MATH ebook

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 201 ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทึม (11.8) ถ้า a > 1 → x2 + 7 < 8x − 8 (13.1) 49 ÷ 490.25 log 7 25 = 49 ÷ 250.25 log 7 49 → x2 − 8x + 15 < 0 → (x − 5)(x − 3) < 0 = 49 ÷ 250.5 = 49 / 5 → (3, 5) (13.2) (9 ⋅ 58 ⋅ 42 ⋅ 54) = 24 ⋅ 512 9 ถา้ 0 < a < 1 → x2 + 7 > 8x − 8 1 → x2 − 8x + 15 > 0 → R − [3, 5] (13.3) 3 −log212 26 2log3 32 − 22 = 32 ∴ ตอบ (3, 5) เม่อื a > 1 และ R − [3, 5] เมอื่ 0 < a < 1 = 3 −2 (12.1) log 10−2 + log2 2−2 + log5 5−2 + log50 50−2 (13.4) 25 ⋅ 64 ⋅ 36 ⋅ 16 = 144 = −2 − 2 − 2 − 2 = −8 42 22 22 52 (13.5) ⎛ 16 36 ⎞ 1 / 2 ⎜ ⎟ [หมายเหตุ 0.01 = 1 = 10−2, 0.25 = 1 = 2−2 ⎜ 32 ⋅ 32 ⎟ = 4⋅6 = 4.8 100 4 ⎝⎜⎜ 25 ⋅ 1 ⎟⎠⎟ 5 32 32 ]0.04 = 1 = 5−2, ... [หมายเหตุ ข้อ 13.1, 13.2, 13.4, 13.5 25 ใช้กฎท่วี า่ Alogm B ]= Blogm A (12.2) log2(21) + 7 log3( 1) log4(21) 3 − log8(1) + (14) พิจารณา 1 = 1 = −1 + 7(−1 / 2) − 0 + (−1 / 2) = −5 1 + loga bc loga a + loga bc [หมายเหตุ log4(21) = log22(2−1) = − 1] = 1 = log a 2 loga abc log abc (12.3) log2−1 23 + log2−3 2 + log2 2−3 + log23 2−1 และเชน่ กนั 1 = log b 1 + logb ac log abc = −3 − 1 − 3 − 1 = − 20 3 33 และ 1 = log c 1 + logc ab log abc (12.4) log 20 + 7 log 15 − 7 log 16 + 5 log 24 ดังนน้ั จะได้ log a + log b + log c = 1 − 5 log 25 + 3 log 80 − 3 log 81 log abc = (2 log 2 + log 5) + (7 log 3 + 7 log 5) (15.1) (gof)(2) = g(f(2)) = g(1) = 0 − (28 log 2) + (15 log 2 + 5 log 3) − (10 log 5) (15.2) g(2b) = log2b 2b2b = 2b + (12 log 2 + 3 log 5) − (12 log 3) (15.3) จาก pq = log8 3 ⋅ log3 5 = log 5 log 8 = log 2 + log 5 = log 10 = 1 (12.5) 2 log 5 + 2 + 2 log 2 ∴ log 5 = pq log 8 = pq(3 log 2) log 50 log 50 log 50 = pq(3(1 − log 5)) = 3pq − 3pq log 5 =4= 4 → (1 + 3pq) log 5 = 3pq → log 5 = 3pq log 50 1 + log 5 1 + 3pq (12.6) log2 24 log2 96 − log2 192 log2 12 (15.4) x = log 3 3−2 ⋅ 3−4 = log(3−2) = log2(23 ⋅ 3) log2(25⋅ 3) − log2(26 ⋅ 3) log2(22⋅ 3) y = 2 log 5 − 3 log 2 − 2 log 5 + 2 log 3 = (3 + log2 3)(5 + log2 3) − (6 + log2 3)(2 + log2 3) + 3 log 2 + log 3 − 2 log 3 = log 3 = 15 + 8 log2 3 + [log2 3]2 − 12 − 8 log2 3 − [log2 3]2 ∴ x + y = −2 log 3 + log 3 = − log 3 =3 (15.5) 3a + 2b (12.7) log2 1 = 0 → ∴ ตอบ 0 = log7(11 − 6 2)3 + log7(45 + 29 2)2 = log7[(11 − 6 2)3(45 + 29 2)2] (12.8) log 3 ⋅ log 4 ⋅ log 5 ⋅ ... ⋅ log 32 log 2 log 3 log 4 log 31 = log7[(3,707 − 2,610 2)(3,707 + 2,610 2)] = log 32 = 5 log 2 = log7(117,649) = log7(76) = 6 (12.9) log4(lloogg831) = log4 4 = 1 (15.6) จาก log a = log x และ log b = 10 log x (12.10) 52log 7 7 + 5 log2 2−6 − 2 log32 33 และ log c = 100 log x และ log d = 1000 log x นาํ มาบวกกนั จะได้ log abcd = 1111 log x = 52 + (−30) − 2(3 / 2) = 19 ∴ logabcd x = 1 / 1111 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 202 ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ มึ (15.7) p = loga(logb a) (19.4) 32x − 3x ⋅ 2 = −1 → 32x − 2 ⋅ 3x + 1 = 0 → ap = aloga(logb a) = logb a → (3x − 1)2 = 0 → 3x = 1 → x = 0 (15.8) 2 log2 a − 3 log2 b = 4 .....(1) (19.5) log4 log3 log2(x2 + 2x) = 0 และ 3 log2 a − 4 log2 b = 6 .....(2) → log3 log2(x2 + 2x) = 40 = 1 แก้ระบบสมการได้ log2 a = 2 และ log2 b = 0 → log2(x2 + 2x) = 31 = 3 → x2 + 2x = 23 = 8 ตอบ∴ a = 4, b = 1 → (42 + log8 1)1 / 2 = 4 ดังนน้ั (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4 หรอื 2 (19.6) วธิ ีเดยี วกบั ข้อทแี่ ลว้ จะได้ผลเป็น (15.9) loga(x − m) = 2 loga x − 2 loga m → loga(x − m) = loga(mx )2 →x −m = ( x )2 x2 1 = 1 → x2 − x + 4 = 6 m −x+4 6 → xm2 − m3 = x2 → ∴ x2 − m2x + m3 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, −1 (16.1) โดเมน 2 − x > 0 → x < 2 (19.7) x2 − 1 = 5 − x → x2 + x − 6 = 0 D = (−∞, 2) และเรนจ์ R = R → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3, 2 (16.2) โดเมน −x > 0 → x < 0 D = (−∞, 0) = R− และเรนจ์ R = R ตรวจสอบคําตอบทไ่ี ด้ → พบวา่ x = −3 ไมไ่ ด้ เพราะจะเกิดฐานเปน็ 1 → ∴ x = 2 เทา่ นนั้ (16.3) โดเมน x > 0 D = (0, ∞) = R+ (20.1) (2x − 5)(x + 1) = (x2 − x + 3) และเรนจ์ R = [0, ∞) (เพราะมีคา่ สมั บูรณ)์ → x2 − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0 (16.4) โดเมน |x − 3| > 0 → เปน็ จริงเสมอ ดงั นนั้ x = 4, −2 ตรวจสอบคําตอบ พบวา่ ยกเวน้ x = 3 ∴ D = R − {3} x = −2 ไม่ได้ เพราะทาํ ให้เกิดติดลบใน log จึงได้ x = 4 เท่าน้ัน และเรนจ์ R = R (20.2) (2x − 1)(x + 1) = x2 + 1 (16.5) โดเมน (3x2 − 2) > 0 → x2 + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0 → ( 3x − 2)( 3x + 2) > 0 → x = −2, 1 ตรวจสอบคําตอบ พบวา่ x = −2 เขยี นเสน้ จํานวน ∴ D = R − [− 2, 2 ] ไม่ได้ เช่นเดียวกบั ข้อ 20.1 ... ดงั น้ัน x = 1 33 เทา่ น้นั (20.3) 2(4 − 5x − 6x2) = 2x − 1 และเรนจ์ R = R → 12x2 + 12x − 9 = 0 → 3(2x + 3)(2x − 1) = 0 (17.1) log 257 = log 2.57 + 2 ดังนนั้ x = −3/2, 1/2 ตรวจสอบคําตอบ พบวา่ ∴แมนทสิ ซา = log 2.57, แคเรกเทอรสิ ติก = 2 x = 1 / 2 ไม่ได้ (จะเกดิ log 0 ) ∴ x = −3 / 2 (17.2) log 0.024 = log 2.4 − 2 (20.4) (x2 − 2x) log2(x2 + 2x − 6) = x2 − 2x ∴แมนทสิ ซา = log 2.4, แคแรกเทอรสิ ตกิ = −2 → (x2 − 2x)(log2(x2 + 2x − 6) − 1) = 0 (17.3) 3.3010 = 3 + 0.3010 → x = 0 หรอื 2 หรือ log2(x2 + 2x − 6) = 1 ∴แมนทสิ ซา = 0.3010, แคเรกเทอรสิ ติก = 3 (17.4) −2.3010 = −3 + 0.6990 → (x2 + 2x − 6) = 2 → (x + 4)(x − 2) = 0 ∴แมนทสิ ซา = 0.6990, แคแรกเทอรสิ ตกิ = −3 (18) log(875)15 = 15 log 875 → x = −4 หรอื 2 = 15(2 + 0.9420) = 44.13 → ตรวจคาํ ตอบพบวา่ x = 0 ใช้ไมไ่ ด้ (ตดิ ลบใน log) ∴ x = −4, 2 เทา่ นน้ั ดงั นนั้ 87515 มี 45 หลกั (19.1) x + 8 = 8 → x = 0 (20.5) log2( x2 + 1 + x)+ log2( x2 + 1 − x) (19.2) (2/3)log x = (2/3) → log x = 1 → x = 10 = log16(4x + 1)− 0.5 (19.3) ใส่ log ทงั้ สองข้าง จะได้ → log2(x2 + 1 − x2) = log16(4x + 1) − 0.5 → 0 = log16(4x + 1) − 0.5 → log x3 log x = (1 / 3) log 10,000 → 0.5 = log16(4x + 1) → 4x + 1 = 4 → 3(log x)2 = 4 / 3 → x = 3 / 4 (ตรวจคาํ ตอบแล้วใช้ได)้ หรอื→ log x = ± 2/3 → x = 102 / 3 10−2 / 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 203 ฟง กชันเอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ ึม (21.1) ให้ log x = A → A2 = 2A อนิ เตอร์เซคกับเงอ่ื นไข ได้เปน็ (27 / 8, ∞) → A2 − 2A = 0 → A = 0 หรอื 2 และเง่อื นไข ใน log ตอ้ งมากกวา่ 0 → x = 1 , 100 24 − 6x > 0 → x < 4 (21.2) ให้ log x = A → A / 2 = A ∴ ตอบ (2, 3) ∪ (27 / 8, 4) (23.4) ให้ A = log5 a → A2 / 4 = A → A2 − 4A = 0 กรณีแรก 0 < a < 1 (ฟังกช์ นั ลด) จะได้ 1/ A > A → 1/ A − A > 0 → A = 0 หรอื 4 → x = 1 , 104 นํา A คณู → 1 − A2 < 0 (21.3) ให้ log2 x = A → A + 4/A = 5 → A2 − 5A + 4 = 0 → A = 1 หรอื 4 A2 − 1 > 0 ดงั น้นั A > 1 , A < −1 → x = 2 , 16 นน่ั คอื a > 5 , a < 1 / 5 (21.4) ให้ log3 x = A → A+ 5 = 7 อนิ เตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไข ได้เปน็ (0, 1 / 5) 2A 2 กรณที ีส่ อง a > 1 (ฟงั กช์ ันเพ่มิ ) → 2A2 − 7A + 5 = 0 → A = 5 / 2 หรอื 1 จะได้ 1/A − A > 0 นํา A คูณ → x = 35 / 2, 3 → 1 − A2 > 0 → A2 − 1 < 0 (22.1) ให้ 3x + 7 = A → A2 − 6A + 8 = 0 ดังนน้ั −1 < A < 1 นน่ั คอื 1 / 5 < a < 5 อนิ เตอร์เซคกบั เงอื่ นไข ได้เปน็ (1, 5) → A = 2, 4 → 3x + 7 = 2 หรอื 4 ∴ ตอบ (0, 1 / 5) ∪ (1, 5) → x + 7 = log3 2 หรอื log3 4 (23.5) 1 log x < log 10 − log x + 15 → x = log3 2 − 7 หรอื 2 log3 2 − 7 2 (22.2) x log 5 + y log 4 = 0 ..... (1) → x1 / 2 < 10 → ยกกาํ ลังสองได้ x log 4 + y log 5 = 2 log 4 − 2 log 5 ..... (2) x + 15 แกร้ ะบบสมการตามปกติ ไดผ้ ลเป็น เพราะเปน็ บวกทง้ั สองขา้ ง → x(x + 15) < 100 x = − log 4(2 log 4 − 2 log 5) (log 5)2 − (log 4)2 → x2 + 15x − 100 < 0 → (x + 20)(x − 5) < 0 = 2 log 4 = 4 log 2 จะได้ −20 < x < 5 ... ตรวจสอบเงอ่ื นไข log และ log 5 + log 4 1 + log 2 เง่ือนไขรทู้ → x > 0, x + 15 > 0 และ y = 2(log 2 − 1) ∴ คําตอบเปน็ (0, 5) เทา่ นนั้ 1 + log 2 (23.6) log x − 1(x4 − 8x2 − 2x + 1) > log x − 1( x − 1)4 (23.1) มี 2 กรณี ขน้ึ กับฐานว่าเป็นฟงั กช์ นั ลดหรอื กรณแี รก ถา้ 1 < x < 2 (ฟงั ก์ชนั ลด) เพมิ่ ... กรณีแรก 0 < x < 1 (ฟงั กช์ นั ลด) จะได้ x4 − 8x2 − 2x + 1 < (x − 1)2 จะได้ 3x > x2 → x2 − 3x < 0 → x4 − 9x2 < 0 → x2(x2 − 9) < 0 → x (x − 3) < 0 → x ∈ (0, 3) → x2(x − 3)(x + 3) < 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนได้ อนิ เตอรเ์ ซคกบั เงอื่ นไข ได้เปน็ (0, 1) กรณที สี่ อง x > 1 (ฟังก์ชนั เพ่มิ ) x ∈ (−3, 3) − {0} จะได้ 3x < x2 → x2 − 3x > 0 อินเตอร์เซคกบั เงอ่ื นไขชว่ ง ได้เปน็ (1, 2) เทา่ นั้น → x (x − 3) > 0 → x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, ∞) กรณที ่ีสอง ถ้า x > 2 (ฟงั ก์ชันเพ่ิม) จะได้ x4 − 8x2 − 2x + 1 > (x − 1)2 อินเตอร์เซคกับเงอื่ นไข ไดเ้ ปน็ (3, ∞) → x2(x − 3)(x + 3) > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนได้ ∴ ตอบ (0, 1) ∪ (3, ∞) หรอื R − [1, 3] x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞) (23.2) 2x2 < 2x → x2 < x อินเตอร์เซคกบั เงอ่ื นไขชว่ ง ได้เปน็ (3, ∞) เทา่ นั้น → x2 − x < 0 → x(x − 1) < 0 ตอบ (0, 1) สรปุ ช่วงคาํ ตอบรวมคือ (1, 2) ∪ (3, ∞) ตรวจสอบกับเง่ือนไข log และรทู้ (23.3) กรณแี รก 2 < x < 3 (ฟังกช์ นั ลด) จะได้ 2x − 3 < 24 − 6x → x < 27 / 8 x4 − 8x2 − 2x + 1 > 0, x − 1 > 0 อินเตอรเ์ ซคกับเงอ่ื นไข ได้เปน็ (2, 3) กรณที ีส่ อง x > 3 (ฟงั ก์ชันเพิ่ม) พบวา่ ใช้ไดห้ มด ดังนนั้ ตอบ (1, 2) ∪ (3, ∞) จะได้ 2x − 3 > 24 − 6x → x > 27 / 8 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 204 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทมึ eÃèo× §æ¶Á จําเป็นตอ้ งตรวจคาํ ตอบของสมการ (หรอื อสมการ) เมื่อใดบ้าง.. (1-บทท่ี 2) เม่อื ในโจทยม์ ีตวั แปรอยทู่ ่ีสว่ น (เศษส่วน) * สมการ เชน่ 1 = 2x ย้ายขา้ งคณู ไขว้ได้ x − 1 3x − 1 * อสมการ เชน่ 1 > 2x แบบน้หี า้ มคณู ไขว้ ใหย้ ้ายมาลบกัน x − 1 3x − 1 * แต่ถ้าเป็นแบบนี้ 1 > 2x สามารถคณู ไขว้ได้ เพราะมน่ั ใจว่าส่วนไม่ตดิ ลบแน่นอน.. x − 1 3x − 1 แต่ไม่วา่ จะเปน็ แบบใด, คณู ไขว้ได้หรอื ไม.่ . เม่อื ไดช้ ว่ งคาํ ตอบแลว้ ต้องตัดคา่ x ท่ีทาํ ใหส้ ่วนเปน็ 0 ทิง้ ไปเสมอ (2-บทที่ 2) เมื่อในโจทย์มคี า่ สมั บูรณ์ และจะใชว้ ธิ ยี กกาํ ลงั สองทงั้ 2 ขา้ ง เช่น 2x − 1 < 3x + 2 สามารถยกกาํ ลงั สองได้ เพราะม่นั ใจวา่ เปน็ บวกทง้ั 2 ขา้ ง แตอ่ ยา่ ลมื เพ่มิ เงอื่ นไขว่า ฝงั่ ขวามากกวา่ หรอื เทา่ กับ 0 ดว้ ย (ใหต้ ัดชว่ งคาํ ตอบทข่ี ดั แย้งกับเง่อื นไขนที้ งิ้ ไป) (3-บทท่ี 7) เมอื่ ในโจทย์มีฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตทิ ีไ่ มใ่ ช่ sin กับ cos เชน่ 2 sin x = sec x มีฟังกช์ ัน sec จึงตอ้ งระวงั คําตอบท่ีทาํ ให้ cos x = 0 จะใชไ้ มไ่ ด้ cosec x + cot x > 5/3 มฟี ังก์ชัน cosec และ cot จงึ ตอ้ งระวงั คาํ ตอบท่ีทาํ ให้ sin x = 0 จะใชไ้ มไ่ ด้ (4-บทท่ี 7) เมอ่ื ในโจทย์มฟี งั ก์ชนั ตรโี กณมติ ผิ กผนั (หมายถงึ arc- ต่างๆ) เชน่ arcsin (2x+1) − arcsin (2x−1) = arccos (−1) แกโ้ ดยใส่ cos หรอื sin ทง้ั สองขา้ งของสมการ แต่ตอ้ งระวังวา่ คาํ ตอบทีไ่ ดอ้ าจไมอ่ ยใู่ นชว่ งโดเมนมาตรฐาน (เช่นถ้าได้ x=1 จะใช้ไม่ได้ เพราะไมม่ ี arcsin3) และยงั ตอ้ งตรวจวา่ คาํ ตอบท่ีไดท้ าํ ใหส้ มการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ (5-บทท่ี 8) เมื่อในโจทยม์ ี log เชน่ log2(2x − 1) + log2(x + 3) = 2 ตอ้ งระวงั วา่ ภายในฟงั กช์ ัน log ตอ้ งมากกวา่ ศนู ย์เสมอ และยังตอ้ งตรวจวา่ คาํ ตอบท่ไี ด้ทาํ ใหส้ มการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ 2 log9x + logx9 = 3 มตี ัวแปรทงั้ ใน log และท่ฐี านของ log จงึ ตอ้ งระวงั ทั้งสองอย่างคอื ภายในฟงั กช์ นั log ต้องมากกว่าศนู ย์, ทฐี่ านตอ้ งมากกวา่ ศูนยแ์ ละไมเ่ ท่ากับหนง่ึ และยงั ต้องตรวจวา่ คาํ ตอบทไ่ี ด้ทาํ ให้สมการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ (6-บทท่ี 8) เมื่อในโจทย์มีรากท่ี n (หรือยกกาํ ลงั 1/n) เม่อื n เปน็ จาํ นวนคู่ เชน่ 2x+1 − x−3 = 2 มีรากทส่ี อง จึงใชว้ ธิ ียกกาํ ลงั สองเพอ่ื กาํ จดั เคร่อื งหมายรทู้ ตอ้ งระวังคาํ ตอบท่ไี ด้วา่ ภายในรทู้ หา้ มตดิ ลบ (แตถ่ า้ เปน็ รากทส่ี าม ในรทู้ ตดิ ลบได)้ และยงั ตอ้ งตรวจว่าคาํ ตอบทไี่ ดท้ าํ ให้สมการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ (7-บทที่ 16) เมอ่ื ในโจทย์มแี ฟคทอเรียลของตวั แปร เช่น (x+3)! = 30(x+1)! คําตอบทไี่ ดจ้ ะตอ้ งทาํ ใหห้ นา้ แฟคทอเรียลเปน็ จาํ นวนนบั หรอื ศนู ย์เทา่ นนั้ 2 Px,2 + 50 = P2x,2 เม่อื กระจายแลว้ จะมแี ฟคทอเรยี ลเชน่ กนั อยา่ ลืมตรวจคาํ ตอบดว้ ยนะ :] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 205 เมตริกซ [m t r x] º··èÕ 9 eÁµÃ¡i « เมตริกซ์ (Matrix) เปน็ กลมุ่ ของจาํ นวนทเ่ี รยี ง กนั เปน็ รูปส่ีเหลย่ี ม ภายในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ( ) หรือ [ ] เรยี กจํานวนแต่ละจํานวนทอี่ ยู่ในเมตริกซว์ ่า สมาชกิ (Entry) เราศึกษาเร่อื งเมตริกซ์เพ่ือใช้ชว่ ยใน การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ หลายตวั แปร ซ่งึ จะได้ อธบิ ายไว้ในหวั ขอ้ สดุ ท้ายของบทนี้ ตัวอย่างเมตรกิ ซ์ เชน่ ⎛7 5⎞ −2 ⎤⎦ , ⎡3 4⎤ ⎜ ⎢⎣2 2⎦⎥ ⎝⎜⎜ 6 20⎟⎟⎠⎟ , ⎣⎡ 1 0 −5 ขนาดของเมตริกซ์ เรียกวา่ มิติ (Dimension) (คดิ จากจํานวน แถว; row คณู หลัก; column) ในตัวอย่างเปน็ เมตรกิ ซ์ท่มี ีมติ ิ 3×2, 1×3, 2×2 ตามลําดบั ... เมตรกิ ซส์ องเมตริกซ์ จะเท่ากนั ได้ก็ ต่อเมอ่ื “มมี ิติเดียวกัน” (แปลว่า ขนาดเทา่ กัน) และสมาชิกในตาํ แหน่งเดียวกนั ต้องมีค่าเทา่ กัน การเรียกช่ือเมตริกซ์นยิ มใช้ตัวพมิ พ์ใหญ่ เชน่ A, B, C และอาจเขียนมติ ิกํากับเปน็ ตวั หอ้ ย ไว้ เช่น A3×2, B1×3, C2×2 โดยจะเรียกชือ่ สมาชิกเป็นตวั พิมพเ์ ล็ก ท่ีมตี วั ห้อยบอกตาํ แหน่งแถวและ หลกั ในรูป aij (แถวท่ี i และหลักที่ j) เช่น A = ⎢⎡⎢aa2111 a12 ⎤ B = ⎣⎡ b11 b12 b13 ⎦⎤ จะได้ a11 = 7 a21 = 6 b13 = −2 a22 ⎥ ⎥ ⎢⎣a31 a32 ⎥⎦ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 206 เมตรกิ ซ หมายเหตุ เพื่อหลีกเลยี่ งการเขา้ ใจผดิ หากจาํ นวนแถวหรือจาํ นวนหลักเท่ากับ 10 ข้ึนไป จะไม่เขียน ตําแหนง่ เปน็ ตวั ห้อย ... แตจ่ ะเขยี นคา่ i และ j กาํ กบั ไว้ด้านหลงั เช่น aij, i = 2, j = 11 ทรานสโพส (เมตรกิ ซ์สลบั เปลยี่ น; Transpose) ของเมตรกิ ซ์ A ใช้สญั ลกั ษณ์ At หรือ AT คอื การเปลย่ี นแถวเปน็ หลกั (หรือเปล่ียนหลักเปน็ แถว) ⎡ 7 5⎤ At = ⎡7 6 −5⎤ ⎣⎢5 0 2 ⎥⎦ เชน่ A = ⎢⎣⎢⎢−65 20⎦⎥⎥⎥ เมตริกซม์ ติ ิ m × n เมอื่ ทําการทรานสโพส จะกลายเปน็ มติ ิ n × m เมตริกซ์ทค่ี วรรจู้ ัก 1. เมตรกิ ซจ์ ตั รุ ัส (Square Matrix) คอื เมตริกซ์ทม่ี จี าํ นวนแถว เทา่ กับจาํ นวนหลัก สมมติว่ามี n หลัก และ n แถว (n × n) เรียกสมาชิกในแนว 11, 22, 33, ..จนถึง nn วา่ เส้น ทแยงมุมหลกั (Main Diagonal) และสมาชิกตวั อนื่ ทีเ่ หลือจะเรยี งเป็นรูปสามเหลีย่ ม เรียกว่า สามเหลย่ี มบน (Upper Triangle) และ สามเหล่ียมล่าง (Lower Triangle) ⎣⎡ 5 ⎤⎦1× 1 ⎡ 2 0⎤ ⎡6 2 1 ⎤ ⎣⎢−1 1⎦⎥2×2 ⎢⎢3 1 −2⎥⎥ ⎢⎣3 0 1 ⎦⎥3× 3 2. เมตรกิ ซ์ศูนย์ (Zero Matrix; 0 ) คอื เมตริกซท์ ส่ี มาชิกทุกตวั เปน็ เลข 0 (จตั รุ ัสหรอื ไม่กไ็ ด้) ⎡⎣ 0 ⎦⎤ ⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎦⎥ ⎢⎢0 0 0⎥⎥ ⎣⎢0 0 0⎥⎦ 3. เมตริกซ์หน่ึงหนว่ ย (Unit Matrix; I) คอื เมตรกิ ซ์จตั ุรัส ท่มี ีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมุมหลัก เปน็ 1 และสมาชิกตัวอน่ื ทเ่ี หลือทง้ั หมดเปน็ 0 อาจเขียนขนาดกาํ กับเปน็ ตวั ห้อยเพียง 1 ตวั I1 = ⎣⎡ 1 ⎦⎤ I2 = ⎡1 0⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎢⎣0 1⎥⎦ I3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 9.1 การบวก ลบ และคณู เมตริกซ์ 1. การบวกเมตรกิ ซค์ ่หู น่งึ จะทําไดก้ ต็ ่อเมอื่ เมตรกิ ซ์ทงั้ สองมีมติ เิ ดยี วกัน ผลบวกทีไ่ ด้ จะมีมิตเิ ดิม และสมาชกิ ของผลลัพธเ์ กิดจากสมาชิกตาํ แหน่งเดยี วกันนน้ั บวกกนั (สาํ หรับการลบก็เชน่ กัน; สมาชิกผลลัพธ์ เกิดจากสมาชิกตําแหนง่ เดียวกันลบกนั ) ⎡1 −2 3⎤ + ⎡0 2 −1⎤ = ⎡1 0 2⎤ ⎣⎢−4 5 6⎥⎦ ⎣⎢3 −2 4 ⎦⎥ ⎣⎢−1 3 10⎦⎥ ⎡1 −2 3⎤ − ⎡0 2 −1⎤ = ⎡1 −4 4⎤ ⎢⎣−4 5 6⎥⎦ ⎢⎣3 −2 4 ⎥⎦ ⎣⎢−7 7 2⎦⎥ เอกลักษณก์ ารบวกของเมตริกซ์ ก็คอื เมตรกิ ซ์ 0 2. การคณู เมตริกซ์ดว้ ยสเกลาร์ ผลท่ไี ดจ้ ะเป็นการคูณสมาชิกทกุ ตัวด้วยสเกลาร์นนั้ 2 ⎡1 2 3⎤ = ⎡2 4 6⎤ ⎢⎣0 −5 7⎥⎦ ⎢⎣0 −10 14⎦⎥ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 207 เมตริกซ 3. สว่ นการคณู เมตริกซ์คูห่ นงึ่ จะทาํ ไดเ้ มอ่ื จํานวนหลักของตวั ต้งั เท่ากบั จํานวนแถวของตัวคูณ และผลคณู ทไี่ ด้จะเปน็ เมตริกซ์ทมี่ ีจาํ นวนแถวเท่าตวั ตั้ง จาํ นวนหลักเท่าตวั คูณ หรือเขยี นงา่ ยๆ ไดด้ ังน้ี Am×n × Bn×r = Cm× r วิธีการหาสมาชิกของผลลัพธ์ ขอใหส้ ังเกตจากตวั อย่าง (ยึดแถวตวั ต้ัง ยดึ หลกั ตัวคณู ) A= ⎡2 3⎤ , B = ⎡0 1⎤ , C = ⎡1 3 2⎤ ⎣⎢−1 4⎥⎦ ⎢⎣3 2⎥⎦ ⎣⎢−1 0 −2⎦⎥ จะได้ AB = ⎡ 2⋅0+3⋅3 2⋅1+3⋅2 ⎤ = ⎡9 8⎤ ⎣⎢−1⋅0+4 ⋅3 −1⋅1+ 4 ⋅2⎥⎦ ⎢⎣12 7⎥⎦ BC = ⎡ 0⋅1+ 1⋅(−1) 0⋅3+1⋅0 0⋅2+1⋅(−2)⎤ = ⎡−1 0 −2⎤ ⎢⎣3⋅1+2⋅(−1) 3⋅3+2⋅0 3⋅2+2⋅(−2)⎦⎥ ⎢⎣ 1 9 2 ⎥⎦ เอกลักษณก์ ารคณู ของเมตรกิ ซ์ กค็ อื เมตริกซ์ I จะเรยี กวา่ เมตรกิ ซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) ก็ได้ สมบัติการบวกและการคณู การคณู ดว้ ยเมตริกซ์ การบวกเมตรกิ ซ์ • AB ไม่จําเปน็ ต้องเทา่ กบั BA • A+B =B+A • (AB) C = A (BC) • A (B + C) = AB + AC • (A + B) + C = A + (B + C) • (A + B) C = AC + BC • (AB)t = BtAt • At + Bt = (A + B)t • AI = IA = A • A+0=0+A = A • A + (−A) = 0 การคูณดว้ ยสเกลาร์ • (kA)t = k ⋅ At • k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2) A • k(A + B) = kA + kB แบบฝกึ หัด 9.1 (1) A = ⎡2 3 −1⎤ , B= ⎡−3 2⎤ จงหาคา่ ของ a11 +b22 และ 2a12 −3b21 ⎣⎢4 0 8 ⎥⎦ ⎣⎢ 5 4⎥⎦ (2) ให้เมตริกซ์ A มีมติ ิ โดยที่ ⎪⎧i + j ,i > j ⎨ 1 3×3 aij = , i = j จงเขียนเมตริกซ์ A นั้น ⎪⎩i − j , j > i (3) เมื่อ A = ⎡2 −4⎤ , B = ⎡cosec 30° log 10−4 ⎤ ถามวา่ A = B หรอื ไม่ ⎣⎢20+1 ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎦ ⎢⎣ 4 25 ⎥⎦ (4) ถ้า x2 − x + 1 = 0 และ A = ⎡x2 x − x2 ⎤ , B = ⎡x−1 1 ⎤ แลว้ A = B หรือไม่ ⎢ x ⎥ ⎢ x2+1⎦⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 (5) จงหาคา่ ของ (5.1) ⎡1 3 2⎤ + ⎡2 6 1⎤ ⎡ 2 1⎤ ⎢⎣0 1 5⎥⎦ ⎢⎣4 1 2⎥⎦ (5.3) 5 ⎣⎢⎢⎢−42 83⎥⎥⎦⎥ (5.2) ⎡6 2⎤ − ⎡1 5⎤ ⎢⎣8 4⎥⎦ ⎣⎢−1 3⎥⎦ (6) A = ⎡2 3⎤ , B= ⎡0 1⎤ จงหา A + B, At + Bt, (A + B)t, A + 0 ⎣⎢−1 4⎥⎦ ⎢⎣3 2⎦⎥ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 208 เมตรกิ ซ (7) A = ⎡2 −1 4⎤ จงหา At, 2A, −A ⎢⎣3 0 1 ⎥⎦ (8) A = ⎡a11 a12 ⎤ , B = ⎡b11 b12 b13 ⎤ จงเขยี นเมตรกิ ซ์ AB ⎣⎢a21 a22 ⎦⎥ ⎣⎢b21 b22 b23 ⎦⎥ (9) จงหาค่า x, y เม่ือกาํ หนดให้ (9.1) A2×5 × B5×3 = Cx× y (9.3) Ax ×2 × B2×5 = C7× y (9.2) A3×5 × Bx× y = C3× 4 (9.4) A2× x × By ×5 = C2×5 (10) A3×2, B2×4 จงหามติ ขิ อง AB และ BA (11) A = ⎡1 2⎤ , B = ⎡3 0⎤ จงหา AB, BA ⎣⎢−1 0⎦⎥ ⎣⎢ 1 1⎦⎥ S ¨´u ·¼èÕ ´i º‹oÂ! S (12) A = ⎡1 0⎤ , B = ⎡3 −4⎤ ⎣⎢4 2⎥⎦ ⎢⎣−1 5 ⎥⎦ e¹èo× §¨Ò¡ AB Áa¡äÁe‹ ·‹Ò¡aº BA ´§a ¹¹éa (A +B)2 ≠ A2 +2AB+B2 ¹a¤Ãaº จงหา AB, BA, (A + B)2, A2 + 2AB + B2 æÅa¡çËҌ Á桵aÇ»Ãa¡oºÊÁ¡ÒáíÒÅa§Êo§´ŒÇ eª¹‹ (A +2B)(3A +B) ≠ 3A2 + 7AB+2B2 (13) A = ⎡2 1⎤ , B = ⎡3 2⎤ จงหา At × (B × A) æµe‹ ¹oè× §¨Ò¡ AI e·Ò‹ ¡aº IA eÊÁo ⎢⎣0 3⎦⎥ ⎢⎣ 1 2⎦⎥ ´§a ¹¹éa (A +2I)(3A +I) = 3A2 + 7A +2I (14) ถา้ ⎡3 0 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0⎤ =C จงหาค่า c22 ⎢⎢⎣⎢21 −1 20⎥⎦⎥⎥ ⎢⎢⎢⎣21 −31⎥⎥⎦⎥ ⎣⎢ 4 2⎥⎦ 1 (15) A = ⎡2 1⎤ จงหา An ⎣⎢0 2⎥⎦ (16) [Ent’33] กําหนด A = ⎡x+y 2⎤ , B = ⎡2 y⎤ , C = ⎡1 a⎤ ถา้ AB = C จงหาคา่ a ⎣⎢ 3 z ⎥⎦ ⎣⎢−2 y⎥⎦ ⎢⎣0 1⎦⎥ (17) ⎡1 2 0⎤ ⎡3 x⎤ ⎡5 7⎤ ถ้า จงหาค่า ⎢⎣1 0 2⎥⎦ ⎢ y1⎦⎥⎥⎥ , ⎣⎢7 5⎦⎥ A = , B = ⎢ 1 C = AB = C x+y−z ⎣⎢ z (18) ถ้า X = ⎡a 0⎤ และ X2 + 2X + I = 0 จงหา a, b ⎢⎣0 −b⎥⎦ (19) [Ent’30] A = ⎡a 4⎤ ถ้า A2 + 4 A − 5 I = 0 จงหา a, b ⎢⎣2 b⎦⎥ ⎡x −1 x2 ⎤ ⎡−2 0 4⎤ (20) A = ⎢⎢y2 ⎥ 2 24⎥⎦⎥⎥ ถา้ แล้ว x, y เป็นเท่าใด 1 3 ⎥ , B = ⎢ 0 4 At + A = B x2 ⎢ 4 ⎢ 3 y ⎥ ⎢⎣ ⎣ ⎦ (21) [Ent’39] A = ⎡3 7⎤ , B = ⎡⎣ x y ⎦⎤ เซตของจุด (x, y) ซ่งึ สอดคล้องกับสมการ ⎣⎢−7 −4⎥⎦ BABt = [12] เป็นกราฟรูปอะไร 9.2 ดีเทอร์มินนั ต์ ดีเทอร์มนิ ันต์ (ตวั กําหนด; Determinant) เป็นคุณสมบัตขิ องเมตรกิ ซจ์ ัตุรัสเท่าน้ัน และดีเทอร์มนิ นั ต์มีคา่ เปน็ ตวั เลข โดยเมตริกซ์หนึง่ ๆ จะคํานวณดีเทอร์มินันต์ไดค้ า่ เดยี วเสมอ เครื่องหมายแสดง “ดีเทอร์มินันต์ของเมตรกิ ซ์ A” คอื A หรือ det (A) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 209 เมตรกิ ซ วิธีหาดีเทอรม์ ินันต์ เมตริกซ์ 2 × 2 เมตรกิ ซ์ 1 × 1 ถา้ A = ⎡a b⎤ ถา้ A = ⎣⎡ a ⎦⎤ ⎣⎢c d⎥⎦ จะไดว้ า่ det (A) = a จะได้ว่า det (A) = ad − bc เมตริกซ์ 3 × 3 ใชห้ ลกั วา่ “คูณเฉยี งลงรวมกนั ” ลบดว้ ย “คณู เฉยี งขึน้ รวมกัน” ถา้ ⎡a b c⎤ จะได้วา่ det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdc A = ⎣⎢⎢⎢gd ⎥ e f ⎥ h i ⎥⎦ สว่ นเมตรกิ ซ์ n × n ใดๆ จะใช้ วธิ ีโคแฟกเตอร์ (ใช้ได้กับทุกขนาด ตัง้ แต่ 2 × 2 ขึ้นไป) det (A) = สมาชิก 1 แนว คณู กับโคแฟกเตอร์ของแนวน้ัน (ตําแหน่งเดียวกนั คูณกันแล้วรวม) คําว่า “แนว” ในทีน่ ้ี หมายถงึ แถวหรอื หลกั กไ็ ด้ 1. ไมเนอร์ (Minor) ของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณว์ า่ Mij (A) คอื ค่า det ของสับเมตรกิ ซ์ (เมตริกซย์ อ่ ย; Submatrix) ทีต่ าํ แหนง่ นน้ั .. (ตดั แถว ตัดหลัก แลว้ หา det) 2. โคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบร่วมเกี่ยว; Cofactor) ของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลักษณว์ า่ Cij (A) หรือ Cof (A) คือคา่ ไมเนอร์ Mij (A) ทน่ี าํ มาใส่เครื่องหมาย บวกหรือลบ สลบั กนั ตามรปู แบบ Cij = (−1)i+j ⋅ Mij (ตาํ แหนง่ แรกสุดใส่บวก, แลว้ เติมเคร่ืองหมายบวกลบสลับกนั ไป) ตัวอยา่ งเชน่ ตอ้ งการหาเมตริกซ์โคแฟกเตอร์ของ ⎡2 1 −1⎤ A = ⎢⎢⎢⎣52 ⎥ 0 1 ⎥ 0 8 ⎥⎦ เริ่มจากหาคา่ ตวั เลขไมเนอรใ์ ห้ครบทกุ ตําแหนง่ M11 = 01 = 0, M12 = 21 = 11, ..., M33 = 21 = −2 08 58 20 ⎡0 11 0 ⎤ ⎡+0 −11 +0 ⎤ ∴ M (A) = ⎢⎢8 21 −5⎥⎥ → C (A) = ⎢⎢−8 +21 −(−5)⎥⎥ ⎢⎣ 1 4 −2⎥⎦ ⎢⎣ +1 −4 +(−2)⎥⎦ จากเมตรกิ ซ์โคแฟกเตอร์ท่ีได้ ทําให้หาค่า det (A) ได้ดังนี้ det (A) = 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−11) + (−1) ⋅ 0 = −11 (คดิ จากแถวท่ี 1) det (A) = 5 ⋅ 1 + 0 ⋅ (−4) + 8 ⋅ (−2) = −11 (คดิ จากแถวท่ี 3) det (A) = 1 ⋅ (−11) + 0 ⋅ 21 + 0 ⋅ (−4) = −11 (คดิ จากหลกั ที่ 2) จะพบว่า ไมว่ า่ จะคิดจากแถว หรอื หลกั ใด กจ็ ะได้คา่ det (A) เท่าเดมิ เสมอ แตโ่ จทยข์ อ้ นีค้ ดิ จาก หลกั ท่ี 2 จะง่ายทส่ี ุด เพราะพจน์ทสี่ องกับสาม เปน็ 0 ไมจ่ าํ เปน็ ต้องหาค่าโคแฟกเตอร์ det (A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 = −a12M12 + a22 = 0M22 − a32 = 0M32 = −1 ⋅ 21 = −11 58 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 210 เมตริกซ สมบัติของดีเทอรม์ ินันต์ • det (AB) = det (A) ⋅ det (B) • det (I) = 1 • det (At) = det (A) • det (0) = 0 • det (An) = (det (A))n เมอ่ื n ∈ I • det (kA) = kn ⋅ det (A) เมอื่ n = ขนาดของ A S ¨u´·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S เมตริกซ์ทีค่ า่ det เป็นศนู ย์ เรียกว่า เมตริกซเ์ อกฐาน ¶Ö§æÁʌ ­a Åa¡É³¢ o§ det ¨aeËÁ×o¹¤‹Ò (Singular Matrix) เชน่ เมตรกิ ซท์ ี่มแี นวใดแนวหนงึ่ เปน็ 0 ทุกตัว, ÊaÁºÙó æÅaÊÁºaµi¡ÒáÃa¨Ò¼Ťٳ หรอื เมตรกิ ซ์ท่ีมี 2 แนวซํ้ากนั , หรอื เป็น k เท่าของกันและกัน, ฯลฯ ¼ÅËÒáçeËÁ×o¹¡a¹.. 测¨u´·µèÕ Ò‹ §¡a¹¤×o 1. ¤Ò‹ det µ´i ź䴌 eª¹‹ | -2 | = -2 เมตริกซท์ ม่ี ีสามเหลี่ยมลา่ งหรอื บน เปน็ 0 ทุกตวั Á2.µi ¡i´ÒŒÇô֧eªÊ¹‹Áa »|Ã3aÊA·i |¸ìio=o¡3ÁnÒµ|oŒ §A¡|¡Òí ŧa เรยี กว่า เมตรกิ ซส์ ามเหลี่ยม (Triangular Matrix) จะมคี า่ det เป็น “ผลคณู ของสมาชิกในเสน้ ทแยงมมุ หลัก” แบบฝึกหัด 9.2 (22) A = ⎣⎡ 2 ⎤⎦ , B = ⎡⎣ −5 ⎤⎦ จงหา det (A), det (B), det (01) (23) A = ⎡2 −5⎤ , B = ⎡−2 −4⎤ จงหา det (A), det (B) ⎢⎣4 −6⎥⎦ ⎣⎢ 3 6 ⎥⎦ (24) A= ⎡1 −5⎤ , B = ⎡x x⎤ , C = ⎡5 0⎤ จงหาค่า x ท่ีทําให้ det (A) < det (B) < det (C) ⎢⎣2 2 ⎥⎦ ⎣⎢−1 x⎥⎦ ⎣⎢0 4⎥⎦ ⎡ 3 −4 0 ⎤ (25) จงหาA = ⎢⎢−5 4 −3⎥⎥ det (A), M11(A), M32(A), C11(A), C32(A) ⎢⎣ 2 −2 1 ⎦⎥ (26) จงหา เมอ่ื ⎡ 6 1 2⎤ โดยใช้วิธีโคแฟกเตอร์ ⎢⎣⎢⎢−73 51⎥⎥⎦⎥ det (A) A = 0 2 (27) ⎡5 3 −5⎤ จงหา โดยใช้วธิ ี nn คณู ทแยง ⎢ 2 ⎥ A = ⎢ 4 −3 1 ⎥ det (A) ∑ ∑aijCij, aijCij, ⎣⎢−1 1 ⎦⎥ i=1 j=1 ⎡ x y 4⎤ โดยโคแฟกเตอร์ของ คือ –6, โคแฟกเตอร์ของ คอื (28) [Ent’40] ให้ A = ⎢⎢−3 ⎥ 8 0 ⎥ a21 a23 ⎣⎢ x −y −1⎥⎦ 4 แล้ว จงหาโคแฟกเตอร์ของ a33 ⎡a −1 0 ⎤ (29) [Ent’39] A = ⎢⎢b ⎥ ถ้า และ จงหาค่า a 1 1 ⎥ C12 (A) = 1 det (A) = −5 ⎣⎢c 1 −1⎥⎦ ⎡−4 1 1 0 ⎤ ⎢ −13⎥⎥⎥ (30) A = ⎢ 2 0 1 จงหา C11 C21 ⎢ 0 0 2 C32 C44 ⎢⎣ 1 −1 3 2 ⎥⎦ (31) จงหาค่า 2 0 4 −6 และ 1 a b+c และ n n+1 n+2 0 −4 0 0 1 b a+c n+1 n+2 n+3 5 −2 0 0 1 c a+b n+2 n+3 n+4 1 3 −1 −3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 211 เมตริกซ (32) [Ent’36] ถ้า A = ⎡−1 1⎤ จงหาค่า det (−2 A3At(A + At)) ⎢⎣ 3 −1⎦⎥ (33) A = ⎡1 1⎤ จงหา det (−2 AnAt(A + At)) เมือ่ n ∈ I+ ⎢⎣0 1⎦⎥ (34) กําหนด A = ⎡2 0⎤ , B = ⎡0 5⎤ , C = ⎡3 4⎤ , D = ⎡−1 4⎤ ⎢⎣0 1⎦⎥ ⎣⎢ 1 0⎦⎥ ⎢⎣2 1⎦⎥ ⎣⎢ 3 −2⎥⎦ ถา้ AXB = CD จงหา X (35) จงหา เมอื่ กาํ หนดให้ ⎡−2 0 0⎤ ⎡12 4 10⎤ ⎢ 0⎥⎥ X ⎢ ⎥ det (X) ⎢ 4 3 = ⎢ 0 −5 8 ⎥ 0 ⎢⎣ 2 1 5⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ (36) [Ent’36] ให้ A, B เปน็ non-singular matrix โดย A = 1,B = ⎡−2 −2⎤ และ 4 ⎣⎢ x y ⎥⎦ AB + 4A = 2I จะได้ค่า x + y เทา่ กับเท่าใด (37) [Ent’31] กาํ หนดให้ A, B, C, I เป็นเมตริกซม์ ีมิติ 2 × 2 ถา้ det (−A3) = det (2 2 I), det (C−1) = 4 และ ABtC = ⎡−6 1⎤ แลว้ det (B) มคี ่าเทา่ ใด ⎣⎢ 4 −2⎥⎦ (38) A = ⎡ sin x 2 cos x⎤ จงหาค่า x ทที่ าํ ให้ A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน ⎣⎢−cos x 2 sin x ⎥⎦ ⎡ 1 0 −x2 ⎤ (39) [Ent’39] จงหาจาํ นวนจรงิ x ท้ังหมดทท่ี าํ ให้ ⎢⎢2 1 ⎥ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน 0 ⎥ ⎣⎢x 3 5 ⎦⎥ (40) จงหาค่า x ที่ทําให้ ⎡ 1 2 −1⎤ เปน็ เมตรกิ ซ์เอกฐาน ⎢⎢⎢⎣−12 −12⎥⎦⎥⎥ x −2 (41) A = ⎡ log 2x −2x⎤ จงหาคา่ x ทที่ ําให้ A ไมเ่ ปน็ เมตรกิ ซ์เอกฐาน ⎢⎣⎢log 2x − 1 ⎥ x ⎥⎦ (42) [Ent’34] ขอ้ ใดถูกหรือผดิ บา้ ง เม่อื A เป็นเมตริกซ์จัตุรสั มติ ิ 2 × 2 ก. ถ้า A = −At แล้ว สมาชิกในแนวทแยงมมุ บนซ้ายถงึ ล่างขวาของ A เป็น 0 หมด ข. ถา้ A2 = B และ B เป็นนอนซงิ กูลาร์เมตริกซแ์ ล้ว A เปน็ นอนซิงกูลารด์ ้วย 9.3 อนิ เวอรส์ การคณู เร่อื งเมตรกิ ซไ์ ม่มีการหาร มีแตก่ ารคูณดว้ ย อินเวอร์ส (เมตริกซ์ผกผนั ; Inverse Matrix) และ อนิ เวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใชส้ ัญลักษณ์ A−1 (มอี นิ เวอร์สเฉพาะเมตริกซจ์ ัตรุ สั เท่านน้ั ) โดยนิยามให้ A ⋅ A−1 = A−1⋅ A = I (เปรียบเสมอื น )A−1 = I A วิธหี าอนิ เวอรส์ การคูณ เมตรกิ ซ์ 2 × 2 เมตรกิ ซ์ 1 × 1 ถ้า A = ⎡a b⎤ ถ้า A = ⎡⎣ a ⎤⎦ ⎢⎣c d⎥⎦ จะได้วา่ A−1 = ⎣⎡ 1/a ⎦⎤ จะไดว้ ่า A−1 1 ⎡d −b⎤ det (A) ⎢⎣−c a ⎦⎥ = ⋅ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 212 เมตรกิ ซ สว่ นเมตรกิ ซ์ n × n ใดๆ ต้ังแต่ 2 × 2 ข้ึนไป จะใช้ วิธีโคแฟกเตอร์ เช่นเดิม A−1 = (C (A))t det (A) เรียก (C(A))t วา่ เมตรกิ ซผ์ กู พัน (Adjoint Matrix) ของ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์เป็น adj A หรือ Adj(A) กไ็ ด้ สมบัติของอินเวอร์สการคูณ • (A−1)n = (An)−1 = A−n • (A−1)−1 = A • (AB)−1 = B−1A−1 • (kA)−1 = 1 ⋅ A−1 k • A−1 = A −1 = 1 A เมตรกิ ซท์ ่ีจะหาอินเวอร์สการคูณได้ ต้องเป็น เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Matrix) คือ det ≠ 0 เทา่ น้นั S ¡ÒÃæ¡ÊŒ Á¡ÒÃeÁµÃ¡i «Á Õ¢oŒ ¤ÇÃÃaÇa§´a§¹éÕ 1. eÁèo× ·Òí ¡ÒÌҢŒÒ§µaǤٳ ä»e»¹š oi¹eÇoÃʏ oÂo‹Ù ¡Õ ½§›˜ µoŒ §¤Òí ¹Ö§¶Ö§ÅíÒ´aº´ÇŒ  e¾ÃÒa¡ÒäٳäÁÁ‹ ÕÊÁºµa ¡i ÒÃÊÅaº·.èÕ . eª¹‹ AB = C ¡ÅÒÂe»š¹ B = A−1C ä´.Œ . 测e»š¹ B = CA−1 äÁä‹ ´Œ 2. µÃǨÊoºeÊÁoÇ‹Ò ÊÁ¡ÒÃÂa§e»š¹eÁµÃ¡i «·§éa Êo§¢ŒÒ§ËÃo× äÁ‹ (ËҡŒÒ¢Ҍ §eÁµÃi¡« ä»e»š¹oi¹eÇoÃʏ ¨¹ËÁ´ oÂҋ Å×ÁeËÅ×o eÁµÃ¡i « I äÇ´Œ ŒÇÂ..) eª‹¹ ¨Ò¡ AB = 2C ËҡŒÒ¢ŒÒ§e»¹š ABC−1 = 2 溺¹¼éÕ i´ e¾ÃÒa½§˜› ¢ÇÒ¡ÅÒÂe»š¹µaÇeÅ¢.. ·èÕ ¶Ù¡µŒo§e»¹š ABC−1 = 2 I 3. [Ent’27] ÊÁ¡ÒÃeÁµÃi¡«Ê ÒÁÒö¤Ù³e¢ŒÒ·§éa Êo§¢ŒÒ§ä´eŒ ÊÁo 测¡Òõa´oo¡·§éa Êo§¢ŒÒ§ºÒ§¤Ãa§é ãªäŒ Áä‹ ´Œ .. eª‹¹ A = ⎡1 1⎤ , B = ⎡6 2⎤ , C = ⎡1 8⎤ ¾ºÇ‹Ò AB = AC 测 B ≠ C ⎢⎣2 2⎥⎦ ⎣⎢0 9⎥⎦ ⎢⎣5 3⎦⎥ 4. ãÊe‹ ¤Ã×èo§ËÁÒ det ·é§a Êo§¢ŒÒ§ä´ŒeÊÁo 测¡Òõa´oo¡·§éa Êo§¢ÒŒ §¡çÁa¡¨aãªäŒ Áä‹ ´Œ eª¹‹ A = ⎡1 2⎤ , B = ⎡2 3⎤ ¾ºÇ‹Ò det (A) = det (B) 测 A ≠B ⎣⎢3 4⎥⎦ ⎢⎣4 5⎥⎦ 5. [Ent’21] ¶ŒÒ AB = 0 æÅŒÇ äÁ‹¨íÒe»¹š ·èÕ A ËÃ×o B µŒo§e»¹š 0 eª¹‹ A = ⎡2 −3⎤ , B = ⎡3 6⎤ ¡¾ç ºÇ‹Ò AB = 0 䴌eª¹‹ ¡a¹ ⎣⎢−2 3 ⎥⎦ ⎢⎣2 4⎥⎦ แบบฝึกหดั 9.3 (43) จงหาA = ⎡−3 −2⎤ , B = ⎡2 −3⎤ A−1, B−1, 02−1, I2−1 ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 −6⎥⎦ (44) A = ⎡4 3⎤ , B = ⎡2 3⎤ จงหา (AB)−1, B−1A−1 ⎢⎣2 2⎦⎥ ⎣⎢4 5⎥⎦ (45) จงหาอินเวอรส์ การคณู ของ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 213 เมตริกซ (45.1) ⎡1 2⎤ (45.3) ⎡2 4⎤ ⎣⎢2 3⎦⎥ ⎢⎣ 1 2⎥⎦ (45.2) ⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎢⎣−sin θ cos θ⎦⎥ (46) [Ent’41] A = ⎡1 −2⎤ , B = ⎡−1 1⎤ จงหา 2A−1Bt ⎢⎣−3 4 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 1⎥⎦ (47) A = 1 ⎡ −1 3⎤ และ B เป็นเมตริกซ์ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ BA−1 = At จงหา B ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣− 3 −1 ⎦⎥ (48) ⎡2 −5⎤ X + ⎡1 2⎤ = ⎡3 0⎤ จงหาเมตริกซ์ X ⎢⎣ 1 −2⎥⎦ ⎢⎣2 4⎦⎥ ⎣⎢ 1 2⎥⎦ (49) ถา้ ⎡4 6⎤ A = ⎡1 2⎤ จงหา A ⎢⎣8 12⎥⎦ ⎣⎢3 4⎦⎥ (50) [Ent’20] ถา้ A ⎡4 16 ⎤ = ⎡4 0⎤ จงหา A−1 ⎣⎢36 64⎥⎦ ⎣⎢0 4⎦⎥ ⎡3 0 −1⎤ จงหา ⎡1⎤ (51) AB = I, B = ⎢⎢4 ⎥ A−1 ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ 2 0 ⎥ ⎢⎣3 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ (52) [Ent’40] กําหนด A= ⎡3 4⎤ , B = ⎡1 2⎤ , X = ⎡a b⎤ และ AX + B = A ⎣⎢2 3⎥⎦ ⎣⎢−1 3⎦⎥ ⎣⎢c d⎥⎦ จงหา b + c (53) [Ent’38] A = ⎡0 1⎤ , B = ⎡2 −1⎤ , C = ⎡−1 0⎤ ถา้ X = (B + C) A จงหา X−1 ⎢⎣ 1 2⎦⎥ ⎢⎣−1 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 −2⎥⎦ (54) [Ent’37] ถา้ ⎡1 2 −1⎤ ⎡0 2 −3⎤ และ AB − AC − 1 I = 0 จงหา B = ⎢⎢⎣⎢−32 0 ⎥ = ⎣⎢⎢⎢03 −1 ⎥ 2 1 1 ⎥ , C 2 2 ⎥ A−1 0 ⎥⎦ 1 ⎦⎥ ⎡2 1 −2⎤ จงหา * (55) A = ⎢⎢3 0 ⎥ 0 ⎥ adj A, A (adj A), (adj A) A, det (A), A−1 ⎢⎣4 6 −1⎥⎦ (56) จงหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมตรกิ ซ์ A เมือ่ ⎡2 −3 2⎤ ⎢⎢⎣⎢60 01⎦⎥⎥⎥ A = 3 −3 (57) [Ent’41] A = ⎡3 4⎤ , C = ⎡30 18⎤ , B เป็นเมตริกซ์ท่ีทําให้ AB = C ข้อใดถูก ⎢⎣ 1 2⎥⎦ ⎢⎣ 12 8 ⎦⎥ ก. det (B−1) = 12 ค. det (2 Bt) = 24 ข. det (B−1A−1) = 24 ง. det (A2B) = 48 (58) ⎡2 5 1⎤ จงหา ⎢⎢⎣⎢43 07⎥⎥⎦⎥ A−1 = 0 det (At)−1 −2 (59) 2A−1 = B และ det (A) ⋅ det (B) = 16 จงหามิตขิ องเมตริกซ์ B (60) A มีมติ ิ 3 × 3 และ det (A) = 4 , ถ้า A2 − 3A + I = 0 และ B = 1 A−1 − 3 I 22 จงหา det (B) (61) [Ent’27] A = ⎡1 2⎤ , B = ⎡−1 1⎤ , C = 2AB−1 + B−1 จงหาค่า x เมอื่ det (C) = 1 ⎢⎣x 3⎥⎦ ⎣⎢ 2 1⎦⎥ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 214 เมตรกิ ซ (62) [Ent’32] A= ⎡c −1⎤ และ det (2A2) + (1−c2)3 det (A−1)t = 45 จงหา c ⎣⎢ 1 −c⎦⎥ (63) A = ⎡1 a 0⎤ จงหาค่า a ท่ีทาํ ให้ a det (A−1)t + 1 det (2A) + 4 =0 ⎢⎣⎢⎢1−1a −a 11⎥⎥⎦⎥ 4a 0 (64) [Ent’35] ขอ้ ใดถูก ⎡5⎤ ⎡ 1 ⎤ ก. ถา้ เมตรกิ ซ์ U = ⎡⎣ 1 −1 −4 ⎤⎦ , X = ⎡⎣ 0 1 2 ⎦⎤ , V = ⎢⎢⎣⎢01⎥⎥⎥⎦ , Y = ⎢⎢⎣⎢−21⎥⎦⎥⎥ แลว้ เมตริกซ์ 3UV − 2XY = ⎡⎣ 3 ⎦⎤ ข. ถ้า ⎡2 1⎤ เป็นซงิ กูลารเ์ มตริกซ์แล้ว a=2 ⎢⎣a2 a⎦⎥ ค. ถ้า A, B เป็นเมตริกซจ์ ัตุรสั ทมี่ ีมิตเิ ดยี วกัน และ det(AB) = 0 แล้ว det (A) = 0 หรือ det (B) = 0 ง. ถา้ A เป็นนอนซิงกลู ารเ์ มตริกซม์ ติ ิ 2 × 2 แลว้ det ((2A)−1) = det (2A−1) (65) [Ent’41] A= ⎡2 −1⎤ , M = ⎡x −x ⎤ จงหาเซตจํานวนจรงิ x ที่ทําให้ ⎢⎣ 1 3 ⎥⎦ ⎢⎣3/7 x+3⎥⎦ det (M) = det ((2A + At) A−1) (66) [Ent’36] กาํ หนด A, B เป็น non-singular matrix โดย det(A−1) = − 1 และ 2 B = ⎡−1 −2⎤ จงหา x+y ถา้ AB + 3A = 2I ⎣⎢ x y ⎦⎥ * (67) [Ent’39] ให้ ⎡ 1 2 −1⎤ ถา้ จงหาค่า ⎢ ⎥ A = ⎢ 2 1 1 ⎥ AB = BA =I det (adj B−1) ⎢⎣−1 1 0 ⎥⎦ * (68) [Ent’37] ถา้ ⎡ 1 1 −1⎤ และ จงหาเมตริกซผ์ ูกพันของ B A = ⎢⎢⎣⎢21 ⎥ 1 3 ⎥ AB = BA = I 0 1 ⎦⎥ ก. 1 A ข. −3A ค. 1 At ง. −3At 3 3 * (69) [Ent’38] ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จตั ุรสั มมี ิติ 4 × 4 โดย A (adj A) − BA = I ถ้า det (B) = 0 แลว้ det (A) มคี า่ เท่าใด หมายเหตุ จากขอ้ 55, 67, 68, 69 ซึง่ เป็นการคํานวณเกี่ยวกับ adj A นัน้ เราสามารถพิสจู น์ความสัมพนั ธ์ จากสมการ A−1 = adj A ก่อน เพ่อื ความสะดวกในการคาํ นวณ det (A) เชน่ A ⋅ A−1 = A (adj A) → I = A (adj A) → det (A) ⋅ I = A (adj A) det (A) det (A) สว่ นความสมั พันธอ์ ่ืน ก็หาไดจ้ าก A−1 = adj A เหมือนกัน เช่น adj A−1 = A , det (A) det (A) ฯลฯdet (adj A) = (det (A))n − 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 215 เมตริกซ 9.4 การดาํ เนินการตามแถว การดําเนนิ การตามแถว (Row Operation) ใชห้ าอินเวอร์สการคณู (A−1) ได้ ซ่ึงการดาํ เนินการตามแถวน้ัน สามารถกระทําได้ 3 ลักษณะ คอื a) นาํ คา่ คงที่ k (ท่ีไม่ใช่ 0) ไปคูณไวแ้ ถวใดแถวหนง่ึ b) นาํ ค่าคงท่ี k ไปคณู แถวใดแถวหน่งึ แล้วเอาไปบวกไวท้ ี่แถวอ่นื c) สลบั แถวกัน 1 ครงั้ การหาอนิ เวอรส์ การคณู (A-1) โดยดําเนินการตามแถว มหี ลกั อยูว่ ่า พยายามหาข้นั ตอนทํา A ให้กลายเป็น I แล้ววิธีเดยี วกนั น้นั จะทาํ I ใหก้ ลายเปน็ A−1 ได้ เขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ไดว้ ่า ⎣⎡ A I ⎤⎦ ~ ⎣⎡ I A−1⎦⎤ ตวั อยา่ งเชน่ ตอ้ งการหา A−1 เมือ่ A = ⎡4 2⎤ ⎣⎢−8 3⎦⎥ เราจะเร่ิมจาก เขียน A กบั I ไวใ้ นแถวเดยี วกัน เรียกวา่ เมตรกิ ซแ์ ต่งเตมิ (Augmented Matrix) แล้วพยายามแปลง A ทางซ้ายมือ ให้เป็น I ⎣⎡ A I ⎤⎦ = ⎡4 2 1 0⎤ ~ ⎡4 0 3/7 −2/7⎤ ⎥ ⎣⎢−8 3 0 1⎥⎦ R1 −2R2 ⎢⎣0 1 2/7 ⎦ 1/7 ~ ⎡4 2 1 0⎤ ~ ⎡ 1 0 3/28 −1/14⎤ ⎥ 1 R1 ⎣⎢0 1 2/7 1/7 ⎦ R2 + 2R1 ⎢⎣0 7 2 1⎥⎦ 4 ~ ⎡4 2 1 0 ⎤ = ⎣⎡ I A-1⎤⎦ 1 R2 ⎢⎣0 1 2/7 1/7⎦⎥ 7 เม่ือแปลง A ทางซา้ ยมอื ใหเ้ ป็น I เรียบร้อยแลว้ , I ทางขวามอื จะกลายเป็น A−1 ดังน้ัน A−1 = ⎡3/28 −1/14⎤ ⎢⎣ 2/7 1/7 ⎦⎥ ข้อสังเกต 1. เราใชเ้ คร่ืองหมาย ~ แทนการดาํ เนนิ การแต่ละข้นั ตอน และเขียนวิธกี ํากับไว้ 2. นิยมเขยี นแถวท่ถี ูกดาํ เนินการไว้ดา้ นหน้า เชน่ R2+2R1 แสดงวา่ R2 จะเปลย่ี นไป 3. เทคนคิ การทําใหเ้ ปน็ I โดยเร็วที่สุดคอื ทําสมาชิกเป็น 0 ให้ครบทีละสามเหลี่ยม (ล่างหรอื บน) 4. หากตอ้ งการสลับทร่ี ะหว่างแถว R1, R2 กจ็ ะใช้สญั ลักษณก์ าํ กับวา่ R12 การดําเนนิ การตามแถวทงั้ สามแบบ สง่ ผลตอ่ คา่ det ดงั นี้ a) นําค่าคงท่ี k (ท่ีไมใ่ ช่ 0) ไปคณู ไวแ้ ถวใดแถวหน่งึ detใหม่ = k ⋅ detเก่า b) นําค่าคงท่ี k ไปคณู แถวใดแถวหนงึ่ แลว้ เอาไปบวกไวท้ ่ีแถวอื่น detใหม่ = detเก่า (det ไม่เปล่ยี น จึงใช้วิธีน้ชี ่วยในการคํานวณ det ได้ โดยปรับสมาชิกในเมตริกซ์ใหม้ ี 0 มากๆ) c) สลบั แถวกัน 1 ครง้ั detใหม่ = − detเก่า ท้งั น้ี การดาํ เนินการตามหลัก กใ็ ห้ผลเชน่ เดยี วกัน เนือ่ งจากสมบัติ det(At) = det(A) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 216 เมตริกซ แบบฝกึ หดั 9.4 (70) ถ้า ⎡a b c⎤ , ⎡d f e⎤ ถามวา่ เปน็ ก่เี ท่าของ A = ⎢⎢⎣⎢gd ⎥ B = ⎢⎢⎢⎣2ga 2hb⎥⎦⎥⎥ e f ⎥ 2c B A h i ⎦⎥ i (71) ถา้ ⎡a b c⎤ ⎡4x 4y 4z⎤ ⎡p −a+x x⎤ จงหา ⎢⎢⎢⎣px zr ⎥⎥⎥⎦ , det (A) = 3, B = ⎢⎢⎢⎣2−pa 2−cr ⎥⎥⎥⎦ , C = ⎢⎣⎢⎢qr yz ⎥⎥⎥⎦ A= q 2b −b+y det (3B−1) y −q −c+z และ det (2C−1) (72) [Ent’38] ให้ A เปน็ เมตริกซจ์ ตั ุรสั 4 × 4 และ M23(A) = 5 จงหา M32(2A)t (73) [จากขอ้ 43,55,56] จงหาอินเวอร์สการคณู ของเมตริกซ์ A, B, C, D โดยใช้วธิ ีดําเนนิ การ ตาม แถว เมอ่ื A = ⎡−3 −2⎤ , B = ⎡2 −3⎤ , C = ⎡2 1 −2⎤ = ⎡2 −3 2⎤ ⎣⎢ 4 2 ⎦⎥ ⎢⎣4 −6⎦⎥ ⎢⎢⎢⎣43 0 −01⎥⎥⎥⎦ , D ⎣⎢⎢⎢60 3 01⎥⎥⎦⎥ 6 −3 9.5 การใช้เมตรกิ ซแ์ กร้ ะบบสมการเชงิ เส้น ระบบสมการเชงิ เสน้ ที่มีจํานวนตัวแปรเท่ากบั จาํ นวนสมการ เราจะเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู สมการ เมตรกิ ซ์ได้ เป็น AX = B (เรยี ก A ว่า เมตรกิ ซ์สมั ประสิทธ์ิ, X เปน็ เมตรกิ ซต์ วั แปร, และ B เปน็ เมตรกิ ซค์ ่าคงท)่ี สิง่ ทเ่ี ราตอ้ งการหากค็ ือเมตริกซ์ X ⎧ 4x + 2y − z = 0 เช่น ระบบสมการ ⎪ มี 3 สมการ และมี 3 ตัวแปร ⎨ x − y = 3 ⎪ 5x − 3y + 2z + 1 = 0 ⎩ แปลงเป็นสมการเมตรกิ ซ์ ได้วา่ ⎡4 2 −1⎤ ⎡x⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢⎢⎣⎢51 ⎥ ⎣⎢⎢⎢yz ⎦⎥⎥⎥ ⎢⎣⎢⎢−31⎦⎥⎥⎥ AX = B −1 0 ⎥ = −3 2 ⎥⎦ วธิ ีแกส้ มการเมตริกซน์ ้ี มี 3 แบบ 1. วธิ อี ินเวอรส์ AX = B → X = A−1B เป็นวิธีทาํ แบบตรงๆ นนั่ คือ ⎡x⎤ ⎡4 2 −1⎤−1 ⎡ 0 ⎤ กต็ อ้ งหาอนิ เวอร์สกอ่ น แล้วคณู กันไดเ้ ปน็ คําตอบ ⎢⎣⎢⎢yz ⎥⎥⎦⎥ ⎢⎢⎢⎣51 ⎥ ⎢⎣⎢⎢−31⎥⎥⎥⎦ = −1 0 ⎥ −3 2 ⎥⎦ 2. กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) xi = det (Ai) det (A) เม่อื Ai คือนําเมตริกซ์ B มาแทนลงในหลักท่ี i ของเมตรกิ ซ์ A เชน่ จากตวั อยา่ ง จะได้ x= 0 2 −1 y= 4 0 −1 z= 42 0 1 −1 3 3 −1 0 13 0 5 −3 −1 ,−1 −3 2 ,5 −1 2 4 2 −1 1 −1 0 4 2 −1 4 2 −1 5 −3 2 1 −1 0 1 −1 0 5 −3 2 5 −3 2 3. การดาํ เนนิ การตามแถว (Row Operation) ⎣⎡ A B ⎤⎦ ~ ⎣⎡ I X ⎤⎦ มีหลักอยู่วา่ พยายามหาขัน้ ตอนทํา A ให้กลายเป็น I แลว้ วิธีเดยี วกนั นน้ั จะทํา B ให้กลายเป็น X ได้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 217 เมตรกิ ซ จากตัวอย่างกต็ อ้ งเริ่มจาก ⎡4 2 −1 0 ⎤ แลว้ ทาํ ใหเ้ ปน็ ⎡1 0 0 x⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎢0 1 0 y⎥⎥ ⎢ 1 −1 0 3 ⎥ ⎣⎢5 −3 2 −1⎦⎥ ⎣⎢0 0 1 z⎦⎥ แบบฝกึ หดั 9.5 (74) จงหาคาํ ตอบของระบบสมการต่อไปน้ี โดยใช้วิธีอินเวอร์ส (74.1) x − 2y = 5 (74.2) 2x − 5y = 1 3x + 2y = −1 3x − 7y = 2 4x + 3y + 2z = 5 (75) จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ 3x − y − z = 6 โดยใชว้ ิธอี นิ เวอร์ส −x + 2y + z = 1 (76) จงหาคําตอบของระบบสมการ 3x + 2y = 6 โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ −4x + y = 14 (77) จงหาคาํ ตอบระบบสมการนโ้ี ดยใช้กฎของคราเมอร์ 2x + 3y + z = 3 x + 2y + 3z = −1 (77.1) x + 2y + z = 1 (77.3) 2x + y − 4z = 9 −x + 4y = −2 x − y + 2z = −2 2x + y + z = 1 (77.2) x − 2y − 3z = 1 3x + 2y + 4z = 5 2x + 4y + z = 1 (78) [Ent’38] กําหนดระบบสมการเชงิ เสน้ x + 2y = −2 จงหาค่า x −x − 3y + 2z = 3 (79) จงหาคําตอบระบบสมการต่อไปน้ี โดยการดําเนนิ การตามแถว x + y + z = 10 2x + y − z = 5 (79.1) 3x + z = 13 (79.2) 3x − 2y + 2z = −3 y + 2x − z − 9 = 0 x − 3y − 3z = −2 (80) จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ x − 2y − z = 1 x − 2y − z = 1 (80.2) 4x + 3y + 2z = −5 (80.1) 4x + 3y + 2z = −5 −2x + 4y + 2z = −2 −2x + 4y + 2z = −4 (81) จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ 2 + 1 = 0 2 +3 y +z = 3 x z x (81.1) [Ent’25] (81.2) 4 + 2 = 4 1 +2 y +z = 1 x y x 3 + 1 = 2 − 1 +4 y = −2 y z x ⎡ 1 0 2⎤−1 ⎡ 1⎤ ⎡x⎤ (82) [Ent’25] ให้ A = ⎢⎢2 −1 1⎥⎥ และ B = ⎢⎢2⎥⎥ จงหาค่า y ทไี่ ดจ้ ากสมการ A−1 ⎢⎢y⎥⎥ = B ⎣⎢5 1 2⎦⎥ ⎣⎢0⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ (83) ให้หาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปน้ี ถา้ s เปน็ ค่าคงที่ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 218 เมตรกิ ซ s (x + y) − s = −x − 2y ___(1) s (x + y) − y = 0 _______(2) ⎡ 1 2 3⎤ ⎡p⎤ ⎡ 1⎤ (84) [Ent’40] ให้ A = ⎢⎢0 −1 0⎥⎥ และ X = ⎢⎢q⎥⎥ ถา้ A2(adj A) X = ⎢⎢6⎥⎥ จงหาค่า p ⎢⎣2 1 0⎥⎦ ⎢⎣r ⎥⎦ ⎢⎣0⎦⎥ (85) [Ent’41] ให้ ⎡ 1 −1 2⎤ และ ⎡ 1⎤ จงหาค่าของ a ท่ีทาํ ให้ หาคําตอบได้ ⎢⎢−1 1⎥⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢⎣ 1 a a⎦⎥ B = ⎢ 0 ⎥ AX = B −1 ⎣⎢−1⎥⎦ (86) [Ent’40] ให้ ⎡ 1 2 a⎤ ⎡x⎤ และ ⎡ 1⎤ ถา้ และ A = ⎢⎢⎣⎢−21 bc⎥⎥⎥⎦ , X = ⎢⎢⎢⎣yz⎥⎦⎥⎥ B = ⎢⎣⎢⎢01⎥⎦⎥⎥ 3 AX = B 0 ⎡ 1 2 3⎤ ~A ⎢ −1 −1⎥⎥ R2−2 R1 แลว้ x มีคา่ เท่าใด ⎢ 0 ⎢⎣−1 0 2 ⎦⎥ (87) (โจทยท์ บทวน) ประโยคต่อไปนถี้ กู หรอื ผิด x (1) A + B ≠ B + A _____ (25) (A−1)n = (An)−1 _____ (2) At + Bt ≠ (A + B)t _____ (26) (A−1)−1 = A _____ (27) (3A)−1 = 3 A−1 _____ (3) AtBt ≠ (AB)t _____ (28) adj A = (C (A))t _____ (4) [Ent’27] A−1B−1 ≠ (AB)−1 det (A) _____ (5) A + 0 = A _____ (29) A ⋅ A−1 = adj A _____ (6) A × 1 = A _____ (30) [Ent’37] A = (adj A) ⋅ A _____ (7) A × I = A _____ (31) adj A = A n เมื่อ A มมี ติ ิ n×n _____ (8) [Ent’21] AB = BA _____ (32) 2AtA−1 = 8 เมอ่ื A มีมติ ิ 3×3 _____ (9) k(A + B) ≠ kA + kB _____ (33) A−1AtBAt = 3 เมอ่ื AB = I3 _____ (10) (A + B) C = AC + BC _____ (11) A (B + C) = AC + AB _____ (12) (AB) C = C (BA) _____ (34) cos θ ⋅ ⎡ 1 θ tan θ⎤ =1 _____ (13) I2 = I ⎢⎣− tan 1 ⎥⎦ _____ (14) AI = IA _____ (15) AB = A ⋅ B abc _____ (16) An = A n _____ (35) b c a = 0 _____ (17) A−1 = A −1 cab _____ (36) ถา้ AB = 0 แลว้ A = 0 หรือ B = 0 _____ (18) At = A t _____ (37) [Ent’30] ถ้า AB = 0 แล้ว _____ (19) [Ent’27] kA = k A A = 0 หรอื B = 0 _____ (20) I = 0 _____ (21) 0 = 0 _____ (22) 2 I = 2 _____ (23) A2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I) _____ (24) A2 + 5AB + 6B2 = (A + 2B)(A + 3B) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 219 เมตรกิ ซ เฉลยแบบฝึกหดั (คาํ ตอบ) (1) 6 และ –9 (26) –34 (27) 60 (56) ⎡−1/4 1/4 1/2⎤ (28) 14 (29) 2 ⎢ ⎥ ⎡ 1 −1 −2⎤ ⎢ 1/2 −1/6 −1 ⎥ (2) ⎣⎢⎢⎢43 −11⎥⎥⎥⎦ (3) เทา่ กัน ⎢⎣ 3/2 −1/2 −2 ⎥⎦ 1 (30) −7 0 = 28 5 51 −4 (57) ง. (58) -111 (4) เทา่ กนั (5.1) ⎡3 9 3⎤ (31) –360, 0, 0 (59) 4 × 4 (60) − 1 ⎣⎢4 2 7⎥⎦ (32) (−2)2(−2)4(−12) = −768 2 (5.2) ⎡5 −3⎤ (5.3) ⎡ 10 5 ⎤ (33) (−2)2(1)n(1)(3) = 12 ⎢⎣9 1 ⎥⎦ ⎢ 15 ⎥⎥ (61) 3 (62) 2 หรือ –2 ⎢ 20 (34) –5 (35) 2 (36) 4 (37) 16 (38) ไม่มี (63) ± 1 (64) ค. ⎣⎢−10 40⎦⎥ 2 (6) ⎡2 4⎤ , ⎡2 2⎤ , ⎡2 2⎤ , (39) ⎪⎨⎧1, 5±3 5 ⎪⎫ (40) 4 ⎢⎣2 6⎥⎦ ⎢⎣4 6⎥⎦ ⎣⎢4 6⎦⎥ ⎪⎩ 2 ⎬ { }(65) 11 , −5 (66) –4 ⎪⎭ 7 ⎡ 2 3⎤ (41) x ≠ 0, 2/3 (67) 36 (68) ก. ⎢⎣−1 4⎥⎦ (69) 1 (70) 2 (42) ก.ถูก, ข.ถกู (71) –9/8, 8/3 (72) 40 ⎡2 3⎤ (7) ⎢⎢−1 0⎥⎥ , ⎡4 −2 8⎤ , (43) ⎡1 1⎤ , ไม่มี, ไม่ม,ี (73) ดทู ขี่ อ้ 43, 55, 56 ⎢⎣ 4 1⎥⎦ ⎢⎣6 0 2⎥⎦ ⎢⎣−2 −3/2⎥⎦ (74.1) 1, –2 (74.2) 3, 1 ⎡−2 1 −4⎤ ⎡ 1 0⎤ (44) ⎡−4 27/ 4⎤ (75) 5/4, 9/2, –27/4 ⎣⎢−3 0 −1⎦⎥ ⎣⎢0 1⎥⎦ ⎢⎣ 3 −5 ⎥⎦ (76) –2, 6 (8) ... (9.1) 2 และ 3 (45.1) ⎡−3 2⎤ (77.1) 2, 0, –1 (9.2) 5 และ 4 ⎢⎣ 2 −1⎥⎦ (77.2) 1, –3, 2 (9.3) 7 และ 5 (77.3) 13/9, 7/9, –4/3 (9.4) x = y และเปน็ จํานวนนับ (45.2) ⎡cos θ −sin θ⎤ (78) –20 ⎣⎢ sin θ cos θ ⎥⎦ (79.1) 25/7, 29/7, 16/7 (10) (AB)3×4, BA ไม่มี (79.2) 1, 2, –1 (45.3) ไม่มี (46) ⎡2 −10⎤ (80.1) ไมม่ ีคาํ ตอบ ⎢⎣2 −7 ⎥⎦ ⎡5 2⎤ ⎡3 6⎤ (11) ⎣⎢−3 0⎦⎥ , ⎣⎢0 2⎥⎦ (47) ⎡1 0⎤ (48) ⎡−9 −6⎤ (80.2) มีคําตอบหลายชดุ ⎣⎢0 1⎥⎦ ⎢⎣−4 −2⎥⎦ (81.1) 2, 1, –1 ⎡3 −4⎤ ⎡−13 −8⎤ (12) ⎣⎢10 −6⎦⎥ , ⎣⎢ 19 10 ⎦⎥ , (49) ไม่มี (50) ⎡1 4⎤ (81.2) 1/2, 0, –1 (82) 0 ⎢⎣9 16⎥⎦ (83) − s (s−1) , s2 ⎡4 −44⎤ ⎡20 −40⎤ ⎡2⎤ ⎢⎣33 37 ⎦⎥ , ⎢⎣24 21 ⎥⎦ (52) 6 + 5 = 11 2s + 1 2s + 1 (51) ⎢⎢6⎥⎥ (13) ⎡12 18 ⎤ (14) 2 (84) 1/2 (85) a ≠ 1, 2 ⎢⎣12 30⎦⎥ ⎢⎣3⎥⎦ (86) –2/3 (53) ⎡−2 −1⎤ ⎢⎡2n n ⎤ ⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ (87) ขอ้ ที่ถูก คอื (3), (4), (15) 2 ⋅ 2n ⎥ (16) 3 (6), (7), (10), (11), (13), 2n ⎥ ⎡2 0 4⎤ ⎢ 0 ⎦ 4 (54) ⎢⎣⎢⎢−04 −−22⎥⎥⎥⎦ (14), (15), (16), (17), (21), ⎣ 2 (23), (25), (26), (29), (32), −2 (34), (36) (17) 3 + 2 − 2 = 3 (18) –1 และ 1 ⎡ 0 −11 0 ⎤ (19) –1, –3 หรอื –3, –1 (55) ⎢⎢⎣⎢138 6 −−63⎥⎥⎥⎦ , −33 I , −8 (20) –1 และ 1 (21) กราฟไฮเพอรโ์ บลา 3x2 −4y2 =12 1 ⎡0 −11 0⎤ −33 ⎢⎣⎢⎢138 6 −−63⎦⎥⎥⎥ (22) 2, –5, 0 (23) 8, 0 −33 I , −33 , −8 (24) x ∈ (−5, −4)∪(3, 4) (25) –2, –2, –9, –2, 9 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 220 เมตรกิ ซ เฉลยแบบฝึกหดั (วิธคี ดิ ) (1) a11 + b22 = 2 + 4 = 6 , สังเกต โดยปกติ AB มกั จะไมเ่ ทา่ กบั BA จงึ ทาํ ให้ (A + B)2 ไม่เท่ากบั A2 + 2AB + B2 ดว้ ย 2a12 − 3b21 = 2(3) − 3(5) = −9 เพราะ (A + B)2 = (A + B)(A + B) (2) ⎡ ○ ○○⎤⎥ i=j ⎢Δ Δ i>j = A2 + AB + BA + B2 ... ซง่ึ AB + BA ≠ 2AB ⎣⎢Δ Δ ⎦⎥ ○ j>i จะได้ ⎡ 1 1−2 1− 3⎤ = ⎡ 1 −1 −2⎤ (13) At(BA) = ⎡2 0⎤ ⎛ ⎡3 2⎤ ⎡2 1⎤ ⎞ ⎢2 + 1 1 2 − 3⎥ ⎢3 1 −1⎥ ⎢⎣ 1 3⎥⎦ ⎜⎝ ⎣⎢ 1 2⎦⎥ ⎣⎢0 3⎦⎥ ⎟⎠ ⎢⎣3 + 1 3 + 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣4 5 1 ⎥⎦ ⎡2 0⎤ ⎡6 9⎤ ⎡12 18⎤ (3) เทา่ กัน เพราะ 2 = cosec 30° , = ⎢⎣ 1 3⎥⎦ ⎢⎣2 7⎦⎥ = ⎢⎣12 30⎦⎥ ,−4 = log 10−4 20 + 1 = 4 และ 5 = 25 (14) ⎡3 0 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0⎤ ⎢2 −1 0⎥ ⎢1 −1⎥ ⎣⎢ 4 2⎦⎥ (4) เทา่ กนั ⎣⎢ 1 1 2⎦⎥ ⎣⎢2 3 ⎦⎥ (จากการยา้ ยขา้ งสมการ x2 − x + 1 = 0 จะไดว้ ่า ⎡ ⎤ ⎡−1 0⎤ ⎡ ⎤ =⎢ 1⎥ ⎢⎣ 4 2⎥⎦ ⎢ 2⎥ → x2 = x − 1 , x − x2 = 1 , x = x2 + 1) = ⎣⎢ ∴ c22 = 2 ⎣⎢ ⎥⎦ ⎦⎥ (5.1) ⎡3 9 3⎤ (5.2) ⎡5 −3⎤ ⎢⎣4 2 7⎥⎦ ⎢⎣9 1 ⎦⎥ (เม่ือคุ้นเคยแลว้ จะไม่จําเปน็ ตอ้ งหาผลคณู ใหค้ รบทกุ (5.3) ⎡ 10 5⎤ (6) ⎡2 4⎤ ตาํ แหนง่ กไ็ ด)้ ⎢ 20 15 ⎥ ⎣⎢2 6⎥⎦ ⎢⎣−10 40⎥⎦ A+B = (15) จาก A = ⎡2 1⎤ จะได้ ⎢⎣0 2⎥⎦ At + Bt = ⎡2 2⎤ = (A + B)t → A2 = ⎡2 1⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡4 4⎤ ⎣⎢4 6⎦⎥ ⎢⎣0 2⎥⎦ ⎢⎣0 2⎥⎦ ⎢⎣0 4⎦⎥ และ A+0 = ⎡ 2 3⎤ =A → A3 = ⎡4 4⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡8 12⎤ ⎣⎢−1 4⎥⎦ ⎢⎣0 4⎦⎥ ⎣⎢0 2⎦⎥ ⎢⎣0 8 ⎥⎦ (7) ⎡ 2 3⎤ 2A = ⎡4 −2 8⎤ , → A4 = ⎡8 12⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡16 30⎤ ...ฯลฯ ... At = ⎢−1 0⎥ , ⎢⎣6 0 2⎦⎥ ⎣⎢0 8 ⎥⎦ ⎣⎢0 2⎥⎦ ⎢⎣ 0 16⎦⎥ ⎢⎣ 4 1⎦⎥ ดงั นนั้ รปู ทวั่ ไป An = ⎡⎢2n n ⋅ 2n ⎤ ⎣⎢ 0 22n ⎥ และ −A = ⎡−2 1 −4⎤ ⎦⎥ ⎢⎣−3 0 −1⎦⎥ (8) AB = ⎡ a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 ⎤ (16) ตําแหน่ง 11; 2(x + y) − 4 = 1 .....(1) ⎢⎣a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23 ⎦⎥ ตําแหนง่ 12; (x + y)(y) + 2y = a .....(2) (9.1) x = 2, y = 3 ตําแหนง่ 21; 6 − 2z = 0 → z = 3 .....(3) (9.2) x = 5, y = 4 ตาํ แหนง่ 22; 3y + zy = 1 .....(4) (9.3) x = 7, y = 5 แทน (3) ใน (4) ได้ y = 1 / 6 , (9.4) x = y และเปน็ จาํ นวนนับเทา่ นนั้ จาก (1) ได้ (x + y) = 5 / 2 (10) AB3×4 , สว่ น BA ไมม่ ี ดังนนั้ จากสมการ (2) จะได้ (11) AB = ⎡ 1⋅3 + 2⋅1 1⋅0 + 2⋅1 ⎤ (5 / 2)(1 / 6) + 2(1 / 6) = a → a = 3 / 4 ⎣⎢−1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 −1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1⎥⎦ (17) ตําแหนง่ 21; 3 + 2z = 7 → z = 2 = ⎡5 2⎤ ⎣⎢−3 0⎥⎦ ตําแหนง่ 22; x + 2 = 5 → x = 3 BA = ⎡3 ⋅ 1 + 0 ⋅(−1) 3 ⋅2 + 0 ⋅ 0⎤ = ⎡3 6⎤ ตําแหนง่ 12; x + 2y = 7 ⎣⎢ 1⋅ 1 + 1⋅(−1) 1⋅2 + 1⋅ 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 2⎥⎦ แทน x = 3 ได้ y = 2 ∴ x + y − z = 3 (12) AB = ⎡3 −4⎤ , BA = ⎡−13 −8⎤ (18) X2 + 2X + I = 0 → (X + I)2 = 0 ⎢⎣10 −6⎦⎥ ⎣⎢ 19 10 ⎦⎥ (A + B)2 = ⎡4 −4⎤ ⎡4 −4⎤ = ⎡4 −44⎤ (ทาํ ไดเ้ พราะ XI = IX ) ⎣⎢3 7 ⎦⎥ ⎢⎣3 7 ⎦⎥ ⎣⎢33 37 ⎥⎦ ⎡a + 1 0 ⎤2 ⎡0 0⎤ (ใชเ้ มตริกซค์ ูณกนั นะ) A2 + 2AB + B2 = ⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ + ⎡6 −8 ⎤ → ⎢⎣ 0 −b + 1⎦⎥ = ⎢⎣0 0⎦⎥ ⎢⎣4 2⎦⎥ ⎢⎣4 2⎥⎦ ⎣⎢20 −12⎥⎦ ⎡(a + 1)2 0⎤ ⎡0 0⎤ + ⎡3 −4⎤ ⎡ 3 −4⎤ = ⎡20 −40⎤ → ⎢⎣ 0 (−b + 1)2 ⎦⎥ = ⎢⎣0 0⎥⎦ ∴ a = −1 , b = 1 ⎢⎣−1 5 ⎥⎦ ⎣⎢−1 5 ⎦⎥ ⎢⎣24 21 ⎦⎥ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 221 เมตริกซ (19) A2 + 4A − 5I = 0 M32(A) = 30 = −9 −5 −3 ⎡ a2 + 8 4a + 4b⎤ ⎡4a 16⎤ ⎡5 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎣⎢2a + 2b 8 + b2 ⎥ + ⎢⎣ 8 4b⎦⎥ − ⎢⎣0 5⎦⎥ = ⎢⎣0 0⎥⎦ C11(A) = −2 , C32(A) = 9 ⎦ (26) เลือกหลักที่ 2 แสดงวา่ a2 + 4a + 3 = 0 .....(1) → det(A) = a12c12 + a22c22 + a32c32 4a + 4b + 16 = 0 .....(2) −3 5 6 2 62 2a + 2b + 8 = 0 .....(3) = −(1) 7 1 + (0) 7 1 − (2) −3 5 และ b2 + 4b + 3 = 0 .....(4) = 38 − 72 = −34 → แกร้ ะบบสมการ ได้เปน็ a = −1, b = −3 (27) วธิ ี n (ตามหลัก) เลอื กหลักท่ี 1 (j = 1) ∑ aijcij หรือ a = −3, b = −1 ก็ได้ i=1 หมายเหตุ A2 + 4A − 5I = (A + 5I)(A − I) = 0 det(A) = a11c11 + a21c21 + a31c31 ใชไ้ ด้ เพราะ AI = IA = 5 2 1 − 4 3 −5 + (−1) 3 −5 แต่จะสรปุ ว่า A = −5 I, I ไม่ได้ −3 1 −3 1 2 1 เพราะ Δ = 0 ไม่ไดแ้ ปลวา่ หรอื Δ = 0 = (5)(5) − (4)(−12) − (13) = 60 วิธี n (ตามแถว) เลือกแถวท่ี 2 Σ aijcij (i = 2) ⎡ x y2 3 ⎤ ⎡ x −1 x2 ⎤ j=1 (20) At + A = ⎣⎢⎢⎢x−21 1 x2 ⎥ + ⎢⎢y2 1 3 ⎥ det(A) = a21c21 + a22c22 + a23c23 3 ⎥ ⎣⎢ 3 x2 y ⎥ y ⎥⎦ ⎦⎥ 3 −5 5 −5 5 3 = −4 −3 1 +2 −1 1 − 1 −1 −3 ⎡ 2x y2 − 1 x2 + 3⎤ ⎡−2 0 4⎤ = (−4)(−12) + (2)(0) − (−12) = 60 ⎢⎢⎣⎢xy22+− 2 x2 + 3⎥⎥ ⎢0 2 4⎥ = 1 = B = ⎣⎢ 4 4 2⎦⎥ วธิ คี ณู ทแยง 3 x2 + 3 2y ⎥⎦ พจิ ารณาจากตาํ แหน่ง 11 กบั 33 det(A) = −10 − 12 + 15 + 10 − 3 + 60 = 60 กจ็ ะพบวา่ x = −1, y = 1 คณู ขน้ึ คูณลง ซึ่งตรวจสอบแล้วจะใชไ้ ดก้ ับตาํ แหนง่ อน่ื ๆ ทีเ่ หลอื ดว้ ย (28) C21(A) = −6 = − y 4 −y −1 (21) ⎡3 7⎤ ⎡x⎤ [x y] ⎣⎢−7 −4⎥⎦ ⎣⎢y⎥⎦ = [12] → 6 = 3y → y = 2 → [3x−7y 7x − 4y ] ⎡x⎤ = [12] C23(A) = 4 = − xy → 4 = 2xy → ⎢⎣y⎦⎥ x −y → 3x2 − 7xy + 7xy − 4y2 = 12 ไฮเพอร์โบลา แทน y = 2 ได้ x = 1 (22) det(A) = 2 , det(B) = −5 , det([0]) = 0 ∴ C33(A) = xy = 12 = 8 + 6 = 14 [สงั เกต det(B) ใชส้ ญั ลกั ษณว์ ่า |B|=|− 5|= −5 −3 8 −3 8 ไมต่ อ้ งตดั เครอื่ งหมายลบท้งิ ไปแบบค่าสัมบรู ณน์ ะ!] (29) det(A) = −5 = (a)C11 + (−1)C12 + (0)C13 (23) 2 −5 แทนค่า C11 = 11 = −2, C12 =1 4 −6 1 −1 det(A) = = (2)(−6) − (−5)(4) = 8 จะได้ a = 2 det(B) = −12 − (−12) = 0 (30) C11 = 0 1 −3 [แสดงวา่ B เป็นเมตริกซเ์ อกฐาน] 02 1 (24) |A | < |B| < |C| → 12 < x2 + x < 20 −1 3 2 → x2 + x − 12 > 0 และ x2 + x − 20 < 0 = −6 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 = −7 → (x + 4)(x − 3) > 0 และ (x + 5)(x − 4) < 0 1 10 เขียนเสน้ จํานวน เอาช่วงคาํ ตอบมาอนิ เตอรเ์ ซคกนั C21 = − 0 2 1 −1 3 2 ไดเ้ ปน็ (−5, −4) ∪ (3, 4) = −(0 + 0 − 3 + 4 + 0 − 1) = 0 −4 1 1 (25) det(A) = 3 −4 0 −5 4 −3 C44 = 2 0 1 2 −2 1 0 02 = 0 − 18 − 20 + 12 + 0 + 24 = −2 = 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 0 = −4 คณู ขนึ้ คณู ลง ∴ CC3121 CC4241 = −7 0 = 28 C32 −4 4 −3 M11(A) = −2 1 = −2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 222 เมตริกซ (31) 2 0 4 −6 2 4 −6 จาก ABtC = ⎡−6 1 ⎤ 0 −4 0 0 50 0 ⎢⎣ 4 −2⎥⎦ 5 −2 0 0 = (−4) 1 −1 −3 1 3 −1 −3 → A ⋅ B ⋅ C = −6 1 = 8 4 −2 = (−4) ⎛ −(5) 4 −6 ⎞ = (−4)(−5)(−18) = −360 → B = 8 = 16 ⎝⎜ −1 −3 ⎟⎠ (2)(1 / 4) สว่ นอกี สองเมตรกิ ซ์นน้ั det มีค่าเป็น 0 (38) det(A) = 2 sin2 x + 2 cos2 x = 2 เสมอ จะคิดโดยวธิ ปี กติ (คูณทแยง) ก็ได้ แต่ในทนี่ ี้จะแสดง (จากเอกลกั ษณข์ องตรีโกณมิติ) ดงั นนั้ det ไมม่ ที าง โดยใช้สมบัตทิ ีว่ ่า เป็น 0 ∴ ขอ้ น้ี ไม่มคี ําตอบ (1) นําหลกั บวกกัน ค่า det ไม่เปลย่ี น 1 0 −x2 21 0 (2) ถา้ มี 2 หลกั เปน็ k เทา่ ของกนั det = 0 (39) = x3 − 6x2 + 5 = 0 ... จากเมตริกซ์แรก นาํ หลัก 2 ไปบวกหลัก 3 x3 5 1 a a+b+c → (x − 1)(x2 − 5x − 5) = 0 → x = 1, 5 ± 3 5 = 1 b a+b+c = 0 2 1 c a+b+c (40) 12 −1 −2 x −2 = x + 4 − 4 + x − 4 − 4 (เพราะหลกั ที่ 3 เปน็ a+b+c เท่าของหลกั ที่ 1) 1 −2 1 ... จากเมตริกซท์ ส่ี อง นาํ หลัก 1 ไปบวกหลกั 3 n n + 1 2n + 2 = 2x − 8 = 0 → x = 4 = n + 1 n + 2 2n + 4 = 0 [สังเกต หลกั ที่ 2 จะเปน็ −2 เทา่ ของหลักท่ี 3] n + 2 n + 3 2n + 6 (เพราะหลกั ที่ 3 เป็น 2 เทา่ ของหลกั ท่ี 2) (41) log 2x −2x ≠0 (32) det(−2A3At(A + At)) log 2x − 1 x = (−2)2 ⋅ A 3 ⋅ A ⋅ A + At → x log 2x + 2x log 2x − 1 ≠ 0 −1 14 −2 4 → x2 log 2 + (2x2 − 2x) log 2 ≠ 0 3 −1 4 −2 = 4⋅ ⋅ → 3x2 − 2x ≠ 0 → x ≠ 0, 2 3 = 4 ⋅ (−2)4 ⋅ (−12) = −768 (42) ⎡a b⎤ = ⎡−a −c⎤ → (33) det(−2AnAt(A + At)) ⎢⎣c d⎦⎥ ⎢⎣−b −d⎥⎦ = (−2)2 ⋅ A n ⋅ A ⋅ A + At แสดงว่า a กับ d เป็น 0 (ก. ถกู ) = 4⋅ 1 1 n+1 ⋅ 21 = 4 ⋅ (1)n + 1 ⋅ (3) = 12 A2 = B และ B ≠ 0 → แสดงวา่ A ≠ 0 ดว้ ย 0 1 12 (A 2 = B) → ข. ก็ถูก (34) A ⋅ X ⋅ B = C ⋅ D (43) 1 ⎡2 2⎤ ⎡1 1 ⎤ A−1 2 ⎢⎣−4 −3⎥⎦ ⎢⎢⎣−2 3⎥ → X = C ⋅ D = (−5)(−10) = −5 = ⋅ = − 2 ⎦⎥ , A ⋅ B (2)(−5) (35) −2 0 0 12 4 10 B−1 = 1 ⋅ ⎡−6 3⎤ → หาไม่ได้ เพราะ B =0 4 3 0 ⋅ X = 0 −5 8 0 ⎢⎣−4 2⎥⎦ 2 15 00 1 02−1 = 1 ⋅ ⎡0 0⎤ → หาไม่ได้ เพราะ 0 =0 → (−30) X = (−60) → X = 2 0 ⎢⎣0 0⎥⎦ สงั เกต ข้อนเ้ี ปน็ เมตริกซส์ ามเหลย่ี ม จะหา det งา่ ย I2−1 = 1⋅ ⎡ 1 0⎤ = ⎡1 0⎤ = I2 (36) AB + 4A = 2I → A(B + 4I) = 2I 1 ⎣⎢0 1⎦⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ → A ⋅ B + 4I = 2I (44) (AB)−1 = ⎡20 27 ⎤ −1 ⎢⎣ 12 16⎥⎦ ⎝⎜⎛ 1 ⎠⎟⎞ 2 −2 → 4 ⋅ x y+4 = (2)2 = 1 ⎡ 16 −27⎤ = ⎡−4 27 / 4⎤ −4 ⎣⎢−12 20 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 −5 ⎦⎥ → 1 (2y + 8 + 2x) = 4 → x + y = 4 4 B−1A−1 = 1 ⎡5 −3⎤ ⋅ 1 ⎡2 −3⎤ −2 ⎢⎣−4 2 ⎦⎥ 2 ⎣⎢−2 4 ⎦⎥ (37) จาก −A3 = 2 2I → (−1)2 A 3 = (2 2)2 1 ⎡ 16 −27⎤ ⎡−4 27 / 4⎤ → A3 = 8 → A = 2 = −4 ⎢⎣−12 20 ⎦⎥ = ⎣⎢ 3 −5 ⎦⎥ จาก C−1 = 4 → 1 = 4 → C = 1 หมายเหตุ เสมอ(AB)−1 = B−1 ⋅ A−1 C4 (45.1) ⎡ 1 2⎤−1 = 1 ⎡ 3 −2⎤ = ⎡−3 2 ⎤ ⎢⎣2 3⎦⎥ −1 ⎣⎢−2 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 −1⎦⎥ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 223 เมตรกิ ซ (45.2) ⎡ cos θ sin θ ⎤ − 1 (55) ใชข้ ัน้ ตอน A det > M +, − > C t > adj ⎢⎣− sin θ cos θ⎥⎦ ⎡2 1 −2⎤ ⎡0 −3 18⎤ = 1 ⎡cos θ −sin θ⎤ = ⎡cos θ −sin θ⎤ จาก A = ⎢3 0 0⎥ → M(A) = ⎢11 6 8⎥ cos2 θ + ⎣⎢ sin θ cos θ ⎦⎥ ⎣⎢ sin θ cos θ ⎦⎥ ⎢⎣4 6 −1⎦⎥ ⎢⎣0 6 −3⎦⎥ sin2 θ (45.3) 24 =0 ดังนั้นไมม่ ีคาํ ตอบ ⎡ 0 3 18⎤ ⎡ 0 −11 0 ⎤ 12 → C(A) = ⎢−11 6 −8⎥ → adj(A) = ⎢ 3 6 −6⎥ ⎢⎣ 0 −6 −3⎥⎦ ⎣⎢18 −8 −3⎥⎦ (46) 2A−1Bt 1 ⎡4 2⎤ ⎡−1 2⎤ = 2⋅ −2 ⎣⎢3 1⎦⎥ ⋅ ⎢⎣ 1 1⎥⎦ โจทยถ์ าม A ⋅ adj(A) กบั adj(A) ⋅ A = − ⎡−2 10⎤ = ⎡2 −10⎤ ไดเ้ ปน็ ⎡−33 0 0⎤ ทั้งสองอย่าง ⎢⎣−2 7 ⎥⎦ ⎢⎣2 −7 ⎦⎥ ⎢ 0 −33 0⎥ ⎣⎢ 0 0 −33⎦⎥ (47) BA−1 = At → B = At ⋅ A ⎡0 −11 0 ⎤ 1 ⎡ −1 − 3⎤ 1 ⎡ −1 3⎤ det(A) = −33 , A−1 = − 1 ⎢3 6 −6⎥ 2 ⎢ 3 2 ⎣⎢− 3 = ⎣ −1 ⎥ ⋅ −1 ⎥ 33 ⎢⎣18 −8 −3⎦⎥ ⎦ ⎦ = 1 ⎡4 0⎤ = ⎡1 0⎤ [หมายเหตุ A ⋅ adj(A) = adj(A) ⋅ A = A ⋅ I 4 ⎢⎣0 4⎦⎥ ⎢⎣0 1⎦⎥ เสมอ → แสดงทมี่ าไวใ้ นเฉลยข้อ 69] (48) ⎡2 −5⎤ ⎡3 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡ 2 −2⎤ ⎢⎣ 1 −2⎥⎦ X = ⎣⎢ 1 2⎦⎥ − ⎣⎢2 4⎦⎥ = ⎢⎣−1 −2⎦⎥ (56) จาก ⎡3 6 −18⎤ ⎢3 2 −6 ⎥ M(A) = ⎣⎢−6 −12 24 ⎥⎦ → X = ⎡2 −5⎤ −1 ⋅ ⎡2 −2⎤ ⎡ 3 −6 −18⎤ ⎣⎢ 1 −2⎥⎦ ⎣⎢−1 −2⎦⎥ → C(A) = ⎢−3 2 6 ⎥ = 1 ⎡−2 5⎤ ⎡2 −2⎤ = ⎡−9 −6⎤ ⎣⎢−6 12 24 ⎥⎦ 1 ⎣⎢ −1 2⎦⎥ ⎢⎣−1 −2⎦⎥ ⎣⎢−4 −2⎥⎦ → det(A) = (แถว2) 6(−3) + 3(2) = −12 (49) A = ⎡4 6 ⎤−1 ⋅ ⎡1 2⎤ ⇒ หาไม่ได้ ⎣⎢8 12⎦⎥ ⎣⎢3 4⎦⎥ ⎡3 −3 −6⎤ และ adj(A) = ⎢ −6 2 12⎥ ดงั นน้ั เพราะ 4 6 ดงั นน้ั ขอ้ น้ไี มม่ คี ําตอบ ⎢⎣−18 6 24⎦⎥ 8 12 = 0 (50) จาก A ⋅ 4 ⎡1 4⎤ = 4I A−1 = − 1 ⎡3 −3 −6⎤ = ⎡−1/ 4 1/ 4 1/2⎤ ⎢⎣9 16⎦⎥ ⎢ −6 2 12⎥ ⎢ 1/2 −1/6 −1 ⎥ 12 ⎢⎣−18 6 24⎥⎦ ⎢⎣ 3/2 −1/2 −2 ⎦⎥ ⎡1 4⎤ ⎡1 4 ⎤ → ⎣⎢9 16⎦⎥ = A−1 ⋅I = A−1 ตอบ ⎣⎢9 16⎦⎥ (57) A = 2 , C = 24 → ∴ B = C ÷ A = 12 (51) AB = I แสดงวา่ A−1 = B ก. B−1 = 1 = 1 ข้อน้ผี ดิ B 12 ⎡1⎤ ⎡3 0 −1⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ → A−1 ⋅ ⎢1⎥ = ⎢4 2 0 ⎥ ⎢1⎥ = ⎢6⎥ ข. B−1A−1 = 1 = 1 ขอ้ น้ีผดิ B ⋅ A 24 ⎣⎢1⎥⎦ ⎣⎢3 −1 1 ⎦⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎣⎢3⎥⎦ ค. 2Bt = 22 ⋅ B = 48 ขอ้ นีผ้ ดิ (52) AX + B = A → AX = A − B ง. A2B = A 2 ⋅ B = 48 ถูก (58) = (At)−1 = At −1 = A −1 = A−1 → X = A−1 ⋅ (A − B) (เลอื กแถว 2 ในการหา det) ∴ X = 1⎡3 −4⎤ ⋅ ⎡2 2⎤ = ⎡−6 6⎤ 1 ⎣⎢−2 3 ⎥⎦ ⎢⎣3 0⎥⎦ ⎣⎢ 5 −4⎦⎥ → b + c = 6 + 5 = 11 ตอบ −3 51 = −3(37) = −111 −2 7 (53) X−1 = A−1 ⋅ (B + C)−1 (59) 2A−1 = B → 2n = B = ⎡0 1⎤−1 ⋅ ⎡1 −1⎤ −1 = 1 ⎡ 2 −1⎤ ⋅ 1 ⎡1 1⎤ A ⎢⎣ 1 2⎦⎥ ⎣⎢0 1 ⎦⎥ −1 ⎣⎢−1 0 ⎦⎥ 1 ⎣⎢0 1⎥⎦ → 2n = 16 ∴ n = มติ ิของ A และ B = 4 = ⎡−2 −1⎤ ⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ตอบ 4 × 4 (60) จาก A2 − 3A + I = 0 → I − 3A = − A2 (54) A(B − C) = 1 I → 2(B − C) = A−1 2 และ B = 1 A−1− 3 I → 2BA = I − 3A ⎡ 1 0 2⎤ ⎡2 0 4⎤ 22 → ∴ A−1 = 2 ⎢ 0 1 −1⎥ = ⎢ 0 2 −2⎥ (ไดจ้ ากการนาํ 2A คูณ) จากนน้ั สมการทั้งสอง ⎣⎢−2 −1 −1⎦⎥ ⎣⎢−4 −2 −2⎦⎥ เทา่ กนั จะได้ 2BA = −A2 23 ⋅ B ⋅ 4 = (−1)3(4)2 ∴ B = −1 / 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 224 เมตริกซ (61) C = (2A + I)(B−1) → C = 2A + I (67) เนื่องจาก AB = BA = I แสดงวา่ B B−1 = A → โจทย์ถาม det(adj A) ∴1= 3 4 ÷ −1 1 = 21 − 8x → x=3 พสิ จู น์ จาก A−1 = adj(A) 2x 7 21 −3 A (62) A = 1 − c2 → จากสมการในโจทยจ์ ะได้ → A ⋅ A−1 = adj(A) → ใส่ det ท้ังสองขา้ ง 22 ⋅ A 2 + (1 − c2)3 ⋅ A −1 = 45 → A ⋅ A−1 = adj(A) → 4(1 − c2)2 + (1 − c2)2 = 45 → (1 − c2)2 = 9 ดังนนั้ adj(A) = A n ⋅ A −1 = A n − 1 โจทยข์ อ้ นี้ A = −6 ∴ adj(A) = (−6)3 − 1 = 36 → 1 − c2 = 3 หรอื −3 (68) โจทยใ์ หห้ า adj(B) ก็คอื adj(A−1) นั่นคอื c2 = −2 (ใช้ไมไ่ ด)้ หรือ 4 → c = ±2 พสิ จู น์ จาก A−1 = adj(A) A (63) A = a2 − a → จากสมการในโจทยจ์ ะได้ → A ⋅ A−1 = adj(A) a ⋅ A −1 + 1 ⋅ (2)3 ⋅ A + 4 = 0 เปลีย่ น A เป็น A−1 → A−1 ⋅ A = adj(A−1) 4a ดงั นน้ั adj(A−1) = A → 1 + 2(a − 1) + 4 = 0 A a−1 โจทยข์ อ้ น้ี A = 3 ดังนนั้ ตอบ ก. → 1 + 2(a − 1)2 + 4(a − 1) = 0 (69) พิสจู น์ จาก A−1 = adj(A) → 2a2 − 1 = 0 → a = ± 1 A 2 → A ⋅ A−1 = adj(A) → นํา A คณู ท้งั สองข้าง (64) ก. 3 [1 −1 ⎡5⎤ 1 ⎡ 1⎤ − 4] ⎢0⎥ − 2 [0 2] ⎢−1⎥ ⎣⎢ 1⎦⎥ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ = 3 [1] − 2 [3] = [−3] ขอ้ นีผ้ ดิ → A ⋅ I = A ⋅ adj(A) ข. 21 = 2a − a2 = 0 → ดงั นนั้ โจทยจ์ ะกลายเป็น A I − BA = I a2 a → ( A − 1) I = BA → ( A − 1)4 = B ⋅ A a = 0 หรอื 2 → ขอ้ นผี้ ดิ ค. AB = A ⋅ B = 0 → ซึง่ det(B)=0 จงึ ได้ A − 1 = 0 → A = 1 A = 0 หรอื B = 0 ขอ้ นี้ถูก (70) จาก A = abc ง. 2A −1 = 1 = 1 de f 2A 4 A gh i แต่ 2A−1 = 4 → ขอ้ นผ้ี ดิ สลับ R12 ไดเ้ ป็น de f =−A A abc gh i (65) M = x(x + 3) + x(3) = x2 + 24 x สลบั C23 ไดเ้ ปน็ dfe = − (− A ) = A 77 acb gih และ (2A + At)(A−1) = 6 −1 ÷ 2 −1 = 55 19 13 7 dfe นํา 2 คณู R2 ไดเ้ ป็น 2a 2c 2b ดงั นนั้ x2 + 24 x = 55 → 7x2 + 24x − 55 = 0 =2A = B 77 gih { }→ (7x − 11)(x + 5) = 0 ∴ x ∈ 11 , − 5 ดังนนั้ ตอบ 2 เทา่ 7 (71) ก. A abc =3→ สลบั R12 แลว้ สลบั (66) A(B + 3I) = 2I → B + 3I = 2A−1 = pqr xyz → B + 3I = 22 ⋅ A−1 อกี ครัง้ xyz (สลบั 2 ครั้ง det เทา่ abc 2 −2 ⎜⎛⎝ − 1 ⎟⎞⎠ R13 → pqr =3 x y+3 2 → = 4 ⋅ → 2y + 6 + 2x = −2 → x + y = −4 เดิม) จากนน้ั นาํ 4, 2, −1 คณู แตล่ ะแถว (ขอ้ 67 ถึง 69 ควรศึกษาขัน้ ตอนการพสิ จู น์ เพอ่ื 4x 4y 4z → 2a 2b 2c = 3 ⋅ (4)(2)(−1) = −24 = B นาํ ไปปรับใชก้ บั โจทยน์ อกเหนอื จากน้)ี −p −q −r → ∴ 3B−1 = 33 = − 9 −24 8 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 225 เมตริกซ ข. จาก A abc =3→ สลับ R12 → ~ ⎡ 1 0 0 −1/4 1/ 4 1/2⎤ = pqr ⎢2 1 0 0 1/ 3 0 ⎥ −(1/ 4)R1 ⎣⎢6 0 1 0 1 1 ⎦⎥ xyz (1/ 3)R2 ~p q r ⎡1 0 0 −1/ 4 1/ 4 1/2⎤ 1/2 −1/6 −1 ⎥ abc 3/2 −1/2 −2 ⎦⎥ xyz = −3 → ทรานสโพส (det ไมเ่ ปลีย่ น) และ ⎢0 1 0 R2 − 2R1 ⎣⎢0 0 1 R3 − 6R1 p −a x นาํ -1 คณู หลกั ที่ 2 → q −b y = −3 ⋅ (−1) = 3 (74.1) ⎡ 1 −2⎤ ⎡x⎤ = ⎡5⎤ ⎢⎣3 2 ⎥⎦ ⎣⎢y⎥⎦ ⎢⎣−1⎦⎥ r −c z หลกั ท่ี 3 บวกหลกั ที่ 2 จะได้ → ⎡x⎤ = ⎡1 −2⎤ −1 ⋅ ⎡5⎤ = 1 ⎡2 2⎤ ⎡5⎤ ⎢⎣y⎦⎥ ⎢⎣3 2 ⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ 8 ⎢⎣−3 1⎥⎦ ⎣⎢−1⎥⎦ p −a+x x ∴ 2C−1 = 23 = 8 q −b+y y = 3 = C C3 = ⎡ 1⎤ → ∴ x = 1, y = −2 r −c+z z ⎣⎢−2⎥⎦ (72) M23(A) = 5 → หาคา่ M32(2A)t (74.2) ⎡x⎤ = ⎡2 −5⎤ −1 ⋅ ⎡ 1⎤ ⎣⎢y⎦⎥ ⎢⎣3 −7 ⎦⎥ ⎢⎣2⎥⎦ = 23 ⋅ M32(A)t = 23 ⋅ M23(A) = 23 ⋅ 5 = 40 → ⎡x⎤ = 1 ⎡−7 5⎤ ⎡ 1⎤ = ⎡3⎤ หมายเหตุ ⎢⎣y⎦⎥ 1 ⎣⎢−3 2⎥⎦ ⎢⎣2⎦⎥ ⎣⎢ 1⎦⎥ 1. M32(A)t = M23(A) เพราะทรานสโพสแลว้ คา่ det เท่าเดมิ ∴ x = 3, y = 1 2. คา่ M คือ det ดงั นน้ั จงึ ดงึ 2 ออกมาได,้ แต่ ตอ้ งกลายเปน็ 23 เพราะ M คือ det 3 × 3 (75) ⎡x⎤ = ⎡4 3 2 ⎤−1 ⎡5⎤ ⎢y⎥ ⎢3 −1 −1⎥ ⋅ ⎢6⎥ ⎣⎢z⎦⎥ ⎢⎣−1 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦ (73) แต่ละเมตรกิ ซ์ มวี ธิ ดี าํ เนนิ การไดห้ ลายแบบ หาอนิ เวอร์ส (ดว้ ยสูตร adj A / det A ) ~หลายลาํ ดบั สนั้ ยาวตา่ งกันไปแลว้ แต่คนมอง ในเฉลย ไดเ้ ป็น ⎡x⎤ 1 ⎡1 1 −1 ⎤ ⎡5⎤ ⎢y⎥ = ⎢−2 6 10 ⎥ ⎢6⎥ น้ีเปน็ เพียงแบบหน่ึงเทา่ นนั้ ⎢⎣z⎦⎥ 8 ⎢⎣ 5 −11 −13⎦⎥ ⎢⎣ 1⎥⎦ ⎡−3 −2 1 0⎤ ⎡ 1 0 1 1⎤ A; ⎢⎣ 4 2 0 1⎥⎦ R1 + R2 ⎢⎣4 2 0 1⎥⎦ ⎡ 5/4 ⎤ = ⎢ 9/2 ⎥ ∴ x = 5 , y = 9 , z = − 27 ~ ~⎡ 1 0 1 1 ⎤ ⎡ 1 0 1 1 ⎤ ⎢⎣−27/ 4⎦⎥ 42 4 R2 − 4R1 ⎣⎢0 2 −4 −3⎥⎦ 1 R2 ⎢⎣0 1 −2 −3/2⎦⎥ (76) ⎡ 3 2⎤ ⎡x⎤ ⎡6⎤ 2 ⎣⎢−4 1⎦⎥ ⎢⎣y⎦⎥ ⎣⎢14⎥⎦ = B; แถว 1 กบั แถว 2 เป็น 2 เทา่ ของกัน แสดงวา่ 62 32 −22 14 1 −4 1 11 B = 0 จึงไมส่ มารถหา B−1 ได้ → ไมม่ คี ําตอบ → x = ÷ = = −2 (Row Operation จะเกดิ แถว 0 0 และทาํ ตอ่ ไมไ่ ด้) แทนลงสมการในโจทย์ ได้ y = 6 ~⎡2 1 −2 1 0 0⎤ ⎡3 0 0 0 1 0⎤ (77.1) x = 3 3 1 ÷ 2 31 = −10 =2 ⎢2 1 −2 1 0 0⎥ 1 2 1 1 21 C; ⎢3 0 0 0 1 0⎥ ⎢⎣4 6 −1 0 0 1⎦⎥ R12 ⎣⎢4 6 −1 0 0 1⎥⎦ −2 4 0 −1 4 0 −5 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤⎣⎢ แทนในสมการสดุ ทา้ ย ได้ y = 0 ⎢−6 −11 0 1 0 −2⎥ จากนั้นแทน x และ y ในสมการใดสมการหนงึ่ ที่ (1/ 3)R1 4 6 −1 0 0 1 ⎥⎦ เหลอื ได้ z = −1 R2 − 2R3 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤ 11 1 21 1 = −9 = 1 ⎢0 −11 0 1 2 −2⎥ 1 −2 −3 ÷ 1 −2 −3 R2 + 6R1 ⎣⎢0 6 −1 0 −4/ 3 1 ⎥⎦ (77.2) R3 − 4R1 x= 5 2 4 3 2 4 −9 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/3 0 ⎤ ⎢0 1 0 −1/ 11 −2/ 11 2/ 11⎥ 2 1 1 27 (−1/ 11)R2 ⎣⎢0 −6 1 0 4/ 3 −1 ⎦⎥ → y = 1 1 −3 ÷ (−9) = = −3 − R3 35 4 −9 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤ ⎢0 1 0 −1/ 11 −2/ 11 2/ 11⎥ แทน x และ y ลงในสมการใดกไ็ ด้ จะได้ z = 2 R3 + 6R2 ⎣⎢0 0 1 −6/ 11 8/ 33 1/ 11⎦⎥ −1 2 3 12 3 = −39 = 13 ~⎡2 −3 2 1 0 0⎤ ⎡8 0 2 1 1 0⎤ (77.3) x= 91 −4 ÷ 2 1 −4 ⎢6 3 0 0 1 0⎥ −2 −1 2 1 −1 2 −27 9 D; ⎢6 3 0 0 1 0⎥ ⎢⎣0 −3 1 00 1⎥⎦ R1 + R2 ⎣⎢6 0 1 0 1 1⎦⎥ R3 + R2 1 −1 3 2 9 −4 −21 7 ~ ⎡−4 0 0 1 −1 −2⎤ → y = ÷ (−27) = = ⎢6 3 0 0 1 0⎥ −27 9 R1 − 2R3 ⎢⎣ 6 0 1 0 1 1 ⎦⎥ 1 −2 2 แทน x, y ลงในสมการใดกไ็ ด้ จะได้ z = −4 / 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 226 เมตรกิ ซ (78) ต้องการหาคา่ เฉพาะ x ควรใช้กฎคราเมอร์ (81.2) ⎡2 3 1⎤ ⎡1/ x⎤ ⎡3⎤ ⎢1 2 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢1⎥ 1 41 2 4 1 20 ⎢⎣−1 4 0⎥⎦ ⎣⎢ z ⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ → x= −2 2 0 ÷ 1 2 0 = = −20 3 −3 2 −1 −3 2 −1 1= 3 3 1 2 3 1 −10 (79.1) [A | B] ~ [I | X] → 1 2 1 ÷ 1 2 1 = =2 x −2 4 0 −1 4 0 −5 ~⎡ 1 1 1 10⎤ ⎡ 1 1 1 10⎤ ∴ x = 1/2 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 0, z = −1 ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢3 0 1 13⎥ 19⎦⎥ ⎣⎢2 1 −1 9 ⎥⎦ R3 + R1 ⎣⎢3 2 0 ⎡x⎤ ⎡ 1 0 2⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ ⎤ R2 − R1 (82) ยา้ ยขา้ ง.. ⎢y⎥ = ⎢2 −1 1⎥ ⎢2⎥ = ⎢0⎥ ~ ~⎡ 1 1 1 10⎤ ⎡ 1 1 1 10 ⎤ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣5 1 2⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢2 −1 0 3 ⎥ R3 + 2R2 ⎢⎣7 0 0 25⎥⎦ (1/ 7)R3 ⎢⎣ 1 0 0 25/ 7⎦⎥ ∴y = 0 ~ ~⎡1 0 0 25/7⎤ ⎦⎥ ⎡ 1 0 0 25/7 ⎤ (83) (s + 1) x + (s + 2) y = s .....(1) ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢0 −1 0 −29/ 7⎥ R13 ⎢⎣ 1 1 1 10 R2 − 2R1 ⎢⎣0 1 1 45/ 7 ⎦⎥ sx + (s − 1) y = 0 .....(2) R3 − R1 ⎡s+1 s+2⎤ ⎡x⎤ ⎡s⎤ ใช้กฎคราเมอรช์ ่วย ~ ⎡ 1 0 0 25/7⎤ x = 25/7 ⎣⎢ s s−1⎥⎦ ⎣⎢y⎦⎥ = ⎣⎢0⎦⎥ → ⎢0 1 0 29/ 7⎥ ∴ y = 29/7 R3 + R2 ⎢⎣0 0 1 16/ 7⎦⎥ s s+2 s+1 s+2 − R2 z = 16/7 x = 0 s−1 ÷ s s−1 ⎡2 1 −1 5⎤ ⎡ 2 1 −1 5 ⎤ ⎢3 −2 2 −3⎥ ⎢7 0 0 7 ⎥ ~(79.2) = s(s − 1) = − s(s − 1) ⎣⎢ 1 −3 −3 −2⎥⎦ R2 + 2R1 ⎣⎢−5 −6 0 −17⎥⎦ (s + 1)(s − 1) − s(s + 2) 2s + 1 R3 − 3R1 ~ ~⎡ 7 0 0 7 ⎤ ⎡1 0 0 1 ⎤ และ y = s+1 s ÷ s+1 s+2 ⎢−5 −6 0 −17⎥ ⎢−5 −6 0 −17⎥ s0 s s−1 สลับแถว....⎣⎢ 2 1 −1 5 ⎥⎦ (1/ 7)R1 ⎣⎢ 2 1 −1 5 ⎦⎥ = −s2 = s2 ~ ~⎡ 1 0 0 1 ⎤ ⎡1 0 0 1 ⎤ (s + 1)(s − 1) − s(s + 2) 2s + 1 ⎢0 −6 0 −12⎥ ⎢0 1 0 2 ⎥ R2 + 5R1 ⎣⎢0 1 −1 3 ⎦⎥ (−1/ 6)R2 ⎢⎣0 −1 1 −3⎦⎥ ⎡ 1⎤ R3 − 2R1 − R3 (84) A2(adj A) X = A ⋅ AX = ⎢6⎥ ~ ⎡1 0 0 1⎤ x=1 ⎣⎢0⎦⎥ ⎢0 1 0 2 ⎥ ∴ y =2 R3 + R2 ⎢⎣0 0 1 −1⎦⎥ หาค่า A ได้ 6 ดงั นน้ั z = −1 (80) เน่อื งจาก สมการที่ (1) กบั (3) มสี มั ประสิทธ์ิ ⎡ 1 2 3⎤ ⎡p⎤ ⎡1/6⎤ กฎคราเมอร์ เปน็ −2 เทา่ ของกนั ..ดงั น้ัน A = 0 ทาํ ใหห้ า ⎢0 −1 0⎥ ⎢q⎥ = ⎢ 1 ⎥ → ⎣⎢2 1 0⎦⎥ ⎣⎢r ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ คําตอบท่แี น่นอนชุดหนง่ึ ไม่ได้ (80.1) สมการ (1) กับ (3) ขัดแย้งกัน ไมม่ ีคาํ ตอบ p = 1/6 2 3 ÷ 123 = 3 = 1 (80.2) สมการ (1) กับ (3) เปน็ สมการเดียวกัน 1 −1 0 0 −1 0 (จึงเหลือแค่ 2 สมการ) ... มคี าํ ตอบหลายชดุ 0 10 2 10 6 2 (85) หาคาํ ตอบไดเ้ สมอเมอื่ A ≠ 0 (81.1) ⎡2 0 1⎤ ⎡1/ x⎤ ⎡0⎤ ∴ a2 − 3a + 2 ≠ 0 → (a − 1)(a − 2) ≠ 0 ⎢4 2 0⎥ ⎢1/ y⎥ ⎢4⎥ = → a ≠ 1, 2 ⎢⎣0 3 1⎥⎦ ⎢⎣1/ z⎦⎥ ⎣⎢2⎦⎥ ⎡1 2 a⎤ ⎡ 1 2 3⎤ ⎢2 3 b⎥ ⎢ 0 −1 −1⎥ → 1= 00 1 20 1 = 8 = 1 ~(86) 420 ÷ 420 ⎣⎢−1 0 c⎥⎦ R2 − 2R1 ⎣⎢−1 0 2 ⎦⎥ x 2 3 1 0 3 1 16 2 แสดงว่า a = 3, b − 2a = − 1 → b = 5, ∴ x = 2 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 1, z = −1 c=2 ดังนน้ั จะไดส้ มการ ⎡1 2 3⎤ ⎡x⎤ ⎡ 1⎤ ⎢2 3 5⎥ ⎢y⎥ = ⎢ 1⎥ ⎣⎢−1 0 2⎥⎦ ⎣⎢z⎥⎦ ⎣⎢0⎦⎥ และ x = 123 ÷ 1 23 = 2 = −2 / 3 1 35 2 35 0 0 2 −1 0 2 −3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 227 เวกเตอร v ⋅cT˜R º··èÕ 10 eÇ¡eµoÏ ปรมิ าณในโลกมีสองชนดิ คอื ปรมิ าณสเกลาร์ (Scalar Quantity) และปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity) โดยท่ีปรมิ าณสเกลาร์น้ันระบุเฉพาะขนาด เช่น ระยะเวลา มวล ราคาสง่ิ ของ แต่ปริมาณเวกเตอร์ น้นั จะระบทุ ัง้ ขนาดและทศิ ทาง เชน่ แรง ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตมั บทเรยี นเรอ่ื งเวกเตอรน์ ี้เป็น พื้นฐานท่ีสาํ คัญของวิชากลศาสตร์ ไฟฟ้า และอน่ื ๆ การเขยี นปริมาณเวกเตอรจ์ ะใช้รปู ลกู ศร โดยใหค้ วามยาวลูกศรแทนขนาด และหัวลูกศร ชี้บอกทศิ ทาง เชน่ จากภาพ เวกเตอร์มี “ขนาด” 4 หน่วย และมี “ทศิ ทาง” ทํามมุ 45° กบั แกน x ในทศิ ทวนเข็มนาฬิกา เขยี นชือ่ เวกเตอร์ ตามจุดเรมิ่ และจุดส้ินสุดของลกู ศร เชน่ ˜AB B หรือใชต้ ัวพิมพ์เล็ก (ทเ่ี ติมขีดด้านบน) กไ็ ด้ เช่น u, v, w u ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนเป็นสัญลกั ษณ์ว่า u D y x เวกเตอร์สองอันจะเท่ากนั กต็ อ่ เมื่อ มีขนาด B เท่ากัน และมีทิศทางเดยี วกัน (ไมจ่ าํ เปน็ ต้อง 45° ม˜Aจี Bุดเ=ร่ิม˜CตDน้ แกลไ็ะดจ้ดุ ถสา้ นิ้ มสีขุดนเาดดยี เวทก่าันกนั เชแน่ ละทิศ A เดยี วกนั ดังภาพ) A C Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 228 เวกเตอร 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ เวกเตอร์บวกกนั สามารถหาผลลพั ธไ์ ด้สองวธิ ี คือ หัวตอ่ หาง และหางต่อหาง 1. หวั ต่อหาง ใหน้ ําเวกเตอร์มาเขยี นต่อกัน โดยเอาหางลูกศรใหม่มาวางตอ่ ทหี่ วั ลูกศรเดิม เวกเตอรล์ พั ธ์ทไ่ี ด้ คือเวกเตอร์ทลี่ ากจากหางแรกสดุ ไปถึงหัวลกู ศรปลายสุด ˜AB + ˜BC = ˜AC ในสีเ่ หล่ยี มดา้ นขนาน ABCD v vw w uv u u+v u u+v+w 2. หางตอ่ หาง ใหน้ ําหางเวกเตอร์ชนกัน แลว้ ต่อเตมิ รูปใหก้ ลายเปน็ สี่เหลย่ี มด้านขนาน เวกเตอร์ลัพธ์ทไ่ี ด้ คอื เวกเตอร์ท่ลี ากจากหางทชี่ นกัน ไปสุดแนวทแยงมุมส่ีเหลีย่ มด้านขนาน ˜AB + ˜AD = ˜AC ในส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน ABCD w u+v+w u+v uv u u+v vw การบวกเวกเตอร์ มสี มบตั เิ หมือนการบวกจํานวนจรงิ ทกุ ประการ ได้แก่ สมบตั ปิ ิด, สมบัติการสลับท,่ี สมบัติการเปล่ยี นกลุ่ม, การมเี อกลกั ษณ์, และการมอี นิ เวอร์ส u+v = v+u (u+v) +w = u+ (v+w) เอกลักษณ์การบวกของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ศูนย์ ( 0 ) เปน็ เวกเตอรท์ ่ีมขี นาด 0 หน่วย u+0 = u u+(−u) = 0 “นิเสธของ u ” หรืออนิ เวอร์สการบวก เขยี นสัญลักษณว์ ่า −u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากันแต่ ทศิ ตรงข้ามกับ u หรอื กลา่ วว่า − ˜AB = ˜BA นั่นเอง การลบเวกเตอร์ เปน็ การบวกด้วยนเิ สธ u−v = u+(−v) ดังนน้ั สามารถหาเวกเตอร์ลพั ธไ์ ด้จากวิธีการบวก ทั้งสองวิธี คอื หัวตอ่ หาง และหางตอ่ หาง −v uv u−v u u−v u −v หรือหาไดจ้ ากวิธีหางต่อหางแบบใหม่ ให้เขยี นเวกเตอร์ตวั ตั้งและตัวลบแบบหางชนกนั เวกเตอรล์ ัพธท์ ีไ่ ด้ จะลากจากปลายลกู ศรของตัวลบ มายงั ปลายลกู ศรของตวั ตง้ั ˜AB − ˜AD = ˜DB ในส่เี หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 229 เวกเตอร uv u u−v v ขนาดของเวกเตอรล์ ัพธ์ หาไดจ้ ากกฎของโคไซนใ์ นเรื่องตรโี กณมติ ิ ซ่ึงสรุปได้ดังนี้ (และสามารถนําขนาดทไี่ ดไ้ ปคาํ นวณหาทศิ ทาง โดยกฎของไซน์กบั รปู สามเหล่ียม) u+v = u 2+ v 2+ 2 u v cos θ เม่อื θ คอื มุมระหวา่ ง u กับ v u−v = u 2+ v 2− 2 u v cos θ S ¨´u ·è¼Õ i´ºo‹ Â! S ÁuÁ θ ÃaËNjҧ u ¡aº v ¨aµoŒ §Ça´¢³a¹Òí ËÒ§µ‹oËÒ§eÊÁo¹a¤Ãºa æÅaÁÕ¢¹Ò´äÁ‹e¡¹i 180 o§ÈÒ a a a2+ b2− 2 a b cos θ θ a2+ b2+ 2 a b cos θ θ bb แบบฝกึ หัด 10.1 (1) กําหนดเวกเตอร์ u และ v ดังภาพ ใหว้ าดรูปหา u+v และ u−v โดยวิธหี ัวตอ่ หาง และหาง ต่อหาง (สเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน) (2) ใหเ้ ขียนเวกเตอร์แสดงการเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็ว 40 กม.ตอ่ ชม. ไปทางทศิ ตะวนั ออก และ 60 กม.ต่อ ชม. ไปทางทิศตะวนั ตกเฉยี งใต้ (3) ให้เขียนเวกเตอร์ขนาด 10 หน่วย ทิศ 030 ° , เวกเตอร์ 12 หน่วย ทิศ 135 ° , และเวกเตอร์ 5 หนว่ ย ทศิ 330 ° หมายเหตุ การบอกมมุ ในระบบ 3 หลกั (Three Figure System) จะให้ทศิ เหนือเป็น 000 องศา และเพม่ิ ขน้ึ ในทิศตามเข็มนาฬกิ า (เชน่ 090 องศา แทนทศิ ตะวันออก, 180 องศา แทนทิศใต)้ (4) ถ้า u แทนระยะทาง 50 กม. ในทศิ 170 ° จะไดว้ า่ −u คืออะไร (5) นาย ก ออกเดินทางไปในทิศ 030 ° เปน็ ระยะทาง 1,000 กม. แลว้ เดินทางตอ่ ในทศิ 150 ° เป็นระยะทาง 500 กม. จงหาว่าเขาอยูท่ างทิศใดของจุดเริ่มต้น และอยหู่ ่างเทา่ ใด (6) เครื่องบินออกแรงบนิ ไปทางทิศเหนอื ด้วยความเรว็ 240 กม.ตอ่ ชม. ในบริเวณทม่ี ีพายุพัดไปใน ทศิ ตะวันออกด้วยความเร็ว 180 กม.ต่อ ชม. ถามวา่ ความเร็วของเครื่องบินจะเปน็ เท่าใด (7) เครื่องบินออกแรงบินดว้ ยความเร็ว 200 กม.ต่อ ชม. ไปในทิศ 030 ° ถ้ากระแสลมพัดด้วย ความเร็ว 50 กม.ต่อ ชม. ไปในทศิ 330 ° จงหาอตั ราเร็วของเครื่องบนิ ทแ่ี ทจ้ ริง (8) ชายคนหน่งึ พายเรือในนํา้ นิ่งไดอ้ ตั ราเร็ว 4 กม.ต่อ ชม. ถ้าเขาตอ้ งการเดนิ ทางไปทางทศิ เหนอื ขณะที่กระแสน้ําไหลไปทางทศิ ตะวนั ตกดว้ ยอัตราเรว็ 3 กม.ตอ่ ชม. แลว้ เขาต้องออกแรงพายเรอื ไป ในทศิ ใด ดว้ ยอัตราเร็วเท่าใด จงึ ไดอ้ ัตราเร็วเท่ากบั การพายปกตใิ นนาํ้ นิง่ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 230 เวกเตอร (ทu9ํา)ม=ุมเ˜วAกB6เ0ต+อ°ร˜A์กC˜บัAเBวแกลมเตะีขอนรvา์ ด˜=A6B˜ABหโดน−ยว่ ยม˜Aขี Cขนนาาดนเทแก่ากนนั xจโงดหยามขนที าิศดทแาลงไะปทใิศนทแานงวท่ีเป+xน็ ไปแไลดะ้ขเวอกงเเตวกอเรต์ อ˜AรC์ (10) จงหา u+v เม่ือ u กบั v ทํามมุ กนั 0 ° , 90 ° , 180 ° (11) จงหา u−v เม่ือ u กบั v ทํามุมกัน 0 ° , 90 ° , 180 ° (12) ถ้า u+v+w = 0 และ u = 2 , v = 4 , w = 2 จงหา u−v และ u+v (13) กาํ หนดให้ u = 1, v = 2 , w = 3 , w ตั้งฉากกบั v และมที ิศเดียวกบั u จงหาคา่ u+v+w (14) กาํ หนด u และ v เปน็ เวกเตอร์ในระนาบ ถา้ u = 4 , v = 3 , u−v = 25 + 12 3 จงหามมุ ระหว่าง u กับ v (15) ถา้ u = 10 , v = 5 , u+v = 12 จงหา u−v (16) [Ent’35] ถา้ u = 4 , v = 3 , u+v = 6 จงหา u−v (17) ถา้ u = 4 , v = 5 , และ u ตงั้ ฉากกบั v จงหา 2 u+v +3 u−v (18) ถ้า u = v จงหามุมระหวา่ ง u กบั v ที่ทาํ ให้ u+v = 2 u−v (19) [Ent’37] เวกเตอร์ u , v , w มีสมบัตวิ ่า u = w และ u−v = v+w ถา้ มมุ ระหวา่ ง u กับ v เปน็ π แล้ว มุมระหว่าง v กบั w เปน็ เท่าใด 5 (20) กาํ หนด ABCDEF เป็นรูปหกเหลีย่ มดา้ นเท่ามุมเท่า มี O เป็นจดุ กงึ่ กลาง และ |˜AB| = 2 ซม. เวกเตกอ. ร˜A์ใดDตอ่+ไ˜ปFDนี้ยาวกว่า 4 ซ˜AมB. ˜ED ค. ˜FO + ˜DO ง. ˜OD + ˜OB ข. + 10.2 การคูณเวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ ผลท่ไี ด้จากการคูณเวกเตอร์ u ดว้ ยสเกลาร์ a เปน็ ดงั น้ี 1. ถา้ a = 0 จะได้ au = 0 2. ถา้ a > 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอร์ที่มที ศิ เดียวกนั กับ u แตม่ ขี นาดเปน็ a ⋅ u 3. ถ้า a < 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอรท์ ี่มที ศิ ตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅ u การคูณด้วยสเกลาร์ มีสมบตั ิการเปลย่ี นกลุ่ม และการแจกแจง เช่นเดียวกบั จํานวนจรงิ น่ัน คอื a (bu) = (ab) u , (a+b) u = au + bu , และ a (u+v) = au + av ความสัมพนั ธ์ของ “การคณู ด้วยสเกลาร์” และ “การขนานกนั ของเวกเตอร์” เมื่อ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะไดท้ ฎษฎีว่า 1. u จะขนานกับ v ก็ต่อเมอ่ื มคี ่า a ≠ 0 ทีท่ าํ ให้ u = av 2. ถ้า u ไมข่ นานกับ v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 231 เวกเตอร แบบฝกึ หัด 10.2 (21) กําหนดให้ u + 4v = 3v − 2w และ 3v − 4w = 2w + 5u ถ้า w = 12 จงหาคา่ u + v + w (22) u = 2v − w โดยที่ v = w = 1 และมุมระหว่าง v กบั w เปน็ 120 ° จงหามุม θ ระหว่าง u กับ v (23) กาํ หนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u ขนานกบั v จงหาค่า x ทที่ าํ ให้ (x2+ 6x − 2) u − v = (x − 2x2) u + x v (24) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ (x2− 5) u − v = (1 − x) u − 3 v แลว้ u จะขนานกับ v เมื่อ x มคี า่ เท่าใด (25) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ (x2− 5) u − v = (1 − x) u − 3 v แล้ว u กบั v จะมที ิศทางเดยี วกนั เมอ่ื x มีคา่ เท่าใด (26) u กบั v มีทิศทางเดียวกัน ถา้ 2 u + (6 − 3x2) v = 100 u + 2 v จงหาค่า x 53 (27) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u ไม่ขนานกบั v จงหาค่า x และ y ท่สี อดคล้องกบั สมการ xu + (x−8) v = (2+2y) u − yv (28) u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u กบั v ไมข่ นานกัน ถ้า 3u + 8v = a(3u + v) + b (u − 2v) จงหาคา่ a และ b (29) ถา้ u ไม่ขนานกบั v และ w ,= (a+4b) u + (2a+b+1) v s = (b−2a+2) u + (2a−3b−1) v จงหาคา่ a กบั b ทท่ี ําให้ 3w = 2s 10.3 เวกเตอรก์ บั เรขาคณิต เราสามารถใช้ความรู้เก่ียวกบั เวกเตอร์ พสิ จู นส์ ่วนประกอบของรปู เรขาคณติ หลายเหลย่ี มได้ รวมท้งั แกโ้ จทยป์ ญั หาประเภท “เขยี นเวกเตอร์ท่ีกําหนด ในรูปผลรวมเชงิ เสน้ ของเวกเตอรอ์ ่ืน” เทคนิคที่ใช้ในการแกโ้ จทย์ปัญหาแบบนี้ คอื .. (ดูตวั อยา่ งประกอบ) 1. เขยี นเวกเตอรท์ ี่กําหนด ในรูปผลรวมของเวกเตอรอ์ ื่น แบบใดกไ็ ด้ก่อน 2. พยายามเปล่ียนเวกเตอร์ท่ไี ม่ตอ้ งการ เปน็ ผลรวมของเวกเตอรท์ ่ตี อ้ งการ ไปทลี ะขัน้ ๆ 3. เมอื่ เหลือเพียงเวกเตอร์ท่ีต้องการแล้ว ก็จดั เป็นรปู อยา่ งง่าย แลว้ จึงตอบ 4. บางคร้ังเราตอ้ งอาศยั สมการเวกเตอร์อนื่ เพื่อช่วยแปลงใหเ้ ปน็ เวกเตอร์ท่ตี อ้ งการ ตัวอยาง [Ent’35] สี่เหลีย่ มจตั รุ ัส ABCD มีจุด M และ N อยทู ีก่ ่งึ กลางดาน BC และ CD ตามลําดับ จงหา ˜AB ในเทอมของ ˜AM กบั ˜AN วธิ ีคดิ วาดภาพตามโจทยไดดงั รปู Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 232 เวกเตอร • เรม่ิ ตน เขียน ˜AB ในเทอมของเวกเตอรใดๆ กอ น A B เชน ˜AB = ˜AM + M˜B ____________________ (1) จากนัน้ พยายามเปลี่ยน M˜B ใหเปน ˜AM หรือ ˜AN ใหไ ด M • จากรปู เราเชื่อม M˜B กับ ˜AN ไดด ังนี้ ˜AB = ˜AN + ˜NC + ˜CB = ˜AN + 1 ˜AB + 2 M˜B DN C 2 หรือจดั รูปสมการไดว า M˜B = 1 ˜AB − 1 ˜AN _________________ (2) 42 เมื่อแทนคา จากสมการ (2) ลงใน (1) กจ็ ะไดคําตอบ ˜AB = ˜AM + (1 ˜AB − 1 ˜AN) 42 = 4 ˜AM − 2 ˜AN ตอบ 33 แบบฝึกหดั 10.3 (30) [Ent’26] สQเ่ี Bหล=ี่ยม3ด:า้ 5นขนถา้าน˜AABBC=Du มีจดุ P˜AเDปน็ =จดุ vทเี่ จสง้นหทาแย˜PงQมมุ ใตนัดรกูปันขอจงุดuQ อยู่บนดา้ น AB โดย AQ : และ กบั v (31) จากภาพ |˜EF| : |˜FB| = 2 : 1 จงหา ˜AF ในรูปผลรวมของ a กับ b E 4a D D N F b O 2a a M A BC C B ขอ้ (31) A ขอ้ (32) อ(3อ2ก)เปจ็นาสกาภมาสพ่วจนุดเทBา่ ๆแบกง่ ันครถงึ่ า้ด้า˜AนBA=C , จุด M ˜BแDบง่ ค=รaึ่งด+้านb AใหD้ห,าแลM˜ะNจดุ ในNรปูกขับอOง แบง่ ด้าน DC และ a กบั b a (33) สามเหล่ียม ABC เป็นรปู สามเหล่ียมใดๆ ให้ ˜A˜DBO = a และ ˜AC =b ถ้า ˜AD , ˜BE , ˜CF คอื มธั ยฐานของสามเหลยี่ ม ตัดกันทจี่ ุด O จงเขียน ในรูปของ a กับ b (34) สีเ่ หล่ียม ABCD เป็นส่ีเหลีย่ มด้านขนาน จุด E อยบู่ น CB โดย ˜CE = 1 ˜CB , จุด F เป็น 3 จดุ ตดั ของ ˜AC กับ ˜DE , หาก ˜EF = a ˜ED และ ˜CF = b ˜CA จงหาค่า b a กับ (35) ให้ D เป็นจุดแบ่งด้าน AC ของสามเหล่ียม ABC โดยท่ี |˜AD| : |˜DC| = m : n จงหา ˜BD ในเทอมของ ˜BA กับ ˜BC (36) สามเหลี่ยม ABC มจี ุด D กบั E เป็นจดุ กึ่งกลางดา้ น AB กบั AC ตามลําดับ ให้พสิ จู น์วา่ (36.1) ˜DE ขนานกบั ˜BC (36.2) ˜DE = 1 ˜BC 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 233 เวกเตอร (37) ในสเ่ี หลีย่ มคางหมูรปู หนึ่ง จงพสิ ูจนว์ ่า ส่วนของเสน้ ตรงทล่ี ากเชอ่ื มจดุ กง่ึ กลางของดา้ นทไี่ ม่ ขนานกันน้นั จะขนานกบั ฐาน และยาวเป็นครึ่งหนง่ึ ของผลบวกดา้ นค่ขู นาน 10.4 เวกเตอรใ์ นพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ย เวกเตอรท์ ก่ี ล่าวถึงท่ผี ่านมาท้ังหมด เปน็ การมองในพิกดั เชิงขวั้ (Polar Coordinate หรอื r−θ ) คืออา้ งถึงเวกเตอรใ์ ดๆ ด้วยค่า ขนาด (ความยาว) และทิศทาง (มุมท่วี ัดทวนเขม็ นาฬิกาจาก แกน +x) แต่นอกจากนน้ั เรายงั สามารถอา้ งถงึ เวกเตอร์เหลา่ นี้ในพกิ ัดฉาก (Cartesian Coordinate หรือ x−y ) ได้ ดว้ ยส่วนประกอบในแนวนอน (Δx) และแนวตั้ง (Δy) ดงั ภาพ B (x2,y2) P (3,4) u ˜AB O R (2,-2) u = ⎡3⎤ ⎢⎣4⎥⎦ ⎡Δx⎤ ⎡ x2−x1⎤ v = ⎣⎢Δy⎦⎥ = ⎢⎣ y2−y1⎥⎦ Q (-1,-6) A (x ,y )1 1 v = ⎡3⎤ ⎣⎢4⎥⎦ S e¾Áèi eµiÁ! S ความสมั พันธร์ ะหว่างพกิ ัดเชิงขวั้ กับพิกัดฉาก Ãaǧa oÂҋ e¼ÅoeoÒ y oº‹Ù ¹ x oÂŋ٠ҋ §! 溺¹¹éÕ a¤Ãaº ⎡ y2−y1 ⎤ Δx = r cos θ ⎢⎣ x2−x1 ⎥⎦ Δy = r sin θ (e»¹š e¾ÃÒaNjÒe¤Âª¹i ¡ºa ÊÙµÃËÒ¤ÇÒÁª¹a ) r = (Δx)2 + (Δy)2 tan θ = (Δy/ Δx) = ความชัน เวกเตอรส์ องอนั จะเท่ากนั กต็ ่อเมอ่ื Δx เท่ากนั และ Δy เทา่ กนั เช่น ในภาพ u = v เวกเตอรส์ องอันจะขนานกนั ( u & v ) กต็ อ่ เม่ือความชันเทา่ กนั (การขนานกนั นนั้ มีทั้งแบบทิศเดียวกนั และทิศตรงข้ามกนั ) และเวกเตอร์สองอันจะต้ังฉากกนั ( u ⊥ v ) ก็ต่อเมื่อความชันคูณกันได้ –1 การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะไดผ้ ลเช่นเดียวกับเมตริกซ์ นัน่ คอื ⎡a⎤ + ⎡c⎤ = ⎡a+c⎤ k ⋅ ⎡a⎤ = ⎡ka⎤ ⎢⎣b⎦⎥ ⎣⎢d⎥⎦ ⎣⎢b+d⎦⎥ ⎢⎣b⎦⎥ ⎢⎣kb⎦⎥ หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎣⎡a , b⎦⎤ แทน ⎡a⎤ ⎢⎣b⎦⎥ เวกเตอร์หน่ึงหนว่ ย (Unit Vector) กค็ อื เวกเตอร์ทีม่ ีขนาดเท่ากบั 1 เวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยที่สาํ คญั ในระบบพิกดั ฉาก มอี ยู่ 2 ตัว ได้แก่ i กับ j โดย i แทนเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ยในทศิ ทาง +x และ j แทนเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยในทิศทาง +y น่นั คือ i = ⎡ 1⎤ และ j = ⎡0⎤ ⎣⎢0⎦⎥ ⎢⎣ 1⎥⎦ เราสามารถเขียนเวกเตอร์ ⎡a⎤ ใดๆ ในรปู “ผลรวมเชิงเส้นของ i กบั j ” ไดเ้ สมอ ⎢⎣b⎦⎥ ขหนรอืาดข⎢⎣⎡baอ⎦⎤⎥งส=่ว˜AนaBเวi กม+เาตbหอjารรห์ นน(ัน่ เ่ึงพเหออ่ื นงทว่ ซํายใ่ึงใหกน้ขาทนริศเาขทดยีาเนงหขใลอนอื งรเปูพ˜Aแยี บBงบ1ใดหaๆนi ว่ (+ยทb)่ไี มjเขใ่ ชนีย่ นั้น0เกป)็เน็ปสสน็ าญัทมนี่ลาิยรักถมษสกณรว์ไ้าา่ ดงไ้ว⎢⎣⎡ด่าbaจ้ ⎦⎥⎤|า˜˜กAAกBBา|รนํา Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 234 เวกเตอร แบบฝกึ หัด 10.4 (38) จงเขียน ˜PQ ใหอ้ ยู่ในระบบแกนฉาก เม่อื กําหนดจดุ ดงั น้ี (38.1) P (2, 4), Q (3, 7) (38.2) P (−2, 3), Q (4, −5) (39) ถ้า ˜PQ = ⎡−3⎤ ใหห้ า ⎢⎣ 2 ⎥⎦ (39.1) จุดเร่ิมต้น เมอ่ื สิน้ สุดที่ Q(−2, −5) (39.2) จดุ สน้ิ สุด เมอ่ื เริม่ ต้นท่ี P(4, −6) (40) ค่อู ันดับ A (3, −4), B(6, 3), C (7, −1) จงหาเวกเตอร์ ˜AB, ˜AC, ˜BC พรอ้ มขนาด (41) u = ⎡3⎤ , v = ⎡2⎤ , w = ⎡−3⎤ จงหา 2u − 3v + w และ 2u − 3v + w ⎢⎣−4⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ ⎢⎣ 4 ⎦⎥ (42) เวกเตอรใ์ นแต่ละข้อ ขนานกนั หรอื ไม่ ถ้าขนานใหบ้ อกว่ามที ิศเดียวกันหรือตรงขา้ มกนั (42.1) ⎡0⎤ กบั ⎡0⎤ (42.2) ⎡−4⎤ กับ ⎡−2⎤ ⎢⎣4⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎥⎦ (42.3) ⎡0⎤ กบั ⎡−3⎤ (42.4) ⎡7⎤ กบั ⎡ 1⎤ ⎣⎢3⎦⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣−14⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ (43) u = ⎡3⎤ , v = ⎡2⎤ , w = ⎡−1⎤ จงเขยี น w ในรปู ของ au + bv ⎣⎢4⎦⎥ ⎣⎢−1⎥⎦ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ (44) ให้เขยี นเวกเตอร์ w = ⎡6⎤ ในรูปผลรวมเชิงเสน้ ของ u = ⎡4⎤ , v = ⎡ 1⎤ ⎣⎢9⎦⎥ ⎢⎣ 1⎥⎦ ⎢⎣4⎦⎥ (45) สีเ่ หลยี่ มด้านขนาน ABCD มี ˜AB = ⎡2⎤ , ˜AD = ⎡3⎤ จงหาผลบวกของกาํ ลังสองของความ ⎢⎣−3⎦⎥ ⎢⎣4⎥⎦ ยาวเสน้ ทแยงมุมทัง้ สองเส้น (46) กําหนดให้ u = ⎡3⎤ , v = ⎡−4⎤ , w = ⎡5⎤ จงเขยี นเวกเตอรต์ ่อไปนีใ้ นรูป i กับ j ⎣⎢−2⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎣⎢−3⎦⎥ (46.1) u (46.2) v (46.3) w (46.4) u + v (46.5) 2u − w (47) กําห(น47ด.ค1)ู่อนั 2ด˜Aบั BA−(3−1˜C, 2D), B (−4, −2), C (−3, 4), D (2, −16(/437).2จ)งห|2า˜AB ˜CD| j ในรปู i กับ − 3 (48) กาํ หนดให้ u = ⎡3⎤ , v = ⎡−2⎤ จงหา ⎢⎣−4⎦⎥ ⎣⎢ 8 ⎥⎦ (48.1) เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย ที่มีทศิ ทางเดยี วกับ u (48.2) เวกเตอรห์ นึง่ หน่วย ที่มที ิศทางตรงขา้ มกบั v (48.3) เวกเตอรข์ นาด 3 หนว่ ย ท่ีมีทิศทางเดียวกบั u+v (48.4) เวกเตอร์ขนาดเทา่ กบั u−v และมที ิศทางเดียวกบั u+v (49) ถา้ u = 3 i + 4 j ขนานกบั ˜PQ ซง่ึ มขี นาด 15 หน่วย, จดุ P คอื (2, 4) จงหาจุด Q Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 235 เวกเตอร (50) กําหนดจุด P(c, d) และ Q(c+a, d+b) จงหาเวกเตอร์หน่งึ หน่วยทศิ ตรงขา้ มกบั ˜PQ (51) [Ent’30] จงหาเวกเตอรท์ ี่มีความยาวเทา่ กับ 3 2 หนว่ ย ทาํ มุม 45 ° กับเวกเตอร์ j และ ตั้งฉากกบั เวกเตอร์ − 1 i + 1 j 22 10.5 ผลคณู เชงิ สเกลาร์ การคณู เวกเตอรค์ ู่หนึ่ง จะเกดิ ผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ 1. การคูณแบบดอท (Dot Product) u⋅v ให้ผลลัพธเ์ ปน็ สเกลาร์ (ตวั เลข) หรอื เรียกว่าผลคณู เชิงสเกลาร์ (Scalar Product) กไ็ ด้ 2. การคูณแบบครอส (Cross Product) u × v ยังคงให้ผลลัพธ์เปน็ เวกเตอร์ หรือเรียกวา่ ผลคณู เชิงเวกเตอร์ (Vector Product) กไ็ ด้ นิยาม การคณู แบบดอท ในพิกดั ฉาก... ⎡a⎤ ⋅ ⎡c⎤ = (a i +b j) ⋅ (c i +d j) = ac + bd ⎢⎣b⎥⎦ ⎢⎣d⎦⎥ การคณู แบบดอท ในพิกัดเชิงข้ัว... u ⋅ v = u v cos θ เราสามารถใช้สมการท้งั สองร่วมกัน ในการคาํ นวณเกย่ี วกับมุม θ ระหว่าง u กับ v ได้ ข้อสังเกต การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขยี นใหมไ่ ดว้ ่า u+v = u 2+ v 2+ 2 (u ⋅ v) เม่อื θ คอื มมุ ระหวา่ ง u กบั v u−v = u 2+ v 2− 2 (u ⋅ v) สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบดอท • u⋅u = u 2 • 0⋅u = 0 • u⋅v = v⋅u • u⋅v =0 ↔ u ⊥ v • u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w • a (u ⋅ v) = a u ⋅ v u สูตรในการหาพ้ืนทส่ี ามเหลยี่ ม θ เม่อื มดี ้านประชิดเปน็ เวกเตอร์ u กับ v v และมุมระหวา่ งเวกเตอร์เป็น θ คือ 1 u v sin θ 2 พืน้ ทสี่ ่เี หลีย่ มด้านขนาน คอื u v sin θ แบบฝกึ หดั 10.5 (52) จงหา u ⋅ v เมอ่ื (52.1) u = ⎡3⎤ , v = ⎡2⎤ (52.2) u = ⎡4⎤ , v = ⎡−2⎤ ⎢⎣−4⎥⎦ ⎢⎣−3⎥⎦ ⎢⎣−10⎦⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ (52.3) u = 3 i −5 j , v = −4 i +2 j (52.4) u = 3 i −4 j , v = 2 i −5 j 45 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 236 เวกเตอร (53) กําหนดคอู่ ันดบั A˜BC(3, −2), B (−3, 5), C (2, 4) จงหา A˜B ⋅ (˜BC + ˜AC) (53.1) A˜B (53.2) ⋅ (54) จงหามมุ ระหวา่ ง u กบั v เม่ือกาํ หนด (54.1) u = 2 i −2 3 j , v = 3 i + j (54.2) u = 2 3 i +2 j , v = −3 3 i +3 j (54.3) u = 2 i +3 j , v = −3 i +2 j (55) จงแสดงว่าสามเหลยี่ ม ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก โดยอาศัยการคณู เวกเตอร์ เมอื่ กําหนด คอู่ นั ดับดงั นี้ A (2, 2), B (6, 4), C (10, −14) และใหบ้ อกวา่ มุมใดเปน็ มมุ ฉาก (56) u = − i + j และ v = 2 i +x j ถ้ามมุ ระหว่าง u กบั v เป็น 135 ° จงหาค่าของ x (57) ถ้า u กับ v ทํามุมกัน 60 ° และ u = 2 , v = 3 จงหามมุ ระหว่าง v−u กับ u (58) [Ent’38] กําหนด u = 3 i −4 j และ u (u−v) = 24 จงหา v cos θ เมอื่ θ คอื มุมระหว่าง u กับ v (59) ˜OP = 3 i −4j , ˜OQ = 12 i +5j ลากเวกเตอร์ ˜QR ตงั้ ฉาก ˜OP ทจี่ ดุ R จงหา ˜OR (60) กําหนดให้ A (1, 1), B (−1, −2), C (7, 3), D (6, 5) เปน็ จุดยอดของส่ีเหลย่ี ม ABCD ใหห้ า ขนาดของมุมแหลม ทีเ่ กดิ จากเส้นทแยงมุมตัดกนั (61) จงห(า6พ1ื้น.1ท) ี่สสาามมเเหหลล่ยี ่ียมมตาOมAทBี่กําเหมนอ่ื ด˜OA = , ˜OB = (61.2) สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC เมอื่ 2 i +2 j , 3˜Ai B+5=j 8˜AiC+2=j −3 i +3 j (61.3) สามเหลยี่ มทม่ี ี u+v กบั u−v เปน็ ด้านสองด้าน เมื่อ u = 2 i − j , v = i + j (62) ABCD เปน็ ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน มีพนื้ ที่ 24 ตารางหนว่ ย และ ˜AB ⋅ ˜AD = 3 จงหาคา่ tan(DAˆB) เมอ่ื Aˆ เปน็ มุมแหลม (63) [Ent’36] u = ⎡2⎤ , v = ⎡ 1⎤ ถ้า u ⋅ w = −11 และ v⋅w =8 จงหา w−v ⎢⎣−5⎦⎥ ⎢⎣2⎦⎥ (64) กําหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี ม ที่มี ˜AB = u , ˜BC = v , ˜CA = w โดย u = 7 , w = 15 และ u ⋅ v = 28 จงหาคา่ w (v − 2u) (65) ใหน้ ยิ าม u ∗ v = (ac + bd) i − (bc − ad) j เมื่อ u = a i +b j , v = c i +d j ถา้ a = 3 i −4 j , b = 2 i −3 j , c = 3 i +2 j จงหา a ⋅ (b ∗ c) (66) ถา้ u+v+w = 0 , u = 2 , v = 3 , w = 4 จงหา u ⋅ v (67) [Ent’33] กําหนดเวกเตอร์ a = x i +y j , b = 4 i −3j และ c = −5 i +5j ถ้า a ⊥ b , a = 3 และ a ⋅ c > 0 จงหาค่า x + y (68) u = 3 i −4 j , v = 2 i −3j ถ้า a เป็น unit vector ทตี่ ง้ั ฉากกบั u จงหาคา่ v ⋅ a (69) เวกเตอร์ใดประกอบกันเป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 237 เวกเตอร ก. 3 i +2 j , i +5 j , 2 i +3 j ข. 3 i −2 j , i −5 j , 2 i +3 j ค. 3 i −2 j , − i −5 j , 2 i +3 j ง. 3 i −2 j , 2 i +3 j , −3 i +2 j (70) ขอ้ ความต่อไปน้ถี กู หรือผิด ก. ถ้า cos2 θ = 1 โดย θ เปน็ มุมระหวา่ ง u กับ v แล้ว u & v ข. 2 i + j ต้งั ฉากกบั − 6 i + 12 j 55 ค. (u+v) ⋅ (u+v) = u ⋅ u + 2 u ⋅ v + v ⋅ v ง. ถ้า u = 3 i −4 j, v = 2 i + j แลว้ มมุ ระหว่าง u กบั v เปน็ arccos(2/5 5) (71) [Ent’32] จากภาพ จงหา ˜PQ ⋅ ˜RQ P 1 3Q O 60° R 10.6 เวกเตอรใ์ นพิกัดฉากสามมิติ ในเนอื้ หาเรขาคณิตวิเคราะห์ได้กลา่ วไปแลว้ ว่า (1) ใน ระนาบ (Plane : R2 ) หน่ึงๆ เราจะอ้างถงึ ตาํ แหน่งหรือจดุ ใดๆ ได้ด้วยคา่ พกิ ดั (Coordinate) โดยระบบท่ีนิยมใชม้ ากทส่ี ุดคอื ระบบ พิกัดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบดว้ ยแกนอา้ งองิ 2 แกนท่ตี ง้ั ฉากกัน ณ จดุ กําเนิด (จุด O) เรยี กชอ่ื แกนนอนและแกนต้งั ว่า แกน x และ y ตามลําดบั (2) แกนทั้งสองแบ่งพน้ื ทใ่ี นระนาบ xy ออกเปน็ 4 สว่ น เรียกแตล่ ะสว่ นวา่ จตภุ าค (Quadrant) (3) การอา้ งถงึ พกิ ัดในระบบพิกัดฉาก นยิ มเขียนในรปู ค่อู นั ดับ (Ordered Pair) ทส่ี มาชิกตัวแรก แทนระยะทางในแนว +x และตวั หลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คูอ่ ันดับ (2, 4) แตใ่ นความเป็นจรงิ จดุ ใดๆ ไม่ไดอ้ ยู่ในระนาบเดียวกนั เสมอไป แตอ่ ยูใ่ น ปริภูมิสามมติ ิ (3- Dimensional Space : R3 ) ดงั น้ันเราจําเป็นตอ้ งใชพ้ กิ ัดฉาก 3 มติ ิ … ซง่ึ ประกอบด้วยแกน x, y, และ z ตัง้ ฉากกันทีจ่ ดุ กําเนิด ... ระนาบ xy, yz, xz แบ่งปรภิ มู อิ อกเป็น 8 ส่วน เรียกแตล่ ะสว่ นวา่ อัฐภาค (Octant) โดยอัฐภาคท่ี 1-4 และ 5-8 จะมีลําดับเหมอื นจตภุ าคที่ 1-4 ดงั รปู zz ระนาบ yz (x = 0) 3 2 ระนาบ xz (y = 0) O y4 1 6 y ระนาบ xy (z = 0) x 8x 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 238 เวกเตอร z z Q(2,0,1) 1 P(2,4,1) y2 4y xx R(2,4,0) หลกั ในการต้งั ลาํ ดับแกนตามมาตรฐานคือ กฎมือขวา (Right Hand Rule) ... เมือ่ แบมือ ขวาข้นึ ตรงๆ และแยกนว้ิ โป้งใหต้ งั้ ฉากกับนว้ิ ช้ี จะได้วา่ ปลายนิว้ ทั้งสช่ี ไี้ ปในทศิ +x, ฝา่ มือหันไปในทิศ +y, และนิ้วโปง้ ชไี้ ปในทิศ +z ระบตุ ําแหนง่ ส่งิ ต่างๆ ดว้ ย สามสง่ิ อันดับ (Ordered Triple) ทส่ี มาชกิ แต่ละตวั แทน ระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามลําดบั เช่น สามสิง่ อนั ดับ (2, 4, 1) เวกเตอรใ์ นพิกัดฉากสามมิติ จะอา้ งถึงด้วย Δx , Δy และ Δz ดังรูป B (x2,y2,z2) P (3,4,-3) ˜ ⎡Δx⎤ ⎡x2−x1⎤ u ⎡3⎤ ⎢⎢⎣−43⎥⎦⎥ AB = ⎢⎢Δy⎥⎥ = ⎢⎢y2− y1 ⎥ O u = ⎡3⎤ ⎥ A (x1,y1,z1) ⎢⎣Δz ⎦⎥ ⎣⎢z2−z1 ⎥⎦ v R (2,-2,0) ⎡a⎤ Q (-1,-6,3) v = ⎣⎢⎢−43⎥⎥⎦ หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎣⎡a , b , c ⎤⎦ แทน ⎢⎣⎢⎢bc⎦⎥⎥⎥ การคํานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์สามมติ ิ 1. เวกเตอร์สองอนั จะเท่ากัน กต็ อ่ เมอ่ื Δx เทา่ กนั , Δy เท่ากนั , และ Δz เท่ากนั ⎡ 1⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ 2. เม่ือกําหนดเวกเตอรห์ นึง่ หน่วยบนแตล่ ะแกนดงั นี้ i = ⎢⎢⎣⎢00⎥⎥⎥⎦ , j = ⎢⎢⎢⎣01⎥⎥⎥⎦ , และ k = ⎢⎢⎢⎣01⎥⎥⎥⎦ ⎡a⎤ กจ็ ะเขียนเวกเตอร์ ⎢⎢⎢⎣bc⎥⎥⎥⎦ ไดเ้ ปน็ a i + b j + c k 3. ขนาดของเวกเตอร์ r = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (ใช้เป็นสตู รระยะทางระหว่างจุดสองจุด คล้ายทฤษฎีบทปที าโกรัสใน 2 มติ ิ) 4. การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณดว้ ยสเกลาร์ ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡a+d⎤ ⎡a⎤ ⎡ka⎤ ⎣⎢⎢bc⎥⎥⎦ + ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = ⎣⎢⎢⎢bc++ef ⎦⎥⎥⎥ k ⋅ ⎢⎢⎣bc⎥⎥⎦ = ⎣⎢⎢kkbc⎦⎥⎥ 5. การคณู แบบดอท ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎣⎢⎢bc⎥⎦⎥ ⎢⎢e⎥⎥ ⋅ ⎣⎢ f ⎦⎥ = (a i +b j +c k) ⋅ (d i +e j +f k) = ad + be + cf และ u ⋅ v = u v cos θ (ใช้สมการทั้งสองร่วมกนั ในการคํานวณมุม θ ระหว่าง u กับ v ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 239 เวกเตอร สงั เกตไดว้ ่าการคํานวณเก่ียวกบั เวกเตอร์ในสามมติ นิ ั้น คลา้ ยคลงึ กับเวกเตอร์ในสองมติ ิ และสมบัติของเวกเตอร์กเ็ ปน็ เช่นเดยี วกนั ทัง้ หมด ... จะมีเพียงสิ่งเดยี วทต่ี ่างออกไป น่ันคือ การบอก ทศิ ทางในสามมิติ จะไม่กล่าวถงึ ความชนั แต่จะวัดมุมทเ่ี วกเตอร์กระทํากับแกนท้ังสาม เรียกว่า มุม กาํ หนดทิศทาง (Direction Angle) ไดแ้ ก่ มุม α (alpha), β (beta) และ γ (gamma) z มุม α คอื มมุ ที่เวกเตอร์ทํากับแกน +x มุม β คือมุมที่เวกเตอร์ทาํ กับแกน +y มุม γ คอื มุมทเี่ วกเตอรท์ าํ กบั แกน +z u y อาศัยผลคูณแบบดอท (นําเวกเตอร์ u = a i + b j + ck γ มาดอทกับ i , j, k ทีละอัน) จะได้.. αO β cos α = a , cos β = b , และ cos γ = c x uu u เรยี กคา่ ทง้ั สามนี้ว่า โคไซนแ์ สดงทิศทาง (Direction Cosine) มักกลา่ วถึงคา่ เหล่านี้แทนมุม ข้อสังเกต cos2 α + cos2β + cos2 γ = 1 เวกเตอรส์ องอันจะขนานกนั ( u & v ) ก็ต่อเม่ือ โคไซน์แสดงทศิ ทางของ u กบั v ทง้ั ชดุ .. (1) มคี า่ ตรงกัน ... (แสดงวา่ u กับ v มีทศิ ทางเดียวกัน) หรือ (2) เปน็ ค่าติดลบของกนั ... (แสดงวา่ u กบั v มีทิศทางตรงขา้ มกัน) และเวกเตอร์สองอันจะตัง้ ฉากกนั ( u ⊥ v ) ก็ต่อเมื่อ u ⋅ v = 0 แบบฝกึ หัด 10.6 (72) กําหนดพิกดั จดุ P (1, 2˜P,Q3) และ Q (−1, 3, 5) ให้หา (72.1) เวกเตอร์ ˜PQ (72.2) เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในทศิ เดียวกบั ˜QP (72.3) เวกเตอร์ขนาด 7 หนว่ ย ในทศิ เดียวกับ (73) กําหนด u = i + 3 j และ v = −2 i − 2 j + 6k ใหห้ า (73.1) u+v (73.3) เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในทิศ v (73.2) u + v (73.4) ขนาดมุมระหวา่ ง u + v กบั v (74) ให้หา u ⋅ v และมมุ ระหว่าง u กบั v ในแตล่ ะขอ้ (74.1) u = − i − k และ v = 3 i + j (74.2) u = 2 i − j + k และ v = i + j + 2 k (75) กาํ หนด u = i − 2 j + 3 k , v = 3 i + 4 j + 2 k และ w = 2 i + 4 j + 2 k ให้พิจารณาวา่ เวกเตอรค์ ูใ่ ดบ้างทตี่ ้ังฉากกัน (76) รปู สามเหลย่ี มทีม่ จี ดุ A (2, −1, 1), B(7, 0, −2) , และ C(3, 2, −1) เป็นจดุ ยอด เปน็ รูป สามเหลีย่ มมุมฉากหรือไม่ .. ถ้าเปน็ ให้ตอบดว้ ยว่ามุมใดเป็นมมุ ฉาก (77) ใหห้ าโคไซน์แสดงทิศทางของ u = 2 i − j + 3k และ v = −4 i + 2j − 6k และพจิ ารณาว่าเวกเตอร์ดังกลา่ วขนานกนั หรือไม่ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 240 เวกเตอร 10.7 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ การคูณเวกเตอรแ์ บบครอส เช่น u × v จะยงั คงให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ มนี ยิ ามดงั นี้ ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡bf−ce ⎤ i jk &u × v ⎣⎢⎢bc⎦⎥⎥ × ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = ⎣⎢⎢aced−−badf ⎦⎥⎥ = abc u de f v v×u (มกั จะอาศัย det ของเมตริกซช์ ว่ ยจาํ รปู แบบการครอส และหาผลลพั ธ์โดยวธิ โี คแฟกเตอร์ ตัดแถวตัดหลัก) ** ผลลัพธ์ท่ีได้ จะตงั้ ฉากกบั ระนาบ uv ... หาทศิ ทางไดด้ ว้ ยกฎมอื ขวา โดยส่ีนิ้วพุ่งไปทาง u กํามอื เข้าหา v ผลลพั ธ์มที ิศทางตามน้วิ โปง้ ทช่ี ขู น้ึ (ดงั นัน้ i × j = k , j × k = i , k × i = j ) ขนาดของเวกเตอรล์ พั ธ์ท่ไี ด้ u × v = u v sin θ ชว่ ยคาํ นวณมุม θ ระหว่าง u กับ v ได้ สมบตั ิของการคูณเวกเตอร์แบบครอส • u×u =0 • u × v = − (v × u) • 0×u = 0 • u × (v + w) = u × v + u × w • a (u × v) = a u × v • u× v = 0 ↔ u& v • u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w u สูตรในการหาพ้ืนทส่ี ามเหล่ียม เม่ือมีด้านประชดิ เปน็ u กบั v และมุมระหวา่ งเวกเตอร์เปน็ θ คอื θ v 1 u v sin θ → 1 u × v 22 พ้ืนท่สี เ่ี หลี่ยมด้านขนาน คือ u v sin θ → u × v ปริมาตรของ ทรงสเ่ี หลี่ยมหน้าขนาน (Parallelepiped) ที่มีดา้ นประชิดเปน็ เวกเตอร์ u , v , w คอื ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของสามเวกเตอร์ มีค่าเทา่ กับ u ⋅ (v × w) = u1 u2 u3 ลกู บาศกห์ น่วย v1 v2 v3 w1 w2 w3 u (หากสลับลําดับเวกเตอร์ไม่ถูกตอ้ ง ผลคณู ทไี่ ดอ้ าจตดิ ลบ w v จงึ ตอ้ งใส่ค่าสัมบูรณ์กํากบั ไว้ด้วย) แบบฝึกหดั 10.7 (78) ให้หา u × v และเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยทตี่ งั้ ฉากกับ u และ v ในแต่ละข้อ (78.1) u = 2 i − 3 j และ v = i − 5 j (78.2) u = i − 2 j และ v = 3 i + k Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 241 เวกเตอร (78.3) u = i + 3 j และ v = −2 i − 6 j (79) [จากข้อ 74.2] กาํ หนด u = 2 i − j + k และ v = i + j + 2k (79.1) u × v (79.3) ค่า sin ของมุมระหวา่ ง u และ v (79.2) พน้ื ทขี่ องรูปส่ีเหล่ยี มด้านขนานทีม่ ีดา้ นประชดิ เป็น u และ v (80) ใหห้ าพืน้ ทีร่ ปู สามเหลย่ี มทมี่ จี ุดยอดดังน้ี (80.1) P (1, 2, 3) , Q (−1, 3, 5) และ R (3, −1, 0) (80.2) A (2, 0, −3) , B(1, 4, 5) และ C (7, 2, 9) (81) ใหห้ าพนื้ ทีร่ ูปส่เี หลีย่ มดา้ นขนาน ABCD เมอ่ื กําหนด (81.1) A˜A(B2, 0, −3) , B (1แ, 4ล,ะ5)˜DแAละ= C (7, 2, 9) (81.2) = 2j −i + j −2k 3i − (82) ใหห้ าปริมาตรของรปู ทรงส่ีเหลยี่ มหน้าขนาน ท่ีมดี า้ นประชิดเปน็ เวกเตอร์ดงั น้ี (82.1) u = i − 2 j + 3 k , v = 3 i + 4 j + 2 k และ w = i + 4 j − k (82.2) u = −2 i − 6 j + k , v = 2 i + 4 j − k และ w = 4 i + 2 j − 2 k เฉลยแบบฝึกหดั (คาํ ตอบ) (1) ถงึ (3) ดูในเฉลยวธิ คี ดิ (25) −3 < x < 2 (44) w = u + 2v (4) 50 กม. ทศิ 350 ° (26) −4/3 < x < 4/3 (45) 50+26 = 76 (5) 500 3 กม. ทศิ 060 ° (27) x = 6 และ y = 2 (46.1) 3 i −2 j (6) 300 กม./ชม. ทศิ 037 ° (28) a = 2 และ b = −3 (46.2) −4 i + j (7) 50 21 กม./ชม. (29) a = 2 และ b = −1 (46.3) 5 i −3 j (8) 5 กม./ชม. ทศิ 037 ° (30) − 1 u − 1 v (31) a + 1 b (46.4) − i − j 82 3 (9) u มขี นาด 6 3 หน่วย (46.5) i − j ทศิ 060 ° หรอื 120 ° (32) a + 1 b (33) − 1 (a+b) (47.1) −21i +20 j และ v มขี นาด 6 หน่วย 66 ทิศ 030 ° หรอื 150 ° (34) a = b = 1/4 (47.2) 29 (10) u + v , ,u 2 + v 2 u − v (35) m ˜BC + n ˜BA (36-37) ... (48.1) 3i −4j (11) u − v , ,u 2 + v 2 u + v (38) 5 5 (12) 6, 2 (13) 20 m+n (48.2) 1 (i −4 j) ⎡ 1⎤ , ⎡6⎤ (39) P (1, −7), 17 ⎢⎣3⎦⎥ ⎣⎢−8⎦⎥ 3 (i +4 j) (48.3) (14) 150 ° (15) 106 ⎡3⎤ 17 (16) 14 (17) 5 41 Q (1, −4) (40) ⎢⎣7⎥⎦ → 58 , (48.4) 13 (i +4 j) (18) กar.cเcพoรsาะ(3˜/A5D) (19) 4π/5 ⎡4⎤ → 5, ⎡ 1⎤ → 17 ยาว 4 ⎣⎢3⎦⎥ ⎣⎢−4⎦⎥ 17 (20) ซม. (21) (41) 13 , 15 − 6 2 (49) (11, 16) หรอื (−7, −8) 18+6+12 = 36 (42.1) ขนานกัน ทิศตรงขา้ ม (50) −a i − b j (22) arcsin ( 3/2 7) a2 + b2 (42.2) ขนานกนั ทิศเดยี วกัน (51) 3 i +3 j หรือตอบในรูป arccos (−5/2 7) (42.3) ไม่ขนานกนั (52) 18, –28, –22, 11/2 (23) x ≠ −1, −2, 1/3 (42.4) ขนานกนั ทิศเดยี วกนั (53) –37, 11 (24) x ≠ −3, 2 (43) 3 u − 10 v (54) 90 ° , 120 ° , 90 ° 11 11 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 242 เวกเตอร (55) ˜AB ⋅ ˜AC = 0 และ (72.3) 7 (2 i − j − 2 k) (78.1) −7 k และ ± k มมุ A เปน็ มุมฉาก (56) 0 3 (78.2) −2 i − j + 6k และ (57) arccos (−1/2 7) หรอื (73.1) 38 (73.2) 10 + 44 ± 1 (−2 i − j + 6 k) 180 ° − arcsin (3 3 /2 7) 41 (73.3) 1 (−2 i − 5 j + 6 k) (58) 1/5 (59) 16 (3 i −4 j) (78.3) 0 และ ไมม่ ี 38 (79.1) −3 i − 3 j + 3 k 25 (73.4) arccos( 18 ) (79.2) 3 3 ตารางหนว่ ย (60) arccos (2/ 5) (79.3) 3/2 418 (61.1) 17 ตารางหนว่ ย (80.1) 29/2 ตารางหนว่ ย (61.2) 6 ตารางหน่วย (74.1) –3 และ arccos( −3 ) (61.3) 3 ตารางหนว่ ย (80.2) 9 13 ตารางหน่วย (62) 8 (63) 2 20 (81.1) 18 13 ตารางหนว่ ย (64) 6 (65) 52 (81.2) 53 ตารางหนว่ ย (66) 3/2 (67) 21/5 (74.2) 3 และ π/3 (82.1) 2 ลูกบาศกห์ น่วย (68) ± 1/5 (69) ข. (82.2) 0 ลูกบาศกห์ นว่ ย (75) u ตั้งฉากกบั w (ไมเ่ กดิ ทรงสเ่ี หลยี่ ม) (70) ถกู ทกุ ขอ้ (71) 1/4 (76) เปน็ สามเหลยี่ มมุมฉาก, (72.1) −2 i + j + 2 k มุม C เปน็ มุมฉาก (72.2) 1 (−2 i + j + 2 k) (77) ( 2 , −1 , 3 ) และ 3 14 14 14 ( −2 , 1 , −3 ) ดงั นน้ั ขนานกนั 14 14 14 (ทิศตรงกนั ขา้ ม) เฉลยแบบฝกึ หดั (วธิ คี ดิ ) (1) หัวตอ่ หาง v หางตอ่ หาง (5) B u+v v u+v 1,000 30˚ 30˚ 500 30˚ θ C u u A หัวตอ่ หาง หางตอ่ หาง ˜| AC | = 1,0002 + 5002 − 2(1,000)(500)(cos 60°) u v u−v = 500 3 กม. หาทศิ ดว้ ยกฎของ sin u−v −v u คอื sin θ = sin 60° → θ = 30° ∴ ทิศ 060° (2) 40 km/h (3) 10 500 500 3 5 (6) 180 60 km/h 12 240 (4) −u คอื ระยะทาง 50 กม. ทิศ 350° θ 2402 + 1802 = 300 กม./ชม. ทิศ ≈ 037° (เปน็ Δ มมุ ฉาก อตั ราสว่ น 3:4:5) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 243 เวกเตอร (7) (12) ถา้ u+v+w = 0 แสดงวา่ หวั ชนหางกนั หมด พอดี เปน็ รปู Δ แต่จากขนาดทใี่ หม้ า 2, 4, 2 ไม่เปน็ Δ แต่เปน็ แคเ่ สน้ ตรงดังรปู 200 uw 50 30˚30˚ v ∴ u−v = 2 + 4 = 6 , u+v = 4 − 2 = 2 ตอบ 502 + 2002 + 2(50)(200) cos 60° (13) = 50 21 กม./ชม. 2v u (8) w 1 4 พายจริง 3 θ ตอบ 5 กม./ชม. ทศิ ≈ 037° u+v+w = 22 + 42 = 20 3 (14) 25+12 3 = 42 + 32 − 2(4)(3) cos θuv (9) กรณที ี่ 1 C = 25 − 24 cos θuv 6v u ∴ cos θuv = − 3 /2 → θuv = 150° (15) 12 = 102 + 52 + 2(10)(5) cos θuv ∴ 2(10)(5) cos θuv = 19 60˚ B u−v = 102 + 52 − 2(10)(5) cos θuv A6 = 102 + 52 − 19 = 106 u = 62 + 62 + 2(6)(6) cos 60° = 6 3 หน่วย (16) 6 = 42 + 32 + → = 11 v = 62 + 62 − 2(6)(6) cos 60° = 6 หนว่ ย ∴ u−v = 42 + 32 − 11 = 14 ( Δ ด้านเทา่ ) (17) u ⊥ v ดังน้นั ทิศ u คือ 060° , ทิศ v คอื 150° u+v = u−v = 42 + 52 = 41 กรณที ี่ 2 A 6 B ตอบ 2 41 + 3 41 = 5 41 60˚ (18) ให้ u = v = a จะไดว้ ่า 6v u a2 + a2 + 2a2 cos θ = 2 a2 + a2 − 2a2 cos θ C 2a2(1 + cos θ) = 4(2a2)(1 − cos θ) ทิศ u คอื 120° , ทศิ v คือ 030° ∴ cos θ = 3 → θ = arccos 3 (10) 0° → u+v = u + v 55 90° → u+v = u 2 + v 2 (19) ให้ u = w = a จะได้ 180° → u+v = u − v a2 + v 2 − 2a v cos θuv = v 2 + a2 + 2 v a cos θvw (11) 0° → u−v = u − v → cos θuv = − cos θvw 90° → u−v = u 2 + v 2 เนือ่ งจาก θuv = π ดงั นน้ั θvw = 4π 180° → u−v = u + v 5 5 (มองจากวงกลมหนงึ่ หน่วยในเรอ่ื งตรีโกณมิต)ิ [หมายเหตุ ขอ้ 10, 11 จะคดิ โดยวาดรปู หรอื โดยใช้ กฎของ cos ก็ได]้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 244 เวกเตอร (20) F E (26) (6 − 3x2 − 2) v = (100 − 2) u 35 A O แสดงวา่ ยาว 2 ซม. ทุก 2 D ส่วนเพราะประกอบจาก ทิศเดียวกนั แสดงวา่ สมั ประสิทธ์ขิ อง v เปน็ บวกดว้ ย สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ → − 3x2 + 16 > 0 → 9x2 − 16 < 0 แงคขเกพ..ล..ระ˜O˜˜˜าAAFะDOB˜DFแDค++++่B˜˜O˜˜˜DEAFยBDDODังช้ใื ยยยยนกาาาา็ยทวCวววาศิ เว2กต42นิ่อ4ซซซอมม4มซอ...กมซไพ.มปอแ.อดลกีถว้ี ูก 3 → −4 / 3 < x < 4 / 3 (27) u ไมข่ นาน v แสดงวา่ สัมประสทิ ธ์ิ = 0 ทุก ตวั → x − 2 − 2y = 0 ..... (1) และ x − 8 + y = 0 ..... (2) ∴ x = 6, y = 2 (28) 3 − 3a − b = 0 .....(1) 8 − a + 2b = 0 .....(2) ∴ a = 2, b = −3 (21) u − 4v = 3v − 2w → 2w = −v − u (29) 3[(a+4b) u + (2a+b+1) v] และ 3v − 4w = 2w + 5u → 6w = 3v − 5u = 2[(b−2a+2) u + (2a−3b−1) v] ดังนน้ั (จาก 2 สมการ) จะได้ → u ไม่ขนาน v ดังนน้ั u = 3v → w = −2v u = 18 3(a+4b) − 2(b−2a+2) = 0 ..... (1) 3(2a+b+1) − 2(2a−3b−1) = 0 .....(2) ∴ ถา้ w = 12 → v = 6 → แกร้ ะบบสมการได้ a = 2, b = −1 ตอบ 18 + 6 + 12 = 36 (22) หาขนาดกอ่ น (30) A 3 Q 5 B u = 2v − w u w 120˚ v vv P u = 22 + 12 − 2(2)(1)(− 1) = 7 D C 2 ˜PQ = ˜PB + ˜BQ ก. หาคา่ θ โดยกฎ sin = 1 (u − v) + (− 5 u) = − 1 u − 1 v sin θ = sin 120° ∴ θ = arcsin( 3 ) 2 8 82 17 27 เ[หชน่มาขยอ้เหนตอี้ ุาแจบเรบม่ิ ฝจกึ าหกดั ˜นPQแี้ ต่ล=ะ˜ขPอ้Aท+ําไ˜AดQห้ ลายวิธี หรอื ข. หาคา่ θ โดยกฎ cos เช่นเดิมกไ็ ด้ w = 2v − u → = − 1 (u + v) + 3 u = − 1 u − 1 v ] 2 8 82 w = 22 + 72 − 2(2)( 7) cos θ = 1 ∴ θ = arccos(− 5 ) (มคี ่าเทา่ กนั ) (31) ˜AจFาก=รูป˜AในBโจ+ท˜BยF์ = (2a) + 1 (a + b − 4a) 27 3 → (23) u // v → แสดงวา่ สมั ประสิทธ์ิ ≠ 0 นนั่ คือ x2 + 6x − 2 − x + 2x2 ≠ 0 และ −1 − x ≠ 0 = a+ 1b 3 → 3x2 + 5x − 2 ≠ 0 → (3x − 1)(x + 2) ≠ 0 (32) D → x ≠ 1 / 3, − 2, − 1 N (24) u // v → x2 − 5 − 1 + x ≠ 0 MO → (x + 3)(x − 2) ≠ 0 → x ≠ −3, 2 a+b C a (25) จาก (x2 − 5 − 1 + x) u = −2v = a+ 1b u มีทิศเดยี วกับ v แสดงวา่ AB 6 สัมประสิทธ์ิของ u จะตอ้ งตดิ ลบด้วย ˜MN = ˜MD + ˜DN = 1 ˜AD + 1 ˜DC x2 + x − 6 < 0 → (x + 3)(x − 2) < 0 23 → −3 < x < 2 = 1 (a + (a + b)) + 1 (a − (a + b)) 2˜AB ˜BD 3 ˜BC ˜BD Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 245 เวกเตอร (33) C (37) C D bO D E BF B ˜˜BAEF ˜˜˜BBACCB ˜˜˜BCBEDEA+++ ˜˜˜DDEEFE Aa = + .....(1) ˜ ˜DO = 1 DA = 1 (− 1 (a + b)) = − 1 (a + b) = + .....(2) 3 32 6 = + (34) D C (ด1งั )น-(น้ั 2);˜BE˜B=E ˜C−D˜A+F ˜A=F˜CD − ˜BE 3 F E 1 2 จาก Δ คล้าย B AFD กับ CFE 2 ⎡3 − 2⎤ A ˜EF = 1 ˜ED และ ˜CF = 1 ˜CA (38.1) ˜PQ = ⎣⎢7 − 4⎥⎦ = ⎡ 1⎤ ⎢⎣3⎥⎦ จะได้วา่ 44 ˜PQ ตอบ a = b = 1 / 4 (38.2) = ⎡6⎤ ⎣⎢−8⎦⎥ (35) จาก ˜BD ˜BC ˜CD B C (39.1) ⎡−3⎤ = ⎡−2 − x⎤ → P(x, y) = (1, −7) n ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎣⎢−5 − y⎥⎦ = + = ˜BC + n ˜CA .....(1) D ⎡−3⎤ ⎡x − 4⎤ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ ⎣⎢y + 6⎥⎦ ˜ ˜(39.2) = → Q(x, y) = (1, −4) และ ˜BD m= +˜BnA + ˜AD m (40) AB = ⎡3⎤ , AB = 32 + 72 = 58 ⎣⎢7 ⎥⎦ = ˜BA − m ˜CA .....(2) A ˜ ˜BC ˜m + n = ⎡ 1⎤ , BC = 17 2 BD ˜BC + ˜BA + ˜CA ⎢⎣−4⎦⎥ (1)+(2); n − m ˜ ˜AC = m+n = ⎡4⎤ , AC =5 แทน ˜CA = ˜BA − ˜BC → ⎣⎢3⎥⎦ 2 ˜BD = ˜B=Cm+˜B˜BCA++n⎝⎜⎛˜BmnA−+mnต⎠⎟⎞อ(˜BบA − ˜BC) (41) 2u − 3v +w = ⎡6−6−3⎤ = ⎡−3⎤ → ˜BD ⎢⎣−8 + 6 + 4⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ m+n ∴ 2u − 3v + w = 32 + 22 = 13 [สงั เกต ผลท่ีได้เหมือนกบั สตู รจดุ แบ่งเสน้ ตรงเปน็ แต่ 2u − 3v + w = 2(5) − 3(2 2) + 5 = 15 − 6 2 [อยา่ ลมื !! u + v ≠ u + v ] อตั ราสว่ น m:n ในบทเรียนเรขาคณิตวเิ คราะห]์ (42.1) ขนานกนั ทศิ ตรงข้ามกนั (42.2) ขนานกนั ทศิ เดียวกนั (36) A (42.3) ไมข่ นานกัน D (42.4) ขนานกนั (ความชัน = −2 ) ทศิ เดยี วกัน E (ดทู ศิ จากเครอื่ งหมายบวกลบที่ x, y ) B (43) ⎡−1⎤ ⎡3⎤ ⎡2⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎢⎣4⎦⎥ ⎢⎣−1⎦⎥ ˜˜BDCE ˜DCA ˜˜AACE = a + b ˜BA = + .....(1) .....(2) แสดงว่า −1 = 3a + 2b และ 2 = 4a − b = + = 2 ˜DA + 2 ˜AE ∴ a = 3 , b = − 10 ตอบ w = 3 u − 10 v เทียบ (1) กับ (2) พบวา่ เป็น 2 เทา่ ของกันและกนั 11 11 11 11 (44) เหมอื นขอ้ ท่ีแลว้ คอื ดังนนั้ ˜DE = 1 ˜BC และ ˜DE // ˜BC ด้วย 2 6 = 4a + b และ 9 = a + 4b ∴ a = 1, b = 2 (การพสิ ูจนว์ า่ ขนาน ตอ้ งพสิ จู น์วา่ เป็น a เทา่ ของกนั ) ตอบ w = u + 2v Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 246 เวกเตอร (45) B C (51) ⎡2⎤ ⎡−1/ 2 ⎤ j 32 ⎣⎢−3⎥⎦ ⎢⎣ 1/ 2 ⎥⎦ 45˚ A ⎡3⎤ D เวกเตอรท์ ่ตี อ้ งการจะอยใู่ น Q1 ⎢⎣4⎥⎦ แยกเวกเตอรข์ นาด 3 2 ลงบนแกน x และ y เส้นทแยงมมุ คอื ˜A˜ACB +กับ˜AD˜BD= ⎡5⎤ จะได้ดา้ นละ 3 หนว่ ย ดังนน้ั ตอบ 3i + 3j ⎢⎣ 1⎥⎦ หา ˜AC ได้จาก (52.1) u ⋅ v = (3)(2) + (−4)(−3) = 18 (52.2) −8 − 20 = −28 หา ˜BD ไดจ้ าก ˜AD − ˜AB = ⎡ 1⎤ (52.3) −12 − 10 = −22 26 , ˜ ⎣⎢7⎥⎦ และได้ ˜ = 50 (52.4) 3 + 4 = 11 BD = 22 AC ตอบ 26 + 50 = 76 (46.1) u = 3 i − 2 j (53.1) ˜ ˜ ˜ ˜⎡−6⎤⋅⎡5⎤ = −37 (53.2) ⎣⎢−1⎥⎦ (46.2) v = −4 i + j ⎣⎢ 7 ⎥⎦ (46.3) w = 5 i − 3 j AB ⋅ BC + AB ⋅ AC (46.4) u + v = − i − j = −37 + ⎡−6⎤ ⋅ ⎡−1⎤ = −37 + 48 = 11 ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎣⎢ 6 ⎦⎥ (46.5) 2u − w = i − j (54.1) u ⋅ v = u v cos θ ˜ ˜(47.1) 2 AB − 3 CD = 2 (−3 i − 4 j) − 3(5 i − 28 j) 3 → u ⋅ v = 2 3 − 2 3 = 0 → ∴ θ = 90° = −21i ˜+ 20 j 3 ˜CD|= (54.2) u ⋅ v = (2 3)(−3 3) + (2)(3) = −12 (47.2) |2 AB − 212 + 202 = 29 → − 12 = (4)(6) cos θ → ∴ θ = 120° (48.1) u = 3 i − 4 j (54.3) u ⋅ v = 0 → ∴ θ = 90° u5 5 ˜ ˜ ˜(55) ⎡4⎤ ⎡4⎤ (48.2) ใส่ลบเพราะตอ้ งการทิศตรงขา้ ม AB = ⎢⎣2⎥⎦ , AC = ⎡8⎤ , BC = ⎢⎣−18⎦⎥ ⎣⎢−16⎥⎦ −v = 2 i− 8 j = 1 i− 4 j พบว่า ˜AB ⋅ ˜AC = 0 ∴ มมุ A = 90° v 68 68 17 17 (48.3) u+v = i + 4 j → ตอ้ งการ 3 หนว่ ย (56) u ⋅ v = u v cos θ คือ 3 (i + 4 j) → −2 + x = ( 2)( 4 + x2) cos 135° 17 → x − 2 = − 4 + x2 → x2 − 4x + 4 = 4 + x2 → x = 0 (48.4) u−v = 52 + 122 = 13 หนว่ ย ∴ ตอบ 13 (i + 4 j) (57) 17 v 3 v−u คิดได้ 2 แบบ 60˚ 2 θ ˜(49) PQ = ±15 (3 i + 4 j) = ±(9 i + 12 j) 55 [ถถบ้าา้ วก˜˜PPลQQบ เพราะ “ขนานกนั ” อาจเปน็ ทิศตรงขา้ มก็ได]้ = 9 i + 12 j ได้ Q(11, 16) u sin ใน Δ; ก่อน = −9 i − 12 j ได้ Q(−7, −8) แบบแรก กฎของ หาขนาด v − u (50) ˜PQ = a i + b j → ตอบ −a i − b j v − u = 32 + 22 − 2(3)(2) cos 60° = 7 a2 + b2 ใช้กฎของ sin → sin θ = sin 60° 37 ∴ θ = 180° − arcsin(3 3) 27 (สาเหตทุ ่ีมี 180° − arcsin เพราะตอ้ งการมมุ ปา้ น แตค่ า่ arcsin นยิ ามไปถงึ เพียง 90˚) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 247 เวกเตอร แบบท่ีสอง ใชก้ ารคูณเวกเตอร์ (62) B C (v − u) ⋅ u = v − u ⋅ u ⋅ cos θ ˜ ˜A D → v ⋅ u − u 2 = v − u ⋅ u ⋅ cos θ ˜ ˜AB AD sin θ = 24 → (3)(2)(cos 60°) − (2)2 = ( 7)(2) cos θ พ้นื ที่, = 3 ˜AB ⋅ ˜AD = AB AD cos θ = ∴ θ = arccos(− 1 ) 27 ∴ tan θ = 8 (หมายเหตุ 2 คําตอบน้มี คี ่ามุมเท่ากนั ) (63) ให้ w = ⎡a⎤ จะได้ 2a − 5b = −11 (58) u (u−v) = 24 → u 2 − u ⋅ v = 24 ⎢⎣b⎥⎦ → (5)2 − (5) v cos θ = 24 → v cos θ = 1 / 5 และ a + 2b = 8 ดงั น้ัน a = 2, b = 3 (59) Q หจาากมมุ ˜OQθ ⋅ก˜O่อPน ∴ w = ⎡2⎤ → w − v = ⎡1⎤ ⎣⎢3⎥⎦ ⎣⎢1⎥⎦ P Oθ R → w−v = 2 B = 36 − 20 = 16 = (5)(13) cos θ → cos θ = 16 ดงั นน้ั ˜ ˜OR = OQ cos θ = 13 ⋅ 16 = 16 65 (64) u v u = 7 , u ⋅ v = 28 w = 15 u+v = −w C ˜OR = เวกเตอร์ 16 65 ˜OP 5 → u + v = 15 A w หนว่ ยในทิศ → 72 + v 2 + 2(28) = 15 ˜5 → v = 120 ∴ OR = 16 (3 i − 4 j) = 16 (3 i −4 j) 55 5 25 หา w (v − 2u) = (−u − v)(v − 2u) จ(6ะ0พ)บวลา่ องเสพ้นลทอ็ ตแยจดุงมลมุงบเปนน็ แก˜AนCเพกอ่ื บัหาล˜Bาํ Dดับการเรยี ง = −u ⋅ v + 2 u 2 − v 2 + 2u ⋅ v ˜ ˜→ AC = ⎡6⎤ , BD = ⎡7⎤ = u ⋅ v + 2 u 2 − v 2 = 28 + 2(7)2 − 120 = 6 ⎣⎢2⎥⎦ ⎣⎢7⎥⎦ ˜AC ⋅ ˜BD (65) b ∗ c = [(2)(3) + (−3)(2)] i มุมระหวา่ งเส้นทแยงมุม คดิ จาก − [(−3)(3) − (2)(2)] j = 13 j → 42 + 14 = ( 40)( 98)(cos θ) ∴ a ⋅ (b ∗ c) = (3 i − 4 j) ⋅ (13 j) = −52 → a ⋅ (b ∗ c) = 52 → θ = arccos 2/ 5 ˜OA กับ ˜OB กอ่ น (66) (→61˜O.1A) ⋅ห˜OาBมมุ = θ ระหวา่ ง 34 ⋅ 68 cos θ ˜ ˜ uθ v 24 + 10 = OA OB 2 3 → θ = 45° ..พนื้ ท่ี ΔOAB = 1 sin θ u+v+w = 0 2 แสดงวา่ เป็น Δ ดงั รปู 4 หามุม θ โดย = 1 ⋅ 34 ⋅ 68 ⋅ 1 = 17 ตร.หนว่ ย 2 2 w ˜AB ⋅ ˜AC 0 (61.2) = แสดงวา่ มุม A = 90° 42 = 22 + 32 − 2(2)(3) cos θ ˜ พน้ื ที่ Δ = 1 ˜AB → cos θ = −1 / 4 .... ∴ θ = arccos(−1 / 4) AC 2 ∴ มุมระหว่าง u กบั v จะต้องวดั ระหวา่ งหางกบั = 1 (2 2)(3 2) = 6 ตร.หนว่ ย หางเทา่ นน้ั คอื 180° − arccos(− 1) 2 4 (61.3) u+v = 3 i , u − v = i − 2 j → ดังนนั้ u ⋅ v = u v cos(180° − arccos(− 1)) 4 หามุม θ 3 = (3)( 5) cos θ → cos θ = 1 5 = u v (− cos(arccos(− 1)) = (2)(3)( 1) = 3 4 42 ∴ sin θ = 2 → พนื้ ที่ Δ = 1 (3)( 5)( 2 ) 5 25 = 3 ตร.หนว่ ย Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 248 เวกเตอร (67) a ⊥ b → a ⋅ b = 0 → 4x − 3y = 0 ... (1) (72.3) ˜QP = − ˜PQ = 2 i − j − 2k a = 3 → x2 + y2 = 3 ..... (2) ดงั นน้ั ตอบ 7 ⋅ (2 i − j − 2k) แก้ระบบสมการได้ x = 9 / 5, y = 12 / 5 หรอื 3 x = −9 / 5, y = −12 / 5 (73.1) u+v = − i + j + 6k โจทย์ให้ a ⋅ c > 0 ดังนน้ั a = 9 i + 12 j = 12 + 12 + 62 = 38 55 (73.2) u + v = 12 + 32 + 22 + 22 + 62 และ x + y = 9 / 5 + 12 / 5 = 21 / 5 เทา่ นนั้ = 10 + 44 (68) ให้ a = x i +y j จะได้ 3x − 4y = 0 .....(1) และ x2 + y2 = 1 .....(2) (73.3) เนือ่ งจาก v = 38 ดังนน้ั ตอบ 1 ⋅ (−2 i − 5 j + 6k) ∴ ได้ x = 4 , y = 3 หรอื x = − 4 , y = − 3 38 55 5 5 (73.4) u + v = − i + j + 6k , v ⋅ a = 8 − 9 = − 1 หรอื − 8 + 9 = 1 v = −2 i − 2 j + 6k นาํ มาดอทกนั 55 5 55 5 จะได้ (u + v) ⋅ v = 2 − 2 + 36 (69) เวกเตอร์ 3 อันจะประกอบเป็น Δ ได้ แสดงวา่ ±a ± b ± c = 0 พอดี (บวกหรือลบก็ได)้ = u + v ⋅ v ⋅ cos θ = 38 ⋅ 44 cos θ Δ น้เี ปน็ มุมฉากดว้ ย แสดงวา่ a 2 = b 2 + c 2 ∴ cos θ = 36 = 18 หรอื มคี ูห่ นึง่ ซ่งึ ma ⋅ mb = −1 38 ⋅ 44 418 ก. m = 2/3, 5, 3/2 ไม่ถกู → θ = arccos( 18 ) ข. m = −2/3, − 5, 3/2 ถกู และพบวา่ 418 (3 i −2 j) − (i −5 j) − (2 i +3 j) = 0 ดว้ ย ตอบ ข. (74.1) u ⋅ v = −3 + 0 + 0 = −3 ค. m = −2/3, 5, 3/2 ถูก แต่ไมส่ ามารถบวกลบ u = 2 v = 10 ∴ θ = arccos −3 20 กันใหเ้ ปน็ 0 ได้เลย ขอ้ ค. จึงยงั ไม่ใช่.. ง. m = −2/3, 3/2, − 2/3 ไม่เปน็ Δ (74.2) u ⋅ v = 2 − 1 + 2 = 3 เพราะมคี หู่ น่งึ ท่ีขนานกัน u = 6 v = 6 ∴ θ = arccos 3 = π (70) ก. cos θ = ±1 → θ = 0°, 180° ถูก 63 ข. ดอทกันได้ 0 → ∴ต้งั ฉาก ถกู (75) u ⋅ v = 3 − 8 + 6 = 1 ค. ถกู เพราะ u ⋅ v = v ⋅ u ง. ถกู จาก u ⋅ v = 6 − 4 = (5)( 5) cos θ v ⋅ w = 6 + 16 + 4 = 26 (พ˜wA7บC6⋅ว)า่u= ˜A=˜Ai BC2+ −8+6 = 0 k˜BC ∴u ⊥ w = 5i + j − 3 = −4 i + 2 j (∴71θ)=˜PaQrcc⋅ ˜oRsQ(2/=5˜P5Q) ⋅ (˜RP + ˜PQ) ˜3 j − 2 k +k ⋅ BC = 0 = ˜PQ ⋅˜P˜RQP ⋅ ˜R+Q|˜P=Q˜P|2Q ซ่งึ ˜| PQ |2 12 ดังนน้ั Δ ABC เป็น Δ มมุ ฉาก, มมุ C = 90° ดังนนั้ ˜RP +1 = = 1 (77) สําหรบั u .... u = 14 ⋅ ∴ cos α = 2 , cos β = −1 และ หามุมระหวา่ ง ˜PQ กับ ˜RP 14 14 P 120˚ แไดลเ้ ะป็น|˜R1P2|0°= ดงั ภาพ 60˚ Q cos γ = 3 3 sin 60° = 3 14 2 สาํ หรับ v .... v = 2 14 ∴ ตอบ (1)(3)(cos 120°) + 1 = 1 R 2 4 ∴ cos α = −4 = −2 , cos β = 1 = (−1 − 1)i + (3 − 2)j + (5 − 2 14 14 14 ˜PQ (72.1) 3) k และ cos γ = −3 14 = −2 i + j + 2k ˜ ดังนน้ั u กบั v ขนานกนั (โดยมที ศิ ตรงขา้ มกนั ) (72.2) เนื่องจาก PQ = 22 + 12 + 22 = 9 = 3 ดงั นน้ั ตอบ − 2 i + 1 j + 2 k 333 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 249 เวกเตอร (78.1) เนอื่ งจาก i j k (˜A8C0.2=)5˜Ai B+ = −i + 4j + 8k 2 −3 0 2 j+ 12 k u×v = 1 −5 0 = 0 i + 0 j − 7k = −7k ˜ ˜ i jk เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยทต่ี ัง้ ฉากกับ u และ v กค็ อื AB × AC = −1 4 8 = 32 i + 52 j − 22 k เวกเตอรท์ ่ขี นานกับ u × v นน่ั เอง 5 2 12 ∴ ตอบ ±k (นาํ ขนาดคอื 7 ไปหาร) พน้ื ที่ Δ = 1 322 + 522 + 222 = 9 13 ตร.หนว่ ย (˜B8C1.1=)6˜Bi 2A− (78.2) i jk = i − 4j − 8k 1 −2 0 2j + 4k u×v = = −2 i − j + 6k 30 1 และเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย = ± 1 (−2 i − j + 6k) ˜˜ ij k 41 BA × BC = 1 −4 −8 = −32 i − 52 j + 22 k 6 −2 4 (78.3) u × v = i jk พื้นท่ี , = 322 + 522 + 222 = 18 13 ตร.หนว่ ย 1 30 (81.2) ˜AB = 3 i − 2 j , ˜AD = i − j + 2k −2 −6 0 = 0 i + 0 j + 0k = 0 (เน่ืองจาก u // v นนั่ เอง) ˜ ˜ i jk และเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย ไมม่ ี ∴ AB × AD = 3 −2 0 = −4 i − 6 j − k i jk 1 −1 2 2 −1 1 (79.1) u×v = = −3 i − 3j + 3k พ้นื ที่ , = 42 + 62 + 12 = 53 ตร.หน่วย 1 12 1 −2 3 34 2 (79.2) พ้ืนท่ี , = u v sin θ = u × v (82.1) u ⋅ (v × w) = = 32 + 32 + 32 = 3 3 ตร.หนว่ ย 1 4 −1 (79.3) จาก u × v = u v sin θ จะได้ = (1)(−12) − (−2)(−5) + (3)(8) = 2 ลบ.หนว่ ย 3 3 = 6 ⋅ 6 ⋅ sin θ → sin θ = 3 (หากคดิ ไดต้ ดิ ลบ ใหต้ อบเฉพาะขนาดนะ!) (˜P8R0.1=)2˜Pi Q− 2 (82.2) u ⋅ (v × w) = −2 −6 1 พ้ืนที่ Δ = 1 24 −1 |˜PQ × 4 2 −2 = −2 i + j + 2k sin θ = ˜PR | = 0 ลบ.หน่วย (แสดงวา่ ไม่เกิดทรงสเ่ี หล่ียม เพราะ 3˜j −˜3 k 1 เวกเตอรท์ ั้งสามอยูใ่ นระนาบเดียวกัน) PQ PR 22 จาก ˜PQ × ˜PR = i j k = 3i − 2j + 4k −2 1 2 2 −3 −3 ∴ พน้ื ที่ Δ = 1 ⋅ 32 + 22 + 42 = 29 ตร.หนว่ ย ˜QP × ˜QR2หรอื 2 [ใช้ ˜RP × ˜RQ กไ็ ดเ้ ช่นกัน] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 250 เวกเตอร eÃèo× §æ¶Á สง่ิ ที่ไมต่ ้องร้กู ไ็ ด้ : ลําดบั การคิดคน้ เนอ้ื หาคณติ ศาสตร์.. เร่ือง ผคู้ ิดค้น (ประเทศ) ปี ค.ศ. ระบบจํานวน 60 และ 360 (เช่น มมุ , เวลา) ชาวบาบโิ ลนและอียปิ ตโ์ บราณ -3000 แนวคิดเรอื่ งอตั ราส่วน π ทฤษฎบี ทปที าโกรสั ในสามเหลีย่ มมมุ ฉาก Phythagoras of Samos (กรกี ) -500 ขน้ั ตอนวิธีในการหา ห.ร.ม. Euclid (กรีก) -300 แนวคิดเรื่องตรโี กณมิติ Hipparchus (กรกี ) -140 ค่าอัตราสว่ นตรีโกณมิติของมมุ 30° 45° 60° Ptolemy (กรีก) 200 Abu Ja'far Muhammad ibn แนวคิดเรอ่ื งสมการกาํ ลงั สอง Musa al-Khwarizmi (แบกแดด) 830 John Napier (สกอ๊ ตแลนด์) ลอการทิ มึ ธรรมชาติ (ฐาน e) หรอื ลอการทิ ึมเนเปียร์ Edmund Gunter (องั กฤษ) 1618 ชือ่ ฟงั ก์ชนั ไซน์ และสัญลกั ษณ์ sin Thomas Harriot (องั กฤษ) 1624 หลกั การแยกตัวประกอบและแก้สมการพหนุ าม René Descartes (ฝร่งั เศส) 1631 การเขียนกราฟ, คอู่ ันดบั , และผลคณู คารท์ เี ซียน Blaise Pascal (ฝรง่ั เศส) 1637 ทฤษฎีบททวินาม John Wallis (องั กฤษ) 1654 ใชส้ ัญลักษณ์ ∞ แทนจาํ นวนท่มี คี า่ มากจนไม่ส้นิ สุด Isaac Newton (องั กฤษ) 1655 และ Gottfried Leibniz (เยอรมนั ) แคลคูลสั (อนพุ นั ธแ์ ละการอินทิเกรต) Guillaume de L'Hôpital (ฝรง่ั เศส) 1666 William Jones (อังกฤษ) กฎของโลปตี าลในการคํานวณลมิ ิต Leonhard Euler (สวิส) 1696 ใช้สญั ลกั ษณ์ π แทนอัตราส่วนเส้นรอบวงกลม Abraham de Miovre (ฝรัง่ เศส) 1706 สัญลักษณ์ e, i (จํานวนจินตภาพ), และ f(x) Leonhard Euler (สวสิ ) 1727 การกระจายแบบปกติ โค้งรปู ระฆงั Gabriel Cramer (สวิส) 1733 แก้ปญั หาสะพานเคอนิกส์แบร์ก Karl Friedrich Gauss (เยอรมนั ) 1736 กฎของคราเมอร์ (แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ ด้วย det) George Boole (องั กฤษ) 1750 หลกั การมีตัวประกอบจาํ นวนเฉพาะชดุ เดยี ว John Venn (องั กฤษ) และ 1801 ตรรกศาสตรแ์ บบสญั ลกั ษณ์ Leonhard Euler (สวิส) 1847 Dénes König (ฮังการ)ี แผนภาพของเซต John Wilder Tukey (อเมริกา) 186x Robert Nemiroff และ ทฤษฎีกราฟ Jerry Bonnell (อเมริกา) 1936 แผนภาพลําตน้ -ใบ และแผนภาพกลอ่ ง Yasumasa Kanada และ 1977 คา่ ของ e จนถึงทศนิยมละเอียดทส่ี ดุ ทค่ี ํานวณได้ Daisuke Takahashi (ญีป่ ุ่น) ความยาว 2 ลา้ นตําแหนง่ Curtis Cooper และ 1994 ค่าของ π จนถงึ ทศนยิ มละเอียดทสี่ ุดที่คาํ นวณได้ Steven R. Boone (อเมริกา) ความยาว 2 แสนล้านตําแหน่ง 1999 จํานวนเฉพาะ ทีม่ ีคา่ สงู ทส่ี ดุ ท่ีคน้ พบ คอื 230402457 - 1 (มอี ยู่ 9,152,052 หลกั ) 2005 หมายเหตุ นอกจากทเี่ ราเหน็ ช่ือผู้คดิ ค้นอย่างชัดเจน เชน่ ทฤษฎบี ทปีทาโกรสั , กฎของโลปีตาล, กฎของคราเมอร์, วธิ หี า ห.ร.ม. ของยคุ ลดิ , แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร,์ สามเหล่ียมปาสคาล ฯลฯ ยงั มอี ีกหลายชอื่ ทน่ี ่าสนใจครบั .. (1) คาํ วา่ algebra (พีชคณิต) และ algorithm (กระบวนการคดิ ) มาจากช่ือของ al-Khwarizmi (2) คําวา่ cartesian มาจากชื่อของ Descartes (3) สัญลกั ษณ์ e มาจากชื่อย่อในลายเซน็ ของ Euler ซง่ึ เป็นผู้ประมาณค่าของ e และพิสูจนว์ ่าเปน็ จาํ นวนอตรรกยะ สว่ น Jones เลอื กใชอ้ กั ษรกรกี π (pi) แทนอัตราสว่ น 3.14.. เพราะมีเสียงข้นึ ต้นเหมอื น perimeter (เส้นรอบรูป) และ Wallis เลอื กใชส้ ญั ลักษณ์ ∞ แทนค่ามากจนไม่สน้ิ สดุ เพราะ ∞ เปน็ ตวั เลขในภาษากรีก แปลว่าหนง่ึ พัน (4) ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ บางครัง้ เรยี กตัวแปรคา่ ความจรงิ ว่า boolean มาจากชื่อของ Boole (5) โค้งปกตริ ปู ระฆัง บางครง้ั เรียกวา่ Gaussian distribution มาจากชอ่ื ของ Gauss Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )