MATH ebook

ใชด้ ีถูกใจอยา่ ลืมอดุ หนนุ ฉบับตพี มิ พเ์ ปน็ เลม่ ดว้ ยนะครบั * เนอ้ื หาตามหลกั สตู รใหมค่ รบทกุ บทเรียน ม.4-5-6 * โจทยแ์ บบฝึกหดั เตรยี มความพรอ้ มกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั ครบทง้ั 14 ฉบบั (2541-2548) * พรอ้ มเฉลยคําตอบ วธิ คี ดิ และเรอื่ งทนี่ า่ รอู้ กี มากมาย.. เหมาะสาํ หรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารบั ตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลยั Release 2.2.04 เซต ตรรกศาสตร/์ การให้เหตผุ ล ระบบจาํ นวนจรงิ /ทฤษฎีจํานวน เรขาคณิตวเิ คราะห์ ความสัมพันธ์/ฟงั กช์ ัน กําหนดการเชงิ เส้น ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม เมตริกซ์ เวกเตอร์ จาํ นวนเชิงซ้อน ทฤษฎกี ราฟ ลําดบั /อนุกรม ลิมิต/ความตอ่ เนอ่ื ง อนพุ ันธ์/การอินทเิ กรต สถติ ิ ความน่าจะเป็น คณิต มงคลพทิ ักษส์ ขุ http://math.reads.it วศ.บ. ไฟฟ้า จฬุ าฯ (เกยี รตนิ ิยม) [email protected]

2 RMealetahseE-2B.2o.0o4k เรียบเรยี งโดย คณติ มงคลพทิ กั ษ์สุข เผยแพรท่ างอินเตอรเ์ นต็ (มี.ค.2547 ถงึ ปัจจบุ นั ) ทเ่ี วบ็ ไซต์ http://math.reads.it และ “thaiware.com” Release 2.2 14 มิถุนายน 2549 Release 2.2.01-03 กรกฎาคม-พฤศจิกายน 2549 Release 2.2.04 26 เมษายน 2550 ตพี ิมพค์ รงั้ แรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548 พมิ พ์ครง้ั ท่ี 3 (จาก Release 2.0) ตน้ ปี 2550 ในชอื่ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET” โดยสาํ นกั พมิ พ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบณั ฑิต) ราคาปก 159 บาท เอกสารชุดนส้ี งวนลขิ สทิ ธต์ิ ามกฎหมาย (คมุ้ ครองถงึ รนุ่ เอกสารท่ีเคยเผยแพร่ทัง้ หมด) หา้ มลอกเลยี นไม่ว่าสว่ นหนงึ่ สว่ นใด และห้ามใช้ในการอืน่ นอกจากอา่ นส่วนบคุ คล เว้นแตไ่ ด้รับอนุญาตเปน็ ลายลักษณอ์ ักษร ฉบบั ตพี มิ พ์มจี ําหน่ายทศ่ี ูนยห์ นังสือจุฬาฯ ถนนราชดําเนิน รา้ นซเี อ็ด ร้านแพร่พิทยา หรอื โทร.ส่งั ซอ้ื ไดท้ ี่ ตรอกสาเก โรงแรม 7-Eleven รา้ นธรรมบณั ฑิต วัดบูรณศริ ิ ธรรมบัณฑติ รัตนโกสนิ ทร์ 3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอด ถนนอัษฎางค์ ไปกระทรวงมหาดไทย สนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200 โทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884 คลองหลอด ธนาณตั ิส่ังจา่ ย ป.ณ.หนา้ พระลาน ในนาม “ผ้จู ดั การ” แม่ธรณี แผงหนงั สอื กระทรวง สนามหลวงเดิม ยตุ ิธรรม สนามหลวง

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 3 ¤íÒªéÕ樧 ภายในหนังสอื เล่มนี้ประกอบดว้ ย เนอ้ื หาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน พ.ศ.2544 ชว่ งชนั้ ที่ 4 (หรอื ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึง่ พยายามเขียนใหก้ ระชบั ท่สี ุด) และ โจทยแ์ บบฝกึ หัด ทเี่ รียงลาํ ดับจากง่ายไปยาก พรอ้ มทั้งเนื้อหาและเทคนคิ การ คาํ นวณท่คี วรทาํ ความเข้าใจเพม่ิ เตมิ เน้อื หาบางบทเรียนสามารถเริม่ ทาํ ความเข้าใจไดท้ ันที แต่ บางบทเรียนก็จําเปน็ ตอ้ งใช้พนื้ ฐานความรจู้ ากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนนั้ เพือ่ ป้องกนั การ สบั สนผู้อา่ นควรศกึ ษาเรียงตามหัวข้อดังน้ี ตรรกศาสตร์ เซต ระบบจาํ นวนจรงิ ความนา่ จะเป็น ทฤษฎีกราฟ เมตรกิ ซ์ เวกเตอร์ พื้นฐาน ฟังก์ชัน เรขาคณติ วิเคราะห์ จาํ นวนเชงิ ซอ้ น เพิ่มเติม กําหนดการเชิงเสน้ สถติ ิ ลําดับ+อนกุ รม ตรีโกณมิติ ลมิ ติ +ความตอ่ เนอ่ื ง เอกซ์โพ.+ลอการทิ ึม อนพุ ันธ์+อนิ ทิเกรต นอกจากนใ้ี นตอนท้ายยงั มี ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั วชิ าคณิตศาสตร์ ครบทงั้ 14 ฉบบั (ต.ค.41 ถึง ม.ี ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถงึ 2548, เฉพาะข้อท่เี ปน็ คณติ ศาสตร์) เพ่อื ใชส้ าํ หรบั ฝกึ ฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลยั (O-NET / A-NET) อกี ด้วย ในทา้ ยบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคาํ ตอบและวธิ ีคดิ กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดย เฉลยวธิ ีคิดในหนังสอื เลม่ นเี้ ป็นเพยี งการสรุปความคดิ รวบยอดของขอ้ นน้ั ๆ ไมไ่ ด้แสดงวิธที าํ อย่างละเอียดทกุ ข้นั ตอน ทง้ั นเี้ ปน็ ความตัง้ ใจที่จะเนน้ ให้ผอู้ ่านไดล้ องคดิ และเกิดความเข้าใจไป พรอ้ มๆ กนั เพื่อใหท้ าํ ข้อสอบไดร้ วดเรว็ ข้นึ เชื่อวา่ หากผอู้ า่ นไดใ้ ห้เวลาทาํ ความเขา้ ใจเนอื้ หา อย่างถ่ถี ้วน และฝกึ ทําโจทยแ์ บบฝึกหดั ไปทีละข้ันๆ พรอ้ มกับตรวจเฉลยทกุ ข้อ กจ็ ะตดิ ตาม บทเรยี นจนจบไดอ้ ยา่ งลุลว่ ง ส่งิ ที่ตอ้ งการแนะนาํ ในท่ีนค้ี อื หากมขี อ้ สงสยั ให้รีบถามจากผ้รู ู้ ไม่ ควรปล่อยให้ตดิ ค้างอยู่ :] Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 4 แนวโจทย์ขอ้ สอบเข้าฯ ในปจั จุบัน โจทยข์ อ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั ปัจจบุ นั น้ีเปลยี่ นแนวไป ทําใหห้ ลายคนบ่นว่ายากขนึ้ มาก ส่วนตวั ผเู้ ขียนว่าเป็นข้อสอบท่ดี ีเพราะเร่ิมเนน้ ความเข้าใจในเนื้อหา ในนยิ ามหลักๆ ของบทเรียน ลักษณะขอ้ สอบแบบนอี้ ันทจี่ รงิ ไมถ่ อื ว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซึง้ มากกว่า คนท่จี ะทาํ ขอ้ สอบแบบนี้ ไดถ้ กู จะตอ้ งรู้ลกึ และแมน่ จรงิ สตู รลัดกลายเปน็ สิ่งไรค้ ่า และการขยนั เรยี นท่ีโรงเรยี นโดยตลอด พรอ้ มกบั ทําความเข้าใจในแบบฝกึ หัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดมี ากกว่าการกวดวชิ า เรยี นคณติ ศาสตรย์ ังไงให้ได้ผลดี (1) ปัญหาแรกของคนทีบ่ อกวา่ ตัวเองเรยี นไม่รู้เรอื่ งเลย ทาํ โจทย์ไม่เป็นเลย อยทู่ ี่เรียนผดิ วิธี ครบั ถ้าไมเ่ ข้าใจบทเรียนใหล้ องถามตัวเองว่าเกดิ จากเหตุใดต่อไปนี้ (ก) ไมต่ ั้งใจเรียน กรณีน้ไี ม่มีวิธีแก้วธิ ใี ดดไี ปกวา่ การบงั คับตวั เองให้ต้งั ใจเรียน :] (ข) ถ้าตงั้ ใจแลว้ แต่ไม่เข้าใจ แปลวา่ ผูส้ อนอาจจะถ่ายทอดไดไ้ ม่ดี แบบน้คี งต้องย้ายไปเรียนกับคนที่ สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกบั สนุก หรอื เขา้ ใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครบั !) (2) ทีนพ้ี อเขา้ ใจบทเรยี นแลว้ การที่จะทาํ ได้ดไี ม่ดี อยู่ที่การฝกึ ฝนอกี อย่างหนึง่ ด้วย (ถา้ นงั่ ฟังอย่างเดยี วแตไ่ มไ่ ดล้ งมือฝึกดว้ ยตวั เองเลย ก็คงคล้ายกบั เรยี นวา่ ยนาํ้ ทางทวี นี นั่ แหละครบั ) ยิ่งทาํ โจทยเ์ ยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแมน่ ยาํ ลกึ ซึง้ ในวิชานั้นสอนกนั ไม่ได้ อีกสิ่งหนึง่ ท่ีควรปรบั ปรงุ คือ แทนท่ีจะจาํ วธิ ีแก้โจทยเ์ ป็นรูปแบบตายตวั อยากให้ “มอง คณติ ศาสตร์เปน็ เคร่อื งมอื ” คอื ฝึกมองให้กว้างวา่ แต่ละเรื่องทเี่ รารูน้ น้ั เอาไปเป็นเคร่ืองมือช่วย แกป้ ญั หาจุดไหนของเรอื่ งไหนได้บ้าง ต้องบอกไดว้ ่าทําไมโจทยข์ ้อนถี้ ึงควรทําด้วยวธิ ีนี้ หรือร้จู ักมองว่า เนื้อหาบทไหนเชอื่ มโยงถงึ กันได้บา้ ง (ซง่ึ ในหนงั สือเล่มนีไ้ ด้แทรกคาํ อธบิ ายถงึ ความเก่ยี วโยงไว้ให้บา้ ง แลว้ ) การฝกึ แบบนน้ี า่ จะทาํ ขอ้ สอบได้ดขี ึ้นครบั .. นับตง้ั แต่เร่ิมลงมือพิมพ์จนเสร็จสมบูรณ์ใช้เวลากว่า 2 ปี และหนังสอื เล่มนค้ี งจะยังไม่สาํ เรจ็ ด้วยดถี ้าขาดบคุ คลเหล่าน้ี หากหนงั สอื เล่มน้ีมีสว่ นดีประการใด กเ็ ป็นเพราะบคุ คลท้งั หมดน้คี รับ.. - อาจารยท์ กุ ท่านโดยเฉพาะอาจารยค์ ณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กบั ผม ขอขอบพระคณุ อ.ชัยศกั ดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทมุ วนั ) เป็นพิเศษครบั ทั้งสองท่านเปน็ ตน้ แบบท่ีดที ่ีสุดในการสอน - ปา๊ ม้า ยังคงเขา้ ใจและยอมเร่ือยมา บอยกบั นอ้ งยุ ชว่ ยพิมพ์เฉลยอยา่ งขยนั ขนั แข็ง - ผู้เขยี นหนงั สือเรียนและคู่มือตา่ งๆ ผ้อู อกขอ้ สอบเข้าฯ รวมทง้ั เว็บไซต์ของ สกอ. - อ.สมพล (กวงเจก็ ) และ อ.พนม สนพ. Science Center ท่ใี ห้โอกาสนาํ เสนอผลงาน - ชง สําหรับความคิดริเร่ิมพิมพ์ชีท และกลา้ สําหรับความคดิ เรือ่ งขอ้ สอบพนื้ ฐานวิศวะ - นอ้ งภัค น้องหน่ึง นอ้ งโอ๊ต น้องเคน สาํ หรับขอ้ สอบท้งั สองวชิ า รวมไปถึงน้องๆ ทง้ั หลาย ทเ่ี คยเป็นศษิ ย์กันมา ตง้ั แตใ่ ช้ชที ลายมือเขยี นมาจนกระทงั่ พิมพเ์ สรจ็ (ขนึ้ หลักรอ้ ยแลว้ แตย่ ังจําได้ ทกุ คนครับ) โดยเฉพาะ แอน – เนย์ – เภา – ตนู เป็นนอ้ งกล่มุ แรกทีไ่ ดใ้ ชห้ นังสือเล่มน้ี ใหค้ าํ แนะนํา และชว่ ยตรวจแก้ข้อสอบด้วย - ความร้ายกาจของ “เจช๊ ดุ ดํา” ณ อดตี ฟู้ดคอรท์ ช้ัน 3 ทที่ าํ ใหเ้ กดิ ความคิดว่า จรงิ ๆ คนเรา ควรทาํ งานในหน้าทข่ี องตัวเองให้ดีทสี่ ุด.. แล้วผมกเ็ ดนิ กลับบ้านมาเร่ิมพิมพ์หนงั สอื เม่ือสองปีที่แลว้ ! - Thaiware.com, Se-ed.net, f0nt.com ... สามเวบ็ ไทยใจดี มีข้อสงสัย คาํ แนะนํา หรอื พบขอ้ บกพรอ่ ง กรณุ าตดิ ต่อผู้เขียนท่ี [email protected] และสอบถามปญั หาหรอื โจทยต์ า่ งๆ ไดท้ ี่เว็บบอร์ดใน http://math.reads.it ยินดตี อบทกุ ปญั หาครับ :] ขอบคณุ ทีใ่ หค้ วามสนใจครับ คณิต มงคลพิทักษ์สุข Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 5 ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕ¹Ãٌ (e¹éo× ËÒ·Õãè ªÊŒ oº O-NET / A-NET) ต้ังแต่ปีการศกึ ษา 2549 เปน็ ตน้ ไป การสอบคัดเลอื กเขา้ มหาวทิ ยาลัยจะเปลยี่ นระบบ เปน็ แอดมสิ ชนั่ ส์ (Central University Admissions System) ซงึ่ แบง่ คะแนนสอบออกเปน็ 4 ส่วน 1. GPAX รวมทุกวชิ าในระดบั ม.ปลาย [10%] 2. GPA เฉพาะวิชาหลกั 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแลว้ แต่คณะท่ีเลือก [20%] 3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทัง้ ประเทศ [35%-40%] เปน็ ขอ้ สอบบงั คบั นักเรียนทุกสาขาจะตอ้ งสอบ มี 5 วชิ าไดแ้ ก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสงั คมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซ่ึง นกั เรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดยี ว หลงั จบ ม.6 4. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%] เปน็ ข้อสอบฉบับเพ่มิ เติม มีรายวชิ าตา่ งกนั ไปตามสาขาที่สอบ (ไมเ่ กนิ 3 วิชา และอาจมี วชิ าความถนัดของแตล่ ะสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปตั ย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะ ครอบคลุมเนอื้ หากว้างและลกึ กว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วชิ าละ 2 ชวั่ โมง ยกเว้น วทิ ยาศาสตร์ 3 ชัว่ โมง) โดยคณติ ศาสตรจ์ ะใช้สอบสําหรบั นกั เรียนทเี่ ลอื กสาขาคํานวณเท่านัน้ ... นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปี หมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจดั สอบปีละ 1 ครงั้ ปลายเดือนกมุ ภาพนั ธ์ (2) ทกุ วิชาจะมีขอ้ สอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคาํ ตอบส้นั ๆ (Short Answer) ดว้ ย (3) ช่อื วชิ าต่างจากระบบเดมิ คอื คณติ ศาสตร์ 1 (O-NET) จะงา่ ยกวา่ คณิตศาสตร์ 2 (A-NET) คา่ นา้ํ หนักของวชิ าคณติ ศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา - สาขาบริหารธุรกิจ พาณชิ ย์ บญั ชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20% - สาขาวศิ วกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10% - สาขาวทิ ยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี สิง่ แวดลอ้ ม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10% - สาขาวทิ ยาศาสตรส์ ขุ ภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10% - สาขาสงั คมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอ่ืนแทนได้) | O-NET 20% - สาขาการจัดการ การท่องเท่ียว | GPA 5% | O-NET 14% - สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8% - สาขาครุศาสตร์ ศกึ ษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8% - สาขาวทิ ยาศาสตร์สาธารณสุข พลศกึ ษา การกฬี า | GPA 4% | O-NET 7% - สาขาศิลปกรรม วจิ ติ รศลิ ป์ ประยกุ ต์ศลิ ป์ | GPA ไมใ่ ช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7% - สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวชิ าอืน่ แทนได)้ | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แนน่ อน รายละเอียดเพม่ิ เตมิ อยู่ในเว็บไซตข์ อง สถาบนั ทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS) http://www.ntthailand.com Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6 หัวขอ้ คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน (สาํ หรบั ข้อสอบ O-NET) บทท่ี 1 เซต (ท้ังหมด) บทท่ี 2 ระบบจํานวนจรงิ (ทงั้ หมดยกเวน้ หวั ขอ้ 2.2 และ 2.5) บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหวั ข้อ 3.5) บทที่ 5 ความสมั พนั ธ์และฟงั กช์ ัน (ท้งั หมดยกเวน้ หวั ข้อ 5.2 และ 5.5) บทท่ี 7 ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ (เฉพาะเกร่นิ นํา และหัวข้อ 7.9) บทท่ี 8 ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล (เฉพาะหัวขอ้ 8.1) บทท่ี 13 ลาํ ดับและอนุกรม (เฉพาะหวั ข้อ 13.1 และ 13.4 ทไ่ี ม่เกี่ยวกับอนนั ต)์ บทท่ี 16 ความน่าจะเปน็ (เฉพาะหวั ข้อ 16.1 และ 16.6) บทที่ 17 สถิติ (ท้งั หมดยกเวน้ หวั ข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบตั ติ ่างๆ) หวั ขอ้ คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ (สําหรบั ขอ้ สอบ A-NET) คอื ทกุ หัวขอ้ ในหนังสอื เล่มน้ี รวมท้ังหัวขอ้ เพิม่ เตมิ ท่ไี ม่อย่ใู นหนังสือเรียน ไดแ้ ก่ บทท่ี 2 การหารสงั เคราะห์ บทที่ 13 อนุกรมแบบอืน่ ๆ ที่ไมใ่ ชเ่ ลขคณติ และเรขาคณิต บทที่ 16 การนับในกรณอี ืน่ ๆ (หัวข้อ 16.4) บทท่ี 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7 ÊÒúa­ เรือ่ ง หนา้ บทที่ 1 เซต 11 1.1 สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต 12 1.2 แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ และการดําเนนิ การของเซต 15 1.3 โจทย์ปัญหาเกยี่ วกับเซต 21 บทที่ 2 ระบบจาํ นวนจริง 31 2.1 สมบตั ขิ องจํานวนจริง 32 2.2 ทฤษฎบี ทเศษเหลือ และตัวประกอบ 36 2.3 อสมการ 39 2.4 คา่ สมั บรู ณ์ 44 2.5 ทฤษฎจี าํ นวนเบ้อื งตน้ 48 เร่อื งแถม ถ้าไม่มเี ครอื่ งคาํ นวณ จะหาคา่ รากทส่ี องได้อยา่ งไร 58 บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 59 3.1 ตวั เช่ือมประพจน์ และตารางคา่ ความจริง 60 3.2 สัจนริ ันดร์ 63 3.3 การอ้างเหตผุ ล 65 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปรมิ าณ 67 3.5 การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นัยและนิรนยั 69 เร่ืองแถม มองตรรกศาสตรใ์ ห้เปน็ การคํานวณ จากพน้ื ฐานของดจิ ติ ลั 82 บทที่ 4 เรขาคณติ วเิ คราะห์ 83 4.1 เบ้ืองตน้ : จุด 84 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 86 4.3 ภาคตัดกรวย : พนื้ ฐานการเขียนกราฟ 92 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 94 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 96 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 99 4.7 ภาคตดั กรวย : ไฮเพอร์โบลา 102 บทที่ 5 ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชนั 119 5.1 ลกั ษณะของความสมั พนั ธ์ 120 5.2 โดเมน เรนจ์ และตวั ผกผนั ของความสัมพนั ธ์ 121 5.3 กราฟของความสมั พันธ์ 124 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 8 เรอ่ื ง หน้า 5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 127 5.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟงั ก์ชนั ผกผนั 131 เรอ่ื งแถม หลกั ในการหาโดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชัน fog 146 บทที่ 6 กําหนดการเชิงเสน้ 147 บทท่ี 7 ฟังกช์ ันตรีโกณมิติ 157 7.1 ฟังก์ชันตรโี กณมิตใิ นวงกลมหน่งึ หนว่ ย 158 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรปู มุม 160 7.3 สมการตรีโกณมติ ิ 162 7.4 กราฟของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ 165 7.5 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิของผลบวก และผลต่างมุม 166 7.6 ฟังกช์ นั ผกผนั ของตรีโกณมิติ 169 7.7 เอกลักษณ์ตรโี กณมิติ 171 7.8 กฎของไซนแ์ ละกฎของโคไซน์ 172 7.9 การประยุกตห์ าระยะทางและความสูง 173 บทท่ี 8 ฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ลและลอการิทมึ 187 8.1 ฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ล และกฎของเลขยกกาํ ลงั 187 8.2 การแก้สมการที่เปน็ เอกซ์โพเนนเชียล 191 8.3 ฟงั ก์ชนั ลอการิทมึ และกฎของลอการิทมึ 192 8.4 การแกส้ มการท่ีเป็นลอการิทึม 195 เรอ่ื งแถม จําเป็นต้องตรวจคาํ ตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204 บทที่ 9 เมตริกซ์ 205 9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 206 9.2 ดเี ทอร์มินันต์ 208 9.3 อินเวอร์สการคณู 211 9.4 การดาํ เนนิ การตามแถว 215 9.5 การใชเ้ มตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเสน้ 216 บทท่ี 10 เวกเตอร์ 227 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 228 10.2 การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ 230 10.3 เวกเตอร์กบั เรขาคณติ 231 10.4 เวกเตอร์ในพกิ ัดฉาก และเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย 233 10.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 235 10.6 เวกเตอร์ในพกิ ัดฉากสามมติ ิ 237 10.7 ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ 240 เรื่องแถม ส่ิงท่ไี ม่ต้องร้กู ไ็ ด้ : ลําดับการคดิ คน้ เนอ้ื หาคณติ ศาสตร์ 250 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9 เรื่อง หน้า บทที่ 11 จํานวนเชิงซอ้ น 251 11.1 การคาํ นวณเบ้อื งต้น 252 11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 254 11.3 รปู เชงิ ขวั้ 256 11.4 สมการพหุนาม 259 เรอ่ื งแถม ใชจ้ าํ นวนเชงิ ซอ้ นชว่ ยคาํ นวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 268 บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 269 12.1 ส่วนประกอบของกราฟ 270 12.2 กราฟออยเลอร์ 272 12.3 วิถที ส่ี น้ั ที่สุด และตน้ ไม้แผ่ท่ัวทนี่ ้อยทีส่ ุด 274 บทที่ 13 ลาํ ดบั และอนุกรม 279 13.1 ลาํ ดบั เลขคณติ และเรขาคณิต 280 13.2 ลมิ ติ ของลําดบั อนันต์ 282 13.3 อนกุ รมและซกิ ม่า 284 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอนื่ ๆ 285 บทที่ 14 ลมิ ิตและความตอ่ เนือ่ ง 295 14.1 ทฤษฎีบทเก่ียวกับลมิ ติ 296 14.2 ลมิ ิตในรปู แบบยงั ไม่กาํ หนด 298 14.3 ความตอ่ เนือ่ งของฟงั ก์ชนั 300 เร่อื งแถม การคาํ นวณลิมติ ในรปู แบบยังไมก่ าํ หนด ดว้ ยกฎของโลปตี าล 306 บทที่ 15 อนุพนั ธแ์ ละการอินทิเกรต 307 15.1 อตั ราการเปลี่ยนแปลง 307 15.2 สตู รในการหาอนุพันธ์ 309 15.3 ฟังก์ชันเพม่ิ ฟงั ก์ชันลด และค่าสดุ ขีด 312 15.4 สูตรในการอินทิเกรต 317 15.5 อนิ ทกิ รัลจาํ กดั เขต และพื้นทใี่ ต้โคง้ 319 เรอ่ื งแถม เทคนคิ การอนิ ทิเกรตโดยเปลยี่ นตัวแปร 332 บทที่ 16 ความน่าจะเปน็ 333 16.1 หลักมลู ฐานเกี่ยวกับการนบั 333 16.2 วิธเี รียงสับเปล่ียน 335 16.3 วธิ จี ดั หมู่ และกฎการแบง่ กลมุ่ 337 16.4 การนับในกรณอี ่นื ๆ 339 16.5 ทฤษฎบี ททวนิ าม 341 16.6 ความนา่ จะเป็น 345 เรอ่ื งแถม เรือ่ งของการนบั จาํ นวนความสมั พนั ธ์ จาํ นวนฟงั กช์ ัน 358 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10 เรอื่ ง หนา้ บทที่ 17 สถิติ 359 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมลู 360 17.2 คา่ กลางของขอ้ มูล 363 17.3 ตําแหนง่ สัมพทั ธ์ของขอ้ มูล 374 17.4 คา่ การกระจายของข้อมลู 378 17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 383 17.6 ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างขอ้ มลู 388 ขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั วชิ าคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403 ฉบับท่ี c | ตุลาคม 2541 408 ฉบับท่ี d | มนี าคม 2542 417 ฉบบั ที่ e | ตุลาคม 2542 426 ฉบับท่ี f | มีนาคม 2543 435 ฉบบั ที่ g | ตุลาคม 2543 444 ฉบับท่ี h | มนี าคม 2544 453 ฉบับท่ี i | ตลุ าคม 2544 462 ฉบบั ท่ี j | มีนาคม 2545 471 ฉบับที่ k | ตลุ าคม 2545 481 ฉบบั ที่ l | มีนาคม 2546 492 ฉบับที่ n | ตลุ าคม 2546 502 ฉบับท่ี o | มีนาคม 2547 512 ฉบบั ท่ี p | ตุลาคม 2547 523 ฉบบั ท่ี q | มีนาคม 2548 532 สถติ คิ ะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลยั วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 541 ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั วิชาพนื้ ฐานทางวศิ วกรรม (17 ป)ี 542 573 (เฉพาะขอ้ ท่เี ป็นคณิตศาสตร)์ 588 ชดุ ท่ี 1 | รวมปี 2532 ถึงปี 2541 606 ชุดท่ี 2 | รวมตลุ าคม 2541 ถงึ มนี าคม 2548 616 โจทยท์ ดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลยั 657 ชดุ ที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ขอ้ ) ชุดท่ี 2 (35 ขอ้ ) ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเขม้ ขน้ ดรรชนี Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 11 เซต { s,e,t } º··Õè 1 e«µ “กลมุ่ ของส่ิงต่างๆ” ในวิชาคณติ ศาสตรจ์ ะ เรยี กวา่ เซต (Set) เชน่ เซตของชอ่ื วันทง้ั เจด็ , เซต ของจํานวนเต็มที่ยกกาํ ลงั สองแลว้ มคี า่ น้อยกวา่ 7, เซต ของจาํ นวนเฉพาะบวกทห่ี าร 360 ลงตัว, ฯลฯ สงิ่ ท่ีอยู่ ภายในแต่ละเซต เรยี กวา่ สมาชกิ (Element หรือ Member) นิยมตั้งชอ่ื เซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เชน่ A, B, C และเขยี นสญั ลักษณแ์ ทนเซตด้วยวงเล็บ ปีกกา ดังน้ี { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวนั ท้ังเจด็ , B แทนเซตของจาํ นวนเตม็ ทยี่ กกาํ ลังสอง แลว้ มีคา่ น้อยกวา่ 7, C แทนเซตของจาํ นวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตวั , D แทนเซตของจาํ นวน เฉพาะบวกทน่ี อ้ ยกว่า 7, และ E แทนเซตของจาํ นวนเตม็ ท่อี ยรู่ ะหวา่ ง 3 ถงึ 33 จะได้ว่า A = { อาทิตย,์ จันทร์, องั คาร, พธุ , พฤหัสบดี, ศกุ ร์, เสาร์} การเขียนแจกแจงสมาชกิ ของเซต จะค่นั ระหว่างสมาชกิ แต่ละตวั ดว้ ยจุลภาค (comma) B = {−2, −1, 0, 1, 2} หรอื B = {0, 1, −1, 2, −2} การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับท่สี มาชิกในเซตได้โดยความหมายไมเ่ ปล่ยี น C = {2, 3, 5} D = {2, 3, 5} จะกล่าวได้วา่ C = D สมาชิกตวั ทซ่ี ํ้ากนั นับเปน็ ตวั เดียวกัน และไมต่ อ้ งเขยี นซา้ํ ( 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 ) E = {4, 5, 6, 7, ..., 32} หากมีสมาชกิ เป็นจาํ นวนมาก อาจใช้เครอ่ื งหมายจุด “...” เพื่อละสมาชกิ บางตวั ไว้ในฐานท่ีเขา้ ใจ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 12 เซต เซตทหี่ าจํานวนสมาชกิ ได้ เรียกวา่ เซตจํากัด (Finite S ¨´u ·è¼Õ i´ºo‹ Â! S Set) และสัญลักษณ์ทใ่ี ช้แทน “จาํ นวนสมาชิกของ A” คือ n(A) e«µµ‹o仹ÁéÕ ¨Õ Òí ¹Ç¹ÊÁÒª¡i e·Ò‹ ã´ เชน่ ในตัวอย่างข้างต้น n(A) = 7 , n(B) = 5 , n(C) = 3 , {∅, 0, 1, {2, 3},(4, 5)} n(E) = 29 นอกจากน้นั เซตจํากัดทีไ่ มม่ ีสมาชิกอยเู่ ลย จะเรยี กว่า ¤Òí µoº¤×o 5 µaÇ ä´Œæ¡‹ e«µÇҋ §, eÅ¢ 0, เซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใชส้ ญั ลักษณ์ { } หรอื ∅ eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ùo‹ a¹´aº (4,5) ¹è¹a ¤×oe«µ¹aºe»š¹ 1 ¤o‹Ù a¹´aº¹ºa e»š¹ 1 นน่ั คือ n (∅) = 0 เซตท่ีจาํ นวนสมาชิกมากจนหาคา่ ไม่ได้ เรยี กว่า เซต {(1, 2),(2, 1), {1, 2}, {2, 1}} อนนั ต์ (Infinite Set) เชน่ F แทนเซตของจํานวนเตม็ ที่นอ้ ยกว่า 2, ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´æŒ ¡‹ ¤Ùo‹ a¹´aº (1,2), ¤Ù‹ G แทนเซตของจาํ นวนใดๆ ท่ีอย่รู ะหว่าง 0 กบั 1 oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2} (¤‹oÙ a¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oÇҋ µÒ‹ §¡a¹ 测e«µ F = ,{1, 0, −1, −2, −3, ...} n (F) หาคา่ ไมไ่ ด้ 1-2 ¡ºa e«µ 2-1 ¶×oÇҋ eËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ‹ µŒo§¹aº«Òíé ¹a¤Ãaº) G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แตเ่ ขยี นแบบบอก เง่ือนไขได้ในรูป { สมาชกิ | เง่ือนไข} คือ e«µ¢o§ª×oè ¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹éÕ e»¹š e«µ¨Òí ¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤Òí µoº¤×o G = { x | 0 < x < 1} e«µ¨Òí ¡a´¤Ãaº ¶§Ö æÁ¨Œ íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇҋ ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 浡‹ çäÁÁ‹ Ò¡¶Ö§o¹a¹µ¹a.. อ่านว่า เซตของ x (สมาชกิ ) โดยท่ี 0 < x < 1 (เง่ือนไข) สญั ลักษณท์ ใ่ี ช้แทนคําวา่ “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เชน่ 2 ∈ B , 3 ∈ C , 0.5 ∈ G สญั ลักษณท์ ีใ่ ช้แทนคําว่า “ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ” คอื ∉ เชน่ 2.5 ∉ B , 4 ∉ C , 0 ∉ G ขอบเขตของสง่ิ ท่ีเราสนใจ เรียกวา่ เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต U นนั่ คอื สมาชกิ ของเซตทกุ เซตจะต้องอยู่ใน U ท้งั หมด และจะไม่สนใจส่งิ ที่อยู่ภายนอก U เช่น ถา้ U = {−2, −1, 0, 0.5, 7} และ H = { x | x > 0 } จะได้ว่า H = {0, 0.5, 7} แตถ่ ้าเปลีย่ นเป็น U = เซตของจาํ นวนเต็ม จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...} การเขียนเซตแบบบอกเง่อื นไขควรระบเุ อกภพสัมพัทธก์ ํากับด้วย แต่ถา้ ไม่ไดร้ ะบไุ ว้ โดยทั่วไปใหถ้ ือวา่ U เป็นเซตของจาํ นวนจรงิ ใดๆ ( R ) เชน่ H = { x | x > 0 } มีความหมายเดยี วกบั H = { x ∈ R | x > 0 } 1.1 สบั เซต และเพาเวอร์เซต สับเซต (Subset) คือเซตยอ่ ย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ตอ่ เมอ่ื สมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A ดว้ ย (และ B จะไมเ่ ป็นสบั เซตของ A หากวา่ มสี มาชกิ บางตวั ของ เซต B ไมเ่ ปน็ สมาชิกของเซต A) สัญลกั ษณท์ ่ีใช้แทนประโยค “B เปน็ สบั เซตของ A” คือ B ⊂ A และ สัญลกั ษณ์ทใี่ ช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คอื B ⊄ A ตวั อยา่ งเชน่ A = {m, p, r, w} จะมเี ซต B ทีท่ าํ ให้ B ⊂ A ได้ถึง 16 แบบ ดงั นี้ ∅ S ¢oŒ Êa§e¡µ! S {m} {p} {r} {w} »Ãao¤ {a, b} ⊂ A ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò a ∈ A æÅa b ∈ A {m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} {m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} {m, p, r, w} Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13 เซต ขอ้ ควรทราบ 1. เซตวา่ งเปน็ สับเซตของทกุ เซต ∅ ⊂ A 2. เซตทกุ เซตเป็นสบั เซตของตัวเอง A ⊂ A 3. เซตทม่ี ีสมาชกิ n ตวั จะมสี บั เซตทงั้ สิ้น 2n แบบ ... (เช่นในตัวอยา่ งขา้ งตน้ 24 = 16 ) 4. บางตาํ ราใชส้ ญั ลกั ษณ์ ⊂ แทนการเปน็ สับเซตแท้ (Proper Subset) ซ่งึ จะมีเพียง 2n − 1 แบบ เท่านน้ั (คือนบั เฉพาะเซตท่ีเล็กกวา่ เท่านั้น ไม่นับตวั มันเอง) และใชส้ ัญลกั ษณ์ ⊆ แทนการเปน็ สบั เซตใดๆ (น่นั คือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A ) ... แตใ่ นเลม่ น้จี ะรวบใชเ้ ครอ่ื งหมาย ⊂ แทนการเป็นสับ เซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตวั มนั เองด้วย เพาเวอรเ์ ซต (Power Set) คอื เซตท่บี รรจุดว้ ยสับเซตทัง้ หมดทีเ่ ป็นไปได้ เพาเวอร์เซตของ A จะใชส้ ญั ลักษณว์ า่ P(A) S ¢ŒoÊa§e¡µ! S ดังนน้ั ถา้ A มีสมาชิก n ตัวแลว้ P(A) ย่อมมสี มาชกิ 2n ตัว เชน่ ในตวั อยา่ ง A = {m, p, r, w} »Ãao¤ {a, b} ∈ P(A) จะได้ P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇҋ {a, b} ⊂ A ¹è¹a ¤×o a ∈ A æÅa b ∈ A เพ่มิ เตมิ จากเน้ือหาเร่อื งการเรยี งสบั เปลีย่ นและจัดหมู่ (กฎการนับนีจ้ ะได้ศึกษาอย่างละเอยี ดในบทท่ี 16 หวั ข้อ 16.3) มีของ n ช้ิน หยิบออกมาทลี ะ r ชิน้ ไดไ้ ม่ซํ้ากันทงั้ ส้ิน ⎛n⎞ = n! ชดุ ⎝⎜ r ⎟⎠ (n−r)! ⋅ r ! โดยท่ี x ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ x เชน่ ถ้าเซตหนึง่ มสี มาชกิ 7 ตัว จะมสี ับเซตที่หยบิ สมาชกิ มาเพยี ง 3 ตวั อยู่ ⎛7⎞ = 7! = 1⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅5⋅6 ⋅7 = 35 แบบ ⎜⎝3 ⎠⎟ 4!⋅ 3! 1⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅1⋅2 ⋅3 • ตวั อยา ง ใหเ ขียนสบั เซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเ ซตของ S ¨´u ·¼èÕ ´i º‹oÂ! S ก. A = {a} ¹oŒ §æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËÇҋ § ∅ ¡aº {∅} ตอบ มีสับเซต 21= 2 แบบ ไดแก ∅ และ {a} Njҵ‹Ò§¡a¹o‹ҧäà ... ดงั น้ัน P (A) = {∅, {a}} ∅ (e«µÇҋ §) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Å‹o§e»Åҋ æ äÁ‹ ข. B = {a, b} ÁÕoaäÃoÂã‹Ù ¹¹é¹a eÅ (¨Òí ¹Ç¹ÊÁÒª¡i e·‹Ò¡ºa 0) ตอบ มีสับเซต 22 = 4 แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ¨ae¢Õ¹ʭa Åa¡É³e »¹š { } ¡äç ´Œ ดังนน้ั P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} 浶‹ Ҍ ¶ÒÁNjҡÅo‹ §ãºË¹§èÖ «Öè§Á¡Õ Åo‹ §e»Åҋ o¡Õ ค. C = {2, 3, 5} ãºo‹¢Ù Ҍ §ã¹ ¹aºe»¹š ¡Åo‹ §Ç‹Ò§e»Å‹ÒËÃ×oäÁ‹ ตอบ มีสับเซต 23 = 8 แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , ,{2, 3} ¤Òí µoº¡ç¤×oäÁ‹e»Åҋ æÅnj 㪋äËÁ¤Ãaº ,{2, 5} {3, 5} และ {2, 3, 5} ดงั นั้น P (C) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} ¡çeËÁ×o¹¡¹a ¡aº “e«µ¢o§e«µÇ‹Ò§” {∅} «Öè§äÁä‹ ´Œe»š¹e«µÇ‹Ò§o¡Õ µ‹oä»æÅŒÇ ... ง. D = ∅ ËÃ×o¶ŒÒµoºÊé¹a æ ¡ç¤×o n(∅) = 0 ตอบ มีสบั เซต 20 = 1 แบบ ไดแ ก ∅ ดังน้นั P (D) = {∅} 测 n({∅}) = 1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 14 เซต • ตวั อยา ง กาํ หนด E = {∅, {0}, {∅}} ใหห า P(E) ตอบ {∅, {∅}, {{0}}, {{∅}}, {∅, {0}}, {∅, {∅}}, {{0}, {∅}}, {∅, {0}, {∅}}} • ตวั อยาง กําหนด A, B เปนเซตซง่ึ A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา ก. จาํ นวนแบบของเซต X ซ่ึง X ∈ P (A) ตอบ คาํ วา X ∈ P (A) กค็ ือ X ⊂ A ดงั นน้ั มีเซต X ทีเ่ ปนไปไดท ัง้ หมด 24 = 16 แบบ หากศกึ ษาเรือ่ งวธิ ีจดั หมแู ลว จะทราบวธิ ีคํานวณอีกแบบ ดังนี้ ⎛4⎞+⎛4⎞ + ⎛4⎞ + ⎛4⎞ + ⎛4⎞ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ⎜⎝1 ⎟⎠ ⎝⎜2 ⎠⎟ ⎝⎜3 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 ⎠⎟ แบบ⎝⎜0 ⎠⎟ ข. จํานวนแบบของเซต X ซง่ึ X ∈ P (A) และ n(X) < 2 ตอบ คาํ วา X ∈ P (A) กค็ ือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดงั ขอ ก.) แตข อนีต้ อ งการ n(X) < 2 เทานน้ั หากศกึ ษาเรือ่ งวธิ ีจดั หมแู ลวจงึ จะทราบวธิ ีคาํ นวณ ดงั นี้ แบบ⎛ 4 ⎞+ ⎛4⎞ + ⎛4⎞ = 1 + 4 + 6 = 11 ⎝⎜1 ⎠⎟ ⎝⎜2 ⎟⎠ ⎝⎜0 ⎟⎠ (แตถ ายงั ไมไ ดศ กึ ษา กค็ งตองเขียนนบั เอาโดยตรง) ค. จาํ นวนแบบของเซต Y ซงึ่ A ⊂ Y และ Y ⊂ B ตอบ ตองการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชกิ 1, 3, 5, 7 ตอ งอยูใน Y ครบทุกตวั ... และ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวกไ็ ด หรือไมอ ยเู ลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว ) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยใู น Y กีต่ ัวก็ได หรือไมอยูเ ลยกไ็ ด เปรียบเสมือนการหาสบั เซต ทกุ แบบของ {2, 4, 6} นน่ั เอง จงึ ตอบวา 23 = 8 แบบ แบบฝึกหัด 1.1 (1) กําหนด A, B เป็นเซตทม่ี ีลกั ษณะ A ⊂ B และ A ≠ B ถ้า x ∈ A และ y ∈ B แล้ว ขอ้ ความตอ่ ไปนถ้ี กู หรอื ผิด (1.1) {x} ⊂ B (1.3) {A} ⊂ {B} (1.2) {y} ⊄ A (1.4) {A} ≠ {B} (2) ให้ A = {{∅}, a, b, {a}, {a, b}} ข้อความต่อไปน้ถี กู หรือผดิ (2.1) {∅} ∈ A (2.3) {{a}, b} ⊂ A (2.2) {∅} ⊂ A (2.4) {a, b} ∈ A และ {a, b} ⊄ A (3) ข้อความต่อไปนีถ้ ูกต้องหรือไม่ (3.1) ถา้ A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A ⊂ C (3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แลว้ A ∈ C (3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แลว้ A ⊄ C Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 15 เซต (4) ให้ A เปน็ เซตใดๆ ข้อความต่อไปนถี้ ูกหรือผดิ (4.3) { x | {x} ⊂ A } = {A} (4.1) { x | x = A } = {A} (4.4) { x | {x} ⊂ ∅ } = ∅ (4.2) { x | x ∈ A } = A (5) ข้อความต่อไปนถี้ กู หรือผิด (5.1) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สบั เซตของ A มที ัง้ หมด 32 แบบ (5.2) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สับเซตแทข้ อง A มีท้ังหมด 32 แบบ (5.3) ถา้ n(A) = 5 แลว้ เพาเวอร์เซตของ A มที ั้งหมด 32 แบบ (5.4) ถา้ n(A) = 5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอรเ์ ซตของ A มีท้ังหมด 32 ตัว (6) ถ้า A มสี ับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชกิ กต่ี วั และในจาํ นวน 511 เซตน้นั สับเซตที่มีสมาชกิ เพียง 5 ตวั มกี เี่ ซต (7) ขอ้ ความตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องหรือไม่ (7.5) ∅ ∈ P (∅) (7.1) ∅ ∈ ∅ (7.6) ∅ ⊂ P (∅) (7.7) {∅} ∈ P (∅) (7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.8) {∅} ⊂ P (∅) (7.3) ∅ ∈ {∅} (7.4) ∅ ⊂ {∅} (8) ถ้า A = {∅, a, {b}, {a, b}} แลว้ ขอ้ ความต่อไปนถี้ ูกหรอื ผิด (8.1) ∅ ∈ P (A) (8.6) a ∈ P (A) (8.2) {∅} ∈ P (A) (8.7) {a} ∈ P (A) (8.3) ∅ ⊂ P (A) (8.8) {b} ∈ P (A) (8.4) {∅} ⊂ P (A) (8.9) {{b}} ∈ P (A) (8.5) {∅, a, {b}} ∈ P (A) (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P (A) (9) ถ้า A = {∅, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} แลว้ ข้อความต่อไปนถี้ กู หรือผดิ (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P (A) (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A) (10) [Ent’39] ให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แลว้ จงหา n (X) และ n (Y) เมื่อกาํ หนด X = { A ∈ P (S) | 1 ∈ A และ 7 ∉ A } และ Y = { A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกนิ 6 } 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดาํ เนนิ การของเซต การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ S ¨u´·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S (Venn-Euler Diagram) ชว่ ยให้เหน็ ลักษณะของเซตชัดเจนข้นึ การเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เปน็ กรอบ ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº ·Çèa ä» ¤×oãËÁŒ ÕÊÁÒª¡i ÃNj Á¡¹a ¡o‹ ¹ สีเ่ หลยี่ ม ซึ่งภายในบรรจุรปู ปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทน (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æÅnj ¨Ò¡¹é¹a eÁ×èo·ÃÒº ขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนใหม้ บี รเิ วณท่ีเซต NjҪéi¹Ê‹Ç¹ã´äÁÁ‹ ÕÊÁÒª¡i ¤o‹ ¢մËÃ×oæÃe§Ò สองเซตซอ้ นทบั กนั หากว่าสองเซตน้นั มีสมาชิกร่วมกนั ดังภาพ ·i§é ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹oŒ Âŧ¤Ãaº.. Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 16 เซต U UU A AB AB B A และ B ไม่มีสมาชิกรว่ มกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B สมมตวิ า่ A = {0, 1, 2, 3, 4} U 04 1 9 B B = {1, 3, 5, 7, 9} A 2 3 57 C = {2, 3, 5, 7, 11} 11 C จะเขยี นแผนภาพไดด้ ังน้ี การดาํ เนินการเกยี่ วกบั เซต เป็นการทาํ ใหเ้ กดิ เซตใหม่ขน้ึ จากเซตที่มีอยเู่ ดมิ 1. ยเู นยี น (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชกิ ทีอ่ ยใู่ น A หรอื B ทัง้ หมด U UU A AB AB B ยเู นียนของ A กบั B ไดเ้ ป็น B 2. อินเตอรเ์ ซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชกิ ท่ีอย่ใู นท้ัง A และ B บางตําราใชส้ ญั ลักษณเ์ ปน็ AB (คือ ละเครื่องหมายอนิ เตอร์เซคชันไว)้ U UU A AB AB B อินเตอรเ์ ซกชันของ A กบั B เป็นเซตว่าง อนิ เตอรเ์ ซกชันของ A กับ B เปน็ A 3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ' ) U เซต A' คอื เซตของสมาชิกท่ไี มไ่ ด้อยใู่ น A A บางตําราใชส้ ัญลักษณ์เป็น Ac หรอื A 4. ผลตา่ ง (Difference หรือ Relative Complement : − ) B − A คือเซตของสง่ิ ท่ีอยใู่ น B แตไ่ มอ่ ย่ใู น A ... หรือ B − A = B ∩ A' จะเรียก B − A ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เม่อื เทียบกบั A” ก็ได้ U UU A AB AB B ขอ้ สังเกต โดยทว่ั ไป n (B − A) ≠ n (B) − n (A) แต่ n (B − A) = n (B) − n (A ∩ B) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 17 เซต สมบตั ทิ ี่เก่ียวกับการดาํ เนินการของเซต • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต • การแจกแจง (A ∪ B) ' = A '∩ B ' A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) ' = A '∪ B ' P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) หมายเหตุ ในภาษาองั กฤษบางครง้ั อ่าน A ∪ B ว่า A cup B และอา่ น A ∩ B วา่ A cap B • ตัวอยา ง กาํ หนด A, B เปนเซตซ่ึง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา (ในขอ ก. และ ข. จาํ เปน ตองใชค วามเขา ใจเรือ่ งวิธีเรียงสบั เปลีย่ นและจัดหมู ดวย) ก. จาํ นวนแบบของเซต Y ซงึ่ A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ B ตอบ วธิ ีคดิ ตา งจากตวั อยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B ) เลก็ นอ ย ... ขอนีต้ อ งการ A ∩ Y ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตอ งมีอยใู น Y (มีกีต่ วั กไ็ ด แตไ มม ีเลยไมไ ดเพราะจะทาํ ให A ∩ Y = ∅ ) การอยูกี่ตวั กไ็ ด แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสบั เซตทกุ แบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไ่ มใ ชเซตวาง น่ันเอง ใน ขั้นตอนนี้จงึ ได 24 − 1 = 15 แบบ ... อีกเงือ่ นไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยใู น Y กีต่ วั กไ็ ด หรือไมอ ยเู ลยกไ็ ด (เพราะมีเพียง บางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกบั เงือ่ นไข Y ⊂ B แลว ) ... ขน้ั นี้เหมือนตวั อยา งที่แลว จงึ ได 23 = 8 แบบ ... คาํ ตอบขอ นีต้ อ งนําสองเงือ่ นไขมาประกอบกัน สรปุ วา ทงั้ สองข้ันตอนทําใหไดผ ลลพั ธตา งๆ กนั ทั้งสิ้น 15 × 8 = 120 แบบ ข. จํานวนแบบของเซต Z ซง่ึ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ A ตอบ วิธีคดิ เหมือนขอ ก. ... นน่ั คือ ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชกิ 1, 3 ตอ งมีอยใู น Z (มีกีต่ วั กไ็ ด แตไ มม ีเลยไมไ ดเพราะจะทาํ ให A ∩ Z = ∅ ) ทีส่ าํ คญั คือ สมาชกิ 2 หา มอยใู น Z เพราะจะ ขดั แยง กบั อีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A ) ... ในขนั้ ตอนนีจ้ ึงได 22 − 1 = 3 แบบ ... อีกเงือ่ นไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยใู น Z กี่ตัวกไ็ ด หรือไมอ ยูเ ลยกไ็ ด (เพราะมีเพียง บางตวั ของ 1, 3 กเ็ พียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว ) ... ขนั้ นีเ้ หมือนตัวอยา งทีแ่ ลว จึงได 22 = 4 แบบ ... คําตอบขอ นีต้ อ งนําสองเงื่อนไขมาประกอบกนั สรุปวาทั้งสองขน้ั ตอนทําใหไดผ ลลัพธตางๆ กันทั้งส้นิ 3 × 4 = 12 แบบ ค. จาํ นวนแบบของเซต Z ซ่งึ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ และ Z ⊂ A ตอบ ขอนีง้ า ยทีส่ ุด เนือ่ งจาก ตอ งการ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ แสดงวา สมาชกิ 1, 2, 3 หามมีอยใู น Z เลยแมแ ตต ัวเดียว เมื่อประกอบกบั อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จงึ ไดว า สมาชกิ 5, 7 เทา นนั้ ทีจ่ ะอยใู น Z (กี่ ตัวก็ได หรือไมอ ยเู ลยกไ็ ด เพราะแม Z = ∅ ก็ยงั ทาํ ใหเงือ่ นไข Z ⊂ A เปน จริงอยูด ี) ... จึงไดค าํ ตอบ เปน 22 = 4 แบบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 18 เซต • ตัวอยาง ถา C = {∅, {∅}, 0, {{∅}, 0}, {∅, {0}}, {{∅, {0}}}} ใหหาคาของ ก. n (P (C)) ตอบ เนือ่ งจาก n(C) = 6 ดังน้นั n(P (C)) = 26 = 64 ข. n (P (C) − C) ตอบ n(P (C) − C) ไมไดคิดจาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยทว่ั ไปสมาชิกของ C นนั้ ไมไดอ ยใู น P (C) ทงั้ หมด การจะคิด n(P (C) − C) ตองดูวา สมาชิกของ C น้ันอยใู น P (C) กี่ตวั เร่มิ พจิ ารณาเรียงไปทีละตัว เร่มิ จาก ∅ “อย”ู (เพราะ ∅ เปนสบั เซตของทุกเซต นอกจากนั้น การเขียนเพาเวอรเ ซตใหเ ปน ระเบียบยงั มักจะเร่มิ ดวย ∅ ) ... ตอมา {∅} ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยบิ สมาชกิ จาก C ไปหนงึ่ ตวั (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปน สมาชกิ ตัวแรกสดุ ใน C ) หรือกลา ววา “อย”ู เพราะ ∅ ∈ C ... ตอ มา 0 อนั นี้ “ไมอ ย”ู เพราะไมใ ชเ ซต ส่ิงทีอ่ ยใู นเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอ มา {{∅}, 0} อันนี้ “อย”ู มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชกิ จาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปน ตัวสองกบั ตัวสาม) หรือ กลาววา “อย”ู เพราะ {∅} ∈ C และ 0 ∈ C ... ตอมา {∅, {0}} อนั นี้ “ไมอ ย”ู เพราะ {0} ∉ C ... และสดุ ทาย {{∅, {0}}} อนั นี้ก็ “อยู” เพราะวา {∅, {0}} ∈ C มาจากข้นั ตอนทีห่ ยิบสมาชิกจาก C ไป หน่งึ ตวั (เปน ตวั ที่หา ) นนั่ เอง สรุปแลว สมาชกิ ของ C น้นั อยูใ น P (C) 4 ตัว ดงั นนั้ n(P (C) − C) = 64 − 4 = 60 ค. n (C − P (C)) ตอบ n(C − P (C)) กไ็ มไ ดคดิ จาก 6 − 64 ... แตต องดวู า สมาชิกของ P (C) นนั้ อยใู น C กีต่ ัว ซ่ึงมี วิธีคดิ เชน เดียวกบั ขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n(C ∩ P (C)) = 4 ... ดังนน้ั จึงทาํ ให n (C − P (C)) = 6 − 4 = 2 หากดูแผนภาพประกอบจะเขา ใจยิ่งขนึ้ เราทราบวา (ขอ ก.) n(C) = 6 และ n(P (C)) = 64 2 4 60 จากนั้นนับในขอ ข. วา n(C ∩ P (C)) = 4 C P(C) จึงได (ข.) n (C − P (C)) = 2 และ (ค.) n (P (C) − C) = 60 ง. n [(P (C) − C) ∪ (C − P (C))] ตอบ จากขอ ข. กบั ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดค าํ ตอบเปน 60 + 2 = 62 (นํามาบวกกนั ไดท ันที เพราะสองสว นนีไ้ มไ ดซอ นทบั กนั ) แบบฝึกหดั 1.2 (11) กําหนดให้ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} B ∩ C = {2, 3, 5} A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} A ∩ C = {0, 3, 5} แล้ว ข้อใดผิด ก. A ∩ B ' = {0} ข. B ∩ C ' = {1} ค. A ∩ C ' = {1} ง. B ∩ A ' = {2, 4} (12) ให้เขยี นเซต C ' ∪ B ' แบบแจกแจงสมาชกิ เมือ่ กําหนดให้ U = { x ∈ I | 1 < x < 10 } เม่อื I = เซตของจํานวนเตม็ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 19 เซต B = { x | x หาร 3 ลงตัว } และ C = { x | x < 5 } (13) [Ent’38] ถา้ A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แล้ว (13.1) ขอ้ ความตอ่ ไปนีถ้ ูกหรอื ผดิ A ∈ P (B) (13.2) ข้อความต่อไปน้ีถกู หรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B) (13.3) ค่าของ n (P (A ∪ B)) − n (P (A ∩ B)) เป็นเท่าใด (14) ข้อความต่อไปน้ีถกู หรือผดิ (14.7) A ∩ A ' = ∅ (14.1) ∅ ' = U (14.8) A ∪ A ' = U (14.2) U ' = ∅ (14.9) A − U = ∅ และ U − A = A ' (14.3) A ⊂ (A ∪ B) (14.10) A − ∅ = A และ ∅ − A = ∅ (14.4) B ⊂ (A ∪ B) (14.11) A − A = ∅ (14.5) (A ∩ B) ⊂ A (14.12) A − B = A ∩ B ' (14.6) (A ∩ B) ⊂ B (15) ขอ้ ความต่อไปนี้ถกู หรอื ผิด (15.1) ถา้ A ⊂ B แล้ว P (A) ⊂ P (B) (15.2) ถ้า A ∪ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.3) ถ้า A ∩ B = ∅ แลว้ A = ∅ และ B = ∅ (15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แล้ว A ' ∪ C ' = U (15.5) ถา้ A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แลว้ A − C ≠ ∅ (16) สาํ หรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปน้ถี กู หรือผิด (16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B (16.5) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∉ A ∪ B (16.2) A − B ≠ B − A (16.6) ถา้ x ∈ A แลว้ x ∉ A ' ∩ B ' (16.3) A ∩ B = A − B ' (16.7) ถา้ x ∉ A แลว้ x ∈ A ' ∩ B ' (16.4) (A ∪ B) ' = B '− A (16.8) ถา้ x ∈ A แลว้ x ∈ (A ' ∪ B ') ' (17) เขยี นเซตตอ่ ไปนีใ้ ห้อยใู่ นรปู ทีส่ น้ั ที่สุด (17.6) (A ∪ B) − B (17.1) A − (A ∩ B) (17.7) (A ∩ B) − B (17.8) A − (A − B) (17.2) (A − B) ∪ B (17.9) (A − B) ∩ (B − A ') (17.3) (A − B) ∩ B (17.4) A ∩ (A − B) (17.5) A ∪ (A − B) (18) ข้อความต่อไปน้เี ปน็ จริงหรือไม่ (18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B (18.2) ถา้ A ∩ C = B ∩ C แลว้ A = B (18.3) ถา้ A − C = B − C แล้ว A = B (18.4) ถ้า A ' = B ' แล้ว A = B (19) ใหบ้ อกเง่ือนไขท่ที ําให้ A − B = A อยา่ งนอ้ ย 3 กรณี Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 20 เซต (20) เขยี นเซตตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยูใ่ นรูปทีส่ น้ั ทีส่ ุด (20.1) [Ent’21] (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) (20.2) [A ∩ (A '∪ B)] ∪ [B ∩ (B '∪ A ')] (20.3) ([(A − B) ∪ (B − A)] − A ') ∪ (A '− [(A − B) ∪ (B − A)]) (20.4) [(A ∪ B) '∩ (B − C ')] ∪ ([(D − E) ∩ (C '− E ')] ∪ (A − E ')) ' (21) ข้อความต่อไปนถี้ ูกหรือผิด (21.1) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A '∩ B ∩ C) ∪ (B '∪ C ') = U (21.2) (A ∩ B ∩ C ∩ D ') ∪ (A '∩ C) ∪ (B '∩ C) ∪ (C ∩ D) = C (21.3) P (A ∩ B) ⊂ P (A ∪ B) (21.4) P (A − B) ∩ P (B − A) = {∅} (21.5) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B) (22) ให้ A = {0, 1, 2, 3} , B = {{0}, 1, 2, {3}} และ C = {0, {1}, {2}, 3} ขอ้ ความตอ่ ไปนถี้ ูกหรอื ผดิ (22.1) P (A) ∩ P (B) ∩ P (C ') = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} (22.2) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C) = {∅, {0}, {3}, {0, 3}} (22.3) P (A ') ∩ P (B) ∩ P (C) = {∅, {0}} (22.4) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C ') = {∅} (23) ถา้ n (U) = 35 , n (A) = 22 , n (B) = 18 ให้หาวา่ n(A '∩ B ') จะมีค่ามากทสี่ ดุ ได้เท่าใด (24) ถา้ n (A) = a , n (B) = b , n (C) = c , n (D) = d n (A ∩ B) = b , n (B ∩ C) = c , n (C ∩ D) = d แลว้ ใหห้ า n (A ∩ B ∩ C ∩ D) และ n (A ∪ B ∪ C ∪ D) (25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง ,P (C) = {∅, {a}, {c}, C} n (P (A)) = 8 , n (P (B)) = 16 , C ⊂ A , C ⊂ B , {b, d, e} ⊂ A ∪ B และ b ∈ A ∩ B ' ข้อใดผิด ก. d ∈ (A ∪ B ') ' ข. e ∈ (C ∪ B ') ' ค. b ∉ (A ' ∪ B ') ' ง. {b, e} ⊂ (A '∪ B) ' (26) เม่ือ A = {∅, 1, {1}} และ A ∩ B ' = ∅ แลว้ ขอ้ ความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (26.1) n [ P (A) ∩ P (B) ] = 8 (26.3) P (A − B) = {∅} (26.2) {1} ∈ P (A ∩ B) (26.4) P (B − A) = {∅} (27) [Ent’36] ถ้า A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แลว้ จงหาจํานวนสมาชกิ ของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ] (28) มีเซต A ทต่ี รงตามเงอื่ นไขต่อไปนี้ก่ีแบบ (28.1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5} (28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2, 4, 6, 8, 10} Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 21 เซต (29) กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {1, 2, 3} แลว้ จะมีเซต X ตามเงอ่ื นไขตอ่ ไปนี้ได้กแี่ บบ (29.1) B ⊂ X ⊂ A (29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅ (30) ถ้า B ⊂ A โดย n(A) = 10 , n(B) = 4 ให้หาคา่ n (C) ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี (30.1) C = { S | B ⊂ S ⊂ A } (30.2) C = { S ⊂ A | S ∩ B ≠ ∅ } (31) กาํ หนด A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, 3} ให้หาจํานวนเซต X ซง่ึ X ⊂ A และตรงตามเงือ่ นไขตอ่ ไปน้ี (31.1) B ∩ C ' ⊂ X (31.3) B ∩ D ⊂ X (31.2) B ∩ C ' ⊄ X (31.4) B ∩ D ⊄ X (32) ถา้ U = {1, 2, 3, 4, ..., 8} A = U − {1} B = {2, 4, 6} และ C = {1, 7} มีเซต D ทีเ่ ป็นไปได้กแี่ บบทตี่ รงตามเง่ือนไข (B '− C) ⊂ D ⊂ A (33) กาํ หนดให้ U = { x ∈ I | −2 < x < 6 } เม่ือ I = เซตของจาํ นวนเต็ม A = { k2 | k ∈ U } และ B = { k | k ∈ U } จาํ นวนสมาชิกของเซต C = { x | A ∩ B ⊂ x และ x ⊂ A ∪ B } เป็นเท่าใด (34) ให้ A = {a, b, c, d, f} และ B = {a, c, d, e} เซต X ซ่ึง X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มกี ่ีเซต (35) ให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ Sk = { B ⊂ A | n (B) = k } ให้หาค่า n (S) เมือ่ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 (36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n(U) = 100 , n(A ') = 40 , n(B) = 55 , n (A ∩ B ') = 32 แล้วคา่ ของ n (A '∩ B ') เป็นเทา่ ใด 1.3 โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกบั เซต • โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใชแ้ ผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆ และมีสตู รในการหาจํานวนสมาชกิ ในเซตเพิ่มเตมิ ดังนี้ สาํ หรบั 2 เซต ·Òí ¤ÇÒÁe¢ŒÒ㨴nj ÂÃÙ»ÀÒ¾¡´ç Õ¹a¤Ãaº.. n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = +- สําหรบั 3 เซต = ++ -- - + n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 22 เซต • ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนงึ่ ซง่ึ มีจาํ นวน 30 คน พบวา มีนกั เรียนชอบเรียนวชิ า คณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวชิ าภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทง้ั สองวิชาอยู 5 คน ถามวา มีนักเรียนใน หอ งนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวชิ าอยกู ีค่ น วิธีคิด จะสงั เกตไดว า U คือนกั เรียนในหอ งนี้ และมีเซตอยสู องเซต คือ ชอบเรียนคณติ ศาสตร กบั ชอบ เรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบท้ังสองวิชา แสดงวา สองเซตนีม้ ีสวนซอ นทบั กนั ) U ค วธิ ีที่ 1 “ชอบทง้ั สองวชิ าอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5 กข “ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7 Eng ง “ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10 Math ดังน้นั จาํ นวนคนที่ไมช อบเลยท้งั สองวชิ า คือชอ ง ง นั้น สามารถคาํ นวณไดด งั นี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบ วธิ ีที่ 2 ขอ มลู ทีโ่ จทยใ หม าไดแก n(M) = 12 , n(E) = 15 , และ n(M ∩ E) = 5 … ดงั น้นั เราหา n(M ∪ E) ไดตามสตู ร n(M ∪ E) = 12 + 15 − 5 = 22 ดังน้ัน จํานวนคนทีไ่ มช อบเลยท้ังสองวิชา เทากับ 30 − 22 = 8 คน ... ตอบ • ตัวอยา ง ในการสอบของนกั เรียนชัน้ หนึง่ พบวามีผสู อบผา นวชิ าคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศกึ ษา 48 คน วชิ าภาษาไทย 45 คน โดยมีผทู ีส่ อบผา นทง้ั วชิ าคณติ ศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ทั้งสงั คมศกึ ษาและ ภาษาไทย 13 คน ท้ังคณติ ศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผทู ี่สอบผา นทง้ั สามวชิ าเพียง 5 คน ถามวา ที่ กลา วมานี้มีนักเรียนอยทู ั้งหมดจํานวนเทา ใด วธิ ีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผา นคณติ ศาสตร สอบผา นสังคมศกึ ษา และสอบผานภาษาไทย (ซ่งึ มี ผสู อบผานหลายวิชา แสดงวา สามเซตนีม้ ีสว นซอนทบั กนั ) โจทยไมไ ดก ลาวถึงผูสอบไมผาน ดังนนั้ อาจไม ตอ งเขียนกรอบสีเ่ หลี่ยมแทน U กไ็ ด (คือไมม ีชอ ง ซ) Math Social วิธีที่ 1 “ผา นทง้ั สามวชิ าอยู 5 คน” จะได ชอง จ เปน 5 กข ค พิจารณาการสอบผานสองวชิ า จะได ชอ ง ข เปน 15-5=10, ชอ ง ฉ เปน 13-5=8, ชอ ง ง เปน 7-5=2 งจฉ พจิ ารณาการสอบผา นหนึ่งวชิ า จะได ชอง ก 37-10-5-2=20, ช ชอ ง ค 48-10-5-8=25, และชอ ง ช 45-2-5-8=30 Thai ดงั นน้ั จํานวนคนรวมทุกชอ ง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบ วิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใ หมาไดแ ก n(M) = 37 , n(S) = 48 , n(T) = 45 n (M ∩ S ∩ T) = 5 , , และ …n (M ∩ S) = 15 n (S ∩ T) = 13 n (M ∩ T) = 7 ดงั นั้น เราหา n (M ∪ S ∪ T) ไดจาก n (M ∪ S ∪ T) = 37+48+45−15−13−7+5 = 100 ดงั น้ัน จาํ นวนนกั เรียนทงั้ หมดในช้ัน (ที่กลา วถึง) เทา กับ 100 คน ... ตอบ ถึงแมก้ ารคิดดว้ ยสตู ร (วิธีทสี่ อง) ทําใหค้ ํานวณไดร้ วดเร็ว แตโ่ จทยบ์ างข้อกเ็ หมาะกบั วิธีแรก (แยก ชิ้นส่วน) เทา่ น้ัน ดงั เช่นโจทยส์ ว่ นใหญใ่ นแบบฝกึ หัดต่อไป Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 23 เซต แบบฝึกหัด 1.3 (37) นกั เรียน 80 คน เป็นนักกีฬา 35 คน เปน็ นกั ดนตรี 27 คน และไม่ไดเ้ ปน็ ทงั้ นกั กฬี าและนัก ดนตรี 32 คน ถามวา่ มนี กั เรยี นท่ีไม่ไดเ้ ป็นนักกีฬา หรือ ไมไ่ ดเ้ ปน็ นักดนตรี อยกู่ ี่คน (38) [Ent’33] จากการสํารวจนักเรยี นหอ้ งหนึง่ พบวา่ มี 20 คนทเี่ รยี นฝรง่ั เศสหรอื คณติ ศาสตร์ (โดยท่หี ากเรียนฝรง่ั เศสแลว้ ต้องไม่เรียนคณติ ศาสตร์) มี 17 คนทไี่ ม่เรยี นคณิตศาสตร์ และมี 15 คนทไ่ี มเ่ รียนฝร่ังเศส แล้วมีก่คี นทไ่ี ม่เรียนท้งั สองวิชานี้เลย (39) [Ent’34] จากการสอบถามผดู้ ่ืมกาแฟ 20 คน พบว่าจํานวนผูใ้ ส่ครีม น้อยกวา่ สองเทา่ ของผู้ใส่ นํ้าตาลอยู่ 7 คน และจํานวนผทู้ ใี่ สท่ ้งั ครมี และนํ้าตาล เท่ากับจาํ นวนผูท้ ่ไี ม่ใส่ทัง้ ครมี และนํา้ ตาล ดงั น้ันมผี ู้ท่ใี ส่ครมี ทัง้ หมดกค่ี น (40) พนกั งานบรษิ ทั 34 คน ถกู สาํ รวจเกย่ี วกบั การสวมนาฬิกา แวน่ ตา และแหวน ปรากฏว่าสวม แวน่ อย่างเดียว 5 คน จาํ นวนคนสวมนาฬิกามากกว่าจาํ นวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่ สวมนาฬกิ าเปน็ 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แต่คน สวมนาฬกิ าไม่มคี นใดสวมแว่น จะมคี นสวมนาฬกิ ากี่คน (41) [Ent’26] นักเรียนคนหน่งึ ไปพักผอ่ นท่พี ทั ยา ตลอดชว่ งเวลาน้นั เขาสงั เกตไดว้ า่ มีฝนตก 7 วนั ในช่วงเช้าหรือเยน็ โดยถ้าวันใดฝนตกช่วงเช้าแลว้ จะไมต่ กในช่วงเย็น, มี 6 วนั ทฝ่ี นไมต่ กในชว่ งเช้า และมี 5 วนั ท่ีฝนไม่ตกในช่วงเย็น ถามวา่ นกั เรียนคนนีไ้ ปพกั ผอ่ นทพ่ี ทั ยากวี่ นั (42) จากการสาํ รวจสายตาและสุขภาพฟนั ของนักเรียน 160 คน ซ่ึงมีนักเรียนชายอยู่ 100 คน (นักเรยี นชายสายตาไมด่ ี 30 คน และฟันผุ 35 คน) พบวา่ มีนักเรียนท่ีสายตาดีและฟนั ไม่ผุอยู่ 80 คน (เป็นชาย 55 คน) และมนี ักเรยี นทสี่ ายตาไม่ดที ง้ั หมด 50 คน ฟนั ผุท้ังหมด 60 คน ถามวา่ มี นักเรียนท่ีสายตาดี หรอื ฟันไม่ผุ รวมทั้งหมดก่คี น (43) ในจํานวนนกั เรียน 35 คนซ่ึงเปน็ หญงิ 11 คน ถ้าพบว่าชอบเล่นบาสเกตบอลกบั ฟุตบอลอย่าง น้อยคนละอยา่ ง โดยมีนกั เรยี นชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรยี นหญงิ 7 คนชอบฟุตบอล นักเรียนชอบบาสเกตบอลท้ังหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านกั เรียนชายทีช่ อบทั้งสองอย่างมีกี่ คน (44) โรงเรยี นแหง่ หนึ่งมีนักเรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจาํ นวนนีม้ นี กั เรยี นทม่ี าจาก ตา่ งจงั หวัดรวม 300 คน เปน็ ผชู้ าย 200 คน และมีนกั กฬี ารวม 50 คน เป็นผชู้ าย 30 คน โดยมี นกั กีฬาทม่ี าจากตา่ งจงั หวดั 25 คน เปน็ ชาย 15 คน ถามว่านกั เรียนชายทไ่ี ม่ไดม้ าจากต่างจงั หวัด และไม่ได้เปน็ นักกฬี าด้วย มกี คี่ น (45) เซตของจํานวนเตม็ เซตหนงึ่ หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตวั อยา่ งเดยี ว 6 จาํ นวน, 3 หารลงตัวท้ังหมด 8 จาํ นวน ซ่งึ เปน็ จาํ นวนคู่ 3 จาํ นวน, ท้ัง 3 และ 4 หารลงตัว มี 2 จาํ นวน, และ 4 หารไมล่ งตวั 18 จํานวน ซง่ึ เป็นจํานวนคู่ 4 จาํ นวน ถามวา่ จาํ นวนสมาชกิ ของเซตน้ี เป็นเทา่ ใด, จาํ นวนคู่ในเซตน้ีมีกจี่ าํ นวน, และมีจํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไมล่ งตวั กีจ่ าํ นวน (46) [Ent’31] จากการสาํ รวจความนยิ มของผู้ไปเท่ียวสวนสัตว์ 100 คน พบวา่ 50 คนชอบชา้ ง, 35 คนชอบลิง, 25 คนชอบหม,ี 32 คนชอบแตช่ ้าง, 20 คนชอบหมีแต่ไม่ชอบลิง, 10 คนชอบชา้ งและลิง แต่ไมช่ อบหม,ี ใหห้ าจํานวนคนท่ีไม่ชอบสตั วท์ ั้งสามชนิดนี้เลย Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 24 เซต (47) [Ent’38] จากการสาํ รวจผู้ฟังเพลง 180 คน พบวา่ มีผูช้ อบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทย เดิม 92 คน และลูกทุง่ 125 คน โดยแบง่ เป็น ผู้ชอบเพลงไทยสากลและไทยเดิม 52 คน เพลงไทย สากลและลกู ทุ่ง 43 คน เพลงไทยเดิมและลกู ทุ่ง 57 คน และทุกคนจะชอบฟงั เพลงอยา่ งน้อยหน่งึ ใน สามประเภท จงหาจํานวนผูท้ ชี่ อบเพลงไทยสากลเพยี งอยา่ งเดียว (48) [Ent’39] ในการสํารวจความนยิ มของคน 100 คน ท่มี ีตอ่ นาย U ก, ข, ค โดยทที่ กุ คนต้องแสดงความนยิ มให้อยา่ งน้อย 1 คน ปรากฏ 20 ข ว่านาย ก ไดร้ บั คะแนนนยิ มมากกวา่ นาย ข อยู่ 6 คะแนน และเขยี น ก 22 23 11 ค แผนภาพได้ดงั รูป ต่อไปนีข้ ้อใดผดิ 9 ก. นาย ข ได้คะแนนนยิ มน้อยทีส่ ุด ข. ผลรวมของคะแนนท้งั สามคน เป็น 199 ค. ผู้ท่ลี งคะแนนให้ นาย ก เทา่ นน้ั มี 10 คน ง. ผลรวมของคะแนนทล่ี งใหค้ นใดคนหนึ่งเพยี งคนเดียว เทา่ กบั 24 (49) ในบรรดานักกฬี า 100 คนซึ่งเป็นชาย 60 คน พบวา่ มีนกั บาสเกตบอล 35 คน เปน็ ชาย 20 คน, มีนกั เทนนิส 28 คน เป็นชาย 15 คน, มีนักวอลเลยบ์ อล 40 คน เป็นชาย 22 คน, เป็นท้ังนกั บาสเกตบอลและเทนนิส 14 คน เป็นชาย 6 คน, เปน็ ทง้ั นกั เทนนสิ และวอลเลยบ์ อล 16 คน เป็น ชาย 10 คน, เป็นทั้งนกั บาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 20 คน เปน็ ชาย 11 คน, และมีนักกฬี าทไ่ี ม่ได้ เลน่ กฬี าสามประเภทน้เี ลย 12 คน เปน็ ชาย 8 คน ให้หาวา่ นกั กีฬาท่ีเล่นครบทั้งสามประเภทมผี ูช้ าย มากกว่าผหู้ ญงิ กี่คน (50) จาํ นวนเต็มตง้ั แต่ 0 ถึง 100 มีกี่จาํ นวนท่ีหาร 2 และ 3 และ 5 ไมล่ งตัว เฉลยแบบฝึกหดั (คาํ ตอบ) (1) ขอ้ (1.1) และ (1.4) ถกู (17.1) A − B (17.2) A ∪ B (29.1) 16 (2) ขอ้ (2.1) และ (2.3) ถกู (29.2) (8 − 1)× 16 (3) ข้อ (3.1) ถกู (17.3) ∅ (17.4) A − B (4) ข้อ (4.3) ผดิ (30.1) 64 (5) ขอ้ (5.1) และ (5.4) ถกู (17.5) A (17.6) A − B (30.2) (16 − 1)×64 (6) 9 ตัว, 126 เซต (7) ขอ้ (7.1) และ (7.7) ผดิ (17.7) ∅ (17.8) A ∩ B (31.1) 16 (31.2) 16 (8) ข้อ (8.6), (8.8), (8.10) ผิด (31.3) 8 (31.4) 24 (9) ขอ้ (9.3) ผดิ (17.9) ∅ (32) 16 (33) 4 (10) 32, 6 (18) ข้อ (18.4) ถกู (34) 56 (35) 31 (11) ข. (19) A = ∅ หรือ B = ∅ (36) 13 (37) 66 (12) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} หรอื A ∩ B = ∅ (38) 6 (39) 11 (13) ผิด, ผิด, 16-2 (20.1) A ∪ B (20.2) B (14) ถกู ทกุ ขอ้ (15) ขอ้ (15.3) และ (15.5) ผดิ (20.3) B ' (20.4) (A ∩ E)' (40) 13 (41) 9 (16) ขอ้ (16.3),(16.4),(16.6) ถูก (21) ถูกทุกข้อ (22) ขอ้ (22.3) ผิด (42) 130 (43) 6 (23) 13 (24) d, a (25) ง. (44) 385 (45) 26, 12, 24 (26) ข้อ (26.4) ผดิ (46) 13 (47) 20 (27) 61+3 (48) ค. (49) 22-13 (28.1) 8 (28.2) 32 (50) 26 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 25 เซต เฉลยแบบฝกึ หดั (วิธคี ดิ ) (1.1) ถกู เพราะ ถ้า x ∈ A (7.1) ผดิ เพราะเซตวา่ งตัวขวาตอ้ งไมม่ ีสมาชกิ แสดงวา่ x ∈ B ดว้ ย ดังรูป xA → แต่ถา้ เปน็ แบบขอ้ (7.3) จะถูก (1.2) ผิด เพราะโจทยบ์ อกแค่ (7.2) ถกู เพราะวา่ เซตวา่ งตัวขวามีซับเซต 20 = 1 เพียง y ∈ B , ยังไมช่ ัดเจนวา่ B แบบ คือ ∅ (ตวั มนั เอง) y ∈ A หรอื ไม่ (อาจจะอยู่หรอื ไมอ่ ย่)ู หรืออาจบอกวา่ เพราะ “ ∅ (ตัวซา้ ย) จะเป็นสับเซต (1.3) ผิด ถา้ {A} ⊂ {B} แสดงว่า A ∈ {B} ซึ่ง ของเซตใดๆ ทกุ เซต” กไ็ ด้ (7.4) ถูก เหตุผลเดียวกบั ข้อ (7.2) น่นั คอื รปู แบบ ผดิ เพราะ {B} มีสมาชิกตวั เดียวคอื B ∅ ⊂ , จะถกู เสมอ → ดงั น้นั (7.6) ก็ถกู เช่นกนั (1.4) ถกู เพราะ A ≠ B (โจทยก์ ําหนด) ดงั นน้ั (7.5) ถกู เพราะ ∅ ∈ P(∅) แปลวา่ ∅ ⊂ ∅ (จะ {A} ≠ {B} แนน่ อน เหมอื นกับโจทยข์ อ้ 7.2) (2.1) ถกู (ในโจทยน์ น้ั A มีสมาชิกอยู่ 5 ตวั และ (7.7) ผดิ เพราะ {∅} ∈ P(∅) แปลวา่ {∅} ⊂ ∅ {∅} เปน็ สมาชกิ อยู่ในลาํ ดบั แรกสดุ ) (2.2) ผดิ เพราะ {∅} ⊂ A แปลวา่ ∅ ∈ A ซึ่งไม่ และแปลว่า ∅ ∈ ∅ (จะเหมือนกบั โจทย์ขอ้ 7.1) จรงิ (7.8) ถกู เพราะ {∅} ⊂ P(∅) แปลวา่ ∅ ∈ P(∅) และแปลวา่ ∅ ⊂ ∅ ถกู (จะเหมอื นกับโจทยข์ อ้ (2.3) ถูก เพราะ {{a}, b} ⊂ A แปลวา่ {a} ∈ A 7.2) (8.1) ∅ ∈ P(A) แปลว่า ∅ ⊂ A → ถูกเสมอ ไม่ และ b ∈ A ซง่ึ จรงิ (2.4) {a, b} ∈ A ถูก (เปน็ สมาชกิ อย่ใู นลาํ ดบั ว่า A เปน็ เซตใดๆ ก็ตาม (รูปแบบ ∅ ⊂ , ) สดุ ทา้ ยในโจทย)์ แต่ {a, b} ⊄ A นน้ั ผดิ (8.2) {∅} ∈ P(A) แปลว่า {∅} ⊂ A และแปลวา่ เพราะวา่ a ∈ A และ b ∈ A ด้วย แสดงว่า ∅ ∈ A → ถกู (เพราะในโจทย์ มี ∅ อยูใ่ น A {a, b} เป็นสบั เซตของ A แนๆ่ ดังนน้ั ตอบ ผิด ด้วย) (8.3) ∅ ⊂ P(A) ถกู ทนั ทเี ลย! เพราะเปน็ รปู แบบ (3.1) ถูก (ข้อนเี้ ป็นกฎที่ควรทราบ) (3.2) ผิด เชน่ B = {A}, C = {B} ดังน้ัน ∅⊂, C = {{A}} ... จงึ ไดว้ า่ A ∉ C (8.4) {∅} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A) ตรงกบั (3.3) ผดิ เช่น A ⊂ C (A อยใู่ น C) โจทย์ขอ้ (8.1) ซ่งึ ถกู แต่ B อย่นู อก A กบั C ดังรูป (8.5) ถกู เพราะ {∅, a, {b}} ∈ P(A) แปลวา่ A {∅, a, {b}} ⊂ A (4.1) และ (4.2) ถกู B C และแปลได้วา่ ∅ ∈ A และ a ∈ A และ {b} ∈ A ซ่งึ พบวา่ เปน็ จริงทัง้ หมด (เปน็ ไปตามนิยามของการเขยี นเงอ่ื นไขเซต) (8.6) เป็นไปไมไ่ ดท้ สี่ มาชกิ ของ P(A) ไมไ่ ดเ้ ปน็ เซต (4.3) ผิด เพราะ {x} ⊂ A คอื x ∈ A จึงตอ้ ง → ข้อน้จี งึ ผดิ ไดผ้ ลเหมอื นขอ้ (4.2) (8.7) {a} ∈ P(A) แปลวา่ {a} ⊂ A แปลวา่ (4.4) ถูก เพราะ {x} ⊂ ∅ คอื x ∈ ∅ ซึง่ พบวา่ a ∈ A → ถูก ไมม่ ี x ใดๆ ตรงตามน้ี ดงั นน้ั เซตในข้อน้จี งึ เปน็ เซต (8.8) {b} ∈ P(A) แปลว่า {b} ⊂ A แปลว่า ว่าง b ∈ A → ผดิ (5.1) ถูก คาํ นวณจาก 25 = 32 ... แต่ (5.2) ผิด เพราะตอ้ งเหลอื 31 แบบ (25 − 1) (8.9) ถกู วิธคี ดิ เดียวกับขอ้ (8.8) น่ันคอื {b} ∈ A เป็นจรงิ (5.3) ผดิ เพราะ P(A) จะมเี พียง 1 แบบเทา่ นนั้ (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A) แต่ภายใน P(A) มสี มาชิกอยู่ 32 ตัว... (5.4) จึงถกู จรงิ , a ∈ P(A) ไม่จริง, {b} ∈ P(A) ไม่จรงิ ดงั นน้ั (6) จาก 2n = 512 จงึ ได้ n = 9 ตวั ข้อนผี้ ิด และสบั เซตทดี่ ึงสมาชิกมา 5 ตัวจาก 9 ตวั มอี ยู่ 9! = 126 เซต (แบบ) 5!4! Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 26 เซต (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P(A) แปลวา่ (13.1) A ∈ P(B) คอื A ⊂ B ดงั น้นั ผดิ {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ A (เพราะ 1 ∉ B ) แปลวา่ ∅ ∈ A และ {1} ∈ A และ {1, 2} ∈ A ซึ่ง (13.2) จาก P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) เป็นจริงทง้ั หมด ดงั นนั้ ขอ้ นีถ้ กู = P({0}) = {∅, {0}} ดังนั้น ขอ้ นีก้ ็ผดิ (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P(A) แปลวา่ (เพราะ {1} ∉ P(A) ∩ P(B) ) (13.3) A ∪ B = {0, 1, {1}, {0, 1}} จะได้ ∅ ∈ P(A) → ∅ ⊂ A และ {1} ∈ P(A) → {1} ⊂ A → 1 ∈ A n(P(A ∪ B)) = 24 = 16 และ {1, 2} ∈ P(A) → {1, 2} ⊂ A → 1 ∈ A, 2 ∈ A A ∩ B = {0} จะได้ n(P(A ∩ B)) = 21 = 2 ซ่ึงพบวา่ เปน็ จรงิ ทุกอยา่ ง ดงั นน้ั ขอ้ นีถ้ ูก ดงั นนั้ ตอบ 16 − 2 = 14 (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P(A) แปลว่า (14.1) และ (14.2) ถกู เพราะ U กับ ∅ เป็น ส่วนเตมิ เตม็ (complement) ของกันและกัน {{1}, {2}, {3}} ⊂ A และแปลวา่ {1} ∈ A, {2} ∈ A, {3} ∈ A ซ่งึ ผดิ (14.3) ถงึ (14.6) ถูกทัง้ หมด พิจารณาจาก (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P(A) แปลว่า แผนภาพจะงา่ ยที่สดุ {1} ∈ P(A), {2} ∈ P(A), {3} ∈ P(A) (14.7) และ (14.11) A − A = ∅ ถกู ก็คอื {1} ⊂ A, {2} ⊂ A, {3} ⊂ A หรอื แปลอกี ที (14.8) ถึง (14.10) ถกู ... (14.12) ถูก (ตอ้ ง รู้!) 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A ซ่ึงถูก (10) สําหรับการหา n(X) แปลวา่ “ให้หาวา่ มีเซต (15.1) ถูก (เปน็ สง่ิ ที่ควรทราบ) A ที่เปน็ ไปไดก้ แ่ี บบตามเงอื่ นไขน”้ี (15.2) ถกู A ∪ B = ∅ แสดงวา่ ตอ้ งไม่มีเซตใดมี (ก) A ∈ P(S) (แปลวา่ A ⊂ S ) สมาชิกอยูเ่ ลย กบั (ข) 1 ∈ A และ 7 ∉ A (แปลว่าใน A ตอ้ งมี 1 และตอ้ งไมม่ ี 7) (15.3) ผิด ถา้ A กับ B ไมม่ สี มาชิกร่วมกนั ก็ แสดงวา่ มีเฉพาะ 2, 3, 4, 5, 6 เทา่ นนั้ ทเี่ ลอื กได้ วา่ จะอยหู่ รอื ไม่อยู่ใน A ... กเ็ ปรยี บเสมอื นการหา สามารถทาํ ให้ A ∩ B = ∅ ได้ หรือเมอ่ื A กบั B จาํ นวนสบั เซตแบบต่างๆ ของ {2, 3, 4, 5, 6} ..ฉะนน้ั เปน็ เซตวา่ ง เพยี งเซตใดเซตหน่งึ ก็ได้ n(X) = 25 = 32 (15.4) A − B = ∅ แสดงวา่ A ⊂ B B − C = B แสดงวา่ B กบั C แยกจากกนั (B ∩ C = ∅) ดังรปู A ส่วน n(Y) ใหห้ าวา่ มี A เป็นไปไดก้ ีแ่ บบ ซง่ึ A ∈ X และผลบวกไม่เกนิ 6 C B วิธีคดิ ตอ้ งนับเอาโดยตรงเทา่ นน้ั ไดแ้ ก่ ถกู {1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5} และ {1, 2, 3} ดังนน้ั A ' ∪ C ' = (A ∩ C) ' = ∅ ' = U พบวา่ มี A ท่ีเป็นไปได้ 6 แบบ ..ฉะนน้ั n(Y) = 6 (เพราะ A กบั C กแ็ ยกจากกนั ) (15.5) A − B = ∅ แปลว่า A ⊂ B (11) จาก A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C จะทาํ ใหท้ ราบวา่ B − C ≠ ∅ แปลวา่ B ⊄ C A ∩ B ∩ C = {3, 5} จากนนั้ วาดแผนภาพ A − C ≠ ∅ แปลว่า A ⊄ C 1 B จาก A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} ดงั นนั้ เปล่ียนโจทยก์ ลายเปน็ 3 52 4 แสดงวา่ ใน A กบั C สว่ นที่ \" A ⊂ B และ B ⊄ C A AC 0 เหลอื ไมม่ ีสมาชกิ ใดเลย และ แล้ว A ⊄ C \" อันน้เี ทจ็ B 4 ∈ B ดังนน้ั เชน่ รปู นี้ A ⊂ C ได้ ก. A − B = {0} ถกู C (16.1) ผดิ เชน่ ถา้ A = B จะได้ ข. B − C = {1} ผดิ ..ต้องได้ {1, 4} A ∩ B = A ∪ B = A = B ด้วย ค. A − C = {1} ถกู (16.2) ผดิ เชน่ ถ้า A = B จะได้ ง. B − A = {2, 4} ถกู A−B =B−A = ∅ (12) U = {1, 2, 3, ..., 10} → B = {3, 6, 9} และ C = {1, 2, 3, 4, 5} ตอ้ งการหาเซต C ' ∪ B ' กค็ อื (16.3) ถูกเสมอ มาจากกฎ (C ∩ B)' ซึง่ เราได้ C ∩ B = {3} ดงั นนั้ ตอบ A − B ' = A ∩ (B ') ' = A ∩ B {1, 2, 4, 5, 6, 7, ..., 10} (16.4) B '− A = B '∩ A ' = (B ∪ A) ' ถกู (16.5) ผิด x อาจมาจากใน B ก็ได้ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 27 เซต (16.6) A ' ∩ B ' = (A ∪ B) ' (20.4) มีถงึ 5 เซต จึงตอ้ งใชก้ ารแจกแจงช่วยคิด ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ (A ∪ B) ' ..ถกู (วาดแผนภาพไม่ได้) (16.7) ถา้ x ∉ A แลว้ x ∈ (A ∪ B)' ..ผดิ กอ้ นซ้ายได้ A '∩ B' ∩B ∩ C = ∅ ( x อาจอยใู่ น B ได)้ ∅ (16.8) ถา้ x ∈ A แลว้ x ∈ A ∩ B ..ผดิ ( x อาจอยูเ่ พียงใน A โดยไม่อยูใ่ น B ) ก้อนกลางได้ D ∩ E' ∩C'∩E = ∅ (17) ใชก้ ารมองจากแผนภาพจะงา่ ยทสี่ ุด ∅ (แผนภาพจะตอ้ งเป็นแบบทั่วไป คอื มีสว่ นซอ้ นทบั กนั ) กอ้ นขวาได้ A ∩ E U รวมกนั ได้ ∅ ∪ (∅ ∪ (A ∩ E)) ' = (A ∩ E) ' (21.1) จากโจทย์ ดงึ B ∩ C ออกจากสองวงเล็บ แรก กข ค = [(A∪A' ) ∩ B ∩ C] ∪ (B ∩ C) ' ง U AB = (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ' = U ถูก A−B A∩B B−A (21.2) จากโจทย์ ดึง C ออกจากทกุ วงเล็บ (17.1) A − (A ∩ B) ⇒ กข – ข = ก ⇒ ตอบ = C ∩ [(A ∩ B ∩ D ') ∪ A '∪ B '∪ D] A −B จดั รปู A, B, D ตวั หลงั ใหม่ = C ∩ [ (A∩B∩D')∪(A∩B∩D')' ] = C ถกู (17.2) (A − B) ∪ B ⇒ ก ∪ ขค = กขค ⇒ U ตอบ A ∪ B (17.3) (A − B) ∩ B ⇒ ก ∩ ขค = ∅ (21.3) ถกู เสมอ เพราะ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) และมีกฎอยวู่ า่ ถา้ , ⊂ + แลว้ P(,) ⊂ P(+) ข้ออน่ื ๆ กส็ ามารถคิดดว้ ยวธิ ีเดียวกนั ได้คาํ ตอบดงั น้ี (21.4) A − B กบั B − A ไม่มสี มาชกิ ร่วมกนั (17.4) A ∩ (A − B) = A − B ดงั นน้ั ภายในเซต P(A − B) กับเซต P(B − A) จะมี (17.5) A ∪ (A − B) = A สมาชกิ ท่ีเหมือนกนั เพยี งตัวเดยี วคอื ∅ → ขอ้ น้ถี ูก (17.6) (A ∪ B) − B = A − B (21.5) ถา้ A ⊂ B จะได้ว่า P(A) ⊂ P(B) ดงั นนั้ (17.7) (A ∩ B) − B = ∅ P(A) ∪ P(B) = P(B) ...... (1) (17.8) A − (A − B) = A ∩ B และถ้า A ⊂ B จะได้ A ∪ B = B ดว้ ย ดังน้นั (17.9) เน่อื งจาก B − A ' = B ∩ A ดงั นนั้ P(A ∪ B) = P(B) ..... (2) ดงั นน้ั (1)=(2) ถกู (A − B) ∩ (B − A ') ⇒ ก ∩ ข = ∅ (22) ใชห้ ลกั ว่า (18.1) ผิด เชน่ หาก C = U แล้ว A กบั B ไม่ จําเปน็ ตอ้ งเทา่ กนั P(,) ∩ P(Δ) ∩ P(Ο) = P(, ∩ Δ ∩ Ο) (18.2) ผดิ เชน่ หาก C = ∅ (18.3) ผดิ เชน่ หาก C = U ** ใชไ้ ดเ้ ฉพาะเครอ่ื งหมาย ∩ (18.4) ถกู (22.1) A ∩ B ∩ C ' = {1, 2} ถกู (19) B = ∅ หรอื A ∩ B = ∅ (แยกกนั อยู่) (22.2) A ∩ B '∩ C = {0, 3} ถูก หรอื A = ∅ (22.3) A '∩ B ∩ C = ∅ ขอ้ นี้ผดิ (20) ถ้ามเี พยี ง 2 เซต สามารถใชว้ ิธที ดเอาจาก ทถ่ี กู ตอ้ งเปน็ P(A '∩ B ∩ C) = {∅} แผนภาพเซตเหมือนขอ้ (17) (22.4) A ∩ B '∩ C ' = ∅ ถกู (20.1) ก ∪ ค ∪ ข = กขค = A ∪ B (23) n(A '∩ B ') = n(A ∪ B) ' มีคา่ มากสุด ก็คอื (20.2) (กข ∩ ขคง) ∪ (ขค ∩ กคง) =ข ∪ ค= B n(A ∪ B) มคี ่านอ้ ยสดุ ..จะเกดิ ขนึ้ เม่ือ B ⊂ A (20.3) (กค – คง) ∪ (คง – กค) = ก ∪ ง ทาํ ให้ n(A ∪ B) = n(A) = 22 = B' ดงั นน้ั n(A ∪ B) ' = 35 − 22 = 13 (24) n(A) = a , n(B) = b แต่ n(A ∩ B) = b แสดงว่า B อย่ใู น A ทั้งหมด (B ⊂ A ) และเช่นเดยี วกนั จะพบวา่ D ⊂ C ⊂ B ⊂ A ดังนนั้ n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = n(D) = d และ n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) = a Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 28 เซต (25) จาก P(C) ในโจทย์ จะได้ C = {a, c} (33) U = {−2, −1, 0, 1, 2, ..., 6} n(P(A)) = 8 คอื n(A) = 3 A = {0, 1, 4} → เกนิ จากนจ้ี ะไมอ่ ยู่ใน U n(P(B)) = 16 คอื n(B) = 4 B = {0, 1, 2} ดังน้นั และจาก C ⊂ A และ C ⊂ B จะได้วา่ {0, 1} ⊂ X ⊂ {0, 1, 2, 4} → n(C) = 22 = 4 A = {a, c,,} และ B = {a, c, Δ, Ο} (34) x ⊂ {a, b, c, d, e, f} และ จาก {b, d, e} ⊂ A ∪ B โดย b ∈ A ∩ B ' จะได้ว่า {a, c, d} ∩ X ≠ ∅ แสดงวา่ A = {a, c, b} และ B = {a, c, d, e} X = { สบั เซตของ{a,c,d}ทีไ่ ม่ใช่ ∅ , สับเซตใดๆ ก. d ∈ A '∩ B (อย่ใู น B และไม่อยใู่ น A ) ถกู ของ{b,e,f} } → (23 − 1)(23) = 56 แบบ ข. e ∈ C '∩ B → ถกู (35) เนอื่ งจาก n(A) = 5 และ ค. b ∉ A ∩ B → ถูก ,S1 = {B | B ⊂ A, n(B) = 1} ง. {b, e} ⊂ A ∩ B ' ผดิ S2 = {B | B ⊂ A, n(B) = 2} , ... เพราะ A ∩ B ' = A − B = {b} ไปจนถึง S5 = {B | B ⊂ A, n(B) = 5} จะไดว้ า่ (26) A ∩ B ' = A − B = ∅ แสดงวา่ A ⊂ B S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 = เซตของสบั เซต (คอื A ∩ B = A ) (26.1) n[P(A ∩ B)] = n[P(A)] = 23 = 8 ถูก ของ A ทุกแบบ ยกเวน้ ∅ (n(B)=0) (26.2) {1} ∈ P(A ∩ B) คือ {1} ⊂ A ∩ B คอื ดงั นน้ั n(S) = 25 − 1 = 31 1 ∈ A ∩ B ถกู (26.3) P(A − B) = P(∅) = {∅} ถกู (36) จากแผนภาพ U (26.4) ผิด เพราะ B − A ≠ ∅ กเ็ ปน็ ไปได้ (27) สมาชกิ ทีใ่ นสว่ นที่ซอ้ นกนั ได้แก่ ∅, {∅}, {0} n(A ∩ B ') = n(A − B) 3ก2 ข 55ค ง ดังนน้ั ได้ (26 − 3) + (6 − 3) = 61 + 3 = 64 AB = 32 = ก (28.1) A = {2, 4, สบั เซตของ{1,3,5} } จงึ มี n(B) = ข+ค = 55 23 = 8 แบบ ต้องการหา n(A '∩ B ') คอื n(A ∪ B)' = ง หาได้จาก n(U) = 100 = ก+ข+ค+ง ดังนน้ั ง = 100 − 32 − 55 = 13 (หมายเหตุ .. n(A ') = 40 ไมไ่ ด้ใช้) (28.2) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, สบั เซต (37) นกั กฬี า 35 คน U ของ{2,4,6,8,10} } จงึ มี 25 = 32 แบบ → ก+ข = 35 กขค (29.1) X = {1, 2, 3, สบั เซตของ{4,5,6,7} } จงึ มี นกั ดนตรี 27 คน ง → ข+ค = 27 24 = 16 แบบ นักกฬี า นกั ดนตรี (29.2) X = { สบั เซตของ{1,2,3}ทีไ่ มใ่ ช่ ∅ , สบั ไม่เปน็ เลย 32 คน → ง = 32 รวมกันสามสมการจะได้ ก+2ข+ค+ง = 94 เซตใดๆของ{4,5,6,7} } ...(23 − 1)(24) = 112 แบบ (30.1) n(C) = จาํ นวนแบบของ S = 26 = 64 แตม่ ีนกั เรยี นรวม 80 คน (ก+ข+ค+ง) (30.2) n(C) = จาํ นวนแบบของ S ∴ ลบกนั เหลอื ข = 14 คน = (24 − 1)(26) = 960 โจทยถ์ าม ก+ค+ง = 80 − 14 = 66 คน (31.1) {0} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} มี 24 = 16 แบบ (หมายเหตุ .. n(A '∪ B ') = n(A ∩ B) ' = ก+ค+ง) (31.2) {0} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} (38) เซตในขอ้ น้แี ยกจาก กนั เพราะเรยี นฝรงั่ เศสแล้ว ก ขค ต้องไมเ่ รียนคณติ ศาสตร์ วิธที งั้ หมด ลบขอ้ 31.1 → 25 − 24 = 16 แบบ (31.3) {0, 2} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} 20=ก+ข, 17=ก+ค, ฝรั่งเศส คณิต U 15=ข+ค มี 23 = 8 แบบ รวมกันจะได้ 2(ก+ข+ค)=20+17+15 → ก+ข+ค=26 (31.4) {0, 2} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} ดังนนั้ ค = 26 − 20 = 6 วธิ ีทง้ั หมด ลบขอ้ 31.3 → 25 − 23 = 24 แบบ (32) {3, 5, 8} ⊂ D ⊂ {2, 3, 4, ..., 8} มี 24 = 16 แบบ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 29 เซต (39) โจทย์บอกว่า U (43) ก+ข=16 ....(1) ก+ข+ค+ง=20 กขค ฉ+ช=7 จะได้ ข+ค=21-7=14 ....(2) ง ก+ข=2(ข+ค)-7 สองสมการบวกกนั จะได้ ก ข ค ช2า4ย และ ข = ง ครมี น้าํ ตาล ก+2ข+ค=16+14=30 หญงิ จ ฉช 11 ดงั นน้ั จากสมการแรกสดุ จะได้ ก+2ข+ค=20 .....(1) แต่ ก+ข+ค=24 ดังนน้ั บาส ฟุตบอล สมการทส่ี องจดั รปู ได้ ข-ก+2ค=7 .....(2) ข=30-24= 6 คน (1)x2 - (2); 3ก+3ข=33 ดงั นนั้ ก+ข=11 (44) ก+ข=200 U ง 6ชา0ย0 และ ข+ค=30 ก ขค (40) คนสวมแหวนทกุ คน รวม ก+2ข+ค=230 จ ฉช ซ สวมแวน่ แตค่ นทสี่ วม แกหวนขแว่น นาฬกิ า แต่ ข=15 ตจว. นักกฬี า 5ห0ญ0ิง นาฬกิ าไมม่ คี นใดสวมแวน่ คง ดังนน้ั ก+ข+ค=215 จะวาดแผนภาพได้ดังนี้ U ∴ ง = 600 − 215 = 385 คน (แหวนเปน็ สบั เซตของแวน่ , (ข้อสังเกต ขอ้ 43 และ 44 ไมไ่ ดค้ ํานวณในส่วนท่ี นาฬกิ ากับแว่นแยกกนั ) เปน็ ผหู้ ญงิ เลย, ถา้ ตอ้ งคดิ จะใชว้ ธิ ีเหมอื นขอ้ 42) โจทยบ์ อกวา่ ก+ข+ค+ง=34 .....(1) ข=5 .....(2) (45) โจทยข์ อ้ นใี้ หค้ ิด ค=ก+ข+1 .....(3) และ ก+ข+ง=3ก .....(4) ก ข ค ง คู่ เอาเองว่า จาํ นวนคีท่ ี่ จ ซ ค่ี แทนคา่ (2), (3) ในสมการ (1) และ (4) จะได้ 4 หารลงตวั นน้ั ไมม่ ี! 3ลงตวั 4ลงตัว (นั่นคอื ฉ,ช = 0 ) ก+5+(ก+5+1)+ง=34 และ ก+5+ง=3ก แก้ระบบสมการได้ ก=7, ง=9 โจทยถ์ าม ค = ก+ข+1 = 7+5+1 = 13 คน ค ค = 6 , ก+ข+จ = 8 โดย ก+ข = 3 → จ = 5 .. ข = 2 , ก+ง = 4 และ จ+ซ = 18 − 4 = 14 .. (41) ฝนตกเชา้ จะไมต่ ก จาํ นวนสมาชกิ ของเซตน้ี = (ก+ง)+ข+ค+(จ+ซ) เย็น แสดงวา่ เซตแยกกนั ก ข ก+ข=7, ข+ค=6, ก+ค=5 บวกกันท้ังสามสมการได้ ตกเชา้ ตกเย็น = 4 + 2 + 6 + 14 = 26 U 2(ก+ข+ค)=18 ..ดังนนั้ ก+ข+ค = 9 วนั จํานวนคู่ = (ก+ง)+ข+ค = 4 + 2 + 6 = 12 1ช0า0ย จาํ นวนที่ 3 หรอื 4 หารไมล่ งตัว = ทุกตวั ยกเวน้ ข (42) ขอ้ น้วี าดรปู แบ่ง U ง 6ห0ญิง = 26 − 2 = 24 จํานวน ชายหญงิ ได้ดงั นี้ ก ขค ซ (46) ขอ้ น้ีมี 3 เซต คอื ชอบชา้ ง, ชอบลิง, ชอบหมี (หรือจะแบง่ เปน็ ชาย จ ฉช โจทยถ์ าม n(A ∪ B ∪ C) ' = 100 − n(A ∪ B ∪ C) กบั หญงิ คนละรปู กนั กไ็ ด้ แต่คดิ ไมส่ ะดวก) ตาดี ฟันไมผ่ ุ โดยการสังเกตใหด้ ี ใช้ ก ขคง จ ฉชซ ข้อมูลแค่ 3 ตวั คดิ วิธี U ลงิ เดียวกบั ขอั (36) ดังรปู 32 35 ก็จะทราบวา่ ชา้ ง ชาย หญงิ n(A ∪ B ∪ C) = 20 หมี B 30 = ค+ง → ช+ซ = 50 − 30 = 20 32 + 35 + 20 = 87 ไทย เดิม 35 = ก+ง → จ+ซ = 60 − 35 = 25 ดงั นน้ั ตอบ 13 A ไทย C ลูกทุ่ง 55 = ข → ฉ = 80 − 55 = 25 (47) ข้อนตี้ รงตามสตู ร สากล ? z n(A ∪ B ∪ C)=180 x รวม 3 สมการเขา้ ดว้ ยกนั จะได้ y ก+ข+ค+2ง=120 และ จ+ฉ+ช+2ซ=70 =95+92+125-52-43-57+x แต่เนอื่ งจาก ก+ข+ค+ง=100 ดงั นั้น ง=20 และ ก+ข+ค=80 ∴ x = 20 คน และเนอื่ งจาก จ+ฉ+ช+ซ=60 ดงั นน้ั ซ=10 ∴ y = n(A ∩ C) − 20 =43-20=23 และ จ+ฉ+ช=50 คําตอบคอื 80 + 50 = 130 คน z = n(A ∩ B) − 20 =52-20=32 ผู้ชอบเพลงไทยสากลเพียงอยา่ งเดยี ว มี 95 − 20 − 23 − 32 = 20 คน (หมายเหตุ ..จะวาดแผนภาพเปน็ เซตของคนทสี่ ายตา ไมด่ ,ี หรอื เซตของคนทฟ่ี นั ผุ กไ็ ด้) Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 30 เซต (48) สมการแรก ก x 20 ข (50) ให้ U = {0, 1, 2, ..., 100} x+y+20+23+22+11+9=100 A = { x | x หารดว้ ย 2 ลงตัว } y B = { x | x หารดว้ ย 3 ลงตวั } และสมการท่สี อง 22 23 11 C = { x | x หารดว้ ย 5 ลงตวั } (x+20+23+22)=(y+20+23+11)+6 9 ค แก้ระบบสมการ ได้ x = 5, y = 10 ต้องการหาคา่ n(A '∩ B '∩ C ') กค็ ือ n(A ∪ B ∪ C) ' ..หาโดย n(U) − n(A ∪ B ∪ C) ∴ นาย ก ได้ 70 คะแนน, นาย ข 64 คะแนน, ซึ่ง n(A ∪ B ∪ C) จะตอ้ งคํานวณตามสตู ร นาย ค 65 คะแนน ก. ถกู ข. 70 + 64 + 65 = 199 ถูก ค. ผดิ ตอ้ งเปน็ 5 คน ง. 5 + 10 + 9 = 24 ถกู n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C)) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) (49) ขอ้ นม้ี ีสามเซต (บาสเกตบอล, เทนนิส, วอลเลย์บอล) และยงั แบ่งชายหญงิ จงึ จําเปน็ ต้องแยก ** ทุกๆ ชน้ิ ส่วน อยา่ ลมื นับเลข 0 ดว้ ย ** ... n(A) → หาร 2 ลงตวั มี 51 จาํ นวน วาดคนละภาพกนั n(B) → หาร 3 ลงตวั มี 34 จาํ นวน n(C) → หาร 5 ลงตวั มี 21 จาํ นวน x y n(A ∩ B) → หาร 2 และ 3 ลงตวั คอื หาร 6 ลงตวั ชาย 8 4 มี 17 จาํ นวน ... n(A ∩ C) → หาร 2 และ 5 ลงตัว หญิง คอื หาร 10 ลงตวั มี 11 จํานวน ... n(B ∩ C) → ถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่าขอ้ มลู ท่ีใหม้ าตรงตามสตู รพอดี หาร 3 และ 5 ลงตวั คอื หาร 15 ลงตวั มี 7 จาํ นวน ชาย n(A ∪ B ∪ C) = 60 − 8 ... n(A ∩ B ∩ C) → หาร 2 และ 3 และ 5 ลงตวั =20+15+22-6-10-11+x ... ดงั น้นั x=22 คน คือหาร 30 ลงตวั มี 4 จาํ นวน หญงิ (แตล่ ะเลขไดจ้ าก จํานวนทงั้ หมดลบดว้ ยผูช้ าย) ดังนนั้ n(A ∪ B ∪ C) = 51 + 34 + 21 − 17 − 11 40-4 = 15+13+18-8-6-9+y ... ดงั นน้ั y=13 คน −7 + 4 = 75 สรุปวา่ ตา่ งกนั อยู่ 22 − 13 = 9 คน และเนอื่ งจาก n(U) = 101 จงึ ได้ n(A '∩ B '∩ C ') = 101 − 75 = 26 S ¨u´·è¼Õ i´ºo‹ Â! S ¨Ò¡¢oŒ (50) ËÒ¡o¨·Âe»ÅÂèÕ ¹ä»e»¹š A ¤o× e«µ¢o§¨íҹǹ·èÕËÒà 6 ŧµaÇ æÅa B ¤o× e«µ¢o§¨Òí ¹Ç¹·ÕèËÒà 8 ŧµaÇ æÅnj A ∩ B ¨ae»š¹e«µ¢o§¨íҹǹ溺㴤Ãaº.. ËÅÒ¤¹µoºÇ‹Ò ËÒ÷é§a 6 æÅa 8 ŧµaÇ ¡çæ»ÅNjÒËÒà 48 ŧµaÇ ... äÁ㋠ª‹¹a¤Ãaº! ... eoÒ 6 ¡aº 8 ÁÒ¤Ù³¡a¹¹é¹a ¼i´! ¨aµŒo§ãªŒ ¤.Ã.¹. ¤o× “ËÒà 24 ŧµaǔ ¨Ö§¨a¶Ù¡ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 31 ระบบจาํ นวนจรงิ Rea+l º··èÕ 2 Ãaºº¨íҹǹ¨Ã§i จํานวนทีม่ นุษยค์ ดิ ขนึ้ ใช้ครั้งแรกเป็นจํานวนทใ่ี ช้ นับสิ่งของต่างๆ เรยี กว่า จํานวนธรรมชาติ (Natural Number) หรอื จํานวนนบั (Counting Number) ได้แก่ 1,2,3,4,... ซง่ึ สญั ลักษณ์แทนเซตของจาํ นวนนบั คือ N = {1,2, 3, 4,...} หากนาํ จาํ นวนนบั เหล่านี้มาบวกหรอื คูณกัน ผลลัพธ์ย่อมเป็นจํานวนนบั เสมอ เรยี กว่า “เซต ของจํานวนนบั มี สมบัตปิ ิด สาํ หรบั การบวกและการคณู ” (คาํ วา่ สมบัตปิ ดิ หมายความว่า เมื่อนํา สมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลทไ่ี ด้ยงั คงเป็นสมาชิกของเซตนัน้ อย่)ู แต่หากนําจํานวนนับ บางจํานวนมาลบหรอื หารกนั จะมีปญั หาขัดขอ้ งเน่ืองจากผลทไ่ี ด้ไม่เป็นจาํ นวนนับ ดว้ ยเหตุนี้จาํ นวนลบ จํานวนศนู ย์ รวมทัง้ จาํ นวน เศษส่วน (Fraction) จงึ ถกู คดิ ขึน้ มาใช้ จํานวนนบั จาํ นวนศูนย์ และจาํ นวนเตม็ ลบ เรียกรวมกันวา่ จาํ นวนเต็ม (Integer) I = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} จาํ นวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเต็ม เรียกรวมกนั วา่ จาํ นวนตรรกยะ (Rational Number) Q = { a/b | a, b ∈ I และ b ≠ 0 } ดงั นนั้ เซตจาํ นวนนับเปน็ สบั เซตจํานวนเต็ม และเซตจาํ นวนเตม็ เปน็ สบั เซตจํานวนตรรกยะ ขอ้ ควรทราบ 1. จํานวนตรรกยะทเ่ี ปน็ เศษส่วนของจํานวนเตม็ จะเขียนเป็นทศนิยมซ้ําได้เสมอ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 32 ระบบจาํ นวนจรงิ และจาํ นวนทเ่ี ขียนเป็นทศนิยมไมซ่ า้ํ จะเรียกว่า S e¾Áèi eµiÁ! S จํานวนอตรรกยะ (Irrational Number) Q' เชน่ 2 ≈ 1.4142... , 3 ≈ 1.7321... , π ≈ 3.1416... 1. ÃÒ¡·èÊÕ o§¢o§¨Òí ¹Ç¹¹aº (·¶èÕ o´¤‹Òoo¡ÁÒe»¹š ¨Òí ¹Ç¹ ¹aºäÁ‹ä´Œ) ¨ae»¹š ¨Òí ¹Ç¹oµÃáÂaeÊÁo 2. N มสี มบัตปิ ดิ สาํ หรบั การบวกและการคณู I และ Q มีสมบัตปิ ิดสาํ หรบั การบวก, ลบ, และคณู 2. ¤Ò‹ e «è§Ö e»¹š ¤‹Ò¤§·Õ·è eèÕ ¡èÂÕ Ç¡aºÅo¡ÒÃi·ÖÁ (º··èÕ 8) ..แต่ Q' ไมม่ ีสมบตั ิปิดเลย ¡çe»¹š ¨Òí ¹Ç¹oµÃáÂaeª‹¹¡a¹ (ÁÕ¤‹Ò»ÃaÁÒ³ 2.718..) จํานวนท้ังหมดท่ีกล่าวมานี้ เรียกรวมกันว่า จํานวนจริง (Real Number : R ) ซึ่งมีแผนผงั ความ C สมั พนั ธ์ดงั ที่แสดงไว้ R Im เพมิ่ เติม จากเน้ือหาเรื่องจาํ นวนเชิงซอ้ น มจี าํ นวนอีกหน่ึงประเภททไี่ มใ่ ชจ่ าํ นวนจรงิ เนอื่ งจากไม่ Q' Q สามารถจดั ลาํ ดับค่ามากน้อยรว่ มกับจํานวนจรงิ บนเส้นจาํ นวน ได้ คอื รากท่สี องของจาํ นวนลบ เชน่ −2 เรียกว่า จํานวน I Q−I จนิ ตภาพ (Imaginary Number) เมอ่ื รวมกันกับเซตจํานวนจริงแล้วเรยี กว่า จํานวนเชงิ ซอ้ น I- I0 I+ หรอื N (Complex Number : C ) ซึ่งจะได้ศกึ ษาในบทที่ 11 2.1 สมบตั ิของจํานวนจริง นอกจากสมบตั ิปดิ ซ่งึ ได้รูจ้ ักแล้ว ระบบจํานวนจริงยังมีสมบัตอิ ีกหลายลกั ษณะที่ควรทราบ เนือ่ งจากเปน็ พื้นฐานท่ีจําเปน็ สาํ หรบั วิชาคณิตศาสตร์ (ส่วนใหญ่จะเคยพบมาแล้วในระดับ ม.ต้น) สมบตั ิของการเทา่ กัน [1] สมบตั กิ ารสะท้อน (Reflexive Property) a=a [2] สมบัตกิ ารสมมาตร (Symmetric Property) a=b ↔ b=a [3] สมบตั ิการถ่ายทอด (Transitive Property) a = b และ b = c → a = c [4] สมบตั กิ ารบวกและคณู ด้วยจํานวนทีเ่ ทา่ กนั a = b → a+c = b+c a = b → ac = bc สมบตั เิ ก่ยี วกับการบวกและการคณู [1] “เอกลกั ษณ์ (Identity)” คอื จาํ นวนท่ไี ปดาํ เนนิ การกับจํานวนจรงิ a ใดก็ตามแล้วได้ผลลัพธเ์ ป็น จาํ นวน a เดิม ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกในระบบจาํ นวนจริง คือ 0 และเอกลกั ษณก์ ารคูณใน ระบบจาํ นวนจรงิ คือ 1 [2] “อนิ เวอร์ส (Inverse) ของ a” คอื จาํ นวนท่ไี ปดําเนินการกับจํานวนจรงิ a แล้วไดผ้ ลลัพธ์เป็น เอกลกั ษณ์ ... ดงั น้ัน เอกลกั ษณ์การบวกของจาํ นวนจริง a คือ –a และเอกลักษณ์การคณู ของจํานวน จริง a คอื 1/a หรอื เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ a−1 a, b ∈ R → a + b ∈ R [3] สมบตั ิปดิ (Closure Property) a, b ∈ R → a ⋅ b ∈ R [4] สมบตั กิ ารสลับท่ี (Commutative Property) a+b = b+a ab = ba Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 33 ระบบจํานวนจรงิ [5] สมบัติการเปลยี่ นกล่มุ (Associative Property) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (b c) = (a b) c = a b c [6] สมบัตกิ ารแจกแจง (Distributive Property) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c [7] สมบัตสิ ําหรับเซตของจํานวนจริงบวก ( R+ ) เพิ่มเติมได้แก่ สมบัตทิ ีว่ า่ “ถ้าจาํ นวนจริง a ≠ 0 แลว้ a ∈ R+ หรือ −a ∈ R+ เสมอ” ทฤษฎีบทเพิ่มเตมิ ทีค่ วรทราบ a+c = b+c → a = b (พสิ ูจนไ์ ดจ้ ากสมบัตทิ ีก่ ลา่ วแล้วข้างตน้ ) [1] กฎการตดั ออกสําหรบั การบวกและการคูณ a ⋅ c = b ⋅ c → a = b เม่ือ c ≠ 0 [2] การคูณดว้ ยศนู ย์ และจาํ นวนลบ 0a = a0 = 0 (−1)a = −a * [3] ผลคูณเท่ากบั ศนู ย์ (−a) b = a (−b) = −a b [4] บทนยิ ามของการลบและการหาร (−a)(−b) = a b − (−a) = a [5] การแจกแจงสําหรับการลบ [6] อินเวอร์สการคูณไมเ่ ปน็ ศูนยเ์ สมอ a b = 0 → a = 0 หรือ b = 0 [7] การคณู ท้ังเศษและส่วน [8] การบวกและการคูณเศษส่วน a − b = a + (−b) [9] อินเวอรส์ การคูณของเศษส่วน a ÷ b = a b −1 เม่ือ b ≠ 0 (ไมน่ ยิ าม )0−1 [10] เศษสว่ นซ้อน a (b − c) = a b − a c a−1 ≠ 0 a = ac b bc a + d = ac + bd a ⋅ d = ad bc bc b c bc ⎜⎛⎝ a ⎟⎞⎠−1 = b b a ab = a a = ac a b = ad c bc bc b c d bc หมายเหตุ 1. ข้อ [7] ถงึ [10] ตวั ส่วนต้องไมเ่ ทา่ กับศนู ย์ 2. อาจนิยามการหารด้วยการคณู คือ a ÷ b = c ↔ a = b c ก็ได้ แต่ตอ้ งกํากับว่าเปน็ จริงเมื่อ b ≠ 0 เท่าน้นั (การหารด้วย 0 ในที่นจี้ ะไม่นยิ าม) • ตัวอยา ง เซตตอ ไปนีม้ ีลกั ษณะตรงตามขอ ใด (ใน A, B, C, D) บาง A. มีสมบัตปิ ดการบวก B. มีสมบตั ปิ ด การคูณ C. เปนสบั เซตของเซตจํานวนตรรกยะ Q D. เปนสับเซตของเซตจาํ นวนเต็ม I ก. เซตของจาํ นวนนบั N ตอบ A ถูก เพราะไมว า จะยกจาํ นวนนบั จํานวนใดมาบวกกัน ผลลพั ธก็ยังคงเปน จาํ นวนนบั B ถกู เพราะไมว า จะยกจํานวนนับจํานวนใดมาคณู กนั ผลลพั ธก ย็ งั คงเปนจํานวนนบั C ถูก เพราะจาํ นวนนับทุกจาํ นวนเปน จาํ นวนตรรกยะ D ถูก เพราะจาํ นวนนบั ทกุ จาํ นวนเปนจํานวนเตม็ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 34 ระบบจํานวนจริง ข. เซตของจํานวนอตรรกยะ ตอบ A ผิด เพราะมีจาํ นวนอตรรกยะบางจาํ นวน ที่บวกกนั แลวกลายเปน จาํ นวนตรรกยะ เชน 2 บวก กับ − 2 แลวได 0 B ผิด เพราะมีจาํ นวนอตรรกยะบางจํานวน ทีค่ ณู กนั แลว กลายเปน จํานวนตรรกยะ เชน 2 ⋅ 2 = 2 C ผิดอยา งแนน อน เพราะเซตของจาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะ เปน คอมพลีเมนตกัน D ผดิ เชนกนั เพราะไมใ ชว า จาํ นวนอตรรกยะทุกจํานวนเปน จาํ นวนเต็ม (ทีจ่ ริงไมม ีเลยสกั ตวั ) ค. { x | x < 0 } ตอบ A ถูก จํานวนลบหรือจํานวนศนู ย เมื่อนํามาบวกกนั ยอมยงั เปนจํานวนลบหรือศูนย B ผิด เพราะจํานวนลบคณู กนั ยอ มไดผ ลลัพธเปน จํานวนบวก C และ D ผิด เพราะจํานวนลบบางจํานวนไมใชจ ํานวนตรรกยะ (และจํานวนเต็ม) เชน − 2 ง. {1.414, 22/7} ตอบ A และ B ผิด เพราะเมื่อหยบิ จาํ นวนจากเซตนีม้ าบวก (หรือคณู ) กนั ผลลพั ธไ มอ ยใู นเซตนี้ C ถกู เพราะเลขทศนิยม และเศษสวนของจํานวนเต็ม เปน จาํ นวนตรรกยะเสมอ (22/7 ≠ π ) D ผิดแนนอน เพราะสมาชิกในเซตนี้ไมใ ชจํานวนเต็ม จ. {−1, 0, 1} ตอบ A ผดิ เพราะเมื่อหยบิ บางจาํ นวนมาบวกกนั ผลลพั ธที่ไดไ มอยใู นเซตนี้ เชน 1 + 1 = 2 B ถูก เพราะไมว าจะหยิบจํานวนใดมาคูณกนั ผลลัพธท ี่ไดก ็ยังอยูในเซตนี้เสมอ C และ D ถูก เพราะสมาชกิ ทุกตัวเปนจํานวนเตม็ (จาํ นวนเตม็ ทกุ จํานวนเปน จํานวนตรรกยะ) ฉ. { 10 x | x ∈ I } ตอบ { 10 x | x ∈ I } = {0, ±10, ±20, ±30, ...} เขียนแจกแจงสมาชกิ เพือ่ ใหพ จิ ารณางา ย A และ B ถูก เพราะไมว า จะหยบิ จาํ นวนใดในเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กนั ผลลัพธท ีไ่ ดยงั อยูในเซตนี้ C และ D ถกู เพราะสมาชิกทกุ ตวั เปน จาํ นวนเตม็ (จํานวนเตม็ ทกุ จํานวนเปน จาํ นวนตรรกยะ) แบบฝึกหัด 2.1 (1) ขอ้ ความตอ่ ไปนีถ้ ูกหรือผิด S ¨´u ·è¼Õ ´i º‹oÂ! S (1.1) 0.343443444... เปน็ จาํ นวนตรรกยะ (1.2) 0.112112112... เป็นจาํ นวนอตรรกยะ o¨·Â㏠¹Ãٻ溺¢oŒ ¤ÇÒÁ¶Ù¡ËÃ×o¼´i ¹¹éa ÊNj ¹ÁÒ¡ (1.3) ถ้า a2 เปน็ จํานวนคู่ แล้ว a ตอ้ งเป็นจํานวนคู่ ¶ŒÒo‹Ò¹¢oŒ ¤ÇÒÁe¾Õ§e¼i¹æ ¨a´ÙeËÁ×o¹Çҋ ¶¡Ù 测·èÕ (1.4) ถ้า a2 เปน็ จาํ นวนค่ี แลว้ a ตอ้ งเปน็ จํานวนคี่ ¨Ãi§ºÒ§¢oŒ ¤ÇÒÁ¡ç¼i´.. (2) ถ้า a, b, c ∈ R แลว้ ขอ้ ความในแต่ละข้อต่อไปนีถ้ กู หรอื ผิด ¡Òõoºo¨·Âŏ a¡É³a¹é¤Õ ÇþÂÒÂÒÁ¡¡Ã³Õ·èÕ (2.1) ถา้ a b = a แล้ว b = 1 ¼i´¢é¹Ö ÁÒÊa¡ 1 ¡Ã³Õ ¶ÒŒ ËÒ䴌¡æç Ê´§Ç‹Ò¢oŒ ¤ÇÒÁ ¹¹éa ¼i´ (¡ÒáµaÇo‹ҧ¨Òí ¹Ç¹ oÂҋ Å×Á·´Êoº (2.2) ถ้า a b = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0 ¨íҹǹµ´i ź ¨Òí ¹Ç¹µi´ÃŒ·Ù æÅa¨íҹǹ·È¹Âi Á·èÕ äÁ‹¶§Ö 1 ´ŒÇÂ) ... 测¶ÒŒ ËÒ§a 䧡çËÒäÁ‹ä´Œ ¢Œo¤ÇÒÁ (2.3) เมอ่ื b ≠ 0 ถา้ a = c แล้ว a = c ¹¹éa ¡Áç oÕ o¡Òʨa¶¡Ù ʧ٠(¶ÒŒ ¨aºo¡Ç‹Ò¶¡Ù ªÇa Ãæ ¤§ bb µoŒ §ãªÇŒ i¸¾Õ iÊÙ¨¹ «Ö觺ҧ¢Œo¡çÂÒ¡¹a¤Ãaº..) (2.4) เมอื่ b, c ≠ 0 ถ้า a = a แลว้ b = c bc Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 35 ระบบจํานวนจริง (3) เซตในขอ้ ใดมีสมบตั ปิ ดิ ของการบวก และการคณู ก. เซตของจํานวนเต็มลบทงั้ หมด ข. เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่ไมใ่ ช่ 2 ค. เซตของจํานวนตรรกยะท่ไี ม่ใช่จํานวนเตม็ ง. เซตของจํานวนเตม็ ท่หี ารด้วย 4 ลงตวั (4) ขอ้ ความต่อไปน้ถี ูกหรือผดิ (4.1) เซตของจํานวนจรงิ มสี มบตั ิปดิ ของการลบ (4.2) เซตของจาํ นวนจริง มีสมบัตกิ ารเปลย่ี นกลมุ่ ของการลบ (4.3) เซตของจาํ นวนจริงทไี่ ม่ใช่ 0 มีสมบัติปิดของการหาร (4.4) เซตของจํานวนจรงิ ท่ีไมใ่ ช่ 0 มีสมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุ่มของการหาร (5) เม่ือกําหนดเซต A = { x ∈ N | x ∈ Q } และ B = N − A แล้ว ข้อความตอ่ ไปนีถ้ กู หรือผดิ (5.1) A มสี มบัตปิ ดิ การคูณ แต่ B ไม่มีสมบัตปิ ดิ การคณู (5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก และ B ไม่มีสมบัตปิ ิดการบวก (6) เซต A ในข้อใดทําใหข้ อ้ ความต่อไปนี้เปน็ จรงิ “ถ้า x ∈ A แล้ว จะมี y ∈ A ซ่ึง x y = 1 และ x y ∈ A ” ก. เซตของจํานวนเต็มท่ไี ม่ใช่ 0 ข. เซตของจํานวนจรงิ ค. เซตของจํานวนอตรรกยะ ง. เซตของจาํ นวนตรรกยะทไี่ ม่ใช่ 0 (7) ใหห้ าอนิ เวอรส์ การคูณของ 1 และ *abc 6+ 5 aabc bbca เอกลกั ษณก์ ารคูณของ 6 + 5 ccab (8) กาํ หนดตารางการดาํ เนินทวิภาคดังขวามือ ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง ก. (a ∗ b) ∗ a = c ข. (b ∗ c) ∗ b = a ค. (a ∗ b) ∗(c ∗ b) = b ง. (c ∗ a) ∗(b ∗ a) = b (9) การดาํ เนนิ การ ∗ สาํ หรบั จํานวนจริง ในขอ้ ใดไม่มสี มบัติการสลับที่ ก. x ∗ y = 3 x y + (x + y) ข. x ∗ y = 2(x + y) − 3 x y ค. x ∗ y = 3 − 1 ง. x ∗ y = 2 x y + 1 xy x+y x−y (10) [Ent’24] กําหนด a ∗ b = 3ab + (a + b) แลว้ x ∗(y ∗ z) = (z ∗ y)∗ x หรอื ไม่ (11) ถา้ A เป็นเซตของจาํ นวนนับคี่ และกําหนดตวั ดาํ เนินการ ⊕ กับ ⊗ บนเซต A ดงั น้ี a ⊕ b = a + b และ a ⊗ b = a b แลว้ ข้อใดต่อไปน้ถี กู หรอื ผิดบา้ ง 22 (11.1) เซต A มสี มบตั ิปิด และมีสมบตั ิการสลับที่ ภายใตก้ ารดําเนนิ การ ⊕ (11.2) เซต A ไม่มีสมบตั ิปดิ แตม่ สี มบตั กิ ารสลบั ที่ ภายใตก้ ารดําเนนิ การ ⊗ Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 36 ระบบจาํ นวนจรงิ 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตวั ประกอบ พหนุ ามตัวแปรเดียว ที่มี x เป็นตวั แปร จะอยู่ในรูป anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 โดยที่ a เป็นค่าคงท่ี (สัมประสทิ ธ์)ิ และ n เป็นจาํ นวนนับ นยิ มใช้สัญลักษณ์แทนพหนุ ามวา่ p(x) นอกจากนั้น สญั ลักษณ์ p(c) หมายถงึ การแทนค่า x ด้วยจาํ นวน c เชน่ p (x) = 4x3 − x2 − 2x + 6 จะได้ว่า p (−1) = 4 (−1)3 − (−1)2 − 2(−1) + 6 = 3 การแกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดียว anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 = 0 จะต้องแยกตัว ประกอบให้สมการอยู่ในรูปผลคณู เท่ากับศูนย์ โดยมีเทคนิคต่างๆ ทศี่ กึ ษาผ่านมา ไดแ้ ก่ กาํ ลงั สอง สมบรู ณ์ ผลตา่ งของกําลังสอง ผลบวกและผลต่างของกาํ ลังสาม เปน็ ตน้ แตส่ ําหรับสมการที่มดี กี รี มากกว่าสอง ทฤษฎีบทต่อไปนจี้ ะชว่ ยให้การแยกตวั ประกอบสะดวกขึ้น ทฤษฎบี ทเศษเหลอื (Remainder Theorem) กล่าวว่า “ถา้ หาร p(x) ด้วย x – c แล้ว จะเหลอื เศษเท่ากบั p(c)” และหากการหารนีเ้ หลือเศษ 0 พอดี (หารลงตัว) จะกลา่ ววา่ x – c เปน็ ตวั ประกอบของ p(x) นัน่ คือ “พหุนาม p(x) จะมี x – c เปน็ ตัวประกอบหน่งึ กต็ อ่ เม่อื p(c) = 0” เรยี กทฤษฎนี ้ีวา่ ทฤษฎบี ทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานาํ ทฤษฎบี ททั้งสองมาชว่ ยในการแยกตวั ประกอบของ p(x) ได้ โดยการสุ่มหาคา่ c ท่ที าํ ให้ p(c) = 0 พอดี เพ่อื ใหไ้ ด้ตัวประกอบ x – c ... แล้วนาํ x – c ที่ได้ไปหารออกจาก p(x) เพอ่ื ลดทอนกาํ ลัง n ลง ทาํ ซา้ํ จนแยกตวั ประกอบไดค้ รบ ยงั มอี ีกทฤษฎีท่ีทาํ ใหเ้ ลอื กคา่ c ได้รวดเร็ว นั่นคอื ทฤษฎบี ทตวั ประกอบจํานวนตรรกยะ ซึง่ กล่าวว่า “ถ้า x – (k/m) เป็นตัวประกอบของ p(x) แลว้ .. k เป็นตวั ประกอบของ a0 และ m เป็นตวั ประกอบของ an ” (โดยเศษส่วน k/m เปน็ เศษสว่ นอย่างตา่ํ เท่าน้นั ) สรปุ วธิ กี ารหาตัวประกอบ x – c ของ p(x) เมื่อ c เปน็ จํานวนตรรกยะ คอื นาํ ค่า k มาจาก ตวั ประกอบของ a0 และนาํ คา่ m มาจากตวั ประกอบของ an ... ค่า c ทเี่ ปน็ ไปได้จะอยู่ในบรรดา เศษสว่ น k/m เหล่านีเ้ ท่าน้ัน (อยา่ ลมื คดิ ท้งั จาํ นวนบวกและจาํ นวนลบ) ดูตวั อย่างวธิ ีคํานวณไดใ้ น เรอื่ งการหารสงั เคราะห์ หมายเหตุ หากจํานวน c ไมใ่ ชจ่ าํ นวนตรรกยะ เชน่ x2− 2 = (x − 2)(x + 2) จะใช้ทฤษฎนี ้ีไมไ่ ด้ • ตวั อยาง 2x3− x2− 6x + 1 หารดว ย x − 2 เหลือเศษเทา ใด ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดว า เศษจากการหาร 2x3− x2− 6x + 1 ดว ย x − 2 ก็คือ 2(2)3−(2)2− 6(2) + 1 = 1 ... (สามารถตรวจคําตอบไดโ ดยการตง้ั หารยาว หรือหารสงั เคราะห) • ตวั อยา ง 2x3− x2− 6x + 1 หารดว ย x + 1 เหลือเศษเทา ใด ตอบ ใชท ฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x3− x2− 6x + 1 ดว ย x + 1 กค็ ือ 2(−1)3−(−1)2− 6(−1) + 1 = 4 ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการต้งั หารยาว หรือหารสังเคราะห) Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 37 ระบบจาํ นวนจรงิ • ตวั อยา ง ฟง กช นั พหุนามดีกรีสอง p(x) ฟงกช นั หนง่ึ พบวาเมื่อหารดว ย x แลวเหลือเศษ 3 , เมือ่ หารดวย x − 1 เหลือเศษ 12 , และเมือ่ หารดว ย x − 2 จะเหลือเศษ 25 ก. ฟงกช นั p(x) นีห้ ารดวย x − 3 เหลือเศษเทา ใด วิธีคดิ การจะทราบคําตอบขอ นี้ จะตอ งหาใหไดกอนวา p(x) คืออะไร โดยท่ัวไปพหนุ ามดีกรีสอง ตอ งมีลกั ษณะเปน Ax2+ Bx + C ซ่ึงจะเหน็ วา มีสัมประสิทธ์ิ 3 ตวั เราจึงใชคําใบท ีโ่ จทยใ หมา 3 อยา ง ในการสรา งระบบสมการเพือ่ หาสมั ประสิทธิ์ 3 ตัวนี้ “หารดวย x แลวเหลือเศษ 3 ” แปลวา p(0) = 3 หรือ A(0)2+ B(0) + C = 3 “หารดว ย x − 1 แลว เหลือเศษ 12 ” แปลวา p (1) = 12 หรือ A(1)2 + B(1) + C = 12 “หารดวย x − 2 แลว เหลือเศษ 25 ” แปลวา p (2) = 25 หรือ A(2)2+ B(2) + C = 25 แกสามสมการรว มกัน ไดผ ลเปน A = 2 , B = 7 , C = 3 ... ดงั นนั้ p(x) = 2x2+ 7x + 3 ดังน้นั p (x) นี้หารดว ย x − 3 จะเหลือเศษ 2(3)2 + 7(3) + 3 = 42 ข. ฟง กช ัน p(x) นี้หารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c เทากบั เทาใด ตอบ p(x) หารดวย x − c ลงตัว ... แปลวา มี x − c เปนตัวประกอบหนึ่งนัน่ เอง และเนือ่ งจาก p (x) = 2x2+ 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) จงึ ไดคาํ ตอบวา p(x) นีจ้ ะหารดว ย x − c ลงตวั เมื่อ c = −1/2 หรือ c = −3 หรืออาจกลา ววา p(c) = 0 (หารลงตวั คือไมม ีเศษ) ดงั นัน้ 2c2 + 7c + 3 = (2c + 1)(c + 3) = 0 จะได c = −1/2 หรือ c = −3 เชน เดียวกัน ค. ฟง กช ัน p(x) นี้หารดว ย x − c เหลือเศษ 7 เมื่อ c เทา กับเทา ใด ตอบ p(x) หารดว ย x − c เหลือเศษ 7 ... แปลวา p(c) = 7 ดังนั้น 2c2 + 7c + 3 = 7 แกสมการได 2c2 + 7c − 4 = (2c − 1)(c + 4) = 0 จงึ ไดค าํ ตอบวา c = 1/2 หรือ c = −4 หรืออาจกลาววา “ p(x) หารดว ย x − c เหลือเศษ 7 ” คือ “p(x) − 7 หารดวย x − c ลงตัว” (ยกตัวอยางเชน 38 หารดว ย 5 เหลือเศษ 3 แสดงวา 38 − 3 ยอมหารดวย 5 ลงตัว) ดงั นั้น p (x) − 7 = 2x2 + 7x − 4 = (2x − 1)(x + 4) ได c = 1/2 หรือ c = −4 เชนกัน เทคนคิ การหารพหนุ าม ด้วยวิธีหารสังเคราะห์ (Synthetic Division) วธิ ีหาผลหารของพหุนาม ที่เคยได้ศกึ ษาผา่ นมาแล้วคือการต้งั หารยาว สามารถใช้หารพหุ นามได้ทุกกรณี (หารดว้ ยดีกรีเท่าใดก็ได)้ ... แต่ในกรณี “การหารพหุนามด้วย x – c (ดีกรีหนึ่ง)” เราสามารถทําได้รวดเรว็ ยงิ่ ขน้ึ โดยการหารสงั เคราะห์ ในทีน่ ี้สมมติว่า จะหาผลของการหาร x4 − 3x3+ 4x2+ x − 6 ด้วย x − 2 1. เขยี นสมั ประสิทธ์ิของพหุนามทเี่ ปน็ ตัวต้งั (ในทน่ี ค้ี ือ 1, −3, 4, 1, −6 ) เรยี งกันในบรรทัด โดยใส่คา่ c จากตัวหาร (ในท่นี ี้คือ 2) ลงในชอ่ งดา้ นหน้าสุด และเว้นบรรทัดไว้ในลักษณะดังนี้ 2 1 −3 4 1 −6 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 38 ระบบจํานวนจรงิ 2. เร่ิมข้ันตอนการหารโดยนาํ ตวั เลขในหลกั แรกสุด (ในทนี่ คี้ ือ 1) ลงมาเขยี นด้านลา่ งตรงบรรทดั ของ ผลลัพธ์ ... จากน้ันใช้ตวั หาร (คอื 2) คณู ผลลพั ธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลกั ถัดไป 2 1 −3 4 1 −6 2↓/ 2 1 3. พิจารณาท่ีหลกั ถดั ไป ให้บวกเลขเข้าด้วยกัน ( −3 + 2 = −1) นําไปใสไ่ วบ้ รรทัดล่าง แล้วใชต้ วั หาร (คอื 2) คูณผลลัพธน์ ้ี ไปใส่ไวใ้ ตห้ ลักถดั ไปอกี ... ทาํ ซํ้าเรื่อยๆ จนครบทุกหลกั 2 1 −3 4 1 −6 + 2 −2 4 10 1 −1 2 5 4 4. ในบรรทดั ผลลัพธท์ ไ่ี ด้ ตัวเลขในหลกั สุดท้ายคือ เศษ และตวั เลขท่เี หลือดา้ นหน้าคอื สัมประสทิ ธ์ิ ของผลหาร (ดีกรีลดลงไปหนึง่ เสมอ) ... ในท่ีนผี้ ลหารกค็ ือ x3− x2+ 2x + 5 เศษ 4 • ตวั อยาง ใหห าเศษจากการหาร 2x3− 7x + 6 ดวย x + 1 วธิ ีคดิ หากไมตอ งการใชทฤษฎีเศษ −1 2 0 −7 6 ก็สามารถใชวิธีตั้งหารสงั เคราะห ไดผลดงั นี้ −2 2 5 แสดงวา ผลหารเปน 2x2− 2x − 5 และเหลือเศษ 11 2 −2 −5 11 หมายเหตุ พจนใ ดหายไป เมือ่ ตง้ั หารสังเคราะหตอ งใส สมั ประสิทธ์ิเปน 0 ดว ย (เชนในโจทยข อ นีไ้ มม ีพจน )x2 มฉิ ะนั้นผลหารที่ไดจ ะไมถ กู ตอง • ตวั อยาง ใหแ ยกตัวประกอบพหุนาม 3x3− 7x2+ 4 วธิ ีคดิ เนือ่ งจากตัวประกอบของ 4 (สมั ประสทิ ธต์ิ ัวสดุ ทาย) ไดแก ±1, ±2, ±4 และตัวประกอบของ 3 (สมั ประสทิ ธต์ิ วั แรกสดุ ) ไดแก ±1, ±3 จากทฤษฎีตัวประกอบจํานวนตรรกยะ จะไดวา จาํ นวนทีน่ าจะเปน คาํ ตอบ ไดแ ก ...±1, ± 2, ± 4, ± 1/3, ± 2/3, ± 4/3 1 3 −7 0 4 จากน้ันทดลองนาํ จาํ นวนเหลานีม้ าหารสงั เคราะหทีละจาํ นวน 3 −4 −4 หากพบวา ตัวใดทําใหเศษเปน 0 ตวั น้นั ก็จะเปน คาํ ตอบ ... ซ่ึงจากการหารสงั เคราะหใ นตัวอยา งดานขวานี้ ทาํ ใหท ราบวา 2 3 −4 −4 0 64 3x3 − 7x2 + 4 = (x − 1)(x − 2)(3x + 2) 32 0 หมายเหตุ ลําดบั ของตัวหารไมจ ําเปน ตอ งเหมือนกบั ในตัวอยา ง (เชนอาจจะใช 2 กอนกไ็ ด) แบบฝกึ หัด 2.2 (12) ถ้าหาร 4x3 − 21x2 + 26x − 17 ดว้ ย x − 4 แล้วเหลือเศษ a และหาร 3x3+ 13x2+ 11x + 5 ด้วย x + 3 แลว้ เหลอื เศษ b แลว้ ให้หาค่าของ b – a (13) ถ้า x − 1 หาร x2+ 2a และ x + 2 หาร x+ a แลว้ เหลือเศษเท่ากนั ค่า a เปน็ เทา่ ใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 39 ระบบจํานวนจริง (14) ถ้าหาร x4 − x3 + 3x2 − x − 1 และ 2x3 + x2 + 75x + a ด้วย x − 5 แล้วเหลอื เศษเท่ากนั คา่ a เปน็ เท่าใด (15) ถา้ x − 2 เปน็ ตัวประกอบร่วมของ x3 − ax2 + a x + 2b กับ 1 x2 + x − b แลว้ 4a ค่า a + b เป็นเท่าใด (16) ถ้า x2 − 2x − 3 เปน็ ตวั ประกอบของ x4 + ax3 + bx2 + 3x + 4 และ x2 + x − 2 เปน็ ตัวประกอบของ x3 + 10x2 + cx + d แลว้ a + b + c + d มคี ่าเท่าใด (17) ให้หา ห.ร.ม. ของพหนุ าม ,x3 − 7x + 6 3x3 − 7x2 + 4 และ x4 − 3x3 + 6x − 4 (18) ใหห้ า ค.ร.น. ของพหุนาม x3 − 2x2 − 5x + 6 และ x3 + x2 − 10x + 8 (19) แยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี S ¨´u ·¼èÕ i´ºo‹ Â! S ¶ŒÒËÒÃÊa§e¤ÃÒaˏ´ŒÇÂeÅ¢eÈÉÊNj ¹ eª¹‹ 2/3 æŌǾºÇ‹Ò㪌䴌 (eÈÉ 3x6 − 2x5 − 64x4 + 96x3 − 27x2 + 98x + 40 e»š¹Èٹ) æÊ´§Ç‹Ò µaÇ»Ãa¡oº·èäÕ ´¤Œ ×o x-2/3 ¹a¤Ãaº ... oÂҋ e¾§iè e¢Õ¹ 3x-2 ¨¹¡Çҋ ¨a´§Ö 3 ¨Ò¡Ç§eźç o×è¹ÁÒ¤³Ù ¡o‹ ¹ ¹a¤Ãºa ! (20) ใหห้ าเซตคําตอบของสมการ x2 + a2b2 + 2abx − b2 = 0 (20.1) เมื่อ a เป็นเอกลกั ษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง (20.2) เม่ือ b เปน็ เอกลกั ษณ์การบวกในระบบจาํ นวนจรงิ (20.3) เมือ่ a เปน็ เอกลกั ษณ์การคณู ในระบบจํานวนจริง (20.4) เมือ่ b เปน็ เอกลักษณ์การคณู ในระบบจํานวนจริง 2.3 อสมการ สมบัติของการไม่เท่ากัน a < b ↔ b − a ∈ R+ [1] บทนยิ ามของการมากกวา่ และนอ้ ยกวา่ a > b ↔ a − b ∈ R+ [2] สมบัตกิ ารถ่ายทอด (Transitive Property) a>b ∧b>c → a>c [3] สมบตั ิการบวกและคูณดว้ ยจาํ นวนท่ีเท่ากนั a > b → a+c > b+c a > b → ac > bc , c>0 a > b → ac < bc , c<0 [4] กฎการตดั ออกสาํ หรับการบวกและการคูณ a+c > b+c → a > b ac > bc → a > b , c>0 ac > bc → a < b , c<0 [5] สมบตั ิไตรวิภาค (Trichotomy Property) ถ้า a, b ∈ R แล้ว a = b หรือ a < b หรือ a > b อย่างใดอยา่ งหน่ึง [6] บทนยิ ามของการไม่มากกว่าและไมน่ ้อยกวา่ a < b ↔ a ไม่มากกว่า b (นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากบั ) a > b ↔ a ไมน่ ้อยกว่า b (มากกว่าหรอื เท่ากับ) [7] การเปรียบเทยี บสองด้าน a < b < c ↔ a < b และ b < c a < b < c ↔ a < b และ b < c a < b < c ↔ a < b และ b < c a < b < c ↔ a < b และ b < c Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 40 ระบบจาํ นวนจรงิ ช่วง และการแกอ้ สมการ ab ช่วง (Interval) คอื เซตทบี่ อกสมาชกิ ดว้ ยขอบเขต นิยมแสดงเปน็ กราฟบน เสน้ จาํ นวน (Number Line) ชว่ งเปิด (a, b) หมายถึง { x | a < x < b } ช่วงปิด [a, b] หมายถึง { x | a < x < b } ช่วงคร่งึ เปดิ (a, b] หมายถึง { x | a < x < b } และชว่ งคร่งึ เปิด [a, b) หมายถึง { x | a < x < b } ชว่ ง (a, ∞) หมายถงึ { x | x > a } ช่วง [a, ∞) หมายถงึ { x | x > a } ชว่ ง (−∞, a) หมายถึง { x | x < a } ชว่ ง (−∞, a] หมายถึง { x | x < a } และช่วง (−∞, ∞) หมายถึงเซตของจาํ นวนจริง R * สองกรอบนใ้ี ช้ประกอบโจทยแ์ บบฝึกหดั ข้อ 23 ถงึ 25 ขอบเขตของ x2 เมื่อกาํ หนด a < x < b - ถา a > 0 และ b > 0 จะไดข อบเขตเปน (a2, b2) - ถา a < 0 และ b < 0 จะไดข อบเขตเปน (b2, a2) - ถา a < 0 ขณะที่ b > 0 ขอบเขตทีไ่ ดจ ะมีคา ต่ําสดุ เปน 0 และเปนชวงคร่ึงปด (เปน 0 ได) คา สูงสุดใหเ ลือกระหวาง a2 กับ b2 วา ตัวใดมากกวา กนั เชนถา x ∈ (−4, 3) จะเหน็ วา x มีคาตัง้ แตติดลบจนถงึ บวก แสดงวา ผา นคา นอยๆ เชน −1, 0, 1 ฯลฯ ดว ย ...เมือ่ นาํ ไปยกกําลังสอง คา ต่าํ สดุ จึงตองเปน 0 สว นคาสูงสุดเลือกระหวาง 9, 16 ... สรปุ วา x2 อยใู นชวง [0, 16) หมายเหตุ : ขอบเขตของ x กค็ ดิ ในลกั ษณะเดียวกนั กับ x2 หลกั ในการคํานวณ (บวกลบคณู หาร) ระหวาง 2 ชวง คือ a < x < b และ c < y < d สมมติตอ งการผลคูณ xy ใหห าผลคณู ac, ad, bc, bd ใหครบ แลว พจิ ารณาวาในผลคณู ทง้ั สีท่ ีไ่ ด ตัวใดมีคา ตา่ํ สดุ และตัวใดสงู สุด ... คา xy จะอยูในชวงนน้ั เชน ถา x ∈ (−1, 3) และ y ∈ (−5, 4) ถามวา xy อยูในชว งใด เนื่องจากผลคณู ทงั้ สีค่ ือ 5, −4, −15, 12 ... ดงั นนั้ xy อยูในชว ง (−15, 12) กบั การบวก ลบ และหาร กท็ าํ เชนเดียวกนั (แตก รณีหาร ตัวหารตองไมเปน 0).. เชน ถา x ∈ (−1, 3) และ y ∈ (2, 4) ผลหารท้ังสีเ่ ปน −1/2, −1/4, 3/2, 3/4 ..ดงั นน้ั x / y อยใู นชว ง (−1/2, 3/2) ขอสงั เกต คา x + y จะมีขอบเขตเปน (a+c, b+d) เสมอ (ตวั นอยสดุ ยอมเกดิ จากนอยบวกนอย และตัวมากสดุ ยอ มเกดิ จากมากบวกมาก) และคา x − y จะมีขอบเขตเปน (a−d, b−c) เสมอ เนื่องจากการนาํ ลบคณู y จะกลับดา นเปน −d < −y < −c ... แลว นาํ มาบวกกนั กบั x Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 41 ระบบจํานวนจริง สมการ (Equality) คือประโยคท่ีมตี ัวแปรและกลา่ วถงึ การเท่ากัน การแก้สมการ คอื การหา คา่ ของตวั แปรท่ที าํ ใหป้ ระโยคนน้ั เป็นจริง อาจกล่าววา่ เปน็ การหา “เซตคําตอบของสมการ” หรือการ หา “รากของสมการ” ก็ได้ สว่ น อสมการ (Inequality) คอื ประโยคที่มตี วั แปรและกลา่ วถึงการไม่ เทา่ กนั (ได้แก่ > > < < หรอื ≠ ) การแก้อสมการ กค็ ือการหาคา่ ของตัวแปรทท่ี าํ ให้ประโยคนน้ั เป็นจริง ซึ่งอาจกลา่ ววา่ เป็นการหา “เซตคําตอบของอสมการ” ก็ได้เชน่ กัน S ¡ÒÃæ¡oŒ ÊÁ¡Òùé¹a ÁÕ¢Œo¤ÇÃÃaÇa§´a§¹éÕ 1. ¡ÒúǡËÃ×oź·§éa Êo§¢ÒŒ §¢o§oÊÁ¡Òà æÅa¡Òõa´oo¡ÊÒí ËÃaº¡Òúǡź ·Òí 䴌eÊÁo 2. ¡ÒäٳËÃ×oËÒ÷aé§Êo§¢ÒŒ §¢o§oÊÁ¡Òà µŒo§ÃaÇa§eÃ×èo§¡ÒÃe»ÅèÂÕ ¹e¤Ã×èo§ËÁÒ ¶ÒŒ ¹Òí ¨íҹǹź¤³Ù ËÃo× ËÒ÷a§é Êo§¢ŒÒ§¢o§ÊÁ¡Òà µoŒ §¡Åºa ´ŒÒ¹e¤Ãoè× §ËÁÒÂÁÒ¡¡Ç‹Ò/¹oŒ ¡Çҋ 3. ¡ÒáÅaºeÈÉe»¹š ʋǹ ¡Òá¡íÒÅa§Êo§·§éa Êo§¢ŒÒ§ ¡Òä³Ù ä¢ÇŒ ¶ŒÒäÁ‹¨íÒe»¹š äÁ‹¤Ç÷íÒ¹a¤Ãaº e¾ÃÒae¤Ã×oè §ËÁÒÂoÒ¨¼i´ (¤×oºÒ§¤Ãa§é eÃÒäÁ·‹ ÃҺ湪‹ a´Çҋ µoŒ §¡Åaº´ÒŒ ¹e¤Ãèo× §ËÁÒÂËÃ×oäÁ‹) เทคนิคการหาช่วงคาํ ตอบของอสมการพหุนาม 1. เมือ่ แยกตัวประกอบเรยี บรอ้ ยแล้ว อสมการโดยทัว่ ไป (ในตวั อย่างสมมตวิ า่ เคร่ืองหมายเป็น > ) จะอยูใ่ นรูป (x − c1)(x − c2)(x − c3)... > 0 เชน่ (x + 3)(x − 1)2 > 0 (x − d1)(x − d2)... x (x − 2)3 2. เขียนเสน้ จาํ นวนและระบุตาํ แหน่งของ c1, c2, c3, d1, d2, ... ใหค้ รบทุกตัว (เรียงตามลาํ ดับน้อยไปมาก) และหากมตี วั ประกอบใดอยู่หลายคร้ัง ก็เขยี นจดุ เป็นจํานวนเท่านั้นคร้ังดว้ ย เช่นในภาพ -3 0 1 1 2 2 2 - +- +- +- + 3. ใส่เคร่อื งหมาย +, –, +, – สลับกนั ไปในช่วงย่อยๆ -3 0 1 1 2 2 2 บนเสน้ จาํ นวน โดยเร่ิมจากช่วงขวามอื ท่ีสุดเป็น + เสมอ 4. หากในอสมการเป็นเคร่ืองหมาย “มากกวา่ ศูนย”์ ชว่ งคําตอบจะเปน็ ชว่ งเปิด ในช่วง + หากเปน็ เครือ่ งหมาย “น้อยกวา่ ศูนย์” ชว่ งคําตอบจะเปน็ ช่วงเปดิ ในช่วง – โดยที่ถ้ามีเครือ่ งหมาย “เท่ากับศูนย์” อยู่ดว้ ย ช่วงคาํ ตอบจะเปลย่ี นเป็นชว่ งปิด - +- +- +- + ท้งั นต้ี ้องระวงั เรื่องเศษส่วน ที่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ -3 0 1 1 2 2 2 ( )x ≠ d1, d2, ... 5. จดั รูปคําตอบให้กระชับ (ยบุ รวมจุดที่เป็นจดุ เดียวกัน) -3 0 1 2 เชน่ ในตวั อยา่ งนต้ี อบวา่ x ∈ [−3, 0) ∪ {1} ∪ (2, ∞) * หากมีจุดซ้าํ กนั เกิน 2 จุด (ยกกําลงั มากกวา่ 2) ถ้าเปน็ กาํ ลังค่ใู ห้เขียนจุดเพียง 2 จดุ แตถ่ ้าเป็น กาํ ลงั ค่ใี ห้เขยี นจุดเพียงจุดเดียว เนื่องจากในตอนท้าย ชว่ งทีไ่ ด้กจ็ ะยุบรวมกันเสมอ ข้อควรระวงั S ¨u´·è¼Õ i´º‹oÂ! S การใช้เส้นจาํ นวนในการหาคําตอบ สมั ประสทิ ธิ์หน้า x ทกุ ๆ วงเล็บจะต้องไม่ติดลบ (หากติดลบใหน้ ํา -1 คณู ทงั้ สองขา้ ง ¡ÒÃe¢Õ¹¤Òí µoº¢o§ÊÁ¡ÒÃæÅaoÊÁ¡ÒèaµÒ‹ §¡¹a เพื่อให้เครอ่ื งหมายกลายเป็นบวก และอยา่ ลืมกลับดา้ น ¹a¤Ãaº.. ¶ÒŒ e»š¹ÊÁ¡ÒÃeÃÒ¨ºa æµÅ‹ aǧeźç e»¹š 0 เครอ่ื งหมายมากกวา่ /นอ้ ยกวา่ ด้วย) เชน่ (x+1)(3-x) > 0 แบบนีต้ อ้ งเปล่ยี นเป็น (x+1)(x-3) < 0 กอ่ น 䴌 eª¹‹ (x-2)(x-3) = 0 ¨a䴌 x = 2, 3 ¶Ù¡µŒo§ ..浶‹ Ҍ e»¹š oÊÁ¡Òà (x-2)(x-3) < 0 ¨a¡ÅÒÂe»¹š x < 2, 3 äÁ‹ä´eŒ ´´ç ¢Ò´! µoŒ §ËҪNj §¤Òí µoº¨Ò¡eʌ¹¨Òí ¹Ç¹e·‹Ò¹aé¹¹a¤Ãaº! Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 42 ระบบจาํ นวนจริง • ตวั อยา ง ใหห าเซตคาํ ตอบของสมการ x2+ 2x − 19 = 4 x−4 วธิ ีคิด สามารถยา ยขา งไปคณู ไดทนั ที (แตต อ งกํากบั เงื่อนไขวา x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4 ดว ย) จะได x2+ 2x − 19 = 4(x − 4) ... จากนน้ั ยา ยทางขวามาลบเปน x2− 2x − 3 = 0 หรือ (x + 1)(x − 3) = 0 ... ดังนั้น คําตอบคือ {−1, 3} • ตวั อยา ง ใหหาชวงคาํ ตอบของอสมการ x2+ 2x − 19 < 4 x−4 วธิ ีคดิ อสมการนี้ยายขาง x − 4 ไปคณู ไมไ ด เพราะไมแนใ จวา ตอ งกลบั เครือ่ งหมาย < หรือไม ดังนั้นจงึ ใชวิธียายเลข 4 ทางขวามาลบแทน ... ไดเ ปน x2+ 2x − 19 − 4 < 0 x−4 จดั รูปฝงซา ยใหเปน เศษสว นเดียว คือ x2− 2x − 3 < 0 จากนนั้ เปน (x + 1)(x − 3) < 0 x−4 x−4 อยูใ นรูปที่ตอ งการแลว เขียนเสน จาํ นวนเพื่อหาคาํ ตอบ -+- + (อยา ลืม x ≠ 4 ) ... และคาํ ตอบทีไ่ ดคือ (−∞, −1] ∪ [3, 4) -1 3 4 หมายเหตุ S ¨´u ·¼èÕ i´ºo‹ Â! S ถ้ามีพหุนามดีกรีสองท่ีแยกตัวประกอบเปน็ จาํ นวนจริงไม่ได้ (คือใช้ สูตร −B ± B2 − 4AC แลว้ พบว่าในรทู้ ติดลบ) เวลาเขยี นเสน้ จาํ นวน ¡Ò÷èeÕ ÃÒ桵aÇ»Ãa¡oºã¹ã¨æÅnj ¹¡Ö eÅ¢ 2A äÁo‹ o¡ äÁ‹ä´æŒ »ÅNjҡŒo¹¹é¹a æ¡äÁä‹ ´Œ¹a ใหล้ ะทง้ิ ก้อนนั้นไปได้เลย เขียนจุดเฉพาะตัวประกอบทีแ่ ยกเป็นกําลัง ¤Ãaº.. ¨aµŒo§Åo§ãªÊŒ µÙ ô¡Ù o‹ ¹ eª¹‹ หนง่ึ ได้ (เพราะก้อนนั้นจะเปน็ บวกเสมอ และไมม่ ีผลต่อความจริงเทจ็ ของอสมการ) เชน่ x2+x-3 < 0 ãªÊŒ ÙµÃ䴌 −1 ± 1 + 12 2 (x + 2)(x − 5)(x2 + 2x + 2) < 0 จะได้เส้นจาํ นวนดังน้ี 溺¹ÕéÊÒÁÒöe¢ÂÕ ¹eʌ¹¨Òí ¹Ç¹ä´Œ æÅa x−3 - + - + ªÇ‹ §¤íÒµoº¤×o ⎡ −1 − 13 , −1 + 13 ⎤ ⎣⎢ 2 2 ⎥⎦ -2 3 5 สมบตั ิความบริบูรณ์ (The Axiom of Completeness) เป็นสมบัติขอ้ สุดทา้ ยของระบบจํานวนจริง มชี ือ่ อีกอย่างหนึ่งวา่ สจั พจนก์ ารมีค่าขอบเขตบน นอ้ ยสุด (Least Upper Bound Axiom) คา่ ขอบเขตบน คือคา่ จํานวนจริงซึ่งไมน่ ้อยกว่าสมาชกิ ใดๆ ในเซตทีก่ ําหนดให้ เชน่ เซต S = {0, −1, −2, −3, −4, ...} มีค่าขอบเขตบนเปน็ 0 หรอื 0.5 หรือ 1.8 หรืออื่นๆ เพราะ ค่าเหลา่ น้ีไมน่ ้อยกว่าสมาชกิ ใดใน S แต่ คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสุด ไดแ้ ก่ 0 เทา่ นั้น ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คอื ค่า b คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของชว่ ง (−∞, b) และ (−∞, b] คอื คา่ b คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ (−∞, ∞) หาไม่ได้ สมบตั ขิ ้อสุดท้ายของระบบจํานวนจริง กล่าววา่ “สับเซตใดๆ ของ R ถา้ มีขอบเขตบนแล้ว คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ จะยังอยใู่ น R ” ซึ่งสมบตั ขิ ้อนใี้ นระบบจํานวนอื่นบางระบบ เช่น Q ไมม่ ี Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 43 ระบบจํานวนจรงิ แบบฝึกหัด 2.3 (21) ข้อความต่อไปน้ีถกู หรือผิด (21.1) ถา้ (a − b)(b − c)(c − d) > 0 แล้ว a > b > c > d (21.2) ถา้ a < b และ n ∈ N แล้ว an < bn (21.3) ถ้า a > 0 , b > 0 และ a ≠ b แล้ว a + b > ab 2 (21.4) ถ้า a > 0, b>0 และ a≠b แลว้ b + a > 1+ 1 a2 b2 ab (22) ถา้ a < b < c แล้ว ขอ้ ความตอ่ ไปนถ้ี ูกหรอื ผดิ (22.1) a < a + b < b (22.3) a3 < b3 < c3 2 (22.2) a < a + b + c < c (22.4) ab < bc 3 (23) ถา้ −7 < x < 5 และ 3 < y < 6 แลว้ ค่าตอ่ ไปน้อี ย่ใู นชว่ งใด (23.1) x2 − y (23.2) xy2 (24) ถา้ −6 < x < −2 และ 2 < y < 3 แล้ว คา่ ตอ่ ไปน้ีอยูใ่ นช่วงใด (24.1) xy (24.3) x/y (24.2) x − y (25) ตอ้ งการสร้างรูปสามเหล่ียมหนา้ จัว่ ใหม้ เี สน้ รอบรปู 20 ซม. และความสูงไมเ่ กิน 5 ซม. ความ ยาวฐานควรเป็นเชน่ ไร (26) ถา้ A และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ 4 < 3x − 2 < 13 และ 11 − x < 4x + 1 < 2x + 7 ตามลาํ ดับแล้ว ในเซต A ∩ B ' จะมจี าํ นวนเต็มเปน็ เทา่ ใดบา้ ง (27) ถา้ m และ n คอื จาํ นวนเต็มที่มากทีส่ ดุ และนอ้ ยทส่ี ุด ท่เี ป็นคาํ ตอบของอสมการ x2 + 6x + 7 < 0 แลว้ m − n เปน็ เทา่ ใด (28) ข้อความต่อไปนีถ้ กู หรือผิด ก. ผลบวกของค่าสมั บรู ณ์ของคําตอบที่เปน็ จํานวนเต็มของ 20 − 3x − 2x2> 0 คอื 13 ข. คา่ สัมบูรณข์ องผลบวกของคาํ ตอบทีเ่ ป็นจาํ นวนเตม็ ของ 3x2+ 7x − 30 < 0 คือ 7 (29) ถ้า m คือผลบวกจาํ นวนเตม็ ทเี่ ปน็ คาํ ตอบของ 21 + 5x − 6x2 > 0 และ n คือผลบวกจํานวนเตม็ ท่ไี ม่เป็นคําตอบของ 3x2− 1 > 1 + x − 3x2 แลว้ ให้หา m + n (30) กําหนด a และ b เปน็ จํานวนเต็มท่ีมากทส่ี ดุ และนอ้ ยทส่ี ุด ซึง่ ไม่เปน็ คําตอบของอสมการ 2x2+ 4x − 5 > 0 ตามลาํ ดบั แล้วข้อความต่อไปน้ถี ูกหรือผิด (30.1) {ab} ⊂ {a, b} (30.2) {a + b} ⊂ {a, b} (31) ถา้ พหุนาม x3+ a2x − a − 2 หารดว้ ย x − 1 แลว้ เหลอื เศษมากกว่า 5 ค่า a เป็นเทา่ ใดไดบ้ ้าง Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 44 ระบบจํานวนจรงิ (32) จงหา (32.1) เซตคําตอบของอสมการ x (x − 1)(x − 2) < 0 (x + 1)(x − 2) (32.2) เซต (A '∩ B ')' เมื่อ A เปน็ เซตคาํ ตอบของ (x + 2)(x − 3)(x − 1)4 < 0 และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของ (x + 4)(x − 3)(x + 2)3 > 0 (32.3) ผลบวกค่าสัมบรู ณข์ องจาํ นวนเต็มใน { x | (x + 4)(x + 1)(x − 2)3 > 0}' x (x − 5)2 (33) ให้หาเซตคําตอบของ x3− x2 − 4x + 4 > 0 (34) ถา้ A เป็นเซตคําตอบของ x3+ 2x2 < 5x + 6 และ B = (−5, ∞) แลว้ ผลบวกของจํานวนเตม็ ใน A ∩ B เปน็ เทา่ ใด (35) ให้หาเซตคาํ ตอบของอสมการต่อไปน้ี (35.1) 1 < 2 x − 1 3x − 1 (35.2) [Ent’29] 4 > 2 x −2 x+1 (36) ถา้ A เป็นเซตคําตอบของ 2x − 5 > 0 และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของ 2x − 1 < 1 แล้ว x+2 x+5 ให้หาผลบวกของจาํ นวนเต็มท่ีมากทส่ี ุดกบั จํานวนเต็มท่นี อ้ ยท่ีสุด ในเซต B ∩ A ' (37) [Ent’38] ให้ S เป็นเซตคําตอบของ x − 1 > 2 และ a เปน็ ขอบเขตบนน้อยสุดของ S แลว้ x+2 คา่ ของ a2+ 1 เปน็ เท่าใด (38) ใหห้ าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของแตล่ ะเซตทก่ี าํ หนดให้ (38.1) { x | x2 < 7 } (38.3) (−2, 6] ∪ [3, 8) (38.2) { 1, 5, 7, 9 } ∪ [6, ∞) (38.4) { x = 2n | n ∈ I } (39) ถา้ a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ A = { x | x = n , n ∈ I+} n+1 และ b เป็นขอบเขตล่างมากสุดของ B = { x | x = 1 , n ∈ I−} แล้ว ให้หาค่า a + b n (40) ใหห้ าผลบวกของคา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ และค่าขอบเขตลา่ งมากสุด ของเซตคําตอบของ อสมการ 2x2 − 5x + 2 < 5 2.4 คา่ สมั บูรณ์ “คา่ สัมบรู ณ์ (Absolute Value หรือ Modulus) ของจํานวนจริง a” ใชส้ ญั ลักษณว์ ่า a คา่ สัมบรู ณม์ คี วามหมายเชงิ เรขาคณติ คอื a เท่ากบั ระยะหา่ งระหวา่ งจุดทแ่ี ทน a กบั จดุ 0 และ a − b เท่ากบั ระยะห่างระหว่างจดุ ท่แี ทน a กับจดุ ท่แี ทน b ดังนนั้ นิยามของค่าสมั บูรณ์ของจํานวนจริงเป็นดงั นี้ ⎧a ,a > 0 a = ⎨⎩−a ,a < 0 Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 45 ระบบจํานวนจริง จากสิ่งเหลา่ น้ี ทําใหส้ รุปทฤษฎไี ด้หลายอยา่ ง เช่น [1] คา่ สัมบรู ณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ [2] คา่ สัมบรู ณ์ไมค่ ํานึงถึงเคร่ืองหมายลบ a = −a a−b = b−a an = a n [3] คา่ สมั บรู ณ์กระจายได้ สําหรบั การคูณ ab = a b a−b > a − b [4] ค่าสัมบรู ณ์กระจายได้ สําหรับการหาร a a โดย b ≠ 0 = bb [5] ยกกําลังดว้ ยเลขคู่ไม่ตอ้ งใส่ค่าสัมบูรณ์ a2 = a 2 = a2 [6] คา่ สัมบรู ณ์กระจายไมไ่ ด้ สาํ หรับการบวกลบ a + b < a + b * [7] รากที่ n ของกําลงั n n an = ⎪⎧ a เมอ่ื n = จํานวนคู่ ⎨ เมื่อ n = จํานวนค่ี ⎩⎪ a ทฤษฎีท่ีช่วยแก้สมการและอสมการที่มีค่าสมั บรู ณแ์ บบง่าย (คือมีคา่ สมั บรู ณ์เดียว และอีกข้างของสมการเป็นค่าคงที่ b ซงึ่ มากกว่า 0) * [1] สมการ x = b มคี วามหมายเดียวกับสมการ x2 = b2 (ยกกาํ ลังสองทั้งสองข้างได)้ และยงั สรุปได้ว่า “ x = b หรอื x = −b ” ดว้ ย (วิธนี ส้ี ะดวกกว่าการยกกําลงั สอง) * [2] อสมการ x < b ความหมายเดียวกบั −b < x < b อสมการ x < b ความหมายเดียวกบั −b < x < b อสมการ x > b ความหมายเดยี วกับ “ x < −b หรือ x > b ” อสมการ x > b ความหมายเดียวกบั “ x < −b หรอื x > b ” -b b • ตัวอยา ง ใหห าเซตคาํ ตอบของสมการ 3 − x = 1 S ¨u´·¼èÕ i´º‹oÂ! S วิธีคิด จาก 3 − x = 1 จะได 3 − x = 1 หรือ 3 − x = −1 ... ÊÁ¡Ò÷oèÕ ¡Õ ¢ÒŒ §Ë¹Ö觵i´µaÇæ»Ã eª‹¹ แปลวา x = 2 หรือ x = 4 ... x + 2 = x ·íÒ溺¹éäÕ ´Œ.. ดงั นั้น คําตอบคือ {2, −2, 4, −4} “ x + 2 = x ËÃo× x + 2 = − x ” • ตัวอยา ง ใหหาชว งคาํ ตอบของอสมการ 3 − x < 1 eËÁo× ¹Çi¸Õ¡¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢ŒÒ§ æŌÇÂҌ  วธิ ีคดิ จาก 3 − x < 1 จะได ... −1 < 3 − x < 1 ... ÁÒź¡a¹ (¼ÅµÒ‹ §¡íÒÅa§Êo§) «èÖ§¨aµoŒ §µÃǨ นาํ 3 ลบท้งั สามสว นของสมการ −4 < − x < −2 … ¤íÒµoºeÊÁo¹a¤Ãaº e¾ÃÒa¤íÒµoºã´·Õè·íÒãˌ นาํ ลบคณู ท้งั สมการ 2 < x < 4 … ¤Ò‹ ÊaÁºÙóµi´Åº ¨aãªäŒ Á‹ä´.Œ . ดงั นนั้ คาํ ตอบคือ [−4, −2] ∪ [2, 4] 测¶ÒŒ e»¹š oÊÁ¡Òà eª‹¹ x + 2 < x äÁ¤‹ Ç÷Òí 溺¹éÕ! “ −x < x + 2 < x ” e¾ÃÒaµÃǨ¤íÒµoº ÅíÒºÒ¡ ... ¤ÇÃãªÇŒ ¸i Õ桪Nj §Âo‹ µÒÁ·Õè¨a o¸iºÒÂã¹ËaÇ¢Œo¶a´ä»¤Ãaº.. เทคนคิ การหาคําตอบของสมการและอสมการทีม่ ีค่าสมั บูรณ์ใดๆ 1. กาํ หนดจุดที่ทาํ ให้คา่ สมั บรู ณ์แต่ละพจน์เป็นศนู ย์ ลงบนเส้นจํานวนใหค้ รบทกุ จดุ เรยี งตามค่าน้อยไป มาก เช่นสมการ 2x + 1 − x − 2 = x + 3 ... มีค่าสมั บูรณอ์ ยู่ 2 พจน์ กก็ าํ หนดจดุ บนเสน้ จาํ นวน 2 จดุ Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 46 ระบบจํานวนจริง เส้นจํานวนทไ่ี ด้จะถกู แบง่ เป็นชว่ งยอ่ ยๆ ซ่งึ ใช้เปน็ เงอ่ื นไขของคา่ x เชน่ ในตัวอย่างนี้จะมีชว่ ง x < −1/2 , −1/2 < x < 2 , และ x > 2 (สังเกต : เคร่ืองหมาย “เท่ากับ” จะอยูร่ วมกับ “มากกวา่ ” ตามนยิ ามของการถอดคา่ สัมบรู ณ)์ -1/2 2 2. ในแตล่ ะช่วงย่อย สมการจะถอดเครื่องหมายค่าสมั บรู ณ์ทิ้งได้ โดยให้ทดลองแทนจํานวนใดๆ ท่อี ยู่ ในชว่ งนั้นลงไปในคา่ สัมบูรณ์ หากภายในค่าสมั บรู ณต์ ิดลบเมือ่ ถอดค่าสัมบูรณ์ออกแล้วจะตอ้ งใส่ลบ เพ่มิ ให้ แต่ถ้าภายในเปน็ บวกแลว้ กถ็ อดคา่ สัมบูรณอ์ อกไดเ้ ลยไม่ตอ้ งแก้ไขอะไร ... ดังตวั อยา่ งนีม้ ี 3 ชว่ ง จะได้สมการ 3 แบบคือ -1/2 < x < 2 x>2 x < -1/2 -1/2 2 (-2x - 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (x − 2) = x + 3 −x−3 = x+3 3x − 1 = x + 3 x+3 = x+3 x = −3 x=2 0=0 3. ตรวจสอบคาํ ตอบท่ไี ด้ของแต่ละช่วง ใหใ้ ชค้ าํ ตอบเฉพาะที่อยู่ในชว่ งนน้ั จรงิ ๆ (อินเตอร์เซคกบั เงื่อนไข) แล้วจงึ รวมผลทไ่ี ด้จากแตล่ ะช่วงยอ่ ยเขา้ ด้วยกัน (ยูเนียน) เป็นคาํ ตอบที่แท้จรงิ ของสมการ (สังเกต : หากแก้สมการแล้วได้ผลเป็น 0 = 0 หรือประโยคอน่ื ๆ ที่เปน็ จริงเสมอ เช่น 3 > 0 แสดงวา่ ช่วงย่อยนนั้ เป็นคําตอบไดท้ ง้ั หมด แต่ถา้ แก้สมการแล้วไดผ้ ลเปน็ ประโยคที่เป็นเทจ็ เชน่ 1 = 0 หรอื 3 < 0 แสดงว่าช่วงย่อยนั้นไม่มีคา่ ใดเป็นคาํ ตอบเลย) x>2 x < -1/2 -1/2 < x < 2 -1/2 2 x = −3 ∅ x>2 ตวั อย่างนี้คําตอบท่ไี ด้คือ x ∈ {−3} ∪ [2, ∞) แบบฝึกหดั 2.4 (41) ขอ้ ความตอ่ ไปนี้ถกู หรือผิด (41.1) ถา้ n ∈ I+ และ n > 1 จะได้ n an = a (41.2) ถ้า a, b > 0 แล้ว a − b = a − b (42) ใหห้ าค่าของจํานวนจรงิ m ท่นี ้อยทส่ี ุดทท่ี าํ ให้ (42.1) 4x + 0.5 < m เมอื่ −3 < 2x − 1 < 0.5 (42.2) x − 2 + 5 < m เมอ่ื x ∈ (2, 6) x (42.3) x2 − 25 < m เมอื่ x + 5 < 6 (43) ถ้า x − 1 < 5 และ y − 2 < 4 แลว้ x + y มีคา่ อยใู่ นช่วงใด Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 47 ระบบจํานวนจริง (44) ใหห้ าคาํ ตอบของสมการต่อไปน้ี (44.1) x2 − 6 x + 8 = 0 (44.2) x − 1 + x + 1 = 2 (44.3) [Ent’30] x − 4 + x − 3 = 1 (45) ถา้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3 x และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3x แลว้ ให้หาเซต B ∩ A ' (46) ให้หาผลบวกของคาํ ตอบทงั้ หมดของสมการ 8(x + 2)2 − 14(x + 2) + 3 = 0 (47) ถ้า A = { x ∈ I | x2 + 3x + 3 = 2x + 3 } และ B = { x ∈ I | 5 − 3x = 2 } x+2 แลว้ ใหห้ าคา่ a2+ b2 เมอ่ื a, b เปน็ คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสุดและขอบเขตล่างมากสดุ ของ A ∪ B (48) ให้หาคําตอบท้งั หมดของสมการ ( x )x2 = x3 (49) ใหห้ าคาํ ตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ (49.4) 3 < x (49.1) 2x − 1 < 3x + 2 x−1 − 2 (49.2) 3 < x − 2 < 6 (49.5) x < 2 x −1 (49.3) x + 1 > 0 และ x2 − x − 2 < 0 x (50) ถ้า A เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ x + 2 + x < 4 2 และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ x < x − 7 แล้วให้หาเซต (A ∩ B)' (51) ถา้ A = { x ∈ R | x < 4x + 5 < 5 } แล้วข้อความตอ่ ไปน้ถี ูกหรอื ผดิ 2 (51.1) ถา้ a, b ∈ A แล้ว (a + b)/2 ∈ A (51.2) ถา้ a, b เป็นขอบเขตบนคา่ นอ้ ยสดุ และขอบเขตล่างคา่ มากสุดของ A แล้ว a + b ∈ A (52) ถ้า A = { x ∈ R | x2 − 2 < 14 } และ B = { x ∈ R | 1 − 1 > 0 } x แลว้ มีจาํ นวนเต็มใน A ∩ B ' กจ่ี าํ นวน (53) ให้หาคา่ a, b, c ท่ีเปน็ จาํ นวนนับท่ีน้อยท่สี ุด ทีท่ าํ ให้ (53.1) −4 < x < 1 เป็นคาํ ตอบของอสมการ ax + b < c (53.2) x < −10 หรือ x > 8 เปน็ คาํ ตอบของอสมการ ax + b > c (54) ใหห้ าคาํ ตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ (54.1) 3x + 2 < 4x + 1 (54.2) [Ent’41] x − 2 < 2 x+1 Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 48 ระบบจาํ นวนจริง (54.3) x − 7 < 5 < 5x − 25 (54.4) x − 1 + x − 3 < x − 5 (54.5) x2 − 5x − 4 >1 x2 + x − 2 * (55) ให้หาคาํ ตอบของอสมการ x − 3 < x − 2 (56) ให้หาคา่ x ท่ที าํ ให้ (56.1) (1 − x )(1 + x) เปน็ จํานวนจริงบวก (56.2) (1 − x )(1 + x) เปน็ จํานวนจริงลบ 2.5 ทฤษฎจี ํานวนเบอ้ื งต้น * ในหวั ข้อน้ีเราจะกล่าวถึงจาํ นวนเตม็ เทา่ นน้ั สมบัติของจํานวนเต็มกับการหาร [1] บทนิยามของการหารจํานวนเตม็ ลงตัว สัญลักษณ์ทีใ่ ชแ้ ทนประโยค “m หารดว้ ย n ลงตวั ” คอื n m เรยี ก m วา่ ตวั ต้ัง (Dividend) และเรียก n วา่ ตวั หาร (Divisor) สําหรบั จํานวนเตม็ m, n โดยท่ี n ≠ 0 จะไดว้ ่า n m ก็ต่อเม่อื m = n q และ q ∈ I [1.1] สมบัติการถา่ ยทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c [1.2] ตัวหารที่ลงตวั ย่อมน้อยกวา่ ถ้า a b แลว้ a < b เสมอ [1.3] การหารผลรวมเชิงเส้นลงตัว ถ้า a b และ a c แลว้ a (bx+cy) “ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ b กบั c” คอื จาํ นวนในรูป bx+cy ซึง่ x, y ∈ I S Êi觷è¤Õ Ç÷ÃÒº! S 1. ¶ŒÒ a b æÅa a c æÅnj a (b ± c) 3. ¶ÒŒ a b æÅŒÇ a bn 2. ¶ÒŒ a b æÅnj a (b ⋅ c) 4. ¶ÒŒ an b æÅŒÇ a b * »Ãao¤´ŒÒ¹º¹¹Õé¶Ù¡·¡u ¢oŒ 浶‹ Ҍ ¡Åaº´ŒÒ¹»Ãao¤eËŋҹé¨Õ a¼i´¹a¤Ãaº! »Ãao¤´ÒŒ ¹Å‹Ò§¹Õ¼é i´·u¡¢oŒ ! 1. ¶ÒŒ a (b ± c) æÅŒÇ a b æÅa a c 3. ¶ŒÒ a bn æÅŒÇ a b 2. ¶ÒŒ a (b ⋅ c) æÅŒÇ a b 4. ¶ÒŒ a b æÅnj an b [2] บทนยิ ามของการหารจาํ นวนเต็มใดๆ สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า m = n q + r และ q ∈ I , 0 < r < n มจี าํ นวนเต็ม q, r ชุดเดยี วเท่านนั้ เรยี ก q วา่ ผลหาร (Quotient) และ r คอื เศษ (Remainder) [3] บทนิยามของ จาํ นวนเฉพาะ (Prime Numbers) “จาํ นวนเฉพาะ p คอื จาํ นวนเต็มทีไ่ มใ่ ช่ 0, 1, −1 และมีจํานวนเตม็ ทไี่ ปหาร p ลงตวั เพียงแค่ 1, −1, p, −p เทา่ น้นั ” เชน่ ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... ... จาํ นวนเตม็ อนื่ ๆ ที่ไม่ใชจ่ ํานวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, −1 จดั เปน็ จํานวนประกอบ (Composite Numbers) [3.1] หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว “ทุกจํานวนเต็มบวกท่มี ากกว่า 1 จะเขียนในรปู ผลคณู ของจํานวนเฉพาะบวก ไดแ้ บบเดียว” Math E-Book Release 2.2.04 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 49 ระบบจาํ นวนจรงิ [3.2] จาํ นวนเฉพาะกับการหารลงตัว ถา้ p mn แลว้ p m หรอื p n [4] บทนยิ ามของ จํานวนคู่ (Even Numbers) และ จาํ นวนคี่ (Odd Numbers) “จาํ นวนคู่ คือจาํ นวนท่ีเขียนได้ในรปู 2 n เม่ือ n ∈ I ” “จาํ นวนคี่ คือจาํ นวนที่เขยี นได้ในรปู 2 n + 1 เม่อื n ∈ I ” [5] บทนยิ ามของ ตวั หารรว่ มมาก (ห.ร.ม. : the Greatest Common Divisor : GCD) และตวั คณู รว่ มนอ้ ย (ค.ร.น. : the Least Common Multiple : LCM) “ d เปน็ ห.ร.ม. ของ a กบั b ก็เมื่อ d a และ d b และถ้ามี n a และ n b แล้ว n d ” สัญลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ทีเ่ ป็นบวก คือ (a, b) “ c เปน็ ค.ร.น. ของ a กับ b กเ็ ม่อื a c และ b c และถ้ามี a n และ b n แล้ว c n ” สัญลกั ษณ์ทใี่ ช้แทน ค.ร.น. ของ a กบั b ที่เปน็ บวก คือ [a, b] [5.1] ห.ร.ม. คูณกบั ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ [5.2] ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แลว้ (a/d, b/d) = 1 [5.3] ข้นั ตอนวิธกี ารหา ห.ร.ม. ของยุคลิด การหา ห.ร.ม. ของ a กับ b จะเริ่มโดยเขยี น a กบั b ในรูปการหาร แล้วนําเศษท่ีไดไ้ ป หารต่อๆ ไป คือ a = b q1 + r1 b = r1q2 + r2 r1 = r2q3 + r3 ...r2 = r3q4 + r4 ทาํ ไปเรอื่ ยๆ จนกวา่ จะหารลงตวั (เศษเปน็ 0) จะไดว้ า่ ห.ร.ม. เท่ากบั เศษตวั สุดท้าย (rk ) เช่น ต้องการหาค่า ห.ร.ม. ของ 138 กับ 182 จะมขี ้ันตอนการหาดงั น้ี (182) = (138) 1 + (44) (138) = (44) 3 + (6) (44) = (6) 7 + (2) (6) = (2) 3 ดงั นนั้ ห.ร.ม. คือ 2 (เพราะ 2 คือเศษตวั สดุ ท้าย ทที่ าํ ใหก้ ารหารน้ันลงตัว) หมายเหตุ ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เปน็ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relative Primes) (โดยที่ m และ n ไม่จาํ เปน็ ต้องเป็นจาํ นวนเฉพาะ) การหา ห.ร.ม. หรอื ค.ร.น. ของจาํ นวนเต็มมากกวา่ สองจํานวน สามารถหาจากสองจาํ นวน ใดก็ได้ แลว้ นําผลทไี่ ดไ้ ปหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ร่วมกบั จาํ นวนที่เหลือตอ่ ไป แบบฝึกหัด 2.5 (57) เศษของการหาร (19)3(288)2 ด้วย 5 เป็นเทา่ ใด (58) ใหห้ า ห.ร.ม. ของ 252 กบั 34 และเขียนในรูปผลรวมเชงิ เสน้ d = 252 x + 34 y เมอื่ x, y เป็นจํานวนเต็ม (59) ใหห้ า ห.ร.ม. ของ –504 กบั –38 และเขยี นในรปู ผลรวมเชงิ เสน้ ดว้ ย (60) ถา้ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ x กบั 128 เปน็ 16 และ 384 แลว้ คา่ x เปน็ เทา่ ใด (61) [Ent’37] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยท่ี x < y ถา้ (x, y) = 9 , [x, y] = 28215 และ จํานวนเฉพาะทหี่ าร x ลงตัวมี 3 จํานวน แลว้ x, y มคี ่าเทา่ ใด (62) [Ent’38] ให้ x, y เป็นจาํ นวนเตม็ บวก โดยท่ี 80 < x < 200 และ x = p q เมื่อ p, q เป็นจาํ นวนเฉพาะซ่งึ ไม่เทา่ กัน ถ้า x, y เปน็ จํานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ และมี ค.ร.น. เปน็ 15015 แล้วค่า y เปน็ เท่าใดได้บ้าง Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 50 ระบบจาํ นวนจริง เฉลยแบบฝึกหดั (คาํ ตอบ) (1) ผิดทกุ ขอ้ (25) อย่ใู นช่วง [7.5, 10) ซม. (47) 90 (48) 1, 6 (2) ขอ้ (2.3) ถกู นอกน้ันผดิ (49.1) (−1/5, ∞) (3) ง. (26) 2, 4 (27) 2 (4) ข้อ (4.1) และ (4.3) ถกู (28) ถกู ทกุ ขอ้ (49.2) (−4, −1) ∪ (5, 8) (5) ถกู ทกุ ขอ้ (6) ง. (29) (−1 + 0 + 1 + 2) + (0) (49.3) (−1, 2) − {0} (7) 6 + 5 และ 1 (8) ค. (9) ง. (10) เทา่ กนั (30) ถกู ทกุ ขอ้ (49.4) (−1, 3) ∪ [3 + 21 , ∞) (11.1) ผดิ (11.2) ถกู (31) a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) (12) 1 (13) –3 (14) –81 2 (15) 4+3 (16) –155/9 (32.1) (−∞, −1) ∪ (0, 1) (17) (x − 1)(x − 2) (49.5) (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞) (32.2) [−4, ∞) − {1} (50) (2, ∞) (51) ถกู ทุกขอ้ (18) (x −1)(x −2)(x − 3)(x +2)(x + 4) (52) 7 (53.1) 2, 3, 5 (32.3) 11 (53.2) 1, 1, 9 (19) (x −2)(x − 4)(x +5)(3x + 1)(x2 + 1) (33) [−2, 1] ∪ [2, ∞) (54.1) (−∞, −3/7) ∪ (1, ∞) (20.1) {b, −b} (20.2) {0} (34) –5 (54.2) (−∞, −4) ∪ (0, ∞) (35.1) (−∞, −1) ∪ (1/3, 1) (54.3) (2, 4) ∪ (6, 12) (20.3) {0, −2b} (54.4) (−1, 3) (35.2) (2, 8] (36) 0 (54.5) (−∞, −1]∪[−1/3, 3]−{1, −2} (20.4) {−a − 1, −a + 1} (37) 5 (38.1) 7 (55) (−∞, −1/2) ∪ (5/2, ∞) (21) ขอ้ (21.1) และ (21.2) ผิด (38.2) ไม่มี (38.3) 8 (22) ขอ้ (22.4) ผิด นอกนน้ั ถกู (38.4) ไม่มี (39) 0 (56.1) (−∞, −1) ∪ (−1, 1) (23.1) (−6, 46) (40) 5/2 (41) ผิดทกุ ขอ้ (56.2) (1, ∞) (57) 1 (42.1) 3.5 (42.2) 17/3 (58) 2 = (252)(5) + (34)(−37) (23.2) (−252, 180) (42.3) 96 (43) [0, 12) (59) 2 = (−504)(−4) + (−38)(53) (24.1) (−18, −4) (44.1) 2, −2, 4, −4 (44.2) [−1, 1] (60) 48 (61) 495, 513 (24.2) (−9, −4) (62) 105, 165 (44.3) [3, 4] (24.3) (−3, −2/3) (45) [−2/3, 0) (46) –8 เฉลยแบบฝึกหดั (วิธคี ดิ ) (1.1) ผดิ ทศนยิ มไม่ซา้ํ เป็นจาํ นวนอตรรกยะ ค. ไมม่ กี ารบวกและคณู เลย (เชน่ 3 + (−3) = 0 (1.2) ผดิ ทศนยิ มซํา้ เป็นจาํ นวนตรรกยะ 44 (1.3) ผิด เชน่ a = 2 และ 3 ⋅ 4 = 1 ) 43 (1.4) ผดิ เชน่ a = 3 ง. ถกู (เพราะ บวกกันแล้วยอ่ มยงั หาร 4 ลงตวั , (2.1) ผดิ เชน่ a=0 แลว้ b จะเป็นเทา่ ใดกไ็ ด้ คูณกนั ก็ยงั หาร 4 ลงตัว) (2.2) ผิด ตอ้ งเปน็ a=0 หรอื b=0 (ไมจ่ ําเปน็ ตอ้ ง (4.1) ถูก (จาํ นวนจรงิ ลบกนั ยอ่ มเป็นจาํ นวนจริง) เป็น 0 พรอ้ มกนั ทั้งค)ู่ (4.2) ผิด เพราะ (a − b) − c ≠ a − (b − c) (2.3) ถูก (ตามกฎการคูณเข้าทั้งสองขา้ ง เอา b (4.3) ถกู (นาํ จาํ นวนจรงิ ทไี่ มใ่ ช่ 0 มาหารกัน ยอ่ ม คณู จะได้ a = c ) เป็นจาํ นวนจริง) ... (แต่ถ้ารวม 0 ดว้ ย ขอ้ นจ้ี ะผดิ เพราะสว่ นเปน็ 0 นนั้ ไม่นิยาม) (2.4) ผิด เชน่ a=0 แล้ว b กบั c ไม่จาํ เปน็ ตอ้ ง เท่ากัน (4.4) ผดิ เพราะ [a] ÷ c ≠ a ÷ [b] (3) ก. มกี ารบวก แตไ่ ม่มกี ารคณู bc (เพราะ ลบคณู ลบ ได้บวก) ข. ไม่มกี ารบวก (เชน่ 3 + 5 = 8 → 8 ไม่อย่ใู น (5) A = {x | x เปน็ จาํ นวนนบั และ x เปน็ เซตน้ี) และไม่มกี ารคณู (เชน่ 3 ⋅ 5 = 15 ) จาํ นวนตรรกยะ } = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} หรือ มองวา่ A เป็นเซตของจาํ นวนนบั ยกกําลงั สองกไ็ ด.้ . B = N - A = { จํานวนนบั อน่ื ๆ ทไี่ ม่อยใู่ น A} Math E-Book Release 2.2.04 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )