สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 551 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 63. ถา้ ⎡1 2 0⎤ ⎡3 x⎤ = ⎡5 7⎤ แลว้ x+y−z จะมคี า่ เทา่ ใด ⎢⎣1 0 2⎥⎦ ⎢⎢⎣ z1 y1⎥⎥⎦ ⎣⎢5 5⎦⎥ 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 64. ถา้ y = lim 4 + 3n(2n + 1) + 9n3(3n + 1) จงหาวา่ y มคี ่าเทา่ ใด 1 − 3 (n + 1) + 9n3(n + 1) n→∞ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 65. สุดายนื อยู่ทางทิศใตข้ องเสาธง มองดูยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60 องศา เม่อื สุดาเดนิ ตรงไปทาง ทศิ ตะวันตกเป็นระยะทาง 10 เมตร มองดูยอดเสาธงเปน็ มุมเงย 45 องศา จงหาวา่ เสาธงสงู กวา่ ระดบั สายตาของสดุ าก่ีเมตร 1. 7.1 เมตร 2. 10 เมตร 3. 12.2 เมตร 4. 23.7 เมตร 66. ถ้า u = x3 − 3.63 x + 1.362 , 0 < x < 3 ค่านอ้ ยทีส่ ดุ ของ u คืออะไร 1. −1.362 2. −1.300 3. 1.100 4. 1.362 67. บริษัทแห่งหนึง่ จําหนา่ ยสนิ ค้า 3 ชนิด ตอ้ งการเปรียบเทียบการขายของพนกั งาน 4 คน โดยมี ข้อมูลดงั แสดงใน พนักงาน จาํ นวนสนิ คา้ ทีข่ ายได้ ตาราง ผูท้ ขี่ ายเกง่ ท่สี ดุ คอื ใคร คนที่ 1 ชนิดท่ี 1 ชนิดท่ี 2 ชนดิ ที่ 3 1. คนท่ี 1 คนที่ 2 2. คนที่ 2 คนท่ี 3 859 3. คนท่ี 3 คนท่ี 4 778 4. คนท่ี 4 886 895 คา่ เฉลี่ยเลขคณติ 787 ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 1 1 2 68. นาย ก, ข, ค และ ง ยนื อยูท่ ต่ี ําแหน่ง (3, 5), (2, 4), (2, 3) และ (4, 2) ตามลาํ ดับ โดยหนว่ ย เป็นกโิ ลเมตร ถ้าท้งั สค่ี นออกเดินทางพรอ้ มกันตรงไปยงั จุดหมาย จ ท่ี (3, 10) ดว้ ยความเร็ว 25 , 38 , 49 และ 64 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมงตามลําดับ ผู้ทีไ่ ปถงึ จดุ หมายหลงั สุดคอื ใคร 1. นาย ก 2. นาย ข 3. นาย ค 4. นาย ง ปี 2537 69. ถ้าคา่ เฉล่ียเลขคณิตของสว่ นสงู ของนกั เรียนในโรงเรยี นแห่งหนง่ึ เปน็ 165 เซนตเิ มตร โดยมี จํานวนนักเรยี นท้ังสนิ้ 200 คน ตอ่ มาปรากฏวา่ มีนกั เรียนซึง่ มีส่วนสงู 150 เซนติเมตร จํานวน 20 คนได้ลาออกไป ถามว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนสงู ของนักเรยี นโรงเรยี นนี้จะเปน็ เท่าไร หลังจาก นกั เรยี นกลุ่มดงั กลา่ วได้ลาออกไป 1. 167.67 ซม. 2. 166.67 ซม. 3. 177.67 ซม. 4. 176.67 ซม. 70. จงหาผลคณู เชิงสเกลาร์ u ⋅ n ระหว่างเวกเตอร์ u จากจุด A (6, 4) ไปยงั จดุ B(−2, −2) กบั เวกเตอร์ n ซงึ่ เปน็ เวกเตอร์หน่ึงหน่วย (unit vector) ท่ีมีทิศทางเดยี วกบั เวกเตอร์จากจดุ C(−1, 2) ไปยังจดุ D (2, 6) 1. −4.8 2. −48 3. −9.6 4. 9.6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 552 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 71. AB และ CD เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลมวงเดยี ว ถ้าจดุ A , B และ C มพี กิ ดั ดงั นี้ C(2.268,1) A(5,1.732) A (5, 1.732) , B (3, −1.732) และ C (2.268, 1) ให้หาพิกดั ของจดุ D 1. (5.628, −1) 2. (5.732, −1) D 3. (6.628, −1) 4. (6.732, −1) B(3,-1.732) 72. จากการศึกษาถงึ ความสัมพันธร์ ะหวา่ งแรงและความเร่ง ไดข้ ้อมลู ดงั น้ี แรง (N) 1234 ความเร่ง (m/s2) 0.1 0.2 0.6 0.8 กาํ หนดใหว้ เิ คราะห์ความสัมพันธข์ องแรง (F ) และความเร่ง ( a ) ในเชิงสมการเสน้ ตรง จงทํานายค่า ความเรง่ เมื่อแรง F = 3.5 N 2. 0.675 m/s2 3. 0.680 m/s2 4. 0.700 m/s2 1. 0.665 m/s2 73. กําหนดนิยามดังน้ี เม่ือ A เปน็ เมตรกิ ซ์จัตรุ สั n×n ใดๆ แล้ว dA = ⎡d (aij)⎤ dx ⎣⎢ dx ⎥⎦ n×n ถา้ A = ⎡x3 x2 + x/2⎤ B = ⎡ 1⎤ C = ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢2⎥⎦ ⎢⎣2⎦⎥ ⎣ 2 x ⎦ จงหาผลรวมของค่า x ทส่ี อดคล้องกบั สมการ dA ⋅ B = C dx 1. 0 2. −1/3 3. −4/3 4. −1 74. กาํ หนดให้ z คอื จาํ นวนเชงิ ซอ้ น โดยที่ z = x + y i จงหาความชนั ของเสน้ โค้ง z − 1 = 2 ที่ จดุ (x, y) ใดๆ 1. − y 2. 1 − x 3. 1 + y 4. 1 − y x y x x 75. กําหนดให้ log105 = A จงหาค่าของ 2 + log101.25 1. A 2. 2A 3. 3A 4. 4A 76. นาย ก และนาย ข ออกเดนิ ทางจากจดุ เร่ิมตน้ เดยี วกนั นาย ก เดินดว้ ยความเรว็ 2 กโิ ลเมตร ต่อชว่ั โมง มงุ่ หน้าไปทางทศิ ตะวันออกเฉียงไปทางเหนอื เล็กน้อยเป็นมุม 30° กับทศิ ตะวันออก นาย ข เดนิ ดว้ ยความเรว็ 4 กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมงไปทางทิศใต้ เมอื่ เวลาผา่ นไป 90 นาที นาย ก และนาย ข จะอยูห่ ่างกนั เทา่ ใด 1. 3 7 กม. 2. 3 3 กม. 3. 45 + 18 3 กม. 4. 45 − 18 3 กม. 77. กาํ หนดให้ ˜AB = 3 i + j และ ˜AC = 2 i + 3 j จงหาขนาดของมุม BAC (กําหนด 1.3 = 1.14 ) 1. 30° 2. 38° 3. 45° 4. 60° 78. กําหนดให้ M = 2x + 3y จงหาค่า M สงู สุดตามเงื่อนไขต่อไปนี้ x + y > 4 , 5x + 2.5y < 25 , 0 < x < 5 และ 0 < y < 5 1. 15 2. 20 3. 21 4. 25 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 553 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 79. จงหาขนาดของพืน้ ทท่ี ้งั หมดท่ีแรเงาในรูป y 1. 18 27 2. 36 y = x2− 9 3. 54 4. 72 O 6x -9 80. หากมีโปรแกรม 2 โปรแกรมสามารถสัง่ ให้คอมพิวเตอร์คาํ นวณเพอ่ื แก้ปญั หาชนิดเดยี วกนั แต่ ด้วยวิธีการทตี่ า่ งกัน การเลอื กโปรแกรมทด่ี กี วา่ ควรดูความสัมพนั ธร์ ะหว่างข้อมลู กับเวลาท่ี คอมพวิ เตอรใ์ ช้ในการคาํ นวณ ถา้ จาํ นวนขอ้ มลู มากๆ แล้วใชเ้ วลาน้อยๆ ความสมั พนั ธ์นั้นจะชใ้ี หเ้ หน็ วา่ โปรแกรมหน่ึงดกี วา่ อีกโปรแกรมหนึ่ง กําหนดให้ f แทนความสัมพนั ธ์ n ∈ I+ แทนจํานวนขอ้ มลู , t ∈ R+ แทนเวลาท่ีใชค้ าํ นวณ ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ป็นข้อทีถ่ ูกตอ้ ง (ใหเ้ ปรยี บเทยี บด้วยจาํ นวนข้อมูลท่ีเทา่ กัน) 1. f = {(n, t) | t = n } ดกี วา่ f = {(n, t) | t = 100 } 2. f = {(n, t) | t = n } ดีกว่า f = {(n, t) | t = log n2 } 3. f = {(n, t) | t = 100 n + 5 } ดีกว่า f = {(n, t) | t = n2 } 4. f = {(n, t) | t = 2 n } ดกี วา่ f = {(n, t) | t = n2 } 81. กําหนดให้เมตรกิ ซ์ A = ⎢⎢⎢⎡csoins((ππ2 − θ) sin(π − θ) ⎤⎥ จะได้ det (A) มคี ่าเท่ากบั − θ) cos(2π − ⎥ ⎣2 θ)⎥ 2⎦ 3. cos 2(π − θ) 1. cos 2θ 2. sin 2θ 2 4. 1 + 2 cos2 θ 82. ขอ้ ใดเป็นกราฟของ y = x + x 1. y 2. y 3. y 4. y xxxx 83. กําหนดนยิ าม d f (x) คือการหาอนพุ นั ธข์ อง f (x) เทียบกบั x แล้วแทนคา่ x = a dx x = a และกําหนดให้ ,f1(x) = cos x f2(x) = arcsin x โดย 0 < f2(x) < π/2 ,f3(x) = e x f4(x) = ln x จงพจิ ารณาวา่ ข้อใดต่อไปนผี้ ิด 1. d f1(x) < d f2(x) x = 0.5 2. d f1(x) < d f4(x) x=1 dx dx dx dx x = 0.5 x=1 3. d f1(x) > d f3(x) x = 0.75 4. d f4(x) > d f4(x) x = cos π/6 dx dx dx dx x = 0.75 x = cos π/ 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 554 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 84. ถ้า A = lim 4n + 2n + 9n3(2n + 2) จงหาค่า A 2n+1+ 5n3(n + 4) n→∞ 1. 0 2. ∞ 3. 1/2 4. 18/5 58 x 85. สมการของเส้นกราฟอยูใ่ นรปู แบบ y = ax2+ bx + c y 4. 0.6295 โดย a, b, c เป็นค่าคงที่ จงหาคา่ ความชนั ของเส้นกราฟ 50 ท่ีจุด x = 4 20 1. 11 2. 6.25 10 3. 5 4. 14 O ปี 2538 86. จงหาค่าของ (0.0981)1/5 โดยอาศัยข้อมลู ตอ่ ไปนี้ ,log (0.0981) = −1.0083 log (9.81) = 0.9917 ,log (6.280) = 0.7979 log (6.285) = 0.7983 1. 0.6280 2. 0.6285 3. 0.6290 87. กําหนดให้ f (x) = 2x + 1 , g−1(x) = 3 x และ y = (g f)(x) 1 − 2x จงหาคา่ ของ dy 2. 0 3. 6 4. 12 dx x = 0 1. −4 88. กาํ หนดใหเ้ ซต S = {1, 2, 3, 4, 5} , A = ⎡a b⎤ และเวกเตอร์ x = ad i + bc j ⎣⎢c d⎦⎥ ถ้า P คือความน่าจะเป็นในการเลอื กคา่ a, b, c และ d จากเซต S โดยทีค่ า่ ทเ่ี ลือกสามารถซาํ้ กนั ได้ และให้ได้ det(A) > x จงหาวา่ ค่า P น่าจะอย่ใู นช่วงคาํ ตอบใด 1. [0, 0.1] 2. [0.1, 0.5] 3. [0.5, 0.9] 4. [0.9, 1] 89. จากการทดสอบมนุษยห์ ุน่ ยนต์ Super Girl I เกีย่ วกับเวลาทีใ่ ชใ้ นการวง่ิ และความเร็วในการวิ่ง ได้ผลการทดสอบดงั นี้ เวลาท่ใี ช้ในการวิง่ (หน่วยเป็นวนิ าที) : x x1 x2 … xn ความเร็วทใ่ี ช้ในการว่งิ (หน่วยเปน็ เมตร/วินาท)ี : y y1 y2 … yn และ x = 53 , y = 109 โดยท่ีสมการเส้นตรงซึ่งแสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งเวลา ( x ) และ ความเร็ว ( y ) ผา่ นจดุ (1, 5) จงทํานายความเร็วของหนุ่ ยนต์ Super Girl I เมื่อเวลาวิง่ ผา่ นไป 20 วนิ าที 1. 43 m/s 2. 75 m/s 3. 89 m/s 4. 100 m/s 90. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ผลรวมของรากคาํ ตอบของอสมการ x − 6 + x + 4 > 6 − x เทา่ กับ 0 ข. รากคาํ ตอบทเ่ี ป็นจํานวนจรงิ ของสมการ 3 ( x)x = x มี 2 คา่ 1. ข้อ ก ถกู ขอ้ ข ผิด 2. ขอ้ ก ผิด ขอ้ ข ถกู 3. ถกู ท้งั ก และ ข 4. ผดิ ทง้ั ก และ ข Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 555 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 91. กําหนดให้ θ = arctan(3/4) จงหาค่าของ cos 2θ 1. 0.28 2. 0.48 3. 0.56 4. 0.96 92. ถ้า f (x) = x5+ 9x3 − 8x2 − 72 และ x = −1 + i 3 เปน็ รากคาํ ตอบหน่งึ ของสมการ f (x) = 0 จงหาคา่ ผลรวมของรากคําตอบของสมการ f (x) = 0 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 93. ในระบบเลขฐาน 10 ท่ใี ช้กันในปจั จบุ นั หลกั ของตัวเลขถูกกาํ หนดโดย 10n เมื่อ n = 1 หมายถึงหลักหนว่ ย ( 1 ), เมอ่ื n = 2 หมายถึงหลกั สบิ ( 10 ) ฯลฯ และค่าตัวเลขในแต่ละหลักน้นั คือผลคูณของคา่ หลกั เชน่ 215 = 2 × 102 + 1 × 101 + 5 × 100 ดงั นน้ั ถ้าในระบบเลขฐาน 16 ซึง่ นยิ มใช้ในการเขียนโปรแกรมส่งั งานคอมพวิ เตอรม์ สี ัญลกั ษณท์ ใ่ี ช้แทนคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (โดยในทนี่ ้ี A = 10, B = 11, ..., F = 15 ในเลขฐาน 10 ตามลําดับ) ดงั น้นั ตวั เลข 31B ในฐาน 16 จะมีคา่ เทยี บเทา่ กบั เลขฐาน 10 ในข้อใด 1. 768 2. 779 3. 795 4. 805 94. กาํ หนดให้ A = ⎡0 1⎤ และ λI = ⎡λ 0⎤ ⎣⎢−2 −2⎥⎦ ⎣⎢0 λ⎥⎦ จงหาค่าของ λ ซ่ึงเป็นค่าคงท่ใี ดๆ จากสมการ det(λI − A) = 0 1. −2 + 2 i, −2 − 2 i 2. −1 + i, −1 − i 3. −1 + 2 i, −1 − 2 i 4. −2 + i, −2 − i 95. สมการในข้อใดทเ่ี ปน็ สมการของเสน้ กาํ กับ (Asymptotes) ของสมการ 16y2 − 25x2 − 64y + 50x + 439 = 0 1. y = ± 4 (x − 1) − 2 2. y = ± 4 (x − 1) + 2 5 5 3. y = ± 5 (x − 1) − 2 4. y = ± 5 (x − 1) + 2 4 4 96. ชาวนาคนหนึ่งมลี วดหนามยาว 80 เมตร หากต้องการใชล้ อ้ มรวั้ ท่ีดินรปู สเ่ี หลยี่ ม จํานวน 3 แปลง ดังรปู ถามวา่ พ้นื ท่ีรวมมากท่ีสุด ที่ชาวนาสามารถลอ้ มได้ เป็นเทา่ ไร 1. 192 ตร.ม. 2. 200 ตร.ม. 3. 220 ตร.ม. 4. 234 ตร.ม. 97. กาํ หนดให้ (g f)(x) = 1 และ f(x) = ln x3 + 2 จงหาคา่ ของ g(x) เม่ือ x < −1 ln x3 + 3 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 5−x 2 x−5 x+1 2 x+1 98. กาํ หนดให้ T = 25x + 22y จงหาคา่ T สูงสดุ ท่ีเป็นไปตามเงอื่ นไขน้ี x + y < 5 , 3x + 2y < 12 , 3x + 6y < 18 , x > 0 และ 0 < y < 2 1. 94 2. 100 3. 108 4. 122 เ9ว9ก.เตถอ้ารเว์ ก˜AเตCอรก์ ับ˜AC˜AD= ˜AB + ˜BC จงหามุม θ ระหว่าง y C(8,11) โดยจดุ A, B, C และ D มีพกิ ัดตามรปู B(1,9) 1. cos−1 24 2. cos−1 50 θ D(6,6) 25 50 x A(2,3) 3. cos−1 22 4. cos−1 43 25 50 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 556 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) 100. กําหนด A = ⎡a11 a12 ⎤ , B = ⎡b11 b12 ⎤ , C = ⎡c11 c12 ⎤ ⎢⎣a21 a22 ⎦⎥ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎣⎢c21 c22 ⎥⎦ จงหาคา่ cij ซง่ึ เป็นสมาชิกของ C ในแถวท่ี i และหลกั ท่ี j เมื่อ C = (AB)T 1. aj1b1i + aj2b2i 2. ai1b1j + ai2b2j 3. aj1b1i + ai2b2j 4. ai1b1j + aj2b2i y 101. จงหาพืน้ ทแ่ี รเงาในรูป 1. 27 2. 36 y=3 x (9,9) 3. 54 4. 34 102. จงหาพืน้ ที่ทีล่ อ้ มรอบด้วยเส้นกราฟของสมการ y − 1 = x − 2 และสมการ x = 0 (0,0) (5,0) x 1. 2 ตร.หนว่ ย 2. 4 ตร.หนว่ ย 3. 8 ตร.หน่วย 4. 16 ตร.หน่วย 103. นิยาม ∪n A i = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An และ ∩n A i = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An i=1 i=1 กําหนดให้ An = [ − 10 , 8n − 2 ], n ∈ I+ จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ n 2n + 1 ก. ∞ = [− 10 , 4] ข. ∞ = [0, 8n − 2] ค. ∪ ∩i∞ ⎡∞ A i ⎤ − ∩ ∪i∞⎡ ∞ A ⎤ = ∅ n 2n + 1 =1 ⎣⎢i = n ⎥⎦ =1 ⎢⎣i =n i ⎦⎥ ∪ Ai ∩ Ai i=n i=n 1. มขี อ้ ความที่ถกู 1 ขอ้ 2. มีขอ้ ความที่ถกู 2 ขอ้ 3. ถกู 3 ทั้งข้อความ 4. ผิดทกุ ขอ้ ปี 2539 104. ในการก่อสร้างอาคารหลังหน่ึง จะตอ้ งเสียค่าใชจ้ า่ ยคงทส่ี าํ หรบั การกอ่ สรา้ ง เทา่ กบั 800 หนว่ ย และจะตอ้ งเสยี ค่าใช้จ่ายสาํ หรับการก่อสรา้ งอาคารช้ันท่ี n เท่ากบั n หนว่ ย จงคาํ นวณหาวา่ จะต้องสูงกชี่ ้นั จึงจะเสยี คา่ ใชจ้ า่ ยสาํ หรับการกอ่ สร้างเฉล่ยี ตอ่ ชัน้ นอ้ ยทีส่ ดุ 1. 20 ชน้ั 2. 40 ชนั้ 3. 80 ชั้น 4. 160 ชนั้ 105. ให้ an = n สําหรับ n เปน็ เลขคี่ และ an = 2n/2 สาํ หรบั n เปน็ เลขคู่ จงหาคา่ 100 ∑ an n=1 กาํ หนดให้ 225 = x และผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต Sn = n (a1 + an) 2 ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิต Sn = a1(1 − rn) (1 − r) 1. 2500 + 2(x2 − 1) 2. 2500 + 2(x4 − 1) 4. 5050 + 2(x4 − 1) 3. 5050 + 2(x2 − 1) 106. จากความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง f (x) กับ x ดงั แสดงในกราฟ f(x) ต่อไปน้ี จงหาคา่ ของ 1 ∫3 1000 log [f (x)] dx 100 10 1. 1010 2. 200 1 3. 6 4. 4 0.10 1 2 3 x Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 557 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 107. โปรเจคชนั ของส่วนของเสน้ ตรง P1P2 บนแกน x ยาว 2 หน่วย และบนแกน y ยาว 3 หน่วย จงหาความยาวของส่วนของเสน้ ตรง P1P2 1. 13 2. 13 3. 5 4. 5 108. จงหาค่า k ที่ทําใหร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ ต่อไปน้ี ไม่สามารถหาคําตอบได้ 2x − y + 3z = 1 −x + ky − z = 3 และ x − y + z = −2 1. −2 2. −1 3. 0 4. 1 109. เม่อื p(x) คอื พหนุ ามที่มีดกี รีเท่ากบั 3 และสัมประสิทธิ์ของพหนุ ามนีเ้ ป็นจํานวนเต็ม ถา้ หารพหุนาม p(x) ด้วย (x − 2) แลว้ จะเหลอื เศษ 0 ถา้ หารพหนุ าม p(x) ดว้ ย (x + 1) แลว้ จะเหลอื เศษ 0 ถ้าหารพหนุ าม p(x) ด้วย x แลว้ จะเหลอื เศษ 8 จงหา p(x) ว่าจะเท่ากบั ขอ้ ใด 1. (x − 2)(x + 1)(x − 4) 2. (x − 2)(x + 1)(x + 4) 3. (x − 2)(x + 1)(x + 8) 4. (x − 2)(x + 1)(x − 8) 110. สามเหลีย่ ม ABC มพี ้นื ที่ 2 ตารางหนว่ ย AB มีความยาวเท่ากบั 1 หน่วย ถ้า BE มี A ความยาวเทา่ กับ 0.8 หน่วย และเส้น DE ขนานกบั เส้น AC จงหาคา่ ความยาวของ BD E 1. 4.0 หน่วย 2. 3.2 หนว่ ย 3. 1.8 หนว่ ย 4. 1.6 หน่วย B DC 111. แผ่นโลหะรปู ส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสยาวดา้ นละ 16cm ต้องการตดั มมุ ท้งั สี่ ออกเป็นรูปสเี่ หลี่ยมจตั ุรัส แล้วพบั ตามรอยเสน้ ประเพ่ือทาํ เปน็ กลอ่ ง ดงั รูป กลอ่ งจะมปี รมิ าตรไดม้ ากทส่ี ุดเท่าไร 1. 9812 cm3 2. 9218 cm3 27 27 3. 8291 cm3 4. 8192 cm3 27 27 112. ข้อตอ่ ไปนี้ขอ้ ใดผิด ข. cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ก. sin (α−β) = sin α cos β + cos α sin β ง. cos (α−30°) + cos (α+30°) = sin α ค. sin 2α = 2 sin α cos α 2. ขอ้ ข กบั ข้อ ค 1. ขอ้ ก กบั ข้อ ข 4. ขอ้ ง กับขอ้ ก 3. ข้อ ค กับขอ้ ง 113. จากรปู ทีก่ าํ หนดให้ดงั ต่อไปน้ี อยากทราบวา่ มีรูปส่เี หล่ียมรวมท้ังหมดกีร่ ูป 1. 39 รปู 2. 40 รปู 3. 41 รูป 4. 42 รปู Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 558 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) 114. ถา้ y3 + 4y2− 9 = 3 และ f (x) = x3 − 2x + 5 อยากทราบวา่ f (y) จะมคี า่ เทา่ ไรบ้าง y+3 ก. −16 ข. 9 ค. 26 1. ขอ้ ก ถูก 2. ขอ้ ข ถูก 3. ข้อ ค ถูก 4. ขอ้ ก และขอ้ ข ถูก 115. กาํ หนดวงกลมรัศมีเทา่ กบั 1 cm สองวงตัดกนั ดงั รูป จงหา พืน้ ทแ่ี รเงา 2. 0.45 cm2 1. 0.33 cm2 3. 0.50 cm2 4. 0.57 cm2 116. มีลวดหนามยาว L ต้องการนําไปล้อมรว้ั เพื่อจับจองทดี่ ิน ถามว่า จะตอ้ งลอ้ มใหเ้ ป็นรปู อย่างไรจึงจะได้พืน้ ทีม่ ากท่สี ดุ กําหนดวา่ การล้อม รว้ั จะต้องให้ปลายลวดขา้ งหน่งึ ตอ่ กบั ปลายอีกขา้ งหน่งึ พอดี 1. รูปส่เี หลย่ี มผืนผา้ 2. รปู สี่เหลี่ยมจัตรุ สั 3. รูปหกเหลีย่ มด้านเทา่ 4. รูปวงกลม 117. เชือกเสน้ หนึ่งยาว 10 m นํามาตัดแบง่ คร่ึงความยาว แลว้ นาํ สว่ นท่ีแบง่ แล้วมาตดั แบ่งครง่ึ อกี นําสว่ นท่ีถูกตัดแบง่ ครึ่งแล้วมาตัดแบง่ ครงึ่ ไปเร่ือยๆ ถามวา่ จะต้องตดั อยา่ งน้อยทส่ี ดุ ก่คี รง้ั ความยาว ของเชือกท่ีถูกแบง่ คร้งั สดุ ท้ายจงึ จะเหลือไมถ่ งึ 1 mm (กาํ หนดให้ log 2 = 0.301) 1. 12 2. 13 3. 14 4. 15 118. ถ้าความน่าจะเป็นทพี่ รงุ่ นี้จะมฝี นตกเทา่ กบั 0.35 และความน่าจะเป็นทีพ่ รงุ่ นี้จะมีเมฆมาก เท่ากับ 0.4 โดยทค่ี วามน่าจะเป็นที่พรุ่งนี้จะมีเมฆมากและมฝี นตก เทา่ กับ 0.25 จงหาความน่าจะ เป็นทีพ่ ร่งุ น้ีมีเมฆมากหรือไม่มีฝนตก 1. 0.95 2. 0.90 3. 0.85 4. 0.80 ปี 2540 119. เสน้ ตรงเส้นหน่ึงผา่ นจุด A (2, 2, 2) และ B(6, 5, 2) อยากทราบว่า ถา้ ลากเสน้ จากจดุ C(−4, 0, −3) ไปตั้งฉากกบั เสน้ ตรงท่ลี ากผา่ นจุด A และ B ข้างตน้ เส้นต้งั ฉากน้จี ะมคี วามยาว เท่าไร 1. 33 หนว่ ย 2. 221 หน่วย 3. 61 หนว่ ย 4. 221 หน่วย 5 5 120. รูปหกเหล่ียมด้านเทา่ บรรจุอย่ใู นวงกลมท่มี รี ศั มีเท่ากับ 7 cm พ้ืนที่แรเงาจะเทา่ กับเท่าไร 7 cm 1. 21.22 cm2 2. 26.70 cm2 3. 42.44 cm2 4. 127.30 cm2 121. สาํ หรับสมการ f (x) และ g(x) ใดๆ กําหนดให้ log(f (x) g(x)) = 4 และ log(10 f (x)) = 3 , g(x) ≠ 0 g (x) จงหาค่า x ถา้ g(x) = x2 + 1 1. ±2 2. ±3 3. ±5 4. ±7 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 559 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 122. กําหนด f (x) ดังรูป และ g(x) = df (x) + x f(x) dx 8 7 ∫จงหา 1 4 6 5 g(x) dx 12 3 45678 x 1. 5.5 2. 6.0 3. 7.5 4. 8.0 123. จงหาค่าของ ln jj กาํ หนดให้ j = −1 และ z = x + j y = r ejθ โดยท่ี r = และx2 + y2 θ = tan−1(y/ x) 1. π/2 2. eπ/2 3. −π/2 4. e−π/2 124. จากข้อมูลสภาพการจราจรและอัตราการเกิดอุบัติเหตุ บนถนนสายหลักสายหนึง่ ในชว่ ง 16.00- 18.00 น. พบว่าความนา่ จะเปน็ ของการเกดิ การจราจรติดขัดคดิ เป็น 0.85 และความนา่ จะเปน็ ของ การเกิดอุบตั เิ หตุเท่ากับ 0.5 ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดการจราจรติดขัดและการเกิดอบุ ัติเหตุ เท่ากับ 0.3 จงหาความนา่ จะเป็นท่ีการจราจรไมต่ ดิ ขัดหรอื เกิดอบุ ัติเหตุ 1. 0.15 2. 0.35 3. 0.45 4. 0.50 125. ในการว่งิ มาราธอนคร้ังหนงึ่ ถา้ ความเร็วเฉล่ียของนกั ว่ิงทง้ั 200 คน เท่ากับ 15 km/h และมี การกระจายของคา่ ความเรว็ เป็นแบบโค้งปกติ โดยมีค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 0.5 km/h จงหาว่า นกั ว่งิ คนหนึ่งทท่ี ําความเร็วเฉลี่ยได้ 16 km/h จะเขา้ เส้นชยั ประมาณลาํ ดับทีเ่ ท่าไร หมายเหตุ ให้ประมาณวา่ พ้ืนท่ีใตโ้ ค้งของการกระจาย ชว่ ง ±σ มคี ่าประมาณ 2/3 ของพ้นื ที่ใต้โค้งท้งั หมด ชว่ ง ±2σ มคี ่าประมาณ 19/20 ของพ้ืนท่ใี ตโ้ คง้ ท้ังหมด ชว่ ง ±3σ มคี า่ ประมาณ 9975/10000 ของพนื้ ทใี่ ตโ้ คง้ ทง้ั หมด 1. มากกวา่ ลําดับที่ 12 2. ลาํ ดับที่ 10 3. ลาํ ดับที่ 5 4. ลาํ ดบั ที่ 3 126. ถ้าเขียนกราฟนี้บนสเกล x−y กราฟพาราโบลาทีไ่ ด้จะมจี ดุ โฟกสั ที่จดุ ใด 2. (0, 29) y 1. (0, 9) 6 2 4. (0, − 1) 6 4 3. (0, 1) 26 O 2 4 x2 127. แนวถนนตรงสองสายท่จี ะสร้างใหมต่ ัดกันทจ่ี ดุ A วิศวกรตอ้ งการสรา้ งทางโคง้ แบบวงกลม รศั มี R = 200 3 m เชื่อมแนวถนนตรงท้ังสองสาย โดยมีจุดเริ่มโค้งท่จี ุด B และ C ตามลําดับ ตําแหน่งจุด B จาํ เปน็ ต้องหาจากจดุ A แตจ่ ดุ A เข้าถงึ ไม่ไดเ้ พราะอยใู่ นเหวลกึ ทางออกทางหนง่ึ คือการกําหนดจดุ X และจดุ Y บนแนวถนนตรงซ่งึ สามารถมองเหน็ กนั A ได้ ถ้ามมุ PXY , มุม QYX และระยะ XY จากการสํารวจคร้ังนีเ้ ท่ากบั X 90° , 150° และ 105 3 m ตามลาํ ดับ ระยะ XB จะเทา่ กับเทา่ ไร Y C หมายเหตุ รปู น้ีไมไ่ ด้วาดตามสเกล B R 1. 475 m 2. 495 m 3. 515 m 4. 525 m P Q Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 560 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 128. จากเง่ือนไขทกี่ าํ หนดใหด้ งั ตอ่ ไปน้ี ก. มหาวทิ ยาลัยทสี่ อนพยาบาลศาสตรท์ กุ แหง่ มีการสอนแพทยศาสตร์ ข. มหาวทิ ยาลยั ท่สี อนพยาบาลศาสตรท์ ุกแหง่ ไม่มีการสอนวิศวกรรมศาสตร์ ค. ครึ่งหนง่ึ ของมหาวิทยาลยั ทสี่ อนวิศวกรรมศาสตร์ มกี ารสอนแพทยศาสตร์ ง. คร่ึงหน่ึงของมหาวทิ ยาลัยทส่ี อนแพทยศาสตร์ มกี ารสอนพยาบาลศาสตร์ จ. ไม่มีมหาวทิ ยาลัยใดที่สอนเฉพาะแพทยศาสตรเ์ พียงอยา่ งเดยี ว อยากทราบวา่ ถา้ มีมหาวทิ ยาลัยทสี่ อนแพทยศาสตร์ท้ังหมด 10 แห่ง จะมีมหาวิทยาลัยที่สอน วิศวกรรมศาสตร์กีแ่ ห่ง 1. 5 แหง่ 2. 10 แห่ง 3. 15 แห่ง 4. 20 แหง่ 129. จากสมการ y3 + 3y2 = 4(y + 3) และฟงั กช์ ัน f (x) = x2 − x อยากทราบว่า f (y) จะมีคา่ เท่าไร เม่อื y ≠ −3 1. {2, 6} 2. {2, 12} 3. {2, 9, 12} 4. {6, 9, 12} ปี 2541 −1 จงหาคา่ (i + 1)20 130. กาํ หนดให้ i = (i − 1)16 1. 4 2. −4 3. −4 i 4. 4 i 131. แผน่ ฟลิ ม์ กรองแสงชนดิ หนง่ึ กรองแสงออกได้ 20 เปอร์เซ็นต์ ถ้าตอ้ งการนาํ แผ่นฟลิ ์มกรองแสง ชนิดน้ไี ปติดรถยนตเ์ พอ่ื ใหก้ รองแสงออกไดป้ ระมาณ 60 เปอร์เซ็นต์ โดยใชแ้ ผ่นฟลิ ์มชนดิ น้ีซ้อนกัน อยากทราบวา่ จะต้องใชแ้ ผ่นฟิล์มชนิดน้ีกีช่ น้ั สมมติให้แสงผา่ นกระจกได้ 100 เปอร์เซ็นต์ 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 132. ถ้าประพจนต์ ่อไปน้ี “ถ้าพอ่ คา้ กกั ตนุ น้ําตาล แล้วราคานาํ้ ตาลจะสงู ขึน้ ” เปน็ ความจริง ข้อใดเปน็ การให้เหตผุ ลท่ีถกู ตอ้ ง 1. เน่อื งจากราคาน้าํ ตาลสงู ขึ้น จงึ สรปุ ได้ว่าพ่อคา้ กกั ตุนน้ําตาล 2. เนื่องจากพ่อค้าไม่ไดก้ ักตุนนาํ้ ตาล จงึ สรปุ ไดว้ ่าราคาน้าํ ตาลไมไ่ ดส้ งู ข้นึ 3. เน่อื งจากราคานํ้าตาลไมส่ งู ขน้ึ จึงสรุปได้ว่าพ่อคา้ ไมไ่ ดก้ ักตุนนํ้าตาล 4. มขี ้อถกู มากกว่า 1 ข้อ 133. กําหนด A = ⎡1 2 0⎤ และ B= ⎡a 0 0⎤ จงหาค่า a ซึ่งทาํ ให้ det (AB) = 8 ⎢⎢⎣00 2 21⎥⎦⎥ ⎢⎣⎢31 2 01⎥⎥⎦ 0 0 1. 1/8 2. 1 3. 8 4. ไม่สามารถหาคา่ a ได้ 134. ในการหาความกวา้ งของลําน้าํ เนอื่ งจากไมส่ ามารถวัดระยะโดยตรงได้ จงึ ทําการวัดระยะ AC ได้ 50 เมตร, มุม CAB ได้ 105° และมมุ ACB ได้ 45° จงหาความกวา้ งของลําน้ํา (ระยะ AB ) B 1. 50 2 เมตร 2. 50 3 เมตร ลาํ น้ํา 3 2 A C 3. 50 2 เมตร 4. 50 3 เมตร 135. จงหาคา่ ของ lim ⎛ 4n5 + n3 ⎞ 3 cos (nπ) โดยที่ n เป็นจํานวนเตม็ บวก ⎜⎜⎝ 5n5 − 38 ⎟⎠⎟ n→∞ 1. 0 2. 0.8 3. 2.4 4. ∞ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 561 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) 136. รถไฟทีแ่ ล่นด้วยความเรว็ คงที่ v กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง ตอ้ งเสียค่าใชจ้ ่ายเปน็ คา่ น้ํามัน v2/5 บาทต่อชวั่ โมง และคา่ จ้างพนักงานเดินรถ 40 บาทตอ่ ชวั่ โมง ถา้ ต้องเดินทางระยะทาง 500 กิโลเมตร ควรจะแลน่ ด้วยความเรว็ เท่าใดจึงจะเสียคา่ ใชจ้ ่ายนอ้ ยที่สุด 1. 10 2 2. 20 2 3. 50 2 4. ไมม่ คี วามเรว็ ทีเ่ สียค่าใชจ้ ่ายน้อยท่ีสุด 137. วงกลม Cn+1 สรา้ งจากวงกลม Cn โดยที่ n = 1, 2, 3, ... โดยการสร้างสี่เหลี่ยมจตั รุ สั บรรจุใน วงกลม Cn แลว้ สร้างวงกลม Cn+1 บรรจใุ นส่ีเหล่ยี มจตั ุรัสดังกลา่ ว ดังแสดงในรปู ถ้า วงกลม C1 มเี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง d จงหาผลบวกของเส้น Cn รอบวงของวงกลมท้ังหมด Cn+1 1. (2 − 2) π d 2. 2( 2 − 1) π d 3. ( 2 − 1) π d 4. 2 π d 2 2−1 138. ถังนํา้ ใบหนึ่งมีเครื่องสูบนํ้าเข้าถงั สองเครื่อง ถ้าทดลองเปดิ เครอื่ งสบู น้ําทีละเครื่องเพ่อื สูบนาํ้ ใส่ ถังเปล่าจนเต็มถัง พบวา่ เครอ่ื งหน่งึ จะใชเ้ วลานอ้ ยกว่าอกี เครอื่ งหนึง่ 3 ชั่วโมง แตถ่ า้ เปดิ เคร่ืองท้งั สองพร้อมกนั พบวา่ นา้ํ จะเต็มถังในเวลา 2 ชัว่ โมง ขอ้ ใดเป็นระยะเวลาทีเ่ ครื่องใดเครือ่ งหน่ึงใช้ใน การสบู น้าํ ใส่ถงั เปล่าจนเต็มถงั 1. 1 ชัว่ โมง 2. 3 ช่วั โมง 3. 4 ช่วั โมง 4. 2 + 10 ชว่ั โมง 2 139. สมการเส้นตรงชดุ ใดตอ่ ไปนปี้ ระกอบเป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก 1. 3x − 5y + 10 = 0 , x + 4y − 6 = 0 , 6x − 10y − 1 = 0 2. x − 3y + 1 = 0 , ,3x + y + 1 = 0 −2x + 6y + 5 = 0 3. x − 4y + 2 = 0 , 2x + y = 0 , 2x + 3y − 5 = 0 4. 5x − 3y + 7 = 0 , 2x − y = 0 , 9x + 15y − 4 = 0 เฉลยคาํ ตอบ (1) 3 (2) ไมม่ ีขอ้ ถูก (ตอบ y = (x2/4) − x ) (3) 1 (4) 2 (5) 2 (6) 3 (7) 4 (8) 2 (9) 2 (10) 4 (11) 3 (12) 2 (13) 1 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 4 (19) 1 (20) 4 (21) 3 (22) 4 (23) 2 (24) 3 (25) 3 (26) 2 (27) 2 (28) 4 (29) 2 (30) 3 (31) 1 (32) 1 (33) 2 (34) 3 (35) 3 (36) 2 (37) 1 (38) 2 (39) 3 (40) 2 (41) 2 (42) 2 (43) 2 (44) 3 (45) 2 (46) 3 (47) 4 (48) 1 (49) 2 (50) 4 (51) 1 (52) 3 (53) 3 (54) 2 (55) 1 (56) 3 (57) 4 (58) 1 (59) 4 (60) 1 (61) 4 (62) 4 (63) 1 (64) 3 (65) 3 (66) 2 (67) 2 (68) 3 (69) 2 (70) 3 (71) 2 (72) 2 (73) 3 (74) 2 (75) 3 (76) 1 (77) 2 (78) 2 (79) 3 (80) 3 (81) 3 (82) 4 (83) 3 (84) 3 (85) 3 (86) 2 (87) 4 (88) 1 (89) 1 (90) 2 (91) 1 (92) 1 (93) 3 (94) 2 (95) 4 (96) 2 (97) 3 (98) 3 (99) 1 (100) 1 (101) 2 (102) 2 (103) 3 (104) 2 (105) 1 (106) 4 (107) 1 (108) 4 (109) 1 (110) 2 (111) 4 (112) 4 (113) 1 (114) 2 (115) 4 (116) 4 (117) 3 (118) 2 (119) ไมม่ ขี ้อถูก (ตอบ 29 ) (120) 2 (121) 2 (122) 1 (123) 3 (124) โจทย์ผดิ เพราะ P (A ∪ B) > 1 ไม่ได้ (125) 3 (126) ไมม่ ขี อ้ ถกู (ตอบ (0, 103/24)) (127) 2 (128) 2 (129) 1 (130) 2 (131) 3 (132) 3 (133) 2 (134) 3 (135) 3 (136) 1 (137) 4 (138) 2 (139) 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 562 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) เฉลยวิธีคิด (1) Δขงจ จะได้ ขจ = 32 + 42 = 5 (10) ลองพล็อตจุดครา่ วๆ พบวา่ รูปกราฟคลา้ ย ไฮเพอรโ์ บลามุมฉาก ดงั นน้ั ตดั ขอ้ 1. (พาราโบลา) พืน้ ท่ี Δกขค = 1 ⋅ 5 ⋅ 10 = 25 ตร.ม. ตอบ 2 กับขอ้ 2. (เสน้ ตรง) เหลือเพยี งขอ้ 3. กับ 4. ที่ (2) พาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดท่ี (2, −1) เปน็ ไปได้ → (x − 2)2 = 4c(y + 1) จากน้ันทดลองแทนคา่ ดดู งั น.ี้ .. หาค่า c กอ่ น โดยกราฟผา่ นจดุ (0,0) ข้อ 3; yx2 = a ลองเอาข้อมูลมาคณู ดเู พอื่ เป็นค่า a จะได้ 65 (1)2 = 65 , 35 (2)2 = 140 , → (−2)2 = 4c(1) → c = 1 ดังนน้ั สมการทีไ่ ดค้ ือ (x − 2)2 = 4 (y + 1) 25(3)2 = 225 พบวา่ คา่ a ทีไ่ ดน้ นั้ แตกตา่ งกนั มาก หรอื x2 − 4x + 4 = 4y + 4 จงึ ไมน่ า่ ใชข่ ้อ 3. ตอบ ขอ้ 4. [หมายเหตุ ถ้าลองนาํ ขอ้ มูลมาแกส้ มการเพอื่ หา a, b จัดรปู ได้วา่ y = x2 − x ตอบ ไมม่ ีขอ้ ถกู 4 ในขอ้ 4. จะได้เปน็ y = 60 + 5 ] x (3) dy = ความชัน = −4 − 4 = −4 ตอบ dx 3 − 1 (11) จาก 1 = B x + A yA (4) ln N = −λt + ln N0 เมอื่ แกน Y เปน็ 1 และแกน X เปน็ x จะอยใู่ นรปู แกน y คอื ln N และแกน x คือ t y สมการจะอยใู่ นรปู Y = −λ X + ln N0 Y = B X + A ซึง่ เปน็ กราฟเสน้ ตรง ความชนั B ∴เปน็ กราฟเสน้ ตรง และ λ > 0 ดงั นน้ั ความชนั AA ตดิ ลบ ตอบ ขอ้ 2. และตดั แกน Y ท่ี A (5) จดุ ยอดอยกู่ งึ่ กลาง ระหวา่ ง F กับ Directrix F ∴ B = tan θ และ A = RO ตอบ (0, −1) y = -2 A รวมสองสมการได้เปน็ B = RO tan θ ตอบ (6) แกร้ ะบบสมการ (12) เวลา 5 ช.ม. คดิ เปน็ 300 นาที ดงั นน้ั ชนิ้ งานทไี่ ด้ = ก + ข + ค + ง → 1 x + 3 = 2x + 1 → 2 = 1.5x → x = 4 ( ) ( ) ( ) ( )= 300 × 4 + 300 × 6 + 300 × 4 + 300 × 7 23 32 24 24 28 ตอบ ข้อ 3. = 37.5 + 75 + 50 + 75 = 237.5 ขน้ึ แต่นาย ก ทาํ ชน้ิ สดุ ทา้ ยไม่เสรจ็ จึงตอ้ งปดั เศษท้งิ (7) กลมุ่ 1; พิสยั 7 − 1 = 6 ตอบ 237 ชนิ้ กลุ่ม 2; พสิ ยั 6 − 2 = 4 → ฐานนยิ ม = 6 (13) สมมตชิ นั้ แรกเสีย a บาท และสรา้ ง x ช้ัน จะได้ คา่ กอ่ สร้างเฉลี่ย; กลุ่ม 3; พสิ ยั 7 − 2 = 5 กลุ่ม 4; พสิ ัย 7 − 3 = 4 → ฐานนยิ ม = 7 y = 450a + (a + 2a + 3a + 4a + .... + xa) x ตอบ กลุ่มที่ 4 (8) dy = 6x − 3 และ dy = 3x2 450a + a ⎛ x(x + 1)⎞ 450a a (x + 1) dx dx ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ∴ 6x − 3 = 3x2 → 3(x − 1)2 = 0 = = + x x2 → x = 1 ตอบ ดังนน้ั y′ = − 450a +a =0 จะได้ x2 = 900 (9) d = 5 − (−5) = 10 ตอบ x2 2 คือ x = 30 ชั้น ตอบ 12 + 12 2 (14) รปู n เหลย่ี ม จะแบ่ง เป็น Δ ภายในได้ n รปู มมุ ท่ีเกิดขน้ึ คดิ จาก = มมุ รวมใน Δ ทัง้ หมด - มุมรอบจดุ ยอดตรงกลาง = 180 n − 360 องศา ดังนน้ั ตอบ 180 (20) − 360 = 3240 องศา Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 563 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) (15) ขอ้ นไ้ี มจ่ าํ เป็นตอ้ งวาดแผนภาพ เพราะตวั เลขท่ี (20) y = x − 5 และ y = −2x − 5 ให้มาสามารถคาํ นวณไดท้ นั ที ตดั กนั ที่ x − 5 = −2x − 5 → x = 0 , y = −5 ความน่าจะเปน็ ทเ่ี รียนคณติ หรือองั กฤษ หาระยะจาก (0, −5) ไปยงั 3x + 4y − 12 = 0 = 1 − ฟสิ กิ สเ์ ทา่ นน้ั = 1 − 20 = 9 ตอบ ได้เปน็ 3(0) + 4(−5) − 12 = 32 ตอบ 110 11 32 + 42 5 (16) แปลงหนว่ ยของความเร็วกอ่ น (21) พิจารณาท่ี 60 คะแนน 450 กม. = 450 × 1,000 ม. = 125 ม. พ้นื ท่ี A = 0.3413 → z = 1 ชม. 3,600 วินาที วินาที B ดงั นนั้ ระยะ AB A 30° D ที่ 70 คะแนน 60 70 = 125 × 20 = 2,500 เมตร 120° 60° h พื้นที่ A = 0.3413 + 0.1360 = 0.4773 → z = 2 ΔABC เป็น Δ หน้าจวั่ 30° ∴ 1 = 60 − X และ 2 = 70 − X ∴ BC = 2,500 ดว้ ย ss C h = BC sin 60° = 2500 ( 3 /2) จะได้ s = 10 , X = 50 ตอบ ขอ้ 3. = 1,250 3 เมตร ตอบ (22) 1 log2 x + 1 log2 x + log2 x = 7 4 2 (17) r จากรปู h = 1 r → 7 log2 x = 7 → log2 x = 4 θh 2 4 →h= 1 ตอบ x = 24 = 16 r2 (23) ค 60° ระยะทตี่ ้องการคอื ขค ดงั นนั้ θ = 60° จข ง คดิ จาก กค – กข พื้นท่ีสว่ นโคง้ มมุ 120° = 1 ของวงกลม = 1 πr2 510 33 510 หา กค จากตรีโกณมติ ิ และพนื้ ทที่ ่ตี อ้ งการ คิดเหมือนยเู นียนของเซต คอื มมุ ทโ่ี จทยใ์ ห้มา 60° ดงั นน้ั +- ก กคˆจ + กคˆง = 120° แสดงว่า กคˆง = 60° (เพราะ Δ กจค, Δ กคง เท่ากนั ) = 1 πr2 + 1 πr2 − 4 (1 h r sin 60°) Δ กคง; sin 60° = กง = 510 33 2 กค กค = 2 πr2 − 4 × 1 × 1 r × 3 r ∴ กค = 510 × 2 ≈ 590 เมตร 3 3 22 2 และ ขค ≈ 590 − 510 = 80 เมตร ตอบ = ⎛ 2 π − 3 ⎞ r2 ≈ 1.23 r2 ตอบ (24) พาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดท่ี (5, −1) ⎜⎝⎜ 3 2 ⎟⎟⎠ จะได้สมการเปน็ (x − 5)2 = 4c(y + 1) (18) ˜A = 20 sin 60° i + 20 cos 60° j ผา่ นจุด (0,0) ดงั นัน้ หาคา่ c ไดเ้ ป็น 25 = 4c สมการที่ได้คอื (x − 5)2 = 25(y + 1) = 10 3 i + 10 j , ˜B = −10 j , ˜D = 20 3 sin 30° i − 20 3 cos 30° j โจทยถ์ าม y เมอื่ x = 2 = 10 3 i − 10 j → 9 = 25 (y + 1) → y = − 16 ตอบ ขอ้ 3. 25 โจทยถ์ าม ˜C = ˜D − ˜A − ˜B = −30 j ∴ |˜C | = 30 หน่วย ตอบ (25) อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน ก็คอื ความชันของกราฟ เมอ่ื พจิ ารณาจากรูปทลี ะช่วงๆ พบวา่ ระหวา่ ง x = 5 (19) หาความยาว AB ถงึ x = 6 เทา่ นัน้ ทค่ี วามชนั เทา่ กัน → AB = 92 + 122 = 15 เมตร (ความชนั เปน็ Δy = 1 ) ดังนนั้ ตอบ ขอ้ 3. ΔABO; 15 = cos 30° Δx 2 OB ดังนน้ั OB = 15 = 30 = 10 3 เมตร 3/2 3 ≈ 17.319 เมตร ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 564 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา ) (26) พนื้ ที่ผวิ A = ผิวขา้ ง + ฝาและฐาน (31) P = (100 sin θ)(10 sin(θ − 60°)) = 2πRh + 2(πR2) แต่โจทย์บงั คับว่าปริมาตร 16π = 500 (2 sin θ sin(θ − 60°)) ดงั นน้ั πR2h = 16π → h = 16 = 500 (cos 60° − cos(2θ − 60°)) R2 = 250 − 500 cos(2θ − 60°) 16 32π ∴A = 2πR ⎛ R2 ⎞ + 2πR2 = + 2πR2 ตอ้ งการ P สูงสดุ แสดงว่า cos(2θ − 60°) ต้องนอ้ ย ⎜⎝ ⎠⎟ R ทสี่ ดุ คอื เปน็ −1 จะได้ Pmax = 750 วตั ต์ ตอบ → dA = − 32π + 4πR = 0 dR (32) ซิงกลู ารเ์ มตรกิ ซ์ แปลวา่ det เทา่ กบั 0; R2 32π จาก A = x − 4 − 4 + x + 4 − 4 = 2x − 8 จะได้ 4πR = → R3 = 8 → R = 2 เมตร R2 แสดงวา่ 2x − 8 = 0 น่ันคือ x = 4 ตอบ และ h= 16 =4 เมตร ตอบ ขอ้ 2. (33) มองดา้ นขา้ ง เปน็ รปู ครงึ่ วงกลม 22 ซ่ึงมาจากสมการวงกลม (27) สังเกตจากตวั เลอื กพบวา่ −1 กับ 1 เปน็ 20 ⎧ 2 x2 + y2 = 252 ⎨ ⎩ คาํ ตอบอยา่ งแนน่ อน จงึ นาํ ไปหารออกได้เปน็ 15 (x + 1)(2x − 1)(x2 + x + 1) = 0 ตอ้ งการตาํ แหน่งความสูง y = 20 จะได้วา่ ซง่ึ x2 + x + 1 = 0 นนั้ ได้คาํ ตอบเป็น x2 = 252 − 202 = 225 ∴ x = ± 15 x = −1 ± 12 − 4 = − 1 ± 3 i ตอบ ขอ้ 2. พ้ืนท่ีวงกลมทีต่ ดั = π(15)2 = 225π ตร.ม. ตอบ 2 22 (34) (-4,2) (1,1) 1 1 (28) แปลงด้านขวามอื ของสมการได้ดังน้ี (-1,-1) 2 ⎛ 1 + 1 i ⎞2 = 2 ⎛1 + 1 i − 1⎞ = 1 + 2i พืน้ ที่ Δ = 1 −4 2 ⎜⎝ 2 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 2 4 ⎠⎟ 2 2 −1 −1 1 1 ดงั นน้ั เทยี บสมั ประสทิ ธก์ิ ับฝง่ั ซา้ ยมือไดว้ า่ = 1 (4 + 2 + 1 + 2 + 4 − 1) = 6 ตร.หนว่ ย ตอบ 3x = 1 และ 4y = 2 ตอบ x = 1 2 2 6 B (35) log(5x + 10) = log(3x − 2) + log 10 (29) ให้ y = คา่ ใช้จา่ ย → 5x + 10 = (3x − 2)(10) → x = 1.2 ตอบ 15 ม. (36) A = 75° , C 100-x B = 45° 12 A P x ม. ดังนนั้ C = 60° ดังนน้ั y = 100 (100 − x) + 200 ( 152 + x2) จากกฎของ sine; ∴ y′ ⎛ 1 ⎞ (2x) sin 60° = sin 45° A 75° 5 45° ⎜ 152 ⎟ 60 AC D = −100 + 200 ⎝⎜ ⎠⎟ = 0 B จะได้ AC = 60 sin 45° = 20 6 เมตร 2 + x2 sin 60° จะได้ x = 1 → 2x = 152 + x2 ตอ่ ไปหาระยะ CD ซ่งึ CD = sin 75° 152 + x2 2 AC → 4x2 = 225 + x2 → x2 = 75 → x ≈ 8.6 ดงั นนั้ CD = AC sin 75° = 20 ⎛ 3 + 1⎞ 6 ⎜⎝⎜ 2 2 ⎟⎟⎠ ดังนนั้ ระยะ AP ประมาณ 91.4 เมตร ตอบ (30) เน่ืองจากตวั เลอื กเปน็ เอกซ์โพเนนเชยี ล จงึ ไม่ ( )= 10 3 3 + 1 = 30 + 10 3 ≈ 47.32 สะดวกทจ่ี ะคาํ นวณสมการออกมาโดยตรง ใชว้ ธิ ลี องแทนค่าดีกวา่ ... ท่ี t = 0 จะได้ ∴ แม่นาํ้ กวา้ ง = CD − 17 = 30.32 เมตร ตอบ 1. M = 100 − 1 = 99 2. M = 99 (37) f′(x) = x2 d (sin 2x) + sin 2x d (x2) dx dx 3. M = 100 4. M = 100 = 2x2 cos 2x + 2x sin 2x ตอบ ถือว่าใกลเ้ คยี งทงั้ หมด จึงลองแทน t = 10 จะได้ (38) BA = ⎡3 2⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡6 9⎤ 1. M = 100 − 1 ซงึ่ e ≈ 2.7 ดังนนั้ M ≈ 99 ⎣⎢ 1 2⎦⎥ ⎢⎣0 3⎦⎥ ⎣⎢2 7⎥⎦ e 3. M = 100 ≈ 30 At (BA) = ⎡2 0⎤ ⎡6 9⎤ = ⎡12 18⎤ ตอบ ⎢⎣ 1 3⎦⎥ ⎣⎢2 7⎦⎥ ⎢⎣12 30⎦⎥ 2. M = 100 − e ≈ 97 e 4. M = 100e ≈ 270 ดงั นัน้ ควรเลือกข้อ 3. ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 565 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) (39) 6 = 1 + 4 + 6 + 8 + x → x = 11 ปี (49) จดั สมการใหมเ่ ปน็ 5 5 (y − 4) = 7 (x − 3) → 7x − 5y − 1 = 0 กึ่งกลางพิสยั = 11 + 1 = 6 ปี ตอบ 2 หาระยะตง้ั ฉาก จาก (9,12) ได้วา่ (40) Xรวม = 60(16) + 50(17) + 30(18) d = 7(9)− 5(12)− 1 = 2 = 2 ตอบ 60 + 50 + 30 72 + 52 74 37 = 2,350 ≈ 16.8 ปี ตอบ (50) หาผลรวมของเวกเตอรท์ ัง้ สองกอ่ น 140 (8 cos 30° i + 8 sin 30° j) (41) หา ;Umin U′(x) = 2x − 2.6 = 0 คา่ วกิ ฤต x = 1.3 ซึ่ง U (1.3) = −0.19 , + (−12 3 cos 60° i − 12 3 sin 60° j) เช็คทป่ี ลายช่วง U (0) = 1.5 และ U (3) = 2.7 = 4 3 i + 4 j − 6 3 i − 18 j = −2 3 i − 14 j ∴ Umin = −0.19 ตอบ ดงั นน้ั ตอ้ งตอบ 2 3 i + 14 j ตอบ (42) วงรตี ้ัง เพราะโฟกสั กับจดุ ศนู ย์กลางมคี ่า x (51) 14.2 = (22 + 8) (13.6) + N3 (16) เท่ากัน ...แกนเอกยาว 14 แสดงวา่ a = 7 22 + 8 + N3 ระยะโฟกสั c = 1 − (−5) = 6 → 426 + 14.2 N3 = 408 + 16 N3 ∴ b2 = a2 − c2 = 49 − 36 = 13 ดงั นน้ั N3 = 10 เครอื่ ง ตอบ ตอบ (x + 4)2 + (y − 1)2 = 1 (52) จาก (x − y i)(2 + i) = (2x + y) + (x − 2y) i 13 49 เทียบสัมประสทิ ธ์ไิ ด้ 2x + y = 7 และ x − 2y = 4 (43) d2v = 2ax → 2a(1) = 6 →a=3 แกร้ ะบบสมการได้ x = 18 , y = − 1 dx2 55 แสดงว่า dv = 3x2 + 3 ∴ x + 2y = 18 − 2 = 16 = 3 1 ตอบ dx 55 5 5 (53) ข้อน้เี ปน็ โจทยค์ ณติ ศาสตรค์ รับ ไม่สามารถใช้ v(x) = ∫ (3x2 + 3) dx = x3 + 3x + c สูตรในวิชาฟสิ กิ สค์ าํ นวณ เพราะวา่ a ไม่คงท่ี หา c จาก (0,1) จะได้ c = 1 ตอบ v(x) = x3 + 3x + 1 วาดกราฟ v-t ไดด้ ังนี้ (44) เนอื่ งจาก ∅ เป็นสบั เซตของเซตใดๆ ทุกเซต v2 + (t − 6)2 = 62 เป็นรูป(คร่ึง)วงกลม ดงั ภาพ ดังนนั้ ตอบ ขอ้ 3. v (45) (B + C) = (2 − 3 i) + (3 + 4 i) = 5 + i , 5π C = 32 + 42 = 5 6 a คงตัว ดังนน้ั หาค่าของ (5 + i)(5) = (5 + i)(1 − 2 i)(5) O 6 12 16 t 1 + 2i 12 + 22 = (5 + i)(1 − 2 i) = 7 − 9 i ตอบ ระยะทาง = พนื้ ทใ่ี ตก้ ราฟ v-t (46) dy = 3x2 − 2 → y = x3 − 2x + C = 1 π62 + 1 (5π)(4) = 28π เมตร ตอบ dx 22 หา C จากจุดทีผ่ า่ นคอื (1,1) ไดว้ า่ 1 − 2 + C = 1 (54) พาราโบลาเปดิ ขวา และจุดยอด (0,0) ∴ C = 2 ดงั นน้ั y = x3 − 2x + 2 และ a = 23 − 2(2) + 2 = 6 ตอบ มีรปู ท่ัวไปคือ y2 = 4cx (47) จัดรปู พาราโบลา; x2 − 6x + 9 = 12y + 3 + 9 หาคา่ 4c จากกราฟผ่านจดุ (42,60) จะได้ (x − 3)2 = 4(3)(y + 1) ดงั นั้นพาราโบลามจี ุด 602 = 4c(42) → 4c = 600 7 ยอดอยทู่ ่ี (3, −1) เลือกขอ้ 4. ไดเ้ ลย ตอบ ดังนนั้ สมการคือ y2 = 600 x (48) log x = log a1/ 3 − log b → x = a1/3 7 b หรือเขียนวา่ 600x = 7y2 ตอบ ข้อ 2. ดังนนั้ x = (27b6)1/3 = 3b2 = 3b ตอบ bb (55) จาก log x = log a1/ 3 − log b2 + log c2 จะได้ x = a1/ 3 ⋅ c2 = ⎛ 8b9 ⎞1/ 3 ⋅ c2 b2 ⎜ ⎟ b2 ⎝ c3 ⎠ = ⎛ 2b3 ⎞ c2 = 2bc ตอบ ⎜ ⎟ b2 ⎝ c ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 566 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) (56) mBD = 10 − (−2) = 12 และเส้นตรงตอ้ งต้งั (62) 5 = 4.3 + 5.3 + 6.4 + x 5 4 8−3 ฉากกับ BD เพราะเป็นเสน้ สมั ผสั วงกลม ดังนนั้ → x = 4 → พสิ ัย = 6.4 − 4 = 2.4 ปี ตอบ เส้นตรงนนั้ มคี วามชนั −5 ตอบ ขอ้ 3. ไดท้ นั ที (63) ตําแหนง่ 21; 1(3) + 2(z) = 5 → z = 1 12 ตําแหนง่ 22; 1(x) + 2(1) = 5 → x = 3 ตาํ แหนง่ 12; 1(x) + 2 (y) = 7 → y = 7 − x = 2 (57) นําแกนพิกดั ฉาก x-y ไปตง้ั ไวต้ รงกลางเพือ่ ให้ จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (0,0) จะไดค้ าํ นวณงา่ ย 2 ,∴ a = 18 b = 12 → x2 + y2 = 1 ∴ x + y − z = 3 + 2 − 1 = 4 ตอบ 182 122 (64) lim 4 + 6n2 + 3n + 27n4 + 9n3 62 y2 n→∞ 1 − 3n − 3 + 9n4 + 9n3 หาความสงู ณ x =6 จาก 182 + 122 =1 y2 1− 1 → y2 = 144 × 8 นํา n4 หารเศษและส่วน ไดค้ าํ ตอบ 27 = 3 ตอบ 122 9 9 9 → = (65) ทม่ี ุม 60°; ดังนน้ั y = 8 2 เมตร ตอบ AB = h = h .....(1) h tan 60° 3 (58) z1 = x1 − X แสดงวา่ x1 ตรงกับคา่ B s N มาตรฐาน z1 = −1.96 , และ x2 ตรงกับ ที่มมุ 45°; A 60° z2 = 1.96 ดังนนั้ พื้นที่ A = 1 − B − B CB = h = h .....(2) 10 45° tan 45° C = 1 − 0.05 − 0.05 = 0.90 ตอบ ท่ี ΔABC ; AB2 + 102 = CB2 (59) ลองแทน x = 3 → ( h )2 + 102 = h2 → 2 h2 = 100 33 ขอ้ 1. f(x) = 23 + 3 = 11 ∴ h = 150 ≈ 12.2 เมตร ตอบ ขอ้ 2. f(x) = 2 (3)2 + 1 = 19 (66) U′ = 3x2 − 3.63 → U′ = 0 จะได้ x = ±1.1 คิดทป่ี ลายชว่ ง 0 < x < 3 ด้วย ข้อ 3. f(x) = 32 + 3 + 1 = 13 ได้ U(1.1) = −1.3, U(0) = 1.362, U(3) = 17.472 และข้อ 4. f(x) = 33 − 2 (3)2 + 3 (3) + 1 = 19 ดงั นนั้ มีขอ้ 1. กบั 3. ไม่ถูกแน่นอน ตอ่ ไปลองแทน x = 2 จะได้วา่ ดงั นนั้ Umin = −1.3 ตอบ ขอ้ 2. f(x) = 2 (2)2 + 1 = 9 (67) การเปรยี บเทียบตอ้ งคดิ เปน็ ค่ามาตรฐาน (z) และข้อ 4. f(x) = 23 − 2 (2)2 + 3 (2) + 1 = 7 คนท่ี 1; zรวม = 8−7 + 5−8 + 9−7 = −1 1 12 ดงั นน้ั ตอบ ข้อ 4. (60) f(x) = x3 + 4 − 2x + c คนที่ 2; zรวม = 7−7 + 7−8+8−7 = −0.5 x 1 12 ดว้ ยวธิ ีเดยี วกนั ได้ zรวม คนที่ 3 = 0.5 f(2) = 8 จะไดว้ า่ 8 + 2 − 4 + c = 8 ดังนน้ั c = 2 ตอบ Q และ zรวม คนที่ 4 = 1 ∴ ตอบ คนท่ี 4 P (68) นาย ก; ระยะทาง = 10 − 5 = 5 ก.ม. (61) mP = 2, mQ = −2 θ α → เวลาท่ีใช้ = 5 = 1 ชม. 1 4 25 ∴ ˜P กบั ˜Q ตัง้ ฉากกัน α θ ทาํ ให้ θ + α = 90° ดังรปู 0 สมมติ ˜P ยาว p , ˜Q ยาว q นาย ข; ระยะทาง = 12 + 62 = 37 ก.ม. → เวลาทใ่ี ช้ = 37 < 1 ชม. คิดทแี่ กน x; p cos θ − q sin θ = 21 .....(1) 38 คิดทแ่ี กน y; p sin θ + q cos θ = 18 .....(2) นาย ค; ใชเ้ วลา 50 > 1 ชม. แตจ่ ากจดุ (4,2) ซง่ึ ห่างจากจดุ กาํ เนดิ อยู่ 20 49 หน่วย และทาํ มมุ θ กับแกน x ทาํ ให้เราทราบวา่ และนาย ง; 65 > 1 ชม. 64 sin θ = 2 = 1 และ cos θ = 4 = 2 20 5 20 5 ดงั นนั้ ตอ้ งเปรยี บเทยี บระหวา่ ง นาย ค กบั นาย ง กลายเป็น 2p − 1q = 21 และ 1p + 2q = 18 พบวา่ 50 > 65 ∴ นาย ค ถงึ หลงั สดุ ตอบ 55 55 49 64 แกร้ ะบบสมการได้ p = 12 5 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 567 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) (69) 165 = 20(150) + 180(X2) (77) มุม BAC เป็นมมุ θ ระหวา่ งเวกเตอรท์ ้ังสอง 200 หาได้โดยสตู รการดอทเวกเตอร;์ → X2 = 30,000 = 166.67 ซม. ตอบ 3(2) + 1(3) = 32 + 12 ⋅ 22 + 32 cos θ 180 → 9 = 10 ⋅ 13 cos θ → cos θ = 9 ≈ 0.8 (70) u = ⎡−2−6⎤ = ⎡−8⎤ 11.4 ⎣⎢−2−4⎥⎦ ⎢⎣−6⎦⎥ ˜ ˜˜CD → θ = 38° ตอบ y ⎡2−(−1)⎤ ⎡3⎤ CD ⎡3/5⎤ = ⎣⎢ 6−2 ⎦⎥ = ⎣⎢4⎥⎦ → n = | CD | = ⎣⎢4/5⎦⎥ (78) (0, 4) → M = 12 (2.5,5) ∴ u ⋅ n = (−8)(3) + (−6)(4) = − 48 = −9.6 ตอบ (5, 0) → M = 10 5 55 5 (0, 5) → M = 15 (71) อาศัยความสมมาตรของรปู ABCD ทวี่ าง (2.5, 5) → M = 20 4 ตะแคงอยู่ จาก xB − xC = 3 − 2.268 = 0.732 (4, 0) → M = 8 O 45 x ดังนน้ั xD − xA = 0.732 ดว้ ย → xD = 5.732 จึงเลอื กข้อ 2. ตอบ ∴ Mmax = 20 (72) ∑ a = m ∑ F + c N → 1.7 = 10 m + 4 c (79) จุดตัดแกน x คือ x = 3 ∑ F a = m ∑ F2 + c ∑ F → 5.5 = 30 m + 10 c ดังนน้ั A = 3 6 (ใสล่ บเพอื่ ให้พนื้ ทเี่ ป็นบวก) แก้ระบบสมการได้ m = 0.25 และ c = −0.2 −∫ +∫ ∴ ˆa = 0.25F − 0.2 03 หาคา่ ˆa (ที่ 3.5) = 0.25 (3.5) − 0.2 = − (x3 − 9x) 3 + (x3 − 9x) 6 3 03 3 = 0.675 m/s2 ตอบ = −(9 − 27) + [(72 − 54) − (9 − 27)] = 54 ตอบ (80) ตรวจสอบโดยแทนค่า n เชน่ แทน n = 106 ขอ้ 1. t = 106 ดีกวา่ t = 100 ผิด (t นอ้ ยดีกวา่ ) (73) dA ⋅B = C → ⎢⎡3x2 2x+ 1 ⎤ ⎡ 1⎤ = ⎡0⎤ ข้อ 2. t = 1,000 ดีกวา่ t = 12 ผิด dx ⎢⎣ 0 1 2 ⎥ ⎢⎣2⎦⎥ ⎢⎣2⎦⎥ ขอ้ 3. t = 108 + 5 ดกี วา่ t = 1012 ถูก ⎦⎥ ข้อ 4. t = 21,000 = (1,024)3 ดกี วา่ t = 1012 ก็ถูก → 3x2 + 2(2x + 1) = 0 เปรยี บเทียบขอ้ 3. กบั 4. ด้วยขอ้ มลู ทีเ่ ทา่ กนั 2 → 3x2 + 4x + 1 = 0 → x = − 1 , −1 ทางขวาเหมอื นกนั จงึ พจิ ารณาจากทางซา้ ย 3 → t = 100n + 5 ย่อมนอ้ ยกวา่ t = 2 n ผลรวมคาํ ตอบ คอื − 4 ตอบ ดงั นนั้ เลอื กข้อ 3. ตอบ 3 (81) A = cos2(π − θ) − sin2(π − θ) (74) z − 1 = 2 → (x − 1)2 + y2 = 2 22 → (x − 1)2 + y2 = 4 → x2 − 2x + y2 = 3 = cos ⎡⎢⎣2(π2 − θ)⎦⎥⎤ ตอบ * ขอ้ นีเ้ กนิ หลักสตู รม.ปลาย เพราะต้องหาอนพุ นั ธ์ (82) เน่อื งจากมี x ดงั นน้ั x ติดลบไมไ่ ด้ ตลอดสมการ ดงั น้ี → เหลอื เพยี งข้อ 2. กบั 4. ทเ่ี ปน็ ไปได้ ลองแทนคา่ x = 1 → y = 2 , 2x − 2 + 2y ⋅ dy = 0 dx →∴ dy = 2 − 2x = 1 − x ตอบ x = 2 → y = 3.414 , x = 3 → y = 4.732 , dx 2y y x = 4 → y = 6 พบวา่ มลี ักษณะการโค้งแบบขอ้ 4. (75) 2 + log10 1.25 = log10 100 + log10 1.25 ตอบ ขอ้ 4. ตอบ= log10 125 = 3 log10 5 = 3A (83) * ขอ้ นีถ้ า้ ต้องหาอนพุ นั ธจ์ รงิ ๆ จะยาก เพราะ (76) เวลา 90 นาที นาย ก ได้ 2(1.5) = 3 กม. เกนิ หลกั สูตร (ดฟิ )cos, arcsin, ex, ln x แตถ่ ้าเรา นาย ข ได้ 4 (1.5) = 6 กม. ใชก้ ฎของ cos; A 3 C ต้องการพจิ ารณาแคว่ ่า ”ค่าใดมากกว่ากนั ” สามารถ ทาํ ได้โดยดจู ากความชันของกราฟ 30° CB = 62 + 32 − 2(6)(3) cos 120° 6 f1 เนอื่ งจาก π ≈ 1.57 2 = 3 7 กม. ตอบ B 1 0 π/2 ดงั นน้ั ที่ x = 0.5, 1, x 0.75 นั้น f1 ความชนั -1 ติดลบทั้ง 3 ตวั Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 568 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) → ส่วน f2 = arcsin f2 (88) A = ad − bc, X = (ad)2 + (bc)2 เป็นฟังก์ชนั เพิม่ เสมอ π/2 โจทยต์ อ้ งการ ad − bc > (ad)2 + (bc)2 (ความชันเปน็ บวก) -1 1 ฉะนนั้ ขอ้ 1. ถกู แล้ว O x → (ad)2 − 2abcd + (bc)2 > (ad)2 + (bc)2 f4 → −2abcd > 0 → abcd < 0 เปน็ ไปไมไ่ ดเ้ ลย −π/2 ∴ P = 0 ตอบ ข้อ 1. O x → f4 = ln x เปน็ ฟงั กช์ ันเพม่ิ (89) Yˆ = mX + c → Y = mX + c ดว้ ย 1 ∴ 109 = 53m + c .....(1) เชน่ กนั ฉะน้ัน ความชนั เป็น และ 5 = m(1) + c .....(2) บวก ขอ้ 2. ถกู แลว้ แก้ระบบสมการได้ m = 2 , c = 3 → f3 = ex กเ็ ปน็ f3 ∴ เมือ่ x = 20 วนิ าที ฟังกช์ นั เพม่ิ ดงั นนั้ 1 จะได้ Yˆ = 2(20) + 3 = 43 m/s ตอบ ข้อ 3. ผดิ O x (90) ก. จากเงอ่ื นไขของรทู้ พบวา่ x − 6 > 0 และ x + 4 > 0 และ 6 − x > 0 นํามาอินเตอรเ์ ซคกนั สว่ นขอ้ 4. นน้ั ถกู แล้ว เนอ่ื งจาก cos π < cos π เหลอื แคเ่ ลข 6 แคต่ ัวเดยี ว 46 cos π → แทนคา่ x = 6 ดู พบว่า 0 + 10 > 0 จรงิ ความชนั ของกราฟ f4 ท่ี จงึ มากกว่า ∴ ผลบวกคาํ ตอบก็คอื 6 ขอ้ ก. ผิด 4 ข. ( x)x = x3; โดย x > 0 ตอบ ขอ้ 3. ใส่ log 2 ขา้ ง; x log x = 3 log x (84) lim 4n + 18n4 + 18n3 + 2n ; 2 n→∞ 5n4 + 20n3 + 2 ⋅ 2n → (x − 3)(log x) = 0 [นํา 2n ไปหารทั้งเศษและสว่ น] 2 4n + 18n4 + 18n3 + 1 จะได้ x − 3 = 0 หรอื log x = 0 2n 2 → lim 5n4 + 20n3 2n → x = 6 หรอื 1 ขอ้ ข. ถกู ตอบ ขอ้ 2. n→∞ +2 ซึ่งถา้ n → ∞ แล้ว n4 << 2n (นอ้ ยกวา่ มากๆๆๆ) (91) ให้ θ = arctan 3 ∴ sin θ = 3 45 ∴ lim n4 =0 ดังนน้ั ตอบ 1 → cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ = 1 − 18 = 0.28 ตอบ 2n 2 25 n→∞ (92) −1 + i 3 เป็นคาํ ตอบ แสดงวา่ สงั ยคุ คือ (85) กราฟผา่ น (0, 10) → จะได้ c = 10 ผ่าน (5, 20) → 20 = 25a + 5b + 10 .....(1) −1 − i 3 ต้องเปน็ คาํ ตอบดว้ ย ผ่าน (8, 50) → 50 = 64a + 8b + 10 .....(2) จาก (x + 1 − i 3)(x + 1 + i 3) = x2 + 2x + 4 ได้ a = 1, b = −3 ∴ y = x2 − 3x + 10 นาํ ไปหารยาวออกจาก f(x) ได้ผลเปน็ ซึ่ง y′(4) = 2(4) − 3 = 5 ตอบ (x2 + 2x + 4)(x3 − 2x2 + 9x − 18) = 0 (86) ให้ x = (0.0981)1/5 แยกตวั ประกอบ → log x = 1 log(0.0981) = − 1.0083 = −0.2017 → (x2 + 2x + 4)(x − 2)(x2 + 9) = 0 55 ดังนน้ั คาํ ตอบคอื −1 + i 3, −1 − i 3, 2, −3i, 3i = −1 + 0.7983 = log(0.1) + log(6.285) ผลบวกคาํ ตอบ = 0 ตอบ = log 0.6285 → x = 0.6285 ตอบ [อาจใชส้ ตู รลดั ทีใ่ หไ้ วใ้ นบทจาํ นวนเชิงซอ้ นก็ได]้ (87) g−1(x) = 3 x → g(x) = x3 (93) 31B16 = 3 × 162 + 1 × 161 + 11 × 160 → (gof)(x) = y = ⎛ 2x + 1⎞3 = 768 + 16 + 11 = 795 ตอบ ⎝⎜ 1 − 2x ⎠⎟ (94) λI − A = λ −1 2 λ+2 dy 2x + 1⎞2 ⎛ (1 − 2x)(2) − (2x + 1)(−2)⎞ ∴ dx = 3 ⎝⎜⎛ 1− 2x ⎠⎟ ⎝⎜ (1 − 2x)2 ⎠⎟ = λ(λ + 2) + 2 = λ2 + 2λ + 2 = 0 ตอบ→dy ⎛⎝⎜ 2 + 2 ⎠⎟⎞ ∴ λ = −2 ± 4 − 8 = −1 ± i ตอบ dx = 3 (1)2 1 = 12 2 x=0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 569 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) (95) จัดรปู ; (102) สมการ y − 1 = x − 2 16 (y2 − 4y + 4) − 25 (x2 − 2x + 1) = − 439 + 64 − 25 ได้แก่ (y − 1) = (x − 2) และ (y − 1) = −(x − 2) → 16(y − 2)2 − 25(x + 1)2 = −400 เป็นเสน้ ตรงสองเส้นกากบาท → (x + 1)2 − (y − 2)2 = 1 ผ่านจดุ (2, 1) 3 16 25 พนื้ ที่ Δ = 1 × 4 × 2 -1 2 เปน็ ไฮเพอร์โบลาเปิดซา้ ยขวา a = 4, b = 5 2 เสน้ กาํ กบั ตอ้ งผา่ นจดุ ยอด (−1, 2) และมคี วามชัน ± (b/a) = 4 ตร.หนว่ ย ตอบ ดงั นนั้ ตอบ y − 2 = ± 5 (x + 1) คอื ขอ้ 4. (103) A1 = [−10, 2] , A2 = [−5, 14] , (96) 4 b 5 A3 = [− 10 , 22] , ... a 37 A∞ = [ lim(− 10), lim (8n − 2)] = [0, 4] n → ∞ n n → ∞ 2n + 1 ความยาวลวด 80 เมตร (เป็นชว่ งทไี่ ม่เกิดข้นึ จรงิ เพราะเกดิ ท่อี นันต์) → 80 = 2b + 4a ∴ b = 40 − 2a ก. ถกูAn ∪ An + 1 ∪ An + 2 ∪ … ∪ A∞ = ⎡⎣⎢− 10 , 4 ⎞⎠⎟ n พ้ืนที่ A = ab = a (40 − 2a) = 40a − 2a2 จะได้ A′ = 40 − 4a = 0 → a = 10 ข. ถกูAn ∩ An + 1 ∩ An + 2 ∩ … ∩ A∞ = ⎛ 0, 8n − 2 ⎤ ดังนนั้ Amax = 10(40 − 20) = 200 ตร.ม. ตอบ ⎝⎜ 2n + 1 ⎦⎥ (97) g(ln x 3+2) = 1 = 1 ค. ∪∞ ⎣⎢⎡− 10 , 4 ⎞ − ∩∞ ⎛ 0, 8n − 2⎤ ln x3 + 3 (ln x 3+2) + 1 n ⎠⎟ ⎝⎜ 2n + 1 ⎦⎥ i=1 i=1 ∴ g(x) = 1 ตอบ = (0, 4) − (0, 4) = ∅ ถกู ดงั นน้ั ตอบ ถูก 3 ข้อ x+1 y (104) สมมตสิ รา้ ง n ช้ัน (98) (0, 2) → T = 44 ค่าใช้จา่ ยเฉลยี่ y = 800 + (1 + 2 + 3 + ... + n) n (4, 0) → T = 100 (2,2) ⎡(n)(n + 1)⎤ (2, 2) → T = 94 2 (3,1.5) = 800 + ⎣⎢ 2 ⎦⎥ = 800 + n + 1 (3, 1.5) → T = 108 O4 2 n n2 ∴ Tmax = 108 ตอบ x ∴ y′ = − 800 + 1 = 0 → n2 = 1,600 n2 2 → n = 40 ชน้ั ตอบ (99) ˜AC ˜⎡6⎤ ⎡4⎤ = , AD = ⎢⎣3⎥⎦ (105) 100 ⎣⎢8⎦⎥ ∑ an = a1 + a2 + a3 + … + a100 หามุม θ โดยการดอท; n=1 6(4) + 8(3) = (10)(5) cos θ = 1 + 21 + 3 + 22 + … + 99 + 250 → cos θ = 48 ∴ θ = cos−1 24 ตอบ = (1 + 3 + 5 + … + 99) + (21 + 22 + 23 + … + 250) 50 25 = ⎜⎛⎝ 50 (1 + 99)⎠⎞⎟ + ⎛ 2(1 − 250)⎞ 2 ⎝⎜ 1 − 2 ⎠⎟ (100) C = (AB)T = BTAT = ⎡⎣⎢bb1121 bb2221 ⎤ ⎡⎢⎣aa1121 aa2221 ⎤ ⎥⎦ ⎦⎥ ตอบ= 2,500 + 2 (250 − 1) = 2,500 + 2 (x2 − 1) = ⎡ a11b11 +a12b21 a21b11 +a22b21 ⎤ (106) แปลงกราฟเป็น แกน log(f(x)) จะไดด้ ังนี้ ⎢⎣a11b12 +a12b22 a21b21 +a22b22 ⎥⎦ (log 1 = 0 ดังนนั้ แกน x จึงตอ้ งขยับขนึ้ มา 1 ชอ่ ง) พิจารณา c12 = a21b11 + a22b21 log f(x) และ c21 = a11b12 + a12b22 น่ันคอื aj1b1i + aj2b2i ตอบ ขอ้ 1. 3 (101) พ้ืนทีแ่ รเงา = พื้นที่ใตก้ ราฟจาก 0 ถึง 9 2 1 ลบดว้ ยพ้ืนท่ีสามเหลีย่ ม 0 x -1 1 23 9 x) dx − 1 × 4 × 9 = (2x3/2) 9 − 18 20 = ∫ (3 0 = 54 − 18 = 36 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 570 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา ) 3 พนื้ ท่ีใต้กราฟจาก 1 ถึง 3 (115) พืน้ ท่ีแรเงาดงั น้ี เทา่ กบั 1 ของวงกลม ∫ log[f(x)]dx = 1 4 AB = 1 × 2 × (3 + 1) = 4 ตอบ ลบดว้ ยพ้ืนที่ ΔABC 2 (107) 3 P1P2 = 22 + 32 = 13 จะได้ = 1 π 12 − 1 × 1 × 1 C 42 ตอบ = π − 1 และในโจทย์มรี ปู นี้ 2 ซกี รวมกนั 42 ตอบ 2 (π − 1) = π − 1 ≈ 0.57 cm2 2 42 2 (108) พิจารณาสมการ −x + ky − z = 3 กบั (116) เปรยี บเทยี บได้ดังน้ี x − y + z = −2 พบวา่ สัมประสทิ ธขิ์ อง x และของ 1. ผืนผา้ ไมต่ อ้ งคิด เพราะพ้นื ท่ีนอ้ ยกวา่ จตั รุ ัส อยแู่ ลว้ (ความรจู้ ากเร่ืองอนพุ นั ธ)์ z ถูกคูณ -1 ดงั น้ันจะไม่มคี ําตอบเมอื่ k = 1 ตอบ 2. จตั รุ ัส พืน้ ท่ี = ด้าน2 [จะคํานวณจาก det = 0 กไ็ ด]้ ⎛ L ⎞2 L2 (109) หาร x − 2 กบั x + 1 ลงตวั แสดงวา่ แต่ 4ดา้ น = L ∴ พน้ื ที่ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 16 p(x) = (x − 2)(x + 1)(x − c) 3. หกเหล่ยี มดา้ นเทา่ พนื้ ที่ = 6 รปู Δ ด้านเท่า หาคา่ c โดย “หาร x แล้วเหลอื เศษ 8” นนั่ คอื p(0) = 8 → 8 = (−2)(1)(−c) → c = 4 = 6 ( 1 × ดา้ น × ดา้ น × sin 60° ) = 3 3 ด้าน2 ตอบ p(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 4) 2 2 (110) พ้ืนท่ี ΔABC = 2 = 1 × 1 × BC → BC = 4 แต่ 6ดา้ น = L ∴ พ้ืนที่ = 3 3 ⎛ L ⎞2 = L2 2 2 ⎝⎜ 6 ⎟⎠ 24 3 Δ คล้าย; AB = BE → 1 = 0.8 (หมายเหตุ คดิ พนื้ ทส่ี ามเหลย่ี มจาก 1 [ab sin C] ) 2 AC BD 4 BD 4. วงกลม พ้นื ที่ = π รัศม2ี → BD = 3.2 หน่วย ตอบ ⎞2 L2 (111) จากการพสิ จู นแ์ ล้วในหวั ขอ้ “อนพุ นั ธ”์ (บทที่ แต่ L = 2π รศั มี ∴ พน้ื ท่ี = π ⎛ L ⎟⎠ = ⎜⎝ 4π 15) จะไดว้ า่ ต้องตัดออก “ดา้ นละ 1 ใน 6” ดังนนั้ 2π ปริมาตร = ⎛⎜⎝ 4 16 ⎟⎠⎞2× 16 8,192 ลบ.ซม. ตอบ เปรยี บเทยี บกนั พบวา่ 4π < 16 < 24 3 6 6 27 × = ดงั นน้ั วงกลมมีพ้นื ทีม่ ากทสี่ ุด ตอบ (112) ก. ผดิ (117) 10 เมตร = 104 มิลลิเมตร ตอ้ งเปน็ sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β ตัดคร้ังแรกเหลอื 104 , ตัดครง้ั ทสี่ องเหลอื 104 , 2 22 ข. กบั ค. ถูกแลว้ ง. ผิด ต้องเปน็ cos(α − 30°) + cos(α + 30°) คร้ังทส่ี ามเหลือ 104 , ฯลฯ 23 = 2 cos α cos 30° = 3 cos α ตอบ ข้อ 4. (113) คิดด้วยวธิ ีดงั รูป (คลา้ ยสตู รในเรือ่ งเซต) ∴ 104 < 1 → 2n > 104 → n log 2 > 4 2n → n > 4 ซง่ึ 4 ≈ 13 กวา่ +- 0.301 0.301 = ∴ตอ้ งตดั 14 ครัง้ ขนึ้ ไป ตอบ = ⎝⎜⎛ 4 ⎞⎠⎟ ⎛⎜⎝ 3 ⎞⎟⎠ + ⎝⎜⎛ 23 ⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛ 52 ⎟⎞⎠ − ⎝⎛⎜ 23 ⎠⎞⎟ ⎛⎜⎝ 23 ⎟⎞⎠ = 39 รูป ตอบ (118) มีเมฆมาก 2 2 หรือไม่มฝี นตก (114) y3 + 4y2 − 9 = 3y + 9 แรเงาไดด้ ังภาพ → y3 + 4y2 − 3y − 18 = 0 → (y − 2)(y + 3)2 = 0 คิดจาก เมฆมาก ฝนตก แตจ่ ากโจทยม์ ีตวั สว่ น ดงั นนั้ y ≠ −3 1 − (P{ ฝนตก } − P{ เมฆมากและฝนตก }) จึงไดว้ า่ y = 2 เท่านัน้ ∴ f(2) = 23 − 2(2) + 5 = 9 ตอบ ขอ้ 2. = 1 − (0.35 − 0.25) = 0.90 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 571 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา) (119) คดิ ท่ีระนาบ z = 2 ก่อน (มองเฉพาะ x,y) (125) z = 16 − 15 = 2 0.5 ไดส้ มการเส้นตรง AB เป็น (y − 2) = 3 (x − 2) A 4 z=2 → 3x − 4y + 2 = 0 A B D2 z=-3 5 -2 0 2 z C A = 19/20 = 47.5% 2 (หาร 2 เพราะโจทย์บอกมาเปน็ ชว่ ง ±2 ) ระยะจากจดุ D (−4, 0, 2) มาถงึ AB ดังนน้ั พนื้ ท่ดี า้ นขวาของ A = 50 − 47.5 = 2.5% คิดจาก 3(−4) − 4(0) + 2 = 2 หน่วย คือมคี นมากกวา่ เขาอยู่ 2.5% ดงั น้นั 32 + 42 เขาไดล้ ําดับทีป่ ระมาณ 2.5% × 200 = 5 ตอบ (126) สมการเส้นตรง ผ่านจดุ (1,4) จากนัน้ มองวา่ ระยะทางนตี้ ้ังฉากกับ CD ซึง่ ยาว 2 − (−3) = 5 หนว่ ย → (y − 4) = − 2 (x2 − 1) 3 คําตอบคอื 22 + 52 = 29 หน่วย ไม่มีขอ้ ใดถูก กระจายได้เปน็ 2x2 = −3y + 14 (120) พนื้ ทหี่ กเหลยี่ ม = 6 ⋅ Δ → x2 = − 3 y + 7 = 4(− 3)(y − 14) = 6(1 × 7 × 7 × sin 60°) = 147 3 ≈ 127.3 2 83 22 เปน็ พาราโบลาควา่ํ จดุ ยอด V(h, k) = (0, 14) พน้ื ที่วงกลม = π (7)2 ≈ 22 × 72 = 154 3 7 จุดโฟกสั F(0, 14 − 3) = (0, 103) ไมม่ ีข้อใดถกู ตอบ 154 − 127.3 = 26.7 cm2 38 24 (121) log(f(x)) + log(g(x)) = 4 (127) A โจทยบ์ อก XYˆC = 150° และ log 10 + log(f(x)) − log(g(x)) = 3 X 105 3 ∴ AYˆX = 30° จะได้ log(f(x)) = 3 , log(g(x)) = 1 O ดังนนั้ g(x) = 10 → x2 + 1 = 10 → x = ±3 ตอบ B Y แตม่ ุม AXˆY = 90° จะได้ C XAˆY = 60° ถกู แบง่ ครึง่ ด้วย AO → BAˆO = 30° (122) 4 ⎡ df(x) x⎦⎤⎥ 4 ⎡ df(x)⎤ 4 ⎢⎣ dx + dx = ⎣⎢ dx ⎦⎥ dx + dx 200 3 ∫ ∫ ∫x จาก ΔOAB จะได้ tan 30° = 200 3 1 1 1 AB = ⎡⎣ f(x) ⎦⎤ 4 + ⎡ x2 ⎤ 4 = (f(4) − f(1)) + (42 − 12 ) → AB = 600 เมตร 1 ⎢ ⎥ 1 2 2 ⎣ 2 ⎦ = (6 − 8) + (8 − 1) = 5.5 ตอบ จาก ΔAXY จะได้ tan 30° = AX 2 105 3 [หมายเหตุ คา่ f(4) และ f(1) ดจู ากกราฟ] → AX = 105 เมตร ตอบ XB = 600 − 105 = 495 เมตร (123) จาก j = −1 = 1∠ π ดังน้ัน j = jπ (128) แพทย์ 10 → จากขอ้ ง. และ ก. ได้วา่ มี 2 1e 2 พยาบาล 5 → แสดงวา่ มแี พทยท์ ีไ่ ม่พยาบาลอกี 5 → แตจ่ ากขอ้ จ. ทาํ ใหท้ ราบว่า 5 แห่งนตี้ อ้ งสอน → ln jj = j ln j = π = j2 π ln e วิศวะ → จากข้อ ข. ทาํ ใหท้ ราบว่า วศิ วะกบั แพทยม์ ี 2 5 และวศิ วะกบั พยาบาลไม่มีเลย → ดงั น้นั จากขอ้ j ค. ทาํ ใหท้ ราบว่า วศิ วะทงั้ หมดมี 10 แหง่ ตอบ j ln e 2 ซึง่ j2 = −1 และ ln e = 1 ∴ ตอบ − π 2 (124) P(J) = 0.85, P(A) = 0.5, พยาบาล ตดิ ขัด (J) อบุ ตั ิ (A) P(J ∩ A) = 0.3 5 5 5 วิศวะ ∴ P(J ∪ A) = 0.85 + 0.5 − 0.3 = 1.05 แพทย์ ความนา่ จะเปน็ เกิน 1 ดังนั้น โจทยข์ อ้ น้ผี ดิ ตอบ (129) y2(y + 3) = 4(y + 3) แต่โจทยบ์ อกวา่ (แต่ถา้ ม่ัวทําตอ่ กพ็ อไหว โจทยถ์ าม (J' ∪ A) คอื y ≠ −3 ดังนนั้ y2 = 4 → y = 2, −2 ∴ f(2) = 2, f(−2) = 6 ตอบ {2, 6} สว่ นทแ่ี รเงา คดิ จาก 1 − (P(J) − P(J ∩ A)) = 1 − (0.85 − 0.3) = 0.45 ก็อาจเฉลยข้อ 3.) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 572 ขอ สอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (เกา) (130) จากโจทย์ = [(i + 1)2]10 (137) เสน้ รอบวง วงนอกสุด = πd [(i − 1)2]8 = (2i)10 = (2i)2 = −4 ตอบ d d d/2 (−2i)8 22 (131) ต้องการกรองแสง เหลอื ประมาณ 0.40 1 ชั้น เหลอื แสง 0.80 2 ชน้ั เหลอื 0.80 × 0.80 = 0.64 รศั มีวงถัดไป = d → เสน้ รอบวง = πd 3 ช้นั เหลอื 0.80 × 0.64 = 0.512 22 2 4 ชน้ั เหลอื 0.80 × 0.512 = 0.4096 ดังนน้ั ผลบวกคอื πd + πd + πd +… ดงั นน้ั ตอบ 4 ชน้ั 2 ( 2)2 (132) โจทยค์ อื p → q [อนกุ รมเรขาฯอนนั ต]์ = πd = 2πd ตอบ ขอ้ 1. q → p ผิด ขอ้ 2. ~ p → ~ q ผดิ 1−( 1) 2−1 ∴ ขอ้ 3. ถูก (คือ ~ q → ~ p ) ตอบ 2 (133) A = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4, B = a ⋅ 2 ⋅ 1 = 2a (138) สมมตคิ วามเร็วเป็น x กับ y และถังมี → AB = 4 ⋅ 2a = 8 → a = 1 ตอบ ปริมาตรเทา่ กบั 1 จะได้วา่ 1 −1 =3 .....(1) x y (134) มมุ ABˆC = 30° และ 1 = 2 .....(2) x+y จากกฎของ sin; AB = 50 sin 45° sin 30° แก้ระบบสมการได้ x = 1 , y = 1 63 ดังนน้ั AB = 50 2 เมตร ตอบ ดงั นน้ั เวลาท่ีใชส้ บู คอื 6 และ 3 ชม. ตอบ ขอ้ 2. (135) lim ⎛ 4n5 + n3 ⎞ = lim ⎛ 4 + 1 ⎞ = 4 (139) ขอ้ 1. ความชัน 3 , − 1 , 3 n→∞ ⎝⎜ 5n5 − 38 ⎠⎟ ⎜ 5 − n2 ⎟ 5 n→∞ ⎜ 38 ⎟ 5 45 ⎜⎜⎝ n5 ⎟⎟⎠ ข้อ 2. ความชนั 1 , −3 , 1 (ใช้วธิ นี ํา n5 หารทงั้ เศษและส่วน) 33 lim 3 cos(nπ) = 3 lim cos(nπ) ขอ้ 3. ความชัน 1 , −2, − 2 n→∞ n→∞ 43 {= 3 lim −1 , 1 , −1 , }1 , −1 , … = 3 ⋅ 1 = 3 ขอ้ 4. ความชนั 5 , 2, − 3 n→∞ 35 ตอบ 4 × 3 = 2.4 5 มขี อ้ 2. กับ 4. ที่มีเสน้ สองเส้นตง้ั ฉากกนั (ความชนั คณู กนั ได้ -1) แตว่ ่าข้อ 2. อีกเสน้ กต็ งั้ ฉากดว้ ย (คอื (136) ระยะทาง 500 กม. ความเร็ว v กม./ชม. แสดงวา่ ใช้เวลาวงิ่ 500 ชม. มี 1 เทา่ กนั สองเสน้ ) จึงไมเ่ กดิ สามเหลีย่ ม v 3 → ค่าใชจ้ า่ ย f(v) = (v2 + 40)(500) ดงั นนั้ ตอบ ข้อ 4. 5v = 100v + 20,000 v f′(v) = 100 − 20,000 = 0 → v2 = 200 v2 ∴ v = 200 = 10 2 กม./ชม. (จงึ จะเสยี คา่ ใช้จา่ ย น้อยที่สดุ ) ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 573 ขอ สอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÏ ¾×¹é °Ò¹ÇiÈÇa ’41-’48 e©¾Òa¢oŒ ·èÕe»š¹¤³µi ÈÒʵÏ หมายเหตุ ข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 2 คะแนน และข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 3 คะแนน ตุลาคม 2541 1. จากการสังเกต ณ จดุ A มุมระหวา่ งแนวราบและแนวทมี่ องไปยังยอดตึกแหง่ หนงึ่ เปน็ 30 องศา เมอ่ื เดินจากจุด A มุ่งไปยงั ตกึ นี้เป็นระยะทาง 200 เมตร ถึงจดุ B พบว่ามมุ ระหว่างแนวราบและ แนวท่ีมองไปยงั ยอดตกึ นี้เป็นมุม 45 องศาพอดี ความสงู ของตึกหลังนสี้ ูงกเี่ มตร โดยประมาณ 1. 271 2. 273 3. 275 4. 277 2. วศิ วกรคนหน่งึ มีลูกนอ้ ง 10 คน จะแบง่ กล่มุ ลูกนอ้ งเปน็ สองกล่มุ ให้มีคนกลุ่มละเท่าๆ กัน วิศวกร ผนู้ ั้นจะมวี ธิ จี ัดกลมุ่ ลกู นอ้ งได้ก่วี ิธี 1. 45 วิธี 2. 90 วธิ ี 3. 126 วิธี 4. 252 วิธี f(t) ∫3. จงหา0 2 5 1. 0 2. 2.5 f (t) dt O 12 34 t 3. 5 -5 4. 10 4. จากการวเิ คราะห์แนวโนม้ ของปริมาณรถที่ว่งิ ผา่ นถนนสายหน่งึ ในอดตี พบวา่ ปริมาณรถที่ว่ิงผ่าน แปรผันตามรากที่สองของจํานวนประชากรในเมอื ง A ปัจจบุ ันเมอื ง A มีประชากรอยู่ 9 ลา้ นคน สมมตใิ หแ้ นวโน้มการเปลยี่ นแปลงของปริมาณรถท่วี ิง่ ผ่านถนนสายนี้มอี ัตราคงท่ี และคาดวา่ จะมี ประชากรในอกี 10 ปีข้างหนา้ เพม่ิ เปน็ 16 ล้านคน ปรมิ าณรถที่วงิ่ ผา่ นถนนสายน้ีในอกี 10 ปี ข้างหน้าจะเพ่มิ เป็นก่เี ท่าของปริมาณรถที่วิง่ ผ่านถนนสายน้ี ณ ปีปัจจุบนั 1. 4/3 2. 1.5 3. 16/9 4. 4 5. รูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัสรูปหนง่ึ มีความยาวของแตล่ ะดา้ นเทา่ กบั a ถูกบรรจุด้วยส่เี หล่ียมจตั รุ ัสซึ่งมีมุม อยูท่ ่จี ุดก่งึ กลางของแต่ละด้านของสเ่ี หลย่ี มภายนอก ดังแสดงในรูป ถ้าสเี่ หลี่ยมดงั กลา่ วเกิดข้ึนอย่าง a ไม่ส้นิ สุด จงหาผลรวมของเส้นรอบรปู ส่ีเหลีย่ มทั้งหมดท่เี กิดขึ้น 1. 4 2 a 2. 2 − 1 1+ 2 4 2a a 3. 4 2 a 4. 1 + 2 2 −1 4 2a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 574 ขอ สอบเขาฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) 6. ถา้ X1 , X2 , … XN เปน็ ข้อมูลชุดหนึ่งท่ี n > 0 และทุกๆ ค่าของ X เป็นจาํ นวนเตม็ คา่ เฉลยี่ ของข้อมลู ชดุ น้ีเป็นค่าแบบใด 1. จาํ นวนเตม็ 2. จาํ นวนนบั 3. จาํ นวนตรรกยะ 4. จาํ นวนอตรรกยะ 7. จากการขนสง่ สนิ ค้าทางบกจากกรงุ เทพไปยงั จงั หวดั อดุ รธานี พบว่ามกี ารขนส่งด้วยรถไฟและ รถบรรทกุ อยู่รอ้ ยละ 20 มีการขนส่งดว้ ยรถไฟร้อยละ 30 ถามวา่ มีการขนส่งสินค้าด้วยรถบรรทกุ อยู่ร้อยละเท่าใด มนี าคม 2542 8. โรงงานผลิตถว้ ยแกว้ แหง่ หน่ึงมกี ารควบคมุ คณุ ภาพแบบสุม่ ตรวจ ระดบั คุณภาพของโรงงานอยทู่ ่ี ความผดิ พลาดหรือขอ้ บกพร่องของผลติ ภัณฑ์ (เชน่ บน่ิ เบ้ียว ผิดขนาด ฯลฯ) ไม่เกนิ ร้อยละ 5 ดงั นั้นในการผลิตถ้วยแก้ว 1,500 ใบ จะตอ้ งสมุ่ ตรวจกใ่ี บทเ่ี มอื่ ไมพ่ บขอ้ บกพร่องเลยจะสามารถ ยอมรับได้ตามเกณฑ์ระดับคณุ ภาพดังกล่าว 1. 75 ใบ 2. 74 ใบ 3. 19 ใบ 4. 20 ใบ 9. เมือง A และ B อยู่ห่างกนั 20 กม. ดาํ ออกเดินทางจากเมอื ง A ในแนวทิศะวนั ออกเฉยี ง N เหนอื แดงออกเดินทางจากเมือง B ในแนวทศิ ตะวนั ตกเฉยี งเหนือ เมือง C อยู่ ระหว่างทางในแนวทางเดินของดาํ กับแดง เมือง C อย่หู ่างจากเมือง A เท่าไร 1. 10.00 กม. 2. 10 2 กม. A B 3. 10 3 กม. 4. 20.00 กม. 20 กม. 10. แผนกซอ่ มบาํ รุงของโรงงานแหง่ หนงึ่ มีพนักงานประจํา 9 นาย เปน็ ชา่ งกลโรงงาน 5 นาย และ ช่างไฟฟ้า 4 นาย ในการจดั ทมี ซ่อมบํารุงแตล่ ะครัง้ จะใช้ช่างกลโรงงาน 3 นาย และชา่ งไฟฟ้า 2 นาย ในฐานะหวั หน้าแผนกซ่อมบํารุง ทา่ นมีวิธจี ัดทีมงานได้ก่ีวิธี มนี าคม 2543 11. แก้วบรรจุนาํ้ เตม็ ปร่ิมใบหน่ึง หมนุ รอบแกนกลางของแกว้ ดว้ ยความเรว็ คงที่ แรงหนศี นู ย์กลางที่ เกิดขนึ้ ทาํ ให้นํา้ ทีอ่ ยู่ในแก้วสว่ นหนงึ่ ล้นออกจากแกว้ เม่ือมองจากภาพตัดขวาง นํ้าทเี่ หลืออย่ใู นแกว้ ขณะนัน้ อยใู่ นรูปพาราโบลา ซ่งึ ก้นรปู พาราโบลาแตะก้นแก้ว และขอบพาราโบลาแตะขอบแก้วดา้ นบน พอดี สามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธใ์ นแนว x และ y ของรูปพาราโบลาได้เป็น y = x2 ดังรปู นาํ้ ทเ่ี หลืออยู่ในแก้วมปี ริมาตรเทา่ ใด y = x2 1. มากกวา่ 1/3 ของแกว้ 2. 1/3 ของแกว้ 3. น้อยกวา่ 1/3 ของแก้ว 4. ขอ้ มลู ไมเ่ พียงพอท่จี ะบอกได้ 12. ในการคาํ นวณคา่ ความสามารถของกระบวนการผลิต ดัชนีชว้ี ดั ประกอบด้วย CPU = USL − X CPL = LSL − X 3 ⋅ SD 3 ⋅ SD และ CPK = คา่ ทต่ี า่ํ กวา่ ระหว่าง CPU กับ CPL โดยที่ USL คือคา่ ควบคุมขน้ั สูง LSL คอื ค่าควบคมุ ขน้ั ตาํ่ X คอื ค่าปัจจัยเฉลีย่ ของผลิตภัณฑ์ SD คอื คา่ ความเบ่ียงเบนมาตรฐานของปจั จยั เมือ่ ค่า CPK = 1 ผลติ ภณั ฑท์ ี่เสียหายซึ่งเกดิ ข้ึนเมอ่ื ปจั จยั สงู z 0.00 3.00 หรอื ต่ํากว่าคา่ ควบคุมจะมจี าํ นวนรอ้ ยละเทา่ ไร (ทศนิยม 2 A 0.0000 0.4987 ตาํ แหน่ง) ใช้ตารางแสดงพ้นื ท่ใี ต้เส้นโค้งปกติทกี่ ําหนดให้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 575 ขอ สอบเขาฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) ตลุ าคม 2543 13. ผลสอบวิชาพน้ื ฐานทางวิศวกรรมของนักเรียนจาํ นวน 100 คน มีตารางแจกแจงความถ่ีดังน้ี ช่วงคะแนน ความถ่ี ชว่ งคะแนน ความถ่ี 0–9 15 50 – 59 5 10 – 19 10 60 – 69 5 20 – 29 20 70 – 79 3 30 – 39 30 80 – 89 1 40 – 49 10 90 – 99 1 ข้อใดต่อไปน้ถี กู ต้อง 1. มัธยฐานมีคา่ มากกว่าคา่ เฉล่ยี เลขคณติ 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณติ มีค่ามากกว่าฐานนิยม 3. ฐานนยิ มมคี ่ามากกว่ามัธยฐาน 4. มัธยฐานมคี ่ามากกว่าฐานนยิ ม 14. ในการวดั การเปล่ียนแปลงของการทดลองทางวิศวกรรม บ่อยครั้งทค่ี ่าทว่ี ดั ได้จะอยใู่ นรปู ของลําดับ ข้อใดต่อไปนไ้ี ม่ถกู ต้องเกี่ยวกับลาํ ดับ 1. โดเมนของลําดับเปน็ จาํ นวนเต็มบวก 2. ลําดบั เรขาคณติ คือลําดบั ทีม่ ีอัตราสว่ นของพจนท์ ี่ n+1 กับพจนท์ ี่ n คงท่ี 3. คา่ ลมิ ิตของลาํ ดบั คือค่าเพยี งจํานวนเดียว ทพ่ี จน์ท่ี n ของลาํ ดบั มคี ่าเข้าใกล้หรือเท่ากบั เมือ่ n มคี า่ มากขึ้นอยา่ งอนันต์ 4. ลําดับไดเวอรเ์ จนตค์ ือลาํ ดับอนนั ตท์ ่มี ีค่าลิมติ ของลําดับเป็นจํานวนจริง 15. นาย ก ยนื อยู่บนดาดฟ้าของตึก A ซง่ึ สูง 10 เมตร ตอ้ งการสง่ สญั ญาณใหน้ าย ข โดยใช้ กระจกสะทอ้ นแสงอาทติ ย์ โดยนาย ข ยืนรออย่บู นดาดฟา้ ของตึก B ซง่ึ สงู 50 เมตร และอยหู่ ่าง จากตึก A 30 เมตร ขณะนัน้ เปน็ เวลาเทย่ี งตรง นาย ก จะตอ้ งวางกระจกสะท้อนแสงทํามุมกบั พื้น ราบเปน็ มุมเทา่ ใด 1. tan−1 4 เรเดียน 2. tan−1 5 เรเดยี น 3 3 3. π − tan−1 4 เรเดียน 4. π − 1 tan−1 4 เรเดยี น 23 42 3 16. เลขจํานวนเชงิ ซอ้ นใชอ้ ยา่ งแพรห่ ลายในงานคาํ นวณดา้ นวิศวกรรม ข้อใดตอ่ ไปนเ้ี ปน็ คุณสมบัตทิ ี่ ไม่ถูกต้องของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น (กาํ หนดให้ z , z1 และ z2 เปน็ จาํ นวนเชิงซอ้ น) 1. (z)−1 = (z−1) 2. z−1 = z − 1 3. z1+ z2 < z1 + z2 4. z1 ⋅ z2 < z1 z2 17. การเกบ็ ข้อมูลแสดงความเสียหายของเคร่อื งจักร A พบว่าชัว่ โมงการทํางานเฉลย่ี ของเครื่องจักร กอ่ นเสียหายคอื 2000 ชั่วโมงทํางาน และคา่ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 100 ชวั่ โมงทํางาน ดังนน้ั ในฐานะทที่ ่านเป็นวศิ วกรฝ่ายบํารุงรกั ษาเคร่อื งจกั ร ทา่ นจะวางกําหนดเวลาการเข้าบาํ รงุ รกั ษา เคร่ืองจกั ร A ไว้ทก่ี ่ีชว่ั โมงทาํ งาน เพอ่ื ให้เครอื่ งจักรมโี อกาสทํางานได้ 97% ให้ถอื วา่ อัตราการ เสยี หายเป็นการแจกแจงแบบปกติ z 0.00 1.88 ใชต้ ารางแสดงพ้ืนทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตทิ ่กี าํ หนดใหต้ ่อไปนี้ A 0.0000 0.4700 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 576 ขอ สอบเขาฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) มีนาคม 2544 18. โรงงานอตุ สาหกรรมขนาดเล็กแหง่ หนึ่งผลิตผลติ ภัณฑ์และบรรจใุ ส่กล่อง กล่องละ 1 โหล เพอื่ จําหน่ายทงั้ กลอ่ ง ก่อนส่งออกจาํ หนา่ ยเจา้ หน้าที่ตรวจสอบคุณภาพผลิตภณั ฑ์จะสุ่มผลติ ภณั ฑ์ในกลอ่ ง อยา่ งไมใ่ สค่ ืนทกุ กลอ่ ง กล่องละ 3 ชนิ้ เพือ่ ตรวจสอบคุณภาพ ถ้าสุม่ พบผลิตภัณฑ์ชํารุดแม้แต่ชิ้น เดยี ว จะสง่ ผลิตภัณฑท์ ั้งกล่องกลบั ไปยงั โรงงาน และถา้ ไมพ่ บผลิตภัณฑ์ชาํ รดุ เลยจะส่งผลิตภัณฑ์ กลอ่ งนนั้ ออกจาํ หน่าย จงหาความนา่ จะเปน็ ที่กลอ่ งท่ีมีผลติ ภณั ฑ์ชาํ รุด 3 ช้นิ จะถูกสง่ ออกไป จําหน่าย 1. 12/55 2. 27/55 3. 7/55 4. 21/55 19. ฟงั กช์ นั f เปน็ สบั เซตจาก R ไป R นิยามวา่ เปน็ ฟงั กช์ นั เชิงเส้น (linear function) ถ้ามคี ุณสมบัติต่อไปนี้ (i) f (x + y) = f (x) + f (y) (ii) α f (x) = f (αx) โดยท่ี α เปน็ คา่ คงทีจ่ ํานวนจริงใดๆ ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ป็นฟังก์ชนั เชงิ เส้น 1. f(x) 2. f(x) 3. f(x) 4. f(x) x xxx 20. เครอ่ื งบรรจุนมกล่องกึง่ อัตโนมตั จิ ะบรรจนุ มใสก่ ล่องกระดาษ โดยปริมาตรบรรจุมกี ารแจกแจง ปกติและมีค่าส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 10 ลบ.ซม. ในการจําหนา่ ยจะบรรจุนมกล่องในลงั กระดาษ ขนาดบรรจุ 2 โหลเพ่อื จําหนา่ ย ถา้ ความนา่ จะเปน็ ท่ีนมในกล่องจะมีปริมาตรเกนิ กวา่ 250 ลบ.ซม. เป็นรอ้ ยละ 50 จงหาปรมิ าตรเฉล่ียของนมกลอ่ งทัง้ ลัง เปน็ ลบ.ซม. ตลุ าคม 2544 21. ผลติ ภณั ฑ์ ก ประกอบดว้ ยชน้ิ สว่ น ข จํานวน 2 ชิน้ นาํ มาประกอบเขา้ ด้วยกัน ถ้าชน้ิ ส่วน ข ชาํ รุดจะใช้เวลาในการปรับแตง่ ก่อนประกอบ 9 นาที และใช้เวลาในการประกอบ 1 นาที ถา้ ช้นิ ส่วน ข ไม่ชํารุดจะไม่ตอ้ งปรับแตง่ และใช้เวลาในการประกอบ 1 นาทเี ช่นเดยี วกนั ถ้าสมุ่ ช้ินส่วน ข มา จากกล่องชนิ้ ส่วน ข จาํ นวน 10 ชิ้น ซึ่งมีช้นิ ส่วน ข ท่ีชํารุดอยู่ 3 ช้ิน และชนิ้ สว่ น ข ทไี่ ม่ชํารดุ 7 ช้ิน จงหาเวลาเฉล่ียในการประกอบผลิตภัณฑ์ ก จํานวน 1 ชนิ้ 1. 7.2 นาที 2. 7.4 นาที 3. 8.4 นาที 4. 8.6 นาที 22. ระบบเครือข่ายคอมพิวเตอรห์ นงึ่ ๆ จะประกอบด้วยคอมพิวเตอร์หลายเคร่ือง เคร่อื งคอมพวิ เตอร์ แต่ละเคร่อื งมีหนา้ ทร่ี บั และส่งข้อมูล ถา้ สมมติว่าคอมพิวเตอร์เครือ่ งหน่งึ มีข้อมูลเข้ามาจากเคร่ืองอ่นื ดว้ ยอตั ราคงที่ 20 หนว่ ย/วนิ าที และจะส่งข้อมูลท้ังหมดท่เี ข้ามาออกไปยังเครือ่ งอื่นทอ่ี ัตราคงที่ 10 หนว่ ย/วินาทีด้วยความน่าจะเป็น 1/2 และจะส่งข้อมลู กลับไปรวมกบั ขอ้ มลู ท่ีเข้ามาจากเครอ่ื งอน่ื ท่ี อตั ราคงท่ี 10 หนว่ ย/วินาทดี ว้ ยความน่าจะเป็น 1/2 ถา้ เครอื่ งคอมพิวเตอร์เครอ่ื งนี้สามารถเก็บข้อมลู ในเครื่องได้มากท่สี ุด 300 หนว่ ย จงหาว่านานเท่าไรเครอื่ งคอมพวิ เตอรเ์ ครอ่ื งนี้จะสูญเสียข้อมูลจาก การที่ไมส่ ามารถเก็บขอ้ มลู สว่ นเกินได้ กาํ หนดใหเ้ ครือ่ งนี้จะสง่ ข้อมลู ออกทนั ทีที่มีข้อมลู เกบ็ อย่ใู นเครือ่ ง 1. 12 วนิ าที 2. 15 วนิ าที 3. 20 วนิ าที 4. 30 วนิ าที Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 577 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) 23. บนเกาะแห่งหน่ึงมีคนอยู่ 2 ประเภท ประเภทแรกเป็นคนทพ่ี ดู ความจริงเสมอ ส่วนประเภทสอง เป็นคนทพ่ี ดู โกหกเสมอ เมื่อท่านขึน้ ไปบนเกาะได้ยินคนบนเกาะ 2 คน คือ A และ B พูด ดังนี้ A พูดวา่ “B เป็นคนท่ีพูดความจริงเสมอ” B พดู ว่า “ฉนั และ A เปน็ คนคนละประเภทกัน” ท่านคิดว่า A และ B เปน็ คนประเภทไหน 1. A และ B เป็นคนท่ีพดู ความจรงิ เสมอ 2. A และ B เปน็ คนท่พี ูดโกหกเสมอ 3. A เปน็ คนท่ีพูดความจรงิ เสมอ สว่ น B เป็นคนทพ่ี ูดโกหกเสมอ 4. A เป็นคนทพ่ี ูดโกหกเสมอ ส่วน B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ 24. ประเทศ 3 ประเทศ ได้แก่ประเทศ X, ประเทศ Y, และประเทศ Z เป็นประเทศเพ่อื นบ้าน มี ชายแดนตดิ กันดังแสดงในภาพ นาย x เปน็ พลเมืองประเทศ X ทาํ งานที่ดา่ นตรวจคนเขา้ เมอื ง ของประเทศ X มีนสิ ัย “พดู จริง” เสมอ นาย y เป็นพลเมือง ประเทศ X ประเทศ Y ประเทศ Y ทาํ งานท่ีด่านตรวจคนเขา้ เมืองของประเทศ Y มี ดา่ น X ด่าน Y นิสยั “พูดเทจ็ ” เสมอ เนอ่ื งจากงานคอ่ นข้างนา่ เบ่อื นาย x และนาย y จึงชอบเปล่ยี นด่านท่ที ํางาน บางวนั นาย x จะย้าย ประเทศ Z ไปทํางานท่ีด่านของประเทศ Y ส่วนนาย y จะยา้ ยไปทาํ งาน แทนทีป่ ระเทศ X แตบ่ างวันทง้ั คู่ก็อยปู่ ระจําด่านของประเทศ ตนเอง ข้ึนอยกู่ ับอารมณแ์ ละสถานการณ์ในแต่ละวนั หากนาย z ซ่งึ เป็นพลเมอื งประเทศ Z ตอ้ งการเดินทางเข้าประเทศ X และได้ศกึ ษาจาก คูม่ ือทอ่ งเท่ียวซ่ึงได้กลา่ วถงึ พฤติกรรมของนาย x และนาย y ไวอ้ ยา่ งชดั เจน ดงั น้ันเมื่อนาย z ไปถงึ ดา่ นตรวจคนเข้าเมอื ง คําถามใดทนี่ าย z ควรใช้ เพ่ือตดั สินใจวา่ ด่านใดคอื ด่านเข้าประเทศ X ที่เท้ จรงิ (โดยนาย z มีโอกาสถามไดเ้ พยี ง 1 คร้งั เทา่ นนั้ ) 1. “ท่านเป็นเพศชาย ใช่ไหม” 2. “ท่านเปน็ พลเมอื งของประเทศนี้ ใช่ไหม” 3. “ทา่ นพูดความจรงิ เสมอ ใช่ไหม” 4. การถามเพยี ง 1 คาํ ถาม ไมเ่ พียงพอต่อการหาข้อสรปุ 25. ในการสาํ รวจการสวมใสอ่ ุปกรณป์ อ้ งกันภัยส่วนบคุ คล 3 ชนดิ ของพนักงานในหนว่ ยงานหน่งึ จาํ นวน 100 คน พบวา่ พนักงานส่วนใหญล่ ะเลยในการสวมใส่อปุ กรณป์ ้องกันภัย ทาํ ให้มโี อกาสเกดิ อันตรายได้คอ่ นข้างสงู จากมาตรฐานความปลอดภัยในการทํางานไดร้ ะบวุ า่ ต้องสวมใสอ่ ปุ กรณ์อยา่ ง น้อย 2 ชนิด คอื หเู สียบปอ้ งกันเสียงดังและแว่นตานิรภัย ผลการสํารวจพบว่ามพี นกั งานส่วนน้อย 3 คน ท่ีไมย่ อมใส่อุปกรณ์อะไรเลย และ 1) มผี ู้สวมใสห่ ูเสียบปอ้ งกนั เสียงดัง 50 คน 2) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัย 70 คน 3) มีผูส้ วมใส่ผ้าปดิ จมูกอย่างเดียว 20 คน 4) มผี ู้สวมใส่แว่นตานริ ภัยอย่างเดียว 15 คน 5) มผี ้สู วมใสผ่ ้าปิดจมกู และหูเสียบปอ้ งกันเสยี งดงั 20 คน 6) มีผู้สวมใส่แว่นตานริ ภัยและผ้าปดิ จมูก 28 คน อยากทราบวา่ มโี อกาสเท่าใดที่พนักงานจะสวมใสอ่ ุปกรณ์ได้ถกู ต้องตามมาตรฐานความปลอดภัย 1. 0.27 2. 0.35 3. 0.43 4. ผิดทกุ ขอ้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 578 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) 26. จงหาจํานวนทางเดินท้ังหมดจากจุด a ไปยงั จุด b โดย a จะต้องเดินไปทางขวาหรือลงล่างเทา่ นั้น จากรปู เปน็ ตวั อย่าง ทางเดนิ แบบหน่งึ จากจุด a ไปจุด b 1. 70 2. 16 3. 256 4. ผดิ ทุกข้อ b 27. ในการบรหิ ารความปลอดภัยในโรงงานมหี ลกั การงา่ ยๆ ว่า “เม่ือลงทุนจดั ทาํ ระบบความปลอดภยั ย่ิงสูง กจ็ ะทําใหอ้ บุ ัติเหตุนอ้ ยลง” จากการศกึ ษาพฤตกิ รรมของคา่ ใช้จ่ายท้ังสองพบวา่ สามารถแสดงได้ จาํ นวนเงนิ (ล้านบาท) ดังกราฟตอ่ ไปน้ี f = 0.01 x − 0.01 อยากทราบว่า จะตอ้ งใชเ้ งินลงทนุ ในระบบ g= 1 ความปลอดภัยเท่าใด ถึงจะได้ผลตอบแทนที่ x−1 ค้มุ ค่าทสี่ ดุ (หนว่ ย : 1000 บาท) มีนาคม 2545 28. บริษทั แหง่ หนง่ึ ผลิตสนิ ค้าชนิ้ หนง่ึ มีฟงั กช์ นั ต้นทุนรวม ดงั สมการ C(x) = x3+ x บาท โดย x คือจํานวนหนว่ ยของสนิ ค้าทผ่ี ลิตซง่ึ จะสัมพันธก์ ับเวลา ( t ) หนว่ ยเปน็ เดือน ดังสมการต่อไปนี้ t = x2 − 2x + 7 จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลงของต้นทนุ ตอ่ เวลา ในเดอื นท่ี 4 ของการผลิต 1. 8 1 บาท/เดอื น 2. 7 บาท/เดอื น 6 3. 112 บาท/เดอื น 4. ไมม่ ีขอ้ ถูก 29. หอ้ งเรยี น A และห้องเรยี น B มีนักเรียนรวมกันท้ังสิน้ เท่ากบั 55 คน เมื่อทาํ การจดั หอ้ งเรยี น พบวา่ หอ้ งเรียน A สามารถจดั ให้นกั เรยี นน่งั ไดแ้ ถวละ 5 คนพอดี ส่วนห้องเรยี น B ก็สามารถจดั ให้ นกั เรียนนง่ั ได้แถวละ 6 คนพอดี ขอ้ ใดสรุปได้ถูกต้อง เกี่ยวกับจาํ นวนแถวของห้องเรยี น A และหอ้ งเรยี น B 1. จาํ นวนแถวของห้องเรียน A < จาํ นวนแถวของหอ้ งเรยี น B 2. จํานวนแถวของห้องเรียน A = จํานวนแถวของห้องเรียน B 3. จาํ นวนแถวของหอ้ งเรียน A > จาํ นวนแถวของห้องเรียน B 4. สรุปไม่ได้ 30. บรษิ ัทแห่งหนึง่ มีจํานวนโทรศพั ทท์ ่ีโทรเข้าในชว่ งเวลา t ชวั่ โมง โดยมีความน่าจะเปน็ ดงั นี้ P [N(t) = n] = t n 2 −t ซงึ่ N(t) คอื จํานวนทีโ่ ทรเข้าในชว่ งเวลา t ชั่วโมง n! จงหาความนา่ จะเปน็ ซ่งึ ชว่ งเวลาระหวา่ งการโทรเข้าแตล่ ะคร้งั นอ้ ยกว่า 2 ช่วั โมง 1. 0 2. 1/4 3. 1/2 4. 3/4 31. กระดาษรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก มดี ้านประกอบมมุ ฉาก 3 ยาว 3 และ 4 cm สามารถตดั เป็นรูปส่ีเหล่ยี มผืนผา้ ทใี่ หญ่ ท่สี ุดไดก้ ่ีตาราง cm Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ ) 4

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 579 ขอสอบเขา ฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) 32. ในการรับสมัครนกั ศกึ ษาด้วยการสอบเข้าของคณะวศิ วกรรมศาสตร์ ณ มหาวทิ ยาลยั แห่งหนึง่ มี เกณฑ์ว่าผู้มีสทิ ธเิ์ ขา้ สอบสัมภาษณ์จะตอ้ งมีคา่ มาตรฐานของคะแนนสอบต้งั แต่ 1.5 ขนึ้ ไป ถ้า ค่าเฉลย่ี ของคะแนนสอบของผู้เขา้ สอบท้งั หมดเปน็ 50 และค่าความแปรปรวนของคะแนนสอบเป็น 4 จากคะแนนเตม็ 100 คะแนน ผู้เข้าสอบจะมสี ทิ ธิส์ อบสัมภาษณ์ต่อเมอ่ื ทาํ ขอ้ สอบไดร้ อ้ ยละเทา่ ไร ขึน้ ไป ตุลาคม 2545 33. อุปกรณ์ปอ้ งกัน (Circuit Breaker) ในระบบสง่ จา่ ยกาํ ลังไฟฟา้ ของการไฟฟา้ ฝ่ายผลิตของ ประเทศไทย ดังแสดงข้อมูลในตารางข้างลา่ ง อุปกรณป์ อ้ งกนั ราคา/หนว่ ย Probability ทจี่ ะชํารุด (Circuit Breaker) ในเวลา 5 ปี 750,000 A 650,000 0.18 B 550,000 0.2 C 450,000 0.25 D 0.3 พนกั งานออกแบบและวางแผนของการไฟฟ้าฯ ควรจะเลือกอุปกรณป์ ้องกัน (Circuit Breaker) ประเภทใดมาใชง้ านเพอ่ื ใหเ้ กิดความคุม้ ทุนมากท่ีสดุ 1. D 2. C 3. B 4. A 34. จากรปู แสดงการเปรียบเทียบเสน้ โคง้ ความถขี่ องคา่ ระดบั ความเข้มแสง (Intensity value) แตล่ ะ จดุ ภาพของรูปภาพตน้ ไมแ้ ละรปู ภาพเคร่ืองบิน ซงึ่ แต่ละรปู ภาพมขี นาด 128 x 128 จุดภาพ วศิ วกร ทา่ นหน่งึ ได้คาํ นวณคา่ มธั ยฐานของค่าระดบั ความเข้มแสงของรปู ภาพท้ังสอง พบวา่ มีคา่ เท่ากนั คือ 128 จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. การกระจายของคา่ ระดบั ความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้และรปู ภาพเคร่อื งบิน มีคา่ เท่ากนั ข. คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของค่าระดบั ความเข้มแสงของรูปภาพตน้ ไม้และเครื่องบิน มคี า่ เทา่ กัน ค. ฐานนยิ มของคา่ ระดบั ความเขม้ แสงของรปู ภาพต้นไม้มคี ่านอ้ ยกวา่ 128 จาํ นวนจดุ ภาพ 6,000 ภาพต้นไม้ ภาพเครือ่ งบิน O 255 ระดบั ความเข้มแสง 3. 3 ขอ้ อยากทราบว่าจาํ นวนขอ้ ท่ีถูกมีทั้งหมดกขี่ อ้ 1. 1 ข้อ 2. 2 ขอ้ 4. ผิดหมดทุกข้อ 35. ถา้ ในประเทศไทยมีรหัสท่ีรบั นกั ศกึ ษาต่อในคณะวิศวกรรมศาสตร์ จํานวน 100 รหัส แลว้ ใน การสอบคดั เลอื กบคุ คลเข้าศึกษาในสถาบนั อุดมศึกษาของทบวงมหาวทิ ยาลัยคราวนี้ ผูส้ มัครจะมี โอกาสเขา้ ศึกษาต่อไดก้ ร่ี หัส 1. ไม่เกิน 4 รหสั 2. 100P4 รหสั 3. 100C4 รหสั 4. 100 รหัส Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 580 ขอ สอบเขา ฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 36. ในการตัดแผ่นเหลก็ รปู สีเ่ หล่ยี ม ABCD ด้วยเครอ่ื งตดั พลาสมา จากเหล็กแผน่ รูปวงกลม เสน้ ผ่านศนู ย์กลาง 8 เมตร โดยรปู ส่ีเหล่ียม ABCD นสี้ ามารถวางลงใน Quadrant ท่ี 2 ของแผ่นโลหะได้พอดีดังรูป AB DC จงหาระยะ BD 1. 8 เมตร 2. 4 เมตร 3. 4 3 เมตร 4. ข้อมูลไม่เพยี งพอที่จะตอบ มีนาคม 2546 37. รปู เหล่ยี มดา้ นเทา่ ตอ้ งมีความยาวแตล่ ะด้านไมม่ ากกว่าเท่าใด เพือ่ ท่ีวงกลมรัศมี r สามารถ สมั ผสั กบั ทกุ ด้านได้ 1. 4 r 2. 2 3 r 3. 2 r 4. 2 r/ 3 38. บริษัทผลิตรถยนต์แห่งหนง่ึ ทําการผลติ รถยนต์ 3 รนุ่ โดยแตล่ ะรุ่นใช้วัสดุตามตาราง รุน่ เหล็ก (kg) อะลมู เิ นยี ม (kg) พลาสติก (kg) A 200 300 400 B 250 300 400 C 200 250 300 ปรากฏว่าในวนั น้ีมวี ัสดใุ นโกดังดงั น้ี เหลก็ 1,000 kg อะลมู ิเนียม 1,500 kg พลาสตกิ 1,600 kg เพื่อให้วันนผ้ี ลิตรถยนต์ใหไ้ ดจ้ าํ นวนมากทีส่ ุด วิศวกรโรงงานควรเลือกปฏิบตั ติ ามขอ้ ใด ก. ไม่ผลติ รถยนตร์ นุ่ A และ B เลย เพราะว่าใชว้ สั ดุมาก ข. ตัดสินใจโดยพิจารณาปริมาณการใช้เหล็กและพลาสติกเป็นหลกั ค. ผลิตรถยนตร์ ุ่น C รนุ่ เดียว เพราะวา่ สามารถไดจ้ าํ นวนมากถึง 5 คนั 1. ก และ ข 2. ก ข และ ค 3. ข และ ค 4. ก และ ค 39. รา้ นเบเกอร่ีแหง่ หน่งึ ต้องใชแ้ ป้งสาลแี ละนํ้าตาลเป็นวตั ถดุ ิบหลกั ในการทาํ ขนมเคก้ และขนมพาย ถา้ ในการทําขนมเค้ก 1 ชนิ้ จะตอ้ งใช้แปง้ สาลี 400 กรมั และนํา้ ตาล 200 กรัม ส่วนขนมพาย 1 ชน้ิ จะตอ้ งใช้แป้งสาลี 200 กรัม และน้ําตาล 400 กรมั ทางรา้ นจะไดก้ ําไรจากขนมเค้กชิ้นละ 80 บาท และขนมพายชนิ้ ละ 100 บาท ถ้าในแตล่ ะวนั ทางรา้ นต้องสั่งแป้งสาลี 10 กิโลกรมั และนาํ้ ตาล 14 กโิ ลกรมั ทางร้านจะตอ้ งผลิตขนมเคก้ และขนมพายอยา่ งละกี่ช้นิ ตอ่ วนั เพือ่ ใหม้ กี ําไรสูงสุด และจะ ไดก้ ําไรเป็นเท่าใด ถ้าหากขนมทผ่ี ลติ ออกมาขายได้หมด 1. ขนมเคก้ 20 ช้ิน ขนมพาย 20 ชน้ิ กําไร 3,600 บาท 2. ขนมเค้ก 10 ช้ิน ขนมพาย 20 ช้ิน กาํ ไร 2,800 บาท 3. ขนมเค้ก 10 ชนิ้ ขนมพาย 30 ชิ้น กาํ ไร 3,800 บาท 4. ขนมเค้ก 20 ช้ิน ขนมพาย 10 ชิ้น กําไร 2,600 บาท 40. ระบบเครอื ข่ายคอมพิวเตอร์ระบบหน่ึงประกอบดว้ ยเครือ่ งคอมพวิ เตอรท์ ่เี หมือนกนั จํานวน 3 เคร่ือง ในระบบน้จี ะอนุญาตใหค้ อมพิวเตอรส์ ่งข้อมูลได้ทีละเคร่ือง ไม่เชน่ น้นั จะทาํ ให้ระบบหยุด ทาํ งาน โดยทค่ี อมพวิ เตอร์เคร่ืองหนง่ึ จะมคี วามนา่ จะเปน็ ท่ีจะสง่ ข้อมูลเทา่ กบั 1/2 จงหาความนา่ จะ เปน็ ทีร่ ะบบเครือข่ายนจ้ี ะทํางานอยู่ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 581 ขอสอบเขา ฯ พื้นฐานวศิ วะ (ใหม) ตุลาคม 2546 41. โรงงานแห่งหน่งึ มีความต้องการไฟฟา้ เฉลี่ย 1,000 kW ซึ่งปจั จุบนั โรงงานซอื้ ไฟฟ้าจากการ ไฟฟ้าฯ ในราคา 2 บาท/kWh แต่ในขณะนี้บริษัทกาํ ลงั คดิ จะเปลี่ยนจากการซ้ือไฟฟา้ มาเป็นการผลติ ไฟฟ้าใชเ้ องโดยใชเ้ คร่ืองยนต์ดีเซล หากการทําเชน่ นี้มคี า่ ใช้จา่ ยตอ่ ปีเปน็ 50,000 + 1,975 n บาท เมอื่ n เป็นจํานวนชว่ั โมงทํางาน จงหาว่าโรงงานนคี้ วรจะทํางานอย่างน้อยกี่ชว่ั โมงต่อปี จงึ จะคมุ้ ค่า กบั การเปลย่ี นมาผลิตไฟฟา้ ใช้เอง 1. 1,500 ชว่ั โมง 2. 1,750 ช่วั โมง 3. 2,000 ช่ัวโมง 4. 2,250 ชั่วโมง 42. บรษิ ัทกอ่ สรา้ งแหง่ หนง่ึ มีทีมวศิ วกรชาย 3 คน และหญงิ 3 คน โดยบรษิ ทั มีโครงการท่จี ะสง่ พนักงาน 3 คนไปฝกึ อบรมต่างประเทศ อยากทราบวา่ ความนา่ จะเปน็ ท่ีพนักงานทบ่ี ริษทั ส่มุ เลือกมา จะเป็นวิศวกรชาย 2 คน และวศิ วกรหญงิ 1 คน เป็นเท่าใด 1. 2/9 2. 3/9 3. 3/20 4. 9/20 43. บริษัทผู้ผลิตหลอดฟลูออเรสเซนต์จากตา่ งประเทศ ต้องการจา้ งโรงงานในประเทศไทยเป็น ตัวแทนผลิต โดยมที างเลอื กอยู่ 2 โรงงาน คือโรงงาน A และโรงงาน B ให้ทดลองผลติ หลอดไฟเพ่ือทจ่ี ะเลือกตวั แทนผลติ เพยี งรายเดียว B ผลปรากฏวา่ อายุการใช้งานของหลอดไฟทีผ่ ลิตจากโรงงาน A และ B มีการแจกแจงปกติดงั รปู A จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. อายกุ ารใชง้ านเฉลี่ยของหลอดไฟจากโรงงาน A เท่ากบั โรงงาน B x ข. บรษิ ทั จะเลือกโรงงาน A หรอื โรงงาน B เป็นตวั แทนผลิตกไ็ ด้ เพราะใหค้ ุณภาพเท่ากัน ค. บรษิ ัทควรจะเลือกโรงงาน A เปน็ ตวั แทนผลติ ข้อความใดถูกต้องจากผลการทดลองในครั้งนี้ 1. ก 2. ก และ ข 3. ค 4. ก และ ค มีนาคม 2547 44. กลอ่ งใบหนง่ึ มีลกู แก้วขนาดเดียวกนั 6 ลูก เปน็ ลกู สีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก สเี หลอื ง 1 ลกู เด็กคนหน่ึงหยิบลูกแกว้ ออกจากกล่องนี้มา 1 ลูกโดยวิธสี ุม่ เมอ่ื ดูสขี องลูกแกว้ แลว้ ก็โยนกลับลงใน กล่อง แล้วทาํ การหยบิ คร้งั ท่ี 2 โอกาสทีเ่ ดก็ คนน้จี ะหยบิ ได้ลกู แกว้ สแี ดงและสเี หลืองอยา่ งละลกู เทา่ กบั ข้อใด 1. 1/3 2. 1/6 3. 2/3 4. 1/12 45. ถ้าเชิญแขกมารับประทานอาหาร 6 คน โดยเปน็ ผชู้ าย 3 คน ผูห้ ญิง 3 คน โดยเชญิ ให้แขกนั่ง รอบโต๊ะกลมซึง่ มี 6 ทนี่ งั่ อยากทราบวา่ ความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะจดั แขกใหน้ ่งั สลบั ชาย-หญงิ เป็นเท่าใด 1. 1/2 2. 1/5 3. 1/10 4. 1/60 46. จงหาตวั เลขในตําแหน่งทีข่ าดหายไปของลาํ ดบั ตอ่ ไปนี้ 125, 726, ......, 40328, 362889 1. 5027 2. 5037 3. 5047 4. 5067 47. บริษัทผลิตกระเป๋าแหง่ หนึ่ง ถา้ ขายใบละ 40 บาท จะขายได้ 4000 ใบ ถ้าขายใบละ 30 บาท จะขายได้ 8000 ใบ จงสร้างฟังก์ชันเชงิ เส้น f (x) เมือ่ f (x) เป็นจํานวนกระเป๋าทข่ี ายได้ และ x เปน็ ราคาขายต่อใบ 1. f (x) = 400 x − 12000 2. f (x) = 200 x − 4000 3. f (x) = −400 x + 20000 4. f (x) = −200 x + 12000 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 582 ขอ สอบเขาฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) 48. จงคาํ นวณหาพืน้ ทแี่ รเงาของรูปตอ่ ไปนี้ โดยวงกลมมีรัศมี เท่ากบั 1 และสามเหลีย่ มมมุ ฉากมีความยาวท้ังสองด้านเท่ากนั คอื 2 12 2 1. 2 − π 2. 2 − π/2 3. 2 − π/8 4. 2 − π/12 49. ผู้จดั การโรงงานแหง่ หน่ึงวางแผนทจ่ี ะนาํ เงนิ รายได้ในแต่ละปีไปฝากธนาคาร เพอ่ื จะใช้เป็น 300,000 เงนิ ลงทุนในอีก 4 ปีขา้ งหน้า โดยจะเริ่มฝากเงินในปหี นา้ 200,000 เปน็ ปแี รก 100,000 200,000 และ 300,000 บาท ตาม 100,000 ลาํ ดับ (ดังแผนภมู ิกระแสเงนิ สด) อยากทราบวา่ ในปีท่ี 4 ถา้ อตั ราดอกเบีย้ เงินฝากคงที่ 10% ต่อปี ผจู้ ดั การคนนีจ้ ะมเี งิน 0 1 2 3 4 ปีท่ี เก็บรวมเปน็ เทา่ ใด (คิดเปน็ หน่วยพนั บาท) ตุลาคม 2547 0.9 0.8 50. แผงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ ประกอบ 0.8 0.9 ดว้ ยชน้ิ ส่วนต่างๆดงั รูป โดยแต่ละช้ินส่วน 0.9 จะมีค่าความน่าจะเป็นในการทํางานตามตวั เลขท่ีระบุไว้ อยากทราบว่าความน่าจะเป็นรวมของวงจรนท้ี ี่จะทํางานได้ เปน็ เท่าใด (พจิ ารณาทศนิยม 2 ตาํ แหนง่ ) 1. 0.52 2. 0.65 3. 0.70 4. 0.72 51. ในการวางแผนการผลิตของชน้ิ ส่วนรถยนต์ พบว่าเกดิ ความลา่ ช้าเนือ่ งจากการรองาน วิศวกรฝา่ ย วางแผนจงึ สนใจทําการเก็บขอ้ มลู เวลาทล่ี า่ ชา้ 100 ตัวอย่าง ซ่ึงได้ขอ้ มูลคือ ล่าช้า 0.5 นาที 40%, ลา่ ช้า 0.8 นาที 25% และล่าช้า 1 นาที 35% จากขอ้ มูลดงั กล่าววิศวกรผูน้ ีค้ วรจะเผอื่ เวลา สําหรบั ความลา่ ช้าโดยเฉลี่ยประมาณก่นี าที มนี าคม 2548 52. องค์การขนสง่ มวลชนกรงุ เทพ (ขสมก.) สนใจท่จี ะเปิดเส้นทางเดินรถโดยสารสายใหม่บนถนน สายหนึง่ จงึ จา้ งวิศวกรเขา้ ไปสํารวจขอ้ มูลจํานวนรถรบั จา้ งทว่ี ิ่งผ่านถนนเส้นน้ันในระยะเวลาหนึง่ ชว่ั โมง จากการสาํ รวจทาํ ให้ไดข้ ้อมลู ดังตารางต่อไปนี้ จาํ นวนรถรับจ้างทผี่ า่ นในหนง่ึ ช่วั โมง (คนั ) 0 1 2 3 ความน่าจะเปน็ 0.5 0.25 0.2 0.05 ขสมก. อยากทราบว่าเวลาเฉล่ียท่ีรถรบั จา้ งแตล่ ะคันจะผ่านถนนสายนี้เปน็ เท่าใด 1. 45 นาที 2. 60 นาที 3. 75 นาที 4. 120 นาที 53. จากรปู ปา้ ยทะเบยี นรถยนต์ อยากทราบวา่ จะมีวธิ กี ารจดั เรยี งป้าย กก 1234 ทะเบียนดงั กล่าวไดก้ ่แี บบ ถา้ กาํ หนดให้การจัดเรยี งตัวอักษรจะใช้ กรุงเทพมหานคร พยัญชนะไทยเพยี ง 40 ตัว และเมอ่ื นาํ มาเรียงแล้วจะใชไ้ ม่ได้ 500 คู่ สว่ นการจัดเรยี งตัวเลขจะหา้ มนาํ เลขศูนย์ขนึ้ หน้าทห่ี ลกั แรก 1. 9.54 ลา้ นแบบ 2. 12.34 ลา้ นแบบ 3. 14.40 ล้านแบบ 4. 16.00 ล้านแบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 583 ขอสอบเขา ฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) 54. นกั ศึกษาคณะวศิ วกรรมศาสตรร์ ะดับปริญญาโทคนหนง่ึ ตอ้ งการซื้อเลเซอร์พรินเตอร์สําหรบั การ พมิ พ์วทิ ยานพิ นธ์ โดยเลเซอร์พรินเตอร์เคร่ืองน้ีมีราคา 15,000 บาท และตลบั หมกึ มรี าคาตลับละ 2,000 บาท (หนึ่งตลบั สามารถพิมพ์เอกสารได้ 1,000 หนา้ ) แต่ถา้ ไมซ่ ื้อเคร่ืองพรินเตอร์จะตอ้ งไป จ้างรา้ นพิมพเ์ อกสารในราคาหนา้ ละ 8 บาท ถา้ หากนกั ศกึ ษาคนน้ซี ือ้ เคร่อื งพรินเตอร์ดังกล่าวแล้ว เขาควรจะพมิ พ์เอกสารกีห่ น้าจงึ จะคมุ้ คา่ กวา่ ไปจ้างร้านพมิ พ์เอกสาร เฉลยคาํ ตอบ (1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 1 (5) 3 (6) 3 (7) 90 (8) 3 (9) 2 (10) 60 (11) 1 (12) 0.13 (13) 3 (14) 4 (15) 4 (16) 4 (17) 1,812 (18) 4 (19) 3 (20) 6,000 (21) 2 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 3 (26) 1 (27) 100 (28) 4 (29) 2 (30) 2 (31) 3 (32) 53 (33) 3 (34) 2 (35) คาํ ถามไม่ชัดเจน (36) 2 (37) 2 (38) 3 (39) 3 (40) 0.5 (41) 3 (42) 4 (43) 1 (44) 2 (45) 3 (46) 3 (47) 3 (48) 3 (49) 705.1 (50) 3 (51) 0.75 (52) 3 (53) ไมม่ ขี อ้ ถกู (ตอบ 9.90 ล้านแบบ) (54) 2,625 เฉลยวธิ คี ดิ (1) จาก Δ เล็ก มมุ B = 45° h (5) ความยาวดา้ นนอกสดุ = a a/2 จะไดเ้ สน้ รอบรปู นอกสุด = 4a a/2 แสดงว่าระยะทางจาก B ถงึ ตึก เทา่ กบั h ดว้ ย พจิ ารณา Δ ใหญ่ 30° 45° A 200 B h tan 30° = h → 200 + h = 3h ความยาวด้านถดั ไป = a2 + a2 = a 200 + h 44 2 → h = 200 ≈ 273 เมตร ตอบ จะได้เส้นรอบรูปชั้นทสี่ อง = 4a 3−1 2 (2) จากกฎการแบง่ กลมุ่ 10 เปน็ 5, 5 ดังนนั้ เสน้ รอบรปู รวม = 4a + 4a + 4a +… 2 2)2 จะได้ 10 ! = 126 วธิ ี ตอบ ( (5 !)22 ! 4a 4 2a ตอบ (3) 2 พนื้ ที่ Δ = 1 × 5 × 2 = 5 ตอบ = 1−( 1 = 2−1 2 ∫ f(t) dt = 2 ) 0 (4) รถ α ประชากร จะไดว้ า่ (ใช้สตู รอนกุ รมเรขาคณติ อนันต์) รถ2 = ประชากร2 = 16 = 4 ตอบ (6) X = ∑ x = จํานวนเต็ม รถ1 ประชากร1 93 N จํานวนเต็ม จะออกมาเปน็ จาํ นวนตรรกยะเสมอ ตอบ (จาํ นวนตรรกยะคอื เศษสว่ นและจาํ นวนเตม็ ) (7) โจทยข์ ้อนีค้ วรระบดุ ้วยว่า นอกจากสองทางนแ้ี ล้ว ไมม่ ีการขนสง่ ทางอ่นื อีก จงึ จะคาํ นวณได้ดงั น้ี จาก n(A ∪ B) = 100% → 100 = 30 + n(B) − 20 → n(B) = 90% ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 584 ขอสอบเขาฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) (8) เน่ืองจาก 5% ของ 20 เท่ากบั 1 ใบ (14) ตอบ ข้อทผี่ ดิ คอื ขอ้ 4. ดงั นน้ั ถา้ สุ่มมา 20 ใบ จะบกพรอ่ งได้ 1 ใบ เพราะลาํ ดบั ไดเวอร์เจนต์ คอื ลาํ ดบั ทีไ่ ม่มีลิมติ หรอื หา (เพราะโจทยใ์ ชค้ าํ วา่ “ไม่เกนิ 5%”) ค่าไมไ่ ด้ (ถา้ ได้เป็นจาํ นวนจรงิ เรยี กว่าคอนเวอร์เจนต)์ และถา้ พบว่า 19 ใบแรกไม่บกพรอ่ งเลย ใบที่ 20 ก็ (15) B SB ไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งตรวจ ตอบ 19 ใบ (9) ทิศการเดนิ ของ A C ββ กับ B ตั้งฉากกนั 40 50 θ C และมุม A กบั B เปน็ 45° Aθ A α 10 30 ดงั นน้ั จาก ΔABC ; A 20 B C AC = 20 sin 45° = 10 2 กม. ตอบ (10) ⎝⎛⎜53⎠⎟⎞ ⎝⎜⎛24⎠⎟⎞ = 10 × 6 = 60 วิธี ตอบ tan θ = 40 = 4 ดังนั้น θ = tan−1 4 30 3 3 (11) ถา้ เปลี่ยนตัวเลอื กทัง้ หมด เป็น 2/3 ของแกว้ มุมท่กี ระจกทาํ กบั พ้ืนคอื α หาไดจ้ าก จะตอบไดท้ นั ทวี า่ น้อยกวา่ 2/3 ของแกว้ เพราะ β = SAˆ C − θ = π/2 − θ = π − θ พาราโบลาลูกถ้วยยอ่ มกนิ ปริมาตรมากกว่ากรวยกลม 2 2 42 ตรง (โดยที่ถ้าเปน็ กรวยจะกนิ ปรมิ าตร 1/3 แกว้ → และ α = π − β − θ เหลอื 2/3 แกว้ พอด.ี .. ตามสูตรปรมิ าตรกรวย = 1/3 2 ของทรงกระบอก) π ⎛π π แต่ขอ้ นตี้ วั เลือกเป็น 1/3 ของแกว้ ไม่สามารถกะได้ ∴ α = − − θ⎞ − θ = − θ ตอ้ งคาํ นวณละเอยี ดโดยการอินทเิ กรต “แบบเปลอื ก 2 ⎝⎜ 4 2 ⎟⎠ 4 2 = π − 1 tan−1 4 ตอบ 42 3 ทรงกระบอก” เพอื่ หาปรมิ าตร ดังน้ี (16) ตอบ ข้อ 4. เพราะว่า z1z2 = z1 z2 เสมอ y ปรมิ าตร = a (17) ชว่ั โมงการทํางานเฉลย่ี = 2,000 ชม. a2 แสดงวา่ ถา้ ไปตรวจบํารงุ รกั ษาเมอ่ื 2,000 ชม. ∫ (2πrh)dx 0 a เครอื่ งจกั รมโี อกาสทาํ งานอยู่ 50% หรอื ไปถึงกพ็ บว่า x2 = ∫ (2πx ⋅ x2)dx เสียหายแลว้ อยู่ 50% เทา่ ๆ กัน O xa 0 x = (2πx4) a = πa4 หากตอ้ งการใหเ้ คร่อื งจักร 40 2 มีโอกาสทาํ งานถงึ 97% 0.47 0.5 ก็ตอ้ งเขา้ ไปบํารงุ รักษา แต่ปรมิ าตรเต็มแก้ว = πr2h = πa2(a2) = πa4 ดงั นนั้ นํ้าเหลอื อยู่ 1 ของแก้ว ตอบ ขอ้ 1. กอ่ นจะถงึ 2,000 ชม. เสยี หายx3% 2,0ท0าํ 0งานได้ 97% 2 ดงั รปู (12) ย้าย 3 มาคณู จะได้ 3 CPU = z, 3 CPL = z พื้นท่ี = 0.47 ซา้ ย → z = −1.88 = x − 2,000 ดังนนั้ ถา้ CPK = 1 แสดงว่า z = 3 หรอื −3 100 ได้พนื้ ท่ี A = 0.4987 และพนื้ ทสี่ ่วนนอก A = 0.0013 จะได้ x = 1,812 ช่วั โมง ตอบ (18) n(S) = ชาํ รุด 3 ช้ิน ตรวจพบก่ีชนิ้ กไ็ ด,้ (ซ้ายของ -3 หรอื ขวาของ 3 กไ็ ด้) n(E) = ชํารดุ 3 ช้นิ ตรวจไมพ่ บเลย ∴ ผลติ ภณั ฑเ์ สียหายคดิ เปน็ รอ้ ยละ 0.13 ตอบ นั่นคอื n(S) = ⎝⎜⎛ 132⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 132⎟⎠⎞ และ n(E) = ⎛⎝⎜ 132⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛93⎠⎟⎞ (13) คํานวณ X โดยเลอื กชัน้ 30-39 ให้ d = 0 ดังนนั้ P(E) = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 93 ⎠⎟⎞ = 21 ตอบ X = 44.5 + (10)(−45 −20 −20 + 10 + 10 + 15+ 12 + 5+ 6) 3 55 100 ⎜⎛⎝ 132 ⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛ 12 ⎠⎞⎟ = 41.8 3 Med อยชู่ นั้ 30-39 Med = 29.5 +(10)(50 − 45) = 31.16 30 Mo อยชู่ นั้ 30-39 Mo = 29.5 +(10)( 10 ) = 32.83 ตอบ ขอ้ 3. 10 + 20 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 585 ขอสอบเขาฯ พืน้ ฐานวิศวะ (ใหม) (19) จากขอ้ (i) ถา้ x = 0, y = 0 จะไดว้ ่า (24) ข้อ 1. ไม่ใช่ เพราะการถามวา่ “ทา่ นเปน็ เพศ f(0) = f(0) + f(0) ⇒ 2f(0) ∴ f(0) = 0 เทา่ นน้ั ชายใชไ่ หม” นั้นจะทาํ ใหท้ ราบเพยี งวา่ นายคนน้ชี อ่ื นาย x (พูดจรงิ เสมอ) หรอื นาย y (พูดเทจ็ เสมอ) จึงมีขอ้ 1. กับ 3. ที่เปน็ ไปได้ แตจ่ ะไม่ไดข้ ้อมลู เกีย่ วกบั ดา่ นเขา้ ประเทศเลย (ถาม ต่อมาพจิ ารณาจากขอ้ (ii) f(αx) = αf(x) ไดค้ ําถามเดียว) ขอ้ 3. ยงิ่ ไมไ่ ด้ขอ้ มลู เลย เพราะหากถามวา่ “ทา่ นพดู → f(2) = 2f(1), f(3) = 3f(1), f(4) = 4f(1), ... ความจรงิ เสมอใชไ่ หม” นัน้ ไมว่ ่านาย x หรอื นาย y ก็จะตอบวา่ “ใช”่ เหมอื นกนั ทั้งสองคน พบวา่ f(3) − f(2) = f(1), f(4) − f(3) = f(1), ... สว่ นขอ้ 2. เป็นขอ้ ทีถ่ กู ... สมมตเิ ราไปถกู ด่านแลว้ คอื ดา่ น X ไมว่ ่าจะเจอนาย x หรอื นาย y กจ็ ะไดร้ บั แสดงวา่ ความชนั เทา่ เดิมตลอดทกุ คา่ x คาํ ตอบวา่ “ใช่” เสมอ แต่ถา้ ไปผดิ ดา่ น (คอื ไปดา่ น คอื เปน็ กราฟเสน้ ตรง ตอบ ขอ้ 3. (20) ความนา่ จะเป็นทนี่ ม 1 กลอ่ งมปี รมิ าตรเกิน 250 cm3 เปน็ 50% พอดี Y) นาย x กับนาย y จะตอบวา่ “ไมใ่ ช”่ ทง้ั คู่ แสดงวา่ 250 cm3 = X 250 วธิ ีนจ้ี ะทาํ ให้ทราบวา่ ดา่ นนีถ้ ูกหรอื ผดิ ∴ ตอบ ขอ้ 2. โจทย์ถามปรมิ าตรเฉลย่ี ทง้ั ลัง (24 กลอ่ ง) (25) จาก ตา=70 จะได้ หู ก ข ตา จะได้ 24 × 250 = 6,000 cm3 ตอบ ข+ง+จ = 70 − 15 = 55 15 (21) ช้นิ สว่ น ข มโี อกาสชาํ รดุ 3 ใน 10 แต่ ง+จ = 28 ดังนั้น กรณที ่ี 1; ไมช่ ํารุดเลย ใช้เวลา 2 นาที ข = 55 − 28 = 27 คน ค งจ ⎝⎛⎜27 ⎟⎠⎞ 3 20 จมกู ⎝⎜⎛ 120⎞⎟⎠ มโี อกาสเกิดขึ้น = 7 จาก หู=50 จะได้ 15 จ = 100 − 3 − 20 − 15 − 50 = 12 กรณที ี่ 2; ชาํ รดุ ท้ังสองชนิ้ ใช้เวลา 9+9+2=20 นาที และ ง = 28 − 12 = 16 โจทยถ์ าม ข+ง = 27 + 16 = 43 ตอบ 0.43 มีโอกาสเกิดขนึ้ ⎛⎝⎜ 23 ⎟⎠⎞ = 1 (26) ขวา 4 ครัง้ , ลง 4 คร้งั ⎛⎜⎝ 120⎞⎠⎟ 15 เหมือนการสลบั ลําดับอกั ษร ขขขขลลลล กรณที ่ี 3; ชํารดุ ชน้ิ เดียว ใชเ้ วลา 9+2=11 นาที = 8! = 70 เสน้ ทาง ตอบ 4!4! (27) จุดที่ค้มุ คา่ ก็คือ มีโอกาสเกดิ ขนึ้ 1 − 7 − 1 = 7 คา่ ระบบความปลอดภัย เท่ากับค่าอุบตั เิ หตพุ อดี 15 15 15 ∴ 0.01x − 0.01 = 1 ดงั นน้ั เวลาเฉลยี่ (ถ่วงนา้ํ หนกั ดว้ ยความน่าจะเปน็ ) x−1 = 7 (2) + 1 (20) + 7 (11) = 7.4 นาที ตอบ → x − 1 = 100 → (x − 1)2 = 100 15 15 15 x−1 [หมายเหตุ การหาคา่ เฉลย่ี โดยถว่ งนา้ํ หนกั ดว้ ยความ นา่ จะเป็น ในวชิ าสถติ จิ ะเรียกว่า การหาค่าคาดหมาย จะได้ x − 1 = 10 เทา่ นนั้ (ตดิ ลบไม่ได)้ → x = 11 ซงึ่ จะได้ศกึ ษาเพม่ิ เติมในระดบั มหาวทิ ยาลยั ครับ..] (22) ทเ่ี วลา t วนิ าทีมีขอ้ มูลเขา้ 20t หนว่ ย ดังนนั้ f = g = 0.1 ลา้ นบาท คดิ เปน็ หน่วยพนั บาท กค็ ือ 100 พนั บาท ตอบ สง่ ขอ้ มูลออก 10t(1) + 10t(1) = 10t หนว่ ย 22 (28) โจทย์ถาม dC ดังนน้ั มีขอ้ มูลคา้ งในเครอื่ ง 20t − 10t = 10t หนว่ ย dt t = 4 → 10t = 300 → t = 30 วนิ าที ทเ่ี ครอ่ื งจะทาํ งาน x ได้โดยไมส่ ญู เสยี ข้อมลู ตอบ แตใ่ หฟ้ งั ก์ชนั C กับ t มาในรปู ของ จึงตอ้ งใชก้ ฎลูกโซ่ (23) พจิ ารณาที่ A; ถ้า A พดู จริง แสดงว่า B เปน็ dC = dC ⋅ dx = dC ÷ dt = 3x2 + 1 dt dx dt dx dx 2x − 2 คนพดู จรงิ ด้วย แต่ B พดู วา่ B กับ A เป็นคนละ ต้องการคิดท่ี t = 4 หาคา่ x ทท่ี าํ ให้ t = 4 ดงั น้ี ประเภท → ขดั แยง้ กัน ดงั นนั้ กรณีนจ้ี ึงไมใ่ ช่... → 4 = x2 − 2x + 7 → พบวา่ x ไมใ่ ช่จาํ นวนจริง แต่ถ้า A พูดโกหก แสดงวา่ B เป็นคนพดู โกหก เหมือนกนั และ B พูดวา่ B กบั A เปน็ คนละ ดงั นนั้ t = 4 เป็นไปไมไ่ ด้ ... ตอบ ข้อ 4. ประเภท กค็ ือ B โกหก ...ลงตัวพอดี ตอบ ข้อ 2. [หมายเหตุ t = x2 − 2x + 7 โดย x > 0 จะได้วา่ t > 6 เสมอ] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 586 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) (29) สมมตหิ ้อง A มี a แถว แถวละ 5 คน, (36) วงกลมเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง 8 เมตร แสดงวา่ ห้อง B มี b แถว แถวละ 6 คน AC = 4 เมตร (เพราะจดุ A อยู่ท่ศี ูนยก์ ลางพอด)ี ∴ 5a + 6b = 55 โดย a, b เป็นจาํ นวนนับ สี่เหล่ียมมุมฉากมีเส้นทแยงมมุ ยาวเท่ากนั ดังน้นั จะได้วา่ a = 55 − 6b → a = 11 − 6b BD = 4 เมตรดว้ ย ตอบ 55 (37) จากการสังเกต พบวา่ จาํ นวนด้านยิ่งนอ้ ย ∴ 6b ตอ้ งหาร 5 ลงตวั พบวา่ b = 5 เท่านัน้ ด้านจะยง่ิ ยาวข้นึ ดังน้นั (ถา้ b = 10 จะได้หอ้ ง B มี 60 คน.. ซง่ึ เกิน 55) ดา้ นท่ยี าวทส่ี ดุ คอื สรปุ วา่ a = 5, b = 5 ตอบ ขอ้ 2. (30) [ขอ้ นี้คล้ายการแจกแจงแบบปวั สซ์ องซึง่ เกนิ ด้านของรปู สามเหล่ยี ม หลกั สตู ร แต่ก็ไมเ่ หมือนทง้ั หมดนะครบั ยงั พอ คาํ นวณได]้ x/2 เราต้องการความน่าจะเปน็ ท่ใี นระยะเวลา 2 ชั่วโมง x พจิ ารณา Δ ดา้ นเทา่ (t=2) มีการโทรมากกวา่ 1 ครง้ั (n>1) ก็คอื กีค่ รงั้ ก็ r ยาวดา้ นละ x หนว่ ย ไดต้ ั้งแต่ 2 ครงั้ , 3 คร้งั , 4 ครง้ั , เปน็ ตน้ ไป.. 2r มวี งกลมรศั มี r แนบใน ซึ่งควรจะคาํ นวณด้วยวธิ ลี บออก = ความนา่ จะเปน็ รวม - ความนา่ จะเป็นทมี่ ีการโทร สมบตั ขิ องเสน้ มธั ยฐานทาํ ให้ทราบวา่ เข้า 0 คร้ัง - ความนา่ จะเปน็ ทม่ี กี ารโทรเขา้ 1 ครั้ง เส้นมธั ยฐานยาว r + 2r = 3r = 1 − P[N(2) = 0] − P[N(2) = 1] ∴ (x)2 + (3r)2 = x2 (ทฤษฎบี ทปที าโกรสั ) = 1 − 20 2−2 − 21 2−2 = 1 − 1 − 1 = 1 ตอบ 2 3x2 ตอบ 0! 1! 42 4 9r2 (31) จากการพสิ จู นท์ ี่แสดงในเรอื่ ง “อนพุ นั ธ”์ จะได้ = → x = 12 r = 2 3 r 4 (38) มองโดยรวมพบวา่ รนุ่ C ใชว้ ัสดนุ อ้ ยทส่ี ุดทง้ั 3 จะไดค้ าํ ตอบเป็น 1.5 × 2 = 3 ตร.ซม. ตอบ อยา่ ง ถา้ ผลติ รุน่ C รนุ่ เดยี ว จะไดจ้ าํ นวน 5 คัน (32) s2 = 4 → s = 2 (เหล็กหมดกอ่ น) ถ้าผลิตรนุ่ A หรอื B รนุ่ เดียวจะ ไดเ้ พียง 4 คัน (พลาสตกิ หมดกอ่ น) ดังน้นั ค. ถกู z = 1.5 = x − 50 → x = 53 คะแนน 2 เน่ืองจากคะแนนเตม็ 100 คะแนน ดงั นั้น ตอบ 53 แต่หากมองตอ่ ไปถงึ การผลติ 2 รนุ่ ร่วมกนั จะพบวา่ (33) ตอ้ งการราคาถกู และโอกาสทจี่ ะชํารดุ น้อย หากผลติ รุน่ C 4 คนั รนุ่ A 1 คัน ก็ยงั ไดจ้ าํ นวน 5 → คดิ งา่ ยๆ โดยนาํ ราคากับโอกาสชาํ รดุ มาคณู กนั คนั เชน่ เดิม (เหลก็ หมด และพลาสตกิ หมดพอด)ี ดังนนั้ ก. ผดิ , ข. ถกู ตอบ ขอ้ 3. ประเภทใดไดค้ ่าตา่ํ สดุ กต็ อบอันนน้ั B; 65 × 0.2 = 13 (39) สมการจดุ ประสงค์ P = 80x + 100y A; 75 × 0.18 = 13.5 C; 55 × 0.25 = 13.75 D; 45 × 0.3 = 13.5 โดยที่ x = จาํ นวนเคก้ และ y = จาํ นวนพาย ดังนนั้ ควรเลอื กยหี่ ้อ B ตอบ มเี ง่อื นไขดงั นี้ 0.4x + 0.2y < 10 y (34) ก. ถกู การกระจายเท่ากนั รูปกราฟเพยี งแค่ 0.2x + 0.4y < 14 พลิกด้านกนั เทา่ นัน้ และ x > 0, y > 0 ข. ผดิ โคง้ เบ้ซา้ ย X < Med แต่โคง้ เบ้ขวา X > Med ได้จุดยอดมมุ เปน็ 50 (10,30) ค. ถูก โคง้ ภาพต้นไม้ (0, 50), (25, 0) เป็นโคง้ เบ้ขวา Mo < Med และ (10, 30) O 25 x ตอบ ข้อ 3. ได้ทันที ตอบ มขี อ้ ถูก 2 ข้อ (35) ข้อนีค้ าํ ถามไม่ชัดเจน Mo Med (40) [ข้อน้ีเกนิ หลักสตู ร เพราะคิดแบบความนา่ จะ ถ้าถามในแงว่ า่ เลอื กได้กร่ี หสั กต็ อ้ งตอบขอ้ 1. ไม่เกนิ เปน็ คณู กนั เปน็ การแจกแจงแบบทวินาม แต่ก็ยงั พอ 4 รหสั แนน่ อน ... หรอื วา่ มโี อกาสเลอื กกีร่ หสั แบบ คํานวณไดจ้ ากพน้ื ฐานความร้ดู ังน]้ี น้ีตอบขอ้ 4. คือ 100 รหัส โอกาสทร่ี ะบบจะทํางานได้ สว่ นข้อ 2. กับ 3. เปน็ ไปไม่ไดแ้ น่ เพราะถามเปน็ = มีเครอื่ งเดยี วสง่ ข้อมลู + ไมม่ ีเครอื่ งใดสง่ ขอ้ มลู เลย หน่วย “รหสั ” ไม่ใช่จํานวน “แบบ” ในการเลอื ก (ซงึ่ = ⎛⎝⎜ 3 ⎟⎞⎠ ⋅ (1)(1)(1) + (1)(1)(1) = 3 + 1 = 0.5 1 222 222 88 คาํ นวณออกมาไดค้ า่ หลายล้านแบบ) (3 เลือก 1 คอื จาํ นวนกรณี ท่มี ีเครือ่ งเดียวสง่ ข้อมูล) ตอบ 0.5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 587 ขอ สอบเขาฯ พืน้ ฐานวศิ วะ (ใหม) (41) ปริมาณไฟฟา้ ทีใ่ ชใ้ นเวลา n ช่ัวโมง (48) สามเหล่ยี มยาวดา้ นละ 2, 2 แสดงวา่ มมุ แหลม = 1,000 n kWh ... คดิ เปน็ ราคา 2 ⋅ 1,000 n บาท มีขนาด 45° → วงกลมถูกตัด 1 ใน 8 ค่าใช้จา่ ยในการผลิตไฟฟา้ 50,000 + 1,975 n บาท ดังนนั้ พน้ื ท่ีแรเงา = Δ − 1 Ο 8 จะคุม้ ทนุ ท่ี 2,000 n = 50,000 + 1,975 n = 1 (2)(2) − 1 π (1)2 = 2 − π → n = 2,000 ชม. ตอบ 28 8 ตอบ บาท (หมายความวา่ เกนิ (49) คดิ เปน็ หนว่ ยพนั บาท จะไดว้ า่ ปีท่ี 1 ฝาก 100 2000n 2,000 ชม. ไปแลว้ พอถึงปีที่ 2 (บวกดอกเบยี้ ) เป็น 1.1 × 100 = 110 50000+1975n จึงไมข่ าดทุน ฝากเพ่มิ อกี 200 เปน็ 310 ดังกราฟ) ถงึ ปที ี่ 3 เปน็ 1.1 × 310 = 341 O 2,000 n ฝากเพ่มิ อกี 300 เป็น 641 ถงึ ปีที่ 4 เปน็ 1.1 × 641 = 705.1 พนั บาท ตอบ (50) พิจารณาเฉพาะเสน้ คขู่ นาน (3 ชน้ิ ส่วน) ก่อน (42) ⎝⎛⎜ 23 ⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛ 3 ⎠⎞⎟ ÷ ⎝⎜⎛ 63 ⎠⎟⎞ = 9 ตอบ ความน่าจะเปน็ ทท่ี าํ งานได้ (คดิ แบบยูเนยี นของ 1 20 เหตกุ ารณ์) คอื P{เส้นบนทํางาน} + P{เสน้ ลา่ ง ทํางาน} – P{ทาํ งานทัง้ 2เสน้ } (43) ก. ถกู ( X เทา่ กนั ) = (0.9 × 0.8) + (0.9) − (0.9 × 0.8 × 0.9) = 0.972 ข. ผิด โรงงาน B คณุ ภาพดีกวา่ ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นรวมของวงจร (เพราะการกระจายนอ้ ยกวา่ ) = 0.8 × 0.972 × 0.9 ≈ 0.70 ตอบ (51) ให้ x = เวลาล่าชา้ ดงั นนั้ ค. ผดิ ดว้ ย ตอบ ขอ้ 1. จะได้ X = (0.4)(0.5) + (0.25)(0.8) + (0.35)(1) (44) แดงเหลอื ง + เหลอื งแดง = 0.75 นาที ตอบ (52) จํานวนรถเฉลย่ี ใน 1 ชม. (ถ่วงนา้ํ หนักดว้ ย = 3× 1 + 1× 3 = 1 ตอบ ความน่าจะเปน็ ) 6×6 6 (45) 3 ! 2 ! ÷ 5! = 1 ตอบ = (0)(0.5) + (1)(0.25) + (2)(0.2) + (3)(0.05) 10 = 0.8 คัน (46) พิจารณาหลักหนว่ ย พบวา่ เลขเรยี ง เทยี บสดั สว่ น.. 0.8 คัน ใช้เวลา 1 ชม. 5 → 6 → ? → 8 → 9 แสดงวา่ ตอ้ งเปน็ เลข 7 ∴ 1 คันใชเ้ วลา 1 = 1.25 ชม. = 75 นาที ตอบ เทา่ น้ัน (ซง่ึ กม็ ีในทุกตวั เลอื ก) 0.8 หลกั ทีเ่ หลอื 12 → 72 → ? → 4032 → 36288 (53) จํานวนแบบของอกั ษร (40 × 40) − 500 ถา้ ลองหารดูจะพบวา่ 72 = 6, 36288 = 9 12 4032 จํานวนแบบของตวั เลข 9 × 10 × 10 × 10 ดังนน้ั คูณกนั ทง้ั หมดได้ 9.9 ล้านแบบ ตอบ และ 4032 = 56 = 7 × 8 ดงั นนั้ สว่ นทหี่ ายไป (54) สมมตพิ ิมพ์ a หน้า 72 จะไดว้ า่ พิมพ์เองเสียเงนิ 15,000 + 2a บาท คอื 72 × 7 = 504 ตอบ 5,047 ควรนอ้ ยกว่าหรอื เทา่ กบั จา้ งพมิ พ์ 8a บาท [หมายเหตุ เขียนรปู ทั่วไปได้วา่ 12 (n + 4)! 10 + (n + 4) 5! ]an = = (n + 4)! + (n + 4) (47) ความชัน m = 8000 − 4000 = −400 จาก 15,000 + 2a < 8a ได้ a > 2,500 หนา้ 30 − 40 แต่ถา้ พมิ พ์ 2,500 หนา้ จะตอ้ งใช้หมกึ ถึง 3 ตลับ และเสยี เงิน 21,000 บาท (โดยมหี มึกเหลืออย)ู่ ตอบ ข้อ 3. ได้ทันที ∴ ควรพิมพ์มากกวา่ 21,000 = 2,625 หนา้ ตอบ 8 (หมายถึงพมิ พ์ในชว่ ง 2,626 ถึง 3,000 หน้า) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 588 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 o¨·Â·´Êoº ªu´·Õè 1 (กมุ ภาพนั ธ์ 2547) ขอ้ สอบมี 2 ส่วน กาํ หนดเวลาส่วนละ 2 ชัว่ โมง • ส่วนทหี่ นึง่ ประกอบด้วย เซต ระบบจาํ นวนจริง ตรรกศาสตร์ เรขาคณติ วเิ คราะห์ ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชนั กาํ หนดการเชิงเส้น ฟงั ก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชยี ลและลอการทิ มึ เมตรกิ ซ์ ลาํ ดบั และอนุกรม ลมิ ิตและความตอ่ เนอื่ ง • สว่ นทส่ี องประกอบดว้ ย ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อน อนุพนั ธแ์ ละการอนิ ทเิ กรต ความน่าจะเปน็ สถติ ิ ส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 10 เปน็ ข้อสอบแบบอัตนัย ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A = {−1, 0, 1, 2} จํานวนฟังก์ชัน f : A −> A โดย “มี x ∈ A ซึ่งถ้า x > 0 แลว้ f (x) < 0 ” เทา่ กับกี่แบบ 2. กําหนดให้ p(x) เป็นพหนุ ามดกี รีสอง ถ้า x + 1 หาร p(x) เหลือเศษเทา่ กบั 1 x หาร p(x) เหลือเศษเท่ากบั 3 และ x − 1 หาร p(x) เหลอื เศษเทา่ กับ 9 แล้ว x − 2 หาร p(x) เหลือเศษเทา่ กับเท่าใด 3. ผลบวกของคาํ ตอบทงั้ หมดของสมการ log2(4x + 8) − log212 = 1 มคี า่ เท่ากับเท่าใด x−1 4. กําหนดให้ และ ⎡ y −x −4⎤ ⎢⎢⎢⎣−41 ⎥ AB = BA = I A = −y 3 ⎥ x x ⎥⎦ โดยทโ่ี คแฟกเตอร์ของ a31 = 5 และโคแฟกเตอร์ของ a12 = 13 แล้ว det (5 AtB2) มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด 5. วงรีและไฮเพอรโ์ บลามีจดุ โฟกสั อยู่ที่ตําแหนง่ เดียวกัน คอื (0, 2) และ (0, −2) ถ้าอตั ราสว่ นของ ระยะทางจากจดุ ศนู ยก์ ลางไปยงั จดุ โฟกสั ตอ่ ระยะทางจากจดุ ศนู ยก์ ลางไปยังจุดยอด ( c : a ) ของ วงรแี ละไฮเพอร์โบลา เปน็ 1/2 และ 2 ตามลาํ ดบั และ (m, n) เป็นจุดท่โี ค้งท้งั สองนีต้ ัดกัน แลว้ คา่ ของ m2+ n เทา่ กบั เทา่ ใด 6. กําหนด f (x) = ⎪⎧ x2k 8 ,x < 2 ⎨ 8 − 1) xk + ,x > 2 ⎩⎪( ถา้ k เป็นจาํ นวนจริงที่ทําให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = 2 แลว้ คา่ ของ f (2) เท่ากบั เทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 589 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 7. ให้ n เปน็ จํานวนเต็มบวกซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 32 เทา่ กบั 2 ถ้า ;32 = n q0 + r0 0 < r0 < n ;n = 4 r0 + r1 0 < r1 < r0 และ r0 = 3 r1 โดยท่ี q0, r0, r1 เป็นจํานวนเตม็ บวก แล้ว ค.ร.น. ของ n และ 32 มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด 8. ถา้ loga(ax) + 2 loga(a2x) + 3 loga(a3x) + ... + 10 loga(a10x) = 110 เมอ่ื a = 5 2 แลว้ จะได้ว่า x มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด 9. สาํ หรบั จํานวนเตม็ บวก n ใดๆ ให้ An = ⎡ n2+ n 3⎤⎥ ⎢ n2− 1 3⎥⎦ ⎣⎢ และ Bn = เมตริกซ์ผกู พนั ของ An แล้วลมิ ติ ของลาํ ดับ bn = det (Bn) มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 10. ถ้า A เปน็ จุดบนแกน y ซง่ึ อยหู่ ่างจากจดุ (2, 2) และ (1, −1) เปน็ ระยะทางเทา่ กนั และ P คอื พาราโบลาทมี่ จี ดุ ยอดท่ีพิกัด (1, 3) ซ่ึงมจี ุด A เป็นจุดปลายของเลตัสเรคตัม แล้วจุด B บน เสน้ โค้ง P ซึง่ อยหู่ ่างจากจุดโฟกสั 6 หน่วย จะอยู่หา่ งจากแกน y เป็นระยะทางกหี่ นว่ ย ตอนท่ี 2 ข้อ 1 – 25 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {∅, 0, 1, {0}} และ B = {1, {0}, {0, 1}} ถ้า P (X) แทนเพาเวอรเ์ ซตของ X แล้ว n(P (A) − B) + n(P (B) − A) มีค่าเทา่ กบั เท่าใด 1. 17 2. 20 3. 21 4. 22 2. กําหนด A ⊂ B และ C = {A, B} ถา้ P (C) แทนเพาเวอรเ์ ซตของ C พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. A ∪ B ∈ C และ A ∩ B ∈ C ข. A ∈ P (C) และ B ∈ P (C) ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 3. จาํ นวนสมาชกิ ของเซต { f : (B−A) 1− 1 > (A−B) | n(A) = 8 และ n(B) = 6 และ n(A ∪ B) = 11 } มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 6 2. 15 3. 60 4. 125 4. (4.5, 5.5) 4. ให้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ x − 4 + x − 3 = 1 และ B เปน็ เซตคําตอบของอสมการ 4 > 2 x −2 x+1 แล้วขอ้ ใดเป็นสับเซตของ B − A 3. (3.5, 4.5) 1. (1.5, 2.5) 2. (2.5, 3.5) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 590 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 5. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x − 1 > 2 x+2 ,f (x) = (3 + x)(2 − x) g(x) = 1 x+3 และ c เป็นขอบเขตบนคา่ นอ้ ยทส่ี ุดของ A ∩ Df⋅g แล้ว c มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −3 2. −2 3. 1 4. 2 6. พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถา้ (p → q) ∧ (r ∨ s) เปน็ จรงิ และ q ∨ s เป็นเท็จ แล้ว (q ∨ p) → (r ∧ s) เปน็ จริง ข. นิเสธของ ∀x [ x </ 0 → −x < 0 ] สมมูลกับ ∃x [ x </ 0 และ x < 0 ] ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 7. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. [(p → q) ∨ (q → r)] → (p → r) เป็นสัจนิรันดร์ ข. [(p ∧ q) → (p ∨ q)] ↔ [(~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q)] เปน็ สัจนิรันดร์ ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 8. หากกําหนดเอกภพสัมพทั ธเ์ ปน็ U = {−1, 0, 1} แล้ว ประพจนใ์ นข้อใดตอ่ ไปนี้มคี า่ ความจรงิ ต่างจากขอ้ อ่ืน 1. ∃x (x+1 > 0 ∧ x2 ≠ 1) 2. ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) 3. ∃x (x+1 > 0) ∧ ∃x (x2 ≠ 1) 4. ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) 9. พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปนี้ ก. เหตุ 1) p → ~ q ข. เหตุ 1) P (x) ∧ Q (x) 2) q ∨ r 2) Q (x) → R (x) 3) ~ r 3) ~ R (x) ∨ S (x) ผล p ผล S (x) ข้อความใดตอ่ ไปนี้ถูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผลทง้ั คู่ 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไมส่ มเหตสุ มผลท้ังคู่ 10. ให้ r = {(x, y) | 9x2 + 4y2 − 18x + 16y − 11 = 0 } แลว้ Dr−1 ∩ Rr−1 เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. [−5, −1] 2. [−1, 1] 3. [1, 3] 4. [3, 5] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 591 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 11. กาํ หนดให้ r1 = {(x, y) ∈ R × R | y < x2 − 3 } และ r2 = {(x, y) ∈ R × R | 2y + 3 (x + 1) > 4x } แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง 1. (−1, −2) เป็นจดุ สงู สุดในเซต r '1∩ r2 2. (3/2, −3/4) เปน็ จดุ ตา่ํ สุดในเซต r '1∩ r2 3. (−1, −2) เป็นจุดสูงสุดในเซต r '1− r2 4. (3/2, −3/4) เปน็ จุดสูงสุดในเซต r '1− r2 12. กําหนดให้ f (x) = x + 1 และ g(x) = (x − 1)2 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. และDgof = Dfog Rgof ≠ Rfog ข. และDgof = Rgof Dfog ≠ Rfog ข้อใดต่อไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 13. กําหนดช่วงเปดิ A = (0, ∞) และให้ f, g เปน็ ฟงั ก์ชนั ภายในเซตของจํานวนจริง R โดย f (x) = 2 + x และ g(x) = 1 แลว้ จาํ นวนเต็มในเซต Dgof− A มีกจ่ี ํานวน 2 − f (x) 1. 5 2. 4 3. 3 4. 2 14. กาํ หนดให้ f (x) = x2 − x − 1 และ g(x) = x3 − x2 − x − 1 แลว้ คา่ ของ (f D g−1)(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. −1 2. −5 3. 5 4. 1 15. กําหนดให้ f (x) = x2− 1 และ g(x) = 3 x − 1 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. f + g−1 เป็นฟงั กช์ ันเพ่มิ บนช่วง [0, ∞) ข. f D g−1 เป็นฟังก์ชันเพ่ิมบนชว่ ง [0, ∞) ข้อใดต่อไปนีถ้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 16. ถ้า O เปน็ จดุ กาํ เนิด และ C เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม x2+ y2+ 4x − 8y + 11 = 0 แลว้ สมการของเสน้ ตรง OC และสมการของวงกลมท่ีมี OC เป็นเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางเส้นหนง่ึ ตรงกับ สมการในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. y = −2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 2. y = −2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 15 3. y = 2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 4. y = 2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 592 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 17. กาํ หนดให้ E เปน็ วงรีซ่ึงมีสมการเป็น 6x2+ 5y2+ 12x − 20y − 4 = 0 และ H เปน็ ไฮเพอร์โบลา ซ่งึ มีจุดศนู ยก์ ลางร่วมกบั E , มจี ดุ ยอดทบั จดุ โฟกสั ของ E และมีความยาวแกนสังยุคเทา่ กับความ ยาวแกนโทของ E ขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ป็นสมการของไฮเพอรโ์ บลา H 1. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 2. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 14 = 0 3. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 18 = 0 4. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 18 = 0 ⎡ 1 0 −x2 ⎤ เป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน มีทง้ั หมดกจี่ าํ นวน 18. จาํ นวนจรงิ บวก x ทีท่ ําใหเ้ มตรกิ ซ์ ⎢⎢2 1 ⎥ 0 ⎥ ⎢⎣x 3 5 ⎥⎦ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 19. กาํ หนดให้ ⎡a 0 2 ⎤ เมือ่ A = ⎢⎣⎢0a −02⎦⎥⎥ 2 det (3 I − A) = 8 0 และการดําเนินการตามแถว ⎡⎣ A I ⎤⎦ ~ ⎣⎡ I B⎦⎤ โดยที่ I คือเมตริกซ์เอกลกั ษณ์มติ ิ 3 × 3 แลว้ det (B adj A) มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −40 2. −8 3. 8 4. 40 20. ถ้า A = { x ∈ R | (2)x (1−x) > 9 } แลว้ 34 เซต B เป็นชว่ งในขอ้ ใดต่อไปนีท้ ่ีทําให้ B ∩ A ' = ∅ 1. (−2, −1) 2. (−1, 0) 3. (0, 1) 4. (1, 2) 21. ถ้าจํานวนจริง x ทงั้ หมดทสี่ อดคล้องกบั อสมการ (log3(x− 3) − log32(x− 3) + log34(x− 3) − log38(x− 3) + ...) < 1 คอื ช่วง (a, b) แล้วค่าของ a + b เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 2 3 2. 3 3 3. 4 3 4. 5 3 22. ให้ A = { x ∈ R | 3 (x + 1)2 − 5(2x − 3) + 2 3 x − 4 + 1 = 0 } และ B = { x ∈ R | log3x9 + (log3 x)2 = 2 } แล้ว C = { log 3 a | a∈A และ b ∈B } เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี b 1. {0, 1, 3} 2. {0, 1, 9} 3. {1, 3, 1/9} 4. {1, 3, 27} 23. กาํ หนดสมการจดุ ประสงค์ C(x, y) = 5x + 2y โดยมเี ง่อื นไขดังน้ี x + 2y > 5 , 3x + y > 10 , 3x − 8y < 8 , x > 0 และ y > 0 จะได้วา่ ค่าตํ่าสุดของ C เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 15 2. 17 3. 20 4. 21 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 593 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 24. กําหนดสมการจดุ ประสงคค์ อื P (x, y) = (a/2) x + 25 y โดยท่ี a เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก และมี อสมการข้อจาํ กัดคือ x > 0 , y > 0 , x + y < 5 และ x + 2y < 8 ถ้าค่าสงู สุดของ P (x, y) เทา่ กบั 150 แลว้ a มคี ่าอย่ใู นชว่ งใดตอ่ ไปนี้ 1. [40, 50) 2. [50, 60) 3. [60, 70) 4. [70, 80) ⎧ x −2 , x<2 ⎪ 2−x x >2 25. ให้ ⎪ 2−x , f (x) = ⎨ 2− x ⎪ ⎩⎪ ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู 1. lim f (x) และ lim f (x) หาคา่ ไมไ่ ด้ x → 2− x → 2+ 2. lim f (x) > 0 และ lim f (x) < 0 x → 2− x → 2+ 3. lim f (x) + lim f (x) = 2 2 x → 2− x → 2+ 4. lim f (x) + lim f (x) = −2 2 x → 2− x → 2+ สว่ นทส่ี อง ตอนท่ี 1 ขอ้ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอตั นัย ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ arctan x = arctan(1/3) + arctan(1/2) และ arcsin y = arcsin(1/ 10) + arcsin(1/ 5) แลว้ (x − y)(x + y) มีคา่ เทา่ กับเท่าใด 2. กาํ หนดให้ ABCD เปน็ รปู สี่เหล่ยี มดา้ นขนาน มีพื้นที่ 24 ตารางหนว่ ย และ ˜AB ⋅ ˜AD = 3 ถ้า θ คือมุมระหว่าง ˜AB กับ ˜AD แลว้ tan θ มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด 3. ถ้าจํานวนเชงิ ซ้อน z= 1+ 3 i แล้ว ค่าสมั บรู ณ์ของ ⎛ z − z ⎞2 เทา่ กับเท่าใด 2 2 ⎜⎜⎝ i 17+ z 18 ⎟⎠⎟ 4. กลอ่ งใบหน่งึ มลี กู บอลสีแดง 7 ลูก และสีขาว 3 ลกู สุ่มลูกบอลจากกลอ่ งจาํ นวน 3 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเปน็ ที่จะไดล้ ูกบอลสีขาว 2 ลกู หรือสีแดง 2 ลูก มคี า่ เท่ากบั เท่าใด 5. ในจาํ นวนเด็ก 4 คน มสี องคนทีน่ า้ํ หนักเทา่ กนั และนํ้าหนกั นอ้ ยกว่าอกี สองคนท่เี หลือ ถ้าฐาน นิยม มัธยฐาน และพิสยั ของนาํ้ หนกั ของเด็กทง้ั 4 คนนไ้ี ด้แก่ 40, 41 และ 6 กิโลกรัม ตามลาํ ดับ แลว้ คา่ ความแปรปรวนของนาํ้ หนกั ของเดก็ 4 คนนเี้ ท่ากบั เท่าใด 6. กาํ หนดให้ 4 sin2x + 11 cos x − 1 = 0 แลว้ cot2(x + π) + sec (x − 3π) มคี า่ เท่าใด 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 594 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 7. สําหรบั แต่ละจาํ นวนเตม็ บวก n ถ้า zn เป็นจํานวนเชงิ ซอ้ นซง่ึ กําหนดโดย zn = 1 − 2−n− 3 i แล้วลิมิตของลําดับ an = znzn มีค่าเท่ากับเทา่ ใด 8. ถา้ g(x) = 2x 3 + 3x2 + 1 และ ∫ (f D g)(x) dx = x5 − x 4 + x 3 − x2 + x − c แลว้ อนุพนั ธข์ อง f (x) ท่ีจดุ ซึ่ง x = 6 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด 9. ในการแบ่งนกั เรยี นซ่งึ มีผู้ชาย 3 คนและผหู้ ญิง 5 คน ออกเป็นกลุ่ม A และ B กลมุ่ ละ 4 คน ความน่าจะเปน็ ท่ีในแต่ละกลุ่มนนั้ มผี ้ชู ายอยดู่ ว้ ยเปน็ เท่าใด (ตอบทศนิยม 2 ตําแหนง่ ) 10. ผลการสอบวชิ าคณิตศาสตรซ์ ึ่งคะแนนเต็มเทา่ กบั 100 คะแนน ของนกั เรียนห้องหน่ึงเปน็ คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น ดงั ตาราง คณิตและวิทยาเปน็ นักเรียนในห้อง ดงั กล่าว ถา้ คณิตไดค้ ะแนนในตําแหน่งควอร์ไทล์ท่ี 90 – 99 10 3 และวิทยาไดค้ ะแนนในตาํ แหนง่ มัธยฐาน ดังน้นั 80 – 89 25 คณติ ได้คะแนนมากกว่าวทิ ยาอย่กู ี่คะแนน 70 – 79 30 60 – 69 20 50 – 59 10 40 – 49 4 30 – 39 1 ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = ⎡ cos θ cos 4θ⎤ เม่อื θ = π ⎢⎣−sin 2θ sin 3θ ⎦⎥ 12 แลว้ det(2At) มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 2 3. 3 4. 2 + 3 2. ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ถ้า cos x = −1/ 5 แลว้ tan x = −2 2. ถ้า tan x = 2 แล้ว cos x = 1/ 5 3. tan(arccos (−1/ 5)) = −2 4. arccos (−1/ 5) = arctan(−2) 3. เซตคาํ ตอบของอสมการ 2 sin2θ − sin θ > 0 เมอ่ื 0 < θ < 2π 4. 5 2 cos θ − 1 3. 4 มสี มาชิกท่เี ป็นจาํ นวนนับทั้งหมดก่จี าํ นวน 1. 2 2. 3 4. ถ้า u = v แล้วมุมระหวา่ ง u กบั v ที่ทําให้ u+v = 2 u−v อย่ใู นชว่ งในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. [0, π) 2. [π , π) 3. [π , 3π) 4. [3π , π) 4 42 24 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 595 โจทยท ดสอบ ชดุ ที่ 1 5. ให้ u = 2 i + 4j และ ˜AดBังนเัน้ ป็น|˜AเวBก|เต: อuร์ทขี่มนีคา่านเทก่าบั กับuขอ้ โใดดยตจอ่ ุดไปAน้ี อยทู่ ี่ (1, −2) และจุด B อยบู่ นเสน้ ตรง y = 3x − 2 1. 1.5 2. 2 3. 2.25 4. 4 6. ให้ u และ v เป็นเวกเตอรท์ ่ีมีสมบัติดังนี้ u = v และ u ⋅ v = 3 ขอ้ ใดต่อไปนเี้ ป็นขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ u กบั แกน x ทีเ่ ปน็ ไปไดห้ าก v = i + j 1. 15° 2. 30° 3. 45° 4. 60° 7. ถา้ z เปน็ จํานวนเชิงซอ้ นซ่งึ z ≠ 0 และ (5 − 12 i) z3(−3 + 4 i) = 130 z แล้ว Re (z ⋅ z) มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 2 2. 2 3. 1 4. 1 2 2 8. ถ้า z1, z2, z3 เปน็ รากของสมการ z3 + 5 = 2 i แลว้ z21 + z22 + z23 คือค่าในข้อใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 3 3 3. 9 4. 9 3 9. กําหนด f เป็นฟงั กช์ ันที่มีอนุพนั ธ์ และ F(x) = (f(x))2+ 2x + 1 ถา้ f (2) > 0 , F(2) = 3 และ f′(2) = 4 แล้ว F′(2) มคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7 10. กาํ หนดให้ g(x) เป็นฟงั กช์ ันพหุนาม และ f (x) = (x − 1)2g(x) ถ้า x − 2 หาร f (x) และ f′(x) เหลอื เศษ 3 และ 4 ตามลําดับ แลว้ ค่าของ dg เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 3. −2 4. −3 dx x = 2 1. 4 2. 1 11. กําหนด f (x) เปน็ ฟังก์ชนั พหนุ ามกาํ ลงั สามทมี่ ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ x3 เท่ากับ 1 ถ้า f (x) มี x − 1 เปน็ ตัวประกอบหนง่ึ , x − 2 หาร f′(x) และ f′′(x) เหลือเศษ 2 เท่ากนั แลว้ ข้อใดต่อไปน้ีเปน็ สมการเสน้ สัมผสั โค้ง y = f (x) ณ จุดซง่ึ x = 2 1. y = 2x − 2 2. y = 2x − 4 3. y = 2x + 2 4. y = 2x 12. กาํ หนดให้ f (x) = 10 −log(x−4) + x 4. 3 25 ถ้าความชนั ของเสน้ สัมผัสโค้ง y = f (x) ทจ่ี ดุ (a, f (a)) เทา่ กบั − 24 25 แลว้ จํานวนจริง a ทีเ่ ป็นไปได้ มีทงั้ หมดกจี่ าํ นวน 1. 0 2. 1 3. 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 596 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 2 ⎛ x4 + 1⎞ 1 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ ∫ ∫13. คา่ ของ ⎝⎜ x2 ⎠⎟ x)2 dx 1 dx + (4 − 0 1. 10 2. 14 3. 20 4. 24 14. พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ∫ก. 3 (x3−4x) dx = 4 −1 ข. ขนาดพ้นื ทีท่ ีป่ ดิ ลอ้ มด้วยโคง้ y = x3−4x กับแกน x ในชว่ ง x = −1 ถึง 3 เทา่ กบั 12 ตารางหนว่ ย ขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 15. ถ้าเส้นโคง้ เส้นหนง่ึ มีสมการเป็น f (x) = x4 − x 4 และ a เปน็ จาํ นวนจริงทีท่ าํ ให้ a2 =−1 แลว้ 4 ∫ f′′(x) dx −a ความชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ น้ี ณ จดุ ซงึ่ x = a มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. − 1 3. 3 4. − 3 2 22 2 16. จํานวนวิธีจดั พนักงาน 6 คนเปน็ 3 กลุ่ม เพอ่ื ทํางาน 3 อย่างท่แี ตกต่างกนั โดยแบง่ กลุ่มละก่คี น กไ็ ด้ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 90 2. 180 3. 540 4. 1080 17. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. จาํ นวนวิธีร้อยมาลยั วงกลมด้วยดอกไม้ 5 ชนิด โดยดอกมะลิและดอกดาวเรืองตอ้ งอยู่ติดกัน เท่ากับ 12 วธิ ี ข. จํานวนวิธจี ดั นักเรยี น 5 คนเปน็ วงกลม โดยเดก็ หญิงมะลแิ ละเด็กหญงิ ดาวเรืองต้องอยู่ ติดกัน เท่ากบั 12 วิธี ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 18. สลากชดุ หนึง่ มี 10 ใบ มีหมายเลข 1 ถึง 10 กาํ กบั ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะหยิบสลากพร้อมกัน 3 ใบ โดยให้มแี ต้มรวมกันเป็น 10 มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 60 40 30 20 19. ในการลากเส้นเชอ่ื มระหวา่ งจดุ ยอด 2 จดุ ใดๆ ของรูปสิบเหลย่ี มดา้ นเท่าท่ีแนบในวงกลม โดยที่ เสน้ นั้นไม่ใช่ด้านของรูปสิบเหล่ียม ความน่าจะเปน็ ท่เี สน้ ทีล่ ากขึน้ นไ้ี ม่ผ่านจุดศนู ย์กลางของวงกลม เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 6 2. 6 3. 5 4. 5 7 97 9 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 597 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 20. สมการแสดงความสัมพนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ นั ทใ่ี ช้ประมาณคา่ ของกําไร ( Y : พันบาท) จากจํานวน สินคา้ ทีผ่ ลติ ( X : สบิ ชนิ้ ) คอื Y = 2X + 5 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ถา้ จะผลติ สินคา้ เพ่ิม 20 ชน้ิ คาดว่ากาํ ไรจะเพิ่ม 9, 000 บาท ข. ถ้ากาํ ไรเปน็ 7, 000 บาท คาดว่าจะผลิตสนิ ค้าได้ 10 ช้ิน ข้อใดตอ่ ไปนถี้ ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 21. จากตารางต่อไปน้ี ซึ่งข้อมูลชดุ x และ y มคี วามสัมพันธ์กันในรปู แบบฟังก์ชันเส้นตรง x -2 -1 1 2 y -2 1 3 4 ถา้ การทํานายคา่ x และ y ใช้ระเบียบวธิ ีกําลังสองนอ้ ยท่ีสุด พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. ถา้ y = 3 ทาํ นายได้วา่ x = 1 ข. ถา้ x = 1 ทาํ นายได้ว่า y = 3 ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 22. ในการสอบยอ่ ยครงั้ หน่ึงคะแนนเตม็ คือ 100 คะแนน มีนักเรยี นเขา้ สอบ 9 คนในวิชา คณิตศาสตรแ์ ละเคมี ได้คะแนนดังนี้ คณติ ศาสตร์ : 70 70 70 78 79 80 90 91 92 เคมี : 50 60 72 78 80 85 90 92 95 ปรากฏว่า ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ เท่ากบั 8.6 คะแนน และส่วน เบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาเคมเี ท่ากบั 14.2 คะแนน ถา้ นายปัญญาสอบวิชาคณิตศาสตร์ และเคมไี ด้ 90 คะแนนเทา่ กันทั้งสองวชิ า แล้วขอ้ สรุปข้อใดต่อไปนถี้ ูก 1. เขาเรียนวิชาคณิตศาสตรไ์ ด้ดกี ว่าเคมี 2. เขาเรยี นวชิ าเคมไี ด้ดกี วา่ คณิตศาสตร์ 3. เขาเรยี นทง้ั สองวิชาไดด้ ีเท่ากนั เพราะคะแนนเทา่ กัน 4. เขาเรยี นทง้ั สองวชิ าไดด้ ีเทา่ กนั เพราะได้ตําแหนง่ เปอรเ์ ซ็นไทล์เดียวกนั 23. การจ่ายโบนสั ใหก้ ับพนักงานของบริษัทหน่งึ เทา่ กบั 1,000 บาทบวกกับ 2 เทา่ ของเงินเดือน พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของโบนสั เป็น 2 เท่าของคา่ เฉล่ียเลขคณติ ของเงินเดือน ข. ความแปรปรวนของโบนัส เป็น 2 เทา่ ของความแปรปรวนของเงนิ เดือน ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 598 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 24. ขอ้ มูลชุดหน่งึ มกี ารแจกแจงแบบปกติ โดยทคี่ ่าสูงสดุ ของข้อมูลอยใู่ นตาํ แหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 และค่าต่าํ สุดของข้อมูลอยู่ในตาํ แหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 ถ้าสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู เป็น 20 คะแนน แล้วพิสัยของข้อมูลชุดนี้มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ กาํ หนดตารางแสดงพื้นทใี่ ตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ดงั น้ี z 0.170 0.440 0.475 1.960 A 0.0675 0.1700 0.1826 0.4750 1. 28.0 2. 30.4 3. 39.2 4. 48.0 25. คะแนนสอบของนักเรียนกลุม่ หน่งึ มีการแจกแจงปกติ มีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเท่ากบั 40 คะแนน ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 10 คะแนน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนที่คดิ เป็น คา่ มาตรฐานระหวา่ ง -1 และ 1 อยู่ 75% ของนกั เรียนทง้ั หมด ถา้ นาย ก สอบได้ 50 คะแนนแลว้ ขอ้ ใดต่อไปนี้เป็นตาํ แหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของนาย ก 1. 37.5 2. 50.0 3. 75.0 4. 87.5 เฉลยคําตอบ สว่ นท่ีหนง่ึ ตอนที่ 1 (1) 224 (2) 19 (3) 2 (4) 5 (5) 11 (6) 8 (7) 416 (8) 0.5 (9) 1.5 (10) 4 ตอนท่ี 2 (1) 3 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 3 (10) 2 (11) 4 (12) 3 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19) 2 (20) 1 (21) 4 (22) 1 (23) 2 (24) 3 (25) 4 สว่ นทสี่ อง ตอนที่ 1 (1) 0.5 (2) 8 (3) 1.5 (4) 0.7 (5) 6 (6) 19 (7) 10 (8) 1 (9) 0.86 (10) 9 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 3 (3) 2 (4) 2 (5) 1 (6) 1 (7) 2 (8) 3 (9) 2 (10) 3 (11) 1 (12) 2 (13) 2 (14) 1 (15) 4 (16) 3 (17) 3 (18) 3 (19) 1 (20) 4 (21) 2 (22) 1 (23) 4 (24) 4 (25) 4 เฉลยวิธคี ดิ สว่ นทห่ี นง่ึ ตอนที่ 1 แก้ระบบสมการได้ A=2, B=4, C=3 (1) คดิ จากจํานวนแบบทง้ั หมด ลบดว้ ย จาํ นวนแบบ ดงั นนั้ p(x) = 2x2 + 4x + 3 และหารดว้ ย x − 2 ท่ี “ไม่ม”ี ...ซ่งึ จาํ นวนแบบทง้ั หมด = 4 × 4 × 4 × 4 เหลอื เศษ = p(2) = 2(2)2 + 4(2) + 3 = 19 ตอบ และจาํ นวนแบบที่ “ไม่มี” (ตามเงอ่ื นไขในโจทย)์ นัน้ หมายความว่า ถา้ หาก x > 0 แลว้ f(x) > 0 (3) จากโจทยจ์ ะได้ log2(4x + 8) − log212 = x − 1 น่นั คอื 4 × 2 × 2 × 2 แบบ น่นั คอื log ⎛ 4x + 8 ⎞ = x−1 → 4x + 8 = 2 x − 1 ตอบ (4 × 4 × 4 × 4) − (4 × 2 × 2 × 2) = 224 แบบ ⎜⎜⎝ 12 ⎠⎟⎟ 12 2 (2) พหุนามดกี รสี อง p(x) = Ax2 + Bx + C ให้ 2x = A จะได้ A2 + 8 = A ⋅ 1 ใช้ทฤษฎีเศษ.. p(−1) = 1 , p(0) = 3 , และ p(1) = 9 12 2 จะได้ A − B + C = 1 .....(1) → A2 − 6A + 8 = 0 → A = 4 หรอื 2 ดังนน้ั x=2 หรอื 1 ... แตใ่ นโจทยม์ ี x – 1 เปน็ สว่ น C = 3 .....(2) และ A + B + C = 9 .....(3) ทําให้ x เปน็ 1 ไมไ่ ด้ ตอบ ผลบวกคาํ ตอบคอื 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 599 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 (4) C31 = −x −4 = −3x − 4y =5 .....(1) = 3 lim ( n2+ n − ⎛ n2+ n + n2− 1 ⎞ −y 3 n2− 1) ⎜ ⎟ n → ∞ ⎜⎝ n2+ n + n2− 1 ⎟⎠ และ C12 = − −1 3 = x + 12 = 13 .....(2) 4x ⎛ ⎞ = 3 lim ⎜ n+1 ⎟ นาํ n หารทง้ั เศษและ แกร้ ะบบสมการได้ x=1 และ y=–2 n→∞ ⎜ n2+ n + n2− 1 ⎟⎠ ⎝ ⎡−2 −1 −4⎤ ดงั นนั้ A = ⎢ −1 2 3 ⎥ จงึ ได้ det(A) = 25 สว่ น จะได้ = 3 lim ⎛ 1 + 1/n ⎞ ⎢⎣ 4 1 1 ⎥⎦ ⎜ ⎟ n → ∞ ⎜⎝ 1 + 1/n + 1 − 1/n2 ⎟⎠ และ det(B) = det(A−1) = 1/25 ⎛ 1 ⎞ ตอบ ตอบ det(5A t B2) 53 1 = 3 ⎝⎜ 1 + 1⎟⎠ = 1.5 252 = ⋅ 25 ⋅ =5 (10) ใหจ้ ดุ A มีพิกดั เป็น (0,y) จะไดว้ ่า (5) จากจดุ โฟกสั จึงทราบวา่ c=2 และจุดศูนย์กลาง 22 + (y − 2)2 = 12 + (y + 1)2 อยู่ท่ี (h,k)=(0,0) จากน้นั อตั ราสว่ น c:a จะทาํ ให้ ดงั นนั้ 4 + y2 − 4y + 4 = 1 + y2 + 2y + 1 → y = 1 ทราบวา่ วงรมี คี า่ a=4 และไฮเพอรโ์ บลามคี า่ a=1 นั่นคอื จดุ A อยทู่ ี่ (0,1) ... และโจทยบ์ อกว่าจดุ ยอด อยทู่ ่ี (1,3) จงึ ลองวาดรปู ดูไดด้ งั นี้ สร้างสมการไดด้ งั น.้ี . วงรี y2 + x2 = 1 → 3y2 + 4x2 = 48 16 12 ไฮเพอรโ์ บลา y2 − x2 = 1 → 3y2 − x2 = 3 V(1,3) F V(1,3) 13 A(0,1) F A(0,1) แกร้ ะบบสมการหาจุดตดั ได้ (±3, ±2) ตอบ m2 + n = 9 + 2 = 11 (6) ตอ่ เนอื่ งที่ x=2 แปลว่าลมิ ิตซา้ ยเทา่ กบั ลมิ ติ ขวา แต่อตั ราส่วนพาราโบลาทีแ่ ทจ้ รงิ นนั้ VF:AF ตอ้ งเป็น 1:2 (ตามหลักทว่ี ่า เลตสั เรคตัมจะยาว 4c เสมอ) นั่นคอื 22k = ( 8 − 1)2k + 8 ... ให้ 2k = A ดังนน้ั พาราโบลาในขอ้ นี้ เป็นแบบรูปขวามอื เทา่ นน้ั .. จะได้ A2 + (1 − 8) A − 8 = 0 แยกตวั ประกอบ ได้ (A + 1)(A − 8) = 0 → A = −1 หรอื 8 หาคาํ ตอบไดโ้ ดยอาศัย B6 รปู กราฟ (ไมต่ อ้ งแก้ แต่ 2k = −1 ไมไ่ ด้.. ดงั นน้ั 2k = 8 → k = 3/2 สมการ) เนอื่ งจากเรา   ทราบวา่ FB=6 หนว่ ย ตอบ f(2) = 22(3/2) = 23 = 8 จะเทา่ กบั ระยะทางจาก 62 directrix จุด B ไปถงึ directrix V (7) เปน็ การหา ห.ร.ม. ดว้ ยวธิ ีของยุคลดิ ซ่งึ ผลหาร สุดท้ายจะเปน็ ห.ร.ม. ดงั น้นั r1 = 2 F A และจะได้ r0 = 6 , n = 26 ตามลําดบั ตอบ ค.ร.น. ของ n กับ 32 คอื 26 × 32 = 416 ดงั นน้ั B ห่างจากแกน y อยู่ 6–2=4 หน่วย ตอบ 2 ส่วนทหี่ น่ึง ตอนท่ี 2 (1) เซต P(A) และ B มีสมาชกิ ซาํ้ กนั 2 ตวั ไดแ้ ก่ (8) พจน์ซา้ ยมือในโจทยส์ ามารถจัดรปู ได้ดงั น้ี {0} กับ {0,1} ดังนน้ั n(P(A) − B) = 24 − 2 = 14 loga(ax) + loga(a2x)2 + loga(a3x)3 + ... + loga(a10x)10 เซต P(B) และ A มสี มาชิกซาํ้ กนั 1 ตวั ได้แก่ ∅ ดังนน้ั n(P(B) − A) = 23 − 1 = 7 ตอบ 21 = loga(ax ⋅ a4x2 ⋅ a9x3 ⋅ ... ⋅ a100x10) (2) ก. เนือ่ งจาก A ⊂ B ดงั นนั้ A ∪ B = B และ = loga(a1+ 4 + 9 + ... + 100 x1+ 2 + 3 + ... + 10) A ∩ B = A ซ่ึงท้ังสองเซตนี้เป็นสมาชิกของ C ..ถูก ข. ผดิ ทจี่ ริงใน P(C) จะมี {A} และ {B} ต่างหาก = loga(a385 x55) (3) n (A ∩ B) = 8 + 6 − 11 = 3 ดงั นนั้ สมการกลายเปน็ loga(a385 x55) = 110 ดงั นนั้ n (B − A) = 6 − 3 = 3 → a385 x55 = a110 → x55 = a−275 และ n (A − B) = 8 − 3 = 5 ตอบ∴ x = a−275/55 = a−5 = (5 2)−5 = 2−1 = 0.5 จาํ นวนฟงั ก์ชนั หนึ่งตอ่ หน่ึง จาก B–A ไป A–B จะมี ทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 แบบ ตอบ (9) ⎡ 3 −3 ⎤ Bn = adj (An) = ⎢⎣− n2− 1 ⎥ n2+ n ⎦ จะได้ bn = det (Bn) = 3 ( n2+ n − n2− 1) แสดงวา่ lim bn = lim 3 ( n2+ n − n2− 1) n→∞ n→∞ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 600 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 (4) เซต A; แบ่งช่วงยอ่ ยในการคาํ นวณดังนี้ (6) ก. q ∨ s เปน็ เทจ็ แสดงวา่ q กบั s เปน็ เท็จทง้ั ค. คู่ ... (p → q) ∧ (r ∨ s) เปน็ จริง แสดงว่า p → q ก. ข. ก. เมือ่ x < 3 จ3ะได้ 4 เป็นจรงิ (นนั่ คอื p เป็นเทจ็ ) และ r ∨ s เปน็ จรงิ −x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ (นน่ั คอื r เป็นจรงิ ) สรุป (q ∨ p) → (r ∧ s) ≡ F → F ≡ T ขอ้ ก. ถกู ข. เม่อื 3 < x < 4 จะได้ ข. นเิ สธของ ∀x [ P → Q ] คอื ∃x [ P ∧ ~ Q ] −x + 4 + x − 3 = 1 → 1= 1 → [3, 4) ดงั นนั้ จากโจทย์ ควรเปน็ ∃x [ x </ 0 และ −x > 0 ] ค. เม่ือ x > 4 จะได้ นน่ั คอื ∃x [ x </ 0 และ x < 0 ] x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4} ดงั นน้ั A = [3, 4] (ในโจทยไ์ ม่มเี ครอ่ื งหมายเทา่ กบั ) ข้อ ข. ผดิ ตอบ เซต B; ยกกําลงั สองท้งั สองขา้ งได้ เพราะขวามอื เป็น (7) ก. [(p → q) ∨ (q → r)] → (p → r) F FTFF บวกเสมอ และพจนซ์ า้ ยมอื นนั้ มากกวา่ หรอื เทา่ กับ T T พจน์ขวามือ จงึ ยอ่ มเป็นบวกเสมอดว้ ย TT 16 > 4 → (x 4 − x 1 1 > 0 ทาํ เปน็ เท็จได้ (กาํ หนดให้ q เปน็ T หรอื F กไ็ ด้) (x − 2)2 x + 1 − 2)2 + แสดงว่า ไม่เปน็ สัจนิรนั ดร์ 4x + 4 − x2 + 4x − 4 > → (x − 2)2(x + 1) 0 ข. เชอ่ื มด้วย “ก็ตอ่ เมอื่ ” จึงใชว้ ิธตี รวจสอบสมมูล −x2 + 8x > x(x − 8) < ซา้ ยมอื อยใู่ นรปู X → Y และขวามอื เปน็ ~Y → ~X (x − 2)2(x + − 2)2(x + → 1) 0 → (x 1) 0 ซงึ่ สมมลู กันพอดี ดังน้นั เป็นสจั นริ นั ดร์ ตอบ ข้อ 3. - + - +- + (8) 1. มี x บางตัวซง่ึ ทาํ ให้ “ __ และ __ “ -1 0 2 2 8 ..มีจริงๆ คอื x=0 แตจ่ ากโจทย์มี x + 1 2. x ทุกๆ ตัว “ __ หรอื __ ” ..ก็จริง จึงตอ้ งเพ่มิ เงอ่ื นไขวา่ x + 1 > 0 → x > −1 3. มี x บางตวั ซง่ึ ทําให้ “__” ..มจี รงิ และมี x บางตัวซ่ึงทาํ ให้ “__” ..อันนี้กม็ จี รงิ และนอกจากนั้น 4 > 0 ดว้ ย คอื x > 2 4. x ทกุ ๆ ตวั “__” ..ไม่จรงิ ! x −2 หรอื x ทุกๆ ตัว “__” ..กไ็ ม่จริง! ตอบ ข้อ 4. (9) ก. จาก (3) และ (2) จะสรปุ ได้เป็น q รวมแลว้ จึงได้ว่า B = (2, 8] จากนัน้ นําไปพจิ ารณารว่ มกบั (1) จะไดผ้ ลเปน็ ~p สรุป.. B − A = (2, 3) ∪ (4, 8] ตอบ ขอ้ 4. ซง่ึ ตรงขา้ มกับผลทใ่ี ห้มา แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล (5) เซต A; x − 1 − 2 > 0 x+2 ข. จาก (1) เช่อื มกันดว้ ย “และ” แสดงวา่ P(x) เป็น จรงิ และ Q(x) กเ็ ป็นจริง (คอื เขยี นแยกข้อกนั ได)้ .. → x − 1 − 2x − 4 > 0 → −x − 5 > 0 x+2 x+2 ยกเฉพาะ Q(x) มาพจิ ารณาร่วมกับ (2) จะได้เปน็ นน่ั คอื x + 5 < 0 แสดงวา่ A = (−5, −2) R(x) แลว้ พจิ ารณากบั ขอ้ (3) กจ็ ะไดผ้ ลเป็น S(x) x+2 สมเหตสุ มผล ตอบ ขอ้ 3. โดเมนของ f; (3 + x)(2 − x) > 0 (10) ความสัมพนั ธท์ โ่ี จทย์ให้มามกี ราฟเปน็ รูปวงรี → (3 + x)(x − 2) < 0 น่ันคอื Df = [−3, 2] จึงจดั รปู สมการดงั นี้.. 9(x2 − 2x) + 4 (y2 + 4y) = 11 โดเมนของ g; x + 3 > 0 → x > −3 น่นั คอื Dg = (−3, ∞) → 9 (x2 − 2x + 1) + 4 (y2 + 4y + 4) = 11 + 9 + 16 สรุป.. A ∩ Df ⋅g = A ∩ Df ∩ Dg = (−3, −2) → 9 (x − 1)2 + 4 (y2 + 2)2 = 36 มขี อบเขตบนคา่ น้อยที่สดุ เทา่ กับ –2 ตอบ → (x − 1)2 + (y2 + 2)2 = 1 49 [หมายเหตุ การหาโดเมนของ f ⋅ g จะตอ้ งคดิ โดเมน เปน็ วงรีในแนวตงั้ จดุ ศูนย์กลางอย่ทู ี่ (1,-2) ทีละฟังกช์ นั แลว้ อินเตอร์เซคเขา้ ดว้ ยกัน หา้ มนาํ f กบั ขนึ้ ลงดา้ นละ 3 หนว่ ย และซา้ ยขวาดา้ นละ 2 หนว่ ย g มาคณู กนั กอ่ น เพราะอาจทาํ ใหบ้ างเง่อื นไขหายไป] จงึ ได้ Dr = [−1, 3] และ Rr = [−5, 1] ดังนน้ั Dr−1 ∩ Rr−1 = Rr ∩ Dr = [−1, 1] ตอบ ขอ้ 2. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )