MATH ebook

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 651 ฉบับเขม ขน 3. ประเภทขอ้ มลู แบง่ ตามแหลง่ ท่มี า - ขอ้ มลู ปฐมภูมิ ไดจ้ ากการรวบรวมเอง ซงึ่ จะทาํ ได้ 2 ระดับ คอื ระดบั ตวั อยา่ ง (เรยี กว่าการสาํ รวจ ตวั อยา่ ง) และระดบั ประชากร (เรียกว่าการสํามะโน) - ข้อมลู ทตุ ิยภมู ิ มผี ูร้ วบรวมไว้แลว้ เช่นขอ้ มูลในเอกสารราชการ รายงาน นติ ยสารตา่ งๆ 4. การแจกแจงความถข่ี องข้อมูล คือการจดั ขอ้ มลู ทม่ี อี ยู่ ให้เป็นกลมุ่ ๆ เพอื่ ความสะดวกในการ วิเคราะห์ และจัดเกบ็ โดยดาํ เนินการดงั นี้ - แบง่ คา่ ข้อมูลที่เป็นไปได้ออกเป็นชว่ งๆ ตามทีต่ ้องการ เรียกแต่ละช่วงวา่ อันตรภาคชน้ั - พิจารณาว่าข้อมูลท่ีมนี นั้ มคี ่าอยใู่ นแต่ละช่วงเป็นปริมาณเท่าใด เรียกปริมาณข้อมูลแตล่ ะชว่ งว่า ความถ่ี 5. นิยมเขยี นอันตรภาคชั้นและความถขี่ องแต่ละชนั้ ในรปู ตาราง โดยกาํ หนดความกว้างแต่ละชนั้ เทา่ ๆ กนั (แต่อนั ตรภาคชัน้ บนสดุ หรอื ล่างสุดอาจเป็น อันตรภาคชน้ั เปดิ กไ็ ด้ เช่น “มากกวา่ 80”) - ค่าขอบลา่ ง และขอบบน คอื ค่าก่งึ กลางระหวา่ งรอยตอ่ อันตรภาคชั้น - ความกวา้ งอันตรภาคช้ัน หาได้จาก ผลตา่ งของขอบบนและขอบลา่ งของชั้นน้ัน 6. ความถ่ีสะสม คือ “ผลรวมความถ่ีชนั้ นัน้ กบั ความถชี่ ั้นทม่ี ีค่าขอ้ มลู ตาํ่ กว่าทั้งหมด” - ความถ่ีสัมพัทธ์ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ คอื อัตราสว่ นความถหี่ รือความถีส่ ะสม เทยี บกับความถ่ี รวม (N) ดงั นั้นความถี่สมั พทั ธ์รวมต้องได้ 1 เสมอ และความถีส่ ะสมสัมพทั ธ์ของชน้ั สูงสดุ ก็ตอ้ งเปน็ 1 เชน่ กนั - บางครัง้ ใช้เปน็ หนว่ ยรอ้ ยละ โดยแตล่ ะชน้ั คณู ด้วย 100 เพอื่ ปรับผลรวมความถ่จี าก 1 เป็น 100 7. ฮสิ โทแกรม คือแผนภูมิแทง่ สเี่ หลี่ยมวางเรยี งติดกัน โดยใหแ้ กนนอนแทนคา่ ข้อมูล x (เขียนกาํ กบั ด้วยขอบบนขอบล่างของชนั้ หรือด้วยจดุ ก่ึงกลางชนั้ กไ็ ด้) และแกนต้งั แทนค่าความถ่ี f ความสูงของ แท่งสี่เหลีย่ มจะแปรตามความถ่ีของชน้ั นนั้ ๆ - รปู หลายเหล่ียมของความถ่ี คอื รปู ทีเ่ กิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดก่ึงกลางยอดแท่งสี่เหลีย่ ม ของฮสิ โทแกรมแต่ละแท่ง (โดยลากเสน้ ตรงไปบรรจบ 0 ท่กี ึง่ กลางช้ันกอ่ นหนา้ และหลังสุดของทม่ี อี ยู่ เพื่อใหก้ ลายเป็นรูปปดิ ซง่ึ มีพื้นท่เี ท่าฮิสโทแกรมเดมิ ) - เสน้ โคง้ ของความถี่ คอื รูปท่เี กดิ จากการปรับเส้นตรงในรปู หลายเหล่ยี มของความถ่ี ให้เป็นเส้นโคง้ (โดยพยายามให้มพี น้ื ทใ่ี กล้เคียงเดมิ ที่สดุ ) ลักษณะท่ัวไปของเสน้ โค้งมี 3 แบบ (รายละเอยี ดอยู่ในข้อ ที่ 30.) 8. แผนภาพต้น-ใบ ใชจ้ ัดขอ้ มูลใหเ้ ปน็ กลุ่มเพ่ือเห็นลักษณะคร่าวๆ ไดผ้ ลดีกว่าตารางและฮิสโทแกรม เพราะข้อมลู ดบิ แต่ละคา่ ไม่สูญหายไป ... วิธเี ขยี นคือตัดหลกั ข้อมลู ออกเป็นสองกลมุ่ แลว้ นํากลุม่ หน้า มาเรยี งไว้เป็นลําตน้ ในแนวต้ัง จากน้ันจึงนําหลกั ท่ีเหลอื เขยี นต่อท้ายในบรรทดั เดียวกนั (เป็นใบ) - สง่ิ ทว่ี ิเคราะหไ์ ดจ้ ากแผนภาพตน้ -ใบ เชน่ ชว่ งใดมคี วามถ่ีมากทสี่ ดุ , ขอ้ มูลท่ีตํ่าท่ีสดุ สูงท่สี ดุ และ ตรงกลางเป็นเท่าใด, และใชเ้ ปรียบเทียบระหวา่ งข้อมลู 2 ชุดได้ด้วย 9. ค่ากลางของขอ้ มลู เปน็ ตวั เลขที่ใชแ้ ทนข้อมลู x1, x2, x3, ..., xN ท้งั หมด ชว่ ยใหว้ เิ คราะห์ข้อมลู ได้ ครา่ วๆ ซึง่ ค่ากลางทีน่ ิยมใช้ มี 3 ชนดิ ไดแ้ ก่ คา่ เฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ ม (ค่ากลางทไี่ ดจ้ ะมีหนว่ ยเดยี วกับขอ้ มลู และมีคา่ อยู่ระหว่างข้อมูลตวั ทน่ี ้อยทสี่ ดุ กบั มากที่สดุ เสมอ) แจกแจง ยังไม่ ลกั ษณะข้อมูล ค่าเฉล่ยี เลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม แล้ว แจกแจง - ขอ้ มลู เชิงคุณภาพ ---- ---- ใชไ้ ดด้ ีมาก! - เกาะกล่มุ กันปกติ ใช้ได้ดีมาก! พอไหว พอไหว - บางคา่ ต่างไปจนผิดปกติ ---- ใชไ้ ด้ดีมาก! พอไหว - ทุกช้นั กว้างเทา่ กนั ใชไ้ ด้ดีมาก! พอไหว พอไหว - มีอนั ตรภาคชน้ั เปิด ---- ใช้ไดด้ ีมาก! พอไหว - บางชัน้ กวา้ งไม่เทา่ กนั ---- ใชไ้ ดด้ ีมาก! ---- Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 652 ฉบบั เขมขน 10. คา่ เฉล่ียเลขคณิต ( X ) - เป็นคา่ กลางท่ีให้ความสําคัญกับคา่ ของขอ้ มลู โดยตรง จึงเหมาะกับชุดขอ้ มลู ที่มคี า่ ใกล้เคียงกันทุก ค่า ไม่มีคา่ ใดสูงหรือตา่ํ ผดิ ปกตไิ ปจากคา่ อน่ื ๆ (มฉิ ะนั้นค่าท่ไี ดจ้ ะไม่มีคณุ ภาพ) - ขอ้ มลู ท่ียงั ไม่แจกแจงความถ่ี X = ∑ x ... คิดแบบถว่ งน้าํ หนกั X = ∑ wx N ∑w - ข้อมลู ทแี่ จกแจงความถี่แล้ว (ใช้ความถเ่ี ป็นนํ้าหนัก) X = ∑ fx = ∑ fx ∑f N - สตู รลดทอน ของข้อมูลทแี่ จกแจงความถ่แี ลว้ X = a + I D เม่ือ D = ∑ fd N (a คอื กึง่ กลางของชั้นใดกไ็ ดท้ ี่เลอื ก, I คอื ความกว้างช้ัน (เทา่ กันทกุ ชัน้ ), di เปน็ จาํ นวนเต็ม โดยให้ช้นั ทมี่ ีค่า a น้นั เป็น d = 0 และชั้นท่ีมขี ้อมูลนอ้ ยลง d = −1, −2, ... ส่วน ช้นั ทีข่ อ้ มูลสงู ข้ึน d = 1, 2, ... ไม่วา่ จะเลือกช้ันใดกค็ ํานวณไดค้ ําตอบเท่ากัน) - ค่าเฉล่ยี เลขคณิตรวมของข้อมลู หลายชุด Xรวม = (∑ x)รวม = ∑ NX Nรวม ∑N (อาจมองว่า เป็นการนําค่าเฉลยี่ ของแตล่ ะชุดมาถ่วงนํ้าหนักด้วยจํานวนขอ้ มูล) 11. มัธยฐาน (Med) - คือค่าท่มี ีตาํ แหนง่ อยูก่ ่ึงกลางของข้อมลู ท้ังหมด (เม่อื เรียงลําดับมากน้อยของขอ้ มูลแลว้ ) - เปน็ คา่ กลางทีใ่ ห้ความสําคัญกับลําดบั ขอ้ มูล (บอกวา่ มขี ้อมลู ท่มี ีคา่ มากกว่าน้ีและน้อยกว่าน้ี อยู่ เป็นปริมาณเทา่ กัน) จึงยังคงใชไ้ ด้ดกี ับข้อมลู ชุดทม่ี ีบางคา่ สงู หรอื ตํา่ กวา่ คา่ อนื่ อย่างผดิ ปกติ - ข้อมูลที่ยังไมแ่ จกแจงความถี่ Med คือขอ้ มลู ในตาํ แหนง่ ท่ี (N+1)/2 (ตําแหน่งกึ่งกลาง) (ข้อควรระวงั คอื (N+1)/2 นน้ั เป็นเพยี งตําแหนง่ ของ Med ..ยงั ไม่ใช่ค่าของ Med) - ข้อมูลทแี่ จกแจงความถแี่ ล้ว Med = L + I ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ ⎜ fMed ⎟ ⎝ ⎠ (ใช้ N/2 เลยโดยไมต่ อ้ งบวกหนงึ่ ... L คอื ขอบล่างชั้นทมี่ มี ัธยฐานอยู่ (ตวั ท่ี N/2) ซึ่งชน้ั น้ันมีความ กวา้ ง I และมคี วามถ่เี ปน็ fMed ... ส่วน ∑ fL คอื ความถ่สี ะสมจนถงึ ขอบลา่ ง) 12. ฐานนิยม (Mo) - คือคา่ ขอ้ มูลตวั ทปี่ รากฏบ่อยครัง้ ท่ีสดุ (มีความถส่ี งู ทีส่ ุด) โดยทัว่ ไปจะมีได้ไมเ่ กิน 2 คา่ - เปน็ คา่ กลางท่ีใหค้ วามสําคญั กบั ความถี่ของข้อมลู เหมาะกับข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ เชน่ การเลือกต้ัง - ขอ้ มูลที่แจกแจงความถี่แล้ว Mo = L + I ⎛ d1 d1 d2 ⎞ ⎜⎝ + ⎟⎠ (L คอื ขอบลา่ งชัน้ ท่มี ฐี านนยิ มอยู่ (ช้นั ที่ความถ่ีสูงสดุ ) ซ่ึงทุกๆ ช้ันมีความกว้าง I d1 คอื ผลตา่ งความถ่ีท่ีขอบล่าง, d2 คือผลตา่ งความถ่ที ี่ขอบบน) 13. สามารถหาคา่ มัธยฐานได้จากเส้นโคง้ ของความถีส่ ะสม และหาฐานนยิ มไดจ้ ากฮิสโทแกรม cf (ความถส่ี ะสม) การหาค่ามธั ยฐานจาก f (ความถ)่ี การหาคา่ ฐานนยิ มจากฮสิ โทแกรม N เสน้ โคง้ ของความถ่สี ะสม N/2 O Med xO Mo x 14. สมบตั ขิ องคา่ เฉลี่ยเลขคณิต ∑ (x − X) = 0 เสมอ และ ∑ (x − K)2 จะนอ้ ยที่สดุ ก็เมอ่ื K = X Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 653 ฉบับเขมขน 15. สมบัตขิ องมธั ยฐาน ∑|x − K| จะนอ้ ยทส่ี ุด กเ็ มือ่ K = Med 16. สมบัตขิ องคา่ กลางทง้ั 3 ชนิด ถ้าขอ้ มูลชดุ Y ทุกๆ ตัว สมั พันธ์กับข้อมูลชดุ X แตล่ ะตัว ตามสมการ Yi = m Xi + c จะไดว้ า่ (คา่ กลางของ Y ) = m ⋅ (ค่ากลางของ X ) + c ดว้ ย เช่น Y = m X + c 17. การวดั ตําแหนง่ ของข้อมลู - มธั ยฐาน เปน็ คา่ ข้อมูลในตําแหน่งกึ่งกลางเมอื่ ถกู เรยี งลําดับแล้ว บอกให้ทราบวา่ มีขอ้ มูลทีค่ ่าสูง กว่านี้ และค่าตาํ่ กวา่ น้ี อย่เู ปน็ ปริมาณเท่าๆ กัน (แบ่งขอ้ มูลเป็น 2 สว่ น) - ถา้ เราแบ่งข้อมลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆ กนั จดุ แบ่งทัง้ สามจดุ นนั้ จะเรยี กว่าควอร์ไทล์ที่ 1 ( Q1 ), ควอรไ์ ทล์ที่ 2 ( Q2 ), และควอร์ไทลท์ ี่ 3 ( Q3 ) ตามลําดับ ความหมายของควอร์ไทล์ที่ 1 คือมขี อ้ มูล ท่ีต่ํากวา่ ค่าน้อี ยเู่ ปน็ ปริมาณ 1/4 และมากกวา่ ค่าน้อี ยู่อกี 3/4 โดยประมาณ - เดไซล์ (D) แทนการแบง่ ขอ้ มูลเปน็ 10 ส่วน และ เปอร์เซ็นไทล์ (P) แทนการแบง่ ขอ้ มูลเปน็ 100 ส่วน ... การคาํ นวณหาคา่ ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ทตี่ อ้ งการ เปน็ แบบเดียวกับการ คํานวณหามัธยฐาน น่ันคือ - ขอ้ มูลท่ียังไม่แจกแจงความถี่ Qr คอื ข้อมลู ในตาํ แหนง่ ที่ r (N + 1) Dr คอื ขอ้ มลู ในตาํ แหนง่ ที่ r (N + 1) 4 10 Pr คือขอ้ มลู ในตาํ แหน่งท่ี r (N + 1) 100 - ขอ้ มูลที่แจกแจงความถแี่ ล้ว Qr = L + I ⎛ r N − ∑ fL ⎞ Dr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ ⎜ 4 fQr ⎟ ⎜ 10 fDr ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ (ใช้ r N, r N, r N ไดเ้ ลยโดยไม่ต้องบวกหน่ึง) ⎜ 100 fPr ⎟ 4 10 100 ⎜ ⎟ cf (ความถส่ี ะสม) ⎝ ⎠ - สามารถหาค่าไดจ้ ากเสน้ โค้งของความถ่สี ะสม N ด้วยเช่นกัน ภาพดา้ นขวาเปน็ ตวั อยา่ งการหาคา่ 3N/4 ควอรไ์ ทล์ท่ี 1, 2, และ 3 จากกราฟ 2N/4 N/4 18. คา่ การกระจายของขอ้ มูล O Q1 Q2 Q3 x (ขอ้ มูล) - ค่ากลางของขอ้ มูลน้ันไมส่ ามารถบอกลักษณะขอ้ มลู ได้อยา่ งสมบูรณ์ ควรใชค้ า่ การกระจายควบคู่ กันด้วย ... คา่ การกระจายมาก แสดงวา่ ขอ้ มูลแตกตา่ งกนั ไมเ่ กาะกลุ่มกัน - การวัดการกระจายแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การกระจายสมั บูรณ์ ซ่ึงใช้สําหรับขอ้ มลู ชุดนัน้ เพียง ชดุ เดียว และการกระจายสัมพัทธ์ ซึง่ ใชเ้ ปรียบเทียบการกระจายระหว่างขอ้ มูลสองชุด - คา่ การกระจายจะต้องเปน็ บวกหรอื ศนู ยเ์ สมอ (เป็นศูนยเ์ มอื่ ขอ้ มูลทุกคา่ เหมอื นกันหมด) - การกระจายสมั บรู ณท์ นี่ ิยมใช้ มี 4 แบบ คือ พิสัย, QD, MD, และ SD 19. พสิ ยั - เป็นค่าทวี่ ดั ไดร้ วดเร็ว แตจ่ ะมขี อ้ ผดิ พลาดมากหากข้อมลู บางจาํ นวนมีค่าสงู เกนิ ไป หรือต่าํ เกนิ ไป แบบผดิ ปกติ จึงเหมาะกบั การวัดโดยคร่าวๆ ที่ไมต่ ้องการความแมน่ ยํามากนัก - ขอ้ มูลที่ยังไมแ่ จกแจงความถี่ ... พสิ ยั = xmax − xmin - ข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถ่แี ล้ว ... พิสยั = Umax − Lmin Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 654 ฉบบั เขม ขน 20. ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ (QD) ... บางครงั้ เรียกว่า กึ่งชว่ งควอร์ไทล์ - การวดั ทไ่ี ด้จะไม่ละเอยี ดนัก เพราะใชเ้ พยี งข้อมูลที่ใกล้เคียงกับควอร์ไทลท์ ่ี 1 และ 3 เทา่ นนั้ แต่ ก็มสี ว่ นดเี นือ่ งจากใช้ได้กบั การแจกแจงความถ่ที ีม่ ีอันตรภาคช้นั เปิด และใชไ้ ด้กบั ข้อมลู ชดุ ที่มีบาง จาํ นวนคา่ สูงหรือต่าํ เกนิ ไปแบบผดิ ปกติ - ข้อมูลใดๆ ... QD = Q3 − Q1 2 21. ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ย (MD) - เปน็ ค่าทวี่ ดั ไดล้ ะเอยี ดกว่าสองแบบแรกเพราะคํานวณจากขอ้ มูลทกุ ตัว แต่มีข้อเสยี ที่การคาํ นวณ ยงุ่ ยากกวา่ - ขอ้ มูลที่ยงั ไมแ่ จกแจงความถี่ ... MD = ∑ |x − X| N 22. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( SD หรือ s ) - เปน็ คา่ ทนี่ ยิ มใชม้ ากท่สี ุด เน่ืองจากมคี วามละเอยี ด เชื่อถอื ได้ สามารถคาํ นวณไดง้ า่ ยกวา่ ส่วน เบ่ยี งเบนเฉล่ยี (โดยใชส้ ตู รท่ีจดั รูปแล้ว) และนาํ ไปใช้ในการวิเคราะหข์ ้อมลู ข้ันสงู ได้ - ขอ้ มูลท่ียงั ไม่แจกแจงความถี่ ... s = ∑ (x − X)2 ... จัดรูปไดว้ า่ s = ∑ x2 − X2 NN - ค่า s2 เรยี กว่าความแปรปรวน 23. สมบตั ขิ องคา่ การกระจายสัมบูรณ์ - ถ้าข้อมลู ชดุ Y ทกุ ๆ ตัว สมั พันธก์ บั ข้อมูลชดุ X แตล่ ะตัว ตามสมการ Yi = m Xi + c จะได้วา่ คา่ การกระจายของขอ้ มลู ชุด Y เปน็ m เทา่ ของชดุ X (คา่ กลาง ถูกกระทบทัง้ การบวกและคูณ แต่ ค่าการกระจาย ถกู กระทบเฉพาะการคูณ) 24. สมบตั ิของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน - ค่าของ M = ∑ (x − K)2 นนั้ จะน้อยที่สดุ กเ็ ม่อื M = SD (เพราะ K = X ) N 25. การกระจายสมั พัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณไดจ้ ากการกระจายสัมบรู ณ์ โดยใชค้ ําว่า “สัมประสทิ ธิ์ ของ...” นําหน้า ไดแ้ ก่ - สมั ประสิทธิข์ องพิสยั = xmax − xmin xmax + xmin - สมั ประสทิ ธ์ิของสว่ นเบีย่ งเบนควอรไ์ ทล์ = Q3 − Q1 Q3 + Q1 - สัมประสิทธิข์ องสว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี = MD X - สมั ประสิทธิข์ องส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน = s ... นิยมเรยี กวา่ สัมประสทิ ธกิ์ ารแปรผนั X 26. คา่ กลาง และคา่ การกระจายสัมบูรณ์ มีหนว่ ยอยา่ งเดียวกับข้อมลู - ความแปรปรวน มหี น่วยเหมือนขอ้ มูลยกกําลังสอง - คา่ การกระจายสมั พัทธ์ ไมม่ หี นว่ ย 27. แผนภาพกลอ่ ง ช่วยให้มองการกระจายของขอ้ มลู ในแตล่ ะส่วนย่อยๆ ได้ ... เขยี นโดยอาศัย ขอ้ มูลตาํ่ สุด, ขอ้ มูลสงู สุด, และขอ้ มลู ในตําแหน่งควอรไ์ ทลท์ ี่ 1, 2, 3 ประกอบกันบนเส้นจาํ นวน ทํา ให้วิเคราะห์ได้ว่าขอ้ มูลในช่วงใด (ในบรรดา 4 ช่วง) ที่มีการกระจายมากกว่ากนั สมมติ xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 , และ xmax = 52 จะไดแ้ ผนภาพดังรูป เรยี กช่วง (Q1 , Q2) และ (Q2 , Q3) ว่า กล่อง เรยี กช่วง (xmin, Q1) และ (Q3 , xmax) วา่ หนวด 40 42 44 46 48 50 52 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 655 ฉบบั เขม ขน 28. คา่ มาตรฐาน (z) เป็นค่าที่ใชเ้ ทียบขอ้ มลู ที่ดงึ มาจากตา่ งชดุ กนั โดยปรบั คา่ เฉลย่ี เลขคณิต และ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานให้เท่ากนั ... zi = xi −X (ไม่มหี น่วย) s - ค่า z ของข้อมลู ทค่ี ่ามากกว่าค่าเฉลย่ี เลขคณิต จะเคร่อื งหมายบวก, น้อยกว่าคา่ เฉลีย่ จะเปน็ ลบ, ตรงกับค่าเฉลย่ี พอดี จะเป็น 0 - อาจเขยี นข้อมลู ท่ีตาํ แหนง่ z = c ในรปู แบบ x = X + c s กไ็ ด้ เชน่ X − 2 s หมายถึงข้อมลู ที่มีค่า z = −2 , หรอื X + 0.5 s หมายถงึ ขอ้ มูลทม่ี ีค่า z = 0.5 29. สมบัติของค่ามาตรฐาน - ผลรวมของขอ้ มลู ชดุ z ใดๆ เปน็ 0 เสมอ ∑ zi = 0 ... จึงไดว้ า่ Z = 0 เสมอด้วย - ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน sZ = 1 เสมอ - The 95% Rule : “โดยทั่วไปข้อมูลท่ีอยรู่ ะหว่าง z = −2 ถงึ z = 2 จะมปี ริมาณรอ้ ยละ 95 ของ จาํ นวนข้อมลู ทง้ั หมด” ... หมายความว่าข้อมลู เกือบทุกคา่ จะอยใู่ นช่วง (X − 2 s, X + 2 s) และเรา อาจประมาณ Range ≈ 4 s กไ็ ด้ (ใช้ประมาณค่า s จากพิสยั ) 30. ลกั ษณะของเสน้ โคง้ ของความถมี่ ี 3 แบบ (หรอื กลา่ ววา่ ลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คือ โคง้ ปกติ (โค้งรปู ระฆัง), โคง้ เบ้ลาดทางซ้าย (หรือทางลบ), และโค้งเบล้ าดทางขวา (หรอื ทางบวก) … ซึง่ โคง้ แต่ละแบบ บอกความสมั พันธร์ ะหวา่ ง X, Med, Mo ดังภาพ f โค้งปกติ f โคง้ เบซ้ า้ ย f โคง้ เบ้ขวา O x = Med = Mo x O x < Med < Mo x O Mo < Med < x x 31. เนอื่ งจากพนื้ ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ จะเท่ากบั ความถรี่ วมพอดี (เปน็ สิ่งทีไ่ ดจ้ ากการสร้างฮสิ โทแกรม) เราจึง สามารถคาํ นวณเก่ียวกับการวัดตาํ แหน่งของขอ้ มูล (มธั ยฐาน, ควอรไ์ ทล์, เดไซล,์ เปอร์เซ็นไทล์) ได้ โดยจะศกึ ษาเฉพาะโค้งปกติ ซง่ึ มตี ารางในการหาค่าพน้ื ทใ่ี ต้โคง้ 32. สิ่งสาํ คญั คือในตาราง พื้นทใี่ ต้โค้งรวมกันทง้ั หมด (ความถร่ี วม) จะถูกปรับให้เป็น 1.00 พอดี เพ่ือใหก้ ารคาํ นวณง่ายขึน้ ... คา่ ที่ระบุในตาราง แสดงพน้ื ท่ีใตโ้ ค้งทวี่ ดั ระหว่าง z=0 ไปถงึ z ใดๆ โดย มองเพียงคา่ z เปน็ บวกเทา่ นนั้ (ซีกขวาของโค้ง) เราสามารถหาพน้ื ที่ซกี ซ้ายไดโ้ ดยอาศัยความ สมมาตรของรปู กราฟ A = 0.3 A = 0.15 - ตัวอย่างเชน่ เราสามารถหาวา่ เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 65 มคี า่ เท่าใด จากการเปิดตารางท่พี นื้ ที่ 0.15 ซ่ึงในตารางระบวุ ่า z=0.385 (จากนนั้ นําไปคาํ นวณกลบั เป็นคา่ ข้อมลู x ได้) P20 P65 x ในทํานองเดียวกัน เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 20 หาได้จากการเปิดตาราง -0.841 0.385 z ท่พี นื้ ท่ี 0.3 ไดค้ า่ z=0.841 แตเ่ น่ืองจากเป็นพน้ื ท่ที างซกี ซ้าย คา่ z ที่แท้จรงิ จงึ เป็น -0.841 ใชส้ ูตร เปดิ ตาราง เทยี บสดั ส่วน x ←⎯⎯⎯→ z ←⎯⎯⎯→ A ←⎯⎯⎯→ P, D, Q 33. หากเรามคี ่อู นั ดบั (x, y) จํานวนหน่งึ หลังจากสร้างแผนภาพการกระจายเพื่อดูลักษณะกราฟแลว้ เราจะหาความสัมพนั ธร์ ะหว่าง x กับ y ไดเ้ ปน็ สมการในรูป y = f (x) เพ่อื ใช้ทํานายคา่ y ณ จดุ x ท่กี าํ หนด - นิยมใช้ Y แทนคา่ จริง และ Y แทนคา่ ทไ่ี ดจ้ ากการประมาณดว้ ยฟงั ก์ชนั Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 656 ฉบับเขม ขน 34. รูปแบบทพี่ บบอ่ ย คือฟังกช์ นั เสน้ ตรง ... รปู ท่วั ไป Y = mX + c - หาคา่ คงท่ี m กับ c โดยสมการ Σy = mΣx + c N __________(1) Σxy = mΣx2 + cΣx ________(2) - การหาค่าพารามเิ ตอรด์ ้วยสมการเหลา่ น้ี เรียกว่าระเบยี บวิธีกาํ ลังสองน้อยท่ีสุด ... เปน็ วิธที ี่ทาํ ให้ ค่า y ทีไ่ ด้ มีความคลาดเคล่ือนกาํ ลงั สอง Σ (yi − Y)2 นอ้ ยทส่ี ดุ - ถ้าลองนาํ สมการที่ (1) มาหารดว้ ย N จะพบวา่ ตรงตามสมบตั เิ ดิม ... Y = mX + c 35. ถา้ โจทย์บอก ΔX และถาม ΔY ใหค้ ิดจาก ΔY = m ⋅ ΔX ... (ไม่ข้นึ กบั ค่า c) เพราะในกราฟเส้นตรง อัตราการเปลย่ี นแปลงของ y และ x จะดูท่ีความชัน m เท่านั้น 36. ขอ้ ควรระวังคอื สมการ y = f (x) ทห่ี าได้ไมส่ ามารถคํานวณคา่ x เม่อื ทราบ y ได้ ... ถ้า ต้องการประมาณคา่ x จะตอ้ งเปล่ยี นฟังก์ชันทงั้ หมดเปน็ x = f (y) (คอื ให้ y เปน็ ตวั แปรตน้ ) 37. หากข้อมูล X มีชว่ งหา่ งเทา่ ๆ กัน เชน่ ปี พ.ศ. แล้ว เราจะเรียกข้อมูล Y ว่าเปน็ ข้อมูลในรปู อนุกรมเวลา ซึ่งจะสามารถแทนคา่ X ดว้ ยตวั เลขค่านอ้ ยๆ ได้เพ่ือให้สะดวกในการคํานวณ - วธิ ีทน่ี ยิ มที่สุดคือ ให้ขอ้ มูลตรงกลางเปน็ เลข 0 แลว้ นบั ข้นึ ลงเป็น ±1, ± 2 ... วธิ ีนจี้ ะทําให้ Σx = 0 จงึ แก้ระบบสมการหา m, c ได้ง่าย - หากจาํ นวนข้อมลู เป็นจํานวนคู่ (ไม่มีจุดตรงกลาง) จะใหป้ ีระหวา่ งกลางนนั้ เปน็ ±1 และคถู่ ัดไป เป็น ±3, ± 5 ไปเรอื่ ยๆ (รกั ษาระยะห่างใหเ้ ท่ากัน) แบบนี้จะชว่ ยให้ Σx = 0 เชน่ เดิม ÃÒ¹ÒÁ¼ÙŒÁoÕ u»¡Òäu³ :] เหลยี ง ตน้ | ปอน อมั้ บัว ปอง มดใหญ่ และน้องๆ 44 | จ๋า อิ๋ง | ออม แนน พลอย โอ๊ต มด หนึ่ง กฟ๊ิ | ตาล ปอบ รดี นง้ิ จอย ทราม เบนซ์ จ๊ิก | สจุ นิ จงิ ววิ พมิ เมย์ เบสท์ เข่ง มมิ ิ แพร นุ้ย เจน | เบสท์ อิม | ถาวร | แบงค์ | แอน เนย์ เภา ตนู หยนุ่ ต้ัม ทอ้ ป เตก็ อยุ้ | เตา๊ ะ ย้ยุ | ภา มกุ | คี้ บ๋ี | แชมป์ | นาจา บาบนู บอย | ไอซ์ โน้ต พมี กร โอลีฟ ดล | พราว เต้ ตา้ | เคน นัท บี | นาํ้ มนต์ กระตา่ ย อ้อ เก๋ แพรว นวิ | นํา้ | อากิ ลนิ ไพลนิ แพนเคก้ | เมฆ | โอ๊ต | แนน ทพิ ปอนด์ เบลล์ จอย แอม ปอ เจย๊ี บ เหมย่ี ว วนั แอม พลอย พี ปู ซี นก นุ่น ผง้ึ เจน ปอ๊ แกว้ | ก้อง เพน้ ท์ เป๊ะ ดบ๊ิ | ไกด์ ปลา แนต๊ | บงุ้ กี๋ พจี งั โอโอ้ พงั ก์ หญงิ พปี่ ิ เดยี ร์ | จเู นยี ร์ | นทั แนท๊ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 657 ดรรชนี ´Ãê¹Õ กฎการแบง่ กลุม่ 337 ข่าวสาร (สารสนเทศ) 359 กฎของคราเมอร์ 216 กฎของโคไซน์ 172|229 ค.ร.น. (ตัวคณู รว่ มน้อย) 49 กฎของไซน์ 172 กฎของโลปตี าล 306 ครอสโปรดคั ท์ (ผลคณู เชงิ เวกเตอร์) 240 กฎมือขวา 238 กฎลูกโซ่ 310 ควอดรนั ต์ (จตภุ าค) 83 กต็ ่อเมอื่ 60 กรณฑ์ 188 ควอรไ์ ทล์ 374 กราฟของความสมั พันธ์ 124 กราฟของตรีโกณมติ ิ 165 ความชนั 86|308 กราฟเชื่อมโยง 272 กราฟถว่ งนาํ้ หนกั 274 ความต่อเนอ่ื ง 300 กราฟออยเลอร์ 272 การกระจายสัมบรู ณ์ 378 ความถี่ 360 การกระจายสัมพทั ธ์ 381 การแจกแจงความถ่ี 384 ความถสี่ ะสม/ความถส่ี ะสมสมั พัทธ์ 361 การแจกแจงปกติ 384 การดาํ เนินการตามแถว 215|216 ความถสี่ ัมพทั ธ์ 361 การทดลองสมุ่ 345 การใหเ้ หตุผล 69 ความนา่ จะเปน็ 346 การอ้างเหตุผล 65 กาํ ลงั สองน้อยที่สดุ 389 ความแปรปรวน 381 กําลงั สองสมบูรณ์ 95|98 กําหนดการเชงิ เสน้ 147 ความเยือ้ งศนู ยก์ ลาง 103 ก่งึ กลางชน้ั 361 ก่งึ กลางพสิ ยั 370 ความสัมพนั ธ์ 120 กึ่งพสิ ัยควอร์ไทล์ 378 แกนจรงิ /แกนจนิ ตภาพ 252 ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B 120|358 แกนตามขวาง 102 แกนเอก/แกนโท 100 ความสัมพนั ธ์ภายใน A 120|358 แกนสงั ยคุ 102 ขนาน 86|233 คอนเวอรเ์ จนต์ 282|285 ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ 42 ขอบบน/ขอบลา่ ง 361 คอมพลีเมนต์ 16 ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ/เชงิ ปรมิ าณ 359 ข้อมูลปฐมภูม/ิ ทตุ ิยภูมิ 360 คา่ กลาง 363 ขนั้ ตอนวิธกี ารหาร 48 ขนั้ ตอนวธิ ขี องยคุ ลดิ 49 ค่าการกระจาย 378 ค่าความจริง 59 ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ 370 คา่ เฉลีย่ เลขคณติ 363 ค่าเฉลย่ี ฮาร์โมนกิ 370 คาบ 165 ค่ามาตรฐาน 383 ค่าวกิ ฤต 312 ค่าสัมบูรณ์ 44|125|254 คูอ่ ันดับ 83|119 แคแรกเทอรสิ ตกิ 193 แคลคลู สั 295|307 โค้งความถี่ 361 โค้งความถส่ี ะสม 361|368 โคง้ เบ้ 384 โคง้ ปกต/ิ โค้งรูประฆงั 384 โคไซนแ์ สดงทิศทาง 239 โค-ฟงั กช์ นั 158 โคแฟกเตอร์ (ตวั ประกอบรว่ มเกยี่ ว) 209 จตภุ าค (ควอดรนั ต์) 83 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 658 ดรรชนี จริง/เทจ็ 59 ตวั ประกอบร่วมเกี่ยว (โคแฟกเตอร)์ 209 จํานวนจรงิ 32 ตวั ผกผนั (อินเวอร์ส) 32|122 จาํ นวนจนิ ตภาพ 32|251 ตวั หารรว่ มมาก (ห.ร.ม.) 49 จาํ นวนเฉพาะ 48 ตัวอยา่ ง/ประชากร 360 จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ 49 ตารางค่าความจริง 60 จาํ นวนเชิงซอ้ น 32|251 ตารางแจกแจงความถ่ี 360 จํานวนตรรกยะ 31 ตํ่าสดุ สมั พทั ธ/์ สมั บรู ณ์ 313 จาํ นวนเตม็ 31 ตําแหนง่ สัมพัทธ์ 374 จาํ นวนนบั /จาํ นวนธรรมชาติ 31 ถว่ งนา้ํ หนกั 364 จํานวนประกอบ 48 ถา้ -แลว้ 60 จาํ นวนอตรรกยะ 31 แถว 205 จดุ กาํ เนดิ 83 ทรงสี่เหลี่ยมหนา้ ขนาน 240 จดุ เปล่ียนความเว้า 312 ทรานสโพส 206 จุดยอด 97|270 ทฤษฎกี ราฟ 269 จุดยอดค/ี่ จดุ ยอดคู่ 270 ทฤษฎจี าํ นวน 48 จดุ ยอดประชดิ 270 ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ 257 จดุ ศนู ยก์ ลาง 94|99|102 ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ 36 จุดสุดขดี 312 ทฤษฎีบททวนิ าม 341 จุดสูงสดุ /จดุ ต่ําสดุ 312 ทฤษฎบี ทปีทาโกรสั 84 ช่วง 40 ทฤษฎบี ทเศษเหลือ 36 ช่วงครงึ่ เปิด 40 นิรนยั 71 ชว่ งเปิด/ช่วงปดิ 40 นเิ สธ 60|228 ซิกมา่ 274 แนวเดิน 272 ซงิ กลู าร์เมตรกิ ซ์ (เมตริกซ์เอกฐาน) 210 ปฏยิ านพุ นั ธ์ 317 เซต 11 ประชากร/ตวั อยา่ ง 360 เซตจํากดั /เซตอนนั ต์ 12 ประพจน์ 59 เซตวา่ ง 12 ประโยคเปดิ 67 แซมเปิลสเปซ (ปริภูมติ วั อย่าง) 345 ปริพนั ธ์ (อนิ ทกิ รัล) 317 ฐานนิยม 365 ปรภิ ูมติ วั อย่าง (แซมเปลิ สเปซ) 345 ดอทโปรดคั ท์ (ผลคูณเชงิ สเกลาร)์ 235 ปรภิ มู สิ ามมติ ิ 237 ดีกรี 37|270 ปรมิ าณเวกเตอร์ 227 ดีเทอร์มินนั ต์ (ตวั กําหนด) 208 ปรมิ าณสเกลาร์ 227 เดไซล์ 374 เปล่ยี นตัวแปร 332 โดเมน 121|146 เปอรเ์ ซน็ ไทล์ 374 ไดเรกตรกิ ซ์ 96 ผลคณู คาร์ทเี ซียน 119 ไดเวอร์เจนต์ 282|285 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ (ครอสโปรดคั ท์) 240 ต้นไมแ้ ผท่ ่ัว 274 ผลคณู เชิงสเกลาร์ (ดอทโปรดคั ท)์ 235 ตรรกศาสตร์ 59 ผลตา่ งเซต 16 ตรวจคาํ ตอบ 204 ผลตา่ งรว่ ม 280 ตรโี กณมติ ิ 157 ผลบวกยอ่ ย 284 ตงั้ ฉาก 86|233 ผลรวมเชงิ เสน้ 48|234 ตัวกาํ หนด (ดเี ทอรม์ นิ นั ต)์ 208 ผลลพั ธ์ 345 ตัวคณู ร่วมน้อย (ค.ร.น.) 49 แผนภาพกลอ่ ง 376 ตวั เชอื่ มประพจน์ 60 แผนภาพการกระจายตวั 388 ตัวบ่งปรมิ าณ 67 แผนภาพตน้ ไม้ 333 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 659 ดรรชนี แผนภาพลาํ ตน้ -ใบ 362 เมตรกิ ซผ์ กู พนั (แอดจอยท)์ 212 แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ พจน์/พจน์ทว่ั ไป 15|346 เมตรกิ ซส์ ามเหลยี่ ม 210 พหนุ ามตวั แปรเดยี ว พาราโบลา 279 เมตรกิ ซ์เอกฐาน (ซิงกูลารเ์ มตริกซ)์ 210 พิกัดฉาก พกิ ัดเชิงขวั้ 36|259 แมนทสิ ซา 193 พสิ ยั (เรนจ)์ พ้นื ที่ใต้โคง้ 96|125|388 ไม่เกิดรว่ มกนั 346 เพาเวอรเ์ ซต โพรเจคชัน (ภาพฉาย) 83|233 ไม่ขน้ึ ตอ่ กนั (อิสระจากกนั ) 346 ฟงั กช์ นั ฟงั ก์ชนั คอมโพสทิ (ประกอบ) 233|256 ไมเนอร์ 209 ฟงั กช์ นั โคซแี คนต์ ฟงั กช์ นั โคไซน์ 121|146|378 ไม่มลี มิ ิต 282 ฟงั ก์ชนั โคแทนเจนต์ ฟังก์ชนั จาก A ไป B 319|385 ยูเนยี น 16 ฟังกช์ นั จาก A ไปท่วั ถึง B ฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ 13 ระนาบ 83 ฟังก์ชนั ซีแคนต์ ฟังกช์ นั ไซน์ 89 ระนาบเชิงซ้อน 252 ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ ฟงั ก์ชนั แทนเจนต์ 127 ระบบสมการเชงิ เสน้ 216 ฟังกช์ นั ประกอบ (คอมโพสทิ ) ฟงั กช์ นั ผกผนั (อนิ เวอรส์ ) 131|146|310 ระเบียบวิธีกาํ ลงั สองนอ้ ยทส่ี ุด 389 ฟงั กช์ นั ผกผนั ของตรโี กณมติ ิ ฟังก์ชนั เพ่มิ /ฟงั กช์ ันลด 157 ระยะตัดแกน 86 ฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ ฟงั ก์ชนั หน่งึ ต่อหนง่ึ 157 รัศมี 94 ฟงั ก์ชนั อารค์ - ฟังก์ชนั อนิ เวอรส์ (ผกผัน) 157 ราก (รูท้ ) 188 ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล เฟสเซอร์ 128|358 รากทีส่ อง 58|188|257 แฟคทอเรียล โฟกัส 128|358 รปู เชงิ ขว้ั 256 ภาคตัดกรวย ภาพฉาย (โพรเจคชัน) 148 รปู แบบยังไมก่ ําหนด 298|306 มธั ยฐาน มิติ 157 รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ 361 มุมก้ม/มุมเงย มุมกําหนดทศิ ทาง 157 เรขาคณติ วิเคราะห์ 83 เมตริกซ์ เมตริกซจ์ ตั รุ ัส 157 เรเดยี น 160 เมตริกซแ์ ต่งเตมิ เมตริกซผ์ กผนั (อินเวอรส์ ) 157 เรนจ์ (พสิ ยั ) 121|146 131|146|310 ลอการทิ มึ ธรรมชาติ (ฐาน e) 193 133|146 ลอการทิ ึมแบบเนเปียร์ 193 169 ลอการทิ มึ สามัญ (ฐาน 10) 193 129|312 ลําดบั 279 192 ลาํ ดับจํากัด/ลาํ ดบั อนนั ต์ 280 128|358 ลาํ ดบั เลขคณติ /ลาํ ดับเรขาคณติ 280 169 ลปิ ดา 158 133|146 ลมิ ติ 282|295 189|389 ลิมติ ซา้ ย/ลิมติ ขวา 295 268 ล่เู ขา้ /ลอู่ อก 282|285 335 เลขช้กี าํ ลงั 187 96 เลตสั เรคตัม 97 92 เลือ่ นแกน 93 89 และ 60 84|365 วงกลม 94|125 205 วงกลมหนงึ่ หน่วย 158 173 วงจร/วงจรออยเลอร์ 272 239 วงรี 99 205 วงวน 270 206 วัฏจักร 274 215 วิถี/วิถที ส่ี นั้ ทสี่ ดุ 274 211 วธิ ีจดั หมู่ 337 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 660 ดรรชนี วธิ เี รยี งสบั เปลี่ยน 335 เสน้ สัมผัสวงกลม 95 เวกเตอร์ 49 เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย 227 ห.ร.ม. (ตวั หารรว่ มมาก) 60 เศษ (เศษเหลือ) 205 สตาร์แอนดบ์ าร์ 233 หรอื 333 สถิติ 282 สมการจดุ ประสงค์ 36|48 หลัก 48|340 สมการตรีโกณมติ ิ 37 สมการปกติ 340 หลักมลู ฐานเกย่ี วกบั การนับ 346 สมการพหุนาม 158|160 สมการลอการทิ มึ 359 หาค่าไม่ได้ 284 สมการเสน้ ตรง 284 สมการเอกซ์โพเนนเชียล 148 หารลงตัว 284 สมบัตกิ ารแจกแจง 391 สมบัติการตดั ออก 162 หารสังเคราะห์ 308 สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุ่ม 310 สมบัตกิ ารสลบั ที่ 389 เหตกุ ารณ์ 41 สมบัติไตรวิภาค 148 สมบตั ปิ ดิ 36|259 องศา 237 สมมลู 307 สมเหตุสมผล 195 อนุกรม 280 สมาชกิ 360 สว่ นจรงิ /ส่วนจนิ ตภาพ 86|280 อนกุ รมจาํ กัด/อนกุ รมอนนั ต์ 148 สว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ 169 ส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ีย 191|280 อนกุ รมเลขคณิต/อนกุ รมเรขาคณติ 16 สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 317 สังยคุ 33 อนุกรมเวลา 319 สัจนริ นั ดร์ 317 สบั เซต 33 อนพุ นั ธ์ 317 สบั เซตแท้ 32|211|252 สัมประสิทธ์กิ ารแปรผัน 33 อนพุ ันธอ์ นั ดบั สูง 122|126 สัมประสิทธิ์ทวินาม 133 สมั พทั ธ/์ สมั บรู ณ์ 32 อสมการ 211 สามสิ่งอนั ดับ 346 สามเหลยี่ มบน/สามเหลยี่ มลา่ ง 39 อสมการข้อจาํ กดั 69 สามเหลยี่ มปาสคาล 12 สารสนเทศ (ขา่ วสาร) 31|32 อฐั ภาค 32|207|252 สํามะโน 158|171 สงู สดุ สมั พทั ธ์/สมั บรู ณ์ 60 อัตราการเปลย่ี นแปลง 212 เสน้ กาํ กบั 193 เสน้ โคง้ ของความถ่ี 65|71 อตั ราสว่ นรว่ ม 165 เส้นจาํ นวน 361|368 เสน้ เชอ่ี ม/เส้นเชอื่ มขนาน 11|119|205 อันตรภาคชน้ั /อนั ตรภาคชัน้ เปิด 102 เส้นตรง 102|104|125 เส้นทแยงมุมหลกั 251 อาณาบริเวณทห่ี าคาํ ตอบได้ 378 อารค์ - 379 อินเตอร์เซกชนั 379 อนิ ทิกรลั (ปรพิ นั ธ)์ 254 อนิ ทิกรลั จาํ กดั เขต 63|65 อนิ ทิกรลั ไม่จาํ กดั เขต 12 อินทิเกรต 13 อนิ เวอรส์ 381 อนิ เวอรส์ ของความสมั พนั ธ์ 341 อินเวอรส์ ของฟังก์ชัน 313|378 อนิ เวอรส์ เมตริกซ์ (ผกผนั ) 238 อิสระจากกนั (ไมข่ ึน้ ตอ่ กนั ) 206 อปุ นัย 341 เอกภพสมั พทั ธ์ 359 เอกลกั ษณ์ 360 เอกลกั ษณ์ของตรโี กณมิติ 313 แอดจอยท์ (เมตริกซ์ผูกพนั ) 102 แอนติลอการิทึม 361 แอมพลิจดู 40 ฮสิ โทแกรม 270 ไฮเพอร์โบลา 86|125|388 ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก 206 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )