MATH ebook

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 51 ระบบจาํ นวนจรงิ (5.1) A มีสมบตั ปิ ดิ การคณู เพราะจาํ นวนนับ2 (14) เศษ (5)4 −(5)3 + 3(5)2 −(5)− 1 คณู กนั ยอ่ มยังเป็นจาํ นวนนบั 2 = 2(5)3 +(5)2 + 75(5)+ a ... ดงั นนั้ a = −81 B ไม่มสี มบัตปิ ดิ การคณู เช่น (15) เป็นตัวประกอบ แสดงวา่ หารแลว้ เหลือเศษ 0 2 × 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดงั นน้ั ขอ้ นถ้ี กู (2)3 − a(2)2 + a (2) + 2b = 0 .... (1) (5.2) A ไม่มีสมบตั ปิ ดิ การบวก เช่น 4 1+ 1= 2 → 2∉A 1 (2)2 + (2) − b = 0 .... (2) B ไมม่ สี มบัตปิ ดิ การบวก เช่น a 2 + 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดงั นน้ั ขอ้ นถ้ี กู (6) ก. ไม่จรงิ เชน่ ถา้ x = 2 จะไมม่ ี y ท่ีเปน็ แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 3 → a + b = 7 (16) จาก (x2 − 2x − 3) = (x − 3)(x + 1) จํานวนเต็ม ที่ xy = 1 แสดงวา่ ⎧⎨⎩((3−)1)44++aa((3−)31)3+ b(3)2 + 3(3)+ 4 = 0 0 ข. ไมจ่ รงิ เชน่ ถ้า x = 0 จะไมม่ ี y ท่ีเปน็ จาํ นวน + b(−1)2 + 3(−1)+ 4 = จริง ที่ xy = 1 จะได้ a = −19 , b = −37 99 ค. ไมจ่ รงิ เพราะถ้า xy = 1 นน้ั xy ∉ A แนน่ อน และจาก (x2 + x − 2) = (x + 2)(x − 1) ( 1 ไมใ่ ชจ่ ํานวนอตรรกยะ) ง. จรงิ ไม่วา่ x เปน็ จาํ นวนตรรกยะใด y จะเปน็ แสดงว่า ⎩⎨⎧((1−)23 )3+ + 10(−2)2 + c(−2) + d = 0 10(1)2 + c(1) + d = 0 จาํ นวนตรรกยะเสมอ (x, y ≠ 0) (7) อินเวอรส์ การคณู ของ a คือ 1/a ... ดงั นนั้ จะได้ c = 7, d = −18 อินเวอรส์ การคณู ของ 1 คอื 6 + 5 ดงั นนั้ a + b + c + d = −155 6+ 5 9 (17) แยกตวั ประกอบแตล่ ะพหนุ ามก่อน เอกลกั ษณก์ ารคณู ของจาํ นวนจริงใดๆ คอื 1 เสมอ (โดยการหารสงั เคราะห)์ (8) ก. (a ∗ b) ∗ a = b ∗ a = b → ผิด จะได้ (x3 − 7x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) ข. (b ∗ c) ∗ b = a ∗ b = b → ผดิ และ (3x3 − 7x2 + 4) = (x − 1)(x − 2)(3x + 2) ค. (a ∗ b) ∗ (c ∗ b) = b ∗ a = b → ถกู ง. (c ∗ a) ∗ (b ∗ a) = c ∗ b = a → ผดิ และ (x4 − 3x3 + 6x − 4) = (x − 1)(x − 2)(x − 2)(x + 2) (9) ตอบ ง. เพราะ x − y ≠ y − x (10) จะมองแค่วา่ a * b มีสมบัติการสลบั ทก่ี ไ็ ด้ ดงั นนั้ ห.ร.ม. = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2 (18) แยกตวั ประกอบแตล่ ะพหนุ ามกอ่ น จะได้ (x3 − 2x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2) หรือคดิ จาก x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (3yz + y + z) และ (x3 + x2 − 10x + 8) = (x − 1)(x − 2)(x + 4) ค.ร.น. = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 4) = 3x(3yz + y + z) + x + 3yz + y + z และ (z ∗ y) ∗ x = (3zy + z + y) ∗ x = x5 − 17x3 + 12x2 + 52x − 48 = 3(3zy + z + y)x + 3zy + z + y + x (19) (3x + 1)(x − 2)(x − 4)(x + 5)(x2 + 1) (20.1) a = 0 → x2 − b2 = 0 → กไ็ ด้ ... คําตอบขอ้ นค้ี อื “เทา่ กนั ” (11.1) A ไมม่ สี มบตั ิปิดภายใต้ ⊕ เชน่ (x − b)(x + b) = 0 → {−b, b} 5 + 7 = 6 แต่ 6 ∉ A )แต่มีสมบตั กิ ารสลบั ท่ี (20.2) b = 0 → x2 = 0 → {0} 2 (20.3) a = 1 → x2 + b2 + 2bx − b2 = 0 เพราะ a + b = b + a เสมอ) ... ดงั นั้นขอ้ นี้ผดิ → x2 + 2bx = 0 → x(x + 2b)= 0 → {0, −2b} 22 (20.4) b = 1 → x2 + a2 + 2ax − 1 = 0 (11.2) A ไมม่ ีสมบตั ปิ ิดภายใต้ ⊗ เชน่ 3 × 3 = 4.5 แต่ 4.5 ∉ A และ A มีสมบตั กิ าร → (x + a)2 − 1 = 0 → (x + a − 1)(x + a + 1)= 0 2 → {−a + 1, −a − 1} สลบั ท่ี เพราะ ab = ba เสมอ ... ดงั นน้ั ถกู (21.1) ผดิ เชน่ c > b > a และ c > d 22 แบบนก้ี ็ยังได้ (−)(−)(+) > 0 อยู่ (21.2) ผดิ เชน่ −2 < 1 แต่ (−2)2 < 12 (12) a = 4(4)3 − 21(4)2 + 26(4) − 17 = 7 (21.3) ถูก ... พสิ จู น์ จาก (a + b) / 2 > ab และ b = 3(−3)3 + 13(−3)2 + 11(−3) + 5 = 8 → a + b > 2 ab → a2 + 2ab + b2 > 4ab ดงั นนั้ b − a = 8 − 7 = 1 → a2 − 2ab + b2 > 0 → (a − b)2 > 0 (13) เศษ (1)2 + 2a = (−2) + a ดงั นนั้ a = −3 (เปน็ จรงิ เสมอ เมื่อ a ≠ b ) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 52 ระบบจํานวนจริง (21.4) ถูก ... พสิ จู น์ จาก b3 + a3 > b+a (27) x2 + 6x + 7 < 0 แยกตัวประกอบไมอ่ อก a2b2 ab จงึ ตอ้ งใชส้ ูตร −b ± b2 − 4ac → b3 + a3 > ab(b + a) 2a → (b + a)(b2 − ab + a2) > ab(b + a) หรืออาจจดั กาํ ลงั สองสมบูรณก์ ไ็ ด้ ดงั นี้ → b2 − 2ab + a2 > 0 → (b − a)2 > 0 (x2 + 6x + 9) − 2 < 0 → (x + 3)2 − 2 < 0 (เป็นจริงเสมอ เมอ่ื a ≠ b ) (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) < 0 + (22.1) และ (22.2) ถกู ... (เปน็ สมบตั ขิ อง คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ดว้ ย → xmin < X < )xmax +- (22.3) ถกู (เพราะ x3 เปน็ ฟงั ก์ชนั เพิม่ เสมอ) → −3 − 2 −3 + 2 แต่ถ้าเปล่ียนเป็นยกกาํ ลังเลขคู่ ขอ้ นจี้ ะผิด (22.4) ผดิ เชน่ ถ้า b = 0 จะได้ ab = bc จากเสน้ จาํ นวน ได้ −3 − 2 < x < −3 + 2 (23.1) จาก −7 < x < 5 → 0 < x2 < 49 และ 3 < y < 6 → −6 < −y < −3 ดังนนั้ จาํ นวนเตม็ m=-3+1=-2 และ n=-3-1=-4 ∴m−n = 2 - + (28) ก. (2x − 5)(x + 4) < 0 + จะได้ −6 < x2 − y < 46 ดงั นัน้ ตอบ (−6, 46) ผลบวกทต่ี อ้ งการคือ −4 5/2 (23.2) จาก 9 < y2 < 36 จะได้ |− 4|+|− 3|+|− 2|+|− 1|+|0|+|1|+|2| = 13 ถูก −252 < xy2 < 180 ดังนน้ั ตอบ (−252, 180) ข. แยกตวั ประกอบไมอ่ อก อาจใช้สูตรหรอื จดั กาํ ลงั (24.1) xy อยู่ในขอบเขตของ สองสมบูรณด์ ังนี้ x2 + 7 x − 10 < 0 → −12, −18, −4, −6 → ตอบ (−18, −4) 3 (24.2) x − y อยู่ในขอบเขตของ (x2 + 7 x + 49)− 409 < 0 → (x + 7)2 − 409 < 0 3 36 36 6 36 −8, −9, −4, −5 → ตอบ (−9, −4) (24.3) x อย่ใู นขอบเขตของ −3, −2, −1, −2 / 3 → → −7 − 409 < x < −7 + 409 66 y ประมาณคา่ ได้เปน็ −27/6 < x < 13/6 ตอบ (−3, −2/3) ค่าสมบูรณท์ ตี่ อ้ งการคอื (25) | −4 − 3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 | = 7 ถูก h h2 + x2 (29) 6x2 − 5x − 21 < 0 → (3x − 7)(2x + 3) < 0 x หาคา่ x ในเทอมของ h ก่อน +-+ 20 = 2x + 2 h2 + x2 → 10 − x = h2 + x2 −3/2 7/3 ∴ m = −1 + 0 + 1 + 2 = 2 → 100 − 20x + x2 = h2 + x2 → 6x2 − x − 2 > 0 → (3x − 2)(2x + 1) > 0 ∴ x = 100 − h2 = 5 − h2 +-+ 20 20 −1/2 2/3 จากโจทย์ 0 < h < 5 → 0 < h2 < 5 20 4 ∴ n = 0 ดงั นั้น m + n = 2 → 15 < 5 − h2 < 5 ...ดังนัน้ 15 < x < 5 (30) 2x2 + 4x − 5 > 0 → x2 + 2x − 5 > 0 2 4 20 4 → (x2 + 2x + 1)− 7 > 0 → (x + 1)2 − 7 > 0 → น่นั คอื ความยาวฐาน 2x อยใู่ นชว่ ง [7.5, 10) ซม. 22 (26) A ; 6 < 3x < 15 → 2 < x < 5 (x + 1 − 3.5)(x + 1 + 3.5) > 0 + ∴ A = [2, 5) +- B ; 11 − x < 4x + 1 → 10 < 5x → x > 2 −1 − 3.5 −1 + 3.5 และ 4x + 1 < 2x + 7 → 2x < 6 → x < 3 เนอื่ งจาก 3.5 ≈ 1.8 ดังนนั้ a = 0, b = −2 ∴ B = (2, 3] ก. {0} ⊂ {0, −2} ถูก ข. {−2} ⊂ {0, −2} ถูก ดังนนั้ A ∩ B ' = A − B = {2} ∪(3, 5) จํานวนเต็มใน A ∩ B ' คอื 2 กบั 4 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 53 ระบบจํานวนจริง (31) (1)3 + a2(1) − a − 2 > 5 −x2 + 8x 1) > 0 → (x x2 − 8x 1) < 0 (x − 2)2(x + − 2)2(x + → a2 − a − 6 > 0 → (a − 3)(a + 2) > 0 x(x − 8) < +-+ − 2)2(x + -→ (x 1) 0 −2 3 + - +- + ดังนน้ั a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) -1 0 2 2 8 (32.1) - + - + - + แตใ่ นโจทย์มี x + 1 -1 0 1 2 2 จึงตอ้ งเพมิ่ เงอ่ื นไขว่า x + 1 > 0 → x > −1 ตอบ (−∞, −1) ∪ (0, 1) -+-+ และนอกจากนน้ั 4 > 0 ดว้ ย → x > 2 (32.2) A + x −2 - + -2 1 - 1 3 + B รวมแลว้ จึงตอบเพียง (2, 8] -4 -2 3 (36) A ; 2x − 5 > 0 (A '∩ B ') ' = A ∪ B = [−4, 1) ∪ (1, ∞) x+2 + - + หรอื ตอบในรูป [−4, ∞) − {1} ก็ได้ -2 5/2 (32.3) + - +- +- + B ; 2x − 1 − 1 < 0 → 2x − 1 − x − 5 < 0 -4 -1 0 2 5 5 x+5 + x +- 5 + → x−6 < 0 ผลบวกคา่ สมบูรณต์ ามตอ้ งการคอื -5 6 x+5 ∴ B ∩ A ' = B − A คอื [−2, 5/2) | −3 | + | −2 | + | 0 | + | 1 | + | 5 | = 11 ผลบวกทต่ี อ้ งการคือ 2 + (−2) = 0 (33) (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0 + (37) x − 1 − 2 > 0 → x − 1 − 2x − 4 > 0 -+ - x+2 x+2 -2 1 2 → −x − 5 > 0 → x + 5 < 0 ตอบ [−2, 1] ∪ [2, ∞) x+2 x +2 (34) x3 + 2x2 − 5x − 6 < 0 +- + → (x − 2)(x + 1)(x + 3) < 0 −5 −2 A คอื -+-+ ดงั นน้ั a = −2 → a2 + 1 = 5 B = (−5, ∞) -3 -1 2 (38.1) ได้ x ∈ (− 7, 7) ตอบ 7 ∴ A ∩ B คือ -5 -3 -1 (38.2) ไมม่ ขี อบเขตบน (38.3) ตอบ 8 2 (38.4) {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, ...} ไม่มีขอบเขตบน ดงั นนั้ ตอบ −4 − 3 − 1 + 0 + 1 + 2 = −5 (39) A = { 1 , 2 , 3 , ...} จะได้ a = 1 234 (35.1) ห้ามคูณไขวเ้ พราะตัวสว่ นอาจตดิ ลบ แล้ว เคร่ืองหมายจะผดิ ควรทาํ ดังนี้ 1 − 2 < 0 B = {−1, − 1 , − 1 , ...} จะได้ b = −1 x − 1 3x − 1 23 → 3x − 1− 2x + 2 < 0 → (x + 1) < 0 ดังนน้ั a + b = 1 − 1 = 0 (x − 1)(3x − 1) (x − 1)(3x − 1) (40) ยกกาํ ลังสองได้เพราะเปน็ บวกทงั้ สองขา้ ง -+ - + → 2x2 − 5x + 2 < 5 → 2x2 − 5x − 3 < 0 -1 1/3 1 +→ (2x + 1)(x − 3) < 0 - + ตอบ (−∞, −1) ∪ ( 1 , 1) -1/2 3 3 (35.2) การยกกําลงั สองทง้ั สองข้าง ขอ้ นที้ าํ ได้ เพราะขวามือเปน็ บวกเสมอ และซา้ ยมอื นน้ั โจทยบ์ อก แตอ่ ยา่ ลมื เชค็ เงอ่ื นไขของรทู้ วา่ 2x2 − 5x + 2 > 0 ว่ามากกวา่ หรอื เทา่ กับขวามอื จงึ เปน็ บวกเสมอดว้ ย → (2x − 1)(x − 2) > 0 (แต่ถา้ โจทย์เปน็ เคร่อื งหมาย < จะห้ามยกกาํ ลัง) +-+ 16 > 4 1 → (x 4 − x 1 1 > 0 (x − 2)2 x+ − 2)2 + 1/2 2 + 4 − x2 + 4x − ดังนน้ั คาํ ตอบคอื (x − 2)2(x + 1) -1/2 1/2 2 3 → 4x 4 > 0 → ผลบวกทีต่ อ้ งการคือ 3 + (− 1) = 5 22 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 54 ระบบจํานวนจรงิ (41.1) ผดิ n an = ⎧a , n = จํานวนคู่ (45) เซต A ; แบ่งชว่ งยอ่ ยดังน้ี ⎨ , n = จาํ นวนค่ี ค. ⎩ a ก. ข. (41.2) ผดิ เชน่ a = 0, b = −1 -2/3 0 จะได้ |a − b| = 1 , |a| −|b| = −1 ก. เม่อื x < −2/3 จะได้ (42.1) −3 < 2x − 1 < 0.5 → −2 < 2x < 1.5 −2 − 3x = 2 − 3x → −2 = 2 → ∅ → −1 < x < 0.75 ข. เม่อื −2/3 < x < 0 จะได้ ∴ −4 < 4x < 3 → −3.5 < 4x + 0.5 < 3.5 2 + 3x = 2 − 3x → 6x = 0 → x = 0 → ∅ → | 4x + 0.5 | < 3.5 ค. เมื่อ x > 0 จะได้ (42.2) 2 < x < 6 → 1 < 2 < 1 → 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [0, ∞) 3x ∴ A = [0, ∞) −1 < − 2 < − 1 → 5 < − 2 + 6 < 17 x3 x3 เซต B; แบง่ ชว่ งย่อยดงั น้ี แสดงวา่ x − 2 + 5 = 1 − 2 + 5 = − 2 + 6 อยู่ ก. ข. x xx -2/3 ในชว่ ง (5, 17) 3 ก. เมือ่ x < −2/3 จะได้ ∴ | x − 2 + 5 | < 17 −2 + 3x = 2 + 3x → −2 = 2 → ∅ x3 ข. เมื่อ x > −2/3 จะได้ (42.3) −6 < x + 5 < 6 → −11 < x < 1 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [−2/ 3, ∞) → 0 < x2 < 121 → −25 < x2 − 25 < 96 ∴ B = [−2/ 3, ∞) → ∴ | x2 − 25 | < 96 ดังนนั้ ตอบ B ∩ A ' = B − A = [− 2 , 0) 3 (43) −5 < x − 1 < 5 → −4 < x < 6 และ −4 < y − 2 < 4 → −2 < y < 6 (46) 8 x + 2 2 − 14 x + 2 + 3 = 0 ดังนน้ั −6 < x + y < 12 → ∴ |x + y| ∈ [0, 12) → (2 x + 2 − 3)(4 x + 2 − 1) = 0 (44.1) |x|2 − 6|x| + 8 = 0 → → x + 2 = 3 หรอื 1 24 (|x | − 4)(|x | − 2) = 0 → |x | = 2 หรอื 4 → x ∈ {−2 + 3 , −2 − 3 , −2 + 1 , −2 − 1} ตอบ {2, −2, 4, −4} 2244 (44.2) ข้อน้ีแบง่ ชว่ งยอ่ ยดงั น้ี ค. ∴ ผลบวกคําตอบคอื −8 (47) ** เนอ่ื งจากทง้ั สองขา้ งเปน็ บวกเสมอ จึง ก. ข. สามารถยกกําลงั สองทั้งสองขา้ งได้ A; ยกกาํ ลงั สอง 2 ขา้ งแล้วยา้ ยมาลบกนั -1 1 ก. เม่ือ x < −1 จะได้ −x + 1− x − 1= 2 → −2x = 2 → x = − 1 → ∅ (x2 + 3x + 3)2 −(2x + 3)2 = 0 → (x2 + 3x + 3 − 2x − 3)(x2 + 3x + 3 + 2x + 3)= 0 → ข. เม่ือ −1 < x < 1 จะได้ −x + 1+ x + 1= 2 → 2 = 2 → [−1, 1) (x2 + x)(x2 + 5x + 6)= 0 → x(x + 1)(x + 2)(x + 3)= 0 ค. เม่ือ x > 1 จะได้ x − 1+ x + 1= 2 → 2x = 2 → x = 1 → {1} ∴ A = {0, −1, −2, −3} ∴ ตอบ [−1, 1] ตอ่ มาคิด B; |5 − 3x| = |2x + 4| (44.3) ขอ้ น้ีแบ่งช่วงยอ่ ยดงั นี้ ค. (การยา้ ยสว่ นขน้ึ มาคณู อยา่ ลมื เงอื่ นไขว่าส่วนหา้ ม เป็น 0 นน่ั คอื x หา้ มเป็น -2 ด้วย) ก. ข. ยกกําลงั สอง 2 ขา้ งแล้วยา้ ยมาลบกนั เหมอื นเดมิ 3 4 (5 − 3x)2 −(2x + 4)2 = 0 → ก. เม่ือ x < 3 จะได้ −x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ (5 − 3x − 2x − 4)(5 − 3x + 2x + 4) = 0 → ข. เม่ือ 3 < x < 4 จะได้ (1− 5x)(9 − x)= 0 → ∴ B = {9} −x + 4 + x − 3 = 1 → 1= 1 → [3, 4) (โจทยบ์ อกใหเ้ ปน็ จาํ นวนเต็มเทา่ นั้น) จะได้ A ∪ B = {0, −1, −2, −3, 9} → ค. เมอ่ื x > 4 จะได้ a = 9, b = −3 → a2 + b2 = 90 x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4} ∴ ตอบ [3, 4] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 55 ระบบจาํ นวนจริง (48) ถอดคา่ สมั บรู ณไ์ ด้ 2 กรณคี อื x < 0 กบั (49.4) แยกช่วงยอ่ ย ก. เมอ่ื x < 1 จะได้ x > 0 แตพ่ บว่า x < 0 ไมไ่ ด้ เพราะขวามือจะตดิ 3 <x→ 3 <x→ ลบ ... จงึ เหลอื แค่กรณี x > 0 เทา่ นน้ั −x + 1 − 2 −x − 1 (โดยท่จี รงิ แลว้ x ≠ 0 เพราะ 00 ไม่นยิ าม) 3 − x < 0 → 3 + x2 + x < 0 → −x − 1 −x − 1 1 x2 →( x)x2 = x3 = x3 x2 + x + 3 > 0 → x + 1 > 0 → x > −1 → x2 x+1 ก. มองเฉพาะเลขชก้ี าํ ลงั 1 x2 = 3 → → (−1, 1) 2 x2 = 6 → x = 6 ข. เม่ือ x > 1 จะได้ ข. มองว่าฐานของเลขยกกาํ ลงั x = 1 ก็ได้ เพราะ 3 <x→ 3 −x<0→ x −1−2 x−3 1 ยกกาํ ลังอะไรกไ็ ด้ 1 เทา่ กนั ∴ ตอบ {1, 6} (หมายเหตุ โจทยข์ อ้ น้ีควรจะใชเ้ รอื่ ง log ช่วยคดิ ) 3 − x2 + 3x 0 → x2 − 3x − 3 0→ (49.1) แยกช่วงย่อยเหมอื นขอ้ 44, 45 ก็ได้ x−3 x−3 ก. เมือ่ x < 1/2 จะได้ (x − 3 + 21)(x − 3 − 21) (แยกดว้ ยสตู ร) −2x + 1< 3x + 2 → −1< 5x → x > − 1/5 2 2 >0 (x − 3) → (−1/5, 1/2) แลว้ เขยี นเส้นจาํ นวน โดยคดิ วา่ 21 ≈ 4 กวา่ ๆ ข. เมอ่ื x > 1/2 จะได้ จะได้ [3 − 21 , 3) ∪ [3 + 21 , ∞) อนิ เตอรเ์ ซคกับ 22 2x − 1< 3x + 2 → −3 < x → x > − 3 → [1/2, ∞) เงอ่ื นไขชว่ ง ได้เป็น [1, 3) ∪ [3 + 21 , ∞) ∴ ตอบ (−1/5, ∞) 2 [ หมายเหตุ ขอ้ น้ีใช้วิธยี กกาํ ลังสอง 2 ข้างเหมือนขอ้ ∴ ตอบ (−1, 3) ∪ [3 + 21 , ∞) 47 ก็ได้ จะไวกวา่ .. แตจ่ ะตอ้ งไมล่ ืมเงื่อนไขวา่ ฝง่ั 2 ขวาตอ้ ง > 0 เสมอ (คือ x > -2/3) ] (49.2) นอกคา่ สมั บรู ณเ์ ปน็ ตวั เลข จึงแกแ้ บบนไ้ี ด้ (49.5) ให้ A แทน x จะได้อสมการกลายเปน็ −6 < x − 2 < −3 หรอื 3 < x − 2 < 6 A <2 → A −2<0 → A−1 A−1 −4 < x < −1 5<x<8 A − 2A + 2 0 → A − 2 0 ∴ ตอบ (−4, −1) ∪ (5, 8) A−1 A−1 เขียนเส้นจํานวนไดเ้ ป็น A ∈ (−∞, 1) ∪ [2, ∞) (49.3) จาก x + 1 > 0 แยกช่วงยอ่ ยคดิ |x| แต่ A จะต้องมากกว่าหรอื เทา่ กับ 0 เท่านน้ั ก. เมอื่ x < 0 จะได้ นั่นคอื A ∈ [0, 1) ∪ [2, ∞) เทา่ นั้น x − 1 > 0 → x2 − 1 > 0 และจะได้ x ∈ (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞) น่นั เอง xx ∴ ตอบ (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞) (x − 1)(x + 1) > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนไดเ้ ปน็ [ หมายเหตุ อสมการน้จี ะคดิ โดยแยก 2 ช่วงยอ่ ยก็ x ได้ คอื x > 0 และ x < 0 แต่ไมจ่ ําเปน็ ต้องทาํ (−1, 0) ∪ (1, ∞) นาํ ไปอนิ เตอร์เซคเง่อื นไขได้ (−1, 0) แบบน้ันเพราะในโจทยม์ คี า่ สัมบรู ณเ์ พยี งแบบเดยี ว ] ข. เมือ่ x > 0 จะได้ (50) A; แยกชว่ งย่อย ก. เมอ่ื x < −2 จะได้ x + 1 > 0 → x2 + 1 > 0 −x − 2 + x − 4 < 0 → −x − 2 + 2x − 8 < 0 → xx 2 (ด้านบนแยกตวั ประกอบไมอ่ อก) เขยี นเสน้ จาํ นวนได้ x − 10 < 0 → x < 10 → (−∞, −2) เปน็ (0, ∞) นาํ ไปอนิ เตอร์เซคเง่อื นไขได้ (0, ∞) ข. เมอ่ื x > −2 จะได้ ฉะน้ัน คาํ ตอบในสว่ นนค้ี อื (−1, 0) ∪ (0, ∞) x + 2 + x − 4 < 0 → x + 2 + 2x − 8 < 0 → ตอ่ มา จาก x2 − x − 2 < 0 → (x − 2)(x + 1)< 0 2 เขียนเส้นจาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ (−1, 2) 3x − 6 < 0 → x < 2 → [−2, 2] สรุปคาํ ตอบของขอ้ น้ี x ∈ (−1, 0) ∪ (0, ∞) และ x ∈ (−1, 2) ดังนนั้ A = (−∞, 2] เช่อื มด้วยคาํ วา่ “และ” แปลว่า อนิ เตอร์เซค [ หมายเหตุ อสมการนีถ้ า้ ยา้ ย x ไปลบทางขวา กจ็ ะ เหน็ ว่าใชว้ ธิ ียกกาํ ลงั สองทง้ั 2 ข้าง แบบขอ้ 47 ได้ ] ไดค้ ําตอบ x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 2) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 56 ระบบจํานวนจรงิ B; แยกช่วงย่อย ก. เมอ่ื x < 7 จะได้ (53.2) คิดเชน่ เดียวกบั ขอ้ ทแ่ี ล้ว คือ x < −x + 7 → 2x < 7 → x < 7 → (−∞, 7) นํา −10 + 8 = −1 ลบออก 22 2 ข. เมื่อ x > 7 จะได้ จะได้ x + 1 < −9 หรอื x + 1 > 9 → | x + 1 | > 9 น่ันคือ a = 1, b = 1, c = 9 x < x − 7 → 0 < −7 → ∅ (54.1) เนื่องจากเปน็ บวกทัง้ สองขา้ ง ไมจ่ าํ เปน็ ต้อง ดังนนั้ B = (−∞, 7) ใชว้ ธิ ีแยกชว่ งยอ่ ย แตส่ ามารถยกกําลงั สองไดเ้ ลย 2 ดังน้ี A ∩ B = (−∞, 2] ... ตอบ (A ∩ B) ' = (2, ∞) (3x + 2)2 < (4x + 1)2 → (3x + 2)2 − (4x + 1)2 < 0 (51) คดิ ทีละซีก คอื 2x < |4x + 5| และ |4x + 5| < 10 → (3x + 2 − 4x − 1)(3x + 2 + 4x + 1) < 0 → จาก 2x < |4x + 5| ใช้วธิ ีแยกช่วงย่อย (−x + 1)(7x + 3) < 0 → (x − 1)(7x + 3) > 0 ก. เมื่อ x < −5/4 จะได้ เขยี นเสน้ จํานวนไดค้ ําตอบเปน็ (−∞, − 3) ∪ (1, ∞) 2x < − 4x − 5 → 6x < − 5 → x < − 5/6 7 อินเตอร์เซคกบั เงอื่ นไขชว่ งแลว้ ได้ (−∞, −5/4) (54.2) เนือ่ งจากตัวสว่ นมคี า่ สัมบรู ณจ์ ึงเปน็ บวก ข. เมือ่ x > −5/4 จะได้ เสมอ สามารถคณู ย้ายไปไว้ทางขวาไดท้ นั ที และ จากนนั้ ยงั สามารถยกกาํ ลังสองได้ (เหมือนขอ้ ทแ่ี ลว้ ) 2x < 4x + 5 → −5 < 2x → x > − 5/2 (แตต่ อ้ งไมล่ ืมเงอื่ นไขตัวสว่ น คอื x หา้ มเป็น -1) อนิ เตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไขชว่ งแลว้ ได้ [−5/4, ∞) (x − 2)2 < (2x + 2)2 → (x − 2)2 − (2x + 2)2 < 0 → ดงั นน้ั ซีกแรกไดค้ ําตอบรวมกนั เปน็ x ∈ R (x − 2 − 2x − 2)(x − 2 + 2x + 2)< 0 → ต่อมา จาก |4x + 5| < 10 จะได้ (−x − 4)(3x) < 0 → 3(x + 4)(x) > 0 −10 < 4x + 5 < 10 → −15 < 4x < 5 เขยี นเส้นจาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ (−∞, −4) ∪ (0, ∞) −15/ 4 < x < 5/4 (54.3) คดิ ทีละซีก คอื ดังนนั้ สองซีกอนิ เตอรเ์ ซคไดเ้ ปน็ A = [− 15 , 5] |x − 7|< 5 และ |5x − 25| > 5 44 ก. จาก |x − 7|< 5 จะได้ −5 < x − 7 < 5 (51.1) ถูกเสมอ เพราะ A เปน็ ช่วงตอ่ เนอ่ื ง น่ันคอื 2 < x < 12 ( a + b ∈ A เสมอ) ข. จาก |5x − 25|> 5 จะได้ 2 5x − 25 > 5 หรือ 5x − 25 < −5 (51.2) 5 + (− 15) = − 10 ∈ A ถูก 44 4 น่นั คอื x > 6 หรอื (52) A ; − 14 < x2 − 2 < 14 x<4 −12 < x2 < 16 คอื 0 < x2 < 16 นํา ก. อินเตอร์เซค ข. ไดค้ าํ ตอบ (2, 4) ∪ (6, 12) ∴ − 4 < x < 4 → A = (−4, 4) (54.4) แยกชว่ งย่อยเปน็ 4 ช่วง B; 1 − 1 > 0 → 1 − x > 0 → x − 1 < 0 ก. เมอื่ x < 1 จะได้ x xx −x + 1 − x + 3 < −x + 5 → −1 < x → (−1, 1) เขียนเสน้ จาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ B = (0, 1) ข. เม่อื 1 < x < 3 จะได้ ∴ A ∩ B ' = A − B = (−4, 0] ∪ [1, 4) x − 1 − x + 3 < −x + 5 → x < 3 → [1, 3) คําตอบคอื มีจาํ นวนเต็มอยู่ 7 จาํ นวน ค. เมือ่ 3 < x < 5 จะได้ (53.1) เทคนิคการคดิ คอื x − 1 + x − 3 < −x + 5 → x < 3 → ∅ นาํ −4 + 1 = − 3 ลบออกทกุ ส่วนของอสมการ 22 ง. เม่ือ x > 5 จะได้ เพ่อื ใหต้ วั เลขทางซา้ ยและทางขวาเปน็ เลขเดียวกนั x − 1 + x − 3 < x − 5 → x < −1 → ∅ จะได้ −4 + 3 < x + 3 < 1 + 3 → ∴ รวมกนั ทกุ ช่วงยอ่ ยแลว้ ได้คาํ ตอบ (−1, 3) 2 22 − 5 < x + 3 < 5 → − 5 < 2x + 3 < 5 (54.5) ขอ้ น้สี ามารถยา้ ยสว่ นขน้ึ ไปคณู ทางขวาแล้ว ยกกําลังสองทั้ง 2 ขา้ ง เพอื่ ทาํ ผลตา่ งกาํ ลังสอง แบบ 2 22 ข้อ 54.1, 54.2 ได้เลย.. โดยตอ้ งไม่ลมื เง่ือนไขตัว สว่ น คอื x ห้ามเป็น -2 กับ 1 → | 2x + 3 |< 5 นน่ั คอื a = 2, b = 3, c = 5 แต่ถา้ ตอ้ งการคดิ แบบตรงๆ จะไดแ้ บบนค้ี รับ.. x2 − 5x − 4 > 1 หรอื x2 − 5x − 4 < −1 x2 + x − 2 x2 + x − 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 57 ระบบจาํ นวนจริง ก. จาก x2 − 5x − 4 > 1 จะได้ (57) พจิ ารณาจากเลขหลกั หนว่ ย คือ x2 + x − 2 93 ⋅ 82 → 9 ⋅ 4 → 6 ดงั นั้น เศษ = 1 x2 − 5x − 4 − x2 − x + 2 > 0 → หรอื จะคดิ จากทฤษฎเี ศษกไ็ ด้ คือ x2 + x − 2 เราพบวา่ (4x − 1)3(58x − 2)2 หารดว้ ย x ยอ่ ม (−6x − 2) > 0 → (3x + 1) < 0 เหลอื เศษเทา่ กับ (−1)3 ⋅ (−2)2 = −4 เสมอ (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) → ถา้ แทน x ดว้ ย 5 ก็จะไดว้ า่ (19)3(288)2 เขยี นเส้นจํานวนไดค้ ําตอบ (−∞, −2) ∪ [−1/3, 1) หารด้วย 5 เหลือเศษ −4 ดว้ ย ... และเศษ −4 ข. จาก x2 − 5x − 4 < −1 จะได้ สําหรับตวั หารเปน็ 5 กจ็ ะหมายถงึ เศษ 1 x2 + x − 2 (58) การเขียนผลรวมเชงิ เสน้ ตอ้ งหา ห.ร.ม. ด้วย วธิ ขี องยคุ ลดิ กอ่ น ดงั น้ี x2 − 5x − 4 + x2 + x − 2 < 0 → 252=34(7)+14 .....(ก) 34=14(2)+6 .....(ข) x2 + x − 2 14=6(2)+2 .....(ค) 6=2(3) (ห.ร.ม. เทา่ กับ 2) 2(x − 3)(x + 1) < 0 จากน้ันย้ายข้างสมการ ก,ข,ค ใหอ้ ย่ใู นรปู เศษ=....... (x + 2)(x − 1) เขียนเสน้ จาํ นวนได้คําตอบ (−2, −1] ∪ (1, 3] ข้อ ก. และ ข. เชื่อมด้วยคําว่า “หรือ” คอื ยเู นยี น ดังน้ี (ก) 14=252+34(-7) (ข) 6=34+14(-2) (ค) 2=14+6(-2) แลว้ แทน (ข) ใน (ค) จะได้ ดังนน้ั คาํ ตอบคอื (−∞, −1] ∪ [−1/3, 3] − {−2, 1} 2 =14+(34+14(-2))(-2) =14(5)+34(-2) แทนดว้ ย (ก) ลงไปอีก จะได้ (55) มคี ่าสัมบูรณ์ซอ้ นกนั พจิ ารณาชน้ั ในสุดกอ่ น 2 =(252+34(-7))(5)+34(-2) =252(5)+34(-37) ก. เมื่อ x < 0 จะไดส้ มการโจทยก์ ลายเป็น ดังนนั้ ตอบวา่ 2 = 252(5) + 34(-37) (59) วิธีเดยี วกบั ข้อทีแ่ ล้ว หา ห.ร.ม.ก่อน |− x − 3| < |x − 2| -504=-38(14)+28...(ก) จะได้ 28=-504+(-38)(-14) ยกกาํ ลังสองทั้ง 2 ขา้ งแลว้ ย้ายมาลบกนั (− x − 3)2 < (x − 2)2 → (− x − 3)2 −(x − 2)2 < 0 → (− x − 3 − x + 2)(− x − 3 + x − 2) < 0 → -38=28(-2)+18....(ข) จะได้ 18=-38+28(2) (−2x − 1)(−5) < 0 → (2x + 1)(5) < 0 28=18(1)+10....(ค) จะได้ 10=28+18(-1) 18=10(1)+8....(ง) จะได้ 8=18+10(-1) ไดเ้ ปน็ x < − 1/2 อินเตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไขไดช้ ว่ งเดมิ ข. เมอ่ื x > 0 จะไดส้ มการโจทยก์ ลายเปน็ 10=8(1)+2.... (จ) จะได้ 2=10+8(-1) |x − 3| < |x − 2| และ 8=2(4) (ห.ร.ม. คอื 2) จากนัน้ แทน (ง) ใน (จ) ได้ 2=10+(18+10(-1))(-1) ยกกําลงั สองทง้ั 2 ขา้ งแลว้ ยา้ ยมาลบกนั (x − 3)2 < (x − 2)2 → (x − 3)2 −(x − 2)2 < 0 → =10(2)+18(-1) ... แทน (ค) ลงไป (x − 3 − x + 2)(x − 3 + x − 2) < 0 → 2 =(28+18(-1))(2)+18(-1) =28(2)+18(-3) ... (−1)(2x − 5) < 0 → (1)(2x − 5) > 0 แทน (ข) ลงไป 2 =28(2)+(-38+28(2))(-3) ได้เป็น x > 5/2 อินเตอรเ์ ซคกบั เงอ่ื นไขไดช้ ว่ งเดิม =28(-4)+(-38)(-3) ... สดุ ทา้ ยแทน (ก) ลงไป สรุปรวมขอ้ นค้ี าํ ตอบคอื (−∞, − 1/2) ∪ (5/2, ∞) 2 =(-504+(-38)(-14))(-4)+(-38)(-3) (56.1) ก. เมื่อ x < 0 จะได้ ตอบ 2 = (-504)(-4) + (-38)(53) (60) x ⋅ 128 = 16 ⋅ 384 → x = 48 (1 + x)(1 + x) > 0 → (x + 1)2 > 0 (61) ห.ร.ม. คอื 9 = 3 × 3 ซึง่ เปน็ จรงิ เสมอยกเว้นที่ x = −1 ค.ร.น. คอื 28,215 = 3 × 3 × 5 × 11 × 57 (จะเขยี นเสน้ จาํ นวนเพือ่ หาคําตอบกไ็ ด้) ท้งั x และ y ตอ้ งหาร 9 ลงตัว ดงั น้นั ดงั นน้ั คาํ ตอบของชว่ งนคี้ อื (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ข. เมอ่ื x > 0 จะได้ x = 3 × 3 × 5 × 11 = 495 (1 − x)(1 + x) > 0 → (x − 1)(x + 1) < 0 y = 3 × 3 × 57 = 513 เขยี นเสน้ จาํ นวนไดค้ าํ ตอบเปน็ (−1, 1) (62) จํานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ แสดงวา่ ห.ร.ม. = 1 และนาํ ไปรวมกบั เงอื่ นไขช่วง ได้เป็น [0, 1) ∴ x y = 1 ⋅ 15,015 = 3 × 5 × 7 × 11 × 13 สรุปรวมขอ้ นตี้ อบว่า (−∞, −1) ∪ (−1, 1) x มตี วั ประกอบ 2 ตัว และ 80 < x < 200 ดังนน้ั x = 13 × 7 หรอื x = 13 × 11 เทา่ น้ัน (56.2) คิดวธิ เี ดยี วกนั กับข้อทแ่ี ลว้ กไ็ ด้ หรอื จะใช้ ก็จะได้ y = 3 × 5 × 11 = 165 หรอื คําตอบเดิมมาคดิ ก็จะรู้ว่า คาํ ตอบคอื (1, ∞) (จุด x = −1 และ 1 เราไม่นํามาตอบ y = 3 × 5 × 7 = 105 เพราะเป็นจุดทที่ าํ ให้ (1 − |x|)(1 + x) เปน็ ศูนย)์ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 58 ระบบจาํ นวนจรงิ eÃèo× §æ¶Á (1) 5 14 . 00 00 ถ้าไมม่ เี ครอื่ งคาํ นวณ จะหาค่ารากทีส่ องได้อยา่ งไร.. (1) สมมตวิ า่ จะถอดรากทีส่ องของ 514 (2) 2 เร่มิ ต้น ให้แบ่งตัวเลขในจํานวน 514 ออกเปน็ กลุ่มๆ ทลี ะ 2 ตัว โดยวดั จาก 2 5 14 . 00 00 จดุ ทศนิยมมาทางซา้ ย ได้แก่ 14 และ 5 (หลกั หนว่ ยอย่กู ับสบิ หลกั ร้อยอยู่กบั พัน หลกั หม่ืนอยกู่ บั แสน ไปเรอ่ื ยๆ) และวดั ทศนิยมไปทางขวากลมุ่ ละ 2 ตัวเชน่ กัน (3) (โจทยข์ อ้ นี้ไม่มีทศนยิ มจึงใส่ 00 และ 00 ไปเรื่อยๆ) 2 (2) หาจาํ นวนนบั ที่คูณตัวเองแลว้ ไดใ้ กล้เคยี งกลมุ่ แรก (คือ 5) ทีส่ ุด 2 (4) 5 14 . 00 00 (แตไ่ ม่เกนิ 5) น่ันคือ 2 คณู 2 ... กใ็ ส่ 2 ไวท้ ่ชี อ่ งตัวหาร กับชอ่ งผลลพั ธ์ 4 2 1 (3) จาก 2 คูณ 2 ได้ 4 ... ใส่ผลคณู คอื 4 ไว้ใตเ้ ลข 5 แล้วนาํ มาลบกัน เหลอื 1 4 2 (4) นําผลลัพธท์ ีไ่ ดใ้ นขณะนี้ (บรรทัดบนสุด) คอื 2 มาคณู สองกลายเป็น 4 5 14 . 00 00 4 ใส่ไว้ทช่ี อ่ งตัวหารด้านหน้า ... แล้วดึงเลขกลุม่ ถัดไปลงมา (คอื 14) กลายเป็น 114 1 14 (5) ต่อมาให้หาคา่ x ซ่งึ ทาํ ให้ 4x คณู x ไดใ้ กลเ้ คียง 114 ที่สดุ (แต่ไม่เกิน 114) (5) 2 2 . ... เชน่ 41 คณู 1 ได้ 41, 42 คูณ 2 ได้ 84, 43 คณู 3 ได้ 129 (เกนิ ) 2 5 14 . 00 00 ดังน้นั ตอ้ งใช้ 42 คณู 2 ... ใส่ 2 ไวท้ ี่ตัวหาร (ตอ่ ท้าย 4) และใส่ 2 ไวช้ อ่ ง 4 ผลลพั ธด์ ้วย จากนนั้ 42 คณู 2 ได้ 84 เอาไปตัง้ ลบออกจาก 114 (เหลอื 30) 42 1 14 (6) ทาํ เชน่ เดยี วกบั ขอ้ (4) และ (5) ไปเรอ่ื ยๆ 84 30 คือ เอาผลลพั ธ์ในขณะนี้ (22) มาคณู สองกลายเปน็ 44 ใสไ่ วช้ ่องตัวหาร และดึงกลุม่ ถดั ไป (คอื 00) ลงมาตอ่ ท้าย 30 กลายเปน็ 3000 (6) 2 2. (7) หาค่า x ซ่งึ ทาํ ให้ 44x คณู x ได้ใกลเ้ คยี ง 3000 ที่สดุ 2 5 14 . 00 00 42 4 (แตไ่ ม่เกนิ 3000) ... พบว่า ตอ้ งใช้ 446 คูณ 6 44 ใส่ 6 ไว้ทีต่ ัวหาร (ต่อทา้ ย 44) และใส่ 6 ไว้ช่องผลลัพธ์ 1 14 จากนัน้ 446 คณู 6 ได้ 2676 เอาไปตง้ั ลบออกจาก 3000 (เหลอื 324) 84 30 00 (7) 2 2 . 6 (8) เอาผลลพั ธใ์ นขณะน้ี (226) มาคูณสองเปน็ 452 ใส่ไวช้ ่องตัวหาร 2 5 14 . 00 00 42 4 และดงึ กล่มุ ถดั ไป (คอื 00) ลงมาตอ่ ทา้ ย 324 กลายเปน็ 32400 446 หาค่า x ซ่ึงทาํ ให้ 452x คูณ x ได้ใกลเ้ คียง 32400 ทีส่ ุด (แต่ไม่เกิน 32400) ... 1 14 พบว่า ต้องใช้ 4527 คูณ 7 ... ใส่ 7 ไว้ทีต่ วั หาร (ต่อท้าย 452) และใส่ 7 ไว้ 84 ช่องผลลพั ธ์ จากนั้น 4527 คูณ 7 ได้ 31689 เอาไปตั้งลบออกจาก 32400 ... ทําไปเรอื่ ยๆ จนกวา่ จะไดค้ ําตอบทมี่ ีจาํ นวนทศนิยมเท่าท่ตี ้องการ 30 00 26 76 3 24 สรปุ วา่ รากทส่ี องของ 514 มคี ่าประมาณ 22.67... (8) 2 2 . 6 7 ขอ้ สังเกต จาํ นวนหลักของคําตอบ จะเทา่ กับจํานวนกลุ่มที่แบ่งในโจทย์ 2 5 14 . 00 00 เชน่ 514 แบง่ ได้ 2 กลมุ่ คือ 5,14 ดงั นน้ั คําตอบจะมี 2 หลกั (ไม่รวมทศนยิ ม) 4 หรือถา้ เป็น 903601 แบ่งได้ 3 กลมุ่ คือ 90,36,01 คาํ ตอบก็จะมี 3 หลกั ... 42 1 14 อา่ นแลว้ ทดลองถอดรากที่สองเองดูสิครบั 84 อย่างเชน่ หารากที่สองของ 225, รากทสี่ องของ 3000, รากทสี่ องของ 214.7 ตรวจสอบคําตอบกับเครอื่ งคํานวณ ถา้ ตรงกนั แสดงว่ารูห้ ลกั ในการคดิ แล้ว :] 446 30 00 26 76 4527 3 24 00 3 16 89 .... .... Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 59 ตรรกศาสตร ~l∧g→c º··Õè 3 µÃáÈÒʵÏ ตรรกศาสตร์ (Logic) เปน็ วชิ าเกยี่ วกับการใช้ เหตผุ ลเพ่อื วิเคราะหค์ า่ ความจรงิ (จรงิ หรอื เทจ็ ) ของ ประโยคต่างๆ ความเข้าใจในตรรกศาสตรเ์ บือ้ งตน้ จะ ช่วยให้ศึกษาวชิ าคณติ ศาสตรไ์ ด้อยา่ งมีเหตุผล ประโยคทุกประโยคทมี่ ี ค่าความจริง (Truth Value) เป็นจริงหรอื เปน็ เท็จอยา่ งใดอย่างหนง่ึ เราจะเรยี กว่า ประพจน์ (Proposition หรอื Statement) ดงั นั้นประพจน์อาจเปน็ ประโยคบอกเล่า, ประโยคปฏิเสธ เชน่ “เมื่อวานฝนตกท่บี างกะป”ิ , “1 มากกวา่ 2”, “เก่งไม่ใช่คนรา้ ย” เหล่านถ้ี ือเปน็ ประพจน์ เพราะสามารถให้ค่าความจริงกํากับว่าเปน็ จรงิ หรือเปน็ เท็จได้ แต่ประโยคคําถาม ประโยคคาํ สง่ั ขอร้อง ประโยคแสดงความปรารถนา ประโยคอทุ าน เหล่าน้ไี ม่ใชป่ ระพจน์เพราะไม่สามารถให้คา่ ความจริงได้ เช่น “กรุณางดใช้เสียง”, “ใครเป็นคนทําแกว้ แตก”, “อยากไปเทย่ี วหวั หนิ จังเลย” หรอื “โอ้โห วเิ ศษไปเลยจอร์จ” S ¨u´·è¼Õ i´ºo‹ Â! S »Ãao¤·è´Õ ÙeËÁ×o¹e»¹š »Ãa¾¨¹ ºÒ§¤Ãa駡äç Áe‹ »¹š »Ãa¾¨¹ ... eª‹¹ 1. “ÊÁÈÃÊÕ Ç·ÊèÕ u´ã¹«o” eÃ×oè §¤ÇÒÁÊǹ¹aé e»¹š eª§i ¨µi ÇiÊÂa äÁʋ ÒÁÒö¿¹˜ ¸§ä´ÇŒ ҋ ¨Ãi§ËÃ×oe·¨ç ¨§Ö äÁe‹ »š¹»Ãa¾¨¹! 2. “e¢Ò¡Òí Åa§¡¹i ¢ŒÒǔ o¹a ¹é¡Õ äç Áe‹ »¹š »Ãa¾¨¹ e¾ÃÒaäÁ‹ä´eŒ ¨Òa¨§Ç‹Ò “e¢Ò” ËÁÒ¶§Ö ã¤Ã ´a§¹é¹a oÒ¨¨a¨Ã§i ËÃ×oe·ç¨¡äç ´Œ äÁæ‹ ¹ª‹ ´a (eÃÕ¡»Ãao¤·èµÕ i´µaÇæ»Ã溺¹éÇÕ Ò‹ »Ãao¤e»´ ¨aä´ÈŒ Ö¡ÉÒã¹ËÇa ¢Œo 3.4 ¤Ãºa ..) สัญลกั ษณท์ ใี่ ช้แทนประพจนต์ ่างๆ เป็นตัวอักษรเล็ก เช่น p, q, r โดยแตล่ ะประพจนจ์ ะมีค่า ความจริงที่เปน็ ไปได้ 2 แบบเทา่ นน้ั คอื เปน็ จริง (True; T) หรอื เป็น เท็จ (False; F) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 60 ตรรกศาสตร 3.1 ตัวเช่ือมประพจน์ และตารางค่าความจริง ในชีวิตประจาํ วันรวมทงั้ ในวิชาคณิตศาสตร์ เรามกั พบการเชื่อมประโยค (ประพจน)์ ด้วย ตวั เช่ือม (Connectives)... และ (and), หรอื (or), ถ้า-แล้ว (if-then), กต็ อ่ เมอ่ื (if and only if) และยงั พบการเติมคําวา่ ไม่ (not) ด้วย... ซง่ึ การเช่ือมแต่ละแบบ ส่งผลต่อค่าความจรงิ ดงั ตาราง เครือ่ งหมาย ~ เรยี กว่า นิเสธ (Negation) ใชเ้ พือ่ กลับค่าความจรงิ ให้เป็นตรงขา้ ม pq p และ q p หรอื q ถ้า p แลว้ q p ก็ตอ่ เมอื่ q ไม่ p (p ∧ q) (p∨ q) (p → q ) (p ↔ q) (~p ) TT TF T T T T F FT T F F F FF F T F T F F T T T F T การเชื่อมด้วย และ มีกรณเี ดียวที่เปน็ จริง คอื T ∧ T การเชื่อมด้วย หรอื มกี รณีเดียวทเ่ี ป็นเทจ็ คือ F ∨ F การเชือ่ มด้วย ถ้า-แลว้ มกี รณีเดยี วท่ีเปน็ เท็จ คอื T → F สว่ นการเช่ือมด้วย กต็ อ่ เม่ือ ถ้าค่าความจริงเหมือนกันจะใหผ้ ลเป็นจรงิ ตา่ งกันจะให้ผลเปน็ เท็จ ขอ้ สังเกต ตัวเชือ่ มท้งั ส่ีนี้ มเี พียง ถ้า-แลว้ ท่ไี ม่สามารถสลับทีป่ ระพจนไ์ ด้ ตารางท่ีแสดงค่าทเ่ี ป็นไปได้ครบทกุ แบบดงั นี้ เรยี กว่า ตารางค่าความจรงิ (Truth Table) จาํ นวนแบบท่ีเกดิ ข้นึ เทา่ กับ 2n เม่ือ n คอื จํานวนประพจน์ ... เชน่ ถา้ มี 1 ประพจนจ์ ะเปน็ ไปได้ 2 แบบ, ถา้ มี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ (ดังตารางน้ี), ถา้ มี 3 ประพจนจ์ ะเปน็ ไปได้ 8 แบบ รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ท่ีใหค้ ่าความจริงตรงกันทกุ ๆ กรณี จะกลา่ ววา่ รูปแบบทั้ง สอง สมมูลกนั (Equivalent) (แปลวา่ สามารถใช้แทนกันได้) สัญลกั ษณท์ ี่ใชแ้ สดงการสมมลู กัน คือ ≡ (ขีดสามขีด) รปู แบบประพจน์ทีส่ มมูลกัน ที่ควรทราบไดแ้ ก่ • การแจกแจง • การเตมิ นเิ สธ p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q ~ (p → q) ≡ p ∧ ~ q • การเปลย่ี นตัวเช่ือม p→q ≡ ~p∨ q ≡ ~q→~p ~ (p ↔ q) ≡ ~ p ↔ q ≡ p ↔ ~ q p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ส่งิ ทีค่ วรทราบ ตัวเช่ือม และ มีสมบัตคิ ล้ายอนิ เตอรเ์ ซคชันของเซต ตัวเชอ่ื ม หรือ มสี มบัตคิ ล้ายยเู นียนของเซต และ นเิ สธ มสี มบตั คิ ล้ายคอมพลเี มนตข์ องเซต Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 61 ตรรกศาสตร แบบฝึกหัด 3.1 (1) ใหเ้ ตมิ ค่าความจรงิ หรอื ประพจน์ท่ีเหมาะสม ลงในชอ่ งวา่ ง เมอื่ p เป็นประพจน์ใดๆ T∧p ≡ T∨p ≡ T→p ≡ T↔p ≡ F∧p ≡ F∨p ≡ F→p ≡ F↔p ≡ p∧p ≡ p∨p ≡ p→T ≡ p↔p ≡ p∧~p ≡ p∨~p ≡ p→F ≡ p↔~p ≡ p→p ≡ p→~p ≡ (2) กาํ หนดให้ p, r เป็นจริง และ q เปน็ เท็จ จงหาค่าความจรงิ ของ (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [(q ↔ s) ∧ r] (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → (p ∧ ~ q) (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ ~(~ r) (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ (~ q → r)] (2.8) [(p ∧ q) ∧ ~ r] ∧ [(r ∨ ~ s) ∧ (~ p ∨ ~ q)] (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [(q → p) ∨ r] (2.10) [q → (p ∨ r)] → [p → (q ∧ ~ r)] (2.11) [(~ p → ~ q) ∧ (~ r → ~ s)] ∨ [(~ p → r) ∧ (s → ~ q)] (3) จงหาคา่ ความจริงของรปู แบบประพจนต์ ่อไปน้ี (3.1) (p ∨ ~ q) → (p → q) เม่อื q เป็นจริง (3.2) (p ∨ ~ q) → (p → q) เมอ่ื p เป็นเท็จ (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (~(r ∨ s) ∧ (r ∨ ~ q)) เมื่อ p, q เป็นจรงิ และ r, s เป็นเทจ็ (3.4) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) เมื่อ p, r, r → q เปน็ จริง (3.5) (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) เม่ือ p → q เป็นเท็จ, q ∨ r เป็นจรงิ (3.6) n → [(m ∨ q) → ~ s] เมอ่ื q → n เป็นเทจ็ (3.7) (p ∨ r) ∧ q เม่อื p → q เปน็ เทจ็ , q ∨ r เปน็ จริง (3.8) (q ∨ p) → (r ∧ s) เมื่อ (p → q) ∧ (r ∨ s) เปน็ จรงิ , q ∨ s เป็นเทจ็ (3.9) [Ent’25] r → s เมอื่ (p ∨ r) →(q ∨ s) เปน็ เท็จ, p → q เปน็ จรงิ (3.10) (p ∨ r) → ~ q เม่อื (p ∧ ~ r) → (p → q) เป็นเท็จ (3.11) p, q, r เมื่อ (p ∧ q) → (p → r) เป็นเท็จ (3.12) r เม่อื p ∧ (p ↔ ~ r) ∧ (q → r) เป็นจรงิ (3.13) ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) (3.14) ⎣⎡[p ∨ ~(r ∧ s)] ∧ ~ p⎦⎤ → (~ r ∨ ~ s) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 62 ตรรกศาสตร (4) กําหนดให้ [(p → q) ∧ (p ∨ r)] →(s → r) เป็นเทจ็ ขอ้ ใดถูกหรือผิดบา้ ง ก. [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) เปน็ เทจ็ ข. [(~ p ∧ q) → (~ q ∧ r)] → (~ r ∧ s) เปน็ จรงิ (5) ถ้า [(p ↔ q)→(r ∨ ~ s)] มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ จงพจิ ารณาวา่ รปู แบบประพจน์ในขอ้ ใดมคี ่า ความจริงเหมือนกบั [(~ p ∧ r) →(q ∨ ~ s)] บ้าง ก. ~(p ∧ s) → ~ r ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ค. (s → r) ∨ (p → q) (6) ถา้ p สมมูลกบั q และ r ไมส่ มมลู กบั s พจิ ารณาข้อความใดถกู หรือผิดบา้ ง ก. [(p ↔ ~ q) ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [(~ p ∧ q) ∨ (~ r ∨ ~ s)] เปน็ เทจ็ ข. [(p ∨ r) ∧ (q ∨ s)] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] เปน็ จริง (7) จงหานิเสธของ ข. (p ∧ ~ q) → ~ r ก. (p → ~ q) ∧ (~ r → s) (8) กําหนดประพจน์ “ถ้าเดชาขยันและทาํ การบ้านสม่าํ เสมอแลว้ เขาจะสอบผ่าน” เป็นเทจ็ แล้วขอ้ ใด เปน็ จริง ก. เดชาขยันแตไ่ ม่ทาํ การบ้านสม่าํ เสมอ ข. เดชาไมข่ ยันแต่ทาํ การบ้านสมาํ่ เสมอ ค. ถา้ เดชาสอบไม่ผ่านแสดงวา่ เขาไมท่ าํ การบ้านสมาํ่ เสมอ ง. เดชาขยันกต็ ่อเม่อื เขาสอบไม่ผา่ น (9) ข้อใดไมส่ มมลู กนั ข. ~(p ∧ ~ q) กบั ~ q → ~ p ก. p ∨ q กับ ~(~ p ∧ ~ q) ง. ~ p ↔ q กบั (~ p → q) ∧ (q → ~ p) ค. ~ p → (q → p) กบั ~ q → p (10) รูปแบบประพจนต์ อ่ ไปน้ีสมมูลกับขอ้ ใด (10.1) p ↔ q ก. (p → q) ∧ (q ∧ ~ p) ข. (~ q → ~ p) ∧ (~ q ∨ p) ค. (p ∧ ~ q) ∧ (q → p) ง. (p ∧ ~ q) ∧ (~ p → ~ q) (10.2) ⎣⎡[((q ∧ ~ t) ∧ p) ∨ ((q ∧ ~ t) ∧ ~ p)] ∨ ~ q⎦⎤ → r ก. q ∧ ~ t ∧ p ข. (t ∧ q) ∨ p ค. t ∧ q ∧ r ง. (t ∧ q) ∨ r จ. (t ∧ r) ∨ p (10.3) [(q ∨ r) ∧ (p ∧ s) ∧ (q ∨ ~ r)] ∨ [(q ∨ ~ r) ∧ (p ∧ ~ s) ∧ (q ∨ r)] ก. p ∧ q ข. p ∨ q ค. p → q ง. p ↔ q (11) ขอ้ ความใดสมมลู กบั “ถา้ a < 0 และ b < 0 แลว้ ab > 0 ” ก. ถา้ a > 0 หรอื b > 0 แล้ว ab < 0 ข. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว ab > 0 ค. ถ้า ab < 0 แล้ว a > 0 หรือ b > 0 ง. ถ้า ab > 0 แล้ว a < 0 และ b < 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 63 ตรรกศาสตร (12) ขอ้ ความในขอ้ ใดสมมูลกันบา้ ง ก. ถ้า a เปน็ จํานวนเต็ม แล้ว a เป็นจาํ นวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนค่ี ข. ถา้ a ไม่เป็นจาํ นวนคู่ และ a ไมเ่ ป็นจํานวนค่ี แลว้ a ไม่เปน็ จาํ นวนเต็ม ค. a ไมเ่ ปน็ จาํ นวนเตม็ หรือ a เปน็ จํานวนคู่ หรอื a เปน็ จาํ นวนคี่ (13) ข้อใดถกู หรือผิดบ้าง ก. ~(p ∧ ~ r) ∨ ~ q สมมลู กบั q → (r ∨ ~ p) ข. p → (q → r) สมมลู กบั q → (p → r) ค. (p ∧ q) → r สมมลู กับ (p → ~ q) ∨ (p → r) (14) กําหนดคา่ ความจรงิ ของตัวเช่ือม ∗ ดงั ตาราง p q p∗q (14.1) (p ∗ p) ∗ (q ∗ q) สมมูลกบั ขอ้ ใด TT F TF F ก. p ∧ q ข. p ∨ q FT F FF T ค. p → q ง. p ↔ q (14.2) [Ent’34] p ∗ q สมมลู กับขอ้ ใด ก. ~(~ p → q) ข. ~ p → q ค. ~(q → ~ p) ง. q → ~ p (15) กําหนดให้ p ∗ q ≡ ~(p ∨ q) ถามวา่ อตั ราส่วนจํานวนกรณีที่ p ∗ (q ∗ r) เปน็ จริง ต่อจาํ นวน กรณีทีเ่ ป็นเทจ็ เป็นเทา่ ใด 3.2 สจั นริ ันดร์ หากรูปแบบของประพจนใ์ ดให้ค่าความจริงเป็นจริงเสมอทกุ ๆ กรณี (สร้างตารางค่าความจริง แล้วพบวา่ เป็นจรงิ ทกุ แบบ) เราเรยี กรปู แบบนั้นว่าเปน็ สัจนริ ันดร์ (Tautology) • ตัวอยา ง ประพจนนีเ้ ปนสจั นิรนั ดรหรือไม ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) วิธีคดิ เขียนตารางแสดงคาความจรงิ ของ p กับ r ใหค รบทุกกรณีทีเ่ ปนไปได (4 กรณี) p r r ∨ p p → r (r ∨ p) → (p → r) p r r ∨ ~ p p → r (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) TT T T T TT T T T TF T F F TF F F T FT T T T FT T T T FF F T T FF T T T เราพบวา ขอ ก. เกดิ กรณีที่เปน เท็จไดด ว ย จึงไมเ ปนสจั นริ นั ดร แตข อ ข. ผลเปน จริงทุกกรณี จึงเปน สัจนิรันดร การตรวจสอบรูปแบบประพจนว์ ่าเปน็ สัจนริ นั ดรห์ รือไม่ นอกจากจะใช้วิธีเขียนตารางค่าความ จรงิ ใหค้ รบทกุ กรณีแล้ว โดยทั่วไปนยิ มใช้ “วิธพี ยายามทําใหเ้ ปน็ เท็จ” คือถ้าหากรณที ท่ี ําให้รปู แบบน้นั เป็นเทจ็ ไมไ่ ด้เลย รูปแบบนั้นก็จะเปน็ สัจนริ นั ดร์ แต่ถ้าทําเปน็ เทจ็ ได้แม้เพยี งกรณีเดียว รูปแบบนัน้ ย่อมไมใ่ ชส่ ัจนริ ันดร์ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 64 ตรรกศาสตร โดยเฉพาะเม่ือมีประพจน์ยอ่ ยมากๆ (เช่น p, q, r, s, ...) การเขยี นตารางใหค้ รบทุกกรณี จะทําได้ไม่สะดวก ควรใชว้ ธิ ีพยายามทําใหเ้ ปน็ เท็จ • ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสจั นริ นั ดรหรือไม ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) (r ∨ p) → (p → r) วิธีคิด ก. ใชวธิ ีพยายามทาํ ใหเปน เท็จ T F FT T F ตวั เชือ่ มหลักคือ “ถา-แลว” จะเปนเทจ็ ได แสดงวา วงเลบ็ หนา ตองเปน จรงิ และวงเลบ็ หลงั ตอ งเปนเท็จ เทา น้ัน ... วงเลบ็ หลังเปนเทจ็ แสดงวา p ตอ งเปนจรงิ และ r ตองเปน เท็จ ... นําคา ความจริงของ p และ r ไปใสใ นวงเล็บหนา ไดค า เปนจรงิ ตามทีต่ อ งการพอดี ... แสดงวา ตอนนี้เราทาํ ใหผ ลเปน เท็จได สําเรจ็ (คือเปน เทจ็ เมื่อ p เปนจรงิ , r เปน เท็จ) ขอนีจ้ งึ ไมเปนสัจนริ นั ดร ข. ตวั เชือ่ มหลักคือ “กต็ อเมือ่ ” จะเปนเทจ็ ได 2 แบบ คือ T ↔ F กับ F ↔ T ... การคิดดวยวิธีนี้ คอ นขา งยงุ ยาก เราควรเลีย่ งไปใชวิธีในตัวอยา งถดั ไป คือดคู วามสมมูลระหวา งกอ นหนา และหลัง ... หากตวั เชือ่ มหลักเป็น “หรือ”, “ถ้า-แลว้ ” สามารถตรวจสอบการเป็นสัจนิรนั ดร์ได้โดย พยายามทําใหเ้ ป็นเท็จ ดงั กลา่ วไปแล้ว แตห่ ากตัวเชอื่ มหลกั เปน็ “ก็ตอ่ เม่ือ” ควรตรวจสอบการเป็น สจั นริ ันดร์โดยหลกั การตอ่ ไปน้ี “, ↔ + เปน็ สัจนริ ันดร์ เมื่อ , ≡ + เทา่ นั้น” (และถ้า , ≡ + ก็จะไดว้ ่า , ↔ + ไมเ่ ปน็ สัจนิรันดร์) • ตวั อยา ง ประพจนนี้เปนสจั นิรนั ดรหรือไม (r ∨ ~ p) ↔(p → r) วิธีคดิ เนือ่ งจากตวั เชื่อมหลกั เปน “ก็ตอ เมือ่ ” จึงตรวจสอบวาซายกบั ขวาสมมลู กนั หรือไม พบวา วงเล็บขวาคือ p → r ≡ ~ p ∨ r ≡ วงเลบ็ ซาย ... ดังนนั้ เปน สัจนิรันดร แบบฝกึ หัด 3.2 (16) ประพจน์ต่อไปนเี้ ปน็ สัจนิรันดร์หรือไม่ (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] (16.3) [Ent’29] [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) (16.7) [Ent’29] ⎡⎣[(p ∧ q) → r] ∧ (p → q)⎤⎦ → (p → r) (17) ประพจน์ต่อไปนีเ้ ป็นสัจนิรันดรห์ รือไม่ (17.1) [Ent’23] ~(p → ~ q) ↔ (p ∧ q) (17.2) [(~ p ∧ q) ∨ p] ↔ (p ∧ q) (17.3) [(p ∨ q) ∧ ~ p] ↔ (~ p ∧ q) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 65 ตรรกศาสตร (17.4) (p ↔ q) ↔ [(q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ ~ q)] (17.5) [(p ∧ q) → (p ∨ q)] ↔ [(~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q)] (17.6) [p → (q ∧ r)] ↔ [(p → q) ∧ (p → r)] (17.7) [Ent’29] [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → r] (17.8) [Ent’29] [p ↔ (q ↔ r)] ↔ [(p ↔ q) ↔ r] (18) ประพจน์ตอ่ ไปน้เี ปน็ สัจนิรนั ดร์หรอื ไม่ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) (19) ประพจน์ตอ่ ไปน้เี ป็นสจั นริ ันดร์หรอื ไม่ (19.1) นเิ สธของ (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) (19.2) นิเสธของ [p ∧ (q ∨ ~ q)] ↔ [~ p ∨ (q ∧ ~ q)] (19.3) นิเสธของ ~(p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) (20) เมื่อ p, q, r เปน็ ประพจนใ์ ดๆ ถามวา่ ประพจน์ในขอ้ ใดเป็นจรงิ บ้าง ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) ง. ((p → r) ∧ (q → r)) ↔ ((p ∧ q) → r) จ. ((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∧ r)) (21) ตวั เชือ่ มในกรอบส่ีเหลยี่ ม ทท่ี ําให้ [(p → ~ q) ∧ (p → ~ r)] [p → ~(q ∨ r)] เปน็ สจั นิรันดร์ คอื อะไร 3.3 การอ้างเหตุผล การอา้ งเหตุผล คือการกล่าวว่าถ้ามเี หตุเป็นข้อความ p1, p2, p3, ..., pn ชุดหน่ึง แลว้ สามารถสรุปผลเป็นขอ้ ความ q อันหนึง่ ได้ การอ้างเหตผุ ลมที ั้งแบบที่ สมเหตสุ มผล (valid) และ ไม่ สมเหตสุ มผล (invalid) ซ่งึ เราสามารถตรวจสอบความสมเหตุสมผลไดโ้ ดยหลายวิธี คอื 1. ตรวจสอบสัจนิรันดร์ การอ้างเหตผุ ลจะสมเหตสุ มผล ก็เมอ่ื (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เปน็ สัจนริ นั ดร์ หรอื กลา่ ววา่ จะไมส่ มเหตสุ มผลเพยี งกรณีเดยี วเท่านน้ั คือเมื่อ “เหตเุ ป็นจริงทุกข้อแต่ผลเป็นเทจ็ ” 2. เทียบกับรูปแบบทพี่ บบ่อย การอา้ งเหตุผลทุกรปู แบบตอ่ ไปนี้ สมเหตุสมผล (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q (3) เหตุ p → q (4) เหตุ p → q p ~q q→r r→s p∨r ผล q ผล ~ p ผล p → r ผล q ∨ s ข้อน้ีเปน็ รปู แบบมาตรฐาน เพราะ p → q ≡ ~ q → ~ p Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 66 ตรรกศาสตร (5) เหตุ p ∧ q (6) เหตุ p S ¨u´·è¼Õ ´i º‹oÂ! S ผล p ∨ q ผล p ¶ÒŒ µÃǨÊoº¡ÒÃoŒÒ§e˵u¼Å´ŒÇÂǸi Õ·ÊèÕ o§ ¤×oe·Õº¡ºa สามารถเตมิ ประพจน์ใดๆ ได้ Ãٻ溺 æÅa¾ºÇҋ ¼Å·èäÕ ´ÁŒ Ò¨Ò¡Ãٻ溺eËÅҋ ¹éäÕ Á‹µÃ§¡aº·Õè เช่อื มดว้ ย “และ” แต่ตอ้ งเช่อื มดว้ ย“หรอื ” ãËÁŒ Òã¹o¨·Â oÂҋ e¾è§i ÊÃu»Çҋ äÁʋ Áe˵Êu Á¼Å¹a¤Ãaº! ... สามารถแยกเป็นประพจน์ ¨aµŒo§Ë¹a ¡Åºa ä»ãªŒÇi¸ÕæáµÃǨÊoº¡o‹ ¹¨§Ö ÊÃu»ä´Œ (e¾ÃÒa เดยี่ วได้ oÒ¨¨aÊÁe˵Êu Á¼Å¡äç ´)Œ แบบฝกึ หดั 3.3 (22) [Ent’39] การอ้างเหตผุ ลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรอื ไม่ (22.1) เหตุ 1. p → q (22.2) เหตุ p →(r ∨ s) 2. q → s ผล ~ p ∨ (r ∨ s) 3. ~ s ผล ~ p (23) การอา้ งเหตุผลดงั ต่อไปนี้ สมเหตสุ มผลหรือไม่ (23.1) เหตุ 1. ถ้า x เปน็ จาํ นวนคแู่ ลว้ 2 | x 2. ถา้ x เป็นจํานวนคแู่ ละ 2 | x แลว้ x เป็นจํานวนเต็ม 3. ไม่จรงิ ท่วี า่ “x เป็นจาํ นวนเฉพาะและ x เป็นจํานวนเต็ม” 4. x เปน็ จาํ นวนคู่ ผล x เปน็ จาํ นวนเฉพาะ (23.2) เหตุ 1. ถ้า a เปน็ จํานวนตรรกยะแล้ว a ไมเ่ ปน็ จาํ นวนอตรรกยะ 2. a2 = 2 หรือ a2 = −1 3. ถ้า a2 = 2 แล้ว a เป็นจํานวนอตรรกยะ 4. a2 ≠ −1 ผล a เปน็ จํานวนตรรกยะ (24) จงเตมิ ขอ้ ความทีท่ าํ ให้การอา้ งเหตุผลนส้ี มเหตสุ มผล (24.1) เหตุ 1. p →(q → r) (24.2) เหตุ 1. ~ p → q 2. q → ~ r 2. ~ s ∨ p 3. 3. q ผล p ผล (25) จงเตมิ ข้อความท่ีทาํ ใหก้ ารอา้ งเหตผุ ลนี้ สมเหตุสมผล เหตุ 1. ถ้าฉันขยัน ฉันจะไม่ตกคณติ ศาสตร์ 2. ฉันตกคณติ ศาสตร์ ผล (26) กาํ หนดเหตใุ หด้ งั น้ี เหตุ 1. ถา้ ฉนั ขยันแลว้ ฉนั จะสอบได้ 2. ถา้ ฉันไมข่ ยนั แลว้ พ่อแมจ่ ะเสียใจ 3. ถ้าฉันเรียนในมหาวทิ ยาลยั แลว้ พ่อแม่จะไมเ่ สยี ใจ 4. ฉันสอบไมไ่ ด้ ใหห้ าวา่ ผลในข้อใดทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 67 ตรรกศาสตร ผล ก. ฉนั ไม่ได้เรยี นในมหาวิทยาลัย หรอื ฉนั ขยัน ข. ฉันเรียนในมหาวทิ ยาลยั และฉนั ขยนั ค. พ่อแมฉ่ นั ไม่เสียใจ และฉนั ไม่ไดเ้ รยี นในมหาวทิ ยาลัย ง. ฉันขยนั แตฉ่ นั สอบไมไ่ ด้ 3.4 ประโยคเปดิ และตวั บ่งปริมาณ ประโยค “x มากกวา่ 2” (หรือ “เขาไมใ่ ช่คนร้าย”) ไมใ่ ช่ประพจน์ เนื่องจากยงั ไมท่ ราบแน่ ชัดวา่ มคี ่าความจรงิ เปน็ จริงหรอื เป็นเทจ็ ค่าความจริงขนึ้ อยูก่ บั วา่ x เปน็ จํานวนใด (หรือ “เขา” เป็น ใคร) เชน่ ถ้า x เปน็ 3 ประโยคนจ้ี ะเป็นจรงิ แต่ถา้ x เปน็ 2 ประโยคนี้จะเปน็ เท็จ เราเรียก “ประโยคท่ียงั คงติดคา่ ตัวแปร และเมอื่ แทนคา่ ตัวแปรแล้วจงึ กลายเป็นประพจน์” ว่า ประโยคเปดิ (Open Sentence) สญั ลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนประโยคเปิดใดๆ (ทีต่ ิดคา่ ตัวแปร x) ได้แก่ P(x), Q(x), R(x) ฯลฯ ซ่ึง ประโยคเปิดเหลา่ นส้ี ามารถใชต้ ัวเชือ่ มได้เชน่ เดียวกบั ประพจน์ p, q, r ท่วั ๆ ไป ตัวบง่ ปริมาณ (Quantifier) คอื ขอ้ ความที่ใช้บ่งบอกความมากน้อยของค่าตวั แปร x มี 2 แบบได้แก่ สําหรับ x ทกุ ตวั (For All x; ∀x ) และ สําหรบั x บางตัว (For Some x; ∃x ) ซึ่งตัวบง่ ปรมิ าณทัง้ สองนี้เมื่อใช้ร่วมกบั เอกภพสมั พัทธแ์ ลว้ จะทาํ ใหป้ ระโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ (คือมคี ่าเปน็ จริงหรือเปน็ เทจ็ ) ได้ เช่น ให้ P(x) แทนประโยคเปดิ “x มากกวา่ 2” จะได้ว่า ∀x [P(x)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว... x มากกว่า 2” และ ∃x [P(x)] แทนประโยค “สําหรบั x บางตวั ... x มากกวา่ 2” ซง่ึ ถ้า U = {1,2,3} กจ็ ะพบว่า ∀x [P (x)] เป็นเท็จ, ∃x [P (x)] เป็นจริง แต่ถ้า U = {3,4} แล้วจะพบวา่ ∀x [P (x)] เป็นจรงิ , ∃x [P (x)] เปน็ จรงิ หมายเหตุ 1. หากไมม่ กี ารระบุเอกภพสัมพทั ธ์ ใหถ้ ือว่าเอกภพสมั พัทธ์คอื เซตจาํ นวนจริง R 2. สามารถแจกแจงตัวบง่ ปรมิ าณได้เพยี งสองรูปแบบน้เี ท่านั้น ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] ประโยคเปิดทม่ี ีสองตัวแปร เม่ือใช้ตวั บ่งปริมาณกจ็ ะมสี องตัวเชน่ กนั และการอ่านตอ้ ง คํานงึ ถึงลําดับก่อนหลงั ดังตัวอย่างน้ี ให้ P(x) แทน “x มากกวา่ 2” และ Q(x, y) แทน “x+y เปน็ จํานวนเฉพาะ” จะไดว้ ่า ∀x∃y [P(x) ∧ Q(x, y)] แทนประโยค “สาํ หรับ x ทกุ ตวั จะมี y บางตวั ที่ทาํ ให.้ .. x มากกวา่ 2 และ x+y เปน็ จํานวนเฉพาะ” ส่วน ∃y∀x [P(x) ∧ Q(x, y)] น้ัน แทนประโยค “สาํ หรับ y บางตัว จะมี x ทกุ ตัวท่ีทําให.้ .. x มากกว่า 2 และ x+y เปน็ จาํ นวนเฉพาะ” ซ่ึงสองประโยคน้คี นละความหมายกัน ไม่สามารถใชแ้ ทนกันได้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 68 ตรรกศาสตร การหานเิ สธของประโยคเปิดท่ีมีตัวบง่ ปรมิ าณ นอกจากจะใสน่ ิเสธทปี่ ระโยคเปิด (ภายใน เคร่อื งหมายวงเลบ็ ) แลว้ ยงั ต้องเปล่ียนตวั บง่ ปรมิ าณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เป็น ∀ ด้วย เชน่ นิเสธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คือ ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] แบบฝกึ หดั 3.4 (27) ให้ U = {−2, −1, 0, 1, 2} ขอ้ ใดเป็นจริง ก. ∀x [x เป็นจํานวนเตม็ และ x2 > 0] ข. ∃x [x3 > x2 และ x < x2] ค. ∀x [ ถา้ x เปน็ จํานวนเตม็ บวก แล้ว x เปน็ จํานวนเฉพาะ ] ง. ∃x [x เป็นจาํ นวนเฉพาะ และ x เป็นจํานวนค่ี ] (28) กําหนด P(x) แทน “x เป็นจาํ นวนอตรรกยะ”, Q(x) แทน “x เปน็ จํานวนตรรกยะ” ข้อใดมีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ ก. ∀x [P (x) → Q ( 2)] ข. ∃x [Q (x) → P (0.5)] ค. ∀x [P (x) ∨ ~ Q (π)] ง. ∃x [Q (x) ∧ ~ P (22/7)] (29) กาํ หนดประโยคเปิด P (x) , Q(x) ดงั นี้ P (x) = x > x2 , Q(x) = x เปน็ จาํ นวนเฉพาะ หรือ ตัวหารร่วมท่ีมากท่ีสดุ ของ 3 กบั x เป็น 1 ขอ้ ความใดถกู หรือผดิ บา้ ง ก. ∀x [P (x)] เป็นจรงิ เม่ือ U เปน็ ชว่ งเปิด (0, 1) ข. ∀x [Q (x)] เป็นเทจ็ เม่ือ U = {2, 3, −5, 8} (30) จงหาค่าความจรงิ ของ ∃x (x3+5x−1 < 4) ∧ ∀x ( x2−1 < 0 → x > −2) (31) ใหเ้ อกภพสัมพทั ธ์เป็นเซตของจาํ นวนนับ N ถามว่าประพจนต์ ่อไปนีม้ คี า่ ความจริงเป็นอย่างไร [∃x (x2− 1 เปน็ จํานวนนบั ) ∧ ∀x (x + 1 > 0)] → ∀x ⎛ 2 < 0 ⎞ ⎜⎝ x ⎟⎠ (32) จงหาค่าความจรงิ ของประโยคตอ่ ไปน้ี S ¨u´·è¼Õ i´º‹oÂ! S หากกําหนดเอกภพสมั พทั ธเ์ ปน็ U = {−1, 0, 1} 溺½ƒ¡Ë´a ¢oŒ 32.2 ¡aº 32.3 Çi¸¤Õ ´i äÁe‹ ËÁ×o¹¡¹a ¹a¤Ãaº (32.1) ∃x (x2 ≠ 1) → ∀x (x2 ≠ 1) e¾ÃÒa ËҌ Á¡Ãa¨Ò some e¢ŒÒä»ã¹ “æÅa” (32.2) ∃x (x+1 > 0) ∧ ∃x (x2 ≠ 1) ã¹¢oŒ 32.2 eÃÒ¤´i ¤‹Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§æ¡«ŒÒ·¹Õ Ö§ ¢ÇÒ·Õ¹§Ö æÅnj ¤o‹ ÂeoÒÁÒeª×èoÁ¡a¹´ŒÇ “æÅa” (32.3) ∃x (x+1 > 0 ∧ x2 ≠ 1) æµã‹ ¹¢oŒ 32.3 eÃÒµŒo§¤i´ã¹Ç§eÅçºÃÇ´e´ÂÕ Ç ËÁÒ¶§Ö Çҋ ¤‹Ò x ·èãÕ ªãŒ ¹Ç§eÅ纷§aé ˹ŒÒæÅaËŧa µŒo§e»š¹µÇa e´ÕÂÇ¡a¹... (32.4) ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) (32.5) ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) (33) จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคตอ่ ไปนี้ æÅa¢Œo 32.4 ¡ºa 32.5 ¡¤ç i´äÁ‹eËÁ×o¹¡¹a หากกําหนดเอกภพสมั พทั ธเ์ ปน็ U = {−1, 0, 1} e¾ÃÒaËҌ Á¡Ãa¨Ò all e¢ŒÒä»ã¹ “ËÃ×o” (33.1) ∃x∃y (x2+ y > 2) ÊÃu»Êi§è ·¡èÕ Ãa¨ÒÂ䴌oÕ¡¤Ã§éa ¹Ö§¹a¤Ãºa all ¤Ù‹¡aº “æÅa”, some ¤Ù‹¡ºa “ËÃ×o” (33.2) ∃x∀y (x2+ y > 2) (33.3) ∀x∃y (x2+ y > 2) (33.4) ∀x∀y (x2+ y > 2) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 69 ตรรกศาสตร (34) [Ent’21] จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคต่อไปนี้ หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์ = {−1, 0, 1} (34.1) ∀x∀y (x2− y = y2− x) (34.2) ∀x∃y (x2− y = y2− x) (34.3) ∃x∀y (x2− y = y2− x) (34.4) ∃x∃y (x2− y = y2− x) (34.5) ∃x∀y (x2− y ≠ y2− x) (35) จงหาคา่ ความจริงของ เมอ่ื U = {−2, 0, 2} (35.1) ∃x∀y (x − y ≠ y − x) เม่อื U = {−2, 2} (35.2) ∀x∃y (x + y = 0) (36) ประพจน์ ∀x∃y (xy = 1) ↔ ∃x∀y (xy = y) เปน็ จรงิ เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์เป็นเท่าใด ก. จํานวนเตม็ ข. จํานวนเตม็ บวก ค. จาํ นวนจรงิ ง. จาํ นวนจรงิ บวก (37) ใหเ้ อกภพสัมพัทธ์เป็นเซตจํานวนจริงบวก R+ ข้อใดมคี ่าความจริงเปน็ จรงิ ก. ∀x∀y [x + y > xy] ข. ∃x∃y [x + y < 0] ค. ∃x∀y [x < y] ง. ∀x∃y [y > x] (38) จงหานเิ สธของ (38.1) ∀x [P (x) → ~ Q (x)] (38.2) ∀x [P (x) → (Q (x) → R (x))] (38.3) ~ ⎣⎡∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)]⎤⎦ (38.4) ∃x∃y [(x + y = 5) → (x − y = 1)] (38.5) ∃x∃y [x > 0 ∧ y ≠ 0 ∧ xy < 0] (38.6) [Ent’39] ∃x∀y (xy > 0 → x < 0 ∨ y < 0) (38.7) ∃x∃y [(P (y) ∧ ~ R (x)) → (~ Q (x) ∨ ~ P (y))] (38.8) ∀x∃y∀z (x + y > z และ xy < z) (39) ขอ้ ความใดถกู หรือผิดบา้ ง ก. นิเสธของ ∀x [x + 5 = 0] ∧ ∃y [22 < π] คอื ∃x [x + 5 ≠ 0] ∨ ∀y [22 > π] yy ข. [Ent’38] นเิ สธของ ∃x [x < 6] → ∀x [x > 8] คือ ∀x [x > 6] ∧ ∃x [x < 8] 3.5 การให้เหตผุ ลแบบอปุ นัยและนริ นัย การให้เหตผุ ล (Reasoning) เป็นการกระทาํ เพ่ือหาขอ้ สรุปหรอื ขอ้ สนบั สนนุ ความเชือ่ ซ่ึงถือ เปน็ อกี กระบวนการทสี่ ําคัญในทางตรรกศาสตร์ การใหเ้ หตผุ ลมอี ยู่ 2 ลกั ษณะ ไดแ้ ก่ การใหเ้ หตุผล แบบอุปนัย และแบบนริ นัย การให้เหตผุ ลแบบอปุ นัย (ย่อย → ใหญ)่ การให้เหตุผลแบบอุปนยั (Inductive Reasoning) เป็นการใช้ความจริงจากสว่ นย่อยนาํ ไป สรุปความจริงของสว่ นรวม หรือกล่าวว่า เป็นการสรปุ ผลทัว่ ไปซง่ึ มาจากการสังเกตหรอื การทดลองใน Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 70 ตรรกศาสตร กรณยี อ่ ยๆ หลายคร้ัง ... เชน่ เราสงั เกตเหน็ ว่าในทกุ เช้าพระอาทติ ยข์ ึน้ ทางทศิ ตะวันออก ดงั น้ันเรา จงึ สรปุ แบบขยายผลว่าพระอาทิตยจ์ ะขึ้นทางทศิ ตะวนั ออกเสมอ, เราสังเกตเห็นว่าลายนว้ิ มือของหนึง่ พันคนมีลกั ษณะต่างกนั จงึ สรุปเอาแบบขยายผลวา่ คนทุกคนบนโลกมลี ายน้วิ มือไม่เหมือนกันเลย, เพอ่ื นบ้านทุกคนลว้ นบอกว่าหมอคนน้ีรกั ษาดีมาก เมื่อสมชายไมส่ บายจึงไปหาหมอคนน้ี เพราะสรุป เอาแบบอุปนัยวา่ ตนเองจะได้รับการรกั ษาใหห้ ายดีเช่นกัน • ตัวอยางการใหเ หตผุ ลแบบอุปนยั ในคณิตศาสตร 1. ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} เมือ่ สงั เกตลกั ษณะของสมาชกิ ทั้งหาตวั พบวาเกดิ จาก การบวกทีละ 2 เราจึงสรุปผลวา สมาชกิ ตวั ทีเ่ หลือที่ละไวค ือ 12, 14, 16, ... (จาํ นวนนบั คู) 2. จาก 1 = 1, ,1 + 3 = 4 ,1 + 3 + 5 = 9 ,1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 เราจงึ สรปุ ไดวา จาํ นวนนบั คี่ n จํานวนแรก มีผลบวกเทากับ n2 3. ลาํ ดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... สงั เกตไดว า ผลตางของแตล ะพจนต ิดกนั เปน 2, 4, 8, 16 ดงั นั้นพจนถ ดั ไปของลาํ ดับคือ 63 (เพราะผลตา งเทากับ 32) 4. จาก , , …11× 11 = 121 111× 111 = 12321 1111× 1111 = 1234321 จึงสรุปไดวา 11111× 11111 = 123454321 5. เมือ่ ยกตัวอยา งจํานวนนบั ทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั เชน 12 , 51, 96 , 117 , 258 , 543 , 2930 , 5022 , 7839 … พบวาผลบวกของเลขโดดเปน จาํ นวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั จงึ สรปุ วาถา ผลบวกของเลขโดดเปนจาํ นวนที่หารดวย 3 ลงตวั แลว จาํ นวนนบั นน้ั จะหารดวย 3 ลงตวั ขอ้ ควรระวังในการใหเ้ หตุผลแบบอุปนัยคือ ข้อสรุปที่ได้ไม่จาํ เป็นต้องถกู ตอ้ งทกุ ครงั้ เน่ืองจากเปน็ การสรุปผลเกนิ ขอบเขตทีเ่ ราพิจารณาออกไป สงิ่ ท่มี ีผลต่อความน่าเชอื่ ถอื ได้แก่ 1. จาํ นวนข้อมลู ที่มเี พียงพอหรือไม่ ... (ไม่ควรพิจารณาข้อมูลปริมาณนอ้ ยๆ แลว้ สรุปทนั ที) เช่น – สุ่มหยบิ ลกู บอลไดส้ แี ดงติดกนั 4 ครง้ั จึงสรปุ เอาวา่ บอลทกุ ลกู มีสีแดง ซง่ึ อาจผดิ ก็ได้ – สมมตฐิ าน (n+1)2 > 2(n−1) สําหรบั จํานวนนบั n ใดๆ พบวา่ เมอ่ื แทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ 4 > 1, 9 > 2, 16 > 4, 25 > 8 ซ่ึงล้วนเป็นจริง แต่ทแ่ี ทส้ มมตฐิ านน้ีจะเปน็ เท็จ เม่ือแทน n = 7, 8, 9, ... เป็นต้นไป – สมมติฐาน n2− n + 5 เปน็ จํานวนเฉพาะ สําหรบั จาํ นวนนับ n ใดๆ พบวา่ เมอ่ื แทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ n2 − n + 5 = 5, 7, 11, 17 ซ่งึ เปน็ จาํ นวนเฉพาะจริงๆ แต่เมื่อแทน n = 5 จะได้ n2− n + 5 = 25 ซง่ึ ไม่ใชจ่ ํานวนเฉพาะ 2. ขอ้ มลู ท่ีใช้นนั้ เป็นตวั แทนท่ีดีแล้วหรอื ไม่ ... (อาจมีข้อมลู ท่ีไม่ตรงกับข้อสรุปอยู่ แต่นกึ ไม่ ถงึ ) เชน่ สมุ่ ถามคน 100 คนในบรเิ วณสยามสแควร์ พบวา่ อายไุ มเ่ กนิ 22 ปีถึง 70 คน จงึ สรปุ เอา วา่ ในกรงุ เทพฯ มปี ระชากรวัยรุ่นจํานวนมากกว่าวัยทํางานอยเู่ ท่าตัว ซ่งึ อาจเปน็ ขอ้ สรุปท่ผี ิด 3. ข้อสรปุ ทต่ี ้องการมีความซบั ซ้อนเกินไปหรอื ไม่ ... (บางเรื่องสรปุ ได้ยาก โดยเฉพาะท่ี เกี่ยวกับความนกึ คดิ ของมนษุ ย์ เช่น ความเช่ือ ความพงึ พอใจ มักจะขึ้นกับเหตผุ ลตา่ งๆ กัน) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 71 ตรรกศาสตร การให้เหตผุ ลแบบนิรนยั (ใหญ่ → ย่อย) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) เปน็ การใช้ความจริงทเ่ี ป็นที่ยอมรับ โดยทัว่ ไป เพื่อนาํ ไปสู่ขอ้ สรปุ ย่อยใดๆ ... เชน่ เปน็ ความจริงทีว่ ่าจํานวนท่ีหารด้วย 2 ลงตวั เปน็ จํานวนคู่ และ 10 นน้ั หารด้วย 2 ลงตัว เราจงึ สรุปวา่ 10 เปน็ จํานวนคู่ • ตวั อยา งการใหเหตุผลแบบนริ นัย 1. เหตุ (1) นกั เรียนทุกคนตองทาํ การบา น ... (2) สดุ าเปน นกั เรียน ผล สดุ าตอ งทําการบา น 2. เหตุ (1) นกเทานั้นทีบ่ นิ ได ... (2) คนบินไมไ ด ผล คนไมใชน ก * 3. เหตุ (1) สัตวปกทกุ ตัวบนิ ได ... (2) แมวบางตัวเปน สตั วปก ผล แมวบางตัวบนิ ได * ขอ้ สรปุ นี้เปน็ ขอ้ สรุปที่ สมเหตุสมผล S ¨u´·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S (valid) แม้วา่ ผลจะขดั แยง้ กบั ความจริง ในโลกกต็ าม ¹oŒ §ºÒ§¤¹oҨʧÊÂa Ç‹Ò æÁǨaºi¹ä´Œä´ŒoÂҋ §äÃ.. ¡ÒÃãËeŒ ˵u¼Å溺¹iùÂa ¹é¹a eÃÒ¡Åҋ Çã¹Ãٻ溺¢o§ “¡ÒÃoҌ §e˵u¼Å” ขอ้ ควรระวงั ในการใหเ้ หตุผล (eËÁo× ¹ËaÇ¢oŒ 3.3) «èÖ§¤Ç÷íÒ¤ÇÒÁe¢ÒŒ ã¨Ç‹Ò ¡ÒÃÊÁe˵uÊÁ¼Å¹aé¹ แบบนริ นัยคือ ในบางครง้ั เม่อื เราใชค้ วาม äÁ‹ä´Œæ»ÅNjҼŨae»¹š ¨Ãi§·¹a ·Õ¹a¤Ãaº 测æ»ÅÇ‹Ò eÁèo× ã´·eèÕ Ëµ·u u¡¢oŒ รูส้ กึ เพียงผิวเผินตดั สิน อาจจะคิดวา่ การ e¡i´e»¹š ¨Ãi§¢é¹Ö ÁÒ ¼Å¨§Ö ¨ae»¹š ¨Ã§i µÒÁ´ŒÇ ... อา้ งเหตผุ ลนนั้ สมเหตสุ มผล ท้งั ทจี่ รงิ ๆ แล้วไม่ใช่ ... ยกตวั อย่างเชน่ eÇÅÒeÃÒµÃǨÊoºÇҋ ¡ÒÃãˌe˵u¼Å¹éÊÕ Áe˵Êu Á¼ÅËÃo× äÁ‹ ãËeŒ ÃÒ嫅 ¨Ò¡e˵u·èãÕ ËÁŒ Òe·‹Ò¹¹aé ˌÒÁeoÒ¤ÇÒÁ¨Ã§i ã¹oš仵´a Êi¹¹a¤Ãaº! 1. เหตุ (1) นกทกุ ตัวบินได้ ... (2) ยุงบินได้ ผล ยุงเปน็ นก (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมสี ิ่งอน่ื ที่ไม่ใชน่ ก แตบ่ นิ ได้) 2. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนไม่ใช่นก ผล คนบนิ ไมไ่ ด้ (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสง่ิ อื่นท่ไี มใ่ ชน่ ก แต่บนิ ได)้ 3. เหตุ (1) นักเรยี นบางคนเปน็ นกั กีฬา ... (2) นกั กฬี าบางคนแข็งแรง ผล นกั เรยี นบางคนแข็งแรง (ไม่สมเหตุสมผล เพราะนักกีฬาท่ีแข็งแรงอาจไมใ่ ชน่ ักเรยี นก็ได้) การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนยั สามารถทําได้อย่างรอบคอบ โดยใช้แผนภาพของเซต (แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์) ช่วยในการคดิ นก นก นก สงิ่ ทีบ่ นิ ได้ สงิ่ ทบ่ี ินได้ ส่งิ ทีบ่ นิ ได้ นกบางตวั บนิ ได้ นกทกุ ตวั บินได้ ไม่มีนกตวั ใดบนิ ได้ (หรอื นกบางตัวบินไมไ่ ด)้ (หรอื นกทกุ ตัวบินไม่ได้) หากในข้อความมกี ารระบถุ งึ สมาชิกของเซต (เชน่ สมชายบินได้) สมชาย จะเขยี นเปน็ จดุ อยภู่ ายในบริเวณเซตนนั้ ถ้าพบว่าแผนภาพเป็นไปตามที่สรปุ ได้เพียงแบบเดยี วเท่านน้ั สงิ่ ที่บินได้ จะถอื วา่ สมเหตสุ มผล แต่ถา้ เป็นแบบอนื่ ได้ด้วย จะถอื วา่ ไม่สมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 72 ตรรกศาสตร ดังนั้นในการตรวจสอบ เราจะต้องพยายามทําให้เหตุเปน็ จรงิ ทุกข้อแตผ่ ลสรุปเปน็ เท็จ (ถ้าทําได้ ก็ แสดงว่าไมส่ มเหตุสมผล ถ้าทําไม่ได้แสดงว่าสมเหตุสมผล) ตัวอย่างเชน่ นร.ชาย ผูล้ งแขง่ กฬี า 1. เหตุ (1) นักเรยี นชายทุกคนลงแขง่ กีฬา สมศกั ดิ์ (2) สมศักดิเ์ ป็นนกั เรียนชาย ผล สมศักดล์ิ งแขง่ กีฬา ... สมเหตสุ มผล 2. เหตุ (1) นักเรยี นชายทุกคนลงแข่งกีฬา นร.ชาย ผูล้ งแขง่ กฬี า (2) สมศรไี มไ่ ด้เปน็ นกั เรยี นชาย สมศรี ผล สมศรไี มไ่ ดล้ งแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตสุ มผล (เป็นไปได้ 2 แบบ) สมศรี 3. เหตุ (1) นกั เรียนชายทกุ คนลงแข่งกีฬา นร.ชาย ผู้ลงแข่งกฬี า (2) สมเสรจ็ ลงแข่งกฬี า สมเสร็จ ผล สมเสร็จเป็นนกั เรียนชาย ... ไม่สมเหตสุ มผล สมเสรจ็ 4. เหตุ (1) นักเรยี นชายบางคนลงแข่งกฬี า สมศักด์ิ (2) สมศักดเิ์ ป็นนักเรียนชาย สมศักด์ิ นร.ชาย ผูล้ งแข่งกฬี า ผล สมศกั ดลิ์ งแขง่ กีฬา ... ไมส่ มเหตุสมผล AB หมายเหตุ บางตาํ ราเขยี นแผนภาพในรปู ทัว่ ไป ดังรูปดา้ นล่างนี้ และใช้การแรเงาเพอ่ื บง่ บอก ว่าชนิ้ ส่วนน้นั ไม่มีสมาชกิ เลย AB C 2 เซต เช่น 3 เซต นก ส่ิงทีบ่ นิ ได้ หากมปี ระโยควา่ “เพนกวินเปน็ นก” ไม่มีนกตัวใดบินได้ จะต้องจดุ แทน “เพนกวนิ ” ลงในชอ่ ง “นก” ทางซ้ายเท่านั้น เน่ืองจากช่องกลางถูกแรเงาทึบไปแล้ว * แตบ่ างตํารากใ็ ชก้ ารแรเงาเพอื่ บง่ บอกวา่ ชิ้นส่วนนั้นต้องมีสมาชกิ อย่!ู แบบฝกึ หัด 3.5 (40) ใหบ้ อกค่าของ a ทีป่ รากฏในลาํ ดับต่อไปนี้ (40.5) 3, 1, −1, −3, a (40.1) −1, −3, −5, −7, a (40.2) 2, 7, 12, 17, a (40.6) 1 , 2 , 3 , 4 , a (40.3) 1, −2, 3, −4, a 2345 (40.7) 1, 4, 9, 16, a (40.4) 3, 6, 12, 24, a (40.8) 3, 3 3, 3 3 3, 3 3 3 3 , a (40.9) [พ้ืนฐานวศิ วะ ม.ี ค.47] 125, 726, a, 40328, 362889 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 73 ตรรกศาสตร (41) ใหห้ าสมการ 2 สมการ ต่อจากรูปแบบทีก่ าํ หนดให้ โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบอปุ นยั (และคาํ นวณหรือใชเ้ คร่อื งคํานวณ เพ่อื ตรวจสอบคาํ ตอบทไี่ ด)้ 37 × 3 = 111 11 × 11 = 121 (41.1) 37 × 6 = 222 (41.5) 11× 12 = 132 37 × 9 = 333 11 × 13 = 143 9 × 9 = 81 1089 × 1 = 1089 (41.2) 9 × 99 = 891 (41.6) 1089 × 2 = 2178 9 × 999 = 8991 1089 × 3 = 3267 1× 9 = 11 − 2 2 (3) = 3 (3 − 1) (41.3) 12 × 9 = 111 − 3 (41.7) 2 (3) + 2 (9) = 3 (9 − 1) 123 × 9 = 1111 − 4 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) = 3 (27 − 1) 9 × 9 + 7 = 88 3 × 4 = 2 (1 + 2 + 3) (41.4) 9 × 98 + 6 = 888 (41.8) 4 × 5 = 2 (1 + 2 + 3 + 4) 9 × 987 + 5 = 8888 5 × 6 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) (42) ให้ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอ้างเหตุผลต่อไปน้ี โดยอาศยั การใหเ้ หตผุ ลแบบนิรนัย ประกอบกับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ (42.1) เหตุ – คนบางคนวา่ ยนาํ้ ได้ (42.2) เหตุ – คนบางคนวา่ ยนาํ้ ได้ – สมชายเป็นคน – สมชายเป็นคน ผล สมชายว่ายน้าํ ได้ ผล สมชายว่ายน้าํ ไมไ่ ด้ (42.3) เหตุ – ไมม่ เี ดก็ ดคี นใดคุยในเวลาเรียน – นักเรียนห้องนที้ ุกคนเป็นเดก็ ดี ผล ไมม่ นี ักเรยี นคนใดในหอ้ งนคี้ ุยในเวลาเรียน (42.4) เหตุ – นกั เรียนบางคนทาํ การบา้ นไม่เสร็จ – นกั เรียนบางคนชอบเล่นฟุตบอล ผล นกั เรยี นทเ่ี ล่นฟุตบอลบางคนทําการบ้านไมเ่ สร็จ (42.5) เหตุ – วนั นฉ้ี ันเงนิ หมด – ไม่มใี ครทีเ่ งินหมดแล้วโดยสารรถเมลไ์ ด้ ผล วนั นฉ้ี นั ไม่สามารถโดยสารรถเมลไ์ ด้ (42.6) เหตุ – ไมม่ ีสตั ว์นํ้าตัวใดบนิ ได้ (42.12) เหตุ – ไมใ่ ชป่ ลาทุกตวั ทมี่ สี องตา – นกแก้วเปน็ สตั วน์ าํ้ – ก้งุ ไมไ่ ดเ้ ป็นปลา ผล นกแก้วบนิ ไมไ่ ด้ ผล กงุ้ มีสองตา (42.7) เหตุ – คนที่มคี วามสขุ ทกุ คนยิ้มแย้ม (42.13) เหตุ – ไมม่ ชี ่างคนใดที่ขยนั – ฉนั ย้ิมแยม้ – สมนึกเป็นช่าง ผล ฉันมีความสขุ ผล สมนกึ ไมข่ ยัน (42.8) เหตุ – นกั เรยี นทกุ คนสวมแวน่ ตา (42.14) เหตุ – ไมม่ ชี ่างคนใดทข่ี ยนั – ผู้ร้ายบางคนสวมแวน่ ตา – สมนกึ ไม่ขยนั ผล นกั เรียนบางคนเปน็ ผ้รู า้ ย ผล สมนึกเปน็ ชา่ ง Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 74 ตรรกศาสตร (42.9) เหตุ – ไมม่ ีนางแบบคนใดเป็นผ้ชู าย (42.15) เหตุ – สตั วท์ ุกตัวต้องหายใจ – พระเอกหนังทุกคนเป็นผูช้ าย – สนุ ัขทุกตัวตอ้ งหายใจ ผล ไมม่ นี างแบบคนใดเปน็ พระเอกหนัง ผล สุนัขทกุ ตวั เปน็ สัตว์ (42.10) เหตุ – สง่ิ มีชวี ติ ทุกชนิดตอ้ งกินอาหาร (42.16) เหตุ – แอปเปลิ้ ไมม่ พี ษิ – สัตวท์ กุ ตวั เป็นสงิ่ มชี ีวติ – องนุ่ ไมม่ ีพษิ ผล คนทุกคนต้องกนิ อาหาร ผล ผลไม้ทท่ี านไดไ้ ม่มพี ิษ (42.11) เหตุ – ครบู างคนชอบดื่มกาแฟ (42.17) เหตุ – นกทุกตัวมีปกี – ผู้ชายทั้งหมดชอบด่ืมกาแฟ – สัตวท์ ีม่ ีปกี บางตวั บนิ ได้ – เพนกวินเป็นนก ผล ครูบางคนเป็นผูช้ าย ผล เพนกวนิ บินได้ เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1) p | F | p | F (21) → หรอื ↔ (40.1) –9 (40.2) 22 (40.3) 5 (40.4) 48 (40.5) –5 หรือ 3 T |p |p | T (22) สมเหตุสมผลทง้ั สองขอ้ (40.6) 5/6 (40.7) 25 (23) ไมส่ มเหตสุ มผลทง้ั สองข้อ p | T | T |~ p | T |~ p (24.1) s → r (24.2) r (40.8) 3 3 3 3 3 (40.9) 5047 p |~ p | T | F (25) ฉนั ไมข่ ยนั (26) ก. (41.1) ,37 × 12 = 444 37 × 15 = 555 (2) ขอ้ 2.6 ถงึ 2.10 เทจ็ (27) ข. (28) ก. (41.2) 9 × 9999 = 89991, นอกนน้ั จรงิ (29) ก. ถกู ข. ผดิ (3) ข้อ 3.5, 3.7, 3.9, (30) จริง (31) เท็จ 9 × 99999 = 899991 3.12 เท็จ นอกนน้ั จรงิ (32) ข้อ 32.1, 32.4 เปน็ เทจ็ (3.11) T, T, F นอกนน้ั จรงิ (41.3) 1234 × 9 ,= 11111 − 5 (4) ก. ถกู ข. ถกู (33) ขอ้ 33.1 จริง นอกนน้ั เทจ็ (5) ถกู ทุกขอ้ 12345 × 9 = 111111 − 6 (6) ก. ผดิ ข. ถกู (7) ก.