สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 51 ระบบจาํ นวนจรงิ (5.1) A มสี มบตั ปิ ิดการคณู เพราะจาํ นวนนบั 2 (14) เศษ (5)4 −(5)3 + 3(5)2 −(5)− 1 คูณกนั ยอ่ มยังเป็นจาํ นวนนับ2 = 2(5)3 +(5)2 + 75(5)+ a ... ดงั นนั้ a = −81 B ไม่มีสมบตั ปิ ดิ การคณู เชน่ (15) เปน็ ตัวประกอบ แสดงวา่ หารแล้วเหลอื เศษ 0 2 × 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดงั นนั้ ขอ้ นถี้ กู (2)3 − a(2)2 + a (2) + 2b = 0 .... (1) (5.2) A ไม่มสี มบตั ิปดิ การบวก เชน่ 4 1+ 1= 2 → 2∉A 1 (2)2 + (2) − b = 0 .... (2) B ไมม่ ีสมบตั ปิ ดิ การบวก เช่น a 2 + 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดงั นนั้ ขอ้ นถี้ กู (6) ก. ไมจ่ รงิ เชน่ ถ้า x = 2 จะไม่มี y ทเ่ี ปน็ แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 3 → a + b = 7 (16) จาก (x2 − 2x − 3) = (x − 3)(x + 1) จํานวนเตม็ ท่ี xy = 1 แสดงว่า ⎨⎧⎩((3−)1)44++aa((3−)31)3+ b(3)2 + 3(3)+ 4 = 0 0 ข. ไมจ่ รงิ เชน่ ถ้า x = 0 จะไม่มี y ทีเ่ ป็นจาํ นวน + b(−1)2 + 3(−1)+ 4 = จรงิ ท่ี xy = 1 จะได้ a = −19 , b = −37 99 ค. ไม่จรงิ เพราะถา้ xy = 1 นัน้ xy ∉ A แนน่ อน และจาก (x2 + x − 2) = (x + 2)(x − 1) ( 1 ไม่ใช่จํานวนอตรรกยะ) ง. จรงิ ไม่วา่ x เป็นจาํ นวนตรรกยะใด y จะเปน็ แสดงว่า ⎨⎩⎧((1−)23 )3+ + 10(−2)2 + c(−2) + d = 0 10(1)2 + c(1) + d = 0 จาํ นวนตรรกยะเสมอ (x, y ≠ 0) (7) อนิ เวอร์สการคณู ของ a คือ 1/a ... ดงั นน้ั จะได้ c = 7, d = −18 อินเวอรส์ การคณู ของ 1 คอื 6 + 5 ดงั นน้ั a + b + c + d = −155 6+ 5 9 (17) แยกตวั ประกอบแตล่ ะพหนุ ามกอ่ น เอกลกั ษณก์ ารคณู ของจาํ นวนจริงใดๆ คอื 1 เสมอ (โดยการหารสังเคราะห)์ (8) ก. (a ∗ b) ∗ a = b ∗ a = b → ผิด จะได้ (x3 − 7x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) ข. (b ∗ c) ∗ b = a ∗ b = b → ผิด และ (3x3 − 7x2 + 4) = (x − 1)(x − 2)(3x + 2) ค. (a ∗ b) ∗ (c ∗ b) = b ∗ a = b → ถกู ง. (c ∗ a) ∗ (b ∗ a) = c ∗ b = a → ผดิ และ (x4 − 3x3 + 6x − 4) = (x − 1)(x − 2)(x − 2)(x + 2) (9) ตอบ ง. เพราะ x − y ≠ y − x (10) จะมองแคว่ า่ a * b มีสมบัติการสลับทกี่ ็ได้ ดังนนั้ ห.ร.ม. = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2 (18) แยกตัวประกอบแตล่ ะพหุนามก่อน จะได้ (x3 − 2x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2) หรือคิดจาก x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (3yz + y + z) และ (x3 + x2 − 10x + 8) = (x − 1)(x − 2)(x + 4) ค.ร.น. = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 4) = 3x(3yz + y + z) + x + 3yz + y + z และ (z ∗ y) ∗ x = (3zy + z + y) ∗ x = x5 − 17x3 + 12x2 + 52x − 48 = 3(3zy + z + y)x + 3zy + z + y + x (19) (3x + 1)(x − 2)(x − 4)(x + 5)(x2 + 1) (20.1) a = 0 → x2 − b2 = 0 → กไ็ ด้ ... คาํ ตอบขอ้ น้คี อื “เท่ากนั ” (11.1) A ไม่มีสมบัตปิ ิดภายใต้ ⊕ เช่น (x − b)(x + b) = 0 → {−b, b} 5 + 7 = 6 แต่ 6 ∉ A )แตม่ ีสมบตั กิ ารสลับท่ี (20.2) b = 0 → x2 = 0 → {0} 2 (20.3) a = 1 → x2 + b2 + 2bx − b2 = 0 เพราะ a + b = b + a เสมอ) ... ดงั นน้ั ขอ้ นี้ผดิ → x2 + 2bx = 0 → x(x + 2b)= 0 → {0, −2b} 22 (20.4) b = 1 → x2 + a2 + 2ax − 1 = 0 (11.2) A ไม่มสี มบัตปิ ดิ ภายใต้ ⊗ เชน่ 3 × 3 = 4.5 แต่ 4.5 ∉ A และ A มสี มบตั กิ าร → (x + a)2 − 1 = 0 → (x + a − 1)(x + a + 1)= 0 2 → {−a + 1, −a − 1} สลบั ท่ี เพราะ ab = ba เสมอ ... ดงั นนั้ ถกู (21.1) ผิด เชน่ c > b > a และ c > d 22 แบบนี้กย็ งั ได้ (−)(−)(+) > 0 อยู่ (21.2) ผดิ เชน่ −2 < 1 แต่ (−2)2 < 12 (12) a = 4(4)3 − 21(4)2 + 26(4) − 17 = 7 (21.3) ถูก ... พสิ จู น์ จาก (a + b) / 2 > ab และ b = 3(−3)3 + 13(−3)2 + 11(−3) + 5 = 8 → a + b > 2 ab → a2 + 2ab + b2 > 4ab ดังนน้ั b − a = 8 − 7 = 1 → a2 − 2ab + b2 > 0 → (a − b)2 > 0 (13) เศษ (1)2 + 2a = (−2) + a ดังนนั้ a = −3 (เปน็ จริงเสมอ เมือ่ a ≠ b ) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 52 ระบบจํานวนจรงิ (21.4) ถูก ... พสิ จู น์ จาก b3 + a3 > b+a (27) x2 + 6x + 7 < 0 แยกตัวประกอบไมอ่ อก a2b2 ab จงึ ตอ้ งใชส้ ตู ร −b ± b2 − 4ac → b3 + a3 > ab(b + a) 2a → (b + a)(b2 − ab + a2) > ab(b + a) หรอื อาจจดั กาํ ลงั สองสมบูรณก์ ไ็ ด้ ดงั นี้ → b2 − 2ab + a2 > 0 → (b − a)2 > 0 (x2 + 6x + 9) − 2 < 0 → (x + 3)2 − 2 < 0 (เป็นจรงิ เสมอ เม่อื a ≠ b ) (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) < 0 + (22.1) และ (22.2) ถกู ... (เปน็ สมบตั ขิ อง ค่าเฉล่ียเลขคณติ ดว้ ย → xmin < X < )xmax +- (22.3) ถกู (เพราะ x3 เปน็ ฟงั กช์ นั เพ่มิ เสมอ) → −3 − 2 −3 + 2 แต่ถา้ เปลี่ยนเป็นยกกําลงั เลขคู่ ขอ้ นจี้ ะผิด (22.4) ผดิ เชน่ ถ้า b = 0 จะได้ ab = bc จากเสน้ จาํ นวน ได้ −3 − 2 < x < −3 + 2 (23.1) จาก −7 < x < 5 → 0 < x2 < 49 และ 3 < y < 6 → −6 < −y < −3 ดงั นน้ั จาํ นวนเต็ม m=-3+1=-2 และ n=-3-1=-4 ∴m−n = 2 - + (28) ก. (2x − 5)(x + 4) < 0 + จะได้ −6 < x2 − y < 46 ดังน้ันตอบ (−6, 46) ผลบวกท่ตี อ้ งการคือ −4 5/2 (23.2) จาก 9 < y2 < 36 จะได้ |− 4|+|− 3|+|− 2|+|− 1|+|0|+|1|+|2| = 13 ถูก −252 < xy2 < 180 ดังน้นั ตอบ (−252, 180) ข. แยกตวั ประกอบไม่ออก อาจใช้สตู รหรอื จดั กาํ ลงั (24.1) xy อย่ใู นขอบเขตของ สองสมบูรณด์ งั น้ี x2 + 7 x − 10 < 0 → −12, −18, −4, −6 → ตอบ (−18, −4) 3 (24.2) x − y อย่ใู นขอบเขตของ (x2 + 7 x + 49)− 409 < 0 → (x + 7)2 − 409 < 0 3 36 36 6 36 −8, −9, −4, −5 → ตอบ (−9, −4) (24.3) x อยใู่ นขอบเขตของ −3, −2, −1, −2 / 3 → → −7 − 409 < x < −7 + 409 66 y ประมาณคา่ ไดเ้ ปน็ −27/6 < x < 13/6 ตอบ (−3, −2/3) คา่ สมบรู ณท์ ี่ตอ้ งการคอื (25) | −4 − 3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 | = 7 ถูก h h2 + x2 (29) 6x2 − 5x − 21 < 0 → (3x − 7)(2x + 3) < 0 x หาคา่ x ในเทอมของ h ก่อน +-+ 20 = 2x + 2 h2 + x2 → 10 − x = h2 + x2 −3/2 7/3 ∴ m = −1 + 0 + 1 + 2 = 2 → 100 − 20x + x2 = h2 + x2 → 6x2 − x − 2 > 0 → (3x − 2)(2x + 1) > 0 ∴ x = 100 − h2 = 5 − h2 +-+ 20 20 −1/2 2/3 จากโจทย์ 0 < h < 5 → 0 < h2 < 5 20 4 ∴ n = 0 ดังนน้ั m + n = 2 → 15 < 5 − h2 < 5 ...ดงั น้นั 15 < x < 5 (30) 2x2 + 4x − 5 > 0 → x2 + 2x − 5 > 0 2 4 20 4 → (x2 + 2x + 1)− 7 > 0 → (x + 1)2 − 7 > 0 → นั่นคอื ความยาวฐาน 2x อยู่ในชว่ ง [7.5, 10) ซม. 22 (26) A ; 6 < 3x < 15 → 2 < x < 5 (x + 1 − 3.5)(x + 1 + 3.5) > 0 + ∴ A = [2, 5) +- B ; 11 − x < 4x + 1 → 10 < 5x → x > 2 −1 − 3.5 −1 + 3.5 และ 4x + 1 < 2x + 7 → 2x < 6 → x < 3 เน่อื งจาก 3.5 ≈ 1.8 ดงั นน้ั a = 0, b = −2 ∴ B = (2, 3] ก. {0} ⊂ {0, −2} ถูก ข. {−2} ⊂ {0, −2} ถูก ดังนนั้ A ∩ B ' = A − B = {2} ∪(3, 5) จํานวนเต็มใน A ∩ B ' คือ 2 กบั 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 53 ระบบจาํ นวนจริง (31) (1)3 + a2(1) − a − 2 > 5 −x2 + 8x 1) > 0 → (x x2 − 8x 1) < 0 (x − 2)2(x + − 2)2(x + → a2 − a − 6 > 0 → (a − 3)(a + 2) > 0 x(x − 8) < +-+ − 2)2(x + -→ (x 1) 0 −2 3 + - +- + ดงั นนั้ a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) -1 0 2 2 8 (32.1) - + - + - + แตใ่ นโจทย์มี x + 1 -1 0 1 2 2 จงึ ตอ้ งเพม่ิ เงอ่ื นไขวา่ x + 1 > 0 → x > −1 ตอบ (−∞, −1) ∪ (0, 1) -+-+ และนอกจากน้นั 4 > 0 ดว้ ย → x > 2 (32.2) A + x −2 - + -2 1 - 1 3 + B รวมแล้วจงึ ตอบเพียง (2, 8] -4 -2 3 (36) A ; 2x − 5 > 0 (A '∩ B ') ' = A ∪ B = [−4, 1) ∪ (1, ∞) x+2 + - + หรอื ตอบในรปู [−4, ∞) − {1} กไ็ ด้ -2 5/2 (32.3) + - +- +- + B ; 2x − 1 − 1 < 0 → 2x − 1 − x − 5 < 0 -4 -1 0 2 5 5 x+5 + x +- 5 + → x−6 < 0 ผลบวกคา่ สมบรู ณ์ตามตอ้ งการคอื -5 6 x+5 ∴ B ∩ A ' = B − A คือ [−2, 5/2) | −3 | + | −2 | + | 0 | + | 1 | + | 5 | = 11 ผลบวกทต่ี อ้ งการคือ 2 + (−2) = 0 (33) (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0 + (37) x − 1 − 2 > 0 → x − 1 − 2x − 4 > 0 -+ - x+2 x+2 -2 1 2 → −x − 5 > 0 → x + 5 < 0 ตอบ [−2, 1] ∪ [2, ∞) x+2 x +2 (34) x3 + 2x2 − 5x − 6 < 0 +- + → (x − 2)(x + 1)(x + 3) < 0 −5 −2 A คือ -+-+ ดังนน้ั a = −2 → a2 + 1 = 5 B = (−5, ∞) -3 -1 2 (38.1) ได้ x ∈ (− 7, 7) ตอบ 7 ∴ A ∩ B คือ -5 -3 -1 (38.2) ไม่มขี อบเขตบน (38.3) ตอบ 8 2 (38.4) {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, ...} ไมม่ ขี อบเขตบน ดงั นน้ั ตอบ −4 − 3 − 1 + 0 + 1 + 2 = −5 (39) A = { 1 , 2 , 3 , ...} จะได้ a = 1 234 (35.1) หา้ มคณู ไขว้เพราะตวั สว่ นอาจตดิ ลบ แล้ว เคร่ืองหมายจะผดิ ควรทาํ ดงั นี้ 1 − 2 < 0 B = {−1, − 1 , − 1 , ...} จะได้ b = −1 x − 1 3x − 1 23 → 3x − 1− 2x + 2 < 0 → (x + 1) < 0 ดังนน้ั a + b = 1 − 1 = 0 (x − 1)(3x − 1) (x − 1)(3x − 1) (40) ยกกาํ ลงั สองได้เพราะเปน็ บวกทั้งสองขา้ ง -+ - + → 2x2 − 5x + 2 < 5 → 2x2 − 5x − 3 < 0 -1 1/3 1 +→ (2x + 1)(x − 3) < 0 - + ตอบ (−∞, −1) ∪ ( 1 , 1) -1/2 3 3 (35.2) การยกกาํ ลงั สองทัง้ สองข้าง ขอ้ นท้ี ําได้ เพราะขวามอื เปน็ บวกเสมอ และซ้ายมอื นน้ั โจทยบ์ อก แตอ่ ยา่ ลมื เชค็ เงอื่ นไขของรทู้ วา่ 2x2 − 5x + 2 > 0 วา่ มากกวา่ หรอื เท่ากบั ขวามอื จึงเปน็ บวกเสมอดว้ ย → (2x − 1)(x − 2) > 0 (แต่ถา้ โจทย์เป็นเครือ่ งหมาย < จะหา้ มยกกําลงั ) +-+ 16 > 4 1 → (x 4 − x 1 1 > 0 (x − 2)2 x+ − 2)2 + 1/2 2 + 4 − x2 + 4x − ดังนนั้ คาํ ตอบคือ (x − 2)2(x + 1) -1/2 1/2 2 3 → 4x 4 > 0 → ผลบวกที่ตอ้ งการคอื 3 + (− 1) = 5 22 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 54 ระบบจาํ นวนจริง (41.1) ผดิ n an = ⎧a , n = จาํ นวนคู่ (45) เซต A ; แบ่งชว่ งยอ่ ยดงั นี้ ⎨ , n = จาํ นวนคี่ ค. ⎩ a ก. ข. (41.2) ผิด เชน่ a = 0, b = −1 -2/3 0 จะได้ |a − b| = 1 , |a| −|b| = −1 ก. เมอื่ x < −2/3 จะได้ (42.1) −3 < 2x − 1 < 0.5 → −2 < 2x < 1.5 −2 − 3x = 2 − 3x → −2 = 2 → ∅ → −1 < x < 0.75 ข. เมอื่ −2/3 < x < 0 จะได้ ∴ −4 < 4x < 3 → −3.5 < 4x + 0.5 < 3.5 2 + 3x = 2 − 3x → 6x = 0 → x = 0 → ∅ → | 4x + 0.5 | < 3.5 ค. เมื่อ x > 0 จะได้ (42.2) 2 < x < 6 → 1 < 2 < 1 → 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [0, ∞) 3x ∴ A = [0, ∞) −1 < − 2 < − 1 → 5 < − 2 + 6 < 17 x3 x3 เซต B; แบง่ ช่วงย่อยดงั นี้ แสดงว่า x − 2 + 5 = 1 − 2 + 5 = − 2 + 6 อยู่ ก. ข. x xx -2/3 ในช่วง (5, 17) 3 ก. เมือ่ x < −2/3 จะได้ ∴ | x − 2 + 5 | < 17 −2 + 3x = 2 + 3x → −2 = 2 → ∅ x3 ข. เม่ือ x > −2/3 จะได้ (42.3) −6 < x + 5 < 6 → −11 < x < 1 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [−2/ 3, ∞) → 0 < x2 < 121 → −25 < x2 − 25 < 96 ∴ B = [−2/ 3, ∞) → ∴ | x2 − 25 | < 96 ดังนน้ั ตอบ B ∩ A ' = B − A = [− 2 , 0) 3 (43) −5 < x − 1 < 5 → −4 < x < 6 และ −4 < y − 2 < 4 → −2 < y < 6 (46) 8 x + 2 2 − 14 x + 2 + 3 = 0 ดงั นน้ั −6 < x + y < 12 → ∴ |x + y| ∈ [0, 12) → (2 x + 2 − 3)(4 x + 2 − 1) = 0 (44.1) |x|2 − 6|x| + 8 = 0 → → x + 2 = 3 หรอื 1 24 (|x | − 4)(|x | − 2) = 0 → |x | = 2 หรือ 4 → x ∈ {−2 + 3 , −2 − 3 , −2 + 1 , −2 − 1} ตอบ {2, −2, 4, −4} 2244 (44.2) ขอ้ นีแ้ บง่ ช่วงยอ่ ยดงั น้ี ค. ∴ ผลบวกคําตอบคอื −8 (47) ** เนอื่ งจากทง้ั สองขา้ งเปน็ บวกเสมอ จงึ ก. ข. สามารถยกกําลงั สองทัง้ สองขา้ งได้ A; ยกกาํ ลังสอง 2 ขา้ งแลว้ ยา้ ยมาลบกัน -1 1 ก. เม่ือ x < −1 จะได้ −x + 1− x − 1= 2 → −2x = 2 → x = − 1 → ∅ (x2 + 3x + 3)2 −(2x + 3)2 = 0 → (x2 + 3x + 3 − 2x − 3)(x2 + 3x + 3 + 2x + 3)= 0 → ข. เม่ือ −1 < x < 1 จะได้ −x + 1+ x + 1= 2 → 2 = 2 → [−1, 1) (x2 + x)(x2 + 5x + 6)= 0 → x(x + 1)(x + 2)(x + 3)= 0 ค. เม่ือ x > 1 จะได้ x − 1+ x + 1= 2 → 2x = 2 → x = 1 → {1} ∴ A = {0, −1, −2, −3} ∴ ตอบ [−1, 1] ค. ต่อมาคิด B; |5 − 3x| = |2x + 4| (44.3) ข้อน้ีแบง่ ชว่ งยอ่ ยดงั นี้ ยกกําลงั สอง 2 ข้างแลว้ ยา้ ยมาลบกนั เหมอื นเดิม ก. ข. (5 − 3x)2 −(2x + 4)2 = 0 → 3 4 (5 − 3x − 2x − 4)(5 − 3x + 2x + 4) = 0 → ก. เมือ่ x < 3 จะได้ (1− 5x)(9 − x)= 0 → ∴ B = {9} −x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ (โจทยบ์ อกใหเ้ ปน็ จาํ นวนเตม็ เทา่ นั้น) จะได้ A ∪ B = {0, −1, −2, −3, 9} → ข. เม่ือ 3 < x < 4 จะได้ −x + 4 + x − 3 = 1 → 1= 1 → [3, 4) a = 9, b = −3 → a2 + b2 = 90 ค. เมอื่ x > 4 จะได้ x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4} ∴ ตอบ [3, 4] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 55 ระบบจํานวนจริง (48) ถอดคา่ สัมบรู ณ์ได้ 2 กรณีคอื x < 0 กับ (49.4) แยกชว่ งยอ่ ย ก. เมอื่ x < 1 จะได้ x > 0 แตพ่ บว่า x < 0 ไม่ได้ เพราะขวามอื จะตดิ ลบ ... จงึ เหลอื แคก่ รณี x > 0 เทา่ นนั้ 3 <x→ 3 <x→ (โดยทจ่ี รงิ แล้ว x ≠ 0 เพราะ 00 ไม่นยิ าม) −x + 1 − 2 −x − 1 3 − x < 0 → 3 + x2 + x < 0 → −x − 1 −x − 1 1 x2 →( x)x2 = x3 = x3 x2 + x + 3 > 0 → x + 1 > 0 → x > −1 → x2 x+1 ก. มองเฉพาะเลขช้ีกําลัง 1 x2 = 3 → → (−1, 1) 2 x2 = 6 → x = 6 ข. เมอื่ x > 1 จะได้ ข. มองว่าฐานของเลขยกกาํ ลงั x = 1 ก็ได้ เพราะ 3 <x→ 3 −x<0→ 1 ยกกาํ ลังอะไรกไ็ ด้ 1 เท่ากนั x −1−2 x−3 ∴ ตอบ {1, 6} 3 − x2 + 3x 0 → x2 − 3x − 3 0→ (หมายเหตุ โจทย์ข้อน้ีควรจะใชเ้ รอื่ ง log ชว่ ยคดิ ) x−3 x−3 (49.1) แยกช่วงยอ่ ยเหมอื นขอ้ 44, 45 กไ็ ด้ ก. เม่อื x < 1/2 จะได้ (x − 3 + 21)(x − 3 − 21) (แยกดว้ ยสูตร) 2 2 >0 (x − 3) −2x + 1< 3x + 2 → −1< 5x → x > − 1/5 แลว้ เขยี นเสน้ จาํ นวน โดยคดิ วา่ 21 ≈ 4 กว่าๆ → (−1/5, 1/2) จะได้ [3 − 21 , 3) ∪ [3 + 21 , ∞) อนิ เตอร์เซคกับ 22 ข. เมอื่ x > 1/2 จะได้ เง่อื นไขช่วง ไดเ้ ป็น [1, 3) ∪ [3 + 21 , ∞) 2x − 1< 3x + 2 → −3 < x → x > − 3 → [1/2, ∞) 2 ∴ ตอบ (−1/5, ∞) ∴ ตอบ (−1, 3) ∪ [3 + 21 , ∞) (49.2) นอกค่าสัมบรู ณเ์ ปน็ ตวั เลข จงึ แกแ้ บบน้ีได้ 2 −6 < x − 2 < −3 หรอื 3 < x − 2 < 6 (49.5) แยกช่วงย่อย ก. เมอื่ x < 0 จะได้ −4 < x < −1 5<x<8 −x < 2 → −x − 2 < 0 → ∴ ตอบ (−4, −1) ∪ (5, 8) −x − 1 −x − 1 (49.3) จาก x + 1 > 0 แยกช่วงยอ่ ยคดิ −x + 2x + 2 0 → x + 2 0 |x| −x − 1 x+1 เขียนเสน้ จํานวนได้เปน็ (−∞, −2] ∪ (−1, ∞) ก. เมื่อ x < 0 จะได้ อนิ เตอรเ์ ซคกบั เงอ่ื นไขชว่ ง ได้ (−∞, −2] ∪ (−1, 0) x − 1 > 0 → x2 − 1 > 0 xx ข. เมอ่ื x > 0 จะได้ (x − 1)(x + 1) > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนได้เปน็ x <2 → x −2<0 → x x−1 x−1 (−1, 0) ∪ (1, ∞) นําไปอนิ เตอร์เซคเงือ่ นไขได้ (−1, 0) x − 2x + 2 0 → x − 2 0 x−1 x−1 ข. เม่อื x > 0 จะได้ เขียนเส้นจํานวนได้เปน็ (−∞, 1) ∪ [2, ∞) x + 1 > 0 → x2 + 1 > 0 อินเตอร์เซคกบั เงอ่ื นไขชว่ ง ได้ [0, 1) ∪ [2, ∞) xx ∴ ตอบ (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞) (ด้านบนแยกตวั ประกอบไม่ออก) เขียนเสน้ จาํ นวนได้ เป็น (0, ∞) นาํ ไปอนิ เตอร์เซคเง่อื นไขได้ (0, ∞) (50) A; แยกช่วงยอ่ ย ก. เม่ือ x < −2 จะได้ ฉะนั้น คาํ ตอบในส่วนนค้ี ือ (−1, 0) ∪ (0, ∞) −x − 2 + x − 4 < 0 → −x − 2 + 2x − 8 < 0 → ต่อมา จาก x2 − x − 2 < 0 → (x − 2)(x + 1)< 0 2 เขยี นเสน้ จาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ (−1, 2) x − 10 < 0 → x < 10 → (−∞, −2) สรปุ คาํ ตอบของขอ้ น้ี ข. เม่อื x > −2 จะได้ x ∈ (−1, 0) ∪ (0, ∞) และ x ∈ (−1, 2) x + 2 + x − 4 < 0 → x + 2 + 2x − 8 < 0 → 2 เชือ่ มดว้ ยคาํ วา่ “และ” แปลว่า อนิ เตอร์เซค 3x − 6 < 0 → x < 2 → [−2, 2] ได้คําตอบ x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 2) ดังนนั้ A = (−∞, 2] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 56 ระบบจาํ นวนจริง B; แยกชว่ งย่อย ก. เมอื่ x < 7 จะได้ (53.2) คดิ เชน่ เดยี วกับขอ้ ทแ่ี ล้ว คือ x < −x + 7 → 2x < 7 → x < 7 → (−∞, 7) นาํ −10 + 8 = −1 ลบออก 22 2 ข. เม่ือ x > 7 จะได้ จะได้ x + 1 < −9 หรอื x + 1 > 9 → | x + 1 | > 9 นนั่ คือ a = 1, b = 1, c = 9 x < x − 7 → 0 < −7 → ∅ (54.1) เนอ่ื งจากเป็นบวกทั้งสองขา้ ง ไมจ่ าํ เป็นตอ้ ง ดงั นน้ั B = (−∞, 7) ใชว้ ิธแี ยกชว่ งยอ่ ย แตส่ ามารถยกกาํ ลงั สองได้เลย 2 ดงั นี้ A ∩ B = (−∞, 2] ... ตอบ (A ∩ B) ' = (2, ∞) (3x + 2)2 < (4x + 1)2 → (3x + 2)2 − (4x + 1)2 < 0 (51) คดิ ทลี ะซีก คอื 2x < |4x + 5| และ |4x + 5| < 10 → (3x + 2 − 4x − 1)(3x + 2 + 4x + 1) < 0 → จาก 2x < |4x + 5| ใช้วิธีแยกช่วงย่อย (−x + 1)(7x + 3) < 0 → (x − 1)(7x + 3) > 0 ก. เมอ่ื x < −5/4 จะได้ เขียนเสน้ จาํ นวนไดค้ าํ ตอบเปน็ (−∞, − 3) ∪ (1, ∞) 2x < − 4x − 5 → 6x < − 5 → x < − 5/6 7 อินเตอรเ์ ซคกบั เงอื่ นไขชว่ งแลว้ ได้ (−∞, −5/4) (54.2) เนือ่ งจากตัวส่วนมคี า่ สัมบรู ณจ์ ึงเปน็ บวก ข. เม่ือ x > −5/4 จะได้ เสมอ สามารถคณู ย้ายไปไว้ทางขวาไดท้ นั ที และ จากนั้นยงั สามารถยกกําลังสองได้ (เหมอื นขอ้ ท่ีแลว้ ) 2x < 4x + 5 → −5 < 2x → x > − 5/2 (x − 2)2 < (2x + 2)2 → (x − 2)2 − (2x + 2)2 < 0 → อินเตอร์เซคกับเงอ่ื นไขชว่ งแลว้ ได้ [−5/4, ∞) (x − 2 − 2x − 2)(x − 2 + 2x + 2)< 0 → ดงั นน้ั ซกี แรกไดค้ าํ ตอบรวมกันเปน็ x ∈ R ตอ่ มา จาก |4x + 5| < 10 จะได้ (−x − 4)(3x) < 0 → 3(x + 4)(x) > 0 เขยี นเส้นจาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ (−∞, −4) ∪ (0, ∞) −10 < 4x + 5 < 10 → −15 < 4x < 5 (54.3) คดิ ทลี ะซกี คอื −15/ 4 < x < 5/4 |x − 7|< 5 และ |5x − 25| > 5 ดังนนั้ สองซีกอนิ เตอร์เซคไดเ้ ปน็ A = [− 15 , 5] ก. จาก |x − 7|< 5 จะได้ −5 < x − 7 < 5 44 นัน่ คอื 2 < x < 12 (51.1) ถกู เสมอ เพราะ A เปน็ ชว่ งตอ่ เนอื่ ง ข. จาก |5x − 25|> 5 จะได้ ( a + b ∈ A เสมอ) 5x − 25 > 5 หรอื 5x − 25 < −5 2 (51.2) 5 + (− 15) = − 10 ∈ A ถกู นัน่ คอื x > 6 หรอื x<4 44 4 นํา ก. อนิ เตอร์เซค ข. ไดค้ าํ ตอบ (2, 4) ∪ (6, 12) (52) A ; − 14 < x2 − 2 < 14 (54.4) แยกชว่ งยอ่ ยเปน็ 4 ช่วง −12 < x2 < 16 คอื 0 < x2 < 16 ก. เม่อื x < 1 จะได้ ∴ − 4 < x < 4 → A = (−4, 4) −x + 1 − x + 3 < −x + 5 → −1 < x → (−1, 1) B; 1 − 1 > 0 → 1 − x > 0 → x − 1 < 0 ข. เมือ่ 1 < x < 3 จะได้ x xx x − 1 − x + 3 < −x + 5 → x < 3 → [1, 3) เขยี นเสน้ จาํ นวนได้คาํ ตอบเปน็ B = (0, 1) ค. เม่อื 3 < x < 5 จะได้ ∴ A ∩ B ' = A − B = (−4, 0] ∪ [1, 4) x − 1 + x − 3 < −x + 5 → x < 3 → ∅ คาํ ตอบคอื มีจาํ นวนเต็มอยู่ 7 จาํ นวน (53.1) เทคนิคการคดิ คอื ง. เม่อื x > 5 จะได้ นาํ −4 + 1 = − 3 ลบออกทกุ สว่ นของอสมการ x − 1 + x − 3 < x − 5 → x < −1 → ∅ 22 ∴ รวมกนั ทกุ ช่วงยอ่ ยแลว้ ไดค้ าํ ตอบ (−1, 3) เพือ่ ให้ตวั เลขทางซา้ ยและทางขวาเปน็ เลขเดียวกนั (54.5) ถ้าแยกกรณจี ะยาก เรามองเหน็ วา่ ทางขวา จะได้ −4 + 3 < x + 3 < 1 + 3 → เปน็ ตวั เลข จึงควรคดิ แบบน้ี 2 22 − 5 < x + 3 < 5 → − 5 < 2x + 3 < 5 x2 − 5x − 4 > 1 หรอื x2 − 5x − 4 < −1 x2 + x − 2 x2 + x − 2 2 22 → | 2x + 3 |< 5 น่นั คอื a = 2, b = 3, c = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 57 ระบบจํานวนจรงิ ก. จาก x2 − 5x − 4 > 1 จะได้ (57) พจิ ารณาจากเลขหลักหนว่ ย คอื x2 + x − 2 93 ⋅ 82 → 9 ⋅ 4 → 6 ดังน้ัน เศษ = 1 x2 − 5x − 4 − x2 − x + 2 > 0 → หรือจะคดิ จากทฤษฎเี ศษก็ได้ คือ x2 + x − 2 เราพบว่า (4x − 1)3(58x − 2)2 หารดว้ ย x ย่อม (−6x − 2) > 0 → (3x + 1) < 0 เหลอื เศษเทา่ กับ (−1)3 ⋅ (−2)2 = −4 เสมอ (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) → ถ้าแทน x ดว้ ย 5 กจ็ ะไดว้ ่า (19)3(288)2 เขยี นเส้นจาํ นวนได้คาํ ตอบ (−∞, −2) ∪ [−1/3, 1) หารด้วย 5 เหลือเศษ −4 ด้วย ... และเศษ −4 ข. จาก x2 − 5x − 4 < −1 จะได้ สาํ หรบั ตวั หารเปน็ 5 กจ็ ะหมายถงึ เศษ 1 x2 + x − 2 (58) การเขยี นผลรวมเชงิ เสน้ ต้องหา ห.ร.ม. ด้วย วิธีของยคุ ลดิ กอ่ น ดงั น้ี x2 − 5x − 4 + x2 + x − 2 < 0 → 252=34(7)+14 .....(ก) 34=14(2)+6 .....(ข) x2 + x − 2 14=6(2)+2 .....(ค) 6=2(3) (ห.ร.ม. เทา่ กับ 2) 2(x − 3)(x + 1) < 0 จากนน้ั ย้ายข้างสมการ ก,ข,ค ใหอ้ ยใู่ นรปู เศษ=....... (x + 2)(x − 1) เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบ (−2, −1] ∪ (1, 3] ข้อ ก. และ ข. เชือ่ มดว้ ยคําวา่ “หรอื ” คอื ยเู นียน ดังน้ี (ก) 14=252+34(-7) (ข) 6=34+14(-2) (ค) 2=14+6(-2) แล้วแทน (ข) ใน (ค) จะได้ ดงั นน้ั คาํ ตอบคอื (−∞, −1] ∪ [−1/3, 3] − {−2, 1} 2 =14+(34+14(-2))(-2) =14(5)+34(-2) แทนด้วย (ก) ลงไปอกี จะได้ (55) มคี า่ สัมบูรณ์ซอ้ นกนั พจิ ารณาชน้ั ในสุดกอ่ น 2 =(252+34(-7))(5)+34(-2) =252(5)+34(-37) ก. เม่ือ x < 0 จะไดส้ มการโจทย์กลายเปน็ ดงั นนั้ ตอบวา่ 2 = 252(5) + 34(-37) (59) วธิ เี ดยี วกบั ข้อท่ีแล้ว หา ห.ร.ม.กอ่ น |− x − 3| < |x − 2| -504=-38(14)+28...(ก) จะได้ 28=-504+(-38)(-14) ยกกาํ ลงั สองทัง้ 2 ขา้ งแลว้ ยา้ ยมาลบกนั (− x − 3)2 < (x − 2)2 → (− x − 3)2 −(x − 2)2 < 0 → (− x − 3 − x + 2)(− x − 3 + x − 2) < 0 → -38=28(-2)+18....(ข) จะได้ 18=-38+28(2) (−2x − 1)(−5) < 0 → (2x + 1)(5) < 0 28=18(1)+10....(ค) จะได้ 10=28+18(-1) 18=10(1)+8....(ง) จะได้ 8=18+10(-1) ไดเ้ ป็น x < − 1/2 อินเตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไขไดช้ ่วงเดมิ ข. เมอื่ x > 0 จะไดส้ มการโจทย์กลายเปน็ 10=8(1)+2.... (จ) จะได้ 2=10+8(-1) |x − 3| < |x − 2| และ 8=2(4) (ห.ร.ม. คอื 2) จากน้นั แทน (ง) ใน (จ) ได้ 2=10+(18+10(-1))(-1) ยกกาํ ลงั สองท้งั 2 ขา้ งแลว้ ยา้ ยมาลบกนั (x − 3)2 < (x − 2)2 → (x − 3)2 −(x − 2)2 < 0 → =10(2)+18(-1) ... แทน (ค) ลงไป (x − 3 − x + 2)(x − 3 + x − 2) < 0 → 2 =(28+18(-1))(2)+18(-1) =28(2)+18(-3) ... (−1)(2x − 5) < 0 → (1)(2x − 5) > 0 แทน (ข) ลงไป 2 =28(2)+(-38+28(2))(-3) ได้เป็น x > 5/2 อินเตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไขไดช้ ่วงเดิม =28(-4)+(-38)(-3) ... สุดทา้ ยแทน (ก) ลงไป สรุปรวมขอ้ นคี้ าํ ตอบคอื (−∞, − 1/2) ∪ (5/2, ∞) 2 =(-504+(-38)(-14))(-4)+(-38)(-3) (56.1) ก. เมือ่ x < 0 จะได้ ตอบ 2 = (-504)(-4) + (-38)(53) (60) x ⋅ 128 = 16 ⋅ 384 → x = 48 (1 + x)(1 + x) > 0 → (x + 1)2 > 0 (61) ห.ร.ม. คือ 9 = 3 × 3 ซึ่งเปน็ จรงิ เสมอยกเวน้ ที่ x = −1 ค.ร.น. คือ 28,215 = 3 × 3 × 5 × 11 × 57 (จะเขียนเส้นจาํ นวนเพ่ือหาคําตอบกไ็ ด)้ ท้ัง x และ y ต้องหาร 9 ลงตวั ดงั น้ัน ดังนน้ั คาํ ตอบของชว่ งนค้ี ือ (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ข. เมอ่ื x > 0 จะได้ x = 3 × 3 × 5 × 11 = 495 (1 − x)(1 + x) > 0 → (x − 1)(x + 1) < 0 y = 3 × 3 × 57 = 513 เขียนเสน้ จํานวนได้คาํ ตอบเปน็ (−1, 1) (62) จํานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ แสดงวา่ ห.ร.ม. = 1 และนาํ ไปรวมกับเงื่อนไขชว่ ง ไดเ้ ป็น [0, 1) ∴ x y = 1 ⋅ 15,015 = 3 × 5 × 7 × 11 × 13 สรปุ รวมขอ้ นตี้ อบว่า (−∞, −1) ∪ (−1, 1) x มีตวั ประกอบ 2 ตวั และ 80 < x < 200 ดงั นนั้ x = 13 × 7 หรอื x = 13 × 11 เทา่ น้นั (56.2) คิดวธิ เี ดยี วกันกับขอ้ ทแี่ ลว้ กไ็ ด้ หรอื จะใช้ กจ็ ะได้ y = 3 × 5 × 11 = 165 หรือ คาํ ตอบเดิมมาคดิ ก็จะร้วู ่า คาํ ตอบคอื (1, ∞) (จดุ x = −1 และ 1 เราไม่นํามาตอบ y = 3 × 5 × 7 = 105 เพราะเปน็ จุดทท่ี าํ ให้ (1 − |x|)(1 + x) เปน็ ศูนย)์ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 58 ระบบจํานวนจรงิ eÃèo× §æ¶Á (1) 5 14 . 00 00 ถ้าไม่มเี ครอ่ื งคํานวณ จะหาคา่ รากท่สี องไดอ้ ยา่ งไร.. (1) สมมติวา่ จะถอดรากทส่ี องของ 514 (2) 2 เริม่ ต้น ใหแ้ บ่งตวั เลขในจาํ นวน 514 ออกเปน็ กลมุ่ ๆ ทีละ 2 ตัว โดยวดั จาก 2 5 14 . 00 00 จดุ ทศนิยมมาทางซ้าย ได้แก่ 14 และ 5 (หลกั หนว่ ยอยู่กับสิบ หลกั ร้อยอย่กู ับพนั หลกั หมน่ื อย่กู ับแสน ไปเรื่อยๆ) และวดั ทศนยิ มไปทางขวากลมุ่ ละ 2 ตัวเช่นกัน (3) (โจทยข์ ้อนไ้ี มม่ ีทศนยิ มจงึ ใส่ 00 และ 00 ไปเร่อื ยๆ) 2 (2) หาจํานวนนับที่คณู ตวั เองแล้วได้ใกลเ้ คียงกลมุ่ แรก (คือ 5) ท่สี ดุ 2 (4) 5 14 . 00 00 (แตไ่ ม่เกิน 5) นัน่ คือ 2 คณู 2 ... ก็ใส่ 2 ไว้ทีช่ ่องตัวหาร กับช่องผลลพั ธ์ 4 2 1 (3) จาก 2 คูณ 2 ได้ 4 ... ใสผ่ ลคูณคือ 4 ไวใ้ ตเ้ ลข 5 แล้วนาํ มาลบกัน เหลอื 1 4 2 (4) นาํ ผลลัพธท์ ่ไี ด้ในขณะนี้ (บรรทัดบนสุด) คอื 2 มาคณู สองกลายเป็น 4 5 14 . 00 00 4 ใส่ไวท้ ช่ี อ่ งตวั หารดา้ นหน้า ... แลว้ ดึงเลขกลมุ่ ถดั ไปลงมา (คอื 14) กลายเปน็ 114 1 14 (5) ตอ่ มาใหห้ าคา่ x ซึง่ ทําให้ 4x คูณ x ได้ใกลเ้ คียง 114 ท่ีสุด (แต่ไมเ่ กนิ 114) (5) 2 2 . ... เชน่ 41 คูณ 1 ได้ 41, 42 คณู 2 ได้ 84, 43 คูณ 3 ได้ 129 (เกิน) 2 5 14 . 00 00 ดงั นนั้ ตอ้ งใช้ 42 คูณ 2 ... ใส่ 2 ไว้ทีต่ วั หาร (ตอ่ ท้าย 4) และใส่ 2 ไวช้ อ่ ง 4 ผลลัพธด์ ้วย จากนน้ั 42 คูณ 2 ได้ 84 เอาไปตั้งลบออกจาก 114 (เหลอื 30) 42 1 14 (6) ทาํ เชน่ เดียวกบั ข้อ (4) และ (5) ไปเรอ่ื ยๆ 84 30 คือ เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (22) มาคณู สองกลายเป็น 44 ใส่ไว้ชอ่ งตัวหาร และดึงกลุม่ ถดั ไป (คือ 00) ลงมาตอ่ ท้าย 30 กลายเป็น 3000 (6) 2 2. (7) หาคา่ x ซง่ึ ทําให้ 44x คูณ x ได้ใกล้เคยี ง 3000 ที่สดุ 2 5 14 . 00 00 42 4 (แต่ไมเ่ กิน 3000) ... พบว่า ตอ้ งใช้ 446 คณู 6 44 ใส่ 6 ไวท้ ่ีตัวหาร (ตอ่ ท้าย 44) และใส่ 6 ไว้ช่องผลลพั ธ์ 1 14 จากนั้น 446 คณู 6 ได้ 2676 เอาไปตง้ั ลบออกจาก 3000 (เหลือ 324) 84 30 00 (7) 2 2 . 6 (8) เอาผลลพั ธใ์ นขณะนี้ (226) มาคณู สองเป็น 452 ใสไ่ ว้ชอ่ งตัวหาร 2 5 14 . 00 00 42 4 และดึงกลมุ่ ถดั ไป (คือ 00) ลงมาตอ่ ท้าย 324 กลายเป็น 32400 446 หาค่า x ซึ่งทําให้ 452x คูณ x ได้ใกลเ้ คยี ง 32400 ท่ีสดุ (แต่ไมเ่ กนิ 32400) ... 1 14 พบว่า ตอ้ งใช้ 4527 คณู 7 ... ใส่ 7 ไวท้ ่ีตัวหาร (ต่อท้าย 452) และใส่ 7 ไว้ 84 ชอ่ งผลลพั ธ์ จากนั้น 4527 คณู 7 ได้ 31689 เอาไปตั้งลบออกจาก 32400 ... ทาํ ไปเร่อื ยๆ จนกวา่ จะได้คําตอบท่มี ีจาํ นวนทศนิยมเท่าทีต่ อ้ งการ 30 00 26 76 3 24 สรุปว่า รากที่สองของ 514 มีค่าประมาณ 22.67... (8) 2 2 . 6 7 ข้อสงั เกต จาํ นวนหลกั ของคําตอบ จะเทา่ กบั จาํ นวนกลุ่มทีแ่ บ่งในโจทย์ 2 5 14 . 00 00 เชน่ 514 แบง่ ได้ 2 กลุ่ม คอื 5,14 ดงั นน้ั คาํ ตอบจะมี 2 หลัก (ไม่รวมทศนยิ ม) 4 หรือถา้ เปน็ 903601 แบง่ ได้ 3 กลุม่ คือ 90,36,01 คําตอบกจ็ ะมี 3 หลัก... 42 1 14 อา่ นแล้วทดลองถอดรากท่ีสองเองดสู คิ รบั 84 อยา่ งเช่น หารากท่ีสองของ 225, รากที่สองของ 3000, รากท่สี องของ 214.7 ตรวจสอบคําตอบกบั เครอ่ื งคํานวณ ถ้าตรงกนั แสดงว่าร้หู ลักในการคดิ แลว้ :] 446 30 00 26 76 4527 3 24 00 3 16 89 .... .... Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 59 ตรรกศาสตร ~l∧g→c º··èÕ 3 µÃáÈÒʵÏ ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาเก่ยี วกับการใช้ เหตุผลเพื่อวเิ คราะห์ค่าความจริง (จรงิ หรอื เทจ็ ) ของ ประโยคต่างๆ ความเขา้ ใจในตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้ จะ ชว่ ยใหศ้ ึกษาวชิ าคณติ ศาสตรไ์ ด้อยา่ งมีเหตผุ ล ประโยคทุกประโยคท่มี ี ค่าความจรงิ (Truth Value) เปน็ จริงหรือเป็นเทจ็ อยา่ งใดอยา่ งหน่งึ เราจะเรยี กว่า ประพจน์ (Proposition หรือ Statement) ดงั นน้ั ประพจนอ์ าจเป็นประโยคบอกเล่า, ประโยคปฏิเสธ เช่น “เมื่อวานฝนตกท่ีบางกะปิ”, “1 มากกวา่ 2”, “เก่งไม่ใช่คนร้าย” เหลา่ นี้ถือเป็น ประพจน์ เพราะสามารถใหค้ ่าความจรงิ กาํ กบั ว่าเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ ได้ แตป่ ระโยคคาํ ถาม ประโยคคาํ สัง่ ขอรอ้ ง ประโยคแสดงความปรารถนา ประโยคอทุ าน เหล่าน้ีไม่ใชป่ ระพจนเ์ พราะไม่สามารถให้คา่ ความจรงิ ได้ เชน่ “กรุณางดใชเ้ สียง”, “ใครเปน็ คนทาํ แกว้ แตก”, “อยากไปเท่ียวหัวหินจังเลย” หรือ “โอโ้ ห วิเศษไปเลยจอรจ์ ” S ¨u´·¼èÕ i´ºo‹ Â! S »Ãao¤·è´Õ ÙeËÁ×o¹e»¹š »Ãa¾¨¹ ºÒ§¤Ãa駡çäÁe‹ »¹š »Ãa¾¨¹ ... eª‹¹ 1. “ÊÁÈÃÊÕ Ç·ÊèÕ ´u 㹫o” eÃ×oè §¤ÇÒÁÊǹéa¹e»š¹eª§i ¨µi ÇiÊa äÁ‹ÊÒÁÒö¿˜¹¸§ä´ŒÇҋ ¨Ãi§ËÃ×oe·¨ç ¨§Ö äÁ‹e»¹š »Ãa¾¨¹! 2. “e¢Ò¡Òí Åa§¡¹i ¢ÒŒ ǔ o¹a ¹é¡Õ äç Áe‹ »š¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒaäÁ‹ä´Œe¨Òa¨§Ç‹Ò “e¢Ò” ËÁÒ¶§Ö ã¤Ã ´§a ¹¹éa oÒ¨¨a¨Ã§i ËÃ×oe·¨ç ¡ç䴌 äÁ‹æ¹ª‹ ´a (eÃÕ¡»Ãao¤·µèÕ i´µaÇæ»Ã溺¹éÇÕ Ò‹ »Ãao¤e»´ ¨aä´ÈŒ ¡Ö ÉÒã¹ËÇa ¢oŒ 3.4 ¤Ãaº..) สัญลักษณ์ทใ่ี ช้แทนประพจน์ต่างๆ เปน็ ตวั อกั ษรเล็ก เช่น p, q, r โดยแตล่ ะประพจนจ์ ะมคี ่า ความจริงท่ีเป็นไปได้ 2 แบบเทา่ นั้น คอื เปน็ จริง (True; T) หรอื เปน็ เทจ็ (False; F) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 60 ตรรกศาสตร 3.1 ตวั เช่ือมประพจน์ และตารางคา่ ความจริง ในชีวิตประจําวันรวมทัง้ ในวิชาคณิตศาสตร์ เรามักพบการเชื่อมประโยค (ประพจน์) ดว้ ย ตวั เชอ่ื ม (Connectives)... และ (and), หรือ (or), ถา้ -แล้ว (if-then), กต็ ่อเมอื่ (if and only if) และยังพบการเตมิ คําวา่ ไม่ (not) ด้วย... ซง่ึ การเชอื่ มแตล่ ะแบบ สง่ ผลตอ่ ค่าความจริงดังตาราง เครือ่ งหมาย ~ เรยี กว่า นิเสธ (Negation) ใช้เพอ่ื กลบั ค่าความจรงิ ให้เป็นตรงข้าม pq p และ q p หรอื q ถ้า p แล้ว q p กต็ อ่ เมอื่ q ไม่ p (p ∧ q) (p∨ q) (p → q ) (p ↔ q) (~p ) TT TF T T T T F FT T F F F FF F T F T F F T T T F T การเชอ่ื มด้วย และ มกี รณีเดียวทเี่ ป็นจริง คอื T ∧ T การเช่อื มด้วย หรอื มกี รณีเดียวที่เป็นเท็จ คอื F ∨ F การเชือ่ มด้วย ถา้ -แล้ว มีกรณีเดยี วท่ีเปน็ เท็จ คอื T → F สว่ นการเชื่อมด้วย กต็ อ่ เม่ือ ถ้าค่าความจรงิ เหมือนกนั จะใหผ้ ลเป็นจริง ตา่ งกันจะให้ผลเปน็ เท็จ ข้อสังเกต ตวั เชอ่ื มทัง้ สี่น้ี มเี พียง ถา้ -แล้ว ทีไ่ ม่สามารถสลบั ท่ีประพจนไ์ ด้ ตารางท่แี สดงค่าที่เปน็ ไปไดค้ รบทุกแบบดงั นี้ เรยี กวา่ ตารางค่าความจริง (Truth Table) จาํ นวนแบบที่เกดิ ขน้ึ เทา่ กบั 2n เมือ่ n คือจาํ นวนประพจน์ ... เชน่ ถา้ มี 1 ประพจน์จะเปน็ ไปได้ 2 แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ (ดังตารางน)ี้ , ถา้ มี 3 ประพจนจ์ ะเป็นไปได้ 8 แบบ รูปแบบประพจน์ 2 รปู แบบใดๆ ท่ีใหค้ า่ ความจรงิ ตรงกนั ทกุ ๆ กรณี จะกลา่ วว่ารปู แบบทัง้ สอง สมมลู กัน (Equivalent) (แปลวา่ สามารถใชแ้ ทนกันได้) สญั ลักษณท์ ่ใี ช้แสดงการสมมลู กัน คือ ≡ (ขีดสามขีด) รูปแบบประพจนท์ ีส่ มมูลกัน ทีค่ วรทราบได้แก่ • การแจกแจง • การเตมิ นิเสธ p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q ~ (p → q) ≡ p ∧ ~ q • การเปลี่ยนตวั เชือ่ ม p→q ≡ ~p∨ q ≡ ~q→~p ~ (p ↔ q) ≡ ~ p ↔ q ≡ p ↔ ~ q p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) สง่ิ ทค่ี วรทราบ ตัวเชื่อม และ มีสมบัติคล้ายอนิ เตอรเ์ ซคชนั ของเซต ตวั เช่ือม หรือ มีสมบตั คิ ล้ายยเู นียนของเซต และ นิเสธ มีสมบัติคลา้ ยคอมพลเี มนตข์ องเซต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 61 ตรรกศาสตร แบบฝึกหดั 3.1 (1) ให้เติมคา่ ความจริงหรอื ประพจน์ทเ่ี หมาะสม ลงในช่องว่าง เมื่อ p เปน็ ประพจนใ์ ดๆ T∧p ≡ T∨p ≡ T→p ≡ T↔p ≡ F∧p ≡ F∨p ≡ F→p ≡ F↔p ≡ p∧p ≡ p∨p ≡ p→T ≡ p↔p ≡ p∧~p ≡ p∨~p ≡ p→F ≡ p↔~p ≡ p→p ≡ p→~p ≡ (2) กาํ หนดให้ p, r เป็นจรงิ และ q เป็นเท็จ จงหาคา่ ความจรงิ ของ (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [(q ↔ s) ∧ r] (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → (p ∧ ~ q) (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ ~(~ r) (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ (~ q → r)] (2.8) [(p ∧ q) ∧ ~ r] ∧ [(r ∨ ~ s) ∧ (~ p ∨ ~ q)] (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [(q → p) ∨ r] (2.10) [q → (p ∨ r)] → [p → (q ∧ ~ r)] (2.11) [(~ p → ~ q) ∧ (~ r → ~ s)] ∨ [(~ p → r) ∧ (s → ~ q)] (3) จงหาคา่ ความจริงของรปู แบบประพจน์ต่อไปนี้ (3.1) (p ∨ ~ q) → (p → q) เมอื่ q เปน็ จรงิ (3.2) (p ∨ ~ q) → (p → q) เมอ่ื p เป็นเทจ็ (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (~(r ∨ s) ∧ (r ∨ ~ q)) เม่ือ p, q เป็นจริง และ r, s เป็นเทจ็ (3.4) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) เมือ่ p, r, r → q เปน็ จริง (3.5) (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) เมือ่ p → q เป็นเทจ็ , q ∨ r เปน็ จรงิ (3.6) n → [(m ∨ q) → ~ s] เม่อื q → n เปน็ เทจ็ (3.7) (p ∨ r) ∧ q เม่อื p → q เปน็ เท็จ, q ∨ r เป็นจริง (3.8) (q ∨ p) → (r ∧ s) เมื่อ (p → q) ∧ (r ∨ s) เปน็ จริง, q ∨ s เปน็ เท็จ (3.9) [Ent’25] r → s เมือ่ (p ∨ r) →(q ∨ s) เปน็ เทจ็ , p → q เปน็ จริง (3.10) (p ∨ r) → ~ q เม่ือ (p ∧ ~ r) → (p → q) เปน็ เท็จ (3.11) p, q, r เมอื่ (p ∧ q) → (p → r) เปน็ เท็จ (3.12) r เมือ่ p ∧ (p ↔ ~ r) ∧ (q → r) เปน็ จรงิ (3.13) ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) (3.14) ⎣⎡[p ∨ ~(r ∧ s)] ∧ ~ p⎦⎤ → (~ r ∨ ~ s) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 62 ตรรกศาสตร (4) กําหนดให้ [(p → q) ∧ (p ∨ r)] →(s → r) เป็นเท็จ ขอ้ ใดถูกหรือผิดบ้าง ก. [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) เปน็ เท็จ ข. [(~ p ∧ q) → (~ q ∧ r)] → (~ r ∧ s) เปน็ จริง (5) ถา้ [(p ↔ q)→(r ∨ ~ s)] มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ จงพจิ ารณาว่ารูปแบบประพจนใ์ นข้อใดมคี า่ ความจริงเหมือนกบั [(~ p ∧ r) →(q ∨ ~ s)] บา้ ง ก. ~(p ∧ s) → ~ r ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ค. (s → r) ∨ (p → q) (6) ถา้ p สมมูลกบั q และ r ไม่สมมลู กบั s พิจารณาขอ้ ความใดถกู หรือผิดบา้ ง ก. [(p ↔ ~ q) ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [(~ p ∧ q) ∨ (~ r ∨ ~ s)] เปน็ เทจ็ ข. [(p ∨ r) ∧ (q ∨ s)] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] เปน็ จริง (7) จงหานิเสธของ ข. (p ∧ ~ q) → ~ r ก. (p → ~ q) ∧ (~ r → s) (8) กาํ หนดประพจน์ “ถ้าเดชาขยนั และทาํ การบ้านสมาํ่ เสมอแลว้ เขาจะสอบผ่าน” เปน็ เท็จ แล้วขอ้ ใด เปน็ จริง ก. เดชาขยนั แตไ่ มท่ าํ การบา้ นสมาํ่ เสมอ ข. เดชาไมข่ ยันแตท่ าํ การบ้านสมํ่าเสมอ ค. ถา้ เดชาสอบไมผ่ า่ นแสดงวา่ เขาไมท่ าํ การบ้านสมาํ่ เสมอ ง. เดชาขยันก็ตอ่ เมอ่ื เขาสอบไม่ผ่าน (9) ขอ้ ใดไม่สมมลู กนั ข. ~(p ∧ ~ q) กับ ~ q → ~ p ก. p ∨ q กับ ~(~ p ∧ ~ q) ง. ~ p ↔ q กับ (~ p → q) ∧ (q → ~ p) ค. ~ p → (q → p) กับ ~ q → p (10) รูปแบบประพจน์ต่อไปน้ีสมมลู กบั ข้อใด (10.1) p ↔ q ก. (p → q) ∧ (q ∧ ~ p) ข. (~ q → ~ p) ∧ (~ q ∨ p) ค. (p ∧ ~ q) ∧ (q → p) ง. (p ∧ ~ q) ∧ (~ p → ~ q) (10.2) ⎣⎡[((q ∧ ~ t) ∧ p) ∨ ((q ∧ ~ t) ∧ ~ p)] ∨ ~ q⎦⎤ → r ก. q ∧ ~ t ∧ p ข. (t ∧ q) ∨ p ค. t ∧ q ∧ r ง. (t ∧ q) ∨ r จ. (t ∧ r) ∨ p (10.3) [(q ∨ r) ∧ (p ∧ s) ∧ (q ∨ ~ r)] ∨ [(q ∨ ~ r) ∧ (p ∧ ~ s) ∧ (q ∨ r)] ก. p ∧ q ข. p ∨ q ค. p → q ง. p ↔ q (11) ขอ้ ความใดสมมูลกับ “ถ้า a < 0 และ b < 0 แล้ว ab > 0 ” ก. ถา้ a > 0 หรือ b > 0 แลว้ ab < 0 ข. ถ้า a > 0 และ b > 0 แลว้ ab > 0 ค. ถ้า ab < 0 แล้ว a > 0 หรือ b > 0 ง. ถา้ ab > 0 แล้ว a < 0 และ b < 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 63 ตรรกศาสตร (12) ขอ้ ความในขอ้ ใดสมมูลกันบ้าง ก. ถ้า a เปน็ จาํ นวนเต็ม แล้ว a เป็นจาํ นวนคู่ หรือ a เปน็ จํานวนคี่ ข. ถา้ a ไมเ่ ป็นจาํ นวนคู่ และ a ไมเ่ ปน็ จาํ นวนค่ี แลว้ a ไม่เปน็ จํานวนเต็ม ค. a ไมเ่ ปน็ จํานวนเต็ม หรอื a เป็นจาํ นวนคู่ หรือ a เปน็ จํานวนค่ี (13) ขอ้ ใดถูกหรอื ผดิ บา้ ง ก. ~(p ∧ ~ r) ∨ ~ q สมมลู กบั q → (r ∨ ~ p) ข. p → (q → r) สมมูลกับ q → (p → r) ค. (p ∧ q) → r สมมูลกับ (p → ~ q) ∨ (p → r) (14) กําหนดคา่ ความจริงของตวั เชื่อม ∗ ดังตาราง p q p∗q (14.1) (p ∗ p) ∗ (q ∗ q) สมมูลกบั ขอ้ ใด TT F TF F ก. p ∧ q ข. p ∨ q FT F FF T ค. p → q ง. p ↔ q (14.2) [Ent’34] p ∗ q สมมูลกบั ขอ้ ใด ก. ~(~ p → q) ข. ~ p → q ค. ~(q → ~ p) ง. q → ~ p (15) กาํ หนดให้ p ∗ q ≡ ~(p ∨ q) ถามว่าอตั ราส่วนจาํ นวนกรณที ี่ p ∗ (q ∗ r) เปน็ จรงิ ตอ่ จํานวน กรณที เ่ี ปน็ เทจ็ เปน็ เท่าใด 3.2 สัจนิรันดร์ หากรปู แบบของประพจนใ์ ดให้ค่าความจริงเปน็ จรงิ เสมอทุกๆ กรณี (สรา้ งตารางค่าความจรงิ แลว้ พบวา่ เป็นจริงทกุ แบบ) เราเรยี กรูปแบบน้นั วา่ เปน็ สัจนิรนั ดร์ (Tautology) • ตัวอยา ง ประพจนน ีเ้ ปนสัจนริ นั ดรห รือไม ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) วธิ ีคิด เขียนตารางแสดงคา ความจรงิ ของ p กับ r ใหครบทุกกรณีที่เปน ไปได (4 กรณี) p r r ∨ p p → r (r ∨ p) → (p → r) p r r ∨ ~ p p → r (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) TT T T T TT T T T TF T F F TF F F T FT T T T FT T T T FF F T T FF T T T เราพบวา ขอ ก. เกิดกรณีที่เปนเทจ็ ไดด ว ย จึงไมเ ปนสัจนิรันดร แตข อ ข. ผลเปน จรงิ ทกุ กรณี จงึ เปนสัจนิรนั ดร การตรวจสอบรูปแบบประพจน์วา่ เป็นสัจนิรนั ดร์หรอื ไม่ นอกจากจะใชว้ ธิ ีเขยี นตารางคา่ ความ จรงิ ให้ครบทกุ กรณแี ล้ว โดยทวั่ ไปนิยมใช้ “วิธพี ยายามทาํ ใหเ้ ป็นเท็จ” คือถ้าหากรณีทท่ี าํ ให้รปู แบบนั้น เปน็ เทจ็ ไมไ่ ด้เลย รูปแบบน้นั ก็จะเป็นสัจนริ ันดร์ แต่ถ้าทาํ เปน็ เทจ็ ได้แม้เพยี งกรณเี ดยี ว รปู แบบน้นั ยอ่ มไม่ใช่สจั นิรันดร์ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 64 ตรรกศาสตร โดยเฉพาะเม่ือมปี ระพจน์ย่อยมากๆ (เชน่ p, q, r, s, ...) การเขียนตารางให้ครบทกุ กรณี จะทําได้ไมส่ ะดวก ควรใช้วธิ พี ยายามทาํ ใหเ้ ปน็ เทจ็ • ตัวอยา ง ประพจนนีเ้ ปนสจั นิรนั ดรห รือไม ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) (r ∨ p) → (p → r) วิธีคิด ก. ใชว ธิ ีพยายามทาํ ใหเ ปน เทจ็ T F FT T F ตัวเชือ่ มหลกั คือ “ถา -แลว ” จะเปนเท็จได แสดงวา วงเล็บหนา ตอ งเปน จรงิ และวงเล็บหลงั ตองเปน เท็จ เทา นน้ั ... วงเลบ็ หลังเปน เท็จแสดงวา p ตองเปน จรงิ และ r ตอ งเปนเทจ็ ... นําคาความจรงิ ของ p และ r ไปใสใ นวงเล็บหนา ไดคาเปน จริงตามที่ตองการพอดี ... แสดงวาตอนนี้เราทําใหผลเปนเทจ็ ได สาํ เร็จ (คือเปน เท็จเมื่อ p เปนจริง, r เปนเทจ็ ) ขอนี้จึงไมเปนสจั นริ นั ดร ข. ตวั เชือ่ มหลักคือ “กต็ อเมือ่ ” จะเปน เทจ็ ได 2 แบบ คือ T ↔ F กับ F ↔ T ... การคดิ ดวยวธิ ีนี้ คอนขางยงุ ยาก เราควรเลีย่ งไปใชว ธิ ีในตวั อยา งถดั ไป คือดูความสมมลู ระหวางกอนหนา และหลงั ... หากตัวเชอื่ มหลักเป็น “หรอื ”, “ถา้ -แล้ว” สามารถตรวจสอบการเปน็ สจั นิรนั ดร์ได้โดย พยายามทําให้เป็นเทจ็ ดังกลา่ วไปแล้ว แต่หากตัวเชอ่ื มหลักเปน็ “กต็ ่อเมือ่ ” ควรตรวจสอบการเปน็ สัจนริ นั ดรโ์ ดยหลักการต่อไปน้ี “, ↔ + เปน็ สจั นริ ันดร์ เม่ือ , ≡ + เท่านน้ั ” (และถ้า , ≡ + ก็จะไดว้ า่ , ↔ + ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์) • ตัวอยา ง ประพจนนีเ้ ปนสจั นิรนั ดรหรือไม (r ∨ ~ p) ↔(p → r) วธิ ีคดิ เนื่องจากตวั เชือ่ มหลักเปน “กต็ อเมือ่ ” จงึ ตรวจสอบวาซายกับขวาสมมลู กนั หรือไม พบวา วงเล็บขวาคือ p → r ≡ ~ p ∨ r ≡ วงเลบ็ ซาย ... ดงั นนั้ เปน สัจนิรันดร แบบฝึกหัด 3.2 (16) ประพจน์ตอ่ ไปนี้เปน็ สจั นิรนั ดร์หรอื ไม่ (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] (16.3) [Ent’29] [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) (16.7) [Ent’29] ⎡⎣[(p ∧ q) → r] ∧ (p → q)⎤⎦ → (p → r) (17) ประพจน์ต่อไปนเี้ ป็นสัจนิรันดรห์ รอื ไม่ (17.1) [Ent’23] ~(p → ~ q) ↔ (p ∧ q) (17.2) [(~ p ∧ q) ∨ p] ↔ (p ∧ q) (17.3) [(p ∨ q) ∧ ~ p] ↔ (~ p ∧ q) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 65 ตรรกศาสตร (17.4) (p ↔ q) ↔ [(q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ ~ q)] (17.5) [(p ∧ q) → (p ∨ q)] ↔ [(~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q)] (17.6) [p → (q ∧ r)] ↔ [(p → q) ∧ (p → r)] (17.7) [Ent’29] [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → r] (17.8) [Ent’29] [p ↔ (q ↔ r)] ↔ [(p ↔ q) ↔ r] (18) ประพจนต์ อ่ ไปน้เี ปน็ สจั นริ นั ดร์หรอื ไม่ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) (19) ประพจน์ต่อไปน้เี ป็นสัจนริ นั ดรห์ รือไม่ (19.1) นิเสธของ (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) (19.2) นิเสธของ [p ∧ (q ∨ ~ q)] ↔ [~ p ∨ (q ∧ ~ q)] (19.3) นิเสธของ ~(p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) (20) เมื่อ p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ ถามว่าประพจนใ์ นข้อใดเปน็ จริงบ้าง ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) ง. ((p → r) ∧ (q → r)) ↔ ((p ∧ q) → r) จ. ((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∧ r)) (21) ตัวเช่อื มในกรอบส่ีเหล่ยี ม ท่ที าํ ให้ [(p → ~ q) ∧ (p → ~ r)] [p → ~(q ∨ r)] เปน็ สจั นริ นั ดร์ คืออะไร 3.3 การอา้ งเหตผุ ล การอ้างเหตุผล คอื การกลา่ ววา่ ถา้ มีเหตเุ ปน็ ข้อความ p1, p2, p3, ..., pn ชดุ หน่ึง แล้ว สามารถสรปุ ผลเป็นข้อความ q อันหน่ึงได้ การอ้างเหตผุ ลมที ั้งแบบท่ี สมเหตุสมผล (valid) และ ไม่ สมเหตสุ มผล (invalid) ซง่ึ เราสามารถตรวจสอบความสมเหตุสมผลไดโ้ ดยหลายวธิ ี คือ 1. ตรวจสอบสัจนิรนั ดร์ การอา้ งเหตผุ ลจะสมเหตุสมผล กเ็ มอ่ื (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เปน็ สัจนิรนั ดร์ หรอื กลา่ วว่า จะไม่สมเหตสุ มผลเพยี งกรณีเดยี วเทา่ นนั้ คอื เมื่อ “เหตเุ ปน็ จรงิ ทกุ ขอ้ แตผ่ ลเป็นเท็จ” 2. เทยี บกับรูปแบบทีพ่ บบ่อย การอา้ งเหตุผลทุกรปู แบบต่อไปนี้ สมเหตุสมผล (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q (3) เหตุ p → q (4) เหตุ p → q p ~q q→r r→s p∨r ผล q ผล ~ p ผล p → r ผล q ∨ s ขอ้ นี้เป็นรปู แบบมาตรฐาน เพราะ p → q ≡ ~ q → ~ p Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 66 ตรรกศาสตร (5) เหตุ p ∧ q (6) เหตุ p S ¨u´·¼èÕ ´i º‹oÂ! S ผล p ∨ q ผล p ¶ŒÒµÃǨÊoº¡ÒÃoŒÒ§e˵¼u Ŵnj ÂǸi Õ·èÊÕ o§ ¤×oe·Õº¡ºa สามารถเติมประพจน์ใดๆ ได้ Ãٻ溺 æÅa¾ºÇ‹Ò¼Å·äèÕ ´ŒÁÒ¨Ò¡Ãٻ溺eËÅҋ ¹éÕäÁµ‹ ç¡aº·èÕ เชอ่ื มด้วย “และ” แตต่ อ้ งเชอ่ื มด้วย“หรอื ” ãËÁŒ Òã¹o¨·Â o‹Òe¾èi§ÊÃu»Çҋ äÁ‹ÊÁe˵Êu Á¼Å¹a¤Ãaº! ... สามารถแยกเป็นประพจน์ ¨aµoŒ §Ë¹a ¡Åaºä»ãªŒÇi¸ÕæáµÃǨÊoº¡o‹ ¹¨§Ö ÊÃu»ä´Œ (e¾ÃÒa เด่ยี วได้ oÒ¨¨aÊÁe˵Êu Á¼Å¡çä´)Œ แบบฝกึ หัด 3.3 (22) [Ent’39] การอา้ งเหตผุ ลดังตอ่ ไปน้ี สมเหตุสมผลหรือไม่ (22.1) เหตุ 1. p → q (22.2) เหตุ p →(r ∨ s) 2. q → s ผล ~ p ∨ (r ∨ s) 3. ~ s ผล ~ p (23) การอ้างเหตผุ ลดังตอ่ ไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ (23.1) เหตุ 1. ถา้ x เปน็ จาํ นวนคู่แลว้ 2 | x 2. ถา้ x เป็นจํานวนคู่และ 2 | x แล้ว x เปน็ จาํ นวนเตม็ 3. ไมจ่ ริงทีว่ า่ “x เป็นจาํ นวนเฉพาะและ x เปน็ จํานวนเต็ม” 4. x เป็นจํานวนคู่ ผล x เป็นจาํ นวนเฉพาะ (23.2) เหตุ 1. ถา้ a เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว a ไมเ่ ปน็ จํานวนอตรรกยะ 2. a2 = 2 หรือ a2 = −1 3. ถา้ a2 = 2 แลว้ a เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ 4. a2 ≠ −1 ผล a เป็นจํานวนตรรกยะ (24) จงเตมิ ข้อความท่ที าํ ใหก้ ารอ้างเหตผุ ลน้สี มเหตุสมผล (24.1) เหตุ 1. p →(q → r) (24.2) เหตุ 1. ~ p → q 2. q → ~ r 2. ~ s ∨ p 3. 3. q ผล p ผล (25) จงเติมข้อความท่ีทําใหก้ ารอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล เหตุ 1. ถ้าฉันขยนั ฉันจะไมต่ กคณิตศาสตร์ 2. ฉันตกคณติ ศาสตร์ ผล (26) กาํ หนดเหตุใหด้ งั น้ี เหตุ 1. ถ้าฉันขยันแลว้ ฉนั จะสอบได้ 2. ถา้ ฉนั ไมข่ ยนั แลว้ พ่อแมจ่ ะเสียใจ 3. ถา้ ฉนั เรียนในมหาวิทยาลยั แล้วพอ่ แมจ่ ะไมเ่ สยี ใจ 4. ฉนั สอบไม่ได้ ใหห้ าวา่ ผลในข้อใดทาํ ใหก้ ารอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 67 ตรรกศาสตร ผล ก. ฉนั ไมไ่ ดเ้ รียนในมหาวิทยาลัย หรอื ฉันขยนั ข. ฉนั เรียนในมหาวิทยาลัย และฉันขยัน ค. พ่อแมฉ่ ันไม่เสยี ใจ และฉนั ไม่ได้เรยี นในมหาวทิ ยาลัย ง. ฉันขยนั แตฉ่ ันสอบไมไ่ ด้ 3.4 ประโยคเปดิ และตวั บ่งปรมิ าณ ประโยค “x มากกว่า 2” (หรอื “เขาไม่ใช่คนร้าย”) ไมใ่ ช่ประพจน์ เนอื่ งจากยังไมท่ ราบแน่ ชัดว่ามคี า่ ความจริงเปน็ จริงหรือเปน็ เทจ็ คา่ ความจริงขนึ้ อยู่กบั ว่า x เปน็ จํานวนใด (หรือ “เขา” เป็น ใคร) เช่น ถา้ x เป็น 3 ประโยคน้จี ะเปน็ จรงิ แต่ถา้ x เปน็ 2 ประโยคนีจ้ ะเปน็ เทจ็ เราเรียก “ประโยคที่ยังคงติดค่าตัวแปร และเมือ่ แทนคา่ ตัวแปรแล้วจึงกลายเป็นประพจน์” วา่ ประโยคเปดิ (Open Sentence) สัญลักษณ์ทีใ่ ช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ที่ตดิ คา่ ตัวแปร x) ได้แก่ P(x), Q(x), R(x) ฯลฯ ซงึ่ ประโยคเปิดเหลา่ นส้ี ามารถใชต้ วั เชื่อมได้เช่นเดียวกับประพจน์ p, q, r ทวั่ ๆ ไป ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) คือข้อความทีใ่ ชบ้ ่งบอกความมากน้อยของค่าตัวแปร x มี 2 แบบได้แก่ สําหรับ x ทกุ ตวั (For All x; ∀x ) และ สาํ หรบั x บางตวั (For Some x; ∃x ) ซงึ่ ตัวบ่งปรมิ าณทงั้ สองนเ้ี ม่ือใชร้ ว่ มกับเอกภพสัมพทั ธแ์ ลว้ จะทาํ ใหป้ ระโยคเปิดกลายเปน็ ประพจน์ (คอื มีคา่ เปน็ จริงหรอื เปน็ เทจ็ ) ได้ เช่น ให้ P(x) แทนประโยคเปิด “x มากกว่า 2” จะไดว้ ่า ∀x [P(x)] แทนประโยค “สาํ หรับ x ทุกตัว... x มากกว่า 2” และ ∃x [P(x)] แทนประโยค “สําหรับ x บางตัว... x มากกวา่ 2” ซ่ึงถา้ U = {1,2,3} กจ็ ะพบว่า ∀x [P (x)] เปน็ เท็จ, ∃x [P (x)] เปน็ จริง แตถ่ า้ U = {3,4} แล้วจะพบวา่ ∀x [P (x)] เปน็ จรงิ , ∃x [P (x)] เป็นจริง หมายเหตุ 1. หากไมม่ กี ารระบุเอกภพสัมพทั ธ์ ให้ถอื ว่าเอกภพสัมพทั ธ์คือเซตจาํ นวนจริง R 2. สามารถแจกแจงตัวบง่ ปริมาณไดเ้ พยี งสองรูปแบบนีเ้ ท่าน้ัน ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] ประโยคเปิดทีม่ ีสองตวั แปร เม่ือใช้ตวั บ่งปรมิ าณกจ็ ะมสี องตัวเช่นกนั และการอ่านตอ้ ง คาํ นึงถึงลําดบั ก่อนหลงั ดงั ตวั อย่างนี้ ให้ P(x) แทน “x มากกว่า 2” และ Q(x, y) แทน “x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” จะได้วา่ ∀x∃y [P(x) ∧ Q(x, y)] แทนประโยค “สาํ หรับ x ทกุ ตัว จะมี y บางตัวท่ีทาํ ให้... x มากกวา่ 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” สว่ น ∃y∀x [P(x) ∧ Q(x, y)] นัน้ แทนประโยค “สําหรับ y บางตวั จะมี x ทกุ ตวั ที่ทาํ ให้... x มากกวา่ 2 และ x+y เปน็ จาํ นวนเฉพาะ” ซ่ึงสองประโยคนีค้ นละความหมายกนั ไมส่ ามารถใชแ้ ทนกันได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 68 ตรรกศาสตร การหานิเสธของประโยคเปิดท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณ นอกจากจะใสน่ เิ สธท่ปี ระโยคเปดิ (ภายใน เครอ่ื งหมายวงเลบ็ ) แลว้ ยงั ตอ้ งเปลี่ยนตัวบ่งปรมิ าณ จาก ∀ เปน็ ∃ และจาก ∃ เป็น ∀ ด้วย เช่น นเิ สธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คอื ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] แบบฝกึ หัด 3.4 (27) ให้ U = {−2, −1, 0, 1, 2} ข้อใดเป็นจรงิ ก. ∀x [x เป็นจํานวนเต็ม และ x2 > 0] ข. ∃x [x3 > x2 และ x < x2] ค. ∀x [ ถ้า x เปน็ จาํ นวนเต็มบวก แลว้ x เปน็ จํานวนเฉพาะ ] ง. ∃x [x เปน็ จํานวนเฉพาะ และ x เป็นจาํ นวนค่ี ] (28) กาํ หนด P(x) แทน “x เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ”, Q(x) แทน “x เปน็ จํานวนตรรกยะ” ข้อใดมีค่าความจริงเปน็ เท็จ ก. ∀x [P (x) → Q ( 2)] ข. ∃x [Q (x) → P (0.5)] ค. ∀x [P (x) ∨ ~ Q (π)] ง. ∃x [Q (x) ∧ ~ P (22/7)] (29) กําหนดประโยคเปดิ P (x) , Q(x) ดังนี้ P (x) = x > x2 , Q(x) = x เปน็ จาํ นวนเฉพาะ หรือ ตวั หารรว่ มทม่ี ากทส่ี ดุ ของ 3 กบั x เปน็ 1 ข้อความใดถกู หรอื ผดิ บา้ ง ก. ∀x [P (x)] เปน็ จรงิ เมื่อ U เป็นชว่ งเปิด (0, 1) ข. ∀x [Q (x)] เปน็ เท็จ เม่ือ U = {2, 3, −5, 8} (30) จงหาคา่ ความจริงของ ∃x (x3+5x−1 < 4) ∧ ∀x ( x2−1 < 0 → x > −2) (31) ให้เอกภพสมั พัทธ์เป็นเซตของจาํ นวนนบั N ถามวา่ ประพจน์ต่อไปนม้ี คี า่ ความจรงิ เปน็ อย่างไร [∃x (x2− 1 เปน็ จาํ นวนนับ) ∧ ∀x (x + 1 > 0)] → ∀x ⎛ 2 < 0 ⎞ ⎜⎝ x ⎟⎠ (32) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ S ¨´u ·è¼Õ ´i ºo‹ Â! S หากกําหนดเอกภพสมั พัทธ์เป็น U = {−1, 0, 1} 溺½ƒ¡Ë´a ¢oŒ 32.2 ¡ºa 32.3 Çi¸¤Õ i´äÁ‹eËÁ×o¹¡¹a ¹a¤Ãºa (32.1) ∃x (x2 ≠ 1) → ∀x (x2 ≠ 1) e¾ÃÒa ˌÒÁ¡Ãa¨Ò some e¢ÒŒ ä»ã¹ “æÅa” (32.2) ∃x (x+1 > 0) ∧ ∃x (x2 ≠ 1) ã¹¢oŒ 32.2 eÃÒ¤´i ¤Ò‹ ¤ÇÒÁ¨Ãi§æ¡«ÒŒ ·¹Õ Ö§ ¢ÇÒ·Õ¹§Ö æÅnj ¤‹oÂeoÒÁÒeª×oè Á¡a¹´ŒÇ “æÅa” (32.3) ∃x (x+1 > 0 ∧ x2 ≠ 1) æµã‹ ¹¢oŒ 32.3 eÃÒµoŒ §¤i´ã¹Ç§eÅçºÃÇ´e´ÂÕ Ç ËÁÒ¶֧Çҋ ¤‹Ò x ·èãÕ ªãŒ ¹Ç§eÅºç ·§éa ˹ŒÒæÅaËŧa µoŒ §e»š¹µaÇe´ÕÂÇ¡¹a ... (32.4) ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) (32.5) ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) (33) จงหาค่าความจริงของประโยคตอ่ ไปนี้ æÅa¢oŒ 32.4 ¡ºa 32.5 ¡¤ç ´i äÁ‹eËÁ×o¹¡¹a หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = {−1, 0, 1} e¾ÃÒaËҌ Á¡Ãa¨Ò all e¢ŒÒä»ã¹ “ËÃ×o” (33.1) ∃x∃y (x2+ y > 2) ÊÃu»Êi§è ·¡èÕ Ãa¨ÒÂä´oŒ Õ¡¤Ã§aé ¹§Ö ¹a¤Ãaº all ¤Ù‹¡ºa “æÅa”, some ¤Ù‹¡aº “ËÃ×o” (33.2) ∃x∀y (x2+ y > 2) (33.3) ∀x∃y (x2+ y > 2) (33.4) ∀x∀y (x2+ y > 2) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 69 ตรรกศาสตร (34) [Ent’21] จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ หากกาํ หนดเอกภพสมั พัทธ์ = {−1, 0, 1} (34.1) ∀x∀y (x2− y = y2− x) (34.2) ∀x∃y (x2− y = y2− x) (34.3) ∃x∀y (x2− y = y2− x) (34.4) ∃x∃y (x2− y = y2− x) (34.5) ∃x∀y (x2− y ≠ y2− x) (35) จงหาค่าความจรงิ ของ เมอื่ U = {−2, 0, 2} (35.1) ∃x∀y (x − y ≠ y − x) เมื่อ U = {−2, 2} (35.2) ∀x∃y (x + y = 0) (36) ประพจน์ ∀x∃y (xy = 1) ↔ ∃x∀y (xy = y) เป็นจรงิ เมือ่ เอกภพสมั พัทธเ์ ปน็ เทา่ ใด ก. จํานวนเตม็ ข. จํานวนเตม็ บวก ค. จาํ นวนจริง ง. จาํ นวนจรงิ บวก (37) ใหเ้ อกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเซตจํานวนจรงิ บวก R+ ข้อใดมีค่าความจริงเปน็ จริง ก. ∀x∀y [x + y > xy] ข. ∃x∃y [x + y < 0] ค. ∃x∀y [x < y] ง. ∀x∃y [y > x] (38) จงหานิเสธของ (38.1) ∀x [P (x) → ~ Q (x)] (38.2) ∀x [P (x) → (Q (x) → R (x))] (38.3) ~ ⎡⎣∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)]⎦⎤ (38.4) ∃x∃y [(x + y = 5) → (x − y = 1)] (38.5) ∃x∃y [x > 0 ∧ y ≠ 0 ∧ xy < 0] (38.6) [Ent’39] ∃x∀y (xy > 0 → x < 0 ∨ y < 0) (38.7) ∃x∃y [(P (y) ∧ ~ R (x)) → (~ Q (x) ∨ ~ P (y))] (38.8) ∀x∃y∀z (x + y > z และ xy < z) (39) ขอ้ ความใดถกู หรือผิดบ้าง ก. นิเสธของ ∀x [x + 5 = 0] ∧ ∃y [22 < π] คือ ∃x [x + 5 ≠ 0] ∨ ∀y [22 > π] yy ข. [Ent’38] นิเสธของ ∃x [x < 6] → ∀x [x > 8] คอื ∀x [x > 6] ∧ ∃x [x < 8] 3.5 การให้เหตผุ ลแบบอุปนัยและนริ นยั การใหเ้ หตุผล (Reasoning) เป็นการกระทําเพ่อื หาข้อสรุปหรือข้อสนบั สนุนความเชือ่ ซ่ึงถือ เปน็ อกี กระบวนการท่ีสาํ คัญในทางตรรกศาสตร์ การให้เหตุผลมีอยู่ 2 ลกั ษณะ ไดแ้ ก่ การใหเ้ หตุผล แบบอุปนัย และแบบนิรนัย การให้เหตผุ ลแบบอุปนยั (ย่อย → ใหญ่) การใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนยั (Inductive Reasoning) เป็นการใชค้ วามจริงจากสว่ นยอ่ ยนาํ ไป สรุปความจรงิ ของสว่ นรวม หรือกลา่ วว่า เปน็ การสรุปผลท่ัวไปซง่ึ มาจากการสงั เกตหรือการทดลองใน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 70 ตรรกศาสตร กรณยี ่อยๆ หลายคร้ัง ... เช่น เราสงั เกตเห็นว่าในทกุ เชา้ พระอาทิตยข์ ้ึนทางทศิ ตะวันออก ดังนน้ั เรา จงึ สรปุ แบบขยายผลวา่ พระอาทิตยจ์ ะขึน้ ทางทิศตะวันออกเสมอ, เราสังเกตเหน็ ว่าลายนิว้ มือของหนง่ึ พนั คนมีลักษณะต่างกนั จงึ สรุปเอาแบบขยายผลวา่ คนทกุ คนบนโลกมีลายนิ้วมือไม่เหมอื นกนั เลย, เพื่อนบา้ นทกุ คนล้วนบอกวา่ หมอคนนี้รักษาดีมาก เมื่อสมชายไม่สบายจึงไปหาหมอคนน้ี เพราะสรุป เอาแบบอปุ นัยว่าตนเองจะได้รบั การรกั ษาใหห้ ายดเี ช่นกนั • ตัวอยางการใหเ หตผุ ลแบบอุปนยั ในคณติ ศาสตร 1. ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} เมือ่ สงั เกตลกั ษณะของสมาชกิ ท้ังหา ตวั พบวา เกดิ จาก การบวกทีละ 2 เราจึงสรุปผลวา สมาชกิ ตัวที่เหลือทีล่ ะไวคือ 12, 14, 16, ... (จํานวนนบั ค)ู 2. จาก 1 = 1, ,1 + 3 = 4 ,1 + 3 + 5 = 9 ,1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 เราจงึ สรปุ ไดวา จาํ นวนนับคี่ n จาํ นวนแรก มีผลบวกเทา กบั n2 3. ลาํ ดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... สังเกตไดว า ผลตา งของแตละพจนตดิ กนั เปน 2, 4, 8, 16 ดังนน้ั พจนถดั ไปของลาํ ดับคือ 63 (เพราะผลตางเทา กบั 32) 4. จาก , , …11× 11 = 121 111× 111 = 12321 1111× 1111 = 1234321 จงึ สรุปไดวา 11111× 11111 = 123454321 5. เมือ่ ยกตัวอยา งจํานวนนบั ทีห่ ารดวย 3 ลงตวั เชน 12 , 51, 96 , 117 , 258 , 543 , 2930 , 5022 , 7839 … พบวา ผลบวกของเลขโดดเปน จํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว จงึ สรปุ วา ถา ผลบวกของเลขโดดเปน จํานวนที่หารดว ย 3 ลงตัวแลว จํานวนนับนนั้ จะหารดวย 3 ลงตวั ขอ้ ควรระวังในการใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั คอื ขอ้ สรปุ ทไ่ี ดไ้ มจ่ ําเป็นตอ้ งถูกต้องทุกคร้งั เน่ืองจากเปน็ การสรุปผลเกินขอบเขตทเ่ี ราพจิ ารณาออกไป สงิ่ ทีม่ ีผลตอ่ ความนา่ เช่ือถอื ได้แก่ 1. จาํ นวนข้อมลู ที่มีเพยี งพอหรือไม่ ... (ไม่ควรพิจารณาขอ้ มูลปริมาณน้อยๆ แลว้ สรปุ ทันที) เช่น – ส่มุ หยิบลูกบอลได้สแี ดงตดิ กนั 4 ครั้ง จงึ สรปุ เอาว่าบอลทุกลูกมสี ีแดง ซึ่งอาจผิดกไ็ ด้ – สมมติฐาน (n+1)2 > 2(n−1) สาํ หรบั จาํ นวนนับ n ใดๆ พบว่าเมอื่ แทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ 4 > 1, 9 > 2, 16 > 4, 25 > 8 ซึง่ ลว้ นเป็นจรงิ แต่ทีแ่ ท้สมมตฐิ านนี้จะเปน็ เทจ็ เมอื่ แทน n = 7, 8, 9, ... เป็นตน้ ไป – สมมติฐาน n2− n + 5 เป็นจํานวนเฉพาะ สําหรับจาํ นวนนบั n ใดๆ พบว่าเม่อื แทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ n2 − n + 5 = 5, 7, 11, 17 ซึง่ เป็นจาํ นวนเฉพาะจริงๆ แตเ่ ม่อื แทน n = 5 จะได้ n2− n + 5 = 25 ซึง่ ไมใ่ ช่จํานวนเฉพาะ 2. ข้อมูลที่ใช้น้นั เป็นตัวแทนที่ดีแล้วหรอื ไม่ ... (อาจมีข้อมูลท่ีไม่ตรงกบั ข้อสรุปอยู่ แตน่ กึ ไม่ ถึง) เช่น ส่มุ ถามคน 100 คนในบรเิ วณสยามสแควร์ พบว่าอายไุ มเ่ กนิ 22 ปถี งึ 70 คน จงึ สรุปเอา ว่าในกรงุ เทพฯ มีประชากรวัยรุ่นจํานวนมากกว่าวัยทาํ งานอยเู่ ทา่ ตัว ซง่ึ อาจเป็นข้อสรุปที่ผิด 3. ข้อสรปุ ท่ตี ้องการมคี วามซับซอ้ นเกินไปหรอื ไม่ ... (บางเรื่องสรุปไดย้ าก โดยเฉพาะท่ี เกี่ยวกบั ความนกึ คิดของมนษุ ย์ เชน่ ความเชื่อ ความพงึ พอใจ มกั จะข้นึ กบั เหตุผลตา่ งๆ กัน) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 71 ตรรกศาสตร การใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นัย (ใหญ่ → ยอ่ ย) การใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นยั (Deductive Reasoning) เป็นการใชค้ วามจรงิ ที่เปน็ ทีย่ อมรับ โดยทวั่ ไป เพือ่ นําไปสขู่ อ้ สรุปย่อยใดๆ ... เชน่ เปน็ ความจรงิ ทีว่ ่าจาํ นวนทหี่ ารดว้ ย 2 ลงตัวเปน็ จํานวนคู่ และ 10 นนั้ หารด้วย 2 ลงตัว เราจงึ สรปุ วา่ 10 เป็นจาํ นวนคู่ • ตัวอยา งการใหเ หตุผลแบบนิรนัย 1. เหตุ (1) นักเรียนทกุ คนตอ งทาํ การบา น ... (2) สุดาเปน นกั เรียน ผล สดุ าตอ งทําการบา น 2. เหตุ (1) นกเทา น้ันที่บินได ... (2) คนบินไมไ ด ผล คนไมใชน ก * 3. เหตุ (1) สัตวป กทกุ ตวั บนิ ได ... (2) แมวบางตัวเปนสัตวปก ผล แมวบางตวั บนิ ได * ข้อสรุปนีเ้ ปน็ ข้อสรปุ ที่ สมเหตุสมผล S ¨´u ·è¼Õ i´º‹oÂ! S (valid) แม้วา่ ผลจะขดั แย้งกบั ความจรงิ ในโลกก็ตาม ¹oŒ §ºÒ§¤¹oҨʧÊaÂÇҋ æÁǨaº¹i 䴌䴌oÂҋ §äÃ.. ¡ÒÃãËeŒ ˵u¼Å溺¹iùÂa ¹a¹é eÃÒ¡Åҋ Çã¹Ãٻ溺¢o§ “¡ÒÃoҌ §e˵u¼Å” ขอ้ ควรระวงั ในการให้เหตผุ ล (eËÁo× ¹ËaÇ¢Œo 3.3) «Ö觤Ç÷íÒ¤ÇÒÁe¢ŒÒã¨Ç‹Ò ¡ÒÃÊÁe˵uÊÁ¼Å¹¹éa แบบนริ นยั คอื ในบางครัง้ เมอ่ื เราใชค้ วาม äÁ‹ä´æŒ »ÅÇҋ ¼Å¨ae»š¹¨Ãi§·¹a ·Õ¹a¤Ãaº æµæ‹ »ÅÇ‹Ò eÁèo× ã´·èeÕ Ëµu·u¡¢oŒ รสู้ กึ เพยี งผิวเผินตดั สนิ อาจจะคดิ วา่ การ e¡´i e»¹š ¨Ãi§¢é¹Ö ÁÒ ¼Å¨§Ö ¨ae»š¹¨Ã§i µÒÁ´ŒÇ ... อา้ งเหตผุ ลนน้ั สมเหตุสมผล ท้ังที่จรงิ ๆ แล้วไม่ใช่ ... ยกตัวอยา่ งเช่น eÇÅÒeÃÒµÃǨÊoºÇҋ ¡ÒÃãˌe˵u¼Å¹ÊéÕ Áe˵Êu Á¼ÅËÃo× äÁ‹ ãËeŒ ÃÒ嫅 ¨Ò¡e˵u·èãÕ ËŒÁÒe·‹Ò¹é¹a ËҌ ÁeoÒ¤ÇÒÁ¨Ãi§ã¹oš仵a´Êi¹¹a¤Ãaº! 1. เหตุ (1) นกทุกตวั บินได้ ... (2) ยงุ บนิ ได้ ผล ยุงเป็นนก (ไม่สมเหตสุ มผล เพราะอาจจะมีส่งิ อ่นื ทไี่ ม่ใชน่ ก แตบ่ ินได้) 2. เหตุ (1) นกทกุ ตวั บนิ ได้ ... (2) คนไมใ่ ชน่ ก ผล คนบินไมไ่ ด้ (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมสี ่งิ อืน่ ทไ่ี มใ่ ช่นก แต่บนิ ได้) 3. เหตุ (1) นกั เรียนบางคนเป็นนกั กีฬา ... (2) นกั กีฬาบางคนแข็งแรง ผล นกั เรยี นบางคนแข็งแรง (ไมส่ มเหตุสมผล เพราะนกั กีฬาท่แี ข็งแรงอาจไม่ใช่นักเรยี นกไ็ ด)้ การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการให้เหตผุ ลแบบนริ นัย สามารถทําไดอ้ ย่างรอบคอบ โดยใชแ้ ผนภาพของเซต (แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์) ช่วยในการคิด นก นก นก สิ่งทีบ่ ินได้ สิ่งทีบ่ ินได้ สง่ิ ทีบ่ นิ ได้ นกบางตัวบินได้ นกทกุ ตวั บนิ ได้ ไม่มีนกตวั ใดบินได้ (หรอื นกบางตวั บินไม่ได)้ (หรือ นกทกุ ตวั บนิ ไม่ได้) หากในข้อความมกี ารระบถุ ึงสมาชิกของเซต (เช่น สมชายบนิ ได)้ สมชาย จะเขยี นเปน็ จุด อยู่ภายในบริเวณเซตนั้น ถา้ พบว่าแผนภาพเป็นไปตามทส่ี รปุ ได้เพียงแบบเดยี วเท่านั้น ส่งิ ที่บนิ ได้ จะถือว่า สมเหตุสมผล แต่ถา้ เปน็ แบบอน่ื ได้ด้วย จะถือว่า ไมส่ มเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 72 ตรรกศาสตร ดังนน้ั ในการตรวจสอบ เราจะต้องพยายามทาํ ใหเ้ หตเุ ป็นจริงทุกข้อแตผ่ ลสรุปเป็นเท็จ (ถา้ ทาํ ได้ ก็ แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล ถ้าทาํ ไมไ่ ด้แสดงวา่ สมเหตสุ มผล) ตวั อย่างเชน่ นร.ชาย ผลู้ งแข่งกฬี า 1. เหตุ (1) นกั เรียนชายทุกคนลงแข่งกฬี า สมศักดิ์ (2) สมศกั ดิเ์ ป็นนักเรียนชาย ผล สมศกั ดิ์ลงแขง่ กีฬา ... สมเหตสุ มผล 2. เหตุ (1) นักเรียนชายทกุ คนลงแขง่ กฬี า นร.ชาย ผู้ลงแข่งกฬี า (2) สมศรีไม่ได้เป็นนกั เรยี นชาย สมศรี ผล สมศรีไมไ่ ด้ลงแขง่ กีฬา ... ไม่สมเหตุสมผล (เป็นไปได้ 2 แบบ) สมศรี 3. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแขง่ กีฬา นร.ชาย ผลู้ งแขง่ กฬี า (2) สมเสรจ็ ลงแขง่ กฬี า สมเสร็จ ผล สมเสร็จเป็นนกั เรยี นชาย ... ไม่สมเหตสุ มผล สมเสรจ็ 4. เหตุ (1) นักเรยี นชายบางคนลงแขง่ กฬี า สมศักด์ิ (2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชาย สมศกั ดิ์ นร.ชาย ผู้ลงแข่งกฬี า ผล สมศักด์ิลงแข่งกีฬา ... ไมส่ มเหตุสมผล AB หมายเหตุ บางตําราเขยี นแผนภาพในรปู ทั่วไป ดังรูปดา้ นลา่ งน้ี และใช้การแรเงาเพ่อื บง่ บอก วา่ ชิน้ สว่ นนนั้ ไม่มีสมาชิกเลย AB C 2 เซต เช่น 3 เซต นก สง่ิ ทบ่ี นิ ได้ หากมปี ระโยคว่า “เพนกวนิ เป็นนก” ไม่มีนกตวั ใดบินได้ จะตอ้ งจุดแทน “เพนกวิน” ลงในช่อง “นก” ทางซ้ายเท่านนั้ เนื่องจากชอ่ งกลางถูกแรเงาทึบไปแลว้ * แตบ่ างตํารากใ็ ช้การแรเงาเพอ่ื บ่งบอกวา่ ช้ินส่วนน้นั ต้องมีสมาชิกอยู่! แบบฝึกหดั 3.5 (40) ใหบ้ อกคา่ ของ a ท่ีปรากฏในลําดับต่อไปนี้ (40.5) 3, 1, −1, −3, a (40.1) −1, −3, −5, −7, a (40.2) 2, 7, 12, 17, a (40.6) 1 , 2 , 3 , 4 , a (40.3) 1, −2, 3, −4, a 2345 (40.7) 1, 4, 9, 16, a (40.4) 3, 6, 12, 24, a (40.8) 3, 3 3, 3 3 3, 3 3 3 3 , a (40.9) [พื้นฐานวิศวะ ม.ี ค.47] 125, 726, a, 40328, 362889 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 73 ตรรกศาสตร (41) ใหห้ าสมการ 2 สมการ ต่อจากรปู แบบทีก่ าํ หนดให้ โดยอาศัยการให้เหตผุ ลแบบอปุ นัย (และคาํ นวณหรือใชเ้ ครือ่ งคาํ นวณ เพือ่ ตรวจสอบคําตอบที่ได)้ 37 × 3 = 111 11 × 11 = 121 (41.1) 37 × 6 = 222 (41.5) 11× 12 = 132 37 × 9 = 333 11 × 13 = 143 9 × 9 = 81 1089 × 1 = 1089 (41.2) 9 × 99 = 891 (41.6) 1089 × 2 = 2178 9 × 999 = 8991 1089 × 3 = 3267 1× 9 = 11 − 2 2 (3) = 3 (3 − 1) (41.3) 12 × 9 = 111 − 3 (41.7) 2 (3) + 2 (9) = 3 (9 − 1) 123 × 9 = 1111 − 4 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) = 3 (27 − 1) 9 × 9 + 7 = 88 3 × 4 = 2 (1 + 2 + 3) (41.4) 9 × 98 + 6 = 888 (41.8) 4 × 5 = 2 (1 + 2 + 3 + 4) 9 × 987 + 5 = 8888 5 × 6 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) (42) ใหต้ รวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอ้างเหตุผลตอ่ ไปนี้ โดยอาศัยการใหเ้ หตุผลแบบนริ นัย ประกอบกับแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ (42.1) เหตุ – คนบางคนว่ายนาํ้ ได้ (42.2) เหตุ – คนบางคนว่ายนาํ้ ได้ – สมชายเป็นคน – สมชายเป็นคน ผล สมชายวา่ ยนาํ้ ได้ ผล สมชายวา่ ยนา้ํ ไมไ่ ด้ (42.3) เหตุ – ไมม่ ีเดก็ ดีคนใดคยุ ในเวลาเรยี น – นักเรียนหอ้ งน้ที กุ คนเปน็ เด็กดี ผล ไมม่ นี กั เรียนคนใดในห้องน้ีคยุ ในเวลาเรียน (42.4) เหตุ – นักเรยี นบางคนทาํ การบา้ นไมเ่ สรจ็ – นกั เรียนบางคนชอบเล่นฟุตบอล ผล นักเรียนที่เล่นฟตุ บอลบางคนทาํ การบา้ นไมเ่ สรจ็ (42.5) เหตุ – วนั น้ีฉนั เงินหมด – ไมม่ ใี ครทเี่ งนิ หมดแล้วโดยสารรถเมล์ได้ ผล วันนีฉ้ ันไม่สามารถโดยสารรถเมลไ์ ด้ (42.6) เหตุ – ไมม่ สี ตั ว์นํา้ ตัวใดบินได้ (42.12) เหตุ – ไมใ่ ชป่ ลาทกุ ตวั ทมี่ สี องตา – นกแก้วเป็นสัตวน์ ํา้ – กุ้งไม่ได้เป็นปลา ผล นกแก้วบินไมไ่ ด้ ผล กงุ้ มีสองตา (42.7) เหตุ – คนที่มคี วามสขุ ทุกคนยิ้มแย้ม (42.13) เหตุ – ไม่มชี ่างคนใดทีข่ ยนั – ฉันย้ิมแย้ม – สมนึกเปน็ ช่าง ผล ฉันมีความสุข ผล สมนกึ ไมข่ ยนั (42.8) เหตุ – นักเรียนทุกคนสวมแว่นตา (42.14) เหตุ – ไม่มชี า่ งคนใดท่ขี ยนั – ผู้ร้ายบางคนสวมแวน่ ตา – สมนกึ ไม่ขยัน ผล นกั เรยี นบางคนเปน็ ผู้ร้าย ผล สมนกึ เป็นช่าง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 74 ตรรกศาสตร (42.9) เหตุ – ไมม่ ีนางแบบคนใดเป็นผู้ชาย (42.15) เหตุ – สตั ว์ทกุ ตัวต้องหายใจ – พระเอกหนังทกุ คนเป็นผู้ชาย – สนุ ัขทกุ ตัวตอ้ งหายใจ ผล ไม่มนี างแบบคนใดเปน็ พระเอกหนัง ผล สนุ ัขทุกตวั เป็นสตั ว์ (42.10) เหตุ – สิ่งมีชวี ิตทกุ ชนดิ ตอ้ งกินอาหาร (42.16) เหตุ – แอปเปลิ้ ไม่มพี ษิ – สตั ว์ทกุ ตัวเปน็ สง่ิ มีชีวิต – องนุ่ ไม่มพี ิษ ผล คนทกุ คนต้องกนิ อาหาร ผล ผลไมท้ ที่ านได้ไม่มีพิษ (42.11) เหตุ – ครบู างคนชอบดื่มกาแฟ (42.17) เหตุ – นกทุกตัวมปี ีก – ผูช้ ายทั้งหมดชอบด่ืมกาแฟ – สัตวท์ ี่มปี กี บางตัวบนิ ได้ – เพนกวนิ เป็นนก ผล ครูบางคนเป็นผชู้ าย ผล เพนกวินบนิ ได้ เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1) p | F | p | F (21) → หรือ ↔ (40.1) –9 (40.2) 22 (40.3) 5 (40.4) 48 (40.5) –5 หรือ 3 T |p |p | T (22) สมเหตสุ มผลทงั้ สองขอ้ (40.6) 5/6 (40.7) 25 (23) ไมส่ มเหตสุ มผลทง้ั สองขอ้ p | T | T |~ p | T |~ p (24.1) s → r (24.2) r (40.8) 3 3 3 3 3 (40.9) 5047 p |~ p | T | F (25) ฉนั ไมข่ ยนั (26) ก. (41.1) ,37 × 12 = 444 37 × 15 = 555 (2) ขอ้ 2.6 ถงึ 2.10 เทจ็ (27) ข. (28) ก. (41.2) 9 × 9999 = 89991, นอกน้นั จริง (29) ก. ถูก ข. ผิด (3) ขอ้ 3.5, 3.7, 3.9, (30) จริง (31) เทจ็ 9 × 99999 = 899991 3.12 เทจ็ นอกนนั้ จรงิ (32) ขอ้ 32.1, 32.4 เปน็ เท็จ (3.11) T, T, F นอกนนั้ จรงิ (41.3) 1234 × 9 ,= 11111 − 5 (4) ก. ถกู ข. ถกู (33) ขอ้ 33.1 จริง นอกนั้นเท็จ (5) ถกู ทุกขอ้ 12345 × 9 = 111111 − 6 (6) ก. ผดิ ข. ถกู (7) ก.(p ∧ q) ∨(~ r ∧ ~ s) (41.4) ,9 × 9876 + 4 = 88888 ข. p ∧ ~ q ∧ r (34) ข้อ 34.2, 34.4 จริง 9 × 98765 + 3 = 888888 นอกนนั้ เทจ็ (35.1) เทจ็ (8) ง. (9) ค. (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 (10.1) ข. (10.2) ง. (10.3) ก. (11) ค. (35.2) จรงิ (36) ง. (37) ง. (41.6) 1089 × 4 = 4356 , (12) สมมูลกันทกุ ข้อ (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 1089 × 5 = 5445 (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] (41.7) 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] ,+ 2 (81) = 3 (81 − 1) (13) ถกู ทกุ ขอ้ (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) + 2 (243) = 3 (243 − 1) (14.1) ก. (14.2) ก. (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + (15) 3:5 (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] ,4 + 5 + 6) 7 × 8 = 2 (1 + (16 ถึง 19) เปน็ ทกุ ขอ้ ยกเวน้ (38.8) y < xy > z) 16.1, 16.2, 17.2, 17.7, 19.1 (39) ก. ∃x∀y∃z (x + z หรอื 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) (20) ข. และ ค. เป็นจรงิ ถูก ข. ผิด (42) ขอ้ ทส่ี มเหตสุ มผลได้แก่ (42.3), (42.5), (42.6), (42.9), (42.13) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 75 ตรรกศาสตร เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธีคดิ ) (1) ก. เครื่องหมาย “และ” (3.1) (....) → (p → q) ≡ T T T ∧ p ≡ p ... จรงิ “และ” อะไร กจ็ ะไดต้ ามตัวนนั้ T (หมายความวา่ T ∧ T ≡ T, T ∧ F ≡ F ) (3.2) (....) → (p → q) ≡ T F ∧ p ≡ F ... เทจ็ “และ” อะไร จะได้เทจ็ เสมอ F. T p ∧ p ≡ p ... เหมอื นกนั เชอื่ มด้วย “และ” ได้ตัวเดมิ (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (....) ≡ T p ∧ ~ p ≡ F ... ตรงขา้ มกนั เชื่อมด้วย “และ” จะได้ T (3.4) r → q ≡ T โดย r เปน็ จรงิ เท็จเสมอ (เพราะต้องมตี วั ใดตวั หนึง่ เปน็ เทจ็ ) แสดงวา่ q เปน็ จรงิ ด้วย ข. เครอ่ื งหมาย “หรอื ” (วธิ ีคดิ ลกั ษณะเดยี วกับ “และ”) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) ≡ T T ∨ p ≡ T, F ∨ p ≡ p, p ∨ p ≡ p, p ∨ ~ p ≡ T TT T T ค. เครอื่ งหมายถา้ -แล้ว (3.5) p ≡ T, q ≡ F, r ≡ T ดังน้ัน T → p ≡ p, F → p ≡ T, p → T ≡ T, p → F ≡ ~ p (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) ≡ F (เพราะ T → F ≡ F, F → F ≡ T ) TT F p → p ≡ T, p → ~ p ≡ ~ p (3.6) n ≡ F ดังนั้น n → [....] ≡ T ง. เครอ่ื งหมาย “ก็ตอ่ เมื่อ” (3.7) q ≡ F ดงั นน้ั (....) ∧ q ≡ F T ↔ p ≡ p, F ↔ p ≡ ~ p, (3.8) q ≡ F, s ≡ F, r ≡ T, p ≡ F ดงั นน้ั p ↔ p ≡ T, p ↔ ~ p ≡ F (q ∨ p) → (....) ≡ T (หมายเหตุ ขอ้ 1 นจี้ ะทาํ ได้ก็เมอ่ื คุน้ เคยลักษณะของ F ตัวเชอ่ื มทัง้ สแ่ี ลว้ ) (3.9) p ∨ r ≡ T, q ∨ s ≡ F (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) ≡ T (แสดงวา่ q ≡ F, s ≡ F ) TT (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [.....] ≡ T p → q ≡ T แสดงวา่ p ≡ F ดังนน้ั r ≡ T และจะได้ r → s ≡ T → F ≡ F T (3.10) p → q ≡ F แสดงวา่ p ≡ T, q ≡ F (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → [.....] ≡ T ดังนน้ั (....) → ~ q ≡ T FF T (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s ≡ T (3.11) p ∧ q ≡ T แสดงวา่ T (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ r ≡ T p ≡ T, q ≡ T p → r ≡ F แสดงวา่ r ≡ F T TT (3.12) p ≡ T, p ↔ ~ r ≡ T แสดงวา่ r ≡ F (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] ≡ F (3.13) และ (3.14) ไมบ่ อกคา่ ของ p, q, r, s มา F T F FT เลย แสดงวา่ นา่ จะเปน็ สจั นริ นั ดร์ (คอื เปน็ จรงิ ทกุ (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ .....] ≡ F กรณี ไม่ว่า p, q, r, s จะเป็นอย่างไร) T F. ซึง่ ตรวจสอบแล้วพบวา่ เป็นสจั นริ นั ดรจ์ ริงๆ จงึ ตอบวา่ TF เปน็ จริงทง้ั สองขอ้ ... วธิ ตี รวจสอบเปน็ ดังนี้ (3.13) พยายามทาํ ให้เป็นเทจ็ แสดงว่า (2.8) (p ∧ q) ∧ ~ r ∧ [... ∧ ...] ≡ F ก้อนหนา้ ต้องเปน็ จรงิ กอ้ นหลงั ตอ้ งเปน็ เทจ็ F (เนื่องจากเช่ือมดว้ ย “ถ้า-แล้ว”) (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [.....] ≡ F ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) F T F TFF (2.10) [q → (....)] → [p → (q ∧ ~ r)] ≡ F ซึง่ ถ้ากอ้ นหลังเปน็ เทจ็ แปลวา่ p จะตอ้ งเปน็ จรงิ F TF . เท่านน้ั และ q จะต้องเปน็ เท็จเทา่ น้นั ... เอาคา่ ความ TF จริงของ p กบั q ไปใสใ่ นกอ้ นหนา้ พบวา่ ก้อนหนา้ (2.11) [(~ p → ....) ∧ (~ r → ....)] ∨ [.....] ≡ T TT Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 76 ตรรกศาสตร ไม่ไดเ้ ป็นจรงิ ... นัน่ คอื เราพยายามทาํ ให้ประโยคนี้ (9) ก. ~ (~ p ∧ ~ q) คอื p ∧ q ... สมมูล เปน็ เท็จ แตไ่ ม่มวี ธิ ีใดท่ที าํ ได้ ขอ้ น้จี ึงเป็นสัจนิรันดร์ ข. (~ p ∨ q) กบั (q ∨ ~ p) ... สมมูล (3.14) ใช้วธิ เี ดยี วกบั ข้อท่แี ล้ว คอื พยายามทาํ ใหก้ อ้ น ค. p ∨ (~ q ∨ p) ≡ ~ q ∨ p เทียบกบั q ∨ p ... หนา้ จรงิ กอ้ นหลงั เท็จ (เพราะเชอื่ มดว้ ย “ถ้า-แลว้ ”) ไม่สมมลู ⎣⎡[p ∨ ~ (r ∧ s)] ∧ ~ p⎦⎤ → (~ r ∨~ s) ง. สมมลู ตามกฎการกระจาย ↔ ตอบ ค. (10.1) ข. ถูก เพราะ ข. คอื (p → q) ∧ (q → p) T F T F T (10.2) {[(q ∧ ~ t) ∧ (p ∨ ~ p)] ∨ ~ q} → r ซง่ึ ถ้ากอ้ นหลังเปน็ เทจ็ แปลวา่ r กับ s จะตอ้ งเปน็ T จรงิ ทัง้ คูเ่ ทา่ นน้ั ... เอาคา่ ความจรงิ ของ r กับ s ไปใส่ ก้อนหนา้ พบวา่ เหลอื เพยี ง [p ∧ ~ p] ซ่ึงจะเปน็ เทจ็ ≡ [(q ∧ ~ t) ∨ ~ q] → r ≡ [(q ∨ ~ q) ∧ (~ t ∨ ~ q)] → r เสมอ ไม่มที างเปน็ จรงิ ได้ ... สรปุ วา่ เราไมม่ ีทางทําให้ ข้อ ง. ขอ้ นเี้ ปน็ เทจ็ ได้ ข้อนจ้ี ึงเปน็ สัจนิรนั ดร์ T (4) s → r ≡ F แสดงวา่ s ≡ T, r ≡ F ≡ (~ t ∨ ~ q) → r ≡ (t ∧ q) ∨ r p ∨ r ≡ T แสดงวา่ p ≡ T (10.3) [(q ∨ r) ∧ (q ∨ ~ r)] ∧ [(p ∧ s) ∨ (p ∧ ~ s) ] p → q ≡ T แสดงวา่ q ≡ T ≡ [q ∨ (r ∧ ~ r) ∧ (p ∧ (s ∨ ~ s)] ≡ q ∧ p ก. [(....) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) ≡ F ถูก FT ข้อ ก. FF ข. [....] → (~ r ∧ s) ≡ T ถกู (11) ขอ้ ข. กบั ง. ไม่ใชแ่ นน่ อน เพราะกลายเป็น T ab > 0, a < 0, b < 0 ซึง่ ไมเ่ ก่ียวขอ้ งกบั โจทย์ ... (5) p ↔ q ≡ T แสดงว่า p ≡ q r ∨ ~ s ≡ F แสดงวา่ r ≡ F, s ≡ T ดังนนั้ พจิ ารณาเฉพาะ ก. กบั ค. โจทย์ (p ∧ q) → r ดงั นนั้ [(~ p ∧ r) → ....] ≡ T ก. (~ p ∨ ~ q) → ~ r ผดิ F ค. ~ r → (~ p ∨ ~ q) ถูก พจิ ารณา ก. ~ (....) → ~Tr ≡ T ถกู (12) ก. p → (q ∨ r) ข. (~ q ∧ ~ r) → ~ p ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ≡ T ถกู ค. ~ p ∨ q ∨ r ขอ้ ก. และ ข. กระจายแลว้ จะ FF เหมือนขอ้ ค. ดงั นน้ั สมมูลกนั หมดทกุ ขอ้ ค. (s → r) ∨ (p → q) ≡ T ถูก (13) ก. ~ (p ∧ ~ r) ∨ ~ q ≡ ~ p ∨ r ∨ ~ q T ≡ q → (r ∨ ~ p) ถูก (6) p ≡ q , r ≡ ~ s ดังนน้ั ข. p → (q → r) ≡ ~ p ∨ (~ q ∨ r) ก. [.... ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [.... ∨ (~ r ∨ ~ s)] ≡ T และ q → (p → r) ≡ ~ q ∨ ( ~ p ∨ r) ถกู ค. (p ∧ q) → r ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ r และ TT (p → ~ q) ∨ (p → r) ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ p ∨ r ถูก ดงั นน้ั ก. ผดิ ข. [....] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] ≡ T ถูก (14.1) ลองทาํ ตารางคา่ ความจรงิ TT (7) ก. ~ [(~ p ∨ ~ q) ∧ (r ∨ s)] ≡ p q p*p q*q (p*p)*(q*q) TT F F T (p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s) TF F T F FT T F F ข. ~ [~ (p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ≡ (p ∧ ~ q) ∧ r FF T T F (8) ให้ p แทน “เดชาขยนั ”, q แทน “เดชาทาํ การบา้ นสมา่ํ เสมอ”, r แทน “เดชาสอบผา่ น” พบวา่ ผลลพั ธท์ ่ีไดน้ เี้ หมือนกับ p ∧ q จงึ ตอบ ก. ดงั นน้ั โจทย์บอกวา่ (p ∧ q) → r เปน็ เทจ็ (14.2) จากตารางในโจทย์ มี F*F เทา่ นนั้ ท่ใี ห้ผล แสดงวา่ p ≡ q ≡ T, r ≡ F เปน็ จรงิ คลา้ ยๆ ตัวเชอื่ ม “หรอื ” ... แตผ่ ลตรงกนั ก. p ∧ ~ q ≡ F ข. ~ p ∧ q ≡ F ขา้ ม (ตวั เชอื่ ม “หรอื ” จะไดผ้ ลเปน็ T,T,T,F ค. ~ r → ~ q ≡ F ง. p ↔ ~ r ≡ T ตอบ ง. ตามลําดับ) ดังนนั้ p ∗ q ≡ ~(p ∨ q) ... ตอบขอ้ ก. เพราะ ~ (~ p → q) ≡ ~ (p ∨ q) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 77 ตรรกศาสตร (15) ทําตารางคา่ ความจรงิ เพ่อื นบั จาํ นวนกรณี (17.2) (~ p ∧ q) ∨ p ≡ (~ p ∨ p) ∧ (q ∨ p) p q r q*r p*(q*r) T TT T F F ≡ q ∨ p ดงั นน้ั ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์ TT F F F (17.3) (p ∨ q) ∧ ~ p ≡ (p ∧ ~ p) ∨ (q ∧ ~ p) TF T F F F TF F T F FT T F T ≡ q ∧ ~ p ดงั นน้ั เปน็ สจั นิรันดร์ FT F F T (17.4) (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) FF T F T ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p) ดังนนั้ เปน็ สจั นริ ันดร์ FF F T F (17.5) (p ∧ q) → (p ∨ q) ≡ ~ (p ∨ q) → ~ (p ∧ q) คําตอบคอื จรงิ :เท็จ เทา่ กบั 3:5 ≡ (~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q) เป็นสจั นริ นั ดร์ (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] T T T F T TF F (17.6) ~ p ∨ (q ∧ r) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ทาํ เปน็ เทจ็ ได้ แสดงว่าไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์ ≡ (p → q) ∧ (p → r) เปน็ สจั นริ นั ดร์ (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] (17.7) ซา้ ยมอื ~ p ∨ ~ q ∨ r T T T F T TF F ทําเป็นเท็จได้ แสดงวา่ ไมเ่ ปน็ สจั นิรันดร์ ขวามอื ~ (~ p ∨ q) ∨ r ≡ (p ∧ ~ q) ∨ r (16.3) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) ดังนนั้ ไม่เปน็ สจั นิรนั ดร์ (17.8) ขอ้ น้ีแจกแจงยาก ใช้วิธพี จิ ารณาความสมมูลแตล่ ะกรณดี กี วา่ TT T FT F F FF p q r ซ้าย ขวา T ทาํ เปน็ เท็จไม่ได้ เพราะคา่ q ขดั แยง้ กัน TT T T T TT F F F แสดงวา่ เปน็ สจั นิรันดร์ TF T F F TF F T T (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] FT T F F TT T T TT F T TF F FT F T T ทําเป็นเทจ็ ไมไ่ ด้ เพราะคา่ r ขัดแย้งกนั FF T T T FF F F F แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ ซา้ ยกบั ขวามคี ่าตรงกันเสมอ ดงั นนั้ เปน็ สจั นริ นั ดร์ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] TF F FFFF T FF F T F F นําคา่ p และ q เป็นเทจ็ ไปใส่ดา้ นหนา้ จะลดรปู FF F หายไปเหลือเพียง r → r ซง่ึ พบวา่ เปน็ จริงเสมอ ไมม่ ี ทาํ เปน็ เท็จไม่ได้ เพราะคา่ p กับ q ตอ้ งเปน็ เทจ็ ทางทาํ ใหด้ า้ นหนา้ เป็นเทจ็ ไดเ้ ลย ดงั นนั้ ขอ้ น้ี เทา่ น้นั ทาํ ให้ p ∨ q เปน็ จรงิ ไม่ได้ เป็นสจั นริ นั ดร์ แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) F F T F F T F T TT F F FF F TF T T FF ทําเปน็ เทจ็ ไมไ่ ด้ เพราะคา่ q ขดั แยง้ กนั ทาํ เป็นเท็จไม่ได้ เพราะคา่ p ขดั แยง้ กนั , q ก็ขัดแยง้ แสดงว่า เปน็ สจั นิรันดร์ กัน ... แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ (19.1) (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) ≡ F → F ≡ T (16.7) ⎣⎡[(p ∧ q) → r] ∧ (p → q)⎦⎤ → (p → r) เสมอ (เป็นสัจนริ นั ดร)์ ดงั น้ัน นเิ สธของประพจนน์ ้ี T F TF TT T F T F F ไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์ (แตจ่ ะเป็นเทจ็ ทุกกรณ)ี ทําเปน็ เท็จไมไ่ ด้ เพราะคา่ q ขัดแยง้ กัน (19.2) [p ∧ T] ↔ [~ p ∨ F] ≡ p ↔ ~ p ≡ F แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ เสมอ ดังนน้ั นิเสธของประพจนน์ ี้ เปน็ สจั นริ นั ดร์ (17.1) ~ (p → ~ q) ≡ ~ (~ p ∨ ~ q) ≡ p ∧ q ดงั นน้ั เปน็ สจั นิรนั ดร์ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 78 ตรรกศาสตร (19.3) เนื่องจาก p ↔ q สมมูลกบั ~ p ↔ ~ q (23.2) วิธีคดิ 2. r ∨ s ดงั นนั้ ~ (p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) ≡ ~ , ∧ , ≡ F 1. p → ~ q 4. ~ s 2. r ∨ s เสมอ ... นิเสธของประพจน์นจี้ ึงเปน็ สจั นริ นั ดร์ 3. r → q r 4. ~ s 3. r → q (20) p, q, r เปน็ ประพจน์ใดๆ รปู แบบทจี่ ะเปน็ จรงิ ผล p q เสมอกค็ ือ “สัจนริ นั ดร”์ นน่ั เอง 1. p → ~ q ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ~p F TT F FF T ทาํ เป็นเทจ็ ได้ แสดงว่าไม่เปน็ สจั นริ ันดร์ ไมส่ มเหตสุ มผล (24.1) ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) เน่อื งจากซา้ ยกบั ขวา 1. p → (q → r) ≡ q → (p → r) สมมลู กนั จึงเปน็ สจั นิรนั ดร์ 3. q ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) p→r F 2. s → p TF F FF T F F ผล s → r ทาํ เป็นเทจ็ ไม่ได้ เพราะคา่ r ขัดแย้งกนั (24.2) แสดงวา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์ 1. ~ p → q 2. q → ~ r ง. จากด้านซา้ ย (~ p ∨ r) ∧ (~ q ∨ r) ~p → ~r ≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ r ≡ (p ∨ q) → r ≡ r→p ไม่เหมือนดา้ นขวา ดงั นนั้ ไม่เปน็ สัจนิรนั ดร์ จ. จากด้านซา้ ย (~ p ∨ q) ∨ (~ p ∨ r) 3. ≡ ~ p ∨ (q ∨ r) ≡ p → (q ∨ r) ผล p แสดงวา่ 3. คอื r ไม่เหมอื นดา้ นขวา ดงั นนั้ ไม่เปน็ สจั นริ ันดร์ (25) ∴ ตอบวา่ ฉนั ไม่ขยนั สรุปวา่ ขอ้ ข. และ ค. ที่เป็นจริง (21) เนื่องจากซา้ ยและขวาสมมลู กัน ดงั นน้ั 1. p → ~ q เครอ่ื งหมายท่ใี ช้ได้คอื → กับ ↔ 2. q (22.1) 1. p → q ผล ~ p 2. q → s (26) วธิ คี ดิ 1. p → q p→s 3. ~ s 1. p → q 4. ~ q 2. ~ p → r ~p ~p 3. s → ~ r 4. ~ q 2. ~ p → r สมเหตุสมผล r (22.2) p → (r ∨ s) ผล ? 3. s → ~ r ~p∨r∨s สมเหตุสมผล ผล ~ s (23.1) แปลงจากประโยคคาํ พดู ดงั นน้ั ตอ้ งตอบวา่ ~ s เปน็ จรงิ แต่ในตวั เลอื กเปน็ ดังน้ี ให้เปน็ สญั ลกั ษณไ์ ดว้ า่ วธิ ีคดิ 1. p → q ก. ~ s ∨ p ข้อทใ่ี ช้ได้คอื ก. (เพราะเชอื่ มด้วย ∨ ) ข. s ∧ p เหตุ 1. p → q ค. ~ r ∧ ~ s ใชไ้ มไ่ ด้ เพราะเชอื่ มด้วย ∧ ซงึ่ เรา 2. (p ∧ q) → r 4. p ทราบวา่ ~ r เปน็ เทจ็ (เพราะในเหตนุ ั้น r เปน็ จรงิ ) 3. ~ (s ∧ r) ได้ q ง. p ∧ ~ q 4. p 2. (p ∧ q) → r (27) ก. เทจ็ เพราะมี x ที่ x2 > 0 คอื เมอ่ื x = 0 ผล s ได้ r ข. จรงิ เชน่ x = 2 จะได้ 8 > 4, 2 < 4 3. ~ s ∨ ~ r ค. เทจ็ เพราะถา้ x = 1 จะไมเ่ ปน็ จาํ นวนเฉพาะ ง. เทจ็ เพราะไมม่ ี x ใด ตรงตามเง่อื นไขเลย ≡ r→~s ไมส่ มเหตุสมผล ได้ ~ s Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 79 ตรรกศาสตร (28) ก. “สําหรบั ทุกๆ x ถ้า x เป็นจาํ นวนอตรรก (32.5) ∀x(x2 > 0 หรอื x = 0) จริง (ไมว่ า่ ยะแลว้ 2 เปน็ จาํ นวนตรรกยะ” x = −1, 0, 1 ก็จะจริงอันใดอนั หน่งึ เสมอ) T ... เทจ็ (เชน่ x = 3 ) (33.1) มี x บางตัวและ y บางตวั ทีท่ าํ ให้ ข. “มบี าง x ซึ่ง...ถา้ x เปน็ จาํ นวนตรรกยะแลว้ x2 + y > 2 จริง เช่น x = 1, y = 1 0.5 เป็นจํานวนอตรรกยะ” ... จรงิ (เช่น x = 2 จะได้ F → F เป็น T ) (33.2) มี x บางตวั ใช้ y ไดท้ ุกตวั เทจ็ ค. “สาํ หรับทุกๆ x ... x เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ หรอื เข่น x = −1 → y = 0 ไม่ได้ π ไม่เป็นจาํ นวนตรรกยะ” x = 0 → y = 0 ไมไ่ ด้ ... จรงิ เพราะ π ไม่เปน็ จาํ นวนตรรกยะ จรงิ เสมอ x = 1 → y = 0 ไมไ่ ด้ (, ∨ T ≡ T) (33.3) x ทกุ ตวั ใช้ y ได้บางตัว เท็จ เช่น x = 0 จะใช้ y ไมไ่ ดเ้ ลย ง. “มบี าง x ซึ่ง... x เปน็ จาํ นวนตรรกยะ และ (33.4) x ทกุ ตัว y ทกุ ตวั เทจ็ แนน่ อน เชน่ x = 0, y = 0 ก็ไมไ่ ด้แลว้ 22 ไมเ่ ป็นจํานวนอตรรกยะ” 7 ... จริง เพราะ 22 ไม่เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ จรงิ (34.1) เทจ็ เชน่ x = 1, y = −1 จะได้วา่ 2 ≠ 0 7 (34.2) ทกุ ๆ x จะใช้ y ได้บางตวั จริง เช่น เสมอ และลองแทนด้านหน้าใหจ้ รงิ ด้วย เชน่ x = 1 x = 0, y = 0 x = 0, y = 1 x = − 1, y = − 1 หมายเหตุ ∀x พสิ จู นใ์ หเ้ ทจ็ งา่ ย (34.3) บาง x ใช้ y ไดท้ กุ ตัว เทจ็ ∃x พิสจู นใ์ หจ้ ริงง่าย เช่น x = −1 ใช้ y = 1 ไม่ได้ (29) ก. “สาํ หรบั ทกุ x ... x > x2 ” x = 0 ใช้ y = 1 ไมไ่ ด้ ใน U = (0, 1)... จรงิ x = 1 ใช้ y = −1 ไม่ได้ (34.4) บาง x บาง y จรงิ ข. “สําหรบั ทุก x ... x เป็นจาํ นวนเฉพาะ หรอื (34.5) บาง x ใช้ y ไดท้ กุ ตวั เทจ็ เช่น x = 0, y = 0 ไมไ่ ด้ x = 1, y = 1 ไมไ่ ด้ ห.ร.ม. ของ 3 กับ x เปน็ 1 ” ... จรงิ เพราะ 2, 3, −5 เป็นจาํ นวนเฉพาะ, และ 8 มี ห.ร.ม. กบั x = −1, y = −1 กไ็ ม่ได้ 3 เป็น 1 ดงั นน้ั ก. ถกู ข.ผิด (30) ∃x (x3 + 5x − 1 < 4) เปน็ จรงิ เชน่ x = −1 (35.1) บาง x ใช้ y ไดท้ ุกตัว เทจ็ จะได้ −7 < 4 จรงิ ( y = x ไมไ่ ด)้ ∀x(|x2 − 1|< 0 → x > − 2) เป็นจริง (35.2) x ทกุ ตวั ใช้ y ไดบ้ างตวั จริง เพราะสว่ นทขี่ ดี เสน้ ใตเ้ ปน็ เทจ็ เสมอ คอื x = 2, y = −2 ได,้ x = −2, y = 2 ได้ และ F → , ≡ T สรปุ ขอ้ นต้ี อบ T ∧ T ≡ T (36) ก. ∀x∃y(xy = 1) เทจ็ เช่น x = 2 จะไมม่ ี y ∈ I ท่ใี ชไ้ ดเ้ ลย (31) ∃x(x2 − 1 เปน็ จาํ นวนนับ) จริง เชน่ x = 2 ∃x∀y(xy = y) จริง ถา้ x = 1 จะได้วา่ xy = y เสมอทุกๆ y จะได้ 22 − 1 = 3 เปน็ จาํ นวนนับ ∀x(x + 1 > 0) จรงิ (จาํ นวนนบั ใดๆ + 1 ยอ่ ม ดังนน้ั สรปุ ขอ้ นี้ F ↔ T ≡ F ข. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ ∃x∀y(xy = y) จรงิ มากกวา่ 0 ) (เหตุผลเดียวกับขอ้ ก.) ขอ้ นจ้ี ึงได้ F ↔ T ≡ F ∀x(2 < 0) เทจ็ เชน่ x = 1 จะได้ 2 < 0 ค. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ เชน่ x = 0 จะไมม่ ี x1 y ∈ R ทใ่ี ช้ไดเ้ ลย ดังนนั้ ขอ้ นต้ี อบ (T ∧ T) → F ≡ F (32.1) ∃x(x2 ≠ 1) จรงิ เชน่ x = 0 , ∃x∀y(xy = y) จรงิ (เหตุผลเดมิ ) ∀x(x2 ≠ 1) เทจ็ เชน่ x = 1 , ดังนนั้ T → F ≡ F (32.2) ∃x(x + 1 > 0) จรงิ เชน่ x = 0 ดังนน้ั ขอ้ น้ี F ↔ T ≡ F ∃x(x2 ≠ 1) จริง ดงั นัน้ T ∧ T ≡ T ง. ∀x∃y(xy = 1) จรงิ ไมว่ า่ x ∈ R+ ใด (32.3) ∃x(x + 1 > 0 และ x2 ≠ 1) จรงิ จะมี y ∈ R+ ใช้ไดเ้ สมอ ∃x∀y(xy = y) จรงิ (เหตุผลเดมิ ) เชน่ x = 0 ดงั นนั้ T ดังนนั้ ขอ้ น้ี T ↔ T ≡ T ... ตอบ ง. (32.4) ∀x(x2 > 0) เทจ็ เชน่ x = 0 ∀x(x = 0) เทจ็ เชน่ x = 1 ดงั นนั้ F ∨ F ≡ F Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 80 ตรรกศาสตร (37) ก. เท็จ เชน่ x = 10, y = 5 จะได้ 15 > 50 (41.4) 9 × 9876 + 4 = 88888 , ข. เทจ็ ไมม่ ี x, y ใดเลย ทีบ่ วกกนั แลว้ < 0 ได้ 9 × 98765 + 3 = 888888 ค. เทจ็ ไม่มี x ใด ที่ใช้ y ไดท้ ุกตวั (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 (ไมว่ า่ x ใด เราจะหา y ท่ี > x ได้เสมอ) (41.6) 1089 × 4 = 4356 , ง. จรงิ ทุกๆ x จะมีบาง y ซึ่ง y > x เสมอ 1089 × 5 = 5445 ดังนนั้ ตอบ ง. (41.7) ,2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) = 3 (81 − 1) (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) + 2 (243) = 3 (243 − 1) (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) , (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] 7 × 8 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] (42.1,42.2) (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] สมชาย (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) สมชาย (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] คน สิง่ ทีว่ า่ ยนาํ้ ได้ (38.8) ∃x∀y∃z (x + y < z หรอื xy > z) เป็นไปไดท้ ั้ง 2 แบบ จึงไม่สมเหตสุ มผล (39) ก. ถกู แล้ว (42.3) แต่ ข. ผดิ ตอ้ งเป็น ∃x[x < 6] ∧ ∃x[x < 8] คนคุยใน นร.หอ้ งนี้ เวลาเรยี น (40.1) a = −9 (เป็นจาํ นวนค่ี ติดลบ เรียงกนั / หรอื อาจมองวา่ ลดลงทีละ 2 กไ็ ด)้ (40.2) a = 22 (ลงทา้ ยดว้ ยเลข 2 และข้ึนหลัก สมเหตุสมผล เด็กดี ย่สี บิ / หรอื อาจมองวา่ เพ่มิ ทีละ 5 ก็ได)้ (40.3) a = 5 (จาํ นวนนับเรยี งกนั โดยติดลบสลับ (42.4) กับไม่ติดลบ) (40.4) a = 48 (บวกดว้ ยตวั มนั เองกลายเป็นพจน์ ถดั ไป / หรอื อาจมองวา่ คณู 2) ผทู้ าํ การบา้ น นกั เรยี น ผเู้ ลน่ ฟตุ บอล (40.5) a = −5 (ลดลงทีละ 2) ไม่เสร็จ หรอื a = 3 ก็ได้ (มองว่าหมนุ เวยี น) 3→1 อาจเป็นไปตามนไี้ ด้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล ↑↓ (40.6) a=5 −3 ← −1 (42.5) 6 (เศษสว่ นของจํานวนนบั เรยี งตดิ กนั ) (40.7) a = 25 (กําลงั สองของจาํ นวนนบั ) ฉัน (40.8) a = 3 3 3 3 3 (มีเลข 3 อยู่ 5 ตัว) ผู้เงินหมด ผ้โู ดยสารรถเมลไ์ ด้ (40.9) หลักหนว่ ยควรเป็น 7 เนอ่ื งจากหลักหนว่ ย สมเหตุสมผล เรียงกนั เป็นลาํ ดบั 5, 6, _, 8, 9 (42.6) ส่วนหลักทเ่ี หลอื ก็เป็นลาํ ดับ 12 , 7 2 , _, 4032, 3628 8 นกแก้ว ×6 ×9 สัตวน์ ํ้า สง่ิ ทบ่ี นิ ได้ พบวา่ 72 × 7 = 504 และ 504 × 8 = 4032 พอดี สมเหตุสมผล ดงั นน้ั ตอบวา่ 5047 (42.7) (41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555 (41.2) 9 × 9999 = 89991 , คนมี ฉนั ฉัน ความสขุ 9 × 99999 = 899991 คนยมิ้ แย้ม (41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 , เปน็ ไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล 12345 × 9 = 111111 − 6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 81 ตรรกศาสตร (42.8) (42.13) นกั เรยี น สมนกึ ผู้รา้ ย คนสวมแวน่ ตา สมเหตุสมผล ช่าง คนขยนั อาจเป็นตามนีไ้ ด้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล (42.14) (42.9) สมนึก สมนึก พระเอกหนัง นางแบบ ผู้ชาย ช่าง คนขยัน สมเหตสุ มผล เปน็ ไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล (42.15) (42.10) ไมส่ มเหตสุ มผล สุนขั เพราะในเหตไุ มไ่ ดร้ ะบุวา่ คนเป็นอะไร (ไม่ไดพ้ ูดถงึ คน, พดู ถึงแต่สตั ว)์ “ไม่ได้บอกวา่ คนเป็นสงิ่ มีชีวติ ” ห้ามใชค้ วามจรงิ บนโลกในการตัดสนิ ! สัตว์ (42.11) ผชู้ าย ส่ิงท่ีต้องหายใจ ครู ผชู้ อบด่ืมกาแฟ อาจเปน็ ตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล อาจเป็นตามน้ไี ด้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล (42.16) ไมส่ มเหตสุ มผล (42.12) เพราะในเหตไุ ม่ได้กลา่ ววา่ อะไรคอื “ผลไมท้ ที่ านได”้ (คล้ายขอ้ 42.10 คือหา้ มใชค้ วามรูส้ ึกในการตดั สิน, กุ้ง หา้ มใชค้ วามจรงิ บนโลกในการตดั สิน ใหย้ ดึ ถอื เฉพาะ เหตทุ ใี่ ห้มาเทา่ นน้ั ) ปลา สง่ิ ทีม่ ีสองตา (42.17) อาจเปน็ ตามน้ีได้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล นก เพนกวิน ส่งิ ที่บนิ ได้ ส่งิ ที่มปี กี อาจเป็นตามน้ีได้ ∴ ไม่สมเหตสุ มผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 82 ตรรกศาสตร eÃoè× §æ¶Á มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพ้ืนฐานของดจิ ติ ัล.. วชิ าตรรกศาสตรถ์ ูกใชเ้ ปน็ พืน้ ฐานของอุปกรณอ์ ิเลก็ ทรอนกิ ส์แบบดจิ ิตลั ซง่ึ ส่งสญั ญาณด้วยคา่ แรงดนั ไฟฟา้ เป็นสญั ญาณ “0” กับ “1” เท่านน้ั ...สญั ญาณ “0” ใช้แรงดนั 0 โวลต,์ เทียบได้กบั “False” ในตรรกศาสตร์ และสญั ญาณ “1” ใชแ้ รงดัน 5 โวลต์ (หรอื 12 โวลต์ แลว้ แตอ่ ุปกรณ)์ , เทียบไดก้ บั “True” ในตรรกศาสตร์ ชพิ ท่ฝี งั อยใู่ นอปุ กรณอ์ เิ ลก็ ทรอนกิ สจ์ ะมหี ลกั การทํางานเสมอื นเปน็ เขา้ inv ออก ตัวเชอื่ มทางตรรกศาสตร์ เรยี กตวั เช่อื มเหลา่ นว้ี า่ เกต (Gate) 0 1 เกตท่นี ยิ มใช้กนั ทัว่ ไปมดี งั น้ี 1 and (1) INVERTER (เทียบได้กับ “นิเสธ”) 0 เปล่ียน 0 เปน็ 1 และเปล่ยี น 1 เปน็ 0 0 1 or (2) AND (เทียบได้กับ “และ”) 1 จะเปน็ 1 เพียงกรณีเดยี วคอื สญั ญาณเข้าท้งั สองดา้ นเป็น 1 0 1 nand (3) OR (เทยี บได้กับ “หรือ”) 1 จะเป็น 0 เพียงกรณเี ดยี วคอื สญั ญาณเขา้ ทง้ั สองดา้ นเป็น 0 nor (4) NAND กับ NOR (อา่ นวา่ แนนด์ กบั นอร)์ 0 0 เป็นนเิ สธของ AND กับนิเสธของ OR ตามลาํ ดับ 1 คอื นาํ ผลท่ไี ดจ้ าก AND กับ OR มากลับคา่ ให้เปน็ ตรงกนั ขา้ ม xor 0 1 (5) XOR (อ่านวา่ เอ๊กซ-์ ออร)์ 1 จะเป็น 1 เมอื่ สญั ญาณเขา้ ดา้ นหนง่ึ เปน็ 0 และอกี ดา้ นเปน็ 1 เทา่ นนั้ (0 ท้ังคู่ กบั 1 ทง้ั คู่ จะใหผ้ ลเปน็ 0) 0 จากความรทู้ างตรรกศาสตรจ์ ะพบว่าเปน็ นเิ สธของ “ก็ต่อเม่ือ” นนั่ เอง ส่งิ ทน่ี า่ สนใจของดิจติ ัลคอื การมองตรรกศาสตร์เปน็ แบบคาํ นวณ คอื เม่อื เราให้ 0 แทน False และ 1 แทน True แลว้ จะพบวา่ ตวั เชอ่ื ม AND มีลกั ษณะเหมือนการคณู ส่วน OR นัน้ มลี กั ษณะเหมือนการการบวก (โดย ท่ี 1+1 จะตอ้ งเทา่ กับ 1, จะเป็น 2 ไปไมไ่ ดน้ ะครบั ..) ดงั ตารางนี้ A B A and B A B A or B A not A (AB) (A+B) (A ) 11 1 11 1 10 10 0 10 1 01 01 0 01 1 หมายเหตุ A nand B = AB = A + B 00 0 00 0 A nor B = A + B = A B เราสามารถนาํ พน้ื ฐานดจิ ติ ลั กลบั ไปประยกุ ต์ใชก้ บั วิชาตรรกศาสตรไ์ ด้ (แจกแจงนิเสธตามกฎตรรกศาสตร์) เพียงแค่ทราบวา่ “และคือคณู ”, “หรือคือบวก” เทา่ นเี้ องครับ :] A xor B ใชส้ ัญลกั ษณ์ A ⊕B Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 83 เรขาคณิตวเิ คราะห G(e,o) º··Õè 4 eâҤ³µi Çei ¤ÃÒaˏ เรขาคณติ วเิ คราะห์ (Analytic Geometry) เป็นวิชาคาํ นวณเก่ยี วกบั รูปเรขาคณิต โดยการเขียน กราฟลงบนพิกัดฉาก เชน่ การหาระยะระหวา่ งจดุ สอง จดุ , ระหวา่ งเส้นตรงค่ขู นานสองเสน้ , การหาพื้นทีร่ ปู หลายเหลีย่ ม, หรอื การหาความชนั ของเสน้ ตรง เปน็ ต้น ซง่ึ จะใช้เปน็ เครื่องมอื ชว่ ยในการแก้ปัญหาเกีย่ วกบั ความสัมพนั ธแ์ ละฟังกช์ ัน ในบทถัดไปได้ นอกจากนี้ ความสัมพนั ธ์ทพ่ี บบ่อยอาจมกี ราฟเป็นเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา ใน ระนาบ (Plane) หนง่ึ ๆ เราจะอ้างถงึ ตาํ แหนง่ หรอื จดุ ใดๆ y ไดด้ ว้ ยคา่ พกิ ัด (Coordinate) โดยระบบทีน่ ิยมใชม้ ากท่สี ุดคือระบบ Q2 Q1 พกิ ดั ฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบด้วยเสน้ จํานวน 2 เส้น (−, +) (+, +) x ต้ังฉากกนั ณ จุดท่ีสมมติใหเ้ ป็น จดุ กําเนดิ (Origin; หรอื จดุ O) เรยี กช่อื เสน้ นอนและเส้นต้งั วา่ แกน x และแกน y ตามลาํ ดับ Q3 O Q4 แกนทั้งสองนตี้ ดั กัน แบง่ พื้นท่ีในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน (−, −) (+, −) เรยี กแตล่ ะส่วนว่า จตภุ าค (Quadrant; Q) ไดแ้ ก่ จตุภาคที่ 1, 2, 3, และ 4 ดังภาพ การอ้างถึงพกิ ดั ในระบบพิกดั ฉาก นิยมเขียนในรูป คอู่ ันดบั (Ordered Pair) ที่สมาชกิ ตัว แรกแทนระยะทางในแนว +x และตวั หลงั แทนระยะทางในแนว +y เชน่ คู่อนั ดบั (2, 4) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 84 เรขาคณิตวเิ คราะห 4.1 เบอื้ งต้น : จดุ การเขยี นชอื่ จดุ นยิ มใชต้ วั อักษรใหญ่ เช่น จุด P, จุด Q และอาจเขียนกํากับดว้ ยคู่อันดบั ใน พกิ ดั ฉาก เป็น P (x, y) ใดๆ เชน่ Q (2, 4) ใชแ้ ทนจดุ ทีช่ ่อื Q และมีพิกัดเปน็ (2, 4) [1] ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ช้แทนระยะหา่ ง ระหว่างจุด P กบั Q คือ PQ Q (x2,y2) พิสจู น์ได้จาก ทฤษฎีบทปที าโกรัส (Pythagorean Theorem) PQ = (x2−x1) 2+ (y2−y1) 2 เพ่มิ เติม P (x1,y1) สูตรระยะทางระหว่างจุดนีจ้ ะไดน้ ําไปใช้อกี ครั้งและ ขยายผลออกเปน็ ระยะทางในสามมิติ ในเรื่อง เวกเตอร์ (บทท่ี 10) และนอกจากนัน้ ยังใช้คํานวณ ค่าสมั บูรณข์ องจํานวนเชงิ ซ้อน (ในบทท่ี 11) ดว้ ย [2] จดุ กึง่ กลางระหว่างสองจุด จุดที่แบ่งระยะทางเปน็ อัตราส่วน m:n Q (x2,y2) Q (x2,y2) m R (x1+ x2 , y1+ y2) n R (mx1+ nx2 , my1+ ny2) 22 m+n m+n P (x1,y1) P (x1,y1) [3] จุดตดั ของเส้นมัธยฐานของสามเหลยี่ ม เส้นมธั ยฐาน คอื เสน้ ตรงท่ีเชื่อมจดุ ยอดจุดหนึ่งกบั จุดก่งึ กลางของดา้ นตรงขา้ ม ซึง่ จดุ ตดั ของ เส้นมธั ยฐาน (เรียกวา่ จดุ Centroid) จะแบง่ เส้นมัธยฐานแตล่ ะเสน้ ออกเปน็ อัตราส่วน 2 : 1 เสมอ R (x3,y3) P (x1,y1) C C (x1+ x2+ x3 , y1+ y2+ y3) 33 Q (x2,y2) [4] พ้นื ท่ขี องรูปหลายเหลีย่ ม คํานวณไดโ้ ดย นาํ ค่อู ันดบั ของจุดยอดมาตัง้ เรียงแบบทวนเขม็ นาฬกิ าใหค้ รบทุกจดุ (โดยวนกลับมาท่ี จดุ แรกอกี ครง้ั ด้วย) จากนนั้ คณู ลงเครือ่ งหมายเดิม คูณขน้ึ เปล่ยี นเครื่องหมาย (วิธีการเดียวกบั การ หา det ในเรอ่ื งเมตริกซ์ บทที่ 9) นาํ คา่ ทไ่ี ดร้ วมกันแลว้ หารสอง จะเป็นพื้นทีข่ องรูปหลายเหลี่ยมนน้ั T (x5,y5) S ¢Œo¤Ç÷ÃÒº! S x1 y1 P (x1,y1) 1. 㪌¡aºÃ»Ù ¡èeÕ ËÅÕèÂÁ¡ç䴌 eª¹‹ 3 eËÅÂèÕ Á eÃÒ¡çµoŒ §¤³Ù ŧ 3 ¤Ãé§a ¤³Ù ¢éÖ¹ 3 ¤Ãé§a x2 y2 2. ¶ŒÒäÁe‹ ÃÕ§¨´u µÒÁeʹŒ ÃoºÃÙ» ¤Òí µoº·èÕ พืน้ ที่ = 1⋅ x3 y3 S (x4,y4) ä´¨Œ a¼´i ... 测¶ÒŒ eÃÂÕ §µÒÁe¢çÁ¹ÒÌ¡i Ò 2 x4 y4 x5 y5 x1 y1 Q (x2,y2) R (x3,y3) ¤Òí µoº·èäÕ ´Œ¨ae»š¹ µ´i ź¢o§¤‹Ò·Õ¶è Ù¡µoŒ § = 1 (x1y2+ x2y3+ x3y4+ x4y5+ x5y1− x2y1− x3y2− x4y3− x5y4− x1y5) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 85 เรขาคณิตวิเคราะห แบบฝกึ หัด 4.1 (1) กาํ หนดจดุ P1 (1, 7) และ P2 (−5, 2) ใหห้ าคา่ P1P2 (2) ถ้า P, Q เป็นจุดก่งึ กลางของ AB , CD ตามลําดับ เมื่อกําหนด A (2, 7), B (6, −3) , C (−2, 5), และ D (8, 1) ใหห้ าความยาวของ PQ y (3) กําหนดส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน OBCD ดังภาพ, P เปน็ จุดก่ึงกลาง D (2,4) C ของ BC , และ PC = PQ จงหาขนาดพื้นท่ีสามเหลี่ยม PQC PQ (4) กําหนดสามเหลยี่ ม ABC มจี ดุ ยอดมมุ อยู่ท่ี A (5, −3), B (−6, 1), C (1, 8) แลว้ สามเหล่ียมรปู น้เี ป็นสามเหลยี่ มชนิดใด O B (2,0) x (5) สามเหลยี่ ม ABC มจี ดุ กง่ึ กลางดา้ นทง้ั สามเป็น P (−2, 1), Q (5, 2) , R (2, −3) ใหห้ าความยาว เสน้ รอบรปู สามเหลีย่ ม ABC นี้ (6) กําหนดสามเหล่ยี มรูปหนึ่งมีจุดยอดอยทู่ ่ี A (2, 8) , B (6, 12) , C (−2, −4) ถ้าจดุ P และ Q อยู่ บนด้าน AB และ BC ตามลําดับ โดยมอี ัตราส่วน AP : PB = 1 : 3 , BQ : BC = 3 : 4 ให้ หา PQ (7) ขอ้ ใดถกู หรือผิดบ้าง เม่อื กําหนด ก. จุด A (10, 5), B (3, 2), C (6, −5) เปน็ จุดมมุ ของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ข. จดุ D (1, 2) , E (−3, 10) , F (4, −4) อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน ค. จดุ A (−2, 3), B (−6, 1), C (−10, −1) อยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั (8) จงหาจดุ P บนแกน x ซ่งึ อยู่ห่างจากจุด P1 (1, −2) และ P2 (3, 5) เปน็ ระยะเทา่ กนั (9) ใหห้ าจดุ ศูนย์กลางของวงกลม ซ่งึ ผ่านจุด (1, 7), (8, 6), (7, −1) (10) ให้หาผลบวกของความยาวเส้นมธั ยฐาน ของสามเหล่ียม ทีม่ จี ุดยอดอยูท่ ี่ A (2, −1), B (4, 3) , และ C (−2, 5) (11) ถ้า (m, n) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ของสามเหล่ยี มทีม่ ีจุดยอดอยู่ท่ี (4, 5), (−4, 7), และ (4, 1) แลว้ จงหาค่า m − n (12) สามเหลย่ี ม ABC มจี ุดยอดเป็น B (6, 7), C (−4, −3) ถา้ จดุ P (4/3, 1) เปน็ จุดตัดของเส้น มธั ยฐานแลว้ เสน้ มธั ยฐานท่ลี ากจาก A มีความยาวเท่าใด (13) P เปน็ จดุ กึง่ กลางระหว่าง (13, 2) และ (−13, −2), Q เป็นจดุ กึ่งกลางระหว่าง (6, 10) และ (0, 14), R เป็นจุดก่ึงกลางระหว่าง (8, 4) และ (16, −4) ให้หาพ้นื ทแี่ ละตาํ แหนง่ จดุ ตัดของเสน้ มัธย ฐาน ของรูปสามเหลยี่ ม PQR (14) จงหาผลตา่ งของพื้นทีส่ ามเหลีย่ ม ABC และ PQR เม่ือกําหนดตาํ แหนง่ จดุ ยอดให้ ดงั นี้ A (1, 3) , B (−2, 0) , C (3, −5) , P (0, 0), Q (8, 18) , และ R (12, 27) (15) กาํ หนดจุด P (3, −2) , Q (−2, 3), R (0, 4) แลว้ ข้อใดถกู หรอื ผิดบ้าง ก. ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลย่ี ม PQR เป็น 9 5 หนว่ ย Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 86 เรขาคณิตวิเคราะห ข. พื้นทีร่ ูปสามเหลย่ี ม PQR เปน็ 15 ตารางหนว่ ย (16) ให้หาพ้ืนทร่ี ปู หา้ เหลย่ี มซ่ึงมีจุดยอดอยทู่ ี่ A (1, 4), B (−3, −2), C (−1, −3), D (−4, 5) , และ E (−2, 7) 4.2 เบื้องต้น : เสน้ ตรง เราสามารถสรา้ งเสน้ ตรงทผ่ี ่านจุดสองจดุ ทีก่ ําหนดให้ เช่น จดุ P กบั Q ใดๆ ไดเ้ สมอ และ เขียนแทน “ส่วนของเสน้ ตรง” ทเี่ ชือ่ มระหว่างจุด P กับ Q ดว้ ยสญั ลักษณ์ PQ นอกจากน้นั นิยมต้งั ชือ่ “เส้นตรง” ดว้ ยอักษร L เชน่ เส้นตรง L1 , เสน้ ตรง L2 [1] ความชนั (Slope; m) ของเสน้ ตรง ที่ทราบจดุ ผา่ นสองจุด เสน้ ตรงสองเส้น ขนานกัน (Parallel; ) ก็ต่อเม่ือ มีความชันเท่ากนั และเส้นตรงสองเสน้ ต้งั ฉากกนั (Perpendicular; ⊥ ) กต็ ่อเมอื่ ความชนั คูณกนั เปน็ -1 Q (x2,y2) =m = tan θ y2− y1 x2− x1 θ P (x1,y1) ถ้า m > 0 (เปน็ ค่าบวก) แสดงว่า กราฟเฉยี งข้ึนทางขวา ถ้า m < 0 (ตดิ ลบ) แสดงว่า กราฟเฉยี งลงทางขวา ถา้ m = 0 แสดงว่า เปน็ เส้นนอนขนานแกน x และถ้าเปน็ เสน้ ตั้งขนานแกน y จะไดว้ ่า m หาค่าไม่ได้ [2] สมการของเสน้ ตรง [2.1] เม่อื ทราบจุดผา่ นจดุ หน่งึ (x1, y1) และคา่ ความชัน m m เราใช้ความสมั พันธ์ของความชนั คอื y − y1 = m x − x1 P (x1,y1) หรอื จัดรปู ไดว้ ่า y − y1 = m (x − x1) [2.2] เมอื่ ทราบจุดผา่ นสองจดุ ,(x1, y1) (x2, y2) ให้คาํ นวณคา่ ความชันจากสองจดุ นี้ก่อน แล้วจึงทําตามข้อ (2.1) Q (x2,y2) โดยเลอื กใช้จุดใดก็ไดจ้ ุดเดยี ว สมการท่ีได้จะเปน็ y − y1 = ⎛ y2 − y1 ⎞ (x − x1) ⎜ ⎟ P (x1,y1) ⎝ x2 − x1 ⎠ [2.3] เมอ่ื ทราบ ระยะตัดแกน (Intercept) ทงั้ สองแกน y สามารถใชส้ มการเส้นตรงในรูป Intercept Form ไดแ้ ก่ x + y = 1 ab เมอื่ a, b คือ ระยะตดั แกน x และ y ตามลาํ ดับ b หรือกลา่ วว่าเส้นตรงตดั แกน x ทีจ่ ดุ (a,0) Oa x และตัดแกน y ทจ่ี ดุ (0,b) โดยที่ a, b อาจเป็นค่าตดิ ลบกไ็ ด้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 87 เรขาคณติ วิเคราะห ขอ้ ควรทราบ 1. สมการเส้นตรงมีรูปทั่วไป (Common Form) เปน็ A x + B y + C = 0 2. สมการเส้นตรงทน่ี ิยมใชป้ ระโยชน์มอี ยู่ 3 รปู แบบ ได้แก่ Slope-Intercept Form y = mx + c เมอ่ื c คอื ระยะตัดแกน y Slope-Point Form y − y1 = m (x − x1) S ¨u´·è¼Õ ´i ºo‹ Â! S Intercept-Intercept Form x+y =1 ab eÁ×oè ¨aËÒ¤ÇÒÁªa¹o´Â –A/B ¹¹éa 3. เมื่อนาํ รูปทัว่ ไป มาจัดขา้ งตวั แปรใหม่ จะได้ y = − A x − C ¤ÇèÒí Çҋ µ´i ź˹ŒÒ x ÊNj ¹´ŒÇ BB ˹ŒÒ y e¾×èoäÁ‹ãˌ㪌¼i´µÇa æÅaµoŒ § ทําใหท้ ราบวา่ ค่าความชัน m = − A และระยะตัดแกนวาย c = − C ¨a´ÊÁ¡ÒÃãˌo‹ãÙ ¹ÃÙ» Ax+By+C BB =0 ¡‹o¹eÊÁo ¹a¤Ãaº.. • ตัวอยาง กําหนดพกิ ดั จดุ P (1, 3) และ Q(5, 9) ก. ความชันของเสน ตรงทีผ่ านจดุ P และ Q เทา กับเทาใด ตอบ mPQ = 9−3 = 3/2 5−1 ข. ใหหาสมการเสนตรง L1 ซึ่งต้ังฉากกับ PQ และผานจุดก่ึงกลางของ PQ วิธีคดิ เนือ่ งจาก L1 ตั้งฉากกับ PQ ดงั น้นั mL1 = −2 (ความชนั คณู กนั ตองได −1 ) 3 จุดก่ึงกลางของ PQ อยทู ีพ่ กิ ัด (1 + 5 , 3 + 9) ... น่ันคือ (3, 6) 22 สราง L1 ไดจากความชันและจดุ ทีผ่ า น คือ (y − 6) = − 2 (x − 3) ... จดั รปู ใหมใ หสวยงาม 3 ไดเ ปน 3y − 18 = −2x + 6 ... และกลายเปน 2x + 3y − 24 = 0 • ตวั อยา ง เสน ตรง L5 ตัดแกน y ที่ (0, 1/3) และมีระยะตัดแกน x ทางลบเทา กับ 1/2 หนวย สวน เสน ตรง L6 ผา นจุด (−1, 2) และต้งั ฉากกบั L5 ก. เสน ตรง L5 และเสนตรง L6 มีความชนั เทาใด ตอบ เมือ่ วาดกราฟคราวๆ จะไดว า mL5 = 1/ 3 = 2/3 1/2 เสน ตรง L6 ต้ังฉากกับ L5 ดงั นนั้ mL6 = −3/2 หมายเหตุ : ระยะตัด “แกน x ทางลบ” เทา กับ 1/2 หมายความวา ตดั แกน x ที่จุด (−1/2, 0) ข. จดุ ที่เสน ตรงทง้ั สองตั้งฉากกนั อยทู ีพ่ กิ ดั ใด วธิ ีคดิ สรา งสมการเสน ตรง L5 และ L6 กอน ... เสน ตรง L5 อาจสรา งไดโดยระยะตดั แกนทงั้ สอง x + y = 1 จดั รูปเปน 2x − 3y = −1 −1/2 1/ 3 เสน ตรง L6 สรา งไดเปน (y − 2) = − 3 (x + 1) จัดรปู เปน 3x + 2y = 1 2 จุดที่เสน ตรงทัง้ สองตั้งฉากกนั กค็ ือจดุ ตดั ของสองเสนตรง หาไดจากการแกระบบสมการ ไดค าํ ตอบเปน (1/13, 5/13) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 88 เรขาคณิตวิเคราะห [3] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น S ¢oŒ ¤ÇÃÃaÇa§! S Ax+By+C1=0 d= C2− C1 ¨aµoŒ §¨a´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃeʌ¹µÃ§·§aé Êo§eʹŒ ãËoŒ ‹٠d A2+ B2 ã¹ÃÙ» Ax+By+C=0 eÊÁo... æÅa¶ŒÒ¤Ò‹ A, Ax+By+C2=0 d= B ¢o§Êo§ÊÁ¡ÒÃäÁe‹ ËÁ×o¹¡a¹ µŒo§ËÒ [4] ระยะหา่ งระหว่างจดุ กับเส้นตรง ¤‹Ò¤§·èÁÕ Ò¤Ù³ãˌeËÁ×o¹¡a¹¡o‹ ¹¹a¤Ãaº P (x1,y1) d A x1 + B y1 + C A2+ B2 Ax+By+C=0 • ตวั อยาง กาํ หนดเสน ตรง L1 : 2x + 3y − 24 = 0 ก. ระยะทางจากจุด S(−2, 5) ไปยังเสน ตรง L1 เทา กับเทาใด 2(−2) + 3(5) − 24 13 = 13 ตอบ หนว ยdSL1 = = 13 22 + 32 ข. ใหห าสมการเสนตรงทีอ่ ยูหา งจาก L1 เปน ระยะ 2 13 หนวย วธิ ีคิด สมการเสนตรงทีไ่ ด จะตอ งขนานกับ L1 (มีความชันเทา กัน) จงึ จะทําใหร ะยะหา งคงที่ได ดังนน้ั ใหสมการที่ตองการ เปน 2x + 3y + C = 0 แลว หาคา C ทีถ่ กู ตอ ง จากสมการระยะหา ง นนั่ คือ 2 13 = − 24 − C ... ยา ยขางและถอดคาสมั บรู ณ ไดเปน ±26 = −24 − C 22 + 32 จะไดค า C = 2, −50 จงึ ตอบวา 2x + 3y + 2 = 0 และ 2x + 3y − 50 = 0 ค. ใหหาจุดบนเสนตรง L2: 2x + y − 6 = 0 ซ่งึ อยูหา งจาก L1 เปน ระยะ 2 13 หนวย วิธีคิด สมมติวา จุดทีต่ องการคือ (x1, y1) จะไดสมการระยะหาง ดงั นี้ 2 13 = 2x1 + 3y1 − 24 ซงึ่ จะพบวา ติดสองตวั แปร ... แตใ นทีน่ ี้เราสามารถแกไดเพราะโจทยก าํ หนด 22 + 32 มาดว ยวาจดุ (x1, y1) อยบู นเสนตรง 2x + y − 6 = 0 ... ดังนนั้ 2x1+ y1− 6 = 0 นําไปแทนทีใ่ นคา สัมบรู ณแ ลวแกส มการตามปกติ ไดผ ลเปน x1= −8, 5 ถา x1= −8 ได y1= 22 และถา x1= 5 ได y1= −4 ... จงึ ตอบวาจุดที่ตองการ คือ (−8, 22) และ (5, −4) หมายเหตุ ขอ ค. สามารถคดิ ไดอ ีกวิธี คือ หาจากจุดตดั ระหวางเสนตรง L2 กับเสนตรงที่เปน คาํ ตอบของ ขอ ข. เพราะเสน ตรงในขอ ข. กค็ ือเสน ทีห่ า งจาก L1 อยู 2 13 หนวยแลว • ตัวอยาง กําหนดสมการเสน ตรง L3 คือ 3x + y = 2 3 และ L4 คือ 3x + 3y = 18 ก. เสน ตรงที่ขนานกบั L3 จะตอ งมีความชนั เทา ใด ตอบ คิดจาก −A/B จะงายทีส่ ดุ เพราะไมตองจดั รูป ... ไดคาํ ตอบเปน − 3/1 = − 3 ข. มมุ ระหวา ง L4 กับแกน x ที่เปน มุมแหลม มีขนาดกี่องศา วิธีคิด หาความชันของ L4 กอ น ไดเ ปน −3/ 3 = − 3 จากนั้นพจิ ารณาวาความชนั คือ อตั ราสวนแกนตง้ั ตอแกนนอน ( y : x ) ในที่นี้เทากบั 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 89 เรขาคณิตวิเคราะห คิดจากตรีโกณมติ ิ จะพบวามมุ ทีท่ ํากับแกน x จะเทา กบั 60° (หมายเหตุ : มมุ ที่ได จะเทา กันไมวา ความชันเปน บวกหรือลบ เพียงแตเอียงคนละทศิ กนั ) ค. วงกลมใดๆ ทีอ่ ยรู ะหวา ง L3 กบั L4 จะมีรศั มีไดมากที่สดุ หนว ย วธิ ีคิด เนื่องจากเสน ตรง L3 กบั L4 ขนานกนั (จากความชันที่คาํ นวณได ในขอ ก. และ ข.) ถา เราทราบระยะหา งระหวา งสองเสนนี้ ก็จะทราบวา วงกลมตรงกลางมีขนาดใหญท ีส่ ดุ ไดเทาใด ระยะหางระหวางเสนตรง คดิ จาก d = C2− C1 ... แตในขอ นีค้ า A,B ของเสนตรงทง้ั สองไม A2+ B2 เหมือนกนั จึงตอ งปรับใหเทา กัน เชน หารสมการ L4 ดวย 3 กลายเปน 3x + y = 6 3 ดงั น้นั dL3L4 = 6 3 −2 3 = 43 = 2 3 ... สรุปวา วงกลมทีจ่ ะอยรู ะหวาง L3 กบั L4 ได 32+ 12 2 จะตอ งมีเสนผา นศนู ยก ลางไมเกิน 2 3 หนว ย หรือ รศั มีทีม่ ากทีส่ ุดเทา กบั 3 หนวย ง. พืน้ ที่ของรูปสามเหลีย่ มทีป่ ด ลอ มดว ย ,L3 แกน x , และแกน y มีขนาดเทาใด วธิ ีคิด เสน ตรงใดๆ ทีค่ วามชนั หาคา ไดแ ละไมเทา กบั 0 และไมผ านจุด (0, 0) ยอ มทาํ ใหเ กิดรปู สามเหลีย่ มที่มีดา นประกอบมมุ ฉากเปน แกน x และแกน y ไดเ สมอ ... ซ่ึงขนาดของพืน้ ทีส่ ามเหลีย่ มนี้ หาไดงายๆ ดว ยระยะตดั แกน x และแกน y นนั่ เอง ในขอ นี้ ระยะตดั แกน x (แทน y = 0 ) เปน 2 และระยะตัดแกน y (แทน x = 0 ) เปน 2 3 ... ดงั นั้นขนาดพืน้ ที่สามเหลี่ยม เทากบั (1/2) × (2) × (2 3) = 2 3 ตารางหนว ย [5] ขนาดของมุมทเ่ี กดิ จากเส้นตรงสองเส้นตัดกัน m1 m2 tan θ = m1 − m2 1 + m1m2 θ การหาเสน้ ตรงท่แี บง่ คร่ึงมุม θ นีพ้ อดี จะใช้ความสัมพนั ธท์ วี่ ่า “ระยะทางจากจดุ บนเส้นตรงน้ี ไปยังเส้นตรงทก่ี ําหนดให้ทง้ั สองเส้น จะเทา่ กันเสมอ” น่นั คือ A1x + B1y + C1 = A2x + B2y + C2 A21 + B21 A22+ B22 ซงึ่ คําตอบทไี่ ด้จะมีสองคําตอบ (เปน็ เสน้ ตรงท่ีแบ่งคร่งึ มุมแหลม Ans1 และมุมปา้ น) ท่ีต้งั ฉากกนั ดงั ภาพ Ans2 [6] ภาพฉาย (Projection) บนเส้นตรง ภาพฉายของ P1P2 บนเสน้ ตรง L คือ Q1Q2 ภาพฉายของจุด P บนเส้นตรง L คอื จดุ Q P2 (x2,y2) P (x1,y1) L: Ax+By+C=0 Q P1 (x1,y1) Q2 L: Ax+By+C=0 Q1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 90 เรขาคณติ วิเคราะห การคาํ นวณหาตําแหน่งภาพฉาย สามารถคํานวณได้หลายวธิ ี เชน่ คาํ นวณจากความชัน เปน็ วธิ ีทส่ี ะดวกทีส่ ุด (โดยสร้างสมการเส้นตรงทผี่ ่านจดุ P และตงั้ ฉากกับเสน้ ตรง L แล้วจึงแก้ระบบ สมการหาจดุ ตัดของเส้นตรงสองเสน้ ) หรอื คํานวณจากระยะทาง (โดยสรา้ งสมการเพ่อื หาจุดที่ห่าง จากจุด P เป็นระยะเท่าท่ีกาํ หนด ซ่ึงจะได้เป็นสมการวงกลม แล้วจงึ แกร้ ะบบสมการหาจดุ ตัดของ วงกลมกบั เส้นตรง) ภาพฉายของจดุ P (x1, y1) ใดๆ บนเส้นตรงทมี่ สี มการ “ y = x ” (คือเส้นตรงเฉยี งขน้ึ ทางขวา ทาํ มมุ 45° กับแกน x) ได้แก่ จุด Q (x1+ y1 , x1+ y1) 22 แบบฝึกหดั 4.2 (17) ถา้ A (1, 2), B (2, k), C (3, 4) อย่ใู นแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั ให้หาคา่ k (18) จุด (1, y) อยบู่ น PR ซ่ึงมพี กิ ดั P (−2, 6) และ R (4, −2) ใหห้ าค่า y (19) AB ตดั แกน x และ y โดยมีระยะตดั แกน x ทางบวก 4 หน่วย และแกน y ทางบวก 3 หนว่ ย จุดตัดสองจุดนีแ้ บง่ AB ออกเป็น 3 ส่วนเทา่ ๆ กันพอดี จงหาพกิ ดั ของ A กบั B (20) หากกาํ หนดพกิ ัด A (4, 5), B (1, 2), C (2, 8), D (−2, 4) แลว้ AB ขนานกับ CD หรือไม่ (21) จงหาจดุ D ท่ีทําให้ ABCD เปน็ ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน เมื่อ A (−4, 1), B (−5, −4) , C (1, −2) (22) ถา้ เสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด (k, 7) , (−3, −2) ตงั้ ฉากกบั เส้นตรงที่ผา่ นจุด (3, 2), (1, −4) แล้ว ค่า k เปน็ เทา่ ใด (23) ถ้าเสน้ ตรงท่ีผ่านจดุ A (1, 5) และ B (3, 6) ตั้งฉากกบั เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ C (m, 4) และ D (−1, −m) แล้ว จงหาคา่ m (24) วงกลมวงหนง่ึ มีจุดศูนยก์ ลางที่ C (5, 6) มเี สน้ ตรง L มาสัมผัสที่จุด (−3, 1) ใหห้ าความชันของ เสน้ ตรง L (25) จงหาความยาวเส้นผ่านศูนยก์ ลางของวงกลม ทลี่ อ้ มรอบรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ซงึ่ มพี กิ ัด เปน็ A (1, 7), B (8, 6) , C (7, −1) (26) ให้หาคาํ ตอบของข้อ (7) โดยใชค้ วามรู้เรื่อง ความชนั ของเสน้ ตรง (27) จงหาสมการเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (3, 0) และ (0, 2) (28) เส้นตรง L ผา่ นจุด (−2, −5) และ (1, 3) ถามว่ารูปสามเหลี่ยมท่ปี ิดล้อมด้วยเสน้ ตรงเสน้ น้ี กับ แกน x และแกน y มีพื้นที่เท่าใด (29) จงหาสมการเสน้ ตรงทผี่ ่านจุด (6, 8) และจุดตดั แกน x ของ 3x + 4y = 12 (30) รูปสี่เหลย่ี ม ABCD มีจุดมุมอย่ทู ่ี A (1, 2), B (−2, −1) , C (−3, −6), D (2, −5) ถ้า P เปน็ จุดตัดของเส้นทแยงมุม แล้ว P จะอยูห่ า่ งจากจดุ กาํ เนิดก่หี นว่ ย (31) จงหาสมการเส้นตรงท่ีขนานกับ 2x + 3y + 10 = 0 และผา่ นจดุ ท่ี x + y = 1 ตัดกับ 2x + y = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 91 เรขาคณติ วเิ คราะห (32) เส้นตรงสองเส้นตง้ั ฉากกันทจ่ี ุดตัดแกน x พอดี หากเส้นหน่งึ มสี มการเปน็ 3x − 4y + 5 = 0 แลว้ ใหห้ าวา่ อีกเส้นหนึง่ ตัดแกน y ท่ีจดุ ใด (33) หากเสน้ ตรง L ตั้งฉากกบั 2x + 3y + 5 = 0 และผ่านจดุ (1, 5) ถามว่าเส้นตรง L ตดั แกน x ท่ีจดุ ใด (34) ให้ M เป็นเสน้ ตรง 3x − 3y + 5 = 7 และ N เปน็ เสน้ ตรง 2x − 5y + 7 = 4 จงหาสมการ เสน้ ตรง L ที่ขนานกับ M และมีระยะตดั แกน y เท่ากบั N (35) เสน้ ตรง L1 ผา่ นจดุ (2, 2) และ (−2, 0), เส้นตรง L2 ตงั้ ฉากกับ L1 ที่จุด (−2, 0) และ เสน้ ตรง L3 มีสว่ นตัดแกน x เป็น 4/3 แกน y เป็น –4 จงหาพืน้ ทสี่ ามเหลีย่ มท่ีปดิ ลอ้ มด้วย เสน้ ตรงสามเส้นน้ี (36) กําหนด L1 มสี มการเป็น 2x − 3y + 6 = 0 , L2 ผา่ นจุด (−2, 3) และขนานกับ L1 หาก L3 ผา่ นจดุ (2/3, −1) และตั้งฉากกบั L1 แล้ว ถามวา่ L2 กับ L3 ตดั กันท่ีจดุ ใด ใน ควอดรันต์ใด (37) สมมติว่า A (3, k) อยูใ่ นควอดรนั ตท์ ี่ 1 และเป็นจุดบนวงกลมที่มจี ุดศนู ยก์ ลางท่ีจดุ กําเนดิ และ รศั มี 4 หน่วย ถ้าเสน้ ตรง L สัมผสั วงกลมนี้ท่ีจดุ A แลว้ ให้หาระยะตัดแกน x ของเส้นตรง L (38) เส้นตรง L เป็นเส้นสัมผัสวงกลมซึง่ มีศูนยก์ ลางท่ี A (−1, 2) โดยสัมผัสกนั ที่จดุ B (2, −1) และ ทาํ ให้เกดิ สามเหลีย่ ม PQR ทป่ี ดิ ลอ้ มด้วยเส้นตรงเสน้ น้ี, แกน x, และแกน y พิจารณาข้อความ ขอ้ ใดถูกหรือผิดบา้ ง ก. ความยาวรอบรปู สามเหล่ียม PQR คอื 6 + 3 2 หนว่ ย ข. พน้ื ทส่ี ามเหล่ยี ม PQR มขี นาด 4.5 ตารางหนว่ ย (39) หากสามเหล่ียม ABC มจี ดุ ยอดท่ี A (−2, 5), B (4, 8), C (2, −3) จงหาสมการเส้นตรงทผี่ า่ น จุดกงึ่ กลางดา้ นท้ังสองซง่ึ ส้นั กว่าด้านท่สี าม และหาระยะตัดแกน x และ y ของเส้นตรงน้ี (40) ถา้ ระยะที่เส้นตรงเส้นหน่ึงตัดแกน x เปน็ สองเทา่ ของระยะตดั แกน y และเสน้ ตรงน้ีผา่ นจดุ (1, 3) แล้ว ให้หาเสน้ ตรงน้ี (41) เสน้ ตรงท่ีผ่านจดุ (−2, 4) และมีผลบวกของ X-intercept กบั Y-intercept เป็น 9 จะมีความ ชันเทา่ ใด และตดั แกน x ทใี่ ด (42) [Ent’24] เส้นตรง L มคี วามชนั เป็น 0.5 และผา่ นจุด C (−3, 0) ตัดแกน y ที่จดุ A หากลาก AB ตง้ั ฉากกับ L โดยจดุ B นนั้ ทําใหม้ ีเส้นตรงขนานแกน y ผา่ นจุด B ตัดแกน x ทีจ่ ุด C ได้ ถามว่า BC มีคา่ เท่าใด (43) สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ซ่งึ มีมุม B เป็นมมุ ฉาก มจี ดุ A อยทู่ ี่ (−3, 5), จดุ C อยูท่ ี่ (4, −4) , และมคี วามชันของ AB เป็น 3/2 น้ัน มขี นาดก่ตี ารางหน่วย (44) เส้นตรง 2x − 3y = 6 และ 4x − 6y = 25 อยู่ห่างกนั ก่ีหน่วย (45) จงหาค่า C ท่ที าํ ให้เสน้ ตรง Ax + 2y + C = 0 อยหู่ า่ งจาก 3x − 4y − 5 = 0 หนึง่ หนว่ ย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 92 เรขาคณติ วเิ คราะห (46) เส้นตรง L1 ขนานกับ L2 โดยอยหู่ า่ งกัน 4 หน่วย หากเส้นตรง L ซ่งึ มีสมการเปน็ 12x − 5y − 15 = 0 นั้นขนานกบั L1 และอยหู่ า่ งจาก L1 , L2 เปน็ ระยะเท่าๆ กัน จงหาผลบวกของ สว่ นตดั แกน x ของเส้นตรง L1 และ L2 (47) กาํ หนดจุดยอดของสามเหลย่ี มเปน็ A (−2, 1), B (5, 4) , C (2, −3) ใหห้ าสว่ นสูงของรูป สามเหลย่ี ม ทลี่ ากจากจดุ A มายงั ด้าน BC (48) เสน้ ตรง L มสี มการเปน็ 5x − 12y + 3 = k และ L อยู่ห่างจากจดุ P (−3, 2) อยู่ 4 หนว่ ย ให้ หาผลบวกของคา่ k ทีเ่ ป็นไปได้ท้งั หมด (49) ให้หาวา่ จุดใดบนเส้นตรง 2x − 4y = 15 อยหู่ า่ งจาก 3x + 4y = 10 เปน็ ระยะ 3 หน่วย (50) จงหาขนาดมุมแหลมทเ่ี กิดจากการตัดกนั ของ 5x − y = 0 และ 2x − 3y + 1 = 0 (51) กาํ หนดเส้นตรง L1 ผ่านจุด ( 3, 2), (0, 1) และเสน้ ตรง L2 ผา่ นจุด (2, 3), (1, 4) ใหห้ า ขนาดของมุมแหลมระหว่าง L1 กบั L2 (52) เสน้ ตรง L1 ผ่านจดุ (2, 3), (1, 0) และเสน้ ตรง L2 ผา่ นจุดกําเนิด O และตดั กับ L1 ท่ีจุด C ถ้ามมุ ระหวา่ ง L1 กับ L2 เปน็ 30° ใหห้ าความยาวของ CO (53) จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีแบ่งครึ่งมุมท่เี กิดจากการตดั กันของ 3x + 4y + 1 = 0 และ 4x − 3y − 6 = 0 (54) ถา้ A เป็นภาพฉายของจดุ (−2, 1) บนแกน x และ B เปน็ ภาพฉายของ (−5, 6) บนแกน y ให้หาสมการเส้นตรง AB (55) กําหนด A (1, 0) , B (−5, 8), P เป็นจดุ กงึ่ กลางของ AB และ Q เปน็ ภาพฉายของ B บน เสน้ ตรง x = 1 จงหาสมการเส้นตรง PQ และเส้นตรงทต่ี ้งั ฉากกับ PQ (56) จงหาโพรเจคชันของจุด (−2, 1) บนเสน้ ตรง x − y = 0 (57) จงหาโพรเจคชนั ของจดุ (0, 7) บนเส้นตรง 4x − 5y = 6 4.3 ภาคตดั กรวย : พนื้ ฐานการเขียนกราฟ กราฟเส้นโคง้ ไดแ้ ก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโ์ บลา เรียกรวมกันวา่ ภาคตัด กรวย (Conic Section) เนื่องจากเป็นกราฟที่ไดจ้ ากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบในมุมต่างๆ ดัง ภาพ (ในหนา้ ต่อไป) ตวั อยา่ งการนําความรู้เรื่องภาคตดั กรวยไปใช้ในชวี ิตจริง เช่น 1. การหาตําแหนง่ ศูนยก์ ลางของแผน่ ดินไหว (วงกลม) 2. เลนส์ จานรับดาวเทียม โคมไฟหนา้ รถยนต์ การเคล่ือนท่วี ถิ ีโค้ง (พาราโบลา) 3. ห้องกระซบิ สลายนวิ่ โครงสรา้ งอะตอม วงโคจรของดาวเคราะห์ ดาวหาง ดาวเทียม (วงรี) 4. การหาตาํ แหน่งของตน้ กาํ เนิดเสยี ง โดยใช้ผลต่างเวลาระหว่าง 2 จดุ (ไฮเพอรโ์ บลา) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 93 เรขาคณิตวเิ คราะห วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา (Circle) (Ellipse) (Parabola) (Hyperbola) พื้นฐานการเขียนกราฟ กอ่ นจะศกึ ษาภาคตัดกรวยแตล่ ะรูป ควรทราบพน้ื ฐานการเขียนกราฟ ว่าลักษณะของกราฟ โดยทวั่ ๆ ไปนน้ั จะเปลยี่ นแปลงอย่างไร หากมคี ่าคงท่ีมาบวกลบคณู หารอยู่กับตัวแปร x หรอื y ซึ่ง พนื้ ฐานเหล่านเ้ี ป็นส่งิ สําคัญ เพราะเป็นจริงเสมอไม่วา่ จะใช้กับกราฟใดๆ นอกเหนอื จากในบทน้ี เช่น ค่าสัมบรู ณ์, ตรีโกณมติ ,ิ เอกซ์โพเนนเชียล ฯลฯ [1] เมอื่ มีค่าคงทม่ี าบวกหรือลบ y y จะเกิดการ เล่ือนแกนทางขนาน y = x2 y = (x-3)2 (Translate หรือ Shift) กลา่ วคือ หากเปลย่ี นรูปสมการจาก f (x, y) = 0 Ox (3,0) x y y ไปเปน็ f (x−h, y-k) = 0 เม่ือ y+1 = x2 y+1 = (x-3)2 h, k เปน็ ค่าคงท่ี กราฟรูปเดิมจะ ถกู เล่อื นไปทางขวา h หนว่ ย x x และเล่อื นขึ้นด้านบนอีก k หนว่ ย (0,-1) (3,-1) (หรอื กลา่ วว่า จุดกําเนิดถกู เล่อื น ไปยงั คูอ่ ันดบั (h, k) และรูปกราฟ ทง้ั หมดถูกเลอ่ื นตามไปดว้ ย) [2] เมือ่ มคี า่ คงท่ี (ทเ่ี ป็นบวก) มาคูณหรือหาร y y = x2 y 3y = x2 จะเกิดการ ปรับขนาด (Scale) ทางแกนน้นั กลา่ วคอื หากเปล่ียนรูปสมการจาก y = f (x) ไปเปน็ my = f (nx) เมือ่ m, n เป็นค่าคงท่ี O xx ทม่ี ากกว่า 1 ... กราฟรปู เดิมจะถกู บบี ลงทาง ความสงู ทุกตําแหนง่ เหลอื 1 ใน 3 แนวนอน n เทา่ และบบี ลงทางแนวตัง้ m เทา่ y y (สว่ นกรณีท่ี m, n นอ้ ยกว่า 1 จะมองวา่ เปน็ การหาร และกราฟจะถกู ขยายออกแทน) y = (2x)2 y/4 = x2 ทั้งนต้ี อ้ งใชแ้ กน h, k ทีไ่ ดจ้ ากการเลือ่ นแกน แลว้ เปน็ แกนกลางสาํ หรบั บีบหรอื ขยาย รูปกราฟ xx ความกว้างทุกตําแหนง่ เหลอื 1 ใน 2 ความสูงทุกตําแหน่งเพ่ิมเปน็ 4 เท่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 94 เรขาคณิตวเิ คราะห ข้อสังเกต 1. กราฟในตัวอยา่ งหนา้ ท่แี ล้ว สองรูปลา่ งเป็นสมการเดียวกัน เพียงแต่มองคนละวิธี * 2. หากสมการมีทั้งการบวกลบและคณู หาร จะตอ้ ง y 2y = (x-3)2-2 จดั รปู สมการให้บวกลบอยูใ่ นวงเลบ็ (กระทํากบั ตวั จดั รปู เป็น 2(y+1)=(x-3)2 แปรโดยตรง) แลว้ ถัดมาจงึ เป็นการคณู หาร ดงั ตัวอย่างดา้ นขวาน้ี x เล่ือนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และ ความสูงทกุ ตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2 [3] เมอ่ื มคี ่าคงที่ (ทีเ่ ป็นลบ) มาคณู หรอื หาร นอกจากจะมกี ารขยายหรอื บีบตามข้อ (2) แลว้ ยงั เกิดการ พลกิ (Flip) รปู กราฟ โดยใชแ้ กน h, k น้เี ป็นแกนหมนุ ดว้ ย (หากตัวแปร x ถูกคูณด้วยลบ จะพลกิ สลับซา้ ยขวา, และหากตัวแปร y ถกู คูณ ดว้ ยลบ จะพลกิ สลบั บนลา่ ง) y y y = x2 -(y+1) = (x-3)2 x Ox เลื่อนแกนไปอยู่ท่ี (3,-1) และ พลิกรูปกราฟ สลับบนลา่ ง 4.4 ภาคตดั กรวย : วงกลม นยิ าม วงกลม คอื “เซตของคู่อนั ดบั ทอ่ี ยหู่ า่ งจากจดุ คงท่จี ุดหนึง่ เป็นระยะเท่าๆ กนั ” เรยี กจุดคงที่จุดนนั้ ว่า จดุ ศนู ยก์ ลาง (Center; C) และเรียกระยะทางน้นั วา่ รัศมี (Radius; r) สมการวงกลม สรา้ งจากสมการระยะทางระหวา่ งจุดสองจุด (ทฤษฎบี ทปีทาโกรัส) หากมจี ุด ศูนย์กลางอย่ทู ี่ C (0, 0) และรัศมียาว r หน่วย สมการจะเปน็ x2+ y2 = r2 แตถ่ า้ เลอ่ื นแกน ให้จุด ศูนยก์ ลางไปอยทู่ ่ี C (h, k) สมการจะกลายเป็น (x−h)2+ (y−k)2 = r2 r วงกลม C (h,k) (x−h)2 + (y−k)2 = r 2 จดุ ศูนย์กลาง C (h, k) รัศมี r หนว่ ย รูปทัว่ ไป x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 95 เรขาคณติ วิเคราะห • ตัวอยาง ใหส รา งสมการวงกลมที่มีจุดศนู ยก ลางอยทู ี่ (1, −2) และผา นจดุ (2, 1) และตอบในรูป Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสทิ ธ์ิทกุ ตัวเปนจาํ นวนเต็ม วิธีคิด หารศั มีจากระยะทางระหวาง (1, −2) กับ (2, 1) ไดเทา กับ 12+32 = 10 หนวย สมการวงกลมคือ (x−h)2+ (y−k)2 = r2 แทนคา จุดศนู ยก ลางและรัศมี ได (x−1)2 + (y+2)2 = 10 2 → x2−2x+1+y2+4y+4 = 10 → x2+y2−2x+4y−5 = 0 • ตัวอยา ง ใหห าสวนประกอบตา งๆ ของรปู วงกลมทีม่ ีสมการเปน x2+y2+2x−4y−10 = 0 วธิ ีคดิ จัดกลมุ x และ y แยกกนั และยายตัวเลขไวท างขวา (x2+ 2x) + (y2− 4y) = 10 ตอมา เติมตัวเลขลงในวงเลบ็ ท้งั สอง เพื่อใหเปนกําลงั สองทีส่ มบรู ณ (อยา ลืมเตมิ ทางขวาดวย) ไดเ ปน (x2+ 2x + 1) + (y2− 4y + 4) = 10 + 1+ 4 นนั่ คือ (x + 1)2+ (y − 2)2 = 15 ตอบ จดุ ศนู ยก ลางคือ (−1, 2) และรศั มียาว 15 หนว ย ขอ้ สังเกต 1. จากรปู ทั่วไปของสมการวงกลม x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 เม่อื จัดรปู ดว้ ยวิธกี ําลังสองสมบูรณ์แลว้ จะทําให้ทราบวา่ (h, k) = (−D/2, −E/2) 2.1 สมการวงกลมมคี า่ คงทีซ่ ่ึงบอกลักษณะกราฟ อยู่ 3 ตัว คอื D, E, F หรอื h, k, r ดงั นนั้ การสร้างสมการวงกลมจากจดุ ท่ีกราฟผา่ น ตอ้ งกาํ หนดจดุ มาให้ 3 จุด แล้วจงึ แกร้ ะบบสมการ 3 สมการ ซึ่งกรณีนส้ี มการ x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 จะคํานวณงา่ ยกว่า 2.2 แต่ถ้าบอก r มาให้ จะตอ้ งการจุดเพิ่มอีกเพยี ง 2 จดุ เพื่อหาคา่ h, k หรอื ถ้าบอก h, k มาให้ ก็ ต้องการอีกเพยี งจุดเดยี วเพอ่ื หาค่า r โดยใช้สมการ (x−h)2+ (y−k)2 = r2 เสน้ สัมผัสวงกลม คอื เส้นตรงที่ลากผา่ นจุดบนวงกลมเพยี งจุดเดียวเท่าน้นั (เรียกว่าจดุ สัมผัส) และเส้นสมั ผสั วงกลมทุกเสน้ จะตง้ั ฉากกบั รัศมี (ทเี่ ช่ือมจุดศูนย์กลางกบั จุดสัมผัส) ระยะทางจากจดุ P (x1, y1) ใดๆ ภายนอกวงกลม มายังจุดสัมผัส Q หาได้ดงั น้ี Q d P (x1,y1) Cd d = x21 + y21 + Dx1+ Ey1+ F หรือ d = (x1−h)2+ (y1−k)2− r2 แบบฝึกหัด 4.4 (58) สมการต่อไปนตี้ ้องการเลือ่ นแกนเพอ่ื ให้ได้รปู ทีก่ ําหนด ตอ้ งเลอื กจดุ ใดเป็นจดุ กําเนิดจุดใหม่ (58.1) (x−4)(y+3) = 1 → xy = 1 (58.2) y = x + 1 − 2 → y = x (58.3) x2+ y2+ 2x − 4y + 5 = 9 → x 2+ y 2= k Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 96 เรขาคณติ วิเคราะห (59) จงหาสมการรปู ทัว่ ไปของวงกลม ทม่ี ีลักษณะดงั แต่ละข้อตอ่ ไปนี้ (59.1) จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี (3, 4) และผ่านจดุ (1, 1) (59.2) เส้นผ่านศนู ยก์ ลางเส้นหนง่ึ เชอ่ื มจุด (1, 1) กับ (2, 2) (59.3) สมั ผัสเส้นตรง y = 2x ที่จดุ กําเนิด และผ่านจุด (1, 1) (59.4) ผา่ นจุด (−6, 3), (2, 3) และ (−2, 7) (59.5) ผา่ นจุด (1, −5) และผา่ นจดุ ตัดของวงกลม x2+ y2− 2x + 2y − 8 = 0 กบั x 2+ y 2+ 3x − 3y − 8 = 0 (60) หาความยาวเสน้ สัมผสั ท่ีลากจากจดุ (0, 1) ไปยังวงกลม 3x2+ 3y2+ 11x + 15y = −9 (61) ใหห้ าสมการเส้นตรงท่ีสัมผัสวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปน้ี (61.1) สัมผสั วงกลม x2+ y2= 8 ที่จุด (2, 2) (61.2) สัมผัสวงกลม x2+ y2= 17 และมคี วามชันเป็น 4 [Hint: สรา้ งสมการเส้นตรงความชนั เท่านี้ แต่ผ่านจดุ ศนู ยก์ ลางกอ่ น] (61.3) สัมผสั วงกลม x2+ y2= 16 และผา่ นจดุ (−1, 8) [Hint: สรา้ งสมการเส้นตรงความชันใดๆ ท่ีผา่ นจดุ น้ี แลว้ จึงหาคา่ ความชัน] (62) ให้หาสมการวงกลม ตามเง่อื นไขต่อไปน้ี [Hint: หาจุดศูนยก์ ลางวงกลมกอ่ น] (62.1) รัศมี 2 หนว่ ย และสัมผสั กับวงกลมสองวงน้ี คือ (x−2)2+ (y+1)2 = 1 และ (x−6)2+ (y−2)2 = 4 โดยมีจุดศูนย์กลางอยใู่ นควอดรนั ต์ท่ี 1 (62.2) รัศมี 1 หน่วย, สัมผสั กบั เส้นตรง y = x + 2 , และสมั ผัสกบั วงกลม x 2+ y 2− 4x + 2y + 1 = 0 (62.3) แนบในสามเหลย่ี มท่ีเกิดจากเส้นตรงสามเส้นนต้ี ัดกนั 2x − 3y + 21 = 0 , 3x − 2y − 6 = 0 , และ 2x + 3y + 9 = 0 (63) จงหาค่า k ที่ทาํ ให้ x2+ y2− 6x + 8y + k = 0 เปน็ สมการวงกลม (64) [Ent’32] จงหาคา่ k > 0 ที่น้อยท่ีสดุ ทที่ าํ ให้ y = kx สัมผัสกบั x2+ y2− 14x + 49 = k2 (65) ถ้า C เป็นจดุ ศนู ย์กลางของกราฟ x2+ 4x + 2 = − (y2+ 8y + 9) แล้ว ใหห้ าสมการเส้นตรง OC และสมการวงกลมทีม่ ี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเสน้ หน่งึ (66) [Ent’38] เสน้ ตรงความชัน –4/3 ผา่ นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม x2+ y2− 4x + 2y = 4 โดยตดั วงกลมท่จี ดุ A กับ B หากกาํ หนดจุด D (−1, −2) แลว้ ใหห้ าพื้นทสี่ ามเหลย่ี ม ABD (67) ใหห้ าสมการกราฟซง่ึ จุด P (x, y) ใดๆ บนกราฟเป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลมทส่ี ัมผัสกบั กราฟ (x−1)2= (1−y)(1+y) และผ่านจดุ A (−1, 0) ด้วย 4.5 ภาคตดั กรวย : พาราโบลา นยิ าม พาราโบลา คือ “เซตของคู่อันดบั ท่มี รี ะยะไปถึงจุดคงทจ่ี ดุ หนึง่ เทา่ กบั ระยะไปถงึ เสน้ ตรงเส้นหนึ่ง” เรียกจุดคงทจ่ี ดุ น้ันว่า จดุ โฟกัส (Focus; F) เรียกเสน้ ตรงเสน้ นั้นว่า ไดเรกตริกซ์ (Directrix; เส้นบงั คบั ) เรียกเส้นตรงทีผ่ ่านโฟกสั และตั้งฉากกับไดเรกตรกิ ซ์ วา่ แกน (Axis) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 97 เรขาคณติ วิเคราะห พาราโบลาทีม่ ี จุดยอด (Vertex) อยทู่ ่ี V (0, 0) และระยะโฟกสั ยาว c หน่วย จะมีสมการ เปน็ x2 = 4 c y (ออ้ มแกน y, กราฟหงายเมอ่ื ค่า c เปน็ บวก, กราฟควา่ํ เมื่อคา่ c ตดิ ลบ) หรือ y2 = 4 c x (อ้อมแกน x, กราฟเปิดขวาเม่ือ c เปน็ บวก, กราฟเปิดซา้ ยเมือ่ c ตดิ ลบ) หากมีการเลือ่ นแกน ให้จดุ ยอดไปอยู่ท่ี V (h, k) สมการจะกลายเปน็ (x−h)2 = 4 c(y−k) และ (y−k)2 = 4 c(x−h) ตามลาํ ดับ 2c F (h,k+c) พาราโบลา (ตง้ั ) c ⎧ (x−h)2 = 4 c (y−k) ⎨ ⎩ จดุ ยอด V (h, k) ระยะโฟกสั c หนว่ ย c ⎧ V (h,k) เลตสั เรกตัม ยาว 4c หน่วย ⎨ ⎩ รูปทั่วไป Directrix : y=k-c x 2+ Dx + Ey + F = 0 Axis : x=h ⎫ พาราโบลา (ตะแคง) ⎪ c c ⎬ 2c (y−k)2 = 4 c (x−h) ⎪⎭ จดุ ยอด V (h, k) Axis : y=k V F (h+c,k) ระยะโฟกสั c หน่วย (h,k) เลตัสเรกตมั ยาว 4c หนว่ ย Directrix : รูปทัว่ ไป x=h-c y 2+ Dx + Ey + F = 0 นิยาม เลตัสเรกตมั (Latus Rectum) คือเสน้ แสดงความกวา้ งของรูปกราฟ ณ ตาํ แหนง่ โฟกสั ข้อสังเกต 1. พาราโบลาอ้อมแกนใด อาจสังเกตได้จาก ตวั แปรนั้นจะยกกําลงั หน่งึ 2. สมการพาราโบลามีคา่ คงที่ 3 ตวั (คือ D, E, F หรอื h, k, c) เช่นเดียวกับวงกลม ดงั น้นั การ สรา้ งสมการจะใช้วิธคี ลา้ ยกนั แตพ่ าราโบลาต้องทราบก่อนด้วยวา่ เป็นพาราโบลาอ้อมแกนใด • ตัวอยาง ใหส รา งสมการพาราโบลาทีม่ ีจุดยอดอยูท ี่ (1, −2) และผานจดุ (2, 1) โดยมีแกนสมมาตร แนวต้ัง และตอบในรูป Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสิทธท์ิ กุ ตวั เปน จํานวนเตม็ วิธีคดิ มีแกนสมมาตรแนวตั้ง แสดงวา สมการคือ (x−h)2 = 4 c(y−k) เราทราบจุดยอด (h, k) = (1, −2) แทนคาลงในสมการ เปน (x−1)2 = 4 c(y+2) หาคา c โดย แทนจุดทีพ่ าราโบลาผา นคือ (2, 1) ลงไปที่ x, y แลว สมการตอ งเปนจรงิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 98 เรขาคณิตวเิ คราะห (2−1)2 = 4 c(1+2) → 4 c = 1/3 ... ฉะนน้ั สมการพาราโบลาคือ (x−1)2 = (1/3)(y+2) และกระจายได 3(x2−2x+1) = y+2 → 3x2−6x−y+1 = 0 หมายเหตุ ในตวั อยา งแรกของเรือ่ งวงกลมกส็ ามารถคิดดว ยวิธีในขอ นี้ได คือใสจ ดุ ศูนยก ลาง (h, k) ลงไป ในสมการวงกลมกอ น จากนัน้ แทนจดุ ทีผ่ านคือ (2, 1) เพือ่ หาคา r ทีย่ ังไมทราบ • ตัวอยา ง ใหห าสว นประกอบตา งๆ ของรูปพาราโบลาทีม่ ีสมการเปน x2− 2x − 2y − 3 = 0 วิธีคิด สงั เกตวาไมม ีพจน y2 แสดงวาเปน พาราโบลาออมแกนต้ัง (หงายหรือคว่ํา) การจัดรูปสมการพาราโบลาแบบนี้ เราจดั กลมุ x ไวทางซาย และยา ย y กบั ตวั เลขไวทางขวา คือ (x2− 2x) = 2y + 3 ... จากนน้ั เติมตวั เลข (x2− 2x + 1) = 2y + 3+ 1 เพื่อเปน กําลังสองสมบรู ณ ไดเ ปน (x − 1)2 = 2y + 4 → (x − 1)2 = 2(y + 2) → (x − 1)2 = 4 (0.5)(y + 2) ตอบ เปนสมการพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ (1, −2) จุดโฟกสั คือ (1, −2 + 0.5) = (1, −1.5) และสมการไดเรกตรกิ ซค ือ y = −2 − 0.5 = −2.5 (หรืออาจเขียนเปน 2y + 5 = 0 กไ็ ด) (ถา ยังไมแมน ยํา ควรเขียนกราฟเพื่อชว ยในการคดิ เลขดว ย) แบบฝึกหัด 4.5 (68) จงหาสมการรูปทว่ั ไปของพาราโบลา ทม่ี ลี กั ษณะดังแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี (68.1) จุดยอดอยทู่ ่ี (−2, 3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 3) (68.2) จดุ ยอดอยทู่ ี่ O และจุดปลายเลตัสเรกตมั จดุ หน่งึ อยทู่ ี่ (−3, 6) (68.3) จดุ ยอดอยู่ที่ O และผา่ นจุด (−4, −6) โดยมแี กน x เปน็ แกนสมมาตร (68.4) จุดยอดอยู่ท่ี (2, −3) และผา่ นจุด (8, −2.1) โดยแกนสมมาตรตง้ั ฉากแกน x (68.5) จดุ ยอดอยู่ท่ี (5, −2) และผา่ นจุด (3, 0) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน y (68.6) จุดโฟกัสอยู่ที่ (2, 2) และสมการไดเรกตริกซ์เปน็ x + 2 = 0 (68.7) ผา่ นจดุ (1, 3) , (9, 1) , และ (51, −2) โดยแกนสมมาตรขนานกบั แกน x (68.8) ผา่ นจุด (−2, 3), (3, 18), และ (0, 3) (69) ใหห้ าระยะจากจุด P (4, −3) ซึ่งอยบู่ นพาราโบลา 2x2+ 3y = 0 ไปถึงจุดโฟกสั (70) ให้หาสว่ นประกอบตา่ งๆ ของพาราโบลา (70.1) จดุ โฟกัส ความกวา้ งท่ีจดุ โฟกัส และสมการไดเรกตริกซ์ ของ x2− 12y = 0 (70.2) ส่วนประกอบทัง้ หมดของ y2− 10y + 12x + 61 = 0 (70.3) จดุ โฟกัสของพาราโบลาที่มจี ุดยอดที่ (4, 2) และมีไดเรกตริกซเ์ ป็น x − 1 = 0 (70.4) จุดตัดแกน x ของพาราโบลาทมี่ ีจุดยอดอย่ทู ี่ (0, −1/3) และจดุ โฟกสั อย่ทู ่ี (0, 7/6) (71) ใหห้ าสมการแสดงทางเดินของจดุ P (x, y) ซงึ่ (71.1) อย่หู ่างจากเส้นตรง y = −4 เทา่ กับระยะห่างจากจดุ (−2, 8) (71.2) อยหู่ ่างจากเส้นตรง x = −4 มากกวา่ ระยะห่างจากจดุ (3, 1) อยู่ 5 หน่วย (72) จุดบนโค้ง 4y =(x−1)2 ซง่ึ อยู่หา่ งจากจดุ โฟกสั 13 หน่วย จะห่างจากแกน x เทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 99 เรขาคณติ วิเคราะห (73) ความยาวคอรด์ ท่เี กิดจากเส้นตรง 2x − y = 8 ตัดกับพาราโบลา y2= 8x เป็นเท่าใด (74) สมการเส้นตรงทผี่ ่านจุด (1, 6) และจุดโฟกัสของ y2− 4x − 4y = 8 คือสมการใด (75) ให้หาสมการพาราโบลาทมี่ ีเสน้ ตรง y = 5 เป็นไดเรกตริกซ์ และมีจดุ โฟกัสอยทู่ ีศ่ ูนยก์ ลางของ กราฟ x2− 6x = 6 − 2y − y2 (76) ให้หาสมการพาราโบลาท่ีผ่านจดุ ตดั ของเสน้ ตรง x = y กับวงกลม x2+ y2+ 6x = 0 โดยมี แกน x เปน็ แกนสมมาตร (77) กาํ หนดให้ไดเรกตริกซ์และแกนของพาราโบลา y2− 4y + 8x = 20 ตดั กันทจ่ี ุด P ถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจดุ กาํ เนิด, จุด P, และจดุ โฟกัสของพาราโบลาแล้ว กําลังสองของรศั มวี งกลม เป็นเทา่ ใด (78) ใหห้ าระยะโฟกัสของเลนส์รูปพาราโบลา ซงึ่ มีความสงู 6 หนว่ ย และฐานกวา้ ง 8 หนว่ ย 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี นยิ าม วงรี คือ “เซตของคู่อนั ดับที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจุดคงท่สี องจดุ มีคา่ เท่ากัน” เรียกจดุ คงทสี่ องจดุ นนั้ วา่ จุดโฟกสั (F1, F2 ) และนอกจากนี้ ระยะทางรวมซึง่ เปน็ ค่าคงทน่ี ั้น จะมคี ่า เท่ากบั ความยาวของแกนเอก (2a) พอดี วงรที ีม่ ีจดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่ C (0, 0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หน่วย จะมสี มการเปน็ ⎛⎜⎝ x ⎞⎟⎠2+ ⎛⎜⎝ y ⎞⎟⎠2= 1 (รตี ามแกน x) หรอื ⎛⎝⎜ y ⎞⎟⎠2+ ⎛⎜⎝ x ⎞⎟⎠2= 1 (รีตามแกน y) a b a b วงรี (นอน) B1 (h,k+b) (x −h)2 + (y −k)2 =1 a2 b2 จุดศนู ย์กลาง C (h, k) ⎫ b a ⎬ แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b V2 F2 c ⎭C ระยะโฟกสั c = a2− b2 (h,k) (h+Fc1 ,k) (hV+1a,k) B2 รปู ทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 100 เรขาคณิตวเิ คราะห V1 (h,k+a) วงรี (ตง้ั ) (y −k)2 + (x−h)2 =1 a2 b2 (Fh1 ,k+c) จดุ ศนู ย์กลาง C (h, k) B2 b C (h,k) B1 (h+b,k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b ⎧ ⎬⎫c ระยะโฟกัส c = a2− b2 ⎪ ⎭F2 รูปท่ัวไป a ⎪⎪ ⎨ Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ⎪ ⎪ V2 ⎪⎩ นิยาม แกนเอก (Major Axis) คือเส้นแสดงความยาวของวงรี ( V1V2 ) และ แกนโท (Minor Axis) คอื เสน้ แสดงความกวา้ งของวงรี (B1B2 ) ข้อสังเกต 1. สมการวงรีเกดิ จากการขยายขนาดทางแกน x, y ของวงกลมรศั มี 1 หนว่ ย 2. สําหรบั วงรีน้ัน a > b เสมอ ดงั นั้นตวั เลขใดมคี า่ มากกว่า ตวั น้นั ก็จะเปน็ a (เป็นแกนเอก) 3. สมการวงรีมีค่าคงท่ีถงึ 4 ตวั การสรา้ งสมการวงรจี ากจุดทก่ี ราฟผ่าน ตอ้ งใชถ้ ึง 4 จุด (ไมน่ ยิ ม กระทาํ เพราะต้องแกร้ ะบบสมการทีม่ ีถึง 4 สมการ) • ตวั อยา ง ใหส รา งสมการวงรีทีม่ ีจดุ ศูนยกลางอยูที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสอยทู ี่ (2, 4) และจุดยอดอยูท ี่ (2, −4) และตอบในรปู Ax2+ By2+ Dx + Ey + F = 0 โดยสมั ประสิทธท์ิ กุ ตัวเปนจาํ นวนเต็ม วธิ ีคิด จดุ ศนู ยก ลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกนั โดยคา x เทา กนั และ y ตา งกนั แสดงวา เปน วงรีตามแกนตั้ง ... สมการคือ (y −k)2 + (x−h)2 = 1 a2 b2 เนือ่ งจากคา a = (−4) − (1) = 5 และคา c = (4) − (1) = 3 ดังนน้ั b = 52−32 = 4 แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน (y −1)2 + (x−2)2 = 1 52 42 กระจายสมการ 16(y−1)2+ 25(x−2)2 = 400 → 16(y2−2y+1) + 25(x2−4x+4) = 400 → 25x2+16y2−100x−32y−284 = 0 • ตัวอยาง ใหห าสวนประกอบตา งๆ ของรปู วงรีซ่ึงมีสมการเปน 7x2+16y2+28x−96y+60 = 0 วธิ ีคิด ในขอ นีส้ มั ประสทิ ธ์หิ นา x2 กบั y2 ไมเปน 1 จงึ ตองแยกออกมาหนา วงเล็บดวย ดังนี้ ...(7x2+ 28x) + (16y2− 96y) = −60 → 7 (x2+ 4x) + 16(y2− 6y) = −60 จากนั้นเตมิ ตัวเลขลงในวงเล็บทง้ั สองและเตมิ ทางขวาดวยเชน เดิม แตใ หระวังเนื่องจากมีตัวคูณอยหู นาวงเลบ็ ทางซา ย ทําใหตวั เลขที่เตมิ ทางขวาเปลี่ยนไป ไดเปน 7 (x2+ 4x + 4) + 16(y2− 6y + 9) = −60 + 28 + 144 ... ( 28 = 7 × 4 , )144 = 16 × 9 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)