MATH ebook

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 151 กาํ หนดการเชงิ เสน P = 2x+3y Z = 3x+2y 2 x + 3 y < 30 (2.4) 2 x + 3 y < 12 (2.3) y − x < 5 2x+y < 8 x+y > 5 x > 0, y > 0 x > 10, y > 0 Z = 20 x + 30 y Z = 40 x + 35 y (2.5) 4 x + 2 y > 100 (2.6) 3 x + 5 y > 62 2x + 4 y > 140 5 x + y > 30 x < 60, y < 40 x > 0, y > 0 Z = x−2y+4 Z = 8x+5y x+y < 4 3x+y > 6 (2.7) x + 2 y > −2 (2.8) x + 5 y > 8 x − y > −2 x+y > 4 x<3 x > 0, y > 0 (3) บรเิ วณท่ีแรเงาเป็นกราฟของระบบอสมการใด (3.2) y (3.1) y 15 5 x+y=3 x-y=2 O4 Ox 8 x (3.3) y 450 400 O 600 1200 x (4) โรงงานล้ินจี่กระป๋องและสับปะรดกระปอ๋ งแห่งหนงึ่ ขายลน้ิ จ่ีไดก้ ําไรกระปอ๋ งละ 4 บาท สับปะรดกําไรกระป๋องละ 7 บาท โดยกรรมวิธีการผลติ มี 2 ขั้นตอน คอื - ปอกและตม้ ในน้าํ เชอ่ื ม (เครื่องจกั รทาํ งานได้ไมเ่ กินคร้งั ละ 30 ชั่วโมง) - บรรจกุ ระปอ๋ ง (เครอ่ื งจักรทํางานไดไ้ ม่เกนิ ครั้งละ 20 ชวั่ โมง) ลิ้นจ่ี 1 กระปอ๋ งต้องผ่านข้ันตอนแรก 3 นาที ข้นั ตอนหลงั 1 นาที สับปะรด 1 กระป๋องตอ้ งผ่านขน้ั ตอนแรก 4 นาที ขั้นตอนหลงั 3 นาที การผลติ แตล่ ะคร้งั ควรผลติ อย่างละกีก่ ระป๋อง จงึ จะได้กาํ ไรมากทส่ี ดุ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 152 กําหนดการเชงิ เสน (5) โรงงานผลติ จานและชามพลาสตกิ มีรายละเอยี ดการใชเ้ ครื่องจกั ร และกาํ ไรท่ไี ด้ ดังแสดงใน ตาราง ให้หาว่าควรผลติ อยา่ งละกใ่ี บใน 1 วนั จึงจะไดก้ ําไรสูงสุด เครอ่ื งจกั ร A จาน 1 ใบ ชาม 1 ใบ เคร่ืองจักรทํางานได้ เคร่อื งจักร B 2 นาที 1 นาที ไม่เกนิ วันละ 3 ช.ม. กําไร 1 นาที 3 นาที ไม่เกินวนั ละ 5 ช.ม. 1.00 บาท 1.20 บาท (6) โรงงานผลิตสินค้าสองชนิด แต่ละวันจะใชเ้ หลก็ 250 กก. สนิ คา้ ชนดิ ท่หี นง่ึ ใชเ้ หล็กชน้ิ ละ 10 กก. ชนิดที่สองใช้เหลก็ ชนิ้ ละ 25 กก. และสําหรับเวลาทีใ่ ชผ้ ลิตแตล่ ะวันมี 260 นาที ท้ังสองชนดิ ใช้ เวลาชิน้ ละ 20 นาทีเท่ากัน สว่ นการทาสีมีเวลารวมวนั ละ 100 นาที ชนิดแรกใช้เวลาทาสชี ิ้นละ 10 นาที ชนิดท่สี องช้ินละ 4 นาที ถา้ สินค้าชนิดแรกกาํ ไรชิน้ ละ 30 บาท ชนิดทสี่ องกําไรช้ินละ 25 บาท ควรจะผลิตอยา่ งละกช่ี ิ้นใน 1 วนั จึงได้กาํ ไรสงู ทีส่ ุด (7) โรงงานผลิตสนิ คา้ ทําสินคา้ ออกมาสองชนดิ คือ x กับ y โดยสินคา้ แตล่ ะอยา่ งตอ้ งผ่าน กระบวนการ 3 ขั้นตอน ดังตาราง หากกําไรตอ่ ช้ินของสนิ คา้ x เปน็ 5,000 บาท สนิ ค้า y เปน็ 3,500 บาท ควรจะผลิตอยา่ งละก่ชี ิ้นใน 1 วัน ขน้ั ตอนที่ 1 สนิ ค้า x 1 ชิ้น สินคา้ y 1 ชิน้ เคร่ืองจักรทาํ งานได้ ขนั้ ตอนที่ 2 3 ช.ม. 2 ช.ม. 24 ช.ม. ตอ่ วนั ขัน้ ตอนที่ 3 1 ช.ม. 2 ช.ม. 16 ช.ม. ต่อวัน 1 ช.ม. 1 ช.ม. 9 ช.ม. ตอ่ วนั (8) บริษัทผลิตวิทยุแหง่ หนึ่งผลติ วิทยุออกมา 2 รุ่น คือรุ่น A กับรุ่น B โดยท่รี นุ่ A มีกาํ ไรเคร่ืองละ 250 บาท รุ่น B 300 บาท แตล่ ะวนั ตัง้ ใจจะผลติ รุน่ A ไม่น้อยกวา่ 80 เคร่ือง รุน่ B ไม่นอ้ ยกว่า 100 เคร่อื ง แต่ผลิตได้รวมกนั ไมเ่ กินวันละ 200 เครอ่ื ง ควรจะผลติ อยา่ งไรจึงจะได้กําไรสงู สดุ และ กาํ ไรสงู สดุ นน้ั เปน็ เทา่ ใด (9) โรงงานเฟอร์นเิ จอร์ทําตู้และเตยี งซ่งึ จะใชแ้ รงงานช่างไม้กับช่างทาสี โดยตู้ 1 ใบช่างไมใ้ ช้เวลาทาํ 15 ชวั่ โมง ช่างทาสีอีก 12 ช่วั โมง และเตยี ง 1 หลังช่างไมใ้ ชเ้ วลาทํา 5 ช่วั โมง ชา่ งทาสี 4 ชวั่ โมง ถา้ แต่ละวนั ชา่ งไมท้ ุกคนชว่ ยกนั ทํางานได้เวลารวมกันอยา่ งมาก 60 ชวั่ โมง ชา่ งทาสรี วมกนั 40 ชว่ั โมง ส่วนกําไรนน้ั ตูใ้ บละ 500 บาท เตียงหลังละ 400 บาท ควรจะผลติ ตแู้ ละเตยี งอย่างละเท่าใด ตอ่ วัน (10) ผจู้ ดั การบริษัทตอ้ งการซอื้ ตเู้ กบ็ เอกสารใหม่จาํ นวนหนึ่ง เขาสอบถามได้ข้อมูลว่าตยู้ ีห่ ้อ A ราคา ตู้ละ 400 บาท ใช้พื้นที่วาง 6 ตารางฟตุ จเุ อกสารได้ 8 ลกู บาศก์ฟุต สว่ นตู้ยี่ห้อ B ราคาตู้ละ 800 บาท ใช้พื้นท่ีวาง 8 ตารางฟุต จเุ อกสารได้ 12 ลกู บาศกฟ์ ุต หากเขามงี บไมเ่ กิน 5,600 บาท และมี พน้ื ท่ไี มเ่ กนิ 72 ตารางฟุต เขาควรจะซือ้ อยา่ งละกต่ี เู้ พอื่ ให้เก็บเอกสารได้มากทีส่ ดุ และถามวา่ เกบ็ เอกสารไดเ้ ท่าใด (11) ต้องการจา้ งคนงานสองคนมาทําความสะอาดตู้ 5 ตู้ โตะ๊ 12 ตวั และหง้ิ หนงั สือ 18 หงิ้ โดย คนงานคนท่หี นง่ึ สามารถทําความสะอาดตไู้ ด้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตวั และห้ิงหนงั สือ 3 หง้ิ ตอ่ ช่ัวโมง คนท่ี สองทาํ ความสะอาดตู้ 1 ตู้ โตะ๊ 2 ตวั และหิ้งหนังสอื 6 ห้ิงต่อชั่วโมง ค่าแรงคนท่ีหน่ึง 25 บาทต่อ ช่ัวโมง ค่าแรงคนทีส่ อง 22 บาทต่อชว่ั โมง ควรจะจา้ งคนงานท้ังสองทํางานคนละกชี่ ว่ั โมงเพื่อเสยี คา่ แรงนอ้ ยทีส่ ดุ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 153 กําหนดการเชงิ เสน (12) ป๋ยุ เคมีสองชนิดมสี ่วนผสมดังตาราง หากตอ้ งการปยุ๋ ทม่ี ีฟอสฟอรัสไม่ตํา่ กว่า 9 หน่วย ไนโตรเจนไม่ต่ํากว่า 8 หน่วย และโพแทสเซียมไม่เกนิ 7 หนว่ ย จะเสยี คา่ ใชจ้ ่ายในการซือ้ ปุ๋ยน้อย ทสี่ ดุ เทา่ ใด ชนดิ ที่ 1 ฟอสฟอรัส ไนโตรเจน โพแทสเซียม ราคาตอ่ ถงุ ชนิดที่ 2 3 หน่วย 1 หนว่ ย 1 หนว่ ย 50 บาท 1 หน่วย 2 หนว่ ย 1 หนว่ ย 40 บาท (13) บรษิ ทั แห่งหน่ึงมีเหมืองอยู่ 2 แหง่ ในแตล่ ะวนั เหมืองแรกผลิตแร่เกรด A ได้ 1 ตนั เกรด B 3 ตัน และเกรด C 5 ตัน ส่วนเหมอื งทีส่ องผลิตแร่ท้ังสามเกรดได้เกรดละ 2 ตันเท่ากนั หากบรษิ ทั ต้องการผลติ แร่ส่งลูกคา้ โดยเป็นแร่เกรด A 80 ตนั เกรด B 150 ตนั และเกรด C 200 ตัน ใหห้ า ว่าบริษทั ควรจะเปิดเหมืองเพอ่ื ผลติ แร่แหง่ ละก่ีวนั จึงจะเสียคา่ ใชจ้ า่ ยนอ้ ยท่ีสุด (ค่าใชจ้ า่ ยในการขุดแร่ แตล่ ะเหมืองเป็น 6,000 บาทตอ่ วนั เทา่ กนั ) * (14) อาหารปลาชนดิ แรกราคาถุงละ 6 บาท มอี ัตราส่วนระหวา่ งโปรตนี ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต เทา่ กับ 1 : 2 : 2 ในขณะทีอ่ าหารปลาชนิดที่สองราคาถุงละ 4 บาท มอี ตั ราส่วนเป็น 1 : 1 : 5 ให้ หาอตั ราส่วนระหวา่ งอาหารชนดิ ทีห่ นึง่ กับชนดิ ทส่ี องท่ีผูเ้ ลี้ยงปลาควรจะซ้อื ถ้าอตั ราสว่ นระหว่าง โปรตีน ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต ท่ีจําเป็นตอ้ งใช้ ไม่ตาํ่ กวา่ 3 : 4 : 10 เฉลยแบบฝกึ หดั (คาํ ตอบ) (1.1) (0,0), (0,4), (2,0), (14/5,6/5) (4) ลน้ิ จี่ 120 กระปอ๋ ง, สับปะรด 360 กระปอ๋ ง (1.2) (0,0), (0,4), (2,0), (8/3,4/3) (5) จาน 48 ใบ, ชาม 84 ใบ (1.3) (0,2), (0,3), (4,0), (6,0) (6) ชนดิ ทหี่ นึ่ง 8 ชิ้น, ชนดิ ทสี่ อง 5 ชน้ิ (1.4) (2,1), (4,2), (2,-10/3), (4,-20/3) (7) สนิ คา้ x 6 ชนิ้ , สินคา้ y 3 ชน้ิ (1.5) (0,0), (0,4), (1,0), (1,3), (7/4,3/4) (8) รนุ่ A 80 เคร่ือง, ร่นุ B 120 เครอ่ื ง, (2.1) 410 (2.2) 8 (2.3) 30 กาํ ไร 56,000 บาท (2.4) 13, 0 (2.5) 2400, 1100 (9) ผลติ เตยี ง 10 หลงั โดยไมผ่ ลติ ต้เู ลย (2.6) หาคา่ ไมไ่ ด,้ 434 (2.7) 12, -1 (10) ย่หี อ้ A 8 ต,ู้ ยี่ห้อ B 3 ต,ู้ เก็บได้ 100 ลบ.ฟตุ (2.8) หาค่าไมไ่ ด้, 23 (11) คนแรก 2 ช.ม., คนท่ีสอง 3 ช.ม. (3.1) x − y < 2 , x + y < 3 , x > 0 , y > 0 (12) 220 บาท (ชนดิ ที่ 1 สองถงุ ชนดิ ที่ 2 สามถงุ ) (13) เหมืองแรก 36 วัน เหมอื งท่สี อง 22 วัน (3.2) 5x + 8y < 40 , 15x + 4y < 60 , หรือ เหมอื งแรก 34 วัน เหมืองทสี่ อง 24 วัน กไ็ ด้ x>0, y>0 (14) 5 : 14 (3.3) 3x + 4y < 1800 , x + 3y < 1200 , x>0, y>0 เฉลยแบบฝกึ หดั (วิธคี ดิ ) (1.1) y (1.2) y 4 3x-2y=6 4 2x-y=4 (14/5,6/5) (8/3,4/3) O 2 4 x O 2 4 x x+y=4 x+y=4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 154 กําหนดการเชงิ เสน (1.3) y (2.4) y Zmax = 13 ทจี่ ุด (3, 2) Zmin = 0 ทจ่ี ุด (0, 0) 3 4 (3,2) 2 2x+4y=12 O4 x O4 6x (2.5) y Zmax = 2,400 ทจี่ ดุ (60, 40) Zmin = 1,100 ที่จดุ (10, 30) x+2y=4 (5,40) (60,40) (1.4) y x=2 x=4 x-2y=0 (2,1) (4,2) Ox (2,-10/3) (4,-20/3) (10,30) (60,5) x O 5x+3y=0 Zmax หาคา่ ไม่ได้ (2.6) y (1.5) y ทจ่ี ุด (0, 62) (0,62/5) 5 Zmin = 434 6 x-y=1 (4,10) 4 (1,3) O (7/4,3/4) (30,0) x O 1 2 4 x+y=4x (2.7) y 3x+y=6 (-2,0) (2.1) y O Zmax = 12 ทจ่ี ุด (3, −2.5) Pmax เกิดที่ (70, 20) (1,3) Zmin = −1 ท่จี ดุ (1, 3) 90 (2.8) y Pmax = 5(70) + 3(20) 60 (50,40) (3,1) = 410 (0,6) x (70,20) (1,3) x 4 (3,-2.5) O 70 90 150 Zmax หาค่าไม่ได้ (2.2) y Zmin = 23 ท่ีจดุ (1, 3) Cmin เกิดที่ (4, 0) (2.5,5) O (3,1) (8,0) x Cmin = 2(4) + 3(0) 5 =8 x 4 (2.3) (3.1) x + y < 3 , x − y < 2 , O 45 x > 0, y > 0 y (3.2) ตอ้ งสรา้ งสมการเสน้ ตรงดว้ ย intercept form Pmax เกดิ ที่ (10, 10) ( x + y = 1 ) กอ่ น.. ไดเ้ ปน็ 3 ab Pmax = 2(10) + 3(10) 10 x + y = 1 → 15x + 4y < 60 , 3 4 15 = 30 5 (10,10/3) x + y = 1 → 5x + 8y < 40 O 5 10 15 x 85 x > 0, y > 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 155 กําหนดการเชิงเสน (3.3) เช่นเดยี วกบั ข้อ 3.2 (7) P = 5, 000x + 3, 500y x + y = 1 → 3x + 4y < 1,800 , 3x + 2y < 24 y 600 450 x + 2y < 16 x + y = 1 → x + 3y < 1,200 , x+y<9 1,200 400 x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 8 (2,7) (6,3) (4) P = 4x + 7y 3x + 4y < 1, 800 (นาท)ี O8 x x + 3y < 1, 200 (นาท)ี Pmax = 40,500 ท่ีจดุ (6, 3) x > 0, y > 0 ตอบ สินค้า x 6 ช้นิ สนิ คา้ y 3 ช้ิน y (8) P = 250x + 300y 400 (120,360) x > 80 , y > 100 y x + y < 200 O 600 x (80,120) Pmax = 3,000 ทจ่ี ดุ (120, 360) (80,100) (100,100) O x ตอบ ล้ินจี่ 120 กระปอ๋ ง สบั ปะรด 360 กระปอ๋ ง (5) P = x + 1.2y 2x + y < 180 (นาท)ี Pmax = 56,000 ท่จี ดุ (80, 120) x + 3y < 300 (นาท)ี ตอบ รนุ่ A 80 เครอ่ื ง รุ่น B 120 เครือ่ ง x > 0, y > 0 y และกาํ ไร 56,000 บาท (9) P = 500x + 400y 100 (48,84) 15x + 5y < 60 12x + 4y < 40 y x > 0, y > 0 O 90 x Pmax = 148.80 ทีจ่ ดุ (48, 84) 10 ตอบ จาน 48 ใบ ชาม 84 ใบ O 40/12 x (6) P = 30x + 25y 10x + 25y < 250 Pmax = 4,000 ทจี่ ดุ (0, 10) 20x + 20y < 260 y ตอบ ผลิตเตียง 10 หลัง โดยไมผ่ ลติ ตู้ 10x + 4y < 100 (10) P = 8x + 12y x > 0, y > 0 400x + 800y < 5, 600 10 (5,8) 6x + 8y < 72 y (8,5) x > 0, y > 0 O 10 x x 7 (8,3) Pmax = 365 ทีจ่ ดุ (8, 5) ตอบ ชนิดที่หนึ่ง 8 ช้นิ ชนดิ ทส่ี อง 5 ช้ิน O 12 Pmax = 100 ทีจ่ ดุ (8, 3) ตอบ ยห่ี อ้ A 8 ตู้ ย่หี อ้ B 3 ตู้ และจุได้ 100 ลบ.ฟตุ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 156 กําหนดการเชงิ เสน (11) C = 25x + 22y (13) C = 6, 000x + 6, 000y x+y>5 x + 2y > 80 3x + 2y > 12 y 3x + 2y > 150 3x + 6y > 18 5x + 2y > 200 x > 0 , y > 0 (0,6) x > 0 , y > 0 และ x, y ∈ I y (2,3) O (4,1) (6,0) x (0,100) Cmin = 116 ท่ีจดุ (2, 3) (25,37.5) (35,22.5) ตอบ คนทหี่ น่ึง 2 ช.ม. คนทส่ี อง 3 ช.ม. (80,0) x O (12) C = 50x + 40y 3x + y > 9 y Cmin = 345,000 ท่จี ดุ (35, 22.5) x + 2y > 8 แต่ y ไม่เปน็ จาํ นวนเตม็ จึงต้องเลอื กจุดข้างเคียงแทน x+y<7 ก. ลด y สมมติ y = 22 จะได้ x = 36 x > 0, y > 0 (1,6) (หาคา่ x จาก x + 2y = 80 ) → C = 348,000 (2,3) (6,1) ข. เพ่ิม y สมมติ y = 23 จะได้ x = 34.67 O x ใชไ้ ม่ได!้ เปล่ียนเป็น y = 24 จะได้ x = 34 Cmin = 220 ท่ีจดุ (2, 3) (หาคา่ x จาก 3x + 2y = 150 ) → C = 348,000 ตอบ 220 บาท (14) C = 6x + 4y ปรากฏว่า C เทา่ กนั จงึ เลอื กตอบจดุ ใดก็ได้ x+y> 3 ตอบ (36 วัน, 22 วนั ) หรอื (34 วัน, 24 วนั ) 5 7 17 2x + y > 4 [หมายเหตุ ถา้ คา่ C ไมเ่ ท่ากนั กใ็ หเ้ ลอื กตอบจดุ ทคี่ ่า 5 7 17 2x + 5y > 10 C น้อยกวา่ ] 5 7 17 x > 0, y > 0 y (0,28/17) (5/17,14/17) (25/17,0) x (25/51,28/51) O Cmin = 86 ทจี่ ดุ ( 5 , 14) 17 17 ตอบ 5 : 14 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 157 ฟง กช ันตรีโกณมิติ π =rˆig+ θn º··èÕ 7 ¿˜§¡ª¹a µÃÕo¡³Áµi i ตรีโกณมติ ิ (Trigonometry) เป็นวิชาที่ เกีย่ วกับการวดั ส่วนประกอบของรูปสามเหลยี่ ม เชน่ ความยาวดา้ น, ขนาดของมมุ , และขนาดพ้นื ที่ โดยมี ฟงั กช์ ันท่ีเกย่ี วข้องอยู่ 6 ฟงั ก์ชัน เรยี กวา่ ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric Function) ไดแ้ ก่ ฟังก์ชนั ไซน์ (Sine; sin) โคไซน์ (Cosine; cos) แทนเจนต์ (Tangent; tan) โคแทนเจนต์ (Cotangent; cot) ซีแคนต์ (Secant; sec) และโคซี แคนต์ (Cosecant; cosec หรอื csc) แต่ละฟงั กช์ ันมีโดเมนเป็นขนาดของมมุ θ และค่าเรนจท์ ่ไี ดอ้ อกมานนั้ เปน็ จํานวนจริง ซ่ึงจะ พบว่า หาก 0° < θ < 90° แลว้ คา่ ฟังก์ชันทไี่ ดค้ อื “อัตราสว่ นระหวา่ ง 2 ดา้ นในรปู สามเหลี่ยมมุม ฉาก ที่มุมหน่ึงมีขนาดเท่ากบั θ” sin θ = a cosec θ = 1 = c ca c sin θ a θ cos θ = b sec θ = 1 = c c cos θ b b tan θ = sin θ = a cot θ = 1 = cos θ = b cos θ b tan θ sin θ a Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 158 ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ คา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ทิ ่ีควรทราบ θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ 0 1/2 1/ 2 3/2 1 1/ 2 1/2 0 cos θ 1 3/2 1 3 หาค่าไมไ่ ด้ tan θ 0 1/ 3 เอกลักษณข์ องตรโี กณมิติ ทส่ี ําคญั ไดแ้ ก่ 1. sin2θ + cos2θ = 1 เปน็ ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่า sin และ cos ของมมุ ใดๆ ซ่งึ ได้มาจากทฤษฎีบทปีทาโกรสั ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ( a2+ b2= c2 ..นํา c2 หารทั้งสองข้าง) นอกจากน้ี เมอื่ นาํ sin2θ หารทัง้ สองขา้ งของสมการอกี จะได้ 1 + cot2θ = cosec2θ หรอื ถา้ นํา cos2θ หารทงั้ สองขา้ งของสมการ ก็จะได้ tan2θ + 1 = sec2θ 2. sin θ = cos (90°−θ) เปน็ ความสมั พนั ธ์แบบ โค-ฟงั กช์ นั (Co-function) ซ่ึงสังเกตได้ จากความสัมพันธ์ในรูปสามเหลยี่ มมุมฉากเช่นกนั กล่าวว่า “ถ้ามมุ สองมุมรวมกันได้ 90° แลว้ คา่ sin ของมุมหนึ่งจะเท่ากบั ค่า cos ของอีกมมุ ” และนอกจากน้ียงั มีอีกสองคู่ คือ tan θ = cot (90°−θ) และ sec θ = cosec (90°−θ) 7.1 ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ใิ นวงกลมหน่ึงหนว่ ย จากความสมั พันธท์ วี่ ่า sin2θ + cos2θ = 1 เสมอ (ทุกๆ ค่า θ ) ถา้ ให้ sin θ , cos θ เป็นแกน x, y แล้ว จะไดก้ ราฟเปน็ รูปวงกลมรศั มี 1 หนว่ ย โดยมีข้อตกลงที่ใช้เป็นมาตรฐาน คือให้ “แกน x เปน็ cos θ และแกน y เปน็ sin θ ” กาํ หนดแบบนี้กเ็ พ่อื ให้ θ เปน็ มุมที่ทํากับแกน x โดยเร่ิมวัดเป็น 0° ในแนว +x และเพ่มิ ขนึ้ ในทศิ ทวนเข็มนาฬิกา เรยี งไปตามลําดับควอดรันต์ (คือเปน็ 90° ในทศิ +y, เปน็ 180° ในทิศ –x, ...) พอดี y sin 45° = 1/ 2 90° (0,1) ( 1 , 3) cos 60° = 1/2 sin 90° = 1 120° 60° 2 (2 cos 90° = 0 (− 1, 3 ) 3/2 45° 1 , 1 ) sin 120° = 3 /2 22 2/2 22 1/2 30° ( 3 , 1 ) 22 cos 120° = −1/2 180° O θ 0° (1,0)x sin 180° = 0 1 23 cos 180° = −1 (-1,0) sin 225° = −1/ 2 22 2 cos 225° = −1/ 2 225° 300° ( 1 , − 3 ) sin 300° = − 3 /2 270° (0,-1) 2 2 cos 300° = 1/2 (− 1 ,− 1 ) 22 หมายเหตุ 1° (องศา; degree) แบ่งเป็น 60 ' (ลิปดา; minute) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 159 ฟง กชันตรีโกณมติ ิ ประโยชนข์ อง วงกลมหนึง่ หน่วย (Unit Circle) คอื เราสามารถหาค่าฟังกช์ นั ของมุม θ ต่างๆ ได้ง่ายขึน้ , สามารถขยายฟงั ก์ชนั ใหใ้ ชก้ บั θ ใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเกนิ 90° หรือจะเปน็ ค่าติดลบ ก็ตาม (วัดตามเข็มนาฬกิ า), และชว่ ยใหเ้ หน็ แนวโน้มของค่าฟงั กช์ ันเมอ่ื θ อย่ใู นควอดรันต์ตา่ งๆ ขอ้ สังเกต จากกราฟวงกลมนที้ าํ ใหเ้ ราได้ทราบว่า 1. sin θ , cos θ มคี า่ ไดต้ ั้งแต่ –1 ถงึ 1 เทา่ นนั้ 2. sin (−θ) = − sin θ ... เพราะ θ, −θ จะอย่เู หนือแกนและใตแ้ กนตรงข้ามกันเสมอ และ cos (−θ) = cos θ ... เพราะ θ, −θ จะอยู่ซ้ายหรือขวาเทา่ ๆ กันเสมอ ดงั น้นั tan (−θ) = − tan θ ... ได้จากการนาํ sin (−θ) หารดว้ ย cos (−θ) แบบฝกึ หดั 7.1 (1) ให้หาคา่ ของ (1.1) sin x + sin 2x + sin 4x เมอ่ื x = 60° (1.2) cos 4x − cos 3x + cos x เม่ือ x = 120° (2) จงหา sin θ + cos θ หากกาํ หนดเงอื่ นไข θ ดังแต่ละข้อ (2.1) ปลายส่วนโค้ง θ อยบู่ นเส้นตรงซึง่ เชอ่ื มจุด (0, 0) กบั (3, 4) (2.2) ปลายสว่ นโค้ง θ อยบู่ นเส้นตรง y = 2x−1 (3) ให้หาค่าของ (3.1) cos2 35° + sec2 70° − cosec247° + sin235° − tan270° + cot247° (3.2) 2 sec2 x + cot 2 x + cot 2 x sin2 x + sin2 x − cosec2 x + 2 ta n2 x (4) จงเขียนให้อยูใ่ นรปู อยา่ งง่าย (4.1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 sin2θ cos 2θ sec 2θ cosec 2θ (4.2) 2 (sin6 x + cos6 x) − 3 (sin4 x + cos 4 x) + 1 [Hint: กระจาย (sin2x + cos2x)3 และ (sin2x + cos2x)2 กอ่ น] (5) ถ้า sin θ − cos θ = a แลว้ sin θ cos θ มคี ่าเทา่ ใด (6) ถา้ (sin θ − cos θ)2 = a2 แลว้ cosec θ − sec θ มีคา่ เท่าใด (7) ถา้ ABC เปน็ สามเหล่ียมมุมฉากซ่ึงมี A เปน็ มุมฉาก และ tan B = 3/4 แล้ว ให้หาค่าของ sec C cot B cosec A (8) กําหนดสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC มมี ุม B เปน็ มุมฉาก หากลาก BD A ต้ังฉากกับ AC ท่จี ุด D แลว้ พบว่า AB = 10 , BD = 8 จงหาค่า sin, cos ของมมุ A และขนาดของ BC , CD (9) จากภาพ หาก BC = 10 และพนื้ ท่ีสามเหล่ียม ABC 120° เป็น 10 3 ตารางหนว่ ย ให้หาขนาดพ้นื ท่สี ามเหล่ยี ม ACD C DB E Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 160 ฟงกชันตรีโกณมติ ิ (10) ถ้า sin θ = 0.7310 และ 0 < θ < 90° ใหห้ าคา่ θ นน้ั (ตารางระบคุ ่า cos 43° = 0.7314 และ cos 43° 10' = 0.7294 ) 7.2 ระบบเรเดยี น และการลดรปู มมุ นอกจากการวัดมุมในระบบ องศา (Degree; ° ) แล้ว ยังมอี ีกระบบหนึ่งซง่ึ วัดจากความยาว ส่วนโค้ง (เส้นรอบวง) ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ย เรียกวา่ เรเดยี น (Radian; rad) นนั่ คอื 360° คดิ เป็น 2π เรเดียน (ความยาวเสน้ รอบวง) 180° คดิ เป็น π เรเดียน 90° คิดเป็น π/2 เรเดยี น 60° คิดเปน็ π/3 เรเดยี น 45° คิดเปน็ π/4 เรเดยี น 30° คิดเปน็ π/6 เรเดียน การแปลงหน่วยระหว่างองศา กับเรเดียน S ¨´u ·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S ใชว้ ธิ ีเทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ์ ตามปกติ ¶Ö§æÁÁŒ Áu π eÃe´Õ¹ ¨ae·Õºe·Ò‹ ¡aº 180° æµ‹Ç‹Ò π ≠ 180 ¹a¤Ãºa ... y ˹‹ÇÂeÃe´Õ¹¹Õé¤×o¤‹Ò¨Òí ¹Ç¹¨Ã§i (æ»ÅÇҋ π §a ¤§ÁÕ¤‹Ò 3.14.. eª¹‹ e´Ái ) π/2 π/3 2π/3 π/4 a 3π/4 π/6 5π/6 π 0x θ 7π/6 11π/6 r 5π/4 7π/4 4π/3 5π/3 ความสัมพันธ์ระหว่างมมุ θ (หนว่ ยเรเดยี น) 3π/2 กับความยาวสว่ นโค้ง a ในวงกลมรศั มี r ใดๆ คอื θ = a / r หมายเหตุ การวดั มุมเป็นเรเดียน มกั ละหน่วยไว้ ไมต่ อ้ งเขยี นกํากบั ว่า rad ก็ได้ หากไมม่ ีสญั ลกั ษณอ์ งศากาํ กบั แสดงวา่ เปน็ มุมเรเดียน เชน่ sin 30 นนั้ จะไมเ่ ท่ากับ 1/2 การลดรปู ขนาดมมุ หากขนาดของมุมท่ีจะหาค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ นิ น้ั มี nπ หรือ nπ/2 ไปบวกลบอยู่ เชน่ sin(2π−θ) , cos(π+θ), sin(π/2−θ), ฯลฯ เราสามารถกําจดั คา่ คงทีเ่ หลา่ นท้ี ้งิ ได้ ให้เหลือเพียงมุม θ เช่น sin(θ±2π) = sin θ y cos (θ±2π) = cos θ θ+π/2 sin(θ±π) = − sin θ cos (θ±π) = − cos θ θ sin(θ±π/2) = ± cos θ x cos (θ±π/2) = ∓ sin θ ความสมั พนั ธเ์ หลา่ นี้ พิจารณาไดจ้ ากวงกลม θ+π หนงึ่ หนว่ ย θ-π θ-π/2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 161 ฟงกช ันตรีโกณมิติ ข้อสงั เกตคอื เมอ่ื ตดั มมุ nπ ออก ฟงั ก์ชนั ยังคงเป็นชอื่ เดมิ ไม่เปลย่ี น แตถ่ า้ ตัดมุม nπ/2 ออก ฟังก์ชันจะเปลีย่ นชอื่ เปน็ โคฟงั กช์ นั เสมอ (แต่นอกจากนย้ี งั ต้องดูเครอื่ งหมายบวกลบดว้ ย วา่ เปล่ยี นหรอื ไม่) แบบฝึกหัด 7.2 (11) วงกลมวงหนง่ึ มีรัศมี 24 ซม. ใหห้ าความยาวสว่ นโค้งท่ีรองรับมมุ ที่จดุ ศูนยก์ ลางขนาด (11.1) 2/3 เรเดยี น (11.2) 130° (12) มุมทจี่ ุดศูนย์กลางวงกลมทีร่ ศั มียาว 4 ซม. และส่วนโคง้ รองรับมุมนี้ยาว 8 ซม. จะมขี นาดเปน็ กเ่ี รเดยี น (13) ให้หารศั มีวงกลมซงึ่ มมุ ท่จี ุดศนู ยก์ ลางมขี นาด 5 เรเดียน และส่วนโคง้ ทร่ี องรบั มุมนี้ ยาว 20 นิว้ (14) สามเหลี่ยมหน้าจว่ั มีมุมยอด 22.5° บรรจอุ ยู่ในวงกลม โดยจดุ ยอดอยู่ท่ีจดุ ศูนยก์ ลางของ วงกลม ถ้าสว่ นโคง้ ของวงกลมทถ่ี กู แบง่ ดว้ ยฐานของสามเหลย่ี ม ยาว 4 ซม. ใหห้ าความยาวรศั มีของ วงกลมน้ี (15) ให้หาคา่ ของ sin 2π − cos 4π − tan 5π cos3π + tan 33π + sin 7π3 346 (16) ถ้า f (θ) = cos ⎜⎛⎝ π− θ ⎟⎞⎠ แลว้ ค่าของ f (2π) − f (0) เปน็ เทา่ ใด 3 (17) ตอบคาํ ถามต่อไปนี้ (17.1) เมื่อ 0 < θ < π/2 คา่ ของ θ กบั sin θ คา่ ใดมากกวา่ กัน (17.2) ถา้ θ มากข้ึนจาก π/2 ไปสู่ π แลว้ คา่ cosec θ เป็นอย่างไร (18) ประโยคใดจรงิ หรอื เทจ็ บ้าง (18.4) sin(−π/6) < 0 (18.1) sin 1° > sin 1 (18.5) sin(−11π/6) < 0 (18.6) tan(π/7) = tan(6π/7) (18.2) tan 1 < tan 2 (18.3) sin(1−π) = sin 1 (19) ให้หาค่าของ (19.1) sin(2π−θ) tan(π−θ) cot (3π−θ) cot (2π+θ) tan(π+θ) (19.2) [sin θ + sin(π − θ)]2 + [cos θ − cos (π − θ)]2 22 (20) ใหห้ าคา่ ของ cos 300° + sin 450° + tan 495° (21) ให้หาคา่ ของ sin2(−253°) + cos2(287°) − sin2(323°) 1 − sin2(217°) cos 2(37°) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 162 ฟงกช ันตรีโกณมิติ (22) ตอบคาํ ถามตอ่ ไปนี้ เมอื่ 0 < x < 2π (22.1) คา่ มากทีส่ ุดของ 2 − cos 2x เป็นเทา่ ใด เมื่อ x เป็นเท่าใด (22.2) คา่ ตาํ่ สดุ ของกราฟ y = 3 sin (2x−π/2) เป็นเทา่ ใด เม่อื x เปน็ เท่าใด (23) [Ent’ต.ค.42] จงหาเซต {cos A | 0 < A < 4π/3 และ 5 − 3 sin 3A มีค่ามากทส่ี ดุ } 7.3 สมการตรีโกณมิติ หลักในการแก้สมการที่เปน็ ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ เช่น 4 sin2x + 11cos x − 1 = 0 หรอื 2 tan2θ − sec θ = 1 โดยรวมเป็นดังน้ี ขัน้ แรก ถ้าในสมการ มีฟงั กช์ นั อืน่ ๆ ท่ีไม่ใช่ sin กับ cos ให้แปลงเป็น sin กับ cos กอ่ น ขน้ั ทส่ี อง เมื่อได้สมการที่มเี พียง sin กบั cos แลว้ - หากเหลือแค่ sin หรือ cos อยา่ งใดอยา่ งหน่งึ สามารถแยกตัวประกอบตอ่ ได้ทนั ที - แตถ่ า้ เหลือทั้ง sin และ cos ปนกัน ... ใหใ้ ช้เอกลกั ษณ์ sin2θ + cos2θ = 1 มาเป็นสมการชว่ ย มองเปน็ ระบบ 2 สมการ 2 ตัวแปร (คือตัวแปร sin กบั cos) จึงจะหาคาํ ตอบตอ่ ได้ และต้องตรวจ คาํ ตอบเสมอ เพราะมกี ารยกกําลังสองเกดิ ขึ้นอาจทาํ ใหไ้ ด้คาํ ตอบเกิน • ตวั อยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ tan θ sin θ + tan θ = 0 ในชว ง 0 < θ < 2π วธิ ีคดิ แปลงเปน sin กบั cos ไดด ังนี้ ... sin θ ⋅ sin θ + sin θ = 0 cos θ cos θ นาํ cos θ คูณท้งั สองขา งของสมการ ไดเปน sin2θ + sin θ = 0 แยกตัวประกอบ ... (sin θ)(sin θ + 1) = 0 ... จะได sin θ = 0, − 1 แตเนือ่ งจากในโจทยมีฟงกช นั tan (คือมี cos เปนตัวสว น) ดงั นนั้ sin θ = −1 ไมไ ด เพราะจะทําให cos θ = 0 ... สรปุ วา sin θ = 0 เทา น้นั และไดเ ซตคาํ ตอบเปน {0, π, 2π} หมายเหตุ ในขน้ั ตอนการแยกตวั ประกอบ อาจสมมติให sin θ = A เพือ่ ชวยใหมองงา ยข้นึ • ตวั อยาง กาํ หนดให 2 cosec x − 2 sin x = 2 cot x จะได cos x มีคาเทา ใด วธิ ีคิด แปลงเปน sin กับ cos ไดด งั นี้ ... 2 − 2 sin x = 2 cos x sin x sin x นํา sin x คณู ทัง้ สองขา งของสมการ ไดเปน 2 − 2 sin2x = 2 cos x ________ (1) เนื่องจากมีทงั้ sin และ cos เราจงึ อาศยั เอกลกั ษณ sin2x + cos2x = 1 ______ (2) โดยแทนคา sin2x = 1 − cos2x ลงไปในสมการแรก กลายเปน 2 − 2(1 − cos2x) = 2 cos x → 2 cos2x − 2 cos x = 0 แยกตัวประกอบ ... ( 2 cos x) ( 2 cos x − 1) = 0 ... นน่ั คือ cos x = 0, 1/ 2 หมายเหตุ เนื่องจากในโจทยมีตวั สว นเปน sin x แตใ นคําตอบไมม ีคา ใดทีท่ าํ ให sin x = 0 ดงั น้นั จงึ ตรวจสอบคาํ ตอบ (เนื่องจากมีการยกกําลงั สองเอง) พบวา ใชไดทงั้ สองคาํ ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 163 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ S ¡ÒÃæ¡ÊŒ Á¡ÒõÃoÕ ¡³Áµi Ái Õ¢Œo¤ÇÃÃaÇa§´a§¹éÕ 1. ¡Ò÷ÃÒº¤Ò‹ ¿˜§¡ª ¹a ¤‹Ò˹Öè§ eª‹¹ ·ÃÒºÇ‹Ò sin θ = 1/2 ¨aÂa§äÁ‹ÊÒÁÒöÊÃu»ä´Œ·a¹·ÕÇ‹Ò θ oµ‹Ù Òí æ˹§‹ ã´ e¾ÃÒa¨aÁÕ Êo§¤íÒµoºoÂã‹Ù ¹¤¹Åa¤Ço´Ã¹a µeÊÁo (eª‹¹ã¹¡Ã³Õ¹éÕ θ oÒ¨e»š¹µíÒæ˹§‹ 30° ËÃ×o 150° ) ´a§¹a¹é eÃÒµŒo§·ÃÒº e¾èiÁeµÁi ´ÇŒ ÂÇҋ ¤‹Ò θ ¹oéÕ Âã‹Ù ¹¤Ço´Ãa¹µã´ o´Â»¡µei ÃÒÊÒÁÒö·ÃÒº¤Ço´Ã¹a µä´Œ¨Ò¡e¤Ã×èo§ËÁÒ¢o§¤Ò‹ ¿§˜ ¡ª ¹a oè¹× eª‹¹¶ŒÒ·ÃÒºe¾Áèi Ç‹Ò cos θ > 0 ¡ç æÊ´§Ç‹Òe»¹š ¤Ço´Ãa¹µ 1 ¤×o 30° 测¶ŒÒ·ÃÒºÇ‹Ò cos θ < 0 ¡µç oŒ §e»š¹ ¤Ço´Ãa¹µ 2 ¤×o 150° æ¼¹ÀÒ¾µ‹o仹eéÕ »š¹¡ÒÃÊÃu»e¤Ãèo× §ËÁÒ e¾èo× ¤ÇÒÁÊa´Ç¡ã¹¡ÒÃËÒ¤íÒµoº sin + ALL + Q1 e»š¹ºÇ¡·§éa 6 ¤‹Ò tan + cos + Q2 ÁÕe©¾Òa sin æÅa cosec ·Õèe»š¹ºÇ¡ Q3 ÁÕe©¾Òa tan æÅa cot ·Õeè »¹š ºÇ¡ Q4 ÁÕe©¾Òa cos æÅa sec ·Õèe»š¹ºÇ¡ 2. ÊÁÁµÇi ҋ µŒo§¡Òä‹Ò θ 㹪‹Ç§ 0 < θ < 2π æµÊ‹ Á¡Ò÷èäÕ ´¹Œ ¹aé e»š¹¤‹Ò 2θ (eª‹¹ sin 2θ = 1/ 2 ) ¨aµoŒ §¢ÂÒ ªÇ‹ §¤Òí µoºe»š¹ 0 < 2θ < 4π (æÅnj ¨Ö§¹íÒ¤íÒµoº 2θ ·äÕè ´Œ·¡u ¤íÒµoºËÒôŒÇÂÊo§) ËÒ¡äÁ‹¢ÂÒª‹Ç§ ¨a¡ÅÒÂe»š¹ 0 < 2θ < 2π ¤íÒµoº·äèÕ ´¨Œ aäÁ‹¤Ãº 3. ¤Òí µoººÒ§¤Òí µoº (o´Âe©¾Òa·Õèoº‹Ù ¹æ¡¹ x ËÃ×o桹 y ) oÒ¨ãªäŒ Á‹ä´Œ 㹡ó·Õ èÊÕ Á¡ÒÃÁÕ¤íÒÇ‹Ò tan , cosec , sec , cot e¾ÃÒa¤Ò‹ eËÅҋ ¹éÕÁÒ¨Ò¡¡ÒÃËÒáa¹¢o§ sin, cos µŒo§µÃǨÊoº´ŒÇÂNjÒÁ¤Õ íÒµoºã´ËÒ¤‹ÒeËÅҋ ¹éÕäÁ‹ä´Œ (¤×o µaÇ ÊNj ¹e»¹š 0 ) ËÃ×oäÁ‹ 4. ¶ÒŒ o¨·ÂäÁ‹ä´ŒÃaºªu ‹Ç§¢o§¤Òí µoº ã˵Œ oºã¹ÃÙ»·èÇa 仫Ö觡ÒÃËÁ¹u ¢o§ θ e»š¹¡èÃÕ oº¡äç ´Œ eª‹¹ ¶ÒŒ 㹪Nj § [0, 2π] (¡ÒÃËÁu¹Ãoºæá) ÁÕ¤Òí µoº 1 ¨´u ¤×o π/4 ã˵Œ oºÇ‹Ò π/4 ± 2nπ ËÁÒÂe˵u ËÒ¡ÁÕ¤íÒµoºËÅÒ¨u´ã¹¡ÒÃËÁu¹Ãoºæá oҨŴÃٻŧeËÅ×o»Ãao¤e´ÕÂÇ䴌 eª¹‹ ¶ŒÒ¤Òí µoºe»¹š π/3, 2π/3 ¡çoÒ¨µoºÃ»Ù ·èaÇä»o´ÂÂÖ´¨´u ¡è§Ö ¡ÅÒ§ Ç‹Ò π/2 ± π/6 ± 2nπ แบบฝกึ หดั 7.3 (24) เมื่อ cos θ = 4/5 และ 0 < θ < π/2 แลว้ ใหห้ าค่าของ 5 tan θ + 4 sec2θ (25) เมื่อ sin θ = −3/5 และ tan θ > 0 ใหห้ าคา่ ของ tan θ − cos θ (26) เมือ่ tan θ = 15/8 และ π < θ < 3π/2 ให้หาค่าของ sin θ + cos θ (27) เมื่อ sin x = 5/13 และ cos x < 0 ให้หาค่าของ sin(x−π) + cos (x−π) (28) กําหนดให้ sec θ = 5/3 และ 0 < θ < π แลว้ ให้หาค่าของ sin θ − cos θ tan θ − csc θ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 164 ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ (29) [Ent’ต.ค.43, ตอ้ งใช้ความรู้เร่อื งเมตรกิ ซ์ดว้ ย] ถา้ sin x = 3/5 และ tan x = −3/ 4 แล้ว จงหาคา่ ของ det ⎛⎜2 ⎡cosec x sec x⎤ ⎞ ⎝ ⎣⎢ 1 cos ⎟ x⎥⎦ ⎠ (30) ตอบคาํ ถามต่อไปนี้ เมือ่ 0 < θ < 2π (30.1) ให้หาค่า θ ท่ที ําให้ cos θ = 3/2 (30.2) ใหห้ าค่า θ ทท่ี าํ ให้ cos 2θ = 3/2 (31) เม่ือ tan x + sec x = 2 ใหห้ าค่าของ cos x (32) เมอ่ื cosec θ + cot θ = 5/3 แลว้ ให้หาค่าของ sin θ (33) เม่อื 2 sin x = sec x ให้หาค่าของ sin4x + cos4x (34) เมอ่ื 2 sin x = sec x ให้หาคา่ ของ 1 − sin2x − cos2x 1 + cot x 1 + tan x (35) เมอ่ื sin θ + cos θ = 1/5 และ 0 < θ < π ให้หาคา่ ของ tan θ (36) เมอื่ 2 tan2θ − sec θ = 1 และ 0 < θ < π/2 แลว้ ใหห้ าค่าของ sec θ (37) เมื่อ 4 sin2x + 11 cos x − 1 = 0 และ π < x < 2π ให้หาค่าของ sin (−x) + cos (−x) + tan (−x) (38) [Ent’36] กําหนดให้ 4 sin2θ + 11 cos θ − 1 = 0 แล้ว cot2(θ+π/2) + sec(θ−3π) มคี า่ เท่าใด (39) ให้หาคา่ x จากสมการ cos22x + 3 sin 2x − 3 = 0 (40) [Ent’38] ให้หาเซตคําตอบของอสมการ 2 sin4x + 3 sin2x − 2 > 0 โดยท่ี 0 < x < 2π (41) [Ent’25] ค่าของ 0 < θ < 2π ทีท่ ําให้ sin θ + cos θ < 0 จะอยูใ่ นชว่ งใด (42) [Ent’35] สําหรบั จํานวนจริง x ใดๆ ให้ Ax เปน็ เมตริกซ์ซง่ึ Ax = ⎡ 2 sin x 2 sin2x⎤ ⎢ 2 cos2x ⎥ ⎣⎢ cos x ⎥⎦ ถามวา่ S = {x | −2π < x < 2π และ Ax เปน็ ซิงกลู าร์เมตรกิ ซ์ } มีจํานวนสมาชกิ ก่ตี วั (43) จงหาผลบวกคาํ ตอบทั้งหมดของสมการ x3− 9x2+ 23x − 15 = 0 เมื่อเอกภพสัมพทั ธ์ U = { x ∈ A | cos (−x) > − cos x } และ A = [0, 2π] (44) [Ent’39] กาํ หนดให้ f (x) = cos2x + cos x แล้ว ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูก ก. ถา้ 0 < x < π แลว้ f (x) = 2 cos x ข. ถ้า π < x < 2π แลว้ f (x) = 2 cos x ค. ถ้า π/2 < x < 3π/2 แล้ว f (x) = 0 ง. ถา้ 3π/2 < x < 2π แลว้ f (x) = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 165 ฟง กช ันตรีโกณมิติ 7.4 กราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ • การศกึ ษาเรอื่ งกราฟของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ โดยเฉพาะฟงั ก์ชัน sin และ cos จะเป็นประโยชนใ์ น การศึกษาเรื่องอ่นื ๆ ได้ เช่น คลื่น, เสียง, การเคลอ่ื นทแ่ี บบเป็นคาบ (การแกว่ง), ไฟฟา้ กระแสสลบั y = sin x 1 2π x Dsin = R Oπ Rsin = [−1, 1] -1 คาบ = 2π แอมพลจิ ูด = 1 y = cos x 2π Dcos = R 2π 1 x Rcos = [−1, 1] Oπ คาบ = 2π -1 แอมพลจิ ูด = 1 y = tan x x Dtan = R − {π/2 ± nπ} 1 Rtan = R Oπ -1 คาบ = π y = cosec x 2 xπ Dcosec = R − {±nπ} 1 Rcosec = R − (−1, 1) Oπ คาบ = 2π -1 y = sec x 2π x Dsec = R − {π/2 ± nπ} 1 Rsec = R − (−1, 1) Oπ คาบ = 2π -1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 166 ฟง กช นั ตรีโกณมติ ิ y = cot x Dcot = R − {±nπ} 1 2π x Rcot = R Oπ คาบ = π -1 แบบฝกึ หัด 7.4 (45) ให้ A = (−π/2, 0) ∪ (0, π/2) ฟงั กช์ นั ใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชนั ลด บนเซต A ก. sin x ข. cos x ค. cosec x ง. sec x (46) กราฟของ y = sin x และ y = cos x เมอื่ 0 < x < 2π ตัดกันกจี่ ดุ และจดุ ใดบา้ ง 7.5 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องผลบวก และผลตา่ งมมุ โดยท่ัวไปการคํานวณค่าตรโี กณมติ ิอาจเกยี่ วข้องกบั มุมทเ่ี กิดจากการบวกกัน หรอื ลบกัน ดงั น้ันในหัวขอ้ น้ีจะเป็นการสรุปสตู รทส่ี ําคญั เพอ่ื นําไปใช้ประโยชน์ สูตรชดุ ที่หนึง่ .. สตู รเบ้อื งตน้ เราสามารถพิสูจน์สูตรหลกั คือ cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β กอ่ น (วิธพี สิ ูจน์ไม่ได้แสดงไวใ้ นท่ีน้ี) และจากนน้ั ถ้าแทน β ดว้ ย −β จะได้สูตร cos (α+β) รวมทงั้ ได้สตู ร sin (α+β) กบั sin (α−β) จาก sin (α+β) = cos (90° − (α+β)) (1) cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β ⎧⎪⎪tan (α+β) = tan α + tan β (2) cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ⎨ 1 − tan α tan β (3) sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ⎪⎪⎩tan (α−β) = (4) sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β tan α − tan β 1 + tan α tan β สตู รชดุ ทสี่ อง .. สตู รผลคูณ เกดิ จากสมการที่ (1) บวกลบกับ (2) … และสมการท่ี (3) บวกลบกับ (4) (5) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) ... จาก (1)+(2) (6) −2 sin α sin β = cos (α+β) − cos (α−β) ... จาก (1)-(2) (7) 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) ... จาก (3)+(4) (8) 2 cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) ... จาก (3)-(4) สตู รชดุ ท่ีสาม .. สูตรผลบวก และผลลบ มที ่ีมาเดยี วกับสูตรชดุ ท่สี อง ... แตก่ าํ หนดให้ A = α + β และ B = α − β (9) cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A − B) ... จาก (5) 2 2 (10) cos A − cos B = −2 sin (A + B) sin (A − B) ... จาก (6) 22 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 167 ฟง กชันตรีโกณมิติ (11) sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A − B) ... จาก (7) 22 ... จาก (8) (12) sin A − sin B = 2 cos (A + B) sin (A − B) 22 สตู รชุดที่สี่ .. สตู รมุมสองเท่า และมุมคร่ึง สูตรสาํ หรับมุมสองเทา่ ไดจ้ ากสมการชุดทหี่ นึ่งเชน่ กนั คือใชม้ ุมเป็น α + α = 2α sin (2α) = 2 sin α cos α หรอืcos (2α) = cos2α − sin2α cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 tan (2α) = 2 tan α 1 − tan2α สตู รสาํ หรบั มุมครึ่ง ได้จากการยา้ ยข้างสมการ cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 โดยมองว่า α กลายเปน็ α/2 และ 2α กลายเป็น α sin (α/2) = ± (1−cos α)/2 cos (α/2) = ± (1+cos α)/2 และ tan (α/2) = ± (1−cos α)/(1+cos α) นอกจากนี้ยงั สามารถพิสูจนส์ ตู รมุมใดๆ ต่อไปอีก โดยอาศัยหลกั การเดยี วกันกับสีช่ ุดขา้ งต้น เช่น อาจหาสูตรมุมสามเทา่ sin(3α), cos(3α), tan(3α) หรอื ใช้สูตรชุดท่หี น่ึงชว่ ยในการลดรูปขนาด ของมุม θ ± nπ , θ ± nπ/2 เป็นต้น แบบฝึกหัด 7.5 (47) ให้หาค่าของ sin (75°), cos (5π/12), และ tan (π/12) (48) กําหนด cot A = 2.4 โดย A ∈ (π, 3π/2) และ sin B = 0.6 โดย B ∈ (π/2, π) (48.1) cos (A+B) และ sin (A+B) มีค่าเท่าใด (48.2) มุม A+B อยู่ในควอดรันต์ใด (49) จงหา cos A เมื่อ sin (A+B) = 1/5 , cos (A−B) = 2/5 และ sin B = 3/5 (50) จงหา cos B เม่ือ A + B = 5π/4 และ tan A = 1 โดยท่ี 0 < B < π (51) ใหห้ าค่าของ (51.1) 2 cos 75° cos 15° (51.2) 2 sin 25° cos 5° − sin 20° (51.3) 4 sin 75° cos 15° + 4 cos 15° cos 165° (51.4) sin 108° cos 42° + sin 42° cos 108° (51.5) cos 68° cos 78° + cos 22° cos 12° − cos 10° (51.6) 2 cos 35° cos 70° − cos 35° + cos 15° (52) ใหห้ าค่าของ (52.1) 2 cos 3θ sin 2θ − 2 cos 4θ sin θ − 2 cos 2θ sin θ (52.2) sin 3θ sin 6θ + sin θ sin 2θ − sin 4θ sin 5θ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 168 ฟงกชันตรีโกณมิติ (53) ใหห้ าค่าของ (53.1) sin2A + sin2(60°+A) + sin2(60°−A) (53.2) [Ent’20] cos2A + cos2(60°+A) + cos2(60°−A) (54) ใหห้ าคา่ ของ (54.1) cos 10° + sin 40° sin 70° (54.2) sin 75° − sin 15° cos 75° + cos 15° (54.3) tan 178° − tan 108° เม่อื tan 10° = B 1 + tan 178° tan 108° (54.4) ⎛ cot A ⎞ ⎛ cot B ⎞ เมือ่ A+B = 225° ⎝⎜⎜ 1+cot A ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ 1+cot B ⎟⎠⎟ (54.5) sin 3θ − cos 3θ sin θ cos θ (55) ใหห้ าค่าของ (55.1) sin 50° + sin 10° − cos 20° (55.2) sin 10° + cos 40° − cos 20° (55.3) cos 20° + cos 100° + cos 140° (55.4) cos 10° + cos 20° + cos 40° + cos 50° sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° (56) ใหห้ าคา่ ของ sin 40° + sin 20° ในรปู ของ sin 5° (57) ให้หาค่าของ (57.1) cos π cos 3π [Hint: นาํ 2 sin π คูณเศษและส่วน] 55 5 (57.2) cos π + cos 3π 55 (57.3) cos π cos 2π cos 4π 77 7 (57.4) sin 5π cos π 24 24 (57.5) [Ent’33] 8 sin 70° sin 50° sin 10° (58) ใหห้ าคา่ ของ tan 9° − tan 27° − tan 63° + tan 81° (59) กําหนด 4 sin2A + 3 cos 2B = −2 และ sin 2A sec A = sin B เมอ่ื A, B ∈ [0, π/2] ให้หา ค่าของ 2 cos (A+B) (60) [Ent’38] ถ้า 3 cos 2A − 2 cos 2B = −3 และ sin A − 2 sin B = 0 เมื่อ A, B ∈ [0, π/2] แลว้ ให้หาค่าของ sin (A+B) (61) [Ent’37] กาํ หนด sin 3θ + sin θ = 1 − 4 sin3θ จงหาค่าของ sec 2θ + cos (3π/2 + θ) (62) [Ent’38] ถ้า cos (α+β) = 3 − 4 3 และ cos (α−β) = 3 + 4 3 แลว้ 10 10 จงหาค่า sin 2α sin 2β Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 169 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ (63) ถ้า tan x = 2 แลว้ จงหาคา่ sin 2x 1 + cos 2x (64) จงหาคา่ sin 4θ เม่อื tan θ = 1/3 และ 0 < θ < π/2 (65) ถา้ cos A = 5+1 จงหา sin(A+B) − sin(A−B) + sin(2A−B) − sin(2A+B) 4 (66) ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ผี ิด ก. cos (x+y) + cos (x−y) = 2 cos x cos y ข. sin(x+y) sin(x−y) = sin2x − sin2y ค. cos (x+y) cos (x−y) = cos2x − sin2y ง. cos 5x cos x + sin 5x sin x = cos 6x 7.6 ฟังกช์ นั ผกผนั ของตรโี กณมิติ ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิทั้งหกฟงั ก์ชนั (เชน่ y = sin x ) สามารถหาอนิ เวอร์สได้โดยสลบั ท่ี ระหวา่ งโดเมนและเรนจต์ ามปกติ (กลายเปน็ x = sin y ) แตอ่ ินเวอรส์ ท่ีได้เหล่านไี้ ม่เป็นฟังกช์ นั เลย เนอื่ งจาก x คา่ เดียว ใหค้ ่า y ไดห้ ลายคา่ ไมส่ นิ้ สดุ ดังน้ันหากจะกําหนดอนิ เวอร์สให้เป็นฟังกช์ นั ด้วย เราจาํ เป็นตอ้ งจํากดั ชว่ งของเรนจ์ และเราเรียกชือ่ ฟังกช์ ันผกผนั เหล่านี้โดยใช้คําวา่ arc นาํ หนา้ (เช่น อนิ เวอร์สของ y = sin x คอื y = arcsin x ) หรือบางตาํ ราใช้สญั ลักษณ์ ,sin-1x ,cos-1x ,tan-1x … แทนคาํ ว่า arc– ความหมายของ x = sin y ต่างจาก y = arcsin x เพราะเรนจไ์ ม่เท่ากนั y y = arcsin x π x = sin y π/2 x -1 1 -1 1 O O −π/2 −π ชว่ งของเรนจ์ทใี่ ช้กนั เป็นมาตรฐานสาํ หรบั ฟังก์ชัน arcsin, arccos, arctan จะแสดงไว้ใน กราฟตอ่ ไปน้ี โดยมวี งกลมหน่ึงหน่วยกํากบั เพ่อื ช่วยในการจาํ สว่ นฟงั ก์ชัน arccosec, arcsec, arccot จะไมก่ ลา่ วถงึ เนื่องจากไม่นิยมใช้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 170 ฟง กช ันตรีโกณมติ ิ y = arcsin x y = arctan x y = arccos x π π/2 x -1 1 x π/2 x -1 1 O -1 1 O O −π/2 −π/2 Darcsin = [−1, 1] Darccos = [−1, 1] Darctan = R Rarcsin = [−π/2, π/2] πRarccos = [0, ] Rarctan = (−π/2, π/2) 1 0 = cos π/2 ∞ π/2 0 = tan -1 1 0 = sin π0 −π/2 -1 −π/2 −∞ ขอ้ สังเกต ฟังกช์ ัน arcsin (กบั arctan) จะอยู่ในชว่ งท่ี cos เปน็ บวกเสมอ สว่ นฟังกช์ ัน arccos จะอยใู่ นช่วงท่ี sin เปน็ บวกเสมอ ความสัมพนั ธ์ท่มี ปี ระโยชน์ในเร่ืองฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิผกผนั คือ arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy ซึ่งสามารถพสิ ูจน์ไดจ้ ากการใส่ฟงั ก์ชัน tan ทง้ั สองข้างของสมการ โดยความสมั พันธ์นีใ้ ช้ได้เมอ่ื arctan x + arctan y ยังอยู่ในช่วง (−π/2, π/2) แบบฝึกหดั 7.6 (67) ใหห้ าคา่ ของ arcsin ( 3/2) และ arccos (−1/2) (68) ค่าของ 2 arcsin (− 3/2) + arccos (1/ 2) + arccos (−1) เปน็ เทา่ ใด (69) ให้หาคา่ ของ cos (arcsin (cos 2π) + 2π) 77 (70) ใหห้ าค่าของ (70.1) cos (arccos (4/5) + arccos (12/13)) (70.2) sin (arccos (3/5) + arcsin (−4/5)) (70.3) cos (2 arcsin (3/5)) (70.4) [Ent’39] tan (2 arcsin (−1/ 5)) (71) ให้หาค่าของ sin(π + 2 arctan( 2−1)) 2 และ cos (3π/2 − 2 arctan x) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 171 ฟงกชนั ตรีโกณมิติ (72) ให้หาคา่ ของ A+2B เม่อื กําหนด tan A = 1/7 และ sin B = 1/ 10 โดยที่ 0 < A, B < π/2 (73) จงหาคา่ 7 tan(π/4 + A) เม่ือกาํ หนดให้ sin A = 1/3 และ π/2 < A < π (74) กาํ หนดให้ tan A = 1/2 , tan B = 1/5 , tan C = 1/8 จงหาขนาด A + B + C ที่เปน็ มุม แหลม (75) ใหแ้ สดงว่า arccos (12/13) + arcsin (16/65) = arcsin (3/5) (76) ใหห้ าค่า x จากสมการต่อไปน้ี S ¨´u ·è¼Õ ´i º‹oÂ! S (76.1) arccos (4/5) − arcsin (−3/5) = arccos x (76.2) arctan (x2/3 − x) = arcsin (7/25) + arccos (4/5) ¡ÒÃ桌ÊÁ¡Ò÷ÁèÕ Õ arc- eÁ×èo䴌 (76.3) arctan(1/7) + arctan(1/8) + arctan(1/18) = arccot x ¤Òí µoº («èÖ§e»¹š ¤Ò‹ ÁuÁ) oo¡ÁÒ (76.4) arctan (2x+1) + arctan (2x−1) = arccos (1/ 5) æÅnj ¨aµŒo§µÃǨ¤Òí µoºeÊÁo (76.5) arctan x + 2 arctan 1 = 3π/4 e¾ÃÒaÁÁu ·èäÕ ´¹Œ oéÕ Ò¨äÁo‹ ‹ãÙ ¹ª‹Ç§ (76.6) [Ent’38] arctan (1+x) + arctan (1−x) = π/4 Áҵðҹ¢o§ arc- ËÃ×oÁÁu ·èÕ (76.7) arccos (−1/2) + (π/2) = arcsin x ä´¹Œ oéÕ Ò¨·Òí ãËʌ Á¡ÒÃe»¹š e·¨ç .. (77) หาค่าของ tan ⎛ arctan 3x + arctan x⎞ เม่ือ arctan 3x − arctan x = π/6 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ (78) ถ้า 4 cos2(arctan x) − 1 = 0 และ e 1/x < 1 จงหา x + tan(arctan(x/2)) 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการใดๆ ท่ีมีฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ปิ รากฏอยู่ จะเรียกว่า สมการตรีโกณมิติ การแก้สมการ ตรีโกณมติ ิน้นั มีข้อควรระวัง ซึง่ ได้กล่าวไปแล้วท้งั หมดในหวั ข้อ 7.3 และหากสมการตรโี กณมิตินัน้ เป็นจริงเสมอสาํ หรับทกุ ๆ คา่ (ที่หาคา่ ฟงั กช์ นั ได้) จะเรียกว่าเป็น เอกลกั ษณ์ของตรีโกณมติ ิ เอกลักษณ์ของตรโี กณมติ ิท่สี ําคัญมีหลายชดุ ได้ศึกษาผา่ นมาตัง้ แตต่ น้ บทจนถงึ หัวข้อนี้ เชน่ , , , ,sin2 θ + cos2 θ = 1 sin θ = cos (90°−θ) sin (−θ) = − sin θ cos (θ±π) = − cos θ , ,cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) sin (2α) = 2 sin α cos α ฯลฯ ซ่งึ นอกจากนย้ี ังมเี อกลกั ษณ์อกี มากมาย ดังจะไดฝ้ กึ พิสูจน์เอกลกั ษณใ์ นแบบฝึกหัดตอ่ ไปน้ี แบบฝกึ หัด 7.7 (79) ใหห้ าคําตอบของสมการต่อไปนี้ ภายในชว่ งที่กาํ หนดให้ 0 < x < 2π (79.1) 1 − 1 = 4 0 < θ < 2π sin x + 1 sin x − 1 0 < θ < π/2 (79.2) sin 4θ + sin 2θ = 2 cos θ (79.3) 2 sin 2θ + 3 cot 2θ − 3 cosec 2θ = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 172 ฟงกชนั ตรีโกณมิติ (79.4) [Ent’31] cos4x − sin4x = 1 0 < x < 2π (79.5) [Ent’29] 4 sin2x − 6 tan x + 2 sec2 x = 0 0 < x < π/2 (79.6) 4 sin x cos x + 2 2 cos x + 2 sin x + 2 = 0 0 < x < 2π (79.7) sin x + 3 cos x = sec (x + π) 0 < x < 2π 3 0 < x < 2π 0 < x < 2π (79.8) [Ent’34] 2 sin2x + 1 = − sin x + 2 2 sin2x + sin x 0 < x < 2π (79.9) [Ent’30] sin x − sin 2x + sin 3x = 0 0 < x < 2π (80) ใหห้ าชว่ งคาํ ตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ (80.1) [Ent’38] 2 sin4x + 3 sin2x − 2 > 0 (80.2) 3 sin x + cos x < 1 (81) [Ent’32] ใหห้ าคําตอบรูปทว่ั ไปของสมการ cos 2θ = sin θ (82) จงแสดงว่าเอกลักษณต์ ่อไปนีเ้ ป็นจริง (82.1) tan (90° − A) = cot A (82.2) 1 − cos x = tan2 x 1 + cos x 2 (82.3) sin x + sin y = tan x + y cos x + cos y 2 (82.4) tan2x − sin2x = tan2x sin2x (82.5) ⎛ cos A − sin A ⎞2 = 1 − sin A ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ (83) ถ้า A, B, C เปน็ มุมในรูปสามเหล่ียม จงแสดงวา่ sin A + sin B = cot C cos A + cos B 2 7.8 กฎของไซนแ์ ละกฎของโคไซน์ กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์ เป็นความสัมพันธท์ ใี่ ชก้ ับรูปสามเหล่ียมใดๆ ท่ที ราบบาง ส่วนประกอบ (ความยาวด้าน และขนาดมุม) เพอื่ หาคา่ ของส่วนประกอบทีเ่ หลือ มีประโยชน์กับ การศึกษาเรขาคณิตวเิ คราะห์ และเวกเตอร์ 1. กฎของไซน์ (Law of Sine) B “อัตราสว่ นของค่าไซนข์ องมมุ ๆ หนง่ึ ตอ่ ความยาวดา้ น ตรงขา้ ม จะเท่ากันทง้ั สามมุม” ca sin A = sin B = sin C A abc b โดยกฎของไซน์นีพ้ ิสูจนม์ าจาก พื้นทส่ี ามเหลยี่ ม ( 1 bc sin A = 1 ca sin B = 1 ab sin C ) 2 22 C 2. กฎของโคไซน์ (Law of Cosine) “เราสามารถหาความยาวดา้ นที่เหลอื ได้จากความยาวดา้ นสองด้านและขนาดมมุ ตรงกลาง” a2 = b2+ c2− 2bc cos A (ถ้ามุมตรงกลางน้ันเป็น A = 90° กฎนี้จะกลายเปน็ ทฤษฎีบทปีทาโกรสั ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 173 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ แบบฝกึ หัด 7.8 (84) กําหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้าน a ยาว 10 หนว่ ย, b ยาว 10 3 หนว่ ย และ c ยาว 10 หนว่ ย ใหห้ าขนาดมุมทั้งสาม (85) ΔABC มีดา้ น a = 2 5 , b = 4 5 และ c = 3 5 ใหห้ าค่า sin (B/2) (86) สามเหลี่ยมรูปหนงึ่ มีอตั ราสว่ นความยาวด้านทั้งสามเป็น a : b : c = 4 : 5 : 6 ใหแ้ สดงวา่ สามเหล่ียมรูปนี้มีมุมหน่งึ ขนาดเป็นสองเท่าของอกี มมุ หนงึ่ (87) ΔABC มมี ุม B = 65° , ด้าน a = 4 , c = 8 ให้หาความยาวดา้ น b (กาํ หนด cos 65° = 0.422 ) (88) ΔABC มดี ้าน c = 15 , a = 12 และ A = 27° , sin A = 0.454 จงหามมุ C (89) ΔABC มมี ุม A ขนาด 45° และ a = 2 2 , b = 2 3 จงหาขนาดของมมุ ท่เี หลือ (90) ΔABC มีมมุ B = 30° และดา้ น c = 150 , b = 50 3 ใหพ้ ิจารณาว่าสามเหล่ียมน้ีเป็น สามเหลยี่ มชนดิ ใด (91) ΔABC มีมุม A = 20° , B = 47° และดา้ น b = 12 หนว่ ย ใหห้ าความยาวด้าน a (กําหนด )sin 20° = 0.342, sin 47° = 0.731 (92) สามเหลี่ยม ABC มีคา่ (a + b + c)(b + c − a) = 3bc จงหาขนาดของมุม A (93) [Ent’38] สามเหล่ยี ม ABC มคี า่ (a + b + c)(a − b − c) = −3bc และ 4a2= 6b2 จงหาคา่ 1 + 2 sin2(3A−2B) (94) [Ent’25] ถ้าความยาวดา้ นของรูปสามเหลย่ี มเป็น x, y, x2+xy+y2 ตามลําดับ ใหบ้ อก ลกั ษณะของสามเหลย่ี มนี้ (95) เครอื่ งบินขับไลส่ องลําบินในแนวราบ ออกจากฐานทัพพร้อมกัน โดยทศิ ทางการว่งิ ทาํ มมุ กนั 38° ถา้ เคร่ืองบินมีความเร็ว 320 และ 380 ไมล์ต่อชว่ั โมง ตามลาํ ดบั จงหาระยะทางระหวา่ ง เครือ่ งบินสองลํานเี้ มือ่ เวลาผ่านไปหน่ึงชว่ั โมง ( cos 38° = 0.788 ) 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสงู ในชีวิตจรงิ การวัดระยะทางหรอื ความสงู ของส่ิงต่างๆ ไมส่ ามารถใช้เคร่อื งมอื วดั โดยตรงได้ เสมอไป เราจงึ ใช้ความรูเ้ รอื่ งตรีโกณมิติในรูปสามเหลย่ี มมุมฉากช่วยในการคาํ นวณ ศัพท์ที่ใชเ้ รยี กมุมทเี่ กดิ จากการสงั เกตน้นั คือ มมุ ก้ม (Angle of Depression) และ มมุ เงย (Angle of Elevation) โดยมมุ กม้ คือมุมที่วดั ลงไปจากแนวราบ (ระดับสายตา) สว่ นมุมเงยคือ มมุ ทว่ี ัดขน้ึ จากแนวราบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 174 ฟง กชันตรีโกณมิติ แบบฝกึ หัด 7.9 (96) ชายคนหนึง่ อยรู่ ิมเข่ือนซึ่งสูงเหนือระดบั น้าํ ทะเล 300 เมตร มองเหน็ เรือ A กบั B อยใู่ น ระนาบเดียวกัน เปน็ มุมก้ม 33° และ 20° ตามลําดบั เรือสองลาํ นอี้ ยหู่ ่างกันเท่าใด (กําหนด sin 33° = 0.5446, cos 33° = 0.8387, sin 20° = 0.3430, cos 20° = 0.9397 ) (97) หากมองจากจดุ A ซึ่งอยู่ทางทิศใตข้ องตกึ จะเหน็ ยอดตึกเปน็ มุมเงย 45° แต่หากมองจากจุด B ซึ่งอยทู่ างทิศตะวันออกของจดุ A อกี 40 เมตร จะเห็นยอดตึกเปน็ มุมเงย 30° แสดงว่าความสูง ของตกึ เปน็ กีเ่ มตร * (98) สามเหล่ยี มมุมฉาก PQR และ PQS ซ้อนทับกันโดยมีมุม Q เปน็ มุมฉากร่วมกัน และ QR : RS = 1 : 3 ให้หาค่า tan SPˆQ เมือ่ กําหนด SPˆR = arctan 0.6 [Hint: ใช้ความสัมพันธ์ arctan x ± arctan y ] เฉลยแบบฝึกหดั (คําตอบ) (1.1) 3/2 (1.2) –2 (33) 1/2 (34) 1/2 (56) 1 − 2 sin25° (2.1) 7/5 (2.2) 7/5 หรอื –1 (35) –4/3 (36) 3/2 (57.1) –1/4 (57.2) 1/2 (3.1) 1 (3.2) 1/2 (4.1) 2 (37) −(1+3 15)/4 (38) 19 (57.3) –1/8 (4.2) 0 (5) (1−a2)/2 (39) π/4 ± nπ (57.4) ( 2+1)/4 (6) ±2a/(1 − a2) (7) 20/9 (40) [π/4, 3π/4] ∪ [5π/4, 7π/4] (57.5) 1 (58) 4 (59) –1 (60) 1 (61) 39/28 (8) 4/5, 3/5, 13.33, 10.67 (41) [3π/4, 7π/4] (42) 9 (62) 12 3/25 (63) 2 (9) 8 3 ตารางหนว่ ย (43) 1+5=6 (44) ค. (45) ค. (64) 24/25 (65) sin B (10) 46°58 ' (11.1) 16 ซม. (46) 2 จดุ คือ (11.2) 52π/3 ซม. (66) ง. (67) 60° , 120° (π/4, 1/ 2),(5π/4, −1/ 2) (68) 7π/12 (69) 0 (12) 2 เรเดยี น (13) 4 นวิ้ (14) 32/π ซม. (47) ( 3+1) / 2 2 , (70.1) 33/65 (70.2) 0 ( 3 −1) / 2 2 , ( 3 −1) /( 3 +1) (70.3) 7/25 (70.4) –4/3 (15) −(3 3+1)/2 (16) 0 (48.1) 63/65, –16/65 (71) 1/ 2 , −2x/(1+x2) (17.1) θ (48.2) Q4 (49) 5/7 (72) π/4 (73) 9−4 2 (17.2) เพ่ิมขนึ้ จาก 1 ถึง ∞ (50) ±1 (51.1) 1/2 (74) π/4 (75) ... (18) เท็จทุกขอ้ ยกเวน้ (18.4) จริง (51.2) 1/2 (51.3) 0 (19.1) − sin θ (19.2) 2 (51.4) 1/2 (51.5) 0 (76.1) 7/25 (76.2) -1, 4 (76.3) 3 (76.4) 1/2 (20) 1/2 (21) 1 π/2, 3π/2 (51.6) 1/ 2 (52.1) 0 (76.5) 1 (76.6) ± 2 (22.1) เปน็ 3 เมอ่ื (52.2) 0 3/2 (76.7) ไม่มีคาํ ตอบ (77) 1 x = (53.1) (78) −3 3/2 (22.2) เปน็ –3 เมอ่ื x = π (53.2) 3/2 (54.1) 3 (79.1) π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 (23) {0, − 3/2} (24) 10 (54.2) 1/ 3 (79.2) π/6, π/2, 5π/6, 3π/2 (25) 31/20 (26) –23/17 (54.3) ( 3+B) /(1− 3B) (27) 7/13 (28) 12/5 (79.3) π/6 (79.4) 0, π, 2π (29) –1/3 (30.1) π/6, 11π/6 (54.4) 1/2 (54.5) 2 (55.1) 0 (55.2) 0 (30.2) π/12, 11π/12, 13π/12, 23π/12 (55.3) 0 (55.4) 3 (79.5) π/4 (79.6) 2π/3, 5π/4, 4π/3, 7π/4 (31) 4/5 (32) 15/17 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 175 ฟง กชนั ตรีโกณมิติ (79.7) 11π/12, 23π/12 (87) 7.28 (88) 34.6°, 145.4° (79.8) π/6, 5π/6, 3π/2 (89) 75°, 60° หรอื 15°, 120° (79.9) 0, π/3, π/2, π, 5π/3, 3π/2, 2π (90) สามเหล่ียมมมุ ฉาก A = 90° หรือ (80.1) [π/4, 3π/4] ∪ [5π/4, 7π/4] สามเหลยี่ มหน้าจัว่ A = 30° (80.2) (2π/3, 2π) (91) 5.61 (92) 60° (93) 3 (81) π/6 ± 2nπ/3 (82,83) ... (94) สามเหลย่ี มมีมมุ หนง่ึ เปน็ มมุ ปา้ น 120° (84) 30°, 120°, 30° (85) 5/8 (95) 234.86 ไมล์ (96) 359.9 เมตร (86) C = 2A เนอื่ งจาก cos C = 2 cos2A − 1 (97) 20 2 (98) 1 หรอื 4 เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธคี ดิ ) (1.1) sin 60° + sin 120° + sin 240° (4.1) จาก 1 + 1 sin2 cosec2 = 3 + 3 + (− 3) = 3 1+ θ 1+ θ 22 22 = 1 + sin2 θ = 1+ sin2 θ = 1 (1.2) cos 480° − cos 360° + cos 120° sin2 θ sin2 θ + 1+ sin2 θ 1+ 1 = cos 120° − cos 0° + cos 120° และเช่นเดยี วกนั 1 + 1 cos2 sec2 = (− 1) − 1 + (− 1) = −2 1 + θ 1 + θ 2 y2 = 1+ 1 + cos2 θ = 1+ cos2 θ = 1 cos2 θ cos2 θ + 1 1+ cos2 θ (2.1) (4,3) ∴ ตอบ 2 54 sin θ + cos θ (4.2) ให้ A = sin2 x และ B = cos2 x = 4+3 = 7 θ x จะไดว้ า่ A + B = 1 55 5 3 โจทยถ์ าม 2(A3 + B3) − 3(A2 + B2) + 1 (2.2) แก้ระบบสมการ หาจดุ ตดั ของเสน้ ตรง ลองกระจาย (A + B)3 = 13 y = 2x − 1 กับวงกลม x2 + y2 = 1 จะไดเ้ ป็น → A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = 1 x2 + (2x − 1)2 = 1 → → A3 + B3 = 1 − 3AB2 ..... (1) 5x2 − 4x = 0 → x = 0 หรอื 4 → และกระจาย (A + B)2 = 12 ถ้า x = 0 ได้ y = −1 5y → A2 + 2AB + B2 = 1 ถ้า x = 4 ได้ y = 3 (4/5,3/5) → A2 + B2 = 1 − 2AB ..... (2) 55 แทนค่าสมการ (1),(2) ลงในโจทย์ จะได้ θx ∴ sin θ + cos θ = −1 2(1 − 3A2B − 3AB2) − 3(1 − 2AB) + 1 (0,-1) หรือ 7/5 = −6A2B − 6AB2 + 6AB (3.1) cos2 35° + sin2 35° = 1 = (−6AB)(A + B − 1) = 0 (เพราะ A + B = 1 ) sec2 70° − tan2 70° = 1 (5) ยกกาํ ลังสองท้งั สองข้าง และ −cosec247° + cot2 47° = −1 sin2 θ − 2 sin θ cos θ + cos2 θ = a2 (เอกลกั ษณข์ องตรโี กณฯ) → 1 − 2 sin θ cos θ = a2 ∴ ตอบ 1 + 1 − 1 = 1 ∴ sin θ cos θ = 1 − a2 2 (3.2) sec2 x = sec2 x = 1, (6) cosec θ − sec θ = 1 − 1 2 + 2 tan2 x 2 sec2 x 2 sin θ cos θ cot2 x − cosec2 x = −1 และ = cos θ − sin θ = ±a = ± 2a sin θ cos θ (1 − a2) 1 − a2 cot2 x sin2 x + sin2 x = cos2 x + sin2 x = 1 2 ตอบ 1/2 − 1 + 1 = 1 / 2 หมายเหตุ sin θ cos θ = 1 − a2 มาจากขอ้ ที่แลว้ 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 176 ฟงกชันตรีโกณมติ ิ (7) sec C cot B cosec A B (15) [ 3 − (− 1) − (− 3)] ÷ [ 1 + (−1) + (− 1)] 4 = (5)(4)(1) = 20 A 22 22 33 9 5 C = (3 3 + 1) ÷ (−1) = − 3 3 + 1 * ค่า cosec A ดูจาก Δ ไมไ่ ด้ 22 เพราะ A = 90° ไมใ่ ชม่ ุมแหลม C 3 (16) f(2π) − f(0) = cos(− π) − cos(π) (8) จากปที าโกรสั 33 B จะได้ AD = 6 = cos π − cos π = 0 10 8 tan A = 8 = BC 33 6 10 (17.1) θ > sin θ ∴ BC = 13.33 AD เพราะ θ คอื ความยาวสว่ นโคง้ บนเส้นรอบวง cos A = 6 = 10 ∴ AC = 16.67 แต่ sin θ คือความยาวเสน้ ตรงบนแกน y 10 AC (17.2) ค่า sin θ ลดลง จาก 1 ไปสู่ 0 ∴ ค่า cosec θ (ซ่ึงเปน็ สว่ นกลับของ sin) จะได้ CD = 10.67 จะเพ่ิมขึ้น จาก 1 ถึง ∞ sin A = 8 = 4 , cos A = 6 = 3 10 5 10 5 π/2 ≈ 1.57 (18.1) sin 1° < sin 1 sin 1 1 (9) BC = 10 , พนื้ ท่ี ΔABC = 10 3 ∴ ตอบ เทจ็ sin 1° 1° ∴ 10 3 = 1 ⋅ 10 ⋅ AD → AD = 2 3 (18.2) tan 2 ติดลบ 2 tan 1 เปน็ บวก ABˆE = 120° → ABˆD = 60° → tan 60° = 3 = AD = 2 3 → 2 π/2 ≈ 1.57 DB DB 1 DB = 2 ∴ CD = 8 และ ∴ tan 1 > tan 2 พน้ื ที่ ΔACD = 1 ⋅ 8 ⋅ 2 3 = 8 3 ตร.หน่วย ข้อนี้ เท็จ (10) 2 0.0020 0.7294 = cos 43°10’ x 10’ (18.3) sin(1 − π) = − sin 1 1 0.0016 0.7310 = cos .......... ∴ ขอ้ น้ี เทจ็ 0.7314 = cos 43°0’ เทยี บบัญญัตไิ ตรยางศ์ (ประมาณค่าแบบเสน้ ตรง) 1-π ไดว้ ่า 0.0016 = x → x = 8 ' (18.4) sin(− π) < 0 จรงิ (ควอดรนั ตท์ ่ี 4) 0.0020 10 ' 6 ดงั นน้ั 0.7310 คอื cos 43°2 ' (โดยประมาณ) (18.5) sin(− 11π) < 0 เท็จ (ควอดรนั ตท์ ี่ 1) และเทา่ กับ sin θ ดงั นนั้ จากโค-ฟังกช์ ัน 6 แสดงวา่ θ = 90° − 43°2 ' = 46°58 ' (18.6) sin π = sin 6π แต่ cos π = − cos 6π 77 77 (11.1) θ = a → 2 = a → a = 16 ซม. r 3 24 ∴ tan π = − tan 6π ข้อนี้ เท็จ (11.2) ตอ้ งทาํ 130° เป็นเรเดียน แลว้ จึงคาํ นวณ 77 → 130( π ) = a → a = 13π ⋅ 24 (19.1) (− sin θ)(− tan θ)(− cot θ) = − sin θ 180 24 18 (cot θ)(tan θ) = 52π ซม. (19.2) (sin θ + cos θ)2 + (cos θ − sin θ)2 3 = (1 + 2 sin θ cos θ) + (1 − 2 sin θ cos θ) = 2 (12) θ = 8 = 2 เรเดียน (20) cos 300° + sin 90° + tan 135° 4 = 1/2 + 1 + (−1) = 1 / 2 (13) 5 = 20 → r = 4 นว้ิ (21) ข้อนี้ใช้วงกลมหน่งึ หนว่ ย ช่วยลดขนาดมุมลง r sin2(107°) + cos2(73°) sin2(37°) (14) 22.5° คดิ เป็น π เรเดียน 1 − sin2(143°) − cos2(37°) 8 sin2(73°) + cos2(73°) sin2(37°) → π=4→ r= 32 ซม. = 1 − sin2(37°) − cos2(37°) 8r π Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 177 ฟงกช ันตรีโกณมิติ = 1 − sin2(37°) = cos2(37°) = 1 (29) sin + , tan − → Q2 cos2(37°) cos2(37°) cos2(37°) det ⎜⎛2 ⎡csc x sec x ⎤ ⎞ (22.1) 2 − cos 2x มากสดุ แสดงวา่ cos 2x นอ้ ย ⎝ ⎣⎢ 1 cos x⎦⎥ ⎠⎟ สดุ → cos 2x = −1 (ตา่ํ สดุ ของ cos ) = 22(csc x cos x − sec x) ∴ 2 − cos 2x มากสุดเทา่ กับ 3 = 4(5 ⋅ (− 4) − (− 5)) =−1 เม่ือ cos 2x = −1 → 2x = π, 3π 35 4 3 (* อยา่ ลืมขยายชว่ งเปน็ 0 < 2x < 4π ) (30.1) cos θ = 3 → θ = π , 11π 2 66 ∴ x = π , 3π (30.2) cos 2θ = 3 22 2 (22.2) ต่ําสดุ เปน็ −3 เมอ่ื → 2θ = π , 11π , 13π , 23π sin(2x − π) = −1 → 2x − π = 3π 66 6 6 2 22 (ขยายชว่ ง 0 < 2θ < 4π ) [* ขยายชว่ งเปน็ − π < 2x − π < 7π] θ = π , 11π , 13π , 23π 2 22 12 12 12 12 ∴x = π (31) นํา cos x คณู สองขา้ ง (23) 5 − 3 sin 3A มคี ่ามากท่สี ดุ แสดงวา่ sin 3A = −1 → 3A = 3π , 7π sin x + 1 = 2 cos x ..... (1) 22 แต่ sin2 x + cos2 x = 1 ..... (2) แทน sin x จาก (1) ลงใน (2) [ ขยายชว่ งเปน็ 0 < A < 4π] ∴ A = π , 7π และจะได้ จะได้ cos x = 0 หรอื 4 26 5 {cos A |.....} = {cos π , cos 7π} = {0, − 3} แต่ cos x = 0 ไมไ่ ด้ เพราะในโจทยม์ คี ําวา่ tan x 26 2 กับ sec x ∴ ตอบ cos x = 4 5 (24) ควอดรนั ตท์ ี่ 1 (32) นํา sin x คูณสองขา้ ง 5 tan θ + 4 sec2 θ = 5(3) + 4(5)2 54 1 + cos x = 5 sin x ..... (1) 44 3 = 10 3 แกส้ มการเชน่ เดยี วกับขอ้ ท่แี ล้ว จะได้ (25) sin − , tan + → Q3 -4 sin x = 0 หรอื 15 / 17 -3 5 แต่ sin x = 0 ไมไ่ ด้ ดงั นน้ั ตอบ 15 / 17 tan θ − cos θ = (−3) − (− 4) = 31 (33) 2 sin x = sec x → 2 sin x cos x = 1 −4 5 20 โจทยถ์ าม sin4 x + cos4 x จงึ เร่มิ จากกระจาย (sin2 x + cos2 x)2 = 12 → (26) sin θ + cos θ sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x = 1 → = (− 15) + (− 8 ) = − 23 -8 ∴ sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 17 17 17 -15 17 = 1 − 2( 1) = 1 42 (27) sin + , cos − → Q2 (34) จาก 1 − sin2 x − cos2 x 1 + cot x 1 + tan x sin(x − π) + cos(x − π) = 1− sin3 x − cos3 x sin x + cos x cos x + sin x = − sin x − cos x 5 13 = 1 − sin3 x + cos3 x = −( 5 ) − (− 12) = 7 -12 sin x + cos x 13 13 13 = 1 − (sin2 x − sin x cos x + cos2 x) (28) sec + , 0 < θ < π → Q1 = sin x cos x → ตอบ 1 (จากขอ้ 33) 2 sin θ − cos θ = 4 / 5 − 3 / 5 = 12 tan θ − csc θ 4 / 3 − 5 / 4 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 178 ฟง กช นั ตรีโกณมติ ิ (35) cos θ = 1 − sin θ ..... (1) ∴ sin 2x = 1 → 2x = π ± 2nπ 5 2 แต่ cos2 θ + sin2 θ = 1 ..... (2) → x = π ± nπ ∴ ( 1 − sin θ)2 + sin2 θ = 1 5 4 (40) 2 sin4 x + 3 sin2 x − 2 > 0 → → 25 sin2 θ − 5 sin θ + 12 = 0 (2 sin2 x − 1)(sin2 x + 2) > 0 (5 sin θ − 4)(5 sin θ + 3) = 0 ซ่ึงพบวา่ sin2 x + 2 มากกว่า 0 เสมออย่แู ลว้ sin θ = 4 หรอื − 3 ดงั นนั้ 2 sin2 x − 1 > 0 → sin2 x > 1 55 2 โจทยก์ าํ หนด 0 < θ < π ดงั นน้ั sin θ = 4 sin x = 1 / 2 5 จาก (1) ได้ cos θ = − 3 ตอบ tan θ = − 4 sin x = − 1 / 2 53 (36) แทนค่า tan2 θ ดว้ ย sec2 θ − 1 (เอกลกั ษณ)์ จะได้ 2(sec2 θ − 1) − sec θ = 1 ตอบ [π , 3π] ∪ [5π , 7π] 44 44 → 2 sec2 θ − sec θ − 3 = 0 (41) sin θ + cos θ < 0 คอื y + x < 0 (2 sec θ − 3)(sec θ + 1) = 0 sec θ = 3 หรอื −1 ตอบ 3 (ควอดรนั ตท์ ี่ 1) ดงั นนั้ จากภาพ 22 ตอบ [3π , 7π] 44 (37) แทน sin2 x ดว้ ย 1 − cos2 x (เอกลักษณ)์ → 4(1 − cos2 x) + 11 cos x − 1 = 0 → y+x=0 4 cos2 x − 11 cos x − 3 = 0 → (42) Ax เปน็ ซิงกลู ารเ์ มตรกิ ซ์ (4 cos x + 1)(cos x − 3) = 0 → แสดงว่า det(Ax) = 0 cos x = − 1 หรอื 3 → 2 sin x cos x − 2 2 sin2 x cos2 x = 0 4 → 2 sin x cos x (1 − 2 sin x cos x) = 0 แต่ cos x = 3 เป็นไปไม่ได้ ∴ cos x = − 1 4 → sin x = 0 หรอื cos x = 0 โจทยใ์ หห้ าคา่ sin(−x) + cos(−x) + tan(−x) = − sin x + cos x − tan x หรอื sin x cos x = 1 → แกส้ มการ = −(− 15) + (− 1) − ( 15) 2 44 sin x cos x = 1 ตอ่ 2 = − 1 + 3 15 − 1−cos2 x ..ตดิ ลบเพราะ Q3 ) sin x = 0 4 ... พบวา่ ไมม่ คี าํ ตอบ ดังนนั้ ค่า x ในชว่ ง (หาคา่ sin x โดย [−2π, 2π] มี 9 ตวั ดงั ภาพ (38) จากขอ้ 37 พบวา่ cos θ = − 1 → cos x = 0 4 (43) x3 − 9x2 + 23x − 15 = 0 โจทย์ถาม cot2(θ + π) + sec(θ − 3π) → 2 → (x − 1)(x − 3)(x − 5) = 0 cos2(θ + π) x = 1 หรอื 3 หรือ 5 2 + sec(θ − π) แต่ U = {x | cos(−x) > − cos x} หรอื cos x > − cos x → 2 cos x > 0 sin2(θ + π) 2 = sin2 θ + (− sec θ) = 15 / 16 + 4 = 19 → cos x > 0 (Q1, Q4) 1 cos2 θ 1 / 16 พบวา่ cos 1 > 0 , 3 (39) (1 − sin2 2x) + 3 sin 2x − 3 = 0 → sin2 2x − 3 sin 2x + 2 = 0 → cos 3 < 0 , cos 5 > 0 (sin 2x − 2)(sin 2x − 1) = 0 → ดงั นน้ั ตอบ 1 + 5 = 6 5 sin 2x = 2 หรอื 1 [sin 2x = 2 เป็นไปไม่ได้ ] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 179 ฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ (44) f(x) =|cos x| + cos x → (48.2) เน่อื งจาก cos(A + B) เป็นบวก และ ถ้า cos x > 0 (Q1, Q4) จะได้ f(x) = 2 cos x sin(A + B) เปน็ ลบ ดงั นนั้ A + B อยู่ใน Q4 แตถ่ า้ cos x < 0 (Q2, Q3) จะได้ f(x) = 0 (49) sin A cos B + cos A sin B = 1 ..... (1) ดังนน้ั ขอ้ ค. ถกู 5 (45) พจิ ารณาคา่ จากกราฟ ตอบ ค. cosec x cos A cos B + sin A sin B = 2 ..... (2) 5 (ถา้ มี cot x ก็ถูกเชน่ กนั ) โจทยใ์ ห้ sin B = 3 → มสี องกรณคี ือ (46) หาจดุ ตัดของ y = sin x และ y = cos x 5 โดยแกร้ ะบบสมการ sin x = cos x cos B = − 4 กบั cos B = 4 55 กค็ อื tan x = 1 → x = π หรอื 5π 44 ถ้า cos B = − 4 จะได้ 5 ∴ ตอบ 2 จุด ได้แก่ (π , 1 ) กับ (5π , − 1 ) 42 42 (1) − 4 sin A + 3 cos A = 1 55 5 (ดภู าพประกอบ) sin x cos x และ (2) 3 sin A − 4 cos A = 2 55 5 Oπ 2π แก้ระบบสมการได้ cos A = − 11 ซึง่ เปน็ ไปไมไ่ ด้ ... 7 (47) sin 75° = sin(45° + 30°) ดงั นนั้ cos B = 4 เทา่ นน้ั 5 = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° จะได้ (1) 4 sin A + 3 cos A = 1 55 5 = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = 3+1 2 2 2 2 22 และ (2) 3 sin A + 4 cos A = 2 55 5 cos 5π = cos(π + π) แกร้ ะบบสมการได้ cos A = 5 ... ตอบ 7 12 4 6 = cos π cos π − sin π sin π (50) tan A = 1 → tan(5π − B) = 1 46 46 4 = 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 = 3−1 → tan 5π − tan B = 1→ 1 − tan B =1 2 2 2 2 22 1 + tan B 4 tan π − tan π 1 + tan 5π tan B 46 4 π tan(π π) tan = − = 1 + tan π tan π ∴ tan B = 0 → ถา้ 0 < B < π 12 4 6 แสดงวา่ B = 0 หรอื π ก็ได้ ... 46 1− 1 จึงตอบ cos B = 1 หรอื −1 = 3 = 3 −1 (51.1) 2 cos 75° cos 75° 1+ 1 3+1 = cos(75° + 15°) + cos(75° − 15°) 3 = cos 90° + cos 60° = 1 (48) จาก cot A = 2.4 = 12 และ A ∈ Q3 2 5 (51.2) 2 sin 25° cos 5° − sin 20° จะได้ sin A = − 5 , cos A = − 12 13 13 = (sin 30° + sin 20°) − sin 20° = 1 2 จาก sin B = 0.6 = 3 และ B ∈ Q2 5 (51.3) 2[sin 90° + sin 60°] + 2[cos 180° + cos 150°] จะได้ cos B = − 4 = 2[1 + 3 ] + 2[−1 − 3 ] = 0 5 22 (48.1) cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B (51.4) 1 1 [sin 150°+ sin 66°] + [sin 150°+ sin(−66°)] = (− 12)(− 4) − (− 5 )(3) = 63 22 13 5 13 5 65 = sin 150° = 1 / 2 sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B หรอื มองเป็นสตู ร sin A cos B + cos A sin B = (− 5 )(− 4) + (− 12)(3) = − 16 13 5 13 5 65 = sin(A + B) = sin 150° = 1 / 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 180 ฟงกชนั ตรีโกณมิติ (51.5) จงึ กระจายว่า tan 70° = tan(60° + 10°) 11 = tan 60° + B = 3 + B [cos 146°+ cos 10°] + [cos 34°+ cos 10°] − cos 10° 1 − (tan 60°)(B) 1 − 3B 22 (54.4) จาก A + B = 225° จะได้ = 1 [cos 146° + cos 34°] tan B = tan(225° − A) = 1 − tan A 2 1 + tan A = 1 [2 cos(146° + 34°) cos(146° − 34°)] โจทย์ถาม ( cot A )( cot B ) 22 2 1 + cot A 1 + cot B = cos 90° cos 56° = 0 (นํา tan A , tan B คณู ท้งั เศษและส่วน) หรอื มองเป็น “โค-ฟงั ก์ชนั ” ก่อน จะไดว้ า่ [sin 22° sin 12° + cos 22° cos 12°] − cos 10° = ( 1 )( 1 ) tan A + 1 tan B + 1 = cos(22° − 12°) − cos 10° = 0 แทนคา่ tan B จะได้ (51.6) (cos 105° + cos 35°) − cos 35° + cos 15° = cos 105° + cos 15° = 2 cos 60° cos 45° = ( 1 + 1)((1 − 1 ) =2⋅ 1 ⋅ 1 = 1 tan A tan A) 1 + 22 2 1 + tan A (52.1) [sin 5θ − sin θ] − [sin 5θ − sin 3θ] = ( 1 )( 1 + tan A )= 1 −[sin 3θ − sin θ] = 0 tan A + 1 1 − tan A + 1 + tan A 2 (52.2) − 1 [cos 9θ − cos 3θ] (54.5) sin 3θ cos θ − cos 3θ sin θ 2 sin θ cos θ − 1 [cos 3θ − cos θ] + 1 [cos 9θ − cos θ] = 0 = sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 22 sin θ cos θ sin θ cos θ (53.1) จาก sin2 A = 1 − cos 2A จะไดว้ ่า (55.1) [sin 50° + sin 10°] − cos 20° 2 = 2 sin 30° cos 20° − cos 20° โจทยถ์ าม = cos 20° − cos 20° = 0 1 [1 − cos 2A + 1 − cos(120° + 2A) + 1 − cos(120° − 2A)] (55.2) sin 10° + [cos 40° − cos 20°] 2 = sin 10° − 2 sin 30° sin 10° = 1 [3 − cos 2A − 2 cos 120° cos 2A] = sin 10° − sin 10° = 0 2 (55.3) cos 20° + [cos 100° + cos 140°] = 1 [3 − cos 2A + cos 2A] = 3 22 = cos 20° + 2 cos 120° cos 20° = cos 20° − cos 20° = 0 (53.2) เชน่ เดยี วกับขอ้ ที่แลว้ คอื (55.4) (cos 10° + cos 50°) + (cos 20° + cos 40°) จาก cos2 A = 1 + cos 2A จะไดว้ า่ (sin 10° + sin 50°) + (sin 20° + sin 40°) 2 = 2 cos 30° cos 20° + 2 cos 30° cos 10° 1 2 sin 30° cos 20° + 2 sin 30° cos 10° [1 + cos 2A + 1 + cos(120° + 2A) + 1 + cos(120° − 2A)] = 2 cos 30°(cos 20° + cos 10°) 2 2 sin 30°(cos 20° + cos 10°) = 1 [3 + cos 2A + 2 cos 120° cos 2A] 2 = 1 [3 + cos 2A − cos 2A] = 3 = cot 30° = 3 2 2 (56) sin 40° + sin 20° = 2 sin 30° cos 10° (54.1) แปลง cos 10° เป็น sin 80° กอ่ น (โค- ฟังก์ชนั ) (หรอื แปลง sin 40° เปน็ cos 50° ก็ได)้ = cos 10° = 1 − 2 sin2 5° จะได้ sin 80° + sin 40° (57.1) cos π cos 3π 2 sin π cos π cos 3π sin 70° 5 2 sin5π 5 55 = = 2 sin 60° cos 20° = 3 5 sin 70° = sin 2π cos 3π ⋅ 2 (เพราะ cos 20° = sin 70° ) 2 5 5 (54.2) 2 cos 45° sin 30° = tan 30° = 1 2 sin π 5 2 cos 45° cos 30° 3 sin π − sin π 0 − sin π (54.3) ตรงตามสตู ร tan(α − β) จงึ ไดเ้ ป็น = = = −1 5 5 4 tan 70° → ต้องตอบในรปู tan 10° = B 4 sin π 4 sin π 55 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 181 ฟง กชันตรีโกณมติ ิ (57.2) cos π + cos 3π = 2(2 cos 36° sin 18°) = 4 55 sin 54° sin 18° 2 sin π cos π + 2 sin π cos 3π (เพราะ cos 36° = sin 54° ) 55 5 5 (59) จาก 4 sin2 A + 3 cos 2B = −2 = 2 sin π 5 → 4 sin2 A + 3(1 − 2 sin2 B) = −2 sin 2π + sin 4π − sin 2π → 4 sin2 A − 6 sin2 B = −5 ..... (1) = 55 5 และจาก sin 2A sec A = sin B 2 sin π → 2 sin A cos A sec A = sin B 5 → 2 sin A = sin B ..... (2) sin 4π = = 1 (เพราะ sin 4π = sin π ) แก้ระบบสมการได้ sin B = 1, − 1 5 2 55 แต่ B ∈ [0, π] ดังน้ัน B = π เทา่ นั้น 2 sin π 22 5 (57.3) cos π cos 2π cos 4π และได้ sin A = 1 → A = π 77 7 26 2 sin π cos π cos 2π cos 4π โจทยถ์ าม 2 cos(A + B) = 2 cos 2π = −1 7 7 7 7 3 = 2 sin π (60) 3 cos 2A − 2 cos 2B = −3 7 → 3(1 − 2 sin2 A) − 2(1 − 2 sin2 B) = −3 ....(1) sin 2π cos 2π cos 4π sin A = 2 sin B ..... (2) 77 7 แทน (2) ใน (1) จะได้ = 2 sin π 7 sin 4π cos 4π sin 8π −1 3 − 24 sin2 B − 2 + 4 sin2 B = −3 8 = 77 = 7 = → sin2 B = 1 → แต่ B อยู่ใน Q1 5 4 sin π 8 sin π 77 ∴ sin B = 1 เทา่ นนั้ และจะได้ cos B = 2 (เพราะ sin 8π = − sin π ) 55 77 →∴ sin A = 2 sin B = 2 , cos A = 1 (57.4) 2 sin 5π cos π = sin π + sin π 55 24 24 46 โจทย์ถาม sin(A + B) 22 = 1 ( 2 + 1) = 2 + 1 = sin A cos B + cos A sin B 22 2 4 = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 =4+ 1 =1 (57.5) 8 sin 70° sin 50° sin 10° ⋅ cos 10° 5 5 5 5 55 cos 10° (61) หาคา่ sin 3θ → sin 3θ = sin(2θ + θ) = 4 sin 70° sin 50° sin 20° ⋅ cos 20° = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ cos 10° cos 20° = (2 sin θ cos θ) cos θ + (1 − 2 sin2 θ) sin θ ( sin 70° = cos 20° ) = 2 sin θ(1 − sin2 θ) + (1 − 2 sin2 θ) sin θ = 2 sin 50° sin 40° = −(cos 90° − cos 10°) = 1 = 3 sin θ − 4 sin3 θ → ดงั นนั้ แก้สมการไดเ้ ป็น cos 10° cos 10° (58) (tan 9° + tan 81°) − (tan 27° + tan 63°) 3 sin θ + sin θ = 1 → sin θ = 1 → 4 = (tan 9° + cot 9°) − (tan 27° + cot 27°) โจทย์ถามค่า sec 2θ + cos(3π + θ) = ( sin 9° + cos 9°) − ( sin 27° + cos 27°) 2 cos 9° sin 9° cos 27° sin 27° = 1 + sin θ = 1 + sin θ = sin2 9° + cos2 9° − sin2 27° + cos2 27° cos 2θ 1 − 2 sin2 θ sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° = 1 + 1 = 8 + 1 = 39 1− 2 4 7 4 28 = 1− 1 sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° 16 = 2 − 2 = 2(sin 54° − sin 18°) sin 18° sin 54° sin 54° sin 18° Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 182 ฟง กช ันตรีโกณมติ ิ (62) cos α cos β − sin α sin β = 3 − 4 3 (67) arcsin( 3) = π 10 23 ..... (1) และ arccos(− 1) = 2π cos α cos β + sin α sin β = 3 + 4 3 ..... (2) 23 10 (1) + (2) → cos α cos β = 3 (68) 2(− π) + π + π = 7π 34 12 2 10 (69) cos(arcsin(cos 2π) + 2π) (2) − (1) → sin α sin β = 4 3 77 2 10 = cos((π − 2π) + 2π) = cos π = 0 ∴ sin 2α sin 2β = 4 sin α cos α sin β cos β 27 7 2 = 4( 3 )(4 3) = 12 3 (70.1) ให้ A = arccos 4 จะได้ cos A = 4 10 10 25 55 (63) sin 2x = 2 sin x cos x 1 และ sin A = 3 1 + cos 2x 1 + 2 cos2 x − 5 = sin x = tan x = 2 ให้ B = arccos 12 จะได้ cos B = 12 และ cos x 13 13 (64) tan θ = 1 → แสดงวา่ sin θ = 1 sin B = 5 3 10 13 และ cos θ = 3 (เพราะ อย่ใู น Q1 ) [ sin ของ arccos เปน็ บวกเสมอ] 10 θ โจทยถ์ าม cos(A + B) ∴ sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ = cos A cos B − sin A sin B = 4 ⋅ 12 − 3 ⋅ 5 = 33 = 2(2 sin θ cos θ)(1 − 2 sin2 θ) 5 13 5 13 65 = 2(2)( 1 )( 3 )(1 − 2 ) = 96 = 24 10 10 10 100 25 (70.2) ให้ A = arccos 3 และ B = arcsin(− 4) 55 (65) [sin(A + B) − sin(A − B)] โจทยถ์ าม sin(A + B) − [sin(2A + B) − sin(2A − B)] = sin A cos B + cos A sin B = 2 cos A sin B − 2 cos 2A sin B = 2 sin B (cos A − cos 2A) = 4 ⋅ 3 + 3 ⋅ (− 4) = 0 55 5 5 = 2 sin B ( 5 + 1 − 2( 5 + 1)2 + 1) 44 [ cos ของ arcsin ก็เปน็ บวกเสมอเชน่ กนั ] (70.3) cos(2A) = 1 − 2 sin2 A = 2 sin B ( 5 + 1 − 3 + 5 + 1) = sin B 44 = 1 − 2 (9/25) = 7 / 25 (66) ก. ถูก (ตรงตามสตู รชุดทสี่ อง) (70.4) tan(2A) = 2 tan A = 2 (−1 / 2) = −4 ข. −2 sin(x + y) sin(x − y) 1 − tan2 A 1− 1/ 4 3 −2 [หมายเหตุ sin A = − 1 , cos A = 2 = cos 2x − cos 2y 55 −2 ∴ tan A = − 1 ] = 1 − 2 sin2 x − 1 + 2 sin2 y 2 −2 (71) ก. sin(π + 2A) 2 = sin2 x − sin2 y ถกู = sin π cos 2A + cos π sin 2A = cos 2A ค. 2 cos(x + y) cos(x − y) 2 22 = cos 2x + cos 2y = 2 cos2 A − 1 → หาคา่ cos A โดยท่ี 2 tan A = 2 − 1 กอ่ น ... = 2 cos2 x − 1 + 1 − 2 sin2 y แก้ระบบสมการ sin A = ( 2 − 1) cos A 2 กบั sin2 A + cos2 A = 1 ได้ cos2 A = 1 4−2 2 = cos2 x − sin2 y ถกู ง. ผิด เพราะต้องได้ cos(5x − x) = cos 4x ∴ ตอบ 2( 1 ) − 1 = 2 − 1 = 1 4−2 2 2− 2 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 183 ฟงกชันตรีโกณมิติ ข. cos(3π − 2A) → arctan 5 / 12 + 16 / 63 = arctan 3 2 1− 5 ⋅ 16 4 = cos 3π cos 2A + sin 3π sin 2A = − sin 2A 12 ⋅ 63 22 → arctan 3 = arctan 3 ..OK.. 44 = −2 sin A cos A → หาคา่ sin A กับ cos A (76) การแก้สมการในข้อน้ี ส่วนมากทาํ ได้ 2 วธิ ี โดยท่ี tan A = x ... ไดเ้ ปน็ (เชน่ เดียวกับขอ้ ท่แี ล้ว) คอื 1. ใสฟ่ งั กช์ นั sin, cos, sin A = x , cos A = 1 1 + x2 1 + x2 หรอื tan ทง้ั สองขา้ ง กบั 2. ใช้สูตร arctan ดังนนั้ ตอบ −2x แต่บางกรณจี ะทาํ เปน็ arctan ไม่ได้ คอื เมื่อเปน็ 1 + x2 arccos (-) [เพราะนยิ ามไว้คนละควอดรนั ต์กัน] (72) A + B = arctan 1 + 2 arcsin 1 ...ในข้อ (76.1) จะแสดงไวท้ ั้งสองวธิ ี แตห่ ลงั จากนนั้ 7 10 จะเลอื กแสดงเพยี งวธิ ที ส่ี นั้ กว่าเพยี งวธิ เี ดยี วเทา่ นนั้ .. แปลงเปน็ arctan เพื่อใช้สูตร ไดเ้ ปน็ (76.1) วธิ ที ี่ 1 cos(arccos 4 − arcsin(− 3)) = x 55 arctan 1 + 2 arctan 1 73 → 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 3) = x → x = 7 55 5 5 25 = arctan 1 + arctan 2 / 3 7 1− 1/ 9 วิธที ่ี 2 arctan 3 − arctan(− 3) = arccos x 44 = arctan 1 + arctan 3 = arctan 1 =π → arctan 3 / 4 + 3 / 4 = arccos x 74 4 1 − 9 / 16 = arctan 1 / 7 + 3 / 4 1 − 3 / 28 arctan 24 = arccos x → x = 7 7 25 (73) sin A = 1 → cos A = − 8 33 (76.2) x2 − x = tan(arcsin 7 + arccos 4) 3 25 5 (ตดิ ลบ เพราะ A อยูใ่ น Q2 ) → tan A = − 1 8 → x2 − x = 7 / 24 + 3 / 4 = 4 tan π + tan A 3 1 − 7 / 32 3 และ 7 tan(π 4 + A) = 7 ⋅ tan π → x2 − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0 4 1 − tan A 4 → x = 4, − 1 = 7 ⋅ 1 − 1 / 8 = 7( 8 − 1) = 7( 8 − 1)2 (76.3) 1 / 7 + 1 / 8 1 = arccot x arctan + arctan 1+ 1/ 8 8+1 7 1 − 1 / 56 18 =9−4 2 → arctan 3 + arctan 1 = arccot x 11 18 (74) A + B + C = arctan 1 + arctan 1 + arctan 1 258 → arctan 3 / 11 + 1 / 18 = arccot x 1 − 1 / 66 = arctan 1 / 2 + 1 / 5 + arctan 1 1 − 1 / 10 8 → arctan 1 = arccot x → x = 3 3 = arctan 7 + arctan 1 = arctan 7 / 9 + 1 / 8 98 1 − 7 / 72 (76.4) arctan 2x + 1 + 2x −1 = arccos 1 1 − (4x2 − 1) 5 = arctan 1 = π → arctan 2x = arccos 1 4 − 2x2 5 (75) วิธีที1่ ใส่ sin ทัง้ สองขา้ ง จะได้ 1 sin(arccos 12 + arcsin 16) = 3 → 2x =2 (เพราะ arccos 1 )= arctan 2 13 65 5 1 − 2x2 5 → 5 ⋅ 63 + 12 ⋅ 16 = 3 → แก้สมการได้ x = 1 , − 1 13 65 13 65 5 2 → 315 + 192 = 3 → 3 = 3 ..OK.. ตรวจคาํ ตอบแลว้ พบว่า x = 1 เท่านน้ั ทใ่ี ช้ได้ 13 ⋅ 65 5 5 5 2 วธิ ีท2ี่ ใชส้ ตู ร arctan จะได้ (76.5) arctan x + 2(π) = 3π 44 arctan 5 + arctan 16 = arctan 3 12 63 4 → arctan x = π → x = 1 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 184 ฟง กช ันตรีโกณมิติ (76.6) ใส่ tan ทัง้ สองข้าง ดังนน้ั cos θ = 0 หรอื sin θ = 1 หรือ 2 → 1+ x + 1− x = 1 1 − (1 − x2) sin θ = −1 ... ∴ θ = π , π , 5π , 3π 62 6 2 → 2 = 1→ x = ± 2 x2 (79.3) 2 sin 2θ + 3 cos 2θ − 3 = 0 (76.7) ใส่ sin ท้งั สองข้าง sin 2θ sin 2θ → 2 sin2 2θ + 3 cos 2θ − 3 = 0 → ( 3)(0) + (− 1)(1) = x → x = − 1 → 2 (1 − cos2 2θ) + 3 cos 2θ − 3 = 0 22 2 → 2 cos2 2θ − 3 cos 2θ + 1 = 0 แต่ arccos(− 1) + π = 2π + π = 7π 22 32 6 → (2 cos 2θ − 1)(cos 2θ − 1) = 0 ซ่งึ ไม่อยใู่ นช่วง arcsin (แม้วา่ sin 7π = − 1 → cos 2θ = 1 หรอื 1 / 2 62 แต่ cos 2θ = 1 ไมไ่ ด้ เพราะจะทาํ ให้ sin 2θ = 0 ดังนน้ั cos 2θ = 1 / 2 เทา่ นนั้ กต็ าม ..แต่ arcsin(− 1) = − π ) ∴ ไมม่ คี าํ ตอบ 26 → 2θ = π → θ = π (77) จาก arctan 3x − arctan x = π 36 6 (79.4) (cos2 x − sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = 1 จะได้วา่ arctan 3x −x = π 1+ 3x2 → cos2 x − sin2 x = 1 → cos 2x = 1 6 → 2x = 0, 2π, 4π → x = 0, π, 2π → 2x = 1→ 3x2 − 2 3x + 1 = 0 1 + 3x2 3 → ( 3x − 1)2 = 0 → x = 1 (79.5) 4 sin2 x − 6 sin x + 2 =0 3 cos x cos2 x ดังนนั้ tan(arctan 3x + arctan x) → 4 sin2 x cos2 x − 6 sin x cos x + 2 = 0 2 → sin2 2x − 3 sin 2x + 2 = 0 = tan(arctan 3 + arctan(1 / 3)) → (sin 2x − 2)(sin 2x − 1) = 0 x= π 2 → sin 2x = 1 เทา่ นน้ั ∴ 2x = π → 4 = tan(π / 3 + π / 6) = tan π = 1 2 24 (79.6) (78) cos2(arctan x) = 1 (4 sin x cos x + 2 sin x) + (2 2 cos x + 2) = 0 4 → 2 sin x (2 cos x + 1) + 2 (2 cos x + 1) = 0 → cos(arctan x) = 1 หรอื − 1 22 → (2 sin x + 2)(2 cos x + 1) = 0 → x = 3 หรอื − 3 ดงั นน้ั sin x = − 1 หรอื cos x = − 1 22 แตโ่ จทย์กําหนด 1 <1 ดังน้นั x = − 3 เทา่ น้นั → x = 2π , 5π , 4π , 7π ex 3434 [e 3 > 1] ∴ x + tan(arctan x) = x + x = 3x = −3 3 (79.7) 2 [ 1 sin x + 3 cos x] = sec(x + π) 2 22 2 22 3 sin x − 1 − sin x − 1 (79.1) sin2 x − 1 = 4 → 2 [sin x cos π + cos x sin π] = sec(x + π) −2 1 333 − cos2 x 2 → = 4 → cos x = ± → 2 sin(x + π) = sec(x + π) → x = π , 3π , 5π , 7π 33 44 4 4 → 2 sin(x + π) cos(x + π) = 1 (79.2) จาก sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ 33 = 4 sin θ cos θ (1 − 2 sin2 θ) จะไดว้ า่ → sin(2x + 2π) = 1 3 โจทยก์ ลายเปน็ → 2x + 2π = 5π , 9π → x = 11π , 23π 3 22 12 12 4 sin θ cos θ − 8 sin3 θ cos θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos θ → 2 cos θ (3 sin θ − 4 sin3 θ − 1) = 0 → 2 cos θ (2 sin θ − 1)2(sin θ + 1) = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 185 ฟง กชันตรีโกณมติ ิ (79.8) 2 sin2 x + sin x + 1 = 2 2 sin2 x + sin x (82.1) [โคฟังกช์ ัน] อาจพสิ จู นจ์ ากสตู ร tan(α − β) ให้ 2 sin2 x + sin x = A จะได้วา่ คอื tan(90° − A) = tan 90° − tan A A + 1 = 2 A → A2 + 2A + 1 = 4A 1 + tan 90° tan A → A2 − 2A + 1 = 0 → A = 1 [ tan 90° = ∞ จงึ ตอ้ งนาํ ไปหารทัง้ เศษและส่วน] ∴ 2 sin2 x + sin x = 1 = 1− tan A = 1−0 = cot A 1 tan 90° 0 + tan A → (2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0 + tan A → sin x = 1 หรอื −1 → x = π , 5π , 3π tan 90° 2 66 2 (82.2) จาก cos 2A = 1 − 2 sin2 A (79.9) ใช้ผลทคี่ ิดไว้ในขอ้ (61) คือ sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x ดังน้นั โจทย์กลายเป็น → sin2 A = 1 − cos 2A ..... (1) 2 sin x − 2 sin x cos x + 3 sin x − 4 sin3 x = 0 → 2 sin x (2 − cos x − 2 sin2 x) = 0 และ cos 2A = 2 cos2 A − 1 → 2 sin x (2 − cos x − 2(1 − cos2 x)) = 0 → cos2 A = 1 + cos A ..... (2) 2 → 2 sin x (− cos x + 2 cos2 x) = 0 (1) ; tan2 A = 1 − cos 2A (2) 1 + cos 2A → 2 sin x (cos x)(2 cos x − 1) = 0 ถา้ ให้ A = x จะได้ tan2 x = 1 − cos x 2 2 1 + cos x → sin x = 0 หรอื cos x = 0 หรอื cos x = 1 2 (82.3) จาก ∴ x = 0, π , π , π, 3π , 5π , 2π (1) sin x + sin y = 2 sin(x + y) cos(x + y) 22 32 2 3 และ (2) cos x + cos y = 2 cos(x + y) cos(x + y) (80.1) (2 sin2 x − 1)(sin2 x + 2) > 0 → 22 หรอืsin2 x > 1 → sin x > 1 sin x < − 1 (1) ; sin x + sin y = tan(x + y) 22 2 (2) cos x + cos y 2 sin x = 1 / 2 (82.4) จาก 1 − cos2 x = sin2 x นาํ tan2 x คณู สองขา้ ง → tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x sin x = − 1 / 2 (82.5) (cos A − sin A)2 22 ตอบ [π , 3π] ∪ [5π , 7π] 44 44 = cos2 A − 2 sin A cos A + sin2 A 2 22 2 (80.2) 3 sin x + 1 cos x < 1 22 2 = 1 − sin A → cos π sin x + sin π cos x < 1 (83) ผลจากข้อ (82.3) จะไดว้ า่ 6 62 sin A + sin B = tan(A + B) cos A + cos B 2 → sin(x + π) < 1 แต่ A + B = 180° − C 62 ∴ จะไดเ้ ปน็ tan(180° − C) = tan(90° − C) 22 → x + π ∈ (5π , 13π) ตอบ x ∈ (2π , 2π) = cot C [โคฟังกช์ นั ] 6 66 3 2 (81) 1 − 2 sin2 θ = sin θ (84) ใช้กฎของ cos หามมุ A ก่อน ... → (2 sin θ − 1)(sin θ + 1) = 0 102 = (10 3)2 + 102 − 2(10 3)(10) cos A → sin θ = 1 หรอื −1 → cos A = 3 ∴ A = 30° 2 2 ตอบ π ± 2π n จากนั้นอาจใช้กฎของ cos หามมุ B, C 63 หรือจะใช้กฎของ sin ก็ได้ แตจ่ ากการสงั เกตพบวา่ ΔABC เปน็ สามเหลี่ยมหนา้ จวั่ (เพราะ a = c ) เมอ่ื n คอื จาํ นวนเต็ม ดงั นนั้ c = 30° ด้วย และ B = 180° − 30° − 30° = 120° Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 186 ฟงกชันตรีโกณมิติ (85) (4 5)2 = (2 5)2 + (3 5)2 − 2(2 5)(3 5) cos B (94) (x2 + xy + y2) = x2 + y2 − 2xy cos A → cos B = − 1 (แสดงวา่ B อยใู่ น Q2 ) จะได้ cos A = − 1 คอื เป็นสามเหลย่ี มมุมปา้ น 4 2 จาก cos B = 1 − 2 sin2 B (95) x = 3202 + 3802 − 2(320)(380)(0.788) 2 = 234.86 ไมล์ 320 x ∴ sin2 B = 5 → sin B = 5 28 28 38° (เปน็ บวกเทา่ นนั้ เพราะ B ตอ้ งอยใู่ น Q1 ) 2 (96) 380 (86) ให้ a = 4x, b = 5x, c = 6x จะไดว้ ่า h = tan A → x = h cot A AB x h (4x)2 = (5x)2 + (6x)2 − 2(5x)(6x) cos A h = tan B → y = h cot B y → cos A = 3 ... 4 ∴ y − x = h (cot B − cot A) AB x และดว้ ยวิธเี ดยี วกันได้ cos B = 9 , cos C = 1 ดงั นน้ั เรอื อยู่หา่ งกัน 16 8 y = 300 (0.9397 − 0.8387) พบวา่ 2 cos2 A − 1 = 2(3)2 − 1 = 1 = cos C 0.3430 0.5446 48 → ∴ C = 2A = 359.9 เมตร (87) b2 = 42 + 82 − 2(4)(8)(0.422) = 52.992 (97) h = tan 45° → AC = h cot 45° AC → b = 7.28 h = tan 30° → BC = h cot 30° (88) กฎของ sin → sin C = 0.454 ดังนนั้ BC h 15 12 A 45° sin C = 0.5675 → C ≈ 34.6° หรอื 145.4° (89) sin B = sin 45° → sin B = 3 แต่ AC2 + 402 = BC2 40 30° C 23 22 2 B N ดงั นนั้ B = 60° → C = 75° ∴ h2 cot2 45° + 402 = h2 cot2 30° arctan 0.6 หรอื B = 120° → C = 15° → h= 40 (90) sin C = sin 30° → sin C = 3 cot2 30° − cot2 45° 150 50 3 2 = 40 = 20 2 เมตร 3−1 ดังนนั้ C = 60 → A = 90° สามเหลย่ี มมุมฉาก (98) ให้ PQ ยาว a P หรอื C = 120° → A = 30° สามเหลี่ยมหนา้ จ่วั และ QS ยาว 4b (91) a = 12 → a = 5.61 a 0.342 0.731 b 3b S (92) กระจายแล้วจดั ขา้ งเปน็ a2 = b2 + c2 − bc QR ∴ cos A = 1 → A = 60° จากความสัมพันธ์ SPˆR + RPˆQ = SPˆQ 2 จะได้ arctan 0.6 + arctan b = arctan 4b (93) กระจายแลว้ ได้ a2 = b2 + c2 − bc เชน่ กัน aa ∴ cos A = 1 → A = 60° → arctan( 0.6 + b / a ) = arctan 4b 2 1 − 0.6 b / a a จาก 4a2 = 6b2 → a = 3/2 b → ใช้กฎของ sin ได้วา่ 3/2 b b → ตดั arctan ออกท้งั สองขา้ งแลว้ จดั รูปสมการ ได้เป็น = sin 60° sin B → a2 − 5ab + 4b2 = 0 sin B = 1 → B = 45° หรอื 135° → (a − 4b)(a − b) = 0 2 → a = 4b หรอื a = b แต่ 135° + 60° > 180° ∴ B = 45° เทา่ นนั้ ∴ tan SPˆQ = 4b = 1 หรอื 4 → 1 + 2 sin2(3A − 2B) = 1 + 2(1)2 = 3 a Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 187 ฟง กชันเอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ ึม exp+ logar º··èÕ 8 ¿§˜ ¡ª¹a eo¡æ«Åoa¾Åeo¹¡¹Òeêi·ÂÕ ÁÖÅ การเพิม่ ขึ้นหรือลดลงของจํานวนประชากรตาม ธรรมชาติ ปรมิ าณรงั สี หรือเงนิ ฝากในธนาคาร โดยท่ัวไปไมไ่ ด้เปน็ สดั สว่ นแบบเส้นตรง แตเ่ ป็นแบบ ทวคี ณู (ยกกาํ ลงั ) ทาํ ใหเ้ ราจาํ เปน็ ตอ้ งศกึ ษาเกี่ยวกบั เลขยกกาํ ลงั รวมทัง้ ฟงั ก์ชันที่เก่ียวข้อง คือ ฟงั กช์ ัน เอกซโ์ พเนนเชยี ล (Exponential Function) และ ฟงั กช์ ันลอการทิ มึ (Logarithmic Function) 8.1 ฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชยี ล และกฎของเลขยกกาํ ลงั เลขยกกําลงั จะเขยี นในรปู an เรียก a วา่ ฐาน และเรยี ก n ว่า เลขชกี้ าํ ลงั (Exponent) โดย an ใชแ้ ทน a คูณกนั เป็นจํานวน n ตวั หรอื an = a ⋅ a⋅ a ⋅ ... ⋅ a 1 n ตัว an นิยามให้ a0 = 1, a−n = (โดยที่ a ≠ 0) และ a1/n = n a Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 188 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม ทฤษฎีบทท่ีเกยี่ วกับเลขยกกาํ ลังไดแ้ ก่ ⎧ am ⋅ an = am + n ⎧⎪ (ab)n = an ⋅ bn ⎪ • ⎨ (a/b)n = an / bn • ⎨ am ⎪⎩ ⎪⎩ an = am − n (am)n amn ⎧ n ab = n a ⋅ n b ⎧ = ⎪⎪ ⎪ m • ⎨ na na • ⎨ ⎪ b = nb ⎪⎩ ⎩⎪ n am = a n โดย n เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ (ไม่จําเปน็ ตอ้ งเป็นจาํ นวนเต็ม) และกรณีกรณฑ์ n ≠ 0 หมายเหตุ คําว่า รากทส่ี อง กับเครือ่ งหมาย กรณฑ์ (radical : • หรอื •1/2 ) มคี วามหมายต่างกนั “รากท่สี อง ของ 16” ได้แก่ 4 และ –4 แต่ “ 16 หรือ ”161/2 มคี า่ เทา่ กับ 4 อย่างเดียวเทา่ นั้น การหารากท่สี องของ M ± N พจิ ารณา ( a + b)2 = (a+b) + 2 ab และ ( a − b)2 = (a+b) − 2 ab ดังนน้ั ถ้าเราให้ a+b = M และ 4ab = N แล้วแก้ระบบสมการหาคา่ a, b ก็จะได้คําตอบ สรุป รากที่สองของ M + N ไดแ้ ก่ ±( a+ b) รากทส่ี องของ M − N ได้แก่ ±( a− b) เมอ่ื a+b = M และ 4ab = N เชน่ รากทสี่ องของ 6 − 35 หาได้จาก a+b = 6 และ 4ab = 35 นนั่ คอื a, b = 3.5, 2.5 จึงไดค้ าํ ตอบว่า 3.5− 2.5 และ 2.5− 3.5 รากทส่ี องของ 72 + 40 หาไดจ้ าก a+b = 72 = 6 2 และ 4ab = 40 นน่ั คือ a, b = 5 2, 2 จึงได้คาํ ตอบวา่ 5 2 + 2 และ − 5 2 − 2 การแก้สมการทมี่ ีเครอ่ื งหมายกรณฑ์ (1) สมการทมี่ ี ax+b บวกลบกันอยหู่ ลายพจน์ ควรย้ายข้างใหจ้ ํานวนพจน์เทา่ ๆ กัน และ สัมประสทิ ธห์ิ น้า x รวมเท่าๆ กนั ที่สุด จากนัน้ จงึ ยกกาํ ลังท้งั สองขา้ งไปจนกว่าเครอ่ื งหมายกรณฑ์จะ หมดไป ... การยกกาํ ลังเช่นนี้ มักทําให้ไดค้ าํ ตอบเกิน ดังนนั้ ตอ้ งตรวจคําตอบเสมอ (2) หากสง่ิ ทีอ่ ยู่ในเคร่ืองหมายกรณฑน์ ั้นยาวมาก ใหส้ มมติส่ิงน้ันเปน็ ตวั แปร A ไปกอ่ น แล้วทาํ ตวั แปรท่ีเหลือในสมการใหอ้ ย่ใู นรูป A ทง้ั หมด เพ่ือใหส้ มการสั้นลงและคาํ นวณสะดวกขึ้น • ตัวอยาง ใหห าเซตคาํ ตอบของสมการตอ ไปนี้ ก. x + 1 = 4x + 9 วิธีคิด ยกกําลังสองท้ังสองขา ง จะได x2+ 2x + 1 = 4x + 9 → x2− 2x − 8 = 0 แยกตวั ประกอบไดเ ปน (x − 4)(x + 2) = 0 ... ดงั นน้ั คาํ ตอบนาจะเปน 4, −2 แตเ มื่อลองแทนคาแลวพบวา 4 ทาํ ใหส มการเปน จรงิ แต −2 ใชไมไ ด ... ดังนน้ั ตอบ {4} ข. x2 − 7 + x2 − 12 = 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 189 ฟงกชันเอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ ึม วธิ ีคดิ สมมติให x2− 7 = A เพื่อใหมองงายข้ึน ... กลายเปน A + A − 5 = 5 ยายขางสมการใหมีจาํ นวนกรณฑส องฝง เทาๆ กนั คือ A − 5 = 5 − A จากนัน้ ยกกําลังสองทั้งสองขาง ไดเปน A − 5 = 25 − 10 A + A → A = 3 ยกกําลงั สองอีกคร้ัง ... A = 9 ... ตรวจสอบคาํ ตอบใน A + A − 5 = 5 แลว พบวา ใชไ ด ดังนนั้ x2 − 7 = 9 → x2 = 16 → x = 4, − 4 ... จึงตอบ {4, − 4} ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชียล คือฟังก์ชนั เลขยกกําลัง กาํ หนดรูปทว่ั ไปเป็น f (x) = ax โดยคา่ ของฐาน a อยู่ในช่วง (0, 1) หรอื (1, ∞) เท่าน้ัน นาํ มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี y y (0,1) (0,1) Ox Ox y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 ฟังก์ชันเพ่มิ ฟงั กช์ ันลด ข้อสังเกต 1. คา่ x เปน็ อะไรก็ได้ แต่คา่ y เป็นบวกเสมอ ... Dexp = R , Rexp = R+ 2. ในทีน่ ้ีกราฟผา่ นจุด (0, 1) เสมอ ... เนอ่ื งจาก a0 = 1 ทุกๆ คา่ a ทไี่ มใ่ ช่ศูนย์ 3. จากการเล่ือนแกนทางขนาน จะได้สมการเอกซ์โพเนนเชยี ลเป็น y−k = ax−h แบบฝกึ หัด 8.1 (1) จงทําให้เป็นรูปอย่างงา่ ย 1 (1.1) 327 ⋅ 4 − 17 (1.4) ⎛ 729n + 812n ⎞ n (1.2) (x−3y−2z0)−2 ⎝⎜ 27n + 243n ⎠⎟ (1.5) ⎛ 4n⋅ 9n + 1 + 32n⋅ 22n + 1 ⎞ ⎜⎝⎜ 9n⋅ 22n + 2 + 4n⋅ 32n + 1 ⎠⎟⎟ (1.3) ⎛ 4x−2 − 4x−1+ 1⎞ ⎝⎜⎜ 2x−2 − x−1 ⎟⎟⎠ (2) จงทาํ ให้เป็นรปู อยา่ งง่าย (2.1) ⎛ 3a+ a− 75 a + 4a ⎞2 ⎜ 5 3 3 ⎟ ⎝ 3 ⎠ (2.2) ⎛ 2⎞ ⎜⎝⎜ x2 − x4 + 2x2 + 1 ⎟⎠⎟ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 190 ฟงกช ันเอกซโพเนนเชียลและลอการทิ ึม (3) ให้หาคา่ ของ (3.1) ⎛1 + 1+ 1 + ... + 1⎞ ⎜ 2+ 3 3+ 4 ⎟ ⎝ 1 + 2 8+ 9 ⎠ (3.2) ⎛ 5− 2+ 5+ 2 ⎞ ⎝⎜⎜ 5+ 2 5− 2 ⎟⎠⎟ (3.3) ( 18 + )320 ( )(3.4) 10 + 84 − 10 − 84 (3.5) ⎛ 2+ 3− 5⎞ ⎝⎜⎜ 12 − 2 35 7 − 2 10 9 − 2 14 ⎟⎠⎟ (3.6) ⎛⎜(6 + 35)3 2 − (6 − 35)3 2 ⎞ ⎟ ⎝ 13 10 ⎠ (4) ตอบคําถามต่อไปน้ี (4.1) [Ent’20] ให้หาคา่ ของ x2− 4xy + y2 เมื่อ x = 6 + 3 และ y = 6− 3 6− 3 6+ 3 (4.2) ให้เรยี งลําดับจํานวนจากน้อยไปมาก ก. 3 25 3 ข. 5 20 3 ค. 7 15 3 ง. 9 10 3 (4.3) ถา้ 2.44 × 7.17 = 0.56 แลว้ ให้หาคา่ ของ 0.0244 × 71.7 3.9 × 8 390 × 0.008 (5) ข้อความตอ่ ไปนี้ถกู หรอื ผดิ (5.1) ถ้า ax > 1 และ 0 < a < 1 แลว้ x > 0 (5.2) ถ้า x < 0 และ a > 1 แลว้ 0 < ax < 1 (5.3) 5 2 < 5 3 (5.4) (sin 1°) 3 < (sin 1°) 2 (5.5) (tan 46°) 2 < (tan 46°) 3 (6) ให้หาคาํ ตอบของสมการ S ¨u´·¼èÕ i´º‹oÂ! S (6.1) [Ent’33] x 1/2 − x 1/4 − 6 = 0 (6.2) 2x+1 = x + 1 ãËˌ Ò¤‹Ò x ·Õè·Òí ãˌ 2x = 0 (6.3) [Ent’33] 2x+1 − x−3 = 2 ¹oŒ §æ ËÅÒ¤¹µoºÇҋ 0 ... 测·è¨Õ çi ¤×o äÁ‹ÁÕ¤Òí µoº (6.4) 2x−3 + x+2 = 7x−5 1. 20 = 1 ¹a (6.5) x2 + 6 x2 −2x+5 = 11 + 2x 2. 2 ¡¡Òí ŧa ´ÇŒ ¨íҹǹ¨Ã§i ã´¡äç ÁÁ‹ շҧ䴌 0 ¹a¤Ãºa æÅaäÁNj ҋ ¨ae»¹š eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅã´æ ¡çäÁÁ‹ ·Õ ҧ䴌 0 (6.6) (x + 1) 2 = 5( x2 +2x+2 − 1) (´Ù¨Ò¡¡ÃÒ¿¡äç ´¤Œ úa ¤‹Ò y ·èäÕ ´µŒ Œo§e»¹š ºÇ¡eÊÁo) (6.7) x2 +3x+15 + x2 +3x+6 = 9 (6.8) 2x2 −6x−27 − x2 −6x−2 = x − 5 (6.9) 3 6(5x+6) − 3 5(6x−11) = 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 191 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการทิ ึม 8.2 การแก้สมการทเ่ี ป็นเอกซ์โพเนนเชยี ล (1) สมการในรูป af(x) = bg(x) จะต้องแปลงฐานทง้ั สองข้างให้เทา่ กัน เพอื่ กําจัดฐานทิง้ ไป ตามสมบตั ิทว่ี า่ aM= aN ↔ M = N (2) ถา้ มพี จนเ์ ลขยกกําลังฐานเดียวกนั บวกลบกนั อยู่ เชน่ ax, a2x อาจสมมติเปน็ ตัวแปร A, A2 เพื่อให้คาํ นวณสะดวกข้ึนเช่นเดิม (ฐานมักจะเป็นจาํ นวนเฉพาะ) แต่ถา้ มีฐานอื่นอย่ดู ว้ ย จะใช้ ตัวแปร B อีกอันกไ็ ด้ และเมือ่ จดั กลุ่มเลขยกกาํ ลงั เปน็ พวกๆ แล้ว จึงทําการคํานวณต่อไป (3) อสมการ ใช้สมบตั ิของฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังกช์ ันลด ในการกาํ จัดฐาน คือ aM> aN ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟังกช์ ันเพิม่ ) และ aM> aN ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังกช์ ันลด) • ตวั อยาง ใหห าคาํ ตอบของสมการตอไปนี้ ก. (0.1)x+2 = 10 x วิธีคิด สมการอยูในรูป af(x) = bg(x) จึงทําฐานใหเ ทา กนั เชน ทําเปนฐาน 0.1 จะได (0.1)x+2 = ((0.1)−1)x ... ดังนน้ั x + 2 = −x → 2x = −2 → x = −1 ข. 8x − 3 ⋅ 4x − 6 ⋅ 2x + 8 = 0 วิธีคิด สมการนีม้ ีเอกซโพเนนเชียลฐาน 2 ลวนๆ ดังน้นั สมมติให 2x = A เพื่อใหมองงายขนึ้ จะได 23x − 3 ⋅ 22x − 6 ⋅ 2x + 8 = 0 → A3 − 3A2 − 6A + 8 = 0 แยกตวั ประกอบไดเปน (A − 4)(A − 1)(A + 2) = 0 ... ดงั นน้ั A = 4, 1, −2 น่นั คือ 2x = 4, 1, −2 ... แสดงวา x = 2, 0 (สว นกรณี 2x = −2 นัน้ เปนไปไมไ ด เพราะเอกซโ พเนนเชียลตองมีคา เปนบวกเสมอ) แบบฝึกหดั 8.2 (7) ให้หาคําตอบของสมการ (7.1) ⎜⎛⎝ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞x + 3 (7.5) ⎛ 1⎞ x 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ = ⋅ 2 2x + 1 = 1 (7.2) 101+ x2 = 1002x (7.6) 18 8 − 4x = (54 2) 3x −2 (7.3) ⎝⎜⎛ 3 ⎠⎟⎞ 2x + 1 ⎛ 8 ⎞−4 (7.7) (5 + 2 6) x = 3 + 2 2 ⎝⎜ 27 ⎟⎠ = (7.4) ⎛ 4 ⎞x ⎛⎝⎜ 27 ⎞x − 1 ⎝⎜ 9 ⎟⎠ 8 ⎠⎟ = 1 (8) ใหห้ าคาํ ตอบของสมการ (8.1) 4 x + 1+ 64 = 2 x +5 (8.2) 4 x +2 − 2(4 x + 1) = 2 4x (8.3) 2 2x +2 − 9 ⋅ 2 x + 2 = 0 (8.4) [Ent’29,32] 2 2x + 1− 9 ⋅ 2 x −1+ 1 = 0 (8.5) 3 2x +2 − 3 x + 3 − 3 x + 3 = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 192 ฟงกช ันเอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ มึ (8.6) 3 2x + 3 − 55 = 28 (3 x − 2) (8.7) [Ent’31,33] 6(2 5x) + 11(2 3x) − 3(2 x) = 2 5x + 1 (8.8) [Ent’34] 3 1+ x2 + x −2 + 9(3 − x2 + x −2) = 28 (9) ใหห้ าคําตอบของสมการ (9.1) 3(3 x + 3 − x) = 10 (9.3) ⎝⎛⎜ 4 ⎟⎞⎠ x ⎝⎜⎛ 3 ⎠⎞⎟ x 25 3 4 12 + = (9.2) 3(3 2x + 3 −2x) = 10 (9.4) [Ent’35] x + 1−x = 2 1 1−x x 6 (10) ให้หาคาํ ตอบของสมการ (10.1) 5 2x + 1− 25 x = 4 x +(1/2)+ 2 2x + 3 (10.2) 4 x − 3 x −(1/2)= 3 x +(1/2)− 2 2x − 1 (10.3) 6(3 2x) − 13(6 x) + 6(2 2x) = 0 (10.4) 25(16 x) − 40 (20 x) + 16(5 2x) = 0 (10.5) [Ent’39] 3 x2 +2x − 3 x2 + 1− 9 x + 1+ 27 = 0 (11) ใหห้ าชว่ งคําตอบของอสมการ (11.5) (sin 1°)x +5 > (sin 1°)2 (11.1) 10 x + 1 < 1/10x + 1 (11.6) (cot 1°)x +5 < (cot 1°)2 (11.7) (cos 45°) x +2 < (sin 45°)5 (11.2) 2x2 −5 > 1/16 (11.8) a x2 + 7 < a8(x −1) (11.3) (0.5)x2 −3x < (0.5)x −3 (11.4) ⎜⎝⎛ 1 ⎟⎞⎠ x2 + 2x + 8 ⎛ 1 ⎞ x + 12 2 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ < 8.3 ฟงั ก์ชันลอการทิ มึ และกฎของลอการทิ มึ ฟงั ก์ชันลอการิทมึ เปน็ อนิ เวอรส์ ของเอกซ์โพเนนเชยี ล เขียนได้ในรปู f (x) = logax ความสมั พันธ์ระหวา่ งเอกซ์โพเนนเชยี ลและลอการทิ ึมคือ x = ay ↔ y = logax โดยค่าของฐาน a จะตอ้ งอยู่ในชว่ ง (0, 1) หรือ (1, ∞) ซึ่งนาํ มาเขยี นกราฟไดด้ ังนี้ yy O (1,0) x O (1,0) x y = loga x, a > 1 y = loga x, 0 < a < 1 ฟังกช์ นั เพ่มิ ฟงั กช์ นั ลด ขอ้ สังเกต 1. คา่ x ต้องเป็นบวกเสมอ ส่วนค่า y เปน็ อะไรกไ็ ด้ ... Dlog = R+ , Rlog = R 2. ในทนี่ กี้ ราฟผ่านจดุ (1, 0) เสมอ ... แสดงว่า loga1 = 0 ทุกๆ ค่า a ท่ีเป็นฐานได้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 193 ฟง กช นั เอกซโพเนนเชียลและลอการทิ มึ 3. จากการเลื่อนแกนทางขนาน จะได้สมการลอการิทมึ เปน็ y−k = loga(x−h) 4. logax อา่ นว่า “ลอ็ ก x ฐาน a” หรือ “ลอการทิ มึ x ฐาน a” กฎของลอการิทมึ ไดแ้ ก่ ⎧ loga 1 =0 • logap b q = q loga b ⎨ loga a =1 p • ⎩ • ⎧⎪ mloga n = nloga m ⎧ loga(mn) = loga m + loga n ⎨ ⎪ = loga m − loga n ⎪⎩ aloga n = n • ⎨ loga ⎝⎜⎛ m ⎟⎞⎠ logc b 1 ⎪⎩ n logc a logb a • loga b = = หมายเหตุ a, b, c, m, n ∈ R+ โดยที่ a, b, c ≠ 1 และ p, q ∈ R หากลอการิทมึ มีฐานเป็น 10 เรียกวา่ ลอการิทมึ สามัญ (Common Logarithms) อาจละไว้ ไม่ตอ้ งเขยี นฐานกาํ กับ คอื เขียนเพียง log x กไ็ ด้ นอกจากนัน้ ลอการิทึมทม่ี ีฐานเป็นคา่ คงที่ทาง วิทยาศาสตร์ e ( ≈ 2.718 ) จะเรยี กว่า ลอการทิ มึ ธรรมชาติ (Natural Logarithms หรอื Napierian Logarithms) และใช้สัญลักษณ์ ln x แทน logex การหาค่าลอการทิ ึมสามัญโดยใชต้ าราง เนอ่ื งจากในตารางระบุเพยี งค่า log 1 จนถึง log 9.99 เท่าน้นั หากต้องการหาค่า log N เราจะต้องเขียนจํานวน N เปน็ รปู N0× 10n เมือ่ 1 < N0< 10 และใชก้ ฎของลอการิทึม ว่า log N = log (N0× 10n) = log N0 + n ตวั อยา่ งเช่น log 1, 150 มคี ่าเท่ากับ log (1.15 × 103) หรือ log (1.15) + 3 จากตารางพบวา่ log (1.15) ≈ 0.0607 ดังน้นั log 1, 150 ≈ 3.0607 หมายเหตุ 1. หากคา่ N0 ในตารางไมล่ ะเอยี ดพอ จะตอ้ งใช้วธิ ีประมาณโดยเทียบสัดส่วนระยะทาง 2. เราเรยี ก n (เปน็ จาํ นวนเต็มเสมอ) วา่ แคแรกเทอรสิ ติก (Characteristic) ของ log N และเรียก log N0 (มคี า่ ระหวา่ ง 0 ถงึ 1 เสมอ) วา่ แมนทสิ ซา (Mantissa) ของ log N 3. ตารางทก่ี ําหนดให้ เป็นคา่ ลอการิทมึ สามัญ (ฐาน 10) เท่านน้ั ถ้าต้องการหาคา่ ลอการทิ มึ ฐานอน่ื ๆ ตอ้ งอาศัยกฎของลอการิทมึ ช่วยแปลงฐาน นนั่ คอื logab = log b ÷ log a และ ln b = log b ÷ log e ( log e ≈ 0.4343 ) การหาคา่ แอนตลิ อการิทึมโดยใช้ตาราง จากตัวอยา่ งที่แลว้ เราทราบว่าคา่ log ของ 1,150 เปน็ 3.0607 (โดยประมาณ) สามารถกลา่ วแบบย้อนกลับไดว้ ่า ค่า antilog ของ 3.0607 เปน็ 1,150 ตวั อยา่ งเชน่ ตอ้ งการหาคา่ M ท่ที าํ ให้ log M = 3.0607 เราตอ้ งทํา 3.0607 ใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวก ของแคแรกเทอริสตกิ กบั แมนทิสซากอ่ น นนั่ คอื 3 + 0.0607 จากนน้ั เปิดตารางได้เป็น log 103 + log 1.15 หรือ log (1.15 × 103) ดงั นั้น M ≈ 1, 150 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 194 ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ หมายเหตุ ตอ้ งทาํ ให้แมนทสิ ซาเปน็ บวกเสมอ เช่น log M = −3.0607 ไม่ควรทาํ เปน็ −3 − 0.0607 แต่ตอ้ งทาํ เปน็ −4 + 0.9393 เพอ่ื ใหค้ าํ นวณไดส้ ะดวก แบบฝึกหัด 8.3 (12) ให้หาค่าของ (12.1) log 0.01 + log20.25 + log50.04 + log500.0004 (12.2) log2 cos 60° + 7 log3 tan 30° − log8 sin 90° + log4 sin 30° (12.3) log1 8 + log 1 2 + log2 1 + log8 1 8 2 2 8 (12.4) log (20) + 7 log ⎛⎜⎝ 15 ⎠⎟⎞ + 5 log ⎝⎛⎜ 24 ⎟⎞⎠ + 3 log ⎛⎝⎜ 80 ⎞⎠⎟ 16 25 81 (12.5) 2 + 2 + 2 log550 log 50 log250 (12.6) log224 − log2192 log962 log122 (12.7) log21 ⋅ log32 ⋅ log4 3 ⋅ log45 (12.8) log2 3 ⋅ log3 4 ⋅ log45 ⋅ ... ⋅ logn(n+1) ⋅ log3132 (12.9) log4(log 81) − log4(log 3) (12.10) 7log7 52 + 5 log2 4−3 − 2 log9 33 (13) ให้หาค่าของ (13.1) 491−0.25 log7 25 (13.2) 81(21 + 8 log81 5 + log9 4 + log3 5) 9 / (13.3) 3log4096 64 − 2log3 9 (13.4) 251−log5 4 ⋅ 641−log8 2 ⋅ 361−log6 2 ⋅ 42 −log2 5 (13.5) ⎛ 161−log4 3 ⋅ 361− log6 3 ⎞ 1/2 ⎝⎜⎜ 251− log5 3 ⋅ 49− log7 3 ⎟⎠⎟ (14) ให้เขยี น 1 + 1 + 1 เป็นรูปอยา่ งงา่ ย 1 + logabc 1 + logb ca 1 + logc ab (15) ตอบคําถามตอ่ ไปน้ี (15.1) ให้หาคา่ (gD f)(2) เม่ือกําหนด g (x) = log3x และ f (x) = log2x (15.2) ใหห้ าคา่ g (2 b) เม่ือกําหนด g (x) = log2b xx (15.3) ใหห้ าค่า log 5 เมอื่ ทราบวา่ log83 = p และ log35 = q (15.4) [Ent’34] ถ้า x = log 3 (9−1)(27−4 / 3) และ y = log 25 − 2 log 5 + log 24 แลว้ 8 39 ให้หาคา่ ของ x + y (15.5) ถา้ log7(11−6 2) = a และ log7(45+29 2) = b แล้ว ใหห้ าคา่ ของ 3a + 2b (15.6) ถ้า loga x = 1 , logb x = 1/10 , logc x = 1/100 , logdx = 1/1000 แล้ว ใหห้ าค่า ของ logabcd x Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 195 ฟงกช นั เอกซโพเนนเชียลและลอการิทมึ (15.7) ถา้ p = logb(logb a) เมื่อ a, b > 1 แล้ว ใหห้ าค่าของ ap logb a (15.8) [Ent’33] ถ้า 2 log2a − 3 log2b = 4 และ 3 log2a − 4 log2b = 6 แลว้ ใหห้ าคา่ ของ ( )a2b + log2ab 1/2 (15.9) ถา้ loga(x − m) = log a x − log a m แลว้ ให้หาคา่ ของ x2 − m2x + m3 (16) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี (16.4) y = log2 x−3 (16.1) y = log6(2−x) (16.5) y = − log5(3x2 −2) (16.2) y = log1/3(−x) (16.3) y = log x (17) ให้หาแมนทิสซาและแคแรกเทอรสิ ตกิ ของค่าตอ่ ไปน้ี (17.1) log 257 (17.3) 3.3010 (17.2) log 0.024 (17.4) −2.3010 (18) จาํ นวน 875 15 มีก่ีหลกั เม่ือกาํ หนดให้ log 8.75 = 0.9420 [Hint : ถา้ log N = characteristic + mantissa จะไดว้ า่ N นั้นมจี าํ นวน c+1 หลกั ] 8.4 การแก้สมการทเ่ี ป็นลอการทิ ึม (1) สมการเร่ืองลอการทิ ึม มกั จะแกป้ ัญหาโดยใช้กฎของลอการทิ ึม เช่น การทาํ ใหฐ้ าน เทา่ กันเพอ่ื กําจัด log ทิง้ ไป ตามสมบตั ิที่วา่ logaM = logaN ↔ M = N (2) ถา้ มีพจน์คลา้ ยกนั ปรากฏอยู่ อาจสมมตเิ ป็นตัวแปร A เพอื่ ให้คํานวณสะดวกขึน้ (3) เมื่อได้คําตอบแลว้ ตอ้ งตรวจสอบวา่ ใช้ได้หรอื ไม่ (เช่น ภายใน log ตอ้ งเปน็ บวกเสมอ) (4) อสมการ ใชส้ มบัตขิ องฟงั กช์ นั เพม่ิ /ฟงั กช์ ันลด ในการกาํ จดั ฐาน คอื logaM > logaN ↔ M > N เมือ่ a > 1 (ฟังกช์ นั เพิ่ม) และ logaM > logaN ↔ M < N เม่ือ 0 < a < 1 (ฟังก์ชนั ลด) • ตวั อยา ง ใหหาคาํ ตอบของสมการตอไปนี้ ก. log2(2x − 1) + log2(x + 3) = 2 วิธีคดิ ใชส มบตั ขิ อง log เปลีย่ นผลบวกกลายเปน log ผลคณู ... log2[(2x − 1)(x + 3)] = 2 ยายฐาน 2 ของ log ทางซา ย ไปยกกําลงั ทางขวา จะได (2x − 1)(x + 3) = 4 กระจายพหุนามและแยกตวั ประกอบ ... 2x2+ 5x − 7 = 0 → (2x + 7)(x − 1) = 0 นน่ั คือ x = −3.5, 1 ... แต x = −3.5 ไมได เพราะจะทาํ ใหภ ายใน log เปน ลบ ดงั นั้นตอบ x = 1 เทาน้ัน ข. 2 log9 x + logx9 = 3 วิธีคดิ ให log9x = A เพือ่ ใหม องงายขน้ึ สมการจะกลายเปน 2A + 1 = 3 A นํา A คณู ทัง้ สมการ แลว จดั รูปไดด งั นี้ ... 2A2+ 1 = 3A → 2A2− 3A + 1 = 0 แยกตัวประกอบ (2A − 1)(A − 1) = 0 ดงั นนั้ A = 1/2, 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 196 ฟง กช ันเอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ เนือ่ งจาก log9x = 1/2, 1 ... จึงไดคาํ ตอบเปน x = 91/2, 91 นัน่ คือ x = 3, 9 (หมายเหตุ ขอนี้ x อยใู น log และยังเปน ฐานของ log ดว ย จงึ ตอ งระวงั เงือ่ นไขเปน พเิ ศษ คือ x หา มตดิ ลบ, หา มเปน 0, และหามเปน 1) แบบฝึกหัด 8.4 (19) ให้หาคาํ ตอบของสมการ (19.1) x + 8 = 10log 8 (19.2) x log (2/3) = 2/3 (19.3) x 3 log x = 3 10, 000 (19.4) [Ent’38] 9x − 3x +log3 2 = −1 (19.5) log4 log3 log2 7log7(x2 +2x) = 0 (19.6) [Ent’33] log1 log1 log1 1 =0 x2 − x + 4 326 (19.7) logx + 4(x2−1) = logx + 4(5−x) (20) ใหห้ าคําตอบของสมการ (20.1) [Ent’32] log (2x−5) + log (x+1) = log (x2−x+3) (20.2) log (2x−1) + log (x+1) = 2 log x2+1 (20.3) log 2 + log (4−5x−6x2) = 3 log 3 2x−1 (20.4) x2 log2(x2+2x−6) − 2x log2(x2+2x−6) = x2−2x (20.5) 3 log8( x2+1+x) + log2( x2+1−x) = log16(4x+1) − 0.5 (21) ใหห้ าคําตอบของสมการ (21.1) (log x)2 = log x2 (21.2) log x = log x (21.3) [Ent’25] log2x + 4 logx2 = 5 (21.4) log3 x + 5 logx 3 = 7 2 2 (22) ใหห้ าคําตอบของ (22.1) สมการ 3 2(x + 7) − 6(3 x + 7) + 8 = 0 (22.2) ระบบสมการ 5x = 4− y และ 52+ y = 42− x (23) ให้หาช่วงคาํ ตอบของอสมการ (23.4) loga5 > log5a (23.1) (x3)x < (x)x2 (23.5) log100 x < 1 − log x + 15 (23.2) [Ent’34] ex2 ln2 < 2x (23.6) log x − 1(x4−8x2−2x+1) > 4 (23.3) logx −2(2x−3) > logx −2(24−6x) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 197 ฟง กช ันเอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1.1) 2 (1.2) x6y4 (11.1) (−∞, −1] (17.1) แมนทสิ ซา log 2.57 (1.3) 2 − x (1.4) 27 (11.2) R − [−1, 1] แคแรกเทอริสติก 2 (1.5) 11/7 (2.1) 3a2 /5 (11.3) R − [1, 3] (17.2) แมนทสิ ซา log 2.4 (2.2) –2 (3.1) 2 (11.4) R − [−4, 4] แคแรกเทอรสิ ติก –2 (3.2) 14/3 (3.3) 10+ 8 (11.5) (−∞, −3) (11.6) (−∞, −3) (17.3) แมนทสิ ซา 0.3010 (3.4) 2 3 (3.5) 2 5 แคแรกเทอรสิ ติก 3 (3.6) 1 (4.1) 30 (11.7) R − [−7, 3] (11.8) (3, 5) (17.4) แมนทสิ ซา 0.6990 (4.2) ง-ก-ค-ข (4.3) 0.56 แคแรกเทอริสตกิ –3 (5) ถกู ทกุ ขอ้ ยกเวน้ (5.1) ผดิ เม่อื a > 1 และ R − [3, 5] เม่อื (18) 45 (19.1) 0 (6.1) 81 (6.2) 0, 4 (6.3) 4, 12 (6.4) 2, 5/2 0 < a < 1 (12.1) –8 (19.2) 10 (19.3) 10±2/3 (6.5) 1 (6.6) −1, − 1± 15 (12.2) –5 (12.3) –20/3 (19.4) 0 (19.5) –4, 2 (12.4) 1 (12.5) 4 /(1 + log 5) (19.6) –1, 2 (19.7) 2 (6.7) –5, 2 (6.8) 9 (20.1) 4 (20.2) 1 (6.9) 6, − 161/30 (12.6) 3 (12.7) 0 (12.8) 5 (20.3) –3/2 (20.4) –4, 2 (12.9) 1 (12.10) 19 (13.1) 49/5 (13.2) 24 ⋅ 512 (13.3) 3 − 2 (13.4) 144 (20.5) 3/4 (21.1) 1, 100 (13.5) 4.8 (14) 1 (15.1) 0 (21.2) 1, 104 (21.3) 2, 16 (7.1) 3 (7.2) 2 ± 3 (7.3) 11/2, –13/2 (7.4) 3 (15.2) 2b (15.3) 3pq /(1+3pq) (21.4) 3, 35/2 (7.5) ไม่มคี าํ ตอบ (7.6) 22/17 (15.4) − log 3 (15.5) 6 (7.7) 1/2 (8.1) 2 (22.1) 2 log32−7, log32−7 (8.2) 3/2 (8.3) –2, 1 (15.6) 1/1111 (15.7) logba (22.2) x = 4 log 2 /(1+log 2) (8.4) –2, 1 (8.5) –2, 1 (8.6) –3, 0 (8.7) –1 (15.8) 4 (15.9) 0 y = 2 (log 2−1) /(1+log 2) (8.8) –3, 2 (9.1) –1, 1 (16.1) (−∞, 2) กบั R (9.2) –1/2, 1/2 (9.3) –1, 1 (16.2) R− กบั R (23.1) R+ − [1, 3] (9.4) 4/13, 9/13 (10.1) 1/2 (16.3) R+ กบั [0, ∞) (23.2) (0, 1) (10.2) 3/2 (10.3) –1, 1 (16.4) R − {3} กบั R (23.3) (2, 3) ∪ (27/8, 4) (16.5) R − [− 2/3, 2/3] กับ R (23.4) (0, 1/5) ∪ (1, 5) (10.4) 1 (10.5) 1/2, ± 2 (23.5) (0, 5) (23.6) (1, 2) ∪ (3, ∞) เฉลยแบบฝกึ หัด (วธิ ีคดิ ) (1.1) (25)7 ⋅ (22)−17 = 235 − 34 = 2 (2.1) a2( 3 + 1 − 75 + 4 )2 (1.2) x6y4z0 = x6y4 533 3 (1.3) นาํ x2 คณู ท้ังเศษและสว่ น = a2( 3 + 1 − 5 3 + 4 )2 533 3 4 − 4x + x2 = (2 − x)2 = 2 − x 2−x 2−x = a2( 3 + 1 − 5 + 4 )2 = a2( 3)2 = 3a2 5333 55 (1.4) (3363nn + 38n 1 36n(1 + 3322nn))]n1 + 35n = [ 33n(1 + (2.2) 2 = 2 )n (x2 + 1)2 x2 − | x2 + 1| 1 x2 − = (33n)n = 33 = 27 ซง่ึ x2 + 1 เปน็ บวกเสมอ ถอดคา่ สัมบรู ณ์ได้เลย (1.5) 4n ⋅ 9n(9 + 2) = 11 → x2 2 + 1) = 2 = −2 4n ⋅ 9n(4 + 3) 7 − (x2 −1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 198 ฟง กชนั เอกซโพเนนเชียลและลอการิทมึ (3.1) พจิ ารณา 1 ⋅ 1 − 2 = 1 − 2 (5.1) ax > a0 แต่ 0 < a < 1 (ฟังก์ชนั ลด) 1+ 2 1− 2 −1 ดังนน้ั x < 0 ขอ้ นี้ผดิ และ 1 ⋅ 2 − 3 = 2 − 3 ... ฯลฯ (5.2) ถกู a > 1, x < 0 → 0 < ax < 1 2+ 3 2− 3 −1 อาจดจู ากกราฟ y จะได้วา่ โจทยก์ ลายเปน็ ในกรณีฟังก์ชนั เพิ่ม (1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + ... + 8 − 9) ซีกซา้ ยของแกน y 1 −1 −1 −1 −1 x = 1− 9 = 2 O −1 (5.3) 5 มากกว่า 1 → ฟงั กช์ นั เพิ่ม (3.2) ( 5 − 2)2 + ( 5 + 2)2 → 2 < 3 ถกู ( 5 + 2)( 5 − 2) (5.4) sin 1° นอ้ ยกวา่ 1 → ฟงั ก์ชนั ลด → 3 > 2 ถูก = 7 − 2 10 + 7 + 2 10 = 14 33 (3.3) 18 + 2 80 → บวกกนั ได้ 18 และคณู กนั (5.5) tan 46° มากกว่า 1 → ฟงั กช์ นั เพมิ่ → 2 < 3 ถกู ได้ 80 คือ 10 กบั 8 ดงั นนั้ ตอบ 10 + 8 1 (3.4) 10 + 2 21 − 10 − 2 21 (6.1) ให้ x4 = A จะได้ A2 − A − 6 = 0 → (A − 3)(A + 2) = 0 → A = 3 หรอื −2 = ( 7 + 3) − ( 7 − 3) = 2 3 จึงสรปุ วา่ 1 = 3 เทา่ นนั้ (รากทส่ี ี่จะติดลบไมไ่ ด้) (3.5) 2 + 3 − 5 x4 7− 5 5− 2 7− 2 → x = 34 = 81 = ( 7 + 5) + ( 5 + 2) − ( 7 + 2) = 2 5 (6.2) ยกกาํ ลังสอง → 2x + 1 = x + 2 x + 1 (3.6) ใช้สตู ร A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2) โดยมอง A = 6 + 35 = 3.5 + 2.5 → x = 2 x → ยกกาํ ลงั สองอกี ครัง้ และ B = 6 − 35 = 3.5 − 2.5 จะได้โจทย์กลายเป็น → x2 = 4x → x(x − 4) = 0 (2 2.5)(6 + 35 + 3.5 − 2.5 + 6 − 35) → x = 0 หรอื 4 ใชไ้ ดท้ ัง้ สองคาํ ตอบ 13 10 ( ∗ เมอ่ื มีการยกกาํ ลงั ตอ้ งตรวจคาํ ตอบทกุ ครง้ั ∗ ) (6.3) 2x + 1 = 2 + x − 3 → ยกกําลงั สอง = (2 2.5)(13) = 1 13 10 → 2x + 1 = 4 + 4 x − 3 + x − 3 (4.1) x2 − 4xy + y2 = (x − y)2 − 2xy → → x = 4 x − 3 → ยกกําลังสองอกี ครงั้ หาคา่ x − y = ( 6 + 3)2 − ( 6 − 3)2 → x2 = 16(x − 3) → x2 − 16x + 48 = 0 6−3 → (x − 12)(x − 4) = 0 → x = 12 หรอื 4 (ตรวจคาํ ตอบแลว้ พบวา่ ใชไ้ ด้ทงั้ สองคาํ ตอบ) (6.4) ยกกาํ ลังสอง = 9 + 2 18 − 9 + 2 18 = 4 2 → → 2x − 3 + 2 (2x − 3)(x + 2) + x + 2 = 7x − 5 6−3 → 2x2 + x − 6 = 2x − 2 ยกกําลงั สองอกี ครง้ั หาค่า xy = 1 → ∴ (4 2)2 − 2(1) = 30 → 2x2 + x − 6 = 4x2 − 8x + 4 (4.2) ก. (35)5 3 = 2435 3 → 2x2 − 9x + 10 = 0 → (2x − 5)(x − 2) = 0 ข. (54)5 3 = 6255 3 ค. (73)5 3 = 3435 3 → x = 5 / 2 หรอื 2 (ใชไ้ ดท้ งั้ สองคาํ ตอบ) ง. (92)5 3 = 815 3 ∴ ง < ก < ค < ข (6.5) x2 − 2x − 11 + 6 x2 − 2x + 5 = 0 (4.3) จาก 2.44 × 7.17 = 0.56 ให้ x2 − 2x + 5 = A จะได้ 3.9 × 8 (A2 − 16) + 6A = 0 → (A + 8)(A − 2) = 0 จะได้วา่ 2.44 × (10−2) × 7.17 × (10) 3.9 × (102) × 8 × (10−3) → A = −8 หรอื 2 แตร่ ู้ทไมม่ ที างติดลบ ดงั นน้ั = 0.56 × (10−2 + 1− 2 + 3) = 0.56 x2 − 2x + 5 = 2 เทา่ นนั้ → ยกกาํ ลังสอง → x2 − 2x + 5 = 4 → (x − 1)2 = 0 → x = 1 (ตรวจคําตอบแลว้ ใชไ้ ด)้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 199 ฟงกช นั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทึม (6.6) x2 + 2x + 1 = 5 x2 + 2x + 2 − 5 (7.2) 10(1+ x2) = 104x → 1 + x2 = 4x ให้ x2 + 2x + 2 = A จะได้ → x = 4 ± 16 − 4 = 2 ± 3 A2 − 1 = 5A − 5 → A2 − 5A + 4 = 0 2 → (A − 4)(A − 1) = 0 → A = 4 หรอื 1 (7.3) (3/2)|2x + 1| = [(3/2)−3]−4 → |2x + 1| = 12 → x = 11 / 2 หรอื −13 / 2 ถา้ A = 4 จะไดว้ า่ x2 + 2x + 2 = 4 (7.4) (2/3)2x = [(2/3)3]x − 1 → 2x = 3x − 3 → x2 + 2x + 2 = 16 → x = −1 ± 15 แต่ถ้า A = 1 จะไดว้ า่ x2 + 2x + 2 = 1 → x=3 → x2 + 2x + 2 = 1 → x = −1 (7.5) (1/2) x = (1/2) 2x + 1 → x = 2x + 1 ∴ ตอบ −1, − 1 ± 15 → x = 2x + 1 → x = −1 ตรวจแล้วพบวา่ ใชไ้ ม่ได้ (6.7) ให้ x2 + 3x + 15 = A เพราะทาํ ให้ในรูท้ ตดิ ลบ ∴ ข้อนี้ ไมม่ คี ําตอบ (7.6) [(3 2)2]8 − 4x = [(3 2)3]3x −2 → A + A−9 =9 → A −9 = A−9 ยกกําลังสอง → A − 18 A + 81 = A − 9 → 16 − 8x = 9x − 6 → x = 22 / 17 → A = 5 → A = 25 (ใช้ได)้ → x2 + 3x + 15 = 25 ยา้ ยขา้ ง แยกตวั ประกอบ (7.7) เนอื่ งจาก ( 3 + 2)2 = 5 + 2 6 → (x + 5)(x − 2) = 0 ∴ x = 1/2 → x = −5 หรอื 2 อาจใชว้ ิธี ทดลองยกกาํ ลังสองดู กลายเป็น (6.8) ขอ้ นจี้ ัดเปน็ A ล้วนๆ ไมไ่ ด้ จงึ ตอ้ งใชว้ ธิ ยี กกาํ ลังสอง ตามปกติ (5 + 2 6)2x = 5 + 2 6 → 2x = 1 → x = 1 / 2 2x2 − 6x − 27 = x2 − 6x − 2 + x − 5 (8.1) 4 ⋅ 22x − 32 ⋅ 2x + 64 = 0 → → 2x2 − 6x − 27 = มอง 2x เปน็ A จะได้ 4A2 − 32A + 64 = 0 → 4(A − 4)2 = 0 → A = 4 → 2x = 4 → x = 2 (8.2) ให้ 4x = A → 16A − 8A = A2 x2 − 6x − 2 + 2(x − 5) x2 − 6x − 2 + x2 − 10x + 25 → A2 − 8A = 0 → A(A − 8) = 0 → 5x − 25 = (x − 5) x2 − 6x − 2 → A = 0 หรอื 8 → 4x = 8 เทา่ นน้ั → 0 = (x − 5)( x2 − 6x − 2 − 5) (เพราะ 4x = 0 ไม่มี) → x = 3 / 2 → x = 5 หรอื x2 − 6x − 2 = 5 (8.3) ให้ 2x = A → 4A2 − 9A + 2 = 0 → x2 − 6x − 27 = 0 → (x − 9)(x + 3) = 0 → (A − 2)(4A − 1) = 0 → A = 2 หรอื 1 / 4 ดงั นน้ั 2x = 2 หรอื 1 / 4 → x = 1 หรอื −2 x = −3 หรอื 9 ตรวจสอบคาํ ตอบ พบวา่ x = 5 และ −3 ใชไ้ ม่ได้ (8.4) ให้ 2x = A → 2A2 − 9 A + 1 = 0 ∴ ตอบ x = 9 เท่านนั้ 2 (6.9) 3 30x + 36 = 1 + 3 30x − 55 → 4A2 − 9A + 2 = 0 (สมการเหมอื นขอ้ ที่แลว้ ) ให้ 30x − 55 = A จะได้ 3 A + 91 = 1 + 3 A → x = 1 หรอื −2 ยกกําลังสาม A + 91 = 1 + 3A1 / 3 + 3A2 / 3 + A (8.5) ให้ 3x = A → 9A2 − 27A − A + 3 = 0 → 0 = A2 / 3 + A1 / 3 − 30 → 9A2 − 28A + 3 = 0 → (9A − 1)(A − 3) = 0 → (A1 / 3 + 6)(A1 / 3 − 5) = 0 → A = 1 / 9 หรอื 3 → 3x = 1 / 9 หรือ 3 → A1 / 3 = 5 หรอื −6 (รากทสี่ าม คา่ ตดิ ลบได้) → x = −2 หรอื 1 ∴ A = 53 = 125 → 30x − 55 = 125 → x = 6 (8.6) ให้ 3x = A → 27A2 − 55 = 28A − 56 หรือ A = (−6)3 = − 216 → 30x − 55 = − 216 → 27A2 − 28A + 1 = 0 → (27A − 1)(A − 1) = 0 → x = −161 / 30 → A = 1 / 27 หรอื 1 → 3x = 1 / 27 หรอื 1 → x = −3 หรอื 0 (7.1) (1 / 2)2x = (1 / 2)x + 3 → 2x = x + 3 → x=3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 200 ฟง กช ันเอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ (8.7) ให้ 2x = A → 6A5 + 11A3 − 3A = 2A5 (10.2) ให้ A = 4x, B = 3x → จะได้ → 4A5 + 11A3 − 3A = 0 → A (4A4 + 11A2 − 3) = 0 A − B = 3B − A → 3 A = 3B + B → A(4A2 − 1)(A2 + 3) = 0 3 22 3 → A = 0 หรอื A2 = 1 / 4 ( A2 = −3 ไม่ได)้ → 3 3 A = 4B → A = 8 = 4 4 → 2x = 0 (ไม่ได้) หรือ 22x = 1 / 4 → x = −1 2 B 33 33 (8.8) ให้ 3 x2 + x −2 = A → 3A + 9 = 28 ∴ (4)x = 4 4 → x = 3 A 3 33 2 → 3A2 − 28A + 9 = 0 → (3A − 1)(A − 9) = 0 (10.3) ให้ 3x = A, 2x = B → A = 1 / 3 หรอื A = 9 → 6A2 − 13AB + 6B2 = 0 → x2 + x − 2 = −1 (ไมไ่ ด)้ → (2A − 3B)(3A − 2B) = 0 หรือ x2 + x − 2 = 2 ดังนน้ั A = 3 หรอื 2 B2 3 → x2 + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → (3)x = 3 หรอื 2 → x = 1 หรือ −1 → x = −3 หรอื 2 22 3 (9.1) ให้ 3x = A → 3(A + 1/A) = 10 (10.4) ให้ 4x = A, 5x = B → 3A2 − 10A + 3 = 0 → (3A − 1)(A − 3) = 0 → 25A2 − 40AB + 16B2 = 0 → (5A − 4B)2 = 0 → A = 1 / 3 หรอื 3 → 3x = 1 / 3 หรือ 3 ดังนนั้ A = 4 → x = 1 → x = −1 หรอื 1 B5 (9.2) ให้ 32x = A → 3(A + 1/A) = 10 (เหมอื นขอ้ ทแี่ ลว้ ) → 32x = 1/3 หรอื 3 → (10.5) ให้ 3x2 = A, 32x = B x = −1 / 2 หรอื 1 / 2 → AB − 3A − 9B + 27 = 0 → A(B − 3) − 9(B − 3) = 0 → (A − 9)(B − 3) = 0 → A = 9 หรอื B = 3 (9.3) ให้ (4/ 3)x = A → A + 1 = 25 → 3x2 = 9 หรอื 32x = 3 A 12 → 12A2 − 25A + 12 = 0 → (4A − 3)(3A − 4) = 0 ดังนนั้ x = ± 2 หรอื 1 / 2 → A = 3 หรอื 4 → (4)x = 3 หรอื 4 (11.1) 10x + 1 < 10−(x + 1) → ฟงั ก์ชนั เพ่ิม 43 34 3 → x + 1 < −(x + 1) → x < −1 ตอบ (−∞, −1] → x = −1 หรอื 1 (11.2) 2x2 −5 > 2−4 → ฟงั กช์ นั เพมิ่ (9.4) ให้ x = A → A + 1 = 13 → x2 − 5 > −4 → x2 − 1 > 0 1− x A6 ตอบ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) หรอื R − [−1, 1] → 6A2 − 13A + 6 = 0 → (3A − 2)(2A − 3) = 0 (11.3) 0.5x2 − 3x < 0.5x − 3 → ฟังกช์ นั ลด → A = 2 หรอื 3 → x = 2 หรือ 3 → x2 − 3x > x − 3 → x2 − 4x + 3 > 0 3 2 1− x 3 2 ตอบ (−∞, 1) ∪ (3, ∞) → หรือ R − [1, 3] ถา้ x = 2 → x = 4 (11.4) (1 / 2)x2 + 2x + 8 < (1 / 2)2x + 24 1− x 3 1− x 9 → 9x = 4 − 4x → x = 4 / 13 → x2 + 2x + 8 > 2x + 24 → x2 − 16 > 0 หรือ ถา้ x = 3 → x = 9 ตอบ R − [−4, 4] 1− x 2 1− x 4 (11.5) ฟังกช์ นั ลด (เพราะ sin 1° < 1) → x + 5 < 2 → x < −3 ตอบ (−∞, −3) → 4x = 9 − 9x → x = 9 / 13 (11.6) ฟังก์ชนั เพ่ิม (เพราะ cot 1° > 1 ) (10.1) ให้ A = 25x, B = 4x → → x + 5 < 2 → ตอบ (−∞, −3) จะได้ 5A − A = 2B + 8B → 4A = 10B → A = 5 → (25)x = 5 → x = 1 (11.7) ( 1 )|x +2| < ( 1 )5 → ฟังกช์ นั ลด B2 4 2 2 22 → | x + 2 |> 5 → ตอบ (−∞, −7) ∪ (3, ∞) หรอื R − [−7, 3] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)