คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 101 เรขาคณติ วิเคราะห นั่นคือ 7 (x + 2)2+ 16(y − 3)2 = 112 นาํ ตัวเลขทีเ่ หลือทางขวา คือ 112 หารตลอดสมการ จะได (x + 2)2 + (y − 3)2 = 1 16 7 ตอบ เปนวงรีตามแกนนอน จดุ ศูนยก ลางคือ (−2, 3) เนือ่ งจากคา a = 4, b = 7 จะได c = 16 − 7 = 3 ดังนนั้ จุดยอดคือ (−2± 4, 3) จุดโฟกัสคือ (−2± 3, 3) และจุดปลายแกนโทคือ (−2, 3± 7) แบบฝกึ หดั 4.6 (79) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงรี ท่มี ีลักษณะดังแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ (79.1) จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี (3, −1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หนว่ ย ส่วนแกนโทยาว 6 หน่วย (79.2) จุดศนู ยก์ ลางอย่ทู ่จี ดุ กําเนดิ มีจดุ ยอดอยทู่ ่ี (0, 8) และมีโฟกัสอยทู่ ่ี (0, −5) (79.3) จดุ ยอดอยทู่ ี่ (−4, 2) และ (2, 2) โดยแกนโทยาว 4 หนว่ ย (79.4) จดุ ศนู ย์กลางอยู่ที่ (−2, 1) มจี ุดโฟกสั ที่ (−2, 4) และผา่ นจุด (−6, 1) (79.5) จุดศนู ย์กลางอย่ทู ี่ (2, 1) มจี ุดยอดท่ี (2, −4) และค่า c : a = 2 : 5 (80) ให้หาส่วนประกอบตา่ งๆ ท้งั หมดของวงรี (80.1) 4x2+ 9y2= 36 (80.2) 9x2+ 5y2− 54x − 50y + 26 = 0 (80.3) 5x2+ 9y2− 10x = 40 (81) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจดุ P (x, y) ซ่งึ (81.1) ระยะหา่ งจากจุด (4, 0) และจุด (−4, 0) รวมกันเป็น 12 หนว่ ย (81.2) ระยะหา่ งจากจุด (2, 7) และจดุ (2, 1) รวมกันเป็น 10 หนว่ ย (82) ฐานของสามเหลีย่ มยาว 6 หน่วย และผลบวกของอกี สองดา้ นเปน็ 10 หนว่ ย (82.1) ถา้ ฐานตรงึ อยู่กบั ที่ กราฟทป่ี ระกอบด้วยจดุ ยอดของสามเหล่ียมจะเป็นรูปใด (82.2) ใหห้ าสมการกราฟดังกล่าว ถ้าฐานตง้ั อยบู่ นแกน x โดยมีจุดกาํ เนิดอยู่ตรงกลาง (83) [Ent’39] ใหห้ าสมการเส้นตรงท่ผี ่านจุดศูนยก์ ลางของวงรี 4x2+ 9y2− 48x + 72y + 144 = 0 และตั้งฉากกบั 3x + 4y = 5 (84) [Ent’37] ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงคู่ขนานท่ีทาํ มมุ 45° กับแกน x และผา่ นจดุ โฟกสั ทงั้ สอง ของวงรี x2+ 3y2− 4x − 2 = 0 มีคา่ เท่าใด (85) [Ent’38] ให้จดุ F1 และ F2 เป็นจุดโฟกัสของวงรี kx2+ 4y2− 4y = 8 และวงรีนต้ี ดั แกน y ที่ จดุ B ซึ่งอยู่เหนอื แกน x ถา้ สามเหลี่ยม F1F2B มพี ้ืนท่ี 3 7/4 ตารางหนว่ ย แล้วคา่ k เป็นเท่าใด (86) นายแดงปีนข้นึ ไปบนสะพานโค้งทม่ี ีลกั ษณะเป็นครึ่งวงรี ปลายทง้ั สองหา่ งกัน 4 เมตร และมี ระยะสูงสุด 1 เมตร ถา้ เขาอยู่บนสะพานในตําแหน่งท่ีห่างจากปลายข้างหน่งึ เปน็ ระยะตามแนวราบ 80 ซม. เขาจะอยู่สงู จากพน้ื กเ่ี ซนติเมตร Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 102 เรขาคณิตวิเคราะห 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา นยิ าม ไฮเพอรโ์ บลา คอื “เซตของคูอ่ นั ดบั ท่ี ผลตา่ งของระยะทางไปถึงจุดคงทส่ี องจดุ มีคา่ เทา่ กนั ” เรยี กจดุ คงท่ีสองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส (F1, F2 ) และนอกจากน้ี ผลตา่ งระยะทางซึง่ เปน็ คา่ คงท่ี นัน้ จะมีคา่ เทา่ กบั ความยาวของแกนตามขวาง (2a) พอดี ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศนู ย์กลางท่ี C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว 2b จะมสี มการเปน็ ⎝⎜⎛ x ⎟⎠⎞2− ⎝⎜⎛ y ⎟⎠⎞2= 1 (แบบออ้ มแกน x) หรือ ⎜⎝⎛ y ⎠⎟⎞2− ⎝⎜⎛ x ⎠⎟⎞2= 1 (อ้อมแกน y) a b a b ไฮเพอรโ์ บลา (ตะแคง) B1 (h,k+b) (x −h)2 − (y −k)2 =1 a2 b2 จดุ ศูนยก์ ลาง C (h, k) ⎫ b c ⎬ แกนตามขวาง 2a แกนสังยคุ 2b (⎭hC,k)(hV+a1 ,k) F2 V2 a (hF+1 c,k) ระยะโฟกสั c = a2+ b2 B2 รูปท่วั ไป Asymptote a(y-k)=b(x-h) Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Asymptote ไฮเพอร์โบลา (ต้งั ) Asymptote F1 (h,k+c) (y −k)2 − (x −h)2 =1 b(y-k)=a(x-h) a2 b2 จดุ ศนู ย์กลาง C (h, k) B2 V1 (h,k+a) แกนตามขวาง 2a แกนสงั ยุค 2b Asymptote b C (h,k) B1 (h+b,k) ระยะโฟกัส c = a2+ b2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎬ a c ⎨ ⎭ รปู ทั่วไป ⎩⎪ V2 F2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 นิยาม แกนตามขวาง (Transversal Axis) V1V2 และ แกนสงั ยุค (Conjugate Axis) B1B2 ใชใ้ นการสรา้ ง เส้นกํากับ (Asymptote) สองเส้น เพ่ือบังคับความกวา้ งของไฮเพอรโ์ บลา ขอ้ สังเกต 1. การวาดกราฟไฮเพอร์โบลา เปรยี บเสมอื นว่ามีวงรีอยูใ่ นกรอบตรงกลาง โดยใช้จุดศูนย์กลางร่วมกัน และแกนตามขวางกบั แกนสังยคุ จะทับแกนเอกและโทของวงรพี อดี แต่สาํ หรับไฮเพอร์โบลา a ไมจ่ ําเป็นตอ้ งมากกวา่ b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะออ้ มแกนน้ัน) 2. ถา้ a = b (สเ่ี หล่ียมจตั รุ สั ) รูปวงรีตรงกลางจะกลายเป็นวงกลม สามารถเรียกไฮเพอรโ์ บลานั้น ว่า ไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก (Rectangular Hyperbola) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 103 เรขาคณิตวเิ คราะห • ตัวอยา ง ใหสรา งสมการไฮเพอรโบลาที่มีจดุ ศนู ยกลางที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสที่ (2, −4) และจุดยอดที่ (2, 4) และตอบในรปู Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสิทธท์ิ ุกตวั เปนจํานวนเต็ม วธิ ีคดิ จุดศนู ยก ลาง จุดโฟกัส และจดุ ยอด เรียงกนั โดยคา x เทา กนั และ y ตางกนั แสดงวา เปน ไฮเพอรโบลาออมแกนตัง้ ... สมการคือ (y −k)2 − (x −h)2 = 1 a2 b2 เนื่องจากคา a = (4) − (1) = 3 และคา c = (−4) − (1) = 5 ดงั นนั้ b = 52−32 = 4 แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเ ปน (y −1)2 − (x −2)2 = 1 32 42 กระจายสมการ 16(y−1)2− 9(x−2)2 = 144 → 16y2−9x2−32y+36x−164 = 0 หมายเหตุ อาจตอบใหอยูในรปู สมั ประสิทธิ์ของ x เปนบวก กไ็ ด โดยนํา −1 คณู ทงั้ สมการ กลายเปน 9x2−16y2−36x+32y+164 = 0 • ตัวอยา ง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรปู ไฮเพอรโบลาทีม่ ีสมการเปน x2−5y2+10y−25 = 0 วธิ ีคิด จัดกําลังสองสมบรู ณเ หมือนเดมิ ...x2 − 5(y2− 2y) = 25 สังเกตไดวา ไมม ีพจน x กําลงั หนงึ่ แสดงวา ทีแ่ กน x ไมม ีการเลือ่ นแกน และไมต อ งจัดรูป เติมตวั เลขทั้งสองขา ง เปน x2 − 5(y2− 2y + 1) = 25 - 5 ... น่นั คือ x2 − 5(y − 1)2 = 20 (การจัดรปู กําลงั สองสมบูรณใ นขอนี้ หลายจดุ ตอ งระวังพลาดเรื่องเครือ่ งหมายลบ) นาํ ตวั เลขที่เหลือทางขวา คือ 20 หารตลอดสมการ จะได x2 − (y − 1)2 = 1 20 4 ตอบ เปนสมการไฮเพอรโบลา (ออ มแกนนอน) จุดศูนยก ลางคือ (0, 1) เนื่องจากคา a = 20, b = 2 จะได c = 20 − 4 = 4 ดังนน้ั จดุ ยอดคือ (± 20, 1) จุดโฟกสั คือ (± 4, 1) และจุดปลายแกนสังยุคคือ (0, 1±2) นยิ าม สําหรบั วงรีและไฮเพอรโ์ บลา ความเยอื้ งศนู ย์กลาง (Eccentricity; e) คอื คา่ ท่ีบอก ว่าจุดโฟกัสและจุดยอด อยู่ห่างจากจดุ ศนู ย์กลางเปน็ อตั ราส่วนเทา่ ใด นั่นคือ e = c / a จะพบวา่ คา่ e ของวงรี อยู่ระหวา่ ง 0 กับ 1 เสมอ (ถ้า e ย่ิงมากขึน้ วงรจี ะยงิ่ แคบลง) และค่า e ของไฮเพอร์โบลา มากกว่า 1 เสมอ (ถา้ e ย่ิงมากขน้ึ กราฟจะย่ิงกว้างขนึ้ ) เพิ่มเตมิ S e·¤¹i¤¡ÒèíÒ! S 1. รปู วงรี และไฮเพอรโ์ บลา ก็มเี ลตสั เรกตัมและ เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ดว้ ย (คิดไม่เหมือนกบั พาราโบลา) ǧÃÕ a ÂÒÇ·ÊèÕ ´u äÎe¾oÃo ºÅÒ c ÂÒÇ·èÊÕ u´ แตไ่ ม่ได้กล่าวถงึ ในหลักสตู ร ม.ปลาย ´§a ¹é¹a a2=c2+b2 ´§a ¹é¹a c2=a2+b2 2. ภาคตดั กรวยในรปู เต็มคือ ca ac Ax 2+ By 2+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 b b โดยท่ี C ≠ 0 ลักษณะกราฟจะเปน็ เหมือนรปู ใดรูปหนึง่ ใน 4 รปู ท่ี ไดศ้ กึ ษาแล้ว แตแ่ กนจะถูกหมนุ ไปจากเดิม เชน่ อาจ เปน็ รูปวงรีเฉียงๆ ... จะไดศ้ ึกษาการจดั สมการและ เขยี นกราฟเหล่าน้ีในระดบั มหาวิทยาลัย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 104 เรขาคณติ วิเคราะห นอกจากน้ีไฮเพอร์โบลามมุ ฉากอกี รูปแบบหนง่ึ ไดแ้ ก่สมการในรปู xy = k เมื่อ k เปน็ คา่ คงท่ี ไฮเพอร์โบลาน้มี แี กนนอนและแกนต้ังเปน็ เสน้ กาํ กบั และมีส่วนประกอบตา่ งๆ ดงั ภาพ F1 ไฮเพอรโ์ บลามุมฉาก V1 C (0,0) xy = k k > 0 V2 จุดศูนยก์ ลาง C (0, 0) F2 จุดยอด V1 ( k, k) V2 (− k, − k) จุดโฟกสั F1 ( 2k, 2k) F2 (− 2k, − 2k) F1 ไฮเพอร์โบลามุมฉาก V1 C (0,0) xy = −k k > 0 V2 F2 จดุ ศูนย์กลาง C (0, 0) จุดยอด V1 (− k, k) V2 ( k, − k) จุดโฟกสั F1 (− 2k, 2k) F2 ( 2k, − 2k) แบบฝกึ หัด 4.7 (87) จงหาสมการรูปทัว่ ไปของไฮเพอรโ์ บลา ที่มีลกั ษณะดังแต่ละข้อต่อไปน้ี (87.1) จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี่ (−3, 1) มีจดุ ยอดท่ี (2, 1) และแกนสังยุคยาว 6 หนว่ ย (87.2) จุดโฟกัสอยู่ที่ (−1, −6) และ (−1, 4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย (87.3) จุดโฟกัสอยทู่ ี่ (0, 4) และ (0, −4) และมจี ุดปลายแกนสังยุคเปน็ (3, 0) (88) ใหห้ าสว่ นประกอบต่างๆ ท้งั หมดของไฮเพอรโ์ บลา (88.1) 9x2− 4y2= 36 (88.2) 9x2− 16y2− 18x − 64y − 199 = 0 (88.3) 6x2− y2− 36x − 2y + 59 = 0 (88.4) 6x2− 10y2− 12x − 40y − 94 = 0 (89) ใหห้ าสมการแสดงทางเดินของจุด P (x, y) ซึง่ ผลต่างของระยะทางจาก P (x, y) ไปยงั จุด (3, 0) กับ (−3, 0) เป็น 4 หนว่ ย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 105 เรขาคณติ วเิ คราะห (90) [Ent’32] ให้หาสมการกราฟทีท่ าํ ให้ผลคณู ระยะทางจาก P (x, y) ใดๆ ในกราฟ ไปยังเสน้ ตรง 4x − 3y = −11 และ 4x + 3y = −5 เป็น 144/25 (91) ให้หาส่วนประกอบของกราฟรูปตอ่ ไปน้ี (91.1) จุดยอด และจุดโฟกัสของ xy = −4 (91.2) จดุ ศูนย์กลางของ xy + 2x − y = 3 (92) [Ent’32,36] ถ้าภาคตัดกรวยรูปหนงึ่ มีสมการเปน็ 9x2− 18x = 16y2+ 64y + 199 แล้ว ผลรวม ของระยะทางจากจุดโฟกสั ทง้ั สองไปถึงเส้นตรง 3x + 4y = 8 เปน็ เท่าใด (93) [Ent’34] ถ้า F1 เป็นจุดโฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา 6x2− 10y2− 12x − 40y − 94 = 0 และอยใู่ น ควอดรันต์ท่ี 4 แล้ว ให้หาสมการพาราโบลาที่มีจดุ ยอดอย่ทู ี่ F1 และมีไดเรกตริกซเ์ ปน็ แกนสังยุคของ ไฮเพอร์โบลา (94) [Ent’39] กําหนดไฮเพอร์โบลา 9(x−1)2− 4(y−2)2= 36 ใหห้ าสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของ ระยะทางจากจดุ ใดๆ บนวงรี ไปยงั จดุ ที่ไฮเพอรโ์ บลาตดั แกน x ทั้งสองจดุ เป็น 8 หน่วย (95) [Ent’37] กําหนด E แทนวงรี 6x2+ 5y2+ 12x − 20y − 4 = 0 จงหาสมการไฮเพอร์โบลาท่มี จี ุด ศนู ย์กลางร่วมกับ E, มจี ดุ ยอดอยู่ทีเ่ ดยี วกับจุดโฟกัสของ E, และมีความยาวแกนสงั ยุคเท่ากบั ความ ยาวแกนโทของ E พอดี (96) ใหส้ ังเกตวา่ กราฟของสมการแตล่ ะขอ้ เป็นภาคตดั กรวยรูปใด โดยไม่ต้องคํานวณ (96.1) x2+ y2− 6x − 8y + 12 = 0 (96.6) 3x2+ 3y2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.2) x2+ 2y2− 2x + 4y − 13 = 0 (96.7) 3x2− 3y2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.3) x2+ 2x − y + 3 = 0 (96.8) 3x2− 2 = −y2+4y (96.4) x2− y2− 2x − 2 = 0 (96.9) 3x2− 2 = y2+4y (96.5) x2− y2= 4 (96.10) 3x2− 2 = 4y เฉลยแบบฝึกหดั (คําตอบ) (1) 61 (2) 2 (26) ... (27) 2x + 3y = 6 (46) −11/12 + 41/12 = 2.5 (3) 5 (4) หนา้ จัว่ (28) 1/48 (29) y = 4 x − 16 (47) 40/ 58 (5) 2 × (9 2 + 34) (30) 5 (31) 2x + 3y + 1 = 0 (48) −88 + 16 = −72 (6) 3 10 (7) ถูกทุกขอ้ (49) (2, −11/4), (8, 1/4) (8) (29/4 , 0) (9) (4, 3) (32) (0, −20/9) (33) (−7/3, 0) (50) 45° (51) 75° (52) 3 (10) 41 + 26 + 17 (34) y = x + 3/5 (35) 10 (53) x − 7y − 7 = 0 หรอื (11) –3 (12) 10 (36) (−2, 3), Q2 (37) 16/3 7x + y − 5 = 0 (13) 72, (5, 4) (14) 15 (38) ถูกทั้งสองขอ้ (15) ผิดทง้ั สองขอ้ (16) 31 (39) y = (11/2) x + 1 , (54) y = 3x + 6 (17) 3 (18) 2 (55) 4x − 3y + 20 = 0 , (19) (−4, 6),(8, −3) a = −2/11, b = 1 (20) ขนาน (21) (2, 3) 3x + 4y + C = 0 (22) –30 (23) –2 (40) x + 2y − 7 = 0 (24) –8/5 (25) 10 (56) (−1/2, −1/2) (41) −1/2, (6, 0) หรือ 4, (−3, 0) (57) (4, 2) (42) 7.5 (43) 19.5 (44) 13/2 (45) 0, 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 106 เรขาคณิตวิเคราะห (58.1) (4, −3) (58.2) (−1, −2) (58.3) (−1, 2) (79.4) 25x2+ 16y 2+ 100x − 32y − 284 = 0 (59.1) x2+ y2− 6x − 8y + 12 = 0 (79.5) 25x2+ 21y 2− 100x − 42y − 404 = 0 (59.2) x2+ y2− 3x − 3y + 4 = 0 (80.1) C (0, 0), V (±3, 0) , F (± 5, 0) , (59.3) x2+ y2− 4x + 2y = 0 (59.4) x2+ y2+ 4x − 6y − 3 = 0 B (0, ±2) (59.5) x2+ y2− 3x + 3y − 8 = 0 (60) 3 (61.1) x + y = 4 (80.2) C (3, 5), V (3, 5±6) , F (3, 5±4), (61.2) 4x − y = ± 17 (61.3) 4x + 3y = 20 , 12x − 5y = −52 B (3± 20, 5) (62.1) (x−2)2+ (y−2)2= 4 (62.2) (x−2)2+ (y−2)2= 1 , (x+1)2+ (y+1)2= 1 (80.3) C (1, 0), V (1±3, 0), F (1±2, 0), (62.3) (x+1)2+ (y−2)2= 13 (63) k < 25 (64) 4 3 (65) y = 2x , (x+1)2+ (y+2)2= 5 B (1, ± 5) (66) 9 (67) 12x2− 4y2= 3 (68.1) y2− 28x − 6y − 47 = 0 (81.1) 5x2+ 9y2= 180 (68.2) y2+ 12x = 0 (68.3) y2+ 9x = 0 (81.2) 25x2+ 16y2− 100x − 128y − 44 = 0 (68.4) x2− 4x − 40y − 116 = 0 (82.1) วงรี (82.2) 16x2+ 25y2= 400 (68.5) x2− 10x − 2y + 21 = 0 (83) 4x − 3y = 36 (84) 2 2 (68.6) y2− 8x − 4y + 4 = 0 (85) 9/4 (86) 80 (68.7) 2y2− x − 12y + 19 = 0 (87.1) 9x2− 25y2+ 54x + 50y − 169 = 0 (68.8) x2+ 2x − y + 3 = 0 (87.2) 9x2− 16y2+ 18x − 32y + 137 = 0 (69) 1465/8 (70.1) (0, 3) , y + 3 = 0 , 12 (87.3) 7x2− 9y2+ 63 = 0 (70.2) V (−3, 5) , F (−6, 5), เลตัสเรกตมั ยาว (88.1) C (0, 0), V (±2, 0) , F (± 13, 0), 12, ไดเรกตรกิ ซค์ ือแกน y (70.3) (7, 2) (70.4) (± 2, 0) B (0, ±3) (71.1) x2+ 4x − 24y − 44 = 0 (71.2) y2− 4x − 2y + 9 = 0 (88.2) C (1, −2), V (1±4, −2) , F (1±5, −2) , (72) 12 (73) 6 5 (74) 4x − 3y + 14 = 0 (75) x2− 6x + 12y − 15 = 0 B (1, −2±3) (76) y2+ 3x = 0 (77) 145/16 (78) 2/3 หนว่ ย (88.3) C (3, −1), V (3, −1± 6), (79.1) 16x2+ 9y2− 96x + 18y + 9 = 0 F (3, −1± 7), B (3±1, −1) (79.2) 64x2+ 39y2= 2496 (88.4) C (1, −2), V (1± 10, −2) , (79.3) 4x2+ 9y2− 16x + 18y − 11 = 0 F (1±4, −2), B (1, −2± 6) (89) 5x2− 4y2= 20 (90) 16x2− 9y 2+ 64x + 18y + 55 = ± 144 (91.1) V (±2, ∓2) , F (±2 2, ∓2 2) (91.2) (1, −2) (92) 6 (93) y2− 16x + 4y + 84 = 0 (94) 23x2+ 36y2− 46x = 345 (95) x2− 5y2+ 2x + 20y − 14 = 0 (96.1) วงกลม (96.2) วงรี (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอร์โบลา (96.5) ไฮเพอรโ์ บลา (96.6) วงกลม (96.7) ไฮเพอร์โบลา (96.8) วงรี (96.9) ไฮเพอรโ์ บลา (96.10) พาราโบลา Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 107 เรขาคณิตวิเคราะห เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธคี ดิ ) (1) |P1P2 | = (1 + 5)2 + (7 − 2)2 = 62 + 52 = 61 ข. |DE| = 42 + 82 = 80 = 4 5 (2) P (2 + 6 , 7 − 3) = (4, 2) Q (−2 + 8 , 5 + 1) |EF| = 72 + 142 = 245 = 7 5 22 22 |DF| = 32 + 62 = 45 = 3 5 = (3, 3) ∴|PQ| = 12 + 12 = 2 พบว่า |DE|+|DF|=|EF| แสดงว่า (3) |OD|= 22 + 42 = 20 ดังนนั้ D, E, F อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั ... ถกู ตอ้ ง (จดุ E กบั F เปน็ จดุ ปลาย) |PC|= 20 = 5 หนว่ ย ∴|PQ|= 5 ดว้ ย ค. |AB| = 42 + 22 = 20 = 2 5 2 |BC | = 42 + 22 = 2 5,| AC | = 82 + 42 = 4 5 และเนอ่ื งจาก DC อยู่ท่ีความสูง y = 4 พบว่า |AB|+ |BC|=|AC| แสดงวา่ ดงั นนั้ PQ อยทู่ ี่ y = 2 A, B, C อย่บู นเสน้ ตรงเดยี วกนั ... ถกู ตอ้ ง (8) สมมตจิ ดุ P มีพิกัด (x, 0) กจ็ ะไดว้ า่ ความสูงของ Δ จาก C มายงั PQ คอื 2 หน่วย (x − 1)2 + 22 = (x − 3)2 + 52 กระจายได้ จะได้ พน้ื ท่ี Δ = 1 × 2 × 5 = 5 ตร.หนว่ ย x2 − 2x + 1 + 4 = x2 − 6x + 9 + 25 2 นัน่ คอื 4x = 29 → x = 29 ∴ P(29 , 0) (4) |AB| = 112 + 42 = 137 , |BC| = 44 72 + 72 = 98 ,|AC| = 42 + 112 = 137 (9) สมมติจดุ ศนู ยก์ ลางมพี กิ ดั (x, y) ดงั นน้ั (x − 1)2 + (y − 7)2 = (x − 8)2 + (y − 6)2 → |AB|=|AC| แสดงวา่ เปน็ Δ หนา้ จัว่ = (x − 7)2 + (y + 1)2 (เทา่ กนั ทงั้ สามกอ้ น) (5) เสน้ รอบรปู Δ ABC จะยาวเปน็ 2 เท่าของเสน้ นาํ มาเขยี นสมการเป็น 2 คู่ เพ่ือหา x, y เช่น รอบรูป Δ PQR เสมอ A x2 −2x+1+y2 −14y+49 = x2 −16x+64+y2 −12y+36 เพราะ |AB|= 2|PQ|, R คอื 7x − y = 25 ..... (1) และอีกสมการ |BC| = 2|QR| Q x2 −2x+1+y2 −14y+49 = x2 −14x+49+y2 +2y+1 และ |AC| = 2|PR| B คอื 3x − 4y = 0 ..... (2) P จะได้ x = 4, y = 3 ดงั นนั้ ตอบ (4, 3) C (10) A ไปยงั จดุ กึ่งกลางของ BC (คือ (4 − 2 , 3 + 5) = (1, 4)) → 12 + 52 = 26 หาค่า |PQ| = 72 + 12 = 50 = 5 2 , 22 |QR| = 32 + 52 = 34 และ B ไปยงั จดุ กง่ึ กลางของ AC |PR| = 42 + 42 = 32 = 4 2 (คือ (0, 2)) → 42 + 12 = 17 C ไปยังจดุ กงึ่ กลางของ AB ดงั นน้ั เสน้ รอบรูป Δ ABC = 2 × (9 2 + 34) (คือ (3, 1)) → 52 + 42 = 41 รวม 26 + 17 + 41 (6) P(3(2) + 1(6) , 3(8) + 1(12)) = (3, 9) (11) จุดตัดของเส้นมธั ยฐาน 44 Q(1(6) + 3(−2) , 1(12) + 3(−4)) = (0, 0) (m, n) = (4 − 4 + 4 , 5 + 7 + 1) = (4 , 13) 3 3 33 44 ∴| PQ | = 32 + 92 = 90 = 3 10 จะได้ m − n = − 9 = −3 3 (7) ก. |AB|= 72 + 32 = 58 |BC | = 32 + 72 = 58 , | AC | = 42 + 102 = 116 พบว่า |AB|2 + |BC|2 =|AC|2 แสดงวา่ Δ ABC เป็นสามเหลย่ี มมุมฉาก ... ถูกตอ้ ง (มุม B เปน็ มมุ ฉาก) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 108 เรขาคณติ วเิ คราะห (12) จุดก่ึงกลางของ BC คือ (16) ลาํ ดบั ทเี่ ขยี น ตอ้ งเรยี งทวนเข็มนาฬกิ า D (6 − 4 , 7 − 3) = (1, 2) เช่น A, E, D, B, C, A E 22 DA 14 วธิ คี ดิ 1 หาจดุ A(x, y) โดย BC 1⋅ −2 7 (x + 6 − 4 , y + 7 − 3) = (4 , 1) → 2 3 33 พื้นที่ = −4 5 −3 −2 (x, y) = (2, −1) ดังนัน้ เสน้ มธั ยฐาน จาก A(2, −1) −1 −3 ไปยัง D(1, 2) มีขนาด 12 + 32 = 10 ... ตอบ 14 วิธีคดิ 2 หาระยะจาก P(4 , 1) ไปยงั D(1, 2) ไดเ้ ป็น 3 = 1 (8 + 28 + 15 − 2 + 3 + 7 − 10 + 8 + 9 − 4) 2 (1)2 + 12 = 10 และใชส้ มบตั ิวา่ เสน้ มัธยฐาน = 31 ตร.หนว่ ย 33 (17) mAB = mAC → k −2 = 4−2 ∴k = 3 2−1 3−1 |AD|= 3 เทา่ ของ |PD|→ ∴ ตอบ 10 (13) P(0, 0) , Q(3, 12) , R(12, 0) (18) วิธีคดิ เหมอื นขอ้ ท่แี ล้ว คอื y − 6 = −2 − 6 ดังนน้ั y = 2 1+2 4+2 พนื้ ท่ี = 1 × สูง × ฐาน Q (3,12) (19) จากภาพ A 2 จะได้ A (−4, 6) 3 = 1 × 12 × 12 2 และ B (8, −3) 43 = 72 ตร.หน่วย P R (12,0) 43 B จุดตัดของเสน้ มธั ยฐาน 4 (0 + 3 + 12 , 0 + 12 + 0) = (5, 4) (20) mAB = 5−2 = 1, mCD = 8−4 = 1 33 4−1 2+2 (14) พลอ็ ตจดุ ครา่ วๆ เพ่อื หาลาํ ดับ A ∴mAB = mCD → ขนานกนั ของจุดบนเสน้ รอบรูปไดด้ ังภาพ B 13 (21) สมมติ D(x, y) จะไดว้ ่า mAB = mCD 1⋅ พนื้ ท่ี ΔABC = 2 −2 0 C → 1 + 4 = y + 2 → 5x − y = 7 ..... (1) 3 −5 −4 + 5 x − 1 13 = 1 (6 + 5 + 10 + 9) = 15 ตร.หนว่ ย และ mAD = mBC → y−1 = −2 + 4 2 x+4 1+5 สว่ น PQR ไม่เปน็ Δ เพราะอย่บู นเสน้ ตรงเดียวกนั → 3y − x = 7 ..... (2) ดังนน้ั พื้นที่ = 0 ∴ ตอบ 15 ตร.หนว่ ย แกร้ ะบบสมการได้ D(x, y) = (2, 3) (15) ก. |PQ| = 52 + 52 = 5 2 (22) ความชนั (3, 2),(1, −4) คือ −4 − 2 = 3 1− 3 |QR| = 22 + 12 = 5, |PR| = 32 + 62 = 3 5 ∴ ความชัน (k, 7),(−3, −2) คอื − 1 จะได้ความยาวรอบรูป = 4 5 + 5 2 หน่วย 3 1⋅ 3 −2 QR ดังนนั้ − 1 = 7 + 2 → k = −30 2 3 k+3 ข. พนื้ ที่ = 0 4 −2 3 6−5 1 3 −2 (23) mAB = 3−1 = 2 ∴ mCD = −2 = 1 (8 − 9 + 12 + 4) = 7.5 ตร.หนว่ ย P จะได้ −2 = 4 + m → m = −2 2 m+1 (24) ความชนั ของรศั มที ผ่ี ่าน (5, 6) กบั (−3, 1) คือ ดังนนั้ ก. ผดิ และ ข. ผดิ 6 − 1 = 5 ... และเนอื่ งจากเสน้ สัมผสั จะต้งั ฉากกบั 5+3 8 รัศมีเสมอ จึงไดว้ า่ mL = −8 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 109 เรขาคณิตวิเคราะห (25) mAB = − 1, mAC = −4, mBC =7 แสดง (32) ความชันของ 3x − 4y + 5 = 0 คอื 3 → 7 3 4 วา่ AB ⊥ BC ดังรปู B ความชนั ของอกี เส้น คอื − 4 และเนอื่ งจาก 3 A วงกลมท่ีลอ้ มรอบ Δ มมุ ฉาก ผา่ นจุดตดั แกน x คือ (− 5 , 0) → 3 จะทาํ ให้ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก C สรา้ งสมการ y = − 4 (x + 5) เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง เสมอ 33 ∴ ความยาวเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง =|AC| จะหาจดุ ตดั แกน y ของเส้นน้ไี ด้เปน็ = 62 + 82 = 10 หนว่ ย (0, − 4 ⋅ 5) = (0, − 20) (26) ก. 3, −7, 5 33 9 7 3 2 (33) ความชนั ของ 2x + 3y + 5 = 0 คอื mAB = mBC = mAC = → AB ⊥ BC −2 → mL = 3 3 2 ข. mDE = −2, mEF = −2 → DE // EF สมการ L คอื y − 5 = 3 (x − 1) → ค. mAB = 1, mBC = 1 → AB // BC 2 2 2 ดังนน้ั ถูกทกุ ข้อ จุดตัดแกน x (แทน y ดว้ ย 0) คอื (− 7 , 0) 3 (27) x-intercept = 3 , y-intercept = 2 → (34) mM = 1 → mL = 1 , x + y = 1 → 2x + 3y − 6 = 0 32 ระยะตัดแกน y ของ N (แทน x = 0 ) คอื 3 5 3+5 8 (28) สรา้ งสมการของ L ก่อน → mL = 1+2 = 3 ∴ L มีความชัน 1 และผา่ นจดุ (0, 3) 5 → y − 3 = 8 (x − 1) → 8x − 3y + 1 = 0 → y − 3 = 1x → y = x + 3 3 55 จากน้นั หาระยะตดั แกน x และ y (โดยแทน (35) L1 ; y = (2 − 0)(x + 2) → y = 1x+1 2+2 2 y = 0 และแทน x = 0 ตามลําดบั ) L L2 ; mL2 = −2 → y = −2(x + 2) = −2x − 4 ได้เป็น − 1 และ 1 83 1/3 L3 ; x+ y = 1→ y = 3x − 4 (4 / 3) −4 แสดงวา่ 1/8 จะได้ จุดตดั L1, L2 คอื (−2, 0) พ้นื ที่ Δ = 1 × 1 × 1 = 1 ตร.หน่วย จุดตดั L2, L3 คอื (0, −4) L1 2 8 3 48 จุดตดั L3, L1 คอื (2, 2) L2 L3 (29) จดุ ตัดแกน x คอื (4, 0) 22 1⋅ → mL = 8−0 = 4 ∴ พน้ื ท่ี = 2 −2 0 6−4 0 −4 สมการคอื y = 4(x − 4) → y = 4x − 16 2 2 (30) สรา้ งสมการเสน้ ทแยงมมุ AC กับ BD = 1 (4 + 8 + 8) = 10 ตร.หนว่ ย 2 AC ; y − 2 = (2 + 6)(x − 1) → y = 2x (36) mL1 = 2 = mL2 → 1+ 3 3 BD ; y + 1 = ( −1 + 5)(x + 2) → y = −x − 3 L2 : y − 3 = 2 (x + 2) → y = 2 x + 13 ..... (1) −2 − 2 3 33 จุดตดั ของเส้นท้ังสอง คอื P(−1, −2) mL3 = −3 → L3 :y +1= − 3 (x − 2) 2 2 3 ตอบ 12 + 22 = 5 → y = − 3 x ..... (2) (31) m = − A = − 2 , จดุ ตดั ของ x + y = 1 2 B3 สมการเสน้ ตรงทงั้ สองตดั กนั ทจ่ี ดุ (−2, 3) → Q2 และ 2x + y = 5 คือ (4, −3) ดงั นนั้ สมการทต่ี ้องการคือ y + 3 = − 2 (x − 4) → 2x + 3y + 1 = 0 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 110 เรขาคณติ วิเคราะห (37) หาจดุ A(3, k) → 4 = 32 + k2 (41) x + y = 1 → ผ่านจุด (−2, 4) → k = 7 (Quadrant 1 ) ∴ A(3, 7) a 9−a จากนั้น mOA = 7 → mL = − 3→ จะได้ −2 + 4 = 1 → a2 − 3a − 18 = 0 3 7 a 9−a → ได้ a = 6, −3 L : y − 7 = − 3 (x − 3) ถา้ a = 6 → b = 3 → สมการคอื 7 x + y =1→ y = − 1x+3 → 7y = − 3x + 16 → ระยะตดั แกน x = 16 63 2 3 ถา้ a = −3 → b = 12 → สมการคือ (38) L ⊥ AB → mAB = 2+1 = −1 − x + y = 1 → y = 4x + 12 −1 − 2 3 12 → mL = 1 → L : y + 1 = 1(x − 2) → ตอบ ความชัน − 1 ตัดแกน x ที่ (6, 0) 2 ∴y=x−3 3 หรอื ความชนั 4 ตัดแกน x ท่ี (−3, 0) ระยะตดั แกน x = 3 (42) L : y = 0.5(x + 3) → จุด A คือ (0, 1.5) ระยะตัดแกน y = − 3 3 32 → mL = 0.5 ∴ mAB = −2 ก. ความยาวรอบรูป Δ = 3 + 3 + 3 2 = 6 + 3 2 AB : y − 1.5 = −2(x) → y = −2x + 1.5 ... ถูก เส้นตรงขนานแกน y ผา่ นจดุ B ข. พนื้ ที่ Δ = 1 × 3 × 3 = 4.5 ตร.หนว่ ย ... ถกู 2 ตัดแกน x ที่ (−3, 0) B(-3,y) L A (39) |AB|= 62 + 32 = 45, แสดงว่าจดุ B เปน็ (−3, y) ดงั ภาพ C(-3,0) |BC | = 22 + 112 = 125, | AC | = 42 + 82 = 80 จดุ กง่ึ กลางของดา้ นท่สี นั้ คือ ก่ึงกลาง AB → หาจุด B จากสมการ AB ได้ เปน็ (−2 + 4 , 5 + 8) = (1, 13) B(−3, 7.5) → ∴|BC| = 7.5 22 2 (43) หาพกิ ดั จดุ B โดยสรา้ งสมการ AB และ BC นาํ มาแกห้ าจดุ ตดั .. และก่งึ กลาง AC → (−2 + 2 , 5 − 3) = (0, 1) 22 AB : y − 5 = 3 (x + 3) → y = 3 x + 19 2 22 ดังนนั้ สมการเสน้ ตรง คอื y − 1 = (13/2 − 1)(x) 1−0 BC : y + 4 = − 2 (x − 4) → y = − 2 x − 4 3 33 → y = 11 x + 1 2 หาจุดตัด (จุด B ) ได้เปน็ (−5, 2) ตอบ ระยะตดั แกน x = − 2 , แกน y = 1 ∴ พน้ื ท่ี Δ = 1 × |AB| × |BC| 11 2 (40) x + y = 1 → ผ่านจดุ (1, 3) = 1 × 22 + 32 × 92 + 62 = 1 × 13 × 3 13 2b b 22 จะได้ 1 + 3 = 1 → b = 7 ∴ a = 7 = 19.5 ตร.หน่วย 2b b 2 หมายเหตุ หาพกิ ดั จดุ B โดยความชันกไ็ ด้ สมการเสน้ ตรงนี้ คือ x + y = 1 → x + 2y − 7 = 0 mAB = 3 → y −5 = 3 7 (7 / 2) 2 x +3 2 mBC = −2 → y+4 = −2 3 x−4 3 ซึ่งรูปสมการก็เหมือนกับการสรา้ งเส้นตรงอยนู่ ั่นเอง.. (44) 2x − 3y = 6 คอื 4x − 6y − 12 = 0 → ระยะหา่ ง = | −12 − (−25) | = 13 = 13 42 + 62 42 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 111 เรขาคณติ วิเคราะห (45) สมมตเิ สน้ ตรงท่ีตอ้ งการ 3x − 4y + K = 0 (51) mL1 = 2−1 = 1 L1 3 −0 3 จะได้ 1 = | −5 − K | → ± 5 = −5 − K 60° 32 + 42 แสดงว่า L1 ทาํ มมุ 60° กับแนวนอน ในลักษณะดงั ภาพ ดังนนั้ → K = 0 หรอื −10 คําตอบคอื 3x − 4y = 0 หรอื 3x − 4y − 10 = 0 mL2 = 3−4 = −1 L2 2−1 แต่โจทย์ให้ Ax + 2y + C = 0 แสดงวา่ L1 ทํามมุ 45° กบั แนวนอน 45° จงึ ตอ้ งนํา -1/2 คณู สมการให้กลายเป็น ในลกั ษณะดังภาพ ดังนนั้ เสน้ ตรงทงั้ สอง L2 L1 − 3 x + 2y = 0 กบั − 3 x + 2y + 5 = 0 22 ทํามุมกนั 75° ดังภาพ 45° 75° 60° ดงั นน้ั ตอบ C = 0 หรอื 5 (52) L1; y = 3(x − 1) → mL1 = 3 (46) L อยตู่ รงกลางระหว่าง L1, L2 พอดี แสดงวา่ ห่างดา้ นละ 2 หนว่ ย → หาสมการ L1, L2 โดย → tan 30° = mL1 − mL2 1 + mL1mL2 2 = | −15 − C | → −15 − C = ±26 122 + 52 จะได้ 1 = 3 − mL2 → mL2 = 1 3 1+ 3mL2 3 ดังนน้ั C = 11 หรอื −41 ... สมการ L1, L2 คอื → L2 : y = 1x (ผ่านจดุ กาํ เนดิ ) 12x − 5y + 11 = 0, 12x − 5y − 41 = 0 3 มสี ่วนตดั แกน x (ระยะตดั แกน x ) = − 11 และ ดังนน้ั หาจดุ C (จดุ ตดั ของ )L1, L2 12 41 → ตอบ −11 + 41 = 2.5 ได้เปน็ (3 , 3) 22 12 12 (47) สมการ BC : y − 4 = (−3 − 4)(x − 5) → |CO| = (3)2 + ( 3)2 = 3 2−5 22 → 7x − 3y − 23 = 0 (53) | 3x + 4y + 1 | = | 4x − 3y − 6 | 55 ระยะจาก A มาตงั้ ฉาก BC หาจาก → 3x + 4y + 1 = ± (4x − 3y − 6) | 7(−2) − 3(1) − 23 | = 40 หน่วย ดังนนั้ ตอบ x − 7y − 7 = 0 และ 7x + y − 5 = 0 72 + 32 58 (54) A(−2, 0), B(0, 6) → (48) 4 = | 5(−3) − 12(2) + 3 − k | AB : y = (6)(x + 2) → y = 3x + 6 52 + 122 2 → ± 52 = −36 − k → k = 16, −88 (55) P(1 − 5 , 0 + 8) = (−2, 4), Q(1, 8) → 22 ดังนนั้ ตอบ −72 PQ : y − 4 = (4)(x + 2) → 4x − 3y + 20 = 0 (49) ให้จดุ ทตี่ ้องการคือ (x, y) → 3 2x − 4y = 15 → y = 2x − 15 แทนคา่ ในสมการ 4 เสน้ ตรงตั้งฉากกบั PQ จะต้องมคี วามชนั − 3/4 ระยะทางจากจุดไปยังเสน้ ตรง แต่โจทยไ์ ม่บอกวา่ ผ่านจดุ อะไร จงึ ตอบตดิ คา่ C ไว้ ดงั นี้ 3x + 4y + C = 0 | 3x + 4(2x − 15) − 10 | 4 (56) mL = 1 → สร้างสมการเส้นตรงตั้งฉากกับ → 3= L และผา่ นจุด (−2, 1) ไดเ้ ปน็ 32 + 42 → ± 15 = 5x − 25 ..จะได้ x = 2 หรือ 8 ถา้ x = 2 → y = −11 / 4 y − 1 = −1(x + 2) → y = − x − 1 ถ้า x = 8 → y = 1 / 4 พบว่าตัดกับ L (ตง้ั ฉาก) ที่จดุ (− 1 , − 1) 22 ดงั นนั้ ตอบวา่ (2, − 11) และ (8, 1) 44 ดังนนั้ โพรเจคชนั ของ (-2,1) บน L คอื (− 1 , − 1) 22 (50) tan θ = 5 − (2/3) = 1 → ∴ θ = 45° 1 + 5 (2/ 3) [หมายเหตุ เนอื่ งจากเปน็ เส้นตรง y=x จงึ สามารถใช้ สตู รลัดไดด้ ว้ ยวา่ (−2 + 1 , −2 + 1) = (− 1 , − 1) ] 22 22 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 112 เรขาคณติ วเิ คราะห (57) วิธีคดิ เชน่ เดยี วกับขอ้ ทแ่ี ล้ว (59.4) รูจ้ ดุ ผา่ น 3 จดุ ต้องแกร้ ะบบสมการ 3 mL = 4 → สรา้ งเส้นต้ังฉากและผา่ น (0, 7) ได้เปน็ สมการ เพื่อหา D, E, F ดงั น้ี 5 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y−7 = −5x 4 (−6)2 + (3)2 + D(−6) + E(3) + F = 0 ..... (1) (2)2 + (3)2 + D(2) + E(3) + F = 0 ..... (2) พบว่า ตดั กบั L ทจ่ี ุด (4, 2) ... ดังนนั้ ตอบ (4, 2) (−2)2 + (7)2 + D(−2) + E(7) + F = 0 ..... (3) (58.1) (h, k) = (4, −3) แก้ระบบสมการได้ D = 4, E = −6, F = −3 (58.2) y + 2 =|x + 1| → (h, k) = (−1, −2) (58.3) (x2 + 2x +1) + (y2 − 4y +4) = 9 − 5 +1 +4 ดงั นน้ั ตอบ x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 (59.5) หาจดุ ตดั ของวงกลมทัง้ สองกอ่ น → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 → (h, k) = (−1, 2) โดยนําสมการลบกนั เปน็ 5x = 5y → y = x (59.1) (h, k) = (3, 4) แทนค่าเขา้ ไปอีกคร้ังในสมการใดสมการหน่งึ ไดเ้ ปน็ x = 2 → y = 2 r = (3 − 1)2 + (4 − 1)2 = 13 หรือ x = −2 → y = −2 ดงั นน้ั สมการวงกลมคอื ∴ จดุ ตดั มสี องจดุ คอื (2, 2),(−2, −2) → (x − 3)2 + (y − 4)2 = 132 ต่อมา หาสมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ (1, −5),(2, 2),(−2, −2) โดยคดิ วธิ เี ดยี วกับขอ้ ทแี่ ลว้ กระจายได้ x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16 − 13 = 0 ( )x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 แก้ 3 สมการได้ D = −3, E = 3, F = −8 → x2 + y2 − 6x − 4y + 12 = 0 ดังนนั้ ตอบ x2 + y2 − 3x + 3y − 8 = 0 (59.2) (h, k) = (1 + 2 , 1 + 2) = (1.5, 1.5) 22 r = (2 − 1)2 + (2 − 1)2 = 2 22 → (x − 1.5)2 + (y − 1.5)2 = ( 2)2 (60) 3x2 + 3y2 + 11x + 15y = −9 → 2 x2 + y2 + 11 x + 5y + 3 = 0 → x2 − 3x + 2.25 + y2 − 3y + 2.25 = 0.5 3 → x2 + y2 − 3x − 3y + 4 = 0 จะได้วา่ เสน้ สมั ผสั จากจดุ (0, 1) มีความยาว (59.3) หาจดุ ศนู ยก์ ลาง C(h, k) → หา่ งจากจดุ = (0)2 + (1)2 + 11 (0) + 5(1) + 3 = 9 = 3 หน่วย กําเนดิ (0, 0) และ (1, 1) เปน็ ระยะเท่ากนั 3 (h − 1)2 + (k − 1)2 = h2 + k2 (61.1) mรศั มี = 2−0 = 1 → mเส้นสัมผัส = −1 2−0 → h2 − 2h + 1 + k2 − 2k + 1 = h2 + k2 → y − 2 = −1(x − 2) → x + y = 4 → h + k = 1 ..... (1) (61.2) r = 17, C(h, k) = (0, 0) → และ CO ตงั้ ฉากกับ y = 2x (m = 2) สรา้ งสมการเสน้ ตรงผา่ น (0, 0) และ m = 4 ดงั นน้ั −1 k = − 1 ..... (2) mCO = 2 → จะได้ y = 4x จากนนั้ h2 แกร้ ะบบสมการได้ (h, k) = (2, −1) ขยับเสน้ ตรงนอ้ี อกไปจากเดิม ∴r = 22 + 12 = 5 และสมการวงกลมคือ เปน็ ระยะ 17 หนว่ ย จะได้วา่ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 52 17 = | C − 0 | → C = 17, −17 → → x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 5 42 + 12 → x2 + y2 − 4x + 2y = 0 ดังนนั้ ตอบ y = 4x ± 17 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 113 เรขาคณติ วเิ คราะห (61.3) วธิ แี รก สมการเสน้ ตรงผา่ น (−1, 8) คอื ข. (h, k) ไปยงั เสน้ ตรง y = x + 2 เปน็ 1 หน่วย y − 8 = m(x + 1) → y = mx + m + 8 → | h − k + 2 | = 1 ..... (2) 12 + 12 เสน้ ตรงเสน้ นสี้ มั ผสั วงกลม x2 + y2 = 16 แสดงวา่ ตัดวงกลมเพยี งจดุ เดยี ว นั่นคอื สมการ แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรอื (−1, −1) x2 + (mx + m + 8)2 = 16 จะตอ้ งมคี าํ ตอบเดียว จงึ ตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 12 หรอื กระจายสมการไดเ้ ป็น (x + 1)2 + (y + 1)2 = 12 (m2 + 1) x2 + (2m2 + 16m) x + (m2 + 16m + 48) = 0 (62.3) ระยะทางจากจดุ C(h,k) ไปยงั เสน้ ตรงทง้ั นนั่ คอื B2 − 4AC = 0 ได้ m = − 4 หรอื 12 สาม จะตอ้ งเทา่ กัน (เพราะเป็นรศั มวี งกลม) นน่ั คอื 35 | 2h − 3k + 21 | = | 3h − 2k − 6 | ตอบ 4x + 3y = 20, 12x − 5y = −52 22 + 32 32 + 22 วธิ ีทสี่ อง คิดโดยหาระยะทางจากจดุ (−1, 8) ไป สมั ผสั วงกลม x2 + y2 = 16 กอ่ น ไดเ้ ปน็ = | 2h + 3k + 9 | = r 32 + 22 (−1)2 + 82 − 16 = 7 หน่วย จากนัน้ หาจดุ สัมผสั บนวงกลมซง่ึ อยหู่ า่ งจาก (−1, 8) แกร้ ะบบสมการทลี ะคู่ ได้ (h, k) = (25, 2) หรอื (−1, 2) หรอื (−7.5, 34.5) หรอื (−7.5, −4.5) เปน็ ระยะ 7 หนว่ ย → (x + 1)2 + (y − 8)2 = 7 แต่จากการวาดกราฟครา่ วๆ จะทราบว่า จดุ (h, k) ท่ี อยู่ภายใน Δ น้ีจรงิ ๆ คอื (−1, 2) เทา่ น้ัน → (x + 1)2 + (y − 8)2 = 72 จะได้ r = 13 → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 13 (เปน็ สมการวงกลมรัศมี 7 จากจดุ (−1, 8) นนั่ เอง) (63) จาก (x2 − 6x) + (y2 + 8y) = −k → → นาํ ไปตดั กบั x2 + y2 = 16 แกร้ ะบบสมการได้ (x2 − 6x + 9) + (y2 + 8y + 16) = −k + 9 + 16 x = − 48 → y = 20 , x = 16 → y = 12 13 13 5 5 → (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 − k ∴ จุดสมั ผสั คอื (− 48 , 20) กบั (16 , 12) จะเป็นสมการวงกลมเมอื่ 25 − k > 0 → k < 25 13 13 55 จากนั้นสรา้ งสมการเสน้ สมั ผสั ได้ (ระหวา่ ง 2 จดุ ) (64) คดิ แบบเดยี วกบั ขอ้ 61.3 (วธิ ีแรก) → y = kx สัมผสั x2 + y2 − 14x + 49 = k2 (−1, 8) กับ (− 48 , 20) → ได้ 12x − 5y = − 52 13 13 แสดงวา่ ตดั กราฟแคจ่ ดุ เดยี ว (ระบบสมการมคี าํ ตอบ เดยี ว) → แกร้ ะบบสมการได้ (−1, 8) กับ (16 , 12) → ได้ 4x + 3y = 20 55 x2 + (kx)2 − 14x + 49 − k2 = 0 (62.1) หาพิกดั ของจุดศนู ยก์ ลาง (h, k) โดย → (k2 + 1) x2 − 14x + 49 − k2 = 0 ก. ระยะทางจาก (h, k) ไปยงั ตอ้ งการ B2 − 4AC = 0 จะไดว้ า่ (6, 2) เป็น 4 หนว่ ย (h,k) 2 2 142 − 4(k2 + 1)(49 − k2) = 0 → (h − 6)2 + (k − 2)2 = 4 2 (6,2) → k = 0, 4 3, − 4 3 (12,-1) ข. ระยะทางจาก (h, k) ไปยงั โจทย์ตอ้ งการ k > 0 เท่านัน้ จึงตอบ 4 3 (2, −1) เป็น 3 หนว่ ย (65) x2 + 4x + 2 = −(y2 + 8y + 9) → → (h − 2)2 + (k + 1)2 = 3 (x2 + 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = − 2 − 9 + 4 + 16 แกร้ ะบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรอื (122 , − 46) → (x + 2)2 + (y + 4)2 = 32 25 25 เป็นสมการวงกลม ซึ่งมีจดุ ศูนยก์ ลางที่ C(−2, −4) หาสมการเส้นตรง OC ได้เปน็ แต่ในท่นี ต้ี ้องการ (h, k) ใน Q1 จึงเปน็ (2, 2) y = −4 x → y = 2x เทา่ นน้ั ... และตอบวา่ (x − 2)2 + (y − 2)2 = 22 −2 (62.2) วงกลม x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0 จดั รปู ได้เปน็ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22 หาสมการวงกลมท่มี ี OC เปน็ เสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง ดังนน้ั จุดศนู ย์กลาง (h, k) ทีต่ อ้ งหาในข้อน้ี → (h, k) = (−2 + 0 , −4 + 0) = (−1, −2) 22 จะมีสมการระยะทางเปน็ ก. (h, k) ไปยงั (2, −1) เป็น 3 หนว่ ย r = 12 + 22 = 5 → (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 (รัศมวี งกลม 2 วง รวมกนั 2 + 1 = 3 ) → (h − 2)2 + (k + 1)2 = 3 ..... (1) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 114 เรขาคณิตวิเคราะห (66) x2 + y2 − 4x + 2y = 4 (68.5) แสดงวา่ ออ้ มแกน y จะได้ มีจดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (2, −1) (x − 5)2 = 4c(y + 2) แทนคา่ (3, 0) เพอ่ื หาคา่ c ดงั นนั้ สมการเสน้ ตรงคอื y + 1 = − 4 (x − 2) 4 = 4c(2) → 4c = 2 3 ตอบ (x − 5)2 = 2(y + 2) แกร้ ะบบสมการหาจุดตัดของเสน้ ตรงกับวงกลม ไดเ้ ปน็ A(0.2, 1.4) และ B(3.8, −3.4) → → x2 − 10x − 2y + 21 = 0 Δ ABD = 1 ⋅ 0.2 1.4 (68.6) Directrix : x = − 2, F(2, 2) แสดงวา่ ออ้ ม 2 แกน x, หาจดุ ยอดไดเ้ ป็น (0, 2) [กึง่ กลางระหว่าง พ้นื ท่ี −1 −2 โฟกัสกบั ไดเรกตรกิ ซ]์ ดังนน้ั c = 2 3.8 −3.4 0.2 1.4 = 1 × (0.68 + 7.6 + 1.4 + 5.32 + 3.4 − 0.4) ตอบ (y − 2)2 = 4(2)(x) 2 → y2 − 8x − 4y + 4 = 0 = 9 ตร.หนว่ ย (67) (x − 1)2 = (1 − y)(1 + y) → (68.7) ออ้ มแกน x → y2 + Dx + Ey + F = 0 หา คา่ D, E, F โดยแทนคา่ (1, 3),(9, 1), และ (51, −2) (x − 1)2 = (1 − y2) → (x − 1)2 + y2 = 12 จะไดว้ า่ (3)2 + D(1) + E(3) + F = 0 ..... (1) (เป็นรปู วงกลม) ... ใหห้ าสมการซงึ่ (x, y) เปน็ จดุ (1)2 + D(9) + E(1) + F = 0 ..... (2) ศูนย์กลางวงกลมทส่ี มั ผสั วงกลมน้ี และผา่ น (−1, 0) และ (−2)2 + D(51) + E(−2) + F = 0 ..... (3) แสดงวา่ ระยะทางจากจดุ (x, y) ไปยงั (−1, 0) = r และระยะทางจากจดุ (x, y) ไปยงั (1, 0) = r + 1 แก้ระบบสมการได้ D = − 1 , E = −6, F = 19 22 จะได้ (x + 1)2 + y2 + 1 = (x − 1)2 + y2 → ดงั นนั้ ตอบx2 + 2x + 1 + y2 + 2 (x + 1)2 + y2 + 1 = x2 − 2x + 1 + y2 y2 − 1 x − 6y + 19 = 0 22 → 2 (x + 1)2 + y2 = − 4x − 1 จากนน้ั ยกกาํ ลงั สอง → 2y2 − x − 12y + 19 = 0 (68.8) ลองพลอ็ ตกราฟ → 4(x + 1)2 + 4y2 = 16x2 + 8x + 1 คร่าวๆ จะร้วู า่ เปน็ พาราโบลา (3,18) → 12x2 − 4y2 = 3 เปน็ สมการท่ีตอ้ งการ อ้อมแกน y เทา่ นน้ั จงึ ต้ัง (-2,3) (0,3) สมการวา่ (68.1) แสดงวา่ ออ้ มแกน x และ c = 7 x2 + Dx + Ey + F = 0 → แทนคา่ จดุ ทงั้ สามเพ่ือแก้ → (y − 3)2 = 4(7)(x + 2) → y2 − 28x − 6y − 47 = 0 ระบบสมการเชน่ เดยี วกบั ขอ้ ทแ่ี ลว้ ได้คาํ ตอบเปน็ (68.2) แสดงวา่ ออ้ มแกน x และ c = −3 D = 2, E = −1, F = 3 → (เพราะอตั ราสว่ นระยะโฟกัส ต่อความยาวเลตสั เรก ตัมตอ้ งเปน็ 1 : 4 เสมอ จงึ ไมใ่ ชอ่ อ้ มแกน y) ดงั นน้ั ตอบ x2 + 2x − y + 3 = 0 → y2 = 4(−3)(x) → y2 + 12x = 0 (69) 2x2 + 3y = 0 → x2 = − 3 y 2 (68.3) แกน x เป็นแกนสมมาตร แสดงวา่ อ้อมแกน x ... จะได้ y2 = 4cx → x2 = 4(− 3)y เป็นพาราโบลาควํา่ 8 แทนคา่ (−4, −6) เพ่อื หาคา่ c มีจุดยอดที่ V(0, 0) จดุ โฟกสั ท่ี (0, − 3) 8 → 36 = 4c(−4) → 4c = −9 ตอบ 42 + (3 − 3)2 = 1,465 หน่วย ตอบ y2 = −9x → y2 + 9x = 0 88 (68.4) แกนสมมาตรตง้ั ฉากแกน x แสดงว่าอ้อม แกน y ... จะได้ (x − 2)2 = 4c(y + 3) (70.1) x2 = 4(3)y → จุดยอด (0, 0) ออ้ มแกน y แทนค่า (8, −2.1) เพอ่ื หาค่า c ตอบ จดุ โฟกสั F(0, 3), ความกวา้ งท่จี ดุ โฟกัส = 4(3) = 12 หนว่ ย, สมการไดเรกตรกิ ซ์ 36 = 4c(0.9) → 4c = 40 y=−3 → y+3=0 ตอบ (x − 2)2 = 40(y + 3) → x2 − 4x − 40y − 116 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 115 เรขาคณิตวเิ คราะห (70.2) y2 − 10y + 25 = − 12x − 61 + 25 (74) y2 − 4y + 4 = 4x + 8 + 4 → (y − 5)2 = 4(−3)(x + 3) → ออ้ มแกน x → (y − 2)2 = 4(1)(x + 3) → ออ้ มแกน x, จดุ ยอด ตอบ จดุ ยอด V(−3, 5), จดุ โฟกสั F(−6, 5), V(−3, 2) และจดุ โฟกัส F(−2, 2) → ความกว้าง ณ โฟกสั = 12, สมการไดเรกตรกิ ซ์ สมการเสน้ ตรงทต่ี ้องการคือ x = − 3 + 3 = 0 (ก็คอื แกน y) y − 6 = (6 − 2)(x − 1) → 4x − 3y + 14 = 0 1+2 (70.3) Directrix: x = 1 (75) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 2y + 1) = 6 + 9 + 1 จดุ ยอด (4, 2) แสดงวา่ (4,2) → (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16 → จดุ ศนู ย์กลางคือ เปดิ ขวา, c = 3 → C(3, −1) → หาพาราโบลาทม่ี ี Directrix: y = 5, โฟกัส F(3, −1) → ออ้ มแกน y ดงั นนั้ จดุ F(7, 2) x=1 จดุ ยอดคอื V(3, 2) → c = −3 → สมการท่ไี ด้ (70.4) V(0, − 1), F(0, 7) แสดงวา่ หงาย, 36 c = 7 − (− 1) = 3 → x2 = 4(3)(y + 1) → (x − 3)2 = 4(−3)(y − 2) → 6 32 23 หาจดุ ตัดแกน x; แทน y ดว้ ย 0 จะได้ x2 − 6x + 12y − 15 = 0 x2 = 4(3)( 1) = 2 → x = ± 2 (76) แก้ระบบสมการหาจุดตดั ไดเ้ ปน็ (0, 0) กับ 23 (−3, −3) → หาพาราโบลาทผ่ี า่ น 2 จุดนี้ และแกน สมมาตรคอื แกน x → แสดงวา่ (0, 0) เปน็ จุดยอด ดังนนั้ ตอบ ( 2, 0),(− 2, 0) จะได้ (y)2 = 4c(x) → แทน (−3, −3) เพอื่ หาคา่ c (71.1) พาราโบลา มี y = −4 เปน็ Directrix, มี → 9 = 4c(−3) → 4c = −3 F(−2, 8) → ออ้ มแกน y → หาจดุ ยอดได้เปน็ (จดุ ดงั นนั้ ตอบ y2 = −3x → y2 + 3x = 0 กึ่งกลางระหวา่ ง F กับ Directrix) V(−2, 2) → c = 6 ดงั นน้ั ไดส้ มการ (x + 2)2 = 4(6)(y − 2) (77) y2 − 4y + 4 = −8x + 20 + 4 → (y − 2)2 = 4(−2)(x − 3) → ออ้ มแกน x, → x2 + 4x − 24y − 44 = 0 (71.2) เทคนคิ การคดิ คอื ขยับเสน้ ตรง x = −4 จุดยอด V(3, 2), จดุ โฟกสั F(1, 2) → ไดเรกตริกซ์ ไปทางขวาเขา้ หาจุด F(3, 1) เปน็ ระยะ 5 หนว่ ย จะ x = 3 + 2 = 5 → จุดตดั ของไดเรกตรกิ ซก์ ับแกน ได้ Directrix: x = −4 + 5 = 1 → ออ้ มแกน x สมมาตร ก็คือ P(5, 2) ดังนนั้ โจทย์ให้หาวงกลมท่ี ผา่ นจุด (0, 0), (1, 2),(5, 2) → จดุ ยอดคอื V(2, 1) → c = 1 → ไดส้ มการเปน็ แก้ระบบสมการ หา D, E, F จาก (y − 1)2 = 4(1)(x − 2) → y2 − 4x − 2y + 9 = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (72) (x − 1)2 = 4(1)(y) เชน่ เดยี วกบั โจทย์ข้อ (59.4),(59.5) ไดเ้ ปน็ ออ้ มแกน y, จดุ ยอด V(1, 0) → จดุ โฟกสั F(1, 1) หาจุดบนโคง้ นท้ี ห่ี ่างจาก F(1, 1) อยู่ 13 หนว่ ย D = −6, E = 1 , F = 0 → สมการวงกลมทไี่ ด้ คอื สมมติจดุ นนั้ เปน็ (a, b) จะไดว้ า่ 2 x2 + y2 − 6x + 1 y = 0 → จดั รูปเพื่อหารศั มี 2 13 = (a − 1)2 + (b − 1)2 ..... (1) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 1 y + 1 ) = 9 + 1 ดังน้ัน และ (a − 1)2 = 4b ..... (2) 2 16 16 แก้ระบบสมการได้ b = 12, − 14 กําลงั สองของรัศมีวงกลม = 9 + 1 = 145 16 16 (78) วาดพาราโบลาลงบนแกน ถ้า b = 12 → a = 1 ± 4 3 เพ่อื ชว่ ยคาํ นวณ โดยให้เปดิ ขวา (6,4) และมจี ุดยอดที่ (0, 0) จะได้ (6,-4) จุด (a, b) = (1 + 4 3, 12) หรอื (1 − 4 3, 12) สมการเป็น y2 = 4cx → ถา้ b = −14, เปน็ ไปไมไ่ ด้ (หาคา่ a ไม่ได้) หาค่า c จากจดุ ท่ีผา่ น คือ (6, 4) ∴ หา่ งจากแกน x อยู่ 12 หน่วย (73) แก้ระบบสมการหาจดุ ตดั ไดเ้ ปน็ (8, 8) กับ → 16 = 4c(6) → c = 16 = 2 (2, −4) ดงั น้ันความยาวคอรด์ ท่เี กิดขน้ึ 24 3 = 62 + 122 = 180 = 6 5 หน่วย ∴ระยะโฟกสั = 2 หนว่ ย 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 116 เรขาคณติ วิเคราะห (79.1) C(3, −1), a = 4, b = 3, รีตามแกน y (80.2) 9(x2 − 6x +9) + 5(y2 − 10y +25) → (y + 1)2 + (x − 3)2 =1 = −26 + 81 + 125 42 32 → 9(x − 3)2 + 5(y − 5)2 = 180 → 9(y + 1)2 + 16(x − 3)2 = 144 นํา 180 หาร → (x − 3)2 + (y − 5)2 = 1 → 16x2 + 9y2 − 96x + 18y + 9 = 0 20 36 (79.2) C(0, 0), V(0, 8) แสดงวา่ a = 8 และ รีตามแกน y (a = 6, b = 20, c = 4) ตอบ C(3, 5), V(3, 5±6) รีตามแกน y, F(0, −5) แสดงวา่ c = 5 → b = 82 − 52 = 39 จะไดส้ มการเปน็ F(3, 5±4), B(3± 20, 5) y2 + x2 = 1 → 64x2 + 39y2 = 2496 (80.3) 5(x2 − 2x +1) + 9(y2) = 40 +5 82 39 (79.3) V(−4, 2),(2, 2) แสดงวา่ รตี ามแกน และ → 5(x − 1)2 + 9y2 = 45 → x นาํ 45 หาร → (x − 1)2 + y2 = 1 จดุ ศูนยก์ ลาง C(−1, 2) → a = 3 95 → (x − 2)2 + (y + 1)2 = 1 รีตามแกน x (a = 3, b = 5, c = 2) 32 22 ตอบ C(1, 0), V(1±3, 0), F(1±2, 0), B(1, ± 5) (81.1) F(4, 0),(−4, 0) แสดงวา่ รตี ามแกน x → 4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 = 36 c = 4, C(h, k) = (0, 0) → ระยะทางรวมเปน็ 12 → 4x2 + 9y2 − 16x + 18y − 11 = 0 (79.4) C(−2, 1), F(−2, 4) แสดงวา่ รีตามแกน y และ C = 3 , ผา่ นจดุ (−6, 1) แสดงวา่ จดุ ปลายแกน แสดงว่า a = 6 → b = 62 − 42 = 20 โทเป็น B(−6, 1) สมการทต่ี ้องการคอื x2 + y2 = 1 จะได้ b = 4, a = 32 + 42 = 5 → 62 20 (y − 1)2 + 2)2 → 5x2 + 9y2 = 180 52 42 + (x =1 (81.2) F(2, 7),(2, 1) แสดงวา่ รีตามแกน y c = 3, C(h, k) = (2, 4) → ระยะทางรวม เป็น 10 → 16(y − 1)2 + 25(x + 2)2 = 400 แสดงวา่ a = 5 → ∴ b = 52 − 32 = 4 → → 25x2 + 16y2 + 100x − 32y − 284 = 0 (79.5) C(2, 1), V(2, −4) แสดงวา่ รตี ามแกน y สมการทตี่ ้องการ คอื (y − 4)2 + (x − 2)2 = 1 25 16 และ a = 5 , ค่า c : a = 2 :5 แสดงวา่ c = 2 → 25x2 + 16y2 − 100x − 128y − 44 = 0 → b = 52 − 22 = 21 ดังนั้นได้สมการ (82.1) รูปวงรี (เพราะตรงตามนิยามของวงรพี อดี) (82.2) 6 = 2c → c = 3 → (y − 1)2 + (x − 2)2 =1 52 21 10 = 2a → a = 5 ∴ b = 4 → 21(y − 1)2 + 25(x − 2)2 = 525 x2 y2 → 25x2 + 21y2 − 100x − 42y − 404 = 0 ไดส้ มการ 52 + 42 =1 (80.1) นาํ 36 หาร → x2 + y2 = 1 → → 16x2 + 25y2 = 400 94 (83) 4(x2 − 12x +36) + 9(y2 + 8y +16) รีตามแกน x (a = 3, b = 2 → c = 32 − 22 = 5) = − 144 +144 +144 ตอบ C(0, 0), V(3, 0), (−3, 0), → 4(x − 6)2 + 9(y + 4)2 = 144 เปน็ สมการวงรที ีม่ ี C(h, k) = (6, −4) → หาสมการเส้นตรงทผี่ า่ น F( 5, 0), (− 5, 0), B(0, 2), (0, −2) (6, −4) และตงั้ ฉากกบั 3x + 4y = 5 (m = − 3) 4 แสดงวา่ mL = 4 → y + 4 = 4 (x − 6) 3 3 ตอบ 4x − 3y − 36 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 117 เรขาคณติ วิเคราะห (84) (x2 − 4x + 4) + 3(y2) = 2 + 4 (87.3) F(0, 4),(0, −4) แสดงวา่ อ้อมแกน y C(0, 0), c = 4 ... จุด B(3, 0) แสดงวา่ → (x − 2)2 + 3y2 = 6 → (x − 2)2 + y2 = 1 → 62 b = 3 → a = 42 − 32 = 7 รีตามแกน x C(h, k) = (2, 0), c = 6 − 2 = 2 สมการคอื y2 x2 7 32 ∴ F(2 ± 2, 0) = (4, 0) กบั (0, 0) → โจทย์ให้หา − =1 ระยะระหว่างเสน้ ตรงทผ่ี า่ น (4, 0) และผา่ น (0, 0) → 9y2 − 7x2 − 63 = 0 โดยทาํ มมุ 45° กบั แกน x (หรือ 7x2 − 9y2 + 63 = 0 กไ็ ด้) ดังภาพ 4 (88.1) 9x2 − 4y2 = 36 → นาํ 36 หาร d ∴ d = 4 sin 45° → x2 − y2 = 1 → ออ้ มแกน x, 49 = 2 2 หน่วย (85) kx2 + 4(y2 − y + 1) = 8 +1 a = 2, b = 3 → c = 4 + 9 = 13 4 ตอบ C(0, 0), V(±2, 0), F(± 13, 0), B(0, ±3) → kx2 + 4(y − 1)2 = 9 2 (88.2) 9(x2 − 2x +1) − 16(y2 + 4y +4) x2 (y − 1)2 = 199 +9 −64 / k)2 2 → (3 + (3 / 2)2 = 1 B → 9(x − 1)2 − 16(y + 2)2 = 144 3/2 c พบวา่ ตอ้ งรีตามแกน x F1 (0,1/2) → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 → ออ้ มแกน x 16 9 จึงจะเกดิ Δ ได้ ดงั ภาพ F2 a = 4, b = 3, c = 5 c = a2 − b2 = 9 − 9 ตอบ C(1, −2), V(1±4, −2), F(1±5, −2) k4 B(1, −2±3) (88.3) 6(x2 − 6x +9) − (y2 + 2y +1) ∴ พนื้ ที่ Δ = 3 7 = 1 ⋅ (2 9 − 9) ⋅ (3) = −59 +54 − 1 4 2 k4 2 → k=9 → 6(x − 3)2 − (y + 1)2 = −6 4 → (y + 1)2 − (x − 3)2 = 1 → ออ้ มแกน y 61 (86) ตัง้ แกนไวใ้ หจ้ ดุ C(h, k) = (0, 0) จะไดว้ ่า a = 6, b = 1, c = 7 x2 + y2 =1 โจทยถ์ ามตาํ แหน่ง P ซ่ึงหา่ งจาก ตอบ C(3, −1), V(3, −1± 6), F(3, −1± 7) 22 12 ปลายหนึง่ 80 ซม. → แสดงวา่ x = 1.2 → หา B(3±1, −1) (1.2)2 y2 (88.4) 6(x2 − 2x +1) − 10(y2 + 4y +4) 22 12 ค่าความสงู y → + = 1 = 94 +6 − 40 → y = 0.8 จงึ ตอบวา่ สงู จากพ้นื 80 ซม. → 6(x − 1)2 − 10(y + 2)2 = 60 (87.1) C(−3, 1), V(2, 1) แสดงวา่ ออ้ มแกน x → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 → ออ้ มแกน x 10 6 a = 5, แกนสังยคุ ยาว 6 หนว่ ย แสดงวา่ a = 10, b = 6, c = 4 b = 3 → สมการคอื (x + 3)2 − (y − 1)2 = 1 ตอบ C, (1, −2), V(1± 10, −2), F(1±4, −2) 52 32 → 9x2 − 25y2 + 54x + 50y − 169 = 0 B(1, −2± 6) (87.2) F(−1, −6),(−1, 4) แสดงวา่ ออ้ มแกน y (89) F(3, 0), (−3, 0) → C(h, k) = (0, 0), c = 3 , ออ้ มแกน x , ผลตา่ งระยะทาง 4 หนว่ ย C(h, k) = (−1, −1) → c = 5 ... แกนตามขวางยาว → 2a = 4 → a = 2 ∴ b = 32 − 22 = 5 6 หน่วย แสดงวา่ a = 3 → b = 52 − 32 = 4 สมการคอื (y + 1)2 − (x + 1)2 = 1 ∴ สมการคอื x2 − y2 = 1 32 42 22 5 → 16y2 − 9x2 + 32y − 18x − 137 = 0 → 5x2 − 4y2 − 20 = 0 (หรือนํา -1 คณู กลายเป็น กไ็ ด)้9x2 − 16y2 + 18x − 32y + 137 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 118 เรขาคณติ วเิ คราะห (90) |4x − 3y + 11| ⋅ |4x + 3y + 5| = 144 (94) จดุ ตดั แกน x ของไฮเพอร์โบลา (แทน 42 + 32 42 + 32 25 y = 0 ) คอื 9(x − 1)2 − 16 = 36 → |(4x − 3y + 11)(4x + 3y + 5)| = 144 → x = 1 ± 52 ... คอู่ นั ดับ (1 ± 52 , 0) 33 → 16x2 − 9y2 + 64x + 18y + 55 = ±144 หาสมการวงรที ีม่ ี F(1 ± 52 , 0) และผลบวกเปน็ 8 ตอบ 16x2 − 9y2 + 64x + 18y + 199 = 0 หรอื 3 16x2 − 9y2 + 64x + 18y − 89 = 0 แสดงวา่ C(h, k) = (1, 0), รีตามแกน x, (91.1) อยู่ในรปู แบบไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก xy = − k จุดยอด (2, −2), (−2, 2) c = 52 , a = 4 → ∴ b = 16 − 52 = 92 จุดโฟกสั (2 2, −2 2),(−2 2, 2 2) 3 93 (91.2) จดั รปู ดังน้ี xy + 2x − y = 3 ตอบ (x − 1)2 + 9y2 = 1 → → x(y + 2) − (y +2) = 3 −2 16 92 23(x − 1)2 + 36(y2) = 368 → (x − 1)(y + 2) = 1 อยูใ่ นรูปแบบไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก xy = k ... มจี ดุ ศนู ย์กลางที่ (1, −2) → 23x2 + 36y2 − 46x − 345 = 0 (95) 6(x2 + 2x +1) + 5(y2 − 4y +4) = 4 +6 + 20 (92) 9(x2 − 2x +1) − 16(y2 + 4y +4) → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 วงรี รตี ามแกน y 56 = 199 +9 − 64 → 9(x − 1)2 − 16(y + 2)2 = 144 C(h, k) = (−1, 2), a = 6, b = 5, → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 ออ้ มแกน x c = 6−5 = 1→ 16 9 V(−1, 2± 6), F(−1, 2±1) → หาสมการไฮเพอรโ์ บลา C(1, −2), c = 16 + 9 = 5 → จุดโฟกสั อยทู่ ่ี ท่ี C(−1, 2), V(−1, 2±1), แกนสงั ยคุ ยาวเทา่ แกนโท (1 ± 5, −2) = (6, −2) กับ (−4, −2) ผลรวมระยะทางทีต่ อ้ งการ คือ ของวงรี ( b = 5 เทา่ กนั ) |3(6)+ 4(−2)− 8| + |3(−4)+ 4(−2)− 8| → (y − 2)2 − (x + 1)2 = 1→ 12 5 32 + 42 32 + 42 5(y − 2)2 − (x + 1)2 = 5 = 2 + 28 = 6 หน่วย → 5y2 − x2 − 20y − 2x + 14 = 0 55 (หรอื x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 ก็ได)้ (93) 6(x2 − 2x +1) − 10(y2 + 4y +4) (96) ยา้ ยขา้ งสมการใหอ้ ยูใ่ นรูป = 94 +6 − 40 Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 → (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1 ออ้ มแกน x ... ถ้า A หรอื B เปน็ 0 ⇒ พาราโบลา 10 6 ถา้ A = B ⇒ วงกลม ถ้า A ≠ B แต่เครอ่ื งหมายเดยี วกนั ⇒ วงรี C(1, −2) , c = 10 + 6 = 4 → F(1±4, −2) ดงั นั้น F1 คอื (5, −2) [Q4] → แกนสงั ยคุ ของไฮเพอร์โบลา ถ้า A กบั B เครื่องหมายตรงขา้ มกนั ⇒ คือ x = 1 → สรา้ งสมการพาราโบลาทมี่ จี ดุ ยอด ไฮเพอร์โบลา V(5, −2) และ Directrix: x = 1 → แสดงว่าออ้ ม ดังนนั้ แตล่ ะขอ้ ไดค้ าํ ตอบดงั นี้ (96.1) วงกลม (96.2) วงรี แกน x และ c = 4 → (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอรโ์ บลา (96.5) ไฮเพอรโ์ บลา (96.6) วงกลม (y + 2)2 = 4(4)(x − 5) (96.7) ไฮเพอรโ์ บลา (96.8) วงรี → y2 − 16x + 4y + 84 = 0 (96.9) ไฮเพอรโ์ บลา (96.10) พาราโบลา Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 119 ความสัมพันธแ ละฟง กช นั f(n)=c+tn º··èÕ 5 ¤ÇÒÁÊÁa ¾¹a ¸/¿§¡ªa¹ ความรเู้ กี่ยวกบั ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน จะ เป็นประโยชน์ในการแก้ปญั หาทเี่ กย่ี วข้องกบั ตัวแปร และเปน็ พื้นฐานของการประยุกตใ์ ชค้ ณติ ศาสตรใ์ นการ ทาํ งาน ท้งั ด้านพาณิชยศาสตร์ ดา้ นวศิ วกรรม ฯลฯ ซง่ึ ในบทน้เี ราจะไดร้ ู้จกั ลกั ษณะเบอ้ื งต้นของความสัมพนั ธ์ และฟงั ก์ชัน คูอ่ นั ดบั (Ordered Pair) ประกอบด้วยสมาชิกสองตวั ในรูป (a, b) ซงึ่ ไม่สามารถเปลี่ยน ลําดบั สมาชกิ ตัวหน้ากับตวั หลงั ได้ และ (a, b) = (c, d) กต็ ่อเมื่อ a = c และ b = d เท่านนั้ ผลคณู คาร์ทีเซียน (Cartesian Product) คือผลคูณระหว่างเซตสองเซต เซต A × B (เอคูณบี) คอื เซตของคอู่ ันดบั ทีส่ มาชกิ ตวั หน้ามาจากเซต A และสมาชิกตวั หลังมาจากเซต B ครบทุกคู่ หรอื เขยี นแบบเงื่อนไขได้วา่ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B } เช่น , จะได้A = {0, 1, 2} B = {1, 3} A × B = {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} A × A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} ข้อสังเกต 1. n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) 2. n(A × ∅) = n(A) ⋅ n(∅) = 0 ดังน้นั A × ∅ = ∅ 3. A × B = B × A กต็ ่อเม่อื A = B หรอื มีเซตใดเซตหนึ่งเปน็ ∅ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 120 ความสมั พนั ธและฟง กชัน 5.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ ความสมั พันธ์ (Relation : r) คอื เซตท่สี มาชิกทกุ ตัวเปน็ คอู่ ันดับ หรอื กล่าววา่ เซตทีน่ ําไปเขียนกราฟ (2 มิติ บนแกน x,y) ได้ จัดว่าเป็นความสัมพนั ธ์ นยิ าม “ความสัมพนั ธ์จาก A ไป B” (from A to B) คือเซตของคูอ่ นั ดับทีส่ มาชิกตวั หน้าอยู่ในเซต A และสมาชกิ ตวั หลงั อย่ใู นเซต B แต่ไม่จาํ เปน็ ตอ้ งครบ ทกุ คู่ ... ดงั นัน้ “ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B” คือสับเซตของ A × B และเปน็ ไปไดท้ ้ังหมด 2n(A×B) แบบ สัญลักษณ์ทใ่ี ชแ้ ทนคําว่า “ความสัมพันธจ์ าก A ไป B” คอื r = {(x, y) ∈ A × B | .....} ตวั อยา่ งเชน่ A = {2, 3, 4} และ B = {1, 3, 5, 8} จะได้ A × B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 8), (3, 1), (3, 3), (3, 5), ..., (4, 8)} และมี r ⊂ A × B ทง้ั สนิ้ 23×4 = 4096 แบบ ... ทุกแบบสามารถเขยี นเงอ่ื นไขได้ เช่น จะได้r1 = {(x, y) ∈ A × B | y < x } r1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 3),(4, 1), (4, 3)} r2 = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1} จะได้ r2 = {(2, 3),(4, 5)} r3 = {(x, y) ∈ A × B | x หาร y ลงตัว } จะได้ r3 = {(2, 8),(3, 3),(4, 8)} r4 = {(x, y) ∈ A × B | x3 < y } จะได้ r4 = ∅ หมายเหตุ 1. เน่อื งจากความสัมพันธจ์ ัดเป็นเซตชนดิ หน่ึง จงึ เขยี นแสดงความสัมพันธ์ได้ 2 ลักษณะ ได้แก่ แจก แจงสมาชกิ และบอกเงือ่ นไข 2. r = {(x, y) ∈ A × A | .....} เรยี กวา่ “ความสมั พนั ธ์ภายใน A” (in A) 3. ถ้าไม่ระบุวา่ เป็นความสัมพันธจ์ ากเซตใดไปเซตใด จะหมายถึงเซตจาํ นวนจรงิ R × R แบบฝกึ หดั 5.1 (1) กําหนดให้เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเซตของจํานวนจรงิ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ถี กู หรือผดิ (1.1) ∀a∀b [ (a, b) ≠ (b, a) ] (1.2) ∀a∀b [ (a, b) ≠ (c, d) → a ≠ c และ b ≠ d ] (1.3) ∃a∃b [ (a + 2b, 1) = (−1, b + a/2) ] (2) ถา้ (3x + 5, 8 − 4y) = (−5, −6) และ (y, 2) = (−p, 2) แล้ว ใหห้ า (xp, x/p) (3) กาํ หนดให้ (a, b) ∗ (c, d) = (a − c, b + d) ถา้ (3, 4) ∗ (0, 0) = (x, y) ∗ (3, 4) แล้ว ให้หา (x, y) (4) กาํ หนด A, B, C เปน็ เซตใดๆ แล้ว ขอ้ ความตอ่ ไปน้ถี กู หรอื ผดิ (4.1) ถ้า A เป็นเซตอนนั ต์ และ B เปน็ เซตจํากัดแล้ว A × B เปน็ เซตอนนั ต์ (4.2) ถ้า A × B เป็นเซตอนนั ต์ แล้ว A เปน็ เซตอนันต์ หรือ B เปน็ เซตอนนั ต์ (4.3) ถา้ A × B = A × C แลว้ B = C Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 121 ความสัมพันธและฟงกช นั (4.4) ถา้ A × B = ∅ แล้ว A = B = ∅ (4.5) A × B = B × A ก็ต่อเม่ือ A = B (4.6) (A ∩ B)× C ⊂ A × C ⊂ (A ∪ B)× C (4.7) A × B ≠ A และ A × B ≠ B (4.8) มีเซต A บางเซต ทที่ ําให้ A ∩(A × B) ≠ ∅ (5) ข้อความต่อไปนถ้ี กู หรอื ผดิ (5.1) ถา้ A = {4, 5, 6, {4, 5, 6}} และ B = {4, 5, {4, 5}} แล้ว n [P (A)× P (B)] = 128 (5.2) ถา้ A = {3, 4, 5, ..., 32} , B = {7, 8, 9, ..., 40} และ C = {0, 1, 2, ..., 25} แล้ว n [(A × B) ∩ (A × C)] = 570 (5.3) ถ้า A = {0, 1, 2, ..., 28} และ B = {−3, −2, −1, ..., 4} แล้ว n [(A × B) ∪ (B × A)] = 439 (6) กาํ หนดให้ A ,= {a1, a2, a3, ..., am} B = {a1, a2, a3, ..., ak} โดยที่ m < k ถ้า (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B)× (B ∩ A) แลว้ n [(A × B) ∪ (B × A)] มีเท่าใด (7) ถา้ n(U) = 10 , n(A ' ∩ B ') = 2 , n(A ' ∪ B ') = 9 และ n(B) − n(A) = 1 แลว้ ใหห้ า จํานวนความสัมพันธ์ตา่ งๆ กนั จาก A ไป B (8) [Ent’39] ถ้า n(A) = 10 แลว้ ให้หาจํานวนความสมั พนั ธ์ทงั้ หมดจาก A × A ไป A (9) กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {0, 4} แล้ว ข้อความตอ่ ไปนถ้ี ูกตอ้ งหรือไม่ (9.1) มคี วามสัมพนั ธ์จาก A ไป B ทงั้ หมด 64 เซต (9.2) มคี วามสัมพนั ธจ์ าก A ไป B ทโี่ ดเมนเทา่ กบั A ทงั้ หมด 27 เซต (10) กําหนดให้ n(A) = 3 และ n(B) = 4 แลว้ ข้อความต่อไปนีถ้ ูกตอ้ งหรอื ไม่ (10.1) จาํ นวนความสัมพนั ธ์จาก A ไป B เทา่ กบั จํานวนความสัมพันธ์จาก B ไป A (10.2) จาํ นวนความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B ทโี่ ดเมนเปน็ A มีท้งั หมด 153 เซต (10.3) จํานวนความสมั พนั ธจ์ าก B ไป A ที่โดเมนเปน็ B มที ั้งหมด 2401 เซต (10.4) จาํ นวนความสมั พนั ธภ์ ายใน A ที่โดเมนเปน็ A มีทง้ั หมด 343 เซต (11) ใหเ้ ขียน r1 ∩ r2 แบบแจกแจงสมาชกิ เม่อื (11.1) r1 = {(x, y) ∈ I × I | x + y = 1} , r2 = {(x, y) ∈ I × I | x − y = 3 } (11.2) r1 = {(x, y) | x2 + y2 = 16 } , r2 = {(x, y) | y = 4 − x2} (12) ถา้ A = {1, 2, 3, ..., 20} , B = {0, 1, 2, ..., 25} และ r = {(x, y) ∈ A × B | y > x } ให้หาจํานวนค่อู ันดบั ภายใน r 5.2 โดเมน เรนจ์ และตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ โดเมน (Domain; D) ของความสัมพันธ์ คอื เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั เรนจ์ หรอื พสิ ัย (Range; R) ของความสัมพันธ์ คอื เซตของสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ นั ดับ น่ันคือ Dr = { x | (x, y) ∈ r } และ Rr = { y | (x, y) ∈ r } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 122 ความสมั พันธแ ละฟง กชนั เชน่ ในตวั อยา่ งข้างต้น Dr1 = {2, 3, 4} , Rr1 = {1, 3} , Dr2 = {2, 4} , Rr2 = {3, 5} และ Dr4 = Rr4 = ∅ ถ้า r เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B แล้ว Dr ⊂ A และ Rr ⊂ B การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ภายใน R ซ่งึ บอกมาเป็นเง่ือนไข (สมการ) ใหพ้ จิ ารณาทีเ่ ง่ือนไขวา่ หากมีสิ่งเหล่านีค้ ือ การหาร, การถอดราก, คา่ สมั บรู ณ,์ การยกกาํ ลงั จะมีข้อจาํ กัดเกิดขนึ้ กลา่ วคอื ถ้ามี a = b จะไดว้ ่า c ≠ 0 c ถา้ มี a = n b ถ้า n เป็นจํานวนคู่ จะไดว้ า่ a > 0 และ b > 0 ถ้ามี a = bn ถ้า n เปน็ จาํ นวนคู่ จะไดว้ า่ a > 0 ถ้ามี a = b จะไดว้ า่ a > 0 โดยการหาโดเมน ควรจะพจิ ารณาในรูปสมการ y = ...(x)... (เขยี น y ในเทอมของ x) และการหาเรนจ์ หากเปน็ ไปไดค้ วรจดั รูปให้กลายเป็น x = ...(y)... (เขยี น x ในเทอมของ y) แล้ว ค่อยพิจารณา • ตวั อยา ง ใหห าโดเมนและเรนจข อง r = {(x, y) | y = 4 − x2 } วธิ ีคดิ (1) การหาโดเมน พบวามีรากทีส่ อง ดังนนั้ 4 − x2 > 0 หรือ −2 < x < 2 (2) การหาเรนจ เนื่องจากมีรากทีส่ อง ดงั นน้ั y > 0 เสมอ จากน้นั จดั รูปเปน x = ± 4 − y2 ซึ่งจะไดวา 4 − y2 > 0 กค็ ือ −2 < y < 2 นําเงื่อนไขมารวมกันไดเ ปน 0 < y < 2 ดังน้ัน ตอบ Dr = [−2, 2] และ Rr = [0, 2] y 2 • หมายเหตุ หากไดศ ึกษาเรื่องกราฟวงกลมในบทเรียน “เรขาคณิตวเิ คราะห” จะทราบวาสมการ y = 4 − x2 อยใู นรปู แบบของวงกลม x2 + y2 = 4 ดงั ภาพ 2x (แตก ลายเปนครง่ึ วงกลม เนือ่ งจากมีเครื่องหมายรากที่สอง -2 O ทําให y > 0 เทา นนั้ ) ซึง่ ถา เขียนกราฟจะมองเห็นโดเมนและเรนจไดชดั เจนกวาการคํานวณ r−1 คือ ตัวผกผนั หรอื อินเวอร์ส (Inverse) ของ r โดยท่ี r−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r } อธิบายไดว้ ่า r−1 สามารถหาได้จาก การสลบั ท่ีสมาชิกตวั หนา้ และหลังของคอู่ นั ดบั ใน r หรอื ถ้าเป็นความสัมพันธ์แบบเงือ่ นไข ก็หาไดจ้ ากการสลับทีร่ ะหวา่ ง x และ y นั่นเอง เชน่ ถ้า r = {(2, 1),(3, 3),(4, 5),(0, −1)} จะได้ r−1 = {(1, 2),(3, 3),(5, 4),(−1, 0)} แต่ถ้าเปน็ แบบเงือ่ นไข r = {(x, y) | y = 2x − 3 } สามารถเขียน r−1 ไดห้ ลายแบบ เชน่ r = {(y, x) | y = 2x − 3 } หรอื r = {(x, y) | x = 2y − 3 } หรอื r = {(x, y) | y = x + 3 } 2 ซ่ึงแบบสุดทา้ ย (เขยี นในรูปของ y) นเ้ี ป็นที่นยิ มมากกวา่ ขอ้ สังเกต Dr−1 = Rr และ Rr−1 = Dr เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 123 ความสัมพนั ธและฟง กชนั แบบฝึกหดั 5.2 (13) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปน้ี (13.1) r = {(x, y) | xy = 2 } (13.2) r = {(x, y) | (x − 2)(y − 1) = 1} (13.3) r = {(x, y) | y = 1 } x−1 (13.4) r = {(x, y) | y = 2x − 3 } x+1 (13.5) r = {(x, y) | y = x + 1 , x > 1} x−1 (14) ให้หาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี [ Hint : บางสมการควรจดั รูปใหเ้ ปน็ กําลงั สองสมบรู ณ์ ] (14.1) r = {(x, y) | y = x2} (14.2) r = {(x, y) | y = x } (14.3) r = {(x, y) | y = x2 − 2x − 3 } (14.4) r = {(x, y) | y = 3 + x + 1 } (14.5) r = {(x, y) | x2 + y2 = 16 } (14.6) r = {(x, y) | y = 16 − x2 } (14.7) r = {(x, y) | y = 1 4 − 3x − x2 } 2 (14.8) r = {(x, y) | x2 + y2 − 6x + 4y − 3 = 0 } (15) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี (15.1) r = {(x, y) | y = 1 x } x2 − (15.2) r = {(x, y) | y = x2 − 1 + 3 } 4x (15.3) r = {(x, y) | y = x + 1 } x (15.4) r = {(x, y) | 2x2 + y2 − 2xy + x + 1 = 0 } (15.5) r = {(x, y) | x2y2 − y2 − x − 2 = 0 } (15.6) r = {(x, y) | xy2 − xy − 2y2 + 2y − 6x + 11 = 0 } (16) ให้หาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี (16.1) r = {(x, y) | y = 3 } x+3 −4 (16.2) r = {(x, y) | y = x + 2 − x } (16.3) r = {(x, y) | y = x2 − 4 } (17) ใหห้ าเรนจ์ ของอินเวอรส์ ของความสมั พันธ์ตอ่ ไปนี้ (17.1) r = {(x, y) | y = x2 1 4 } − Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 124 ความสมั พันธและฟงกชนั (17.2) r = {(x, y) | y = 1 } x2 − 4 (17.3) r = {(x, y) | y = x } x −2 (17.4) r = {(x, y) | y = 3x − 1 + 2 2x2 − 3x − 2 } (18) ให้ r = {(x, y) | xy = 1 + y } แลว้ Rr − Dr เป็นเซตใด (19) ให้ r เปน็ ความสมั พนั ธภ์ ายใน R ซงึ่ r = {(x, y) | y = ⎧⎪ x −2 , x < 11 ⎨ } ⎪⎩ 15 − x , x > 11 ถ้า A = Dr ∩ Rr แลว้ ผลบวกของค่าขอบเขตบนนอ้ ยสุดกบั ค่าขอบเขตล่างมากสุดเป็นเท่าใด (20) กาํ หนดให้ r = {(x, y) | y2− 2xy2− x + 1 = 0 } จาํ นวนเตม็ บวกท่นี อ้ ยทส่ี ุดทเ่ี ป็นสมาชกิ ของ Rr ∩ Dr' เปน็ เท่าใด (21) ถา้ r = {(x, y) | y = x2 − 1 − 3 } แล้ว ใหห้ าคอมพลีเมนต์ของ Dr−1 2x (22) ถ้าให้เอกภพสมั พทั ธเ์ ปน็ Rr โดยที่ r = {(x, y) | y2 = (9 − x2)−1} แล้ว ขอ้ ใดถูก ก. ∃x∀y [x + y = y] ข. ∀x∃y [x + y = 0] 5.3 กราฟของความสัมพันธ์ “กราฟของความสมั พันธ์ r” ก็คือเซตของจดุ บนแกนมุมฉาก (x, y) ซง่ึ แต่ละจุดแทนสมาชกิ ใน r (โดยใหส้ มาชกิ ตัวหนา้ เปน็ แกนนอน และสมาชิกตัวหลังเปน็ แกนต้งั ) เช่น ถา้ r1 = {(1, 2),(−1, 2),(2, 3),(−2, 0),(0, −2)} ×r2 = {(x, y) ∈ I I | y = x2} = {(0, 0),(±1, 1),(±2, 4), ...} และ r3 = {(x, y) ∈ R × R | y = x2} จะไดก้ ราฟดังภาพ yyy 3 r1 4 r2 r3 2 x x 1 x O -2 -1 O 1 2 -2 -1 O 1 2 -2 การเขยี นกราฟของความสมั พันธ์ จะช่วยใหเ้ ห็นโดเมนและเรนจ์ไดช้ ัดเจนย่ิงข้ึน รปู แบบของกราฟที่ควรรู้จกั มีดงั น้ี ... หมายเหตุ ควรศกึ ษาเทคนิคการเขียนกราฟ (การเลอ่ื นแกน, การปรบั ขนาดกราฟ) ซ่งึ อธบิ ายไว้ในบทเรยี น “เรขาคณติ วิเคราะห”์ เพ่ือชว่ ยในการหาโดเมนและเรนจต์ อ่ ไป Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 125 ความสมั พันธและฟงกช นั 1. กราฟเสน้ ตรง y = mx + c m คือความชนั และ c คือระยะตัดแกน y y yy m>0 m<0 c m=0 cc xO x x OO 2. กราฟพาราโบลา y = ax2 หรือ x = ay2 y a คอื คา่ คงที่ใดๆ ที่ไมใ่ ช่ศูนย์ y y y = ax2 O x = ay2 O a>0 a>0 x x y = ax2 O x a<0 3. กราฟคา่ สมั บรู ณ์ (ทค่ี ล้ายพาราโบลา) y = a x หรอื x = a y y yy x = a|y| a>0 y = a|x| Ox a>0 y = a|x| Ox Ox a<0 4. กราฟวงกลม x2+ y2 = r2 r คือรัศมขี องวงกลม (มากกว่าศนู ย์) 5. [Ent’22] กราฟค่าสัมบูรณ์ (ท่ีคลา้ ยวงกลม) x + y = k k คอื คา่ คงทีท่ ี่มากกวา่ ศูนย์ y y S e¾iÁè eµiÁ! S r k ¡ÃÒ¿ã´æ ·ÕÁè Õ¤Ò ÊÁa ºÃÙ ³¹ ¹éa ¨aÁÕ -r O r x -k O x Åa¡É³a¤ÅÒÂÀÒ¤µa´¡ÃÇ e¾Õ§ k æ¤e ÃÒÁo§¤Ò ÊaÁºÃÙ ³e »¹Â¡¡Òí ŧa Êo§ e¾×oè ãËä ´eʹ o¤§ æÅÇ»ÃaºãË -r -k ¡ÅÒÂe»¹eʹµÃ§e·Ò ¹é¹a .. 6. กราฟไฮเพอรโ์ บลามุมฉาก x y = c y y c คอื ค่าคงท่ีใดๆ ท่ีไม่ใชศ่ นู ย์ c>0 c<0 Ox Ox Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 126 ความสัมพันธแ ละฟง กชนั กราฟของความสัมพนั ธอ์ าจเปน็ “พืน้ ท่ี (แรเงา)” ในระนาบ หากว่าความสัมพันธ์นัน้ เปน็ “อสมการ” โดยมหี ลักในการเขียนกราฟคือ คดิ ว่าเปน็ เครื่องหมายเท่ากบั แล้วเขียนกราฟของสมการ กอ่ น จากนัน้ ตรวจสอบวา่ บริเวณใดของพน้ื ท่ีตรงตามเง่อื นไขของอสมการ จึงแรเงา (เสน้ กราฟทึบ แสดงว่าจดุ บนเสน้ น้นั อยใู่ น r, เสน้ ประแสดงว่าจดุ บนเส้นนน้ั ไม่อยใู่ น r) yy y y < x+2 2 2 y > 3x2 2x Ox O x -2 O x2 + y2 > 4 -2 กราฟของอนิ เวอรส์ (r−1) มีความเก่ียวข้องกับกราฟของ r คอื เกิดจากการหมนุ กราฟโดยมี เส้นตรง y = x เป็นแกนหมุน … เทา่ กบั เป็นการสลับแกน x กบั y กนั น่นั เอง y เสน้ ตรง y y=x r r-1 (-3,-1) O x x (-1,-3) แบบฝึกหดั 5.3 (23) ใหห้ าโดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธ์ต่อไปนี้ โดยอาศยั การเขยี นกราฟ (23.1) r = {(x, y) | x + y = 4 } (23.2) r = {(x, y) | x − 2 + y = 2 } (23.3) r = {(x, y) | y = x2 + 2x − 2 } (23.4) r = {(x, y) | y = x2 + 2x − 2 , − 3 < x < 2 } (24) ขนาดพืน้ ทขี่ องบรเิ วณในแต่ละข้อเป็นกี่ตารางหนว่ ย เม่ือกําหนดให้ r1 = {(x, y) | x + y < 1 } r2 = {(x, y) | x − y < 1 } r3 = {(x, y) | y − x < 1 } r4 = {(x, y) | y > 0 } และ r5 = {(x, y) | x > 0 } (24.1) r1 ∩ r2 ∩ r5 (24.3) r1 ∩ r3 ∩ r4 (24.2) r1 ∩ r4 ∩ r5 (24.4) r3 ∩ r4 ∩ r5 (25) ใหห้ าขนาดพ้ืนที่ (ตารางหนว่ ย) ของ r1 ∩ r2 ∩ r3 เม่ือ r1 = {(x, y) | x − y + 1 > 0 } r2 = {(x, y) | 2x + y − 4 < 0 } และ r3 = {(x, y) | y + 1 > 0 } (26) ใหห้ าขนาดพนื้ ที่ (ตารางหนว่ ย) ของ r1 ∩ r2 เมอื่ (26.1) r1 = {(x, y) | 2 < x + y } และ r2 = {(x, y) | x + y < 4 } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 127 ความสมั พนั ธและฟง กชนั (26.2) r1 = {(x, y) | x + 2 y < 4 } และ r2 = {(x, y) | 2 x + y > 2 } (26.3) [Ent’21] r1 = {(x, y) | y2 < 4 − x2} และ r2 = {(x, y) | y > x } (26.4) r1 = {(x, y) | y < และ16 − x2 } r2 = r1−1 (27) ให้หาขนาดพืน้ ท่ี (ตารางหนว่ ย) ของ r ∪ r−1 เมือ่ r = {(x, y) | 2 x + y < 8 } (28) ถา้ A = โดเมนของ r1 ∩ r2 และ B = เรนจข์ อง r1 ∩ r2 โดยท่ี r1 = {(x, y) | x + y > 2 } และ r2 = {(x, y) | x + 2 y < 4 } แล้ว ผลบวกของจํานวนเต็มใน A ∩ B ' เป็นเทา่ ใด (29) ถ้า r1 = {(x, y) | x − y = 5 } และ r2 = {(x, y) | x2 + y2 < 53 } แล้ว โดเมนของ r1 ∩ r2 เป็นชว่ งใด (30) ถา้ A = {x | x2 − 2x < 3 } และ r = {(x, y) ∈ A × R | x2 − y − 1 = 0 } แล้ว เรนจข์ อง r เป็นช่วงใด (31) ขอ้ ความต่อไปน้ถี ูกหรือผดิ (31.1) ถา้ r = {(x, y) ∈ R × R | y = x2 } แล้ว r−1 = r (31.2) ถ้า r = {(x, y) ∈ R+× R | y = x2 } แล้ว r−1 = r (31.3) ถา้ r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 25 } แล้ว r−1 = r (31.4) ถา้ r = {(x, y) ∈ R+× R | x2 + y2 = 25 } แล้ว r−1 = r y (32) ให้หาขนาดพน้ื ท่ีของอาณาบริเวณ ทถี่ ูกลอ้ มด้วยกราฟของ r และ r−1 (0,1) (2,2) เมื่อกาํ หนดกราฟของ r เปน็ ดงั ภาพ Ox (-2,-2) (0,-1) 5.4 ลกั ษณะของฟังกช์ นั จากทีศ่ กึ ษาผา่ นมาแล้ววา่ ความสมั พนั ธ์ คือเซตของคู่อันดบั (และทีพ่ บบอ่ ยจะเขยี นอยใู่ น รูปสมการ) หากความสัมพันธใ์ ดมีลักษณะดังต่อไปนด้ี ้วย จะเรียกว่าเป็น ฟงั ก์ชัน (Function : f) “สมาชิกตัวหน้าแตล่ ะตวั จะคกู่ บั สมาชิกตัวหลังได้เพยี งแบบเดียวเท่าน้ัน” หรือกล่าววา่ สําหรับ x แต่ละตัว จะคู่กบั y ได้เพียงแบบเดียวเทา่ นน้ั เชน่ r1 = {(0, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4)} S e¾Áèi eµÁi ! S ไม่เปน็ ฟงั ก์ชนั เพราะ 1 ค่กู ับทง้ั 2 และ 3 ¿§¡ª a¹ e»ÃÕºeÊÁ×o¹e¤Ã×èo§¨a¡Ã·eèÕ ÃÒãÊ x e¢Ò ä» r2 = {(0, 1),(1, 2),(3, 1),(2, 4)} æÅa¼Ò ¹¡ÃaºÇ¹¡ÒäÒí ¹Ç³¨¹¡Ãa·è§a ä´ y oo¡ÁÒ.. ´a§¹aé¹ ¡Òèae»¹ ¿§¡ª a¹ä´ ¶ÒeÃÒãÊ x 溺e´iÁ เปน็ ฟงั ก์ชนั เพราะไมม่ กี ารใช้สมาชิกตวั หน้าซาํ้ เลย e¢Ò仡¤ç Çèaä´¤ Ò y e·Ò e´Ái oo¡ÁÒ¹¹èa eo§.. (หา้ มใชส้ มาชิกตัวหนา้ ซ้ํา แตใ่ ช้สมาชิกตัวหลังซํ้าได้) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 128 ความสัมพนั ธแ ละฟงกช นั 0 r1 1 0 r2 1 2 1 1 3 2 2 24 34 ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชัน เปน็ ฟังก์ชนั r3 = {(x, y) | y2= x } ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั สมมติ x = 4 จะไดว้ ่า y = 2 หรอื −2 r4 = {(x, y) | y = x2} เป็นฟงั ก์ชนั เพราะไม่ว่าจะแทน x ค่าใด กไ็ ด้ y เพียงคา่ เดียว เม่ือเขียนกราฟของความสมั พันธ์ จะเห็นได้ชดั เจนว่า x แต่ละตวั คกู่ ับ y เพียงตวั เดยี ว หรือไม่ (ลากเส้นแนวตงั้ ดูวา่ ท่ี x แต่ละค่า เส้นน้ีตัดกราฟไม่เกินหนึง่ จดุ หรอื ไม)่ yy r3 r4 Ox Ox ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั เป็นฟังก์ชนั ส่งิ ที่ควรทราบ 1. ความสัมพันธ์ทเี่ ขียนในรปู y = ...(x)... ได้แบบเดยี ว จะเป็นฟังกช์ นั เสมอ * 2. ถา้ f เป็นฟังก์ชัน จะเขยี นแทน y ดว้ ยคาํ วา่ f (x) (อ่านวา่ เอฟเอกซ์) เชน่ f (x) = x2 ลักษณะของฟังกช์ ัน S ¨u´·è¼Õ i´ºoÂ! S “ฟงั ก์ชันจาก A ไป B” (from A into B หรือ f : A > B ) ¿§¡ª a¹¨Ò¡ A ä» B ¨aµo§ãª o´eÁ¹ (¤×oe«µ A) ãˤ ú·u¡µaÇ คอื ฟงั ก์ชนั ซึ่ง Df = A และ Rf ⊂ B ¹a¤Ãaº ¼i´¡aº¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸¨ Ò¡ “ฟงั กช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B” (from A onto B หรือ f : A )onto > B A ä» B «èÖ§äÁµ o §ãª A ËÁ´¡çä´ คอื ฟงั ก์ชนั ซงึ่ Df = A และ Rf = B 0 r5 a 0 r6 a 0 r7 a 1 b 1b 2 2c 1 b 3d 2 3c AB AB A B เปน็ ฟังก์ชนั เปน็ ฟังก์ชนั จาก A ไป B เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถงึ B “ฟงั ก์ชันหน่งึ ตอ่ หนึ่งจาก A ไป B” (one-to-one หรอื f : A )1−1> B คอื ฟงั ก์ชันท่ี Df = A และ Rf ⊂ B และ “สาํ หรบั y แตล่ ะตวั จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย” “ฟงั กช์ นั หนง่ึ ต่อหนึง่ จาก A ไปทว่ั ถึง B” (one-to-one correspondence หรือ f:A )1− 1>B onto คอื ฟงั กช์ นั ท่ี Df = A และ Rf = B และ “สําหรบั y แต่ละตัว จะคกู่ บั x เพยี งตัวเดยี วด้วย” Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 129 ความสัมพนั ธแ ละฟงกช ัน 0 r5 1 r8 a 0 r9 a 1 2 b 1b 2 a c 2c b 4d 3d AB AB A B เป็นฟังกช์ ัน 1-1 เปน็ ฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไป B เป็นฟังก์ชนั 1-1 จาก A ไปทว่ั ถึง B เมือ่ เขียนกราฟของความสมั พันธ์ จะทาํ การตรวจสอบวา่ y แต่ละตวั คูก่ ับ x เพยี งตวั เดียว หรอื ไม่ โดยลากเส้นแนวนอนและดูว่าที่ y แตล่ ะคา่ เสน้ น้ีตดั กราฟไม่เกินหนึ่งจดุ หรอื ไม่ y yy r3 r4 r10 O x O xO x ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั เปน็ ฟังก์ชัน แตไ่ มเ่ ป็น 1-1 เป็นฟังก์ชนั 1-1 ฟงั กช์ ันแบบเฉพาะตา่ งๆ ทคี่ วรรู้จัก ฟังกช์ นั คงตัว (Constant Function) f (x) = a (กราฟเสน้ ตรงแนวนอน) ฟงั กช์ ันเชงิ เสน้ (Linear Function) f (x) = ax + b (กราฟเส้นตรงเฉยี งๆ) ฟังก์ชนั กาํ ลงั สอง (Quadratic Function) f (x) = ax2+ bx + c (กราฟพาราโบลาหงายหรอื ควาํ่ ) ฟังกช์ นั พหนุ าม (Polynomial Function) f (x) = anxn + an−1xn−1+ an−2xn−2 + ... + a0 ฟังกช์ ันตรรกยะ (Rational Function) f (x) = p(x) ..เม่อื p(x), q(x) เป็นฟงั ก์ชนั พหนุ าม q (x) ฟงั ก์ชันค่าสัมบรู ณ์ (Absolute Value Function) f (x) = ax + b + c (กราฟรูปตัววีหงายหรือควํา่ ) ฟังก์ชนั เพิม่ (Increasing Function) และ ฟงั ก์ชันลด (Decreasing Function) มนี ิยามดังนี้ ... สาํ หรบั ทุกๆ x1, x2 ∈ [a, b] ฟงั กช์ นั f จะเป็นฟังกช์ นั เพิ่มในช่วง [a, b] กต็ ่อเมอ่ื ถ้า x2 > x1 แลว้ f (x2) > f (x1) และ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชนั ลดในชว่ ง [a, b] กต็ ่อเม่ือ ถ้า x2 > x1 แลว้ f (x2) < f (x1) เพิม่ เตมิ การเขยี นกราฟของฟังกช์ นั พหุนาม และ การหาช่วงทีเ่ ปน็ ฟงั กช์ ันเพ่มิ หรือลด จะได้ศึกษา อย่างละเอียดในเรือ่ งอนุพนั ธ์ (บทที่ 15) ตัวอยา งการแกฟ งกช นั (1) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหห า f (3x − 1) วิธีคิด จาก f (Δ) = 2(Δ) − 3 จะได f (3x − 1) = 2(3x − 1) − 3 = 6x − 5 ... ตอบ • f (3x − 1) = 6x − 5 ใหห า f (x) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 130 ความสัมพนั ธและฟงกช นั วิธีคดิ ให A = 3x − 1 นน่ั คือ x = A+1 3 จะไดว า f (3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน f (A) = 6(A + 1) − 5 = 2A − 3 3 ดงั นน้ั f (x) = 2x − 3 ... ตอบ • f (3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f (2) วธิ ีคิด ให 2 = 3x − 1 ไดเ ลย นน่ั คือ x = 1 จะไดว า f (3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน f (2) = 6(1) − 5 = 1 ... ตอบ • f (x) = 2x − 3 ใหหา f (3x − 1) ในรปู ของ f (x) วิธีคิด หา f (3x − 1) = 2(3x − 1) − 3 = 6x − 5 กอ น จากนนั้ เปลีย่ น x เปน f (x) โดย f (x) = 2x − 3 → x = f (x) + 3 2 จะไดวา f (3x − 1) = 6(f (x) + 3) − 5 = 3 f (x) + 4 ... ตอบ 2 แบบฝกึ หัด 5.4 (33) f ทก่ี ําหนดใหใ้ นแตล่ ะข้อ เปน็ ฟงั กช์ ันจริงหรอื ไม่ และถา้ เปน็ ฟังกช์ ันใหร้ ะบุเพิ่มเติมด้วยว่า เปน็ ฟงั ก์ชันหน่งึ ต่อหนึง่ หรอื ไม่ (33.1) f (x) = x2 (33.6) f (x) = 1/x (33.2) [f (x)]2 = x (33.7) f (x) = x2 + x + 1 (33.3) f (x) = x (33.8) f (x) = x3 (33.4) f (x) = x (33.9) f (x) = 1/x2 (33.5) f (x) = x (33.10) f (x) = x2/3 (34) ความสัมพนั ธ์ต่อไปนเี้ ป็นฟังก์ชนั หรอื ไม่ (34.1) r = {(x, y) | x + y < 1} (34.2) r = {(x, y) | x + y = 1} (35) ความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนีเ้ ป็นฟงั ก์ชนั หรอื ไม่ (35.1) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.2) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.3) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.4) r = {(x, y) | x + y = 1} (36) ฟงั ก์ชันต่อไปน้เี ป็นฟงั ก์ชันหนึง่ ตอ่ หนึ่งหรือไม่ (36.1) f = {(x, y) | 2x + y − 3 = 0 } (36.2) f = {(x, y) | (x − 4)(y + 3) = 1} (36.3) f = {(x, y) | y − 3 = (x + 4)3} (36.4) f = {(x, y) | x2 − y + 3 = 0 } Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 131 ความสมั พนั ธแ ละฟงกช นั (37) ฟงั กช์ ันต่อไปนีเ้ ปน็ ฟงั ก์ชนั f : R > R หรือไม่ (37.1) f = {(x, y) | y = 9 − x2 } (37.2) f = {(x, y) | y = 9 + x2 } (37.3) f = {(x, y) | y x = 1} (37.4) f = {(x, y) | x + y − 5 = 0 } (38) ฟังกช์ นั ต่อไปนเี้ ปน็ ฟังก์ชัน f : R onto > A เมอ่ื A = [0, ∞) หรอื ไม่ (38.1) f = {(x, y) | y = x4} (38.2) f = {(x, y) | y = x2 − 2x + 3 } (38.3) f = {(x, y) | y = x2 − 4 } (38.4) f = {(x, y) | y = x3 + 3x2 + 3x + 1 } (39) ฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้ีเปน็ ฟังก์ชันเพ่ิมใน R หรอื ไม่ (39.4) f (x) = x2 + 2x + 1 (39.1) f (x) = 5x − 2 (39.5) f (x) = (x − 2)3 + 2 (39.6) f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 (39.2) f (x) = −2x + 5 (39.3) f (x) = x2 + 3 (40) ให้หาโดเมน และเรนจ์ ของฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้ (40.1) f (x) = x2 − 2x + 4 (40.2) f (x) = x2 − 25 x −5 (40.3) f (x) = 1 + x2 x (41) กาํ หนด f (x) = x2 เมอื่ −2 < x < 8 ถามว่า f (t + 3) เท่ากบั เทา่ ใด และจะมคี วามหมาย เมอ่ื t อยใู่ นชว่ งใด (42) ใหห้ าคา่ ของ (42.1) f (x) เม่ือ f (x + 1) = x2 + 3x + 9 (42.2) f (2) เมือ่ f ( x2 − 1) = x2 + 2 (42.3) f (4x) ในเทอมของ f (x) เมื่อ f (x) = x x+2 5.5 ฟังกช์ นั ประกอบ และฟังก์ชันผกผนั ฟงั ก์ชันประกอบ (Composite Function) 0f 3g7 ให้ f และ g เปน็ ฟังกช์ นั ดงั แผนภาพ 1 4 2 5 8 จะไดว้ ่า f (0) = 3 และ g(3) = 7 A 69 อาจกล่าววา่ g(f (0)) = 7 กไ็ ด้ BC นอกจากนั้น g(f (1)) = 8 และ g(f (2)) = 7 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 132 ความสมั พันธแ ละฟงกช ัน ฟังกช์ นั g(f (x)) เปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไป C เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ g(f (x)) = (gD f)(x) เรยี กว่าฟงั ก์ชันประกอบของ f และ g และอ่านว่า จีโอเอฟเอกซ์ ฟังก์ชนั (gD f)(x) จะหาไดก้ เ็ มอ่ื มีสมาชิกบางสว่ นของ Rf กบั Dg รว่ มกนั หรือกล่าวว่า (gD f)(x) จะหาได้ ก็เมอ่ื Rf ∩ Dg ≠ ∅ f f g g AB C AB C หา gof ได้ หา gof ไมไ่ ด้ * โดยทัว่ ไป ถ้า Rf ⊂ Dg จะได้วา่ Dgof = Df (คอื โดเมนของ f ทกุ ตวั ใชไ้ ดห้ มด) แต่ถา้ Rf ⊄ Dg (กรณนี ี้พบบอ่ ยเปน็ ปกต)ิ จะไดว้ า่ Dgof ⊂ Df เท่าน้นั (คือโดเมนของ f บางตวั ใช้ ไม่ได้ เพราะเรนจข์ องตวั นั้นไม่ไดอ้ ยู่ในโดเมน g) ... การหาโดเมนของ gD f จงึ ตอ้ งระวงั • ตวั อยา งเชน f (x) = x − 1 และ g(x) = x2 ตองการหา Dgof ... จะไดวา (g D f)(x) = g(f (x)) = g( x − 1) = x − 1 ซึ่งดจู ากลกั ษณะแลว คา x นาจะเปนจาํ นวนจรงิ ใดๆ (Dgof = R ) แตทีจ่ ริงแลว f (x) = x − 1 นนั้ x > 1 จากน้ันนาํ f (x) ไปใชก ับ g พบวาใชไดท ง้ั หมด ดงั นั้นจงึ สรปุ วา Dgof = [1, ∞) ตัวอยา งการแกฟ งกช นั (2) • ถา f (x) = 2x − 3 และ g(x) = 3x + 4 ใหหา (g D f)(x) วิธีคดิ จาก (g D f)(x) = g(f (x)) = g(2x − 3) = 3(2x − 3) + 4 = 6x − 5 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ g(x) = 3x + 4 ใหห า f (x) วิธีคิด จาก (gD f)(x) = g(f (x)) = 3(f (x)) + 4 แตโจทยก ําหนด (gD f)(x) = 6x − 5 ดงั นน้ั 3(f (x)) + 4 = 6x − 5 ยา ยขางสมการได f (x) = 2x − 3 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ g(x) = 3x + 4 ใหห า f (2) วธิ ีคดิ จาก (g D f)(2) = g(f (2)) = 3(f (2)) + 4 แต (g D f)(2) = 6(2) − 5 = 7 ดังน้นั 3(f (2)) + 4 = 7 ยา ยขางสมการได f (2) = 1 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ f (x) = 2x − 3 ใหหา g(x) วธิ ีคดิ จาก (gD f)(x) = g(f (x)) = g(2x − 3) แตโจทยกาํ หนด (gD f)(x) = 6x − 5 ดังนั้น g(2x − 3) = 6x − 5 ใชเทคนคิ การแกฟ ง กช ันตามเดิมได g(x) = 3x + 4 ... ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 133 ความสมั พันธและฟงกช ัน • (g D f)(x) = 6x − 5 และ f (x) = 2x − 3 ใหห า g(1) วธิ ีคดิ ตองการ g(1) จึงให f (x) = 1 จะได 2x − 3 = 1 → x = 2 แทนคา x ดวย 2 จะได (gD f)(2) = g(1) = 6(2) − 5 = 7 ... ตอบ ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) เราทราบแล้ววา่ ความสัมพันธ์ r ใดๆ สามารถหาอินเวอร์ส (r −1) ไดเ้ สมอ เชน่ เดียวกนั ฟังกช์ นั f ใดๆ กจ็ ะหาอนิ เวอร์ส f −1 ได้เสมอ แต่ f −1 อาจไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน ถ้า f −1 เปน็ ฟงั กช์ นั จะเรียกว่า ฟังกช์ ันอินเวอรส์ หรอื ฟังก์ชนั ผกผัน และเขียนเป็น f −1(x) ได้ จากหลักการเขยี นกราฟของอนิ เวอร์ส ทําให้พบว่า f −1 จะเปน็ ฟงั ก์ชนั กเ็ มื่อ f เป็นฟังกช์ นั หนึ่งต่อหน่งึ เท่านั้น และ f −1(,) = Δ มคี วามหมายเดียวกับ f (Δ) = , สมบัตขิ องอนิ เวอรส์ ได้แก่ (f D g)−1 = g−1D f−1 และ (f−1)−1 = f ตัวอยา งการแกฟงกชัน (3) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหห า f −1(x) วิธีคดิ จาก f (x) = 2x − 3 → f −1(2x − 3) = x จากนั้นใชเทคนคิ การแกฟงกชนั ตามเดมิ ได f −1(x) = 0.5 x + 1.5 ... ตอบ (หมายเหตุ อาจใชวิธีหาอินเวอรส เหมือนในบทเรียนความสมั พันธ คือสลับตวั แปร x กับ y ) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหหา f −1(5) วิธีคิด จาก f (x) = 2x − 3 → f −1(2x − 3) = x แลว ให 2x − 3 = 5 นน่ั คือ x = 4 ดงั นนั้ แทนคา x ดวย 4 จะได f −1(5) = 4 ... ตอบ • ถา f (x − 1) = 4x − 3 ใหหา f − 1(x) วธิ ีคิด จาก f (x − 1) = 4x − 3 → f −1(4x − 3) = x − 1 จากนน้ั ใชเ ทคนคิ การแกฟง กชนั ตามเดมิ ได f −1(x) = 0.25 x − 0.25 ... ตอบ • ถา f (x − 1) = 4x − 3 ใหห า f − 1(5) วธิ ีคิด จาก f (x − 1) = 4x − 3 → f −1(4x − 3) = x − 1 แลว ให 4x − 3 = 5 นั่นคือ x = 2 ดังนน้ั แทนคา x ดวย 2 จะได f −1(5) = 1 ... ตอบ • [Ent’35] ถา f −1(x) = x และ (f D g)(x + 2) = 3x + 6 ใหห า g(2) x −2 วธิ ีคิด ตองการ g(2) จงึ ให x + 2 = 2 นน่ั คือ x = 0 แทนคาใน (f D g)(x + 2) = 3x + 6 จะไดว า (f D g)(2) = 6 หรือ f (g(2)) = 6 จากนน้ั ใชสมบัตขิ องอนิ เวอรส กลายเปน f −1 (6) = g(2) ซ่ึง f −1(6) = 6 = 1.5 ดังนั้น g(2) = 1.5 ... ตอบ 6−2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 134 ความสมั พันธและฟงกชัน พีชคณติ ของฟังกช์ ัน (Algebra of Function) ซึ่ง(f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x) Df ∗g = Df ∩ Dg เคร่ืองหมาย ∗ เป็นไดท้ ั้ง +, −, ×, ÷ (โดยกรณีหาร g(x) ≠ 0 ) แบบฝึกหัด 5.5 (43) ใหห้ า gD f และ f D g ของฟังกช์ ันทีก่ าํ หนดให้ในแตล่ ะขอ้ (43.1) f (x) = 2x และ g(x) = x + 3 (43.2) f (x) = x + 1 และ g(x) = x (43.3) f (x) = 4x + 1 และ g(x) = x2 * (43.4) f (x) = ⎪⎧ 4−x ,x < 0 และ g(x) = x2 + 1 เมื่อ x >2 ⎨ ⎩⎪ 6 − x , x > 4 (44) [Ent’33] ถ้า (g D f)(x) = 3 [f (x)]2 − 2 f (x) + 1 และ g(x) = x2 − x + 2 ใหห้ า (g D f)(1) (45) ถา้ f (x) = x + 1 เมอ่ื x ≠ 0 และ (f D g)(x) = x ให้หา g(x) x (46) ถ้า g(x) = x2 + x + 2 และ (g D f)(x) = x2 − x + 2 แลว้ ใหห้ า f (x) (47) ถ้า f (x) = Ax + B โดยท่ี A > 0 และ (f D f)(x) = 4x − 9 ใหห้ าค่า B (48) อินเวอร์สของฟังกช์ ันต่อไปน้ี เปน็ ฟงั กช์ ันหรือไม่ (48.1) f = {(x, y) | y = x x } (48.2) f = {(x, y) | y = (x + 1)2} (48.3) f = {(x, y) | y = 9 − x2 } (48.4) f = {(x, y) | y = 1 / x } (49) ใหห้ าฟังก์ชนั ผกผัน f−1(x) เม่ือกําหนดให้ (49.5) f (x) = x − 2 (49.1) f (x) = 5 − x x−3 (49.2) f (x) = 5x + 4 (49.6) f (x) = x 2x − 1 (49.3) f (x) = x − 1 3 (49.7) f (x) = 2x − 3 3x − 2 (49.4) f (x) = 1 x−1 (50) ให้หา f−1(x) เมือ่ กาํ หนดให้ f (x) = ⎪⎧2x + 2 , x > 0 ⎩⎨⎪−x2 − 1 , x < 0 (51) ใหห้ า f−1(x) เมื่อกาํ หนดให้ (51.1) f (3x − 4) = 4x + 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 135 ความสัมพนั ธแ ละฟง กช ัน (51.2) [Ent’21] f (x + 1) = x − 1 22 (51.3) f (x + 1) = 5x − 7 x−3 (51.4) f − 1[ 3 f (2x + 1) − 3x + 2 ] = 2x + 1 (52) ถา้ f (x − 1) = x3 − 3x2 + 3x + 5 แลว้ คา่ ของ f−1(5) เป็นเท่าใด (53) กาํ หนดให้ f (x + 3) = 4x − 5 และ g(x − 3) = 2 − 3x ใหห้ าค่าของ (53.1) (f D g−1)(5) (53.3) (f−1D g−1)(−4) (53.2) (g D f−1)(−1) (53.4) (g−1D f−1)(3) (54) กําหนดให้ f (x + 1) = 2x + 3 และ g(x) = ⎧2x + 1 , x>0 ให้หาค่าของ ⎩⎨3x + 1 , x<0 (54.1) (f−1D g−1)(0) (54.2) (g−1D f−1)(0) (55) กาํ หนดให้ f (x) = ⎧−2x , x > 0 และ g(x) = ⎧⎪ x2 , x > 3 ให้หา ⎨ ⎩⎨⎪−x , x < 3 ⎩ 3,x<0 (55.1) (f − g)(x) (55.2) Df/g (56) ถา้ f (x) = x + 1 , g(x) = 1 − x และ h(x) = 1 − x2 แลว้ ให้หา (56.1) [(g D f) + h](x) (56.2) (f D g)(x) h (57) ถ้า f (2x − 3) = 3x − 2 และ (f + g)(x) = x2 + x − 3 แลว้ ใหห้ า (57.1) (g + f−1)(x) (57.2) (g)(x) f (58) ถ้า f (x) = x + 5 และ (gD f)(x) = x2 − 25 แล้ว ให้หา (f)(x) g (59) ถา้ f (x) = 4x , g(x) = x2 + 1 และ h (x) = ⎧x + 1 , x>0 แล้ว ให้หา ⎨⎩x − 1 , x<0 (59.1) (f−1+ g + h−1)(−2) (59.2) [(g D f−1) ⋅ h](2) (60) ถ้า (f + g)(x) = 2x + 1 และ (f − g)(x) = 3 − 4x แลว้ ให้หา (60.1) (f D g)−1(−2) (60.2) [(g−1+ f−1) D f](1) (61) ถ้า f−1(x) = x และ (f D g)(x) = x + 2 แลว้ ใหห้ า x −2 (61.1) (f + g)(2) (61.2) [(g D f) ⋅ f−1](4) (62) ถ้า f−1(x + 1) = 2x + 3 และ (f D g)(x − 1) = 5x + 1 แลว้ ใหห้ า (62.1) (f + f−1)(3) (62.2) [(fg) D f−1](1) g Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 136 ความสมั พนั ธแ ละฟงกชัน เฉลยแบบฝึกหดั (คําตอบ) (1) ผิดทกุ ขอ้ (23.4) [−3, 2), [−3, 6) (49.2) x2 − 4 เม่ือ x > 0 (2) (35/3, 20/21) (3) (6, 0) (24.1) 1 (24.2) 0.5 5 (4) ขอ้ (4.2) และ (4.6) ถกู (24.3) 1 (24.4) หาคา่ ไม่ได้ (49.3) 3x + 1 (5) ถูกทกุ ขอ้ (6) 2mk − m2 (25) 6.75 (26.1) 24 (49.4) 1 + 1 / x เมอื่ x ≠ 0 (7) 220 (8) 21,000 (26.2) 12 (26.3) π (49.5) 3x − 2 เมือ่ x ≠ 1 (9) ถกู ทกุ ขอ้ (10) ถกู ทกุ ขอ้ (26.4) 4π (27) 85.33 x−1 (11.1) {(2, −1)} (28) 0 (29) [−7, −5] ∪ [5, 7] (49.6) x เมอื่ x ≠ 1 2x − 1 2 (11.2) {(0, 4), ( 7, −3), (− 7, −3)} (30) [−1, 8] (32) 4 (49.7) 2x − 3 เมื่อ x ≠ 2 (12) 310 (31) ข้อ (31.2) และ (31.3) ถูก 3x − 2 3 (13.1) Dr = R − {0} , (33) ข้อ (33.2) และ (33.5) ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน ขอ้ (33.3), (33.6), (50) f−1(x) = ⎪⎧ 0.5x + 1 , ,x>2 Rr = R − {0} (33.8) เป็นฟังกช์ ันหนึ่งต่อหน่งึ ⎩⎪⎨− −x − 1 x<−1 (34.1) ไม่เป็น (34.2) เปน็ (13.2) R − {2} , R − {1} (35) ขอ้ (35.4) เท่าน้ันทีเ่ ปน็ (51.1) 3x − 25 (51.2) x + 2 (13.3) R − {1} , R − {0} (36) ข้อ (36.4) เทา่ นัน้ ทไ่ี ม่เปน็ (13.4) R − {−1} , R − {2} (37) ขอ้ (37.2) เทา่ นน้ั ทีเ่ ป็น 4 (13.5) (1, ∞) , (1, ∞) (51.3) 4x − 12 เมื่อ x ≠ 5 x −5 (14.1) R , [0, ∞) (38) ขอ้ (38.2) เท่านนั้ ไมเ่ ปน็ (51.4) 4x + 7 (52) –1 (14.2) [0, ∞), [0, ∞) (39) ข้อ (39.1), (39.5), (14.3) R , [−4, ∞) 3 (14.4) [−1, ∞), [3, ∞) (14.5) [−4, 4] , [−4, 4] (39.6) เปน็ (40.1) R , [3, ∞) (53.1) –33 (53.2) –19 (14.6) [−4, 4] , [0, 4] (53.3) 4 (53.4) –4 (14.7) [−4, 1] , [0, 1.25] (40.2) R − {5} , R − {10} (54.1) –2/3 (54.2) –1/2 (40.3) R − {0} , R − (−2, 2) (55.1) 3 + x, x < 0 และ (41) (t + 3)2 เมื่อ −5 < t < 5 −x, 0 < x < 3 และ (42.1) x2 + x + 7 (42.2) 7 −2x − x2, x > 3 (14.8) [−1, 7] , [−6, 2] (42.3) 4 f (x) (55.2) R − {0} (15.1) R − {0, 1} , R − (−4, 0] 3 f (x) + 1 (15.2) R − {1, 3} , R − (−1, 0] (43.1) (g D f)(x) = 2x + 3 , (56.1) 1 − x + 1 + 1 − x2 (15.3) [−1, ∞) − {0} , R (f D g)(x) = 2x + 6 เม่ือ −1< x < 0 (15.4) ∅ , ∅ (43.2) (g D f)(x) = x + 1 (56.2) 1 + 1 − x 1 − x2 (15.5) [−2, −1) ∪ (1, ∞) , R เมอื่ x > −1, (15.6) ,R − (46/25, 2] R − {3, −2} (f D g)(x) = x + 1 เมอื่ x > 0 เม่อื x ∈ (−∞, 1) − {−1} (57.1) x2 + x − 43 (16.1) ,R − {−7, 1} R − (−3/4, 0] (43.3) (g D f)(x) = (4x + 1)2 , (16.2) R , [0, 2] 6 (f D g)(x) = 4x 2 + 1 (16.3) R , [0, ∞) 2x2 − x − 11 (17.1) R − {−2, 2} (43.4) (gD f)(x) = ⎧⎪ 5 −x , x < 0 (57.2) 3x + 5 (17.2) R − [−2, 2] ⎨ − x)2 + 1 , x > 8เมอ่ื x (17.3) R − {2} (17.4) [2, ∞) ⎩⎪(6 ≠ −5/3 (18) {1} (19) 5 (20) 2 และ (f D g)(x) = 5 − x2 (58) x + 5 เม่ือ เม่อื x > 2 (44) 11/4 หรอื 2 x (x − 10) x ≠ 0, 10 (21) (−1/4, 0] (22) ข. (45) 1 เมอ่ื x ≠ 1 (59.1) 7/2 (59.2) 15/4 (60.1) 5/3 (60.2) 5/3 (23.1) [−4, 4] , [−4, 4] x−1 (61.1) 6 (61.2) 7/2 (23.2) [0, 4] , [−2, 2] (23.3) R , [−3, ∞) (46) x − 1 หรือ −x (47) –3 (62.1) 7 1 (62.2) 43 (48) ขอ้ (48.1) เทา่ นนั้ ทเ่ี ป็น 43 (49.1) 5 − x2 เมื่อ x > 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 137 ความสัมพันธและฟงกช ัน เฉลยแบบฝกึ หัด (วธิ คี ดิ ) (1.1) ผดิ เพราะมบี าง a, บาง b (5.3) จากสตู รเร่ืองเซต n[(A × B) ∪ (B × A)] = ซ่ึง (a, b) = (b, a) เชน่ a = 2, b = 2 (1.2) ผิด เพราะ (a, b) ≠ (c, d) ไมไ่ ด้แปลวา่ n(A × B) + n(B × A) −n[(A × B) ∩ (B × A)] a ≠ c และ b ≠ d พร้อมๆ กันเสมอไป ตอ้ งใชว้ ่า a ≠ c หรอื b ≠ d จึงจะถกู พบวา่ A ∩ B = {0, 1, 2, 3, 4} (1.3) ข้อนจี้ ะถกู กเ็ มอ่ื a + 2b = −1 และ ดังนนั้ (A × B) ∩ (B × A) จะมอี ยู่ 5 × 5 คู่อนั ดับ 1 = b + a → 2 = 2b + a ซง่ึ เปน็ ไปไมไ่ ด้ ทาํ ให้ได้ (29 × 8) + (8 × 29) − (5 × 5) = 439 ถูก 2 (6) จาก n[(A × B) ∪ (B × A)] เพราะสมการทง้ั สองขัดแย้งกนั (ไมม่ ีคําตอบ) ดังนน้ั ขอ้ นจี้ ึงผดิ = n(A × B) + n(B × A) − n[(A × B) ∩ (B × A)] (2) 3x + 5 = −5 → x = −10 / 3 และ 8 − 4y = −6 → y = 7 / 2 (ตัวที่ขดี เส้นใต้ โจทยใ์ ห้เปน็ (A ∩ B)×(B ∩ A) ) y = −p → p = −7 / 2 จะได้ = mk + km − mm = 2mk − m2 ดงั นนั้ (xp, x) = (35 , 20) (7) n(A '∩ B ') = 2 แสดงวา่ n(A ∪ B) = 8 p 3 21 (วาดรปู ประกอบจะเหน็ ชัด) (3) (3, 4) ∗ (0, 0) = (3 − 0, 4 + 0) = (3, 4) และ (x, y) ∗ (3, 4) = (x − 3, y + 4) n(A '∪ B ') = 9 แสดงวา่ x1 y ดังนน้ั 3 = x − 3 → x = 6 และ 2 4 = y + 4 → y = 0 ตอบ (6, 0) n(A ∩ B) = 1 (4.1) ผดิ มกี รณที ่ี A × B กลายเปน็ เซตจาํ กดั คอื เมอ่ื B = ∅ จะทาํ ให้ A × B = ∅ และจาก n(B) − n(A) = 1 AB (4.2) ถูก เพราะถา้ n(A × B) หาคา่ ไมไ่ ด้ แสดงวา่ n(A) หรอื n(B) ตอ้ งหาคา่ ไม่ได้ จะไดว้ า่ (y + 1) − (x + 1) = 1 และ x + 1 + y = 8 (4.3) ผดิ ไมจ่ าํ เป็นวา่ B = C หากวา่ A = ∅ (4.4) ผดิ A = ∅ หรอื B = ∅ แก้ระบบสมการได้ x = 3 , y = 4 ดังนัน้ อยา่ งใดอยา่ งหนงึ่ ก็ได้ ไมต่ อ้ งเปน็ ∅ ทั้งคู่ (4.5) ผดิ ถา้ A = ∅ n(A) = 4 , n(B) = 5 และความสัมพนั ธจ์ าก A ไป ก็ทําให้ A × B = B × A ได้ (4.6) ถกู เพราะ A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B B มที ง้ั สนิ้ 24×5 = 220 แบบ (8) แบบ2n(A × A)⋅n(A) = 2100 × 10 = 21,000 (4.7) ผดิ เชน่ A = ∅ จะทาํ ให้ A × B = A ได้ (9.1) 23×2 = 26 = 64 ถกู (หรือ B = ∅ จะทาํ ให้ A × B = B ) (9.2) โดเมนเปน็ {1, 2, 3} ครบทุกจาํ นวน ดงั นนั้ (4.8) ผดิ เพราะสมาชกิ ของ A กบั สมาชิก ของ A × B ยอ่ มไม่มีตวั ใดซา้ํ กนั อยูแ่ ลว้ ต้องคดิ แบบการนบั ( A × B มีสมาชกิ เปน็ คอู่ ันดับ) สว่ นของโดเมนเป็น 1 จะมไี ด้ 3 แบบ คือ ดงั นนั้ A ∩ (A × B) = ∅ เสมอ (1, 1) / (1, 2) / (1, 1), (1, 2) (5.1) n(P(A)) = 24 , n(P(B)) = 23 คิดจาก 22− 1 (สับเซตของ B ทุกแบบ ท่ไี มใ่ ช่ ∅ ) → n(P(A) × P(B)) = 24 ⋅ 23 = 128 ถูก โดเมนเปน็ 2 ก็มี 3 แบบ, เป็น 3 กม็ ี 3 แบบ (5.2) เน่ืองจาก (A × B) ∩ (A × C) = A × (B ∩ C) ดังนนั้ ประกอบกนั ท้งั สามส่วน ได้ 3× 3× 3 =27 ถูก n(A) = 30 n(B ∩ C) = 19 → (10.1) ถูก คอื 212 แบบ (10.2) โดเมนเปน็ ตวั แรก มี 15 แบบ → คดิ จาก n[(A × B) ∩ (A × C)] = 30 × 19 = 570 ถกู 24 − 1 (สับเซตของ B ทกุ แบบที่ไม่ใช่ ∅ ) ตัวสองและสาม ก็ 15 แบบ ดงั นนั้ ได้ 15 × 15 × 15 ถกู (10.3) คดิ เชน่ เดียวกับขอ้ (10.2) คอื แตล่ ะตวั ของ โดเมน B จะมไี ด้ 23 − 1 = 7 แบบ รวมกนั ทัง้ 4 ตัว เปน็ 7 × 7 × 7 × 7 = 2,401 ถกู (10.4) คดิ เชน่ เดมิ 23 − 1 = 7 → 7 × 7 × 7 = 343 ถูก (11.1) r1 ∩ r2 ได้จากการแกร้ ะบบสมการ คือ (x, y) = (2, −1) เทา่ นนั้ (เปน็ จาํ นวนเต็มพอด)ี จงึ ตอบ r1 ∩ r2 = { (2, −1) } Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 138 ความสัมพนั ธและฟง กช นั (11.2) แกร้ ะบบสมการ (14.1) y = x2 → Dr = R , Rr = [0, ∞) ได้ y2 − y − 12 = 0 → y = 4 หรอื −3 หมายเหตุ เปน็ กราฟพราโบลาหงาย ถา้ y = 4 → x = 0 , (14.2) y = x → Dr = [0, ∞) , Rr = [0, ∞) ถา้ y = −3 → x = ± 7 หมายเหตุ เปน็ กราฟพาราโบลาหงายเหมือนขอ้ ท่ีแล้ว ดงั นนั้ r1 ∩ r2 = {(0, 4), ( 7, −3), (− 7, −3)} แต่มีเพยี งซกี ขวาเท่านั้น เพราะ x หา้ มตดิ ลบ (12) ถ้า x = 1 ได้ y = 1, 2, 3, ..., 25 → 25 แบบ ถ้า x = 2 ได้ y = 2, 3, ..., 25 → 24 แบบ ... 14.1 14.2 จนถึง x = 20 ได้ y = 20, 21, ..., 25 (6 แบบ) รวมจาํ นวนคอู่ ันดับ = 25 + 24 + 23 + ... + 6 = 310 (ควรใช้สตู รอนุกรมบทที่ 13 ในการบวกเลข) (14.3) y = x2 − 2x − 3 → y + 3 +1 = x2 − 2x +1 (13.1) ก. y = 2 → x ≠ 0 → Dr = R − {0} → y + 4 = (x − 1)2 x ดังนนั้ Dr = R , Rr = [−4, ∞) ข. x = 2 →y ≠ 0 → Rr = R − {0} y หมายเหตุ เปน็ กราฟพาราโบลาหงาย จดุ ยอด (1,-4) (ไม่วา่ จะวาดกราฟหรอื ไม่ ก็ตอ้ งจดั กําลงั สองสมบูรณ์ หมายเหตุ เปน็ กราฟ ให้เหลือ x กบั y เพียงอยา่ งละตวั เดียวเสมอ) (14.4) y − 3 = x + 1 ไฮเพอร์โบลามมุ ฉาก (เปน็ พาราโบลา (y − 3)2 = x + 1 แตม่ ีเพียงซีกบน) ดงั น้ี (13.2) ก. y − 1 = 1 x + 1 > 0 → Dr = [−1, ∞) x −2 y − 3 > 0 → Rr = [3, ∞) → x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2 → Dr = R − {2} (14.5) ถ้าคดิ ดว้ ยกราฟ จะไดร้ ปู วงกลม ข. x −2 = 1 → y ≠ 1→ Rr = R − {1} y−1 Dr = [−4, 4], Rr = [−4, 4] หมายเหตุ เปน็ กราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก เหมอื นใน หรือคดิ โดยจดั รปู สมการก็ได้ คอื ข้อที่แล้ว แตเ่ ลอ่ื นจดุ (0,0) ไปอย่ทู ี่ (2,1) ก. y = ± 16 − x2 → 16 − x2 > 0 (13.3) ก. y = 1 → x ≠ 1 → Dr = R − {1} x−1 → (x − 4)(x + 4) < 0 → −4 < x < 4 ข. x−1= 1 →y ≠ 0 → Rr = R − {0} ข. x = ± 16 − y2 → ... → −4 < y < 4 y (14.6) y = 16 − x2 เปน็ ครง่ึ วงกลม เพราะ หมายเหตุ เปน็ กราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก y > 0 เสมอ ดงั นนั้ Dr = [−4, 4], Rr = [0, 4] (13.4) ก. y = 2x − 3 → x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 (14.7) 2y = 4 − 3x − x2 → ลองยกกําลงั สอง x+1 ได้ 4y2 = 4 − 3x − x2 เปน็ สมการวงรี จัดรูปดงั นี้ (x2 + 3x + 2.25) + 4y2 = 6.25 → Dr = R − {−1} ข. xy + y = 2x − 3 → xy − 2x = −y − 3 → x = −y − 3 → y −2 ≠ 0 → Rr = R − {2} → (x + 1.5)2 + y2 = 1 y −2 6.25 1.5625 จากภาพจะได้ 1.25 (13.5) ก. y = x + 1 → x ≠ 1 Dr = [−4, 1] และ 2.5 x−1 (1.5,0) โจทยเ์ พิม่ วา่ x > 1 ดังน้ัน Dr = (1, ∞) Rr = [0, 1.25] ข. xy − y = x + 1 → xy − x = y + 1 → วงรดี า้ นลา่ งหายไปเพราะ x = y + 1 ... แตเ่ นอ่ื งจาก x > 1 จะได้ y + 1 > 1 ในโจทย์มีรทู้ ทาํ ให้ y > 0 เสมอ y−1 y−1 (14.8) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 → y +1−1> 0 → y + 1− y + 1 > 0 y−1 y−1 → (x − 3)2 + (y + 2)2 = 42 → 2 >0→ y > 1 ดงั น้ัน Rr = (1, ∞) เป็นวงกลมที่มจี ดุ ศูนยก์ ลางที่ (3, −2) รศั มี 4 y−1 หน่วย ดงั นน้ั Dr = [−1, 7], Rr = [−6, 2] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 139 ความสัมพนั ธและฟง กช ัน (15.1) ก. x2 − x ≠ 0 → x(x − 1) ≠ 0 2(y − 1)2 − 21 22 → Dr = R − {0, 1} (15.6) ก. x = → (y − 1)2 − 1 ข. x2 − x = 1 → x2 − x + 1 = 1 + 1 24 y 4 y4 มอง (y-1/2) เปน็ กอ้ นๆ หนึ่ง → (x − 1)2 = y + 4 → y + 4 > 0 2 4y 4y แล้วยา้ ยขา้ งแบบข้อ (13.4) จะได้ เขยี นเส้นจํานวน จะได้ Rr = R − (−4, 0] (y − 1)2 = 25x − 46 → 25x − 46 > 0 (15.2) ก. x2 − 4x + 3 ≠ 0 → (x − 3)(x − 1) ≠ 0 2 4x − 8 4x − 8 เขยี นเส้นจาํ นวนได้ Dr = R − (46 , 2] 25 → Dr = R − {1, 3} ข. x 2y2 − 2y − 11 ข. x2 − 4x + 3 = 1 → x2 − 4x + 4 = 1 + 1 = y2 − y −6 → (y − 3)(y + 2) ≠ 0 yy → Rr = R − {3, −2} → (x − 2)2 = y + 1 → y + 1 > 0 yy (16.1) ก. | x + 3 |− 4 ≠ 0 → x + 3 ≠ ±4 เขยี นเสน้ จาํ นวน จะได้ Rr = R − (−1, 0] → Dr = R − {−7, 1} (15.3) ก. x + 1 > 0 → x > −1 , และ ข. | x + 3 | − 4 = 3 → | x + 3 |= 3 + 4 x ≠ 0 → Dr = (−1, ∞) − {0} yy ข. y = x+ 1 → y2 = x+1 → → 3 + 4 > 0 → 3 + 4y > 0 x x2 yy x2y2 − x − 1 = 0 → x = 1 ± 1 + 4y2 ดงั นน้ั Rr = R − (− 3 , 0] 2y2 4 → (16.2) ก. x ∈ R → Dr = R 1 + 4y2 > 0 → y2 > − 1 (เป็นจริงเสมอ) เน่อื งจากไมม่ ีขอ้ จาํ กดั ใดๆ สาํ หรบั ค่า x 4 ข. y = |x + 2|−|x| → แยกช่วงยอ่ ยคิด.. ∴ Rr = R ถา้ x > 0 → y = | x + 2 − x |= 2 (15.4) ก. y2 − 2xy + 2x2 + x + 1 = 0 ถา้ −2< x < 0 → y = |x + 2 + x | = |2x + 2| → y = 2x ± 4x2 − 8x2 − 4x − 4 2 ถ้า x < −2 → y =| −x − 2 + x | = 2 → y = x ± −x2 − x − 1 จะไดก้ ราฟดงั ภาพ → − x2 − x − 1 > 0 → x2 + x + 1 < 0 และ Rr = [0, 2] 2 แยกตวั ประกอบไมอ่ อก แสดงวา่ กอ้ นนี้เป็นบวกเสมอ หรอื ทดลองจดั กาํ ลงั สองสมบูรณก์ ไ็ ด้ ไดผ้ ลดังนี้ -1 → (x + 1)2 + 3 <0 เป็นไปไม่ได้ ∴ Dr = ∅ (16.3) กราฟสรา้ งจากพาราโบลา y = x2 − 4 2 4 แตว่ า่ มคี า่ สัมบรู ณ์ ข. เนอื่ งจาก Dr = ∅ จะได้ Rr = ∅ ดว้ ย ทาํ ให้ y > 0 เสมอ กราฟดา้ นล่างทค่ี า่ y ติดลบ (15.5) ก. y2 = x+2 → x+2 > 0 → จะถกู พลิกขน้ึ ดา้ นบนใหเ้ ป็น x2 − 1 x2 − 1 คา่ บวก ดงั ภาพ x + 2 > 0 เขียนเสน้ จาํ นวนได้ ∴ Dr = R, Rr = [0, ∞) (x − 1)(x + 1) (17.1) Rr−1 = Dr ⇒ Dr = [−2, −1) ∪ (1, ∞) x2 − 4 ≠ 0 → (x − 2)(x + 2) ≠ 0 หมายเหตุ x2 − 1 ≠ 0 รวมอยใู่ นเสน้ จํานวนแล้ว ดงั นน้ั Rr−1 = R − {2, −2} ข. x2y2 − x − y2 − 2 = 0 (17.2) x2 − 4 ≠ 0, x2 − 4 > 0 → x = 1± 1 + 4y4 + 8y2 2y2 ดังนน้ั x2 − 4 > 0 → Rr−1 = R − [−2, 2] (17.3) Rr−1 = R − {2} → 1 + 4y4 + 8y2 > 0 เปน็ จรงิ เสมอ ดังนนั้ Rr = R Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 140 ความสัมพันธแ ละฟง กชนั (17.4) 2x2 − 3x − 2 > 0 → (22) y2 = 1 → 9 − x2 = 1 → 9 − x2 y2 (2x + 1)(x − 2) > 0 → x ∈(−∞, −1/2] ∪ [2, ∞) และ 3x − 1 + 2 2x2 − 3x − 2 > 0 → x2 = 9 − 1 = 9y2 − 1 → 9y2 − 1 > 0 y2 y2 y2 2 2x2 − 3x − 2 > 1 − 3x น่นั คอื (3y − 1)(3y + 1) > เขยี นเสน้ จาํ นวนได้ผล ถ้า x > 1 → 4(2x2 − 3x − 2) < 1 − 6x + 9x2 y2 0 3 เป็น Rr = R − (− 1 , 1) = U → x2 + 6x + 9 > 0 → (x + 3)2 > 0 เสมอ 33 ถ้า x < 1 → ... → (x + 3)2 < 0 เป็นไปไม่ได้ ก. ∃x∀y[x + y = y] ไมถ่ กู เพราะ x + y = y 3 ∴ Rr−1 = [2, ∞) เทา่ นนั้ แสดงวา่ x = 0 แตใ่ น U ไม่มี 0 (18) 1+ y R − {0} ข. ∀x∃y[x + y = 0] ถูก เพราะไมว่ ่าหยบิ x ตัวใด y x = → Rr = กจ็ ะหา y ทต่ี รงเงอื่ นไขได้เสมอ (23.1) Dr = [−4, 4] 1 4 x−1 xy −y = 1→ y = → Dr = R − {1} Rr = [−4, 4] ดังนนั้ Rr − Dr = {1} -4 4 (19) ก.>x 11; x − 2 0 → x 2 (23.2) Dr = [0, 4] -4 x > 11; 15 − x > 0 → x < 15 Rr = [−2, 2] 22 (2,0) นาํ มารวมกนั ไดเ้ ป็น Dr = [2, 15] (23.3) y + 2 = x2 + 2x → y + 3 = (x + 1)2 ข. ในช่วง 2 < x < 11 จะได้ y2 = x − 2 Dr = R แสดงวา่ y มคี ่าเพิม่ ข้ึนจาก 0 ไปถึง 3 ส่วนในชว่ ง 11 < x < 15 จะได้ y2 = 15 − x Rr = [−3, ∞) แสดงว่า y มคี ่าลดลงจาก 2 ถงึ 0 (-1,-3) (จะใชว้ ิธีทดลองพลอ็ ตเปน็ กราฟพาราโบลากไ็ ด)้ สรปุ Rr = [0, 3] → A = Dr ∩ Rr = [2, 3] และผลบวก 3 + 2 = 5 (20) x = y2 + 1 → Rr = R (23.4) กราฟเหมอื นขอ้ ทแี่ ลว้ 2y2 + 1 แต่มแี คช่ ว่ งเดยี ว (2,6) y2 = x−1 → x−1 <0 → Dr = (1 , 1] Dr = [−3, 2) (-3,2) (-1,-3) 1 − 2x 2x − 1 2 ดังนน้ั Rr ∩ Dr ' = R − (1 , 1] Rr = [−3, 6) 2 จาํ นวนเตม็ บวกทน่ี ้อยท่ีสดุ คอื 2 (24) 1 (21) Dr−1 = Rr → x2 − 2x − 3 = 1 → y 1 x2 − 2x +1 = 1 + 3 +1 → 1 1 y -1 (x − 1)2 = 1 + 4 = 4y + 1 → 4y + 1 > 0 yy y (24.1) 1 ตร.หนว่ ย (24.2) 1/2 ตร.หนว่ ย เขียนเส้นจาํ นวนได้ (−∞, −1 / 4] ∪ (0, ∞) ดังนนั้ คอมพลีเมนต์คอื (−1 / 4, 0] 1 1 -1 -1 1 (24.4) หาคา่ ไมไ่ ด้ (24.3) 1 ตร.หน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 141 ความสมั พนั ธแ ละฟงกชัน (25) หาจดุ ยอดของ Δ ไดเ้ ปน็ (30) A = [−1, 3] (3,8) (1, 2), (−2, −1), (2.5, −1) 4 (-1,0) 1 ดังนน้ั พื้นท่ี = 1 × 3 × 4.5 -1 2 (0,-1) 2 -1 r = {(x, y) | x2 = y + 1, x ∈ [−1, 3]} = 6.75 ตร.หนว่ ย 4 จะได้ Rr = [−1, 8] (26.1) 2 (31) พ้นื ท่ี = 1 × 8 × 8 24 r r−1 r = r−1 2 2 − 1×4×4 2 (31.1) ผดิ (31.2) ถกู 14 2 r = r−1 r r−1 2 = 32 − 8 = 24 ตร.หนว่ ย (26.2) (31.3) ถูก (31.4) ผดิ พืน้ ที่ = 4 × (1 × 2 × 3) 2 = 12 ตร.หนว่ ย (26.3) พ้ืนที่ = 1 × (π × 22) 4 = π ตร.หนว่ ย (26.4) (32) พื้นที่ = 4(1 × 1 × 2) 2 2 4 r2 = r1−1 = 4 ตร.หนว่ ย r1 4 1 พ้ืนที่ = 1 (π × 42) 4 r1 ∩ r2 (33) ใช้วธิ สี ังเกตว่า x เดยี วใหค้ า่ y เดียวหรอื ไม่ 4 (ถา้ มี yเลขคู่ หรือ |y| จะไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชัน, ถา้ มี xเลขคู่ 4 หรอื |x| จะไม่เป็น 1-1) หรอื จะใช้วิธีเขยี นรูปกราฟก็ = 4π ตร.หนว่ ย ได้ (ถ้ามีเสน้ ตรงในแนวตง้ั ท่ีตดั กราฟเกิน 1 จดุ ได้ จะ ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั , ถ้ามเี สน้ ตรงแนวนอนทต่ี ดั กราฟเกิน (27) 1 จดุ ได้ จะไม่เปน็ 1-1) 8 2 33.1 33.3 33.2 พืน้ ที่ = 4 ( + ) 4 (8/3,8/3) 48 (33.1) เปน็ ฟงั กช์ นั แตไ่ ม่เปน็ 1 − 1 (33.2) ไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน = 4 (1 × 8 × 4 + 1 × 8 × 4) 2 (33.3) เป็นฟังกช์ นั 1 − 1 2 23 2 33.4 33.5 33.6 = 256 ≈ 85.33 ตร.หนว่ ย 24 3 (33.4) เป็นฟังกช์ ัน แตไ่ ม่เป็น 1 − 1 (33.5) ไม่เป็นฟงั กช์ นั (28) (33.6) เปน็ ฟังกช์ นั 1 − 1 A = Dr1∩ r2 = [−4, 4] B = [−2, 2] A − B = [−4, −2) ∪ (2, 4] ผลบวก = −4 − 3 + 3 + 4 = 0 (29) แก้ระบบสมการ ได้จดุ ตดั ทง้ั สเี่ ปน็ - 53 -5 5 53 (±7, ±2) ดังนนั้ Dr1∩r2 = [−7, −5] ∪ [5, 7] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 142 ความสัมพนั ธและฟงกช นั 33.7 33.8 (38) ฟงั กช์ นั จาก R ไปท่วั ถงึ [0, ∞) แสดงว่า Df = R และ Rf = [0, ∞) (33.7) f(x) = (x + 1)2 + 3 เปน็ ฟังกช์ นั แต่ไม่ พจิ ารณาทกุ ขอ้ แล้ว Df = R แนน่ อน เพราะ x 24 เปน็ เทา่ ใดก็ได้ ดงั นนั้ ตอ้ งพจิ ารณา Rf ว่าเปน็ เทา่ ใด (38.1) ใช่ เพราะ y > 0 เป็น 1 − 1 (38.2) ไม่ใช่ เพราะ y − 2 = (x − 1)2 → y > 2 (33.8) เปน็ ฟงั กช์ นั 1 − 1 (38.3) ใช่ เพราะ x2 − 4 > −4 → y > 0 (33.9) เปน็ ฟังกช์ นั แตไ่ มเ่ ปน็ 1 − 1 (38.4) ใช่ เพราะ y =|x + 1|3 → y > 0 (33.10) เปน็ ฟังก์ชัน แตไ่ ม่เป็น 1 − 1 (39.1) เป็น เพราะเปน็ เสน้ ตรง ความชนั 5 (39.2) ไมเ่ ป็น (ความชัน −2 ) 34.1 34.2 (39.3) และ (39.4) ไมเ่ ปน็ เพราะเปน็ พาราโบลา หงาย (มชี ่วงทเ่ี กดิ ฟังก์ชันลดดว้ ย) (34.1) ไมเ่ ป็น (34.2) เปน็ (39.5) f(x) − 2 = (x − 2)3 และ (35) มเี พียง (35.4) ทีเ่ ปน็ ดงั รปู (39.6) f(x) = (x + 1)3 เปน็ ทงั้ สองขอ้ ดงั รูป 35.1 35.2 39.5 39.6 (2,2) (-1,0) x+y=1 (40.1) y = x2 − 2x + 4 → y − 3 = (x − 1)2 x+y=-1 → Df = R, Rf = [3, ∞) (รูปพาราโบลาหงาย) 35.3 (40.2) y = (x − 5)(x + 5) → Df = R − {5} x −5 35.4 ดงั นนั้ Rf = R − {10} ... เพราะ x ≠ 5 (40.3) ก. y = 1 + x2 → Df = R − {0} x (36) เปน็ 1 − 1 ทุกขอ้ ยกเวน้ (36.4) ดงั รูป ข. x2 − xy + 1 = 0 → x = y ± y2 − 4 2 36.1 36.2 3 (4,-3) → y2 − 4 > 0 → Rf = R − (−2, 2) 3/2 (41) −2 < t + 3 < 8 → − 5 < t < 5 ดังนนั้ f(t + 3) = (t + 3)2 เมอ่ื −5 < t < 5 (42.1) ให้ A = x + 1 → x = A − 1 → จะได้ 36.3 36.4 3 f(A) = (A − 1)2 + 3(A − 1) + 9 (-4,3) = A2 + A + 7 ดงั นน้ั f(x) = x2 + x + 7 (42.2) ให้ 2 = x2 − 1 จะได้ x2 = 5 ดงั นนั้ f(2) = 5 + 2 = 7 (37) ฟังกช์ นั จาก R ไป R แสดงวา่ Df = R (37.1) ไมใ่ ช่ เพราะ 9 − x2 > 0 แสดงวา่ −3 < x < 3 เทา่ นนั้ (37.2) ใช่ เพราะ 9 + x2 > 0 เสมอ → x ∈ R (37.3) ไมใ่ ช่ เพราะ x ≠ 0 (37.4) ไม่ใช่ เพราะ x = 5 −|y|→ x < 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 143 ความสมั พันธและฟงกชัน (42.3) f(4x) = 4x (48) อนิ เวอร์สจะเปน็ ฟงั กช์ นั กต็ อ่ เมอื่ f เป็น 4x + 2 ฟังกช์ นั 1-1 ดังนั้นใหต้ รวจสอบวา่ แตล่ ะขอ้ เปน็ ฟังก์ชนั 1-1 หรอื ไม่ ดังนี้ แต่ f(x) = x → xf(x) + 2f(x) = x (48.1) เปน็ เพราะ y = x2 เมือ่ x > 0 x +2 และ y = −x2 เมื่อ x < 0 ดงั รปู → xf(x) − x = −2f(x) → x = −2f(x) 48.1 f(x) − 1 48.2 ดงั นั้น f(4x) = 4x = 1 1 = 4x + 2 1+ 2x 1 1) = 4f(x) 1 1 − (f(x) − 3f(x) + 4f(x) (43.1) (gof)(x) = g(2x) = 2x + 3 48.3 และ (fog)(x) = f(x + 3) = 2x + 6 (43.2) (gof)(x) = g(x + 1) = x + 1 48.4 และ (fog)(x) = f( x) = x + 1 (48.2) ไมเ่ ปน็ เชน่ y=1 จะได้ x=0 หรอื -2 (48.3) ไมเ่ ป็น เช่น y=0 จะได้ x=3 หรอื -3 (43.3) (gof)(x) = g(4x + 1) = (4x + 1)2 (48.4) ไม่เป็น เช่น y=1 จะได้ x=1 หรอื -1 (49.1) จาก y = 5 − x ; y > 0 กลายเป็น และ (fog)(x) = f(x2) = 4x2 + 1 (43.4) ก. กรณแี รก (gof)(x) = g( 4−x) = 4 − x + 1 = 5 − x x = 5 − y → y = 5 − x2 ; x > 0 เม่ือ “ x < 0 และ 4 − x > 2 ” → x < 0 (49.2) จาก y = 5x + 4 ; y > 0 กลายเป็น กรณที ส่ี อง (gof)(x) = g(6 − x) = (6 − x)2 + 1 x = 5y + 4 → y = x2 − 4 ; x > 0 เมือ่ “ x > 4 และ |6 − x| > 2 ” → x > 8 5 ข. กรณีแรก (fog)(x) = 4 − (x2 + 1) = 3 − x2 (49.3) จาก y = x − 1 กลายเปน็ 3 เม่ือ “|x|> 2 และ x2 + 1 < 0 ” ... เปน็ ไปไมไ่ ด้ กรณที ีส่ อง (fog)(x) = 6 − (x2 + 1) = 5 − x2 x = y − 1 → y = 3x + 1 เม่ือ “|x| > 2 และ x2 + 1 > 4 ” →|x| > 2 3 (44) 3f(x)2 − 2f(x) + 1 = f(x)2 − f(x) + 2 → (49.4) จาก y = 1 กลายเป็น x−1 x = 1 → y = 1 + 1; x ≠ 0 2f(x)2 − f(x) − 1 = 0 → f(x) = − 1 หรอื 1 y−1 x 2 (49.5) จาก y = x − 2 กลายเป็น ดังนนั้ (gof)(1) = g(f(1)) = g(− 1) หรอื g(1) x−3 2 x = y − 2 → xy − 3x = y − 2 = 11 / 4 หรอื 2 y−3 (45) g(x) + 1 = x → xg(x) = g(x) + 1 → y = 3x − 2 ; x ≠ 1 g(x) x−1 → g(x) = 1 ; x ≠ 1 (49.6) จาก y = x กลายเป็น x−1 2x − 1 x = y → 2xy − x = y (46) f(x)2 + f(x) + 2 = x2 − x + 2 2y − 1 → [f(x) + 1]2 = [x − 1]2 22 → y = x ;x ≠ 1 2x − 1 2 → f(x) = x − 1 หรอื f(x) = −x (47) (fof)(x) = 4x − 9 (49.7) จาก y = 2x − 3 กลายเป็น 3x − 2 → A(Ax + B) + B = 4x − 9 → x = 2y − 3 → 3xy − 2x = 2y − 3 3y − 2 A2 = 4 และ AB + B = −9 โจทยใ์ ห้ A > 0 ดงั นน้ั A = 2 → B = −3 → y = 2x − 3 ; x ≠ 2 3x − 2 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 144 ความสมั พนั ธแ ละฟง กชนั (50) กรณแี รก x = 2y + 2 ; y > 0 (53.2) หา f−1(−1) → 4x − 5 = −1 → x = 1 → y = x + 1 ;x > 2 → f−1(−1) = 1 + 3 = 4 2 (gof−1)(−1) = g(4) → ให้ x − 3 = 4 → x = 7 (เงือ่ นไขมาจาก y > 0 ∴ 2y + 2 > 2 ) กรณที ส่ี อง x = −y2 − 1 ; y < 0 → g(4) = 2 − 3(7) = −19 (53.3) หา g−1(−4) → 2 − 3x = −4 → x = 2 → y = − −x − 1 ; x < −1 → g−1(−4) = 2 − 3 = −1 (เครอ่ื งหมายลบเท่านน้ั เพราะ y < 0 เสมอ) (f−1og−1)(−4) = f−1(−1) = 4 (หาไวแ้ ลว้ ในขอ้ ทีแ่ ล้ว) (เงอื่ นไขมาจาก y < 0 → −y2 < 0 → )∴ −y2 − 1 < −1 (53.4) หา f−1(3) → 4x − 5 = 3 → x = 2 → f−1(3) = 2 + 3 = 5 ดงั นนั้ ⎧⎪ x +1 ; x>2 (g−1of−1)(3) = g−1(5) = −4 (หาไว้แล้วในข้อแรก) ⎨ 2 f−1(x) = (54.1) กรณีแรก g−1(0) = − 1 2 ⎩⎪ − x − 1 ; x < −1 (51.1) f−1(4x + 3) = 3x − 4 ใช้ไมไ่ ด้เพราะ − 1 >0 2 ให้ A = 4x + 3 → x = A − 3 → 4 กรณที ีส่ อง g−1(0) = − 1 ใช้ได้ เพราะ − 1 < 0 33 จะได้ f−1(A) = 3(A − 3) − 4 = 3A − 25 44 ตอ่ มา f−1(− 1) หาโดยให้ 2x + 3 = − 1 33 → f−1(x) = 3x − 25 4 → x = −5 ∴ f−1(− 1) = − 5 + 1 = − 2 3 (51.2) f−1(x − 1) = x + 1 → 33 3 22 (54.2) f−1(0) หาจาก 2x + 3 = 0 → x = − 3 ให้ A = x − 1 → x = 2(A + 1) → 2 2 → f−1(0) = − 3 + 1 = − 1 f−1(A) = 2(A + 1) + 1 = A + 2 → f−1(x) = x + 2 22 2 กรณแี รก g−1(− 1) = − 3 ใชไ้ ม่ได้เพราะ − 3 > 0 (51.3) f−1(5x − 7) = x + 1 → 24 4 x−3 กรณที ส่ี อง g−1(− 1) = − 1 ใช้ได้เพราะ − 1 < 0 ให้ A = 5x − 7 → x = 3A − 7 22 2 x−3 A −5 ตอบ − 1 2 ∴ f−1(A) = 3A − 7 + 1 = 4A − 12 A −5 A −5 (55.1) กรณแี รก (f − g)(x) = −2x − x2 → f−1(x) = 4x − 12 ; x ≠ 5 เมือ่ x > 0 และ x > 3 → x > 3 x −5 กรณที ี่สอง (f − g)(x) = −2x + x = −x (51.4) f(2x + 1) = 3f(2x + 1) − 3x + 2 เม่ือ x > 0 และ x < 3 → 0 < x < 3 กรณที ่ีสาม (f − g)(x) = 3 + x → f(2x + 1) = 3 x − 1 → f−1(3 x − 1) = 2x + 1 22 เมอ่ื x < 0 และ x < 3 → x < 0 (55.2) Df / g = Df ∩ Dg โดยที่ g(x) ≠ 0 ให้ A = 3 x − 1 → x = 2 (A + 1) → 23 ดังนน้ั x ≠ 0 → Df / g = R − {0} จะได้ f−1(A) = 2(2)(A + 1) + 1 = 4A + 7 (56.1) [(gof) + h](x) = 1 − x + 1 + 1 − x2 33 เงือ่ นไขคอื x + 1 > 0 → x > −1 ∴ f−1(x) = 4x + 7 และ 1 − x + 1 > 0 → x < 0 3 นัน่ คอื เงอื่ นไขของ x เปน็ −1 < x < 0 (52) f−1(x3 − 3x2 + 3x + 5) = x − 1 → (56.2) (fog)(x) = 1− x + 1 ให้ x3 − 3x2 + 3x + 5 = 5 h 1 − x2 จะได้ x = 0 เทา่ นน้ั → ∴ f−1(5) = 0 − 1 = −1 (53.1) หา g−1(5) โดย g−1(2 − 3x) = x − 3 → เงือ่ นไขคอื 1 − x > 0 → x < 1 ให้ 2 − 3x = 5 → x = −1 → g−1(5) = −4 หา (fog−1)(5) = f(−4) โดยให้ x + 3 = −4 1 − x + 1 > 0 → เปน็ จริงเสมอ → x = −7 → f(−4) = −33 และ 1 − x2 ≠ 0 → x ≠ 1, x ≠ −1 สรปุ เงอ่ื นไขของ x คือ x ∈ (−∞, 1) − {−1} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 145 ความสมั พนั ธและฟงกชนั (57.1) f(2x − 3) = 3x − 2 (60.2) f(1) = 2 − 1 = 1 → → f(A) = 3(A + 3) − 2 → f(x) = 3x + 5 หา g−1(1) + f−1(1) = 2 + 1 = 5 22 33 ∴ f−1(x) = 2x − 5 ... (61.1) หา f(2) โดย f( x ) = x → 3 x −2 จาก (f + g)(x) = x2 + x − 3 จะได้ ให้ x = 2 → x = 4 → f(2) = 4 x −2 g(x) = x2 + x − 3 − 3x + 5 2 หา g(2) โดย (fog)(x) = x + 2 → f(g(2)) = 4 ∴ (g + f−1)(x) = x2 + x − 3 − 3x + 5 + 2x − 5 → g(2) = f−1(4) = 4 = 2 23 4−2 = x2 + x − 43 ดงั นน้ั (f + g)(2) = 4 + 2 = 6 6 (61.2) f−1(4) = 2 (หาแลว้ ในขอ้ ท่ีแลว้ ) x2 + x − 3 − 3x + 5 (gof)(4) = g(f(4)) 2 (57.2) (g)(x) = หา f(4) โดย x = 4 → x = 8 f 3x + 5 2 x −2 3 = 2x2 − x − 11 ; x ≠ − 5 → f(4) = 8 3x + 5 3 3 (58) g(x + 5) = x2 − 25 หา g(8) โดย f(g(8)) = 8 + 2 = 14 3 33 3 → g(A) = (A − 5)2 − 25 → g(x) = x2 − 10x → g(8) = f−1(14) = 14 / 3 = 7 ∴ (f)(x) = x +5 ; x ≠ 0, 10 3 3 14 / 3 − 2 4 g x2 − 10x ดงั นน้ั ตอบ 7 ⋅ 2 = 7 (59.1) f−1(−2) → 4x = −2 → x = − 1 42 2 → f−1(−2) = − 1 (62.1) หา f(3) + f−1(3) → g(3) 2 f(3) ไดจ้ าก f(2x + 3) = x + 1 → 2x + 3 = 3 g(−2) = (−2)2 + 1 = 5 จะได้ กรณแี รก h−1(−2) = −3 ใชไ้ ม่ได้ เพราะ −3>0 → x=0 ∴ f(3) = 1 กรณที ่ีสอง h−1(−2) = −1 ใช้ได้ เพราะ −1 < 0 f−1(3) ไดจ้ าก f−1(x + 1) = 2x + 3 → x + 1 = 3 ดงั นนั้ ไดค้ ําตอบ − 1 + 5 − 1 = 7 → x = 2 → f−1(3) = 2(2) + 3 = 7 22 g(3) ไดจ้ าก f(g(3)) ⇒ x − 1 = 3 → x = 4 (59.2) หาค่า (gof−1)(2) ⋅ h(2) → f(g(3)) = 20 + 1 = 21 → f−1(2) → 4x = 2 → x = 1 2 g(3) = f−1(21) = 2(20) + 3 = 43 → f−1(2) = 1 ; g(1) = 1 + 1 = 5 ดงั นนั้ ตอบ 1 + 7 = 7 1 2 24 4 43 43 h(2) = 2 + 1 = 3 → ไดค้ าํ ตอบ 5 ⋅ 3 = 15 (62.2) f−1(1) หาจาก x + 1 = 1 → x = 0 44 → f−1(1) = 2(0) + 3 = 3 (60.1) f(x) + g(x) = 2x + 1 และ หา (fg)(3) = f(3) ⋅ g(3) f(x) − g(x) = 3 − 4x หาแลว้ จากข้อแรก คอื 1 ⋅ 43 = 43 แก้ระบบสมการ จะได้ f(x) = 2 − x และ g(x) = 3x − 1 → (fog)(x) = 2 − (3x − 1) = 3 − 3x หา (fog)−1(−2) → ให้ 3 − 3x = −2 → x = 5 3 → (fog)−1(−2) = 5 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 146 ความสัมพันธและฟง กชัน eÃèo× §æ¶Á หลกั ในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั fog.. สมมตวิ า่ f (x) = x2 + 6 และ g(x) = 3 − x2 ต้องการหา Dfog ไม่ควรคดิ โดยหา fog ก่อนแล้วจึงหาโดเมนและเรนจ์ เพราะคาํ ตอบทีไ่ ด้อาจผดิ ในตวั อยา่ งนี้ หากคิดโดยหา fog ก่อน จะเปน็ 2 3 − x 2 + 6 = 3 − x2 + 6 = 9 − x2 ( )(f D g)(x) = หาโดเมนไดจ้ ากเงื่อนไข 9 − x2 > 0 จะไดค้ ําตอบคอื x ∈ [−3, 3] แต่เปน็ คาํ ตอบทผ่ี ดิ !! เชน่ เมอื่ เราพจิ ารณาค่า (f D g)(2) จะพบวา่ g(2) น้ันไมน่ ยิ าม.. ฟงั กช์ นั fog จงึ ไม่ควรมี 2 อยใู่ นโดเมน สาเหตทุ ่คี าํ ตอบผดิ ก็เพราะในการหา fog นน้ั มขี นั้ ตอนทเ่ี ครอื่ งหมายรทู้ ถกู ยกกาํ ลังสองใหห้ ายไป เงอ่ื นไขของโดเมน (ทอ่ี ยูใ่ นรทู้ ) กเ็ ลยหายไปดว้ ย.. หลักในการหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั ประกอบ (เช่น fog) ทถี่ ูกตอ้ งเปน็ ดงั น้ี (1) เขยี น f(g(x)) โดยใส่ g(x) ลงไปใน f กอ่ น (ต้องคงคา่ g(x) ไว้ อย่าเพิ่งแทน x ลงไป) (2) ถา้ หา Dfog ใหพ้ จิ ารณาโดเมนของ f(g(x)) ที่เราเขียน ว่า g(x) เปน็ อะไรไดบ้ า้ ง แลว้ จงึ ยอ้ นไปคดิ x ถา้ หา Rfog ใหห้ าเรนจ์ของ g(x) ก่อนแล้วเอามาใสล่ งใน f(g(x)) ท่ีเราเขียนไว้ เพื่อให้ทราบเรนจ์ ตัวอยา่ ง กาํ หนดให้ f (x) = 1 และ g (x) = 4 − x2 ใหห้ าเซต Dfog และ Rfog 1− x2 เริ่มต้น เขยี น (f D g)(x) = 1 ก่อน 1 − g(x)2 ก. หาโดเมน; พจิ ารณาเงอ่ื นไขรทู้ และเปน็ ตวั สว่ น ดงั นน้ั 1 − g(x)2 > 0 แยกตวั ประกอบแล้วเขยี นเสน้ จํานวน จะได้ −1 < g(x) < 1 จากนัน้ จึงแทน x ลงไปไดว้ า่ −1 < 4 − x2 < 1 → 0 < 4 − x2 < 1 → 3 < x2 < 4 ดงั นน้ั Dfog = [−2, − 3) ∪ ( 3, 2] ข. หาเรนจ;์ เรมิ่ จากหาเรนจข์ อง g(x) ซ่งึ อาจมองลัดไดด้ ังน้ี จาก x ∈ R → x2 > 0 → 4 − x2 < 4 → 0 < 4 − x2 < 2 ...แสดงว่า g(x) มคี า่ ในชว่ ง [0,2] นาํ ขอบเขตของคา่ g นี้ไปใส่ใน f ตอ่ ได้เปน็ 0 < g (x) < 2 → 0 < g (x)2 < 4 → − 3 < 1 − g (x)2 < 1 → 0 < 1 − g (x)2 < 1 ดงั นนั้ 1 < 1 <∞ แสดงวา่ Rfog = [1, ∞) 1 − g (x)2 เพ่ือทดสอบความเขา้ ใจ ลองดัดแปลงวธิ เี พอื่ หา Dgof และ Rgof ของตวั อยา่ งนด้ี ูนะครบั (เร่ิมจากเขียน g(f(x)) โดยคงคา่ f(x) ไว้ อยา่ เพงิ่ แทน x ลงไป) คาํ ตอบท่ีถูกคือ [− 3/2, 3/2] และ [0, 3] ตามลาํ ดบั .. และนอกจากนี้ยงั มใี นขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั อยหู่ ลายครั้งด้วย กล็ องฝึกทําได้ครับ (ตามเลขขอ้ ท่รี ะบไุ วใ้ น “ขอ้ สอบเขา้ ฯ แยกตามหวั ขอ้ ”) :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 147 กาํ หนดการเชงิ เสน linear º··Õè 6 ¡íÒ˹´¡ÒÃeª§i eʹ กําหนดการเชงิ เสน้ (Linear Programming) เปน็ เทคนคิ ท่ีเรมิ่ ใชใ้ นปี ค.ศ. 1947 ในชว่ งท่ี สหรัฐอเมรกิ ากาํ ลังประสบปญั หาทรพั ยากรไม่เพียงพอ และตอ้ งหาวิธีจัดสรรใหไ้ ดป้ ระโยชน์สงู ทสี่ ดุ เทคนคิ การแก้ปัญหาแบบน้นี ําไปใชใ้ นหลายดา้ น เช่น การ ผลติ สินคา้ แต่ละประเภทดว้ ยวตั ถดุ บิ ท่ีมีใหไ้ ด้กาํ ไรสงู ทสี่ ุด การขนสง่ ให้ส้นิ เปลอื งนอ้ ยทสี่ ดุ การหาปริมาณ วตั ถุผสมให้ได้สว่ นประกอบตามตอ้ งการโดยเสยี คา่ ใชจ้ ่ายนอ้ ยที่สุด การมอบหมายงานให้แต่ละกลุ่ม เพือ่ ให้งานสาํ เรจ็ ในเวลาน้อยทสี่ ดุ ฯลฯ ตัวอยา่ งสถานการณ์ ในการผลิตเกา้ อี้สองชนดิ คือขนาดเล็กและขนาดใหญ่ พบว่า เก้าอ้ี ขนาดเล็กแตล่ ะตัวตอ้ งเสยี เวลาในการเลือ่ ยไม้ 1 ช่ัวโมง ประกอบและตกแต่ง 2 ชัว่ โมง ขายได้กําไร ตวั ละ 30 บาท สว่ นเก้าอีข้ นาดใหญ่ต้องเสียเวลาในการเลอื่ ยไม้ 2 ชัว่ โมง ประกอบและตกแตง่ 2 ชัว่ โมง และขายได้กาํ ไรตวั ละ 50 บาท ถ้าหากคนงานเลอ่ื ยไม้ทาํ งานได้วนั ละไม่เกนิ 8 ช่วั โมง และ คนงานประกอบตกแตง่ ทาํ งานไดว้ นั ละไม่เกิน 10 ชวั่ โมง ต้องการทราบวา่ ในแตล่ ะวนั ควรจะผลิตเก้าอี้ แต่ละชนิดเปน็ จํานวนเท่าใดจงึ จะไดก้ ําไรมากท่ีสดุ และไดก้ ําไรเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 148 กาํ หนดการเชงิ เสน ขน้ั ตอนการแก้ปัญหา จะเร่ิมจากการเปล่ียนสถานการณใ์ หเ้ ป็น แบบจาํ ลองทาง คณิตศาสตร์ ก่อน โดยสมมติตวั แปร x และ y แทนจาํ นวนผลิตทเ่ี ราตอ้ งการทราบ นั่นคอื ให้ x แทนจาํ นวนเก้าอข้ี นาดเล็กท่ีผลติ ใน 1 วนั y แทนจํานวนเก้าอี้ขนาดใหญ่ทผี่ ลิตใน 1 วัน 1. สิง่ ทเ่ี ราต้องการคือกาํ ไรมากท่ีสดุ ดงั นน้ั ถ้าให้ P แทนกําไรท่ไี ด้ จะเขยี นเป็นสมการไดด้ ังนี้ P = 30 x + 50 y เรียกวา่ สมการจดุ ประสงค์ หรือ ฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ (P เป็นฟงั กช์ นั ท่ีข้ึนกบั ตัวแปร x และ y) 2. เง่ือนไข (หรือขอ้ จํากัด) ท่มี ีอยู่ ไดแ้ ก่จํานวนชว่ั โมงทํางานของคนงานเลือ่ ยไม้ และคนงาน ประกอบตกแตง่ ซง่ึ นํามาเขยี นเปน็ อสมการได้ดงั น้ี (เล่อื ยไม)้ x+2y < 8 (ประกอบตกแต่ง) 2 x + 2 y < 10 ค่า x และ y เปน็ จาํ นวนเก้าอ้ี จงึ ไม่สามารถเปน็ ค่าติดลบได้ x>0 y>0 เน่อื งจาก x และ y ตอ้ งอย่ภู ายใตเ้ งอ่ื นไขเหล่านี้ จงึ เรียกอสมการท้ังสว่ี า่ อสมการขอ้ จาํ กดั 3. เขยี นกราฟของระบบอสมการข้อจํากดั และแรเงาบริเวณท่ี “ตรงตามเง่ือนไขทกุ ข้อ” y เรยี กบริเวณทแ่ี รเงานว้ี า่ อาณาบริเวณท่หี าคาํ ตอบได้ 5 (Feasible Region) เน่อื งจากค่า x และ y ทเี่ ปน็ 4 2x + 2y = 10 ไปได้ จะตอ้ งอยใู่ นบรเิ วณท่ีแรเงาเท่านัน้ x + 2y = 8 O 58 x 4. หาจุดยอดมุมทง้ั หมดของบรเิ วณท่แี รเงา (ถ้าเป็นจดุ ทเ่ี กิดจากเส้นตรงตัดกัน ไม่ได้อยูบ่ นแกน x หรอื y ก็ต้องใชว้ ธิ ีแกร้ ะบบสมการเพ่อื หาจุดตัด) ในตวั อยา่ งน้ีหาจดุ ยอดมุมได้เป็น (0, 0),(0, 4),(2, 3),(5, 0) คอู่ ันดับ x และ y เหล่าน้เี ท่านน้ั ที่มโี อกาสทําให้เกดิ ค่า P มากที่สดุ ดังตอ้ งการ 5. นําคอู่ ันดับ x และ y ทงั้ สี่จดุ ท่ีได้ ไปหาค่า P จะพบวา่ ค่า P ท่ีมากท่สี ดุ เกดิ เมอ่ื (x,y) = (2,3) คือ P = 30 (2) + 50 (3) = 210 สรุปวา่ ใน 1 วนั ควรผลติ เกา้ อขี้ นาดเลก็ 2 ตัว ขนาดใหญ่ 3 ตัว จึงจะทาํ ให้ไดก้ ําไรมากทสี่ ุด และ กําไรท่ีมากทีส่ ุดนัน้ เทา่ กบั 210 บาท ขอ้ สังเกต 1. ฟงั กช์ นั ทตี่ อ้ งการค่าสูงสดุ มักใหช้ ่ือเปน็ P (Profit), คา่ ตํ่าสดุ เปน็ C (Cost) 2. ในทกุ สถานการณ์ นอกจากขอ้ จํากัดท่โี จทยใ์ หม้ าแลว้ มกั จะตอ้ งเพ่มิ อสมการ x > 0 , y > 0 ดว้ ยเสมอ (คอื ค่า x และ y โดยสว่ นมากไม่สามารถเปน็ คา่ ลบได)้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 149 กาํ หนดการเชิงเสน 3. ในบางสถานการณ์ คา่ x หรอื y อาจตอ้ งเป็นจํานวนเต็มเท่านนั้ หากค่าทไี่ ด้เป็นคาํ ตอบไมใ่ ช่ จาํ นวนเตม็ กจ็ าํ เปน็ จะตอ้ งเลอื กจุดข้างเคียง (ภายในบริเวณที่แรเงา) ที่เปน็ จํานวนเต็ม และให้ผล ใกลก้ บั ค่าทตี่ ้องการมากทส่ี ุด ดังแสดงใหเ้ ห็นในตวั อย่างถดั ไป 4. ในบางครงั้ อาณาบริเวณท่ีแรเงาอาจลอ้ มรอบดว้ ยเสน้ ประ (เชน่ กรณีที่ในข้อจาํ กดั ใช้คําวา่ ระหวา่ ง, นอ้ ยกว่า, หรือ มากกว่า) จุดยอดมุมทีไ่ ด้เปน็ คําตอบยังไมส่ ามารถใช้ได้ ก็ต้องใช้วิธเี ลอื กจดุ ข้างเคยี ง ภายในบริเวณท่ีแรเงา เชน่ เดียวกนั • ตวั อยา ง โดยปกติเครื่องบินลาํ หนึง่ มีทีน่ ง่ั 15 ทีน่ งั่ บรรจุผูโดยสารและสินคารวมกันได 1,500 กก. แตถ า นาํ้ หนักสนิ คา มากกวานํา้ หนกั ผโู ดยสารเกนิ 200 กก. เครือ่ งบินจะเอียงและบนิ ไมได (สมมติวาผูโ ดยสารแต ละคนมีนํา้ หนักเฉลีย่ 75 กก.) ถามวา เทีย่ วบนิ แตล ะเที่ยวจะมีรายไดม ากทีส่ ุดเทา ใด หากคาโดยสารทีน่ ง่ั ละ 6,000 บาท และคาขนสง สนิ คา กโิ ลกรัมละ 100 บาท วธิ ีคิด ใหจ าํ นวนผูโ ดยสารเปน x คน และนํา้ หนักสินคาเปน y กโิ ลกรมั และ Z เปนรายไดต อ เทีย่ วที่ตองการ ดงั น้นั ฟงกชนั จุดประสงคคือ Z = 6000 x + 100 y สวนเงือ่ นไขทีม่ ีไดแก (1) ทีน่ ั่งผโู ดยสารมี 15 ทีน่ งั่ 0 < x < 15 (2) เครือ่ งบนิ บรรทุกได 1,500 กก. 75 x + y < 1500 (3) นาํ้ หนักสนิ คา มากกวา ผโู ดยสารไดไ มเกิน 200 กก. y − 75 x < 200 (4) (เพิ่มเตมิ เอง) น้าํ หนักสนิ คา ไมเ ปน คาตดิ ลบ y>0 หาอาณาบริเวณที่เปนคําตอบไดด ังกราฟ และจุดยอดมมุ ท้ังหมดไดแ ก y (0,0), (0,200), (8.67,850), (15,375), และ (15,0) 1,500 เมือ่ แทนคา ในฟงกช นั จดุ ประสงคแ ลว พบวา จดุ (8.67,850) ใหคา รายไดมากที่สุด คือ Z = 137,000 (8.67,850) แตม ีปญ หาวา x เปนจํานวนผโู ดยสาร ตอ งเปน จาํ นวน 200 (15,375) เตม็ เทา นัน้ เมื่อพิจารณาจดุ ใกลเ คียงในบริเวณทีแ่ รเงา จะ x มี (8,800) ซ่งึ ใหคา Z = 128,000 บาท O 15 20 และ (9,825) ซ่ึงใหค า Z = 136,500 บาท ดงั นั้นจงึ ตองเลือกจุดหลัง และไดค าํ ตอบวา เที่ยวบนิ แตล ะเที่ยวจะมีรายไดมากทีส่ ุด 136,500 บาท (เมื่อมีผโู ดยสาร 9 คน, สนิ คา 825 กก.) หมายเหตุ 1. การแก้ปัญหาด้วยกาํ หนดการเชงิ เสน้ นอกจากใช้หาค่าสูงสุดของฟงั ก์ชันจดุ ประสงค์แล้ว ยังใชก้ ับ หาค่าต่าํ สดุ ไดเ้ ช่นกนั โดยจดุ คาํ ตอบจะเปน็ หนง่ึ ในบรรดาจุดยอดมุม ทีท่ าํ ใหค้ ่าฟงั กช์ นั น้อยกว่าจดุ อน่ื 2. การที่คาํ ตอบทกุ ข้อจะเปน็ หนงึ่ ในจดุ ยอดมมุ เสมอ กเ็ พราะฟงั กช์ ันจดุ ประสงค์ Z = a x + b y มี ลกั ษณะเปน็ สมการเส้นตรง (ความชัน –a/b) ทแี่ ปรเปลี่ยนระดับความสูงไปตามค่า Z ดงั ภาพ จะ เห็นวา่ ค่าสูงสุดหรือต่าํ สดุ ของ Z ย่อมเกิดทจี่ ุดยอดมุมสุดท้าย กอ่ นเสน้ ตรงเส้นนีจ้ ะหลดุ ออกนอก บริเวณที่แรเงา (ดูภาพในหน้าถัดไปประกอบ) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 150 กาํ หนดการเชงิ เสน y y 6000x + 100y = 140000 6000x + 100y = 137000 6000x + 100y = 70000 x O xO 6000x + 100y = 0 3. ในตัวอย่างขอ้ นี้หากเปล่ยี นตัวเลขเปน็ S e¾Áèi eµiÁ! S ค่าโดยสารทีน่ ง่ั ละ 8,000 บาท จะทําให้ ฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์เปล่ียนเปน็ Ëŧa ¨Ò¡ÅÒ¡eʹµÃ§æµÅ aeʹ æÅÇ eʹµÃ§¨a溧 ÃÙ»oo¡e»¹Êo§ÊÇ ¹ ... eÃÒ Z = 8000 x + 100 y (ความชนั เปลี่ยน) ¾i¨ÒóÒÇÒ ¨aæÃe§Òã¹Êǹã´ä´ËÅÒÂǸi Õ eª¹ (1) ·´Åo§¹Òí ¨u´ã´¡çä´ã ¹ºÃiedz˹èÖ§ä»æ·¹ã¹oÊÁ¡Òà ¶Ò ¾ºÇÒ oÊÁ¡Òà ซึ่งจุดยอดมมุ ท่ีทําใหเ้ กิดคา่ มากท่สี ุด e»¹¨Ã§i ¡ç¨aæÃe§ÒÊǹ¹¹éa ¶Ò e»¹e·ç¨¡çãËæ Ãe§Òã¹oÕ¡ÊÇ ¹·eèÕ ËÅ×o กลายเป็นจดุ (15,375) กจ็ ะไมม่ ปี ญั หา (2) ãªÇ¸i ÕÁo§Å´a ¤×o¶Ò x > .. æÃe§Ò´Ò¹¢ÇÒ, ¶Òe»¹ x < .. æÃe§Ò´Ò¹«Ò เรื่องค่า x เปน็ ทศนิยม ËÃ×o´·Ù èÕ y ¡äç ´ ¶Òe»¹ y > .. æÃe§Ò´Ò¹º¹, ¶Òe»¹ y < .. æÃe§Ò´Ò¹ÅÒ § ** æµË ÒÁ´µÙ aÇæ»Ã·ÕèÊaÁ»ÃaÊ·i ¸iìµ´i ź¹a¤Ãaº! (e¾ÃÒa¼Å¨a¡Åºa ´Ò¹¡a¹) แบบฝกึ หดั (1) จงเขยี นกราฟแสดงบริเวณที่เป็นคาํ ตอบของระบบอสมการแตล่ ะข้อ พร้อมทัง้ หาจุดยอดมุมที่ เกดิ ขนึ้ ทง้ั หมดด้วย x+y < 4 x+y < 4 (1.1) 3 x − 2 y < 6 (1.2) 2 x − y < 4 x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 x+2y > 4 5x+3y > 0 (1.3) 2 x + 4 y < 12 (1.4) x − 2 y > 0 x > 0, y > 0 2<x<4 3x+y < 6 S ¨u´·è¼Õ i´ºoÂ! S (1.5) x−y < 1 ÊÒí ËÃaºº·¹éËÕ Ò¡ÁÕ¡ÃÒ¿eʹ µÃ§ÁÒ¡¡ÇÒ 2 eʹ æÅÇ ¤ÇÃe¢ÂÕ ¹ x+y < 4 ¡ÃÒ¿ãËã ¡Åe ¤Õ§Êa´ÊÇ ¹¨Ã§i ÁÒ¡·ÕèÊ´u e¾×oè äÁã ËÊaºÊ¹ÇÒ ¨u´ Âo´ÁuÁ¢o§¾×¹é ·æèÕ Ãe§Ò¹a¹é e¡i´¨Ò¡eʹ㴵´a ¡ºa eʹ ã´ºÒ §.. x > 0, y > 0 (2) สําหรับข้อ (2.1) ถงึ (2.3) ให้หาค่า P ทส่ี ูงทส่ี ุด หรือคา่ C ที่ตาํ่ ทส่ี ดุ และสาํ หรบั ข้อ (2.4) ถงึ (2.8) ใหห้ าทง้ั คา่ สูงสุดและตาํ่ สดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ P = 5x+3y (2.2) [พ้นื ฐานวศิ วะ’37] C = 2x+3y 2 x + 5 y < 300 x+y > 4 5 x + 2.5 y < 25 (2.1) x + y < 90 0<x<5 0<y<5 0 < x < 70 y>0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 660
Pages:
