MATH ebook

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 451 ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 (17) z1 = (1 ∠ π )6 = 16∠ 6π = 1∠ π (23) f′(x) = x − 1→ f(x) = 2 x3/2 − x + C1 3 18 18 3 ผ่านจุด (0, 1) แสดงวา่ C1 = 1 = 1+ 3i โจทย์ถาม (4, c) แสดงวา่ c = f(4) 22 → 2 z1 z2 − z2 = 1 = 2 (4)3/2 − 4 + 1 = 16 − 3 = 7 ตอบ จาก 2 z1 z2 = 1 + z2 3 33 → z2 = 1 → z2 = 1 ... กลับเศษส่วน (24) ใช้กฎการแบง่ กลุ่ม 2z1 − 1 2z1 − 1 z2−1 = 2z1 − 1 = 2 ⎛ 1 − 3 ⎞ − 1 = − 3i ตอบ วิธที งั้ หมด = 6! = 60 ⎜⎜⎝ 2 2 i⎟⎟⎠ 3!2! 1! (18) สมมติ z = a + bi วิธที ส่ี นใจ (ก, ข อยหู่ อ้ งเดียวกนั ) มี 2 กรณี คือ แบ่ง 4 เปน็ 2, 1, 1+กข z = a2 + b2 = 3 − 4i = 5 .....(1) จะได้ 4! = 12 วธิ ี z − 1 = (a − 1)2 + b2 = 30 .....(2) = 2 !(1!)22 ! × 2 แก้ระบบสมการดงั นี้ (คูณ 2 เพราะ กข เลือกอยหู่ อ้ ง 1 คนได้ 2 แบบ) a2 + b2 = 25, a2 − 2a + 1 + b2 = 30 และแบง่ 4 เปน็ 3, 1 (กข อยูห่ อ้ ง 2 คน) → −2a + 1 + 25 = 30 → a = −2 จะได้ = 4 ! = 4 วธิ ี 3! 1! ดงั นน้ั 4 + b2 = 25 → b = ± 21 ตอบ 12 + 4 = 4 ตอบ {− 21, 21} 60 15 (19) ⎛ g ⎞′ (2) = f(2)g′(2) − g(2)f′(2) (25) วิธที ั้งหมด 5 × 4 = 20 วธิ ี ⎝⎜ f ⎟⎠ [f(2)]2 วธิ ที สี่ นใจ ได้แก่ → (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) โจทยบ์ อกว่า f′(2) = f(2) = 2 แล้ว มอี ยู่ 4 วิธี ดงั น้นั ตอบ 4 = 1 20 5 หาคา่ g(2) และ g′(2) ดงั นี้ (26) X = 150 + 152 + 158 + … + 185 → g(x) = f(x) − x3 + x2 แทน x = 2 ได้วา่ 8 g(2) = f(2) − 8 + 4 = 2 − 8 + 4 = −2 = 167.5 บาท ซึง่ มคี นนอ้ ยกวา่ อยู่ 3 คน (และเกิน และจากการหาอนุพนั ธ์ อยู่ 5 คน) g′(x) = f′(x) − 3x2 + 2x แทน x = 2 ไดว้ า่ ข้อนคี้ ิดจาก วธิ ที งั้ หมด – วธิ ีท่ีไมม่ ใี ครนอ้ ยกวา่ เลย g′(2) = 2 − 12 + 4 = −6 ⎜⎝⎛ 52 ⎠⎟⎞ 9 ⎝⎜⎛82 ⎟⎠⎞ 14 ดังนนั้ ⎛ g ⎞′ (2)(−6) − (−2)(2) ตอบ = 1− = ตอบ ⎝⎜ f ⎠⎟ 4 (2) = = −2 (20) ลาํ ดับเลขคณติ ; d = 20 − 5 = 7.5 (27) เทียบกับ Σy = mΣx + c N และ 2 Σxy = mΣx2 + cΣx พบวา่ N = 5 → a = S12 = 12 (5 + 5 + (11)(7.5)) = 555 2 → Σy = 28, Σx = 10, Σxy = 67, Σx2 = 30 ลาํ ดบั เรขาคณิต; r2 = 20 → r = −2 ก. แกร้ ะบบสมการได้ m = 1.1, c = 3.4 5 ดงั นน้ั Yˆ = (1.1)(5) + 3.4 = 8.9 ถกู (เพราะ y < 0 ) → b = a6 = 5(−2)5 = −160 ข. X = Σx = 10 = 2 → ผดิ ตอบ ขอ้ 2. N5 ดังนนั้ ตอบ 555 − 160 = 395 (21) จาก Σ (5 − x)(y + 2) = 76 (28) X1 = 5+8+6+7+9 =7 5 → 5 Σy − 2 Σx − Σxy + Σ10 = 76 แทนคา่ 5(4) − 2(−8) − Σxy + (10)(10) = 76 s1 = 22 + 12 + 12 + 02 + 22 = 2 ∴ Σxy = 60 ตอบ 5 (22) g(x) มีลิมติ ที่ 1 แสดงวา่ โจทยบ์ อกวา่ ⎛ s1 ⎞ = 2 ⎛ s2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ X1 ⎠ ⎝ X2 ⎠ lim g(x) = lim g(x) → f′(1) = f(1) x → 1− x → 1+ ⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞ 42 ตอบ ตอบ→ 3a(1)2 − 8(1) = a(1)3 − 4(1)2 + 1 → a = 5 → ⎜⎝⎜ 7 ⎟⎟⎠ = 2⎜ ⎟ → X2 = 2 = 21 2 2 ⎝ X2 ⎠ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 452 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.43 ตอนที่ 2 (5) y = x2 − c (1) P(A) มจี าํ นวนสมาชกิ 24 = 16 ตวั , ถา้ c > 4 แสดงวา่ -2 1 ซ้าํ กบั B อยู่ 3 ตัว คอื ∅, {∅}, {0, {0, 1}} ตัดแกน x ท่ี ± c ดังนน้ั P(A) − B มสี มาชกิ อยู่ 16 − 3 = 13 ตวั ตอบ เกนิ ±2 ดังภาพ (2) ให้ x, y, z เปน็ y-1, y, y+1 ∫ดงั นนั้ 1 −2 ∴ 3 x + y + z = 3 (y − 1) + y + (y + 1) = 3 3y (x2 − c) dx = −24 หาคา่ y ทน่ี อ้ ยทสี่ ุดที่ 3 3y เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก (ใส่ตดิ ลบ เพราะพนื้ ที่อย่ใู ต้แกนทง้ั ชว่ งเลย) ลองแทนคา่ ดู y = 1 → 3 3 ไมไ่ ด้, y = 2 → 3 6 ไม่ได้, y = 3 ...ไปเรอ่ื ยๆ จนถึง y = 9 → ⎛ x3 ⎞ 1 = −24 → 3 27 = 3 ใช้ได้ ดงั นนั้ ตอบ 9 ⎝⎜ 3 − cx ⎟⎠ −2 → ⎜⎝⎛ 1 − c ⎟⎠⎞ − ⎝⎜⎛ − 8 + 2c ⎟⎠⎞ = −24 → c=9 ตอบ 3 3 (3) จาก ⎛ 42 + 42 + 42 +…+ 42 ⎞ (6) 9 × 9 × 2 = 162 จาํ นวน ตอบ ⎝⎜⎜ A A2 A3 A6 ⎟⎠⎟ 1-9 ห้ามซํา้ 0,5(ซํ้าได้) = 16 ⎛ 1 + 1 + 1 + … + 1⎞ เปน็ อนกุ รมเรขาฯ (7) z = (X − 0.51s) − X = −0.51 ⎜⎝ 2 4 8 64 ⎟⎠ s ⎛ 1 ⎞ → A = 0.195 ทางซา้ ย ⎜ 2 (1 − (1/2)6) ⎟ 1⎞ 0.195 = 16 ⎜⎜⎝ 1 − (1/2) ⎠⎟⎟ = 16 ⎛ 1 − 64 ⎟⎠ ⎝⎜ = 16 ⎛ 63 ⎞ = 63 = 15.75 ตอบ คดิ เปน็ เปอร์เซน็ ไทล์ 50 − 19.5 = 30.5 ตอบ ⎜⎝ 64 ⎠⎟ 4 ˜OA ˜OB (8) 1.26 = 500(20) + 450(8) + x(100) (4) จาก = ⎡3⎤ และ = ⎡9⎤ 500(20) + 300(8) + 400(100) ⎢⎣−2⎥⎦ ⎣⎢4⎦⎥ O → x = 524.24 บาท ตอบ A C ใช้สูตร (ถว่ งนา้ํ หนัก) D ˜ ˜ ˜จะได้วา่ ˜OA 1 ˜OB B ˜OC = 2 + = 2 ⎡3⎤ + 1 ⎡9⎤ = ⎡5⎤ 3 ⎢⎣−2⎦⎥ 3 ⎢⎣4⎦⎥ ⎢⎣0⎥⎦ 3 ˜ ˜OD= 1 OA + 2 OB = 1 ⎡3⎤ + 2 ⎡9⎤ = ⎡7⎤ 3 3 ⎢⎣−2⎦⎥ 3 ⎢⎣4⎥⎦ ⎣⎢2⎥⎦ ∴ OC ⋅ OD = 35 ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 453 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.44 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa Á.Õ ¤.44 (h) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 8 เปน็ ข้อสอบแบบอัตนัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2(x2 + 2x) < 0 จาํ นวนเตม็ ทเ่ี ป็นสมาชกิ ของ A มีท้ังหมดกีจ่ าํ นวน 2. กาํ หนดให้ ⎡x −1 6⎤ ถ้าไมเนอรข์ อง เทา่ กบั ⎢⎢⎣24 97⎦⎥⎥ A = 5 a 32 23 2y และโคแฟกเตอร์ของ a23 เท่ากับ −44 แล้ว x + y มีคา่ เทา่ กับเท่าใด 3. กาํ หนดให้ a, b, c เปน็ 3 พจน์เรียงตดิ กนั ในลําดบั เรขาคณติ และมีผลคณู เปน็ 27 ถา้ a, b+3, c+2 เป็น 3 พจนเ์ รยี งติดกันในลาํ ดบั เลขคณติ แล้ว a + b + c มีค่าเท่ากับเทา่ ใด 4. lim x2+ 3 − 2 มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด x→1 x − 1 5. กาํ หนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวก ซ่ึงทําให้พจน์ทไี่ มม่ ี x ในการกระจาย ⎝⎛⎜ x2 + 1 ⎞n 2x ⎠⎟ คือพจนท์ ี่ 9 สมั ประสิทธิ์ของ x15 ในการกระจายน้เี ท่ากับเท่าใด 6. ในการสร้างเมตรกิ ซใ์ นรูป ⎡ x2 x−4⎤ แบบสุ่ม โดยที่ x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ⎣⎢−x x −1 ⎥⎦ ความน่าจะเปน็ ท่ีจะได้เมตริกซ์เอกฐานเทา่ กบั เท่าใด 7. ถ้าเส้นสัมผัสเสน้ โคง้ y = (x − 1)2(2x − 5) ทีจ่ ดุ (1 , − 1 ) ทาํ มุม θ กบั แกน x โดยท่ี 4 2 16 0 < θ < π แลว้ sin2 θ มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด 22 8. กาํ หนดให้ x1, x2, ..., x10 มีคา่ เป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดับ โดยที่ a < 15 ถา้ พสิ ัยของข้อมูลชดุ นีเ้ ทา่ กับ 12 b เปน็ จํานวนจริงท่ีทําให้ 10 มคี ่านอ้ ยท่ีสุด ∑ (xi − b)2 i=1 และ c เป็นจํานวนจริงท่ที าํ ให้ 10 xi − c มีค่าน้อยทส่ี ุด แล้ว a + b + c มีคา่ เทา่ ใด ∑ i=1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 454 ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 28 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A, B, C เปน็ เซต ถ้า n(B) = 42 , n(C) = 28 , n(A ∩ C) = 8 , n(A ∩ B ∩ C) = 3 , n(A ∩ B ∩ C ') = 2 , n(A ∩ B '∩ C ') = 20 และ n(A ∪ B ∪ C) = 80 แลว้ n(A '∩ B ∩ C) เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 5 2. 7 3. 10 4. 13 2. ให้ A, B และ F เป็นเซตซ่งึ กาํ หนดดงั นี้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F = {f : B > A | f (x) ∉ x ทกุ เซต x ∈ B } จํานวนสมาชกิ ของ F เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 24 2. 60 3. 100 4. 120 3. กําหนดให้ x + 1 และ x − 1 เป็นตวั ประกอบของพหุนาม p (x) = 3x3 + x2− ax + b เมื่อ a, b เป็นค่าคงตวั เศษเหลอื ท่ไี ดจ้ ากการหาร p(x) ดว้ ย x − a − b เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 15 2. 17 3. 19 4. 21 4. กาํ หนดให้ A = { x | x−1 < 2 และ 1 > 1 } และ B = { x | x2 + 2x < 0 } x+1 2 A ∩ B คอื ช่วงในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. (−1, 0) 2. [−1, 0) 3. (0, 1) 4. (0, 1] 5. กําหนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ ถ้าประพจน์ p →(q ∧ r) มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ และ (p ∨ q) ↔ r มีค่าความจรงิ เป็นจริง แล้ว พจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ตอ่ ไปน้ี ก. (p ↔ q) ↔ ~ r ข. p ↔ (q ∨ ~ r) ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูก 1. ก. จรงิ และ ข. จริง 2. ก. จริง และ ข. เท็จ 3. ก. เทจ็ และ ข. จริง 4. ก. เทจ็ และ ข. เท็จ 6. เอกภพสมั พัทธ์ในขอ้ ใดทท่ี ําใหข้ อ้ ความ (∀x [x2< 2x + 3]) ∧ (∃y [y2− 4 > 0]) มีคา่ ความจริงเป็น จริง 1. [−3, 0] 2. [−1.5, 1.5] 3. [−1, 2] 4. [−0.5, 2.5] 7. กําหนดความสัมพันธ์ r = {(x, y) | y = 1 1 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้ x2 − ก. Dr = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ข. r − 1 = {(x, y) | y = ± 1 + x } x ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 455 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.44 8. กําหนดให้ f (x) = x , x ≠ − 1 และ g(x) = x , x ≠ 1 1+ x 1− x ข้อใดตอ่ ไปนผ้ี ิด 1. (f g)− 1(x) = x ,x ≠ 1 2. (f−1 g−1)(x) = x ,x ≠ −1 3. (f−1 g)(x) = x , x ≠ 1 4. (g−1 f)(x) = x , x ≠ − 1 1 + 2x 1 + 2x 9. กาํ หนดให้ f (x) = 2 sin x และ g(x) = x2 − 1 2. {−2, 2} 2 4. [−2, −1] ∪ ( 3, 2] เซต (Rf ∩ Dg) − Rgof คอื เซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. {−1, 1} 3. [2, − 3] ∪ [1, 2] 10. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลําดับ ถา้ cos B = 1/4 และ (a+b+c)(a−b+c) = 30 แลว้ ac มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 12 2. 20 3. 20/3 4. 40/3 11. กาํ หนดให้ A และ B เป็นจดุ โฟกัสของวงรี x2+ 2y2+ 4x − 4y + 2 = 0 และวงรีน้ีตัดแกน x ท่ี จดุ C และ D โดยทําให้ ABCD เปน็ รปู สี่เหลี่ยม พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ABCD เป็นรูปสเ่ี หลีย่ มผืนผ้า ข. พื้นที่ของรปู ส่ีเหลย่ี ม ABCD เทา่ กับ 4 2 ตารางหน่วย ข้อใดตอ่ ไปนเี้ ป็นจริง 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 12. กาํ หนดให้ L เปน็ เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (1, 4) และมีความชนั เทา่ กบั 3/4 ถา้ เสน้ ตรง L สมั ผสั วงกลม C ซึง่ มีจดุ ศูนยก์ ลางทจี่ ดุ (1, 2) แล้ว จุดใดต่อไปนี้เป็นจดุ บนวงกลม C 1. (1, 2) 2. (1, 16) 3. (− 13 , 2) 4. (3 , 2) 5 5 5 5 13. เซตคาํ ตอบของอสมการ 2x2(x−3) < 8(23 −x) เปน็ สบั เซตของเซตในข้อใดต่อไปน้ี 1. (1, ∞) 2. (−2, 100) 3. (−10, 10) 4. (−∞, 2) 14. กาํ หนดให้ A = [aij]3×3 โดยท่ี aij = ⎧⎪2i − 1 ,i = j ⎪⎩⎨2 ,i ≠ j det ⎛ adj (At)⎞ เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี ⎜⎝⎜ 4 det (A) ⎠⎟⎟ 1. −16 2. −4 3. 4 4. 16 15. กําหนดให้ P = a x + 2 y และมีเงอ่ื นไขข้อจาํ กัดดงั น้ี 2x + y < 50 , x + 2y < 70 , x > 0 , y > 0 ถา้ ค่าสงู สุดของ P เทา่ กับ 100 แล้ว a เทา่ กับค่าในข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 4 4. 6 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 456 ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 16. ให้ u = a i + b j โดยที่ a > 0 และ b > 0 และ u ⋅(5 i − 2 j) = 14 ถ้า u ทํามมุ θ กับ เวกเตอร์ i และ cos θ = 3/5 แล้ว a + b มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 2. 14 3. 18 4. 21 17. ให้ A, B, C เปน็ จุดในระนาบ และ O เป็นจุดกําเนิด โดยที่ ˜OA = 3 i − 2 j และ ˜OB = 2 i + 5 j ถา้ ˜AC = 2 ˜AB 3 แล้ว |˜OC|2 มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 113 2. 98 3. 193 4. 153 9 9 9 9 18. ถ้า 2 z3 = 1 + 3i และ z 18 = a + b i เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง i − z27 แล้ว a + b มีคา่ เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 19. กําหนดให้ z = i9 + i10 + ... + i126 เมอ่ื i2 = −1 แลว้ 2 z −1 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 1 + i 2. 1 − i 3. −1 + i 4. −1 − i 20. กาํ หนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกทที่ ําใหผ้ ลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ 7 + 15 + 23 + ... มีค่าเท่ากับ 217 แล้ว 2n + 2n+1 + ... + 22n มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 28 1. 127 2. 128 3. 127.5 4. 128.5 21. กาํ หนดให้ f (x) = ax3+ bx เมือ่ a, b เป็นจาํ นวนจรงิ และ f มคี า่ ต่ําสุดสัมพทั ธ์เทา่ กับ −2 ที่จดุ x = 1 ถา้ g(x) = x3+ f′(x) แล้ว g เปน็ ฟังกช์ ันลดในชว่ งใดตอ่ ไปน้ี 1. (0, 2) 2. (−3, −1) 3. (−1, 1) 4. (−2, 0) 22. กาํ หนดให้ f (x) = ax3 + bx2+ 2x − 2 เม่ือ a, b เป็นจํานวนจริง ถ้า f′(1) = 5 และ f′′(0) = −12 แลว้ ∫ (f′(x) + f′′(x)) dx เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 5x3 + 9x2 − 10x + c 2. 5x3 + 9x2 + 10x + c 3. 5x3 − 9x2 + 10x + c 4. 5x3 − 9x2 − 10x + c 23. ให้ f เป็นฟังกช์ นั ซงึ่ อนพุ ันธข์ อง f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนอื่ งบนชว่ งปดิ [0, 1] และ g(x) = f (x) x4 + 1 ถา้ f (1) = f′(1) = 1 และ f (0) = f′(0) = −2 แล้ว 0 ∫1 เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ g′′(x) dx 1. − 5 2. − 1 3. 3 4. 7 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 457 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.44 24. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. จาํ นวนวธิ ใี นการจดั เด็ก 5 คน และผใู้ หญ่ 5 คน ถา่ ยรูปหมู่ โดยให้เด็กยนื แถวหนา้ และ ผูใ้ หญ่ยืนแถวหลงั เท่ากบั 5! 5! ข. จํานวนวิธีในการจดั ชาย 6 คน หญงิ 6 คน นงั่ โตะ๊ กลม 2 โต๊ะที่ต่างกัน ซึ่งมโี ต๊ะละ 6 ที่ นง่ั โดยท่ชี ายและหญิงน่ังแยกโต๊ะกัน เทา่ กับ 5! 5! ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 25. ความน่าจะเปน็ ท่นี ักเรยี นคนหนึ่งสอบผ่านวชิ าคณิตศาสตร์เทา่ กับ 2/5 และสอบผา่ นวิชา ภาษาอังกฤษเท่ากับ 1/3 ถ้าความนา่ จะเปน็ ในการสอบผ่านอย่างมากหน่งึ วชิ า เทา่ กบั 13/15 แล้ว ความนา่ จะเปน็ ท่เี ขาจะสอบผ่านอยา่ งนอ้ ยหนึง่ วชิ าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 7 2. 4 3. 3 4. 1 15 15 5 5 26. ในการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นห้องหนึง่ ปรากฏว่าคา่ เฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบน มาตรฐาน เปน็ 55 และ 10 ตามลําดบั โดยทน่ี าย ก ได้คะแนนคดิ เปน็ คา่ มาตรฐานเทา่ กบั 1.3 และเมือ่ รวมคะแนนเก็บระหว่างภาคการศกึ ษา ซ่ึงนกั เรยี นทกุ คนได้คนละ 5 คะแนนแลว้ นาย ข ได้ คะแนนรวมน้อยกว่าคะแนนรวมของนาย ก 8 คะแนน ข้อใดต่อไปนี้เปน็ คะแนนรวม และคา่ มาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข ตามลาํ ดับ 1. 60 , 0.5 2. 60 , 1 3. 65 , 0.5 4. 65 , 1 27. กําหนดตารางแสดงพนื้ ทใ่ี ตโ้ คง้ ปกตดิ ังนี้ z 0.97 1.58 A 0.334 0.443 คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนห้องหน่ึงมีการแจกแจงปกติ นายคณิตและนายวทิ ยาเป็น นกั เรียนห้องนี้ ถ้าปรากฏวา่ มีนักเรยี น 5.7 เปอร์เซน็ ต์ท่สี อบได้คะแนนมากกวา่ นายคณิต และมี นักเรียน 16.6 เปอร์เซ็นตท์ ีส่ อบไดค้ ะแนนน้อยกวา่ นายวิทยา และนายคณิตไดค้ ะแนนมากกวา่ นาย วิทยาอยู่ 51 คะแนน ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของการสอบคร้งั นเ้ี ท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 12 2. 15 3. 18 4. 20 28. ถา้ ราคาเฉลยี่ ของเมล็ดถ่ัวเหลอื งต่อกิโลกรัม ในแต่ละเดือนของปี พ.ศ. 2542 ท่ีจงั หวัดหนง่ึ เป็น ดังน้ี เดือน มกราคม ราคา 13 บาท เดอื น กุมภาพันธ์ ราคา 11 บาท เดือน มีนาคม ราคา 12 บาท แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ดชั นีราคาเมลด็ ถ่วั เหลอื งของเดือนกุมภาพันธ์ เทียบกบั ของเดอื นมกราคม เท่ากับ 84.62 เปอรเ์ ซ็นต์ ข. ดัชนรี าคาเมลด็ ถัว่ เหลืองของเดอื นมีนาคม เทียบกับของเดอื นกุมภาพนั ธ์ เพ่มิ ข้นึ 10.09 เปอร์เซ็นต์ ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 458 ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 เฉลยคาํ ตอบ ตอนที่ 1 (1) 4 (2) 9 (3) 13 (4) 0.5 (5) 27.5 (6) 0.4 (7) 0.1 (8) 19 ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 4 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 4 (7) 2 (8) 3 (9) 4 (10) 1 (11) 2 (12) 1 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 1 (18) 2 (19) 4 (20) 3 (21) 4 (22) 1 (23) 3 (24) 2 (25) 3 (26) 3 (27) 4 (28) 2 เฉลยวธิ คี ิด ตอนที่ 1 (5) พจนท์ ่ี 9 มคี า่ (1) log4 log3 log2(x2 + 2x) < 0 ( ) ( )n ⎛1 ⎞8 n ⎛ 1 ⎞8 ⎜⎝ 2x ⎟⎠ 8 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ → log3 log2(x2 + 2x) < 40 ⇒ 1 8 (x2)n − 8 = ⋅ x2n − 16 − 8 → log2(x2 + 2x) < 31 → x2 + 2x < 23 “พจน์นไ้ี มม่ ี x” แสดงว่า → x2 + 2x − 8 < 0 ไดเ้ ปน็ −4 < x < 2 อย่าลืมเงอื่ นไขของ log คือ x2 + 2x > 0 กําลงั ของ x คือ 2n − 16 − 8 = 0 → n = 12 (แยกตัวประกอบไดช้ ว่ ง x < −2 , x > 0 ) ( )หาพจนท์ มี่ ี x15 จากพจน์ทวั่ ไป 12 ⎛ 1 ⎞r ⋅ x24−2r −r ดังนนั้ เซต A คอื [−4, −2) ∪ (0, 2] r ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ∴ จาํ นวนเต็มใน A ได้แก่ -4, -3, 1, 2 รวม 4 จาํ นวน ตอบ → 24 − 2r − r = 15 → r = 3 ดงั นน้ั สัมประสทิ ธ์ิของพจนน์ ้ี = ⎝⎛⎜ 12 ⎠⎟⎞ ⎛ 1 ⎞3 3 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ (2) M32 = x6 = 7x − 12 = 23 → x =5 = 12 ! = 27.5 ตอบ 27 9!3!⋅ 8 C23 = − x −1 = −2xy − 4 = −44 → y = 4 (6) det = 0 → x2(x − 1) + x(x − 4) = 0 4 2y → x3 − 4x = 0 → x = 0, 2, −2 ดังนนั้ x + y = 9 ตอบ นาํ x มาจาก {0, 1, 2, 3, 4} ...มีเลข 0 กับ 2 ทีใ่ ช้ได้ (3) ลาํ ดบั เรขาคณติ b = c .....(1) ดงั นน้ั ความน่าจะเป็น = 2 = 0.4 ตอบ ab 5 ผลคณู abc = 27 .....(2) ลาํ ดบั เลขคณติ b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3) (7) y′ = ความชนั = 2 (x − 1)(2x − 5) + (x − 1)2(2) 4 แก้ระบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3, ac = 9 → แทน x = 1 จะไดค้ วามชนั = 3 24 ใส่ค่า b ใน (3) ได้ a + c = 10 บังเอิญโจทยถ์ าม a + b + c ∴ tan θ = 3 → cos θ = 4 = 1 − 2 sin2 ⎛θ⎞ 4 5 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ จงึ ได้ 10 + 3 = 13 ตอบ จะได้ sin2 ⎛⎜⎝ θ ⎞⎟⎠ = 1 = 0.1 ตอบ [ไม่ตอ้ งแก้ a, c ตอ่ แตส่ มมติถ้าแกส้ มการตอ่ จะ 2 10 ได้ผลเปน็ a = 1, c = 9 หรอื a = 9, c = 1 กไ็ ด]้ (8) พสิ ยั = 12 และ a < 15 → ดงั นน้ั a = 3 (4) ⎛ x2 + 3 − 2 ⎞ ⎛ x2 + 3 + 2 ⎞ ∑ (xi − b)2 นอ้ ยสดุ → ดงั นั้น b = X = 8 lim ⎜ x−1 ⎟ ⎜⎜⎝ x2 + 3 + 2 ⎟⎠⎟ x→1 ⎝ ⎠ ∑ xi − c น้อยสดุ → ดังนนั้ c = Medx = 8 = lim (x2 − 1) (จากสมบัติของ X และ Med) x → 1 (x − 1)( x2 + 3 + 2) ตอบ 3 + 8 + 8 = 19 = lim (x + 1) = 2 = 0.5 ตอบ x → 1 ( x2 + 3 + 2) 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 459 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.44 ตอนที่ 2 (6) แสดงวา่ ตอ้ งจริงทง้ั 2 อย่าง (1) คิดจากแผนภาพ B x2 < 2x + 3 → −1 < x < 3 n(A ∩ B ∩ C) = จ = 3 A กข ค y2 − 4 > 0 → y < −2 หรอื y > 2 งจ ฉ n(A ∩ B' ∩ C ') = ก = 20 ดังนนั้ ∀x [−1< x < 3] ∧ ∃y [y < − 2 หรอื y > 2] ชC โจทย์ถาม ตอบ ขอ้ ที่ถูกคอื ขอ้ 4. เพราะทุกๆ x อยู่ใน [−1, 3] - n(A ' ∩ B ∩ C) = ฉ และมีบาง x อย่ใู น (−∞, −2) ∪ (2, ∞) ถา้ มองแค่ B กบั C สองเซต (7) ก. หา Dr; 1 > 0 เพราะอกี ฝงั่ เปน็ คา่ − จะไดส้ ตู รวา่ =+ x2 1 80 − 20 = 42 + 28 − ◊ สมั บูรณ์ → 1 > 0 (x − 1)(x + 1) → ◊ = 10 แต่ จ = 3 ตอบ 7 (2) โดเมนคอื {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} Dr = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ∴ ขอ้ ก. ถูก แตเ่ รนจห์ ้ามอยใู่ นโดเมน (f(x) ∉ x) ข. หา r−1; x = 1 → y2 − 1 = 1 y2 − 1 x ∴ {1} จบั เรนจ์ได้ 5 วิธี (2ถงึ 6) → y2 = 1 + 1 → y = ± 1 + x {1, 2} จับได้ 4 วธิ ี (3ถึง6) xx {1, 2, 3} ได้ 3 วิธี (4ถงึ 6) ซ่ึงไมเ่ หมอื นกับ ± 1 + x ∴ ขอ้ ข. ผดิ x และ {1, 2, 3, 4} ได้ 2 วธิ ี (5,6) [เพราะ x มที ้ังคา่ บวกและลบ เชน่ ถ้า x = −0.5 ตอบ 5 × 4 × 3 × 2 = 120 สองแบบนจี้ ะไดค้ า่ ไมเ่ ทา่ กนั ] ตอบ ขอ้ 2. (3) “เป็นตัวประกอบ” (8) หา f−1(x) กบั g−1(x) ก่อน แสดงว่า p(−1) = 0 และ p(1) = 0 ไดส้ มการดงั น้ี → f−1(x); x = y → x + xy = y −3 + 1 + a + b = 0 .....(1) 1+ y 3 + 1 − a + b = 0 .....(2) → xy − y = −x → y = −x = x ∴ a = 3, b = −1 x −1 1− x หาร p(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1 ดว้ ย ตอบ ∴ f−1(x) = x (x ≠ 1) ซ่งึ เหมอื น g(x) 1− x x − a − b = x − 2 ไดเ้ ศษ = p(2) = 21 แสดงว่า g−1(x) = f(x) ด้วย (4) A; x − 1 < 2 → −2 < x − 1 < 2 1. ถูก(fog)−1(x) = (g−1of−1)(x) = g−1(g(x)) = x → −1 < x < 3 2. ถูก(f−1og−1)(x) = f−1(f(x)) = x และ 1 > 1 → 2 > x + 1 ⎛x⎞ x+1 2 ⎜⎝ 1 − x ⎠⎟ 3. (f−1og)(x) ⎝⎜⎛ x ⎠⎟⎞ (ย้ายข้างคณู ไขวไ้ ดเ้ พราะมากกวา่ 0 เสมอ) = f−1 1 − x = ⎝⎜⎛ x ⎠⎟⎞ − → −2 < x + 1 < 2 → −3 < x < 1 1 − 1 x แตอ่ ยา่ ลืม x ≠ −1 ดว้ ย = x = x → ขอ้ 3. ผิด B; x (x + 2) < 0 → −2 < x < 0 1 − x − x 1 − 2x ดังนนั้ A ∩ B = (−1, 0) ตอบ ⎛x⎞ ⎜⎝ 1 + x ⎠⎟ (5) p → (q ∧ r) ≡ F แสดงวา่ p เป็นจริง, 4. (g−1of)(x) = g−1 ⎜⎛⎝ x ⎟⎞⎠ = 1 + x ⎝⎜⎛ x ⎟⎠⎞ q กับ r มเี ป็นเทจ็ อยา่ งน้อย 1 ตวั 1 + + (p ∨ q) ↔ r ≡ T ↔ r ≡ T แสดงวา่ r เปน็ จริง 1 x ∴ q เป็นเทจ็ = x = x ถกู ก. (p ↔ q) ↔ ~ r ≡ F ↔ F ≡ จรงิ 1 + x + x 1 + 2x ดงั นนั้ ตอบ ขอ้ 3. ข. p ↔ (q ∨ ~ r) ≡ T ↔ F ≡ เทจ็ ตอบ [หมายเหตุ ทจ่ี รงิ ข้อ 4. ตอ้ งเพมิ่ วา่ x ≠ − 1 ดว้ ย] 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 460 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.44 (9) Rf = [−2, 2] (แอมพลิจดู เป็น 2) (13) 2x2(x − 3) 3 ⎛ 2 − x ⎞ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ Dg; x2 − 1 > 0 → (−∞, −1] ∪ [1, ∞) < 2 Rgof; คิดจาก −2 < f(x) < 2 → 0 < [f(x)]2 < 4 → x2(x − 3) < 3 ⎛ 2 − x ⎞ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ → 0 < [f(x)]2 − 1 < 3 → Rgof = [0, 3] → x3 − 3x2 + 3x − 2 < 0 ดังนนั้ Rf ∩ Dg = [−2, −1] ∪ [1, 2] → (x − 2)(x2 − x + 1) < 0 ตอบ→ (Rf ∩ Dg) − Rgof = [−2, −1] ∪ ( 3, 2] (10) จาก (a + b + c)(a − b + c) = 30 ซ่ึง x2 − x + 1 แยกตวั ประกอบไม่ได้ แตจ่ ดั รูปเปน็ ⎛ x − 1 ⎞2 +3 “มากกวา่ 0 เสมอ” ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 4 → a2 + 2ac + c2 − b2 = 30 .....(1) ดังนน้ั (x − 2) < 0 → x < 2 ตอบ ข้อ 4. จากกฎของ cos; b2 = a2 + c2 − 2ac cos B [หมายเหตุ อันที่จรงิ หากพหนุ ามกาํ ลงั สองใด → b2 = a2 + c2 − ac .....(2) แยกตัวประกอบไม่ได้ (ร้ทู ตดิ ลบ) พหุนามนนั้ จะมคี า่ 2 มากกวา่ 0 เสมอ ไม่จาํ เปน็ ตอ้ งจัดรปู ก็ได]้ สมการ (1)-(2); 5 ac = 30 → ∴ ac = 12 ตอบ 2 (14) ⎡20 2 2 ⎤ ⎢ 21 ⎥ (11) จดั รปู วงร;ี A = ⎢ 2 2 2 ⎥ → det(A) = −4 ⎣⎢ 2 22 ⎦⎥ (x2 + 4x + 4) + 2(y2 − 2y + 1) = −2 + 4 + 2 พิสูจน์ จาก adj(A) = A ⋅ A−1 → (x + 2)2 + 2(y − 1)2 = 4 → adjA = A n ⋅ A −1 = A n − 1 → (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1 → วงรตี ามแกน x 42 ∴ โจทย์ถาม 4 ⋅ adj(At) = ⎛ 4 ⎞3 adj(A) A ⎜⎝⎜ A ⎠⎟⎟ จุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (−2, 1) ระยะโฟกสั c = 4 − 2 = 2 ตอบ= (−1)3 ⋅ (−4)3 − 1 = −16 ดังนน้ั จดุ โฟกสั ไดแ้ ก่ A(−2 − 2, 1), B(−2 + 2, 1) (15) ต่อไปหาจุดตัดแกน x; แทน y = 0 จะได้ (x + 2)2 + 2 = 4 → x = −2 ± 2 35 (10,30) แสดงว่าจุดตดั แกน x ได้แก่ C(−2 + 2, 0) D(−2 − 2, 0) ดงั รปู AB O 25 1 สมมติ (10, 30) เปน็ จดุ ที่ทาํ ให้เกิด Pmax ∴ ABCD เปน็ ผืนผา้ , D 2 2 C ∴ 100 = a(10) + 2(30) → a = 4 พน้ื ที่ = 2 2 ตร.หน่วย ตอบ ก. ถกู ข. ผดิ ตรวจสอบคําตอบโดยลองแทนจดุ อน่ื ดู (12) สมการ L; (25, 0) → P = 100, (0, 35) → P = 70 y − 4 = 3 (x − 1) → 4y − 3x − 13 = 0 แสดงวา่ Pmax = 100 เกิดทจ่ี ดุ (10, 30) จรงิ ๆ 4 ∴ ตอบ a = 4 สมั ผสั วงกลม C ท่ีมีศูนย์กลางท่ี (1, 2) [หมายเหตุ ถ้าจดุ อน่ื ให้ P สงู กวา่ กต็ ้องคิดใหม่โดย ให้จดุ ทสี่ งู กวา่ นัน้ เปน็ จดุ ทเ่ี กดิ Pmax จริง แลว้ หาคา่ a] แสดงวา่ รัศมี r = 4(2) − 3(1) − 13 = 8 42 + 32 5 (16) (a i + b j) ⋅ (5 i − 2 j) = 5a − 2b = 14 .....(1) ดใู นตวั เลอื ก มี x = 1 กับ y = 2 u กบั i ทํามมุ กนั (a,b) arccos 3 ดงั รปู 54 จะสังเกตว่าไมต่ อ้ งสร้างสมการวงกลมก็คดิ ได้ 5 1. (1, 2 − 8) = (1, 2) ถูก 55 2. θ 3. (1,2) 4. 2. (1, 2 + 8) = (1, 18) 3 55 แสดงวา่ a = 3 → 4a = 3b .....(2) 3. (1 − 8 , 2) = (− 3 , 2) 1. b4 55 แก้ระบบสมการได้ a = 6, b = 8 ตอบ 14 4. (1 + 8 , 2) = (13 , 2) 55 ตอบ ขอ้ 1. Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 461 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.44 (˜O1C7)=ใช2ส้ ˜Oตู Bรก+าร1แ˜OบAง่ เวกเตอร์ O B (23) 1 = [g′(x)] 1 = g′(1) − g′(0) 3 1 0 ∫ g′′(x) dx 0 = 2 (2 i + 5 j) + 1 (3 i − 2 j) C หาค่า g′(1) กับ g′(0) จาก 33 และ2 (x4 = 7 i +8j 33 A g′(x) = + 1)(f′(x)) − (f(x))(4x3) (x4 + 1)2 → g′(1) = (2)(1) − (1)(4) = − 1 ˜→ 42 | OC |2 = ⎛ 7 ⎞2 + ⎛ 8 ⎞2 = 113 g′(0) = (1)(−2) − (−2)(0) = −2 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 9 1 (18) z3 = 1 + 3 i = 1∠ π 22 3 ตอบ − 1 − (−2) = 3 22 (24) ก. 5!5! ถูกแลว้ โจทยถ์ าม z18 = ⎝⎜⎛ 1∠ π ⎞6 = 1∠2π 1 − z27 ⎟⎠ − 1∠3π ข. โต๊ะวางติดกนั จงึ เหมอื นมีตาํ แหนง่ เกิดขนึ้ ภายใน 3 โตะ๊ แล้ว จัดแตล่ ะโตะ๊ ไดเ้ ปน็ 6!6! โตะ๊ ต่างกันจึงคูณ 2! ขอ้ นจี้ งึ ตอ้ งเปน็ 6!6!2! i − ⎛⎜⎝ 1∠ π ⎟⎠⎞9 i 3 = 1 = 1 = 1 − i ∴ ตอบ 1 − 1 = 0 ตอบ ก. ถกู ข. ผดิ i − (−1) i + 1 2 22 (25) ก + ข = 2 (19) i9 + i10 + i11 + i12 = 0, i13 + i14 + i15 + i16 = 0 5 กขค ง ไปเร่อื ยๆ ดงั นน้ั z = i125 + i126 = i1 + i2 = i − 1 ข+ค = 1 → 2z−1 = 2 = 2(−1 − i) = −1 − i ตอบ 3 i−1 2 ก + ค + ง = 13 ∴ ข = 1 − 13 = 2 (20) Sn = n (a1 + an) 15 15 15 2 ก + ข + ค = 2 + 1 − 2 = 3 ตอบ → 217 = n (7 + 7 + (n − 1)(8)) = n (8n + 6) 5 3 15 5 22 (26) คิดที่นาย ก กอ่ น → 4n2 + 3n − 217 = 0 → n = 7, − 31 → 1.3 = xก − 55 → xก = 68 คะแนน 4 10 ข นอ้ ยกว่า ก อยู่ 8, แตบ่ วกไปคนละ 5 ด้วย แต่ n ∈ I+ ∴ n = 7 เทา่ นน้ั โจทย์ถาม (27 + 28 + 29 + … + 214) ÷ 28 ดงั นนั้ xรวม,ข = 68 − 8 + 5 = 65 = ⎡27(1 − 28)⎤ ÷ 28 = 27(28 − 1) = 28 − 1 คดิ เปน็ คา่ มาตรฐาน → zรวม, ข = 65 − 60 = 0.5 ⎢ ⎥ 28 2 10 ⎣ 1−2 ⎦ [อยา่ ลืมวา่ ทกุ คนไดบ้ วก 5 ทาํ ให้ X เปลย่ี น] = 127.5 ตอบ ตอบ 65, 0.5 (21) f(1) = −2 และ f′(1) = 0 (27) ทําใหไ้ ดส้ มการวา่ a + b = −2 และ 3a + b = 0 0.3340 จะได้วา่ แกร้ ะบบสมการได้ a = 1, b = −3 0.4430 16.6% 5.7% zค = 1.58 และ → f(x) = x3 − 3x → g(x) = x3 + (3x2 − 3) วิทยา คณติ zว = −0.97 หาชว่ งทเ่ี ปน็ ฟังกช์ นั ลด g′(x) = 3x2 + 6x < 0 ตอบ (−2, 0) จากสตู รจะได้ 1.58 = xค − X , − 0.97 = xว − X (22) f′(1) = 5 และ f′′(0) = −12 ss ทําใหไ้ ดส้ มการวา่ 3a + 2b + 2 = 5, 0 + 2b = −12 นําสองสมการมาลบกนั ได้เปน็ 2.55 = xค − xว ∴ b = −6, a = 5 s นัน่ คอื f(x) = 5x3 − 6x2 + 2x − 2 ซ่งึ โจทย์บอกวา่ xค − xว = 51 หาค่า ∫ [f′(x) + f′′(x)] dx จะไดผ้ ลคลา้ ยๆ กับ f(x) + f′(x) แตต่ ดิ คา่ C1, C2 ∴ s = 51 = 20 คะแนน ตอบ ดงั น้ี (5x3 − 6x2 + 2x + C1) + (15x2 − 12x + C2) 2.55 = 5x3 + 9x2 − 10x + c ตอบ (28) ก. 11 × 100 = 84.62% ถกู 13 ข. เพิม่ ขึน้ 12 − 11 × 100 = 9.09% ผิด ตอบ 11 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 462 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.44 ¢ŒoÊoºe¢ÒŒ ÁËÒÇ·i ÂÒÅÂa µ.¤.44 (i) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 8 เป็นขอ้ สอบแบบอัตนัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = { f : A > A | f (x) < x + 1 ทกุ x ∈ A } จํานวนฟงั ก์ชนั ทงั้ หมดท่ีเปน็ สมาชกิ ของ S เท่ากับเท่าใด 2. ใหช้ ว่ งเปิด (a, b) เป็นเซตคําตอบของอสมการ log (3x + 4) > log (x − 1) + 1 แล้ว a + b มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด 3. ถา้ ⎡ 1 0 −1⎤ และ แลว้ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด ⎢⎣⎢23 −a2⎥⎥⎦ A = −1 C11(A) = 2 det (−3A−1) 5 4. ให้ z = −1 − 3 i แลว้ z6+ z 6 เทา่ กับเทา่ ใด 5. ถา้ c เปน็ จาํ นวนจรงิ ซึ่ง lim 3cn3 − n2 + cn ∑= ∞ (−2)n−1 แล้ว c มีคา่ เท่าใด (2n + 1)3 n = 1 3n−2 n→∞ 6. ถ้าเสน้ ตรง x = a แบ่งครง่ึ พนื้ ที่ทีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้ y = 2x จาก x = 0 ถึง x = 8 แลว้ a3 มีค่าเท่าใด 7. กําหนดความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ A, B และ A ∩ B ดงั นี้ P (A) = 0.5 , P (B) = 0.3 และ P (A ∩ B) = 0.1 แลว้ P (A ' ∪ B') มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด 8. ร้านคา้ แหง่ หนึ่งขายพัดลม 3 ขนาด ในการหาดัชนีราคาพัดลมท้งั 3 ขนาด ถ้าดชั นีราคาอย่างงา่ ย แบบใชร้ าคารวมของ พ.ศ. 2543 โดยใช้ พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2541 เปน็ ปฐี าน เท่ากบั 80 และ 120 ตามลาํ ดับแล้ว ราคาเฉลย่ี ของพัดลมท้งั 3 ขนาด ใน พ.ศ. 2542 เมอื่ หาโดยใชด้ ัชนีราคาอยา่ ง ง่ายแบบใชร้ าคารวม เพมิ่ ข้นึ จากราคาเฉลยี่ ของพัดลมทงั้ 3 ขนาดในพ.ศ. 2541 ร้อยละเทา่ ใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. ให้ A, B, C เปน็ เซตที่มีสมาชิก เซตละ 2 ตวั และ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C โดยที่ A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d} ถ้า (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ แลว้ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. d ∈ A ข. B = C ข้อใดต่อไปน้ีเป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 463 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.44 2. ถ้า −2 < x < 2 และ 8 < y < 13 แล้ว ค่ามากทีส่ ุดของ (1/2)x + 1 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ y+2 1. 1 2. 1/2 3. 1/3 4. 1/8 3. กาํ หนดให้ P (x) = x3 + ax2 + bx + 2 โดยท่ี a และ b เป็นจาํ นวนจรงิ ถ้า x − 1 และ x + 3 ต่างกห็ าร P(x) แล้วเหลือเศษ 5 ดังน้ัน a + 2b มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. −11 2. −1 3. 1 4. 9 4. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ เม่อื เอกภพสมั พัทธค์ อื เซตของจาํ นวนจรงิ ก. ∃x [cot 2x − cot x = 0 ] ข. ∀x [sin4 x + cos4 x = 1 − 1 sin22x ] 2 คา่ ความจริงของข้อความ ก. และข้อความ ข. เปน็ ไปตามข้อใดต่อไปนี้ 1. ก. เป็นจรงิ และ ข. เปน็ จริง 2. ก. เปน็ จริง และ ข. เปน็ เท็จ 3. ก. เป็นเทจ็ และ ข. เป็นจริง 4. ก. เปน็ เทจ็ และ ข. เปน็ เท็จ 5. กาํ หนดให้ p, q, r เปน็ ประพจนท์ มี่ คี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ เท็จ และเทจ็ ตามลําดับ ประพจน์ใน ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี ่าความจริงเหมือนกบั ประพจน์ (p → ~ q) ∨ (r ∧ ~ p) 1. (~ r → p) ∧ (q ∨ r) 2. (q ∧ ~ r) ↔ (~ p → ~ q) 3. (~ p ∨ r) → (q ∧ ~ r) 4. (p → q) ∨ (~ r ↔ q) 6. ถ้า r = {(x, y) ∈ R × R | 2x3 + 3xy2 − x2 + y2 = 0 } แลว้ เรนจ์ของ r −1 เทา่ กบั ข้อใด 1. (− 1 , 1] 2. [− 1 , 1) 32 23 3. (−∞, − 1) ∪ (− 1 , ∞) 4. (−∞, ∞) 33 7. กาํ หนดให้ f (x) = 4 − x2 และ g(x) = 1 9 − x2 จาํ นวนในข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นสมาชิกของ Rgof 3. 1. 1 2. 1 1 4. 