MATH ebook

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 501 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.46 (22) (26) X = 60, s = 0.25 → s = 15 X xค − xว = 9 .....(1) a ⎛ 7⎞ 0 7a zค + zว = xค − 60 + xว − 60 = 1.5 ∫ − ⎝⎜⎜ − ∫ ⎟⎠⎟ = 2a 15 15 7 0 → xค + xว = 142.5 .....(2) → ⎛ x3 ⎞ a + ⎛ x3 ⎞ 7 = 2a แกร้ ะบบสมการได้ 142.5 − 9 ⎜ − 7x⎟ 7 ⎜ 3 − 7x ⎟ 0 xว = 2 = 66.75 ⎝ 3 ⎝ ⎠ ⎠ ⎡⎛ a3 − ⎞ − ⎛ 77 −7 ⎞⎤ + ⎡⎛ 7 7 −7 ⎞⎤ คะแนน จงึ ตอบ ข้อ 3. ⎢⎣⎝⎜ 3 7a ⎟ ⎜ 3 7 ⎟⎥ ⎢⎣⎜⎝ 3 7 ⎟ − (0)⎥ ⎝ (ถ้าอยากคดิ zค จะได้ ⎠ ⎠⎦ ⎠⎦ = 2a 75.75 − 60 15 )xค = 75.75 → zค = = 1.05 → a3 − 9a = 0 → a = 3 3 ตอบ (27) 3 (23) เลอื ก ⎜⎝⎛62 ⎠⎞⎟ ⎛⎜⎝ 7 ⎠⎟⎞ ⎜⎛⎝ 11⎞⎟⎠ และสลับได้ 4! 0.258 1 0.47 0.03 ∴ คูณกันได้ 2,520 วิธี ตอบ 136.5 Mo 149.4 x (24) วธิ ที ้งั หมดเท่ากับ 20! ท่ี 136.5 → A = 0.258 ทางซ้าย (สาเหตทุ เี่ ปน็ 20! เนอื่ งจากโต๊ะอยใู่ กล้กนั จงึ เปรียบเหมอื นมตี าํ แหนง่ ทีน่ ง่ั เกดิ ขน้ึ แลว้ จะไม่ใช่ → z = −0.7 = 136.5 − X .....(1) s วงกลมอีกตอ่ ไป) ที่ 149.4 → A = 0.47 ทางขวา วิธีทต่ี อ้ งการ ⎛⎜⎝210⎠⎟⎞ × 2 × 18 ! → z = 1.88 = 149.4 − X .....(2) 2 คนเลือกที่น่ัง 18 คนทเ่ี หลอื s นาํ มาหารกนั ไดค้ าํ ตอบเป็น 2 ตอบ แกร้ ะบบสมการได้ s = 5, X = 140 ซม. 19 ∴ ตอบ ฐานนยิ ม (Mo) = X = 140 ซม. (25) แก้ตามสตู ร และ s2 = 25 ซม.2 (28) ปี 44 เทียบ 43; Σy = mΣx + cN → 41 = 48m + 8c 100 + 115 + 125 2,000 และ Σxy = mΣx2 + cΣx → 286 = 348m + 48c ΣP43 7 บาท1.19 จะได้ m = 2 และ c = 9 ∴ Yˆ = 2 X + 9 = → ΣP43 = 38 38 ปี 45 เทียบ 43; 105 + 125 + 130 = 1.26 ตอบ (2,000/ 7) ก. x = 6 → Yˆ = 2 (6) + 9 = 5.125 38 → 51,250 บาท ข. Δx = 1 → ΔYˆ = 2 (1) = 0.6667 3 → 6,667 บาท ตอบ ก. ถูก ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 502 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.46 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa µ.¤.46 (n) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A, B เป็นเซต ซงึ่ n(A) = a, n(B) = b ถ้า n [(A−B) ∪ (B−A)] = 7 และ n(A × B) = 40 แล้ว n({C | C ⊆ A∪B และ n(C)< 2}) เท่ากบั เทา่ ใด 2. กําหนดให้ a > 0 และ f (x) = ax2, x > 0 และ g(x) = x3 ถ้า (f−1 g)(4) = 2 แล้ว f−1(64) มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด g−1(64) 3. กาํ หนดให้ f (x) = x3+ kx2 + mx + 4 เม่อื k และ m เป็นคา่ คงตวั ถา้ x − 2 เป็นตวั ประกอบหนง่ึ ของ f (x) และเม่อื นํา x + 1 ไปหาร f (x) ไดเ้ ศษเหลือ 3 แล้ว ค่า สมั บูรณ์ของ k + m เทา่ กบั เท่าใด 4. 1 + cos (π + (arccos 4 − arctan 4)) เทา่ กบั เท่าใด 2 53 5. กาํ หนดเวกเตอร์ a, b, c ดังนี้ a = 4 i − 2 j , a + b = 6 i + 4 j และ c = c1i + c2 j โดยท่ี c1 > 0 , c2 > 0 และ c = 2 17 ถา้ c ต้งั ฉากกบั (a − b) แล้ว c1 + c2 มีค่าเท่ากับเท่าใด 6. กาํ หนดให้เส้นตรง y = −6x − 5 สัมผสั เส้นโค้ง y = f (x) ท่จี ดุ x = −1 ถ้า f (x) = ax3+ bx2− 3 เม่ือ a, b เปน็ จาํ นวนจริงแลว้ คา่ สูงสุดสัมพทั ธ์ของ f เท่ากบั เทา่ ใด 7. ในการศึกษาความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ของปริมาณนมโดยเฉล่ยี (ลิตร) ที่เด็กแตล่ ะคนในตําบลหน่งึ บริโภคตอ่ ปี ( y ) ระหว่างปี พ.ศ. 2538 – 2545 พบวา่ เม่อื เปล่ียนชว่ งเวลาให้อยู่ในรปู ของค่า x ดงั น้ี พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 x -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 จะไดส้ มการแสดงความสัมพันธ์ (ทศนยิ ม 2 ตําแหน่ง) เปน็ y = 0.54 x + 38.85 ถ้าใช้ความสัมพันธ์นีท้ าํ นายปรมิ าณนมโดยเฉลยี่ ทเ่ี ด็กแตล่ ะคนในตาํ บลนี้บรโิ ภคใน พ.ศ. 2547 แลว้ จะได้ว่าปริมาณนมโดยเฉล่ียที่เด็กแตล่ ะคนบรโิ ภคโดยประมาณ เทา่ กบั เทา่ ใด 8. ขอ้ สอบชดุ หนึง่ มี 2 ตอน ตอนละ 4 ขอ้ มคี ําส่ังใหผ้ สู้ อบทาํ ข้อสอบตอนทีห่ น่ึงอย่างน้อย 1 ขอ้ และทําข้อสอบตอนทส่ี อง 2 ขอ้ จํานวนวธิ ที ผ่ี ู้สอบจะทาํ ข้อสอบชุดนี้ เทา่ กับเท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 503 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ถา้ a, b และ c เป็นจํานวนเตม็ ซง่ึ a | (2b−c) และ a2 | (b+c) แลว้ a | 3c ข. ถ้า A = { x ∈ R | x2−2x+2 < 1} และ B = { x ∈ R | x3−2x2 < 0 } แลว้ A = B x −2 ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 2. พจิ ารณาการอา้ งเหตุผลต่อไปน้ี ข. เหตุ 1) P (x) → ~ Q (x) ก. เหตุ 1) p ∧ q ผล 2) Q (x) ∨ R (x) 2) (q ∨ r) → (s ∧ p) P (x) → R (x) 3) p → ~ r 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไมส่ มเหตุสมผลท้งั คู่ ผล s ∧ ~ r ขอ้ ความใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก และ ข สมเหตสุ มผลท้งั คู่ 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 3. ใหเ้ อกภพสัมพทั ธ์คือเซตของจาํ นวนจรงิ ถ้า P (x) แทนข้อความ x2 − 3x < 0 และ Q (x) แทนขอ้ ความ −2 < log1/3x < −1 แล้ว ประโยคในข้อใดต่อไปน้ีมีคา่ ความจริงเปน็ จริง 1. ∀x [P (x) → Q (x)] 2. ∀x [Q (x) → P (x)] 3. ∀x [~ P (x) → Q (x)] 4. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 4. กาํ หนดให้ f, g เปน็ ฟงั ก์ชันซึ่ง Df = [0, ∞) โดยที่ f−1(x) = x2 , x > 0 และ ,g−1(x) = (f (x))2 + 1 x > 0 ถา้ a > 0 และ f (a) + g(a) = 19 แลว้ f−1(a) + g−1(a) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 273 2. 274 3. 513 4. 514 5. กําหนดให้ a>0 และ g (x) = ⎪⎧ −a (10 x) ,x < 1 ⎨ ,x > 1 ⎪⎩ x3 − 1 ถ้า Rg = (−2.5, ∞) แล้ว พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. g−1(a−1) = log 2 ข. g−1(x) = ⎪⎧ log(4|x|) ,x < 0 ⎨ ,x > 0 ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ⎩⎪ 3 x + 1 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 504 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.46 6. ให้ r = {(x, y) | y = x2− 4 } พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ x −2 ก. 4 ∈ Rr ข. Rr−1 = [0, 4) ∪ (4, ∞) ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 7. ให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลา 12y2 − 4x2+ 72y + 16x + 44 = 0 ซ่ึงมีจุดโฟกัสคือ F1 และ F2 ให้ E เปน็ วงรีซึ่งมจี ุดศูนยก์ ลางร่วมกบั H โดยมี F1 และ F2 เป็นจดุ ยอด และสัมผัสแกน y ถ้า E ตดั แกน x ท่ีจดุ A และ B แล้ว AB ยาวเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 8 หนว่ ย 2. 7 หนว่ ย 3. 6 หน่วย 4. 5 หนว่ ย 8. กาํ หนดให้วงกลม C มีจุดศนู ยก์ ลางอย่ทู จ่ี ุดโฟกัสของพาราโบลา y = 1 − 8(x − 2)2 ถา้ เส้นตรง 3x − 4y + 5 = 0 เปน็ เส้นสัมผสั วงกลม C แล้ว จดุ ในข้อใดต่อไปน้ีอยบู่ นวงกลม C 1. (0, 1+ 5) 2. (1−2 2, 0) 3. (−1, − 1) 4. (2, − 2) 9. ถา้ sin A = 2 และ cos A = 1 แลว้ tan2B มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ sin B 3 cos B 2 1. 4 2. 3 2 3. 1 4. 2 3 10. ถา้ a, b เป็นคาํ ตอบของสมการ 6x − 3x +1− 2x +2 + 12 = 0 แล้ว คาํ ตอบของสมการ (ab)2x +1 = (ab+3)x เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. log 3 2. log 4 log 2 − log 3 log 7 − log 16 3. 1 4. 1 log38 − 2 log25 − 2 11. กาํ หนดให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ log x ⎛ x + 3 ⎞ > 1 และ ⎜⎝ x − 1 ⎟⎠ T = { log 3 x | x ∈ S } แลว้ T เป็นสบั เซตของช่วงใดต่อไปนี้ 1. [0, 2] 2. [1, 3] 3. [1/2, 5/2] 4. [1/3, 7/3] 12. กาํ หนดให้ เปน็ จาํ นวนจริง และ ⎡a 1 2a+ 6⎤ ⎢ a 3 ⎥ a A = ⎢ 6 ⎥ ⎢⎣ a 2 a ⎥⎦ ถา้ M11(A) = 18 และ M22(A) = −12 แล้ว C31(A) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. −57 2. −33 3. −15 4. −3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 505 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.46 13. กาํ หนดให้ เป็นจาํ นวนจรงิ และ ⎡ 1 0 2⎤ ⎢ ⎥ a A = ⎢ 0 3 0 ⎥ ⎣ 4 0 a ⎦ ถา้ a > 10 และ det (adj A) = 225 แลว้ a มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 11 2. 12 3. 13 4. 14 14. กําหนดสมการจดุ ประสงค์คอื P (x, y) = (a2− 1) x + a y โดยที่ a เป็นจาํ นวนจรงิ บวก ซ่งึ a2− a − 2 > 0 และมีอสมการข้อจํากดั คอื 2 < x < 4 , y > 1 และ x + y < 7 ถา้ ค่าสูงสดุ ของ P (x, y) เทา่ กับ 41 แล้ว a มคี า่ อยู่ในชว่ งใดต่อไปน้ี 1. [2, 2.5) 2. [2.5, 3) 3. [3, 3.5) 4. [3.5, 4) 15. กDาํ หนเปด็นใหจุด้ บAนBดC้านเป็นBรCูปสซา่ึงมทเาํ หใหล่ีย้ |ม˜BดDา้ |น:เ|ท˜Bา่ C| = 1 : 3 และ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ข. ˜AD ⋅ ˜BC = − 1 |˜BC|2 ก. 3 ˜AD = 2 ˜AB + ˜BC 6 ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 16. กาํ หนดจาํ นวนเชิงซอ้ น z1 = a , z2 = b (cos θ + i sin θ) โดยที่ a > 0 , b > 0 และ 0 < θ < π 2 ถา้ 2 i|z1z2|sin θ = c z1z2 + d z1z2 โดยท่ี c, d เป็นจาํ นวนจรงิ แล้ว 5c + 2d มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 17. ให้ z = a + b i ซ่งึ b > 0 ถ้า z สอดคล้องกับ z2 + 4z − 32 = 1 และ z z = 61 z2 − 64 แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. 11 4. 12 1. 9 2. 10 18. กําหนดให้ f (x) = | x2 + 4x | และ g(x) = | x2 − 16 | 4. 1 ถ้า a, b เปน็ คาํ ตอบทงั้ สองของสมการ f (x) = g(x) 3 แล้ว lim f (x) + lim f (x) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี x → a g (x) x → b g (x) 1. 3 2. 5 3. 1 2 62 19. ให้ x เปน็ จํานวนจรงิ ซึง่ |x| < 1 ถ้าอนุกรม 1 + (1+x)(1) + (1+x+x2)(1)2 + (1+x+x2+x3)(1)3 + ... มผี ลบวกเท่ากับ 16 22 2 7 แลว้ x มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. − 1 2. − 1 3. 1 4. 1 3 4 3 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 506 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.46 20. กาํ หนดให้ g เป็นฟังก์ชันพหนุ าม และ f (x) = x g(x) ถา้ f′(x) = 4x3 + 9x2 และ f (0) = 0 แล้ว d ⎡ f (x) ⎤ ทจ่ี ุด x = −2 มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ ⎢ (x+1)⎥⎦ dx ⎣ g 1. −4 2. −2 3. 2 4. 4 21. กาํ หนดให้ f (x) = x2− 1 พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ∫ก. 1 = 4 f (x) dx −1 3 ข. พืน้ ทีท่ ป่ี ิดล้อมด้วยโค้ง y = f (x) จาก x = −1 ถงึ x = 1 เทา่ กับ 4 ตารางหนว่ ย 3 ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 22. กาํ หนดให้ a, b เป็นจาํ นวนจรงิ และ f (x) = x3 + ax2 + bx + 1 ถ้า f′(1) = 15 และ ∫1 = 55 แล้ว f (1) มคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ f (x) dx 12 0 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 23. กลอ่ งใบหนึง่ มลี ูกแก้วขนาดเดยี วกัน 3 สี เป็นสีขาว 4 ลูก สแี ดงและสีเขียวมีจาํ นวนเท่ากัน เมื่อ ส่มุ หยบิ ลกู แกว้ มา 2 ลกู ความน่าจะเป็นท่ีจะไดล้ ูกแก้วสขี าวทง้ั 2 ลูกเท่ากับ 2/15 ถ้าสุ่มหยบิ ลูกแก้วมา 4 ลูก ความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะไดล้ ูกแก้วเป็นสีเขยี ว 1 ลกู และสีแดงอยา่ งน้อย 1 ลกู เท่ากับ ข้อใดต่อไปนี้ 1. 30 2. 31 3. 29 4. 33 70 70 35 35 24. ในการยนื เรียงเปน็ แถวตรงของนกั เรียนชาย 6 คน และนกั เรยี นหญิง 4 คน ถ้าความน่าจะเปน็ ที่ ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยนื ติดกันเลย เท่ากับ a และความนา่ จะเปน็ ทนี่ ักเรยี นหญิงทั้งหมดตอ้ ง ยนื ตดิ กันเทา่ กับ b แลว้ a + b เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35 25. ในการสาํ รวจน้ําหนักตัวของนักเรยี น 200 คน มีการแจกแจงความถดี่ ังนี้ นํา้ หนักตัว (ก.ก.) ความถี่ 19 – 22 20 23 – 26 60 27 – 30 30 31 – 34 40 35 – 38 50 จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. นา้ํ หนกั ตวั ของนกั เรยี น 200 คนน้ี มีฐานนิยมมากกว่ามธั ยฐาน ข. สัมประสิทธิ์ของสว่ นเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทลข์ องนา้ํ หนักตัวนักเรียน 200 คนนเี้ ท่ากับ 0.15 ข้อใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 507 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.46 26. โรงงานแหง่ หนึ่งคดั เลือกคนงานจากผู้สมคั รเข้าทาํ งานทัง้ หมด โดยมีเงื่อนไขวา่ ผ้ทู ี่จะไดร้ บั การ พจิ ารณาคัดเลือกเข้าทาํ งานต้องมคี ่ามาตรฐานของอายุไมน่ อ้ ยกว่า 1.5 และไมเ่ กนิ 3.5 ถา้ คา่ เฉลีย่ เลขคณิตและความแปรปรวนของอายขุ องผ้สู มคั รท้ังหมดเป็น 23 ปี และ a ปี2 ตามลาํ ดบั และถา้ นาํ ค่ามาตรฐานของอายขุ องผสู้ มัครทงั้ หมดมาหาความแปรปรวนได้ความแปรปรวน เท่ากบั a/4 แลว้ ผู้สมัครที่อย่ใู นข่ายทจ่ี ะไดร้ ับการคดั เลอื กเขา้ ทาํ งานจะต้องมอี ายตุ ามขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. ไม่นอ้ ยกว่า 26 ปี และไม่เกิน 37 ปี 2. ไมน่ อ้ ยกวา่ 29 ปี และไม่เกนิ 37 ปี 3. ไม่น้อยกวา่ 26 ปี และไม่เกนิ 30 ปี 4. ไมน่ ้อยกวา่ 29 ปี และไม่เกิน 30 ปี 27. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนสอบสองหอ้ ง เปน็ ห้อง ก และหอ้ ง ข พบวา่ คะแนนสอบของทงั้ สอง ห้องมกี ารแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานเท่ากนั และเทา่ กบั a สมั ประสทิ ธิ์ของการแปรผนั ของคะแนน ของนกั เรยี นห้อง ก และห้อง ข เทา่ กับ c และ c + 5 a ตามลําดบั ถา้ ในการสอบครั้งนเ้ี ด็กหญิง สดซงึ่ อยู่ห้อง ก และเดก็ หญงิ ใสซงึ่ อยหู่ ้อง ข ทําคะแนนไดใ้ นตาํ แหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 ทง้ั คู่ แล้วเดก็ หญงิ ใสไดค้ ะแนนมากกวา่ เด็กหญงิ สดเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ กาํ หนดตารางแสดงพืน้ ทีใ่ ต้เส้นโค้งปกตดิ ังน้ี z 0.70 0.80 0.90 A 0.2580 0.2881 0.3159 1. 5 2. 4 3. 3.5 4. 2 28. ให้ปี พ.ศ. 2539 เปน็ ปีฐานในการหาดชั นีราคาผู้บรโิ ภคตงั้ แต่ พ.ศ. 2540 เป็นต้นไป สมมตวิ า่ ดัชนีราคาผบู้ ริโภคใน พ.ศ. 2540 เท่ากบั 104 และคา่ ครองชีพใน พ.ศ. 2543 สูงกว่าค่าครองชพี ใน พ.ศ. 2540 เท่ากบั 25 เปอร์เซน็ ต์ ถา้ นายสุจริตมีรายไดต้ อ่ เดอื นที่แท้จรงิ ใน พ.ศ. 2543 เทา่ กบั 20,000 บาท แล้ว เขามีรายได้ต่อเดอื นเปน็ ตัวเงินเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 23,000 บาท 2. 24,000 บาท 3. 25,000 บาท 4. 26,000 บาท เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 56 (2) 0.5 (3) 4 (4) 1.28 (5) 10 (6) 5 (7) 44.79 (8) 90 ตอนท่ี 2 (1) 2 (2) 1 (3) 4 (4) 1 (5) 4 (6) 3 (7) 2 (8) ไม่มขี ้อถูก (9) 2 (10) 4 (11) 1 (12) 2 (13) 3 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 3 (18) 1 (19) 4 (20) 1 (21) 3 (22) 2 (23) 2 (24) 1 (25) 4 (26) 3 (27) 2 (28) 4 เฉลยวธิ ีคดิ ตอนท่ี 1 a + b ตอ้ งเปน็ จาํ นวนค่เี ทา่ นนั้ (1) n(A × B) = 40 m ∴ a, b = 5 กบั 8 ... จะได้ m = (13 − 7) / 2 = 3 แสดงว่า ab = 40 .....(1) n(A ∪ B) = 5 + 8 − 3 = 10 n [(A − B) ∪ (B − A)] = 7 แสดงวา่ ดงั นน้ั จาํ นวนสบั เซตของ A ∪ B ซึ่งหยิบสมาชกิ มา (a − m) + (b − m) = 7 → a + b = 2 m + 7 .....(2) <2 ตวั คอื = ⎛⎜⎝ 10 ⎟⎠⎞ + ⎜⎝⎛ 10 ⎠⎞⎟ + ⎝⎜⎛ 10 ⎠⎟⎞ = 56 ตอบ 0 1 2 มากกวา่ a ] โดยที่ a, b, m เปน็ จาํ นวนนบั และ m < a, b จากสมการแรกพบวา่ มี a, b หลายคู่ คอื 1, 40 [หมายเหตุ a, b เป็น 1, 40 ไม่ได้ 2, 20 4, 10 5, 8 แต่จากสมการท่ีสองจะทราบวา่ เพราะจะทาํ ให้ m = (41− 7) / 2 = 17 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 508 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.46 (2) g(4) = 43 = 64 แสดงวา่ ตอนท่ี 2 (1) ก. สัญลกั ษณ์ a b แปลว่า a ไปหาร b ลงตัว f−1(64) = 2 → f(2) = 64 → a(22) = 64 ∴ a = 16 (หมายถงึ b = จาํ นวนเต็ม) a โจทยถ์ าม f−1(64) = 2 = 0.5 ตอบ g−1(64) 4 สง่ิ ทคี่ วรทราบคือ (เมื่อ a, b, c, n เปน็ จาํ นวนนับ) (i) ถ้า a b และ a c แล้ว a (b ± c) (3) f(2) = 0 → 8 + 4k + 2m + 4 = 0 .....(1) (ii) ถ้า a b แลว้ a bc f(−1) = 3 → −1 + k − m + 4 = 3 .....(2) (iii) ถา้ an b แล้ว a b ได้ k = −2, m = −2 ตอบ 4 จาก a (2b − c) .....(1) และ a2 (b + c) .....(2) (4) cos ⎛⎝⎜ π + θ ⎠⎞⎟ = − sin θ ดงั นัน้ จากโจทย์จะได้ ประโยค (2) แสดงวา่ a (b + c) ∴ a (2b + 2c) 2 นาํ ไปลบกับ (1) เพื่อกําจดั b ท้งิ ไป จะไดว้ ่า a [(2b + 2c) − (2b − c)] → a 3c ก. ถูก 1 − sin ⎛ arccos 4 − arctan 4⎞ ⎝⎜ 5 3 ⎟⎠ ใชส้ ูตร sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B ได้เป็น 1 − ⎛3 ⋅ 3 − 4 ⋅ 4⎞ = 1.28 ตอบ ข. A; x2 − 2x + 2 − x + 2 < 0 ⎜⎝ 5 5 5 5 ⎟⎠ x −2 (5) a = 4 i − 2 j .....(1) → x2 − 3x + 4 < 0 → x − 2 < 0 a + b = 6 i + 4 j .....(2) x −2 นาํ สมการ (2) ลบดว้ ยสมการ (1) (เพราะ x2 − 3x + 4 แยกไม่ได้) ∴ A = (−∞, 2) ได้ b = 2 i + 6 j ∴ (a − b) = 2 i − 8 j B; x2(x − 2) < 0 → เขยี นเสน้ จาํ นวนโดยใหม้ เี ลข เวกเตอร์ c มขี นาด 2 17 → c21 + c22 = 2 17 0 สองคร้ังดว้ ย จะได้ B = (−∞, 2) − {0} ข. ผดิ และต้ังฉากกบั 2 i − 8j (ดอทกันได้ 0) → 2c1 − 8c2 = 0 แกร้ ะบบสมการ ตอบ ข้อ 2. (2) ก. ใหเ้ หตุเปน็ จรงิ ทกุ ขอ้ จะได้ c1 = 8, c2 = 2 ตอบ 10 จะได้วา่ p จรงิ , q จริง, r เทจ็ , s จรงิ พบวา่ ผลจะเปน็ จรงิ เสมอ ดงั นน้ั ก. สมเหตุสมผล (6) y สมั ผัสกบั L; y = −6x − 5 ทจ่ี ดุ x = −1 ข. เหตุ 2 คอื Q(x) ∨ R(x) เปลีย่ นรปู เปน็ แสดงว่า f(−1) = −6(−1) − 5 = 1 → −a + b − 3 = 1 ~ Q(x) → R(x) แลว้ นําไปรวมกบั เหตุ 1 คอื และความชนั f′(−1) = −6 → 3a − 2b = −6 P(x) → ~ Q(x) ไดผ้ ลเปน็ P(x) → R(x) แกร้ ะบบสมการได้ a = 2 และ b = 6 ดังนน้ั ข. สมเหตสุ มผล ตอบ ข้อ 1. (3)∴ f(x) = 2x3 + 6x2 − 3 → f′(x) = 6x2 + 12x = 0 P(x); x (x − 3) < 0 → 0 < x < 3 → x = 0, −2 แสดงว่า P(x) แทนขอ้ ความ “ x ∈ (0, 3) ” ซ่ึง f(0) = −3 , f(−2) = 5 Q(x); ⎛ 1 ⎞−1 < x < ⎛ 1 ⎞−2 →3<x<9 ⎜⎝ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ∴ ค่าสงู สุดสมั พทั ธ์ = 5 ตอบ (7) ปี 2547; เทียบเปน็ ค่า x = 11 แสดงวา่ Q(x) แทนขอ้ ความ “ x ∈ (3, 9) ” ∴ Yˆ = 0.54(11) + 38.85 = 44.79 ลติ ร ตอบ ∴ ข้อที่ถูกคอื ข้อ 4. ตอบ (8) ตอนที่ 1 เลอื กทาํ กข่ี อ้ ก็ได้ ยกเวน้ ไมท่ ําเลย [สาํ หรบั ทกุ ๆ x, ถา้ x ∈ (0, 3) แลว้ x ∉ (3, 9) ] 4 ⎛⎝⎜ 24 ⎟⎠⎞ ⎜⎛⎝ 43⎠⎟⎞ 4 → ⎛⎝⎜ 1 ⎞⎠⎟ + + + ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎟⎠ = 24 − 1 = 15 วิธี (4) f−1(x) = x2 → f(x) = x ตอนท่ี 2 เลอื กสองขอ้ เทา่ นั้น → ⎛⎝⎜ 4 ⎠⎞⎟ =6 วธิ ี g−1(x) = ( x)2 + 1 = x + 1 → g(x) = x − 1 2 ดังนนั้ f(a) + g(a) = a + a − 1 = 19 ∴ ตอบ 15 × 6 = 90 วธิ ี → a + a − 20 = 0 → ( a − 4)( a + 5) = 0 จะได้ a = 16 เทา่ นน้ั ตอบ∴ f−1(16) + g−1(16) = 162 + 16 + 1 = 273 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 509 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.46 (5) พจิ ารณา Rg ทีละช่วง ดงั นนั้ x = 2 ± 7 กรณีแรก ถา้ x < 1 2 → 0 < 10x < 10 → −10a < −a(10x) < 0 และระยะ AB คือ 7 หนว่ ย ตอบ (8) จัดรปู พาราโบลา; ดงั นนั้ Rg ชว่ งแรกคือ (−10a, 0) กรณที ี่สอง ถา้ x > 1 y = 1 − 8(x − 2)2 → y − 1 = −8(x − 2)2 → x3 > 1 → x3 − 1 > 0 → (x − 2)2 = 4 (− 1 )(y − 1) 32 ดังนน้ั Rg อกี ชว่ งคอื [0, ∞) เป็นพาราโบลาคว่าํ จุดยอด (1, 2) และ c = − 1 ∴ −10 a = −2.5 → a = 1 32 4 ดงั นนั้ จดุ โฟกสั คอื (1, 63) หารศั มวี งกลมจากระยะ ก. g−1(a − 1) = g−1(− 3) ..พบว่า − 3 ∈ (−2.5, 0) 32 44 ระหวา่ งจดุ (1, 63) ไปถงึ เส้นตรง จงึ คดิ จาก − 1 (10x) = − 3 32 44 ∴ 10x = 3 → x = log 3 r = 3(1)− 4(63 / 32)+ 5 = 1/ 8 = 1 ก. ผดิ 32 + 42 5 40 ข. g−1(x) ท่โี จทยใ์ หม้ านัน้ ผดิ ตรงเงอ่ื นไข สมการวงกลม (x − 1)2 + (y − 63)2 = ( 1 )2 32 40 คอื เราพบวา่ Rg = (−2.5, 0) ∪ [0, ∞) ในตวั เลอื กท่ีใหม้ า ไมม่ ขี อ้ ถกู เลย ตอบ ดังนน้ั g−1(x) ตอ้ งเปน็ (9) sin A = 2 sin B .....(1) g−1(x) = ⎧ log (4 x ) , − 2.5 < x < 0 ข. ผดิ 3 ⎨ x>0 ⎩ 3x + 1 , cos A = 1 cos B .....(2) 2 ตอบ ข้อ 4. แต่ sin2 A + cos2 A = 1 จะได้ (6) ก. พิจารณาวา่ 4 ∈ Rr หรอื ไม่ ( 2 sin B)2 + ( 1 cos B)2 = 1 ทาํ ได้โดยให้ y = 4 ดูวา่ มีค่า x หรอื ไม่ 32 → 4 = x2 − 4 → 4 x − 8 = x2 − 4 → 4 sin2 B + 1 cos2 B = 1 x −2 32 → x2 − 4 x + 4 = 0 → มอง x = A จะได้ → 4 sin2 B + 1 (1 − sin2 B) = 1 32 A4 − 4A + 4 = 0 ซ่งึ ถา้ ลองแยกตวั ประกอบ → 5 sin2 B = 1 → sin2 B = 3 (จํานวนจรงิ ) จะแยกไม่ได้ ∴ ก. ผิด 62 5 ข. Rr−1 = Dr; x − 2 ≠ 0 และ x > 0 (ในร้ทู ) ∴ x ≠ 2 → x ≠ 4 จะได้ [0, 4) ∪ (4, ∞) ข. ถูก ∴ cos2 B = 1 − 3 = 2 → tan2 B = 3 ตอบ ตอบ ข้อ 3. 55 2 (7) จัดรปู ; (10) ให้ 3x = A, 2x = B → AB − 3A − 4B + 12 = 0 12(y2 + 6y + 9) − 4(x2 − 4x + 4) = − 44 + 108 − 16 → A (B − 3) − 4 (B − 3) = 0 → (y + 3)2 − (x − 2)2 = 1 → (A − 4)(B − 3) = 0 → 3x = 4 หรอื 2x = 3 4 12 → x = log3 4 หรอื x = log2 3 เปน็ ไฮเพอรโ์ บลา เปดิ บนลา่ ง, จุดศูนย์กลาง (2, −3) ดงั นน้ั ab = log2 4 = 2 โจทย์ถาม (ab)2x + 1 = (ab + 3)x → 22x + 1 = 5x และระยะโฟกสั c = 4 + 12 = 4 ดังนน้ั วงรที ต่ี ้องการ มจี ดุ ศนู ย์กลางท่ี (2, −3) ใส่ log ฐานสอง ทัง้ สองขา้ ง (2x + 1) = x log2 5 จดุ ยอด a = 4 AB → x = −1 = 1 ตอบ “สัมผสั แกน y” แปลวา่ 2 − log2 5 log2 5 − 2 ค่า b = 2 ดงั รปู 2 (2,-3) (11) จากเงอ่ื นไขของ log จะได้ x + 3 > 0 เสมอ x−1 จะได้ (y + 3)2 + (x − 2)2 = 1 4 16 4 คือ (−∞, −3) ∪ (1, ∞) แต่ x ต้องเปน็ ฐานด้วย หาจุดตดั แกน x โดยแทน y = 0 ∴ x > 1 เทา่ นนั้ (แสดงวา่ เป็นฟงั ก์ชันเพิ่ม) → 9 + (x − 2)2 = 1 → (x − 2)2 = 7 → x + 3 > x1 → x + 3 − x2 + x > 0 16 4 4 x−1 x−1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 510 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.46 → x2 − 2x − 3 < 0 → (x − 3)(x + 1) < 0 (15) ก. ˜จAาBกส+ูต1ร˜แAบCง่ เวกเตอร์ A B x−1 x−1 ˜AD = 2 1 ไดเ้ ป็น (−∞, −1] ∪ (1, 3] และมีเงอื่ นไข x > 1 D ∴ 3 ˜AD = 2 ˜3AB + 1˜AC จึงสรุปวา่ S = (1, 3] 2 ข(ดเ.งัพน˜รAนั้ าDะกใ⋅น.˜BโผจCดิทย=เ์ ป[2น็ ˜A˜BBC+)1 ˜AC] ⋅ ˜BC C → T = (log 3 1, log 3 3] = (0, 2] ตอบ ข้อ 1. (12) C31 = 1 2a+ 6 = 3 − 2a2 − 6a a3 3 ˜B3C จาก M11 = a3 = a2 − 6 = 18 → a2 = 24 = 2 ˜AB ⋅ ˜BC + 1 ˜AC ⋅ (ทกุ ดา้ นยาว a หมด) 2a 33 และ M22 = a 2a+ 6 = a2 − 2a2 − 6a = −12 = 2 (a)(a) cos 120° + 1 (a)(a) cos 60° = − 1 a2 aa 33 6 ดงั นนั้ ข. ถูก ตอบ ขอ้ 3. แทนค่า a2 = 24 ลงไป จะได้ (16) z1 = a, z2 = b, → 24 − 2a2 − 6a = −12 → − 2a2 − 6a = −36 ∴ C31 = 3 − 36 = −33 ตอบ z1 = a, z2 = b (cos θ − i sin θ) [หมายเหตุ จะแก้สมการใหไ้ ด้ a = −2 6 ก่อนกไ็ ด]้ จะได้สมการในโจทย์เปน็ 2 i ab sin θ = cab (cos θ + i sin θ) + dab (cos θ − i sin θ) (13) พิสจู น์ adjA = A ⋅ A−1 → adjA = A n ⋅ A−1 = A n−1 จดั กลุ่มสว่ นจรงิ กับสว่ นจนิ ตภาพ (2ab sin θ) i = ⎡⎣(c + d)ab cos θ⎦⎤ + ⎡⎣(c − d)ab sin θ⎤⎦ i โจทย์บอกว่า adjA = 225 แล้วเทียบสัมประสทิ ธ์ิ → (3a − 24)2 = 225 → 3a − 24 = ±15 เน่อื งจาก a ≠ 0, b ≠ 0, cos θ และ sin θ ≠ 0 → a = 13 เทา่ นน้ั ตอบ (14) ดงั นน้ั c + d = 0 และ c − d = 2 จะได้ c = 1 และ d = −1 ตอบ 3 (2,5) (17) (z + 8)(z − 4) = 1 → z − 4 = z − 8 (4,3) (z + 8)(z − 8) 1 → (a − 4)2 + b2 = (a − 8)2 + b2 O24 → (a − 4)2 = (a − 8)2 เนอื่ งจาก P = (a2 − 1) x + ay โดย a > 0 → a2 − 8a + 16 = a2 − 16a + 64 → a = 6 ดังนนั้ P(2, 5) ยอ่ มมากกว่า P(2, 1) และ P(4, 3) ย่อมมากกว่า P(4, 1) จาก zz = 61 → a2 + b2 = 61 ตดั (2, 1) กับ (4, 1) ท้งิ ไป ตอ่ มาพจิ ารณาวา่ จดุ (2, 5) หรอื (4, 3) ทเ่ี กดิ Pmax → b2 = 61 − 36 ∴ b = ±5 แตโ่ จทยว์ า่ b > 0 ดงั นัน้ b = 5 ตอบ 6 + 5 = 11 (18) จากสมการ x2 + 4x = x2 − 16 เน่ืองจากความชนั ของ P คอื − a2 − 1 กรณแี รก x2 + 4x = x2 − 16 a → 4x = −16 → x = −4 โจทยบ์ อกว่า a2 − a − 2 > 0 → a2 − 1 > a + 1 กรณที ส่ี อง x2 + 4x = −x2 + 16 แสดงวา่ a2 − 1 > a แน่นอน ดงั นนั้ ความชนั P จึง → x2 + 2x − 8 = 0 → x = 2, −4 ติดลบมากกว่า 1 ∴ แสดงวา่ โจทยถ์ าม lim + lim ∴ จุด (4, 3) เกดิ m<-1 x → 2 x → −4 Pmax ดงั ภาพ (4,3) m=-1 ซ่ึง lim f(x) = 12 = 1 และ x → 2 g(x) 12 O24 lim f(x) = lim (x)(x + 4) = −4 = 1 41 = (a2 − 1)(4) + a(3) → (4a + 15)(a − 3) = 0 x → −4 g(x) x → −4 (x − 4)(x + 4) −4 − 4 2 → a = 3 เทา่ นน้ั ตอบ ข้อ 3. ดังนน้ั ตอบ 3 [จะใชว้ ธิ ที ดลองหา a กอ่ น แลว้ ค่อยตรวจสอบกไ็ ด]้ 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 511 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.46 (19) ให้ S∞ = 1 + (1+x)(1) + (1+x+x2)(1)2 +… (23) สมมตมิ ลี กู แกว้ รวม n ลกู 22 ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎟⎠ นํา 1 คณู ท้งั สองขา้ ง จะได้ ( )จะได้วา่ 2= 2 → n = 6 × 15 = 45 2 15 2 2 ( )2 n 1 S∞ = 1(1) + (1+x)(1)2 + (1+x+x2)(1)3 +… ∴ n = 10 แสดงวา่ มีแดงกบั เขียวอย่างละ 3 ลูก 2 22 2 สิ่งที่โจทยถ์ าม คดิ จาก ลบกัน ได้ 1 S∞ = 1+ x + x2 +… = 1 วิธที ี่ “เขียว 1 ลกู ” ลบด้วย “เขยี ว 1 และขาว 3” 2 2 22 1 − (x / 2) (ใชส้ ตู รอนุกรมเรขาคณติ ) ⎜⎛⎝ 3 ⎠⎞⎟ ⎜⎝⎛ 37 ⎟⎠⎞ − ⎝⎛⎜ 3 ⎠⎟⎞ ⎝⎜⎛ 4 ⎟⎞⎠ 1 1 3 ∴ S∞ = 2 = 4 โจทย์ให้ S∞ = 16 = 3(35) − 3(4) = 31 ตอบ 1 − (x / 2) 2−x 7 ⎝⎛⎜ 10 ⎞⎠⎟ 210 70 4 ดังนน้ั 4 = 16 → x = 1 ตอบ 2−x 7 4 (24) a = 6 ! × 7 × 6 × 5 × 4 = 1 (20) f′(x) = 4x3 + 9x2 → f(x) = x4 + 3x3 + C 10 ! 6 แต่ f(0) = 0 ∴ C = 0 b = 7 ! 4 ! = 1 ∴ a + b = 0.2 ตอบ 10 ! 30 และ g(x) = f(x) → g(x) = x3 + 3x2 x (25) ก. โคง้ เปน็ แบบเบข้ วา ∴ Mo < Med ก. ผดิ (หรือคดิ อกี แบบคอื .. Mo อยู่ช้นั 23 − 26 โจทยถ์ าม d ⎛ f(x) ⎞ ท่ี x = −2 แต่ Med อยชู่ ั้น 27 − 30 ∴ Mo < Med แนๆ่ ) ⎜ 1)⎟⎠ ข. Q3 อยตู่ าํ แหนง่ 150 → ขอบพอดี dx ⎝ g(x + จะได้ = g(x + 1)f′(x) − f(x)g′(x + 1) ∴ Q3 = 34.5 [g(x + 1)]2 x = −2 Q1 อยตู่ าํ แหนง่ 50 → กงึ่ กลางชน้ั พอดี = g(−1)f′(−2) − f(−2)g′(−1) ∴ Q1 = 24.5 [g(−1)]2 สัมประสิทธิ์ = 34.5 − 24.5 = 0.17 ข. ผิด 34.5 + 24.5 = (2)(4) − (−8)(−3) = −4 ตอบ 22 ตอบ ขอ้ 4. (21) ก. 1 = ⎛ x3 − ⎞ 1 (26) จากสมบัตขิ องค่ามาตรฐานท่ีวา่ sz = 1 เสมอ ⎜ x⎟ −1 ∫ (x2 − 1) dx ⎝ 3 ∴a =1 →a=4 ⎠ 4 −1 = ( 1 − 1) − (− 1 + 1) = − 4 ก. ผดิ xmin − 23 333 2 ป,ีzmin = = ข. จดุ ตดั แกน x คอื 1.5 → xmin = 26 -1 กบั 1 ดงั กราฟ xmax − 23 2 ปีzmax = 3.5 = → xmax = 30 ∴ พน้ื ท่ี = 4 ตร.หนว่ ย ตอบ ข้อ 3. 3 -1 1 (27) X = a , หอ้ ง ก s = ac ดังนน้ั ข. ถูก ตอบ ข้อ 3. หอ้ ง ข s = ac + 5 (22) f′(x) = 3x2 + 2ax + b A=0.2881ขวา จะได้ z=0.8 → f′(1) = 15 แสดงวา่ 3 + 2a + b = 15 .....(1) สด (ห้อง ก) 0.8 = xสด − a P78.81 ac 1 = ⎛ x4 + ax3 + bx2 + x ⎞ 1 ⎜ 3 2 ⎟ 0 → 0.8ac = xสด − a .....(1) ∫ f(x)dx ⎝ 4 ⎠ 0 = 1 + a + b + 1 = 55 .....(2) ใส (หอ้ ง ข) 0.8 = xใส − a 432 12 ac + 5 แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 4 → 0.8ac + 4 = xใส − a .....(2) ∴ f(1) = 1 + 4 + 4 + 1 = 10 ตอบ สมการลบกนั (2)-(1); xใส − xสด = 4 ตอบ (28) ดัชน4ี 3 = 125 × 104 = 130 100 ดังนนั้ รายได้ท่เี ปน็ ตวั เงนิ = 130 × 20,000 100 = 26,000 บาท ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 512 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.47 ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa ÁÕ.¤.47 (o) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 8 เปน็ ข้อสอบแบบอัตนัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ f (x) = 10x และ g(x) = 100 − 3x2 จาํ นวนเต็มทีม่ คี ่ามากทส่ี ุดทีเ่ ปน็ สมาชิกของ Rgof มีค่าเท่าใด 2. ค่า sin(2 arctan 1) + cot2(arcsin 1) เท่ากับเทา่ ใด 23 3. กําหนดให้ P คอื พาราโบลา x2+ 8y + 2x + a = 0 โดยท่ี a < 0 และมีเส้นตรง y = 4 เปน็ เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ ถ้า P ตดั แกน x ทางลบท่ีจุด A แลว้ เสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด A และจุดยอดของ P มีความชนั เทา่ กับเท่าใด 4. ผลบวกของคําตอบของสมการ log2(4x −1+ 2x −1 + 6) = 2 + log2(2x −1+ 1) มีค่าเท่าใด 5. ให้ A, B เปน็ เมตรกิ ซม์ ติ ิ 3 × 3 ถ้า A B = 3 I โดยท่ี I เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ และ adj B = 1 A 3 แลว้ det(A) มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด 6. กําหนดให้เวกเตอร์ ⎡ 1⎤ ต้งั ฉากกับเวกเตอร์ ⎡−8⎤ และ ⎡5⎤ = b ⎡ 1⎤ + c ⎡−8⎤ ⎢⎣4⎦⎥ ⎢⎣ a ⎥⎦ ⎣⎢3⎦⎥ ⎣⎢4⎦⎥ ⎢⎣ a ⎥⎦ ถา้ θ เปน็ มุมระหวา่ งเวกเตอร์ ⎡a⎤ และ ⎡b⎤ แลว้ cos2 θ เทา่ กบั เทา่ ใด ⎢⎣0⎦⎥ ⎣⎢c⎥⎦ 7. กําหนดให้ f (x) = 3x + 1 และ (f g)′(x) = 3x2 + 1 ถา้ g(0) = 1 แลว้ 0 ∫1 มีค่าเท่ากบั เท่าใด g (x) dx 8. ถา้ นาํ ปริมาณข้าวกลอ้ งทร่ี า้ นค้าแหง่ หน่งึ ขายได้รายปี ตง้ั แต่ปี พ.ศ. 2537 ถงึ ปี พ.ศ. 2546 ( y ) (หน่วยเปน็ กโิ ลกรัม) มาสร้างความสัมพันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั กับช่วงเวลา ( x ) โดยกําหนดใหป้ ี พ.ศ. 2541 และ 2542 มีค่า x = −1 และ 1 ตามลําดับ แล้วไดค้ วามสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ของปริมาณขา้ วกล้องท่ี ร้านคา้ แห่งน้ีขายไดโ้ ดยประมาณ คอื y = 192 + c x ถา้ ทํานายโดยใชค้ วามสัมพันธน์ ี้ ปรากฏว่าปริมาณข้าวกล้องท่ีรา้ นคา้ แหง่ นข้ี ายไดใ้ นปี พ.ศ. 2547 โดยประมาณเท่ากบั 316.3 กิโลกรมั แล้วในปี พ.ศ. 2548 จะทํานายวา่ ปริมาณข้าวกล้องที่ รา้ นค้าแหง่ น้ขี ายได้โดยประมาณเท่ากบั เทา่ ใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 513 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.47 ตอนท่ี 2 ขอ้ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. สาํ หรบั เซต X ใดๆ ให้ n(X) แทนจํานวนสมาชิกของเซต X กําหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ท่มี ีสมาชิก 240 ตวั และ A, B, C เปน็ เซตที่มสี มบตั ิดงั นี้ n(A) = 5x , n(B) = 5x , n(C) = 4x , ,n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = y ,n(A ∩ B ∩ C) = x n [(A ∪ B ∪ C)'] = 60 ถา้ y − x = 20 แลว้ x เปน็ จรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 18 < x < 21 2. 21 < x < 24 3. 24 < x < 27 4. 27 < x < 30 2. ให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ 3x − 2 > 0 x−1 −1 เซต { x | x > 0 และ x ∉ S } เป็นสับเซตของช่วงใดตอ่ ไปนี้ 1. [0, 1] 2. [ 1 , 3] 3. [ 1 , 2] 4. [3 , 3] 42 2 4 3. ให้ a และ b เปน็ จาํ นวนจรงิ ท่ีทาํ ให้ x2+ ax + b หาร x3 − 3x2+ 5x + 7 มเี ศษเหลอื เทา่ กบั 10 คา่ a + b เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 4. กําหนดให้ ประพจน์ (~ p ↔ ~ r)∨ (p ↔ q) มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ประพจน์ใดต่อไปน้ีมีค่าความจริงเป็นเท็จ 1. ~ p → (q ∨ r) 2. ~ p → (q ∧ r) 3. p ∨ q ∨ ~ r 4. p ∧ q ∧ ~ r 5. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ [p →(q → r)] ↔ [q → (p → r)] เปน็ สัจนริ ันดร์ ข. มจี ํานวนจริง a อยูใ่ นช่วง (0, 1) ทาํ ให้ประโยค ∃x [x2+ x + a = 0] มีค่าความจริงเป็นจรงิ 4 เม่ือเอกภพสัมพทั ธ์คอื U = (− 1 , 0) 2 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 6. กําหนดให้ r = {(x, y) | x > y และ y2 = x2+ 2x − 3 } พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (−∞, ∞) ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 514 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.47 7. กําหนดให้ f (x) = ax2 + b และ g(x − 1) = 6x + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตวั ถา้ f (x) = g(x) เมื่อ x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว้ (f g−1)(16) มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 31 2. 61 3. 10 4. 20 9 9 8. กาํ หนดให้ f (x) = ⎪⎧ 1 − x , x ∈ [0, 1] ⎨⎪⎩1 + x − 1 , x ∈ (1, ∞) พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. f−1(x) ≠ f (x) ทกุ x ∈ (1, ∞) ข. มีจาํ นวนจรงิ a > 0 เพียง 2 จํานวนเทา่ นั้น ซึง่ f−1(a) = a ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 9. กําหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยม ซึ่งมี ACB = 60° ลากเสน้ ตรงจากจุด A ไปพบด้าน BC ที่จุด D โดยทําให้ BAD = 30° ถา้ ระยะ BD ยาว 3 หน่วย และระยะ AD ยาว 2 หนว่ ย แลว้ ระยะ CD ยาวเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 4 3 2. 5 3 3. 7 6 4. 8 6 3 3 9 9 10. ให้ A เปน็ จดุ ในควอดรนั ต์ท่หี น่ึง และเป็นจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม C ซ่งึ มีรัศมี 3 หน่วย ถ้า C ผ่านจุดโฟกสั ทง้ั สองของไฮเพอรโ์ บลา 2y2− 12y − 3x2+ 6x + 9 = 0 แล้ว ระยะทางจากจุด กาํ เนิดไปยงั จุด A มคี า่ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 15 2. 18 3. 20 4. 24 11. กําหนดให้ S เปน็ เซตคําตอบของอสมการ 4 ⋅ 2 log x2 − 9 ⋅ (log x + 1) 2 < 0 10 2 + ถา้ a และ b เปน็ สมาชิกของ S ท่มี ีค่ามากสุดและคา่ น้อยสุดตามลาํ ดบั แล้ว a เทา่ กับข้อใด b ต่อไปนี้ 1. 20 2. 100 3. 200 4. 1000 ⎡ a a−2 −1⎤ เมอ่ื เปน็ จาํ นวนจริง 12. กําหนดให้ A = ⎢⎢⎣−11 ⎥ a 1 ⎥ a −1 a ⎦ ถา้ M11(A) = 5 และ M33(A) = 0 แล้ว พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. det (A) = 11 ข. C13(A) = −1 ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 515 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.47 13. กําหนดให้ สมการจุดประสงค์คอื P = a2x + a y โดย a เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก และอสมการข้อจาํ กดั คือ 2x + y < 8 , x + y > 6 , x > 0 , y > 0 ถ้าค่ามากทีส่ ดุ ของ P เทา่ กบั 70 แลว้ a เป็นจริงตามข้อใด 1. 1 < a < 4 2. 4 < a < 7 3. 7 < a < 10 4. a > 10 14. ให้ A, B, C 1เ˜Aป็นBถจ้า⋅ุด˜A|ส˜CAาDม≠|จ2ุด0=ทaี่ไแม|ล˜อ่A้วยB่บูa|22น++เสbb้น2|+ต˜AรcCง2|เด2ม+ียคี วc่ากเ|ันท˜A่าBแกลับ⋅ ˜AะขCอ้ D|ใดตเปอ่ ็นไปจนุดี้บโนดเยสทน้ ี่ ตaร,งb, BC ทที่ าํ ให้ c เปน็ BD : DC = 2 : จํานวนจริง และ 1. 31 2. 32 3. 10 4. 11 81 81 27 27 15. ถ้า z1 และ z2 เป็นรากของสมการ (z − 2 3)3 = − 8 i ซึง่ มขี นาดเปน็ จํานวนเตม็ แล้ว z1+ z2 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. − 3 − i 2. 3 − i 3. 3 3 − i 4. 3 3 + i 16. กาํ หนดให้ z1, z2, z3 เป็นจํานวนเชิงซอ้ น ซ่งึ สอดคล้อง z1z2z3 = 1 และ z1+ z2 + z3 = 1 + 1 + 1 z1 z2 z3 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. (1 − z1)(1 − z2) = (1 − 1 )(1 − 1) z1 z2 ข. ถ้า z1 ≠ 1 และ z2 ≠ 1 แลว้ z3 + i z3 − i = 4 ข้อใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 17. กาํ หนดพจนท์ ี่ n ของลาํ ดับสองลาํ ดบั ดงั น้ี n(1 + 2 + 3 + ... + n) 3n + 2 − 3n + 1 3 (12 + 22 + 32 + ... + n2) bn = n + 2 − n + 1 และan= lim (an + bn) มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ n→∞ 1. 1 + 1 2. 1 + 3 3. 1 + 1 4. 1 + 3 3 23 2 18. กําหนดให้ f (x) = ⎧⎪ 1 ,x≠0 และ g(x) = 1 ⎨ x x−1 ⎪⎩ 1 , x = 0 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. f g ต่อเนื่องท่ี x = 0 ข. f′ (− 1) = g′ (1) 22 ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 516 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.47 19. เมื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชัน f (x) = 1 x4 − 2 x3 − 1 x2+ 2x − 1 4 32 3 พบว่า กราฟของ f มีจดุ วิกฤต (c, f (c)) ซงึ่ c > 0 เปน็ จํานวน a จุด และกราฟของ f ตดั แกน x เปน็ จาํ นวน b จดุ ข้อใดต่อไปน้ีถกู 1. a = 1, b = 2 2. a = 1, b = 4 3. a = 2, b = 2 4. a = 2, b = 4 20. กําหนดให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ที่ทกุ จุด และ h(x) = x3+ 1 ถ้า a เป็นจํานวนจริงซงึ่ (h f)(a) = 9 , (h f)′(a) = 0 , (h f)′′(a) = −1 แลว้ ข้อใดต่อไปน้ีถกู 1. f มคี า่ สูงสุดสัมพทั ธท์ ีจ่ ดุ a และมคี ่าเท่ากบั 1 2. f มีคา่ สูงสดุ สมั พัทธ์ทีจ่ ดุ a และมีค่าเท่ากับ 2 3. f มีคา่ ตํา่ สดุ สมั พัทธ์ทจ่ี ดุ a และมีคา่ เท่ากับ 1 4. f มคี า่ ตา่ํ สดุ สมั พัทธ์ท่จี ดุ a และมคี า่ เทา่ กบั 2 21. กาํ หนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันพหุนามกาํ ลงั สาม ซึ่ง f (0) = 1 = f (1) ถา้ f′(0) = 1 และ −1 ∫1 = 6 แลว้ f (−1) มีคา่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ f (x) dx 1. −7 2. −1 3. 13 4. 15 22. วิธีในการเขยี นจํานวนคูท่ มี่ สี ามหลักจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยทห่ี ลักร้อยและหลกั หนว่ ยเป็น ตัวเลขท่แี ตกต่างกนั และมีคา่ ไมน่ ้อยกว่า 200 มีจาํ นวนวธิ ีเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 72 2. 71 3. 60 4. 59 23. จัดคน 8 คนซึง่ มีสมศักด์ิ สมชาย และสมหญิง รวมอยู่ด้วย เขา้ นง่ั รอบโต๊ะกลมซ่งึ มี 8 ท่ีนงั่ ความน่าจะเปน็ ท่สี มชายได้น่งั ตดิ กับสมหญิง และสมศกั ด์ิไม่น่ังติดกบั สมชาย เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 5 3. 11 4. 5 7 21 42 42 24. ในการเลอื กประธาน รองประธาน และเหรญั ญิก จากนักเรยี นชาย 6 คนและนักเรยี นหญงิ 4 คน ซงึ่ มีนายกําธรรวมอยู่ดว้ ย ความน่าจะเป็นทก่ี ารเลอื กครงั้ นีน้ ายกําธรไดเ้ ปน็ ประธาน และมี นกั เรยี นหญิงได้รับเลอื กอยา่ งน้อยหน่ึงคนเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 13 2. 13 3. 2 4. 4 180 360 45 45 25. คะแนนการสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนักเรียนชนั้ หนึ่งซึ่งมสี องห้อง มีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตรวมเท่ากับ 54 คะแนน โดยท่หี อ้ ง ก และห้อง ข มีนกั เรียน 30 และ 20 คนตามลาํ ดับ ถา้ คะแนนเฉลย่ี ของ นกั เรยี นห้อง ก เทา่ กับ 50 คะแนน เมอื่ แยกพิจารณาผลสอบแต่ละหอ้ ง พบว่านกั เรียนห้อง ก ผไู้ ด้ คะแนน 55 คดิ เปน็ ค่ามาตรฐาน 1.0 เทา่ กับค่ามาตรฐานของนกั เรยี นหอ้ ง ข ผูท้ ีไ่ ดค้ ะแนน 66 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. ความแปรปรวนของคะแนนของนกั เรียนห้อง ก เทา่ กบั 25 ข. สัมประสิทธข์ิ องการแปรผันของคะแนนของนักเรียนห้อง ก มากกว่าสมั ประสทิ ธข์ิ องการ แปรผนั ของคะแนนหอ้ ง ข ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 517 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.47 26. ถ้า 20, x2, ..., x25 เปน็ ขอ้ มูลท่เี รียงจากค่านอ้ ยไปมาก และเป็นลาํ ดับเลขคณิต และควอร์ไทล์ที่ หน่งึ ของข้อมูลชุดนีเ้ ท่ากับ 31 แลว้ ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี ของข้อมลู ชดุ นี้เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 6.24 2. 10.28 3. 12.48 4. 24.96 27. อายุของนักเรยี นห้องหนง่ึ มีการแจกแจงปกตทิ ี่มคี วามแปรปรวนเท่ากับ 4 และมีนักเรียนจํานวน 50.4% ทีม่ ีอายไุ มเ่ กนิ 14 ปี เมื่อพิจารณาอายุของนักเรียนหอ้ งน้ใี นอีก 2 ปขี ้างหนา้ และให้ a แทนตาํ แหน่งเปอร์เซ็นไทล์ ของนักเรยี นที่อายุ 16 ปี ให้ b แทนจาํ นวนเปอร์เซน็ ตข์ องนกั เรยี นท่ีมอี ายุ (หนว่ ยเป็นป)ี อยู่ในช่วง [14, 16] แล้ว a และ b มีค่าเทา่ กบั ค่าในข้อใดต่อไปน้ี กําหนดตารางแสดงพน้ื ที่ใต้เสน้ โค้งปกตดิ ังน้ี z 0.01 0.99 1.01 2.65 A 0.004 0.3389 0.3438 0.496 1. a = 50.4, b = 33.78% 2. a = 50.4, b = 34.29% 3. a = 99.6, b = 33.78% 4. a = 99.6, b = 34.29% 28. ถ้าตัวแทนจาํ หนา่ ยเตาไมโครเวฟยี่ห้อหนึง่ ขายเตาไมโครเวฟ 3 ชนดิ ในปี พ.ศ. 2544, 2545 และ 2546 ด้วยราคาต่อไปนี้ ชนิดของเตา ราคาตอ่ หน่วย (บาท) ไมโครเวฟ 2544 2545 2546 ชนิดท่ี 1 2,000 2,200 3,080 ชนิดที่ 2 4,000 5,000 5,400 ชนิดท่ี 3 a a 6,720 ถ้าดชั นีราคาอย่างงา่ ยแบบใชร้ าคารวมของ พ.ศ. 2545 เทยี บกบั พ.ศ. 2544 เท่ากับ 110 แลว้ ดัชนรี าคาอย่างงา่ ยแบบใชค้ ่าเฉลยี่ ราคาสมั พัทธ์ของ พ.ศ. 2546 เทยี บกับ พ.ศ. 2545 เท่ากับขอ้ ใด ต่อไปนี้ 1. 108 2. 120 3. 129 4. 140 เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 9 (2) 8.8 (3) 0.5 (4) 3 (5) 27 (6) 0.8 (7) 1.25 (8) 338.9 ตอนที่ 2 (1) 1 (2) 3 (3) 1 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 4 (8) 3 (9) 4 (10) 2 (11) 4 (12) 4 (13) 2 (14) 4 (15) 4 (16) 2 (17) 3 (18) 1 (19) 3 (20) 2 (21) 3 (22) 3 (23) 2 (24) 1 (25) 2 (26) 3 (27) 2 (28) 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 518 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.47 เฉลยวธิ คี ดิ ตอนท่ี 1 (5) AB = 3I .....(1) และ adjB = 1 A .....(2) (1) (gof)(x) = 100 − 3(f(x))2 3 จาก f(x) = 10x ∴ f(x) > 0 เสมอ จาก (1) จะได้ B = 3A−1 → f(x)2 > 0 → 3(f(x))2 > 0 ดงั นนั้ adj B = adj (3A−1) → 100 − 3(f(x))2 < 100 = 3A−1 ⋅ (3A−1)−1 = 33 ⋅ 1 A A3 → 0 < 100 − 3(f(x))2 < 10 ∴ Rgof = [0, 10) แตส่ มการ (2) บอกว่า adjB = 1 A จาํ นวนเตม็ ท่มี ากที่สดุ คอื 9 ตอบ 3 (2) ∴ 33 = 1 → A = 27 ตอบ 5 13 1 A (6) ⎡ 1⎤ ต้ังฉากกับ ⎡−8⎤ แสดงว่าดอทกนั ได้ 0 ⎢⎣4⎦⎥ ⎣⎢ a ⎥⎦ A B 2 → −8 + 4a = 0 → a = 2 8 จาก ⎡5⎤ ⎡b⎤ ⎡−8c⎤ sin(2A) + cot2(B) = 2 sin A cos A + cot2 B ⎣⎢3⎥⎦ = ⎢⎣4b⎦⎥ + ⎢⎣ 2c ⎦⎥ = 2( 1 )( 2 ) + ( 8)2 = 4 + 8 = 8.8 ตอบ ∴ b − 8c = 5 และ 4b + 2c = 3 55 5 ได้ b = 1 และ c = − 1 (3) จดั รปู สมการ; x2 + 2x + 1 = −8y − a + 1 2 → (x + 1)2 = 4(−2)(y + a − 1) หามุมระหวา่ ง ⎡2⎤ กับ ⎡ 1⎤ → ดอทกนั ; 8 ⎢⎣0⎦⎥ ⎢⎣−1/2⎥⎦ ..เป็นพาราโบลาคว่ํา จดุ ยอด V(h, k) = (−1, − a − 1) (2)(1) + (0)(− 1) = 22 + 02 12 + (− 1)2 cos θ 8 22 และระยะโฟกัสเท่ากับ 2 หนว่ ย → 2 = (2)( 5) cos θ แต่โจทย์บอกวา่ y = 4 เปน็ ไดเรกตริกซ์ 2 แสดงว่าจดุ ยอด ต้องเปน็ V(−1,2) → cos2 θ = ( 2 )2 = 0.8 ตอบ 5 จึงไดว้ า่ 2 = − a − 1 → a = −15 8 (7) (fog)(x) = 3g(x) + 1 → ∴ (fog)′(x) = 3g′(x) ดังนนั้ สมการพาราโบลาคือ x2 + 8y + 2x − 15 = 0 แต่โจทยใ์ ห้ (fog)′(x) = 3x2 + 1 ∴ 3g′(x) = 3x2 + 1 ..หาจุดตัดแกน x โดยแทน y = 0 → x2 + 2x − 15 = 0 → x = −5 หรอื 3 → g′(x) = x2 + 1 → g(x) = x3 + x + C แต่โจทย์จะใชจ้ ดุ ทต่ี ดั แกน x ทางลบ ∴ A(−5, 0) 3 33 ซ่งึ g(0) = 1 ดงั นนั้ C = 1 ความชนั ระหวา่ ง A กบั V = 2 − 0 = 0.5 ตอบ → 1 = ⎛ x4 + x2 + ⎞ 1 −1 + 5 ⎜ 6 x⎟ 0 ∫ g(x) dx ⎝ 12 (4) มอง 2x −1 = A จะไดว้ ่า ⎠ 0 log2(A2 + A + 6) = log2 4 + log2(A + 1) = 1 + 1 + 1 = 1.25 ตอบ ∴ A2 + A + 6 = 4(A + 1) → A2 − 3A + 2 = 0 12 6 → A = 2 หรอื 1 แสดงว่า 2x −1 = 2 หรอื 1 (8) Yˆ = 192 + cx ; → x − 1 = 1 หรอื 0 → x = 2 หรอื 1 ∴ ตอบ 3 โจทย์บอกวา่ ปี 2547 (x = 11) นน้ั Yˆ = 316.3 → 316.3 = 192 + c(11) → c = 11.3 โจทย์ถาม x = 13 → Yˆ = 192 + (11.3)(13) = 338.9 กก. ตอบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 519 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.47 ตอนที่ 2 (6) จัดรปู y2 = x2 + 2x − 3 (1) n(A ∪ B ∪ C) = 240 − 60 = 180 → 3 = x2 + 2x − y2 → 3 + 1 = (x2 + 2x + 1) − y2 ใช้สตู รของแผนภาพเซต → (x + 1)2 − y2 = 1 44 180 = 5x + 5x + 4x − y − y − y + x เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาที่มีศูนยก์ ลางที่ (−1, 0) จะได้ 15x − 3y = 180 .....(1) แต่โจทย์บอก y − x = 20 .....(2) และ a = b = 2 (น่ันคือเสน้ กาํ กับตงั้ ฉากกนั ) แกร้ ะบบสมการได้ x = 20 ตอบ ขอ้ 1. วาดกราฟไดด้ ังรปู (2) แยกชว่ งย่อยคดิ (3/2,3/2) ก. เมอื่ x < 1 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ แตโ่ จทย์บอกวา่ (-1,0) x > y ด้วย จงึ มี (1,0) 3x − 2 > 0 → 3x − 2 < 0 1− x −1 x เพยี งเสยี้ วขวาเทา่ นน้ั x=y เขียนเสน้ จํานวนได้ (0, 2/3] นําไปอินเตอร์เซคกบั เง่อื นไข ได้ (0, 2/3] เช่นเดมิ จดุ ตัด (3/2,3/2) ในรปู หาจากการแกร้ ะบบสมการ ข. เมื่อ x > 1 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ ดงั นน้ั Dr = [1, ∞) และ Rr = (−∞, 3] 2 3x − 2 > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวน (−∞, 2/3] ∪ (2, ∞) ตอบ ก. ถกู , ข. ผิด x −2 (7) จาก f(1) = g(1) และ f(1) + g(1) = 8 นาํ ไปอินเตอรเ์ ซคกับเง่อื นไข เหลอื เพยี ง (2, ∞) ∴ f(1) = 4 → a + b = 4 .....(1) ดังนน้ั ได้ S = (0, 2/3] ∪ (2, ∞) ซ่ึง {x > 0 และ x ∉ S} คอื (2 , 2] ตอบ ขอ้ 3. และ g(1) = 4 → แทน x ด้วย 2 3 → 12 + c = 4 → c = −8 (3) หาร x3 − 3x2 + 5x + 7 เหลือเศษ 10 → แสดงวา่ หาร x3 − 3x2 + 5x + 7 − 10 ลงตวั และจาก f(2) = g(2) ตอบ พิจารณา x3 − 3x2 + 5x − 3 → 4a + b = 18 − 8 = 10 .....(2) แยกตวั ประกอบได้ (x − 1)(x2 − 2x + 3) แก้สมการ (1), (2) ได้ a = 2 , b = 2 ซึง่ กอ้ นหลงั นแ้ี ยกตอ่ ไม่ไดแ้ ลว้ แสดงว่า x2 + ax + b = x2 − 2x + 3 ∴ f(x) = 2x2 + 2, g(x − 1) = 6x − 8 ∴ a = −2 , b = 3 ตอบ a + b = 1 (4) (~ p ↔ ~ r) ∨ (p ↔ q) หา g−1(16) โดย g−1(6x − 8) = x − 1 แทน x ดว้ ย 4 ได้ g−1(16) = 3 FF หา f(g−1(16)) = f(3) = 2(9) + 2 = 20 (8) ขอ้ นวี้ าดกราฟจะพจิ ารณาไดเ้ รว็ ขน้ึ แสดงว่า คา่ ความจรงิ ของ p ตรงขา้ มกบั q, r เมอ่ื 0 < x < 1 เปน็ เสน้ ตรง y = 1 − x ∴ข้อท่ีเป็นเทจ็ คือ ขอ้ 4. p ∧ q ∧ ~ r และเม่ือ x > 1 เปน็ ครึ่งพาราโบลา (เพราะ p กับ q ต้องมตี วั หนงึ่ เทจ็ แนน่ อน) ตอบ y − 1 = x − 1 → (y − 1)2 = x − 1 (5) ก. เน่ืองจาก โดย y > 1; เปดิ ขวา, จุดยอดอยทู่ ี่ (1, 1) ~ p ∨ (~ q ∨ r) ≡ ~ q ∨ (~ p ∨ r) ≡ q → (p → r) ซา้ ยกับขวาสมมลู กนั และเชอ่ื มดว้ ย ↔ (2,2) จึงเปน็ สจั นริ นั ดร์ ก. ถกู 1 ข. ∃x เป็นจริง เมอื่ x ∈ U (1/2,1/2) ดังนนั้ ลองเลอื ก x = − 1 จะไดว้ ่า 4 O1 (− 1)2 + (− 1) + a = 0 → a = 3 ก. ผดิ เพราะกราฟผา่ นจดุ (2, 2) 44 16 แสดงว่า f(2) = f−1(2) ซึ่งมี a อยใู่ น (0, 1) จรงิ ข. ถกู ตอบ ขอ้ 1. 