กบั ความยาวแกนตามขวาง (2a) - สมการของไฮเพอรโ์ บลาที่มีจุดศูนยก์ ลางท่ี C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยคุ ยาว 2b คือ ⎛⎜⎝ x ⎟⎞⎠2− ⎛⎝⎜ y ⎞⎠⎟2= 1 (ออ้ มแกน x) หรือ ⎛⎝⎜ y ⎞⎠⎟2− ⎛⎝⎜ x ⎞⎠⎟2= 1 (อ้อมแกน y) a b a b - สาํ หรับไฮเพอร์โบลา a ไมจ่ ําเป็นตอ้ งมากกวา่ b (แกนใดเคร่อื งหมายบวก จะอ้อมแกนนนั้ ) - ถ้า a = b เสน้ กาํ กับจะต้งั ฉากกนั เรียกไฮเพอร์โบลาน้นั ว่า ไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 627 ฉบับเขมขน ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง) B1 (h,k+b) (x −h)2 − (y−k)2 =1 a2 b2 จดุ ศูนย์กลาง C (h, k) ⎫ b c ⎬ แกนตามขวาง 2a แกนสังยคุ 2b (⎭hC,k)(hV+a1 ,k) F2 V2 a (hF+1 c,k) ระยะโฟกสั c = a2+ b2 B2 รปู ทวั่ ไป Asymptote a(y-k)=b(x-h) Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Asymptote ไฮเพอร์โบลา (ตัง้ ) Asymptote F1 (h,k+c) (y −k)2 − (x−h)2 =1 b(y-k)=a(x-h) a2 b2 จุดศนู ย์กลาง C (h, k) B2 V1 (h,k+a) แกนตามขวาง 2a แกนสังยคุ 2b Asymptote b C (h,k) B1 (h+b,k) ระยะโฟกัส c = a2+ b2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎬ a c ⎨ ⎭ รูปทั่วไป ⎩⎪ V2 F2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 - ไฮเพอรโ์ บลามุมฉากอีกรูปแบบหนง่ึ ได้แก่สมการในรูป xy = k เมอ่ื k เป็นคา่ คงท่ี ... (จะมีแกนตัง้ และแกนนอนเปน็ เสน้ กาํ กับ) ไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = k k > 0 จดุ ยอด V1 ( k, k) F1 V2 (− k, − k) V1 C (0,0) จุดโฟกสั F1 ( 2k, 2k) V2 F2 (− 2k, − 2k) F2 - ถ้า k < 0 ไฮเพอรโ์ บลานี้จะอยใู่ นควอดรันตท์ ี่ 2 และ 4 ความสมั พันธ์/ฟังก์ชัน 1. ผลคณู คารท์ ีเซียน คอื ผลคณู ของเซต ... เซต A × B คอื เซตของคอู่ นั ดบั ที่สมาชกิ ตวั หน้ามาจาก เซต A และสมาชิกตวั หลังมาจากเซต B ครบทกุ คู่ ... และจะได้ n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) เชน่ , จะได้A = {0, 1, 2} B = {1, 3} A × B = {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 628 ฉบับเขม ขน 2. A × B = B × A กต็ ่อเม่ือ A = B หรือมีเซตใดเซตหน่งึ เป็น ∅ 3. ความสัมพนั ธ์ (r) คือเซตของคอู่ นั ดับใดๆ (สามารถเขยี นกราฟได)้ - “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือเซตของคูอ่ นั ดบั ที่สมาชิกตวั หน้ามาจาก A และตวั หลงั มาจาก B แตไ่ มจ่ ําเปน็ ต้องครบทุกคู่ ... สัญลกั ษณท์ ี่ใช้คือ r = {(x, y) ∈ A × B | .....} - ดังนั้น ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B กค็ อื สับเซตของ A × B ... จะมีได้ทั้งหมด 2n(A×B) แบบ - “ความสัมพันธภ์ ายใน A” คอื r = {(x, y) ∈ A × A | .....} - ถา้ ไมร่ ะบวุ า่ เป็นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด จะหมายถงึ เซตจํานวนจรงิ R × R 4. “โดเมน (A) ของความสัมพันธ์” คือเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดับ “เรนจ์ หรือพิสัย (R) ของความสัมพนั ธ์” คือเซตของสมาชิกตวั หลงั ของคูอ่ นั ดับ - ถ้า r เปน็ ความสัมพันธ์จาก A ไป B แลว้ Dr ⊂ A และ Rr ⊂ B 5. การหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พันธ์ภายใน R ซง่ึ บอกเป็นเง่ือนไข (สมการ) ให้พจิ ารณาสิ่งเหลา่ น้ีคือ การหาร, การถอดราก, คา่ สมั บูรณ์, การยกกําลัง จะมขี อ้ จํากัดเกิดขึ้น - ถา้ a = b จะได้วา่ c ≠ 0 c - ถา้ a = n b โดยที่ n เป็นจํานวนคู่ จะไดว้ ่า a > 0 และ b > 0 - ถา้ a = bn โดยท่ี n เปน็ จํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 - ถา้ a = b จะไดว้ ่า a > 0 การหาโดเมน ควรพจิ ารณาในรปู y = ...(x)... และการหาเรนจ์ ควรจดั รปู ให้กลายเป็น x = ...(y)... แล้วจึงค่อยพิจารณา (โดยปกติ การเขียนกราฟ จะชว่ ยใหเ้ หน็ โดเมนและเรนจไ์ ด้ชัดเจนกว่าการคํานวณ) 6. อินเวอร์สของ r ใช้สัญลกั ษณ์ r−1 โดยมีนิยามวา่ r−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r } น่นั คือ r−1 คิดจาก การสลับท่สี มาชิกตวั หนา้ และหลังของคู่อนั ดับใน r หรือถ้าเปน็ ความสัมพันธ์แบบเง่ือนไข จะคิดจากการสลบั ตาํ แหนง่ ระหวา่ งตัวแปร x และ y 7. Dr−1 = Rr และ Rr−1 = Dr เสมอ 8. รูปแบบของกราฟที่ควรรจู้ ักคือ เส้นตรง ภาคตดั กรวย และมีเพิ่มเติมดังนี้ - กราฟคา่ สมั บูรณ์ (ทคี่ ล้ายพาราโบลา) y = a x หรอื x = a y yy y = a|x| x = a|y| y a>0 a>0 k Ox Ox - กราฟคา่ สัมบูรณ์ (ท่ีคล้ายวงกลม) x + y = k -k O x เมื่อ k คอื คา่ คงทท่ี ม่ี ากกวา่ ศูนย์ k -k 9. กราฟของความสมั พันธอ์ าจเปน็ “พ้ืนท่ี (แรเงา)” ในระนาบ หากวา่ ความสัมพนั ธ์น้ันเปน็ “อสมการ” โดยมีหลกั ในการเขียนกราฟคอื คดิ ว่าเป็นเครื่องหมายเท่ากับแลว้ เขยี นกราฟของสมการ กอ่ น จากน้นั ตรวจสอบวา่ บริเวณใดของพน้ื ทีต่ รงตามเงอ่ื นไขของอสมการ จึงแรเงา (เสน้ กราฟทึบ แสดงวา่ จุดบนเสน้ น้นั อยใู่ น r, เสน้ ประแสดงว่าจดุ บนเสน้ น้นั ไม่อยู่ใน r) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 629 ฉบบั เขม ขน 10. กราฟของ r−1 สามารถคิดจากกราฟของ r ไดโ้ ดยการหมนุ กราฟ ใช้เส้นตรง y = x เปน็ แกน หมนุ … (เท่ากับเป็นการสลับแกน x กับแกน y กนั ) 11. หากความสัมพันธ์ใดมลี ักษณะดังต่อไปนี้ด้วย จะเรียกวา่ เป็น “ฟงั ก์ชนั ” (f) “สมาชกิ ตวั หนา้ แต่ละตัว จะค่กู บั สมาชิกตัวหลังไดเ้ พยี งแบบเดียวเทา่ นน้ั ” หรอื กลา่ ววา่ สําหรับ x แตล่ ะตวั จะคกู่ บั y ได้เพยี งแบบเดยี วเทา่ นน้ั (ห้ามใช้สมาชิกตัวหนา้ ซ้าํ แต่ ใช้สมาชิกตัวหลังซํา้ ได)้ 12. ความสัมพันธ์ทเ่ี ขยี นในรูป y = ...(x)... ได้ จะเป็นฟังก์ชันเสมอ และถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชัน จะเขยี นแทน y ด้วยคําว่า f (x) ... เช่น f (x) = x2 เพราะเรามอง x เป็นค่าตวั แปรตน้ และมอง y เปน็ คา่ ของฟังก์ชนั เชน่ f(2) คือคา่ y ที่ไดเ้ ม่อื x=2 13. ลักษณะของฟงั กช์ นั - “ฟังกช์ นั จาก A ไป B” ( f : A > B ) ... คอื ฟังก์ชนั ซง่ึ Df = A และ Rf ⊂ B - “ฟังก์ชันจาก A ไปทวั่ ถึง B” ( f : A )onto > B ... คอื ฟงั ก์ชนั ซงึ่ Df = A และ Rf = B - “ฟงั ก์ชนั หน่ึงตอ่ หนง่ึ จาก A ไป B” ( f : A )1−1> B คือฟงั ก์ชนั ที่ Df = A และ Rf ⊂ B และสาํ หรับ y แต่ละตวั จะคกู่ ับ x เพียงตวั เดียวดว้ ย - “ฟงั กช์ นั หนงึ่ ตอ่ หนงึ่ จาก A ไปทว่ั ถงึ B” (f : A 1− 1 > B ) onto คอื ฟงั ก์ชนั ที่ Df = A และ Rf = B และสําหรับ y แตล่ ะตวั จะคู่กบั x เพยี งตวั เดยี วด้วย 14. เม่ือเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะเห็นชดั วา่ เปน็ ฟังกช์ นั หรือไม่ และหน่ึงตอ่ หนงึ่ หรือไม่ y yy r1 r2 r3 O x O xO x ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั เปน็ ฟงั กช์ นั แต่ไม่เปน็ 1-1 เป็นฟงั กช์ ัน 1-1 15. ฟงั กช์ ันแบบเฉพาะต่างๆ ท่คี วรรจู้ กั ฟงั ก์ชนั คงตัว มสี มการเป็น f (x) = a (กราฟเสน้ ตรงนอน) ฟังกช์ ันเชิงเส้น มีสมการเปน็ f (x) = ax + b (กราฟเส้นตรงเฉียง) - ค่า a คอื ความชนั ถา้ เปน็ บวกกราฟเฉยี งขึ้น ถ้าตดิ ลบกราฟเฉยี งลง - ค่า b คอื ระยะตัดแกน y - พบในความสัมพันธ์ระหว่างสองส่งิ ทีเ่ พ่ิมลดเป็นสัดส่วนโดยตรงตอ่ กัน ฟังกช์ ันกําลงั สอง มีสมการเปน็ f (x) = ax2+ bx + c (กราฟพาราโบลา) - ถา้ คา่ a เป็นบวกพาราโบลาหงาย, ถ้าตดิ ลบพาราโบลาจะควํา่ - ค่ามากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยดื หดของกราฟ คา่ a ย่ิงมากรูปพาราโบลาจะยิ่งแคบ - จุดยอดอยูท่ ค่ี ่า x = -b/2a (สว่ นคา่ y สามารถหาไดโ้ ดยแทนค่า x นีล้ งไปในฟังกช์ ัน) ฟังก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชียล มีสมการเป็น f (x) = a bx (กราฟเส้นโคง้ ) - ถา้ ฐาน b มากกวา่ 1 กราฟเฉยี งขนึ้ , ถ้าฐาน b อยรู่ ะหว่าง 0 ถงึ 1 กราฟเฉียงลง - พบในปรมิ าณส่ิงตา่ งๆ ทเี่ พิ่มหรือลดแบบทวีคณู เชน่ เงินฝาก จํานวนประชากร แบคทเี รยี ปริมาณรังสี ฟงั ก์ชนั ค่าสัมบรู ณ์ มีสมการเป็น f (x) = a x (กราฟรูปตัวว)ี - คลา้ ยพาราโบลาคอื ถา้ คา่ a เป็นบวกกราฟจะหงาย, ถา้ ตดิ ลบกราฟจะควํ่า - คา่ มากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยืดหดของกราฟ ค่า a ยิง่ มากรูปตัววจี ะยง่ิ แคบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 630 ฉบบั เขมขน 16. ในโจทยป์ ญั หาเกี่ยวกับการใชง้ านฟังกช์ นั จะตอ้ งร้วู า่ เป็นฟงั ก์ชันรปู แบบใด และใชข้ อ้ มูลในโจทย์หาค่าคงท่ี a, b, หรือ c ของฟงั ก์ชนั ให้ครบก่อน เม่อื ทราบรปู แบบสมการของฟังกช์ ันน้ันแล้วจงึ จะสามารถตอบคําถามได้ 17. ฟงั กช์ ันเพมิ่ และฟงั กช์ นั ลด ... สําหรบั ทุกๆ x1, x2 ∈ [a, b] ฟงั ก์ชนั f จะเป็นฟังกช์ ันเพมิ่ ในช่วง [a, b] กต็ อ่ เม่อื ถ้า x2 > x1 แลว้ f (x2) > f (x1) และ ฟงั