(p ∧ q) ∨(~ r ∧ ~ s) (41.4) ,9 × 9876 + 4 = 88888 ข. p ∧ ~ q ∧ r (34) ข้อ 34.2, 34.4 จริง 9 × 98765 + 3 = 888888 นอกน้นั เทจ็ (35.1) เทจ็ (8) ง. (9) ค. (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 (10.1) ข. (10.2) ง. (10.3) ก. (11) ค. (35.2) จริง (36) ง. (37) ง. (41.6) 1089 × 4 = 4356 , (12) สมมูลกันทกุ ขอ้ (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 1089 × 5 = 5445 (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] (41.7) 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] ,+ 2 (81) = 3 (81 − 1) (13) ถกู ทุกขอ้ (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) + 2 (243) = 3 (243 − 1) (14.1) ก. (14.2) ก. (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + (15) 3:5 (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] ,4 + 5 + 6) 7 × 8 = 2 (1 + (16 ถึง 19) เปน็ ทุกขอ้ ยกเวน้ (38.8) y < xy > z) 16.1, 16.2, 17.2, 17.7, 19.1 (39) ก. ∃x∀y∃z (x + z หรือ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) (20) ข. และ ค. เปน็ จริง ถูก ข. ผิด (42) ขอ้ ทส่ี มเหตุสมผลได้แก่ (42.3), (42.5), (42.6), (42.9), (42.13) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 75 ตรรกศาสตร เฉลยแบบฝึกหัด (วิธคี ดิ ) (1) ก. เคร่อื งหมาย “และ” (3.1) (....) → (p → q) ≡ T T T ∧ p ≡ p ... จรงิ “และ” อะไร กจ็ ะไดต้ ามตัวนนั้ T (หมายความว่า T ∧ T ≡ T, T ∧ F ≡ F ) (3.2) (....) → (p → q) ≡ T F ∧ p ≡ F ... เทจ็ “และ” อะไร จะได้เทจ็ เสมอ F. T p ∧ p ≡ p ... เหมอื นกันเชอ่ื มดว้ ย “และ” ได้ตัวเดมิ (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (....) ≡ T p ∧ ~ p ≡ F ... ตรงขา้ มกนั เชอ่ื มด้วย “และ” จะได้ T (3.4) r → q ≡ T โดย r เปน็ จรงิ เท็จเสมอ (เพราะต้องมตี ัวใดตวั หนึง่ เปน็ เทจ็ ) แสดงว่า q เปน็ จรงิ ดว้ ย ข. เครอื่ งหมาย “หรอื ” (วิธีคดิ ลกั ษณะเดยี วกับ “และ”) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) ≡ T T ∨ p ≡ T, F ∨ p ≡ p, p ∨ p ≡ p, p ∨ ~ p ≡ T TT T T ค. เครอื่ งหมายถา้ -แลว้ (3.5) p ≡ T, q ≡ F, r ≡ T ดงั นัน้ T → p ≡ p, F → p ≡ T, p → T ≡ T, p → F ≡ ~ p (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) ≡ F (เพราะ T → F ≡ F, F → F ≡ T ) TT F p → p ≡ T, p → ~ p ≡ ~ p (3.6) n ≡ F ดังนนั้ n → [....] ≡ T ง. เครอ่ื งหมาย “กต็ ่อเมอ่ื ” (3.7) q ≡ F ดงั นนั้ (....) ∧ q ≡ F T ↔ p ≡ p, F ↔ p ≡ ~ p, (3.8) q ≡ F, s ≡ F, r ≡ T, p ≡ F ดงั นนั้ p ↔ p ≡ T, p ↔ ~ p ≡ F (q ∨ p) → (....) ≡ T (หมายเหตุ ขอ้ 1 น้ีจะทาํ ไดก้ ็เมอ่ื คุน้ เคยลกั ษณะของ F ตัวเชอื่ มท้งั สีแ่ ล้ว) (3.9) p ∨ r ≡ T, q ∨ s ≡ F (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) ≡ T (แสดงวา่ q ≡ F, s ≡ F ) TT (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [.....] ≡ T p → q ≡ T แสดงวา่ p ≡ F ดังนน้ั r ≡ T และจะได้ r → s ≡ T → F ≡ F T (3.10) p → q ≡ F แสดงวา่ p ≡ T, q ≡ F (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → [.....] ≡ T ดงั นน้ั (....) → ~ q ≡ T FF T (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s ≡ T (3.11) p ∧ q ≡ T แสดงวา่ T (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ r ≡ T p ≡ T, q ≡ T p → r ≡ F แสดงวา่ r ≡ F T TT (3.12) p ≡ T, p ↔ ~ r ≡ T แสดงวา่ r ≡ F (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] ≡ F (3.13) และ (3.14) ไมบ่ อกคา่ ของ p, q, r, s มา F T F FT เลย แสดงวา่ นา่ จะเปน็ สจั นริ นั ดร์ (คอื เปน็ จรงิ ทกุ (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ .....] ≡ F กรณี ไมว่ า่ p, q, r, s จะเป็นอยา่ งไร) T F. ซงึ่ ตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นสจั นิรนั ดรจ์ รงิ ๆ จงึ ตอบวา่ TF เป็นจรงิ ทง้ั สองขอ้ ... วิธตี รวจสอบเปน็ ดังน้ี (3.13) พยายามทาํ ใหเ้ ปน็ เทจ็ แสดงวา่ (2.8) (p ∧ q) ∧ ~ r ∧ [... ∧ ...] ≡ F ก้อนหนา้ ต้องเปน็ จรงิ กอ้ นหลงั ตอ้ งเปน็ เทจ็ F (เนื่องจากเช่อื มดว้ ย “ถ้า-แลว้ ”) (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [.....] ≡ F ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) F T F TFF (2.10) [q → (....)] → [p → (q ∧ ~ r)] ≡ F ซง่ึ ถ้ากอ้ นหลงั เปน็ เทจ็ แปลวา่ p จะตอ้ งเปน็ จรงิ F TF . เท่าน้ัน และ q จะต้องเปน็ เท็จเทา่ น้ัน ... เอาคา่ ความ TF จริงของ p กบั q ไปใส่ในก้อนหนา้ พบวา่ ก้อนหนา้ (2.11) [(~ p → ....) ∧ (~ r → ....)] ∨ [.....] ≡ T TT Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 76 ตรรกศาสตร ไม่ได้เป็นจรงิ ... นัน่ คอื เราพยายามทาํ ใหป้ ระโยคน้ี (9) ก. ~ (~ p ∧ ~ q) คอื p ∧ q ... สมมลู เป็นเทจ็ แต่ไมม่ วี ิธใี ดท่ีทาํ ได้ ขอ้ น้ีจึงเป็นสจั นิรนั ดร์ ข. (~ p ∨ q) กับ (q ∨ ~ p) ... สมมลู (3.14) ใช้วธิ ีเดยี วกบั ข้อท่แี ลว้ คอื พยายามทาํ ใหก้ อ้ น ค. p ∨ (~ q ∨ p) ≡ ~ q ∨ p เทียบกบั q ∨ p ... หนา้ จรงิ กอ้ นหลงั เท็จ (เพราะเชอ่ื มดว้ ย “ถ้า-แลว้ ”) ไม่สมมลู ⎡⎣[p ∨ ~ (r ∧ s)] ∧ ~ p⎦⎤ → (~ r ∨~ s) ง. สมมลู ตามกฎการกระจาย ↔ ตอบ ค. (10.1) ข. ถูก เพราะ ข. คอื (p → q) ∧ (q → p) T F T F T (10.2) {[(q ∧ ~ t) ∧ (p ∨ ~ p)] ∨ ~ q} → r ซงึ่ ถา้ กอ้ นหลงั เปน็ เทจ็ แปลวา่ r กบั s จะตอ้ งเปน็ T จริงท้ังค่เู ทา่ นน้ั ... เอาคา่ ความจรงิ ของ r กับ s ไปใส่ ก้อนหนา้ พบวา่ เหลอื เพยี ง [p ∧ ~ p] ซึ่งจะเป็นเท็จ ≡ [(q ∧ ~ t) ∨ ~ q] → r ≡ [(q ∨ ~ q) ∧ (~ t ∨ ~ q)] → r เสมอ ไมม่ ีทางเปน็ จรงิ ได้ ... สรปุ วา่ เราไม่มที างทําให้ ข้อ ง. ขอ้ นเ้ี ป็นเทจ็ ได้ ขอ้ นจี้ งึ เป็นสัจนริ นั ดร์ T (4) s → r ≡ F แสดงวา่ s ≡ T, r ≡ F ≡ (~ t ∨ ~ q) → r ≡ (t ∧ q) ∨ r p ∨ r ≡ T แสดงวา่ p ≡ T (10.3) [(q ∨ r) ∧ (q ∨ ~ r)] ∧ [(p ∧ s) ∨ (p ∧ ~ s) ] p → q ≡ T แสดงวา่ q ≡ T ≡ [q ∨ (r ∧ ~ r) ∧ (p ∧ (s ∨ ~ s)] ≡ q ∧ p ก. [(....) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) ≡ F ถูก FT ขอ้ ก. FF ข. [....] → (~ r ∧ s) ≡ T ถกู (11) ข้อ ข. กบั ง. ไม่ใชแ่ นน่ อน เพราะกลายเป็น T ab > 0, a < 0, b < 0 ซึ่งไม่เก่ยี วขอ้ งกบั โจทย์ ... (5) p ↔ q ≡ T แสดงว่า p ≡ q r ∨ ~ s ≡ F แสดงวา่ r ≡ F, s ≡ T ดังนน้ั พิจารณาเฉพาะ ก. กับ ค. โจทย์ (p ∧ q) → r ดงั นนั้ [(~ p ∧ r) → ....] ≡ T ก. (~ p ∨ ~ q) → ~ r ผิด F ค. ~ r → (~ p ∨ ~ q) ถกู พจิ ารณา ก. ~ (....) → ~Tr ≡ T ถกู (12) ก. p → (q ∨ r) ข. (~ q ∧ ~ r) → ~ p ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ≡ T ถกู ค. ~ p ∨ q ∨ r ขอ้ ก. และ ข. กระจายแลว้ จะ FF เหมือนขอ้ ค. ดงั น้ันสมมลู กนั หมดทุกขอ้ ค. (s → r) ∨ (p → q) ≡ T ถูก (13) ก. ~ (p ∧ ~ r) ∨ ~ q ≡ ~ p ∨ r ∨ ~ q T ≡ q → (r ∨ ~ p) ถกู (6) p ≡ q , r ≡ ~ s ดงั นนั้ ข. p → (q → r) ≡ ~ p ∨ (~ q ∨ r) ก. [.... ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [.... ∨ (~ r ∨ ~ s)] ≡ T และ q → (p → r) ≡ ~ q ∨ ( ~ p ∨ r) ถกู ค. (p ∧ q) → r ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ r และ TT (p → ~ q) ∨ (p → r) ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ p ∨ r ถูก ดังนนั้ ก. ผดิ ข. [....] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] ≡ T ถูก (14.1) ลองทาํ ตารางคา่ ความจรงิ TT (7) ก. ~ [(~ p ∨ ~ q) ∧ (r ∨ s)] ≡ p q p*p q*q (p*p)*(q*q) TT F F T (p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s) TF F T F FT T F F ข. ~ [~ (p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ≡ (p ∧ ~ q) ∧ r FF T T F (8) ให้ p แทน “เดชาขยนั ”, q แทน “เดชาทํา การบา้ นสมาํ่ เสมอ”, r แทน “เดชาสอบผ่าน” พบวา่ ผลลพั ธท์ ไี่ ด้น้เี หมือนกับ p ∧ q จงึ ตอบ ก. ดังนน้ั โจทยบ์ อกว่า (p ∧ q) → r เปน็ เทจ็ (14.2) จากตารางในโจทย์ มี F*F เทา่ นน้ั ทีใ่ ห้ผล แสดงวา่ p ≡ q ≡ T, r ≡ F เปน็ จริง คลา้ ยๆ ตัวเชอื่ ม “หรอื ” ... แตผ่ ลตรงกนั ก. p ∧ ~ q ≡ F ข. ~ p ∧ q ≡ F ขา้ ม (ตวั เชอ่ื ม “หรอื ” จะไดผ้ ลเปน็ T,T,T,F ค. ~ r → ~ q ≡ F ง. p ↔ ~ r ≡ T ตอบ ง. ตามลาํ ดบั ) ดังนนั้ p ∗ q ≡ ~(p ∨ q) ... ตอบข้อ ก. เพราะ ~ (~ p → q) ≡ ~ (p ∨ q) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 77 ตรรกศาสตร (15) ทําตารางคา่ ความจริงเพอื่ นบั จํานวนกรณี (17.2) (~ p ∧ q) ∨ p ≡ (~ p ∨ p) ∧ (q ∨ p) p q r q*r p*(q*r) T TT T F F ≡ q ∨ p ดังนัน้ ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์ TT F F F (17.3) (p ∨ q) ∧ ~ p ≡ (p ∧ ~ p) ∨ (q ∧ ~ p) TF T F F F TF F T F FT T F T ≡ q ∧ ~ p ดงั นน้ั เปน็ สจั นิรันดร์ FT F F T (17.4) (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) FF T F T ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p) ดงั นัน้ เป็นสจั นริ นั ดร์ FF F T F (17.5) (p ∧ q) → (p ∨ q) ≡ ~ (p ∨ q) → ~ (p ∧ q) คาํ ตอบคอื จริง:เทจ็ เทา่ กับ 3:5 ≡ (~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q) เป็นสจั นริ นั ดร์ (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] T T T F T TF F (17.6) ~ p ∨ (q ∧ r) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ทาํ เปน็ เทจ็ ได้ แสดงว่าไมเ่ ปน็ สจั นริ ันดร์ ≡ (p → q) ∧ (p → r) เป็นสัจนริ นั ดร์ (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] (17.7) ซ้ายมอื ~ p ∨ ~ q ∨ r T T T F T TF F ทาํ เปน็ เทจ็ ได้ แสดงว่าไม่เปน็ สจั นริ ันดร์ ขวามอื ~ (~ p ∨ q) ∨ r ≡ (p ∧ ~ q) ∨ r (16.3) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) ดงั นน้ั ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์ (17.8) ขอ้ น้แี จกแจงยาก ใช้วิธีพจิ ารณาความสมมลู แตล่ ะกรณดี กี วา่ TT T FT F F FF p q r ซา้ ย ขวา T ทาํ เป็นเทจ็ ไม่ได้ เพราะคา่ q ขัดแย้งกนั TT T T T TT F F F แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ TF T F F TF F T T (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] FT T F F TT T T TT F T TF F FT F T T ทาํ เปน็ เท็จไม่ได้ เพราะคา่ r ขดั แย้งกนั FF T T T FF F F F แสดงว่า เปน็ สจั นิรนั ดร์ ซา้ ยกบั ขวามคี า่ ตรงกันเสมอ ดงั นนั้ เปน็ สจั นริ ันดร์ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] TF F FFFF T FF F T F F นําคา่ p และ q เป็นเทจ็ ไปใสด่ า้ นหน้า จะลดรปู FF F หายไปเหลือเพียง r → r ซึง่ พบวา่ เปน็ จรงิ เสมอ ไมม่ ี ทาํ เปน็ เทจ็ ไมไ่ ด้ เพราะคา่ p กบั q ตอ้ งเปน็ เทจ็ ทางทาํ ใหด้ า้ นหนา้ เปน็ เทจ็ ได้เลย ดังนนั้ ขอ้ นี้ เทา่ นน้ั ทาํ ให้ p ∨ q เปน็ จรงิ ไม่ได้ เปน็ สจั นริ นั ดร์ แสดงวา่ เป็นสจั นิรนั ดร์ (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) F F T F F T F T TT F F FF F TF T T FF ทําเปน็ เท็จไม่ได้ เพราะคา่ q ขดั แย้งกัน ทาํ เปน็ เท็จไมไ่ ด้ เพราะคา่ p ขัดแยง้ กัน, q กข็ ัดแยง้ แสดงว่า เปน็ สจั นิรันดร์ กัน ... แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ (19.1) (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) ≡ F → F ≡ T (16.7) ⎣⎡[(p ∧ q) → r] ∧ (p → q)⎦⎤ → (p → r) เสมอ (เปน็ สจั นริ นั ดร์) ดังน้ัน นเิ สธของประพจนน์ ี้ T F TF TT T F T F F ไม่เป็นสจั นิรนั ดร์ (แตจ่ ะเป็นเทจ็ ทกุ กรณี) ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะคา่ q ขดั แย้งกัน (19.2) [p ∧ T] ↔ [~ p ∨ F] ≡ p ↔ ~ p ≡ F แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ เสมอ ดังน้ัน นิเสธของประพจนน์ ้ี เปน็ สจั นริ นั ดร์ (17.1) ~ (p → ~ q) ≡ ~ (~ p ∨ ~ q) ≡ p ∧ q ดังนน้ั เปน็ สัจนริ นั ดร์ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 78 ตรรกศาสตร (19.3) เนอื่ งจาก p ↔ q สมมลู กบั ~ p ↔ ~ q (23.2) วธิ ีคดิ 2. r ∨ s ดงั นน้ั ~ (p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) ≡ ~ , ∧ , ≡ F 1. p → ~ q 4. ~ s 2. r ∨ s เสมอ ... นิเสธของประพจน์นจ้ี ึงเปน็ สจั นริ นั ดร์ 3. r → q r 4. ~ s 3. r → q (20) p, q, r เปน็ ประพจน์ใดๆ รปู แบบทจ่ี ะเปน็ จรงิ ผล p q เสมอกค็ ือ “สัจนริ นั ดร”์ นั่นเอง 1. p → ~ q ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ~p F TT F FF T ทาํ เปน็ เทจ็ ได้ แสดงว่าไม่เปน็ สจั นริ นั ดร์ ไม่สมเหตุสมผล (24.1) ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) เนอื่ งจากซา้ ยกบั ขวา 1. p → (q → r) ≡ q → (p → r) สมมูลกนั จึงเปน็ สจั นริ นั ดร์ 3. q ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) p→r F 2. s → p TF F FF T F F ผล s → r ทําเป็นเทจ็ ไมไ่ ด้ เพราะคา่ r ขดั แยง้ กนั (24.2) แสดงว่า เปน็ สจั นริ นั ดร์ 1. ~ p → q 2. q → ~ r ง. จากด้านซา้ ย (~ p ∨ r) ∧ (~ q ∨ r) ~p → ~r ≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ r ≡ (p ∨ q) → r ≡ r→p ไมเ่ หมอื นดา้ นขวา ดงั นน้ั ไม่เปน็ สัจนริ ันดร์ จ. จากด้านซา้ ย (~ p ∨ q) ∨ (~ p ∨ r) 3. ≡ ~ p ∨ (q ∨ r) ≡ p → (q ∨ r) ผล p แสดงวา่ 3. คอื r ไม่เหมอื นดา้ นขวา ดงั นน้ั ไมเ่ ปน็ สจั นริ ันดร์ (25) ∴ ตอบวา่ ฉนั ไมข่ ยนั สรุปวา่ ข้อ ข. และ ค. ทเี่ ปน็ จรงิ (21) เนือ่ งจากซา้ ยและขวาสมมลู กัน ดังนนั้ 1. p → ~ q เครือ่ งหมายท่ีใชไ้ ดค้ ือ → กับ ↔ 2. q (22.1) 1. p → q ผล ~ p 2. q → s (26) วธิ ีคดิ 1. p → q p→s 3. ~ s 1. p → q 4. ~ q 2. ~ p → r ~p ~p 3. s → ~ r 4. ~ q 2. ~ p → r สมเหตสุ มผล r (22.2) p → (r ∨ s) ผล ? 3. s → ~ r ~p∨r∨s สมเหตุสมผล ผล ~ s (23.1) แปลงจากประโยคคาํ พูด ดังนนั้ ตอ้ งตอบวา่ ~ s เปน็ จรงิ แต่ในตวั เลอื กเปน็ ดังน้ี ใหเ้ ปน็ สญั ลกั ษณไ์ ด้ว่า วิธคี ดิ 1. p → q ก. ~ s ∨ p ขอ้ ท่ใี ช้ได้คอื ก. (เพราะเชอ่ื มดว้ ย ∨ ) ข. s ∧ p เหตุ 1. p → q ค. ~ r ∧ ~ s ใช้ไมไ่ ด้ เพราะเชอื่ มด้วย ∧ ซงึ่ เรา 2. (p ∧ q) → r 4. p ทราบวา่ ~ r เปน็ เทจ็ (เพราะในเหตนุ ้ัน r เปน็ จรงิ ) 3. ~ (s ∧ r) ได้ q ง. p ∧ ~ q 4. p 2. (p ∧ q) → r (27) ก. เทจ็ เพราะมี x ท่ี x2 > 0 คอื เม่อื x = 0 ผล s ได้ r ข. จริง เชน่ x = 2 จะได้ 8 > 4, 2 < 4 3. ~ s ∨ ~ r ค. เทจ็ เพราะถา้ x = 1 จะไมเ่ ปน็ จาํ นวนเฉพาะ ง. เทจ็ เพราะไมม่ ี x ใด ตรงตามเง่อื นไขเลย ≡ r→~s ไมส่ มเหตสุ มผล ได้ ~ s Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 79 ตรรกศาสตร (28) ก. “สําหรบั ทุกๆ x ถ้า x เปน็ จาํ นวนอตรรก (32.5) ∀x(x2 > 0 หรอื x = 0) จริง (ไมว่ า่ ยะแล้ว 2 เปน็ จาํ นวนตรรกยะ” x = −1, 0, 1 กจ็ ะจรงิ อันใดอนั หน่งึ เสมอ) T ... เทจ็ (เช่น x = 3 ) (33.1) มี x บางตวั และ y บางตวั ท่ีทาํ ให้ ข. “มีบาง x ซ่งึ ...ถา้ x เป็นจํานวนตรรกยะแลว้ x2 + y > 2 จรงิ เช่น x = 1, y = 1 0.5 เป็นจํานวนอตรรกยะ” ... จรงิ (เช่น x = 2 จะได้ F → F เปน็ T ) (33.2) มี x บางตัว ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ ค. “สําหรับทกุ ๆ x ... x เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ หรอื เขน่ x = −1 → y = 0 ไมไ่ ด้ π ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ” x = 0 → y = 0 ไม่ได้ ... จรงิ เพราะ π ไม่เปน็ จาํ นวนตรรกยะ จริงเสมอ x = 1 → y = 0 ไม่ได้ (, ∨ T ≡ T) (33.3) x ทุกตวั ใช้ y ไดบ้ างตัว เท็จ เช่น x = 0 จะใช้ y ไม่ได้เลย ง. “มบี าง x ซึ่ง... x เปน็ จาํ นวนตรรกยะ และ (33.4) x ทุกตัว y ทกุ ตัว เทจ็ แนน่ อน เช่น x = 0, y = 0 กไ็ มไ่ ด้แลว้ 22 ไม่เปน็ จํานวนอตรรกยะ” 7 ... จรงิ เพราะ 22 ไมเ่ ป็นจาํ นวนอตรรกยะ จรงิ (34.1) เท็จ เชน่ x = 1, y = −1 จะไดว้ า่ 2 ≠ 0 7 (34.2) ทกุ ๆ x จะใช้ y ไดบ้ างตัว จรงิ เชน่ เสมอ และลองแทนดา้ นหนา้ ให้จรงิ ดว้ ย เชน่ x = 1 x = 0, y = 0 x = 0, y = 1 x = − 1, y = − 1 หมายเหตุ ∀x พสิ จู น์ใหเ้ ทจ็ งา่ ย (34.3) บาง x ใช้ y ไดท้ ุกตัว เทจ็ ∃x พสิ จู น์ใหจ้ ริงงา่ ย เช่น x = −1 ใช้ y = 1 ไม่ได้ (29) ก. “สาํ หรบั ทุก x ... x > x2 ” x = 0 ใช้ y = 1 ไม่ได้ ใน U = (0, 1)... จรงิ x = 1 ใช้ y = −1 ไมไ่ ด้ (34.4) บาง x บาง y จรงิ ข. “สาํ หรบั ทกุ x ... x เป็นจาํ นวนเฉพาะ หรอื (34.5) บาง x ใช้ y ไดท้ ุกตวั เทจ็ เชน่ x = 0, y = 0 ไม่ได้ x = 1, y = 1 ไม่ได้ ห.ร.ม. ของ 3 กับ x เปน็ 1 ” ... จริง เพราะ 2, 3, −5 เปน็ จํานวนเฉพาะ, และ 8 มี ห.ร.ม. กบั x = −1, y = −1 กไ็ ม่ได้ 3 เป็น 1 ดงั นนั้ ก. ถกู ข.ผดิ (30) ∃x (x3 + 5x − 1 < 4) เปน็ จรงิ เชน่ x = −1 (35.1) บาง x ใช้ y ไดท้ ุกตัว เทจ็ จะได้ −7 < 4 จรงิ ( y = x ไมไ่ ด)้ ∀x(|x2 − 1|< 0 → x > − 2) เป็นจริง (35.2) x ทกุ ตวั ใช้ y ไดบ้ างตัว จริง เพราะสว่ นท่ีขีดเส้นใตเ้ ปน็ เทจ็ เสมอ คอื x = 2, y = −2 ได,้ x = −2, y = 2 ได้ และ F → , ≡ T สรุปขอ้ นต้ี อบ T ∧ T ≡ T (36) ก. ∀x∃y(xy = 1) เทจ็ เช่น x = 2 จะไมม่ ี y ∈ I ที่ใชไ้ ด้เลย (31) ∃x(x2 − 1 เปน็ จาํ นวนนบั ) จริง เชน่ x = 2 ∃x∀y(xy = y) จรงิ ถ้า x = 1 จะได้วา่ xy = y เสมอทุกๆ y จะได้ 22 − 1 = 3 เปน็ จาํ นวนนับ ∀x(x + 1 > 0) จริง (จาํ นวนนบั ใดๆ + 1 ย่อม ดังนน้ั สรุปขอ้ น้ี F ↔ T ≡ F ข. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ ∃x∀y(xy = y) จริง มากกวา่ 0 ) (เหตุผลเดยี วกบั ข้อ ก.) ขอ้ นจี้ ึงได้ F ↔ T ≡ F ∀x(2 < 0) เทจ็ เชน่ x = 1 จะได้ 2 < 0 ค. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ เชน่ x = 0 จะไม่มี x1 y ∈ R ทีใ่ ชไ้ ด้เลย ดงั นน้ั ขอ้ นี้ตอบ (T ∧ T) → F ≡ F (32.1) ∃x(x2 ≠ 1) จรงิ เชน่ x = 0 , ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตุผลเดมิ ) ∀x(x2 ≠ 1) เทจ็ เชน่ x = 1 , ดงั นน้ั T → F ≡ F (32.2) ∃x(x + 1 > 0) จรงิ เชน่ x = 0 ดงั นน้ั ขอ้ น้ี F ↔ T ≡ F ∃x(x2 ≠ 1) จรงิ ดังน้นั T ∧ T ≡ T ง. ∀x∃y(xy = 1) จริง ไมว่ า่ x ∈ R+ ใด (32.3) ∃x(x + 1 > 0 และ x2 ≠ 1) จรงิ จะมี y ∈ R+ ใช้ได้เสมอ ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตผุ ลเดมิ ) เช่น x = 0 ดงั นน้ั T ดงั นนั้ ขอ้ นี้ T ↔ T ≡ T ... ตอบ ง. (32.4) ∀x(x2 > 0) เทจ็ เชน่ x = 0 ∀x(x = 0) เทจ็ เชน่ x = 1 ดังนนั้ F ∨ F ≡ F Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 80 ตรรกศาสตร (37) ก. เท็จ เชน่ x = 10, y = 5 จะได้ 15 > 50 (41.4) 9 × 9876 + 4 = 88888 , ข. เทจ็ ไม่มี x, y ใดเลย ทีบ่ วกกนั แลว้ < 0 ได้ 9 × 98765 + 3 = 888888 ค. เทจ็ ไม่มี x ใด ทีใ่ ช้ y ไดท้ กุ ตวั (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 (ไม่วา่ x ใด เราจะหา y ที่ > x ไดเ้ สมอ) (41.6) 1089 × 4 = 4356 , ง. จรงิ ทุกๆ x จะมีบาง y ซึง่ y > x เสมอ 1089 × 5 = 5445 ดังนนั้ ตอบ ง. (41.7) ,2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) = 3 (81 − 1) (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) + 2 (243) = 3 (243 − 1) (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) , (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] 7 × 8 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] (42.1,42.2) (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] สมชาย (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) สมชาย (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] คน ส่งิ ทีว่ า่ ยน้ําได้ (38.8) ∃x∀y∃z (x + y < z หรอื xy > z) เป็นไปไดท้ ง้ั 2 แบบ จงึ ไม่สมเหตสุ มผล (39) ก. ถูกแลว้ (42.3) แต่ ข. ผิด ตอ้ งเปน็ ∃x[x < 6] ∧ ∃x[x < 8] คนคยุ ใน นร.หอ้ งนี้ เวลาเรยี น (40.1) a = −9 (เป็นจํานวนคี่ ติดลบ เรียงกนั / หรืออาจมองวา่ ลดลงทีละ 2 ก็ได)้ (40.2) a = 22 (ลงทา้ ยด้วยเลข 2 และข้นึ หลกั สมเหตสุ มผล เดก็ ดี ยสี่ บิ / หรอื อาจมองวา่ เพม่ิ ทลี ะ 5 กไ็ ด)้ (40.3) a = 5 (จาํ นวนนบั เรยี งกนั โดยติดลบสลบั (42.4) กบั ไม่ตดิ ลบ) (40.4) a = 48 (บวกดว้ ยตัวมนั เองกลายเปน็ พจน์ ถัดไป / หรอื อาจมองวา่ คณู 2) ผู้ทําการบ้าน นักเรียน ผูเ้ ลน่ ฟตุ บอล (40.5) a = −5 (ลดลงทีละ 2) ไมเ่ สรจ็ หรอื a = 3 ก็ได้ (มองว่าหมนุ เวยี น) 3→1 อาจเป็นไปตามนไ้ี ด้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล ↑↓ (40.6) a=5 −3 ← −1 (42.5) 6 (เศษสว่ นของจาํ นวนนบั เรยี งตดิ กนั ) (40.7) a = 25 (กาํ ลงั สองของจาํ นวนนบั ) ฉนั (40.8) a = 3 3 3 3 3 (มีเลข 3 อยู่ 5 ตวั ) ผู้เงินหมด ผูโ้ ดยสารรถเมล์ได้ (40.9) หลกั หนว่ ยควรเปน็ 7 เนื่องจากหลกั หนว่ ย สมเหตสุ มผล เรยี งกนั เป็นลาํ ดบั 5, 6, _, 8, 9 (42.6) สว่ นหลกั ทเ่ี หลอื กเ็ ป็นลําดับ 12 , 7 2 , _, 4032, 3628 8 นกแก้ว ×6 ×9 สัตว์น้ํา สิง่ ทบี่ ินได้ พบวา่ 72 × 7 = 504 และ 504 × 8 = 4032 พอดี สมเหตุสมผล ดงั นนั้ ตอบวา่ 5047 (42.7) (41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555 (41.2) 9 × 9999 = 89991 , คนมี ฉนั ฉนั ความสขุ 9 × 99999 = 899991 คนยิม้ แย้ม (41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 , เป็นไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล 12345 × 9 = 111111 − 6 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 81 ตรรกศาสตร (42.8) (42.13) นักเรยี น สมนกึ ผ้รู า้ ย คนสวมแว่นตา สมเหตสุ มผล ชา่ ง คนขยัน อาจเปน็ ตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล (42.14) (42.9) สมนึก สมนกึ พระเอกหนงั นางแบบ ผชู้ าย ชา่ ง คนขยัน สมเหตุสมผล เปน็ ไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล (42.15) (42.10) ไมส่ มเหตสุ มผล สนุ ขั เพราะในเหตไุ มไ่ ด้ระบุว่า คนเป็นอะไร (ไม่ไดพ้ ูดถงึ คน, พดู ถงึ แตส่ ตั ว)์ “ไมไ่ ด้บอกวา่ คนเปน็ สง่ิ มชี วี ติ ” หา้ มใชค้ วามจริงบนโลกในการตดั สนิ ! สตั ว์ (42.11) ผชู้ าย ส่ิงที่ตอ้ งหายใจ ครู ผู้ชอบดมื่ กาแฟ อาจเป็นตามนไ้ี ด้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล อาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล (42.16) ไมส่ มเหตสุ มผล (42.12) เพราะในเหตุไมไ่ ดก้ ลา่ ววา่ อะไรคอื “ผลไม้ทที่ านได้” (คล้ายขอ้ 42.10 คือหา้ มใชค้ วามรูส้ ึกในการตดั สิน, กุง้ ห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตดั สิน ให้ยดึ ถือเฉพาะ เหตทุ ่ใี ห้มาเทา่ นน้ั ) ปลา ส่งิ ที่มีสองตา (42.17) อาจเป็นตามน้ีได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล นก เพนกวิน สงิ่ ทบี่ นิ ได้ ส่งิ ทีม่ ีปีก อาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 82 ตรรกศาสตร eÃoè× §æ¶Á มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพนื้ ฐานของดิจิตลั .. วิชาตรรกศาสตรถ์ ูกใชเ้ ป็นพนื้ ฐานของอปุ กรณอ์ เิ ลก็ ทรอนิกส์แบบดจิ ิตลั ซง่ึ ส่งสญั ญาณดว้ ยคา่ แรงดนั ไฟฟา้ เปน็ สญั ญาณ “0” กับ “1” เทา่ นนั้ ...สญั ญาณ “0” ใช้แรงดนั 0 โวลต,์ เทยี บได้กบั “False” ในตรรกศาสตร์ และสญั ญาณ “1” ใช้แรงดนั 5 โวลต์ (หรอื 12 โวลต์ แลว้ แตอ่ ุปกรณ)์ , เทียบไดก้ ับ “True” ในตรรกศาสตร์ ชพิ ทีฝ่ งั อยใู่ นอปุ กรณอ์ ิเลก็ ทรอนกิ สจ์ ะมหี ลกั การทาํ งานเสมอื นเปน็ เขา้ inv ออก ตัวเชอ่ื มทางตรรกศาสตร์ เรียกตวั เชื่อมเหลา่ นว้ี า่ เกต (Gate) 0 1 เกตทีน่ ยิ มใชก้ นั ท่วั ไปมดี งั น้ี 1 and (1) INVERTER (เทียบได้กบั “นเิ สธ”) 0 เปลย่ี น 0 เป็น 1 และเปลย่ี น 1 เปน็ 0 0 1 or (2) AND (เทยี บได้กับ “และ”) 1 จะเป็น 1 เพียงกรณีเดียวคอื สญั ญาณเข้าท้งั สองดา้ นเปน็ 1 0 1 nand (3) OR (เทียบได้กับ “หรอื ”) 1 จะเป็น 0 เพยี งกรณีเดยี วคอื สัญญาณเขา้ ทั้งสองดา้ นเปน็ 0 nor (4) NAND กับ NOR (อา่ นวา่ แนนด์ กบั นอร์) 0 0 เปน็ นเิ สธของ AND กับนเิ สธของ OR ตามลาํ ดบั 1 คือนาํ ผลทไ่ี ดจ้ าก AND กบั OR มากลับคา่ ให้เป็นตรงกนั ขา้ ม xor 0 1 (5) XOR (อา่ นว่า เอ๊กซ-์ ออร์) 1 จะเป็น 1 เมอ่ื สญั ญาณเขา้ ดา้ นหนงึ่ เปน็ 0 และอีกดา้ นเปน็ 1 เทา่ นนั้ (0 ทง้ั คู่ กับ 1 ทัง้ คู่ จะใหผ้ ลเปน็ 0) 0 จากความรูท้ างตรรกศาสตรจ์ ะพบว่าเปน็ นิเสธของ “กต็ ่อเมอื่ ” นน่ั เอง ส่งิ ทนี่ า่ สนใจของดิจติ ัลคอื การมองตรรกศาสตร์เปน็ แบบคาํ นวณ คือเมอ่ื เราให้ 0 แทน False และ 1 แทน True แลว้ จะพบว่าตวั เชอ่ื ม AND มีลักษณะเหมอื นการคณู สว่ น OR นน้ั มลี กั ษณะเหมือนการการบวก (โดย ที่ 1+1 จะตอ้ งเทา่ กับ 1, จะเป็น 2 ไปไมไ่ ดน้ ะครบั ..) ดงั ตารางน้ี A B A and B A B A or B A not A (AB) (A+B) (A ) 11 1 11 1 10 10 0 10 1 01 01 0 01 1 หมายเหตุ A nand B = AB = A + B 00 0 00 0 A nor B = A + B = A B เราสามารถนาํ พนื้ ฐานดิจติ ัลกลับไปประยกุ ต์ใชก้ บั วชิ าตรรกศาสตรไ์ ด้ (แจกแจงนิเสธตามกฎตรรกศาสตร์) เพยี งแค่ทราบวา่ “และคือคณู ”, “หรือคือบวก” เทา่ นี้เองครบั :] A xor B ใชส้ ัญลักษณ์ A ⊕B Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 83 เรขาคณิตวิเคราะห G(e,o) º··èÕ 4 eâҤ³iµÇie¤ÃÒaˏ เรขาคณติ วเิ คราะห์ (Analytic Geometry) เป็นวิชาคาํ นวณเกย่ี วกบั รูปเรขาคณติ โดยการเขียน กราฟลงบนพกิ ัดฉาก เชน่ การหาระยะระหวา่ งจุดสอง จดุ , ระหว่างเส้นตรงค่ขู นานสองเส้น, การหาพ้ืนท่ีรปู หลายเหล่ยี ม, หรือการหาความชนั ของเส้นตรง เปน็ ต้น ซึง่ จะใช้เป็นเคร่อื งมือช่วยในการแกป้ ัญหาเกี่ยวกบั ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ ัน ในบทถดั ไปได้ นอกจากนี้ ความสมั พนั ธ์ที่พบบ่อยอาจมกี ราฟเปน็ เส้นโคง้ ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา ใน ระนาบ (Plane) หนึ่งๆ เราจะอา้ งถึงตําแหน่งหรอื จุดใดๆ y ได้ดว้ ยค่า พกิ ัด (Coordinate) โดยระบบที่นยิ มใช้มากทีส่ ุดคอื ระบบ Q2 Q1 พิกดั ฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบด้วยเสน้ จํานวน 2 เสน้ (−, +) (+, +) x ต้ังฉากกนั ณ จุดท่สี มมติใหเ้ ป็น จุดกําเนดิ (Origin; หรอื จดุ O) เรยี กชือ่ เสน้ นอนและเส้นตง้ั วา่ แกน x และแกน y ตามลําดับ Q3 O Q4 แกนทงั้ สองน้ตี ดั กัน แบง่ พื้นทีใ่ นระนาบ xy ออกเปน็ 4 สว่ น (−, −) (+, −) เรียกแตล่ ะส่วนวา่ จตุภาค (Quadrant; Q) ไดแ้ ก่ จตุภาคที่ 1, 2, 3, และ 4 ดงั ภาพ การอา้ งถึงพิกัดในระบบพกิ ดั ฉาก นยิ มเขยี นในรูป คอู่ นั ดับ (Ordered Pair) ท่สี มาชิกตวั แรกแทนระยะทางในแนว +x และตัวหลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คู่อนั ดบั (2, 4) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 84 เรขาคณิตวเิ คราะห 4.1 เบื้องต้น : จดุ การเขียนชื่อจดุ นิยมใชต้ วั อกั ษรใหญ่ เชน่ จุด P, จดุ Q และอาจเขียนกาํ กับด้วยคู่อันดับใน พิกัดฉาก เปน็ P (x, y) ใดๆ เชน่ Q (2, 4) ใช้แทนจุดท่ีชอ่ื Q และมพี ิกัดเป็น (2, 4) [1] ระยะห่างระหวา่ งจุดสองจุด สัญลักษณท์ ใ่ี ชแ้ ทนระยะห่าง ระหว่างจุด P กบั Q คือ PQ Q (x2,y2) พสิ ูจน์ได้จาก ทฤษฎีบทปที าโกรสั (Pythagorean Theorem) PQ = (x2−x1) 2+ (y2−y1) 2 เพ่ิมเตมิ P (x1,y1) สตู รระยะทางระหว่างจดุ นีจ้ ะไดน้ าํ ไปใช้อีกครงั้ และ ขยายผลออกเป็นระยะทางในสามมิติ ในเรอื่ ง เวกเตอร์ (บทที่ 10) และนอกจากนน้ั ยังใช้คาํ นวณ ค่าสมั บรู ณข์ องจํานวนเชิงซอ้ น (ในบทที่ 11) ดว้ ย [2] จดุ กง่ึ กลางระหว่างสองจุด จุดทีแ่ บ่งระยะทางเปน็ อัตราสว่ น m:n Q (x2,y2) Q (x2,y2) m R (x1+ x2 , y1+ y2) n R (mx1+ nx2 , my1+ ny2) 22 m+n m+n P (x1,y1) P (x1,y1) [3] จุดตัดของเสน้ มัธยฐานของสามเหล่ยี ม เสน้ มธั ยฐาน คอื เสน้ ตรงท่ีเชอื่ มจดุ ยอดจดุ หน่ึงกับจดุ กงึ่ กลางของดา้ นตรงขา้ ม ซ่ึงจุดตดั ของ เส้นมธั ยฐาน (เรียกวา่ จดุ Centroid) จะแบง่ เส้นมธั ยฐานแตล่ ะเส้นออกเปน็ อัตราส่วน 2 : 1 เสมอ R (x3,y3) P (x1,y1) C C (x1+ x2+ x3 , y1+ y2+ y3) 33 Q (x2,y2) [4] พ้ืนท่ีของรูปหลายเหล่ียม คาํ นวณได้โดย นาํ คู่อนั ดับของจุดยอดมาตัง้ เรยี งแบบทวนเข็มนาฬิกาใหค้ รบทกุ จดุ (โดยวนกลับมาที่ จุดแรกอีกคร้งั ด้วย) จากน้ัน คณู ลงเครื่องหมายเดิม คูณข้ึนเปล่ยี นเครือ่ งหมาย (วิธกี ารเดียวกับการ หา det ในเร่อื งเมตรกิ ซ์ บทที่ 9) นาํ ค่าที่ได้รวมกนั แลว้ หารสอง จะเปน็ พ้นื ทขี่ องรปู หลายเหลี่ยมนัน้ T (x5,y5) S ¢oŒ ¤Ç÷ÃÒº! S x1 y1 P (x1,y1) 1. 㪌¡aºÃ»Ù ¡èeÕ ËÅÕèÂÁ¡ç䴌 eª¹‹ 3 eËÅèÂÕ Á eÃÒ¡µç Œo§¤³Ù ŧ 3 ¤Ã§éa ¤³Ù ¢¹Öé 3 ¤Ã§éa x2 y2 2. ¶ÒŒ äÁ‹eÃÕ§¨´u µÒÁeʹŒ ÃoºÃÙ» ¤Òí µoº·èÕ พืน้ ที่ = 1⋅ x3 y3 S (x4,y4) 䴌¨a¼´i ... 测¶ÒŒ eÃÂÕ §µÒÁe¢Áç ¹ÒÌi¡Ò 2 x4 y4 x5 y5 x1 y1 Q (x2,y2) R (x3,y3) ¤Òí µoº·èäÕ ´Œ¨ae»š¹ µi´Åº¢o§¤Ò‹ ·Õ¶è Ù¡µŒo§ = 1 (x1y2+ x2y3+ x3y4+ x4y5+ x5y1− x2y1− x3y2− x4y3− x5y4− x1y5) 2 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 85 เรขาคณติ วิเคราะห แบบฝึกหดั 4.1 (1) กาํ หนดจุด P1 (1, 7) และ P2 (−5, 2) ใหห้ าคา่ P1P2 (2) ถ้า P, Q เป็นจุดกงึ่ กลางของ AB , CD ตามลําดับ เม่อื กําหนด A (2, 7), B (6, −3) , C (−2, 5), และ D (8, 1) ให้หาความยาวของ PQ y (3) กําหนดส่ีเหลยี่ มดา้ นขนาน OBCD ดังภาพ, P เปน็ จดุ กึ่งกลาง D (2,4) C ของ BC , และ PC = PQ จงหาขนาดพ้นื ท่ีสามเหลย่ี ม PQC PQ (4) กําหนดสามเหล่ียม ABC มีจุดยอดมุมอยู่ที่ A (5, −3), B (−6, 1), C (1, 8) แล้วสามเหล่ียมรปู นเ้ี ปน็ สามเหลย่ี มชนิดใด O B (2,0) x (5) สามเหล่ยี ม ABC มีจดุ ก่ึงกลางด้านทั้งสามเป็น P (−2, 1), Q (5, 2) , R (2, −3) ให้หาความยาว เสน้ รอบรูปสามเหล่ียม ABC นี้ (6) กําหนดสามเหลี่ยมรปู หนง่ึ มจี ุดยอดอยทู่ ่ี A (2, 8) , B (6, 12) , C (−2, −4) ถ้าจดุ P และ Q อยู่ บนด้าน AB และ BC ตามลาํ ดับ โดยมีอัตราส่วน AP : PB = 1 : 3 , BQ : BC = 3 : 4 ให้ หา PQ (7) ขอ้ ใดถูกหรือผดิ บา้ ง เมือ่ กําหนด ก. จดุ A (10, 5), B (3, 2), C (6, −5) เป็นจุดมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข. จุด D (1, 2) , E (−3, 10) , F (4, −4) อยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกัน ค. จุด A (−2, 3), B (−6, 1), C (−10, −1) อยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั (8) จงหาจดุ P บนแกน x ซ่ึงอยู่หา่ งจากจดุ P1 (1, −2) และ P2 (3, 5) เปน็ ระยะเท่ากนั (9) ให้หาจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ซึ่งผ่านจดุ (1, 7), (8, 6), (7, −1) (10) ใหห้ าผลบวกของความยาวเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยม ท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ี A (2, −1), B (4, 3) , และ C (−2, 5) (11) ถา้ (m, n) เปน็ จดุ ตดั ของเสน้ มธั ยฐาน ของสามเหลยี่ มทม่ี จี ุดยอดอย่ทู ี่ (4, 5), (−4, 7), และ (4, 1) แลว้ จงหาค่า m − n (12) สามเหลย่ี ม ABC มีจดุ ยอดเปน็ B (6, 7), C (−4, −3) ถา้ จดุ P (4/3, 1) เป็นจดุ ตัดของเสน้ มัธยฐานแลว้ เสน้ มธั ยฐานทลี่ ากจาก A มีความยาวเทา่ ใด (13) P เป็นจดุ ก่งึ กลางระหว่าง (13, 2) และ (−13, −2), Q เป็นจุดก่งึ กลางระหวา่ ง (6, 10) และ (0, 14), R เปน็ จดุ ก่งึ กลางระหวา่ ง (8, 4) และ (16, −4) ให้หาพืน้ ทแ่ี ละตําแหนง่ จดุ ตัดของเสน้ มธั ย ฐาน ของรปู สามเหลย่ี ม PQR (14) จงหาผลตา่ งของพ้นื ที่สามเหลยี่ ม ABC และ PQR เม่ือกําหนดตําแหนง่ จดุ ยอดให้ ดังน้ี A (1, 3) , B (−2, 0) , C (3, −5) , P (0, 0), Q (8, 18) , และ R (12, 27) (15) กาํ หนดจุด P (3, −2) , Q (−2, 3), R (0, 4) แลว้ ข้อใดถกู หรอื ผิดบา้ ง ก. ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลย่ี ม PQR เปน็ 9 5 หน่วย Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 86 เรขาคณิตวิเคราะห ข. พนื้ ทร่ี ูปสามเหล่ียม PQR เปน็ 15 ตารางหน่วย (16) ให้หาพนื้ ท่รี ูปห้าเหลี่ยมซึ่งมจี ุดยอดอยูท่ ่ี A (1, 4), B (−3, −2), C (−1, −3), D (−4, 5) , และ E (−2, 7) 4.2 เบื้องตน้ : เสน้ ตรง เราสามารถสรา้ งเส้นตรงที่ผา่ นจดุ สองจดุ ทีก่ าํ หนดให้ เชน่ จดุ P กับ Q ใดๆ ไดเ้ สมอ และ เขยี นแทน “สว่ นของเสน้ ตรง” ทเี่ ช่อื มระหวา่ งจุด P กบั Q ดว้ ยสญั ลักษณ์ PQ นอกจากนน้ั นิยมต้งั ช่ือ “เส้นตรง” ดว้ ยอักษร L เชน่ เส้นตรง L1 , เสน้ ตรง L2 [1] ความชนั (Slope; m) ของเสน้ ตรง ที่ทราบจดุ ผ่านสองจุด เสน้ ตรงสองเส้น ขนานกนั (Parallel; ) ก็ต่อเมื่อ มีความชันเท่ากนั และเส้นตรงสองเส้น ต้งั ฉากกนั (Perpendicular; ⊥ ) ก็ต่อเม่อื ความชันคูณกันเป็น -1 Q (x2,y2) =m = tan θ y2− y1 x2− x1 θ P (x1,y1) ถ้า m > 0 (เป็นคา่ บวก) แสดงว่า กราฟเฉียงขึ้นทางขวา ถา้ m < 0 (ติดลบ) แสดงวา่ กราฟเฉยี งลงทางขวา ถ้า m = 0 แสดงว่า เปน็ เส้นนอนขนานแกน x และถา้ เป็นเส้นต้งั ขนานแกน y จะไดว้ ่า m หาค่าไม่ได้ [2] สมการของเสน้ ตรง [2.1] เม่อื ทราบจุดผา่ นจุดหน่ึง (x1, y1) และค่าความชนั m m เราใช้ความสัมพนั ธข์ องความชนั คอื y − y1 = m x − x1 P (x1,y1) หรอื จัดรูปได้ว่า y − y1 = m (x − x1) [2.2] เมอื่ ทราบจุดผา่ นสองจุด ,(x1, y1) (x2, y2) ใหค้ าํ นวณคา่ ความชันจากสองจดุ นี้ก่อน แลว้ จงึ ทาํ ตามขอ้ (2.1) Q (x2,y2) โดยเลือกใช้จุดใดกไ็ ดจ้ ดุ เดยี ว สมการที่ได้จะเป็น y − y1 = ⎛ y2 − y1 ⎞ (x − x1) ⎜ ⎟ P (x1,y1) ⎝ x2 − x1 ⎠ [2.3] เมื่อทราบ ระยะตัดแกน (Intercept) ทง้ั สองแกน y สามารถใชส้ มการเส้นตรงในรปู Intercept Form ได้แก่ x + y = 1 ab เมอื่ a, b คือ ระยะตัดแกน x และ y ตามลําดบั b หรอื กล่าววา่ เส้นตรงตดั แกน x ท่จี ดุ (a,0) Oa x และตดั แกน y ทจ่ี ดุ (0,b) โดยที่ a, b อาจเป็นคา่ ตดิ ลบก็ได้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 87 เรขาคณติ วเิ คราะห ข้อควรทราบ 1. สมการเส้นตรงมีรูปทวั่ ไป (Common Form) เป็น A x + B y + C = 0 2. สมการเส้นตรงที่นิยมใชป้ ระโยชน์มีอยู่ 3 รปู แบบ ไดแ้ ก่ Slope-Intercept Form y = mx + c เมื่อ c คอื ระยะตัดแกน y Slope-Point Form y − y1 = m (x − x1) S ¨´u ·¼èÕ i´º‹oÂ! S Intercept-Intercept Form x+y =1 ab eÁ×èo¨aËÒ¤ÇÒÁªa¹o´Â –A/B ¹¹éa 3. เมอื่ นาํ รปู ทว่ั ไป มาจดั ขา้ งตวั แปรใหม่ จะได้ y = − A x − C ¤ÇèÒí Çҋ µi´ÅºË¹ŒÒ x ÊNj ¹´ÇŒ  BB ˹ŒÒ y e¾×èoäÁ㋠Ë㌠ªŒ¼i´µÇa æÅaµoŒ § ทาํ ให้ทราบว่า คา่ ความชนั m = − A และระยะตดั แกนวาย c = − C ¨a´ÊÁ¡ÒÃãËoŒ Âã‹Ù ¹ÃÙ» Ax+By+C BB =0 ¡o‹ ¹eÊÁo ¹a¤Ãºa .. • ตัวอยาง กําหนดพิกดั จดุ P (1, 3) และ Q(5, 9) ก. ความชันของเสนตรงทีผ่ านจุด P และ Q เทา กับเทาใด ตอบ mPQ = 9−3 = 3/2 5−1 ข. ใหห าสมการเสน ตรง L1 ซึง่ ตั้งฉากกบั PQ และผา นจุดก่งึ กลางของ PQ วิธีคิด เนื่องจาก L1 ตัง้ ฉากกับ PQ ดงั นน้ั mL1 = −2 (ความชนั คณู กนั ตองได −1 ) 3 จดุ กง่ึ กลางของ PQ อยูทีพ่ ิกดั (1 + 5 , 3 + 9) ... นน่ั คือ (3, 6) 22 สรา ง L1 ไดจากความชันและจุดทีผ่ า น คือ (y − 6) = − 2 (x − 3) ... จัดรปู ใหมใ หส วยงาม 3 ไดเปน 3y − 18 = −2x + 6 ... และกลายเปน 2x + 3y − 24 = 0 • ตัวอยา ง เสน ตรง L5 ตัดแกน y ที่ (0, 1/3) และมีระยะตัดแกน x ทางลบเทา กับ 1/2 หนวย สวน เสน ตรง L6 ผานจดุ (−1, 2) และตง้ั ฉากกบั L5 ก. เสน ตรง L5 และเสนตรง L6 มีความชันเทา ใด ตอบ เมื่อวาดกราฟคราวๆ จะไดวา mL5 = 1/ 3 = 2/3 1/2 เสนตรง L6 ต้งั ฉากกับ L5 ดงั นนั้ mL6 = −3/2 หมายเหตุ : ระยะตดั “แกน x ทางลบ” เทา กบั 1/2 หมายความวาตดั แกน x ทีจ่ ดุ (−1/2, 0) ข. จุดที่เสน ตรงทง้ั สองตง้ั ฉากกนั อยทู ี่พกิ ัดใด วิธีคิด สรา งสมการเสน ตรง L5 และ L6 กอ น ... เสนตรง L5 อาจสรา งไดโดยระยะตัดแกนท้ังสอง x + y = 1 จัดรปู เปน 2x − 3y = −1 −1/2 1/ 3 เสน ตรง L6 สรา งไดเ ปน (y − 2) = − 3 (x + 1) จดั รูปเปน 3x + 2y = 1 2 จุดที่เสนตรงท้งั สองตง้ั ฉากกนั กค็ ือจดุ ตดั ของสองเสนตรง หาไดจากการแกระบบสมการ ไดคาํ ตอบเปน (1/13, 5/13) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 88 เรขาคณิตวเิ คราะห [3] ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น S ¢oŒ ¤ÇÃÃaÇa§! S Ax+By+C1=0 d= C2− C1 ¨aµŒo§¨a´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃeʹŒ µÃ§·§aé Êo§eʹŒ ãˌo‹٠d A2+ B2 ã¹ÃÙ» Ax+By+C=0 eÊÁo... æÅa¶ŒÒ¤Ò‹ A, Ax+By+C2=0 d= B ¢o§Êo§ÊÁ¡ÒÃäÁ‹eËÁ×o¹¡a¹ µoŒ §ËÒ [4] ระยะห่างระหว่างจดุ กับเส้นตรง ¤Ò‹ ¤§·èÁÕ Ò¤Ù³ãËeŒ ËÁ×o¹¡a¹¡o‹ ¹¹a¤Ãaº P (x1,y1) d A x1 + B y1 + C A2+ B2 Ax+By+C=0 • ตัวอยา ง กาํ หนดเสน ตรง L1 : 2x + 3y − 24 = 0 ก. ระยะทางจากจุด S(−2, 5) ไปยังเสนตรง L1 เทากับเทาใด 2(−2) + 3(5) − 24 13 = 13 ตอบ หนวยdSL1 = = 13 22 + 32 ข. ใหห าสมการเสนตรงทีอ่ ยูหา งจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย วิธีคิด สมการเสนตรงทีไ่ ด จะตองขนานกับ L1 (มีความชนั เทา กนั ) จึงจะทําใหระยะหางคงทีไ่ ด ดงั นน้ั ใหสมการที่ตองการ เปน 2x + 3y + C = 0 แลว หาคา C ที่ถกู ตอง จากสมการระยะหาง นัน่ คือ 2 13 = − 24 − C ... ยา ยขา งและถอดคา สมั บรู ณ ไดเปน ±26 = −24 − C 22 + 32 จะไดคา C = 2, −50 จงึ ตอบวา 2x + 3y + 2 = 0 และ 2x + 3y − 50 = 0 ค. ใหห าจดุ บนเสน ตรง L2: 2x + y − 6 = 0 ซ่งึ อยูหา งจาก L1 เปน ระยะ 2 13 หนว ย วธิ ีคิด สมมติวา จดุ ทีต่ องการคือ (x1, y1) จะไดส มการระยะหา ง ดังนี้ 2 13 = 2x1 + 3y1 − 24 ซึ่งจะพบวา ติดสองตัวแปร ... แตใ นทีน่ ี้เราสามารถแกไดเพราะโจทยก าํ หนด 22 + 32 มาดวยวา จดุ (x1, y1) อยบู นเสนตรง 2x + y − 6 = 0 ... ดงั นนั้ 2x1+ y1− 6 = 0 นาํ ไปแทนทีใ่ นคา สมั บรู ณแลว แกส มการตามปกติ ไดผ ลเปน x1= −8, 5 ถา x1= −8 ได y1= 22 และถา x1= 5 ได y1= −4 ... จงึ ตอบวา จดุ ทีต่ องการ คือ (−8, 22) และ (5, −4) หมายเหตุ ขอ ค. สามารถคดิ ไดอ ีกวธิ ี คือ หาจากจุดตดั ระหวางเสน ตรง L2 กับเสนตรงที่เปน คําตอบของ ขอ ข. เพราะเสน ตรงในขอ ข. ก็คือเสน ทีห่ า งจาก L1 อยู 2 13 หนวยแลว • ตวั อยาง กาํ หนดสมการเสน ตรง L3 คือ 3x + y = 2 3 และ L4 คือ 3x + 3y = 18 ก. เสน ตรงทีข่ นานกับ L3 จะตองมีความชนั เทาใด ตอบ คดิ จาก −A/B จะงายที่สุด เพราะไมต อ งจดั รูป ... ไดคาํ ตอบเปน − 3/1 = − 3 ข. มมุ ระหวา ง L4 กบั แกน x ที่เปน มุมแหลม มีขนาดกีอ่ งศา วิธีคิด หาความชนั ของ L4 กอ น ไดเปน −3/ 3 = − 3 จากนนั้ พจิ ารณาวาความชันคือ อัตราสวนแกนตงั้ ตอ แกนนอน ( y : x ) ในที่นีเ้ ทากับ 3 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 89 เรขาคณติ วเิ คราะห คิดจากตรีโกณมติ ิ จะพบวา มมุ ทีท่ ํากับแกน x จะเทา กับ 60° (หมายเหตุ : มุมทีไ่ ด จะเทา กนั ไมว าความชันเปน บวกหรือลบ เพียงแตเอียงคนละทศิ กนั ) ค. วงกลมใดๆ ทีอ่ ยูร ะหวาง L3 กบั L4 จะมีรศั มีไดม ากที่สดุ หนวย วธิ ีคิด เนื่องจากเสนตรง L3 กบั L4 ขนานกนั (จากความชนั ทีค่ ํานวณได ในขอ ก. และ ข.) ถาเราทราบระยะหางระหวางสองเสนนี้ ก็จะทราบวา วงกลมตรงกลางมีขนาดใหญท ีส่ ดุ ไดเ ทา ใด ระยะหางระหวา งเสน ตรง คิดจาก d = C2− C1 ... แตในขอ นีค้ า A,B ของเสนตรงทั้งสองไม A2+ B2 เหมือนกนั จึงตอ งปรับใหเ ทากัน เชน หารสมการ L4 ดว ย 3 กลายเปน 3x + y = 6 3 ดังน้นั dL3L4 = 6 3 −2 3 = 43 = 2 3 ... สรุปวา วงกลมทีจ่ ะอยูระหวาง L3 กบั L4 ได 32+ 12 2 จะตอ งมีเสน ผา นศนู ยก ลางไมเ กิน 2 3 หนวย หรือ รศั มีทีม่ ากทีส่ ุดเทา กบั 3 หนวย ง. พืน้ ที่ของรูปสามเหลีย่ มทีป่ ด ลอ มดวย ,L3 แกน x , และแกน y มีขนาดเทา ใด วธิ ีคิด เสนตรงใดๆ ที่ความชนั หาคา ไดแ ละไมเทากับ 0 และไมผ า นจุด (0, 0) ยอมทาํ ใหเ กดิ รปู สามเหลี่ยมทีม่ ีดา นประกอบมมุ ฉากเปน แกน x และแกน y ไดเ สมอ ... ซึ่งขนาดของพืน้ ที่สามเหลีย่ มนี้ หาไดงา ยๆ ดวยระยะตัดแกน x และแกน y นน่ั เอง ในขอ นี้ ระยะตัดแกน x (แทน y = 0 ) เปน 2 และระยะตดั แกน y (แทน x = 0 ) เปน 2 3 ... ดงั น้นั ขนาดพืน้ ที่สามเหลี่ยม เทากับ (1/2) × (2) × (2 3) = 2 3 ตารางหนวย [5] ขนาดของมุมทเ่ี กิดจากเส้นตรงสองเสน้ ตัดกัน m1 m2 tan θ = m1 − m2 1 + m1m2 θ การหาเส้นตรงที่แบง่ ครง่ึ มุม θ นพี้ อดี จะใช้ความสัมพนั ธ์ทีว่ ่า “ระยะทางจากจดุ บนเส้นตรงน้ี ไปยังเส้นตรงทีก่ ําหนดใหท้ ้งั สองเส้น จะเทา่ กนั เสมอ” น่ันคอื A1x + B1y + C1 = A2x + B2y + C2 A21 + B21 A22+ B22 ซึง่ คําตอบที่ได้จะมีสองคําตอบ (เปน็ เสน้ ตรงที่แบง่ ครึ่งมมุ แหลม Ans1 และมุมป้าน) ที่ต้ังฉากกันดงั ภาพ Ans2 [6] ภาพฉาย (Projection) บนเส้นตรง ภาพฉายของ P1P2 บนเส้นตรง L คือ Q1Q2 ภาพฉายของจดุ P บนเสน้ ตรง L คอื จุด Q P2 (x2,y2) P (x1,y1) L: Ax+By+C=0 Q P1 (x1,y1) Q2 L: Ax+By+C=0 Q1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 90 เรขาคณิตวิเคราะห การคํานวณหาตําแหน่งภาพฉาย สามารถคาํ นวณไดห้ ลายวธิ ี เช่น คาํ นวณจากความชนั เปน็ วิธที ส่ี ะดวกทสี่ ดุ (โดยสร้างสมการเส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ P และต้ังฉากกับเสน้ ตรง L แลว้ จึงแกร้ ะบบ สมการหาจดุ ตัดของเส้นตรงสองเสน้ ) หรือคํานวณจากระยะทาง (โดยสร้างสมการเพื่อหาจุดที่หา่ ง จากจดุ P เป็นระยะเทา่ ทก่ี ําหนด ซึ่งจะได้เป็นสมการวงกลม แลว้ จงึ แก้ระบบสมการหาจดุ ตดั ของ วงกลมกับเส้นตรง) ภาพฉายของจดุ P (x1, y1) ใดๆ บนเส้นตรงทีม่ สี มการ “ y = x ” (คอื เส้นตรงเฉยี งขึ้น ทางขวา ทาํ มมุ 45° กับแกน x) ได้แก่ จุด Q (x1+ y1 , x1+ y1) 22 แบบฝกึ หดั 4.2 (17) ถ้า A (1, 2), B (2, k), C (3, 4) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกนั ให้หาคา่ k (18) จดุ (1, y) อยู่บน PR ซึ่งมพี กิ ัด P (−2, 6) และ R (4, −2) ใหห้ าคา่ y (19) AB ตัดแกน x และ y โดยมีระยะตดั แกน x ทางบวก 4 หน่วย และแกน y ทางบวก 3 หน่วย จุดตัดสองจุดน้แี บง่ AB ออกเปน็ 3 สว่ นเท่าๆ กนั พอดี จงหาพิกดั ของ A กบั B (20) หากกาํ หนดพกิ ดั A (4, 5), B (1, 2), C (2, 8), D (−2, 4) แล้ว AB ขนานกบั CD หรือไม่ (21) จงหาจุด D ทีท่ ําให้ ABCD เปน็ สี่เหลีย่ มดา้ นขนาน เมอ่ื A (−4, 1), B (−5, −4) , C (1, −2) (22) ถ้าเสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (k, 7) , (−3, −2) ต้งั ฉากกบั เส้นตรงที่ผ่านจดุ (3, 2), (1, −4) แลว้ คา่ k เป็นเท่าใด (23) ถ้าเสน้ ตรงทผี่ า่ นจดุ A (1, 5) และ B (3, 6) ต้งั ฉากกบั เส้นตรงท่ีผา่ นจดุ C (m, 4) และ D (−1, −m) แลว้ จงหาคา่ m (24) วงกลมวงหนึ่งมีจดุ ศนู ยก์ ลางท่ี C (5, 6) มเี สน้ ตรง L มาสมั ผัสที่จดุ (−3, 1) ใหห้ าความชนั ของ เส้นตรง L (25) จงหาความยาวเสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลม ที่ลอ้ มรอบรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ซงึ่ มพี ิกัด เปน็ A (1, 7), B (8, 6) , C (7, −1) (26) ให้หาคาํ ตอบของขอ้ (7) โดยใชค้ วามรู้เร่ือง ความชนั ของเสน้ ตรง (27) จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (3, 0) และ (0, 2) (28) เสน้ ตรง L ผา่ นจุด (−2, −5) และ (1, 3) ถามวา่ รูปสามเหลยี่ มที่ปิดล้อมด้วยเสน้ ตรงเส้นนี้ กับ แกน x และแกน y มีพ้นื ทเี่ ทา่ ใด (29) จงหาสมการเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (6, 8) และจดุ ตดั แกน x ของ 3x + 4y = 12 (30) รูปสี่เหลย่ี ม ABCD มจี ุดมุมอยทู่ ่ี A (1, 2), B (−2, −1) , C (−3, −6), D (2, −5) ถ้า P เป็นจดุ ตัดของเสน้ ทแยงมมุ แลว้ P จะอยหู่ า่ งจากจุดกําเนดิ ก่หี นว่ ย (31) จงหาสมการเสน้ ตรงที่ขนานกบั 2x + 3y + 10 = 0 และผ่านจุดท่ี x + y = 1 ตัดกบั 2x + y = 5 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 91 เรขาคณิตวิเคราะห (32) เส้นตรงสองเสน้ ตง้ั ฉากกนั ทจ่ี ดุ ตดั แกน x พอดี หากเส้นหนง่ึ มสี มการเป็น 3x − 4y + 5 = 0 แล้ว ใหห้ าวา่ อีกเสน้ หนึง่ ตัดแกน y ที่จุดใด (33) หากเสน้ ตรง L ต้ังฉากกับ 2x + 3y + 5 = 0 และผา่ นจดุ (1, 5) ถามวา่ เสน้ ตรง L ตัดแกน x ท่ีจดุ ใด (34) ให้ M เป็นเสน้ ตรง 3x − 3y + 5 = 7 และ N เปน็ เสน้ ตรง 2x − 5y + 7 = 4 จงหาสมการ เสน้ ตรง L ที่ขนานกบั M และมรี ะยะตดั แกน y เท่ากับ N (35) เส้นตรง L1 ผ่านจดุ (2, 2) และ (−2, 0), เส้นตรง L2 ตั้งฉากกับ L1 ทจี่ ดุ (−2, 0) และ เส้นตรง L3 มีสว่ นตัดแกน x เปน็ 4/3 แกน y เป็น –4 จงหาพน้ื ทีส่ ามเหลย่ี มท่ปี ดิ ล้อมดว้ ย เสน้ ตรงสามเส้นนี้ (36) กําหนด L1 มีสมการเปน็ 2x − 3y + 6 = 0 , L2 ผ่านจดุ (−2, 3) และขนานกับ L1 หาก L3 ผา่ นจุด (2/3, −1) และตงั้ ฉากกบั L1 แลว้ ถามวา่ L2 กับ L3 ตัดกันที่จุดใด ใน ควอดรันตใ์ ด (37) สมมติว่า A (3, k) อยูใ่ นควอดรนั ตท์ ี่ 1 และเป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนยก์ ลางท่จี ดุ กําเนดิ และ รศั มี 4 หน่วย ถ้าเส้นตรง L สมั ผสั วงกลมนี้ท่ีจดุ A แลว้ ให้หาระยะตัดแกน x ของเส้นตรง L (38) เสน้ ตรง L เป็นเสน้ สมั ผัสวงกลมซง่ึ มีศูนย์กลางที่ A (−1, 2) โดยสมั ผัสกันที่จดุ B (2, −1) และ ทาํ ให้เกิดสามเหล่ยี ม PQR ท่ปี ิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้, แกน x, และแกน y พิจารณาข้อความ ขอ้ ใดถกู หรอื ผิดบ้าง ก. ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม PQR คอื 6 + 3 2 หนว่ ย ข. พื้นทส่ี ามเหลยี่ ม PQR มีขนาด 4.5 ตารางหนว่ ย (39) หากสามเหลย่ี ม ABC มจี ดุ ยอดท่ี A (−2, 5), B (4, 8), C (2, −3) จงหาสมการเส้นตรงท่ผี ่าน จดุ กงึ่ กลางดา้ นทั้งสองซ่งึ สนั้ กว่าดา้ นทสี่ าม และหาระยะตัดแกน x และ y ของเสน้ ตรงน้ี (40) ถ้าระยะที่เส้นตรงเส้นหน่ึงตัดแกน x เป็นสองเทา่ ของระยะตัดแกน y และเสน้ ตรงนี้ผา่ นจุด (1, 3) แล้ว ใหห้ าเส้นตรงนี้ (41) เส้นตรงที่ผา่ นจุด (−2, 4) และมีผลบวกของ X-intercept กับ Y-intercept เป็น 9 จะมีความ ชนั เท่าใด และตดั แกน x ที่ใด (42) [Ent’24] เส้นตรง L มีความชนั เปน็ 0.5 และผ่านจุด C (−3, 0) ตดั แกน y ท่ีจดุ A หากลาก AB ตัง้ ฉากกับ L โดยจดุ B น้ันทําใหม้ ีเส้นตรงขนานแกน y ผา่ นจุด B ตัดแกน x ทจี่ ดุ C ได้ ถามวา่ BC มคี ่าเทา่ ใด (43) สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ซึง่ มีมุม B เป็นมมุ ฉาก มีจุด A อย่ทู ี่ (−3, 5), จุด C อยทู่ ่ี (4, −4) , และมคี วามชันของ AB เป็น 3/2 น้ัน มีขนาดก่ีตารางหน่วย (44) เส้นตรง 2x − 3y = 6 และ 4x − 6y = 25 อยู่ห่างกันกีห่ นว่ ย (45) จงหาคา่ C ทีท่ าํ ใหเ้ สน้ ตรง Ax + 2y + C = 0 อยูห่ า่ งจาก 3x − 4y − 5 = 0 หนึ่งหน่วย Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 92 เรขาคณติ วิเคราะห (46) เสน้ ตรง L1 ขนานกบั L2 โดยอยู่หา่ งกนั 4 หนว่ ย หากเสน้ ตรง L ซ่ึงมีสมการเป็น 12x − 5y − 15 = 0 น้ันขนานกบั L1 และอยู่ห่างจาก L1 , L2 เปน็ ระยะเท่าๆ กัน จงหาผลบวกของ สว่ นตัดแกน x ของเสน้ ตรง L1 และ L2 (47) กําหนดจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็น A (−2, 1), B (5, 4) , C (2, −3) ใหห้ าส่วนสูงของรปู สามเหล่ยี ม ท่ลี ากจากจดุ A มายงั ดา้ น BC (48) เสน้ ตรง L มีสมการเป็น 5x − 12y + 3 = k และ L อยหู่ า่ งจากจุด P (−3, 2) อยู่ 4 หน่วย ให้ หาผลบวกของค่า k ทเี่ ปน็ ไปไดท้ ัง้ หมด (49) ใหห้ าว่าจดุ ใดบนเส้นตรง 2x − 4y = 15 อยู่ห่างจาก 3x + 4y = 10 เปน็ ระยะ 3 หน่วย (50) จงหาขนาดมุมแหลมท่เี กิดจากการตดั กนั ของ 5x − y = 0 และ 2x − 3y + 1 = 0 (51) กาํ หนดเส้นตรง L1 ผา่ นจุด ( 3, 2), (0, 1) และเสน้ ตรง L2 ผ่านจุด (2, 3), (1, 4) ใหห้ า ขนาดของมุมแหลมระหวา่ ง L1 กบั L2 (52) เส้นตรง L1 ผา่ นจุด (2, 3), (1, 0) และเส้นตรง L2 ผา่ นจดุ กาํ เนิด O และตัดกบั L1 ที่จุด C ถ้ามมุ ระหว่าง L1 กับ L2 เป็น 30° ให้หาความยาวของ CO (53) จงหาสมการเส้นตรงที่แบ่งคร่งึ มมุ ทเี่ กิดจากการตดั กนั ของ 3x + 4y + 1 = 0 และ 4x − 3y − 6 = 0 (54) ถา้ A เป็นภาพฉายของจดุ (−2, 1) บนแกน x และ B เป็นภาพฉายของ (−5, 6) บนแกน y ใหห้ าสมการเส้นตรง AB (55) กําหนด A (1, 0) , B (−5, 8), P เปน็ จุดกึ่งกลางของ AB และ Q เปน็ ภาพฉายของ B บน เสน้ ตรง x = 1 จงหาสมการเสน้ ตรง PQ และเสน้ ตรงท่ีตง้ั ฉากกับ PQ (56) จงหาโพรเจคชันของจุด (−2, 1) บนเสน้ ตรง x − y = 0 (57) จงหาโพรเจคชนั ของจดุ (0, 7) บนเส้นตรง 4x − 5y = 6 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ กราฟเส้นโคง้ ไดแ้ ก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโ์ บลา เรยี กรวมกันวา่ ภาคตัด กรวย (Conic Section) เน่ืองจากเป็นกราฟทีไ่ ด้จากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบในมุมต่างๆ ดงั ภาพ (ในหน้าตอ่ ไป) ตัวอยา่ งการนําความรูเ้ รอ่ื งภาคตัดกรวยไปใช้ในชีวิตจรงิ เชน่ 1. การหาตาํ แหนง่ ศนู ยก์ ลางของแผน่ ดนิ ไหว (วงกลม) 2. เลนส์ จานรับดาวเทยี ม โคมไฟหน้ารถยนต์ การเคลอื่ นทีว่ ิถโี ค้ง (พาราโบลา) 3. หอ้ งกระซบิ สลายนิว่ โครงสรา้ งอะตอม วงโคจรของดาวเคราะห์ ดาวหาง ดาวเทียม (วงร)ี 4. การหาตาํ แหน่งของตน้ กาํ เนิดเสียง โดยใช้ผลต่างเวลาระหวา่ ง 2 จดุ (ไฮเพอร์โบลา) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 93 เรขาคณติ วเิ คราะห วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา (Circle) (Ellipse) (Parabola) (Hyperbola) พน้ื ฐานการเขยี นกราฟ ก่อนจะศกึ ษาภาคตัดกรวยแต่ละรูป ควรทราบพ้นื ฐานการเขียนกราฟ วา่ ลักษณะของกราฟ โดยทั่วๆ ไปนัน้ จะเปลยี่ นแปลงอยา่ งไร หากมคี า่ คงที่มาบวกลบคณู หารอยูก่ บั ตวั แปร x หรอื y ซึง่ พนื้ ฐานเหล่าน้เี ปน็ สิ่งสาํ คญั เพราะเป็นจริงเสมอไมว่ ่าจะใช้กบั กราฟใดๆ นอกเหนือจากในบทน้ี เช่น คา่ สมั บูรณ์, ตรโี กณมติ ,ิ เอกซโ์ พเนนเชยี ล ฯลฯ [1] เม่อื มคี า่ คงท่มี าบวกหรือลบ y y จะเกดิ การ เลอ่ื นแกนทางขนาน y = x2 y = (x-3)2 (Translate หรอื Shift) กลา่ วคือ หากเปลี่ยนรูปสมการจาก f (x, y) = 0 Ox (3,0) x y y ไปเปน็ f (x−h, y−k) = 0 เมอ่ื y+1 = x2 y+1 = (x-3)2 h, k เปน็ คา่ คงท่ี กราฟรูปเดิมจะ ถูกเลอื่ นไปทางขวา h หนว่ ย x x และเล่อื นขน้ึ ด้านบนอีก k หนว่ ย (0,-1) (3,-1) (หรือกล่าวว่า จุดกําเนิดถูกเลอื่ น ไปยงั คู่อนั ดับ (h, k) และรปู กราฟ ทั้งหมดถูกเลอื่ นตามไปดว้ ย) [2] เมื่อมคี า่ คงที่ (ทเี่ ป็นบวก) มาคูณหรือหาร y y = x2 y 3y = x2 จะเกิดการ ปรับขนาด (Scale) ทางแกนนั้น กล่าวคอื หากเปลี่ยนรปู สมการจาก y = f (x) ไปเปน็ my = f (nx) เมื่อ m, n เป็นคา่ คงท่ี O xx ที่มากกวา่ 1 ... กราฟรูปเดิมจะถูกบีบลงทาง ความสงู ทกุ ตําแหน่งเหลือ 1 ใน 3 แนวนอน n เทา่ และบบี ลงทางแนวตั้ง m เท่า y y (สว่ นกรณที ี่ m, n นอ้ ยกวา่ 1 จะมองวา่ เป็นการหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน) y = (2x)2 y/4 = x2 ทง้ั นตี้ อ้ งใชแ้ กน h, k ทไี่ ด้จากการเลอื่ นแกน แล้ว เปน็ แกนกลางสําหรบั บีบหรือขยาย รปู กราฟ xx ความกว้างทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2 ความสงู ทุกตําแหนง่ เพม่ิ เปน็ 4 เท่า Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 94 เรขาคณติ วิเคราะห ข้อสังเกต 1. กราฟในตัวอยา่ งหนา้ ท่ีแลว้ สองรปู ล่างเป็นสมการเดยี วกนั เพยี งแต่มองคนละวิธี * 2. หากสมการมที ง้ั การบวกลบและคณู หาร จะต้อง y 2y = (x-3)2-2 จัดรปู สมการให้บวกลบอยู่ในวงเล็บ (กระทํากับตวั จดั รูปเปน็ 2(y+1)=(x-3)2 แปรโดยตรง) แล้วถัดมาจึงเปน็ การคูณหาร ดังตวั อย่างด้านขวานี้ x เลือ่ นแกนไปอยู่ท่ี (3,-1) และ ความสูงทุกตําแหนง่ เหลอื 1 ใน 2 [3] เม่ือมคี า่ คงท่ี (ที่เป็นลบ) มาคณู หรอื หาร นอกจากจะมีการขยายหรอื บบี ตามขอ้ (2) แล้ว ยังเกิดการ พลิก (Flip) รูปกราฟ โดยใชแ้ กน h, k นีเ้ ป็นแกนหมนุ ด้วย (หากตัวแปร x ถูกคณู ด้วยลบ จะพลกิ สลบั ซ้ายขวา, และหากตวั แปร y ถกู คณู ด้วยลบ จะพลิกสลับบนล่าง) y y y = x2 -(y+1) = (x-3)2 x Ox เลือ่ นแกนไปอยู่ท่ี (3,-1) และ พลกิ รปู กราฟ สลบั บนลา่ ง 4.4 ภาคตดั กรวย : วงกลม นิยาม วงกลม คอื “เซตของคู่อันดบั ทีอ่ ย่หู ่างจากจุดคงที่จุดหน่ึง เป็นระยะเท่าๆ กัน” เรียกจดุ คงที่จดุ นนั้ ว่า จุดศูนยก์ ลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนัน้ ว่า รศั มี (Radius; r) สมการวงกลม สร้างจากสมการระยะทางระหว่างจุดสองจดุ (ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) หากมีจดุ ศูนย์กลางอยทู่ ่ี C (0, 0) และรศั มียาว r หนว่ ย สมการจะเป็น x2+ y2 = r2 แตถ่ า้ เลอื่ นแกน ให้จุด ศนู ย์กลางไปอยทู่ ่ี C (h, k) สมการจะกลายเป็น (x−h)2+ (y−k)2 = r2 r วงกลม C (h,k) (x−h)2 + (y−k)2 = r 2 จดุ ศูนย์กลาง C (h, k) รัศมี r หนว่ ย รปู ทัว่ ไป x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 95 เรขาคณิตวิเคราะห • ตวั อยาง ใหสรา งสมการวงกลมที่มีจดุ ศนู ยก ลางอยูท ี่ (1, −2) และผา นจุด (2, 1) และตอบในรปู Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสทิ ธทิ์ กุ ตัวเปนจาํ นวนเต็ม วิธีคดิ หารศั มีจากระยะทางระหวา ง (1, −2) กับ (2, 1) ไดเทา กับ 12+32 = 10 หนวย สมการวงกลมคือ (x−h)2+ (y−k)2 = r2 แทนคาจุดศนู ยกลางและรศั มี ได (x−1)2 + (y+2)2 = 10 2 → x2−2x+1+y2+4y+4 = 10 → x2+y2−2x+4y−5 = 0 • ตวั อยาง ใหหาสว นประกอบตา งๆ ของรปู วงกลมทีม่ ีสมการเปน x2+y2+2x−4y−10 = 0 วิธีคิด จดั กลุม x และ y แยกกนั และยายตวั เลขไวท างขวา (x2+ 2x) + (y2− 4y) = 10 ตอ มา เติมตวั เลขลงในวงเลบ็ ทงั้ สอง เพือ่ ใหเปน กําลังสองที่สมบรู ณ (อยาลืมเตมิ ทางขวาดว ย) ไดเปน (x2+ 2x + 1) + (y2− 4y + 4) = 10 + 1+ 4 นนั่ คือ (x + 1)2+ (y − 2)2 = 15 ตอบ จดุ ศนู ยก ลางคือ (−1, 2) และรศั มียาว 15 หนวย ขอ้ สังเกต 1. จากรปู ทัว่ ไปของสมการวงกลม x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 เมอ่ื จัดรปู ดว้ ยวธิ ีกาํ ลงั สองสมบรู ณ์แลว้ จะทําให้ทราบวา่ (h, k) = (−D/2, −E/2) 2.1 สมการวงกลมมคี ่าคงทซ่ี ึ่งบอกลกั ษณะกราฟ อยู่ 3 ตวั คอื D, E, F หรือ h, k, r ดังนั้นการสร้างสมการวงกลมจากจุดทก่ี ราฟผา่ น ต้องกําหนดจดุ มาให้ 3 จุด แลว้ จงึ แกร้ ะบบสมการ 3 สมการ ซงึ่ กรณีนีส้ มการ x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 จะคาํ นวณง่ายกวา่ 2.2 แตถ่ า้ บอก r มาให้ จะต้องการจดุ เพ่ิมอกี เพียง 2 จุด เพ่ือหาคา่ h, k หรือถา้ บอก h, k มาให้ ก็ ต้องการอกี เพยี งจดุ เดียวเพ่อื หาคา่ r โดยใชส้ มการ (x−h)2+ (y−k)2 = r2 เส้นสัมผสั วงกลม คอื เสน้ ตรงท่ีลากผ่านจดุ บนวงกลมเพียงจุดเดียวเท่าน้ัน (เรียกว่าจุด สมั ผสั ) และเส้นสมั ผัสวงกลมทุกเส้นจะตงั้ ฉากกบั รศั มี (ท่ีเช่ือมจุดศนู ย์กลางกบั จดุ สัมผสั ) ระยะทางจากจดุ P (x1, y1) ใดๆ ภายนอกวงกลม มายังจดุ สมั ผัส Q หาได้ดังนี้ Q d P (x1,y1) Cd d = x21 + y21 + Dx1+ Ey1+ F หรอื d = (x1−h)2+ (y1−k)2− r2 แบบฝึกหัด 4.4 (58) สมการตอ่ ไปนต้ี ้องการเล่ือนแกนเพ่ือให้ได้รูปท่กี ําหนด ตอ้ งเลือกจดุ ใดเป็นจดุ กําเนิดจุดใหม่ (58.1) (x−4)(y+3) = 1 → xy = 1 (58.2) y = x + 1 − 2 → y = x (58.3) x2+ y2+ 2x − 4y + 5 = 9 → x 2+ y 2= k Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 96 เรขาคณิตวเิ คราะห (59) จงหาสมการรูปทัว่ ไปของวงกลม ที่มลี กั ษณะดงั แตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี (59.1) จุดศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (3, 4) และผา่ นจดุ (1, 1) (59.2) เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางเส้นหนง่ึ เชื่อมจดุ (1, 1) กบั (2, 2) (59.3) สมั ผสั เส้นตรง y = 2x ทจ่ี ดุ กําเนิด และผา่ นจดุ (1, 1) (59.4) ผา่ นจุด (−6, 3), (2, 3) และ (−2, 7) (59.5) ผ่านจดุ (1, −5) และผา่ นจุดตัดของวงกลม x2+ y2− 2x + 2y − 8 = 0 กบั x 2+ y 2+ 3x − 3y − 8 = 0 (60) หาความยาวเส้นสัมผัสท่ีลากจากจุด (0, 1) ไปยังวงกลม 3x2+ 3y2+ 11x + 15y = −9 (61) ใหห้ าสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม ตามเงอ่ื นไขต่อไปนี้ (61.1) สัมผสั วงกลม x2+ y2= 8 ท่ีจดุ (2, 2) (61.2) สัมผัสวงกลม x2+ y2= 17 และมีความชนั เปน็ 4 [Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชนั เท่านี้ แตผ่ ่านจุดศูนยก์ ลางก่อน] (61.3) สัมผสั วงกลม x2+ y2= 16 และผ่านจุด (−1, 8) [Hint: สรา้ งสมการเส้นตรงความชันใดๆ ทผ่ี ่านจดุ นี้ แล้วจึงหาค่าความชัน] (62) ใหห้ าสมการวงกลม ตามเง่ือนไขต่อไปน้ี [Hint: หาจุดศนู ยก์ ลางวงกลมก่อน] (62.1) รัศมี 2 หนว่ ย และสัมผัสกับวงกลมสองวงนี้ คือ (x−2)2+ (y+1)2 = 1 และ (x−6)2+ (y−2)2 = 4 โดยมจี ดุ ศูนยก์ ลางอยูใ่ นควอดรนั ตท์ ่ี 1 (62.2) รัศมี 1 หน่วย, สมั ผัสกับเสน้ ตรง y = x + 2 , และสมั ผัสกับวงกลม x 2+ y 2− 4x + 2y + 1 = 0 (62.3) แนบในสามเหลี่ยมทเี่ กิดจากเส้นตรงสามเสน้ นี้ตัดกัน 2x − 3y + 21 = 0 , 3x − 2y − 6 = 0 , และ 2x + 3y + 9 = 0 (63) จงหาค่า k ท่ที าํ ให้ x2+ y2− 6x + 8y + k = 0 เปน็ สมการวงกลม (64) [Ent’32] จงหาคา่ k > 0 ทน่ี ้อยท่สี ดุ ท่ีทาํ ให้ y = kx สมั ผสั กบั x2+ y2− 14x + 49 = k2 (65) ถา้ C เป็นจุดศนู ย์กลางของกราฟ x2+ 4x + 2 = − (y2+ 8y + 9) แล้ว ให้หาสมการเส้นตรง OC และสมการวงกลมทมี่ ี OC เป็นเส้นผ่านศนู ย์กลางเส้นหน่งึ (66) [Ent’38] เสน้ ตรงความชัน –4/3 ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม x2+ y2− 4x + 2y = 4 โดยตดั วงกลมท่จี ดุ A กับ B หากกาํ หนดจุด D (−1, −2) แลว้ ใหห้ าพน้ื ทสี่ ามเหล่ียม ABD (67) ใหห้ าสมการกราฟซ่งึ จดุ P (x, y) ใดๆ บนกราฟเป็นจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมท่สี ัมผัสกบั กราฟ (x−1)2= (1−y)(1+y) และผ่านจดุ A (−1, 0) ดว้ ย 4.5 ภาคตดั กรวย : พาราโบลา นิยาม พาราโบลา คอื “เซตของคู่อันดับทม่ี ีระยะไปถงึ จุดคงทจี่ ุดหนง่ึ เท่ากับระยะไปถงึ เสน้ ตรงเส้นหน่ึง” เรยี กจุดคงท่จี ุดนั้นว่า จุดโฟกสั (Focus; F) เรียกเสน้ ตรงเสน้ นัน้ ว่า ไดเรกตรกิ ซ์ (Directrix; เสน้ บังคับ) เรยี กเส้นตรงทีผ่ ่านโฟกสั และตงั้ ฉากกับไดเรกตรกิ ซ์ วา่ แกน (Axis) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 97 เรขาคณิตวเิ คราะห พาราโบลาทีม่ ี จุดยอด (Vertex) อยทู่ ี่ V (0, 0) และระยะโฟกสั ยาว c หนว่ ย จะมสี มการ เปน็ x2 = 4 c y (อ้อมแกน y, กราฟหงายเมือ่ คา่ c เปน็ บวก, กราฟควํา่ เมือ่ คา่ c ติดลบ) หรอื y2 = 4 c x (อ้อมแกน x, กราฟเปิดขวาเมื่อ c เป็นบวก, กราฟเปิดซา้ ยเม่ือ c ติดลบ) หากมกี ารเลอ่ื นแกน ให้จดุ ยอดไปอย่ทู ่ี V (h, k) สมการจะกลายเป็น (x−h)2 = 4 c(y−k) และ (y−k)2 = 4 c(x−h) ตามลําดับ 2c F (h,k+c) พาราโบลา (ต้งั ) c ⎧ (x−h)2 = 4 c (y−k) ⎨ ⎩ จดุ ยอด V (h, k) ระยะโฟกสั c หน่วย c ⎧ V (h,k) เลตัสเรกตมั ยาว 4c หน่วย ⎨ ⎩ รปู ทั่วไป Directrix : y=k-c x 2+ Dx + Ey + F = 0 Axis : x=h ⎫ พาราโบลา (ตะแคง) ⎪ c c ⎬ 2c (y−k)2 = 4 c (x−h) ⎪⎭ จุดยอด V (h, k) Axis : y=k V F (h+c,k) ระยะโฟกสั c หนว่ ย (h,k) เลตสั เรกตมั ยาว 4c หนว่ ย Directrix : รปู ทว่ั ไป x=h-c y 2+ Dx + Ey + F = 0 นยิ าม เลตัสเรกตมั (Latus Rectum) คือเสน้ แสดงความกว้างของรปู กราฟ ณ ตําแหนง่ โฟกัส ขอ้ สังเกต 1. พาราโบลาอ้อมแกนใด อาจสังเกตได้จาก ตัวแปรนัน้ จะยกกําลังหน่ึง 2. สมการพาราโบลามีค่าคงที่ 3 ตวั (คือ D, E, F หรือ h, k, c) เช่นเดียวกับวงกลม ดงั นั้นการ สร้างสมการจะใชว้ ิธคี ลา้ ยกนั แตพ่ าราโบลาต้องทราบก่อนด้วยวา่ เป็นพาราโบลาออ้ มแกนใด • ตวั อยา ง ใหส รา งสมการพาราโบลาทีม่ ีจุดยอดอยทู ี่ (1, −2) และผานจุด (2, 1) โดยมีแกนสมมาตร แนวตง้ั และตอบในรปู Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสิทธท์ิ กุ ตัวเปน จาํ นวนเตม็ วธิ ีคิด มีแกนสมมาตรแนวตงั้ แสดงวา สมการคือ (x−h)2 = 4 c(y−k) เราทราบจุดยอด (h, k) = (1, −2) แทนคา ลงในสมการ เปน (x−1)2 = 4 c(y+2) หาคา c โดย แทนจดุ ที่พาราโบลาผา นคือ (2, 1) ลงไปที่ x, y แลวสมการตอ งเปนจริง Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 98 เรขาคณติ วิเคราะห (2−1)2 = 4 c(1+2) → 4 c = 1/3 ... ฉะนน้ั สมการพาราโบลาคือ (x−1)2 = (1/3)(y+2) และกระจายได 3(x2−2x+1) = y+2 → 3x2−6x−y+1 = 0 หมายเหตุ ในตวั อยา งแรกของเรื่องวงกลมกส็ ามารถคดิ ดวยวิธีในขอ นี้ได คือใสจดุ ศนู ยกลาง (h, k) ลงไป ในสมการวงกลมกอน จากนนั้ แทนจุดที่ผา นคือ (2, 1) เพื่อหาคา r ทีย่ งั ไมทราบ • ตัวอยา ง ใหหาสวนประกอบตา งๆ ของรูปพาราโบลาทีม่ ีสมการเปน x2− 2x − 2y − 3 = 0 วธิ ีคิด สังเกตวา ไมมีพจน y2 แสดงวาเปนพาราโบลาออ มแกนต้ัง (หงายหรือควํ่า) การจัดรูปสมการพาราโบลาแบบนี้ เราจดั กลมุ x ไวท างซา ย และยา ย y กับตวั เลขไวท างขวา คือ (x2− 2x) = 2y + 3 ... จากนน้ั เติมตัวเลข (x2− 2x + 1) = 2y + 3+ 1 เพื่อเปนกาํ ลงั สองสมบูรณ ไดเ ปน (x − 1)2 = 2y + 4 → (x − 1)2 = 2(y + 2) → (x − 1)2 = 4 (0.5)(y + 2) ตอบ เปนสมการพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ (1, −2) จดุ โฟกสั คือ (1, −2 + 0.5) = (1, −1.5) และสมการไดเรกตรกิ ซค ือ y = −2 − 0.5 = −2.5 (หรืออาจเขียนเปน 2y + 5 = 0 กไ็ ด) (ถายังไมแ มน ยํา ควรเขียนกราฟเพื่อชว ยในการคิดเลขดว ย) แบบฝกึ หัด 4.5 (68) จงหาสมการรูปทัว่ ไปของพาราโบลา ทมี่ ีลักษณะดงั แต่ละข้อต่อไปนี้ (68.1) จดุ ยอดอยู่ท่ี (−2, 3) และจุดโฟกสั อยทู่ ี่ (5, 3) (68.2) จดุ ยอดอยู่ท่ี O และจุดปลายเลตัสเรกตัมจดุ หน่ึงอยู่ที่ (−3, 6) (68.3) จดุ ยอดอยทู่ ี่ O และผ่านจดุ (−4, −6) โดยมีแกน x เป็นแกนสมมาตร (68.4) จดุ ยอดอยู่ที่ (2, −3) และผ่านจดุ (8, −2.1) โดยแกนสมมาตรตง้ั ฉากแกน x (68.5) จดุ ยอดอยูท่ ่ี (5, −2) และผ่านจดุ (3, 0) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน y (68.6) จดุ โฟกัสอย่ทู ่ี (2, 2) และสมการไดเรกตรกิ ซ์เป็น x + 2 = 0 (68.7) ผ่านจุด (1, 3) , (9, 1) , และ (51, −2) โดยแกนสมมาตรขนานกบั แกน x (68.8) ผา่ นจดุ (−2, 3), (3, 18), และ (0, 3) (69) ใหห้ าระยะจากจดุ P (4, −3) ซึ่งอยบู่ นพาราโบลา 2x2+ 3y = 0 ไปถึงจุดโฟกสั (70) ให้หาส่วนประกอบตา่ งๆ ของพาราโบลา (70.1) จุดโฟกัส ความกว้างท่จี ุดโฟกัส และสมการไดเรกตริกซ์ ของ x2− 12y = 0 (70.2) ส่วนประกอบท้งั หมดของ y2− 10y + 12x + 61 = 0 (70.3) จดุ โฟกัสของพาราโบลาที่มีจดุ ยอดที่ (4, 2) และมีไดเรกตริกซเ์ ปน็ x − 1 = 0 (70.4) จดุ ตดั แกน x ของพาราโบลาที่มจี ุดยอดอยทู่ ี่ (0, −1/3) และจดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (0, 7/6) (71) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจดุ P (x, y) ซ่งึ (71.1) อยหู่ ่างจากเสน้ ตรง y = −4 เทา่ กบั ระยะห่างจากจดุ (−2, 8) (71.2) อย่หู ่างจากเส้นตรง x = −4 มากกว่าระยะหา่ งจากจดุ (3, 1) อยู่ 5 หนว่ ย (72) จุดบนโค้ง 4y =(x−1)2 ซึง่ อยู่หา่ งจากจดุ โฟกัส 13 หน่วย จะห่างจากแกน x เท่าใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 99 เรขาคณติ วิเคราะห (73) ความยาวคอร์ดทเี่ กิดจากเสน้ ตรง 2x − y = 8 ตัดกับพาราโบลา y2= 8x เป็นเทา่ ใด (74) สมการเส้นตรงทผ่ี ่านจุด (1, 6) และจุดโฟกัสของ y2− 4x − 4y = 8 คอื สมการใด (75) ให้หาสมการพาราโบลาท่ีมเี สน้ ตรง y = 5 เป็นไดเรกตริกซ์ และมจี ดุ โฟกัสอยู่ท่ศี ูนย์กลางของ กราฟ x2− 6x = 6 − 2y − y2 (76) ให้หาสมการพาราโบลาทผ่ี ่านจดุ ตดั ของเส้นตรง x = y กบั วงกลม x2+ y2+ 6x = 0 โดยมี แกน x เป็นแกนสมมาตร (77) [Ent’39] กําหนดใหไ้ ดเรกตริกซแ์ ละแกนของพาราโบลา y2− 4y + 8x = 20 ตัดกนั ทจ่ี ดุ P ถ้าวงกลมวงหน่ึงผ่านจุดกาํ เนิด, จุด P, และจดุ โฟกสั ของพาราโบลาแลว้ กําลังสองของรศั มวี งกลม เปน็ เท่าใด (78) ให้หาระยะโฟกสั ของเลนสร์ ปู พาราโบลา ซง่ึ มีความสงู 6 หน่วย และฐานกว้าง 8 หนว่ ย 4.6 ภาคตดั กรวย : วงรี นิยาม วงรี คือ “เซตของคอู่ นั ดับที่ ผลรวมของระยะทางไปถงึ จดุ คงที่สองจดุ มคี า่ เทา่ กัน” เรียกจุดคงทสี่ องจดุ นน้ั วา่ จุดโฟกสั (F1, F2 ) และนอกจากนี้ ระยะทางรวมซ่ึงเปน็ คา่ คงทีน่ ั้น จะมีคา่ เท่ากับ ความยาวของแกนเอก (2a) พอดี วงรีทม่ี ีจุดศูนยก์ ลางอยู่ท่ี C (0, 0) และแกนเอกยาว 2a หนว่ ย แกนโทยาว 2b หนว่ ย จะมสี มการเปน็ ⎛⎝⎜ x ⎞⎠⎟2+ ⎛⎝⎜ y ⎞⎠⎟2= 1 (รตี ามแกน x) หรือ ⎛⎜⎝ y ⎞⎠⎟2+ ⎛⎝⎜ x ⎞⎟⎠2= 1 (รตี ามแกน y) a b a b วงรี (นอน) B1 (h,k+b) (x −h)2 + (y −k)2 =1 a2 b2 จดุ ศนู ยก์ ลาง C (h, k) ⎫ b a ⎬ แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b V2 F2 c ⎭C (h,k) (h+Fc1 ,k) (hV+1a,k) ระยะโฟกสั c = a2− b2 B2 รูปท่วั ไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 100 เรขาคณติ วิเคราะห V1 (h,k+a) วงรี (ต้งั ) (y −k)2 + (x−h)2 =1 a2 b2 (Fh1 ,k+c) จดุ ศูนยก์ ลาง C (h, k) B2 b C (h,k) B1 (h+b,k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b ⎧ ⎫⎬c ระยะโฟกสั c = a2− b2 ⎪ ⎭F2 รปู ท่วั ไป a ⎪⎪ ⎨ Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ⎪ ⎪ V2 ⎩⎪ นิยาม แกนเอก (Major Axis) คอื เสน้ แสดงความยาวของวงรี ( V1V2 ) และ แกนโท (Minor Axis) คอื เส้นแสดงความกว้างของวงรี (B1B2 ) ขอ้ สังเกต 1. สมการวงรีเกดิ จากการขยายขนาดทางแกน x, y ของวงกลมรศั มี 1 หน่วย 2. สาํ หรับวงรีนั้น a > b เสมอ ดังน้ันตัวเลขใดมคี ่ามากกว่า ตวั น้ันก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก) 3. สมการวงรีมีคา่ คงท่ีถงึ 4 ตวั การสรา้ งสมการวงรีจากจุดท่กี ราฟผ่าน ตอ้ งใช้ถงึ 4 จดุ (ไม่นิยม กระทาํ เพราะต้องแกร้ ะบบสมการที่มถี ึง 4 สมการ) • ตวั อยาง ใหส รา งสมการวงรีทีม่ ีจดุ ศูนยก ลางอยทู ี่ (2, 1) มีจดุ โฟกสั อยทู ี่ (2, 4) และจดุ ยอดอยทู ี่ (2, −4) และตอบในรปู Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสิทธทิ์ ุกตวั เปนจํานวนเต็ม วธิ ีคดิ จดุ ศนู ยกลาง จุดโฟกสั และจดุ ยอด เรียงกันโดยคา x เทา กนั และ y ตา งกนั แสดงวา เปน วงรีตามแกนต้ัง ... สมการคือ (y −k)2 + (x−h)2 = 1 a2 b2 เนื่องจากคา a = (−4) − (1) = 5 และคา c = (4) − (1) = 3 ดงั นนั้ b = 52−32 = 4 แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเ ปน (y −1)2 + (x−2)2 = 1 52 42 กระจายสมการ 16(y−1)2+ 25(x−2)2 = 400 → 16(y2−2y+1) + 25(x2−4x+4) = 400 → 25x2+16y2−100x−32y−284 = 0 • ตวั อยา ง ใหหาสว นประกอบตา งๆ ของรปู วงรีซึ่งมีสมการเปน 7x2+16y2+28x−96y+60 = 0 วิธีคิด ในขอนีส้ มั ประสิทธิ์หนา x2 กบั y2 ไมเปน 1 จึงตองแยกออกมาหนาวงเลบ็ ดวย ดงั นี้ ...(7x2+ 28x) + (16y2− 96y) = −60 → 7 (x2+ 4x) + 16(y2− 6y) = −60 จากนัน้ เตมิ ตัวเลขลงในวงเล็บทง้ั สองและเติมทางขวาดวยเชน เดมิ แตใหร ะวังเนื่องจากมีตัวคณู อยูหนาวงเล็บทางซาย ทาํ ใหตวั เลขที่เติมทางขวาเปลีย่ นไป ไดเ ปน 7 (x2+ 4x + 4) + 16(y2− 6y + 9) = −60 + 28 + 144 ... ( 28 = 7 × 4 , )144 = 16 × 9 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)