4 ข. ถกู คือ และf−1(1) = 1 f−1(2) = 2 22 (มี 2 คา่ เทา่ นน้ั ) ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 520 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.47 (9) กฎของ sin; C (13) 3 =2 60° D 8 sin 30° sin B 3 6 (2,4) → sin B = 1 2 สมมติ Pmax เกดิ ท่ี (2, 4) 3 A 30° B ∴ 70 = a2(2) + a(4) → a2 + 2a − 35 = 0 ∴ cos B = 8 3 → a = 5 หรอื -7 และ AB = 2 cos 30° + 3 cos B = 3 + 8 คดิ รปู ใหญ;่ CB = 3 + 8 sin A sin 60° → CB = 2 ( 3 + 8) sin A แต่ a เปน็ จํานวนบวก ∴ a = 5 3 ทดลองแทนค่าจดุ (0, 8) ได้ P = 40 < 70 , หา sin A จาก จดุ (0, 6) ได้ P = 30 < 70 sin(180° − 60° − B) = sin(120° − B) ∴ จดุ (2, 4) เกิด Pmax จริงๆ ตอบ ข้อ 2. = ( 3)( 8) − (− 1)( 1) = 24 + 1 23 23 6 (14) จากสูตรแบง่ เวกเตอร์ A C 1 ∴ CB = 2 ( 3 + 8)( 24 + 1) = 3 + 8 6 ˜AD = 1 ˜AB + 2 ˜AC D 3 69 33 ยกกาํ ลงั สองท้งั สองขา้ ง จะได้ CD = CB − 3 = 8 6 ตอบ (นําตวั เองมาดอท) 2 9 B (10) จัดรปู ไฮเพอรโ์ บลา ˜ ˜ ˜ ˜ ˜→ |AD|2 = 1 |AB|2 + 4 |AB ⋅ AC| + 4 |AC|2 2(y2 − 6y + 9) − 3(x2 − 2x + 1) = −9 + 18 − 3 99 9 → (y − 3)2 − (x − 1)2 = 1 → (h, k) = (1, 3) ตอบ∴ a2 + b2 + c2 = ( 1)2 + (4)2 + (4)2 = 11 32 9 9 9 27 เปดิ บนลา่ ง, c = 5 F (15) z − 2 3 คอื รากทส่ี ามของ −8 i 5 r=3 ซึง่ −8 i = 8∠270° มีรากทสี่ ามได้แก่ ดังนน้ั จาก P (1,3) A 2∠90° = 2 i , 2∠210° = − 3 − i , และ Δ มมุ ฉาก APF 2∠330° = 3 − i ได้ AP = 2 หนว่ ย ∴ จุด A มพี กิ ดั (3,3) O ดงั นนั้ z = 2 3 + 2 i , 3 − i , 3 3 − i ระยะทางทตี่ อ้ งการ = 32 + 32 = 18 ตอบ ตัวที่มขี นาดเป็นจาํ นวนเตม็ คอื 2 3 + 2 i (11) 4 ⋅ 22 log x − 9 ⋅ 2log x − log 10 + 1 + 2 < 0 (ขนาด=4) และ 3 − i (ขนาด=2) มอง 2log x = A จะไดว้ า่ 4A2 − 9A + 2 < 0 ∴ ตอบ (2 3 + 2 i) + ( 3 − i) = 3 3 + i (16) z1z2z3 = 1 .....(1) → (4A − 1)(A − 2) < 0 → 1 < A < 2 4 และ z1 1 1 1 .....(2) → 1 < 2log x < 2 → −2 < log x < 1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 4 ก. ซา้ ย = 1 − z1 − z2 + z1z2 → 1 < x < 10 ∴ a = 1,000 ตอบ = 1− z1 − z2 + 1 (จาก(1)) 100 b z3 (12) M11 = a1 =5 → a2 + 1 = 5 → a = ±2 ขวา = 1 − 1 − 1 + 1 −1 a M33 = a a−2 = 0 → a2 + a − 2 = 0 z1 z2 z1z2 −1 a = 1− 1 −1 + z3 (จาก(1)) ∴ a = −2 เทา่ นนั้ z1 z2 ก. −2 −4 −1 ถ้าซา้ ย = ขวา จะได้ A = −1 −2 1 = −8 − 1 − 4 − 2 − 2 + 8 = −9 1 −1 −2 1 − z1 − z2 + 1 = 1− 1 − 1 + z3 z3 z1 z2 ข. C13 = −1 −2 = 1+2 = 3 ตอบ ก.ผดิ , ข.ผดิ → 1+ 1 +1 = z1 + z2 + z3 ตรงกับ (2) (ก.ถกู ) 1 −1 z1 z2 z3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 521 ขอสอบเขาฯ มี.ค.47 ข. จาก (1) z2z3 = 1 .....(1a) (18) ก. (fog)(x) = ⎧ x − 1 , g(x) ≠ 0 z1 ⎨ 1 , g(x) = 0 ⎩ จาก (2) z2 + z3 − 1 −1 = 1 − z1 (กรณบี น x ≠ 1 ดว้ ย มิฉะน้ันจะหา g(x) ไม่ได้) z2 z3 z1 และพบวา่ กรณลี า่ ง g(x) = 0 นน้ั เปน็ ไปไมไ่ ด้ z3 + z2 1 → z2 + z3 − z2z3 = z1 − z1 ∴ (fog)(x) = x − 1 เทา่ นน้ั ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 0 แนๆ่ → z2 + z3 − z1(z2 + z3) = 1 − z1 ข. f′(− 1) = (− 1 ) x=− 1 = −4 z1 2 x2 2 1 − z1 1 − z21 g′( 1) = − 1 = −4 z1 z1(1 − z1) 2 (x − 1)2 → z2 + z3 = = x= 1 2 1 − z1 ตอบ ก.ถกู และ ข.ถูก = 1 + z1 = 1 + 1 .....(2a) z1 z1 (19) f′(x) = x3 − 2x2 − x + 2 = 0 มอง 1 =A จะได้ (1a) z2z3 = A, → (x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0 → x = −1, 1, 2 z1 ∴ ที่ c > 0 มจี ดุ วิกฤต 2 จดุ และ (2a) z2 + z3 = A + 1 ..แกร้ ะบบสมการ (คือ x = 1 , x = 2 ) A + z3 = A + 1 → z23 − (A + 1)z3 + A = 0 แทนค่า f(−1) = 1 + 2 − 1 − 2 − 1 = ติดลบ, z3 432 3 → z3 = A + 1 ± A2 + 2A + 1 − 4A f(1) = 1 − 2 − 1 + 2 − 1 = เป็นบวก, 2 432 3 → z3 = (A + 1) ± (A − 1) = A หรอื 1 และ f(2) = 4 − 16 − 2 + 4 − 1 = เปน็ บวก 2 33 ∴ z2 = 1 หรอื A แสดงว่ากราฟเปน็ ดังรูป แต่โจทย์บอกวา่ z1 ≠ 1, z2 ≠ 1 ∴ z2 = A = 1 ∴ มีจดุ ตัดแกน x -1 z1 รวม 2 จดุ 12 และ z3 ต้องเปน็ 1 เสมอ ตอบ ข้อ 3. ทําให้ z3 + i z3 − i = 2 ⋅ 2 = 2 (ข.ผิด) (20) (hof)(x) = [f(x)]3 + 1 จาก (hof)(a) = 9 → [f(a)]3 + 1 = 9 → f(a) = 2 ตอบ ขอ้ 2. จาก (hof)′(a) = 0 → 3[f(a)]2 ⋅ f′(a) = 0 ⎛ n(n + 1)⎞ → 3(2)2 ⋅ f′(a) = 0 → f′(a) = 0 ⎜⎝ ⎟⎠ (17) คดิ lim an = lim n ⎛ n(n + 2 + 1)⎞ และจาก (hof)′′(a) = −1 3 1)(2n n→∞ n→∞ ⎝⎜ 6 ⎟⎠ → 3[f(a)]2 f′′(a) + 3f′(a) ⋅ 2[f(a)]f′(a) = −1 = lim ⎜⎛⎝ n 1⎠⎞⎟ = 1 → 3(2)2 ⋅ f′′(a) + 3(0)(2)(2)(0) = −1 2n + 2 n→∞ → f′′(a) = − 1 12 ตอ่ มา คดิ lim bn = lim ( 3n + 2 − 3n + 1) n→∞ ( n+2 − n + 1) สรุป f′(a) = 0 แปลวา่ เกดิ ค่าวิกฤตท่ี x=a n→∞ f′′(a) ตดิ ลบ แปลวา่ เป็นจดุ สงู สดุ สัมพัทธ์ f(a) = 2 แปลว่า คา่ สงู สดุ นนั้ เทา่ กับ 2 ตอบ ข้อ 2. คูณดว้ ย ⎛ 3n + 2 + 3n + 1 ⋅ n+2 + n+ 1⎞ ⎜⎜⎝ 3n + 2 + 3n + 1 n+2 + n + 1 ⎟⎠⎟ จะได้ = lim 1 ( n + 2 + n + 1) n → ∞ 1 ( 3n + 2 + 3n + 1) นาํ n หารทั้งเศษและสว่ น ได้ = lim 1+ 2 + 1+ 1 1+ 1 = 1 n→∞ n n= 3+ 3 3 3+2 + 3+ 1 n n ตอบ 1 + 1 23 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 522 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.47 (21) f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D (26) Q1 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 1 (25 + 1) = 6.5 4 f(0) = 1 → 0 + 0 + 0 + D = 1 → D = 1 มีค่า 31 ∴ 31 = 20 + 5.5d → d = 2 f(1) = 1 → A + B + C + 1 = 1 → A + B + C = 0 ดงั นนั้ ขอ้ มลู ชดุ นคี้ อื 20, 22, 24, … , 68 f′(0) = 1 → 3A(0)2 + 2B(0) + C = 1 → C = 1 → เนอื่ งจากเป็นลาํ ดบั เลขคณติ จงึ หา X ไดง้ า่ ยๆ ดังนน้ั A + B = −1 และจาก 1 f(x) dx =6 จะได้ จาก 20 + 68 = 44 2 ∫ ∴ MD = 24 + 22 + 20 + … + 2 + 0 + 2 + … + 22 + 24 −1 25 (Ax4 + Bx3 + x2 + x) 1 = 6 4 32 = 2 (12 + 11 + 10 + … + 0 + … + 12) −1 25 → A + B + 1 + 1− A + B − 1 + 1= 6 4 32 4 32 = 4 (12 + 11 + 10 + … + 1) 4 ⎡(12)(13)⎤ 25 = 25 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ → 2B + 2 = 6 → B = 6 ∴ A = −7 3 = 12.48 ตอบ ตอบ f(−1) = −7(−1) + 6 + (−1) + 1 = 13 (27) x = 14 A=0.004 → A = 0.004 ทางขวา (22) จํานวนค,ู่ มากกวา่ 200 แสดงว่า อยูใ่ นรปู แบบ 2-3-4-5 , __ _ , เลขคู่ . → z = 0.01 = 14 − X 2 และหลักรอ้ ยตอ้ งตา่ งกบั หลกั หนว่ ย → X = 13.98 กรณีแรก ลงท้ายด้วย 2 หรอื 4 14 จะได้ 3 × 6 × 2 = 36 แบบ ตอ่ มาพจิ ารณาอกี 2 ปีข้างหนา้ กรณที ีส่ อง ลงทา้ ยดว้ ย 0 X กลายเปน็ 15.98, s = 2 เชน่ เดมิ จะได้ 4 × 6 × 1 = 24 แบบ ตอบ 36 + 24 = 60 จาํ นวน ที่ 16 ป;ี (23) วธิ ที ั้งหมด = 7 ! z = 16 − 15.98 = 0.01 14 16 วธิ ีทสี่ มชายตดิ สมหญงิ , สมศักด์ไิ ม่ติดสมชาย 2 คิดโดย นาํ สมชายกับสมหญงิ วางติดกนั ตรงไหนกไ็ ด้ → A = 0.004 ทางขวา ∴เปน็ เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 50.4 สลบั ทก่ี ันเองได้ 2! แบบ จากนน้ั วางคนท่ีเหลือ 5 ที่ 14 ป;ี z = 14 − 15.98 = −0.99 คน มองให้เป็นแบบเส้นตรง ได้ 5! แบบ และจากนนั้ 2 → A = 0.3389 ทางซา้ ย มชี อ่ ง 5 ช่องทสี่ มศกั ดิ์เลอื กได้ (โดยไมต่ ิดกบั ∴ ระหวา่ ง 14 ถึง 16 มพี นื้ ท่ี สมชาย) จึงได้รวม = 2! × 5! × 5 = 0.3389 + 0.004 = 0.3429 คือ 34.29% ∴ ตอบ 2 ! × 5 ! × 5 = 5 ตอบ ขอ้ 2. 7 ! 21 (24) กําธรได้เปน็ ประธาน ลบด้วย กาํ ธรเป็น 2,200 + 5,000 + a ประธานและไม่มหี ญงิ เลย (28) ISA45 = 1.10 = 2,000 + 4,000 + a = 1× 9× 8 − 1×5 × 4 = 52 = 13 ตอบ → (1.10)(6,000 + a) = 7,200 + a 10 × 9 × 8 720 180 → 0.1 a = 600 ∴ a = 6,000 หรอื คดิ บวกกนั 3 กรณกี ็ได้ คอื จะได้ ISR46 = ⎛ 3,080 + 5,400 + 6,720 ⎞ × 100 ⎝⎜ 2,200 5,000 6,000 ⎠⎟ 3 1× 5 × 4 + 1× 4 × 5 + 1× 4 × 3 = 13 10 × 9 × 8 180 = (1.4 + 1.08 + 1.12) × 100 = 120 ตอบ 3 (25) หา Xข จากสตู ร Xรวม คอื 54 = 30(50) + 20Xข → Xข = 60 50 ก. 1 = 55 − 50 → sก = 5 → s2ก = 25 ก.ถูก sก ข. 1 = 66 − 60 → sข = 6 sข → sข = 6 = 0.1, sก = 5 = 0.1 ข.ผดิ Xข 60 Xก 50 ตอบ ข้อ 2. Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 523 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.47 ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÁËÒÇi·ÂÒÅÂa µ.¤.47 (p) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 10 เป็นขอ้ สอบแบบอตั นยั ขอ้ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ขอ้ 6 – 10 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A เป็นจุดๆ หน่ึงบนไฮเพอรโ์ บลา (x − 1)2 − (y − 2)2 = 1 9 16 ถา้ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ A และจุดโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอรโ์ บลาคือ 3 หนว่ ย แลว้ ระยะห่างระหว่างจดุ A กบั จดุ โฟกัสอีกจดุ หนึง่ ของไฮเพอรโ์ บลา มคี ่าเทา่ กับก่หี น่วย 2. ผลบวกของคําตอบของสมการ 1 + (2 logx 3)(log9(9 − x)) = logx14 มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด 3. กําหนดใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มดี ้าน BC ยาว 3 หนว่ ย ดา้ น AC ยาว 2 หนว่ ย ถ้ามุม B = arctan ⎛ 1⎞ แล้วคา่ ของ sin (A + B) + sin (A − B) เทา่ กบั เท่าใด ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 4. ถ้าสมการจดุ ประสงค์คือ P = 35x − 25y และอสมการขอ้ จํากัดคือ 2x + 3y < 15 , 3x + y < 12 , x > 0 , y > 0 แล้ว ค่าสูงสดุ ของ P เทา่ กับเทา่ ใด 5. ให้ x, y, z เปน็ คําตอบของระบบสมการเชิงเส้น ,a11x + a12y + a13z = 2 ,a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0 ถ้า ⎡a11 a12 a13 1 0 0⎤ ⎡ 1 0 0 1 −1 1⎤ แล้ว คา่ ของ เทา่ กบั เท่าใด 01⎥⎦⎥⎥ ⎣⎢⎢⎢00 01⎦⎥⎥⎥ ⎢⎣⎢aa2311 a22 a23 0 1 ~ 1 0 0 −2 x+y+z a32 a33 0 0 0 1 2 3 6. ถา้ z = 3 + i แลว้ ค่าของ z−i 2 เท่ากบั เทา่ ใด z6 + z3 + 2 2 7. กาํ หนดให้ m เป็นจาํ นวนเตม็ บวก และ n เป็นจํานวนเฉพาะ ถ้า m หาร 777 และ 910 แลว้ เหลอื เศษ n แลว้ m − n มีค่าเท่ากับเทา่ ใด 8. ถ้า S คือเซตของลอ็ ตเตอรี่รัฐบาล ซง่ึ มเี ลข 6 หลัก และมเี ลข 0 อยู่ 4 ตวั แล้ว จาํ นวนสมาชกิ ของ S เทา่ กับเท่าใด 9. ถ้า a และ b เปน็ คาํ ตอบของสมการ 3x + 5 = x + 2 แล้ว คา่ ของ a8 − ⎛ 8 ⎞ a7b + ⎛ 8 ⎞ a6b2 − ... − ⎛8⎞ ab7 + b8 เท่ากบั เท่าใด ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 7 ⎟⎠ 10. ถ้า A = {1, 2, 3, ..., 9} และ S = { B | B ⊂ A และ ( 1∈B หรือ 9 ∈B )} แลว้ จาํ นวนสมาชกิ ของ S เทา่ กับเท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 524 ขอสอบเขาฯ ต.ค.47 ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 25 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ P(x) เปน็ พหุนามท่ีมีสัมประสทิ ธ์เิ ปน็ จํานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. x − c เป็นตวั ประกอบของ P (x) ก็ต่อเมื่อ P (c) = 0 2. ถา้ จาํ นวนเชิงซอ้ น z0 เปน็ คาํ ตอบของสมการ P(x) = 0 แลว้ z0 จะเปน็ คําตอบของสมการน้ีดว้ ย 3. ถา้ สมั ประสิทธิข์ อง P(x) เปน็ จาํ นวนเตม็ และมี x − m เปน็ ตัวประกอบ แลว้ m จะตอ้ งเปน็ จํานวนตรรกยะ 4. ถา้ P (a) = b แลว้ x − a จะเป็นตวั ประกอบของ P (x) − b 2. ข้อความในข้อใดตอ่ ไปน้ีผิด 1. ถ้า a, b, n เป็นจาํ นวนเต็มบวก ซ่ึง n|a และ n| b แล้ว จะได้ว่า n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวด้วย 2. ถ้า a, b, n เป็นจาํ นวนเต็มบวก ซ่ึง a| n และ b| n แลว้ จะไดว้ า่ ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดว้ ย 3. ถ้า a, m, n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก และ a| mn แลว้ จะได้ว่า a| m หรือ a| n 4. ถ้า d และ c เปน็ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจาํ นวนเตม็ บวก m, n แลว้ จะได้ว่า dc = mn 3. ถ้า f (x) และ g(x) เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ หาอนุพนั ธไ์ ด้ และมสี มบัตดิ ังน้ี f′(g(x)) = 1 และ f (g (0)) = 5 แลว้ คา่ ของ f (g(2)) เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ g′(x) 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7 4. ถา้ F1 และ F2 เป็นโฟกัสของวงรี x2 + 3y2 − 2x − 23 = 0 และ P(4, 5) เป็นจดุ ซึ่งอย่บู นวงรนี แี้ ล้ว คา่ ของ cos (F1P F2) เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. − 1 2. − 1 3. 3 4. 3 9 7 4 5 5. ใหก้ .A,˜ABB, C เปน็ จดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี + ˜BC + ˜CA = 0 ข. (BC)2 < (CA)2 + (AB)2 ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 6. จํานวนคําตอบทีเ่ ป็นจาํ นวนเตม็ ของอสมการ −5 < x2− 6 < 1 เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี x 1. 8 2. 9 3. 10 4. 11 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 525 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.47 7. กําหนดให้ L เป็นเส้นตรงซึง่ ผ่านจุด (2, 1) และมีระยะห่างระหว่างจุดกาํ เนิดและเส้นตรง L เทา่ กบั 1 หน่วย ถา้ L ตง้ั ฉากกบั เส้นสัมผสั พาราโบลา y = ax2− 4a + 1 ทจ่ี ดุ (2, 1) แล้ว a มีค่า เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. − 3 2. − 1 3. − 3 4. − 1 16 16 8 8 8. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ถา้ ประพจน์ [p ∧ (q → r)] →(r ∨ s) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ แล้ว p ∧ q → s มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ ข. นเิ สธของข้อความ ∀x∃y [ (x > y) ∧ (x2< y) ] คือ ∃x∀y [ (x > y) → (y < x2) ] ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 9. กําหนดเอกภพสมั พัทธ์คอื ช่วงเปิด (−2, 2) พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ประพจน์ ∀x [ x + x2 < x + x2 และ x < x2 ] มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ ข. ประพจน์ ∃x [ x2− x − 6 > 0 ] มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ ข้อใดต่อไปนีถ้ ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 10. กาํ หนดให้ f (x) = x เม่อื x ∈ (−1, 1) 1 − x2 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. f−1(x) ⎧ −1 − 1 + 4x2 , x≠0 ข. f เปน็ ฟังก์ชนั เพิ่มในชว่ ง (−1, 1) ⎪ 2x = ⎨ 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ ⎪ 0 , x=0 ⎩ ข้อใดตอ่ ไปนจ้ี ริง 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 11. กําหนดให้ r = 1 + sin π ผลบวกของอนกุ รมในข้อใดต่อไปนี้เท่ากบั 1 8 1+r 1. ∞ rn 2. ∞ (−1)n r n 3. ∑∞ 1 4. ∑∞ (−1)n n=0 r n+1 n=0 rn+1 ∑ ∑ n=0 n=0 12. ให้ f (x) = x3 + ax2 + bx + c เม่อื a, b, c เปน็ จาํ นวนจรงิ ถา้ x − 3 หาร f (x) แล้วเหลือเศษ 10 และ 1 + i เปน็ รากหนึง่ ของ f′(x) แล้ว คา่ ของ f (1) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −4 2. −2 3. 0 4. 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 526 ขอสอบเขาฯ ต.ค.47 13. กาํ หนดให้ f (x) = ⎧x+1 , x>0 ⎨ x<0 ⎩ x − 1 , ฟงั ก์ชนั g ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ทาํ ใหฟ้ ังก์ชัน g f ไม่ต่อเน่อื ง 1. g(x) = 1 เม่ือ x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞) 2. g(x) = f−1(x) เมอื่ x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞) 3. g(x) = ⎪⎧ (x − 1)2 , x>1 ⎨ x < −1 ⎩⎪ (x + 1)2 , 4. g(x) = x 3 เมอ่ื x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞) 14. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 52x + 11 < 12(5x) − 9 ถ้า a และ b เปน็ สมาชกิ ของ S ทีม่ คี ่ามากทส่ี ดุ และนอ้ ยทส่ี ดุ ตามลําดับ แล้ว a + b เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. log515 2. log520 3. 2 4. log530 15. กําหนดให้ θ∈ ⎢⎡⎣− π , π⎤ 4 4 ⎥⎦ ถ้า tan2 ⎝⎜⎛ π − θ ⎟⎞⎠ − 1 =3 แลว้ cos2θ มีค่าเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 5 4 π tan2 ⎝⎛⎜ − θ ⎞⎠⎟ + 1 4 1. 3 2. 4 3. 7 4. 9 5 5 10 10 16. กําหนดให้ y = f (x) เปน็ ฟงั กช์ นั พหนุ ามซ่ึงมีคา่ ตํ่าสดุ สมั พัทธเ์ ทา่ กับ 3 ท่ีจุด x = 2 และมีเส้นตรง 3x + y − 7 = 0 เปน็ เสน้ สมั ผัสกราฟท่จี ดุ (1, 4) ถา้ g(x) = x2 f (x) แลว้ คา่ ของ 1 ∫2 เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ g′′(x) dx 1. 5 2. 7 3. 8 4. 10 17. กาํ หนดตารางแจกแจงความถขี่ องคะแนนสอบวิชาสถิติทีเ่ ปน็ จํานวนเตม็ ของนักเรยี น 40 คน ดงั นี้ คะแนน จาํ นวนนกั เรียน 60 – 64 4 65 – 69 a 70 – 74 10 75 – 79 b 80 – 84 7 เมือ่ สมุ่ เลอื กนกั เรียนกลมุ่ นี้มาหนึง่ คน ได้วา่ ความน่าจะเปน็ ที่นักเรยี นคนน้ีได้คะแนนน้อยกวา่ 70 คะแนน มคี า่ เทา่ กบั 0.30 มัธยฐานของคะแนนชดุ น้ีเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 71.50 2. 73.50 3. 73.75 4. 74.50 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 527 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.47 18. ให้ x1, x2, ..., x5 เป็นข้อมลู ชดุ หนง่ึ ซงึ่ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเทา่ กับ 6 ถา้ 5 4)2 = 30 แล้ว ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดนเี้ ท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ ∑ (x i − i=1 1. 2 2. 2 3. 6 4. 2 2 19. จากรายการซอ่ มแซมเครอ่ื งซกั ผ้า 6 เครื่อง ปรากฏผลดงั นี้ เคร่ืองซักผ้าเครอื่ งท่ี 1 23456 จาํ นวนปที ี่ใชง้ าน : X 123213 ค่าซอ่ มแซมต่อปี (รอ้ ยบาท) : Y 4 7 10 8 3 10 สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนั สาํ หรบั การประมาณคา่ ซ่อมแซมจากจํานวนปีทีใ่ ช้ คือข้อใด ตอ่ ไปน้ี 1. Y = 3.25 X + 0.5 2. Y = 3.5 X + 0.5 3. Y = 3.5 X + 0.75 4. Y = 3.75 X + 0.25 20. กําหนดให้ A เป็นเมตริกซ์มิติ 3 × 3 และ Aij คอื เมตริกซ์ทีไ่ ด้จากการตดั แถวที่ i และหลักท่ี j ของเมตรกิ ซ์ A ออก ถา้ ⎡ 2 −5 −1⎤ ⎡−1 −2⎤ และ ⎡1 −1⎤ ⎣⎢⎢−1278 −−11⎥⎦⎥ ⎣⎢ 5 8 ⎥⎦ ⎢⎣3 −2⎥⎦ adj A = 10 A 11 = A 32 = −5 แลว้ det(A) มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. −92 2. −15 3. 15 4. 92 21. กําหนดให้ S คือเซตของเมตรกิ ซ์ ⎪⎧ ⎡a b⎤ a, b, c, d ∈ {0, 1}⎬⎫⎪ ⎨ ⎢⎣c d⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ความน่าจะเปน็ ในการสุ่มหยิบเมตรกิ ซ์ A จากเซต S โดยมสี มบัติ det(A) = 0 หรือ det (A) = 1 เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 3 2. 5 3. 11 4. 13 4 8 16 16 22. ในการออกรางวลั เลขทา้ ยสองตวั ของล็อตเตอร่ีรัฐบาล ความน่าจะเปน็ ทีร่ างวลั เลขท้ายสองตวั มี หลกั สิบทีเ่ ป็นเลขท่ีมากกว่าหรือเท่ากบั 7 หรือหลักหน่วยเป็นเลขทนี่ อ้ ยกว่าหรอื เทา่ กับ 2 มคี ่า เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 0.40 2. 0.51 3. 0.54 4. 0.60 23. ถ้า f (x) = ⎧ x−n , 2n < x < 2n+1 โดยท่ี n = 0, 1, 2, ..., 9 ⎨ 2n+1 < x < 2n+2 3. 125 ⎩ n+1 , แล้วคา่ ของ 0 ∫ 20 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ f (x) dx 1. 105 2. 115 4. 135 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 528 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.47 4. 3 24. ถ้า A เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ z14 − i = 0 3. 2 4. (1.6, 1.8) และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ z22− i = 0 แลว้ จาํ นวนสมาชิกของ A ∩ B เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 25. ถ้า vn = 1 i + 1− 1 j เมือ่ n = 1, 2, 3, ..., 99 n n2 แล้วคา่ ของ 99 vn+1 − vn อยใู่ นชว่ งใดตอ่ ไปน้ี ∑ n=1 1. (1, 1.2) 2. (1.2, 1.4) 3. (1.4, 1.6) เฉลยคําตอบ ตอนท่ี 1 (1) 9 (2) 9 (3) 0.75 (4) 140 (5) 6 (6) 0.5 (7) 2 (8) 1215 (9) 625 (10) 384 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 3 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) 1 (8) 3 (9) 4 (10) 3 (11) 4 (12) 1 (13) 4 (14) 2 (15) 4 (16) 2 (17) 2 (18) 1 (19) 1 (20) 2 (21) 4 (22) 2 (23) 1 (24) 3 (25) 3 เฉลยวธิ ีคดิ ตอนท่ี 1 (4) (0, 5) → P = −125 (1) ไฮเพอรโ์ บลา a = 3, b = 4 (3, 3) → P = 30 นยิ ามของไฮเพอร์โบลาคอื ระยะหา่ งจากจดุ ๆ หนงึ่ ไป (4, 0) → P = 140 5 (3,3) ยงั โฟกสั ท้ังสอง มีผลตา่ งเปน็ 2a = 6 ดงั นนั้ ∴ Pmax = 140 d − 3 = 6 → d = 9 หน่วย ตอบ O4 (2) 1 + 2 log 3 log(9 − x) = log 14 log x log 9 log x (5) ⎢⎣⎡⎢aaa231111 aaa231222 aaa231333 ⎤ ⎡x⎤ ⎡2⎤ ⎥ ⎢y⎥ ⎢ 1⎥ แต่ 2 log 3 = log 9 ดงั น้ัน ⎦⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ = ⎣⎢0⎦⎥ → AX = B จะได้ → 1 + log(9 − x) = log 14 ดังนน้ั X = A−1B log x log x หา A−1 โดยการดาํ เนนิ การตามแถว (row- → log x + log(9 − x) = log 14 operation) คือ ⎣⎡ A I ⎦⎤ ~ ⎡⎣ I A−1⎤⎦ → x(9 − x) = 14 ∴ x = 2, 7 ตอบ 2 + 7 = 9 เทียบจากโจทย์ จะพบวา่ A−1 = ⎡ 1 −1 1⎤ ⎢0 −2 1⎥ (3) sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B ⎣⎢2 3 0⎥⎦ หา sin A จากกฎของไซน์ 2 ⎡x⎤ ⎡ 1 −1 1⎤ ⎡2⎤ ⎡ 1 ⎤ 1 ∴ ⎢y⎥ = ⎢0 −2 1⎥ ⎢ 1⎥ = ⎢−2⎥ sin A = sin B B ⎢⎣z⎦⎥ ⎣⎢2 3 0⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ ⎢⎣ 7 ⎦⎥ 32 3 → sin A = (1)( 3) = 3 ตอบ 1 − 2 + 7 = 6 22 4 และหา cos B จาก Δ จะได้ 3 2 ∴ ตอบ 2 ( 3)( 3) = 0.75 42 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 529 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.47 (6) โจทย์ถาม ⎛ z−i ⎞2 (3) กฎลกู โซ;่ (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) ⎜ ⎟ ดงั นนั้ ขอ้ น้ี (ยา้ ยขา้ ง) f′(g(x)) ⋅ g′(x) = 1 = (fog)′(x) ⎜⎝ z6 + z3 + 2 ⎠⎟ และอนิ ทิเกรตได้ (fog)(x) = x + c ก. z − i = 3 − i = 3 + 1 = 1 2 หาคา่ c จาก (fog)(0) = 5 → c = 5 2 2 44 จะได้ (fog)(2) = 2 + 5 = 7 ตอบ (4) จัดรปู วงร;ี ข. z6 = (1∠30°)6 = 1∠180° = −1 (x2 − 2x + 1) + 3y2 = 23 + 1 → (x − 1)2 + y2 = 1 z3 = (1∠30°)3 = 1∠90° = i 24 8 ∴ z6 + z3 + 2 = −1 + i + 2 = 1+ i = ตอบ ⎛ 1 ⎞2 = 0.5 ระยะโฟกสั = 24 − 8 = 4 หนว่ ย ⎝⎜ 2 ⎠⎟ จุดศนู ยก์ ลาง (1, 0) P (7) จากบทนยิ ามของการหาร; F1 C F2 777 = mq1 + n และ 910 = mq2 + n (-3,0) (1,0) (5,0) นํามาลบกนั กลายเป็น 133 = m(q2 − q1) หามมุ ระหวา่ ง ˜PF1 กบั ˜PF2 นนั่ คอื “m ตอ้ งหาร 133 ลงตวั ” → พจิ ารณา 133 = 7 × 19 คดิ โดยใชเ้ วกเตอรด์ อทกนั ˜PF1 ˜, PF2 ถ้า m = 7 จะไดเ้ ศษ n = 0 ซง่ึ ผดิ เงื่อนไข จาก = ⎡ −7 ⎤ = ⎡ 1⎤ ∴ m = 19 , ได้เศษ n = 17 ตอบ 19 − 17 = 2 ⎣⎢− 5⎦⎥ −7 + 5 ⎢⎣− 5⎦⎥ (8) กรณที ่ี 1; สองตัวทีเ่ หลอื เลขซาํ้ กนั จะได้ ˜ ˜PF1 ⋅ PF2 = 54 6 และ ˜ ˜PF1 ⋅ PF2 = = −2 → ⎝⎛⎜91 ⎞⎠⎟ × ⎛ 6! ⎞ = 135 วธิ ี cos θ ⎜⎝ 4 ! 2 !⎠⎟ ดงั นนั้ cos θ = −2 = − 1 ตอบ กรณที ่ี 2; สองตวั ทีเ่ หลอื เลขไมซ่ ํา้ กนั 54 ⋅ 6 9 → ⎝⎛⎜ 92 ⎞⎟⎠ × ⎛6!⎞ = 1,080 วธิ ี (5) ก. ถกู B ⎝⎜ 4 !⎠⎟ ตอบ 135 + 1,080 = 1,215 จาํ นวน A C (9) 3x + 5 = x + 2 ข. จากกฎของ cos; → 3x + 5 = x2 + 4x + 4 → x2 + x − 1 = 0 → x = − 1 ± 5 (BC)2 = (CA)2 + (AB)2 − 2(CA)(AB) cos A 22 ดงั นนั้ (BC)2 จะมากหรือนอ้ ยกว่า (CA)2 + (AB)2 ดงั นน้ั a, b = − 1 ± 5 ขึน้ อยู่กบั เครอื่ งหมายของ cos A 22 (มมุ แหลมเครอื่ งหมายบวก มมุ ปา้ นเคร่ืองหมายลบ) สง่ิ ท่โี จทยถ์ ามคอื (a − b)8 [จากทฤษฎบี ททวนิ าม] ตอบ ก. ถกู , ข. ผิด ดังนน้ั (a − b)8 = ( 5)8 = 625 ตอบ (6) จาก −5 x2 − 6 → x2 + 5x − 6 0 xx (10) มีคาํ วา่ “หรอื ” จงึ ควรใชว้ ิธลี บออกด้วยนเิ สธ คือ วิธที ง้ั หมด ลบดว้ ยวธิ ที ่ี (1 ∉ B และ 9 ∉ B) จะได้ชว่ งคําตอบ [−6, 0) ∪ [1, ∞) → 29 − 27 = 384 จาํ นวน ตอบ และจาก x2 − 6 < 1 → x2 − x − 6 < 0 หรือ สามารถคดิ โดยตรงดว้ ยสตู รยูเนยี นของเซต xx คอื (1 ∈ B) + (9 ∈ B) − (1 ∈ B และ 9 ∈ B) จะได้ช่วงคาํ ตอบ (−∞, −2] ∪ (0, 3] = 28 + 28 − 27 กไ็ ด้เชน่ กัน อนิ เตอร์เซคกันได้ [−6, −2] ∪ [1, 3] ตอนที่ 2 ตอบ 8 จํานวน (1) ขอ้ 1, 2, 4 เปน็ ทฤษฎที ีค่ วรรู้ (ถูกแนน่ อน) (7) หาสมการเสน้ ตรง L; ส่วนขอ้ 3 นนั้ ผดิ เชน่ สมมติ P(x) = x2 − 2 จะได้ (y − 1) = m(x − 2) → y − mx + 2m − 1 = 0 (x − 2)(x + 2) ซึ่ง 2 ไม่ใชจ่ ํานวนตรรกยะ ระยะหา่ งไปยงั จดุ กําเนดิ (0, 0) เทา่ กบั 1 ตอบ ข้อ 3. → 1 = 0 − m(0)+ 2m − 1 → 1 + m2 = 2m − 1 (2) ขอ้ 1, 2, 4 ถกู แล้ว 1 + m2 สว่ นขอ้ 3 ผดิ เช่น เมอ่ื a = 6, b = 2, c = 3 ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 530 ขอสอบเขาฯ ต.ค.47 → m = 0, 4/3 แต่ m = 0 ไมไ่ ด้ (เพราะจะหา (12) ทฤษฎีเศษ; f(3) = 10 เส้นต้ังฉากไม่ได)้ ∴ m = 4/3 จึงไดค้ วามชนั ของ ทฤษฎขี องจาํ นวนเชงิ ซอ้ น; เสน้ สัมผัสพาราโบลา = −3/4 (ต้ังฉากกบั L) y′(2) = 2a(2) = −3/4 → a = −3/16 ตอบ f′(x) = k (x − 1 − i)(x − 1 + i) = k (x2 − 2x + 2) (8) ก. [p ∧ (q → r)] → (r ∨ s) ≡ F แต่โจทยใ์ ห้ f′(x) = 3x2 + 2ax + b TT F F FFF ดังนน้ั จดั การเทียบได้ k = 3, a = −3, b = 6 จะไดว้ า่ (p ∧ q) → s ≡ (T ∧ F) → F ≡ T (ก.ผดิ ) ∴ f(3) = 10 = (3)3 − 3(3)2 + 6(3) + c ข. เนอ่ื งจาก ~ (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ~ P(x) ∨ ~ Q(x) → c = −8 → f(1) = 1 − 3 + 6 − 8 = −4 ตอบ ≡ P(x) → ~ Q(x) (13) ข้อ 1. (gof)(x) = 1 → ตอ่ เนอื่ ง ดงั นนั้ นเิ สธของ ∀x∃y [P(x, y) ∧ Q(x, y)] ข้อ 2. (gof)(x) = (f−1of)(x) = x → ตอ่ เนอ่ื ง ข้อ 3. (gof)(x) = x2 → ตอ่ เน่ือง คอื ∃x∀y [P(x, y) → ~ Q(x, y)] (ข.ถกู ) ตอบ ขอ้ 4. (gof)(x) = ⎪⎧ (x + 1)3 ; x>0 ⎨ x<0 (9) ก. เทจ็ เช่น x = 0.5 จะไดว้ า่ ⎪⎩ (x − 1)3 ; x < x2 คอื 0.5 < 0.25 ซ่ึงเปน็ เทจ็ ไม่ต่อเน่อื งท่ี x=0 ดงั นนั้ ตอบ ข้อ 4. [สว่ น x + x2 < x + x2 น้ันเปน็ จรงิ เสมอ เพราะ (14) ให้ 5x = A จะได้ A2 + 11 < 12A − 9 เปน็ สมบตั ิของคา่ สัมบรู ณข์ องผลบวก] แยกชว่ งยอ่ ยคดิ ข. ∃x [(x − 3)(x + 2) > 0] ก. เมอ่ื A > 3/4 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ ≡ ∃x [x ∈ (−∞, −2] ∪ [3, ∞)] เทจ็ → A2 + 11 < 12A − 9 → A2 − 12A + 20 < 0 ตอบ ก. ผดิ , ข. ผดิ แยกตัวประกอบแล้วเขยี นเส้นจาํ นวนได้ A ∈ [2, 10] (10) ก. จาก x ข. เม่ือ A < 3/4 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ 1 − x2 y = → A2 + 11 < −12A + 9 → A2 + 12A + 2 < 0 อินเวอรส์ คอื x = y ซ่ึงแยกตัวประกอบเปน็ จาํ นวนจริงไม่ได้ → ∅ 1 − y2 ดังนน้ั คาํ ตอบไดจ้ ากกรณแี รกเทา่ น้นั คือ → x − xy2 = y → xy2 + y − x = 0 2 < 5x < 10 → log5 2 < x < log5 10 ∴ f−1(x) = y = −1 + 1 + 4x2 ตอบ log5 2 + log5 10 = log5 20 2x (15) นํา cos2(π − θ) คณู ทง้ั เศษและสว่ น ตอ้ งเลอื กใชเ้ ครอ่ื งหมายบวก เพราะพบวา่ f(x) เปน็ 4 บวก เม่อื x เปน็ บวก และ f(x) เปน็ ลบ เมอ่ื x ตดิ sin2(π cos2(π ลบ … ดังนนั้ ก. ผดิ → sin2(π4 − θ) − cos2(π4 − θ) = 3 − θ) + − θ) 5 ข. f′(x) = (1 − x2)(1) − (x)(−2x) = x2 +1 44 (1 − x2)2 (1 − x2)2 ตวั เศษคลา้ ยสตู ร cos มุม 2 เทา่ และตวั สว่ นเปน็ 1 พบว่ามากกว่า 0 เสมอ ตอบ ก. ผิด, ข. ถกู สมการจึงกลายเปน็ − cos ⎛ π − 2θ ⎞ = 3 ⎜⎝ ⎟⎠ 5 (11) ขอ้ 1. 1 + r + r2 + … = 1 2 1−r → − sin(2θ) = 3 → cos(2θ) = 4 [2θ ∈ Q1, Q4 ] ขอ้ 2. 1 − r + r2 − … = 1 5 5 1+ r → 2 cos2 θ − 1 = 4 → cos2 θ = 9 ตอบ ข้อ 3. 1 + 1 + 1 +… = (1 / r) = 1 5 10 r r2 r3 1 − (1 / r) r − 1 (16) f มคี ่าตา่ํ สดุ สมั พทั ธ์เปน็ 3 เมื่อ x = 2 ข้อ 4. 1 − 1 + 1 −… = (1 / r) = 1 แปลวา่ f(2) = 3, f′(2) = 0 r r2 r3 1 + (1 / r) 1+ r เส้นตรง 3x + y − 7 = 0 สัมผสั f ท่ี (1, 4) พบวา่ มขี ้อท่นี า่ จะใช้ไดอ้ ยู่ 2 ขอ้ คอื 2. กับ 4. แปลวา่ f(1) = 4, f′(1) = −3 แต่ทจี่ รงิ แล้วขอ้ 1. กับ 2. นัน้ ผดิ เพราะเปน็ อนุกรม 2 อนนั ตท์ ี่มอี ตั ราสว่ นรว่ มมากกว่า 1 จะไม่สามารถหา โจทย์ถาม = g′(2) − g′(1) ∫ g′′(x) dx ผลบวกถึงอนนั ตไ์ ด้ (sin π ≈ 0.กว่า) ตอบ ขอ้ 4. 1 8 จาก g′(x) = x2f′(x) + 2xf(x) ดงั นนั้ ตอบ [22(0) + (2)(2)(3)] − [12(−3) + 2(1)(4)] = 7 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 531 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.47 (17) ความนา่ จะเป็น 0.30 ⎧ x , 0<x<1 }}(23) จาก n=0 แสดงวา่ 4 + a = 0.30 → a = 8 ⎪ 1 , 1< x <2 n=1 40 ⎪ x−1 , 2 < x < 3 ⎪⎪ 2 , 3<x<4 ⎛ 20 − 12 ⎞ ตอบ f(x) = ⎨ ⎜⎝ 10 ⎟⎠ ∴ Med = 69.5 + 5 = 73.50 ⎪ ..... }⎪ ⎪ ⎪⎩ (18) X = 6 แสดงวา่ Σx = 6 ⋅ 5 = 30 x −9 , 18 < x < 19 n=9 จาก Σ(x − 4)2 = 30 → Σx2 − 8Σx + 16 ⋅ 5 = 30 10 , 19 < x < 20 109 เขียนกราฟไดด้ ังน้ี 4321 ∴ Σx2 = 190 → s = 190 − 62 = 2 ตอบ 5 (19) ใช้สมบตั วิ า่ ถา้ y = mx + c แล้ว Y = mX + c ด้วย จากโจทย์ X = (1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3) = 2 O 2468 18 20 6 โจทยถ์ าม 20 = พน้ื ทใ่ี ตก้ ราฟ นน่ั เอง และ Y = (4 + 7 + 10 + 8 + 3 + 10) = 7 6 ∫ f(x) dx 0 ซึ่งพบวา่ สอดคลอ้ งกับขอ้ 1. (Y = 3.25X + 0.5) คดิ จาก 0 ถึง 2 ได้ 1 × 1 × 3 = 1.5 ตร.หนว่ ย 2 ตอบ ข้อ 1. [หมายเหตุ จะคาํ นวณจากวิธเี ต็มกไ็ ด้ จาก 2 ถงึ 4 ได้ 1.5 + 2 = 3.5 คอื Σy = mΣx + cN , Σxy = mΣx2 + cΣx ] ไปเรือ่ ยๆ ถงึ 20 ... นาํ มารวมกนั (20) นาํ A11 กับ A32 มาประกอบกัน 1.5 + 3.5 + 5.5 + … + 19.5 = 105 ตอบ ⎡ 1 a −1⎤ (24) แก้ระบบสมการ z22 = i และ z14 = i ⎢3 −1 −2⎥ ได้เปน็ A = ⎣⎢b 5 8 ⎥⎦ โดยนําสมการมาหารกนั ได้เปน็ z8 = 1 (ทห่ี ารกันได้เพราะทราบวา่ z ≠ 0 แนน่ อน) จากนน้ั ใชค้ วามรทู้ ่ีวา่ det หาโดยนําสมาชกิ A แนว นาํ z8 = 1 หารออกจาก z14 = i จะได้ z6 = i ใดแนวหนง่ึ คณู กบั สมาชิก C(A) แนวเดียวกนั นน้ั และนาํ z6 = i หารออกจาก z8 = 1 อีกคร้ัง ซ่ึง C(A) = (adj A)t = ⎡ 2 −28 17 ⎤ จะได้ z2 = 1 = −i = 1∠270° ⎢−5 10 −5⎥ i ⎢⎣ −1 −1 −1⎦⎥ z = 1∠135° หรอื 1∠315° นาํ แถวกลางคณู กัน ไดเ้ ปน็ ∴ ตอบ 2 คาํ ตอบ det(A) = 3(−5) + (−1)(10) + (−2)(−5) = −15 ตอบ [หมายเหตุ การหารซา้ํ ๆ เพอื่ ลดทอนกาํ ลังลง (นาํ [หมายเหตุ จะใชส้ มบัตทิ ว่ี ่า A ⋅ adj A = det(A) ⋅ I กําลงั มาลบกันเรอื่ ยๆ) กเ็ หมอื นวธิ หี า หรม. ของ 14 ก็ได้ โดยนาํ Aแถว2 และ adjหลกั 2 มาคูณกนั ] กับ 22 นนั่ เอง จึงไดก้ าํ ลงั สดุ ทา้ ยเป็น 2 แสดงวา่ ต้องมี 2 คาํ ตอบ] (21) det(A) = ad − bc (25) ลองแทนคา่ B V3 − V2 n = 1,2,3,… ลงไป วธิ ที งั้ หมด = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 แบบ เป็นไปได้ จะพบวา่ vn = 1 เสมอ V99 V3 V2 − V1 โจทยต์ อ้ งการ det(A) = 0 หรือ 1 V2 แต่ทิศทางเปลี่ยนไปดงั รปู A จะใช้วิธนี ับเอากไ็ ด้ แตถ่ ้าสังเกตวา่ det(A) (อยใู่ น Q1 และหมนุ ข้ึนๆ V1 จนเขา้ ใกลแ้ กน y มากๆ) แค่ 0, 1, -1 เทา่ นัน้ ก็จะคํานวณได้จาก โจทยถ์ ามผลรวมของขนาด 1 หน่วย วธิ ที งั้ หมดลบดว้ ยวธิ ที ่ี det เป็น -1 คอื (0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1), (0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1), (1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1) รวม 3 กรณี ตอบ 1 − 3 = 13 v2 − v1 + v3 − v2 + v4 − v3 + … + v100 − v99 16 16 จะเป็นเสน้ ตรงไตไ่ ปตามโค้ง และมีคา่ อยูร่ ะหว่าง (22) โจทยม์ ีคาํ วา่ “หรอื ” ควรคดิ แบบลบดว้ ยนิเสธ คอื วิธที ้งั หมด - (หลกั สิบนอ้ ยกว่า 7 และ หลัก ความยาวเสน้ ตรง AB กับโคง้ AB แนน่ อน ซึง่ AB = 12 + 12 ≈ 1.414, AB = π ≈ 1.57 หนว่ ยมากกวา่ 2) = 1 − 7 × 7 = 0.51 ตอบ 2 10 × 10 ∴ ตอบ ขอ้ 3. [หมายเหตุ โจทย์ลืมนิยาม v100 ครบั ] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 532 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 ¢ŒoÊoºe¢ÒŒ ÁËÒÇ·i ÂÒÅÂa ÁÕ.¤.48 (q) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอตั นัย ข้อ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ขอ้ 6 – 10 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. ผลบวกของคําตอบของสมการ 12x − 2(3x) − 9(4x) + 18 = 0 มีค่าเทา่ กบั เท่าใด 2. พจนท์ ีเ่ ปน็ ค่าคงตวั ทเ่ี กิดจากการกระจาย (tan x − 2 cot x)8 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด 3. ในคณะกรรมการนกั เรยี นจาํ นวน 10 คน จะมีวิธเี ลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ไดก้ ี่ วิธี ถ้ากรรมการคนหนงึ่ ไม่สมัครทจี่ ะเป็นประธาน 4. นายแดงนําเงนิ ไปฝากธนาคารออมสนิ โดยฝากเดือนแรก 100 บาท เดือนตอ่ ไปฝากเพม่ิ ขนึ้ เดอื น ละ 5 บาท ทกุ เดือน เมอื่ ครบ 2 ปี นายแดงนาํ เงินไปฝากท้ังหมดเท่าใด 5. กาํ หนดให้ u , v , w เปน็ เวกเตอร์ท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ u + 5v − 2w = 0 โดยที่ u = 3 i + 4 j และ u ต้งั ฉากกบั v ถ้า θ เป็นมมุ ระหวา่ ง u และ w แลว้ คา่ ของ |w| cos θ เท่ากบั เท่าใด 6. ข้อมลู ชดุ หนึ่งประกอบดว้ ย x1, x2, ..., x13 โดยที่ xn = 5 − n เมอ่ื n = 1, 2, ..., 13 จาํ นวนจริง a ทท่ี าํ ให้ 13 xn − a มีคา่ นอ้ ยทส่ี ดุ เท่ากบั เทา่ ใด ∑ n=1 7. กาํ หนดให้เส้นตรง x = y ตัดวงรี (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 ท่จี ดุ A และ B 94 ถ้า F1 และ F2 เป็นจดุ โฟกัสของวงรนี ้ี แลว้ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มีคา่ เท่ากบั เท่าใด 8. กําหนดให้พาราโบลารูปหน่ึงมีสมการเป็น y2− 4y − 16x − 12 = 0 ถ้า L เป็นเส้นตรงที่ผ่านโฟกสั ของพาราโบลารูปน้ี และต้งั ฉากกบั เส้นตรง 3x − 2y + 5 = 0 แล้ว ระยะตัดแกน y ของเส้นตรง L มีคา่ เท่ากับเท่าใด 9. ถ้า z1 = 4 (cos 145° + i sin 145°) และ z2 = 3 (cos 115° + i sin 115°) แลว้ ค่าของ z1− z2 2 เท่ากบั เทา่ ใด 10. ถ้า n เปน็ จํานวนเตม็ บวกท่ีมีสมบัติดังนี้ 100 < n < 1000 45 และ 75 หาร n ลงตวั 7 หาร n เหลอื เศษ 3 แลว้ n มีค่าเทา่ กบั เท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 533 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. สาํ หรบั เซต A และ B ใดๆ ข้อใดตอ่ ไปน้ี ผิด 1. ถ้า A ∩ B = ∅ แลว้ A ⊂ B' และ B ⊂ A' 2. A − (A ∩ B) = A − B 3. (A ∪ B) − A = B 4. ถ้า (A ∩ B) = A แล้ว A ⊂ B 2. ข้อใดตอ่ ไปนี้ ผิด 1. เส้นตรง y = 3x + 2 ขนานกบั เสน้ ตรง 3x − y − 4 = 0 2. เสน้ ตรง y + 5x + 8 = 0 ตั้งฉากกับเสน้ ตรง 5y = x + 3 3. ระยะหา่ งระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง 3x + 4y − 10 = 0 เทา่ กับ 2 4. ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง x − 2y + 5 = 0 กับเส้นตรง x − 2y − 5 = 0 เท่ากบั 2 3. เซตในข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ 9x3+ 12x2+ x − 2 = 0 1. {−2, 1 , 3} 2. {−1, −2 , 1} 32 32 3. {−1, 1 , 2} 4. {−1, −2 , 1} 33 33 4. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. ถา้ f และ g เปน็ ฟังกช์ นั ซ่ึง hl→im0+ f (x + h) − f (x) = hl→im0− f (x + h) − f (x) = g (x) h h แลว้ g(x) = f′(x) ข. ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชันซึง่ f (x) > 0 สาํ หรบั ทุกๆ จาํ นวนจรงิ x และ f′(a) ≠ 0 แลว้ ความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟงั ก์ชนั y = 1 ทจี่ ุด a คอื 1 f (x) f′(a) ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 5. ค่าของ ∫2 4 − x2 dx อยู่ในช่วงใดตอ่ ไปน้ี −2 1. (3.1, 3.2) 2. (3.2, 3.3) 3. (6.1, 6.2) 4. (6.2, 6.3) 6. ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ ถา้ [(p → ~ q) ∨ r] ∧ (q ∨ s) มีค่าความจรงิ เปน็ จริง และ (p ∧ s)→ r มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ แล้ว ประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปนม้ี ีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ 1. p → q 2. q → r 3. r → s 4. s → p Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 534 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.48 7. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. ถ้าเอกภพสมั พัทธค์ อื เซตของจํานวนเต็มแลว้ ข้อความ ∃m ∃n [5m + 7n = 1] มคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ ข. นเิ สธของขอ้ ความ ∀x ∃y [ (x2 − 2x > y − 2) ∧ (y > sin x) ] คอื ∃x ∀y [ (x2 − 2x < y − 2) ∨ (y < sin x) ] ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 8. ถ้า sin2 3A − cos2 3A =2 แล้ว cos 2A มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ sin2A cos 2A 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 4 22 3 9. ถา้ tan (arccos x) = − 3 แล้ว ค่าของ x sin (2 arccos x) เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. − 3 2. − 1 3. 1 4. 3 4 2 2 4 10. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ คอื { 2, − 2, 1+ 2 i, − 2+ i } ก. เซตคําตอบของ x4 − 2x3 + x2 + 4x − 6 = 0 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ ข. ⎛ 1 + 3 i ⎞6 + ⎛1− 3 i ⎞6 <2 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ข้อใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 11. ให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ log (log x) + log (9 − log x2) > 1 ถ้า a และ b เปน็ สมาชกิ ของ S ท่มี คี ่ามากท่ีสดุ และค่าน้อยทสี่ ุด ตามลาํ ดบั แล้ว ab มคี า่ เท่ากับข้อใด 1. 10 7/2 2. 109/2 3. 10 11/2 4. 10 13/2 12. กําหนดให้ ⎡1 −1 0 ⎤ , ⎡ 1 ⎤ , ⎡x⎤ และ I เปน็ เมตริกซเ์ อกลักษณ์ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ B = ⎢ 0 0 1 ⎥ C = ⎢ 2 ⎥ X = ⎢ y ⎥ ⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ ⎦ ถา้ A เป็นเมตรกิ ซ์มิติ 3 × 3 ซึ่งสอดคลอ้ งกับสมการ 2AB = I และ AX = C แลว้ คา่ ของ x + y + z เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 20 2. 24 3. 26 4. 30 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 535 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.48 13. กาํ หนดให้ ⎡ 4 12 −9 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ 7 −10 5 ⎥ ⎣ 1 0 0 ⎦ และ B, C, D เปน็ เมตริกซม์ ติ ิ 3 × 3 ซงึ่ A ~ B ~ C ~ D โดยท่ี B ไดจ้ าก A โดยการดาํ เนนิ การ R1 − 4 R2 3 C ไดจ้ าก B โดยการดาํ เนินการ 5 R1 D ได้จาก C โดยการดาํ เนินการ R23 แลว้ det (D) เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −3750 2. −150 3. 150 4. 3750 14. ถ้า an เปน็ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู 3. 1 4. 2 มี n พจน์ 3 3 1, 2, 2, 3, 3, 3, ..., n, n, n, ..., n แลว้ lim an เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี n→∞ n 1. 0 2. 1 2 15. กาํ หนดให้ f (x) = det ⎡1 1⎤⎥ เมื่อ x ≠1 ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ⎢ 1− x ⎢⎣ 1 1⎦⎥ 1. f เป็นฟงั กช์ ัน 1− 1 และ ⎡1 1⎥⎤ − 1 เม่ือ x ≠ 0, x ≠1 f−1(x) = det ⎢1− x ⎢⎣ 1 1⎦⎥ 2. เป็นฟงั กช์ นั และ f −1(x) ⎡1 1⎤ เมอ่ื ⎢ ⎥ f 1− 1 = det ⎣⎢ 1 1⎥⎦ x ≠ −1 1+ x 3. f ไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน 1− 1 เนอื่ งจากมคี ่า x ท่ีทาํ ให้ det ⎡1 1⎥⎤ =0 ⎢ 1− x ⎣⎢ 1 1⎦⎥ 4. f ไม่เป็นฟงั ก์ชัน 1− 1 และ (f ⎡1 1⎥⎤ 2 เมอื่ x≠1 f)(x) = det ⎢1−x ⎢⎣ 1 1⎦⎥ 16. กําหนดให้ f (x) = ⎧1 ,x < 0 พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ⎨ ,x > 0 ⎩ 0 ข. xl→im0+ (f f)(x) = 1 ก. xl→im0− (f f)(x) = 0 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 17. ถ้าความชนั ของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง y = f (x) ที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น 2x − 4 และ f มีคา่ ต่ําสดุ สัมพทั ธเ์ ท่ากับ 10 หนว่ ยแลว้ พืน้ ทีป่ ิดล้อมด้วยกราฟของ y = f (x) กับแกน x จาก x = 0 ถึง x = 3 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 33 2. 36 3. 39 4. 42 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 536 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 18. ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถ้า f เปน็ ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B โดยท่ี f (1) = 2 หรอื f (2) = m เมอื่ m เป็นจาํ นวนค่ี แล้ว จํานวนของฟังกช์ นั f ท่มี สี มบัติดังกล่าว เท่ากบั ขอ้ ใด 1. 75 2. 150 3. 425 4. 500 19. กล่องใบหนึง่ มลี ูกบอลสีดาํ 4 ลูก และสแี ดง 6 ลูก ถา้ ส่มุ หยบิ ลกู บอลจากกลอ่ งใบนีม้ า 3 ลกู ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ลูกบอลสลี ะอย่างน้อยหนง่ึ ลูก เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.84 20. ในการสุ่มหยิบเลข 3 หลกั ทีม่ ากกว่าหรือเท่ากับ 100 มาหนง่ึ จํานวน ความนา่ จะเปน็ ทเี่ ลข จาํ นวนน้ันมีเลข 8 อยา่ งน้อย 1 หลัก และไมม่ ีเลข 9 ในหลกั ใดๆ จะเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 1 3. 2 4. 2 8 98 9 21. กาํ หนดสมการจดุ ประสงค์ z = a x + b y โดยที่ a > 0 , b > 0 และมอี สมการข้อจาํ กัดคอื x − 2y < 0 , x + y > 3 , 2x + y > 4 , x > 0 , y > 0 เมอ่ื z = 0 จะไดเ้ สน้ ตรง a x + b y = 0 มคี วามชนั เทา่ กบั −3/2 ถา้ z มีคา่ นอ้ ยทสี่ ุดท่จี ดุ (x0, y0) แลว้ คา่ ของ x0− y0 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −4 2. −1 3. 1 4. 3 22. กาํ หนดพน้ื ที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = 1 เทา่ กับ 0.3413 ถ้าคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรยี นกลมุ่ หน่ึงซ่งึ มีจํานวน 20,000 คน มกี ารแจกแจงปกติ แล้ว จาํ นวนนกั เรียนทสี่ อบได้คะแนนซงึ่ ตา่ งจากคะแนนเฉลยี่ มากกวา่ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 3,413 2. 6,348 3. 6,826 4. 13,652 23. กาํ หนดฮิสโทแกรมของคะแนน ความถี่สมั พัทธ์ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียน 0.375 80 คน ดงั น้ี 0.350 0.075 0.050 0.025 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ ูก O 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 คะแนน 1. นักเรยี นท่ีสอบได้คะแนนระหวา่ ง 50 − 79 มจี าํ นวนมากกวา่ นักเรียนที่สอบได้ คะแนน 90 คะแนนข้ึนไป เท่ากบั 50 คน 2. นักเรียนทีส่ อบได้คะแนน 90 คะแนนขึ้นไป มีรอ้ ยละ 10 ของนกั เรยี นทัง้ หมด 3. ควอร์ไทลท์ ่หี น่ึงของคะแนนสอบมีคา่ อย่รู ะหวา่ ง 60 − 69 คะแนน 4. ควอร์ไทลท์ ่ีสามของคะแนนสอบมคี ่าอยู่ระหวา่ ง 80 − 89 คะแนน Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 537 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.48 24. กําหนดให้วงกลม x2+ y2 + 2ax + 2by + c = 0 ตัดแกน y ที่จุด 2 จุด แต่ไมต่ ัดแกน x ข้อความในข้อใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นจริง 1. a2 > c และ b2 > c 2. a2 > c และ b2 < c 3. a2 < c และ b2 > c 4. a2 < c และ b2 < c 25. ถา้ S เปน็ เซตของจาํ นวนเต็ม m ทมี่ ีสมบตั ิดงั นี้ 50 < m < 100 และ 7 หาร m3 เหลอื เศษ 6 แลว้ จํานวนสมาชกิ ของ S เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 7 2. 14 3. 18 4. 21 เฉลยคาํ ตอบ ตอนที่ 1 (1) 2.5 (2) 1120 (3) 648 (4) 3780 (5) 2.5 (6) 3 (7) 12 (8) 4 (9) 7 (10) 675 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 4 (3) 4 (4) 2 (5) 4 (6) 1 (7) 1 (8) 1 (9) 4 (10) 3 (11) 2 (12) 1 (13) 3 (14) 4 (15) 2 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19) 2 (20) 4 (21) 2 (22) 2 (23) 3 (24) 3 (25) 4 เฉลยวธิ คี ิด ตอนท่ี 1 (5) u + 5v − 2w = 0 → u + 5v = 2w (1) มอง 3x = A, 4x = B นํา u ดอททงั้ สองขา้ ง; จะได้ AB − 2A − 9B + 18 = 0 ได้เป็น u ⋅ u + 5u ⋅ v = 2u ⋅ w = 2 u w cos θ → A(B − 2) − 9(B − 2) = 0 ซึ่ง u ⋅ u = u 2 = 32 + 42 = 25 → (A − 9)(B − 2) = 0 และ u ⋅ v = 0 เนอ่ื งจาก u ⊥ v ∴ จะได้ 25 + 0 = 2(5) w cos θ → 3x = 9 หรอื 4x = 2 → x = 2 หรอื 1 ∴ ตอบ 2.5 → w cos θ = 2.5 ตอบ 2 (6) ข้อมลู x1, x2, x3, … , x13 ( )(2) พจน์ทวั่ ไปคอื 8 (tan x)8 − r(−2)r(cot x)r คือ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, … , 8 r Σ xn − a น้อยสดุ แสดงวา่ a = Med “พจน์ทีเ่ ปน็ ค่าคงตวั ” หมายถงึ ไมต่ ิดตวั แปร x เรียงเลขกอ่ น; 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 , 4, 4, 5, 6, 7, 8 (แสดงวา่ tan x กบั cot x คณู กนั แล้วหมดไปพอดี) ∴8−r = r → r = 4 ∴ Med = 3 ตอบ (7) จะได้คา่ ของพจนน์ น้ั = ⎜⎛⎝ 8 ⎠⎟⎞ (tan x)4(−2)4(cot x)4 B 4 = ⎝⎛⎜ 8 ⎞⎠⎟ (−2)4 = 1,120 ตอบ F1 F2 4 (3) ประธาน 9 × รอง 9 × เลขา 8 A = 648 วธิ ี ตอบ จากนยิ ามวงรี AF1 + AF2 = 2a (4) 100 + 105 + 110 + … + พจนท์ ี่ 24 และ BF1 + BF2 = 2a ∴ ตอบ 2(3) + 2(3) = 12 = 24 (100 + (100 + 23 × 5)) = 3,780 ตอบ 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 538 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 (8) y2 − 4y + 4 = 16x + 12 + 4 (4) ก. ถูก ตามนยิ าม → (y − 2)2 = 4(4)(x + 1) เป็นพาราโบลาเปิดขวา (1) ลมิ ิต h → 0 จะมีได้ก็เมือ่ ลมิ ติ h → 0+ กับ h → 0− ตอ้ งเทา่ กัน จุดยอด (−1, 2) ∴ จุดโฟกัส (3, 2) เส้นตรงในโจทยม์ ีความชนั = 3 / 2 (2) lim f(x + h) − f(x) = f′(x) h→0 h ดงั นน้ั เสน้ ตรงที่ตอ้ งการ (L) มคี วามชัน −2 / 3 ข. ผิด จาก 1 จะได้ y′ 1 ⋅ f′(x) → y − 2 = − 2 (x − 3) → y = − 2 x + 4 y = f(x) = − f(x)2 33 จึงตอ้ งตอบวา่ ความชนั = − f′(a) ∴ ระยะตดั แกน y คือ 4 ตอบ f(a)2 (9) z1 − z2 2 = z1 2 − 2 z1 z2 cos θ + z2 2 ตอบ ขอ้ 2. 2 เม่ือ θ = มมุ ระหว่าง z1, z2 (5) y = 4 − x2 ∴ z1 − z2 2 = 42 − 2(4)( 3) cos 30° + 32 มีกราฟเปน็ รูปครง่ึ วงกลม = 16 − 12 + 3 = 7 ตอบ รัศมี 2 หน่วย ดงั น้ี -2 O 2 (10) เน่ืองจาก 45 และ 75 หาร n ลงตวั 2 4 − x2 dx = พื้นทคี่ รง่ึ วงกลม หา ค.ร.น. ของ 45, 75 ได้เปน็ 225 ∴∫ −2 แสดงวา่ n อาจเปน็ 225, 225 × 2, 225 × 3, = 1 π (2)2 = 2π ≈ 6.28 ตอบ ขอ้ 4. 2 หรอื 225 × 4 กไ็ ด้ (6) จาก (p ∧ s) → r ≡ F แสดงว่า p, s จริง, r เท็จ (คอื เปน็ 225, 450, 675, หรอื 900) และจาก (p → ~ q) ∨ r ≡ T แสดงวา่ q เทจ็ แต่ 7 หาร n แลว้ ตอ้ งเหลือเศษ 3 ∴ ตอบ ขอ้ 1. p → q ≡ F จึงพบวา่ n ตอ้ งเปน็ 675 ตอบ ตอนที่ 2 (7) ก. ถูก จากสมบตั ิทว่ี ่า เราสามารถเขยี น ห.ร.ม. ของ 5 กบั 7 (คอื 1) ในรปู ผลรวมเชิงเสน้ ของ 5 (1) ขอ้ 1, 2, 4 ถูกตอ้ งแลว้ (สามารถตรวจสอบได้ กับ 7 ไดห้ นึง่ แบบเสมอ (ในข้อนี้ m=10 และ n=-7) ข. ถูก เพราะ ~ ∀x∃y [P ∧ Q] ≡ ∃x∀y [~ P ∨ ~ Q] จากแผนภาพ) สว่ นข้อ 3. ผิด เพราะ “(A ∪ B) − A = B ” กเ็ มื่อ ตอบ ข้อ 1. “A กบั B ไมซ่ ้อนทบั กนั ” A B (8) sin2 3A cos2 A − cos2 3A sin2 A = 2 เทา่ นนั้ (คือ A ∩ B = ∅ ) sin2 A cos2 A แตถ่ ้า A กบั B มสี ว่ น → (s3A cA − c3A sA)(s3A cA + c3A sA)) = 2 (sin A cos A)2 ทซี่ อ้ นทับกนั จะได้ (A ∪ B) − A = B − A AB → (sin 2A)(sin 4A) = 2 (เติม 2 กบั 4 เอง) (2 sin A cos A)2 4 ตอบ ขอ้ 3. (2) 1. m1 = 3 , m2 = 3 → (sin2A)(2 sin2A cos 2A) = 2 2. m1 = −5 , m2 = 1 / 5 (sin 2A)2 4 3. d = 3(0) + 4(0) − 10 = 10 = 2 ดงั นนั้ cos 2A = 1/4 ตอบ 32 + 42 5 (9) tan(arccos x) = − 3 แสดงวา่ arccos x = 2π และจะได้ x = − 1 4. d = 5 − (−5) = 10 = 2 5 ตอบ ขอ้ 4. 12 + 22 5 32 (3) หารสงั เคราะห์ − 1 9 12 1 − 2 ∴ x sin(2 arccos x) = − 1 sin 4π −9 −3 2 23 9 3 −2 = (− 1)(− 3) = 3 ตอบ 22 4 (10) ก. ผดิ ถ้าสมั ประสทิ ธเ์ิ ปน็ จาํ นวนจริงทุกตัว ∴ จากโจทย์แยกได้ (x + 1)(9x2 + 3x − 2) = 0 คําตอบทเ่ี ป็นเชงิ ซอ้ นจะต้องเปน็ สงั ยุคของกนั คาํ ตอบทเี่ หลือ คอื x = −3 ± 9 + 72 18 ข. ถกู จากสมบตั ิว่า + Δ < + Δ เสมอ = −3 ± 9 = 1 , − 2 (ใช้วธิ ีแยกตัวประกอบก็ได)้ ∴ ⎛ 1+ 3 i ⎞6 + ⎛ 1− 3 i ⎞6 < 16 + 16 ⇒ 2 18 3 3 ⎜⎝⎜ 2 ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎠⎟ ∴ ตอบ ⎩⎧⎨−1, 1 , − 2 ⎭⎬⎫ ตอบ ขอ้ 3. 3 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 539 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.48 (11) log (log x ⋅ (9 − log x2)) > 1 (16) ก. f(f(0−)) = f(1) = 0 ถูก ข. f(f(0+)) = f(0) = 1 ถูก ตอบ ขอ้ 1. → log x ⋅ (9 − log x2) > 10 (17) f′(x) = 2x − 4 → f(x) = x2 − 4x + C ให้ log x = A จะได้ จากคา่ ต่ําสุดสัมพทั ธ์ = 10 เกิดที่ 2x − 4 = 0 → x = 2 ∴ f(2) = 10 , ไดค้ ่า C = 14 A (9 − 2A) > 10 → 2A2 − 9A + 10 < 0 → (2A − 5)(A − 2) < 0 → 2 < A < 5/2 ∴ 2 < log x < 5/2 → 102 < x < 105/2 ตอ่ มาหาพ้นื ท่ีปดิ ล้อม ตอ้ งคาํ นึงถงึ จุดตัดแกน x ก่อน → f(x) = x2 − 4x + 14 = 0 ไมม่ ีคาํ ตอบ ตอบ ab = 109/2 (12) เนอื่ งจาก 2AB = I → 2B = A−1 แสดงวา่ กราฟไมต่ ดั แกน x จึงอนิ ทิเกรตรวดเดยี วได้ ดงั นนั้ จาก AX = C → X = A−1C = 2BC → 3 = ⎛ x3 − 2x2 + ⎞ 3 ⎜ 14x ⎟ 0 ⎡ 1 −1 0⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2 ⎤ ∫ f(x) dx ⎝ 3 ∴ X = 2 ⎢0 1 2⎥ ⎢0⎥ = ⎢ 8 ⎥ ⎠ 0 ⎢⎣3 0 1⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣10⎦⎥ = 9 − 18 + 42 = 33 ตอบ ตอบ 2 + 8 + 10 = 20 (18) มีคาํ วา่ “หรือ” จึงคิดแบบทงั้ หมดลบดว้ ยนเิ สธ (13) จาก A = −90 + 60 = −30 = ทง้ั หมด (A → B) ลบดว้ ย “ f(1) ≠ 2 และ row-operation “ A → B ” det ไมเ่ ปลีย่ น f(2) ≠ จํานวนค”ี่ “B → C ” det คูณ 5 กลายเป็น -150 = 5 × 5 × 5 × 5 − 4 × 2 × 5 × 5 = 425 ตอบ “ C → D ” สลับแถวกนั det กลับเคร่อื งหมาย ± (19) มีคาํ วา่ “อย่างน้อย” จงึ คดิ แบบนิเสธ เช่นเดยี วกบั ขอ้ 18 กลายเปน็ 150 ตอบ = ความนา่ จะเปน็ รวม (1) ลบด้วย ความนา่ จะเปน็ ที่ สเี ดียวลว้ นๆ (14) 1, 2, 2, 3, 3, 3, … , n, n, n, … , n 1 พจน์ 2 พจน์ 3 พจน์ n พจน์ ⎝⎜⎛ 4 ⎠⎞⎟ + ⎛⎝⎜63⎠⎟⎞ 3 an = คา่ เฉลยี่ เลขคณติ = ผลรวมขอ้ มูล = 1 − = 1 − 4 + 20 = 0.8 ตอบ จํานวนข้อมลู ⎝⎛⎜ 130⎟⎞⎠ 120 = (1)+(2 + 2)+(3 + 3 + 3)+ … +(n + n+ n + … + n) (20) มีคําวา่ “อยา่ งนอ้ ย” เช่นเดยี วกับข้อ 18, 19 1+2+ 3+…+n → ในขอ้ นี้เราจะไมม่ องเลข 9 จะไดว้ ่า = 1 + 4 + 9 + ... + n2 1 + 2 + 3 + ... + n = วธิ ที ั้งหมด - วิธีท่ีไม่มเี ลข 8 เลย ⎡n(n + 1)(2n + 1)⎤ = 8 × 9 × 9 − 7 × 8 × 8 = 200 จํานวน (จากสตู รซิกมา่ ) = ⎢⎣ ⎥⎦ = 2n + 1 6 3 (1-8) (0-8) (0-8) (1-7) (0-7) (0-7) ⎡n(n + 1)⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ∴ ตอบ 200 = 2 900 9 (21) ตอบ∴ lim an=lim ⎜⎛⎝ 2n + 1⎠⎟⎞ =2 n→∞ n 3n 3 มีจุดยอดมุม n→∞ 3 จุดดังภาพ A (15) f(x) = 1 − 1 = 1 − (1 − x) = x m=0.5 1− x 1− x 1− x ตรวจสอบวา่ เป็น f : 1 − 1 หรือไม่ BC โดยหาอนิ เวอรส์ ดวู ่าเปน็ ฟังกช์ นั หรอื เปลา่ O m=-2 m=-1 จาก y = x แลก x กบั y เป็น x = y 1− x 1− y สมการจดุ ประสงค์ z → x − xy = y → x = y + xy มคี วามชนั −1.5 A → x =y 1+ x แสดงว่าจุด B เปน็ จดุ B ท่เี กิด zmin C พบว่าอินเวอรส์ เปน็ ฟงั กช์ ัน แสดงวา่ เปน็ 1 − 1 และจงึ รูว้ ่า f−1(x) = x ซง่ึ ตรงกบั ข้อ 2. ตอบ O m=-1.5 1+ x แกร้ ะบบสมการ x + y = 3 และ 2x + y = 4 (หมายเหตุ ขอ้ 1. f−1(x) = ⎛ x ⎞−1 1− x ผดิ , ⎜⎝ 1 − x ⎟⎠ = x ได้จดุ ตัดเปน็ x = 1, y = 2 ขอ้ 2. f−1(x) = 1 − 1 = x ถกู ) ตอบ 1 − 2 = −1 1+ x 1+ x Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 540 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.48 (22) คะแนนซึง่ หา่ งจาก X อยเู่ ทา่ กับ s (24) หาจดุ ตดั แกน x (ให้ y = 0 ) จะได้ คอื คา่ z = ±1 ดงั รปู AA x2 + 2ax + c = 0 → x = −2a ± 4a2 − 4c (เพราะ x = X ± s 2 ทาํ ให้ z = ±1 จาก โจทยว์ า่ ไม่มีจดุ ตดั แกน x เลย สมการ z = x − X ) -1 0 1 z แสดงวา่ ในรทู้ ตดิ ลบ นนั่ คือ 4a2 < 4c s โจทย์ตอ้ งการจาํ นวนคนในบริเวณที่แรเงา → a2 < c เน่อื งจากพนื้ ท่ี A = 0.3413 ต่อมาหาจดุ ตดั แกน y (ให้ x = 0 ) จะได้ ดังนนั้ ส่วนทีแ่ รเงา = 1 − 0.6826 = 0.3174 y2 + 2by + c = 0 → y = −2b ± 4b2 − 4c 2 คิดเปน็ จาํ นวนคน = 0.3174 × 20,000 โจทย์วา่ มี 2 จดุ แสดงวา่ ถอดรูท้ ได้สองคา่ ตามปกติ = 6,348 คน ตอบ นน่ั คอื 4b2 > 4c → b2 > c ตอบ ขอ้ 3. (หมายเหตุ ถา้ โจทย์บอกว่า “สมั ผัส” คือตัด 1 จดุ (23) เขียนเปน็ ตารางได้ดังนี้ คะแนน f สัมพทั ธ์ CF สัมพัทธ์ จะแปลวา่ ในรู้ทเป็น 0 พอดี คอื 4b2 = 4c ) 30 – 39 0.025 0.025 (25) ให้ m = 49 + a เมอ่ื a = 1, 2, 3, … , 51 40 – 49 0.050 0.075 เราพบวา่ (49 + a)3 = 493 + 3(49)2a + 3(49)a2 + a3 50 – 59 0.075 0.150 นั้นสามพจน์แรกหาร 7 ลงตัว (เพราะมี 49 คณู อยู่) 60 – 69 0.350 0.500 70 – 79 0.375 0.875 แสดงว่า เศษเกดิ จากพจนส์ ุดทา้ ย (a3) เท่านนั้ 80 – 89 0.075 0.950 90 – 99 0.050 1.000 ดงั นน้ั ขอ้ นี้เราสามารถนับจาํ นวนไดจ้ าก 13, 23, 33, 43, … , 513 (ลดทอนตวั เลขลง) ขอ้ 1. 50 − 79 มี (0.075 + 0.35 + 0.375) × 80 ซ่งึ เรมิ่ ไลจ่ าก 13 ÷ 7 ได้เศษ 1 23 ÷ 7 ไดเ้ ศษ 1 33 ÷ 7 ไดเ้ ศษ 6 = 64 คน และ 90 ขน้ึ ไป มี 0.05 × 80 = 4 คน 43 ÷ 7 ไดเ้ ศษ 1 53 ÷ 7 ได้เศษ 6 ดงั นน้ั ขอ้ นี้ผดิ 63 ÷ 7 ไดเ้ ศษ 6 และ 73 ÷ 7 ลงตวั (เศษ 0) ขอ้ 2. 0.05 คือร้อยละ 5 ดงั นน้ั ขอ้ น้ผี ดิ สําหรับ 83, 93, … , 513 นน้ั สามารถลดทอนลงได้ ขอ้ 3. ความถี่สะสมท่ี 0.250 ด้วยเหตุเดิมคอื 83 = (7 + 1)3 จงึ ได้เศษเหมือน 13 อยใู่ นชว่ ง 60 − 69 ถกู ... 93 = (7 + 2)3 จงึ ไดเ้ ศษเหมอื น 23 ... ฯลฯ ขอ้ 4. ความถส่ี ะสมท่ี 0.750 อยูใ่ นชว่ ง 70 − 79 ดงั นน้ั ขอ้ น้ผี ดิ วนไปจนถงึ 513 = (49 + 2)3 ตอบ ขอ้ 3. จะพบวา่ ได้เศษเปน็ 6 อยูช่ ดุ ละ 3 ตัว รวม 7 ชุด ตอบ 21 จาํ นวน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 541 สถิติคะแนนสอบฯ ʶiµi¤aæ¹¹Êoº ¤³iµÈÒʵÏ 1 ที่มา : http://www.entrance.mis.mua.go.th และ http://www.entrance.co.th/newentinfo/stat/stat.asp สถติ ทิ ใ่ี ห้มาในตารางนี้ สาํ หรบั ผทู้ ตี่ ้องการประเมนิ ตนเองกอ่ นถึงการสอบจรงิ โดยทดลองทาํ ขอ้ สอบฉบับเกา่ ๆ คะแนน 0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 รวม (ต่าํ สุด) (เฉล่ีย) (สูงสดุ ) (SD) ต.ค.41 4,495 40,972 61,452 25,434 6,044 1,867 621 243 74 30 141,232 (0.00) (25.28) (100.00) (9.74) มี.ค.42 1,141 21,383 52,528 31,526 8,711 2,684 1,015 368 105 15 119,476 (3.00) (28.77) (100.00) (10.20) ต.ค.42 5,884 46,996 65,383 25,631 5,766 1,611 582 211 62 13 152,139 (0.00) (24.58) (97.00) (9.51) มี.ค.43 2,464 25,754 50,432 29,863 10,149 3,720 1,481 628 181 46 124,718 (0.00) (28.73) (100.00) (11.49) ต.ค.43 6,958 53,464 71,551 22,916 6,543 2,445 1,138 570 255 57 165,897 (2.00) (24.46) (98.00) (10.64) ม.ี ค.44 1,866 24,474 53,865 25,366 9,860 4,107 2,045 1,010 541 177 123,311 (3.00) (29.23) (100.00) (12.64) ต.ค.44 5,341 47,058 77,649 21,070 6,007 2,271 1,011 412 128 43 160,990 (2.00) (24.66) (100.00) (10.01) ม.ี ค.45 3,733 34,141 58,352 18,501 6,493 2,472 858 203 50 1 124,804 (3.00) (25.48) (92.00) (10.31) ต.ค.45 3,805 43,527 85,139 25,799 5,564 1,370 384 96 14 3 165,701 (2.00) (24.91) (95.00) (8.61) ม.ี ค.46 2,589 32,096 59,202 22,551 6,324 2,199 836 310 70 13 126,190 (0.00) (26.20) (97.00) (10.05) ต.ค.46 1,508 31,938 86,787 34,843 8,895 2,443 858 287 79 9 167,647 (3.00) (27.26) (97.00) (9.23) มี.ค.47 3,636 34,317 61,414 16,976 4,458 1,416 492 139 36 5 122,889 (0.00) (24.61) (94.00) (9.26) ต.ค.47 930 49,375 74,967 31,154 4,606 917 364 120 16 7 162,456 (5.00) (25.48) (97.00) (7.87) มี.ค.48 3,758 33,629 51,122 20,145 6,317 2,264 970 323 87 24 118,639 (0.00) (25.76) (100.00) (10.70) ขอ้ สังเกต คะแนนตาํ่ สดุ นา่ จะเป็น 0 คะแนนทกุ ครั้ง (น่าจะมผี ้ไู ม่เขา้ สอบอยา่ งน้อย 1 คน) สว่ น ครง้ั ทเี่ ป็น 2, 3, หรอื 5 คะแนน เปน็ เพราะมีขอ้ ท่ีโจทย์ผดิ และไดค้ ะแนนฟรีทกุ คน ... คะแนนสงู สดุ ฉบบั แรกๆ มีผ้ไู ดถ้ งึ 100 คะแนนเตม็ แตใ่ นชว่ งหลงั นี้ไมม่ เี ลย และจาํ นวนผทู้ ี่ไดเ้ กนิ 80 คะแนนขน้ึ ไปกล็ ดลง มาก (เพราะมีบางบทเรยี นซึ่งขอ้ สอบยากจนไม่นา่ มใี ครคดิ ไดท้ ัน) สังเกตใหด้ ี ปี 2545 คะแนนออกมาตาํ่ ทีส่ ดุ (แมจ้ ะไดบ้ วกคะแนนฟรีกต็ าม) ... มองภาพรวมของสถติ ิและตวั ขอ้ สอบ ตลอดปี 2546 ขอ้ สอบงา่ ยลง กว่า 2545 และมาถงึ ม.ี ค.47 กย็ ากขน้ึ อกี เลก็ นอ้ ย ส่วน ต.ค.47 และ มี.ค.48 ขอ้ สอบเปลี่ยนแนวไปทาํ ให้ หลายคนวา่ ยากขน้ึ มาก ส่วนตัวผมว่าเปน็ ขอ้ สอบทดี่ เี พราะเริ่มเนน้ ความเขา้ ใจในเนอื้ หา แต่อาจารยก์ วดวชิ า คงลาํ บาก เพราะนักเรยี นทจ่ี ะทาํ ข้อสอบแบบน้ไี ดถ้ กู ตอ้ งร้ลู กึ และแม่นจรงิ ครบั การขยนั เรยี นที่โรงเรียนมา ตลอดน่าจะได้ผลมากกวา่ กวดวิชา ขอ้ สงั เกตนเี้ ปน็ เพียง “ความเหน็ ส่วนตัว” ซ่งึ วิเคราะหจ์ ากสถติ แิ ละโจทยข์ อ้ สอบเกา่ เทา่ นน้ั อาจจะ วิเคราะหผ์ ดิ กไ็ ด้ ไม่ควรยดึ ถอื วา่ ตอ้ งเป็นไปตามนจี้ รงิ ... ขยนั ฝกึ ทาํ โจทย์และทดลองจับเวลา จนกว่าจะได้ คะแนนอยตู่ ัวในระดับท่ีหวงั ไว้ ดที ส่ี ดุ ครบั ... ฝากท้งิ ทา้ ยวา่ “อย่าเอาสถิตมิ าบนั่ ทอนกาํ ลังใจตัวเอง แต่เอาไว้ เป็นเปา้ หมายถงึ จะดี :]” Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 542 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) ¢ŒoÊoºe¢ÒŒ Ï ¾×é¹°Ò¹ÇiÈÇa ’32-’41 e©¾Òa¢Œo·Õèe»š¹¤³µi ÈÒʵÏ ขอ้ สอบทกุ ขอ้ เป็นแบบปรนัย ข้อละ 2 คะแนน ปี 2532 y ข 1. จงหาพ้ืนทขี่ องระนาบ กขค บนแกน xyz ดังแสดงในรปู 4 กาํ หนดให้ระยะ กค = 10 เมตร ระยะ งข = 4 เมตร และระยะ กx ง งจ = 3 เมตร ขจ ตั้งไดฉ้ ากกบั ฐาน กค 3 1. 15 ตร.ม. 2. 20 ตร.ม. ค 3. 25 ตร.ม. 4. 50 ตร.ม. จ10 z 2. ขึงลวดสลงิ เปน็ รูปพาราโบลา โดยมีชว่ งยาวระหว่างปลายทัง้ สองขา้ ง กข = 4.0 เมตร y ค ข x ลวดสลงิ ตกท้องชา้ งทกี่ ลางช่วงจุด ค 1.0 เมตร ก 2.0 1.0 จงหาสมการความสัมพนั ธ์ของรปู ลวดสลิง 2.0 4.0 1. y = x 2. y = x2 − 3 3. y = (x + x2) / 2 4. y = x − x2/4 y 3. y เปน็ ฟังก์ชันของ x ซ่งึ มกี ราฟแสดงความสัมพนั ธ์ 4 (1,4) ไดด้ งั รปู ต้องการทราบวา่ คา่ อนุพันธ์ dy/dx มีค่าเทา่ ไร 1. −4 2. −2 0 123 x 3. 2 4. 4 -4 (3,-4) 4. สมการการสลายตัวของธาตุกมั มนั ตรงั สี N = N0e−λt สามารถเขียนใหอ้ ย่ใู นรปู ลอการทิ ึมฐาน e ได้เปน็ ln N = −λt + ln N0 ให้หาว่ากราฟรปู ใดแสดงความสัมพนั ธข์ องการสลายตัวนี้ 1. ln N 2. ln N 3. ln N 4. ln N tttt 5. พาราโบลาที่มเี ส้นตรง y = −2 เป็นไดเรกตริกซ์ และจดุ (0, 0) เป็นโฟกัส จะผา่ นจดุ ใด 1. (0, 0) 2. (0, −1) 3. (0, 1) 4. (0, −2) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 543 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 6. จงหาโคออร์ดเิ นตของจดุ ตัดระหวา่ งกราฟเส้นตรง y = 1 x + 3 กับ y = 2x + 1 2 1. (2, 4) 2. (3 , 4) 3. (4 , 11) 4. (5 , 11) 2 33 44 7. กลุ่มตัวเลขต่อไปนี้ กล่มุ ใดมีท้งั พิสัยตาํ่ สดุ และฐานนยิ มสูงสุด กลมุ่ ที่ 1 1, 5, 7, 6, 5 กลุม่ ที่ 2 2, 3, 6, 6, 4 กลมุ่ ท่ี 3 2, 7, 4, 7, 3 กล่มุ ท่ี 4 3, 6, 7, 7, 4 1. กลมุ่ ที่ 1 2. กลุม่ ท่ี 2 3. กลุ่มที่ 3 4. กลมุ่ ท่ี 4 8. เส้นโค้งสองเสน้ ตอ่ ไปน้ี มีความชันเทา่ กันเม่ือ x มีคา่ เทา่ ใด 4. 3 y = 3x2 − 3x + 1 และ y = x 3 + 1 1. 0 2. 1 3. 2 9. มเี สน้ ค่ขู นานสองเสน้ คือ x − y + 5 = 0 และ x − y − 5 = 0 ระยะห่างระหวา่ งเสน้ คู่ขนานสองเส้นนจ้ี ะเป็นเท่าใด 1. 10 2 2. 10/ 2 3. 2/10 4. 10/2 10. ความสัมพันธ์ระหวา่ งตน้ ทนุ การผลติ เคร่ืองจักรตอ่ เครือ่ ง กบั จาํ นวนการผลติ เป็นดงั น้ี จาํ นวนการผลติ x (เครอ่ื ง) 1234 ตน้ ทนุ ตอ่ เคร่ือง y (หนว่ ย 100 บาท) 65 35 25 20 ถ้านําข้อมูลไปหาความสมั พันธ์เชิงฟงั กช์ นั จะได้ความสัมพันธ์แบบใด 1. y = ax2 2. y = ax + b 3. y = a 4. y = a + b x2 x 11. สมการ 1 = B x + A เขียนเปน็ กราฟได้ดังรปู จงหาค่า B 1/y yA 1. B = tan θ 2. B = tan θ R RO 3. B = RO tan θ 4. B = PO RO P θO x ปี 2533 12. คนงาน 4 คน ได้รับมอบหมายใหท้ าํ ชนิ้ งานท่เี หมอื นๆ กัน นาย ก ทาํ 4 ชน้ิ ใชเ้ วลาทาํ 32 นาที นาย ข ทํา 6 ช้ิน ใชเ้ วลาทํา 24 นาที นาย ค ทาํ 4 ช้นิ ใช้เวลาทํา 24 นาที นาย ง ทาํ 7 ชนิ้ ใช้เวลาทาํ 28 นาที หากใหค้ นงานทงั้ 4 คนนี้ทาํ งานรว่ มกนั เปน็ ทีมในเวลา 5 ช่ัวโมง จะได้ช้ินงานรวมกชี่ ิน้ 1. 233 ชิน้ 2. 237 ชน้ิ 3. 250 ชน้ิ 4. 300 ชิน้ 13. ในการสรา้ งอาคารสงู หลงั หนงึ่ เสียคา่ ใช้จา่ ยคงท่เี ปน็ 450 เท่าของค่ากอ่ สรา้ งอาคารช้ันแรก โดยค่ากอ่ สร้างชั้นต่อๆ ไปมีค่าเป็น 2, 3, 4, ... เท่าของช้ันแรก ตามลําดับ จะต้องสรา้ งอาคารนสี้ งู ก่ี ช้ันจงึ จะเสียคา่ ใชจ้ ่ายเฉลย่ี ตอ่ ชน้ั นอ้ ยทส่ี ุด 1. 30 ชน้ั 2. 34 ชัน้ 3. 39 ชัน้ 4. 42 ช้ัน 14. ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหล่ียม, สเี่ หลย่ี ม และห้าเหลี่ยม มคี ่าเทา่ กบั 180°, 360° และ 540° ตามลําดับ จงหาว่าผลรวมของมมุ ภายในของรูปยส่ี ิบเหลีย่ มมีค่าเทา่ ไร 1. 2160° 2. 2700° 3. 3240° 4. 3780° Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 544 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 15. นกั ศกึ ษา 110 คน แต่ละคนตอ้ งเลอื กเรยี นวิชาฟิสิกส์ คณติ ศาสตร์ และภาษาองั กฤษ อยา่ งนอ้ ย หน่งึ วชิ า นกั ศกึ ษาเลอื กเรียนวิชาฟสิ ิกส์ คณิตศาสตร์ และภาษาอังกฤษ เปน็ จํานวน 80, 60 และ 40 คน ตามลําดับ ในจํานวนดังกลา่ วนม้ี นี ักศึกษาทีเ่ ลือกเรียนทัง้ สามวิชาเป็นจาํ นวน 10 คน เลือก เรียนวชิ าฟิสิกส์อย่างเดียว 20 คน เลอื กเรยี นวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดยี ว 30 คน และนกั ศกึ ษาที่ เลอื กเรียนภาษาองั กฤษทกุ คนจะเลอื กเรยี นวิชาฟิสิกส์ดว้ ย จงหาความนา่ จะเป็นทน่ี ักศึกษาเลือกเรยี น วิชาคณิตศาสตร์หรอื ภาษาอังกฤษ 1. 7/11 2. 8/11 3. 9/11 4. 10/11 16. เครือ่ งบนิ เคลื่อนที่เปน็ เสน้ ตรงในแนวระดับ ผ่านเหนือเจดียด์ ว้ ยความเร็วคงท่ี 450 A V = 450 ก.ม./ชม. 30° 60° กโิ ลเมตร/ช่ัวโมง เมือ่ ถงึ ตําแหน่ง A นักบินมองเห็น ยอดเจดยี ์เป็นมุมกม้ เทา่ กบั 30° กบั แนวราบ หลัง จากนั้นอีก 20 วินาที นักบนิ มองเหน็ ยอดเจดียเ์ ป็น มุมกม้ 60° กับแนวราบ จงหาวา่ เครอ่ื งบนิ ลําน้บี ินสูง จากยอดเจดีย์เทา่ ไร 1. 1250 เมตร 2. 1250 3 เมตร เจดยี ์ 3. 2500 เมตร 4. 2500 3 เมตร 17. วงกลมรัศมี r เมตร สองวง แต่ละวงมีจดุ ศูนยก์ ลางตง้ั อยู่ บนเสน้ รอบวงของอกี วงหนง่ึ พืน้ ทร่ี ่วมกนั ระหวา่ งวงกลมทง้ั r r สองจะมคี า่ โดยประมาณใกล้เคียงที่สดุ เท่ากับ 1. 1.00 r2 ตารางเมตร 2. 1.23 r2 ตารางเมตร 3. 1.41r2 ตารางเมตร 4. 1.73 r2 ตารางเมตร 18. ทิศทางของเวกเตอร์ ˜A , ˜B และ ˜D ดงั แสดงในรูป กําหนดให้ ˜C = ˜A + ˜B ˜Aจแงล=คะาํข2นน0วาณดหขหนอา่วงขยน˜Dา=ดข2=อง2เท0˜่าDข3อ−งหข˜Cนนาว่ ดยของ ˜ ขนาดของ B ˜D ˜A ˜B 30° 60° 1. 10 3 หน่วย 2. 15 หนว่ ย 3. 20 3 หน่วย 4. 30 หนว่ ย z 19. ต้องการเดินทอ่ จากตาํ แหนง่ B ไปยัง O ในแนว 9 เมตร y เสน้ ทแยงมุม OB ของรปู ปริซึม ท่อจะมีความยาวเท่าไร A 30° B กําหนดให้ AB ทํามมุ 30° กับ OB 1. 17.319 เมตร 2. 17.414 เมตร O x 3. 17.732 เมตร 4. 17.886 เมตร 12 เมตร 20. จงหาระยะทางทสี่ นั้ ที่สดุ จากจดุ ตดั ของเส้นตรง y = x − 5 กับเสน้ ตรง y = −2x − 5 ไปยงั แนว ของเส้นตรง y = − 3 x + 3 4 1. 3/5 2. 8/5 3. 27/5 4. 32/5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 545 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 21. คะแนนสอบของวิชาพ้นื ฐานทางวิศวกรรม มีการแจกแจงปกติ โดยผู้ไดค้ ะแนนต้ังแต่ 61 – 70 คะแนน มอี ยู่ 13.6% สว่ นผูท้ ี่ไดค้ ะแนนเทา่ กบั หรือต่าํ กว่า 60 คะแนน มีอยู่ 84.13% กาํ หนดให้ 0 < คา่ มาตรฐาน < 1 มพี ้ืนท่ใี ต้โคง้ = 0.3413 0 < คา่ มาตรฐาน < 2 มพี ้ืนทใ่ี ต้โค้ง = 0.4773 คา่ เฉล่ียเลขคณิตและสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของวชิ า มีคา่ เป็นเท่าไร 1. X = 40, σ = 10 2. X = 40, σ = 15 3. X = 50, σ = 10 4. X = 50, σ = 15 22. สมการ log16x + log4x + log2x = 7 คา่ ของ x จากสมการนจ้ี ะเท่ากับ 1. 4 2. 8 3. 14 4. 16 23. แนวถนนตรงสองสายตัดกันเป็นมุม 60° ทจ่ี ดุ ค แนวถนน ค 60° แนวถนน เดิม แนวถนน เดมิ หากต้องการสร้างถนนใหมเ่ ป็นแนวโค้งเชอ่ื มต่อแนวถนนเดิม ใหม่ โดยใส่ส่วนโค้งของวงกลมรัศมี 510 เมตร ดังรปู ระยะทส่ี ้นั R = 510 เมตร ทส่ี ดุ จากจุดตัดเดิมไปยังแนวถนนใหมน่ ี้จะมีคา่ ประมาณเทา่ ไร 1. 60 เมตร 2. 80 เมตร 3. 100 เมตร 4. 120 เมตร 24. ขึงเชือกใหเ้ ปน็ รปู พาราโบลาระหวา่ งจุด A และ B ระยะห่าง 10 เมตร และระยะหยอ่ น y ตํา่ สุดท่กี ึ่งกลาง ณ จดุ C เป็น 1 เมตร 5 เมตร ให้หาระยะหย่อนของเชอื กที่จดุ D 2 เมตร A DC B 1 เมตรx 1. 12/25 เมตร 2. 14/25 เมตร 10 เมตร 3. 16/25 เมตร 4. 20/25 เมตร f1(x) 5 4 25. กราฟของฟังกช์ ัน f1(x) และ f2(x) มดี งั แสดงในรูป 3 x 2 คา่ อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันนีเ้ ทา่ กนั เม่อื x มีคา่ เท่าใด 1 1. x = 1.5 2. x = 3.0 f2(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. x = 5.5 5 4. x = 7.5 4 3 2 1 26. ต้องการสร้างถงั เก็บนา้ํ ทรงกระบอก ใหส้ ามารถจุ 123456789 x ปรมิ าตรไดเ้ ทา่ กบั 16 π ลกู บาศก์เมตร จงหาวา่ ขนาด ของถงั ใบนม้ี คี า่ เป็นเทา่ ไร จึงทาํ ให้พื้นทผี่ วิ ของน้าํ มัน(รวมพื้นทฝ่ี าและฐาน) มีค่านอ้ ยทส่ี ุด R ให้ R เปน็ ขนาดความยาวรศั มีของถัง และ h เป็นขนาดความสูงของถัง h 1. R = 1.59 เมตร, h = 6.35 เมตร 2. R = 2 เมตร, h = 4 เมตร 3. R = 2.52 เมตร, h = 2.52 เมตร 4. R = 2.83 เมตร, h = 2 เมตร Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 546 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 27. เซตคําตอบของสมการ 2x4 + 3x3 + 2x2− 1 = 0 คอื 1. {−1, 1 , − 1 + 3 i, 1 − 3 i } 2. {−1, 1 , − 1 + 3 i, − 1 − 3 i } 2 2 22 22 3. {−1, 1 , 1 − 3 i, 1 + 3 i } 4. {−1, 1 , 2 + 3 i, − 2 − 3 i } 22 2 2 2 2 ปี 2534 28. สมการจาํ นวนเชงิ ซ้อน 3 x + 4 y i = 2(cos π + i 1 sin π)2 โดยท่ี i = −1 4 24 4. 1 ฉะนนั้ ค่าของ x จากสมการนี้จะเท่ากบั 6 1. 2 − 2 2. 2 3. 1 + 2 32 32 2 32 29. ในการวางท่อนาํ้ ประปาจากจุด A ไปจุด B ตามรปู ขา้ งลา่ งน้ี คา่ ใชจ้ ่ายในการวางทอ่ ขนาน กบั ถนนเทา่ กบั 100 บาทต่อเมตร และเท่ากบั 200 บาท B ตอ่ เมตรเมอื่ วางท่อขา้ มถนน เพื่อใหเ้ สยี ค่าใชจ้ า่ ยนอ้ ยที่สุด A ถนนกว้าPง 15 ม. 100 ม. จงหาระยะ AP ซ่ึงท่อนํา้ เรม่ิ เลี้ยวขา้ มถนน 1. 85.5 เมตร 2. 91.4 เมตร 3. 95.7 เมตร 4. 100 เมตร 30. ในการทดลองอบแหง้ พชื ชนิดหนึ่งโดยการวัดนาํ้ หนักของพชื (M ) และเวลาทใ่ี ชใ้ นการอบแห้ง ( t ) ไดข้ อ้ มูลดังตอ่ ไปน้ี เวลา (ช่ัวโมง) 0 10 20 30 40 นํา้ หนกั พชื (กรมั ) 99 36 15 5 2 จงหาสมการท่ีจะแสดงความสัมพันธร์ ะหว่างนํา้ หนกั พชื และเวลาทีใ่ ช้ในการอบแห้ง ท่ดี ที ีส่ ุด 1. M = 100 − e−0.1 t 2. M = 100 − e0.1 t 3. M = 100 e−0.1 t 4. M = 100 e0.1 t 31. แรงดันไฟฟ้า e = 100 sin θ โวลต,์ กระแสไฟฟ้า i = 10 sin(θ − 60°) แอมแปร์ กําลังไฟฟ้า P เทา่ กับผลคูณของ e และ i กาํ ลงั ไฟฟา้ สงู สุดจะมีคา่ เทา่ ใด 1. 750 วัตต์ 2. 1000 วตั ต์ 3. 500 วัตต์ 4. 250 วตั ต์ 32. จงหาค่า x ท่ีทาํ ให้เมตริกซ์ A = ⎡1 2 −1⎤ เปน็ ซงิ กลู าร์เมตรกิ ซ์ ⎢⎣⎢−12 x −12⎦⎥⎥ −2 1. 4 2. 2 3. 1 4. 0 33. โดมรปู คร่ึงทรงกลม มีเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางยาว 20 ม. 50 เมตร ตดั ยอดออกในแนวราบท่ีระดบั 20 เมตร r = 25 ม. r = 25 ม. จากฐาน จงหาพน้ื ทขี่ องวงกลมสว่ นที่ตัด 1. 225π / 4 ตารางเมตร 2. 225π ตารางเมตร 3. 400π ตารางเมตร 4. 500π ตารางเมตร Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 547 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 34. จดุ ยอดของรปู สามเหล่ยี มอยทู่ ี่ (1, 1), (−1, −1) และ (−4, 2) บนระนาบ x และ y จงหาพ้ืนที่ ของสามเหล่ียมนี้ 1. 6.5 ตารางหนว่ ย 2. 5 ตารางหนว่ ย 3. 6 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย 35. จงหาคา่ ของ x เม่อื log (5x + 10) = log (3x − 2) + 1 1. 0.8 2. 0.4 3. 1.2 4. −6 ปี 2535 36. ช่างสํารวจได้ทําการจดขอ้ มลู การวัดดังน้ีคือ AB ยาว 60 เมตร โดยแนว AB ขนานกบั รมิ ฝัง่ แมน่ า้ํ มีระยะห่าง 5 เมตร จดุ C อยู่หา่ งจากริมฝ่ังอกี ข้างหน่งึ เท่ากับ 12 เมตร ถ้าช่างวดั ขนาด ของมุม BAC และ CBA ได้ 75 องศา และ 45 องศา ตามลาํ ดบั จงหาวา่ แมน่ ้าํ สายนีก้ วา้ ง เท่าใด C (กาํ หนดว่า sin 75° = 3 + 1 ) 22 12 เมตร ทศิ การไหล 1. 18.49 เมตร 2. 30.32 เมตร 3. 35.49 เมตร 4. 47.32 เมตร 45° 5 เมตร A 75° B 37. ถา้ f (x) = x2 sin 2x จงหา df dx กาํ หนดให้ d(uv) = u dv + v du เมื่อ u และ v เปน็ ฟังก์ชนั ของ x dx dx dx และ d (sin 2x) = 2 cos 2x 2. x2cos 2x + 2x sin 2x dx 1. 2x2 cos 2x + 2x sin 2x 3. 2x2 cos 2x + x sin 2x 4. x2cos 2x + x sin 2x 38. กาํ หนดให้ A = ⎡2 1⎤ และ B = ⎡3 2⎤ ⎣⎢0 3⎦⎥ ⎣⎢ 1 2⎦⎥ จงหาคา่ ของ AT× (B × A) 1. ⎡14 12 ⎤ 2. ⎡12 18 ⎤ 3. ⎡21 27⎤ 4. ⎡20 18⎤ ⎢⎣16 24⎥⎦ ⎢⎣12 30⎥⎦ ⎢⎣ 11 21⎦⎥ ⎢⎣ 12 18⎥⎦ 39. เดก็ กลุ่มหน่ึงมี 5 คน สีค่ นแรกมอี ายุ 1, 4, 6 และ 8 ปี ตามลําดับ ถา้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของ อายเุ ดก็ ทัง้ 5 คน คือ 6 ปี คา่ กงึ่ กลางพสิ ยั ของอายเุ ดก็ กลมุ่ นคี้ อื 1. 4.5 ปี 2. 5.0 ปี 3. 6.0 ปี 4. 11.0 ปี 40. ถา้ ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของอายนุ ักเรยี นชนั้ มัธยมปที ี่ 4, 5 และ 6 ของโรงเรียนแห่งหน่ึงเปน็ 16, 17 และ 18 ปี ตามลําดบั และจํานวนนักเรียนในแต่ละช้นั ดงั กล่าวเป็น 60, 50 และ 30 คน ตามลาํ ดับ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ รวมของอายุนักเรียนทัง้ หมดคือ 1. 16.5 ปี 2. 16.8 ปี 3. 17.0 ปี 4. 17.5 ปี 41. ถ้า U(x) = x2− 2.6 x + 1.5 , 0 < x < 3 ค่านอ้ ยท่ีสุดของฟังก์ชนั U คือ 1. −0.23 2. −0.19 3. −0.15 4. 1.50 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 548 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 42. หน้าตดั ส่วนหน่งึ ของท่อรับอากาศเข้าของเครอ่ื งบิน F-100 เป็นรูปวงรที ีม่ ีโฟกสั อยู่ทจ่ี ดุ (-4,-5) มแี กนเอกยาว 14 หน่วย และมีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (-4,1) สมการของวงรีนี้คือ 1. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 2. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 49 25 13 49 3. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 4. ไมม่ ีคาํ ตอบที่ถกู ตอ้ ง 25 13 43. กาํ หนดให้ เมื่อ x = 0, v = 1 เมื่อ x = 1, d2v = d ⎝⎜⎛ dv ⎠⎟⎞ =6 dx 2 dx dx และ dv = ax2 + 3 จงหา v (x) dx 1. x 3 + 3x + 1 2. x 3 + 3x + 1 3 4. 3x 3 + 3x + 1 3. 2x 3 + 3x + 1 44. กําหนดให้ A = {a, b, c} จงเลอื กข้อความที่ถูกต้อง 1. a ⊂ A 2. A ⊂ {b, c} 3. ∅ ⊂ A 4. {b} ∈ A 45. กําหนดให้ A = 1 + 2 i , B = 2 + 3 i , C = 3 + 4 i จงหาคา่ ของ (B + C) C โดยท่ี B คือสังยคุ ของ B และ C คอื คา่ สมั บรู ณ์ของ C A 1. 6 − 8 i 2. 7 − 9 i 3. 6 + 8 i 4. 7 + 9 i 46. เส้นโค้งเส้นหนงึ่ ผ่านจดุ (2, a) และ (1, 1) ถา้ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ นีท้ จ่ี ุด (x, y) ใดๆ เป็น 3x2 − 2 จงหาคา่ ของ a 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8 47. แผงรับแสงอาทติ ยป์ ระกอบด้วยกระจกสะทอ้ นแสงรปู พาราโบลา ทเี่ ขยี นไดเ้ ปน็ สมการ x2 − 12y − 6x = 3 พ้นื ผิวน้จี ะมี 1. โฟกัสที่ (2, 3) จดุ ยอดที่ (−1, 3) และไดเรกตริกซ์ x = −4 2. โฟกสั ท่ี (2, 3) จุดยอดที่ (1, −3) และไดเรกตรกิ ซ์ x = 4 3. โฟกสั ท่ี (3, 2) จดุ ยอดท่ี (3, 1) และไดเรกตริกซ์ y = 4 4. โฟกัสท่ี (3, 2) จุดยอดที่ (3, −1) และไดเรกตรกิ ซ์ y = −4 48. ถ้า log x = 1 log a − log b และกําหนดให้ a = 27 b6 อยากทราบว่า x มีค่าเปน็ เทา่ ไร 3 1. 3 b 2. 3 3 b2 3. b (3 b − 1) 4. 9 b5 49. ทอ่ นํ้าในโรงงานแห่งหนึง่ วางเอียงและเขยี นเป็นสมการได้ y − 4 = 7 (x − 3) 5 จากจดุ P(9, 12) ตอ้ งการดงึ เชือกไปผูกกับทอ่ ท่ี P1 โดยให้เชอื กทํามุมฉากกบั ทอ่ ความยาว PP1 ของเส้นเชือกคอื 1. 2 2. 2 3. 2 4. 2 37 37 37 37 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 549 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 50. เวกเตอรส์ องเวกเตอร์ซ่งึ มีขนาด 8 หนว่ ย และ 12 3 y หน่วย ทํามุมกบั แกนระบบพิกดั ฉาก 30 องศา และ 60 องศา 8 หนว่ ย 30° x ดงั รูป จะตอ้ งใช้เวกเตอร์ใดมารวมกับเวกเตอร์ทง้ั สอง ทาํ ให้ ไดเ้ วกเตอรล์ ัพธ์เป็นศนู ย์ 2. − (2 3) i − 14 j 60° 1. − (10 3) i − 22 j 4. (2 3) i + 14 j 12 3 หน่วย 3. (10 3) i + 22 j ปี 2536 51. จากการศึกษาอายกุ ารใชง้ านของเคร่อื งยนตเ์ ล็กชนดิ เดียวกัน 3 ยหี่ ้อ ยหี่ อ้ แรกศึกษามาจาก 22 เคร่ือง ไดอ้ ายเุ ฉล่ีย 12 ปี ยหี่ อ้ ทีส่ อง 8 เคร่ือง อายุเฉลีย่ รวมของท้ังสองยหี่ ้อ 13.6 ปี สว่ นย่หี ้อที่ สามจําไม่ได้วา่ ก่เี คร่ือง แตม่ ีอายุเฉลี่ย 16 ปี ถ้าอายเุ ฉล่ียรวมของท้ังสามยหี่ ้อเปน็ 14.2 ปี จงหา จํานวนเครอ่ื งของยห่ี อ้ ทสี่ าม 1. 10 เครื่อง 2. 14 เครื่อง 3. 15 เครอื่ ง 4. 18 เครือ่ ง 52. ถ้า (x − y i)(2 + i) = 7 + 4 i เม่อื x และ y เปน็ จํานวนจริง จงหาวา่ x + 2y มคี า่ เท่าใด 1. 1 3 2. 2 2 3. 3 1 4. 4 1 5 3 5 3 53. รถยนต์คนั หนงึ่ แลน่ ในแนวเสน้ ตรง เริ่มออกแลน่ ในชว่ ง 12 วินาทีแรกด้วยสมการความเรว็ v2 = 62− (t − 6)2 เมอ่ื v = ความเร็ว (เมตรต่อวินาที) t = เวลา (วนิ าท)ี หลังจากสน้ิ วนิ าทที ่ี 12 รถยนต์เรง่ เคร่ืองด้วยอัตราเร่งคงตัวจนกระทั่งมคี วามเรว็ เปน็ 5π เมตรต่อวนิ าที ภายใน 4 วนิ าที ระยะทางทั้งหมดทีร่ ถแล่นได้มีค่าเท่าใด 1. 18π เมตร 2. 26π เมตร 3. 28π เมตร 4. 46π เมตร 54. จานรบั สญั ญาณดาวเทยี มถูกออกแบบใหเ้ ปน็ โคง้ Y (cm) พาราโบลาดงั รูป โดยสัญญาณจะมารวมกนั ท่จี ุดโฟกสั 42 สมการและค่าโฟกัสของจานใบนีค้ อื 1. 600y = 7x2 โฟกสั คือ 21.43 cm 2. 600x = 7y2 โฟกสั คือ 21.43 cm F 120 X (cm) 3. 147y = 5x2 โฟกัสคอื 7.35 cm 4. 147x = 5y2 โฟกัสคือ 7.35 cm 55. ถา้ log x = 1 log a − 2 log b + 2 log c 3 และกําหนดให้ a = 8 b9 ดังนน้ั x จะมคี า่ เทา่ ใด c3 1. 2bc 2. 2 3. 2b 4. 2c bc c b 56. เส้ียว 1/4 ของวงกลมดงั รูป แสดงตําแหน่งของจุดโคออรด์ เิ นตดงั น้ี y AD A (3, 11) , B (3, −2) , C (16, −2) และ D (8, 10) สมการของเสน้ ตรงทส่ี มั ผัสกบั เส้ยี ววงกลมทีจ่ ุด D คือ 1. 5x − 12y = 148 2. 12x + 5y = 146 3. 5x + 12y = 160 4. 6x + 11y = 158 B C x Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 550 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 57. อุโมงค์รถไฟแหง่ หนึง่ ถูกออกแบบเป็นรูปครึ่งวงรี ซึ่งมีฐานกว้าง 36 เมตร และสงู 12 เมตร ความสงู ของ อโุ มงคท์ ่ีระยะทางหา่ งจากศนู ยก์ ลางเท่ากบั 6 เมตร 12 จะมคี ่าเท่าใด 2. 6 3 เมตร 120 X (cm) 1. 5 3 เมตร 4. 8 2 เมตร 3. 7 2 เมตร 6 36 58. จากเสน้ โคง้ ปกตแิ ละเส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดงั รูป กาํ หนดให้ z1 = x1 − x, z2 = x2 − x, และพ้นื ที่ B = 0.05 อยากทราบว่าพ้นื ที่ A ซงึ่ อยู่ s s ระหว่าง x1 และ x2 มีค่าเท่าใด A 1. 0.90 2. 0.95 3. 0.96 4. 0.99 x1 x x2 f(x) B 18 x 16 z1 = − 1.96 0 z2 = 1.96 14 12 59. ฟงั ก์ชนั f (x) ของกราฟตอ่ ไปนี้ คอื อะไร 10 1. f (x) = 2x + x 8 2. f (x) = 2x2 + 1 6 3. f (x) = x2 + x + 1 4 4. f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 1 2 01 23 60. กําหนดให้ f′(x) = xn แลว้ จะได้ f (x) = xn+1 + c โดยที่ n ≠ −1 และ c เป็นค่าคงตัว ถ้า n+1 หาก f′(x) = 3x2 − 4 −2 และ f (2) = 8 แล้วจงหาว่า c มีคา่ เท่าใด x2 1. 2 2. 7/2 3. 11/2 4. 6 y 61. กาํ หนดเวกเตอร์ ˜P และ ˜Q ดงั รูป ถ้าขนาดผลรวมของ ˜Q ˜P เวกเตอร์ทง้ั สองในแนวแกน x และแกน y มคี ่า 21 หนว่ ย (-1,2) และ 18 หน่วยตามลําดับ ขนาดของเวกเตอร์ ˜P ได้แก่ (4,2) 1. 3 5 หน่วย 2. 5 5 หน่วย 0 3. 8 5 หน่วย 4. 12 5 หนว่ ย x 62. เด็ก 4 คนมีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของอายุ 5 ปี โดยที่เดก็ 3 คนมีอายุ 4.3, 5.3 และ 6.4 ปี พสิ ัย ของอายุของเด็กทัง้ 4 คนน้ี มคี า่ เท่าใด 1. 0.7 ปี 2. 1.4 ปี 3. 2.1 ปี 4. 2.4 ปี Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)