สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 401 สถติ ิ (64) P97.5 → A = 0.475 ทางขวา (68) → z = 1.96 = xmax − X .....(1) AB 10 60 x 72 x P33 → A = 0.17 ทางซา้ ย พืน้ ท่ี A = B แสดงวา่ X อยูก่ งึ่ กลางระหวา่ ง 60 → z = −0.44 = xmin − X .....(2) 10 กับ 72 น่นั คือ X = 60 + 72 = 66 คะแนน 2 (1)-(2); xmax − xmin = 19.6 + 4.4 = 24 ดังนน้ั พิสยั = 24 คะแนน ถ้า x = 60 → z = 60 − 66 = −2 → (65) หา Q3 → A = 0.25 ทางขวา 3 → z = 0.675 = Q3 − 97 .....(1) พน้ื ที่ = 0.4773 ซา้ ย 20 ∴ มีคนไดน้ อ้ ยกวา่ 60 คะแนนอยู่ Q1 → A = 0.25 ทางซา้ ย 50 − 47.73 = 2.27% → z = −0.675 = Q1 − 97 .....(2) (69) ก ได้ 80 คะแนน 20 ตรงกับเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 450 × 100 = 90 (1)-(2); Q3 − Q1 = 6.75 + 6.75 = 13.5 500 2 → A = 0.4 ทางขวา → z = 1.29 ดงั นน้ั QD = 13.5 คะแนน (66) ∴ 1.29 = 80 − X → X = 54.2 คะแนน 20 0.61 (ก.ผิด, ง.ผดิ ) 3000 5000 x 0.1587 0.33 ข ได้ 40 คะแนน → zข = 40 − 54.2 = −0.71 โจทย์ไมบ่ อกทง้ั X, s จึงต้องแก้ระบบสมการ 0.3413 0.17 20 A = 0.44 → z = 1.56 = 5,000 − X .....(1) 0.4773 0.44 → A = 0.2612 ทางซา้ ย 0.0227 s ∴ คิดเปน็ P23.88 (ข.ผดิ ) คอื มีคนได้นอ้ ยกวา่ ข. A = 0.17 → z = −0.44 = 3,000 − X .....(2) อยู่ 23.88 × 500 = 119.4 คน (ค. ถกู ) s 100 จะได้ s = 1,000 และ X = 3,440 (70) 900 คน ได้ตํา่ กวา่ 80 คะแนน ดงั นนั้ สัมประสทิ ธิก์ ารแปรผนั = 1,000 ≈ 0.29 แปลวา่ P90 = 80 3,440 P90 → A = 0.4 ทางขวา (67) → z = 1.3 = 80 − X → X = 67 คะแนน 10 0.4 0.4 40 70 x 54 67 80 x A = 0.4773 → z = 2 = 70 − X .....(1) พิจารณาที่ 54 คะแนน s → z = 54 − 67 = −1.3 → คิดเปน็ P10 10 ∴ ก,ข,ค ถูก และ ง.ผิด A = 0.3413 → z = −1 = 40 − X .....(2) s (เพราะมีผู้ได้ 54 ถึง 80 ประมาณ 800 คนพอด)ี จะได้ s = 10, X = 50 (71) s = 1 และ s = 3 X4 ∴ สัมประสทิ ธ์ิการแปรผัน = 10 = 0.2 50 ∴ X = 12 และทาํ ให้ Med = 12 ดว้ ย (โค้งปกติ) ถ้า x = 30 → z = 30 − 50 = −2 10 แสดงวา่ มนี กั เรยี นที่ ไดค้ ะแนนมากกว่านอี้ ยู่ 47.73 + 50 = 97.73% -2 0 z Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 402 สถิติ (72) จาก Q3 − Q1 = 2 และ Q3 − Q1 = 2 → m = 2/3 2 Q3 + Q1 3 ∴ Yˆ = 2 (15) − 3 = 7 → ตอบ 7,000 บาท จะได้ Q3 = 5, Q1 = 1 3 ∴ X = 5 + 1 = 3 (ความสมมาตรของโคง้ ปกติ) (81) ∑ y = k ∑ x2 → 15 = k(15) → k = 1 2 (82) ก. ผดิ (ตอ้ งรู้ X ทาํ นาย Y เทา่ นัน้ ) พิจารณาท่ี Q3 → z = 0.67 → 0.67 = 5−3 ข. ผดิ เพราะอกี 7 ครอบครวั ไมน่ ่าจะอยู่บนเสน้ ตรง s Y = 0.636X + 0.545 ทกุ จดุ หรือแบง่ ฝัง่ กันดงึ ให้ เสน้ ตรงคงอยู่ท่ีเดมิ ได้ (นา่ จะดึงให้เบนไปจากเดิม) → s = 2.985 → s2 ≈ 8.91 (83) ก. ผดิ (ตอ้ งรู้ X ทาํ นาย Y เท่าน้นั ) ข. ถูก ( Δy = 2 Δx = 2 (2) = 4 → 4,000 บาท) (73) มแี นวโนม้ เปน็ เส้นตรง ทต่ี ดั แกน y ทางบวก (84) รู้ Y จะทาํ นาย X ต้องเปลยี่ นตวั แปรเปน็ ดงั นี้ และความชันเป็นลบ จึงตอบขอ้ ข. ∑ x = m ∑ y + cN, ∑ xy = m ∑ y2 + c ∑ y (74) ∑ y = m ∑ x + cN .....(1) จะได้ 15 = 30m + 5c กบั 107 = 210m + 30c → 60 = 10m + 4c → ∴ m = 17 , c = − 2 ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x .....(2) 30 5 → 200 = 30m + 10c ดังนนั้ Xˆ = 17 Y − 2 30 5 ได้ m = 10, c = −10 ∴ Yˆ = 10X − 10 → Xˆ = 17 (120) − 2 = 67.6 ดงั นน้ั ที่ 1.5 วินาที Yˆ = 10(1.5) − 10 = 5 เมตร 30 5 (75) ∑ y = m ∑ x + cN → 8 = 3m + 3c ตอบ 676,000 บาท ตอ่ เดอื น ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 4 = 5m + 3c (85) ก. รู้ Y ทํานาย X → 10 = 22m + 4c และ 65 = 142m + 22c ได้ m = −2, c = 14 3 → m = 10 , c = − 5 ∴ Yˆ = −2X + 14 ⇒ − 2 + 14 = 4 21 42 3 33 ดงั นนั้ Xˆ = 10 (10) − 5 ≈ 4.64 ผดิ 21 42 (76) ก. แกร้ ะบบสมการได้ m = 1.1, c = 3.4 ข. รู้ X ทาํ นาย Y Yˆ = 1.1(5) + 3.4 = 8.9 ขอ้ ก. ถกู → 22 = 10m + 4c และ 65 = 30m + 10c ข. เทยี บสมการท่ีโจทย์ให้มา กับสมการปกติ พบวา่ → m = 2, c = 0.5 ถูก ∑ y = 28, ∑ x = 10, ∑ xy = 67, ∑ x2 = 30 (86) x -2 -1 0 1 2 ∴ X = ∑ x = 10 = 2 ขอ้ ข. ผดิ N5 y 20 30 20 40 60 หมายเหตุ ถา้ โจทย์ใหค้ าํ นวณความแปรปรวนก็ทาํ ได้ จาก ∑ y = m ∑ x + cN จะได้ 170 = 5c → c = 34 โดยใช้สตู ร s2 = ∑ x2 − X2 = 30 − 22 = 2 N5 และจาก ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x จะได้ 90 = 10m → m = 9 (77) Δy = m Δx → Δy = 0.85 (1,000) = 850 บาท คิดปี 2535 เทยี บเปน็ คา่ X ได้ 7; (78) ∑ y = m ∑ x + cN → 4a + 13 = (1.55)(0) + (5)c ..... (1) → Yˆ = 9(7) + 34 = 97 ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x (87) กาํ หนด X = -2, -1, 0, 1, 2 เช่นเดมิ จะได้ 22 = 5c → c = 4.4 → 3a + 22 = (1.55)(20) + (0)c .....(2) และ 18 = 10m → m = 1.8 ได้ a = 3 → c = 5 คดิ ปี 2525 เทยี บเปน็ ค่า X ได้ 3; ∴ Yˆ = 1.55(4) + 5 = 11.2 → Yˆ = 1.8(3) + 4.4 = 9.8 ลา้ นบาท ดงั นน้ั เฉลยี่ 6 เดือนแรก (คร่ึงป)ี (79) Y = a + 0.75X ด้วย (สมบตั ขิ อง X ) = 9.8 = 4.9 ลา้ นบาท → 60 = a + 0.75(40) → a = 30 2 ∴ Yˆ = 30 + 0.75(60) = 75 หอ้ ง (80) ตดั แกน y ท่ี −3 → c = −3 จาก Y = mX + c จะได้ 5 = m(12) − 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 403 ขอ สอบเขาฯ แยกตามหวั ขอ ¢oŒ Êoºe¢ÒŒ ÁËÒÇ·i ÂÒÅÂa 桵ÒÁËÇa ¢oŒ i2/15 ข้อสอบฉบับที่ 7 ตอนท่ี 2 ขอ้ ที่ 15 บทท่ี 1 เซต 1. นบั จาํ นวนแบบของเซต d2/25 f1/1 n1/1 p1/10 2. หาจาํ นวนสมาชิกเกีย่ วกบั เพาเวอรเ์ ซต c1/1 d1/1 g2/1 k2/1 3. คิดชน้ิ ส่วนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ หรอื โจทย์ปัญหา c2/21 g1/1 h2/1 i2/1 j2/1 l2/4 o2/1 q2/1 บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 1. ทฤษฎเี ศษและทฤษฎตี วั ประกอบในพหนุ าม c2/10 h2/3 i2/3 n1/3 o2/3 p2/1 2. แกส้ มการและอสมการ ดีกรีสองขึน้ ไป หรือมคี า่ สัมบรู ณ์, การดําเนินการเก่ยี วกบั ชว่ ง c2/2 d2/1 e2/2 g1/2 h2/4 i2/2 j2/2 k2/2 l1/1, 2/5 o2/2 p2/6 q2/3,24 3. ทฤษฎจี าํ นวนเก่ยี วกับการหารลงตัว, ห.ร.ม. และ ค.ร.น., วิธีของยคู ลิด c2/14 d1/2 e2/3 f2/2 g2/2 j1/1 k2/3 n2/1 p1/7, 2/2 q1/10 บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 1. ค่าความจริงของรูปแบบประพจน์, ตรวจสอบการสมมูลกนั , ตรวจสอบสจั นริ นั ดร์ c2/3 d2/2 g1/3 h2/5 i2/5 j2/4 l2/2 o2/4 q2/6 2. การอา้ งเหตุผล ... สมเหตุสมผลหรอื ไม่, ผลในขอ้ ใดที่ทาํ ใหส้ มเหตสุ มผล c2/4 d2/3 e2/4 f2/4 l2/3 n2/2 3. หาคา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ ทีม่ ีตวั บ่งปริมาณ, หานิเสธของประโยคเปิดทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ e2/5 f2/3 h2/6 j2/3 k2/4,5 n2/3 o2/5 p2/8,9 q2/7 4. การให้เหตผุ ล (อุปนยั /นิรนัย) ยงั ไม่เคยมีในข้อสอบ เนอื่ งจากเป็นเน้ือหาในหลกั สตู รใหม่ บทท่ี 4 เรขาคณติ วเิ คราะห์ 1. การสร้างสมการเสน้ ตรงจากส่งิ ท่กี ําหนดให้ เชน่ จดุ , ความชนั , เส้นขนานหรือเสน้ ตงั้ ฉาก c1/2 l2/11 q2/2 2. ภาคตัดกรวยสองรูป ... โดยหาส่วนประกอบจากรูปแรกเพ่ือใชเ้ ป็นส่วนประกอบของอีกรปู c2/7 d2/8,9 f2/10 i2/11,12 k2/10 n2/7,8 o2/10 3. ภาคตัดกรวยรูปเดยี ว … หาจุด, พน้ื ท่,ี ถามนิยาม, หรอื ใชเ้ รอ่ื งอื่นช่วยคดิ เช่น อนุพันธ์, ตรีโกณฯ e1/1, 2/8 f2/9 g1/10,11 h2/11,12 j2/10,11 k2/11 l2/10 o1/3 p1/1, 2/4,7 q1/7,8 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 404 ขอ สอบเขาฯ แยกตามหัวขอ บทที่ 5 ความสัมพนั ธแ์ ละฟงั ก์ชนั 1. นบั จาํ นวนความสมั พนั ธ์จาก A ไป B, จาํ นวนค่อู ันดบั c2/5 f2/1 2. หาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ (อาจเป็นสมการภาคตดั กรวย), จดั รูปหา r−1 d2/4 f2/5 h2/7 i2/6 l2/8 n2/6 o2/6 3. นับจาํ นวนฟงั ก์ชันทเี่ ป็นไปได้ ... เช่น ฟังกช์ ันหนึ่งต่อหนง่ึ จาก A ไป B c2/20,25 e2/21 g1/6 h2/2 i1/1 l2/1 q2/18 4. จดั รูปหา gD f , จัดรูปหา ,f −1 การใชก้ ราฟของฟงั กช์ ัน d2/5 e1/2 f2/25 h2/8 k1/1, 2/6,7,8 l2/7 n2/5 o2/8 p2/10,13 q2/15 5. การแก้ฟงั กช์ ัน (มี gD f กับ f −1 ผสมดว้ ย) g1/7 i2/8 j2/8 l2/6 n1/2, 2/4 o2/7 6. หาโดเมนและเรนจข์ อง gD f , ฟงั ก์ชันที่มโี ดเมนเปน็ เซตจาํ นวนเตม็ c2/26 e2/1 g1/5 h2/9 i2/7 j2/6,7 o1/1 บทที่ 6 กาํ หนดการเชิงเส้น 1. คิดค่าสงู สดุ ตํา่ สดุ ... อาจเป็นโจทย์ปัญหาสถานการณ์ หรืออาจมสี มการมาให้เลย c2/13 d2/12 e2/12 f2/13 g1/15 i2/15 j2/15 l1/5 p1/4 q2/21 2. บอกค่าสงู สดุ หรือต่ําสุดมาให้ แลว้ ใหย้ ้อนกลับไปหาคา่ คงทใ่ี นสมการจุดประสงค์ h2/15 k2/14 n2/14 o2/13 บทที่ 7 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ 1. พ้ืนฐานของตรโี กณมติ ิ e2/7 g1/8 j1/2 2. แกส้ มการหรืออสมการ, ใชส้ ตู รผลบวกผลลบ ... อาจปนเรือ่ งอ่ืน เชน่ อนกุ รม, ฟังก์ชัน c2/27 d2/6 e2/6 i2/4,9,10 j2/9 n2/9 p2/15 q2/8 3. เก่ียวกบั arc (ใหห้ าค่า หรือแก้สมการ) c1/3 d2/7 e2/26 f2/8 g1/9 k1/2 l2/9 n1/4 o1/2 q2/9 4. กฎของ sin, cos (อาจติดมมุ ผลบวกผลลบ หรือติด arc), การหาระยะทางและความสงู e2/9 f2/7 h2/10 k2/9 l1/2 o2/9 p1/3 บทท่ี 8 ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ลและลอการทิ ึม 1. การจัดรปู เลขยกกําลัง, ลอการิทมึ , และโดเมน เรนจ์ c2/6 d1/3, 2/10,26 f2/11 j2/5 k1/3 2. แกส้ มการเอกซโ์ พเนนเชียลและลอการิทึม c2/8 e1/4, 2/10 f1/2 g1/4,12,13 i2/13 j1/3 l1/3 n2/10 o1/4 p1/2 q1/1 3. แกอ้ สมการ h1/1, 2/13 i1/2 j2/12 k2/12 l2/12 n2/11 o2/11 p2/14 q2/11 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 405 ขอสอบเขา ฯ แยกตามหวั ขอ บทที่ 9 เมตริกซ์ 1. การหา det, การแกส้ มการเกย่ี วกับ det, สมบัติของ det c2/12 e2/11 f2/12 g1/14, 2/3 h1/6 i2/14 k1/4 l1/4 2. ไมเนอรแ์ ละโคแฟกเตอร์, การใช้โคแฟกเตอรช์ ่วยหา det d1/4 e1/3 f1/3 h1/2 i1/3 n2/12 o2/12 p2/20 3. คาํ นวณเกยี่ วกบั adj A และ A−1 c2/11 h2/14 j2/13,14 k2/13 l2/13 n2/13 o1/5 4. การดําเนนิ การตามแถว และแกร้ ะบบสมการ d2/11 p1/5 q2/12,13 บทที่ 10 เวกเตอร์ 1. การเขียนเวกเตอร์ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อน่ื d2/14 e2/14 g2/4 h2/17 j2/17 n2/15 o2/14 p2/25 2. การคูณแบบดอท, การหามุมระหว่างเวกเตอร์ c1/4 f2/14 g1/16 h2/16 i2/17 j2/16 k2/16 l2/14 n1/5 o1/6 q1/5 3. สูตรของขนาดเวกเตอร์ลพั ธ์ (กฎของ cos) d2/13 e2/13 f2/15 i2/16 k2/15 l1/6 p2/5 4. เวกเตอร์ในสามมติ ิ และการคณู แบบครอส ยังไมเ่ คยมใี นข้อสอบ เน่ืองจากเป็นเนอ้ื หาในหลกั สูตรใหม่ บทท่ี 11 จาํ นวนเชงิ ซอ้ น 1. การบวกลบคณู หาร, การยกกําลงั (เชงิ ขวั้ ), การจัดรปู สมการ c2/9 e2/15 f2/16 g1/17 h2/18,19 i1/4 j2/18,19 k2/17 n2/16 o2/16 p1/6 2. การถอดราก (เชงิ ขั้ว) k2/18 l2/15 o2/15 p2/24 3. ค่าสัมบูรณ์, สมบัติของคา่ สมั บรู ณ์ d1/5 g1/18 n2/17 q1/9 4. รากคาํ ตอบของสมการพหุนาม d2/15 e2/16 f2/17 i2/18 l2/16 p2/12 q2/10 บทท่ี 12 ทฤษฎีกราฟ ยงั ไมเ่ คยมใี นข้อสอบ เน่ืองจากเป็นเน้ือหาในหลักสตู รใหม่ บทที่ 13 ลาํ ดับและอนกุ รม 1. ลําดับเลขคณิต, ลําดับเรขาคณติ , สตู รอนกุ รม g1/20 h1/3, 2/20 j1/4 k2/19 p2/11 q1/4 2. สตู รของซกิ มา่ , อนกุ รมทไี่ ม่ใช่เลขคณิตหรือเรขาคณิต d2/27 e2/17 f2/18 g1/21 n2/19 q2/14 3. ลิมิตของลําดบั อนันต์ใดๆ c2/28 i1/5 o2/17 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 406 ขอสอบเขาฯ แยกตามหวั ขอ บทท่ี 14 ลมิ ติ และความต่อเน่อื ง 1. ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน h1/4 k2/20 l2/17 n2/18 q2/16 2. ความต่อเนอื่ งของฟังก์ชัน c2/15 d2/16 e2/18 f2/26 i2/19 j2/20 l2/18 o2/18 บทที่ 15 อนพุ นั ธ์และการอินทิเกรต 1. หาอนพุ นั ธ์, ความชันเส้นโค้ง, การประยกุ ต์ของกฎลูกโซ่ c2/16 d1/6 e1/5 f2/6 g1/19,22 h1/7 i2/20 j2/21 k2/21,22 p2/3 q2/4 2. ค่าวกิ ฤต, จุดสูงสุดตา่ํ สุด, ช่วงทเี่ ปน็ ฟังก์ชันเพม่ิ และลด, โจทยป์ ัญหา d2/17 f2/19 h2/21 i2/21 l2/20 n1/6 o2/19,20 3. อินทกิ รัลไม่จาํ กดั เขต c2/18 e2/19,25 f2/20,21 g1/23 h2/22 i2/22 j2/22 l2/19 n2/20 o1/7 4. อินทกิ รัลจํากัดเขต d2/18 h2/23 k1/5, 2/23 l2/21 n2/22 o2/21 p2/16 (q2/5 พืน้ ท่ีใต้กราฟ) 5. พน้ื ทใี่ ต้กราฟ c2/17 g2/5 i1/6 j1/5, 2/23 l2/22 n2/21 p2/23 q2/17 บทที่ 16 ความน่าจะเปน็ 1. การนบั เบอ้ื งต้น และการเรียงสบั เปลี่ยน c2/1,19 e1/6 f2/22,23 g2/6 h2/24 k1/6 o2/22 q1/3 2. การจัดหมู่ d2/20 i2/23 j2/24 l2/23 n1/8 p1/8 3. ทฤษฎีบททวินาม d2/19 h1/5 p1/9 q1/2, 2/25 4. ความนา่ จะเป็นของการนับเบอื้ งต้น และการเรยี งสับเปล่ียน c1/6 d2/21 e2/27 f1/4, 2/27 g1/25 j1/6 k2/24,25 n2/24 o2/23 p2/21,22 q2/20 5. ความน่าจะเปน็ ของการจดั หมู่ e2/20 g1/24,26 i2/24 j2/25 l1/7, 2/24 n2/23 o2/24 q2/19 6. สมบตั ิของความน่าจะเปน็ h2/25 i1/7 บทที่ 17 สถิติ 1. คา่ กลางของข้อมูล c2/23 d2/23 h1/8 i2/26 (l1/8 p2/17 q2/23 ปนกับควอร์ไทล)์ q1/6 2. คา่ การกระจายของข้อมลู ... มักจะปนกับเรื่องค่ากลางดว้ ย d2/22 e2/23 f2/28 g1/28 i2/25 j2/26,27 k1/7, 2/26 n2/25 o2/26 p2/18 3. คา่ มาตรฐาน, สมบัตขิ องคา่ มาตรฐาน h2/26 j1/7 k2/28 l2/26 n2/26 o2/25 4. การคาํ นวณเกย่ี วกบั พ้ืนทีใ่ ต้โคง้ ปกติ c2/24d2/28e2/28f2/24g2/7h2/27i2/28j2/28k2/27l2/27n2/27o2/27q2/22 5. การประมาณความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชัน c1/5 e2/22 f1/5 g1/27 i2/27 l2/25 n1/7 o1/8 p2/19 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 407 ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ ตารางสรุป แยกตามฉบบั และบทเรยี น หมายเหตุ : สําหรับขอ้ ทีร่ วมเนอื้ หาหลายบทเรียนด้วยกนั จะจดั ไวใ้ นบทเรียนท่เี ปน็ ประเดน็ หลักของข้อนน้ั ๆ ฉบับ c d e f g h i j k l n o p q เรอ่ื ง ต4.ค1. ม4ี.ค2. ต4.ค2. ม4.ี ค3. ต4.ค3. ม4ี.4ค. ต4.4ค. ม4ี.5ค. ต4.5ค. ม4ี.6ค. ต4.6ค. ม4.ี ค7. ต4.ค7. ม4.ี 8ค. เซต 21//211 21/2/15 -- 1/1 21//11 2/1 2/1 2/1 2/1 2/4 1/1 2/1 1/10 2/1 จํานวน 222///11240 21//21 22//23 2/2 21//22 22//43 22//23 21//12 22//23 21//51 21//31 22//23 2221////7621 212//21/304 จรงิ ตรรก 22//43 22//23 22//54 22//43 1/3 22//65 2/5 22//43 22//54 22//23 22//23 22//54 22//89 22//67 ศาสตร์ 21//81 22//190 11//1101 22//1121 22//1121 22//1101 22//1101 22//1101 22//87 21//130 221///417 211///872 เรขาคณติ 21//27 22//89 วิเคราะห์ ความสมั 2222///22/25650 22//54 221///2211 222//2/515 111///657 2222////8927 2221////6817 222///867 2221////8617 2222////6871 2221////2645 2221////6817 22//1103 22//1185 พันธ์+ ฟงั กช์ ัน กาํ หนด การเชงิ 2/13 2/12 2/12 2/13 1/15 2/15 2/15 2/15 2/14 1/5 2/14 2/13 1/4 2/21 เส้น 21//237 22//67 222//7/26,69 22//87 11//89 2/10 222///1940 21//29 21//29 21//29 21//49 21//29 21//135 22//89 ตรีโกณ มติ ิ เอกซ์โพ+ 22//86 221///21306 21//140 21//121 111///11423 21//113 21//123 221///1352 21//132 21//132 22//1101 21//141 21//124 21//111 ลอการทิ มึ เมตริกซ์ 22//1121 21//141 21//131 21//132 12/1/34 211///1624 21//134 22//1143 21//143 21//143 22//1123 21//152 21//250 22//1132 เวกเตอร์ 1/4 22//1143 22//1143 22//1154 12/1/46 22//1167 22//1167 22//1167 22//1165 21//164 21//155 21//164 22//255 1/5 จาํ นวน 2/9 21//155 22//1165 22//1167 11//1187 22//1189 21//148 22//1189 22//1187 22//1165 22//1167 22//1165 221///21624 21//190 เชิงซอ้ น ลําดับ+ 2/28 2/27 2/17 2/18 11//2201 21//230 1/5 1/4 2/19 -- 2/19 2/17 2/11 21//144 อนุกรม ลิมติ + 2/15 2/16 2/18 2/26 -- 1/4 2/19 2/20 2/20 22//1187 2/18 2/18 -- 2/16 ความ ต่อเนื่อง 222///111687 221///11687 221///21595 2222////2126901 1112///22/15923 2221////2227231 2221////2226021 2221////2225321 2221////2225321 2222////22129021 2221////2226021 2221////2127901 222///21363 222///1457 อนพุ นั ธ+์ อินทิเกรต ความนา่ 212//1/619 222///212901 221///22607 2221////2224237 1112///222/6654 221///22554 221///22743 221///22654 221///22654 221///22743 221///22843 222///222423 2211////228921 22211/////22123950 จะเป็น 221///22543 222///222832 222///222823 221///22584 112//22/787 221///22867 2222////22226857 2221////2227687 2221////2227687 2221////2228657 2221////2227657 2221////2228657 222///111897 221///22623 สถิติ เลขดัชนี 2/22 2/24 2/24 1/6 2/8 2/28 1/8 1/8 1/8 2/28 2/28 2/28 -- -- --ยกเลิก-- เนอื้ หาที่ยงั ไม่เคยมีในข้อสอบ เนอื่ งจากเพ่ิงเพมิ่ ในหลักสูตรใหม่ คอื การให้เหตุผลแบบอุปนัย/นิรนยั , เวกเตอรใ์ น 3 มติ ิ, ทฤษฎีกราฟ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 408 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.41 ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa µ.¤.41 (c) ตอนท่ี 1 ขอ้ 1 – 6 เป็นขอ้ สอบแบบอตั นยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. ถ้า A = {∅, 0, 1, {0}, {0, 1}} และ P (A) เปน็ เพาเวอร์เซตของ A แลว้ เซต P(A) − A มสี มาชิกกต่ี วั 2. ถา้ L1 เปน็ เส้นตรงที่ผ่านจดุ (−2, 0) และ (−1, 2) และ L2 เป็นเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ กําเนิดและตั้ง ฉากกบั L1 แลว้ พน้ื ทขี่ องรูปสามเหล่ยี มที่ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง L1 และเส้นตรง L2 เทา่ กับกี่ตารางหน่วย 3. sec (2 arcsin 1 ) มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด 3 4. ให้ u = a i + b j โดย a > 0 ถา้ u ตัง้ ฉากกบั เวกเตอร์ − i + 2j แล้ว มมุ ระหวา่ งเวกเตอร์ u กับเวกเตอร์ 3i − j (มุมแหลม) มขี นาดกีอ่ งศา 5. กําหนดให้ ความสัมพนั ธ์ระหว่างรายได้ ( x ) และรายจ่าย ( y ) ต่อเดือนของครอบครัวท่ีอาศัยใน อาํ เภอหนง่ึ มีสมการเป็น y = 200 + 0.85x ครอบครัวสองครอบครวั ในอาํ เภอน้ีซง่ึ มีรายได้ตา่ งกนั 1,000 บาท จะมรี ายจา่ ยโดยประมาณตา่ งกันเท่าใด 6. ชาย 3 คน และหญิง 3 คน เขา้ คิวในแถวเดยี วกันเพื่อซ้อื ต๋วั ภาพยนตร์ ความน่าจะเปน็ ที่หญงิ ทงั้ 3 คน จะยืนเรียงติดกันท้ังหมดในแถวมีคา่ เท่ากับเทา่ ใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. จํานวนเต็มบวกทงั้ หมดท่หี าร 210 ลงตวั มีจํานวนเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 14 2. 15 3. 16 4. 17 2. กาํ หนดให้ A และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3 − x2 > 0 และ 2 − x2 < 2 x +2 ตามลาํ ดับ เซตในขอ้ ใดเปน็ สบั เซตของ B − A 1. {−1.6, 1.6} 2. {−1.7, 1.7} 3. {−1.8, 1.8} 4. {−1.8, 1.7} 3. ประพจน์ ~ p →(q →(r ∨ p)) สมมูลกับประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. (~ p) ∨ q ∨ r 2. p ∨ (~ q) ∨ r 3. p ∨ q ∨ (~ r) 4. p ∨ (~ q) ∨ (~ r) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 409 ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 4. พจิ ารณาการอา้ งเหตผุ ลต่อไปนี้ เมื่อ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ก. เหตุ 1) p ∨ (p ∧ ~ q) ข. เหตุ 1) ~ p → r 2) p → q 2) ~ r ∨ s ผล q 3) ~ s ผล p ข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ก สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล ข ไมส่ มเหตสุ มผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล ข สมเหตสุ มผล 4. ก ไม่สมเหตุสมผล ข ไม่สมเหตสุ มผล 5. กาํ หนดให้ S = { x | x เป็นจํานวนเตม็ และ x < 5 } และ f (x) = x3 − x2 − 4x + a2 โดยที่ a ∈ S, b ∈ S x4 + bx + 4 จํานวนคู่ลาํ ดบั (a, b) ∈ S × S ทงั้ หมดทีท่ าํ ให้ f (1) = 0 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 15 2. 18 3. 20 4. 22 6. กาํ หนดให้ f = {(x, y) | y = log (x + 1) + log (x + 2) − log (4 − x2)} และ g = {(x, y) | y = 2x−1 และ x > 0 } ถ้า Df = โดเมนของ f และ Rg = เรนจ์ของ g แล้ว Df ∩ Rg เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. [0, 1.5) 2. [0.5, 2.5) 3. [1, 3) 4. [1.5, 4) 7. สมการของพาราโบลาทีม่ จี ดุ ยอดเป็น (0, −1) และผ่านโฟกัสท้งั สองของวงรี 3x2 + 4y2− 16y + 4 = 0 ผ่านจดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. ( 2 , 1) 2. ( 3, 1) 3. (1 , 1) 4. ( 1 , 1) 3 2 2 3 8. เซตคําตอบของสมการ log2 (x2− x − 4)2 = log0.1(0.01) เปน็ สบั เซตของเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. R − [−2, 2] 2. R − [−1, 3] 3. [−4, 2] 4. [−3, 3] 9. ถา้ z เป็นจาํ นวนเชงิ ซ้อนซ่ึง (1 + i)(z + 1) = −1 แล้ว ส่วนจริงของจํานวนเชงิ ซอ้ น z (z − z)15 เท่ากับข้อใด 1. − 3 2. 3 3. − 1 4. 1 22 22 10. กาํ หนด p (x) = x6+ ax3− x + b โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจรงิ ถ้า x − 1 หาร p (x) เหลอื เศษ −1 และ x + 1 หาร p(x) เหลอื เศษ 1 แล้ว x หาร p(x) จะเหลือเศษเทา่ กับข้อใด ตอ่ ไปนี้ 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 410 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.41 11. กําหนดให้ A = ⎡1 −1⎤ ถ้า B เปน็ เมตริกซท์ ่ี B = 2A−1 แลว้ ⎣⎢2 1 ⎥⎦ ข้อใดตอ่ ไปน้เี ป็นคา่ ของ det (3 adj B) 1. 6 2. 9 3. 12 4. 18 12. ในการสร้างเมตรกิ ซใ์ นรูปแบบ ⎡x2 − 1 y⎤ แบบสุม่ โดย x และ y เป็นสมาชิกของเซต ⎢ ⎥ ⎣ 0 2 + x ⎦ {−2, −1, 0, 1, 2} ความน่าจะเป็นท่จี ะได้เมตริกซเ์ อกฐาน มีค่าเท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 2 2. 3 3. 2 4. 3 25 25 5 5 13. บริษทั ผลติ โทรศัพท์แห่งหน่งึ ได้ผลิตโทรศัพทร์ นุ่ ใหม่ออกมา 2 รุน่ คอื รุ่น P1 และ P2 โดยทร่ี ุ่น P1 จะขายได้กําไรเครอ่ื งละ 1,000 บาท และรนุ่ P2 จะขายไดก้ ําไรเครอื่ งละ 500 บาท ในแตล่ ะ วันบริษัทตง้ั ใจจะผลิตโทรศัพท์รุ่น P1 ไม่น้อยกว่า 80 เครื่อง และรุ่น P2 ระหวา่ ง 50 ถงึ 100 เคร่อื ง ถ้าบรษิ ัทมีความสามารถในการผลิตโทรศพั ทท์ งั้ 2 รุ่นรวมกนั ในแต่ละวันไมเ่ กิน 150 เครื่อง แล้วบรษิ ัทจะได้กําไรสูงสุดจากการผลติ โทรศัพท์ท้ัง 2 รนุ่ เปน็ จํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 105,000 บาท 2. 115,000 บาท 3. 125,000 บาท 4. 130,000 บาท 14. จํานวนสมาชกิ ในเซต {100, 101, 102, ..., 600} ซง่ึ หารดว้ ย 8 หรือ 12 ลงตัวเท่ากบั ขอ้ ใด ตอ่ ไปน้ี 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125 ⎧ 1 ,0 < x < 1 ⎪ 3x + 1 , x=1 ⎪⎪ 15. กาํ หนดให้ f (x) = ⎨ 1 ⎪⎪2 − 5−x , x>1 ⎩⎪ x − 1 พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. lim f (x) = lim f (x) ข. f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องที่ x = 1 x → 1− x → 1+ ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 16. กาํ หนด f เป็นฟังก์ชันทม่ี ีอนุพนั ธ์ และ F(x) = (f(x))3 + 15 ถ้า F(1) = f′(1) = 4 แลว้ F′(1) มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 4. 24 3. 8 1. 1 2. 3 22 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 411 ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 17. พนื้ ทที่ ี่ปดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ y = x2− 3x + 2 จาก x = 0 ถงึ x = 2 เฉพาะสว่ นท่ีอย่เู หนอื แกน x เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 3 ตารางหน่วย 2. 1 ตารางหนว่ ย 2 6 3. 2 ตารางหนว่ ย 4. 5 ตารางหน่วย 3 6 18. กาํ หนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซ่ึง f (2) = −1, f′(1) = −3 , และ f′′(x) = 3 ทุกคา่ x แลว้ f (0) มี คา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 5 2. 6 3. 12 4. 15 19. ถา้ จดั นกั เรียน 6 คน ซึง่ มเี มตตาและปรานรี วมอยู่ดว้ ยให้เรียงแถวเป็น 2 แบบ แบบที่หนึง่ นักเรยี นทัง้ หมดยนื เป็นแถวตรงโดยทเี่ มตตาและปรานียืนตดิ กัน และแบบทส่ี องนกั เรยี นท้ังหมดยืน เป็นวงกลมโดยทเ่ี มตตาและปรานยี นื ตรงกนั ขา้ ม แล้วจาํ นวนวิธขี องการจดั แตล่ ะแบบแตกตา่ งกนั เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 96 2. 120 3. 196 4. 216 20. ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c, d} แล้ว จาํ นวนสมาชิกของเซต { f : A > B | f ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั 1−1} เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 40 2. 34 3. 30 4. 24 21. จากการสาํ รวจแม่บ้านทดี่ ูละครโทรทัศนจ์ าํ นวน 200 คน ปรากฏว่ามี 65 คน ดลู ะครเร่ืองที่ 1 90 คน ดลู ะครเรื่องที่ 2 45 คน ดลู ะครเร่ืองที่ 2 เร่ืองเดยี ว 35 คน ดลู ะครเร่ืองที่ 3 เรื่องเดยี ว 15 คน ดูละครเรื่องที่ 1 และเรือ่ งที่ 3 35 คน ดูละครเรือ่ งที่ 2 และเรื่องที่ 3 และมี 30 คน ที่ไมไ่ ด้ดูละครทั้ง 3 เร่อื งน้ี ถ้าสุม่ เลือกแม่บา้ นจากกลุม่ นี้มา 1 คน แลว้ ข้อใดต่อไปน้ผี ิด 1. ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะได้ผทู้ ดี่ ลู ะครทงั้ 3 เรื่องน้ี เทา่ กับ 0.05 2. ความน่าจะเป็นท่ีจะไดผ้ ู้ที่ดูละครอย่างนอ้ ยหนงึ่ เร่อื ง เทา่ กับ 0.85 3. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ท่ีดูละครเร่ืองท่ี 1 เรอื่ งเดยี ว เท่ากับ 0.2 4. ความน่าจะเป็นที่จะไดผ้ ู้ทดี่ ูละครเรื่องท่ี 3 เทา่ กบั 0.45 22. ถ้าในปี 2538 นายเสริมได้รบั เงินเดอื น เดือนละ 16,000 บาท และในปี 2541 นายเสรมิ ไดร้ ับ เงนิ เดือนใหม่เป็น 24,000 บาท โดยทีด่ ชั นีราคาผู้บรโิ ภคของปี 2541 เทยี บกับปี 2538 มีคา่ เท่ากับ 125 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. ถ้านายเสริมไดร้ ับการปรับเงินเดอื นขึ้นตามดชั นีราคาผู้บริโภค แล้วนายเสรมิ ควรได้รับ เงนิ เดอื นใหม่เท่ากบั 25,000 บาท ข. รายไดท้ ีแ่ ทจ้ รงิ ของนายเสริมในปี 2541 เมอื่ เทยี บกับปี 2538 เท่ากบั 19,200 บาท ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ต้อง 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 412 ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 23. ขอ้ มูลชดุ หนึ่งเรยี งลาํ ดบั จากนอ้ ยไปมากไดเ้ ป็น 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถา้ ฐานนิยมและมธั ยฐานของคะแนนชดุ นี้เป็น 30 และ 40 ตามลําดับ แล้วขอ้ มลู ชดุ ต่อไปนีค้ อื 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5 24. ถา้ น้ําหนกั แรกเกิดของเด็กไทยมกี ารแจกแจงปกติ โดยในปี 2533 มีนาํ้ หนักเฉลย่ี 2,500 กรมั และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 250 กรมั และในปี 2540 มีน้ําหนักเฉลี่ย 3,240 กรมั และส่วน เบ่ียงเบนมาตรฐานเปน็ 200 กรัม นา้ํ หนักแรกเกิดของเด็กไทยท่ีอยใู่ นตําแหน่งเปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 97.73 ในปี 2533 จะอยใู่ นตาํ แหนง่ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ตามขอ้ ใดตอ่ ไปน้ใี นปี 2540 กําหนดตารางแสดงพื้นท่ใี ต้โค้งปกตดิ ังนี้ z 1.0 1.2 2.0 2.2 A 0.3413 0.3849 0.4773 0.4861 1. 11.51 2. 38.49 3. 48.61 4. 61.51 ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 4 คะแนน 25. ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้ว จาํ นวนฟังก์ชัน f : A > B ท้ังหมดซงึ่ f (1) ≠ 1 หรือ f (2) ≠ 2 หรอื f (3) ≠ 3 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 530 2. 612 3. 702 4. 814 26. ให้ I เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ ถ้า f และ g เปน็ ฟงั กช์ ันซ่ึงกาํ หนดโดย f (x) = 2x และ g(x) = x − 1 ทุก x ∈ I แล้ว เรนจ์ของ (f D g) + f คือเซตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. { x ∈ I | x เป็นจาํ นวนเต็มค่ี } 2. { x ∈ I | x เป็นจํานวนเต็มคู่ } 2 2 3. เซตของจํานวนเตม็ ค่ที ง้ั หมด 4. เซตของจาํ นวนเต็มค่ทู ้ังหมด 27. ให้ S = (− π , π) และ F (x) = sin2 x + sin4 x + sin6 x + ... โดย x ∈ S 22 ถ้า a เป็นสมาชิกของเซต S ท่นี อ้ ยทสี่ ดุ ทท่ี าํ ให้ F(a) < 1 แล้ว F(a) มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 0 2. 1 3. 1 4. 1 42 28. ให้ f (x) = x8− x6 และ f′ คืออนพุ นั ธข์ อง f ถา้ {an} เป็นลาํ ดับซึง่ มี lim an = 1 แลว้ lim (f D f′)(an) มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ n→∞ n→∞ 1. 68 2. 92 3. 150 4. 192 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 413 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.41 เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 29 (2) 0.8 (3) 3 (4) 45 (5) 850 (6) 0.2 ตอนท่ี 2 (1) 3 (2) 3 (3) 2 (4) 1 (5) 3 (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 4 (10) 1 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 1 (15) 2 (16) 2 (17) 4 (18) 1 (19) 4 (20) 1 (21) 4 (22) 3 (23) 2 (24) 1 ตอนท่ี 3 (25) 3 (26) 1 (27) 4 (28) 4 เฉลยวธิ คี ดิ ตอนท่ี 1 (4) หามมุ ระหวา่ ง − i + 2j กบั 3 i − j กอ่ นเลย (1) P(A) มีสมาชิก 25 = 32 ตัว, โดยการดอทกนั A มสี มาชกิ 5 ตวั แต่สมาชกิ ของ A ที่อยู่ใน P(A) น้ันมี 3 ตัว (−1)(3) + (2)(− 1) = (−1)2 + 223 2+(−1)2cos θ คอื φ, {0}, {0, 1} ดอทด้วยตัวเลข ดอทด้วยขนาดและมุม ∴ n [P(A) − A] = 32 − 3 = 29 ตัว ตอบ → cos θ = − 1 ∴ θ = 135° 2 (2) mL1 = 2−0 = 2 → ∴ mL2 = −1 และเนอ่ื งจาก u ทาํ มุม 90° กบั − i + 2j (−1) − (−2) 2 −i + 2j ∴ มุมแหลมระหวา่ ง u แสดงวา่ สมการ L2 คือ y = − 1x (ผา่ นจดุ O) กบั 3 i − j คอื 45° 2 u ตอบ (-8/5,4/5) 45° 3 i − j -2 O (5) y = 200 + 0.85x ดงั น้ัน Δy = 0.85 Δx L1 L2 ถ้า Δx = 1,000 จะได้ Δy = 850 บาท ตอบ สมการ L1 คอื y = 2(x + 2) = 2x + 4 (6) วธิ ที ง้ั หมด คอื 6! วิธีทตี่ อ้ งการคดิ (ญ ตดิ กันหมด) คอื 4! 3! หาจุดตัดของสองเสน้ ตรงได้ (− 8 , 4) 55 ช ช ช ญญญ พนื้ ท่ี Δ = 1 × (4) × (2) = 0.8 ตร.หน่วย ตอบ (รวมผู้หญิงไวด้ ว้ ยกนั สลบั รวมกบั ผูช้ ายภายนอกได้ 25 4! และสลบั ภายในกลุ่มผหู้ ญงิ กนั เอง 3!) (3) หา cos(2 arcsin 1 ) กอ่ น ดังนน้ั ความนา่ จะเปน็ = 4! 3! = 0.2 ตอบ 3 6! ให้ arcsin 1 = A จะได้ ตอนที่ 2 3 (1) 210 = 21 × 31 × 51 × 71 cos(2A) = 1 − 2 sin2 A = 1− 2 ⎛ 1 ⎞2 = 1 ดังนนั้ จาํ นวนเตม็ บวกทหี่ ารลงตัว ⎝⎜ 3 ⎟⎠ 3 มอี ยู่ 2 × 2 × 2 × 2 = 16 จาํ นวน ตอบ ∴ sec(2 arcsin 1 ) = 1 = 3 (หมายเหตุ วธิ คี ดิ จากเนอ้ื หาเรอื่ งความน่าจะเปน็ คือ 3 cos(2A) แยกตวั ประกอบใหเ้ ปน็ จาํ นวนเฉพาะ แลว้ นาํ เลขชี้ กําลงั แตล่ ะตวั มาบวกหนง่ึ แลว้ คณู กันทง้ั หมด) (2) A; x2 − 3 < 0 → (x − 3)(x + 3) < 0 x+2 x +2 เขยี นเส้นจาํ นวนได้ A = (−∞, −2) ∪ [− 3, 3] B; x2 − 2 < 2 → −2 < x2 − 2 < 2 → 0 < x2 < 4 → −2 < x < 2 → B = [−2, 2] จะได้ B − A คอื ช่วง [−2, − 3) ∪ ( 3, 2] ซึ่ง 3 ≈ 1.732 ดงั นนั้ ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 414 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.41 (3) ~ p → (q → (r ∨ p)) ≡ p ∨ (~ q ∨ (r ∨ p)) (8) log2(x2 − x − 4)2 = log0.1(0.1)2 = 2 ≡ p ∨ (~ q) ∨ r ตอบ → (x2 − x − 4)2 = 22 = 4 (4) ก. ใชว้ ธิ ตี รวจสอบสจั นิรนั ดร์ ถ้าเหตเุ ปน็ จรงิ ทกุ x2− x − 4 = 2 หรอื −2 ขอ้ และผลเปน็ เทจ็ ได้ จะไม่สมเหตสุ มผล นั่นคอื x2 − x − 6 = 0 หรือ x2 − x − 2 = 0 ... จากผล q บังคับใหเ้ ปน็ เทจ็ นาํ ไปคดิ ทเี่ หตุ 2 แยกตวั ประกอบ ได้เปน็ (x − 3)(x + 2) = 0 หรอื บังคบั ใหเ้ หตุเปน็ จริง จะไดว้ ่า p ต้องเปน็ เทจ็ ดว้ ย แต่ (x − 2)(x + 1) = 0 เมอื่ นาํ คา่ ความจรงิ ของ p กบั q ไปคิดทเี่ หตุ 1 พบว่า ตอบ ขอ้ 4. เปน็ เทจ็ เสมอ ดงั นัน้ เราไม่สามารถทําเหตุเป็นจรงิ ทกุ ดังนน้ั x = −1, −2, 2, 3 ขอ้ และผลเปน็ เทจ็ ได้ ข้อนีจ้ งึ สมเหตสุ มผล (9) (z + 1) = − 1 → z + 1 = − 1 1+ i 1−i ข. จากเหตุ 1 คอื ~ p → r รวมกับเหตุ 2 คอื → z = − 1 −1 = −1+i −1 = −3− i ~ r ∨ s ≡ r → s จะไดผ้ ลเปน็ ~ p → s นาํ ไปรวม 1−i 2 22 กับเหตุ 3 คอื ~ s ไดผ้ ลสรุปเป็น p ตรงกบั ทใี่ ห้มา จะไดว้ า่ z (z − z)15 = ⎜⎝⎛ − 3 − i ⎟⎠⎞ (−i)15 2 2 ในโจทย์ ดงั นน้ั ขอ้ นส้ี มเหตุสมผล ตอบ ขอ้ 1. (5) S = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} = ⎛ − 3 − i ⎞ (i) = ⎛ − 3i + 1⎞ ตอบ 1 ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 2 ถา้ f(1) = 0 → 1 − 1 − 4 + a2 = a2 − 4 = 0 (10) x − 1 หาร p(x) เหลือเศษ −1 1+b + 4 b+5 → p(1) = −1 → 1 + a − 1 + b = −1 .....(1) a เปน็ 2 หรอื -2 และ b หา้ มเป็น -5 x + 1 หาร p(x) เหลอื เศษ 1 → p(−1) = 1 → 1 − a + 1 + b = 1 .....(2) จํานวนวิธเี ลอื ก a กบั b เป็น 2 กับ 10 ตามลาํ ดบั แก้ระบบสมการได้ a = 0, b = −1 จงึ ตอบ 2 × 10 = 20 ตอบ ดงั นน้ั p(0) = b = −1 ตอบ (6) Df; x + 1 > 0 และ x + 2 > 0 และ 4 − x2 > 0 (โดเมนของฟงั กช์ ัน log) แสดงวา่ x > −1 และ x > −2 และ −2 < x < 2 (11) หา adj B ก่อน โดย adj B = adj (2A−1) อนิ เตอรเ์ ซคกนั ได้เป็น Df = (−1, 2) และข้อน้ี det (A) = 3 Rg; จาก x > 0 จะได้ x − 1 > −1 จาก adj A = A−1 → adj (2A−1) = (2A−1)−1 ทําให้ 2x−1 > 2−1 → y > 1/2 A 2A−1 จงึ ไดว้ า่ Rg = [0.5, ∞) → adj (2A−1) = 1A สรุป Df ∩ Rg = [0.5, 2) ตอบ ขอ้ 2. 22 / 3 2 (7) จดั รปู วงรกี อ่ น 3x2 + 4 (y2 − 4y + 4) = −4 + 16 ดังนนั้ adj B = adj (2A−1) = 2 A → 3x2 + 4 (y − 2)2 = 12 → x2 + (y − 2)2 = 1 3 43 โจทย์ถาม det (3 adj B) = det (2A) = 22(3) จดุ ศูนยก์ ลาง (0,2) รตี ามแกน x และมรี ะยะโฟกสั = 12 ตอบ (12) det = 0 → (x2 − 1)(2 + x) = 0 c= 4−3 =1 → x = 1 หรอื −1 หรือ −2 ดังนน้ั เลอื ก x ได้ 3 วธิ ี และ y เป็นอะไรกไ็ ด้ (5 ดงั นน้ั จุดโฟกัสได้แก่ (1,2) และ (-1,2) ตอ่ มาคดิ พาราโบลา วิธ)ี ความนา่ จะเป็น = 3 × 5 = 3 ตอบ จากรูปพบวา่ เปน็ พาราโบลาหงาย (-1,2) (1,2) 5×5 5 ตามสมการ y − k = 4c(x − h)2 (13) กาํ ไร = 1,000x + 500y → y + 1 = 4cx2 V(0,-1) เม่ือผลติ P1 x เครอื่ ง หาคา่ c โดยแทนจุดทผี่ า่ น และ P2 y เครอื่ ง 100 (80,70) คือ (1,2) ลงไป ได้ 4c = 3 เงอ่ื นไขได้แก่ x > 80, 50 (100,50) สมการพาราโบลาเป็น y + 1 = 3x2 → y = 3x2 − 1 (80,50) 50 < y < 100, O 80 ตอบ ข้อ 1. x + y < 150 จากกราฟพบวา่ (80, 70) → กาํ ไร 115,000 บาท (100, 50) → กาํ ไร 125,000 บาท (สงู สุด) ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 415 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.41 (14) (18) f′′(x) = 3 → f′(x) = 3x + C1 B แต่ f′(1) = −3 ∴ C1 = −6 → f′(x) = 3x − 6 หาร12ลงตวั A → f(x) = 3x2 − 6x + C2 หาร8ลงตัว 2 แต่ f(2) = −1 ∴ C2 = 5 → ตอบ ภายใน A มี 104, 112, 120, ..., 600 f(0) = 5 คอื เรมิ่ จาก 8x13 ถึง 8x75 รวม 63 ตวั ภายใน B มี 108, 120, 132, ..., 600 (19) จัดแถวตรงได้ 5!2! = 240 วิธี คือเริ่มจาก 12x9 ถึง 12x50 รวม 42 ตัว และภายใน A ∩ B (คอื หาร ค.ร.น.=24 ลงตัว) (5! คือสลบั ภายนอก และ 2! คือสลบั ภายในกันเอง) จัดวงกลมได้ 4! = 24 วธิ ี มี 120, 144, ..., 600 (สองคนวางตรงข้ามกนั ตรงไหนก็ได้ เร่ิมจาก 24x5 ถึง 24x25 รวม 21 ตวั ตอบ n (A ∪ B) = 63 + 42 − 21 = 84 จัดเฉพาะคนอน่ื ทเ่ี หลอื เป็นเสน้ ตรง) ดงั นนั้ ตา่ งกนั 216 วิธี ตอบ (15) lim f (x) = lim 1 = 1 (20) วธิ ที ัง้ หมด - วธิ ีท่เี ปน็ หน่ึงต่อหนงึ่ x → 1− x → 1− 3x + 1 4 = (4 × 4 × 4) − (4 × 3 × 2) = 40 วธิ ี ตอบ และ lim f (x) = lim 2 − 5 − x (21) “2” x → 1+ x → 1+ x−1 “1” A B E = lim ⎛ 2 − 5− x ⎞ ⎛ 2 + 5−x⎞ CD F 45 x → 1+ ⎝⎜⎜ x −1 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 2 + 5 − x ⎠⎟⎟ 35 3H0 G “3” 35 = lim ⎛ 4−5+x ⎞ = lim 1 x → 1+ ⎜ 5−x)(x−1)⎟⎠ 5−x) ⎝ (2+ x → 1+ (2+ = 1 = 1 ดงั นนั้ ก. ถกู A + B + C + D = 65 2+2 4 แต่ C + D = 15 ดงั น้นั A + B = 50 แต่ f(1) = 1 ไมเ่ ทา่ กบั 1 ดังนน้ั ข. ผดิ ตอบ และจะไดว้ า่ 4 200 − H = (A + B) + E + (D + F) + G + C (16) F′(x) = 1 ((f(x))3 + 15)−1/2 ⋅ 3(f(x))2 ⋅ f′(x) 2 200 − 30 = 170 = 50 + 45 + 35 + 35 + C แทนคา่ x ด้วย 1 จะได้ จะได้ C = 5 F′(1) = 1 ((f(1))3 + 15)−1/2 ⋅ 3(f(1))2 ⋅ f′(1) ∴ D = 10 → F = 25 2 หา B จาก 90 − 35 − 45 = 10 → A = 40 หาค่า f(1) จาก F (x) = (f(x))3 + 15 1. ดทู ง้ั สามเรอื่ ง 10 = 0.05 ถกู F (1) = (f(1))3 + 15 = 4 ดังน้นั f (1) = 1 200 แทนค่า F′(1) = 1 (1 + 15)−1/2 ⋅ 3(1)2 ⋅ 4 = 3 ตอบ 2. ดอู ยา่ งนอ้ ยหนึง่ เรอ่ื ง 170 = 0.85 ถูก 22 200 (17) หาจุดตดั แกน x ได้เป็น x = 1, 2 3. ดูเรือ่ งทหี่ นง่ึ เทา่ นั้น 40 = 0.2 ถกู 200 วาดกราฟครา่ วๆ ไดด้ งั นี้ พนื้ ทีเ่ หนอื แกน x เทา่ กับ 4. ดูเรอ่ื งท่ีสาม 5 + 35 + 35 = 0.375 ผดิ ตอบ 200 ∫1 (x2 − 3x + 2) dx (22) ก. 16,000 × 125 = 20,000 บาท 100 0 ข. 24,000 × 100 = 19,200 บาท = ⎡ x3 − 3x2 ⎤ 1 01 2 125 ⎣⎢ 3 2 + 2x⎥⎦ 0 ตอบ ก. ผดิ ข. ถูก = 1 − 3 + 2 = 5 ตารางหน่วย ตอบ 32 6 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 416 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.41 (23) 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 (27) F (a) < 1 → sin2a + sin4a + sin6a + ... < 1 ฐานนิยม = 30 แสดงว่า a = 30 1 sin2 a < 1 → sin2 a − 1 + sin2 a < 0 (เพราะมี 60 อยู่สองตวั ดงั นน้ั 30 ตอ้ งมมี ากกวา่ − sin2 a 1 − sin2 a สองตวั ) → 2 sin2 a − 1 > 0 มธั ยฐาน = 40 = a + b ดังนน้ั b = 50 sin2 a − 1 2 แยกตวั ประกอบแล้วเขยี นเสน้ จํานวน ได้เปน็ X = 11 + 22 + 33 + 34 + ... + 120 = 500 + 55 10 10 sin a ∈ (−∞, −1) ∪ [− 1 , 1 ] ∪ (1, ∞) 22 = 55.5 ตอบ (24) ปี 2533; P97.73 → A = 0.4773 ทางขวา แต่เงอ่ื นไขของ sin จึงได้ sin a ∈ [− 1 , 1 ] เทา่ นน้ั 22 z = 2.0 = x − 2500 ดงั นนั้ x = 3000 กรัม 250 ปี 2540; x = 3000 → z = 3000 − 3240 = − 1.2 200 → A = 0.3849 ทางซา้ ย −π =a จะได้ ตอบP50 − 38.49 = P11.51 4 (25) ใช้วธิ ลี บออกดว้ ยนิเสธ คอื จํานวนวธิ ที ง้ั หมด ลบดว้ ยวธิ ที ี่ “f(1)=1 และ f(2)=2 และ f(3)=3” หาก a ∈ (− π , π) ค่า a ทีน่ อ้ ยทสี่ ุดคือ − π 22 4 = (3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) − (1 × 1 × 1 × 3 × 3 × 3) ∴ F (a) = F(− π) = sin2(−π / 4) = 702 วธิ ี ตอบ 1 − sin2(−π / 4) ตอนที่ 3 4 (26) (fog)(x) + f(x) = 2(x − 1) + 2x = 4x − 2 = 1/2 = 1 ตอบ โดย x ∈ I 1 − 1/2 ดังนน้ั Rfog + f = {±2, ±6, ±10, ±14, ...} ตอบ ขอ้ 1. (28) lim (fof′)(an) = lim f(8an7 − 6a5n) n→∞ n→∞ = lim [(8an7 − 6a5n)8 − (8an7 − 6a5n)6] n→∞ ซึ่งเราทราบวา่ lim an = 1 ดงั นน้ั n→∞ ตอบ (8 − 6)8 − (8 − 6)6 = 192 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 417 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.42 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇi·ÂÒÅa Á.Õ ¤.42 (d) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เปน็ ขอ้ สอบแบบอตั นัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. ถ้า A = {1, 2, 3, 4, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} แล้ว (A − B) ∪ (B − A) มีสมาชกิ ก่ีตวั 2. ถา้ A = { p | p เป็นจํานวนเฉพาะบวก และ p|(980−p)3 } แลว้ ผลบวกของสมาชิกทัง้ หมดใน A มคี ่าเทา่ ใด 3. log10 28 − log 1 325 + log 1 91 มคี า่ เทา่ ใด 10 100 ⎡ x y 0⎤ 4. ถ้า ⎢ 0⎥⎥ , det A = 1 และโคแฟกเตอร์ของ a21 = 3 A = [aij]3× 3 = ⎢ 1 2 ⎣⎢−1 −x 1⎥⎦ แลว้ det (A + I) เท่ากับเทา่ ใด (เม่ือ I เปน็ เมตรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ขนาด 3 × 3 ) 5. ถา้ z เป็นจํานวนเชงิ ซอ้ นซึง่ (7 − 24 i)(3 + 4 i)z6 = 1 แล้ว z z มีค่าเท่าใด 6. ให้ f เป็นฟังก์ชนั ทีห่ าอนพุ ันธ์ได้ และ f (3) = −2 , f′(3) = 5 ถา้ g(x) = f (x) แล้ว g′(3) มีคา่ เทา่ ใด x2+ 1 ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. ให้ S เปน็ เซตของจํานวนจรงิ m ทั้งหมด 4. 4 ทท่ี าํ ให้เส้นตรง y = mx ตดั กับวงกลม x2+ y2 − 10x + 16 = 0 5 ขอบเขตบนค่านอ้ ยทีส่ ุดของ S คือจํานวนในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 3 2 34 2. กําหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ประพจน์ ~ [(p ∧ q) →(~ q ∨ r)] สมมูลกบั ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ 1. p ∧ ~(q → r) 2. ~ q ∨ (~ p ∧ r) 3. ~(p ∧ q) ∧ (q ∧ r) 4. ~(p ∧ q) → (q ∧ ~ r) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 418 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.42 3. พิจารณาการใหเ้ หตผุ ลตอ่ ไปนี้ ก. เหตุ 1) p →(q → r) ข. เหตุ 1) p → (q → ~ s) 2) p 2) p ∧ s 3) ~ r → q ผล q ผล r → t ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู 1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 3. ก ไมส่ มเหตุสมผล แต่ ข สมเหตสุ มผล 4. ก และ ข ไมส่ มเหตสุ มผล 4. กําหนดให้ r เป็นความสมั พันธ์ในเซตของจํานวนจริง โดยท่ี r = {(x, y) | y = 1 − x2 } ข้อใดต่อไปนถี้ กู 1 + x2 1. Dr = [−1, 1], Dr−1 = [−1, 1] 2. Dr = [−1, 1], Dr−1 = [0, 1] 3. Dr = [0, 1], Dr−1 = [−1, 1] 4. Dr = [0, 1], Dr−1 = [0, 1] 5. กาํ หนดให้ f (x) = x และ A = { x ∈ R | f−1(x) + [f (x)]2 = 2 } พจิ ารณาค่าความจริงของข้อความต่อไปน้ี ก. ∃x ∈ A [ x2 − x − 6 = 0 ] ข. ∀x ∈ A [ x2 + 2x − 3 = 0 ] ข้อใดต่อไปน้ถี กู 1. ก. จริง ข. จรงิ 2. ก. จริง ข. เทจ็ 3. ก. เทจ็ ข. จรงิ 4. ก. เทจ็ ข. เท็จ 6. ถา้ 1 + cos2θ + cos4θ + ... = a โดยที่ a เป็นจํานวนจรงิ แลว้ cos(π − 2θ) sin(π − 2θ) มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 2 1. − ⎛ a − 2 ⎞2 2. ⎛ a − 2 ⎞2 3. − ⎛ a ⎞2 4. ⎛ a ⎞2 ⎝⎜ a ⎟⎠ ⎝⎜ a ⎠⎟ ⎜⎝⎜ + ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ a + 2 ⎟⎟⎠ a 2 7. ให้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2(arccos x) ข้อใดต่อไปนค้ี ือผลคูณของสมาชกิ ในเซต A 1. − 1 2. − 1 3. 1 4. 1 4 2 4 2 8. ถ้าไฮเพอร์โบลา H มีสมการเปน็ 16x2− 64x − 9y2− 80 = 0 แล้ววงรีที่มีจดุ ยอดอยทู่ ี่จุดโฟกัสทั้ง สองของ H และมแี กนโทคือแกนสังยคุ ของ H มีสมการเปน็ ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 16x2 − 64x + 25y2 − 464 = 0 2. 16x2 − 64x + 25y2 − 336 = 0 3. 25x2 − 100x + 16y2 − 464 = 0 4. 25x2 − 100x + 16y2 − 336 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 419 ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 9. วงรีวงหน่งึ มีจดุ ศนู ย์กลางที่ (3, 1) จดุ โฟกสั จุดหนง่ึ ท่ี (5, 1) และสัมผัสแกน y ทจี่ ุด (0, 1) สมการของวงกลมทม่ี จี ุดศนู ย์กลางท่ี (−2, 1) และมรี ัศมีเท่ากบั ความยาวแกนโทของวงรี คือข้อใด ตอ่ ไปนี้ 1. x2 + y2 + 4x − 2y = 0 2. x2 + y2 + 4x − 2y − 1 = 0 3. x2 + y2 + 4x − 2y − 4 = 0 4. x2 + y2 + 4x − 2y − 15 = 0 10. ถ้า x, y สอดคลอ้ งกับระบบสมการ 9log 3 x + 4 log2 y = 16 log3 x − log1 y = 2 − log32 3 แลว้ x2− y2 มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 5 + 7 2. 5 − 7 3. 5 7 4. 10 7 11. ถา้ x1 สอดคลอ้ งระบบสมการ x1 + 2x2 + x3 = 0 3x1 + x2 − 2x3 = 5 2x1 − 3x2 − 3x3 = 9 และ A = ⎡x1+ y 2x1 ⎤ ⎢⎣ 3 y ⎥⎦ แลว้ ผลบวกของ y ทง้ั หมดท่ีทําให้ A เปน็ เมตริกซ์เอกฐาน เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. −1 3. −2 4. −3 12. กาํ หนดสมการจุดประสงค์ P = 7x + 5y และอสมการข้อจาํ กัดคือ 2x + y > 40 , 2x + 3y < 60 , 0 < x < 24 , y > 0 ถา้ (a, b) เปน็ จุดมมุ ท่ีไดจ้ ากอสมการข้อจาํ กดั และใหค้ ่า P นอ้ ยท่ีสดุ แล้ว a + b เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 20 2. 24 3. 25 4. 28 13. ให้ u + v = 5 2 และ u − v = 26 แล้ว u ⋅ v เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 3 2. 6 3. 8 4. 12 14. ˜กBําEหน=ดaให˜C้ BA+BbC˜CเAป็นเสมา่อื มเaห,ลbีย่ มเปใดน็ ๆคา่แคลงะตัวE เป็นจดุ ที่ทําให้ ˜CE = 2 ˜BA ถ้า แล้ว b − a คือคา่ ในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −1 2. 2 3. 3 4. 5 15. ให้ P(x) เปน็ ฟังก์ชนั พหุนามกาํ ลงั สาม ซึง่ มีสัมประสิทธเิ์ ป็นจํานวนจริง และสมั ประสิทธิข์ อง x3 เป็น 1 ถา้ x − 2 หาร P (x) เหลือเศษ 5 และ (1+ 3 i) เปน็ รากหนึง่ ของ P (x) แล้วรากท่ี เปน็ จาํ นวนจริงของ P(x) คือค่าในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 3 2. 4 3. 5 4. 4 4 34 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 420 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.42 ⎧ -3/2 , x < −1 ⎪⎪⎪⎨22x2(+x −1 < x < 1 16. กาํ หนดให้ f (x) = x −1 , + 1) ⎪ 1− x , x>1 ⎪ ⎩⎪ 1 − x พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. f ต่อเนื่องท่จี ดุ x = −1 ข. f ต่อเนื่องที่จุด x = 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นจริง 1. ก. ถกู , ข. ถูก 2. ก. ถูก, ข. ผิด 3. ก. ผิด, ข. ถกู 4. ก. ผิด, ข. ผิด 17. กาํ หนดให้ a, b, c, d เป็นจาํ นวนจริง และ f (x) = ax3+bx2+cx+d โดยท่ี f มคี า่ สงู สุดสมั พัทธ์ เป็น 2 ที่ x = 1 และ f′′(1) = −4 ถ้า f (0) = 1 แลว้ f มีคา่ ตา่ํ สดุ สมั พทั ธท์ ี่จดุ ในขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. x = −3 2. x = −1/3 3. x = 1/3 4. x = 3 18. ถา้ θ ∈ R และ sin θ ∫1 = 0 แล้ว cos 2θ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (4x − 3) dx 1. 0 หรือ 3 2. 0 หรอื − 3 2 2 3. −1 หรือ 1 4. −1 หรอื 1 2 19. ถา้ และ เปน็ สัมประสทิ ธ์ิของ และ ของการกระจาย ⎛ 1 ⎞ 10 ตามลําดับ ⎜⎝ 2x2 ⎟⎠ a b x−2 x4 x4 − แล้ว a เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี b 1. − 2 2. − 1 3. − 1 4. − 4 7 2 3 15 20. ในการเกบ็ ตวั นกั กฬี า ได้จดั ใหน้ กั กฬี าพักรวมกันหอ้ งละ 2 คน ถ้ามีนักกฬี าจากตา่ งจังหวดั 4 คน และจากกรุงเทพฯ 4 คน แลว้ จาํ นวนวิธที ี่จะจดั ใหม้ ีเพยี ง 2 หอ้ งเท่าน้นั ที่แต่ละหอ้ งมนี ักกีฬาจาก ตา่ งจังหวัดและนักกีฬาจากกรงุ เทพฯ พักดว้ ยกัน มีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 36 2. 72 3. 108 4. 144 21. ถงุ ใบหน่ึงมีลกู แก้วขนาดเดียวกนั อยู่ 10 ลูก เปน็ สแี ดง 3 ลูก สีขาว 5 ลกู สดี ํา 2 ลูก สมุ่ หยิบ ลูกแก้วจากถงุ สองครั้งๆ ละลูกโดยไม่ใส่คืน ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยิบไดล้ กู ทสี่ องเป็นสีแดงเท่ากับข้อใด ตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 3 3. 27 4. 33 3 10 100 100 22. ข้อมูลชดุ หนง่ึ มี 5 จาํ นวน มฐี านนิยม มธั ยฐาน และคา่ เฉล่ียเลขคณิตเป็น 15, 16 และ 17 ตามลาํ ดับ และพสิ ยั ของข้อมูลชดุ นเ้ี ท่ากับ 5 ความแปรปรวนของขอ้ มูลชดุ น้ีมคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 31 2. 24 3. 22 4. 19 5 5 5 5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 421 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.42 23. เมอื่ สรา้ งตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรยี น 36 คน โดยใชค้ วามกวา้ งของแต่ละ อนั ตรภาคชัน้ เป็น 10 แล้ว ปรากฏวา่ มัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในชว่ ง 50 – 59 ถ้ามนี กั เรียนท่ี สอบได้คะแนนต่ํากวา่ 49.5 คะแนน อยู่จํานวน 12 คน และมนี กั เรยี นได้คะแนนต่ํากว่า 59.5 คะแนน อย่จู าํ นวน 20 คน แล้วมธั ยฐานของคะแนนการสอบครง้ั นี้มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด 1. 53 2. 54 3. 56 4. 57 24. ตวั แทนจาํ หน่ายหม้อหุงข้าวไฟฟ้าย่หี ้อหนึ่ง ขายหมอ้ หุงขา้ วขนาด 1 ลติ ร, 2 ลิตร, 3 ลิตร และ 4 ลติ ร ในรอบ 2 ปีท่ีผ่านมาด้วยราคาและปริมาณดังต่อไปนี้ ขนาดของ ปรมิ าณหม้อ ราคา หม้อหุงขา้ วไฟฟา้ 2540 2541 2540 2541 1 ลิตร 300 250 400 400 2 ลติ ร 220 230 500 450 3 ลติ ร 200 200 600 a 4 ลติ ร 150 130 1000 950 ถ้าดชั นรี าคาอยา่ งง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2541 เมือ่ เทียบกบั พ.ศ. 2540 เท่ากับ 96.00 แล้ว ดชั นีราคาแบบใชร้ าคารวมโดยถว่ งนํ้าหนกั ด้วยปริมาณในปีฐาน (วธิ ีของลาสไพเยอเรส) ของ พ.ศ. 2541 เม่ือใช้ พ.ศ. 2540 เปน็ ปฐี าน เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 80.00 2. 86.80 3. 90.00 4. 96.30 ตอนที่ 3 ขอ้ 25 – 28 เป็นขอ้ สอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน 25. ถา้ A = {5, 6, 7, ..., 20} และ B = {1, 2, 3, ..., 15} แล้ว จํานวนสมาชกิ ในเซต { x | x เป็นสับเซตของ A และ x ไมเ่ ป็นสบั เซตของ B } เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 7 × 210 2. 31× 211 3. 31× 210 4. 63 × 211 26. กําหนด f (x) = ⎧1 , x<0 ⎨⎩0 , x>0 ถา้ g = {(x, y) | y = f (1 − e x) และ y > 0 } แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูก 1. Dg ⊂ R 'g 2. D 'g ⊂ Rg 3. Dg ⊂ Rg ∪ [1, ∞) 4. Rg ⊂ Dg ∩ [1, ∞) 27. ถ้า f (x) = x − 1 แล้ว 30 (f D f)(n2) มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ ∑ n = 10 1. 9028 2. 9030 3. 9128 4. 9170 28. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นชน้ั หน่งึ มีการแจกแจงปกติ โดยมคี ่าเฉล่ียเลขคณติ เป็น 64 คะแนน ถ้านกั เรยี นที่สอบไดค้ ะแนนมากกว่า 80 คะแนนมีอยู่ 15.87% แลว้ สัมประสิทธ์ิของการ แปรผันของคะแนนสอบวชิ านีค้ อื ข้อใดต่อไปนี้ (พนื้ ท่ใี ต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z=0 ถึง z=1 คอื 0.3413) 1. 35% 2. 30% 3. 25% 4. 20% Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 422 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.42 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 7 (2) 14 (3) 1 (4) 6 (5) 0.2 (6) 0.62 ตอนท่ี 2 (1) 3 (2) 1 (3) 4 (4) 2 (5) 3 (6) 1 (7) 2 (8) 2 (9) 4 (10) 3 (11) 4 (12) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 2 (18) 3 (19) 1 (20) 2 (21) 2 (22) 3 (23) 4 (24) 4 ตอนที่ 3 (25) 2 (26) 4 (27) 3 (28) 3 เฉลยวธิ ีคิด ตอนท่ี 1 ตอนที่ 2 (1) A − B = {1, 2, 3, 4, 5} , (1) เส้นตรง y = mx ตดั กับวงกลม B − A = {{1, 2}, {3, 4, 5}} → ตอบ 7 ตวั x2 + y2 − 10x + 16 = 0 แสดงวา่ (2) จากการกระจาย จะตอ้ งสามารถแก้ระบบสมการเพอื่ หาจดุ ตดั ได้ (980 − p)3 = 9803 − 3(980)2(p) + 3(980)(p)2 − p3 → x2 + (mx)2 − 10x + 16 = 0 → (m2 + 1)x2 − 10x + 16 = 0 พบวา่ สามพจนห์ ลงั ย่อมหาร p ลงตวั เสมอ (เพราะมี p คณู อยใู่ นนน้ั ) → x = 10 ± 100 − 64(m2 + 1) ∴ p | (980 − p)3 กต็ อ่ เมื่อ p | 9803 2(m2 + 1) ซง่ึ 9803 = 26 × 53 × 76 จะมคี ําตอบ (มีจดุ ตดั ) เมอ่ื 100 − 64 (m2 + 1) > 0 ดงั นน้ั A = {2, 5, 7} → ผลบวกเท่ากับ 14 ตอบ → m2 + 1 < 100 → m2 < 36 → − 6 < m < 6 64 64 8 8 (3) log10 28 − log10−1 325 + log10−2 91 ขอบเขตบนคา่ นอ้ ยทสี่ ดุ คอื 6 = 3 ตอบ = log10 28 + log10 325 − 1 log10 91 84 2 (2) ~ [~(p ∧ q) ∨ ~ q ∨ r] ≡ (p ∧ q) ∧ q ∧ ~r = log10( 28 ⋅ 325) = log10( 9100) ≡ p ∧ q ∧ (~r) 91 91 ซ่งึ จากขอ้ 1. นนั้ p ∧ ~(q → r) ≡ p ∧ (q ∧ ~r) = log10 10 = 1 ตอบ ดังนนั้ ตอบ ขอ้ 1. (4) |A| = 1 → 2x − y = 1 .....(1) (3) ก. จากเหตุ 1 คอื p → (q → r) กับเหตุ 2 คอื p C21 = 3 →− y0 = −y =3 .....(2) รวมกนั ไดผ้ ลเป็น q → r −x 1 นําไปรวมกับเหตุ 3 คอื ~r → q (ใช้ q เป็นตวั ร่วม) แก้ระบบสมการได้ y = −3, x = −1 ไดผ้ ลคอื ~r → r เปน็ จริง แสดงว่า r เป็นจรงิ 0 −3 0 ตอบ ∴ |A + I| = 1 3 0 = 6 แตผ่ ลในโจทย์คอื r → t เราสามารถทาํ ให้เปน็ เทจ็ ได้ −1 1 2 (โดยให้ t เปน็ เทจ็ ) ดงั น้นั ขอ้ ก. ไมส่ มเหตุสมผล (5) |7 − 24 i| ⋅ |3 + 4 i| ⋅ |z|6 = |1| ข. จากเหตุ 2 คอื p ∧ s เราสามารถแยกเป็นเหตุ p → 25 ⋅ 5 |z|6 = 1 → |z|6 = 1 และเหตุ s ไว้คนละข้อกนั กไ็ ด้ 125 จากเหตุ 1 คอื p → (q → ~s) ไปรวมกับเหตุ p ∴ z z = |z|2 = 1 = 0.2 ตอบ ไดเ้ ปน็ q → ~s นาํ ไปรวมกบั เหตุ s จะไดผ้ ล ~q 5 ซึง่ พบวา่ ตรงขา้ มกับผลทใ่ี ห้มาในโจทย์ (6) g′(3) = (32 + 1)f′(3) − f(3)[2(3)] ดังนน้ั ขอ้ ข. ไมส่ มเหตสุ มผล ตอบ ขอ้ 4. [32 + 1]2 = (10)(5) − (−2)(6) = 0.62 ตอบ 100 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 423 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.42 (4) หาโดเมน จาก y = 1 − x2 จะไดเ้ ง่ือนไขว่า (8) จดั รปู ไฮเพอรโ์ บลา; 1 + x2 16 (x2 − 4x + 4) − 9y2 = 80 + 64 1 − x2 > 0 (เพราะตวั ส่วน 1 + x2 > 0 อย่แู ลว้ ) → (x − 2)2 − y2 = 1 ดงั นนั้ x2 < 1 → −1 < x < 1 ∴ Dr = [−1, 1] 9 16 หาเรนจ์ (เพราะ Dr−1 = Rr ) จดุ ศนู ยก์ ลาง (2, 0) , อ้อมแกน x, ระยะโฟกสั c = 9 + 16 = 5 จดั รูป y2 = 1 − x2 → y2 + x2y2 = 1 − x2 จุดโฟกัสคือ (−3, 0) กบั (7, 0) 1 + x2 และจดุ ปลายแกนสงั ยคุ คอื (2, 4) , (2, −4) → x2 + x2y2 = 1 − y2 → x2 = 1− y2 (2,4) 1+ y2 (-3,0) O (2,0) (7,0) ดงั นน้ั เงอื่ นไขคือ 1 − y2 >0 → 1 − y2 > 0 1 + y2 (2,-4) น่ันคอื y2 < 1 → −1 < y < 1 ∴ สมการวงรคี อื (x − 2)2 + (y)2 = 1 25 16 แต่อยา่ ลืมวา่ มกี ารยกกาํ ลงั สองเอง ตอ้ งมองเงื่อนไข → 16x2 − 64x + 25y2 − 336 = 0 ตอบ รู้ทในโจทย์ คือ y > 0 เทา่ นนั้ ∴ Dr−1 = [0, 1] (9) ตอบ ขอ้ 2. (0,1) (3,1) (5,1) (5) f(x) = x (y > 0) กลายเปน็ f−1(x) = x2 (x > 0) f(x) f-1(x) ดังนน้ั A = {x ∈ R | x2 + x − 2 = 0} = {1, −2} จาก a = 3, c = 2 จะได้ b = 9 − 4 = 5 ( x = −2 ไมไ่ ด้ เพราะจาก f−1 นน้ั ตอ้ ง x > 0 ) → แกนโทยาว 2 5 หนว่ ย สรุปวา่ A = {1} ∴ สมการวงกลม คือ (x + 2)2 + (y − 1)2 = (2 5)2 → x2 + y2 + 4x − 2y − 15 = 0 ตอบ ก. 12 − 1 − 6 ≠ 0 เทจ็ ข. 12 + 2 − 3 = 0 จรงิ ดงั นน้ั ตอบ ขอ้ 3. หมายเหตุ ในขอ้ สอบพมิ พ์คาํ ตอบผดิ เป็น x2 + y2 − 4x − 2y − 15 = 0 ขอ้ นจ้ี งึ ให้คะแนนฟรี (6) ยุบอนุกรมเรขา → 1− 1 θ = a cos2 (10) จัดรปู สมการแรกเปน็ xlog3 9 + ylog2 4 = 16 → x2 + y2 = 16 .....(1) น่นั คอื cos2 θ = ⎛ a − 1⎞ สมการสอง log3 x + log3 y = log3 9 − log3 2 ⎜⎝ a ⎠⎟ → xy = 9 / 2 หรอื 2xy = 9 .....(2) (1)+(2) จะได้ x2 + 2xy + y2 = 25 โจทยถ์ าม cos(π − 2θ) sin(π − 2θ) และ (1)–(2) จะได้ x2 − 2xy + y2 = 7 2 ∴ โจทยถ์ าม |x2 − y2 | = |(x + y)(x − y)| = [− cos(2θ)] ⋅ [cos(2θ)] = − cos2 2θ = 25 ⋅ 7 = 5 7 ตอบ = − (2 cos2 θ − 1)2 = − ⎣⎢⎡2 ⎛ a − 1 ⎞ − 1⎦⎥⎤2 (11) หา x1 ด้วยกฎของคราเมอร์ ⎜⎝ a ⎠⎟ = − ⎛ a − 2 ⎞2 ตอบ ⎝⎜ a ⎟⎠ (7) cos (2 arcsin x) = −2 (1 − 2 sin2(arccos x)) 02 1 12 1 x1 = 5 1 −2 ÷ 3 1 −2 ให้ A = arcsin x, B = arccos x 9 −3 −3 2 −3 −3 จะได้ cos 2A = −2 cos 2B = −9 + 30 − 15 − 36 = 3 → 1 − 2 sin2 A = −2 (2 cos2 B − 1) −2 + 18 − 6 − 3 − 9 − 8 → 1 − 2x2 = −2 (2x2 − 1) → 2x2 = 1 ∴ A = ⎡3 + y 6⎤ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน ⎣⎢ 3 y⎥⎦ x = 1 หรอื − 1 ตรวจคาํ ตอบพบวา่ ใชไ้ ดท้ ง้ั คู่ 22 แสดงวา่ |A | = 0 = 3y + y2 − 18 → y = 3, −6 ∴ ผลคณู = −1 / 2 ตอบ ผลบวกคาํ ตอบคอื −3 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 424 ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 (12) y (17) โจทยก์ าํ หนด f(0) = 1 .....(1) และ f′′(1) = −4 .....(2) (15, 10) → P = 155 (15,10) ประโยค “มีค่าสงู สุดสมั พัทธเ์ ป็น 2 ที่ x=1” แปลวา่ (20, 0) → P = 140 O 20 (24,3) f(1) = 2 .....(3) และ f′(1) = 0 .....(4) (24, 3) → P = 183 24 x (24, 0) → P = 168 จากสมการ (1); 0 + 0 + 0 + d = 1 → d = 1 แทนลงในสมการ (3); a + b + c + 1 = 2 ∴ Pmin = 140 เกดิ เมอื่ (a, b) = (20, 0) ตอบ 20 จาก (4) จะได้ 3a + 2b + c = 0 (13) จาก |u + v| = 5 2 จะได้ และ (2) จะได้ 6a + 2b = −4 |u|2 + |v|2 + 2 u ⋅ v = 50 .....(1) แกร้ ะบบสมการได้ a = −1, b = 1 , c = 1 และจาก |u − v| = 26 จะได้ ∴ f(x) = −x3 + x2 + x + 1 |u|2 + |v|2 − 2 u ⋅ v = 26 .....(2) (1)-(2) จะได้ 4 u ⋅ v = 24 ดงั นน้ั u ⋅ v = 6 ตอบ หาค่าวิกฤตจาก f′(x) = −3x2 + 2x + 1 = 0 (14) B → x = −1/ 3, 1 แตโ่ จทย์บอกวา่ คา่ สงู สดุ เกดิ ท่ี x = 1 ไปแลว้ ดงั นนั้ คา่ ตาํ่ สดุ ตอ้ งเกดิ ที่ x = −1/3 ตอบ AC (18) จาก (2x2 − 3x) |s1in θ = 0 → (−1) − (2 sin2 θ − 3 sin θ) = 0 แกส้ มการได้ sin θ = 1, 1/2 E แทนลงในสูตร cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ ˜BE ˜+BC2 (+˜C˜ACE− ˜CB −+32˜C˜BBA+ จะได้ cos 2θ = −1, 1/2 ตอบ ˜C=B ˜C=B)− 2 ˜CA =− = (19) พจน์ทวั่ ไปจากการกระจาย ∴ a = −3, b = 2 จะได้ b − a = 5 ตอบ ( ) ( )=10 − r(− 1 )r 10 ⎛ 1 ⎞r x40 − 6r (15) 1 + 3 i เปน็ รากหน่งึ ของ P(x) แสดงวา่ r (x4)10 2x2 = r ⎝⎜ − 2 ⎟⎠ ตอ้ งมี 1 − 3 i (สังยุค) เปน็ รากดว้ ย น่ันคอื P(x) = (x − c)(x − 1 − 3 i)(x − 1 + 3 i) หาพจน์ทเี่ ป็น x−2 โดยบังคับให้ 40 − 6r = −2 จะได้ r = 7 ∴ สัมประสิทธ์ิ = ⎝⎜⎛ 10 ⎟⎠⎞ ⎛ − 1 ⎞7 = a 7 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ = (x − c)(x2 − 2x + 4) หาพจนท์ เ่ี ปน็ x4 โดย 40 − 6r = 4 หาค่า c จาก ทฤษฎเี ศษ P(2) = 5 ตอบ จะได้ r = 6 ∴ สัมประสิทธ์ิ = ⎜⎝⎛ 10 ⎠⎟⎞ ⎛ − 1 ⎞6 =b 5 = (2 − c)(4 − 4 + 4) ดงั นนั้ c = 3 / 4 6 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ (16) ก. lim f(x) = lim 2x2 + x − 1 ดงั นน้ั a = ⎛⎜⎝ 10 ⎞⎟⎠ ⎛ − 1⎞ = 10 ! 6!4! ⎛ − 1 ⎞ x → −1+ x → −1+ 2(x + 1) b 7 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 7!3! 10 ! ⎜⎝ 2 ⎠⎟ = lim (2x − 1)(x + 1) = − 3 ⎜⎛⎝ 10 ⎞⎟⎠ 6 x → −1+ 2(x + 1) 2 = −2 / 7 ตอบ (20) มีห้องดังนี้ กก ตต กต กต ซึง่ lim f(x) = f(−1) = − 3 ด้วย (ก. ถกู ) x → −1− 2 จึงแบง่ กรงุ เทพ 4 คนออกเปน็ 2, 1, 1 ข. f(1) = 2(1) + 1 − 1 = 1 และ 2(2) 2 และแบ่งตา่ งจงั หวดั 4 คนออกเปน็ 2, 1, 1 ดว้ ย lim f(x) = lim 1− x =1 (ข. ถกู ) ไดส้ ่วนละ 4! วธิ ี 2 !(1!)22 ! x → 1+ x → 1+ (1 − x)(1 + x) 2 ดงั นนั้ ตอบ ขอ้ 1. ดงั นนั้ คาํ ตอบคือ 4! ⋅ 4! ⋅ 2! = 72 2 !(1!)22 ! 2 !(1!)22 ! (คณู 2! เพราะกรงุ เทพ 1 คน จบั คกู่ บั ตา่ งจังหวดั 1 คนน้นั สามารถเลือกสลับค่ไู ด)้ ตอบ 72 วธิ ี หมายเหตุ ถ้าคดิ วา่ หอ้ งตา่ งกันจะตอ้ งเลอื กหอ้ งดว้ ย จะได้ 72 × 4 ! = 1,728 วธิ ี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 425 ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 (21) มี 2 กรณคี ือ แดง-แดง กบั อน่ื -แดง (26) หา Dg และ Rg จงึ ได้ 3×2 + 7 × 3 = 3 ตอบ จาก y = f(1 − ex) และ y > 0 10 × 9 10 แสดงว่า y = 1 เทา่ นน้ั (เพราะส่ิงท่ไี ดอ้ อกมาจาก f มเี พียงเลข 0 กบั 1) สรุปวา่ Rg = {1} (22) สมมติให้เปน็ A, B, C, D, E จาก f(1 − ex) = 1 จงึ ไดว้ ่า 1 − ex < 0 มธั ยฐาน = 16 แสดงว่า C = 16 ฐานนยิ ม = 15 แสดงว่า A = B = 15 → ex > 1 → x > ln 1 → x > 0 พิสัย = 5 แสดงวา่ E = 20 ค่าเฉลีย่ เลขคณติ = 17 แสดงวา่ สรุปวา่ Dg = (0, ∞) ดงั นน้ั ขอ้ ท่ถี ูกคอื ข้อ 4. Rg ⊂ Dg∩ [1, ∞) ตอบ 15 + 15 + 16 + D + 20 = 17 → D = 19 5 (27) 30 30 ทราบครบทกุ ขอ้ มูลแลว้ หาความแปรปรวนไดด้ ังนี้ ∑ (fof)(n2) = ∑ f(n2 − 1) s2 = 22 + 22 + 12 + 22 + 32 = 22 ตอบ n = 10 n = 10 55 30 ⎡ 30 n2 9 n2 ⎤ 30 ⎣⎢n = 1 n= ⎦⎥ (n2 2 n = 10 n = 10 ∑ ∑ ∑ ∑= = − − − 2) (23) ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ 1 ⎜ fMed ⎟ Med = L + I ⎝ ⎠ = 30(31)(61) − 9(10)(19) − (21)(2) 66 = 49.5 + 10 ⎛ 18 − 12 ⎞ = 57 คะแนน ตอบ ⎜⎝ 20 − 12 ⎟⎠ = 9,455 − 285 − 42 = 9,128 ตอบ (28) ที่ x = 80 (24) จาก 0.96 = 400 + 450 + a + 950 400 + 500 + 600 + 1,000 0.3413 0.1587 จะได้ a = 600 ดงั นัน้ IL คํานวณได้จาก 400(300) + 450(220) + 600(200) + 950(150) 64 80 x × 100 พืน้ ที่ = 0.5 − 0.1587 = 0.3413 ทางขวา 400(300) + 500(220) + 600(200) + 1,000(150) จะได้ z = 1 → 1 = 80 − 64 → s = 16 = 96.30 ตอบ s ตอนท่ี 3 (25) X ⊂ A และ X ⊄ B ; สมั ประสิทธิก์ ารแปรผนั = s = 16 = 0.25 X 64 ,A = { 5, 6, 7, 8, ..., 15 , 16, 17, 18, 19, 20} หรือ 25% ตอบ B = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 15 } แสดงวา่ 5 ถงึ 15 จะอยู่ใน X กี่ตัวก็ได้ ไม่อยกู่ ไ็ ด้ จดั ได้ 211 แบบ แต่ 16 ถึง 20 บงั คบั ว่าจะต้องอยู่ใน X ด้วย กตี่ วั ก็ ได้ แต่ไมอ่ ยูเ่ ลยไม่ได้ ..จดั ได้ 25 − 1 แบบ ตอบ∴ 211 ⋅ (25 − 1) = 31 × 211 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 426 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.42 ¢ŒoÊoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa µ.¤.42 (e) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 6 เปน็ ข้อสอบแบบอตั นยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. พืน้ ทขี่ องสามเหลย่ี มที่มีจุดยอดเปน็ จดุ กําเนดิ และจดุ โฟกัสท้ังสองของวงรี x2 + 2y2 + 4x − 4y − 2 = 0 เทา่ กบั เท่าใด 2. ถา้ f (x) = 4x และ g(x) = 2 แลว้ x−1 ค่า x ทท่ี าํ ให้ (f D g)(x) = (gD f)(x) เท่ากับเทา่ ใด 3. ให้ A เปน็ เมตรกิ ซม์ ติ ิ 3 × 3 ถา้ M 13 = ⎡−1 3⎤ , M21 = ⎡−1 1⎤ และ M 32 = ⎡2 1⎤ แล้ว ⎣⎢ 1 2⎥⎦ ⎢⎣ 2 4⎥⎦ ⎣⎢−1 0⎥⎦ det A มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด 4. กําหนดให้ R 5 32x +3 25 5 (3 x −1 )} 2 A = {x ∈ | = ผลบวกของสมาชกิ ท้งั หมดของ A มีคา่ เท่ากบั เท่าใด 5. ให้ u และ v เป็นฟังกช์ ันของ x โดยที่ v (x) = x2− 2x และ f (x) = u(x) v (x) และ u(3) = −9 , u′(3) = 3 แลว้ ค่าของ f′(3) เทา่ กับเทา่ ใด 6. ในการประชุมครัง้ หน่ึง มีผแู้ ทนจาก 3 ประเทศเขา้ ร่วมประชุม โดยมผี ูแ้ ทนประเทศละ 3 คน จาํ นวนวิธีทง้ั หมดทจ่ี ะจัดใหผ้ แู้ ทนแต่ละประเทศต้องนัง่ ตดิ กนั ในการประชมุ โต๊ะกลม เทา่ กับเท่าใด ตอนท่ี 2 ข้อ 1 – 24 เป็นขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ f (x) = x และ g(x) = x2 − 1 1− x ถ้า A = Dgof และ B = Dg แล้ว (A ∪ B ') คอื เซตในขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. R − {−1, 1} 2. (−1, ∞) 3. (21 , 1) ∪ (1, ∞) 4. (−1, 1) ∪ (1, ∞) 2. ให้ A = { x | x − 2 < 4 } และ B = { x | 15x−2 − 8x−1+ 1 > 0 } แลว้ A ∩ B คือเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. (−2, 3) ∪ (5, 6) 2. (0, 3) ∪ (5, 6) 3. (0, 3) ∪ (3, 5) ∪ (5, 6) 4. (−2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (5, 6) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 427 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.42 3. สําหรบั จาํ นวนเตม็ a, b ใดๆ ให้ (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให้ A = {1, 2, 3, ..., 400} จาํ นวนสมาชิกของเซต { x ∈ A | (x, 40) = 5 } มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใด 1. 30 2. 40 3. 60 4. 80 4. พจิ ารณาการอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปน้ี ก. เหตุ 1) p → (q → ~ r) ข. เหตุ 1) (p ∧ q) → r 2) q 2) ~(r ∨ s) 3) r 3) p ผล p ผล ~ q ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตสุ มผล แต่ ข ไม่สมเหตสุ มผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตสุ มผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล 5. เอกภพสัมพัทธ์ U ทีก่ าํ หนดในขอ้ ใดตอ่ ไปนท้ี ่ีทาํ ใหป้ ระโยค ∃x [ 2x2 + x − 1 < 0 ∧ x2 − 4x + 4 < 3 ] มคี ่าความจริงเป็นจรงิ 1. U = เซตของจํานวนเตม็ บวกคู่ 2. U = เซตของจํานวนเตม็ บวกค่ี 3. U = เซตของจาํ นวนเต็มลบคู่ 4. U = เซตของจํานวนเต็มลบค่ี 6. ให้ f (x) = arcsin x , g(x) = cos x และ h (x) = (f D g)(x) พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. โดเมนของ h คือเซตของจาํ นวนจรงิ และ g(π − h(x)) = g(x) 2 ข. h เปน็ ฟังก์ชนั หนง่ึ ตอ่ หน่งึ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 7. {cos A | 0 < A < 4π และ 5 − 3 sin 3A มคี า่ มากที่สุด } 3 เปน็ สบั เซตของเซตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. {− 1 , 0, 3} 2. {− 3 , − 1 , 0} 22 22 3. {0, 1 , 3} 4. {− 3 , 1 , 3} 22 222 8. ถา้ A เป็นจุดบนวงกลม x2+ y2+ 4x − 6y + 11 = 0 ซ่งึ อยู่ใกล้กบั จดุ โฟกสั F ของพาราโบลา x2− 12x + 4y + 52 = 0 มากทส่ี ุด แล้วระยะระหว่างจดุ A กบั F มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 7 2 2. 8 2 3. 7 2 − 2 4. 8 2 − 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 428 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.42 9. ให้ O เปน็ จดุ กาํ เนิด, A เปน็ จดุ บนแกน x และ B เป็นจดุ ในระนาบซ่งึ ทําใหเ้ ส้นตรง OB มี ความชนั เทา่ กบั 2 และเสน้ ตรง AB มีความชันเท่ากบั 1 ถ้า θ = ABˆO แลว้ sec2θ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 10/9 2. 11/9 3. 10 4. 11 10. กาํ หนดให้ a, b เป็นคําตอบของสมการ log3x + 6 logx3 = 5 โดยที่ a < b ถา้ A = { x ∈ I+ | x ∈ [a, b] และ 3 x } เมอื่ I+ เป็นเซตของจํานวนเต็มบวก แล้ว A มจี าํ นวนสมาชกิ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 3. 18 4. 19 1. 6 2. 7 11. กาํ หนดให้ ⎡x 5 −1⎤ โดยที่ และ เป็นจํานวนจริง ⎢⎣⎢⎢00 −−2x⎥⎦⎥⎥ A = 4 det A = −1 x 0 ถ้า I เปน็ เมตรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ขนาด 3 × 3 แล้ว det (2(I − A)At) มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 8 3. 12 4. 18 12. โรงงานแหง่ หนึ่งต้องการผลติ สนิ ค้า A และ B โดยที่มีราคาขายต่อชนิ้ เปน็ 10 และ 15 บาท ตามลาํ ดบั ถา้ โรงงานน้ผี ลติ สนิ คา้ A ได้ x ชน้ิ และผลติ สนิ ค้า B ได้ y ชน้ิ โดยมอี สมการ ขอ้ จํากดั ดังน้ี x>0 0<y<5 x + y < 10 และ 2x + y < 16 แลว้ โรงงานจะขายสินคา้ ได้เงนิ มากท่ีสดุ เป็นจาํ นวนเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 120 2. 125 3. 130 4. 150 13. ถา้ u และ v ทํามมุ กัน 60° และ u + v = 37 , u − v = 13 4. 50 แลว้ u + v มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 5 2. 7 3. 37 จ14าก. จกดุ าํ หAนดลใหาก้ Oเส้นเตปรน็ งจไุดปกตาํ้งั เฉนาิดกก˜OับA˜O=B3 i +4 j, ˜ − 2j OแลB้ว=˜O5Di ที่จุด D คอื ข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 (5 i − 2 j) 2. 7 (5 i − 2 j) 29 29 3. 8 (5 i − 2 j) 4. 8 (5 i − 2 j) 29 29 15. ถ้า z = −2 + 2 3 i เมอ่ื i2= −1 แลว้ z17 อยู่ในควอดแรนตใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 429 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.42 16. พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า A = { x ∈ R | (1+i) x3 + (1+2i) x2 − (1+i) x − (1+2i) = 0 } แล้ว A ⊆ [−1.5, 1.5] ข. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง z6= 1 i แลว้ z เท่ากับ 1 82 ข้อใดต่อไปนถ้ี ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 17. ให้ a เป็นจํานวนจรงิ กําหนดพจนท์ ่ี n ของอนกุ รมคือ 1 + (n−2) a 1− a ถ้าพจนท์ ่ี m คอื 1 + 38 a แลว้ ผลบวก m พจนแ์ รกของอนกุ รมนีม้ ีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1− a 1. 40 + 740 a 2. 40 + 790 a 1− a 1− a 3. 20 + 720 a 4. 20 + 760 a 1− a 1− a 18. กาํ หนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เนอ่ื ง โดยที่ f (x) = x3− x2− 4x + 4 เมื่อ x ≠ ±2 4 − x2 และ f (2) = a, f (−2) = b แล้ว a และ b เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. a = 1, b = −3 2. a = 1, b = 3 3. a = −1, b = −3 4. a = −1, b = 3 19. ถ้า f เปน็ ฟังกช์ ันซึ่งมกี ราฟผา่ นจดุ (0, 2) และ f′(x) = 3x2− 12x + 9 4. 8 แลว้ คา่ สูงสุดสัมพทั ธ์ของ f เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 2 2. 3 3. 6 20. ในจํานวนเดก็ 12 คน มเี ด็กถนดั ซ้าย 4 คน ถา้ เลอื กเด็ก 5 คนโดยการสุ่มจากเดก็ เหลา่ นี้ แลว้ ความน่าจะเปน็ ทจี่ ะมีเดก็ ถนัดซ้ายอยู่ในกล่มุ ท่ีเลอื กเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 35 2. 47 3. 63 4. 92 99 99 99 99 21. ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {3, 4} ถ้า S = { f : A ∪ B > A × B | f เปน็ ฟงั กช์ ันหนึ่งต่อหนง่ึ } แลว้ จาํ นวนสมาชิกของ S เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 120 2. 240 3. 360 4. 480 22. พิจารณาข้อมูลของ x และ y ดงั น้ี x -3 -1 0 1 3 y 0 a a+3 a+4 a+6 เมอื่ a เปน็ ค่าคงที่ ให้ x และ y มคี วามสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันเป็นกราฟเสน้ ตรง โดยทค่ี วามชัน เท่ากับ 1.55 ถ้า x = 4 จะประมาณค่า y ได้เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 8.7 2. 10.8 3. 11.2 4. 12.8 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 430 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.42 23. แผนภูมวิ งกลมต่อไปนแ้ี สดงจํานวนนักเรียนทั้งหมด 500 คนของโรงเรียนแหง่ หนึ่ง จําแนกตาม คะแนนสอบวิชาหนงึ่ 2 1. นกั เรยี นท่ีได้คะแนน 1 – 20 คะแนน 2. นกั เรยี นทไ่ี ดค้ ะแนน 21 – 40 คะแนน 40% 3. นกั เรยี นท่ไี ด้คะแนน 41 – 60 คะแนน 4. นกั เรียนทีไ่ ดค้ ะแนน 61 – 80 คะแนน 24% 3 5. นกั เรียนท่ไี ด้คะแนน 81 – 100 คะแนน 1 20% 6%10% 54 ถา้ ความแปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากบั 481.44 พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ครึง่ หน่ึงของนักเรียนโรงเรียนนไี้ ดค้ ะแนนมากกวา่ 40 คะแนน ข. สัมประสิทธิ์ของการแปรผนั ของคะแนนสอบวิชานเี้ ทา่ กับ 0.50 ข้อใดต่อไปน้ถี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 24. ในปี พ.ศ. 2540 สเุ มธมีรายได้เดือนละ 15,000 บาท โดยทรี่ ายไดต้ ่อเดือนทีแ่ ท้จริงของเขาเปน็ 12,500 บาท เทียบกบั ปี พ.ศ. 2538 ถา้ ดชั นรี าคาผบู้ ริโภคในปี พ.ศ. 2541 สูงกวา่ ปี พ.ศ. 2540 อยู่ 5% แล้วคา่ ครองชีพในปี พ.ศ. 2541 สงู กวา่ ปี พ.ศ. 2538 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ (โดยคดิ จากดชั นีราคาผูบ้ ริโภค เม่อื ใช้ปี พ.ศ. 2538 เป็นปีฐาน) 1. 20% 2. 25% 3. 26% 4. 30% ตอนที่ 3 ขอ้ 25 – 28 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 4 คะแนน 25. ให้ F(x) = f (g(x)) ถ้า g(x) = x3+ 2x + 2 และ ∫ F(x) dx = 5x3+ 2x + c แล้ว คา่ ของ f′(5) เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 6 2. 5 3. 4 4. 3 26. กาํ หนดให้ f (x) = π ⎛ x+7 ⎞ เมื่อ −3 < x<3 และ f (x + 6) = f (x) ทุกๆ x∈R ⎝⎜ 24 ⎟⎠ ถ้า g(x) = A + arcsin x โดยท่ี A ∈ [0, π] และ cos A = 2/ 5 แล้วค่าของ (g−1 D f)(5) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 3. −1 4. −1 10 5 5 10 27. กลอ่ งใบหนึง่ บรรจขุ นมช้ัน 24 ชนิ้ แตล่ ะช้นิ มี 4 ชน้ั ๆ ละสี ซึง่ มีสีเขยี ว ขาว แดง เหลือง และ การเรียงลําดบั สขี องแตล่ ะช้นิ ทัง้ 24 ช้ินแตกตา่ งกนั หมด ถา้ หยบิ ขนม 1 ชิน้ จากกล่องนโี้ ดยสมุ่ แล้ว ความน่าจะเป็นทชี่ นิ้ ทีห่ ยิบไดม้ ีสองช้ันบนไมใ่ ชส่ ีแดงและไม่ใช่สเี หลืองเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 24 12 6 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 431 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.42 28. ถ้าคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของนักศึกษาในมหาวทิ ยาลัยแหง่ หนึ่งมกี ารแจกแจงปกติ โดยมี คะแนนเฉลีย่ และความแปรปรวนของคะแนนเท่ากบั 60 และ 25 ตามลําดับ และผู้สอนกําหนดวา่ นักศึกษาที่จะสอบผา่ นต้องไดค้ ะแนนไมน่ อ้ ยกว่า 54 คะแนน ถา้ นายขาว นายแดง และนายดํา สอบ ไดค้ ะแนนอยใู่ นตําแหนง่ เปอร์เซ็นไตล์ท่ี 10, 15 และ 33 ตามลาํ ดบั จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. นายขาวสอบไมผ่ ่าน แตน่ ายแดงและนายดําสอบผ่าน ข. นายดําสอบได้ 57.8 คะแนน ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด กาํ หนดตารางแสดงพนื้ ท่ีใต้โค้งปกตดิ งั น้ี พ้นื ท่ีจาก z=0 ถึง z=0.24 เทา่ กบั 0.0948 พน้ื ที่จาก z=0 ถึง z=0.44 เทา่ กบั 0.1700 พ้นื ทีจ่ าก z=0 ถึง z=1.2 เทา่ กับ 0.3849 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 2 (2) 0.2 (3) 15 (4) 1 (5) 5 (6) 432 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 4 (3) 2 (4) 3 (5) 4 (6) 2 (7) 2 (8) 1 (9) 1 (10) 2 (11) 4 (12) 2 (13) 2 (14) 2 (15) 3 (16) 1 (17) 1 (18) 4 (19) 3 (20) 4 (21) 3 (22) 3 (23) 4 (24) 3 ตอนท่ี 3 (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 1 เฉลยวธิ ีคิด ตอนที่ 1 (3) สมมติ A = ⎡• • •⎤ (1) จัดรปู สมการ ⎢• • •⎥ ⎢⎣• • •⎦⎥ (x2 + 4x + 4) + 2 (y2 − 2y + 1) = 2 + 4 + 2 ⎡ • • •⎤ → (x + 2)2 + 2 (y − 1)2 = 8 จาก M13 จะได้ A = ⎢−1 3 •⎥ ⎣⎢ 1 2 •⎦⎥ → (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1 84 จาก M21 จะได้ A = ⎡ • −1 1⎤ เป็นวงรตี ามแกน x จุดศนู ยก์ ลาง (−2, 1) ⎢−1 3 • ⎥ ⎣⎢ 1 2 4⎦⎥ ระยะโฟกสั c = 8 − 4 = 2 ⎡ 2 −1 1⎤ ∴ จุดโฟกสั คือ (−4, 1) 22 และจาก M32 จะได้ A = ⎢−1 3 0⎥ กับ (0, 1) ⎣⎢ 1 2 4⎥⎦ 1 det(A) = −3 − 4 + 24 − 2 = 15 ตอบ (4) จาก 5 = 532x + 3 10(3x − 1/ 2) พน้ื ที่ Δ = 1 × 4 × 1 = 2 ตร.หน่วย ตอบ เอาฐาน 5 เท่ากนั ออก จะได้ 32x + 3 = 10(3x − 1/2) 2 (2) (fog)(x) = (gof)(x) → 4 ⎛ x 2 ⎞ = 2 1 ให้ 3x = A จะได้ A2 + 3 = 10 A ⎝⎜ − 1⎠⎟ 4x − 3 → 3A2 − 10A + 3 3 = 0 → 8 = 2 → 8 (4x − 1) = 2 (x − 1) x − 1 4x − 1 → ( 3A − 1)(A − 3 3) = 0 → 30x = 6 ดงั นน้ั x = 0.2 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 432 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.42 ดังนนั้ A = 1 หรอื 3 3 ก็จะไดผ้ ลสรุปคอื ~p 3 แต่ผลทใี่ ห้มาในโจทยค์ ือ p ตรงขา้ มกบั ผลท่เี ราได้ หรอื→3x = −1 3 จะได้ x = − 1 , 3 ดงั นนั้ ขอ้ ก. ไมส่ มเหตุสมผล 22 ข. จากเหตุ 2 คอื ~r ∧ ~s สามารถแยกข้อเปน็ เหตุ 32 32 ~r และเหตุ ~s ได้ ตอบ ผลบวกคาํ ตอบคอื 1 นําเหตุ ~r ไปรวมกบั เหตุ 1 คอื (p ∧ q) → r จะ (5) f′(3) = v(3)u′(3) − u(3)v′(3) ได้ผลเปน็ ~(p ∧ q) ก็คอื ~p ∨ ~ q กค็ อื p → ~ q [v(3)]2 ดงั นนั้ เมือ่ รวมกบั เหตุ 3 คอื p กจ็ ะไดผ้ ลสรปุ ~q = (3)(3) − (−9)(2(3) − 2) = 5 ตอบ (3)2 ข้อ ข. จึงสมเหตสุ มผล ตอบ ขอ้ 3. (5) จาก 2x2 + x − 1 < 0 → (2x − 1)(x + 1) < 0 (6) มองเปน็ กลมุ่ ละ 3 คน จะได้ −1 < x < 1/2 จํานวน 3 กลุม่ สลับวงกลม (ภายนอก) ได้ 2! แบบ และจาก (x − 2)2 < 3 → |x − 2| < 3 สลับกันเองภายในแตล่ ะกลุ่ม ได้ 3! แบบ → −3 < x − 2 < 3 จะได้ −1 < x < 5 ดังนน้ั ตอบ 2! × (3 !)3 = 432 วธิ ี นาํ มาอนิ เตอรเ์ ซคชนั กนั (เพราะเช่อื มดว้ ย “และ”) ตอนท่ี 2 จะไดว้ า่ โจทย์กลายเปน็ ∃x [−1 < x < 1/2] (1) หา Dg กอ่ น จากเงอ่ื นไขรู้ท ดงั นนั้ ตอบ ขอ้ 4. (เพราะมี x = −1 ท่ีใชไ้ ด้) x2 − 1 > 0 → (x − 1)(x + 1) > 0 (6) ก. h(x) = arcsin(cos x) ดงั นนั้ B = Dg = (−∞, −1] ∪ [1, ∞) โดเมนเปน็ จาํ นวนจรงิ ใดๆ ถกู ตอ่ มา หา Dgof จาก (gof)(x) = (f(x))2 − 1 เพราะไมว่ ่า x เป็นเทา่ ใดกห็ า cos x ไดเ้ สมอ และไม่ แสดงว่า f(x) ตอ้ งอยู่ในชว่ ง (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ว่า cos x จะมีคา่ เทา่ ใด ก็ยังหา arcsin ไดเ้ สมอ.. π π กรณซี า้ ย x < −1 → x + 1 − x < 0 ตอ่ มาพจิ ารณา g ( − h(x)) = cos ( − h(x)) 22 1− x 1− x = sin[h(x)] = sin(arcsin(cos x)) = cos x = g(x) → 1 > 0 จะได้ x > 1 กถ็ ูกเช่นกนั x−1 ข. h เป็นฟงั กช์ นั หน่งึ ตอ่ หนงึ่ ผดิ เพราะ x ทีต่ า่ งกนั สามารถให้คา่ h(x) ท่ีเหมอื นกนั ได้ กรณขี วา x > 1 → x − 1 + x > 0 เชน่ x = 0 h(x) = arcsin(cos 0) = arcsin 1 = π/2 1− x 1− x x = 2π h(x) = arcsin(cos 2π) = arcsin 1 = π/2 → 2x − 1 < 0 จะได้ 1/2 < x < 1 x−1 สรุปวา่ ก. ถูก ข. ผิด ตอบ ขอ้ 2. ดงั นน้ั A = Dgof = [1/2, 1) ∪ (1, ∞) และจะได้ A ∪ B' = (−1, 1) ∪ (1, ∞) ตอบ (7) 5 − 3 sin 3A มากทสี่ ดุ แสดงวา่ sin 3A (2) A; −4 < x − 2 < 4 → −2 < x < 6 จะตอ้ งนอ้ ยทส่ี ดุ น่นั คอื sin 3A = −1 B; นํา x2 คูณสองข้าง (โดยท่ี x ≠ 0 ) พิจารณาในช่วง 0 < 3A < 4π จะไดว้ า่ จะได้ 15 − 8x + x2 > 0 → (x − 3)(x − 5) > 0 3A = 3π , 7π → A = π , 7π 22 26 → x < 3, x > 5, x ≠ 0 ∴ cos A = 0, − 3/2 ตอบ ขอ้ 2. ∴ A ∩ B = (−2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (5, 6) ตอบ (8) จดั รปู พาราโบลา; (3) จาก 40 = 23 × 5 (x2 − 12x + 36) = −4y − 52 + 36 ห.ร.ม. ของ x กบั 40 เทา่ กับ 5 แสดงวา่ ใน x ตอ้ งมี 5 อยู่ และตอ้ งไม่มี 2 อยู่ → (x − 6)2 = 4(−1)(y + 4) → c = −1 สรปุ วา่ x เปน็ เลขค่ี ท่หี าร 5 ลงตัว นั่นเอง เป็นพาราโบลาคว่าํ , จดุ ยอดอยทู่ ่ี (6, −4) ได้แก่ 5, 15, 25, 35, ..., 395 รวม 40 จํานวน ตอบ จดุ โฟกัสอยทู่ ่ี (6, −5) → จัดรปู วงกลม; (4) ก. จากเหตุ 1 คอื p → (q → ~r) (x2 + 4x + 4) + (y2 − 6y + 9) = −11 + 4 + 9 จัดรปู ใหมไ่ ดว้ ่า q → (p → ~r) นําไปรวมกบั เหตุ 2 คอื q จะได้เปน็ p → ~r → (x + 2)2 + (y − 3)2 = 2 จากนั้นนําผลทไ่ี ด้ไปรวมกบั เหตุ 3 คือ r อีก ∴ จดุ ศนู ย์กลาง (−2, 3) , รัศมี 2 หนว่ ย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 433 ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 C(-2,3) A F(6,-5) จดุ (0, 5) กาํ ไร = 15 บาท (5,5) (6,4) (5, 5) กาํ ไร = 125 บาท 5 (6, 4) กําไร = 120 บาท → ระยะ AF = CF − CA = 82 + 82 − 2 (8, 0) กาํ ไร = 80 บาท O 8 10 ดังนนั้ ตอบ 125 บาท = 8 2 − 2 = 7 2 หน่วย ตอบ (9) B (13) จาก |u + v| = 37 จะได้ |u|2 + |v |2 + 2|u|| v | cos 60D = 37 θ นั่นคอื |u|2 +|v |2 + |u||v | = 37 .....(1) และจาก |u − v| = 13 จะได้ Aα Oβ C |u|2 + |v |2 − |u||v | = 13 .....(2) สมการ (1)+(2) หาร 2; |u|2 +|v|2 = 25 tan α = 1 → tan ABˆC = 1 สมการ (1)-(2); 2 |u||v| = 24 บวกกนั ได้ |u|2 + 2|u||v | + |v |2 = 25 + 24 = 49 tan β = 2 → tan OBˆC = 1 → (|u| + |v |)2 = 49 →|u| + |v | = 7 ตอบ 2 ดงั นน้ั tan θ = tan (ABˆC − OBˆC) 1 − 1/2 = 1 (เป็นค่าบวกเสมอ เพราะเป็นขนาดเวกเตอร)์ 1 + (1)(1/2) 3 (14) A ˜ ˜|OD |=|OA |cos θ หรอื คดิ จากสตู ร tan θ = m1 − m2 = 2 − 1 = 1 1 + m1m2 1 + 2 3 โจทยถ์ าม sec2 θ = tan2 θ + 1 = 1 + 1 = 10 ตอบ OθD B 99 (10) ให้ A = log3 x จะได้ A+ 6 =5 ทจ∴˜→Oะาํ Dไ|ด˜˜OหO้ คาAB(5ไอื |ด)เ(ว้จใc3หกาo)กเ้เsห+ตθลอ(˜O−รอื =B2์ข)1น7(⋅4า/˜Oหด)Aน2=่ว97ย=/ไ|2ด˜O29เ้ 9ปB|น็ |˜O|ห|A˜O˜˜นOO|Aว่BBยc||ocใs=นoθsท5ศิθi A → A2 − 5A + 6 = 0 → A = 2, 3 → x = 9, 27 ∴ a = 9, b = 27 ˜OB หาจาํ นวนในช่วง [9, 27] ทห่ี าร 3 ลงตวั − 2j ไดแ้ ก่ 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ตอบ 7 จาํ นวน 29 (11) det A = −1 = −4x2 ∴ x = 1 หรอื − 1 ˜∴ OD = 7 ⎛5i − 2j ⎞ = 7 (5 i − 2 j) ตอบ 22 29 ⎝⎜⎜ 29 ⎟⎟⎠ 29 โจทย์ถาม det(2(I − A)At) = 23 det(I − A) det(A) = −8 det(I − A) ดังนนั้ ตอ้ งหาค่า det(I − A) กอ่ น (15) z = 4∠ 2π → z17 = 417 ∠ 34π 33 กรณี x = 1 ⎡1/2 5 −1 ⎤ → ซง่ึ 34π = 10π + 4π → A = ⎢ 0 4 −2 ⎥ 33 ∴ อยใู่ น Q3 ตอบ 2 ⎢⎣ 0 0 −1/2⎦⎥ (16) ก. จดั รูปสมการ ⎡1/2 −5 1 ⎤ −9 → I − A = ⎢ 0 −3 2 ⎥ → det(I − A) = 4 (1 + i) x [x2 − 1] + (1 + 2i)[x2 − 1] = 0 ⎢⎣ 0 0 3/2⎦⎥ → [(1 + i) x + (1 + 2i)] ⎡⎣x2 − 1⎤⎦ = 0 กรณี x = − 1 ⎡3/2 −5 1 ⎤ → I − A = ⎢ 0 −3 2 ⎥ แต่ x ∈ R เทา่ นน้ั ดงั นนั้ x = 1, −1 ถกู 2 ⎣⎢ 0 0 1/2⎥⎦ ข. |z6 | = |z|6 = 1 i = 1 → det(I − A) = − 9 เชน่ กนั 88 4 → |z|=|z|= 6 1 = 1 ถกู ดงั นน้ั ตอบ ขอ้ 1. ดงั นนั้ คาํ ตอบคือ = −8(− 9) = 18 ตอบ 82 4 (17) พจนท์ ี่ m → m − 2 = 38 ∴ m = 40 (12) กําไร = 10x + 15y สงั เกตดี ๆ เปน็ อนกุ รมเลขคณติ (เพราะ n กําลงั 1) จากบริเวณที่แรเงาในกราฟ จะไดว้ ่า ใช้สูตร Sn = n (a1 + an) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 434 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.42 ∴ S40 = 40 ⎛ 1 − a + 1 + 38 a⎞ (24) ดัชนปี ี 40 เทียบ 38 = 15,000 × 100 = 120 ⎜ 1− a ⎟ 12,000 2 ⎝ 1− a ⎠ ดชั นีปี 41 สูงขนึ้ 5% ดังนนั้ ⎛ 2 + 37 a⎞ 40 + 740 a ตอบ = 20 ⎜ 1− a ⎟ = 1− a ดชั นปี ี 41 เทียบ 38 = 120 × 105 = 126 ⎠ 100 ⎝ ตอบ 26% (18) f(x) = (x2 − 4)(x − 1) = −x + 1 4 − x2 เมื่อ x ≠ ±2 ตอนที่ 3 ถ้าจะใหเ้ ปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื ง จะตอ้ งให้ (25) F(x) = d (5x3 + 2x + c) = 15x2 + 2 dx f(2) = lim f(x) = −2 + 1 = −1 และ ตอบ ขอ้ 4. x →2 ดงั นน้ั (fog)(x) = 15x2 + 2 จากกฎลกู โซ่ (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) f(−2) = lim f(x) = −(−2) + 1 = 3 x → −2 → 30x = f′(g(x)) ⋅ (3x2 + 2) (19) f(x) = ∫ (3x2 − 12x + 9) dx เราต้องการ f′(5) จงึ ตอ้ งให้ g(x) = 5 พบวา่ ควร = x3 − 6x2 + 9x + C → ผา่ น (0, 2) ∴ C = 2 แทน x ด้วย 1 (ใช้วธิ เี ดาเอาเพราะแกย้ าก) ได้เป็น 30 ⋅ 1 = f′(5) ⋅ (3 + 2) → หาคา่ สงู สุด f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0 ∴ f′(5) = 30/5 = 6 ตอบ ดังนนั้ x = 1, 3 ซึง่ f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6 , (26) (g−1of)(5) = g−1(f(5)) และ f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2 ∴ ตอบ 6 แทน x = 5 เลยยังไมไ่ ด้ เพราะนยิ ามแค่ −3 < x < 3 จึงต้องใช้วิธลี ดค่า ตามสมการ (20) คาํ วา่ “ม”ี คดิ ยาก เพราะมไี ดห้ ลายกรณี (กี่ คนก็ได)้ จงึ ควรใชว้ ิธีลบออก f(x + 6) = f(x) → พบวา่ f(−1) = f(5) คือวธิ ีทง้ั หมด – วธิ ีท่ี “ไม่ม”ี (แปลวา่ ถนดั ขวาลว้ นๆ) ∴ g−1(f(5)) = g−1(f(−1)) = g−1(6π) = g−1(π) ⎝⎛⎜ 58 ⎠⎟⎞ 8!5!7! 92 ตอบ 24 4 = 1− = 1− 5 ! 3 ! 12 ! = 99 → จาก g(x) = A + arcsin x จะหา g−1(π) ⎜⎝⎛ 12 ⎠⎟⎞ 4 5 คอื หาค่า x ท่ีทาํ ให้ A + arcsin x = π 4 (21) n(A ∪ B) = 4 , n(A × B) = 3 × 2 = 6 ตอบ 6 × 5 × 4 × 3 = 360 → x = sin ⎛⎝⎜ π − A ⎠⎞⎟ = sin π cos A − cos π sin A (22) จาก ∑ y = m ∑ x + c N 4 4 4 จะได้ 4a + 13 = 1.55(0) + 5c .....(1) = ⎛ 1 ⎞⎛ 2⎞ − ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ = 1 ตอบ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ 10 และจาก ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x (27) สองชัน้ บนไมใ่ ช่แดงและเหลอื ง แสดงวา่ ตอ้ ง จะได้ 3a + 22 = 1.55(20) + c(0) .....(2) เปน็ เขยี วและขาว สลับกนั ได้ 2! แบบ แกร้ ะบบสมการได้ a = 3, c = 5 สองชน้ั ลา่ งกจ็ ะเป็นแดงและเหลอื ง สลับได้ 2! แบบ ∴ Yˆ = 1.55X + 5 ความนา่ จะเปน็ = 2!2! = 1 ตอบ ถา้ x = 4 จะได้ Yˆ = 1.55(4) + 5 = 11.2 ตอบ 24 6 (23) คะแนน ความถ่ี d (หมายเหตุ วธิ ที ง้ั หมด 24 แบบ ก็คือ 4! น่นั เอง) (28) ก. คดิ ที่เกณฑ์ 54 คะแนน 1 – 20 20% -2 21 – 40 40% -1 → z = 54 − 60 = −1.2 → A = 0.3849 ซา้ ย 41 – 60 24% 0 5 61 – 80 10% 1 81 – 100 6% 2 คดิ เปน็ P11.51 ดังนั้น ขอ้ ก. ถกู เพราะมีขาวคนเดยี ว ที่ได้ไมถ่ ึง P11.51 ก. เกนิ 40 คะแนนมี 24 + 10 + 6 = 40% ข. คดิ นายดาํ P33 → A = 0.17 ซา้ ย ข. หา X = a + I D → z = −0.44 = xดํา − 60 5 + (20) ⎝⎛⎜ −40 − 40 + 10 + 12 ⎞ 100 ⎠⎟ จะได้ xดาํ = 57.8 คะแนน ดงั นน้ั ขอ้ ข. ถกู คะแนน= ตอบ ขอ้ 1. 50.5 = 38.9 สมั ประสิทธก์ิ ารแปรผนั = s = 481.44 = 0.56 X 38.9 ดังนนั้ ก. ผดิ และ ข. ผิด ตอบ ข้อ 4. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 435 ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 ¢oŒ Êoºe¢ÒŒ ÁËÒÇi·ÂÒÅa ÁÕ.¤.43 (f) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นขอ้ สอบแบบอตั นยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. ให้ A = {0, ±1, ±2, ..., ±20} และ B = { x ∈ A | |x| เป็นจาํ นวนเต็ม } จํานวนสมาชิกของเซต { C ⊂ B | 0 ∈ C และ 1∉ C } เทา่ กบั เทา่ ใด 2. ถา้ x เปน็ รากของสมการ 23x−1⋅ 6x⋅ 255x−1= 75x แล้ว x มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 3. ถ้า A = ⎡5 4 6⎤ และ B= ⎡C13(A) C23(A)⎤ แล้ว det (B−1) มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด ⎣⎢⎢⎢−12 0 07⎥⎦⎥⎥ ⎢⎣ 3 2 ⎦⎥ 2 4. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลกู พร้อมกนั 1 ครงั้ ความน่าจะเปน็ ท่ผี ลบวกของแตม้ บนหน้าลูกเตา๋ ท้ังสอง ลูกจะเปน็ เลขที่หารดว้ ย 4 ไม่ลงตวั มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด 5. ถา้ ให้สมการที่ใชแ้ ทนความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ทีใ่ ชส้ ําหรบั การประมาณจาํ นวนห้องพกั ทีม่ ีแขกมา พักจรงิ (แทนด้วย y ) จากจาํ นวนห้องพกั ที่มกี ารจองล่วงหนา้ (แทนด้วย x ) คือ y = a + 0.75x โดยที่ x = 40 และ y = 60 ถา้ x = 60 แล้ว จํานวนหอ้ งพักที่มแี ขกมาพกั จริง โดยประมาณเท่ากับเทา่ ใด 6. กําหนดดชั นรี าคาผู้บรโิ ภคของปีต่างๆ โดยมีปี 2535 เป็นปฐี าน ดังน้ี ปี 2535 2536 2537 ดชั นี 100 90 108 ถ้ารายได้ท่เี ปน็ ตัวเงินของชายผู้หนึ่งในปี 2536 เท่ากบั 900 บาท และรายได้ท่แี ทจ้ รงิ ของเขาในปี 2537 เทา่ กับรายได้ทแี่ ทจ้ รงิ ของเขาในปี 2536 เม่อื เทยี บกบั รายได้ในปี 2535 แลว้ รายได้ที่เป็นตัว เงนิ ทเี่ ขาควรจะไดร้ บั ในปี 2537 เท่ากบั เท่าใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ S เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ x2< 8x + 20 ถา้ A = { x ∈ S | x เป็นจํานวนเฉพาะบวก } และ B = { x ∈ S | x เปน็ จํานวนเต็มค่ี } แล้ว (A × B) − (B × A) มจี าํ นวนสมาชิกเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 11 2. 15 3. 21 4. 23 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 436 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.43 2. ให้ S = {0, 1, 2, ..., 7} และ นยิ าม a ∗ b = เศษเหลอื จากการหารผลคณู ab ดว้ ย 6 ทกุ a, b ∈ S พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. x ∗ 1 = x ทกุ x ∈ S ข. {4 ∗ x | x ∈ S} = {0, 2, 4} ขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ป็นจรงิ 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู แต่ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 3. นเิ สธของข้อความ ∃x [P(x) ∧ ~ Q(x)] คอื ข้อความในข้อใดต่อไปน้ี 1. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 2. ∃x [~ P (x) → Q (x)] 3. ∀x [P (x) → Q (x)] 4. ∃x [Q (x) → P (x)] 4. กาํ หนดให้ เหตุ 1) ~ p → ~ q 3) q ∨ t 2) p → (r ∨ s) 4) ~ t ผลในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีทาํ ให้การอ้างเหตผุ ลนี้ สมเหตุสมผล 1. s → r 2. s → ~ r 3. r → ~ s 4. ~ r → s 5. กําหนดให้ r = {(x, y) | y = 9 − x2 } และ s = {(x, y) | y = 1 } x2 − 9 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. Dr ∩ Rs−1 = ∅ ข. Rr ∪ Ds−1 = (0, ∞) ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 6. กาํ หนดให้ f (x) = ax3 + x2 + x + b เมอ่ื a, b เปน็ จํานวนจรงิ และ f (1) = 3 , f′(1) = 0 ถา้ g(x) = f′′(x) แลว้ (gD f)(−1) มคี ่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. −16 2. −4 3. 4 4. 16 7. ถา้ สามเหลีย่ ม ABC มมี ุม BAC = 45° , มุม ACB = 60° และด้าน AC ยาว 20 น้ิว แลว้ พน้ื ทีข่ องสามเหลีย่ ม ABC มีค่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 300 2 ตารางหน่วย 2. 300 3 ตารางหนว่ ย 3+1 3+1 3. 200 2 ตารางหนว่ ย 4. 200 3 ตารางหน่วย 3+1 3+1 8. sec ⎛ 1 (arcsin 3 + arccos 53)⎞⎟⎠ + tan ⎛ 1 (arcsin 4 + arccos 54)⎠⎞⎟ มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ⎝⎜ 2 5 ⎜⎝ 2 5 1. 2 2. 3 3. 1 + 2 4. 2 + 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 437 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.43 9. กาํ หนดใหเ้ ส้นตรง 3x − 4y − 5 = 0 ขนานกบั เส้นตรง x + ky + 5 = 0 เม่อื k เปน็ จํานวนจรงิ ถ้าวงกลมซึง่ มเี สน้ ตรงทั้งสองน้ีเปน็ เสน้ สัมผัส มีจดุ ศนู ย์กลางอยูบ่ นแกน y และผ่านจดุ (a, 1/4) แล้ว a เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 6/2 2. 7 /2 3. 2 4. 3 10. ให้ C เป็นวงกลม x2+ y2 − 2x − 4y − 20 = 0 มีจดุ ศนู ยก์ ลางอย่ทู ี่จุด (h, k) และมีรัศมี r สมการพาราโบลาซึง่ มี (h, k) เป็นจุดยอด และ x = r เป็นสมการไดเรกตรกิ ซ์ คือขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. y2 − 4y + 20x − 16 = 0 2. y2 + 4y − 16x − 12 = 0 3. y2 − 4y + 16x − 12 = 0 4. y2 − 4y + 16x − 14 = 0 11. log3 3 + 3 27 มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ( 3 + 5 3 + 6) 1. 3 − log3(3 1/ 4 + 2) 2. 1 − log3(3 1/2 + 2) 4 4 3. 3 − 1 log3 19 4. 1 − 1 log3 19 4 4 4 4 12. กําหนดให้ A = ⎡ cos 2x − sin x cos x⎤ และ ⎣⎢2 sin 3x cos 3x ⎥⎦ S = { x ∈[0, π] | 2 det (A2) − 3 3 det (A) + det ( 3 I) = 9 เม่ือ I คือเมตริกซเ์ อกลักษณม์ ิติ 2 × 2 } ผลบวกของสมาชกิ ท้งั หมดของ S มีค่าเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 2π 2. 3π 3. 4π 4. 5π 6 6 6 6 13. แม่คา้ คนหนงึ่ ทําขนมขายส่งสองชนิด โดยขายขนมชนดิ แรกราคาชนิ้ ละ 12 บาท ชนิดทสี่ องราคา ชนิ้ ละ 10 บาท ถ้าแมค่ ้าทาํ ขนมชนดิ แรก x ชิ้น และชนดิ ทสี่ อง y ช้นิ โดยมอี สมการข้อจาํ กัดดังน้ี x > 0, y > 0 5x + 6y < 15000 และ 3x + 2y < 6000 แล้ว แม่คา้ จะขายขนมไดเ้ งนิ สูงสุดเมอื่ ขายขนมทงั้ สองชนิดรวมกนั เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 2575 ช้นิ 2. 2625 ช้นิ 3. 2875 ชนิ้ 4. 3205 ชนิ้ 14. ให้ u = i + 3 j , v = 2 i + j ถ้า θ เป็นมมุ ระหวา่ ง (u + v) และ (u − v) แล้ว cos θ มีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 1 4. 2 5 5 5 5 15. กาํ หนดให้ u − v = 3 และ u ⋅ v = −2 จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. u + v เปน็ เวกเตอรห์ น่งึ หน่วย ข. u 2 + v 2 = 3 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 438 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.43 16. ถ้า z1 = cos 12° + i sin 12° และ z2 = − cos 16° − i sin 16° แลว้ ⎛ z1 ⎞15 เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ⎜ z2 ⎟ ⎝ ⎠ 1. −1 + 3 i 2. 1 + 3 i 3. − 3 + i 4. − 3 − i 2 2 2 2 17. ให้ z1, z2, z3, z4 เป็นรากของสมการ z4 + z2 + 2 = 0 4. 29/4 z1 + z2 + z3 + z4 มีค่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 4 3. 25/2 18. ถา้ ลําดบั เลขคณติ a1, a2, a3, ... มพี จน์ที่ 10 และพจนท์ ี่ 15 เป็น −19 และ −34 ตามลําดบั แลว้ 20 เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี ∑ (ai + 2 i) i=1 1. −30 2. −15 3. 10 4. 20 19. กาํ หนดให้ f (x) = x3+ cx2− 9x เมื่อ c เป็นจํานวนจริง ถา้ คา่ วิกฤตคา่ หนึ่งของ f คือ 1 แล้ว f เป็นฟงั กช์ ันลดในเซตใดต่อไปนี้ 1. (−3, 1) 2. (−∞, −3) ∪ (1, ∞) 3. (−1, 4) 4. (−∞, −1) ∪ (4, ∞) 20. ให้ F เป็นปฏยิ านุพันธ์ของ f โดยที่ f (x) = 3x2− 6x + 3 ถ้า F(0) = −1 และ F มีค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ในช่วง [0, 2] ท่ีจุด x = c แล้ว F(c) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 21. กําหนดให้ f เป็นฟงั กช์ ันท่มี อี นพุ นั ธ์ และ g(x) = (x+1) f (x) 4. 5 ถ้า ∫ g(x) dx = x2− x + c แลว้ f′(1) มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 2 1. 3 2. 5 3. 3 4 42 22. ในโรงเรยี นแหง่ หน่งึ มนี ักกีฬาฟุตบอลและนกั กฬี าบาสเกตบอลรวมกนั 30 คน เปน็ นกั กฬี า ฟตุ บอล 17 คน และนกั กีฬาบาสเกตบอล 18 คน ถา้ จะเลือกประธานกฬี าของโรงเรยี น 1 คน และ รองประธานกฬี า 1 คน จากนกั กฬี ากลมุ่ นี้ โดยทป่ี ระธานตอ้ งเป็นทง้ั นักกีฬาฟตุ บอลและนักกฬี า บาสเกตบอล แล้วจาํ นวนวธิ ีการเลือกดงั กล่าวมที ัง้ หมดเทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 125 2. 130 3. 145 4. 150 23. ถา้ ต้องการเขียนจาํ นวนท่ีมี 7 หลกั โดยใช้ตัวเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และให้มเี ลขโดด 3, 4, 5 อยตู่ ดิ กนั ตรงกลางระหว่างเลขโดดคู่และเลขโดดคี่ โดยแต่ละจํานวนไม่มีเลขซาํ้ แลว้ จะเขยี นได้ ท้ังหมดเปน็ จํานวนเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 8 2. 16 3. 24 4. 48 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 439 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.43 24. โรงเรยี นแหง่ หนึ่งมนี ักเรยี นชนั้ ม.6 จาํ นวน 300 คน สมชาย สมศักดิ์และสมศรี เปน็ นกั เรยี น ชัน้ ม.6 ของโรงเรยี นนี้ โดยท่ี เกรดเฉลี่ยของสมชายอยใู่ นตําแหน่งเดไซล์ที่ 8.15 เกรดเฉลี่ยของสมศักดิ์คดิ เป็นค่ามาตรฐานเทา่ กบั 1 นักเรยี นชน้ั ม.6 ท่ีไดเ้ กรดเฉล่ยี มากกว่าสมศรีมจี ํานวน 50 คน ถา้ สมมตวิ า่ เกรดเฉล่ียของนกั เรยี นช้นั ม.6 มีการแจกแจงปกติ ข้อใดต่อไปนี้เป็นรายชือ่ นกั เรยี น เรยี งลาํ ดับจากคนทไี่ ดเ้ กรดเฉล่ียมากทส่ี ุดไปน้อยท่ีสุด (กาํ หนดพืน้ ที่ใต้โคง้ ปกติ z=0 ถงึ z=1 มคี า่ เท่ากับ 0.3413) 1. สมชาย สมศักด์ิ สมศรี 2. สมศกั ด์ิ สมศรี สมชาย 3. สมศรี สมศักด์ิ สมชาย 4. สมศักด์ิ สมชาย สมศรี ตอนที่ 3 ขอ้ 25 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 4 คะแนน 25. ให้ f, g : R > R กําหนดโดย f (x) = x x +1 และ g(x) = จาํ นวนเตม็ ซง่ึ น้อยทส่ี ุด ที่มากกวา่ หรอื เท่ากับ x (เชน่ g(1.01) = 2 , g(−6) = −6 , g(−7.99) = −7 เปน็ ต้น) ถ้า F(x) = (f D g)(x) และ G(x) = (gD f)(x) แลว้ ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ป็นเทจ็ 1. DF = (−∞, ∞) 2. RF = (0, 1) 3. G(x) = 1 เมื่อ x > 0 4. G(x) = 0 เมอื่ x < 0 ⎧x2, x > 1 26. ถา้ f (x) = ⎨⎪x − 1 , 0 < x < 1 ⎩⎪0 , x < 0 แลว้ xl→im0− f (x2) + xl→im1+ ⎡ f (x − 1)⎤ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ⎢ ⎥ ⎣ x+2 ⎦ 1. − 4 2. −1 3. 0 4. 1 3 3 27. กลอ่ งใบหนง่ึ มีลกู หินสีขาว 5 ลกู สเี ขยี ว 3 ลกู สนี ้ําเงิน 2 ลูก ถ้าหยบิ ลกู หนิ อยา่ งสุ่มคร้ังละ 1 ลูก โดยไม่ใสค่ ืน 3 ครั้ง แล้วความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยิบได้ลูกหินสีเดียวกนั อย่างนอ้ ย 2 ลกู มีค่าเทา่ กับ ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 23 3. 1 4. 3 24 24 4 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 440 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.43 28. ข้อมลู ชุดหนึง่ ประกอบด้วย x1, x2, x3, ..., x20 โดยมสี มบัติดังนี้ ,20 20 มีคา่ นอ้ ยท่สี ุด เม่ือ a = 5 ∑ (xi − 5)2 = 500 ∑|xi − a| i=1 i=1 และ 20 มคี ่านอ้ ยท่ีสุด เม่อื b=8 ∑ (xi − b)2 i=1 ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู 1. ข้อมลู ชุดนี้มีค่าเฉลย่ี เลขคณิตนอ้ ยกวา่ ค่ามธั ยฐาน 2. ผลรวมของข้อมลู ชุดนท้ี ง้ั หมดเท่ากบั 100 3. สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ น้ีมคี ่าเท่ากบั 5 4. สัมประสิทธ์ิของการแปรผันของขอ้ มูลชุดน้ีมคี ่าเทา่ กบั 50% เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 128 (2) 0.25 (3) 0.1 (4) 0.75 (5) 75 (6) 1080 ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 1 (7) 4 (8) 3 (9) 4 (10) 3 (11) 1 (12) 4 (13) 2 (14) 1 (15) 2 (16) 1 (17) 4 (18) 3 (19) 1 (20) 3 (21) 1 (22) 3 (23) 4 (24) 2 ตอนที่ 3 (25) 2 (26) 1 (27) 4 (28) 4 เฉลยวธิ คี ิด ตอนท่ี 1 (5) Y = a + 0.75X ด้วย (1) B = {0, ±1, ±4, ±9, ±16} → n(B) = 9 → 60 = a + 0.75(40) → a = 30 จํานวนแบบของ C ⊂ B โดย 0 ∈ C และ 1 ∉ C ∴ Yˆ = 30 + 0.75 X → ถา้ x = 60 จะได้ มีตัวอสิ ระใหเ้ ลอื ก 7 ตวั ตอบ 27 = 128 Yˆ = 30 + 0.75(60) = 75 หอ้ ง ตอบ ⎛ 75 ⎞x ⎛ 25 ⎞x (2) 23x − 1 ⋅ 255x − 1 = ⎜⎝ 6 ⎟⎠ = ⎝⎜ 2 ⎠⎟ (6) ปี 2536 ได้ 900 บาท คดิ เปน็ รายได้แทจ้ รงิ 900 × 100 = 1,000 บาท → 24x − 1 ⋅ 254x − 1 = 1 → (50)4x − 1 = 1 90 ∴ ปี 2537 มีรายไดแ้ ทจ้ ริง 1,000 บาทดว้ ย → 4x − 1 = 0 → x = 0.25 ตอบ (3) C13(A) = −2 0 = −4, C23(A) = − 5 4 = −6 คดิ เปน็ ตวั เงิน 1,000 × 108 = 1,080 บาท ตอบ 12 1 2 100 ตอนที่ 2 (ตาํ แหนง่ C23 อย่าลืมใส่ลบ) (1) S ; x2 − 8x − 20 < 0 → (x − 10)(x + 2) < 0 ∴B = ⎡−4 −6⎤ นน่ั คอื S = [−2, 10] ⎣⎢ 3 2 ⎦⎥ และ det(B−1) = 1 = 1 = 0.1 ตอบ A = {2, 3, 5, 7} B = {−1, 1, 3, 5, 7, 9} det(B) −8 + 18 ∴ n(A × B) = 4 × 6 = 24 (4) นบั จาํ นวนวธิ ที ีผ่ ลรวมหารดว้ ย 4 ลงตวั กอ่ น คือ ผลรวมเปน็ 4, 8, หรอื 12 จากนั้นหาวา่ (A × B) กบั (B × A) มตี ัวซ้ํากนั กตี่ ัว ได้แก่ (1, 3) (3, 1) (2, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 5) เนอ่ื งจาก A ∩ B = {3, 5, 7} ดังนน้ั ใน A × B กบั (5, 3) (4, 4) (6, 6) มีอยู่ 9 วธิ ี B × A จะมีตวั ซา้ํ กนั 3 × 3 = 9 ตัว [ได้แก่ (3, 3) (3, 5) (3, 7) (5, 3) (5, 5) (5, 7) ตอบ 1 − 9 = 0.75 (7, 3) (7, 5) และ (7, 7)] 6×6 ตอบ 24 − 9 = 15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 441 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.43 (2) ก. ผดิ เพราะวา่ 6 ∗ 1 = 0, 7 ∗ 1 = 1 = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = 3 + 1 ข. ถูก เพราะ 4 ∗ 0 = 0, 4 ∗ 1 = 4, 4 ∗ 2 = 2 22 4 ∗ 3 = 0, 4 ∗ 4 = 4, 4 ∗ 5 = 2 ฉะนนั้ กฎของไซนจ์ ะเปน็ ดงั นี้ 4 ∗ 6 = 0, 4 ∗ 7 = 4 sin 60° = sin 75° → AB = 20 ( 3 /2) AB 20 ⎛ 3 + 1⎞ ตอบ ก. ผดิ ข. ถกู ⎜⎝⎜ 2 2 ⎟⎠⎟ (3) ~ ∃x [P(x) ∧ ~ Q(x)] ≡ ∀x [~ P(x) ∨ Q(x)] จดั รูปได้ AB = 20 6 ≡ ∀x [P(x) → Q(x)] ตอบ 3+1 (4) จากเหตุ 3 คือ q ∨ t กับเหตุ 4 คอื ~ t สรุป ไดว้ า่ q ...จากนนั้ นาํ ไปรวมกับเหตุ 1 คือ ~ p → ~ q พนื้ ท่ี Δ = 1 (AB)(AC)(sin A) 2 ได้เปน็ p ...สุดทา้ ยไปรวมกับเหตุ 2 คอื p → (r ∨ s) = 1 ⎛ 20 6 ⎞ (20) ⎛ 1⎞ = 200 3 ตอบ 2 ⎝⎜⎜ 3 +1 ⎠⎟⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 3+1 ได้ผลเปน็ r ∨ s ≡ ~ r → s ตอบ (8) จากการสงั เกต จะพบวา่ (5) ดู r กอ่ น; Dr คดิ จาก 9 − x2 > 0 → x2 − 9 < 0 arcsin , + arccos , = 90° เสมอ เมอ่ื 0 < , < 1 ดงั นนั้ Dr = [−3, 3] ส่วน Rr คิดจาก x2 > 0 เสมอ → 9 − x2 < 9 เชน่ arcsin 3 + arccos 3 = 90°, B 55 54 arcsin 4 + arccos 4 = 90° ดังรปู ∴ 0 < 9 − x2 < 3 ดังนน้ั Rr = [0, 3] 55 ต่อมา ดู S บ้าง; A 3 [ถา้ ไมท่ ราบ จะเปลย่ี นเปน็ arctan แล้วคาํ นวณกไ็ ด]้ RS−1 คอื DS คิดจาก x2 − 9 > 0 (ห้ามเปน็ 0) ดังนนั้ RS−1 = (−∞, −3) ∪ (3, ∞) ∴ sec ⎛ 1 × 90° ⎞ + tan ⎛ 1 × 90° ⎞ DS−1 คือ RS คดิ จาก x2 − 9 > 0 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ → x2 − 9 > 0 → 1 > 0 = sec 45° + tan 45° = 2 + 1 ตอบ x2 − 9 (9) เสน้ ตรง 3x − 4y − 5 = 0 ขนานกบั x + ky + 5 = 0 ... นาํ 3 คณู สมการหลงั จะได้ ดังนนั้ DS−1 = (0, ∞) 3x + 3ky + 15 = 0 → นน่ั คอื 3x − 4y + 15 = 0 ก.∴ Dr ∩ RS−1 = ∅ อยา่ งแนน่ อน (ให้ 3k = −4 ความชนั จึงเท่ากนั ) ข. Rr ∪ DS−1 = [0, ∞) ตอบ ข้อ ก. ถกู ข. ผดิ (6) f(1) = 3 → a + 1 + 1 + b = 3 ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรง 15 − (−5) = 4 หนว่ ย 32 + 42 f′(1) = 0 → 3a + 2 + 1 = 0 → จะหาวงกลมรัศมี 2 หนว่ ย ดงั นน้ั a = −1 และ b = 2 ซง่ึ อยใู่ นเสน้ คขู่ นานน้ี แสดงวา่ ∴ f(x) = −x3 + x2 + x + 2 จุดศนู ยก์ ลางอยตู่ รงกลางเปะ๊ L2 เสน้ แรกตดั แกน y ท่ี (0, − 5) , L1 f′(x) = −3x2 + 2x + 1 และ g(x) = f′′(x) = −6x + 2 4 → (gof)(−1) = g(f(−1)) = g(3) = −16 ตอบ เส้นหลงั ตดั แกน y ท่ี (0, 15) 4 (7) A ดงั นน้ั จดุ C มพี กิ ัด (0, 5) [จดุ ก่ึงกลาง] 20 นวิ้ 45° 4 C 60° → สมการวงกลม คอื x2 + ⎛ y − 5 ⎞2 = 22 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ B ผ่านจุด (a, 1) ⎛1 5 ⎞2 จะได้ ABˆC = 180° − 45° − 60° = 75° 4 → a2 + ⎝⎜ 4 − 4 ⎠⎟ = 22 หาความยาว AB ไดจ้ ากกฎของไซน์ → a2 = 4 − 1 = 3 → a = 3 ตอบ → sin C = sin B ... ซง่ึ sin B = sin 75° AB AC Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 442 ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 (10) จดั รปู สมการวงกลม (15) u − v = 3 → u 2 + v 2 − 2u ⋅ v = 9 (x2 − 2x + 1) + (y2 − 4y + 4) = 20 + 1 + 4 แทนค่า u ⋅ v = −2 จะได้ u 2 + v 2 = 5 → (x − 1)2 + (y − 2)2 = 52 ดังนนั้ ข. ผดิ ∴ (h, k) = (1, 2), r = 5 → หาพาราโบลาทจี่ ดุ ยอดอยทู่ ่ี ต่อมา หาขนาดของ u + v บ้าง (1, 2) และมีไดเรกตรกิ ซเ์ ปน็ แสดงวา่ เปดิ x =5→ u 2 + v 2 + 2u ⋅ v = 5 + 2(−2) = 1 ซา้ ยดงั รูป และ c = −4 จาก (y − k)2 = 4c(x − h) 2 แสดงว่า ก. ถกู ตอบ (16) z1 = 1∠12°, z2 = −1∠16° จะได้ (y − 2)2 = −16(x − 1) 15 ⎞15 ตอบ→ y2 − 4y + 4 = −16x + 16 ∴ ⎛ z1 ⎟ = ⎛ − 1 ∠(12°−16°)⎟⎞⎠15 = (−1 ∠(− 4°))15 ⎜ z2 ⎠ ⎝⎜ 1 → y2 − 4y + 16x − 12 = 0 ⎝ (11) พิจารณา = −1 ∠(−60°) = − cos(−60°) − i sin(−60°) 3 + 3 27 = 3 + 3 (33/ 4) = 3 (1 + 33/ 4) = − cos 60° + i sin 60° = −1 + 3 i ตอบ 2 และ 3 + 5 3 + 6 = ( 3 + 2)( 3 + 3) (17) z4 + z2 + 2 = 0 ใช้สตู รหาคาํ ตอบได้เปน็ = (31/ 4 + 2)(31/ 4 + 3) = (31/ 4 + 2)(1 + 33/ 4)(31/ 4) z2 = −1 ± 1 − 8 = − 1 ± 7 i 2 22 ดังนนั้ จากโจทย์ ⎛ 3 (1 + 33/ 4) ⎞ = log3 ⎜ ⎟ 7 ⎞2 ⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎞2 ⎛ ⎝ (31/ 4 + 2)(1 + 33 / 4)(31/ 4) ⎠ ดังนน้ั z2 = ⎜⎝ 2 ⎠⎟ +⎜ ⎟ = 2 ⎠ ⎛ 33 /4 ⎞ ⎝ 2 ⎜⎜⎝ 31/ 4 ⎟⎟⎠ = log3 + 2 = 3 − log3(31/ 4 + 2) ตอบ → z = 21/4 [เทา่ กนั ทง้ั สค่ี าํ ตอบเสมอ] 4 ตอบ 21/ 4 + 21/ 4 + 21/ 4 + 21/ 4 = 4 ⋅ 21/ 4 = 29/ 4 (12) det(A) = cos 2x cos 3x + 2 sin x cos x sin 3x (18) −19 = a1 + 9d และ −34 = a1 + 14d ซงึ่ 2 sin x cos x = sin 2x จะได้ d = −3 กบั a1 = 8 ∴ รูปทวั่ ไป an = 8 + (n − 1)(−3) = 11 − 3n ดังนนั้ det(A) = cos(3x − 2x) = cos x จาก 2 A2 − 3 3 A + 3I = 9 → 2 cos2 x − 3 3 cos x + 3 = 9 โจทย์ถาม 20 20 (อย่าลมื )3I = ( 3)2 I = 3 ∑ (ai + 2i) = ∑ (11 − 3i + 2i) i=1 i=1 → 2 cos2 x − 3 3 cos x − 6 = 0 → (2 cos x + 3)(cos x − 2 3) = 0 20 20(21) 2 ∑ (11 i=1 ตอบ= − i) = − = 220 10 (19) ค่าวกิ ฤตเปน็ 1 แสดงวา่ f′(1) = 0 → cos x = − 3 เทา่ นน้ั ∴ x = 5π ตอบ → 3(1)2 + 2c(1) − 9 = 0 → c = 3 26 ดงั นนั้ f′(x) = 3x2 + 6x − 9 (13) P = 12x + 10y หาชว่ งทเี่ ปน็ ฟงั กช์ นั ลด คอื 3x2 + 6x − 9 < 0 (0, 2500) → P = 25,000 → 3(x + 3)(x − 1) < 0 ตอบ ชว่ งเปดิ (−3, 1) (2000, 0) → P = 24,000 2500 (750,1875) (20) F(x) = x3 − 3x2 + 3x + C → F(0) = −1 (750, 1875) → P = 27,750 แสดงว่า C = −1 ...หาคา่ สงู สดุ สัมบรู ณ์ เปน็ Pmax ดังนัน้ ตอบ 750 + 1,875 = 2,625 ชนิ้ O 2000 F′(x) = f(x) = 3x2 − 6x + 3 = 0 → x = 1, 1 (14) u + v = 3 i + 4 j มี 1 ซาํ้ สองคร้ังแสดงว่าเปน็ และ u − v = − i + 2 j จดุ เปลยี่ นความเว้าเทา่ นัน้ 1 หามมุ ระหวา่ งกนั ได้จากการดอท ไม่ใช่จดุ สูงสดุ ตา่ํ สุด O -1 → (3)(−1) + (4)(2) = (5)( 5) cos θ → จงึ เชค็ ทป่ี ลายชว่ ง 12 F(0) = −1, F(2) = 1 ∴ cos θ = 5 = 1 ตอบ ดงั นนั้ ตอบ ค่าสงู สุดคอื 1 55 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 443 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.43 (21) g(x) = d (x2 − x + c) = 2x − 1 (26) lim f(x2) = lim f(x2) = lim (x2 − 1) = −1 dx x → 0− x2 → 0+ x2 → 0+ และ และ∴ f(x) = 2x − 1 ⎛ f(x − 1)⎞ ⎛ f(x − 1)⎞ x+1 ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ ⎝⎜ x + 2 ⎟⎠ f′(x) = (x + 1)(2)−(2x − 1)(1) lim = lim (x + 1)2 x → 1+ x − 1→ 0+ → f′(1) = (2)(2) − (1)(1) = 3 ตอบ = lim (x − 1) − 1 = − 1 ดังนน้ั ตอบ − 4 22 4 x→1 x + 2 3 3 x −1→0 (22) (27) คิดจาก วธิ ีทั้งหมด - หยบิ ไดส้ ีไม่ซา้ํ เลย x = 17 + 18 − 30 = 5 คน = 1 − ⎜⎝⎛51⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛ 31 ⎠⎞⎟ ⎜⎝⎛21⎠⎟⎞ 3 ! = 3 x ตอบ ฟุต17 บาส18 10 × 9 × 8 4 (28) Σ xi − a น้อยสดุ แสดงวา่ a = Med = 5 ∴ เลอื กประธานได้ 5 แบบ Σ(xi − b)2 น้อยสดุ แสดงวา่ b = X = 8 เลือกรองประธานจากคนอน่ื ทเี่ หลือ ได้ 29 แบบ ดังนนั้ ข้อ 1. ผดิ ตอบ 5 × 29 = 145 ขอ้ 2. Σx = NX = (20)(8) = 160 (ผิด) (23) , , 3 4 5 Δ Δ ตอ่ มา จาก Σ(xi − 5)2 = 500 สลับภายในแต่ละกลมุ่ ได้ 2!, 3!, 2! ตามลาํ ดบั → Σx2 − 10Σx + Σ25 = 500 และยังสลบั ระหวา่ งกลุม่ เลขคู่กับเลขคี่ได้ 2 กรณี → Σx2 − 10(160) + (500) = 500 จงึ ได้ (2! 3! 2!) × 2 = 48 จํานวน ตอบ (24) แปลงทุกคนเปน็ เดไซล์ → สมชาย D8.15 จะได้ Σx2 = 1,600 สมศกั ด์ิ z = 1 → A = 0.3413 ทางขวา → D8.413 s = Σx2 − X2 = 1,600 − 82 สมศรี มีคนนอ้ ยกว่าสมศรีอยู่ 250 × 100 N 20 300 = 83.33% → D8.333 = 80 − 64 = 4 → ขอ้ 3. ผดิ ∴ ข้อ 4. สมั ประสิทธิ์การแปรผนั = s X ดังนน้ั ตอบ สมศักดิ์ สมศรี สมชาย = 4 = 0.5 (หรือ 50%) ตอบ ขอ้ 4. ตอนที่ 3 8 (25) พจิ ารณา เฉพาะ f(x) กับ g(x) กอ่ น Df = R เพราะวา่ x เปน็ อะไรก็ได้ ( x ≠ −1 อยู่แลว้ ) Rf = (−1, 1) จากการลองแทนคา่ ดจู ะพบวา่ x x +1 นั้นเปน็ เศษส่วนทอี่ ยรู่ ะหว่าง -1 กับ 1 เสมอ Dg = R เพราะวา่ x เปน็ อะไรกไ็ ด้ (g เปน็ ฟงั ก์ชนั “ปัดขนึ้ ”) Rg = I เพราะไม่วา่ x เป็นอะไร g(x) จะเปน็ จํานวนเตม็ เสมอ 1. Dfog = R ถูก เพราะไมว่ ่า x เปน็ อะไรก็หา fog ได้ 2. Rfog = (0, 1) ผิด ต้องได้ (−1, 1) ตอบ ขอ้ 2. 3. (gof)(x) = 1 เมอ่ื x > 0 ถกู เพราะ f(x) = ถกู ปดั ขนึ้ เป็น 1 จริง +1 4. (gof)(x) = 0 เมือ่ x < 0 ถูก เพราะ f(x) = − ถกู ปัดขนึ้ เปน็ 0 จรงิ +1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 444 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.43 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa µ.¤.43 (g) ตอนที่ 1 ขอ้ 1 – 28 เป็นขอ้ สอบแบบปรนัย ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A, B, C เปน็ เซต โดยท่ี A ∩ B ⊂ B ∩ C ถา้ n(A) = 25, n(C) = 23, n(B ∩ C) = 7, n(A ∩ C) = 10 และ n(A ∪ B ∪ C) = 49 แลว้ n(B) เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 11 2. 14 3. 15 4. 18 2. กําหนดให้ A = { x | x − 4 > 5 } B = {x | x+3 − x < 1} ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู 2. (A ∩ B) ' = (9, ∞) 1. A ∪ B = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 4. A − B = (−∞, −1) 3. B − A = [1, 9) 3. ให้ p, q, r, s และ t เปน็ ประพจน์ ถ้าประพจน์ (p ∧ q) →(r ∨ s) มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ แลว้ ประพจน์ในข้อใดต่อไปน้ีมีค่าความจรงิ เป็นเท็จ 1. (p ∧ r) ↔ (s ∧ t) 2. (p ∧ s) → (q ∨ t) 3. (p ∧ s) ∨ (r ∧ t) 4. (r → p) ∧ (s → t) 4. กาํ หนดให้เอกภพสมั พทั ธ์คอื U = { 2n | n ∈ I+} เมือ่ I+ เปน็ เซตของจํานวนเตม็ บวก พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ∃x [22x+3 − 18(2x) + 4 = 0] มีคา่ ความจริงเป็นจริง ข. ∃x [log2(x + 2) + log2(x − 1) = 2] มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 5. ให้ f (x) = (x + 1)2 และ g(x) = x + 1 Dfog ∩ R 'gof คือเซตในข้อใดต่อไปน้ี 1. [0, 1) 2. [0, 2) 3. [1, ∞) 4. [2, ∞) 6. ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b} และให้ S = { f | f : A > B เปน็ ฟงั กช์ ันทั่วถึง } จาํ นวนสมาชกิ ของเซต S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 22 2. 25 3. 27 4. 30 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 445 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.43 7. ถา้ (f g)(x) = 3x − 14 และ f (1 x + 2) = x − 2 แลว้ 3 (g−1 f)(x) เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 3x − 4 2. 3x − 6 3. 3x − 8 4. 3x − 10 8. ถ้า sin x = 3 และ tan x = − 3 แล้ว 54 det ⎜⎛2 ⎡cosec x sec x⎤ ⎞ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ⎝ ⎣⎢ 1 ⎟ cos x ⎦⎥ ⎠ 1. − 1 2. − 1 3. − 2 4. −1 6 3 3 9. ถ้า arctan x = arctan 1 − 2 arctan 1 แล้ว 42 sin(180° + arctan x) มีค่าเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 13 2. 16 3. −13 4. −16 5 17 5 17 5 17 5 17 10. กาํ หนดให้ P เป็นพาราโบลา y = x2 และ L เป็นเส้นตรง x − y − 2 = 0 ระยะทางทสี่ ้ันทีส่ ุดระหว่าง P และ L มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 7 2 หนว่ ย 2. 7 หน่วย 3. 7 2 หนว่ ย 4. 7 หนว่ ย 8 8 16 16 11. กําหนดวงกลม C มีจุดศูนยก์ ลางที่ (−1, 2) และสัมผสั แกน x ท่ีจดุ P เสน้ ตรง L ผ่านจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม C และมีความชันเป็น 1 ถา้ Q เป็นจุดตดั ของ C และ L ทอี่ ยใู่ นควอดรนั ตท์ ี่ 2 แล้ว กาํ ลงั สองของระยะ PQ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 6 − 4 2 หนว่ ย 2. 7 − 4 2 หน่วย 3. 8 − 4 2 หน่วย 4. 9 − 4 2 หนว่ ย 12. กําหนดให้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ xlog3 x 3 = 9x และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ log3 x x = x 3 ถ้า C = { ab | a ∈ A และ b ∈ B } แล้วเซตในข้อใดต่อไปน้เี ป็นสับเซตของ C 1. { 3 − 1/ 3, 32} 2. { 3 − 1/ 3, 3 4/ 3} 3. { 34/ 3, 32} 4. { 3 − 1/ 3, 32/ 3} 13. กําหนดให้เสน้ โคง้ y = 22x − 2x+2− 45 ตัดแกน x ทจี่ ุด A ถา้ เส้นตรงท่ีผา่ นจดุ A และจุด B(0, b) ขนานกับเสน้ ตรง y = (log32) x − 4 แลว้ b มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 1 3. −1 4. −2 14. ให้ A, B และ C เป็นเมตรกิ ซ์มติ ิ 3 × 3 ถา้ det (A) = −3 และ AtB − 2AtCt = −3A−1 แลว้ det (2C − Bt) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −3 2. −1 3. 1 4. 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 446 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.43 15. บริษทั แห่งหน่ึงผลติ เก้าอ้ีโยกมกี าํ ไร 50 บาท/ตวั และผลิตเกา้ อน้ี ัง่ ธรรมดามีกําไร 30 บาท/ตวั ถา้ บรษิ ทั ผลิตเก้าอโี้ ยก x ตัว/วัน และเกา้ อ้นี ่ังธรรมดา y ตัว/วัน แลว้ จะมีเง่อื นไขการผลิตดงั น้ี 6x + 3y < 900 และ 3x + 4y < 600 แลว้ บริษทั จะมีกาํ ไรมากท่สี ุดเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 4, 500 บาท/วนั 2. 7, 500 บาท/วัน 3. 7, 800 บาท/วัน 4. 9, 500 บาท/วัน 16. ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ และ θ เปน็ มุมระหวา่ ง u และ v ถ้า u + v ต้ังฉากกบั u − 2v และ u + 2v ตง้ั ฉากกบั 2u − v และ u = 2 แลว้ cos θ มคี า่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. −1 2. −1 3. −1 4. −1 10 6 4 2 17. กาํ หนดให้ z1 และ z2 เป็นจํานวนเชิงซอ้ นท่ี 2z1z2 = 1 + z2 และ z1 = (cos π + i sin π )6 ข้อใดตอ่ ไปน้ีคอื อนิ เวอร์สการคูณของ z2 18 18 1. 1 − 3 i 2. 1 + 3 i 3. 3 i 4. − 3 i 22 22 18. ถ้า z เป็นจํานวนเชงิ ซ้อน ซ่ึง z = 3 − 4i และ z − 1 = 30 แลว้ ส่วนจินตภาพของ z อยใู่ นเซตใดต่อไปนี้ 1. {−4, 4} 2. {− 21, 21} 3. {−3, 3} 4. {− 24, 24} 19. ให้ f (x) = x3 − x2 + g(x) และ f′(2) = f (2) = 2 แล้ว ⎝⎜⎛ g ⎟⎞⎠′ (2) มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี f 1. −2 2. 1/2 3. 0 4. 2 20. ให้ 5, x, 20, ... เปน็ ลําดับเลขคณิตที่มผี ลบวกของ 12 พจน์แรกเปน็ a และ 5, y, 20, ... เปน็ ลําดบั เรขาคณติ ทมี่ ีพจนท์ ี่ 6 เป็น b โดยท่ี y < 0 แล้ว a + b มีคา่ เทา่ ใด 1. 205 2. 395 3. 435 4. 845 21. ถ้า 10 = −8 , 10 = 4 และ 10 76 แลว้ 10 มีคา่ เท่ากบั ข้อใด ∑ xi ∑ yi ∑ (5 − xi)(yi + 2) = ∑ (xiyi) i=1 i=1 i=1 i=1 ต่อไปนี้ 1. −60 2. −30 3. 30 4. 60 ⎧f (x) , x > 1 22. กําหนดให้ f (x) = ax3 − 4x2 + 1 เมือ่ a เปน็ คา่ คงตัว และ g(x) = ⎨⎪f′(x) , x < 1 ⎪⎩0 , x = 1 ถ้า g(x) มีลิมติ ที่ 1 แลว้ a เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 5 3. 8 4. 3 23 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 447 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.43 23. ถ้าเส้นโคง้ y = f (x) ผา่ นจุด (0, 1) และ (4, c) เมอื่ c เป็นจาํ นวนจริง และความชันของเส้น โค้งนี้ทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ มคี า่ เทา่ กบั x − 1 แลว้ c มีคา่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 4 2. 7 3. 8 4. 9 33 24. ในการจัดคน 6 คน ซ่งึ มนี าย ก และนาย ข รวมอยดู่ ้วย เข้าพกั ในห้อง 3 ห้อง โดยทห่ี อ้ งทห่ี น่ึง พักได้ 3 คน หอ้ งทส่ี องพกั ได้ 2 คน และหอ้ งท่สี ามพกั ได้ 1 คน ความนา่ จะเปน็ ท่นี าย ก และนาย ข จะไดพ้ กั ห้องเดียวกนั เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 3 3. 4 4. 5 15 15 15 15 25. กล่องใบหน่งึ มบี ัตรอยู่ 5 ใบ หมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 หยิบบตั ร 2 ใบโดยหยบิ ทีละใบแบบไมค่ ืนที่ ให้ x เป็นหมายเลขบตั รใบแรกที่หยบิ ได้ และ y เปน็ หมายเลขบัตรใบทส่ี องทห่ี ยิบได้ ความนา่ จะ เปน็ ท่ีจะได้ x < y และ 4 < xy < 12 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5 55 5 26. คา่ แรงงานตอ่ วนั ของคนงานกลุม่ หนึง่ จาํ นวน 8 คน เป็น 150, 152, 158, 168, 170, 177, 180, 185 บาท ถา้ สมุ่ เลือกคนงานจากกล่มุ นี้มา 2 คนแลว้ ความน่าจะเปน็ ท่จี ะไดค้ นงานอย่างน้อยหนึ่งคน ทมี่ ีค่าแรงงานต่อวันตํา่ กวา่ ค่าแรงงานเฉลี่ยของคนงานกลมุ่ นี้ เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 5 3. 9 4. 11 14 14 14 14 27. ถา้ y = mx + c เปน็ ความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชันเพื่อการทํานายรายจา่ ยหมวดบริการลกู ค้า ( y ) จากจํานวนพนกั งานของโรงแรม ( x ) ในจังหวัดหน่งึ และจาํ นวนข้อมูลทัง้ หมดทน่ี าํ มาสร้าง ความสมั พนั ธ์เท่ากับ 5 โดยมสี มการปกติดงั นี้ และ28 = 5c + 10m ___(1) 67 = 10c + 30m ___(2) พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถา้ x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9 ข. x = 5.6 ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 28. กาํ หนดขอ้ มลู สองชุดดงั น้ี ชดุ ที่หนงึ่ คอื 5, 8, 6, 7, 9 ชุดทส่ี อง คือ x1, x2, x3, x4, x5 ถา้ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของขอ้ มูลชดุ ที่หนึง่ เปน็ 2 เทา่ ของขอ้ มลู ชดุ ท่ีสอง และความแปรปรวน ของข้อมูลชดุ ท่ีสองเทา่ กับ 9 แล้ว คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลชดุ ท่สี องเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 21 2 2. 42 2 3. 18 4. 16 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 448 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.43 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. ถา้ A = {∅, 0, 1, {0, 1}} และ B = {∅, {∅}, {0, {0, 1}}, {0, {1}}} แล้ว เซต P (A) − B มจี ํานวนสมาชกิ เท่าใด 2. ให้ x, y, z เป็นจาํ นวนเต็มบวกที่มีค่าเรียงติดกนั จากนอ้ ยไปมาก ถา้ y เป็นจาํ นวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยทสี่ ุดทท่ี ําให้ 3 x + y + z เปน็ จํานวนเตม็ บวก แลว้ y มีคา่ เท่าใด 3. ถ้า A= ⎡3 2⎤ แลว้ det (4 (A−1)) + det (4 (A−1)2) + det (4 (A−1)3) + ... + det (4 (A−1)6) มคี า่ ⎣⎢2 2⎥⎦ เทา่ ใด 4. กําหนดจดุ A (3แ,ล−้ว2)˜O, BC(9⋅,˜O4)D และ O (0, 0) ถ้าแบ่งส่วนของเสน้ ตรง AB เป็น 3 ส่วนเท่าๆ กนั ทจ่ี ดุ C และ D มคี า่ เท่าใด 5. ให้ f (x) = x2− c โดยที่ c เป็นค่าคงตวั ซึ่ง c > 4 ถา้ พื้นท่ที ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง y = f (x) จาก x = −2 ถึง x = 1 เทา่ กบั 24 ตารางหนว่ ย แลว้ c มีคา่ เทา่ ใด 6. จาํ นวนเลขสามหลักซ่ึงหารด้วย 5 ลงตัว และตวั เลขหลักสิบแตกตา่ งจากตวั เลขหลักรอ้ ย มีจํานวน ท้ังหมดเทา่ ใด 7. อายุของคนงานกลมุ่ หน่ึงมีการแจกแจงปกตโิ ดยมีคา่ เฉลีย่ เลขคณติ เป็น x และความแปรปรวน เป็น s2 สมหวงั มีอายุ x − 0.51s ปี จาํ นวนคนในกลมุ่ นที้ ีม่ ีอายุนอ้ ยกว่าสมหวังมีจํานวนเปน็ ร้อยละ เท่าใด (พ้นื ที่ใตโ้ ค้งปกตริ ะหว่าง z=0 และ z=0.51 เท่ากบั 0.195) 8. ราคาและปริมาณสินค้า 3 ชนดิ ทีร่ ้านคา้ แหง่ หนงึ่ จําหน่ายในปี พ.ศ. 2541 และปี พ.ศ. 2542 เป็นดงั ตาราง ชนดิ สนิ คา้ ปรมิ าณ (หนว่ ย) ราคาตอ่ หนว่ ย (บาท) 2541 2542 2541 2542 หม้อหุงขา้ ว 15 20 500 500 กระตกิ น้าํ รอ้ น 10 8 300 450 พัดลม 80 100 400 x ถา้ ดัชนรี าคาถ่วงน้ําหนักแบบใชร้ าคารวมโดยวธิ ีของพาเช่อ ของปี พ.ศ. 2542 เม่อื ใช้ปี พ.ศ. 2541 เปน็ ปฐี าน เทา่ กบั 126 แลว้ ราคาของพดั ลมในปี พ.ศ. 2542 เป็นเทา่ ใด (บาท) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 449 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.43 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 4 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 1 (6) 4 (7) 2 (8) 2 (9) 1 (10) 1 (11) 3 (12) 2 (13) 4 (14) 4 (15) 3 (16) 1 (17) 4 (18) 2 (19) 1 (20) 2 (21) 4 (22) 2 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 1 ตอนท่ี 2 (1) 13 (2) 9 (3) 15.75 (4) 35 (5) 9 (6) 162 (7) 30.5 (8) 524.24 เฉลยวธิ คี ดิ ตอนที่ 1 A B ข. log2((x + 2)(x − 1)) = 2 (1) วาดแผนภาพ x โดยให้ A ∩ B ⊂ B ∩ C → (x + 2)(x − 1) = 4 → x2 + x − 6 = 0 C แสดงว่าสว่ นทแี่ รเงา → x = −3, 2 [ซึง่ x = −3 ไมไ่ ด้ เพราะทาํ ให้ใน น้ันไมม่ ีสมาชกิ log เปน็ ลบ] ∴ x = 2 → อย่ใู น U ∴ ข. ถกู แทนค่าตามสตู รของเซต ตอบ ขอ้ 3. (5) หา Dfog → พิจารณา f(x) = (x + 1)2 พบว่า x 49 = 25 + n(B) + 23 − x − 7 − 10 + x เปน็ อะไรกไ็ ด้ (โดเมนของ f) ∴ n(B) = 18 ตอบ ∴ (fog)(x) = (g(x) + 1)2 → g(x) เป็นอะไรก็ได้ (2) A; x − 4 > 5 หรือ x − 4 < −5 → Dfog จึงเท่ากบั Dg → x > 0 ∴ Dfog = [0, ∞) → x > 9 หรอื x < −1 B; x + 3 < 1 + x ยกกาํ ลงั สอง หา Rgof → พิจารณา f(x) พบวา่ f(x) > 0 เสมอ → x + 3< 1+2 x + x (เรนจ์ของ f) →> 2 2 x → x 1 → x 1 ∴ (gof)(x) = f(x) + 1 > 1 ∴ Rgof = [1, ∞) (ตรวจสอบเงอ่ื นไขของร้ทู พบวา่ ใชไ้ ด้หมด) และจะได้ Dfog ∩ R'gof = [0, 1) ดังนน้ั 1. A ∪ B = (−∞, −1) ∪ [1, ∞) → ผดิ 2. (A ∩ B)' = (−∞, 9] → ผดิ (6) วิธที ้งั หมด – วิธที ีไ่ มท่ ่ัวถงึ (วิธีที่ไม่ทวั่ ถงึ มี 2 แบบ คือเรนจเ์ ป็น a ลว้ น หรอื 3. B − A = [1, 9] → ผดิ เป็น b ลว้ น) 4. A − B = (−∞, −1) → ข้อ 4. ถกู ตอบ จะได้ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 − 2 = 30 ตอบ (3) (p ∧ q) → (r ∨ s) เปน็ เทจ็ แสดงว่า p กับ q เปน็ จริง, r กบั s เปน็ เทจ็ (7) f(1 x + 2) = x − 2 → ให้ A = 1 x + 2 1. (p ∧ r) ↔ (s ∧ t) ≡ (T ∧ F) ↔ (F ∧ t) 33 นนั่ คอื x = 3(A − 2) → f(A) = 3(A − 2) − 2 ≡F ↔F ≡ T = 3A − 8 ∴ f(x) = 3x − 8 2. (p ∧ s) → (q ∨ t) ≡ F → (q ∨ t) ≡ T จาก (fog)(x) = 3x − 14 แต่ f(g(x)) = 3(g(x)) − 8 3. (p ∧ s) ∨ (r ∧ t) ≡ F ∨ (F ∧ t) ≡ F ∨ F ≡ F 4. (r → p) ∧ (s → t) ≡ (F → T) ∧ (F → t) ∴ 3x − 14 = 3(g(x)) − 8 ≡ T ∧ T ≡ T ตอบ ข้อ 3. (4) U = {2, 4, 6, 8, 10, …} จะได้ g(x) = x − 2 → g−1(x) = x + 2 ก. ให้ A = 2x จะได้ 8A2 − 18A + 4 = 0 ตอบ (g−1of)(x) = (3x − 8) + 2 = 3x − 6 → 2 (4A − 1)(A − 2) = 0 → A = 1 , 2 4 (8) det ⎛⎝⎜2 ⎡csc x sec x⎤ ⎞ ⎢⎣ 1 cos x⎦⎥ ⎟⎠ → 2x = 1 , 2 → x = −2, 1 4 = 22 ⋅ (csc x cos x − sec x) = 4(cot x − sec x) แต่ -2 กับ 1 ไมอ่ ยู่ใน U เลย ∴ ก. ผดิ โจทย์ให้ sin x = 3 , tan x = − 3 54 ∴ cot x = − 4 , sec x = − 5 3 5 34 -4 ตอบ 4(− 4 + 5) = − 1 34 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 450 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.43 (9) 2 arctan 1 ⎛1 ⎞ + ⎛ 1⎞ B; จาก log3 xx = x → นํา 3 ยกกาํ ลงั ทัง้ สองขา้ ง 2 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 3 = arctan 1− ⎛ ⎝⎜ 1⎞ ⎛ 1⎞ x 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ → xx = → x log x = x log 3 33 3 = arctan 4 ∴ arctan x = arctan 1 − arctan 4 → x (log x − 1 log 3) = 0 3 43 3 1−4 ⎛ 13 ⎞ → x = 0 หรอื x = 31/3 [ซ่ึง 0 ใชไ้ มไ่ ด]้ 4 3 ⎜⎝ 16 ⎟⎠ = arctan ⎛ 1 ⎞⎛ 4 ⎞ = arctan − ∴ x = 31/ 3 ดังนั้น ตอบ −1 4 ⎜⎝ 4 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 1 + {3 3 , 33 } โจทย์ถาม sin(180° + arctan x) 16 (13) หาจดุ ตดั แกน x โดยให้ y = 0 = − sin(arctan x) = 13 -13 → 22x − 4 ⋅ 2x − 45 = 0 → (2x − 9)(2x + 5) = 0 5 17 ตอบ 5 17 → 2x = 9 เทา่ นน้ั (ตดิ ลบไม่ได)้ → x = log2 9 จะได้จดุ A ,(log2 9, 0) ความชนั เส้นตรง = log3 2 [หมายเหตุ ดจู าก Δ ในรูป] (10) พิจารณากราฟ y=x2 และความชัน AB คือ b ระยะทางทส่ี นั้ ทส่ี ดุ A x-y-2=0 − log2 9 จากเสน้ ตรง L1 ถึง L2 L1 “ขนานกนั ” แสดงวา่ log3 2 = b พาราโบลา คอื ระยะ − log2 9 ไปยังเสน้ สมั ผสั (L2 ) ตอบ→ b = −(log3 2)(log2 9) = − log3 9 = −2 นน่ั เอง.. (14) จาก AtB − 2AtCt = −3A−1 ดึงตวั รว่ ม แล้วใส่ → ความชันโค้งพาราโบลา dy = 2x det ทง้ั สองขา้ ง → At B − 2Ct = (−3)3 dx A ความชนั เสน้ ตรง L1 = 1 และเทา่ กบั L2 ดว้ ย แทนคา่ A = −3 และ At = A = −3 ดว้ ย ∴ B − 2Ct = −3 → 2Ct − B = (−1)3(−3) = 3 ดังนน้ั ทจ่ี ดุ A มีความชนั 2x = 1 → x = 1 และเนอ่ื งจากใสท่ รานสโพสแลว้ det ไม่เปลยี่ น 2 ดังนนั้ 2C − Bt = 3 ตอบ แสดงวา่ จุด A มีพกิ ัด (1 , 1) 24 (15) P = 50x + 30y ⎛ 1⎞ − ⎛ 1⎞ − 2 (150, 0) → P = 7,500 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ระยะทางทต่ี อ้ งการ = (120, 60) → P = 7,800 150 (120,60) 12 + 12 O 150 (0, 150) → P = 4,500 = (7/4) = 7 2 หน่วย ตอบ 28 ตอบ 7,800 บาท (11) ขอ้ นคี้ ดิ จากรูปงา่ ยกวา่ L (16) ตัง้ ฉากกนั แสดงว่าดอทกนั ได้ 0 (u + v) ⋅ (u − 2v) = u 2 − u ⋅ v − 2 v 2 = 0 .....(1) วงกลมมรี ัศมี = 2 หน่วย C(-1,2) (u + 2v) ⋅ (2u − v) = 2 u 2 + 3u ⋅ v − 2 v 2 = 0 ...(2) = CQ = CP 2 แทนคา่ u = 2 แลว้ แกร้ ะบบสมการ เราทราบวา่ mL = 1 Q2 ดังนน้ั QCˆP = 45° P หาระยะ PQ จากกฎของ cos ได้ u ⋅ v = − 1 , v = 5 22 → PQ = 22 + 22 − 2(2)(2) cos 45° และจาก u ⋅ v = u v cos θ จะได้ โจทยถ์ าม PQ 2 = 8 − 4 2 ตอบ −1 ⎛ 5 ⎞ 1 ตอบ (12) A; ใส่ log3 ทง้ั สองขา้ ง 2 =( 2) ⎜ 2 ⎟ cos θ → cos θ = − 10 ⎠ → log3 x3 ⋅ log3 x = log3 9 + log3 x ⎝ → 3(log3 x)2 − (log3 x) − 2 = 0 → (3 log3 x + 2)(log3 x − 1) = 0 → log3 x = − 2 ,1 → x = 3−2/ 3, 3 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )