MATH ebook

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 551 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 63. ถา้ ⎡1 2 0⎤ ⎡3 x⎤ = ⎡5 7⎤ แลว้ x+y−z จะมคี ่าเท่าใด ⎣⎢1 0 2⎦⎥ ⎣⎢⎢ z1 y1⎥⎥⎦ ⎢⎣5 5⎥⎦ 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 64. ถา้ y = lim 4 + 3n(2n + 1) + 9n3(3n + 1) จงหาว่า y มคี า่ เทา่ ใด 1 − 3 (n + 1) + 9n3(n + 1) n→∞ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 65. สดุ ายนื อยู่ทางทิศใตข้ องเสาธง มองดยู อดเสาธงเปน็ มุมเงย 60 องศา เมอื่ สุดาเดนิ ตรงไปทาง ทิศตะวันตกเป็นระยะทาง 10 เมตร มองดยู อดเสาธงเป็นมุมเงย 45 องศา จงหาวา่ เสาธงสูงกว่า ระดับสายตาของสุดากี่เมตร 1. 7.1 เมตร 2. 10 เมตร 3. 12.2 เมตร 4. 23.7 เมตร 66. ถ้า u = x3 − 3.63 x + 1.362 , 0 < x < 3 ค่านอ้ ยท่ีสุดของ u คอื อะไร 1. −1.362 2. −1.300 3. 1.100 4. 1.362 67. บริษทั แหง่ หนง่ึ จาํ หนา่ ยสนิ ค้า 3 ชนดิ ตอ้ งการเปรียบเทียบการขายของพนกั งาน 4 คน โดยมี ขอ้ มูลดงั แสดงใน พนักงาน จํานวนสินคา้ ท่ขี ายได้ ตาราง ผทู้ ข่ี ายเกง่ ทีส่ ดุ คอื ใคร คนที่ 1 ชนิดท่ี 1 ชนดิ ท่ี 2 ชนดิ ท่ี 3 1. คนที่ 1 คนท่ี 2 2. คนท่ี 2 คนที่ 3 859 3. คนที่ 3 คนท่ี 4 778 4. คนท่ี 4 886 895 คา่ เฉลยี่ เลขคณติ 787 ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1 1 2 68. นาย ก, ข, ค และ ง ยืนอยู่ทต่ี ําแหนง่ (3, 5), (2, 4), (2, 3) และ (4, 2) ตามลาํ ดบั โดยหนว่ ย เปน็ กโิ ลเมตร ถ้าทง้ั สีค่ นออกเดินทางพร้อมกันตรงไปยงั จดุ หมาย จ ท่ี (3, 10) ด้วยความเร็ว 25 , 38 , 49 และ 64 กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมงตามลาํ ดับ ผทู้ ไี่ ปถงึ จดุ หมายหลงั สุดคือใคร 1. นาย ก 2. นาย ข 3. นาย ค 4. นาย ง ปี 2537 69. ถ้าค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของส่วนสงู ของนักเรียนในโรงเรยี นแหง่ หนึง่ เปน็ 165 เซนติเมตร โดยมี จาํ นวนนกั เรยี นทั้งส้นิ 200 คน ต่อมาปรากฏว่ามีนักเรยี นซึ่งมีสว่ นสูง 150 เซนตเิ มตร จาํ นวน 20 คนได้ลาออกไป ถามว่าคา่ เฉล่ียเลขคณิตของสว่ นสงู ของนักเรยี นโรงเรียนนจ้ี ะเปน็ เท่าไร หลังจาก นกั เรียนกลุม่ ดงั กล่าวได้ลาออกไป 1. 167.67 ซม. 2. 166.67 ซม. 3. 177.67 ซม. 4. 176.67 ซม. 70. จงหาผลคณู เชงิ สเกลาร์ u ⋅ n ระหว่างเวกเตอร์ u จากจุด A (6, 4) ไปยังจดุ B(−2, −2) กับ เวกเตอร์ n ซง่ึ เปน็ เวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ย (unit vector) ทมี่ ีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอร์จากจุด C(−1, 2) ไปยังจดุ D (2, 6) 1. −4.8 2. −48 3. −9.6 4. 9.6 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 552 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 71. AB และ CD เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลมวงเดียว ถ้าจุด A , B และ C มพี กิ ดั ดงั น้ี C(2.268,1) A(5,1.732) A (5, 1.732) , B (3, −1.732) และ C (2.268, 1) ให้หาพกิ ัดของจุด D 1. (5.628, −1) 2. (5.732, −1) D 3. (6.628, −1) 4. (6.732, −1) B(3,-1.732) 72. จากการศึกษาถึงความสัมพันธร์ ะหว่างแรงและความเร่ง ได้ขอ้ มูลดงั นี้ แรง (N) 1234 ความเร่ง (m/s2) 0.1 0.2 0.6 0.8 กําหนดให้วิเคราะหค์ วามสัมพันธข์ องแรง (F ) และความเร่ง ( a ) ในเชงิ สมการเสน้ ตรง จงทํานายค่า ความเรง่ เมอื่ แรง F = 3.5 N 4. 0.700 m/s2 1. 0.665 m/s2 2. 0.675 m/s2 3. 0.680 m/s2 73. กําหนดนยิ ามดังน้ี เมือ่ A เปน็ เมตรกิ ซ์จัตุรัส n×n ใดๆ แล้ว dA = ⎡d (aij)⎤ dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ n×n ถ้า A = ⎡x3 x2 + x/2⎤ B = ⎡ 1⎤ C = ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣2⎥⎦ ⎣⎢2⎥⎦ ⎣ 2 x ⎦ จงหาผลรวมของคา่ x ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ dA ⋅ B = C dx 1. 0 2. −1/3 3. −4/3 4. −1 74. กาํ หนดให้ z คือจาํ นวนเชิงซอ้ น โดยที่ z = x + y i จงหาความชันของเส้นโคง้ z − 1 = 2 ที่ จุด (x, y) ใดๆ 1. − y 2. 1 − x 3. 1 + y 4. 1 − y x y x x 75. กําหนดให้ log105 = A จงหาคา่ ของ 2 + log101.25 1. A 2. 2A 3. 3A 4. 4A 76. นาย ก และนาย ข ออกเดินทางจากจุดเรม่ิ ตน้ เดียวกัน นาย ก เดนิ ด้วยความเรว็ 2 กโิ ลเมตร ต่อช่วั โมง มุ่งหนา้ ไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉียงไปทางเหนอื เลก็ น้อยเป็นมุม 30° กับทศิ ตะวันออก นาย ข เดินดว้ ยความเร็ว 4 กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมงไปทางทศิ ใต้ เม่อื เวลาผา่ นไป 90 นาที นาย ก และนาย ข จะอยู่ห่างกันเท่าใด 1. 3 7 กม. 2. 3 3 กม. 3. 45 + 18 3 กม. 4. 45 − 18 3 กม. 77. กําหนดให้ ˜AB = 3 i + j และ ˜AC = 2 i + 3 j จงหาขนาดของมุม BAC (กําหนด 1.3 = 1.14 ) 1. 30° 2. 38° 3. 45° 4. 60° 78. กาํ หนดให้ M = 2x + 3y จงหาค่า M สงู สุดตามเงอ่ื นไขต่อไปนี้ x + y > 4 , 5x + 2.5y < 25 , 0 < x < 5 และ 0 < y < 5 1. 15 2. 20 3. 21 4. 25 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 553 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 79. จงหาขนาดของพ้ืนท่ีท้ังหมดที่แรเงาในรูป y 1. 18 27 2. 36 y = x2− 9 3. 54 4. 72 O 6x -9 80. หากมีโปรแกรม 2 โปรแกรมสามารถสง่ั ใหค้ อมพวิ เตอร์คํานวณเพื่อแก้ปัญหาชนิดเดยี วกัน แต่ ดว้ ยวธิ กี ารทตี่ ่างกนั การเลอื กโปรแกรมที่ดีกวา่ ควรดูความสัมพนั ธร์ ะหว่างข้อมลู กับเวลาท่ี คอมพิวเตอรใ์ ช้ในการคาํ นวณ ถ้าจํานวนข้อมูลมากๆ แลว้ ใชเ้ วลาน้อยๆ ความสัมพนั ธน์ นั้ จะช้ีใหเ้ ห็น วา่ โปรแกรมหน่ึงดกี วา่ อีกโปรแกรมหนงึ่ กาํ หนดให้ f แทนความสมั พนั ธ์ n ∈ I+ แทนจาํ นวนข้อมูล, t ∈ R+ แทนเวลาท่ีใช้คาํ นวณ ข้อใดต่อไปนเ้ี ป็นขอ้ ทีถ่ กู ตอ้ ง (ใหเ้ ปรียบเทยี บดว้ ยจํานวนขอ้ มูลที่เทา่ กนั ) 1. f = {(n, t) | t = n } ดีกวา่ f = {(n, t) | t = 100 } 2. f = {(n, t) | t = n } ดกี ว่า f = {(n, t) | t = log n2 } 3. f = {(n, t) | t = 100 n + 5 } ดีกวา่ f = {(n, t) | t = n2 } 4. f = {(n, t) | t = 2 n } ดกี วา่ f = {(n, t) | t = n2 } 81. กาํ หนดให้เมตริกซ์ A = ⎢⎢⎢⎡csoins((ππ2 − θ) sin(π − θ) ⎥⎤ จะได้ det (A) มคี ่าเท่ากับ − θ) cos(2π − ⎥ ⎣2 θ)⎥ 2⎦ 3. cos 2(π − θ) 1. cos 2θ 2. sin 2θ 2 4. 1 + 2 cos2 θ 82. ข้อใดเป็นกราฟของ y = x + x 1. y 2. y 3. y 4. y xxxx 83. กําหนดนยิ าม d f (x) คอื การหาอนุพนั ธ์ของ f (x) เทียบกับ x แลว้ แทนคา่ x = a dx x = a และกาํ หนดให้ ,f1(x) = cos x f2(x) = arcsin x โดย 0 < f2(x) < π/2 ,f3(x) = e x f4(x) = ln x จงพิจารณาวา่ ข้อใดตอ่ ไปนผี้ ดิ 1. d f1(x) < d f2(x) x = 0.5 2. d f1(x) < d f4(x) x=1 dx dx dx dx x = 0.5 x=1 3. d f1(x) > d f3(x) x = 0.75 4. d f4(x) > d f4(x) x = cos π/6 dx dx dx dx x = 0.75 x = cos π/ 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 554 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 84. ถา้ A = lim 4n + 2n + 9n3(2n + 2) จงหาคา่ A 2n+1+ 5n3(n + 4) n→∞ 1. 0 2. ∞ 3. 1/2 4. 18/5 58 x 85. สมการของเสน้ กราฟอย่ใู นรปู แบบ y = ax2+ bx + c y 4. 0.6295 โดย a, b, c เปน็ ค่าคงที่ จงหาคา่ ความชนั ของเสน้ กราฟ 50 ที่จดุ x = 4 20 1. 11 2. 6.25 10 3. 5 4. 14 O ปี 2538 86. จงหาคา่ ของ (0.0981)1/5 โดยอาศยั ขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี ,log (0.0981) = −1.0083 log (9.81) = 0.9917 ,log (6.280) = 0.7979 log (6.285) = 0.7983 1. 0.6280 2. 0.6285 3. 0.6290 87. กาํ หนดให้ f (x) = 2x + 1 , g−1(x) = 3 x และ y = (g f)(x) 1 − 2x จงหาคา่ ของ dy 2. 0 3. 6 4. 12 dx x = 0 1. −4 88. กาํ หนดใหเ้ ซต S = {1, 2, 3, 4, 5} , A = ⎡a b⎤ และเวกเตอร์ x = ad i + bc j ⎣⎢c d⎥⎦ ถา้ P คือความน่าจะเปน็ ในการเลือกคา่ a, b, c และ d จากเซต S โดยท่ีค่าที่เลอื กสามารถซํา้ กัน ได้ และใหไ้ ด้ det(A) > x จงหาว่าค่า P นา่ จะอยใู่ นชว่ งคําตอบใด 1. [0, 0.1] 2. [0.1, 0.5] 3. [0.5, 0.9] 4. [0.9, 1] 89. จากการทดสอบมนุษยห์ ่นุ ยนต์ Super Girl I เก่ียวกบั เวลาทใี่ ช้ในการว่ิง และความเร็วในการวิ่ง ไดผ้ ลการทดสอบดังนี้ เวลาท่ีใชใ้ นการวง่ิ (หน่วยเป็นวนิ าที) : x x1 x2 … xn ความเร็วท่ีใชใ้ นการว่งิ (หนว่ ยเป็นเมตร/วนิ าที) : y y1 y2 … yn และ x = 53 , y = 109 โดยท่สี มการเสน้ ตรงซึ่งแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งเวลา ( x ) และ ความเร็ว ( y ) ผา่ นจุด (1, 5) จงทํานายความเรว็ ของหุ่นยนต์ Super Girl I เมอ่ื เวลาว่ิงผา่ นไป 20 วนิ าที 1. 43 m/s 2. 75 m/s 3. 89 m/s 4. 100 m/s 90. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ผลรวมของรากคาํ ตอบของอสมการ x − 6 + x + 4 > 6 − x เท่ากบั 0 ข. รากคําตอบทเ่ี ปน็ จํานวนจรงิ ของสมการ 3 ( x)x = x มี 2 ค่า 1. ขอ้ ก ถกู ขอ้ ข ผดิ 2. ขอ้ ก ผดิ ข้อ ข ถกู 3. ถกู ท้ัง ก และ ข 4. ผิดทั้ง ก และ ข Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 555 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 91. กําหนดให้ θ = arctan(3/4) จงหาค่าของ cos 2θ 1. 0.28 2. 0.48 3. 0.56 4. 0.96 92. ถ้า f (x) = x5+ 9x3 − 8x2 − 72 และ x = −1 + i 3 เป็นรากคําตอบหนึ่งของสมการ f (x) = 0 จงหาค่าผลรวมของรากคําตอบของสมการ f (x) = 0 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 93. ในระบบเลขฐาน 10 ทใ่ี ช้กันในปจั จบุ ัน หลักของตัวเลขถูกกาํ หนดโดย 10n เมอื่ n = 1 หมายถึงหลักหน่วย ( 1 ), เม่ือ n = 2 หมายถงึ หลักสบิ ( 10 ) ฯลฯ และคา่ ตัวเลขในแต่ละหลกั น้ัน คอื ผลคูณของคา่ หลัก เช่น 215 = 2 × 102 + 1 × 101 + 5 × 100 ดงั นน้ั ถ้าในระบบเลขฐาน 16 ซง่ึ นิยมใชใ้ นการเขียนโปรแกรมสั่งงานคอมพวิ เตอรม์ ีสัญลักษณท์ ีใ่ ชแ้ ทนคอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (โดยในทน่ี ี้ A = 10, B = 11, ..., F = 15 ในเลขฐาน 10 ตามลาํ ดบั ) ดงั นนั้ ตัวเลข 31B ในฐาน 16 จะมีค่าเทียบเทา่ กบั เลขฐาน 10 ในข้อใด 1. 768 2. 779 3. 795 4. 805 94. กาํ หนดให้ A = ⎡0 1⎤ และ λI = ⎡λ 0⎤ ⎣⎢−2 −2⎦⎥ ⎢⎣0 λ⎥⎦ จงหาคา่ ของ λ ซ่ึงเปน็ คา่ คงที่ใดๆ จากสมการ det(λI − A) = 0 1. −2 + 2 i, −2 − 2 i 2. −1 + i, −1 − i 3. −1 + 2 i, −1 − 2 i 4. −2 + i, −2 − i 95. สมการในข้อใดทเ่ี ป็นสมการของเส้นกาํ กบั (Asymptotes) ของสมการ 16y2 − 25x2 − 64y + 50x + 439 = 0 1. y = ± 4 (x − 1) − 2 2. y = ± 4 (x − 1) + 2 5 5 3. y = ± 5 (x − 1) − 2 4. y = ± 5 (x − 1) + 2 4 4 96. ชาวนาคนหนึ่งมลี วดหนามยาว 80 เมตร หากตอ้ งการใชล้ ้อมรั้ว ท่ดี ินรูปสี่เหลี่ยม จํานวน 3 แปลง ดังรปู ถามว่าพื้นที่รวมมากทีส่ ุด ท่ชี าวนาสามารถลอ้ มได้ เป็นเท่าไร 1. 192 ตร.ม. 2. 200 ตร.ม. 3. 220 ตร.ม. 4. 234 ตร.ม. 97. กาํ หนดให้ (g f)(x) = 1 และ f(x) = ln x3 + 2 จงหาคา่ ของ g(x) เมื่อ x < −1 ln x3 + 3 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 5−x 2 x−5 x+1 2 x+1 98. กําหนดให้ T = 25x + 22y จงหาคา่ T สงู สุดท่ีเป็นไปตามเง่อื นไขนี้ x + y < 5 , 3x + 2y < 12 , 3x + 6y < 18 , x > 0 และ 0 < y < 2 1. 94 2. 100 3. 108 4. 122 เ9ว9ก.เตถอา้ รเว์ ก˜AเตCอรก์ ับ˜AC˜AD= ˜AB + ˜BC จงหามมุ θ ระหวา่ ง y C(8,11) โดยจดุ A, B, C และ D มพี ิกดั ตามรปู B(1,9) 1. cos−1 24 2. cos−1 50 θ D(6,6) 25 50 x A(2,3) 3. cos−1 22 4. cos−1 43 25 50 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 556 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 100. กาํ หนด A = ⎡a11 a12 ⎤ , B = ⎡b11 b12 ⎤ , C = ⎡c11 c12 ⎤ ⎢⎣a21 a22 ⎥⎦ ⎣⎢b21 b22 ⎥⎦ ⎣⎢c21 c22 ⎦⎥ จงหาคา่ cij ซึ่งเป็นสมาชกิ ของ C ในแถวที่ i และหลกั ที่ j เมอ่ื C = (AB)T 1. aj1b1i + aj2b2i 2. ai1b1j + ai2b2j 3. aj1b1i + ai2b2j 4. ai1b1j + aj2b2i y 101. จงหาพนื้ ทแ่ี รเงาในรูป 1. 27 2. 36 y=3 x (9,9) 3. 54 4. 34 102. จงหาพ้นื ทีท่ ่ีล้อมรอบด้วยเสน้ กราฟของสมการ y − 1 = x − 2 และสมการ x = 0 (0,0) (5,0) x 1. 2 ตร.หนว่ ย 2. 4 ตร.หนว่ ย 3. 8 ตร.หนว่ ย 4. 16 ตร.หนว่ ย 103. นยิ าม ∪n A i = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An และ ∩n A i = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An i=1 i=1 กาํ หนดให้ An = [ − 10 , 8n − 2 ], n ∈ I+ จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ n 2n + 1 ก. ∞ = [− 10 , 4] ข. ∞ = [0, 8n − 2] ค. ∪ ∩i∞ ⎡∞ A i ⎤ − ∞∩ ∪i⎡ ∞ A ⎤ = ∅ n 2n + 1 =1 ⎣⎢i = n ⎦⎥ =1 ⎣⎢i =n i ⎦⎥ ∪ Ai ∩ Ai i=n i=n 1. มขี ้อความที่ถกู 1 ขอ้ 2. มขี ้อความท่ีถกู 2 ขอ้ 3. ถกู 3 ทั้งข้อความ 4. ผิดทกุ ข้อ ปี 2539 104. ในการก่อสรา้ งอาคารหลงั หน่งึ จะตอ้ งเสยี ค่าใช้จา่ ยคงทส่ี าํ หรบั การก่อสร้าง เท่ากับ 800 หน่วย และจะต้องเสยี คา่ ใชจ้ า่ ยสาํ หรบั การก่อสรา้ งอาคารชัน้ ที่ n เท่ากับ n หน่วย จงคาํ นวณหาวา่ จะต้องสงู กีช่ ้ัน จงึ จะเสยี ค่าใช้จา่ ยสําหรบั การกอ่ สรา้ งเฉลี่ยต่อชัน้ น้อยที่สดุ 1. 20 ชัน้ 2. 40 ชนั้ 3. 80 ช้นั 4. 160 ช้ัน 105. ให้ an = n สาํ หรับ n เปน็ เลขค่ี และ an = 2n/2 สาํ หรับ n เป็นเลขคู่ จงหาคา่ 100 ∑ an n=1 กาํ หนดให้ 225 = x และผลบวกของอนุกรมเลขคณติ Sn = n (a1 + an) 2 ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ Sn = a1(1 − rn) (1 − r) 1. 2500 + 2(x2 − 1) 2. 2500 + 2(x4 − 1) 4. 5050 + 2(x4 − 1) 3. 5050 + 2(x2 − 1) 106. จากความสัมพันธ์ระหวา่ ง f (x) กับ x ดังแสดงในกราฟ f(x) ต่อไปนี้ จงหาคา่ ของ 1 ∫3 1000 log [f (x)] dx 100 10 1. 1010 2. 200 1 3. 6 4. 4 0.10 1 2 3 x Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 557 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 107. โปรเจคชนั ของส่วนของเส้นตรง P1P2 บนแกน x ยาว 2 หน่วย และบนแกน y ยาว 3 หน่วย จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง P1P2 1. 13 2. 13 3. 5 4. 5 108. จงหาคา่ k ที่ทําใหร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ ต่อไปนี้ ไม่สามารถหาคําตอบได้ 2x − y + 3z = 1 −x + ky − z = 3 และ x − y + z = −2 1. −2 2. −1 3. 0 4. 1 109. เมอ่ื p(x) คือพหุนามทม่ี ีดกี รีเทา่ กับ 3 และสัมประสทิ ธ์ิของพหุนามนี้เป็นจํานวนเตม็ ถ้าหารพหนุ าม p(x) ด้วย (x − 2) แล้ว จะเหลอื เศษ 0 ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย (x + 1) แล้ว จะเหลือเศษ 0 ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x แลว้ จะเหลอื เศษ 8 จงหา p(x) วา่ จะเทา่ กบั ข้อใด 1. (x − 2)(x + 1)(x − 4) 2. (x − 2)(x + 1)(x + 4) 3. (x − 2)(x + 1)(x + 8) 4. (x − 2)(x + 1)(x − 8) 110. สามเหลย่ี ม ABC มีพ้นื ที่ 2 ตารางหน่วย AB มีความยาวเท่ากบั 1 หนว่ ย ถา้ BE มี A ความยาวเท่ากับ 0.8 หนว่ ย และเสน้ DE ขนานกับเส้น AC จงหาคา่ ความยาวของ BD E 1. 4.0 หน่วย 2. 3.2 หน่วย 3. 1.8 หน่วย 4. 1.6 หนว่ ย B DC 111. แผ่นโลหะรูปสี่เหล่ยี มจัตุรัสยาวดา้ นละ 16cm ตอ้ งการตดั มมุ ทง้ั ส่ี ออกเปน็ รปู สเี่ หล่ยี มจัตุรสั แล้วพับตามรอยเส้นประเพ่ือทาํ เปน็ กล่อง ดงั รปู กลอ่ งจะมีปริมาตรได้มากทส่ี ุดเทา่ ไร 1. 9812 cm3 2. 9218 cm3 27 27 3. 8291 cm3 4. 8192 cm3 27 27 112. ขอ้ ตอ่ ไปนี้ขอ้ ใดผิด ข. cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ก. sin (α−β) = sin α cos β + cos α sin β ง. cos (α−30°) + cos (α+30°) = sin α ค. sin 2α = 2 sin α cos α 2. ข้อ ข กับขอ้ ค 1. ขอ้ ก กับข้อ ข 4. ขอ้ ง กบั ขอ้ ก 3. ขอ้ ค กบั ข้อ ง 113. จากรูปท่กี าํ หนดใหด้ งั ตอ่ ไปนี้ อยากทราบวา่ มีรปู สีเ่ หลี่ยมรวมทง้ั หมดกีร่ ูป 1. 39 รูป 2. 40 รูป 3. 41 รูป 4. 42 รปู Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 558 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 114. ถ้า y3 + 4y2− 9 = 3 และ f (x) = x3 − 2x + 5 อยากทราบว่า f (y) จะมีค่าเทา่ ไรบา้ ง y+3 ก. −16 ข. 9 ค. 26 1. ขอ้ ก ถูก 2. ข้อ ข ถกู 3. ข้อ ค ถกู 4. ขอ้ ก และขอ้ ข ถกู 115. กาํ หนดวงกลมรัศมีเท่ากบั 1 cm สองวงตดั กนั ดังรูป จงหา พน้ื ทีแ่ รเงา 2. 0.45 cm2 1. 0.33 cm2 3. 0.50 cm2 4. 0.57 cm2 116. มลี วดหนามยาว L ต้องการนําไปล้อมรว้ั เพื่อจับจองทดี่ ิน ถามวา่ จะต้องลอ้ มให้เป็นรปู อยา่ งไรจงึ จะไดพ้ น้ื ทมี่ ากทีส่ ุด กาํ หนดวา่ การลอ้ ม รว้ั จะตอ้ งให้ปลายลวดข้างหนึ่งตอ่ กบั ปลายอีกขา้ งหนึง่ พอดี 1. รูปสเ่ี หลี่ยมผืนผ้า 2. รปู ส่ีเหล่ียมจตั รุ ัส 3. รปู หกเหล่ียมด้านเทา่ 4. รปู วงกลม 117. เชอื กเส้นหนงึ่ ยาว 10 m นํามาตดั แบ่งครึง่ ความยาว แลว้ นําส่วนทแี่ บง่ แล้วมาตัดแบง่ ครงึ่ อกี นําส่วนที่ถกู ตดั แบ่งคร่ึงแลว้ มาตดั แบง่ ครึ่งไปเรื่อยๆ ถามว่าจะตอ้ งตัดอยา่ งนอ้ ยท่ีสดุ กค่ี รงั้ ความยาว ของเชอื กทถ่ี ูกแบง่ คร้งั สดุ ท้ายจึงจะเหลือไม่ถึง 1 mm (กาํ หนดให้ log 2 = 0.301) 1. 12 2. 13 3. 14 4. 15 118. ถา้ ความน่าจะเป็นทพี่ รุ่งน้ีจะมีฝนตกเท่ากับ 0.35 และความน่าจะเป็นท่ีพรงุ่ น้ีจะมีเมฆมาก เทา่ กบั 0.4 โดยทค่ี วามนา่ จะเปน็ ทพี่ รุ่งนจ้ี ะมเี มฆมากและมีฝนตก เทา่ กบั 0.25 จงหาความนา่ จะ เป็นท่พี ร่งุ น้ีมเี มฆมากหรือไม่มีฝนตก 1. 0.95 2. 0.90 3. 0.85 4. 0.80 ปี 2540 119. เส้นตรงเส้นหนึง่ ผา่ นจดุ A (2, 2, 2) และ B(6, 5, 2) อยากทราบว่า ถา้ ลากเส้นจากจดุ C(−4, 0, −3) ไปต้งั ฉากกบั เส้นตรงทล่ี ากผา่ นจดุ A และ B ข้างตน้ เสน้ ตัง้ ฉากนีจ้ ะมคี วามยาว เทา่ ไร 1. 33 หน่วย 2. 221 หน่วย 3. 61 หน่วย 4. 221 หนว่ ย 5 5 120. รูปหกเหล่ียมด้านเทา่ บรรจุอย่ใู นวงกลมท่มี ีรัศมีเท่ากบั 7 cm พน้ื ที่แรเงาจะเท่ากบั เท่าไร 7 cm 1. 21.22 cm2 2. 26.70 cm2 3. 42.44 cm2 4. 127.30 cm2 121. สาํ หรบั สมการ f (x) และ g(x) ใดๆ กาํ หนดให้ log(f (x) g(x)) = 4 และ log(10 f (x)) = 3 , g(x) ≠ 0 g (x) จงหาค่า x ถ้า g(x) = x2 + 1 1. ±2 2. ±3 3. ±5 4. ±7 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 559 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 122. กําหนด f (x) ดังรปู และ g(x) = df (x) + x f(x) dx 8 7 ∫จงหา 1 4 6 5 g(x) dx 12 3 45678 x 1. 5.5 2. 6.0 3. 7.5 4. 8.0 123. จงหาคา่ ของ ln jj กาํ หนดให้ j = −1 และ z = x + j y = r ejθ โดยที่ r = และx2 + y2 θ = tan−1(y/ x) 1. π/2 2. eπ/2 3. −π/2 4. e−π/2 124. จากขอ้ มูลสภาพการจราจรและอตั ราการเกดิ อบุ ัตเิ หตุ บนถนนสายหลกั สายหนงึ่ ในชว่ ง 16.00- 18.00 น. พบว่าความน่าจะเปน็ ของการเกิดการจราจรตดิ ขดั คดิ เป็น 0.85 และความนา่ จะเปน็ ของ การเกดิ อบุ ตั เิ หตุเท่ากับ 0.5 ถา้ ความนา่ จะเปน็ ของการเกดิ การจราจรตดิ ขดั และการเกดิ อบุ ตั ิเหตุ เท่ากับ 0.3 จงหาความน่าจะเปน็ ที่การจราจรไม่ติดขัดหรือเกิดอบุ ัติเหตุ 1. 0.15 2. 0.35 3. 0.45 4. 0.50 125. ในการว่งิ มาราธอนครง้ั หนึ่ง ถ้าความเร็วเฉลี่ยของนกั ว่งิ ท้ัง 200 คน เทา่ กับ 15 km/h และมี การกระจายของคา่ ความเร็วเป็นแบบโค้งปกติ โดยมคี ่าเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 0.5 km/h จงหาว่า นักวง่ิ คนหนึง่ ทท่ี ําความเรว็ เฉล่ียได้ 16 km/h จะเขา้ เสน้ ชยั ประมาณลาํ ดับท่เี ท่าไร หมายเหตุ ให้ประมาณว่าพ้นื ท่ีใตโ้ ค้งของการกระจาย ช่วง ±σ มคี ่าประมาณ 2/3 ของพืน้ ท่ใี ตโ้ ค้งทั้งหมด ชว่ ง ±2σ มีคา่ ประมาณ 19/20 ของพน้ื ท่ใี ตโ้ ค้งทั้งหมด ช่วง ±3σ มีคา่ ประมาณ 9975/10000 ของพน้ื ที่ใต้โคง้ ทง้ั หมด 1. มากกว่าลาํ ดับท่ี 12 2. ลาํ ดบั ที่ 10 3. ลําดับท่ี 5 4. ลําดับที่ 3 126. ถา้ เขยี นกราฟนี้บนสเกล x−y กราฟพาราโบลาท่ีได้จะมีจดุ โฟกสั ทจี่ ดุ ใด 2. (0, 29) y 1. (0, 9) 6 2 4. (0, − 1) 6 4 3. (0, 1) 26 O 2 4 x2 127. แนวถนนตรงสองสายทจี่ ะสรา้ งใหม่ตัดกันที่จดุ A วิศวกรต้องการสร้างทางโค้งแบบวงกลม รศั มี R = 200 3 m เช่อื มแนวถนนตรงท้งั สองสาย โดยมีจดุ เร่ิมโค้งทจ่ี ดุ B และ C ตามลาํ ดบั ตําแหน่งจุด B จาํ เป็นตอ้ งหาจากจุด A แต่จุด A เข้าถึงไม่ไดเ้ พราะอยใู่ นเหวลกึ ทางออกทางหนง่ึ คอื การกาํ หนดจุด X และจดุ Y บนแนวถนนตรงซ่ึงสามารถมองเหน็ กัน A ได้ ถ้ามุม PXY , มุม QYX และระยะ XY จากการสํารวจคร้ังน้ีเทา่ กับ X 90° , 150° และ 105 3 m ตามลําดับ ระยะ XB จะเท่ากับเทา่ ไร Y C หมายเหตุ รปู นี้ไมไ่ ด้วาดตามสเกล B R 1. 475 m 2. 495 m 3. 515 m 4. 525 m P Q Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 560 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 128. จากเงอื่ นไขที่กําหนดให้ดงั ตอ่ ไปนี้ ก. มหาวทิ ยาลยั ท่ีสอนพยาบาลศาสตร์ทกุ แหง่ มกี ารสอนแพทยศาสตร์ ข. มหาวิทยาลัยท่ีสอนพยาบาลศาสตรท์ ุกแห่ง ไม่มกี ารสอนวิศวกรรมศาสตร์ ค. คร่ึงหนง่ึ ของมหาวิทยาลยั ท่สี อนวิศวกรรมศาสตร์ มกี ารสอนแพทยศาสตร์ ง. ครงึ่ หน่ึงของมหาวิทยาลัยท่สี อนแพทยศาสตร์ มกี ารสอนพยาบาลศาสตร์ จ. ไมม่ ีมหาวิทยาลัยใดทีส่ อนเฉพาะแพทยศาสตร์เพียงอย่างเดยี ว อยากทราบว่า ถ้ามมี หาวทิ ยาลัยทสี่ อนแพทยศาสตรท์ ้ังหมด 10 แหง่ จะมีมหาวิทยาลยั ที่สอน วศิ วกรรมศาสตรก์ แ่ี ห่ง 1. 5 แหง่ 2. 10 แห่ง 3. 15 แห่ง 4. 20 แหง่ 129. จากสมการ y3 + 3y2 = 4(y + 3) และฟังกช์ ัน f (x) = x2 − x อยากทราบว่า f (y) จะมคี า่ เทา่ ไร เม่อื y ≠ −3 1. {2, 6} 2. {2, 12} 3. {2, 9, 12} 4. {6, 9, 12} ปี 2541 −1 จงหาคา่ (i + 1)20 130. กําหนดให้ i = (i − 1)16 1. 4 2. −4 3. −4 i 4. 4 i 131. แผ่นฟิล์มกรองแสงชนิดหน่ึง กรองแสงออกได้ 20 เปอร์เซ็นต์ ถ้าต้องการนาํ แผ่นฟลิ ์มกรองแสง ชนดิ นี้ไปตดิ รถยนตเ์ พอื่ ให้กรองแสงออกไดป้ ระมาณ 60 เปอรเ์ ซน็ ต์ โดยใชแ้ ผ่นฟิลม์ ชนดิ น้ีซ้อนกัน อยากทราบวา่ จะต้องใช้แผ่นฟลิ ์มชนดิ นี้ก่ีชน้ั สมมติให้แสงผา่ นกระจกได้ 100 เปอร์เซน็ ต์ 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 132. ถา้ ประพจน์ต่อไปน้ี “ถ้าพ่อคา้ กักตนุ น้าํ ตาล แลว้ ราคานาํ้ ตาลจะสงู ขึ้น” เป็นความจริง ขอ้ ใดเปน็ การใหเ้ หตุผลท่ีถูกตอ้ ง 1. เน่ืองจากราคาน้าํ ตาลสงู ข้ึน จงึ สรุปไดว้ ่าพ่อค้ากักตนุ นํา้ ตาล 2. เนือ่ งจากพ่อค้าไมไ่ ดก้ กั ตนุ นาํ้ ตาล จึงสรปุ ไดว้ ่าราคาน้ําตาลไม่ได้สูงขึน้ 3. เนอื่ งจากราคานํ้าตาลไมส่ งู ข้ึน จึงสรปุ ไดว้ ่าพอ่ คา้ ไม่ได้กักตุนน้ําตาล 4. มีข้อถูกมากกวา่ 1 ขอ้ 133. กาํ หนด A = ⎡1 2 0⎤ และ B= ⎡a 0 0⎤ จงหาค่า a ซึง่ ทําให้ det (AB) = 8 ⎢⎢⎣00 2 21⎥⎦⎥ ⎢⎢⎣31 2 01⎥⎦⎥ 0 0 1. 1/8 2. 1 3. 8 4. ไม่สามารถหาค่า a ได้ 134. ในการหาความกว้างของลาํ นํา้ เนอ่ื งจากไมส่ ามารถวัดระยะโดยตรงได้ จงึ ทาํ การวดั ระยะ AC ได้ 50 เมตร, มมุ CAB ได้ 105° และมมุ ACB ได้ 45° จงหาความกวา้ งของลาํ นาํ้ (ระยะ AB ) B 1. 50 2 เมตร 2. 50 3 เมตร ลําน้าํ 3 2 A C 3. 50 2 เมตร 4. 50 3 เมตร 135. จงหาคา่ ของ lim ⎛ 4n5 + n3 ⎞ 3 cos (nπ) โดยที่ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก ⎝⎜⎜ 5n5 − 38 ⎠⎟⎟ n→∞ 1. 0 2. 0.8 3. 2.4 4. ∞ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 561 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 136. รถไฟท่แี ล่นด้วยความเรว็ คงที่ v กิโลเมตรต่อชัว่ โมง ตอ้ งเสียค่าใชจ้ า่ ยเปน็ ค่านํ้ามนั v2/5 บาทตอ่ ชัว่ โมง และคา่ จา้ งพนักงานเดินรถ 40 บาทต่อชั่วโมง ถา้ ตอ้ งเดินทางระยะทาง 500 กิโลเมตร ควรจะแลน่ ด้วยความเร็วเทา่ ใดจงึ จะเสียคา่ ใช้จ่ายนอ้ ยที่สดุ 1. 10 2 2. 20 2 3. 50 2 4. ไมม่ คี วามเร็วทเี่ สยี ค่าใชจ้ ่ายนอ้ ยทสี่ ดุ 137. วงกลม Cn+1 สร้างจากวงกลม Cn โดยท่ี n = 1, 2, 3, ... โดยการสร้างส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั บรรจุใน วงกลม Cn แล้วสรา้ งวงกลม Cn+1 บรรจใุ นสเี่ หล่ยี มจตั รุ ัสดงั กล่าว ดังแสดงในรูป ถ้า วงกลม C1 มเี สน้ ผ่านศูนย์กลาง d จงหาผลบวกของเส้น Cn รอบวงของวงกลมทงั้ หมด Cn+1 1. (2 − 2) π d 2. 2( 2 − 1) π d 3. ( 2 − 1) π d 4. 2 π d 2 2−1 138. ถังนาํ้ ใบหน่ึงมเี ครอื่ งสบู น้าํ เข้าถงั สองเคร่ือง ถา้ ทดลองเปิดเครือ่ งสบู น้าํ ทลี ะเครือ่ งเพอ่ื สูบนํา้ ใส่ ถงั เปล่าจนเต็มถัง พบวา่ เครื่องหน่ึงจะใชเ้ วลาน้อยกวา่ อีกเคร่ืองหนึ่ง 3 ช่ัวโมง แตถ่ า้ เปดิ เคร่ืองท้ัง สองพรอ้ มกนั พบวา่ นา้ํ จะเตม็ ถงั ในเวลา 2 ชว่ั โมง ข้อใดเปน็ ระยะเวลาทีเ่ ครือ่ งใดเคร่อื งหน่ึงใช้ใน การสูบน้ําใส่ถังเปลา่ จนเตม็ ถัง 1. 1 ชัว่ โมง 2. 3 ชั่วโมง 3. 4 ช่ัวโมง 4. 2 + 10 ชั่วโมง 2 139. สมการเส้นตรงชุดใดต่อไปนีป้ ระกอบเป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 1. 3x − 5y + 10 = 0 , x + 4y − 6 = 0 , 6x − 10y − 1 = 0 2. x − 3y + 1 = 0 , ,3x + y + 1 = 0 −2x + 6y + 5 = 0 3. x − 4y + 2 = 0 , 2x + y = 0 , 2x + 3y − 5 = 0 4. 5x − 3y + 7 = 0 , 2x − y = 0 , 9x + 15y − 4 = 0 เฉลยคาํ ตอบ (1) 3 (2) ไมม่ ีขอ้ ถูก (ตอบ y = (x2/4) − x ) (3) 1 (4) 2 (5) 2 (6) 3 (7) 4 (8) 2 (9) 2 (10) 4 (11) 3 (12) 2 (13) 1 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 4 (19) 1 (20) 4 (21) 3 (22) 4 (23) 2 (24) 3 (25) 3 (26) 2 (27) 2 (28) 4 (29) 2 (30) 3 (31) 1 (32) 1 (33) 2 (34) 3 (35) 3 (36) 2 (37) 1 (38) 2 (39) 3 (40) 2 (41) 2 (42) 2 (43) 2 (44) 3 (45) 2 (46) 3 (47) 4 (48) 1 (49) 2 (50) 4 (51) 1 (52) 3 (53) 3 (54) 2 (55) 1 (56) 3 (57) 4 (58) 1 (59) 4 (60) 1 (61) 4 (62) 4 (63) 1 (64) 3 (65) 3 (66) 2 (67) 2 (68) 3 (69) 2 (70) 3 (71) 2 (72) 2 (73) 3 (74) 2 (75) 3 (76) 1 (77) 2 (78) 2 (79) 3 (80) 3 (81) 3 (82) 4 (83) 3 (84) 3 (85) 3 (86) 2 (87) 4 (88) 1 (89) 1 (90) 2 (91) 1 (92) 1 (93) 3 (94) 2 (95) 4 (96) 2 (97) 3 (98) 3 (99) 1 (100) 1 (101) 2 (102) 2 (103) 3 (104) 2 (105) 1 (106) 4 (107) 1 (108) 4 (109) 1 (110) 2 (111) 4 (112) 4 (113) 1 (114) 2 (115) 4 (116) 4 (117) 3 (118) 2 (119) ไมม่ ขี ้อถกู (ตอบ 29 ) (120) 2 (121) 2 (122) 1 (123) 3 (124) โจทย์ผดิ เพราะ P (A ∪ B) > 1 ไมไ่ ด้ (125) 3 (126) ไม่มขี ้อถกู (ตอบ (0, 103/24)) (127) 2 (128) 2 (129) 1 (130) 2 (131) 3 (132) 3 (133) 2 (134) 3 (135) 3 (136) 1 (137) 4 (138) 2 (139) 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 562 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) เฉลยวิธีคิด (1) Δขงจ จะได้ ขจ = 32 + 42 = 5 (10) ลองพลอ็ ตจุดคร่าวๆ พบวา่ รปู กราฟคลา้ ย ไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก ดังน้ันตดั ขอ้ 1. (พาราโบลา) พ้นื ที่ Δกขค = 1 ⋅ 5 ⋅ 10 = 25 ตร.ม. ตอบ 2 กับขอ้ 2. (เสน้ ตรง) เหลอื เพียงขอ้ 3. กบั 4. ท่ี (2) พาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดที่ (2, −1) เปน็ ไปได้ → (x − 2)2 = 4c(y + 1) จากนน้ั ทดลองแทนคา่ ดดู ังน้ี... หาค่า c กอ่ น โดยกราฟผ่านจดุ (0,0) ขอ้ 3; yx2 = a ลองเอาข้อมูลมาคณู ดูเพอื่ เป็นคา่ a จะได้ 65 (1)2 = 65 , 35 (2)2 = 140 , → (−2)2 = 4c(1) → c = 1 ดงั นน้ั สมการท่ีได้คอื (x − 2)2 = 4 (y + 1) 25(3)2 = 225 พบวา่ คา่ a ทีไ่ ด้นนั้ แตกตา่ งกนั มาก หรือ x2 − 4x + 4 = 4y + 4 จงึ ไมน่ า่ ใชข่ ้อ 3. ตอบ ขอ้ 4. [หมายเหตุ ถ้าลองนาํ ขอ้ มลู มาแกส้ มการเพอ่ื หา a, b จดั รปู ได้วา่ y = x2 − x ตอบ ไมม่ ขี อ้ ถกู 4 ในขอ้ 4. จะได้เป็น y = 60 + 5 ] x (3) dy = ความชัน = −4 − 4 = −4 ตอบ dx 3 − 1 (11) จาก 1 = B x + A yA (4) ln N = −λt + ln N0 เม่อื แกน Y เป็น 1 และแกน X เป็น x จะอยู่ในรปู แกน y คอื ln N และแกน x คอื t y สมการจะอยูใ่ นรปู Y = −λ X + ln N0 Y = B X + A ซึง่ เปน็ กราฟเสน้ ตรง ความชนั B ∴เป็นกราฟเสน้ ตรง และ λ > 0 ดังนน้ั ความชนั AA ติดลบ ตอบ ขอ้ 2. และตดั แกน Y ท่ี A (5) จดุ ยอดอยู่กงึ่ กลาง ระหวา่ ง F กบั Directrix F ∴ B = tan θ และ A = RO ตอบ (0, −1) y = -2 A รวมสองสมการไดเ้ ป็น B = RO tan θ ตอบ (6) แก้ระบบสมการ (12) เวลา 5 ช.ม. คิดเปน็ 300 นาที ดงั นน้ั ชนิ้ งานท่ีได้ = ก + ข + ค + ง → 1 x + 3 = 2x + 1 → 2 = 1.5x → x = 4 ( ) ( ) ( ) ( )= 300 × 4 + 300 × 6 + 300 × 4 + 300 × 7 23 32 24 24 28 ตอบ ขอ้ 3. = 37.5 + 75 + 50 + 75 = 237.5 ชน้ิ แตน่ าย ก ทาํ ชนิ้ สุดทา้ ยไม่เสรจ็ จึงตอ้ งปดั เศษทิ้ง (7) กลมุ่ 1; พสิ ยั 7 − 1 = 6 ตอบ 237 ชนิ้ กลมุ่ 2; พสิ ัย 6 − 2 = 4 → ฐานนยิ ม = 6 (13) สมมติชน้ั แรกเสยี a บาท และสรา้ ง x ช้นั จะได้ คา่ กอ่ สรา้ งเฉล่ยี ; กลมุ่ 3; พิสยั 7 − 2 = 5 กลมุ่ 4; พสิ ัย 7 − 3 = 4 → ฐานนยิ ม = 7 y = 450a + (a + 2a + 3a + 4a + .... + xa) x ตอบ กลุม่ ที่ 4 (8) dy = 6x − 3 และ dy = 3x2 450a + a ⎛ x(x + 1)⎞ 450a a (x + 1) dx dx ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ∴ 6x − 3 = 3x2 → 3(x − 1)2 = 0 = = + x x2 → x = 1 ตอบ ดงั นน้ั y′ = − 450a +a =0 จะได้ x2 = 900 (9) d = 5 − (−5) = 10 ตอบ x2 2 คอื x = 30 ชัน้ ตอบ 12 + 12 2 (14) รูป n เหลย่ี ม จะแบ่ง เปน็ Δ ภายในได้ n รูป มมุ ทเี่ กิดข้นึ คิดจาก = มุมรวมใน Δ ท้งั หมด - มุมรอบจดุ ยอดตรงกลาง = 180 n − 360 องศา ดังนน้ั ตอบ 180 (20) − 360 = 3240 องศา Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 563 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) (15) ขอ้ น้ีไม่จาํ เปน็ ตอ้ งวาดแผนภาพ เพราะตวั เลขท่ี (20) y = x − 5 และ y = −2x − 5 ให้มาสามารถคาํ นวณไดท้ นั ที ตดั กนั ที่ x − 5 = −2x − 5 → x = 0 , y = −5 ความนา่ จะเปน็ ทเี่ รียนคณติ หรือองั กฤษ หาระยะจาก (0, −5) ไปยงั 3x + 4y − 12 = 0 = 1 − ฟสิ กิ สเ์ ทา่ นน้ั = 1 − 20 = 9 ตอบ ได้เป็น 3(0) + 4(−5) − 12 = 32 ตอบ 110 11 32 + 42 5 (16) แปลงหนว่ ยของความเรว็ กอ่ น (21) พิจารณาที่ 60 คะแนน 450 กม. = 450 × 1,000 ม. = 125 ม. พ้ืนที่ A = 0.3413 → z = 1 ชม. 3,600 วินาที วินาที B ดังนน้ั ระยะ AB A 30° D ที่ 70 คะแนน 60 70 = 125 × 20 = 2,500 เมตร 120° 60° h พน้ื ท่ี A = 0.3413 + 0.1360 = 0.4773 → z = 2 ΔABC เป็น Δ หน้าจ่ัว 30° ∴ 1 = 60 − X และ 2 = 70 − X ∴ BC = 2,500 ดว้ ย ss C h = BC sin 60° = 2500 ( 3 /2) จะได้ s = 10 , X = 50 ตอบ ขอ้ 3. = 1,250 3 เมตร ตอบ (22) 1 log2 x + 1 log2 x + log2 x = 7 4 2 (17) r จากรปู h = 1 r → 7 log2 x = 7 → log2 x = 4 θh 2 4 →h= 1 ตอบ x = 24 = 16 r2 (23) ค 60° ระยะทตี่ ้องการคอื ขค ดงั นนั้ θ = 60° จข ง คิดจาก กค – กข พื้นทส่ี ว่ นโค้งมมุ 120° = 1 ของวงกลม = 1 πr2 510 33 510 หา กค จากตรีโกณมติ ิ และพนื้ ทที่ ี่ตอ้ งการ คิดเหมอื นยูเนยี นของเซต คอื มุมทโี่ จทย์ใหม้ า 60° ดงั นน้ั +- ก กคˆจ + กคˆง = 120° แสดงวา่ กคˆง = 60° (เพราะ Δ กจค, Δ กคง เทา่ กนั ) = 1 πr2 + 1 πr2 − 4 (1 h r sin 60°) Δ กคง; sin 60° = กง = 510 33 2 กค กค = 2 πr2 − 4 × 1 × 1 r × 3 r ∴ กค = 510 × 2 ≈ 590 เมตร 3 3 22 2 และ ขค ≈ 590 − 510 = 80 เมตร ตอบ = ⎛ 2 π − 3 ⎞ r2 ≈ 1.23 r2 ตอบ (24) พาราโบลาหงาย มจี ุดยอดท่ี (5, −1) ⎝⎜⎜ 3 2 ⎟⎟⎠ จะไดส้ มการเปน็ (x − 5)2 = 4c(y + 1) (18) ˜A = 20 sin 60° i + 20 cos 60° j ผา่ นจดุ (0,0) ดงั น้ัน หาคา่ c ได้เปน็ 25 = 4c สมการทไ่ี ดค้ ือ (x − 5)2 = 25(y + 1) = 10 3 i + 10 j , ˜B = −10 j , ˜D = 20 3 sin 30° i − 20 3 cos 30° j โจทยถ์ าม y เม่ือ x = 2 = 10 3 i − 30 j → 9 = 25 (y + 1) → y = − 16 ตอบ ข้อ 3. 25 ..โจทย์ถาม ˜D − ˜C = ˜D − ˜A − ˜B = −30 j ∴ |˜D − ˜C | = 30 หน่วย ตอบ (25) อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั กค็ อื ความชันของกราฟ (19) หาความยาว AB เม่ือพจิ ารณาจากรปู ทลี ะช่วงๆ พบว่าระหวา่ ง x = 5 → AB = 92 + 122 = 15 เมตร ถึง x = 6 เทา่ นน้ั ทคี่ วามชันเทา่ กัน ΔABO; 15 = cos 30° (ความชนั เป็น Δy = 1 ) ดังนนั้ ตอบ ข้อ 3. OB Δx 2 ดงั นน้ั OB = 15 = 30 = 10 3 เมตร 3/2 3 ≈ 17.319 เมตร ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 564 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) (26) พื้นทีผ่ วิ A = ผวิ ขา้ ง + ฝาและฐาน (31) P = (100 sin θ)(10 sin(θ − 60°)) = 2πRh + 2(πR2) แต่โจทยบ์ ังคับว่าปรมิ าตร 16π = 500 (2 sin θ sin(θ − 60°)) ดังนน้ั πR2h = 16π → h = 16 = 500 (cos 60° − cos(2θ − 60°)) R2 = 250 − 500 cos(2θ − 60°) 16 32π ∴A = 2πR ⎛ R2 ⎞ + 2πR2 = + 2πR2 ตอ้ งการ P สูงสดุ แสดงวา่ cos(2θ − 60°) ตอ้ งนอ้ ย ⎜⎝ ⎟⎠ R ทสี่ ดุ คอื เปน็ −1 จะได้ Pmax = 750 วัตต์ ตอบ → dA = − 32π + 4πR = 0 dR (32) ซิงกลู ารเ์ มตรกิ ซ์ แปลวา่ det เทา่ กบั 0; R2 32π จาก A = x − 4 − 4 + x + 4 − 4 = 2x − 8 จะได้ 4πR = → R3 = 8 → R = 2 เมตร R2 แสดงวา่ 2x − 8 = 0 น่นั คอื x = 4 ตอบ และ h= 16 =4 เมตร ตอบ ขอ้ 2. (33) มองด้านขา้ ง เปน็ รปู ครงึ่ วงกลม 22 ซึง่ มาจากสมการวงกลม (27) สังเกตจากตวั เลอื กพบวา่ −1 กับ 1 เปน็ 20 ⎧ 2 x2 + y2 = 252 ⎨ ⎩ คําตอบอยา่ งแนน่ อน จงึ นาํ ไปหารออกไดเ้ ปน็ 15 (x + 1)(2x − 1)(x2 + x + 1) = 0 ตอ้ งการตาํ แหนง่ ความสูง y = 20 จะได้วา่ ซง่ึ x2 + x + 1 = 0 นนั้ ได้คาํ ตอบเปน็ x2 = 252 − 202 = 225 ∴ x = ± 15 x = −1 ± 12 − 4 = − 1 ± 3 i ตอบ ขอ้ 2. พื้นที่วงกลมทต่ี ดั = π(15)2 = 225π ตร.ม. ตอบ 2 22 (34) (-4,2) (1,1) 1 1 (28) แปลงด้านขวามอื ของสมการได้ดังน้ี (-1,-1) 2 ⎛ 1 + 1 i ⎞2 = 2 ⎛1 + 1 i − 1⎞ = 1 + 2i พื้นท่ี Δ = 1 −4 2 ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 2 4 ⎠⎟ 2 2 −1 −1 1 1 ดงั นน้ั เทยี บสมั ประสทิ ธิก์ ับฝง่ั ซา้ ยมอื ไดว้ า่ = 1 (4 + 2 + 1 + 2 + 4 − 1) = 6 ตร.