กช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ลดในช่วง [a, b] ก็ต่อเม่ือ ถ้า x2 > x1 แลว้ f (x2) < f (x1) (การเขียนกราฟของพหนุ าม และหาชว่ งที่เป็นฟงั ก์ชันเพิ่ม, ลด จะคิดโดยการหาอนพุ ันธ)์ 18. ฟงั กช์ นั คอมโพสทิ ... ได้แก่ฟงั กช์ ัน g(f (x)) เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ (g f)(x) - ฟังกช์ ัน (g f)(x) จะหาได้ก็เมอื่ มีสมาชิกบางสว่ นของ Rf กับ Dg ร่วมกัน - การหาโดเมนและเรนจ์ ของ (g f)(x) ทําได้โดย เขียน g ในรปู f กอ่ น (ยังไม่ตอ้ งใส่ x) จากน้ันถา้ หา Dgof ใหใ้ ชโ้ ดเมน g ไปบงั คบั หาโดเมน f ถา้ หา Rgof ใหใ้ ช้เรนจ์ f ไปขยายเปน็ เรนจ์ g 19. ฟงั กช์ นั อินเวอรส์ ... f −1 จะเป็นฟังกช์ นั กเ็ มอ่ื f เปน็ ฟังกช์ ันหนึ่งตอ่ หนึง่ เท่าน้นั - สมบตั ิของอินเวอร์ส (f g)−1 = g−1 f−1 และ (f−1)−1 = f 20. f −1( ) = Δ มคี วามหมายเดียวกบั f (Δ) = ... ใชช้ ่วยในการแกฟ้ งั กช์ นั 21. พีชคณติ ของฟงั ก์ชัน (f ∗ g)(x) = f (x)∗ g(x) ซ่งึ คดิ โดเมนไดจ้ าก Df∗g = Df ∩ Dg เครื่องหมาย ∗ เป็นได้ทัง้ +, −, ×, ÷ (โดยกรณีหาร g(x) ≠ 0 ) กาํ หนดการเชงิ เสน้ 1. กาํ หนดการเชงิ เสน้ เป็นเทคนคิ ที่ใชจ้ ัดสรรทรัพยากรให้ได้ประโยชนส์ ูงทีส่ ุด เช่น การผลิตสนิ ค้า ดว้ ยวตั ถุดิบทม่ี ีให้ได้กาํ ไรสงู ท่สี ุด การขนสง่ ให้สิ้นเปลืองนอ้ ยทส่ี ดุ การหาปริมาณวัตถุผสมใหเ้ สยี คา่ ใชจ้ ่ายน้อยทสี่ ุด การมอบหมายงานเพือ่ ให้สําเร็จในเวลาน้อยที่สดุ ฯลฯ 2. ข้ันตอนในการคิด คือ - เขยี นสมการจดุ ประสงค์ (หรอื ฟังก์ชันจดุ ประสงค์) เป็นฟังกช์ นั ทข่ี น้ึ กบั ตวั แปร x และ y - เขยี นเง่ือนไขท่มี อี ยู่ เรียกว่าอสมการขอ้ จํากัด (นอกจากขอ้ จํากัดท่ีโจทย์ให้มาแล้ว อาจจะต้องเพิ่มอสมการ x > 0 , y > 0 ) - เขยี นกราฟของระบบอสมการขอ้ จํากดั และแรเงาบริเวณที่ “ตรงตามเงือ่ นไขทกุ ข้อ” - หาจุดยอดมุมท้งั หมดของบริเวณที่แรเงา (ถ้าเปน็ จดุ ที่เกิดจากเส้นตรงตดั กนั ตอ้ งใช้วธิ ีแกร้ ะบบ สมการหาจดุ ตัด) คอู่ นั ดับ x และ y เหล่าน้ีเท่าน้นั ที่เปน็ คําตอบได้ - นาํ คูอ่ นั ดบั x และ y ยอดมมุ ทุกจุด ไปหาค่าจุดประสงคท์ ีม่ ากหรอื น้อยทสี่ ุดตามต้องการ 3. ในบางสถานการณ์ - ค่า x หรอื y อาจจะต้องเป็นจาํ นวนเตม็ หากคา่ ท่เี ป็นคาํ ตอบไม่ใชจ่ าํ นวนเต็มก็จาํ เป็นจะต้อง เลือกจดุ ขา้ งเคยี ง (ภายในบรเิ วณทแ่ี รเงา) ท่เี ป็นจาํ นวนเตม็ และให้ผลใกล้เคียงท่ีสดุ - อาณาบรเิ วณทีแ่ รเงาอาจล้อมรอบดว้ ยเส้นประ (เชน่ คําว่าระหว่าง, น้อยกว่า, หรอื มากกวา่ ) จุดยอดมุมที่เป็นคําตอบยังไม่สามารถใชไ้ ด้ ก็ต้องใชว้ ิธเี ลอื กจดุ ขา้ งเคียงเชน่ เดียวกนั Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 631 ฉบับเขม ขน ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ 1. ตรโี กณมิติ เปน็ วิชาทเ่ี กี่ยวกบั การวดั ส่วนประกอบของสามเหล่ียม เชน่ ความยาวด้าน, ขนาดมุม, ขนาดพื้นที่ … มฟี งั กช์ นั ท่เี กี่ยวข้องอยู่ 6 ฟงั กช์ ัน ได้แก่ ฟงั กช์ ันไซน์ (sin) โคไซน์ (cos) แทนเจนต์ (tan) โคแทนเจนต์ (cot) ซีแคนต์ (sec) และโคซีแคนต์ (cosec หรือ csc) 2. หาก 0° < θ < 90° แล้ว ค่าฟงั ก์ชันทไี่ ด้คอื “อตั ราสว่ นระหว่าง 2 ดา้ นในรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ท่มี มุ หนง่ึ มีขนาดเท่ากับ θ ” sin θ = a cosec θ = 1 = c c sin θ a cos θ = b sec θ = 1 = c ca c cos θ b tan θ = sin θ = a cot θ = 1 = cos θ = b θ cos θ b tan θ sin θ a 3. คา่ ของฟงั กช์ ันตรโี กณมิติทค่ี วรทราบ b θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ 0 1/2 1/ 2 3/2 1 cos θ 1 3 /2 1/ 2 1/2 0 tan θ 0 1/ 3 1 3 หาค่าไมไ่ ด้ 4. ถา้ ใหแ้ กน x เป็น cos θ และแกน y เปน็ sin θ จะสามารถหาค่าฟังก์ชันของมมุ θ ต่างๆ ได้ จากวงกลมหนึง่ หนว่ ย ( θ เป็นมุมที่ทํากบั แกน x โดยเร่ิมวดั เป็น 0° ในแนว +x และเพม่ิ ขน้ึ ในทิศ y ทวนเข็มนาฬิกา) (0,1) 90° ( 1 , 3) 60° 5. จากกราฟนท้ี าํ ให้ทราบว่า 120° 2 (2 sin θ , cos θ มีคา่ ได้ 3/2 1 , 1 ) (− 1, 3 ) 2/2 45° ตั้งแต่ –1 ถึง 1 เท่านั้น 22 22 1/2 30° ( 3 , 1 ) 22 6. sin (−θ) = − sin θ 180° θ 0° (1,0) x cos (−θ) = cos θ (-1,0) O 1 23 tan (−θ) = − tan θ 22 2 225° (− 1 ,− 1 ) 300° ( 1 , − 3 ) 22 270° (0,-1) 2 2 7. เอกลักษณข์ องตรโี กณมิตทิ ่สี าํ คัญ ไดแ้ ก่ - วงกลมหนง่ึ หน่วย sin2θ + cos2θ = 1 นอกจากน้ี เมื่อนาํ sin2θ หารท้งั สองขา้ งของสมการอกี จะได้ 1 + cot2θ = cosec2θ หรอื ถ้านํา cos2θ หารท้ังสองขา้ งของสมการ ก็จะได้ tan2θ + 1 = sec2θ - โค-ฟงั ก์ชัน sin θ = cos (90°−θ) นอกจากนย้ี ังมอี กี สองคู่ คือ ta n θ = cot (90°−θ) … และ sec θ = cosec (90°−θ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 632 ฉบบั เขมขน 8. นอกจากการวัดมุมในระบบองศาแล้ว ยังมีอกี ระบบซ่ึงวดั จากความยาวเส้นรอบวง เรียกว่า เรเดยี น (rad) น่นั คือ ... 180° คดิ เป็น π เรเดยี น y - หนว่ ยเรเดียนน้ี เปน็ ค่าจํานวนจริง ( π = 3.1416... ) 2π/3 π/2 π/3 π/4 - การวัดมุมเปน็ เรเดยี น มกั ละหน่วยไว้ 3π/4 π/6 ไมต่ ้องเขียนกํากับวา่ rad ก็ได้ 5π/6 9. หากขนาดของมุมทจ่ี ะหาค่าฟงั ก์ชัน π 0x ตรโี กณมิติน้นั มี nπ หรือ nπ/2 ไปบวกลบ อยู่ เราสามารถกาํ จัดค่าคงทีเ่ หล่านที้ ง้ิ ได้ 7π/6 11π/6 ใหเ้ หลือเพียงมุม θ 5π/4 7π/4 4π/3 5π/3 - เมอ่ื ตดั มมุ nπ ออก ฟังกช์ ันยงั คงเป็นชอ่ื เดิม ไมเ่ ปล่ียน แต่ถ้าตดั มุม nπ/2 ออก ฟังกช์ ันจะ 3π/2 เปลยี่ นชอื่ เป็นโคฟงั กช์ นั เสมอ (นอกจากนยี้ ังตอ้ งดเู ครือ่ งหมายบวกลบด้วยว่าเปล่ยี นหรอื ไม่) 10. การแกส้ มการตรีโกณมิติ ควรเปล่ยี นทุกค่าให้เป็น sin กบั cos ล้วน... แลว้ ใช้เอกลักษณ์ sin2θ + cos2θ = 1 เป็นสมการชว่ ย 11. ข้อควรระวงั ในสมการตรโี กณมติ ิ - การทราบคา่ ฟังกช์ นั ค่าหนึ่ง จะยังไมส่ ามารถสรุปไดท้ นั ทีว่า θ อยูต่ าํ แหน่งใด เพราะจะมสี อง คําตอบอย่ใู นคนละควอดรันต์เสมอ เราต้องทราบเพมิ่ เติมด้วยว่า ค่า θ นี้อยใู่ นควอดรันตใ์ ด (โดยปกติเราสามารถทราบควอดรนั ต์ไดจ้ ากเครอ่ื งหมายของคา่ ฟงั ก์ชันอื่น) - แผนภาพต่อไปนเี้ ป็นการสรุปเคร่อื งหมาย เพือ่ ความสะดวกในการหาคาํ ตอบ Q1 เป็นบวกท้ัง 6 ค่า sin + ALL + Q2 มเี ฉพาะ sin และ cosec ทีเ่ ป็นบวก Q3 มเี ฉพาะ tan และ cot ท่เี ป็นบวก tan + cos + Q4 มีเฉพาะ cos และ sec ที่เปน็ บวก - สมมติว่าตอ้ งการค่า θ ในชว่ ง 0 < θ < 2π แตส่ มการท่ีไดน้ น้ั เปน็ ค่า 2θ จะต้องขยายช่วง คาํ ตอบเป็น 0 < 2θ < 4π หากไม่ขยายชว่ งแล้วคาํ ตอบทไ่ี ดจ้ ะไมค่ รบ - คําตอบบางคําตอบ (โดยเฉพาะที่อยบู่ นแกน x หรือแกน y) อาจใชไ้ ม่ได้ ในกรณีท่ีสมการมีคาํ ว่า tan, cosec, sec, cot เพราะค่าเหลา่ น้ีมาจากการหารกนั ของ sin, cos ต้องตรวจสอบดว้ ยว่ามี คําตอบใดหาค่าเหล่านไ้ี ม่ได้ (คือ ตัวส่วนเป็น 0) หรือไม่ 12. สตู รชดุ ทีห่ นึง่ (สูตรเบื้องตน้ ) (1) cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β ⎧⎪⎪tan (α+β) = tan α + tan β (2) cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ⎨ 1 − tan α tan β (3) sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ⎪⎪⎩tan (α−β) = (4) sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β tan α − tan β 1 + tan α tan β 13. สูตรชุดท่ีสอง (สูตรผลคูณ) (5) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) ... จาก (1)+(2) (6) −2 sin α sin β = cos (α+β) − cos (α−β) ... จาก (1)-(2) (7) 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) ... จาก (3)+(4) (8) 2 cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) ... จาก (3)-(4) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 633 ฉบับเขม ขน 14. สูตรชุดทีส่ าม (สตู รผลบวก, ผลลบ) (9) cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A − B) ... จาก (5) 22 (10) cos A − cos B = −2 sin (A + B) sin (A − B) ... จาก (6) 22 (11) sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A − B) ... จาก (7) 22 (12) sin A − sin B = 2 cos (A + B) sin (A − B) ... จาก (8) 2 2 15. สูตรชดุ ที่ส่ี (สตู รมุมสองเท่า และมมุ ครึง่ ) sin (2α) = 2 sin α cos α หรอืcos (2α) = cos2α − sin2α cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 tan (2α) = 2 tan α 1 − tan2α สูตรสาํ หรับมุมครง่ึ ได้จากการย้ายขา้ งสมการ cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 โดยมองวา่ α กลายเปน็ α/2 … และ 2α กลายเปน็ α 16. ฟงั กช์ นั อนิ เวอร์สของตรีโกณมติ ิจะใช้คาํ ว่า arc นําหน้า (บางตําราใชส้ ญั ลกั ษณ์ ,sin-1x ,cos-1x ,tan-1x … แทนคาํ วา่ arc-) และมีการจํากัดช่วงดังภาพต่อไปน้ี Darcsin = [−1, 1] Darccos = [−1, 1] Darctan = R Rarcsin = [−π/2, π/2] πRarccos = [0, ] Rarctan = (−π/2, π/2) 1 0 = cos π/2 ∞ π/2 0 = sin -1 1 0 = tan π 0 −π/2 -1 −π/2 −∞ - ฟังก์ชนั arcsin (กับ arctan) จะอยู่ในช่วงท่ี cos เป็นบวกเสมอ สว่ นฟังกช์ ัน arccos จะอยู่ ในช่วงที่ sin เป็นบวกเสมอ 17. ความสัมพันธ์ท่ีมีประโยชนใ์ นเร่ืองอินเวอร์ส คอื arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy ใช้ได้เม่ือ arctan x + arctan y ยงั อยู่ในชว่ ง (−π/2, π/2) 18. กฎของไซน์ “อตั ราสว่ นของคา่ ไซนข์ องมุมๆ หนึง่ ตอ่ ความยาวดา้ นตรงขา้ ม จะเท่ากันทั้งสาม มมุ ” sin A = sin B = sin C ... พสิ ูจนม์ าจาก พ้นื ทส่ี ามเหลยี่ ม ( 1 bc sin A ) abc 2 19. กฎของโคไซน์ “เราสามารถหาความยาวด้านทเี่ หลอื ไดจ้ ากความยาวด้านสองดา้ นและขนาดมุม ตรงกลาง” a2 = b2+ c2− 2bc cos A (ถา้ มุมตรงกลางน้นั เป็น A = 90° กฎนจ้ี ะกลายเปน็ ทฤษฎบี ทปีทาโกรสั ) 20. การวัดระยะทางหรือความสงู ของส่ิงตา่ งๆ - อาศัยหลกั ว่า ในสามเหล่ยี มมุมฉากถ้ารขู้ นาดของมุม และรูค้ วามยาวด้าน 1 ดา้ นแล้ว จะ คาํ นวณหาความยาวด้านที่เหลืออกี 2 ด้านได้ โดยเลอื กใช้ sin หรอื cos หรือ tan ใหเ้ หมาะสม - ศพั ท์ทใี่ ช้เรียกมมุ ทีเ่ กิดจากการสังเกตได้แก่ มมุ ก้ม (มมุ กด) คอื มุมท่ีวดั ลงไปจากแนวราบ (ระดบั สายตา) และมุมเงย (มุมยก) คือมุมที่วัดข้ึนจากแนวราบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 634 ฉบับเขมขน ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล/ลอการทิ ึม 1. เลขยกกาํ ลงั จะอยใู่ นรปู an , เรียก a ว่าฐาน และเรยี ก n วา่ เลขชกี้ าํ ลัง an คือ a คณู กนั เปน็ จาํ นวน n ตวั ... โดยนิยามให้ a0 = 1 และ a−n = 1 an 2. ทฤษฎบี ทที่เก่ียวกับเลขยกกาํ ลัง ⎧ am ⋅ an = am + n ⎪⎧ (ab)n = an ⋅ bn ⎪ • ⎨ (a/b)n = an / bn • ⎨ am ⎪⎩ ⎪⎩ an = am − n (am)n amn ⎧ n ab = n a ⋅ n b ⎧ = ⎪⎪ ⎪ m • ⎨ a na • ⎨ ⎪ = nb ⎪⎩ n ⎩⎪ n am = a n b โดย n เป็นจํานวนจรงิ ใดๆ (ไม่จาํ เป็นต้องเป็นจํานวนเตม็ ) และกรณกี รณฑ์ n ≠ 0 3. คําว่า “รากที่สองของ x” และสญั ลักษณ์ “ x กบั x1/2 ” มคี วามหมายตา่ งกัน - รากทีส่ องของ 16 ไดแ้ ก่ 4 และ -4 - แตส่ ญั ลกั ษณ์ 16 หรือ 161/2 จะมคี า่ เทา่ กับ 4 (เป็นบวก) เทา่ นั้น 4. การหารากท่ีสองของ M ± N ... เม่ือ M = a+b และ N = 4ab จะได้ว่า รากที่สองของ M + N คอื ±( a+ b) และรากท่สี องของ M − N คือ ±( a− b) 5. วิธที าํ สว่ นไม่ใหต้ ิดกรณฑ์ (รทู้ ) - รูปแบบ ABC ให้นาํ D คณู ทง้ั เศษและส่วน กลายเปน็ ABC D DD - รปู แบบ ABC ให้นาํ D ∓ E คณู ทง้ั เศษและส่วน กลายเป็น ABC( D ∓ E) D± E D−E 6. ฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟงั กช์ นั เลขยกกําลัง กาํ หนดรูปท่วั ไปเปน็ f (x) = ax โดยคา่ ของฐาน a อยใู่ นชว่ ง (0, 1) หรอื (1, ∞) เทา่ น้นั นาํ มาเขยี นกราฟได้ดังน้ี yy (0,1) x (0,1) O Ox y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 ฟังก์ชันเพม่ิ ฟังกช์ ันลด - ,Dexp = R Rexp = R+ - กราฟผ่านจุด (0, 1) เสมอ เนอื่ งจาก a0 = 1 ทกุ ๆ คา่ a ท่ีไม่ใช่ศนู ย์ 7. สมการทมี่ ี ax+b บวกลบกนั อยหู่ ลายพจน์ ควรย้ายข้างใหจ้ าํ นวนพจน์เท่าๆ กัน และ สัมประสทิ ธ์ิหน้า x รวมใกล้เคียงกันทส่ี ดุ จากนน้ั จงึ ยกกําลงั ทง้ั สองข้างจนกวา่ เครื่องหมายกรณฑจ์ ะ หมดไป ... (การยกกําลังมักทําให้ไดค้ าํ ตอบเกิน ต้องตรวจคาํ ตอบเสมอ) - หากสิ่งท่ีอยใู่ นเครอื่ งหมายกรณฑ์ยาวมาก ใหส้ มมติส่งิ น้ันเปน็ ตวั แปร A ก่อน แลว้ ทาํ ตัวแปรท่ี เหลอื ใหอ้ ยู่ในรูป A ทงั้ หมด เพอื่ ใหค้ าํ นวณสะดวกขึน้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 635 ฉบบั เขมขน 8. สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล - รูปแบบ af(x) = bg(x) จะต้องแปลงฐานท้งั สองขา้ งใหเ้ ท่ากัน เพ่อื กําจัดฐานทิง้ ไป ตามสมบัติท่ีว่า aM= aN ↔ M = N - ถ้ามีพจน์เลขยกกาํ ลังฐานเดยี วกัน บวกลบกนั อยู่ เช่น ax, a2x อาจสมมติเปน็ ตัวแปร A, A2 เพือ่ ให้คาํ นวณสะดวกขนึ้ แตถ่ า้ มีฐานอ่ืนอยดู่ ว้ ย จะใชต้ วั แปร B อีกอันก็ได้ - อสมการ ใชส้ มบัติของฟงั กช์ ันเพ่มิ /ฟังกช์ ันลด ในการกาํ จัดฐาน คอื aM> aN ↔ M > N เม่อื a > 1 (ฟงั ก์ชันเพ่ิม) และ aM> aN ↔ M < N เม่อื 0 < a < 1 (ฟังกช์ ันลด) 9. ฟังก์ชันลอการทิ ึม เปน็ อินเวอร์สของเอกซโ์ พเนนเชียล เขยี นไดใ้ นรูป f (x) = logax ความสมั พนั ธร์ ะหว่างเอกซ์โพเนนเชยี ลและลอการิทึมคือ x = ay ↔ y = logax โดยค่าของฐาน a จะตอ้ งอยู่ในชว่ ง (0, 1) หรอื (1, ∞) ซึง่ นํามาเขียนกราฟไดด้ งั นี้ yy O (1,0) x O (1,0) x y = loga x, a > 1 y = loga x, 0 < a < 1 ฟงั กช์ นั เพ่ิม ฟงั กช์ ันลด - ,Dlog = R+ Rlog = R - กราฟผา่ นจุด (1, 0) เสมอ แสดงว่า loga1 = 0 ทุกๆ ค่า a ทีเ่ ปน็ ฐานได้ 10. กฎของลอการทิ มึ ได้แก่ ⎧ loga 1 =0 • logap b q = q loga b ⎨ loga a =1 p • ⎩ • ⎧⎪ mloga n = nloga m ⎧ loga(mn) = loga m + logan ⎨ ⎪ = loga m − logan ⎪⎩ aloga n = n • ⎨ loga ⎛⎜⎝ m ⎞⎟⎠ logc b 1 ⎩⎪ n logc a logb a • loga b = = เมอ่ื a, b, c, m, n ∈ R+ โดยที่ a, b, c ≠ 1 และ p, q ∈ R 11. ลอการทิ มึ ฐาน 10 เรียกว่าลอการิทมึ สามัญ อาจละไวไ้ มต่ ้องเขียนฐานกาํ กับ คือเขยี นเพยี ง log x ก็ได้... สว่ นลอการทิ ึมท่ีมีฐานเปน็ ค่า e ( ≈ 2.718 ) จะเรียกวา่ ลอการิทมึ ธรรมชาติ และใช้ สัญลกั ษณ์ ln x แทน loge x 12. สมการและอสมการท่ีมีลอการทิ ึม - มกั จะแกป้ ญั หาโดยใช้กฎของลอการิทึม เชน่ การทําใหฐ้ านเทา่ กนั เพ่อื กําจัด log ทงิ้ ไป ตามสมบตั ิท่วี ่า logaM = logaN ↔ M = N - ถ้ามีพจนค์ ลา้ ยกันปรากฏอยู่ อาจสมมติเปน็ ตัวแปร A เพื่อให้คาํ นวณสะดวกขึ้น - เม่ือไดค้ าํ ตอบแลว้ ตอ้ งตรวจสอบเสมอ (เช่น ภายใน log ต้องมากกว่าศนู ย์) - อสมการ ใชส้ มบัตขิ องฟังก์ชันเพมิ่ /ฟงั ก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คอื logaM > logaN ↔ M > N เมือ่ a > 1 (ฟงั กช์ ันเพิม่ ) และ logaM > logaN ↔ M < N เมือ่ 0 < a < 1 (ฟังก์ชนั ลด) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 636 ฉบบั เขม ขน เมตริกซ์ 1. เมตรกิ ซ์ เป็นกลมุ่ ของจาํ นวนทีเ่ รยี งตวั กันเปน็ สเ่ี หลีย่ ม ภายในเครื่องหมาย ( ) หรือ [ ] - เรยี กจาํ นวนแต่ละจํานวนทอ่ี ยู่ในเมตรกิ ซ์วา่ สมาชกิ ของเมตรกิ ซ์ - ขนาดของเมตรกิ ซ์ เรียกว่า มิติ (คดิ จาก จาํ นวนแถว คณู หลัก) - เมตริกซ์สองเมตรกิ ซ์ จะเท่ากนั ไดก้ ต็ ่อเมือ่ “มีมติ ิเดียวกนั ” (แปลวา่ ขนาดเท่ากนั ) และสมาชกิ ในตําแหนง่ เดยี วกันต้องเทา่ กัน ทุกๆ ตําแหน่ง 2. การเรียกชอื่ เมตริกซ์นิยมใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C โดยจะเรยี กชือ่ สมาชิกเป็นตวั พิมพเ์ ลก็ ท่ี มตี ัวหอ้ ยบอกตําแหนง่ แถวและหลกั ในรปู aij (แถวที่ i และหลักที่ j) 3. ทรานสโพสของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ At หรือ AT คอื การเปล่ียนแถวเปน็ หลัก - เมตริกซ์มิติ m × n เมือ่ ทาํ การทรานสโพส จะกลายเป็นมติ ิ n × m 4. เมตริกซ์ทค่ี วรรจู้ กั - เมตรกิ ซจ์ ตั ุรสั คอื เมตรกิ ซ์ทีม่ จี าํ นวนแถว เทา่ กบั จํานวนหลัก (n × n) ... เรียกแนว 11, 22, 33, .. จนถงึ nn วา่ เส้นทแยงมุมหลัก และท่ีเหลือเรยี กวา่ สามเหลี่ยมบนกบั สามเหล่ียมลา่ ง - เมตรกิ ซ์ศูนย์ ( 0 ) คือเมตรกิ ซ์ที่สมาชิกทกุ ตัวเปน็ เลข 0 (จตั รุ ัสหรือไม่ ก็ได้) - เมตรกิ ซห์ น่ึงหน่วย (I ) คอื เมตริกซจ์ ตั ุรัส ทม่ี สี มาชกิ ในแนวเส้นทแยงมมุ หลัก เปน็ 1 และ สมาชกิ ตวั อนื่ ทเี่ หลอื ทั้งหมดเป็น 0 5. การบวกเมตรกิ ซ์คู่หนึ่ง จะทําไดก้ ็ต่อเมอื่ เมตรกิ ซ์ท้ังสองมีมิตเิ ดยี วกนั ผลบวกที่ได้ จะมีมติ ิเดิม และสมาชกิ ของผลลัพธ์เกดิ จากสมาชกิ ตําแหน่งเดยี วกนั นนั้ บวกกัน (สาํ หรบั การลบกเ็ ช่นกัน; สมาชกิ ผลลัพธ์ เกิดจากสมาชกิ ตําแหน่งเดียวกนั ลบกนั ) - เอกลกั ษณ์การบวกของเมตริกซ์ ก็คอื เมตรกิ ซ์ 0 6. การคณู เมตรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ได้จะเป็นการคณู สมาชิกทกุ ตวั ด้วยสเกลาร์น้ัน 7. การคณู เมตริกซ์คหู่ นง่ึ จะทาํ ไดเ้ มือ่ จาํ นวนหลักของตัวตั้ง เทา่ กบั จํานวนแถวของตัวคณู และผลคณู ท่ีได้จะมีจาํ นวนแถวเทา่ ตัวตั้ง จาํ นวนหลกั เท่าตัวคณู เขียนง่ายๆ ได้วา่ Am×n × Bn×r = Cm×r 8. วธิ ีการหาผลคณู เมตรกิ ซ์ จะยดึ แถวจากตัวตัง้ และยึดหลักจากตวั คณู ดังตัวอยา่ ง ถา้ A = ⎡2 3⎤ , B = ⎡0 1⎤ , C = ⎡1 3 2⎤ ⎢⎣−1 4⎦⎥ ⎢⎣3 2⎥⎦ ⎢⎣−1 0 −2⎦⎥ จะได้ AB = ⎡ 2⋅0+3⋅3 2⋅1+3⋅2 ⎤ = ⎡9 8⎤ ⎢⎣−1⋅0+4 ⋅3 −1⋅1+ 4 ⋅2⎥⎦ ⎣⎢12 7⎥⎦ BC = ⎡ 0⋅1+ 1⋅(−1) 0⋅3+1⋅0 0⋅2+1⋅(−2)⎤ = ⎡−1 0 −2⎤ ⎣⎢3⋅1+2⋅(−1) 3⋅3+2⋅0 3⋅2+2⋅(−2)⎥⎦ ⎣⎢ 1 9 2 ⎥⎦ - เอกลกั ษณ์การคูณของเมตรกิ ซ์ กค็ ือ เมตรกิ ซ์ I 9. สมบตั ิการบวกและการคณู การบวกเมตริกซ์ การคณู ด้วยเมตริกซ์ • A+B =B+A • AB ไม่จาํ เปน็ ต้องเท่ากบั BA • (A + B) + C = A + (B + C) • (AB) C = A (BC) • At + Bt = (A + B)t • A (B + C) = AB + AC • A+0=0+A = A • (A + B) C = AC + BC • A + (−A) = 0 • (AB)t = BtAt • AI = IA = A Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 637 ฉบบั เขม ขน การคณู ด้วยสเกลาร์ • (kA)t = k ⋅ At • k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2) A • k(A + B) = kA + kB 10. ดเี ทอรม์ ินันต์ ... เป็นคณุ สมบัติของเมตริกซจ์ ตั ุรสั เทา่ นัน้ และดีเทอร์มนิ ันต์มีคา่ เป็นตัวเลข เคร่ืองหมายแสดง “ดีเทอร์มินันตข์ องเมตรกิ ซ์ A” คอื A หรือ det (A) เมตรกิ ซ์ 1 × 1 เมตริกซ์ 2 × 2 ถา้ A = ⎣⎡ a ⎦⎤ จะได้ว่า det (A) = a ถา้ A = ⎡a b⎤ จะได้วา่ det (A) = ad − bc ⎣⎢c d⎥⎦ เมตรกิ ซ์ 3 × 3 ใชห้ ลกั ว่า คูณเฉียงขนึ้ ใส่ลบ คณู เฉียงลงเครอื่ งหมายเดิม แลว้ รวมกนั ถา้ ⎡a b c⎤ จะได้ว่า det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdc ⎢⎣⎢⎢gd ⎥ A = e f ⎥ h i ⎦⎥ สว่ นเมตริกซ์ n × n ใดๆ จะใชว้ ิธีโคแฟกเตอร์ (ใชไ้ ด้กบั ทุกขนาดตงั้ แต่ 2 × 2 ขึน้ ไป) det (A) = สมาชิก 1 แนว (แถวหรอื หลักกไ็ ด้) คณู กบั โคแฟกเตอร์ของแนวนั้น ( ∑ aijCij ) 11. ไมเนอร์ของเมตรกิ ซ์ A ใช้สญั ลกั ษณ์ว่า Mij (A) ... คือ ค่า det ของเมตรกิ ซ์ย่อย (ตัดแถว ตดั หลกั ) ท่ีตําแหน่งน้ัน ... โคแฟกเตอร์ของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลักษณ์วา่ Cij (A) คือไมเนอรท์ ีถ่ ูกใส่ เครือ่ งหมายบวกหรือลบสลบั กัน ตามรปู แบบ Cij = (−1)i+j ⋅ Mij (ตาํ แหน่งแรกสดุ ใสบ่ วก, แลว้ เติม เครอื่ งหมายบวกลบสลับกนั ไป) 12. เมตริกซท์ คี่ ่า det เปน็ ศูนย์ เรียกว่าเมตริกซเ์ อกฐาน (ซิงกูลาร)์ 13. สมบัตขิ องดีเทอรม์ ินันต์ • det (AB) = det (A) ⋅ det (B) • det (At) = det (A) • det (I) = 1 • det (An) = (det (A))n เมอ่ื n ∈ I • det (0) = 0 • det (kA) = kn ⋅ det (A) เมอ่ื n = ขนาดของ A 14. เมตริกซไ์ ม่มีการหารกนั แตจ่ ะใชก้ ารคณู ด้วยอินเวอร์สแทน อนิ เวอรส์ การคูณของเมตรกิ ซ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์ A−1 ... โดยนยิ ามให้ A ⋅ A−1 = A−1⋅ A = I เมตรกิ ซ์ 1 × 1 เมตรกิ ซ์ 2 × 2 ถ้า A = ⎣⎡ a ⎤⎦ จะไดว้ ่า A−1 = ⎡⎣ 1/a ⎤⎦ ถ้า A = ⎡a b⎤ จะไดว้ ่า A−1 = 1⋅ ⎡d −b⎤ ⎢⎣c d⎥⎦ det (A) ⎢⎣−c a ⎥⎦ เมตริกซ์ n × n ใดๆ ตง้ั แต่ 2 × 2 ข้นึ ไป จะใชว้ ธิ ีโคแฟกเตอรเ์ ช่นเดมิ สูตรคอื A−1 = (Cof (A))t และเรียก (Cof (A))t ว่า adj A ก็ได้ det (A) 15. เมตริกซท์ จ่ี ะหาอนิ เวอร์สการคูณได้ ตอ้ งเป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน ( det ≠ 0 ) เท่านนั้ 16. สมบตั ิของอนิ เวอรส์ การคูณ • (AB)−1 = B−1A−1 • (A−1)n = (An)−1 = A−n • (A−1)−1 = A • (kA)−1 = 1 ⋅ A−1 k • A−1 = A −1 = 1 A 17. ข้อควรระวังในสมการเมตริกซ์ - เม่ือทาํ การยา้ ยข้างตัวคูณ ไปเปน็ อนิ เวอร์สอยอู่ ีกฝั่ง ตอ้ งคํานงึ ถงึ ลาํ ดับดว้ ย เพราะการคูณไม่มี สมบัติการสลบั ท.่ี . เช่น AB = C กลายเป็น B = A−1C ได.้ . แต่เป็น B = CA−1 ไมไ่ ด้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 638 ฉบบั เขม ขน - ตรวจสอบเสมอว่า สมการยังเป็นเมตรกิ ซ์ทั้งสองขา้ งหรอื ไม่ (หากย้ายข้างเมตริกซ์ ไปเป็นอิน เวอร์สจนหมด อย่าลืมเหลอื เมตรกิ ซ์ I ไว้ดว้ ย..) - สมการเมตรกิ ซ์สามารถคูณเขา้ ทงั้ สองข้างได้เสมอ แตก่ ารตัดออกท้งั สองขา้ งบางครั้งใชไ้ ม่ได้ - ใสเ่ ครื่องหมาย det ทั้งสองข้างได้เสมอ แตก่ ารตดั ออกทัง้ สองข้างก็มักจะใช้ไมไ่ ด้ - ถา้ AB = 0 แลว้ ไม่จาํ เปน็ ที่ A หรือ B ตอ้ งเปน็ 0 18. การคาํ นวณเก่ยี วกับ adj A ควรพิสูจน์จากสมการ A−1 = adj A ก่อน เพอ่ื ให้สะดวก เช่น det (A) , , ฯลฯdet (A) ⋅ I = A (adj A) adj A−1 = A det (A) det (adj A) = (det (A))n − 1 19. ระบบสมการเชงิ เสน้ ท่ีมจี ํานวนตวั แปรเทา่ กับจํานวนสมการ จะเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปสมการเมตรกิ ซ์ ได้ เป็น AX = B (เรียก A วา่ เมตริกซส์ ัมประสิทธิ,์ X เปน็ เมตรกิ ซ์ตวั แปร, และ B เปน็ เมตรกิ ซ์ คา่ คงที)่ สิง่ ท่ีเราต้องการหาก็คอื เมตรกิ ซ์ X ⎛ 4x + 2y − z = 0 ⎡4 2 −1⎤ ⎡x⎤ ⎡0⎤ เช่น ⎜ แปลงเป็นสมการเมตรกิ ซไ์ ด้วา่ ⎢⎣⎢⎢51 −1 ⎣⎢⎢⎢−31⎥⎦⎥⎥ ⎜ x − y = 3 −3 0 ⎥ ⎣⎢⎢⎢yz ⎦⎥⎥⎥ = 2 ⎥ ⎝⎜5x − 3y + 2z + 1 = 0 ⎥⎦ - แก้สมการโดยวธิ ีอนิ เวอร์ส AX = B → X = A−1B - กฎของคราเมอร์ xi = det (Ai) ... เม่ือ Ai คือนํา B มาแทนหลักที่ i ของ A det (A) 20. การดําเนินการตามแถว ... สามารถกระทําได้ 3 ลกั ษณะ คือ a) นําค่าคงท่ี k (ทไ่ี ม่ใช่ 0) ไปคณู ไวแ้ ถวใดแถวหนงึ่ b) นาํ ค่าคงท่ี k ไปคณู แถวใดแถวหนง่ึ แลว้ เอาไปบวกไว้ท่ีแถวอื่น c) สลบั แถวกนั 1 ครัง้ - ใชเ้ ครือ่ งหมาย ~ แทนการดาํ เนินการแต่ละขั้นตอน และเขียนวิธีกํากบั ไว้ 21. นาํ ไปใชป้ ระโยชน์ในการหาอินเวอร์สการคูณ (A−1) และแกร้ ะบบสมการ AX = B ได้ - การหาอินเวอรส์ การคณู ⎡⎣ A I ⎦⎤ ~ ⎡⎣ I A−1⎦⎤ - การแก้ระบบสมการ ⎡⎣ A B ⎦⎤ ~ ⎡⎣ I X ⎦⎤ - เทคนคิ การทําใหเ้ ปน็ I โดยเรว็ ทสี่ ุดคอื ทาํ ใหเ้ ป็น 0 ทั้งหมดทลี ะสามเหล่ียม (ล่าง หรอื บน) 22. การดําเนนิ การตามแถวทง้ั สามแบบ ส่งผลต่อคา่ det ดังน้ี a) detใหม่ = k ⋅ detเก่า b) detใหม่ = detเก่า (det ไมเ่ ปลีย่ น, ใชช้ ่วยในการหา det ได)้ c) detใหม่ = − detเก่า ทั้งน้ี การดําเนินการตามหลัก ก็ใหผ้ ลเช่นเดียวกัน เนือ่ งจากสมบตั ิ det(At) = det(A) เวกเตอร์ 1. ปรมิ าณในโลกมีสองชนดิ คือ ปรมิ าณสเกลาร์ (ระบุเฉพาะขนาด) และปริมาณเวกเตอร์ (ระบุ ลทูก้ังขศนราแดทแนลทะิศททิศาทงางช)่ือข..อ. งกเวากรเเขตยีอนรต์ป้ังรตมิ าามณจเุดวกเรเ่ิมตแอลระ์จจะุดใชส้ลนิ้ กู สศุดรขอใหงลค้ ูกวาศมรยเาชว่นลูก˜AศรBแทหนรขอื นจาะดใชต้แลวั พะหมิ ัวพ์ เล็ก (ทเ่ี ตมิ ขีดดา้ นบน) ก็ได้ เช่น u, v, w ... สว่ นขนาดของเวกเตอร์ u คอื u จ2ุด. เเรว่ิมกตเตน้ อแรล์สะอจงุดอสนั ิน้ จสะดุเทเด่ากยี ันวกกันต็ เอ่ ชเน่ม่ือ˜AมBีขน=า˜ดCเDท่ากก็ไันด้ และมีทศิ ทางเดียวกนั (ไมจ่ ําเป็นต้องมี ถา้ มีขนาดเท่ากนั และทิศเดียวกนั ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 639 ฉบบั เขมขน 3. เวกเตอรบ์ วกกัน สามารถหาผลลัพธไ์ ดส้ องวิธี คือ หัวตอ่ หาง และหางต่อหาง - การบวกเวกเตอร์มีสมบัติเหมือนการบวกจาํ นวนจริงทกุ ประการ ไดแ้ ก่ สมบัตปิ ิด, สมบตั กิ ารสลบั ที,่ สมบตั กิ ารเปลย่ี นกลุ่ม, การมเี อกลกั ษณ์, และการมีอินเวอร์ส - เอกลกั ษณ์การบวกของเวกเตอร์ คือ เวกเตอรศ์ ูนย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ทม่ี ีขนาด 0 หน่วย - อินเวอร์สการบวกของ u˜ABเข=ยี น˜BสAัญ)ลักษณ์ว่า −u หมายถงึ เวกเตอรข์ นาดเท่ากันแต่ทิศตรงขา้ ม กับ u ... (หรอื กล่าวว่า − 4. การลบเวกเตอร์ เป็นการบวกดว้ ยนิเสธ คือ u−v = u+(−v) สามารถหาไดจ้ ากวธิ ีหางต่อหางแบบใหม่ คอื เขียนเวกเตอรต์ ัวตัง้ และตัวลบแบบหางชนกัน เวกเตอรล์ พั ธ์ท่ไี ด้ จะลากจากปลายลกู ศรของตวั ลบ มายงั ปลายลกู ศรของตัวตง้ั 5. ขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ หาไดจ้ ากกฎของโคไซน์ u+v = u 2+ v 2+ 2 u v cos θ เมอ่ื θ คอื มมุ ระหว่าง u กบั v u−v = u 2+ v 2− 2 u v cos θ และสามารถนําขนาดทไ่ี ดไ้ ปคํานวณหาทิศทางโดยกฎของไซน์ - มุม θ ระหวา่ ง u กับ v ต้องวดั ระหว่างหางกับหางเสมอ และมขี นาดไม่เกนิ 180 ° 6. ผลที่ไดจ้ ากการคณู เวกเตอร์ u ดว้ ยสเกลาร์ a เปน็ ดงั นี้ - ถ้า a = 0 จะได้ au = 0 - ถา้ a > 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ท่ีมีทศิ เดียวกนั กับ u แต่มีขนาดเป็น a ⋅ u - ถ้า a < 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอร์ท่ีมีทิศตรงขา้ มกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅ u - การคูณดว้ ยสเกลารน์ ้ีมสี มบัติการเปลยี่ นกลุม่ และการแจกแจง เชน่ เดยี วกับจาํ นวนจรงิ คือ a (bu) = (ab) u , (a+b) u = au + bu , และ a (u+v) = au + av 7. ความสมั พันธข์ อง “การคณู ด้วยสเกลาร์” และ “การขนานกันของเวกเตอร์” เมือ่ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะได้ทฎษฎีวา่ - u จะขนานกบั v ก็ตอ่ เมอื่ มีคา่ a ≠ 0 ที่ทําให้ u = av - ถา้ u ไม่ขนานกบั v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 0 8. การแกโ้ จทยป์ ญั หาประเภท “เขียนเวกเตอร์ที่กาํ หนด ในรูปผลรวมเชิงเสน้ ของเวกเตอรอ์ ื่น” - เขียนเวกเตอรท์ ี่กําหนด ในรปู ผลรวมของเวกเตอร์อืน่ แบบใดกไ็ ด้ ก่อน - พยายามเปล่ยี นเวกเตอรท์ ไ่ี ม่ตอ้ งการ เป็นผลรวมของเวกเตอร์ทีต่ ้องการ ไปทีละข้ันๆ - เมอ่ื เหลือเพียงเวกเตอรท์ ่ีต้องการ ก็จัดเป็นรูปอยา่ งงา่ ยแลว้ ตอบ A B n 9. สตูBรZใน:กาZรCสรา้=งเnวก: เmตอรจ์ภะไาดย้วใน่า ส˜AามZเห=ลยี่mม˜A(Bดภู+ าnพ˜AปCระกอบ) Z ถา้ m+n m 10. เวกเตอร์ในระบบแกน B (x2,y2) พิกัดฉากสองมิติ ˜AB = ⎡Δx⎤ = ⎡ x2−x1⎤ C ⎣⎢Δy⎦⎥ ⎣⎢ y2−y1⎦⎥ A (x ,y )1 1 - ความสัมพันธ์ระหวา่ งพกิ ัดเชิงขว้ั กบั พกิ ัดฉาก Δx = r cos θ r = (Δx)2 + (Δy)2 Δy = r sin θ tan θ = (Δy/ Δx) = ความชัน - เวกเตอร์สองอนั จะเท่ากัน ก็ตอ่ เม่อื Δx เทา่ กัน และ Δy เทา่ กัน - เวกเตอร์สองอนั ขนานกันก็ตอ่ เมอื่ ความชันเท่ากัน (มีทัง้ ทิศเดยี วกันและตรงข้าม) และเวกเตอร์สองอันจะต้งั ฉากกนั กต็ ่อเมื่อ ความชนั คูณกันได้ –1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 640 ฉบบั เขมขน - การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะได้ผลเชน่ เดยี วกบั เมตรกิ ซ์ นนั่ คอื ⎡a⎤ + ⎡c⎤ = ⎡a+c⎤ k ⋅ ⎡a⎤ = ⎡ka⎤ ⎣⎢b⎦⎥ ⎣⎢d⎦⎥ ⎣⎢b+d⎦⎥ ⎣⎢b⎦⎥ ⎣⎢kb⎦⎥ 11. เวกเตอร์หนงึ่ หน่วย คือเวกเตอรท์ ม่ี ขี นาดเปน็ 1 เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยทสี่ ําคญั ในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ มอี ยู่ 2 ตวั ได้แก่ i กับ j โดย i แทนเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยในทิศทาง +x และ j แทนเวกเตอร์หนงึ่ หน่วยในทิศทาง +y 1น˜A2นั่ B.คเือวมกาเiหตาอ=รรห์⎣⎢⎡(01นเ⎥⎤⎦พึ่ง่อืหแทนลําว่ ะใยหใ้ขjนนท=าิศด⎢⎡⎣ทเ01หา⎥⎤⎦งลขือ.อ.เ.งพจีย˜ะAงไBด1ว้ ห่าใดเนวๆ่วกยเ(ต)ทอ่ีไเรมข์ ยีใ่ ช⎢⎡⎣นba่ เ⎦⎤⎥ป0น็=)สสaัญาiลม+ัการษbถณjส์ไรด้า้วงา่ได|จ้ ˜˜AAากBBก|ารนาํ ขนาดของ 13. การคูณเวกเตอร์คหู่ นึ่ง จะเกดิ ผลลพั ธไ์ ด้ 2 แบบ คอื การคูณแบบดอท ( u ⋅ v ) ให้ผลลัพธ์ เปน็ สเกลาร์ (ตัวเลข) อาจเรยี กว่าผลคูณเชงิ สเกลาร์ และการคูณแบบครอส ( u × v ) ยงั คงให้ ผลลัพธเ์ ป็นเวกเตอร์ อาจเรียกวา่ ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ - ดอทในพกิ ัดฉาก ⎡a⎤ ⋅ ⎡c⎤ = (a i +b j) ⋅ (c i +d j) = ac+bd ⎣⎢b⎥⎦ ⎣⎢d⎥⎦ - ดอทในเชงิ ขวั้ u ⋅ v = u v cos θ - ใชส้ มการท้ังสองร่วมกนั ในการคํานวณเกีย่ วกับมมุ θ ระหวา่ ง u กบั v 14. การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขยี นใหม่ไดว้ า่ u+v = u 2+ v 2+ 2 (u ⋅ v) เม่ือ θ คือ มุมระหว่าง u กบั v u−v = u 2+ v 2− 2 (u ⋅ v) 15. สมบตั ิของการคูณเวกเตอรแ์ บบดอท • u⋅v = v⋅u • u⋅u = u 2 • u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w • 0⋅u = 0 • a (u ⋅ v) = a u ⋅ v • u⋅v =0 ↔ u ⊥ v 16. ในความเป็นจริงจุดใดๆ ไม่ได้อยู่ในระนาบเดยี วกันเสมอไป แต่อยู่ในปรภิ มู ิสามมติ ิ เราจาํ เปน็ ตอ้ ง ใชพ้ ิกัดฉาก 3 มติ ิ ซ่ึงประกอบด้วยแกน x, y, และ z ตง้ั ฉากกนั ท่ีจดุ กาํ เนิด ระนาบ xy, yz, xz แบ่งปรภิ ูมอิ อกเปน็ 8 ส่วน เรียกแต่ละส่วนวา่ อัฐภาค (มลี ําดับเหมือนจตุภาคดงั รูป) zz ระนาบ yz (x = 0) 3 2 ระนาบ xz (y = 0) O y4 1 ระนาบ xy (z = 0) 6y x 8x 5 z z Q(2,0,1) 1 P(2,4,1) y2 4y xx R(2,4,0) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 641 ฉบับเขม ขน 17. หลกั ในการต้งั ลําดบั แกนคือ กฎมอื ขวา ... เมอื่ แบมอื ขวาขนึ้ ตรงๆ และแยกน้ิวโปง้ ให้ต้ังฉากกับ นวิ้ ชี้ จะได้ว่าปลายนิว้ ท้ังสช่ี ีไ้ ปในทศิ +x, ฝา่ มือหนั ไปในทิศ +y, และนว้ิ โป้งช้ีไปในทิศ +z 18. ระบตุ ําแหน่งสิง่ ต่างๆ ด้วย สามส่ิงอันดับ (Ordered Triple) B (x2,y2,z2) ทีส่ มาชิกแต่ละตัวแทนระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามลาํ ดับ เชน่ สามสิ่งอันดับ (2, 4, 1) ˜ ⎡Δx⎤ ⎡x2−x1⎤ AB = ⎢⎢Δy⎥⎥ = ⎢⎢y2− y1 ⎥ ⎥ A (x1,y1,z1) ⎢⎣Δz ⎥⎦ ⎢⎣z2−z1 ⎥⎦ 19. เวกเตอร์ในพกิ ัดฉากสามมิติ ⎡ 1⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ เมอื่ กาํ หนดเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยบนแตล่ ะแกนดังน้ี i = ⎢⎢⎢⎣00⎥⎥⎥⎦ , j = ⎢⎢⎣⎢01⎦⎥⎥⎥ , และ k = ⎢⎢⎣⎢01⎥⎥⎥⎦ ⎡a⎤ ก็จะเขียนเวกเตอร์ ⎢⎢b⎥⎥ ได้เป็น a i + b j + c k ⎢⎣c⎦⎥ 20. ขนาดของเวกเตอร์ r = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (เปน็ สตู รระยะทางระหว่างจุดสองจุด คลา้ ยทฤษฎีบทปีทาโกรสั ใน 2 มติ ิ) 21. การบวกลบเวกเตอร์ และการคณู ด้วยสเกลาร์ ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡a+d⎤ ⎡a⎤ ⎡ka⎤ ⎢⎢⎣bc⎥⎥⎦ + ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = ⎣⎢⎢⎢bc++ef ⎦⎥⎥⎥ k ⋅ ⎢⎣⎢bc⎥⎥⎦ = ⎣⎢⎢kkbc⎦⎥⎥ การคณู แบบดอท ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎢⎣⎢bc⎦⎥⎥ ⋅ ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = (a i +b j +c k) ⋅ (d i +e j +f k) = ad + be + cf และ u ⋅ v = u v cos θ (ใชส้ มการทงั้ สองรว่ มกนั ในการคํานวณมุม θ ระหว่าง u กบั v ) 22. มมุ ที่เวกเตอร์กระทาํ กับแกนทง้ั สาม เรยี กวา่ มมุ กาํ หนดทิศทาง ไดแ้ ก่ มุม α , β และ γ ซึ่ง เปน็ มุมท่ีเวกเตอร์ทํากับแกน +x , แกน +y และแกน +z ตามลาํ ดับ ... หาไดโ้ ดยการดอท (นาํ เวกเตอร์ดอทกับ i , j, k ทลี ะอัน) จะได้ cos α = a , cos β = b , และ cos γ = c uu u เรยี กค่าทั้งสามนี้ว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (มกั กล่าวถึงคา่ เหล่านี้แทนมุม) และมีสมบัตวิ ่า cos2α + cos2β + cos2 γ = 1 เสมอ 23. เวกเตอร์สองอนั จะขนานกนั กต็ อ่ เมอ่ื โคไซนแ์ สดงทิศทางของ u กบั v ทงั้ ชดุ มีค่าตรงกนั หรือเปน็ ค่าตดิ ลบของกัน ... และเวกเตอร์สองอันจะตงั้ ฉากกัน ก็ต่อเมือ่ u ⋅ v = 0 เทา่ นั้น 24. การคณู เวกเตอร์แบบครอส ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡bf−ce ⎤ i jk ⎢⎢⎣bc⎥⎥⎦ ⎢⎢e⎥⎥ ⎣⎢⎢aced−−badf ⎦⎥⎥ = abc × ⎣⎢ f ⎦⎥ = de f u×v ผลลพั ธท์ ไ่ี ด้ จะตง้ั ฉากกับระนาบ uv ... หาทศิ ทางไดด้ ว้ ยกฎมือขวา u โดยส่นี ิ้วพ่งุ ไปทาง u กาํ มือเข้าหา v ผลลพั ธ์มที ศิ ทางตามน้ิวโป้งท่ีชขู ึ้น v v×u ขนาดของเวกเตอรล์ ัพธ์ทไี่ ด้ u × v = u v sin θ 25. สมบตั ขิ องการคณู เวกเตอร์แบบครอส • u × v = − (v × u) • u×u =0 v • u × (v + w) = u × v + u × w • 0×u = 0 • a (u × v) = a u × v • u×v =0 ↔ u • u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 642 ฉบบั เขมขน 26. พ้นื ท่สี ามเหลยี่ ม ที่มีด้านประชิดเปน็ u กับ v และมุม u ระหวา่ งเวกเตอร์เปน็ θ คอื 1 u v sin θ → 1 u × v θ 22 v พน้ื ท่ีสี่เหล่ยี มด้านขนาน คอื u v sin θ → u × v 27. ปริมาตรทรงสเ่ี หลี่ยมหน้าขนาน ที่มดี ้านประชิดเปน็ เวกเตอร์ u , v , w คือ u1 u2 u3 u ⋅ (v × w) = v1 v2 v3 w1 w2 w3 จํานวนเชงิ ซอ้ น 1. ระบบจาํ นวนทใ่ี หญท่ ่ีสุดซ่งึ ประกอบดว้ ยส่วนจรงิ และสว่ นจนิ ตภาพ ในรูป a + bi (โดย a, b ∈ R ) และนิยามให้ i = −1 เรยี กว่าจาํ นวนเชงิ ซอ้ น ( C ) มี a เป็นส่วนจรงิ และ b เป็น สว่ นจนิ ตภาพ และมักแทนตวั แปรทเี่ ปน็ จาํ นวนเชงิ ซ้อนด้วย z - จาก z = a + bi บางทีเขียนวา่ a = Re (z) และ b = Im(z) ก็ได้ - สามารถใช้คอู่ นั ดบั (a, b) แทนจํานวนเชงิ ซอ้ น z = a + bi ได้ และทาํ ใหแ้ ผนภาพเปลยี่ นจาก เส้นจํานวนในแกนนอน 1 มิติ กลายเปน็ ระนาบเชิงซอ้ น 2 มิติ (มีแกนจริงกับแกนจนิ ตภาพ) 2. กาํ ลังของ i มี 4 แบบหมนุ เปล่ียนกัน คอื i1 = i ... i2 = −1 ... i3 = − i ... i4 = 1 i5 = i ... i6 = −1 ... i7 = − i ... i8 = 1 ... 3. ในการคํานวณเราปฏิบตั ิเหมือนกบั i เป็นตวั แปรหนง่ึ (ซึ่ง i2= −1 ) เพียงเท่านน้ั - การเท่ากัน a + bi = c + di กต็ อ่ เม่ือ a = c และ b = d - การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i - การคณู (a + bi) × (c + di) = (ac−bd) + (ad+bc)i 4. สมบตั ิของจํานวนเชงิ ซอ้ น เหมอื นกับสมบัติของจํานวนจรงิ ทกุ ประการ นั่นคอื มสี มบัติปิด, การ สลับที่การบวกและคูณ, การเปลย่ี นกลมุ่ การบวกและคูณ, การแจกแจง, และการมเี อกลักษณก์ ับอนิ เวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกกค็ ือ 0 หรอื 0 + 0 i หรือ (0, 0) และเอกลกั ษณก์ ารคูณคอื 1 หรอื 1 + 0 i หรอื (1, 0) เช่นเดยี วกับในระบบจาํ นวนจรงิ - อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi กค็ อื −z = −a − bi - อินเวอร์สการคณู ของ z = a + bi คอื z−1 = 1 = 1 ซง่ึ สามารถทําให้อยู่ในรปู ปกตไิ ดโ้ ดย z a + bi นาํ a − bi คูณทัง้ เศษและส่วน จะได้ 1 = a − bi = ⎛a⎞ − ⎛ b ⎞ i a + bi a2+b2 ⎜ ⎟ ⎜ a2+b2 ⎟ ⎝ a2+b2 ⎠ ⎝ ⎠ และมที ฤษฎีบทว่า (z1z2)−1 = z1−1 z2−1 และ (zn)−1 = (z−1)n = z−n 5. ในเศษส่วนหนึง่ ๆ เมอ่ื มีจํานวนเชงิ ซอ้ น a + bi เปน็ ตัวส่วน จะนําสงั ยุคของ a + bi คือ a − bi มาคูณทง้ั เศษและสว่ น เพอื่ ให้ตัวสว่ นกลายเป็นเลขจาํ นวนจริง ( a2+b2 ) สัญลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนสงั ยคุ ของ z = a + bi คอื z = a − bi - สมบตั ขิ องสงั ยุค • z = z ก็ตอ่ เม่อื z เป็นจํานวนจรงิ เทา่ น้ัน และ z = z เสมอ และ• (z−1) = (z)−1 (zn) = (z)n n ∈ I+ • z1 ± z2 = z1 ± z2 และ• z1z2 = z1z2 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 643 ฉบบั เขมขน 6. คา่ สมั บรู ณ์ของจํานวนจริงและจาํ นวนเชงิ ซ้อนใดๆ คือระยะหา่ งจากจดุ นัน้ ไปถึงจุดกาํ เนิด (0, 0) ดังนั้น z = a + bi = a2+b2 - สมบตั ขิ องค่าสมั บรู ณ์ • z มคี า่ มากกว่าหรอื เทา่ กบั 0 เสมอ และ z ⋅ z = z 2 • z = −z = z และ• z−1 = z −1 zn = z n n ∈ I+ • z1z2 = z1 z2 และ z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 ...ทสี่ าํ คญั คอื คา่ สัมบรู ณก์ ระจายบวกลบไมไ่ ด้ 7. การอ้างถึงพิกัด (a, b) ของจาํ นวนเชิงซ้อน อาจจะกลา่ วไดอ้ กี แบบเปน็ (r, θ) โดยที่ r แทน “ระยะห่างจากจดุ กําเนิด” และ θ แทน “ทิศทาง หรอื อารก์ ิวเมนต”์ (มุมวัดทวนเขม็ จากแกน +x ) เรยี กรูปแบบน้วี า่ รปู เชงิ ขวั้ ซึง่ ความสัมพันธร์ ะหวา่ งสองระบบนเี้ ปน็ ดังน้ี a = r cos θ r = a2 + b2 = z b = r sin θ tan θ = (b/a) เราอาจเขยี นรูปทัว่ ไปของ z = a + bi ได้ใหม่วา่ z = (r cos θ) + (r sin θ)i หรอื z = r (cos θ + i sin θ) - จาก z = r (cos θ + i sin θ) บางทีเขียนวา่ r = Abs (z) และ θ = Arg(z) - บางตาํ ราใชส้ ญั ลักษณ์ z = r ∠θ หรือ z = r cis θ เพ่อื ความสะดวกในการเขยี น, คาํ นวณ 8. รูปเชงิ ขวั้ สามารถนํามาใช้ประโยชน์ในการคูณ หาร ยกกาํ ลัง และถอดรากของจํานวนเชงิ ซอ้ นได้ สะดวก โดยมที ฤษฎีอยู่ดงั นี้ ถา้ z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) แลว้ - การคูณ z1z2 = r1r2 (cos (θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)) - การหาร z1/z2 = (r1/r2)(cos (θ1−θ2) + i sin(θ1−θ2)) - การยกกําลงั zn = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)) ... เรียกว่าทฤษฎีบทของเดอมวั ฟ์ - รากที่ n ของ z มอี ยู่ n คําตอบเสมอ เพราะมาจากสมการ ?n = z คาํ ตอบแรก คือ n z = n r (cos(θ) + i sin(θ)) และคาํ ตอบทเี่ หลอื จะมีขนาดเท่ากนั แตม่ มุ ต่างๆ nn กัน หาคา่ มุมได้จากการแบง่ วงกลม 360° ออกเปน็ n ส่วนเทา่ ๆ กันโดยมีมุม θ/n นี้เปน็ จดุ ๆ หนง่ึ ในบรรดาคาํ ตอบ 9. สมการพหนุ ามดีกรี n ในรูป anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+ ... + a0 = 0 จะหาคาํ ตอบได้ n จํานวน เสมอ ซงึ่ ใน n คําตอบน้ี อาจเป็นจํานวนจริงและจาํ นวนเชิงซ้อนปนกนั อยู่ สามารถคํานวณโดยแยกคาํ ตอบทเ่ี ป็นจาํ นวนจรงิ ออกจนเหลอื เพยี งดีกรีสอง แล้วอาศยั สตู ร x = −b ± b2−4ac ชว่ ยในการหาคาํ ตอบทเ่ี ปน็ จาํ นวนเชิงซ้อน 2a - จากสตู ร x = −b ± b2−4ac ทาํ ให้เราพบว่า ในสมการท่ีสัมประสิทธิท์ งั้ หมดเปน็ จาํ นวนจริง ถา้ 2a A + B i เป็นคําตอบหนงึ่ ของสมการแล้ว จะมีสังยุค A − B i เปน็ อกี คาํ ตอบด้วยเสมอ - หากไม่ตอ้ งการใช้สูตร อาจใชว้ ิธีจัดกาํ ลังสองสมบรู ณก์ ไ็ ด้ เชน่ x2 + 4x + 7 = 0 → (x2 + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2)2 + 3 = 0 → x = −2 ± 3 i - ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎตี วั ประกอบ (หารลงตวั ) ของพหนุ าม ทเ่ี คยไดศ้ ึกษาในเรือ่ งจาํ นวน จรงิ ยังคงใชไ้ ดก้ บั จํานวนเชงิ ซอ้ น ... และการหารสงั เคราะห์กย็ งั ใชไ้ ดเ้ ช่นกัน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 644 ฉบับเขมขน ทฤษฎีกราฟ 1. กราฟ ในที่นี้หมายถงึ แผนภาพซ่ึงประกอบด้วยจดุ และเส้นทีเ่ ชอ่ื มจุด การเกิดเป็นกราฟได้จะตอ้ ง มจี ุดอย่างนอ้ ยหนึ่งจุด แต่กราฟอาจไม่มีเส้นเลยสกั เส้นกไ็ ด้ เซตของจุดยอด เรียกว่า V (G) และเซตของเสน้ เชือ่ ม เรยี กว่า E(G) 2. ข้อตกลงในการเขยี นแผนภาพของกราฟ คอื จะวางจดุ ยอดจดุ ใดไว้ตําแหน่งใดกไ็ ด้ และจะลากเส้น เชื่อมเปน็ เส้นตรงหรอื โค้งกไ็ ด้ (แตห่ ากเส้นเชอ่ื มสองเส้นทีล่ ากข้ึนน้นั ตัดกนั จดุ ตัดท่ีเกิดขนึ้ จะไม่ นบั เป็นจุดยอดของกราฟ) 3. เสน้ เช่ือมขนาน เปน็ เสน้ ท่ีเชื่อมจุดปลายคูเ่ ดียวกัน วงวน เป็นเสน้ เช่ือมทมี่ ีปลายท้ังสองเปน็ จุดๆ เดียว 4. จุดยอดทีป่ ระชิดกัน คอื จุดที่มเี ส้นเช่ือมระหว่างกนั เส้นเชอื่ มเกิดกับจดุ ยอด เมอื่ จุดยอดเป็นปลายหนึ่งของเส้นเชื่อมน้ัน 5. ดกี รขี องจุดยอด คอื จาํ นวนครั้งที่มีเส้นเชือ่ มเกิดกบั จุดยอดนน้ั ใชส้ ัญลักษณ์ deg เชน่ deg A - ผลรวมดีกรีของจุดยอดทั้งหมดในกราฟ จะเปน็ 2 เท่าของจํานวนเสน้ เชื่อม 6. จุดยอดทมี่ ดี ีกรีเป็นจาํ นวนคู่ เรียกว่าจดุ ยอดคู่ และจดุ ยอดทีม่ ีดีกรีเปน็ จํานวนคี่ เรียกว่าจุดยอดค่ี - จาํ นวนจดุ ยอดค่ขี องกราฟใดๆ จะตอ้ งเปน็ จํานวนค่เู สมอ (สว่ นจุดยอดคู่จะมีกี่จุดก็ได)้ 7. ลาํ ดับทปี่ ระกอบด้วยจุดสลับกบั เสน้ เช่น C, e7, B, e5, A, e3, D หรือประกอบด้วยจดุ เช่น C, B, A, D เรียกว่า แนวเดนิ เช่นแนวเดิน C − D - หากทุกๆ จดุ ยอดมแี นวเดินถึงกนั จะเรยี กว่าเป็น กราฟเชอ่ื มโยง 8. แนวเดินซง่ึ เร่มิ และจบทีจ่ ดุ เดียวกนั โดยไม่ใช้เสน้ เช่ือมซํ้ากันเลย เรยี กว่า วงจร ถา้ วงจรนั้นผา่ นจดุ ยอดและเสน้ เชอ่ื มทง้ั หมดที่มใี นกราฟ เรยี กว่า วงจรออยเลอร์ กราฟใดที่สามารถหาวงจรออยเลอร์ได้ จะถกู เรียกวา่ เปน็ กราฟออยเลอร์ 9. ปัญหาสะพานเคอนิกสแ์ บร์ก ถามว่าเปน็ ไปไดไ้ หมทีเ่ ราจะเร่ิมต้นจากจดุ หนึง่ บนแผ่นดนิ แล้วเดนิ ข้ามสะพานใหค้ รบทกุ อันในเมือง (ในแผนที่) จนกลับมายงั จดุ เริ่มต้น โดยไมซ่ ํ้าสะพานเดมิ เลย - ลกั ษณะของปัญหาเหมือนกบั “การลากเส้นวาดรปู โดยไม่ยกดินสอ” ซงึ่ คําตอบจะได้จากการ พิจารณาว่าแผนภาพนั้น “เป็นกราฟออยเลอรห์ รอื ไม่” 10. กราฟออยเลอร์จะตอ้ งเปน็ กราฟเช่ือมโยง และจดุ ยอดทุกจุดเปน็ จดุ ยอดคู่ ดังน้นั คําตอบของปัญหาสะพานเคอนกิ ส์แบร์ก คอื “เป็นไปไมไ่ ด้” 11. กราฟถว่ งนํ้าหนัก คือกราฟที่เสน้ เชือ่ มทุกเส้นมจี าํ นวนจริงบวกเขียนกาํ กับไว้ เรียกจํานวนนว้ี ่า ค่า น้ําหนกั ซึ่งอาจใชแ้ ทนระยะทางระหวา่ งจุด, ระยะเวลาที่ใช้เดินทางระหว่างจดุ , ค่าใช้จ่ายในการสรา้ ง เสน้ ทาง, หรอื อื่นๆ เพ่อื บ่งบอกให้ทราบความแตกตา่ งระหวา่ งแต่ละเสน้ 12. เรานําทฤษฎีกราฟเบ้อื งต้นไปประยุกตใ์ ชแ้ กป้ ญั หาบางอยา่ งได้ เช่น การหาเส้นทางมุ่งไปยงั จดุ หมายให้ส้ันที่สุด (วถิ ีท่ีส้ันทส่ี ดุ คือแนวเดินซึง่ ไม่ซาํ้ จุดยอดเดิม และมผี ลรวมค่านํ้าหนักนอ้ ยท่สี ดุ ) และการเลอื กวางเส้นทางให้เชอื่ มทกุ จดุ โดยประหยดั ท่สี ดุ (ตน้ ไมแ้ ผท่ วั่ คือกราฟเชื่อมโยงที่ไมม่ รี ูป ปดิ และใช้จุดยอดครบทุกจุด ต้นไม้แผ่ทัว่ ของกราฟทม่ี จี ดุ ยอด n จุด จะมีเส้นเชอื่ ม n − 1 เสน้ เสมอ ... ต้นไม้แผ่ทว่ั ทีน่ ้อยทีส่ ุด คอื ตน้ ไม้ทม่ี ีคา่ นาํ้ หนักรวมน้อยทีส่ ดุ ) ลําดับและอนุกรม 1. ลําดบั คือคา่ ของฟังกช์ นั ท่นี ํามาเขียนเรยี งกนั เม่ือโดเมนของฟงั ก์ชันเปน็ เซตจํานวนนบั 1,2,3,... - เรียก a1 วา่ “พจน์ที่ 1” ของลําดบั , เรยี ก a2 ว่าพจน์ท่ี 2 ของลําดบั , ไปเร่อื ยๆ - พจน์ที่ n ใดๆ เขยี นแทนด้วย an จะเรยี กว่าพจน์ทว่ั ไป และนิยมเขยี นรูปแบบของลําดับดว้ ย an Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 645 ฉบับเขมขน 2. ลําดบั ท่มี จี ํานวนพจน์ท่แี น่นอน เชน่ 8 พจน์, 15 พจน,์ หรือ n พจนก์ ็ได้ จะเรยี กว่า ลาํ ดบั จาํ กดั ส่วนลําดบั ที่มจี ํานวนพจน์มากจนนบั ไมไ่ ด้ จะเรยี กว่า ลําดับอนนั ต์ 3. ลาํ ดับทีเ่ ราพบบอ่ ย มสี องประเภท คือลาํ ดบั เลขคณติ และลําดับเรขาคณติ - ลําดับเลขคณติ คอื ลาํ ดับที่ “ผลต่างของพจน์ติดกนั เป็นค่าคงตวั ” เรียกค่านวี้ า่ ผลต่างรว่ ม d พจน์ทว่ั ไปเปน็ an = a1 + (n−1) d - ลาํ ดบั เรขาคณิต คือลําดบั ที่ “ผลหารของพจน์ตดิ กันเป็นค่าคงตัว” เรยี กค่านวี้ า่ อตั ราส่วนร่วม r พจนท์ ่ัวไปเปน็ an = a1 ⋅ r(n−1) 4. ข้อสงั เกตคอื ลําดบั เลขคณิต จะเปน็ ฟงั กช์ ันเสน้ ตรง โดยมคี วามชนั = d ... เช่น an = 8 + 3n ส่วนลําดบั เรขาคณติ จะเปน็ ฟงั ก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชยี ล โดยมีฐาน = r ... เชน่ an = 8 ⋅ 3n 5. หากต้องการทราบว่า ในลําดับ (อนันต์) ลําดับหนึ่งนนั้ ถา้ n ยง่ิ มากข้นึ จนเขา้ ใกล้ ∞ (n → ∞ ) แลว้ ค่าของ an จะเข้าใกลค้ ่าใด ( an → ? ) เราเรียกว่าการหาลมิ ิตของลาํ ดบั ... และ คา่ ทไี่ ด้นเี้ รียกว่า ลิมติ เขียนด้วยสญั ลกั ษณ์ lim an n→∞ - ลําดับเรขาคณิต ... lim (rn) เมื่อ r เป็นคา่ คงที่ จะมีได้สกี่ รณี คือ ไมม่ ีลมิ ิต เมื่อ r < −1, n→∞ เป็น 0 เมื่อ | r |< 1, เปน็ 1 เมอื่ r = 1 , และหาคา่ ไม่ได้ เมื่อ r > 1 - ลําดบั เลขคณติ ลิมติ หาคา่ ไมไ่ ดเ้ สมอ (ยกเว้นกรณีท่ี d=0) 6. ลาํ ดับท่หี าคา่ ลิมติ ได้ เรียกว่า ลาํ ดบั ลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต์) และลําดับท่ีไม่มีลมิ ิต หรอื หาค่าลิมติ ไมไ่ ด้ จะเรียกว่า ลําดับลอู่ อก (ไดเวอร์เจนต์) - การหาค่าลมิ ติ สามารถใช้สมบตั ิการกระจาย แจกแจงไดท้ กุ รูปแบบ ทงั้ การบวก ลบ คณู หาร ยกกาํ ลงั หรอื ถอดราก - รปู แบบ lim P(n) เม่อื P และ Q เป็นพหุนาม จะมีได้สามกรณี คอื เป็น 0 เมอื่ ดีกรี P นอ้ ย n → ∞ Q (n) กวา่ Q, เปน็ สัมประสทิ ธ์ติ ัวแรกหารกนั เม่อื ดีกรขี อง P และ Q เทา่ กัน, และหาคา่ ไมไ่ ด้ เมื่อดีกรี P มากกว่า Q 7. อนกุ รม คือผลบวกของแตล่ ะพจน์ในลําดับ ..คา่ ของอนุกรมสามารถเขยี นเป็นสัญลักษณ์ n ได้ ∑ ai i=1 ซง่ึ ผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของอนกุ รม จะใช้สัญลักษณ์ Sn (ดังนัน้ ค่าของอนุกรมอนันต์ก็คือ S∞ = ∞ = lim Sn ) ∑ ai n→∞ i=1 - อนกุ รมทหี่ าคา่ S∞ ได้ เรียกวา่ อนุกรมลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต)์ และอนกุ รมท่ีหาค่า S∞ ไมไ่ ด้ เรยี กวา่ อนุกรมลอู่ อก (ไดเวอร์เจนต)์ 8. อนุกรมเลขคณติ • n n (a1+an) หรอื อาจเขยี นเป็น Σ เพอ่ื ใชส้ ตู รคํานวณค่า 2 Sn = ∑ ⎡⎣a1 + (i−1) d⎤⎦ = i=1 • S∞ หาคา่ ไม่ไดเ้ สมอ (ยกเวน้ อนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 +…) 9. อนุกรมเรขาคณิต • Sn = a1(1 − rn) 1−r • S∞ หาคา่ ไดก้ เ็ มอ่ื | r |< 1 เท่าน้ัน และค่าที่ไดค้ ือ S∞ = a1 1−r Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 646 ฉบบั เขมขน 10. สมบตั ิของ Σ 11. สตู รซกิ ม่าท่ีควรทราบ n • n = n (n+1) 2 • ∑k = n ⋅ k ∑i i=1 i=1 nn • n = n (n+ 1)(2n+1) • ∑ k ai = k ⋅ ∑ ai 6 i=1 i=1 ∑ i2 n nn i=1 • ∑ (ai ±bi) = ∑ ai ± ∑ bi i=1 i=1 i=1 • n = ⎡n (n+1)⎤2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ∑ i3 i=1 ลมิ ิตและความต่อเน่ือง 1. การหาลมิ ติ ของ f (x) สาํ หรบั ฟังกช์ นั y = f (x) ใดๆ คอื การพจิ ารณาวา่ เมอ่ื x มคี า่ เขา้ ใกลค้ ่า จาํ นวนจริงคา่ ใดคา่ หนงึ่ (เช่น เข้าใกล้ a) แลว้ คา่ ของ y หรือ f (x) จะเข้าใกล้คา่ ใด - คา่ ลมิ ติ ท่ไี ดจ้ ะเขยี นเป็นสัญลกั ษณว์ า่ lim y หรอื lim f (x) x→a x→a 2. ทฤษฎบี ทเกยี่ วกับลมิ ิต lim c = c lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n x→a x→a x→a lim n f (x) = n lim f (x) lim x = a x→a x→a x→a lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) x→a x→a x→a lim xn = an x→a lim c f (x) = c lim f (x) lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x) x→a x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ÷ g(x)] = lim f (x) ÷ lim g(x) x→a x→a x→a 3. ฟังก์ชันใดๆ จะมีค่า lim f (x) = L ก็ต่อเม่ือ lim f (x) = lim f (x) = L เท่าน้ัน x→a x → a− x → a+ - คําวา่ lim f (x) คือลิมติ ซา้ ย หาได้จากกรณีท่ี x มคี ่าเขา้ ใกล้ a ทางซ้าย (หรือ x < a ) x → a− - คาํ ว่า lim f (x) คอื ลมิ ติ ขวา หาได้จากกรณที ี่ x มคี า่ เข้าใกล้ a ทางขวา (หรอื x > a ) x → a+ 4. รปู แบบไม่กําหนด คอื รปู แบบทีย่ ังสรปุ ไม่ได้ว่าคา่ ลมิ ิตเป็นเทา่ ใด ไดแ้ ก่ รูปแบบ 0 , ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , ∞0 และ 1∞ ... ซง่ึ รูปแบบท่ีพบบอ่ ยในบทน้ี คือ 0 0∞ 0 - ถ้า lim f (x) อยูใ่ นรูปแบบ 0 ... เทคนิคการคาํ นวณคือ พยายามแยกพจน์ x −a ในเศษและ x→a 0 สว่ นมาตดั กัน เพ่อื ไมใ่ ห้เหลอื ตัวประกอบในเศษและส่วนเปน็ เลข 0 ... อาจใช้วิธีแยกตวั ประกอบ การ นาํ สงั ยคุ หรอื อ่นื ๆ ที่เหมาะสมคณู ท้งั เศษและส่วน หากเป็นรากทีส่ อง รากทีส่ าม 5. สาเหตทุ ี่เราสามารถกาํ จัด x −a ทงั้ เศษและสว่ นได้ กเ็ พราะการหาลิมิตน้ันไม่ได้คํานึงถึงตําแหน่ง ท่ี x = a อย่แู ล้ว ... คอื แม้ f (a) จะไมน่ ยิ าม (เพราะสว่ นเป็นศนู ย)์ แต่ lim ก็ยังหาได้ x→a 6. การพจิ ารณาความตอ่ เนอื่ งของฟงั ก์ชัน ณ จดุ ใดๆ คือการบอกวา่ กราฟของฟงั ก์ชนั ขาดตอนทจี่ ุด นน้ั หรอื ไม่ โดยสาํ หรับฟงั กช์ นั f (x) ใดๆ จะตอ่ เนอื่ งท่ี x = a ก็ตอ่ เมือ่ lim f (x) = f (a) = lim f (x) เทา่ น้นั (และต้องหาค่าได้ทงั้ สามตวั ) x → a− x → a+ 7. นิยามของความตอ่ เน่ืองบนชว่ ง - ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนอื่ งบนช่วงเปิด (a, b) ก็ต่อเมอ่ื f (x) ตอ่ เนอ่ื งทุกๆ จดุ ในชว่ ง (a, b) - ฟงั กช์ ัน f (x) ต่อเนื่องบนชว่ งปดิ [a, b] ก็ตอ่ เมือ่ f (x) ต่อเน่ืองบนชว่ ง (a, b), ต่อเน่ืองทางขวา ของ a [คอื f (a) = lim f (x) ], และตอ่ เน่ืองทางซา้ ยของ b [คือ f (b) = lim f (x)] x → a+ x → b− Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 647 ฉบบั เขม ขน อนุพันธ์และการอนิ ทเิ กรต 1. อัตราการเปลีย่ นแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกบั x (ในชว่ ง x ถงึ x+h ใดๆ) คอื f (x+h) − f (x) หรอื Δy h Δx และเม่อื บบี ชว่ ง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 จะไดอ้ ัตราการเปล่ียนแปลง ณ จดุ x ท่ีกําหนด ฉะนัน้ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุด x ใดๆ) คือ lim f (x+h) − f (x) หรือ lim Δy h→0 h Δ x → 0 Δx 2. อัตราการเปลีย่ นแปลง ของ y = f (x) ทีจ่ ุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้วา่ อนุพันธ์ ฉะน้นั อนพุ นั ธ์ของ f (x) ก็คอื lim f (x+h) − f (x) h→0 h นอกจากนนั้ ยังเปน็ คา่ ความชันของกราฟ y = f (x) ณ จุดน้ันๆ ดว้ ย - สัญลักษณ์ทใี่ ช้แทนอนุพันธข์ อง f (x) ได้แก่ f′(x) หรอื dy หรือ d f (x) หรอื y′ ก็ได้ dx dx - สัญลกั ษณ์ที่ใช้เจาะจงตําแหน่ง เชน่ อนพุ ันธท์ จ่ี ุดซง่ึ x = 3 จะใช้ f′(3) หรือ dy dx x = 3 3. สตู รในการหาอนพุ ันธ์ • d xn = n xn−1 • d [f (x) ± g(x)] = f′ (x) ± g′ (x) dx dx • dc=0 dx • d [f (x) ⋅ g (x)] = f (x) g′ (x) + g(x) f′ (x) • d c f (x) = c d f (x) dx dx dx • d ⎡ f (x)⎤ = g (x) f′ (x) − f (x) g′ (x) dx ⎢ (x)⎥⎦ ⎣ g [g (x)] 2 4. อนุพันธข์ องฟงั กช์ นั คอมโพสทิ (กฎลกู โซ่) ... คอื d g(f (x)) = dg ⋅ df dx df dx - เขียนแบบฟงั ก์ชนั ไดเ้ ปน็ (g f)′(x) = g′(f (x)) ⋅ f′(x) - อาจจะเขียนยาวกีท่ อดก็ได้ เชน่ dg = dg ⋅ dh ⋅ df ⋅ dx dt dh df dx dt 5. หากเราหาอนุพันธข์ อง f′(x) ต่อไปอีก จะเรียกวา่ เป็นอนพุ นั ธ์อันดบั สูง - การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อนั ดับท่ี n จะเป็น dny หรอื f(n)(x) dx n แต่อันดับทห่ี นึ่ง สอง และสาม นิยมใชเ้ คร่อื งหมายขดี เปน็ f′(x), f′′(x), f′′′(x) - อนพุ ันธอ์ นั ดับท่ีหน่งึ คอื f′(x) นน้ั คือ ความชนั (อตั ราการเปลย่ี นแปลงของคา่ y) สว่ น อนพุ ันธอ์ ันดับทสี่ อง คือ f′′(x) จะกลายเปน็ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน” 6. ฟังก์ชันเพมิ่ คอื ความชนั เปน็ บวก ฟังกช์ นั ลดคอื ความชนั เป็นลบ ดงั นั้น ช่วงท่ี f′(x) > 0 เป็นฟงั ก์ชนั เพิ่ม และช่วงท่ี f′(x) < 0 เปน็ ฟงั กช์ ันลด - เนื่องจากตาํ แหนง่ ทฟ่ี งั ก์ชันจะเปลีย่ นจากเพมิ่ ไปลด หรอื จากลดไปเพิ่ม จะตอ้ งมกี ารวกกลับของ กราฟและทําให้เกดิ จุดยอด สามารถหาโดย f′(x) = 0 ... ค่า x ณ จดุ นั้นเรียกวา่ ค่าวิกฤต - ตาํ แหนง่ ที่ f′(x) = 0 นน้ั อาจไมใ่ ช่จดุ สูงสุดหรือตาํ่ สุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า สามารถพิจารณาใหล้ ะเอียดไดจ้ ากอตั ราการเปลย่ี นแปลงของความชนั หรอื f′′(x) หาก f′′(x) > 0 แสดงวา่ ความชนั เปล่ียนจากลดไปเพ่มิ เกดิ จุดต่ําสุด หาก f′′(x) < 0 แสดงว่าความชันเปลีย่ นจากเพิ่มไปลด เกดิ จดุ สูงสุด หาก f′′(x) = 0 เปน็ เพียงจดุ เปลีย่ นเว้า ไม่ใชจ่ ุดสงู สดุ ตํา่ สุด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 648 ฉบบั เขม ขน 7. ฟงั กช์ ันหนงึ่ ๆ หากมีการวกกลบั ของกราฟ ณ จดุ ใด ก็จะเรยี กจดุ น้นั วา่ จุดสดุ ขีดสัมพัทธ์ (มไี ด้ หลายจดุ ) และหากจุดใดมีคา่ ฟังกช์ ันมากท่ีสุดหรอื นอ้ ยที่สดุ ของกราฟแลว้ จะเรยี กจุดนน้ั วา่ จดุ สุดขีด สมั บรู ณ์ดว้ ย (สงู สุดกับตํา่ สุด มไี ดอ้ ย่างละ 1 จุด) 8. เราใชค้ วามรู้เร่ืองค่าสงู สุดต่ําสุดของฟงั ก์ชนั ในการคาํ นวณโจทย์ปัญหาที่เปน็ เหตุการณ์จรงิ เชน่ มฟี ังกช์ ันกําไร P(x) แล้วหาคา่ x ท่ที าํ ใหไ้ ด้กําไรมากทส่ี ดุ ... หลกั ในการสร้างสมการคอื ต้องเป็น การคาํ นวณหาค่า x ท่ีทําใหเ้ กดิ y สงู สุดหรอื ต่าํ สุด แล้วเอาสมการน้นั มาคิด dy = 0 dx 9. การอินทเิ กรต คอื การกระทําท่ตี รงข้ามกบั กระบวนการหาอนุพนั ธ์ นั่นคือ ถา้ d F (x) = f (x) แล้ว จะได้วา่ ∫ f (x) dx = F (x) dx สญั ลกั ษณ์ ∫ เรยี กวา่ เคร่อื งหมายอนิ ทกิ รลั และเรยี ก f (x) ว่าตวั ถกู อินทิเกรต 10. สิง่ ท่หี าอนพุ นั ธไ์ ดต้ รงตามคา่ ทีต่ ้องการ จะเรยี กว่าปฏิยานพุ ันธ์ ท้งั หมด ตัวอย่างเช่น F1(x) = x2 , F2(x) = x2+1, F3(x) = x2+5 , F4(x) = x2−7 ตา่ งก็เปน็ ปฏยิ านุพันธ์ของ f (x) = 2x เนือ่ งจากลว้ นทาํ ให้ d F(x) = f (x) dx - รปู ทัว่ ไปของปฏยิ านุพนั ธ์ของ f (x) = 2x คอื x2+c เมอื่ c เป็นคา่ คงทใ่ี ดๆ เรียกวา่ อินทิกรัลไมจ่ าํ กัดเขต ของ f (x) และเขยี นสญั ลักษณ์เป็น ∫ f (x)dx - ปฏยิ านพุ นั ธม์ ไี ด้หลากหลาย แตอ่ นิ ทกิ รลั ไม่จํากดั เขตมีแบบเดียวเสมอ 11. สตู รในการหาอินทิกรัล • ∫ x n dx = xn+1 + c • ∫ k dx = kx+c n+1 • ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx • ∫ [f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx 12. อนิ ทกิ รัลจาํ กัดเขต จะมีการระบชุ ่วงของ x ทเ่ี ครอื่ งหมายอนิ ทิกรัล ดงั สัญลักษณ์ a ∫b f (x) dx ∫โดยมคี ่าเป็น b = F (x) b = F (b) − F (a) a a f (x) dx - ค่าของอนิ ทกิ รัลจํากดั เขตท่ีคํานวณได้ ก็คอื พืน้ ที่ระหวา่ งโคง้ f (x) กบั แกน x ต้งั แต่ x = a จนถึง b โดยหากส่วนใดของโค้งนั้นอย่ใู ต้แกนกจ็ ะได้พืน้ ทีเ่ ป็นคา่ ลบ - หากเราต้องการหาพืน้ ท่ีระหว่างโค้ง f (x) กับแกน x ที่แทจ้ ริง จะต้องตรวจสอบวา่ มีช่วงใดของ โคง้ ที่อย่ใู ตแ้ กน x ก่อน เพ่อื แยกช้ินส่วนในการคํานวณ ไม่ให้พน้ื ท่ีบรเิ วณใดมคี ่าตดิ ลบ ความนา่ จะเป็น 1. กฎพนื้ ฐานเก่ยี วกับการนบั - จากแผนภาพตน้ ไม้ ทําให้เราทราบว่า ในการทํางาน k ขน้ั ตอน โดยท่งี านแตล่ ะข้นั ตอนมี ทางเลือกทาํ ได้ ni แบบ จะมีจํานวนวิธเี ลอื กทํางานจนเสร็จสิ้น เทา่ กับ n1 × n2 × ... × nk วิธี (เอาจาํ นวนแบบมาคูณกัน) - ถ้าการนบั จาํ เปน็ ตอ้ งแยกคดิ หลายกรณี จะตอ้ งนําผลคณู ท่ีไดใ้ นแตล่ ะกรณีมาบวกกัน 2. เครอ่ื งหมาย ! เรยี กวา่ แฟคทอเรียล มนี ิยามว่า n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 เมอื่ n เป็นจํานวนนบั ... และกาํ หนดให้ 0! = 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 649 ฉบบั เขม ขน 3. จาํ นวนวธิ เี รียงสับเปลยี่ นสิง่ ของต่างๆ กนั n สงิ่ จะมี n! วธิ ี แต่ถา้ เอามาเรยี งเพยี งแค่ r สง่ิ จะมี n! วธิ ี (n−r)! - จาํ นวนวธิ เี รียงสับเปลี่ยนส่งิ ของท้ังหมด n ส่ิง ซ่งึ มสี ิ่งของซ้าํ กนั k1 ส่งิ , k2 ส่งิ , ... จะเรียงได้ n! วธิ ี k1 ! ⋅ k2 ! ⋅ ... 4. จํานวนวิธเี รียงสบั เปลย่ี นส่งิ ของตา่ งๆ กนั n สง่ิ เปน็ รูปวงกลม ใหค้ ดิ วา่ ระบตุ าํ แหน่งเจาะจงกอ่ น 1 สงิ่ แล้วที่เหลือจงึ จัดแบบเส้นตรงปกติ นนั่ คอื (n−1)! วธิ ี - หากการจดั น้ีสามารถมองไดส้ องดา้ น เชน่ รอ้ ยมาลัย จํานวนวิธจี ะลดลงเหลอื (n−1)! วธิ ี 2 5. วธิ ีจดั หมู่ ตา่ งจากเรยี งสับเปล่ียน ตรงทจ่ี ะไม่คาํ นึงถงึ ลําดบั ก่อนหลัง - จาํ นวนวิธจี ดั หมู่สิ่งของต่างๆ กนั n สง่ิ โดยที่คัดออกมา r ส่ิง จะมี n! วธิ ี (n−r)! ⋅ r ! นยิ มเขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ ⎛n⎞ อ่านวา่ “n เลือก r” ⎜ ⎟ ⎝ r ⎠ 6. การแบง่ ของออกเป็นกลุม่ ย่อยๆ - จากการหยบิ ของ 5 ช้ิน ออกจากกองท่มี ี 12 ชน้ิ ก็เหมอื นการแบ่งแยกของออกเปน็ สองกล่มุ 5 แบง่ กลมุ่ ได้ 12! วธิ ี กลมุ่ ละ 5 และ 7 ช้ิน จึงไดส้ ูตรวา่ 12 7 5!⋅ 7! 5 ดงั น้นั ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ชน้ิ เป็นสามกอง ดังน้ี 12 4 ก็จะมีจาํ นวนวิธเี ปน็ 12! วิธี (พสิ จู นไ์ ด้จาก ⎜)⎛12⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛3⎞⎟ ⎜ ⎟ 32 ⎝ 5 ⎠ ⎜ 4 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎠ 2 5!⋅ 4!⋅ 3! ⎝ - ถ้ามกี องใดทีจ่ าํ นวนเท่ากัน และถอื วา่ การสลบั ทีไ่ มท่ ําใหแ้ ตกตา่ งกัน จาํ นวนวธิ จี ะตอ้ งลดลง โดยคดิ เชน่ เดียวกบั การสบั เปลีย่ น เช่น การแบง่ 12 2 จะได้ 12! วิธี 1 (2 !)3 ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 ! 5 (3! ทเี่ พ่มิ เข้ามา เน่ืองจากมี 3 กองทีส่ ลับกนั เองไมม่ คี วามหมาย จํานวนวธิ ีจงึ ต้องลดลง) 7. เทคนคิ การนับ - บางครง้ั ถ้าพบว่าจํานวนกรณมี ีมาก ควรลองคดิ มมุ กลบั คอื ใชว้ ธิ ีท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมดลบดว้ ยวิธที ไี่ ม่ ตอ้ งการ แบบนอี้ าจช่วยให้คาํ นวณง่ายขึน้ เชน่ หยิบลกู บอล 4 ลกู ใหไ้ ดส้ ีขาวอยา่ งน้อย 1 ลกู พบว่า ตอ้ งบวกกันหลายกรณมี าก แต่ถ้าใช้วธิ ลี บออกจะคิดเพียงแค่ วธิ ที ัง้ หมด ลบดว้ ยวิธีที่ไม่ได้สีขาวเลย - ถ้าตอ้ งนบั เหตุการณท์ มี่ ีคําว่า “หรือ” ห้ามนําจํานวนวธิ ีแต่ละสว่ นมาบวกกันแลว้ ตอบเลยทันที เพราะมักจะมกี ารนับซํ้าซอ้ นเกดิ ขึ้น ควรใช้หลักการในเรื่องเซต คือ “เกิด A หรือ B” คดิ จาก “เกิด A” บวกด้วย “เกดิ B” และลบดว้ ย “เกดิ ทัง้ A และ B” แบบนีจ้ ึงจะถกู ต้อง - การนบั เหตกุ ารณท์ ม่ี ีคําว่า “หรอื ” สามารถคดิ แบบลบออกไดด้ ้วย คือ “เกดิ A หรอื B” คิดจาก วิธีทง้ั หมด ลบด้วยส่ิงที่ตรงกนั ขา้ มคอื “ไมเ่ กิดทัง้ A และ B” แบบนค้ี ิดงา่ ยข้ึนเพราะเปน็ การเปลยี่ น คาํ วา่ “หรือ” ใหก้ ลายเปน็ “และ” 1 8. ทฤษฎบี ททวนิ าม (a + b)0 = 1 11 (a + b)1 = a + b 121 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 13 31 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 146 41 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 650 ฉบบั เขม ขน - ทฤษฎีบททวนิ าม คือ ทฤษฎที ีก่ ล่าวถงึ การกระจายทวินาม (a + b)n เมอ่ื a และ b เปน็ จํานวนจริง, n และ r เป็นจาํ นวนนบั โดย 0 < r < n จะไดว้ ่า (a + b)n = ⎛ n⎞ anb0 + ⎛n⎞ an − 1b1 + ⎛ n ⎞ an − 2b2 + ... + ⎛n⎞ a0bn ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜⎝n⎟⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎠ - พจนท์ ่ี r+1 เป็นพจน์ทัว่ ไป Tr + 1 = ⎛ n ⎞ an − rbr เรยี ก ⎛n⎞ ใดๆ ว่าสมั ประสทิ ธ์ทิ วนิ าม ⎜ r ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ r ⎠ - จํานวนพจนท์ งั้ หมดจะมี n+1 พจน์ คอื เร่ิมจาก ⎛n⎞ ถงึ ⎛n⎞ ⎝⎜ 0 ⎠⎟ ⎜ n⎟⎠ ⎝ กาํ ลังของ a คอ่ ยๆ ลดลง ในขณะทีก่ ําลังของ b เพิ่มขึน้ และนาํ กาํ ลังมารวมกันจะได้ n เสมอ - สมั ประสิทธท์ิ วินาม อาจไมใ่ ช่สมั ประสิทธ์ิของพจนน์ ้ัน (หากใน a หรอื b มีสัมประสทิ ธิ์อีก) - สตู ร ⎛n⎞ + ⎛n⎞ + ⎛n⎞ + ... + ⎛n⎞ = 2n ดังเช่นเคยพบตอนทหี่ าจํานวนสับเซต ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜2 ⎟ ⎜ n⎠⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎝ 9. การทดลองสุม่ คือการกระทําที่เราไมส่ ามารถบอกได้วา่ แต่ละครง้ั จะเกดิ ผลลัพธ์อะไร แต่สามารถ บอกได้ว่ามผี ลลัพธ์อะไรบ้างที่เปน็ ไปได้ ... เซตของ “ผลลพั ธ์ที่เป็นไปได้ท้ังหมด” เรยี กว่า ปริภมู ิ ตัวอย่าง (S) และเซตของ “ผลลพั ธ์ใดๆ ทเ่ี ราสนใจ” เรียกวา่ เหตกุ ารณ์ (E) 10. ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ หาไดเ้ ฉพาะเหตุการณ์ทเี่ ป็นการทดลองสุ่มเท่าน้นั - ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ A ใช้สัญลกั ษณ์ P(A) ... คาํ นวณจาก P(A) = n(A) n (S) เม่ือ n(A) คือจาํ นวนผลลพั ธ์ใน A และ n(S) คือจาํ นวนผลลพั ธ์ท้งั หมดทเ่ี ป็นไปได้ 11. ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ใดๆ มคี ่าอยู่ในชว่ ง 0 ถงึ 1 เทา่ น้นั 0 < P(A) < 1 - ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ี่ไมม่ ีผลลัพธ์เลย มีค่าเปน็ 0 P (∅) = 0 - ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ทีม่ ีผลลพั ธไ์ ด้ทุกแบบ มคี า่ เป็น 1 P(S) = 1 12. ความหมายของ A ∩ B คอื เหตกุ ารณ์ “A และ B” (เกดิ ขึ้นท้ังสองอยา่ ง) A ∪ B คอื เหตุการณ์ “A หรอื B” (เกดิ ข้นึ อยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ หรือทั้งสองอยา่ ง) จะใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ชว่ ยคาํ นวณ ดังนี้ - ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่เี ราสนใจ รวมกบั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทเ่ี หลือ (ทีเ่ ราไม่สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P (A) = 1 − P (A ') - ความน่าจะเปน็ ของสองเหตุการณ์ หาได้จาก P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) สถติ ิ 1. สถติ ศิ าสตร์ คือวชิ าท่เี กีย่ วกบั การเก็บรวบรวมและวิเคราะห์ขอ้ มลู - การเกบ็ รวบรวมต้องเลอื กวธิ ีใหเ้ หมาะสม เช่น ลงทะเบยี น, สัมภาษณ์, วัดคา่ , ทดลอง - การวิเคราะหม์ ี 2 ระดบั ได้แก่ วิเคราะห์ขนั้ ตน้ เรียกว่า สถติ ิเชงิ พรรณนา (เช่น การหาคา่ กลาง คา่ การกระจาย การจดั กลุ่มข้อมลู เป็นตาราง เป็นแผนภาพ กราฟ ฯลฯ) และวเิ คราะหข์ ้ันสูง เรยี กว่า สถิตเิ ชงิ อนุมาน (เช่น การทาํ นายหรอื ประมาณคา่ การวิเคราะหค์ วามสมั พันธ์เชงิ ฟังกช์ นั ฯลฯ) 2. ลกั ษณะขอ้ มูล มขี อ้ มูลเชงิ คณุ ภาพ กบั ข้อมลู เชิงปริมาณ - ข้อมลู เชงิ คุณภาพ เปน็ คา่ ที่ไม่ได้บ่งบอกถงึ ความมากน้อย เปรยี บเทียบกนั ไม่ได้ เช่น เลขท่ี เพศ - ข้อมูลเชงิ ปรมิ าณ เปน็ ค่าท่บี ่งบอกความมากน้อย เปรียบเทยี บได้ เชน่ อายุ สว่ นสูง คะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)