สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 651 ฉบบั เขม ขน 3. ประเภทข้อมูลแบ่งตามแหล่งท่มี า - ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ ได้จากการรวบรวมเอง ซงึ่ จะทําได้ 2 ระดับ คอื ระดบั ตัวอยา่ ง (เรยี กวา่ การสาํ รวจ ตัวอย่าง) และระดบั ประชากร (เรียกว่าการสํามะโน) - ข้อมลู ทุตยิ ภูมิ มีผู้รวบรวมไวแ้ ลว้ เชน่ ข้อมูลในเอกสารราชการ รายงาน นติ ยสารต่างๆ 4. การแจกแจงความถ่ีของข้อมูล คือการจัดข้อมลู ท่ีมีอยู่ ให้เป็นกล่มุ ๆ เพอ่ื ความสะดวกในการ วิเคราะห์ และจัดเก็บ โดยดําเนินการดงั น้ี - แบ่งคา่ ข้อมูลท่ีเป็นไปได้ออกเปน็ ช่วงๆ ตามที่ตอ้ งการ เรียกแตล่ ะช่วงว่าอันตรภาคชน้ั - พจิ ารณาว่าข้อมูลทม่ี นี ้นั มีค่าอย่ใู นแต่ละช่วงเปน็ ปริมาณเท่าใด เรียกปริมาณข้อมูลแตล่ ะช่วงว่า ความถี่ 5. นยิ มเขยี นอันตรภาคชน้ั และความถ่ขี องแต่ละชน้ั ในรูปตาราง โดยกาํ หนดความกวา้ งแตล่ ะชน้ั เทา่ ๆ กนั (แตอ่ ันตรภาคชนั้ บนสดุ หรือล่างสุดอาจเป็น อันตรภาคชน้ั เปดิ ก็ได้ เช่น “มากกว่า 80”) - ค่าขอบล่าง และขอบบน คอื ค่าก่ึงกลางระหวา่ งรอยตอ่ อนั ตรภาคชัน้ - ความกวา้ งอันตรภาคชัน้ หาได้จาก ผลตา่ งของขอบบนและขอบล่างของช้ันนั้น 6. ความถส่ี ะสม คอื “ผลรวมความถี่ชนั้ นน้ั กบั ความถี่ชั้นทม่ี ีค่าข้อมลู ตา่ํ กว่าท้ังหมด” - ความถีส่ มั พทั ธ์ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ คืออตั ราส่วนความถหี่ รอื ความถีส่ ะสม เทยี บกับความถี่ รวม (N) ดงั นั้นความถี่สัมพทั ธ์รวมต้องได้ 1 เสมอ และความถส่ี ะสมสัมพทั ธข์ องช้นั สูงสุดก็ต้องเป็น 1 เชน่ กนั - บางคร้งั ใชเ้ ปน็ หน่วยร้อยละ โดยแต่ละชน้ั คณู ดว้ ย 100 เพ่อื ปรบั ผลรวมความถจี่ าก 1 เป็น 100 7. ฮิสโทแกรม คอื แผนภมู ิแทง่ ส่ีเหลย่ี มวางเรยี งตดิ กนั โดยให้แกนนอนแทนคา่ ขอ้ มลู x (เขียนกํากับ ด้วยขอบบนขอบลา่ งของชัน้ หรือด้วยจดุ กึง่ กลางชั้นกไ็ ด)้ และแกนต้งั แทนค่าความถี่ f ความสงู ของ แท่งสเ่ี หล่ยี มจะแปรตามความถ่ีของชน้ั นัน้ ๆ - รูปหลายเหล่ยี มของความถี่ คอื รูปท่ีเกดิ จากการลากเส้นตรงเช่อื มจุดกง่ึ กลางยอดแทง่ สี่เหลย่ี ม ของฮสิ โทแกรมแต่ละแทง่ (โดยลากเสน้ ตรงไปบรรจบ 0 ทก่ี ึง่ กลางชัน้ ก่อนหนา้ และหลังสุดของทม่ี ีอยู่ เพอ่ื ใหก้ ลายเป็นรูปปดิ ซึ่งมีพนื้ ท่เี ท่าฮิสโทแกรมเดมิ ) - เส้นโคง้ ของความถ่ี คือรปู ทเ่ี กิดจากการปรับเสน้ ตรงในรูปหลายเหลีย่ มของความถี่ ให้เป็นเสน้ โค้ง (โดยพยายามใหม้ ีพ้นื ทีใ่ กล้เคียงเดิมท่ีสดุ ) ลักษณะทั่วไปของเสน้ โคง้ มี 3 แบบ (อ่านรายละเอยี ดใน ตอนถัดไป) 8. แผนภาพต้น-ใบ ใชจ้ ัดขอ้ มูลให้เปน็ กลุ่มเพื่อเห็นลกั ษณะคร่าวๆ ได้ผลดกี ว่าตารางและฮสิ โทแกรม เพราะขอ้ มูลดิบแต่ละค่าไมส่ ญู หายไป ... วธิ ีเขียนคอื ตดั หลกั ข้อมูลออกเป็นสองกลุม่ แล้วนํากลุ่มหนา้ มาเรยี งไว้เป็นลําตน้ ในแนวตง้ั จากนนั้ จึงนําหลกั ท่เี หลอื เขยี นต่อทา้ ยในบรรทดั เดียวกนั (เปน็ ใบ) - สิง่ ทวี่ เิ คราะหไ์ ด้จากแผนภาพตน้ -ใบ เช่น ชว่ งใดมคี วามถี่มากทสี่ ุด, ขอ้ มูลท่ตี าํ่ ท่ีสดุ สงู ทีส่ ดุ และ ตรงกลางเป็นเท่าใด, และใช้เปรียบเทียบระหว่างข้อมูล 2 ชดุ ไดด้ ้วย 9. คา่ กลางของข้อมลู เป็นตวั เลขท่ีใช้แทนข้อมูล x1, x2, x3, ..., xN ทั้งหมด ชว่ ยใหว้ ิเคราะหข์ ้อมลู ได้ ครา่ วๆ ซึ่งคา่ กลางที่นยิ มใช้ มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉล่ยี เลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยม (ค่ากลางท่ไี ด้จะมหี นว่ ยเดยี วกับข้อมลู และมีค่าอย่รู ะหวา่ งข้อมูลตวั ที่น้อยท่สี ุดกับมากท่ีสดุ เสมอ) แจกแจง ยังไม่ ลกั ษณะข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน ฐานนิยม แล้ว แจกแจง - ข้อมลู เชงิ คุณภาพ ---- ---- ใช้ไดด้ ีมาก! - เกาะกลุ่มกนั ปกติ ใช้ไดด้ ีมาก! พอไหว พอไหว - บางคา่ ตา่ งไปจนผิดปกติ ---- ใชไ้ ดด้ ีมาก! พอไหว - ทุกชนั้ กว้างเทา่ กนั ใชไ้ ด้ดีมาก! พอไหว พอไหว - มอี ันตรภาคชน้ั เปิด ---- ใชไ้ ด้ดีมาก! พอไหว - บางชั้นกวา้ งไมเ่ ท่ากนั ---- ใชไ้ ด้ดีมาก! ---- Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 652 ฉบบั เขม ขน 10. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ( X ) - เป็นคา่ กลางทใ่ี ห้ความสาํ คัญกบั ค่าของขอ้ มูลโดยตรง จงึ เหมาะกบั ชดุ ขอ้ มลู ท่ีมีคา่ ใกล้เคยี งกันทกุ คา่ ไมม่ ีค่าใดสงู หรือต่าํ ผิดปกตไิ ปจากค่าอืน่ ๆ (มฉิ ะน้นั ค่าท่ีได้จะไม่มีคุณภาพ) - ข้อมลู ที่ยังไม่แจกแจงความถี่ X = ∑ x ... คิดแบบถ่วงนํา้ หนัก X = ∑ wx N ∑w - ข้อมลู ที่แจกแจงความถแี่ ล้ว (ใช้ความถ่เี ป็นนํา้ หนัก) X = ∑ fx = ∑ fx ∑f N - สตู รลดทอน ของข้อมูลท่แี จกแจงความถแ่ี ลว้ X = a + I D เมือ่ D = ∑ fd N (a คอื ก่งึ กลางของช้ันใดก็ไดท้ เ่ี ลอื ก, I คอื ความกว้างช้นั (เท่ากันทกุ ชัน้ ), di เป็นจาํ นวนเต็ม โดยใหช้ ้นั ท่ีมีค่า a น้นั เปน็ d = 0 และชน้ั ท่ีมีข้อมูลนอ้ ยลง d = −1, −2, ... สว่ น ชนั้ ทข่ี อ้ มูลสงู ข้ึน d = 1, 2, ... ไมว่ ่าจะเลอื กชัน้ ใดก็คาํ นวณไดค้ ําตอบเทา่ กัน) - คา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวมของข้อมูลหลายชดุ Xรวม = (∑ x)รวม = ∑ NX Nรวม ∑N (อาจมองว่า เป็นการนาํ ค่าเฉล่ยี ของแตล่ ะชดุ มาถว่ งนาํ้ หนักด้วยจํานวนข้อมลู ) 11. มธั ยฐาน (Med) - คอื ค่าทมี่ ีตําแหนง่ อยกู่ ง่ึ กลางของข้อมูลทัง้ หมด (เมือ่ เรยี งลําดับมากนอ้ ยของข้อมลู แลว้ ) - เป็นค่ากลางทใ่ี ห้ความสาํ คญั กบั ลําดับขอ้ มูล (บอกว่ามีข้อมูลทม่ี ีค่ามากกวา่ น้แี ละนอ้ ยกว่าน้ี อยู่ เป็นปริมาณเท่ากัน) จึงยงั คงใชไ้ ดด้ ีกับขอ้ มูลชุดทม่ี บี างค่าสงู หรือตาํ่ กว่าค่าอ่ืนอยา่ งผดิ ปกติ - ข้อมูลทย่ี ังไมแ่ จกแจงความถี่ Med คือขอ้ มลู ในตาํ แหน่งท่ี (N+1)/2 (ตําแหนง่ กงึ่ กลาง) (ขอ้ ควรระวังคือ (N+1)/2 นัน้ เป็นเพยี งตาํ แหน่งของ Med ..ยงั ไมใ่ ชค่ า่ ของ Med) - ข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถีแ่ ล้ว Med = L + I ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ ⎜ fMed ⎟ ⎝ ⎠ (ใช้ N/2 เลยโดยไมต่ อ้ งบวกหนงึ่ ... L คอื ขอบล่างชนั้ ท่ีมมี ัธยฐานอยู่ (ตวั ท่ี N/2) ซึง่ ช้ันน้นั มีความ กว้าง I และมีความถเี่ ปน็ fMed ... สว่ น ∑ fL คอื ความถ่สี ะสมจนถงึ ขอบล่าง) 12. ฐานนยิ ม (Mo) - คอื ค่าข้อมูลตวั ท่ีปรากฏบอ่ ยครั้งที่สดุ (มีความถส่ี งู ทสี่ ุด) โดยทวั่ ไปจะมไี ดไ้ ม่เกิน 2 ค่า - เป็นคา่ กลางที่ใหค้ วามสําคัญกับความถขี่ องขอ้ มลู เหมาะกับขอ้ มูลเชงิ คณุ ภาพ เชน่ การเลือกต้ัง - ขอ้ มูลท่แี จกแจงความถี่แล้ว Mo = L + I ⎛ d1 d1 d2 ⎞ ⎝⎜ + ⎠⎟ (L คอื ขอบล่างช้ันทีม่ ีฐานนิยมอยู่ (ชนั้ ทีค่ วามถส่ี ูงสุด) ซึง่ ทกุ ๆ ชัน้ มคี วามกว้าง I d1 คือผลต่างความถ่ที ่ีขอบลา่ ง, d2 คือผลตา่ งความถท่ี ีข่ อบบน) 13. สามารถหาค่ามัธยฐานได้จากเส้นโคง้ ของความถ่สี ะสม และหาฐานนิยมได้จากฮิสโทแกรม cf (ความถสี่ ะสม) การหาคา่ มธั ยฐานจาก f (ความถ)่ี การหาคา่ ฐานนยิ มจากฮสิ โทแกรม N เสน้ โค้งของความถส่ี ะสม N/2 O Med xO Mo x 14. สมบตั ิของคา่ เฉลีย่ เลขคณิต ∑ (x − K)2 จะนอ้ ยท่สี ุด ก็เมอื่ K = X Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 653 ฉบับเขม ขน 15. สมบัติของมัธยฐาน ∑|x − K ] จะน้อยท่ีสุด ก็เมอ่ื K = Med 16. สมบัติของคา่ กลางทง้ั 3 ชนิด ถ้าข้อมลู ชดุ Y ทุกๆ ตัว สมั พนั ธ์กบั ข้อมูลชดุ X แตล่ ะตัว ตามสมการ Yi = m Xi + c จะไดว้ ่า (ค่ากลางของ Y ) = m ⋅ (ค่ากลางของ X ) + c ด้วย เช่น Y = m X + c 17. การวดั ตาํ แหนง่ ของขอ้ มลู - มัธยฐาน เปน็ คา่ ข้อมลู ในตําแหน่งกึง่ กลางเม่อื ถูกเรยี งลาํ ดบั แลว้ บอกให้ทราบว่ามีขอ้ มลู ที่ค่าสูง กว่านี้ และค่าต่าํ กว่านี้ อยู่เปน็ ปริมาณเท่าๆ กนั (แบง่ ข้อมลู เปน็ 2 ส่วน) - ถ้าเราแบ่งข้อมลู ออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน จดุ แบง่ ทงั้ สามจุดนั้นจะเรียกว่าควอรไ์ ทลท์ ่ี ( Q1 ), ควอรไ์ ทลท์ ่ี 2 ( Q2 ), และควอร์ไทล์ท่ี 3 ( Q3 ) ตามลาํ ดับ ความหมายของควอร์ไทล์ที่ 1 คอื มีขอ้ มูล ท่ีตา่ํ กวา่ ค่าน้ีอยเู่ ป็นปริมาณ 1/4 และมากกว่าคา่ น้ีอยู่อีก 3/4 โดยประมาณ - เดไซล์ (D) แทนการแบง่ ข้อมลู เป็น 10 ส่วน และ เปอร์เซ็นไทล์ (P) แทนการแบง่ ขอ้ มูลเปน็ 100 ส่วน ... การคาํ นวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ทต่ี อ้ งการ เป็นแบบเดียวกบั การ คํานวณหามธั ยฐาน นน่ั คอื - ขอ้ มลู ทยี่ งั ไม่แจกแจงความถี่ Qr คอื ขอ้ มลู ในตําแหนง่ ท่ี r (N + 1) Dr คือขอ้ มูลในตําแหนง่ ท่ี r (N + 1) 4 10 Pr คือขอ้ มูลในตาํ แหน่งที่ r (N + 1) 100 - ข้อมูลท่ีแจกแจงความถแ่ี ล้ว Qr = L + I ⎛ r N − ∑ fL ⎞ Dr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ ⎜ 4 fQr ⎟ ⎜ 10 fDr ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ (ใช้ r N, r N, r N ได้เลยโดยไมต่ ้องบวกหนงึ่ ) ⎜ 100 fPr ⎟ 4 10 100 ⎜ ⎟ cf (ความถสี่ ะสม) ⎝ ⎠ - สามารถหาค่าไดจ้ ากเสน้ โค้งของความถี่สะสม N ด้วยเชน่ กนั ภาพดา้ นขวาเปน็ ตวั อย่างการหาคา่ 3N/4 ควอรไ์ ทล์ท่ี 1, 2, และ 3 จากกราฟ 2N/4 N/4 18. ค่าการกระจายของข้อมูล O Q1 Q2 Q3 x (ขอ้ มลู ) - ค่ากลางของข้อมลู นัน้ ไม่สามารถบอกลักษณะข้อมลู ได้อย่างสมบูรณ์ ควรใชค้ า่ การกระจายควบคู่ กันด้วย ... คา่ การกระจายมาก แสดงวา่ ข้อมูลแตกตา่ งกนั ไมเ่ กาะกลมุ่ กัน - การวัดการกระจายแบง่ เปน็ 2 ประเภท คือ การกระจายสัมบูรณ์ ซึ่งใช้สําหรับขอ้ มูลชุดน้ันเพียง ชดุ เดียว และการกระจายสัมพัทธ์ ซ่งึ ใช้เปรยี บเทยี บการกระจายระหว่างขอ้ มูลสองชุด - คา่ การกระจายจะต้องเป็นบวกหรอื ศนู ยเ์ สมอ (เป็นศนู ย์เมอ่ื ข้อมูลทุกคา่ เหมือนกนั หมด) - การกระจายสมั บรู ณ์ทน่ี ิยมใช้ มี 4 แบบ คอื พิสยั , QD, MD, และ SD 19. พิสยั - เป็นคา่ ที่วดั ได้รวดเร็ว แตจ่ ะมีขอ้ ผิดพลาดมากหากข้อมูลบางจํานวนมีคา่ สงู เกินไป หรือต่ําเกนิ ไป แบบผดิ ปกติ จงึ เหมาะกับการวดั โดยครา่ วๆ ทไ่ี ม่ต้องการความแม่นยํามากนัก - ขอ้ มลู ท่ยี งั ไม่แจกแจงความถี่ ... พิสัย = Xmax − Xmin - ข้อมลู ท่แี จกแจงความถแี่ ล้ว ... พสิ ัย = Umax − Lmin Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 654 ฉบับเขม ขน 20. ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ (QD) ... บางครงั้ เรยี กวา่ กง่ึ ช่วงควอร์ไทล์ - การวดั ทไ่ี ด้จะไม่ละเอียดนัก เพราะใช้เพียงขอ้ มูลทใ่ี กล้เคียงกับควอร์ไทลท์ ่ี 1 และ 3 เท่านน้ั แต่ กม็ สี ว่ นดเี นื่องจากใช้ไดก้ ับการแจกแจงความถีท่ ี่ม่ีอันตรภาคช้นั เปิด และใช้ได้กับข้อมลู ชดุ ทีม่ ีบาง จํานวนค่าสูงหรือตํ่าเกนิ ไปแบบผิดปกติ - ข้อมูลใดๆ ... QD = Q3 − Q1 2 21. ส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ีย (MD) - เป็นค่าท่ีวดั ไดล้ ะเอยี ดกวา่ สองแบบแรกเพราะคาํ นวณจากข้อมลู ทกุ ตวั แตม่ ีขอ้ เสียท่กี ารคาํ นวณ ย่งุ ยากกว่า - ขอ้ มูลทย่ี ังไม่แจกแจงความถี่ ... MD = ∑ |x − X| N 22. ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( SD หรือ s ) - เป็นคา่ ท่ีนิยมใช้มากทสี่ ุด เน่อื งจากมีความละเอียด เชื่อถือได้ สามารถคาํ นวณไดง้ ่ายกวา่ ส่วน เบยี่ งเบนเฉล่ยี (โดยใชส้ ตู รที่จดั รูปแล้ว) และนาํ ไปใชใ้ นการวิเคราะห์ข้อมลู ข้ันสูงได้ - ขอ้ มลู ทย่ี งั ไมแ่ จกแจงความถ่ี ... s = ∑ (x − X)2 ... จัดรูปไดว้ ่า s = ∑ x2 − X2 NN - ค่า s2 เรียกว่าความแปรปรวน 23. สมบตั ิของคา่ การกระจายสัมบูรณ์ - ถา้ ข้อมลู ชดุ Y ทกุ ๆ ตวั สัมพนั ธ์กบั ข้อมูลชุด X แตล่ ะตวั ตามสมการ Yi = m Xi + c จะได้ว่าค่าการกระจายของข้อมูลชดุ Y เปน็ m เทา่ ของชุด X (ค่ากลาง ถูกกระทบทงั้ การบวกและคณู แต่ คา่ การกระจาย ถกู กระทบเฉพาะการคณู ) 24. สมบตั ิของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน - ค่าของ M = ∑ (x − K)2 น้ัน จะน้อยทส่ี ุดกเ็ มือ่ M = SD (เพราะ K = X ) N 25. การกระจายสัมพทั ธ์ มี 4 แบบ คาํ นวณได้จากการกระจายสมั บรู ณ์ โดยใชค้ าํ วา่ “สัมประสทิ ธิ์ ของ...” นําหนา้ ได้แก่ - สัมประสิทธิ์ของพสิ ยั = Xmax − Xmin Xmax + Xmin - สัมประสทิ ธขิ์ องสว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์ = Q3 − Q1 Q3 + Q1 - สัมประสทิ ธิ์ของส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ยี = MD X - สมั ประสทิ ธ์ิของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน = s ... นยิ มเรียกว่า สมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผนั X 26. ค่ากลาง และค่าการกระจายสมั บรู ณ์ มีหนว่ ยอยา่ งเดียวกบั ข้อมูล - ความแปรปรวน มีหนว่ ยเหมือนขอ้ มูลยกกาํ ลังสอง - คา่ การกระจายสัมพัทธ์ ไมม่ หี นว่ ย 27. แผนภาพกลอ่ ง ชว่ ยใหม้ องการกระจายของข้อมูลในแต่ละสว่ นยอ่ ยๆ ได้ ... เขยี นโดยอาศัย ข้อมลู ต่าํ สุด, ข้อมลู สูงสดุ , และข้อมูลในตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 ประกอบกันบนเส้นจาํ นวน ทํา ใหว้ ิเคราะหไ์ ด้ว่าข้อมูลในช่วงใด (ในบรรดา 4 ชว่ ง) ทม่ี กี ารกระจายมากกว่ากนั สมมติ xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 , และ xmax = 52 จะได้แผนภาพดงั รปู เรยี กชว่ ง (Q1 , Q2) และ (Q2 , Q3) ว่า กล่อง 40 42 44 46 48 50 52 เรียกช่วง (xmin, Q1) และ (Q3 , xmax) วา่ หนวด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 655 ฉบบั เขม ขน 28. ค่ามาตรฐาน (z) เป็นค่าทใ่ี ชเ้ ทียบข้อมูลที่ดงึ มาจากต่างชดุ กนั โดยปรับคา่ เฉลยี่ เลขคณิต และ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานใหเ้ ท่ากัน ... zi = xi −X (ไมม่ ีหนว่ ย) s - ค่า z ของข้อมูลทคี่ า่ มากกว่าค่าเฉลีย่ เลขคณติ จะเคร่ืองหมายบวก, นอ้ ยกวา่ คา่ เฉลยี่ จะเป็นลบ, ตรงกับคา่ เฉล่ียพอดี จะเป็น 0 - อาจเขียนข้อมลู ที่ตาํ แหนง่ z = c ในรูปแบบ x = X + c s กไ็ ด้ เช่น x − 2 s หมายถึงข้อมลู ที่มีค่า z = −2 , หรอื X + 0.5 s หมายถึงขอ้ มลู ทีม่ คี า่ z = 0.5 29. สมบตั ิของค่ามาตรฐาน - ผลรวมของขอ้ มลู ชุด z ใดๆ เป็น 0 เสมอ ∑ zi = 0 ... จึงได้ว่า z = 0 เสมอด้วย - ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน sz = 1 เสมอ - The 95% Rule : “โดยท่วั ไปข้อมลู ที่อยู่ระหว่าง z = −2 ถึง z = 2 จะมีปริมาณรอ้ ยละ 95 ของ จํานวนขอ้ มลู ทัง้ หมด” ... หมายความวา่ ข้อมูลเกอื บทุกค่าจะอยใู่ นช่วง (x − 2 s, x + 2 s) และเราอาจ ประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (ใชป้ ระมาณค่า s จากพิสัย) 30. ลกั ษณะของเส้นโค้งของความถมี่ ี 3 แบบ (หรอื กล่าววา่ ลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คือ โคง้ ปกติ (โค้งรปู ระฆงั ), โค้งเบ้ลาดทางซา้ ย (หรือทางลบ), และโค้งเบ้ลาดทางขวา (หรือทางบวก) … ซึง่ โค้งแตล่ ะแบบ บอกความสัมพนั ธร์ ะหวา่ ง X, Med, Mo ดังภาพ f โค้งปกติ f โค้งเบ้ซา้ ย f โคง้ เบ้ขวา O x = Med = Mo x O x < Med < Mo x O Mo < Med < x x 31. เน่อื งจากพ้ืนท่ใี ตเ้ ส้นโค้งจะเท่ากับความถ่ีรวมพอดี (เป็นส่งิ ทไ่ี ดจ้ ากการสร้างฮิสโทแกรม) เราจึง สามารถคํานวณเกยี่ วกับการวัดตาํ แหนง่ ของข้อมูล (มธั ยฐาน, ควอร์ไทล์, เดไซล์, เปอร์เซ็นไทล)์ ได้ โดยจะศึกษาเฉพาะโคง้ ปกติ ซงึ่ มตี ารางในการหาค่าพ้นื ที่ใต้โคง้ 32. สงิ่ สาํ คัญคอื ในตาราง พน้ื ท่ใี ต้โคง้ รวมกนั ทัง้ หมด (ความถรี่ วม) จะถกู ปรบั ใหเ้ ป็น 1.00 พอดี เพือ่ ใหก้ ารคาํ นวณง่ายขึน้ ... ค่าทร่ี ะบุในตาราง แสดงพื้นทใี่ ตโ้ คง้ ที่วดั ระหวา่ ง z=0 ไปถึง z ใดๆ โดย มองเพียงค่า z เปน็ บวกเท่าน้นั (ซีกขวาของโคง้ ) เราสามารถหาพน้ื ท่ีซีกซ้ายไดโ้ ดยอาศยั ความ สมมาตรของรปู กราฟ A = 0.3 A = 0.15 - ตวั อย่างเชน่ เราสามารถหาว่าเปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 65 มีค่า เท่าใด จากการเปดิ ตารางท่พี ืน้ ที่ 0.15 ซ่งึ ในตารางระบวุ า่ z=0.385 (จากนน้ั นาํ ไปคํานวณกลบั เป็นคา่ ขอ้ มลู x ได)้ P20 P65 x ในทาํ นองเดยี วกัน เปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 20 หาได้จากการเปิดตาราง -0.841 0.385 z ท่ีพ้ืนที่ 0.3 ได้ค่า z=0.841 แต่เนื่องจากเปน็ พน้ื ที่ทางซีกซา้ ย คา่ z ทแี่ ท้จริงจงึ เป็น -0.841 ใช้สูตร เปิดตาราง เทียบสัดส่วน x ←⎯⎯⎯→ z ←⎯⎯⎯→ A ←⎯⎯⎯→ P, D, Q 33. หากเรามีคอู่ ันดบั (x, y) จํานวนหนงึ่ หลังจากสร้างแผนภาพการกระจายเพื่อดูลักษณะกราฟแลว้ เราจะหาความสัมพันธ์ระหวา่ ง x กับ y ได้เปน็ สมการในรปู y = f (x) เพือ่ ใช้ทาํ นายคา่ y ณ จุด x ท่กี าํ หนด - นิยมใช้ Y แทนคา่ จริง และ Y แทนค่าท่ไี ด้จากการประมาณด้วยฟงั กช์ ัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 656 ฉบบั เขมขน 34. รูปแบบที่พบบ่อย คือฟงั กช์ นั เส้นตรง ... รูปทัว่ ไป Y = mX + c - หาค่าคงท่ี m กับ c โดยสมการ Σy = mΣx + c N __________(1) Σxy = mΣx2 + cΣx ________(2) - การหาค่าพารามิเตอร์ด้วยสมการเหลา่ นี้ เรยี กวา่ ระเบียบวธิ กี ําลังสองนอ้ ยที่สุด ... เป็นวิธีทีท่ ําให้ คา่ y ท่ีได้ มคี วามคลาดเคลือ่ นกาํ ลังสอง Σ (yi − Y)2 น้อยท่ีสดุ - ถ้าลองนาํ สมการที่ (1) มาหารดว้ ย N จะพบว่าตรงตามสมบัตเิ ดิม ... Y = mX + c 35. ถา้ โจทยบ์ อก ΔX และถาม ΔY ใหค้ ิดจาก ΔY = m ⋅ ΔX ... (ไมข่ ึน้ กับค่า c) เพราะในกราฟเส้นตรง อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y และ x จะดูท่ีความชัน m เทา่ นั้น 36. ข้อควรระวังคอื สมการ y = f (x) ที่หาได้ไม่สามารถคาํ นวณคา่ x เมอ่ื ทราบ y ได้ ... ถา้ ต้องการประมาณคา่ x จะต้องเปล่ียนฟงั กช์ ันท้งั หมดเป็น x = f (y) (คือให้ y เป็นตวั แปรตน้ ) 37. หากข้อมลู X มีชว่ งห่างเท่าๆ กัน เช่น ปี พ.ศ. แล้ว เราจะเรียกขอ้ มูล Y วา่ เปน็ ข้อมูลในรปู อนุกรมเวลา ซึ่งจะสามารถแทนคา่ X ด้วยตวั เลขค่านอ้ ยๆ ไดเ้ พื่อให้สะดวกในการคาํ นวณ - วธิ ีทนี่ ยิ มทส่ี ดุ คือ ให้ขอ้ มูลตรงกลางเป็นเลข 0 แล้วนับขนึ้ ลงเปน็ ±1, ± 2 ... วิธนี จี้ ะทาํ ให้ Σx = 0 จงึ แก้ระบบสมการหา m, c ไดง้ า่ ย - หากจํานวนข้อมูลเป็นจาํ นวนคู่ (ไม่มีจุดตรงกลาง) จะใหป้ ีระหว่างกลางนนั้ เปน็ ±1 และค่ถู ัดไป เป็น ±3, ± 5 ไปเรอ่ื ยๆ (รกั ษาระยะห่างให้เทา่ กนั ) แบบนจี้ ะชว่ ยให้ Σx = 0 เช่นเดิม ÃÒ¹ÒÁ¼ÙÁŒ oÕ »u ¡Òä³u :] เหลียง ตน้ | ปอน อั้ม บวั ปอง มดใหญ่ และนอ้ งๆ 44 | จ๋า อง๋ิ | ออม แนน พลอย โอต๊ มด หน่ึง กฟ๊ิ | ตาล ปอบ รดี นิ้ง จอย ทราม เบนซ์ จกิ๊ | สจุ นิ จงิ ววิ พมิ เมย์ เบสท์ เข่ง มมิ ิ แพร น้ยุ เจน | เบสท์ อิม | ถาวร | แบงค์ | แอน เนย์ เภา ตนู หยนุ่ ตม้ั ทอ้ ป เตก็ อยุ้ | เตา๊ ะ ยุ้ย | ภา มุก | คี้ บ๋ี | แชมป์ | นาจา บาบนู บอย | ไอซ์ โน้ต พมี กร โอลีฟ ดล | พราว เต้ ตา้ | เคน นทั บี | นํา้ มนต์ กระตา่ ย ออ้ เก๋ แพรว นิว | นา้ํ | อากิ ลนิ ไพลิน แพนเคก้ | เมฆ | โอต๊ | แนน ทิพ ปอนด์ เบลล์ จอย แอม ปอ เจ๊ยี บ เหมีย่ ว วนั แอม พลอย พี ปู ซี นก นนุ่ ผึ้ง เจน ป๊อ แก้ว | ก้อง เพ้นท์ เปะ๊ ด๊ิบ | ไกด์ ปลา แนต๊ | บุง้ กี๋ พจี ัง โอโอ้ พงั ก์ หญงิ พป่ี ิ เดยี ร์ | จเู นยี ร์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 657 ดรรชนี ´Ãê¹Õ กฎการแบ่งกลุม่ 337 ข่าวสาร (สารสนเทศ) 359 กฎของคราเมอร์ 216 กฎของโคไซน์ 172|229 ค.ร.น. (ตวั คณู รว่ มน้อย) 49 กฎของไซน์ 172 กฎของโลปีตาล 306 ครอสโปรดคั ท์ (ผลคณู เชิงเวกเตอร)์ 240 กฎมอื ขวา 238 กฎลูกโซ่ 310 ควอดรนั ต์ (จตภุ าค) 83 กต็ อ่ เมอ่ื 60 กรณฑ์ 188 ควอรไ์ ทล์ 374 กราฟของความสมั พนั ธ์ 124 กราฟของตรโี กณมิติ 165 ความชนั 86|308 กราฟเชอ่ื มโยง 272 กราฟถว่ งน้าํ หนกั 274 ความต่อเนอ่ื ง 300 กราฟออยเลอร์ 272 การกระจายสมั บรู ณ์ 378 ความถี่ 360 การกระจายสมั พทั ธ์ 381 การแจกแจงความถี่ 384 ความถสี่ ะสม/ความถส่ี ะสมสัมพัทธ์ 361 การแจกแจงปกติ 384 การดําเนินการตามแถว 215|216 ความถสี่ มั พทั ธ์ 361 การทดลองสุม่ 345 การใหเ้ หตุผล 69 ความน่าจะเปน็ 346 การอา้ งเหตุผล 65 กาํ ลงั สองน้อยทส่ี ดุ 389 ความแปรปรวน 381 กําลงั สองสมบูรณ์ 95|98 กาํ หนดการเชิงเส้น 147 ความเยื้องศนู ย์กลาง 103 กง่ึ กลางชนั้ 361 กง่ึ กลางพสิ ยั 370 ความสัมพนั ธ์ 120 กง่ึ พสิ ยั ควอรไ์ ทล์ 378 แกนจรงิ /แกนจนิ ตภาพ 252 ความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B 120|358 แกนตามขวาง 102 แกนเอก/แกนโท 100 ความสัมพนั ธ์ภายใน A 120|358 แกนสงั ยคุ 102 ขนาน 86|233 คอนเวอร์เจนต์ 282|285 ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ 42 ขอบบน/ขอบลา่ ง 361 คอมพลีเมนต์ 16 ข้อมูลเชงิ คณุ ภาพ/เชิงปริมาณ 359 ข้อมลู ปฐมภูม/ิ ทตุ ยิ ภูมิ 360 คา่ กลาง 363 ข้นั ตอนวธิ กี ารหาร 48 ขนั้ ตอนวธิ ขี องยคุ ลิด 49 ค่าการกระจาย 378 คา่ ความจรงิ 59 คา่ เฉลี่ยเรขาคณติ 370 ค่าเฉลีย่ เลขคณติ 363 คา่ เฉลยี่ ฮาร์โมนกิ 370 คาบ 165 คา่ มาตรฐาน 383 คา่ วกิ ฤต 312 คา่ สัมบรู ณ์ 44|125|254 ค่อู นั ดับ 83|119 แคแรกเทอรสิ ติก 193 แคลคลู ัส 295|307 โคง้ ความถ่ี 361 โค้งความถ่ีสะสม 361|368 โคง้ เบ้ 384 โค้งปกต/ิ โคง้ รูประฆงั 384 โคไซนแ์ สดงทิศทาง 239 โค-ฟังก์ชนั 158 โคแฟกเตอร์ (ตวั ประกอบรว่ มเกย่ี ว) 209 จตภุ าค (ควอดรนั ต์) 83 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 658 ดรรชนี จรงิ /เทจ็ 59 ตวั ประกอบรว่ มเกี่ยว (โคแฟกเตอร)์ 209 จํานวนจรงิ 32 ตวั ผกผนั (อินเวอร์ส) 32|122 จาํ นวนจินตภาพ 32|251 ตวั หารรว่ มมาก (ห.ร.ม.) 49 จาํ นวนเฉพาะ 48 ตัวอยา่ ง/ประชากร 360 จาํ นวนเฉพาะสมั พทั ธ์ 49 ตารางค่าความจรงิ 60 จาํ นวนเชงิ ซอ้ น 32|251 ตารางแจกแจงความถ่ี 360 จาํ นวนตรรกยะ 31 ตาํ่ สดุ สัมพทั ธ/์ สมั บูรณ์ 313 จาํ นวนเตม็ 31 ตาํ แหนง่ สมั พทั ธ์ 374 จํานวนนับ/จาํ นวนธรรมชาติ 31 ถว่ งนา้ํ หนัก 364 จาํ นวนประกอบ 48 ถ้า-แล้ว 60 จํานวนอตรรกยะ 31 แถว 205 จดุ กาํ เนดิ 83 ทรงสเี่ หลยี่ มหนา้ ขนาน 240 จุดเปลี่ยนความเวา้ 312 ทรานสโพส 206 จุดยอด 97|270 ทฤษฎกี ราฟ 269 จุดยอดค/่ี จดุ ยอดคู่ 270 ทฤษฎีจาํ นวน 48 จุดยอดประชดิ 270 ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟ์ 257 จดุ ศูนยก์ ลาง 94|99|102 ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ 36 จดุ สดุ ขดี 312 ทฤษฎบี ททวนิ าม 341 จดุ สูงสดุ /จดุ ตํ่าสดุ 312 ทฤษฎบี ทปีทาโกรัส 84 ชว่ ง 40 ทฤษฎบี ทเศษเหลือ 36 ชว่ งครงึ่ เปิด 40 นิรนยั 71 ช่วงเปิด/ชว่ งปดิ 40 นเิ สธ 60|228 ซิกม่า 274 แนวเดนิ 272 ซงิ กลู าร์เมตรกิ ซ์ (เมตริกซ์เอกฐาน) 210 ปฏยิ านพุ นั ธ์ 317 เซต 11 ประชากร/ตวั อยา่ ง 360 เซตจํากดั /เซตอนันต์ 12 ประพจน์ 59 เซตวา่ ง 12 ประโยคเปดิ 67 แซมเปลิ สเปซ (ปริภูมิตวั อยา่ ง) 345 ปรพิ นั ธ์ (อินทกิ รลั ) 317 ฐานนิยม 365 ปริภมู ติ วั อยา่ ง (แซมเปิลสเปซ) 345 ดอทโปรดคั ท์ (ผลคณู เชงิ สเกลาร)์ 235 ปรภิ ูมสิ ามมติ ิ 237 ดีกรี 37|270 ปริมาณเวกเตอร์ 227 ดเี ทอร์มินนั ต์ (ตัวกําหนด) 208 ปริมาณสเกลาร์ 227 เดไซล์ 374 เปลีย่ นตัวแปร 332 โดเมน 121|146 เปอร์เซ็นไทล์ 374 ไดเรกตริกซ์ 96 ผลคณู คาร์ทเี ซยี น 119 ไดเวอร์เจนต์ 282|285 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ (ครอสโปรดคั ท)์ 240 ตน้ ไม้แผท่ ่ัว 274 ผลคณู เชงิ สเกลาร์ (ดอทโปรดคั ท)์ 235 ตรรกศาสตร์ 59 ผลตา่ งเซต 16 ตรวจคาํ ตอบ 204 ผลตา่ งรว่ ม 280 ตรีโกณมติ ิ 157 ผลบวกยอ่ ย 284 ตัง้ ฉาก 86|233 ผลรวมเชงิ เสน้ 48|234 ตัวกาํ หนด (ดีเทอรม์ ินนั ต)์ 208 ผลลพั ธ์ 345 ตัวคณู รว่ มนอ้ ย (ค.ร.น.) 49 แผนภาพกลอ่ ง 376 ตวั เชอื่ มประพจน์ 60 แผนภาพการกระจายตวั 388 ตัวบง่ ปริมาณ 67 แผนภาพตน้ ไม้ 333 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 659 ดรรชนี แผนภาพลาํ ตน้ -ใบ 362 เมตริกซ์ผกู พนั (แอดจอยท์) 212 แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ พจน/์ พจนท์ ่วั ไป 15|346 เมตริกซส์ ามเหลยี่ ม 210 พหนุ ามตัวแปรเดยี ว พาราโบลา 279 เมตรกิ ซ์เอกฐาน (ซงิ กลู าร์เมตริกซ)์ 210 พกิ ดั ฉาก พิกดั เชงิ ขว้ั 36|259 แมนทสิ ซา 193 พสิ ัย (เรนจ)์ พ้ืนทีใ่ ต้โคง้ 96|125|388 ไม่เกดิ ร่วมกนั 346 เพาเวอร์เซต โพรเจคชัน (ภาพฉาย) 83|233 ไมข่ ึ้นตอ่ กนั (อิสระจากกนั ) 346 ฟงั ก์ชนั ฟังก์ชนั คอมโพสทิ (ประกอบ) 233|256 ไมเนอร์ 209 ฟังก์ชนั โคซีแคนต์ ฟังกช์ นั โคไซน์ 121|146|378 ไม่มลี ิมิต 282 ฟงั ก์ชนั โคแทนเจนต์ ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B 319|385 ยูเนียน 16 ฟงั กช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B ฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 13 ระนาบ 83 ฟงั ก์ชนั ซีแคนต์ ฟงั ก์ชนั ไซน์ 89 ระนาบเชิงซอ้ น 252 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ฟังกช์ นั แทนเจนต์ 127 ระบบสมการเชงิ เสน้ 216 ฟงั ก์ชนั ประกอบ (คอมโพสทิ ) ฟังกช์ นั ผกผนั (อินเวอรส์ ) 131|146|310 ระเบยี บวิธีกาํ ลังสองนอ้ ยทส่ี ดุ 389 ฟงั กช์ นั ผกผนั ของตรโี กณมิติ ฟังก์ชนั เพิ่ม/ฟงั กช์ นั ลด 157 ระยะตัดแกน 86 ฟังกช์ นั ลอการิทมึ ฟังก์ชนั หนึ่งตอ่ หน่งึ 157 รัศมี 94 ฟงั กช์ นั อารค์ - ฟงั ก์ชนั อนิ เวอรส์ (ผกผนั ) 157 ราก (รู้ท) 188 ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล เฟสเซอร์ 128|358 รากทีส่ อง 58|188|257 แฟคทอเรียล โฟกสั 128|358 รูปเชิงขวั้ 256 ภาคตัดกรวย ภาพฉาย (โพรเจคชัน) 148 รปู แบบยังไม่กาํ หนด 298|306 มธั ยฐาน มติ ิ 157 รปู หลายเหลี่ยมของความถ่ี 361 มุมกม้ /มมุ เงย มมุ กาํ หนดทิศทาง 157 เรขาคณติ วิเคราะห์ 83 เมตรกิ ซ์ เมตริกซ์จตั รุ ัส 157 เรเดียน 160 เมตรกิ ซแ์ ต่งเติม เมตริกซ์ผกผนั (อินเวอรส์ ) 157 เรนจ์ (พสิ ัย) 121|146 131|146|310 ลอการทิ ึมธรรมชาติ (ฐาน e) 193 133|146 ลอการทิ มึ แบบเนเปยี ร์ 193 169 ลอการทิ ึมสามัญ (ฐาน 10) 193 129|312 ลําดบั 279 192 ลาํ ดับจาํ กดั /ลําดบั อนนั ต์ 280 128|358 ลําดบั เลขคณติ /ลาํ ดบั เรขาคณติ 280 169 ลิปดา 158 133|146 ลิมิต 282|295 189|389 ลมิ ติ ซา้ ย/ลิมิตขวา 295 268 ล่เู ขา้ /ลอู่ อก 282|285 335 เลขชก้ี าํ ลงั 187 96 เลตสั เรคตัม 97 92 เล่อื นแกน 93 89 และ 60 84|365 วงกลม 94|125 205 วงกลมหนงึ่ หน่วย 158 173 วงจร/วงจรออยเลอร์ 272 239 วงรี 99 205 วงวน 270 206 วฏั จักร 274 215 วิถ/ี วิถที สี่ ้ันท่สี ดุ 274 211 วธิ จี ดั หมู่ 337 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 660 ดรรชนี วิธเี รยี งสับเปลย่ี น 335 เส้นสมั ผสั วงกลม 95 เวกเตอร์ 49 เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย 227 ห.ร.ม. (ตวั หารรว่ มมาก) 60 เศษ (เศษเหลือ) 205 สตาร์แอนด์บาร์ 233 หรือ 333 สถติ ิ 282 สมการจดุ ประสงค์ 36|48 หลกั 48|340 สมการตรีโกณมติ ิ 37 สมการปกติ 340 หลักมลู ฐานเก่ียวกบั การนบั 346 สมการพหุนาม 158|160 สมการลอการิทมึ 359 หาค่าไม่ได้ 284 สมการเสน้ ตรง 284 สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล 148 หารลงตวั 284 สมบัตกิ ารแจกแจง 391 สมบตั กิ ารตดั ออก 162 หารสงั เคราะห์ 308 สมบัติการเปล่ยี นกลมุ่ 310 สมบตั กิ ารสลับท่ี 389 เหตกุ ารณ์ 41 สมบัตไิ ตรวภิ าค 148 สมบตั ิปิด 36|259 องศา 237 สมมลู 307 สมเหตุสมผล 195 อนกุ รม 280 สมาชกิ 360 ส่วนจรงิ /สว่ นจนิ ตภาพ 86|280 อนกุ รมจาํ กัด/อนกุ รมอนันต์ 148 สว่ นเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ 169 สว่ นเบีย่ งเบนเฉล่ีย 191|280 อนกุ รมเลขคณิต/อนกุ รมเรขาคณติ 16 สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 317 สงั ยคุ 33 อนกุ รมเวลา 319 สัจนิรันดร์ 317 สับเซต 33 อนพุ นั ธ์ 317 สบั เซตแท้ 32|211|252 สมั ประสิทธิ์การแปรผัน 33 อนพุ ันธอ์ นั ดับสงู 122|126 สมั ประสทิ ธิท์ วนิ าม 133 สัมพทั ธ/์ สัมบูรณ์ 32 อสมการ 211 สามสิ่งอนั ดบั 346 สามเหลยี่ มบน/สามเหลี่ยมลา่ ง 39 อสมการข้อจํากดั 69 สามเหลย่ี มปาสคาล 12 สารสนเทศ (ขา่ วสาร) 31|32 อฐั ภาค 32|207|252 สาํ มะโน 158|171 สงู สดุ สัมพทั ธ์/สมั บูรณ์ 60 อตั ราการเปล่ียนแปลง 212 เส้นกาํ กับ 193 เส้นโคง้ ของความถี่ 65|71 อัตราสว่ นร่วม 165 เสน้ จํานวน 361|368 เส้นเชอี่ ม/เส้นเชอ่ื มขนาน 11|119|205 อนั ตรภาคชน้ั /อนั ตรภาคช้ันเปิด 102 เส้นตรง 102|104|125 เสน้ ทแยงมุมหลกั 251 อาณาบริเวณทห่ี าคาํ ตอบได้ 378 อารค์ - 379 อนิ เตอรเ์ ซกชนั 379 อนิ ทกิ รลั (ปรพิ นั ธ)์ 254 อนิ ทิกรลั จาํ กัดเขต 63|65 อินทกิ รลั ไม่จาํ กดั เขต 12 อนิ ทเิ กรต 13 อนิ เวอรส์ 381 อนิ เวอรส์ ของความสัมพนั ธ์ 341 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชัน 313|378 อินเวอรส์ เมตริกซ์ (ผกผนั ) 238 อสิ ระจากกนั (ไม่ขึ้นตอ่ กนั ) 206 อุปนัย 341 เอกภพสัมพทั ธ์ 359 เอกลกั ษณ์ 360 เอกลกั ษณ์ของตรโี กณมิติ 313 แอดจอยท์ (เมตริกซ์ผกู พนั ) 102 แอนตลิ อการิทมึ 361 แอมพลจิ ดู 40 ฮิสโทแกรม 270 ไฮเพอรโ์ บลา 86|125|388 ไฮเพอร์โบลามุมฉาก 206 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)