1 2 4 8 14 8. กาํ หนดให้ f (x + 1) = 3x + 2 + f (x) และ g(3x − 1) = 2x + 8 ถา้ f (0) = 1 แลว้ g−1(f (2)) เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 9. ถ้า sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว้ (x + y)2− 2xy เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 4 cos220° 2. 2 cos220° 3. 4 cos240° 4. 2 cos240° Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 464 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.44 10. ถา้ 0 < x < π แล้ว 4 เซตคําตอบของ log0.5(sin x) + log0.5(sin 2x) < log0.5(cos x) + log0.5(cos 2x) คอื เซตในข้อใดต่อไปน้ี 2. (0, π) 3. ( π , π) 4. (π , π) 64 1. ∅ 6 12 6 11. ให้ C เปน็ วงกลมที่มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จี่ ุดศูนย์กลางของวงรี x2+ 2y2+ 4x − 4y + 2 = 0 และ ผ่านจดุ โฟกสั ท้งั สองของวงรนี ้ี ถา้ วงกลม C ตัดเส้นตรง y = −x ท่ีจดุ A และ B แลว้ ระยะ AB ยาวเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 3 หน่วย 2. 5 หนว่ ย 3. 6 หนว่ ย 4. 8 หน่วย 12. กาํ หนดให้ P เป็นพาราโบลา y2− 2y − 8x − 7 = 0 ซึง่ มี L เปน็ เส้นไดเรกตริกซ์ สมการ วงกลมซ่งึ มจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุดโฟกัสของ P และมี L เปน็ เส้นสัมผสั คอื ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. x2 + y2 + 2x − 2y − 14 = 0 2. x2 + y2 + 2x − 2y − 2 = 0 3. x2 + y2 + 2x + 2y − 2 = 0 4. x2 + y2 − 2x − 2y − 14 = 0 13. เซตคาํ ตอบของสมการ 4 ⋅ 32x + 9 ⋅ 22x = 13 ⋅ 6x เป็นสับเซตของเซตในข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. [−4, 0] 2. [−3, 1] 3. [−2, 2] 4. [1, 3] 14. ให้ ⎛ ⎡x2 −x 1⎤ ⎞ ถา้ ชว่ ง เปน็ เซตคําตอบของอสมการ แลว้ ⎜ ⎢ 1 2⎥⎥ ⎟ f (x) > −2 f (x) = det ⎜ ⎢ 0 1 1⎥⎦ ⎟ [a, b] ⎜⎝ ⎠⎟ ⎢⎣ x a − b คือขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 4 4. 5 3 33 3 15. คา่ ของ x, y ทท่ี ําให้ P = 2 x + 3 y มีคา่ สูงสุดตามเงือ่ นไขขอ้ จํากัดท่กี าํ หนดให้ต่อไปน้ี x + y > 4 , 3x + 2y < 10 , 2x − y < 1 , x > 0 และ y > 0 สอดคล้องกบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. x + y = 5 2. x + y = 4 3. x + y = 39 4. x + y = 33 8 8 16. กําหนดให้ u = 2 , u + v = 5 , u − v = 4 ถ้า θ เป็นมุมระหว่าง u และ v 2 แลว้ θ อยใู่ นช่วงใดต่อไปนี้ 1. (0, π) 2. (π , π) 3. (π , π) 4. (π , π) 6 64 43 ||3˜˜AADB2|| 17. กาํ หนดจดุ A (1, 1), B(4, 10), C (7, 9) และ D เปน็ จดุ ทีอ่ ยูบ่ นดา้ น AB โดยท่ี = 2 ถ้า 3 θ คอื มมุ ระหวา่ ง ˜CA และ ˜DC แล้ว cos θ คอื ค่าในข้อใดต่อไปน้ี 1. −2 2. −2 3. 2 4. 2 5 10 5 10 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 465 ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 18. ถา้ 3 + 39 เปน็ คาํ ตอบหนึง่ ของสมการ ax2 − 3x + c = 0 โดยที่ a และ c เปน็ จํานวน i 44 จริงแลว้ เศษที่เหลอื จากการหาร ax2− 3x + c ด้วย x + 2 เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 8 2. 12 3. 16 4. 20 ⎧1 ,x ≠ 1 19. กําหนดให้ ⎪ และ g(x) = x3 + x − 2 f (x) = ⎨ x − 1 ⎪⎩ 2 , x = 1 ถา้ h(x) = f (x) g(x) แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูก 1. h ต่อเน่อื งทจี่ ดุ x = 1 และ lim h(x) = 0 x→1 2. h ต่อเนอื่ งที่จดุ x = 1 และ lim h(x) = 4 x→1 3. h ไม่ตอ่ เนอ่ื งทจี่ ดุ x = 1 และ lim h(x) = 0 x→1 4. h ไม่ต่อเน่ืองท่จี ุด x = 1 และ lim h(x) = 4 x→1 20. กาํ หนดให้ g เป็นฟงั ก์ชันซึ่งมีอนุพนั ธ์ทท่ี กุ จดุ x > 0 และ g′(3) = 3 จาํ นวนเตม็ บวก n ท่ีทาํ ให้ g(xn+ 2x) = 4x3+ 6x2+ 31 คือจาํ นวนในข้อใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 21. ให้ f เป็นฟังกช์ ันพหุนามกาํ ลังสาม ซงึ่ มีค่าสงู สุดสมั พัทธเ์ ทา่ กับสามเทา่ ของคา่ ต่ําสดุ สมั พัทธ์ และ f (0) = 2 ถ้า f มคี า่ สงู สดุ สมั พัทธท์ ่ี x = − 1 และมีคา่ ตํา่ สดุ สัมพัทธท์ ่ี x = 1 แลว้ f (4) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. −28 2. −24 3. 24 4. 28 22. กาํ หนดใหเ้ สน้ โค้ง y = f (x) ผ่านจดุ (1, 0) และมีความชันทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เป็น 3x2 − 4x + 2 ถ้า (a, b) เปน็ จุดตัดระหว่างเส้นโค้งนกี้ บั เสน้ ตรง x −2=0 แล้ว a+b มีคา่ x2 เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 3 2. 2 3. 7 4. 4 22 23. คนกลมุ่ หนึ่งเป็นชายและหญิงจาํ นวนเทา่ กัน โดยทอี่ ตั ราส่วนของจาํ นวนวิธที ชี่ ายและหญงิ ยืนสลบั ที่กนั เปน็ แถวตรง กบั จํานวนวธิ ที ่ชี ายและหญงิ ยนื สลบั ทก่ี นั เป็นวงกลม เทา่ กับ 10 : 1 จํานวนวิธีทีจ่ ะ เลอื กตัวแทน 2 คนจากคนกลมุ่ นี้ โดยมีชายอยา่ งนอ้ ย 1 คน เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 30 2. 35 3. 40 4. 45 24. หา้ งสรรพสินค้าแห่งหนึง่ จัดรายการสมนาคุณแกล่ ูกค้า โดยจะให้ลกู ค้าทุกคนสุม่ หยบิ คปู อง ส่วนลดได้ 2 ใบ จากกล่องซง่ึ มคี ปู องทง้ั หมด 12 ใบ ซึง่ มคี ปู องมูลค่า 50 บาท 5 ใบ คูปองมูลคา่ 100 บาท 3 ใบ คปู องมูลค่า 200 บาท 3 ใบ และคูปองมูลคา่ 500 บาท 1 ใบ ความน่าจะเป็นที่ ลูกค้าคนหน่ึงจะส่มุ หยิบคูปอง 2 ใบ และไดค้ ูปองที่มีมลู คา่ ส่วนลดรวมมากกวา่ 300 บาท มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 11 2. 14 3. 20 4. 23 66 66 66 66 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 466 ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 25. นักเรียนอนบุ าล 4 คน มีอายุเปน็ x1, x2, x3, x4 ปี โดยมคี า่ เฉลี่ยเลขคณติ ของอายเุ ป็น 5.5 ปี และ 4 = 141 ถา้ มีนักเรียนท่มี ีอายุ 3 ปี มาเพ่ิมอีก 1 คน แล้ว สัมประสทิ ธขิ์ องการแปรผัน ∑ x2i i=1 ของอายุนกั เรยี นทง้ั 5 คนน้ี เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 5 2. 1 3. 2 5 4. 5 55 26. ถา้ ตารางแจกแจงความถขี่ องขอ้ มูลชดุ หนึ่ง ซึง่ มคี วามกว้างของแตล่ ะอันตรภาคช้ันเท่ากัน เปน็ ดังต่อไปน้ี ชั้นท่ี จุดกงึ่ กลางของอนั ตรภาคชัน้ ความถส่ี ะสม 1 ... 8 2 ... 16 3 ... 36 4 25 40 5 30 50 ให้ x เปน็ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ med เป็นมัธยฐานของขอ้ มูล ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูก 1. x = 19 และ med = 19.75 2. x = 19 และ med = 17.5 3. x = 20 และ med = 19.75 4. x = 20 และ med = 17.5 27. ถ้าจากการศกึ ษาความสัมพันธร์ ะหวา่ งจํานวนช่วั โมงตอ่ สัปดาห์ท่ใี ชใ้ นการทบทวนวิชาต่างๆ (แทน ดว้ ย X ) และผลการเรยี นเฉล่ีย หรอื GPA (แทนด้วย Y ) ไดส้ มการทีใ่ ชป้ ระมาณผลการเรยี น เฉลย่ี จากจํานวนชัว่ โมงต่อสปั ดาหท์ ใี่ ชใ้ นการทบทวนวิชาตา่ งๆ เป็นสมการเส้นตรงทีม่ ีความชัน เทา่ กับ 0.02 และระยะตัดแกน Y เทา่ กบั 2.7 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถา้ จํานวนช่ัวโมงทใ่ี ชใ้ นการทบทวนวิชาตา่ งๆ เพม่ิ ขึ้น 10 ช่วั โมงต่อสปั ดาห์ ผลการเรยี น เฉลี่ยเพิ่มขน้ึ 0.2 ข. ถา้ ผลการเรียนเฉลยี่ เทา่ กบั 3 ทาํ นายวา่ จํานวนชั่วโมงท่ใี ชใ้ นการทบทวนวิชาต่างๆ เท่ากบั 15 ช่วั โมงต่อสัปดาห์ ข้อใดต่อไปน้ีเป็นจริง 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 28. พน้ื ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกตริ ะหวา่ ง z = −1.2 ถึง z = 0 เท่ากับ 0.3849 คะแนนสอบของนักเรียน กลมุ่ หนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลย่ี เลขคณิตและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 50 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลาํ ดับ ถ้านายคํานวณสอบไดใ้ นตาํ แหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์เท่ากับ 88.49 แลว้ นายคํานวณสอบได้คะแนนเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 58 คะแนน 2. 60 คะแนน 3. 62 คะแนน 4. 65 คะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 467 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.44 เฉลยคําตอบ ตอนท่ี 1 (1) 96 (2) 3 (3) 1.8 (4) 128 (5) 4.8 (6) 128 (7) 0.9 (8) 50 ตอนท่ี 2 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 1 (10) 4 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 4 (15) 1 (16) 2 (17) 1 (18) 4 (19) 4 (20) 2 (21) 4 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 3 เฉลยวิธคี ดิ ตอนท่ี 1 (6) (1) ตวั หนา้ (1, _) (2, _) (3, _) (4, _) จะได้วา่ a8 และตวั หลัง y < x + 1 ∫ y dx = ∫ y dx จะได้วา่ (1, _) เลอื กตวั หลงั ได้ 1,2 รวม 2 แบบ 0a (2, _) เลอื กตวั หลงั ได้ 1,2,3 รวม 3 แบบ (3, _) เลอื กตวั หลังได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ 0 a8 (4, _) เลอื กตวั หลังได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ → ⎡ 2x3 / 2 ⋅ 2⎤ a = ⎡ 2x3 / 2 ⋅ 2⎤ 8 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0 ⎢⎣ 3 ⎦⎥ a รวม 2 × 3 × 4 × 4 = 96 แบบ ตอบ (2) log(3x + 4) > log(x − 1) + log 10 ตดั สัมประสิทธ์ิ 2 ⋅ 2 ท้งั สองขา้ งของสมการ 3 33 33 33 → 3x + 4 > 10(x − 1) → 14 > 7x → x < 2 → a2 − 02 = 82 − a2 → 2a2 = 82 แตอ่ ยา่ ลมื เงอื่ นไขของ log คอื 3x + 4 > 0 และ → 4a3 = 83 → a3 = 83 = 128 ตอบ 4 x − 1 > 0 จะได้ x > − 4 และ x > 1 3 (7) P(A ' ∪ B' ) = 1 − P(A ∩ B) ดังนนั้ ไดช้ ว่ งคาํ ตอบ (1, 2) ตอบ 3 = 1 − 0.1 = 0.9 ตอบ (3) C11(A) = 2 → −1 −2 =2 → −a + 10 = 2 (8) I43 = 80, I42 = 120 5a เพ่มิ ขนึ้ 120 − 80 × 100 = รอ้ ยละ 50 ตอบ →a=8 80 ∴ A = −8 + 0 − 15 − 2 + 0 + 10 = −15 ตอนท่ี 2 → −3A−1 = (−3)3 = −27 = 1.8 ตอบ (1) A = {a, _} B = {b, _} C = {c, _} A −15 ซึง่ ถ้า (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ (4) z = 2∠ 4π , z = 2∠(− 4π) 33 แสดงว่า A ∩ B = ∅ และ A ∩ C = ∅ ฉะนน้ั b และ c ต้องไมอ่ ยูใ่ น A → z6 + z6 = 26∠ 24π + 26∠(− 24π) จึงสรปุ วา่ A = {a, d} ก. ถกู 33 = 26∠0 + 26∠0 = 64 + 64 = 128 ตอบ และ a กบั d ตอ้ งไมอ่ ยใู่ น B, C เลย (5) lim 3cn3 − n2 + cn ∴ B = {b, c} C = {c, b} ข. ถกู ตอบ n→∞ 8n3 + … + 1 (2) −2 < x < 2 → 1 < 2x < 4 3c − 1 + c 4 n + n2 = lim 1 = 3c → 1 < ⎛ 1 ⎞x < 4 → 5 < ⎛ 1 ⎞x + 1< 5 8+… n3 8 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ n→∞ และ ∑∞ (−2)n − 1 4 −8 และ 8 < y < 13 → 10 < y + 2 < 15 n = 1 3n − 2 3 9 = 3−2+ +… ดงั นน้ั เมื่อนํามาหารกนั ทลี ะคู่ ผลทไี่ ด้ = 3 2) = 9 เปน็ 5 = 1 , 5 = 1 , 5 = 1, 5 =1 1 − (− 5 40 8 60 12 10 2 15 3 3 คา่ มากทส่ี ุด = 1 ตอบ 2 ∴ 3c = 9 → c = 4.8 ตอบ 85 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 468 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.44 (3) P(1) = 5 → 1 + a + b + 2 = 5 .....(1) (8) หา f(2) จาก f(0) โดยไลไ่ ปทลี ะตวั P(−3) = 5 → −27 + 9a − 3b + 2 = 5 .....(2) f(1) = 3(0) + 2 + f(0) → f(1) = 2 + 1 = 3 แก้ระบบสมการได้ a = 3 และ b = −1 ∴ f(2) = 3(1) + 2 + f(1) = 3 + 2 + 3 = 8 ∴ ตอบ 1 โจทย์ถาม g−1(8) (4) ก. cot 2x − cot x = 0 จาก g−1(2x + 8) = 3x − 1 ให้ 2x + 8 = 8 พบว่าต้องใส่ x = 0 ดงั น้นั g−1(8) = −1 ตอบ → cos 2x − cos x = 0 (9) (x + y)2 − 2xy = x2 + y2 sin 2x sin x = (sin 15° + sin 55°)2 + (cos 15° + cos 55°)2 → sin x cos 2x − cos x sin 2x = 0 sin 2x sin x = sin2 15° + 2 sin 15° sin 55° + sin2 55° + cos2 15° + 2 cos 15° cos 55° + cos2 55° → sin(−x) = 0 → −1 = 0 sin 2x sin x sin 2x = 2 + 2 sin 15° sin 55° + 2 cos 15° cos 55° เปน็ ไปไม่ได้ ∴ ก. เทจ็ = 2 − (cos 70° − cos 40°) + (cos 70° + cos 40°) ข. sin4 x + cos4 x = [sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x] − 2 sin2 x cos2 x = 2 + 2 cos 40° = 2 + 2 (2 cos2 20° − 1) = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 4 cos2 20° ตอบ = 12 − (2 sin x cos x)2 = 1 − 1 sin2 2x ∴ ข. จรงิ (10) log0.5(sin x sin 2x) < log0.5(cos x cos 2x) 2 2 → sin x sin 2x > cos x cos 2x ตอบ ข้อ 3. (อยา่ ลืมกลับเครอ่ื งหมาย เพราะฐานเปน็ 0.5) (5) โจทย์ (p → ~ q) ∨ (r ∧ ~ p) → 0 > cos x cos 2x − sin x sin 2x ≡ (T → T) ∨ (F ∧ F) ≡ T ∨ F ≡ T → 0 > cos 3x ขอ้ ทีถ่ กู คอื ขอ้ 3. (F ∨ F) → … ≡ T ขยายชว่ ง 0 < x < π เปน็ 0 < 3x < 3π ส่วนอกี 3 ข้อเปน็ เทจ็ ดังนี้ 44 เพือ่ หาชว่ งคาํ ตอบ 1. … ∧ (F ∨ F) ≡ F จากรปู ถา้ cos 3x < 0 จะได้ π < 3x < 3π 2. (F ∧ …) ↔ (F → …) ≡ F ↔ T ≡ F 24 4. (T → F) ∨ (T ↔ F) ≡ F ∨ F ≡ F → π <x< π ตอบ ขอ้ 3. (6) เรนจ์ของ r−1 ก็คอื โดเมนของ r; 64 จาก 2x3 + 3xy2 − x2 + y2 = 0 → y2 = x2 − 2x3 (อย่าลืมเชค็ เงอื่ นไข log วา่ sin x > 0, sin 2x > 0, 3x + 1 cos x > 0, cos 2x > 0 จริงๆ ดว้ ย) ตอบ ⎜⎝⎛ π , π ⎟⎞⎠ ดงั นน้ั 3x + 1 ≠ 0 → x ≠ − 1 3 6 4 และ x2 − 2x3 > 0 → x2(2x − 1) < 0 (11) จดั รปู วงร;ี 3x + 1 3x + 1 (x2 + 4x + 4) + 2(y2 − 2y + 1) = −2 + 4 + 2 เขียนเสน้ จํานวนได้ช่วง (−1/3, 0] ∪ [0, 1/2] → (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1 จดุ ศนู ยก์ ลาง (−2, 1) 42 รีตามแกน x โดย ดังนน้ั ตอบ ⎛ − 1 , 1⎤ ระยะโฟกสั = 4 − 2 = 2 ⎜⎝ 3 2 ⎦⎥ วงกลมผา่ นจดุ โฟกัส (7) หา Rgof เริ่มคดิ จาก f; 2 x2 > 0 → 4 − x2 < 4 → 0 < 4 − x2 < 2 แสดงว่า รศั มวี งกลม = 2 ดว้ ย ∴ 0 < f(x) < 2 → 0 < [f(x)]2 < 4 ได้สมการวงกลมคือ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 2 .....(1) → 5 < 9 − [f(x)]2 < 9 ตัดกบั เสน้ ตรง y = −x .....(2) → 1< 1 < 1 แกร้ ะบบสมการ ได้จดุ ตัด 2 จุด คอื 9 9 − [f(x)]2 5 ∴ 1 < (gof)(x) < 1 ตอบ ขอ้ 3. ⎛ −3 − 3 , 3+ 3⎞ กบั ⎛ −3 + 3 , 3− 3⎞ 95 ⎝⎜⎜ 2 2 ⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ 2 2 ⎟⎠⎟ [หมายเหตุ หา้ มนาํ f ไปใสใ่ น g เป็น 1 ∴ ระยะหา่ ง ( 3)2 + ( 3)2 = 6 หน่วย ตอบ 9 − 4 + x2 แลว้ คอ่ ยคดิ เพราะจะทาํ ใหข้ อ้ จาํ กดั ใน f หายไป] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 469 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.44 (12) จัดรปู พาราโบลา; y2 − 2y + 1 = 8x + 7 + 1 โจทย์บอก u = 2 2 → (y − 1)2 = (4)(2)(x + 1) เปน็ พาราโบลาเปิดขวา 2 ⎞2 จดุ ยอดอยทู่ ่ี (−1, 1) → ระยะโฟกัส = 2 ⎛ 2 ⎟⎟⎠ + v2 = 41 →v= 20 ∴ ⎜⎝⎜ 2 ดังนนั้ จุดโฟกสั (1, 1) ไดเรกตรกิ ซ์ x = −3 F จะได้ u v cos θ = ⎛ 2 ⎞ ( 20) cos θ = 9 ⎝⎜⎜ 2 ⎟⎠⎟ 4 → cos θ = 9 ≈ 0.712 4 10 หาสมการวงกลมที่มจี ดุ ศูนย์กลางท่ี (1, 1) เราทราบวา่ cos π = 2 ≈ 0.707 และมรี ัศมี = 2c = 4 42 นน่ั คอื (x − 1)2 + (y − 1)2 = 16 ดงั นน้ั θ < π เล็กนอ้ ย ตอบ ข้อ 2. → x2 + y2 − 2x − 2y − 14 = 0 ตอบ 4 ˜(17) (13) มอง 3x = A และ 2x = B จะได้ CA = ⎡1− 7⎤ = ⎡−6⎤ C B ⎢⎣1 − 9⎦⎥ ⎣⎢−8⎥⎦ 1 ˜CB D 4A2 + 9B2 = 13AB → 4A2 − 13AB + 9B2 = 0 = ⎡ 4−7 ⎤ = ⎡−3⎤ ⎢⎣10 − 9⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎥⎦ → (4A − 9B)(A − B) = 0 → A = 9 หรอื 1 B4 ใ˜CชDส้ ตู =รก1า˜CรแAบง่+เว2ก˜เCตBอร=์ ⎡−4⎤ 2 3 ⎣⎢−2⎥⎦ A → ⎛ 3 ⎞x = 9 หรอื 1 → x =2 หรอื 0 ˜∴ DC ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 4 ⎡4⎤ ∴ ตอบ ขอ้ 3. = ⎢⎣2⎥⎦ (14) หามุมระหวา่ ง ⎡−6⎤ กับ ⎡4⎤ ใช้วธิ กี ารดอท; ⎢⎣−8⎦⎥ ⎣⎢2⎥⎦ f(x) = x2 + 0 − 2x2 − x − 0 − 2x2 = −3x2 − x แก้อสมการ −3x2 − x > −2 → 3x2 + x − 2 < 0 (−6)(4) + (−8)(2) = (10) ⋅ ( 20) ⋅ cos θ → (3x − 2)(x + 1) < 0 ได้ชว่ ง [−1, 2/3] ย้ายขา้ ง → cos θ = − 2 ตอบ 5 ∴ a − b = −1 − 2 = 5 ตอบ 33 (18) แสดงวา่ มี 3 − 39 i เปน็ คาํ ตอบดว้ ย 44 (15) ดงั นนั้ พหนุ ามคอื ⎛ 3 39 ⎞ ⎛ 3 39 ⎞ (0, 5) → P = 15 ⎜⎝⎜ x − 4 − 4 i ⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ x − 4 + 4 i⎟⎟⎠ (5 , 7) → P = 31 ≈ 10.33 = x2 − 3 x + 9 + 39 = 0 33 3 2 16 16 (0, 4) → P = 12 นํา 2 คณู เพอ่ื ปรบั ให้ตรงตามโจทย์ (12 , 17) → P = 75 ≈ 10.7 → 2x2 − 3x + 6 = 0 77 7 ∴ Pmax เกดิ ทจี่ ดุ (0, 5) จะได้ เศษเหลอื คอื 2(−2)2 − 3 (−2) + 6 = 20 ตอบ ตอบ x + y = 5 (19) lim h(x) = lim ⎛ x3 +x− 2⎞ x→1 ⎜ x−1 ⎟ (16) จาก u + v = 5 จะได้ x→1 ⎝ ⎠ u 2 + v 2 + 2 u v cos θ = 25 .....(1) = lim (x2 + x + 2) = 4 และจาก u − v = 4 จะได้ x→1 และ h(1) = 2 ⋅ (13 + 1 − 2) = 0 u 2 + v 2 − 2 u v cos θ = 16 .....(2) ไมเ่ ทา่ กนั ดงั น้ัน ไมต่ ่อเนือ่ งที่ x = 1 ตอบ ขอ้ 4. (20) กฎลูกโซ่ g′(f(x)) ⋅ f′(x) = (gof)′(x) สมการ (1) + (2) ได้ u 2 + v 2 = 41 22 จะได้ g′(xn + 2x) ⋅ (nxn − 1 + 2) = 12x2 + 12x และสมการ (1) − (2) ได้ u v cos θ = 9 → g′(xn + 2x) = 12x2 + 12x 44 nxn − 1 + 2 ตอ้ งการคิดท่ี g′(3) จะสังเกตไดว้ า่ ควรแทน x = 1 → g′(3) = 12 + 12 = 3 → n = 6 ตอบ n+2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 470 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.44 (21) ให้ f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D (25) Σxเกา่ = (4)(5.5) = 22 f(0) = 2 → ได้ D = 2 → Σxใหม่ = 22 + 3 = 25 → Xใหม่ = 25 = 5 f′(−1) = 0 → 3A − 2B + C = 0 5 f′(1) = 0 → 3A + 2B + C = 0 Σxเ2กา่ = 141 → Σx2ใหม่ = 141 + 32 = 150 แกส้ องสมการน้ไี ด้ B = 0 และ 3A + C = 0 .....(1) sใหม่ = 150 − 52 = 5 อกี คาํ ใบ้คือ f(−1) = 3 ⋅ f(1) 5 → −A + B − C + D = 3(A + B + C + D) สัมประสิทธ์กิ ารแปรผนั = s = 5 ตอบ แทน B = 0, D = 2 ไดเ้ ป็น A + C = −1.....(2) X5 แก้ระบบสมการ (1) กบั (2) อกี คร้ัง (26) หาขอบระหวา่ งช้ันท่ี 4 กับ 5 สรปุ วา่ A = 1 , C = − 3 จากการเฉลี่ย 25 + 30 = 27.5 22 2 ความกว้างชั้นคดิ จาก 30 − 25 = 5 ดังนนั้ f(4) = 1 (64) + 0 − 3 (4) + 2 = 28 ตอบ ดังนน้ั ขอบแตล่ ะชัน้ คอื 27.5, 22.5, 17.5, … 22 (22) f′(x) = 3x2 − 4x + 2x−2 ดงั ตาราง ดังนน้ั f(x) = x3 − 2x2 − 2x−1 + C x CF f d โดยผ่าน (1, 0) จะไดว้ า่ 1 − 2 − 2 + C = 0 8 - 12 8 8 -2 13 - 17 16 8 -1 นนั่ คอื C = 3 → f(x) = x3 − 2x2 − 2 + 3 18 - 22 36 20 0 x 23 - 27 40 4 1 28 - 32 50 10 2 ตัดกบั x = 2 แสดงว่าคา่ y คอื f(2) f(2) = 8 − 8 − 1 + 3 = 2 → (a, b) = (2, 2) ตอบ 4 X = a +ID = 20 + (5) ⎛ −16 − 8+4 + 20 ⎞ = 20 (23) สมมติมชี าย n คน, หญงิ n คน ⎝⎜ 50 ⎠⎟ → เสน้ ตรง = n ! n! × 2 Med = L + I ⎛ N/2 − ΣfL ⎞ = 17.5 + (5) ⎛ 25 − 16 ⎞ วงกลม = n ! × (n − 1)! ⎜ fMed ⎟ ⎜⎝ 20 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ∴ n ! n ! × 2 = 10 → 2n = 10 → n = 5 n !(n − 1)! = 19.75 ตอบ วธิ ีเลอื กใหม้ ีชายอยา่ งนอ้ ย 1 คน (27) m = 0.02, c = 2.7 → Yˆ = 0.02 X + 2.7 ก. Δx = 10 → ΔYˆ = mΔx = (0.02)(10) = 0.2 คดิ จากวิธที ั้งหมด – วธิ ที ี่ไดห้ ญงิ ลว้ น ข. รู้ y ทาํ นาย Xˆ ไม่ได้ (ข้อมลู ไมเ่ พียงพอ) ตอบ ก. ถูก ข. ผดิ = ⎝⎜⎛ 120⎟⎞⎠ − ⎜⎝⎛52⎞⎟⎠ = 35 ตอบ (28) P88.49 → A = 0.3849 ทางขวา (24) กรณี 500, → จํานวนวิธี 1 × 11 = 11 → z = 1.2 → 1.2 = x − 50 กรณี 200, 200 → จาํ นวนวธิ ี ⎛⎝⎜23⎠⎟⎞ = 3 10 ∴ x = 62 คะแนน ตอบ ดงั นนั้ ความนา่ จะเปน็ = 11 + 3 = 14 ตอบ ⎛⎜⎝ 122⎟⎠⎞ 66 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 471 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 ¢oŒ Êoºe¢ÒŒ ÁËÒÇi·ÂÒÅÂa ÁÕ.¤.45 (j) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ S = { n ∈ I+ | n < 1000 และ ห.ร.ม.ของ n และ 100 เท่ากบั 1} จาํ นวนสมาชกิ ของเซต S เทา่ กับเท่าใด 2. − sin2 1° + sin2 2° − sin2 3° + ... − sin2 89° + sin2 90° มคี า่ เทา่ กับเท่าใด 3. x ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ log 2x + log3(x − 12) = log 3[ x( x+5 − x−5)] log 3 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 4. กาํ หนดให้ n ⎛ 1 ⎞k − 1 และ ∞ ⎛ 1 ⎞k − 1 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ ⎝⎜ 10 ⎠⎟ Sn = ∑ S = ∑ k=1 k=1 จาํ นวนเต็มบวก n ทีท่ ําให้ S − Sn = 1 (10−5) เท่ากับเทา่ ใด 9 5. ถา้ a คือจาํ นวนจริงที่ทาํ ให้พื้นท่ีทป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยโค้ง y = a2x2+ 4ax + 10 จาก x = 0 ถงึ x = 1 มคี ่าน้อยทีส่ ดุ แลว้ พนื้ ทท่ี ไี่ ด้เท่ากับเทา่ ใด 6. กล่องใบหนงึ่ บรรจุสลากสีแดงซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไวส้ ลากละหนึง่ หมายเลข รวมกับสลากสี เขยี วซึง่ เขยี นหมายเลข 1, 2, 3 ไวส้ ลากละหนงึ่ หมายเลขเชน่ เดียวกนั ถา้ จับสลากสองใบจากกล่อง โดยจบั ทลี ะใบแบบไมใ่ สก่ ลบั คนื ความนา่ จะเป็นท่จี ะไดส้ ลากสเี หมือนกนั หรือหมายเลขเดียวกนั เท่ากับเทา่ ใด 7. จากขอ้ มูลความสงู ของพ่อ และลูก (ซึ่งมีอายุ 10 ป)ี กลุม่ หนึง่ ปรากฏความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ นั เป็น y = 0.9 x + 54.8 เมอ่ื y แทนความสูงของพ่อ และ x แทนความสูงของลกู ปรากฏวา่ ความ สูงเฉลย่ี ของเด็กในกลมุ่ นี้เทา่ กับ 120 เซนตเิ มตร ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของความสูงของเดก็ เท่ากบั 8 เซนตเิ มตร ถา้ เด็กคนหนึ่งในกล่มุ นม้ี ีค่ามาตรฐานของความสูงเท่ากับ −1.8 แลว้ เรา ประมาณความสูงของพ่อได้เท่ากบั กีเ่ ซนตเิ มตร 8. ตัวแทนจําหนา่ ยกระติกนา้ํ รอ้ นยี่ห้อหน่งึ ขายกระติกนา้ํ รอ้ น 3 ขนาด ในปี 2543 และ 2544 ดว้ ยราคาดงั ตอ่ ไปน้ี ขนาดของกระตกิ นา้ํ รอ้ น ราคา (บาท) ราคาสมั พทั ธ์ เล็ก 2543 2544 1.10 กลาง 1.25 ใหญ่ 600 660 b 800 1,000 1,000 a Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 472 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.45 ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใชร้ าคารวมของ พ.ศ. 2544 เมอื่ เทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากบั 120 แล้ว ราคาเฉล่ยี ของกระตกิ นํ้ารอ้ นท้งั 3 ขนาดใน พ.ศ. 2544 เมื่อหาโดยใชด้ ชั นีราคาอยา่ งงา่ ยแบบใช้ คา่ เฉลย่ี ราคาสัมพัทธ์ เพิ่มขึ้นจากราคาเฉลีย่ ของกระตกิ นาํ้ รอ้ นทัง้ 3 ขนาดนี้ใน พ.ศ. 2543 ร้อยละ เทา่ ใด ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้เอกภพสัมพทั ธ์คือเซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปน็ เซตซ่ึงมีเงอื่ นไขว่า n(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = 2 ถา้ A ∪ B ∪ C = U แล้ว ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ผดิ 1. n(A ∪ B) = 4 2. n(A ∪ (B ∩ C)) = 3 3. n(A ∩ (B ∪ C)) = 2 4. n(A ∩ B ∩ C) = 1 2. กําหนดให้ A เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ 12 + x − x2 < 0 และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3 − x < 1 เซต A ∩ B เป็นสบั เซตของชว่ งใดต่อไปนี้ 1. (−5, −3) 2. (−3, −1) 3. (1, 3) 4. (3, 5) 3. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ถ้าเอกภพสมั พทั ธ์คอื เซต U = (0, 1) ∪(2, ∞) แลว้ ประพจน์ ∀x [(x − 1)2 < 1 หรอื (x − 1)2 > 1 ] มีคา่ ความจริงเป็นจริง 24 ข. ถ้า p, q, r เปน็ ประพจน์ แล้ว p → (q ∧ r) สมมลู กบั (p → q) ∨ (p → r) ข้อใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 4. ให้ p, q, r, s เปน็ ประพจน์ ถา้ [p →(q → r)] ↔ (s ∧ r) มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ และ ~ p ∨ s มี คา่ ความจริงเป็นเทจ็ แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู 1. p → q มีค่าความจริงเป็นจริง 2. q → r มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ 3. r → s มีค่าความจริงเปน็ เท็จ 4. s → p มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ 5. กาํ หนดให้ r1 = {(x, y) | e x+y < 1} และ r2 = {(x, y) | ln (x−3y+5) > 0 } พื้นท่ขี องบรเิ วณที่เป็นกราฟของ r1 ∩ r2 ซ่ึงอยูเ่ หนอื แกน x เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1.5 ตารางหนว่ ย 2. 2 ตารางหน่วย 3. 2.5 ตารางหน่วย 4. 3 ตารางหนว่ ย Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 473 ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 6. กําหนดให้ I เปน็ เซตของจํานวนเตม็ และให้ f, g เปน็ ฟงั กช์ ันจาก I ไป I ซง่ึ กาํ หนดโดย f (x) = 2x และ g(x) = ⎪⎧x/2 , x เปน็ จาํ นวนคู่ ⎨ , x เปน็ จาํ นวนคี่ ⎪⎩x แลว้ g f − f เป็นฟังกช์ นั จาก I ไป I ที่มีสมบตั ติ ามข้อใดต่อไปนี้ 1. หนงึ่ ตอ่ หน่งึ และท่วั ถงึ 2. หน่งึ ตอ่ หนึ่งแต่ไม่ทว่ั ถึง 3. ทัว่ ถึงแต่ไม่หนงึ่ ต่อหนึ่ง 4. ไมห่ นง่ึ ต่อหนง่ึ และไมท่ ว่ั ถึง 7. กาํ หนดให้ f (x) = 5 − g(x) โดยท่ี g(x) = 5 + 2x ถา้ Dfog = [a, b] แล้ว 4(a + b) เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 8. กําหนดให้ f, g เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีมีสมบตั วิ ่า f−1(g(x)) = x + 2 ทุก x ∈ R พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. f (2x) = g(2(x−1)) ทุก x ∈ R ข. g−1(f (x)) เปน็ ฟังกช์ ันเพิม่ ใน R ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 9. กาํ หนดให้ 0 < θ < 2π เซตคําตอบของอสมการ cos2θ − cos θ < 0 เป็นสบั เซตของเซตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี sin θ − 1/2 1. (0, π) 2. (π , 5π) 3 36 3. (0, π) ∪ (5π , π) 4. (π , π) ∪ (3π , 3π) 46 62 42 10. วงกลมวงหนง่ึ มีจดุ ศนู ย์กลาง (h, k) อย่บู นเส้นตรง 2x + 3y = 6 โดยที่ h, k เปน็ จาํ นวนเตม็ ถ้าวงกลมวงนีม้ ีเสน้ ตรง 2x − y = 1 และเสน้ ตรง 2x + y = −3 เป็นเส้นสมั ผสั แล้ว ความยาวรศั มขี อง วงกลมนี้อยู่ในช่วงใดตอ่ ไปน้ี 1. [2, 4] 2. [4, 5] 3. [5, 6] 4. [6, 7] 11. กําหนดให้ F1 และ F1 เป็นจุดโฟกสั ของไฮเพอร์โบลา x2 + 6x − y2 − 14y − 41 = 0 ถา้ P1 (0, y1) และ P2 (0, y2) เป็นจุดสองจุดทที่ ําให้พ้ืนทข่ี องรปู สามเหล่ียม P1F1F2 และพื้นทขี่ องรูปสามเหลี่ยม P2F1F2 ต่างกเ็ ท่ากับ 2 2 ตารางหน่วยแล้ว y21 − y22 มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 28 2. 56 3. 84 4. 120 12. กาํ หนดให้ a > 0 เปน็ คาํ ตอบของสมการ 4a − 9 ⋅ 2a−1+ 2 = 0 เซตคาํ ตอบของอสมการ 2 loga(x+2) − loga(x−1) < 4 เปน็ สับเซตของช่วงใดต่อไปน้ี 1. (−3, 3) 2. (−2, 7) 3. (0, 8) 4. (1, 10) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 474 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.45 13. กาํ หนดให้ A = ⎡(tan 30°)x −1⎤ และ det (A) = 9 ⎣⎢⎢(cot 60°)x ⎥ 2 ⎥⎦ A−1 คอื เมตริกซ์ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. ⎡2/9 −1/ 3⎤ 2. ⎡ 2/9 1/ 3⎤ ⎢⎣ 1/9 1/3 ⎦⎥ ⎣⎢−1/9 1/ 3⎥⎦ 3. ⎡1/ 3 −1/ 3⎤ 4. ⎡ 2/9 1/9⎤ ⎣⎢1/9 2/9 ⎥⎦ ⎣⎢−1/ 3 1/ 3⎥⎦ 14. พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ถ้า และ ⎛ ⎡x x x⎤ ⎞ แล้ว ⎜ ⎢ xx⎥⎦⎥ ⎟ x∈R det ⎜⎝⎜ ⎢ 1 x ⎟⎠⎟ = −4 x <2 ⎣ 1 1 ข. กาํ หนดให้ a, b ∈ R และ A = ⎡a 2⎤ ถา้ A = b adj A แล้ว a+b > 2 ⎣⎢2 b 3⎥⎦ 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นจรงิ 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 15. น้าํ มนั ดีเซล 100 ลิตร ราคาต้นทนุ ลติ รละ 12 บาท และนํา้ มนั ปาล์ม 120 ลติ ร ราคาต้นทนุ ลิตร ละ 8 บาท ถ้าจะผสมน้ํามันสองชนิดนี้รวมกันให้มจี าํ นวนไม่น้อยกว่า 150 ลิตร และขายนํ้ามันผสมนี้ ในราคาลิตรละ 11 บาท ใหไ้ ดก้ าํ ไรมากทส่ี ดุ แล้ว กําไรท่ีได้เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 230 บาท 2. 260 บาท 3. 330 บาท 4. 460 บาท 16. กาํ หนดจดุ P (−1, 2) , R(3, 3), O(0, 0) และ Q เป็นจดุ บนส่วนของเสน้ ตรง PR โดยท่ี |˜PQ| = 1 |˜PR| ถ้า A (x, y) เปน็ จดุ ในควอดรนั ตท์ ี่ 2 ทท่ี าํ ให้ ˜OA ตงั้ ฉากกับ ˜OQ และ 3 |˜OA| = 5 หนว่ ยแล้ว x+y เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −6 2. −6 3. 6 4. 6 10 2 10 2 17. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทีม่ ีสมบตั วิ ่า 5|˜AB| = |˜BC| + |˜CA| ถา้ M และ N เป็น จุดแบ่งคร่งึ ด้าน BC และ AC ตามลําดบั แล้ว พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. M˜N = 1 (˜BC − ˜AC) ข. ˜AM ⋅ ˜BN = 0 2 ข้อใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 18. กําหนดให้ ω = cos θ + i cos θ เมือ่ cos θ < 0 และ 2 cos2θ = 1 ถา้ z เปน็ จาํ นวนเชงิ ซ้อนมีสมบตั ิว่า ωz = 2 และอาร์กิวเมนตข์ อง z เทา่ กับ π แลว้ ω 4 z2+ z + 1 มคี า่ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −3 + 2 i 2. −3 − 2 i 3. 3 + 2 i 4. 3 − 2 i Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 475 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.45 19. กําหนดให้ จาํ นวนเชงิ ซ้อน z1, z2, z3 เป็นจุดยอดของรปู สามเหล่ียมดา้ นเทา่ รปู หนึ่ง ถ้า z3 − z1 = cos π + i sin π , ,z1z2 = 1 + i ,z2z3 = 2 + 2 i z3z1 = 3 + 4 i แล้ว z2 − z1 3 3 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. z3 − z2 = cos π + i sin π ข. z21 + z22 + z23 = 6 + 7 i z1− z2 3 3 ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ⎧(x − 4)( x + 2) a ,x > 4 ⎪ ⎪ x −2 โดยที่ a, b เปน็ จํานวนจรงิ 20. ให้ f (x) = ⎨ 1 ,x = 4 ⎪ ⎪ ⎩ x2 − b ,x < 4 ถ้า f ตอ่ เน่อื งทจี่ ดุ x = 4 แลว้ f ⎛⎜⎝ a + b ⎠⎟⎞ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 16 1. −16 2. −14 3. 14 4. 16 21. กาํ หนดให้ f (x) = 3x + 1 ถา้ g เป็นฟงั ก์ชนั ซ่งึ (f g)(x) = x2+ 1 ทุก x ∈ R แล้ว f′(1) + g′(1) มีค่าเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 41 2. 35 3. 33 4. 39 12 12 4 4 22. กาํ หนดให้ g(x) = x2 f (x) ถา้ f′(x) = 2x + 3 และ g′′(1) = 0 แล้ว f (4) มีค่าเทา่ กับข้อใด ต่อไปน้ี 1. 0 2. 11 3. 13 4. 28 23. กําหนดให้กราฟของ y = f (x) เป็นเส้นโค้งทีอ่ ยู่เหนือแกน x และมีความชนั ของเส้นสัมผัสเส้น โคง้ ท่จี ดุ (x, y) ใดๆ เท่ากับ 6x + 2 b เมอ่ื b เป็นจํานวนจริง ถา้ พืน้ ทท่ี ป่ี ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้งน้ีจาก x = 0 ถงึ x = 2 เทา่ กับสองเทา่ ของพื้นทที่ ่ปี ดิ ล้อมด้วยเส้นโค้งนจี้ าก x = 0 ถงึ x = 1 แล้ว f มีค่าต่าํ สุดสัมพัทธท์ จี่ ดุ x ในขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. x = 2 2. x = 1 3. x = 0 4. x = −1 24. กําหนดจดุ 10 จดุ บนแผน่ กระดาษ มี 4 จดุ อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั นอกนนั้ ไม่มี 3 จดุ ใดอยูบ่ น เส้นตรงเดียวกัน จาํ นวนรูปสามเหลี่ยมที่เกดิ จากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดทก่ี ําหนดให้ เทา่ กับขอ้ ใด ต่อไปน้ี 1. 80 2. 106 3. 116 4. 120 25. ในการใส่จดหมาย 5 ฉบบั ท่เี ขยี นถงึ คน 5 คน คนละ 1 ฉบบั ลงในซองท่จี า่ หนา้ ไว้แลว้ 5 ซอง ซองละหนึ่งฉบบั ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกบั ช่อื หน้าซองไม่เกนิ 3 ซอง และไม่ นอ้ ยกว่า 1 ซอง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 75 2. 85 3. 90 4. 96 120 120 120 120 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 476 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.45 26. ถา้ ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวชิ าหนง่ึ ของนักเรียน 20 คน ของโรงเรยี นแห่งหนึ่งเป็นดงั นี้ คะแนน 31 – 39 40 – 48 49 – 57 58 – 66 67 – 75 76 – 84 85 – 93 จาํ นวนนกั เรยี น 2 3 5 4 3 2 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. คา่ เฉล่ียเลขคณิต มากกวา่ ฐานนิยม ข. คา่ การกระจายของคะแนน ทีว่ ัดโดยส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ เท่ากบั 10.5 คะแนน ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 27. ในการชง่ั นา้ํ หนักกระเป๋าเดนิ ทาง 4 ใบ ปรากฏวา่ ไดน้ ํ้าหนกั เปน็ 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2 กโิ ลกรัม ถา้ ช่งั นาํ้ หนกั ของกระเปา๋ เดินทาง 4 ใบนี้รวมกับกระเป๋าเดินทางอกี ใบหนงึ่ ได้ค่าเฉลย่ี เลข คณติ ของนา้ํ หนกั ของกระเป๋า 5 ใบนเ้ี ป็น 16 กิโลกรมั แล้ว ค่ามัธยฐาน และความแปรปรวนของ นํา้ หนักของกระเป๋าเดินทางทัง้ หา้ ใบนี้ตามลาํ ดับเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 15 , 4.58 2. 15.2 , 4.58 3. 15 , 4.116 4. 15.2 , 4.116 28. ถ้าความสูงของนักเรยี นห้องหน่งึ มีการแจกแจงปกติทีม่ มี ัธยฐานเท่ากบั 160 เซนตเิ มตร และมี นกั เรยี นที่สงู นอ้ ยกว่า 158 เซนติเมตรอยู่ 34.46% สัมประสทิ ธ์ิการแปรผันของความสูงของ นกั เรยี นห้องนเี้ ท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ ตารางแสดงพ้ืนท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติ z 0.3 0.4 0.5 A 0.1179 0.1554 0.1915 1. 1.563% 2. 2.432% 3. 3.125% 4. 4.346% เฉลยคําตอบ ตอนท่ี 1 (1) 400 (2) 0.5 (3) 13 (4) 6 (5) 7 (6) 0.6 (7) 149.84 (8) 19 ตอนท่ี 2 (1) 4 (2) 1 (3) 2 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) (ตอบ 180) (8) 1 (9) 4 (10) 3 (11) 2 (12) 4 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 2 (19) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 1 (27) 4 (28) 3 เฉลยวิธคี ดิ ตอนที่ 1 400 100 100 (1) หาจาํ นวนนบั n < 1,000 ซง่ึ หาร 2 ไม่ลงตวั n และหาร 5 ไม่ลงตัว วา่ มเี ทา่ ใด ∴ จะได้ n ท่ีตอ้ งการ หาร2 หาร5 หาร 2 ลงตัว มี 500 จํานวน, หาร 5 ลงตัว มี 200 จาํ นวน, = 1,000 − (500 + 200 − 100) หารทั้ง 2 และ 5 ลงตวั คอื หาร 10 ลงตัว มี 100 จาํ นวน = 400 จาํ นวน ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 477 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.45 (2) − sin2 1° + sin2 2° − … + sin2 44° − sin2 45° (6) จบั ทีละใบไม่ใส่คนื วิธที ัง้ หมด = 6 × 5 + sin2 46° − … + sin2 88° − sin2 89° + sin2 90° ต้องการวิธที สี่ เี หมือนหรอื เลขเหมอื น เปล่ยี น sin 46° เปน็ cos 44° คดิ จาก วิธที ง้ั หมด – วิธสี ีตา่ งและเลขต่าง เปล่ียน sin 47° เป็น cos 43° ฯลฯ ตอบ 1 − 6 × 2 = 0.6 ไปจนถงึ เปล่ยี น sin 89° เปน็ cos 1° 6×5 และเนอ่ื งจาก − sin2 1° − cos2 1° = −1 และ sin2 2° + cos2 2° = 1 ก็จะรวมกนั เป็นศนู ย์ (7) zลกู = −1.8 = xลกู − 120 ซง่ึ คขู่ อง 3° กบั 4° กร็ วมกนั ได้ศนู ย์ 8 ไปเรอ่ื ยๆ จนถงึ ค่ขู อง 43° กับ 44° ก็เชน่ กัน.. → xลกู = 105.6 ซม. ดังนนั้ เหลอื เพียง − sin2 45° + sin2 90° พ่อสงู 0.9(105.6) + 54.8 = 149.84 ซม. ตอบ = − 1 + 1 = 0.5 ตอบ 2 (8) 1.20 = 660 + 1,000 + a 600 + 800 + 1,000 (3) → a = 1,220 บาท → b = 1,200 = 1.22 log3 2x + log3(x − 12) = 2 log3[ x( x + 5 − x − 5)] 1,000 → 2x(x − 12) = [ x( x + 5 − x − 5)]2 ดชั นี ISR = ⎛ 1.10 + 1.25 + 1.22 ⎞ × 100 = 119 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ → 2x(x − 12) = x(x + 5 − 2 x2 − 25 + x − 5) แสดงวา่ เพมิ่ ขึ้นร้อยละ 19 ตอบ ตอนที่ 2 → 2x(x − 12) = x(2x − 2 x2 − 25) (1) n(A ∪ B ∪ C) = n(U) = 5 แต่ x ห้ามเป็น 0 เพราะอยใู่ น log จงึ สามารถ → 5 = 3 + 3 + 3 − 2 − 2 − 2 + n(A ∩ B ∩ C) นํา 2x หารสองข้างได้ กลายเป็น ∴ n(A ∩ B ∩ C) = 2 A1 B x − 12 = x − x2 − 25 0 1 → 12 = x2 − 25 → x = 13 ตอบ 020 ( x > 0 เสมอ เพราะอยใู่ น log) ขอ้ ที่ผดิ จงึ เปน็ ขอ้ 4. ตอบ 1C (4) S = 1 + 1 + 1 + … อนกุ รมเรขาคณติ 10 100 (2) A; x2 − x − 12 > 0 ∴ Sn = 1(1 − 0.1n) = 10 (1 − 0.1n) → (x − 4)(x + 3) > 0 → A = (−∞, −3) ∪ (4, ∞) 1 − 0.1 9 B; −1 < 3 − x < 1 → 2 < x < 4 และ 1= 10 S = S∞ = 1 − 0.1 9 B = (−4, −2) ∪ (2, 4) โจทยบ์ อกว่า S − Sn = 10−5 ดังนน้ั A ∩ B = (−4, −3) ตอบ ขอ้ 1. 9 (3) ก. จาก (x − 1)2 − 1 < 0 → 10 − ⎛ 10 − 10 (0.1)n ⎞ = 10−5 24 9 ⎝⎜ 9 9 ⎠⎟ 9 → (x − 1 − 1)(x − 1 + 1) < 0 22 22 → 10 (0.1)n = 10−5 → 10(0.1)n = 10−5 → (x − 1)(x) < 0 ได้เปน็ ช่วง (0, 1) 99 → (0.1)n = 10−6 ∴ n = 6 ตอบ และ (x − 1)2 − 1 > 0 → (x − 1 − 1)(x − 1 + 1) > 0 (5) กราฟนไี้ มต่ ดั แกน x (เพราะเมือ่ ให้ y=0 แล้ว → (x − 2)(x) > 0 ได้เปน็ ชว่ ง (−∞, 0) ∪ (2, ∞) ดังนนั้ ∀x [0 < x < 1 หรอื x < 0 หรอื x > 2] พบว่าไม่มคี าํ ตอบ; B2 − 4AC < 0 ) → พน้ื ทีเ่ ทา่ กับ 1 + 4ax + 10) dx ซง่ึ พบวา่ ทุกๆ คา่ ใน U ทาํ ใหเ้ ปน็ จรงิ ∴ ก. ถูก ข. p → (q ∧ r) ≡ ~ p ∨ (q ∧ r) ∫ (a2x2 ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) ข. ผดิ 0 ตอบ ขอ้ 2. = ⎛ a2x3 + 2ax2 ⎞ 1 = a2 + 2a + 10 (4) ~ p ∨ s ≡ p → s เปน็ เทจ็ ⎜ + 10x ⎟ 0 3 ⎝ 3 ⎠ ต้องการคา่ a ทที่ ําใหพ้ นื้ ทนี่ ้อยทส่ี ดุ ∴ หาอนพุ นั ธ์ dA = 2a + 2 = 0 → a = −3 แสดงว่า p จริง, s เทจ็ da 3 และจะได้ [T → (q → r)] ↔ (F ∧ r) เปน็ จริง พ้ืนท่ี A = 3 − 6 + 10 = 7 ตร.หนว่ ย ตอบ แสดงว่า q → r เปน็ เทจ็ ∴ q จรงิ , r เท็จ ดงั นนั้ ตอบ ขอ้ 1. p → q ≡ T → T ≡ T Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 478 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.45 (5) r1 ; ex + y < 1 → ex + y < e0 กรณที ี่สอง บน > 0 และลา่ ง < 0 → x+y<0 cos θ 5π/6 r2 ; ln(x − 3y + 5) > ln 1 → x − 3y + 5 > 1 01 → x − 3y > −4 sin θ เขียนกราฟไดด้ งั น้ี (-1,1) 1/2 3π/2 แก้สมการหาจุดตัด ดังนน้ั ชว่ งคาํ ตอบคือ (π , π) ∪ (5π , 3π) ได้ (−1, 1) -4 0 62 62 ตอบ เป็นสบั เซตของข้อ 4. ดังนนั้ พน้ื ที่ Δ = 1 (4)(1) = 2 ตร.หนว่ ย ตอบ 2 (10) สมมตจิ ดุ ศูนยก์ ลางเปน็ (h, k) = ⎛ h, 6 − 2h ⎞ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ (6) (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x) (เพราะอยู่บนเสน้ ตรง 2x + 3y = 6 ) ซ่งึ 2x ยอ่ มเปน็ จํานวนคเู่ สมอ จงึ ได้ (gof)(x) = (2x) = x เมอ่ื x ∈ I ระยะทางจากจดุ น้ีไปยงั เสน้ ตรงทงั้ สอง เท่ากัน 2 2h − ⎛ 6 − 2h ⎞ − 1 2h + ⎛ 6 − 2h ⎞ + 3 ⎝⎜ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ∴ [(gof) − f](x) = x − 2x = −x → = 5 5 เนอื่ งจากพบวา่ แต่ละคา่ ของ x ให้ผลออกมาแบบเดียว ไมซ่ าํ้ กนั และครอบคลมุ จาํ นวนเตม็ ท้งั หมด ดังนัน้ → 8h−3 = 4h+5 เป็นฟงั ก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หนง่ึ และท่วั ถงึ ตอบ 33 (7) g(x) = 5 + 2x ถ้า 8 h − 3 = 4 h + 5 → h = 6 33 f(x) = 5 − g(x) = 5 − 5 + 2x และถา้ 8 h − 3 = − 4 h − 5 → h = − 1 ดงั นน้ั (fog)(x) = 5 − 5 + 2 5 + 2x 33 2 (ใช้ไมไ่ ด้เพราะโจทยบ์ อกวา่ h ∈ I ) หา Dfog; 5 + 2x > 0 → x > − 5 2 8 (6) − 3 รศั มี 3 13 169 = และ 5 + 2 5 + 2x > 0 → จรงิ เสมอ ∴ = = = 33.8 5 55 (เมือ่ 5 + 2x > 0 ) ตอบ ข้อ 3. และ 5 − 5 + 2 5 + 2x > 0 (11) จัดรปู → 5 + 2 5 + 2x < 5 (x2 + 6x + 9) − (y2 + 14y + 49) = 41 + 9 − 49 → 5 + 2 5 + 2x < 25 → (x + 3)2 − (y + 7)2 = 1 → 5 + 2x < 10 → 5 + 2x < 100 เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาออ้ มแกน x มีจดุ ศนู ยก์ ลางท่ี → x < 95 ดงั น้นั Dfog = ⎣⎡⎢− 5 , 95 ⎤ (−3, −7) และระยะโฟกสั = 1 + 1 = 2 2 2 2 ⎦⎥ ∴ จดุ โฟกสั คอื (−3 ± 2, −7) ทําให้ 4(a + b) = 4 ⎛ 90 ⎞ = 180 (ไม่มขี อ้ ถูก) ตอบ แสดงว่าฐาน Δ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ยาว 2c = 2 2 จะไดส้ ว่ นสงู ของ หน่วย P1(0,-5) (8) จาก f−1(g(x)) = x + 2 → f(x + 2) = g(x) F1 F2 Δ -7 P2(0,-9) → f(x) = g(x − 2) จาก 1 ⋅ h ⋅ 2 2 = 2 2 2 ก. f(2x) = g(2x − 2) ข. g−1(f(x)) = x − 2 เปน็ ฟงั กช์ นั เพ่มิ ใน R →h=2 ตอบ ถกู ท้ังสองขอ้ y1 กบั y2 คือ −7 ± 2 นน่ั เอง ดงั รปู (9) แยกตวั ประกอบได้ (cos θ)(cos θ − 1) < 0 ตอบ 81 − 25 = 56 sin θ − 1/2 กรณแี รก บน < 0 และล่าง > 0 เขียนเส้นจํานวนแล้วหาช่วงในวงกลม π/2 π/6 cos θ 01 sin θ 1/2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 479 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 (12) 22a − 9 ⋅ 2a + 2 = 0 มอง 2a = A จะไดว้ า่ (˜O1Q6)=ส2ูตร˜OแPบ่ง+เว1ก˜OเตRอร์ A P 1 Q2 R 2 3 A2 − 9A + 2 = 0 → 2A2 − 9A + 4 = 0 2 = 2 ⎡−1⎤ + 1 ⎡3⎤ = ⎡ 1/ 3 ⎤ O → (2A − 1)(A − 4) = 0 → A = 1 หรอื 4 3 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 3 ⎢⎣3⎦⎥ ⎢⎣7/ 3⎦⎥ 2 มีความชนั = 7 แสดงวา่ ความชนั OA คอื -1/7 ∴ a = −1 หรอื 2 ∴ ˜OA โจทยใ์ ห้ a > 0 ดงั นน้ั a = 2 เทา่ นนั้ มที ศิ เดียวกบั ⎡−7⎤ แตย่ าว 5 หน่วย ⎢⎣ 1 ⎦⎥ ˜OA = 5 (−7 i + j) = − 7 i + 1 j ตอบ − 6 2 log2(x + 2) − log2(x − 1) < log2 16 → (x + 2)2 < 16 → (x2 + 4x + 4)− 16x + 16 < 0 จาก5˜M0 N ˜MC 2 ˜CN 2 2 + x−1 x−1 (17) ก. = C → x2 − 12x + 20 < 0 → (x − 10)(x − 2) < 0 = 1 ˜BC + 1 ˜CA M N x−1 x−1 B ได้ช่วง (−∞, 1) ∪ (2, 10) ˜ ˜2 2 ถูก A แตม่ เี ง่อื นไข log ว่า x > −2 และ x > 1 = 1 (BC − AC) 2 ข. ˜AM ⋅ ˜BN = 1 (˜AC + ˜AB) ⋅ 1 (˜BA + ˜BC) ดังนนั้ x ∈ (2, 10) ตอบ ข้อ 4. 22 (13) A = 9 = 2(tan 30°)x + (cot 60°)x ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜= 1 [(AC ⋅ BA) + (AC ⋅ BC) + (AB ⋅ BA) + (AB ⋅ BC)] 4 = 2 ⎛ 1 ⎞x + ⎛ 1 ⎞x = 3 ⎛ 1 ⎞x ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ = 1 [bc cos(180°−A) + ab cos C − c2 + ac cos(180°−B)] → 9 = 3 ⎛ 1 ⎞x →x= −2 4 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 1 [−bc cos A + ab cos C − c2 − ac cos B] 1 ⎡d −b⎤ 1 ⎡ 2 1⎤ 4 A ⎣⎢−c a ⎦⎥ 9 ⎣⎢⎢− 1/ 3 ( ) ( )A−1 = = −2 1/ 3 −2 ⎥ = 1 [a2 −b2 −c2 + a2 +b2 −c2 − c2 + b2 −a2 −c2 ] ⎥⎦ 42 2 2 = 1 ⎡2 1⎤ = ⎡ 2/9 1/ 9⎤ ตอบ = 1 [a2 + b2 − 5c2] ≠ 0 ผดิ ตอบ ขอ้ 2. 9 ⎣⎢−3 3⎥⎦ ⎢⎣−1/ 3 1/ 3⎦⎥ 8 (14) ก. det = −x2 − x2 − x2 + x3 + x2 + x = −4 (18) 2 cos2 θ = 1 → cos θ = − 1 2 → x3 − 2x2 + x + 4 = 0 → (x + 1)(x2 − 3x + 4) = 0 → ω = − 1 − 1 i = 1∠ 5π 22 4 → x = −1 เทา่ นนั้ ∴ ก. ถูก จาก ωz = ω ⋅ z = 2 → 1 ⋅ z = 2 → z =2 ข. adj A = ⎡3 −2⎤ และจาก ∠ z = ∠z − ∠ω = π → ∠z − 5π = π ⎢⎣−2b a ⎥⎦ ω 4 44 → A = b adj A จะไดว้ ่า ⎡a 2⎤ = ⎡ 3b −2b⎤ → ∠z = 3π ดงั นนั้ z = 2∠ 3π = −2i ⎢⎣2b 3⎥⎦ ⎢⎣−2b2 ab ⎥⎦ 2 2 → b = −1, a = −3 ∴ ข. ถกู ตอบ ขอ้ 1. จะได้ z2 + z + 1 = −4 − 2i + 1 = −3 − 2i ตอบ (15) นาํ้ มนั ดีเซล x ลิตร, นํ้ามนั ปาล์ม y ลิตร (19) ก. z3 − z2 = 1 − ⎛ z3 − z1 ⎞ จะได้สมการจดุ ประสงค์ z1 − z2 ⎜ z2 − z1 ⎟ P (กําไร) = 11(x + y) − 12x − 8y = 3y − x ⎝ ⎠ เง่ือนไขคอื 0 < x < 100, 0 < y < 120 = 1 − ⎛ 1 + 3 ⎞ = 1 − 3i ดงั นน้ั ก. ผิด ⎜⎝⎜ 2 2 i⎟⎠⎟ 2 2 และ x + y > 150 ข. z21 = z1z2 ⋅ z3z1 = (i + 1)(3 + 4i) = 3 + 2i วาดกราฟแล้วพบว่า z2z3 2 + 2i 2 (100,120) (30, 120) → P = 330 (30,120) (100,50) z22 = z1z2 ⋅ z2z3 = (i + 1)(2 + 2i) = 16 + 12 i O z1z3 3 + 4i 25 25 (100, 120) → P = 260 z23 = z2z3 ⋅ z3z1 = (2 + 2i)(3 + 4i) = 6 + 8i (100, 50) → P = 50 z1z2 1+ i ตอบ Pmax = 330 บาท จะได้ z21 407 262 i 50 25 + z22 + z23 = + ดงั นน้ั ข. ผดิ ตอบ ข้อ 4. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 480 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.45 (20) lim f(x) = 42 − b = 16 − b และ f(4) = 1 (26) ก. ลองรา่ งโคง้ ความถี่ พบว่าเปน็ โคง้ เบข้ วา x → 4− ∴ X > Mode ก. ถูก หรือ จะคาํ นวณเอาก็ได้ และ lim f(x) = lim ( x − 2)( x + 2)2 a = 16a x → 4+ x → 4+ ( x − 2) ฟงั ก์ชนั นต้ี อ่ เนอ่ื งที่ x = 4 แปลว่าสามค่านเี้ ทา่ กนั x f d CF ∴ b = 15, a = 1 31 - 39 2 -3 2 16 40 - 48 3 -2 5 49 - 57 5 -1 10 จะได้ f ⎛1 + 15 ⎞ = f(1) = −14 ตอบ 58 - 66 4 0 14 ⎝⎜ 16 16 ⎠⎟ 67 - 75 3 1 17 76 - 84 2 2 19 (21) (fog)(x) = 3(g(x)) + 1 = x2 + 1 85 - 93 1 3 20 → g(x) = (x2 + 1)2 − 1 → f′(1) = 3 X = a + ID = 62 + (9) ⎛ −6 − 6 − 5+ 3 + 4 + 3 ⎞ 3 4 ⎝⎜ 20 ⎠⎟ ดงั นนั้ f′(x) = 1 ⋅ 3 2 3x + 1 และ g′(x) = 2(x2 + 1) ⋅ (2x) → g′(1) = 4 (2) = 8 = 62 − 3.15 = 58.85 คะแนน 3 33 แต่ Mo เทา่ กับ 57.5 คะแนน (อยู่ทข่ี อบช้ันพอด)ี ตอบ 3 + 8 = 41 4 3 12 ..ดงั นนั้ X > Mode แน่ๆ ข. หา Q1 กบั Q3 (22) f(x) = ∫ (2x + 3) dx = x2 + 3x + C อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 1 × 20 หาคา่ C จาก g(x) = x2 ⋅ f(x) Q1 4 =5 g(x) = x4 + 3x3 + Cx2 ∴ Q1 = 48.5 คะแนน (สดุ ท้ายของชน้ั พอด)ี → g′(x) = 4x3 + 9x2 + 2Cx Q3 อยตู่ าํ แหน่งท่ี 3 × 20 = 15 4 → g′′(x) = 12x2 + 18x + 2C → g′′(1) = 0 ∴ 12 + 18 + 2C = 0 → C = −15 ∴ Q3 = 66.5 + 9 ⎛ 15 − 14 ⎞ = 69.5 คะแนน ⎝⎜ 3 ⎠⎟ จะได้ f(4) = 16 + 12 − 15 = 13 ตอบ จะได้ QD = 69.5 − 48.5 = 10.5 ข. ถูก (23) f′(x) = 6x + 2b → f(x) = 3x2 + 2bx + C 2 พื้นท่ี 21 ตอบ ขอ้ 1. ∫= 2∫ (27) 15.5 + 14.8 + 14.5 + 15.2 + x = 16 5 00 → x = 20 กก. → (x3 + bx2 + Cx) 2 = 2 (x3 + bx2 + Cx) 1 เรยี งขอ้ มูล; 14.5, 14.8, 15.2, 15.5, 20 00 → Med = 15.2 กก. → 8 + 4b + 2C = 2(1 + b + C) ความแปรปรวน → b = −3 → f(x) = 3x2 − 6x + C จึงไดว้ า่ f′(x) = 6x − 6 = 0 เมอื่ x = 1 เปน็ จดุ ตา่ํ สดุ s2 = (1.5)2 + (1.2)2 +(0.8)2 + (0.5)2 + 42 สัมพทั ธ์ ตอบ 5 (24) รูปทง้ั หมด - รปู ท่ไี มใ่ ช่ Δ = 4.116 กก.2 ตอบ = ⎜⎛⎝ 10 ⎟⎠⎞ − ⎛⎝⎜ 43⎠⎟⎞ = 120 − 4 = 116 รูป (28) Med = X = 160 3 ท่ี x = 158 ซม. จะได้ พนื้ ท่ี = 0.5 − 0.3446 (25) กรณแี รก ตรง 3 ซอง เลือกวา่ ใครจะไดต้ รง = 0.1554 ทางซา้ ย 0.3446 = ⎝⎜⎛53⎟⎠⎞ = 10 วิธี และอีก 2 ซองสลับให้ไมต่ รงได้ 1 0.1554 วิธี กรณที ส่ี อง ตรง 2 ซอง เลอื กวา่ ใครตรง ⎛⎜⎝52⎞⎟⎠ = 10 วิธี และอีก 3 ซองสลบั ใหไ้ มต่ รงได้ 2 วิธี → z = −0.4 ∴ −0.4 = 158 − 160 s (ไลเ่ ขียนเพอ่ื นับ) กรณที ส่ี าม ตรง 1 ซอง เลอื กว่า → s = 5 → s = 5 = 3.125% ตอบ ใครตรง ⎝⎜⎛51⎠⎞⎟ = 5 วธิ ี และอีก 4 ซองสลบั ให้ไม่ตรง X 160 ได้ 9 วิธี (ไลเ่ ขยี นเพอ่ื นับ) ∴ ตอบ 10 × 1 + 10 × 2 + 5× 9 = 75 5 ! 120 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 481 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.45 (k) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอตั นยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ f (x) = 1 36−4x2 3 ถ้า A = { x | x ∈ [−3, 3] และ f (x) ∈ {0, 1, 2, 3}} แลว้ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เท่ากับเท่าใด 2. ถา้ a และ b เปน็ คําตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยท่ี a ≠ 0 , b ≠ 0 และ a ≠ b แลว้ sin arctan(ab) เท่ากับเทา่ ใด 3. กําหนดให้ log8(log4(log2 x)) = 2 ถา้ x = 4(2n) แล้ว n มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด 4. กาํ หนดให้ A = ⎡4 −2⎤ , I = ⎡1 0⎤ และ c เปน็ จาํ นวนจรงิ ทน่ี ้อยท่ีสุดทท่ี ําให้ ⎢⎣ 1 1 ⎦⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ det (A − c I) = 0 ถ้า B= ⎡1 c c⎤ แล้ว det (1 B) เทา่ กบั เทา่ ใด ⎣⎢⎢cc 1 c1⎥⎥⎦ 2 c 5. ให้ b เปน็ จาํ นวนจริง และกําหนดให้ f (x) = ⎪⎧3x2 + 1 ,0 < x < b ⎨ ,x < 0 ⎪⎩ 1 ถา้ −2 ∫b = 12 แลว้ b มคี ่าเท่ากับเท่าใด f (x) dx 6. ในการเรยี งสบั เปลี่ยนตัวเลขท้งั 7 ตวั ในเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} จาํ นวนวธิ ที เ่ี รียงไดเ้ ลข 7 หลกั ซงึ่ ผลบวกของเลขโดดในหลักหนว่ ยและหลักสิบมีค่าน้อยกว่า 7 เทา่ กับเท่าใด 7. ข้อมลู ชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากคือ a 4 5 6 b ซงึ่ มีค่าเฉลย่ี เลขคณติ และส่วน เบ่ยี งเบนเฉลยี่ เทา่ กบั 6 และ 3 ตามลาํ ดบั สัมประสทิ ธิข์ องพิสัยของข้อมูลชดุ นี้เท่ากับเท่าใด 8. ตวั แทนจาํ หนา่ ยโทรทศั น์สยี หี่ ้อหน่ึง ขายโทรทัศน์สี 3 ขนาด ในรอบปี 2542, 2543 และ 2544 ดว้ ยราคาดงั ต่อไปน้ี ขนาดของ ราคา (บาท) ราคาสมั พทั ธ์ในการหาดชั นรี าคา โทรทศั น์สี ปี 2543 เม่อื ใชป้ ี 2542 เป็นปีฐาน 2544 2542 20 นว้ิ 1.02 29 นว้ิ 9,639 9,000 1.03 34 นว้ิ 21,218 20,000 1.10 38,885 35,000 ดชั นีราคาโทรทัศนส์ ที ั้ง 3 ขนาด อยา่ งงา่ ยแบบใช้ค่าเฉลีย่ ราคาสมั พทั ธ์ของ พ.ศ. 2544 เมื่อใช้ พ.ศ. 2543 เปน็ ปฐี านเท่ากับเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 482 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. สาํ หรบั เซต X ใดๆ ให้ P(X) แทนเพาเวอร์เซตของ X และ n(X) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของ X ถ้า A และ B เป็นเซตซึ่ง n(P (A∩B)) = 4 และ n((A∩B) × (A∪B)) = 12 แลว้ n(P (A∪B) − P ((A−B) ∪ (B−A))) เทา่ กับข้อใด 1. 16 2. 32 3. 48 4. 56 2. ให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ 3x −2 > 2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ x −1 ก. S = (−1, 0] ∪ (1, ∞) ข. ∃x [x ∈ S ∧ (x + 2)∉ S] ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 3. กําหนดให้ a , b เป็นจาํ นวนเต็ม ซ่ึง a เปน็ ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให้ q1 , q2 เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก โดยท่ี 216 = ,b q1 + 106 b = 106 q2 + 4 ถา้ f (x) = x3 + ax2+ bx − 36 แล้ว เม่ือหาร f (x) ดว้ ย x − a ได้เศษเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 192 2. 200 3. 236 4. 272 4. พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถา้ p , q เปน็ ประพจน์ โดยท่ี p มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ และ ~ q →(~ p ∨ q) เป็นสัจนิรนั ดร์ แลว้ q มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ ข. นิเสธของขอ้ ความ ∃x [(~ P (x)) ∧ Q (x) ∧ (~ R(x))] คือขอ้ ความ ∀x [Q (x) → (P (x) ∨ R(x))] ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 5. กาํ หนดให้ P (x) และ Q(x) เปน็ ประโยคเปิด โดยที่ ∀x [P (x)] → ∃x [~ Q (x)] มีค่าความจริง เปน็ เท็จ เม่อื เอกภพสมั พัทธ์คอื เซตของจาํ นวนจรงิ ข้อใดต่อไปน้ีมคี ่าความจริงเปน็ จริง 1. ∃x [P (x) ∧ ~ Q (x)] 2. ∃x [~ P (x) ∨ ~ Q (x)] 3. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 4. ∀x [P (x) → Q (x)] 6. กําหนดให้ k เป็นคา่ คงตวั และ r = {(x, y) ∈ R+× R+ | x + k x = y + k y } พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ถา้ k = 1 แลว้ r เปน็ ฟงั กช์ ัน ข. ถา้ k = −1 แล้ว r เปน็ ฟงั ก์ชนั ข้อใดต่อไปนถี้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 483 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 ⎧ 2 , x < −1 ⎪ 7. กาํ หนดให้ f (x) = ⎨(x −1)2 , −1 < x < 2 และ g(x) = f (x) + 2 ⎪ x + 1 ,x > 2 ⎩ ถา้ k เปน็ จาํ นวนเตม็ ท่ีนอ้ ยท่สี ุดท่ที าํ ให้ g(k) > 5 แล้ว (gD f)(k) มีค่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 8. กําหนดให้ f (x) = x เม่อื x>0 และ g (x) = ⎧x ,0 < x < 1 ⎩⎨x+1 ,1 < x พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. gD f−1 เปน็ ฟังกช์ นั เพ่มิ บน Rf ข. f D g−1 เป็นฟงั ก์ชนั เพิม่ บน Rg ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 9. นายดาํ ยืนอย่บู นสนามแห่งหน่งึ มองเหน็ ยอดเสาธงเปน็ มุมเงย 60° แต่เม่ือเขาเดินตรงเขา้ ไปหา เสาธงอกี 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปน็ มุมเงย 75° ในขณะท่ีเขามองเหน็ ยอดเสาธงเปน็ มุม เงย 60° น้ัน เขายนื อยหู่ า่ งจากเสาธงเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 10(2 + 3 3) เมตร 2. 10(2 + 1 3) เมตร 2 2 3. 10(2 + 2 3) เมตร 4. 10(2 + 3) เมตร 10. ถ้าไฮเพอรโ์ บลา H มจี ุดศนู ยก์ ลางอย่ทู ่ีจดุ ศนู ย์กลางของวงรี 4x2+ 9y2− 8x − 36y + 4 = 0 จดุ ยอดอยทู่ ี่จุดโฟกสั ท้ังสองจุดของวงรนี ้ี และผา่ นจุด (5, 5) แล้ว จุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา H คือจุดในข้อใดต่อไปน้ี 1. (1 − 7 , 2) และ (1 + 7 , 2) 2. (1 − 8 , 2) และ (1 + 8 , 2) 11 11 11 11 3. (1 − 9 , 2) และ (1 + 9 , 2) 4. (1 − 10 , 2) และ (1 + 10 , 2) 11 11 11 11 11. กําหนดให้ f1(x) = −x + 3 เมื่อ x<1 และ f2(x) = 3x − 2 เมอ่ื x>1 2 2 ถา้ P(a, b) เป็นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมท่ีมีรัศมยี าว 7/ 5 หน่วย และสัมผสั กราฟของ f1 และ f2 แล้ว a + b เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −2 2 2. 2 2 3. 6− 2 4. 6+ 2 12. ให้ A เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ log16x + log4x + log2x < 7 และ B เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ 34x −3− 26(32x −3) > 1 แล้ว A − B คือชว่ งในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. (0, 3) 2. [3 , 16) 3. (0, 3] 4. [3, 16) 2 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 484 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 13. ถ้า เปน็ เมตรกิ ซซ์ ่ึง ⎡1 2 0⎤ ⎢ −−21⎥⎥⎦ , A A−1 = ⎢ 3 1 x > 0 ⎣ x 0 และ det (2 adj A) = 1/18 แลว้ x เป็นจริงตามขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. x < 5 2. 5 < x < 9 3. 9 < x < 13 4. x > 13 14. กาํ หนดใหส้ มการจุดประสงคค์ ือ P = 2ax + 3ay โดยที่ a > 0 อสมการขอ้ จาํ กัดคือ 2x + y < 1000 , x + 3y < 900 , x > 0 และ y > 0 ถ้าค่าสูงสดุ ของ P คอื 33, 000 แลว้ a เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 10 < a < 20 2. 20 < a < 30 3. 30 < a < 40 4. 40 < a < 50 15. กาํ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี ม โดยที่ |˜BC| = 1, |˜CA| = 2 ถ้า u = 1 (˜CA + 2 ˜CB), θ เป็นมุมระหวา่ ง u และ ˜CB 3 และ cos BClA = 1 แล้ว cos θ เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 4 1. 5 2. 5 3. 5 4. 5 4 2 42 22 16. กําหนดให้ =ABC13เปแน็ ลร้วูปส˜AาBมเ⋅ห˜BลC่ียม+ โ˜BดCยท⋅ ˜Cี่ |A˜AB+|˜C=Ac⋅ ˜A, B|˜BCเท|่า=กับaข,อ้ |ใ˜CดAตอ่|ไ=ปนbี้ ถ้า a2 + b2 + c2 1. 13 2. − 13 3. 13 4. − 13 2 2 3 3 17. กําหนดให้ z1 , z2 , z3 เป็นจาํ นวนเชิงซอ้ น ซึง่ มีสมบัตวิ ่า z1 = z2 = z3 = 1 และ z1+ z2+ z3 = 0 และให้ Re(z) แทนสว่ นจรงิ ของจาํ นวนเชงิ ซ้อน z พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. Re (z1z2) = 1 ข. z1− z2 = 3 2 2. ก. ถูก และ ข. ผิด ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 18. กาํ หนดให้ z เป็นจํานวนเชงิ ซ้อน ถา้ −1 + 3 i เปน็ รากที่ 5 ของ z แลว้ รากท่ี 2 ของ z คอื จาํ นวนในข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2(− 3 − i), 2 2( 3 + i) 2. 2 2(−1− 3 i), 2 2(1+ 3 i) 3. 2 2(− 3 + i), 2 2( 3− i) 4. 2 2(−1+ 3 i), 2 2(1− 3 i) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 485 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 19. กาํ หนดให้ log x , log (x+2), log (x+16) เป็นสามพจน์แรกทเ่ี รยี งกันของลําดบั เลขคณติ ถา้ a10 เปน็ พจนท์ ี่ 10 และ S10 เป็นผลบวก 10 พจนแ์ รกของลาํ ดบั นแ้ี ลว้ ข้อใดต่อไปนี้ถกู 1. ,a10 = 9 log 5 − 8 log 3 S10 = 5 [9 log 5 − 7 log 3] 2. ,a10 = 9 log 5 − 8 log 3 S10 = 5 [9 log 7 − 2 log 3] 3. ,a10 = 9 log 7 − log 3 S10 = 5 [9 log 5 − 7 log 3] 4. ,a10 = 9 log 7 − log 3 S10 = 5 [9 log 7 − 2 log 3] ⎧x ,x < a ⎪⎪ x+2 20. กําหนดให้ a > 0, f (x) = ⎨ และ g(x) = x2 ⎪ x+1 ,x > a ⎪⎩ x ถา้ xl→ima + (f D g)( x) − xl→ima − (g D f)(x) = 11 แลว้ a มีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี a (a + 2) 1. 1 2. 3 3. 5 4. 9 21. กําหนดให้ f (x) = x2− 6x + c โดยท่ี c เปน็ จาํ นวนจรงิ ถา้ a และ b เป็นรากของสมการ f (x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แลว้ f′(c) มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −38 2. −26 3. 26 4. 38 22. กาํ หนดให้ f (x) = x2 − 2 x และ g(x) = x2 + 1 (gD f)′(−3) + (f D g)′(3) เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. −132 2. −84 3. 84 4. 132 23. กาํ หนดให้ f′′(x) = ax เมอื่ a เป็นคา่ คงตวั ถ้าเสน้ ตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผสั กับกราฟของ f ท่ีจุด (1, 4) และ f (0) = 8 แลว้ 0 ∫1 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ f (x) dx 1. 22 2. 23 3. 42 4. 43 4 4 4 4 24. ถุงใบหนงึ่ มลี กู กวาดขนาดเดียวกนั เปน็ สีแดง 24 เม็ด ที่เหลือเปน็ ลูกกวาดสขี าวและลูกกวาดสี เขียว ถ้าสุ่มหยิบลกู กวาดขึน้ มา 1 เมด็ ความน่าจะเปน็ ทไี่ ด้ลูกกวาดสีขาวหรือสีเขียวเทา่ กับ 5/6 และความน่าจะเปน็ ที่ได้ลกู กวาดสีเขยี วหรอื สแี ดงเท่ากบั 3/4 แลว้ จํานวนลกู กวาดสีเขียวเทา่ กบั ข้อ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 36 2. 60 3. 72 4. 84 25. ชมรมกีฬาของโรงเรยี นแห่งหน่ึงมสี มาชกิ ทง้ั หมด 80 คน สมาชกิ ทกุ คนต้องเล่นกีฬาอยา่ งนอ้ ย หนง่ึ อยา่ ง และมีสมาชิกเป็นนักฟตุ บอล 49 คน นกั บาสเกตบอล 40 คน นกั เทนนสิ 33 คน นกั กีฬาทั้งสามอย่าง 5 คน นกั เทนนสิ อยา่ งเดยี ว 10 คน นกั บาสเกตบอลอยา่ งเดียว 13 คน นกั บาสเกตบอลและนักเทนนิส 13 คน ความนา่ จะเปน็ ในการเลอื กประธาน รองประธาน และเลขานกุ าร ของชมรมตาํ แหนง่ ละ 1 คน จากสมาชกิ ท้ังหมด โดยท่ปี ระธานตอ้ งเปน็ นักกฬี าทงั้ สามอย่าง และรอง ประธานจะตอ้ งเปน็ นักกีฬาอย่างน้อย 2 อยา่ ง เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 9 2. 11 3. 15 4. 23 316 316 632 632 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 486 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.45 26. ความสัมพันธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ระหว่างตน้ ทุนการผลติ สินค้าตอ่ หนว่ ย ( y ) (หน่วยเปน็ บาท) กับ จํานวนสินคา้ ที่ผลติ ได้ในแต่ละวนั ( x ) (หนว่ ยเป็นช้นิ ) ของโรงงานแหง่ หนงึ่ ท่ีได้จากการเก็บข้อมูล ตง้ั แตว่ ันท่ี 1 – 30 กนั ยายน 2545 อยใู่ นรูปสมการ y = 8 − 0.5 x ถา้ จาํ นวนสนิ ค้าทีโ่ รงงานแห่งนีผ้ ลิตได้ในวันที่ 1 – 4 ตุลาคม 2545 เปน็ 4, 2, 8, 10 ชน้ิ ตามลาํ ดับ แล้ว ความแปรปรวนของต้นทนุ การผลติ สินค้าต่อหน่วยทท่ี าํ นายได้ในชว่ งเวลาดงั กลา่ ว เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 2.5 2. 10 3. 17.5 4. 22.5 27. ถ้าน้าํ หนกั ของนกั เรียนชน้ั อนบุ าลในโรงเรียนแห่งหนง่ึ มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่ามัธยฐานเป็น สามเท่าของส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องนกั เรียนกลุ่มนี้มนี าํ้ หนกั น้อยกว่า 15.7 กโิ ลกรัม แลว้ เปอร์เซ็นตข์ องนกั เรียนกลุ่มนี้ทม่ี ีน้ําหนกั อย่รู ะหวา่ ง 13 กิโลกรัม ถงึ 18 กโิ ลกรมั เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี กาํ หนดตารางแสดงพน้ื ทใ่ี ต้โคง้ ปกตมิ าตรฐาน ที่อย่รู ะหวา่ ง 0 ถึง z z 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7 พ้ืนที่ 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.2580 1. 30.51% 2. 33.73% 3. 38.12% 4. 41.34% 28. ในการสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักเรียนห้องหนง่ึ ซึ่งมคี ะแนนเตม็ 70 คะแนน มสี ัมประสิทธ์ิ ของการแปรผันของคะแนนเทา่ กบั 2/7 ถ้านายบณั ฑิตสอบได้ 65 คะแนน ซ่งึ คดิ เป็นคะแนน มาตรฐานเท่ากับ 3 และนางสาวบังอรสอบได้คะแนนซึ่งคิดเปน็ ค่ามาตรฐานเทา่ กับ 1.9 แลว้ นางสาวบังอรสอบได้คะแนนเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 50 คะแนน 2. 52 คะแนน 3. 54 คะแนน 4. 56 คะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 487 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.45 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 5 (2) 0.6 (3) 127 (4) 0.625 (5) 2 (6) 1440 (7) 0.8 (8) 102.14 ตอนท่ี 2 (1) 3 (2) 2 (3) 2 (4) 1 (5) 4 (6) 2 (7) 3 (8) 1 (9) 4 (10) 4 (11) 3 (12) 1 (13) 3 (14) 2 (15) 4 (16) 2 (17) 3 (18) 4 (19) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 4 (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 3 เฉลยวิธคี ิด ตอนท่ี 1 (4) A − cI = ⎡4−c −2 ⎤ ⎢⎣ 1 1−c⎥⎦ (1) y = 1 36 − 4x2 → 3y = 36 − 4x2 3 → A − cI = (4 − c)(1 − c) + 2 = 0 → 9y2 = 36 − 4x2 → 4x2 + 9y2 = 36 จะได้ 4 − 5c + c2 + 2 = 0 → x2 + y2 = 1 2 → (c − 3)(c − 2) = 0 → c ท่นี อ้ ยทีส่ ดุ คอื 2 94 1 -3 หา 1B = ⎛ 1 ⎞3 122 โดยท่ี y > 0 03 2 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 2 12 (เป็นรูปครึง่ วงร)ี 22 1 จากกราฟพบว่า = ⎛ 1 ⎞3 (−4 − 4 − 4 + 1 + 8 + 8) = 5 = 0.625 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 8 ถ้า y ∈ {0, 1, 2, 3} จะมี x อยู่ 5 ตัว ตอบ ตอบ (2) ให้ A = arcsin x จะไดว้ า่ [หมายเหตุ ขอ้ นค้ี ําตอบเปน็ ทศนยิ มเกิน 2 ตาํ แหน่ง, sin A = x, cos A = 1 − x2 จะตอบ 0.62 หรือ 0.63 ก็ได้ เนื่องจากในการ ดังนนั้ จากโจทย์ → sin(2A) = x ตรวจขอ้ สอบ ยนิ ยอมใหท้ ศนยิ มตาํ แหน่งที่สอง → 2 sin A cos A = x → 2x 1 − x2 = x คลาดเคลอื่ นได้ ±1 อย่แู ล้ว] → x (2 1 − x2 − 1) = 0 (5) จะได้ x = 0 หรือ 1 − x2 = 1 → แตโ่ จทย์บอก 1 พนื้ ท่ีซา้ ย = , = 2 2 -2 0 b ว่าคาํ ตอบไมใ่ ช่ 0 ดงั นนั้ 1 − x2 = 1 2 1 − x2 = 1 → x2 = 3 → x = ± 3 พืน้ ทีข่ วา = b = (x3 + x) b = b3 + b 44 2 0 (ตัวหนง่ึ เปน็ a และอกี ตัวเป็น b คณู กนั ได้ -3/4) ∫ (3x2 + 1) dx 0 ให้หาคา่ ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ ∴ b3 + b + 2 = 12 → b3 + b = 10 ⎝⎜ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ ⎟⎠ sin arctan − → b = 2 ตอบ ถ้า tan = − 3 ยอ่ มไดว้ า่ sin = 3 = 0.6 ตอบ (6) เลือกเลขหลกั หนว่ ยและสิบ ได้ดงั นี้ 1, 2 1, 3 45 1, 4 1, 5 2, 3 2, 4 รวม 6 กรณี (3) log4(log2 x) = 82 = 64 แต่ละกรณสี ลับได้ 5! × 2! แบบ ตอบ วธิ ี→ log2 x = 464 = 2128 → x = 2(2128) = 4(2127) 6 × 5 ! × 2 ! = 1,440 ∴ n = 127 ตอบ (7) X = 6 = a + 4 + 5 + 6 + b 5 → a + b = 15 .....(1) MD = 3 = (6 − a) + 2 + 1 + 0 + (b − 6) 5 → b − a = 12 .....(2) สมั ประสิทธิ์ของพิสัย = b − a = 12 = 0.8 ตอบ b + a 15 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 488 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 (8) หาราคา ปี 2543 โดยใชข้ ้อมลู ชอ่ งขวาท่ีให้มา สว่ นคา่ b ไดจ้ ากการพจิ ารณาสมการที่ (1) x = 1.02 → x = 9,180 บาท คือ bq1 = 216 − 106 = 110 โดย q1 เปน็ จาํ นวน 9,000 นบั และ b > 106 (ตวั หารตอ้ งมากกวา่ เศษ) ∴ b = 110 เทา่ นนั้ (q1 = 1) y = 1.03 → y = 20,600 บาท (ไม่สามารถเปน็ 55 × 2 ได้ เพราะ 55 < 106 ) 20,000 ∴ f(x) = x3 + 2x2 + 110x − 36 หารดว้ ย x − 2 z = 1.10 → z = 38,500 บาท 35,000 ∴ ISR ปี 2544 เทียบ 2543 ไดเ้ ศษ = f(2) = 8 + 8 + 220 − 36 = 200 ตอบ (4) ก. p เป็นจริง และ ~ q → (F ∨ q) เปน็ จรงิ = ⎛ 9,639 + 21,218 + 38,885 ⎞ × 100 ⎝⎜ 9,180 20,600 38,500 ⎠⎟ 3 แสดงวา่ ~ q → q เปน็ จรงิ = (1.05 + 1.03 + 1.01) × 100 = 103 ตอบ ∴ q เปน็ จริงเทา่ นน้ั ก. ถกู 3 ข. นิเสธคอื ∀x ⎣⎡P(x) ∨ ~ Q(x) ∨ R(x)⎦⎤ ตอนที่ 2 (1) n(P(A ∩ B)) = 4 = 22 แสดงวา่ ≡ ∀x ⎡⎣Q(x) → (P(x) ∨ R(x))⎦⎤ ข. ถูก ตอบ ข้อ 1. n(A ∩ B) = 2 (5) ∀x [P(x)] → ∃x [~ Q(x)] เป็นเทจ็ แสดงว่า ∀x [P(x)] เปน็ จรงิ จาก n((A ∩ B) × (A ∪ B)) = 12 = 2 × 6 และ ∃x [~ Q(x)] เป็นเทจ็ (คอื ∀x [Q(x)] จรงิ ดว้ ย) แสดงว่า n(A ∪ B) = 6 พจิ ารณาว่าตวั เลอื กในขอ้ ใดเปน็ จรงิ ดังนนั้ n[(A − B) ∪ (B − A)] โดยยึดในใจวา่ ∀x [P(x)] จริง, ∀x [Q(x)] จรงิ 1. มีบาง x ซึ่ง P จรงิ และ Q เทจ็ ...ไม่ใช่ =6−2 = 4 2. มบี าง x ซ่งึ P เท็จ หรอื Q เทจ็ ...ก็ไม่ใช่ 3. ทุกๆ x ถา้ P จรงิ แลว้ Q เทจ็ ...ไมใ่ ช่ โจทยถ์ าม n[P(A ∪ B) − P((A − B) ∪ (B − A))] 4. ทกุ ๆ x ถ้า P จรงิ แลว้ Q จรงิ ...ใช่ ตอบ ข้อ 4. (6) ก. x + x = y + y เนื่องจาก (A − B) ∪ (B − A) เปน็ สบั เซตของ → y + y − (x + x) = 0 A ∪ B เพาเวอรเ์ ซตจึงเป็นสับเซตของกนั ดว้ ย สามารถลบจาํ นวนได้เลยดงั นี้ 26 − 24 = 48 ตอบ → y = −1 ± 1 + 4(x + x) (2) แยกชว่ งยอ่ ยคดิ 2 กรณแี รก ถา้ x < 0 จะไดอ้ สมการกลายเป็น ∴ y = −1 ± 4x + 4 x + 1 3x − 2 > 2 → 3x − 2 < 2 2 −x−1 x+1 = −1 ± (2 x + 1) = x หรอื −1 − x → 3x − 2 − 2x − 2 < 0 → x − 4 < 0 2 x+1 x+1 แต่ y = −1 − x ไม่ได้ เพราะติดลบ นนั่ คอื (−1, 4] และนําไปอนิ เตอรเ์ ซคกบั เงื่อนไข เหลอื แค่ (−1, 0) กรณที ีส่ อง ถา้ x > 0 จะได้อสมการกลายเปน็ 3x − 2 > 2 → 3x − 2 − 2x + 2 > 0 ∴ y = x เทา่ นน้ั จึงเป็นฟังกช์ นั x−1 x−1 ข. x − x = y − y → x > 0 นั่นคือ (−∞, 0] ∪ (1, ∞) → y − y − (x − x) = 0 x−1 อนิ เตอรเ์ ซคกบั เงอื่ นไข เหลือแค่ {0} ∪ (1, ∞) → y = 1 ± 1 + 4(x − x) ดังนนั้ ก. S = (−1, 0] ∪ (1, ∞) ถูก 2 ข. มบี าง x ซึ่ง x ∈ S และ (x + 2) ∉ S ไมจ่ รงิ ∴ y = 1 ± 4x − 4 x + 1 x 2 เพราะ S ไมม่ ีขอบเขตบน ดงั นนั้ ไมว่ า่ x เป็นจํานวน เทา่ ใด (x + 2) ย่อม ∈ S เสมอ ผิด ตอบ ขอ้ 2. = 1 ± (2 x − 1) = x หรอื 1 − 2 (3) การหา ห.ร.ม. ดว้ ยวธิ ขี องยคุ ลิด ซึ่งเปน็ ไปไดท้ งั้ 2 อยา่ ง จงึ ไม่เปน็ ฟังกช์ ัน จาก 216 = b q1 + 106 .....(1) (เช่น ถ้า x=1 จะได้ y=1 กไ็ ด,้ y=0 ก็ได้) และ b = 106 q2 + 4 .....(2) ตอบ ข้อ 2. ทําตอ่ ไป 106 = 4(26) + 2 และ 4 = 2 (2) ดงั นน้ั ห.ร.ม. a = 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 489 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 (7) จาก g(k) > 5 → f(k) + 2 > 5 → f(k) > 3 ∴ ไฮเพอรโ์ บลามีจดุ ศูนย์กลาง (1, 2) ออ้ มแกน x และ ⎧⎪ 2 1)2 , k < −1 และคา่ a = 5 → (x − 1)2 − (y − 2)2 =1 ⎨ (k − 1 5 b2 f(k) = ⎩⎪ k+ , −k1>< k < 2 , 2 ผา่ นจุด จะไดว้ า่ 16 9 ลองแทนคา่ จํานวนเต็ม k ไล่ไปเรอื่ ยๆ (5, 5) 5 − b2 =1 กรณบี น f(k)=2 เสมอ ไมม่ ากกวา่ 3 อยู่แลว้ b2 = 45 → ดงั น้ัน c = 5 + 45 = 10 11 11 11 กรณีกลาง ถา้ k = 0 ได้ f(0) = 1 , ถา้ k = 1 ได้ f(1) = 0 แสดงวา่ ไม่มี k ทีใ่ ช้ได้เลย จุดโฟกัสคอื ⎛ 1 ± 10 , 2 ⎞⎟⎠ ตอบ กรณลี ่าง ถ้า k = 2 ได้ f(2) = 3 , ⎝⎜ 11 ถ้า k = 3 ได้ f(3) = 4 (11) ระยะทางจากจดุ ศูนย์กลาง P(a, b) ไปยัง ∴ จาํ นวนเตม็ k ทนี่ อ้ ยทส่ี ดุ ทท่ี ําให้ f(k)>3 คอื 3 เสน้ ตรงท้ังสอง = 7 P f2 (gof)(3) = g(4) = f(4) + 2 = 7 ตอบ 5 f1 (8) ก. f−1(x) = x2 เม่ือ x > 0 จากการวาดกราฟครา่ วๆ พบวา่ วิธหี าจดุ (a, b) 0 < x2 < 1 ∴ gof−1(x) = ⎧ x2 ; x2 > 1 อยา่ งง่ายคอื ขยบั เส้นตรง ⎨ x2 + 1; ⎩ f1 และ f2 ขน้ึ ไปจากเดิม 1 เปน็ ฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง [0, ∞) จรงิ 7 หน่วย แล้วจงึ แก้ระบบสมการเพอ่ื หาจดุ ตดั กนั ข. g−1(x) = ⎧ x; 0<x <1 (เง่อื นไขมาจาก Rg ) 5 ⎩⎨ x − 1; x>2 f1; y = − x + 3 → 2y + x − 3 = 0 ⎪⎧ x ;0<x < 1 22 ∴ fog−1(x) = ⎨ x −1 ; x>2 7 −3 − Cใหม่ ⎩⎪ ∴ 5 = 5 → Cใหม่ = −10 เป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ ในช่วง [0, 1) ∪ [2, ∞) จรงิ ดงั นน้ั f1 ใหม่ คอื 2y + x − 10 = 0 ∴ ตอบ ก. ถกู และ ข. ถกู f2; y = 3x − 2 → y − 3x + 2 = 0 (9) 7 = 2 − Cใหม่ h = a tan 75° .....(1) h∴ 5 10 → Cใหม่ = 2 − 7 2 h = (20 + a) tan 60° .....(2) ดงั นน้ั f2 ใหม่ คอื y − 3x + 2 − 7 2 = 0 60° 75° แก้ระบบสมการหาจดุ ตดั ได้ 20 a x = 2 − 2 2, y = 4 + 2 → ตอบ 6 − 2 แกร้ ะบบสมการ จะได้ a = 20 tan 60° (12) A; 1 log2 x + 1 log2 x + log2 x < log2 (27) tan 75° − tan 60° 4 2 หาคา่ tan 75° จาก 7 7 4 1+ 1 → log2 x < log2 (27) → x4 < 27 tan(45° + 30°) = 3 = 3 +1 = 2+ 3 1 1− 1 3−1 → x4 < 2 → x < 16 3 แต่มเี งื่อนไข log จงึ ไดเ้ พียง 0 < x < 16 เทา่ น้นั ∴ a = 20( 3) = 10 3 B; นาํ 33 = 27 คณู ทง้ั สองขา้ ง (2 + 3) − 3 → 34x − 26 ⋅ 32x > 27 ตอบ 20 + 10 3 = 10 (2 + 3) เมตร (10) วงร;ี [มอง 32x = A ] จะได้วา่ 4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 − 4y + 4) = −4 + 4 + 36 A2 − 26A − 27 > 0 → (A − 27)(A + 1) > 0 → (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 นนั่ คอื A < −1 หรือ A > 27 94 แต่ 32x < −1 ไมไ่ ด้ ∴ 32x > 27 → 2x > 3 จดุ ศนู ยก์ ลาง (1, 2) รตี ามแกน x ระยะโฟกสั c = 9 − 4 = 5 x > 3/2 ตอบ A − B = (0, 3) 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 490 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.45 (13) [พสิ จู น์ จาก adjA = A ⋅ A−1 โจทย์ถาม ˜AB ⋅ ˜BC + ˜BC ⋅ ˜CA + ˜CA ⋅ ˜AB จะได้ adjA = A n ⋅ A −1 = ]A n − 1 = ca cos(180°− B) + ab cos(180°− C) + bc cos(180°− A) ดังนนั้ 2adjA = 23 adjA = 8 A 2 = −ca cos B − ab cos C − bc cos A หา A จากในโจทยก์ ่อน จาก a2 + b2 + c2 = 13 ใชก้ ฎของ cos ใน Δ A−1 = 12 − 2 − 2x = 10 − 2x จะไดว้ า่ (b2 + c2 − 2bc cos A) + (a2 + c2 − 2ac cos B) ∴ A = 1 → จะไดว้ า่ 8 A 2 = 1 + (a2 + b2 − 2ab cos C) = 13 10 − 2x 18 แทนคา่ a2 + b2 + c2 = 13 ลงไป จะได้ → 8 = 1 → (10 − 2x)2 = 144 (10 − 2x)2 18 −2 bc cos A − 2 ac cos B − 2 ab cos C = − 13 → x = 11 ตอบ ขอ้ 3. ดังนน้ั ตอบ − 13 (14) 2 300 (420,160) (17) เนื่องจากขนาด z1 , z2 , z3 เปน็ 1 และรวมกนั เปน็ 0 แสดงวา่ z1 , z2 , z3 อยบู่ น วงกลมหนง่ึ หนว่ ย และหา่ งเป็นระยะเท่าๆ กนั O 500 คอื ห่างกนั 120° ดังนน้ั ถ้าให้ z1 = 1∠θ จะได้ สมมตวิ า่ จดุ (420, 160) ทาํ ให้เกิด Pmax z2 = 1∠(θ+120°), z3 = 1∠(θ−120°) ∴ 33,000 = 2a(420) + 3a(160) ก. z2 = 1∠(−θ−120°) ดงั นน้ั ได้ a = 25 ..ลองแทนคา่ จดุ อนื่ หา P ดูกอ่ น z1z2 = 1∠(θ + (−θ−120°)) = 1∠(−120°) (500, 0) ได้ P = 25,000 (0, 300) ได้ P = 22,500 ∴ Re(z1z2) = 1 cos(−120°) แสดงวา่ จุดทีเ่ ลอื ก เกดิ Pmax จริงๆ = cos 120° = − 1 เสมอ 2 ข. z1 − z2 ∴ ตอบ ขอ้ 2. A = (cos θ + i sin θ) − (cos(θ+120°) + i sin(θ+120°)) (15) arccos 1/4 = ⎡⎣cos θ − cos(θ+120°)⎤⎦ + i ⎡⎣sin θ − sin(θ+120°)⎤⎦ นาํ u˜CBมาจดะอไทด้มุม θ 2 = (3 cos θ + 3 sin θ) + i (3 sin θ − 3 cos θ) กบั C 22 22 B1 = 3 ⎡⎣( 3 cos θ + sin θ) + i ( 3 sin θ − cos θ)⎦⎤ 2 ˜ ˜ ˜ ˜u ⋅ CB = 1 [CA ⋅ CB + 2| CB |2] 3 ∴ z1 − z2 = ˜ ˜ ˜ ˜u | CB | cos θ = 1 [| CA || CB | ( 1) + 2| CB |2] 3 3 cos2 θ + sin2 θ + 3 sin2 θ + cos2 θ 3 4 2 แทนคา่ |˜CA | 2, ˜| CB | = 1 = (พจนก์ ลางคอื 2 3 sin θ cos θ หกั ลา้ งกนั แลว้ ) จะได้ u cos θ = 5 = 1 |˜CA + 2 ˜CB | = 3 4 cos2 θ + 4 sin2 θ = 3 หาขนาด u จาก 6 3 2 u ตอบ ขอ้ ก. ผดิ , ข.ถกู หมายเหตุ ข้อ ข. อาจพสิ จู นแ์ บบเวกเตอร์ = 1 22 + 22 + 2(2)(2) (1/4) = 10 z1 − z2 = 12 + 12 − 2(1)(1) cos(120°) = 3 ก็ได้ (18) z = (−1 + 3 i)5 = (2∠120°)5 33 ∴ cos θ = 5 ÷ 10 = 5 ตอบ = 32∠600° = 32∠240° 6 3 22 C รากท่สี องของ z ไดแ้ ก่ 32∠120° กบั (16) B 32∠(120°+180°) a c น่นั คอื 32 (− 1 + 3 i) กับ 32 (1 − 3 i) 22 22 Ab ตอบ 2 2(−1 + 3i) และ 2 2(1 − 3i) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 491 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.45 (19) log(x + 2) − log x = log(x + 16) − log(x + 2) ดังนนั้ 11 → x + 2 = x + 16 → x2 + 4x + 4 = x2 + 16x ∫ f(x) dx = ∫ (x3 − 5x + 8) dx x x+2 00 = ⎛ x4 − 5 x2 + 8x ⎞ 1 = 23 ตอบ ⎜ 2 ⎟ 0 4 →x= 1 ⎝ 4 ⎠ 3 (24) แดง 24 เมด็ , ขาว x เม็ด, เขียว y เมด็ = log( 1) และ d = log(7) − log( 1) = log(7) ∴ a1 3 33 ∴ 5 = x + y และ 3 = 24 + y → a10 = log( 1) + 9 log(7) = 9 log 7 − log 3 6 24 + x + y 4 24 + x + y 3 แก้ระบบสมการ จาก (1) ได้ และ S10 = 10 (log( 1) + (9 log 7 − log 3)) 5 (24 + x + y) = x + y → x + y = 120 23 6 = 5 (9 log 7 − 2 log 3) ตอบ ขอ้ 4. แทนใน (2) 3 = 24 + y ได้ y = 84 เมด็ ตอบ 4 144 (20) lim (fog)( x) = lim f(x) = a + 1 (25) จาํ นวนคน = 80 คน, x → a+ x → a+ a เปน็ นกั กีฬาครบทุกอย่าง = 5 คน lim (gof)(x) = lim g ⎛⎜⎝ x x ⎞ = ⎛ a ⎞2 + 2 ⎟⎠ ⎝⎜ a + 2 ⎟⎠ เปน็ นกั กีฬาสองอย่างขน้ึ ไป F 20 14 13 B x → a− x → a− (คิดจากรูป) = 37 คน จะได้ a + 1 − a = 11 ตอบ 5 × 36 × 78 = 9 10 5 8 a a + 2 a(a + 2) 80 × 79 × 78 316 10 T → (a + 1)(a + 2) − a2 = 11 → 3a + 2 = 11 → a = 3 ตอบ (21) x2 − 6x + c = (x − a)(x − b) (26) หา X = 4 + 2 + 8 + 10 = 6 4 แสดงว่า a + b = 6 .....(1) s2x ; จากโจทย์บอกเพมิ่ วา่ 3a + 2b = 20 .....(2) แกร้ ะบบสมการได้ a = 8 , b = −2 ∴ s2x = 22 + 42 + 22 + 42 = 10 4 ∴ f(x) = (x − 8)(x + 2) = x2 − 6x − 16 → c = −16 จาก Y = 8 − 0.5 X จะได้ sY = 0.5sx โจทยถ์ าม f′(−16) = 2(−16) − 6 = −38 ตอบ ตอบ→ s2Y = (0.5)2s2x = (0.5)2 ⋅ 10 = 2.5 (22) ต้องถอดคา่ สัมบรู ณ์ออกกอ่ นจงึ ดิฟได้ ก. ที่ x = −3 (27) Med = X = 3s .....(1) และ x = 15.7 → พนื้ ท่ี A = 0.0557 ทางขวา → (gof)(x) = g(x2 + 2x) = (x2 + 2x)2 + 1 → (gof)′ (x) = 2(x2 + 2x)(2x + 2) → z = 0.14 = 15.7 − X .....(2) s → (gof)′(−3) = 2(9 − 6)(−4) = −24 แกร้ ะบบสมการได้ s = 5, X = 15 ข. ท่ี x = 3 ได้ g(3) = 10 ดังนน้ั ดังนน้ั z13 = 13 − 15 = −0.4 5 → (fog)(x) = f(x2 + 1) = (x2 + 1)2 − 2(x2 + 1) → (fog)′(x) = 2(x2 + 1)(2x) − 4x และ z18 = 18 − 15 = 0.6 5 → (fog)′(3) = 2(10)(6) − 12 = 108 ตอบ 84 (23) เส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สมั ผัสกราฟทจ่ี ดุ 0.1554 0.2258 (1, 4) แสดงวา่ f(1) = 4 และความชนั f′(1) = −2 จาก f′′(x) = ax → f′(x) = ax2 + b -0.4 0.6 z 2 ตอบ 15.54 + 22.58 = 38.12% จะได้ f′(1) = a + b = −2 .....(1) 2 (28) s = 2 , 3 = 65 − X X7 s จาก f(x) = ax3 + bx + c 6 แกร้ ะบบสมการได้ s = 10 และ X = 35 จะได้ f(1) = a + b + c = 4 .....(2) ดงั นน้ั 1.9 = xบงั อร − 35 ตอบ 6 10 และ f(0) = c = 8 → xบงั อร = 54 คะแนน แกร้ ะบบสมการ ได้ a = 6, b = −5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 492 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.46 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇi·ÂÒÅÂa ÁÕ.¤.46 (l) ตอนท่ี 1 ขอ้ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอตั นัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ x > x − 1 และ B เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ x − 5 > 0 (x + 1)(x + 3) ถา้ A − B คือชว่ ง (a, b) แล้ว a + b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 2. ในรูปสามเหลีย่ ม ABC ถ้า A = 30° ดา้ น BC ยาว 2 เซนติเมตร และดา้ น AC ยาว 3 เซนตเิ มตร แล้ว 4 sin 3B มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด 3. ถา้ ,log93 ,log9(3x − 2) log9(3x + 16) เปน็ สามพจนแ์ รกท่เี รียงกนั ในอนกุ รมเลขคณติ และ S เปน็ ผลบวกของสีพ่ จน์แรกของอนกุ รมนี้ แล้ว 3S มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด 4. กําหนดให้ A และ B เป็นเมตริกซ์ขนาด 2 × 2 ถา้ A +2B = ⎡5 4⎤ และ A −B = ⎡2 1⎤ แลว้ det (2A−1B) มคี า่ เท่ากบั เท่าใด ⎢⎣8 16⎦⎥ ⎣⎢−1 −5⎦⎥ 5. กําหนดสมการจุดประสงคค์ อื P = 3x + 2y โดยมอี สมการข้อจาํ กัดคอื 0 < x < 4 และ 6 < x + y < 7 แลว้ คา่ สงู สุดของ P เท่ากับเทา่ ใด 6. ถ้า u = 4 i + 3 j , v = u และ u + v = 8 แลว้ u ⋅ v มีคา่ เทา่ ใด 7. สลาก 11 ใบ มีหมายเลข 1 ถงึ 11 กํากับอยใู่ บละ 1 หมายเลข สุ่มหยิบสลากมา 4 ใบ ความ นา่ จะเป็นท่สี ลากท่หี ยบิ มา มีผลคณู ของหมายเลขเปน็ จํานวนคู่ แตผ่ ลบวกของหมายเลขเปน็ จํานวนค่ี มีคา่ เท่าใด (ตอบทศนิยม 2 ตําแหนง่ ) 8. กาํ หนดตารางแจกแจงความถข่ี องคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึง่ ดังน้ี คะแนน ความถี่ 16 – 18 a 19 – 21 2 22 – 24 3 25 – 27 6 28 – 30 4 ถ้าควอร์ไทล์ท่ีหน่งึ ( Q1 ) เทา่ กับ 18.5 คะแนน แลว้ มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ อง นักเรียนห้องนเ้ี ท่ากับเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 493 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.46 ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = { 1, 2 } , B = { 1, 2, 3, ..., 10 } เซต { f | f : A 1−1> B และมี x ∈ A ซ่ึง f (x) = x } มีจาํ นวนสมาชิกเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 16 2. 17 3. 18 4. 19 2. ให้ p , q และ r เปน็ ประพจน์ พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. ถา้ [(p ∧ ~ r) ∧ q] → ~(p ∧ q) เป็นเท็จ แลว้ (p ∨ q) → r เป็นจริง ข. ถ้า q ∨ ~ r เปน็ เทจ็ แลว้ [p ∨ (q → r)] → ~ q เปน็ เทจ็ ข้อใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 3. กาํ หนดให้ p , q , r และ s เปน็ ประพจน์ ในการอ้างเหตผุ ล ถา้ “เหตุ” คอื 1. (p ∨ q) →(r ∧ s) 2. r → ~ s แลว้ ประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้เี ป็น “ผล” ทีท่ ําใหก้ ารอา้ งเหตุผลมีความสมเหตสุ มผล 1. p 2. q 3. ~ p ∧ ~ q 4. ~ p ∧ q 4. ให้ A , B และ C เป็นเซตซ่ึง n(A∪B) = 16 , n(A) = 8 , n(B) = 14 , n(C) = 5 และ n(A∩B∩C) = 2 ค่าสูงสุดของ n [(A∩B) × (C−A)] ทเี่ ป็นไปได้ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 6 2. 12 3. 18 4. 24 5. กาํ หนดให้ I คือเซตของจาํ นวนเตม็ และ S = { x | x−1 − 1 ⋅ x−1 + 1 < 50 } จาํ นวน สมาชิกของเซต S ∩ I เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 3. 15 4. 16 1. 13 2. 14 6. กาํ หนดให้ f และ g เปน็ ฟังกช์ ัน ซึง่ f (x) < 0 ทุก x ถา้ (g f)(x) = 2 [f (x)]2 + 2 f (x) − 4 และ g−1(x) = x + 1 แล้ว 3 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. g f เป็นฟงั ก์ชันคงตวั ข. f (100) + g(100) = 300 ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 494 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.46 7. กาํ หนดให้ f (x) = − (x−1)2 ทุก x < 1 และ g(x) = 1−x ทกุ x < 1 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. f−1(x) = 1 − x ทกุ x < 0 ข. (g−1 f−1)(− 1) = 3 ข้อใดต่อไปนีถ้ ูก 44 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 8. กําหนดให้ r = {(x, y) | 0 < x, 0 < y < 5 และ x2 − y2 − 2x + 6y < 8 } พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. Dr = [0, 3] ข. ถา้ 0 < c และ (3, c) ∈ r แล้ว c = 5 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 9. ถ้า arccos x − arcsin x = π แล้ว arccos x − arctan 2x มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 6 1. π 2. 5π 3. 7π 4. 11π 12 12 12 12 10. ให้ E เปน็ วงรีซง่ึ ผลบวกของระยะทางจากจดุ ใดๆ บนวงรี E ไปยังจุด (−3, 2) และ (5, 2) เทา่ กับ 12 หนว่ ย ถา้ A และ B เปน็ จุดยอดของวงรี E และวงรี E ตัดแกน y ท่ีจดุ C และ D แล้ว พ้นื ท่ขี องรปู สี่เหล่ยี ม ABCD เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 10 5 ตารางหนว่ ย 2. 20 5 ตารางหนว่ ย 3. 10 7 ตารางหน่วย 4. 20 7 ตารางหน่วย 11. กาํ หนดให้ a เปน็ จาํ นวนจรงิ และ A (a, 1) , B(−5, −4), C (1, −2), D (2, 3) เป็นจดุ ยอดของรปู สีเ่ หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD ถ้า L เปน็ เสน้ ตรงทต่ี ั้งฉากกบั AC และผา่ นจุดกึง่ กลางของด้าน AC แลว้ สมการของเสน้ ตรง L คือสมการในข้อใดต่อไปน้ี 1. 5x − 3y + 6 = 0 2. 5x − 3y − 6 = 0 3. 5x + 3y + 9 = 0 4. 5x + 3y − 9 = 0 12. เซตคําตอบของอสมการ (4x − 2) log(1 − x2) > 0 เป็นสับเซตของเซตในขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. (−2, 1/2) 2. (−1/2, 2) 3. (0, 10) 4. (1/2, 20) 13. กําหนดให้ ⎡x+2 x x+1⎤ และ ⎡x x+1⎤ ⎢ x xx+1⎦⎥⎥ ⎣⎢2x 3 ⎦⎥ A = ⎢ 0 −1 B = ⎣ x+1 ถา้ x เปน็ จํานวนจรงิ ท่ีทาํ ให้ det (A) = 0 แล้ว adj B คือเมตริกซใ์ นข้อใดต่อไปนี้ 1. ⎡3 −2⎤ 2. ⎡3 0⎤ ⎢⎣−2 1 ⎦⎥ ⎣⎢2 −1⎥⎦ 3. ⎡3 −3⎤ 4. ⎡3 1⎤ ⎢⎣−4 2 ⎦⎥ ⎣⎢4 −2⎦⎥ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 495 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.46 14. ให้ |A˜C,BB| เป็นจุดสองจดุ บนเส้นตรง y = 2x ถ้าจุด C (−2, 1) ทาํ ให้ ˜CA ⋅ ˜CB = 0 และ |˜CA| = แลว้ รปู สามเหลี่ยม ABC มีพ้ืนทเี่ ท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 2 5 ตารางหน่วย 2. 10 ตารางหนว่ ย 3. 5 ตารางหนว่ ย 4. 10 ตารางหน่วย 15. กําหนดให้ z1 , z2 , z3 เปน็ รากของสมการ (1−i) z3 = 2 โดยท่ี z1 , z2 , z3 อยใู่ น ควอดรันต์ที่ 1 , 2 , 3 ตามลําดบั z1z3 + z22 มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −2 i 2. 2 i 3. −2 4. 2 16. กาํ หนดให้ a , b เปน็ จํานวนจรงิ และ f (x) = x4 − 6x3+ 15x2+ ax + b ถา้ จํานวนเชิงซ้อน 1 + i และ 2 + i เป็นรากของ f (x) แล้ว a + b มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −10 2. −8 3. 8 4. 10 17. lim 1⎡ 1+x − 1−x − (1+x)(1−x2) + (1−x)(1−x2)⎤⎦ มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ x→0 x3 ⎣ 3. 1 4. 1 2. 1 1. 0 4 2 18. กําหนดให้ f และ g เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งที่จดุ x = 4 และ ⎧ f (x) ⎛ x−4 ⎞ ,x ≠ 4 ⎪ ⎜ ⎟ g (x) = ⎨⎝ x −2 ⎠ โดยที่ k เป็นคา่ คงตวั ⎪ 4 − kx2 ,x = 4 ⎩ ถา้ กราฟของ f ตัดเส้นตรง y = x + 1 ท่ีจุดซึ่ง x = 4 แลว้ k อยู่ในช่วงใดตอ่ ไปนี้ 1. (−3, − 1) 2. (−2, 0) 3. (−1, 1) 4. (0, 2) 19. กาํ หนดให้ f เป็นฟงั ก์ชันซง่ึ f′′(x) = 2x + 1 ถา้ ค่าสูงสุดสัมพทั ธข์ อง f เทา่ กับ 1 ที่ x = −1 2 แลว้ คา่ ตํา่ สดุ สัมพทั ธข์ อง f เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −1 2. − 1 3. 0 4. 1 3 3 20. ในการจัดไปทศั นศกึ ษาคร้ังหนึง่ ผู้จัดคิดคา่ บริการเปน็ เง่อื นไขดงั น้ี ถ้ามีผ้รู ว่ มเดินทาง 50 คน ผ้จู ดั จะคดิ ค่าบริการอัตราหน่งึ ถา้ มีผูร้ ว่ มเดนิ ทาง 51 คน คา่ บริการจะลดลงคนละ 2 บาท ถา้ มีผู้รว่ มเดินทาง 52 คน คา่ บริการจะลดลงคนละ 4 บาท ถ้ามีผรู้ ่วมเดนิ ทาง 53 คน คา่ บรกิ ารจะลดลงคนละ 6 บาท เปน็ เชน่ นี้เรื่อยไป ปรากฏว่า ถ้ามผี ูร้ ่วมเดินทาง 90 คน แล้วจะเกบ็ คา่ บรกิ ารไดม้ ากที่สุด ถา้ มีผูร้ ว่ มเดนิ ทาง 100 คน จะเกบ็ ค่าบริการไดท้ ัง้ หมดเปน็ เงินเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 16,000 บาท 2. 16,200 บาท 3. 16,400 บาท 4. 16,600 บาท Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 496 ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 21. ถา้ ความชันของเสน้ โค้ง y = f (x) ทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เทา่ กับ x2− 3x + 2 และ 0 ∫2 f (x) dx = 4 แล้ว จดุ (x, y) ในข้อใดต่อไปนอ้ี ยบู่ นเส้นโค้ง y = f (x) 1. (0, 4) 2. (0, − 4) 3. (1, 13) 4. (1, − 13) 3 3 4 4 22. กาํ หนดให้ A เปน็ บริเวณในระนาบ xy ซึ่งปิดลอ้ มดว้ ยพาราโบลา y = x2− 7 และแกน x จาก x = 0 ถึง x = a เมือ่ a เป็นค่าคงตัว ถ้าพน้ื ทขี่ องบรเิ วณ A ส่วนท่อี ยเู่ หนอื แกน x มากกวา่ พน้ื ท่ขี องบรเิ วณ A ส่วนทอ่ี ยูใ่ ต้แกน x เทา่ กับ 2a ตารางหน่วย แล้ว a คอื จาํ นวนในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 2 3 2. 3 3 3. 5 4. 7 23. มคี นงานหญงิ 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซงึ่ มีนายดาํ รวมอยู่ดว้ ย ถ้าจะเลอื กคนงาน 4 คน ไปทาํ งานท่ตี ่างกัน 4 ประเภท โดยใหเ้ ปน็ หญิง 2 คน เป็นชาย 2 คน และให้มนี ายดาํ อยูใ่ น 4 คนน้ี ด้วย จาํ นวนวธิ กี ารเลือกคนงานดงั กล่าวเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1920 วธิ ี 2. 2400 วธิ ี 3. 2520 วิธี 4. 2880 วิธี 24. นายกวแี ละนายขจรได้รบั เชิญไปงานเลยี้ ง ซึ่งมผี ไู้ ด้รบั เชิญทงั้ หมด 20 คน เจ้าภาพจดั (โดยสมุ่ ) ให้ผู้รว่ มงานนัง่ โตะ๊ กลม 2 โตะ๊ ๆ ละ 10 ท่นี ่งั ความน่าจะเป็นที่นายกวีและนายขจรจะได้นงั่ ตดิ กนั ในโต๊ะตัวเดยี วกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 2 4. 4 19 19 9 9 25. จากการศกึ ษาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งยอดขาย ( y ) (หนว่ ยเปน็ หมน่ื บาท) ของพนกั งานขาย ประกนั ในบรษิ ัทประกนั ภัยแห่งหนึ่งกบั ประสบการณ์การขาย ( x ) (หนว่ ยเป็นปี) ของพนักงานขาย โดยเก็บขอ้ มลู จากพนกั งานขายประกนั 8 คน ได้ขอ้ มูลดังน้ี , , ,8 8 8 8 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ∑ xi = 48 ∑ yi = 41 ∑ xiyi = 286 ∑ x2i = 348 i=1 i=1 i=1 i=1 ก. ถา้ พนกั งานขายประกนั คนหน่ึงมปี ระสบการณก์ ารขาย 6 ปี ยอดขายโดยประมาณของ พนกั งานคนนเี้ ทา่ กบั 51, 250 บาท ข. ประสบการณ์การขายเพิ่มขน้ึ 1 ปี ทําใหย้ อดขายประกันเพม่ิ ข้ึน 11, 250 บาท ข้อใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 26. ในการสอบครัง้ หนง่ึ มผี ้เู ข้าสอบจาํ นวนหน่งึ ซึ่งมีนายคณติ และนายวทิ ยารวมอยู่ด้วย โดยที่ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของผลการสอบเทา่ กับ 60 คะแนน และสัมประสิทธ์ิของการแปรผนั เทา่ กบั 0.25 นายคณติ สอบไดม้ ากกวา่ นายวิทยา 9 คะแนน และผลบวกของค่ามาตรฐานของคะแนนของคนทั้ง สองเท่ากบั 1.5 ถา้ ให้ A = คา่ มาตรฐานของคะแนนของนายคณติ และ B = คะแนนของนายวทิ ยา แลว้ A และ B เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. A = 0.45 , B = 65.75 คะแนน 2. A = 0.45 , B = 66 คะแนน 3. A = 1.05 , B = 66.75 คะแนน 4. A = 1.05 , B = 68 คะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 497 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.46 27. การแจกแจงความสูงของนักเรยี นกลมุ่ หน่งึ เป็นการแจกแจงปกติ ถา้ นกั เรยี นที่มคี วามสงู มากกวา่ 149.4 เซนตเิ มตร มีอยู่ 3% และนักเรียนที่มีความสงู นอ้ ยกว่าฐานนิยมแต่มากกว่า 136.5 เซนตเิ มตร มีอยู่ 25.8% แลว้ ข้อใดต่อไปนีค้ ือฐานนิยม และความแปรปรวนของความสูงของ นกั เรยี นกลมุ่ น้ีตามลาํ ดับ (หนว่ ยเปน็ เซนติเมตร) กาํ หนดตารางแสดงพ้ืนทใี่ ต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานทอ่ี ยู่ระหวา่ ง 0 ถึง z z 0.3 0.7 1.49 1.88 พนื้ ท่ี 0.1179 0.2580 0.4139 0.4700 1. 144.4 , 5 2. 144.4 , 25 3. 140 , 5 4. 140 , 25 28. ร้านสขุ สวัสด์ิจาํ หน่ายเสือ้ นกั เรยี นย่ีห้อหนึง่ โดยที่ราคาของเสือ้ นักเรียนในปี 2544 และ 2545 เปน็ ดังนี้ ขนาดเสื้อนกั เรียน ราคา (บาท) 2544 2545 เล็ก 100 105 กลาง 115 125 ใหญ่ 125 130 ถ้าดชั นรี าคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เทียบกบั พ.ศ. 2543 เท่ากับ 1.19 แล้ว ดชั นรี าคาอยา่ งง่ายแบบใชร้ าคารวมของ พ.ศ. 2545 เทียบกบั พ.ศ. 2543 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1.06 2. 1.12 3. 1.16 4. 1.26 เฉลยคาํ ตอบ ตอนที่ 1 (1) 5.5 (2) 2.25 (3) 243 (4) 8 (5) 18 (6) 7 (7) 0.48 (8) 24.5 ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 1 (10) 4 (11) 1 (12) 1 (13) 4 (14) 3 (15) 1 (16) 2 (17) 3 (18) 2 (19) 4 (20) 1 (21) 1 (22) 2 (23) 3 (24) 2 (25) 2 (26) 3 (27) 4 (28) 4 เฉลยวิธีคดิ ตอนที่ 1 = 2 sin B(1 − sin2 B) + (1 − 2 sin2 B)(sin B) (1) A; เนอ่ื งจากเปน็ บวกแนน่ อนทั้งสองขา้ ง จึงยก กําลงั สองได้ เปน็ x2 > (x − 1)2 แลว้ ย้ายมาลบกัน = 3 sin B − 4 sin3 B ดังนน้ั ในขอ้ นถ้ี าม 4 sin 3B x2 − (x − 1)2 > 0 → (x − x + 1)(x + x − 1) > 0 = 4 ⎢⎣⎡3 (3) − 4 (3)3 ⎤ = 9 = 2.25 ตอบ 4 4 ⎥⎦ 4 → 2x − 1 > 0 ∴ A = (1 , ∞) (3) อนกุ รมเลขคณติ ; 2 log9(3x − 2) − log9 3 = log9(3x + 16) − log9(3x − 2) B; เขียนเสน้ จาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ (−3, −1) ∪ [5, ∞) 3x − 2 3x + 16 3 3x − 2 ดงั นนั้ A − B = (1 , 5) → 1 + 5 = 5.5 ตอบ ให้→ = → 3x = A 22 จะได้ (A − 2)2 = 3(A + 16) → A2 − 7A − 44 = 0 (2) กฎของ sine; sin B = sin 30° → sin B = 3 32 4 → (A − 11)(A + 4) = 0 → 3x = 11 เทา่ นน้ั พิสจู น์ sin 3B = sin(2B + B) ดังนนั้ อนกุ รมนคี้ อื log9 3 + log9 9 + log9 27 = sin 2B cos B + cos 2B sin B = 0.5 + 1 + 1.5 + … → ผลบวก 4 พจนแ์ รก = (2 sin B cos B)(cos B) + (1 − 2 sin2 B)(sin B) S = 0.5 + 1 + 1.5 + 2 = 5 → ตอบ 35 = 243 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 498 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.46 (4) นาํ สองสมการมาลบกนั จะได้ (2) ก. (p ∧ ~ r) ∧ q เปน็ จริง, 3B = ⎡3 3⎤ → B = ⎡1 1⎤ → B =7−3=4 (p ∧ q) เป็นจริง ดงั น้ัน p จรงิ , r เทจ็ , q จริง ⎢⎣9 21⎦⎥ ⎢⎣3 7⎥⎦ จะได้ (p ∨ q) → r ≡ T → F ≡ เทจ็ ∴ ก. ผดิ จาก ⎡2 1 ⎤ A −B = ⎣⎢−1 −5⎥⎦ ข. q ∨ ~ r เท็จ แสดงวา่ q เทจ็ , r จริง → A = ⎡2 1 ⎤ + ⎡1 1⎤ = ⎡3 2⎤ จะได้ […] → T ≡ T เสมอ ข. ผดิ ตอบ ขอ้ 4. ⎣⎢−1 −5⎥⎦ ⎢⎣3 7⎥⎦ ⎢⎣2 2⎥⎦ (3) เหตุ (2) จดั รูปใหมไ่ ดเ้ ปน็ ~(r ∧ s) → A =6−4 =2 และเหตุ (1) จัดรูปได้เปน็ ~(r ∧ s) → (~ p ∧ ~ q) ตอบ 22 ⋅ A −1 ⋅ B = 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 8 2 ดงั นนั้ เมื่อนาํ เหตมุ ารวมกนั จะไดผ้ ลเปน็ ~ p ∧ ~ q (5) 7 ตอบ ข้อ 3. (0, 6) → P = 12 (4) 16 = 8 + 14 − ◊ ∴ ◊ = 6 (4, 2) → P = 16 6 (4,3) ดังนน้ั ได้ n(A ∩ B ∩ C ') = 4 ดังรปู (4,2) (0, 7) → P = 14 O 4 A2 4 B (4, 3) → P = 18 →u= 42 + 32 = 5 02 ∴ Pmax = 18 ตอบ 3C (6) u = 4 i + 3 j ∴ v =5 ดังนน้ั u + v = 52 + 52 + 2u ⋅ v = 8 ตอ้ งการ n(A ∩ B) × n(C − A) มากทสี่ ุด แต่ n(A ∩ B) = 6 เทา่ นน้ั (เปล่ียนไมไ่ ด)้ จะได้ u ⋅ v = 7 ตอบ แสดงวา่ ต้องพยายามจดั ให้ n(C − A) มากทส่ี ดุ (7) การทผ่ี ลคณู เปน็ จาํ นวนคู่ แสดงวา่ ตอ้ งมีเลขคู่ ดงั นนั้ ถา้ n(C) = 5 ก็เอา 3 ไว้ในส่วนทแี่ รเงา อยา่ งนอ้ ย 1 ใบ ... การท่ผี ลบวกเป็นจาํ นวนค่ี แสดง n(A) = 8 ก็เอา 2 ไว้นอกสดุ ดังรปู วา่ ตอ้ งมีเลขคี่ 1 หรอื 3 ใบ จะได้ n(C − A) = 3 และ ตอบ 18 เพราะฉะนั้นมี 2 กรณีคอื คู่ 3 คี่ 1 และ คู่ 1 ค่ี 3 (5) x − 12 − 1 < 50 → −50 < x − 12 − 1 < 50 จะได้ความน่าจะเปน็ ⎢⎣⎡⎝⎜⎛53⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛61⎠⎞⎟ + ⎝⎜⎛51⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜63⎠⎞⎟⎦⎥⎤ ÷ ⎝⎜⎛141⎠⎞⎟ = 60 + 100 ≈ 0.48 ตอบ → −49 < x − 12 < 51 → − 51 < x − 1 < 51 330 → 1 − 51 < x < 1 + 51 (8) Q1 = 18.5 = ขอบของชน้ั แสดงว่า a : (2 + 3 + 6 + 4) = 1 : 3 → −6 กว่า < x < 8 กวา่ ∴ S มจี ํานวนเต็มคือ -6, -5, -4,…, 6, 7, 8 → 3a = 2 + 3 + 6 + 4 → a = 5 รวม 15 จาํ นวน ตอบ มัธยฐานอยู่ตาํ แหนง่ ที่ 20 = 10 เปน็ ขอบพอดี (6) จาก g−1(x) = x + 1 → g(x) = 3x − 1 2 3 เช่นกนั ∴ Med = 24.5 คะแนน ตอบ → (gof)(x) = 3f(x) − 1 แตโ่ จทยบ์ อกวา่ ตอนที่ 2 (gof)(x) = 2[(f(x)]2 + 2f(x) − 4 (1) คาํ วา่ “ม”ี x ซึ่ง f(x) = x ดงั นน้ั 2[(f(x)]2 + 2f(x) − 4 = 3f(x) − 1 แสดงวา่ มี f(1) = 1 หรอื f(2) = 2 ก็ได้ → (2f(x) − 3)(f(x) + 1) = 0 → f(x) = 3 , −1 นาํ จํานวนแบบมาบวกกนั เลยทนั ทไี มไ่ ด้ เพราะจะมี 2 บางแบบท่นี บั ซาํ้ เราตอ้ งใชว้ ิธเี หมอื นเรอ่ื งเซต แตใ่ ห้ f(x) < 0 ดงั นนั้ f(x) = −1 เท่านัน้ ก. (gof)(x) = g(−1) = −4 เปน็ ฟงั ก์ชนั คงตวั ถกู คิด f(1) = 1 ; มีอยู่ 1 × 9 = 9 แบบ ข. f(100) + g(100) = (−1) + (300 − 1) = 298 ผิด ตอบ ขอ้ 2. คดิ f(2) = 2 ; มีอยู่ 1 × 9 = 9 แบบ คิด f(1) = 1 และ f(2) = 2 ; มอี ยู่ 1 × 1 = 1 แบบ 81 8 f(1)=1 f(2)=2 ∴ ตอบ 9 + 9 − 1 = 17 แบบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 499 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.46 (7) ก. จาก y = −(x − 1)2 เมอื่ x < 1 → y < 0 (10) แสดงวา่ จดุ โฟกสั คอื (−3, 2) กบั (5, 2) จะไดอ้ นิ เวอรส์ เปน็ x = −(y − 1)2 → −x = (y − 1)2 จุดศูนยก์ ลาง (h, k) = (1, 2) ระยะโฟกัส c = 4 , → ± −x = y − 1 วงรตี ามแกน x ...คําวา่ 12 หนว่ ย แสดงวา่ a = 6 แต่ y < 1 ทาํ ใหไ้ ด้ − −x เท่านัน้ ∴ จดุ ยอด A(−5, 2) B(7, 2) − −x = y − 1 → y = 1 − −x สมการวงรคี อื (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 62 62 − 42 ซ่ึง x < 0 เสมอ สามารถเขยี น −x เปน็ x ได้ หาจดุ ตดั แกน y; แทน x = 0 → f−1(x) = 1 − x ถูก → 1 + (y − 2)2 = 1 → (y − 2)2 = 175 ข. หา f−1(− 1) → − 1 = −(x − 1)2 36 20 9 44 → y =2±5 7 D → x − 1 = ± 1 → x = 1 เทา่ นน้ั 22 3 A (0,2) B ∴ f−1(− 1) = 1 C 42 ต่อมา หา g−1(1) → 1 = 1− x → x = 3 ถกู ∴ พน้ื ที่ ABCD ซึ่งเป็น รปู วา่ ว 22 4 ตอบ ขอ้ 1. = 1 × ผลคณู เสน้ ทแยงมมุ (8) x2 − y2 − 2x + 6y < 8 2 → (x2 − 2x + 1) − (y2 − 6y + 9) < 8 + 1 − 9 = 1 × 12 × 10 7 = 20 7 ตร.หนว่ ย 23 → (x − 1)2 − (y − 3)2 < 0 [หมายเหตุ ทจี่ รงิ ต้องเรียกวา่ ACBD ] ดา้ นขวาเปน็ 0 จึงไม่ใช่ไฮเพอร์โบลา แตเ่ ปน็ เพยี ง เสน้ ตรงสองเสน้ ตั้งฉากกนั (11) mAB = mCD → 1 − (−4) = −2 − 3 คอื (x − 1 − y + 3)(x − 1 + y − 3) < 0 a − (−5) 1−2 → (x − y + 2)(x + y − 4) < 0 → a = −4 วาดกราฟแรเงาได้ดังภาพ x-y+2=0 mAC = 1 − (−2) = −3 ∴ Dr = [0, 4] ก. ผดิ −4 − 1 5 5 (3,5) และถา้ (3, c) ∈ r แลว้ 4 จุดกงึ่ กลาง AC คอื (−4 + 1 , 1+(−2)) = (− 3 , − 1) c ไม่จําเปน็ ตอ้ งเปน็ 5 2 (4,0) 22 22 ดังนนั้ ข. ผดิ ตอบ ข้อ 4. 3 x+y-4=0 O ดงั นน้ั สมการ L คอื y+ 1 = 5 ⎛ x + 3⎞ 2 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ → 5x − 3y + 6 = 0 ตอบ (9) ให้ arccos x = A, arcsin x = B (12) กรณแี รก 4x − 2 > 0 และ log(1 − x2) > 0 จะได้ A − B = π → ใส่ sin สองขา้ ง; 4x > 2 1 − x2 > 1 6 x> 1 x2 < 0 2 sin A cos B − cos A sin B = 1 ซง่ึ x2 < 0 นนั้ เปน็ ไปไมไ่ ด้ กรณีน้ไี ม่มคี ําตอบ 2 กรณที ่ีสอง 4x − 2 < 0 และ log(1 − x2) < 0 → 1 − x2 ⋅ 1 − x2 − x ⋅ x = 1 2 4x < 2 1 − x2 < 1 → 1 − 2x2 = 1 → x2 = 1 → x = ± 1 x< 1 x2 > 0 24 2 2 ตรวจคาํ ตอบพบว่า x = 1 เทา่ นัน้ ถงึ จะถูก จะไดค้ าํ ตอบกรณีน้ีเปน็ ช่วง (−∞, 1/2) − {0} 2 แต่อยา่ ลืมเงือ่ นไข ภายใน log ต้องมากกวา่ ศูนย์ ∴ arccos 1 − arctan 1 = π − π = π ตอบ 2 3 4 12 → 1 − x2 > 0 ∴ −1 < x < 1 ตอบ (−1, 1) − {0} คือข้อ 1. 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 500 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.46 (13) (18) f ตดั เสน้ ตรง y = x + 1 ท่ี x = 4 แสดงว่า f(4) = 5 A = x2(x+2)+x(x+1)2 −x(x+1)2 +(x+2)(x+1) = 0 → g ตอ่ เนอื่ งที่ x = 4 แสดงวา่ → x2(x + 2) + (x + 2)(x + 1) = 0 lim g(x) = g(4) → f(4) ⋅ ( 4 + 2) = 4 − k(4)2 → (x + 2)(x2 + x + 1) = 0 → x = −2 เทา่ นนั้ x→4 ∴ B = ⎡−2 −1⎤ → 5(4) = 4 − 16k → k = −1 ตอบ ข้อ 2. ⎢⎣−4 3 ⎦⎥ (19) คา่ สูงสุดคอื 1 ที่ x = −1 และ → adj B = ⎡d −b⎤ = ⎡3 1 ⎤ ตอบ 2 ⎣⎢−c a ⎥⎦ ⎢⎣4 −2⎦⎥ แสดงว่า f(−1) = 1 และ f′(−1) = 0 (14) ข้อนวี้ าดรปู แล้วคดิ จากตรโี กณมิตจิ ะงา่ ย 2 เริ่มจากวาดเสน้ ตรง L; y = 2x y=2x → f′(x) = x2 + x + C1 แทนคา่ -1 พบวา่ CO ตั้งฉากกบั L พอดี จะได้ 0 = 1 − 1 + C1 → C1 = 0 A แแโ(→จmสลทะCด|ยOโง˜จบ์Cว=ทา่อOยก−|˜บ์Cว=2อา่1Aก,˜4Cmวตา่AL+ง้ั |ฉ⋅=1˜C˜าC2ก=AB)ก|บั =5=0˜C|B˜CBC| → f(x) = x3 + x2 + C2 แทนคา่ -1 OAC 3 2 O B จะได้ 1 = − 1 + 1 + C2 → C2 = 1 2 3 2 3 แสดงว่า หาคา่ ตาํ่ สดุ ; f′(x) = 0 → x (x + 1) = 0 กดบังั นOนั้ B|C˜OเAป|็น =Δ|ห˜OนBา้ |จว่ั = มมุ , 45° , → x = 0, − 1 แตท่ ่ี -1 เป็นจดุ สูงสุดไปแลว้ 5 45° 90° ∴ จดุ ตาํ่ สดุ เกดิ ที่ x = 0 และคา่ ตา่ํ สดุ เทา่ กบั จะได้ พืน้ ท่ี Δ ABC = 1 |˜CO ||˜AB | f(0) = C2 = 1 ตอบ 3 (20) สมมตเิ มอื่ มี 50 คน คดิ คนละ a บาท 2 = 1 ( 5)(2 5) = 5 ตร.หนว่ ย ตอบ และให้ y = คา่ บรกิ ารท่ไี ด้ เมอื่ มคี น 50 + x คน 2 จะได้วา่ y = (50 + x)(a − 2x) (15) z3 = 2 = 2∠0 = 1∠(−315°) 1 − i 2∠315° ค่าสูงสดุ ของ y เกดิ ที่ 90 คน (x = 40) ดงั นนั้ z = 1∠(−105°) ← Q3 → y′ = (50 + x)(−2) + (a − 2x)(1) = 0 1∠15° ← Q1 และ 1∠135° ← Q2 → −100 − 4x + a = 0 → แทน x ดว้ ย 40 จะได้ ∴ z1z3 + z22 = 1∠(−90°) + 1∠270° a = 260 บาท โจทยถ์ ามคา่ บรกิ ารสาํ หรับ 100 คน คอื y = 100 (260 − 2 (50)) = 16,000 บาท ตอบ = − i − i = −2 i ตอบ (21) f′(x) = x2 − 3x + 2 (16) แสดงวา่ → f(x) = x3 − 3x2 + 2x + C f(x) = (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x − 2 − i)(x − 2 + i) 32 = (x2 − 2x + 2)(x2 − 4x + 5) 2 ⎛ x4 x3 ⎞ 2 2 Cx ⎟ 0 = x4 − 6x3 + 15x2 − 18x + 10 → ∫ f(x) dx = ⎜ 12 − + x2 + ⎝ ตอบ −18 + 10 = −8 0 ⎠ (17) มอง 1 + x = A, 1 − x = B จะได้ = 4 − 4 + 4 + 2C = 4 → C = 4 33 lim 1 (A − B − AAB + BBA) ∴ f(0) = 4 ตอบ ขอ้ 1. x3 3 x→0 = lim 1 [A (1 − AB) − B (1 − AB)] x3 x→0 = lim 1 (A − B)(1 − AB) x3 x→0 = lim 1 ⎛ A2 − B2 ⎞ ⎛ 1 − A2B2 ⎞ x3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ x→0 ⎝ A + B ⎠⎝ 1+ AB ⎠ = lim 1 ⎛ 2x ⎞ ⎛ x2 ⎞ x3 ⎜⎝ A B ⎠⎟ ⎜ ⎟ x→0 + ⎝ 1 + AB ⎠ = lim 2 = 2 = 1 ตอบ x → 0 (A + B)(1+ AB) (2)(2) 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)