หนว่ ย ตอบ 3x = 1 และ 4y = 2 ตอบ x = 1 2 2 6 B (35) log(5x + 10) = log(3x − 2) + log 10 (29) ให้ y = ค่าใชจ้ า่ ย → 5x + 10 = (3x − 2)(10) → x = 1.2 ตอบ 15 ม. (36) A = 75° , C 100-x B = 45° 12 A P x ม. ดังนน้ั C = 60° ดังนน้ั y = 100 (100 − x) + 200 ( 152 + x2) จากกฎของ sine; ∴ y′ ⎛ 1 ⎞ (2x) sin 60° = sin 45° A 75° 5 45° ⎜ 152 ⎟ 60 AC D = −100 + 200 ⎝⎜ ⎠⎟ = 0 B จะได้ AC = 60 sin 45° = 20 6 เมตร 2 + x2 sin 60° จะได้ x = 1 → 2x = 152 + x2 ตอ่ ไปหาระยะ CD ซง่ึ CD = sin 75° 152 + x2 2 AC → 4x2 = 225 + x2 → x2 = 75 → x ≈ 8.6 ดงั นน้ั CD = AC sin 75° = 20 ⎛ 3 + 1⎞ 6 ⎜⎜⎝ 2 2 ⎟⎠⎟ ดงั นนั้ ระยะ AP ประมาณ 91.4 เมตร ตอบ (30) เน่อื งจากตวั เลือกเปน็ เอกซโ์ พเนนเชียล จงึ ไม่ ( )= 10 3 3 + 1 = 30 + 10 3 ≈ 47.32 สะดวกทจี่ ะคาํ นวณสมการออกมาโดยตรง ใชว้ ิธีลองแทนค่าดกี วา่ ... ที่ t = 0 จะได้ ∴ แมน่ าํ้ กวา้ ง = CD − 17 = 30.32 เมตร ตอบ 1. M = 100 − 1 = 99 2. M = 99 (37) f′(x) = x2 d (sin 2x) + sin 2x d (x2) dx dx 3. M = 100 4. M = 100 = 2x2 cos 2x + 2x sin 2x ตอบ ถอื ว่าใกล้เคยี งทงั้ หมด จึงลองแทน t = 10 จะได้ (38) BA = ⎡3 2⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡6 9⎤ 1. M = 100 − 1 ซ่ึง e ≈ 2.7 ดงั นน้ั M ≈ 99 ⎢⎣ 1 2⎥⎦ ⎢⎣0 3⎦⎥ ⎢⎣2 7⎦⎥ e 3. M = 100 ≈ 30 At (BA) = ⎡2 0⎤ ⎡6 9⎤ = ⎡12 18⎤ ตอบ ⎢⎣ 1 3⎥⎦ ⎣⎢2 7⎥⎦ ⎣⎢12 30⎥⎦ 2. M = 100 − e ≈ 97 e 4. M = 100e ≈ 270 ดงั นัน้ ควรเลอื กขอ้ 3. ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 565 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) (39) 6 = 1 + 4 + 6 + 8 + x → x = 11 ปี (49) จดั สมการใหม่เป็น 5 5 (y − 4) = 7 (x − 3) → 7x − 5y − 1 = 0 ก่งึ กลางพสิ ยั = 11 + 1 = 6 ปี ตอบ 2 หาระยะตง้ั ฉาก จาก (9,12) ได้วา่ (40) Xรวม = 60(16) + 50(17) + 30(18) d = 7(9)− 5(12)− 1 = 2 = 2 ตอบ 60 + 50 + 30 72 + 52 74 37 = 2,350 ≈ 16.8 ปี ตอบ (50) หาผลรวมของเวกเตอรท์ ้งั สองกอ่ น 140 (8 cos 30° i + 8 sin 30° j) (41) หา ;Umin U′(x) = 2x − 2.6 = 0 คา่ วกิ ฤต x = 1.3 ซงึ่ U (1.3) = −0.19 , + (−12 3 cos 60° i − 12 3 sin 60° j) เชค็ ที่ปลายช่วง U (0) = 1.5 และ U (3) = 2.7 = 4 3 i + 4 j − 6 3 i − 18 j = −2 3 i − 14 j ∴ Umin = −0.19 ตอบ ดังนนั้ ตอ้ งตอบ 2 3 i + 14 j ตอบ (42) วงรตี ั้ง เพราะโฟกสั กบั จดุ ศนู ยก์ ลางมคี ่า x (51) 14.2 = (22 + 8) (13.6) + N3 (16) เทา่ กัน ...แกนเอกยาว 14 แสดงวา่ a = 7 22 + 8 + N3 ระยะโฟกสั c = 1 − (−5) = 6 → 426 + 14.2 N3 = 408 + 16 N3 ∴ b2 = a2 − c2 = 49 − 36 = 13 ดังนนั้ N3 = 10 เครอ่ื ง ตอบ ตอบ (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 (52) จาก (x − y i)(2 + i) = (2x + y) + (x − 2y) i 13 49 เทียบสมั ประสทิ ธิ์ได้ 2x + y = 7 และ x − 2y = 4 (43) d2v = 2ax → 2a(1) = 6 →a=3 แก้ระบบสมการได้ x = 18 , y = − 1 dx2 55 แสดงวา่ dv = 3x2 + 3 ∴ x + 2y = 18 − 2 = 16 = 3 1 ตอบ dx 55 5 5 (53) ข้อน้เี ปน็ โจทยค์ ณติ ศาสตรค์ รบั ไม่สามารถใช้ v(x) = ∫ (3x2 + 3) dx = x3 + 3x + c สูตรในวชิ าฟสิ กิ สค์ าํ นวณ เพราะวา่ a ไมค่ งท่ี หา c จาก (0,1) จะได้ c = 1 ตอบ v(x) = x3 + 3x + 1 วาดกราฟ v-t ได้ดังน้ี (44) เนอ่ื งจาก ∅ เปน็ สบั เซตของเซตใดๆ ทกุ เซต v2 + (t − 6)2 = 62 เป็นรปู (ครงึ่ )วงกลม ดงั ภาพ ดังนน้ั ตอบ ข้อ 3. v (45) (B + C) = (2 − 3 i) + (3 + 4 i) = 5 + i , 5π C = 32 + 42 = 5 6 a คงตัว ดงั นน้ั หาคา่ ของ (5 + i)(5) = (5 + i)(1 − 2 i)(5) O 6 12 16 t 1 + 2i 12 + 22 = (5 + i)(1 − 2 i) = 7 − 9 i ตอบ ระยะทาง = พนื้ ทีใ่ ตก้ ราฟ v-t (46) dy = 3x2 − 2 → y = x3 − 2x + C = 1 π62 + 1 (5π)(4) = 28π เมตร ตอบ dx 22 หา C จากจดุ ทผ่ี า่ นคอื (1,1) ได้วา่ 1 − 2 + C = 1 (54) พาราโบลาเปิดขวา และจุดยอด (0,0) ∴ C = 2 ดงั นนั้ y = x3 − 2x + 2 และ a = 23 − 2(2) + 2 = 6 ตอบ มีรปู ท่วั ไปคือ y2 = 4cx (47) จดั รปู พาราโบลา; x2 − 6x + 9 = 12y + 3 + 9 หาค่า 4c จากกราฟผ่านจดุ (42,60) จะได้ (x − 3)2 = 4(3)(y + 1) ดงั นน้ั พาราโบลามจี ุด 602 = 4c(42) → 4c = 600 7 ยอดอยทู่ ่ี (3, −1) เลอื กขอ้ 4. ได้เลย ตอบ ดังนน้ั สมการคือ y2 = 600 x (48) log x = log a1/ 3 − log b → x = a1/3 7 b หรอื เขยี นวา่ 600x = 7y2 ตอบ ข้อ 2. ดงั นนั้ x = (27b6)1/3 = 3b2 = 3b ตอบ bb (55) จาก log x = log a1/ 3 − log b2 + log c2 จะได้ x = a1/ 3 ⋅ c2 = ⎛ 8b9 ⎞1/ 3 ⋅ c2 b2 ⎜ ⎟ b2 ⎝ c3 ⎠ = ⎛ 2b3 ⎞ c2 = 2bc ตอบ ⎜ ⎟ b2 ⎝ c ⎠ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 566 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) (56) mBD = 10 − (−2) = 12 และเส้นตรงตอ้ งตงั้ (62) 5 = 4.3 + 5.3 + 6.4 + x 5 4 8−3 ฉากกบั BD เพราะเป็นเสน้ สมั ผสั วงกลม ดังน้นั → x = 4 → พสิ ัย = 6.4 − 4 = 2.4 ปี ตอบ เส้นตรงน้นั มคี วามชนั −5 ตอบ ขอ้ 3. ไดท้ นั ที (63) ตําแหน่ง 21; 1(3) + 2(z) = 5 → z = 1 12 ตําแหนง่ 22; 1(x) + 2(1) = 5 → x = 3 ตําแหนง่ 12; 1(x) + 2 (y) = 7 → y = 7 − x = 2 (57) นําแกนพิกดั ฉาก x-y ไปต้งั ไว้ตรงกลางเพ่อื ให้ จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (0,0) จะไดค้ าํ นวณงา่ ย 2 ,∴ a = 18 b = 12 → x2 + y2 = 1 ∴ x + y − z = 3 + 2 − 1 = 4 ตอบ 182 122 (64) lim 4 + 6n2 + 3n + 27n4 + 9n3 62 y2 n→∞ 1 − 3n − 3 + 9n4 + 9n3 หาความสงู ณ x =6 จาก 182 + 122 =1 y2 1− 1 → y2 = 144 × 8 นาํ n4 หารเศษและส่วน ไดค้ าํ ตอบ 27 = 3 ตอบ 122 9 9 9 → = (65) ทมี่ ุม 60°; ดงั นนั้ y = 8 2 เมตร ตอบ AB = h = h .....(1) h tan 60° 3 (58) z1 = x1 − X แสดงวา่ x1 ตรงกบั ค่า B s N มาตรฐาน z1 = −1.96 , และ x2 ตรงกบั ที่มมุ 45°; A 60° z2 = 1.96 ดังนน้ั พื้นท่ี A = 1 − B − B CB = h = h .....(2) 10 45° tan 45° C = 1 − 0.05 − 0.05 = 0.90 ตอบ ที่ ΔABC ; AB2 + 102 = CB2 (59) ลองแทน x = 3 → ( h )2 + 102 = h2 → 2 h2 = 100 33 ขอ้ 1. f(x) = 23 + 3 = 11 ข้อ 2. f(x) = 2 (3)2 + 1 = 19 ∴ h = 150 ≈ 12.2 เมตร ตอบ (66) u′ = 3x2 − 3.63 → u′ = 0 จะได้ x = ±1.1 ขอ้ 3. f(x) = 32 + 3 + 1 = 13 และข้อ 4. f(x) = 33 − 2 (3)2 + 3 (3) + 1 = 19 คิดทป่ี ลายช่วง 0 < x < 3 ด้วย ได้ u(1.1) = −1.3, u(0) = 1.362, u(3) = 17.472 ดงั นนั้ มขี อ้ 1. กบั 3. ไม่ถูกแนน่ อน ต่อไปลองแทน x = 2 จะได้วา่ ดังนนั้ umin = −1.3 ตอบ ขอ้ 2. f(x) = 2 (2)2 + 1 = 9 (67) การเปรยี บเทียบตอ้ งคดิ เปน็ คา่ มาตรฐาน (z) และข้อ 4. f(x) = 23 − 2 (2)2 + 3 (2) + 1 = 7 คนที่ 1; zรวม = 8−7 + 5−8 + 9−7 = −1 1 12 ดงั นน้ั ตอบ ข้อ 4. (60) f(x) = x3 + 4 − 2x + c คนที่ 2; zรวม = 7−7 + 7−8+8−7 = −0.5 x 1 12 ดว้ ยวธิ ีเดยี วกนั ได้ zรวม คนที่ 3 = 0.5 f(2) = 8 จะไดว้ ่า 8 + 2 − 4 + c = 8 ดังนนั้ c = 2 ตอบ Q P และ zรวม คนท่ี 4 = 1 ∴ ตอบ คนที่ 4 (61) mP = 2, mQ = −2 θ α (68) นาย ก; ระยะทาง = 10 − 5 = 5 ก.ม. 1 4 → เวลาที่ใช้ = 5 = 1 ชม. ∴ ˜P กับ ˜Q ตั้งฉากกัน 25 α θ ทาํ ให้ θ + α = 90° ดงั รปู 0 นาย ข; ระยะทาง = 12 + 62 = 37 ก.ม. สมมติ ˜P ยาว p , ˜Q ยาว q → เวลาท่ีใช้ = 37 < 1 ชม. คิดทแี่ กน x; p cos θ − q sin θ = 21 .....(1) 38 คิดทแ่ี กน y; p sin θ + q cos θ = 18 .....(2) นาย ค; ใช้เวลา 50 > 1 ชม. 49 แตจ่ ากจดุ (4,2) ซึ่งห่างจากจดุ กาํ เนดิ อยู่ 20 หน่วย และทาํ มมุ θ กบั แกน x ทาํ ใหเ้ ราทราบวา่ และนาย ง; 65 > 1 ชม. 64 sin θ = 2 = 1 และ cos θ = 4 = 2 20 5 20 5 ดังนนั้ ตอ้ งเปรียบเทียบระหว่าง นาย ค กบั นาย ง กลายเปน็ 2p − 1q = 21 และ 1p + 2q = 18 พบว่า 50 > 65 ∴ นาย ค ถึงหลงั สดุ ตอบ 55 55 49 64 แกร้ ะบบสมการได้ p = 12 5 ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 567 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) (69) 165 = 20(150) + 180(X2) (77) มมุ BAC เป็นมุม θ ระหวา่ งเวกเตอรท์ ้ังสอง 200 หาได้โดยสตู รการดอทเวกเตอร;์ → X2 = 30,000 = 166.67 ซม. ตอบ 3(2) + 1(3) = 32 + 12 ⋅ 22 + 32 cos θ 180 → 9 = 10 ⋅ 13 cos θ → cos θ = 9 ≈ 0.8 (70) u = ⎡−2−6⎤ = ⎡−8⎤ 11.4 ⎢⎣−2−4⎦⎥ ⎢⎣−6⎦⎥ ˜ ˜˜CD → θ = 38° ตอบ y ⎡2−(−1)⎤ ⎡3⎤ CD ⎡3/5⎤ = ⎢⎣ 6−2 ⎦⎥ = ⎣⎢4⎥⎦ → n = | CD | = ⎢⎣4/5⎦⎥ (78) (0, 4) → M = 12 (2.5,5) ∴ u ⋅ n = (−8)(3) + (−6)(4) = − 48 = −9.6 ตอบ (5, 0) → M = 10 5 55 5 (0, 5) → M = 15 (71) อาศยั ความสมมาตรของรปู ABCD ทว่ี าง (2.5, 5) → M = 20 4 ตะแคงอยู่ จาก xB − xC = 3 − 2.268 = 0.732 (4, 0) → M = 8 O 45 x ดังนน้ั xD − xA = 0.732 ดว้ ย → xD = 5.732 จงึ เลอื กข้อ 2. ตอบ ∴ Mmax = 20 (72) ∑ a = m ∑ F + c N → 1.7 = 10 m + 4 c (79) จุดตดั แกน x คอื x = 3 ∑ F a = m ∑ F2 + c ∑ F → 5.5 = 30 m + 10 c ดังนน้ั A = 3 6 (ใส่ลบเพ่อื ให้พนื้ ทเี่ ปน็ บวก) แก้ระบบสมการได้ m = 0.25 และ c = −0.2 −∫ +∫ ∴ ˆa = 0.25F − 0.2 03 หาค่า ˆa (ที่ 3.5) = 0.25 (3.5) − 0.2 = − (x3 − 9x) 3 + (x3 − 9x) 6 3 03 3 = 0.675 m/s2 ตอบ = −(9 − 27) + [(72 − 54) − (9 − 27)] = 54 ตอบ (80) ตรวจสอบโดยแทนคา่ n เชน่ แทน n = 106 ขอ้ 1. t = 106 ดกี วา่ t = 100 ผดิ (t นอ้ ยดีกวา่ ) (73) dA ⋅B = C → ⎢⎡3x2 2x+ 1 ⎤ ⎡ 1⎤ = ⎡0⎤ ข้อ 2. t = 1,000 ดีกวา่ t = 12 ผิด dx ⎢⎣ 0 1 2 ⎥ ⎣⎢2⎥⎦ ⎣⎢2⎦⎥ ข้อ 3. t = 108 + 5 ดกี วา่ t = 1012 ถูก ⎥⎦ ข้อ 4. t = 21,000 = (1,024)3 ดีกวา่ t = 1012 กถ็ กู → 3x2 + 2(2x + 1) = 0 เปรียบเทียบขอ้ 3. กับ 4. ดว้ ยขอ้ มูลท่เี ทา่ กนั 2 → 3x2 + 4x + 1 = 0 → x = − 1 , −1 ทางขวาเหมือนกนั จงึ พจิ ารณาจากทางซา้ ย 3 → t = 100n + 5 ย่อมนอ้ ยกวา่ t = 2 n ผลรวมคําตอบ คอื − 4 ตอบ ดังนนั้ เลอื กขอ้ 3. ตอบ 3 (81) A = cos2(π − θ) − sin2(π − θ) (74) z − 1 = 2 → (x − 1)2 + y2 = 2 22 → (x − 1)2 + y2 = 4 → x2 − 2x + y2 = 3 = cos ⎢⎡⎣2(π2 − θ)⎦⎥⎤ ตอบ * ข้อน้ีเกนิ หลักสตู รม.ปลาย เพราะต้องหาอนพุ นั ธ์ (82) เนอื่ งจากมี x ดงั นน้ั x ตดิ ลบไมไ่ ด้ ตลอดสมการ ดังนี้ → เหลอื เพยี งข้อ 2. กบั 4. ทเ่ี ปน็ ไปได้ ลองแทนค่า x = 1 → y = 2 , 2x − 2 + 2y ⋅ dy = 0 dx →∴ dy = 2 − 2x = 1 − x ตอบ x = 2 → y = 3.414 , x = 3 → y = 4.732 , dx 2y y x = 4 → y = 6 พบวา่ มลี ักษณะการโคง้ แบบขอ้ 4. (75) 2 + log10 1.25 = log10 100 + log10 1.25 ตอบ ขอ้ 4. ตอบ= log10 125 = 3 log10 5 = 3A (83) * ขอ้ น้ถี า้ ต้องหาอนพุ นั ธจ์ ริงๆ จะยาก เพราะ (76) เวลา 90 นาที นาย ก ได้ 2(1.5) = 3 กม. เกินหลกั สูตร (ดฟิ )cos, arcsin, ex, ln x แต่ถ้าเรา นาย ข ได้ 4 (1.5) = 6 กม. ใช้กฎของ cos; A 3 C ตอ้ งการพจิ ารณาแค่วา่ ”ค่าใดมากกว่ากนั ” สามารถ ทาํ ได้โดยดจู ากความชนั ของกราฟ 30° CB = 62 + 32 − 2(6)(3) cos 120° 6 f1 เนือ่ งจาก π ≈ 1.57 2 = 3 7 กม. ตอบ B 1 0 π/2 ดงั นนั้ ที่ x = 0.5, 1, x 0.75 น้นั f1 ความชนั -1 ติดลบท้ัง 3 ตัว Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 568 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) → สว่ น f2 = arcsin f2 (88) A = ad − bc, x = (ad)2 + (bc)2 เปน็ ฟังกช์ นั เพมิ่ เสมอ π/2 โจทยต์ อ้ งการ ad − bc > (ad)2 + (bc)2 (ความชนั เป็นบวก) -1 1 x → (ad)2 − 2abcd + (bc)2 > (ad)2 + (bc)2 ฉะนน้ั ขอ้ 1. ถกู แล้ว O → −2abcd > 0 → abcd < 0 เปน็ ไปไม่ได้เลย f4 −π/2 ∴ P = 0 ตอบ ข้อ 1. O x → f4 = ln x เป็นฟงั กช์ ันเพ่มิ (89) Yˆ = mX + c → Y = mX + c ด้วย 1 ∴ 109 = 53m + c .....(1) เช่นกัน ฉะนั้น ความชันเปน็ และ 5 = m(1) + c .....(2) บวก ขอ้ 2. ถูกแลว้ แกร้ ะบบสมการได้ m = 2 , c = 3 → f3 = ex กเ็ ปน็ f3 ∴ เมอื่ x = 20 วินาที ฟังก์ชนั เพมิ่ ดงั นน้ั 1 จะได้ Yˆ = 2(20) + 3 = 43 m/s ตอบ ข้อ 3. ผดิ O x (90) ก. จากเงอื่ นไขของรทู้ พบว่า x − 6 > 0 และ x + 4 > 0 และ 6 − x > 0 นํามาอนิ เตอรเ์ ซคกนั สว่ นข้อ 4. นนั้ ถกู แล้ว เนอ่ื งจาก cos π < cos π เหลอื แคเ่ ลข 6 แคต่ ัวเดียว 46 → แทนคา่ x = 6 ดู พบว่า 0 + 10 > 0 จรงิ cos π ∴ ผลบวกคําตอบกค็ อื 6 ขอ้ ก. ผิด ความชนั ของกราฟ f4 ที่ จงึ มากกว่า ข. ( x)x = x3; โดย x > 0 4 ตอบ ข้อ 3. ใส่ log 2 ข้าง; x log x = 3 log x 2 (84) lim 4n + 18n4 + 18n3 + 2n ; n→∞ 5n4 + 20n3 + 2 ⋅ 2n → (x − 3)(log x) = 0 2 [นํา 2n ไปหารทงั้ เศษและสว่ น] 4n + 18n4 + 18n3 + 1 จะได้ x − 3 = 0 หรอื log x = 0 2n 2 → lim 5n4 + 20n3 2n → x = 6 หรอื 1 ขอ้ ข. ถูก ตอบ ขอ้ 2. n→∞ +2 (91) ให้ θ = arctan 3 ∴ sin θ = 3 ซ่ึงถา้ n → ∞ แลว้ n4 << 2n (นอ้ ยกวา่ มากๆๆๆ) 45 ∴ lim n4 =0 ดังนน้ั ตอบ 1 → cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ = 1 − 18 = 0.28 ตอบ 2n 2 25 n→∞ (92) −1 + i 3 เป็นคาํ ตอบ แสดงวา่ สงั ยุคคอื (85) กราฟผา่ น (0, 10) → จะได้ c = 10 −1 − i 3 ต้องเปน็ คาํ ตอบดว้ ย จาก (x + 1 − i 3)(x + 1 + i 3) = x2 + 2x + 4 ผา่ น (5, 20) → 20 = 25a + 5b + 10 .....(1) นําไปหารยาวออกจาก f(x) ไดผ้ ลเปน็ ผา่ น (8, 50) → 50 = 64a + 8b + 10 .....(2) ได้ a = 1, b = −3 ∴ y = x2 − 3x + 10 ซ่งึ y′(4) = 2(4) − 3 = 5 ตอบ (x2 + 2x + 4)(x3 − 2x2 + 9x − 18) = 0 (86) ให้ x = (0.0981)1/5 แยกตัวประกอบ → log x = 1 log(0.0981) = − 1.0083 = −0.2017 → (x2 + 2x + 4)(x − 2)(x2 + 9) = 0 55 ดังนนั้ คาํ ตอบคือ −1 + i 3, −1 − i 3, 2, −3i, 3i = −1 + 0.7983 = log(0.1) + log(6.285) ผลบวกคาํ ตอบ = 0 ตอบ = log 0.6285 → x = 0.6285 ตอบ [อาจใชส้ ตู รลดั ทใ่ี ห้ไว้ในบทจาํ นวนเชิงซ้อนกไ็ ด]้ (87) g−1(x) = 3 x → g(x) = x3 (93) 31B16 = 3 × 162 + 1 × 161 + 11 × 160 ⎛ 2x + 1⎞3 = 768 + 16 + 11 = 795 ตอบ ⎝⎜ 1 − 2x ⎠⎟ → (gof)(x) = y = (94) λI − A = λ −1 2 λ+2 dy + 1⎞2 ⎛ (1 − 2x)(2) − (2x + 1)(−2)⎞ ∴ dx = 3 ⎝⎜⎛ 2x 2x ⎠⎟ ⎝⎜ (1 − 2x)2 ⎠⎟ = λ(λ + 2) + 2 = λ2 + 2λ + 2 = 0 1− ตอบ→dy ⎝⎛⎜ 2 + 2 ⎠⎞⎟ ∴ λ = −2 ± 4 − 8 = −1 ± i ตอบ dx = 3 (1)2 1 = 12 2 x=0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 569 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) (95) จัดรปู ; (102) สมการ y − 1 = x − 2 16 (y2 − 4y + 4) − 25 (x2 − 2x + 1) = − 439 + 64 − 25 ได้แก่ (y − 1) = (x − 2) และ (y − 1) = −(x − 2) → 16(y − 2)2 − 25(x + 1)2 = −400 เป็นเสน้ ตรงสองเส้นกากบาท → (x + 1)2 − (y − 2)2 = 1 ผา่ นจุด (2, 1) 3 16 25 พน้ื ที่ Δ = 1 × 4 × 2 -1 2 เปน็ ไฮเพอร์โบลาเปิดซา้ ยขวา a = 4, b = 5 2 เสน้ กาํ กบั ตอ้ งผ่านจดุ ยอด (−1, 2) และมคี วามชนั ± (b/a) = 4 ตร.หนว่ ย ตอบ ดงั นนั้ ตอบ y − 2 = ± 5 (x + 1) คอื ขอ้ 4. (103) A1 = [−10, 2] , A2 = [−5, 14] , (96) 4 b 5 A3 = [− 10 , 22] , ... a 37 A∞ = [ lim(− 10), lim (8n − 2)] = [0, 4] n → ∞ n n → ∞ 2n + 1 ความยาวลวด 80 เมตร (เป็นชว่ งทไ่ี ม่เกดิ ข้นึ จริงเพราะเกดิ ทอี่ นันต)์ → 80 = 2b + 4a ∴ b = 40 − 2a ก. ถกูAn ∪ An + 1 ∪ An + 2 ∪ … ∪ A∞ = ⎢⎡⎣− 10 , 4 ⎠⎞⎟ n พ้ืนที่ A = ab = a (40 − 2a) = 40a − 2a2 จะได้ A′ = 40 − 4a = 0 → a = 10 ข. ถูกAn ∩ An + 1 ∩ An + 2 ∩ … ∩ A∞ = ⎛ 0, 8n − 2 ⎤ ดังนนั้ Amax = 10(40 − 20) = 200 ตร.ม. ตอบ ⎜⎝ 2n + 1 ⎦⎥ (97) g(ln x 3+2) = 1 = 1 ค. ∪∞ ⎣⎡⎢− 10 , 4 ⎞ − ∩∞ ⎛ 0, 8n − 2⎤ ln x3 + 3 (ln x 3+2) + 1 n ⎠⎟ ⎝⎜ 2n + 1 ⎦⎥ i=1 i=1 ∴ g(x) = 1 ตอบ = (0, 4) − (0, 4) = ∅ ถกู ดงั นน้ั ตอบ ถกู 3 ข้อ x+1 y (104) สมมตสิ รา้ ง n ชั้น (98) (0, 2) → T = 44 คา่ ใช้จา่ ยเฉล่ยี y = 800 + (1 + 2 + 3 + ... + n) n (4, 0) → T = 100 (2,2) ⎡(n)(n + 1)⎤ (2, 2) → T = 94 2 (3,1.5) = 800 + ⎣⎢ 2 ⎦⎥ = 800 + n + 1 (3, 1.5) → T = 108 O4 2 n n2 ∴ Tmax = 108 ตอบ x ∴ y′ = − 800 + 1 = 0 → n2 = 1,600 n2 2 → n = 40 ชั้น ตอบ (99) ˜AC ˜⎡6⎤ ⎡4⎤ = , AD = ⎣⎢3⎦⎥ (105) 100 ⎣⎢8⎦⎥ ∑ an = a1 + a2 + a3 + … + a100 หามุม θ โดยการดอท; n=1 6(4) + 8(3) = (10)(5) cos θ = 1 + 21 + 3 + 22 + … + 99 + 250 → cos θ = 48 ∴ θ = cos−1 24 ตอบ = (1 + 3 + 5 + … + 99) + (21 + 22 + 23 + … + 250) 50 25 = ⎝⎛⎜ 50 (1 + 99)⎠⎟⎞ + ⎛ 2(1 − 250)⎞ 2 ⎜⎝ 1 − 2 ⎠⎟ (100) C = (AB)T = BTAT = ⎣⎢⎡bb1121 bb2221 ⎤ ⎣⎡⎢aa1121 aa2221 ⎤ ⎦⎥ ⎦⎥ ตอบ= 2,500 + 2 (250 − 1) = 2,500 + 2 (x2 − 1) = ⎡ a11b11 +a12b21 a21b11 +a22b21 ⎤ (106) แปลงกราฟเป็น แกน log(f(x)) จะได้ดงั น้ี ⎢⎣a11b12 +a12b22 a21b21 +a22b22 ⎥⎦ (log 1 = 0 ดงั นน้ั แกน x จงึ ตอ้ งขยบั ขึน้ มา 1 ชอ่ ง) พิจารณา c12 = a21b11 + a22b21 log f(x) และ c21 = a11b12 + a12b22 น่ันคอื aj1b1i + aj2b2i ตอบ ขอ้ 1. 3 (101) พ้ืนทแี่ รเงา = พ้นื ท่ีใต้กราฟจาก 0 ถึง 9 2 1 ลบดว้ ยพ้ืนท่ีสามเหลย่ี ม 0 x -1 1 23 9 x) dx − 1 × 4 × 9 = (2x3/2) 9 − 18 20 = ∫ (3 0 = 54 − 18 = 36 ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 570 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 3 พนื้ ทีใ่ ตก้ ราฟจาก 1 ถึง 3 (115) พ้ืนท่ีแรเงาดงั น้ี เท่ากบั 1 ของวงกลม ∫ log[f(x)]dx = 1 4 AB = 1 × 2 × (3 + 1) = 4 ตอบ ลบดว้ ยพน้ื ที่ ΔABC 2 (107) 3 P1P2 = 22 + 32 = 13 จะได้ = 1 π 12 − 1 × 1 × 1 C 42 ตอบ = π − 1 และในโจทยม์ รี ปู น้ี 2 ซีกรวมกนั 42 ตอบ 2 (π − 1) = π − 1 ≈ 0.57 cm2 2 42 2 (108) พิจารณาสมการ −x + ky − z = 3 กับ (116) เปรียบเทยี บได้ดงั น้ี x − y + z = −2 พบวา่ สัมประสทิ ธขิ์ อง x และของ 1. ผืนผา้ ไมต่ อ้ งคดิ เพราะพื้นท่ีนอ้ ยกวา่ จัตรุ สั อยู่แลว้ (ความรจู้ ากเรือ่ งอนุพนั ธ)์ z ถูกคณู -1 ดงั นัน้ จะไม่มคี าํ ตอบเมอื่ k = 1 ตอบ 2. จัตุรสั พนื้ ที่ = ด้าน2 [จะคาํ นวณจาก det = 0 กไ็ ด]้ ⎛ L ⎞2 L2 (109) หาร x − 2 กบั x + 1 ลงตัว แสดงวา่ แต่ 4ดา้ น = L ∴ พน้ื ที่ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 16 p(x) = (x − 2)(x + 1)(x − c) 3. หกเหลย่ี มด้านเทา่ พืน้ ท่ี = 6 รูป Δ ด้านเท่า หาคา่ c โดย “หาร x แล้วเหลอื เศษ 8” นั่นคอื p(0) = 8 → 8 = (−2)(1)(−c) → c = 4 = 6 ( 1 × ดา้ น × ด้าน × sin 60° ) = 3 3 ด้าน2 ตอบ p(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 4) 2 2 (110) พืน้ ท่ี ΔABC = 2 = 1 × 1 × BC → BC = 4 แต่ 6ด้าน = L ∴ พน้ื ที่ = 3 3 ⎛ L ⎞2 = L2 2 2 ⎜⎝ 6 ⎠⎟ 24 3 Δ คลา้ ย; AB = BE → 1 = 0.8 (หมายเหตุ คดิ พน้ื ทส่ี ามเหลยี่ มจาก 1 [ab sin C] ) 2 AC BD 4 BD 4. วงกลม พ้นื ที่ = π รัศม2ี → BD = 3.2 หน่วย ตอบ ⎞2 L2 (111) จากการพิสจู น์แล้วในหวั ขอ้ “อนพุ นั ธ”์ (บทท่ี แต่ L = 2π รัศมี ∴ พนื้ ท่ี = π ⎛ L ⎟⎠ = ⎜⎝ 4π 15) จะไดว้ า่ ตอ้ งตดั ออก “ดา้ นละ 1 ใน 6” ดงั นนั้ 2π ปริมาตร = ⎛⎝⎜ 4 16 ⎟⎞⎠2× 16 8,192 ลบ.ซม. ตอบ เปรยี บเทยี บกนั พบว่า 4π < 16 < 24 3 6 6 27 × = ดังนนั้ วงกลมมีพน้ื ที่มากทสี่ ุด ตอบ (112) ก. ผดิ (117) 10 เมตร = 104 มลิ ลิเมตร ต้องเปน็ sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β ตัดครง้ั แรกเหลอื 104 , ตดั คร้งั ทสี่ องเหลอื 104 , 2 22 ข. กบั ค. ถกู แลว้ ง. ผดิ ต้องเป็น cos(α − 30°) + cos(α + 30°) ครงั้ ทส่ี ามเหลอื 104 , ฯลฯ 23 = 2 cos α cos 30° = 3 cos α ตอบ ขอ้ 4. (113) คดิ ดว้ ยวธิ ดี งั รูป (คลา้ ยสตู รในเร่อื งเซต) ∴ 104 < 1 → 2n > 104 → n log 2 > 4 2n → n > 4 ซึ่ง 4 ≈ 13 กวา่ +- 0.301 0.301 = ∴ต้องตัด 14 ครัง้ ขน้ึ ไป ตอบ = ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 3 ⎞⎠⎟ + ⎜⎝⎛ 23 ⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝ 52 ⎟⎠⎞ − ⎛⎝⎜ 23 ⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛ 23 ⎟⎠⎞ = 39 รูป ตอบ (118) มเี มฆมาก 2 2 หรอื ไม่มีฝนตก (114) y3 + 4y2 − 9 = 3y + 9 แรเงาไดด้ ังภาพ → y3 + 4y2 − 3y − 18 = 0 → (y − 2)(y + 3)2 = 0 คิดจาก เมฆมาก ฝนตก แต่จากโจทยม์ ตี วั ส่วน ดงั นน้ั y ≠ −3 1 − (P{ ฝนตก } − P{ เมฆมากและฝนตก }) จึงได้วา่ y = 2 เท่าน้ัน ∴ f(2) = 23 − 2(2) + 5 = 9 ตอบ ขอ้ 2. = 1 − (0.35 − 0.25) = 0.90 ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 571 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) (119) คิดท่รี ะนาบ z = 2 ก่อน (มองเฉพาะ x,y) (125) z = 16 − 15 = 2 0.5 ได้สมการเสน้ ตรง AB เป็น (y − 2) = 3 (x − 2) A 4 z=2 → 3x − 4y + 2 = 0 A B D2 z=-3 5 -2 0 2 z C A = 19/20 = 47.5% 2 (หาร 2 เพราะโจทยบ์ อกมาเป็นชว่ ง ±2 ) ระยะจากจดุ D (−4, 0, 2) มาถงึ AB ดงั นน้ั พน้ื ทด่ี า้ นขวาของ A = 50 − 47.5 = 2.5% คิดจาก 3(−4) − 4(0) + 2 = 2 หน่วย คอื มีคนมากกวา่ เขาอยู่ 2.5% ดงั น้ัน 32 + 42 เขาไดล้ าํ ดับท่ีประมาณ 2.5% × 200 = 5 ตอบ (126) สมการเสน้ ตรง ผา่ นจดุ (1,4) จากนน้ั มองวา่ ระยะทางนตี้ ง้ั ฉากกบั CD ซ่งึ ยาว 2 − (−3) = 5 หนว่ ย → (y − 4) = − 2 (x2 − 1) 3 คาํ ตอบคอื 22 + 52 = 29 หนว่ ย ไม่มีขอ้ ใดถกู กระจายไดเ้ ปน็ 2x2 = −3y + 14 (120) พื้นทห่ี กเหลย่ี ม = 6 ⋅ Δ → x2 = − 3 y + 7 = 4(− 3)(y − 14) = 6(1 × 7 × 7 × sin 60°) = 147 3 ≈ 127.3 2 83 22 เปน็ พาราโบลาคว่ํา จุดยอด V(h, k) = (0, 14) พนื้ ทวี่ งกลม = π (7)2 ≈ 22 × 72 = 154 3 7 จุดโฟกสั F(0, 14 − 3) = (0, 103) ไมม่ ีขอ้ ใดถกู ตอบ 154 − 127.3 = 26.7 cm2 38 24 (121) log(f(x)) + log(g(x)) = 4 (127) A โจทย์บอก XYˆC = 150° และ log 10 + log(f(x)) − log(g(x)) = 3 X 105 3 ∴ AYˆX = 30° จะได้ log(f(x)) = 3 , log(g(x)) = 1 O ดังนน้ั g(x) = 10 → x2 + 1 = 10 → x = ±3 ตอบ B Y แตม่ ุม AXˆY = 90° จะได้ C XAˆY = 60° ถูกแบง่ ครงึ่ ดว้ ย AO → BAˆO = 30° (122) 4 ⎡ df(x) x⎥⎦⎤ 4 ⎡ df(x)⎤ 4 ⎢⎣ dx + dx = ⎢⎣ dx ⎦⎥ dx + dx 200 3 ∫ ∫ ∫x จาก ΔOAB จะได้ tan 30° = 200 3 1 1 1 AB = ⎡⎣ f(x) ⎦⎤ 4 + ⎡ x2 ⎤ 4 = (f(4) − f(1)) + (42 − 12 ) → AB = 600 เมตร 1 ⎢ ⎥ 1 2 2 ⎣ 2 ⎦ = (6 − 8) + (8 − 1) = 5.5 ตอบ จาก ΔAXY จะได้ tan 30° = AX 2 105 3 [หมายเหตุ คา่ f(4) และ f(1) ดูจากกราฟ] → AX = 105 เมตร ตอบ XB = 600 − 105 = 495 เมตร (123) จาก j = −1 = 1∠ π ดังนน้ั j = jπ (128) แพทย์ 10 → จากข้อ ง. และ ก. ได้วา่ มี 2 1e 2 พยาบาล 5 → แสดงว่ามแี พทยท์ ไ่ี มพ่ ยาบาลอีก 5 → แต่จากข้อ จ. ทาํ ใหท้ ราบวา่ 5 แห่งนต้ี อ้ งสอน → ln jj = j ln j = π = j2 π ln e วิศวะ → จากข้อ ข. ทาํ ใหท้ ราบว่า วิศวะกบั แพทย์มี 2 5 และวิศวะกบั พยาบาลไมม่ ีเลย → ดงั น้ัน จากขอ้ j ค. ทาํ ใหท้ ราบว่า วิศวะทง้ั หมดมี 10 แห่ง ตอบ j ln e 2 ซ่ึง j2 = −1 และ ln e = 1 ∴ ตอบ − π 2 (124) P(J) = 0.85, P(A) = 0.5, พยาบาล ติดขัด (J) อุบตั ิ (A) P(J ∩ A) = 0.3 5 5 5 วิศวะ ∴ P(J ∪ A) = 0.85 + 0.5 − 0.3 = 1.05 แพทย์ ความน่าจะเปน็ เกิน 1 ดงั นน้ั โจทยข์ อ้ น้ีผดิ ตอบ (129) y2(y + 3) = 4(y + 3) แต่โจทยบ์ อกวา่ (แตถ่ า้ มั่วทาํ ตอ่ กพ็ อไหว โจทยถ์ าม (J' ∪ A) คอื y ≠ −3 ดงั นั้น y2 = 4 → y = 2, −2 ∴ f(2) = 2, f(−2) = 6 ตอบ {2, 6} สว่ นทแ่ี รเงา คดิ จาก 1 − (P(J) − P(J ∩ A)) = 1 − (0.85 − 0.3) = 0.45 กอ็ าจเฉลยข้อ 3.) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 572 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) (130) จากโจทย์ = [(i + 1)2]10 (137) เส้นรอบวง วงนอกสดุ = πd [(i − 1)2]8 = (2i)10 = (2i)2 = −4 ตอบ d d d/2 (−2i)8 22 (131) ต้องการกรองแสง เหลอื ประมาณ 0.40 1 ชัน้ เหลอื แสง 0.80 2 ช้ัน เหลือ 0.80 × 0.80 = 0.64 รศั มีวงถัดไป = d → เสน้ รอบวง = πd 3 ช้ัน เหลอื 0.80 × 0.64 = 0.512 22 2 4 ช้นั เหลอื 0.80 × 0.512 = 0.4096 ดังนน้ั ผลบวกคอื πd + πd + πd +… ดังนน้ั ตอบ 4 ชั้น 2 ( 2)2 (132) โจทยค์ ือ p → q [อนกุ รมเรขาฯอนนั ต]์ = πd = 2πd ตอบ ขอ้ 1. q → p ผดิ ข้อ 2. ~ p → ~ q ผดิ 1−( 1) 2−1 ∴ ขอ้ 3. ถกู (คือ ~ q → ~ p ) ตอบ 2 (133) A = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4, B = a ⋅ 2 ⋅ 1 = 2a (138) สมมตคิ วามเรว็ เป็น x กับ y และถงั มี → AB = 4 ⋅ 2a = 8 → a = 1 ตอบ ปริมาตรเทา่ กบั 1 จะไดว้ า่ 1 −1 =3 .....(1) x y (134) มมุ ABˆC = 30° และ 1 = 2 .....(2) x+y จากกฎของ sin; AB = 50 sin 45° sin 30° แก้ระบบสมการได้ x = 1 , y = 1 63 ดังนน้ั AB = 50 2 เมตร ตอบ ดงั นนั้ เวลาท่ใี ชส้ บู คอื 6 และ 3 ชม. ตอบ ขอ้ 2. (135) lim ⎛ 4n5 + n3 ⎞ = lim ⎛ 4 + 1 ⎞ = 4 (139) ข้อ 1. ความชนั 3 , − 1 , 3 n→∞ ⎜⎝ 5n5 − 38 ⎠⎟ ⎜ 5 − n2 ⎟ 5 n→∞ ⎜ 38 ⎟ 5 45 ⎜⎜⎝ n5 ⎟⎠⎟ ขอ้ 2. ความชนั 1 , −3 , 1 (ใชว้ ิธีนาํ n5 หารทงั้ เศษและสว่ น) 33 lim 3 cos(nπ) = 3 lim cos(nπ) ข้อ 3. ความชัน 1 , −2, − 2 n→∞ n→∞ 43 {= 3 lim −1 , 1 , −1 , }1 , −1 , … = 3 ⋅ 1 = 3 ข้อ 4. ความชนั 5 , 2, − 3 n→∞ 35 ตอบ 4 × 3 = 2.4 5 มขี อ้ 2. กบั 4. ทีม่ ีเสน้ สองเสน้ ตง้ั ฉากกัน (ความชนั คูณกนั ได้ -1) แตว่ ่าขอ้ 2. อกี เสน้ ก็ตง้ั ฉากดว้ ย (คือ (136) ระยะทาง 500 กม. ความเร็ว v กม./ชม. แสดงวา่ ใชเ้ วลาวง่ิ 500 ชม. มี 1 เทา่ กนั สองเสน้ ) จงึ ไมเ่ กดิ สามเหล่ยี ม v 3 → ค่าใชจ้ ่าย f(v) = (v2 + 40)(500) ดังนนั้ ตอบ ขอ้ 4. 5v = 100v + 20,000 v f′(v) = 100 − 20,000 = 0 → v2 = 200 v2 ∴ v = 200 = 10 2 กม./ชม. (จงึ จะเสยี คา่ ใชจ้ า่ ย นอ้ ยที่สดุ ) ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 573 ขอ สอบเขาฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) ¢ŒoÊoºe¢ÒŒ Ï ¾×é¹°Ò¹ÇÈi Ça ’41-’48 e©¾Òa¢oŒ ·èeÕ »¹š ¤³µi ÈÒʵÏ หมายเหตุ ข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 2 คะแนน และข้อสอบแบบอตั นัย ขอ้ ละ 3 คะแนน ตุลาคม 2541 1. จากการสังเกต ณ จุด A มุมระหวา่ งแนวราบและแนวทม่ี องไปยงั ยอดตกึ แห่งหน่งึ เปน็ 30 องศา เมื่อเดินจากจุด A มงุ่ ไปยังตกึ นเี้ ป็นระยะทาง 200 เมตร ถงึ จดุ B พบว่ามมุ ระหว่างแนวราบและ แนวทมี่ องไปยงั ยอดตกึ น้ีเป็นมุม 45 องศาพอดี ความสูงของตกึ หลงั น้สี ูงก่เี มตร โดยประมาณ 1. 271 2. 273 3. 275 4. 277 2. วศิ วกรคนหน่ึงมลี ูกน้อง 10 คน จะแบ่งกล่มุ ลกู น้องเป็นสองกลุม่ ให้มีคนกลมุ่ ละเทา่ ๆ กนั วิศวกร ผูน้ ้นั จะมีวิธจี ัดกลมุ่ ลกู น้องได้กว่ี ธิ ี 1. 45 วิธี 2. 90 วิธี 3. 126 วิธี 4. 252 วธิ ี f(t) ∫3. จงหา0 2 5 1. 0 2. 2.5 f (t) dt O 12 34 t 3. 5 -5 4. 10 4. จากการวเิ คราะหแ์ นวโนม้ ของปริมาณรถที่ว่งิ ผา่ นถนนสายหนึง่ ในอดีตพบวา่ ปรมิ าณรถท่ีวิง่ ผ่าน แปรผนั ตามรากที่สองของจาํ นวนประชากรในเมือง A ปจั จบุ นั เมือง A มีประชากรอยู่ 9 ล้านคน สมมตใิ หแ้ นวโน้มการเปล่ียนแปลงของปรมิ าณรถทีว่ ่งิ ผ่านถนนสายน้มี ีอตั ราคงที่ และคาดวา่ จะมี ประชากรในอีก 10 ปขี ้างหน้าเพม่ิ เป็น 16 ลา้ นคน ปรมิ าณรถที่ว่งิ ผา่ นถนนสายนใี้ นอีก 10 ปี ขา้ งหน้าจะเพิ่มเป็นก่เี ทา่ ของปริมาณรถท่วี ิง่ ผา่ นถนนสายน้ี ณ ปปี ัจจบุ นั 1. 4/3 2. 1.5 3. 16/9 4. 4 5. รูปสี่เหลยี่ มจัตรุ สั รปู หนง่ึ มีความยาวของแต่ละดา้ นเทา่ กับ a ถกู บรรจุด้วยสเ่ี หลีย่ มจัตรุ ัสซ่ึงมมี มุ อยูท่ ีจ่ ดุ ก่งึ กลางของแตล่ ะด้านของสเี่ หลีย่ มภายนอก ดังแสดงในรปู ถา้ สเี่ หลยี่ มดงั กลา่ วเกดิ ขึ้นอย่าง a ไมส่ น้ิ สุด จงหาผลรวมของเส้นรอบรูปสี่เหลีย่ มทั้งหมดท่ีเกิดขึ้น 1. 4 2 a 2. 2 − 1 1+ 2 4 2a a 3. 4 2 a 4. 1 + 2 2 −1 4 2a Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 574 ขอ สอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) 6. ถา้ x1 , x2 , …, xN เปน็ ข้อมูลชดุ หน่งึ ท่ี N > 0 และทกุ ๆ ค่าของ x เป็นจํานวนเตม็ ค่าเฉลีย่ ของข้อมูลชดุ น้ีเปน็ ค่าแบบใด 1. จาํ นวนเต็ม 2. จาํ นวนนบั 3. จํานวนตรรกยะ 4. จํานวนอตรรกยะ 7. จากการขนส่งสนิ ค้าทางบกจากกรงุ เทพไปยังจังหวัดอดุ รธานี พบว่ามีการขนสง่ ด้วยรถไฟและ รถบรรทกุ อยรู่ อ้ ยละ 20 มีการขนสง่ ด้วยรถไฟร้อยละ 30 ถามวา่ มีการขนสง่ สินคา้ ดว้ ยรถบรรทุก อยู่รอ้ ยละเทา่ ใด มนี าคม 2542 8. โรงงานผลติ ถ้วยแกว้ แห่งหน่ึงมกี ารควบคมุ คณุ ภาพแบบสุม่ ตรวจ ระดับคณุ ภาพของโรงงานอยทู่ ี่ ความผดิ พลาดหรือข้อบกพรอ่ งของผลติ ภัณฑ์ (เช่น บ่นิ เบย้ี ว ผิดขนาด ฯลฯ) ไม่เกินรอ้ ยละ 5 ดงั นั้นในการผลิตถว้ ยแก้ว 1,500 ใบ จะตอ้ งสมุ่ ตรวจกใ่ี บทีเ่ มื่อไม่พบขอ้ บกพรอ่ งเลยจะสามารถ ยอมรบั ได้ตามเกณฑร์ ะดับคณุ ภาพดงั กล่าว 1. 75 ใบ 2. 74 ใบ 3. 19 ใบ 4. 20 ใบ 9. เมอื ง A และ B อยู่หา่ งกัน 20 กม. ดาํ ออกเดินทางจากเมอื ง A ในแนวทิศะวันออกเฉยี ง N เหนอื แดงออกเดินทางจากเมอื ง B ในแนวทิศตะวนั ตกเฉียงเหนือ เมอื ง C อยู่ ระหว่างทางในแนวทางเดินของดาํ กับแดง เมอื ง C อยหู่ ่างจากเมือง A เท่าไร 1. 10.00 กม. 2. 10 2 กม. A B 3. 10 3 กม. 4. 20.00 กม. 20 กม. 10. แผนกซ่อมบํารุงของโรงงานแห่งหน่งึ มีพนักงานประจาํ 9 นาย เป็นช่างกลโรงงาน 5 นาย และ ช่างไฟฟ้า 4 นาย ในการจดั ทมี ซ่อมบาํ รงุ แต่ละคร้งั จะใช้ชา่ งกลโรงงาน 3 นาย และชา่ งไฟฟ้า 2 นาย ในฐานะหวั หน้าแผนกซ่อมบาํ รงุ ท่านมีวิธจี ดั ทีมงานได้กี่วธิ ี มนี าคม 2543 11. แกว้ บรรจุนาํ้ เต็มปริ่มใบหน่ึง หมุนรอบแกนกลางของแก้วด้วยความเร็วคงที่ แรงหนศี นู ย์กลางที่ เกิดขึ้นทําให้นา้ํ ที่อยใู่ นแก้วส่วนหน่งึ ล้นออกจากแกว้ เม่ือมองจากภาพตัดขวาง นํ้าทเ่ี หลืออยใู่ นแก้ว ขณะนนั้ อยใู่ นรูปพาราโบลา ซึง่ กน้ รปู พาราโบลาแตะก้นแกว้ และขอบพาราโบลาแตะขอบแก้วดา้ นบน พอดี สามารถเขยี นสมการแสดงความสัมพนั ธ์ในแนว x และ y ของรปู พาราโบลาไดเ้ ป็น y = x2 ดงั รปู นํา้ ที่เหลืออยู่ในแก้วมีปริมาตรเท่าใด y = x2 1. มากกว่า 1/3 ของแกว้ 2. 1/3 ของแก้ว 3. นอ้ ยกวา่ 1/3 ของแก้ว 4. ข้อมูลไม่เพียงพอทจี่ ะบอกได้ 12. ในการคํานวณคา่ ความสามารถของกระบวนการผลิต ดัชนีชี้วัดประกอบด้วย CPU = USL − X CPL = LSL − X 3 ⋅ SD 3 ⋅ SD และ CPK = คา่ ทต่ี ่าํ กวา่ ระหวา่ ง CPU กบั CPL โดยที่ USL คอื ค่าควบคุมขนั้ สงู LSL คือคา่ ควบคุมข้ันตา่ํ X คอื คา่ ปัจจยั เฉลย่ี ของผลิตภณั ฑ์ SD คือคา่ ความเบี่ยงเบนมาตรฐานของปัจจยั เมื่อคา่ CPK = 1 ผลติ ภณั ฑ์ทเี่ สียหายซึ่งเกิดข้นึ เม่อื ปัจจยั สงู z 0.00 3.00 หรอื ต่าํ กว่าคา่ ควบคมุ จะมจี ํานวนรอ้ ยละเทา่ ไร (ทศนิยม 2 A 0.0000 0.4987 ตาํ แหนง่ ) ใช้ตารางแสดงพืน้ ทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกติทก่ี ําหนดให้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 575 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) ตลุ าคม 2543 13. ผลสอบวิชาพืน้ ฐานทางวิศวกรรมของนักเรียนจาํ นวน 100 คน มตี ารางแจกแจงความถี่ดังน้ี ชว่ งคะแนน ความถ่ี ช่วงคะแนน ความถ่ี 0–9 15 50 – 59 5 10 – 19 10 60 – 69 5 20 – 29 20 70 – 79 3 30 – 39 30 80 – 89 1 40 – 49 10 90 – 99 1 ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง 1. มัธยฐานมีคา่ มากกวา่ คา่ เฉล่ียเลขคณติ 2. คา่ เฉลย่ี เลขคณติ มคี า่ มากกว่าฐานนยิ ม 3. ฐานนยิ มมคี ่ามากกว่ามัธยฐาน 4. มัธยฐานมีค่ามากกว่าฐานนยิ ม 14. ในการวดั การเปลีย่ นแปลงของการทดลองทางวิศวกรรม บ่อยคร้งั ทคี่ ่าทีว่ ดั ได้จะอยูใ่ นรปู ของลําดับ ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถกู ตอ้ งเกย่ี วกับลาํ ดับ 1. โดเมนของลําดบั เป็นจาํ นวนเต็มบวก 2. ลาํ ดับเรขาคณิตคอื ลําดบั ท่ีมีอัตราสว่ นของพจนท์ ่ี n+1 กับพจน์ท่ี n คงที่ 3. ค่าลมิ ิตของลําดบั คอื คา่ เพียงจํานวนเดียว ท่ีพจนท์ ี่ n ของลาํ ดบั มีค่าเข้าใกลห้ รือเทา่ กับ เมอื่ n มีค่ามากข้ึนอย่างอนันต์ 4. ลําดบั ไดเวอร์เจนต์คอื ลาํ ดับอนนั ตท์ ่ีมคี า่ ลิมติ ของลําดับเปน็ จํานวนจรงิ 15. นาย ก ยนื อยบู่ นดาดฟ้าของตึก A ซึ่งสงู 10 เมตร ต้องการสง่ สัญญาณให้นาย ข โดยใช้ กระจกสะทอ้ นแสงอาทติ ย์ โดยนาย ข ยนื รออยู่บนดาดฟ้าของตึก B ซึง่ สงู 50 เมตร และอยูห่ ่าง จากตึก A 30 เมตร ขณะนั้นเปน็ เวลาเที่ยงตรง นาย ก จะต้องวางกระจกสะทอ้ นแสงทาํ มุมกับพ้นื ราบเปน็ มุมเทา่ ใด 1. tan−1 4 เรเดยี น 2. tan−1 5 เรเดียน 3 3 3. π − tan−1 4 เรเดยี น 4. π − 1 tan−1 4 เรเดยี น 23 42 3 16. เลขจํานวนเชิงซอ้ นใชอ้ ยา่ งแพรห่ ลายในงานคํานวณด้านวิศวกรรม ข้อใดตอ่ ไปน้ีเปน็ คุณสมบัติท่ี ไม่ถูกต้องของจาํ นวนเชิงซอ้ น (กาํ หนดให้ z , z1 และ z2 เปน็ จํานวนเชงิ ซอ้ น) 1. (z)−1 = (z−1) 2. z−1 = z − 1 3. z1+ z2 < z1 + z2 4. z1 ⋅ z2 < z1 z2 17. การเก็บข้อมลู แสดงความเสียหายของเครื่องจกั ร A พบวา่ ช่ัวโมงการทํางานเฉล่ยี ของเคร่ืองจักร กอ่ นเสยี หายคือ 2000 ชว่ั โมงทาํ งาน และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน็ 100 ชั่วโมงทํางาน ดงั น้ัน ในฐานะทที่ ่านเปน็ วิศวกรฝา่ ยบํารุงรักษาเครื่องจกั ร ทา่ นจะวางกาํ หนดเวลาการเขา้ บํารุงรักษา เครื่องจกั ร A ไว้ที่ก่ีช่วั โมงทํางาน เพอ่ื ให้เคร่ืองจักรมีโอกาสทาํ งานได้ 97% ใหถ้ ือว่าอตั ราการ เสยี หายเปน็ การแจกแจงแบบปกติ z 0.00 1.88 ใชต้ ารางแสดงพน้ื ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกตทิ ีก่ ําหนดใหต้ อ่ ไปน้ี A 0.0000 0.4700 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 576 ขอสอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) มีนาคม 2544 18. โรงงานอตุ สาหกรรมขนาดเลก็ แห่งหน่งึ ผลิตผลติ ภัณฑ์และบรรจใุ ส่กลอ่ ง กล่องละ 1 โหล เพอื่ จาํ หน่ายท้งั กลอ่ ง ก่อนส่งออกจําหนา่ ยเจ้าหน้าท่ีตรวจสอบคุณภาพผลติ ภณั ฑจ์ ะส่มุ ผลติ ภัณฑ์ในกลอ่ ง อย่างไม่ใส่คืนทกุ กล่อง กลอ่ งละ 3 ชนิ้ เพ่อื ตรวจสอบคณุ ภาพ ถา้ สมุ่ พบผลิตภณั ฑช์ าํ รุดแม้แต่ชิน้ เดยี ว จะส่งผลิตภณั ฑท์ ง้ั กลอ่ งกลบั ไปยังโรงงาน และถ้าไมพ่ บผลิตภัณฑ์ชาํ รุดเลยจะส่งผลิตภัณฑ์ กลอ่ งนัน้ ออกจาํ หนา่ ย จงหาความนา่ จะเปน็ ท่กี ล่องท่ีมีผลิตภณั ฑช์ าํ รดุ 3 ช้ิน จะถกู สง่ ออกไป จําหน่าย 1. 12/55 2. 27/55 3. 7/55 4. 21/55 19. ฟังกช์ นั f เปน็ สบั เซตจาก R ไป R นิยามว่าเป็นฟงั กช์ ันเชิงเสน้ (linear function) ถ้ามคี ุณสมบตั ิต่อไปน้ี (i) f (x + y) = f (x) + f (y) (ii) α f (x) = f (αx) โดยท่ี α เปน็ ค่าคงท่ีจํานวนจรงิ ใดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นฟังกช์ นั เชิงเส้น 1. f(x) 2. f(x) 3. f(x) 4. f(x) x xxx 20. เคร่อื งบรรจุนมกล่องกึ่งอตั โนมัติจะบรรจุนมใส่กล่องกระดาษ โดยปริมาตรบรรจุมีการแจกแจง ปกติและมีคา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 ลบ.ซม. ในการจําหน่ายจะบรรจนุ มกล่องในลงั กระดาษ ขนาดบรรจุ 2 โหลเพอ่ื จาํ หนา่ ย ถา้ ความน่าจะเป็นที่นมในกล่องจะมปี รมิ าตรเกนิ กวา่ 250 ลบ.ซม. เป็นรอ้ ยละ 50 จงหาปรมิ าตรเฉล่ียของนมกล่องทง้ั ลงั เปน็ ลบ.ซม. ตุลาคม 2544 21. ผลติ ภณั ฑ์ ก ประกอบด้วยช้ินสว่ น ข จาํ นวน 2 ชน้ิ นาํ มาประกอบเขา้ ด้วยกัน ถา้ ช้ินส่วน ข ชาํ รดุ จะใชเ้ วลาในการปรบั แต่งกอ่ นประกอบ 9 นาที และใชเ้ วลาในการประกอบ 1 นาที ถา้ ชิ้นสว่ น ข ไม่ชาํ รุดจะไม่ตอ้ งปรับแตง่ และใชเ้ วลาในการประกอบ 1 นาทเี ช่นเดียวกนั ถ้าสุม่ ชิน้ สว่ น ข มา จากกล่องช้ินส่วน ข จํานวน 10 ช้นิ ซึง่ มีชิน้ ส่วน ข ที่ชํารดุ อยู่ 3 ชิ้น และชน้ิ ส่วน ข ทไี่ ม่ชาํ รดุ 7 ช้นิ จงหาเวลาเฉล่ยี ในการประกอบผลติ ภณั ฑ์ ก จาํ นวน 1 ชนิ้ 1. 7.2 นาที 2. 7.4 นาที 3. 8.4 นาที 4. 8.6 นาที 22. ระบบเครอื ขา่ ยคอมพวิ เตอร์หนึ่งๆ จะประกอบดว้ ยคอมพิวเตอรห์ ลายเคร่ือง เคร่อื งคอมพิวเตอร์ แตล่ ะเครื่องมีหน้าทร่ี บั และสง่ ข้อมูล ถา้ สมมติวา่ คอมพวิ เตอร์เครื่องหนึ่งมีขอ้ มูลเข้ามาจากเครื่องอนื่ ดว้ ยอัตราคงท่ี 20 หน่วย/วินาที และจะส่งข้อมูลท้งั หมดทเี่ ขา้ มาออกไปยังเคร่ืองอืน่ ทีอ่ ตั ราคงท่ี 10 หนว่ ย/วนิ าทีดว้ ยความนา่ จะเป็น 1/2 และจะส่งข้อมูลกลับไปรวมกบั ข้อมลู ท่ีเข้ามาจากเครือ่ งอนื่ ที่ อัตราคงที่ 10 หน่วย/วนิ าทีด้วยความนา่ จะเปน็ 1/2 ถ้าเครอ่ื งคอมพิวเตอร์เครอื่ งนสี้ ามารถเก็บข้อมลู ในเคร่ืองได้มากทีส่ ดุ 300 หนว่ ย จงหาวา่ นานเท่าไรเคร่ืองคอมพิวเตอร์เครือ่ งนี้จะสญู เสยี ข้อมูลจาก การท่ไี ม่สามารถเก็บขอ้ มูลส่วนเกินได้ กําหนดใหเ้ ครือ่ งนี้จะสง่ ข้อมลู ออกทนั ทที ี่มขี ้อมลู เก็บอยู่ในเครอ่ื ง 1. 12 วนิ าที 2. 15 วนิ าที 3. 20 วนิ าที 4. 30 วนิ าที Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 577 ขอ สอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) 23. บนเกาะแห่งหน่งึ มีคนอยู่ 2 ประเภท ประเภทแรกเป็นคนทพ่ี ดู ความจรงิ เสมอ ส่วนประเภทสอง เปน็ คนท่ีพดู โกหกเสมอ เมือ่ ท่านข้ึนไปบนเกาะได้ยนิ คนบนเกาะ 2 คน คือ A และ B พูด ดังน้ี A พูดวา่ “B เป็นคนท่พี ูดความจริงเสมอ” B พดู ว่า “ฉนั และ A เปน็ คนคนละประเภทกนั ” ท่านคดิ วา่ A และ B เป็นคนประเภทไหน 1. A และ B เปน็ คนที่พดู ความจรงิ เสมอ 2. A และ B เปน็ คนท่พี ูดโกหกเสมอ 3. A เปน็ คนทีพ่ ูดความจริงเสมอ สว่ น B เป็นคนทีพ่ ดู โกหกเสมอ 4. A เป็นคนท่ีพดู โกหกเสมอ สว่ น B เปน็ คนทพี่ ดู ความจรงิ เสมอ 24. ประเทศ 3 ประเทศ ได้แก่ประเทศ X, ประเทศ Y, และประเทศ Z เปน็ ประเทศเพ่อื นบา้ น มี ชายแดนติดกันดงั แสดงในภาพ นาย x เป็นพลเมอื งประเทศ X ทาํ งานทีด่ า่ นตรวจคนเขา้ เมอื ง ของประเทศ X มนี ิสยั “พูดจริง” เสมอ นาย y เป็นพลเมือง ประเทศ X ประเทศ Y ประเทศ Y ทาํ งานท่ีด่านตรวจคนเข้าเมอื งของประเทศ Y มี ด่าน X ดา่ น Y นสิ ัย “พูดเทจ็ ” เสมอ เน่อื งจากงานค่อนขา้ งนา่ เบ่ือ นาย x และนาย y จึงชอบเปลี่ยนด่านที่ทํางาน บางวนั นาย x จะย้าย ประเทศ Z ไปทาํ งานทด่ี ่านของประเทศ Y ส่วนนาย y จะยา้ ยไปทํางาน แทนท่ีประเทศ X แต่บางวันทั้งคู่กอ็ ย่ปู ระจาํ ด่านของประเทศ ตนเอง ขึ้นอยกู่ ับอารมณแ์ ละสถานการณใ์ นแต่ละวนั หากนาย z ซงึ่ เปน็ พลเมืองประเทศ Z ต้องการเดินทางเขา้ ประเทศ X และได้ศกึ ษาจาก คู่มอื ท่องเทย่ี วซึ่งไดก้ ลา่ วถงึ พฤติกรรมของนาย x และนาย y ไว้อยา่ งชดั เจน ดังนน้ั เมอื่ นาย z ไปถึง ดา่ นตรวจคนเข้าเมอื ง คําถามใดทีน่ าย z ควรใช้ เพือ่ ตดั สนิ ใจว่าดา่ นใดคือด่านเขา้ ประเทศ X ที่ แทจ้ ริง (โดยนาย z มีโอกาสถามได้เพียง 1 ครง้ั เท่านน้ั ) 1. “ท่านเป็นเพศชาย ใช่ไหม” 2. “ทา่ นเปน็ พลเมอื งของประเทศน้ี ใชไ่ หม” 3. “ทา่ นพูดความจริงเสมอ ใช่ไหม” 4. การถามเพยี ง 1 คาํ ถาม ไมเ่ พียงพอตอ่ การหาขอ้ สรุป 25. ในการสํารวจการสวมใสอ่ ุปกรณ์ปอ้ งกันภัยสว่ นบุคคล 3 ชนดิ ของพนักงานในหน่วยงานหน่งึ จาํ นวน 100 คน พบว่าพนกั งานส่วนใหญล่ ะเลยในการสวมใส่อปุ กรณป์ ้องกนั ภัย ทําให้มีโอกาสเกดิ อนั ตรายได้ค่อนขา้ งสูง จากมาตรฐานความปลอดภยั ในการทาํ งานได้ระบวุ า่ ต้องสวมใส่อปุ กรณ์อยา่ ง น้อย 2 ชนดิ คอื หเู สียบปอ้ งกันเสียงดังและแว่นตานริ ภยั ผลการสาํ รวจพบว่ามพี นักงานสว่ นน้อย 3 คน ทไี่ ม่ยอมใส่อปุ กรณอ์ ะไรเลย และ 1) มผี สู้ วมใส่หูเสียบปอ้ งกนั เสยี งดงั 50 คน 2) มีผู้สวมใส่แว่นตานริ ภยั 70 คน 3) มผี ู้สวมใส่ผ้าปดิ จมกู อยา่ งเดยี ว 20 คน 4) มผี ู้สวมใส่แวน่ ตานริ ภัยอย่างเดียว 15 คน 5) มผี สู้ วมใส่ผ้าปิดจมูกและหูเสียบปอ้ งกนั เสยี งดงั 20 คน 6) มผี ู้สวมใส่แว่นตานริ ภยั และผ้าปดิ จมกู 28 คน อยากทราบวา่ มโี อกาสเทา่ ใดทีพ่ นักงานจะสวมใสอ่ ุปกรณ์ได้ถกู ต้องตามมาตรฐานความปลอดภัย 1. 0.27 2. 0.35 3. 0.43 4. ผดิ ทกุ ขอ้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 578 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 26. จงหาจํานวนทางเดนิ ทง้ั หมดจากจดุ a ไปยงั จดุ b โดย a จะต้องเดนิ ไปทางขวาหรอื ลงล่างเท่าน้ัน จากรปู เปน็ ตวั อย่าง ทางเดนิ แบบหน่งึ จากจดุ a ไปจดุ b 1. 70 2. 16 3. 256 4. ผดิ ทกุ ข้อ b 27. ในการบริหารความปลอดภัยในโรงงานมีหลกั การงา่ ยๆ ว่า “เมื่อลงทุนจดั ทําระบบความปลอดภยั ยิง่ สงู กจ็ ะทําให้อบุ ตั เิ หตุนอ้ ยลง” จากการศกึ ษาพฤตกิ รรมของค่าใชจ้ า่ ยทง้ั สองพบวา่ สามารถแสดงได้ จํานวนเงิน (ล้านบาท) ดังกราฟต่อไปนี้ f = 0.01 x − 0.01 อยากทราบว่า จะต้องใชเ้ งินลงทุนในระบบ g= 1 ความปลอดภัยเทา่ ใด ถึงจะไดผ้ ลตอบแทนที่ x−1 คมุ้ คา่ ทสี่ ดุ (หน่วย : 1000 บาท) มนี าคม 2545 28. บรษิ ัทแห่งหน่ึงผลติ สนิ ค้าชน้ิ หนง่ึ มฟี งั ก์ชนั ต้นทุนรวม ดงั สมการ C(x) = x3+ x บาท โดย x คอื จํานวนหนว่ ยของสนิ คา้ ทผ่ี ลติ ซ่ึงจะสัมพันธก์ บั เวลา ( t ) หน่วยเปน็ เดือน ดงั สมการตอ่ ไปนี้ t = x2 − 2x + 7 จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของตน้ ทนุ ตอ่ เวลา ในเดอื นท่ี 4 ของการผลิต 1. 8 1 บาท/เดือน 2. 7 บาท/เดอื น 6 3. 112 บาท/เดอื น 4. ไม่มีขอ้ ถกู 29. หอ้ งเรยี น A และหอ้ งเรียน B มนี กั เรียนรวมกนั ท้งั สนิ้ เท่ากบั 55 คน เม่ือทําการจัดห้องเรยี น พบว่าห้องเรยี น A สามารถจดั ให้นักเรยี นน่ังไดแ้ ถวละ 5 คนพอดี ส่วนห้องเรียน B กส็ ามารถจดั ให้ นกั เรียนนงั่ ได้แถวละ 6 คนพอดี ข้อใดสรุปได้ถูกต้อง เก่ียวกับจาํ นวนแถวของห้องเรยี น A และห้องเรียน B 1. จํานวนแถวของหอ้ งเรียน A < จาํ นวนแถวของหอ้ งเรียน B 2. จาํ นวนแถวของหอ้ งเรียน A = จํานวนแถวของหอ้ งเรยี น B 3. จาํ นวนแถวของหอ้ งเรียน A > จาํ นวนแถวของหอ้ งเรียน B 4. สรุปไม่ได้ 30. บริษัทแห่งหน่ึงมจี ํานวนโทรศัพทท์ ่ีโทรเข้าในชว่ งเวลา t ช่ัวโมง โดยมคี วามนา่ จะเป็นดงั นี้ P [N(t) = n] = t n 2 −t ซ่งึ N(t) คอื จํานวนทโ่ี ทรเข้าในชว่ งเวลา t ช่วั โมง n! จงหาความน่าจะเป็นซึ่งช่วงเวลาระหว่างการโทรเข้าแต่ละครัง้ น้อยกว่า 2 ชว่ั โมง 1. 0 2. 1/4 3. 1/2 4. 3/4 31. กระดาษรูปสามเหล่ียมมุมฉาก มีด้านประกอบมมุ ฉาก 3 ยาว 3 และ 4 cm สามารถตัดเป็นรปู สี่เหล่ียมผืนผา้ ท่ีใหญ่ ท่สี ุดไดก้ ่ีตาราง cm 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 579 ขอ สอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) 32. ในการรบั สมคั รนกั ศกึ ษาด้วยการสอบเข้าของคณะวิศวกรรมศาสตร์ ณ มหาวทิ ยาลยั แหง่ หนึ่ง มี เกณฑว์ ่าผูม้ ีสทิ ธ์เิ ขา้ สอบสมั ภาษณจ์ ะต้องมีคา่ มาตรฐานของคะแนนสอบตัง้ แต่ 1.5 ขนึ้ ไป ถ้า ค่าเฉล่ยี ของคะแนนสอบของผู้เขา้ สอบทัง้ หมดเปน็ 50 และคา่ ความแปรปรวนของคะแนนสอบเป็น 4 จากคะแนนเตม็ 100 คะแนน ผู้เขา้ สอบจะมสี ิทธ์สิ อบสมั ภาษณ์ต่อเมือ่ ทําข้อสอบไดร้ อ้ ยละเท่าไร ขนึ้ ไป ตลุ าคม 2545 33. อุปกรณ์ป้องกัน (Circuit Breaker) ในระบบสง่ จ่ายกาํ ลังไฟฟ้าของการไฟฟ้าฝ่ายผลติ ของ ประเทศไทย ดังแสดงขอ้ มลู ในตารางขา้ งล่าง อปุ กรณป์ อ้ งกนั ราคา/หนว่ ย Probability ท่จี ะชาํ รุด (Circuit Breaker) ในเวลา 5 ปี 750,000 A 650,000 0.18 B 550,000 0.2 C 450,000 0.25 D 0.3 พนักงานออกแบบและวางแผนของการไฟฟ้าฯ ควรจะเลอื กอุปกรณป์ อ้ งกัน (Circuit Breaker) ประเภทใดมาใช้งานเพ่ือให้เกิดความคุม้ ทุนมากทีส่ ดุ 1. D 2. C 3. B 4. A 34. จากรปู แสดงการเปรยี บเทียบเส้นโค้งความถ่ีของคา่ ระดบั ความเข้มแสง (Intensity value) แตล่ ะ จดุ ภาพของรปู ภาพต้นไมแ้ ละรูปภาพเคร่ืองบนิ ซึ่งแตล่ ะรูปภาพมขี นาด 128 x 128 จดุ ภาพ วศิ วกร ทา่ นหนึ่งได้คํานวณค่ามธั ยฐานของค่าระดับความเข้มแสงของรปู ภาพท้งั สอง พบวา่ มีค่าเทา่ กันคือ 128 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. การกระจายของค่าระดบั ความเข้มแสงของรูปภาพตน้ ไม้และรปู ภาพเครอ่ื งบนิ มีคา่ เท่ากนั ข. ค่าเฉล่ียเลขคณติ ของค่าระดบั ความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้และเครือ่ งบิน มีค่าเทา่ กนั ค. ฐานนิยมของค่าระดับความเขม้ แสงของรูปภาพตน้ ไมม้ คี ่านอ้ ยกว่า 128 จาํ นวนจุดภาพ 6,000 ภาพต้นไม้ ภาพเครื่องบนิ O 255 ระดับความเข้มแสง 3. 3 ขอ้ อยากทราบวา่ จาํ นวนขอ้ ท่ีถกู มีทง้ั หมดกข่ี ้อ 1. 1 ขอ้ 2. 2 ขอ้ 4. ผดิ หมดทุกขอ้ 35. ถา้ ในประเทศไทยมีรหัสที่รบั นักศึกษาตอ่ ในคณะวศิ วกรรมศาสตร์ จาํ นวน 100 รหัส แลว้ ใน การสอบคดั เลอื กบุคคลเขา้ ศกึ ษาในสถาบันอุดมศึกษาของทบวงมหาวทิ ยาลยั คราวนี้ ผสู้ มคั รจะมี โอกาสเขา้ ศกึ ษาต่อไดก้ ่ีรหัส 1. ไม่เกิน 4 รหัส 2. 100P4 รหสั 3. 100C4 รหัส 4. 100 รหสั Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 580 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 36. ในการตัดแผน่ เหลก็ รปู ส่ีเหล่ยี ม ABCD ด้วยเครื่องตัดพลาสมา จากเหลก็ แผ่นรูปวงกลม เสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง 8 เมตร โดยรปู สี่เหลี่ยม ABCD นี้สามารถวางลงใน Quadrant ท่ี 2 ของแผ่นโลหะได้พอดีดังรูป AB DC จงหาระยะ BD 1. 8 เมตร 2. 4 เมตร 3. 4 3 เมตร 4. ข้อมูลไมเ่ พียงพอทจี่ ะตอบ มีนาคม 2546 37. รูปเหลีย่ มดา้ นเท่าต้องมคี วามยาวแตล่ ะด้านไมม่ ากกว่าเท่าใด เพอ่ื ท่ีวงกลมรัศมี r สามารถ สมั ผัสกบั ทกุ ดา้ นได้ 1. 4 r 2. 2 3 r 3. 2 r 4. 2 r/ 3 38. บริษทั ผลิตรถยนต์แห่งหน่ึงทาํ การผลิตรถยนต์ 3 ร่นุ โดยแต่ละรุ่นใชว้ สั ดตุ ามตาราง ร่นุ เหลก็ (kg) อะลมู ิเนียม (kg) พลาสติก (kg) A 200 300 400 B 250 300 400 C 200 250 300 ปรากฏวา่ ในวันนม้ี วี สั ดุในโกดงั ดังน้ี เหล็ก 1,000 kg อะลูมิเนยี ม 1,500 kg พลาสติก 1,600 kg เพอื่ ให้วันนีผ้ ลิตรถยนตใ์ ห้ได้จํานวนมากที่สุด วศิ วกรโรงงานควรเลือกปฏบิ ตั ติ ามขอ้ ใด ก. ไมผ่ ลิตรถยนตร์ ่นุ A และ B เลย เพราะว่าใช้วสั ดุมาก ข. ตัดสินใจโดยพจิ ารณาปริมาณการใช้เหล็กและพลาสตกิ เป็นหลัก ค. ผลิตรถยนตร์ นุ่ C รุ่นเดียว เพราะวา่ สามารถได้จาํ นวนมากถึง 5 คนั 1. ก และ ข 2. ก ข และ ค 3. ข และ ค 4. ก และ ค 39. รา้ นเบเกอรแ่ี ห่งหนึ่งต้องใช้แปง้ สาลแี ละนํ้าตาลเป็นวตั ถุดิบหลักในการทาํ ขนมเคก้ และขนมพาย ถา้ ในการทาํ ขนมเค้ก 1 ชิ้น จะตอ้ งใช้แปง้ สาลี 400 กรมั และนา้ํ ตาล 200 กรัม ส่วนขนมพาย 1 ชนิ้ จะต้องใช้แปง้ สาลี 200 กรัม และนา้ํ ตาล 400 กรัม ทางร้านจะได้กําไรจากขนมเคก้ ชิ้นละ 80 บาท และขนมพายชิน้ ละ 100 บาท ถา้ ในแตล่ ะวันทางร้านตอ้ งส่งั แปง้ สาลี 10 กโิ ลกรัม และน้าํ ตาล 14 กิโลกรัม ทางร้านจะต้องผลิตขนมเคก้ และขนมพายอย่างละกี่ช้นิ ต่อวันเพ่อื ให้มีกาํ ไรสูงสุด และจะ ไดก้ ําไรเปน็ เทา่ ใด ถ้าหากขนมทีผ่ ลติ ออกมาขายได้หมด 1. ขนมเค้ก 20 ชิน้ ขนมพาย 20 ช้ิน กาํ ไร 3,600 บาท 2. ขนมเคก้ 10 ช้นิ ขนมพาย 20 ช้ิน กาํ ไร 2,800 บาท 3. ขนมเค้ก 10 ช้ิน ขนมพาย 30 ชิ้น กําไร 3,800 บาท 4. ขนมเคก้ 20 ช้ิน ขนมพาย 10 ชน้ิ กาํ ไร 2,600 บาท 40. ระบบเครอื ข่ายคอมพิวเตอร์ระบบหน่ึงประกอบดว้ ยเครื่องคอมพิวเตอร์ท่ีเหมอื นกนั จาํ นวน 3 เคร่ือง ในระบบน้จี ะอนุญาตให้คอมพิวเตอรส์ ่งขอ้ มูลไดท้ ลี ะเครอื่ ง ไมเ่ ช่นนัน้ จะทาํ ใหร้ ะบบหยุด ทํางาน โดยท่ีคอมพวิ เตอร์เครื่องหนงึ่ จะมีความนา่ จะเปน็ ท่ีจะส่งข้อมูลเทา่ กับ 1/2 จงหาความน่าจะ เป็นทร่ี ะบบเครือขา่ ยน้จี ะทํางานอยไู่ ด้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 581 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) ตลุ าคม 2546 41. โรงงานแห่งหน่ึงมีความต้องการไฟฟา้ เฉลย่ี 1,000 kW ซง่ึ ปจั จบุ นั โรงงานซ้อื ไฟฟ้าจากการ ไฟฟา้ ฯ ในราคา 2 บาท/kWh แต่ในขณะน้ีบรษิ ัทกาํ ลงั คดิ จะเปลีย่ นจากการซ้อื ไฟฟ้ามาเป็นการผลิต ไฟฟ้าใช้เองโดยใช้เคร่อื งยนต์ดีเซล หากการทําเช่นน้มี ีค่าใช้จ่ายตอ่ ปเี ป็น 50,000 + 1,975 n บาท เม่ือ n เปน็ จํานวนชวั่ โมงทํางาน จงหาวา่ โรงงานนี้ควรจะทาํ งานอย่างนอ้ ยกี่ชั่วโมงต่อปี จงึ จะคมุ้ คา่ กับการเปล่ียนมาผลติ ไฟฟ้าใช้เอง 1. 1,500 ชว่ั โมง 2. 1,750 ช่วั โมง 3. 2,000 ชัว่ โมง 4. 2,250 ชว่ั โมง 42. บรษิ ทั ก่อสร้างแห่งหนงึ่ มที ีมวศิ วกรชาย 3 คน และหญิง 3 คน โดยบรษิ ทั มโี ครงการทจ่ี ะส่ง พนักงาน 3 คนไปฝกึ อบรมต่างประเทศ อยากทราบว่าความน่าจะเปน็ ทพี่ นกั งานทีบ่ ริษัทสมุ่ เลือกมา จะเปน็ วศิ วกรชาย 2 คน และวิศวกรหญงิ 1 คน เปน็ เท่าใด 1. 2/9 2. 3/9 3. 3/20 4. 9/20 43. บริษัทผู้ผลิตหลอดฟลอู อเรสเซนต์จากตา่ งประเทศ ตอ้ งการจ้างโรงงานในประเทศไทยเป็น ตวั แทนผลิต โดยมีทางเลือกอยู่ 2 โรงงาน คอื โรงงาน A และโรงงาน B ใหท้ ดลองผลติ หลอดไฟเพอื่ ทีจ่ ะเลอื กตัวแทนผลติ เพยี งรายเดียว B ผลปรากฏวา่ อายุการใชง้ านของหลอดไฟทผี่ ลิตจากโรงงาน A และ B มกี ารแจกแจงปกตดิ งั รูป A จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. อายุการใช้งานเฉล่ียของหลอดไฟจากโรงงาน A เทา่ กบั โรงงาน B x ข. บริษทั จะเลอื กโรงงาน A หรือโรงงาน B เป็นตัวแทนผลติ กไ็ ด้ เพราะใหค้ ุณภาพเทา่ กัน ค. บรษิ ัทควรจะเลอื กโรงงาน A เปน็ ตัวแทนผลิต ข้อความใดถกู ต้องจากผลการทดลองในครงั้ นี้ 1. ก 2. ก และ ข 3. ค 4. ก และ ค มีนาคม 2547 44. กลอ่ งใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกนั 6 ลูก เปน็ ลูกสีแดง 3 ลูก สเี ขียว 2 ลกู สีเหลือง 1 ลกู เด็กคนหน่ึงหยิบลกู แกว้ ออกจากกลอ่ งนีม้ า 1 ลกู โดยวิธีสุ่ม เมอ่ื ดูสขี องลูกแก้วแล้วก็โยนกลับลงใน กลอ่ ง แล้วทาํ การหยิบครั้งท่ี 2 โอกาสทีเ่ ด็กคนนจ้ี ะหยิบได้ลกู แกว้ สีแดงและสีเหลืองอย่างละลกู เทา่ กับขอ้ ใด 1. 1/3 2. 1/6 3. 2/3 4. 1/12 45. ถา้ เชญิ แขกมารับประทานอาหาร 6 คน โดยเป็นผ้ชู าย 3 คน ผูห้ ญิง 3 คน โดยเชญิ ให้แขกนงั่ รอบโตะ๊ กลมซ่งึ มี 6 ทน่ี ่งั อยากทราบว่าความนา่ จะเปน็ ที่จะจดั แขกให้น่ังสลับชาย-หญิง เป็นเท่าใด 1. 1/2 2. 1/5 3. 1/10 4. 1/60 46. จงหาตวั เลขในตาํ แหน่งทีข่ าดหายไปของลาํ ดบั ต่อไปนี้ 125, 726, ......, 40328, 362889 1. 5027 2. 5037 3. 5047 4. 5067 47. บริษทั ผลิตกระเป๋าแหง่ หนึ่ง ถ้าขายใบละ 40 บาท จะขายได้ 4000 ใบ ถา้ ขายใบละ 30 บาท จะขายได้ 8000 ใบ จงสรา้ งฟังกช์ นั เชงิ เส้น f (x) เม่ือ f (x) เป็นจํานวนกระเป๋าท่ีขายได้ และ x เป็นราคาขายตอ่ ใบ 1. f (x) = 400 x − 12000 2. f (x) = 200 x − 4000 3. f (x) = −400 x + 20000 4. f (x) = −200 x + 12000 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 582 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) 48. จงคาํ นวณหาพ้นื ทแี่ รเงาของรูปต่อไปนี้ โดยวงกลมมรี ัศมี เทา่ กบั 1 และสามเหล่ียมมมุ ฉากมีความยาวทัง้ สองด้านเท่ากันคอื 2 12 2 1. 2 − π 2. 2 − π/2 3. 2 − π/8 4. 2 − π/12 49. ผจู้ ดั การโรงงานแหง่ หนงึ่ วางแผนที่จะนาํ เงนิ รายได้ในแตล่ ะปีไปฝากธนาคาร เพื่อจะใช้เป็น 300,000 เงนิ ลงทุนในอกี 4 ปขี า้ งหน้า โดยจะเริม่ ฝากเงินในปีหน้า 200,000 เป็นปแี รก 100,000 200,000 และ 300,000 บาท ตาม 100,000 ลําดบั (ดงั แผนภูมิกระแสเงนิ สด) อยากทราบว่าในปีที่ 4 ถา้ อตั ราดอกเบี้ยเงินฝากคงท่ี 10% ต่อปี ผู้จดั การคนนีจ้ ะมีเงนิ 0 1 2 3 4 ปีท่ี เกบ็ รวมเป็นเท่าใด (คิดเปน็ หน่วยพนั บาท) ตลุ าคม 2547 0.9 0.8 50. แผงวงจรอิเลก็ ทรอนกิ ส์ ประกอบ 0.8 0.9 ด้วยช้ินส่วนตา่ งๆดงั รปู โดยแต่ละชน้ิ ส่วน 0.9 จะมคี า่ ความนา่ จะเป็นในการทํางานตามตัวเลขที่ระบุไว้ อยากทราบว่าความน่าจะเป็นรวมของวงจรนท้ี ่ีจะทํางานได้ เป็นเท่าใด (พิจารณาทศนิยม 2 ตาํ แหน่ง) 1. 0.52 2. 0.65 3. 0.70 4. 0.72 51. ในการวางแผนการผลิตของชิ้นส่วนรถยนต์ พบวา่ เกดิ ความลา่ ชา้ เนื่องจากการรองาน วศิ วกรฝ่าย วางแผนจึงสนใจทาํ การเกบ็ ขอ้ มูลเวลาทล่ี า่ ช้า 100 ตวั อยา่ ง ซ่ึงไดข้ ้อมูลคอื ล่าชา้ 0.5 นาที 40%, ลา่ ชา้ 0.8 นาที 25% และล่าช้า 1 นาที 35% จากข้อมูลดงั กล่าววิศวกรผนู้ คี้ วรจะเผื่อเวลา สําหรบั ความลา่ ช้าโดยเฉล่ยี ประมาณกี่นาที มีนาคม 2548 52. องค์การขนสง่ มวลชนกรงุ เทพ (ขสมก.) สนใจทีจ่ ะเปดิ เส้นทางเดินรถโดยสารสายใหม่บนถนน สายหนงึ่ จึงจา้ งวศิ วกรเขา้ ไปสํารวจขอ้ มลู จาํ นวนรถรบั จ้างท่ีวงิ่ ผ่านถนนเสน้ น้ันในระยะเวลาหนึ่ง ชวั่ โมง จากการสาํ รวจทาํ ใหไ้ ด้ข้อมลู ดงั ตารางตอ่ ไปน้ี จํานวนรถรบั จ้างท่ีผ่านในหนึง่ ชั่วโมง (คนั ) 0 1 2 3 ความน่าจะเป็น 0.5 0.25 0.2 0.05 ขสมก. อยากทราบวา่ เวลาเฉลี่ยท่ีรถรับจา้ งแต่ละคนั จะผา่ นถนนสายน้เี ปน็ เท่าใด 1. 45 นาที 2. 60 นาที 3. 75 นาที 4. 120 นาที 53. จากรปู ป้ายทะเบยี นรถยนต์ อยากทราบวา่ จะมวี ธิ กี ารจัดเรียงปา้ ย กก 1234 ทะเบียนดังกลา่ วไดก้ ่แี บบ ถา้ กาํ หนดให้การจดั เรียงตวั อกั ษรจะใช้ กรุงเทพมหานคร พยญั ชนะไทยเพยี ง 40 ตวั และเมือ่ นาํ มาเรียงแลว้ จะใช้ไม่ได้ 500 คู่ ส่วนการจัดเรียงตัวเลขจะหา้ มนาํ เลขศูนยข์ น้ึ หน้าท่หี ลกั แรก 1. 9.54 ลา้ นแบบ 2. 12.34 ลา้ นแบบ 3. 14.40 ลา้ นแบบ 4. 16.00 ล้านแบบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 583 ขอ สอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) 54. นกั ศกึ ษาคณะวิศวกรรมศาสตรร์ ะดับปริญญาโทคนหนง่ึ ต้องการซ้ือเลเซอร์พรนิ เตอร์สาํ หรบั การ พิมพว์ ทิ ยานิพนธ์ โดยเลเซอรพ์ รนิ เตอร์เคร่อื งนี้มีราคา 15,000 บาท และตลบั หมกึ มีราคาตลับละ 2,000 บาท (หน่งึ ตลับสามารถพมิ พ์เอกสารได้ 1,000 หน้า) แตถ่ า้ ไม่ซื้อเคร่ืองพรินเตอรจ์ ะตอ้ งไป จ้างรา้ นพิมพเ์ อกสารในราคาหนา้ ละ 8 บาท ถ้าหากนักศกึ ษาคนน้ซี อื้ เครื่องพรินเตอร์ดงั กลา่ วแล้ว เขาควรจะพิมพ์เอกสารกหี่ น้าจงึ จะคุ้มค่า กวา่ ไปจา้ งรา้ นพมิ พ์เอกสาร เฉลยคําตอบ (1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 1 (5) 3 (6) 3 (7) 90 (8) 3 (9) 2 (10) 60 (11) 1 (12) 0.13 (13) 3 (14) 4 (15) 4 (16) 4 (17) 1,812 (18) 4 (19) 3 (20) 6,000 (21) 2 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 3 (26) 1 (27) 100 (28) 4 (29) 2 (30) 2 (31) 3 (32) 53 (33) 3 (34) 2 (35) คาํ ถามไม่ชัดเจน (36) 2 (37) 2 (38) 3 (39) 3 (40) 0.5 (41) 3 (42) 4 (43) 1 (44) 2 (45) 3 (46) 3 (47) 3 (48) 3 (49) 705.1 (50) 3 (51) 0.75 (52) 3 (53) ไม่มีขอ้ ถกู (ตอบ 9.90 ล้านแบบ) (54) 2,625 เฉลยวิธคี ดิ (1) จาก Δ เล็ก มมุ B = 45° h (5) ความยาวดา้ นนอกสดุ = a a/2 จะได้เสน้ รอบรปู นอกสดุ = 4a a/2 แสดงวา่ ระยะทางจาก B ถงึ ตกึ เทา่ กับ h ดว้ ย พิจารณา Δ ใหญ่ 30° 45° A 200 B h tan 30° = h → 200 + h = 3h ความยาวดา้ นถดั ไป = a2 + a2 = a 200 + h 44 2 → h = 200 ≈ 273 เมตร ตอบ จะได้เสน้ รอบรูปช้นั ทส่ี อง = 4a 3−1 2 (2) จากกฎการแบง่ กลุ่ม 10 เปน็ 5, 5 ดังนน้ั เส้นรอบรปู รวม = 4a + 4a + 4a +… 2 2)2 จะได้ 10 ! = 126 วธิ ี ตอบ ( (5 !)22 ! 4a 4 2a ตอบ (3) 2 พน้ื ที่ Δ = 1 × 5 × 2 = 5 ตอบ = 1−( 1 = 2−1 2 ∫ f(t) dt = 2 ) 0 (4) รถ α ประชากร จะไดว้ ่า (ใช้สตู รอนุกรมเรขาคณติ อนนั ต)์ รถ2 = ประชากร2 = 16 = 4 ตอบ (6) X = ∑ x = จาํ นวนเต็ม รถ1 ประชากร1 93 N จํานวนเต็ม จะออกมาเป็นจํานวนตรรกยะเสมอ ตอบ (จํานวนตรรกยะคอื เศษส่วนและจาํ นวนเต็ม) (7) โจทยข์ ้อนค้ี วรระบุดว้ ยวา่ นอกจากสองทางนแ้ี ลว้ ไม่มีการขนสง่ ทางอนื่ อีก จึงจะคาํ นวณไดด้ งั นี้ จาก n(A ∪ B) = 100% → 100 = 30 + n(B) − 20 → n(B) = 90% ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 584 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) (8) เนื่องจาก 5% ของ 20 เทา่ กับ 1 ใบ (14) ตอบ ข้อทผ่ี ดิ คอื ขอ้ 4. ดงั นนั้ ถา้ ส่มุ มา 20 ใบ จะบกพรอ่ งได้ 1 ใบ เพราะลาํ ดับไดเวอรเ์ จนต์ คอื ลาํ ดบั ทไี่ มม่ ลี มิ ิต หรอื หา (เพราะโจทยใ์ ชค้ าํ วา่ “ไมเ่ กิน 5%”) ค่าไมไ่ ด้ (ถา้ ไดเ้ ปน็ จาํ นวนจริงเรยี กว่าคอนเวอรเ์ จนต)์ และถ้าพบว่า 19 ใบแรกไมบ่ กพรอ่ งเลย ใบท่ี 20 ก็ (15) B SB ไม่จาํ เปน็ ตอ้ งตรวจ ตอบ 19 ใบ (9) ทศิ การเดนิ ของ A C ββ กบั B ตง้ั ฉากกนั 40 50 θ C และมุม A กบั B เปน็ 45° Aθ A α 10 30 ดังนนั้ จาก ΔABC ; A 20 B C AC = 20 sin 45° = 10 2 กม. ตอบ (10) ⎜⎝⎛53⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜24⎠⎟⎞ = 10 × 6 = 60 วิธี ตอบ tan θ = 40 = 4 ดังนน้ั θ = tan−1 4 30 3 3 (11) ถ้าเปลยี่ นตวั เลอื กทง้ั หมด เป็น 2/3 ของแกว้ มมุ ทก่ี ระจกทาํ กบั พน้ื คอื α หาไดจ้ าก จะตอบไดท้ นั ทวี า่ น้อยกวา่ 2/3 ของแกว้ เพราะ β = SAˆ C − θ = π/2 − θ = π − θ พาราโบลาลูกถว้ ยย่อมกนิ ปริมาตรมากกวา่ กรวยกลม 2 2 42 ตรง (โดยท่ีถา้ เปน็ กรวยจะกนิ ปรมิ าตร 1/3 แกว้ → และ α = π − β − θ เหลอื 2/3 แกว้ พอด.ี .. ตามสตู รปรมิ าตรกรวย = 1/3 2 ของทรงกระบอก) π ⎛π π แตข่ อ้ นต้ี ัวเลือกเปน็ 1/3 ของแก้ว ไมส่ ามารถกะได้ ∴ α = − − θ⎞ − θ = − θ ต้องคํานวณละเอยี ดโดยการอนิ ทเิ กรต “แบบเปลือก 2 ⎝⎜ 4 2 ⎠⎟ 4 2 = π − 1 tan−1 4 ตอบ 42 3 ทรงกระบอก” เพอื่ หาปรมิ าตร ดงั น้ี (16) ตอบ ขอ้ 4. เพราะวา่ z1z2 = z1 z2 เสมอ y ปรมิ าตร = a (17) ชว่ั โมงการทํางานเฉล่ีย = 2,000 ชม. a2 แสดงว่า ถา้ ไปตรวจบาํ รงุ รกั ษาเมอื่ 2,000 ชม. ∫ (2πrh)dx 0 a เคร่ืองจกั รมโี อกาสทาํ งานอยู่ 50% หรอื ไปถงึ กพ็ บว่า x2 = ∫ (2πx ⋅ x2)dx เสียหายแลว้ อยู่ 50% เทา่ ๆ กนั O xa 0 x = (2πx4) a = πa4 หากตอ้ งการใหเ้ ครือ่ งจักร 40 2 มโี อกาสทาํ งานถงึ 97% 0.47 0.5 กต็ อ้ งเขา้ ไปบาํ รงุ รักษา แต่ปรมิ าตรเตม็ แก้ว = πr2h = πa2(a2) = πa4 ดังนนั้ นาํ้ เหลอื อยู่ 1 ของแกว้ ตอบ ขอ้ 1. กอ่ นจะถงึ 2,000 ชม. เสยี หายx3% 2,0ท0ํา0งานได้ 97% 2 ดังรูป (12) ยา้ ย 3 มาคณู จะได้ 3 CPU = z, 3 CPL = z พ้นื ท่ี = 0.47 ซ้าย → z = −1.88 = x − 2,000 ดงั นนั้ ถา้ CPK = 1 แสดงวา่ z = 3 หรือ −3 100 ได้พน้ื ที่ A = 0.4987 และพน้ื ทสี่ ่วนนอก A = 0.0013 จะได้ x = 1,812 ชั่วโมง ตอบ (18) n(S) = ชาํ รดุ 3 ชิ้น ตรวจพบกี่ชนิ้ ก็ได,้ (ซา้ ยของ -3 หรอื ขวาของ 3 ก็ได้) n(E) = ชํารดุ 3 ชน้ิ ตรวจไมพ่ บเลย ∴ ผลติ ภณั ฑ์เสียหายคดิ เป็นร้อยละ 0.13 ตอบ นั่นคอื n(S) = ⎝⎛⎜ 132⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜ 132⎞⎟⎠ และ n(E) = ⎛⎜⎝ 132⎠⎞⎟ ⎛⎜⎝93⎞⎠⎟ (13) คาํ นวณ X โดยเลอื กช้นั 30-39 ให้ d = 0 ดงั นน้ั P(E) = ⎜⎛⎝ 12 ⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝ 93 ⎟⎞⎠ = 21 ตอบ X = 44.5 + (10)(−45 −20 −20 + 10 + 10 + 15+ 12 + 5+ 6) 3 55 100 ⎝⎜⎛ 132 ⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝ 12 ⎟⎞⎠ = 41.8 3 Med อยู่ชัน้ 30-39 Med = 29.5 +(10)(50 − 45) = 31.16 30 Mo อยู่ชนั้ 30-39 Mo = 29.5 +(10)( 10 ) = 32.83 ตอบ ขอ้ 3. 10 + 20 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 585 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) (19) จากขอ้ (i) ถา้ x = 0, y = 0 จะไดว้ า่ (24) ขอ้ 1. ไม่ใช่ เพราะการถามวา่ “ทา่ นเปน็ เพศ f(0) = f(0) + f(0) ⇒ 2f(0) ∴ f(0) = 0 เทา่ นนั้ ชายใช่ไหม” นนั้ จะทาํ ใหท้ ราบเพยี งว่า นายคนน้ีชอื่ นาย x (พูดจรงิ เสมอ) หรอื นาย y (พูดเทจ็ เสมอ) จึงมขี อ้ 1. กบั 3. ท่ีเปน็ ไปได้ แตจ่ ะไมไ่ ดข้ อ้ มลู เก่ียวกบั ดา่ นเขา้ ประเทศเลย (ถาม ต่อมาพจิ ารณาจากขอ้ (ii) f(αx) = αf(x) ได้คาํ ถามเดยี ว) ข้อ 3. ยง่ิ ไมไ่ ดข้ อ้ มูลเลย เพราะหากถามวา่ “ทา่ นพดู → f(2) = 2f(1), f(3) = 3f(1), f(4) = 4f(1), ... ความจรงิ เสมอใชไ่ หม” นั้น ไมว่ า่ นาย x หรือ นาย y ก็จะตอบว่า “ใช่” เหมอื นกนั ท้งั สองคน พบวา่ f(3) − f(2) = f(1), f(4) − f(3) = f(1), ... สว่ นข้อ 2. เปน็ ขอ้ ที่ถูก ... สมมตเิ ราไปถกู ดา่ นแลว้ คอื ดา่ น X ไม่วา่ จะเจอนาย x หรอื นาย y กจ็ ะไดร้ บั แสดงวา่ ความชนั เทา่ เดิมตลอดทกุ คา่ x คําตอบวา่ “ใช่” เสมอ แตถ่ า้ ไปผดิ ดา่ น (คอื ไปดา่ น คอื เปน็ กราฟเสน้ ตรง ตอบ ขอ้ 3. (20) ความนา่ จะเป็นทนี่ ม 1 กลอ่ งมีปริมาตรเกิน 250 cm3 เป็น 50% พอดี Y) นาย x กับนาย y จะตอบวา่ “ไมใ่ ช่” ทงั้ คู่ แสดงว่า 250 cm3 = X 250 วิธีนจี้ ะทาํ ให้ทราบว่าดา่ นนีถ้ กู หรอื ผดิ ∴ ตอบ ข้อ 2. โจทย์ถามปรมิ าตรเฉล่ียทงั้ ลงั (24 กลอ่ ง) (25) จาก ตา=70 จะได้ หู ก ข ตา จะได้ 24 × 250 = 6,000 cm3 ตอบ ข+ง+จ = 70 − 15 = 55 15 (21) ชิ้นสว่ น ข มีโอกาสชาํ รุด 3 ใน 10 แต่ ง+จ = 28 ดังน้ัน กรณที ่ี 1; ไม่ชํารดุ เลย ใช้เวลา 2 นาที ข = 55 − 28 = 27 คน ค งจ ⎛⎝⎜27 ⎟⎠⎞ 3 20 จมกู ⎛⎜⎝ 120⎠⎟⎞ มีโอกาสเกดิ ข้นึ = 7 จาก หู=50 จะได้ 15 จ = 100 − 3 − 20 − 15 − 50 = 12 กรณที ี่ 2; ชํารดุ ท้ังสองชน้ิ ใช้เวลา 9+9+2=20 นาที และ ง = 28 − 12 = 16 โจทยถ์ าม ข+ง = 27 + 16 = 43 ตอบ 0.43 มโี อกาสเกดิ ข้นึ ⎝⎜⎛ 23 ⎟⎠⎞ = 1 (26) ขวา 4 ครง้ั , ลง 4 คร้งั ⎝⎜⎛ 120⎟⎞⎠ 15 เหมอื นการสลบั ลาํ ดบั อกั ษร ขขขขลลลล กรณที ่ี 3; ชํารุดช้ินเดียว ใชเ้ วลา 9+2=11 นาที = 8! = 70 เสน้ ทาง ตอบ 4!4! (27) จุดที่ค้มุ คา่ ก็คือ มโี อกาสเกดิ ขน้ึ 1 − 7 − 1 = 7 คา่ ระบบความปลอดภัย เท่ากับคา่ อบุ ตั ิเหตพุ อดี 15 15 15 ∴ 0.01x − 0.01 = 1 ดงั นนั้ เวลาเฉลยี่ (ถว่ งนํา้ หนกั ด้วยความน่าจะเปน็ ) x−1 = 7 (2) + 1 (20) + 7 (11) = 7.4 นาที ตอบ → x − 1 = 100 → (x − 1)2 = 100 15 15 15 x−1 [หมายเหตุ การหาค่าเฉลี่ยโดยถว่ งนาํ้ หนกั ด้วยความ นา่ จะเป็น ในวิชาสถิตจิ ะเรียกว่า การหาคา่ คาดหมาย จะได้ x − 1 = 10 เทา่ นนั้ (ติดลบไม่ได)้ → x = 11 ซึง่ จะไดศ้ กึ ษาเพม่ิ เติมในระดบั มหาวิทยาลยั ครบั ..] (22) ท่เี วลา t วนิ าทมี ขี อ้ มลู เขา้ 20t หน่วย ดงั นน้ั f = g = 0.1 ลา้ นบาท คดิ เปน็ หนว่ ยพนั บาท กค็ อื 100 พันบาท ตอบ ส่งขอ้ มูลออก 10t(1) + 10t(1) = 10t หนว่ ย 22 (28) โจทย์ถาม dC ดังนน้ั มีข้อมลู คา้ งในเครอ่ื ง 20t − 10t = 10t หน่วย dt t = 4 → 10t = 300 → t = 30 วนิ าที ทเ่ี ครอ่ื งจะทาํ งาน x ได้โดยไมส่ ญู เสยี ขอ้ มูล ตอบ แตใ่ หฟ้ งั กช์ นั C กบั t มาในรปู ของ จงึ ตอ้ งใช้กฎลกู โซ่ (23) พิจารณาท่ี A; ถา้ A พดู จริง แสดงว่า B เป็น dC = dC ⋅ dx = dC ÷ dt = 3x2 + 1 dt dx dt dx dx 2x − 2 คนพดู จรงิ ด้วย แต่ B พดู วา่ B กับ A เป็นคนละ ตอ้ งการคดิ ที่ t = 4 หาคา่ x ทที่ ําให้ t = 4 ดงั นี้ ประเภท → ขดั แยง้ กัน ดังนน้ั กรณีนจ้ี ึงไม่ใช่... → 4 = x2 − 2x + 7 → พบวา่ x ไม่ใช่จาํ นวนจรงิ แต่ถ้า A พดู โกหก แสดงวา่ B เปน็ คนพดู โกหก เหมอื นกนั และ B พดู วา่ B กบั A เป็นคนละ ดงั นนั้ t = 4 เปน็ ไปไม่ได้ ... ตอบ ขอ้ 4. ประเภท กค็ ือ B โกหก ...ลงตวั พอดี ตอบ ข้อ 2. [หมายเหตุ t = x2 − 2x + 7 โดย x > 0 จะไดว้ า่ t > 6 เสมอ] Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 586 ขอสอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) (29) สมมตหิ ้อง A มี a แถว แถวละ 5 คน, (36) วงกลมเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง 8 เมตร แสดงวา่ หอ้ ง B มี b แถว แถวละ 6 คน AC = 4 เมตร (เพราะจดุ A อยทู่ ศ่ี ูนยก์ ลางพอดี) ∴ 5a + 6b = 55 โดย a, b เปน็ จาํ นวนนับ ส่เี หลย่ี มมมุ ฉากมเี สน้ ทแยงมมุ ยาวเทา่ กนั ดงั น้ัน จะไดว้ า่ a = 55 − 6b → a = 11 − 6b BD = 4 เมตรดว้ ย ตอบ 55 (37) จากการสังเกต พบวา่ จาํ นวนด้านยง่ิ นอ้ ย ∴ 6b ตอ้ งหาร 5 ลงตวั พบวา่ b = 5 เทา่ นนั้ ด้านจะยงิ่ ยาวขนึ้ ดงั น้นั (ถ้า b = 10 จะไดห้ อ้ ง B มี 60 คน.. ซงึ่ เกิน 55) ดา้ นที่ยาวทีส่ ดุ คอื สรปุ วา่ a = 5, b = 5 ตอบ ข้อ 2. (30) [ข้อนีค้ ล้ายการแจกแจงแบบปัวสซ์ องซ่งึ เกนิ ด้านของรูปสามเหลีย่ ม หลักสตู ร แต่กไ็ ม่เหมอื นทง้ั หมดนะครบั ยงั พอ คาํ นวณได]้ x/2 เราต้องการความน่าจะเป็นทีใ่ นระยะเวลา 2 ชวั่ โมง x พจิ ารณา Δ ดา้ นเทา่ (t=2) มีการโทรมากกวา่ 1 ครง้ั (n>1) ก็คอื กีค่ รงั้ ก็ r ยาวดา้ นละ x หนว่ ย ไดต้ ัง้ แต่ 2 ครงั้ , 3 ครงั้ , 4 ครัง้ , เปน็ ตน้ ไป.. 2r มีวงกลมรศั มี r แนบใน ซ่ึงควรจะคาํ นวณด้วยวธิ ลี บออก = ความนา่ จะเปน็ รวม - ความนา่ จะเปน็ ทม่ี ีการโทร สมบัตขิ องเส้นมธั ยฐานทาํ ให้ทราบว่า เข้า 0 คร้ัง - ความนา่ จะเปน็ ท่ีมีการโทรเข้า 1 ครัง้ เส้นมธั ยฐานยาว r + 2r = 3r = 1 − P[N(2) = 0] − P[N(2) = 1] ∴ (x)2 + (3r)2 = x2 (ทฤษฎบี ทปที าโกรสั ) = 1 − 20 2−2 − 21 2−2 = 1 − 1 − 1 = 1 ตอบ 2 3x2 ตอบ 0! 1! 42 4 9r2 (31) จากการพสิ ูจนท์ ี่แสดงในเรอื่ ง “อนพุ นั ธ”์ จะได้ = → x = 12 r = 2 3 r 4 (38) มองโดยรวมพบวา่ รนุ่ C ใชว้ สั ดนุ อ้ ยทส่ี ดุ ทงั้ 3 จะได้คาํ ตอบเป็น 1.5 × 2 = 3 ตร.ซม. ตอบ อย่าง ถา้ ผลติ รุ่น C ร่นุ เดียว จะได้จาํ นวน 5 คัน (32) s2 = 4 → s = 2 (เหลก็ หมดกอ่ น) ถา้ ผลิตรนุ่ A หรือ B รนุ่ เดยี วจะ ได้เพียง 4 คัน (พลาสตกิ หมดกอ่ น) ดังน้นั ค. ถกู z = 1.5 = x − 50 → x = 53 คะแนน 2 เน่อื งจากคะแนนเตม็ 100 คะแนน ดงั น้ัน ตอบ 53 แตห่ ากมองตอ่ ไปถึงการผลติ 2 ร่นุ ร่วมกนั จะพบว่า (33) ต้องการราคาถูก และโอกาสทจ่ี ะชาํ รุดนอ้ ย หากผลติ รนุ่ C 4 คัน รนุ่ A 1 คนั ก็ยงั ไดจ้ ํานวน 5 คิดได้งา่ ยๆ โดยนําราคากับโอกาสชาํ รดุ มาคณู กัน คันเชน่ เดมิ (เหลก็ หมด และพลาสตกิ หมดพอด)ี ดังนนั้ ก. ผดิ , ข. ถกู ตอบ ขอ้ 3. ประเภทใดไดค้ ่าตาํ่ สุดกใ็ ห้เลือกประเภทนน้ั B; 65 × 0.2 = 13 (39) สมการจดุ ประสงค์ P = 80x + 100y A; 75 × 0.18 = 13.5 C; 55 × 0.25 = 13.75 D; 45 × 0.3 = 13.5 โดยท่ี x = จาํ นวนเคก้ และ y = จาํ นวนพาย ดงั นน้ั ควรเลอื กประเภท B ตอบ มเี งอ่ื นไขดงั นี้ 0.4x + 0.2y < 10 y (34) ก. ถูก การกระจายเทา่ กนั รปู กราฟเพยี งแค่ 0.2x + 0.4y < 14 พลกิ ดา้ นกนั เทา่ นน้ั และ x > 0, y > 0 ข. ผิด โคง้ เบ้ซา้ ย X < Med แตโ่ คง้ เบ้ขวา X > Med ไดจ้ ุดยอดมุมเปน็ 50 (10,30) ค. ถูก โคง้ ภาพตน้ ไม้ (0, 50), (25, 0) เปน็ โค้งเบ้ขวา Mo < Med และ (10, 30) O 25 x ตอบ ขอ้ 3. ไดท้ ันที ตอบ มีขอ้ ถูก 2 ขอ้ (35) ขอ้ นีค้ าํ ถามไมช่ ัดเจน Mo Med (40) [ขอ้ น้ีเกนิ หลักสูตร เพราะคดิ แบบความนา่ จะ ถา้ ถามในแง่วา่ เลอื กได้กร่ี หสั ก็ตอ้ งตอบขอ้ 1. ไม่เกนิ เปน็ คณู กนั เปน็ การแจกแจงแบบทวินาม แตก่ ย็ งั พอ 4 รหสั แนน่ อน ... หรอื วา่ มโี อกาสเลือกกร่ี หสั แบบ คํานวณได้จากพน้ื ฐานความรู้ดงั น]ี้ นตี้ อบข้อ 4. คือ 100 รหัส โอกาสทรี่ ะบบจะทาํ งานได้ สว่ นขอ้ 2. กับ 3. เปน็ ไปไมไ่ ด้แน่ เพราะถามเปน็ = มีเครอื่ งเดยี วสง่ ข้อมลู + ไมม่ เี คร่ืองใดสง่ ขอ้ มูลเลย หนว่ ย “รหสั ” ไม่ใชจ่ าํ นวน “แบบ” ในการเลอื ก (ซึ่ง = ⎜⎝⎛ 3 ⎞⎟⎠ ⋅ (1)(1)(1) + (1)(1)(1) = 3 + 1 = 0.5 1 222 222 88 คํานวณออกมาไดค้ ่าหลายล้านแบบ) (3 เลือก 1 คอื จาํ นวนกรณี ทีม่ ีเคร่อื งเดียวสง่ ข้อมูล) ตอบ 0.5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 587 ขอ สอบเขา ฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) (41) ปริมาณไฟฟา้ ที่ใช้ในเวลา n ชั่วโมง (48) สามเหล่ียมยาวดา้ นละ 2, 2 แสดงว่ามมุ แหลม = 1,000 n kWh ... คิดเปน็ ราคา 2 ⋅ 1,000 n บาท มขี นาด 45° → วงกลมถูกตัด 1 ใน 8 ค่าใชจ้ า่ ยในการผลติ ไฟฟา้ 50,000 + 1,975 n บาท ดงั นนั้ พ้นื ทแ่ี รเงา = Δ − 1 Ο 8 จะค้มุ ทนุ ที่ 2,000 n = 50,000 + 1,975 n = 1 (2)(2) − 1 π (1)2 = 2 − π → n = 2,000 ชม. ตอบ 28 8 ตอบ บาท (หมายความวา่ เกนิ (49) คดิ เปน็ หนว่ ยพนั บาท จะไดว้ า่ ปีท่ี 1 ฝาก 100 2000n 2,000 ชม. ไปแลว้ พอถงึ ปที ี่ 2 (บวกดอกเบ้ยี ) เป็น 1.1 × 100 = 110 50000+1975n จึงไม่ขาดทุน ฝากเพ่มิ อกี 200 เปน็ 310 ดงั กราฟ) ถึงปที ี่ 3 เปน็ 1.1 × 310 = 341 O 2,000 n ฝากเพิ่มอกี 300 เปน็ 641 ถึงปที ่ี 4 เปน็ 1.1 × 641 = 705.1 พันบาท ตอบ (50) พจิ ารณาเฉพาะเสน้ คขู่ นาน (3 ช้นิ ส่วน) กอ่ น (42) ⎛⎝⎜ 23 ⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 3 ⎟⎞⎠ ÷ ⎝⎛⎜ 63 ⎞⎠⎟ = 9 ตอบ ความน่าจะเปน็ ทที่ าํ งานได้ (คดิ แบบยูเนียนของ 1 20 เหตกุ ารณ)์ คอื P{เส้นบนทํางาน} + P{เสน้ ลา่ ง ทาํ งาน} – P{ทาํ งานทงั้ 2เสน้ } (43) ก. ถกู ( X เท่ากนั ) = (0.9 × 0.8) + (0.9) − (0.9 × 0.8 × 0.9) = 0.972 ข. ผิด โรงงาน B คณุ ภาพดีกวา่ ดงั นน้ั ความน่าจะเป็นรวมของวงจร (เพราะการกระจายนอ้ ยกวา่ ) = 0.8 × 0.972 × 0.9 ≈ 0.70 ตอบ (51) ให้ x = เวลาลา่ ชา้ ดงั นนั้ ค. ผดิ ดว้ ย ตอบ ขอ้ 1. จะได้ X = (0.4)(0.5) + (0.25)(0.8) + (0.35)(1) (44) แดงเหลอื ง + เหลอื งแดง = 0.75 นาที ตอบ (52) จํานวนรถเฉลยี่ ใน 1 ชม. (ถว่ งนาํ้ หนกั ดว้ ย = 3× 1 + 1× 3 = 1 ตอบ ความนา่ จะเปน็ ) 6×6 6 (45) 3 ! 2 ! ÷ 5! = 1 ตอบ = (0)(0.5) + (1)(0.25) + (2)(0.2) + (3)(0.05) 10 = 0.8 คัน (46) พิจารณาหลกั หน่วย พบวา่ เลขเรียง เทยี บสดั สว่ น.. 0.8 คนั ใชเ้ วลา 1 ชม. 5 → 6 → ? → 8 → 9 แสดงวา่ ต้องเปน็ เลข 7 ∴ 1 คนั ใชเ้ วลา 1 = 1.25 ชม. = 75 นาที ตอบ เท่านน้ั (ซงึ่ ก็มีในทกุ ตวั เลือก) 0.8 หลักท่เี หลอื 12 → 72 → ? → 4032 → 36288 (53) จาํ นวนแบบของอกั ษร (40 × 40) − 500 ถา้ ลองหารดจู ะพบวา่ 72 = 6, 36288 = 9 12 4032 จํานวนแบบของตัวเลข 9 × 10 × 10 × 10 ดังนนั้ คณู กนั ทั้งหมดได้ 9.9 ลา้ นแบบ ตอบ และ 4032 = 56 = 7 × 8 ดงั นน้ั สว่ นทห่ี ายไป (54) สมมตพิ ิมพ์ a หน้า 72 จะได้วา่ พิมพเ์ องเสยี เงนิ 15,000 + 2a บาท คือ 72 × 7 = 504 ตอบ 5,047 ควรนอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากับ จา้ งพมิ พ์ 8a บาท [หมายเหตุ เขียนรปู ท่ัวไปได้วา่ 12 (n + 4)! 10 + (n + 4) 5! ]an = = (n + 4)! + (n + 4) (47) ความชัน m = 8000 − 4000 = −400 จาก 15,000 + 2a < 8a ได้ a > 2,500 หนา้ 30 − 40 แตถ่ า้ พมิ พ์ 2,500 หนา้ จะตอ้ งใช้หมกึ ถึง 3 ตลับ และเสยี เงนิ 21,000 บาท (โดยมหี มกึ เหลืออย)ู่ ตอบ ข้อ 3. ไดท้ ันที ∴ ควรพมิ พ์มากกวา่ 21,000 = 2,625 หน้า ตอบ 8 (หมายถึงพมิ พ์ในช่วง 2,626 ถงึ 3,000 หนา้ ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 588 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 1 o¨·Â·´Êoº ªu´·Õè 1 (กุมภาพันธ์ 2547) ข้อสอบมี 2 ส่วน กําหนดเวลาสว่ นละ 2 ช่ัวโมง • สว่ นทห่ี นงึ่ ประกอบดว้ ย เซต ระบบจํานวนจรงิ ตรรกศาสตร์ เรขาคณติ วิเคราะห์ ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั กาํ หนดการเชิงเส้น ฟังก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชยี ลและลอการิทึม เมตริกซ์ ลาํ ดบั และอนกุ รม ลิมิตและความตอ่ เน่อื ง • สว่ นทส่ี องประกอบดว้ ย ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซอ้ น อนพุ ันธ์และการอินทเิ กรต ความน่าจะเปน็ สถิติ ส่วนท่หี น่งึ ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 10 เป็นขอ้ สอบแบบอตั นัย ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {−1, 0, 1, 2} จาํ นวนฟังกช์ ัน f : A −> A โดย “มี x ∈ A ซึ่งถ้า x > 0 แล้ว f (x) < 0 ” เทา่ กบั กี่แบบ 2. กําหนดให้ p(x) เป็นพหนุ ามดกี รสี อง ถ้า x + 1 หาร p(x) เหลอื เศษเท่ากบั 1 x หาร p(x) เหลือเศษเท่ากับ 3 และ x − 1 หาร p(x) เหลอื เศษเทา่ กับ 9 แล้ว x − 2 หาร p(x) เหลอื เศษเทา่ กบั เท่าใด 3. ผลบวกของคําตอบทัง้ หมดของสมการ log2(4x + 8) − log212 = 1 มคี า่ เท่ากบั เท่าใด x−1 4. กาํ หนดให้ และ ⎡ y −x −4⎤ ⎢⎣⎢⎢−41 ⎥ AB = BA = I A = −y 3 ⎥ x x ⎥⎦ โดยทโี่ คแฟกเตอร์ของ a31 = 5 และโคแฟกเตอร์ของ a12 = 13 แลว้ det (5 AtB2) มคี า่ เท่ากบั เท่าใด 5. วงรแี ละไฮเพอรโ์ บลามีจดุ โฟกัสอยู่ที่ตําแหน่งเดยี วกนั คือ (0, 2) และ (0, −2) ถ้าอัตราสว่ นของ ระยะทางจากจดุ ศนู ยก์ ลางไปยงั จดุ โฟกสั ต่อระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยงั จุดยอด ( c : a ) ของ วงรีและไฮเพอร์โบลา เปน็ 1/2 และ 2 ตามลําดบั และ (m, n) เปน็ จุดทโี่ คง้ ทัง้ สองนต้ี ดั กนั แล้วคา่ ของ m2+ n เทา่ กับเทา่ ใด 6. กําหนด f (x) = ⎪⎧ x2k 8 ,x < 2 ⎨ 8 − 1) xk + ,x > 2 ⎪⎩( ถ้า k เปน็ จํานวนจรงิ ทที่ ําให้ f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่อื งท่ี x = 2 แล้วคา่ ของ f (2) เท่ากับเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 589 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 7. ให้ n เปน็ จํานวนเต็มบวกซึง่ ห.ร.ม. ของ n และ 32 เท่ากับ 2 ถ้า ;32 = n q0 + r0 0 < r0 < n ;n = 4 r0 + r1 0 < r1 < r0 และ r0 = 3 r1 โดยท่ี q0, r0, r1 เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก แล้ว ค.ร.น. ของ n และ 32 มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด 8. ถ้า loga(ax) + 2 loga(a2x) + 3 loga(a3x) + ... + 10 loga(a10x) = 110 เมื่อ a = 5 2 แลว้ จะไดว้ ่า x มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 9. สาํ หรบั จาํ นวนเต็มบวก n ใดๆ ให้ An = ⎡ n2+ n 3⎤⎥ ⎢ n2− 1 3⎦⎥ ⎣⎢ และ Bn = เมตริกซ์ผูกพันของ An แล้วลมิ ติ ของลาํ ดบั bn = det (Bn) มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด 10. ถา้ A เปน็ จุดบนแกน y ซ่ึงอยูห่ ่างจากจุด (2, 2) และ (1, −1) เป็นระยะทางเท่ากนั และ P คอื พาราโบลาทมี่ จี ดุ ยอดทีพ่ ิกัด (1, 3) ซึง่ มจี ุด A เป็นจดุ ปลายของเลตสั เรคตมั แล้วจดุ B บน เส้นโค้ง P ซงึ่ อยหู่ ่างจากจุดโฟกสั 6 หนว่ ย จะอยหู่ า่ งจากแกน y เป็นระยะทางก่ีหน่วย ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 25 เป็นขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {∅, 0, 1, {0}} และ B = {1, {0}, {0, 1}} ถ้า P (X) แทนเพาเวอรเ์ ซตของ X แล้ว n(P (A) − B) + n(P (B) − A) มีค่าเท่ากบั เท่าใด 1. 17 2. 20 3. 21 4. 22 2. กําหนด A ⊂ B และ C = {A, B} ถา้ P (C) แทนเพาเวอรเ์ ซตของ C พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. A ∪ B ∈ C และ A ∩ B ∈ C ข. A ∈ P (C) และ B ∈ P (C) ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 3. จํานวนสมาชิกของเซต { f : (B−A) 1− 1 > (A−B) | n(A) = 8 และ n(B) = 6 และ n(A ∪ B) = 11 } มีคา่ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 6 2. 15 3. 60 4. 125 4. (4.5, 5.5) 4. ให้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ x − 4 + x − 3 = 1 และ B เปน็ เซตคําตอบของอสมการ 4 > 2 x −2 x+1 แลว้ ขอ้ ใดเปน็ สับเซตของ B − A 3. (3.5, 4.5) 1. (1.5, 2.5) 2. (2.5, 3.5) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 590 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 5. กาํ หนดให้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ x − 1 > 2 x+2 ,f (x) = (3 + x)(2 − x) g(x) = 1 x+3 และ c เป็นขอบเขตบนคา่ นอ้ ยทส่ี ุดของ A ∩ Df⋅g แล้ว c มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −3 2. −2 3. 1 4. 2 6. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถ้า (p → q) ∧ (r ∨ s) เปน็ จรงิ และ q ∨ s เป็นเทจ็ แล้ว (q ∨ p) → (r ∧ s) เป็นจริง ข. นิเสธของ ∀x [ x </ 0 → −x < 0 ] สมมูลกับ ∃x [ x </ 0 และ x < 0 ] ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 7. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. [(p → q) ∨ (q → r)] → (p → r) เปน็ สัจนิรนั ดร์ ข. [(p ∧ q) → (p ∨ q)] ↔ [(~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q)] เปน็ สัจนิรนั ดร์ ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 8. หากกําหนดเอกภพสัมพัทธเ์ ป็น U = {−1, 0, 1} แลว้ ประพจน์ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีมคี า่ ความจรงิ ตา่ งจากขอ้ อน่ื 1. ∃x (x+1 > 0 ∧ x2 ≠ 1) 2. ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) 3. ∃x (x+1 > 0) ∧ ∃x (x2 ≠ 1) 4. ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) 9. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปน้ี ก. เหตุ 1) p → ~ q ข. เหตุ 1) P (x) ∧ Q (x) 2) q ∨ r 2) Q (x) → R (x) 3) ~ r 3) ~ R (x) ∨ S (x) ผล p ผล S (x) ข้อความใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ก และ ข สมเหตุสมผลท้งั คู่ 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตสุ มผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตสุ มผล 4. ก และ ข ไมส่ มเหตสุ มผลท้ังคู่ 10. ให้ r = {(x, y) | 9x2 + 4y2 − 18x + 16y − 11 = 0 } แล้ว Dr−1 ∩ Rr−1 เปน็ สับเซตของช่วงในขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. [−5, −1] 2. [−1, 1] 3. [1, 3] 4. [3, 5] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 591 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 11. กาํ หนดให้ r1 = {(x, y) ∈ R × R | y < x2 − 3 } และ r2 = {(x, y) ∈ R × R | 2y + 3 (x + 1) > 4x } แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกตอ้ ง 1. (−1, −2) เปน็ จุดสูงสุดในเซต r '1∩ r2 2. (3/2, −3/4) เปน็ จุดตํา่ สุดในเซต r '1∩ r2 3. (−1, −2) เปน็ จดุ สงู สุดในเซต r '1− r2 4. (3/2, −3/4) เปน็ จดุ สูงสุดในเซต r '1− r2 12. กําหนดให้ f (x) = x + 1 และ g(x) = (x − 1)2 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. และDgof = Dfog Rgof ≠ Rfog ข. และDgof = Rgof Dfog ≠ Rfog ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 13. กําหนดช่วงเปดิ A = (0, ∞) และให้ f, g เป็นฟังกช์ นั ภายในเซตของจาํ นวนจรงิ R โดย f (x) = 2 + x และ g(x) = 1 แล้วจาํ นวนเต็มในเซต Dgof− A มีกจ่ี าํ นวน 2 − f (x) 1. 5 2. 4 3. 3 4. 2 14. กาํ หนดให้ f (x) = x2 − x − 1 และ g(x) = x3 − x2 − x − 1 แล้ว ค่าของ (f D g−1)(1) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. −1 2. −5 3. 5 4. 1 15. กาํ หนดให้ f (x) = x2− 1 และ g(x) = 3 x − 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. f + g−1 เปน็ ฟงั กช์ นั เพิ่มบนช่วง [0, ∞) ข. f D g−1 เป็นฟังก์ชนั เพ่ิมบนช่วง [0, ∞) ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 16. ถา้ O เป็นจุดกําเนิด และ C เป็นจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม x2+ y2+ 4x − 8y + 11 = 0 แล้ว สมการของเส้นตรง OC และสมการของวงกลมท่ีมี OC เป็นเส้นผ่านศนู ยก์ ลางเส้นหน่งึ ตรงกับ สมการในขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. y = −2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 2. y = −2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 15 3. y = 2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 4. y = 2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 15 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 592 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 17. กาํ หนดให้ E เป็นวงรีซงึ่ มีสมการเปน็ 6x2+ 5y2+ 12x − 20y − 4 = 0 และ H เปน็ ไฮเพอร์โบลา ซงึ่ มจี ุดศูนยก์ ลางร่วมกับ E , มจี ดุ ยอดทบั จุดโฟกสั ของ E และมีความยาวแกนสังยุคเทา่ กับความ ยาวแกนโทของ E ขอ้ ใดต่อไปนเี้ ปน็ สมการของไฮเพอร์โบลา H 1. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 2. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 14 = 0 3. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 18 = 0 4. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 18 = 0 ⎡ 1 0 −x2 ⎤ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน มีทง้ั หมดก่ีจาํ นวน 18. จาํ นวนจริงบวก x ท่ที ําใหเ้ มตรกิ ซ์ ⎢⎢2 1 ⎥ 0 ⎥ ⎣⎢x 3 5 ⎦⎥ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 19. กาํ หนดให้ ⎡a 0 2 ⎤ เมือ่ A = ⎣⎢⎢0a −02⎦⎥⎥ 2 det (3 I − A) = 8 0 และการดําเนินการตามแถว ⎡⎣ A I ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I B⎦⎤ โดยท่ี I คอื เมตริกซเ์ อกลักษณม์ ติ ิ 3 × 3 แลว้ det (B adj A) มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −40 2. −8 3. 8 4. 40 20. ถา้ A = { x ∈ R | (2)x (1−x) > 9 } แลว้ 34 เซต B เป็นชว่ งในข้อใดตอ่ ไปนีท้ ่ีทาํ ให้ B ∩ A ' = ∅ 1. (−2, −1) 2. (−1, 0) 3. (0, 1) 4. (1, 2) 21. ถ้าจาํ นวนจรงิ x ทัง้ หมดท่ีสอดคล้องกับอสมการ (log3(x− 3) − log32(x− 3) + log34(x− 3) − log38(x− 3) + ...) < 1 คือชว่ ง (a, b) แล้วคา่ ของ a + b เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 2 3 2. 3 3 3. 4 3 4. 5 3 22. ให้ A = { x ∈ R | 3 (x + 1)2 − 5(2x − 3) + 2 3 x − 4 + 1 = 0 } และ B = { x ∈ R | log3x9 + (log3 x)2 = 2 } แลว้ C = { log 3 a | a∈A และ b ∈B } เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ b 1. {0, 1, 3} 2. {0, 1, 9} 3. {1, 3, 1/9} 4. {1, 3, 27} 23. กําหนดสมการจดุ ประสงค์ C(x, y) = 5x + 2y โดยมีเงอื่ นไขดังน้ี x + 2y > 5 , 3x + y > 10 , 3x − 8y < 8 , x > 0 และ y > 0 จะไดว้ ่าคา่ ตํา่ สดุ ของ C เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 15 2. 17 3. 20 4. 21 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 593 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 1 24. กําหนดสมการจุดประสงคค์ ือ P (x, y) = (a/2) x + 25 y โดยที่ a เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก และมี อสมการข้อจํากัดคือ x > 0 , y > 0 , x + y < 5 และ x + 2y < 8 ถ้าค่าสงู สุดของ P (x, y) เท่ากับ 150 แล้ว a มคี า่ อยูใ่ นช่วงใดต่อไปน้ี 1. [40, 50) 2. [50, 60) 3. [60, 70) 4. [70, 80) ⎧ x −2 , x<2 ⎪ 2−x x >2 25. ให้ ⎪ 2−x , f (x) = ⎨ 2− x ⎪ ⎪⎩ ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูก 1. lim f (x) และ lim f (x) หาคา่ ไมไ่ ด้ x → 2− x → 2+ 2. lim f (x) > 0 และ lim f (x) < 0 x → 2− x → 2+ 3. lim f (x) + lim f (x) = 2 2 x → 2− x → 2+ 4. lim f (x) + lim f (x) = −2 2 x → 2− x → 2+ ส่วนที่สอง ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ arctan x = arctan(1/3) + arctan(1/2) และ arcsin y = arcsin(1/ 10) + arcsin(1/ 5) แลว้ (x − y)(x + y) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด 2. กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลีย่ มด้านขนาน มพี ื้นท่ี 24 ตารางหนว่ ย และ ˜AB ⋅ ˜AD = 3 ถ้า θ คือมมุ ระหว่าง ˜AB กับ ˜AD แลว้ tan θ มคี า่ เท่ากบั เท่าใด 3. ถ้าจาํ นวนเชิงซ้อน z= 1+ 3 i แลว้ ค่าสัมบรู ณ์ของ ⎛ z − z ⎞2 เท่ากับเทา่ ใด 2 2 ⎝⎜⎜ i 17+ z 18 ⎠⎟⎟ 4. กล่องใบหนึง่ มลี กู บอลสีแดง 7 ลูก และสีขาว 3 ลูก สมุ่ ลกู บอลจากกลอ่ งจาํ นวน 3 ลกู พร้อมกนั ความนา่ จะเป็นท่จี ะไดล้ กู บอลสีขาว 2 ลกู หรือสแี ดง 2 ลูก มคี า่ เท่ากบั เท่าใด 5. ในจํานวนเด็ก 4 คน มีสองคนท่ีนํ้าหนกั เทา่ กัน และนํา้ หนักน้อยกวา่ อีกสองคนทีเ่ หลอื ถา้ ฐาน นิยม มัธยฐาน และพิสยั ของน้ําหนกั ของเด็กทงั้ 4 คนนไ้ี ดแ้ ก่ 40, 41 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับ แลว้ ค่าความแปรปรวนของน้ําหนกั ของเดก็ 4 คนนเ้ี ท่ากบั เท่าใด 6. กําหนดให้ 4 sin2x + 11 cos x − 1 = 0 แล้ว cot2(x + π) + sec (x − 3π) มีคา่ เท่าใด 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 594 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 7. สาํ หรับแตล่ ะจํานวนเต็มบวก n ถ้า zn เปน็ จาํ นวนเชิงซ้อนซ่ึงกําหนดโดย zn = 1 − 2−n− 3 i แลว้ ลิมิตของลําดับ an = znzn มีค่าเทา่ กับเท่าใด 8. ถา้ g(x) = 2x 3 + 3x2 + 1 และ ∫ (f D g)(x) dx = x5 − x 4 + x 3 − x2 + x − c แลว้ อนพุ นั ธ์ของ f (x) ที่จดุ ซง่ึ x = 6 มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด 9. ในการแบง่ นกั เรียนซึ่งมีผู้ชาย 3 คนและผ้หู ญงิ 5 คน ออกเป็นกลมุ่ A และ B กลมุ่ ละ 4 คน ความน่าจะเปน็ ท่ใี นแตล่ ะกลมุ่ นน้ั มผี ชู้ ายอยู่ดว้ ยเป็นเท่าใด (ตอบทศนยิ ม 2 ตาํ แหนง่ ) 10. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งคะแนนเต็มเทา่ กบั 100 คะแนน ของนกั เรยี นห้องหน่งึ เป็น คะแนน จํานวนนกั เรียน ดังตาราง คณติ และวิทยาเปน็ นักเรียนในห้อง ดงั กล่าว ถา้ คณติ ได้คะแนนในตาํ แหน่งควอร์ไทล์ที่ 90 – 99 10 3 และวิทยาไดค้ ะแนนในตําแหน่งมัธยฐาน ดงั น้ัน 80 – 89 25 คณติ ไดค้ ะแนนมากกวา่ วิทยาอยกู่ คี่ ะแนน 70 – 79 30 60 – 69 20 50 – 59 10 40 – 49 4 30 – 39 1 ตอนท่ี 2 ขอ้ 1 – 25 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A = ⎡ cos θ cos 4θ⎤ เมอื่ θ = π ⎣⎢−sin 2θ sin 3θ ⎦⎥ 12 แลว้ det(2At) มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 3 2. 2 3. 3 4. 2 + 3 2. ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ถา้ cos x = −1/ 5 แลว้ tan x = −2 2. ถ้า tan x = 2 แลว้ cos x = 1/ 5 3. tan(arccos (−1/ 5)) = −2 4. arccos (−1/ 5) = arctan(−2) 3. เซตคําตอบของอสมการ 2 sin2θ − sin θ > 0 เมอื่ 0 < θ < 2π 4. 5 2 cos θ − 1 3. 4 มสี มาชกิ ทเ่ี ปน็ จํานวนนบั ทัง้ หมดกี่จาํ นวน 1. 2 2. 3 4. ถ้า u = v แล้วมุมระหวา่ ง u กบั v ทท่ี ําให้ u+v = 2 u−v อยู่ในชว่ งในข้อใดต่อไปน้ี 1. [0, π) 2. [π , π) 3. [π , 3π) 4. [3π , π) 4 42 24 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 595 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 5. ให้ u = 2 i + 4j และ ˜AดBงั นเ้นั ป็น|˜AเวBก|เต: อuร์ท่ีขมนคี าา่ นเทกา่ บั กับuข้อโใดดยตจอ่ ดุ ไปAน้ี อยทู่ ี่ (1, −2) และจุด B อยู่บนเส้นตรง y = 3x − 2 1. 1.5 2. 2 3. 2.25 4. 4 6. ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ทีม่ ีสมบัติดังน้ี u = v และ u ⋅ v = 3 ข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นขนาดของมุมระหวา่ งเวกเตอร์ u กบั แกน x ทีเ่ ปน็ ไปไดห้ าก v = i + j 1. 15° 2. 30° 3. 45° 4. 60° 7. ถา้ z เปน็ จํานวนเชิงซอ้ นซึ่ง z ≠ 0 และ (5 − 12 i) z3(−3 + 4 i) = 130 z แล้ว Re (z ⋅ z) มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2. 2 3. 1 4. 1 2 2 8. ถ้า z1, z2, z3 เป็นรากของสมการ z3 + 5 = 2 i แลว้ z21 + z22 + z23 คอื ค่าในข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 3 2. 3 3 3. 9 4. 9 3 9. กาํ หนด f เป็นฟงั ก์ชนั ท่ีมอี นุพันธ์ และ F(x) = (f(x))2+ 2x + 1 ถ้า f (2) > 0 , F(2) = 3 และ f′(2) = 4 แล้ว F′(2) มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7 10. กําหนดให้ g(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ f (x) = (x − 1)2g(x) ถ้า x − 2 หาร f (x) และ f′(x) เหลือเศษ 3 และ 4 ตามลําดับ แล้ว ค่าของ dg เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 3. −2 4. −3 dx x = 2 1. 4 2. 1 11. กาํ หนด f (x) เป็นฟังกช์ นั พหุนามกาํ ลังสามทมี่ ีสัมประสิทธเ์ิ ป็นจํานวนจรงิ และสัมประสทิ ธิ์ของ x3 เทา่ กับ 1 ถ้า f (x) มี x − 1 เปน็ ตัวประกอบหนึ่ง, x − 2 หาร f′(x) และ f′′(x) เหลือเศษ 2 เทา่ กนั แล้วขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ สมการเสน้ สัมผสั โคง้ y = f (x) ณ จุดซึง่ x = 2 1. y = 2x − 2 2. y = 2x − 4 3. y = 2x + 2 4. y = 2x 12. กาํ หนดให้ f (x) = 10 −log(x−4) + x 4. 3 25 ถ้าความชนั ของเส้นสัมผสั โค้ง y = f (x) ที่จดุ (a, f (a)) เท่ากบั − 24 25 แลว้ จาํ นวนจริง a ท่เี ป็นไปได้ มีท้ังหมดก่ีจาํ นวน 1. 0 2. 1 3. 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 596 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 2 ⎛ x4 + 1⎞ 1 เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี ∫ ∫13. คา่ ของ ⎝⎜ x2 ⎟⎠ x)2 dx 1 dx + (4 − 0 1. 10 2. 14 3. 20 4. 24 14. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ∫ก. 3 (x3−4x) dx = 4 −1 ข. ขนาดพ้นื ทท่ี ีป่ ิดลอ้ มด้วยโค้ง y = x3−4x กบั แกน x ในชว่ ง x = −1 ถงึ 3 เท่ากบั 12 ตารางหนว่ ย ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 15. ถา้ เสน้ โค้งเส้นหนึ่งมีสมการเป็น f (x) = x4 − x 4 และ a เปน็ จํานวนจริงท่ที าํ ให้ a2 =−1 แล้ว 4 ∫ f′′(x) dx −a ความชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งน้ี ณ จุดซงึ่ x = a มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. − 1 3. 3 4. − 3 2 22 2 16. จํานวนวิธจี ดั พนักงาน 6 คนเปน็ 3 กลุ่ม เพือ่ ทาํ งาน 3 อย่างทแ่ี ตกตา่ งกนั โดยแบ่งกลมุ่ ละกีค่ น กไ็ ด้ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 90 2. 180 3. 540 4. 1080 17. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. จํานวนวิธรี อ้ ยมาลัยวงกลมดว้ ยดอกไม้ 5 ชนิด โดยดอกมะลิและดอกดาวเรืองตอ้ งอยตู่ ิดกนั เท่ากบั 12 วิธี ข. จาํ นวนวิธีจดั นกั เรยี น 5 คนเปน็ วงกลม โดยเด็กหญงิ มะลิและเดก็ หญงิ ดาวเรืองตอ้ งอยู่ ติดกัน เทา่ กบั 12 วธิ ี ข้อใดต่อไปนีถ้ กู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 18. สลากชดุ หน่ึงมี 10 ใบ มีหมายเลข 1 ถงึ 10 กํากับ ความน่าจะเปน็ ท่จี ะหยิบสลากพร้อมกัน 3 ใบ โดยใหม้ ีแต้มรวมกนั เปน็ 10 มีคา่ เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 60 40 30 20 19. ในการลากเสน้ เชือ่ มระหวา่ งจุดยอด 2 จดุ ใดๆ ของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าท่ีแนบในวงกลม โดยที่ เสน้ นนั้ ไม่ใช่ดา้ นของรูปสิบเหลี่ยม ความน่าจะเป็นที่เสน้ ทล่ี ากขน้ึ นีไ้ ม่ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 6 2. 6 3. 5 4. 5 7 97 9 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 597 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 1 20. สมการแสดงความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชัน ทใ่ี ช้ประมาณคา่ ของกาํ ไร ( Y : พันบาท) จากจาํ นวน สนิ ค้าที่ผลติ ( X : สบิ ชิ้น) คือ Y = 2X + 5 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. ถ้าจะผลติ สนิ ค้าเพ่ิม 20 ชิ้น คาดว่ากาํ ไรจะเพม่ิ 9, 000 บาท ข. ถา้ กําไรเปน็ 7, 000 บาท คาดวา่ จะผลติ สนิ ค้าได้ 10 ช้นิ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 21. จากตารางตอ่ ไปนี้ ซงึ่ ข้อมูลชดุ x และ y มคี วามสัมพันธ์กนั ในรูปแบบฟังกช์ นั เสน้ ตรง x -2 -1 1 2 y -2 1 3 4 ถ้าการทาํ นายคา่ x และ y ใชร้ ะเบียบวิธีกําลังสองนอ้ ยท่สี ดุ พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ถา้ y = 3 ทํานายได้วา่ x = 1 ข. ถา้ x = 1 ทาํ นายได้ว่า y = 3 ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 22. ในการสอบย่อยคร้งั หนึ่งคะแนนเต็มคือ 100 คะแนน มีนักเรยี นเข้าสอบ 9 คนในวชิ า คณติ ศาสตร์และเคมี ได้คะแนนดังน้ี คณิตศาสตร์ : 70 70 70 78 79 80 90 91 92 เคมี : 50 60 72 78 80 85 90 92 95 ปรากฏวา่ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ เทา่ กบั 8.6 คะแนน และส่วน เบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาเคมเี ท่ากบั 14.2 คะแนน ถา้ นายปัญญาสอบวิชาคณิตศาสตร์ และเคมไี ด้ 90 คะแนนเทา่ กันทงั้ สองวชิ า แล้วขอ้ สรุปข้อใดต่อไปนถี้ ูก 1. เขาเรยี นวชิ าคณิตศาสตรไ์ ด้ดกี วา่ เคมี 2. เขาเรียนวิชาเคมีได้ดีกวา่ คณิตศาสตร์ 3. เขาเรยี นทง้ั สองวิชาได้ดีเทา่ กนั เพราะคะแนนเท่ากนั 4. เขาเรยี นทงั้ สองวชิ าได้ดีเท่ากนั เพราะไดต้ ําแหนง่ เปอร์เซน็ ไทลเ์ ดยี วกนั 23. การจ่ายโบนสั ให้กับพนกั งานของบรษิ ัทหนึ่งเทา่ กบั 1,000 บาทบวกกบั 2 เทา่ ของเงินเดอื น พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของโบนสั เปน็ 2 เทา่ ของคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของเงินเดือน ข. ความแปรปรวนของโบนสั เป็น 2 เท่าของความแปรปรวนของเงนิ เดือน ข้อใดต่อไปนถี้ ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 598 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 24. ข้อมลู ชุดหน่งึ มกี ารแจกแจงแบบปกติ โดยท่คี า่ สูงสุดของข้อมลู อยใู่ นตําแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 และคา่ ตํา่ สุดของข้อมูลอยู่ในตําแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 33 ถา้ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู เปน็ 20 คะแนน แล้วพิสัยของข้อมูลชดุ น้ีมีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ กําหนดตารางแสดงพื้นท่ีใตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ดังนี้ z 0.170 0.440 0.475 1.960 A 0.0675 0.1700 0.1826 0.4750 1. 28.0 2. 30.4 3. 39.2 4. 48.0 25. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหน่ึงมกี ารแจกแจงปกติ มคี ่าเฉลีย่ เลขคณติ เทา่ กับ 40 คะแนน ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 10 คะแนน และมีนกั เรยี นท่ีสอบได้คะแนนท่ีคดิ เป็น ค่ามาตรฐานระหว่าง -1 และ 1 อยู่ 75% ของนกั เรียนทงั้ หมด ถ้านาย ก สอบได้ 50 คะแนนแล้ว ขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ป็นตําแหน่งเปอร์เซน็ ไทลข์ องนาย ก 1. 37.5 2. 50.0 3. 75.0 4. 87.5 เฉลยคําตอบ สว่ นทห่ี นงึ่ ตอนท่ี 1 (1) 224 (2) 19 (3) 2 (4) 5 (5) 11 (6) 8 (7) 416 (8) 0.5 (9) 1.5 (10) 4 ตอนท่ี 2 (1) 3 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 3 (10) 2 (11) 4 (12) 3 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19) 2 (20) 1 (21) 4 (22) 1 (23) 2 (24) 3 (25) 4 สว่ นทีส่ อง ตอนที่ 1 (1) 0.5 (2) 8 (3) 1.5 (4) 0.7 (5) 6 (6) 19 (7) 10 (8) 1 (9) 0.86 (10) 9 ตอนท่ี 2 (1) 4 (2) 3 (3) 2 (4) 2 (5) 1 (6) 1 (7) 2 (8) 3 (9) 2 (10) 3 (11) 1 (12) 2 (13) 2 (14) 1 (15) 4 (16) 3 (17) 3 (18) 3 (19) 1 (20) 4 (21) 2 (22) 1 (23) 4 (24) 4 (25) 4 เฉลยวิธีคิด สว่ นท่ีหนึ่ง ตอนท่ี 1 แก้ระบบสมการได้ A=2, B=4, C=3 (1) คดิ จากจาํ นวนแบบทงั้ หมด ลบด้วย จํานวนแบบ ดังนน้ั p(x) = 2x2 + 4x + 3 และหารดว้ ย x − 2 ท่ี “ไมม่ ี” ...ซ่ึงจาํ นวนแบบทั้งหมด = 4 × 4 × 4 × 4 เหลอื เศษ = p(2) = 2(2)2 + 4(2) + 3 = 19 ตอบ และจาํ นวนแบบที่ “ไม่ม”ี (ตามเง่อื นไขในโจทย)์ น้ัน หมายความวา่ ถา้ หาก x > 0 แลว้ f(x) > 0 (3) จากโจทยจ์ ะได้ log2(4x + 8) − log212 = x − 1 น่นั คอื 4 × 2 × 2 × 2 แบบ น่ันคอื log ⎛ 4x + 8 ⎞ = x−1 → 4x + 8 = 2 x − 1 ตอบ (4 × 4 × 4 × 4) − (4 × 2 × 2 × 2) = 224 แบบ ⎜⎝⎜ 12 ⎟⎟⎠ 12 2 (2) พหุนามดกี รสี อง p(x) = Ax2 + Bx + C ให้ 2x = A จะได้ A2 + 8 = A ⋅ 1 ใช้ทฤษฎีเศษ.. p(−1) = 1 , p(0) = 3 , และ p(1) = 9 12 2 จะได้ A − B + C = 1 .....(1) → A2 − 6A + 8 = 0 → A = 4 หรอื 2 ดงั นนั้ x=2 หรอื 1 ... แต่ในโจทย์มี x – 1 เป็นสว่ น C = 3 .....(2) และ A + B + C = 9 .....(3) ทาํ ให้ x เป็น 1 ไมไ่ ด้ ตอบ ผลบวกคาํ ตอบคือ 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 599 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 (4) C31 = −x −4 = −3x − 4y =5 .....(1) = 3 lim ( n2+ n − ⎛ n2+ n + n2− 1 ⎞ −y 3 n2− 1) ⎜ ⎟ n → ∞ ⎝⎜ n2+ n + n2− 1 ⎟⎠ และ C12 = − −1 3 = x + 12 = 13 .....(2) 4x ⎛ ⎞ = 3 lim ⎜ n+1 ⎟ นํา n หารทงั้ เศษและ แกร้ ะบบสมการได้ x=1 และ y=–2 n→∞ ⎜ n2+ n + n2− 1 ⎟⎠ ⎝ ⎡−2 −1 −4⎤ ดงั นน้ั A = ⎢ −1 2 3 ⎥ จึงได้ det(A) = 25 ส่วน จะได้ = 3 lim ⎛ 1 + 1/n ⎞ ⎢⎣ 4 1 1 ⎦⎥ ⎜ ⎟ n → ∞ ⎝⎜ 1 + 1/n + 1 − 1/n2 ⎠⎟ และ det(B) = det(A−1) = 1/25 ⎛ 1 ⎞ ตอบ ตอบ det(5A t B2) 53 1 = 3 ⎜⎝ 1 + 1⎟⎠ = 1.5 252 = ⋅ 25 ⋅ =5 (10) ให้จดุ A มพี ิกดั เปน็ (0,y) จะไดว้ ่า (5) จากจุดโฟกสั จงึ ทราบว่า c=2 และจุดศูนย์กลาง 22 + (y − 2)2 = 12 + (y + 1)2 อยู่ที่ (h,k)=(0,0) จากน้ันอัตราสว่ น c:a จะทาํ ให้ ดงั นน้ั 4 + y2 − 4y + 4 = 1 + y2 + 2y + 1 → y = 1 ทราบวา่ วงรมี คี า่ a=4 และไฮเพอร์โบลามคี า่ a=1 นนั่ คอื จดุ A อยทู่ ่ี (0,1) ... และโจทย์บอกว่าจุดยอด อยูท่ ่ี (1,3) จงึ ลองวาดรปู ดูได้ดงั นี้ สรา้ งสมการได้ดงั น.้ี . วงรี y2 + x2 = 1 → 3y2 + 4x2 = 48 16 12 ไฮเพอรโ์ บลา y2 − x2 = 1 → 3y2 − x2 = 3 V(1,3) F V(1,3) 13 A(0,1) F A(0,1) แก้ระบบสมการหาจดุ ตัดได้ (±3, ±2) ตอบ m2 + n = 9 + 2 = 11 (6) ตอ่ เนอื่ งที่ x=2 แปลว่าลิมิตซา้ ยเทา่ กบั ลมิ ติ ขวา แต่อตั ราส่วนพาราโบลาทแ่ี ทจ้ รงิ นน้ั VF:AF ตอ้ งเปน็ 1:2 (ตามหลักทวี่ า่ เลตสั เรคตัมจะยาว 4c เสมอ) นนั่ คอื 22k = ( 8 − 1)2k + 8 ... ให้ 2k = A ดงั นนั้ พาราโบลาในขอ้ นี้ เปน็ แบบรูปขวามอื เทา่ นน้ั .. จะได้ A2 + (1 − 8) A − 8 = 0 แยกตัวประกอบ ได้ (A + 1)(A − 8) = 0 → A = −1 หรอื 8 หาคําตอบได้โดยอาศยั B6 รูปกราฟ (ไม่ต้องแก้ แต่ 2k = −1 ไม่ได้.. ดงั นน้ั 2k = 8 → k = 3/2 สมการ) เนอ่ื งจากเรา   ทราบวา่ FB=6 หน่วย ตอบ f(2) = 22(3/2) = 23 = 8 จะเทา่ กบั ระยะทางจาก 62 directrix จุด B ไปถงึ directrix V (7) เป็นการหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีของยุคลดิ ซงึ่ ผลหาร สุดท้ายจะเปน็ ห.ร.ม. ดังน้ัน r1 = 2 F A และจะได้ r0 = 6 , n = 26 ตามลําดับ ตอบ ค.ร.น. ของ n กับ 32 คอื 26 × 32 = 416 ดงั นน้ั B หา่ งจากแกน y อยู่ 6–2=4 หน่วย ตอบ 2 ส่วนทห่ี นงึ่ ตอนท่ี 2 (1) เซต P(A) และ B มสี มาชกิ ซาํ้ กนั 2 ตวั ไดแ้ ก่ (8) พจนซ์ า้ ยมือในโจทยส์ ามารถจัดรูปได้ดงั น้ี {0} กบั {0,1} ดังนน้ั n(P(A) − B) = 24 − 2 = 14 loga(ax) + loga(a2x)2 + loga(a3x)3 + ... + loga(a10x)10 เซต P(B) และ A มสี มาชิกซาํ้ กนั 1 ตวั ได้แก่ ∅ ดงั นน้ั n(P(B) − A) = 23 − 1 = 7 ตอบ 21 = loga(ax ⋅ a4x2 ⋅ a9x3 ⋅ ... ⋅ a100x10) (2) ก. เนอื่ งจาก A ⊂ B ดังนนั้ A ∪ B = B และ = loga(a1+ 4 + 9 + ... + 100 x1+ 2 + 3 + ... + 10) A ∩ B = A ซ่งึ ทั้งสองเซตนี้เป็นสมาชกิ ของ C ..ถูก ข. ผิด ทจ่ี ริงใน P(C) จะมี {A} และ {B} ตา่ งหาก = loga(a385 x55) (3) n (A ∩ B) = 8 + 6 − 11 = 3 ดงั นนั้ สมการกลายเปน็ loga(a385 x55) = 110 ดงั นนั้ n (B − A) = 6 − 3 = 3 → a385 x55 = a110 → x55 = a−275 และ n (A − B) = 8 − 3 = 5 ตอบ∴ x = a−275/55 = a−5 = (5 2)−5 = 2−1 = 0.5 จาํ นวนฟงั ก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หน่งึ จาก B–A ไป A–B จะมี ทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 แบบ ตอบ (9) ⎡ 3 −3 ⎤ Bn = adj (An) = ⎢⎣− n2− 1 ⎥ n2+ n ⎦ จะได้ bn = det (Bn) = 3 ( n2+ n − n2− 1) แสดงวา่ lim bn = lim 3 ( n2+ n − n2− 1) n→∞ n→∞ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 600 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 (4) เซต A; แบง่ ชว่ งยอ่ ยในการคาํ นวณดงั นี้ (6) ก. q ∨ s เปน็ เทจ็ แสดงวา่ q กบั s เปน็ เทจ็ ทง้ั ค. คู่ ... (p → q) ∧ (r ∨ s) เปน็ จริง แสดงว่า p → q ก. ข. ก. เมอ่ื x < 3 จ3ะได้ 4 เป็นจรงิ (นนั่ คอื p เปน็ เทจ็ ) และ r ∨ s เปน็ จรงิ −x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ (น่นั คอื r เป็นจรงิ ) สรุป (q ∨ p) → (r ∧ s) ≡ F → F ≡ T ขอ้ ก. ถกู ข. เม่อื 3 < x < 4 จะได้ ข. นิเสธของ ∀x [ P → Q ] คอื ∃x [ P ∧ ~ Q ] −x + 4 + x − 3 = 1 → 1= 1 → [3, 4) ดงั นนั้ จากโจทย์ ควรเปน็ ∃x [ x </ 0 และ −x > 0 ] ค. เมือ่ x > 4 จะได้ นัน่ คอื ∃x [ x </ 0 และ x < 0 ] x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4} ดังนน้ั A = [3, 4] (ในโจทยไ์ มม่ เี ครอ่ื งหมายเทา่ กบั ) ขอ้ ข. ผดิ ตอบ เซต B; ยกกําลงั สองทงั้ สองขา้ งได้ เพราะขวามือเปน็ (7) ก. [(p → q) ∨ (q → r)] → (p → r) F FTFF บวกเสมอ และพจนซ์ า้ ยมอื นน้ั มากกวา่ หรอื เทา่ กบั T T พจน์ขวามือ จงึ ยอ่ มเป็นบวกเสมอด้วย TT 16 > 4 → (x 4 − x 1 1 > 0 ทําเปน็ เทจ็ ได้ (กาํ หนดให้ q เป็น T หรอื F กไ็ ด)้ (x − 2)2 x + 1 − 2)2 + แสดงวา่ ไม่เปน็ สัจนริ นั ดร์ 4x + 4 − x2 + 4x − 4 > → (x − 2)2(x + 1) 0 ข. เชือ่ มดว้ ย “กต็ ่อเมอื่ ” จึงใช้วธิ ตี รวจสอบสมมูล −x2 + 8x > x(x − 8) < ซา้ ยมอื อยู่ในรปู X → Y และขวามอื เปน็ ~Y → ~X (x − 2)2(x + − 2)2(x + → 1) 0 → (x 1) 0 ซึง่ สมมลู กันพอดี ดังน้นั เป็นสจั นริ ันดร์ ตอบ ขอ้ 3. - + - +- + (8) 1. มี x บางตวั ซง่ึ ทาํ ให้ “ __ และ __ “ -1 0 2 2 8 ..มจี ริงๆ คอื x=0 แตจ่ ากโจทย์มี x + 1 2. x ทกุ ๆ ตัว “ __ หรอื __ ” ..ก็จรงิ จงึ ตอ้ งเพิ่มเงอ่ื นไขวา่ x + 1 > 0 → x > −1 3. มี x บางตวั ซงึ่ ทําให้ “__” ..มจี ริง และมี x บางตัวซึ่งทาํ ให้ “__” ..อนั นก้ี ม็ จี รงิ และนอกจากนน้ั 4 > 0 ดว้ ย คือ x > 2 4. x ทุกๆ ตวั “__” ..ไมจ่ ริง! x −2 หรือ x ทกุ ๆ ตัว “__” ..ก็ไม่จริง! ตอบ ข้อ 4. (9) ก. จาก (3) และ (2) จะสรปุ ไดเ้ ป็น q รวมแลว้ จงึ ไดว้ ่า B = (2, 8] จากนน้ั นําไปพจิ ารณาร่วมกบั (1) จะไดผ้ ลเปน็ ~p สรุป.. B − A = (2, 3) ∪ (4, 8] ตอบ ขอ้ 4. ซึ่งตรงขา้ มกบั ผลทีใ่ หม้ า แสดงวา่ ไม่สมเหตุสมผล (5) เซต A; x − 1 − 2 > 0 x+2 ข. จาก (1) เชือ่ มกนั ดว้ ย “และ” แสดงวา่ P(x) เป็น จรงิ และ Q(x) ก็เปน็ จรงิ (คือเขยี นแยกขอ้ กนั ได)้ .. → x − 1 − 2x − 4 > 0 → −x − 5 > 0 x+2 x+2 ยกเฉพาะ Q(x) มาพจิ ารณาร่วมกบั (2) จะไดเ้ ปน็ นั่นคอื x + 5 < 0 แสดงวา่ A = (−5, −2) R(x) แล้วพจิ ารณากับขอ้ (3) กจ็ ะไดผ้ ลเปน็ S(x) x+2 สมเหตุสมผล ตอบ ขอ้ 3. โดเมนของ f; (3 + x)(2 − x) > 0 (10) ความสมั พนั ธท์ โ่ี จทย์ให้มามีกราฟเปน็ รูปวงรี → (3 + x)(x − 2) < 0 นน่ั คือ Df = [−3, 2] จงึ จดั รูปสมการดงั นี้.. 9(x2 − 2x) + 4 (y2 + 4y) = 11 โดเมนของ g; x + 3 > 0 → x > −3 นั่นคอื Dg = (−3, ∞) → 9 (x2 − 2x + 1) + 4 (y2 + 4y + 4) = 11 + 9 + 16 สรุป.. A ∩ Df ⋅g = A ∩ Df ∩ Dg = (−3, −2) → 9 (x − 1)2 + 4 (y2 + 2)2 = 36 มีขอบเขตบนคา่ นอ้ ยทสี่ ดุ เท่ากบั –2 ตอบ → (x − 1)2 + (y2 + 2)2 = 1 49 [หมายเหตุ การหาโดเมนของ f ⋅ g จะตอ้ งคดิ โดเมน เปน็ วงรใี นแนวตง้ั จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (1,-2) ทีละฟงั กช์ นั แลว้ อินเตอรเ์ ซคเขา้ ดว้ ยกัน หา้ มนาํ f กบั ขึน้ ลงดา้ นละ 3 หน่วย และซา้ ยขวาดา้ นละ 2 หนว่ ย g มาคณู กนั กอ่ น เพราะอาจทาํ ใหบ้ างเงอื่ นไขหายไป] จึงได้ Dr = [−1, 3] และ Rr = [−5, 1] ดังนน้ั Dr−1 ∩ Rr−1 = Rr ∩ Dr = [−1, 1] ตอบ ขอ้ 2. Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)