คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 351 ความนา จะเปน (16) ยืนตดิ กนั (22) เลอื กสระหนา้ สดุ ได้ 2 แบบ นําตวั T ไปวาง ชายสลับกันเอง 3! , หญงิ สลบั กันเอง 2! หลงั สดุ ได้ 1 แบบ (ไมต่ อ้ งเลอื กเพราะ T ทัง้ สามตัว และนาํ มาวางตอ่ กันไดอ้ ีก 2! แบบ ถอื วา่ เหมอื นกนั ) และเหลอื ตรงกลาง 6 ตวั ซงึ่ มี T (คอื ชชชญญ กบั ญญชชช) ซ้าํ กนั อยู่ 2 ตัว จะได้ 2 × 1 × 6! = 720 แบบ ∴ ตอบ 3 ! 2 ! 2 ! = 24 วธิ ี 2! ยนื สลับกนั (23) ส พพ ส พพ ส เรยี งพยญั ชนะสลบั กันเอง ได้ 4! แบบ 3 ×2× 2 × 1× 1 เรยี งสระได้ 3! ← (มี A ซํ้ากนั ) ช ญช ญช 2! หรือมองเฉพาะชาย 3! , หญงิ 2! กไ็ ด้ (นาํ มาตอ่ กันไดเ้ พียง 1 แบบ คอื ชญชญช) ∴ ตอบ 4 ! × 3 ! = 72 แบบ ∴ ตอบ 3! 2! = 12 วธิ ี 2! (24) ไม่ว่าจะไปดว้ ยเสน้ ทางใด จะต้องมกี ารขึ้นเหนือ (17) (N) 3 ครง้ั และไปทางตะวนั ออก (E) 4 คร้ัง ∗ ¢o ¹é¤Õ ÇÃÈ¡Ö ÉÒe·¤¹¤i ¡Òäi´ãË´Õ ∗ ∴ เปรยี บเหมือนการสลับลาํ ดบั ในคาํ วา่ NNNEEEE ¼ÙË i§ 4 ¤¹ËÒ Áµi´¡¹a ¨a¤i´æººÊaºËÇÒ § eËÁo× ¹¢o 16 ตอบ 7 ! = 35 แบบ 3!4! äÁä´ e¾ÃÒa¡ÒÃËÒ Á˧i µi´¡a¹¹¹éa ªÒµ´i ¡¹a ä´ ... ËÃo× ¶Ò¨a¤i´ (25) • กรณี 1-1-1 (ไมใ่ ช้อักษรซา้ํ เลย) 溺ź¡a¹eËÁo× ¹¢o 15.2 ¡äç Áä ´ e¾ÃÒaµo§ÅºËÅÒÂ¡Ã³Õ มี A,R,N,G,E → 5 × 4 × 3 = 60 แบบ (P5,3) æÅa¤íҹdzÂÒ¡ (·§éa ËÁ´ - µ´i 4 ¤¹ - µi´ 3 ¤¹ - µi´ 2 ¤¹) • กรณี 2-1 (ใชอ้ กั ษรซา้ํ 1 ค่)ู มีท้งั หมด 8 กรณี ได้แก่ AAR, AAN, AAG, AAE, เทคนคิ การคดิ คอื วางผูช้ าย 5 คนเป็นแถวกอ่ น ได้ 5 4 3 2 1 = 5! วธิ ี RRA, RRN, RRG, RRE (คดิ จาก 2x4 กไ็ ด้) จะมีชอ่ งวา่ ง 6 ชอ่ ง (นบั ชอ่ งหนา้ สุดและหลังสุดดว้ ย) ในแต่ละแบบสลบั ท่ีได้ → 3 ! = 3 แบบ จะใหผ้ หู้ ญงิ 4 คน เลอื กอยู่กนั คนละชอ่ ง (เพื่อจะได้ 2! ∴ ตอบ 60 + 8 (3) = 84 แบบ ไม่ตดิ กนั ) ได้ 6 × 5 × 4 × 3 (26) = 3! = 6 วธิ ี ได้แก่ ∴ ตอบ 5 ! × P6,4 = 43,200 วิธี ก กก (18) สลับคน 4 คน ได้ 4! แบบ ข ง ค งง ค ข้อนเี้ กดิ ได้ 2 กรณี คอื ออ้ อยหู่ วั / อยู่ทา้ ย ค ขข ดงั นนั้ คาํ ตอบคือ 4 ! × 2 = 48 แบบ กกก (19) T 6 ตวั E 6 ตวั ทสี่ ลับกนั ได้ (27) 3! (หาร 2 ข คค ข ง ข T กบั E สลับไม่ได้ กจ็ ะเหลอื เพยี ง ได้แก่ งง ค ดังนนั้ จะได้ 6! = 720 คํา 2A = BD เพราะพลิกดา้ นได)้ 3 วธิ ี (20) คิดเหมือนข้อ 17 คอื ... C (20.1) วางพยญั ชนะ 5! AA C DB C วางสระ 6 × 5 × 4 × 3 ตอบ 5 ! × P6,4 คาํ BD (20.2) วางสระ 4! วางพยญั ชนะ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ตอบ 4 !5! คาํ (28) ไม่ตอ้ งเลอื ก (ใครก็ได้ เพศใดกไ็ ด้) 3 ! 2 ! = 24 แบบ (สังเกต ใชค้ รบทกุ ช่องพอดี = สบั หวา่ ง) (20.3) พยญั ชนะตัวหนา้ สดุ เลือกได้ 5 แบบ เหลอื พยญั ชนะกบั สระอยา่ งละ 4 ตวั (29) มี 2 กรณดี งั รูป จึงตอบ 5 × 4 ! × 5 × 4 × 3 × 2 = 5 ! × P5,4 คาํ จงึ ได้ 6! 5! × 2 (20.4) สระตวั หนา้ สดุ เลอื กได้ 4 แบบ = 172,800 แบบ 2 ! × 4 ! = 48 แบบ เหลอื พยญั ขนะ 5 และสระ 3 ตวั (30) ส ภ จงึ ตอบ 4 × 5 ! × 5 × 4 × 3 = 4 × 5 ! × P5,3 คํา (เราเริม่ เลอื กชอ่ งจาก 5 ช่องเทา่ นัน้ เพราะชอ่ งแรก สดุ ห้ามใช้ มฉิ ะน้นั สระอาจจะติดกัน) (21) 11! = 34,650 แบบ 4!4!2! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 352 ความนา จะเปน (31) วิธคี ลา้ ยขอ้ 17 แตเ่ ปลย่ี นเปน็ วงกลม (40) • กรณี 1-1-1-1 วางผ้ชู ายเปน็ วงกลมกอ่ น = 4! วธิ ี เลือก a, b, c, d, e, f → ⎜⎛⎝ 6 ⎟⎠⎞ สลับ 4 ! → 360 พบว่ามชี อ่ งวา่ ง 5 ชอ่ ง 4 ผ้หู ญิงจงึ เลอื กทอี่ ยู่ได้ 5 × 4 × 3 × 2 วธิ ี • กรณี 2-1-1 ∴ ตอบ 4 ! × P5,4 = 2,880 วธิ ี เลือก a, b, c, d → ⎝⎜⎛ 4 ⎠⎞⎟ ⎜⎛⎝ 52 ⎟⎠⎞ สลบั 4 ! → 480 1 2! ( )(32) 18 = ⎛⎜⎝r1+82⎞⎠⎟ แสดงวา่ 1 คู่ เดี่ยว 2 r • กรณี 3-1 r + (r + 2) = 18 ∴ r = 8 เลอื ก a → ⎜⎛⎝11⎠⎞⎟ ⎜⎛⎝51 ⎠⎞⎟ สลบั 4 ! → 20 3! (33) ⎝⎛⎜ 130⎞⎠⎟ = 10 ! = 10 × 9 × 8 = 120 แบบ 1 สาม เดยี่ ว 1 7!3! 3×2 • กรณี 2-2 [เปน็ C10,3 ไม่ใช่ P10,3 เพราะเราไม่สนใจลาํ ดับการ สลับกนั , แตถ่ า้ ตอ้ งเลอื กยมื วันจันทร์ องั คาร พธุ ที เลือก a, b, c, d → ⎜⎛⎝ 4 ⎟⎞⎠ สลบั 4 ! → 36 ละเลม่ แบบนล้ี าํ ดบั ถือวา่ สาํ คญั ตอ้ งใช้ ]P10,3 2 2!2! (34) สามเหลี่ยมรปู หนึง่ เกดิ จากการเลือกจดุ มา 3 2 คู่ จุด และแน่นอนวา่ ไมค่ าํ นึงลาํ ดบั เชน่ Δ ABC กบั ∴ ตอบ 896 แบบ Δ BCA ถือเปน็ รปู เดียวกัน (41) จํานวนคทู่ เี่ กดิ ขน้ึ = ⎜⎝⎛120⎠⎟⎞ = 45 คู่ ดงั นนั้ จะได้ ⎝⎜⎛63⎟⎠⎞ = 6 ! = 20 รปู ∴ ใช้เวลา 12 วัน 3!3! (42.1) กฎการแบ่งกลุ่ม 9! = 1,260 วธิ ี (35.1) ⎝⎛⎜186⎠⎞⎟ [เลือกทีเดียว 8 คน และไม่มีลําดบั ] 4!3!2! (35.2) ⎜⎝⎛ 62 ⎟⎠⎞ × ⎜⎝⎛ 10 ⎟⎠⎞ (42.2) กฎการแบ่งกลุ่ม 9! = 280 วิธี 6 (3 !)33 ! ญช (43) 9! × 3! = 1,680 วธิ ี (3 !)3 ⋅ 3 ! (35.3) ญ5 +ญ6 ⎛⎝⎜ 65 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 130⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝66⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 10 ⎟⎠⎞ = + 2 เลอื กกลุม่ (C) สลบั ประเทศ (P) (35.4) ใช้วธิ บี วกกนั จะยาว (44) 7 ! × 2! 3 !(2 !)2 ⋅ 2 ! (ญ2 + ญ3 + ญ4 + ญ5 + ญ6) จึงใช้ วธิ ที งั้ หมด ลบดว้ ย ญ1 และลบดว้ ย ญ0 จดั กลุม่ สลับเขา้ หอ้ ง ⎛⎝⎜ 16 ⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜61 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 10 ⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 60 ⎠⎞⎟ ⎜⎛⎝ 10 ⎟⎠⎞ หมายเหตุ การสลับเขา้ ห้องเปน็ 2! เพราะกลมุ่ 8 7 8 = − − ขนาด 3 คนน้ันนาํ ไปใสเ่ ขา้ หอ้ งขนาดเลก็ ไมไ่ ด)้ (36) ⎝⎜⎛62⎠⎞⎟ ⎛⎝⎜52⎟⎞⎠ (45) ⎝⎜⎛62⎠⎞⎟ เสน้ , ⎛⎜⎝63⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜64⎠⎟⎞ + ⎝⎛⎜65⎠⎟⎞ + ⎜⎛⎝66⎟⎠⎞ รปู (37) นกั ธุรกจิ 2 + นกั ธุรกจิ 3 (สามเหลี่ยม + ส่ีเหลยี่ ม + หา้ เหลีย่ ม + หกเหลย่ี ม) = ⎜⎛⎝ 23 ⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜ 128⎟⎠⎞ + ⎝⎛⎜ 3 ⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 18 ⎠⎞⎟ (46) ⎜⎝⎛27⎟⎠⎞ − ⎜⎝⎛24⎟⎠⎞ + 1 − ⎜⎝⎛23⎟⎠⎞ + 1 เสน้ 3 1 (38) 6 7 + 5 8 + 4 9 ⎛⎜⎝ 37 ⎠⎟⎞ − ⎛⎝⎜ 4 ⎞⎠⎟ − ⎛⎝⎜ 33⎞⎟⎠ รปู 3 = ⎜⎝⎛ 13 ⎟⎠⎞ ⎜⎛⎝ 7 ⎟⎠⎞ + ⎝⎛⎜ 153⎟⎞⎠ + ⎝⎛⎜ 13 ⎞⎠⎟ (47) ⎛⎝⎜ 12 ⎞⎟⎠ − 6 ⋅ ⎛⎜⎝ 23 ⎞⎠⎟ + 6 เสน้ 6 7 4 2 [หมายเหตุ ⎝⎜⎛ 7 ⎠⎟⎞ , ⎜⎝⎛ 88⎟⎠⎞ , ⎝⎜⎛ 99 ⎠⎟⎞ =1 ไมต่ อ้ งคดิ ] (มแี นวเดยี วกนั อยู่ 6 แนว) 7 หรือถา้ มองอกี คนั หน่ึงเปน็ หลกั อาจตอบในรูป (48) เลือกจดุ สองจดุ ใดๆ จะสรา้ งเสน้ ตรงได้ 1 เส้น ⎛⎝⎜ 13 ⎞⎠⎟ + ⎝⎜⎛ 13 ⎟⎠⎞ + ⎜⎝⎛ 193⎟⎞⎠ ก็ได้ แต่ถา้ ไปเลือกโดนจดุ ทต่ี ดิ กนั จะเกิดเสน้ รอบรูป ไม่ใช่ 7 8 เส้นทแยงมุม (มีเส้นรอบรปู 20 เส้น) (39) การคดิ จะเริม่ จาก “เลือก” แล้วคอ่ ย “สลับ” ดังนน้ั ตอบ ⎛⎜⎝220⎞⎠⎟ − 20 เสน้ เลอื ก ⎛⎜⎝ 3 ⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜ 53 ⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜ 4 ⎟⎠⎞ → สลบั 1× 5! 1 2 (49) ⎛⎜⎝ 52 ⎠⎞⎟ 4 ⎝⎜⎛51 ⎞⎟⎠ 4 ใหญ่ เล็ก สระ ∴ ตอบ ⎛⎜⎝ 3 ⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝ 53 ⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 4 ⎞⎟⎠ 5 ! + 2 ⎜⎛⎝ 2 ⎠⎟⎞ + 2 ⎜⎛⎝ 1 ⎞⎠⎟ 1 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 353 ความนา จะเปน (50) ⎜⎛⎝ 62 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 3 ⎞⎠⎟ รูป (60.1) T4 = ⎜⎛⎝ 8 ⎟⎠⎞ (3x)5( 1)3 2 3 y (51) คิดด้วยวธิ ดี ังรูป (คลา้ ยสตู รในเรอ่ื งเซต) (60.2) ⎛⎜⎝58⎠⎟⎞ (60.3) ⎛⎜⎝82⎠⎟⎞ [มาจาก 8 (3x)6( 1)2 2 y = +- T3 ]= ⎜⎛⎝ ⎟⎠⎞ = ⎝⎜⎛ 4 ⎠⎞⎟ ⎜⎛⎝ 23 ⎠⎟⎞ + ⎜⎛⎝ 23 ⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 52 ⎟⎠⎞ − ⎜⎝⎛ 23 ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ 23 ⎞⎟⎠ = 39 รปู (60.4) ⎝⎛⎜ 8 ⎠⎞⎟ (34) 2 4 (52.1) stars&bars 6 : 2 [สัมประสิทธ์ิ ไมเ่ หมอื นกับสมั ประสทิ ธ์ทิ วินาม] → ⎝⎜⎛51⎠⎞⎟ = 5 วธิ ี ได้แก่ 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 (61.1) T6 = ⎝⎛⎜ 12 ⎟⎠⎞ (x2)7(x34 )5 5 (52.2) stars&bars 8 : 2 (ใสเ่ ผ่ือเขา้ ไป 2 ลูก เพื่อจะดงึ ออกคนละลกู ทหี ลัง) (61.2) ⎛⎜⎝ 12 ⎠⎞⎟ 5 ⎛⎝⎜ 7 ⎠⎞⎟ วธิ ี (61.3) หาวา่ พจนใ์ ดเปน็ x6 ก่อน 1 → = 7 ( )โดย 12 (x2)12 − r ⎛ 3 ⎞r มองทกี่ ําลงั ของ x r ⎜⎝ x4 ⎠⎟ ไดแ้ ก่ 6,0 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 0,6 Tr = (53) ตอ้ งใชว้ ธิ นี ับเอาเทา่ นน้ั (เพราะ stars&bars → 2 (12 − r) − 4r = 6 ∴ r = 3 จะตอ้ งมคี นรอรับของแลว้ ) ตอบ สัมประสิทธิ์ = ⎜⎛⎝ 12 ⎞⎟⎠ (33) 3 ได้เปน็ 5, 1 4, 2 3, 3 → 3 วธิ ี (61.4) หาว่าพจน์ใดเปน็ x0 (54.1) stars&bars 7 : 4 → ⎜⎝⎛63⎟⎠⎞ = 20 วิธี → 2 (12 − r) − 4r = 0 ∴ r = 4 หมายเหตุ อาจคดิ อีกวธิ ีโดย 1, 1, 1, 4 สลับได้ 4 !/ 3 ! = 4 วิธี ตอบ พจนน์ นั้ = ⎛⎜⎝ 12 ⎟⎠⎞ (34) [ไมม่ ี x ในพจน์น]้ี 1, 1, 2, 3 สลับได้ 4 !/ 2 ! = 12 วธิ ี 4 1, 2, 2, 2 สลบั ได้ 4 !/ 3! = 4 วิธี รวม = 20 วิธี (62)(2 + 0.001)7 = ⎛⎝⎜ 7 ⎞⎟⎠ (2)7 + ⎛⎜⎝ 7 ⎞⎟⎠ (2)6(0.001) + 0 1 (54.2) stars&bars 11 : 4 → ⎝⎜⎛130⎞⎟⎠ = 120 วิธี ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎟⎞ (2)5(0.001)2 + ⎝⎜⎛ 7 ⎠⎟⎞ (2)4(0.001)3 + ... (55) 1, 1, 1, 4 1, 1, 2, 3 1, 2, 2, 2 → 3 วธิ ี 2 3 (56) 100,000 = 25 ⋅ 55 → ตอบ 6 × 6 = 36 = 128 + 0.448 + 0.000672 + 0.000000560 + ... (57) 120 = 23 × 31 × 51 ดงั นน้ั จาํ นวนเตม็ บวกมีอยู่ 4×2×2 = 16 จาํ นวน = 128.448673 ตอบ 32 (เพราะมจี ํานวนเต็มลบอกี 16 จาํ นวน) (58) 2 (a + 1)(b + 1) (63.1) ⎛⎜⎝ 7 ⎠⎞⎟ + ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎞⎟ + ⎜⎝⎛27 ⎠⎟⎞ + ⎜⎛⎝ 7 ⎞⎟⎠ + ... + ⎜⎛⎝ 7 ⎠⎞⎟ 0 1 3 7 = 27 = 128 [พสิ จู น์ จาก ( ) ( ) ( )(a + b)n =n n n 0 anb0 + 1 an − 1b1 + ... + n a0bn (คณู 2 เพราะตอ้ งนบั จาํ นวนลบดว้ ย) แทน a = b = 1 จะได้วา่ (59.1) ⎛⎝⎜50⎞⎠⎟ a5b0 + ⎛⎝⎜51 ⎞⎠⎟ a4b1 + ⎛⎜⎝52⎞⎠⎟ a3b2 + ( ) ( ) ( ) ( )2n =n n n n 0 + 1 + 2 + ... + n ⎜⎝⎛ 53 ⎞⎟⎠ a2b3 + ⎛⎜⎝ 5 ⎟⎞⎠ a1b4 + ⎝⎜⎛55⎠⎞⎟ a0b5 เช่นขอ้ นี้ ให้ 2x = 1, 3y = 1 ] 4 (63.2) อยากทราบค่าผลบวกสมั ประสทิ ธิ์ กท็ าํ ตอบ a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 คลา้ ยๆ ข้อ 63.1 แต่เราจะแทนเพยี ง x และ y ดว้ ย (59.2) ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎟⎞ (2x)4 ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎟⎞ (2x)3(−3y) 0 + 1 + 1 ... กจ็ ะได้วา่ ⎜⎝⎛ 4 ⎞⎠⎟ (2x)2(−3y)2 + ⎛⎝⎜ 4 ⎠⎞⎟ (2x)(−3y)3 + ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎟⎞ (−3y)4 (2 + 3)7 = ⎜⎝⎛ 7 ⎠⎟⎞ (2)7(3)0 + ⎝⎜⎛ 7 ⎟⎠⎞ (2)6(3)1 + ... 2 3 4 0 1 ตอบ 16x4 − 96x3y + 216x2y2 − 216xy3 + 81y4 น่นั คอื ผลบวกสมั ประสทิ ธิเ์ ทา่ กบั (2 + 3)7 = 57 (59.3) ⎡⎣(1 − x)2 ⎤⎦4 = (1 − x)8 (64-71) ใชก้ ฎการแบ่งกลุ่ม (แล้วจะคณู การสลบั = 1 − 8x + 28x2 − 56x3 + 70x4 − 56x5 + 28x6 − 8x7 + x8 ลาํ ดับอีกหรอื ไม่ กแ็ ล้วแตส่ ถานการณข์ ้อนน้ั ) (64.1) 12! 3!4!5! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 354 ความนาจะเปน (64.2) 12! (72.3) ใส่เพม่ิ 3 ลกู เปน็ 15 (4 !)33 ! (แล้วคอ่ ยดงึ ออกคนละลูกทหี ลัง) ∴ ได้ ⎜⎝⎛ 14 ⎠⎟⎞ วธิ ี 2 (65.1) 9! × 3! (3! เกดิ จากการสลบั ใหค้ น) 2!3!4! (73.1) stars&bars 9 : 5 → ⎜⎝⎛84⎞⎟⎠ (65.2) 9! × 3! (73.2) ⎜⎝⎛53⎞⎠⎟ × ⎛⎜⎝ 82 ⎠⎟⎞ 5 !(2 !)22 ! (65.3) stars&bars ⎜⎝⎛82⎞⎠⎟ เลอื กตู้ stars&bars 9 : 3 (66) สงั เกต 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8 ลกู เทา่ นนั้ (74) 4 × 2 × 5 = 40 (75) 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! จงึ ตอ้ งไดเ้ ปน็ ⎜⎝⎛ 10 ⎞⎟⎠ (2 !)3 8! !)22 ! (76) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 ! 8 3 !(1 (67) นาํ คําตอบขอ้ 66 มาคณู 5! (77.1) บอย 9 คน = 9! (68.1) 8! × 2! (77.2) บอย ญชญชญชญชญ = 5! 4! (3 !)22 ! 2 ! (78) การดึงเลขจากเซต ใชซ้ าํ้ ได้ จดั กลุ่มคน สลบั ห้อง และระวัง.. โจทยไ์ มไ่ ด้บอกวา่ ตอ้ งเปน็ เลข 3 หลกั (68.2) หญงิ 3 คน ไมต่ อ้ งแบ่งกลุ่ม ฉะน้นั มี 3 กรณี ดงั นี้ ชาย 5 คน ตอ้ งแบง่ เปน็ 3 และ 2 คน (78.1) • 3 หลัก 2 × 3 × 3 = 18 ตอบ 5! × 2! (2! เกิดจากการสลับหอ้ ง) • 2 หลัก 3 × 3 = 9 3!2! • 1 หลกั 3 = 3 ตอบ 30 จาํ นวน (68.3) ชาย 5 คน แบง่ กลมุ่ เปน็ 2, 2, 1 คน (78.2) 2 × 3 × 1 + 3 × 1 + 1 = 10 จาํ นวน → 5! × 3! × 2! (79) ประกอบยงั ไงก็มากกวา่ 999 อยู่แล้ว ถ้ามี 4 (2 !)22 ! 1! หลัก ... ดงั นน้ั ตอบ 4! จดั หญิงลงกลุม่ สลบั หอ้ ง (80.1) 8 × 7 × 6 × 5 = P8,4 หรอื ⎛⎜⎝84⎞⎟⎠ × 4 ! ก็ได้ (69.1) อาจแบง่ 6 คน เปน็ 1,1,4 หรอื 1,2,3 หรอื 2,2,2 จงึ ได้วา่ ⎛ 6! + 6! + 6! ⎞ × 3! (80.2) 2 × 7 × 6 × 5 (81) 2 ! × 4 ! ⎝⎜(1!)22 ! 4 ! 1!2! 3! (2 !)33 !⎟⎠ ตวั สดุ ท้าย 3 ตวั แรก กข จดั กลุม่ คน มอบหมายงาน (69.2) ข้อนงี้ านเหมือนกนั หมด (82) ⎜⎛⎝ 10 ⎟⎞⎠ 6 จึงตอบเหมอื นขอ้ 69.1 โดยไม่ตอ้ งคณู 3! (70) หนงั สอื ตา่ งกนั จงึ ไม่ใช่ stars&bars (83) มี 3 กรณี คือ แต่ตอ้ งคดิ แยกกรณตี รงๆ เหมอื นข้อ 69.1 คอื อาจ บวกทงั้ หมด, บวก 2 ลบ 2, ลบทัง้ หมด แบง่ เปน็ 1,1,6 หรอื 1,2,5 หรอื 1,3,4 หรอื 2,2,4 ∴ ตอบ ⎛⎝⎜ 64 ⎟⎞⎠ + ⎝⎜⎛ 62 ⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 8 ⎠⎟⎞ + ⎛⎝⎜ 8 ⎟⎠⎞ 2 4 หรอื 2,3,3 ∴ ตอบ (84) 7 แบง่ เปน็ 4 (ก) กบั 3 (ข) ( )(1!)22!6! 1!2!5! 1!3!4! (2!)22!4! 2!(3!)22! 8! 8! 8! 8! 8! +++ + × 3! ⎛⎝⎜ 172⎟⎞⎠ × 7! 12 ! (71.1) แบง่ 12 คน เปน็ 4,4,4 จะได้ 12! 4!3! = 5!4!3! (4 !)33 ! หรอื มองเป็น 12 แบ่งเป็น 5 (เกบ็ ), 4 (ก), 3 (ข) (71.2) แบ่ง 9 คน เปน็ 1,4,4 จะได้ 9! กไ็ ด้ 12! เชน่ กนั 1!(4 !)22 ! 5!4!3! (85.1) วธิ ที ้ังหมด - วธิ ที ี่ไมม่ สี ขี าวเลย (กล่มุ ท่ีมี 1 คน จะถูกเตมิ ก,ข,ค ลงไปด้วย) (71.3) แบง่ 9 เป็น 3,3,3 จะได้ 9! × 3! = 9×8×7 −5×4×3 (3 !)33 ! (85.2) ⎛⎝⎜93⎠⎞⎟ − ⎝⎜⎛53⎞⎟⎠ (3! เกิดจากการเลือกใส่ ก,ข,ค ลงไปกลมุ่ ละ 1 คน) (72.1) stars&bars 12 : 3 → ⎛⎝⎜121⎟⎞⎠ (86.1) A K Q J = 4 ! = 24 วิธี ? ? ? ? (72.2) แจกไปกอ่ นเลยคนละ 1 ลูก, (86.2) ⎛⎜⎝41 ⎞⎟⎠ = 4 วธิ ี แล้วจงึ คดิ แบบ stars&bars 9 : 3 → ⎛⎜⎝82⎟⎠⎞ (86.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 256 วิธี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 355 ความนา จะเปน [สงั เกตความต่างของแตล่ ะข้อ จะเปน็ (96.3) 4 ดา้ นแรก (2 ค่)ู ]4 × 3 × 2 × 1 → 4 × 1 × 1 × 1 → 4 × 4 × 4 × 4 เลอื กสที จ่ี ะใชซ้ า้ํ ได้ (87) ดอกเดยี วกนั 5 ใบ ⎜⎝⎛41 ⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜153⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛24⎠⎞⎟ แบบ เลอื กดอก เลอื กเลข อกี 2 ดา้ นท่ีเหลอื ทา 2 สีได้เลย (88) ความหมายของโจทยค์ อื ถือไพอ่ ยู่ 15 ใบ (สลับกันไม่นับ เพราะพลกิ ดา้ นได้ เกิดสภาพเดมิ ) เราต้องเลอื กเลขสาํ หรับแตล่ ะดอก ดงั นน้ั ตอบ ⎝⎛⎜ 153⎠⎟⎞ ⎝⎛⎜ 13 ⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛ 153⎟⎠⎞ ∴ ตอบ ⎛⎜⎝ 4 ⎞⎠⎟ =6 วิธี 5 2 (89) ⎛⎝⎜ 113⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝ 4 ⎠⎞⎟ × ⎛⎝⎜ 112⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 24⎞⎠⎟ (97) วธิ ที งั้ หมด - สองคนตดิ กนั = 6! − 2!5! 3 (98) 25,000,000 = 26 ⋅ 58 ดังนนั้ ตอบ 7 × 9 = 63 สาํ หรับ 3 ตวั ซา้ํ สาํ หรับ 2 ตวั ซ้ํา (99) จาก A ไปถงึ B (N5, E5) → 10! เสน้ ทาง (90) ⎜⎛⎝ 123⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 4 ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ 4 ⎞⎟⎠ × ⎜⎛⎝ 111⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝ 41 ⎞⎟⎠ 2 2 สาํ หรับ 2 คู่ สาํ หรบั 1 เด่ียว 5!5! หมายเหตุ ใช้ ⎜⎛⎝ 13 ⎞⎟⎠ ⎝⎛⎜ 112 ⎟⎞⎠ แทน ⎛⎝⎜ 123⎠⎞⎟ ไมไ่ ด้นะครบั ! จาก A ไปถงึ F (N2E2) และ F ไปถึง B (N3E3) 1 → 4! × 6! เสน้ ทาง (91) 5!5! 2!2! 3!3! (92) 6 × 6 × 6 × ... × 6 = 610 [ถา้ โจทย์ถามเสน้ ทางท่ไี มผ่ ่าน F, กเ็ อาคาํ ตอบทไ่ี ดล้ บกนั ] [นบั แต่ละครง้ั เปน็ 6 แบบ เพราะมีการยงิ ไมโ่ ดนดว้ ย] (100) 25 × 15 (101) ⎜⎛⎝ 150 ⎞⎟⎠ 2 (93) 10 ! × 5! [สงั เกตความแตกต่างของขอ้ 100 กับ 101 นะครบั ] (2 !)55 ! (102) ต้องใช้ครบทุกเลข จดั กลมุ่ เลอื กวนั แข่ง • หลกั ลา้ นเป็น 1 หรอื 3 → 2 × 6! 2!2! (94) เนอื่ งจากลกู เตา๋ มหี มายเลขกาํ กับ จงึ มองเปน็ การจบั คหู่ มายเลข 1 ถึง 6 เขา้ กบั สี 6 สี → 6! • หลักลา้ นเป็น 2 → 1 × 6! (95) เลอื กสที ่ีจะใชส้ องครงั้ ได้ 5 วธิ ี 2!2!2! เลือกดา้ นคตู่ รงขา้ มกันเพอื่ ทจี่ ะทาสีซาํ้ นน้ั ได้ 3 วธิ ี บวกกัน = 450 หรอื คิดจาก วธิ ที ง้ั หมด - วิธที ่ีขน้ึ ด้วย 0 เหลอื 4 ดา้ น 4 สี จบั คู่กนั ได้ 4! ดงั นนั้ จะได้ 5 × 3 × 4! = 7! − 6! = 5 × 6! = 450 2!2!2! 2!2! (2 !)3 (96) ลูกบาศกห์ น้าเกลี้ยง จะคดิ ตา่ งจากลกู เตา๋ เนือ่ งจากไมม่ ีหมายเลขประจําดา้ น (แตล่ ะดา้ นไม่ (103) แบ่ง 5 เปน็ 2,2,1 ต่างกัน) และลกู บาศกเ์ ป็นทรงสามมติ ทิ ห่ี มุนไดแ้ ละ → (2 5! 1! × 3 ! (คูณ 3! = เขา้ ห้อง) !)22 ! พลิกดา้ นได้ ตอ้ งคดิ คล้ายการจดั แบบวงกลม ดังนี้ (104) แบ่งชาย 3 คน เปน็ 1,2 (96.1) ไมต่ อ้ งนับด้านแรก แบ่งหญงิ 5 คน เป็น 3,2 ใชส้ ใี ดก็ไดท้ าดา้ นใดก็ได้ไปก่อน (แลว้ ชายกบั หญงิ กจ็ ะรวมกัน 1+3 และ 2+2 คน) ดา้ นตรงขา้ ม ดังนน้ั ตอบ 3! × 5! × 2! = 60 เลอื กสไี ด้ 5 แบบ 1!2! 3!2! เหลอื ด้านรอบๆ 4 ดา้ น (2! คือ การให้ชอื่ กลุม่ ) สลับสเี ปน็ วงกลม 3! แบบ หรือคดิ จาก วธิ ที ง้ั หมด - วิธที ช่ี ายอยกู่ ล่มุ เดียวกนั (แบ่งหญิง 5 คน เป็น 4,1 ชาย 3 คนไมต่ อ้ งแบง่ ) ∴ ตอบ 5 × 3 ! = 30 วธิ ี (96.2) คู่แรกเลอื กสที จี่ ะใชซ้ าํ้ → ⎡ 8! − 5! ⎤ × 2! = 60 ได้ 5 แบบ แล้วก็ทาลงไป ⎣⎢(4 !)22 ! 4 ! 1!⎦⎥ เหลอื 4 ดา้ นรอบๆ (105) กข + 8 คนสลบั กัน สลบั สีเปน็ วงกลม ได้ จัดคน 8 คนสลบั กัน ได้ 4!4! x 2 แบบ 3 ! ÷ 2 แบบ [คูณ 2 เพราะมี 2 กรณ]ี [หาร 2 เพราะวงกลมพลกิ ดา้ นแล้วเกิดสภาพเดิม] และให้ ก, ข ไปอยู่ในชอ่ งวา่ ง ได้ 9 ชอ่ ง ∴ ตอบ 5 × 3 ! = 15 วธิ ี ดงั นนั้ ตอบ 4 ! 4 ! × 2 × 9 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 356 ความนา จะเปน (106) เลอื กตรงกลางวงได้ 10 แบบ (116) S = {H, T} → n(S) = 2 นอกน้นั จดั แบบวงกลมได้ 8! แบบ จงึ ตอบ 10 ⋅ 8! ∴ เหตุการณ์ E จะมี 22 = 4 แบบ ไดแ้ ก่ ∅, {H}, {T}, {H, T} (107) คิดเหมือนขอ้ 70 → (117) P(A ∪ B) = 0.48 + 0.32 − 0.25 = 0.55 แบง่ 5 เปน็ 1,1,3 หรือ 1,2,2 P(A − B) = 0.48 − 0.25 = 0.23 ตอบ ⎡ 5! 5! ⎤ ⎢⎣(1!)22 ! 3 ! + 1!(2 !)22 !⎥⎦ × 3! P(A') = 1 − 0.48 = 0.52 (108) • กรณไี มซ่ ้าํ เลย = 1 แบบ P(B') = 1 − 0.32 = 0.68 • กรณซี า้ํ 1 คู่ = ⎝⎜⎛51 ⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎞⎟ = 20 แบบ (118.1) P(A ∩ B) = 0.15 3 (118.2) P(A ∪ B) = 0.4 + 0.55 − 0.15 = 0.8 (118.3) P [(A ∪ B)'] = 1 − 0.8 = 0.2 • กรณซี าํ้ 2 คู่ = ⎝⎜⎛ 52 ⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 3 ⎠⎞⎟ = 30 แบบ 1 (119) ให้ M = คณติ ศาสตร,์ C = เคมี จะไดว้ า่ .. ∴ ตอบ 51 วิธี (119.1) P(M ∪ C) = 2 + 4 − 1 = 31 (109) แบ่ง 6 คนเปน็ 2,2,1,1 และอีกกลมุ่ เปน็ สามี 3 9 4 36 ภรรยา (2 คน) (119.2) P [(M − C) ∪ (C − M)] จะได้ 6! × 3!2! = ⎛2 − 1⎞ + ⎜⎝⎛ 4 − 1 ⎠⎟⎞ = 11 (2 !)22 !(1!)22 ! ⎜⎝ 3 4 ⎠⎟ 9 4 18 (3!2! คอื การสลบั เขา้ หอ้ ง) (119.3) P [(M ∪ C)'] = 1 − 31 = 5 36 36 (110) เลอื กหนา้ ทจี่ ะชนกนั ได้ 6 x 6 แบบ (120) แตม้ 1 2 3 4 5 6 จากนั้นแตล่ ะวธิ ยี ังบิดได้ 4 แบบ จึงตอบ 6 × 6 × 4 โอกาส x 2x x 2x x 2x (111) ก ข ... ก ข 1 n−2 ∴ x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 → x = 1 / 9 เลือ่ นจากหัวถึงทา้ ย ได้ n −2 ตําแหนง่ (120.1) แตม้ คู่ = 2x + 2x + 2x = 6/9 = 2 / 3 (120.2) แต้มค่ี = x + x + x = 1 / 3 ในแต่ละตาํ แหนง่ ยงั สลับ ก,ข ไดอ้ กี 2 แบบ (120.3) จาํ นวนเฉพาะ (2,3,5) ตอบ 2 (n − 2) (112) วธิ ที ้งั หมด - วธิ ที ่ี E ∩ B = ∅ = 2x + x + x = 4 / 9 = 26 − 23 = 56 (120.4) 1 หรอื คู่ = x + 2x + 2x + 2x = 7 / 9 {1, 2, 3, ..., 6} {2, 4, 6} (121) วิธที ง้ั หมด n(S) = 6 × 6 = 36 เร่ืองของผลบวก ต้องนับจาํ นวนเอาโดยตรง (113) ขอ้ นใี้ หศ้ กึ ษาจากเรอ่ื งแถมท้ายบทนะครับ :] (121.1) ผลรวมเป็น 8 ไดแ้ ก่ (113.1) 24×4 = 216 (2, 6) (6, 2) (3, 5) (5, 3) และ (4, 4) (113.2) (24 − 1)4 = 154 (113.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 44 ∴ ความนา่ จะเป็น = 5 / 36 (113.4) 4 × 3 × 2 × 1 = 4 ! (114) S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (121.2) ผลรวมเป็น 2,3,5,7,11 ไดแ้ ก่ (115) ถา้ ลูกเตา๋ ตา่ งกนั จะมี 6 × 6 = 36 แบบ คอื (1, 1) (1, 2) (1, 3) ไปจนถงึ (6, 6) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2) (1, 6) (6, 1) (2, 5) แต่วา่ ลกู เตา๋ ไมต่ ่างกนั ฉะน้ัน (1, 2) ถือว่าซ้าํ กบั (5, 2) (3, 4) (4, 3) (5, 6) (6, 5) (2, 1)... ฯลฯ ผลลพั ธจ์ ะลดลงเหลอื เพยี ง 21 แบบ (ลองเขยี นแล้วนบั ดู จะรวู้ า่ ทาํ ไมไม่ใช่ 18) ∴ ความนา่ จะเปน็ = 15 / 36 = 5 / 12 (121.3) ผลรวมเป็นคู่ มวี ิธอี ยู่ 6 × 3 = 18 แบบ ∴ ความนา่ จะเป็น = 18 / 36 = 1 / 2 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (122) วิธที งั้ หมด = 10! (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3!3!2! (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (122.1) มอง T เป็น 1 ตวั ตดิ กนั จะได้ 8! (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 3!2! (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) (ไม่ตอ้ งสลับ T ภายใน, เพราะ T ถือวา่ เหมอื นกนั ) จะได้ ความนา่ จะเปน็ = 8! / 3!2! = 1 10 ! / 3 ! 3 ! 2 ! 15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 357 ความนาจะเปน (122.2) วธิ ที งั้ หมด - T ติดกนั 3 ตัว - T ไมต่ ิดเลย (125.5) นอ้ ยกว่าศนู ยแ์ ละเปน็ ค่ี เปน็ ไปได้ = 1− 1 − 7! ! × ⎜⎝⎛ 83 ⎟⎞⎠ = 1− 1 − 7 = 7 คือ + + + - (คที่ ุกตวั ) = ⎛⎜⎝ 33⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝ 11⎟⎞⎠ ÷ ⎛⎜⎝ 94 ⎞⎟⎠ = 1 3!2 126 15 10 ! / 3 ! 3 ! 2 ! 15 15 15 (126) วิธที ง้ั หมด = ⎜⎛⎝62⎠⎞⎟ = 15 (123) วธิ ที งั้ หมด = ⎝⎜⎛52⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝27⎞⎟⎠ วธิ ีทสี่ นใจ = 6 × 2 = 6 2! (123.1) ⎝⎛⎜22⎠⎟⎞ ⎜⎛⎝23⎟⎠⎞ ÷ ⎛⎜⎝52⎟⎞⎠ ⎝⎜⎛27 ⎟⎠⎞ = 1 70 (6 คอื ใครกไ็ ด,้ แตไ่ ม่ว่าคนแรกจะเป็นใคร คนทส่ี อง (123.2) ⎝⎛⎜ 3 ⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛ 4 ⎠⎟⎞ ÷ ⎝⎛⎜ 52 ⎠⎞⎟ ⎜⎝⎛ 7 ⎞⎠⎟ = 3 จะเหลอื เพยี ง 2 วธิ ,ี จากน้นั หาร 2! เพ่ือกําจัด 2 2 2 35 ลาํ ดบั ท้ิงไป) ∴ ตอบ = 6 / 15 = 2 / 5 (123.3) วิธที ั้งหมด - วธิ ที ่ไี ม่มแี ดงเลย = 1 − 3/ 35 = 32 / 35 → หรอื คดิ จาก ⎜⎛⎝23⎞⎟⎠ × 2! กไ็ ด้ (123.4) 1 − 1/ 70 = 69 / 70 (123.5) มี 3 กรณี คอื ดด/ขข ดข/ดข ขข/ดด เลือกชั้น ม.4,5,6 สลบั เพศ ∴ จะได้ (127) ใชผ้ ลจากข้อ 108 ⎝⎛⎜ 22⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ 4 ⎟⎠⎞ + ⎛⎜⎝ 21 ⎟⎠⎞ ⎛⎝⎜ 3 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 31 ⎠⎟⎞ ⎝⎜⎛ 4 ⎠⎟⎞ + ⎜⎛⎝23⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛23⎠⎞⎟ • ไม่ซํา้ เลย 1 แบบ • ซาํ้ 1 คู่ 20 แบบ 2 1 1 = 29 • ซาํ้ 2 คู่ 30 แบบ ⎜⎛⎝52⎟⎞⎠ ⎛⎜⎝27 ⎟⎠⎞ 70 ∴ ตอบ 1 =1 1 + 20 + 30 51 (124) วิธที ัง้ หมด = 5 × 5 × 5 (128) สปส.ทวนิ ามได้แก่ ⎝⎜⎛ 80 ⎞⎟⎠ , ⎝⎛⎜ 8 ⎠⎟⎞ , ⎝⎜⎛ 82 ⎟⎠⎞ , ..., ⎜⎛⎝ 88⎟⎠⎞ (124.1) ⎝⎜⎛51 ⎞⎠⎟ ÷ (5 × 5 × 5) = 1 1 25 ซ่ึงมี 9 ตวั และมคี า่ เทา่ กนั เปน็ คๆู่ 4 คู่ (124.2) วธิ ที ้ังหมด - ซาํ้ 3 - ไมซ่ า้ํ เลย (ตรงกลางคอื ⎜⎝⎛ 8 ⎠⎞⎟ ไมเ่ ท่ากบั ตวั อนื่ เลย) = 1 − 1 − 5 × 4 × 3 = 12 4 25 5 × 5 × 5 25 → หยิบ 2 ตวั แลว้ ไม่เทา่ กนั คดิ งา่ ยๆ จาก (124.3) 1 − 5 × 4 × 3 = 13 5 × 5 × 5 25 วธิ ีทง้ั หมด - หยบิ 2 ตวั แล้วเทา่ กนั (ซง่ึ มี 4 ค)ู่ (124.4) 5 × 4 × 3 = 12 = 1− 4 = 1 − 1/ 9 = 8/9 5 × 5 × 5 25 ⎝⎜⎛ 92 ⎠⎟⎞ (125) วิธที ้ังหมด = ⎜⎝⎛ 9 ⎟⎞⎠ (129) U 4 กขค (125.1) ตอ้ งมศี นู ย์ → ⎛⎜⎝ 11⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛ 8 ⎠⎞⎟ ÷ ⎜⎛⎝ 94 ⎟⎠⎞ = 4 ง 3 9 หาร4 หาร6 (125.2) ตอ้ งเปน็ + + + + หรอื + + - - ให้ F = หาร 4 ลงตวั และ S = หาร 6 ลงตวั → ⎛ ⎝⎜⎛ 6 ⎞⎟⎠ + ⎝⎜⎛ 62 ⎠⎟⎞ ⎛⎝⎜ 22 ⎞⎠⎟ ⎞ ÷ ⎛⎜⎝ 94 ⎠⎟⎞ = 5 → ชิน้ ข คอื F ∩ S ⎜⎝ 4 ⎠⎟ 21 หาจาํ นวนจาก “หาร 12 (ค.ร.น.ของ 4 กบั 6) ลงตัว” คือ 12, 24, 36, ..., 96 → 8 ตวั (125.3) ต้องเปน็ + + + - เท่านนั้ → n(F) = 23, n(S) = 15 → ⎛⎜⎝63⎞⎟⎠ ⎜⎛⎝21⎟⎠⎞ ÷ ⎛⎝⎜94⎠⎟⎞ = 20 63 หรือคิดจาก 1 − 4 − 5 = 20 ก็ได้ ∴ n(F ∪ S) = 23 + 15 − 8 = 30 ตวั 9 21 63 → โจทยถ์ าม “หาร 4 หรือ 6 ไม่ลงตวั ” (125.4) การคณู กนั แลว้ เป็นจํานวนคู่ แปลวา่ ตอ้ งมี คือ ก + ค → ตอบ 1 − 8 / 30 = 11 / 15 เลขคอู่ ยา่ งนอ้ ย 1 ตวั แตถ่ า้ คณู กนั ได้จาํ นวนคี่ แสดง (130) จาก x2 < 21x → x (x − 21) < 0 วา่ เปน็ เลขค่ที ั้งหมด → B = {1, 2, 3, ..., 20} ∴ คิดจาก มากกวา่ ศนู ย์ - มากกวา่ ศูนยแ์ ละเปน็ ค่ี ซงึ่ พบวา่ มากกวา่ ศูนยแ์ ละเป็นคนี่ ้ัน เปน็ ไปไม่ได้ และพบวา่ A ≠ 0 ก็เมอื่ (k − 4)(k − 6) − k ≠ 0 จึงตอบ 5 / 21 แกส้ มการกาํ ลงั สอง ได้ k ≠ 3, 8 ดงั นน้ั ตอบ 1 − 2 / 20 = 9 / 10 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 358 ความนา จะเปน (131) พจิ ารณาเฉพาะ 4 ชอ่ ง A-B-C-D (เพราะชอ่ ง คิดแบบความนา่ จะเปน็ แตล่ ะขนั้ ตอน อ่นื ไมม่ ผี ลตอ่ การคาํ นวณ) จะไดว้ ่า โอกาสท่แี ตล่ ะ โอกาสทจี่ ะหยบิ ถกู ทุกครง้ั = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 ช่องจะเปน็ สีแดง = 1 / 2 (จากการโยนหวั กอ้ ย) 432 24 ∴ ตอบ 1 × 1 × 1 × 1 = 1 (133) U ก + ข = 41% 2 2 2 2 16 ข + ค = 28% ก ข ค ง หรอื คดิ จากจาํ นวนวธิ ี 1 = 1 2 × 2 × 2 × 2 16 หืด หอบ ก + ข + ค = 60% (คอื สแี ดงลว้ น 1 วิธี และวิธที งั้ หมดสตี ่างๆ 16 วธิ ี) P{หืดอยา่ งเดยี ว} = 60% − 28% = 32% (132) คิดแบบการนับ (ชิน้ ส่วน ก) วธิ ที ี่ถกู ตอ้ ง มี 1 วิธี และวิธที ้งั หมดมี 4x3x2x1 วธิ ี จะได้ 1 = 1 4 × 3 × 2 × 1 24 eÃèo× §æ¶Á เรื่องของการนบั จํานวนความสัมพนั ธ์ จาํ นวนฟงั ก์ชนั .. (1) ความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B ... จะใช้ A กีต่ ัวกไ็ ด้ และ B กี่ตัวกไ็ ด้ ดงั นนั้ เราสรา้ งเซต AxB ขนึ้ กอ่ น ซง่ึ มสี มาชิกเปน็ คู่อันดบั จาํ นวน n(A)xn(B) ค่อู นั ดับ แลว้ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B จะเลือกคู่อนั ดบั ไปจากเซตนกี้ ค่ี ู่อนั ดบั กไ็ ด้ เปรียบเหมอื นสับเซตของ AxB นนั่ เอง จะมที ั้งหมด 2n(A)×n(B) แบบ (2) ความสมั พันธจ์ าก A ไป B ซง่ึ บงั คบั วา่ โดเมนเทา่ กับ A ... แปลวา่ ตอ้ งใชส้ มาชกิ A ให้ครบทุกตวั เราจะพจิ ารณาสมาชกิ ในโดเมนทลี ะตัว สมาชกิ ตัวหนึ่งสามารถจับคกู่ ับสมาชิกของ B กตี่ ัวก็ได้ (แตไ่ ม่จับเลย ไมไ่ ด้) สมาชิกตวั นจ้ี งึ เลอื กคู่ได้ 2n(B) − 1 แบบ แตต่ อ้ งใชส้ มาชกิ ทกุ ตวั ของ A ให้ครบ แสดงว่าตอ้ งคณู กนั n(A) ครั้ง ...ดงั นน้ั จะมที ง้ั หมด (2n(B) − 1)n(A) แบบ (3) ฟังก์ชนั จาก A ไป B ... จะตอ้ งใช้ A ใหค้ รบเสมอ แต่ใช้สมาชิก B กต่ี ัวกไ็ ด้ และด้วยความเปน็ ฟงั กช์ ัน สมาชกิ ใน A แต่ละตวั จงึ จับคสู่ มาชกิ B ไดเ้ พยี ง 1 ตัวเท่านั้น คอื n(B) แบบ เราจงึ คดิ จาํ นวนฟังกช์ นั โดยการคณู n(B) เปน็ จาํ นวน n(A) คร้งั ... ดังนน้ั คาํ ตอบคอื (n(B))n(A) แบบ (4) ฟงั ก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หนงึ่ จาก A ไป B ... นอกจากเง่อื นไขของฟังก์ชันจาก A ไป B ในขอ้ ท่แี ลว้ ยังตอ้ งเพิ่มเงื่อนไขว่าสมาชกิ ใน B ต้องไม่ถกู เลอื กซํ้า (แสดงว่า n(B) ตอ้ งไมน่ ้อยกว่า n(A)) คาํ ตอบที่ได้คอื n(B ) ⋅ (n (B ) − 1 ) ⋅ (n( B) − 2) ⋅ ... n(A) ตัว (5) ฟังก์ชนั จาก A ไปทว่ั ถงึ B ... ใช้วธิ ลี บออก คอื จาํ นวนแบบท้ังหมดลบดว้ ยจาํ นวนแบบที่ไมท่ ว่ั ถึง ตวั อยา่ ง กาํ หนด A = {1, 2, 3} , B = {2, 3} , และ C = {−1, 0, 2, 5} * ความสัมพันธจ์ าก A ไป B มที งั้ หมด 23×2 = 64 แบบ * ความสัมพันธจ์ าก A ไป B ซ่ึงมโี ดเมนเปน็ A มที ้งั หมด 3 × 3 × 3 = 27 แบบ * ความสัมพนั ธภ์ ายใน A (แปลว่าจาก A ไป A) มีทั้งหมด 23×3 = 512 แบบ * ความสมั พันธภ์ ายใน A ซง่ึ มีโดเมนเปน็ A มที ้ังหมด 7 × 7 × 7 = 343 แบบ * ฟงั กช์ ันจาก C ไป B มที ั้งหมด 2 × 2 × 2 × 2 = 16 แบบ * ฟงั กช์ นั จาก C ไปทัว่ ถงึ B มีทง้ั หมด 16 − 2 = 14 แบบ * ฟงั ก์ชนั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ จาก A ไป C มที ้ังหมด 4 × 3 × 2 = 24 แบบ * ฟังก์ชันจาก A ไป C ซึ่ง f (x) < x (แปลว่าตวั หลงั < ตัวหนา้ ) มที ัง้ หมด 2 × 3 × 3 = 18 แบบ หมายเหตุ ไมค่ วรทอ่ งเปน็ สตู รเพราะในข้อสอบอาจจะเพม่ิ เงอ่ื นไขใหแ้ ปลกไป ควรทาํ ความเขา้ ใจในวธิ คี ิด :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 359 สถิติ stat º··Õè 17 ʶiµi สถิตศิ าสตร์ (Statistics) คือวิชาที่เก่ียวกับการ เก็บรวบรวม นาํ เสนอ และวิเคราะหข์ อ้ มลู เมอ่ื เรามี ขอ้ มูล (Data) จํานวนหนึ่ง เรามกั จําเปน็ ต้องวเิ คราะห์ ขอ้ มลู ก่อนถึงจะนําไปใช้ประโยชน์ (เพ่ือการตดั สนิ ใจ หรือการวางแผน) ต่อได้ การวเิ คราะหข์ ้อมลู แบง่ เป็น การวิเคราะหเ์ บ้อื งตน้ เช่น การแจกแจงความถี,่ การ หาคา่ กลาง, การหาคา่ การกระจาย และการวเิ คราะห์ ขนั้ สูง เชน่ การประมาณคา่ , การหาความสมั พันธ์ ระหว่างข้อมลู สองชุด โดยสงิ่ ทไ่ี ดจ้ ากการวเิ คราะหจ์ ะ เรียกวา่ สารสนเทศ หรือ ข่าวสาร (Information) ลกั ษณะของข้อมูล 1. ข้อมลู เชงิ ปริมาณ (Quantitative Data) เป็นข้อมูลท่ใี ชแ้ ทนขนาดหรือปริมาณท่วี ัดเปน็ ตัวเลข เชน่ น้ําหนกั สว่ นสูง คะแนนสอบ ... สามารถนาํ ไปคาํ นวณหรอื เปรียบเทียบไดโ้ ดยตรง อาจเปน็ ข้อมลู ที่ ต่อเนอื่ ง (เชน่ ส่วนสงู จะมีคา่ ทศนิยมเท่าใดก็ได้) หรอื ไมต่ ่อเนอ่ื ง (เช่นยอดขายสินคา้ จะตอ้ งเป็น จํานวนนบั เท่านัน้ ) 2. ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) ไม่ได้เปน็ ตวั เลข เช่น เพศ ศาสนา สี ความพึงพอใจ ... หากเราตอ้ งการวเิ คราะหอ์ าจจะต้องกําหนดตวั เลขเพอื่ ใชแ้ ทนข้อมูลเหลา่ น้กี อ่ น Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 360 สถิติ 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมลู ประเภทข้อมูลแบง่ ตามแหลง่ ท่มี า 1. ขอ้ มูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือข้อมูลท่ไี ด้จากการสาํ รวจเองโดยตรง (ไมว่ า่ จะเป็นการนับ การวดั การทดลอง การสอบถาม การสงั เกต) ซง่ึ จะเก็บรวบรวมได้ใน 2 ระดับ คอื - ระดบั ประชากร (Population) เก็บขอ้ มลู จากทุกๆ สง่ิ ที่เราสนใจ เรยี กวา่ การสาํ มะโน (Census) - ระดบั ตัวอย่าง (Sample) เก็บข้อมูลจากส่ิงทส่ี ่มุ เลอื กมา เรยี กว่า การสํารวจตัวอย่าง (Sample Survey หรือ Sampling) 2. ข้อมูลทตุ ิยภมู ิ (Secondary Data) คอื ข้อมลู ทีม่ ผี ู้รวบรวมไวแ้ ล้ว (และมกั ผ่านการวิเคราะห์ ข้ันต้นแลว้ ด้วย) ผใู้ ช้ไม่ตอ้ งทําการสาํ รวจเอง เช่น ขอ้ มูลจากหน่วยงานราชการ องค์กรของรัฐ รายงานและบทความจากหนงั สือ การนาํ เสนอข้อมูล 1. ข้อความ บทความ ใชเ้ มอ่ื ข้อมลู ทีต่ ้องการนาํ เสนอมไี มม่ ากนัก บางคร้งั อาจมกี ารจดั ตัวเลขเรียงเป็นแถวคลา้ ย ตารางเพ่ือใหอ้ ่านง่าย 2. ตาราง 2.1 การนาํ เสนอข้อมูลโดยใช้ ตาราง (Table) เป็นการจัดระเบียบข้อมูลตามลักษณะตา่ งๆ ทนี่ า่ สนใจ ทาํ ให้เปรยี บเทียบขอ้ มลู ได้สะดวกกว่าการนําเสนอดว้ ยขอ้ ความ ... ซง่ึ ตารางทใี่ ช้ อาจเปน็ ตารางแบบทางเดียว แบบสองทาง (จําแนกข้อมูลเปน็ สองแถว) หรือแบบหลายทาง (จําแนกย่อยลง ไปมากกว่าสองแถว) 2.2 การสร้าง ตารางแจกแจงความถ่ี (Frequency Distribution Table) คอื การจดั ข้อมูลที่ มอี ยู่ใหเ้ ป็นกลุ่มๆ โดยใหข้ อ้ มูลทม่ี ีค่าใกลเ้ คยี งกนั อยู่ด้วยกนั เพอ่ื ความสะดวกในการวเิ คราะห์และ การจดั เกบ็ ... มขี ้นั ตอนดงั น้ี (1) แบ่งคา่ ข้อมูลที่เป็นไปได้ท้งั หมดออกเป็นช่วงๆ ตามทีต่ ้องการ เรียกแต่ละช่วงวา่ อนั ตร ภาคช้นั (Class Interval) เชน่ “30 – 39”, “40 – 49”, “50 – 59” (2) พิจารณาวา่ บรรดาข้อมูลที่มนี ั้น มีคา่ ตกอยู่ในแตล่ ะชว่ งเป็นปรมิ าณเทา่ ใด เรียกปริมาณ ข้อมูลท่ปี รากฏในแต่ละชว่ งว่า ความถ่ี (Frequency) มกั เขียนอนั ตรภาคชนั้ และความถขี่ องแต่ละชั้น ในรปู ตารางขนาดประมาณ 5 ถงึ 20 ชน้ั และมกั กาํ หนดความกว้างแตล่ ะช้นั เท่าๆ กัน ... แม้โดยทว่ั ไปไมจ่ ําเป็นตอ้ งเท่ากันกไ็ ด้ อีกท้ังอนั ตร ภาคชนั้ ตาํ่ สุดหรือสงู สุดอาจเป็น อันตรภาคช้นั เปดิ (Open-Ended Class Interval) ก็ได้ เชน่ “น้อย กวา่ 30”, “มากกวา่ 60” • ตวั อย่างเช่น ขอ้ มลู น้าํ หนกั (กก.) ของนกั เรียน 40 คนในชน้ั เรียน ได้แก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 41 50 55 51 53 54 40 43 48 53 55 58 62 64 61 50 48 48 56 58 58 59 64 63 68 59 65 61 67 66 64 หากตอ้ งการตารางแจกแจงความถข่ี นาด 6 ช้ัน อาจเขียนไดด้ ังน้ี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 361 สถติ ิ น้าํ หนัก (กก.) จาํ นวนนกั เรยี น • อนั ตรภาคชน้ั ได้แก่ 40 – 44, 45 – 49, 50 – 5 54, 55 – 59, 60 – 64, และ 65 – 69 โดยมี 40 – 44 7 ความถีข่ องแตล่ ะช้ัน ได้แก่ 5, 7, 9, 8, 7, และ 4 45 – 49 9 ตามลําดับ 50 – 54 8 55 – 59 7 • คา่ ขอบลา่ ง (Lower Boundary) และ ขอบบน 60 – 64 4 (Upper Boundary) คอื คา่ ก่ึงกลางระหวา่ งรอยต่อ 65 – 69 40 อนั ตรภาคช้นั เชน่ ชั้น 45 – 49 มคี า่ 44.5 เปน็ ขอบลา่ ง ซ่ึงคา่ 44.5 กเ็ ป็นขอบบนของชนั้ 40 – 44 ดว้ ย รวม • ความกว้างอนั ตรภาคช้ัน หาได้จาก “ผลต่างของขอบบนและขอบลา่ งของช้ันน้ัน” ในตัวอย่างน้ี ความกวา้ งแตล่ ะชน้ั เปน็ 5 เทา่ กันหมด ความถสี่ ะสม (Cumulative Frequency; CF หรอื Σf) คือ “ผลรวมความถีช่ ้ันน้ัน กับ ความถี่ช้นั ทม่ี ีคา่ ขอ้ มลู ตํ่ากว่าท้งั หมด” ในบางครั้งอาจใหค้ วามถี่สะสมเป็นผลรวมความถี่ชั้นนนั้ กับชั้น ท่คี า่ ขอ้ มลู สูงกว่าทงั้ หมดก็ได้ แตไ่ มเ่ ปน็ ทน่ี ยิ ม ความถี่สมั พัทธ์ (Relative Frequency) และ ความถ่สี ะสมสมั พัทธ์ (Relative Cumulative Frequency) กค็ อื อัตราส่วนความถี่หรอื ความถ่ีสะสม เทยี บกับความถรี่ วม (N) ดงั นนั้ ความถ่ีสัมพทั ธ์ รวมทุกช้ันต้องได้ 1 เสมอ และความถี่สะสมสัมพัทธข์ องชัน้ สูงสดุ กต็ ้องเปน็ 1 เชน่ กัน (บางครง้ั จะใช้ เป็นหนว่ ย “รอ้ ยละ” ซ่งึ จะปรับให้ผลรวมความถเ่ี ปน็ ร้อยละ 100) 3. แผนภูมิ กราฟ การนาํ เสนอข้อมูลแบบนสี้ ะดวกท่สี ุด เมอ่ื ต้องการผลสรุปในเชงิ เปรยี บเทียบ 3.1 แผนภูมิแท่ง (Bar Chart) และ แผนภมู เิ ชิงเส้น (Line Chart) นยิ มใชแ้ สดงขอ้ มลู ที่ เปลย่ี นไปตามเวลา เชน่ ยอดขายผลติ ภณั ฑ์ชนดิ หนงึ่ ในแต่ละเดือน ... ส่วน แผนภูมิวงกลม (Pie Chart) นิยมใช้แสดงสัดสว่ นข้อมูลเป็นร้อยละ เชน่ ส่วนแบง่ ตลาดของผลติ ภณั ฑแ์ ต่ละยี่หอ้ 3.2 ฮิสโทแกรม (Histogram) คอื แผนภมู แิ ท่งสีเ่ หลย่ี มวางเรียงชดิ กัน ใช้แสดงข้อมูลจาก แตล่ ะอนั ตรภาคช้นั โดยให้แกนนอนแทนคา่ ขอ้ มูล x เขยี นกาํ กบั ดว้ ยขอบบน-ขอบลา่ งของชนั้ หรอื ด้วย จุดกึง่ กลางชน้ั (Midpoint) กไ็ ด้ และให้แกนตงั้ แทนคา่ ความถ่ี f … ความสูงของแท่งส่ีเหลยี่ ม จะแปรตามความถ่ชี น้ั นน้ั ๆ รปู หลายเหลีย่ มของความถ่ี (Frequency Polygon) คอื รูปทเ่ี กดิ จากการลากเสน้ ตรงเช่อื ม จุดกง่ึ กลางยอดแท่งสีเ่ หล่ียมของฮสิ โทแกรมแต่ละแทง่ (โดยสมมติให้มีอนั ตรภาคชน้ั ก่อนหนา้ และ หลังอนั ตรภาคช้นั ทงั้ หมดที่มีอยู่ ฝั่งละ 1 ชัน้ และลากเส้นตรงไปบรรจบแกนนอนทีก่ ง่ึ กลางชนั้ ทง้ั สอง น้ี เพ่ือให้เป็นรูปปิดที่มีพ้ืนทเี่ ท่ากับฮสิ โทแกรมเดิม) เส้นโคง้ ของความถี่ (Frequency Curve) คอื รปู ที่เกิดจากการปรบั เส้นตรงในรปู หลาย เหลย่ี มของความถี่ ใหเ้ ป็นเสน้ โคง้ เรียบ และพยายามให้พ้นื ทใี่ ตเ้ ส้นโค้งมขี นาดใกล้เคียงพ้ืนทรี่ ูปเดิม ทีส่ ดุ ถ้าเราสร้างฮิสโทแกรมโดยใช้ความถีส่ ะสม และปรบั ใหเ้ ปน็ เส้นโค้งของความถีส่ ะสม (Ogive) จะไดเ้ ส้นโค้งท่เี ริม่ จาก 0 ขนึ้ ไปถึง N เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 362 สถติ ิ นํ้าหนกั (กก.) ความถ่ี ความถ่สี ะสม f (ความถ)่ี 40 – 44 5 5 8 45 – 49 7 12 50 – 54 9 21 6 55 – 59 8 29 60 – 64 7 36 4 65 – 69 4 40 2 รวม 40 O 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 x (กก.) ฮสิ โทแกรม (1) แสดงนา้ํ หนักนักเรียน 40 คน f (ความถี่) f (ความถ่)ี 8 8 6 6 4 4 2 2 O 42 47 52 57 62 67 x O 37 42 47 52 57 62 67 72 x (กก.) (กก.) ฮสิ โทแกรม (2) แสดงนํ้าหนักนกั เรียน 40 คน รูปหลายเหลย่ี มของความถี่ แสดงน้ําหนกั นกั เรียน 40 คน f (ความถี่) cf (ความถีส่ ะสม) 8 40 6 30 4 20 2 O 37 42 47 52 57 62 67 72 x 10 x (กก.) O 37 42 47 52 57 62 67 72 (กก.) เส้นโค้งของความถ่ี แสดงน้ําหนกั นกั เรยี น 40 คน เส้นโคง้ ของความถีส่ ะสม (Ogive) แสดงน้ําหนกั นกั เรยี น 40 คน 3.3 แผนภาพลาํ ต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Diagram) ใชจ้ ดั ข้อมูลใหเ้ ปน็ กลมุ่ เพอื่ เห็นลกั ษณะคร่าวๆ และมขี ้อดคี อื ข้อมลู ดบิ แตล่ ะคา่ ไมส่ ูญหายไป (การ สร้างตารางแจกแจงความถ่ี หรือสรา้ งฮสิ โทแกรม จะทําใหร้ ายละเอยี ดของขอ้ มูลสูญหายไป) การเขียนแผนภาพลาํ ตน้ -ใบ จะตดั เลขในหลักขวาออกกอ่ น (ก่หี ลักแล้วแตค่ วามเหมาะสม) แลว้ นําหลักท่เี หลือมาเรยี งไวเ้ ป็นลําต้นในแนวตั้ง จากนน้ั จงึ นําเลขทตี่ ดั ออกมาเขียนต่อท้ายในบรรทดั เดยี วกัน เรยี กว่าใบ (ควรเรยี งลําดบั จากนอ้ ยไปมากด้วย เพ่อื ให้เปน็ ระเบยี บและวิเคราะหข์ ้อมลู ได้ สะดวก) ในตวั อย่างขา้ งตน้ จะเขียนแผนภาพลาํ ตน้ -ใบ ได้ดังนี้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 363 สถิติ ต้น ใบ 4 001 235668889 5 0001 1 233455688899 6 1 1 234445678 จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวเิ คราะหข์ ้อมลู ครา่ วๆ ไดว้ ่า (1) มองเป็นแผนภมู แิ ท่งแนวนอน จะไดว้ ่า ช่วงข้อมูล 50 – 59 มีความถมี่ ากท่สี ุด (2) ขอ้ มลู ทีต่ ํ่าท่สี ดุ คอื 40 และสงู ทส่ี ุดคอื 68 ... มีคา่ ตา่ งกันอยู่ 28 (3) ข้อมูลตรงกลางมคี ่าประมาณ 53 หรือ 54 • ตวั อยา่ ง ข้อมลู คะแนนสอบของนักเรียน 20 คนในหอ้ ง ก และ ข ได้แก่ ก 158 162 164 161 150 148 180 156 145 158 ข 180 163 160 158 162 167 181 175 175 172 เราสามารถเขียนแผนภาพของข้อมลู สองชุดนี้ดว้ ยกัน ดงั นี้ ใบ (หอ้ ง ก) ตน้ ใบ (หอ้ ง ข) 5 8 14 0 6 8 8 15 8 1 2 4 16 0 2 3 7 17 2 5 5 0 18 0 1 จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวเิ คราะหข์ อ้ มูลคร่าวๆ วา่ (1) นกั เรียนหอ้ ง ก ส่วนมากไดค้ ะแนน 150 – 159 และห้อง ข ส่วนมากได้คะแนน 160 – 169 (2) คะแนนตํ่าสดุ ของแต่ละห้อง คอื 145 และ 158, คะแนนสงู สุดคอื 180 และ 181 (3) หอ้ ง ก มี ขอ้ มลู ทผี่ ดิ ปกติ (Outlier) คอื 180 (4) คะแนนเฉล่ียของนักเรียนหอ้ ง ข นา่ จะสงู กวา่ หอ้ ง ก 17.2 คา่ กลางของข้อมลู ค่ากลางของข้อมูล (Central Value) เปน็ ตัวเลขท่ีใช้แทนข้อมูลท้งั หมด จะชว่ ยใหว้ เิ คราะหข์ อ้ มูลได้ อย่างกว้างๆ ซงึ่ ค่ากลางทนี่ ยิ มใช้ มี 3 ชนิด ได้แก่ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ มัธยฐาน และฐานนยิ ม 1. ค่าเฉล่ียเลขคณติ (Arithmetic Mean) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู x1, x2, x3, ..., xN ใช้สัญลกั ษณว์ ่า X (อ่านวา่ x-bar) เป็นค่ากลางทใ่ี หค้ วามสําคญั กับ คา่ ของข้อมลู โดยตรง จึงเหมาะกบั ชดุ ขอ้ มูลทีม่ ีคา่ ใกลเ้ คยี งกนั ทุกค่า ไม่มีค่าใดสูงหรือตํา่ ผดิ ปกติไปจากคา่ อนื่ ๆ (มิฉะน้ันคา่ ท่ไี ดจ้ ะไมม่ ีคุณภาพ) ข้อมลู ท่ียังไม่ได้แจกแจงความถ่ี (Ungrouped Data) N ∑ xi X = x1 + x2 + x3 + ... + xN = i=1 NN xi คอื ขอ้ มลู ตวั ท่ี i, และมจี าํ นวนข้อมูล (Units) ทงั้ หมดเทา่ กบั N ตวั Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 364 สถิติ ขอ้ มูลทีย่ งั ไมไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ คดิ แบบถ่วงน้าํ หนกั (Weighted) N ∑ wixi X = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ... + wNxN = w1 + w2 + w3 + ... + wN i=1 N ∑ wi i=1 xi คอื ขอ้ มลู ตวั ที่ i, wi คอื นาํ้ หนักของขอ้ มลู ตวั ท่ี i, และมขี ้อมูลทง้ั หมด N ตวั ข้อมูลท่ีแจกแจงความถ่ีแล้ว (Grouped Data) kk ∑ fixi ∑ fixi X = f1x1 + f2x2 + f3x3 + ... + fkxk = = f1 + f2 + f3 + ... + fk i=1 i=1 k N ∑ fi i=1 xi กง่ึ กลางชน้ั ท่ี i, fi คอื ความถ่ีชน้ั ท่ี i, มีทัง้ หมด k ช้นั , และมีขอ้ มลู ทง้ั หมด N ตวั ขอ้ มลู ท่แี จกแจงความถแี่ ลว้ (สูตรลดทอน) k ∑ fidi X = a + ID เมื่อ D = i=1 N a คอื ก่ึงกลางของช้ันใดชนั้ หน่งึ ท่เี ลือก (ชั้นใดก็ได)้ , I คือความกวา้ งชน้ั (เทา่ กันทกุ ชั้น) di เปน็ จาํ นวนเต็ม โดยให้ชนั้ ท่ีมคี า่ a นน้ั เปน็ d = 0 และช้นั ที่มขี อ้ มูลนอ้ ยลง d = −1, −2, ... ไปเรอื่ ยๆ สว่ นชนั้ ทขี่ ้อมลู สูงขึ้น d = 1, 2, ... ไปเรอ่ื ยๆ หมายเหตุ สญั ลักษณ์ ∑ (Capital Sigma) อา่ นว่า Summation ใช้แทนผลรวมของพจน์ตา่ งๆ โดยมีตวั แปร i กาํ กับไว้วา่ ในแตล่ ะพจน์จะแปรค่าจากเท่าใดจนถงึ เท่าใด (เชน่ i = 1 ถึง N) สมบัตขิ อง ∑ ท่คี วรทราบมีดังนี้ N N NN • ∑c = N⋅ c • ∑ (xi ±yi) = ∑ xi ± ∑ yi i=1 i=1 i=1 i=1 NN c เป็นค่าคงท่ี • ∑ c xi = c ⋅ ∑ xi i=1 i=1 ค่าเฉล่ียเลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean) ของขอ้ มูลหลายๆ ชุด k ∑ Nixi Xc = (∑ x)c = N1x1 + N2x2 + N3x3 + ... + Nkxk = Nc N1 + N2 + N3 + ... + Nk i=1 k ∑ Ni i=1 xi คือค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มลู ชดุ ที่ i, Ni คอื จาํ นวนขอ้ มลู ชดุ ที่ i จากทง้ั หมด k ชดุ หมายเหตุ อาจมองในแงว่ ่า เปน็ การนาํ คา่ เฉลีย่ แตล่ ะชุด มาถ่วงนาํ้ หนกั ด้วยจํานวนขอ้ มูลกไ็ ด้ ในตําราสถติ ิ นยิ มใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนค่าเฉล่ยี เลขคณติ เป็น μ (Mu) และ X โดยใหน้ ิยามว่า μ คือคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ท้งั หมด (Population Mean) เป็นคา่ แทจ้ รงิ และ X คอื คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของกลมุ่ ตัวอยา่ ง (Sample Mean) เป็นคา่ ประมาณ น่นั คอื ถา้ N คอื จํานวนข้อมูลทัง้ หมด และถูกส่มุ มาเป็นตวั อย่างจาํ นวน n ขอ้ มูล จะได้ Nn ∑ xi ∑ xi μ = i=1 และ X = i=1 N n แต่ในหนงั สอื เล่มน้ีจะใช้สญั ลกั ษณ์ X กล่าวรวมถึงคา่ เฉล่ยี เลขคณิตทงั้ สองแบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 365 สถติ ิ 2. มัธยฐาน (Median; Med) มัธยฐาน คอื คา่ ที่มตี าํ แหน่งอยกู่ งึ่ กลางของขอ้ มูลทั้งหมด (เมื่อเรยี งลาํ ดับข้อมูลจากน้อยไป มาก หรือมากไปนอ้ ย) เป็นค่ากลางทใ่ี ห้ความสาํ คญั กับ ลาํ ดับของขอ้ มลู (บอกใหท้ ราบว่ามีข้อมูลท่มี ี คา่ มากกว่าค่านี้ กบั น้อยกวา่ ค่าน้ี อยู่ปรมิ าณเท่าๆ กัน) จงึ ยังคงใชไ้ ดด้ ีกับข้อมลู ชดุ ทม่ี ีบางค่าสูงหรือ ตาํ่ กวา่ ค่าอ่นื อยา่ งผดิ ปกติ ขอ้ มูลทย่ี งั ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ Med คอื ข้อมลู ในตําแหนง่ ที่ N + 1 (ตาํ แหนง่ ก่ึงกลาง) 2 เม่อื มีข้อมลู ทงั้ หมด N ตวั และเรยี งลาํ ดับแลว้ ขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถี่แลว้ ⎛N − ∑ fL ⎞ ขอ้ สงั เกต ใช้ N/2 โดยไมต่ ้องบวกหนึ่ง ⎜ ⎟ Med = L + I ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ fMed L คอื ขอบลา่ งช้นั ท่มี มี ัธยฐานอยู่ (ตวั ท่ี N/2) ซ่งึ ชนั้ นน้ั มคี วามกวา้ ง I และมคี วามถเ่ี ปน็ fMed ∑ fL คอื ความถส่ี ะสมจนถงึ ขอบลา่ ง หมายเหตุ บางตําราใช้สัญลักษณ์ Med = Xi 3. ฐานนยิ ม (Mode; Mo) ฐานนิยม คอื คา่ ขอ้ มลู ตวั ทปี่ รากฏบ่อยคร้งั ทสี่ ดุ (มคี วามถ่ีสูงทีส่ ดุ ) เปน็ คา่ กลางท่ใี ห้ความ- สําคญั กับ ความถ่ขี องข้อมูล จะเหมาะสมทีส่ ุดกับข้อมูลเชิงคณุ ภาพ เชน่ การลงคะแนนเลอื กตง้ั ขอ้ มูลทย่ี ังไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี Mo คือข้อมลู ตัวที่มีความถม่ี ากท่ีสดุ หมายเหตุ โดยทวั่ ไปจะเปน็ ฐานนยิ มรว่ มกนั ไดไ้ ม่เกิน 2 คา่ ข้อมลู ท่ีแจกแจงความถ่แี ลว้ Mo = L + I ⎛ dL dL dU ⎞ ⎜⎝ + ⎠⎟ L คือขอบล่างชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ (ช้ันทคี่ วามถ่สี งู สดุ ) ซง่ึ ทุกๆ ช้ันมคี วามกว้าง I dL คือผลตา่ งความถ่ี ช้ันนน้ั กับชน้ั ทคี่ ่าขอ้ มูลน้อยลง (ขอบล่าง) dU คือผลต่างความถี่ ชั้นนน้ั กับชน้ั ทคี่ า่ ขอ้ มลู มากขน้ึ (ขอบบน) หมายเหตุ บางตาํ ราใชส้ ัญลักษณ์ Mo = Xl • ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนกั (กก.) ของนักเรียน 9 คนเปน ดงั นี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ ม ของขอมูลชดุ นี้ ตอบ ก. คาเฉลีย่ เลขคณิต X = 40 + 45 + 46 + 46 + 50 + 51 + 49 + 52 + 42 = 46.78 กก. 9 ข. มัธยฐาน (ตองเรียงลําดับขอมลู กอ น กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52) อยูตาํ แหนง ก่งึ กลาง คือตําแหนงที่ 9 + 1 = 5 S ¨u´·¼èÕ ´i ºoÂ! S 2 ¤Ò (N+1)/2 e»¹µÒí æ˹§ ¢o§Áa¸Â°Ò¹ äÁã ª¤ Ò มีคา เปน Med = 46 กก. ¢o§Á¸a °ҹo´ÂµÃ§ ´§a ¹é¹a ËÒ Áe¢ÂÕ ¹ÇÒ Med = (9+1)/2 = 5 ¹a¤Ãºa e¾ÃÒa·è¨Õ Ãi§ Med = 46 ค. ฐานนยิ ม (ดูจากขอมลู ทีป่ รากฏบอยครัง้ ที่สุด) มีคา เปน Mo = 46 กก. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 366 สถติ ิ • ตวั อยา ง ขอมลู นํา้ หนกั (กก.) ของนกั เรียน 10 คนเปน ดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 50 ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม ของขอมลู ชดุ ดงั กลา ว ตอบ ก. คาเฉลีย่ เลขคณติ X = 40 + 45 + 46 + 46 + 50 + 51 + 49 + 52 + 42 + 50 = 47.1 กก. 10 ข. มธั ยฐาน (เรียงลาํ ดบั ขอมลู ไดเ ปน 40 42 45 46 46 49 50 50 51 52) อยตู ําแหนงกง่ึ กลาง คือตําแหนงที่ 10 + 1 = 5.5 ... แปลวากง่ึ กลางระหวาง 46 และ 49 2 ดงั นั้นมีคาเปน Med = 46 + 49 = 47.5 กก. (ใชว ธิ ีเฉลีย่ แบง ครง่ึ เอา) 2 ค. ฐานนิยม ในตัวอยา งนีม้ ีคาเปน Mo = 46 และ 50 กก. หมายเหตุ มีขอมูลที่เปน ฐานนิยมรว มกนั ได 2 คา (หากเกินจะถือวา ขอ มลู ชดุ นีไ้ มม ีฐานนิยม) • ตวั อยา ง ตารางแจกแจงความถีข่ องคะแนนสอบของนักเรียนจาํ นวน 100 คน เปนดงั นี้ คะแนน จํานวนนักเรียน คะแนน จํานวนนกั เรียน 20 – 29 2 60 – 69 30 30 – 39 9 70 – 79 15 40 – 49 13 80 – 89 10 50 – 59 20 90 – 99 1 ก. ใหหาคา เฉลีย่ เลขคณติ ของคะแนนสอบ วธิ ีคดิ การหาคา เฉลี่ยเลขคณติ จะใชวธิ ีถวงนา้ํ หนกั โดยตรงกไ็ ด แตค าํ นวณยากมาก นน่ั คือ X = 24.5(2) + 34.5(9) + 44.5(13) + ... + 94.5(1) = 60.2 คะแนน 100 (สังเกต : คา ขอมูลทีใ่ ชเ ปน ตัวแทนของแตละชน้ั คือกง่ึ กลางของชั้นน้ัน) เราสามารถใชว ธิ ีลดั ในการหาคาเฉลี่ยเลขคณติ ไดเสมอ โดยตอ งเพม่ิ ชอง d กอ นดงั นี้ x fd x f d 0 20 – 29 2 -4 60 – 69 30 1 2 30 – 39 9 -3 70 – 79 15 3 40 – 49 13 -2 80 – 89 10 50 – 59 20 -1 90 – 99 1 หลักในการกาํ หนดคา d คือ เลือกชั้นใดก็ได 1 ชัน้ กาํ หนดคา d = 0 จากนั้นพิจารณาชน้ั ที่มีคา ขอ มลู (คา x ) สงู ขน้ึ ให d = 1, 2, 3, ... ตามลําดบั สว นชั้นที่มีคา ขอมูล (คา x ) ตํ่าลง ก็ให d = − 1, −2, −3, ... ตามลาํ ดบั เชนกัน วิธีคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณติ คือ X = a + I D โดย a คือกึง่ กลางของชนั้ ที่ d = 0 ดงั น้ันในตัวอยางนี้ a = 64.5 ... I = ความกวา งชั้น = 10 ... และ D = − 4(2) − 3(9) − 2(13) − 1(20) + 0(30) + 1(15) + 2(10) + 3(1) = −0.43 100 จึงสรุปไดวา X = 64.5 + (10)(−0.43) = 60.2 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 367 สถติ ิ จะเห็นวา วธิ ีคาํ นวณ X ดว ย D นี้ ทาํ ใหส ะดวกมากขนึ้ และผลลพั ธท ี่ไดจะถกู ตองเสมอ (ไมใ ชคําตอบจาก การประมาณ) S ¢o ¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Òe©ÅèÂÕ eÅ¢¤³µi ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËÃaÇa§ÇÒ µÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò¹ (Áҡ仹o Â) ËÃo× äÁ 2. ¤Òe©ÅÂèÕ eÅ¢¤³µi ·¤èÕ Òí ¹Ç³ä´ äÁ¨Òí e»¹ µo§ÁÕ¤ÒoÂãÙ ¹ª¹éa ·èÕeÅo× ¡ d = 0 eÊÁoä» e¾ÃÒa·èÕ¨Ãi§¨aeÅ×o¡ªéa¹ã´¡çä´ ä´¤íÒµoºe·Ò¡a¹ (·èÇa ä»Áa¡eÅo× ¡ªé¹a ·¤èÕ ÇÒÁ¶èÊÕ Ù§Ê´u e¾è×oãˤ i´eÅ¢§ÒÂ) 3. Êٵà X = a + I D ¹ãéÕ ªä ´e Áè×o¤ÇÒÁ¡ÇÒ § (I) ·u¡æ ªé¹a e·Ò¡a¹e·Ò¹¹éa ข. ใหหามธั ยฐานของคะแนนสอบ วิธีคิด มธั ยฐาน อยูตาํ แหนงที่ 100 = 50 (สําหรบั ขอ มูลทีแ่ จกแจงความถีแ่ ลว จะใช N ) 22 การหาคามธั ยฐาน ตองเพิม่ ชอ งความถี่สะสมกอ น ดังนี้ x f cf x f cf 20 – 29 2 2 60 – 69 30 74 30 – 39 9 11 70 – 79 15 89 40 – 49 13 24 80 – 89 10 99 50 – 59 20 44 90 – 99 1 100 จะพบวา มัธยฐาน (คือตัวที่ 50) นน้ั อยใู นชน้ั “60 – 69” (เพราะเกินตวั ที่ 44 แตยงั ไมถ งึ 74) ⎛N −∑ fL ⎞ + (10)(503−044) = ⎜ fMed ⎟ ดังนั้น มธั ยฐาน Med = L + I ⎜ 2 ⎟ = 59.5 61.5 คะแนน ⎠ ⎝ L คือขอบลา งของชนั้ ทีม่ ธั ยฐานอยู คือ 59.5 ซ่งึ ชน้ั นน้ั มีความกวา ง I คือ 10 และมีความถี่เปน fMed คือ 30 สว น ∑ fL คือความถีส่ ะสมทีข่ อบลาง คือ 44 S ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤ÒÁ¸a °ҹ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËà aÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢o ÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò¹ (Áҡ仹oÂ) ËÃo× äÁ 2. ãËÊ §a e¡µÇÒ¤ÒÁa¸Â°Ò¹·¤èÕ Òí ¹Ç³ä´ oÂãÙ ¹ªé¹a 60 – 69 ¨Ã§i ËÃo× äÁ ¶ÒäÁã ªæÊ´§ÇÒ¤´i ¼i´ ค. ใหห าฐานนยิ มของคะแนนสอบ วธิ ีคิด ฐานนยิ มจะคํานวณงา ยทีส่ ุดในบรรดาคากลางท้งั สามอยา ง เพราะไมต อ งเพม่ิ ชองในตาราง ... ฐาน นิยมจะอยใู นชน้ั ที่มีความถีส่ งู สดุ ในตัวอยา งนีก้ ็คือชน้ั “60 – 69” คะแนน จาํ นวนนกั เรียน คะแนน จาํ นวนนักเรียน 20 – 29 2 60 – 69 30 30 – 39 9 70 – 79 15 40 – 49 13 80 – 89 10 50 – 59 20 90 – 99 1 คาํ นวณจาก Mo = L + I ⎛ dL dL dU ⎞ = 59.5 + (10)( 10 ) = 63.5 คะแนน ⎜⎝ + ⎠⎟ 10 + 15 L คือขอบลา งของชั้นทีฐ่ านนิยมอยู คือ 59.5 ... ซง่ึ ชน้ั นนั้ มีความกวา ง I คือ 10 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 368 สถติ ิ สวน dL คือผลตางความถี่ ชัน้ นนั้ กบั ช้ันที่คาขอมลู นอ ยลง (ขอบลา ง) คือ 30-20 = 10 dU คือผลตา งความถี่ ชัน้ น้ันกบั ชนั้ ทีค่ าขอมูลมากขน้ึ (ขอบบน) คือ 30-15 = 15 S ¢o ¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Ò°Ò¹¹iÂÁ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËà aÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò ¹ (Áҡ仹o Â) ËÃo× äÁ 2. ãËʧa e¡µÇÒ¤Ò °Ò¹¹iÂÁ·è¤Õ Òí ¹Ç³ä´ oÂãÙ ¹ªé¹a 60 – 69 ¨Ã§i ËÃo× äÁ ¶ÒäÁãªæ Ê´§ÇÒ¤i´¼i´ ง. เมื่อนําความถีใ่ นตารางไปสรางเสน โคงของความถี่ จะพบวา มีการแจกแจงแบบใด (ขอ ง. นี้ ใชความรูในบทเรียนสถิติ (2) ประกอบดวย) ตอบ มีวธิ ีคดิ สองแบบ คือดแู นวโนม จากคาความถี่ในตาราง พบวาซีกขวาสูงกวา ซีกซา ย กไ็ ด หรือจะดู จากคาที่คํานวณไวในขอ ก. ถงึ ค. กไ็ ด ... X < Med < Mo แสดงวา เปน โคงเบซา ย จ. หากตดั อนั ตรภาคชน้ั 20 – 29 และ 30 – 39 ท้ิงไป ใหเหลือขอ มลู เพียง 89 จาํ นวน แลว คาเฉลี่ยเลขคณติ มัธยฐาน และฐานนยิ ม จะเปลีย่ นแปลงอยางไร ตอบ คา เฉลี่ยเลขคณติ และมัธยฐาน จะเพม่ิ ขน้ึ (คิดงายๆ วาถาเพม่ิ ขอ มลู ในชน้ั ลา งสดุ มากๆ คาเฉลีย่ เลขคณิตและมัธยฐาน ยอ มถกู ดงึ ใหลดลง ดงั น้ัน ในทางกลบั กนั ถา ตัดชัน้ ลา งสุดทงิ้ ไป คา เฉลี่ยเลขคณติ และมธั ยฐาน ก็ยอ มเพ่ิมขึ้น) สวนฐานนิยมนนั้ เทา เดมิ สงั เกตไดจากสองชน้ั ลางสุดไมไ ดม ีผลในการคํานวณฐานนยิ มเลย นอกจากการคํานวณจากข้อมูลโดยตรงแลว้ เรายังสามารถหาคา่ มัธยฐานได้จากเสน้ โคง้ ของ ความถ่สี ะสม และหาฐานนยิ มได้จากฮสิ โทแกรม ดงั ภาพ cf (ความถสี่ ะสม) การหาคา่ มธั ยฐานจาก f (ความถ)ี่ การหาคา่ ฐานนยิ มจากฮสิ โทแกรม N เสน้ โค้งของความถี่สะสม N/2 O Med xO Mo x ในการคาํ นวณค่ากลาง จะพบวา่ ข้อมลู บางลกั ษณะไมเ่ หมาะสมกบั ค่ากลางบางชนิด ซึ่งมี ผลสรุปไวค้ รา่ วๆ ดงั ตารางนี้ แจกแจง ยังไม่ ลักษณะขอ้ มูล ค่าเฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม แล้ว แจกแจง - ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ ไมเ่ หมาะสม ไมเ่ หมาะสม ใช้ได้ - เกาะกลมุ่ กนั ปกติ ใชไ้ ด้ ใช้ได้ ใชไ้ ด้ - บางคา่ ตา่ งไปจนผดิ ปกติ ไมเ่ หมาะสม ใช้ได้ ใช้ได้ - ทุกชนั้ กวา้ งเท่ากัน ใชไ้ ด้ ใช้ได้ ใชไ้ ด้ - มอี ันตรภาคช้นั เปดิ ไมเ่ หมาะสม ใชไ้ ด้ ใช้ได้ - บางชัน้ กวา้ งไมเ่ ท่ากนั ไมเ่ หมาะสม ใชไ้ ด้ ไมเ่ หมาะสม Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 369 สถิติ สมบัติของคา่ เฉล่ยี เลขคณติ (1) NX = N ค่าเฉล่ียเลขคณิต คูณกับจํานวนข้อมูล จะไดเ้ ปน็ ผลรวมขอ้ มูลทงั้ หมด ∑ xi i=1 (2) N ผลรวมของค่าเบยี่ งเบนทัง้ หมดเปน็ ศูนย์ ∑ (xi − X) = 0 i=1 (3) N − K)2 จะนอ้ ยทสี่ ุด กเ็ มือ่ K = X ∑ (xi i=1 สมบัติของมธั ยฐาน N จะน้อยทส่ี ดุ กเ็ มือ่ K = Med (คล้ายข้อ 3 ของ X ) ∑ xi − K i=1 สมบตั ิของค่ากลางทัง้ 3 ชนิด (1) คา่ กลางท่ีได้ จะมีค่าอย่รู ะหวา่ งข้อมูลท่นี ้อยที่สดุ กับมากทสี่ ดุ เสมอ (2) ถ้าข้อมูลชุด Y ทกุ ๆ ตวั สมั พันธก์ บั ขอ้ มูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ yi = m xi + c จะได้ว่า (ค่ากลางของY) = m ⋅ (ค่ากลางของX) + c ดว้ ย เช่น Y = m X + c • ตวั อยา ง ใหหาคา a ที่ทําให 5 (a − xi)2 มีคา นอ ยทีส่ ุด สาํ หรบั ขอมูล x : 2, 3, 6, 12, 20 ∑ i=1 8 และหาคา b ที่ทาํ ให ∑ b − yi มีคา นอ ยที่สดุ สําหรบั ขอ มูล y : 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 i=1 ตอบ คา a กค็ ือ X นัน่ เอง เพราะ 5 (a − xi)2 กเ็ หมือนกับ 5 (xi − a)2 ดงั นนั้ a = 8.6 ∑ ∑ i=1 i=1 88 สวนคา b ก็คือ Medy เพราะ ∑ b − yi เหมือนกบั ∑ yi− b ดงั นน้ั b = 7.5 i=1 i=1 • ตัวอยา ง ในการวดั ความสงู ของนกั เรียนกลุมหนง่ึ ไดคา เฉลีย่ เลขคณิตเปน 155 ซม. แตพ บวาไมเ มตรที่ ใชใ นการวดั มีขอ ผดิ พลาด สวนสงู จริงของแตละคนตอ งเพมิ่ ข้นึ 3 ซม. แสดงวาคา เฉลีย่ เลขคณิตที่แทจรงิ เปน เทา ใด ตอบ ขอมลู ทุกตวั ถกู บวก 3 ดงั น้นั คา เฉลี่ยเลขคณติ ก็บวก 3 เปน 158 ซม. • ตัวอยาง ในการวดั ความสงู ของนกั เรียนกลุมหนงึ่ ไดคาเฉลี่ยเลขคณติ เปน 155 ซม. แตพ บวา ไมเมตรที่ ใชใ นการวดั มีขอผิดพลาด สว นสงู จรงิ ของแตล ะคนตอ งเพม่ิ ขึน้ เปน 1.02 เทา แสดงวาคา เฉลีย่ เลขคณิตที่ แทจรงิ เปนเทา ใด ตอบ ขอ มูลทกุ ตัวถูกคณู 1.02 ดังนัน้ คาเฉลี่ยเลขคณติ กค็ ณู 1.02 เปน 158.1 ซม. • ตวั อยา ง สมการแทนความสัมพนั ธร ะหวางนํ้าหนกั ( W : กก.) กบั สว นสงู (H : ซม.) ของนกั เรียน กลุม หนง่ึ เปน W = H − 2 ถาทราบวา สว นสงู เฉลีย่ เทา กับ 162 ซม. แลวน้าํ หนกั เฉลีย่ จะเปน เทาใด 3 ตอบ เนื่องจาก W = H − 2 เสมอ ทกุ ๆ คา H 3 ดงั น้นั W = H − 2 ดว ย ... สรปุ วา W = 162 − 2 = 52 กก. 33 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 370 สถติ ิ 4. ค่ากลางอื่นๆ (ไม่นยิ มใช้) คา่ เฉล่ียเรขาคณติ (Geometric Mean; GM) ใช้แทนค่าเฉล่ยี เลขคณิต ในกรณที มี่ ีขอ้ มูลบางตวั คา่ สูงหรอื ตํา่ ผิดปกติ เพราะค่าเหลา่ นี้มีผล เปลย่ี นแปลงคา่ เฉล่ียเรขาคณติ ไมม่ ากนกั ขอ้ มูลท่ยี ังไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี N GM = N x1x2x3...xN = N ∏ xi i=1 xi คอื ขอ้ มลู ตวั ท่ี i, และมขี อ้ มลู ทง้ั หมด N ตัว โดยทุกขอ้ มูลเป็นจํานวนจริงบวก k x x∑ fi ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถีแ่ ลว้ GM = f1 f2 x3f3 ...xkfk =N k i=1 12 ∏ xifi i=1 xi กง่ึ กลางชัน้ ที่ i, fi คอื ความถีช่ ัน้ ที่ i, มีทงั้ หมด k ชั้น, และมขี อ้ มลู ทงั้ หมด N ตัว โดยทกุ ขอ้ มลู เป็นจาํ นวนจรงิ บวก หมายเหตุ 1. สัญลักษณ์ ∏ (Pi) ใชแ้ ทนผลคูณ โดยมีตัวแปร i กาํ กบั ไว้วา่ ในแต่ละตัวคณู จะแปรคา่ จากเทา่ ใดจนถงึ เท่าใด (เช่น i = 1 ถึง N) คลา้ ยสัญลกั ษณ์ ∑ (Sigma) 2. นิยมใช้สมบัติของ log ชว่ ยในการคาํ นวณรากที่ N ดงั น้ี ... และlog GM1N 1 N = n log xi log GM = n fi log xi ∑ ∑ i=1 i=1 คา่ เฉลีย่ ฮารโ์ มนิก (Harmonic Mean; HM) ใช้หาคา่ เฉลย่ี ของข้อมลู ทีเ่ ปน็ อัตราสว่ น เช่น กิโลเมตรตอ่ ชัว่ โมง, ราคาตอ่ ชิน้ ฯลฯ ขอ้ มลู ท่ียังไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ HM = N = N +1 1+ 1 + ... + 1 N ⎛ 1 ⎞ x1 x2 x3 xN ⎜⎝ xi ⎠⎟ ∑ i=1 xi คือขอ้ มลู ตวั ที่ i, และมีขอ้ มลู ทง้ั หมด N ตวั k ∑ fi ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถแี่ ล้ว f1 + f2 + f3 + ... + fk = i=1 =N HM = f1 + f2 + f3 + ... + fk k ⎛ fi ⎞ k ⎛ fi ⎞ x1 x2 x3 xk ⎜ xi ⎟ ⎜ xi ⎟ ∑ ⎝ ⎠ ∑ ⎝ ⎠ i=1 i=1 xi ก่ึงกลางชัน้ ท่ี i, fi คอื ความถชี่ ั้นท่ี i, มีท้งั หมด k ช้นั , และมีข้อมูลทัง้ หมด N ตวั ก่ึงกลางพิสยั (Midrange) ขอ้ มูลทย่ี งั ไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี Midrange = xmax + xmin 2 xmax คอื ข้อมลู ทมี่ คี ่าสูงทส่ี ดุ , Xmin คือขอ้ มูลทีม่ คี า่ ตา่ํ ทส่ี ดุ ข้อมูลท่แี จกแจงความถแี่ ล้ว Midrange = Umax + Lmin 2 Umax คือขอบบนของชน้ั ท่คี า่ ขอ้ มลู สงู ทสี่ ุด, Lmin คอื ขอบลา่ งของชน้ั ท่คี า่ ขอ้ มลู ตา่ํ ทสี่ ดุ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 371 สถติ ิ แบบฝกึ หัด 17.2 (1) ส่วนสูงนกั เรียน 8 คน วดั ไดด้ ังน้ี 112, 120, 114, 122, 112, 110, 114, 112 ซม. จงหาค่าเฉลี่ย เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม (2) [Ent’38] จากข้อมลู ท่กี ําหนดให้ ชดุ A: 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3 และชดุ B: 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ข้อใดถกู หรือผิดบา้ ง ก. คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมลู สองชดุ นี้ เทา่ กัน ข. มธั ยฐานของข้อมลู สองชดุ น้ี เทา่ กัน (3) [Ent’31] ข้อมลู ชุดหนึง่ ประกอบดว้ ย 5, 1, 3, 2, 5, 4, 2, 7, 8, 3, 2, 1, 9, 8, 3, 5, 6, 9, 4, 3 แล้วข้อมลู ชุดนมี้ ีการแจกแจงแบบใด คา่ เฉลยี่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยมเปน็ เท่าใด (4) จงหาขอ้ มลู 4 จํานวน ซ่ึงมีฐานนิยมและมัธยฐานเป็น 70 เท่ากัน มคี ่าเฉลี่ยเลขคณิตเปน็ 75 และพสิ ยั เปน็ 80 (5) ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของคะแนนสอบของนกั เรียน 10 คน เปน็ 65 คะแนน ถ้านกั เรียน 7 คนแรก มคี ะแนนสอบดังนี้ 55, 43, 67, 80, 85, 74, 38 คะแนน สว่ นอกี 3 คน มคี นไดค้ ะแนนเทา่ กัน 2 คน และมากกว่าอีกคนหนึง่ อยู่ 11 คะแนน จงหามัธยฐาน และฐานนยิ มของคะแนนสอบของนักเรยี น 10 คนนี้ (6) [Ent’ต.ค.41] ขอ้ มลู ชุดหน่ึงเรยี งลาํ ดับจากนอ้ ยไปมากได้ 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถา้ ฐานนิยมและมัธยฐานเปน็ 30 และ 40 ตามลําดับแล้ว ข้อมลู ชุดต่อไปน้ีจะมคี า่ เฉลี่ยเลข คณติ เทา่ ใด 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 (7) [Ent’40] คะแนนสอบของนักเรยี นกลมุ่ หนง่ึ มเี สน้ โค้งความถ่เี ปน็ โค้งเบซ้ า้ ย โดยท่ี 80 เปอร์เซ็นตข์ องนกั เรียนท้ังหมดสอบได้คะแนนเท่ากันคือ 75 คะแนน สมชายสอบไดค้ ะแนนเท่ากับ ค่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบ โดยทคี่ ะแนนของสมชายตา่ งจากฐานนิยมอยู่ 6 คะแนน สมชาย สอบไดค้ ะแนนเท่าใด (8) ครอบครวั หนึ่งมีบตุ ร 5 คน คนโตอายุ 15 ปี คนสดุ ท้องอายุ 4 ปี คา่ เฉลย่ี อายบุ ตุ รทุกคนเป็น 11 ปี มธั ยฐานเปน็ 12 ปี หากบุตรคนที่ 4 อายุน้อยกวา่ คนท่ี 2 อยู่ 4 ปี จงหาค่าเฉลีย่ ของอายุบตุ ร ในอกี 3 ปขี า้ งหน้า (9) [Ent’41] ความสัมพันธ์ระหว่างกาํ ไร (y) และราคาทุน (x) ของสนิ ค้าชนดิ หนง่ึ เป็น y = 7 + 0.25 x ถ้าราคาทนุ ของสนิ ค้า 5 ชน้ิ เป็น 32, 48, 40, 56, 44 บาท แล้ว จงหา คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของกําไรของสินคา้ 5 ชิ้นน้ี (10) [Ent’22] จากการวเิ คราะห์ความสัมพนั ธร์ ะหว่างน้าํ หนกั (กก.; W) กับสว่ นสงู (ซม.; H) ของ คน 15 คน พบวา่ เปน็ ไปตามสมการ 3 W = H − 15 ถ้าค่าเฉลย่ี ของส่วนสูง 6 คนแรกเป็น 159 ซม. และของอีก 9 คนทีเ่ หลอื เป็น 156 ซม. ใหห้ าคา่ เฉลีย่ ของนา้ํ หนกั คน 15 คนน้ี (11) ข้อมูลชุดหน่งึ มี X เปน็ 11 ถ้ามขี อ้ มลู ค่า 29 เพ่มิ อีกตัว จะทาํ ให้ X กลายเปน็ 13 ใหห้ าวา่ เดิมมีขอ้ มูลอยู่กต่ี ัว (12) ข้อมูล N จํานวน มีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตเป็น 15 ภายหลงั พบว่าอา่ นข้อมูลผิด คือจาก 21 อ่านผดิ เปน็ 12 จึงทาํ การหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ใหมไ่ ดเ้ ป็น 16 จงหาจํานวนข้อมูล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 372 สถติ ิ (13) จากการหาตัวกลางเลขคณิต หรือ X ของขอ้ มลู 10 ตวั ได้ค่าเปน็ 12 แต่ปรากฏวา่ อ่านข้อมูล ผิดไป จากข้อมูลจริงคือ 3 แต่อ่านเป็น 8 ดงั น้นั ค่า X ท่ีแทจ้ รงิ คอื เทา่ ใด (14) นาํ้ หนกั เฉลีย่ ของนกั เรยี นชายเปน็ 70 กก. นักเรียนหญิงเป็น 55 กก. และนํ้าหนักเฉล่ียของ นักเรยี นท้งั หมด 150 คน เปน็ 60 กก. ใหห้ าจาํ นวนนกั เรยี นชาย และนกั เรยี นหญิง (15) จากผลสอบของนักเรียน 30 คนในหอ้ งหนง่ึ พบว่าคา่ เฉลี่ยของคะแนนนกั เรียนชายเท่ากบั จาํ นวนนกั เรียนชายพอดี และคา่ เฉล่ียของคะแนนนกั เรยี นหญิงกเ็ ทา่ กบั จาํ นวนนกั เรยี นหญงิ ด้วย หาก คา่ เฉลีย่ รวมท้ังห้องเป็น 50/3 คะแนน และจาํ นวนนักเรียนชายนอ้ ยกว่านกั เรยี นหญิง จงหาจาํ นวน นกั เรยี นชาย (16) คนกลมุ่ หนึ่งเป็นชาย 40 คน และหญิง 60 คน เงนิ รวมกนั 18,630 บาท ถ้าค่าเฉลย่ี ของเงนิ ท่ี ผหู้ ญิงมีน้อยกว่าคา่ เฉลย่ี ของเงินที่ผชู้ ายมี อยู่ 10 บาท จงหาผลรวมของค่าเฉลยี่ ท้งั สองน้ี (17) [Ent’41] ตารางตอ่ ไปน้ีเป็นเกณฑก์ ารคิดคะแนนทผ่ี ู้สอนกาํ หนดไว้ และผลการเรยี นของ นกั เรยี นคนหน่งึ ถ้านักเรยี นคนนไ้ี ดค้ ะแนนเฉลี่ยตลอดภาคเป็น 79% แลว้ ให้หาคะแนนสอบปลาย ภาคทีน่ ักเรยี นคนน้ีได้รบั เกณฑ์ การบา้ น สอบย่อย สอบปลายภาค คะแนนทีไ่ ด้ (100) ครั้งท่ี 1 ครัง้ ท่ี 2 30% 20% 20% 30% 92 84 63 (18) [Ent’มี.ค.44] กาํ หนดให้ x1, x2, ..., x10 มคี ่าเปน็ 5, 6, a , 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดบั โดยท่ี a < 15 ถ้าพสิ ัยของข้อมลู ชุดนี้คอื 12 b เปน็ จํานวนจรงิ ท่ที าํ ให้ 10 มคี ่าน้อยทีส่ ดุ ∑ (xi − b)2 i=1 และ c เปน็ จํานวนจริงที่ทําให้ 10 xi − c มีค่านอ้ ยที่สุด แลว้ a + b + c มีค่าเทา่ ใด ∑ i=1 (19) [Ent’มี.ค.43] ข้อมูลชุดหน่งึ ประกอบดว้ ย x1, x2, ..., x20 โดยมีสมบตั ดิ ังน้ี 20 มีคา่ น้อยที่สุดเมอ่ื a = 5 และ 20 − b)2 มคี า่ นอ้ ยที่สุดเม่ือ b = 8 ∑ xi − a ∑ (xi i=1 i=1 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดถกู หรือผดิ บา้ ง ก. ขอ้ มลู ชุดนี้มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่ามัธยฐาน ข. ผลรวมของข้อมูลชดุ นท้ี ั้งหมด เท่ากบั 100 (20) กาํ หนดให้ 3 และ 3 หากตอ้ งการให้ 3 − a)2 มคี ่านอ้ ยทีส่ ดุ ∑ (xi + yi) = 9 ∑ (xi − yi) = 7 ∑ (xi i=1 i=1 i=1 เท่าทีเ่ ป็นไปได้ a ตอ้ งมีค่าเท่าใด (21) กําหนดข้อมลู ชุดหน่งึ เป็น x1, x2, x3, ..., xN และกําหนดเงอื่ นไขตอ่ ไปนี้ จงหาคา่ X (21.1) 20 + 1)2 = 20 − 3)2 ∑ (xi ∑ (xi i=1 i=1 (21.2) 8 = 1 และ 8 = 9 ∑ (xi + 1)2 ∑ (xi + 2)2 i=1 i=1 (21.3) N =A และ N =B ∑ x2i ∑ (xi + 2)2 i=1 i=1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 373 สถติ ิ (22) ให้หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ ม ของข้อมูลตารางแจกแจงความถ่ีตอ่ ไปน้ี (22.1) ข้อมูล ความถ่ี (22.2) คะแนน ความถี่ 3 – 5 10 0 – 19 5 6 – 8 12 20 – 39 10 9 – 11 15 40 – 59 15 12 – 14 5 60 – 79 25 15 – 17 3 80 – 99 20 (22.4) อนั ตรภาคช้นั ความถ่ี (22.3) อันตรภาคชน้ั ความถ่ี 30 – 39 1 40 – 49 2 10 – 14 10 50 – 59 6 15 – 19 12 60 – 69 20 20 – 24 15 70 – 79 21 25 – 29 9 80 – 89 8 30 – 34 4 90 – 99 2 (22.5) อันตรภาคชน้ั ความถ่ี รวม 60 0–9 5 10 – 19 8 (22.6) รายได้ (บาท) จาํ นวนคน 20 – 29 7 2,100 – 2,199 1 30 – 39 12 2,000 – 2,099 2 40 – 49 28 1,900 – 1,999 6 50 – 59 20 1,800 – 1,899 10 60 – 69 10 1,700 – 1,799 12 70 – 79 10 1,600 – 1,699 7 รวม 100 1,500 – 1,599 2 รวม 40 (22.7) ราคา (บาท) 90 – 94 95 – 99 100 – 104 105 – 109 110 – 114 จาํ นวนร้านคา้ 5 20 30 35 10 (22.8) นํา้ หนัก (กก.) 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74 ความถ่ีสมั พทั ธ์ 0.05 0.18 0.42 0.27 0.08 (23) [Ent’30] ความสมั พันธร์ ะหว่างค่าท่สี งั เกตได้ กับรอ้ ยละของความถ่ีสะสมสัมพัทธข์ องค่าเหลา่ นี้ เป็นไปตามตาราง ใหห้ าค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มูล x -4 -3 1 2 3 y 30 50 60 80 100 (24) จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบ จากผลสอบดงั ตอ่ ไปนี้ นอ้ ยกว่า 10 คะแนน 5 คน นอ้ ยกวา่ 50 คะแนน 60 คน นอ้ ยกว่า 20 คะแนน 13 คน น้อยกว่า 60 คะแนน 80 คน น้อยกวา่ 30 คะแนน 20 คน นอ้ ยกวา่ 70 คะแนน 90 คน น้อยกว่า 40 คะแนน 32 คน น้อยกว่า 80 คะแนน 100 คน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 374 สถิติ (25) [Ent’ม.ี ค.42] เม่ือสร้างตารางแจกแจงความถขี่ องคะแนนของนักเรียน 36 คน โดยใชค้ วาม กวา้ งแต่ละอันตรภาคช้นั เปน็ 10 แล้ว ปรากฏว่ามธั ยฐานของคะแนนท้งั หมดอยใู่ นชว่ ง 50 – 59 ถ้า มนี กั เรยี นทส่ี อบได้คะแนนต่าํ กว่า 49.5 อยู่ 12 คน และตา่ํ กวา่ 59.5 อยู่ 20 คน แล้ว มัธยฐาน ของคะแนนสอบมคี า่ เทา่ ใด (26) [Ent’38] อายุของเด็กกลุ่มหนึ่งมกี ารแจกแจงดงั นี้ ถา้ มัธยฐานเป็น 7 ปีแลว้ a มีคา่ เทา่ ใด อายุ (ป)ี 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12 จํานวนเดก็ 3 a 6 4 (27) ตารางตอ่ ไปน้ีแสดงรายจ่ายตอ่ เดอื นของครอบครัวจํานวน 100 ครวั เรือน หากมัธยฐานเปน็ 49.5 แล้วคา่ f1 , f2 เป็นเทา่ ใด รายจ่าย (ร้อยบาท) 0 – 19 20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99 จาํ นวนครวั เรือน 14 f1 28 f2 15 (28) [Ent’35] ในการสอบวชิ าภาษาไทยของนกั เรยี น 25 คน สมัยเป็นนกั เรียนคนหนึ่งทีเ่ ขา้ สอบ พบว่าได้ 62 คะแนน เป็นมธั ยฐานพอดี และมี 8 คนทไี่ ด้สงู กวา่ 69 คะแนน ถ้ามกี ารจดั กลุม่ คะแนนสอบเป็นชว่ งๆ กว้างเทา่ กนั และคะแนนของสมัยตกอยใู่ นอันตรภาคชน้ั 60 – 69 แล้ว จาํ นวนนกั เรยี นท่ีสอบไดใ้ นช่วง 60 – 69 คะแนน เป็นเทา่ ใด 17.3 ตาํ แหนง่ สมั พัทธ์ของข้อมูล ในหัวขอ้ ท่ีแล้วเราไดศ้ ึกษาการหาค่ากลางของข้อมูล ซ่งึ เป็นตัวเลขท่ีใช้แทนคา่ ข้อมลู ท้ังหมด ทีน่ ยิ มใช้มี 3 ชนิด ไดแ้ ก่ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม โดยที่ มัธยฐาน เป็นคา่ ขอ้ มลู ใน ตาํ แหนง่ ก่ึงกลางเมอ่ื ถูกเรียงลําดบั จากนอ้ ยไปมากแลว้ คา่ มธั ยฐานบอกให้ทราบว่า มขี ้อมลู ท่ีค่าสูง กวา่ คา่ น้ี และค่าตํา่ กวา่ คา่ นี้ อยูเ่ ปน็ ปริมาณเท่าๆ กนั เม่ือเรยี งลาํ ดับข้อมูลจากน้อยไปมากแล้ว นอกเหนอื จากการระบตุ ําแหน่งกึ่งกลางของข้อมลู (คอื แบง่ ข้อมูลออกเป็นสองส่วนเทา่ ๆ กนั ) เรายังสามารถระบุตําแหน่งใดๆ ของขอ้ มลู กไ็ ด้ (คือแบง่ ข้อมูลออกเป็นก่ีส่วนก็ได)้ ถา้ เราแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆ กนั จดุ แบง่ ท้งั สามจุดนั้นจะเรยี กวา่ ควอร์ไทล์ (Quartile) ที่ 1 หรอื Q1 , ควอรไ์ ทล์ที่ 2 ( Q2 ), และควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 ( Q3 ) ตามลาํ ดบั ความหมายของควอรไ์ ทล์ท่ี 1 คอื มีขอ้ มลู ทต่ี า่ํ กว่าค่าน้ีอยเู่ ปน็ ปริมาณ 1/4 และมากกว่าค่านี้อยู่อีก 3/4 โดยประมาณ Med Q1 Q2 Q3 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 น้อย x (ข้อมลู ) มาก การบอกตําแหนง่ ข้อมลู ที่นิยมใชก้ นั มีอีก 2 ชอื่ น่ันคือ เดไซล์ (Decile; D) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 10 สว่ น และ เปอร์เซน็ ไทล์ (Percentile; P) แทนการแบ่งข้อมลู เปน็ 100 ส่วน ท้ังมัธยฐาน ควอรไ์ ทล์ เดไซล์ และเปอร์เซน็ ไทล์ เรียกว่า ตําแหนง่ สมั พัทธ์ของขอ้ มูล (Relative Standing) การคํานวณหาค่าควอรไ์ ทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ต้องการ เปน็ แบบ เดียวกับการคาํ นวณหามธั ยฐาน ดังสรปุ ไดด้ ังนี้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 375 สถติ ิ ขอ้ มูลท่ียังไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ Qr คอื ข้อมูล ในตาํ แหนง่ ท่ี r (N + 1) Dr คือขอ้ มูล ในตาํ แหนง่ ท่ี r (N + 1) 4 10 Pr คือขอ้ มูล ในตาํ แหน่งที่ r (N + 1) 100 เมอ่ื มขี ้อมลู ทง้ั หมด N ตวั และเรยี งลาํ ดับจากนอ้ ยไปมากแลว้ ข้อมูลที่แจกแจงความถแี่ ลว้ Qr = L + I ⎛ r N − ∑ fL ⎞ Dr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ ⎜ 4 fQr ⎟ ⎜ 10 fDr ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Pr = L + I ⎛ r N− ∑ fL ⎞ ขอ้ สังเกต ใช้ r N, r N, r N โดยไมต่ อ้ งบวกหนงึ่ ⎜ 100 fPr ⎟ 4 10 100 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L คอื ขอบลา่ งช้นั ที่มีควอรไ์ ทล์ (หรอื เดไซลห์ รอื เปอร์เซน็ ไทล)์ ทตี่ อ้ งการอยู่ ซง่ึ ช้ันน้นั มคี วามกวา้ ง I และมีความถี่เป็น fQr (หรือ fDr หรอื )fPr ∑ fL คอื ความถสี่ ะสมทขี่ อบลา่ ง และสามารถหาคา่ ได้จากเส้นโค้งของความถส่ี ะสม cf (ความถส่ี ะสม) ดว้ ยเชน่ กนั ภาพด้านขวาเปน็ ตัวอยา่ งการหาคา่ ควอรไ์ ทลท์ ี่ 1, 2, และ 3 จากกราฟ N 3N/4 2N/4 N/4 O Q1 Q2 Q3 x (ข้อมูล) • ตวั อยาง ขอมูลนํา้ หนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนเปน ดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคา มัธยฐาน ควอรไ ทลท ี่ 3 และเปอรเ ซ็นไทลที่ 14 ของขอมลู ชุดดงั กลาว ตอบ (ตอ งเรียงลําดับขอมลู กอน กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52) ก. มธั ยฐาน อยตู ําแหนงกงึ่ กลาง คือตาํ แหนง ที่ 9+ 1 = 5 ... มีคาเปน Med = 46 กก. 2 ข. ควอรไ ทลท ี่ 3 อยตู ําแหนงที่ 3 (9 + 1) = 7.5 ... มีคา เปน Q3 = 50 + 51 = 50.5 กก. 4 2 ค. เปอรเ ซน็ ไทลท ี่ 14 อยูตาํ แหนง ที่ 14 (9 + 1) = 1.4 ... มีคา เปน 100 กก.P14 = 40 + 0.4 (42 − 40) = 40.8 ขอ สงั เกต : เมือ่ ตําแหนงที่ตอ งการนั้นไมล งตัว (เปน ทศนยิ ม) จะใชวธิ ีเทียบสดั สว นเอา เชน ขอมลู ตาํ แหนงที่ 1.4 หาโดย นาํ ขอ มลู ตาํ แหนงที่ 1 มาบวกเพม่ิ ไป 0.4 ของระยะหาง S ¨u´·è¼Õ i´ºoÂ! S ÊÁÁµiÇÒ Á¤Õ aæ¹¹¢o§¹¡a eÃÕ¹oÂÙ 200 ¤¹ e»oÃe«¹ç ä·Å· èÕ 75 ËÁÒ¶§Ö Êoºä´·èÕ 150 ãªÃÖe»ÅҤúa ... ¶Ò ¿§ e¼i¹æ ¡eç ËÁ×o¹¨a㪠海 ¨èÕ Ã§i æÅÇ äÁã ª¹ a¤Ãaº e¾ÃÒae»oÃe«ç¹ä·Å¹ é¹a eÃÕ§¨Ò¡¤aæ¹¹¹o Âä»ÁÒ¡ æµÊoºä´·èeÕ ·Òã´¹é¹a eÃÕ§¨Ò¡¤aæ¹¹Áҡ仹o  ©a¹¹éa µo §µoºÇÒ Êoºä´· èÕ 50 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 376 สถิติ • ตวั อยา ง สว นสงู ของนกั เรียนกลมุ หนงึ่ เปนดังนี้ สวนสงู (ซม.) จาํ นวนคน ความถีส่ ะสม (กอ นศกึ ษาตัวอยางนี้ ใหท บทวนการหามัธยฐานของ 150 – 154 5 5 ขอ มลู แบบตาราง ในตัวอยา งหัวขอ ที่แลว ) 155 – 159 10 15 ก. สมชายและสมหญงิ เปน นกั เรียนในกลุม 160 – 164 12 27 165 – 169 14 41 นี้ โดยสมชายมีสว นสูงอยูในตาํ แหนง ควอรไ ทลที่ 3 170 – 174 8 49 และสมหญิงมีสวนสูงอยูใ นตาํ แหนง เปอรเซ็นไทลท ี่ 175 – 179 7 56 45 ดงั นนั้ สมชายสงู กวาสมหญิงอยูเทา ใด 180 – 184 4 60 วิธีคิด การวดั ตาํ แหนง ของขอมลู (มัธยฐาน ควอรไ ทล เดไซล และเปอรเซ็นไทล) จะตอ งเพมิ่ ชองความถี่ สะสม (ซง่ึ ในตารางนีม้ ีแลว ) ... ควอรไ ทลท ี่ 3 อยตู ําแหนง ที่ 3 × 60 = 45 4 จะพบวา ควอรไ ทลที่ 3 (คือตวั ที่ 45) นน้ั อยใู นชนั้ “170 – 174” ⎛ 3N − ∑ fL ⎞ 169.5 + (5)(45 − 41) = ⎜ 4 ⎟ 8 = L + I ⎜ ⎟ = 172 fQ3 ⎠ ดงั นั้น ซม.Q3 ⎝ * ขอสงั เกต : ตาํ แหนงที่ตอ งการ (45) อยกู ึง่ กลางระหวาง 41 กับ 49 พอดี จึงทาํ ใหข อมูลทีค่ าํ นวณได เปน กง่ึ กลางช้นั (ระหวาง 170 – 174) และจะเปนแบบนีเ้ สมอ ดังนั้นถา พบวาตาํ แหนง ที่ตองการอยตู รงกลางพอดี กใ็ หตอบก่งึ กลางช้ันไดเ ลย ... ไมต อ งใชส ูตร ตอมา หาเปอรเ ซ็นไทลที่ 45 พบวาอยูตาํ แหนง ที่ 45 × 60 = 27 100 ซ่งึ ตาํ แหนง นี้อยตู ัวสดุ ทายของชน้ั “160 – 164” พอดี! จงึ ไดคา เปนขอบบนของชัน้ ดังนัน้ P45 = 164.5 ซม. (ไมต องใชส ตู รเชนกนั ) ถา ลองคํานวณจากสูตรกจ็ ะไดผ ลเทากนั P45 = 159.5 + (5)(27 − 15) = 164.5 ซม. 12 สรุปวา สมชายสงู กวาสมหญงิ อยู 172 − 164.5 = 7.5 ซม. ข. สว นสูง 159.5 เซนติเมตร คิดเปน เดไซลทีเ่ ทา ใด วธิ ีคิด สวนสงู 159.5 ซม. อยขู อบบนของช้นั “155 – 159” พอดี แปลวามีจาํ นวนคนทีส่ ว นสูงนอยกวา นี้ อยู 15 คน และมากกวา นีอ้ ยู (ที่เหลือ) 45 คน ดงั น้นั สวนสงู 159.5 ซม. คดิ เปน เดไซลท ี่ 15 × 10 = 2.5 60 (คือเทียบสดั สว น วาจาํ นวนคน 15 ใน 60 นน้ั คดิ เปน เทา ใดใน 10 สวน) แผนภาพชนดิ หน่ึงชว่ ยให้มองการกระจายของขอ้ มลู ในแต่ละส่วนย่อยๆ ได้ เรยี กว่า แผนภาพกล่อง (Box-and-Whisker Plot) ... เขยี นไดโ้ ดยอาศัยข้อมูลตา่ํ สดุ , ข้อมูลสูงสุด, และข้อมลู ในตําแหนง่ ควอรไ์ ทลท์ ่ี 1, 2, 3 เชน่ น้ําหนกั (กก.) ของนักเรยี น 9 คนไดแ้ ก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 พบว่า xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 , และ xmax = 52 จะเขยี นแผนภาพได้ดังนี้ (บรเิ วณ 40 – 43.5 และ 50.5 – 52 เรียกว่าหนวด หรือ Whisker, บรเิ วณ 43.5 – 50.5 เรียกวา่ กลอ่ ง หรอื Box) 40 42 44 46 48 50 52 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 377 สถิติ ทาํ ให้เราทราบว่า (1) ขอ้ มลู ในช่วง 40 – 43.5 และในช่วง 50.5 – 52 มีปริมาณเทา่ กัน (2) ขอ้ มลู ในช่วง 43.5 – 50.5 มีปรมิ าณเป็นครึ่งหน่ึงของทั้งหมด คอื 40 – 52 (3) ขอ้ มูลในชว่ ง Q2 – Q3 มีการกระจายมากทสี่ ดุ และชว่ ง Q3 – Q4 มกี ารกระจายนอ้ ยทส่ี ดุ แบบฝกึ หัด 17.3 (29) “สมพรสอบไดค้ ะแนนคดิ เป็นเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 80 จากจาํ นวนผู้สอบ 4,000 คน” ข้อใดถกู ต้อง ก. สมพรสอบไดท้ ี่ 80 ข. สมพรสอบได้ 80% ของคะแนนเต็ม ค. ผู้ทไ่ี ดค้ ะแนนน้อยกว่าสมพร มีประมาณ 80 คน ง. ผู้ท่ีไดค้ ะแนนมากกวา่ สมพร มีประมาณ 800 คน (30) ผลคะแนนสอบของนกั เรียน 15 คนเปน็ ดงั นี้ 16, 19, 32, 30, 4, 9, 4, 12, 20, 26, 12, 31, 20, 17, 24 จงหาคะแนนทต่ี รงกบั ควอร์ไทลท์ ี่ 3, เดไซล์ที่ 6, และเปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 80 (31) จากข้อมูลชุดหนง่ึ ไดแ้ ก่ 4, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 19, 23 จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของ ,P10 D2 , P60 และ Q3 (32) ข้อมูลท่เี รียงลําดับแลว้ เป็นดังนี้ 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, x, 23, 24, 27, 28, 30 ถ้าทราบว่า D6 = 20 แล้วจงหาคา่ x (33) กําหนดข้อมูลชดุ หนง่ึ เป็น 28, 15, 19, 11, 29, 12, 27, 24, 30 จงหาวา่ (33.1) 28 คดิ เปน็ เปอร์เซน็ ไทลท์ ีเ่ ทา่ ใด (33.2) 15 คิดเปน็ ควอรไ์ ทล์ที่เทา่ ใด Y (ความถี่สะสม) (34) ผลสอบของนักเรยี น 32 คน เขียนเปน็ 32 256 X (คะแนน) กราฟของความถี่สะสมได้ดังภาพ โดย O1 เสน้ โค้งนตี้ รงกับสมการ Y = 4 log2 X จงหาว่าควอร์ไทล์ที่ 3 กับเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 50 มคี า่ ตา่ งกนั อยูเ่ ท่าใด น้ําหนกั (กก.) จาํ นวน (คน) (35) จากการสํารวจนํ้าหนกั ของนกั เรียนไดผ้ ลดังตาราง จงหาเดไซล์ที่ 6 และเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 92 31 – 40 3 41 – 50 7 51 – 60 24 61 – 70 10 71 – 80 5 81 – 90 1 คะแนน จาํ นวนคน (36) ผลการสอบของนักเรียน 40 คนเป็นดงั ตาราง หาก 30 – 39 2 อาจารยต์ อ้ งการตดั เกรดเพียง 3 เกรดคือ A, B, F โดย 40 – 49 5 50 – 59 6 ตอ้ งการให้เกรด A มจี าํ นวนนกั เรยี น 20% เกรด B มจี าํ นวน 60 – 69 40% และท่ีเหลือไดเ้ กรด F ถามว่าจะต้องตัดเกรดทค่ี ะแนน 11 70 – 79 11 เท่าใด และหากได้ 71 คะแนนจะไดเ้ กรดใด 80 – 89 4 90 – 99 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 378 สถิติ ค่าจา้ ง (บาท) จาํ นวนคน (37) [Ent’37] กาํ หนดคา่ จ้างรายวันของคนงานกลมุ่ หน่ึงมีการ แจกแจงดงั ตาราง ถ้าขอ้ มลู ชุดนม้ี คี า่ เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 25 เปน็ 81 – 85 1 100.5 บาท และควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 เปน็ 110.5 บาทแลว้ จาํ นวน 86 – 90 3 คนงานทไ่ี ด้คา่ จา้ งรายวันตํ่ากวา่ 105.5 บาท เท่ากับเท่าใด 91 – 95 x 96 – 100 5 101 – 105 8 106 – 110 y 111 – 115 10 116 – 120 4 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล พจิ ารณาขอ้ มลู สองชุดได้แก่ ชดุ ที่ 1; 8, 10, 12, 20, 5, 1, 7, 7 มคี า่ เฉลยี่ เลขคณิต 7.5 และชดุ ท่ี 2; 8, 7, 7, 8, 7, 8, 8, 7 มคี า่ เฉล่ียเลขคณิต 7.5 เท่ากนั จะเห็นว่าค่ากลางของขอ้ มลู น้ันไม่สามารถบอกลักษณะขอ้ มูลชดุ ต่างๆ ได้อยา่ งสมบรู ณ์ ควรใช้อกี ค่าหน่งึ รว่ มกันด้วย นนั่ คือคา่ การกระจาย (Dispersion) คา่ การกระจายยิ่งมาก แสดงวา่ ข้อมูลย่งิ แตกต่างกนั ไม่เกาะกลุ่มกัน เชน่ ในตัวอย่างข้างตน้ ข้อมูลชดุ ที่ 1 จะมคี ่าการกระจายมากกว่าชดุ ที่ 2 การวัดการกระจายแบง่ เป็น 2 ประเภท คือ การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) ซงึ่ ใช้สําหรับขอ้ มลู ชดุ นน้ั เพียงชุดเดยี ว และการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) ซง่ึ ใช้ เปรยี บเทยี บการกระจายระหว่างขอ้ มูลสองชดุ ได้ การกระจายสัมบรู ณ์ท่ีนยิ มใช้ มี 4 แบบ ดงั นี้ 1. พิสยั (Range) เป็นคา่ ทวี่ ัดได้รวดเร็ว แต่จะมขี ้อผดิ พลาดมากหากข้อมูลบางจํานวนมีคา่ สูงเกินไป หรอื ตํา่ เกนิ ไปแบบ ผดิ ปกติ จงึ เหมาะกบั การวัดโดยคร่าวๆ ท่ีไมต่ อ้ งการความแม่นยาํ มากนัก ข้อมูลท่ียงั ไม่ได้แจกแจงความถี่ Range = xmax − xmin xmax คือขอ้ มลู ทม่ี คี า่ สูงทสี่ ดุ , xmin คือขอ้ มลู ทีม่ ีคา่ ตา่ํ ทส่ี ดุ ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถี่แลว้ Range = Umax − Lmin Umax คอื ขอบบนของชั้นท่ีคา่ ขอ้ มูลสูงที่สดุ , Lmin คอื ขอบลา่ งของชน้ั ทคี่ า่ ข้อมูลตาํ่ ทสี่ ุด 2. ส่วนเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์ (Quartile Deviation; QD) บางครงั้ เรยี กว่า กง่ึ พสิ ัยควอรไ์ ทล์ (Semi-interquartile Range) ถึงแมว้ า่ การวดั ท่ไี ดจ้ ะไมล่ ะเอียดนกั เพราะใชเ้ พียงขอ้ มูลท่ีใกลเ้ คียงกบั ควอร์ไทล์ท่ี 1 และ 3 เทา่ นัน้ แต่ก็มสี ว่ นดีเน่ืองจากใช้ได้กับการแจกแจงความถ่ีท่มี ่ีอนั ตรภาคชน้ั เปิด และใช้ไดก้ ับขอ้ มลู ชุดทมี่ บี าง จํานวนค่าสงู หรอื ตาํ่ เกนิ ไปแบบผดิ ปกติ ขอ้ มูลที่ยังไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี หรือขอ้ มูลทแี่ จกแจงความถี่แลว้ QD = Q3 − Q1 2 Q3 คอื ขอ้ มลู ในตําแหน่งควอรไ์ ทลท์ ่ี 3, Q1 คอื ขอ้ มูลในตําแหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 379 สถิติ 3. สว่ นเบยี่ งเบนเฉลีย่ (Mean Deviation; MD หรือ Average Deviation) เปน็ ค่าที่วัดได้ละเอียดกวา่ สองแบบแรกเพราะคาํ นวณจากข้อมลู ทุกตวั แต่มีข้อเสียทก่ี ารคาํ นวณ ยงุ่ ยากกวา่ ข้อมลู ท่ยี งั ไม่ได้แจกแจงความถี่ MD = x1 − X + x2 − X + ... + xN − X N N ∑ xi − X = i=1 N xi คือข้อมลู ตวั ท่ี i จากทง้ั หมด N ตัว, X คือค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มูล ข้อมลู ท่ีแจกแจงความถี่แลว้ MD = f1 x1 − X + f2 x2 − X + ... + fk xk − X k f1 + f2 + ... + fk ∑ fi xi − X = i=1 N xi ก่ึงกลางชนั้ ท่ี i จาก k ชน้ั ซง่ึ มคี วามถี่ fi , และมขี อ้ มูลทั้งหมด N ตัว, X คือคา่ เฉล่ยี เลขคณิต 4. ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation; SD หรอื s) เปน็ ค่าทนี่ ิยมใช้มากทีส่ ุด เนื่องจากมีความละเอียด เชื่อถอื ได้ สามารถคาํ นวณไดง้ า่ ยกว่าสว่ น เบ่ยี งเบนเฉลีย่ (โดยใช้สูตรทจ่ี ัดรูปแล้ว) และนําไปใชใ้ นการวิเคราะหข์ ้อมูลข้ันสงู ได้ ข้อมูลที่ยงั ไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี s= (x1 − X)2 + (x2 − X)2 + ... + (xN − X)2 = N ∑ (xi − X)2 i=1 NN หรือจดั รูปไดว้ ่า s = N ∑ x2i i = 1 − X2 N xi คอื ข้อมลู ตวั ที่ i จากทงั้ หมด N ตวั , X คอื คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มลู ข้อมลู ทีแ่ จกแจงความถแี่ ล้ว s= f1(x1 − X)2 + f2(x2 − X)2 + ... + fk(xk − X)2 = k ∑ fi(xi − X)2 i=1 f1 + f2 + ... + fk N N N k ∑ fidi หรอื จดั รูปไดว้ า่ s = ∑ fix2i ∑ fid2i เม่อื D = i=1 i = 1 − X2 = I ⋅ i = 1 − D2 N N N xi ก่ึงกลางชน้ั ท่ี i จาก k ชนั้ ซง่ึ มคี วามถ่ี fi , และมีข้อมูลท้งั หมด N ตวั , X คอื คา่ เฉลีย่ เลขคณติ di เปน็ จาํ นวนเตม็ โดยให้ชนั้ ทม่ี คี ่า a นน้ั เปน็ d = 0 และชน้ั ทมี่ ขี อ้ มลู คา่ นอ้ ยลง d = −1, −2, ... ไปเรอ่ื ยๆ สว่ นชัน้ ที่ขอ้ มลู คา่ สงู ขน้ึ d = 1, 2, ... ไปเร่ือยๆ ในตาํ ราสถติ ิ นยิ มใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเป็น σ (Sigma) และ s โดยใหน้ ิยามวา่ σ คอื ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทัง้ หมด เปน็ คา่ แท้จริง และ s คอื สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลมุ่ ตัวอย่าง เป็นคา่ ประมาณ น่นั คอื ถา้ N คอื จํานวนขอ้ มูลท้ังหมด และถูกสุม่ มาเปน็ ตัวอย่างจํานวน n ขอ้ มลู จะได้ N − μ)2 N และ s = n ∑N n X2 σ= ∑ (xi ∑ x2i − μ2 ∑ (xi − X)2 x2i i=1 = i=1 i=1 = i=1 − n−1 N N n−1 n−1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 380 สถิติ ขอ้ สังเกต 1. ในระดบั ประชากรใชต้ วั หารเปน็ N แต่ในระดบั ตัวอยา่ งใชต้ วั หารเป็น n – 1 ซึ่งกําหนดเช่นน้ีเพอ่ื ให้สนับสนุนสมบตั ติ า่ งๆ ในสถิตขิ ้ันสงู (และยังไม่กลา่ วถงึ ในระดบั ม.ปลาย) แต่ จะสงั เกตไดว้ ่า ยง่ิ มจี ํานวนข้อมูลมากๆ การใช้ตัวหาร N กบั n – 1 จะยิ่งให้ผลใกลเ้ คียงกนั 2. ในทางปฏิบตั ินยิ มใช้ตัวหารเป็น n – 1 เพราะมกั เป็นการคํานวณในระดับตัวอยา่ ง แต่การศึกษาระดบั ช้ันนี้ เราใช้ตวั หารเป็น N เพราะในโจทย์จะบอกข้อมลู ใหเ้ ราทราบครบทกุ ตวั และในหนังสือเลม่ นี้จะใชส้ ัญลักษณ์ s กล่าวรวมถงึ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานทั้งสองแบบ • ตัวอยาง อายุของสมาชิกในครอบครัวหนึ่งซ่งึ มี 5 คน ไดแ ก 15, 35, 35, 35, 55 ป ใหหาคาการกระจายของขอมลู ชดุ นี้ ในแบบตา งๆ ก. พิสยั ตอบ ปRange = 55 − 15 = 40 ข. สวนเบีย่ งเบนควอรไทล ตอบ การหาคา สว นเบี่ยงเบนควอรไทล จะตองรู Q1 และ Q3 กอ น Q1 อยใู นตําแหนง ที่ 1 × (5 + 1) = 1.5 ... ดงั นนั้ Q1 = 15 + 35 = 25 ป 4 2 Q3 อยูในตําแหนงที่ 3 × (5 + 1) = 4.5 ... ดังนั้น Q3 = 35 + 55 = 45 ป 4 2 สรุปวา QD = Q3 − Q1 = 45 − 25 = 10 ป 22 ค. สว นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ตอบ การหาคา สว นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ตองรู X กอ น ... X = 15 + 35 + 35 + 35 + 55 = 35 ป 5 จากสตู ร MD = 20 + 0 + 0 + 0 + 20 = 8 ป 5 (นําผลตางระหวา ง ขอ มูลแตล ะตวั กบั x มาเฉลีย่ กัน) ง. สวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน ตอบ การหาคาสว นเบีย่ งเบนมาตรฐาน ตอ งรู X กอ น ... คาํ นวณแลวในขอ ค. ได X = 35 ป จากสูตร SD = 202 + 02 + 02 + 02 + 202 = 160 ≈ 12.65 ป 5 (วิธีหา SD คลา ยกบั MD ... แตผ ลตา งทีไ่ ด ตองนํามายกกาํ ลงั สองทกุ ตัว และถอดรทู ตอนจบ) ขอ สังเกต : คา QD, MD, SD ที่ได จะใกลเคียงกันเสมอ สมบัติของค่าการกระจายสมั บูรณ์ (1) ค่าการกระจายเป็นบวกหรอื ศูนยเ์ สมอ โดยเป็นศนู ย์กเ็ มอ่ื ขอ้ มลู ทกุ ค่าเหมือนกันหมด (2) ถา้ ขอ้ มูลชุด Y ทุกๆ ตัว สมั พนั ธก์ ับข้อมูลชดุ X แตล่ ะตัว ตามสมการ yi = m xi + c จะได้ว่าค่าการกระจายของข้อมลู ชดุ Y เปน็ m เท่าของชดุ X ขอ้ สังเกต ค่ากลาง ถกู กระทบท้งั การบวกและคณู แต่ ค่าการกระจาย ถูกกระทบเฉพาะการคูณ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 381 สถติ ิ สมบัติของส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (1) จากสมบัติของค่าเฉลย่ี เลขคณติ ที่วา่ N − K)2 จะน้อยท่สี ุด กเ็ มื่อ K = X ∑ (xi i=1 ทาํ ใหเ้ ราทราบว่า ค่า M = ⎛ N (xi − K)2 ⎞ ÷ N จะน้อยทีส่ ดุ กเ็ ม่ือ M = SD (K = X) ⎝⎜ ⎟⎠ ∑ i=1 (2) ค่า s2 หรือ σ2 เรยี กวา่ ความแปรปรวน (Variance; Var) ความแปรปรวนรวม (Combined Variance หรือ Pooled Variance) ของข้อมูลหลายชดุ คาํ นวณจาก k ∑ Ni(s2i + X2i ) s2p + X2c = N1(s21 + X21) + N2(s22 + X22) + ... + Nk(s2k + X2k) = N1 + N2 + ... + Nk i=1 k ∑ Ni i=1 Xi คือค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มูลชดุ ที่ i, s2i คอื ความแปรปรวนของขอ้ มูลชดุ ท่ี i Ni คอื จาํ นวนของขอ้ มลู ชุดท่ี i จากทงั้ หมด k ชุด สว่ นการกระจายสัมพัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณไดจ้ ากการกระจายสมั บรู ณ์ โดยใชค้ าํ วา่ สัมประสิทธข์ิ อง... (Coefficient of…) นาํ หน้า ไดแ้ ก่ สัมประสิทธิข์ องพสิ ัย = xmax − xmin xmax + xmin สมั ประสิทธขิ์ องสว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ = Q3 − Q1 Q3 + Q1 สัมประสทิ ธ์ขิ องสว่ นเบยี่ งเบนเฉลี่ย = MD X สมั ประสิทธข์ิ องส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน = s X ซ่ึงสมั ประสิทธิข์ องสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานน้ี เปน็ คา่ การกระจายสัมพทั ธ์ทีน่ ิยมใช้มากทส่ี ุด เรียกส้ันๆ วา่ สัมประสิทธก์ิ ารแปรผัน (Coefficient of Variation; CV) ขอ้ สังเกต ค่ากลาง และ คา่ การกระจายสัมบรู ณ์ มหี น่วยอยา่ งเดียวกบั ขอ้ มลู ความแปรปรวน มหี นว่ ยเหมอื นข้อมลู ยกกาํ ลังสอง แต่ คา่ การกระจายสัมพัทธ์ ไม่มีหนว่ ย • ตวั อยา ง (ตวั อยางนีม้ ีการทบทวนเนื้อหาเรื่องสมบตั ิของคากลางดวย) ในการสอบครั้งหน่งึ คา เฉลีย่ เลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนกั เรียน เปน 14 คะแนน และ 1.4 คะแนน2 ตามลาํ ดับ ก. หากผสู อนเพมิ่ คะแนนเก็บใหท กุ คน คนละ 5 คะแนน แลว คา เฉลี่ยเลขคณติ และความ แปรปรวนของคะแนนชุดใหม เปน เทา ใด ตอบ ขอมูลทุกตวั ถกู บวก 5 ดังนนั้ คาเฉลี่ยเลขคณิตก็บวก 5 เปน 19 คะแนน แตการบวกไมม ีผลตอ คาการกระจาย ดังน้ัน ความแปรปรวนยังคงเปน 1.4 คะแนน2 ข. หากผูสอนปรบั คะแนนเต็มจากเดมิ 20 คะแนน ใหก ลายเปน 60 คะแนน แลว คาเฉลีย่ เลขคณติ และความแปรปรวนของคะแนนชดุ ใหม เปนเทาใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 382 สถิติ ตอบ ขอ มลู ทุกตัวถูกคูณ 3 ดังนัน้ คา เฉลีย่ เลขคณติ ก็คณู 3 เปน 52 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( s ) กจ็ ะกลายเปน 3 เทา จากเดิมดวย แตข อนี้คดิ ความแปรปรวน ( s2 ) ดังน้ันจะตองเพมิ่ ข้นึ เปน 1.4 × 32 = 12.6 คะแนน2 หมายเหตุ : สว นเบี่ยงเบนมาตรฐาน s2= 3s1 ทาํ ใหค วามแปรปรวน s22= (3s1)2 = 32s21 แบบฝกึ หัด 17.4 (38) ข้อมูลชุดหน่ึงมีคา่ 12, 14, 14, 17, 18, 21 จงหาค่าการกระจายสมั บรู ณ์ทง้ั ส่แี บบ (39) โค้งความถ่ีสะสมของคะแนนนกั เรียนจํานวน 400 คน เป็นไปตามสมการ F = 100 log4 X จง หาคา่ ส่วนเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ (40) ขอ้ มูลชุดหนง่ึ มีสว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทลเ์ ป็น 2 และสัมประสิทธิ์ของสว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์เปน็ 2/3 จงหาค่าเปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ 75 (41) [Ent’38] ข้อมลู 4 จาํ นวนมคี ่าดังน้ี 5, a, b, 1 โดยท่ี 1 < a < b ถ้าขอ้ มูลชุดนี้มีค่าเฉลย่ี เลขคณติ เท่ากับ 4 และความแปรปรวนเท่ากบั 5 แลว้ จงหาคา่ ของ b – a (42) [Ent’37] ขอ้ มูล 7 จาํ นวนมคี ่าต่างกันดงั น้ี 9, 6, 15, a, 2, 4, 12 โดยที่ 2 < a < 12 ถ้า คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูลเปน็ 2 เทา่ ของสว่ นเบยี่ งเบนควอร์ไทล์ ค่า a จะเปน็ เท่าใด (43) ในการวัดความสงู ของนักเรยี น คาํ นวณค่า s ได้ 10 ซม. แต่พบวา่ สเกลของไม้เมตรผดิ พลาด ขาดไป 10% ของสว่ นสูงจริง ดังน้นั คา่ s ที่ถูกตอ้ งคอื เทา่ ใด (44) นกั เรยี นคนหนึง่ คดิ วา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตเปน็ 42 จึงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานได้ 6 แตม่ าพบว่า ท่ีจรงิ ค่าเฉลย่ี เลขคณิตเปน็ 40 ดังนัน้ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานทีแ่ ท้จรงิ เป็นเท่าใด (45) จงหาคา่ ความแปรปรวนของข้อมลู แตล่ ะชุด และความแปรปรวนรวมของท้ังสองชุด ชุดที่ 1; 3, 6, 9, 12, 15 ชุดท่ี 2; 3, 9, 15 (46) ขอ้ มูลสองชดุ มีจํานวนเท่ากนั ชุดแรกมคี ่าเฉล่ยี เลขคณติ 5 สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 0 และชดุ ท่ีสองมคี ่าเฉลี่ยเลขคณิต 3 ถา้ พบวา่ ข้อมูลรวมมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน็ 3 จงหาส่วนเบีย่ งเบน มาตรฐานของข้อมลู ชุดท่ี 2 (47) นกั เรยี นชาย m คน ทุกคนอายุ x ปี และนักเรยี นหญิง n คน ทกุ คนอายุ y ปี จงหาความ แปรปรวนรวมของอายุนักเรยี นท้งั หมด (48) [Ent’36] ในการสอบของนักเรียนห้องหนึง่ ซ่งึ มี 60 คน ได้คะแนนรวม 1,320 คะแนน โดยมี ความแปรปรวนเปน็ 100 คะแนน2 ถ้ามนี ักเรียนได้ 32 คะแนนอยู่ 10 คน จงหาความแปรปรวนของ คะแนนของนกั เรยี น 50 คนทเ่ี หลอื (49) [Ent’36] ถา้ นักเรียน 20 คนมีสว่ นสูงเฉลี่ย 150 ซม. และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเป็น 3 ซม. นักเรยี นชายซง่ึ มี 12 คนมีสว่ นสูงเฉลีย่ 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 ซม. ถามว่าส่วนสูง ของนกั เรียนหญงิ หรอื ชายมีการกระจายมากกว่ากนั และมากกวา่ กนั ก่เี ทา่ (50) จงหาความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่ง ซงึ่ มี 10 = 60 และ 10 = 370 ∑ xi ∑ (xi − 5)2 i=1 i=1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 383 สถติ ิ (51) จากการสํารวจอายุการใชง้ านแบตเตอร่ี 2 ยห่ี อ้ ได้ผลดังนี้ ยห่ี ้อ A; 30, 26, 32, 46, 21 เดอื น คา่ เฉลีย่ เลขคณิตเปน็ 31 ย่ีห้อ B; 28, 53, 40, 18, 34, 31 เดือน คา่ เฉลย่ี เลขคณิตเป็น 34 อยากทราบว่ายห่ี ้อใดมีคุณภาพดกี ว่ากนั [คุณภาพดี หมายถึงผลติ ออกมาใช้งานได้ใกล้เคยี งกนั ทกุ ชนิ้ ] คะแนน ความถ่ี (52) กําหนดตารางแจกแจงความถีข่ องคะแนนสอบนักเรียน 100 50 – 59 15 คน จงหาค่าการกระจายสัมบูรณ์ทงั้ สแี่ บบ 60 – 69 20 70 – 79 40 15 80 – 89 10 90 – 99 17.5 คา่ มาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ สมมตินาย ก สอบวชิ าภาษาไทยได้ 80% และสอบวิชาภาษาองั กฤษได้ 87% ยงั สรุปไม่ได้ ทนั ทวี ่าเขาสอบวิชาใดได้ดกี ว่ากัน เพราะตอ้ งคํานึงถึงคา่ เฉลย่ี และคา่ การกระจายของคะแนนแต่ละ วิชาประกอบกนั ด้วย ค่ามาตรฐาน (Standard Score หรือ Z-Score; z) เป็นคา่ ที่ใชเ้ ทยี บข้อมูลทดี่ ึงมาจากต่าง ชุดกันได้ เพราะเป็นการปรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานให้เทา่ กัน zi = xi −X i = 1, 2, 3, ..., N s ข้อสังเกต 1. คา่ z ไมม่ หี นว่ ย 2. ค่า z ของข้อมูลทค่ี ่ามากกว่าคา่ เฉลย่ี เลขคณิต จะเครื่องหมายบวก, น้อยกว่าคา่ เฉลี่ยจะเป็นลบ, ตรงกับค่าเฉล่ียพอดี จะเปน็ 0 xi − μ 3. สามารถเขียนดว้ ยสัญลักษณอ์ กี แบบไดเ้ ป็น zi = σ โดย i = 1, 2, 3, ..., N 4. อาจเขยี นข้อมูลท่ตี าํ แหน่ง z = c ในรูปแบบ x = X + c s กไ็ ด้ เช่น X − 2 s หมายถงึ ขอ้ มูลที่มคี า่ z = −2 , หรือ X + 0.5 s หมายถึงขอ้ มูลท่ีมคี า่ z = 0.5 สมบัติของค่ามาตรฐาน (1) N = 0 (ผลรวมของขอ้ มูลชุด z ใดๆ เป็น 0 เสมอ) ∑ zi i=1 (2) Z = 0 เสมอ (ผลจากข้อ 1) และ sz = 1 เสมอ (3) The 95% Rule : “โดยทว่ั ไปขอ้ มลู ท่อี ยูร่ ะหว่าง z = −2 ถงึ z = 2 จะมีปริมาณร้อยละ 95 ของจํานวนข้อมูลทงั้ หมด” ... หมายความว่าข้อมลู เกอื บทกุ ค่าจะอย่ใู นช่วง (X − 2 s, X + 2 s) และ เราอาจประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (คือเมอื่ ทราบค่าพิสัย จะประมาณค่า s ได)้ • ตัวอยาง ในการสอบวิชาคณิตศาสตรข องนกั เรียนหองหน่ึง ปรากฏวา คาเฉลี่ยเลขคณิตและสวน เบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน 60 และ 10 คะแนน ตามลําดบั โดยที่นาย ก ไดคะแนนคดิ เปน คา มาตรฐานเทากบั 1.3 และนาย ข ไดคะแนนนอ ยกวา นาย ก อยู 8 คะแนน ก. นาย ข ไดก ี่คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 384 สถติ ิ วธิ ีคิด คํานวณหาคะแนนของนาย ก จากสมการ zก = xก − X → 1.3 = xก − 60 s 10 ไดเ ปน xก = 73 คะแนน ... ดังนน้ั คะแนนของนาย ข เทา กบั xข = 73 − 8 = 65 คะแนน ข. เมือ่ รวมคะแนนเก็บซง่ึ ทุกคนได 5 คะแนนเทา กนั แลว คะแนนรวมของนาย ข คดิ เปน คา มาตรฐานเทากบั เทา ใด วธิ ีคิด คะแนนรวมของนาย ข คือ 70 คะแนน คิดเปนคามาตรฐาน zรวม, ข = 70 − 65 = 0.5 10 (สังเกต : X ตอ งเปลีย่ นเปน 65 เพราะขอ มลู ทกุ ตัวถกู บวก 5, แตการบวกไมมีผลกบั s ) การคํานวณเกี่ยวกับเส้นโคง้ ของความถ่ี ลักษณะของเส้นโคง้ ของความถี่มี 3 แบบ (หรอื กล่าวว่าลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คอื (1) โค้งปกติ (Normal Curve) หรอื โค้งรปู ระฆงั (Belled-Shaped Curve) เป็นโค้งของขอ้ มูลท่พี บ บ่อยทีส่ ุดโดยเฉพาะขอ้ มูลจากธรรมชาติ เช่น ส่วนสูง นา้ํ หนกั ปรมิ าณผลผลิตการเกษตร (2) โคง้ เบ้ลาดทางซา้ ย (หรือทางลบ) (Negatively Skewed Curve) (3) โคง้ เบล้ าดทางขวา (หรอื ทางบวก) (Positively Skewed Curve) ซ่งึ โคง้ แตล่ ะแบบ บอกความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม ดงั ภาพ f โค้งปกติ f โค้งเบซ้ า้ ย f โคง้ เบ้ขวา O x = Med = Mo x O x < Med < Mo x O Mo < Med < x x เน่อื งจากพืน้ ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ จะเทา่ กับความถร่ี วมพอดี S ¨u´·è¼Õ i´ºoÂ! S (เป็นสง่ิ ท่ไี ดจ้ ากการสร้างฮสิ โทแกรม) เราจงึ สามารถคาํ นวณ เก่ียวกบั การวดั ตาํ แหนง่ ของขอ้ มลู (มธั ยฐาน, ควอรไ์ ทล์, o¤§eº« Ò ÂÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§ eº ÅÒ´·Ò§«Ò o¤§ eº เดไซล์, เปอรเ์ ซ็นไทล์) ได้ โดยจะศึกษาเฉพาะโค้งปกตซิ ึง่ ¢ÇÒÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§eºÅÒ´·Ò§¢ÇÒ ... ¶Ò¶ÒÁÇÒ ÃÙ» ใช้ตารางทา้ ยบทเรียนในการหาคา่ พ้ืนทใ่ี ต้โคง้ ä˹e»¹ o¤§ eº«Ò  û٠ä˹o¤§ eº¢ÇÒ ¹o§æ ÊǹÁÒ¡¨ae´ÒÊźa ¡¹a ©a¹é¹a ãËÊa§e¡µ´æÕ ¹a¤Ãaº ¾oeÃÕ¡ÂoæÅÇoÒ¨·Òí ãËe ¢Ò㨤ÇÒÁËÁÒ¼´i ä» ในทางปฏบิ ัตินนั้ เป็นไปไม่ไดท้ ี่จะสรา้ งตารางหลายตาราง X x เพ่อื ใชแ้ ทนข้อมูลที่มีค่ากลางและคา่ การกระจายต่างๆ กัน ดังน้ัน z จึงต้องใชว้ ธิ เี ปลีย่ นคา่ x ให้เป็นค่ามาตรฐาน z ก่อน (ค่าเฉล่ีย -3 -2 -1 0 1 2 3 จะเป็น 0 และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเป็น 1 ไม่ว่าจะเปน็ ขอ้ มลู ชุดใด) เรยี กโคง้ ปกติที่ปรบั คา่ ขอ้ มลู ให้เป็นคา่ มาตรฐานแล้วน้ีว่า โค้งปกตมิ าตรฐาน สง่ิ สําคญั ในตารางแสดงพน้ื ท่ีใต้กราฟของโคง้ ปกตมิ าตรฐาน 1. พนื้ ทใ่ี ต้โค้งรวมกันท้งั หมด (ความถ่รี วม) จะมีคา่ เทา่ กบั 1.00 พอดี 2. คา่ ทรี่ ะบใุ นตาราง แสดงพื้นทีท่ ี่วดั ระหว่าง z=0 ไปถึง z ใดๆ โดยมีเพียงค่า z เป็นบวก เท่านน้ั (ซกี ขวาของโค้ง) เราสามารถหาพนื้ ที่ซีกซ้ายได้โดยอาศัยความสมมาตรของรปู กราฟ 3. หาค่าเปอรเ์ ซ็นไทล์ (เดไซล์, ควอร์ไทล)์ ได้โดยการนําพื้นท่ีทีต่ ้องการไปเทยี บเปน็ คา่ z Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 385 สถติ ิ ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาวา่ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 65 มคี ่าเทา่ ใด A = 0.15 จากการเปดิ ตารางท่พี ้ืนท่ี 0.15 ซงึ่ ในตารางระบุวา่ z=0.385 A = 0.3 (จากนนั้ นําไปคาํ นวณกลับเป็นค่าขอ้ มลู x ได)้ ในทํานองเดยี วกัน เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 20 หาได้จากการเปิดตาราง x z ท่พี ืน้ ท่ี 0.3 ไดค้ ่า z=0.841 แต่เนือ่ งจากเป็นพนื้ ที่ทางซกี ซ้าย P20 P65 ค่า z ทแี่ ทจ้ ริงจงึ เป็น -0.841 -0.841 0.385 ใชส้ ูตร เปิดตาราง เทยี บสัดสว่ น x ←⎯⎯⎯→ z ←⎯⎯⎯→ A ←⎯⎯⎯→ P, D, Q • ตัวอยาง ถา คะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวน เทา กบั 60 และ 25 ตามลาํ ดับ และผสู อบผานตอ งไดค ะแนนไมน อ ยกวา 54 คะแนน สมมตนิ าย ก, นาย ข, และนาย ค ทราบวาตนเองไดค ะแนนอยูใ นตาํ แหนงเปอรเซน็ ไทลท ี่ 10, 15, และ 33 ตามลาํ ดบั กาํ หนดตารางแสดงพื้นทีใ่ ตโคงปกติ z 0.35 0.40 0.44 1.20 ตง้ั แตคามาตรฐาน 0 ถงึ z ดงั นี้ A 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849 ก. นาย ค สอบไดก ี่คะแนน วธิ ีคดิ ขอ นี้เราทราบตําแหนง เปอรเซ็นไทล (P33 ) และตอ งการเทียบเปน ขอมูลคะแนน ( xค ) เร่ิมจากการเทียบ P33 เปน พื้นที่ จะพบวา อยูท างซีกซายของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.17 ซง่ึ ระบุ ในตารางวา คามาตรฐานเปน 0.44 เนื่องจากอยูท างซาย จึงตอ งไมล ืมวา คา มาตรฐานทีแ่ ทจ ริงเปน −0.44 ... จากนน้ั ทาํ การ คํานวณเปน คา xค ไดต ามตอ งการ คือ −0.44 = xค − 60 → xค= 57.8 คะแนน 5 (อยาลืมวา ตวั เลข 25 ที่โจทยใ หมาเปน ความแปรปรวน ตองถอดรูทกอนจงึ เปนคา s ) ข. นักเรียนสามคนนี้ ใครสอบผานบาง วิธีคิด นกั เรียนทีส่ อบผานจะตองได 54 คะแนนขึ้นไป ฉะนนั้ ผลจากการคาํ นวณขอ ก. เราทราบแลววา นาย ค สอบผาน ... ตอมาจะใชวิธีเดิมเพือ่ คํานวณหาคะแนนนาย ก (P10 ) และ ข (P15 ) ดวย ... เริม่ จากการ เทียบ P10 และ P15 เปน พื้นที่ จะพบวา อยูทางซีกซายของโคง และหา งจากแกนกลางอยู 0.40 และ 0.35 ตามลาํ ดับ แตป รากฏวา ในตารางไมไดก ําหนดคา มาให! (ขอควรระวงั : อยาดู z กบั A สลบั ชอ งกัน เชน ในตารางมีคา z = 0.35, 0.40 มาให แตไ มไ ดใ ช ... เพราะที่เราตอ งการคือ A = 0.35, 0.40 ซ่งึ ไมม ีให) ดังนัน้ ขอนีจ้ งึ ตองคิดดวยวธิ ีอื่น คือแปลงจากคะแนน 54 คะแนน มาเปนเปอรเ ซน็ ไทลบาง แบบนี้ กจ็ ะชว ยใหเทียบวาใครสอบผา น ไดรวดเร็วกวาเดมิ อีก ... การคํานวณเรมิ่ จากคิด 54 ใหเ ปน คามาตรฐาน z54 = 54 − 60 = −1.2 ดูในตาราง ไดพ ืน้ ทีเ่ ทากับ 0.3849 (แตอยซู ีกซา ยของโคง) นน่ั คือเปอรเซน็ ไทล 5 ที่ 50 − 38.49 = 11.51 ... แสดงวาผสู อบผานตอ งไดเปอรเ ซน็ ไทลที่ 11.51 ข้ึนไป ... สรุปวา นาย ข และนาย ค สอบผาน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 386 สถติ ิ • ตัวอยาง คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรม ีคาเฉลีย่ เลขคณิตเทากบั 64 คะแนน และการแจกแจงเปนโคง รูป ระฆงั ถามีนักเรียนสอบไดม ากกวา 80 คะแนนอยู 15.87% และพื้นทีใ่ ตโ คงปกตริ ะหวา ง z = 0 ถงึ 1 เทา กบั 0.3413 แลว สมั ประสิทธิก์ ารแปรผันของคะแนนสอบนี้เปนเทา ใด วิธีคิด สัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผัน หาไดจ าก s/X ... เราทราบคา X แลว แตย งั ไมท ราบ s สามารถหาคา s ไดจ ากคาํ ใบท ีว่ า “มีนกั เรียนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอยู 15.87%” นั่นคือ คะแนน 80 อยใู นตําแหนงพืน้ ที่ 0.5 − 0.1587 = 0.3413 ... ซง่ึ ระบุคา z = 1 ดงั น้นั 1 = 80 − 64 ไดค า s = 16 ... สรุปวา สัมประสิทธ์ิการแปรผนั = 16/64 = 0.25 s เพม่ิ เตมิ จากเนือ้ หาเรือ่ งการอินทเิ กรต (บทที่ 15) S ¨´u ·è¼Õ ´i ºoÂ! S นอกจากจะใชต้ ารางแลว้ ยังหาพ้นื ทใ่ี ตก้ ราฟอยา่ งละเอยี ดไดโ้ ดย µo §·Òí ¤ÇÒÁe¢Òã¨eÃ×èo§ x, z, A ãË´Õæ ¹a¤Ãºa e¾×oè ใชเ้ คร่อื งชว่ ยคาํ นวณอนิ ทิเกรตสมการของเสน้ โคง้ ปกติ คอื ¨aä´äÁe »´µÒÃÒ§Êźa ¡¹a ÃaËÇÒ§ z ¡aº A 1 ⎛⎜⎝ x − μ ⎠⎟⎞ 2 e− 2 σ f (x) = ÷ σ 2π (ซึง่ จะพบวา่ มีการเลื่อนแกน และความสูงของกราฟ ต่างๆ กนั ไปตามคา่ μ และ σ ) และสมการของโคง้ ปกติมาตรฐาน ท่ีกลายเป็น − 1 z2 2 π (ซึ่งจะไม่ขน้ึ กับคา่ μ และ σ ) f (z) = e 2 ÷ แบบฝึกหดั 17.5 (53) นาย ก สอบวิชาภาษาไทยได้ 48 คะแนน และภาษาอังกฤษได้ 35 คะแนน โดยคา่ เฉลีย่ ของ คะแนนสอบวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษเป็น 45 กบั 32 คะแนนตามลําดับ และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเปน็ 12 กบั 10 คะแนนตามลําดับ ถามว่าเขาสอบวชิ าใดได้ดกี วา่ กัน (54) นักเรียน 40 คนมอี ายุรวมกัน 640 ปี และมีค่าความแปรปรวนของอายเุ ป็น 4 ป2ี ถ้า ก และ ข อยู่ในกลุ่มนโี้ ดยท่ี ก อายุ 18 ปี และคา่ มาตรฐานของอายุ ก นอ้ ยกว่า ข อยู่ 0.5 แล้ว จงหาอายุ ของ ข (55) คนงาน 100 คน มอี ายุเฉล่ยี และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายเุ ปน็ 25 และ 13 ปี ตามลาํ ดับ ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของอายุคนงาน 99 คน เปน็ -0.25 แลว้ อายุของคนงานอกี คนที่เหลือเป็นเท่าใด (56) ค่ามาตรฐานคะแนนสอบของ ก ข และ ค เปน็ -1.6, 1.28, 2.4 ตามลาํ ดบั ถ้า ก ไดค้ ะแนน น้อยกวา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ อยู่ 5 คะแนน และ ข ได้ 60 คะแนน ถามว่าคะแนนของ ค เปน็ เทา่ ใด (57) [Ent’38] จากขอ้ มลู การสอบของนักเรยี น 6 คนดงั ตาราง จงหาสัมประสิทธ์ิของการแปรผนั คะแนน 30 40 45 60 85 100 คา่ มาตรฐาน -1.2 -0.8 -0.6 0 1.0 1.6 (58) [Ent’35] ในการสอบ นักเรียนทีไ่ ด้ 70 คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐาน 1 ถ้าสมั ประสทิ ธ์ิการแปร ผนั คอื 30% แล้ว จงหาคะแนนเฉลีย่ และคา่ เบ่ยี งเบนมาตรฐาน พรอ้ มทัง้ บอกด้วยวา่ คนที่ไดค้ ่า มาตรฐานเป็น -1 นนั้ มีคะแนนสอบเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 387 สถติ ิ ตารางต่อไปนีแ้ สดงคา่ พนื้ ท่ใี ต้โค้งปกติมาตรฐาน ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = z A ใชส้ าํ หรบั โจทย์แบบฝกึ หดั ตงั้ แตข่ อ้ 59 เปน็ ตน้ ไป (ยกเวน้ ข้อท่โี จทย์ระบุคา่ มาให)้ 0.4750 zA z A z A z 0.4773 0.00 0.0000 0.72 0.2642 1.20 0.3849 1.96 0.4788 0.44 0.1700 0.84 0.3000 1.25 0.3944 2.00 0.4938 0.50 0.1915 1.00 0.3413 1.29 0.4000 2.03 0.4987 0.67 0.2500 1.12 0.3686 1.50 0.4330 2.50 0.71 0.2612 1.19 0.3830 1.56 0.4400 3.00 (59) ใหห้ าพนื้ ที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ในช่วงคา่ z ท่ีกาํ หนด (59.1) z = 0 ถงึ 1.12 (59.4) z = 2 ถงึ 3 (59.2) z = 0 ถงึ -2.03 (59.5) z < -1.19 (59.3) z = -1.19 ถึง 2 (60) [Ent’40] คะแนนสอบทมี่ ีการแจกแจงปกติชดุ หนงึ่ มสี ัมประสิทธ์กิ ารแปรผนั 24% และสว่ น เบยี่ งเบนมาตรฐาน 12 คะแนน ให้หาตาํ แหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ของนกั เรยี นทไ่ี ด้ 65 คะแนน (61) ผลการสอบของนกั เรียน 300 คน มกี ารแจกแจงแบบปกติ คา่ เฉลี่ยของคะแนนสอบเป็น 72 คะแนน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ผทู้ ี่สอบได้เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 10 จะสอบไดก้ ่คี ะแนน (62) [Ent’36] ถา้ คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยมีการแจกแจงปกติ คา่ เฉลยี่ 80 คะแนน สว่ นเบยี่ งเบน มาตรฐาน 15 คะแนน นกั เรียนท่ีได้คะแนนเป็นเดไซล์ที่ 3.3 จะมผี ลสอบก่ีคะแนน (63) [Ent’35] ในการสอบครัง้ หนงึ่ ซึ่งมกี ารแจกแจงแบบปกติ และมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ถา้ คา่ เฉล่ียเลขคณิตเทา่ กับ 60 และความแปรปรวนเทา่ กบั 100 ข้อใดตอ่ ไปนี้มีค่าสงู ท่สี ดุ ก. คะแนน ณ เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 80 ข. คะแนนมาตรฐาน 1.50 ค. คะแนนดิบ 85 ง. คะแนน ณ เดไซล์ที่ 7 (64) [Ent’38] ข้อมูลทแ่ี จกแจงแบบปกติชดุ หน่ึงมีคา่ สูงสดุ เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5, คะแนนต่าํ สุด เป็นเปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 33 และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเป็น 10 ให้หาพิสัยของข้อมลู ชดุ นี้ (65) จากการสาํ รวจผสู้ อบคณิตศาสตรก์ ล่มุ หน่งึ พบว่าผลการสอบมกี ารแจกแจงแบบปกติ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ เปน็ 97 คะแนน สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเปน็ 20 คะแนน สว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทลข์ อง คะแนนสอบเป็นเท่าใด [กาํ หนดพื้นท่ที างขวาของ z=0 เป็น 50%, z=0.25 เปน็ 40.13%, z=0.5 เป็น 30.85%, z=0.675 เป็น 25.00%, และ z=0.75 เป็น 22.66%] (66) การแจกแจงความถขี่ องรายไดพ้ นกั งานบรษิ ัทแหง่ หนง่ึ เปน็ แบบปกติ ผมู้ ีรายไดต้ ่อเดือนตํ่ากวา่ 3,000 บาทมีอยู่ 33% ผ้มู รี ายไดใ้ นช่วง 3,000 ถึง 5,000 บาทมี 61% และที่เหลือได้มากกว่า 5,000 บาท จงหาสัมประสิทธิก์ ารแปรผนั ของรายได้ทงั้ หมดนี้ (67) [Ent’39] คะแนนสอบทีม่ ีการแจกแจงเป็นโคง้ รูประฆงั มจี าํ นวนนักเรยี นได้ต่ํากว่า 40 คะแนน อยู่ 15.87% และสงู กวา่ 70 คะแนนอยู่ 2.27% จงหาสัมประสทิ ธ์กิ ารกระจายของคะแนนสอบกลมุ่ น้ี และหาวา่ มนี ักเรยี นทสี่ อบได้มากกว่า 30 คะแนนอยรู่ อ้ ยละเท่าใด (68) [Ent’40] ผลการสอบของนกั เรยี นห้องหนงึ่ เป็นการแจกแจงปกตทิ มี่ คี วามแปรปรวน 9 ถา้ จํานวนนักเรียนที่ไดน้ ้อยกวา่ 60 คะแนนเท่ากับคนทีไ่ ด้มากกว่า 72 คะแนน ให้หาว่าจาํ นวนคนทีไ่ ด้ นอ้ ยกวา่ 60 คะแนนคดิ เปน็ ร้อยละเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 388 สถิติ (69) ผลสอบของ 500 คนเป็นการแจกแจงปกติ มีสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 20 คะแนน, ก และ ข เป็นนกั เรียนในกลุ่มน้โี ดย ก สอบได้ 40% ของคะแนนเตม็ และ ข สอบได้ 20% ของคะแนนเตม็ ถ้าการสอบนี้เต็ม 200 คะแนนและมีคนไดค้ ะแนนน้อยกว่า ก อยู่ 450 คน ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง ก. คะแนนของ ก ได้เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80 ข. คะแนนของ ข ไดเ้ ปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ค. มีคนได้คะแนนน้อยกวา่ ข 119 คน ง. ไมส่ ามารถหาคา่ เฉลย่ี ได้เพราะขอ้ มลู ไมพ่ อ (70) คะแนนสอบของนกั เรียน 1,000 คนมกี ารแจกแจงแบบปกติ โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 ถา้ มีนักเรยี น 900 คนไดต้ า่ํ กว่า 80 คะแนน (กําหนดพื้นทีใ่ ตโ้ คง้ ระหว่าง z=0 ถงึ 1.3 เปน็ 0.4) ขอ้ ใดผิด ก. คะแนนเฉล่ียน้อยกวา่ 80 ข. คะแนน 54 เปน็ คา่ มาตรฐาน -1.3 ค. คะแนน 54 เปน็ เปอรเ์ ซ็นไทล์ 10 ง. ผไู้ ด้คะแนน 54 ถงึ 80 มีมากกวา่ 800 คน (71) [Ent’39] คะแนนสอบของนักเรยี นกล่มุ หน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดยมสี ัมประสทิ ธ์ิการแปรผนั 1/4 ถา้ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเทา่ กบั 3 แลว้ มัธยฐานเท่ากับเท่าใด (72) [Ent’39] กําหนดพน้ื ทีใ่ ต้โคง้ ปกติมาตรฐานทางขวามือของ z=0.67 เปน็ 0.25 ถ้าข้อมูลชดุ หนึ่งแจกแจงแบบปกติโดยสว่ นเบีย่ งเบนควอร์ไทล์เป็น 2 และสมั ประสทิ ธส์ิ ่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทลเ์ ป็น 2/3 จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตและความแปรปรวน 17.6 ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหว่างขอ้ มูล หากเรามคี ูอ่ ันดับ (x, y) จาํ นวนหนงึ่ หลังจากสรา้ ง แผนภาพการกระจายตัว (Scatter Plot) เราจะเหน็ ลักษณะความสัมพนั ธ์ระหวา่ งตัวแปร x กับ y และสามารถหาความสมั พันธร์ ะหวา่ ง x กบั y เปน็ สมการในรูป y = f (x) “เพื่อใช้ทํานายคา่ y” ท่คี ่า x ตามตอ้ งการได้ รูปแบบความสัมพันธ์ที่พบบ่อย ไดแ้ ก่ เสน้ ตรง พาราโบลา และเอกซ์โพเนนเชียล แต่ละรูปแบบเราจะตอ้ งคาํ นวณหาคา่ คงตวั ทบี่ ่งบอกลกั ษณะของกราฟ ดงั น้ี 1. ฟังก์ชันเส้นตรง รปู ท่วั ไป Y = mX + c y O หาค่าคงตัว m กบั c โดยสมการ Σy = mΣx + c N __________(1) Σxy = mΣx2 + cΣx ________(2) x (N คือจาํ นวนคอู่ นั ดบั หรือจาํ นวนจุด) S ¨´u ·è¼Õ i´ºo Â! S ¤Ò Σxy ≠ Σx ⋅ Σy ¹a¤Ãaº.. µo§¤³Ù x ⋅ y ãˤú¡o¹æÅÇ ¨§Ö ÃÇÁ 2. ฟังก์ชนั พาราโบลา รูปทวั่ ไป Y = aX2 + bX + c y O หาค่าคงตวั a, b และ c โดยสมการ Σy = aΣx2 + bΣx + c N ________(1) Σxy = aΣx3 + bΣx2 + cΣx ______(2) x Σx2y = aΣx4 + bΣx3 + cΣx2 _____(3) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 389 สถิติ x 3. ฟังก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล รปู ท่ัวไป Y = abX y หรือ log Y = log a + X log b O หาคา่ คงตวั log a กบั log b โดยสมการ Σ (log y) = N log a + log b Σx _______(1) Σ (x log y) = log a Σx + log b Σx2 _____(2) ข้อสังเกต สมการเหลา่ นีเ้ รยี กว่า สมการปกติ (Normal Equations) หาได้จากกระบวนการเดียวกันคือ สมการทห่ี นึ่ง เตมิ เคร่ืองหมาย Σ ทัง้ สองข้างของสมการ สมการท่สี อง นําสมการแรกมาเตมิ ตวั แปรตน้ คือ x ไวภ้ ายใน Σ ทกุ พจน์ สมการต่อๆไป หากจาํ นวนสมการยังไมค่ รบ ให้เพิม่ x ไว้ภายใน Σ อกี ทีละตวั ๆ การหาค่าคงตวั ดว้ ยสมการเหล่านี้ เรยี กว่า ระเบียบวธิ ีกาํ ลงั สองนอ้ ยทีส่ ุด (Method of Least Squares) เป็นวธิ ีท่ีทําให้คา่ y ทไ่ี ด้ มี ความคลาดเคลอ่ื นกําลงั สอง (Square Error หรอื Σ (yi − Yl)2 ) น้อยท่สี ุด Y คอื ค่าจริง และ Yl (อ่านว่า y-hat) คอื คา่ ทไี่ ดจ้ ากการประมาณดว้ ยฟังกช์ ัน ... ซึ่งการ ทํานายคา่ ของ y ทค่ี า่ x ภายในพิสัยของข้อมูลทีม่ ี เรยี กว่า การพยากรณใ์ นชว่ ง (Interpolation) และทค่ี า่ x นอกพิสยั ทม่ี ี เรียกวา่ การพยากรณน์ อกช่วง (Extrapolation) ขอ้ ควรระวัง สมการที่หาได้ไม่สามารถทาํ นายคา่ x จาก y ได้ ... ถ้าต้องการประมาณคา่ x กต็ อ้ ง เปล่ยี นฟงั กช์ นั ทง้ั หมด ใหเ้ ปน็ x = f (y) แทน (คอื ให้ y เป็นตัวแปรต้น) • ตัวอยาง จากการสอบถามรายจา ยของ 8 ครอบครวั ในหมูบา นหนง่ึ ไดผ ลสมั พนั ธก ับรายได ดงั ตาราง จงหาความสัมพนั ธท ีใ่ ชประมาณรายจา ยจากรายได และถามวาถา ครอบครัวหนึ่งในหมูบานนีม้ ีรายได 4, 500 บาท จะมีรายจา ยประมาณเทา ใด รายได (พนั บาท) 1 3 4 6 8 9 11 14 รายจา ย (พนั บาท) 1 2 4 4 5 7 8 9 วิธีคดิ โจทยตอ งการทํานายรายจา ย จากรายได แสดงวาในที่นี้ Y คือรายจา ย และ X คือรายได เมือ่ วาง คอู ันดบั เหลานีล้ งในแกนพิกัดฉากแลว พบวา มีความสมั พนั ธก นั แบบเสน ตรง ดังนนั้ สมการที่เราจะใชค ือ Y = mX + c และดาํ เนนิ การหาคา m, c โดย.. → Σy = mΣx + c N และ Σxy = mΣx2 + cΣx แทนคา Σy = 40 , Σx = 56 , N = 8 , Σxy = 364 และ Σx2 = 524 จะได. . และ→ 40 = 56m + 8c 364 = 524m + 56c แกร ะบบสมการ ไดค ําตอบ m = 0.636 และ c = 0.545 (1) ความสมั พนั ธที่ใชประมาณรายจา ยจากรายได คือ Y = 0.636 X + 0.545 เมื่อ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พนั บาท) ตอบ (2) Yl = 0.636(4.5) + 0.545 = 3.407 ดงั น้ัน ครอบครวั ที่มีรายได 4, 500 บาท จะมีรายจา ยประมาณ 3, 407 บาท ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 390 สถติ ิ • ตวั อยาง จากตวั อยา งทีแ่ ลว ถามวา ถาครอบครวั หน่ึงในหมบู า นนีม้ ีรายจาย 3,500 บาท จะมีรายได ประมาณเทาใด * วิธีคดิ โจทยตอ งการทํานายรายไดจ ากรายจา ย แสดงวา หากเราจะใช Y เปน รายจา ย และ X เปน รายไดเชนเดิม จะตองเปลีย่ นรปู สมการเปน X = mY + c และหาคา m, c โดย.. → Σx = mΣy + c N และ Σxy = mΣy2 + cΣy แทนคา Σx = 56 , Σy = 40 , N = 8 , Σxy = 364 และ Σy2 = 256 จะได. . และ56 = 40m + 8c 364 = 256m + 40c แกระบบสมการ ไดคาํ ตอบ m = 1.5 และ c = −0.5 ดงั น้ัน ความสมั พนั ธท ีใ่ ชป ระมาณรายไดจาก รายจา ย คือ X = 1.5Y − 0.5 เมือ่ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พนั บาท) จึงไดว า ครอบครวั ทีม่ ีรายจา ย 3, 500 บาท จะมีรายไดป ระมาณ 4, 750 บาท ตอบ • ตวั อยาง ถา ความสมั พันธเ ชิงฟงกชันทีใ่ ชท าํ นายกําไร ( y : พนั บาท) จากตนทุน ( x : รอยบาท) อยู ในรูป y = mx + c โดยมีสมการทีไ่ ดจ ากระเบียบวธิ ีกําลงั สองนอ ยทีส่ ุด ดงั นี้ ___19 = 30 m + 10 c (1) และ 6.6 = 10 m + 4 c ___ (2) ก. เมือ่ ตน ทุนเปน 400 บาท จะทํานายกาํ ไรไดเปน กีบ่ าท วธิ ีคิด การทํานายกําไร ( y ) จากตนทนุ ( x ) สามารถทําได แกระบบสมการ ได m = 0.5 และ c = 0.4 ... นนั่ คือสมการทีใ่ ชไดแก y = 0.5 x + 0.4 ... และเมื่อตน ทนุ เปน 400 บาท ( x = 4 ) จะได y = 0.5(4) + 0.4 = 2.4 ดังน้นั ตอบวา กาํ ไรเทา กบั 2,400 บาท ข. เมื่อกาํ ไรเปน 400 บาท จะสามารถทํานายตนทนุ ได ตองกาํ หนดคา ใดเพม่ิ เตมิ ให วธิ ีคดิ จากสมการทีโ่ จทยใ หม า คือสมการ Σy = mΣx + c N และ Σxy = mΣx2 + cΣx ซึ่งใชท าํ นายคา y จาก x ... แตถ าตองการทํานายคา x จาก y ตอ งใชสมการ Σx = mΣy + c N และ Σxy = mΣy2 + cΣy ซ่ึงเมือ่ เทียบกันดูแลว พบวา ยังตอ งทราบเพม่ิ อีกอยางหนึ่ง นั่นคือ Σy2 ค. ตน ทนุ เฉลีย่ X เทากบั กีบ่ าท วิธีคดิ จากขอ ข. เทียบกับสมการในโจทย ไดวา Σy = 6.6 , Σx = 10 , N = 4 , Σxy = 19 , และ Σx2= 30 ... จากนน้ั หา X จาก Σx/N = 10/4 = 2.5 หรือตน ทนุ เฉลีย่ เทากับ 250 บาท • ตวั อยาง ถา ใหสมการแทนความสัมพันธเชงิ ฟงกช นั ที่ใชป ระมาณน้าํ หนกั ( W : ก.ก.) จากสว นสูง (H : ซม.) ของนกั เรียนกลุมหน่งึ เปน W = H − a โดยทีท่ ราบวา นํ้าหนกั เฉลีย่ และสว นสูงเฉลีย่ เทากับ 52 3 ก.ก. และ 162 ซม. ตามลาํ ดับ ก. นักเรียนคนหน่งึ ในกลมุ นีส้ ูง 159 ซม. จะมีนํา้ หนักประมาณเทา ใด วธิ ีคดิ จากสมการ W = H − a ยงั ทํานายนาํ หนักไมไ ดเพราะไมท ราบคา a 3 เราสามารถหาคา a ไดจ ากคาํ ใบท ีว่ า W = 52 และ H = 162 จากความสมั พนั ธ W = H − a ... แทนคา 52 = 162 − a ... จะได a = 2 33 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 391 สถติ ิ ดังนั้น นกั เรียนทีส่ ูง 159 ซม. จะมีนํา้ หนกั Wl = 159/3 − 2 = 51 กก. (หมายเหตุ : การทีถ่ า W = H − a แลว W = H − a ดว ย จะบอกถงึ ทีม่ าในแบบฝก หดั ขอ 79) 33 ข. หากนักเรียนคนหนึ่งสงู ขน้ึ 12 ซม. น้าํ หนกั จะเพ่มิ ขึน้ ประมาณเทาใด * วิธีคดิ ขอ นี้หามคํานวณจาก W = 12/3 − 2 เดด็ ขาด! เพราะการที่ H เพม่ิ ขนึ้ 12 ซม. ไมไ ดแปลวา H = 12 ... วธิ ีคดิ ทีจ่ ริงคือ +W += H/3 เทา นนั้ คือ +W = 12/3 = 4 กก. (หมายเหตุ ในกราฟเสน ตรง สดั สวนการเปลีย่ นแปลงของ y และ x จะดทู ี่ความชนั m เทาน้นั ... สวน คา c จะเปนเทา ใด ก็เพียงทาํ ใหก ราฟยกข้ึนลง แตไมม ีผลตอการเปลีย่ นแปลงเลย) ข้อมูลในรูปอนุกรมเวลา หากขอ้ มลู ทีเ่ ราสนใจ (Y) เป็นข้อมูลท่ีตวั แปรต้นมีช่วงห่างเทา่ ๆ กนั เชน่ ตวั แปรตน้ เป็นปี พ.ศ. ที่ห่างเทา่ ๆ กนั แล้ว เราจะเรยี กข้อมูล Y ชดุ นนั้ ว่า ขอ้ มูลในรูปอนกุ รมเวลา (Time Series Data) ซ่งึ จะสามารถแทนคา่ ตัวแปรต้น X ดว้ ยตัวเลขค่าน้อยๆ ได้เพื่อให้สะดวกในการคาํ นวณ วธิ ีท่ี นิยมท่สี ดุ คือ ใหข้ ้อมลู ตรงกลางเป็นเลข 0 แลว้ นับขึน้ ลงเปน็ ±1, ± 2 ตอ่ ไปจนครบทกุ จดุ เพราะวธิ ี นี้จะทาํ ให้ Σx = 0 จึงแกร้ ะบบสมการหาพารามิเตอรไ์ ดง้ ่าย โดยเฉพาะสมการเส้นตรง กบั สมการ เอก็ ซ์โพเนนเชยี ล หากจํานวนข้อมลู เป็นจํานวนคู่ ไม่มจี ุดตรงกลาง ก็จะให้ปรี ะหวา่ งกลางน้ันเป็น ±1 และคู่ ถดั ไปเปน็ ±3, ± 5 ไปเรื่อยๆ (เพ่ือรักษาระยะหา่ งให้เท่าๆ กัน) แบบนกี้ ็ยงั ได้ Σx = 0 เชน่ กนั • ตัวอยา ง จงสรางสมการทาํ นายประชากรในทองที่หนึง่ ถากาํ หนดขอ มูลที่สํารวจไดด งั ตาราง และจากนน้ั ใหป ระมาณจํานวนประชากรในทอ งที่นีใ้ นป 2547 พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543 จํานวนประชากร (พันคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0 วธิ ีคดิ ให Y คือจาํ นวนประชากร และให X เปน −2, −1, 0, 1, 2 แทน พ.ศ. 2535, 2537, ... ตามลาํ ดบั เมือ่ วางคูอันดับเหลานีล้ งในแกนพิกดั ฉากแลว พบวา มีความสัมพนั ธกนั แบบเอก็ ซโพเนนเชียล ดงั นั้นสมการทีเ่ ราจะใชค ือ log y = log a + x log b และจะหาคา log a, log b โดย.. และΣ (log y) = N log a + log b Σx Σ (x log y) = log a Σx + log b Σx2 แทนคา Σ (log y) = ,0.345 Σx = 0 , N = 5 , Σ (x log y) = 0.988 และ Σx2 = 10 จะได. . และ→ 0.345 = 5 log a 0.988 = 10 log b ไดคําตอบ log a = 0.069 และ log b = 0.0988 (1) ความสมั พนั ธทีใ่ ชประมาณจาํ นวนประชากร คือ log Y = 0.069 + 0.0988 X เมือ่ Y คือจํานวน ประชากร (พนั คน) และ X แทนเวลาตามที่ไดก ําหนด ตอบ (2) ป พ.ศ. 2547 มีคา X = 4 จะได log Yl = 0.069 + 0.0988(4) = 0.4642 หรือ Yl = 100.4642 = 2.912 … ในป พ.ศ. 2547 จะมีประชากรประมาณ 2, 912 คน ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 392 สถติ ิ แบบฝึกหัด 17.6 (73) [Ent’40] พิจารณาแผนภาพแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างตัวแปร y O x และ y ดังรูป สมการที่ใชแ้ ทนความสมั พันธ์ระหวา่ ง x และ y อยูใ่ นรปู ใดต่อไปน้ี ก. y = x − 1 ข. y = a − bx, a, b > 0 ค. y = a − bx2, a, b > 0 ง. y = a + bx, a, b > 0 x (74) [Ent’38] จากการทดลองวดั ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเวลา t (วินาที) และระยะทาง s (เมตร) ของวัตถุท่ีเคลอื่ นท่ี ได้ผลดงั น้ี t 1234 s 2 8 18 32 ถ้าความสัมพนั ธเ์ ป็นแบบเสน้ ตรงแล้ว เราจะทํานายระยะทางทวี่ ตั ถเุ คลื่อนทีไ่ ด้ ในขณะท่ี t = 1.5 วินาทีไดเ้ ท่าใด (75) [Ent’30] ในการประมาณความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ ันเสน้ ตรง ของ x กบั y โดยวิธีกําลงั สองน้อย ที่สดุ เมอ่ื มีข้อมูล (x, y) ดังนี้ (0, 5) , (1, 2), (2, 1) จงทาํ นายค่า y เมอ่ื x = 1 3 (76) [Ent’ต.ค.43] ถา้ y = mx + c เป็นความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันเพ่ือการทาํ นายรายจ่ายหมวด บรกิ ารลกู คา้ (y) จากจาํ นวนพนักงานของโรงแรม (x) ในจังหวัดหนง่ึ จาํ นวนข้อมูลท่ีนํามาสรา้ ง ความสมั พันธ์เท่ากับ 5 และมีสมการดงั นี้ 28 = 5c + 10m และ 67 = 10c + 30m พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ขอ้ ใดถกู หรือผิดบา้ ง ก. ถ้า x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9 ข. x = 5.6 (77) [Ent’31,ต.ค.41] กาํ หนดให้ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรายได้ (x) และรายจ่าย (y) ตอ่ เดือนของ ครอบครวั ท่อี าศัยในอําเภอหน่งึ เป็น y = 200 + 0.85x ถา้ ครอบครวั 2 ครอบครัวมีรายได้ตา่ งกัน 1,000 บาท จะมรี ายจา่ ยโดยประมาณ ต่างกนั เท่าใด (78) [Ent’ต.ค.42] พจิ ารณาขอ้ มูลของ x และ y ดังนี้ x -3 -1 0 1 3 y 0 a a+3 a+4 a+6 เม่ือ a เป็นคา่ คงท่ี ให้ x และ y มคี วามสมั พันธเ์ ชงิ ฟังกช์ ันเปน็ กราฟเส้นตรงความชัน 1.55 ถ้า x = 4 จะประมาณคา่ y ไดเ้ ท่าใด (79) [Ent’ม.ี ค.43] ถ้าให้สมการที่ใชแ้ ทนความสมั พันธ์เชิงฟังกช์ นั ท่ใี ชส้ ําหรับประมาณจาํ นวนห้องพัก ทีม่ แี ขกมาพกั (แทนด้วย y) จากจาํ นวนห้องพกั ท่ีมกี ารขอจองลว่ งหนา้ (x) คือ y = a + 0.75x โดยท่ี X = 40 , Y = 60 ถามว่าถ้า x = 60 แลว้ จํานวนห้องพกั ทม่ี แี ขกมาพกั จริงโดยประมาณ เท่ากับเท่าใด [Hint : จากสมการท่ี 1 ของสมการเสน้ ตรง นํา N หารสองข้าง จะได้ Y = mX + c ] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 393 สถิติ (80) [Ent’37] จากการสอบถามครอบครัว n ครอบครัว ท่ีมรี ายไดต้ ่อเดอื น 5,000 ถึง 20,000 บาท เกีย่ วกบั รายจ่ายต่อเดือน ปรากฏผลดงั นี้ รายได้ (พนั บาท) : x x1 x2 x3 … xn รายจ่าย (พันบาท) : y y1 y2 y3 … yn และมีคา่ X = 12 , Y = 5 โดยสมการเส้นตรงทีแ่ ทนความสัมพนั ธน์ ต้ี ดั แกน y ทจ่ี ุด (0, −3) ถ้า ครอบครัวมีรายได้ 15,000 บาท จะมรี ายจ่ายโดยประมาณเป็นเทา่ ใด (81) [Ent’35] ถ้าค่าของตัวแปร x และ y คอื x -1 0 1 2 3 y 1 0 1 3 10 และสมการท่ีใช้ประมาณความสัมพันธ์ระหวา่ งสองตัวแปรนีค้ อื y = kx2 จงหาคา่ k (82) [Ent’36] จากการสอบถามถึงรายจ่ายของครอบครัว 8 ครอบครวั ทีม่ รี ายไดต้ ้ังแต่ 1,000 ถึง 14,000 บาท ได้สมการทใี่ ชแ้ สดงความสัมพันธข์ องรายได้ (X) และรายจา่ ย (Y) คอื Y = 0.636 X + 0.545 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ข้อใดถกู หรอื ผิดบา้ ง ก. เราสามารถใช้สมการข้างต้นประมาณ S ¢o¤ÇÃÃaÇa§! S รายได้ เมือ่ ทราบรายจ่าย 1. ¶Ò ÁÊÕ Á¡Òà Y = ...X... æÊ´§ÇÒ ãª· Òí ¹Ò Y eÁo×è ºo¡¤Ò X ÁÒ ข. ถา้ เพม่ิ ข้อมูลอีก 7 ครอบครัว สมการท่ี ãËe ·Ò ¹aé¹ äÁÊ ÒÁÒöeoÒä»ãª· Òí ¹Ò X ¨Ò¡¤Ò Y ä´ ¶Ò oÂÒ¡ ใช้แทนความสัมพันธ์ยงั คงเปน็ สมการเดมิ ·Òí ¹Ò¨aµo§ãˤ Ùo a¹´aºÁÒe¾×oè ÊÃÒ §ÊÁ¡ÒÃãËÁã ¹ÃÙ» X = ...Y... (83) [Ent’33] สมการแสดงความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชนั 2. ¶Òºo¡¤Ò X ·èeÕ »ÅÕÂè ¹ä» (e¾èÁi ¢éÖ¹ËÃ×oŴŧ¡äç ´) ÁÒãË æÅÇ ระหว่างตน้ ทนุ (Y: พันบาท) กับจาํ นวนสินคา้ ที่ผลติ ¶ÒÁ Y ·eèÕ »ÅÕèÂ¹ä» ¨a¤´i e©¾Òa m e·Ò ¹a¹é ... e¾ÃÒa㹡ÃÒ¿ (X: ร้อยชนิ้ ) คอื Y = 2X + 5 ขอ้ ความต่อไปน้ี eʹµÃ§ Êa´ÊÇ ¹¡ÒÃe»ÅÕè¹æ»Å§¢o§ Y æÅa X ¨a¢¹Öé ¡ºa ¤ÇÒÁ ªa¹ m e¾Õ§oÂÒ§e´ÂÕ Ç (¤Ò c äÁÁ¼Õ Å) ขอ้ ใดถกู หรือผิดบ้าง ก. ถ้าตน้ ทนุ เปน็ 7,000 บาท คาดว่าผลติ ได้ 100 ชนิ้ ข. ถ้าผลติ เพ่ิม 200 ช้ิน คาดว่าต้นทุนเพม่ิ 4,000 บาท (84) [Ent’23] ตารางทีก่ ําหนดใหน้ ้เี ป็นขอ้ มลู เก่ยี วกับเงนิ ทีใ่ ชโ้ ฆษณาสนิ คา้ ต่อเดือน (X: หมน่ื บาท) และเงนิ ทไ่ี ดจ้ ากการขายต่อเดือน (Y: แสนบาท) x 51342 y 10 3 6 7 4 หาค่าต่างๆ ไดด้ ังนี้ Σx = 15 , Σy = 30 , Σx2 = 55 , Σy2 = 210 , Σxy = 107 และ กาํ หนดใหส้ ัมพันธก์ ันแบบเสน้ ตรง หากต้องการขายสินคา้ ใหไ้ ด้เดอื นละ 12,000,000 บาท ควร ลงทุนโฆษณาเทา่ ใด (85) [Ent’26] จากตารางซ่งึ ขอ้ มูลสัมพนั ธ์กันแบบเส้นตรง พิจารณาว่าข้อความใดถกู หรอื ผิดบ้าง x 1234 y 2578 ก. ถ้า y = 10 ทาํ นาย x ได้ 4.75 ข. Yl = 2X + 0.5 (86) [Ent’34] ข้อมลู อนกุ รมเวลา (Y) มีคา่ ดังนี้ พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530 y 20 30 20 40 60 ถา้ Y สมั พนั ธ์กับเวลาในลักษณะเสน้ ตรงแล้ว จะสามารถทาํ นายคา่ Y ในปี 2535 ไดเ้ ท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 394 สถติ ิ (87) [Ent’31] มลู คา่ อตุ สาหกรรมสิ่งทอสง่ ออกระหว่างปี 2520 ถงึ 2524 เป็นดงั น้ี พ.ศ. 2520 2521 2522 2523 2524 มลู คา่ (ลา้ นบาท) 1 3 4 5 9 ถา้ พยากรณโ์ ดยใช้ความสัมพันธเ์ สน้ ตรงแบบกําลังสองน้อยท่ีสดุ จงหามูลคา่ สง่ ออกเฉล่ยี 6 เดอื น แรก ของปี 2525 สตู รสาํ เรจ็ ของสมการเสน้ ตรง ในกรณีทว่ั ๆ ไป ระบบสมการที่ใช้หาพารามเิ ตอร์นัน้ มักจะแก้หาคาํ ตอบไดย้ าก (เน่ืองจาก ความแตกต่างของตัวเลขสัมประสทิ ธิ์) สาํ หรบั รูปแบบเส้นตรงน้ัน เราใชเ้ มตริกซแ์ กร้ ะบบสมการ ได้ผลเป็นสูตรสําเรจ็ ดงั น้ี 1. หาคา่ m จากสตู ร m = N Σ(xy) − Σx Σy N Σ(x2) − (Σx)2 2. ต่อจากนนั้ อาจหาค่า c โดยอาศยั สมบัติของคา่ เฉล่ยี เลขคณติ คอื ใชส้ มการ Y = mX + c (สมการนไ้ี ดจ้ าก นํา N ไปหารสมการปกตทิ ่ี (1) ของรูปแบบเส้นตรง นั่นเอง) เฉลยแบบฝึกหดั (คําตอบ) (1) 114.5, 113, 112 ซม. (24) 44.5, 45.93, 46.17 (59.1) 0.3686 (2) ก. ถูก ข. ผดิ (25) 57 คะแนน (26) 5 คน (59.2) 0.4788 (3) เบข้ วา, 4.5, 4, 3 (27) 22, 21 (28) 6 คน (59.3) 0.8603 (4) 40, 70, 70, 120 (29) ง. (30) 26, 20, 29.2 (59.4) 0.0214 (5) 70, 73 คะแนน (31) (4+5+15+18)/4=10.5 (59.5) 0.1170 (6) 55.5 (7) 69 คะแนน (32) 18 (33) 70, 1.2 (60) 89.44 (8) 14 ปี (9) 18 บาท (34) 64-16=48 คะแนน (61) 59.1 คะแนน (10) 47.4 กก. (11) 8 ตวั (35) 58.83, 74.5 กก. (62) 73.4 คะแนน (12) 9 ตัว (13) 11.5 (36) 62.23, 76.77 คะแนน, เกรด B (63) ค. (64) 24 (14) 50, 100 คน (15) 10 คน (37) 22 คน (65) 13.5 คะแนน (16) 192.3+182.3= 374.6 บาท (38) 9, 2.625, 2.67, 3 (66) 0.29 (17) 83 คะแนน (18) 19 (39) (64-4)/2=30 (40) 5 (67) 0.2, 97.73 (19) ผิดทั้ง 2 ขอ้ (20) 8/3 (41) 7–3=4 (42) 8 (68) 2.27 (69) ค. (21.1) 1 (21.2) –1 (43) 11.11 ซม. (44) 14.14 (70) ง. (71) 12 (21.3) B − A − 1 (45) 18, 24, 20.25 (46) 4 (72) 3, 8.91 (73) ข. (74) 5 เมตร (75) 4 4N (47) mx2 + ny2 − ⎜⎝⎛ mx + ny ⎞2 (76) ก. ถูก และ ข. ผดิ m+n m + n ⎠⎟ (22.1) 8.6, 8.6, 9.2 (22.2) 61.5, 65.5, 72.83 (48) 96 (49) หญิง, 16.5 / 2 เทา่ (77) 850 บาท (78) 11.2 (79) 75 (80) 7,000 บาท (22.3) 20.5, 20.5, 21.17 (50) 36 (51) ยห่ี ้อ A (81) 1 (82) ก. และ ข. ผดิ (22.4) 69.5, 69.98, 70.21 (52) 50, 7.5, 8.95, 11.52 (53) อังกฤษ (54) 19 ปี (83) ก. ผดิ และ ข. ถูก (22.5) 44.50, 45.93, 46.17 (84) 676,000 บาทตอ่ เดือน (85) ก. ผดิ และ ข. ถกู (22.6) 1802, 1791.17, 1770.93 บาท (55) 28.25 ปี (22.7) 103.25, 103.67, 105.33 บาท (56) 63.5 คะแนน (86) 97 (87) 4.9 ล้านบาท (22.8) 67.45, 67.43, 67.35 (57) 5/12 (23) –0.7 (58) 53.85, 16.15, 37.7 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 395 สถติ ิ เฉลยแบบฝกึ หดั (วธิ คี ดิ ) (1) X = 112 + 120 + 114 + 122 + 112 + 110 + 114 + 112 ∴ ขอ้ มลู ทงั้ หมด 10 จาํ นวน ไดแ้ ก่ 8 38, 43, 55, 62, 67, 73, 73, 74, 80, 85 = 916 = 114.5 ซม. 8 ตอบ Med = (67 + 73) = 70 คะแนน, 2 หรอื ใชส้ มบัติของค่ากลางช่วยคดิ โดยการลดทอน ตัวเลขลงใหค้ าํ นวณงา่ ยขน้ึ เชน่ นํา 115 ไปลบออก Mo = 73 คะแนน ทกุ จาํ นวน กลายเป็น −3, 5, −1, 7, −3, −5, −1, −3 (6) ฐานนยิ ม = 30 แสดงวา่ a = 30 หาคา่ เฉลยี่ ได้เปน็ (เพราะต้องมี 30 อยา่ งนอ้ ย 3 ตวั ) −3 + 5 − 1 + 7 − 3 − 5 − 1 − 3 = −4 = −0.5 มัธยฐาน = 40 แสดงว่า a + b = 40 88 2 ดังนนั้ (บวก 115 กลับคนื ไป) ∴ b = 50 → หา X ของขอ้ มลู X = −0.5 + 115 = 114.5 ซม. Med → เรยี งลาํ ดบั ขอ้ มูลเปน็ 11, 22, 33, 34, 35, 46, 67, 68, 99, 130 110, 112, 112, 11 2 , 1 1 4 , 114, 120, 122 → X = 555 = 55.5 10 Med (7) ฐานนยิ ม = 75 เพราะมผี ู้ไดค้ ะแนน 75 ∴ Med = 113 ซม. (อยตู่ ําแหนง่ ตรงกลางพอดี) เหมอื นๆ กันอยถู่ ึง 80% ของจํานวนคนทง้ั หมด และ Mo = 112 ซม. (มีข้อมลู ซํ้ามากทสี่ ุด) สมชายไดค้ ะแนน = X = 75 − 6 = 69 คะแนน (2) A : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 → XA = 3 และ [ใช้ 75-6 เพราะเป็นโค้งเบซ้ า้ ย ดงั น้ัน X < Mo ] (8) ไม่จําเปน็ ตอ้ งคิดละเอยี ดถงึ ขนาดหาอายขุ องแต่ MedA = 3 ละคน เพราะว่า X = 11 ปี → อกี 3 ปขี ้างหนา้ จะได้ X ใหม่ = 11 + 3 = 14 ปี B : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5 → XB = 3 และ [เป็นสมบตั ขิ องคา่ กลาง คอื ถ้า y = mx + c แลว้ MedB = 2.5 ดังนนั้ ก. ถูก และ ข. ผดิ (3) เรยี งลาํ ดับขอ้ มูล Y = mX + c ด้วย] (9) Y = 7 + 0.25 X ด้วย → ดังนนั้ หาคา่ X 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 X = 4.5 , Med = 4 , Mo = 3 ก่อนได้เลย → X = 32 + 48 + 40 + 56 + 44 = 44 การแจกแจงเปน็ แบบ “เบล้ าดทางขวา” 5 (เพราะขอ้ มลู ส่วนมากไปอยทู่ างคา่ นอ้ ย, หรอื อาจมอง ∴ Y = 7 + (0.25)(44) = 18 บาท (10) 3W = H − 15 ด้วย จาก Mo < Med < X ก็ได)้ → หา H โดย H = ∑ H (4) A, B, C, D 15 Mo = 70, Med = 70 แสดงวา่ B = C = 70 = 6(159) + 9(156) = 157.2 ซม. จากนน้ั หา A กับ D จากพสิ ยั และ X 15 โดย A + 70 + 70 + D = 75 .....(1) → ∴ W = 157.2 − 15 = 47.4 กก. 4 3 และ D − A = 80 .....(2) (11) จาก Xเดิม = ∑ xเดมิ → แกร้ ะบบสมการ ได้ A = 20, D = 100 N ∴ ตอบ ขอ้ มลู 4 จํานวนได้แก่ 20, 70, 70, 100 → 11 = ∑ xเดิม → ∑ xเดมิ = 11 N (5) N = 10, X = 65 N → ∑ x = 65 × 10 = 650 คะแนน Xใหม่ = ∑ xเดมิ + 29 = 13 N+1 7 คนแรกได้คะแนนรวม → 11N + 29 = 13 → N = 8 ตวั N+1 55 + 43 + 67 + 80 + 85 + 74 + 38 = 442 (12) ∑ xผดิ = 15N ∴ 3 คนท่เี หลอื มคี ะแนนรวมกนั 208 คะแนน → ∑ xถกู = 15N − 12 + 21 = 15N + 9 a , a + 11, a + 11 → 3a + 22 = 208 → a = 62 ∴ 16 = 15N + 9 → N = 9 ตวั N Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 396 สถิติ (13) ∑ xผิด = 12 × 10 = 120 (21.3) ∑ x2 = A .....(1) และ ∑ x2 + 4 ∑ x + 4 N = B .....(2) → ∑ xถกู = 120 − 8 + 3 = 115 แทนคา่ (1) ใน (2) จะได้ A + 4 ∑ x + 4 N = B ∴ Xถูก = 115 = 11.5 10 ดังนน้ั ∑ x = B − A − 4N → X = B − A − 1 4 4N (14) จาก Xรวม = Nชxช + Nญxญ Nช + Nญ (22.1) ขอ้ มลู ความถี่ d CF จะได้ 60 = Nช(70) + Nญ(55) .....(1) 3–5 10 -2 10 150 6–8 12 -1 22 9 – 11 15 0 37 และโจทยก์ ําหนด Nช + Nญ = 150 .....(2) 12 – 14 5 1 42 แก้ระบบสมการได้ Nช = 50 คน, Nญ = 100 คน 15 – 17 3 2 45 (15) สมมติ Nช = Xช = A, Nญ = Xญ = B จะได้วา่ A + B = 30 .....(1) สาํ หรับคิด x สําหรับคดิ Med และจากสตู ร Xรวม จะได้ 50 = A2 + B2 .....(2) X = a + ID = 10 + 3 ⎛ −20 − 12 + 5 + 6⎞ 3 30 ⎝⎜ 45 ⎠⎟ แก้ระบบสมการ ได้ A = 10, B = 20 = 10 − 1.4 = 8.6 (เพราะโจทย์ระบวุ า่ A < B ) ∴ ตอบ ชาย 10 คน (16) 18,630 = 40Xช + 60Xญ [หมายเหตุ การคดิ X อาจเลอื กชนั้ ใดกไ็ ด้ ไม่ จําเปน็ ตอ้ งคิดตรงตามนี้ แต่คาํ ตอบจะเท่ากันเสมอ] ( )Med = 40Xช + 60 (Xช − 10) = L + I ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ = 8.5 + 3 22.5 − 22 ⎜ fMed ⎟ 15 จะได้ Xช = 192.3 บาท ⎝ ⎠ ∴ Xญ = 182.3 บาท รวมกันเป็น 374.6 บาท = 8.5 + 0.1 = 8.6 (17) 79 = 20(92) + 20(84) + 30(63) + 30(x) Mo = L + I ⎛ dL ⎞ = 8.5 + 3 ⎛ 3 3 ⎞ ≈ 9.2 100 ⎜⎝ dL + dU ⎟⎠ ⎝⎜ + 10 ⎠⎟ ∴ x = 83 คะแนน [หมายเหตุ การคดิ Med กับ Mo ตอ้ งเลอื กชนั้ ตามน้ี (18) พิสยั = 12 และ a < 15 → ดงั นนั้ a = 3 เทา่ น้ัน] ∑ (xi − b)2 น้อยสดุ → ดงั นั้น b = X = 8 ∑ xi − c น้อยสดุ → ดังนน้ั c = Medx = 8 (22.2) X = 69.5 + 20 ⎛⎜⎝ −15 − 20 − 15 + 20 ⎞⎟⎠ 75 ตอบ 3 + 8 + 8 = 19 = 69.5 − 8 = 61.5 Med = 59.5 + 20 ⎛ 37.5 − 30 ⎞ = 59.5 + 6 ⎜⎝ 25 ⎟⎠ (19) ก. a = Medx = 5, b = X = 8 ดังน้นั ก.ผิด ข. ∑ x = N X = (20)(8) = 160 ดงั นนั้ ข.ผดิ = 65.5 (20) ∑ x + ∑ y = 9 .....(1) Mo = 59.5 + 20 ⎛ 10 5 ⎞ = 59.5 + 13.33 = 72.83 ⎝⎜ 10 + ⎠⎟ ∑ x − ∑ y = 7 .....(2) ∴ ∑ x = 8, ∑ y = 1 ( )(22.3) X = 22 + 5 −20 − 12 + 9 + 8 = 22 − 1.5 50 ตอ้ งการ ∑ (xi − a)2 นอ้ ยสดุ = 20.5 ดงั นน้ั a = X = ∑ x = 8 / 3 N Med = 19.5 + 5 ⎛ 25 − 22 ⎞ = 19.5 + 1 = 20.5 ⎝⎜ 15 ⎟⎠ หมายเหตุ คา่ N ได้มาจากบนซกิ มา่ 3 Mo = 19.5 + 5 ⎛ 3 ⎞ ≈ 19.5 + 1.67 ≈ 21.17 →∑ ⎝⎜ + ⎠⎟ i=1 3 6 (21.1) ∑ x2 + 2 ∑ x + ∑ 1 = ∑ x2 − 6 ∑ x + ∑ 9 (22.4) ⎝⎛⎜ −30 ⎟⎞⎠ 60 8 ∑ x = ∑ 9 − ∑ 1 = 180 − 20 X = 74.5 + 10 = 69.5 ∴ ∑ x = 20 → X = 20 = 1 Med = 69.5 + 10 ⎜⎛⎝ 30 − 29 ⎞⎠⎟ ≈ 69.98 20 21 (21.2) ∑ x2 + 2 ∑ x + 8 = 1 .....(1) Mo = 69.5 + 10 ⎛ 1 ⎞ ≈ 70.21 และ ∑ x2 + 4 ∑ x + 32 = 9 .....(2) ⎜⎝ 1+ 13 ⎟⎠ (2)-(1) ; 2 ∑ x = −16 → ∑ x = −8 → X = −8 / 8 = −1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 397 สถติ ิ (22.5) X = 44.5 + 10(0) = 44.5 (27) 49.5 = 39.5 + 20 ⎜⎛⎝ 50 − (14 + f1)⎞⎟⎠ 28 Med = 39.5 + 10 ⎛ 50 − 32 ⎞ ≈ 45.93 ⎜⎝ 28 ⎠⎟ → f1 = 22 คน คน∴ f2 = 100 − (14 + 22 + 28 + 15) = 21 Mo = 39.5 + 10 ⎛⎝⎜ 16 ⎞⎠⎟ ≈ 46.17 16 + 8 หรือ ถ้าสงั เกตวา่ 49.5 อยูก่ ึ่งกลางชนั้ พอดี (22.6) ขอ้ น้ีระวงั ตาราง “ตีลงั กา” แสดงวา่ แบง่ 28 ออกเปน็ ฝงั่ ละ 14 คน X = 1,749.5 + (100) ⎛ 21 ⎞ = 1,802 บาท คือ 14 + f1 + 14 = 50 คน (ซา้ ย) ⎝⎜ 40 ⎠⎟ และ 14 + f2 + 15 = 50 คน (ขวา) กจ็ ะได้ f1 = 22 , f2 = 21 โดยงา่ ย.. ( ) บาทMed = 1,699.5 + 100 20 − 9 ≈ 1,791.17 12 บาทMo = ⎛ 5 ⎞ ≈ (17 ) 1,699.5 + 100 ⎜⎝ 5 + 2 ⎠⎟ 1,770.93 (28) 62 = 59.5 + 10 ⎛ 12.5 − − fMed ⎞ ⎜ fMed ⎟ (22.7) ⎛ −75 ⎞ บาท ⎝ ⎠ ⎝⎜ 100 ⎟⎠ X = 107 + 5 = 103.25 คน→ fMed = 6 (29) P80 จาก 4,000 คน แปลวา่ มคี นที่ได้คะแนน Med = 99.5 + 5 ⎝⎛⎜ 50 − 25 ⎞⎟⎠ ≈ 103.67 บาท นอ้ ยกว่าอยู่ 80% และมากกวา่ อยู่ 20% 30 Mo = 104.5 + 5 ⎝⎜⎛ 5 5 ⎞⎟⎠ ≈ 105.33 บาท ดังนนั้ ข้อ ง. จงึ ถกู (20% ของ 4,000 = 800 คน) + 25 ส่วนขอ้ ข. นนั้ ไมเ่ กย่ี วขอ้ งเลย (P80 ไมส่ ามารถบอก (22.8) X = 67 + 3(0.15) = 67.45 กก. ไดว้ ่าได้กีค่ ะแนน) ( ) กก.Med = 65.5 + 3 0.50 − 0.23 ≈ 67.43 0.42 (30) เรียงขอ้ มูล จากนอ้ ยไปมาก เทา่ นน้ั 0.24 4, 4, 9, 12, 12, 16, 17, 19, 20, 20, 24, 26, 30, 31, 32 0.24 + 0.15 กก.Mo = ⎛ ⎞ 65.5 + 3 ⎜⎝ ⎠⎟ ≈ 67.35 Q3 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 3 (15 + 1) = 12 4 (23) ขอ้ มูล -4 -3 1 2 3 D6 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 6 (15 + 1) = 9.6 ความถ่ี 30 20 10 20 20 10 ดงั นน้ั Q3 = 26 และ D6 = 20 X = −4(30) − 3(20) + 1(10) + 2(20) + 3(20) = −0.7 P80 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 80 (15 + 1) = 12.8 100 100 (24) แปลงขอ้ มลู เป็นตาราง คะแนน จาํ นวนคน ∴ P80 = 26 + (0.8)(4) = 29.2 แล้วจงึ คาํ นวณ 0–9 5 (ในกรอบเปน็ การเทยี บสดั สว่ น... 0.8 คอื ตาํ แหนง่ ท่ี 10 – 19 8 20 – 29 7 ต้องการ และ 4 คือผลตา่ งระหวา่ ง 26 กับ 30) 30 – 39 12 (31) P10 อยตู่ าํ แหน่งท่ี 10 (9 + 1) = 1 100 40 – 49 28 50 – 59 20 D2 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 2 (9 + 1) = 2 10 60 – 69 10 ดังนน้ั P10 = 4 และ D2 = 5 70 – 79 10 X = 44.5 + 10(0) = 44.5 คะแนน และ P60 = 15, Q3 = 18 (คิดแบบเดยี วกนั ) ( )Med = 39.5 + 10 50 − 32 ≈ 45.93 คะแนน ∴ คา่ เฉลยี่ = 4 + 5 + 15 + 18 = 10.5 28 4 Mo = 39.5 + 10 ⎛ 16 ⎞ ≈ 46.17 คะแนน (32) D6 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 6 (13 + 1) = 8.4 ⎜⎝ 16 + ⎠⎟ 10 8 ∴ 20 = x + (0.4)(23 − x) → x = 18 ( )(25) Med = 49.5 + 10 18 − 12 = 57 คะแนน 8 (33.1) เรียงขอ้ มลู เป็น ⎛ ⎛⎝⎜ 13 + a ⎠⎞⎟ − (3 + a) ⎞ 11, 12, 15, 19, 24, 27, 28, 29, 30 ⎜ 2 ⎟ (26) ⎜ ⎟ 28 อยตู่ ําแหนง่ ท่ี 7 จาก 9 7 = 6.5 + 3 ⎝6⎠ → a = 5 คน → ∴ r (9 + 1) = 7 → r = 70 (P70) 100 (ในกรอบเปน็ สมการบอก “ตาํ แหน่งท”่ี ) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 398 สถติ ิ (33.2) 15 อยตู่ าํ แหน่งที่ 3 จาก 9 P25 = 100.5 และ Q3 = 110.5 → ∴ r (9 + 1) = 3 → r = 1.2 (Q1.2) ถา้ สังเกตดๆี จะพบวา่ 100.5 กบั 110.5 เป็นขอบ 4 ของชน้ั พอดี แสดงวา่ ตารางโดนตดั แบง่ เปน็ อตั ราสว่ น 1 : 2 : 1 ดังแสดงใหด้ ู (34) Q3 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 3 (32) = 24 ∴ จะหาคา่ x ได้ จาก 1 + 3 + x + 5 = 10 + 4 4 และ ตอบ 1 + 3 + x + 5 + 8 = 14 + 8 = 22 คน → 24 = 4 log2 x → x = 64 = Q3 [หมายเหตุ อาจจะหา x = 5 กอ่ นกไ็ ด้, และยัง สามารถหา y ไดโ้ ดย 8 + y = 2(10 + 4) ดว้ ย] P50 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 50 (32) = 16 100 (38) Range = 21 − 12 = 9 → 16 = 4 log2 x → x = 16 = P50 QD = Q3 − Q1 → ตอ้ งหาคา่ Q3, Q1 กอ่ น ∴ ตอบ 64 − 16 = 48 คะแนน Q3 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 3 (6 + 1) = 5.25 4 (35) กก. คน CF ∴ Q3 = 18 + (0.25)(3) = 18.75 31 – 40 3 3 41 – 50 7 10 Q1 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 1 (6 + 1) = 1.75 51 – 60 24 34 4 61 – 70 10 44 71 – 80 5 49 ∴ Q1 = 12 + (0.75)(2) = 13.5 81 – 90 1 50 D6 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 6 (50) = 30 → QD = 18.75 − 13.5 = 2.625 10 2 ∴ D6 = 50.5 + (10) ⎛⎝⎜ 30 − 10 ⎟⎞⎠ ≈ 58.83 กก. MD กับ SD ตอ้ งหาค่า X กอ่ น 24 X = 12 + 14 + 14 + 17 + 18 + 21 = 16 P92 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 92 (50) = 46 6 100 MD = 4 + 2 + 2 + 1 + 2 + 5 = 2.67 ∴ P92 = 70.5 + (10) ⎛ 46 − 44 ⎞ = 74.5 กก. 6 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ SD = 42 + 22 + 22 + 12 + 22 + 52 = 9 = 3 (36) 6 F 40% B 40% A 20% ขอ้ สงั เกต QD, MD, SD จะตอ้ งมีค่าใกลเ้ คียงกนั P40 P80 (39) Q3 อยตู่ าํ แหนง่ 300 แสดงวา่ ต้องการทราบคา่ คะแนนท่ตี รงกับ P40, P80 → 300 = 100 log4 x → x = 64 = Q3 P40 อยตู่ ําแหนง่ ท่ี 40 (40) = 16 Q1 อยตู่ าํ แหนง่ 100 100 → 100 = 100 log4 x → x = 4 = Q1 ( )→ P40 = 59.5 + 10 16 − 13 ≈ 62.23 คะแนน ∴ QD = 64 − 4 = 30 คะแนน 11 2 P80 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ 80 (40) = 32 (40) จาก Q3 − Q1 = 2 และ Q3 − Q1 = 2 100 2 Q3 + Q1 3 ( )→ จะได้ Q1 = 1, Q3 = 5 ดังน้นั P75 = Q3 = 5 P80 = 69.5 + 10 32 − 24 ≈ 76.77 คะแนน 11 (41) 1, a, b, 5 → 1 + a + b + 5 = 4 .....(1) 4 ∴ ตอบ ตดั เกรดท่ี 62.23 กับ 76.77 คะแนน และ 32 + (a − 4)2 + (b − 4)2 + 12 = 5 .....(2) และถา้ ได้ 71 คะแนน จะไดเ้ กรด B 4 (37) ค่าจา้ ง (บาท) จํานวนคน แกร้ ะบบสมการได้ a = 3, b = 7 (เพราะโจทยก์ าํ หนด a < b ) → ∴ b − a = 4 81 – 85 1 86 – 90 3 1 :2:1 91 – 95 x 96 – 100 5 101 – 105 8 106 – 110 y 111 – 115 10 116 – 120 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 399 สถติ ิ (42) X = 2QD → หา X ไดเ้ ปน็ 48 + a (48) Xรวม = 1,320 = 22 คะแนน 7 60 หา QD ได้ 2 กรณี ดังน้ี → กลุม่ 10 คน X1 = 32, s1 = 0 ก. ถ้าเรยี งขอ้ มูลเป็น 2, a , 4, 6, 9, 12 , 15 → กลุ่ม 50 คน X2 = 1,000 = 20, s2 =? จะได้ QD = 12 − a → a = 4.5 (ผดิ ) 50 2 สูตร 100 + 222 = 10(02 + 322)+ 50(s22 + 202) ข. ถา้ 4 < a < 12 จะไดข้ อ้ มูลเปน็ 60 2, 4 , 6 9 , 12 , 15 → s22 = 96 คะแนน 2 (a) (a) (a) (49) สูตร Xรวม = 150 = 12(150) + 8(Xญ) (คา่ a อยทู่ ี่ใดทห่ี นึ่งใน 3 ชอ่ งน)ี้ 20 ซึง่ พบวา่ QD = 12 − 4 → a = 8 (ถูก) → Xญ = 150 ซม. ด้วย 2 สูตร s2รวม ไม่ต้องคดิ X เพราะสองกลมุ่ เท่ากัน (43) 90% ของ sจรงิ = 10 ซม. = 10 × 100 12(22) + 8(s2ญ) → 90 20 ซม.→ → 32 = Sญ = 16.5 sจริง = 11.11 (44) 6 = ∑ x2 − 422 → ∑ x2 = 1,800 สปส.การแปรผนั ⎝⎛⎜ s ⎠⎟⎞ ญ= 16.5 , ช = 2 NN X 150 150 → sจรงิ = 1,800 − 402 = 200 ≈ 14.14 จึงตอบวา่ หญิงกระจายมากกวา่ อยู่ 16.5 / 2 เทา่ (45) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 (50) ∑(x − 5)2 = ∑ x2 − 10 ∑ x + 250 = 370 5 X1 = =9 แทนคา่ ∑ x = 60 จะได้ ∑ x2 = 720 และ X2 = 3 + 9 + 15 =9 ความแปรปรวน s2 = ∑ x2 − X2 3 N เนอื่ งจาก X1 = X2 ดงั นนั้ สตู รหาความแปรปรวน = 720 − ⎛ 60 ⎞2 = 36 10 ⎜⎝ 10 ⎠⎟ รวม จะลดเหลอื เพียง s2รวม = N1s21 + N2s22 N1 + N2 (51) การวดั คุณภาพการผลติ ไมไ่ ดเ้ ทียบกนั ท่ี X ซ่ึงขอ้ น้ี s21 = 62 + 32 + 02 + 32 + 62 = 18 แต่จะเทียบกนั ทกี่ ารกระจาย ดังนัน้ เราตอ้ งหา s / X 5 sA = 12 + 52 + 12 + 152 + 102 = 70.4 ≈ 8.39 และ s22 62 + 02 + 62 5 = 3 = 24 → s = 8.39 = 0.27 จึงได้ s2รวม = 5(18) + 3(24) = 20.25 X 31 8 62 + 192 + 62 + 162 + 02 + 32 ≈ (46) Xรวม = N(5) + N(3) = 4 sB = 6 116.33 2N ≈ 10.79 → s = 10.79 = 0.32 สูตร s2รวม → 32 + 42 = N(02 + 52)+ N(s22 + 32) X 34 2N ∴ ย่ีหอ้ A คณุ ภาพดีกว่า (เพราะค่าการกระจาย → s2 = 4 นอ้ ยกว่า) (52) Range = 99.5 − 49.5 = 50 คะแนน (47) Xช = x, Xญ = y, sช = 0, sญ = 0 (เพราะทุกคนอายุเท่ากันหมด) QD → หา Q3 กับ Q1 ก่อน Q3 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 75 → Q3 = 79.5 (ขอบพอด)ี จะได้ Xรวม = mx + ny Q1 อยตู่ าํ แหนง่ ท่ี 25 → Q1 = 64.5 (กึ่งกลางชั้น m+n พอด)ี ∴ QD = 79.5 − 64.5 = 7.5 คะแนน สตู ร s2รวม + X2รวม = m(02 + x2)+ n(02 + y2) 2 m+n mx2 + ny2 ⎝⎜⎛ mx + ny ⎠⎞⎟2 m+n m + n ปี∴ s2รวม = − 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 400 สถติ ิ MD กบั SD ตอ้ งหา X กอ่ น (59.1) 0.3686 (59.2) 0.4788 → X = 74.5 + (10) ⎝⎛⎜ −15 ⎠⎟⎞ = 73 คะแนน 100 MD = 15(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5) (59.3) 0.3830 + 0.4773 = 0.8603 100 = 8.95 คะแนน และ SD = 15(18.5)2 + 20(8.5)2 + 40(1.5)2 + 15(11.5)2 + 10(21.5)2 100 (59.4) 0.4987 − 0.4773 = 0.0214 = 132.75 ≈ 11.52 คะแนน (59.5) 0.5 − 0.3830 = 0.1170 (53) z ไทย = 48 − 45 = 0.25 (60) s = 12, s = 0.24 ∴ X = 50 12 X x = 65 → z = 65 − 50 = 1.25 zองั กฤษ = 35 − 32 = 0.3 10 12 ∴ อังกฤษดีกว่า → A = 0.3944 ทางขวา (54) X = 640 = 16 ปี s = 2 ปี คิดเปน็ P89.44 40 (61) P10 → A = 0.4 ทางซ้าย → zn = 18 − 16 = 1→ zข = 1.5 2 → z = −1.29 = x − 72 10 xข − 16 2 → x = 59.1 คะแนน ปี∴ 1.5 = → (62) (เหมือนขอ้ ทแ่ี ลว้ ) xข = 19 D3.3 → A = 0.17 ทางซา้ ย (55) จากสมบตั วิ า่ ∑ z = 0 ดังนน้ั → z = −0.44 = x − 80 15 x − 25 13 → x = 73.4 คะแนน ปีzคนสดุ ทา้ ย (63) แปลงทุกขอ้ ใหอ้ ยู่ในรปู เดียวกนั = 0.25 = → x = 28.25 (เชน่ แปลงเปน็ คา่ z ก็ได้) ก. P80 → A = 0.3 ทางขวา → z = 0.84 (56) จาก zก = xก − X ข. z = 1.50 s ค. z = 85 − 60 = 2.5 จะได้ −1.6 = −5 → s = 3.125 คะแนน 10 s ง. D7 คือ P70 จงึ นอ้ ยกวา่ P80 ในข้อ ก. แน่นอน จาก zข = 1.28 = 60 − X → X = 56 คะแนน ∴ ตอบ ค. 3.125 ∴ 2.4 = xค − 56 → xค = 63.5 คะแนน 3.125 (57) เลอื กใช้ 2 ช่องใดๆ คํานวณก็ได้ แตถ่ ้าเลือก z = 0 จะงา่ ย เพราะได้ x = X เลย น่ันคอื ถ้า z = 0 → 0 = 60 − X → X = 60 s และจาก 1.0 = 85 − 60 → s = 25 s ดงั นน้ั สัมประสทิ ธิ์การแปรผนั = 25/60 = 5 / 12 (58) 1 = 70 − X → 70 − X = s .....(1) s s = 0.3 → s = 0.3X .....(2) X แก้ระบบสมการได้ X = 53.85 คะแนน s = 16.15 คะแนน และ −1 = x − 53.85 → x = 37.7 คะแนน 16.15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 660
Pages:
