สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 501 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.46 (22) (26) X = 60, s = 0.25 → s = 15 X xค − xว = 9 .....(1) a ⎛ 7⎞ 0 7a zค + zว = xค − 60 + xว − 60 = 1.5 ∫ − ⎝⎜⎜ − ∫ ⎟⎟⎠ = 2a 15 15 7 0 → xค + xว = 142.5 .....(2) → ⎛ x3 ⎞ a + ⎛ x3 ⎞ 7 = 2a แก้ระบบสมการได้ 142.5 − 9 ⎜ − 7x⎟ 7 ⎜ 3 − 7x ⎟ 0 xว = 2 = 66.75 ⎝ 3 ⎝ ⎠ ⎠ ⎡⎛ a3 − ⎞ − ⎛ 77 −7 ⎞⎤ + ⎡⎛ 7 7 −7 ⎞⎤ คะแนน จงึ ตอบ ข้อ 3. ⎢⎣⎝⎜ 3 7a ⎟ ⎜ 3 7 ⎟⎥ ⎢⎣⎜⎝ 3 7 ⎟ − (0)⎥ ⎝ (ถ้าอยากคดิ zค จะได้ ⎠ ⎠⎦ ⎠⎦ = 2a 75.75 − 60 15 )xค = 75.75 → zค = = 1.05 → a3 − 9a = 0 → a = 3 3 ตอบ (27) 3 (23) เลือก ⎛⎝⎜62 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 7 ⎟⎞⎠ ⎛⎝⎜ 11⎟⎞⎠ และสลบั ได้ 4! 0.258 1 0.47 0.03 ∴ คูณกนั ได้ 2,520 วธิ ี ตอบ 136.5 Mo 149.4 x (24) วธิ ที งั้ หมดเท่ากับ 20! ท่ี 136.5 → A = 0.258 ทางซ้าย (สาเหตทุ เ่ี ปน็ 20! เน่อื งจากโตะ๊ อยใู่ กล้กนั จงึ เปรยี บเหมอื นมตี าํ แหน่งท่นี ัง่ เกดิ ขน้ึ แล้ว จะไม่ใช่ → z = −0.7 = 136.5 − X .....(1) s วงกลมอกี ตอ่ ไป) ที่ 149.4 → A = 0.47 ทางขวา วิธีทต่ี อ้ งการ ⎜⎛⎝210⎠⎞⎟ × 2 × 18 ! → z = 1.88 = 149.4 − X .....(2) 2 คนเลือกทนี่ ัง่ 18 คนทเ่ี หลอื s นํามาหารกนั ไดค้ าํ ตอบเป็น 2 ตอบ แกร้ ะบบสมการได้ s = 5, X = 140 ซม. 19 ∴ ตอบ ฐานนิยม (Mo) = X = 140 ซม. (25) แกต้ ามสตู ร และ s2 = 25 ซม.2 (28) ปี 44 เทียบ 43; Σy = mΣx + cN → 41 = 48m + 8c 100 + 115 + 125 2,000 และ Σxy = mΣx2 + cΣx → 286 = 348m + 48c ΣP43 7 บาท1.19 จะได้ m = 2 และ c = 9 ∴ Yˆ = 2 X + 9 = → ΣP43 = 38 38 ปี 45 เทียบ 43; 105 + 125 + 130 = 1.26 ตอบ (2,000/ 7) ก. x = 6 → Yˆ = 2 (6) + 9 = 5.125 38 → 51,250 บาท ข. Δx = 1 → ΔYˆ = 2 (1) = 6.667 3 → 6,667 บาท ตอบ ก. ถกู ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 502 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 ¢oŒ Êoºe¢ÒŒ ÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.46 (n) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 8 เปน็ ขอ้ สอบแบบอตั นัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ A, B เป็นเซต ซ่งึ n(A) = a, n(B) = b ถ้า n [(A−B) ∪ (B−A)] = 7 และ n(A × B) = 40 แลว้ n({C | C ⊆ A∪B และ n(C)< 2}) เทา่ กับเทา่ ใด 2. กําหนดให้ a > 0 และ f (x) = ax2, x > 0 และ g(x) = x3 ถา้ (f−1 g)(4) = 2 แลว้ f−1(64) มคี ่าเท่ากับเท่าใด g−1(64) 3. กําหนดให้ f (x) = x3+ kx2 + mx + 4 เมือ่ k และ m เป็นคา่ คงตวั ถ้า x − 2 เปน็ ตวั ประกอบหนงึ่ ของ f (x) และเมื่อนาํ x + 1 ไปหาร f (x) ได้เศษเหลอื 3 แล้ว คา่ สัมบรู ณข์ อง k + m เท่ากับเทา่ ใด 4. 1 + cos (π + (arccos 4 − arctan 4)) เท่ากับเท่าใด 2 53 5. กําหนดเวกเตอร์ a, b, c ดงั นี้ a = 4 i − 2 j , a + b = 6 i + 4 j และ c = c1i + c2 j โดยที่ c1 > 0 , c2 > 0 และ c = 2 17 ถา้ c ต้ังฉากกบั (a − b) แลว้ c1 + c2 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 6. กําหนดให้เส้นตรง y = −6x − 5 สัมผสั เส้นโค้ง y = f (x) ท่ีจดุ x = −1 ถา้ f (x) = ax3+ bx2− 3 เม่ือ a, b เป็นจาํ นวนจริงแล้ว คา่ สงู สุดสัมพัทธข์ อง f เทา่ กับเทา่ ใด 7. ในการศึกษาความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ นั ของปริมาณนมโดยเฉล่ีย (ลติ ร) ทเี่ ด็กแตล่ ะคนในตาํ บลหนึง่ บริโภคตอ่ ปี ( y ) ระหวา่ งปี พ.ศ. 2538 – 2545 พบวา่ เมื่อเปลีย่ นชว่ งเวลาให้อยูใ่ นรปู ของค่า x ดงั น้ี พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 x -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 จะไดส้ มการแสดงความสัมพันธ์ (ทศนิยม 2 ตําแหน่ง) เป็น y = 0.54 x + 38.85 ถ้าใช้ความสมั พันธน์ ท้ี าํ นายปรมิ าณนมโดยเฉลยี่ ทเ่ี ด็กแต่ละคนในตาํ บลนีบ้ รโิ ภคใน พ.ศ. 2547 แล้ว จะได้ว่าปรมิ าณนมโดยเฉลย่ี ทเี่ ด็กแต่ละคนบรโิ ภคโดยประมาณ เท่ากบั เทา่ ใด 8. ข้อสอบชุดหนง่ึ มี 2 ตอน ตอนละ 4 ข้อ มคี ําสั่งใหผ้ สู้ อบทําข้อสอบตอนท่ีหนงึ่ อย่างนอ้ ย 1 ขอ้ และทําขอ้ สอบตอนท่สี อง 2 ข้อ จํานวนวิธที ่ีผ้สู อบจะทาํ ขอ้ สอบชดุ น้ี เท่ากับเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 503 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.46 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ถา้ a, b และ c เปน็ จาํ นวนเตม็ ซงึ่ a | (2b−c) และ a2 | (b+c) แล้ว a | 3c ข. ถา้ A = { x ∈ R | x2−2x+2 < 1} และ B = { x ∈ R | x3−2x2 < 0 } แลว้ A = B x −2 ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 2. พจิ ารณาการอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปน้ี ข. เหตุ 1) P (x) → ~ Q (x) ก. เหตุ 1) p ∧ q ผล 2) Q (x) ∨ R (x) 2) (q ∨ r) → (s ∧ p) P (x) → R (x) 3) p → ~ r 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผลท้งั คู่ ผล s ∧ ~ r ขอ้ ความใดต่อไปนถี้ ูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผลทั้งคู่ 3. ก ไมส่ มเหตุสมผล แต่ ข สมเหตสุ มผล 3. ให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจรงิ ถ้า P (x) แทนขอ้ ความ x2 − 3x < 0 และ Q (x) แทนข้อความ −2 < log1/3x < −1 แล้ว ประโยคในข้อใดต่อไปนมี้ ีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง 1. ∀x [P (x) → Q (x)] 2. ∀x [Q (x) → P (x)] 3. ∀x [~ P (x) → Q (x)] 4. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 4. กําหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชนั ซ่งึ Df = [0, ∞) โดยท่ี f−1(x) = x2 , x > 0 และ ,g−1(x) = (f (x))2 + 1 x > 0 ถ้า a > 0 และ f (a) + g(a) = 19 แล้ว f−1(a) + g−1(a) เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 273 2. 274 3. 513 4. 514 5. กาํ หนดให้ a>0 และ g (x) = ⎧⎪ −a (10 x) ,x < 1 ⎨ ,x > 1 ⎩⎪ x3 − 1 ถ้า Rg = (−2.5, ∞) แลว้ พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. g−1(a−1) = log 2 ข. g−1(x) = ⎪⎧ log(4|x|) ,x < 0 ⎨ ,x > 0 ข้อใดต่อไปนถี้ กู ⎩⎪ 3 x + 1 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 504 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.46 6. ให้ r = {(x, y) | y = x2− 4 } พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ x −2 ก. 4 ∈ Rr ข. Rr−1 = [0, 4) ∪ (4, ∞) ข้อใดต่อไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 7. ให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลา 12y2 − 4x2+ 72y + 16x + 44 = 0 ซ่ึงมีจดุ โฟกสั คอื F1 และ F2 ให้ E เปน็ วงรีซึง่ มีจดุ ศูนย์กลางร่วมกับ H โดยมี F1 และ F2 เป็นจดุ ยอด และสัมผัสแกน y ถา้ E ตดั แกน x ท่ีจุด A และ B แล้ว AB ยาวเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 8 หนว่ ย 2. 7 หนว่ ย 3. 6 หนว่ ย 4. 5 หนว่ ย 8. กาํ หนดให้วงกลม C มจี ุดศนู ย์กลางอยู่ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา y = 1 − 8(x − 2)2 ถ้าเส้นตรง 3x − 4y + 5 = 0 เป็นเส้นสัมผัสวงกลม C แล้ว จุดในข้อใดตอ่ ไปนอี้ ยบู่ นวงกลม C 1. (0, 1+ 5) 2. (1−2 2, 0) 3. (−1, − 1) 4. (2, − 2) 9. ถ้า sin A = 2 และ cos A = 1 แลว้ tan2B มีคา่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ sin B 3 cos B 2 1. 4 2. 3 2 3. 1 4. 2 3 10. ถา้ a, b เปน็ คาํ ตอบของสมการ 6x − 3x +1− 2x +2 + 12 = 0 แลว้ คําตอบของสมการ (ab)2x +1 = (ab+3)x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. log 3 2. log 4 log 2 − log 3 log 7 − log 16 3. 1 4. 1 log38 − 2 log25 − 2 11. กําหนดให้ S เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ log x ⎛ x + 3 ⎞ > 1 และ ⎝⎜ x − 1 ⎠⎟ T = { log 3 x | x ∈ S } แลว้ T เปน็ สบั เซตของชว่ งใดต่อไปน้ี 1. [0, 2] 2. [1, 3] 3. [1/2, 5/2] 4. [1/3, 7/3] 12. กําหนดให้ เปน็ จาํ นวนจริง และ ⎡a 1 2a+ 6⎤ ⎢ a 3 ⎥ a A = ⎢ 6 ⎥ ⎢⎣ a 2 a ⎦⎥ ถ้า M11(A) = 18 และ M22(A) = −12 แลว้ C31(A) เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −57 2. −33 3. −15 4. −3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 505 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.46 13. กําหนดให้ เป็นจาํ นวนจริง และ ⎡ 1 0 2⎤ ⎢ ⎥ a A = ⎢ 0 3 0 ⎥ ⎣ 4 0 a ⎦ ถ้า a > 10 และ det (adj A) = 225 แลว้ a มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 11 2. 12 3. 13 4. 14 14. กําหนดสมการจุดประสงคค์ อื P (x, y) = (a2− 1) x + a y โดยที่ a เป็นจาํ นวนจริงบวก ซง่ึ a2− a − 2 > 0 และมีอสมการขอ้ จํากัดคอื 2 < x < 4 , y > 1 และ x + y < 7 ถา้ คา่ สงู สดุ ของ P (x, y) เท่ากับ 41 แลว้ a มีคา่ อยใู่ นช่วงใดตอ่ ไปน้ี 1. [2, 2.5) 2. [2.5, 3) 3. [3, 3.5) 4. [3.5, 4) 15. กาํ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมด้านเท่า และ D เป็นจดุ บนดา้ น BC ซง่ึ ทาํ ให้ |˜BD|:|˜BC| = 1 : 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. 3 ˜AD = 2 ˜AB + ˜BC ข. ˜AD ⋅ ˜BC = − 1 |˜BC|2 ข้อใดตอ่ ไปนถี้ กู 6 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 16. กําหนดจํานวนเชงิ ซอ้ น z1 = a , z2 = b (cos θ + i sin θ) โดยที่ a > 0 , b > 0 และ 0 < θ < π 2 ถา้ 2 i|z1z2|sin θ = c z1z2 + d z1z2 โดยที่ c, d เปน็ จํานวนจริง แลว้ 5c + 2d มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 17. ให้ z = a + b i ซึง่ b > 0 ถ้า z สอดคลอ้ งกับ z2 + 4z − 32 = 1 และ z z = 61 z2 − 64 แล้ว a + b มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 3. 11 4. 12 1. 9 2. 10 18. กําหนดให้ f (x) = | x2 + 4x | และ g(x) = | x2 − 16 | 4. 1 ถ้า a, b เป็นคําตอบทั้งสองของสมการ f (x) = g(x) 3 แลว้ lim f (x) + lim f (x) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี x → a g (x) x → b g (x) 1. 3 2. 5 3. 1 2 62 19. ให้ x เปน็ จํานวนจรงิ ซึ่ง |x| < 1 ถ้าอนกุ รม 1 + (1+x)(1) + (1+x+x2)(1)2 + (1+x+x2+x3)(1)3 + ... มีผลบวกเทา่ กับ 16 22 2 7 แล้ว x มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. − 1 2. − 1 3. 1 4. 1 3 4 3 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 506 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.46 20. กําหนดให้ g เป็นฟังกช์ ันพหุนาม และ f (x) = x g(x) ถา้ f′(x) = 4x3 + 9x2 และ f (0) = 0 แล้ว d ⎡ f (x) ⎤ ที่จุด x = −2 มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ⎢ (x+1)⎥⎦ dx ⎣ g 1. −4 2. −2 3. 2 4. 4 21. กําหนดให้ f (x) = x2− 1 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ∫ก. 1 = 4 f (x) dx −1 3 ข. พนื้ ท่ีทป่ี ดิ ล้อมด้วยโค้ง y = f (x) จาก x = −1 ถงึ x = 1 เทา่ กบั 4 ตารางหน่วย 3 ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 22. กําหนดให้ a, b เปน็ จาํ นวนจริง และ f (x) = x3 + ax2 + bx + 1 ถา้ f′(1) = 15 และ ∫1 = 55 แลว้ f (1) มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี f (x) dx 12 0 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 23. กล่องใบหนงึ่ มลี ูกแก้วขนาดเดยี วกนั 3 สี เปน็ สขี าว 4 ลูก สีแดงและสีเขียวมีจํานวนเท่ากัน เม่อื สมุ่ หยบิ ลูกแกว้ มา 2 ลกู ความนา่ จะเปน็ ที่จะไดล้ ูกแกว้ สขี าวท้ัง 2 ลกู เทา่ กบั 2/15 ถา้ สุ่มหยบิ ลกู แก้วมา 4 ลูก ความน่าจะเปน็ ท่จี ะได้ลกู แกว้ เปน็ สีเขยี ว 1 ลกู และสีแดงอย่างน้อย 1 ลกู เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 30 2. 31 3. 29 4. 33 70 70 35 35 24. ในการยืนเรยี งเปน็ แถวตรงของนักเรียนชาย 6 คน และนกั เรียนหญิง 4 คน ถา้ ความนา่ จะเป็นท่ี ไมม่ นี ักเรยี นหญงิ สองคนใดยืนตดิ กนั เลย เท่ากบั a และความน่าจะเปน็ ทนี่ ักเรียนหญงิ ท้งั หมดต้อง ยนื ติดกนั เท่ากบั b แล้ว a + b เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35 25. ในการสาํ รวจนํ้าหนกั ตัวของนักเรียน 200 คน มกี ารแจกแจงความถ่ีดังนี้ นาํ้ หนกั ตวั (ก.ก.) ความถ่ี 19 – 22 20 23 – 26 60 27 – 30 30 31 – 34 40 35 – 38 50 จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. นา้ํ หนกั ตัวของนกั เรยี น 200 คนนี้ มีฐานนิยมมากกวา่ มธั ยฐาน ข. สัมประสทิ ธข์ิ องส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทลข์ องนํา้ หนักตัวนกั เรยี น 200 คนน้เี ท่ากับ 0.15 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 507 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 26. โรงงานแห่งหนึง่ คัดเลือกคนงานจากผ้สู มัครเข้าทํางานทั้งหมด โดยมีเงือ่ นไขวา่ ผูท้ ี่จะไดร้ ับการ พิจารณาคัดเลือกเขา้ ทํางานต้องมีคา่ มาตรฐานของอายไุ มน่ อ้ ยกว่า 1.5 และไม่เกิน 3.5 ถ้าคา่ เฉลีย่ เลขคณติ และความแปรปรวนของอายุของผู้สมัครทงั้ หมดเป็น 23 ปี และ a ปี2 ตามลําดบั และถ้านําค่ามาตรฐานของอายุของผู้สมัครทัง้ หมดมาหาความแปรปรวนไดค้ วามแปรปรวน เท่ากบั a/4 แลว้ ผู้สมคั รท่อี ยู่ในขา่ ยท่ีจะไดร้ บั การคัดเลือกเขา้ ทํางานจะตอ้ งมอี ายตุ ามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. ไมน่ ้อยกว่า 26 ปี และไมเ่ กิน 37 ปี 2. ไมน่ ้อยกว่า 29 ปี และไม่เกิน 37 ปี 3. ไมน่ อ้ ยกว่า 26 ปี และไม่เกนิ 30 ปี 4. ไม่น้อยกวา่ 29 ปี และไมเ่ กนิ 30 ปี 27. ในการสอบวชิ าหน่งึ มีนักเรียนสอบสองห้อง เป็นหอ้ ง ก และห้อง ข พบว่าคะแนนสอบของทัง้ สอง ห้องมีการแจกแจงปกติ โดยมมี ธั ยฐานเทา่ กันและเทา่ กบั a สมั ประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนน ของนักเรียนหอ้ ง ก และห้อง ข เท่ากับ c และ c + 5 a ตามลําดับ ถา้ ในการสอบครง้ั นเ้ี ดก็ หญงิ สดซ่ึงอยูห่ ้อง ก และเดก็ หญิงใสซึ่งอยู่ห้อง ข ทาํ คะแนนได้ในตาํ แหน่งเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 78.81 ทงั้ คู่ แล้วเดก็ หญิงใสได้คะแนนมากกว่าเดก็ หญิงสดเทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ กาํ หนดตารางแสดงพ้ืนท่ีใต้เสน้ โค้งปกตดิ ังน้ี z 0.70 0.80 0.90 A 0.2580 0.2881 0.3159 1. 5 2. 4 3. 3.5 4. 2 28. ใหป้ ี พ.ศ. 2539 เปน็ ปีฐานในการหาดชั นีราคาผบู้ ริโภคตงั้ แต่ พ.ศ. 2540 เปน็ ต้นไป สมมติว่า ดชั นีราคาผบู้ ริโภคใน พ.ศ. 2540 เทา่ กบั 104 และคา่ ครองชีพใน พ.ศ. 2543 สูงกว่าคา่ ครองชพี ใน พ.ศ. 2540 เท่ากับ 25 เปอรเ์ ซน็ ต์ ถ้านายสจุ ริตมีรายได้ตอ่ เดือนท่แี ท้จรงิ ใน พ.ศ. 2543 เท่ากับ 20,000 บาท แลว้ เขามีรายได้ต่อเดอื นเป็นตัวเงินเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 23,000 บาท 2. 24,000 บาท 3. 25,000 บาท 4. 26,000 บาท เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 56 (2) 0.5 (3) 4 (4) 1.28 (5) 10 (6) 5 (7) 44.79 (8) 90 ตอนท่ี 2 (1) 2 (2) 1 (3) 4 (4) 1 (5) 4 (6) 3 (7) 2 (8) ไมม่ ขี ้อถูก (9) 2 (10) 4 (11) 1 (12) 2 (13) 3 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 3 (18) 1 (19) 4 (20) 1 (21) 3 (22) 2 (23) 2 (24) 1 (25) 4 (26) 3 (27) 2 (28) 4 เฉลยวธิ คี ิด ตอนท่ี 1 a + b ตอ้ งเปน็ จาํ นวนคี่เทา่ นนั้ (1) n(A × B) = 40 m ∴ a, b = 5 กบั 8 ... จะได้ m = (13 − 7) / 2 = 3 แสดงวา่ ab = 40 .....(1) n(A ∪ B) = 5 + 8 − 3 = 10 n [(A − B) ∪ (B − A)] = 7 แสดงวา่ ดังนนั้ จํานวนสบั เซตของ A ∪ B ซง่ึ หยิบสมาชิกมา (a − m) + (b − m) = 7 → a + b = 2 m + 7 .....(2) <2 ตวั คอื = ⎝⎜⎛ 10 ⎟⎞⎠ + ⎜⎛⎝ 10 ⎠⎞⎟ + ⎝⎜⎛ 10 ⎟⎠⎞ = 56 ตอบ 0 1 2 มากกวา่ a ] โดยที่ a, b, m เปน็ จาํ นวนนับ และ m < a, b จากสมการแรกพบวา่ มี a, b หลายคู่ คอื 1, 40 [หมายเหตุ a, b เป็น 1, 40 ไม่ได้ 2, 20 4, 10 5, 8 แต่จากสมการท่สี องจะทราบวา่ เพราะจะทําให้ m = (41− 7) / 2 = 17 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 508 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.46 (2) g(4) = 43 = 64 แสดงวา่ ตอนท่ี 2 (1) ก. สญั ลกั ษณ์ a b แปลว่า a ไปหาร b ลงตัว f−1(64) = 2 → f(2) = 64 → a(22) = 64 ∴ a = 16 (หมายถึง b = จาํ นวนเตม็ ) a โจทย์ถาม f−1(64) = 2 = 0.5 ตอบ g−1(64) 4 สง่ิ ทค่ี วรทราบคือ (เม่ือ a, b, c, n เป็นจาํ นวนนบั ) (i) ถ้า a b และ a c แลว้ a (b ± c) (3) f(2) = 0 → 8 + 4k + 2m + 4 = 0 .....(1) (ii) ถา้ a b แลว้ a bc f(−1) = 3 → −1 + k − m + 4 = 3 .....(2) (iii) ถา้ an b แล้ว a b ได้ k = −2, m = −2 ตอบ 4 จาก a (2b − c) .....(1) และ a2 (b + c) .....(2) (4) cos ⎛⎝⎜ π + θ ⎞⎠⎟ = − sin θ ดงั นั้น จากโจทยจ์ ะได้ ประโยค (2) แสดงวา่ a (b + c) ∴ a (2b + 2c) 2 นําไปลบกบั (1) เพือ่ กาํ จดั b ทิง้ ไป จะไดว้ ่า a [(2b + 2c) − (2b − c)] → a 3c ก. ถกู 1 − sin ⎛ arccos 4 − arctan 4⎞ ⎜⎝ 5 3 ⎠⎟ ใช้สตู ร sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B ได้เปน็ 1 − ⎛3 ⋅ 3 − 4 ⋅ 4⎞ = 1.28 ตอบ ข. A; x2 − 2x + 2 − x + 2 < 0 ⎝⎜ 5 5 5 5 ⎠⎟ x −2 (5) a = 4 i − 2 j .....(1) → x2 − 3x + 4 < 0 → x − 2 < 0 a + b = 6 i + 4 j .....(2) x −2 นําสมการ (2) ลบดว้ ยสมการ (1) (เพราะ x2 − 3x + 4 แยกไม่ได้) ∴ A = (−∞, 2) ได้ b = 2 i + 6 j ∴ (a − b) = 2 i − 8 j B; x2(x − 2) < 0 → เขยี นเสน้ จาํ นวนโดยใหม้ เี ลข เวกเตอร์ c มขี นาด 2 17 → c21 + c22 = 2 17 0 สองคร้ังดว้ ย จะได้ B = (−∞, 2) − {0} ข. ผดิ และตงั้ ฉากกับ 2 i − 8j (ดอทกนั ได้ 0) → 2c1 − 8c2 = 0 แก้ระบบสมการ ตอบ ขอ้ 2. (2) ก. ใหเ้ หตุเป็นจรงิ ทกุ ขอ้ จะได้ c1 = 8, c2 = 2 ตอบ 10 จะได้วา่ p จรงิ , q จรงิ , r เทจ็ , s จริง พบวา่ ผลจะเป็นจริงเสมอ ดงั นนั้ ก. สมเหตุสมผล (6) y สัมผัสกบั L; y = −6x − 5 ท่จี ดุ x = −1 ข. เหตุ 2 คอื Q(x) ∨ R(x) เปล่ียนรูปเปน็ แสดงว่า f(−1) = −6(−1) − 5 = 1 → −a + b − 3 = 1 ~ Q(x) → R(x) แลว้ นําไปรวมกบั เหตุ 1 คอื และความชนั f′(−1) = −6 → 3a − 2b = −6 P(x) → ~ Q(x) ได้ผลเปน็ P(x) → R(x) แกร้ ะบบสมการได้ a = 2 และ b = 6 ดังนน้ั ข. สมเหตสุ มผล ตอบ ขอ้ 1. (3)∴ f(x) = 2x3 + 6x2 − 3 → f′(x) = 6x2 + 12x = 0 P(x); x (x − 3) < 0 → 0 < x < 3 → x = 0, −2 แสดงว่า P(x) แทนขอ้ ความ “ x ∈ (0, 3) ” ซ่งึ f(0) = −3 , f(−2) = 5 Q(x); ⎛ 1 ⎞−1 < x < ⎛ 1 ⎞−2 →3<x<9 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ ∴ ค่าสงู สุดสมั พทั ธ์ = 5 ตอบ (7) ปี 2547; เทยี บเปน็ คา่ x = 11 แสดงว่า Q(x) แทนขอ้ ความ “ x ∈ (3, 9) ” ∴ Yˆ = 0.54(11) + 38.85 = 44.79 ลิตร ตอบ ∴ ข้อทีถ่ ูกคอื ข้อ 4. ตอบ (8) ตอนท่ี 1 เลอื กทาํ กขี่ ้อกไ็ ด้ ยกเวน้ ไมท่ าํ เลย [สําหรบั ทกุ ๆ x, ถา้ x ∈ (0, 3) แลว้ x ∉ (3, 9) ] 4 ⎜⎝⎛ 24 ⎟⎠⎞ ⎝⎜⎛ 43⎟⎠⎞ 4 → ⎜⎛⎝ 1 ⎞⎠⎟ + + + ⎛⎝⎜ 4 ⎠⎟⎞ = 24 − 1 = 15 วิธี (4) f−1(x) = x2 → f(x) = x ตอนท่ี 2 เลอื กสองขอ้ เทา่ น้ัน → ⎛⎜⎝ 4 ⎟⎠⎞ =6 วธิ ี g−1(x) = ( x)2 + 1 = x + 1 → g(x) = x − 1 2 ดังนนั้ f(a) + g(a) = a + a − 1 = 19 ∴ ตอบ 15 × 6 = 90 วิธี → a + a − 20 = 0 → ( a − 4)( a + 5) = 0 จะได้ a = 16 เทา่ นน้ั ตอบ∴ f−1(16) + g−1(16) = 162 + 16 + 1 = 273 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 509 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 (5) พจิ ารณา Rg ทีละช่วง ดังนนั้ x = 2 ± 7 กรณีแรก ถา้ x < 1 2 → 0 < 10x < 10 → −10a < −a(10x) < 0 และระยะ AB คือ 7 หน่วย ตอบ (8) จัดรปู พาราโบลา; ดงั นน้ั Rg ช่วงแรกคือ (−10a, 0) กรณที ่สี อง ถ้า x > 1 y = 1 − 8(x − 2)2 → y − 1 = −8(x − 2)2 → x3 > 1 → x3 − 1 > 0 → (x − 2)2 = 4 (− 1 )(y − 1) 32 ดงั นนั้ Rg อกี ชว่ งคอื [0, ∞) เปน็ พาราโบลาทมี่ ีจดุ ยอด (1, 2), ควาํ่ , c = 1 ∴ −10 a = −2.5 → a = 1 32 4 ดงั นน้ั จดุ โฟกสั คอื (1, 63) หารศั มวี งกลมจากระยะ ก. g−1(a − 1) = g−1(3) พบว่า − 3 ∈ (−2.5, 0) 32 44 ระหวา่ งจุด (1, 63) ไปถงึ เส้นตรง จงึ คดิ จาก − 1 (10x) = − 3 32 44 ∴ 10x = 3 → x = log 3 r = 3(1)− 4(63 / 32)+ 5 = 1/ 8 = 1 ก. ผดิ 32 + 42 5 40 ข. g−1(x) ที่โจทย์ให้มาน้ันผดิ ตรงเงอื่ นไข สมการวงกลม (x − 1)2 + (y − 63)2 = ( 1 )2 32 40 คอื เราพบวา่ Rg = (−2.5, 0) ∪ [0, ∞) ในตัวเลอื กทีใ่ หม้ า ไม่มีขอ้ ถูกเลย ตอบ ดงั นน้ั g−1(x) ตอ้ งเปน็ (9) sin A = 2 sin B .....(1) g−1(x) = ⎧ log (4 x ) , − 2.5 < x < 0 ข. ผดิ 3 ⎨ x>0 ⎩ 3x + 1 , cos A = 1 cos B .....(2) 2 ตอบ ขอ้ 4. แต่ sin2 A + cos2 A = 1 จะได้ (6) ก. พิจารณาว่า 4 ∈ Rr หรือไม่ ( 2 sin B)2 + ( 1 cos B)2 = 1 ทาํ ไดโ้ ดยให้ y = 4 ดวู า่ มีค่า x หรอื ไม่ 32 → 4 = x2 − 4 → 4 x − 8 = x2 − 4 → 4 sin2 B + 1 cos2 B = 1 x −2 32 → x2 − 4 x + 4 = 0 → มอง x = A จะได้ → 4 sin2 B + 1 (1 − sin2 B) = 1 32 A4 − 4A + 4 = 0 ซ่ึงถา้ ลองแยกตวั ประกอบ → 5 sin2 B = 1 → sin2 B = 3 (จํานวนจรงิ ) จะแยกไม่ได้ ∴ ก. ผิด 62 5 ข. Rr−1 = Dr; x − 2 ≠ 0 และ x > 0 (ในรูท้ ) ∴ x ≠ 2 → x ≠ 4 จะได้ [0, 4) ∪ (4, ∞) ข. ถกู ∴ cos2 B = 1 − 3 = 2 → tan2 B = 3 ตอบ ตอบ ข้อ 3. 55 2 (7) จัดรปู ; (10) ให้ 3x = A, 2x = B → AB − 3A − 4B + 12 = 0 12(y2 + 6y + 9) − 4(x2 − 4x + 4) = − 44 + 108 − 16 → A (B − 3) − 4 (B − 3) = 0 → (y + 3)2 − (x − 2)2 = 1 → (A − 4)(B − 3) = 0 → 3x = 4 หรอื 2x = 3 4 12 → x = log3 4 หรอื x = log2 3 เปน็ ไฮเพอรโ์ บลา เปดิ บนลา่ ง, จดุ ศนู ย์กลาง (2, −3) ดังนนั้ ab = log2 4 = 2 โจทย์ถาม (ab)2x + 1 = (ab + 3)x → 22x + 1 = 5x และระยะโฟกสั c = 4 + 12 = 4 ดังนนั้ วงรีทตี่ อ้ งการ มจี ุดศูนย์กลางท่ี (2, −3) ใส่ log ฐานสอง ทง้ั สองขา้ ง (2x + 1) = x log2 5 จุดยอด a = 4 AB → x = −1 = 1 ตอบ “สัมผัสแกน y” แปลวา่ 2 − log2 5 log2 5 − 2 คา่ b = 2 ดงั รูป 2 (2,-3) (11) จากเงอ่ื นไขของ log จะได้ x + 3 > 0 เสมอ x−1 จะได้ (y + 3)2 − (x − 2)2 = 1 4 16 4 คือ (−∞, −3) ∪ (1, ∞) แต่ x ต้องเปน็ ฐานด้วย หาจดุ ตัดแกน x โดยแทน y = 0 ∴ x > 1 เทา่ นนั้ (แสดงวา่ เป็นฟงั กช์ ันเพิ่ม) → 9 − (x − 2)2 = 1 → (x − 2)2 = 7 → x + 3 > x1 → x + 3 − x2 + x > 0 16 4 4 x−1 x−1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 510 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 → x2 − 2x − 3 < 0 → (x − 3)(x + 1) < 0 (15) ก. ˜จAาBกส+ตู 1ร˜แAบCง่ เวกเตอร์ A B x−1 x−1 ˜AD = 2 1 ได้เปน็ (−∞, −1] ∪ (1, 3] และมีเงอ่ื นไข x > 1 D ∴ 3 ˜AD = 2 ˜3AB + 1˜AC จงึ สรุปวา่ S = (1, 3] 2 ขด(เ.งัพน˜รAนั้ าDะกใ⋅น.˜BโผจCดิทย=เ์ ป[2็น˜A˜BBC+)1 ˜AC] ⋅ ˜BC C → T = (log 3 1, log 3 3] = (0, 2] ตอบ ขอ้ 1. (12) C31 = 1 2a+ 6 = 3 − 2a2 − 6a a3 3 ˜B3C จาก M11 = a3 = a2 − 6 = 18 → a2 = 24 = 2 ˜AB ⋅ ˜BC + 1 ˜AC ⋅ (ทุกดา้ นยาว a หมด) 2a 33 และ M22 = a 2a+ 6 = a2 − 2a2 − 6a = −12 = 2 (a)(a) cos 120° + 1 (a)(a) cos 60° = − 1 a2 aa 33 6 ดงั นน้ั ข. ถูก ตอบ ขอ้ 3. แทนค่า a2 = 24 ลงไป จะได้ (16) z1 = a, z2 = b, → 24 − 2a2 − 6a = −12 → − 2a2 − 6a = −36 ∴ C31 = 3 − 36 = −33 ตอบ z1 = a, z2 = b (cos θ − i sin θ) [หมายเหตุ จะแกส้ มการใหไ้ ด้ a = −2 6 กอ่ นก็ได]้ จะไดส้ มการในโจทย์เปน็ 2 i ab sin θ = cab (cos θ + i sin θ) + dab (cos θ − i sin θ) (13) พิสจู น์ adjA = A ⋅ A−1 → adjA = A n ⋅ A−1 = A n−1 จดั กลุ่มสว่ นจริง กบั ส่วนจินตภาพ (2ab sin θ) i = ⎣⎡(c + d)ab cos θ⎦⎤ + ⎣⎡(c − d)ab sin θ⎦⎤ i โจทย์บอกวา่ adjA = 225 แลว้ เทยี บสัมประสิทธิ์ → (3a − 24)2 = 225 → 3a − 24 = ±15 เนอื่ งจาก a ≠ 0, b ≠ 0, cos θ และ sin θ ≠ 0 → a = 13 เทา่ นน้ั ตอบ (14) ดงั นน้ั c + d = 0 และ c − d = 2 จะได้ c = 1 และ d = −1 ตอบ 3 (2,5) (17) (z + 8)(z − 4) = 1 → z − 4 = z − 8 (4,3) (z + 8)(z − 8) 1 → (a − 4)2 + b2 = (a − 8)2 + b2 O24 → (a − 4)2 = (a − 8)2 เนือ่ งจาก P = (a2 − 1) x + ay โดย a > 0 → a2 − 8a + 16 = a2 − 16a + 64 → a = 6 ดังนน้ั P(2, 5) ย่อมมากกว่า P(2, 1) และ P(4, 3) ยอ่ มมากกว่า P(4, 1) จาก zz = 61 → a2 + b2 = 61 ตัด (2, 1) กับ (4, 1) ทง้ิ ไป ตอ่ มาพจิ ารณาวา่ จดุ (2, 5) หรอื (4, 3) ที่เกดิ Pmax → b2 = 61 − 36 ∴ b = ±5 แตโ่ จทยว์ า่ b > 0 ดงั นั้น b = 5 ตอบ 6 + 5 = 11 (18) จากสมการ x2 + 4x = x2 − 16 เน่อื งจากความชนั ของ P คอื − a2 − 1 กรณีแรก x2 + 4x = x2 − 16 a → 4x = −16 → x = −4 โจทยบ์ อกวา่ a2 − a − 2 > 0 → a2 − 1 > a + 1 กรณที สี่ อง x2 + 4x = −x2 + 16 แสดงว่า a2 − 1 > a แนน่ อน ดงั นน้ั ความชนั P จึง → x2 + 2x − 8 = 0 → x = 2, −4 ตดิ ลบมากกวา่ 1 ∴ แสดงวา่ โจทย์ถาม lim + lim ∴ จุด (4, 3) เกดิ m<-1 x → 2 x → −4 Pmax ดังภาพ (4,3) m=-1 ซึ่ง lim f(x) = 12 = 1 และ x → 2 g(x) 12 O24 lim f(x) = lim (x)(x + 4) = −4 = 1 41 = (a2 − 1)(4) + a(3) → (4a + 15)(a − 3) = 0 x → −4 g(x) x → −4 (x − 4)(x + 4) −4 − 4 2 → a = 3 เทา่ นนั้ ตอบ ขอ้ 3. ดังนน้ั ตอบ 3 [จะใชว้ ิธที ดลองหา a กอ่ น แลว้ คอ่ ยตรวจสอบก็ได้] 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 511 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 (19) ให้ S∞ = 1 + (1+x)(1) + (1+x+x2)(1)2 +… (23) สมมตมิ ลี กู แกว้ รวม n ลูก 22 ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎠⎟ นาํ 1 คณู ทั้งสองขา้ ง จะได้ ( )จะได้วา่ 2= 2 → n = 6 × 15 = 45 2 15 2 2 ( )2 n 1 S∞ = 1(1) + (1+x)(1)2 + (1+x+x2)(1)3 +… ∴ n = 10 แสดงวา่ มแี ดงกับเขยี วอยา่ งละ 3 ลูก 2 22 2 ส่งิ ท่โี ทย์ถาม คดิ จาก ลบกนั ได้ 1 S∞ = 1+ x + x2 +… = 1 วธิ ที ี่ “เขียว 1 ลกู ” ลบด้วย “เขียว 1 และขาว 3” 2 2 22 1 − (x / 2) (ใช้สตู รอนุกรมเรขาคณติ ) ⎜⎝⎛ 3 ⎟⎠⎞ ⎝⎜⎛ 37 ⎠⎟⎞ − ⎝⎜⎛ 3 ⎠⎟⎞ ⎜⎛⎝ 4 ⎠⎟⎞ 1 1 3 ∴ S∞ = 2 = 4 โจทย์ให้ S∞ = 16 = 3(35) − 3(4) = 31 ตอบ 1 − (x / 2) 2−x 7 ⎜⎝⎛ 10 ⎟⎠⎞ 210 70 4 ดังนน้ั 4 = 16 → x = 1 ตอบ 2−x 7 4 (24) a = 6 ! × 7 × 6 × 5 × 4 = 1 (20) f′(x) = 4x3 + 9x2 → f(x) = x4 + 3x3 + C 10 ! 6 แต่ f(0) = 0 ∴ C = 0 b = 7 ! 4 ! = 1 ∴ a + b = 0.2 ตอบ 10 ! 30 และ g(x) = f(x) → g(x) = x3 + 3x2 x (25) ก. โค้งเปน็ แบบเบข้ วา ∴ Mo < Med ก. ผดิ (หรอื คดิ อกี แบบคอื Med อยชู่ นั้ 23 − 26 โจทยถ์ าม d ⎛ f(x) ⎞ ท่ี x = −2 แต่ Med อยชู่ นั้ 27 − 30 ∴ Mo < Med แนๆ่ ) ⎜ 1)⎟⎠ ข. Q3 อยตู่ าํ แหนง่ 150 → ขอบพอดี dx ⎝ g(x + จะได้ = g(x + 1)f′(x) − f(x)g′(x + 1) ∴ Q3 = 34.5 [g(x + 1)]2 x = −2 Q1 อยตู่ ําแหนง่ 50 → กง่ึ กลางชน้ั พอดี = g(−1)f′(−2) − f(−2)g′(−1) ∴ Q1 = 24.5 [g(−1)]2 สัมประสทิ ธ์ิ = 34.5 − 24.5 = 0.17 ข. ผิด 34.5 + 24.5 = (2)(4) − (−8)(−3) = −4 ตอบ 22 ตอบ ข้อ 4. (21) ก. 1 = ⎛ x3 − ⎞ 1 (26) จากสมบัตขิ องค่ามาตรฐานทว่ี า่ sz = 1 เสมอ ⎜ x⎟ −1 ∫ (x2 − 1) dx ⎝ 3 ∴a =1 →a=4 ⎠ 4 −1 = ( 1 − 1) − (− 1 + 1) = − 4 ก. ผิด xmin − 23 333 2 ป,ีzmin = ข. จดุ ตดั แกน x คือ 1.5 = → xmin = 26 -1 กับ 1 ดังกราฟ xmax − 23 2 ปีzmax = 3.5 = → xmax = 30 ∴ พน้ื ท่ี = 4 ตร.หน่วย ตอบ ขอ้ 3. 3 -1 1 (27) X = a , หอ้ ง ก. s = ac ดังนนั้ ข. ถูก ตอบ ข้อ 3. ห้อง ข. s = ac + 5 (22) f′(x) = 3x2 + 2ax + b A=0.2881ขวา จะได้ z=0.8 → f′(1) = 15 แสดงวา่ 3 + 2a + b = 15 .....(1) สด (ก.) 0.8 = xสด − a P78.81 ac 1 = ⎛ x4 + ax3 + bx2 + x ⎞ 1 ⎜ 3 2 ⎟ 0 → 0.8ac = xสด − a .....(1) ∫ f(x)dx ⎝ 4 ⎠ 0 = 1 + a + b + 1 = 55 .....(2) ใส (ข.) 0.8 = xใส − a 432 12 ac + 5 แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 4 → 0.8ac + 4 = xใส − a .....(2) ∴ f(1) = 1 + 4 + 4 + 1 = 10 ตอบ สมการลบกนั (2)-(1); xใส − xสด = 4 ตอบ (28) ดัชน4ี 3 = 125 × 104 = 130 100 ดังนน้ั รายได้ทเ่ี ปน็ ตวั เงนิ = 130 × 20,000 100 = 26,000 บาท ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 512 ขอสอบเขาฯ มี.ค.47 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa ÁÕ.¤.47 (o) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 8 เปน็ ขอ้ สอบแบบอตั นัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ f (x) = 10x และ g(x) = 100 − 3x2 จํานวนเตม็ ท่ีมคี ่ามากท่ีสดุ ท่เี ป็นสมาชิกของ Rgof มีค่าเท่าใด 2. คา่ sin(2 arctan 1) + cot2(arcsin 1) เทา่ กับเท่าใด 23 3. กาํ หนดให้ P คือพาราโบลา x2+ 8y + 2x + a = 0 โดยที่ a < 0 และมีเสน้ ตรง y = 4 เป็นเส้นไดเรกตรกิ ซ์ ถา้ P ตดั แกน x ทางลบท่ีจุด A แลว้ เส้นตรงที่ผา่ นจดุ A และจดุ ยอดของ P มีความชันเท่ากับเท่าใด 4. ผลบวกของคาํ ตอบของสมการ log2(4x −1+ 2x −1 + 6) = 2 + log2(2x −1+ 1) มคี า่ เทา่ ใด 5. ให้ A, B เป็นเมตริกซ์มติ ิ 3 × 3 ถ้า A B = 3 I โดยที่ I เป็นเมตริกซเ์ อกลักษณ์ และ adj B = 1 A 3 แลว้ det(A) มีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด 6. กาํ หนดใหเ้ วกเตอร์ ⎡ 1⎤ ตง้ั ฉากกับเวกเตอร์ ⎡−8⎤ และ ⎡5⎤ = b ⎡ 1⎤ + c ⎡−8⎤ ⎢⎣4⎥⎦ ⎣⎢ a ⎥⎦ ⎣⎢3⎦⎥ ⎣⎢4⎥⎦ ⎣⎢ a ⎦⎥ ถา้ θ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ ⎡a⎤ และ ⎡b⎤ แลว้ cos2 θ เท่ากับเทา่ ใด ⎢⎣0⎦⎥ ⎣⎢c⎥⎦ 7. กาํ หนดให้ f (x) = 3x + 1 และ (f g)′(x) = 3x2 + 1 ถา้ g(0) = 1 แล้ว 0 ∫1 มีคา่ เทา่ กับเท่าใด g (x) dx 8. ถา้ นาํ ปริมาณขา้ วกลอ้ งท่รี ้านคา้ แหง่ หน่ึงขายไดร้ ายปี ตง้ั แต่ปี พ.ศ. 2537 ถึงปี พ.ศ. 2546 ( y ) (หนว่ ยเป็นกิโลกรัม) มาสรา้ งความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั กับชว่ งเวลา ( x ) โดยกาํ หนดใหป้ ี พ.ศ. 2541 และ 2542 มคี ่า x = −1 และ 1 ตามลําดับ แลว้ ได้ความสมั พันธ์เชงิ ฟังกช์ ันของปริมาณขา้ วกล้องท่ี ร้านค้าแห่งนขี้ ายไดโ้ ดยประมาณ คอื y = 192 + c x ถ้าทํานายโดยใช้ความสัมพันธน์ ี้ ปรากฏว่าปรมิ าณข้าวกล้องทร่ี า้ นคา้ แหง่ นี้ขายไดใ้ นปี พ.ศ. 2547 โดยประมาณเท่ากับ 316.3 กโิ ลกรัม แล้วในปี พ.ศ. 2548 จะทาํ นายว่าปรมิ าณขา้ วกล้องที่ ร้านค้าแหง่ นี้ขายได้โดยประมาณเทา่ กบั เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 513 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.47 ตอนท่ี 2 ขอ้ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. สาํ หรบั เซต X ใดๆ ให้ n(X) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของเซต X กาํ หนดให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธท์ ่ีมสี มาชิก 240 ตัว และ A, B, C เปน็ เซตที่มีสมบัตดิ งั น้ี n(A) = 5x , n(B) = 5x , n(C) = 4x , ,n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = y ,n(A ∩ B ∩ C) = x n [(A ∪ B ∪ C)'] = 60 ถ้า y − x = 20 แล้ว x เป็นจริงตามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 18 < x < 21 2. 21 < x < 24 3. 24 < x < 27 4. 27 < x < 30 2. ให้ S เปน็ เซตคําตอบของอสมการ 3x − 2 > 0 x−1 −1 เซต { x | x > 0 และ x ∉ S } เป็นสบั เซตของชว่ งใดต่อไปน้ี 1. [0, 1] 2. [ 1 , 3] 3. [ 1 , 2] 4. [3 , 3] 42 2 4 3. ให้ a และ b เปน็ จาํ นวนจริงท่ีทาํ ให้ x2+ ax + b หาร x3 − 3x2+ 5x + 7 มีเศษเหลอื เท่ากับ 10 คา่ a + b เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 4. กาํ หนดให้ ประพจน์ (~ p ↔ ~ r)∨ (p ↔ q) มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ ประพจน์ใดตอ่ ไปนมี้ ีค่าความจริงเป็นเทจ็ 1. ~ p → (q ∨ r) 2. ~ p → (q ∧ r) 3. p ∨ q ∨ ~ r 4. p ∧ q ∧ ~ r 5. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ประพจน์ [p →(q → r)] ↔ [q → (p → r)] เปน็ สัจนิรันดร์ ข. มีจํานวนจริง a อยู่ในช่วง (0, 1) ทําใหป้ ระโยค ∃x [x2+ x + a = 0] มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 4 เมื่อเอกภพสัมพทั ธ์คือ U = (− 1 , 0) 2 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 6. กาํ หนดให้ r = {(x, y) | x > y และ y2 = x2+ 2x − 3 } พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (−∞, ∞) ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 514 ขอสอบเขาฯ มี.ค.47 7. กาํ หนดให้ f (x) = ax2 + b และ g(x − 1) = 6x + c เม่ือ a, b, c เป็นคา่ คงตัว ถ้า f (x) = g(x) เม่อื x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว้ (f g−1)(16) มีคา่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 31 2. 61 3. 10 4. 20 9 9 8. กาํ หนดให้ f (x) = ⎧⎪ 1 − x , x ∈ [0, 1] ⎨⎪⎩1 + x − 1 , x ∈ (1, ∞) พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. f−1(x) ≠ f (x) ทกุ x ∈ (1, ∞) ข. มีจํานวนจริง a > 0 เพยี ง 2 จาํ นวนเท่านนั้ ซึ่ง f−1(a) = a ข้อใดต่อไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 9. กําหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียม ซึ่งมี ACB = 60° ลากเสน้ ตรงจากจุด A ไปพบดา้ น BC ทจี่ ุด D โดยทาํ ให้ BAD = 30° ถา้ ระยะ BD ยาว 3 หน่วย และระยะ AD ยาว 2 หนว่ ย แล้ว ระยะ CD ยาวเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 4 3 2. 5 3 3. 7 6 4. 8 6 3 3 9 9 10. ให้ A เปน็ จุดในควอดรันต์ที่หน่ึง และเป็นจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม C ซงึ่ มีรัศมี 3 หนว่ ย ถ้า C ผ่านจุดโฟกัสท้ังสองของไฮเพอร์โบลา 2y2− 12y − 3x2+ 6x + 9 = 0 แล้ว ระยะทางจากจุด กาํ เนิดไปยังจดุ A มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 15 2. 18 3. 20 4. 24 11. กําหนดให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ 4 ⋅ 2 log x2 − 9 ⋅ (log x + 1) 2 < 0 10 2 + ถ้า a และ b เปน็ สมาชกิ ของ S ทมี่ คี า่ มากสุดและค่าน้อยสุดตามลําดับ แล้ว a เทา่ กบั ข้อใด b ต่อไปนี้ 1. 20 2. 100 3. 200 4. 1000 ⎡ a a−2 −1⎤ เมือ่ เปน็ จํานวนจริง 12. กําหนดให้ A = ⎢⎣⎢−11 ⎥ a 1 ⎥ a −1 a ⎦ ถา้ M11(A) = 5 และ M33(A) = 0 แล้ว พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. det (A) = 11 ข. C13(A) = −1 ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 515 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.47 13. กําหนดให้ สมการจดุ ประสงค์คอื P = a2x + a y โดย a เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก และอสมการข้อจํากดั คอื 2x + y < 8 , x + y > 6 , x > 0 , y > 0 ถ้าคา่ มากทีส่ ุดของ P เทา่ กับ 70 แล้ว a เป็นจรงิ ตามขอ้ ใด 1. 1 < a < 4 2. 4 < a < 7 3. 7 < a < 10 4. a > 10 14. ให้ A, B, C 1เ˜Aปน็Bถจา้ ⋅ุด˜A|ส˜CAาDม≠|จ2ุด0=ทaไี่แม|ล˜่อAว้ ยBบู่a|22น++เสbb้น2|+ต˜AรcCง2|เด2ม+ียคี วc่ากเ|ันท˜A่าBแกลบั⋅ ˜AะขC้อD|ใดตเปอ่ ็นไปจนุด้ีบโนดเยสทน้ ่ี ตaร,งb, BC ที่ทาํ ให้ c เป็น BD : DC = 2 : จํานวนจรงิ และ 1. 31 2. 32 3. 10 4. 11 81 81 27 27 15. ถา้ z1 และ z2 เปน็ รากของสมการ (z − 2 3)3 = − 8 i ซึ่งมีขนาดเปน็ จํานวนเตม็ แล้ว z1+ z2 เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. − 3 − i 2. 3 − i 3. 3 3 − i 4. 3 3 + i 16. กาํ หนดให้ z1, z2, z3 เปน็ จํานวนเชงิ ซ้อน ซึง่ สอดคล้อง z1z2z3 = 1 และ z1+ z2 + z3 = 1 + 1 + 1 z1 z2 z3 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. (1 − z1)(1 − z2) = (1 − 1 )(1 − 1) z1 z2 ข. ถา้ z1 ≠ 1 และ z2 ≠ 1 แลว้ z3 + i z3 − i = 4 ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 17. กาํ หนดพจนท์ ี่ n ของลาํ ดับสองลาํ ดบั ดงั นี้ n(1 + 2 + 3 + ... + n) 3n + 2 − 3n + 1 3 (12 + 22 + 32 + ... + n2) bn = n + 2 − n + 1 และan= lim (an + bn) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ n→∞ 1. 1 + 1 2. 1 + 3 3. 1 + 1 4. 1 + 3 3 23 2 18. กําหนดให้ f (x) = ⎪⎧ 1 ,x≠0 และ g(x) = 1 ⎨ x x−1 ⎩⎪ 1 , x = 0 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. f g ต่อเนอื่ งท่ี x = 0 ข. f′ (− 1) = g′ (1) 22 ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 516 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.47 19. เม่อื พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั f (x) = 1 x4 − 2 x3 − 1 x2+ 2x − 1 4 32 3 พบวา่ กราฟของ f มจี ดุ วิกฤต (c, f (c)) ซึ่ง c > 0 เป็นจํานวน a จุด และกราฟของ f ตดั แกน x เปน็ จาํ นวน b จดุ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู 1. a = 1, b = 2 2. a = 1, b = 4 3. a = 2, b = 2 4. a = 2, b = 4 20. กาํ หนดให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ซ่ึงหาอนพุ นั ธ์ไดท้ ท่ี ุกจดุ และ h(x) = x3+ 1 ถา้ a เป็นจาํ นวนจรงิ ซงึ่ (h f)(a) = 9 , (h f)′(a) = 0 , (h f)′′(a) = −1 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. f มคี า่ สงู สดุ สัมพัทธท์ จี่ ดุ a และมคี ่าเทา่ กบั 1 2. f มีค่าสูงสุดสมั พัทธ์ท่ีจดุ a และมคี า่ เท่ากบั 2 3. f มคี ่าต่ําสุดสัมพทั ธ์ท่จี ุด a และมคี า่ เท่ากับ 1 4. f มีคา่ ตาํ่ สุดสมั พัทธท์ ี่จุด a และมคี ่าเทา่ กบั 2 21. กาํ หนดให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั พหุนามกาํ ลงั สาม ซึง่ f (0) = 1 = f (1) ถา้ f′(0) = 1 และ −1 ∫1 = 6 แล้ว f (−1) มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ f (x) dx 1. −7 2. −1 3. 13 4. 15 22. วิธีในการเขยี นจาํ นวนคู่ทมี่ ีสามหลักจากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยทหี่ ลกั รอ้ ยและหลกั หน่วยเป็น ตวั เลขท่ีแตกตา่ งกัน และมคี ่าไมน่ ้อยกวา่ 200 มจี ํานวนวธิ ีเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 72 2. 71 3. 60 4. 59 23. จัดคน 8 คนซ่ึงมสี มศกั ดิ์ สมชาย และสมหญงิ รวมอยู่ด้วย เข้าน่ังรอบโตะ๊ กลมซึ่งมี 8 ท่ีนง่ั ความนา่ จะเป็นทส่ี มชายไดน้ ่ังติดกบั สมหญิง และสมศกั ด์ไิ มน่ ั่งติดกับสมชาย เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 5 3. 11 4. 5 7 21 42 42 24. ในการเลอื กประธาน รองประธาน และเหรญั ญิก จากนักเรยี นชาย 6 คนและนักเรยี นหญิง 4 คน ซึง่ มีนายกาํ ธรรวมอยดู่ ้วย ความนา่ จะเปน็ ทีก่ ารเลอื กครง้ั นนี้ ายกาํ ธรไดเ้ ป็นประธาน และมี นักเรยี นหญิงได้รบั เลือกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงคนเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 13 2. 13 3. 2 4. 4 180 360 45 45 25. คะแนนการสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนกั เรียนชัน้ หนึ่งซ่งึ มีสองหอ้ ง มคี ่าเฉลี่ยเลขคณติ รวมเท่ากับ 54 คะแนน โดยท่หี ้อง ก และหอ้ ง ข มนี ักเรียน 30 และ 20 คนตามลําดับ ถ้าคะแนนเฉลยี่ ของ นกั เรยี นหอ้ ง ก เท่ากบั 50 คะแนน เม่อื แยกพจิ ารณาผลสอบแตล่ ะห้อง พบว่านักเรยี นห้อง ก ผู้ได้ คะแนน 55 คดิ เปน็ คา่ มาตรฐาน 1.0 เท่ากับคา่ มาตรฐานของนกั เรยี นหอ้ ง ข ผู้ท่ีไดค้ ะแนน 66 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ความแปรปรวนของคะแนนของนักเรียนห้อง ก เท่ากบั 25 ข. สัมประสทิ ธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนหอ้ ง ก มากกวา่ สมั ประสทิ ธิ์ของการ แปรผนั ของคะแนนห้อง ข ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 517 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.47 26. ถ้า 20, x2, ..., x25 เปน็ ขอ้ มลู ท่เี รยี งจากค่านอ้ ยไปมาก และเป็นลําดบั เลขคณติ และควอรไ์ ทลท์ ี่ หน่ึงของขอ้ มลู ชดุ น้ีเทา่ กบั 31 แลว้ ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ยของข้อมลู ชดุ นี้เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 6.24 2. 10.28 3. 12.48 4. 24.96 27. อายุของนักเรยี นห้องหน่ึง มกี ารแจกแจงปกตทิ ีม่ ีความแปรปรวนเท่ากบั 4 และมนี ักเรียนจาํ นวน 50.4% ท่มี อี ายุไมเ่ กิน 14 ปี เมอ่ื พจิ ารณาอายขุ องนกั เรียนหอ้ งนีใ้ นอกี 2 ปีขา้ งหน้า และให้ a แทนตาํ แหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ ของนกั เรยี นที่อายุ 16 ปี ให้ b แทนจํานวนเปอรเ์ ซ็นต์ของนักเรียนท่มี อี ายุ (หนว่ ยเปน็ ป)ี อยู่ในชว่ ง [14, 16] แล้ว a และ b มคี า่ เทา่ กบั คา่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ กําหนดตารางแสดงพ้ืนทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกติดงั น้ี z 0.01 0.99 1.01 2.65 A 0.004 0.3389 0.3438 0.496 1. a = 50.4, b = 33.78% 2. a = 50.4, b = 34.29% 3. a = 99.6, b = 33.78% 4. a = 99.6, b = 34.29% 28. ถา้ ตวั แทนจําหนา่ ยเตาไมโครเวฟย่หี อ้ หน่ึง ขายเตาไมโครเวฟ 3 ชนิดในปี พ.ศ. 2544, 2545 และ 2546 ดว้ ยราคาตอ่ ไปนี้ ชนิดของเตา ราคาตอ่ หน่วย (บาท) ไมโครเวฟ 2544 2545 2546 ชนิดที่ 1 2,000 2,200 3,080 ชนิดท่ี 2 4,000 5,000 5,400 ชนดิ ที่ 3 a a 6,720 ถา้ ดชั นรี าคาอย่างง่ายแบบใชร้ าคารวมของ พ.ศ. 2545 เทยี บกบั พ.ศ. 2544 เทา่ กับ 110 แล้ว ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้คา่ เฉลี่ยราคาสมั พัทธ์ของ พ.ศ. 2546 เทยี บกบั พ.ศ. 2545 เท่ากับข้อใด ต่อไปน้ี 1. 108 2. 120 3. 129 4. 140 เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 9 (2) 8.8 (3) 0.5 (4) 3 (5) 27 (6) 0.8 (7) 1.25 (8) 338.9 ตอนท่ี 2 (1) 1 (2) 3 (3) 1 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 4 (8) 3 (9) 4 (10) 2 (11) 4 (12) 4 (13) 2 (14) 4 (15) 4 (16) 2 (17) 3 (18) 1 (19) 3 (20) 2 (21) 3 (22) 3 (23) 2 (24) 1 (25) 2 (26) 3 (27) 2 (28) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 518 ขอสอบเขาฯ มี.ค.47 เฉลยวิธคี ดิ ตอนที่ 1 (5) AB = 3I .....(1) และ adjB = 1 A .....(2) (1) (gof)(x) = 100 − 3(f(x))2 3 จาก f(x) = 10x ∴ f(x) > 0 เสมอ จาก (1) จะได้ B = 3A−1 → f(x)2 > 0 → 3(f(x))2 > 0 ดงั นน้ั adj B = adj (3A−1) → 100 − 3(f(x))2 < 100 = 3A−1 ⋅ (3A−1)−1 = 33 ⋅ 1 A A3 → 0 < 100 − 3(f(x))2 < 10 ∴ Rgof = [0, 10) แตส่ มการ (2) บอกว่า adjB = 1 A จํานวนเต็มทม่ี ากทสี่ ดุ คอื 9 ตอบ 3 (2) ∴ 33 = 1 → A = 27 ตอบ 5 13 1 A (6) ⎡ 1⎤ ต้งั ฉากกบั ⎡−8⎤ แสดงวา่ ดอทกนั ได้ 0 ⎣⎢4⎦⎥ ⎢⎣ a ⎥⎦ A B 2 → −8 + 4a = 0 → a = 2 8 จาก ⎡5⎤ ⎡b⎤ ⎡−8c⎤ sin(2A) + cot2(B) = 2 sin A cos A + cot2 B ⎣⎢3⎥⎦ = ⎣⎢4b⎥⎦ + ⎢⎣ 2c ⎦⎥ = 2( 1 )( 2 ) + ( 8)2 = 4 + 8 = 8.8 ตอบ ∴ b − 8c = 5 และ 4b + 2c = 3 55 5 ได้ b = 1 และ c = − 1 (3) จัดรปู พาราโบลา; 2 x2 + 2x + 1 = −8y − a + 1 หามมุ ระหวา่ ง ⎡2⎤ กบั ⎡ 1⎤ → ดอทกัน; ⎢⎣0⎦⎥ ⎣⎢−1/2⎥⎦ → (x + 1)2 = 4(−2)(y + a − 1) เป็นพาราโบลาควํา่ 8 (2)(1) + (0)(− 1) = 22 + 02 12 + (− 1)2 cos θ 22 จุดยอด V(h, k) = (−1, − a − 1) ระยะโฟกัส c = 2 8 → 2 = (2)( 5) cos θ 2 โจทยบ์ อกว่า y = 4 เปน็ ไดเรกตรกิ ซ์ → cos2 θ = ( 2 )2 = 0.8 ตอบ ∴ 2 = 4 − (− a − 1) → a = −15 5 8 (7) (fog)(x) = 3g(x) + 1 → ∴ (fog)′(x) = 3g′(x) แสดงว่าจุดยอด คอื V(−1, 2) และสมการพาราโบลาคือ x2 + 8y + 2x − 15 = 0 แต่โจทยใ์ ห้ (fog)′(x) = 3x2 + 1 ∴ 3g′(x) = 3x2 + 1 หาจดุ ตดั แกน x โดยแทน y = 0 → x2 + 2x − 15 = 0 → x = −5 หรอื 3 → g′(x) = x2 + 1 → g(x) = x3 + x + C 3 33 แต่โจทยจ์ ะใชต้ ดั แกน x ทางลบ ∴ P(−5, 0) ซึ่ง g(0) = 1 ดงั นั้น C = 1 ความชนั ระหวา่ ง P กับ V = 2 − 0 = 0.5 ตอบ → 1 = ⎛ x4 + x2 + ⎞ 1 −1 + 5 ⎜ 6 x⎟ 0 ∫ g(x) dx ⎝ 12 (4) มอง 2x −1 = A จะไดว้ า่ ⎠ 0 log2(A2 + A + 6) = log2 4 + log2(A + 1) = 1 + 1 + 1 = 1.25 ตอบ ∴ A2 + A + 6 = 4(A + 1) → A2 − 3A + 2 = 0 12 6 → A = 2 หรอื 1 แสดงวา่ 2x −1 = 2 หรอื 1 (8) Yˆ = 162 + cx ; → x − 1 = 1 หรอื 0 → x = 2 หรอื 1 ∴ ตอบ 3 โจทย์บอกวา่ ปี 2547 (x = 11) นน้ั Yˆ = 316.3 → 316.3 = 162 + c(11) → c = 11.3 โจทยถ์ าม x = 13 → Yˆ = 162 + (11.3)(13) = 338.9 กก. ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 519 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.47 ตอนท่ี 2 (6) จัดรปู y2 = x2 + 2x − 3 (1) n(A ∪ B ∪ C) = 240 − 60 = 180 → 3 = x2 + 2x − y2 → 3 + 1 = (x2 + 2x + 1) − y2 ใชส้ ูตรของแผนภาพเซต → (x + 1)2 + y2 = 1 44 180 = 5x + 5x + 4x − y − y − y + x เป็นไฮเพอรโ์ บลาท่ีมศี นู ยก์ ลางที่ (−1, 0) จะได้ 15x − 3y = 180 .....(1) แตโ่ จทย์บอก y − x = 20 .....(2) และ a = b = 2 (น่ันคอื เส้นกาํ กับตง้ั ฉากกนั ) แก้ระบบสมการได้ x = 20 ตอบ ข้อ 1. วาดกราฟไดด้ งั รปู (2) แยกชว่ งยอ่ ยคดิ (3/2,3/2) ก. เม่อื x < 1 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ แตโ่ จทยบ์ อกวา่ (-1,0) x > y ด้วย จงึ มี (1,0) 3x − 2 > 0 → 3x − 2 < 0 1− x −1 x เพยี งเสี้ยวขวาเทา่ นนั้ x=y เขียนเสน้ จาํ นวนได้ (0, 2/3] นาํ ไปอินเตอร์เซคกบั เง่ือนไข ได้ (0, 2/3] เช่นเดิม จดุ ตดั (3/2,3/2) ในรปู หาจากการแกร้ ะบบสมการ ข. เม่ือ x > 1 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ ดังนนั้ Dr = [1, ∞) และ Rr = (−∞, 3] 2 3x − 2 > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวน (−∞, 2/3] ∪ (2, ∞) ตอบ ก. ถูก, ข. ผดิ x −2 (7) จาก f(1) = g(1) และ f(1) + g(1) = 8 นําไปอินเตอร์เซคกบั เง่ือนไข เหลอื เพยี ง (2, ∞) ∴ f(1) = 4 → a + b = 4 .....(1) ดังนน้ั ได้ s = (0, 2/3] ∪ (2, ∞) ซ่ึง {x > 0 และ x ∉ s} คอื (2 , 2] ตอบ ขอ้ 3. และ g(1) = 4 → แทน x ด้วย 2 3 → 12 + c = 4 → c = −8 (3) หาร x3 − 3x2 + 5x + 7 เหลอื เศษ 10 → แสดงวา่ หาร x3 − 3x2 + 5x + 7 − 10 ลงตวั และจาก f(2) = g(2) ตอบ พิจารณา x3 − 3x2 + 5x − 3 → 4a + b = 18 − 8 = 10 .....(2) แยกตัวประกอบได้ (x − 1)(x2 − 2x + 3) แกส้ มการ (1), (2) ได้ a = 2 , b = 2 ซึง่ กอ้ นหลงั นแี้ ยกตอ่ ไมไ่ ดแ้ ลว้ แสดงว่า x2 + ax + b = x2 − 2x + 3 ∴ f(x) = 2x2 + 2, g(x − 1) = 6x − 8 ∴ a = −2 , b = 3 ตอบ a + b = 1 (4) (~ p ↔ ~ r) ∨ (p ↔ q) หา g−1(16) โดย g−1(6x − 8) = x − 1 แทน x ดว้ ย 4 ได้ g−1(16) = 3 FF หา f(g−1(16)) = f(3) = 2(9) + 2 = 20 (8) ขอ้ นี้วาดกราฟจะพจิ ารณาไดเ้ รว็ ขนึ้ แสดงวา่ คา่ ความจรงิ ของ p ตรงข้ามกับ q, r เมื่อ 0 < x < 1 เป็นเสน้ ตรง y = x − 1 ∴ข้อทเ่ี ป็นเทจ็ คอื ข้อ 4. p ∧ q ∧ ~ r และเมอื่ x > 1 เป็นครงึ่ พาราโบลา (เพราะ p กับ q ต้องมีตวั หนึ่งเทจ็ แนน่ อน) ตอบ y − 1 = x − 1 → (y − 1)2 = x − 1 (5) ก. เนอื่ งจาก โดย y > 1; เปดิ ขวา, จุดยอดอยทู่ ่ี (1, 1) ~ p ∨ (~ q ∨ r) ≡ ~ q ∨ (~ p ∨ r) ≡ q → (p → r) ซ้ายกบั ขวาสมมลู กัน และเชอื่ มดว้ ย ↔ (2,2) จงึ เปน็ สจั นิรนั ดร์ ก. ถกู 1 ข. ∃x เปน็ จรงิ เมือ่ x ∈ U (1/2,1/2) ดังนน้ั ลองเลอื ก x = − 1 จะไดว้ ่า 4 O1 (− 1)2 + (− 1) + a = 0 → a = 3 ก. ผิด เพราะกราฟผา่ นจดุ (2, 2) 44 16 แสดงว่า f(2) = f−1(2) ซงึ่ มี a อยูใ่ น (0, 1) จรงิ ข. ถูก ตอบ ขอ้ 1. ข. ถกู คือ f(1) = 1 และ f(2) = 2 4 22 (มี 2 ค่าเทา่ นนั้ ) ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 520 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.47 (9) กฎของ sin; C (13) 3 =2 60° D 8 sin 30° sin B 3 6 (2,4) → sin B = 1 2 สมมติ Pmax เกดิ ท่ี (2, 4) 3 A 30° B ∴ 70 = a2(2) + a(4) → a2 + 2a − 35 = 0 ∴ cos B = 8 3 → a = 5 หรอื -7 และ AB = 2 cos 30° + 3 cos B = 3 + 8 คดิ รูปใหญ;่ CB = 3 + 8 sin A sin 60° → CB = 2 ( 3 + 8) sin A แต่ a เปน็ จาํ นวนบวก ∴ a = 5 3 ทดลองแทนคา่ จดุ (0, 8) ได้ P = 40 < 70 , หา sin A จาก จุด (0, 6) ได้ P = 30 < 70 sin(180° − 60° − B) = sin(120° − B) ∴ จดุ (2, 4) เกดิ Pmax จริงๆ ตอบ ข้อ 2. = ( 3)( 8) − (− 1)( 1) = 24 + 1 23 23 6 (14) จากสตู รแบง่ เวกเตอร์ A C 1 ∴ CB = 2 ( 3 + 8)( 24 + 1) = 3 + 8 6 ˜AD = 1 ˜AB + 2 ˜AC D 3 69 33 ยกกาํ ลังสองท้งั สองขา้ ง จะได้ CD = CB − 3 = 8 6 ตอบ (นาํ ตวั เองมาดอท) 2 9 B (10) จัดรปู ไฮเพอรโ์ บลา ˜ ˜ ˜ ˜ ˜→ |AD|2 = 1 |AB|2 + 4 |AB ⋅ AC| + 4 |AC|2 2(y2 − 6y + 9) − 3(x2 − 2x + 1) = −9 + 18 − 3 99 9 → (y − 3)2 − (x − 1)2 = 1 → (h, k) = (1, 3) ตอบ∴ a2 + b2 + c2 = ( 1)2 + (4)2 + (4)2 = 11 32 9 9 9 27 เปิดบนลา่ ง, c = 5 F (15) z − 2 3 คอื รากทส่ี ามของ −8 i 5 r=3 ซง่ึ −8 i = 8∠270° มรี ากทสี่ ามไดแ้ ก่ ดงั นน้ั จาก P (1,3) A 2∠90° = 2 i , 2∠210° = − 3 − i , และ Δ มุมฉาก APF 2∠330° = 3 − i ได้ AP = 2 หนว่ ย ∴ จุด A มพี กิ ดั (3,3) O ดงั นนั้ z = 2 3 + 2 i , 3 − i , 3 3 − i ระยะทางทตี่ อ้ งการ = 32 + 32 = 18 ตอบ ตวั ทีม่ ขี นาดเป็นจํานวนเตม็ คอื 2 3 + 2 i (11) 4 ⋅ 22 log x − 9 ⋅ 2log x − log 10 + 1 + 2 < 0 (ขนาด=4) และ 3 − i (ขนาด=2) มอง 2log x = A จะไดว้ ่า 4A2 − 9A + 2 < 0 ∴ ตอบ (2 3 + 2 i) + ( 3 − i) = 3 3 + i (16) z1z2z3 = 1 .....(1) → (4A − 1)(A − 2) < 0 → 1 < A < 2 4 และ z1 1 1 1 .....(2) → 1 < 2log x < 2 → −2 < log x < 1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 4 ก. ซา้ ย = 1 − z1 − z2 + z1z2 → 1 < x < 10 ∴ a = 1,000 ตอบ = 1− z1 − z2 + 1 (จาก(1)) 100 b z3 (12) M11 = a1 =5 → a2 + 1 = 5 → a = ±2 ขวา = 1 − 1 − 1 + 1 −1 a M33 = a a−2 = 0 → a2 + a − 2 = 0 z1 z2 z1z2 −1 a = 1− 1 −1 + z3 (จาก(1)) ∴ a = −2 เทา่ นน้ั z1 z2 ก. −2 −4 −1 ถา้ ซ้าย = ขวา จะได้ A = −1 −2 1 = −8 − 1 − 4 − 2 − 2 + 8 = −9 1 −1 −2 1 − z1 − z2 + 1 = 1− 1 − 1 + z3 z3 z1 z2 ข. C13 = −1 −2 = 1+2 = 3 ตอบ ก.ผดิ , ข.ผดิ → 1+ 1 +1 = z1 + z2 + z3 ตรงกบั (2) (ก.ถูก) 1 −1 z1 z2 z3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 521 ขอสอบเขาฯ มี.ค.47 ข. จาก (1) z2z3 = 1 .....(1a) (18) ก. (fog)(x) = ⎧ x − 1 , g(x) ≠ 0 z1 ⎨ 1 , g(x) = 0 ⎩ จาก (2) z2 + z3 − 1 −1 = 1 − z1 (กรณบี น x ≠ 1 ดว้ ย มฉิ ะนนั้ จะหา g(x) ไมไ่ ด)้ z2 z3 z1 และพบวา่ กรณลี า่ ง g(x) = 0 นั้นเปน็ ไปไม่ได้ z3 + z2 1 → z2 + z3 − z2z3 = z1 − z1 ∴ (fog)(x) = x − 1 เทา่ นนั้ ตอ่ เนื่องที่ x = 0 แนๆ่ → z2 + z3 − z1(z2 + z3) = 1 − z1 ข. f′(− 1) = (− 1 ) x=− 1 = −4 z1 2 x2 2 1 − z1 1 − z21 g′( 1) = − 1 = −4 z1 z1(1 − z1) 2 (x − 1)2 → z2 + z3 = = x= 1 2 1 − z1 ตอบ ก.ถกู และ ข.ถกู = 1 + z1 = 1 + 1 .....(2a) z1 z1 (19) f′(x) = x3 − 2x2 − x + 2 = 0 มอง 1 =A จะได้ (1a) z2z3 = A, → (x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0 → x = −1, 1, 2 z1 ∴ ท่ี c > 0 มีจดุ วิกฤต 2 จดุ และ (2a) z2 + z3 = A + 1 ..แกร้ ะบบสมการ (คือ x = 1 , x = 2 ) A + z3 = A + 1 → z23 − (A + 1)z3 + A = 0 แทนคา่ f(−1) = 1 + 2 − 1 − 2 − 1 = ติดลบ, z3 432 3 → z3 = A + 1 ± A2 + 2A + 1 − 4A f(1) = 1 − 2 − 1 + 2 − 1 = เปน็ บวก, 2 432 3 → z3 = (A + 1) ± (A − 1) = A หรอื 1 และ f(2) = 4 − 16 − 2 + 4 − 1 = เปน็ บวก 2 33 ∴ z2 = 1 หรอื A แสดงวา่ กราฟเปน็ ดงั รปู แตโ่ จทย์บอกวา่ z1 ≠ 1, z2 ≠ 1 ∴ z2 = A = 1 ∴ มจี ุดตดั แกน x -1 z1 รวม 2 จดุ 12 และ z3 ตอ้ งเปน็ 1 เสมอ ตอบ ข้อ 3. ทาํ ให้ z3 + i z3 − i = 2 ⋅ 2 = 2 (ข.ผดิ ) (20) (hof)(x) = [f(x)]3 + 1 จาก (hof)(a) = 9 → [f(a)]3 + 1 = 9 → f(a) = 2 ตอบ ขอ้ 2. จาก (hof)′(a) = 0 → 3[f(a)]2 ⋅ f′(a) = 0 ⎛ n(n + 1)⎞ → 3(2)2 ⋅ f′(a) = 0 → f′(a) = 0 ⎜⎝ ⎟⎠ (17) คิด lim an = lim n ⎛ n(n + 2 + 1)⎞ และจาก (hof)′′(a) = −1 3 1)(2n n→∞ n→∞ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ → 3[f(a)]2 f′′(a) + 3f′(a) ⋅ 2[f(a)]f′(a) = −1 = lim ⎝⎛⎜ n 1⎞⎟⎠ = 1 → 3(2)2 ⋅ f′′(a) + 3(0)(2)(2)(0) = −1 2n + 2 n→∞ → f′′(a) = − 1 12 ตอ่ มา คดิ lim bn = lim ( 3n + 2 − 3n + 1) n→∞ ( n+2 − n + 1) สรุป f′(a) = 0 แปลวา่ เกดิ คา่ วิกฤตท่ี x=a n→∞ f′′(a) ตดิ ลบ แปลวา่ เปน็ จดุ สงู สดุ สัมพัทธ์ f(a) = 2 แปลว่า ค่าสูงสดุ นน้ั เทา่ กบั 2 ตอบ ข้อ 2. คณู ดว้ ย ⎛ 3n + 2 + 3n + 1 ⋅ n+2 + n+ 1⎞ ⎜⎜⎝ 3n + 2 + 3n + 1 n+2 + n + 1 ⎟⎟⎠ จะได้ = lim 1 ( n + 2 + n + 1) n → ∞ 1 ( 3n + 2 + 3n + 1) นํา n หารท้งั เศษและสว่ น ได้ = lim 1+ 2 + 1+ 1 1+ 1 = 1 n→∞ n n= 3+ 3 3 3+2 + 3+ 1 n n ตอบ 1 + 1 23 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 522 ขอสอบเขาฯ มี.ค.47 (21) f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D (26) Q1 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 1 (25 + 1) = 6.5 4 f(0) = 1 → 0 + 0 + 0 + D = 1 → D = 1 มีค่า 31 ∴ 31 = 20 + 5.5d → d = 2 f(1) = 1 → A + B + C + 1 = 1 → A + B + C = 0 ดังนน้ั ขอ้ มูลชดุ นค้ี อื 20, 22, 24, … , 68 f′(0) = 1 → 3A(0)2 + 2B(0) + C = 1 → C = 1 → เนอ่ื งจากเป็นลาํ ดบั เลขคณติ จงึ หา X ไดง้ ่ายๆ ดงั นนั้ A + B = −1 และจาก 1 f(x) dx =6 จะได้ จาก 20 + 68 = 44 2 ∫ ∴ MD = 24 + 22 + 20 + … + 2 + 0 + 2 + … + 22 + 24 −1 25 (Ax4 + Bx3 + x2 + x) 1 = 6 4 32 = 2 (12 + 11 + 10 + … + 0 + … + 12) −1 25 → A + B + 1 + 1− A + B − 1 + 1= 6 4 32 4 32 = 4 (12 + 11 + 10 + … + 1) 4 ⎡(12)(13)⎤ 25 = 25 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ → 2B + 2 = 6 → B = 6 ∴ A = −7 3 = 12.48 ตอบ ตอบ f(−1) = −7(−1) + 6 + (−1) + 1 = 13 (27) x = 14 A=0.004 → A = 0.004 ทางขวา (22) จาํ นวนค,ู่ มากกวา่ 200 แสดงว่า อยู่ในรปู แบบ 2-3-4-5 , __ _ , เลขคู่ . → z = 0.01 = 14 − X 2 และหลักรอ้ ยตอ้ งตา่ งกบั หลกั หนว่ ย → X = 13.98 กรณีแรก ลงทา้ ยดว้ ย 2 หรอื 4 14 จะได้ 3 × 6 × 2 = 36 แบบ ตอ่ มาพจิ ารณาอกี 2 ปขี า้ งหนา้ กรณที ี่สอง ลงทา้ ยดว้ ย 0 X กลายเปน็ 15.98, s = 2 เช่นเดมิ จะได้ 4 × 6 × 1 = 24 แบบ ตอบ 36 + 24 = 60 จาํ นวน ท่ี 16 ป;ี (23) วิธที ั้งหมด = 7 ! z = 16 − 15.98 = 0.01 14 16 วธิ ที ส่ี มชายตดิ สมหญงิ , สมศักด์ิไมต่ ิดสมชาย 2 คดิ โดย นาํ สมชายกบั สมหญิงวางติดกนั ตรงไหนกไ็ ด้ → A = 0.004 ทางขวา ∴เป็นเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 50.4 สลบั ทกี่ นั เองได้ 2! แบบ จากนนั้ วางคนท่ีเหลอื 5 ที่ 14 ป;ี z = 14 − 15.98 = −0.99 คน มองให้เปน็ แบบเสน้ ตรง ได้ 5! แบบ และจากน้นั 2 → A = 0.3389 ทางซา้ ย มชี อ่ ง 5 ชอ่ งทสี่ มศกั ดเ์ิ ลอื กได้ (โดยไมต่ ิดกบั ∴ ระหว่าง 14 ถงึ 16 มพี น้ื ที่ สมชาย) จึงได้รวม = 2! × 5! × 5 = 0.3389 + 0.004 = 0.3429 คอื 34.29% ∴ ตอบ 2 ! × 5 ! × 5 = 5 ตอบ ข้อ 2. 7 ! 21 (24) กําธรได้เปน็ ประธาน ลบดว้ ย กําธรเปน็ 2,200 + 5,000 + a ประธานและไมม่ ีหญงิ เลย (28) ISA45 = 1.10 = 2,000 + 4,000 + a = 1× 9× 8 − 1×5 × 4 = 52 = 13 ตอบ → (1.10)(6,000 + a) = 7,200 + a 10 × 9 × 8 720 180 → 0.1 a = 600 ∴ a = 6,000 หรอื คดิ บวกกนั 3 กรณกี ไ็ ด้ คอื จะได้ ISR46 = ⎛ 3,080 + 5,400 + 6,720 ⎞ × 100 ⎝⎜ 2,200 5,000 6,000 ⎟⎠ 3 1× 5 × 4 + 1× 4 × 5 + 1× 4 × 3 = 13 10 × 9 × 8 180 = (1.4 + 1.08 + 1.12) × 100 = 120 ตอบ 3 (25) หา Xข จากสตู ร Xรวม คอื 54 = 30(50) − 20Xข → Xข = 60 50 ก. 1 = 55 − 50 → sก = 5 → s2ก = 25 ก.ถกู sก ข. 1 = 66 − 60 → sข = 6 sข → sข = 6 = 0.1, sก = 5 = 0.1 ข.ผดิ Xข 60 Xก 50 ตอบ ข้อ 2. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 523 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.47 ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa µ.¤.47 (p) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เปน็ ข้อสอบแบบอัตนยั ข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ขอ้ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A เป็นจดุ ๆ หนึ่งบนไฮเพอรโ์ บลา (x − 1)2 − (y − 2)2 = 1 9 16 ถา้ ระยะหา่ งระหวา่ งจุด A และจดุ โฟกสั จุดหนงึ่ ของไฮเพอร์โบลาคือ 3 หน่วย แล้ว ระยะห่างระหว่างจุด A กับจุดโฟกัสอีกจุดหนง่ึ ของไฮเพอร์โบลา มคี ่าเทา่ กบั กี่หน่วย 2. ผลบวกของคาํ ตอบของสมการ 1 + (2 logx 3)(log9(9 − x)) = logx14 มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. กําหนดใหร้ ูปสามเหล่ยี ม ABC มีด้าน BC ยาว 3 หนว่ ย ดา้ น AC ยาว 2 หน่วย ถ้ามมุ B = arctan ⎛ 1⎞ แลว้ ค่าของ sin (A + B) + sin (A − B) เท่ากบั เท่าใด ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 4. ถ้าสมการจุดประสงค์คอื P = 35x − 25y และอสมการขอ้ จํากัดคอื 2x + 3y < 15 , 3x + y < 12 , x > 0 , y > 0 แลว้ คา่ สูงสดุ ของ P เทา่ กบั เท่าใด 5. ให้ x, y, z เป็นคําตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ,a11x + a12y + a13z = 2 ,a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0 ถ้า ⎡a11 a12 a13 1 0 0⎤ ⎡ 1 0 0 1 −1 1⎤ แล้ว คา่ ของ เทา่ กบั เท่าใด 01⎥⎦⎥⎥ ⎣⎢⎢⎢00 01⎦⎥⎥⎥ ⎣⎢⎢aa2311 a22 a23 0 1 ~ 1 0 0 −2 x+y+z a32 a33 0 0 0 1 2 3 6. ถ้า z = 3 + i แล้ว ค่าของ z−i 2 เท่ากับเท่าใด z6 + z3 + 2 2 7. กําหนดให้ m เปน็ จํานวนเต็มบวก และ n เป็นจาํ นวนเฉพาะ ถ้า m หาร 777 และ 910 แล้วเหลอื เศษ n แลว้ m − n มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด 8. ถา้ S คือเซตของล็อตเตอรี่รัฐบาล ซ่งึ มเี ลข 6 หลัก และมเี ลข 0 อยู่ 4 ตวั แล้ว จาํ นวนสมาชิกของ S เทา่ กบั เท่าใด 9. ถ้า a และ b เป็นคาํ ตอบของสมการ 3x + 5 = x + 2 แลว้ คา่ ของ a8 − ⎛ 8 ⎞ a7b + ⎛ 8 ⎞ a6b2 − ... − ⎛8⎞ ab7 + b8 เท่ากบั เท่าใด ⎝⎜ 1 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 7 ⎠⎟ 10. ถ้า A = {1, 2, 3, ..., 9} และ S = { B | B ⊂ A และ ( 1∈B หรือ 9 ∈B )} แล้ว จาํ นวนสมาชกิ ของ S เท่ากบั เทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 524 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.47 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธ์เิ ปน็ จาํ นวนจริง ขอ้ ใดต่อไปนี้ผดิ 1. x − c เป็นตัวประกอบของ P (x) ก็ตอ่ เม่ือ P (c) = 0 2. ถา้ จํานวนเชิงซ้อน z0 เป็นคําตอบของสมการ P(x) = 0 แลว้ z0 จะเปน็ คําตอบของสมการน้ีดว้ ย 3. ถ้าสมั ประสิทธขิ์ อง P(x) เปน็ จาํ นวนเตม็ และมี x − m เป็นตัวประกอบ แล้ว m จะต้องเปน็ จํานวนตรรกยะ 4. ถ้า P (a) = b แลว้ x − a จะเปน็ ตวั ประกอบของ P (x) − b 2. ขอ้ ความในข้อใดตอ่ ไปนี้ผิด 1. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n|a และ n| b แลว้ จะได้วา่ n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตวั ด้วย 2. ถ้า a, b, n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก ซ่ึง a| n และ b| n แล้ว จะได้ว่า ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตวั ด้วย 3. ถ้า a, m, n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก และ a| mn แล้ว จะไดว้ า่ a| m หรอื a| n 4. ถ้า d และ c เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจาํ นวนเต็มบวก m, n แล้ว จะไดว้ า่ dc = mn 3. ถา้ f (x) และ g(x) เป็นฟงั ก์ชนั ซึง่ หาอนพุ ันธไ์ ด้ และมสี มบัตดิ ังนี้ f′(g(x)) = 1 และ f (g (0)) = 5 แลว้ ค่าของ f (g(2)) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ g′(x) 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7 4. ถ้า F1 และ F2 เปน็ โฟกัสของวงรี x2 + 3y2 − 2x − 23 = 0 และ P(4, 5) เป็นจุดซึ่งอยู่บนวงรีน้ีแล้ว คา่ ของ cos (F1P F2) เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. − 1 2. − 1 3. 3 4. 3 9 7 4 5 5. ใหก้ .A,˜ABB, C เป็นจุดยอดของรปู สามเหล่ยี มใดๆ พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี + ˜BC + ˜CA = 0 ข. (BC)2 < (CA)2 + (AB)2 ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 6. จํานวนคําตอบทเ่ี ป็นจํานวนเต็มของอสมการ −5 < x2− 6 < 1 เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี x 1. 8 2. 9 3. 10 4. 11 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 525 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.47 7. กําหนดให้ L เป็นเสน้ ตรงซง่ึ ผ่านจุด (2, 1) และมีระยะหา่ งระหว่างจดุ กําเนิดและเสน้ ตรง L เท่ากบั 1 หนว่ ย ถ้า L ต้งั ฉากกบั เส้นสัมผสั พาราโบลา y = ax2− 4a + 1 ทจ่ี ุด (2, 1) แล้ว a มีค่า เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. − 3 2. − 1 3. − 3 4. − 1 16 16 8 8 8. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ถา้ ประพจน์ [p ∧ (q → r)] →(r ∨ s) มีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ แล้ว p ∧ q → s มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ ข. นเิ สธของขอ้ ความ ∀x∃y [ (x > y) ∧ (x2< y) ] คอื ∃x∀y [ (x > y) → (y < x2) ] ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 9. กาํ หนดเอกภพสัมพทั ธ์คอื ชว่ งเปิด (−2, 2) พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ประพจน์ ∀x [ x + x2 < x + x2 และ x < x2 ] มีค่าความจรงิ เปน็ จริง ข. ประพจน์ ∃x [ x2− x − 6 > 0 ] มคี ่าความจริงเป็นจรงิ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 10. กําหนดให้ f (x) = x เม่อื x ∈ (−1, 1) 1 − x2 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. f−1(x) ⎧ −1 − 1 + 4x2 , x≠0 ข. f เปน็ ฟังกช์ นั เพมิ่ ในช่วง (−1, 1) ⎪ 2x = ⎨ 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด ⎪ 0 , x=0 ⎩ ข้อใดต่อไปนีจ้ ริง 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 11. กาํ หนดให้ r = 1 + sin π ผลบวกของอนกุ รมในข้อใดต่อไปนเ้ี ท่ากบั 1 8 1+r 1. ∞ rn 2. ∞ (−1)n r n 3. ∑∞ 1 4. ∑∞ (−1)n n=0 r n+1 n=0 rn+1 ∑ ∑ n=0 n=0 12. ให้ f (x) = x3 + ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เป็นจํานวนจริง ถา้ x − 3 หาร f (x) แล้วเหลือเศษ 10 และ 1 + i เปน็ รากหน่งึ ของ f′(x) แล้ว ค่าของ f (1) เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −4 2. −2 3. 0 4. 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 526 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.47 13. กําหนดให้ f (x) = ⎧x+1 , x>0 ⎨ x<0 ⎩ x − 1 , ฟงั กช์ ัน g ในข้อใดตอ่ ไปน้ี ทาํ ให้ฟังกช์ นั g f ไมต่ อ่ เนื่อง 1. g(x) = 1 เมือ่ x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞) 2. g(x) = f−1(x) เมอ่ื x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞) 3. g(x) = ⎪⎧ (x − 1)2 , x>1 ⎨ x < −1 ⎪⎩ (x + 1)2 , 4. g(x) = x 3 เมื่อ x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞) 14. ให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ 52x + 11 < 12(5x) − 9 ถ้า a และ b เป็นสมาชกิ ของ S ท่มี คี า่ มากท่ีสดุ และน้อยที่สดุ ตามลาํ ดบั แล้ว a + b เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. log515 2. log520 3. 2 4. log530 15. กําหนดให้ θ∈ ⎣⎡⎢− π , π⎤ 4 4 ⎦⎥ ถา้ tan2 ⎛⎝⎜ π − θ ⎞⎠⎟ − 1 =3 แล้ว cos2θ มีคา่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 5 4 π tan2 ⎝⎜⎛ − θ ⎞⎟⎠ + 1 4 1. 3 2. 4 3. 7 4. 9 5 5 10 10 16. กาํ หนดให้ y = f (x) เป็นฟงั ก์ชนั พหุนามซงึ่ มคี ่าตา่ํ สดุ สัมพัทธ์เทา่ กบั 3 ที่จุด x = 2 และมีเสน้ ตรง 3x + y − 7 = 0 เป็นเส้นสัมผสั กราฟท่จี ดุ (1, 4) ถา้ g(x) = x2 f (x) แล้ว คา่ ของ 1 ∫2 เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี g′′(x) dx 1. 5 2. 7 3. 8 4. 10 17. กําหนดตารางแจกแจงความถีข่ องคะแนนสอบวชิ าสถิติท่ีเป็นจาํ นวนเตม็ ของนกั เรยี น 40 คน ดงั นี้ คะแนน จํานวนนกั เรยี น 60 – 64 4 65 – 69 a 70 – 74 10 75 – 79 b 80 – 84 7 เมอื่ สุ่มเลอื กนกั เรียนกลุ่มนี้มาหนงึ่ คน ไดว้ ่าความนา่ จะเป็นทน่ี กั เรียนคนนไี้ ดค้ ะแนนน้อยกวา่ 70 คะแนน มคี ่าเท่ากับ 0.30 มธั ยฐานของคะแนนชุดนเ้ี ทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 71.50 2. 73.50 3. 73.75 4. 74.50 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 527 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.47 18. ให้ x1, x2, ..., x5 เปน็ ข้อมลู ชุดหน่ึงซงึ่ มีคา่ เฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ 6 ถ้า 5 4)2 = 30 แล้ว สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดนี้เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ ∑ (x i − i=1 1. 2 2. 2 3. 6 4. 2 2 19. จากรายการซ่อมแซมเครื่องซกั ผา้ 6 เคร่ือง ปรากฏผลดงั นี้ เครอ่ื งซักผา้ เครอื่ งท่ี 1 23456 จาํ นวนปที ีใ่ ช้งาน : X 123213 ค่าซอ่ มแซมต่อปี (ร้อยบาท) : Y 4 7 10 8 3 10 สมการทใ่ี ช้แทนความสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชนั สาํ หรับการประมาณคา่ ซอ่ มแซมจากจาํ นวนปีที่ใช้ คอื ขอ้ ใด ต่อไปนี้ 1. Y = 3.25 X + 0.5 2. Y = 3.5 X + 0.5 3. Y = 3.5 X + 0.75 4. Y = 3.75 X + 0.25 20. กําหนดให้ A เป็นเมตริกซ์มิติ 3 × 3 และ Aij คือเมตริกซ์ท่ีได้จากการตดั แถวท่ี i และหลกั ที่ j ของเมตรกิ ซ์ A ออก ถา้ ⎡ 2 −5 −1⎤ ⎡−1 −2⎤ และ ⎡1 −1⎤ ⎢⎣⎢−1278 −−11⎥⎦⎥ ⎣⎢ 5 8 ⎦⎥ ⎣⎢3 −2⎦⎥ adj A = 10 A 11 = A 32 = −5 แลว้ det(A) มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −92 2. −15 3. 15 4. 92 21. กําหนดให้ S คอื เซตของเมตริกซ์ ⎪⎧ ⎡a b⎤ a, b, c, d ∈ {0, 1}⎬⎪⎫ ⎨ ⎣⎢c d⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ความน่าจะเปน็ ในการสุ่มหยบิ เมตริกซ์ A จากเซต S โดยมีสมบตั ิ det(A) = 0 หรอื det (A) = 1 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 3 2. 5 3. 11 4. 13 4 8 16 16 22. ในการออกรางวัลเลขทา้ ยสองตวั ของลอ็ ตเตอรี่รฐั บาล ความนา่ จะเป็นทีร่ างวลั เลขท้ายสองตัวมี หลักสบิ ทเี่ ป็นเลขท่ีมากกวา่ หรอื เทา่ กับ 7 หรือหลกั หน่วยเปน็ เลขทนี่ ้อยกวา่ หรือเทา่ กบั 2 มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 0.40 2. 0.51 3. 0.54 4. 0.60 23. ถา้ f (x) = ⎧ x−n , 2n < x < 2n+1 โดยท่ี n = 0, 1, 2, ..., 9 ⎨ 2n+1 < x < 2n+2 3. 125 ⎩ n+1 , แลว้ ค่าของ 0 ∫ 20 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ f (x) dx 1. 105 2. 115 4. 135 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 528 ขอสอบเขาฯ ต.ค.47 4. 3 24. ถา้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ z14 − i = 0 3. 2 4. (1.6, 1.8) และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ z22− i = 0 แล้ว จํานวนสมาชิกของ A ∩ B เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 0 2. 1 25. ถ้า vn = 1 i + 1− 1 j เม่อื n = 1, 2, 3, ..., 99 n n2 แล้วค่าของ 99 vn+1 − vn อยู่ในช่วงใดต่อไปน้ี ∑ n=1 1. (1, 1.2) 2. (1.2, 1.4) 3. (1.4, 1.6) เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 9 (2) 9 (3) 0.75 (4) 140 (5) 6 (6) 0.5 (7) 2 (8) 1215 (9) 625 (10) 384 ตอนท่ี 2 (1) 3 (2) 3 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) 1 (8) 3 (9) 4 (10) 3 (11) 4 (12) 1 (13) 4 (14) 2 (15) 4 (16) 2 (17) 2 (18) 1 (19) 1 (20) 2 (21) 4 (22) 2 (23) 1 (24) 3 (25) 3 เฉลยวิธีคดิ ตอนท่ี 1 (4) (0, 5) → P = −125 (1) ไฮเพอร์โบลา a = 3, b = 4 (3, 3) → P = 30 นิยามของไฮเพอร์โบลาคอื ระยะห่างจากจดุ ๆ หนง่ึ ไป (4, 0) → P = 140 5 (3,3) ยังโฟกสั ทง้ั สอง มผี ลตา่ งเปน็ 2a = 6 ดงั นน้ั ∴ Pmax = 140 d − 3 = 6 → d = 9 หนว่ ย ตอบ O4 (2) 1 + 2 log 3 log(9 − x) = log 14 log x log 9 log x ⎡2⎤ (5) ⎣⎢⎡⎢aaa231111 aaa231222 aaa231333 ⎤ ⎡x⎤ ⎢ 1⎥ แต่ 2 log 3 = log 9 ดงั นน้ั ⎥ ⎢y⎥ = ⎢⎣0⎦⎥ → AX = B ⎦⎥ ⎢⎣ z ⎦⎥ จะได้ → 1 + log(9 − x) = log 14 log x log x ดังนนั้ X = A−1B → log x + log(9 − x) = 14 หา A−1 โดยการดาํ เนนิ การตามแถว (row- → x(9 − x) = 14 ∴ x = 2, 7 operation) คือ ⎣⎡ A I ⎦⎤ ~ ⎡⎣ I A−1⎤⎦ ตอบ 2 + 7 = 9 เทียบจากโจทย์ จะพบวา่ A−1 = ⎡ 1 −1 1⎤ ⎢0 −2 1⎥ (3) sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B ⎣⎢2 3 0⎥⎦ หา sin A จากกฎของไซน์ 2 1 ⎡x⎤ ⎡ 1 −1 1⎤ ⎡2⎤ ⎡ 1 ⎤ ∴ ⎢y⎥ = ⎢0 −2 1⎥ ⎢ 1⎥ = ⎢−2⎥ sin A = sin B B ⎣⎢z⎥⎦ ⎣⎢2 3 0⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ ⎣⎢ 7 ⎦⎥ 32 3 → sin A = (1)( 3) = 3 ตอบ 1 − 2 + 7 = 6 22 4 และหา cos B จาก Δ จะได้ 3 2 ∴ ตอบ 2 ( 3)( 3) = 0.75 42 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 529 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.47 (6) โจทย์ถาม ⎛ z−i ⎞2 (3) กฎลกู โซ;่ (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) ⎜ ⎟ ดงั นนั้ ขอ้ น้ี (ย้ายขา้ ง) f′(g(x)) ⋅ g′(x) = 1 = (fog)′(x) ⎜⎝ z6 + z3 + 2 ⎠⎟ และอนิ ทเิ กรตได้ (fog)(x) = x + c ก. z − i = 3 − i = 3 + 1 = 1 2 หาค่า c จาก (fog)(0) = 5 → c = 5 2 2 44 จะได้ (fog)(2) = 2 + 5 = 7 ตอบ (4) จัดรปู วงร;ี ข. z6 = (1∠30°)6 = 1∠180° = −1 (x2 − 2x + 1) + 3y2 = 23 + 1 → (x − 1)2 + y2 = 1 z3 = (1∠30°)3 = 1∠90° = i 24 8 ∴ z6 + z3 + 2 = −1 + i + 2 = 1+ i = ตอบ ⎛ 1 ⎞2 = 0.5 ระยะโฟกสั = 24 − 8 = 4 หนว่ ย ⎝⎜ 2 ⎟⎠ จดุ ศูนยก์ ลาง (1, 0) P (7) จากบทนยิ ามของการหาร; F1 C F2 777 = mq1 + n และ 910 = mq2 + n (-3,0) (1,0) (5,0) นํามาลบกนั กลายเป็น 133 = m(q2 − q1) หามุมระหวา่ ง ˜PF1 กบั ˜PF2 นนั่ คอื “m ต้องหาร 133 ลงตัว” → พจิ ารณา 133 = 7 × 19 คดิ โดยใชเ้ วกเตอรด์ อทกนั ˜PF1 ˜, PF2 ถ้า m = 7 จะไดเ้ ศษ n = 0 ซึ่งผดิ เง่ือนไข จาก = ⎡ −7 ⎤ = ⎡ 1⎤ ∴ m = 19 , ไดเ้ ศษ n = 17 ตอบ 19 − 17 = 2 ⎣⎢− 5⎥⎦ −7 + 5 ⎢⎣− 5⎥⎦ (8) กรณที ี่ 1; สองตัวที่เหลอื เลขซา้ํ กนั จะได้ ˜ ˜PF1 ⋅ PF2 = 54 6 และ ˜ ˜PF1 ⋅ PF2 = = −2 → ⎝⎛⎜91 ⎞⎠⎟ × ⎛ 6! ⎞ = 135 วธิ ี cos θ ⎜⎝ 4 ! 2 !⎟⎠ ดังนนั้ cos θ = −2 = − 1 ตอบ กรณที ่ี 2; สองตวั ทเ่ี หลอื เลขไมซ่ า้ํ กนั 54 ⋅ 6 9 → ⎝⎛⎜ 92 ⎞⎟⎠ × ⎛6!⎞ = 1,080 วิธี (5) ก. ถกู B ⎝⎜ 4 !⎠⎟ ตอบ 135 + 1,080 = 1,215 จาํ นวน A C (9) 3x + 5 = x + 2 ข. จากกฎของ cos; → 3x + 5 = x2 + 4x + 4 → x2 + x − 1 = 0 → x = − 1 ± 5 (BC)2 = (CA)2 + (AB)2 − 2(CA)(AB) cos A 22 ดังนน้ั (BC)2 จะมากหรอื นอ้ ยกว่า (CA)2 + (AB)2 ดงั นน้ั a, b = − 1 ± 5 ข้ึนอยกู่ ับเครอื่ งหมายของ cos A 22 (มมุ แหลมเครอื่ งหมายบวก มุมปา้ นเครือ่ งหมายลบ) สง่ิ ท่โี จทย์ถามคอื (a − b)8 [จากทฤษฎบี ททวินาม] ตอบ ก. ถูก, ข. ผดิ ดังนน้ั (a − b)8 = ( 5)8 = 625 ตอบ (6) จาก −5 x2 − 6 → x2 + 5x − 6 0 xx (10) มคี าํ วา่ “หรือ” จงึ ควรใชว้ ธิ ลี บออกดว้ ยนิเสธ คือ วิธที ง้ั หมด ลบด้วยวธิ ีท่ี (1 ∉ B และ 9 ∉ B) จะไดช้ ว่ งคําตอบ [−6, 0) ∪ [1, ∞) → 29 − 27 = 384 จาํ นวน ตอบ และจาก x2 − 6 < 1 → x2 − x − 6 < 0 หรือ สามารถคดิ โดยตรงดว้ ยสตู รยูเนียนของเซต xx คอื (1 ∈ B) + (9 ∈ B) − (1 ∈ B และ 9 ∈ B) จะไดช้ ว่ งคําตอบ (−∞, −2] ∪ (0, 3] = 28 + 28 − 27 กไ็ ด้เชน่ กัน อินเตอรเ์ ซคกันได้ [−6, −2] ∪ [1, 3] ตอนที่ 2 ตอบ 8 จาํ นวน (1) ขอ้ 1, 2, 4 เป็นทฤษฎที ่ีควรรู้ (ถกู แนน่ อน) (7) หาสมการเสน้ ตรง L; ส่วนขอ้ 3 นน้ั ผดิ เชน่ สมมติ P(x) = x2 − 2 จะได้ (y − 1) = m(x − 2) → y − mx + 2m − 1 = 0 (x − 2)(x + 2) ซ่ึง 2 ไมใ่ ช่จํานวนตรรกยะ ระยะหา่ งไปยังจดุ กาํ เนดิ (0, 0) เทา่ กบั 1 ตอบ ข้อ 3. → 1 = 0 − m(0)+ 2m − 1 → 1 + m2 = 2m − 1 (2) ขอ้ 1, 2, 4 ถูกแล้ว 1 + m2 สว่ นขอ้ 3 ผิด เชน่ เมอ่ื a = 6, b = 2, c = 3 ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 530 ขอสอบเขาฯ ต.ค.47 → m = 0, 4/3 แต่ m = 0 ไมไ่ ด้ (เพราะจะหา (12) ทฤษฎีเศษ; f(3) = 10 เส้นต้งั ฉากไมไ่ ด)้ ∴ m = 4/3 จงึ ไดค้ วามชันของ ทฤษฎีของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น; เสน้ สมั ผสั พาราโบลา = −3/4 (ตัง้ ฉากกบั L) y′(2) = 2a(2) = −3/4 → a = −3/16 ตอบ f′(x) = k (x − 1 − i)(x − 1 + i) = k (x2 − 2x + 2) (8) ก. [p ∧ (q → r)] → (r ∨ s) ≡ F แต่โจทยใ์ ห้ f′(x) = 3x2 + 2ax + b TT F F FFF ดงั นนั้ จดั การเทยี บได้ k = 3, a = −3, b = 6 จะไดว้ า่ (p ∧ q) → s ≡ (T ∧ F) → F ≡ T (ก.ผดิ ) ∴ f(3) = 10 = 33 − 3(9) + 6(3) + c ข. เนอื่ งจาก ~ (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ~ P(x) ∨ ~ Q(x) → c = −8 → f(1) = 1 − 3 + 6 − 8 = −4 ตอบ ≡ P(x) → ~ Q(x) (13) ขอ้ 1. (gof)(x) = 1 → ตอ่ เนอ่ื ง ดงั นน้ั นเิ สธของ ∀x∃y [P(x, y) ∧ Q(x, y)] ขอ้ 2. (gof)(x) = (f−1of)(x) = x → ตอ่ เนอ่ื ง ข้อ 3. (gof)(x) = x2 → ตอ่ เนือ่ ง คอื ∃x∀y [P(x, y) → ~ Q(x, y)] (ข.ถกู ) ตอบ ขอ้ 4. (gof)(x) = ⎧⎪ (x + 1)3 ; x>0 ⎨ x<0 (9) ก. เทจ็ เชน่ x = 0.5 จะไดว้ า่ ⎩⎪ (x − 1)3 ; x < x2 คอื 0.5 < 0.25 ซ่ึงเปน็ เทจ็ ไมต่ ่อเนอื่ งที่ x=0 ดงั นนั้ ตอบ ขอ้ 4. [สว่ น x + x2 < x + x2 น้นั เป็นจรงิ เสมอ เพราะ (14) ให้ 5x = A จะได้ A2 + 11 < 12A − 9 เป็นสมบตั ขิ องคา่ สัมบูรณข์ องผลบวก] แยกช่วงยอ่ ยคดิ ข. ∃x [(x − 3)(x + 2) > 0] ก. เม่ือ A > 3/4 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ ≡ ∃x [x ∈ (−∞, −2] ∪ [3, ∞)] เทจ็ → A2 + 11 < 12A − 9 → A2 − 12A + 20 < 0 ตอบ ก. ผดิ , ข. ผดิ แยกตัวประกอบแล้วเขยี นเสน้ จํานวนได้ A ∈ [2, 10] (10) ก. จาก x ข. เมือ่ A < 3/4 จะไดอ้ สมการกลายเปน็ 1 − x2 y = → A2 + 11 < −12A + 9 → A2 + 12A + 2 < 0 อินเวอรส์ คอื x = y ซ่งึ แยกตัวประกอบเป็นจาํ นวนจริงไมไ่ ด้ → ∅ 1 − y2 ดงั นน้ั คาํ ตอบไดจ้ ากกรณีแรกเทา่ นน้ั คอื → x − xy2 = y → xy2 + y − x = 0 2 < 5x < 10 → log5 2 < x < log5 10 ∴ f−1(x) = y = −1 + 1 + 4x2 ตอบ log5 2 + log5 10 = log5 20 2x (15) นาํ cos2(π − θ) คูณทงั้ เศษและสว่ น ตอ้ งเลอื กใชเ้ ครอื่ งหมายบวก เพราะพบวา่ f(x) เปน็ 4 บวก เมือ่ x เปน็ บวก และ f(x) เปน็ ลบ เมอื่ x ตดิ sin2(π cos2(π ลบ … ดงั นนั้ ก. ผิด → sin2(π4 − θ) − cos2(π4 − θ) = 3 − θ) + − θ) 5 ข. f′(x) = (1 − x2)(1) − (x)(−2x) = x2 +1 44 (1 − x2)2 (1 − x2)2 ตัวเศษคลา้ ยสตู ร cos มมุ 2 เทา่ และตวั สว่ นเป็น 1 พบวา่ มากกวา่ 0 เสมอ ตอบ ก. ผิด, ข. ถกู สมการจึงกลายเป็น − cos ⎛ π − 2θ ⎞ = 3 ⎝⎜ ⎠⎟ 5 (11) ขอ้ 1. 1 + r + r2 + … = 1 2 1−r → − sin(2θ) = 3 → cos(2θ) = 4 [2θ ∈ Q1, Q4 ] ข้อ 2. 1 − r + r2 − … = 1 5 5 1+ r → 2 cos2 θ − 1 = 4 → cos2 θ = 9 ตอบ ข้อ 3. 1 1 1 (1 / r) = 1 5 10 r + r2 + r3 +… = 1 − (1 / r) r − 1 (16) f มีคา่ สงู สดุ เปน็ 3 เมอ่ื x = 2 ข้อ 4. 1 − 1 + 1 −… = (1 / r) = 1 แปลวา่ f(2) = 3, f′(2) = 0 r r2 r3 1 + (1 / r) 1+ r เส้นตรง 3x + y − 7 = 0 สมั ผัส f ท่ี (1, 4) พบวา่ มขี อ้ ท่นี า่ จะใช้ไดอ้ ยู่ 2 ขอ้ คือ 2. กบั 4. แปลวา่ f(1) = 4, f′(1) = −3 แตท่ จี่ ริงแลว้ ขอ้ 1. กบั 2. นน้ั ผดิ เพราะเปน็ อนกุ รม 2 อนนั ตท์ ีม่ ีอตั ราสว่ นรว่ มมากกวา่ 1 จะไมส่ ามารถหา โจทย์ถาม = g′(2) − g′(1) ∫ g′′(x) dx ผลบวกถึงอนนั ตไ์ ด้ (sin π ≈ 0.กว่า) ตอบ ขอ้ 4. 1 8 จาก g′(x) = x2f′(x) + 2xf(x) ดังนนั้ ตอบ [22(0) + (2)(2)(3)] − [12(−3) + 2(1)(4)] = 7 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 531 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.47 (17) ความนา่ จะเป็น 0.30 ⎧ x , 0<x<1 }}(23) จาก n=0 แสดงวา่ 4 + a = 0.30 → a = 8 ⎪ 1 , 1< x <2 n=1 40 ⎪ x−1 , 2 < x < 3 ⎪⎪ 2 , 3<x<4 ⎛ 20 − 12 ⎞ ตอบ f(x) = ⎨ ⎜⎝ 10 ⎠⎟ ∴ Med = 69.5 + 5 = 73.50 ⎪ ..... }⎪ ⎪ ⎪⎩ (18) X = 6 แสดงวา่ Σx = 6 ⋅ 5 = 30 x −9 , 18 < x < 19 n=9 จาก Σ(x − 4)2 = 30 → Σx2 − 8Σx + 16 ⋅ 5 = 30 10 , 19 < x < 20 109 เขยี นกราฟไดด้ งั น้ี 3421 ∴ Σx2 = 190 → s = 190 − 62 = 2 ตอบ 5 (19) ใชส้ มบตั วิ า่ ถา้ y = mx + c แลว้ Y = mX + c ดว้ ย จากโจทย์ X = (1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3) = 2 O 2468 18 20 6 โจทย์ถาม 20 = พน้ื ทใ่ี ต้กราฟ นน่ั เอง และ Y = (4 + 7 + 10 + 8 + 3 + 10) = 7 6 ∫ f(x) dx 0 ซง่ึ พบวา่ สอดคลอ้ งกับขอ้ 1. (Y = 3.5X + 0.5) คิดจาก 0 ถงึ 2 ได้ 1 × 1 × 3 = 1.5 ตร.หนว่ ย 2 ตอบ ข้อ 1. [หมายเหตุ จะคาํ นวณจากวิธีเต็มกไ็ ด้ จาก 2 ถงึ 4 ได้ 1.5 + 2 = 3.5 คอื Σy = mΣx + cN , Σxy = mΣx2 + cΣx ] ไปเรื่อยๆ ถงึ 20 ... นาํ มารวมกนั (20) นํา A11 กับ A32 มาประกอบกนั 1.5 + 3.5 + 5.5 + … + 19.5 = 105 ตอบ ⎡ 1 a −1⎤ (24) แก้จาก z22 = i และ z14 = i ⎢3 −1 −2⎥ ไดเ้ ป็น A = ⎣⎢b 5 8 ⎥⎦ นําสมการหารกนั ได้เปน็ z8 = 1 (หารกนั ได้เพราะ z ≠ 0 แนน่ อน) จากนน้ั ใชค้ วามรทู้ ่วี า่ det หาโดยนําสมาชกิ A แนว นาํ z8 = 1 หารออกจาก z14 = i จะได้ z6 = i ใดแนวหนงึ่ คณู กบั สมาชกิ C(A) แนวเดยี วกนั นน้ั และนาํ z6 = i หารออกจาก z8 = 1 อกี ครงั้ ซ่งึ C(A) = (adj A)t = ⎡ 2 −28 17 ⎤ จะได้ z2 = 1 = −i = 1∠270° ⎢−5 10 −5⎥ i ⎣⎢ −1 −1 −1⎥⎦ z = 1∠135° หรอื 1∠315° นาํ แถวกลางคณู กนั ไดเ้ ป็น ∴ ตอบ 2 คาํ ตอบ det(A) = 3(−5) + (−1)(10) + (−2)(−5) = −15 ตอบ [หมายเหตุ การหารซา้ํ ๆ เพอ่ื ลดทอนกาํ ลังลง (นาํ [หมายเหตุ จะใชส้ มบัติทวี่ า่ A ⋅ adj A = det(A) ⋅ I กาํ ลงั มาลบกันเรอ่ื ยๆ) ก็เหมือนวธิ หี า หรม. ของ 14 กไ็ ด้ โดยนาํ Aแถว2 และ adjหลกั 2 มาคูณกัน] กับ 22 นั่นเอง จึงไดก้ าํ ลงั สดุ ทา้ ยเป็น 2 แสดงวา่ ต้องมี 2 คาํ ตอบ] (21) det(A) = ad − bc (25) ลองแทนคา่ B V3 − V2 n = 1,2,3,… ลงไป วิธีทงั้ หมด = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 แบบ เป็นไปได้ จะพบวา่ vn = 1 เสมอ V99 V3 V2 − V1 โจทยต์ อ้ งการ det(A) = 0 หรอื 1 V2 แต่ทศิ ทางเปล่ียนไปดงั รปู A จะใช้วิธนี บั เอากไ็ ด้ แตถ่ า้ สังเกตวา่ det(A) (อยใู่ น Q1 และหมนุ ขึน้ ๆ V1 จนเขา้ ใกลแ้ กน y มากๆ) แค่ 0, 1, -1 เทา่ น้ัน ก็จะคํานวณได้จาก โจทยถ์ ามผลรวมของขนาด 1 หนว่ ย วิธที งั้ หมดลบดว้ ยวธิ ที ่ี det เปน็ -1 คอื (0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1), (0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1), (1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1) รวม 3 กรณี ตอบ 1 − 3 = 13 v2 − v1 + v3 − v2 + v4 − v3 + … + v100 − v99 16 16 จะเปน็ เสน้ ตรงไตไ่ ปตามโค้ง และมคี า่ อยรู่ ะหว่าง (22) โจทย์มคี าํ วา่ “หรอื ” ควรคดิ แบบลบด้วยนิเสธ คอื วธิ ที ้งั หมด - (หลกั สิบนอ้ ยกว่า 7 และ หลกั ความยาวเสน้ ตรง AB กับโคง้ AB แน่นอน ซ่งึ AB = 12 + 12 ≈ 1.414, AB = π ≈ 1.57 หน่วยมากกวา่ 2) = 1 − 7 × 7 = 0.51 ตอบ 2 10 × 10 ∴ ตอบ ขอ้ 3. [หมายเหตุ โจทยล์ มื นยิ าม v100 ครบั ] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 532 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.48 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅÂa ÁÕ.¤.48 (q) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอตั นัย ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ขอ้ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. ผลบวกของคําตอบของสมการ 12x − 2(3x) − 9(4x) + 18 = 0 มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด 2. พจนท์ ี่เป็นค่าคงตัวทีเ่ กดิ จากการกระจาย (tan x − 2 cot x)8 มีคา่ เท่ากบั เท่าใด 3. ในคณะกรรมการนกั เรียนจาํ นวน 10 คน จะมวี ธิ เี ลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ไดก้ ่ี วิธี ถ้ากรรมการคนหนง่ึ ไมส่ มัครที่จะเปน็ ประธาน 4. นายแดงนาํ เงนิ ไปฝากธนาคารออมสิน โดยฝากเดอื นแรก 100 บาท เดอื นต่อไปฝากเพ่ิมข้นึ เดือน ละ 5 บาท ทกุ เดือน เม่อื ครบ 2 ปี นายแดงนําเงินไปฝากทัง้ หมดเท่าใด 5. กาํ หนดให้ u , v , w เปน็ เวกเตอรท์ ี่สอดคล้องกบั สมการ u + 5v − 2w = 0 โดยที่ u = 3 i + 4 j และ u ตง้ั ฉากกบั v ถา้ θ เปน็ มุมระหวา่ ง u และ w แล้ว คา่ ของ |w| cos θ เท่ากับเทา่ ใด 6. ข้อมูลชุดหน่ึงประกอบดว้ ย x1, x2, ..., x13 โดยท่ี xn = 5 − n เมอ่ื n = 1, 2, ..., 13 จํานวนจรงิ a ทท่ี าํ ให้ 13 xn − a มคี ่านอ้ ยที่สุด เทา่ กบั เทา่ ใด ∑ n=1 7. กําหนดให้เส้นตรง x = y ตัดวงรี (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 ท่ีจดุ A และ B 94 ถา้ F1 และ F2 เป็นจดุ โฟกสั ของวงรนี ้ี แล้ว AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มีค่าเท่ากบั เท่าใด 8. กาํ หนดใหพ้ าราโบลารูปหนง่ึ มสี มการเปน็ y2− 4y − 16x − 12 = 0 ถ้า L เป็นเสน้ ตรงท่ผี ่านโฟกสั ของพาราโบลารูปนี้ และต้ังฉากกับเสน้ ตรง 3x − 2y + 5 = 0 แล้ว ระยะตดั แกน y ของเสน้ ตรง L มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด 9. ถา้ z1 = 4 (cos 145° + i sin 145°) และ z2 = 3 (cos 115° + i sin 115°) แลว้ ค่าของ z1− z2 2 เทา่ กับเท่าใด 10. ถา้ n เป็นจาํ นวนเต็มบวกที่มสี มบตั ดิ งั น้ี 100 < n < 1000 45 และ 75 หาร n ลงตัว 7 หาร n เหลอื เศษ 3 แล้ว n มคี ่าเทา่ กับเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 533 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 ตอนท่ี 2 ขอ้ 1 – 25 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. สําหรบั เซต A และ B ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้ ผิด 1. ถ้า A ∩ B = ∅ แลว้ A ⊂ B' และ B ⊂ A' 2. A − (A ∩ B) = A − B 3. (A ∪ B) − A = B 4. ถา้ (A ∩ B) = A แลว้ A ⊂ B 2. ข้อใดต่อไปน้ี ผิด 1. เส้นตรง y = 3x + 2 ขนานกับเส้นตรง 3x − y − 4 = 0 2. เส้นตรง y + 5x + 8 = 0 ตัง้ ฉากกบั เส้นตรง 5y = x + 3 3. ระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง 3x + 4y − 10 = 0 เท่ากบั 2 4. ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง x − 2y + 5 = 0 กบั เสน้ ตรง x − 2y − 5 = 0 เท่ากบั 2 3. เซตในข้อใดต่อไปนเี้ ปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ 9x3+ 12x2+ x − 2 = 0 1. {−2, 1 , 3} 2. {−1, −2 , 1} 32 32 3. {−1, 1 , 2} 4. {−1, −2 , 1} 33 33 4. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. ถา้ f และ g เปน็ ฟงั ก์ชนั ซงึ่ hl→im0+ f (x + h) − f (x) = hl→im0− f (x + h) − f (x) = g (x) h h แลว้ g(x) = f′(x) ข. ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซ่งึ f (x) > 0 สําหรับทุกๆ จาํ นวนจรงิ x และ f′(a) ≠ 0 แล้ว ความชันของเสน้ สัมผัสกราฟของฟังก์ชนั y = 1 ท่ีจดุ a คอื 1 f (x) f′(a) ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 5. ค่าของ ∫2 4 − x2 dx อย่ใู นชว่ งใดต่อไปนี้ −2 1. (3.1, 3.2) 2. (3.2, 3.3) 3. (6.1, 6.2) 4. (6.2, 6.3) 6. ให้ p, q, r, s เปน็ ประพจน์ ถ้า [(p → ~ q) ∨ r] ∧ (q ∨ s) มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง และ (p ∧ s)→ r มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ แลว้ ประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปนี้มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ 1. p → q 2. q → r 3. r → s 4. s → p Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 534 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 7. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ถา้ เอกภพสัมพทั ธค์ ือ เซตของจาํ นวนเต็มแลว้ ข้อความ ∃m ∃n [5m + 7n = 1] มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง ข. นเิ สธของขอ้ ความ ∀x ∃y [ (x2 − 2x > y − 2) ∧ (y > sin x) ] คือ ∃x ∀y [ (x2 − 2x < y − 2) ∨ (y < sin x) ] ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 8. ถา้ sin2 3A − cos2 3A =2 แล้ว cos 2A มีคา่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ sin2A cos 2A 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 4 22 3 9. ถ้า tan (arccos x) = − 3 แล้ว คา่ ของ x sin (2 arccos x) เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. − 3 2. − 1 3. 1 4. 3 4 2 2 4 10. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ คอื { 2, − 2, 1+ 2 i, − 2+ i } ก. เซตคําตอบของ x4 − 2x3 + x2 + 4x − 6 = 0 2. ก. ถูก และ ข. ผิด ข. ⎛ 1 + 3 i ⎞6 + ⎛1− 3 i ⎞6 <2 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 11. ให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ log (log x) + log (9 − log x2) > 1 ถ้า a และ b เปน็ สมาชกิ ของ S ท่มี คี ่ามากท่สี ดุ และค่าน้อยทสี่ ดุ ตามลาํ ดับ แลว้ ab มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใด 1. 10 7/2 2. 109/2 3. 10 11/2 4. 10 13/2 12. กาํ หนดให้ ⎡1 −1 0 ⎤ , ⎡ 1 ⎤ , ⎡x⎤ และ I เปน็ เมตริกซเ์ อกลักษณ์ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ B = ⎢ 0 0 1 ⎥ C = ⎢ 2 ⎥ X = ⎢ y ⎥ ⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ ⎦ ถ้า A เปน็ เมตริกซ์มิติ 3 × 3 ซ่งึ สอดคลอ้ งกบั สมการ 2AB = I และ AX = C แล้ว คา่ ของ x + y + z เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 20 2. 24 3. 26 4. 30 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 535 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.48 13. กําหนดให้ ⎡ 4 12 −9 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ 7 −10 5 ⎥ ⎣ 1 0 0 ⎦ และ B, C, D เป็นเมตริกซม์ ติ ิ 3 × 3 ซง่ึ A ~ B ~ C ~ D โดยท่ี B ไดจ้ าก A โดยการดําเนนิ การ R1 − 4 R2 3 C ไดจ้ าก B โดยการดาํ เนนิ การ 5 R1 D ได้จาก C โดยการดาํ เนินการ R23 แลว้ det (D) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. −3750 2. −150 3. 150 4. 3750 14. ถ้า an เป็นค่าเฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู 3. 1 4. 2 มี n พจน์ 3 3 1, 2, 2, 3, 3, 3, ..., n, n, n, ..., n แลว้ lim an เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี n→∞ n 1. 0 2. 1 2 15. กําหนดให้ f (x) = det ⎡1 1⎥⎤ เม่ือ x ≠1 ข้อใดต่อไปนีถ้ ูก ⎢ 1− x ⎢⎣ 1 1⎦⎥ 1. f เป็นฟงั ก์ชัน 1− 1 และ ⎡1 1⎥⎤ − 1 เมอ่ื x ≠ 0, x ≠1 f−1(x) = det ⎢1− x ⎢⎣ 1 1⎥⎦ 2. เปน็ ฟังกช์ ัน และ f −1(x) ⎡1 1⎤ เมื่อ ⎢ ⎥ f 1− 1 = det ⎢⎣ 1 1⎥⎦ x ≠ −1 1+ x 3. f ไม่เป็นฟังกช์ นั 1− 1 เนือ่ งจากมีคา่ x ทที่ ําให้ det ⎡1 1⎥⎤ =0 ⎢ 1− x ⎢⎣ 1 1⎥⎦ 4. f ไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน 1− 1 และ (f ⎡1 1⎤⎥ 2 เม่อื x≠1 f)(x) = det ⎢1−x ⎢⎣ 1 1⎥⎦ 16. กําหนดให้ f (x) = ⎧1 ,x < 0 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ⎨ ,x > 0 ⎩ 0 ข. xl→im0+ (f f)(x) = 1 ก. xl→im0− (f f)(x) = 0 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 17. ถา้ ความชันของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ y = f (x) ทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เปน็ 2x − 4 และ f มคี า่ ต่ําสดุ สัมพัทธ์เท่ากับ 10 หน่วยแลว้ พ้นื ทปี่ ดิ ลอ้ มด้วยกราฟของ y = f (x) กับแกน x จาก x = 0 ถึง x = 3 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 33 2. 36 3. 39 4. 42 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 536 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.48 18. ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B โดยท่ี f (1) = 2 หรือ f (2) = m เม่อื m เป็นจํานวนค่ี แลว้ จาํ นวนของฟังกช์ ัน f ที่มีสมบัติดงั กลา่ ว เท่ากบั ขอ้ ใด 1. 75 2. 150 3. 425 4. 500 19. กลอ่ งใบหนง่ึ มีลูกบอลสีดาํ 4 ลูก และสีแดง 6 ลกู ถ้าสุ่มหยบิ ลกู บอลจากกลอ่ งใบนีม้ า 3 ลกู ความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะได้ลูกบอลสลี ะอยา่ งน้อยหนงึ่ ลกู เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.84 20. ในการสุ่มหยบิ เลข 3 หลัก ท่ีมากกว่าหรือเท่ากับ 100 มาหนึ่งจํานวน ความนา่ จะเปน็ ท่ีเลข จาํ นวนน้ันมีเลข 8 อย่างนอ้ ย 1 หลกั และไม่มีเลข 9 ในหลักใดๆ จะเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 2 4. 2 8 98 9 21. กาํ หนดสมการจดุ ประสงค์ z = a x + b y โดยที่ a > 0 , b > 0 และมีอสมการข้อจาํ กดั คือ x − 2y < 0 , x + y > 3 , 2x + y > 4 , x > 0 , y > 0 เมอื่ z = 0 จะไดเ้ ส้นตรง a x + b y = 0 มีความชันเทา่ กับ −3/2 ถา้ z มคี า่ น้อยทส่ี ุดท่ีจุด (x0, y0) แล้ว ค่าของ x0− y0 เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. −4 2. −1 3. 1 4. 3 22. กาํ หนดพ้นื ที่ใตเ้ สน้ โค้งปกติระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1 เทา่ กบั 0.3413 ถา้ คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นกลุ่มหนึง่ ซ่งึ มีจาํ นวน 20,000 คน มีการแจกแจงปกติ แลว้ จํานวนนกั เรยี นทส่ี อบไดค้ ะแนนซ่งึ ต่างจากคะแนนเฉลย่ี มากกวา่ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 3,413 2. 6,348 3. 6,826 4. 13,652 23. กาํ หนดฮสิ โทแกรมของคะแนน ความถ่สี ัมพัทธ์ สอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรียน 0.375 80 คน ดงั นี้ 0.350 0.075 0.050 0.025 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู O 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 คะแนน 1. นักเรยี นทส่ี อบได้คะแนนระหว่าง 50 − 79 มจี ํานวนมากกวา่ นกั เรียนที่สอบได้ คะแนน 90 คะแนนขนึ้ ไป เท่ากับ 50 คน 2. นกั เรียนท่สี อบได้คะแนน 90 คะแนนขน้ึ ไป มีร้อยละ 10 ของนักเรยี นทั้งหมด 3. ควอรไ์ ทลท์ ห่ี นง่ึ ของคะแนนสอบมีคา่ อยรู่ ะหว่าง 60 − 69 คะแนน 4. ควอรไ์ ทลท์ สี่ ามของคะแนนสอบมีค่าอยรู่ ะหว่าง 80 − 89 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 537 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.48 24. กําหนดให้วงกลม x2+ y2 + 2ax + 2by + c = 0 ตัดแกน y ท่ีจุด 2 จดุ แตไ่ ม่ตัดแกน x ขอ้ ความในขอ้ ใดต่อไปน้เี ป็นจริง 1. a2 > c และ b2 > c 2. a2 > c และ b2 < c 3. a2 < c และ b2 > c 4. a2 < c และ b2 < c 25. ถา้ S เป็นเซตของจํานวนเตม็ m ทม่ี สี มบัติดงั นี้ 50 < m < 100 และ 7 หาร m3 เหลือเศษ 6 แล้วจํานวนสมาชกิ ของ S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 2. 14 3. 18 4. 21 เฉลยคาํ ตอบ ตอนที่ 1 (1) 2.5 (2) 1120 (3) 648 (4) 3780 (5) 2.5 (6) 3 (7) 12 (8) 4 (9) 7 (10) 675 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 4 (3) 4 (4) 2 (5) 4 (6) 1 (7) 1 (8) 1 (9) 4 (10) 3 (11) 2 (12) 1 (13) 3 (14) 4 (15) 2 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19) 2 (20) 4 (21) 2 (22) 2 (23) 3 (24) 3 (25) 4 เฉลยวธิ ีคิด ตอนท่ี 1 (5) u + 5v − 2w = 0 → u + 5v = 2w (1) มอง 3x = A, 4x = B นํา u ดอททั้งสองข้าง; จะได้ AB − 2A − 9B + 18 = 0 ไดเ้ ปน็ u ⋅ u + 5u ⋅ v = 2u ⋅ w = 2 u w cos θ → A(B − 2) − 9(B − 2) = 0 ซึ่ง u ⋅ u = u 2 = 32 + 42 = 25 → (A − 9)(B − 2) = 0 และ u ⋅ v = 0 เนอื่ งจาก u ⊥ v ∴ จะได้ 25 + 0 = 2(5) w cos θ → 3x = 9 หรอื 4x = 2 → x = 2 หรอื 1 ∴ ตอบ 2.5 → w cos θ = 2.5 ตอบ 2 (6) ขอ้ มลู x1, x2, x3, … , x13 ( )(2) พจนท์ วั่ ไปคอื 8 (tan x)8 − r(−2)r(cot x)r คือ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, … , 8 r Σ xn − a น้อยสดุ แสดงวา่ a = Med “พจนท์ เ่ี ป็นคา่ คงตวั ” หมายถึงไมต่ ดิ ตวั แปร x เรียงเลขกอ่ น; 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 , 4, 4, 5, 6, 7, 8 (แสดงวา่ tan x กบั cot x คณู กนั แลว้ หมดไปพอด)ี ∴8−r = r → r = 4 ∴ Med = 3 ตอบ (7) จะไดค้ า่ ของพจนน์ น้ั = ⎛⎝⎜ 8 ⎞⎠⎟ (tan x)4(−2)4(cot x)4 B 4 = ⎝⎜⎛ 8 ⎞⎠⎟ (−2)4 = 1,120 ตอบ F1 F2 4 (3) ประธาน 9 × รอง 9 × เลขา 8 A = 648 วธิ ี ตอบ จากนยิ ามวงรี AF1 + AF2 = 2a (4) 100 + 105 + 110 + … + พจนท์ ่ี 24 และ BF1 + BF2 = 2a ∴ ตอบ 2(3) + 2(3) = 12 = 24 (100 + (100 + 23 × 5)) = 3,780 ตอบ 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 538 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.48 (8) y2 − 4y + 4 = 16x + 12 + 4 (4) ก. ถกู ตามนยิ าม → (y − 2)2 = 4(4)(x + 1) เป็นพาราโบลาเปดิ ขวา (1) ลมิ ติ h → 0 จะมไี ดก้ ็เม่อื ลมิ ติ h → 0+ กับ h → 0− ตอ้ งเทา่ กนั จดุ ยอด (−1, 2) ∴ จุดโฟกัส (3, 2) (2) lim f(x + h) − f(x) = f′(x) เสน้ ตรงในโจทยม์ ีความชนั = 3 / 2 h→0 h ดังนน้ั เสน้ ตรงทีต่ อ้ งการ (L) มีความชนั −2 / 3 ข. ผดิ จาก y = 1 จะได้ y′ = − 1 ⋅ f′(x) → y − 2 = − 2 (x − 3) → y = − 2 x + 4 f(x) f(x)2 33 จึงตอ้ งตอบวา่ ความชนั = − f′(a) ∴ ระยะตดั แกน y คือ 4 ตอบ f(a)2 (9) z1 − z2 2 = z1 2 − 2 z1 z2 cos θ + z2 2 เมือ่ θ = มุมระหวา่ ง z1, z2 ตอบ ขอ้ 2. ∴ z1 − z2 2 = 42 − 2(4)( 3) cos 30° + 32 (5) y = 4 − x2 2 = 16 − 12 + 3 = 7 ตอบ มีกราฟเปน็ รปู ครง่ึ วงกลม (10) เนอ่ื งจาก 45 และ 75 หาร n ลงตวั รศั มี 2 หนว่ ย ดงั น้ี หา ค.ร.น. ของ 45, 75 ได้เปน็ 225 แสดงวา่ n อาจเป็น 225, 225 × 2, 225 × 3, 2 -2 O 2 ∴∫ 4 − x2dx = พ้นื ทคี่ รง่ึ วงกลม −2 หรือ 225 × 4 ก็ได้ = 1 π(2)2 = 2π ≈ 6.28 ตอบ ข้อ 4. 2 (คอื เป็น 225, 450, 675, หรือ 900) แต่ 7 หาร n แลว้ ต้องเหลือเศษ 3 (6) จาก (p ∧ s) → r ≡ F แสดงว่า p, s จริง, r เทจ็ จงึ พบวา่ n ตอ้ งเปน็ 675 ตอบ และจาก (p → ~ q) ∨ r ≡ T แสดงว่า q เทจ็ ตอนท่ี 2 ∴ ตอบ ขอ้ 1. p → q ≡ F (1) ข้อ 1, 2, 4 ถกู ตอ้ งแลว้ (สามารถตรวจสอบได้ (7) ก. ถกู เช่น m = 10, n = −7 ข. ถกู เพราะ ~ ∀x∃y [P ∧ Q] ≡ ∃x∀y [~ P ∨ ~ Q] จากแผนภาพ) ส่วนข้อ 3. ผดิ เพราะ ตอบ ข้อ 1. “(A ∪ B) − A = B ” กเ็ มอื่ A B (8) sin2 3A cos2 A − cos2 3A sin2 A = 2 “A กบั B ไมซ่ อ้ นทับกนั ” sin2 A cos2 A เท่านนั้ (คอื A ∩ B = ∅ ) แต่ถา้ A กับ B มสี ่วน → (s3A cA − c3A sA)(s3A cA + c3A sA)) = 2 ทซ่ี อ้ นทับกัน จะได้ (sin A cos A)2 (A ∪ B) − A = B − A → (sin 2A)(sin 4A) = 2 (เตมิ 2 กบั 4 เอง) (2 sin A cos A)2 4 ตอบ ขอ้ 3. AB → (sin2A)(2 sin2A cos 2A) = 2 (2) 1. m1 = 3 , m2 = 3 (sin 2A)2 4 2. m1 = −5 , m2 = 1 / 5 ดังนนั้ cos 2A = 1 ตอบ 4 3. d = 3(0) + 4(0) − 10 = 10 = 2 32 + 42 5 (9) tan(arccos x) = − 3 4. d = 5 − (−5) = 10 = 2 5 ตอบ ขอ้ 4. แสดงว่า arccos x = 120° และ x = − 1 2 12 + 22 5 ∴ x sin(2 arccos x) = − 1 sin 240° 2 (3) หารสงั เคราะห์ − 1 9 12 1 − 2 −9 −3 2 = (− 1)(− 3) = 3 ตอบ 9 3 −2 22 4 (10) ก. ผดิ ถา้ สมั ประสทิ ธ์ิเปน็ จํานวนเต็มทุกตวั ∴ จากโจทยแ์ ยกได้ (x + 1)(9x2 + 3x − 2) = 0 คาํ ตอบท่เี ป็นเชงิ ซ้อนจะต้องเป็นสงั ยคุ ของกนั คาํ ตอบท่ีเหลอื คอื x = −3 ± 9 + 72 ข. ถกู จากสมบตั วิ ่า + Δ < + Δ เสมอ 18 i ⎞6 3 i ⎞6 = −3 ± 9 = 1, − 2 (ใชว้ ิธีแยกตัวประกอบกไ็ ด)้ ∴ ⎛ 1+ 3 ⎟⎠⎟ + ⎛ 1− ⎠⎟⎟ < 16 + 16 ⇒2 18 3 3 ⎜⎝⎜ 2 ⎝⎜⎜ 2 ∴ ตอบ ⎩⎧⎨−1, 1 , − 2 ⎬⎫⎭ ตอบ ขอ้ 3. 3 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 539 ขอสอบเขาฯ มี.ค.48 (11) log (log x ⋅ (9 − log x2)) > 1 (16) ก. f(f(0−)) = f(1) = 0 ถูก ข. f(f(0+)) = f(0) = 1 ถกู ตอบ ขอ้ 1. → log x ⋅ (9 − log x2) > 10 (17) f′(x) = 2x − 4 → f(x) = x2 − 4x + C ให้ log x = A จะได้ จากคา่ ตํ่าสดุ สัมพัทธ์ = 10 เกดิ ท่ี 2x − 4 = 0 → x = 2 ∴ f(2) = 10 , ไดค้ ่า C = 14 A (9 − 2A) > 10 → 2A2 − 9A + 10 < 0 → (2A − 5)(A − 2) < 0 → 2 < A < 5/2 ∴ 2 < log x < 5/2 → 102 < x < 105/2 ตอ่ มาหาพ้ืนทปี่ ิดลอ้ ม ตอ้ งคาํ นึงถงึ จดุ ตัดแกน x ก่อน → f(x) = x2 − 4x + 14 = 0 ไมม่ ีคาํ ตอบ ตอบ ab = 109/2 (12) เนื่องจาก 2AB = I → 2B = A−1 แสดงว่ากราฟไมต่ ดั แกน x จึงอนิ ทิเกรตรวดเดยี วได้ ดงั นน้ั จาก AX = C → X = A−1C = 2BC → 3 = ⎛ x3 − 2x2 + ⎞ 3 ⎜ 14x ⎟ 0 ⎡ 1 −1 0⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2 ⎤ ∫ f(x) dx ⎝ 3 ∴ X = 2 ⎢0 1 2⎥ ⎢0⎥ = ⎢ 8 ⎥ ⎠ 0 ⎣⎢3 0 1⎦⎥ ⎢⎣2⎦⎥ ⎢⎣10⎥⎦ = 9 − 18 + 42 = 33 ตอบ ตอบ 2 + 8 + 10 = 20 (18) มคี าํ วา่ “หรอื ” จึงคดิ แบบทงั้ หมดลบดว้ ยนเิ สธ (13) จาก A = −90 + 60 = −30 = ทั้งหมด (A → B) ลบดว้ ย “ f(1) ≠ 2 และ row-operation “ A → B ” det ไม่เปลี่ยน f(2) ≠ จํานวนค”่ี “B → C ” det คูณ 5 กลายเป็น -150 = 5 × 5 × 5 × 5 − 4 × 2 × 5 × 5 = 425 ตอบ “ C → D ” สลับแถวกนั det กลับเคร่ืองหมาย ± (19) มคี าํ วา่ “อยา่ งนอ้ ย” จงึ คดิ แบบนเิ สธ เช่นเดยี วกบั ขอ้ 18 กลายเป็น 150 ตอบ = ความนา่ จะเปน็ รวม (1) ลบด้วย ความนา่ จะเปน็ ที่ สเี ดยี วลว้ นๆ (14) 1, 2, 2, 3, 3, 3, … , n, n, n, … , n 1 พจน์ 2 พจน์ 3 พจน์ n พจน์ ⎝⎜⎛ 4 ⎟⎞⎠ + ⎜⎛⎝63⎠⎞⎟ 3 an = คา่ เฉลย่ี เลขคณติ = ผลรวมขอ้ มูล = 1 − = 1 − 4 + 20 = 0.8 ตอบ จาํ นวนข้อมลู ⎛⎜⎝ 130⎠⎟⎞ 120 = (1)+(2 + 2)+(3 + 3 + 3)+ … +(n + n+ n + … + n) (20) มีคาํ วา่ “อยา่ งน้อย” เช่นเดยี วกับขอ้ 18, 19 1+2+ 3+…+n → ในขอ้ น้ีเราจะไม่มองเลข 9 จะไดว้ ่า = 1 + 4 + 9 + ... + n2 1 + 2 + 3 + ... + n = วิธที ้ังหมด - วิธีท่ีไม่มีเลข 8 เลย ⎡n(n + 1)(2n + 1)⎤ = 8 × 9 × 9 − 7 × 8 × 8 = 200 จํานวน (จากสูตรซกิ มา่ ) = ⎢⎣ ⎥⎦ = 2n + 1 6 3 (1-8) (0-8) (0-8) (1-7) (0-7) (0-7) ⎡n(n + 1)⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ∴ ตอบ 200 = 2 900 9 (21) ตอบ∴ lim an=lim ⎛⎝⎜ 2n + 1⎠⎟⎞ =2 n→∞ n 3n 3 มีจุดยอดมุม n→∞ 3 จดุ ดงั ภาพ A (15) f(x) = 1 − 1 = 1 − (1 − x) = x m=2 1− x 1− x 1− x ตรวจสอบว่าเป็น f : 1 − 1 หรอื ไม่ BC โดยหาอนิ เวอรส์ ดวู ่าเปน็ ฟงั กช์ นั หรอื เปลา่ O m=-2 m=-1 จาก y = x แลก x กบั y เป็น x = y 1− x 1− y สมการจดุ ประสงค์ z → x − xy = y → x = y + xy มคี วามชนั −1.5 A → x =y 1+ x แสดงวา่ จุด B เปน็ จดุ B ที่เกิด zmin C พบวา่ อนิ เวอร์สเปน็ ฟงั กช์ นั แสดงวา่ เปน็ 1 − 1 และจึงร้วู า่ f−1(x) = x ซ่ึงตรงกบั ข้อ 2. ตอบ O m=-1.5 1+ x แกร้ ะบบสมการ x + y = 3 และ 2x + y = 4 (หมายเหตุ ขอ้ 1. f−1(x) = ⎛ x ⎞−1 1− x ผดิ , ⎝⎜ 1 − x ⎠⎟ = x ได้จดุ ตดั เปน็ x = 1, y = 2 ขอ้ 2. f−1(x) = 1 − 1 = x ถูก) ตอบ 1 − 2 = −1 1+ x 1+ x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 540 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.48 (22) คะแนนซึ่งหา่ งจาก X อยเู่ ทา่ กับ s (24) หาจุดตัดแกน x (ให้ y = 0 ) จะได้ คือคา่ z = ±1 ดงั รปู AA x2 + 2ax + c = 0 → x = −2a ± 4a2 − 4c (เพราะ x = X ± s 2 ทําให้ z = ±1 จาก โจทย์วา่ ไม่มีจดุ ตดั แกน x เลย สมการ z = x − X ) -1 0 1 z แสดงว่าในรทู้ ตดิ ลบ นน่ั คือ 4a2 < 4c s โจทยต์ อ้ งการจาํ นวนคนในบริเวณทีแ่ รเงา → a2 < c เนื่องจากพน้ื ที่ A = 0.3413 ต่อมาหาจดุ ตดั แกน y (ให้ x = 0 ) จะได้ ดงั นนั้ ส่วนทีแ่ รเงา = 1 − 0.6826 = 0.3174 y2 + 2by + c = 0 → y = −2b ± 4b2 − 4c 2 คดิ เปน็ จาํ นวนคน = 0.3174 × 20,000 โจทย์วา่ มี 2 จดุ แสดงว่าถอดรทู้ ไดส้ องคา่ ตามปกติ = 6,348 คน ตอบ นั่นคอื 4b2 > 4c → b2 > c ตอบ ขอ้ 3. (หมายเหตุ ถา้ โจทยบ์ อกวา่ “สมั ผัส” คือตดั 1 จุด (23) เขียนเป็นตารางได้ดงั น้ี คะแนน f สมั พทั ธ์ CF สัมพทั ธ์ จะแปลวา่ ในรูท้ เปน็ 0 พอดี คอื 4b2 = 4c ) 30 – 39 0.025 0.025 (25) ให้ m = 49 + a เมื่อ a = 1, 2, 3, … , 51 40 – 49 0.050 0.075 เราพบว่า (49 + a)3 = 493 + 3(49)2a + 3(49)a2 + a3 50 – 59 0.075 0.150 น้นั สามพจนแ์ รกหาร 7 ลงตัว (เพราะมี 49 คณู อย่)ู 60 – 69 0.350 0.500 70 – 79 0.375 0.875 แสดงว่า เศษเกดิ จากพจนส์ ดุ ท้าย (a3) เทา่ นั้น 80 – 89 0.075 0.950 90 – 99 0.050 1.000 ดงั นนั้ ขอ้ นี้เราสามารถนบั จาํ นวนไดจ้ าก 13, 23, 33, 43, … , 513 (ลดทอนตัวเลขลง) ขอ้ 1. 50 − 79 มี (0.075 + 0.35 + 0.375) × 80 ซึ่งเรมิ่ ไลจ่ าก 13 ÷ 7 ได้เศษ 1 23 ÷ 7 ได้เศษ 1 33 ÷ 7 ไดเ้ ศษ 6 = 64 คน และ 90 ขนึ้ ไป มี 0.05 × 80 = 4 คน 43 ÷ 7 ได้เศษ 1 53 ÷ 7 ได้เศษ 6 ดงั นน้ั ขอ้ นผ้ี ดิ 63 ÷ 7 ไดเ้ ศษ 6 และ 73 ÷ 7 ลงตวั (เศษ 0) ขอ้ 2. 0.05 คอื รอ้ ยละ 5 ดังนัน้ ขอ้ น้ผี ดิ สําหรบั 83, 93, … , 513 นนั้ สามารถลดทอนลงได้ ข้อ 3. ความถส่ี ะสมที่ 0.250 ด้วยเหตเุ ดมิ คอื 83 = (7 + 1)3 จงึ ไดเ้ ศษเหมือน 13 อยใู่ นช่วง 60 − 69 ถกู ... 93 = (7 + 2)3 จงึ ไดเ้ ศษเหมอื น 23 ... ฯลฯ ขอ้ 4. ความถสี่ ะสมที่ 0.750 อยู่ในชว่ ง 70 − 79 ดงั นนั้ ขอ้ นี้ผดิ วนไปจนถงึ 513 = (49 + 2)3 ตอบ ข้อ 3. จะพบวา่ ไดเ้ ศษเป็น 6 อยู่ชดุ ละ 3 ตวั รวม 7 ชดุ ตอบ 21 จาํ นวน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 541 สถิติคะแนนสอบฯ ʶiµi¤aæ¹¹Êoº ¤³iµÈÒʵÏ 1 ทมี่ า : http://www.entrance.mis.mua.go.th และ http://www.entrance.co.th/newentinfo/stat/stat.asp สถิตทิ ่ใี หม้ าในตารางนี้ สําหรับผทู้ ตี่ อ้ งการประเมนิ ตนเองกอ่ นถึงการสอบจรงิ โดยทดลองทาํ ขอ้ สอบฉบับเกา่ ๆ คะแนน 0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 รวม (ตํา่ สดุ ) (เฉลีย่ ) (สงู สดุ ) (SD) ต.ค.41 4,495 40,972 61,452 25,434 6,044 1,867 621 243 74 30 141,232 (0.00) (25.28) (100.00) (9.74) ม.ี ค.42 1,141 21,383 52,528 31,526 8,711 2,684 1,015 368 105 15 119,476 (3.00) (28.77) (100.00) (10.20) ต.ค.42 5,884 46,996 65,383 25,631 5,766 1,611 582 211 62 13 152,139 (0.00) (24.58) (97.00) (9.51) ม.ี ค.43 2,464 25,754 50,432 29,863 10,149 3,720 1,481 628 181 46 124,718 (0.00) (28.73) (100.00) (11.49) ต.ค.43 6,958 53,464 71,551 22,916 6,543 2,445 1,138 570 255 57 165,897 (2.00) (24.46) (98.00) (10.64) ม.ี ค.44 1,866 24,474 53,865 25,366 9,860 4,107 2,045 1,010 541 177 123,311 (3.00) (29.23) (100.00) (12.64) ต.ค.44 5,341 47,058 77,649 21,070 6,007 2,271 1,011 412 128 43 160,990 (2.00) (24.66) (100.00) (10.01) ม.ี ค.45 3,733 34,141 58,352 18,501 6,493 2,472 858 203 50 1 124,804 (3.00) (25.48) (92.00) (10.31) ต.ค.45 3,805 43,527 85,139 25,799 5,564 1,370 384 96 14 3 165,701 (2.00) (24.91) (95.00) (8.61) มี.ค.46 2,589 32,096 59,202 22,551 6,324 2,199 836 310 70 13 126,190 (0.00) (26.20) (97.00) (10.05) ต.ค.46 1,508 31,938 86,787 34,843 8,895 2,443 858 287 79 9 167,647 (3.00) (27.26) (97.00) (9.23) ม.ี ค.47 3,636 34,317 61,414 16,976 4,458 1,416 492 139 36 5 122,889 (0.00) (24.61) (94.00) (9.26) ต.ค.47 930 49,375 74,967 31,154 4,606 917 364 120 16 7 162,456 (5.00) (25.48) (97.00) (7.87) ม.ี ค.48 3,758 33,629 51,122 20,145 6,317 2,264 970 323 87 24 118,639 (0.00) (25.76) (100.00) (10.70) ข้อสงั เกต คะแนนตาํ่ สดุ นา่ จะเป็น 0 คะแนนทุกครั้ง (น่าจะมผี ไู้ ม่เข้าสอบอยา่ งน้อย 1 คน) สว่ น ครัง้ ทเี่ ปน็ 2, 3, หรอื 5 คะแนน เปน็ เพราะมขี อ้ ทโี่ จทยผ์ ดิ และไดค้ ะแนนฟรีทกุ คน ... คะแนนสงู สดุ ฉบบั แรกๆ มผี ูไ้ ด้ถงึ 100 คะแนนเตม็ แต่ในชว่ งหลงั นไ้ี ม่มีเลย และจาํ นวนผทู้ ไ่ี ด้เกนิ 80 คะแนนขน้ึ ไปกล็ ดลง มาก (เพราะมบี างบทเรยี นซึ่งขอ้ สอบยากจนไมน่ า่ มีใครคดิ ไดท้ ัน) สังเกตใหด้ ี ปี 2545 คะแนนออกมาตาํ่ ทส่ี ดุ (แมจ้ ะได้บวกคะแนนฟรกี ต็ าม) ... มองภาพรวมของสถติ ิและตัวขอ้ สอบ ตลอดปี 2546 ขอ้ สอบงา่ ยลง กว่า 2545 และมาถึง มี.ค.47 กย็ ากขน้ึ อกี เลก็ นอ้ ย สว่ น ต.ค.47 และ มี.ค.48 ขอ้ สอบเปล่ียนแนวไปทาํ ให้ หลายคนวา่ ยากขน้ึ มาก ส่วนตัวผมวา่ เปน็ ขอ้ สอบทด่ี ีเพราะเรมิ่ เนน้ ความเขา้ ใจในเนอ้ื หา แต่อาจารยก์ วดวิชา คงลาํ บาก เพราะนกั เรียนทจี่ ะทําข้อสอบแบบนี้ไดถ้ ูก ต้องรลู้ กึ และแม่นจรงิ ครบั การขยนั เรียนที่โรงเรียนมา ตลอดนา่ จะไดผ้ ลมากกวา่ กวดวชิ า ข้อสงั เกตน้เี ปน็ เพียง “ความเหน็ ส่วนตัว” ซง่ึ วิเคราะหจ์ ากสถติ ิและโจทย์ขอ้ สอบเกา่ เทา่ นน้ั อาจจะ วิเคราะหผ์ ดิ ก็ได้ ไม่ควรยดึ ถอื วา่ ต้องเป็นไปตามนจ้ี รงิ ... ขยนั ฝกึ ทาํ โจทยแ์ ละทดลองจับเวลา จนกวา่ จะได้ คะแนนอยตู่ ัวในระดบั ที่หวงั ไว้ ดที ส่ี ดุ ครบั ... ฝากท้ิงทา้ ยว่า “อย่าเอาสถติ ิมาบนั่ ทอนกาํ ลังใจตัวเอง แต่เอาไว้ เป็นเปา้ หมายถงึ จะดี :]” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 542 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÏ ¾×é¹°Ò¹ÇiÈÇa ’32-’41 e©¾Òa¢Œo·Õèe»¹š ¤³iµÈÒʵÏ ข้อสอบทุกขอ้ เปน็ แบบปรนัย ข้อละ 2 คะแนน ปี 2532 y ข 1. จงหาพื้นที่ของระนาบ กขค บนแกน xyz ดังแสดงในรูป 4 กําหนดใหร้ ะยะ กค = 10 เมตร ระยะ งข = 4 เมตร และระยะ กx ง งจ = 3 เมตร ขจ ตงั้ ไดฉ้ ากกบั ฐาน กค 3 1. 15 ตร.ม. 2. 20 ตร.ม. ค 3. 25 ตร.ม. 4. 50 ตร.ม. จ10 z 2. ขงึ ลวดสลิงเปน็ รปู พาราโบลา โดยมีช่วงยาวระหว่างปลายทั้งสองข้าง กข = 4.0 เมตร y ค ข x ลวดสลิงตกทอ้ งชา้ งทก่ี ลางช่วงจุด ค 1.0 เมตร ก 2.0 1.0 จงหาสมการความสัมพนั ธ์ของรปู ลวดสลงิ 2.0 4.0 1. y = x 2. y = x2 − 3 3. y = (x + x2) / 2 4. y = x − x2/4 y 3. y เป็นฟงั ก์ชันของ x ซง่ึ มกี ราฟแสดงความสัมพันธ์ 4 (1,4) ไดด้ ังรปู ต้องการทราบวา่ คา่ อนพุ นั ธ์ dy/dx มีคา่ เท่าไร 1. −4 2. −2 0 123 x 3. 2 4. 4 -4 (3,-4) 4. สมการการสลายตัวของธาตกุ มั มันตรงั สี N = N0e−λt สามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู ลอการทิ มึ ฐาน e ไดเ้ ปน็ ln N = −λt + ln N0 ให้หาว่ากราฟรูปใดแสดงความสัมพนั ธ์ของการสลายตัวนี้ 1. ln N 2. ln N 3. ln N 4. ln N tttt 5. พาราโบลาท่ีมีเสน้ ตรง y = −2 เปน็ ไดเรกตรกิ ซ์ และจดุ (0, 0) เปน็ โฟกัส จะผา่ นจดุ ใด 1. (0, 0) 2. (0, −1) 3. (0, 1) 4. (0, −2) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 543 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 6. จงหาโคออรด์ เิ นตของจุดตัดระหวา่ งกราฟเส้นตรง y = 1 x + 3 กับ y = 2x + 1 2 1. (2, 4) 2. (3 , 4) 3. (4 , 11) 4. (5 , 11) 2 33 44 7. กลุ่มตัวเลขต่อไปนี้ กลุ่มใดมีท้งั พิสัยตํา่ สดุ และฐานนิยมสงู สุด กลมุ่ ที่ 1 1, 5, 7, 6, 5 กล่มุ ท่ี 2 2, 3, 6, 6, 4 กลมุ่ ที่ 3 2, 7, 4, 7, 3 กลุ่มท่ี 4 3, 6, 7, 7, 4 1. กลมุ่ ที่ 1 2. กลุม่ ท่ี 2 3. กลุ่มท่ี 3 4. กลมุ่ ที่ 4 8. เสน้ โค้งสองเสน้ ตอ่ ไปนี้ มีความชนั เทา่ กันเม่อื x มคี ่าเท่าใด 4. 3 y = 3x2 − 3x + 1 และ y = x 3 + 1 1. 0 2. 1 3. 2 9. มเี สน้ คขู่ นานสองเส้นคือ x − y + 5 = 0 และ x − y − 5 = 0 ระยะหา่ งระหว่างเสน้ คู่ขนานสองเส้นนจ้ี ะเปน็ เท่าใด 1. 10 2 2. 10/ 2 3. 2/10 4. 10/2 10. ความสัมพันธ์ระหว่างตน้ ทุนการผลิตเครื่องจักรต่อเคร่ือง กับจาํ นวนการผลติ เปน็ ดงั นี้ จํานวนการผลติ x (เครื่อง) 1234 ต้นทนุ ตอ่ เครอ่ื ง y (หนว่ ย 100 บาท) 65 35 25 20 ถา้ นาํ ขอ้ มลู ไปหาความสัมพนั ธ์เชิงฟงั กช์ นั จะไดค้ วามสัมพันธ์แบบใด 1. y = ax2 2. y = ax + b 3. y = a 4. y = a + b x2 x 11. สมการ 1 = B x + A เขียนเปน็ กราฟได้ดงั รูป จงหาคา่ B 1/y yA 1. B = tan θ 2. B = tan θ R RO 3. B = RO tan θ 4. B = PO RO P θO x ปี 2533 12. คนงาน 4 คน ได้รบั มอบหมายใหท้ ําชิ้นงานทเ่ี หมือนๆ กัน นาย ก ทาํ 4 ช้ิน ใชเ้ วลาทํา 32 นาที นาย ข ทาํ 6 ชนิ้ ใช้เวลาทํา 24 นาที นาย ค ทาํ 4 ช้ิน ใช้เวลาทํา 24 นาที นาย ง ทาํ 7 ชิ้น ใช้เวลาทาํ 28 นาที หากให้คนงานทงั้ 4 คนนที้ าํ งานรว่ มกันเป็นทีมในเวลา 5 ชั่วโมง จะได้ชนิ้ งานรวมกีช่ ิน้ 1. 233 ชน้ิ 2. 237 ชน้ิ 3. 250 ชิ้น 4. 300 ชน้ิ 13. ในการสรา้ งอาคารสูงหลงั หนง่ึ เสยี คา่ ใช้จา่ ยคงทเ่ี ป็น 450 เท่าของคา่ ก่อสรา้ งอาคารชน้ั แรก โดยคา่ ก่อสรา้ งชั้นต่อๆ ไปมีค่าเปน็ 2, 3, 4, ... เท่าของชัน้ แรก ตามลําดับ จะต้องสร้างอาคารนสี้ งู กี่ ชน้ั จึงจะเสียคา่ ใชจ้ า่ ยเฉล่ยี ต่อชนั้ นอ้ ยท่ีสดุ 1. 30 ช้นั 2. 34 ช้ัน 3. 39 ช้นั 4. 42 ชน้ั 14. ผลรวมของมมุ ภายในของรูปสามเหล่ียม, ส่เี หล่ยี ม และห้าเหล่ยี ม มีค่าเทา่ กับ 180°, 360° และ 540° ตามลําดบั จงหาว่าผลรวมของมุมภายในของรปู ยสี่ ิบเหลี่ยมมีค่าเทา่ ไร 1. 2160° 2. 2700° 3. 3240° 4. 3780° Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 544 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 15. นกั ศกึ ษา 110 คน แต่ละคนตอ้ งเลือกเรยี นวชิ าฟสิ ิกส์ คณิตศาสตร์ และภาษาองั กฤษ อยา่ งนอ้ ย หนึ่งวชิ า นักศกึ ษาเลอื กเรยี นวิชาฟสิ ิกส์ คณิตศาสตร์ และภาษาองั กฤษ เป็นจาํ นวน 80, 60 และ 40 คน ตามลําดับ ในจาํ นวนดังกล่าวนีม้ ีนกั ศึกษาท่ีเลือกเรยี นท้งั สามวชิ าเป็นจํานวน 10 คน เลือก เรยี นวิชาฟสิ ิกส์อยา่ งเดียว 20 คน เลือกเรียนวชิ าคณิตศาสตร์อย่างเดียว 30 คน และนกั ศึกษาท่ี เลือกเรียนภาษาอังกฤษทกุ คนจะเลอื กเรียนวชิ าฟิสิกส์ดว้ ย จงหาความน่าจะเป็นทน่ี กั ศึกษาเลอื กเรยี น วชิ าคณิตศาสตร์หรือภาษาองั กฤษ 1. 7/11 2. 8/11 3. 9/11 4. 10/11 16. เครอ่ื งบนิ เคลื่อนทเ่ี ป็นเส้นตรงในแนวระดับ ผา่ นเหนอื เจดยี ด์ ว้ ยความเร็วคงที่ 450 A V = 450 ก.ม./ชม. 30° 60° กิโลเมตร/ชั่วโมง เมอื่ ถึงตําแหน่ง A นกั บนิ มองเห็น ยอดเจดยี เ์ ปน็ มุมก้มเท่ากบั 30° กบั แนวราบ หลัง จากนนั้ อกี 20 วนิ าที นกั บนิ มองเห็นยอดเจดยี ์เป็น มุมกม้ 60° กบั แนวราบ จงหาวา่ เครื่องบินลําน้ีบนิ สงู จากยอดเจดยี ์เท่าไร 1. 1250 เมตร 2. 1250 3 เมตร เจดีย์ 3. 2500 เมตร 4. 2500 3 เมตร 17. วงกลมรัศมี r เมตร สองวง แต่ละวงมจี ุดศูนยก์ ลางตัง้ อยู่ บนเส้นรอบวงของอกี วงหนงึ่ พนื้ ทรี่ ว่ มกนั ระหว่างวงกลมท้งั r r สองจะมีค่าโดยประมาณใกลเ้ คียงทีส่ ุดเท่ากับ 1. 1.00 r2 ตารางเมตร 2. 1.23 r2 ตารางเมตร 3. 1.41r2 ตารางเมตร 4. 1.73 r2 ตารางเมตร 18. ทิศทางของเวกเตอร์ ˜A , ˜B และ ˜D ดังแสดงในรูป กาํ หนดให้ ˜C = ˜A + ˜B ˜Aจแงล=คะาํข2นน0วาณดหขหนอา่วงขยน˜Dา=ดข2=อง2เท0˜า่Dข3อ−งหข˜Cนนาว่ ดยของ ˜ ขนาดของ B ˜D ˜A ˜B 30° 60° 1. 10 3 หน่วย 2. 15 หน่วย 3. 20 3 หน่วย 4. 30 หนว่ ย z 19. ตอ้ งการเดินท่อจากตาํ แหน่ง B ไปยัง O ในแนว 9 เมตร y เส้นทแยงมุม OB ของรปู ปริซึม ท่อจะมีความยาวเทา่ ไร A 30° B กําหนดให้ AB ทํามมุ 30° กบั OB 1. 17.319 เมตร 2. 17.414 เมตร O x 3. 17.732 เมตร 4. 17.886 เมตร 12 เมตร 20. จงหาระยะทางที่สนั้ ทีส่ ุดจากจุดตดั ของเสน้ ตรง y = x − 5 กบั เส้นตรง y = −2x − 5 ไปยังแนว ของเสน้ ตรง y = − 3 x + 3 4 1. 3/5 2. 8/5 3. 27/5 4. 32/5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 545 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 21. คะแนนสอบของวชิ าพื้นฐานทางวศิ วกรรม มกี ารแจกแจงปกติ โดยผไู้ ดค้ ะแนนตงั้ แต่ 61 – 70 คะแนน มอี ยู่ 13.6% สว่ นผู้ท่ีไดค้ ะแนนเทา่ กบั หรอื ตํ่ากวา่ 60 คะแนน มีอยู่ 84.13% กาํ หนดให้ 0 < ค่ามาตรฐาน < 1 มพี ้ืนทใ่ี ต้โค้ง = 0.3413 0 < คา่ มาตรฐาน < 2 มพี ้นื ท่ีใต้โคง้ = 0.4773 คา่ เฉลย่ี เลขคณิตและสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของวิชา มคี ่าเปน็ เท่าไร 1. X = 40, σ = 10 2. X = 40, σ = 15 3. X = 50, σ = 10 4. X = 50, σ = 15 22. สมการ log16x + log4x + log2x = 7 คา่ ของ x จากสมการนีจ้ ะเทา่ กับ 1. 4 2. 8 3. 14 4. 16 23. แนวถนนตรงสองสายตดั กันเปน็ มุม 60° ท่จี ดุ ค แนวถนน ค 60° แนวถนน เดิม แนวถนน เดิม หากตอ้ งการสร้างถนนใหม่เปน็ แนวโคง้ เชอื่ มต่อแนวถนนเดิม ใหม่ โดยใส่ส่วนโคง้ ของวงกลมรัศมี 510 เมตร ดังรปู ระยะทีส่ ัน้ R = 510 เมตร ที่สดุ จากจดุ ตัดเดิมไปยังแนวถนนใหมน่ จ้ี ะมคี า่ ประมาณเท่าไร 1. 60 เมตร 2. 80 เมตร 3. 100 เมตร 4. 120 เมตร 24. ขึงเชอื กใหเ้ ปน็ รปู พาราโบลาระหวา่ งจุด A และ B ระยะหา่ ง 10 เมตร และระยะหย่อน y ตาํ่ สุดท่ีกึง่ กลาง ณ จุด C เป็น 1 เมตร 5 เมตร ใหห้ าระยะหยอ่ นของเชือกท่จี ุด D 2 เมตร A DC B 1 เมตรx 1. 12/25 เมตร 2. 14/25 เมตร 10 เมตร 3. 16/25 เมตร 4. 20/25 เมตร f1(x) 5 4 25. กราฟของฟังก์ชัน f1(x) และ f2(x)มีดงั แสดงในรูป 3 x 2 คา่ อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั น้เี ท่ากนั เมื่อ x มคี า่ ... 1 1. x = 1.5 2. x = 3.0 f2(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. x = 5.5 5 4. x = 7.5 4 3 2 1 26. ต้องการสร้างถงั เกบ็ นา้ํ ทรงกระบอก ให้สามารถจุ 123456789 x ปรมิ าตรไดเ้ ท่ากบั 16 π ลกู บาศกเ์ มตร จงหาวา่ ขนาด ของถังใบนม้ี ีคา่ เปน็ เท่าไร จงึ ทําให้พ้ืนท่ผี วิ ของนา้ํ มัน(รวมพืน้ ที่ฝาและฐาน) มีคา่ นอ้ ยทส่ี ดุ R ให้ R เปน็ ขนาดความยาวรศั มีของถงั และ h เปน็ ขนาดความสงู ของถัง h 1. R = 1.59 เมตร, h = 6.35 เมตร 2. R = 2 เมตร, h = 4 เมตร 3. R = 2.52 เมตร, h = 2.52 เมตร 4. R = 2.83 เมตร, h = 2 เมตร Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 546 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 27. เซตคําตอบของสมการ 2x4 + 3x3 + 2x2− 1 = 0 คอื 1. {−1, 1 , − 1 + 3 i, 1 − 3 i } 2. {−1, 1 , − 1 + 3 i, − 1 − 3 i } 2 2 22 22 3. {−1, 1 , 1 − 3 i, 1 + 3 i } 4. {−1, 1 , 2 + 3 i, − 2 − 3 i } 22 2 2 2 2 ปี 2534 28. สมการจาํ นวนเชิงซอ้ น 3 x + 4 y i = 2(cos π + i 1 sin π)2 โดยที่ i = −1 4 24 4. 1 ฉะน้นั ค่าของ x จากสมการน้ีจะเท่ากบั 6 1. 2 − 2 2. 2 3. 1 + 2 32 32 2 32 29. ในการวางท่อนา้ํ ประปาจากจุด A ไปจดุ B ตามรปู ขา้ งลา่ งนี้ คา่ ใช้จ่ายในการวางทอ่ ขนาน กับถนนเท่ากับ 100 บาทตอ่ เมตร และเท่ากบั 200 บาท B ตอ่ เมตรเม่ือวางทอ่ ข้ามถนน เพ่ือใหเ้ สยี คา่ ใช้จ่ายน้อยทสี่ ุด A ถนนกว้าPง 15 ม. 100 ม. จงหาระยะ AP ซงึ่ ท่อน้ําเร่ิมเลยี้ วข้ามถนน 1. 85.5 เมตร 2. 91.4 เมตร 3. 95.7 เมตร 4. 100 เมตร 30. ในการทดลองอบแห้งพืชชนดิ หนึง่ โดยการวัดน้ําหนักของพืช (M ) และเวลาท่ใี ช้ในการอบแห้ง ( t ) ได้ข้อมูลดงั ต่อไปน้ี เวลา (ชั่วโมง) 0 10 20 30 40 นํ้าหนกั พืช (กรมั ) 99 36 15 5 2 จงหาสมการท่ีจะแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งนํ้าหนกั พืชและเวลาท่ใี ช้ในการอบแหง้ ทดี่ ที ีส่ ดุ 1. M = 100 − e−0.1 t 2. M = 100 − e0.1 t 3. M = 100 e−0.1 t 4. M = 100 e0.1 t 31. แรงดันไฟฟ้า e = 100 sin θ โวลต,์ กระแสไฟฟ้า i = 10 sin(θ − 60°) แอมแปร์ กําลงั ไฟฟ้า P เท่ากบั ผลคูณของ e และ i กําลงั ไฟฟ้าสูงสุดจะมีคา่ เทา่ ใด 1. 750 วัตต์ 2. 1000 วตั ต์ 3. 500 วตั ต์ 4. 250 วัตต์ 32. จงหาค่า x ทีท่ าํ ใหเ้ มตรกิ ซ์ A = ⎡1 2 −1⎤ เป็นซงิ กลู าร์เมตรกิ ซ์ ⎢⎣⎢−12 x −12⎥⎥⎦ −2 1. 4 2. 2 3. 1 4. 0 33. โดมรปู ครึง่ ทรงกลม มีเส้นผา่ นศูนย์กลางยาว 20 ม. 50 เมตร ตดั ยอดออกในแนวราบทร่ี ะดับ 20 เมตร r = 25 ม. r = 25 ม. จากฐาน จงหาพน้ื ทข่ี องวงกลมสว่ นที่ตดั 1. 225π / 4 ตารางเมตร 2. 225π ตารางเมตร 3. 400π ตารางเมตร 4. 500π ตารางเมตร Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 547 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 34. จดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มอยูท่ ่ี (1, 1), (−1, −1) และ (−4, 2) บนระนาบ x และ y จงหาพื้นที่ ของสามเหล่ยี มนี้ 1. 6.5 ตารางหนว่ ย 2. 5 ตารางหน่วย 3. 6 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหนว่ ย 35. จงหาคา่ ของ x เมอ่ื log (5x + 10) = log (3x − 2) + 1 1. 0.8 2. 0.4 3. 1.2 4. −6 ปี 2535 36. ช่างสํารวจไดท้ าํ การจดข้อมูลการวัดดงั นคี้ อื AB ยาว 60 เมตร โดยแนว AB ขนานกบั รมิ ฝง่ั แม่นํา้ มีระยะหา่ ง 5 เมตร จุด C อย่หู ่างจากริมฝั่งอกี ขา้ งหน่งึ เทา่ กับ 12 เมตร ถ้าชา่ งวดั ขนาด ของมุม BAC และ CBA ได้ 75 องศา และ 45 องศา ตามลําดับ จงหาวา่ แมน่ า้ํ สายนก้ี วา้ ง เทา่ ใด C (กําหนดว่า sin 75° = 3 + 1 ) 22 12 เมตร ทิศการไหล 1. 18.49 เมตร 2. 30.32 เมตร 3. 35.49 เมตร 4. 47.32 เมตร 45° 5 เมตร A 75° B 37. ถ้า f (x) = x2 sin 2x จงหา df dx กําหนดให้ d(uv) = u dv + v du เมื่อ u และ v เป็นฟังกช์ ันของ x dx dx dx และ d (sin 2x) = 2 cos 2x 2. x2cos 2x + 2x sin 2x dx 1. 2x2 cos 2x + 2x sin 2x 3. 2x2 cos 2x + x sin 2x 4. x2cos 2x + x sin 2x 38. กําหนดให้ A = ⎡2 1⎤ และ B = ⎡3 2⎤ ⎢⎣0 3⎥⎦ ⎢⎣ 1 2⎦⎥ จงหาคา่ ของ AT× (B × A) 1. ⎡14 12 ⎤ 2. ⎡12 18 ⎤ 3. ⎡21 27⎤ 4. ⎡20 18⎤ ⎣⎢16 24⎦⎥ ⎢⎣12 30⎦⎥ ⎣⎢ 11 21⎦⎥ ⎣⎢ 12 18⎥⎦ 39. เดก็ กลุ่มหนงึ่ มี 5 คน สค่ี นแรกมอี ายุ 1, 4, 6 และ 8 ปี ตามลาํ ดับ ถา้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ อายุเด็กทง้ั 5 คน คือ 6 ปี คา่ ก่งึ กลางพิสยั ของอายเุ ดก็ กลมุ่ นี้คอื 1. 4.5 ปี 2. 5.0 ปี 3. 6.0 ปี 4. 11.0 ปี 40. ถ้าคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของอายนุ ักเรียนชนั้ มัธยมปที ่ี 4, 5 และ 6 ของโรงเรยี นแหง่ หนง่ึ เปน็ 16, 17 และ 18 ปี ตามลาํ ดบั และจํานวนนกั เรยี นในแต่ละชั้นดังกลา่ วเปน็ 60, 50 และ 30 คน ตามลาํ ดบั ค่าเฉลยี่ เลขคณติ รวมของอายุนักเรียนท้ังหมดคือ 1. 16.5 ปี 2. 16.8 ปี 3. 17.0 ปี 4. 17.5 ปี 41. ถา้ U(x) = x2− 2.6 x + 1.5 , 0 < x < 3 คา่ นอ้ ยท่สี ดุ ของฟังกช์ นั U คอื 1. −0.23 2. −0.19 3. −0.15 4. 1.50 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 548 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 42. หนา้ ตัดส่วนหนงึ่ ของทอ่ รบั อากาศเขา้ ของเคร่ืองบนิ F-100 เป็นรปู วงรีที่มโี ฟกัสอยทู่ ่จี ดุ (-4,-5) มีแกนเอกยาว 14 หน่วย และมีจุดศนู ยก์ ลางอยู่ที่ (-4,1) สมการของวงรนี ีค้ อื 1. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 2. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 49 25 13 49 3. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 4. ไมม่ คี าํ ตอบท่ีถูกตอ้ ง 25 13 43. กาํ หนดให้ เม่อื x = 0, v = 1 เม่อื x = 1, d2v = d ⎝⎜⎛ dv ⎠⎟⎞ =6 dx 2 dx dx และ dv = ax2 + 3 จงหา v (x) dx 1. x 3 + 3x + 1 2. x 3 + 3x + 1 3 4. 3x 3 + 3x + 1 3. 2x 3 + 3x + 1 44. กาํ หนดให้ A = {a, b, c} จงเลือกขอ้ ความท่ีถูกต้อง 1. a ⊂ A 2. A ⊂ {b, c} 3. ∅ ⊂ A 4. {b} ∈ A 45. กาํ หนดให้ A = 1 + 2 i , B = 2 + 3 i , C = 3 + 4 i จงหาคา่ ของ (B + C) C โดยที่ B คอื สงั ยคุ ของ B และ C คอื ค่าสมั บูรณข์ อง C A 1. 6 − 8 i 2. 7 − 9 i 3. 6 + 8 i 4. 7 + 9 i 46. เสน้ โคง้ เส้นหนง่ึ ผา่ นจุด (2, a) และ (1, 1) ถา้ ความชันของเส้นสัมผัสเสน้ โค้งนที้ ีจ่ ดุ (x, y) ใดๆ เป็น 3x2 − 2 จงหาค่าของ a 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8 47. แผงรบั แสงอาทิตย์ประกอบด้วยกระจกสะท้อนแสงรปู พาราโบลา ทเ่ี ขียนไดเ้ ปน็ สมการ x2 − 12y − 6x = 3 พื้นผวิ นจ้ี ะมี 1. โฟกสั ท่ี (2, 3) จุดยอดที่ (−1, 3) และไดเรกตรกิ ซ์ x = −4 2. โฟกัสที่ (2, 3) จดุ ยอดท่ี (1, −3) และไดเรกตริกซ์ x = 4 3. โฟกัสที่ (3, 2) จุดยอดที่ (3, 1) และไดเรกตริกซ์ y = 4 4. โฟกัสท่ี (3, 2) จดุ ยอดท่ี (3, −1) และไดเรกตรกิ ซ์ y = −4 48. ถ้า log x = 1 log a − log b และกําหนดให้ a = 27 b6 อยากทราบวา่ x มีค่าเป็นเท่าไร 3 1. 3 b 2. 3 3 b2 3. b (3 b − 1) 4. 9 b5 49. ทอ่ น้ําในโรงงานแหง่ หน่ึงวางเอียงและเขียนเป็นสมการได้ y − 4 = 7 (x − 3) 5 จากจุด P(9, 12) ต้องการดึงเชอื กไปผูกกบั ท่อท่ี P1 โดยให้เชอื กทาํ มุมฉากกบั ทอ่ ความยาว PP1 ของเสน้ เชอื กคอื 1. 2 2. 2 3. 2 4. 2 37 37 37 37 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 549 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 50. เวกเตอรส์ องเวกเตอรซ์ ึ่งมีขนาด 8 หน่วย และ 12 3 y หนว่ ย ทํามุมกับแกนระบบพกิ ัดฉาก 30 องศา และ 60 องศา 8 หนว่ ย 30° x ดังรปู จะตอ้ งใชเ้ วกเตอรใ์ ดมารวมกับเวกเตอร์ทัง้ สอง ทําให้ ไดเ้ วกเตอรล์ ัพธ์เป็นศนู ย์ 2. − (2 3) i − 14 j 60° 1. − (10 3) i − 22 j 4. (2 3) i + 14 j 12 3 หน่วย 3. (10 3) i + 22 j ปี 2536 51. จากการศึกษาอายกุ ารใชง้ านของเคร่ืองยนต์เลก็ ชนดิ เดยี วกัน 3 ยี่หอ้ ยห่ี อ้ แรกศึกษามาจาก 22 เครอ่ื ง ได้อายุเฉลีย่ 12 ปี ยห่ี อ้ ท่สี อง 8 เคร่ือง อายเุ ฉล่ียรวมของทงั้ สองยี่หอ้ 13.6 ปี ส่วนยี่ห้อท่ี สามจําไมไ่ ด้ว่ากี่เครอื่ ง แต่มีอายุเฉล่ยี 16 ปี ถ้าอายเุ ฉล่ยี รวมของท้ังสามยี่ห้อเป็น 14.2 ปี จงหา จํานวนเคร่อื งของยีห่ อ้ ทส่ี าม 1. 10 เครอื่ ง 2. 14 เคร่อื ง 3. 15 เครอื่ ง 4. 18 เครือ่ ง 52. ถา้ (x − y i)(2 + i) = 7 + 4 i เมือ่ x และ y เป็นจาํ นวนจรงิ จงหาว่า x + 2y มคี ่าเท่าใด 1. 1 3 2. 2 2 3. 3 1 4. 4 1 5 3 5 3 53. รถยนตค์ ันหนง่ึ แลน่ ในแนวเส้นตรง เริม่ ออกแล่นในชว่ ง 12 วินาทีแรกด้วยสมการความเรว็ v2 = 62− (t − 6)2 เมอ่ื v = ความเร็ว (เมตรตอ่ วนิ าท)ี t = เวลา (วินาที) หลงั จากสนิ้ วนิ าทที ่ี 12 รถยนตเ์ ร่งเครื่องดว้ ยอตั ราเร่งคงตัวจนกระท่ังมคี วามเร็วเปน็ 5π เมตรต่อวนิ าที ภายใน 4 วินาที ระยะทางทัง้ หมดท่ีรถแลน่ ไดม้ ีคา่ เทา่ ใด 1. 18π เมตร 2. 26π เมตร 3. 28π เมตร 4. 46π เมตร 54. จานรับสญั ญาณดาวเทยี มถูกออกแบบให้เป็นโค้ง Y (cm) พาราโบลาดงั รูป โดยสญั ญาณจะมารวมกันทจ่ี ุดโฟกัส 42 สมการและค่าโฟกัสของจานใบนคี้ อื 1. 600y = 7x2 โฟกสั คอื 21.43 cm 2. 600x = 7y2 โฟกสั คือ 21.43 cm F 120 X (cm) 3. 147y = 5x2 โฟกสั คือ 7.35 cm 4. 147x = 5y2 โฟกสั คอื 7.35 cm 55. ถา้ log x = 1 log a − 2 log b + 2 log c 3 และกาํ หนดให้ a = 8 b9 ดังนัน้ x จะมีคา่ เท่าใด c3 1. 2bc 2. 2 3. 2b 4. 2c bc c b 56. เส้ยี ว 1/4 ของวงกลมดังรูป แสดงตาํ แหน่งของจดุ โคออร์ดิเนตดังนี้ y AD A (3, 11) , B (3, −2) , C (16, −2) และ D (8, 10) สมการของเสน้ ตรงทส่ี มั ผัสกบั เสย้ี ววงกลมทจี่ ุด D คือ 1. 5x − 12y = 148 2. 12x + 5y = 146 3. 5x + 12y = 160 4. 6x + 11y = 158 B C x Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 550 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 57. อโุ มงค์รถไฟแห่งหนึ่ง ถกู ออกแบบเปน็ รูปครึ่งวงรี ซง่ึ มีฐานกวา้ ง 36 เมตร และสงู 12 เมตร ความสงู ของ อโุ มงค์ที่ระยะทางหา่ งจากศูนยก์ ลางเทา่ กับ 6 เมตร 12 จะมคี ่าเท่าใด 2. 6 3 เมตร 120 X (cm) 1. 5 3 เมตร 4. 8 2 เมตร 3. 7 2 เมตร 6 36 58. จากเส้นโคง้ ปกติและเส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดังรูป กาํ หนดให้ z1 = x1 − x, z2 = x2 − x, และพ้ืนท่ี B = 0.05 อยากทราบว่าพ้ืนที่ A ซง่ึ อยู่ s s ระหวา่ ง x1 และ x2 มีค่าเท่าใด A 1. 0.90 2. 0.95 3. 0.96 4. 0.99 x1 x x2 f(x) B 18 x 16 z1 = − 1.96 0 z2 = 1.96 14 12 59. ฟงั ก์ชนั f (x) ของกราฟตอ่ ไปนี้ คืออะไร 10 1. f (x) = 2x + x 8 2. f (x) = 2x2 + 1 6 3. f (x) = x2 + x + 1 4 4. f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 1 2 01 23 60. กําหนดให้ f′(x) = xn แล้วจะได้ f (x) = xn+1 + c โดยที่ n ≠ −1 และ c เป็นค่าคงตวั ถ้า n+1 หาก f′(x) = 3x2 − 4 −2 และ f (2) = 8 แลว้ จงหาว่า c มีคา่ เทา่ ใด x2 1. 2 2. 7/2 3. 11/2 4. 6 y 61. กาํ หนดเวกเตอร์ ˜P และ ˜Q ดงั รปู ถ้าขนาดผลรวมของ ˜Q ˜P เวกเตอร์ทั้งสองในแนวแกน x และแกน y มคี า่ 21 หน่วย (-1,2) และ 18 หน่วยตามลําดบั ขนาดของเวกเตอร์ ˜P ไดแ้ ก่ (4,2) 1. 3 5 หนว่ ย 2. 5 5 หนว่ ย 0 3. 8 5 หน่วย 4. 12 5 หนว่ ย x 62. เดก็ 4 คนมคี า่ เฉลีย่ เลขคณิตของอายุ 5 ปี โดยทเี่ ดก็ 3 คนมีอายุ 4.3, 5.3 และ 6.4 ปี พสิ ัย ของอายขุ องเด็กทง้ั 4 คนน้ี มคี า่ เท่าใด 1. 0.7 ปี 2. 1.4 ปี 3. 2.1 ปี 4. 2.4 ปี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)