นักวิชาการจัดเก็บรายได้ปฏิบัติการ 62 อปท.

สารบัญ หน้า ความรู้ความสามารถท่ัวไป (คณติ ศาสตร)์ ............................................................................................1 ตัวอยา่ งแนวขอ้ สอบและแบบฝกึ หดั ...................................................................................................29 แนวข้อสอบวชิ าคณิตศาสตร์ .............................................................................................................38 วชิ าภาษาไทย...................................................................................................................................55 แนวขอ้ สอบวชิ าภาษาไทย.................................................................................................................66 เฉลย แนวข้อสอบวิชาภาษาไทย........................................................................................................80 ความรู้ทั่วไปวิชาภาษาอังกฤษ ........................................................................................................... 81 แนวข้อสอบวิชาภาษาอังกฤษ..........................................................................................................101 เฉลยข้อสอบวชิ าภาษาอังกฤษ.........................................................................................................107 สรปุ หลักปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง โมเดลเศรษฐกิจประเทศไทย 4.0.................................................114 แนวขอ้ สอบ หลักปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง โมเดลเศรษฐกิจประเทศไทย 4.0....................................120 เฉลยแนวขอ้ สอบหลักปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง โมเดลเศรษฐกจิ ประเทศไทย 4.0 .............................124 สรปุ สาระสาคญั แผนพัฒนาเศรษฐกิจและสังคมแหง่ ชาตฉิ บับที่ 12 (พ.ศ. 2560 - 2564) ..................125 สรุปสาระสาคัญ รฐั ธรรมนญู แห่งราชอาณาจักรไทย พ.ศ. 2560........................................................141 แนวข้อสอบ รฐั ธรรมนูญแห่งราชอาณาจกั รไทย พ.ศ. 2560 .............................................................145 เฉลยขอ้ สอบ รัฐธรรมนญู แหง่ ราชอาณาจกั รไทย พ.ศ. 2560 ............................................................152 สรปุ สาระสาคัญ พระราชบัญญัตริ ะเบยี บบรหิ ารราชการแผน่ ดินพ.ศ. 2534.......................................153 แนวขอ้ สอบพระราชบญั ญตั ิระเบยี บบริหารราชการแผ่นดนิ พ.ศ. 2534 และแก้ไขเพิ่มเติม .................199 เฉลยแนวขอ้ สอบ พรบ.ระเบียบบริหารราชการแผ่นดิน พ.ศ. 2534 และแกไ้ ขเพ่มิ เติม .......................206 สรุปสาระสาคญั พระราชบญั ญตั ิองคก์ ารบริหารสว่ นจงั หวัด พ.ศ.2540 และแกไ้ ขเพม่ิ เติม (ฉบบั ที่ 5) พ.ศ. 2562 .............................................................................................................................................207 แนวขอ้ สอบพระราชบญั ญตั อิ งคก์ ารบริหารสว่ นจงั หวัด พ.ศ. 2540 และท่แี ก้ไขเพมิ่ เตมิ ....................217

เฉลยแนวขอ้ สอบ พระราชบญั ญัตอิ งคก์ ารบริหารสว่ นจังหวัด พ.ศ. 2540 และทแี่ ก้ไขเพ่ิมเตมิ ...........223 สรปุ สาระสาคัญพระราชบญั ญัตเิ ทศบาล 2496 และแก้ไขเพม่ิ เติม (ฉบับที่ 14) พ.ศ.2562 .................225 แนวข้อสอบพระราชบัญญตั ิเทศบาล พ.ศ. 2496 และทแ่ี ก้ไขเพ่มิ เตมิ ................................................233 เฉลยแนวข้อสอบพระราชบัญญตั เิ ทศบาล พ.ศ. 2496 และท่ีแกไ้ ขเพม่ิ เติม ........................................238 สรปุ สาระสาคญั พระราชบัญญตั สิ ภาตาบลและองคก์ ารบรหิ ารสว่ นตาบล พ.ศ.2537 และแกไ้ ขเพมิ่ เติม (ฉบับที่ 7) พ.ศ. 2562 ....................................................................................................................239 แนวขอ้ สอบพระราชบญั ญตั ิสภาตาบลและองค์การบรหิ ารส่วนตาบล พ.ศ. 2537 และทแ่ี ก้ไขเพม่ิ เตมิ .255 เฉลยแนวขอ้ สอบพระราชบญั ญตั สิ ภาตาบลและองค์การบรหิ ารส่วนตาบล พ.ศ. 2537 และที่แกไ้ ขเพม่ิ เตมิ ......................................................................................................................................................262 สรปุ สาระสาคญั พระราชบัญญตั ริ ะเบียบบรหิ ารราชการเมอื งพัทยา พ.ศ. 2542 แก้ไขเพิม่ เตมิ (ฉบบั ท่ี 3) พ.ศ. 2562.....................................................................................................................................263 แนวข้อสอบพระราชบัญญัตริ ะเบียบบริหารราชการเมืองพัทยา พ.ศ.2542 และแกไ้ ขเพ่มิ เตมิ (ฉบับท่ี 3) พ.ศ.2562 ......................................................................................................................................272 เฉลยขอ้ สอบ พระราชบัญญัติระเบียบบริหารราชการเมอื งพทั ยา พ.ศ.2542 และแกไ้ ขเพมิ่ เตมิ (ฉบบั ที่ 3) พ.ศ.2562 ......................................................................................................................................278 สรปุ สาระสาคัญพรก.แผนและขน้ั ตอนการกระจายอานาจใหแ้ ก่องคก์ รปกครองส่วนทอ้ งถ่ิน พ.ศ. 2542 ......................................................................................................................................................279 แนวข้อสอบพรก.แผนและขัน้ ตอนการกระจายอานาจใหแ้ ก่องคก์ รปกครองสว่ นท้องถิ่น พ.ศ.2542 .....283 เฉลยข้อสอบพรก.แผนและข้นั ตอนการกระจายอานาจใหแ้ ก่องค์กรปกครองสว่ นท้องถ่ิน พ.ศ.2542 ....288 สรุปสาระสาคญั พรบ.ระเบยี บบรหิ ารงานบุคคลสว่ นท้องถ่ิน พ.ศ.2542 ..............................................289 แนวข้อสอบ พรบ. ระเบียบบริหารงานบุคคลส่วนทอ้ งถิ่น 2542 ........................................................299 เฉลยแนวข้อสอบ พรบ. ระเบียบบริหารงานบุคคลสว่ นท้องถ่ิน 2542 ................................................306 สรปุ สาระสาคัญการบริหารงานบุคคลในองค์กรปกครองส่วนท้องถ่ิน..................................................307 สรุปสาระสาคัญพระราชกฤษฎกี าว่าดว้ ยหลักเกณฑ์และวธิ กี ารบรหิ ารบ้านเมืองทดี่ ี พ.ศ. 2546 ..........310 แนวข้อสอบพระราชกฤษฎกี าว่าด้วยหลักเกณฑ์และวธิ กี ารบรหิ ารกิจการบา้ นเมอื งที่ดี พ.ศ.2546 .......319 เฉลยข้อสอบ พระราชกฤษฎีกาวา่ ด้วยหลกั เกณฑแ์ ละวธิ ีการบรหิ ารกิจการบ้านเมืองทีด่ ี พ.ศ.2546.....324

สรปุ สาระสาคัญพระราชบัญญตั กิ ารอานวยความสะดวกในการพจิ ารณาอนญุ าตของทางราชการ พ.ศ. 2558 .............................................................................................................................................325 แนวข้อสอบพระราชบญั ญัติการอานวยความสะดวกในการพิจารณาอนญุ าตของทางราชการ พ.ศ. 2558 ......................................................................................................................................................331 เฉลยข้อสอบ พรบ.การอานวยความสะดวกในการพจิ ารณาอนุญาตของทางราชการ พ.ศ. 2558 ........335 สรปุ สาระสาคญั ระเบยี บสานกั นายกรฐั มนตรี ว่าดว้ ยงานสารบรรณ พ.ศ. 2526 .................................336 ระเบียบสานักนายกรฐั มนตรี ว่าด้วยงานสารบรรณ (ฉบบั ท่ี 2) พ.ศ. 2548 ........................................364 ระเบยี บสานักนายกรัฐมนตรวี ่าด้วยงานสารบรรณ (ฉบบั ท่ี 3) พ.ศ. 2560 .........................................369 แนวขอ้ สอบระเบยี บสานกั นายกรัฐมนตรวี า่ ดว้ ยงานสารบรรณ พ.ศ. 2526 และที่แก้ไขเพ่มิ เติม ..........370 เฉลยข้อสอบ ระเบียบสานักนายกรฐั มนตรีวา่ ด้วยงานสารบรรณ พ.ศ. 2526 และทแ่ี กไ้ ขเพมิ่ เติม........375 พระราชบัญญัตภิ าษีโรงเรือนและที่ดนิ พ.ศ. 2475 และแก้ไขเพิ่มเตมิ (ฉบบั ท่ี 5) พ.ศ.2543...............376 แนวขอ้ สอบพระราชบัญญตั ภิ าษโี รงเรือนและทีด่ นิ พ.ศ. 2475 และแก้ไขเพ่ิมเติม ..............................391 เฉลยแนวขอ้ สอบพระราชบญั ญตั ภิ าษโี รงเรือนและทีด่ นิ พ.ศ.2475 และแกไ้ ขเพม่ิ เตมิ ........................395 พระราชบัญญตั ภิ าษีบารุงทอ้ งที่ พ.ศ. 2508 และแก้ไขเพมิ่ เตมิ .........................................................396 แนวขอ้ สอบพระราชบญั ญตั ิภาษีบารุงทอ้ งที่ พ.ศ. 2508 และทแี่ ก้ไขเพิ่มเตมิ .....................................417 เฉลยแนวข้อสอบพระราชบญั ญัตภิ าษีบารงุ ทอ้ งท่ี พ.ศ. 2508 และท่ีแก้ไขเพมิ่ เตมิ .............................421 พระราชบญั ญัตภิ าษีปา้ ยพ.ศ. 2510 และแก้ไขเพ่ิมเติม.....................................................................422 แนวขอ้ สอบพระราชบัญญัติภาษีปา้ ย พ.ศ.2510และแกไ้ ขเพ่ิมเติม ....................................................437 เฉลยแนวขอ้ สอบพระราชบญั ญัติภาษีปา้ ย พ.ศ.2510 และแกไ้ ขเพมิ่ เตมิ ...........................................441 พระราชบญั ญัติจัดสรรรายไดป้ ระเภทภาษีมลู คา่ เพม่ิ และภาษีธรุ กจิ เฉพาะให้แกร่ าชการส่วนท้องถ่ิน พ.ศ. 2534 และทแี่ ก้ไขเพ่ิมเติม ...............................................................................................................442 ระเบียบกระทรวงมหาดไทยว่าด้วยการรบั เงนิ การเบิกจา่ ยเงิน การฝากเงนิ การเกบ็ รักษาเงนิ และการ ตรวจเงนิ ขององค์กรปกครองส่วนท้องถ่ิน พ.ศ. 2547 แกไขเพิ่มเติม ฉบับท่ี 3 พ.ศ. 2558 ..................444 ระเบยี บกระทรวงมหาดไทยวา่ ด้วยการรับเงิน การเบกิ จ่ายเงิน การฝากเงิน การเกบ็ รกั ษาเงิน และการ ตรวจเงนิ ขององค์กรปกครองสว่ นท้องถ่ิน (ฉบบั ท่ี 4) พ.ศ. 2561 ......................................................474

แนวขอ้ สอบระเบียบกระทรวงมหาดไทยวา่ ดว้ ยการรับเงนิ การเบกิ จ่ายเงนิ การฝากเงนิ การเก็บรกั ษาเงิน และการตรวจเงินขององค์กรปกครองส่วนท้องถ่ิน พ.ศ. 2547 และทีแ่ กไ้ ขเพ่ิม (ฉบบั ท่ี 4) ..................491 เฉลยแนวขอ้ สอบระเบยี บกระทรวงมหาดไทยวา่ ดว้ ยการรบั เงิน การเบกิ จา่ ยเงนิ การฝากเงนิ การเก็บ รกั ษาเงิน และการตรวจเงนิ ขององค์กรปกครองสว่ นทอ้ งถิ่น พ.ศ. 2547 และท่ีแกไ้ ขเพม่ิ (ฉบบั ท่ี 4) ...496 ระเบียบกระทรวงมหาดไทยว่าด้วยวิธกี ารงบประมาณขององคก์ รปกครองส่วนท้องถิ่น พ.ศ. 2541 ......497 แนวข้อสอบระเบียบกระทรวงมหาดไทยว่าด้วยวิธกี ารงบประมาณขององคก์ รปกครองส่วนท้องถิ่น พ.ศ. 2541 แก้ไขเพิม่ เติม (ฉบับที่ 3) พ.ศ.2543.......................................................................................506 เฉลยแนวขอ้ สอบระเบียบกระทรวงมหาดไทยวา่ ด้วยวธิ ีการงบประมาณขององค์กรปกครองสว่ นท้องถิ่น พ.ศ.2541 แกไ้ ขเพิม่ เตมิ (ฉบับท่ี 3) พ.ศ.2543................................................................................510 ระเบียบมหาดไทยว่าดว้ ยการจัดหาประโยชนใ์ นทรัพยส์ ินขององค์กรปกครองสว่ นท้องถ่ิน พ.ศ. 2543 .511 แนวข้อสอบระเบียบกระทรวงมหาดไทยว่าด้วยการจัดหาประโยชน์ในทรัพย์สินขององคก์ รปกครองสว่ น ทอ้ งถิ่น พ.ศ. 2543.........................................................................................................................519 เฉลยแนวข้อสอบระเบียบกระทรวงมหาดไทยว่าดว้ ยการจดั หาประโยชนใ์ นทรพั ย์สนิ ขององค์กรปกครอง ส่วนท้องถิ่น พ.ศ. 2543 ..................................................................................................................524 ระเบียบกระทรวงมหาดไทยวา่ ดว้ ยแผนท่ภี าษีและทะเบียนทรัพย์สินขององค์กรปกครองส่วนทอ้ งถิ่นพ.ศ. 2550 .............................................................................................................................................525 แผนที่ภาษแี ละทะเบียนทรพั ยส์ นิ .....................................................................................................536 เทคนิคการเตรียมตวั สอบสมั ภาษณ์..................................................................................................540

ความร้คู วามสามารถทวั่ ไป (คณติ ศาสตร์) 1 ความรู้ความสามารถท่ัวไป (คณิตศาสตร์) ลาดับและอนุกรม ลาดับ (Sequences) หมายถึง จานวนหรอื พจน์ทีเ่ ขียนเรยี งกนั ภายใต้กฎเกณฑอ์ ย่างใดอยา่ ง หน่งึ ลาดับทั่วๆ ไปแบง่ เปน็ 2 ชนิดคอื - ลาดบั จากัด คือลาดบั ซ่ึงมีจานวนพจนจ์ ากัด เช่น 1,2,3,4,...,100 - ลาดบั อนนั ต์ คือลาดบั ซงึ่ มจี านวนพจนไ์ มจ่ ากัด เช่น 1,2,3,4,... โดยตัวเลขในแตล่ ะลาดบั จะเรยี กว่า พจน์ เชน่ พจนท์ ี่ 1 ของลาดบั นีค้ อื 1 พจนท์ ่ี 5 คอื 9 1 3 5 7 9 11 อนุกรม (Series) หมายถงึ ผลบวกของลาดบั • เรามกั จะเรียกรวมๆ ส่วนนขี้ องขอ้ สอบว่าคือ ขอ้ สอบอนุกรม ทาใหเ้ ขา้ ใจผดิ ไปได้ว่าการท่โี จทย์ ตอ่ ไปนี้ “ 1 , 2 , 6 , 24 , 120 , ... ตัวเลขตอ่ ไปคอื ?” (เฉลย 720) วา่ นี่คอื อนุกรม แต่ทีถ่ กู ตอ้ ง คือ ข้อสอบน้ถี ามเร่ืองเกี่ยวกบั ลาดับ สังเกตง่ายๆคอื อนกุ รม จะมเี ครอ่ื งหมายบวกระหวา่ งพจน์ เชน่ 1 + 2 + 6 + 24 + 120 ซงึ่ เป็นอนุกรมที่เกิดจากลาดบั ข้างต้น ลกั ษณะของลาดับ ข้อสอบจะไมถ่ ามด้วยลาดบั อย่างงา่ ยทลี่ าดบั จะมีการเพมิ่ หรอื ลดอยา่ งคงที่ เช่น 1 3 5 79 8 5 2 -1 -4 +2 +2 +2 +2 -3 -3 -3 -3 แต่จะใช้ลักษณะลาดบั ทม่ี ีความซบั ซอ้ นกวา่ ดังต่อไปนี้

2 1. ลาดับหลายชัน้ เป็นเลขลาดบั มีคา่ ความแตกต่างระหว่างตวั เลขมลี ักษณะเปน็ ลาดบั ด้วย เชน่ 2. ลาดับเวน้ ระยะ เป็นเลขลาดบั ซึง่ ประกอบด้วยเลขลาดบั มากกว่า 1 ซ้อนกนั อยภู่ ายในโจทยเ์ ดยี วกัน เชน่ 3. ลาดับแบบมคี ่าแตกต่างเป็นชดุ เป็นเลขลาดบั ท่ีเกดิ จากคา่ ความแตกตา่ งทเี่ ปน็ ชุด คอื หลายตัว ประกอบข้ึนมาและใช้ค่าแตกต่างที่เปน็ ชุดดังกลา่ วในการพจิ ารณาลาดบั พจน์ถดั ไป เช่น

ความรูค้ วามสามารถทัว่ ไป (คณติ ศาสตร์) 3 4. ลาดับยกกาลงั เป็นเลขลาดบั ซง่ึ เกดิ จากการยกกาลงั ของตวั เลขตา่ ง ๆ หรอื อาจเกดิ จากคา่ ความ แตกต่างทอี่ าจเปน็ เลขยกกาลงั เชน่ 5. ลาดับเศษส่วน เป็นเลขลาดบั ซงึ่ จะมพี จนใ์ นลาดบั เป็นเศษสว่ น เช่น 6. ลาดบั แบบจดั กล่มุ เปน็ เลขลาดับทีจ่ ะมีความสัมพันธ์แบบเป็นกลมุ่ ของพจน์ เช่น 7. แบบบวกสะสม เลขลาดบั ซงึ่ เกิดจากการบวกพจน์ถดั ไปเรื่อยๆ

4 อนุกรม อนุกรม คอื ผลบวก ของลาดับ เชน่ a1 + a2 + a3 + a4 + ... (a1 หมายถงึ พจน์ที1่ และ a2 หมายถึงพจน์ที่ 2 ของอนกุ รม) อนกุ รมเลขคณติ ( Arithmetic Series ) ให้ sn เปน็ ผลบวก n พจน์แรกของลาดับเลขคณติ ดงั นัน้ sn = a1 + a2 + a3 + ... + an สตู ร ผลบวก n พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิต ตวั อยา่ ง จงหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 + … 200 = 100 × 201

ความรูค้ วามสามารถทวั่ ไป (คณติ ศาสตร)์ 5 อนกุ รมเรขาคณิต ( Geometric Series ) ให้ sn เป็นผลบวก n พจนแ์ รกของลาดับเลขคณิต ดังน้ัน sn = a1 + a2 + a3 + ... + an สตู รผลบวก n พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิต

6 ความน่าจะเป็น ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ หมายถึง จานวนจานวนหนง่ึ ทบี่ ง่ บอกถงึ โอกาสมากน้อยทจี่ ะเกิด แต่ละ เหตกุ ารณน์ น้ั ในทางคณติ ศาสตร์จงึ เรยี กจานวนน้ันว่าความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ ตวั อย่างความนา่ จะเปน็ เดก็ ชายประณต มีกางเกง 3 ตวั คือสีแดงสเี หลืองสีสม้ มเี ส้อื อกี 4 ตวั สมี ่วงสีเชียวสขี าวและสีฟ้า เดก็ ชาย ประณต จะใสเ่ ส้ือและกางเกงสลบั ไปมาเป็นชดุ ๆได้ทัง้ หมดก่ชี ดุ วธิ กี ารคิด จานวนกางเกง 3 ตัว × เสื้อ 4 ตัว = 12 ชุด นั่นคือเหตุการณ์ท่สี ามารถเกิดข้ึนได้ในการแต่งตวั ของประณตมีทั้งหมด n(S) 12 วิธี สตู รความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์P(E) = จานวนผลที่เกิดข้ึนในเหตุการณน์ ้นั n(E) จานวนผลท้งั หมดที่เกิดข้ึนไดn้ (S) ตัวอย่าง จากตัวอย่างกอ่ นหน้ามคี วามเป็นไปไดท้ ป่ี ระณตจะใส่เสื้อสเี ขียวเท่ากับเทา่ ไร วิธที า จานวนผลทป่ี ระณตจะใสเ่ สอื้ เขยี วn(E) = เส้อื เขยี ว x กางเกง = 1x3 = 3เหตุการณ์ P(E) = n(E) 3 n(S) = 12 = 0.25

ความรคู้ วามสามารถท่ัวไป (คณิตศาสตร์) 7 อย่างไรก็ตามการหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณต์ ัวอยา่ งข้างต้นเปน็ การหาจานวนเหตกุ ารณ์ท่ี เกิดขึ้นได้ดั้งหมดn(S) และจานวนเหตุการณ์ท่ีเกิดขึ้นได้n(E) จากเหตุการณ์ที่ไม่ซับซ้อน แต่จะมีความ นา่ จะเป็นของเหตุการณ์แบบอ่ืนๆทซ่ี ับซ้อนกวา่ โดยมีเนื้อหาท่ีต้องทาความเข้าใจดังน้ี แฟกทอเรียล (Factorial) การคานวณโดยใช้กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เกีย่ วกับการนบั จะพบว่า คาตอบเกดิ จากการคณู ของจานวน เต็มบวกชดุ หน่ึง ซ่งึ ถ้าคาตอบเกดิ จากการคูณของจานวนเต็มบวกต้ังแต่ 1 ถงึ n เชน่ 1 × 2 × 3 × 4 × 5 หรอื 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 จานวนเหล่านเ้ี ราสามารถใช้สญั ลกั ษณ์ แฟกทอเรียล เขยี นแทนได้ บทนยิ าม ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บกแล้ว ผลคูณของจานวนเต็มบวกตัง้ แต่ 1 ถึง n ดงั นี้ 1 × 2 × 3 × … × ������ เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ n! อา่ นวา่ แฟกทอเรียลเอ็น หรอื เอ็นแฟกทอเรียล ������! = 1 × 2 × 3 × … × ������ หรอื ������! = (������ − 1) × (������ − 2) × … × 2 × 1 ตัวอย่างเชน่ 1! = 1 2! = 2x1 = 2 3! = 3x2x1 = 6 4! = 4x3x2x1 = 24 5! = 5x4x3x2x1 = 120 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5,040 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40,320 9! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 362,880 10! = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 3,628,800

8 วิธกี ารจัดหมู่ วธิ จี ดั หมู่ (Combination) เปน็ การเลอื กส่ิงของออกมาเป็นหมู่หรือชดุ โดยไมค่ านึงแต่อย่างใด ว่าจะได้ส่งิ ใดออกมาก่อนหรือหลัง กาหนดให้จานวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของท่ีแตกต่างกัน n สิ่งนั้น โดยเลือกคราวละ r ส่ิง (โดย 10≤ r ≤ n) นัน้ จะเกิดการเลือกข้ึนมา จะได้ Cn.r วธิ ีโดย ������������,������ = ������! หรอื (������������) (������−������)!������! ตวั อย่าง จงหาวา่ จานวนวธิ ีเลอื กนักเรียน 4 คนจากกลมุ่ นักเรียน 12 คนนน้ั มีท้ังหมดกวี่ ธิ ี วธิ ที า

ความรคู้ วามสามารถท่ัวไป (คณิตศาสตร)์ 9 วิธีการเรยี งสบั เปลย่ี น วิธกี ารเรียงสับเปลย่ี น (Permutation) คอื การเรยี งส่งิ ของโดยคานงึ ถงึ ตาแหนง่ ของส่ิงของแต่ ละสง่ิ เปน็ ทส่ี าคัญทสี่ ดุ โดยจะใชบ้ ทนยิ ามทวี่ า่ \"ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวก จะใชแ้ ฟกทอเรยี ล (factorial) n โดยเปน็ ผลคณู ตั้งแต่ 1 ถึง n เขยี นแทนด้วย n!\" โดยวิธีสับเปลยี่ นน้นั จะใชท้ ั้งหมด 2 แบบคือ วธิ เี รยี ง สับเปลีย่ นเชงิ วงกลมและวิธเี รียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้น วธิ กี ารเรยี งสบั เปล่ียนเชิงวงกลม จานวนวิธีเรยี งสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั n สงิ่ จะเท่ากับ (n-1)! วิธี ตัวอย่าง หากต้องการจัดนกั เรียน 5 คนใหน้ ่งั รอบโตะ๊ กลม ซง่ึ มีทงั้ หมด 5 ทน่ี งั่ นน้ั ไดท้ ั้งหมดก่วี ธิ ี วิธีทา ตัวอยา่ งกาหนดใหน้ ักเรียน 6 คนนัน้ นั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ทีน่ ่ังโดยมชี าย 3 คน และหญิง 3 คน ถา้ กาหนดวา่ ชายและหญงิ ตอ้ งน่งั สลบั กนั จะน่งั ไดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี วิธที า

10 วิธีการเรียงสับเปลยี่ นเชิงเสน้ สามารถแบ่งไดเ้ ปน็ 2 แบบคือ - วิธเี รยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้นของสง่ิ ของท่ีแตกต่างกนั ทงั้ หมด - วิธีเรียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของสงิ่ ของท่ีไม่แตกตา่ งกนั ทงั้ หมด วิธเี รยี งสับเปล่ยี นเชงิ เส้นของสงิ่ ของทีไ่ ม่แตกต่างกนั ท้งั หมด กาหนดให้มสี ่ิงของ n สิ่งนน้ั หาวิธีท่แี ตกต่างกนั ทง้ั หมดนัน้ โดยหากจัดเรยี งคราวละ r สง่ิ (โดย 1 ≤ r ≤ n) นน้ั จะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ ������������,������วธิ โี ดย ������! ������������,������ = (������ − ������)! ตัวอย่าง มหี นังสือที่แตกต่างกนั 7 เลม่ ต้องการนาหนงั สอื มา 4 เล่มเพ่อื จดั เรยี งเปน็ แถวบนช้ัน จะจดั ไดก้ ว่ี ิธี วธิ ีทา วธิ ีเรยี งสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของสงิ่ ของทีไ่ มแ่ ตกต่างกันทง้ั หมด กาหนดให้มีส่ิงของ n ส่ิงนั้นหาวิธีท่ีแตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลมุ่ (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในแต่ละกลุม่ น้ันลว้ นเป็นของเหมือนกัน *จาแนกเป็นกลมุ่ ๆ* จานวนวธิ ที ่จี ะเรียงสับเปลยี่ นกลมุ่ นั้นกับของ n ส่งิ นั่นคือ

ความรูค้ วามสามารถทั่วไป (คณติ ศาสตร)์ 11 ������! วิธีท่ีจะเรียงสับเปลีย่ นกลมุ่ n ส่ิง = ������������! ������������! ������������! … ������������! ตัวอย่างจงหาจานวนวธิ ีเรียงสบั เปลยี่ นของคาว่า \"PROBABLY\" ทแี่ ตกตา่ งกนั โดยไม่ คานึงถึงความหมาย วธิ ีทา การแกส้ มการ สมการ 1 ตวั แปร ตวั อย่าง ในฟารม์ แหง่ หนงึ่ มี ไก่,เป็ด,แกะและววั จานวนอยา่ งละเทา่ ๆกนั ซงึ่ นบั รวมขาได้ 288 ขา ฟาร์มแหง่ นี้ มแี กะจานวนกต่ี วั วิธีการคิด จานวนขาของสตั ว์แต่ละชนดิ ไก่ (2 ขา) + เปด็ (2 ขา) + แกะ (4 ขา) + ววั (4 ขา) = 12 ขา จานวนขาทนี่ ับรวมได้ คอื 288 ขา มีสตั วจ์ านวนเท่าๆกันจึงใหจ้ านวนสตั วแ์ ตล่ ะชนดิ มจี านวนเทา่ กบั X ตวั จะสามารถเขยี นสมการจากจานวนขาที่มรี วมกันทงั้ หมดได้วา่

12 วิธีทา 2X + 2X + 4X + 4X = 288 12X = 288 X = 288 12 X = 24 ดงั นนั้ จานวนแกะท่มี ี คือ 24 ตัว ตัวอย่าง ปัจจุบนั พอ่ มีอายุมากกวา่ ลกู ชาย 24 ปี อกี 12 ปีขา้ งหน้าพ่อจะมอี ายเุ ปน็ 2 เทา่ ของ ลกู ชาย ปัจจบุ นั ลกู ชายอายุเท่าไหร่ วธิ ีการคดิ ให้ X แทนอายุลูกชายในปัจจุบัน จะสามารถเขียนสมการไดด้ งั นี้ X + 24 = อายพุ ่อในปัจจุบนั อกี 12 ปขี ้างหน้า( +12 ใหก้ บั อายุในปจั จบุ นั ) อายพุ อ่ จะเปน็ 2 เทา่ ของอายุลกู ชาย จะ เขยี นสมการได้ว่า (X + 24) + 12 = 2 (X + 12) อายปุ จั จุบันของพ่อ อายปุ ัจจบุ ันลกู + 12 ปี ได้วา่ X + 36 = 2X + 24 X – 2X = 24 – 36 -X = -12 X = 12 ตอบ ดังนั้นลกู ชาย ปจั จุบนั อายุ 12 ปี

ความรู้ความสามารถท่วั ไป (คณิตศาสตร)์ 13 สมการ 2 ตัวแปร ตวั อย่างหมแู ละไกม่ ีจานวนรวมกันทงั้ หมด 11 ตัว มีขานับรวมกันไดท้ งั้ หมด 30 ขา อยากทราบ ว่ามหี มูและไกม่ ีจานวนอย่างละกต่ี วั วธิ กี ารคิด หมูมี 4 ขา ไก่มี 2 ขา ใหห้ มมู จี านวนเท่ากบั X ตวั และไกม่ ีจานวน Y ตวั ดงั นัน้ จะได้ว่า 4X + 2Y = จานวนขาทั้งหมด 4X +2Y = 30 ไกแ่ ละหมมู จี าวนวนรวมกัน 11 ตัว จะได้วา่ X + Y = 11 วธิ ที า ทาการคูณเขา้ หรือหารสมการ หรือ ดว้ ยจานวนใดๆซงึ่ จะทาใหต้ ัว แปร( X หรอื Y ) มสี ัมประสิทธิห์ นา้ ตวั แปรเท่ากนั ทง้ั 1 สองส2มการ (X+Y = 11 ) ×2 ได้ 2X + 2Y = 22 2Y = -2X + 22 แทนคา่ ในสมการที่ 1 ; 4X +2Y = 30 ได้ 4X + (-2X + 22 ) = 30 ; แทนคา่ 2Yด้วย (-2X + 22) 4X – 2X +22 = 30 2X = 30 – 22 X =8= 4 2 ตอบ ดงั นัน้ มีหมู 4 ตัว และมไี ก่ 4 + Y = 11 ; Y = 7 ไกม่ ี 7 ตวั

14 จานวนเสาทป่ี ักตามเส้น จานวนเสาท่ีปกั ตามเสน้ รอบวง ( ปักเสาวนกลบั มาที่จุดเริ่ม) สูตร : จานวนเสาท้งั หมด = ความยาวของเสน้ รอบวง ระยะทางท่ีห่างกนั ระหวา่ งเสา ตวั อยา่ งที่ 1 สนามหญ้าเป็นรปู วงกลม มีเส้นรอบวงยาว 80 เมตร ปกั เสาตามแนวเสน้ รอบวง แต่ละต้นหา่ งกนั 2 เมตร จะตอ้ งใชเ้ สากีต่ น้ ………ออกสอบ สปจ. ปี 2543 วธิ ที า ความยาวเส้นรอบวง = 80 เมตร ระยะห่างระหว่างเสา = 2 เมตร จากสูตร จานวนเสาท้ังหมด ความยาวของเสน้ รอบวง = ระยะทางทีห่ า่ งกันระหวา่ งเสา จานวนเสา = 80 = 40 ต้น 2 จานวนเสาทีป่ กั ตามเสน้ รอบวง ( ปักเสาไมว่ นกลบั มาทีจ่ ดุ เรมิ่ ) สูตร : จานวนเสาท้งั หมด = ความยาวของเสน้ รอบวง +1 ระยะทางท่ีห่างกนั ระหว่างเสา ตวั อยา่ งที่ 2 ปักเสาตามแนวถนนในหมบู่ ้าน เสาแตล่ ะต้นห่างกนั 2 เมตร และ ระยะทางจากเสาต้นแรกถึงต้นสดุ ทา้ ยยาว 80 เมตร จงหาวา่ มีเสาท้งั หมดกต่ี ้น วธิ ที า ระยะทางท้งั หมด = 80 เมตร ระยะทเ่ี ท่ากันระหวา่ งเสา = 2 เมตร

ความรคู้ วามสามารถทั่วไป (คณิตศาสตร)์ 15 จากสูตร จานวนเสาทงั้ หมด = ความยาวของเส้นรอบวง +1 ระยะทางที่หา่ งกันระหวา่ งเสา จานวนเสา = 80 +1 = 41 ตน้ 2 สูตรทว่ั ไปเพม่ิ เตมิ 1. เสน้ รอบวงของวงกลม = 2π������ 2. พน้ื ที่ของวงกลม = π������2 π คอื คา่ คงตวั มคี ่าเทา่ กบั 22 หรอื ประมาณ 3.14 7 r คือ ความยาวรัศมขี องวงกลม

16 การบวกเลขหลายจานวนเรียงกัน การบวกเลขหลายจานวนเรียงกันมกั ออกในข้อสอบบอ่ ยๆ จงึ จะสรปุ ประเดน็ สาคญั ดงั นค้ี ือ เทคนิคในการทาขอ้ สอบ 1.บวกเลขหลายจานวนเรียงกันทีเ่ ริม่ จากหนง่ึ สูตร (ตน้ +ปลาย) ×ปลาย 2 2. การบวกเลขหลายจานวนเรียงกันทไี่ มเ่ รม่ิ ต้นจากหน่ึง สูตร (ต้น+ปลาย) ×N 2 N= จานวนเทอม = (เทอมปลาย-เทอมต้น)+1 3. การบวกเลขหลายจานวนทเี่ รียงกันเฉพาะเลขคู่ และ เลขคี่ สูตร (ตน้ +ปลาย) ×N 2 N= (เทอมปลาย−เทอมตน้ ) + 1 2

ความรู้ความสามารถทวั่ ไป (คณิตศาสตร)์ 17 บัญญัตไิ ตรยางศ์ การคานวณเรอื่ งบญั ญตั ไิ ตรยางคเ์ ปน็ ลกั ษณะหนง่ึ ของการเปรยี บเทยี บ แต่ใช้การเปรยี บเทยี บ ปรมิ าณ ส่วนหนง่ึ ก่อน ดังตัวอยา่ งเข่น ตวั อยา่ งผลไมช้ นิดหนง่ึ ขาย 8 ผล ราคา 5 บาท ถ้าซือ้ ผลไมน้ ้ี 160 ผล จะตอ้ งจ่ายเงิน เทา่ ไร วธิ ีทา ผลไม้ 8 ผล ราคา 5 บาท ผลไม้ 1 ผล ราคา 5 บาท 8 ผลไม้ 160 ผล ราคา 5 x 160 = 100 8 จะตอ้ งจา่ ยเงิน 100 บาท บัญญตั ไิ ตรยางค์ผกผัน คือ ถ้าตวั ที่นาไปเทียบมากขึ้นผลลพั ธจ์ ะมคี า่ นอ้ ยลง ถ้าตวั นาไปเทยี บน้อยลงผลลพั ธจ์ ะมากข้ึน เขน่ ตัวอย่างดาและแดง ทางานช้นิ หนง่ึ เสรจ็ ใน 8 วนั ดาทาคนเดยี วเสรจ็ ใน 15 วนั แดงทาคนเดียวจะเสรจ็ ในกี่วนั วิธีทา ใน 8 วนั 2 คน ช่วยทางานได้ 1 สว่ น ใน 1 วัน 2 คน ช่วยทางานได้ 1 สว่ น 8 ใน 15 วนั ดาทาคนเดียวไดง้ าน 1 สว่ น ใน 1 วัน ดาทาคนเดียวไดง้ าน 1 สว่ น 15 ใน 1 วนั แดงทาคนเดยี วได้งาน 1 − 1 = 7 สว่ น 8 15 120 แดงทางานคนเดียวเสรจ็ ในเวลา 120/7 = 171 วัน 7

18 ข้อสอบมกั จะถามในรปู แบบของการทางานเสรจ็ ภายในระยะเวลาใดๆ และเพ่ือไมใ่ ห้เกดิ ความสับสนในการเทียบ บญั ญัติไตรยางค์ สามารถทาตามสตู รดงั ต่อไปนี้ได้ สตู รที่ 1 งาน = จานวนวนั ที่ใชใ้ นการทางาน จานวนคน × ประสิทธิภาพการทางาน ***ใชใ้ นกรณที ่คี นงานสามารถทางาน(ประสทิ ธิภาพการทางาน)ได้ดีเท่าๆกนั หรอื ใช้หาความ ประสิทธภิ าพในการทางานของคนงาน สตู รท่ี 2 งาน = จานวนวนั ที่ใชใ้ นการทางาน ประสิทธิภาพการทางานคนท่ี 1 + ประสิทธิภาพการทางานคนท่ี2 ***ใชใ้ นกรณที คี่ นงานความสามารถในการทางานไม่เทา่ กนั มักเปน็ ข้อสอบทเ่ี ป็นบคุ คล 2 ที่ ทางานไดด้ ีแตกต่างกนั ตวั อย่างดาและแดง ทางานชิน้ หนงึ่ เสรจ็ ใน 8 วัน ดาทาคนเดยี วเสรจ็ ใน 15 วนั แดงทาคนเดยี วจะเสรจ็ ในกีว่ ัน วิธีทา ใหป้ ระสมิ ธภิ าพในการทางานของแดง = X และของดา = Y กาหนดใหง้ านทง้ั หมดเท่ากบั 1 ส่วน จากสูตรที่ 2 จะไดว้ า่ 1 = 8 ; เปน็ สมการท่ี 1 ������+������ จากโจทย์สามารถหาประสมิ ธิภาพการทางานของดา(Y)ไดจ้ ากการใช้สูตรท1่ี จะ ไดว้ ่า 1 = 15 ได้ ������ = 1 1×Y 15 นา ������ = 1 มาแทนในสมการท่ี 1 จะได้ 15

ความรู้ความสามารถท่ัวไป (คณิตศาสตร์) 19 1 =8 11 8 = ������ + 15 ������ + 1 15 11 7 8 − 15 = ������ ������ = 120 นา X กลบั ไปแทนในสตู รที่ 1 จะได้วา่ จานวนวนั ท่ีใชใ้ นการทางานของแดง = 1 = 1 = 120 = 17 1 วนั 1×1720 7 77 120

20 ความเร็ว (v) ������ ������ = ������ v คอื ความเร็วมีหน่วยเปน็ เมตร/วินาที หรือ กิโลเมตร/ช่วั โมง s คอื ระยะทาง มเี หน่วยเปน็ เมตร หรือ กิโลเมตร t คอื เวลา มหี นว่ ยเป็น วนิ าที หรือ ชวั่ โมง สตู รทีใ่ ชใ้ นการสอบ ความเร็วเฉล่ยี (������̅) = 2 × ������ไป × ������กลบั ������ไป + ������กลบั *ใช้ในกรณที โี่ จทยร์ ะบเุ พยี งความเรว็ ไป – กลับ และตอ้ งการหาความเรว็ เฉลยี่ ไปกลบั ตัวอยา่ งเดินทางจากเมอื ง A ไปเมอื ง B ขาไปใชค้ วามเรว็ 80 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง ขากลบั กลบั ด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง อยากทราบว่าความเรว็ เฉล่ยี ไป-กลบั เท่ากบั เทา่ ไร วิธที า จากสูตรแทนค่าได้ ความเรว็ เฉลีย่ (������̅) = 2×80×40 80+40 ความเรว็ เฉลี่ย(������̅) = 6400 120 ตอบ ความเรว็ เฉลี่ย(������̅) = 53.33 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง

ความรู้ความสามารถทว่ั ไป (คณิตศาสตร์) 21 ตวั อยา่ ง รถ 2 คันซงึ่ อยหู่ ่างกนั 20 กโิ ลเมตร กาลงั วิง่ เข้าหากนั คันแรกว่งิ ด้วยด้วยความเรว็ 30 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง คันทีส่ องวง่ิ ด้วยความเร็ว 40 กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง หากนาย A สามารถว่ิงจากรถคนแรกทนั ทที รี่ ถทง้ั สองเริ่มเคลอื่ นเข้าหากนั ไปยงั คันท่ีสองแลว้ ว่ิง กลบั ไปกลบั มาระหว่างรถจนกวา่ รถท้งั สองจะชนกัน อยากทราบวา่ นาย A จะว่งิ ได้ ระยะทางท้ังหมดเท่าไร หากวง่ิ ดว้ ยความเรว็ 5 กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง (แนวข้อสอบ กพ.61) วธิ คี ดิ ตอนนี้เราทราบความเรว็ (v)ที่นาย A ใชว้ ิ่งแลว้ คอื 5km/hr ดังน้นั การจะทราบ ระยะทาง(s)ทนี่ าย A ว่งิ ได้ จาเป็นจะตอ้ งหาระยะเวลา(t)ที่เขาใชว้ ่งิ ให้ได้ เสยี กอ่ น ซ่งึ ระยะเวลาดังกลา่ วกค็ ือระยะเวลาทใี่ ชใ้ นการว่ิงมาชนกันของรถทงั้ สองคันนัน่ เอง วิธที า รถว่งิ เขา้ หากนั แสดงวา่ ความเรว็ ท่ีรถจะชนกันหรอื ว่งิ เขา้ หากนั ในระยะทาง 20 กโิ ลเมตร คอื ������คันท่ี 1 + ������คันที่ 2 = ������รวม 40 + 30 = 70 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง จาก ������ = ������ สามารถปรบั รปู สมการเป็น ������ = ������ ได้ ซึ่ง ������ คอื ระยะเวลาทร่ี ถจะ ������ ������ มาชนกัน จะได้วา่ ������ = ������������ = 0.285 ชว่ั โมง ������������ นนั่ คอื ระยะเวลาทนี่ าย A ว่ิงไปมาระหวา่ งรถ 2 คนั ดว้ ยความเรว็ 5 กโิ ลเมตร ตอ่ ชัว่ โมงเท่ากบั 0.285 ช่ัวโมง จาก ������ = ������ จะปรบั รปู สมการเพือ่ หาระยะทางทน่ี าย A วิ่งไดว้ ่า ������ = ������������ ������ จะไดว้ า่ ������ = ������. ������������������ × ������ = 1.425 กิโลเมตร ตอบ 1.425 กโิ ลเมตร

22 รอ้ ยละและเปอรเ์ ซน็ ต์(%) % หากเขียนในรปู ร้อยละ จะเขยี นได้วา่ % ยกตวั อยา่ งเช่น 100 80% ก็คอื รอ้ ยละ 80 หรอื สามารถเขยี นในรปู 80 100 50% กค็ อื รอ้ ยละ 50 หรอื สามารถเขียนในรูป 50 100 0.5% กค็ ือ รอ้ ยละ 0.5 หรือสามารถเขียนในรปู 0.5 100 ซึ่งในการคานวนนัน้ การเขียนในรปู เศษส่วนแลว้ ใช้การเปรียบเทยี บตามอัตราสว่ นจะครอบคลุม การทาโจทยห์ รอื หาคาตอบไดค้ ลอบคลมุ มากกวา่ นง่ั จาสูตรเฉพาะกรณซี ่งึ อาจกอ่ ใหเ้ กดิ ความสบั สน เช่น ตัวอย่างแบบท่ี 1 80 % ของ 70 เทา่ กบั เท่าไร(X) วิธที า ให้ต้งั สมการดงั นี้ = 80 ������ 100 = ของ70 นน่ั คอื ใหเ้ ขียน % ไว้ในรูปของรอ้ ยละแลว้ เทยี บกบั สิง่ ทีต่ ้องการหา ซงึ่ คาวา่ “ของ” จะแสดงด วามหมายว่าจานวนน้นั ต้องเป็นสว่ น อยา่ งในกรณนี ค้ี ือ ของ70 จะไดว้ ่า 80 ������ 80 × 70 100 = 70 ; ������ = 100 = 56

ความรู้ความสามารถทว่ั ไป (คณิตศาสตร)์ 23 ตัวอย่างแบบที่ 2 70 คดิ เปน็ ก่ีเปอรเ์ ซน็ ต์(X)ของ 90 วิธีทา = ������ 70 100 = ของ90 ในกรณีน้ีเราต้องการท่ีจะหาว่า จานวนใดๆ(70) คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ “ของ” อีกจานวน (90) ดังน้นั 70 จึงเปน็ เศษและ 90 เป็นสว่ น ซง่ึ เปอร์เซ็นต์(%) หรือทีเ่ ราให้เป็นตวั แปรXน้นั จะมสี ่วนเปน็ 100 เพราะ%ก็คอื อตั ราส่วนร้อยอยแู่ ล้วนั่นเอง ������ 70 70 × 100 100 = 90 ; ������ = 90 = 77.78 และอยา่ ลมื ว่าคาตอบในขอ้ น้ีมหี น่วยเปน็ % คอื 77.78 % ตวั อยา่ งแบบท่ี 3 56 คดิ เป็น 80 เปอรเ์ ซน็ ต์ของเลขจานวนใด(X) วธิ ที า = 80 56 100 = ของX ในข้อน้คี อื การถามย้อนกลบั เพ่อื หาว่า เลขจานวนใด(X) ทจี่ านวน 56 คิดเป็น 80% ของมัน 80 56 56 × 100 100 = ������ ; ������ = 80 = 70 น่ันคอื 56 คิดเป็น 80% ของ 70 น่ันเอง

24 ตัวอยา่ งแบบที่ 4 75% ของ 60 คิดเปน็ ก่ี% ของ 90 ในโจทย์ข้อนจ้ี ะเห็นไดว้ า่ เปน็ การคิด 2 ชัน้ นน่ั คอื ต้อง 75% ของ 60 ก่อนว่าเท่ากับเท่าไร แลว้ เอาไปเทยี บตอ่ วา่ จานวนนนั้ เท่ากบั กี่%ของ 90 วธิ ีทา = 75 ������ 100 = ของ60 75 ������ 75 × 60 100 = 60 ; ������ = 100 = 45 จากนั้นนา 45 ไปคานวณต่อวา่ คดิ เป็นก่ี%ของ 90 ������ 45 100 = ของ90 ������ 45 45 × 100 100 = 90 ; ������ = 90 = 50%

ความรู้ความสามารถทว่ั ไป (คณิตศาสตร์) 25 ดอกเบีย้ และอัตราเงินเดือน คานวณดอกเบย้ี ไมท่ บต้น ตัวอยา่ งโอน๋ าเงนิ ไปฝากธนาคาร 10,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบ้ยี 3% ต่อปี โอถ๋ อนดอกเบ้ีย ออกจากบัญชีเงนิ ฝากทกุ ปี เมื่อฝากครบ 3 ปี โอ๋ไดร้ ับดอกเบย้ี กี่บาท วธิ คี ิด เนอ่ื งจากดอกเบย้ี เท่ากนั ทุกปจี งึ คานวณดอกเบีย้ ของปีแรก แล้วนามาคูณดว้ ยจานวนปี ไดเ้ ปน็ สูตร ดอกเบยี้ = เงนิ ต้น x อตั ราดอกเบยี้ x ระยะเวลา เงินตน้ 10,000 บาท อตั ราดอกเบี้ย 3% ตอ่ ปี ระยะเวลา 3 ปี แทนคา่ ในสตู ร ดอกเบยี้ ที่ไดร้ ับ = 10,000 x 3% x 3 3 = 10,000 × 100 × 3 = 900 บาท

26 คานวณดอกเบี้ยทบต้น ตัวอย่าง เก๋นาเงินไปฝากธนาคาร 10,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบ้ีย 3% ต่อปี เก๋ไม่ถอน ดอกเบี้ยออกจากบัญชีเงินฝากเมือ่ ฝากครบ 3 ปี เกไ๋ ด้รบั ดอกเบี้ยก่ีบาท วิธที า ปีท่ี 1 เงนิ ต้น 10,000 บาท ไดร้ บั ดอกเบย้ี 3% ตอ่ ปี ดอกเบย้ี = 10,000 x 0.03 บาท เนื่องจากเก๋ไมถ่ อนดอกเบย้ี ออกจากบญั ชเี งินฝาก ส้นิ ปที ี่ 1 เงินในบญั ชี = เงินต้น + ดอกเบย้ี = 10,000 + 10,000 x 0.03 แยกตวั ประกอบ โดยนา 10,000 ซึง่ เปน็ ตัวประกอบร่วมไวน้ อกวงเล็บ = 10,000(1 + 0.03) = 10,000(1.03) ................ ( 1 ) ปที ่ี 2 เงนิ ตน้ 10,000(1.03) บาท ไดร้ ับดอกเบี้ย 3% ตอ่ ปี ดอกเบ้ยี = 10,000(1.03) x 0.03 บาท เน่อื งจากเกไ๋ มถ่ อนดอกเบ้ยี ออกจากบัญชีเงินฝาก ส้ินปีท่ี 2 เงินในบัญชี = เงินตน้ + ดอกเบีย้ = 10,000(1.03) + 10,000(1.03) x 0.03 แยกตัวประกอบ โดยนา 10,000(1.03) ซ่ึงเป็นตัวประกอบรว่ มไว้นอกวงเลบ็ = 10,000(1.03)(1 + 0.03) = 10,000(1.03)(1.03) = 10,000(1.03)2 ................ ( 2 )

ความรคู้ วามสามารถท่วั ไป (คณิตศาสตร์) 27 ปที ี่ 3 เงนิ ต้น 10,000(1.03)2 บาท ได้รบั ดอกเบ้ีย 3% ตอ่ ปี ดอกเบ้ยี = 10,000(1.03)2 x 0.03 บาท เนอ่ื งจากเกไ๋ ม่ถอนดอกเบี้ยออกจากบญั ชีเงนิ ฝาก ส้ินปีที่ 3 เงนิ ในบญั ชี = เงนิ ต้น + ดอกเบ้ยี = 10,000(1.03)2 + 10,000(1.03)2 x 0.03 แยกตัวประกอบ โดยนา 10,000(1.03)2ซ่งึ เป็นตัวประกอบรว่ มไวน้ อกวงเล็บ = 10,000(1.03)2 (1 + 0.03) = 10,000(1.03)2(1.03) = 10,000(1.03)3 ................ ( 3 ) จาก ( 1 ), ( 2 ) และ ( 3 ) ได้สูตรคานวณดอกเบ้ียทบต้นดงั น้ี เงินรวม = เงินต้น x (1 + r )n เงินรวม คือ เงินตน้ + ดอกเบ้ยี r คือ อัตราดอกเบ้ยี ท่ีแปลงเปน็ เลขทศนยิ ม n คือ จานวนครั้งทคี่ ดิ ดอกเบีย้

28 หากลองใชส้ ูตรในข้อนี้จะได้ว่า วิธที า เกน๋ าเงนิ ไปฝากธนาคาร 10,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบยี้ 3% ต่อปี เกไ๋ มถ่ อนดอกเบยี้ ออกจากบญั ชเี งนิ ฝากเมอื่ ฝากครบ 3 ปี เก๋ได้รบั ดอกเบ้ยี กีบ่ าท แทนคา่ ในสตู รคานวณดอกเบย้ี ทบต้น เงนิ รวม = เงินต้น x (1 + r )n เงนิ ต้น = 10,000 คดิ ดอกเบ้ียปีละคร้ัง ฝาก 3 ปี มีการคดิ ดอกเบ้ีย 3 คร้ัง ดงั น้นั n = 3 1 รอบของการคิดดอกเบ้ยี คือ 1 ปี จงึ ใช้อตั ราดอกเบีย้ ตอ่ ปี แตล่ ะครง้ั ทคี่ ดิ ดอกเบ้ียใชอ้ ัตราดอกเบี้ย 3 % ตอ่ ปี ดังนั้น r = 0.03 ดอกเบยี้ เงนิ รวม = 10,000 x (1 + 0.03)3 = 10,000 x (1.03)3 = 10,000 x (1.092727) = 10,927.27 = เงินรวม - เงินต้น = 10,927.27 - 10,000 บาท = 927.27 บาท

ตวั อยา่ งแนวขอ้ สอบและแบบฝกึ หดั 29 ตวั อยา่ งแนวขอ้ สอบและแบบฝึกหัด ������ 1. ให้ ������ = ������������ จงหาค่าของ A ������ วิธีทา ������������ ������ = 5 = 51 5−1 4 = 32 =9 32 32 ÷ 32 = 3 2 = 32 1 32 2. เชอื กเสน้ หนึง่ ยาว x เมตร ตดั เป็นท่อน ยาวทอ่ นละ 960 เมตร จานวน 6 ทอ่ น จงหาความ ยาวเดมิ ของเชอื ก วิธีทา ������ ; ������ = 6 × 960 = 5,760 เมตร 960 = 6 3. จงหาคา่ เฉล่ียของเลขจานวนเตม็ บวก 7 จานวนแรกที่หารดว้ ย 13 ลงตวั วธิ ที า เลขจานวนเต็มบวก 7 จานวนแรกทห่ี ารด้วย 13 ลงตัว มี 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 ใชส้ ตู รอนุกรมเลขคณติ ������������ = ������ (������1 + ������������) 2 7 7 × 104 ������������ = 2 (13 + 91) = 2 ������������ = 364 นามาหาคา่ เฉลีย่ (������̅) ������̅ = 364 = 52 7

30 4. ซ้อื ลกู อมมาราคา 5 เม็ดบาท และขายไป 3 เม็ดบาท ถ้าขายลูกอมหมดแล้วได้กา ไร 120 บาท จงหาวา่ ซือ้ ลกู อม มาทัง้ หมดกเ่ี ม็ด วิธีทา 1 บาท ซ้อื ลูกอมมาราคาลกู ละ 5 ขายที่ราคาลูกละ 1 บาท ซ้อื ลกู อมมา กาไร = รายรบั - ทนุ 3 x ลกู ไดว้ ่า ; 5−3 15 ������ = 120 11 3 ������ − 5 ������ = 120 ������ = 15 × 120 = 900 ลกู 2 5. มณฑาทิพย์ต้องการซื้อโทรศพั ท์มือถือจากราคาป้ายคอื 20,000 บาท แตม่ ีการลดราคาจาก ป้าย 15 % แต่มณฑาทิพย์มีเงนิ ไมพ่ อ ตอ้ งยมื แม่ 10 % จึงจะพอซือ้ ราคาท่ีลดแล้วได้ จงหา ว่าเดมิ มณฑาทพิ ย์มเี งินอยูก่ ี่บาท วธิ ีทา โทรศัพทร์ าคา 20,000 บาท ลด 15% เหลือ 20,000 − 20,000 × 15 = 17,000 บาท 100 ตอ้ งยืมแม่ 10% จากราคาทล่ี ดแล้ว 17,000 × 10 100 = 1700 บาท มณฑาทิพยม์ เี งนิ อยู่ 17,000 – 1700 = 15,300 บาท

ตัวอยา่ งแนวขอ้ สอบและแบบฝกึ หดั 31 6. ถ้าคา่ เฉลย่ี ของ 21, 32 , 23 , x มีค่าเทา่ กบั 19 และคา่ เฉล่ียของ 11 , 8 , 10 , 27 , x , y มี ค่าเทา่ กับ 11 จงหาค่าเฉลย่ี ของ x และ y วิธีทา 21 + 32 + 23 + ������ 4 = 19 ; ������ + 21 + 32 + 23 = 19 × 4 ������ = 76 − 21 − 32 − 23 = 0 11+8+10+27+������+������ = 11 ; 11+8+10+27+0+������ = 11 66 11 + 8 + 10 + 27 + ������ = 66 ; ������ = 66 − 11 − 8 − 10 − 27 = 10 คา่ เฉลย่ี ของ x และ y คอื 10+0 = 5 2 7. กาหนดให้ 4*1*2 = 2 และ 5*3*3 = 12 จงหาว่า 7*3*x มคี า่ ตรงกับขอ้ ใด วธิ ที า 4*1*2 = 2 ; (4x2)-2 = 2 5*3*3 = 12 ; (5x3)-3 =12 ดงั นั้น 7*3*x ; (7x3) – x = 21-x 8. ในการทดสอบวชิ าหนง่ึ สุภาพ สามารถทา คะแนนได้ 60 % แตส่ อบจริง เขาทา คะแนนได้ 75 % จงหาวา่ ในการสอบจรงิ เขาได้ทา คะแนนไดม้ ากข้นึ ก่ีเปอร์เซ็นต์ วธิ ที า คะแนนเต็มเทา่ กบั x คะแนน ทดสอบไดค้ ะแนน 60 ������ คะแนน ทาได้จริง 100 75 ������ คะแนน 100

32 ได้คะแนนจริงมากว่าการทดสอบเท่ากับ 75 ������ − 60 ������ = 15 ������ 100 100 100 นาคะแนนสว่ นตา่ งมาคิดวา่ เปน็ กเี่ ปอร์เซ็นต์ของคะแนนเดมิ (คะแนนรอบทดสอบ) 15 ������ = % ; 15������ 100 % 15 % ������ 100 100 × 60������ = 100 ; 60 = 100 100 60 100 15 × 100 % = 60 = 25 ทาคะแนนรอบจรงิ ไดม้ ากกวา่ รอบทดสอบ 25% 9. ฝาแฝดคูห่ นึง่ เมือ่ 8 ปี ก่อน อายขุ องเขารวมกนั เปน็ 24 ปี จงหาว่าปัจจบุ ัน แต่ละคนอายุ เท่าไร วิธที า ทั้งคเู่ ป็นฝาแฝด นัน่ หมายความวา่ ทง้ั คู่เกดิ พรอ้ มกนั และมีอายเุ ทา่ กัน อายุรวมกันเมอ่ื 8 ปกี อ่ นได้เท่ากบั 24 แสดงว่าในปัจจบุ ันมอี ายรุ วมกนั เทา่ กบั 32 ปี ดังน้ันทัง้ คู่อายุ 32 = 16 ปี 2 10. เกมปาลูกโปง่ ถา้ ใครปาลูกโป่งแตกจะได้ลูกละ 10 บาท แตถ่ ้าปาไมแ่ ตก จะตอ้ งจา่ ยคร้ังละ 3 บาท ถ้าสมเกยี รตปิ าลูกโป่งทง้ั หมด 34 คร้งั ปรากฏวา่ เขาต้องจ่ายเงนิ 24 บาท จงหาวา่ สมเกียรติ ปาลกู โป่งแตกกีค่ รงั้ วธิ ที า ใหจ้ านวนที่ปาลูกโปง่ ไม่แตกเทา่ กบั x คร้งั ดังน้ันจานวนคร้ังทป่ี าลูกโป่งแตกจะเทา่ กบั 34 – x ครั้ง ปรากฏวา่ ต้องจา่ ยเงนิ 24 บาท จะไดว้ า่ (จานวนครง้ั ทปี่ าพลาดx3บาท) - (จานวนครง้ั ทป่ี าโดนx10บาท) = 24 บาท

ตวั อย่างแนวขอ้ สอบและแบบฝกึ หดั 33 3x – (34-x)10 = 24 ; 3x – (340 -10x) = 24 ; 3x – 340 +10x =24 13x = 24+ 340 = 364 ; ������ = 364 = 28 13 ดงั น้ันจานวนคร้งั ที่ปาลกู โป่งแตกเท่ากบั 34 - x ; 34 - 28 = 6 ครัง้ 11. กาหนดให้ ������������ = ������ จงหาคา่ ของ ������������ + ������ วธิ ีทา 2 ยกกาลงั 3 เทา่ กบั 8 ดงั นั้น x = 3 ������2 + 1 = 32 + 1 = 10 12. กาหนดให้ a + b = 33 และ 5a = 8 b ขอ้ ใดคอื คา่ ของ a วธิ ที า 5a = 8b ดงั น้ัน ������ = 5������ นาไปแทนคา่ ในสมการ a + b = 33 8 ไดด้ งั น้ี 5������ 8������ + 5������ ������������������ ������ ������ + 8 = 33 ; 8 = 33 ; 13������ = 264 ; ������ = ������������ = ������������ ������������ 13. นายรักชาติทาฟารม์ เล้ียงไก่ หมู และ วัว โดยอัตราส่วนของจานวนไก่ กบั วัว คือ 3 : 4 อตั ราสว่ นของจานวน ววั กบั หมูคอื 8: 10 ถ้านายรักชาติ เลี้ยงสตั ว์ไว้ท้งั หมด 2,448 ตวั จง หาว่า เขาเลย้ี งหมมู ากกว่าไก่อยกู่ ีต่ วั วธิ ีทา ไก่ : ววั = 3 น่นั คอื หากมีววั 4 ตัวจะมีไก่ 3 ตัว 4 ววั : หมู = 8 ; หมู : วัว = 10 นั่นคือหากมวี วั 8 ตัวจะมหี มู 10 ตวั 10 8 ไก่ : ววั = 3 × 2 = 6 นั่นคอื หากมีวัว 8 ตวั จะมไี ก่ 6 ตัว 4 28 ได้วา่ วัว : ไก่ : หมู เทา่ กับ 8 : 6 : 10 ดงั นน้ั หมมู จี านวน = 10 × 2,448 = 1020 ตวั 24 ดงั นัน้ หมูมจี านวน = 6 × 2,448 = 612 ตวั 24

34 มีหมมู ากกวา่ ไก่อยเู่ ท่ากบั 1020 − 612 = 408 ตวั 14. นาย บี ซือ้ เงาะมาทงั้ หมด ������������ ������ กิโลกรมั แลว้ ขายไปของทั้งหมด ������ โดยได้เงินมาจากการ ������ ������ ขายเงาะ840 บาทจงหาวา่ นาย บี ขายเงาะไปกิโลกรัมละก่บี าท วิธีทา 31 1 = 31.5 กิโลกรัม ขายไป 1 ของทงั้ หมด 23 ไดว้ ่าขายเงาะไป 31.5 × 1 = 10.5 กิโลกรัม ไดเ้ งนิ มา 3 ขายเงาะไปกโิ ลกรมั ละ 840 บาท 840 = 80 บาท 10.5 15. เอทางานได้ 55 ชิ้น / ชม. บที างานชนิดเดยี วกันได้ 40 ชนิ้ / ชม. ถา้ บีทางานมากกวา่ เอ อยู่ 3 ชวั่ โมงผลงานทีไ่ ดเ้ ป็น 80 % ของผลงานของ เอ จงหาวา่ เอทางานทัง้ หมดกี่ชั่วโมง วิธที า เอ ทางาน x ชว่ั โมง บี ทางาน x+3 ชัว่ โมง จานวนงาน = เวลาทท่ี างาน x ประสทิ ธิภาพการทางาน จานวนงานที่ บี ทาไดจ้ ากการทางาน x+3 ช่วั โมง คดิ เป็น 80% ท่ี เอทาไดใ้ น x ช่ัวโมง เวลาทางานของบี × ประสิทธภิ าพการทางานบี = (เวลาทางานของเอ × ประสทิ ธภิ าพการทางานเอ) ������������ ������������������ ไดว้ ่า ได้ว่า (������ + 3)40 = ������(55) 80 100 40������ + 120 = 44������ ; 120 = 44������ − 40������

ตัวอยา่ งแนวขอ้ สอบและแบบฝึกหัด 35 4������ = 120 ; ������ = 30 เอทางานทัง้ หมด 30 ชั่วโมง 16. กาหนด 1*3 = 11 และ 5*9 = 91 จงหาคา่ ของ (-1)*7 วธิ ที า 1*3 = 11 ; (1 × 2) + 32 = 11 5*9 = 11 ; (5 × 2) + 92 = 91 A*B ; (������ × 2) + ������2 = (-1)*7 ได้ว่า ((−1) × 2) + 72 = 47 17. ถ้า 1 วา เท่ากับ 2 เมตร แลว้ จงหาวา่ 9,216 ตารางเมตร เทา่ กบั กตี่ ารางวา วธิ ที า เมตร2 หรอื เมตร x เมตร หรอื ด้าน x ด้าน = ตารางเมตร ดังนัน้ ������2 = 9,216 ; ������ = √9,216 = 96 เมตร 96 เมตร = 96 = 48 วา จาก ด้าน x ดา้ น หรือ วา x วา 2 ไดว้ ่า 48 x 48 = 2,304 ตารางวา 9,216 ตารางเมตร เทา่ กบั 2,304 ตารางวา 18. ตาอายุ 79 ปี ยายอายุมากกว่าหลานสองคนรวมกันอยู่ 40 ปี หลานอายุห่างกัน 2 ปี ถา้ ผล คูณของอายุหลานท้งั สอง เทา่ กับอายขุ องตา กับยายรวมกัน จงหาวา่ ยายอายุเทา่ ไหร่ วธิ ีทา หลานทงั้ สองมอี ายุเทา่ กบั x และ x+2 ปี ผลคูณอายุของหลานท้ัง 2 ไดเ้ ทา่ กับอายตุ ากับยาย(y)รวมกนั ไดว้ ่า x(x+2) = 79 +y_____________________(1) ยาย(y)อายมุ ากกวา่ หลานรวมกนั 40 ปีไดว้ ่า y – (x+(x+2)) = 40______________________(2)

36 (1) จัดรปู ใหม่ได้ y = x(x+2) - 79_______________(3) (2) จัดรปู ใหมไ่ ด้ y = 40 + x+(x+2)________________(4) (3) = (4) ได้ x(x+2) - 79 = 40 + x+(x+2) x(x+2) – 2x = 40+79+2 x2 + 2x – 2x = 121 x2 = 121 x = 11 แทนคา่ x ใน (1) จะได้ 11(11+2) = 79 +y ; 143-79 = y ; y = 64 ยายอายุ 64 ปี 19. แม่ซอ้ื มะนาว ลกู เล็ก 5 ลกู ลูกใหญ่ 9 ลกู จา่ ยค่ามะนาวไป 83 บาท ส่วนลกู ซื้อมะนาวรา้ น เดียวกนั โดยซื้อลกู เลก็ 10 ลูก ลูกใหญ่ 4 ลูก จ่ายเงนิ ไป 68 บาท จงหาว่ามะนาวลกู ใหญล่ กู ละกบ่ี าท วิธีทา มะนาวลูกเลก็ ราคา x บาท มะนาวลกู ใหญ่ราคา y บาท แม่ซอื้ มะนาว 5x + 9y = 83___________________________(1) ลกู ซ้ือมะนาว 10x + 4y = 68___________________________(2) (1) x 2 ; 2(5x) + 2(9y) = 2(83) 10x + 18y = 166________________(3) (3) – (2) ; 10x – 10x + 18y - 4y = 166 - 68 14y = 98 y =7

ตวั อยา่ งแนวขอ้ สอบและแบบฝกึ หดั 37 มะนาวลูกใหญ่ ราคาลกู ละ 7 บาท 20. ลกู แกว้ 4,000 ลกู มนี า้ หนกั เท่ากัน ลูกละ 0.5 กรัม นามาบรรจุกลอ่ ง ซงึ่ กล่องสามารถบรรจุ น้าหนักไดไ้ มเ่ กิน 1 กโิ ลกรมั จงหาว่าตอ้ งใช้กลอ่ งบรรจุลูกแก้วท้งั หมดอยา่ งนอ้ ยก่ีกล่อง วิธีทา ลูกแก้ว 4000 ลูก หนัก 4000 x 0.5 = 2000 กรัม กล่องบรรจไุ ดไ้ มเ่ กนิ (นอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั ) 1 กโิ ลกรมั หรือ เท่ากับ 1000 กรมั ตอ้ งใชก้ ล่องบรรจอุ ยา่ งนอ้ ย 2000 = 2 กล่อง 1000 ต้องใชก้ ล่องบรรจุอย่างนอ้ ย 2 กล่อง

38 แนวขอ้ สอบวชิ าคณิตศาสตร์ 1. 3 9 15 21 27 … ก. 31 ข. 33 ค. 35 ง. 37 ตอบ ก. 33 แนวคดิ วธิ ีการหาคาตอบโดยเพม่ิ ค่าให้กบั พจนค์ รงั้ ละ 5 เท่าๆกนั 3+6=9 , 9+6=15 , 15+6=21 , 21+6=27 , 27+6=33 2. 499 497 494 … ก. 492 ข. 491 ค. 490 ง. 489 ตอบ ค. 490 แนวคดิ วิธกี ารหาคาตอบโดยลดลงตามลาดบั 500-1=499 , 499-2=497 , 497-3=494 , 494-4=490 3. 5 10 30 120 … ก. 240 ข. 360 ค. 480 ง. 600 ตอบ ง. 600 แนวคิด วิธหี าคาตอบโดยคูณเพมิ่ ข้นึ เรียงตามลาดบั ทีละพจน์ 5×2=10 , 10×3=30 , 30×4=120 , 120×5=600

แนวข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ 39 4. 3 9 12 21 33 … ก. 42 ข. 45 ค. 52 ง. 54 ตอบ ง. 54 แนวคิด วิธกี ารหาคาตอบ ดังนี้ 3 9 12 21 33 54 ผลตา่ งคร้ังที่ 1 6 3 9 12 21 (6+3) (3+9) (9+12) 5. 14 20 28 38 … ก. 30 ข. 32 ค. 36 ง. 50 ตอบ ง. 50 แนวคดิ วิธีการหาคาตอบโดยบวก +6, +8, +10, +12 เรยี งทลี ะพจน์ 14+6=20 , 20+8=28 , 28+10=38 , 38+12=50 6. 1 3 5 9 17 31 57 … ก. 9 ข. 81 ค. 95 ง. 105 ตอบ ง. 105 แนวคดิ วิธีการหาคาตอบโดยนา 3 พจน์มาบวกกนั ดงั น้ี 1+3+5 =9 3 + 5 + 9 = 17 9 + 17 + 31 = 57 17 + 31 + 57 = 105

40 7. 1 2 3 4 3 8 9 … ก. 9 ข. 81 ค. 32 ง. 105 ตอบ ค. 32 แนวคดิ วธิ กี ารหาคาตอบโดยนา พจน์ 1 คณู พจน์ 3 พจน์ และพจน์ 2 คูณ พจน์ 4 ดงั นี้ 1X3 =3 3X3 =9 2X4 =8 4 X 8 = 32 8. 11 22 33 44 55 … ก. 11 ข. 66 ค. 77 ง. 120 ตอบ ง. 66 แนวคิด วิธีการหาคาตอบ ดังน้ี 11 22 33 44 55 66 (11×1) (11×2) (11×3) (11×4) 9. 2 4 16 256 … (11×5) (11×6) ก. 65,539 ข. 65,538 ค. 65,537 ง. 65,536 ตอบ ง. 65,536 แนวคดิ วิธกี ารหาคาตอบ ดังนี้ 22 42 162 2562 (2×2) ( 4×4) (16×16) (256×65,536) 10. 5 10 30 120 … ก. 240

แนวขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ 41 ข. 360 ค. 480 ง. 600 ตอบ ง. 600 แนวคดิ วิธหี าคาตอบโดยคูณเพ่มิ ข้ึนเรียงตามลาดบั ทลี ะพจน์ 5×2=10 , 10×3=30 , 30×4=120 , 120×5=600 11. 9 3 -3 -9 -15 … ก. -18 ข. -19 ค. -20 ง. -21 ตอบ ง. -21 แนวคดิ วธิ ีการหาคาตอบโดย -6 เรยี งทีละพจน์ 9-6=3 , 3-(-6)=-3 , -3+(-6)=-9 , -9+(-6)=-15 , -15+(-6)=-21 12. 1, 4, 27, … , 3125 ก. 64 ข. 256 ค. 1024 ง. 81 ตอบ ข. 256 แนวคดิ เน่ืองจาก เปน็ การนาตัวเลขไปยกกาลงั ดว้ ยลาดบั นัน่ คือ 1 ยกกาลงั 1 เทา่ กับ 1, 2 ยก กาลงั 2 เท่ากบั 4, 3 ยกกาลงั 3 เท่ากบั 27, 4 ยกกาลัง 4 เทา่ กับ 256 และ 5 ยกกาลงั 5 เท่ากับ 3125 13. 12, 14, 10, 12, 8 , 10, … , 8 ก. 10 ข. 12 ค. 16 ง. 6 ตอบ ง. 6 แนวคิด เนอื่ งจาก เป็นการเพ่มิ คา่ ตวั เลขขึน้ 2 และลดค่าตวั เลขลง 4 สลับกนั ไปเรื่อยๆ ดังนี้ 12+2, 14-4, 10+2, 12-4, 8+2 , 10-4 , 6+2

42 14. 1, 4, 8, 13, 19, 26, 34, … ก. 35 ข. 40 ค. 43 ง. 65 ตอบ ค. 43 แนวคิด เนือ่ งจาก เปน็ การเพมิ่ ค่าตวั เลขจากพจน์ที่ 1 เป็น 3 พจน์ต่อไปเปน็ 4,5,6, ไปเรือ่ ยๆ ดังน้ี 1+3, 4+4, 8+5, 13+6, 19+7 , 26+8 , 34+9 15. 1, 2, 3, 4, 10, 1, 3, 5, 7,…,1, 4, 9, 16, 30 ก. 9 ข. 11 ค. 16 ง. 20 ตอบ ค.16 แนวคดิ เน่ืองจาก เปน็ การรวมกันของสีพ่ จน์ทีข่ า้ งหนา้ ดังนี้ 1+2+3+4=10, 1+3+5+7=16 และ 1+4+9+16=30 16. 4, 2, 8, 13, 24, 44, .... ข. 80 ก. 58 ง. 90 ค. 84 ตอบ ข.80 แนวคิด เนื่องจาก 4+2+8-1=13 , 8+13+24-1=44 และ 13+24+44-1 = 80 17. 4, 2, 16, 5, 3, 125, 6, 4, .... ข. 1024 ก. 100 ง. 1296 ค. 1280 ตอบ ง. 1296 แนวคิด เนือ่ งจาก 4 ยกกาลงั 2 เท่ากับ 16 , 5 ยกกาลงั 3 เทา่ กับ 125 และ 6 ยกกาลัง 4 เท่ากบั 1296 18. 1, 1, 4, 2, 2, 8, 4, 4, 16, 6, 6, … ข. 30 ก. 24 ง. 48 ค. 32 ตอบ ก. 24

แนวข้อสอบวชิ าคณิตศาสตร์ 43 แนวคดิ เนือ่ งจาก 1+1 คณู 2 เท่ากบั 4 2+2 คณู 2 เท่ากับ 8 4+4 คูณ 2 เท่ากบั 16 6+6 คณู 2 เทา่ กบั 24 19. 100, 81, 64, 49, …. , 25, 16, 9, 4, 1, 0 ก. 31 ข. 35 ค. 36 ง. 41 ตอบ ค. 36 แนวคิด เน่ืองจาก เอาผลลพั ธข์ องการยกกาลังสอง โดยเรมิ่ จาก 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 และ 0 จะได้ 10 ยกกาลัง 2 เท่ากับ 100 , 9 ยกกาลัง 2 เทา่ กบั 81 ,8 ยกกาลงั 2 เท่ากับ 64 ,7 ยกกาลงั 2 เท่ากับ 49 , 6 ยกกาลงั 2 เทา่ กบั 36 , 5 ยกกาลัง 2 เท่ากบั 25 ,4 ยกกาลงั 2 เทา่ กบั 16 ,3 ยกกาลงั 2 เทา่ กับ 9 , 2 ยกกาลงั 2 เทา่ กับ 4 , 1 ยกกาลงั 2 เทา่ กบั 1 และ 0 ยกกาลัง 2 เท่ากับ 0 20. 33, 49, 63, 75, …. , 93 ก. 83 ข. 85 ค. 87 ง. 91 ตอบ ข. 85 แนวคิด เนือ่ งจาก เอาผลลัพธท์ าการบวกตง้ั แตพ่ จน์แรกดว้ ย 16 แลว้ พจน์ถัดไปกบ็ วกดว้ ย 14 , 12 , 10, 8 จะได้ 33+16 = 49 , 49+14 = 63 , 63+12 = 75 , 75+10=85 และ 85+8 =93

44 21. 20, 24, 27, 29, …. ก. 30 ข. 31 ค. 32 ง. 33 ตอบ ก.30 แนวคิด เนือ่ งจาก เอาผลลพั ธเ์ อา 15 ตั้งแลว้ บวกด้วย 5, 4, 3, 2, 1 มาเร่อื ยๆ จะได้ 15+5 = 20 , 20+4 = 24 , 24+3 = 27 , 27+2=29 และ 29+1=30 22. 3, 5, 7, 15, 27, …. , 91 ก. 30 ข. 35 ค. 42 ง. 49 ตอบ ง.49 แนวคิด เนื่องจาก นาพจน์ที่ 1,2 และ 3 บวกกันจะไดพ้ จนท์ ี่ 4 จากนน้ั นาพจน์ท่ี 2,3 และ 4 บวกกนั จะได้พจน์ท่ี 5 ทาเชน่ นไ้ี ปเรอื่ ยๆ จะได้ 3 +5+7= 15 , 5+7+15 = 27 , 7+15+27 = 49 และ 15+27+49=91 23. 1, 2, 2, 4, 16, … ก. 32 ข. 48 ค. 64 ง. 256 ตอบ ง. 256 แนวคดิ เน่อื งจาก นาพจน์ท่ี 1 และ 2 คณู กันจะไดพ้ จนท์ ี่ 3 จากนน้ั นาพจนท์ ่ี 1,2 และ 3 คูณ กนั จะได้พจนท์ ี่ 4 ทาเช่นน้ไี ปเรอ่ื ยๆ จะได้ 1*2= 2 , 1*2*2 = 4 , 1*2*2*4 = 16 และ 1*2*3*4*16=256 24. 1000, 100, 20, … ก. 10 ข. 8 ค. 5 ง. 1 ตอบ ข. 8 แนวคดิ เนื่องจาก นา 10 มาเปน็ ตัวหาร จากนน้ั ก็เอาครง่ึ ของ 10 มาเป็นตวั หาร และเอาครึ่ง ของครง่ึ ของ 10 มาเปน็ ตัวหาร จะได้ 1000/10= 100 , 100/5 = 20 และ 20/2.5=8

แนวขอ้ สอบวชิ าคณติ ศาสตร์ 45 25. 26, 22, 18, 14, 10, … ก. 8 ข. 7 ค. 6 ง. 5 ตอบ ค. 6 แนวคดิ เนอ่ื งจาก นา 4 มา จะได้ 26-4= 22 , 22-4 = 18, 18-4=14, 14-4=10 และ 10- 4=6 26. ผลบวกของเลขเรยี งกันจาก 1 ถงึ 100 มคี ่าเทา่ ไหร่ ก. 1,010 ข. 1,050 ค. 5,000 ง. 5,050 ตอบ ง. 5,050 แนวคดิ สตู ร (ต้น+ปลาย) ×ปลาย = (1+100) ×100 = 5,050 22 27. ผลบวกของเลขค่เู รียงกันจาก 11 ถงึ 44 มีค่าเท่าไหร่ ก. 310 ข. 350 ค. 370 ง. 476 ตอบ ง. 476 แนวคดิ สตู ร (ต้น+ปลาย) ×N 2 N = จานวนเทอม = (เทอมปลาย-เทอมต้น)+1 หา N =? N = (44−11)+1 2 = 34 2 = 17

46 สตู ร (ต้น+ปลาย) ×N 2 = (44+12) × 17 2 = 56 × 17 2 = 28 × 17 = 476 28. เป็ด ไก่ วัว และสุกรมจี านวนอยา่ งละเทา่ ๆ ทนั ถ้านับขารวมทนั ได้ 360 ขา อยากทราบวา่ มวี วั กี่ ตัว ? ก. 5 ตัว ข. 10 ตัว ค. 15 ตัว ง. 30 ตวั ตอบ ง. 30 ตวั แนวคดิ วิธีการหาคาตอบ * นก ไก่ วัว และสกุ ร อยา่ งละ 1 ตัว นับขารวมกบั ได้ (2+2+4+4)= 12 ขา * จานวนขาทง้ั หมด คือ 360 ÷ 12 = 30 * ดงั นนั้ นก ไก่ วัว และสกุ ร มีอย่างละ = 30 ตวั 29. หมา แมว และ นก มจี านวนอยา่ งละเท่าๆกนั ถ้านับขารวมกัน 60 ขา อยากทราบวา่ แมวมีก่ตี ัว ก. 6 ตวั ข. 7 ตวั ค. 8 ตัว ง. 9 ตัว ตอบ ก. 6 ตวั แนวคดิ วิธีการหาคาตอบ * หมา แมว และนก อยา่ งละ 1 ตัว นับขารวมกบั ได้ (4+4+2)= 12 ขา * จานวนขาทั้งหมด คือ 60 ÷ 12 = 6 * ดังนัน้ หมา แมว และนก มอี ย่างละ = 6 ตวั