สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 601 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 (11) r1 มีขอบเขตเปน็ พาราโบลา y + 3 < x2 (15) f (x) = x2 − 1 และ g−1(x) = x3 − 1 จึงทาํ ให้ r '1 มีขอบเขตเปน็ พาราโบลา y + 3 > x2 ก. f + g−1 = x3 + x2 คือพาราโบลาหงาย จดุ ยอด (0,–3) แรเงาดา้ นใน.. ข. fog−1 = (x3 + 1)2 − 1 = x6 + 2x3 สว่ น r2 มีขอบเขตเปน็ เสน้ ตรง 2y > x − 3 ทั้งสองขอ้ เปน็ ฟังกช์ นั เพม่ิ บนช่วง [0, ∞) จรงิ คือเสน้ ประเฉยี งข้ึน ผา่ นจดุ (0,–3/2) แรเงาดา้ นบน.. (เพราะถา้ x เพม่ิ ขน้ึ y ยอ่ มเพ่ิมด้วย) ตอบ ขอ้ 1. ขอ้ 1. กบั 2. r '1∩ r2 (16) สมการวงกลมมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี่ C(-2,4) ไมม่ ีจุดสงู สดุ (สงู ข้ึนไดเ้ รอ่ื ยๆ) ดงั นน้ั mOC = −2 และสมการ OC คอื y = −2x และไม่มจี ุดต่าํ สดุ (เพราะขอบเขตเปน็ เสน้ ประ) ความยาว OC เท่ากับ 22 + 42 = 20 = 2 5 ดังนนั้ วงกลมที่มี OC เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง จะตอ้ ง ขอ้ 3. กบั 4. r '1− r2 = r '1∩ r '2 มีจดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ ่ี (-1,2) และรศั มียาว 5 หน่วย.. จุดสงู สดุ คอื (3/2,–3/4) สรา้ งสมการได้ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5 (หาโดยแก้ระบบสมการ) และจดุ ตาํ่ สดุ คอื (0,–3) ดงั รูป กระจายเปน็ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 ตอบ ข้อ 1. ตอบ ข้อ 4. (17) 6 (x2 + 2x + 1) + 5 (y2 − 4y + 4) = 4 + 6 + 20 (12) จาก gof = (f − 1)2 หาโดเมน; เนือ่ งจาก (f − 1)2 น้ัน f เป็นอะไรกไ็ ด้ → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 เปน็ วงรแี นวต้งั ดงั นน้ั x + 1 เป็นอะไรกไ็ ด้.. นั่นคือ x > 0 56 สรุป Dgof = [0, ∞) หาเรนจ;์ เนือ่ งจาก x > 0 → x + 1 > 1 มีจดุ ศนู ยก์ ลางที่ (-1,2), a = 6, b = 5, c = 1 ดังนนั้ f > 1 ..ทาํ ให้ f − 1 > 0 → (f − 1)2 > 0 ดงั นน้ั V(−1, 2± 6), F(−1, 2±1) หาสมการไฮเพอร์โบลาที่ C(−1, 2), V(−1, 2±1), แกนสงั ยคุ ยาวเทา่ แกนโทของวงรี (คือ b = 5 ) จะได้ (y − 2)2 − (x + 1)2 = 1 15 นัน่ คอื 5 (y − 2)2 − (x + 1)2 = 5 สรุป Rgof = [0, ∞) กระจายได้ 5y2 − x2 − 20y − 2x + 14 = 0 จาก fog = g + 1 หรอื ใชเ้ ปน็ x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 ตอบ หาโดเมน; เนือ่ งจาก g + 1 นน้ั g > 0 เท่านนั้ (18) 1 0 −x2 = x3 − 6x2 + 5 = 0 จึงได้วา่ (x − 1)2 > 0 ซง่ึ เปน็ จริงเสมออยแู่ ลว้ 21 0 x3 5 สรปุ Dfog = R → (x − 1)(x2 − 5x − 5) = 0 → x = 1, 5 ± 3 5 หาเรนจ;์ เนอื่ งจาก (x − 1)2 > 0 → g > 0 2 จึงทาํ ให้ g > 0 → g + 1 > 1 สรุป Rfog = [1, ∞) ตอบ ขอ้ 3. (ก. ผดิ , ข. ถูก) แต่ 5 − 3 5 มคี า่ ติดลบ.. จึงมจี ํานวนจรงิ บวกทเี่ ปน็ 2 คําตอบเพยี ง 2 จาํ นวน ตอบ (13) จาก g = 1 (19) 3I − A = ⎡3−a 0 −2⎤ 2− 2+x ⎢0 1 0⎥ ⎣⎢ −a 0 5 ⎥⎦ จะได้ gof = 1 2− 4+x det (3 I − A) = 15 − 5a − 2a = 8 → a = 1 หาโดเมน; 2 − 4 + x ≠ 0 → x ≠ 0 ดังนน้ั A = ⎡1 0 2⎤ และ det(A) = –4–4 = –8 และ 4 + x > 0 → x > −4 ⎢0 2 0⎥ ดงั นนั้ Dgof = [−4, 0) ∪ (0, ∞) และ ⎢⎣ 1 0 −2⎦⎥ Dgof− A = [−4, 0) มีจํานวนเต็ม 4 จาํ นวน ตอบ (14) หา g−1(1) โดยให้ x3 − x2 − x − 1 = 1 แล้วหา ประโยค ⎣⎡ A I ⎤⎦ ~ ⎣⎡ I B ⎦⎤ แปลวา่ B = A−1 ค่า x โดยหารสังเคราะห์ ( x3 − x2 − x − 2 = 0 ) ได้ x=2 หมายความวา่ g(2) = 1 ดงั นัน้ g−1(1) = 2 จาก det (B adj A) = det(adjA) = (det(A))n−2 ตอบ (fog−1)(1) = f (2) = 4 − 2 − 1 = 1 det(A) ตอบ (−8)3 −2 = −8 [หมายเหตุ วธิ พี สิ ูจน์ det(adjA) = (det(A))n−1 อยู่ ในแบบฝึกหดั เร่ืองเมตริกซ์ ขอ้ 67] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 602 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 (20) จากโจทยจ์ ะได้ (2)x (1−x) > (2)−2 ฐานเท่ากนั (24) เขยี นกราฟของเงอื่ นไขไดด้ ังรูป 33 y สมมตวิ า่ P สูงสดุ เกดิ ท่ี ตดั ทง้ิ ได้ (แต่เปน็ ฟงั กช์ นั ลด ตอ้ งพลกิ เครอื่ งหมาย) (2,3) จะได้วา่ จะได้ x (1 − x) < −2 → x − x2 + 2 < 0 4 (2,3) 150 = (a/2)(2)+25(3) แยกตวั ประกอบได้ (x − 2)(x + 1) > 0 นนั่ คอื a = 75 ดงั นนั้ A = (−∞, −1) ∪ (2, ∞) และ A ' = [−1, 2] O5 x ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง เซต B ที่ตรงตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการคือขอ้ 1. ตอบ โดยแทนคา่ (0,4) (21) จากโจทย์ จัดรปู ฝ่ังซา้ ยของอสมการไดด้ งั นี้ และ (5,0) ลงไป พบวา่ P(5,0)=187.5 ซงึ่ มากกว่า log 3(x − 3) − 1 log 3(x − 3) + 1 log 3(x − 3) − ... 2 4 150 แสดงวา่ ทจี่ ริงแล้ว P สูงสดุ เกดิ ทจี่ ุด (5,0) = (1 − 1 + 1 − 1 + ...)(log 3(x − 3)) ดงั นน้ั 150 = (a/2)(5)+25(0) ... ได้ a = 60 2 4 8 ตอบ ข้อ 3. 1 )(log 2 = ( + 1/2 3(x − 3)) = 3 (log 3(x − 3)) (25) lim f(x) = lim x − 2 = lim x −2 1 2−x x → 2− x → 2− 2 − x x → 2− ดงั นนั้ จากโจทยจ์ ะได้ 2 (log 3(x − 3)) < 1 = lim −(2 − x) = lim − 2 − x = 0 3 x → 2− 2 − x x → 2− → (log3(x− 3)) < 3 → x− 3<3 3 และ lim f(x) = lim 2 − x = lim −(2 − x) 2 x → 2+ x → 2+ 2 − x x → 2+ 2 − x → x<4 3 = lim −( 2 − x)( 2 + x) = lim − ( 2 + x) x → 2+ 2− x x → 2+ แตต่ อ้ งคาํ นงึ ถึงเงอื่ นไขของสง่ิ ทอ่ี ย่ใู น log ด้วย คอื x − 3 > 0 → x > 3 = −2 2 ดังนนั้ ตอบ ขอ้ 4. สรปุ .. ช่วง (a,b) คือ ( 3, 4 3) ตอบ 5 3 ส่วนท่สี อง ตอนท่ี 1 (1) จาก x = tan (arctan (1/3) + arctan (1/2)) (22) เซต A; 3 x2 − 8x + 16 + 2 3 x − 4 + 1 = 0 ให้ 3 x − 4 = a จะได้ a2 + 2a + 1 = 0 ใช้สูตร tan(A+B) จะได้เปน็ น่ันคอื a = −1 → 3 x − 4 = −1 → x = 3 x = 1/3 + 1/2 = 1 1 − (1/3)(1/2) ดังนนั้ เซต A = {3} และจาก y = sin (arcsin (1/ 10) + arcsin (1/ 5)) เซต B; log 39 + (log3 x)2 = 2 log3 3x ใชส้ ูตร sin(A+B) จะไดเ้ ปน็ นน่ั คอื 2 + (log3 x)2 = 2 y = ( 1 )( 2 ) + ( 3 )( 1 ) = 5 = 1 log3 3 + log 3 x 10 5 10 5 50 2 ให้ log3 x = a จะได้ 2 + a2 =2 (หาคา่ cos ได้จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก) 1+ a ตอบ (x − y)(x + y) = x2 − y2 = 1 − 1 = 0.5 → 2 + a2(1 + a) = 2 (1 + a) → a3 + a2 − 2a = 0 2 (2) พน้ื ท่ีสี่เหลย่ี ม ||˜˜AABB ||⋅⋅||˜˜AADD|| sin θ = 24 → a (a + 2)(a − 1) = 0 → a = 0, −2, 1 = และจาก ˜AB ⋅ ˜AD = cos θ = 3 ดงั นนั้ x = 30, 3−2, 31 = 1, 1/9, 3 นาํ สองสมการมาหารกัน จะได้ tan θ = 8 ตอบ เซต C; มสี มาชกิ เป็น log 3 a ไดแ้ ก่ b (3) จาก z − z = (1 − 3 i) − (1 + 3 i) = − 3 i , ,log3 3 1 3 = 3 3 0 22 22 1 = log 3 1/9 log 3 3 = และ i17 = i1 = i และ ตอบ {0,1,3} z18 = (1∠(π/ 3))18 = 118∠(18π/ 3)) = 1∠6π = 1 (23) เขียนกราฟของ y ดังนนั้ z−z = − 3i = 3 เงือ่ นไข ไดด้ ังรปู i 17+ z 18 i+1 2 (0,10) ⎛ z − z ⎞2 คา่ ตา่ํ สดุ ของ C ⎜⎜⎝ i 17+ z 18 ⎠⎟⎟ ตอบ ค่าสมั บูรณข์ อง คือ ( 3)2 = 1.5 เกดิ ที่ (3,1) 2 ตอบ Cmin = 17 (3,1) (4,1/2) Ox Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 603 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 1 (4) ⎛⎜⎝ 23 ⎟⎞⎠ ⎝⎜⎛ 7 ⎟⎠⎞ + ⎛⎝⎜27 ⎟⎠⎞ ⎛⎝⎜ 3 ⎠⎟⎞ = 21 + 63 = 0.7 ตอบ (10) ตารางท่ใี หม้ า คะแนน จํานวน CF 1 1 120 เรยี งขอ้ มูลจากมาก ไปนอ้ ย จึงควรกลับ 30 – 39 1 1 ⎝⎛⎜ 10 ⎠⎞⎟ 40 – 49 4 5 3 ดา้ นก่อน และเขยี น 50 – 59 10 15 (5) ให้ขอ้ มูลทงั้ สี่ได้แก่ a, b, c, d ความถสี่ ะสมไดด้ ังน้ี 60 – 69 20 35 มสี องคนหนกั เทา่ กนั และนอ้ ยกว่าอกี สองคนทีเ่ หลอื 70 – 79 30 65 แสดงวา่ a, b เทา่ กันและเปน็ ฐานนยิ มด้วย = 40 มธั ยฐานอย่ตู าํ แหนง่ 80 – 89 25 90 มธั ยฐาน = 41 แสดงว่า c = 42 ท่ี 100/2 = 50 90 – 99 10 100 พสิ ยั = 6 แสดงว่า d = 46 ซ่ึงพบวา่ อยกู่ งึ่ กลางชั้น 70-79 พอดี ดงั นนั้ มธั ยฐาน ดงั นน้ั ขอ้ มลู ทัง้ สคี่ ือ 40, 40, 42, 46 กก. เทา่ กบั จุดกง่ึ กลาง คอื 74.5 คะแนน คํานวณคา่ เฉลยี่ เลขคณิต ไดเ้ ท่ากบั 42 กก. ตอบ s2 = 22 + 22 + 02 + 42 = 24 = 6 ควอร์ไทลท์ ี่ 3 อยตู่ าํ แหนง่ ที่ (3/4)(100) = 75 44 ดงั นน้ั Q3 = 79.5 + 10 (75 − 65) = 83.5 คะแนน (6) จาก 4 sin2 x + 11 cos x − 1 = 0 จะได้ 25 ตอบ ตา่ งกนั อยู่ 9 คะแนน 4 (1 − cos2 x) + 11 cos x − 1 = 0 → 4c2 − 11c − 3 = 0 → (4c + 1)(c − 3) = 0 ส่วนทีส่ อง ตอนที่ 2 (1) จาก det (2At) = 22 det(A) แต่ cos x = 3 ไม่ได้ ดังนนั้ cos x = –1/4 เท่านน้ั = 4 (sin 3θ cos θ + cos 4θ sin 2θ) โจทย์ถาม cot2(x + π) + 1 2 cos (x − 3π) = tan2 x + 1 = (± 15)2 + 4 = 19 ตอบ = 2 (sin 4θ + sin 2θ + sin 6θ − sin 2θ) − cos x (หาคา่ tan x มาจากรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก) = 2 (sin π/3 + sin π/2) = 2 ( 3 + 1) 2 (7) จาก an = znzn = (1 − 2 −n − 3 i)(1 − 2 −n + 3 i) = 3 + 2 ตอบ = (1 − 2 − n)2 + 32 = 1− 2 + 2 +9 (2) ข้อ 1. กับ 2. ผิด เพราะคา่ ท่ีไดอ้ าจเปน็ บวกหรือ 2n 22n ติดลบกไ็ ด้ ข้ึนอยกู่ บั ควอดรนั ต์ ดงั นนั้ ตอบ lim an = 1 − 0 + 0 + 9 = 10 ขอ้ 4. ผดิ เพราะ arccos ติดลบ กบั arctan ติดลบ n→∞ นั้นอยูค่ นละควอดรันตก์ นั (ไมม่ ที างเทา่ กนั ได้) แตถ่ งึ แมว้ า่ ขอ้ 4. จะผดิ ขอ้ 3. กย็ งั ถกู เพราะคา่ (8) จาก ∫ (fog)(x) dx = x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − c tan ของมมุ ๆ นนั้ เทา่ กับ -2 จรงิ ๆ (เพยี งแตเ่ ขียนเปน็ แสดงวา่ (fog)(x) = 5x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 คําวา่ arctan(-2) ไม่ได!้ ) ตอบ ขอ้ 3. จากนนั้ ใชก้ ฎลกู โซ่ คอื (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) ตอ้ งการหาคา่ f′(6) จงึ พยายามแทนคา่ g(x) เป็น 6 (3) แยกตวั ประกอบได้ (sin θ)( 2 sin θ − 1) > 0 ซึ่งจากโจทยพ์ บวา่ g(1) = 6 เราจึงแทน x ดว้ ย 1 2 cos θ − 1 ตลอดสมการ ไดเ้ ปน็ (fog)′(1) = f′(6) ⋅ g′(1) กรณีแรก บน > 0 และล่าง > 0 ดงั นนั้ f′(6) = (fog)′ (1) = 20(1)3 − 12(1)2 + 6(1) − 2 เขยี นเสน้ จํานวนแลว้ หาคาํ ตอบในวงกลม π/π3/4 g′(1) 6(1)2 + 6(1) sin θ = 12 = 1 ตอบ 0 1/ c2os θ 0 2π 12 5π/3 1/2 (9) วิธที ้ังหมด ลบด้วย วิธที ผี่ ้ชู ายทุกคนอย่ดู ว้ ยกนั * วิธที ่ผี ชู้ ายอย่ดู ว้ ยกันคอื แบ่งผหู้ ญงิ เป็น 4 กบั 1 พบว่าในเซตคาํ ตอบมีจาํ นวนนบั 1 และ 6 คน ได้ 5! = 5 วธิ ี แตต่ ้องต้งั ชอื่ กลุ่มเปน็ A, B (คิดโดยประมาณคา่ π ≈ 3.14 ) 4! 1! กรณที สี่ อง บน < 0 และลา่ ง < 0 ด้วย จงึ คูณอกี 2! ไดเ้ ปน็ 10 วิธี * วธิ ที ั้งหมดคอื แบ่งคน 8 คนออกเป็น 4 กับ 4 คน sin θ 3π/4 ได้ 8! = 35 วธิ ี แตต่ ้องตงั้ ชอื่ กลุม่ เปน็ A, B 0 1/ 2 π 4!4!2! cos θ เช่นกัน จงึ คณู อกี 2! ไดเ้ ป็น 70 วิธี 1/2 ตอบ 1 − 10 = 6 ≈ 0.86 พบวา่ ในเซตคาํ ตอบมีจาํ นวนนับคอื 3 70 7 ตอบ มีจาํ นวนนบั รวม 3 จาํ นวน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 604 โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 (4) ให้ u = v = a จะไดว้ า่ (10) x-2 หาร f(x) และ f’(x) เหลอื เศษ 3 และ 4 a2 + a2 + 2a2 cos θ = 2 a2 + a2 − 2a2 cos θ หมายความวา่ f(2)=3 และ f’(2)=4 (ทฤษฎีเศษ) ยกกําลังสองท้ังสองขา้ ง และดงึ ตวั รว่ มไดเ้ ปน็ ดงั นนั้ จาก g(x) = f(x) จะได้ (x − 1)2 2a2(1 + cos θ) = 4 (2a2)(1 − cos θ) dg (x − 1)2 f′(x) − f(x) 2 (x − 1) ∴ cos θ = 0.6 ตอบ ขอ้ 2. dx = g′(x) = (x − 1)4 (เพราะ cos 45° ≈ 0.707 และ cos 90° = 0 ) แทนคา่ g′(2) = (1)2 (4) − (3)2 (1) = −2 ตอบ (1)4 (5) สมมตจิ ดุ B มีพิกดั เปน็ (˜Ax,B3xเท-2า่ )กบั ดงั นนั้ ความชนั ของเวกเตอร์ (11) f(x) = x3 + Ax2 + Bx + C (3x − 2) − (−2) * x-1 เป็นตวั ประกอบ แปลวา่ f(1)=0 (x) − (1) * x-2 หาร f’(x) และ f’’(x) เหลอื เศษ 2 เทา่ กนั แปลวา่ f’(2)=2 และ f’’(2)=2 (ทฤษฎีเศษ) แต่ความชนั ของเวกเตอร์ u เท่ากับ 4/2 = 2 * เนอื่ งจาก f′(x) = 3x2 + 2Ax + B และ แเตวสอกดบเตงว|อ˜่าAรจส์Bดุ อ|ง:Bอนัuคนอื ี้ค=(ว-3า2ม,:-ช82นั)เ=ทแลา่1.กะ5นั ˜AแBกส้ =ม−ก3ารi ไ−ด6้ xj=-2 f′′(x) = 6x + 2A (6) จาก v = i + j แสดงว่า v = 2 จึงได้วา่ f′′(2) = 6(2) + 2A = 2 → A = −5 f′(2) = 3(2)2 − 10(2) + B = 2 → B = 10 และ v ทาํ มุม 45° กับแกน x f(1) = (1)3 − 5(1)2 + 10(1) + C = 0 → C = −6 u ⋅ v = 3 = ( 2)( 2)(cos θ) → cos θ = 3 * หาสมการเสน้ สมั ผสั โคง้ นี้ ณ จดุ ซงึ่ x=2 2 ความชนั = f’(2) = 2 (โจทยใ์ หม้ าแล้ว) จดุ ท่ีสมั ผสั .. f(2) = (2)3 − 5(2)2 + 10(2) − 6 = 2 นน่ั คอื มุมระหวา่ ง u กับ v เปน็ 30° ดงั น้นั u ทาํ มมุ กบั แกน x เท่ากับ 15° หรอื 75° กไ็ ด้ ดงั นนั้ สมการเสน้ ตรงคอื y = 2x − 2 ตอบ ตอบ ขอ้ 1. (7) z ⋅ z = (a − bi)(a + bi) = a2 + b2 (12) f (x) = 1 +x = 1 +x 10 log (x −4) 25 x − 4 25 ดังนน้ั Re(z ⋅ z) = a2 + b2 ด้วย f′(x) = − (x 1 +1 แทนคา่ a ตามในโจทย์ได้ และเนอ่ื งจาก |z|= a2 + b2 − 4)2 25 เราจงึ หา Re(z ⋅ z) ได้โดย |z|2 f′(a) = − 24 = − (a 1 + 1 → (a − 4)2 = 1 จากโจทย์ ใส่คา่ สมั บรู ณไ์ ด้ (13)|z|3 (5) = (130)|z| 25 − 4)2 25 (เพราะ | z |=|z| เสมอ) ... ดังนน้ั a = 3 หรอื 5 ... แต่ในโจทยม์ ี log จึงมี จากน้ันย้ายขา้ งได้ |z|2 = 2 ตอบ เงื่อนไขทาํ ให้ x > 4 เทา่ นน้ั ตอบ 1 จาํ นวน (8) จากสมการในโจทย์ z3 = −5 + 2 i 2 x4 + 1 dx 2 ∫ ∫(13) 1 x2 = (x2 + x−2) dx 1 ดังนนั้ |z|3= |− 5 + 2 i| = 27 = ⎡ x3 − 1⎤ 2 = ⎝⎛⎜ 8 − 1 ⎠⎞⎟ − ⎝⎜⎛ 1 − 1⎠⎟⎞ = 25 แสดงว่าทุกๆ คาํ ตอบยอ่ มมขี นาดเปน็ |z| = ⎣⎢ 3 x ⎦⎥ 1 3 2 3 6 ตอบ z21 + z22 + z23 = 3 + 3 + 3 = 9 3 11 (4 − x)2 dx = (16 − 8 x + x) dx ∫ ∫และ 00 (9) จาก F(2) = 3 จะได้ = ⎡ − 16 x3 / 2 + x2 ⎤ 1 = ⎝⎛⎜ 16 − 16 + 1 ⎠⎟⎞ ⎢⎣16x 3 2 ⎥⎦ 0 3 2 3 = (f(2))2 + 2(2) + 1 → f(2) = 2 (โจทยบ์ อกวา่ f(2) > 0 เทา่ นนั้ ) = 11 1 ดงั นน้ั ตอบ 14 และจาก F′(x) = (1) 2 f(x) f′(x) + 2 6 2 (f(x))2 + 2x + 1 ∫(14) ก. −1 3 − 4x) dx = ⎛ x4 − 2x2 ⎞ 3 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ −1 จะได้ F′(2) = (1) 2 (2)(4) + 2 = 3 ตอบ (x3 23 = ⎛ 81 − 18⎞⎠⎟ − ⎝⎜⎛ 1 − 2⎟⎠⎞ = 4 ⎜⎝ 4 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 605 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 1 ข. y = x3 − 4x 7/4 25/4 (20) ก. Δy = 2 Δx = 2 (2) = 4 มจี ดุ ตดั แกน x ท่ี 4 แสดงวา่ กาํ ไรเพมิ่ 4,000 บาทเทา่ นัน้ 0, 2, –2 ดงั รปู (การคดิ X, Y ทเ่ี ปล่ยี นแปลงไป จะไมข่ น้ึ กับคา่ c) -2 -1 0 2 3 ข. ทราบคา่ Y แล้วจะทํานายคา่ X แบบน้ี ทาํ ไม่ได!้ ตอบ ขอ้ 4. 0 2 3 (21) ก. ∑ x = m ∑ y + cN → 0 = 6m + 4c f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx ∫ ∫ ∫พ้ืนที่แรเงา = −1 0 2 ∑ xy = m ∑ y2 + c ∑ y → 14 = 30m + 6c = 7 − (−4) + 25 = 12 ตารางหนว่ ย ตอบ ข้อ 1. แกร้ ะบบสมการได้ m=2/3 และ c=-1 44 ดงั นนั้ ท่ี y=1 จะได้ Xˆ = (2/3)(3) − 1 = 1 (15) จาก f(x) = x4 − x จะได้ f′(x) = x3 − 1 ข. ∑ y = m ∑ x + cN → 6 = 0m + 4c 4 a2 a2 = a6 + a3 ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 14 = 10m + 0c f′′(x) dx = จะได้ m=1.4 และ c=1.5 ∫ ( )ดงั นนั้ ดงั นน้ั ที่ x=1 จะได้ Yˆ = 1.4 (1) + 1.5 = 2.9 x3 − 1 −a −a ตอบ ขอ้ 2. (22) การเปรียบเทยี บข้อมลู สองกลุม่ ตอ้ งเทียบดว้ ย จึงได้ a6 + a3 = − 1 → 4a6 + 4a3 + 1 = 0 4 → (2a3 + 1)2 = 0 → a3 = − 1 2 ความชนั ณ x=a คือ f′(a) ค่ามาตรฐาน (z) เทา่ นน้ั .. หาค่าเฉลี่ยเลขคณติ วิชา = a3 − 1 = − 1 − 1 = − 3 ตอบ คณติ ศาสตรไ์ ด้ 80 คะแนน และเคมี 78 คะแนน.. 22 คณติ ศาสตร;์ z = 90 − 80 = 10 ≈ 1 กวา่ ๆ (16) แบง่ เปน็ 4,1,1 จะได้ 6! × 3! = 90 8.6 8.6 4 !(1!)22 ! เคมี; z = 90 − 78 = 12 ≈ ไมถ่ งึ 1 แบ่งเป็น 3,2,1 จะได้ 6! × 3! = 360 14.2 14.2 3!2! 1! ตอบ เขาเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ได้ดีกวา่ เคมี แบง่ เปน็ 2,2,2 จะได้ 6! × 3! = 90 (23) ถ้าให้ Y=โบนัส และ X=เงินเดอื น จะได้ (2 !)33 ! Y = 1000 + 2X ... ดังนน้ั จากสมบัติของคา่ กลาง รวม 90+360+90 = 540 วธิ ี ตอบ และคา่ การกระจาย จะได้ (17) ก. 2! 3! = 6 วิธี ก. Y = 1000 + 2X 2 ข. sY = 2 sX → s2Y = 4 s2X ตอบ ขอ้ 4. (หาร 2 เพราะเปน็ การจดั วงกลมแบบพลิกดา้ นได)้ (24) จาก P97.5 → A = 0.475 ทางขวา ข. 2! 3! = 12 วิธี ตอบ ข้อ 3. (18) หยิบพรอ้ มกันให้ไดแ้ ต้มรวมเปน็ 10 มีดังนี.้ . จะได้ z = 1.960 = xmax − X .....(1) 1,2,7 1,3,6 1,4,5 2,3,5 รวม 4 กรณี 20 ตอบ 4 = 4 = 1 และจาก P33 → A = 0.17 ทางซา้ ย ⎝⎛⎜ 130⎟⎠⎞ 120 30 จะได้ z = −0.440 = xmin − X .....(2) (19) เสน้ ทล่ี ากขน้ึ ระหวา่ งจดุ ยอด 2 จดุ ในรปู สิบ 20 เหล่ยี ม จะมที ้ังหมด ⎝⎜⎛ 10 ⎠⎞⎟ = 45 เสน้ (1)-(2); xmax − xmin = 39.2 + 8.8 = 48.0 2 ดงั นน้ั พสิ ยั เทา่ กบั 48.0 คะแนน ตอบ (25) นกั เรยี นทไี่ ด้ค่ามาตรฐาน แตใ่ นจาํ นวนนเี้ ปน็ ดา้ น (เส้นรอบรปู ) อยู่ 10 เสน้ ระหวา่ ง -1 และ 1 มอี ยู่ 75% แสดงวา่ พน้ื ท่แี รเงาในรปู ดงั นน้ั มีเสน้ ทีไ่ ม่ใช่ดา้ น อยู่ 45–10=35 เสน้ มีฝง่ั ละ 37.5% 0.375 0.375 ให้หาความนา่ จะเป็นทเี่ สน้ นีไ้ มผ่ า่ นจุดศนู ย์กลาง -1 0 1 ซงึ่ เราพบวา่ มเี สน้ ที่ผา่ นจุดศนู ย์กลางอยู่ 5 เสน้ z ตอบ 35 − 5 = 6 คะแนนของนาย ก คิดเป็นคา่ z = 50 − 40 = 1 35 7 10 จึงคดิ เปน็ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 50+37.5 = 87.5 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 606 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 o¨·Â·´Êoº ªu´·èÕ 2 (กุมภาพนั ธ์ 2548) ตอนท่ี 1 ขอ้ 1 – 10 เปน็ ขอ้ สอบแบบอัตนัย ขอ้ 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ P เป็นจุดๆ หนึง่ บนวงรี (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 ซึ่งมี F1 , F2 เป็นจดุ โฟกัส 9 16 ถ(˜Pา้ Fร1ะย⋅ ะ˜PหF2่า)งรsะeหcว(่าF1งPˆจFุด2) P และจดุ โฟกัสจดุ หน่ึงของวงรีคอื 2 หนว่ ย แล้ว มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด 2. ผลคณู ของทุกคาํ ตอบของสมการ x2(log x)2= 10 x3 มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด 3. กาํ หนดใหร้ ูปสามเหล่ยี ม ABC มดี า้ น BC ยาว 5 หนว่ ย ดา้ น AC ยาว 8 หนว่ ย ถา้ มุม B = arccos (12/13) − arcsin(−3/5) แลว้ ค่าของ 7 cosec A cos B เท่ากับเทา่ ใด 4. ถ้าสมการจดุ ประสงค์คอื P = 14x − 7y และอสมการข้อจาํ กัดคือ x + y < 12 , 2x + 5y > 30 , 5x + 2y > 30 แลว้ ผลรวมของค่าสูงสดุ และคา่ ตํ่าสุดของ P เทา่ กบั เท่าใด 5. ใหเ้ มตริกซ์ ⎡a11 a12 a13 ⎤ ถา้ ⎡ 1 0 −1 1 0 0⎤ ⎡ 1 0 0 a11 a12 a13 ⎤ ⎢⎢⎢⎣01 01⎥⎥⎥⎦ ⎢⎣⎢⎢00 A = ⎢⎣⎢aa2311 a22 a23 ⎥ 1 1 0 1 ~ 1 0 a21 a22 a23 ⎥ a32 a33 ⎥ −1 0 0 0 0 1 a31 a32 a33 ⎥ ⎦ ⎦ แล้ว ค่าของ det (2 A2adj A) เท่ากบั เทา่ ใด 6. ถ้า z = 2 − 3i แลว้ ค่าสมั บรู ณข์ อง ⎛ z2+ 7 i ⎞2 เทา่ กับเทา่ ใด ⎜⎜⎝ z − 1 − i ⎠⎟⎟ 7. ถา้ จาํ นวนเต็มท่มี ากที่สดุ ท่ีหาร 105 เหลอื เศษ 3 และหาร 601 เหลือเศษ 6 นน้ั หาร 353 เหลือเศษเทา่ กบั a , และให้พหุนาม x2+ bx + c หาร x3− 2x2− x − 2 เหลือเศษ 4 เมอื่ b, c เปน็ จํานวนจริง ดังน้นั a + b + c มีค่าเทา่ กบั เท่าใด 8. รหสั สนิ ค้าจาํ นวน 6 หลกั ของบรษิ ัทแหง่ หนึง่ ประกอบข้ึนจากเลข 0 ถงึ 9 โดยสองหลักแรกระบปุ ี ทผี่ ลิต (เช่น 48 แทน พ.ศ. 2548) และหลักสุดท้ายเป็นตัวเลขตรวจสอบความถูกตอ้ ง ซึง่ ไดม้ าจาก หลักหน่วยของผลบวกของเลขในหา้ หลกั แรก บริษทั นี้จะสามารถตั้งรหสั สินค้าทีผ่ ลติ ในปี พ.ศ. 2548 ใหม้ เี ลข 0 ไม่เกนิ 2 หลัก ไดม้ ากทส่ี ุดก่รี หัส 9. ผลบวกของสัมประสิทธข์ิ องทุกพจน์ และผลบวกของสมั ประสทิ ธ์ทิ วินามของทกุ พจน์ ในการ กระจาย (3a − 2b)7 มีค่าต่างกนั อยู่เท่าใด 10. ถ้า B = {−2, −1, 1, 3, 4, 7} และ S = { A | A ⊂ B และ ( 1∉ A หรอื n(A)∉ A )} แลว้ จาํ นวนสมาชิกของ S เทา่ กบั เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 607 โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 ตอนท่ี 2 ขอ้ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ P(x) เป็นพหนุ ามที่มีสมั ประสทิ ธเ์ิ ปน็ จํานวนใดๆ และ a, b เป็นจํานวนจริง ข้อใดต่อไปนถี้ ูก 1. ถ้า P (a + b i) = 0 แสดงว่า x − a + b i เป็นตัวประกอบหนงึ่ ของ P (x) 2. หากสมการ P (x) = 0 มี a + b i เป็นคําตอบหน่ึงแล้ว a − b i จะเป็น คาํ ตอบของสมการน้ีดว้ ย 3. เมอื่ n เปน็ จํานวนนับ สมการพหนุ ามกําลัง n ย่อมมี n คาํ ตอบต่างๆ กัน 4. เมือ่ n เป็นจํานวนนบั รากท่ี n ของจาํ นวน a + b i ยอ่ มมี n คาํ ตอบตา่ งๆ กนั 2. ข้อความในข้อใดตอ่ ไปน้ผี ดิ 1. ถ้า a, b, c เป็นจํานวนเตม็ บวก ซึ่ง a| b และ a|c แล้ว จะไดว้ า่ a หารผลรวมเชิงเส้นของ b และ c ลงตัวด้วย 2. ถา้ a, b, c เปน็ จํานวนเตม็ บวก ซ่ึง a| b หรอื a|c แลว้ จะไดว้ า่ a หารผลคณู bc ลงตัวด้วย 3. ถา้ a, b, n เป็นจํานวนเตม็ บวก และ a| bn แลว้ จะได้ว่า a| b 4. ถา้ a, b, n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก และ an | b แล้ว จะได้ว่า a| b 3. ถา้ f (x) และ g(x) เป็นฟงั กช์ ันซ่งึ หาอนพุ ันธ์ได้ โดย { }f (2x + 1) = [g(x2+ 2)]2+ 1 3 และเสน้ สัมผสั โค้ง g(x) ที่ x = 3 มีสมการเปน็ y = 3x − 8 แล้วอนุพันธ์ของ f (x) ท่ี x = 3 อยูใ่ นเซตใด ต่อไปน้ี 1. {12, 18} 2. {24, 36} 3. {54, 72} 4. {84, 108} 4. ถ้า F1 และ F2 เป็นโฟกสั ของไฮเพอร์โบลา x2− 3y2− 2x − 23 = 0 ระยะทางระหวา่ งเสน้ ตรงสองเส้นท่ที ํามมุ 60° กบั แกน x และผา่ น F1 และ F2 ตามลําดบั เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 4 2. 4 2 3. 4 3 4. 4 6 5. ให้ Aอ,ยบู่B,นCด้านเป็นBจCดุ ยโอดดยขทอ่ี |งร˜Bปู Dส|า:ม|เ˜BหCลยี่|ม=ใด3ๆ: 4 จุด D พจิ ารณก.าข˜A้อBคว=าม4ต˜A่อไDปน−ี้ 3 ˜AC ข. ถา้ |˜AB| = |˜AC| = 3 |˜AD| แลว้ มมุ A มีขนาดประมาณ 120° 2 ข้อใดต่อไปนถ้ี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 6. จํานวนคาํ ตอบท่เี ป็นจํานวนเต็มของอสมการ x + 1 < x2− 6 < 5 เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ x 1. 5 2. 6 3. 8 4. 12 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 608 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 7. เสน้ โค้งพาราโบลา x = ay2+ 1 มสี มการเสน้ สัมผัส ณ จดุ (3, b) คอื x + 4y + c = 0 เมื่อ a, b, c เปน็ จาํ นวนจริง จะไดว้ า่ a + b + c มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. −4 2. −2 3. 2 4. 4 8. พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถ้าประพจน์ [(p ∧ q) → r)] ↔ (p ∨ q) มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ แลว้ (p → q) ∨ r มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ ข. นเิ สธของข้อความ ∃y∀x [ Q (x, y) → P (x) ] คอื ∃x∀y [ Q (x, y) ∧ ~ P (x) ] ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 9. กาํ หนดเอกภพสมั พทั ธ์คอื ช่วงเปิด (1, 4) พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. ประพจน์ ∀x [ x2− 5x + 4 < 0 ] มีค่าความจริงเป็นจริง ข. ประพจน์ ∃x [ 2x3− 5x2− 5x − 7 > 0 ] มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง ข้อใดต่อไปนถ้ี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 10. กาํ หนดให้ f (x) = x2− 5 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี x−3 ก. f เปน็ ฟังก์ชันลดในชว่ ง (1, 5) − {3} ข. อินเวอร์สของ f เปน็ ฟังกช์ ัน ข้อใดต่อไปนจี้ ริง 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 11. กาํ หนดให้ r = ln (1/3) ผลบวกของอนุกรมในข้อใดต่อไปน้ีเท่ากบั 1 1+ r 1. ∞ rn 2. ∞ 3. ∑∞ 1 4. ∑∞ (−1)n n=0 r n+1 n=0 r n+1 ∑ ∑ (−1)n r n n=0 n=0 12. ให้ f (x) = x3 + ax2+ bx + c เม่อื a, b, c เป็นจาํ นวนจริง ถา้ x − 1 หาร f (x) แลว้ เหลอื เศษ 2 และ i − 2 เปน็ รากหนงึ่ ของสมการ f′(x) = 0 แล้ว คา่ ของ f (−1) เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. −30 2. −26 3. −10 4. −26/3 13. กาํ หนดให้ f (x) = ,9 − x2 g(x) = x2+ 5 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีผิด 1. (f g)(x) = 4 − x2 เมอื่ x ∈ [−2, 2] 2. (g f)(x) = 14 − x2 เมือ่ x ∈ [− 14, 14] 3. และRfog = [0, 2] Rgof = [ 5, 14] 4. f และ g เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งบนชว่ ง [−3, 3] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 609 โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 14. ให้ S เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ 1 − 11ex > 9 + e2x ถ้า a และ b เป็นสมาชิกของ S ท่ีมีคา่ มากท่ีสดุ และน้อยทสี่ ุด ตามลาํ ดบั แล้ว a − b เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. ln 1 2. ln 10 3. 2 ln 3 4. ln 11 15. กําหนดให้ θ ∈ [0, 2π] ถา้ tan θ = 2 − sec θ แล้ว sin(π + 2θ) มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 2 1. 7 2. − 7 3. 7 , −1 4. 7 , −1, 1 25 25 25 25 16. กาํ หนดให้ y = f (x) เป็นฟงั กช์ นั พหุนามซึ่งมคี ่าต่ําสดุ สมั พทั ธเ์ ท่ากบั 4 ทจ่ี ุดซึ่ง x = 1 และมีเสน้ ตรง x + y + 3 = 0 เป็นเสน้ สมั ผสั กราฟที่จดุ (a, −2) ถา้ f (x) ⋅ g(x) = x2 แลว้ ค่าของ −1 ∫1 เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี g′′(x) dx 1. 3 2. 3 3. − 3 4. − 3 2 44 2 17. กาํ หนดตารางแจกแจงความถ่ขี องคะแนนสอบของนกั เรยี นหอ้ งหนึ่งเป็นดังนี้ คะแนน จํานวนนกั เรยี น 30 – 39 5 40 – 49 10 50 – 59 a 60 – 69 b 70 – 79 2 เมื่อสุม่ เลือกนักเรยี นกลุม่ นี้มาหน่ึงคน ความน่าจะเป็นท่ีนกั เรยี นคนนี้ได้คะแนนน้อยกวา่ และมากกว่า 49.5 คะแนน มีค่าเทา่ กัน และคะแนน 59.5 คิดเปน็ เดไซลท์ ี่ 8 ดงั นัน้ ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ของ คะแนนชุดนีเ้ ท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0.01 2. 7.92 3. 10.01 4. 49.92 18. ให้ x1, x2, ..., x5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมคี ่าเฉลี่ยเลขคณิตเทา่ กบั 8 และ 5 5)2 = 75 ∑ (x i − i=1 ดังนัน้ หากมีขอ้ มลู 2 เพมิ่ อกี หนึ่งจาํ นวน ความแปรปรวนจะเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 10 3. 39 4. 52 19. ตารางแสดงความสมั พันธเ์ ชิงฟังก์ชันเสน้ ตรง ระหว่างผลการเรียนทไ่ี ด้กับจํานวนชัว่ โมงทใี่ ช้ ทบทวนบทเรียนของนกั เรยี น 6 คนในหอ้ งเรียนหนงึ่ เปน็ ดังนี้ จาํ นวนชว่ั โมงทใ่ี ช้ 3 4 7 8 10 10 ผลการเรยี นทไ่ี ด้ 1 12233 ถา้ นกั เรียนคนหนงึ่ ในหอ้ งนน้ั ไดผ้ ลการเรยี น 4 จะทาํ นายไดว้ า่ ใชเ้ วลาทบทวนบทเรียนกีช่ ั่วโมง 1. 13.50 2. 14.50 3. 14.75 4. 15.25 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 610 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 20. กําหนดให้ Mij คอื เมตริกซท์ ่ีได้จากการตัดแถวท่ี i และหลกั ท่ี j ของเมตรกิ ซ์ A ออก ถ้า ⎡−13 −14 a ⎤ ⎡−1 −1⎤ และ ⎡d −1⎤ ⎢ −−81 ⎦⎥⎥ ⎣⎢ c 3 ⎦⎥ ⎣⎢−1 2 ⎥⎦ adj A = ⎢ −5 b M22 = M 31 = ⎣ 17 11 แล้ว det ((2A)−1) มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. −1/152 2. −1/38 3. −2/19 4. −8/19 21. กําหนดให้ S คือเซตของคู่อันดบั ดงั นี้ {(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3)} และ A = {0, 1, 2} ความน่าจะเปน็ ในการสุ่มหยบิ xi และ yi ท้ังหมดจากเซต A และได้ S เปน็ ฟังก์ชันจาก A ไป A เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 2 2. 4 3. 2 4. 4 9 9 81 81 22. กล่องใบหน่ึงบรรจสุ ลากท่ีแตล่ ะใบเขยี นหมายเลขกํากบั ไว้ เป็นจํานวนสามหลกั ซ่ึงแต่ละหลกั ไม่ ซํ้ากันเลยครบทกุ แบบท่ีเปน็ ไปได้ หากสุ่มหยบิ สลากหนงึ่ ใบจากกล่อง ความนา่ จะเปน็ ทีไ่ ดจ้ ํานวนซึง่ ประกอบดว้ ยเลขโดดค่เี รยี งกนั ตามลําดับนอ้ ยไปมากหรือมากไปนอ้ ย เทา่ กับเทา่ ใด 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 240 216 120 108 23. ค่าของ 0 ∫4 x (4−x) ) dx อยใู่ นชว่ งต่อไปน้ี ( x (8− x) − 1. [0, 2) 2. [2, 6) 3. [6, 12) 4. [12, 20) 24. ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ 5 zk = 0 ∑ k=0 และ B เป็นเซตคําตอบของระบบสมการ z = 1 และ z = 1 z+1 แล้ว จาํ นวนสมาชิกของ A ∪ B เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 25. ถ้า vn = 3− 3 i + 1 j เมอ่ื n = 1, 2, 3, ..., 100 n2 n แล้วคา่ ของ 99 ใกล้เคียงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีมากทสี่ ุด ∑ (vn+1− vn) n=1 1. 1.414 2. 1.571 3. 1.732 4. 1.995 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 12 (2) 100 (3) 6.6 (4) 84 (5) 0.5 (6) 10 (7) 16 (8) 996 (9) 127 (10) 53 ตอนท่ี 2 (1) 4 (2) 3 (3) 3 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 1 (10) 2 (11) 4 (12) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 3 (17) 2 (18) 2 (19) 1 (20) 1 (21) 1 (22) 4 (23) 3 (24) 1 (25) 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 611 โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 เฉลยวธิ คี ิด (ต==1อ||)น˜˜PPโทFFจ11่ี ท||1ย⋅⋅ถ์ ||า˜˜PPมFF22 ||(˜PcFo1 s⋅Pˆ˜PsFe2)c sec (F1Pˆ F2) (5) ⎡1 0 −1 ⎤⎡ I ⎤ Pˆ ⎢0 1 1 A⎥ ⎢⎣ 1 −1 0 I ⎥~⎢ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ แปลวา่ ⎡1 0 −1⎤ = A−1 ⎢0 1 1⎥ ⎢⎣ 1 −1 0 ⎦⎥ ซึ่งสามารถใชส้ มบัติท่วี า่ ระยะทางจากจดุ ๆ หนงึ่ ไปยงั 1 0 −1 จุดโฟกสั ทัง้ สอง บวกกันแล้วเปน็ ค่าคงท่ี = 2a เสมอ โดยที่ 0 1 1 =2 → det(A) = 1 วงรีทีโ่ จทย์ให้มามคี ่า a = 4 ดงั นนั้ 2a = 8 1 −1 0 2 ถ้าระยะทางหนง่ึ เป็น 2 หน่วย อกี ระยะทางหนงึ่ ยอ่ ม โจทยถ์ าม 2n (det(A))2 (det(A))n−1 เท่ากบั 8–2=6 หนว่ ย ตอบ 2 ⋅ 6 = 12 ตอบ= 23 (1/2)2 (1/2)3−1 = 0.5 (2) จากโจทยจ์ ะได้ log(x2 (log x)2) = log(10 x3) (6) จาก z2+ 7 i = (4 − 12 i − 9) + 7 i = −5 − 5 i → 2 (log x)2 log(x) = log 10 + log(x3) z − 1 − i (2 + 3 i) − 1 − i 1+ 2i ให้ log(x) = A จะได้ จะได้ ⎛ z2+ 7 i ⎞2 = ⎛5 2 ⎞2 = 25 ⋅ 2 = 10 ตอบ ⎜⎝⎜ z − 1 − i ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ 5 ⎟⎠⎟ 5 → 2A3 = 1 + 3A → 2A3 − 3A − 1 = 0 (7) หาร 105 เหลอื เศษ 3 แปลว่าหาร 102 ลงตวั → (A − 1)(2A2 − 2A − 1) = 0 หาร 601 เหลอื เศษ 6 แปลวา่ หาร 595 ลงตวั ซงึ่ 102 = 2 × 3 × 17 , 595 = 5 × 7 × 17 ดังนนั้ A = 1 หรอื 1 ± 3 2 แสดงวา่ จาํ นวนเต็มท่ีมากทสี่ ดุ นน้ั คอื 17 (ห.ร.ม.) 1+ 3 1− 3 จะได้ x = 10 หรอื 10 2 หรอื 10 2 ซ่ึงผลคณู ของทกุ คําตอบ เทา่ กับ 100 ตอบ และ 17 หาร 353 เหลอื เศษ a = 13 (3) cos B = cos(arccos (12/13) − arcsin (−3/5)) ต่อมา พหนุ ามหาร x 3− 2x2− x − 2 เหลอื เศษ 4 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −3 ⎞ 33 = ⎝⎜ 13 ⎠⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ + ⎝⎜ 13 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ = 65 ก็ย่อมแปลวา่ หาร x 3− 2x2− x − 6 ลงตวั ตอ่ มา หามมุ A ไดจ้ ากกฎของไซนใ์ นรปู สามเหล่ียม ซึง่ x 3− 2x2− x − 6 = (x − 3)(x2 + x + 2) แสดงวา่ คือ BC = AC → 5 = 8 พหนุ าม x2+ bx + c น้นั คอื x2 + x + 2 (เพราะเปน็ sin A sin B sin A sin B พหนุ ามกาํ ลงั สองที่มสี ัมประสทิ ธเิ์ ปน็ จาํ นวนจริง) จะได้ cosec A = 8 ตอบ a+b+c = 13+1+2 = 16 5 sin B (8) ควรคดิ โดยวิธีลบออก คอื จาํ นวนรหสั ทงั้ หมด ลบ ซึง่ sin B = sin(arccos (12/13) − arcsin (−3/5)) ด้วย จาํ นวนรหสั ทีม่ ีเลข 0 เกนิ 2 หลัก.. ⎛ 5 ⎞ ⎛4⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ 56 = ⎝⎜ 13 ⎟⎠ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ − ⎝⎜ 13 ⎠⎟ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ = 65 สมมติวา่ รหัสอยู่ในรปู 4 8 A B C S จํานวนรหสั ทงั้ หมด 10 × 10 × 10 × 1 = 1000 แบบ ดังนนั้ cosec A = ⎛ 8 ⎞ ⎛ 65 ⎞ = 13 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎝⎜ 56 ⎟⎠ 7 (หลกั S เป็น 1 แบบเพราะถกู สรา้ งจากหลกั หนว่ ย ของผลบวก 4,8,A,B,C เท่านน้ั เราเลอื กเองไม่ได)้ ตอบ 7 cosec A cos B = 7 ⎛ 13 ⎞ ⎛ 33 ⎞ = 6.6 จํานวนรหสั ท่ีมเี ลข 0 เกนิ 2 หลกั ⎝⎜ 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 65 ⎠⎟ กรณแี รก; A,B,C เป็น 0 ทกุ หลกั (จะได้ S เป็น 2) มีอยู่ 1 แบบ (คอื “0002”) (4) Pmax เกิดที่ (10,2) กรณที ีส่ อง; A,B,C เป็น 0 เพยี ง 2 หลกั จะตอ้ ง บังคับให้ S เป็น 0 ดว้ ย เพอื่ ใหม้ เี ลข 0 เกนิ 2 หลัก Pmax = 126 (2,10) (แสดงวา่ A,B,C อีก 1 หลักท่เี หลอื ตอ้ งเปน็ เลข 8) และ Pmin เกดิ ท่ี (2,10) (30/7,30/7) (10,2) Pmin = −42 ตอบ ผลรวม = 84 มีอยู่ ⎝⎜⎛ 3 ⎟⎠⎞ =3 แบบ (คือ “0080, 0800, 8000”) 2 ส่วนกรณที ี่ A,B,C,S เป็น 0 ทุกหลกั เปน็ ไปไมไ่ ด้ ตอบ 1000 − 4 = 996 รหสั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 612 โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 (9) เนือ่ งจาก (3a − 2b)7 = (4) (x2 − 2x + 1) − 3(y2) = 23 + 1 ( ) ( ) ( )7 7 7 → (x − 1)2 − 3y2 = 24 → (x − 1)2 − y2 = 1 1 7 24 8 0 (3a)7(−2b)0 + (3a)6(−2b)1 + ... + (3a)0(−2b)7 อ้อมแกน x, C(h, k) = (1, 0), c = 24 + 8 = 4 2 ผลบวกของสัมประสทิ ธิ์ คือ ⎛⎜⎝ 7 ⎞⎠⎟ (3)7(−2)0 + ⎜⎛⎝ 7 ⎟⎞⎠ (3)6(−2)1 + ... + ⎛⎝⎜ 7 ⎠⎞⎟ (3)0(−2)7 ∴ F(1± 4 2, 0) โจทยใ์ หห้ าระยะระหวา่ งเสน้ ตรงที่ 0 1 0 ซ่งึ หาคา่ ได้โดยแทน a และ b ดว้ ย 1 ในสมการแรก ผ่านสองจดุ น้ี โดยทํามมุ 60° กบั แกน x ดงั รปู ไดผ้ ลลพั ธเ์ ปน็ (3(1) − 2(1))7 = 17 = 1 82 ส่วนผลบวกของสมั ประสทิ ธ์ทิ วินาม เท่ากบั ∴ d = (8 2) sin 60° d ⎝⎜⎛07 ⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 7 ⎟⎠⎞ ⎝⎛⎜27 ⎟⎠⎞ ⎛⎜⎝ 7 ⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝ 7 ⎞⎠⎟ = 4 6 หนว่ ย ตอบ + 1 + + 3 + ... + 7 = 27 = 128 (5) ก. 3ใช˜A้สCตู ร+กา1ร˜AแBบง่ เวกเตอร์ (สามารถพสิ ูจนไ์ ด้โดยแทนคา่ 3a=1 และ -2b=1) ˜AD A C = 1 ตอบ 128–1 = 127 4 D ดงั นนั้ ˜AB 4 ˜AD 3 ˜AC (10) ในโจทยม์ คี ําวา่ “หรอื ” คดิ โดยตรงยาก ควรใช้ = − 3 วธิ ีลบออก คอื จาํ นวนสับเซตของ B ทกุ แบบ ลบดว้ ย ข. ให้ |˜AB | = |˜AC | = a แบบทไ่ี ม่ตอ้ งการ นนั่ คอื “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ” จะได้ |˜AD | = 2 a B * จํานวนสับเซตของ B ทุกแบบ = 26 = 64 แบบ จากข้อ ก. 3 ˜AB + 3 ˜AC = 4 ˜AD * จํานวนแบบที่ “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ” เราทราบว่า กรณี A มีสมาชกิ 0 ตวั (คอื เซตวา่ ง) เปน็ ไปไมไ่ ด้ คิดเฉพาะขนาดไดด้ งั นี้.. กรณี A มีสมาชกิ 1 ตวั มี 1 แบบ คอื {1} กรณี A มสี มาชกิ 2 ตวั เป็นไปไม่ได้ a2 + (3a)2 + 2 (a)(3a) cos A = 4 (2 a) 3 กรณี A มีสมาชกิ 3 ตวั มี 4 แบบ คอื {1,3,?} → 10a2 + 6a2 cos A = 64 a2 → cos A = − 13 9 27 กรณี A มสี มาชกิ 4 ตวั มี 6 แบบ คอื {1,4,?,?} กรณี A มสี มาชกิ 5 หรอื 6 ตวั เปน็ ไปไมไ่ ด้ เน่อื งจาก cos A มีคา่ ประมาณ -0.5 แสดงวา่ มุม A ตอบ 64 − 1 − 4 − 6 = 53 มขี นาดประมาณ 120° ตอบ ขอ้ 1. (6) ซีกซา้ ย; x + 1 < x2 − 6 x ตอนที่ 2 → x + 1 − x2 − 6 < 0 → x2 + x − x2 + 6 < 0 (1) ขอ้ 1. ผดิ ตอ้ งแกเ้ ปน็ x − (a + b i) xx ข้อ 2. ผดิ กฎนใี้ ชไ้ ดเ้ ม่อื P(x) มีสมั ประสทิ ธิท์ กุ ตวั เปน็ จาํ นวนจริงเท่าน้ัน (สมั ประสทิ ธติ์ ดิ i จะใช้ไมไ่ ด้) → x + 6 < 0 ได้ช่วงคาํ ตอบ [–6,0) x ขอ้ 3. ผิด มี n คาํ ตอบจรงิ แต่บางคาํ ตอบอาจซาํ้ กัน ซกี ขวา; x2 − 6 < 5 ขอ้ 4. ถกู (เพราะ n คําตอบนน้ั จะไมเ่ หมอื นกนั เลย) x (2) ข้อ 1. ถกู เปน็ กฎทค่ี วรทราบ (ผลรวมเชิงเสน้ → x2 − 6 − 5 < 0 → x2 − 5x − 6 < 0 ของ b, c คอื bx+cy เมื่อ x, y เปน็ จาํ นวนเตม็ ใดๆ) x x ข้อ 2. ถูก ถา้ หารตวั ใดตวั หนง่ึ ได้ ย่อมหารผลคณู ได้ → (x − 6)(x + 1) < 0 ได้คาํ ตอบ (−∞, −1] ∪ (0, 6] x ข้อ 3. ผดิ เชน่ 4 | 62 แต่ 4 |/ 6 นาํ สองส่วนมาอนิ เตอร์เซค ได้ผลลพั ธ์เปน็ [–6,–1] ขอ้ 4. ถกู ถา้ หลายตวั หารได้ ตวั เดยี วยอ่ มหารได้ ตอบ มจี าํ นวนเต็มทีเ่ ปน็ คาํ ตอบ 6 จาํ นวน (3) เสน้ สมั ผสั g(x) ท่ี x=3 คือ y=3x-8 แปลวา่ g(3) = 3(3)-8 = 1 และ g’(3)=3 ... จากนนั้ { }f (2x + 1) = [g(x2+ 2)]2+ 1 3 จะได้ { }f′(2x + 1) ⋅ (2) = 3 2 (x 2+ [g (x 2+ 2)]2+ 1 2 [g 2)] ⋅ ⋅ g′′(x 2+ 2) ⋅ (2x) แทน x ดว้ ย 1 ตลอดสมการ ไดเ้ ปน็ { }f′(3) ⋅ (2) = 2 3 [g (3)]2+ 1 2 [g (3)] ⋅ g′′(3) ⋅ (2) ⋅ { }→ f′(3) = 3 2 ตอบ [1]2+ 1 → f′(3) = 72 ⋅ 2 [1] ⋅ 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 613 โจทยทดสอบ ชดุ ที่ 2 (7) จัดรปู สมการพาราโบลาเปน็ y = ± x − 1 (11) ข้อ 1. 1 + r + r2 + … a ขอ้ 2. 1 − r + r2 − … พาราโบลานี้จะมคี วามชนั dy = ± 1 ln 1 = − ln 3 = − log 3 ≈ − log 3 ≈ −1. กว่าๆ dx 2 a x − 1 3 log e log 2.7 แตส่ มการเสน้ ตรง x + 4y + c = 0 มคี วามชนั -1/4 ดังนนั้ ขอ้ 1. กับ 2. ผิดแน่นอน เพราะเป็นอนกุ รม แสดงว่าพาราโบลามคี วามชนั -1/4 ณ จดุ ที่ x=3 อนนั ตท์ ม่ี ีอตั ราสว่ นรว่ มน้อยกวา่ –1 หรือมากกว่า 1 แทนคา่ dy = − 1 = − 1 → a = 2 ซึง่ ไม่สามารถหาผลบวกถงึ อนนั ตไ์ ด้ dx 4 2 a 3 − 1 ขอ้ 3. 1 1 1 (1 / r) = 1 r + r2 + r3 +… = 1 − (1 / r) r − 1 (ต้องใชพ้ าราโบลาซีกทีเ่ ปน็ เครอ่ื งหมายลบจึงคดิ ได)้ ดงั นนั้ y = − x − 1 และค่า b = − 3 − 1 = −1 ข้อ 4. 1 − 1 + 1 −… = (1 / r) = 1 22 r r2 r3 1 + (1 / r) 1+r ส่วนค่า c หาจาก 3 + 4 (−1) + c = 0 → c = 1 ตอบ ข้อ 4. (12) f(x) เป็นพหนุ ามดกี รสี าม แสดงวา่ f’(x) เป็น ตอบ a+b+c = 2 พหนุ ามดีกรสี อง ซ่ึงโจทย์บอกว่า i − 2 เปน็ รากหน่งึ (8) ก. เชอ่ื มดว้ ยเครื่องหมาย “กต็ ่อเมอื่ ” มเี ทจ็ ได้ 2 (เปน็ คําตอบหนง่ึ ) ของสมการ f′(x) = 0 แสดงวา่ กรณี คอื T,F และ F,T สมมตวิ ่าคดิ แบบ T,F จะได.้ . − i − 2 เป็นอีกคาํ ตอบหน่งึ จะได้ [(p ∧ q) → r)] ↔ (p ∨ q) F FT ? F F FF (พบวา่ r จะเปน็ จรงิ หรือเทจ็ ก็ได)้ f′(x) = k (x − (i − 2))(x − (− i − 2)) = k (x2 + 4x + 5) ดงั นนั้ อนิ ทเิ กรตได้ f (x) = k (x3 + 2x2 + 5x + c1) 3 คาํ ถามคอื (p → q) ∨ r จะเปน็ เทจ็ เสมอหรอื ไม่ แต่ในโจทย์ใหส้ ัมประสทิ ธหิ์ นา้ สดุ เปน็ 1 แสดงวา่ k=3 ลองแทน p เปน็ เทจ็ และ q เปน็ เท็จ ไดผ้ ลเป็น นนั่ เอง.. จึงได้ f (x) = x3 + 6x2 + 15x + c T ∨ r ซง่ึ เปน็ จริงเสมอ ดังนน้ั ก. ผดิ ตอ่ มา หาคา่ c ได้จากประโยค x-1 หาร f(x) เหลอื ข. ในวงเลบ็ ถูกตอ้ งแลว้ แตผ่ ดิ ทต่ี วั บ่งปริมาณ ตอ้ ง เศษ 2 หมายความวา่ f(1)=2 (จากทฤษฎีเศษ) เปน็ ∀y∃x (สลับทไ่ี ม่ได)้ ตอบ ขอ้ 4. 2 = (1)3 + 6(1)2 + 15(1) + c → c = −20 (9) ก. จะไดเ้ ปน็ ∀x [ (x − 4)(x − 1) < 0 ] ตอบ f (−1) = (−1)3 + 6(−1)2 + 15(−1) − 20 = −30 นนั่ คอื ∀x [ 1 < x < 4 ] ...ซึง่ ทกุ ค่าในเอกภพ (13) 1. fog = 9 − g2 = 9 − (x2 + 5) = 4 − x2 สัมพทั ธก์ ็ให้ผลเปน็ จรงิ ตามเงอื่ นไขน้ี ดังนน้ั ก. ถกู หาโดเมน; เน่ืองจาก 9 − g2 นัน้ 9 − g2 > 0 ข. จะได้ ∃x [ (2x − 7)(x2+ x + 1) > 0 ] เท่านนั้ จงึ ไดว้ า่ −3 < g < 3 น่ันคือ ซึ่งพจน์ (x2+ x + 1) แยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ และจะมี −3 < x2 + 5 < 3 → 0 < x2 + 5 < 9 คา่ เปน็ บวกเสมอ จงึ ตัดทิ้งได้ ไมม่ ผี ลตอ่ อสมการ → 0 < x2 < 4 → −2 < x < 2 ดังนัน้ ก. ถูก ..กลายเป็น ∃x [ 2x − 7 > 0 ] นนั่ คอื 2. gof = f2 + 5 = 9 − x2 + 5 = 14 − x2 ∃x [ x > 3.5 ] ซง่ึ พบวา่ มี x บางคา่ ตรงตามนจ้ี รงิ หาโดเมน; เนอ่ื งจาก f2 + 5 นน้ั f เป็นอะไรกไ็ ด้ ตอบ ขอ้ 1. ดงั นน้ั 9 − x2 เปน็ อะไรกไ็ ด้ จงึ ได้ −3 < x < 3 สรปุ ขอ้ 2. ผดิ เพราะโดเมนต้องเป็น [-3,3] (10) f′(x) = (x − 3)(2x) − (x2 − 5)(1) (x − 3)2 = x2 − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) 3. fog; จาก x2 + 5 > 5 → g > 5 (x − 3)2 (x − 3)2 จงึ ทาํ ให้ g2 > 5 → 9 − g2 < 4 คา่ วกิ ฤตคอื x=1 และ 5 → 0 < 9 − g2 < 2 สรปุ Rfog = [0, 2] gof; จาก x2 > 0 → 9 − x2 < 9 โดยท่ี x=3 น้ันความชนั จงึ ทาํ ให้ 0 < f < 3 → 5 < f2 + 5 < 14 หาคา่ ไมไ่ ด้.. (1,2) (5,10) → 5 < f2 + 5 < 14 สรุป Rgof = [ 5, 14] 4. ถูก เพราะช่วง [-3,3] ตลอดทงั้ ช่วงอยูใ่ นโดเมน ลองแทน x ต่างๆ และ 3 ของ f กับ g และกไ็ มม่ ีค่า x ใดที่ฟงั กช์ นั ไมน่ ิยาม เขียนกราฟไดด้ ังรปู (เช่นทาํ ใหม้ สี ว่ นเป็น 0) ก. เปน็ ฟงั ก์ชันลดในชว่ ง (1, 3) ∪ (3, 5) ..ถูก ข. ผดิ เพราะ f ไม่เป็นฟงั ก์ชนั 1-1 ตอบ ขอ้ 2. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 614 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 2 (14) ให้ ex = A จะได้ |1 − 11 A| > 9 + A2 (17) ประโยค “ความนา่ จะเปน็ ทนี่ ักเรียนคนน้ีได้ กรณแี รก ถา้ A > 1 จะทําใหใ้ นคา่ สัมบรู ณ์ตดิ ลบ คะแนนนอ้ ยกวา่ และมากกวา่ 49.5 คะแนน มคี ่า เทา่ กัน” แปลวา่ 49.5 คอื มัธยฐานนน่ั เอง (มีจาํ นวน 11 คนท่ไี ด้มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ อยเู่ ทา่ กนั ) ซ่งึ ถอดคา่ สมั บูรณ์ได้ 11 A − 1 > 9 + A2 → A2 − 11A + 10 < 0 → (A − 11)(A − 1) < 0 ซึ่ง 49.5 น้นั เปน็ ขอบของชน้ั พอดี แสดงวา่ 5+10=a+b+2 นน่ั คอื a+b=13 .....(1) ดงั นนั้ 1 < A < 11 → 1 < ex < 11 ประโยค “คะแนน 59.5 คดิ เปน็ เดไซลท์ ี่ 8” และ → ln 1 < x < ln 11 ชว่ งคาํ ตอบคอื [ln1,ln11] 59.5 ก็เป็นขอบของชน้ั พอดี แสดงวา่ กรณที ่สี อง ถ้า 0 < A < 1 จะทาํ ให้ในคา่ สัมบูรณ์ 5+10+a = 4(b+2) นั่นคอื 4b-a=7 .....(2) แก้ระบบสมการได้ a=9 และ b=4 11 นักเรียนกลมุ่ นี้มี 5+10+9+4+2=30 คน เปน็ ศูนยห์ รอื เปน็ บวก ซงึ่ ถอดได้ 1 − 11 A > 9 + A2 หาสว่ นเบีย่ งเบนควอร์ไทล์.. → A2 + 11A + 8 < 0 ดังนนั้ −11 − 89 < A < −11 + 89 Q3 อยู่ตาํ แหน่งที่ (3/4)(30) = 22.5 22 แต่ช่วงคาํ ตอบที่ไดน้ ีผ้ ดิ จากเงอื่ นไขแรก (เพราะไดค้ า่ ⎛ 22.5 − 15 ⎞ A ตดิ ลบตลอดทง้ั ชว่ ง) กรณีนจี้ งึ ไมม่ คี ําตอบ Q3 = 49.5 + 10 ⎜⎝ 9 ⎠⎟ = 57.83 ตอบ a − b = ln 11 − ln 1 = ln 11 Q1 อยู่ตาํ แหน่งท่ี (1/4)(30) = 7.5 (15) นาํ cos x คณู สองขา้ งของสมการ จะได้ Q3 = 39.5 + 10 ⎛ 7.5 − 5⎞ = 42 ⎝⎜ 10 ⎠⎟ sin x = 2 cos x − 1 ..... (1) แต่ sin2 x + cos2 x = 1 ..... (2) ตอบ Q3 − Q1 = 57.83 − 42 = 7.92 22 แทน sin x จาก (1) ลงใน (2) (18) X = 8 → ∑ x = 8 ⋅ 5 = 40 แก้สมการได้ cos x = 0 หรือ 4/5 และจาก ∑ (x − 5)2 = ∑ x2 − 10 ∑ x + ∑ 25 แต่ในโจทยม์ คี าํ วา่ tan x กบั sec x ดังนนั้ เทา่ นนั้ จะได้ ∑ x2 − 10 (40) + 125 = 350 → ∑ x2 = 350 cos x = 0 ไมไ่ ด!้ ..ตอ้ งเปน็ ถา้ มขี ้อมลู 2 มาเพ่ิมอกี จาํ นวน จะได;้ cos x = 4/5 โจทย์ถาม sin(π + 2 θ) = cos 2 θ ∑ x = 40 + 2 = 42 → X = 42 = 7 2 6 = 2 cos2 θ − 1 = 2 (16/25) − 1 = 7/25 ตอบ และ ∑ x2 = 350 + 22 = 354 (16) ประโยค “ค่าตา่ํ สุดสัมพทั ธเ์ ทา่ กบั 4 ที่จดุ ซงึ่ ดังนนั้ s2 = ∑ x2 − X2 = 354 − (7)2 = 10 ตอบ x=1” แปลวา่ f(1)=4 และ f’(1)=0 N6 ประโยค “เสน้ ตรง x+y+3=0 เป็นเสน้ สมั ผสั กราฟท่ี (19) ให้จํานวนชั่วโมงเป็น Y และผลการเรยี นเปน็ X จดุ (a,-2)” ทาํ ให้หาคา่ a ไดจ้ าก a + (−2) + 3 = 0 จะได้ ∑ y = m ∑ x + cN → 42 = 12m + 6c ดงั นนั้ a = −1 ..นัน่ คอื f(-1)=-2 ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 97 = 28m + 12c และเม่อื พจิ ารณาความชนั จะได้ f’(-1)=-1 แกร้ ะบบสมการได้ m=3.25 และ c=0.5 โจทยก์ าํ หนด f (x) ⋅ g (x) = x2 → g (x) = x2 ดงั นนั้ ท่ี x=4 จะได้ Yˆ = 3.25(4) + 0.5 = 13.5 f (x) ตอบ ขอ้ 1. → g′(x) = f (x) ⋅ (2x) − x2 ⋅ f′(x) (20) นํา M22 และ M31 มาประกอบกันไดเ้ ป็น (f (x))2 ⎡−1 d −1⎤ และเรามี ⎡−13 −14 a⎤ ∫และโจทยใ์ หห้ า 1 A = ⎢ • −1 2 ⎥ adj A = ⎢ −5 b −1 ⎥ ⎢⎣ c • 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 17 11 −8⎦⎥ −1 g′′(x) dx = g′(1) − g′(−1) แทนค่าไดด้ งั น้ี g′(1) = f (1) ⋅ (2) − f′(1) = 8 = 1 จงึ ใช้สมบัติ (adj A) ⋅ A = ⎡det(A) 0 0⎤ (f (1))2 16 2 ⎢ 0 det(A) 0⎥ ⎢⎣ 0 0 det(A)⎥⎦ g′(−1) = f (−1) ⋅ (−2) − f′(−1) = 5 หา det(A) ไดจ้ ากแถวท่ี 3 ของ adjA คูณกบั หลกั ที่ (f (−1))2 4 3 ของ A นั่นคอื (17)(−1) + (11)(2) + (−8)(3) = −19 ตอบ 1 − 5 = − 3 โจทย์ถาม det((2A)−1) = det(1 A−1) 24 4 2 = (1)3 ( 1 ) = − 1 ตอบ 2 −19 152 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 615 โจทยท ดสอบ ชุดที่ 2 (21) วธิ ที ้ังหมดคอื หยบิ xi กับ yi เป็น 0, 1, หรอื (24) A; จาก 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 = 0 2 ก็ได้ เป็นจาํ นวน 6 คร้ัง (ซาํ้ กนั อยา่ งไรกไ็ ด)้ ไดท้ ั้งหมด 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 แบบ จัดรปู อนกุ รมเรขาคณติ ไดเ้ ป็น z6 − 1 = 0 z−1 วิธีทตี่ อ้ งการคอื หยบิ xi ได้เลข 0, 1, 2 อย่างละตวั ดังนนั้ คาํ ตอบของสมการคอื คา่ z ทที่ ําให้ z6 = 1 พอดี (3! แบบ) และหยบิ yi เปน็ เลขใดก็ได้ (ซํา้ กนั เราหาคําตอบทงั้ 6 ได้ โดยอาศัยรูปเชงิ ขวั้ ได้) นั่นคอื ไดท้ ้งั หมด 3! ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ 34 แบบ ได้เปน็ z = −1 , ± 1 ± 3 i ดงั นนั้ ความน่าจะเปน็ = 2 ⋅ 34 = 2 ตอบ 22 36 9 (22) จํานวนทงั้ หมด = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 จาํ นวน (เหลอื 5 คําตอบเพราะ z ห้ามเปน็ 1) B; จาก z = 1 → a2 + b2 = 1 (ขน้ึ ตน้ ด้วยเลข 0 ไมไ่ ด้ ขนั้ ตอนแรกจึงเปน็ 9 วธิ )ี และเนอ่ื งจาก z = 1 นําไปแทนในสมการแรก จะ สว่ นจํานวนทตี่ อ้ งการ ไดแ้ ก่ 135, 357, 579 และ กลบั ด้าน (มากไปนอ้ ย) ไดอ้ กี รวม 6 จาํ นวน ไดว้ า่ z + 1 = 1 → (a + 1)2 + b2 = 1 ตอบ ความนา่ จะเป็น = 6 = 1 แก้ระบบสมการได้ a = − 1 และ b = ± 3 9 ⋅ 9 ⋅ 8 108 22 (23) พิจารณา y1 = x (8 − x) จะได้ ดงั นนั้ z = − 1 ± 3 i (ซ่งึ สองคา่ นก้ี ็อยูใ่ น A ดว้ ย) 22 y1 = −(x2 − 8x + 16) + 16 = −(x − 4)2 + 16 สรปุ .. A และ B มีสมาชกิ รวม 5 ตัว ตอบ น่ันคอื y2 + (x − 4)2 = 16 ... เป็นสมการครง่ึ วงกลม รัศมี 4 หนว่ ย จุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (4,0) (25) จากโจทย์ 99 ∑ (vn+1 − vn) n=1 และในทาํ นองเดยี วกัน y2 = x (4 − x) จะได้ = |(v2 − v1) + (v3 − v2) + ... + (v100 − v99)| y2 = −(x2 − 4x + 4) + 4 = −(x − 2)2 + 4 = | v100 − v1 | นน่ั คอื y2 + (x − 2)2 = 4 ... เปน็ สมการครงึ่ วงกลม = |( 3 − 0.0003 i + 0.01 j)− (0 i + 1 j)| รัศมี 2 หนว่ ย จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (2,0) ≈ | 3 i − 1 j | ≈ 2 ตอบ ขอ้ 4. หมายเหตุ ในขอ้ นี้ถา้ คิดแบบแมน่ ยาํ จะไดเ้ ป็น โจทย์ใหอ้ นิ ทเิ กรตจาก | 2.9997 i − 0.99 j | = 3.9798 = 1.995 0 ถงึ 4 แสดงวา่ ถาม พนื้ ท่ีแรเงาดงั ภาพ.. 48 หาได้จากสตู รพน้ื ทวี่ งกลม = 1 π (4)2 − 1 π (2)2 = 2π ≈ 6.28 42 ตอบ ขอ้ 3. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET ÀÒ¤¼¹Ç¡616 ฉบบั เขมขน Math E-Book ©ººa e¢ŒÁ¢Œ¹ เซต 1. เซต คือ “กลมุ่ ของส่งิ ต่างๆ” และเรียกส่งิ ท่ีอยูภ่ ายในแตล่ ะเซตว่า “สมาชิก” นิยมตง้ั ชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขยี นสัญลกั ษณแ์ ทนเซตดว้ ยปีกกา { } 2. ในการเขียนแจกแจงสมาชกิ ของเซตนั้น - จะค่นั ระหว่างสมาชกิ แต่ละตัวด้วยจลุ ภาค (comma) - สามารถสลับท่ีสมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลย่ี น - สมาชกิ ตวั ทซี่ ํ้ากันนับเป็นตวั เดยี วกัน และไม่ตอ้ งเขียนซา้ํ - หากมสี มาชกิ เปน็ จาํ นวนมาก อาจใชเ้ คร่อื งหมาย “...” เพอื่ ละสมาชกิ บางตวั ไวใ้ นฐานท่เี ข้าใจ - จะคนั่ ระหวา่ งสมาชกิ แตล่ ะตัวด้วยลูกนาํ้ (จลุ ภาค) - สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน - สมาชกิ ตัวทซ่ี ํ้ากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไมต่ ้องเขียนซาํ้ - หากมีสมาชกิ เป็นจาํ นวนมาก อาจใช้เครือ่ งหมาย “...” เพอ่ื ละสมาชกิ บางตัวไว้ในฐานท่เี ข้าใจ 3. เซตสองเซตจะเทา่ กนั ก็ต่อเม่ือเป็นเซตเดียวกนั (สมาชิกทกุ ตัวตอ้ งเหมอื นกัน) เทา่ นั้น 4. สญั ลักษณ์ที่ใช้แทนคําวา่ “เป็นสมาชกิ ของ” คอื ∈ เชน่ 2 ∈ B , 3 ∈ C สญั ลกั ษณ์ทีใ่ ชแ้ ทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชกิ ของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C 5. ภายในเซต จะมเี ซตหรอื คอู่ ันดบั หรืออะไรก็ไดท้ ั้งนัน้ และจะนับ 1 กอ้ นเป็นสมาชิก 1 ตวั 6. เซตจาํ กัดคือเซตทีห่ าจาํ นวนสมาชกิ ได้ เซตอนันต์คอื เซตท่ีจํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไมไ่ ด้ สญั ลกั ษณท์ ีใ่ ชแ้ ทน “จํานวนสมาชกิ ของ A” คอื n(A) เชน่ n(A) = 7 , n(B) = 5 7. เซตท่ไี มม่ ีสมาชิกเลย เรียกวา่ เซตวา่ ง ใชส้ ัญลักษณ์ { } หรือ ∅ ดังนัน้ จะได้วา่ n(∅) = 0 8. เซตอนันตบ์ างเซตไม่สามารถเขยี นแบบแจกแจงสมาชิก แต่เขียนแบบบอกเง่อื นไขได้ ในรปู { สมาชิก | เงอ่ื นไข} อ่านวา่ “เซตของ (สมาชิก) โดยที่ (เงอ่ื นไข)” 9. ขอบเขตของสง่ิ ที่เราสนใจ เรียกวา่ เอกภพสมั พัทธ์ หรือเซต U มผี ลตอ่ เซตแบบบอกเง่ือนไข - สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยูใ่ น U ทัง้ หมด และจะไมส่ นใจสิ่งทอี่ ยูภ่ ายนอก U - โดยท่วั ไปถา้ ไมไ่ ด้ระบุเอกภพสัมพทั ธ์ ให้ถือวา่ U เป็นเซตที่ใหญ่ทสี่ ุดเท่าทีจ่ ะเปน็ ไปได้ 10. สับเซต คอื เซตย่อย ...B เปน็ สับเซตของ A กต็ อ่ เมื่อ สมาชิกทุกตวั ของเซต B อยู่ใน A ดว้ ย หรอื เม่ือ B เป็นเซตว่างก็ได้ (และ B ไมเ่ ปน็ สับเซตของ A หากมีสมาชิกบางตวั ของ B ไม่อยูใ่ น A) 11. สญั ลกั ษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เปน็ สับเซตของ A” คือ B ⊂ A สัญลักษณท์ ่ีใช้แทนประโยค “B ไมเ่ ป็นสบั เซตของ A” คือ B ⊄ A 12. เซตทมี่ สี มาชกิ n ตัว จะมสี ับเซตตา่ งๆ กนั ทั้งสน้ิ 2n แบบ 13. เซตวา่ งเปน็ สบั เซต(ท่ีเล็กท่สี ดุ )ของทุกเซต และเซตทุกเซตเปน็ สบั เซต(ทใี่ หญ่ทีส่ ุด)ของตัวเอง 14. เพาเวอร์เซต คอื เซตท่ีบรรจดุ ้วยสับเซตท้งั หมดทเ่ี ปน็ ไปได้ - เพาเวอร์เซตของ A ใชส้ ญั ลักษณ์วา่ P(A) - ถา้ A มสี มาชิก n ตวั แลว้ P(A) ย่อมมีสมาชกิ 2n ตัว 15. ประโยค {a, b} ∈ P(A) แปลวา่ {a, b} ⊂ A และประโยค {a, b} ⊂ A กแ็ ปลได้อีกทอดว่า “ a ∈ A และ b ∈ A ” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 617 ฉบบั เขมขน 16. การแสดงเซตดว้ ยแผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ จะให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นกรอบส่ีเหล่ียม ซึง่ ภายในบรรจรุ ูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ทใี่ ช้แทนขอบเขตของเซตต่างๆ และแตล่ ะเซตมักมีการ ซ้อนทับกนั 17. การดําเนินการเก่ียวกับเซต ทาํ ใหเ้ กดิ เซตใหมข่ นึ้ จากเซตท่มี อี ยเู่ ดิม - ยเู นยี น ... เซต A ∪ B คอื เซตของสมาชิกท่อี ยใู่ น A หรือ B ทัง้ หมด - อินเตอรเ์ ซกชัน ... เซต A ∩ B คอื เซตของสมาชกิ ทอี่ ยใู่ นท้งั A และ B - คอมพลเี มนต์ ... เซต A' คอื เซตของสมาชิกทีไ่ ม่ได้อยู่ใน A (บางตําราใช้สัญลักษณ์ Ac , A ) - ผลตา่ ง ... เซต B − A คือเซตของส่ิงท่ีอยู่ใน B แตไ่ มอ่ ยู่ใน A ... เขยี นได้อีกแบบวา่ B ∩ A' 18. โดยท่วั ไปคา่ ของ n(B − A) ตอ้ งคดิ จาก n(B) − n(A ∩ B) เทา่ นัน้ (หา้ มคิดจาก n(B)-n(A)) 19. การแจกแจง 20. คอมพลีเมนต์ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B)' = A ' ∩ B' A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B)' = A ' ∪ B' 21. โจทย์ปัญหาท่ีเป็นเหตกุ ารณ์ - จะใชแ้ ผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ชว่ ยในการคาํ นวณช้นิ สว่ นตา่ งๆ - ในข้อสอบมักต้งั ใจให้ใชส้ ูตรในการหาจํานวนสมาชิกแตล่ ะช้ินสว่ นดงั น้ี สองเซต ... n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) สามเซต ... n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) ระบบจาํ นวนจริง 1. จาํ นวนที่คิดขึ้นคร้ังแรกใช้นับสง่ิ ของต่างๆ เรียกวา่ จาํ นวนธรรมชาติ หรอื จาํ นวนนบั ได้แก่ 1, 2, 3, 4, ... สัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนนบั คือ เซต N 2. จาํ นวนนบั จาํ นวนศนู ย์ และจํานวนเต็มลบ เรยี กรวมกันวา่ จาํ นวนเต็ม (เซต I ) 3. จาํ นวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเตม็ เรียกรวมกนั ว่า จํานวนตรรกยะ (เซต Q ) - เศษส่วนของจํานวนเต็ม จะเขยี นเป็นทศนยิ มซาํ้ ได้เสมอ - จาํ นวนอืน่ ๆ จะเป็นทศนิยมไม่ซาํ้ เรยี กว่า จํานวนอตรรกยะ ( Q' ) เช่น 2 , 3 , π , e 4. จํานวนทั้งหมดทก่ี ล่าวมาน้ี เรยี กรวมกนั วา่ จาํ นวนจรงิ (เซต R ) - จํานวนซึ่งไม่ใชจ่ ํานวนจรงิ ไดแ้ ก่ จํานวนซึ่งในรู้ทตดิ ลบ เช่น −2 (เรียกวา่ จํานวนจนิ ตภาพ) และจาํ นวนซึ่งตัวสว่ นเป็น 0 (จะถอื วา่ หาคา่ ไมไ่ ด้และไม่ใชจ่ ํานวนจรงิ ) 5. คาํ ศพั ทเ์ พ่มิ เติมเก่ยี วกับจาํ นวนเตม็ - จาํ นวนคู่ คอื จาํ นวนเตม็ ทห่ี าร 2 ลงตัว (ไดแ้ ก่ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …) จาํ นวนเต็มอื่นๆ เรยี กวา่ จํานวนค่ี เปน็ จํานวนเตม็ ทห่ี าร 2 ไม่ลงตวั (ไดแ้ ก่ 1, -1, 3, -3, …) - จํานวนเฉพาะ คือจาํ นวนเตม็ ท่ีไม่ใช่ 0, 1, -1 และมจี าํ นวนเตม็ ทห่ี ารลงตัวเพยี ง ±1 และ ± ตวั มันเอง เทา่ นนั้ (จํานวนเฉพาะสามารถติดลบไดด้ ้วย เชน่ -2, -3, -5, -7, …) - จํานวนเตม็ อนื่ ๆ ทีไ่ ม่ใชจ่ าํ นวนเฉพาะและไมใ่ ช่ 0, 1, -1 จดั เปน็ จํานวนประกอบ (คือจาํ นวนซ่ึง แยกตวั ประกอบได)้ 6. สมบัตปิ ิด หมายความว่า เม่ือนําสมาชกิ ใดๆ ในเซตมาดาํ เนินการแลว้ ผลที่ได้ยังคงเป็นสมาชิก ของเซตนั้นอยู่ เช่น เซตจํานวนนับมีสมบตั ปิ ิดการบวกและคูณ แต่ไมม่ สี มบัติปดิ การลบ - สมบัตอิ น่ื ของจาํ นวนจรงิ ได้แก่ การสลบั ที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง การมีเอกลกั ษณ์ และ การมอี นิ เวอร์ส 7. “เอกลักษณ์” คือจาํ นวนที่ไปดาํ เนินการกับจาํ นวน a ใดก็ตาม แล้วไดผ้ ลลัพธ์ a เทา่ เดิม - เอกลกั ษณ์การบวกของจํานวนจริง คือ 0 และเอกลกั ษณก์ ารคณู ของจาํ นวนจรงิ คอื 1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 618 ฉบบั เขมขน 8. “อนิ เวอรส์ ของ a” คือจํานวนท่ไี ปดําเนินการกับจํานวน a แลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ เอกลกั ษณ์ - เอกลกั ษณ์การบวกของ a คือ −a และเอกลักษณ์การคูณของ a คือ 1/a (หรอื เขยี นเป็น )a−1 9. ทบทวนการคาํ นวณเกยี่ วกบั เศษส่วน |a + d = ac + bd a ⋅ d = ad | ⎜⎛⎝ a ⎞−1 = b bc bc b c bc b ⎠⎟ a ab = a | a = ac | a b = ad c bc bc b c d bc 10. ทฤษฎีบทเศษเหลือ ช่วยในการแยกตัวประกอบพหนุ ามทีม่ ีดกี รีมากกว่าสอง - พหนุ าม p (x) คอื พหุนามท่ีมี x เป็นตัวแปร และอย่ใู นรูป anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 - ทฤษฎีบทเศษเหลือ ... ถ้าหาร p(x) ด้วย (x − c) แล้ว จะเหลือเศษเทา่ กบั p(c) - ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ ... หาก p(c) = 0 จะกล่าวว่า (x − c) เป็นตัวประกอบของ p(x) - อกี ทฤษฎีทท่ี าํ ใหห้ าคา่ c ทเ่ี ป็นตัวประกอบได้เรว็ คอื ทฤษฎบี ทตัวประกอบจาํ นวนตรรกยะ ซ่ึง กลา่ วว่า ถา้ (x −(k m)) เป็นตัวประกอบของ p(x) แลว้ k ต้องเป็นตวั ประกอบของ a0 และ m ตอ้ งเป็นตัวประกอบของ an ... (k m เปน็ เศษส่วนอย่างต่ําเทา่ นนั้ ) (แต่หาก c ไม่ใชจ่ ํานวนตรรกยะ เช่น x2− 2 = (x − 2)(x + 2) จะใชท้ ฤษฎีนไ้ี ม่ได)้ 11. สมการ คอื ประโยคท่มี ตี ัวแปรและกล่าวถึงการเทา่ กัน - การแก้สมการ คอื การหาค่าของตวั แปรท่ที ําใหป้ ระโยคนน้ั เป็นจรงิ - อาจกลา่ วว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของสมการ” หรอื การหา “รากของสมการ” ก็ได้ คาํ วา่ จงหา “รากของสมการ” แปลว่าให้หาคาํ ตอบของสมการ (ไมเ่ กี่ยวกับการถอดรู้ทอะไรใดๆ) 12. สมบตั เิ กย่ี วกับสมการ a = b → a±c = b±c a = b → ac = bc a = b → a / c = b / c เมอ่ื c ≠ 0 13. ขอ้ ควรระวังในการแกส้ มการใดๆ - การบวกหรือลบทงั้ สองขา้ ง (ย้ายข้างบวกลบ) และการตัดออกสําหรับการบวกหรอื ลบ ทาํ ไดเ้ สมอ - การคณู ทั้งสองข้าง (ย้ายขา้ งคูณ) ทาํ ไดเ้ สมอ การหารท้งั สองขา้ ง (ย้ายขา้ งไปหาร) หา้ มเปน็ 0 - การตัดออกสาํ หรบั การคณู ทาํ ได้เมื่อมนั่ ใจวา่ เลขทีต่ ัดออกทง้ั สองข้างไมใ่ ช่ 0 - การยกกาํ ลงั สองทัง้ สองขา้ ง ทําได้เสมอ แตก่ ารตดั กาํ ลังสองออกจะมีผล 2 กรณี คือสองขา้ งเทา่ กัน หรอื สองขา้ งเป็นติดลบของกันและกัน 14. สมบตั ิท่ีสําคญั ในการแก้สมการกาํ ลงั สองคอื หาก a b = 0 แล้วจะไดว้ า่ a = 0 หรือ b = 0 สมการกาํ ลงั สองมรี ูปทวั่ ไปเป็น Ax2 + Bx + C = 0 ควรแยกตวั ประกอบให้อยู่ในรปู (Dx + E)(Fx + G) = 0 กอ่ น เพอ่ื จะไดท้ ราบวา่ คาํ ตอบของสมการกําลังสองได้แก่ x = − E หรือ x = − G DF 15. ถ้าแยกตวั ประกอบในใจไมส่ ําเร็จ ต้องใช้สูตรหาคาํ ตอบคือ x = −B ± B2 − 4AC 2A และถา้ พบวา่ ในรู้ทเป็นจาํ นวนติดลบจึงค่อยสรุปว่าแยกตัวประกอบไมไ่ ด้ และสมการไม่มีคาํ ตอบ 16. อสมการ คอื ประโยคทมี่ ตี ัวแปรและกลา่ วถึงการไมเ่ ทา่ กนั (ได้แก่ > > < < หรอื ≠ ) - การแก้อสมการ คือการหาคา่ ของตัวแปรทที่ าํ ให้ประโยคน้นั เป็นจรงิ - อาจกล่าววา่ เป็นการหา “เซตคาํ ตอบของอสมการ” ก็ไดเ้ ช่นกนั 17. ช่วง คือเซตชนิดหนึ่งซงึ่ มีสมาชกิ เปน็ ค่าต่อเน่ืองกัน อาจเปน็ ช่วงเปิด ช่วงปิด หรอื ชว่ งครึง่ เปิด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 619 ฉบับเขมขน 18. สมบัติเกย่ี วกบั อสมการ a > b → a±c > b±c a > b → a c > b c เมอ่ื c > 0 a > b → a c < b c เม่ือ c < 0 19. ขอ้ ควรระวังในการแก้อสมการใดๆ - การบวกหรอื ลบทัง้ สองข้าง (ย้ายข้างบวกลบ) และการตดั ออกสาํ หรบั การบวกหรือลบ ทําไดเ้ สมอ - การคณู หรอื หารท้งั สองข้าง (ย้ายข้างคูณหาร) จะตอ้ งระวังเรือ่ งการเปล่ียนเครอื่ งหมาย (ถ้าเลขทีย่ ้ายเป็นคา่ ตดิ ลบ ตอ้ งพลกิ ด้านเครื่องหมาย) - การยกกําลงั สองท้งั สองข้าง ทําได้เมือ่ ม่นั ใจวา่ เปน็ บวกทัง้ สองข้าง หรือตดิ ลบทั้งสองขา้ งเทา่ นนั้ (โดยกรณีตดิ ลบตอ้ งพลกิ ด้านเครอ่ื งหมายดว้ ย) 19. การแก้อสมการกาํ ลงั สอง (หรือหาคาํ ตอบของอสมการ) ควรใช้เทคนิคดงั นี้ - เครื่องหมายหน้า x2 ตอ้ งไมต่ ิดลบ (ถ้าติดลบให้กลบั เคร่อื งหมายท้งั หมดก่อน) - แยกตัวประกอบ แล้วกําหนดจุดเหลา่ นัน้ ลงบนเสน้ จํานวน - ถา้ อสมการเป็น > 0 ใหต้ อบชว่ งซ้ายและขวา, ถ้าอสมการเปน็ < 0 ใหต้ อบชว่ งกลาง - ถา้ อสมการมเี ครอื่ งหมาย = ดว้ ย ให้ตอบจุดเหล่าน้ันด้วย (ช่วงปิด) 20. ค่าขอบเขตบนน้อยสดุ ของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คือ คา่ b คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ (−∞, ∞) หาไมไ่ ด้ 21. “ค่าสมั บรู ณ์ ของจาํ นวนจรงิ a ” ใชส้ ญั ลกั ษณ์ a - ความหมายเชิงเรขาคณิต คอื a เทา่ กับระยะห่างระหว่างจดุ ทแี่ ทน a กบั จดุ 0 - และ a − b เทา่ กบั ระยะหา่ งระหวา่ งจุดทแ่ี ทน a กับจดุ ทแี่ ทน b 22. การถอดคา่ สัมบูรณ์ในกรณีท่ัวๆ ไป a = ⎪⎧ a เมื่อ a > 0 ⎨ ⎩⎪−a เมอ่ื a < 0 23. ทฤษฎเี กย่ี วกับคา่ สมั บรู ณ์ - คา่ สมั บรู ณ์ต้องไม่นอ้ ยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ - ค่าสมั บูรณ์ไม่คาํ นึงถึงเครอ่ื งหมายลบ a = −a a−b = b−a an = a n - คา่ สมั บูรณ์กระจายได้ สําหรบั การคณู ab = a b - คา่ สมั บูรณ์กระจายได้ สาํ หรับการหาร a a โดย b ≠ 0 = - ยกกาํ ลังด้วยเลขคไู่ มต่ อ้ งใส่คา่ สัมบรู ณ์ bb - คา่ สมั บูรณ์กระจายไมไ่ ด้ สําหรบั การบวกลบ a2 = a 2 = a2 a+b < a + b a−b > a−b - นิยามการถอดรากท่ี n ของกาํ ลัง n n an = ⎪⎧ a , n = even ⎨ , n = odd ⎩⎪ a 24. ทฤษฎีท่ชี ่วยแก้สมการและอสมการ ที่มีคา่ สมั บูรณ์ - สมการ x = b และสมการ x = b มีความหมายเดียวกับสมการ x2 = b2 และสรุปได้วา่ “ x = b หรอื x = −b ” - อสมการ x < b คือ −b < x < b อสมการ x > b คือ “ x < −b หรือ x > b ” 25. บทนยิ ามของการหารจาํ นวนเต็มลงตัว - “m หารด้วย n ลงตัว” เขียนเปน็ สัญลักษณ์ n m - สําหรับจาํ นวนเตม็ m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า n m ก็ต่อเมอื่ m = n q และ q ∈ I Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 620 ฉบบั เขม ขน - สมบตั ิการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แลว้ a c - ผลรวมเชงิ เสน้ ถา้ a b และ a c แลว้ a (bx±cy) - เลขยกกาํ ลัง ถ้า a b แลว้ a bn ... และถา้ an b แล้ว a b 26. บทนยิ ามของการหารจาํ นวนเตม็ ใดๆ - สําหรับจํานวนเตม็ m, n โดยท่ี n ≠ 0 จะได้ว่า m = n q + r และ q ∈ I , 0 < r < n มจี ํานวนเตม็ q, r ชุดเดียวเท่านนั้ เรียก q วา่ ผลหาร ... และเศษคอื r 27. สัญลักษณ์ทีใ่ ช้แทน ห.ร.ม. ของ a กบั b ทเี่ ปน็ บวก คือ (a, b) สัญลกั ษณท์ ใ่ี ชแ้ ทน ค.ร.น. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ [a, b] - ห.ร.ม. คณู กับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ - ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d, b/d) = 1 - ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เปน็ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ 28. ขัน้ ตอนการหา ห.ร.ม. ของ a กบั b แบบยุคลดิ เร่ิมโดยเขยี น a กบั b ในรปู การหาร แล้วนาํ เศษทไี่ ดไ้ ปหารต่อๆ ไป คอื a = b q1 + r1 ... b = r1q2 + r2 ... r1 = r2q3 + r3 ... r2 = r3q4 + r4 ... ทาํ ไปเรือ่ ยๆ จนกว่าจะหารลงตวั (เศษเปน็ 0) จะไดว้ า่ ห.ร.ม. เทา่ กบั เศษตัวสดุ ท้าย (rk ) ตรรกศาสตร์ 1. ประโยคทกุ ประโยคทีม่ คี ่าความจรงิ เปน็ จริงหรือเปน็ เทจ็ อยา่ งใดอย่างหนงึ่ เรียกว่า ประพจน์ - ประโยคบอกเลา่ ประโยคปฏเิ สธ เปน็ ประพจน์ - ประโยคคําถาม คาํ ส่ัง ขอร้อง แสดงความปรารถนา ประโยคอุทาน เหล่านีไ้ มใ่ ช่ประพจน์ 2. สัญลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนประพจน์ตา่ งๆ เปน็ ตัวอักษรเล็ก เชน่ p, q, r - แต่ละประพจนจ์ ะมีค่าความจรงิ ที่เป็นไปได้ 2 แบบ คอื เปน็ จริง (T) หรือเป็น เท็จ (F) - เครื่องหมาย ~ เรียกวา่ นิเสธ ใช้เพ่ือกลับค่าความจริงให้เป็นตรงกนั ข้าม pq p และ q p หรอื q ถ้า p แล้ว q p ก็ตอ่ เมือ่ q ไม่ p (p ∧ q) (p∨ q) (p → q ) (p ↔ q) (~p ) TT TF T T T T F FT T F F F FF F T F T F F T T T F T 3. ตารางข้างบน เรียกว่า ตารางค่าความจริง ... เปน็ ตารางแสดงรูปแบบทเี่ ป็นไปไดท้ ง้ั หมด เช่น ถา้ มี 1 ประพจน์จะเปน็ ไปได้ 2 แบบ, ถา้ มี 2 ประพจน์ เปน็ ไปได้ 4 แบบ, หรอื 2n นั่นเอง 4. หากรปู แบบของประพจนใ์ ดให้คา่ เป็นจริงเสมอทกุ ๆ กรณี จะเรยี กรูปแบบนน้ั ว่า สัจนิรนั ดร์ - การตรวจสอบว่าเปน็ สัจนริ ันดร์หรือไม่ สามารถใช้ “วิธีพยายามทาํ ให้เปน็ เทจ็ ” คอื หากพยายามทาํ ใหร้ ปู แบบน้ันเป็นเทจ็ ไม่ไดเ้ ลย รูปแบบนั้นกจ็ ะเปน็ สจั นริ ันดร์ แตถ่ ้าทําเปน็ เท็จได้แม้เพียงกรณีเดยี ว รูปแบบนน้ั ยอ่ มไมใ่ ชส่ ัจนริ ันดร์ 5. รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ท่ใี หค้ า่ ความจรงิ ตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่า สมมลู กนั (แปลว่า สามารถใชแ้ ทนกันได)้ ... สัญลกั ษณ์ท่ใี ช้แสดงการสมมลู กัน คอื ≡ - ถ้า ≡ แล้ว จะไดว้ า่ → เป็นสจั นริ นั ดร์ และ ↔ กเ็ ปน็ สัจนริ ันดร์ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 621 ฉบับเขม ขน 6. รปู แบบประพจนท์ ี่สมมูลกัน (ทค่ี วรทราบ) - การแจกแจง - การเติมนิเสธ p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q ~ (p → q) ≡ p ∧ ~ q - การเปลย่ี นตัวเชือ่ ม p→q ≡ ~p∨ q ≡ ~q→~p ~ (p ↔ q) ≡ ~ p ↔ q ≡ p ↔ ~ q p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 7. ตวั เชอื่ ม และ มีสมบัตคิ ล้ายอินเตอร์เซคชัน ... ตัวเชื่อม หรอื มีสมบตั คิ ล้ายยูเนียน ... นอกจากนัน้ นเิ สธ ก็มีสมบตั ิคลา้ ยคอมพลเี มนต์ 8. ประโยคเปดิ คอื ประโยคทย่ี งั ติดค่าตัวแปร และเมื่อแทนคา่ ตวั แปรแล้วจึงกลายเปน็ ประพจน์ - สัญลักษณ์ท่ีใชแ้ ทนประโยคเปดิ ใดๆ (ทีต่ ิดค่าตัวแปร x) ไดแ้ ก่ P(x), Q(x), R(x) ฯลฯ 9. ตวั บ่งปริมาณ คือขอ้ ความท่ีใชบ้ ง่ บอกความมากนอ้ ยของคา่ ตวั แปร x - ตวั บ่งปริมาณมี 2 แบบ ได้แก่ “สาํ หรับ x ทุกตวั ” ( ∀x ) และ “มี x บางตวั ” ( ∃x ) - เมือ่ ใช้ตัวบ่งปริมาณร่วมกับเอกภพสมั พัทธ์ จะทําให้ประโยคเปดิ มีค่าความจริง 10. สามารถแจกแจงตัวบ่งปรมิ าณไดเ้ พียงสองรูปแบบนีเ้ ทา่ น้ัน ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] 11. ประโยคเปิดทม่ี สี องตัวแปร (มีตวั บง่ ปริมาณสองตัว) การอ่านตอ้ งคาํ นงึ ถึงลาํ ดับก่อนหลัง เชน่ ∀x∃y [...] แทนประโยค “สาํ หรับ x ทุกๆ ตวั จะใช้ y ไดบ้ างตวั ...” แต่ ∃y∀x [...] แทนประโยค “มี y บางตวั ทีใ่ ช้ x ไดค้ รบทกุ ตวั ...” 12. การหานเิ สธ ตอ้ งเปลีย่ นตวั บง่ ปริมาณ จาก ∀ เปน็ ∃ และจาก ∃ เปน็ ∀ และใส่นเิ สธท่ปี ระโยคเปิด ภายในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ดว้ ย เชน่ นเิ สธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คอื ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] 13. การอา้ งเหตผุ ล คอื การกลา่ วว่าถา้ มเี หตุเป็นขอ้ ความ p1, p2, p3, ..., pn ชดุ หนึ่ง แลว้ สามารถสรุปผลเปน็ ข้อความ q อันหนง่ึ ได้ - การอ้างเหตผุ ลมีทัง้ แบบท่ีสมเหตุสมผล และไม่สมเหตุสมผล 14. วิธีตรวจสอบความสมเหตุสมผล ของการอ้างเหตุผล - ตรวจสอบสัจนิรันดร์ ... จะสมเหตุสมผลก็เมือ่ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เป็นสัจนิรันดร์ (หรือกลา่ ววา่ ไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณเี ดียวเท่านั้น คือเหตเุ ป็นจริงทัง้ หมด แต่ผลเปน็ เท็จ) - เทยี บกบั รปู แบบท่พี บบ่อย การอ้างเหตุผลทกุ รปู แบบตอ่ ไปน้ี สมเหตุสมผล (4) เหตุ p → q (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q (3) เหตุ p → q r→s p ~q q→r p∨r ผล q ผล ~ p ผล p → r ผล q ∨ s (5) เหตุ p ∨ q (6) เหตุ p → q (7) เหตุ p ∧ q (8) เหตุ p ผล p ผล p ∨ q ~p ~q→~p ผล q ผล ~ p ∨ q 15. การใหเ้ หตุผลแบบอุปนยั เปน็ การใชค้ วามจริงจากส่วนยอ่ ยนาํ ไปสรุปความจรงิ ของสว่ นรวม หรอื กล่าวว่า เป็นการสรุปผลทีจ่ ะเกิดขนึ้ ซง่ึ มาจากการสังเกตหรือทดลองในกรณยี อ่ ยๆ หลายคร้งั ข้อควรระวงั คอื ข้อสรุปท่ไี ด้ไมจ่ ําเปน็ ตอ้ งถูกต้องทกุ ครัง้ เนือ่ งจากเปน็ ขยายผลออกไปจากสิง่ ทเี่ ห็น Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 622 ฉบับเขม ขน 16. สิ่งที่ควรคาํ นึงเพราะมผี ลต่อความน่าเชื่อถือไดแ้ ก่ จํานวนขอ้ มลู ที่มีเพียงพอหรอื ไม่, ขอ้ มูลทใี่ ชน้ ัน้ เป็นตัวแทนทีด่ แี ล้วหรอื ไม่, และข้อสรุปท่ีตอ้ งการมีความซบั ซ้อนเกินไปหรือไม่ 17. ตัวอยา่ งการให้เหตุผลแบบอุปนัย - ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} สมาชิกตวั ที่เหลือนา่ จะเปน็ 12, 14, 16, ... - ลําดบั 1, 3, 7, 15, 31, ... พจนถ์ ดั ไปน่าจะเป็น 63 (ดูจากผลต่างของพจนต์ ดิ กัน) - ถา้ ผลบวกของเลขโดดเปน็ จํานวนท่หี ารดว้ ย 3 ลงตัวแลว้ จาํ นวนนับนัน้ จะหารดว้ ย 3 ลงตัว 18. การให้เหตุผลแบบนริ นยั เป็นการใชค้ วามจริงทเี่ ปน็ ท่ยี อมรบั โดยทวั่ ไป เพือ่ นาํ ไปสู่ขอ้ สรุปย่อย ข้อควรระวงั คือ ถา้ ใช้ความรู้สกึ เพยี งผวิ เผินอาจจะคิดวา่ สมเหตุสมผล ทัง้ ทีจ่ ริงไมใ่ ช่ 19. การตรวจสอบความสมเหตุสมผล สามารถทําได้อยา่ งรอบคอบโดยใชแ้ ผนภาพเซต (เวนน์-ออย เลอร์) ถา้ พบว่าแผนภาพเปน็ ไปตามทส่ี รปุ ได้เพียงแบบเดียวเทา่ นัน้ จะถอื วา่ สมเหตุสมผล แตถ่ า้ เป็น แบบอนื่ ไดด้ ว้ ย จะถือวา่ ไมส่ มเหตุสมผล 20. ขอ้ สรปุ ทส่ี มเหตุสมผล อาจจะขัดแย้งกบั ความจริงในโลกก็ได้ เพราะเรากลา่ วในรูปแบบการอา้ ง เหตุผล น่ันคือ การสมเหตสุ มผลไมไ่ ดห้ มายความวา่ ผลจะเป็นจรงิ ทันที แต่เมื่อใดเหตุทุกข้อเป็นจรงิ ผลจึงจะจริงดว้ ย 21. ตวั อย่างการใหเ้ หตุผลแบบนิรนยั (ที่สมเหตุสมผล) - เหตุ (1) นักเรยี นทุกคนต้องทําการบา้ น ... (2) สุดาเป็นนักเรยี น ผล สดุ าตอ้ งทาํ การบา้ น - เหตุ (1) นกทกุ ตัวบินได้ ... (2) คนบนิ ไมไ่ ด้ ผล คนไมใ่ ชน่ ก - เหตุ (1) สัตว์ปกี ทกุ ตวั บินได้ ... (2) แมวบางตวั เป็นสัตว์ปกี ผล แมวบางตวั บินได้ 22. ตวั อย่างการใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นัย (ทไี่ ม่สมเหตสุ มผล) - เหตุ (1) นกทกุ ตัวบินได้ ... (2) ยงุ บินได้ ผล ยงุ เป็นนก - เหตุ (1) นกทุกตัวบนิ ได้ ... (2) คนไมใ่ ช่นก ผล คนบินไมไ่ ด้ - เหตุ (1) นักเรียนบางคนเปน็ นกั กีฬา (2) นกั กีฬาบางคนแขง็ แรง ผล นักเรยี นบางคนแขง็ แรง เรขาคณติ วเิ คราะห์ 1. ระบบพกิ ดั ฉาก ประกอบด้วยแกน 2 แกนท่ตี ง้ั ฉากกนั ณ จดุ กําเนดิ (จุด O) y เรียกช่ือแกนนอนและแกนต้งั ว่าแกน x และแกน y ตามลําดับ Q2 Q1 - แกนทั้งสองนีต้ ัดกัน แบง่ พื้นทีใ่ นระนาบ xy ออกเป็น 4 สว่ น เรียกแต่ละส่วนว่าจตภุ าค (ควอดรันต์, Q) ดงั ภาพ (−, +) (+, +) x 2. การอา้ งถงึ พิกดั ในระบบพิกัดฉาก จะเขียนในรปู คู่อันดับ Q3 O Q4 สมาชิกตวั แรกแทนระยะในทิศ +x และตวั หลังแทนระยะในทิศ +y 3. การเขยี นชอื่ จดุ นิยมใชต้ ัวอักษรใหญ่ เชน่ จุด P, จดุ Q (−, −) (+, −) - อาจเขยี นกาํ กับดว้ ยคูอ่ นั ดบั เป็น P(x, y) เช่น Q (2, 4) ใช้แทนจดุ Q และมพี กิ ัด (2,4) 4. ระยะห่างระหวา่ งจดุ P กับ Q คอื PQ Q (x2,y2) PQ = (x2−x1) 2+ (y2−y1) 2 P (x1,y1) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 623 ฉบบั เขม ขน 5. จดุ กงึ่ กลางระหวา่ งสองจุด 6. จดุ ที่แบง่ ระยะทางเปน็ อัตราสว่ น m:n Q (x2,y2) Q (x2,y2) m R (x1+ x2 , y1+ y2) n R (mx1+ nx2 , my1+ ny2) 22 m+n m+n P (x1,y1) P (x1,y1) 7. จดุ ตดั ของเส้นมัธยฐานของสามเหล่ยี ม (เรยี กว่าจุดเซนทรอยด)์ R (x3,y3) P (x1,y1) C C (x1+ x2+ x3 , y1+ y2+ y3) 33 Q (x2,y2) - เส้นมธั ยฐาน คือเสน้ ตรงที่เช่อื มจดุ ยอดจดุ หน่งึ กับจุดกง่ึ กลางของด้านตรงข้าม - จุดตดั ของเส้นมธั ยฐาน จะแบง่ เส้นมธั ยฐานแตล่ ะเส้นออกเปน็ อตั ราส่วน 2 : 1 เสมอ 8. เราสามารถสร้างเส้นตรงที่ผา่ นจุดสองจดุ ที่กาํ หนดให้ เชน่ จุด P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ - เขียนแทน “สว่ นของเสน้ ตรง” ทเี่ ชอ่ื มระหว่างจดุ P กบั Q ดว้ ยสัญลักษณ์ PQ - นิยมตงั้ ช่อื “เส้นตรง” ด้วยอักษร L เช่น เสน้ ตรง L1 , เสน้ ตรง L2 9. ความชนั (m) ของเส้นตรง ที่ทราบจดุ ผ่านสองจดุ Q (x2,y2) =m = tan θ y2− y1 x2− x1 θ เส้นตรงสองเสน้ ขนานกัน ( ) กต็ ่อเมอื่ มีความชนั เทา่ กัน เสน้ ตรงสองเส้นตั้งฉากกัน ( ⊥ ) ก็ตอ่ เมอ่ื ความชันคณู กนั ได้ -1 P (x1,y1) 10. สมการของเส้นตรง m - เมือ่ ทราบจุดผา่ นจดุ หน่ึง (x1, y1) และค่าความชนั m P (x1,y1) จะได้สมการ y − y1 = m (x − x1) - เมอ่ื ทราบจุดผ่านสองจุด ,(x1, y1) (x2, y2) Q (x2,y2) ใหค้ าํ นวณคา่ ความชนั จากสองจดุ นีก้ ่อน แลว้ เลือกใช้จดุ ใดก็ไดจ้ ุดเดยี วมาสร้างสมการด้วยวิธเี ดิม P (x1,y1) 11. สมการเสน้ ตรงทน่ี ิยมใชป้ ระโยชนม์ อี ยู่ 3 รปู แบบ ไดแ้ ก่ - รูปแบบ y = m x + c เมอ่ื m คือความชัน และ c คอื ระยะตัดแกน y y yy m>0 m<0 c m=0 cc xO x x OO - รูปแบบ y − y1 = m (x − x1) เมื่อ m คือความชนั และกราฟผา่ นจุด (x1, y1) - รปู แบบ x+y =1 เม่อื a, b คือ ระยะตัดแกน x และ y ตามลําดับ ab Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 624 ฉบับเขม ขน 12. สมการเส้นตรงในรปู ท่วั ไปไดแ้ ก่ A x + B y + C = 0 ... จะมคี า่ ความชัน m = − A B 13. ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงคู่ขนานสองเสน้ 14. ระยะห่างระหว่างจุดกบั เส้นตรง d = C2− C1 d = A x1 + B y1 + C A2+ B2 A2+ B2 Ax+By+C1=0 P (x1,y1) d d Ax+By+C2=0 Ax+By+C=0 15. ภาพฉาย (โพรเจคชัน) บนเสน้ ตรง ภาพฉายของ P1P2 บนเสน้ ตรง L คอื Q1Q2 ภาพฉายของจุด P บนเสน้ ตรง L คือจุด Q P2 (x2,y2) P (x1,y1) L: Ax+By+C=0 Q P1 (x1,y1) Q2 L: Ax+By+C=0 Q1 - การคาํ นวณหาตําแหน่งภาพฉาย วธิ ีท่สี ะดวกท่ีสุดคือสร้างสมการเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด P และตัง้ ฉาก กบั เส้นตรง L แลว้ แกร้ ะบบสมการหาจุดตดั ของเส้นตรงทัง้ สอง 16. ความสัมพันธ์ท่ีพบบ่อย นอกจากจะมีกราฟเปน็ เส้นตรงแลว้ ยังมกี ราฟเส้นโค้ง ไดแ้ ก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโ์ บลาด้วย กราฟท้ังสรี่ ปู นี้เรยี กรวมกันวา่ ภาคตดั กรวย 17. พื้นฐานการเขียนกราฟใดๆ - เมอ่ื มคี า่ คงท่มี าบวกหรอื ลบ จะเกิดการเลื่อนแกนทางขนาน หากเปล่ยี นรปู สมการจาก f (x, y) = 0 ไปเปน็ f (x−h, y-k) = 0 จดุ กาํ เนดิ จะถกู เล่ือนไปยงั คู่อนั ดบั (h, k) และรปู กราฟท้ังหมดถกู เล่อื นตามไปดว้ ย - เม่อื มคี า่ คงที่ (ทเ่ี ปน็ บวก) มาคณู หรอื หาร จะเกดิ การปรับขนาดทางแกนนัน้ หากเปล่ียนรปู สมการจาก y = f (x) ไปเป็น my = f (nx) เม่ือ m, n มากกว่า 1 กราฟรปู เดิมจะถูกบีบลงทางแนวนอน n เท่า และบีบลงทางแนวตัง้ m เท่า (ส่วนกรณที ่ี m, n นอ้ ย กว่า 1 จะมองวา่ เป็นการหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน) - หากสมการมที ง้ั การบวกลบและคูณหาร ร่วมกนั .. จะตอ้ งจดั รูปสมการใหบ้ วกลบอยู่ในวงเล็บ (กระทาํ กับตัวแปรโดยตรง) แล้วถัดมาจึงเปน็ การคณู หาร.. นนั่ คอื ใช้แกน h, k ทไี่ ดจ้ ากการเลื่อน แกนแล้ว เปน็ แกนกลางสาํ หรบั บีบหรอื ขยายรปู กราฟ - เม่ือมีคา่ คงท่ี (ท่ีเป็นลบ) มาคูณหรอื หาร นอกจากจะมกี ารขยายหรอื บีบแลว้ ยังเกิดการพลิก รปู กราฟ โดยใชแ้ กน h, k นเี้ ป็นแกนหมุนดว้ ย (หากตัวแปร x ถกู คูณด้วยลบ จะพลิกสลับซ้ายขวา, และหากตัวแปร y ถูกคณู ด้วยลบ จะพลิกสลับบนลา่ ง) 18. วงกลม คอื “เซตของคูอ่ ันดับท่อี ยู่ห่างจากจดุ คงท่ีจดุ หนึ่ง เป็นระยะเท่าๆ กัน” เรียกจุดคงทจี่ ดุ นน้ั ว่า จดุ ศูนยก์ ลาง (C) และเรียกระยะทางนน้ั ว่ารัศมี (r) - สมการวงกลม ท่ีมจี ุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี C (0, 0) และรัศมยี าว r หน่วย คือ x2+ y2 = r2 - เส้นสัมผัสวงกลม คือเสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจุดบนวงกลมเพยี งจดุ เดียวเทา่ นน้ั (เรียกวา่ จุดสัมผสั ) และเส้นสัมผัสวงกลมทกุ เส้นจะตง้ั ฉากกับรัศมี (ท่ีเช่อื มจดุ ศนู ย์กลางกบั จุดสมั ผัส) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 625 ฉบับเขมขน r วงกลม C (h,k) (x−h)2 + (y−k)2 = r 2 จุดศนู ยก์ ลาง C (h, k) รศั มี r หน่วย รูปท่วั ไป x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 19. พาราโบลา คอื “เซตของคู่อันดับท่มี ีระยะไปถงึ จุดคงทจ่ี ุดหนงึ่ เท่ากับระยะไปถงึ เส้นตรงเสน้ หน่ึง” เรยี กจุดคงที่จดุ นน้ั ว่า จดุ โฟกัส (F) เรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่าไดเรกตริกซ์ - สมการพาราโบลา ท่มี ีจุดยอดอยทู่ ี่ V (0, 0) และระยะโฟกสั ยาว c หน่วย คอื x2 = 4 c y (ออ้ มแกน y, กราฟหงายเมื่อคา่ c เปน็ บวก, กราฟคว่าํ เมอื่ คา่ c ติดลบ) หรอื y2 = 4 c x (ออ้ มแกน x, กราฟเปิดขวาเม่อื c เป็นบวก, กราฟเปิดซ้ายเมอ่ื c ติดลบ) 2c F (h,k+c) พาราโบลา (ตัง้ ) c ⎧ (x−h)2 = 4 c (y−k) ⎨ ⎩ จดุ ยอด V (h, k) ระยะโฟกัส c หน่วย c ⎧ V (h,k) เลตสั เรกตมั ยาว 4c หนว่ ย ⎨ ⎩ รูปทัว่ ไป Directrix : y=k-c x2+ Dx + Ey + F = 0 Axis : x=h ⎫ พาราโบลา (ตะแคง) ⎪ c c ⎬ 2c (y−k)2 = 4 c (x−h) ⎭⎪ จุดยอด V (h, k) Axis : y=k V F (h+c,k) ระยะโฟกสั c หนว่ ย (h,k) เลตัสเรกตัม ยาว 4c หนว่ ย Directrix : รูปทว่ั ไป x=h-c y 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 626 ฉบับเขม ขน 20. วงรี คือ “เซตของคอู่ นั ดบั ที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจดุ คงท่ีสองจดุ มีคา่ เทา่ กนั ” เรียกจุดคงที่สองจุดนั้นว่าจุดโฟกัส (F1, F2 ) และระยะทางรวมน้นั เท่ากับความยาวแกนเอก (2a) - สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยทู่ ่ี C (0, 0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หนว่ ย คือ ⎛⎜⎝ x ⎞⎟⎠2+ ⎝⎜⎛ y ⎠⎞⎟2= 1 (รีตามแกน x) หรอื ⎛⎝⎜ y ⎞⎟⎠2+ ⎛⎝⎜ x ⎞⎟⎠2= 1 (รีตามแกน y) a b a b - สําหรบั วงรีนน้ั a > b เสมอ ดงั นั้นตัวเลขใดมคี ่ามากกวา่ ตวั นัน้ ก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก) วงรี (นอน) B1 (h,k+b) (x −h)2 + (y −k)2 =1 a2 b2 จดุ ศนู ยก์ ลาง C (h, k) ⎫ b a ⎬ แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b V2 F2 c ⎭C ระยะโฟกัส c = a2− b2 (h,k) (h+Fc1 ,k) (hV+1a,k) B2 รูปทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 V1 (h,k+a) วงรี (ตั้ง) (y −k)2 + (x−h)2 =1 a2 b2 F(h1 ,k+c) จุดศนู ย์กลาง C (h, k) B2 b C (h,k) B1 (h+b,k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b ⎧ ⎬⎫c ระยะโฟกสั c = a2− b2 ⎪ ⎭F2 รูปทัว่ ไป a ⎪⎪ ⎨ Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ⎪ ⎪ V2 ⎪⎩ 21. ไฮเพอร์โบลา คอื “เซตของคอู่ นั ดับท่ี ผลต่างของระยะทางไปถงึ จุดคงทสี่ องจดุ มีคา่ เท่ากัน”เรยี ก จดุ คงทส่ี องจุดน้ันว่าจุดโฟกสั และผลต่างระยะทางเทา่ กับความยาวแกนตามขวาง (2a) - สมการของไฮเพอร์โบลาที่มจี ุดศนู ยก์ ลางที่ C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสงั ยุคยาว 2b คอื ⎝⎛⎜ x ⎞⎠⎟2− ⎛⎜⎝ y ⎠⎞⎟2= 1 (ออ้ มแกน x) หรอื ⎛⎜⎝ y ⎞⎠⎟2− ⎛⎝⎜ x ⎞⎠⎟2= 1 (อ้อมแกน y) a b a b - สําหรบั ไฮเพอรโ์ บลา a ไม่จําเป็นต้องมากกว่า b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะออ้ มแกนน้นั ) - ถา้ a = b เสน้ กํากับจะตั้งฉากกนั เรยี กไฮเพอร์โบลานน้ั ว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 627 ฉบบั เขม ขน ไฮเพอรโ์ บลา (ตะแคง) B1 (h,k+b) (x −h)2 − (y−k)2 =1 a2 b2 จดุ ศูนยก์ ลาง C (h, k) ⎫ b c ⎬ แกนตามขวาง 2a แกนสงั ยุค 2b (⎭hC,k)(hV+a1 ,k) F2 V2 a (hF+1 c,k) ระยะโฟกัส c = a2+ b2 B2 รูปทั่วไป Asymptote a(y-k)=b(x-h) Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Asymptote ไฮเพอร์โบลา (ตง้ั ) Asymptote F1 (h,k+c) (y −k)2 − (x−h)2 =1 b(y-k)=a(x-h) a2 b2 จดุ ศนู ย์กลาง C (h, k) B2 V1 (h,k+a) แกนตามขวาง 2a แกนสังยคุ 2b Asymptote b C (h,k) B1 (h+b,k) ระยะโฟกัส c = a2+ b2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎬ a c ⎨ ⎭ รูปทว่ั ไป ⎪⎩ V2 F2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 - ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉากอกี รูปแบบหนงึ่ ไดแ้ ก่สมการในรูป xy = k เมอ่ื k เปน็ ค่าคงท่ี ... (จะมแี กนต้ังและแกนนอนเป็นเส้นกํากับ) ไฮเพอรโ์ บลามุมฉาก xy = k k > 0 จดุ ยอด V1 ( k, k) F1 V2 (− k, − k) V1 C (0,0) จดุ โฟกัส F1 ( 2k, 2k) V2 F2 (− 2k, − 2k) F2 - ถา้ k < 0 ไฮเพอรโ์ บลานจี้ ะอยใู่ นควอดรนั ต์ที่ 2 และ 4 ความสัมพันธ์/ฟงั กช์ นั 1. ผลคณู คาร์ทเี ซียน คือผลคณู ของเซต ... เซต A × B คอื เซตของคอู่ นั ดับ ที่สมาชิกตวั หน้ามาจาก เซต A และสมาชกิ ตัวหลังมาจากเซต B ครบทกุ คู่ ... และจะได้ n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) เช่น , จะได้A = {0, 1, 2} B = {1, 3} A × B = {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 628 ฉบับเขมขน 2. A × B = B × A ก็ต่อเมอ่ื A = B หรือมีเซตใดเซตหนึ่งเป็น ∅ 3. ความสัมพนั ธ์ (r) คือเซตของคอู่ ันดับใดๆ (สามารถเขียนกราฟได)้ - “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือเซตของคอู่ ันดบั ท่สี มาชกิ ตวั หนา้ มาจาก A และตวั หลงั มาจาก B แต่ไมจ่ าํ เปน็ ต้องครบทุกคู่ ... สัญลักษณ์ทใ่ี ช้คือ r = {(x, y) ∈ A × B | .....} - ดงั นน้ั ความสัมพนั ธ์จาก A ไป B ก็คือสบั เซตของ A × B ... จะมไี ดท้ ัง้ หมด 2n(A×B) แบบ - “ความสัมพันธ์ภายใน A” คอื r = {(x, y) ∈ A × A | .....} - ถา้ ไม่ระบวุ า่ เปน็ ความสัมพันธจ์ ากเซตใดไปเซตใด จะหมายถงึ เซตจาํ นวนจรงิ R × R 4. “โดเมน (A) ของความสมั พันธ”์ คือเซตของสมาชิกตวั หน้าของคอู่ นั ดับ “เรนจ์ หรือพสิ ัย (R) ของความสัมพนั ธ์” คือเซตของสมาชกิ ตวั หลงั ของค่อู นั ดับ - ถา้ r เปน็ ความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว Dr ⊂ A และ Rr ⊂ B 5. การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์ภายใน R ซ่งึ บอกเปน็ เงื่อนไข (สมการ) ใหพ้ ิจารณาส่ิงเหลา่ นคี้ ือ การหาร, การถอดราก, ค่าสัมบรู ณ์, การยกกาํ ลงั จะมขี อ้ จาํ กดั เกิดขน้ึ - ถ้า a = b จะไดว้ ่า c ≠ 0 c - ถา้ a = n b โดยที่ n เปน็ จาํ นวนคู่ จะได้วา่ a > 0 และ b > 0 - ถ้า a = bn โดยท่ี n เปน็ จาํ นวนคู่ จะไดว้ ่า a > 0 - ถา้ a = b จะได้วา่ a > 0 การหาโดเมน ควรพจิ ารณาในรูป y = ...(x)... และการหาเรนจ์ ควรจดั รูปให้กลายเปน็ x = ...(y)... แล้วจึงค่อยพจิ ารณา (โดยปกติ การเขยี นกราฟ จะชว่ ยใหเ้ หน็ โดเมนและเรนจ์ไดช้ ัดเจนกวา่ การคาํ นวณ) 6. อินเวอร์สของ r ใชส้ ัญลกั ษณ์ r−1 โดยมีนยิ ามวา่ r−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r } น่ันคอื r−1 คิดจาก การสลับทส่ี มาชกิ ตัวหนา้ และหลังของคู่อนั ดับใน r หรอื ถา้ เป็นความสัมพนั ธแ์ บบเง่ือนไข จะคิดจากการสลบั ตาํ แหนง่ ระหวา่ งตวั แปร x และ y 7. Dr−1 = Rr และ Rr−1 = Dr เสมอ 8. รูปแบบของกราฟทีค่ วรรจู้ กั คอื เส้นตรง ภาคตดั กรวย และมเี พิ่มเติมดังนี้ - กราฟคา่ สมั บูรณ์ (ท่ีคล้ายพาราโบลา) y = a x หรือ x = a y yy y = a|x| x = a|y| y a>0 a>0 k Ox Ox - กราฟคา่ สมั บรู ณ์ (ท่ีคลา้ ยวงกลม) x + y = k -k O x เมื่อ k คอื คา่ คงทท่ี ่มี ากกว่าศนู ย์ k -k 9. กราฟของความสมั พันธ์อาจเปน็ “พืน้ ที่ (แรเงา)” ในระนาบ หากวา่ ความสมั พนั ธน์ นั้ เป็น “อสมการ” โดยมีหลักในการเขียนกราฟคือ คดิ วา่ เปน็ เครื่องหมายเทา่ กับแล้วเขียนกราฟของสมการ ก่อน จากนนั้ ตรวจสอบวา่ บริเวณใดของพื้นท่ีตรงตามเง่อื นไขของอสมการ จึงแรเงา (เสน้ กราฟทึบ แสดงว่าจุดบนเสน้ นนั้ อยู่ใน r, เสน้ ประแสดงว่าจดุ บนเส้นนั้นไม่อยูใ่ น r) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 629 ฉบับเขมขน 10. กราฟของ r−1 สามารถคดิ จากกราฟของ r ไดโ้ ดยการหมนุ กราฟ ใช้เส้นตรง y = x เป็นแกน หมุน … (เท่ากับเป็นการสลบั แกน x กับแกน y กัน) 11. หากความสัมพันธใ์ ดมลี ักษณะดงั ต่อไปนีด้ ้วย จะเรียกวา่ เปน็ “ฟังกช์ นั ” (f) “สมาชกิ ตวั หน้าแต่ละตัว จะคู่กบั สมาชกิ ตัวหลังได้เพียงแบบเดียวเท่าน้ัน” หรอื กล่าววา่ สําหรบั x แต่ละตัว จะคู่กบั y ได้เพียงแบบเดียวเท่านนั้ (หา้ มใช้สมาชกิ ตวั หนา้ ซํ้า แต่ ใชส้ มาชกิ ตัวหลังซํ้าได)้ 12. ความสมั พันธท์ ี่เขียนในรูป y = ...(x)... ได้ จะเปน็ ฟงั กช์ ันเสมอ และถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั จะเขยี นแทน y ด้วยคาํ ว่า f (x) ... เช่น f (x) = x2 เพราะเรามอง x เปน็ ค่าตวั แปรตน้ และมอง y เป็นคา่ ของฟังก์ชัน เช่น f(2) คือค่า y ทไี่ ดเ้ มือ่ x=2 13. ลกั ษณะของฟงั ก์ชัน - “ฟงั กช์ ันจาก A ไป B” ( f : A > B ) ... คือฟังก์ชนั ซงึ่ Df = A และ Rf ⊂ B - “ฟงั ก์ชนั จาก A ไปท่ัวถึง B” ( f : A onto > B ) ... คอื ฟังก์ชันซ่ึง Df = A และ Rf = B - “ฟงั ก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หน่ึงจาก A ไป B” ( f : A )1−1> B คอื ฟังกช์ ันท่ี Df = A และ Rf ⊂ B และสําหรับ y แตล่ ะตวั จะคกู่ บั x เพียงตวั เดยี วดว้ ย - “ฟงั กช์ ันหน่งึ ตอ่ หนึ่งจาก A ไปท่วั ถงึ B” (f : A )1−1>B onto คอื ฟงั กช์ นั ท่ี Df = A และ Rf = B และสาํ หรับ y แตล่ ะตัว จะคกู่ ับ x เพียงตัวเดยี วดว้ ย 14. เมื่อเขยี นกราฟของความสัมพนั ธ์ จะเห็นชัดวา่ เป็นฟงั ก์ชนั หรอื ไม่ และหน่ึงต่อหนึ่งหรือไม่ y yy r1 r2 r3 O x O xO x ไม่เป็นฟงั กช์ ัน เป็นฟงั กช์ ัน แต่ไม่เป็น 1-1 เปน็ ฟังก์ชนั 1-1 15. ฟังก์ชนั แบบเฉพาะตา่ งๆ ที่ควรรู้จกั ฟังกช์ ันคงตัว มสี มการเปน็ f (x) = a (กราฟเส้นตรงนอน) ฟงั กช์ ันเชงิ เส้น มสี มการเปน็ f (x) = ax + b (กราฟเสน้ ตรงเฉยี ง) - ค่า a คอื ความชนั ถ้าเป็นบวกกราฟเฉียงขึน้ ถา้ ติดลบกราฟเฉยี งลง - ค่า b คอื ระยะตดั แกน y - พบในความสัมพันธ์ระหวา่ งสองสงิ่ ท่ีเพ่ิมลดเป็นสัดส่วนโดยตรงต่อกัน ฟงั กช์ นั กาํ ลังสอง มีสมการเปน็ f (x) = ax2+ bx + c (กราฟพาราโบลา) - ถา้ ค่า a เป็นบวกพาราโบลาหงาย, ถ้าตดิ ลบพาราโบลาจะควาํ่ - คา่ มากนอ้ ยของ a เป็นตวั บอกการยืดหดของกราฟ คา่ a ยง่ิ มากรปู พาราโบลาจะยง่ิ แคบ - จุดยอดอยู่ท่คี า่ x = -b/2a (สว่ นค่า y สามารถหาไดโ้ ดยแทนคา่ x นล้ี งไปในฟังก์ชัน) ฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล มีสมการเปน็ f (x) = a bx (กราฟเอกซโ์ พเนนเชยี ล จากบทที่ 4) - ถ้าฐาน b มากกวา่ 1 กราฟเฉียงข้นึ , ถ้าฐาน b อยรู่ ะหว่าง 0 ถงึ 1 กราฟเฉยี งลง - พบในปรมิ าณส่ิงตา่ งๆ ทีเ่ พิ่มหรือลดแบบทวีคณู เช่น เงนิ ฝาก จํานวนประชากร แบคทเี รีย ปริมาณรังสี ฟงั ก์ชนั คา่ สัมบูรณ์ มีสมการเป็น f (x) = a x (กราฟรปู ตัววี) - คลา้ ยพาราโบลาคือ ถา้ คา่ a เปน็ บวกกราฟจะหงาย, ถา้ ตดิ ลบกราฟจะคว่ํา - คา่ มากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยดื หดของกราฟ คา่ a ย่งิ มากรูปตัววีจะย่งิ แคบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 630 ฉบับเขมขน 16. ในโจทยป์ ญั หาเก่ยี วกบั การใชง้ านฟังกช์ ัน จะตอ้ งร้วู า่ เปน็ ฟงั ก์ชนั รปู แบบใด และใชข้ ้อมูลในโจทยห์ าค่าคงที่ a, b, หรือ c ของฟังก์ชันใหค้ รบก่อน เมอ่ื ทราบรปู แบบสมการของฟังกช์ นั นนั้ แลว้ จึงจะสามารถตอบคําถามได้ 17. ฟังก์ชันเพม่ิ และฟงั ก์ชนั ลด ... สาํ หรบั ทุกๆ x1, x2 ∈ [a, b] ฟงั ก์ชัน f จะเปน็ ฟงั ก์ชนั เพ่มิ ในชว่ ง [a, b] กต็ อ่ เมอ่ื ถา้ x2 > x1 แล้ว f (x2) > f (x1) และ ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟังก์ชนั ลดในชว่ ง [a, b] กต็ อ่ เม่ือ ถ้า x2 > x1 แล้ว f (x2) < f (x1) (การเขยี นกราฟของพหนุ าม และหาชว่ งทเ่ี ป็นฟงั กช์ ันเพิม่ , ลด จะคิดโดยการหาอนุพนั ธ์) 18. ฟงั กช์ นั คอมโพสทิ ... ไดแ้ ก่ฟงั กช์ ัน g(f (x)) เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ (g f)(x) - ฟังก์ชนั (g f)(x) จะหาได้กเ็ มื่อ มีสมาชกิ บางสว่ นของ Rf กับ Dg ร่วมกนั - การหาโดเมนและเรนจ์ ของ (g f)(x) ทําไดโ้ ดย เขียน g ในรปู f ก่อน (ยงั ไมต่ อ้ งใส่ x) จากน้นั ถ้าหา Dgof ใหใ้ ช้โดเมน g ไปบังคบั หาโดเมน f ถ้าหา Rgof ให้ใชเ้ รนจ์ f ไปขยายเป็นเรนจ์ g 19. ฟงั กช์ นั อนิ เวอรส์ ... f −1 จะเป็นฟังกช์ ัน กเ็ มื่อ f เปน็ ฟงั กช์ นั หน่งึ ตอ่ หนงึ่ เท่านนั้ - สมบัติของอนิ เวอร์ส (f g)−1 = g−1 f−1 และ (f−1)−1 = f 20. f −1( ) = Δ มคี วามหมายเดยี วกับ f (Δ) = ... ใช้ชว่ ยในการแก้ฟงั กช์ ัน 21. พชี คณิตของฟงั กช์ ัน (f ∗ g)(x) = f (x)∗ g(x) ซึ่งคิดโดเมนได้จาก Df∗g = Df ∩ Dg เครอ่ื งหมาย ∗ เป็นได้ทงั้ +, −, ×, ÷ (โดยกรณหี าร g(x) ≠ 0 ) กาํ หนดการเชิงเส้น 1. กาํ หนดการเชิงเสน้ เปน็ เทคนคิ ท่ใี ช้จัดสรรทรพั ยากรให้ได้ประโยชนส์ ูงทีส่ ุด เชน่ การผลติ สนิ คา้ ด้วยวตั ถดุ บิ ท่มี ีใหไ้ ดก้ ําไรสูงทสี่ ุด การขนสง่ ให้สน้ิ เปลืองนอ้ ยทส่ี ดุ การหาปริมาณวัตถุผสมใหเ้ สยี คา่ ใช้จ่ายน้อยทส่ี ดุ การมอบหมายงานเพอื่ ให้สาํ เรจ็ ในเวลาน้อยที่สุด ฯลฯ 2. ขนั้ ตอนในการคิด คือ - เขยี นสมการจุดประสงค์ (หรือฟังก์ชนั จดุ ประสงค์) เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีขนึ้ กบั ตัวแปร x และ y - เขียนเงอ่ื นไขทมี่ อี ยู่ เรียกว่าอสมการข้อจํากัด (นอกจากข้อจํากดั ที่โจทยใ์ ห้มาแล้ว อาจจะตอ้ งเพิ่มอสมการ x > 0 , y > 0 ) - เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจาํ กัด และแรเงาบรเิ วณที่ “ตรงตามเงอ่ื นไขทุกขอ้ ” - หาจุดยอดมุมทงั้ หมดของบริเวณท่ีแรเงา (ถ้าเป็นจุดที่เกิดจากเสน้ ตรงตดั กนั ตอ้ งใช้วิธแี กร้ ะบบ สมการหาจดุ ตัด) คู่อนั ดับ x และ y เหล่าน้เี ท่านน้ั ทเ่ี ป็นคําตอบได้ - นาํ คอู่ นั ดบั x และ y ยอดมุมทุกจดุ ไปหาค่าจดุ ประสงค์ทม่ี ากหรือนอ้ ยที่สุดตามต้องการ 3. ในบางสถานการณ์ - ค่า x หรอื y อาจจะต้องเป็นจํานวนเต็ม หากค่าที่เป็นคาํ ตอบไมใ่ ชจ่ ํานวนเต็มกจ็ ําเปน็ จะตอ้ ง เลอื กจุดขา้ งเคยี ง (ภายในบรเิ วณท่แี รเงา) ทเ่ี ป็นจํานวนเต็ม และใหผ้ ลใกล้เคียงทสี่ ุด - อาณาบรเิ วณทีแ่ รเงาอาจลอ้ มรอบด้วยเสน้ ประ (เชน่ คาํ ว่าระหวา่ ง, น้อยกว่า, หรือ มากกวา่ ) จดุ ยอดมุมทเี่ ป็นคําตอบยงั ไม่สามารถใชไ้ ด้ ก็ต้องใช้วธิ ีเลอื กจุดข้างเคยี งเชน่ เดียวกนั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 631 ฉบับเขม ขน ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ 1. ตรโี กณมติ ิ เปน็ วชิ าท่ีเก่ยี วกบั การวดั ส่วนประกอบของสามเหลี่ยม เช่น ความยาวด้าน, ขนาดมุม, ขนาดพ้นื ที่ … มฟี งั ก์ชันท่ีเกยี่ วขอ้ งอยู่ 6 ฟงั กช์ ัน ได้แก่ ฟงั ก์ชนั ไซน์ (sin) โคไซน์ (cos) แทนเจนต์ (tan) โคแทนเจนต์ (cot) ซีแคนต์ (sec) และโคซีแคนต์ (cosec หรอื csc) 2. หาก 0° < θ < 90° แล้ว ค่าฟงั ก์ชันที่ไดค้ อื “อัตราสว่ นระหวา่ ง 2 ดา้ นในรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ทม่ี มุ หนึ่งมขี นาดเท่ากับ θ ” sin θ = a cosec θ = 1 = c c sin θ a cos θ = b sec θ = 1 = c ca c cos θ b tan θ = sin θ = a cot θ = 1 = cos θ = b θ cos θ b tan θ sin θ a 3. คา่ ของฟังก์ชันตรโี กณมติ ทิ ่คี วรทราบ b θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ 0 1/2 1/ 2 3/2 1 cos θ 1 3 /2 1/ 2 1/2 0 tan θ 0 1/ 3 1 3 หาค่าไม่ได้ 4. ถ้าให้แกน x เป็น cos θ และแกน y เป็น sin θ จะสามารถหาคา่ ฟงั กช์ ันของมมุ θ ตา่ งๆ ได้ จากวงกลมหนึ่งหนว่ ย ( θ เป็นมุมทีท่ ํากับแกน x โดยเร่ิมวัดเป็น 0° ในแนว +x และเพ่ิมขึ้นในทิศ y ทวนเข็มนาฬกิ า) (0,1) 90° ( 1 , 3) 60° 5. จากกราฟน้ที ําให้ทราบว่า 120° 2 (2 sin θ , cos θ มคี ่าได้ 3/2 1 , 1 ) (− 1, 3 ) 2/2 45° ตง้ั แต่ –1 ถงึ 1 เทา่ นั้น 22 22 1/2 30° ( 3 , 1 ) 22 6. sin (−θ) = − sin θ 180° θ 0° (1,0) x cos (−θ) = cos θ (-1,0) O 1 23 tan (−θ) = − tan θ 22 2 225° (− 1 ,− 1 ) 300° ( 1 , − 3 ) 22 270° (0,-1) 2 2 7. เอกลักษณข์ องตรีโกณมติ ิท่ีสําคัญ ได้แก่ - วงกลมหนึง่ หนว่ ย sin2θ + cos2θ = 1 นอกจากน้ี เม่ือนํา sin2θ หารทง้ั สองขา้ งของสมการอีก จะได้ 1 + cot2θ = cosec2θ หรอื ถา้ นํา cos2θ หารท้ังสองข้างของสมการ ก็จะได้ tan2θ + 1 = sec2θ - โค-ฟงั ก์ชนั sin θ = cos (90°−θ) นอกจากนีย้ งั มอี ีกสองคู่ คอื ta n θ = cot (90°−θ) … และ sec θ = cosec (90°−θ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 632 ฉบบั เขมขน 8. นอกจากการวดั มุมในระบบองศาแลว้ ยงั มีอกี ระบบซึง่ วัดจากความยาวเส้นรอบวง เรียกว่า เรเดียน (rad) นนั่ คอื ... 180° คิดเป็น π เรเดียน y - หนว่ ยเรเดียนนี้ เป็นคา่ จํานวนจรงิ ( π = 3.1416... ) 2π/3 π/2 π/3 π/4 - การวดั มุมเป็นเรเดยี น มกั ละหนว่ ยไว้ 3π/4 π/6 ไม่ตอ้ งเขียนกาํ กบั วา่ rad ก็ได้ 5π/6 9. หากขนาดของมมุ ท่จี ะหาค่าฟังกช์ นั π 0x ตรโี กณมติ นิ นั้ มี nπ หรือ nπ/2 ไปบวกลบ อยู่ เราสามารถกําจัดค่าคงทีเ่ หล่าน้ีทง้ิ ได้ 7π/6 11π/6 ให้เหลอื เพียงมุม θ 5π/4 7π/4 4π/3 5π/3 - เมื่อตัดมมุ nπ ออก ฟงั ก์ชนั ยงั คงเปน็ ช่ือเดิม ไมเ่ ปลยี่ น แตถ่ ้าตดั มุม nπ/2 ออก ฟังก์ชนั จะ 3π/2 เปล่ียนชือ่ เป็นโคฟังก์ชนั เสมอ (นอกจากน้ียงั ตอ้ งดูเครื่องหมายบวกลบดว้ ยวา่ เปล่ียนหรือไม่) 10. การแก้สมการตรีโกณมติ ิ ควรเปลี่ยนทกุ ค่าให้เปน็ sin กับ cos ล้วน... แลว้ ใช้เอกลักษณ์ sin2θ + cos2θ = 1 เป็นสมการช่วย 11. ขอ้ ควรระวังในสมการตรีโกณมิติ - การทราบคา่ ฟงั ก์ชันคา่ หน่ึง จะยงั ไมส่ ามารถสรปุ ไดท้ ันทวี า่ θ อยตู่ ําแหน่งใด เพราะจะมสี อง คําตอบอยู่ในคนละควอดรนั ต์เสมอ เราต้องทราบเพ่มิ เตมิ ดว้ ยว่า คา่ θ นอ้ี ยใู่ นควอดรนั ต์ใด (โดยปกตเิ ราสามารถทราบควอดรันตไ์ ดจ้ ากเครื่องหมายของคา่ ฟังก์ชันอ่นื ) - แผนภาพตอ่ ไปน้ีเป็นการสรปุ เครือ่ งหมาย เพ่ือความสะดวกในการหาคาํ ตอบ Q1 เปน็ บวกทัง้ 6 ค่า sin + ALL + Q2 มีเฉพาะ sin และ cosec ท่ีเป็นบวก Q3 มเี ฉพาะ tan และ cot ที่เปน็ บวก tan + cos + Q4 มีเฉพาะ cos และ sec ทเ่ี ปน็ บวก - สมมตวิ า่ ตอ้ งการคา่ θ ในช่วง 0 < θ < 2π แตส่ มการท่ีไดน้ ั้นเปน็ คา่ 2θ จะตอ้ งขยายชว่ ง คําตอบเป็น 0 < 2θ < 4π หากไม่ขยายช่วงแล้วคําตอบท่ีไดจ้ ะไมค่ รบ - คาํ ตอบบางคาํ ตอบ (โดยเฉพาะทีอ่ ยบู่ นแกน x หรอื แกน y) อาจใช้ไมไ่ ด้ ในกรณีที่สมการมคี าํ วา่ tan, cosec, sec, cot เพราะค่าเหลา่ น้ีมาจากการหารกนั ของ sin, cos ตอ้ งตรวจสอบดว้ ยว่ามี คาํ ตอบใดหาคา่ เหล่าน้ีไมไ่ ด้ (คือ ตวั ส่วนเป็น 0) หรือไม่ 12. สตู รชดุ ท่หี นง่ึ (สูตรเบ้อื งตน้ ) (1) cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β ⎧⎪⎪tan (α+β) = tan α + tan β (2) cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ⎨ 1 − tan α tan β (3) sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ⎪⎪⎩tan (α−β) = (4) sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β tan α − tan β 1 + tan α tan β 13. สูตรชดุ ที่สอง (สตู รผลคูณ) (5) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) ... จาก (1)+(2) (6) −2 sin α sin β = cos (α+β) − cos (α−β) ... จาก (1)-(2) (7) 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) ... จาก (3)+(4) (8) 2 cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) ... จาก (3)-(4) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 633 ฉบับเขม ขน 14. สตู รชุดทสี่ าม (สตู รผลบวก, ผลลบ) (9) cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A − B) ... จาก (5) 22 (10) cos A − cos B = −2 sin (A + B) sin (A − B) ... จาก (6) 22 (11) sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A − B) ... จาก (7) 22 (12) sin A − sin B = 2 cos (A + B) sin (A − B) ... จาก (8) 2 2 15. สตู รชุดที่สี่ (สตู รมุมสองเท่า และมุมครง่ึ ) sin (2α) = 2 sin α cos α หรือcos (2α) = cos2α − sin2α cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 tan (2α) = 2 tan α 1 − tan2α สตู รสําหรับมมุ ครง่ึ ได้จากการยา้ ยขา้ งสมการ cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 โดยมองว่า α กลายเป็น α/2 … และ 2α กลายเป็น α 16. ฟังก์ชันอินเวอร์สของตรีโกณมติ จิ ะใช้คําวา่ arc นําหน้า (บางตาํ ราใช้สัญลักษณ์ ,sin-1x ,cos-1x ,tan-1x … แทนคําว่า arc-) และมีการจาํ กดั ชว่ งดงั ภาพตอ่ ไปน้ี Darcsin = [−1, 1] Darccos = [−1, 1] Darctan = R Rarcsin = [−π/2, π/2] πRarccos = [0, ] Rarctan = (−π/2, π/2) 1 0 = cos π/2 ∞ π/2 0 = sin -1 1 0 = tan π 0 −π/2 -1 −π/2 −∞ - ฟังกช์ นั arcsin (กบั arctan) จะอย่ใู นชว่ งท่ี cos เป็นบวกเสมอ ส่วนฟังก์ชนั arccos จะอยู่ ในช่วงท่ี sin เป็นบวกเสมอ 17. ความสัมพันธ์ทม่ี ีประโยชนใ์ นเรอื่ งอินเวอรส์ คอื arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy ใช้ไดเ้ มื่อ arctan x + arctan y ยังอยู่ในชว่ ง (−π/2, π/2) 18. กฎของไซน์ “อตั ราส่วนของคา่ ไซนข์ องมุมๆ หนงึ่ ต่อความยาวด้านตรงข้าม จะเท่ากนั ทง้ั สาม มุม” sin A = sin B = sin C ... พิสจู น์มาจาก พน้ื ท่ีสามเหลยี่ ม ( 1 bc sin A ) abc 2 19. กฎของโคไซน์ “เราสามารถหาความยาวด้านท่เี หลอื ไดจ้ ากความยาวด้านสองด้านและขนาดมุม ตรงกลาง” a2 = b2+ c2− 2bc cos A (ถ้ามุมตรงกลางนน้ั เปน็ A = 90° กฎน้จี ะกลายเปน็ ทฤษฎีบทปีทาโกรสั ) 20. การวัดระยะทางหรือความสูงของส่ิงต่างๆ - อาศยั หลกั วา่ ในสามเหลี่ยมมุมฉากถา้ รขู้ นาดของมุม และรูค้ วามยาวดา้ น 1 ด้านแล้ว จะ คํานวณหาความยาวด้านที่เหลืออกี 2 ดา้ นได้ โดยเลือกใช้ sin หรือ cos หรอื tan ให้เหมาะสม - ศพั ท์ทใ่ี ช้เรียกมุมท่เี กดิ จากการสังเกตได้แก่ มุมก้ม (มมุ กด) คือมุมท่วี ัดลงไปจากแนวราบ (ระดบั สายตา) และมุมเงย (มุมยก) คอื มมุ ที่วดั ขึ้นจากแนวราบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 634 ฉบับเขมขน ฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล/ลอการิทมึ 1. เลขยกกําลังจะอยูใ่ นรูป an , เรียก a วา่ ฐาน และเรียก n วา่ เลขช้ีกําลัง an คือ a คณู กนั เป็นจาํ นวน n ตวั ... โดยนิยามให้ a0 = 1 และ a−n = 1 an 2. ทฤษฎบี ททีเ่ กีย่ วกบั เลขยกกาํ ลัง ⎧ am ⋅ an = am + n ⎧⎪ (ab)n = an ⋅ bn ⎪ • ⎨ (a/b)n = an / bn • ⎨ am ⎩⎪ ⎪⎩ an = am − n (am)n amn ⎧ n ab = n a ⋅ n b ⎧ = ⎪⎪ ⎪ m • ⎨ a na • ⎨ ⎪ = nb ⎩⎪ n ⎪⎩ n am = a n b โดย n เปน็ จาํ นวนจริงใดๆ (ไม่จาํ เป็นต้องเป็นจาํ นวนเต็ม) และกรณกี รณฑ์ n ≠ 0 3. คาํ วา่ “รากที่สองของ x” และสัญลักษณ์ “ x กับ x1/2 ” มีความหมายตา่ งกนั - รากทส่ี องของ 16 ไดแ้ ก่ 4 และ -4 - แต่สญั ลกั ษณ์ 16 หรือ 161/2 จะมีค่าเท่ากบั 4 (เป็นบวก) เทา่ นน้ั 4. การหารากท่สี องของ M ± N ... เมื่อ M = a+b และ N = 4ab จะได้ว่า รากทีส่ องของ M + N คือ ±( a+ b) และรากที่สองของ M − N คือ ±( a− b) 5. วธิ ีทําส่วนไม่ใหต้ ดิ กรณฑ์ (รทู้ ) - รปู แบบ ABC ใหน้ าํ D คณู ท้ังเศษและส่วน กลายเปน็ ABC D DD - รูปแบบ ABC ใหน้ าํ D ∓ E คณู ท้ังเศษและส่วน กลายเปน็ ABC( D ∓ E) D± E D−E 6. ฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล คอื ฟังกช์ ันเลขยกกาํ ลงั กาํ หนดรูปท่วั ไปเป็น f (x) = ax โดยค่าของฐาน a อยู่ในช่วง (0, 1) หรอื (1, ∞) เท่าน้ัน นาํ มาเขียนกราฟไดด้ งั นี้ yy (0,1) x (0,1) O Ox y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 ฟงั ก์ชนั เพ่ิม ฟังกช์ ันลด - ,Dexp = R Rexp = R+ - กราฟผา่ นจดุ (0, 1) เสมอ เน่อื งจาก a0 = 1 ทกุ ๆ ค่า a ทไี่ มใ่ ชศ่ นู ย์ 7. สมการท่มี ี ax+b บวกลบกันอยู่หลายพจน์ ควรยา้ ยขา้ งใหจ้ าํ นวนพจน์เทา่ ๆ กนั และ สัมประสทิ ธิ์หน้า x รวมใกล้เคียงกนั ท่ีสุด จากน้ันจึงยกกําลงั ทง้ั สองข้างจนกว่าเคร่ืองหมายกรณฑจ์ ะ หมดไป ... (การยกกาํ ลงั มกั ทาํ ใหไ้ ดค้ าํ ตอบเกิน ตอ้ งตรวจคาํ ตอบเสมอ) - หากสิ่งทีอ่ ยใู่ นเครื่องหมายกรณฑย์ าวมาก ใหส้ มมติสิง่ น้ันเปน็ ตวั แปร A กอ่ น แลว้ ทําตัวแปรที่ เหลอื ใหอ้ ยู่ในรูป A ทัง้ หมด เพื่อให้คาํ นวณสะดวกขึ้น Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 635 ฉบบั เขมขน 8. สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชยี ล - รูปแบบ af(x) = bg(x) จะต้องแปลงฐานทงั้ สองขา้ งให้เท่ากัน เพื่อกาํ จัดฐานท้งิ ไป ตามสมบัติทว่ี า่ aM= aN ↔ M = N - ถ้ามีพจน์เลขยกกําลังฐานเดียวกัน บวกลบกันอยู่ เช่น ax, a2x อาจสมมตเิ ป็นตวั แปร A, A2 เพ่ือให้คาํ นวณสะดวกขึ้น แตถ่ า้ มีฐานอ่นื อยดู่ ว้ ย จะใชต้ ัวแปร B อกี อนั ก็ได้ - อสมการ ใช้สมบตั ิของฟงั กช์ นั เพ่ิม/ฟังก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คอื aM> aN ↔ M > N เม่อื a > 1 (ฟงั ก์ชนั เพม่ิ ) และ aM> aN ↔ M < N เม่ือ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) 9. ฟังกช์ ันลอการิทึม เป็นอินเวอรส์ ของเอกซโ์ พเนนเชียล เขียนไดใ้ นรูป f (x) = logax ความสัมพันธ์ระหวา่ งเอกซโ์ พเนนเชยี ลและลอการทิ ึมคือ x = ay ↔ y = logax โดยคา่ ของฐาน a จะต้องอย่ใู นช่วง (0, 1) หรอื (1, ∞) ซงึ่ นํามาเขยี นกราฟได้ดังน้ี yy O (1,0) x O (1,0) x y = loga x, a > 1 y = loga x, 0 < a < 1 ฟังกช์ ันเพมิ่ ฟังก์ชันลด - ,Dlog = R+ Rlog = R - กราฟผา่ นจุด (1, 0) เสมอ แสดงว่า loga1 = 0 ทุกๆ ค่า a ท่เี ปน็ ฐานได้ 10. กฎของลอการทิ มึ ได้แก่ ⎧ loga 1 =0 • logap b q = q loga b ⎨ loga a =1 p • ⎩ • ⎪⎧ mloga n = nloga m ⎧ loga(mn) = loga m + logan ⎨ ⎪ = loga m − logan ⎩⎪ aloga n = n • ⎨ loga ⎜⎛⎝ m ⎠⎟⎞ logc b 1 ⎪⎩ n logc a logb a • loga b = = เม่ือ a, b, c, m, n ∈ R+ โดยที่ a, b, c ≠ 1 และ p, q ∈ R 11. ลอการทิ มึ ฐาน 10 เรียกวา่ ลอการทิ ึมสามัญ อาจละไว้ไมต่ อ้ งเขียนฐานกาํ กบั คือเขียนเพยี ง log x กไ็ ด้... สว่ นลอการิทมึ ท่มี ีฐานเป็นคา่ e ( ≈ 2.718 ) จะเรียกวา่ ลอการิทึมธรรมชาติ และใช้ สญั ลักษณ์ ln x แทน loge x 12. สมการและอสมการที่มลี อการิทึม - มักจะแก้ปญั หาโดยใช้กฎของลอการทิ มึ เช่น การทาํ ให้ฐานเท่ากันเพอ่ื กําจดั log ทง้ิ ไป ตามสมบตั ทิ ่ีว่า logaM = l ogaN ↔ M = N - ถ้ามพี จนค์ ลา้ ยกนั ปรากฏอยู่ อาจสมมติเปน็ ตัวแปร A เพื่อให้คาํ นวณสะดวกขึ้น - เมอ่ื ไดค้ ําตอบแล้ว ต้องตรวจสอบเสมอ (เช่น ภายใน log ต้องมากกว่าศนู ย)์ - อสมการ ใช้สมบตั ขิ องฟงั ก์ชนั เพม่ิ /ฟังกช์ ันลด ในการกําจัดฐาน คอื logaM > l ogaN ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟงั ก์ชันเพิม่ ) และ logaM > l ogaN ↔ M < N เมือ่ 0 < a < 1 (ฟังกช์ ันลด) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 636 ฉบบั เขมขน เมตริกซ์ 1. เมตรกิ ซ์ เป็นกลมุ่ ของจาํ นวนทเ่ี รียงตัวกันเป็นสเี่ หลี่ยม ภายในเครื่องหมาย ( ) หรอื [ ] - เรยี กจาํ นวนแต่ละจํานวนทีอ่ ยใู่ นเมตริกซ์วา่ สมาชกิ ของเมตรกิ ซ์ - ขนาดของเมตรกิ ซ์ เรียกว่า มิติ (คดิ จาก จํานวนแถว คณู หลัก) - เมตริกซ์สองเมตรกิ ซ์ จะเทา่ กันไดก้ ็ต่อเมือ่ “มมี ิติเดียวกนั ” (แปลวา่ ขนาดเทา่ กัน) และสมาชกิ ในตําแหนง่ เดยี วกันต้องเทา่ กนั ทุกๆ ตาํ แหนง่ 2. การเรียกชอื่ เมตริกซ์นิยมใช้ตวั พมิ พ์ใหญ่ เช่น A, B, C โดยจะเรยี กช่ือสมาชิกเป็นตัวพมิ พเ์ ลก็ ที่ มตี ัวหอ้ ยบอกตําแหนง่ แถวและหลกั ในรูป aij (แถวท่ี i และหลักท่ี j) 3. ทรานสโพสของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์ At หรอื AT คือการเปล่ียนแถวเปน็ หลัก - เมตริกซ์มิติ m × n เม่อื ทําการทรานสโพส จะกลายเปน็ มิติ n × m 4. เมตริกซ์ทค่ี วรรจู้ กั - เมตรกิ ซจ์ ตั ุรสั คอื เมตริกซ์ท่ีมีจํานวนแถว เทา่ กับจาํ นวนหลกั (n × n) ... เรยี กแนว 11, 22, 33, .. จนถงึ nn วา่ เส้นทแยงมุมหลกั และทเี่ หลอื เรียกว่าสามเหล่ียมบนกบั สามเหลยี่ มล่าง - เมตรกิ ซ์ศูนย์ ( 0 ) คือเมตริกซท์ ่สี มาชิกทกุ ตัวเปน็ เลข 0 (จตั รุ ัสหรอื ไม่ กไ็ ด)้ - เมตรกิ ซห์ น่ึงหน่วย (I ) คอื เมตรกิ ซจ์ ัตรุ สั ทีม่ สี มาชกิ ในแนวเส้นทแยงมุมหลกั เปน็ 1 และ สมาชกิ ตวั อนื่ ทเี่ หลอื ทั้งหมดเป็น 0 5. การบวกเมตรกิ ซ์คู่หนึ่ง จะทาํ ไดก้ ต็ ่อเมอื่ เมตรกิ ซ์ทัง้ สองมีมิตเิ ดยี วกนั ผลบวกที่ได้ จะมีมติ ิเดิม และสมาชกิ ของผลลัพธ์เกิดจากสมาชกิ ตาํ แหน่งเดยี วกันน้นั บวกกัน (สาํ หรบั การลบกเ็ ช่นกัน; สมาชิกผลลัพธ์ เกิดจากสมาชิกตาํ แหน่งเดียวกันลบกนั ) - เอกลกั ษณ์การบวกของเมตริกซ์ กค็ ือ เมตริกซ์ 0 6. การคณู เมตรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์ ผลทไี่ ดจ้ ะเป็นการคณู สมาชิกทกุ ตวั ด้วยสเกลารน์ ้ัน 7. การคณู เมตริกซ์คหู่ นง่ึ จะทําได้เมื่อ จาํ นวนหลกั ของตัวตง้ั เทา่ กบั จาํ นวนแถวของตวั คูณ และผลคณู ท่ีได้จะมีจาํ นวนแถวเทา่ ตวั ตัง้ จํานวนหลกั เท่าตัวคูณ เขียนง่ายๆ ได้วา่ Am×n × Bn×r = Cm×r 8. วธิ ีการหาผลคณู เมตรกิ ซ์ จะยดึ แถวจากตวั ต้งั และยดึ หลกั จากตวั คณู ดงั ตัวอย่าง ถา้ A = ⎡2 3⎤ , B = ⎡0 1⎤ , C = ⎡1 3 2⎤ ⎢⎣−1 4⎦⎥ ⎢⎣3 2⎥⎦ ⎣⎢−1 0 −2⎦⎥ จะได้ AB = ⎡ 2⋅0+3⋅3 2⋅1+3⋅2 ⎤ = ⎡9 8⎤ ⎢⎣−1⋅0+4 ⋅3 −1⋅1+ 4 ⋅2⎥⎦ ⎢⎣12 7⎦⎥ BC = ⎡ 0⋅1+ 1⋅(−1) 0⋅3+1⋅0 0⋅2+1⋅(−2)⎤ = ⎡−1 0 −2⎤ ⎣⎢3⋅1+2⋅(−1) 3⋅3+2⋅0 3⋅2+2⋅(−2)⎥⎦ ⎢⎣ 1 9 2 ⎦⎥ - เอกลกั ษณ์การคูณของเมตรกิ ซ์ ก็คือ เมตริกซ์ I 9. สมบตั ิการบวกและการคณู การบวกเมตริกซ์ การคณู ด้วยเมตริกซ์ • A+B =B+A • AB ไม่จําเปน็ ต้องเท่ากับ BA • (A + B) + C = A + (B + C) • (AB) C = A (BC) • At + Bt = (A + B)t • A (B + C) = AB + AC • A+0=0+A = A • (A + B) C = AC + BC • A + (−A) = 0 • (AB)t = BtAt • AI = IA = A Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 637 ฉบบั เขม ขน การคณู ด้วยสเกลาร์ • (kA)t = k ⋅ At • k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2) A • k(A + B) = kA + kB 10. ดเี ทอรม์ ินันต์ ... เป็นคณุ สมบตั ขิ องเมตริกซจ์ ัตุรสั เทา่ นั้น และดีเทอร์มินันต์มคี า่ เปน็ ตัวเลข เคร่ืองหมายแสดง “ดีเทอร์มินันต์ของเมตรกิ ซ์ A” คือ A หรอื det (A) เมตรกิ ซ์ 1 × 1 เมตริกซ์ 2 × 2 ถา้ A = ⎣⎡ a ⎦⎤ จะไดว้ า่ det (A) = a ถ้า A = ⎡a b⎤ จะได้วา่ det (A) = ad − bc ⎢⎣c d⎦⎥ เมตรกิ ซ์ 3 × 3 ใชห้ ลักวา่ คูณเฉียงขึ้นใสล่ บ คณู เฉียงลงเครอื่ งหมายเดิม แลว้ รวมกัน ถา้ ⎡a b c⎤ จะไดว้ า่ det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdc ⎢⎣⎢⎢gd ⎥ A = e f ⎥ h i ⎦⎥ สว่ นเมตริกซ์ n × n ใดๆ จะใช้วิธโี คแฟกเตอร์ (ใชไ้ ด้กบั ทุกขนาดตั้งแต่ 2 × 2 ข้นึ ไป) det (A) = สมาชิก 1 แนว (แถวหรอื หลักก็ได)้ คณู กบั โคแฟกเตอรข์ องแนวน้นั ( ∑ aijCij ) 11. ไมเนอร์ของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลักษณ์วา่ Mij (A) ... คือ ค่า det ของเมตริกซ์ยอ่ ย (ตัดแถว ตัด หลกั ) ท่ีตําแหน่งน้ัน ... โคแฟกเตอร์ของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลักษณ์ว่า Cij (A) คือไมเนอร์ทถ่ี ูกใส่ เครือ่ งหมายบวกหรือลบสลับกัน ตามรปู แบบ Cij = (−1)i+j ⋅ Mij (ตําแหน่งแรกสดุ ใสบ่ วก, แล้วเติม เครอื่ งหมายบวกลบสลับกนั ไป) 12. เมตริกซท์ คี่ ่า det เปน็ ศูนย์ เรียกว่าเมตริกซ์เอกฐาน (ซงิ กลู าร)์ 13. สมบัตขิ องดีเทอรม์ ินันต์ • det (AB) = det (A) ⋅ det (B) • det (At) = det (A) • det (I) = 1 • det (An) = (det (A))n เมอ่ื n ∈ I • det (0) = 0 • det (kA) = kn ⋅ det (A) เมอื่ n = ขนาดของ A 14. เมตริกซไ์ ม่มีการหารกนั แตจ่ ะใชก้ ารคูณดว้ ยอินเวอรส์ แทน อนิ เวอรส์ การคูณของเมตริกซ์ A ใชส้ ัญลกั ษณ์ A−1 ... โดยนยิ ามให้ A ⋅ A−1 = A−1⋅ A = I เมตรกิ ซ์ 1 × 1 เมตรกิ ซ์ 2 × 2 ถ้า A = ⎣⎡ a ⎤⎦ จะไดว้ า่ A−1 = ⎡⎣ 1/a ⎦⎤ ถ้า A = ⎡a b⎤ จะไดว้ า่ A−1 = 1⋅ ⎡d −b⎤ ⎢⎣c d⎥⎦ det (A) ⎢⎣−c a ⎥⎦ เมตริกซ์ n × n ใดๆ ตั้งแต่ 2 × 2 ขึ้นไป จะใช้วธิ ีโคแฟกเตอร์เชน่ เดมิ สูตรคอื A−1 = (Cof (A))t และเรียก (Cof (A))t ว่า adj A กไ็ ด้ det (A) 15. เมตริกซท์ จ่ี ะหาอินเวอร์สการคณู ได้ ต้องเปน็ เมตรกิ ซ์ไม่เอกฐาน ( det ≠ 0 ) เท่าน้นั 16. สมบตั ิของอนิ เวอรส์ การคูณ • (AB)−1 = B−1A−1 • (A−1)n = (An)−1 = A−n • (A−1)−1 = A • (kA)−1 = 1 ⋅ A−1 k • A−1 = A −1 = 1 A 17. ข้อควรระวังในสมการเมตริกซ์ - เม่ือทาํ การยา้ ยขา้ งตวั คณู ไปเปน็ อินเวอร์สอยู่อกี ฝ่งั ตอ้ งคํานงึ ถึงลําดบั ดว้ ย เพราะการคูณไม่มี สมบัติการสลบั ท.่ี . เชน่ AB = C กลายเปน็ B = A−1C ได.้ . แตเ่ ป็น B = CA−1 ไมไ่ ด้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 638 ฉบบั เขมขน - ตรวจสอบเสมอว่า สมการยังเป็นเมตริกซ์ทงั้ สองข้างหรือไม่ (หากยา้ ยข้างเมตรกิ ซ์ ไปเป็นอนิ เวอร์สจนหมด อย่าลมื เหลือเมตริกซ์ I ไวด้ ว้ ย..) - สมการเมตริกซ์สามารถคูณเข้าทงั้ สองขา้ งไดเ้ สมอ แตก่ ารตดั ออกทัง้ สองขา้ งบางครั้งใชไ้ มไ่ ด้ - ใสเ่ ครอ่ื งหมาย det ท้งั สองขา้ งได้เสมอ แตก่ ารตัดออกทง้ั สองข้างกม็ ักจะใช้ไม่ได้ - ถา้ AB = 0 แล้ว ไม่จําเป็นที่ A หรือ B ตอ้ งเปน็ 0 18. การคาํ นวณเกี่ยวกบั adj A ควรพสิ ูจน์จากสมการ A−1 = adj A กอ่ น เพ่ือใหส้ ะดวก เช่น det (A) , , ฯลฯdet (A) ⋅ I = A (adj A) adj A−1 = A det (A) det (adj A) = (det (A))n − 1 19. ระบบสมการเชงิ เส้นที่มจี ํานวนตวั แปรเท่ากับจาํ นวนสมการ จะเขยี นให้อยู่ในรูปสมการเมตรกิ ซ์ ได้ เปน็ AX = B (เรียก A ว่า เมตรกิ ซ์สัมประสิทธ์ิ, X เปน็ เมตรกิ ซ์ตวั แปร, และ B เป็นเมตริกซ์ คา่ คงท)่ี สิง่ ท่ีเราตอ้ งการหากค็ อื เมตริกซ์ X ⎛ 4x + 2y − z = 0 ⎡4 2 −1⎤ ⎡x⎤ ⎡0⎤ เชน่ ⎜ แปลงเป็นสมการเมตรกิ ซไ์ ด้วา่ ⎣⎢⎢⎢51 −1 ⎢⎢⎣⎢−31⎦⎥⎥⎥ ⎜ x − y = 3 −3 0 ⎥ ⎢⎢⎢⎣yz ⎦⎥⎥⎥ = 2 ⎥ ⎜⎝5x − 3y + 2z + 1 = 0 ⎦⎥ - แกส้ มการโดยวิธอี ินเวอรส์ AX = B → X = A−1B - กฎของคราเมอร์ xi = det (Ai) ... เม่อื Ai คือนาํ B มาแทนหลกั ที่ i ของ A det (A) 20. การดาํ เนนิ การตามแถว ... สามารถกระทําได้ 3 ลกั ษณะ คอื a) นําคา่ คงที่ k (ที่ไมใ่ ช่ 0) ไปคณู ไวแ้ ถวใดแถวหนึ่ง b) นาํ ค่าคงที่ k ไปคณู แถวใดแถวหนงึ่ แล้วเอาไปบวกไว้ทแี่ ถวอ่ืน c) สลบั แถวกัน 1 คร้งั - ใชเ้ ครอื่ งหมาย ~ แทนการดาํ เนินการแต่ละข้ันตอน และเขยี นวิธกี าํ กับไว้ 21. นาํ ไปใชป้ ระโยชนใ์ นการหาอินเวอร์สการคูณ (A−1) และแก้ระบบสมการ AX = B ได้ - การหาอนิ เวอร์สการคณู ⎣⎡ A I ⎦⎤ ~ ⎡⎣ I A−1⎦⎤ - การแก้ระบบสมการ ⎡⎣ A B ⎦⎤ ~ ⎣⎡ I X ⎦⎤ - เทคนคิ การทาํ ใหเ้ ปน็ I โดยเร็วทีส่ ุดคือ ทําใหเ้ ปน็ 0 ทัง้ หมดทลี ะสามเหลี่ยม (ลา่ ง หรือบน) 22. การดําเนินการตามแถวทัง้ สามแบบ สง่ ผลตอ่ ค่า det ดังนี้ a) detnew = k ⋅ detold b) detnew = detold (det ไม่เปลยี่ น, ใชช้ ว่ ยในการหา det ได)้ c) detnew = − detold ทั้งน้ี การดําเนินการตามหลกั กใ็ หผ้ ลเช่นเดียวกนั เน่อื งจากสมบัติ det(At) = det(A) เวกเตอร์ 1. ปรมิ าณในโลกมสี องชนดิ คือ ปริมาณสเกลาร์ (ระบุเฉพาะขนาด) และปริมาณเวกเตอร์ (ระบุ ลทกูง้ั ขศนราแดทแนลทะิศททิศาทงางช)อื่ ข..อ. งกเวากรเเขตียอนร์ตปง้ัรตมิ าามณจเดุวกเรเิม่ตแอลระ์จจะุดใชสล้ ้นิ กู สศุดรขอใหงล้คกูวาศมรยเาชว่นลูก˜AศรBแทหนรขอื นจาะดใช้ตแลวั พะหิมัวพ์ เลก็ (ทเ่ี ติมขีดดา้ นบน) ก็ได้ เชน่ u, v, w ... สว่ นขนาดของเวกเตอร์ u คอื u จ2ดุ. เเรว่ิมกตเตน้ อแรล์สะอจงุดอสันิ้นจสะุดเทเด่ากียนัวกกันต็ เ่อชเน่ม่ือ˜AมBขี น=า˜ดCเDทา่ กกไ็นั ด้ และมีทิศทางเดียวกนั (ไม่จําเปน็ ต้องมี ถ้ามีขนาดเทา่ กนั และทิศเดียวกัน) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 639 ฉบบั เขมขน 3. เวกเตอร์บวกกัน สามารถหาผลลพั ธไ์ ด้สองวธิ ี คือ หัวต่อหาง และหางต่อหาง - การบวกเวกเตอรม์ ีสมบัตเิ หมอื นการบวกจํานวนจรงิ ทกุ ประการ ไดแ้ ก่ สมบัติปิด, สมบตั กิ ารสลับที,่ สมบัตกิ ารเปลีย่ นกลุ่ม, การมีเอกลกั ษณ์, และการมอี นิ เวอร์ส - เอกลกั ษณ์การบวกของเวกเตอร์ คอื เวกเตอร์ศนู ย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ท่ีมีขนาด 0 หนว่ ย - อินเวอร์สการบวกของ u˜ABเข=ยี น˜BสAัญ)ลกั ษณ์ว่า −u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากนั แตท่ ิศตรงข้าม กับ u ... (หรือกลา่ วว่า − 4. การลบเวกเตอร์ เปน็ การบวกดว้ ยนิเสธ คือ u−v = u+(−v) สามารถหาไดจ้ ากวธิ ีหางต่อหางแบบใหม่ คือเขียนเวกเตอร์ตัวต้งั และตวั ลบแบบหางชนกัน เวกเตอรล์ พั ธ์ทไ่ี ด้ จะลากจากปลายลูกศรของตัวลบ มายงั ปลายลูกศรของตวั ต้ัง 5. ขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ หาไดจ้ ากกฎของโคไซน์ u+v = u 2+ v 2+ 2 u v cos θ เมือ่ θ คือ มุมระหว่าง u กับ v u−v = u 2+ v 2− 2 u v cos θ และสามารถนําขนาดที่ได้ไปคํานวณหาทิศทางโดยกฎของไซน์ - มุม θ ระหว่าง u กับ v ตอ้ งวดั ระหวา่ งหางกับหางเสมอ และมขี นาดไม่เกนิ 180 ° 6. ผลท่ีไดจ้ ากการคูณเวกเตอร์ u ดว้ ยสเกลาร์ a เป็นดงั นี้ - ถ้า a = 0 จะได้ au = 0 - ถ้า a > 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอร์ท่ีมีทศิ เดยี วกันกับ u แตม่ ีขนาดเปน็ a ⋅ u - ถ้า a < 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอรท์ ี่มที ศิ ตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅ u - การคณู ด้วยสเกลาร์น้ีมีสมบัติการเปลย่ี นกลุ่ม และการแจกแจง เช่นเดยี วกับจาํ นวนจรงิ คือ a (bu) = (ab) u , (a+b) u = au + bu , และ a (u+v) = au + av 7. ความสัมพนั ธข์ อง “การคณู ดว้ ยสเกลาร์” และ “การขนานกันของเวกเตอร์” เมอ่ื u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะได้ทฎษฎวี ่า - u จะขนานกบั v กต็ อ่ เมอ่ื มีค่า a ≠ 0 ท่ที ําให้ u = av - ถา้ u ไมข่ นานกับ v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 0 8. การแกโ้ จทยป์ ญั หาประเภท “เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมเชิงเสน้ ของเวกเตอรอ์ น่ื ” - เขยี นเวกเตอร์ที่กาํ หนด ในรปู ผลรวมของเวกเตอร์อ่นื แบบใดกไ็ ด้ ก่อน - พยายามเปลีย่ นเวกเตอร์ที่ไมต่ อ้ งการ เปน็ ผลรวมของเวกเตอรท์ ี่ตอ้ งการ ไปทีละขั้นๆ - เมื่อเหลอื เพียงเวกเตอร์ท่ตี ้องการ กจ็ ดั เป็นรปู อย่างงา่ ยแลว้ ตอบ A B n 9. สตูBรZใน:กาZรCสรา้=งเnวก: เmตอรจ์ภะไาดย้วใน่า ส˜AามZเห=ลย่ีmม˜A(Bดภู+ าnพ˜AปCระกอบ) Z ถา้ m+n m 10. เวกเตอร์ในระบบแกน B (x2,y2) พิกัดฉากสองมิติ ˜AB = ⎡Δx⎤ = ⎡ x2−x1⎤ C ⎣⎢Δy⎦⎥ ⎢⎣ y2−y1⎥⎦ A (x ,y )1 1 - ความสัมพันธ์ระหว่างพกิ ดั เชิงข้วั กับพิกัดฉาก Δx = r cos θ r = (Δx)2 + (Δy)2 Δy = r sin θ tan θ = (Δy/ Δx) = ความชัน - เวกเตอร์สองอนั จะเท่ากนั ก็ต่อเมอื่ Δx เท่ากัน และ Δy เทา่ กนั - เวกเตอร์สองอันขนานกนั กต็ อ่ เมือ่ ความชันเท่ากัน (มีท้งั ทิศเดยี วกันและตรงข้าม) และเวกเตอร์สองอันจะตงั้ ฉากกนั ก็ตอ่ เมื่อ ความชันคณู กนั ได้ –1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 640 ฉบบั เขม ขน - การบวกลบเวกเตอร์ และการคณู ดว้ ยสเกลาร์ จะได้ผลเชน่ เดียวกบั เมตรกิ ซ์ นัน่ คือ ⎡a⎤ + ⎡c⎤ = ⎡a+c⎤ k ⋅ ⎡a⎤ = ⎡ka⎤ ⎢⎣b⎥⎦ ⎢⎣d⎦⎥ ⎢⎣b+d⎦⎥ ⎢⎣b⎦⎥ ⎣⎢kb⎦⎥ 11. เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย คอื เวกเตอรท์ ม่ี ขี นาดเป็น 1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทสี่ ําคญั ในระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ มีอยู่ 2 ตัว ได้แก่ i กบั j โดย i แทนเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยในทศิ ทาง +x และ j แทนเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ยในทศิ ทาง +y 1น˜A2่ันB.คเือวมกาเiหตาอ=รรห์⎢⎣⎡(01นเ⎦⎥⎤พึง่ อ่ืหแทนลําว่ ะใยหใ้ขjนนท=าิศด⎢⎣⎡ทเ01หา⎥⎦⎤งลขอื .อ.เ.งพจีย˜ะAงไBด1้วหา่ใดเนวๆว่กยเ(ต)ทอ่ไี เรมข์ ียใ่ ช⎢⎡⎣นba่ เ⎤⎥⎦ป0น็=)สสaัญาiลม+ัการษbถณjสไ์รดา้ ว้งา่ได|จ้ ˜˜AAากBBก|ารนําขนาดของ 13. การคณู เวกเตอรค์ ู่หนงึ่ จะเกดิ ผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ การคณู แบบดอท ( u ⋅ v ) ใหผ้ ลลพั ธ์ เปน็ สเกลาร์ (ตัวเลข) อาจเรียกวา่ ผลคณู เชิงสเกลาร์ และการคูณแบบครอส ( u × v ) ยงั คงให้ ผลลพั ธ์เปน็ เวกเตอร์ อาจเรยี กวา่ ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ - ดอทในพกิ ัดฉาก ⎡a⎤ ⋅ ⎡c⎤ = (a i +b j) ⋅ (c i +d j) = ac+bd ⎢⎣b⎦⎥ ⎢⎣d⎦⎥ - ดอทในเชิงขว้ั u ⋅ v = u v cos θ - ใชส้ มการท้ังสองรว่ มกันในการคาํ นวณเกยี่ วกบั มุม θ ระหว่าง u กับ v 14. การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขยี นใหมไ่ ด้วา่ u+v = u 2+ v 2+ 2 (u ⋅ v) เม่ือ θ คอื มุมระหวา่ ง u กับ v u−v = u 2+ v 2− 2 (u ⋅ v) 15. สมบัตขิ องการคณู เวกเตอรแ์ บบดอท • u⋅v = v⋅u • u⋅u = u 2 • u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w • 0⋅u = 0 • a (u ⋅ v) = a u ⋅ v • u⋅v =0 ↔ u ⊥ v 16. ในความเป็นจริงจดุ ใดๆ ไม่ไดอ้ ยใู่ นระนาบเดยี วกันเสมอไป แต่อยใู่ นปริภมู ิสามมิติ เราจําเป็นตอ้ ง ใช้พกิ ัดฉาก 3 มติ ิ ซงึ่ ประกอบด้วยแกน x, y, และ z ต้งั ฉากกนั ท่จี ดุ กาํ เนดิ ระนาบ xy, yz, xz แบง่ ปรภิ มู ิออกเปน็ 8 ส่วน เรียกแตล่ ะสว่ นว่าอัฐภาค (มีลําดับเหมอื นจตุภาคดงั รูป) zz ระนาบ yz (x = 0) 3 2 ระนาบ xz (y = 0) O y4 1 ระนาบ xy (z = 0) 6y x 8x 5 z z Q(2,0,1) 1 P(2,4,1) y2 4y xx R(2,4,0) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 641 ฉบับเขม ขน 17. หลักในการตง้ั ลาํ ดับแกนคอื กฎมือขวา ... เม่ือแบมือขวาขึน้ ตรงๆ และแยกนวิ้ โป้งใหต้ ้ังฉากกบั นิ้วช้ี จะไดว้ ่าปลายนวิ้ ทัง้ สี่ชไ้ี ปในทศิ +x, ฝา่ มือหันไปในทศิ +y, และนวิ้ โป้งชี้ไปในทศิ +z 18. ระบตุ าํ แหน่งสิ่งตา่ งๆ ด้วย สามสิง่ อนั ดับ (Ordered Triple) B (x2,y2,z2) ทส่ี มาชิกแตล่ ะตวั แทนระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามลําดับ เชน่ สามสงิ่ อันดับ (2, 4, 1) ˜ ⎡Δx⎤ ⎡x2−x1⎤ AB = ⎢⎢Δy⎥⎥ = ⎢⎢y2− y1 ⎥ ⎥ A (x1,y1,z1) ⎢⎣Δz ⎦⎥ ⎢⎣z2−z1 ⎦⎥ 19. เวกเตอรใ์ นพกิ ัดฉากสามมิติ ⎡ 1⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ เมื่อกาํ หนดเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยบนแตล่ ะแกนดังน้ี i = ⎢⎣⎢⎢00⎥⎦⎥⎥ , j = ⎢⎣⎢⎢01⎥⎥⎥⎦ , และ k = ⎢⎢⎢⎣01⎥⎦⎥⎥ ⎡a⎤ กจ็ ะเขยี นเวกเตอร์ ⎢⎢b⎥⎥ ได้เป็น a i + b j + c k ⎢⎣c⎦⎥ 20. ขนาดของเวกเตอร์ r = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (เปน็ สตู รระยะทางระหวา่ งจุดสองจดุ คล้ายทฤษฎบี ทปีทาโกรัสใน 2 มติ )ิ 21. การบวกลบเวกเตอร์ และการคณู ด้วยสเกลาร์ ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡a+d⎤ ⎡a⎤ ⎡ka⎤ ⎢⎢⎣bc⎥⎥⎦ + ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = ⎣⎢⎢⎢bc++ef ⎦⎥⎥⎥ k ⋅ ⎢⎣⎢bc⎥⎦⎥ = ⎣⎢⎢kkbc⎦⎥⎥ การคณู แบบดอท ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎣⎢⎢bc⎥⎥⎦ ⋅ ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = (a i +b j +c k) ⋅ (d i +e j +f k) = ad + be + cf และ u ⋅ v = u v cos θ (ใชส้ มการทัง้ สองร่วมกัน ในการคาํ นวณมุม θ ระหวา่ ง u กับ v ) 22. มมุ ท่ีเวกเตอรก์ ระทาํ กบั แกนทั้งสาม เรยี กวา่ มมุ กาํ หนดทิศทาง ได้แก่ มุม α , β และ γ ซ่ึง เปน็ มุมทเ่ี วกเตอรท์ ํากับแกน +x , แกน +y และแกน +z ตามลาํ ดบั ... หาได้โดยการดอท (นาํ เวกเตอร์ดอทกับ i , j, k ทีละอัน) จะได้ cos α = a , cos β = b , และ cos γ = c uu u เรียกค่าท้งั สามน้ีว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (มกั กลา่ วถึงคา่ เหลา่ น้ีแทนมุม) และมีสมบตั วิ ่า cos2α + cos2β + cos2 γ = 1 เสมอ 23. เวกเตอร์สองอนั จะขนานกนั ก็ต่อเมอื่ โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ u กับ v ท้งั ชดุ มคี า่ ตรงกนั หรอื เปน็ คา่ ตดิ ลบของกัน ... และเวกเตอรส์ องอันจะตัง้ ฉากกนั กต็ ่อเมอื่ u ⋅ v = 0 เท่าน้ัน 24. การคณู เวกเตอรแ์ บบครอส ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡bf−ce ⎤ i jk ⎢⎢⎣bc⎥⎥⎦ ⎢⎢e⎥⎥ ⎣⎢⎢aced−−badf ⎦⎥⎥ = abc × ⎣⎢ f ⎦⎥ = de f u×v ผลลัพธท์ ไ่ี ด้ จะตง้ั ฉากกับระนาบ uv ... หาทิศทางได้ด้วยกฎมือขวา u โดยสี่นวิ้ พงุ่ ไปทาง u กํามือเขา้ หา v ผลลัพธ์มีทศิ ทางตามน้วิ โปง้ ทีช่ ูขน้ึ v v×u ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ u × v = u v sin θ 25. สมบัตขิ องการคูณเวกเตอรแ์ บบครอส • u × v = − (v × u) • u×u =0 v • u × (v + w) = u × v + u × w • 0×u = 0 • a (u × v) = a u × v • u×v =0 ↔ u • u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 642 ฉบบั เขม ขน 26. พ้ืนทสี่ ามเหลยี่ ม ทม่ี ดี ้านประชดิ เป็น u กับ v และมุม u ระหวา่ งเวกเตอร์เป็น θ คือ 1 u v sin θ → 1 u × v θ 22 v พ้นื ที่สเ่ี หลีย่ มด้านขนาน คอื u v sin θ → u × v 27. ปริมาตรทรงสีเ่ หล่ียมหน้าขนาน ที่มีด้านประชดิ เป็นเวกเตอร์ u , v , w คอื u1 u2 u3 u ⋅ (v × w) = v1 v2 v3 w1 w2 w3 จํานวนเชิงซอ้ น 1. ระบบจาํ นวนท่ใี หญ่ท่สี ุดซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและสว่ นจินตภาพ ในรปู a + bi (โดย a, b ∈ R ) และนิยามให้ i = −1 เรยี กวา่ จํานวนเชงิ ซอ้ น ( C ) มี a เปน็ ส่วนจริง และ b เปน็ ส่วนจนิ ตภาพ และมกั แทนตวั แปรที่เป็นจาํ นวนเชิงซอ้ นด้วย z - จาก z = a + bi บางทเี ขยี นวา่ a = Re (z) และ b = Im(z) ก็ได้ - สามารถใช้คู่อันดบั (a, b) แทนจาํ นวนเชิงซอ้ น z = a + bi ได้ และทําใหแ้ ผนภาพเปลยี่ นจาก เสน้ จํานวนในแกนนอน 1 มิติ กลายเป็นระนาบเชิงซอ้ น 2 มิติ (มแี กนจริงกบั แกนจินตภาพ) 2. กาํ ลังของ i มี 4 แบบหมนุ เปล่ยี นกัน คอื i1 = i ... i2 = −1 ... i3 = − i ... i4 = 1 i5 = i ... i6 = −1 ... i7 = − i ... i8 = 1 ... 3. ในการคํานวณเราปฏบิ ัติเหมือนกับ i เป็นตัวแปรหนึง่ (ซ่ึง i2= −1 ) เพยี งเท่านัน้ - การเท่ากนั a + bi = c + di กต็ ่อเม่ือ a = c และ b = d - การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i - การคูณ (a + bi) × (c + di) = (ac−bd) + (ad+bc)i 4. สมบัติของจํานวนเชงิ ซ้อน เหมือนกับสมบัติของจํานวนจรงิ ทุกประการ น่ันคอื มสี มบตั ปิ ิด, การ สลบั ทีก่ ารบวกและคูณ, การเปลย่ี นกลมุ่ การบวกและคูณ, การแจกแจง, และการมีเอกลักษณ์กับอนิ เวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกก็คอื 0 หรอื 0 + 0 i หรือ (0, 0) และเอกลกั ษณ์การคูณคือ 1 หรือ 1 + 0 i หรือ (1, 0) เชน่ เดียวกบั ในระบบจาํ นวนจรงิ - อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คือ −z = −a − bi - อินเวอร์สการคณู ของ z = a + bi คือ z−1 = 1 = 1 ซ่งึ สามารถทําให้อยใู่ นรูปปกตไิ ดโ้ ดย z a + bi นํา a − bi คณู ทง้ั เศษและส่วน จะได้ 1 = a − bi = ⎛a⎞ − ⎛ b ⎞ i a + bi a2+b2 ⎜ ⎟ ⎜ a2+b2 ⎟ ⎝ a2+b2 ⎠ ⎝ ⎠ และมีทฎษฎีบทว่า (z1z2)−1 = z1−1 z2−1 และ (zn)−1 = (z−1)n = z−n 5. ในเศษส่วนหนง่ึ ๆ เมื่อมีจาํ นวนเชิงซอ้ น a + bi เป็นตัวส่วน จะนําสงั ยุคของ a + bi คอื a − bi มาคูณทั้งเศษและส่วน เพ่ือให้ตวั ส่วนกลายเป็นเลขจํานวนจริง ( a2+b2 ) สญั ลักษณ์ทีใ่ ช้แทนสังยคุ ของ z = a + bi คือ z = a − bi - สมบัตขิ องสงั ยคุ • z = z กต็ ่อเม่อื z เป็นจาํ นวนจริงเท่านนั้ และ z = z เสมอ และ• (z−1) = (z)−1 (zn) = (z)n n ∈ I+ • z1 ± z2 = z1 ± z2 และ• z1z2 = z1z2 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 643 ฉบบั เขม ขน 6. ค่าสมั บูรณ์ของจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนใดๆ คือระยะห่างจากจดุ น้ันไปถึงจดุ กําเนิด (0, 0) ดังนั้น z = a + bi = a2+b2 - สมบตั ิของค่าสมั บรู ณ์ • z มคี า่ มากกว่าหรอื เทา่ กับ 0 เสมอ และ z ⋅ z = z 2 • z = −z = z และ• z−1 = z −1 zn = z n n ∈ I+ • z1z2 = z1 z2 และ z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 ...ทส่ี าํ คัญคือคา่ สมั บรู ณ์กระจายบวกลบไมไ่ ด้ 7. การอา้ งถึงพิกดั (a, b) ของจํานวนเชงิ ซ้อน อาจจะกลา่ วไดอ้ ีกแบบเป็น (r, θ) โดยท่ี r แทน “ระยะหา่ งจากจดุ กําเนดิ ” และ θ แทน “ทศิ ทาง หรืออาร์กิวเมนต”์ (มมุ วัดทวนเขม็ จากแกน +x ) เรียกรูปแบบน้ีว่ารูปเชิงข้ัว ซึ่งความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งสองระบบนีเ้ ปน็ ดังนี้ a = r cos θ r = a2 + b2 = z b = r sin θ tan θ = (b/a) เราอาจเขยี นรปู ทั่วไปของ z = a + bi ได้ใหม่ว่า z = (r cos θ) + (r sin θ)i หรอื z = r (cos θ + i sin θ) - จาก z = r (cos θ + i sin θ) บางทีเขียนวา่ r = Abs (z) และ θ = Arg(z) - บางตําราใชส้ ญั ลกั ษณ์ z = r ∠θ หรอื z = r cis θ เพอื่ ความสะดวกในการเขียน, คํานวณ 8. รปู เชงิ ขว้ั สามารถนาํ มาใชป้ ระโยชนใ์ นการคูณ หาร ยกกําลงั และถอดรากของจํานวนเชิงซอ้ นได้ สะดวก โดยมที ฤษฎอี ยดู่ ังนี้ ถา้ z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) แลว้ - การคณู z1z2 = r1r2 (cos (θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)) - การหาร z1/z2 = (r1/r2)(cos (θ1−θ2) + i sin(θ1−θ2)) - การยกกาํ ลงั zn = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)) ... เรยี กว่าทฤษฎบี ทของเดอมัวฟ์ - รากที่ n ของ z มีอยู่ n คาํ ตอบเสมอ เพราะมาจากสมการ ?n = z คําตอบแรก คือ n z = n r (cos(θ) + i sin(θ)) และคาํ ตอบทเี่ หลือจะมีขนาดเทา่ กนั แต่มมุ ตา่ งๆ nn กนั หาค่ามุมไดจ้ ากการแบ่งวงกลม 360° ออกเปน็ n สว่ นเทา่ ๆ กันโดยมมี ุม θ/n นเี้ ป็นจุดๆ หนึง่ ในบรรดาคําตอบ 9. สมการพหนุ ามดกี รี n ในรูป anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+ ... + a0 = 0 จะหาคาํ ตอบได้ n จํานวน เสมอ ซึ่งใน n คําตอบน้ี อาจเป็นจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนปนกนั อยู่ สามารถคํานวณโดยแยกคาํ ตอบทเ่ี ป็นจาํ นวนจริงออกจนเหลอื เพยี งดกี รีสอง แล้วอาศยั สตู ร x = −b ± b2−4ac ช่วยในการหาคําตอบทเี่ ปน็ จาํ นวนเชิงซอ้ น 2a - จากสตู ร x = −b ± b2−4ac ทาํ ใหเ้ ราพบว่า ในสมการที่สมั ประสิทธ์ิท้งั หมดเป็นจํานวนจริง ถ้า 2a A + B i เป็นคําตอบหนง่ึ ของสมการแล้ว จะมสี ังยคุ A − B i เปน็ อกี คําตอบด้วยเสมอ - หากไมต่ ้องการใช้สตู ร อาจใชว้ ิธีจดั กาํ ลังสองสมบรู ณก์ ็ได้ เช่น x2 + 4x + 7 = 0 → (x2 + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2)2 + 3 = 0 → x = −2 ± 3 i - ทฤษฎเี ศษเหลือ และทฤษฎตี ัวประกอบ (หารลงตัว) ของพหุนาม ทเ่ี คยไดศ้ กึ ษาในเรื่องจํานวน จริง ยงั คงใช้ไดก้ ับจาํ นวนเชิงซอ้ น ... และการหารสงั เคราะห์ก็ยังใช้ไดเ้ ช่นกัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 644 ฉบับเขม ขน ทฤษฎีกราฟ 1. กราฟ ในทนี่ ้ีหมายถึง แผนภาพซึง่ ประกอบดว้ ยจดุ และเส้นท่ีเช่อื มจุด การเกิดเปน็ กราฟไดจ้ ะต้อง มีจุดอย่างน้อยหนงึ่ จดุ แตก่ ราฟอาจไม่มีเส้นเลยสักเส้นก็ได้ เซตของจดุ ยอด เรยี กวา่ V (G) และเซตของเส้นเชอื่ ม เรยี กว่า E(G) 2. ข้อตกลงในการเขียนแผนภาพของกราฟ คือ จะวางจุดยอดจดุ ใดไวต้ ําแหน่งใดก็ได้ และจะลากเส้น เช่อื มเป็นเส้นตรงหรอื โค้งก็ได้ (แต่หากเส้นเช่ือมสองเสน้ ทีล่ ากขนึ้ นั้นตดั กนั จดุ ตัดทีเ่ กดิ ขึน้ จะไม่ นับเปน็ จดุ ยอดของกราฟ) 3. เส้นเช่อื มขนาน เป็นเส้นท่ีเช่อื มจดุ ปลายคู่เดียวกัน วงวน เปน็ เส้นเชอ่ื มทม่ี ปี ลายทั้งสองเปน็ จุดๆ เดยี ว 4. จุดยอดท่ีประชิดกัน คอื จุดท่ีมเี สน้ เชื่อมระหวา่ งกนั เส้นเชอื่ มเกิดกับจดุ ยอด เมอื่ จุดยอด A เปน็ ปลายหน่งึ ของเส้นเชอ่ื มนนั้ 5. ดกี รีของจุดยอด คือจํานวนคร้ังทม่ี เี ส้นเชอ่ื มเกิดกับจดุ ยอดนน้ั ใชส้ ัญลกั ษณ์ deg เช่น deg A - ผลรวมดกี รีของจุดยอดท้งั หมดในกราฟ จะเปน็ 2 เท่าของจาํ นวนเสน้ เชอ่ื ม 6. จดุ ยอดทม่ี ีดีกรีเป็นจํานวนคู่ เรียกวา่ จุดยอดคู่ และจดุ ยอดท่ีมดี ีกรีเป็นจํานวนค่ี เรยี กว่าจดุ ยอดค่ี - จาํ นวนจดุ ยอดคี่ของกราฟใดๆ จะตอ้ งเปน็ จํานวนคเู่ สมอ (สว่ นจดุ ยอดคจู่ ะมกี จ่ี ุดก็ได)้ 7. ลําดบั ทีป่ ระกอบดว้ ยจดุ สลับกบั เส้น เช่น C, e7, B, e5, A, e3, D หรอื ประกอบด้วยจดุ เชน่ C, B, A, D เรียกวา่ แนวเดนิ เช่นแนวเดิน C − D - หากทุกๆ จดุ ยอดมีแนวเดินถึงกัน จะเรยี กว่าเป็น กราฟเชือ่ มโยง 8. แนวเดินซึ่งเรมิ่ และจบทจ่ี ุดเดียวกนั โดยไม่ใชเ้ ส้นเชื่อมซํ้ากันเลย เรยี กว่า วงจร ถา้ วงจรนน้ั ผา่ นจดุ ยอดและเส้นเชือ่ มท้ังหมดท่ีมีในกราฟ เรียกว่า วงจรออยเลอร์ กราฟใดท่ีสามารถหาวงจรออยเลอรไ์ ด้ จะถกู เรียกวา่ เป็น กราฟออยเลอร์ 9. ปญั หาสะพานเคอนิกส์แบร์ก ถามวา่ เปน็ ไปไดไ้ หมทเี่ ราจะเริ่มต้นจากจุดหนึง่ บนแผ่นดิน แล้วเดิน ขา้ มสะพานให้ครบทุกอันในภาพจนกลบั มายังจดุ เริ่มตน้ โดยไม่ซํ้าสะพานเดิมเลย - ลักษณะของปญั หาเหมือนกับ “การลากเส้นวาดรูปโดยไม่ยกดนิ สอ” ซึ่งคําตอบจะไดจ้ ากการ พจิ ารณาว่าแผนภาพนัน้ “เปน็ กราฟออยเลอร์หรอื ไม่” 10. กราฟออยเลอร์จะตอ้ งเปน็ กราฟเชือ่ มโยง และจุดยอดทุกจดุ เป็นจดุ ยอดคู่ ดังน้นั คําตอบของปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก คือ “เป็นไปไม่ได้” 11. กราฟถว่ งนํ้าหนัก คอื กราฟท่ีเส้นเชอ่ื มทกุ เสน้ มีจํานวนจรงิ บวกเขียนกาํ กบั ไว้ เรียกจํานวนนี้วา่ ค่า น้ําหนกั ซ่งึ อาจใช้แทนระยะทางระหวา่ งจดุ , ระยะเวลาที่ใช้เดินทางระหว่างจดุ , ค่าใชจ้ า่ ยในการสร้าง เสน้ ทาง, หรืออื่นๆ เพอ่ื บง่ บอกใหท้ ราบความแตกต่างระหว่างแต่ละเส้น 12. เรานําทฤษฎีกราฟเบื้องตน้ ไปประยุกตใ์ ช้แก้ปัญหาบางอยา่ งได้ เช่น การหาเส้นทางมุ่งไปยัง จดุ หมายใหส้ ัน้ ท่สี ดุ (วถิ ที ีส่ น้ั ที่สุด คอื แนวเดินซง่ึ ไม่ซํา้ จุดยอดเดิม และมผี ลรวมคา่ น้ําหนักนอ้ ยที่สุด) และการเลอื กวางเส้นทางให้เชื่อมทกุ จดุ โดยประหยัดทสี่ ุด (ตน้ ไม้แผ่ทัว่ คือกราฟเช่ือมโยงทีไ่ ม่มีรูป ปดิ และใชจ้ ุดยอดครบทุกจดุ ต้นไมแ้ ผ่ท่ัวของกราฟท่มี ีจุดยอด n จุด จะมีเส้นเชอ่ื ม n − 1 เสน้ เสมอ ... ต้นไม้แผ่ทวั่ ทน่ี อ้ ยทส่ี ุด คอื ต้นไมท้ ่มี ีค่าน้าํ หนกั รวมนอ้ ยทีส่ ุด) ลาํ ดับและอนกุ รม 1. ลาํ ดบั คือคา่ ของฟงั กช์ นั ทน่ี ํามาเขียนเรยี งกนั เมือ่ โดเมนของฟงั ก์ชันเปน็ เซตจํานวนนับ 1,2,3,... - เรียก a1 ว่า “พจน์ท่ี 1” ของลาํ ดับ, เรยี ก a2 ว่าพจนท์ ่ี 2 ของลาํ ดบั , ไปเร่อื ยๆ - พจน์ท่ี n ใดๆ เขียนแทนด้วย an จะเรียกว่าพจน์ทั่วไป และนยิ มเขยี นรูปแบบของลําดบั ด้วย an Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 645 ฉบบั เขมขน 2. ลาํ ดับท่มี ีจาํ นวนพจน์ท่ีแนน่ อน เชน่ 8 พจน,์ 15 พจน,์ หรือ n พจน์กไ็ ด้ จะเรียกวา่ ลาํ ดบั จํากัด ส่วนลาํ ดบั ท่ีมจี าํ นวนพจน์มากจนนับไม่ได้ จะเรียกวา่ ลาํ ดับอนนั ต์ 3. ลาํ ดับท่ีเราพบบอ่ ย มสี องประเภท คือลาํ ดบั เลขคณติ และลําดบั เรขาคณิต - ลําดับเลขคณติ คือลําดับท่ี “ผลตา่ งของพจนต์ ิดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านวี้ า่ ผลตา่ งรว่ ม d พจนท์ ่วั ไปเป็น an = a1 + (n−1) d - ลาํ ดบั เรขาคณิต คอื ลําดับที่ “ผลหารของพจน์ตดิ กันเป็นค่าคงตวั ” เรยี กคา่ นว้ี า่ อตั ราสว่ นร่วม r พจนท์ ัว่ ไปเปน็ an = a1 ⋅ r(n−1) 4. ข้อสังเกตคือลาํ ดับเลขคณติ จะเป็นฟงั ก์ชันเส้นตรง โดยมคี วามชัน = d ... เช่น an = 8 + 3n ส่วนลําดบั เรขาคณิต จะเปน็ ฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล โดยมฐี าน = r ... เช่น an = 8 ⋅ 3n 5. หากต้องการทราบวา่ ในลําดับ (อนนั ต์) ลําดบั หนึง่ นน้ั ถา้ n ย่ิงมากขึ้นจนเขา้ ใกล้ ∞ (n → ∞ ) แลว้ ค่าของ an จะเข้าใกล้คา่ ใด ( an → ? ) เราเรียกว่าการหาลิมติ ของลาํ ดบั ... และ ค่าท่ไี ดน้ ี้เรยี กว่า ลมิ ติ เขียนด้วยสัญลักษณ์ lim an n→∞ - ลําดับเรขาคณติ ... lim (rn) เมือ่ r เป็นค่าคงที่ จะมีไดส้ ี่กรณี คือ ไม่มลี มิ ติ เมื่อ r < −1, n→∞ เปน็ ศูนย์ เมอ่ื | r |< 1, เปน็ 1 เมื่อ r = 1 , และหาค่าไมไ่ ด้ เม่ือ r > 1 - ลาํ ดบั เลขคณติ ลิมิตหาค่าไม่ไดเ้ สมอ (ยกเว้นกรณีที่ d=0) 6. ลําดับที่หาคา่ ลมิ ติ ได้ เรยี กวา่ ลาํ ดบั ลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต์) และลาํ ดับทไี่ ม่มีลมิ ติ หรือหาค่าลิมิตไมไ่ ด้ จะเรียกวา่ ลําดับลอู่ อก (ไดเวอรเ์ จนต์) - การหาคา่ ลมิ ติ สามารถใช้สมบตั ิการกระจาย แจกแจงได้ทุกรูปแบบ ทัง้ การบวก ลบ คณู หาร ยกกําลัง หรือถอดราก - รูปแบบ lim P(n) เมื่อ P และ Q เปน็ พหุนาม จะมไี ด้สามกรณี คือ เป็นศูนย์ เมือ่ ดกี รี P n → ∞ Q (n) น้อยกว่า Q, เป็นสมั ประสทิ ธิ์ตวั แรกหารกนั เมอ่ื ดกี รขี อง P และ Q เทา่ กัน, และหาคา่ ไม่ได้ เมอ่ื ดกี รี P มากกว่า Q 7. อนุกรม คือผลบวกของแต่ละพจน์ในลาํ ดับ ..ค่าของอนกุ รมสามารถเขยี นเปน็ สญั ลักษณ์ n ได้ ∑ ai i=1 ซงึ่ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรม จะใชส้ ัญลักษณ์ Sn (ดังน้ัน คา่ ของอนุกรมอนันตก์ ็คอื S∞ = ∞ = lim Sn ) ∑ ai n→∞ i=1 - อนุกรมทห่ี าค่า S∞ ได้ เรยี กว่าอนกุ รมลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต)์ และอนกุ รมที่หาคา่ S∞ ไมไ่ ด้ เรียกว่าอนุกรมลอู่ อก (ไดเวอร์เจนต์) 8. อนกุ รมเลขคณติ • n n (a1+an) หรืออาจเขียนเปน็ Σ เพ่อื ใช้สตู รคํานวณค่า 2 Sn = ∑ ⎡⎣a1 + (i−1) d⎤⎦ = i=1 • S∞ หาคา่ ไม่ได้เสมอ (ยกเว้นอนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 +…) 9. อนุกรมเรขาคณติ • Sn = a1(1 − rn) 1−r • S∞ หาค่าได้ก็เมอ่ื | r |< 1 เท่านั้น และคา่ ที่ไดค้ อื S∞ = a1 1−r Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 646 ฉบบั เขม ขน 10. สมบตั ขิ อง Σ 11. สตู รซิกม่าทคี่ วรทราบ n • n = n (n+1) 2 • ∑k = n ⋅ k ∑i i=1 i=1 nn • n = n (n+ 1)(2n+1) • ∑ k ai = k ⋅ ∑ ai 6 i=1 i=1 ∑ i2 n nn i=1 • ∑ (ai ±bi) = ∑ ai ± ∑ bi i=1 i=1 i=1 • n = ⎡n (n+1)⎤2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ∑ i3 i=1 ลิมติ และความต่อเนื่อง 1. การหาลิมติ ของ f (x) สาํ หรับฟังก์ชนั y = f (x) ใดๆ คอื การพจิ ารณาวา่ เมอ่ื x มคี า่ เข้าใกลค้ ่า จํานวนจริงคา่ ใดค่าหนึ่ง (เชน่ เขา้ ใกล้ a) แล้ว ค่าของ y หรอื f (x) จะเข้าใกลค้ า่ ใด - คา่ ลมิ ติ ท่ีไดจ้ ะเขยี นเปน็ สัญลกั ษณ์วา่ lim y หรือ lim f (x) x→a x→a 2. ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับลิมติ lim c = c lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n x→a x→a x→a lim n f (x) = n lim f (x) lim x = a x→a x→a x→a lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) x→a x→a x→a lim xn = an x→a lim c f (x) = c lim f (x) lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x) x→a x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ÷ g(x)] = lim f (x) ÷ lim g(x) x→a x→a x→a 3. ฟงั ก์ชันใดๆ จะมคี า่ lim f (x) = L ก็ต่อเมือ่ lim f (x) = lim f (x) = L เทา่ น้นั x→a x → a− x → a+ - คาํ ว่า lim f (x) คือลิมิตซา้ ย หาไดจ้ ากกรณีที่ x มคี า่ เขา้ ใกล้ a ทางซ้าย (หรือ x < a ) x → a− - คาํ ว่า lim f (x) คือลิมติ ขวา หาได้จากกรณีท่ี x มีค่าเขา้ ใกล้ a ทางขวา (หรอื x > a ) x → a+ 4. รูปแบบไม่กาํ หนด คือรูปแบบทยี่ งั สรปุ ไม่ไดว้ ่าคา่ ลมิ ิตเป็นเทา่ ใด ไดแ้ ก่ รปู แบบ 0 , ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , ∞0 และ 1∞ ... ซงึ่ รูปแบบทีพ่ บบอ่ ยในบทนี้ คือ 0 0∞ 0 - ถ้า lim f (x) อยใู่ นรูปแบบ 0 ... เทคนคิ การคาํ นวณคอื พยายามแยกพจน์ x −a ในเศษและ x→a 0 ส่วนมาตัดกนั เพือ่ ไม่ใหเ้ หลอื ตัวประกอบในเศษและส่วนเปน็ เลข 0 ... อาจใช้วธิ แี ยกตวั ประกอบ การ นาํ สงั ยคุ หรืออื่นๆ ทเี่ หมาะสมคณู ทั้งเศษและส่วน หากเปน็ รากที่สอง รากทสี่ าม 5. สาเหตทุ เ่ี ราสามารถกําจัด x −a ท้ังเศษและสว่ นได้ กเ็ พราะการหาลิมิตนน้ั ไม่ไดค้ าํ นึงถึงตาํ แหน่ง ท่ี x = a อย่แู ลว้ ... คือแม้ f (a) จะไมน่ ยิ าม (เพราะสว่ นเปน็ ศูนย์) แต่ lim กย็ งั หาได้ x→a 6. การพจิ ารณาความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั ณ จุดใดๆ คอื การบอกวา่ กราฟของฟงั ก์ชนั ขาดตอนที่จุด น้ันหรอื ไม่ โดยสําหรบั ฟงั ก์ชัน f (x) ใดๆ จะตอ่ เนื่องที่ x = a กต็ ่อเม่ือ lim f (x) = f (a) = lim f (x) เท่านน้ั (และต้องหาคา่ ได้ท้ังสามตัว) x → a− x → a+ 7. นิยามของความต่อเนื่องบนชว่ ง - ฟงั กช์ นั f (x) ต่อเน่อื งบนช่วงเปิด (a, b) กต็ ่อเมอื่ f (x) ตอ่ เน่ืองทกุ ๆ จดุ ในช่วง (a, b) - ฟังกช์ นั f (x) ต่อเนื่องบนช่วงปดิ [a, b] กต็ อ่ เมื่อ f (x) ตอ่ เนือ่ งบนช่วง (a, b), ตอ่ เนือ่ งทางขวา ของ a [คอื f (a) = lim f (x) ], และตอ่ เน่อื งทางซา้ ยของ b [คอื f (b) = lim f (x)] x → a+ x → b− Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 647 ฉบบั เขมขน อนพุ นั ธแ์ ละการอินทิเกรต 1. อัตราการเปล่ยี นแปลงโดยเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถงึ x+h ใดๆ) คือ f (x+h) − f (x) หรือ Δy h Δx และเมอ่ื บบี ช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 จะไดอ้ ตั ราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ท่กี ําหนด ฉะน้นั อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y (ทจี่ ุด x ใดๆ) คือ lim f (x+h) − f (x) หรือ lim Δy h→0 h Δ x → 0 Δx 2. อตั ราการเปลย่ี นแปลง ของ y = f (x) ทีจ่ ุด x ใดๆ เรียกอกี อย่างได้ว่า อนุพนั ธ์ ฉะน้นั อนพุ ันธข์ อง f (x) กค็ ือ lim f (x+h) − f (x) h→0 h นอกจากนน้ั ยงั เปน็ คา่ ความชนั ของกราฟ y = f (x) ณ จดุ น้นั ๆ ดว้ ย - สญั ลกั ษณ์ทใี่ ช้แทนอนพุ ันธ์ของ f (x) ไดแ้ ก่ f′(x) หรอื dy หรือ d f (x) หรือ y′ กไ็ ด้ dx dx - สัญลกั ษณ์ท่ีใช้เจาะจงตาํ แหน่ง เชน่ อนุพันธ์ท่จี ุดซ่ึง x = 3 จะใช้ f′(3) หรือ dy dx x = 3 3. สตู รในการหาอนุพนั ธ์ • d xn = n xn−1 • d [f (x) ± g(x)] = f′ (x) ± g′ (x) dx dx • dc=0 dx • d [f (x) ⋅ g (x)] = f (x) g′ (x) + g(x) f′ (x) • d c f (x) = c d f (x) dx dx dx • d ⎡ f (x)⎤ = g (x) f′ (x) − f (x) g′ (x) dx ⎢ (x)⎦⎥ ⎣ g [g (x)] 2 4. อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชันคอมโพสิท (กฎลูกโซ)่ ... คือ d g(f (x)) = dg ⋅ df dx df dx - เขียนแบบฟังก์ชันได้เป็น (g f)′(x) = g′(f (x)) ⋅ f′(x) - อาจจะเขยี นยาวก่ที อดก็ได้ เชน่ dg = dg ⋅ dh ⋅ df ⋅ dx dt dh df dx dt 5. หากเราหาอนพุ ันธข์ อง f′(x) ต่อไปอกี จะเรียกว่าเปน็ อนพุ นั ธ์อันดบั สงู - การเขยี นสัญลกั ษณ์ อนุพันธ์อนั ดบั ท่ี n จะเปน็ dny หรอื f(n)(x) dx n แตอ่ นั ดับทห่ี นง่ึ สอง และสาม นิยมใช้เคร่ืองหมายขดี เป็น f′(x), f′′(x), f′′′(x) - อนุพันธ์อนั ดับท่หี นึ่ง คอื f′(x) นน้ั คือ ความชัน (อัตราการเปลยี่ นแปลงของคา่ y) ส่วน อนพุ นั ธอ์ ันดับที่สอง คือ f′′(x) จะกลายเปน็ “อตั ราการเปลีย่ นแปลงของความชนั ” 6. ฟงั ก์ชนั เพม่ิ คือความชันเป็นบวก ฟังกช์ นั ลดคอื ความชันเป็นลบ ดงั นน้ั ชว่ งท่ี f′(x) > 0 เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่มิ และช่วงที่ f′(x) < 0 เปน็ ฟงั กช์ ันลด - เนื่องจากตําแหน่งทีฟ่ ังกช์ ันจะเปลี่ยนจากเพิม่ ไปลด หรอื จากลดไปเพิ่ม จะตอ้ งมกี ารวกกลับของ กราฟและทําให้เกิดจดุ ยอด สามารถหาโดย f′(x) = 0 ... คา่ x ณ จดุ น้นั เรียกว่าค่าวิกฤต - ตําแหนง่ ท่ี f′(x) = 0 นน้ั อาจไมใ่ ชจ่ ดุ สงู สุดหรือตํ่าสดุ เสมอไป อาจเป็นจดุ เปล่ยี นความเวา้ สามารถพจิ ารณาให้ละเอียดไดจ้ ากอตั ราการเปล่ยี นแปลงของความชัน หรือ f′′(x) หาก f′′(x) > 0 แสดงว่าความชันเปล่ยี นจากลดไปเพิม่ เกดิ จุดตํ่าสดุ หาก f′′(x) < 0 แสดงว่าความชนั เปล่ียนจากเพม่ิ ไปลด เกิดจุดสูงสุด หาก f′′(x) = 0 เปน็ เพียงจดุ เปลี่ยนเวา้ ไม่ใช่จุดสงู สดุ ตาํ่ สดุ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 648 ฉบับเขมขน 7. ฟงั กช์ ันหนงึ่ ๆ หากมกี ารวกกลบั ของกราฟ ณ จดุ ใด กจ็ ะเรียกจดุ นัน้ วา่ จดุ สดุ ขีดสัมพทั ธ์ (มไี ด้ หลายจดุ ) และหากจดุ ใดมีค่าฟังก์ชันมากทีส่ ดุ หรอื น้อยทส่ี ุดของกราฟแล้ว จะเรียกจดุ นนั้ วา่ จดุ สดุ ขีด สมั บรู ณ์ดว้ ย (สงู สดุ กับตาํ่ สุด มีได้อย่างละ 1 จดุ ) 8. เราใชค้ วามรู้เรอ่ื งคา่ สงู สุดต่ําสุดของฟังก์ชนั ในการคาํ นวณโจทยป์ ัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เชน่ มฟี ังกช์ ันกําไร P(x) แลว้ หาคา่ x ทที่ าํ ใหไ้ ดก้ าํ ไรมากทส่ี ดุ ... หลักในการสรา้ งสมการคือ ตอ้ งเป็น การคาํ นวณหาค่า x ท่ีทาํ ใหเ้ กดิ y สงู สดุ หรือตํ่าสดุ แล้วเอาสมการนั้นมาคิด dy = 0 dx 9. การอินทเิ กรต คือการกระทําทีต่ รงข้ามกบั กระบวนการหาอนพุ นั ธ์ นั่นคือ ถา้ d F (x) = f (x) แล้ว จะไดว้ า่ ∫ f (x) dx = F (x) dx สญั ลกั ษณ์ ∫ เรียกวา่ เคร่ืองหมายอนิ ทกิ รลั และเรยี ก f (x) วา่ ตวั ถกู อนิ ทเิ กรต 10. สิง่ ท่หี าอนพุ นั ธ์ได้ตรงตามคา่ ท่ีตอ้ งการ จะเรียกวา่ ปฏยิ านพุ ันธ์ ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น F1(x) = x2 , F2(x) = x2+1, F3(x) = x2+5 , F4(x) = x2−7 ตา่ งก็เปน็ ปฏยิ านพุ นั ธข์ อง f (x) = 2x เน่ืองจากลว้ นทาํ ให้ d F(x) = f (x) dx - รปู ทัว่ ไปของปฏิยานพุ ันธ์ของ f (x) = 2x คือ x2+c เมอ่ื c เปน็ คา่ คงทีใ่ ดๆ เรียกวา่ อินทิกรัลไม่จํากดั เขต ของ f (x) และเขียนสัญลกั ษณเ์ ป็น ∫ f (x)dx - ปฏยิ านพุ นั ธม์ ีไดห้ ลากหลาย แต่อนิ ทกิ รลั ไมจ่ าํ กัดเขตมีแบบเดยี วเสมอ 11. สตู รในการหาอินทกิ รัล • ∫ x n dx = xn+1 + c • ∫ k dx = kx+c n+1 • ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx • ∫ [f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx 12. อนิ ทกิ รัลจาํ กดั เขต จะมีการระบชุ ว่ งของ x ท่เี ครอ่ื งหมายอนิ ทกิ รลั ดังสัญลักษณ์ a ∫b f (x) dx ∫โดยมคี ่าเป็น b = F (x) b = F (b) − F (a) a a f (x) dx - ค่าของอนิ ทกิ รัลจํากัดเขตท่ีคํานวณได้ กค็ อื พ้นื ที่ระหว่างโค้ง f (x) กับแกน x ตั้งแต่ x = a จนถึง b โดยหากสว่ นใดของโคง้ น้นั อยู่ใต้แกนก็จะได้พนื้ ทีเ่ ป็นคา่ ลบ - หากเราต้องการหาพ้ืนทีร่ ะหว่างโค้ง f (x) กบั แกน x ท่ีแท้จริง จะตอ้ งตรวจสอบว่ามีชว่ งใดของ โคง้ ที่อย่ใู ตแ้ กน x ก่อน เพือ่ แยกชิน้ สว่ นในการคาํ นวณ ไมใ่ ห้พื้นที่บรเิ วณใดมีค่าตดิ ลบ ความนา่ จะเปน็ 1. กฎพนื้ ฐานเก่ยี วกับการนบั - จากแผนภาพต้นไม้ ทาํ ให้เราทราบวา่ ในการทํางาน k ข้ันตอน โดยท่ีงานแตล่ ะข้นั ตอนมี ทางเลือกทาํ ได้ ni แบบ จะมจี ํานวนวิธเี ลอื กทํางานจนเสรจ็ สิ้น เท่ากับ n1 × n2 × ... × nk วธิ ี (เอาจาํ นวนแบบมาคูณกนั ) - ถ้าการนบั จาํ เปน็ ต้องแยกคิดหลายกรณี จะต้องนําผลคณู ท่ไี ด้ในแตล่ ะกรณีมาบวกกัน 2. เครอ่ื งหมาย ! เรยี กวา่ แฟคทอเรยี ล มีนยิ ามว่า n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 เมอื่ n เป็นจํานวนนับ ... และกาํ หนดให้ 0! = 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 649 ฉบับเขม ขน 3. จาํ นวนวธิ เี รียงสบั เปล่ยี นส่งิ ของตา่ งๆ กัน n สงิ่ จะมี n! วธิ ี แตถ่ ้าเอามาเรยี งเพยี งแค่ r สิ่ง จะมี n! วิธี (n−r)! - จํานวนวิธเี รียงสับเปลยี่ นส่ิงของทง้ั หมด n ส่งิ ซ่งึ มีสงิ่ ของซํ้ากัน k1 ส่งิ , k2 สงิ่ , ... จะเรยี งได้ n! วิธี k1 ! ⋅ k2 ! ⋅ ... 4. จํานวนวิธเี รียงสับเปลี่ยนสง่ิ ของต่างๆ กัน n สิ่ง เปน็ รูปวงกลม ให้คิดว่าระบตุ ําแหน่งเจาะจงก่อน 1 สง่ิ แล้วทเี่ หลือจงึ จัดแบบเส้นตรงปกติ นน่ั คอื (n−1)! วธิ ี - หากการจดั นส้ี ามารถมองไดส้ องด้าน เช่น ร้อยมาลัย จาํ นวนวิธีจะลดลงเหลอื (n−1)! วธิ ี 2 5. วิธจี ัดหมู่ ตา่ งจากเรยี งสบั เปล่ียน ตรงท่จี ะไมค่ ํานึงถึงลําดบั กอ่ นหลงั - จาํ นวนวธิ ีจดั หมู่สิง่ ของตา่ งๆ กนั n สิ่ง โดยทค่ี ดั ออกมา r ส่ิง จะมี n! วิธี (n−r)! ⋅ r ! นยิ มเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ⎛n⎞ อ่านวา่ “n เลือก r” ⎜ ⎟ ⎝ r ⎠ 6. การแบ่งของออกเป็นกลุม่ ย่อยๆ - จากการหยบิ ของ 5 ชิน้ ออกจากกองที่มี 12 ชนิ้ ก็เหมอื นการแบ่งแยกของออกเปน็ สองกล่มุ 5 แบง่ กลุ่มได้ 12! วธิ ี กลุม่ ละ 5 และ 7 ชิ้น จึงได้สูตรวา่ 12 7 5!⋅ 7! 5 ดงั นนั้ ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ชน้ิ เป็นสามกอง ดังนี้ 12 4 กจ็ ะมีจาํ นวนวิธเี ป็น 12! วธิ ี (พสิ ูจน์ได้จาก )⎛12⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛3⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ 32 ⎝ 5 ⎠ ⎜ 4 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎠ 2 5!⋅ 4!⋅ 3! ⎝ - ถา้ มีกองใดทีจ่ าํ นวนเท่ากัน และถือว่าการสลับท่ีไม่ทําใหแ้ ตกตา่ งกัน จํานวนวธิ จี ะต้องลดลง โดยคดิ เชน่ เดียวกับการสับเปล่ียน เช่น การแบง่ 12 2 จะได้ 12! วธิ ี 1 (2 !)3 ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 ! 5 (3! ท่เี พม่ิ เข้ามา เนอ่ื งจากมี 3 กองทส่ี ลบั กันเองไม่มคี วามหมาย จาํ นวนวธิ ีจึงตอ้ งลดลง) 7. เทคนคิ การนบั - บางครั้งถ้าพบว่าจาํ นวนกรณีมีมาก ควรลองคิดมมุ กลับ คือใชว้ ิธที เ่ี ปน็ ไปได้ทัง้ หมดลบดว้ ยวธิ ีทไ่ี ม่ ต้องการ แบบนอี้ าจช่วยใหค้ ํานวณง่ายข้ึน เชน่ หยบิ ลกู บอล 4 ลูกให้ได้สีขาวอยา่ งนอ้ ย 1 ลกู พบวา่ ต้องบวกกันหลายกรณีมาก แต่ถ้าใช้วิธลี บออกจะคิดเพยี งแค่ วธิ ที ั้งหมด ลบดว้ ยวิธที ี่ไม่ได้สีขาวเลย - ถ้าตอ้ งนับเหตกุ ารณท์ ม่ี คี ําว่า “หรอื ” หา้ มนําจาํ นวนวธิ แี ต่ละสว่ นมาบวกกนั แลว้ ตอบเลยทันที เพราะมักจะมีการนบั ซาํ้ ซอ้ นเกดิ ขึ้น ควรใชห้ ลักการในเร่ืองเซต คอื “เกดิ A หรอื B” คิดจาก “เกดิ A” บวกดว้ ย “เกิด B” และลบด้วย “เกดิ ท้ัง A และ B” แบบนี้จึงจะถูกต้อง - การนับเหตุการณท์ มี่ ีคาํ วา่ “หรอื ” สามารถคดิ แบบลบออกได้ด้วย คือ “เกิด A หรอื B” คิดจาก วิธที งั้ หมด ลบด้วยสง่ิ ทตี่ รงกันขา้ มคอื “ไม่เกดิ ทั้ง A และ B” แบบนค้ี ิดง่ายขน้ึ เพราะเป็นการเปลยี่ น คําวา่ “หรือ” ใหก้ ลายเป็น “และ” 1 8. ทฤษฎบี ททวนิ าม (a + b)0 = 1 11 (a + b)1 = a + b 121 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 13 31 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 146 41 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 650 ฉบับเขม ขน - ทฤษฎีบททวินาม คอื ทฤษฎีท่กี ลา่ วถึงการกระจายทวินาม (a + b)n เมอ่ื a และ b เปน็ จํานวนจรงิ , n และ r เปน็ จํานวนนบั โดย 0 < r < n จะได้วา่ (a + b)n = ⎛ n⎞ anb0 + ⎛n⎞ an − 1b1 + ⎛ n ⎞ an − 2b2 + ... + ⎛n⎞ a0bn ⎜ 0 ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜⎝n⎟⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎠ - พจน์ท่ี r+1 เป็นพจนท์ ่ัวไป Tr + 1 = ⎛ n ⎞ an − rbr เรยี ก ⎛n⎞ ใดๆ วา่ สมั ประสิทธท์ิ วินาม ⎜ r ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ r ⎠ - จาํ นวนพจนท์ งั้ หมดจะมี n+1 พจน์ คอื เรม่ิ จาก ⎛n⎞ ถึง ⎛n⎞ ⎝⎜ 0 ⎟⎠ ⎜ n⎠⎟ ⎝ กําลงั ของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะท่กี ําลงั ของ b เพิ่มขึน้ และนํากําลงั มารวมกันจะได้ n เสมอ - สัมประสทิ ธิ์ทวนิ าม อาจไมใ่ ช่สัมประสทิ ธข์ิ องพจนน์ น้ั (หากใน a หรือ b มีสมั ประสิทธิ์อกี ) - สตู ร ⎛n⎞ + ⎛n⎞ + ⎛n⎞ + ... + ⎛n⎞ = 2n ดงั เชน่ เคยพบตอนทีห่ าจํานวนสับเซต ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜2 ⎟ ⎜ n⎠⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎝ 9. การทดลองสุม่ คอื การกระทาํ ท่เี ราไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ แต่ละครัง้ จะเกิดผลลัพธอ์ ะไร แต่สามารถ บอกไดว้ า่ มีผลลัพธ์อะไรบ้างที่เป็นไปได้ ... เซตของ “ผลลัพธ์ท่เี ป็นไปได้ทงั้ หมด” เรยี กว่า ปริภมู ิ ตัวอย่าง (S) และเซตของ “ผลลัพธ์ใดๆ ท่เี ราสนใจ” เรียกวา่ เหตกุ ารณ์ (E) 10. ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ หาได้เฉพาะเหตกุ ารณท์ เ่ี ป็นการทดลองสุ่มเทา่ นั้น - ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ A ใช้สญั ลกั ษณ์ P(A) ... คาํ นวณจาก P(A) = n(A) n (S) เมื่อ n(A) คอื จํานวนผลลัพธ์ใน A และ n(S) คอื จาํ นวนผลลพั ธ์ทั้งหมดที่เปน็ ไปได้ 11. ความน่าจะเป็นของเหตุการณใ์ ดๆ มีคา่ อยใู่ นชว่ ง 0 ถงึ 1 เทา่ นนั้ 0 < P(A) < 1 - ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ท่ไี ม่มีผลลัพธ์เลย มีค่าเปน็ 0 P (∅) = 0 - ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ที่มีผลลพั ธ์ได้ทกุ แบบ มคี ่าเปน็ 1 P(S) = 1 12. ความหมายของ A ∩ B คอื เหตุการณ์ “A และ B” (เกดิ ขึน้ ท้ังสองอย่าง) A ∪ B คอื เหตุการณ์ “A หรอื B” (เกดิ ข้นึ อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอยา่ ง) จะใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ช่วยคาํ นวณ ดงั นี้ - ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ท่ีเราสนใจ รวมกบั ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณท์ ่ีเหลือ (ที่เราไม่สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P (A) = 1 − P (A ') - ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ หาได้จาก P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) สถติ ิ 1. สถติ ศิ าสตร์ คือวิชาที่เก่ยี วกับการเก็บรวบรวมและวิเคราะหข์ ้อมูล - การเก็บรวบรวมตอ้ งเลอื กวธิ ใี ห้เหมาะสม เชน่ ลงทะเบยี น, สมั ภาษณ์, วดั ค่า, ทดลอง - การวเิ คราะห์มี 2 ระดบั ไดแ้ ก่ วิเคราะห์ข้นั ตน้ เรยี กวา่ สถติ เิ ชิงพรรณนา (เชน่ การหาค่ากลาง ค่าการกระจาย การจดั กลมุ่ ข้อมูลเปน็ ตาราง เป็นแผนภาพ กราฟ ฯลฯ) และวเิ คราะหข์ นั้ สงู เรียกวา่ สถิติเชงิ อนมุ าน (เช่น การทํานายหรอื ประมาณค่า การวเิ คราะห์ความสัมพันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ฯลฯ) 2. ลักษณะข้อมูล มขี ้อมูลเชิงคณุ ภาพ กบั ขอ้ มูลเชงิ ปริมาณ - ข้อมลู เชิงคุณภาพ เป็นคา่ ทไ่ี ม่ได้บง่ บอกถึงความมากน้อย เปรียบเทียบกนั ไม่ได้ เช่น เลขที่ เพศ - ขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ เป็นค่าท่บี ง่ บอกความมากนอ้ ย เปรยี บเทยี บได้ เช่น อายุ ส่วนสงู คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )