คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 251 จํานวนเชงิ ซอน Cplx º··èÕ 11 ¨íҹǹeªi§«o ¹ ระบบจํานวนทีศ่ ึกษากนั โดยปกติ คือระบบ จํานวนจริง (Real Number; R) ซง่ึ เราพบว่าบาง สมการไม่มีคาํ ตอบท่ีเปน็ จาํ นวนจรงิ เช่น x2+4 = 0 หรอื x2+x+2 = 0 ฯลฯ (เพราะในรากทสี่ องติดลบ) จึง ไดม้ ีการสมมตจิ ํานวนแบบใหมข่ ้นึ มาใช้เพิ่มเตมิ เพอ่ื ให้ ทุกปัญหามคี ําตอบเสมอ จาํ นวนแบบใหมน่ เี้ รยี กวา่ จาํ นวนจนิ ตภาพ (Imaginary Number; Im ) จาํ นวนจนิ ตภาพ อย่ใู นรูป bi โดย b ∈ R และนิยามให้ i = −1 เช่น สมการ x2+4 = 0 จะได้คาํ ตอบเปน็ x = ± − 4 นั่นคอื x = 2 i, − 2 i สมการ x2+x+2 = 0 ใช้สตู รหาคําตอบจะได้ x = −1 ± − 7 นั่นคือ x = − 1 ± 7 i 2 22 ระบบจาํ นวนทใี่ หญ่ท่สี ุด ซ่ึงประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจนิ ตภาพ ในรูป a + bi (โดย a, b ∈ R ) เรียกว่า จํานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Number; C ) มี a เปน็ ส่วนจรงิ (Real Part) และ b เปน็ ส่วนจนิ ตภาพ (Imaginary Part) และมักแทนตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนดว้ ย z หมายเหตุ 1. จาก z = a + bi บางทเี ขยี นว่า a = Re (z) และ b = Im(z) กไ็ ด้ เช่น ถ้า z1 = 3 − 2 i จะได้ Re (z1) = 3 และ Im(z1) = −2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 252 จาํ นวนเชิงซอน 2. บางตาํ ราใช้ j = −1 แทน i เพอื่ ป้องกันการสบั สนกับตัวแปรอน่ื เช่น กระแสไฟฟ้า * 3. ขอ้ สังเกต กาํ ลงั ของ i มี 4 แบบหมนุ เปลยี่ นกนั เรม่ิ จาก i2= −1 ... i3= − i ... i4= 1 i5= i ... i6= −1 ... i7= − i ... i8= 1 ... แผนภาพของจํานวนเชงิ ซอ้ น เปลยี่ นจากเสน้ จํานวนในแกนนอน im 3 re 1 มิติ กลายเปน็ ระนาบ 2 มิติ (คือมแี กนจรงิ ; Real Axis กับ แกน (3,-2) จินตภาพ; Imaginary Axis ตงั้ ฉากกนั ) เรยี กว่า ระนาบเชิงซ้อน 0 (Complex Plane) ... และใชค้ ู่อันดบั (a, b) หรือเวกเตอร์ท่ชี จ้ี าก -2 (0, 0) มายงั (a, b) แทนจํานวนเชิงซ้อน z = a + bi ได้ S ¨´u ·¼èÕ i´ºo Â! S ÃaÇa§oÂÒʺa ʹ¡aºeÇ¡eµoùa¤Ãaº ... ã¹eÃ×oè §eÇ¡eµoù aé¹æ¡¹¹o¹ÁÕ i 桹µé§a ÁÕ j 浨íҹǹeªi§«o ¹æ¡¹¹o¹äÁÁ ÕÊa Å¡a ɳoaäÃeÅ æÅa桹µ§aé ÁÕ i 11.1 การคาํ นวณเบ้อื งต้น ในการคํานวณเราปฏบิ ตั เิ หมอื นวา่ i เปน็ ตวั แปรหนง่ึ (ซง่ึ i2= −1 ) เพียงเทา่ นน้ั 1. การเทา่ กนั a + bi = c + di กต็ อ่ เมอ่ื a = c และ b = d หรอื เขียนเปน็ คู่อนั ดับ (a, b) = (c, d) กต็ อ่ เม่ือ a = c และ b = d 2. การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i หรือเขียนเป็นคู่อนั ดับ (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) 3. การคณู (a + bi) × (c + di) = (ac−bd) + (ad+bc)i หรอื เขียนเปน็ คู่อนั ดับ (a, b) × (c, d) = (ac−bd, ad+bc) สมบตั ขิ องจาํ นวนเชงิ ซ้อน เหมือนกบั สมบัตขิ องจาํ นวนจริงทกุ ประการ (และจาํ นวนจรงิ ก็คือ จาํ นวนเชิงซอ้ นประเภทหนึ่ง) นน่ั คอื มีสมบัตปิ ดิ , การสลบั ทกี่ ารบวกและคณู , การเปลี่ยนกล่มุ การ บวกและคูณ, การแจกแจง, และการมีเอกลักษณก์ บั อนิ เวอร์ส โดยเอกลกั ษณ์การบวกก็คือ 0 หรือ 0 + 0 i หรอื (0, 0) และเอกลกั ษณ์การคณู คอื 1 หรือ 1 + 0 i หรือ (1, 0) เชน่ เดยี วกบั ในระบบ จาํ นวนจริง ... สรุปส้ันๆ วา่ ทกุ กฎทเี่ คยใชก้ ับจํานวนจริง จะยังคงใช้ได้ ดังนัน้ อนิ เวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คือ −z = −a − bi S ¨´u ·è¼Õ ´i ºoÂ! S และอนิ เวอร์สการคูณของ z = a + bi คอื z−1 = 1 = 1 ¡ÒúǡæÅaź¨Òí ¹Ç¹eªi§«o ¹ z a + bi ¹a¹é äÁÁ Õoaäçu ÂÒ¡ 浡Òä³Ù æÅa¡ÒÃËÒÃ¹Ò ¨a½¡½¹ãË ซ่งึ สามารถทําให้อยใู่ นรปู ปกติได้โดยนํา a − bi คูณท้งั เศษและสว่ น จะได้ ¤u¹ e¤Â¹a¤Ãaº 1 = a − bi = ⎛a⎞ − ⎛ b ⎞ i a + bi a2+b2 ⎜ ⎟ ⎜ a2+b2 ⎟ ⎝ a2+b2 ⎠ ⎝ ⎠ และมที ฎษฎีบทเก่ยี วกบั อนิ เวอร์สการคูณวา่ (z1z2)−1 = z1−1 z2−1 และ (zn)−1 = (z−1)n = z−n หมายเหตุ 1. ในระบบจาํ นวนเชงิ ซอ้ นจะไม่มีการเปรียบเทียบมากกวา่ , น้อยกวา่ 2. สมการ a × b = ab จะไมเ่ ปน็ จรงิ หากว่า a, b ตดิ ลบทง้ั สองจํานวน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 253 จาํ นวนเชงิ ซอน • ตัวอยา ง ใหหาผลบวก ลบ คณู และหาร ของจาํ นวนเชงิ ซอน z1 = 3 − 2 i ดวย z2 = 1 + i ตอบ z1+ z2 = (3 − 2 i) + (1 + i) = 4 − i z1− z2 = (3 − 2 i) − (1 + i) = 2 − 3 i z1z2 = (3 − 2 i) ⋅ (1 + i) = 3 + 3 i − 2 i − 2 i2 = 5 + i ... (อยา ลืม )i2 = −1 z1 = 3 − 2 i = 3−2i ⋅ ⎛1− i⎞ = 3 − 3 i − 2 i + 2 i2 = 1−5i = (1/2) − (5/2) i z2 1 + i 1+i ⎜ ⎟ 1 − i + i − i2 2 ⎝ 1 − i ⎠ • ตวั อยาง ใหหาคา (1 + i)12 (1 − i)10 วธิ ีคดิ เนือ่ งจาก (1 + i)2 = 1 + 2 i + i2 = 2 i และ (1 − i)2 = 1 − 2 i + i2 = −2 i ดงั นน้ั (1 + i)12 = (2 i)6 = 64 i6 = −2 i (1 − i)10 (−2 i)5 −32 i5 หรือคดิ ไดอีกวิธีดังนี้ ... เนื่องจาก ⎛1+ i⎞ = ⎛1+ i⎞ ⋅ ⎛1+ i⎞ = 2i =i ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1 − i ⎠ ⎝ 1 − i ⎠ ⎝ 1 + i ⎠ (1 + i)12 ⎜⎝⎛ 1 + i ⎟⎠⎞10(1 1 − i ดงั นั้น ... (อยา ลืม )(1 − i)10 = + i)2 = (i)10(2 i) = 2 i11 = −2 i i 11 = i 3 = − i แบบฝึกหดั 11.1 (1) z1 = (2, −3) , z2 = (−4, −1) , z3 = (−2, 1) จงหาคา่ (1.1) z1 + z2 (1.4) z1z2 (1.2) z1 − z3 (1.5) z1z3 (1.3) 2 z1 + 3 z2 (1.6) z1 (z2 +z3) (2) จงหาอินเวอรส์ การบวก และอนิ เวอรส์ การคณู ของ (2.1) z1 = (2, −3) (2.3) z3 = (−2, 1) (2.2) z2 = (−4, −1) (2.4) z4 = (1, 0) (3) จงหาคา่ ของ (3.4) (3, −2) ÷ (5, 4) (3.1) (6, 4) − (3, 5) (3.5) (7, 2) ÷ (0, 3) (3.6) (6, 3) ÷ (3, 0) (3.2) (−3, −2) − (−4, 2) (3.3) (−4, 3) − (5, −6) (4) จงหาค่าจาํ นวนจริง x และ y เมอ่ื (4.1) (x, y) + (−2, 4) = (−4, −1) (4.2) [Ent’25] (x, y) × (2, −3) = (−5, −3) (4.3) (3, 1) ÷ (x, y) = (1, −2) (4.4) x − 2y i = 1 + i + 2 + i … [ข้อสงั เกต : 1 = − i ] ii i (5) x2 + y2 + 2xy i − 1 − i = 0 จงหาคา่ x และ y Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 254 จาํ นวนเชงิ ซอน (6) ถา้ z1 = (2, −3) จงหาค่า 2 z1−2 (7.3) −14 + 23 i + 16 + 12 i 3 + 4i 4i (7) จงหาคา่ ของ (7.1) 2 + 3 i 4 − 2i (7.2) 2 + i + 3 + 4 i 2 − i 1 + 2i (8) จงหาคา่ ของ ⎛ 3+4 i − 3−4 i ⎞3 ⎜ ⎟ ⎝ 3−4 i 3+4 i ⎠ (9) ใหห้ าค่าตอ่ ไปน้ี (9.3) i451 (9.1) i29 (9.4) i4,040 (9.2) i42 (10) จงหาคา่ และi135 + i136 + i137 + i138 i 135 i 136 i 137 i 138 (11) [Ent’มี.ค.44] กาํ หนดให้ z = i9 + i10 + ... + i126 เมือ่ i2= −1 แล้ว จงหาคา่ 2 z−1 (12) จงหาอินเวอรส์ ของ (1 + i)4 (13.3) (1 + i)16 1−i (1 − i)10 (13) จงหาคา่ ของ (13.1) (1 + i)12 (13.2) (1 + i)2 + (1 + i) + 1 1+ i (14) จงหาคา่ m ∈ I+ ทน่ี ้อยทสี่ ุด ท่ที ําให้ ⎛ 1 + i ⎞5m = ⎛ 1 − i ⎞m ⎜⎝ 1 − i ⎟⎠ ⎜⎝ 1 + i ⎟⎠ 11.2 สงั ยุค และค่าสัมบูรณ์ ในเศษสว่ นหนงึ่ ๆ เมื่อมีจํานวนเชิงซอ้ น a + bi เป็นตวั ส่วน จะนํา สังยุค (conjugate) ของ a + bi คือ a − bi มาคูณทั้งเศษและส่วน เพ่อื ใหต้ ัวสว่ นกลายเป็นเลขจํานวนจรงิ ( a2+b2 ) สญั ลักษณท์ ใี่ ชแ้ ทนสงั ยคุ ของ z = a + bi คือ z = a − bi คา่ สมั บรู ณ์ (absolute value) ของจํานวนจรงิ และจํานวนเชิงซอ้ นใดๆ คอื ระยะห่างจากจดุ นั้นไปถึงจุดกาํ เนิด (0, 0) ดังนั้น z = a + bi = a2+b2 สมบตั ิของสังยุคและคา่ สมั บรู ณ์ 1. z = z กต็ ่อเม่ือ z เป็นจํานวนจรงิ เท่านน้ั และ z = z เสมอ 2. และ(z−1) = (z)−1 z−1 = z −1 3. (zn) = (z)n และ zn = z n n ∈ I+ 4. z1 ± z2 = z1 ± z2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 255 จาํ นวนเชิงซอ น 5. และz1z2 = z1z2 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 6. และz1z2 = z1 z2 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 7. z มคี ่ามากกว่าหรือเท่ากบั 0 เสมอ และ z ⋅ z = z 2 8. z = −z = z • ตัวอยาง ถา z1 = 1 + 2 i และ z1z2 − z2 = i จงหาคา z2−1 วธิ ีคดิ จาก z1z2 − z2 = i → z2(z1 − 1) = i → z2 = i 1 z1 − จากนนั้ ใสสงั ยุคทงั้ สองขา งของสมการ เพื่อใหท างซายไมติดสังยคุ ... จะได z2 = −i 1 z1 − และหาอินเวอรสไดเ ปน z2−1 = z1 − 1 = 2i = −2 −i −i (2−2 3 i) (3+4 i)3 • ตวั อยาง ใหหาคา ของ z เมื่อ z = (2 − i)2(1 + i) (2−2 3 i)1/2(3+4 i)3 2−2 1/ 2 3+4 i 3 = (4)1/ 2(5)3 ( 5)2( 2) ตอบ (2 − i)2(1 + i) 3i = 2−i2 1+i = 25 2 แบบฝึกหดั 11.2 (15) z1 = 2 + 3 i , z2 = 3 − 4 i จงหาคา่ ของ (15.4) ⎛ z1 ⎞ ⎜⎝ z2 ⎟⎠ (15.1) z1 + z2 (15.5) (z21) (15.2) z1 − z2 (15.3) z1z2 (16) ถา้ z1 = 3 + 4 i และ z1z2 + z2 − 4 = 0 จงหาคา่ z2−1 (17) จงหาคา่ z ท่ีสอดคล้องกับสมการ z + i + 3 − 2 z = 1 + 2 i (18) จงหาคา่ ของ (18.4) −4 + 0 i (18.1) 3 + 4 i (18.5) (0, −5) (18.2) −5 + 12 i (18.3) − 7 i (19) จงหาค่า z เมอ่ื z คอื (19.3) (3+4 i)4 (19.1) (1+ 3 i)2( 3 − i)4 (1 + i)16 (1− 3 i)2 (19.4) ((1, 1)−1)4 (19.2) −2 i(1+ 3 i)5 (1+ 2 i)6 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 256 จํานวนเชิงซอ น (20) จงหาคา่ ของ (2−i)(3+2 i)(4−3 i)(5+4 i) 3 (1+2 i)(2−3 i)(−4−5 i) (21) ถ้า z = (1+ 3 i)( 3 − i)(1 + i) จงหาคา่ z−1 (22) ถา้ z1 + z2 = 0 และ z1 = z2 = 1 จงหาคา่ 1+ 1 z1 z2 (23) ให้แก้ระบบสมการต่อไปน้ี เพอ่ื หาค่า z (โดยสมมติ z = a + b i ) (23.1) z+1 = 1 และ z= 149 z + 3 − 2i (23.2) [Ent’30] z+1 = 1 และ z z = 29 z + (3 − 2 i) (23.3) z−4 = 1 และ z − 12 =5 z−8 z − 8i 3 (24) ถา้ z+12 = 2 z+3 จงหาค่า z (25) เม่ือ z ≠ 1 จงหาคา่ Re ⎝⎜⎛ 1 + z ⎟⎞⎠ 1 − z (26) [Ent’ต.ค.41] ถา้ z เป็นจาํ นวนเชงิ ซอ้ นซึ่ง (i+1)(z+1) = −1 แล้ว จงหาส่วนจริงของจํานวน เชงิ ซอ้ น z(z − z)15 (27) ข้อใดไม่ใช่กราฟวงกลม ค. z + z = z 2 ก. z z = 1 ง. 3z+i = z+3 i ข. z + z = z (28) จงเขียนกราฟของ (28.1) z−(2+3 i) = 1 (28.2) z+2 = 3 z−2+4 i (28.3) z+2 i + z−2 i = 10 หมายเหตุ โจทย์ขอ้ นอี้ าจเปลีย่ นเปน็ “จงหาคา่ z ทีส่ อดคล้องกบั สมการตอ่ ไปน”ี้ กไ็ ด้ และคําตอบจะ มีได้มากมาย (ทกุ ๆ จุดในกราฟ) เพราะตัวแปร z นน้ั สมการเดยี วไม่เพยี งพอ 11.3 รปู เชิงขวั้ การอา้ งถึงพกิ ัด (a, b) ของจํานวนเชิงซ้อน อาจจะกลา่ วไดอ้ ีกแบบเป็น (r, θ) im โดยท่ี r แทน “ระยะห่างจากจดุ กาํ เนิด” (modulus) และ θ แทน “ทิศทาง” (argument) (มมุ วัดทวนเข็มนาฬกิ าจาก br z (a,b) แกน +x ) เรียกรูปแบบนี้วา่ รปู เชิงขัว้ (Polar Form) O θ a re ซึ่งความสัมพันธร์ ะหว่างสองระบบนี้เป็นดังน้ี a = r cos θ r = a2 + b2 = z b = r sin θ tan θ = (b/a) เราอาจเขียนรูปท่วั ไปของ z = a + bi เป็น z = (r cos θ) + (r sin θ)i หรือ z = r (cos θ + i sin θ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 257 จํานวนเชงิ ซอ น หมายเหตุ 1. จาก z = r (cos θ + i sin θ) บางทีเขียนว่า r = Abs (z) และ θ = Arg(z) 2. บางตําราใชส้ ญั ลักษณ์ z = r ∠θ หรอื z = r cis θ เพ่อื ความสะดวกในการเขียน, คาํ นวณ รูปเชิงขัว้ สามารถนาํ มาใช้ประโยชนใ์ นการคณู หาร ยกกาํ ลงั และถอดรากของจํานวน เชิงซอ้ นได้สะดวก โดยมที ฤษฎีอยู่ดังนี้ ถ้า z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) แลว้ 1. z1z2 = r1r2 (cos (θ1+θ2) + i sin (θ1+θ2)) 2. z1/ z2 = (r1/r2)(cos (θ1−θ2) + i sin (θ1−θ2)) 3. zn = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)) → ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟ์ (De Moivre’s Theorem) 4. รากท่ี n ของ z น้ัน จะมีอยู่ n แบบเสมอ เพราะมาจากสมการดีกรี n คือ (root)n = z คําตอบแรกได้แก่ n z = n r (cos (θ) + i sin(θ)) nn และคําตอบที่เหลือจะมขี นาดเท่ากนั แต่มมุ ต่างๆ กัน ... หาคา่ มุมได้จากการแบ่งวงกลม 360° ออกเปน็ n ส่วนเท่าๆ กันโดยมมี ุม θ/n น้เี ปน็ จดุ ๆ หนึง่ ในบรรดาคําตอบ หรอื เขยี นเป็นสูตรวา่ n z = n r (cos (k 360° + θ) + i sin (k 360° + θ)) โดย k = 0, 1, 2, ..., (n−1) nn nn สูตรลัดในการหารากท่สี องของ a + b i คือ ⎛ r+a + r−a ⎞ เม่อื b>0 ... และ ⎛ r+a − r−a ⎞ เม่อื b<0 ±⎜ 2 2 i⎟ ±⎜ 2 2 i⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ • ตัวอยา ง ถา z1 = 2 + 2 3 i และ z2 = − 3 + i ใหอ าศัยรูปเชิงขวั้ เพื่อหาคาของ ก. z1z2 และ z1/z2 วธิ ีคิด แปลง z1 และ z2 ใหอ ยูในรปู เชงิ ข้ัวไดด งั นี้ z1 = 22 + (2 3)2 = 4 และมีมมุ เทา กับ 60° (หามมุ วิธีเดียวกบั เวกเตอรและตรีโกณฯ) z2 = ( 3)2 + 12 = 2 และมีมมุ เทากบั 150° ดงั น้ัน z1 = 4(cos 60° + i sin 60°) หรือเขียนยอๆ วา z1 = 4 ∠60° และ z2 = 2(cos 150° + i sin 150°) หรือเขียนยอๆ วา z2 = 2 ∠150° จะได หรือz1z2 = (4 ⋅ 2) ∠(60° + 150°) = 8 ∠210° 8 (cos 210° + i sin 210°) = −4 3 − 4 i และจะได z1/z2 = (4/2) ∠(60° − 150°) = 2 ∠(−90°) หรือ − 2 i ... (มมุ −90° คือ − i ) ข. z24 วธิ ีคดิ จาก z2 = 2 ∠150° ใชทฤษฎีบทของเดอมัวฟ ไดเ ปน z24 = 24∠(150° ⋅ 4) = 16 ∠600° = 16 ∠240° หรือตอบวา 16 (cos 240° + i sin 240°) = −8 − 8 3 i • ตัวอยาง ถา z = 64 i ใหห ารากที่สามของ z วิธีคิด แปลงเปน เชิงข้ัว ได z = 64 ∠90° ดงั นนั้ รากที่สาม (คาํ ตอบแรก) คือ 641/3∠(90°/3) = 4 ∠30° หรือ 2 3 + 2 i Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 258 จํานวนเชิงซอน อีกสองคําตอบหาไดโ ดยบวกมุมเขาไป เพื่อใหต ัดแบง วงกลม (ขนาด 4 หนวย) ออกเปน 3 สวนเทาๆ กัน ... น่นั คือ สวนละ 120 องศา คําตอบทีส่ อง คือ 4 ∠(30° + 120°) = 4 ∠150° หรือ −2 3 + 2 i คําตอบทีส่ าม คือ 4 ∠(150° + 120°) = 4 ∠270° หรือ − 4 i แบบฝึกหดั 11.4 (29) ใหเ้ ขยี นจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนเ้ี ปน็ รปู เชิงขั้ว (29.4) −5 (29.1) −1− 3 i (29.5) 4 i (29.6) −3 i (29.2) (4, −4) (29.3) (10, 0) (30) ถา้ z1 = 4 (cos 30° + i sin 30°) และ z2 = 3(cos 180° + i sin 180°) จงหาค่า z1z2 ในรูป a + bi (31) ถา้ z1 = 2(cos 18° + i sin 18°), z2 = −3(cos 72° + i sin 72°) และ z3 = −4 (cos 30° + i sin 30°) จงหาค่า z1z2z3 และ z1z2 ในรูป a + bi z3 (32) ถ้า z1 = 2(cos 15° + i sin 15°) , z2 = 2 (cos π − i sin π) จงหาคา่ z61 และ z28 ในรูป 3 3 a + bi (33) จงหาคา่ ( 3 + i)8 โดยวธิ ยี กกาํ ลงั โดยตรง และวิธแี ปลงเปน็ เชงิ ข้ัวก่อน (34) [Ent’ต.ค.42] ถ้า z = −2+2 3 i เมื่อ i2= −1 แล้ว z17 อยู่ในควอดรันต์ใด (35) จงหาคา่ z0 และ z−10 เมอ่ื z = −1+ 3 i (36) จงหาค่าของ (36.1) ⎛ 3 + i ⎞50 ⎝⎜ 2 2 ⎟⎠ (36.2) ⎛ −1+ −3 ⎟⎞−8+ ⎛ −1− −3 ⎞−8 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ (36.3) (1 + i)30 ( 2 − 2 i)10 (37) [Ent’ม.ี ค.44] ถ้า 2 z3 = 1+ 3i และ z18 = a + bi เม่อื a และ b เปน็ จํานวนจรงิ i − z27 จงหาค่า a + b (38) [Ent’ต.ค.43] กาํ หนดให้ z1 และ z2 เปน็ จํานวนเชงิ ซอ้ นที่ 2 z1z2 = 1 + z2 และ z1 = (cos π +i sin π )6 จงหาอนิ เวอร์สการคณู ของ z2 18 18 (39) จงหาค่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 259 จํานวนเชิงซอน (39.1) รากทีส่ ี่ของ −8 + 8 3 i (39.2) รากทีส่ ามของ 8 i ในรปู a + bi (39.3) รากทสี่ ามของ −8 i (39.4) รากทีส่ องของ −4+4 3 i (39.5) รากทส่ี องของ −2 3 − 2 i (39.6) รากทีส่ องของ −15 − 8 i (40) จงหารากที่สองของ 3 + 4 i โดยวธิ ีสมมติคาํ ตอบ (x + y i)2 = 3 + 4 i (41) [Ent’24] ถา้ สมการ x2 = −2 − 2 3 i มคี าํ ตอบเป็น z1 และ z2 แล้ว จงหา z1 2+ z2 2 11.4 สมการพหุนาม จากน้ีสมการพหุนามดีกรี n ในรูป anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+ ... + a0 = 0 จะหาคาํ ตอบ ได้ n จาํ นวนเสมอ ซง่ึ ใน n คาํ ตอบนี้ อาจเปน็ จาํ นวนจริงและจาํ นวนเชิงซ้อนปนกันอยู่ สามารถ คํานวณโดยแยกคาํ ตอบทีเ่ ป็นจาํ นวนจริงออกจนเหลอื เพยี งดกี รสี อง แล้วอาศัยสูตร −b ± b2−4ac ช่วยในการหาคาํ ตอบท่เี ป็นจํานวนเชิงซอ้ น x= 2a ขอ้ สังเกต 1. จากสตู ร x = −b ± b2−4ac ทําใหเ้ ราพบว่า ในสมการท่ีสัมประสทิ ธิ์ทัง้ หมดเปน็ จาํ นวนจริง ถ้า 2a A + B i เปน็ คาํ ตอบหนงึ่ ของสมการแล้ว จะมีสังยุค A − B i เปน็ อกี คําตอบดว้ ยเสมอ 2. หากไม่ตอ้ งการใชส้ ตู ร อาจใช้วิธีจัดกําลงั สองสมบรู ณก์ ไ็ ด้ เช่น x2 + 4x + 7 = 0 → (x2 + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2)2 + 3 = 0 → x = −2 ± 3 i 3. ทฤษฎีเศษเหลอื และทฤษฎีตวั ประกอบ (หารลงตัว) ของพหนุ าม ทเี่ คยไดศ้ ึกษาในหัวข้อจาํ นวน จรงิ ยังคงใช้ไดก้ บั จํานวนเชิงซ้อน และนอกจากนกี้ ารหารสังเคราะห์ก็ยงั ใช้ได้เช่นกนั • ตัวอยา ง ใหหาเซตคําตอบ (ทกุ คําตอบ) ของสมการ x3− 3x2+ 9x + 13 = 0 วิธีคดิ ใชวิธีแยกตัวประกอบ (จากบทเรียนเรื่องพหุนาม) เชน การหารสังเคราะห จะไดผลเปน (x + 1)(x2 − 4x + 13) = 0 ซงึ่ วงเลบ็ หลังมีดีกรีสอง แตห าตัวเลขเพือ่ แยกตัวประกอบไมไ ด จึงใชส ูตรไดวา 4± (−4)2− 4 (1)(13) = 4± −36 = 4 ± 6i = 2 ± 3i x= 2 (1) 2 2 ดังนน้ั เซตคาํ ตอบของสมการนีค้ ือ { 1, 2 + 3 i, 2 − 3 i } • ตัวอยา ง ใหห าเซตคําตอบของสมการ x4− 3x3+ 6x2− 6x + 4 = 0 เมื่อทราบวา มี 1 + i เปน คาํ ตอบหน่งึ วิธีคดิ การมี 1 + i เปน คําตอบหนึง่ แสดงวาตอ งมี 1 − i เปน อีกคาํ ตอบดว ย Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 260 จาํ นวนเชิงซอ น หรือกลาววา มี (x − (1 + i))(x − (1 − i)) เปนตัวประกอบของพหนุ าม และ เนือ่ งจาก (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = (x − 1 − i)(x − 1 + i) = x2 − 2x + 2 เราจึงนํา x2− 2x + 2 ไปหารพหนุ ามในโจทย (ตัง้ หารยาว) เพือ่ แยกตัวประกอบ ไดเปน (x2 − 2x + 2)(x2 − x + 2) = 0 ดังน้ัน หาสองคําตอบที่เหลือไดจากสูตร x = 1 ± (−1)2− 4(1)(2) = 1 ± −7 2 (1) 2 เซตคาํ ตอบของสมการนี้คือ { 1 + i, 1 − i, (1/2) + ( 7 /2)i , (1/2) − ( 7 /2)i } แบบฝกึ หดั 11.4 (42) จงหาคาํ ตอบของสมการต่อไปน้ี (42.1) x2 + 16 = 0 (42.2) 2x2 − 3x + 4 = 0 (42.3) 2x3 − x + 1 = 0 (43) [Ent’26] ให้หาค่าสมั บรู ณข์ องรากของสมการ z2(1−z2) = 16 * (44) ให้หาคาํ ตอบของสมการ (44.1) 2x2 + (1 − 2 i) x + 1 = 8 i (44.2) 2 i x2− 3x − 3 i = 0 (44.3) x2 + 2(i − 1) x − 1 − 2 i = 0 (44.4) x2 − (2+3 i) x − 1 + 3 i = 0 [Hint : สูตรของสมการดกี รสี อง สามารถจดั รูปใหม่ได้วา่ (2ax+b)2 = ]b2−4ac (45) จงแสดงว่า 2 + 3 i เป็นคาํ ตอบหน่งึ ของ x3 − 3x2 + 9x + 13 = 0 โดยการแทนคา่ และการ แยกตวั ประกอบ (46) จงหาคา่ สมั บูรณ์ของผลบวกของรากสมการ x3 − 17x2 + 83x − 67 = 0 (47) จงหาผลบวก และผลคณู ของรากท้งั หมดของสมการ z3 + 2z2 + 9z + 18 = 0 [Hint : anxn+an − 1xn − 1+ ... + a0 =0 มผี ลบวกรากเป็น − an − 1 และผลคูณ (−1)na0 ] an an (48) ถา้ สมการกาํ ลงั สอง Ax2 + Bx + C = 0 มรี ากหนึ่งเปน็ 4 + 3 i แลว้ คา่ A + B + C เม่อื A = 1 เปน็ เท่าใด (49) 2 และ 1 − i เป็นคําตอบของสมการกาํ ลังสาม สมการใด (50) จงหาสมการพหุนามกําลังสี่ ซง่ึ มีสมั ประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และมี z1 = 2 − 2 3 i กบั z2 = −4 i เปน็ คําตอบของสมการ (51) ถ้า 2 + 2 i เป็นคาํ ตอบของ x4 − 4x3 + x2 + 28x − 56 = 0 จงหาคาํ ตอบทเี่ หลอื (52) จงแกส้ มการ x4 + 2x3 = 4x + 4 โดยทราบว่ามี −1 − i เปน็ คําตอบหน่ึง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 261 จาํ นวนเชิงซอน (53) ถา้ −1 + 3 i เปน็ รากหนึ่งของสมการ x5 + 9x3 − 8x2 − 72 = 0 จงหารากทัง้ หมด (54) จงหารากของสมการ (54.1) x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 [Hint : (xn−1) = (x − 1)(xn − 1+ xn −2+ ... + x + 1)] (54.2) x5 + 3x4 + 2x3 − 8x2 − 24x − 16 = 0 (55) จงหาผลบวกของรากสมการ x6 − x5 + x4 − x2 + x − 1 = 0 (56) จงหาผลบวกของค่าสมั บรู ณข์ องรากสมการ (56.1) [Ent’มี.ค.43] z4 + z2 + 2 = 0 (56.2) x4 − 2x3 + 12x2 − 8x + 32 = 0 * (56.3) [Ent’27] x5 − 3 i x4 + 4x − 12 i = 0 * (57) x3 − (5−2 i) x2 + (7−10 i) x + k หาร x + 2 i ลงตวั จงหาค่า k (58) ถ้า x = −2 − 3 i จงหาค่า 2x4 + 5x3 + 7x2 − x + 4 [Hint : จากทฤษฎีเศษเหลอื จะไดว้ า่ f (−2 − 3 i) คือเศษของ f (x) ] x2+4x+7 (59) [Ent’ม.ี ค.42] ให้ P(x) เป็นฟงั กช์ นั พหุนามกาํ ลงั สาม ซงึ่ มีสัมประสิทธ์เิ ป็นจาํ นวนจรงิ และ สมั ประสิทธิข์ อง x3 เปน็ 1 ถ้า x − 2 หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ 1+ 3 i เปน็ รากหน่งึ ของ P(x) แล้ว รากทเี่ ป็นจํานวนจริงของ P(x) มคี ่าเทา่ ใด เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1.1) (−2, −4) (1.2) (4, −4) (7.1) 1 + 4 i (7.2) 14 + 2 i (19.4) 1/4 (20) 125 (1.3) (−8, −9) (1.4) (−11, 10) 10 5 5 5 (21) 1/4 2 (22) 0 (1.5) (−1, 8) (1.6) (−12, 18) (7.3) 5 + i (8) − ⎛ 48 ⎞⎟⎠3i (23.1) 7 + 10 i หรอื (2.1) (−2, 3),(2/13, 3/13) ⎝⎜ 25 −10 − 7 i (2.2) (4, 1),(−4/17, 1/17) (9.1) i (9.2) –1 (9.3) –i (23.2) 2 + 5 i หรือ −5 − 2 i (2.3) (9.4) 1 (10) 0, –1 (11) –1–i (23.3) 6 + 17 i หรอื 6 + 8 i (2.4) (2, −1),(−2/5, −1/5) (3, −1) (12) −1 + i (13.1) –64 (24) 6 (25) 1 − z 2 4 4 (−1, 0),(1, 0) (3.1) (3.2) (1, −4) (3.3) (−9, 9) (13.2) 5 + i (13.3) 8 i 1− z 2 (3.4) (7/41, −22/41) (14) 2 22 18 − i (26) 1/2 (27) ข. (3.5) (2/3, −7/3) (3.6) (2, 1) (15.2) (28.1) กราฟวงกลม รศั มี 1 (4.1) (−2, −5) (15.1) 5 + i หน่วย มจี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (2, 3) (4.2) (− 1 , − 21) (4.3) (1 , 7) (15.4) −1 − 7 i (15.3) (28.2) กราฟวงกลม รัศมี 4.5 −6 − 17 i หนว่ ย จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี 25 25 13 13 5 5 (15.5) −5 − 12 i (16) 1 + i (2.5, −4.5) (4.4) 2, 3/2 (17) 2 + i (18.1) 5 (28.3) กราฟวงรตี ามแกน y มี ศูนยก์ ลางท่จี ดุ กาํ เนดิ แกนเอกยาว (5) 1 , 1 หรอื − 1 ,− 1 3 2 2 10 แกนโทยาว 2 21 หน่วย 22 (18.2) 13 (18.3) 7 (18.4) 4 (29.1) 2 (cos 240° + i sin 240°) (18.5) 5 (19.1) 16 (6) (− 10 , 24 ) (19.2) 64 (19.3) 625 169 169 81 256 หรือ 2 ∠240° Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 262 จาํ นวนเชงิ ซอน (29.2) 4 2 ∠315° (38) − 3 i (44.3) 2–i, –i (29.3) 10 ∠0° (39.1) 2 ∠30° , 2 ∠120° , (44.4) 1 + 2 i, 1 + i (29.4) 5 ∠180° 2 ∠210° , 2 ∠300° (29.5) 4 ∠90° (39.2) −2 i , i ± 3 (45) (x+1)(x2−4x+13)=0 (29.6) 3 ∠270° (39.3) 2 ∠90° , 2 ∠210° , (30) −6 3 − 6 i (46) 17 (47) z = −2, ± 3 i (31) −12+12 3 i และ 2 ∠330° ตอบ –2, –18 (48) 18 3+3 3 i (39.4) 2 2 ∠60° , 2 2 ∠240° (49) x3−4x2+6x−4=0 44 (39.5) 2 ∠105° , 2 ∠285° (39.6) ± (1−4 i) (40) ±(2 + i) (50) x4− 4x3+ 32x2−64x +256=0 (32) 64 i และ −8−8 3 i (41) 8 (42.1) ±4 i (51) 2−2 i, ± 7 (52) −1 ± i , ± 2 (53) −1± 3 i, 2, ±3 i (33) −128−128 3 i (42.2) 3 ± 23 i (54.1) −1, ± 1± 3 i (34) 44 (35) 240° → Q3 ∠240°(42.3) −1, 1 ± i (43) 2 22 1 ∠0° และ 2−10 (54.2) −1, ±2, −1± 3 i (36.1) 1 + 3 i (44.1) 1 + 2 i , − 3 − i (55) 1 (56.1) 4 4 2 22 2 (56.2) 4+4 2 (36.2) –1 (36.3) –32 (44.2) ± 15 − 3 i (56.3) 3+4 2 (57) 14 i (58) –31 (59) 3/4 (37) 1/2 + (−1/2) = 0 44 เฉลยแบบฝกึ หดั (วิธีคดิ ) (1) z1 + z2 = (−2, −4) , z1 − z3 = (4, −4) , (3.4) 3 − 2i = (3 − 2 i)(5 − 4 i) ,2 z1 + 3 z2 = (4, −6) + (−12, −3) = (−8, −9) 5 + 4i 52 + 42 z1z2 = (2 − 3 i)(−4 − i) = 15 − 10 i − 12 i − 8 = ( 7 , − 22) 41 41 41 ,= −8 − 2 i + 12 i − 3 = (−11, 10) (3.5) 7 + 2 i = (7 + 2 i)(−i) = −7 i + 2 = (2 , − 7) z1z3 = (2 − 3 i)(−2 + i) 3i 3 3 33 = −4 + 2 i + 6 i + 3 = (−1, 8) [ข้อสงั เกต 1 = −i ] z1 (z2 +z3) = z1z2 +z1z3 = (−12, 18) i (2.1) อนิ เวอรส์ การบวก คอื −z1 = (−2, 3) (3.6) 6 + 3 i = (2, 1) 3 อนิ เวอรส์ การคณู คือ z1−1 = 1 2 − 3i (4.1) (x, y) = (−4, −1) − (−2, 4) = (−2, −5) = 2 + 3i = (2 , 3) (4.2) (x, y) = −5 − 3 i = (−5 − 3 i)(2 + 3 i) 22 + 32 13 13 2 − 3i 13 (2.2) −z2 = (4, 1) = (−10 + 9) + (−6 − 15) i = (− 1 , − 21) 13 13 13 z2−1 1 −4 +i = (− 4 , 1 ) = −4 − i = (−4)2 + 12 17 17 (4.3) (x, y) = 3 + i = (3 + i)(1 + 2 i) (2.3) −z3 = (2, −1) 1− 2i 5 z3−1 = 1 = −2 −i = (− 2 , − 1) = (3 − 2) + (1 + 6) i = ( 1 , 7) −2 + i (−2)2 + 12 55 5 55 (2.4) −z4 = (−1, 0), z4−1 = 1 = (1, 0) (4.4) x − 2yi = 1 + 1 + 2 + 1 1 ii = −i + 1 − 2 i + 1 = 2 − 3 i (3.1) (3, −1) (3.2) (1, −4) ∴ x = 2, y = 3 / 2 (3.3) (−9, 9) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 263 จํานวนเชงิ ซอ น (5) (x2 + y2) + (2xy) i = 1 + i (12) จาก (1 + i)4 = [(1 + ]i)2 2 1−i 1−i เทียบสัมประสทิ ธ์ิ สว่ นจรงิ x2 + y2 = 1 .....(1) (1 + 2 i − 1)2 (2 i)2 −4 = 4 และส่วนจนิ ตภาพ 2xy = 1 .....(2) = == 1 − i 1 − i 1 − i −1 + i แกร้ ะบบสมการได้ x = 1 , y = 1 ∴ อินเวอรส์ คอื −1 + i 2 2 4 หรือ x = − 1 , y = − 1 [ขอ้ สังเกต (1 + i)2 = 2 i ] 22 (1 + i)2 = 2 i 2 2 (1 − i)2 = −2 i (6) 2z1−2 = z12 = − 3 i)2 (2 ⎜⎝⎛ 1 + i ⎠⎞⎟ 1 − i = i = 2 = 2 = 2(−5 + 12 i) ⎛1 − i⎞ = −i (4 − 9) − 12 i −5 − 12 i 169 ⎜⎝ 1 + i ⎠⎟ = (− 10 , 24 ) (13.1) (1 + i)12 = (2 i)6 = 64 i2 = −64 169 169 (13.2) (1 + i) + (1) + ⎝⎜⎛ 1 1 i ⎠⎞⎟ (7.1) (2 + 3 i)(4 + 2 i) = 2 + 16 i = 1 + 4 i + 20 20 10 5 (7.2) (2 + i)2 + (3 + 4 i)(1 − 2 i) = (1 + i) + (1) + (1 − i) = 5 + 1 i 55 2 22 = (4 − 1) + 4 i + (3 + 8) + (4 − 6) i = 14 + 2 i (13.3) ⎜⎝⎛ 1 + i ⎞10 (1 + i)6 = i10(2 i)3 = 8 i13 = 8i 5 55 1 − i ⎠⎟ (7.3) (−14 + 23 i)(3 − 4 i) + (4 + 3) (14) ⎛ 1 + i ⎞5m = ⎛ 1 − i ⎞m → ⎛ 1 + i ⎞6m = 1 25 i ⎝⎜ 1 − i ⎠⎟ ⎝⎜ 1 + i ⎠⎟ ⎝⎜ 1 − i ⎠⎟ = 50 + 125 i + (−4 i + 3) = 5 + i → i6m = 1 → m = 2 25 (15) z1 + z2 = 5 − i = 5 + i (8) ⎛(3 + 4 i)2 (3 − 4 i)2 ⎞3 ⎜ − ⎟ z1 − z2 = −1 + 7 i = −1 − 7 i ⎝ 25 25 ⎠ z1z2 = (2 − 3 i)(3 + 4 i) = 18 − i ⎛ (9 − 16 + 24 i) − (9 − 16 − 24 i)⎞3 = ⎝⎜ 25 ⎠⎟ 2 − 3i (2 − 3 i)(3 − 4 i) (z1 / z2) = 3 + 4i = 25 = ⎛ 48 i ⎞3 = − ⎛ 48 ⎞3 i = − 6 − 17 i ⎝⎜ 25 ⎠⎟ ⎜⎝ 25 ⎠⎟ 25 25 (9) i29 = i1 = i , i42 = i2 = −1 , (z21) = (2 − 3 i)2 = −5 − 12 i i451 = i3 = −i , i4,040 = i4 = 1 (16) จาก z1z2 + z2 − 4 = 0 → z2 = 4 z1 + 1 (10) i135 + i136 + i137 + i138 (สต่ี วั เรียงกัน) เท่ากบั (−i) + (1) + (i) + (−1) = 0 → z2 = ⎛4 ⎞ = 4 1 ⎝⎜ z1 + 1⎠⎟ z1 + i135 ⋅ i136 ⋅ i137 ⋅ i138 = (−i)(1)(i)(−1) = −1 ∴ z2−1 = z1 + 1 = 4 + 4i = 1+ i (11) z = i9 + i1 0 + i 11 + i12 + N... 4 4 (17) ให้ z = a + bi จะไดว้ า่ 00 (a + bi) + i + 3 − 2(a − bi) = 1 + 2 i + i121 + i12 2 + i 123 + i1 24 + i125 + i126 0 นัน่ คอื a + 3 − 2a = 1 , b + 1 + 2b = 2 = i125 + i126 = i − 1 → a = 2, b = 1 → ∴ z = 2 + 1 i 33 ดงั นน้ั 2z−1 = 2 = 2(−i − 1) = −1 − i i−1 2 (18.1) 32 + 42 = 5 (18.2) 13 (18.3) 7 (18.4) 4 (18.5) 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 264 จาํ นวนเชิงซอ น (19.1) 22 ⋅ 24 = 16 (24) (a + 12)2 + b2 = 2 (a + 3)2 + b2 → 22 a2 + 24a + 144 + b2 = 4a2 + 24a + 36 + 4b2 (2)(2)5 (19.2) ( 3)6 = 64 → 108 = 3a2 + 3b2 → 36 = a2 + b2 81 → z =6 (19.3) 54 625 216 = 256 (25) 1 + z = 1 + a + bi 1 − z 1 − a − bi (19.4) (( ))2 −1 4 = 1 4 = [(1 + a) + bi] [(1 − a) + bi] 5 + 4 i ⎞3 (1 − a)2 + b2 −4 − 5 i ⎟⎠⎟ (20) ⎛ 2−i ⋅ 3 + 2i ⋅ 4 − 3i ⋅ = 1 + 2bi − b2 − a2 ⎝⎜⎜ 1 + 2 i 2 − 3i 1 − z2 = (1 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 1)3 = 125 ∴ Re ⎝⎜⎛ 1 + z ⎠⎟⎞ = 1 − (a2 + b2) = 1 − z2 1 − z 1 − z2 1 − z2 (21) z = (2)(2)( 2) = 4 2 → z−1 = (4 2)−1 = 1 (26) (i+1)(z+1) = − 1 → z+1 = −1 = −1 + i 42 i+1 2 (22) 1 + 1 = z2 + z1 = 0 → z = −1 + i − 1 = − 3 − 1 i z1 z2 z1z2 2 22 (หมายเหตุ โจทย์บอก z1 กบั z2 เพอื่ ป้องกนั ดังนน้ั z = − 3 + 1 i 22 ไมใ่ ห้สว่ นเปน็ ศนู ย์ เทา่ นน้ั ) หาค่า z(z − z)15 = ⎜⎝⎛ − 3 + 1 i⎠⎟⎞ (i)15 (23) การหาคา่ z จากสมการค่าสมั บรู ณ์ 2 2 ตอ้ งทราบ 2 สมการ จงึ แกห้ า a, b ได้ = ⎛ − 3 + 1 i⎟⎠⎞ (−i) = 1 + 3 i ⎜⎝ 2 2 2 2 (23.1) a + bi + 1 = 1 a + bi + 3 − 2 i ∴ ส่วนจรงิ คือ 1 / 2 → (a + 1)2 + b2 =1 (27) ก. a2 + b2 = 1 เป็นกราฟวงกลม (a + 3)2 + (b − 2)2 ข. 2a = a2 + b2 → 4a2 = a2 + b2 → (a + 1)2 + b2 = (a + 3)2 + (b − 2)2 → 3a2 − b2 = 0 → 3a = b, 3a = −b → − 4a + 4b − 12 = 0 → a − b = − 3 .....(1) เปน็ กราฟเสน้ ตรงสองเสน้ (ตอบ ข.) ค. 2a = a2 + b2 → 1 = a2 + 2a + 1 + b2 และ z = 149 → a2 + b2 = 149 .....(2) แกร้ ะบบสมการได้ b = 10 → a = 7 หรอื → 1 = (a + 1)2 + b2 เปน็ กราฟวงกลม b = −7 → a = −10 ง. (3a)2 + (3b + 1)2 = a2 + (b + 3)2 ∴ ตอบ z = 7 + 10 i หรอื −10 − 7 i → 8a2 + 8b2 = 8 → a2 + b2 = 1 (23.2) สมการแรกเหมอื นขอ้ (23.1) คือ เป็นกราฟวงกลม a − b = −3 .....(1) (28.1) (a − 2)2 + (b − 3)2 = 1 และสมการท่ีสอง คือ a2 + b2 = 29 .....(2) → (a − 2)2 + (b − 3)2 = 1 เปน็ กราฟวงกลม รัศมี 1 หนว่ ย และมจี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (2, 3) แก้ระบบสมการได้ b = 5 → a = 2 หรอื (28.2) (a + 2)2 + b2 = 3 (a − 2)2 +(b + 4)2 b = −2 → a = −5 ∴ ตอบ z = 2 + 5 i หรอื −5 − 2 i (23.3) (a − 4)2 + b2 = (a − 8)2 + b2 → a2 − 5a + b2 + 9b = −22 → − 8a + 16 = −16a + 64 → a = 6 (a − 2.5)2 + (b + 4.5)2 = − 22 + 6.25 + 20.25 = 4.5 และ (a − 12)2 + b2 = 5 a2 + (b − 8)2 → เป็นกราฟวงกลม รัศมี 4.5 หนว่ ย และมีจดุ 3 ศูนย์กลางอยทู่ ี่ (2.5, −4.5) แทนค่า a = 6 ได้ b = 17 หรอื 8 ตอบ z = 6 + 17 i หรอื 6 + 8 i Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 265 จํานวนเชงิ ซอ น (28.3) a2 + (b + 2)2 + a2 + (b − 2)2 = 10 วธิ เี ชงิ ขวั้ → ( 3 + i)8 = (2∠30°)8 = 256∠240° → 25 − 2b = 5 a2 + (b − 2)2 = −128 − 128 3 i → 25a2 + 21b2 = 525 (34) z = −2 + 2 3 i = 4∠ 2π → a2 + b2 = 1 → เปน็ กราฟวงรตี ามแกน y มี 3 21 25 → z17 = 417 ∠ 34π = 417 ∠ 4π → อยูใ่ น Q3 ศูนยก์ ลางท่จี ดุ กาํ เนดิ แกนเอกยาว 10 หน่วย และ 33 แกนโทยาว 2 21 หนว่ ย (29.1) คดิ จาก −1 − 3 i = 2 (35) z = −1 + 3 i = 2∠ 2π 3 และคิดมมุ จากอตั ราส่วน −1 : − 3 คอื 240° ดงั นนั้ −1 − 3 i = 2(cos 240° + i sin 240°) → z0 = 20∠0(2π) = 1∠0 = 1 หรอื เขยี นยอ่ ว่า 2∠240° กไ็ ด้ 3 (29.2) 4 2∠315° (29.3) 10∠0° [ข้อสังเกต z0 = 1 เสมอ] (29.4) 5∠180° (29.5) 4∠90° → z−10 = 2−10 ∠(− 20π) = 2−10∠ 4π (29.6) 3∠270° หมายเหตุ ในหลกั สูตร ควรเขยี นตอบแบบเต็ม 33 เท่านน้ั คอื r(cos θ + i sin θ) สว่ นสญั ลกั ษณ์แบบ = 2−10(cos 240° + i sin 240°) ยอ่ ใชเ้ พอ่ื ความสะดวกขณะคาํ นวณ (30) z1z2 = r1r2∠(θ1 + θ2) = 12∠210° (36.1) (1∠ π)50 = 150∠ 50π = 150∠ 2π 6 66 = 1∠60° = 1 + 3 i 22 (36.2) ⎛ 1 + 3 ⎞−8 + ⎛ − 1 − 3 ⎞−8 ⎝⎜ − 2 2 i⎠⎟ ⎜⎝ 2 2 i⎟⎠ = (1∠ 2π)−8 + (1∠ 4π)−8 33 = 12 (cos 210° + i sin 210°) = −6 3 − 6 i = 1∠(− 16π) + 1∠(− 32π) = 1∠ 2π + 1∠ 4π (31) z1z2z3 = r1r2r3 ∠(θ1 + θ2 + θ3) 3 3 33 = 24∠120° = 24(cos 120° + i sin 120°) = ⎛ 1 + 3 ⎞ + ⎛ 1 − 3 ⎞ = −1 ⎝⎜ − 2 2 i ⎠⎟ ⎝⎜ − 2 2 i⎠⎟ = −12 + 12 3 i (36.3) ( 2∠45°)30 = ⎛ 2∠45° ⎞10 ⋅( 2∠45°)20 (2∠45°)10 ⎝⎜ 2∠45° ⎟⎠ z1z2 = r1r2 ∠(θ1 + θ2 − θ3) = 3 ∠60° = ⎛ 2 ⎞10 (210)∠900° = 25 ∠180° = −32 z3 r3 2 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ = 3+3 3i (37) z3 = 1 + 3 i = 1∠60° 44 2 (32) z61 = r16∠6θ1 = 64∠90° = 64 i → z18 = (z3)6 = 16 ∠360° i − z27 i − (z3)9 i − 19∠540° และสังเกต z2 = 2 (cos π − i sin π) = 1 = 1 = 1 − 1i 33 i − (−1) 1 + i 2 2 ตรงกลางเปน็ เครอ่ื งหมาย ลบ ตอ้ งทําเปน็ บวกกอ่ น 2 (cos(− π) + i sin(− π)) ∴ a + b = 1/ 2 − 1/ 2 = 0 → z2 = 33 จงึ คาํ นวณตอ่ ได้ (38) ⎝⎜⎛ π ⎠⎟⎞6 π 1 3i → z1 = 1∠ = 1∠ = 2 + 2 18 3 16∠(− 8π) = 16∠ 4π z28 = r28∠8θ2 = จาก 2z1z2 = 1 + z2 → z2 = 1 3 3 2z1 − 1 = −8 − 8 3 i → z2 = 1= 1 (1 + 3 i) − 1 3i (33) วิธียกกาํ ลงั โดยตรง → ( 3 + i)8 [( 3 + ]i)2 4 = (2 + 2 3 i)4 → z2 = − 1 → z2−1 = − 3 i 3i = ⎡⎣(2 + 2 3 i)2 ⎦⎤2 = (−8 + 8 3 i)2 = −128 − 128 3 i Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 266 จํานวนเชิงซอ น (39.1) −8 + 8 3 i = 16∠120° (42.3) 2x3 − x + 1 = 0 รากทีส่ จ่ี ะเร่มิ จาก 1 120° คือ → (x + 1)(2x2 − 2x + 1) = 0 164 ∠ 4 2∠30° เฉพาะกาํ ลงั สอง ได้ x = 2 ± 4 − 8 = 1 ± i 2 และอีกสามคําตอบทเ่ี หลอื จะบวกไปทลี ะ ∴ x = −1, 1 ± i 360° = 90° (43) z4 − z2 + 16 = 0 4 → z2 = 1 ± 1 − 64 = 1 ± 3 7 i ไดแ้ ก่ 2∠120°, 2∠210°, 2∠300° 2 22 ∴ ตอบ 2∠30°, 2∠120°, 2∠210°, 2∠300° (39.2) 8 i = 8∠90° → z2 = ⎛ 1 ⎞2 + ⎛3 7 ⎞2 = 4 ∴z =2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ รากท่ีสามเร่มิ จาก 1 90° คือ ∠ 2∠30° 83 3 (44.1) x = −(1− 2 i)± (1− 2 i)2 − 4(2)(1− 8 i) 4 จากนั้นบวกไปทลี ะ 360° = 120° = −(1 − 2 i) ± −11 + 60 i 3 4 ได้แก่ 2∠150°, 2∠270° ถอดรากด้วยวธิ ีขอ้ 39.6, 40 ตอบ (ในรปู a + bi ) 3 + i , − 3 + i , − 2 i (39.3) −8 i = 8∠270° → = −(1 − 2 i) ± (5 + 6 i) = 1 + 2 i, −3 / 2 − i คาํ ตอบแรกคอื 2∠90° 4 ∴ ตอบ 2∠90°, 2∠210°, 2∠330° (44.2) x = 3 ± 9 − 4(2 i)(−3 i) (39.4) −4 + 4 3 i = 8∠120° → 4i คาํ ตอบแรกคอื 2 2∠60° = 3 ± 9 − 24 = 3 ± 15 i = − 3 i ± 15 ∴ ตอบ 2 2∠60°, 2 2∠240° 4i 4i 4 4 (39.5) −2 3 − 2 i = 4∠210° → (44.3) −2(i − 1)± [2(i − 1)]2 − 4(1)(−1− 2 i) คําตอบแรกคอื 2∠105° x= ∴ ตอบ 2∠105°, 2∠285° 2 (39.6) ใช้เชงิ ขัว้ คดิ จะยาก เพราะไม่ทราบมมุ θ = −2(i − 1)± 4 = −2 i + 2 ± 2 = 2 − i, − i จึงใช้วธิ ีสมมตคิ ําตอบเปน็ x + yi ดังนน้ั 22 (x + yi)2 = −15 − 8 i → x2 − y2 = −15 .....(1) และ 2xy = −8 .....(2) (44.4) (2 + 3 i)± (2 + 3 i)2 − 4(1)(−1+ 3 i) แกร้ ะบบสมการได้ x = 1 → y = −4 x= หรอื x = −1 → y = 4 2 ∴ ตอบ 1 − 4 i และ −1 + 4 i (40) x2 − y2 = 3 และ 2xy = 4 → = (2 + 3 i)± −1 = 2 + 3 i ± i = 1 + 2 i, 1 + i จะได้ x = 2 → y = 1 22 หรอื x = −2 → y = −1 → ∴ ตอบ 2 + i และ −2 − i (45) วิธีแทนคา่ (41) z1 กบั z2 เป็นรากทส่ี องของ −2 − 2 3 i (2 + 3 i)3 − 3(2 + 3 i)2 + 9(2 + 3 i) + 13 ∴ z1 2 + z2 2 = −2 − 2 3 i + −2 − 2 3 i = (−46 + 9 i) + (15 − 36 i) + (18 + 27 i) + 13 = 0 = 4+4 = 8 วิธแี ยกตัวประกอบ x3 − 3x2 + 9x + 13 (42.1) x2 = −16 → x = ± −16 = ±4 i = (x + 1)(x2 − 4x + 13) = 0 ∴ x = 4 ± 16 − 52 = 2 ± 3 i 2 (46) x3 − 17x2 + 83x − 67 = (x − 1)(x2 − 16 + 67) = 0 เฉพาะกาํ ลังสอง ได้ x = 16 ± 256 − 268 = 8 ± 3 i 2 ∴ ตอบ (1) + (8 + 3 i) + (8 − 3 i) = 17 (42.2) x = 3 ± 9 − 32 (47) z3 + 2z2 + 9z + 18 = (z + 2)(z2 + 9) = 0 4 → z = −2, ± 3 i = 3 ± −23 = 3 ± 23 i 44 44 ตอบ ผลบวก = −2 ผลคณู = −18 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 267 จาํ นวนเชิงซอ น (48) แสดงวา่ อกี รากคอื 4 − 3 i ∴ Ax2 + Bx + C = (x − 4 + 3 i)(x − 4 − 3 i) (54.2) แยกตัวประกอบได้ = x2 − 8x + 25 → A + B + C = 18 (x + 1)(x − 2)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (49) (x − 2)(x − 1 + i)(x − 1 − i) = 0 ∴ ตอบ −1, ± 2, − 1 ± 3 i (x − 2)(x2 − 2x + 2) = 0 (55) แยกตวั ประกอบได้ (x4 − 1)(x2 − x + 1) = 0 → x3 − 4x2 + 6x − 4 = 0 → (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 − x + 1) = 0 (50) (x − 2 + 2 3 i)(x − 2 − 2 3 i) (x + 4 i)(x − 4 i) = 0 → x = ± 1, ± i, 1 ± 3 i ตอบ ผลบวก = 1 22 → (x2 − 4x + 16)(x2 + 16) = 0 (56.1) z2 = −1 ± 1 − 8 → x4 − 4x3 + 32x2 − 64x + 256 = 0 2 (51) (x − 2 + 2 i)(x − 2 − 2 i) = x2 − 4x + 8 → z2 = ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 7 ⎞2 = 2 จากโจทยแ์ ยกได้ (x2 − 4x + 8)(x2 − 7) = 0 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ + ⎝⎜ 2 ⎠⎟ คําตอบทเี่ หลอื คอื 2 − 2 i, ± 7 ∴ z = 4 2 → ผลบวก 4 คําตอบ = 44 2 (52) (x + 1 + i)(x + 1 − i) = x2 + 2x + 2 จากโจทยแ์ ยกได้ (x2 + 2x + 2)(x2 − 2) = 0 (56.2) (x2 + 4)(x2 − 2x + 8) = 0 คาํ ตอบคอื −1 ± i, ± 2 → x = ± 2 i, 1 ± 7 i ตอบ 2 i + −2 i + 1 + 7 i + 1 − 7 i = 4 + 4 2 (53) (x + 1 − 3 i)(x + 1 + 3 i) = x2 + 2x + 4 (56.3) (x4 + 4)(x − 3 i) = 0 จากโจทยแ์ ยกได้ → x = 3 i หรอื x4 = −4 (x2 + 2x + 4)(x3 − 2x2 + 9x − 18) = 0 ผลบวกคา่ สมั บูรณ์ = 3 i + 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 4 → (x2 + 2x + 4)(x − 2)(x2 + 9) = 0 = 3+4 2 ∴ คําตอบคอื −1 ± 3 i, 2, ± 3 i (57) แสดงวา่ p(−2 i) = 0 [ทฤษฎีตวั ประกอบ] (54.1) เนอื่ งจากสมการ x6 − 1 = 0 แยกตวั (−2 i)3 − (5 − 2 i)(−2 i)2 + (7 − 10 i)(−2 i) + k = 0 ประกอบได้ (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + 1) = 0 → k = 14 i แสดงว่าคาํ ตอบของพหนุ ามดีกรี 5 ในโจทย์ ก็คือ (58) ถ้าแทนคา่ x ลงไปในพหุนามจะคาํ นวณยาก คาํ ตอบของสมการ x6 − 1 = 0 ยกเว้น x=1 นน่ั เอง จงึ ใชท้ ฤษฎีเศษเหลอื ตามคาํ ใบใ้ นโจทย์ (ซ่ึงต้องตง้ั x6 − 1 = 0 → x6 = 1 ดังน้นั x เปน็ รากท่ี 6 ของ หารยาว เพราะหารสงั เคราะห์กาํ ลงั สองไม่ได,้ หาร 1 (ซง่ึ เราจะหาคาํ ตอบทง้ั 6 ได้ โดยอาศยั รปู เชงิ ขวั้ ) สังเคราะหก์ าํ ลังหนึ่งกย็ าก เพราะติด i) → ตอบ −1 , ± 1 ± 3 i ไดค้ าํ ตอบ (คอื เศษ) = −31 22 (59) P(x) = x3 + Bx2 + Cx + D เพ่มิ เตมิ จากเน้อื หาเรอื่ งลาํ ดบั และอนกุ รม จาก 1 + 3 i เป็นรากของ P(x) ถ้าศึกษาเร่ืองอนุกรมเรขาคณิตในบทที่ 13 แลว้ จะ → (x − 1 − 3 i)(x − 1 + 3 i) = x2 − 2x + 4 สามารถจัดรปู สมการ x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0 แสดงว่า P(x) = (x2 − 2x + 4)(x − c) ให้เปน็ x6 − 1 = 0 ไดอ้ ย่างงา่ ยดายครบั ! P(2) = 5 จะได้ c = 3 / 4 ∴ รากที่เปน็ จาํ นวนจรงิ ของ P(x) คอื c = 3 / 4 x−1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 268 จํานวนเชิงซอน eÃèo× §æ¶Á ใชจ้ าํ นวนเชงิ ซอ้ นช่วยคํานวณเกีย่ วกบั วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ.. การคาํ นวณวงจรไฟฟา้ กระแสสลบั ในวิชาฟสิ ิกสร์ ะดับ ม.ปลาย ไม่ได้กลา่ วถงึ จาํ นวนเชิงซ้อนเลย แตใ่ ห้ใชเ้ วกเตอรใ์ นการหาขนาดและมมุ หรือทเี่ รยี กกันวา่ ใช้ เฟสเซอร์ (Phaser) แต่อนั ทจี่ ริงแล้ววงจรไฟฟา้ กระแสสลบั นน้ั เกีย่ วขอ้ งกับจาํ นวนเชิงซอ้ นโดยตรง สว่ นเฟสเซอร์เปน็ เพียงการนําผลท่ไี ดจ้ ากจาํ นวนเชงิ ซ้อน (ในรปู เชิงขว้ั ) ไปเขียนเปน็ รปู ภาพเทา่ นนั้ เอง.. หากมคี วามรูใ้ นเรอ่ื งจํานวนเชงิ ซอ้ นจะทาํ ใหค้ ํานวณวงจรไฟฟา้ กระแสสลับได้โดยงา่ ย เพราะเป็น การคาํ นวณขนาดและมุมไปในตวั พรอ้ มๆ กนั ไมต่ อ้ งยุง่ ยากกับเฟสเซอร์เลยครับ (โดยเฉพาะในข้อสอบ พื้นฐานวิศวะน้นั จําเปน็ มากทจี่ ะตอ้ งใชจ้ าํ นวนเชงิ ซอ้ นคดิ เนอื่ งจากวงจรค่อนขา้ งซบั ซ้อน) สิ่งทต่ี อ้ งทราบเพอ่ื ใช้ในการคาํ นวณ (ดว้ ยจาํ นวนเชิงซ้อน) มีดังน้ี (1) นยิ มใช้ j แทน i เพอื่ ไม่ใหส้ บั สนกับตวั แปร i ท่ใี ชแ้ ทนกระแสไฟฟา้ (2) นิยมใหแ้ หลง่ จา่ ยแรงดนั กระแสสลับ (สญั ญาณรปู ไซน)์ มมี มุ เปน็ ศูนย์ (คอื แรงดัน = V∠0° ) (3) คา่ อมิ พแี ดนซ์ (Z) หน่วยเปน็ โอหม์ ของแตล่ ะอุปกรณเ์ ปน็ ดงั น้ี ตวั ตา้ นทาน ZR = R (มแี ต่สว่ นจรงิ ไม่มสี ่วนจนิ ตภาพ) ตวั เหนยี่ วนาํ ZL = j ωL (ช้ขี น้ึ ขนาดเทา่ กบั ωL หรอื เขยี นในรปู ωL∠90° ) ตวั เก็บประจุ ZC = 1 = −j ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠ (ชี้ลง ขนาดเทา่ กบั 1 หรือเขียนในรปู 1 ∠−90° ) jωC ωC ωC ωC (4) เราคาํ นวณในวงจรเสมือนวา่ เป็นวงจรไฟฟา้ กระแสตรงตามทค่ี นุ้ เคย เพยี งแคค่ ดิ เลขเปน็ จาํ นวนเชงิ ซอ้ น (กฎทุกกฎใชไ้ ดห้ มด ไมว่ า่ จะเปน็ V = I Z , การรวมคา่ โอหม์ แบบอนุกรมและแบบขนาน, กฎการแบง่ กระแส, การแบง่ แรงดนั , กฎของเคอร์ชอฟฟ์ ฯลฯ) ตวั อย่าง ถา้ แหลง่ กาํ เนิดแรงดนั รปู ไซนม์ ีขนาด 10 โวลต(์ rms) และอุปกรณแ์ ตล่ ะชนิ้ มคี ่าอมิ พแี ดนซต์ ามท่ี ระบใุ นรปู (คาํ นวณเปน็ โอห์มใหแ้ ลว้ ) ใหห้ าอิมพแี ดนซร์ วม และกระแสรวมในวงจรนี้ (แบบ rms) วธิ คี ดิ ถา้ เปน็ วงจรไฟฟ้ากระแสตรง เราจะใชว้ ธิ ีรวม R อนกุ รมใน แต่ละเส้น แล้วนาํ ทัง้ สองเส้นมารวมกนั แบบขนาน จะไดค้ ่า R รวม 10 V 3 Ω 4 Ω ของวงจร แลว้ ก็ใช้สูตร V = I R ก็จะไดค้ า่ กระแสรวมของวงจร 4 Ω 3 Ω ถึงแมว้ งจรนี้เปน็ ไฟฟา้ กระแสสลบั เราก็ยงั ยึดวิธคี ดิ แบบเดมิ ได้ เสน้ ขวา มี 4 โอห์ม กบั j3 โอหม์ ตอ่ แบบอนุกรม จงึ ได้ Zขวา = 4 + j3 โอหม์ เส้นกลาง มี 3 โอห์ม กับ -j4 โอหม์ ต่อแบบอนุกรม จึงได้ Zกลาง = 3 − j4 โอห์ม (อย่าลืมวา่ C ตอ้ งชล้ี งในทิศ -j) จากน้ันรวมสองเส้น แบบขนาน Zรวม = (4 + j3) //(3 − j4) = (4 + j3)(3 − j4) = 24 − j7 = 3.5 − j0.5 โอหม์ ... คดิ เปน็ ขนาด 3.52 + 0.52 = 3.54 โอห์ม (4 + j3) + (3 − j4) 7 − j1 ดงั นน้ั Iรวม = V = 10 = 2.8 + j0.4 แอมแปร์ ..คดิ เปน็ ขนาด 2.82 + 0.42 = 2.83 แอมแปร์ Zรวม 3.5 − j0.5 (ถา้ ไมต่ อ้ งการทราบมุม ตอ้ งการเพยี งขนาด กค็ ดิ ตามนก้ี ไ็ ดค้ รับ Iรวม = V = 10 = 2.83 ) Zรวม 3.54 หมายเหตุ คา่ Zรวม = 3.5 − j0.5 และ Iรวม = 2.8 + j0.4 นน้ี าํ ไปวาดเฟสเซอร์รว่ มกบั ค่า V ได้เลย ตามสดั ส่วนคา่ จรงิ , จินตภาพ ทไ่ี ด้ออกมา เหมือนกับว่าคาํ นวณทีเดยี วไดท้ ั้งขนาดและมุมพรอ้ มกนั ... และถา้ ตอ้ งการหากระแสในแต่ละเส้น หรอื ความตา่ งศกั ยแ์ ตล่ ะจุดกค็ งจะดดั แปลงวธิ กี ารต่อไปได้แลว้ นะครบั Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 269 ทฤษฎีกราฟ G,r,A,p,H º··Õè 12 ·ÄɮաÃÒ¿ กราฟ (Graph) ในท่นี ี้ไมไ่ ดห้ มายถงึ กราฟของ ความสมั พนั ธ์หรือฟังก์ชัน แบบทเี่ คยศกึ ษาผา่ นมาแล้ว (คอื กราฟของสมการระหว่าง x กบั y) แตจ่ ะหมายถงึ แผนภาพซ่งึ ประกอบดว้ ยจดุ และเส้นที่เช่ือมจดุ เชน่ แผนภาพแสดงเสน้ ทางเดินรถไฟ, โครงสรา้ งทางเคม,ี วงจรไฟฟ้า... บางตําราจะใช้คาํ วา่ ขา่ ยงาน (Network) การศกึ ษา ทฤษฎกี ราฟ (Graph Theory) จะชว่ ย แกป้ ัญหาบางอย่างไดเ้ ช่น การหาเส้นทางเดินให้ผา่ น ทกุ จุดโดยไม่ซาํ้ ทางเดมิ , การหาเสน้ ทางไปยงั จุดหมาย ใหส้ ัน้ ที่สุด, การเลือกวางเสน้ ทางให้เช่อื มทุกๆ จดุ โดย ประหยดั ทส่ี ดุ เป็นต้น สมมตกิ ราฟ G เป็นกราฟทใี่ ช้แทนเมอื ง 4 เมือง คอื A e1 B A, B, C, D และมีถนนเชื่อมระหวา่ งเมอื ง A–B, A–C, B–C, B–D, และ C–D จะเขียนแผนภาพของ G ไดด้ ังรปู e2 e3 e4 C e5 D Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 270 ทฤษฎีกราฟ 12.1 สว่ นประกอบของกราฟ ส่วนประกอบของกราฟมี 2 เซต คอื เซตของ จุดยอด (Vertex) : V (G) และเซตของ เส้นเชอื่ ม (Edge) : E(G) ในตัวอย่างกราฟ G นี้ จะได้ V (G) = {A, B, C, D} และ E(G) = {AB, AC, BC, BD, CD} หรืออาจเขยี นเป็น E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5} การเกิดเปน็ กราฟได้จะตอ้ งมจี ุดอย่างน้อยหนึ่งจดุ แต่กราฟอาจไม่มีเสน้ เลยก็ได้ (หมายความวา่ เซต V (G) หา้ มเปน็ เซตวา่ ง แต่เซต E(G) สามารถเปน็ เซตวา่ งได้) ข้อตกลงในการเขยี นแผนภาพของกราฟ คอื จะวางจุดยอดจุดใดไวต้ าํ แหนง่ ใดกไ็ ด้ และจะ ลากเสน้ เชอ่ื มเป็นเส้นตรงหรือโค้งก็ได้ (แต่หากเส้นเชือ่ มสองเสน้ ทีล่ ากข้นึ น้ันตัดกัน จดุ ตดั ทเ่ี กดิ ข้ึน จะไม่นบั เปน็ จดุ ยอดของกราฟ) ... ดงั นัน้ กราฟ G ดังท่ีกําหนดให้ อาจเขียนแผนภาพแบบอน่ื ๆ ได้ มากมาย เช่น B A e1 e1 e4 A e1 B e4 e2 B e3 C e5 D e4 A e3 D e3 D e5 C e2 e5 e2 C พจิ ารณากราฟ G ดังรูป A e7 e1 B 1. พบวา่ e5 และ e6 เปน็ เส้นที่เชือ่ มจดุ ปลาย คู่เดียวกัน e4 เรียก e5 และ e6 วา่ เสน้ เชื่อมขนาน (Parallel Edges) e2 e3 D C e5 หมายเหตุ กราฟน้ีมีเส้นเชื่อมขนาน เราไม่สามารถใชค้ ําว่า CD เขียนแทน e6 ทงั้ e5 กับ e6 ได้ จะต้องเขียน E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} เท่านั้น 2. พบว่า e7 เป็นเส้นเชอ่ื มที่มปี ลายทั้งสองเป็นจดุ ๆ เดียว เรยี ก e7 วา่ วงวน (Loop) 3. เรยี กจุดยอด A กบั B วา่ จุดยอดทป่ี ระชดิ กนั (Adjacent Vertices) A e1 B เน่อื งจากมเี ส้นเชอ่ื มระหว่างจุดยอดทง้ั สอง (ตัวอย่างจุดยอดทไี่ ม่ประชิดกันเชน่ จดุ ยอด A กับ D) e2 e3 e4 D 4. เรยี กเสน้ เชื่อม e1 “เกดิ กบั (Incident) จุดยอด A” C e5 เน่อื งจากจุดยอด A เป็นปลายของ e1 E (หรือจะกล่าวว่า e1 เกิดกับจุดยอด B กถ็ ูกเช่นกัน) 5. ดีกรี (Degree) ของจุดยอด คอื จาํ นวนคร้งั ที่มีเสน้ เชือ่ มเกดิ กับจุดยอดน้ัน “ดีกรขี องจุดยอด A” ใช้สัญลกั ษณ์ deg A ดังน้ัน ในกราฟรูปลา่ ง deg A = 2 , deg B = 3 , deg C = 2 , deg D = 3 , และ deg E = 0 เรยี กจดุ ยอดท่ีมีดกี รีเปน็ จํานวนคู่วา่ จุดยอดคู่ (Even Vertex) เช่น จดุ A, จุด C, จุด E และเรยี กจุดยอดทม่ี ีดีกรีเป็นจาํ นวนคีว่ า่ จุดยอดค่ี (Odd Vertex) เช่น จุด B, จดุ D Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 271 ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีบทท่สี าํ คัญ ได้แก่ S e¾ièÁeµÁi ! S 1. ผลรวมดกี รขี องจุดยอดทัง้ หมดในกราฟ จะเปน็ 2 เทา่ ของ จํานวนเส้นเชอื่ ม (ดงั น้นั ผลรวมดีกรียอ่ มเปน็ จํานวนคเู่ สมอ) Çi¸Õ¡ÒÃËÒ´Õ¡ÃÕ¢o§¨´u Âo´oÂÒ§§ÒÂæ ¤×o เช่น ในตัวอยา่ งท่แี ล้ว... deg รวม = 10 และจํานวนเส้นเช่ือม = 5 e¢Õ¹ǧ¡ÅÁ¢¹Ò´eÅ¡ç æ Åo ÁÃoº¨´u Âo´¹¹éa 2. เน่ืองจากผลรวมดีกรตี อ้ งเป็นจํานวนคู่ ทาํ ใหจ้ าํ นวนจดุ ยอดค่ี ของกราฟเปน็ จํานวนคเู่ สมอ (ส่วนจดุ ยอดค่จู ะมีเทา่ ใดกไ็ ด้) ǧ¡ÅÁ¹µéÕ a´¡aºeʹ eª×oè Á¡¤èÕ Ã§éa ¨u´Âo´¡¨ç aÁÕ เชน่ ในตวั อย่างทแ่ี ล้ว มีจุดยอดคีอ่ ยู่ 2 จุด ´Õ¡ÃÕe·Ò¹¹éa ¤Ãaº.. แบบฝกึ หดั 12.1 (1) ใหเ้ ขียนแผนภาพของกราฟ G ขอ้ ละ 1 แบบ เมื่อกาํ หนด V (G) และ E(G) ใหด้ ังนี้ (1.1) V (G) = {w, x, y, z} และ E(G) = {wx, wy, wz, xy, xz, yz} (1.2) V (G) = {A, B, C, D} และ E(G) = {AB, AC, BC, DD} (1.3) และV (G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E (G) = {v1v3, v2v4, v2v5, v3v6, v4v6, v5v5} (2) จากกราฟ G ท่กี ําหนดให้แต่ละข้อ ใหเ้ ขียน V (G) , E(G), deg A , deg D และตอบว่าจุดยอด D กบั จดุ ยอดใดทเี่ ป็นจุดยอดประชิด, และ เสน้ เช่อื ม e3 เกิดกบั จุดยอดใด (2.1) B (2.3) E e1 e5 D e1 F A e4 D e6 e2 (2.2) B e3 e2 e5 C e5 e3 C C A e1 B e4 A e6 e4 e2 D e3 (3) โดยอาศัยทฤษฎเี ก่ยี วกบั จุดยอดค่ี ใหต้ อบว่าแต่ละเหตกุ ารณต์ ่อไปน้ีเป็นไปไดห้ รอื ไม่ (3.1) กราฟ G มีจดุ ยอดทง้ั ส้ิน 4 จดุ ซ่ึงแต่ละจุดมีดกี รีเท่ากับ 1, 2, 3, และ 3 (3.2) ในจาํ นวน 5 เมอื ง มเี มืองทม่ี ถี นนเช่ือมไปยังเมอื งอน่ื 3 สาย อยู่ 1 เมือง, 2 สาย อยู่ 2 เมอื ง, และเมอื งท่ีเหลือมีถนนเช่ือมไปยังเมอื งอื่นเพยี งเมืองละ 1 สาย (3.3) นักเทนนิส 15 คน ทกุ คนลงแขง่ กับใครก็ไดใ้ นกลุ่มนี้ 3 ครัง้ (4) ให้ใช้ทฤษฎกี ราฟเบอื้ งตน้ ช่วยแก้ปัญหาต่อไปน้ี (4.1) หากมขี ้อมูลวา่ ประเทศไทยมอี าณาเขตติดตอ่ กบั ประเทศพมา่ ลาว กมั พชู า และ มาเลเซีย, ประเทศลาวมีอาณาเขตติดต่อกบั กัมพูชา พม่า และเวียดนาม, กัมพูชามอี าณาเขตตดิ ตอ่ กบั เวยี ดนาม, มาเลเซียติดกบั สิงคโปร์ ... ต้องการระบายสแี ผนทข่ี องประเทศท่กี ล่าวมาน้ี โดยอาณา บริเวณแต่ละประเทศทต่ี ดิ ตอ่ กันต้องใชค้ นละสี จะตอ้ งเตรยี มสีอย่างน้อยก่สี ี [ Hint : ให้จดุ ยอดแทนประเทศ และให้เส้นเช่ือมแทนการมอี าณาเขตติดต่อกนั ] (4.2) ร้านกาแฟแห่งหน่ึงมีลูกค้าประจาํ 7 คน ซงึ่ จะมานงั่ ด่มื กาแฟในเวลาดงั นี้ เกษม และขจร จะมาดม่ื กาแฟด้วยกันทุกครงั้ ภายในชว่ งเวลา 8.15 – 8.45 น. คะนึง และงาม จะมานง่ั ด่ืมกาแฟด้วยกัน ภายในชว่ งเวลา 8.30 – 9.00 น. จรญู มานัง่ ดื่มกาแฟคนเดยี ว ภายในชว่ งเวลา 8.20 – 8.40 น. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 272 ทฤษฎีกราฟ ฉลอง มานั่งดื่มกาแฟคนเดยี ว ภายในช่วงเวลา 8.50 – 9.15 น. และชรสั มานั่งดืม่ กาแฟคนเดียว ภายในชว่ งเวลา 8.00 – 8.25 น. รา้ นกาแฟจะตอ้ งจัดท่ีนัง่ ไว้รบั รองลูกคา้ ประจํากลมุ่ นี้ อย่างน้อยทีส่ ุดกท่ี ี่ [ Hint : ใหจ้ ดุ ยอดแทนตัวลกู คา้ และให้เส้นเช่อื มแทนการมีชว่ งเวลาทับซอ้ นกนั ] (4.3) เพอื่ นสนิทกลุ่มหนึง่ ซึ่งมี 5 คน มกี ารคยุ โทรศพั ท์ระหว่างกนั ในรอบสปั ดาหท์ ีผ่ า่ นมา เปน็ จาํ นวน 2, 3, 3, 4, 4 ครงั้ ตามลาํ ดบั แสดงวา่ มกี ารโทรศพั ท์เกิดข้ึนรวมทง้ั หมดกีค่ รงั้ (4.4) การแข่งขันเทนนสิ มนี กั กีฬาเขา้ รว่ มแข่งขนั 10 คน เปน็ การแข่งแบบพบกนั หมด หาก ใน 1 วนั จดั แข่งได้ 4 คู่ จะตอ้ งใชเ้ วลาท้ังหมดกวี่ ัน 12.2 กราฟออยเลอร์ มปี ญั หาท่ีคลาสสคิ อยขู่ ้อหนง่ึ กลา่ วถึงสะพานขา้ มแมน่ ้ํา แผ่นดนิ C พรเี กลในเมืองเคอนิกส์แบร์ก ประเทศเยอรมนี ... เรยี กวา่ เกาะ A เกาะ B ปัญหาสะพานเคอนกิ สแ์ บร์ก (Königsberg Bridge Problem) สะพานเหล่าน้ีเชือ่ มเกาะและแผ่นดินในลักษณะดงั รูป ปัญหาถามว่า เป็นไปไดไ้ หมทเ่ี ราจะเริ่มตน้ จากจุดหนง่ึ บนแผ่นดนิ แล้วเดนิ ข้ามสะพานใหค้ รบทกุ อันจนกลับมายังจุดเร่ิมต้น แผ่นดิน D โดยไม่ซํ้าสะพานเดิมเลย ลกั ษณะของปัญหาเหมือนกบั “การลากเสน้ วาดรูปโดยไมย่ กดินสอ” C นัน่ เอง ซึ่งการจะตอบปัญหาลักษณะนี้ได้ ตอ้ งเข้าใจเกย่ี วกบั กราฟออยเลอร์ e1 e2 e7 e4 e5 e6 ก่อน ถ้าเราแปลงปญั หาน้ีเปน็ กราฟ โดยให้แผน่ ดินและเกาะเป็นจุดยอด A B และใหส้ ะพานเปน็ เส้นเชื่อม จะได้แผนภาพของกราฟดังน้ี D เราสามารถเดินทางจากจุด C ไปยังจุด D ได้หลายทาง e3 เชน่ C → B → D เขียนเป็นลาํ ดบั ได้วา่ C, e7, B, e6, D หรือ C → A → D เขยี นเป็นลาํ ดับไดว้ า่ C, e1, A, e3, D หรือ C, e1, A, e4, D หรืออ่นื ๆ หรอื C → B → A → D เขียนเป็นลําดบั ได้วา่ C, e7, B, e5, A, e3, D หรืออ่นื ๆ เรียกลาํ ดบั (ท่ีประกอบด้วยจดุ สลับกบั เสน้ ) เหลา่ น้วี า่ แนวเดิน (Walk) ทีก่ ลา่ วมาท้ังหมดกค็ อื ตวั อย่างของ “แนวเดนิ C–D” หมายเหตุ หากกราฟไม่มเี สน้ เชอื่ มขนานและไมม่ วี งวน สามารถเขยี นลําดบั ของแนวเดนิ โดยใชเ้ ฉพาะจุด ไม่ตอ้ ง บอกเส้นเชื่อมกไ็ ด้ เช่น C, B, D หรอื C, A, D หรือ C, B, A, D ฯลฯ ... แตใ่ นตวั อย่างนีท้ ําไมไ่ ด้ เพราะมเี สน้ เชอ่ื มขนาน (คาํ วา่ C, A, D จะเป็นไปได้หลายทาง ไม่ชัดเจน) กราฟนีเ้ ปน็ กราฟเช่ือมโยง (Connected Graph) เน่ืองจากทุกๆ จุดยอดมีแนวเดนิ ถงึ กัน แนวเดนิ ซ่งึ เริ่มและจบท่ีจดุ เดียวกนั โดยไมใ่ ชเ้ สน้ เชอื่ มซ้ํากนั เลย เรียกวา่ วงจร (Circuit) ถา้ วงจรนัน้ ผ่านจดุ ยอดและเสน้ เช่ือมทง้ั หมดท่ีมใี นกราฟ เรยี กว่า วงจรออยเลอร์ (Euler Circuit) กราฟใดที่สามารถหาวงจรออยเลอรไ์ ด้ จะถกู เรียกว่าเปน็ กราฟออยเลอร์ (Eulerian Graph) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 273 ทฤษฎีกราฟ ปัญหาสะพานเคอนิกสแ์ บร์ก ถกู แกโ้ ดยนกั คณติ ศาสตร์ช่อื เลออนารด์ ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1736 ... เมื่อไดแ้ ผนภาพแลว้ การแก้ปัญหาก็เพยี งพิจารณาว่าแผนภาพทไี่ ด้นัน้ “เปน็ กราฟออยเลอร์ หรอื ไม่” และเหตุผลทีเ่ ขาอธิบายคอื “กราฟออยเลอรจ์ ะตอ้ งเป็นกราฟเชือ่ มโยง และจุดยอดทกุ จุดต้องเป็นจุดยอดคู่” (เพราะไมว่ า่ จุดใด จะต้องมเี ส้นทางให้เดนิ เข้าเปน็ จํานวนเทา่ กับเส้นทางใหเ้ ดินออก) ... ดังนนั้ คาํ ตอบของปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก คือ “เปน็ ไปไมไ่ ด้” เพราะเปน็ จุดยอดคท่ี ั้ง 4 จุด หมายเหตุ ปัจจบุ ันเมืองเคอนกิ สแ์ บรก์ เปลีย่ นช่อื เป็น Kaliningrad และกลายเป็นส่วนหนง่ึ ของรัสเซยี แบบฝกึ หดั 12.2 (5) มแี นวเดนิ จากจุด A ไปยงั จุด D ซง่ึ ไม่ซ้ําเส้นทางเดมิ E C ทัง้ หมดก่แี บบ ได้แก่อะไรบา้ ง D C BA B (6) สําหรับระบบเครอื ขา่ ยคอมพวิ เตอร์ซึง่ ประกอบ DA ดว้ ยคอมพิวเตอร์ 6 เครื่อง เชื่อมต่อเพอ่ื รบั ส่งขอ้ มูล ระหว่างกันตามรปู คอมพวิ เตอรเ์ ครอ่ื งใดควรเฝ้าระวงั F ไม่ให้เสียหายมากทสี่ ดุ ให้อธบิ ายเหตผุ ลโดยอา้ ง E ทฤษฎีกราฟ (7) กราฟตอ่ ไปนเี้ ป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่, ถ้าเป็น ใหเ้ ขียนลําดบั แสดงวงจรออยเลอร์ด้วย (7.1) E (7.2) E (7.3) E FF C C C A BA BA B (7.4) B (7.5) B (7.6) B A C A CA C D D D F (7.7) A (7.9) A (7.8) A FB B FB C E C EC D D DE Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 274 ทฤษฎีกราฟ (8) จากกราฟตา่ งๆ ในข้อ (7) ให้พิจารณาว่า กราฟในขอ้ ใดสามารถลากเส้นจนครบทั้งรปู โดยไม่ทับ เสน้ ทางเดมิ และเส้นท่ลี ากนั้นไมข่ าดตอน ... เม่อื กาํ หนดเง่อื นไขวา่ (8.1) จดุ เร่ิมต้นและจดุ สิ้นสุด ตอ้ งเป็นจุดเดียวกนั (8.2) จดุ เรม่ิ ต้นและจุดส้นิ สุด ต้องเปน็ คนละจุดกัน [ Hint : มีจดุ ยอดคีไ่ ด้ 2 จุด … ให้จุดหนึ่งเปน็ จดุ เริ่มต้น อกี จดุ เป็นจดุ สนิ้ สุด ] (9) บ้านหลงั หนึง่ มแี บบแปลนช้นั ล่าง ดังรปู A B C เปน็ ไปไดห้ รอื ไม่ท่ีจะออกเดินจากจุดๆ หนึ่ง D E F ให้ผา่ นครบทุกประตู ประตลู ะครง้ั เดียว (9.1) แล้วกลับมาทจี่ ุดเร่ิมตน้ พอดี G H (9.2) ไม่ตอ้ งกลบั มายงั จดุ เริ่มต้นก็ได้ [ Hint : ใหจ้ ดุ ยอดแทนห้องและนอกตวั บา้ น (9 จดุ ) และให้เสน้ เชอื่ มแทนประตู (15 เส้น) ] (10) ตอบคําถามต่อไปน้ี (10.1) หากปัญหาสะพานเคอนิกส์แบรก์ ยกเว้นเงอื่ นไขทว่ี ่าจะตอ้ งกลบั มาสิ้นสดุ ทจี่ ดุ เร่ิมตน้ แลว้ คําตอบของปัญหานจี้ ะกลายเปน็ “เปน็ ไปได้” หรอื ไม่ เพราะเหตุใด (10.2) ถ้าข้อที่แล้วตอบว่า “ไม่” ... ใหพ้ จิ ารณาวา่ เราสามารถสรา้ งสะพาน 1 อัน เพิ่มเตมิ ระหวา่ งจุดใด เพื่อใหค้ าํ ตอบกลายเป็น “เปน็ ไปได”้ 12.3 วถิ ที ่ีสนั้ ท่สี ดุ และต้นไมแ้ ผท่ ่วั ที่น้อยท่สี ดุ เรานําทฤษฎกี ราฟเบอื้ งตน้ ไปประยกุ ต์ใชแ้ กป้ ัญหาบางอยา่ งได้ ดังท่ีเอ่ยถงึ แล้วเชน่ การหา เส้นทางม่งุ ไปยงั จดุ หมายให้สน้ั ทสี่ ุด และการเลอื กวางเสน้ ทางให้เช่อื มทกุ จุดโดยประหยดั ที่สุด ซงึ่ มี รายละเอยี ดคร่าวๆ ดังน้ี.. (วธิ ีขั้นสงู จะยงั ไมศ่ กึ ษาในระดับ ม.ปลาย) B C 3 รปู น้เี ป็นตวั อยา่ งของ กราฟถว่ งนาํ้ หนกั 2 (Weighted Graph) ... คอื กราฟทีเ่ ส้นเช่ือมทุกเส้นมี 1 22 F จาํ นวนจรงิ บวกเขยี นกํากับไว้ เรียกจาํ นวนนว้ี า่ คา่ 5E น้ําหนกั (Weight) ซงึ่ อาจใช้แทนระยะทางระหวา่ งจุด, A 4 ระยะเวลาทีใ่ ช้เดินทางระหวา่ งจดุ , คา่ ใชจ้ า่ ยในการ 3 สร้างเสน้ ทาง, หรอื อ่นื ๆ เพอื่ บง่ บอกให้ทราบความ D6 แตกตา่ งระหวา่ งแตล่ ะเสน้ 1. การหา วถิ ที ี่สั้นที่สดุ (Shortest Path) วิถี (Path) คือแนวเดนิ ซง่ึ ไมซ่ ํ้าจดุ ยอดเดมิ ... วถิ ีท่สี ้นั ทส่ี ดุ คอื วถิ ีทผ่ี ลรวมคา่ นํ้าหนักน้อยทสี่ ุด เช่นในรูปตวั อย่าง วถิ ี A–F ทส่ี ้นั ทส่ี ุด คือ A, B, C, F ซ่งึ มีคา่ น้ําหนกั รวม 1 + 2 + 3 = 6 วถิ ี D–E ทส่ี นั้ ทส่ี ดุ คอื D, C, E ซึ่งมีคา่ นํ้าหนักรวม 5 + 2 = 7 วถิ ี B–D ทส่ี ้ันทสี่ ุด คือ B, A, D หรือ B, D กไ็ ด้ เพราะมคี ่านาํ้ หนกั รวมเป็น 4 เหมอื นกัน 2. การหา ตน้ ไมแ้ ผท่ ่ัวทีน่ อ้ ยทสี่ ดุ (Minimal Spanning Tree) ต้นไม้ (Tree) คอื กราฟเชอื่ มโยง ซง่ึ ไม่มรี ปู ปิด ... (รูปปิด เรยี กว่า วฏั จักร (Cycle)) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 275 ทฤษฎีกราฟ ตน้ ไมแ้ ผ่ทัว่ (Spanning Tree) คอื ตน้ ไม้ทใี่ ชจ้ ดุ ยอดครบทกุ จุด ... ในตวั อยา่ งทก่ี าํ หนดให้ จะสร้างต้นไม้แผท่ ว่ั ได้มากมาย เช่น B C3 BC 12 2 A F A4 2 6 F E H1 H2 3 3 5E D D F H4 BC F B C 12 H3 12 2 A 22 A4 E 3E D 6 D นอกจากน้ยี งั มแี บบอ่ืนๆ อีก ... แต่ “ต้นไม้แผ่ท่ัวที่นอ้ ยทสี่ ุด” (คือมคี า่ นา้ํ หนกั รวมน้อยท่สี ุด) ได้แก่ แบบ H3 ซ่งึ มคี า่ น้ําหนกั รวมเทา่ กับ 10 วธิ หี าต้นไมแ้ ผ่ท่วั ท่ีน้อยท่ีสุดคือ เลือกเส้นเช่ือมทลี ะเสน้ ๆ เรียงจากเส้นที่คา่ นาํ้ หนักนอ้ ยไป มาก โดยไมเ่ ลือกเสน้ ท่ที าํ ใหเ้ กิดรปู ปิด ขอ้ สังเกต ต้นไม้แผท่ ่วั ของกราฟทม่ี ีจุดยอด n จดุ จะมเี ส้นเช่อื ม n – 1 เสน้ เสมอ แบบฝึกหัด 12.3 (11) ให้หาวิถี X–Y ทีส่ นั้ ทสี่ ดุ ของกราฟถ่วงนํ้าหนักต่อไปน้ี (11.1) C3 Y (11.2) D 3 B4 Y 8 X 2 4 11 X 52 23 (11.4) 1 12 C (11.3) A 4B 2 7 X1 C A C B 12 D1 A 6 33 4 D A 2 2 12 G 2 B7 5 E F 1 4 3 X 8Y Y Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 276 ทฤษฎีกราฟ จงั หวัด A B C D E (12) กําหนดระยะเวลาเดนิ ทางดว้ ยรถโดยสาร A - 45 - 70 - ระหวา่ งจงั หวดั ตา่ งๆ (หน่วยเป็นนาที) เป็นดังตาราง B 45 - 40 55 - ใหห้ าเส้นทางที่เรว็ ท่ีสุดในการเดินทางด้วยรถโดยสาร C - 40 - 30 60 จากจงั หวดั A ไปยงั E D 70 55 30 - 70 E - - 60 70 - (13) ให้หาต้นไมแ้ ผท่ ่ัวทน่ี ้อยท่ีสดุ ของกราฟถ่วง นาํ้ หนกั ในข้อ (11) (14) ให้หาเส้นทางการวางสายโทรศพั ท์ไปตามถนนเพ่อื ให้เช่ือมตอ่ กันได้ครบทกุ หมู่บา้ น โดยเสยี คา่ ใชจ้ า่ ยในการวางสายนอ้ ยท่ีสดุ (คา่ ใชจ้ า่ ยแปรผนั ตามระยะทาง) กําหนดให้ถนนระหว่างหมู่บ้านมี ระยะทางเป็นดังน้ี ... AB = 30 , AF = 40 , BC = 10 , BE = 50 , BF = 20 , CD = 20 , CE = 30 , DE = 10 , DF = 30 , และ EF = 60 (หนว่ ยเปน็ กโิ ลเมตร) เฉลยแบบฝกึ หดั (คาํ ตอบ) (1) ดูในเฉลยวธิ คี ดิ (4.1) 3 สี (4.2) 5 ที่ (9.1) เป็นไปไม่ได้เพราะ (2.1) V (G) = {A, B, C, D} , (4.3) 8 ครง้ั (4.4) 11 วนั ไมใ่ ชก่ ราฟออยเลอร์ E(G) = {AB, AC, BC, BD, CD} , (5) 5 แบบ ไดแ้ ก่ A, C, D ... (9.2) เปน็ ไปไดเ้ พราะมี A, B, C, D … A, B, E, C, D … จดุ ยอดค่ีสองจดุ deg A = 2 , deg D = 2 , A, C, B, E, C, D … และ (10.1) ยังคงเปน็ ไปไม่ได้ เพราะมีจดุ ยอดคมี่ ากกวา่ 2 จดุ ยอดประชดิ กบั D คอื B กบั C, A, C, E, B, C, D จุด (มีถงึ 4 จุด) เสน้ เชอื่ ม e3 เกดิ กบั จุด A และ C (6) เครอ่ื ง B เพราะถา้ ขาดไป (2.2) V (G) = {A, B, C, D} , กราฟจะไม่เชอื่ มโยงถงึ กัน (แตกเปน็ (10.2) ระหว่างจดุ ใดก็ได้ ,E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} สองกลุ่มคอื A, F กับ C, D, E) เพราะจะทาํ ใหเ้ หลือจดุ ยอดคี่ (7) ขอ้ ทเ่ี ป็นไดแ้ ก่ (7.1), (7.4), เพยี ง 2 จุด deg A = 2 , deg D = 4 , (11.1) X, B, C, Y (7.7), (7.9) โดยมีวงจรออยเลอร์ (11.2) X, D, B, C, Y จดุ ยอดประชิดกบั D คอื A, B, C, ดังนี้ (วงจรออยเลอรใ์ นแตล่ ะขอ้ เสน้ เชอื่ ม e3 เกดิ กบั จดุ C และ D สามารถเขียนไดห้ ลายแบบ) (11.3) X, B, A, Y (2.3) V (G) = {A, B, C, D, E, F} , (7.1) A, B, C, E, A (11.4) X, Y E(G) = {AA, AB, AE, BC, CE, EF} , (7.4) C, D, C, B, D, A, C หรอื X, E, F, G, Y (12) A, D, E deg A = 4 , deg D = 0 , (7.7) B, C, F, E, D, F, B, D, A, B จุดยอดประชดิ กบั D ไมม่ ,ี (7.9) A, C, E, A, B, C, D, E, F, A (13) ดูในเฉลยวธิ คี ิด เสน้ เชอื่ ม e3 เกดิ กบั จุด A (8.1) คาํ ตอบเหมือนในข้อ (7) (14) วางสายโทรศัพท์ไปตาม (8.2) กราฟที่ทาํ ได้คือ (7.2), (7.5), ถนน AB, BC, BF, CD, DE (3) เป็นไปไม่ไดเ้ ลยสกั ขอ้ และ (7.8) เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธีคดิ ) (1.1) x (1.2) B (1.3) v1 v3 v6 w A z y C v5 v2 v4 D กราฟในข้อนเี้ ปน็ เพยี งตัวอย่าง 1 แบบ คาํ ตอบที่ถูกสามารถเขยี นตา่ งจากนไี้ ด้มากมาย Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 277 ทฤษฎีกราฟ (2.1) V (G) = {A, B, C, D} , (4.2) ให้จดุ ยอดแทนตวั ลกู คา้ และใหเ้ สน้ เชอ่ื มแทน ,E (G) = {AB, AC, BC, BD, CD} การมีชว่ งเวลาทบั ซอ้ นกนั ข้อนีพ้ เิ ศษตรงท่มี ีลกู คา้ บาง คนมาพรอ้ มกนั เสมอ คอื ก+ข และ ค+ง จงึ เขยี นให้ deg A = 2 , deg D = 2 , สองคนเป็นจดุ เดยี วกัน เพอื่ ใหค้ ิดง่ายขนึ้ จุดยอดประชิดกบั D คอื B กบั C , ก+ข เสน้ เชอื่ ม e3 เกดิ กบั จดุ A และ C (2.2) V (G) = {A, B, C, D} , ค+ง ฉ ,E (G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} ช deg A = 2 , deg D = 4 , จ จดุ ยอดประชิดกบั D คอื A, B, C , ให้ ก+ข นงั่ ทีท่ ี่ 1 กับ 2 ..และ ค+ง น่ังทีท่ ี่ 3 กบั 4 เส้นเชอ่ื ม e3 เกดิ กบั จดุ C และ D จากนนั้ หาคนที่ไม่ชนเวลากบั ก+ข จะใหน้ ง่ั ทท่ี ี่ 1 (2.3) V (G) = {A, B, C, D, E, F} , ด้วย คือ ฉ ... สว่ นคนทไี่ มช่ นกบั ค+ง จะใหน้ ่ังทที่ ี่ 3 ด้วย คือ ช ... เหลอื จ ซงึ่ ยงั ไมม่ ที ่นี ่งั กใ็ หน้ ั่งทีใ่ หม่ E (G) = {AA, AB, AE, BC, CE, EF} , คือที่ที่ 5 สรุปแลว้ ตอ้ งเตรียมไวอ้ ยา่ งนอ้ ย 5 ที่ deg A = 4 , deg D = 0 , จุดยอดประชิดกบั D ไมม่ ี, (4.3) จดุ ยอด 5 จดุ แตล่ ะจดุ มดี ีกรี 2, 3, 3, 4, 4 เสน้ เชอ่ื ม e3 เกดิ กบั จดุ A ซ่งึ รวมดีกรไี ด้เปน็ 16 ดงั นน้ั จาํ นวนเสน้ เชอ่ื มคอื (3) เปน็ ไปไมไ่ ดเ้ ลยสกั ขอ้ เพราะแต่ละขอ้ เปน็ กราฟ 16/2 = 8 เสน้ ทีม่ จี ดุ ยอดคเ่ี ปน็ จาํ นวนคจี่ ดุ ดงั น้ี (4.4) จดุ ยอด 10 จดุ ทกุ จดุ มีดกี รี 9 เหมอื นกนั (3.1) จุดยอดทมี่ ดี กี รี 1,3,3 เปน็ จดุ ยอดคสี่ ามจดุ รวมดีกรีไดเ้ ปน็ 90 ดงั นนั้ จาํ นวนครั้งทแ่ี ข่งคอื 90/2 เปน็ ไปไมไ่ ด้ (ถ้าลองวาดจะพบวา่ ไมส่ ามารถวาดได้) = 45 ครั้ง (หรอื 45 ค)ู่ แสดงวา่ ตอ้ งใชเ้ วลา 12 วนั (3.2) เป็นกราฟทีม่ จี ดุ ยอด 5 จดุ ดกี รีเทา่ กบั 3, 2, (คดิ จาก 45 หารด้วย 4 แล้วปดั เศษขึ้น เพราะวนั สดุ ทา้ ยแม้แข่งไมค่ รบ 4 คู่ กต็ ้องนับเป็นวนั แขง่ 2, 1, 1 ซึง่ ก็เป็นจุดยอดค่ีสามจดุ เป็นไปไมไ่ ด้ (3.3) มจี ดุ ยอด 15 จดุ แต่ละจดุ มีดีกรเี ทา่ กบั 3 เช่นกนั ) (5) 5 แบบ ไดแ้ ก่ เปน็ ไปไม่ได้ (4.1) นําขอ้ มลู ท่มี ีมาเขยี นเปน็ กราฟกอ่ น โดยใหจ้ ุด A, C, D A, B, C, D ยอดแทนประเทศ และถา้ ประเทศใดมีอาณาเขต A, B, E, C, D A, C, B, E, C, D ตดิ กนั กจ็ ะลากเสน้ เชื่อมถึงกัน จะไดล้ กั ษณะดังน้ี (ไมจ่ าํ เป็นต้องไดร้ ปู เหมอื นเปะ๊ นะครบั ) และ A, C, E, B, C, D ลาว (6) เครอื่ ง B ควรระวงั มากที่สดุ เพราะถา้ เครอ่ื ง ใดๆ ท่ไี มใ่ ช่ B เสียไป เครอ่ื งอน่ื ๆ ยงั สง่ ขอ้ มูลถงึ กัน ไดอ้ ยู่ (สง่ ผา่ นหลายทอดก็ได)้ แตถ่ า้ เคร่ือง B เสยี กราฟจะไม่เชอื่ มโยงถึงกัน ..จะแตกเปน็ สองกลุ่มคือ พมา่ ไทย กมั พชู า เวียดนาม A, F กับ C, D, E ซง่ึ สง่ ขอ้ มลู ไปหาอกี กลุ่มไมไ่ ดแ้ ลว้ (7) กราฟออยเลอรจ์ ะตอ้ งเปน็ กราฟเช่อื มโยง (ทกุ มาเลเซยี จุดเดนิ ทางไปหากนั ได)้ และจุดยอดทกุ จดุ เปน็ จดุ ยอด สิงคโปร์ คเู่ ทา่ นน้ั .. ซง่ึ ขอ้ ทีเ่ ปน็ กราฟออยเลอรไ์ ด้แก่ (7.1), (7.4), (7.7), และ (7.9) โดยมวี งจรออยเลอร์ ไทยและลาวมีเสน้ เชอ่ื มมากท่สี ดุ คอื 4 เสน้ จงึ ให้ ดงั น้ี (วงจรออยเลอร์ในแตล่ ะขอ้ สามารถเขียนได้ ไทยเปน็ สที ่ี 1 และลาวเปน็ สที ่ี 2 (ใช้คนละสีเพราะ หลายแบบ) อยตู่ ดิ กนั ) จากนน้ั หาประเทศที่ไมต่ ิดกับไทย คอื (7.1) A, B, C, E, A สงิ คโปรแ์ ละเวยี ดนาม จะใหใ้ ชส้ ที ี่ 1 ได้ดว้ ย.. สว่ น (7.4) C, D, C, B, D, A, C ประเทศทไ่ี ม่ตดิ กบั ลาว คือมาเลเซยี จะให้ใชส้ ที ่ี 2 (7.7) B, C, F, E, D, F, B, D, A, B ดว้ ย.. ตอนนีเ้ หลอื พมา่ และกมั พชู าท่ียงั ไมม่ สี ี กใ็ หใ้ ช้ (7.9) A, C, E, A, B, C, D, E, F, A สที ี่ 3 (ใช้สเี ดยี วกันได้เพราะไม่ตดิ กัน) ดังนน้ั จะใช้ (8.1) คาํ ตอบเหมือนในขอ้ (7) เพราะถา้ เราสามารถ ลากเสน้ จนครบทง้ั รูปโดยไม่ทับเสน้ ทางเดมิ ไม่ขาด สีนอ้ ยทสี่ ดุ 3 สี ตอน และจบทจ่ี ดุ เรมิ่ ได้ แสดงวา่ กราฟนนั้ ตอ้ งเปน็ กราฟออยเลอรน์ นั่ เอง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 278 ทฤษฎีกราฟ (8.2) ถ้าเราสามารถลากเสน้ จนครบทง้ั รปู โดยไมท่ ับ (13) วิธหี าตน้ ไม้แผท่ ่ัวที่นอ้ ยท่สี ดุ คอื เลอื กเสน้ ทม่ี ี เสน้ ทางเดมิ ไม่ขาดตอน และจบคนละจุดกบั จุดเรมิ่ นาํ้ หนกั นอ้ ยทสี่ ดุ เรยี งไปมาก จนกว่าจะครบ n-1 แสดงว่าต้องเปน็ กราฟเชื่อมโยง ซึ่งมีจดุ ยอดค่ี 2 จดุ เสน้ (เมอื่ n คือจาํ นวนจดุ ) หากเสน้ ใดลากแลว้ ทาํ ให้ เทา่ นน้ั (ใช้จุดหนึ่งเปน็ จดุ เริม่ ตน้ อีกจดุ เป็น เกดิ รปู ปดิ กจ็ ะขา้ มเสน้ นนั้ ไปไมต่ อ้ งเลอื ก จดุ สิน้ สดุ ) กราฟทท่ี าํ ไดค้ อื (7.2), (7.5), (13.1) มี 5 จุด จงึ ตอ้ งเลอื ก 4 เส้น.. และ (7.8) - เลือกนาํ้ หนักนอ้ ยทส่ี ุด 2 คือ XA และ CB (9) เขียนกราฟโดยใหจ้ ดุ ยอดแทนหอ้ ง (A ถึง H) - เลือกนาํ้ หนัก 3 ..พบวา่ XA โคง้ ๆ เลอื กไม่ได้ โดยมจี ดุ ยอดแทนบรเิ วณนอกตวั บา้ นด้วย (จุด O) (เนือ่ งจากเลอื กแลว้ เกดิ รูปปดิ ) จงึ เลือกเฉพาะ CY และใหเ้ ส้นเชอื่ มแทนประตู เพอ่ื แปลงปญั หาใหเ้ ปน็ - เลือกนาํ้ หนกั 4 คือ AB ... ไดถ้ งึ 4 เสน้ แลว้ กห็ ยดุ กราฟซึง่ ตอ้ งการเดินผา่ นครบทกุ เส้น (ทุกประต)ู X C3 Y โดยไม่ซ้ําเส้นเดมิ (ประตเู ดมิ ) 2 O 4B A BC 2 A DE F (13.2) ได้คําตอบดงั รูป (เลอื ก XA แทน XD กไ็ ด้) DB 23 11 Y GH X1 มีจดุ ยอดคอ่ี ยู่ 2 จดุ คอื O กบั D ดงั นนั้ ขอ้ (9.1) C A ทาํ ไม่ได้ เพราะไม่ได้มีจุดยอดคู่ทกุ จุด (กราฟออย X1 C เลอร)์ แตข่ อ้ (9.2) ทาํ ได้ โดยใหเ้ ร่มิ ตน้ และสนิ้ สุดท่ี จุด O กับ D (13.3) (10.1) ยังคงเปน็ ไปไมไ่ ด้ เพราะมจี ุดยอดคี่มากกวา่ A 2 3 D 2 จดุ (มถี ึง 4 จดุ ) 3 (10.2) ระหวา่ งจดุ ใดกับจุดใดก็ได้ เพราะจะทาํ ให้ B กลายเปน็ จุดยอดคู่ไป 2 จุด และเหลอื จดุ ยอดคเ่ี พยี ง 4 2 จดุ .. จะเหมอื นขอ้ (8.2) และ (9.2) Y (11) วิธกี ารคดิ ในระดับชั้นนี้ยงั ไม่ได้อธบิ ายไว้ ให้ C ทดลองบวกคา่ นา้ํ หนกั ของแตล่ ะเสน้ ทาง เพอ่ื เลอื ก (13.4) B 1 D1 เส้นทางทนี่ ํา้ หนกั รวมนอ้ ยทสี่ ุดเอง.. A1 12 G (11.1) X, B, C, Y E2 F 1 (11.2) X, D, B, C, Y 3 (11.3) X, B, A, Y (11.4) X, Y XY หรอื X, E, F, G, Y (12) แปลงตารางใหเ้ ป็นกราฟ ไดด้ ังนี้ (14) เขียนแผนภาพกราฟ (พยายามวางจดุ แบบ B ไม่ใหม้ เี ส้นลากไขว้ทับกนั เพอ่ื ไมใ่ ห้งง) แลว้ หาตน้ ไม้ 45 40 แผ่ท่วั ทีน่ อ้ ยทสี่ ดุ ไดด้ งั เสน้ หนาในรปู จึงตอบวา่ ตอ้ ง วางสายโทรศัพทไ์ ปตามถนน AB, BC, BF, CD, DE 55 C 60 E 30 A 70 70 B 10 C D 30 50 30 20 20 E แล้วหาวถิ ี A-E ทส่ี น้ั ทสี่ ดุ ได้คาํ ตอบเปน็ A,D,E (นํา้ หนักรวมเปน็ 140 นาที) A 40 60 10 F 30 D Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 279 ลาํ ดับและอนกุ รม s+e+r+i+e+s º··èÕ 13 ÅíÒ´ºa æÅao¹¡u ÃÁ ลาํ ดบั (Sequence) คือฟังกช์ นั ทม่ี ีโดเมนเป็น เซตจํานวนนบั 1,2,3, ... เชน่ สมมตเิ รามีฟงั ก์ชนั f(n)=n2+1 เมอ่ื n=1,2,3,... เราจะได้ f(1)=2, f(2)=5, f(3)=10, f(4)=17, ... ค่าฟงั กช์ ันเหลา่ นท้ี ่ีเขยี นตอ่ กัน เปน็ 2, 5, 10, 17, ... จะเรียกวา่ ลาํ ดบั นยิ มเขียนฟังกช์ ันดว้ ย an คอื ใช้ a1, a2, a3, ..., an แทน f (1), f (2), f (3), ..., f (n) เพ่ือให้ ทราบว่าเป็นลาํ ดบั (โดเมนเป็นจาํ นวนนบั เทา่ น้ัน) เรยี ก a1 วา่ “พจน์ (term) ที่ 1” ของลําดับ, เรยี ก a2 วา่ พจน์ท่ี 2 ของลาํ ดับ, ไปเรอ่ื ยๆ จนถึงพจนท์ ่ี n ใดๆ เขียนแทนด้วย an จะเรยี กวา่ พจน์ ทั่วไป (general term) ของลําดับ เช่น ลําดับ 2, 5, 10, 17, ... มีพจน์ทว่ั ไปเปน็ an = n2+1 หรอื อ่นื ๆ 1, 2, 3, 4, ... มีพจนท์ ั่วไปเปน็ an = n หรืออ่นื ๆ 3, 6, 9, 12, ... มีพจนท์ ่ัวไปเป็น an = 3 n หรืออน่ื ๆ 1, 3, 5, 7, ... มีพจนท์ ่ัวไปเปน็ an = 2 n − 1 หรอื อ่นื ๆ 1, 4, 9, 16, ... มีพจนท์ ่วั ไปเปน็ an = n2 หรืออื่นๆ 1, 3 , 5 , 7 , ... มพี จน์ทว่ั ไปเปน็ an = 2 n−1 หรอื อื่นๆ 4 9 16 n2 −1, 1, −1, 1, ... มีพจน์ทว่ั ไปเป็น an = (−1)n หรืออนื่ ๆ 1, −2, 3, −4, ... มีพจน์ท่วั ไปเป็น an = (−1)n−1n หรอื อืน่ ๆ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 280 ลาํ ดับและอนุกรม 3, 17, 47, 99, 179, ... มีพจน์ทัว่ ไปเปน็ an = n(n+1)2−1 หรืออ่นื ๆ คําวา่ “หรืออ่ืนๆ” ในทน่ี ้ีเน่ืองจากลาํ ดบั หนง่ึ ๆ ท่ีใหม้ า จะหาพจนท์ วั่ ไปได้มากกว่า 1 แบบ เสมอ เช่น ลาํ ดับ 2, 4, 8, ... อาจมีพจน์ทั่วไปเป็น an = 2n ซ่ึงทําให้ a4 = 16 หรือมพี จน์ทว่ั ไปเป็น an = (n+1)(n2−n+6)/6 ซง่ึ ทาํ ให้ a4 = 15 ลาํ ดับ 1, 2, 3, 4, ... อาจมีพจนท์ ว่ั ไปเป็น an = n ซ่ึงทําให้พจน์ที่ 5 มคี า่ เท่ากับ 5 หรือ an = (n−1)(n−2)(n−3)(n−4) + n = n4−10n3+35n2−49n+24 กไ็ ด้ ซง่ึ ทําให้ a5 = 29 (กลายเป็นลาํ ดับที่ต่างกนั ) ลาํ ดบั ทมี่ จี ํานวนพจน์ทแ่ี นน่ อน เช่น 8 พจน์, 15 พจน,์ หรือ n พจน์ก็ได้ จะเรยี กวา่ ลําดบั จาํ กดั (finite sequence) ส่วนลาํ ดบั ทีม่ จี ํานวนพจนม์ ากจนนับไมไ่ ด้ จะเรยี กว่า ลําดบั อนันต์ (infinite sequence) 13.1 ลาํ ดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลําดับทเ่ี ราพบบ่อย มีสองประเภท คือ ลําดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) และ ลาํ ดบั เรขาคณิต (Geometric Sequence) 1. ลาํ ดบั เลขคณติ คือลําดบั ที่ “ผลตา่ งของพจน์ตดิ กันเปน็ คา่ คงตวั ” เรียกคา่ น้วี ่า ผลต่าง รว่ ม (Common Difference) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ d น่นั คือ an+ 1 − an = d เสมอ พจน์ทวั่ ไปของลาํ ดบั เลขคณติ เปน็ an = a1 + (n−1)d 2. ลาํ ดับเรขาคณติ คอื ลาํ ดบั ท่ี “ผลหารของพจนต์ ิดกันเปน็ คา่ คงตัว” เรียกคา่ น้วี า่ อตั ราสว่ นร่วม (Common Ratio) ใชส้ ัญลกั ษณ์ r น่ันคอื an+ 1 ÷ an = r เสมอ พจน์ทว่ั ไปของลาํ ดบั เรขาคณิต เป็น an = a1 ⋅ r(n−1) ขอ้ สังเกต ลาํ ดับเลขคณติ จะมีพจน์ท่ัวไปเป็นแบบ สมการเส้นตรง ทมี่ ีความชนั = d ส่วนลําดับเรขาคณิต จะมพี จน์ทวั่ ไปเปน็ แบบ สมการเอก็ ซ์โพเนนเชียล ทม่ี ีฐาน = r นอกจากลําดับเลขคณติ และลาํ ดับเรขาคณิตแล้ว ยังมลี าํ ดบั อีกหลายประเภท เช่น ลาํ ดับสลับ (Alternating Sequence) มีเคร่อื งหมายบวกลบสลบั กนั ไปในแต่ละพจน์ ลําดับฮารโ์ มนิก (Harmonic Sequence) สว่ นกลบั ของแตล่ ะพจน์ เป็นลาํ ดบั เลขคณติ ลําดบั ฟีโบนกั ชี (Fibonacci Sequence) พจน์ทีส่ ามข้นึ ไปหาได้จากผลบวกของ 2 พจนก์ อ่ นหนา้ ลาํ ดับโคชี (Cauchy Sequence) ผลตา่ งของพจน์ตดิ กัน มีคา่ เขา้ ใกล้หรอื เป็น 0 เม่ือ n ย่ิงเพม่ิ ข้นึ แบบฝึกหดั 13.1 (1) ใหห้ า 4 พจน์แรก ของลาํ ดบั ต่อไปน้ี (1.3) an = ⎛ 1 ⎞n (1.1) an = 2n ⎜⎝ 2 ⎟⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 281 ลําดับและอนุกรม (1.2) an = 4 n−2 (1.4) an = (−1)n n (n+1)2 (2) ให้หาพจน์ท่ัวไปของลาํ ดับตอ่ ไปน้ี ข้อละ 1 แบบ S ¨´u ·¼èÕ ´i ºoÂ! S (2.1) 1, 1 , 1 , 1 , ... o¨·Â㹺·¹¤éÕ ÇÃoÒ ¹o¨·Âã ËÃoº¤oºÇÒ 248 e»¹ eÅ¢¤³µi ËÃ×o eâҤ³iµ Á©i a¹¹éa oÒ¨ãªÊ ٵü´i æÅa¤Òí µoº¼´i ä»ä´. . (2.2) 1, 1 , 1 , 1 , ... 4 9 16 (2.3) 1, 5, 13, 29, ... (2.4) 3, 0.3, 0.03, 0.003, ... (2.5) 2, 6, 12, 20, ... (3) ให้บอกวา่ ลําดบั ต่อไปนี้เป็นลําดับเลขคณติ หรอื เรขาคณติ และหาพจน์ทัว่ ไปของลําดับดว้ ย (3.1) 15, 12, 9, 6, ... (3.5) 10, −5, 5 , ... (3.2) 2, 4, 8, 16, ... 2 (3.6) 4, 8, 12, ... (3.3) x, x+2, x+4, ... (3.7) 3, 3, 3, ... (3.4) log 2, log 4, log 8, log 16, ... (4) ให้หาพจนท์ ี่ 4, 5, 6 และ 20 ของลาํ ดบั เลขคณิตตอ่ ไปนี้ 3, 3.5, 4, ... (5) ใหห้ าพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 20 ของลําดบั เรขาคณติ ต่อไปน้ี 1 , 1 , 1, ... 42 (6) พจนท์ ั่วไปของลําดบั เลขคณติ ที่มพี จน์ท่ี 4 เปน็ 20 และพจนท์ ่ี 16 เปน็ 56 คอื อะไร (7) ลาํ ดับเลขคณติ มีผลบวกพจน์ท่ี 2 กบั พจนท์ ่ี 13 เป็น 0 และผลบวกพจนท์ ่ี 4 กบั พจนท์ ่ี 8 เป็น 12 จงหาสพ่ี จน์แรกของลาํ ดับนี้ (8) ถา้ พจน์ที่ 7 ของลําดับเรขาคณิตทมี่ อี ตั ราส่วนร่วมเทา่ กับ 2 คือ 128 จงหาสองพจนแ์ รก (9) หาสีพ่ จน์แรกของลาํ ดับเรขาคณิตท่ีมอี ัตราส่วนรว่ มเปน็ บวก และ a1+a2 = 8 , a3+a4 = 72 (10) [Ent’41] ให้ x, y, z, w เป็นพจน์ 4 พจนเ์ รียงกันในลาํ ดบั เรขาคณิต ถ้า y + z = 6 และ z + w = −12 จงหาค่าสมั บรู ณ์ของพจน์ที่ 5 ของลาํ ดบั น้ี (11) ลาํ ดบั เลขคณติ 20, 16, 12, ... มีเลข –96 อยหู่ รอื ไม่ ถา้ มีใหบ้ อกว่าเป็นพจนท์ เี่ ทา่ ใด (12) พจนท์ ่เี ทา่ ใดของลําดบั เลขคณติ 3, 7, 11, ... มีคา่ 75 (13) [Ent’40] พจนแ์ รกท่ีเป็นจํานวนเต็มลบของลาํ ดับเลขคณติ 200, 182, 164, 146, ... มคี า่ ตา่ งจาก พจนท์ ี่ 10 อยู่เทา่ ใด (14) [Ent’39] จงหาค่า m ซงึ่ เปน็ จํานวนเตม็ ท่ีน้อยท่ีสดุ ท่ีทาํ ให้พจนท์ ี่ m ของลําดบั เลขคณิต 2, 5, 8, ... มคี ่ามากกวา่ 1,000 (15) ใหห้ าลําดับเรขาคณติ ที่มีผลบวกของสามพจน์แรกเปน็ –3 และผลคูณเป็น 8 (16) ถ้า p, 5p, 6p+9 เปน็ ลําดบั เลขคณติ จงเขยี น 3 พจนถ์ ัดไป (17) ตอ้ งนําจํานวนเทา่ ใดมาบวกทุกพจนข์ องลําดบั 3, 20, 105 จึงทาํ ใหก้ ลายเป็นลําดบั เรขาคณิต Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 282 ลําดับและอนกุ รม (18) [Ent’ม.ี ค.44] กําหนดให้ a, b, c เป็น 3 พจน์เรยี งกนั ในลําดับเรขาคณิต และมผี ลคูณเปน็ 27 ถ้า a, b+3, c+2 เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลําดบั เลขคณติ แล้ว a + b + c มคี ่าเท่าใด (19) จงหาตัวกลางเลขคณิต ตามเงอ่ื นไขทีก่ าํ หนดให้ (19.1) พจน์สองพจนร์ ะหว่าง 7 กับ 16 ทที่ ําให้ 4 พจน์น้อี ยู่ในลําดบั เลขคณิต (19.2) ส่ีพจน์กลางระหว่าง 130 กับ 55 เม่ือลําดบั นเี้ ป็นลาํ ดับเลขคณิต (20) จงหาตวั กลางเรขาคณติ ตามเง่ือนไขทกี่ ําหนดให้ (20.1) พจนก์ ลางส่ีพจนข์ องลําดับเรขาคณิตท่ีอยู่ระหวา่ ง 3 กบั 96 (20.2) พจนส์ ามพจน์ระหว่าง 4 กับ 27 ที่ทาํ ให้ 5 พจน์นอ้ี ยู่ในลําดับเรขาคณติ 3 64 (21) ลาํ ดับหน่ึงมีรูปทวั่ ไปเป็น 2 an+1 = an + 3 และมีพจน์ท่ี 5 เป็น 5 จงหาคา่ a3 + a6 (22) เศรษฐี 3 คนแยง่ กันประมลู สินค้า โดยจะเสนอราคาสูงขนึ้ เป็น 2 เท่าเสมอ และผลัดกันเสนอ ราคาทีละคนโดยไมแ่ ซงควิ กัน หากเศรษฐคี นท่ี 1 เริม่ ประมูลโดยเสนอราคา 1 ล้านบาท ถามวา่ ใคร จะเสนอราคาเกิน 250 ล้านบาทเปน็ คนแรก 13.2 ลิมติ ของลาํ ดับอนนั ต์ หากต้องการทราบว่า ในลําดับอนันต์ลําดบั หนง่ึ นัน้ ถา้ n ย่ิงมากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞ (n → ∞ ) แล้ว คา่ ของ an จะเข้าใกล้คา่ ใด ( an → ? ) เราเรยี กว่า การหาลิมิตของลาํ ดับ นั่นเอง และคา่ ท่ไี ด้นเ้ี รียกวา่ ลิมิต (limit) ลําดับ an = ⎛ 1 ⎞n หรอื 1 , 1 , 1 , ... พบวา่ เมอื่ n มากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞ แลว้ คา่ ของ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 248 an จะเข้าใกล้ 0 จงึ กล่าววา่ “ลิมิตของลําดบั นเ้ี ท่ากับ 0” และเขียนด้วยสญั ลกั ษณ์ lim an = 0 n→∞ ลําดบั ทีห่ าค่าลิมิตได้ เรียกวา่ ลําดบั ลู่เขา้ (Convergent Sequence) และลําดบั ท่ไี ม่มีลมิ ิต หรือหาคา่ ลมิ ติ ไมไ่ ด้ จะเรียกวา่ ลําดบั ล่อู อก (Divergent Sequence) เช่น ลาํ ดับ 1, 2, 3, 4, ... ถา้ n→∞ แลว้ an → ∞ ด้วย แสดงว่า lim an หาค่าไม่ได้ n→∞ ส่วนลาํ ดับ cos π, cos 2π, cos 3π, ... พบว่ามีค่าเป็น –1 กบั 1 สลับกันไปตลอด ไมไ่ ดเ้ ข้าใกลค้ า่ ใดค่าหนงึ่ เปน็ พิเศษเลย แสดงว่า lim an ไมม่ คี ่า หรือ ลําดับนีไ้ ม่มีลิมิต n→∞ การหาค่าลมิ ติ สามารถใช้สมบัตกิ ารกระจาย แจกแจงได้ทกุ รปู แบบ ทัง้ การบวก ลบ คูณ หาร ยกกาํ ลัง หรอื ถอดราก (แต่ค่าสมั บูรณ์นั้น ใส่ลิมติ เขา้ ข้างในไม่ได้เสมอไป) an = 5n3+2n−1 จะได้ lim an = lim ⎛ 5n3+2n−1 ⎞ = lim ⎛ 5 + 2 − 1⎞ = 0+0−0 = 0 7n2−8n4 n→∞ ⎜⎜⎝ 7n2−8n4 ⎟⎟⎠ ⎜ n n3 n4 ⎟ 0−8 n→∞ n→∞ ⎜⎝ 7 −8 ⎟⎠ n2 ข้อสังเกต 1. ลาํ ดับท่ีเป็นผลหารของพหุนาม lim P(n) เปน็ ศนู ย์ เม่ือดกี รี P นอ้ ยกว่า Q, เป็นสัมประสิทธติ์ ัวแรกหารกนั เมือ่ ดกี รี n → ∞ Q (n) ของ P และ Q เทา่ กนั , และหาค่าไมไ่ ด้ เมื่อดีกรี P มากกวา่ Q Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 283 ลําดับและอนกุ รม 2. ลําดบั เรขาคณิต lim (rn) เม่ือ r เป็นคา่ คงท่ี จะมีได้สก่ี รณี คอื ไมม่ ลี ิมติ เม่ือ r < −1, เปน็ ศนู ย์ เมือ่ n→∞ | r |< 1, เป็น 1 เมอ่ื r = 1 , และหาค่าไมไ่ ด้ เม่อื r > 1 3. ลาํ ดับเลขคณิต ลิมติ หาค่าไมไ่ ด้เสมอ (ยกเว้นกรณีท่ี d = 0 ) แบบฝึกหัด 13.2 (23) ลาํ ดบั ตอ่ ไปนี้มีค่า lim an เปน็ เทา่ ใด n→∞ (23.1) an = 2 n−1 (23.3) an = sin nπ (23.4) an = cos nπ (23.2) an = 1 n (24) ใหห้ าลมิ ิตของลาํ ดับตอ่ ไปน้ี (24.1) an = 4n+3 (24.4) an = 5n2+4 3n+1 n5+8 (24.2) an = 2n2+n−3 (24.5) an = 6n2+7 5n2−1 3n−1 (24.3) an = 6n+7 (24.6) an = n7+4 5n2+4 n+1 (25) ใหห้ าค่าลิมิตของ an เมือ่ (25.1) an = 1−2n−3n3 (25.4) an = (2n+1) n! (3n+1)3 (n+1)! (25.2) an = n+1 (25.5) an = ⎛ n+5 ⎞5 n−1 ⎝⎜⎜ 3 n−1⎟⎠⎟ (25.3) an = n2− 3 S ¨u´·¼èÕ i´ºo Â! S ã¹¢o 25.1 ËÒ¡ã¤ÃãªÇ ¸i ÅÕ a´ (Áo§ÊaÁ»ÃaÊ·i ¸ìi) oÒ¨Å×Á¡¡íÒÅa§·µèÕ aÇÊǹ (26) จงหาค่า (26.1) ( )lim ⎛ 2 + 1 n⎞ (26.2) lim ⎡⎢⎣⎢⎜⎝⎜⎛ 2n2+4n+ 1 ⎞2 ⎛ 1+ 4n ⎟⎠⎞⎥⎤⎦⎥ ⎜ 2⎟ n→∞ 3n2 ⎠⎟⎟ ⎜ 5n n→∞ ⎜ ⎠⎟ ⎝ ⎝ 3 (26.3) [Ent’27] ลมิ ติ ของลาํ ดับอนันต์ 3, 3 3, 3 3 3, 3 3 3 3 , ... (27) [Ent’41] ถา้ an = n2+n+1 และ bn = 2n−5n แล้ว ลมิ ิตของลาํ ดับทมี่ ีพจน์ท่ี n เป็น 3n2+1 5n+9 an−bn+anbn มีคา่ เท่าใด (28) [Ent’38] สาํ หรบั จํานวนเตม็ บวก n ใดๆ ให้ Mn = ⎡ 1/n n⎤ และ an = det (Mn) แล้ว ⎢⎣−1/n n+1⎦⎥ lim an มคี ่าเท่าใด n→∞ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 284 ลําดับและอนกุ รม 13.3 อนกุ รมและซกิ มา่ อนุกรม (Series) คือผลบวกของแตล่ ะพจน์ในลาํ ดับ อนุกรมที่พบบอ่ ยคือ อนกุ รมเลขคณิต (Arithmetic Series) และ อนกุ รมเรขาคณติ (Geometric Series) เชน่ ลําดับเลขคณิต 5, 9, 13, 17, ... เป็นอนุกรมเลขคณติ 5 + 9 + 13 + 17 + ... ลําดับเรขาคณติ 2, 4, 8, 16, ... เป็นอนกุ รมเรขาคณติ 2 + 4 + 8 + 16 + ... ในทาํ นองเดยี วกัน อนุกรมจาํ กดั (finite series) เกดิ จากลาํ ดับจาํ กดั และอนกุ รมอนันต์ (infinite series) เกดิ จากลําดับอนันต์ ค่าของอนกุ รมสามารถเขียนเป็นสัญลกั ษณ์ซิกม่า (sigma) ในรูป n ได้ เชน่ ∑ ai i=1 ลําดับ an = 1 หรือ 1, 1 , 1 , 1 , ... จะเขียนเปน็ อนุกรมได้วา่ 1+ 1 + 1+ 1 + ... n 234 2 3 4 และมคี า่ เท่ากบั ∞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ i ⎟⎠ ∑ i=1 “ผลบวกยอ่ ย (partial sum) n พจนแ์ รก” ของอนุกรม จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ Sn = n ∑ ai i=1 ดังนั้น คา่ ของอนกุ รมอนนั ตก์ ค็ อื S∞ = ∞ = lim Sn ∑ ai n→∞ i=1 สมบัติของ Σ สูตรผลบวก n • n = n (n+1) 2 • ∑k = n ⋅ k ∑i i=1 i=1 nn • n = n (n+ 1)(2n+1) 6 • ∑ k ai = k ⋅ ∑ ai ∑ i2 i=1 i=1 i=1 n nn • n i3 = ⎡n (n+1)⎤2 • ∑ (ai ±bi) = ∑ ai ± ∑ bi ⎢⎣ 2 ⎦⎥ i=1 i=1 i=1 ∑ i=1 เพ่มิ เติม เร่ืองซิกมา่ และสมบัติของซกิ ม่านีจ้ ะได้ใชง้ านอีกครง้ั ในบทเรยี นสถิติ (บทท่ี 17) แบบฝึกหดั 13.3 (29) ถ้า f (x) = 3x+1 และ u1 = 3, u2 = 2, u3 = 1, u4 = 5 จงหาค่า 4 ∑ ui f (ui) i=1 (30) จงเขยี นอนุกรมต่อไปนี้โดยใช้สัญลักษณ์ Σ (30.1) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + 50 ⋅ 51 (30.2) 1 + 1 + 1 + ... + 1 246 2n (30.3) 1 + 3 + 7 + 15 + ... + พจน์ที่ n (30.4) a rp + a rp + 1 + a rp +2 + ... + a rp + q (30.5) 1 + 1 + 1 + ... 456 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 285 ลําดับและอนกุ รม (31) หาค่าของอนกุ รมตอ่ ไปนี้ (31.1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 (31.2) 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 102 (31.3) 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 73 (32) ให้หาคา่ ของอนุกรมต่อไปนี้ (32.1) 4 (32.3) 6 ⎛ k+4 ⎞ ⎝⎜⎜ k−1 ⎟⎟⎠ ∑ i2(i−3) ∑ i=1 k =2 (32.2) 3 (n2+3) ∑ n=1 (33) [Ent’มี.ค.42] ถา้ f (x) = x−1 แลว้ 30 (f D f)(n2) มคี ่าเทา่ ใด ∑ n = 10 (34) ใหห้ าคา่ ผลบวกต่อไปน้ี [หมายเหตุ หากรูปทว่ั ไปของอนุกรมเปน็ แบบ เลข ⋅ เลข จะคาํ นวณดว้ ยสตู รซิกม่า] (34.1) ผลบวก 10 พจนแ์ รก ของอนกุ รม 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n+1) (34.2) S10 ของอนกุ รม 1 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅ 8 + 3 ⋅ 6 ⋅ 9 + ... (34.3) S8 ของอนุกรม 1 ⋅ 22 + 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 42 + ... + n(n+1)2 (34.4) S20 ของอนุกรม 1 + (1+2) + (1+2+3) + ... + (1+2+3+...+n) (35) [Ent’39] สาํ หรบั แตล่ ะจาํ นวนเตม็ n>4 จงหาคา่ ลมิ ติ ของ 13 + 23 n4 + 1 + 33 + ... + n3 (36) [Ent’มี.ค.43] ถ้าลําดับเลขคณติ a1, a2, a3, ... มีพจนท์ ่ี 10 และพจน์ที่ 15 เปน็ –19 และ –34 ตามลาํ ดบั แลว้ 20 + 2 i) มีคา่ เทา่ ใด ∑ (ai i=1 (37) [Ent’ต.ค.42] ให้ a เป็นจาํ นวนจรงิ กาํ หนดพจน์ที่ n ของอนุกรมคอื 1 + (n−2) a 1− a ถา้ พจน์ที่ m คอื 1 + 38 a แลว้ ผลบวก m พจนแ์ รกของอนกุ รมมคี ่าเท่าใด 1− a 13.4 อนกุ รมเลขคณิต เรขาคณติ และอ่ืนๆ อนกุ รมท่หี าค่า S∞ ได้ เรียกว่า อนุกรมลู่เขา้ (Convergent Series) และอนกุ รมทห่ี าคา่ S∞ ไม่ได้ เรียกวา่ อนุกรมลู่ออก (Divergent Series) อนุกรมใดๆ จะหาค่า S∞ ได้ (ล่เู ขา้ ) กต็ ่อเม่ือ lim rn <1 และ lim an = 0 เท่าน้นั n→∞ n→∞ 1. อนุกรมเลขคณติ Sn = n + (i−1) d⎤⎦ = n (a1+an) S e¾ièÁeµÁi ! S 2 ∑ ⎡⎣a1 1. ÅÒí ´aºÅeÙ ¢Ò ¡aºo¹u¡ÃÁÅeÙ ¢Ò äÁe ËÁ×o¹¡¹a i=1 ¹a¤Ãºa ÅÒí ´ºa ÅeÙ ¢Ò ¤×oËÒ¾¨¹o¹¹a µä ´ æµ o¹u¡ÃÁÅeÙ ¢Ò ¤×oËҼźǡ¶§Ö ¾¨¹o ¹a¹µä ´.. หรอื อาจเขียนเปน็ Σ เพื่อใช้สูตรคํานวณคา่ กไ็ ด้ 2. o¹¡u ÃÁ¨aÅÙe ¢Òä´¹a¹é ÅÒí ´ºa µo §ÅeÙ ¢Ò ÊÙ 0 ¡o ¹ æµÅ Òí ´aº·ÅÕè eÙ ¢ÒÊÙ 0 o¹u¡ÃÁoÒ¨¨aäÁÅ Ù S∞ หาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นอนกุ รม 0 + 0 + 0 + …) e¢Ò ¡äç ´¹a¤Ãºa Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 286 ลาํ ดับและอนุกรม 2. อนกุ รมเรขาคณิต Sn = ∑n ⎡⎣ a1 r(i−1)⎤⎦ = a1(1 − rn) i=1 1−r แต่ S∞ หาคา่ ไดก้ ็เมอ่ื | r |< 1 เทา่ นั้น และค่าท่ีได้คือ S∞ = a1 1−r 3. อนกุ รมใดๆ ท่ไี มใ่ ชส่ องแบบข้างต้น จะมวี ธิ คี ํานวณต่างๆ กนั ไป ซ่ึงจะแนะนําวธิ ีคดิ ไวเ้ ปน็ หมายเหตุ ในแบบฝกึ หดั ขอ้ (34), (49), (56), (58) สรปุ ครา่ วๆ ไดด้ งั น้ี - ¶Ò û٠·Çèa ä»e»¹ÊÁ¡ÒÃeʹ µÃ§ e»¹o¹¡u ÃÁeÅ¢¤³iµ (ãªÊÙµÃeÅ¢¤³µi ËÃo× ÊµÙ Ã Σ ¡íÒŧa ˹èÖ§¡äç ´) - ¶Òû٠·aèÇä»e»¹ เลข + เลข ¡çãËæ ¡«¡i ÁÒ¤´i ·ÕÅaÊÇ ¹ - ¶Ò û٠·èaÇä»e»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ËÃ×oÊÒÁ ¨aoÂãÙ ¹ÃÙ» เลข ⋅ เลข (ãªÊÙµÃ Σ ¡íÒŧa Êo§, ¡íÒÅa§ÊÒÁ) ËÁÒÂe˵u ¶Ò ËҼŵҧ¢o§¼ÅµÒ§ (ź¡¹a Êo§ªé¹a ) æÅÇe»¹ ¤Ò ¤§·Õè æÊ´§ÇÒ e»¹¾Ë¹u ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ ¶Ò ËҼŵҧo´Âź¡¹a ÊÒÁªé¹a æÅÇ e»¹ ¤Ò¤§·Õè æÊ´§ÇÒe»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊÒÁ eËÅÒ ¹ËéÕ Òû٠·aèÇä»ä´o´Âe¢Õ¹ÃÙ»·Çaè 仢o§¾Ëu¹ÒÁ æÅÇ æ¡Ã aººÊÁ¡ÒÃe¾èo× ËÒÊaÁ»ÃaÊ·i ¸iìæµÅaµÇa - ¶Ò û٠·aèÇ仢o§o¹u¡ÃÁe»¹ 1 eÃÕ¡ÇÒ o¹¡u ÃÁÎÒÃoÁ¹i¡ ..äÁä´È¡Ö ÉÒã¹·¹èÕ éÕ เลข - ¶Òû٠·aèÇ仢o§o¹¡u ÃÁe»¹ 1 ¨a¤Òí ¹Ç³o´Âæ¡e»¹eÈÉÊÇ ¹Âo  เลข ⋅ เลข - ¶Ò û٠·Çèa ä»e»¹eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅ e»¹ o¹¡u ÃÁeâҤ³iµ (e¢ÂÕ ¹æ¨¡æ¨§oo¡ÁÒæÅÇãªÊÙµÃeâÒ) - ¶Ò û٠·èaÇä»e»¹ 1 , เรขา ⋅ เรขา , ËÃ×o เรขา 1 ¡ç§a ¤§e»¹ o¹u¡ÃÁeâҤ³iµ เรขา ⋅ เรขา (模樧oo¡ÁÒæÅÇ ãªÊ ÙµÃeâÒ) - ¶Òû٠·aèÇä»e»¹ เรขา + เรขา ¡ãç Ëæ ¡«i¡ÁÒ ¤´i ·ÕÅaÊÇ ¹ - ¶Òû٠·aèÇä»e»¹ เลข ⋅ เรขา ËÃ×o เลข eÃÕ¡ÇÒ o¹u¡ÃÁ¼ÊÁ (¹íÒ¤Ò r ¢o§eâҤٳµÅo´ เรขา æÅǵéa§ÊÁ¡ÒÃź¡¹a e¾×èoãËÊ Ç ¹·èeÕ »¹ eÅ¢¤³µi ËÒÂä»eËÅ×oæµe âҤ³iµÅÇ ¹æ) เรขา - ¶Ò û٠·aÇè ä»e»¹ เลข ..äÁä´È Ö¡ÉÒã¹·è¹Õ éÕ แบบฝึกหดั 13.4 (38) ใหห้ าผลบวกย่อย 18 พจน์แรก ของอนุกรม 2 + 6 + 10 + ... (39) ใหห้ าผลบวกย่อย 8 พจน์แรก ของอนกุ รม 1 + 1 + 2 + ... 2 (40) จงหาคา่ ของ 1 + 3 + 5 + ... + 101 (41) ลาํ ดับเลขคณติ มีผลต่างรว่ มเปน็ 4 และมีพจนท์ ี่ 13 เปน็ 51 จงหาผลบวก 10 พจน์แรก (42) อนุกรมเลขคณติ มพี จน์ท่ีสิบเปน็ 20 พจน์ท่ีห้าเปน็ 10 จงหาผลบวกยอ่ ย a8 ถึง a15 (43) อนกุ รมเรขาคณิตมคี า่ a3 = 80 และ S3 = 65 จงหาพจนแ์ รก และอัตราส่วนร่วม (44) อนกุ รมเรขาคณติ มพี จน์แรกเปน็ 160 และอัตราสว่ นรว่ มเป็น 3/2 ถา้ ผลบวก n พจน์แรกเป็น 2,110 แลว้ จงหาค่า n Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 287 ลาํ ดับและอนกุ รม (45) [Ent’ต.ค.43] ให้ 5, x, 20, ... เปน็ ลําดบั เลขคณติ ท่ีมีผลบวกของ 12 พจนแ์ รกเป็น a และ 5, y, 20, ... เป็นลําดบั เรขาคณติ ทีม่ พี จนท์ ่ี 6 เปน็ b โดยที่ y < 0 แลว้ จงหา a + b (46) [Ent’40] a+3, a, a-2 เปน็ ลําดับเรขาคณติ ที่มอี ตั ราสว่ นร่วมเป็น r จงหาคา่ ∞ ∑ a rn − 1 n=1 (47) [Ent’ม.ี ค.44] กําหนดให้ n เปน็ จํานวนเตม็ บวกทที่ าํ ให้ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลข คณิต 7 + 15 + 23 + ... มีค่าเทา่ กบั 217 แลว้ (2n + 2n+ 1 + ... + 22n) / 28 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด (48) [Ent’36] จาํ นวนเตม็ บวก m ซึง่ มากทส่ี ุด ทที่ ําใหอ้ นกุ รม 1 − 1 + 1 − 1 + ... 2m 2m + 1 2m + 2 2m + 3 มผี ลบวกมากกว่า 0.01 คือเท่าใด (49) ให้หาผลบวก n พจนแ์ รก ของอนุกรม 4 + 44 + 444 + 4444 + ... [Hint : ทาํ เป็นเลข 9 ทุกตวั ก่อน เพื่อเปล่ยี นเปน็ 10n − 1] (50) จงหาคา่ ของอนุกรมเรขาคณิตตอ่ ไปน้ี (50.1) 1+ 1+ 1 + ... + 2 3 + ... 26 18 ⋅ 3n (50.2) 1− 1 + 1 − ... + (−1)n + 1 + ... 24 8 2n (50.3) 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103 −n + ... (50.4) 3 + 2 + 4 + 8 + ... 39 (50.5) 6 − 3 + 3 − 3 + ... 24 (50.6) 1+ 1 + 1 + 1 + ... 0.9 (0.9)2 (0.9)3 (51) ชายคนหน่ึงเดินลากทอ่ นไมไ้ ปตามแนวราบ ก้าวแรกเขาเดินได้ระยะทาง 0.5 เมตร และดว้ ย ความล้าทําใหก้ า้ วถดั ไปไดร้ ะยะทางเพียง 80% ของกา้ วก่อนหน้าเสมอ ถามวา่ เมอ่ื เขาเดินครบ 10 ก้าว จะอยหู่ า่ งจากจดุ เริม่ ตน้ เท่าใด และถ้าปล่อยให้เดนิ ไปเรื่อยๆ จะได้ระยะทางเทา่ ใด (52) จงหาค่า x ทท่ี ําให้ 1 + x + x2 + ... = 4 (53) [Ent’39] ถา้ อนุกรม 1+ 2x + 22x + 23x + ... มีผลบวกเทา่ กบั 9 แล้ว 1+2x (1+2x)2 (1+2x)3 จงหาคา่ ผลบวกของอนุกรม log2 x − (log2 x)2 + (log2 x)3 − (log2 x)4 + ... (54) [Ent’36] ถา้ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวกซึ่งทาํ ให้ 1 + log 2 2 + log32 2 + ... + logn2 2 = n2−21 แล้ว 1 + 2 + 22 + ... + 2n มีค่าเทา่ ใด (55) [Ent’41] ถ้า a1, a2, ... เปน็ ลําดบั คอนเวอร์เจนต์ มีลมิ ิตเปน็ 1 แลว้ อนุกรม a1 + ∞ มีผลบวกเป็นเทา่ ใด ∑ (an + 1−an) n=1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 288 ลําดับและอนกุ รม (56) ใหห้ าคา่ ผลบวกตอ่ ไปน้ี [หมายเหตุ หากรปู ทว่ั ไปของอนกุ รมเปน็ 1 เลข ⋅ เลข จะคาํ นวณโดยแยกเปน็ เศษสว่ นย่อย เชน่ 1 = (1 − 1) ⋅ 1 ] 3⋅5 3 5 2 (56.1) 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 3⋅5 5⋅7 7⋅9 (2n+1)(2n+3) (56.2) S30 ของ 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... 1⋅3 3⋅5 5⋅7 (2n−1)(2n+1) (56.3) Sn ของ log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n + ... 2 3 4 n+1 (57) [Ent’35] อนกุ รม ∞ ⎛ 5 − 3⎞ มผี ลบวกเป็นเทา่ ใด ⎜⎝⎜ 2n n (n+ 1) ⎟⎠⎟ ∑ n=1 (58) ให้หาค่าผลบวกต่อไปน้ี เลข เรขา [หมายเหตุ หากรปู ท่วั ไปของอนุกรมเปน็ เลข ⋅ เรขา หรือ (เรยี กว่า อนกุ รมผสม) จะคาํ นวณโดยนําค่า r ของเรขา คณู ตลอดแลว้ ต้ังสมการลบกัน เพอื่ ใหส้ ่วนทีเ่ ป็นเลขคณติ หายไป เหลือแต่เรขาคณติ ] ตวั อยา งเชน หาคา S∞ = 5 + 8 + 11 + 14 + ... 2 4 8 16 นํา 1 คณู จะได 1 S∞ = 5 + 8 + 11 + 14 + ... 2 2 4 8 16 32 สองสมการลบกนั 1 S∞ = 5 + ⎛ 3 + 3 + 3 + ...⎞⎟⎠ = 5 + ⎛ 3/4 ⎞ = 4 ..ดังนัน้ S∞ = 8 2 2 ⎜⎝ 4 8 16 2 ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1/2 ⎠ (58.1) Sn ของ 1+ 3+5+ 7 + ... + 2 n−1 + ... 2 48 16 2n (58.2) 2+ 3 + 1+ 5 + ... + n+1 + ... 2 8 2n − 1 (59) อนกุ รมต่อไปนเี้ ปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ หรือล่อู อก และถ้าลู่เขา้ ให้หาค่าอนกุ รมด้วย (59.1) ∞ ⎛ 10n ⎞ (59.3) ∞ ⎛ 5 i2−6 ⎞ ⎜⎜⎝ n! ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 2 i2+7 ⎠⎟⎟ ∑ ∑ n=1 i=1 (59.2) ∞ ⎛ n2 ⎞ ⎜ 2n ⎟ ∑ ⎝ ⎠ n=1 (60) เขยี นจาํ นวนต่อไปนใ้ี นรปู เศษสว่ น (60.3) 7.256256... (60.1) 0.212121... (60.4) 2.9999... (60.2) 0.61041041... เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1.1) 2,4,8,16 (1.2) 2,6,10,14 (1.4) − 1 , 2 , − 3 , 4 (2.3) 2n + 1−3 (2.4) 3 (1.3) 1 , 1 , 1 , 1 4 9 16 25 10n − 1 2 4 8 16 (2.1) ⎛⎜⎝ 1 ⎠⎟⎞n − 1 (2.2) ⎝⎜⎛ 1 ⎟⎞⎠2 (2.5) n(n+1) 2 n (3.1) เลขคณติ , 18−3 n Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 289 ลําดับและอนุกรม (3.2) เรขาคณติ , 2n (23.1) หาค่าไม่ได้ (23.2) 0 (40) 2601 (41) 210 (3.3) เลขคณิต, x+2 n−2 (23.3) 0 (23.4) 1 (24.1) 4/3 (42) 184 (3.4) เลขคณติ , n log 2 (24.2) 2/5 (24.3) 0 (24.4) 0 (43) 5, –4 หรอื 45, –4/3 (3.5)เรขาคณติ , (−20) ⎜⎝⎛ − 1 ⎠⎞⎟n (24.5 และ 24.6) หาคา่ ไมไ่ ด้ (44) 5 (45) 395 2 (25.1) -1/9 (25.2) 1 (46) 18 (47) 127.5 (3.6) เลขคณติ , 4 n (25.3) หาคา่ ไม่ได้ (25.4) 2 (48) 6 (25.5) 1 / 35 (26.1) 2/3 (3.7) เป็นทงั้ เลขคณติ และ (49) 4 ⎝⎜⎛ 10 (10n− 1)−n ⎞⎟⎠ เรขาคณติ , an = 3 (26.2) 4/9 (26.3) 9 (27) 1 9 9 (28) 2 (29) 128 (4) 4.5, 5, 5.5, 12.5 (50.1) 3/4 (50.2) 1/3 (5) 2, 4, 8, 217 (6) 3 n+8 (30.1) 50 (30.2) n ⎛ 1⎞ (50.3) 1000/9 (50.4) 9 (7) 26, 22, 18, 14 (8) 2, 4 ⎜ ⎟ (9) 2, 6, 18, 54 (10) 48 ∑ i (i+1) ∑ (50.5) 4 (50.6) ลอู่ อก (11) มี, พจนท์ ่ี 30 (12) พจนท์ ่ี 19 i=1 i=1⎝2 i⎠ (13) 54 (14) 334 (51) 2.23 และ 2.5 (30.3) n (30.4) q+1 (52) 3/4 (53) log2 3 ∑ (2i−1) ∑ a rp + i − 1 1 + log2 3 i=1 i=1 (54) 255 (55) 1 (30.5) ∞ ⎛ 1⎞ (31.1) 1275 ⎜ ⎟ ∑ (15) 8 หรอื (−2)n i=1⎝i + 3⎠ (56.1) 1/6 (56.2) 30/61 (−2)n 2 (31.2) 385 (31.3) 784 (32.1) 10 (56.3) − log (n+ 1) (32.2) 23 (32.3) 197/12 (57) 2 (16) 39, 51, 63 (17) 5/4 (33) 9128 (34.1) 440 (58.2) 6 (58.1) 3 − 2 n+3 (34.2) 7480 (34.3) 1740 (59.1) 2n (18) 13 (19.1) 10, 13 (19.2) 115, 100, 85, 70 ลอู่ อก (20.1) 6, 12, 24, 48 (34.4) 20 i (i+1) = 1, 540 (59.2) 6 (59.3) ลอู่ อก (60.1) 21/99 ∑ (60.2) 3049/4995 (20.2) 1, 3 , 9 หรอื −1, 3 , − 9 i=1 2 (60.3) 7249/999 4 10 4 16 4 16 (35) (36) (21) 15 (22) คนท่ี 3 (37) 40 + 740 a 1− a (60.4) 3 (38) 648 (39) 127.5 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธคี ดิ ) (1.1) 21, 22, 23, 24 → 2, 4, 8, 16 (2.3) an : 1, 5, 13, 29, ... (1.2) 4(1) − 2, 4(2) − 2, 4(3) − 2, 4(4) − 2 → an + 3 : 4, 8, 16, 32 → 22, 23, 24, 25 → 2, 6, 10, 14 ∴ an + 3 = 2n + 1 → an = 2n + 1 − 3 (1.3) ⎛⎜⎝ 1 ⎟⎠⎞1 , ⎝⎛⎜ 1 ⎞⎠⎟2 , ⎛⎝⎜ 1 ⎟⎠⎞3 , ⎝⎜⎛ 1 ⎠⎟⎞4 (2.4) 3 , 3 , 3 , 3 → an = 3 2 2 2 2 100 101 102 103 10n − 1 (2.5) an : 2, 6, 12, 20, ... → 1, 1, 1, 1 2 4 8 16 → an − n : 1, 4, 9, 16, ... = n2 (1.4) (−1)1 1 , (−1)2 2 , (−1)3 3 , (−1)4 4 → ∴ an = n2 + n 22 32 42 52 หรือ อีกวธิ หี นงึ่ → − 1,2,− 3 , 4 4 9 16 25 an ÷ n : 2, 3, 4, 5, ... = n + 1 (2.1) 1 , 1 , 1 , 1 → an = 1 = ⎛ 1 ⎞n − 1 → ∴ an = n(n + 1) = n2 + n 20 21 22 23 2n − 1 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ (3.1) ลาํ ดับเลขคณติ (2.2) 1 , 1 , 1 , 1 → an = 1 = ⎛ 1 ⎞2 → an = 15 + (n − 1)(−3) = 18 − 3n 12 22 32 42 n2 ⎝⎜ n ⎠⎟ (3.2) ลาํ ดับเรขาคณิต → an = 2(2)n− 1 = 2n Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 290 ลาํ ดับและอนุกรม (3.3) ลาํ ดบั เลขคณติ วิธที ส่ี อง หาพจนแ์ รกทต่ี ดิ ลบ โดยสมการ → an = x + (n − 1)(2) = x + 2n − 2 200 + (n − 1)(−18) < 0 จะได้ n > 12.11 (3.4) log 2, 2 log 2, 3 log 2, 4 log 2, ... → แสดงว่าเริม่ ตดิ ลบที่พจน์ 13 ลาํ ดบั เลขคณติ ! a13 = 200 + (12)(−18) = −16 ..กจ็ ะได้คําตอบ an = log 2 + (n − 1)(log 2) = n log 2 (14) 2 + (n − 1)(3) > 1, 000 → n > 333.67 (3.5) ลาํ ดับเรขาคณิต แสดงว่าค่า m ทต่ี อ้ งการคอื 334 ⎛ 1 ⎞⎠⎟n − 1 ⎛ 1 ⎞⎠⎟n (15) a1 + a1r + a1r2 = −3 .....(1) ⎝⎜ 2 ⎝⎜ 2 a1a1ra1r2 = a13r3 = 8 .....(2) → an = 10 − = −20 ⋅ − แกร้ ะบบสมการได้ (3.6) ลําดับเลขคณติ an = 4 + (n − 1)(4) = 4n r = − 2 → a1 = − 1 , r = − 1/2 → a1 = − 4 (3.7) มองเปน็ ลาํ ดบั เลขคณิตหรอื เรขาคณติ กไ็ ด้ ลําดบั เลขคณติ → an = 3 + (n − 1)(0) = 3 หรอื∴ an (−2)n ลําดบั เรขาคณติ → an = 3(1)n− 1 = 3 = −1(−2)n − 1 = 2 (4) a4, a5, a6 = 4.5, 5, 5.5 an = −4(− 1)n − 1 = −8 2 (−2)n → a20 = 3 + (19)(0.5) = 12.5 (16) คา่ d → 5p − p = 6p + 9 − 5p (5) a4, a5, a6 = 2, 4, 8 → 1 (2)(19) a20 = 4 = 217 → ∴ p = 3 จงึ ไดล้ าํ ดบั เปน็ 3, 15, 27 (6) a4 → a1 + 3d = 20 .....(1) ตอบ 39, 51, 63 a16 → a1 + 15d = 56 .....(2) (17) ลําดบั คือ 3 + x, 20 + x, 105 + x ... แก้ระบบสมการ ได้ a1 = 11, d = 3 หาคา่ x โดยคา่ r → 105 + x = 20 + x 20 + x 3 + x ∴ an = 11 + (n − 1)(3) = 3n + 8 → 315 + 108x + x2 = 400 + 40x + x2 (7) a1 + d + a1 + 12d = 0 .....(1) → ∴ x = 85/68 = 5/ 4 a1 + 3d + a1 + 7d = 12 .....(2) แก้ระบบสมการ ได้ a1 = 26, d = −4 (18) b = c .....(1) abc = 27 .....(2) ตอบ 26, 22, 18, 14 ab (8) a1(2)(6) = 128 → a1 = 2 ตอบ 2, 4 (9) a1 + a1r = 8 .....(1) b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3) a1r2 + a1r3 = 72 → r2(a1 + a1r) = 72 .....(2) แก้ระบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3, ac = 9 → แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = 3, a1 = 2 ใสค่ ่า b ใน (3) ได้ a + c = 10 ตอบ 2, 6, 18, 54 บงั เอิญโจทยถ์ าม a + b + c จงึ ได้ 10 + 3 = 13 (10) xr + xr2 = 6 .....(1) (ไม่ต้องแก้ a, c ตอ่ ) xr2 + xr3 = r(xr + xr2) = −12 .....(2) [สมมติถา้ แก้สมการต่อ จะไดผ้ ลเปน็ a = 1, c = 9 แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = −2, x = 3 หรือ a = 9, c = 1 ก็ได]้ (19.1) 7, _, _, 16 → 16 = 7 + 3d ∴ a5 = 3(−2)4 = 48 → d = 3 → ตอบ 10, 13 (19.2) 130, _, _, _, _, 55 → 55 = 130 + 5d (11) −96 = 20 + (n − 1)(−4) → n = 30 → d = −15 → ตอบ 115, 100, 85, 70 ตอบ มี, พจนท์ ่ี 30 (20.1) 3, _, _, _, _, 96 → 96 = 3 ⋅ r5 (ถา้ แกส้ มการแลว้ n ไมเ่ ปน็ จาํ นวนนับ แสดงว่าไมอ่ ยู่ → r = 2 → ตอบ 6, 12, 24, 48 ในลาํ ดบั นน้ั ) (20.2) 4 , _, _, _, 27 → 27 = 4 ⋅ r4 (12) 75 = 3 + (n − 1)(4) → n = 19 3 64 64 3 ตอบ พจนท์ ่ี 19 → ⎛ 3 ⎞4 = r4 → r=3 หรอื −3 → (13) a10 = 200 + (9)(−18) = 38 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ 4 4 วธิ ีแรก จะได้ ..., 38, 20, 2, − 16, ... ตอบ 1, 3 , 9 หรอื −1, 3 , − 9 พบวา่ 38 กบั -16 ต่างกนั อยู่ 54 ตอบ 4 16 4 16 [อยา่ ลมื วา่ กาํ ลังเลขคู่ จะต้องมี 2 คําตอบเสมอ!] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 291 ลําดับและอนุกรม (21) การบอกวา่ 2an+ 1 = an + 3 แบบนจี้ ะตอ้ ง (24.6) ⎛ 1 + 4 ⎞ 1 หาคา่ ไม่ได้ หาคา่ a3 กับ a6 โดยไลแ่ ทนคา่ ไปจาก a5 ⎜ n7 ⎟ 0 คอื 2a6 = a5 + 3 → a6 = 4 lim ⎜ 1 1 ⎟ = ⇒ และ 2a5 = a4 + 3 → a4 = 7 ⎝⎜⎜ n6 n7 ⎟⎟⎠ n→∞ + ข้อสังเกต จากขอ้ 24 ลาํ ดับทเ่ี ปน็ ฟังก์ชนั ตรรกยะ → 2a4 = a3 + 3 → a3 = 11 (คอื พหุนามหารกัน) P(n) จะมีลิมิตเป็น Q(n) ตอบ a3 + a6 = 11 + 4 = 15 (22) ลําดบั เรขาคณติ → 1 ⋅ (2)n− 1 > 250 • 0 เม่ือ ดกี รี บน < ล่าง → n = 9 ∴ ตอบ คนท่ี 3 • หาคา่ ไม่ได้ เมอ่ื ดกี รี บน > ลา่ ง • สปส.ของตัวทดี่ กี รีสูงสุด เมือ่ ดกี รีเทา่ กนั (23.1) หาคา่ ไม่ได้ lim an = (25.1) ⎛ 1 − 2n − 3n3 ⎞ −3 −1 ⎜⎝ 27n3 + ... ⎠⎟ 27 9 n→∞ lim = = (ลําดับเลขคณติ ท่ี d ≠ 0 จะหาลมิ ิตไมไ่ ด้ เสมอ) n→∞ (23.2) lim an = 1 =0 ⎛ 1 + 1⎞ ∞ ⎜ ⎟ n→∞ (25.2) lim ⎜ n ⎟ = 1 = 1 1 ⎟⎟⎠ 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 , ... → 0 ) n → ∞ ⎜⎜⎝ 1 − n 12 3 4 (23.3) lim an =1 (25.3) lim n2 − 3 ⇒ หาคา่ ไม่ได้ n→∞ n→∞ (เพราะ sin π = 1, sin 2π = 1, sin 3π = 1, ... ) (25.4) lim ⎝⎜⎛ 2n + 11⎠⎟⎞ =2 n+ (23.4) lim an =1 n→∞ n→∞ (25.5) ⎛ ⎜⎝⎛ n + 5 ⎞ ⎞5 ⎛ 1 ⎞5 1 ⎜⎝ 3n − 1⎠⎟⎟⎠ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ 35 (เพราะ cos π = −1 = 1, cos 2π = 1 = 1, ... ) lim = = n→∞ (24) ในขอ้ น้ี ลาํ ดับเปน็ ฟงั กช์ นั พหนุ ามหารกนั [ลิมิตแจกแจงไดเ้ สมอ ไมว่ ่าจะบวกลบคูณหาร, ยก ⎛ P(n) ⎞ แทน n=∞ ไมไ่ ด้ เพราะจะกลายเปน็ กาํ ลงั , ถอดราก] ⎜⎝ Q(n)⎟⎠ (26) ข้อนใ้ี ช้หลกั ทีว่ า่ lim rn = 0 เมื่อ r < 1 รูปแบบไมก่ าํ หนด ⎝⎛⎜ ∞ ⎠⎟⎞ n→∞ ∞ ⎛ + ⎛ 1 ⎠⎟⎞n ⎞ (24.1) ต้องใช้ n หารทงั้ เศษและสว่ น (26.1) ⎜2 ⎝⎜ 2 ⎟ 2+0 2 lim ⎜⎝⎜ ⎟⎠⎟ = 3 = 3 3 ⎛ 3⎞ n→∞ ⎜ 4 + n ⎟ 4 + 0 4 ⎛ 2n2 + 4n + 1 ⎞2 ⎡ ⎛ 4 ⎞n ⎤ 1 ⎟ 3 + 0 3 ⎝⎜ 3n2 ⎠⎟ ⎢1 → lim ⎜ n ⎟⎟⎠ = = (26.2) lim ⋅ lim ⎣ + ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎥ n → ∞ ⎜⎝⎜ 3 + n→∞ ⎦ n→∞ (24.2) ใช้ n2 หารทัง้ เศษและส่วน = ⎛ 2 ⎞2 ⋅ (1 + 0) = 4 ⎝⎜ 3 ⎟⎠ 9 ⎛ 1 3 ⎞ ⎜ 2 + n − n2 ⎟ 2 (26.3) หารูปทว่ั ไปของลาํ ดบั กอ่ น 5 ⎟ 5 → lim ⎜ − 1 ⎟⎟⎠ = 3 7 15 2 −( 1)n− 1 n → ∞ ⎜⎝⎜ n2 → 31, 32 , 34 , 3 8 , ... → an = 32 ⎛6 + 7 ⎞ ∴ lim an = 32 − 0 = 9 + n2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 0 n→∞ ⎜ n2 ⎟⎠⎟ 5 (24.3) lim n = =0 (27) lim an = 1 3 n→∞ ⎜⎝⎜ 5 n→∞ ⎛ 5 4 ⎞ lim bn = lim ⎛ (2 / 5)n − 1⎟⎞ = 0−1 = −1 ⎜ n3 n5 ⎟ ⎜ ⎟⎟⎠ 1+ 0 ⎜ + ⎟ n→∞ n→∞ ⎜⎜⎝ 1 9 (24.4) ⎝⎜⎜ ⎟⎟⎠ 0 + 5n lim = 5 =0 8 n→∞ 1 + n5 ∴ lim (an − bn + anbn) = 1 − (−1) + (− 1) = 1 3 3 ⎛ 7 ⎞ n→∞ ⎜ n2 ⎟ (24.5) 6 + 1 ⎟ 6 หาคา่ ไมไ่ ด้ (28) an = det(Mn) = n+1+1=2+ 1 − n2 ⎠⎟⎟ 0 nn lim ⎜ 3 = ⇒ ⎜⎜⎝ n n→∞ 1) = n → lim an = lim (2 + 2 n→∞ n→∞ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 292 ลาํ ดับและอนกุ รม (29) 4 (34.3) S8 = 8 ∑ ui f(ui) = u1f(u1) + u2f(u2) + u3f(u3) + u4f(u4) ∑ (i3 + 2 i2 + i) i=1 i=1 = ⎡8(9)⎤2 + 2 (8)(9)(17) + 8(9) = 1,740 = (3)(10) + (2)(7) + (1)(4) + (5)(16) = 128 ⎣⎢ 2 ⎥⎦ 6 2 (30.1) 50 n(n + 1) 2 ∑ (i)(i + 1) (34.4) i=1 an = 1 + 2 + 3 + ... + n = (30.2) n ⎛ 1 ⎞ 20 ⎜ 2i ⎟ ∑ ⎝ ⎠ ∑ (i2 + i) i=1 i=1 (30.3) an : 1, 3, 7, 15, ... → S20 = 20 i (i + 1) = 2 2 → an + 1 : 2, 4, 8, 16, ... = 2n ∑ i=1 → an = 2n − 1 = 1 ⎜⎝⎛ 20(21)(41) + 202(21)⎠⎟⎞ = 1,540 2 6 ∴ ตอบ n (35) lim n4 +1 = lim ⎛ n4 n4 + 1 n→∞ ⎛ n(n + 1)⎞2 + 2n3 + n2 ⎞ ∑ (2i − 1) n→∞ 4 ⎟⎠ i=1 (30.4) หรอืq q+1 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ ∑ ar(p + i) ∑ ar(p + i − 1) ⎛ 4n4 + 4⎞ ⎜⎝ n4 + 2n3 + n2 ⎠⎟ i=0 i=1 (30.5) ∞ ⎛⎜⎝ 1i ⎞⎠⎟ หรอื ∞ ⎛ 1⎞ = lim = 4 ⎜⎝ i + 3 ⎟⎠ ∑ ∑ n→∞ i=4 i=1 (36) a1 + 9d = −19 .....(1) (31.1) 50 = 50(51) = 1,275 a1 + 14d = −34 .....(2) 2 ∑i i=1 (31.2) 10 = 10(11)(21) = 385 → a1 = 8, d = −3 6 ∑ i2 ∴ an = 8 + (n − 1)(−3) = 11 − 3n i=1 (31.3) 7 = ⎡ 7(8)⎤2 = 784 โจทย์ใหห้ า 20 20 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ∑ i3 ∑ (ai + 2 i) = ∑ (11 − 3 i + 2 i) i=1 i=1 i=1 (32.1) 4 (i3 −3 i2) = 4 i3 − 3 4 i2 = 20 − i) = 20(11) − 20(21) = 10 2 ∑ ∑ ∑ ∑ (11 i=1 i=1 i=1 i=1 = ⎡ 4(5)⎤2 − 3 ⎛ 4(5)(9)⎞ = 10 (37) an = 1 + (n−2) a และ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ ⎝⎜ 6 ⎠⎟ 1− a (32.2) 3 n2 + 3 3 = 3(4)(7) + (3)(3) = 23 am = 1 + 38 a ∴ m = 40 1− a ∑ ∑ 6 n=1 n=1 (32.3) เป็นเศษส่วนซง่ึ หารไม่ได้ จงึ ตอ้ งกระจายเพอื่ วธิ แี รก หา 40 ⎡1 + (i − 2) a⎤ ⎣⎢ 1 − a ⎦⎥ คิดตรงๆ → 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 197 ∑ 1 2 3 4 5 12 i=1 (33) (fof)(n2) = f(n2 − 1) = n2 − 1 − 1 = n2 − 2 = 40 ⎛ 1 − 2 a ⎞ + 40 ⎛ i a ⎞ ⎜⎝ 1 − a ⎟⎠ ⎝⎜ 1 −a ⎠⎟ ∑ ∑ i=1 i=1 30 30 30 = 40 − 80 a + 40(41) ⋅ a 1− a 2 1−a → ∑ (n2 − 2) = ∑ n2 − ∑ 2 n = 10 n = 10 n = 10 30 9 30 = 40 + 740 a ตอบ = ∑ n2 − ∑ n2 − ∑ 2 1− a n=1 n=1 n = 10 วิธที ส่ี อง ใชส้ ูตร Sn ของอนุกรมเลขคณติ กไ็ ด้ จะ = 30(31)(61) − 9(10)(19) − (21)(2) = 9,128 66 คํานวณง่ายกวา่ มาก แตต่ อ้ งสงั เกตเหน็ กอ่ นวา่ เปน็ อนกุ รมเลขคณติ จรงิ ๆ (34.1) S10 = 10 10 ∑ i (i + 1) = ∑ (i2 + i) i=1 i=1 40 ⎛ 1 + (− a) 1 + 38 a⎞ = 10(11)(21) + 10(11) = 440 S40 = 2 ⎜⎝ 1 −a + 1− a ⎠⎟ 62 (38) อนกุ รมเลขคณติ คดิ ได้ 2 วธิ ี (34.2) 10 S10 = วธิ ีแรก ใช้สตู ร Sn ของเลขคณติ ∑ i (i + 3)(i + 6) i=1 10 → Sn = n (a1 + an) 2 = ∑ (i3 + 9 i2 + 18 i) i=1 18 (2 = ⎡ 10(11)⎤2 + 9 (10)(11)(21) + 18 ⎡ 10(11)⎤ → S18 = 2 + [2 + (17)(4)]) = 648 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 2 ⎦⎥ = 7,480 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 293 ลาํ ดับและอนุกรม วธิ ีทส่ี อง ใชส้ ูตรซิกมา่ ให้หา ∞ = 6 + 4 + 8 + ... 3 18 18 ∑ arn − 1 → ∑ (2 + (i − 1)(4)) = ∑ (4 i − 2) n=1 i=1 i=1 = 6 = 18 (สตู รอนกุ รมเรขาคณติ ) = 4(18)(19) − 18(2) = 648 1 − 2/3 2 (47) Sn = 217 = n (7 + 7 + (n − 1)(8)) (39) อนกุ รมเรขาคณติ คดิ ไดว้ ธิ ีเดียวคอื ใช้สตู ร Sn 2 1 (1 − 28) → 4n2 + 3n − 217 = 0 → Sn = a1(1 − rn) → S8 = 2 → (4n + 31)(n − 7) = 0 ∴ n = 7 เท่าน้นั 1−r 1−2 ⎛ 27(1 − 28)⎞ = 255 = 127.5 ⎜⎝ ⎠⎟ 2 → 27 + 28 + 29 + ... + 214 = 1−2 28 28 (40) an = 1 + (n − 1)(2) = 2n − 1 (จากสตู รอนกุ รมเรขาคณติ จํานวนพจน์ n=8) ผลบวก 51 พจน์ → S51 = 51 (1 + 101) = 2,601 = 27(28 − 1) = 127.5 2 28 (41) 51 = a1 + 12(4) → a1 = 3 (48) a1 1 / 2m 2 → S10 = 10 (3 + (3 + (9)(4))) = 210 1−r = 1 − (− 1) = 3 ⋅ 2m > 0.01 2 (42) a1 + 9d = 20 .....(1) 2 a1 + 4d = 10 .....(2) → 1 > 0.015 → 2m < 66.67 2m ∴ m มากที่สดุ คอื 6 → a1 = 2, d = 2 → an = 2 + (n − 1)(2) = 2n (49) sn = 4 + 44 + 444 + ... + 444444..4 หา 15 = 2 ⎡(15)(16) − (7)(8)⎤ = 184 ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ 9 ∑ (2 i) 4 Sn = 9 + 99 + 999 + ... + 999999..9 i=8 (43) คิดดว้ ยสตู ร Sn จะแก้สมการยาก = 10 − 1 + 100 − 1 + 1,000 − 1 + ... + 10n − 1 ควรคดิ ตรงๆ คอื สมมตเิ ปน็ a, b, 80 = (10 + 100 + 1,000 + ... + 10n) − n จะได้ 80 = b .....(1) และ = 10(1 − 10n) − n = 10 (10n − 1) − n ba 1 − 10 9 a + b + 80 = 65 .....(2) ∴ Sn = 4 ⎡ 10 (10n − 1) − n⎤⎦⎥ จะได้ b = −20, a = 5 หรอื b = −60, a = 45 9 ⎢⎣ 9 ∴ a1 = 5, r = −4 หรือ a1 = 45, r = −4 / 3 (50) ขอ้ นีเ้ ปน็ อนกุ รมเรขาคณติ อนนั ต์ (44) ( )160 1 − (3/2)n = 2,110 (50.1) 1 / 2 = 3 1 − 3/2 1− 1/ 3 4 → ⎛ 3 ⎞n − 1 = 2,110 → ⎛ 3 ⎞n = 243 (50.2) 1 / 2 = 1 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 320 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 32 1 − (−1 / 2) 3 ∴n = 5 (50.3) 100 = 1,000 1 − 0.1 9 (45) ก. 20 = 5 + 2d → d = 7.5 → (50.4) 3 = 9 หาค่า a = S12 = 12 (5 + 5 + (11)(7.5)) = 555 1− 2/ 3 2 ข. 20 = 5 ⋅ r2 → r2 = 4 → r = −2 (50.5) 6 = 4 1 − (−1 / 2) (เพราะ y < 0 ) หาคา่ b = a6 = 5(−2)5 = −160 (50.6) หาคา่ ไมไ่ ด้ (ลูอ่ อก) ∴ a + b = 555 − 160 = 395 เพราะ r = 1 > 1 [ถา้ ใช้สตู รคดิ เลยทนั ทจี ะผิด] 0.9 (46) หาคา่ a โดย a = a − 2 a+3 a (51.1) (1/2)(1 − (0.8)10) ≈ 2.23 เมตร (Sn ) 1 − 0.8 → a2 = a2 + a − 6 → a = 6 1/2 ลําดบั คือ 9, 6, 4 (51.2) 1 − 0.8 = 2.5 เมตร (S∞ ) (52) 1 = 4 → x = 3 1− x 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 294 ลาํ ดับและอนุกรม (53) 1 = 9 → 2x = 8 (58.2) S∞ = 2 + 3 + 4 + 5 + ... 1 + 2x 9 1248 1 − ⎛ 2x ⎞ ⎝⎜ 1 + 2x ⎠⎟ → 1 S∞ = 2 + 3 + 4 + 5 + ... 2 2 4 8 16 → 2x = 8 → x = 3 → ตอบ log2 3 ลบกัน ไดเ้ ปน็ 1 + log2 3 → 1 S∞ = 2 + ⎛1 + 1 + 1 + ...⎟⎠⎞ (54) 1 + 2 + 3 + ... + n = n2 − 21 2 1 ⎜⎝ 2 4 8 → n(n + 1) = n2 − 21 แกส้ มการได้ n = 7 = 2 + 1/ 2 = 3 → ∴ S∞ = 6 2 1− 1/2 ตอบ 1(1 − 28) = 255 (59.1) S∞ = 10 + 100 + 1,000 + 10,000 + ... 1−2 12 6 24 (55) ∞ พบว่า r มากขนึ้ เรื่อยๆ ∴ล่อู อก a1 + ∑ (an + 1−an) (59.2) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... n=1 2 4 8 16 32 64 = a1 + ( a 2 − a 1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + ... S∞ = a 2 a3 → 1 S∞ = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ... 2 4 8 16 32 64 = a∞ ตอบ 1 ลบกนั ได้ 1 S∞ = 1 + 3 +5+ 7 + ... 2 2 4 8 16 (56.1) 1 ⎛1 − 1⎞ + 1 ⎛1 − 1⎞ + 1 ⎛1 − 1⎞ + ... 2 ⎜⎝ 3 5 ⎟⎠ 2 ⎝⎜ 5 7 ⎟⎠ 2 ⎝⎜ 7 9 ⎟⎠ 1 1 3 5 7 → 4 S∞ = 4 + 8 + 16 + 32 + ... = 1 ⎛ 1⎞ = 1 ลบกนั อกี รอบได้ 1 1 ⎛⎜⎝ 2 2 2 ...⎠⎟⎞ 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 6 4 2 4 8 16 S∞ = + + + + ( ) ( ) ( )(56.2) 1 1 − 1 + 1 1 − 1 + ... + 1 1 − 1 1 ⎛ 2/4 ⎞ 3 21 3 23 5 2 59 61 = 2 + ⎝⎜ 1 − 1 / 2 ⎟⎠ = 2 → S∞ = 12 = 1 ⎛ 1 − 1⎞ = 30 (59.3) พบวา่ 5 แสดงวา่ ลอู่ อก 2 ⎜⎝ 61⎟⎠ 61 2 lim an = ≠ 0 (56.3) (log 1 − log 2) + (log 2 − log 3) + ... n→∞ + (log n − log(n + 1)) (60.1) 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ... = log 1 − log(n + 1) = − log(n + 1) = 0.21 = 21 = 21 = 7 1 − 0.01 100 − 1 99 33 (เพราะ log1 = 0) (60.2) 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + ... (57) ∞ ⎡5⎤ ∞ ⎡3 ⎢⎣2n ⎥⎦ ⎣⎢n(n + ⎤ = 0.6 + ⎛ 0.0104 ⎞ = 0.6 + 104 = 3,049 ∑ −∑ 1)⎥⎦ ⎜⎝ 1 − 0.001 ⎟⎠ 9,990 4,995 n=1 n=1 ( ) ( ) ( )= (60.3) 7 + 0.256 + 0.000256 + ... 5 + 5 + 5 + ... − 3 ⎡ 1 − 1 + 1− 1 + ...⎤⎦⎥ 248 ⎣⎢ 1 2 23 = 7 + 0.256 = 7 + 256 = 7,249 = 5/2 − 3 = 5− 3 = 2 1 − 0.001 999 999 1− 1/2 (60.4) 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... (58.1) Sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1 = 2 + 0.9 = 2 + 1 = 3 2 4 8 2n 1 − 0.1 1 Sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 3 + 2n − 1 [หมายเหตุ 0.9999... = 1 ] 2 4 8 16 2n 2n + 1 ลบกนั (โดยนําพจนท์ ี่มีส่วนเทา่ กนั ตง้ั ลบกนั ) ไดเ้ ป็น 1 Sn = 1 + ⎡2 + 2 + 2 + ... + 2 ⎤ − 2n − 1 2 2 ⎣⎢ 4 8 16 2n ⎦⎥ 2n + 1 1 Sn = 1 + ⎡2/ 4 (1 − (1/2)n − 1)⎤ − 2n − 1 2 2 2n + 1 ⎢⎥ ⎣⎢ 1 − 1/2 ⎥⎦ 1 1 ⎛⎜⎝ 1 ⎞⎟⎠n − 1 2n − 1 2 2 2 2n + 1 → Sn = + 1− − ∴ Sn = 1+ 2 − 4 − 2n − 1 = 3− 2n + 3 2n 2n 2n Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)
คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 295 ลมิ ิตและความตอเนือ่ ง lim t t→0 º··Õè 14 ÅiÁiµ/¤ÇÒÁµo e¹×èo§ คณติ ศาสตร์สาขาแคลคลู สั (Calculus) ถูกใช้ ประโยชนใ์ นทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยอี ยา่ ง กวา้ งขวาง โดยเฉพาะในดา้ นฟสิ กิ ส์ แนวคดิ พนื้ ฐาน ของวชิ าแคลคูลสั กค็ อื เรอ่ื งลมิ ิตของฟังกช์ ัน ซ่ึงจะได้ ศึกษาในบทเรยี นน้ี และขยายความไปสอู่ นุพนั ธแ์ ละ การอินทิเกรตในบทถัดไป.. ในบทเรยี นเรอื่ งลาํ ดับเคย ได้ศึกษาถงึ ลมิ ติ บ้างแลว้ ว่า การพจิ ารณาวา่ เมื่อ x มี ค่าเข้าใกลจ้ าํ นวนจริงค่าใดคา่ หน่งึ แล้ว ฟังก์ชนั f(x) จะมคี า่ เข้าใกลค้ ่าใด เรียกวา่ การหาลิมติ ของฟงั ก์ชัน และค่าลิมิตทไ่ี ดจ้ ะเขียนเป็นสญั ลกั ษณว์ า่ lxi→ma f(x) ตัวอยา่ งเชน่ ฟังก์ชนั y = f (x) = x+3 พบว่า เม่ือ x มคี า่ เข้าใกล้ 5 (ไม่ว่า x จะมากกวา่ หรอื นอ้ ยกวา่ 5) แลว้ y จะมคี า่ เขา้ ใกล้ 8 ดังนัน้ จึงเขยี นเป็นสัญลกั ษณ์ lim f (x) = 8 x →5 การหาคา่ ลมิ ติ ของฟงั ก์ชันน้ัน มีรายละเอียดย่อย 2 แบบ คือ ลมิ ติ ซา้ ย (Left-handed limit) ซึ่งหาได้จากกรณีท่ี x มีคา่ เขา้ ใกล้ a ทางด้านซ้าย (หรือ x < a ) และ ลมิ ิตขวา (Right- handed limit) ซง่ึ หาได้จากกรณที ่ี x มคี า่ เข้าใกล้ a ทางด้านขวา (หรอื x > a ) สญั ลักษณท์ ใี่ ช้แทนลมิ ติ ซา้ ยและลิมติ ขวา คือ lim f (x) กบั lim f (x) ตามลําดับ x → a− x → a+ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 296 ลิมติ และความตอเนือ่ ง ฟงั กช์ นั ใดๆ จะมคี า่ lim f (x) = L กต็ ่อเม่อื lim f (x) = lim f (x) = L เทา่ นน้ั แต่ถ้า x→a x → a− x → a+ ลมิ ิตซา้ ยกบั ลมิ ิตขวาไมเ่ ท่ากนั จะกล่าววา่ ไมม่ ีลิมติ 14.1 ทฤษฎบี ทเก่ียวกบั ลมิ ติ lim c = c lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n x→a x→a x→a lim x = a lim n f (x) = n lim f (x) x→a x→a x→a lim xn = an lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) x→a x→a x→a x→a lim c f (x) = c lim f (x) lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x) x→a x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ÷ g(x)] = lim f (x) ÷ lim g(x) x→a x→a x→a • ตวั อยาง ใหห าคา ลิมิตในแตล ะขอตอ ไปนี้ ก. lim (x2+ x + 1) x → −1 ตอบ แทนคา x = −1 ลงไปไดเ ลย ไดล มิ ติ เทา กบั 1 * ข. ⎛ x3 − 8 ⎞ lim ⎝⎜⎜ x − 2 ⎠⎟⎟ x→0 วิธีคิด หากแทนคา x → 0+ (หรือมากกวา 0 เล็กนอ ย) จะไดเ ปน (−8) /(− 2) = 4 2 แตเ มื่อ x → 0− ( x นอ ยกวา 0 เล็กนอ ย) จะทาํ ให x ไมม ีคา (ในรูทตดิ ลบ) สรปุ วา ลิมิตขวาเปน 4 2 แตไ มม ีลมิ ติ ซาย ... ดงั นน้ั คาํ ตอบขอ นีค้ ือ ไมม ีลมิ ติ ค. ⎛ x2 − 9 ⎞ lim ⎜⎝⎜ 3−x ⎟⎟⎠ x→3 วิธีคดิ เมื่อลองแทนคา x = 3 จะได 0/0 ทําใหไ มท ราบคําตอบ เราตองแยกคดิ ลมิ ิตซาย และลมิ ติ ขวา เพือ่ ใหถ อดคาสัมบูรณอ อกได (ตามนยิ ามของคา สัมบรู ณ) ลิมิตซา ย ทดลองแทนเลขทีน่ อยกวา 3 เล็กนอยลงไปเพือ่ ดเู ครือ่ งหมายและถอดคา สัมบรู ณ xl→im3− ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3− ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3− (− (x + 3)) = −6 ⎜⎜⎝ 3−x ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 3− x ⎟⎟⎠ ตอ มาลมิ ติ ขวา ทดลองแทนเลขทีม่ ากกวา 3 เลก็ นอยลงไปเพือ่ ถอดคา สัมบรู ณ ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3+ ⎛ x2 − 9 ⎞ = xl→im3+ (x + 3) = 6 xl→im3+ ⎜⎜⎝ 3−x ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ x − 3 ⎟⎠⎟ พบวาลิมติ ซายกบั ขวามีคาไมเทากัน ดังนั้นขอ นี้ตอบ ไมมีลิมติ ง. lim ⎛ 5 − 2x − 3 ⎞ x→4 ⎜⎜⎝ x − 4 ⎟⎠⎟ วิธีคิด เมือ่ ลองแทนคา x = 4 กจ็ ะได 0/0 เราตองถอดคา สมั บรู ณอ อกเชนเดมิ แตขอ นีบ้ รเิ วณ x = 4 (ไมวา จะซา ยหรือขวา) นนั้ ถอดคาสมั บรู ณไ ดแ บบเดียวคือ ⎛ 5 − 2x − 3 ⎞ = lim ⎛ −5 + 2x − 3 ⎞ = lim ⎛ 2x − 8 ⎞ = lim (2) = 2 x − 4 ⎟⎠⎟ ⎜ x −4 ⎟ ⎜ x−4 ⎟ x→4 ⎝ ⎠ x→4 ⎝ ⎠ x→4 ⎜⎜⎝... ตอบlim x→4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 297 ลิมติ และความตอเนื่อง จ. เมือ่xl→im5− f (x) f (x) = ⎧⎪ x /x , x < −4.99 ⎩⎪⎨− x /x , x > 4.99 วธิ ีคดิ ที่ x นอยกวา 5 เล็กนอย เชน 4.999999 จะตองใชเ งือ่ นไขลา ง จะได ... ตอบxl→im5− f (x) = xl→im5− (− x / x) = xl→im5− (−1) = −1 ฉ. lim f (x) เมือ่ f (x) = ⎧x−4 , x < 6 ⎨ x →6 ⎩ x − 5 , x > 6 วิธีคิด ลมิ ติ ซา ย ( x นอ ยกวา 6 เล็กนอย) ใชเงื่อนไขบน ไดเ ทากับ 2 ลิมิตขวา ( x มากกวา 6 เลก็ นอย) ใชเงื่อนไขลาง ไดเทา กับ 1 ... ดงั นัน้ ขอนีต้ อบวาไมมีลมิ ิต แบบฝกึ หดั 14.1 (1) จากกราฟ จงหาค่า lim f (x) และ lim f (x) x → −1 x→1 (1.1) y (1.2) y O1 x 2 x -1 -1 1 -2 (2) จงหาคา่ ของ lim f (x) เมื่อ (2.2) f (x) = x3+2x2+x x →2 (2.1) f (x) = 1+x (3) จงหาคา่ ของ (3.1) lim ⎛ x2+1⎞ (3.3) lim ⎛ x x 1 ⎞ ⎜⎝⎜ x−3 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ − ⎠⎟⎟ x→1 x→1 (3.2) lim x2+x S e¾èiÁeµÁi ! S x→3 ÃaÇa§ÊaºÊ¹¤Òí ÇÒ äÁÁÅÕ Ái iµ ¡ºa ËÒ¤ÒäÁä´. . (4) จงหาคา่ ของ äÁÁÅÕ Ái µi (ËÃ×oÅÁi µi äÁÁ ¤Õ Ò) æ»ÅÇÒäÁä´e¢Ò ã¡Å¤ Òã´e»¹ ¾ei ÈÉ (eª¹ ÅÁi µi «Ò ¡aºÅiÁµi (4.1) lim f (x) เมือ่ f (x) = ⎧x+1 , x<2 ¢ÇÒäÁe ·Ò¡¹a ) ⎨⎩2 , x >2 æµ ËÒ¤ÒäÁä´ æ»ÅÇÒ ÁÅÕ iÁµi e»¹ ∞ ¤Ãºa x →2 ( ∞ eÃÕ¡e»¹ ÀÒÉÒä·ÂÇÒ ËÒ¤ÒäÁä´) (4.2) lim f (x) เมื่อ f (x) = ⎧x+2 , x>3 ⎨ x<3 x→3 ⎩ x −5 , (4.3) lim f (x) เมอ่ื f (x) = ⎪⎧ x+5 , x>4 ⎨ x<4 x→4 ⎪⎩ 2x−5 , (4.4) lim f (x) และ lim f (x) เม่ือ f (x) = ⎧ x2, x<3 ⎨⎩2x , x>3 x→3 x→4 (5) จงหาค่าของ lim ⎛ [(x+h)2+1] − (x2+1)⎞ ⎜⎝⎜ h ⎠⎟⎟ h→0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 298 ลมิ ิตและความตอเนือ่ ง (6) [Ent’39] จงหาค่า lim f (x) , lim f (x) , และ lim f (x) เมือ่ f (x) = (x −2)2 x → 2− x → 2+ x →2 x−2 (7) [Ent’41] กาํ หนดให้ f (x) = x2−9 จงหาค่า lim f (x) และ lim f (x) x−3 x → −3 x→3 ⎧ x2, x > 1 จงหาคา่ lim f (x2) + lim ⎡ f (x−1)⎤ x → 0− x → 1+ ⎢ ⎥ * (8) [Ent’มี.ค.43] f (x) = ⎪⎨x-1, 0 < x < 1 ⎣ x+2 ⎦ ⎪⎩ 0 , x < 0 14.2 ลิมติ ในรูปแบบยังไม่กาํ หนด ตวั อย่าง หาค่า lim f (x) เมือ่ f (x) = x2 − 9 x→3 x − 3 ในตวั อยา่ งน้ี จะพบวา่ ไม่สามารถหาลิมติ ด้วยทฤษฎบี ทไดใ้ นทันที เพราะจะใหผ้ ลเป็น 0 ซ่งึ 0 เรียกว่า รปู แบบยังไมก่ าํ หนด (indeterminate form) คือยงั สรปุ ไม่ไดว้ า่ คา่ ลิมิตเปน็ เทา่ ใด วธิ คี ดิ lim x2 − 9 = lim (x+3)(x−3) = lim (x+3) =6 x→3 x − 3 x→3 x − 3 x→3 เทคนคิ การคาํ นวณทใี่ ชค้ ือ พยายามให้ x−3 ในเศษและส่วนมาตดั กัน เพือ่ ไมใ่ ห้เหลือตวั ประกอบใน เศษและส่วนเป็นเลข 0 (ในตัวอย่างใช้วธิ ีแยกตวั ประกอบ แตน่ อกจากน้ยี ังมอี กี หลายเทคนคิ เชน่ การ นําพหุนามมาคณู ท้งั เศษและส่วนตามความเหมาะสม) สาเหตุที่เราสามารถกาํ จัด x−3 ท้งั เศษและส่วนได้ y ก็เพราะการหาลมิ ติ นนั้ ไม่ได้คาํ นงึ ถึงตาํ แหน่งท่ี x = 3 อยแู่ ลว้ 6 x จะเห็นว่าตัวอย่างน้ีแม้ f (3) จะหาค่าไมไ่ ด้ แต่ lim กย็ งั หาค่าได้ O3 x→3 (เทา่ กับ 6) (ดูกราฟประกอบ) • ตวั อยาง ใหห าคา ลิมิตในแตล ะขอตอ ไปนี้ ก. ⎛ ⎜⎜⎝ x2 + 9 − 5 ⎞ lim x−4 ⎠⎟⎟ x→4 วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 4 จะพบวา อยใู นรปู แบบ 0/0 ทาํ ใหยังไมท ราบคาํ ตอบ ขอ นีม้ ีรากที่สอง เราจงึ จดั รปู ใหมโ ดยใช x2+ 9 + 5 คณู ท้งั เศษและสวน (เพื่อใหร ทู หายไป) ตามกฎที่วา (A − B)(A + B) = A2− B2 ... จะได ⎛ ⎝⎜⎜ x2 + 9 − 5 ⎞ ⎛ x2 + 9 + 5 ⎞ = ⎛ x2 + 9 − 25 ⎞ lim x−4 ⎠⎟⎟ ⎜ ⎟ lim ⎜ ⎟ ⎝⎜ x2 + 9 + 5 ⎠⎟ x → 4 ⎝⎜(x − 4)( x2 + 9 + 5)⎠⎟ x→4 ⎛ x2 − 16 ⎞ ⎛ x+4 ⎞ 8 ⎜⎝⎜ (x 4)( x2 + 9 5)⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ x2 + 9 + 5 ⎠⎟⎟ 10 ... ตอบ= = = lim lim − + x→4 x→4 ⎛ x2 + 2x − 3 + 9 − x ⎞ ข. lim ⎜ ⎟ x→0 ⎝ x ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 299 ลมิ ิตและความตอเนือ่ ง วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 0 จะพบวา อยใู นรปู แบบ 0/0 เชน กนั ใชวธิ ีจดั รปู เหมือนขอ ก. ⎛ 3− 9−x⎞ ⎛3− 9−x⎞ lim ⎜ x + 2 − ⎟ = lim (x + 2) − lim ⎜ ⎟ x→0 ⎝ x ⎠ x→0 x→0 ⎝ x ⎠ ⎛3− 9−x⎞⎛3+ 9 − x ⎞ 2 lim ⎛ 9 − (9 − x) ⎞ = 2 − lim ⎜ ⎟ ⎜⎝⎜ 9 − x ⎟⎠⎟ = − ⎜ (x)(3 + 9− x)⎠⎟ x→0 ⎝ x ⎠ 3 + x→0 ⎝ = 2 − lim ⎛ x ⎞ = 2 − lim ⎛ 1 ⎞ = 2− 1 = 11 ⎜ + ⎟ ⎜ 9− ⎟ 6 6 x→0 ⎝ (x)(3 9 − x) ⎠ x→0 ⎝ 3 + x ⎠ ⎛ 3 2 − 3 x ⎞ ⎜⎝⎜ 2 − x ⎟⎠⎟ ค. lim x →2 วธิ ีคิด โจทยร ปู แบบ 0/0 ขอ นีม้ ีรากทีส่ าม ดังนัน้ พจนท ี่นํามาคูณเพือ่ ใหร ูทหายไป จะตา งจากเดิม ตาม กฎที่วา (A − B)(A2+ AB + B2) = A3− B3 ... และขอนีต้ อ งคณู ถงึ สองรอบ เพราะตัวสวนกม็ ีรากที่สองดวย ⎛ 3 2 − 3 x ⎞ ⎛ 22/ 3+ (2x)1/ 3+ x2/3 ⎞ ⎛ 2+ x⎞ ⎛ 2 − x ⎞ ⎛ 2+ x ⎞ ⎜⎜⎝ 2 − x ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 22/ 3+ (2x)1/ 3+ x2/3 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2+ x ⎟⎟⎠ ⎜ 2 − x ⎟ ⎜⎜⎝ (2x)1/ 3+ ⎟⎟⎠ lim = lim ⎝ ⎠ 22/ 3+ x 2/ 3 x →2 x →2 = lim ⎛ 22/ 3+ 2+ x x2/3 ⎞ = 2+ 2 = 22 = 25/6 ⎝⎜⎜ (2x)1/ 3+ ⎠⎟⎟ 22/ 3+ 22/ 3+ 22/ 3 3 × 22/3 3 x →2 เพม่ิ เติม จากเน้อื หาเร่ืองอนพุ ันธ์ บทท่ี 15 S ¨´u ·è¼Õ i´ºo Â! S การหาลิมติ ในรปู แบบยงั ไมก่ าํ หนด มวี ิธกี ารคํานวณอกี ¹o §æ Á¡a ¢eéÕ ¡Õ¨e¢Õ¹¤Òí ÇÒ xli→m, ¹Òí Ë¹Ò æµÅ aºÃ÷´a ã¹eÇÅÒ แบบซง่ึ ง่ายขึ้น เรยี กว่า กฎของโลปีตาล (L’Hôpital’s ·´ËÃ×oæÊ´§Ç¸i Õ·íÒ ... «§èÖ ¶Ò äÁe ¢Õ¹¹o¡¨Ò¡¨a¼´i ¤ÇÒÁËÁÒ Rule) ไดอ้ ธิบายไว้ทา้ ยบทนแ้ี ลว้ (ในหน้าแถม) æÅÇ Âa§oÒ¨Å×Áæ·¹¤ÒµÇa eÅ¢´Ç ¤Òí µoº¡ç¨a¼i´¹a¤Ãºa แบบฝกึ หดั 14.2 (9) หาค่าของลมิ ติ ต่อไปนี้ (9.1) lim ⎛ x2−4 ⎞ (9.3) lim ⎛ x2−2x−3 ⎞ ⎜⎝⎜ x−2 ⎠⎟⎟ x → −1 ⎜⎜⎝ x2+4x+3 ⎟⎟⎠ x →2 (9.2) lim ⎛ x2−4 ⎞ (9.4) lim ⎛ x−a ⎞ x→2 ⎜⎜⎝ x2+x−6 ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ x2−a2 ⎟⎟⎠ x→a (10) หาคา่ ของลิมติ ตอ่ ไปน้ี (10.1) lim ⎛ 1− x ⎞ (10.4) lim ⎛ 2x ⎞ ⎜⎝⎜ 1−x ⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ x+9 −3 ⎠⎟⎟ x→1 x→0 (10.2) lim ⎛ x −1 ⎞ (10.5) lim ⎛ x+1 −1⎞ ⎜⎜⎝ 2− x+3 ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ x ⎟⎠⎟ x→1 x→0 (10.3) lim ⎛ x−2 −1⎟⎟⎠⎞ (10.6) lim ⎛ x− 2⎞ ⎜⎜⎝ x−3 ⎝⎜⎜ x2−2x ⎟⎠⎟ x→3 x→2 (11) [Ent’ม.ี ค.44] ⎛ x2+3 −2 ⎞ มคี า่ เท่ากบั เท่าใด lim ⎜ ⎟ x → 1 ⎝⎜ x−1 ⎟⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )
คณิตศาสตร O-NET / A-NET 300 ลิมติ และความตอเนือ่ ง (12) จงหาคา่ ของ (12.1) lim ⎛ x3−1⎞ (12.3) lim ⎛ 1−x −3 ⎞ ⎜⎜⎝ x2−1⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2 + 3 x ⎟⎟⎠ x→1 x → −8 (12.2) lim ⎛ 3 x−1 −1⎞ (12.4) lim ⎛ 4 x −1⎞ ⎝⎜⎜ x − 2 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ 3 x −1⎠⎟⎟ x →2 x→1 ⎧ x −1 , x<1 ⎪ 1−x x>1 (13) [Ent’38] จงหาคา่ lim f (x) + lim f (x) เมื่อ f (x) = ⎪ x → 1+ ⎨ x → 1− ⎪ 1-x , ⎩⎪1− x 14.3 ความตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ ัน การพจิ ารณาความตอ่ เน่อื งของฟงั กช์ นั ณ จดุ ใดๆ ก็คือการบอกวา่ กราฟของฟังกช์ นั ขาด ตอนที่จดุ น้นั หรอื ไม่ โดยสาํ หรับฟังกช์ ัน f (x) ใดๆ จะตอ่ เนอื่ งท่ี x = a กต็ ่อเมอื่ lim f (x) = f (a) = lim f (x) เทา่ น้นั (และตอ้ งหาคา่ ได้ทัง้ สามตัว) x → a− x → a+ นิยามของ ความตอ่ เน่ืองบนช่วง 1. ฟงั ก์ชัน f (x) ต่อเนอื่ งบนชว่ งเปิด (a, b) กต็ อ่ เม่ือ f (x) ต่อเนือ่ งทุกๆ จุดในช่วง (a, b) 2. ฟังก์ชัน f (x) ตอ่ เนื่องบนชว่ งปดิ [a, b] กต็ ่อเมอ่ื f (x) ต่อเนอื่ งบนช่วง (a, b) , ตอ่ เนอ่ื งทางขวา ของ a [คอื f (a) = lim f (x) ], และต่อเนอ่ื งทางซ้ายของ b [คือ f (b) = lim f (x)] x → a+ x → b− ⎧ f (x) , x < 1 • ตวั อยา ง กําหนดให f (x) = mx + 1 เมื่อ m เปนคาคงตวั และ g(x) = ⎨⎪f (x+1) , x > 1 ⎪ ⎩ −1 ,x=1 ก. ถา g(x) มีลมิ ติ ที่ x = 1 แลว m มีคา เทา ใด วิธีคิด g(x) มีลมิ ิตที่ x = 1 แสดงวา xl→im1− g(x) = xl→im1+ g(x) ... น่ันคือ f (1) = f (1 + 1) f (1) = f (2) → m + 1 = 2 m + 1 → m = 0 ... ตอบ ข. ถา g(x) ตอ เนือ่ งในชวง [0, 1] แลว m มีคาเทา ใด วธิ ีคิด g(x) ตอเนื่องในชว ง [0, 1] แสดงวา xl→im1− g(x) เทา กับ g(1) ... น่ันคือ f (1) = −1 → m + 1 = −1 → m = −2 ... ตอบ ค. ถา g(x) ตอ เนือ่ งในชวง [1, 2] แลว m มีคา เทา ใด วธิ ีคดิ g(x) ตอเนือ่ งในชวง [1, 2] แสดงวา xl→im1+ g(x) เทากบั g(1) ... นนั่ คือ f (2) = −1 → 2 m + 1 = −1 → m = −1 ... ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 660
Pages:
