สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 451 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.43 (17) z1 = (1 ∠ π )6 = 16∠ 6π = 1∠ π (23) f′(x) = x − 1→ f(x) = 2 x3/2 − x + C1 3 18 18 3 ผา่ นจดุ (0, 1) แสดงวา่ C1 = 1 = 1+ 3i โจทย์ถาม (4, c) แสดงว่า c = f(4) 22 → 2 z1 z2 − z2 = 1 = 2 (4)3/2 − 4 + 1 = 16 − 3 = 7 ตอบ จาก 2 z1 z2 = 1 + z2 3 33 → z2 = 1 → z2 = 1 ... กลับเศษสว่ น (24) ใช้กฎการแบง่ กลมุ่ 2z1 − 1 2z1 − 1 z2−1 = 2z1 − 1 = 2 ⎛ 1 − 3 ⎞ − 1 = − 3i ตอบ วธิ ีทงั้ หมด = 6! = 60 ⎜⎜⎝ 2 2 i⎟⎟⎠ 3!2! 1! (18) สมมติ z = a + bi วธิ ที ส่ี นใจ (ก, ข อยหู่ อ้ งเดียวกนั ) มี 2 กรณี คือ แบง่ 4 เปน็ 2, 1, 1+กข z = a2 + b2 = 3 − 4i = 5 .....(1) จะได้ 4! = 12 วธิ ี z − 1 = (a − 1)2 + b2 = 30 .....(2) = 2 !(1!)22 ! × 2 แก้ระบบสมการดังน้ี (คณู 2 เพราะ กข เลอื กอยหู่ ้อง 1 คนได้ 2 แบบ) a2 + b2 = 25, a2 − 2a + 1 + b2 = 30 และแบ่ง 4 เปน็ 3, 1 (กข อยู่หอ้ ง 2 คน) → −2a + 1 + 25 = 30 → a = −2 จะได้ = 4 ! = 4 วธิ ี 3! 1! ดงั นน้ั 4 + b2 = 25 → b2 = ± 21 ตอบ 12 + 4 = 4 ตอบ {− 21, 21} 60 15 (19) ⎛ g ⎞′ (2) = f(2)g′(2) − g(2)f′(2) (25) วิธที งั้ หมด 5 × 4 = 20 วธิ ี ⎝⎜ f ⎟⎠ [f(2)]2 วิธีทส่ี นใจ ได้แก่ → (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) โจทยบ์ อกวา่ f′(2) = f(2) = 2 แล้ว มีอยู่ 4 วธิ ี ดงั นน้ั ตอบ 4 = 1 20 5 หาคา่ g(2) และ g′(2) ดงั น้ี (26) X = 150 + 152 + 158 + … + 185 → g(x) = f(x) − x3 + x2 แทน x = 2 ได้วา่ 8 g(2) = f(2) − 8 + 4 = 2 − 8 + 4 = −2 = 167.5 บาท ซง่ึ มคี นนอ้ ยกวา่ อยู่ 3 คน (และเกิน และจากการหาอนุพนั ธ์ อยู่ 5 คน) g′(x) = f′(x) − 3x2 + 2x แทน x = 2 ไดว้ า่ ข้อนคี้ ิดจาก วธิ ที ง้ั หมด – วิธที ่ีไมม่ ใี ครน้อยกวา่ เลย g′(2) = 2 − 12 + 4 = −6 ⎝⎛⎜ 52 ⎞⎠⎟ 9 ⎜⎛⎝82 ⎞⎟⎠ 14 ดังนนั้ ⎛ g ⎞′ (2)(−6) − (−2)(2) ตอบ = 1− = ตอบ ⎜⎝ f ⎠⎟ 4 (2) = = −2 (20) ลาํ ดบั เลขคณติ ; d = 20 − 5 = 7.5 (27) เทียบกบั Σy = mΣx + c N และ 2 Σxy = mΣx2 + cΣx พบวา่ N = 5 → a = S12 = 12 (5 + 5 + (11)(7.5)) = 555 2 → Σy = 28, Σx = 10, Σxy = 67, Σx2 = 30 ลําดบั เรขาคณติ ; r2 = 20 → r = −2 ก. แกร้ ะบบสมการได้ m = 1.1, c = 3.4 5 ดังนน้ั Yˆ = (1.1)(5) + 3.4 = 8.9 ถกู (เพราะ y < 0 ) → b = a6 = 5(−2)5 = −160 ข. X = Σx = 10 = 2 → ผิด ตอบ ขอ้ 2. N5 ดงั นนั้ ตอบ 555 − 160 = 395 (21) จาก Σ (5 − x)(y + 2) = 76 (28) X1 = 5+8+6+7+9 =7 5 → 5 Σy − 2 Σx − Σxy + Σ10 = 76 แทนคา่ 5(4) − 2(−8) − Σxy + (10)(10) = 76 s1 = 22 + 12 + 12 + 02 + 22 = 2 ∴ Σxy = 60 ตอบ 5 (22) g(x) มีลิมติ ที่ 1 แสดงวา่ โจทย์บอกวา่ ⎛ s1 ⎞ = 2 ⎛ s2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ X1 ⎠ ⎝ X2 ⎠ lim g(x) = lim g(x) → f′(1) = f(1) x → 1− x → 1+ ⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞ 42 ตอบ ตอบ→ 3a(1)2 − 8(1) = a(1)3 − 4(1)2 + 1 → a = 5 → ⎝⎜⎜ 7 ⎠⎟⎟ = 2⎜ ⎟ → X2 = 2 = 21 2 2 ⎝ X2 ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 452 ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 ตอนท่ี 2 (5) y = x2 − c (1) P(A) มีจาํ นวนสมาชิก 24 = 16 ตวั , ถา้ c > 4 แสดงวา่ -2 1 ซ้าํ กบั B อยู่ 3 ตวั คือ φ, {φ}, {0, {0, 1}} ตดั แกน x ท่ี ±c ดงั นน้ั P(A) − B มสี มาชกิ อยู่ 16 − 3 = 13 ตวั ตอบ เกนิ ±2 ดงั ภาพ (2) ให้ x, y, z เป็น y-1, y, y+1 ∫ดงั นนั้ 1 −2 ∴ 3 x + y + z = 3 (y − 1) + y + (y + 1) = 3 3y (x2 − c) dx = −24 หาคา่ y ทน่ี อ้ ยทสี่ ุดที่ 3 3y เป็นจาํ นวนเตม็ บวก (ใส่ตดิ ลบ เพราะพ้ืนที่อยใู่ ต้แกนทง้ั ช่วงเลย) ลองแทนค่าดู y = 1 → 3 3 ไม่ได้, y = 2 → 3 6 ไมไ่ ด้, y = 3 ...ไปเรอื่ ยๆ จนถงึ y = 9 → ⎛ x3 ⎞ 1 = −24 → 3 27 = 3 ใช้ได้ ดงั นนั้ ตอบ 9 ⎜⎝ 3 − cx ⎠⎟ −2 → ⎜⎛⎝ 1 − c ⎠⎟⎞ − ⎜⎝⎛ − 8 + 2c ⎟⎠⎞ = −24 → c=9 ตอบ 3 3 (3) จาก ⎛ 42 + 42 + 42 +…+ 42 ⎞ (6) 9 × 9 × 2 = 162 จาํ นวน ตอบ ⎜⎜⎝ A A2 A3 A6 ⎟⎟⎠ 1-9 ห้ามซํา้ 0,5(ซํ้าได)้ = 16 ⎛ 1 + 1 + 1 + … + 1⎞ เปน็ อนกุ รมเรขาฯ (7) z = (X − 0.51s) − X = −0.51 ⎝⎜ 2 4 8 64 ⎠⎟ s ⎛ 1 ⎞ → A = 0.195 ทางซา้ ย ⎜ 2 (1 − (1/2)6) ⎟ 1⎞ 0.195 = 16 ⎝⎜⎜ 1 − (1/2) ⎠⎟⎟ = 16 ⎛ 1 − 64 ⎠⎟ ⎜⎝ = 16 ⎛ 63 ⎞ = 63 = 15.75 ตอบ คิดเปน็ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ 50 − 19.5 = 30.5 ตอบ ⎜⎝ 64 ⎠⎟ 4 ˜OA ˜OB (8) 1.26 = 500(20) + 450(8) + x(100) (4) จาก = ⎡3⎤ และ = ⎡9⎤ 500(20) + 300(8) + 400(100) ⎣⎢−2⎦⎥ ⎣⎢4⎦⎥ O → x = 524.24 บาท ตอบ A C ใชส้ ูตร (ถว่ งนา้ํ หนัก) D ˜ ˜ ˜จะได้วา่ ˜OA 1 ˜OB B ˜OC = 2 + = 2 ⎡3⎤ + 1 ⎡9⎤ = ⎡5⎤ 3 ⎣⎢−2⎦⎥ 3 ⎣⎢4⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ 3 ˜ ˜OD= 1 OA + 2 OB = 1 ⎡3⎤ + 2 ⎡9⎤ = ⎡7⎤ 3 3 ⎣⎢−2⎦⎥ 3 ⎣⎢4⎦⎥ ⎢⎣2⎥⎦ ∴ OC ⋅ OD = 35 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 453 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.44 ¢oŒ Êoºe¢ÒŒ ÁËÒÇi·ÂÒÅa ÁÕ.¤.44 (h) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2(x2 + 2x) < 0 จาํ นวนเต็มที่เป็นสมาชิกของ A มีทง้ั หมดกี่จํานวน 2. กาํ หนดให้ ⎡x −1 6⎤ ถ้าไมเนอร์ของ เท่ากับ ⎢⎣⎢24 97⎥⎦⎥ A = 5 a 32 23 2y และโคแฟกเตอรข์ อง a23 เทา่ กับ −44 แลว้ x + y มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด 3. กาํ หนดให้ a, b, c เปน็ 3 พจน์เรยี งตดิ กันในลาํ ดบั เรขาคณิต และมผี ลคณู เป็น 27 ถา้ a, b+3, c+2 เปน็ 3 พจน์เรยี งติดกนั ในลาํ ดบั เลขคณิตแล้ว a + b + c มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. lim x2+ 3 − 2 มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด x→1 x − 1 5. กําหนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่งทาํ ให้พจน์ท่ีไมม่ ี x ในการกระจาย ⎝⎜⎛ x2 + 1 ⎞n 2x ⎟⎠ คือพจนท์ ่ี 9 สมั ประสทิ ธิ์ของ x15 ในการกระจายนี้เทา่ กับเทา่ ใด 6. ในการสร้างเมตริกซใ์ นรปู ⎡ x2 x−4⎤ แบบสุ่ม โดยที่ x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ⎢⎣−x x −1 ⎦⎥ ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไดเ้ มตรกิ ซ์เอกฐานเทา่ กบั เทา่ ใด 7. ถ้าเสน้ สัมผัสเส้นโค้ง y = (x − 1)2(2x − 5) ท่จี ดุ (1 , − 1 ) ทาํ มุม θ กับแกน x โดยที่ 4 2 16 0 < θ < π แล้ว sin2 θ มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด 22 8. กาํ หนดให้ x1, x2, ..., x10 มีค่าเปน็ 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดบั โดยท่ี a < 15 ถา้ พสิ ยั ของขอ้ มูลชุดนเี้ ท่ากบั 12 b เป็นจาํ นวนจริงที่ทําให้ 10 มีคา่ นอ้ ยที่สดุ ∑ (xi − b)2 i=1 และ c เปน็ จํานวนจรงิ ทท่ี ําให้ 10 xi − c มคี า่ นอ้ ยทส่ี ุด แลว้ a + b + c มคี า่ เท่าใด ∑ i=1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 454 ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A, B, C เป็นเซต ถา้ n(B) = 42 , n(C) = 28 , n(A ∩ C) = 8 , n(A ∩ B ∩ C) = 3 , n(A ∩ B ∩ C ') = 2 , n(A ∩ B '∩ C ') = 20 และ n(A ∪ B ∪ C) = 80 แลว้ n(A '∩ B ∩ C) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 5 2. 7 3. 10 4. 13 2. ให้ A, B และ F เป็นเซตซง่ึ กาํ หนดดงั น้ี A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F = {f : B > A | f (x) ∉ x ทกุ เซต x ∈ B } จาํ นวนสมาชิกของ F เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 24 2. 60 3. 100 4. 120 3. กําหนดให้ x + 1 และ x − 1 เปน็ ตวั ประกอบของพหนุ าม p (x) = 3x3 + x2− ax + b เมอ่ื a, b เป็นค่าคงตัว เศษเหลอื ที่ได้จากการหาร p(x) ด้วย x − a − b เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 15 2. 17 3. 19 4. 21 4. กาํ หนดให้ A = { x | x−1 < 2 และ 1 > 1 } และ B = { x | x2 + 2x < 0 } x+1 2 A ∩ B คือช่วงในข้อใดต่อไปน้ี 1. (−1, 0) 2. [−1, 0) 3. (0, 1) 4. (0, 1] 5. กาํ หนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ ถา้ ประพจน์ p →(q ∧ r) มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ และ (p ∨ q) ↔ r มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง แลว้ พิจารณาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ต่อไปนี้ ก. (p ↔ q) ↔ ~ r ข. p ↔ (q ∨ ~ r) ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ก. จริง และ ข. จริง 2. ก. จรงิ และ ข. เทจ็ 3. ก. เทจ็ และ ข. จรงิ 4. ก. เท็จ และ ข. เท็จ 6. เอกภพสัมพัทธ์ในขอ้ ใดทที่ าํ ใหข้ อ้ ความ (∀x [x2< 2x + 3]) ∧ (∃y [y2− 4 > 0]) มคี ่าความจริงเป็น จรงิ 1. [−3, 0] 2. [−1.5, 1.5] 3. [−1, 2] 4. [−0.5, 2.5] 7. กาํ หนดความสัมพนั ธ์ r = {(x, y) | y = 1 1 } พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ x2 − ก. Dr = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ข. r − 1 = {(x, y) | y = ± 1 + x } x ขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 455 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.44 8. กําหนดให้ f (x) = x , x ≠ − 1 และ g(x) = x , x ≠ 1 1+ x 1− x ขอ้ ใดต่อไปนผี้ ดิ 1. (f g)− 1(x) = x ,x ≠ 1 2. (f−1 g−1)(x) = x ,x ≠ −1 3. (f−1 g)(x) = x , x ≠ 1 4. (g−1 f)(x) = x , x ≠ − 1 1 + 2x 1 + 2x 9. กาํ หนดให้ f (x) = 2 sin x และ g(x) = x2 − 1 2. {−2, 2} 2 4. [−2, −1] ∪ ( 3, 2] เซต (Rf ∩ Dg) − Rgof คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. {−1, 1} 3. [2, − 3] ∪ [1, 2] 10. รปู สามเหล่ียม ABC มี a, b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลําดบั ถ้า cos B = 1/4 และ (a+b+c)(a−b+c) = 30 แลว้ ac มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 12 2. 20 3. 20/3 4. 40/3 11. กําหนดให้ A และ B เปน็ จดุ โฟกสั ของวงรี x2+ 2y2+ 4x − 4y + 2 = 0 และวงรีน้ตี ัดแกน x ที่ จุด C และ D โดยทําให้ ABCD เปน็ รูปส่เี หล่ยี ม พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ABCD เปน็ รูปสีเ่ หลย่ี มผนื ผ้า ข. พื้นทข่ี องรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับ 4 2 ตารางหนว่ ย ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ป็นจรงิ 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 12. กําหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 4) และมีความชนั เท่ากบั 3/4 ถา้ เสน้ ตรง L สมั ผัส วงกลม C ซ่ึงมจี ดุ ศูนย์กลางทีจ่ ุด (1, 2) แล้ว จดุ ใดต่อไปน้ีเปน็ จุดบนวงกลม C 1. (1, 2) 2. (1, 16) 3. (− 13 , 2) 4. (3 , 2) 5 5 5 5 13. เซตคําตอบของอสมการ 2x2(x−3) < 8(23 −x) เปน็ สบั เซตของเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. (1, ∞) 2. (−2, 100) 3. (−10, 10) 4. (−∞, 2) 14. กาํ หนดให้ A = [aij]3×3 โดยท่ี aij = ⎪⎧2i − 1 ,i = j ⎩⎨⎪2 ,i ≠ j det ⎛ adj (At)⎞ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ⎜⎝⎜ 4 det (A) ⎟⎠⎟ 1. −16 2. −4 3. 4 4. 16 15. กาํ หนดให้ P = a x + 2 y และมีเง่อื นไขขอ้ จํากดั ดังนี้ 2x + y < 50 , x + 2y < 70 , x > 0 , y > 0 ถ้าค่าสูงสุดของ P เทา่ กบั 100 แล้ว a เท่ากับคา่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 4 4. 6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 456 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.44 16. ให้ u = a i + b j โดยที่ a > 0 และ b > 0 และ u ⋅(5 i − 2 j) = 14 ถา้ u ทาํ มุม θ กับ เวกเตอร์ i และ cos θ = 3/5 แลว้ a + b มคี า่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 2. 14 3. 18 4. 21 17. ให้ A, B, C เปน็ จุดในระนาบ และ O เป็นจุดกําเนิด โดยท่ี ˜OA = 3 i − 2j และ ˜OB = 2 i + 5j ถ้า ˜AC = 2 ˜AB แลว้ |˜OC|2 มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 3 1. 113 2. 98 3. 193 4. 153 9 9 9 9 18. ถา้ 2 z3 = 1 + 3i และ z 18 = a + b i เมอ่ื a, b เปน็ จาํ นวนจรงิ i − z27 แล้ว a + b มีคา่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 19. กําหนดให้ z = i9 + i10 + ... + i126 เมือ่ i2 = −1 แล้ว 2 z −1 เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 1 + i 2. 1 − i 3. −1 + i 4. −1 − i 20. กาํ หนดให้ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวกที่ทําให้ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ 7 + 15 + 23 + ... มีค่าเท่ากบั 217 แล้ว 2n + 2n+1 + ... + 22n มคี า่ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 28 1. 127 2. 128 3. 127.5 4. 128.5 21. กาํ หนดให้ f (x) = ax3+ bx เม่อื a, b เป็นจาํ นวนจรงิ และ f มีค่าต่าํ สดุ สมั พทั ธเ์ ท่ากับ −2 ท่ีจุด x = 1 ถ้า g(x) = x3+ f′(x) แล้ว g เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใดต่อไปนี้ 1. (0, 2) 2. (−3, −1) 3. (−1, 1) 4. (−2, 0) 22. กําหนดให้ f (x) = ax3 + bx2+ 2x − 2 เมอื่ a, b เป็นจาํ นวนจรงิ ถ้า f′(1) = 5 และ f′′(0) = −12 แลว้ ∫ (f′(x) + f′′(x)) dx เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 5x3 + 9x2 − 10x + c 2. 5x3 + 9x2 + 10x + c 3. 5x3 − 9x2 + 10x + c 4. 5x3 − 9x2 − 10x + c 23. ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั ซึ่งอนุพันธข์ อง f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องบนชว่ งปดิ [0, 1] และ g(x) = f (x) x4 + 1 ถา้ f (1) = f′(1) = 1 และ f (0) = f′(0) = −2 แลว้ 0 ∫1 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี g′′(x) dx 1. − 5 2. − 1 3. 3 4. 7 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 457 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.44 24. พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. จํานวนวิธีในการจดั เดก็ 5 คน และผ้ใู หญ่ 5 คน ถ่ายรปู หมู่ โดยให้เดก็ ยนื แถวหนา้ และ ผูใ้ หญ่ยืนแถวหลงั เทา่ กับ 5! 5! ข. จาํ นวนวธิ ีในการจดั ชาย 6 คน หญิง 6 คน นง่ั โต๊ะกลม 2 โต๊ะท่ตี า่ งกนั ซ่ึงมีโตะ๊ ละ 6 ที่ นั่ง โดยท่ีชายและหญิงนง่ั แยกโตะ๊ กนั เทา่ กบั 5! 5! ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 25. ความนา่ จะเป็นทน่ี ักเรียนคนหน่ึงสอบผ่านวชิ าคณติ ศาสตรเ์ ท่ากบั 2/5 และสอบผา่ นวชิ า ภาษาอังกฤษเท่ากับ 1/3 ถ้าความน่าจะเป็นในการสอบผา่ นอย่างมากหนึง่ วชิ า เทา่ กบั 13/15 แล้ว ความน่าจะเป็นทีเ่ ขาจะสอบผา่ นอยา่ งน้อยหนึง่ วิชาเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 7 2. 4 3. 3 4. 1 15 15 5 5 26. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรียนห้องหน่งึ ปรากฏวา่ ค่าเฉลย่ี เลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบน มาตรฐาน เป็น 55 และ 10 ตามลําดับ โดยทน่ี าย ก ไดค้ ะแนนคดิ เปน็ ค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.3 และเมอ่ื รวมคะแนนเก็บระหวา่ งภาคการศึกษา ซ่งึ นกั เรยี นทกุ คนได้คนละ 5 คะแนนแล้ว นาย ข ได้ คะแนนรวมน้อยกว่าคะแนนรวมของนาย ก 8 คะแนน ขอ้ ใดต่อไปนี้เป็นคะแนนรวม และค่า มาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข ตามลําดับ 1. 60 , 0.5 2. 60 , 1 3. 65 , 0.5 4. 65 , 1 27. กําหนดตารางแสดงพ้นื ทใ่ี ต้โคง้ ปกติดังน้ี z 0.97 1.58 A 0.334 0.443 คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนห้องหนงึ่ มีการแจกแจงปกติ นายคณติ และนายวิทยาเปน็ นักเรยี นห้องนี้ ถา้ ปรากฏว่ามีนักเรียน 5.7 เปอร์เซ็นต์ท่สี อบได้คะแนนมากกว่านายคณติ และมี นักเรียน 16.6 เปอร์เซน็ ตท์ ีส่ อบได้คะแนนนอ้ ยกวา่ นายวทิ ยา และนายคณติ ไดค้ ะแนนมากกวา่ นาย วิทยาอยู่ 51 คะแนน สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสอบครงั้ น้เี ท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 12 2. 15 3. 18 4. 20 28. ถ้าราคาเฉล่ยี ของเมล็ดถ่ัวเหลืองตอ่ กโิ ลกรัม ในแตล่ ะเดอื นของปี พ.ศ. 2542 ท่ีจังหวัดหนงึ่ เปน็ ดงั นี้ เดือน มกราคม ราคา 13 บาท เดือน กุมภาพนั ธ์ ราคา 11 บาท เดือน มนี าคม ราคา 12 บาท แลว้ พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ดชั นรี าคาเมล็ดถ่ัวเหลอื งของเดือนกุมภาพันธ์ เทยี บกบั ของเดอื นมกราคม เท่ากบั 84.62 เปอร์เซ็นต์ ข. ดชั นีราคาเมล็ดถว่ั เหลืองของเดือนมนี าคม เทียบกบั ของเดอื นกมุ ภาพนั ธ์ เพม่ิ ข้นึ 10.09 เปอร์เซ็นต์ ข้อใดตอ่ ไปนถี้ กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 458 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.44 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 4 (2) 9 (3) 13 (4) 0.5 (5) 27.5 (6) 0.4 (7) 0.1 (8) 19 ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 4 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 4 (7) 2 (8) 3 (9) 4 (10) 1 (11) 2 (12) 1 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 1 (18) 2 (19) 4 (20) 3 (21) 4 (22) 1 (23) 3 (24) 2 (25) 3 (26) 3 (27) 4 (28) 2 เฉลยวธิ ีคิด ตอนท่ี 1 (5) พจนท์ ี่ 9 มคี ่า (1) log4 log3 log2(x2 + 2x) < 0 ( ) ( )n ⎛1 ⎞8 n ⎛ 1 ⎞8 x2n − 16 − 8 ⎝⎜ 2x ⎠⎟ 8 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ → log3 log2(x2 + 2x) < 40 ⇒ 1 8 (x2)n − 8 = ⋅ → log2(x2 + 2x) < 31 → x2 + 2x < 23 “พจนน์ ไ้ี มม่ ี x” แสดงวา่ → x2 + 2x − 8 < 0 ได้เปน็ −4 < x < 2 อยา่ ลืมเงอ่ื นไขของ log คอื x2 + 2x > 0 กาํ ลงั ของ x คอื 2n − 16 − 8 = 0 → n = 12 (แยกตัวประกอบได้ช่วง x < −2 , x > 0 ) ( )หาพจนท์ ่มี ี x15 จากพจน์ทวั่ ไป 12 ⎛ 1 ⎞r ⋅ x24−2r −r ดังนน้ั เซต A คอื [−4, −2) ∪ (0, 2] r ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ∴ จาํ นวนเตม็ ใน A ได้แก่ -4, -3, 1, 2 รวม 4 จาํ นวน ตอบ → 24 − 2r − r = 15 → r = 3 ดังนนั้ สัมประสทิ ธขิ์ องพจนน์ ้ี = ⎝⎛⎜ 12 ⎠⎞⎟ ⎛ 1 ⎞3 3 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ (2) M32 = x6 = 7x − 12 = 23 → x =5 = 12 ! = 27.5 ตอบ 27 9!3!⋅ 8 C23 = − x −1 = −2xy − 4 = −44 → y = 4 (6) det = 0 → x2(x − 1) + x(x − 4) = 0 4 2y → x3 − 4x2 = 0 → x = 0, 2, −2 ดังนนั้ x + y = 9 ตอบ นํา x มาจาก {0, 1, 2, 3, 4} ...มเี ลข 0 กบั 2 ท่ใี ชไ้ ด้ (3) ลําดับเรขาคณติ b = c .....(1) ดงั นน้ั ความน่าจะเปน็ = 2 = 0.4 ตอบ ab 5 ผลคณู abc = 27 .....(2) ลาํ ดบั เลขคณติ b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3) (7) y′ = ความชนั = 2 (x − 1)(2x − 5) + (x − 1)2(2) 4 แกร้ ะบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3, ac = 9 → แทน x = 1 จะได้ความชัน = 3 24 ใส่ค่า b ใน (3) ได้ a + c = 10 บังเอิญโจทย์ถาม a + b + c ∴ tan θ = 3 → cos θ = 4 = 1 − 2 sin2 ⎛θ⎞ 4 5 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ จึงได้ 10 + 3 = 13 ตอบ จะได้ sin2 ⎛⎝⎜ θ ⎠⎟⎞ = 1 = 0.1 ตอบ [ไม่ตอ้ งแก้ a, c ต่อ แตส่ มมตถิ า้ แกส้ มการต่อ จะ 2 10 ได้ผลเปน็ a = 1, c = 9 หรอื a = 9, c = 1 ก็ได]้ (8) พสิ ยั = 12 และ a < 15 → ดงั นน้ั a = 3 (4) ⎛ x2 + 3 − 2 ⎞ ⎛ x2 + 3 + 2 ⎞ ∑ (xi − b)2 น้อยสดุ → ดังน้นั b = X = 8 lim ⎜ x−1 ⎟ ⎜⎜⎝ x2 + 3 + 2 ⎟⎠⎟ x→1 ⎝ ⎠ ∑ xi − c น้อยสดุ → ดังนนั้ c = Medx = 8 = lim (x2 − 1) (จากสมบัติของ X และ Med) x → 1 (x − 1)( x2 + 3 + 2) ตอบ 3 + 8 + 8 = 19 = lim (x + 1) = 2 = 0.5 ตอบ x → 1 ( x2 + 3 + 2) 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 459 ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 ตอนที่ 2 (6) แสดงวา่ ตอ้ งจรงิ ท้งั 2 อยา่ ง (1) คดิ จากแผนภาพ B x2 < 2x + 3 → −1 < x < 3 n(A ∩ B ∩ C) = จ = 3 A กข ค y2 − 4 > 0 → y < −2 หรอื y > 2 งจ ฉ n(A ∩ B' ∩ C ') = ก = 20 ดงั นน้ั ∀x [−1< x < 3] ∧ ∃y [y < − 2 หรอื y > 2] ชC โจทย์ถาม ตอบ ขอ้ ที่ถกู คอื ข้อ 4. เพราะทกุ ๆ x อยู่ใน [−1, 3] - n(A ' ∩ B ∩ C) = ฉ และมีบาง x อยูใ่ น (−∞, −2) ∪ (2, ∞) ถ้ามองแค่ B กบั C สองเซต (7) ก. หา Dr; 1 > 0 เพราะอีกฝัง่ เปน็ คา่ − จะได้สตู รวา่ =+ x2 1 80 − 20 = 42 + 28 − ◊ สัมบูรณ์ → 1 > 0 (x − 1)(x + 1) → ◊ = 10 แต่ จ = 3 ตอบ 7 (2) โดเมนคอื {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} Dr = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ∴ ขอ้ ก. ถูก แตเ่ รนจห์ า้ มอย่ใู นโดเมน (f(x) ∉ x) ข. หา r−1; x = 1 → y2 − 1 = 1 y2 − 1 x ∴ {1} จบั เรนจ์ได้ 5 วิธี (2ถึง6) → y2 = 1 + 1 → y = ± 1 + x {1, 2} จับได้ 4 วธิ ี (3ถงึ 6) xx {1, 2, 3} ได้ 3 วิธี (4ถงึ 6) ซึง่ ไม่เหมอื นกบั ± 1 + x ∴ ขอ้ ข. ผดิ x และ {1, 2, 3, 4} ได้ 2 วิธี (5,6) [เพราะ x มที ง้ั คา่ บวกและลบ เชน่ ถ้า x = −0.5 ตอบ 5 × 4 × 3 × 2 = 120 สองแบบนจี้ ะไดค้ า่ ไม่เทา่ กนั ] ตอบ ขอ้ 2. (3) “เป็นตัวประกอบ” (8) หา f−1(x) กบั g−1(x) ก่อน แสดงว่า p(−1) = 0 และ p(1) = 0 ไดส้ มการดงั นี้ → f−1(x); x = y → x + xy = y −3 + 1 + a + b = 0 .....(1) 1+ y 3 + 1 − a + b = 0 .....(2) → xy − y = −x → y = −x = x ∴ a = 3, b = −1 x −1 1− x หาร p(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1 ดว้ ย ตอบ ∴ f−1(x) = x (x ≠ 1) ซ่ึงเหมอื น g(x) 1− x x − a − b = x − 2 ได้เศษ = p(2) = 21 แสดงวา่ g−1(x) = f(x) ด้วย (4) A; x − 1 < 2 → −2 < x − 1 < 2 1. ถกู(fog)−1(x) = (g−1of−1)(x) = g−1(g(x)) = x → −1 < x < 3 2. ถกู(f−1og−1)(x) = f−1(f(x)) = x และ 1 > 1 → 2 > x + 1 ⎛x⎞ x+1 2 ⎜⎝ 1 − x ⎠⎟ 3. (f−1og)(x) ⎝⎜⎛ x ⎠⎞⎟ (ยา้ ยขา้ งคณู ไขวไ้ ดเ้ พราะมากกวา่ 0 เสมอ) = f−1 1 − x = ⎝⎜⎛ x ⎠⎟⎞ − → −2 < x + 1 < 2 → −3 < x < 1 1 − 1 x แต่อยา่ ลมื x ≠ −1 ดว้ ย = x = x → ข้อ 3. ผิด B; x (x + 2) < 0 → −2 < x < 0 1 − x − x 1 − 2x ดังนนั้ A ∩ B = (−1, 0) ตอบ ⎛x⎞ ⎝⎜ 1 + x ⎟⎠ (5) p → (q ∧ r) ≡ F แสดงวา่ p เป็นจริง, 4. (g−1of)(x) = g−1 ⎜⎝⎛ x ⎞⎟⎠ = 1 + x ⎝⎜⎛ x ⎟⎠⎞ q กับ r มเี ปน็ เทจ็ อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั 1 + + (p ∨ q) ↔ r ≡ T ↔ r ≡ T แสดงวา่ r เป็นจริง 1 x ∴ q เปน็ เทจ็ = x = x ถูก ก. (p ↔ q) ↔ ~ r ≡ F ↔ F ≡ จริง 1 + x + x 1 + 2x ดังนนั้ ตอบ ขอ้ 3. ข. p ↔ (q ∨ ~ r) ≡ T ↔ F ≡ เท็จ ตอบ [หมายเหตุ ทจ่ี รงิ ขอ้ 4. ตอ้ งเพมิ่ วา่ x ≠ − 1 ดว้ ย] 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 460 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.44 (9) Rf = [−2, 2] (แอมพลิจดู เปน็ 2) (13) 2x2(x − 3) 3 ⎛ 2 − x ⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Dg; x2 − 1 > 0 → (−∞, −1] ∪ [1, ∞) < 2 Rgof; คดิ จาก −2 < f(x) < 2 → 0 < [f(x)]2 < 4 → x2(x − 3) < 3 ⎛ 2 − x ⎞ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ → 0 < [f(x)]2 − 1 < 3 → Rgof = [0, 3] → x3 − 3x2 + 3x − 2 < 0 ดงั นน้ั Rf ∩ Dg = [−2, −1] ∪ [1, 2] → (x − 2)(x2 − x + 1) < 0 ตอบ→ (Rf ∩ Dg) − Rgof = [−2, −1] ∪ ( 3, 2] (10) จาก (a + b + c)(a − b + c) = 30 ซ่งึ x2 − x + 1 แยกตวั ประกอบไม่ได้ แตจ่ ดั รูปเปน็ ⎛ x − 1 ⎞2 +3 “มากกวา่ 0 เสมอ” ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 → a2 + 2ac + c2 − b2 = 30 .....(1) ดงั นนั้ (x − 2) < 0 → x < 2 ตอบ ขอ้ 4. จากกฎของ cos; b2 = a2 + c2 − 2ac cos B [หมายเหตุ อันทจี่ รงิ หากพหนุ ามกําลงั สองใด → b2 = a2 + c2 − ac .....(2) แยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ (รทู้ ตดิ ลบ) พหุนามนน้ั จะมคี า่ 2 มากกวา่ 0 เสมอ ไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งจัดรูปกไ็ ด]้ สมการ (1)-(2); 5 ac = 30 → ∴ ac = 12 ตอบ 2 (14) ⎡20 2 2 ⎤ ⎢ 21 ⎥ (11) จัดรปู วงร;ี A = ⎢ 2 2 2 ⎥ → det(A) = −4 ⎢⎣ 2 22 ⎥⎦ (x2 + 4x + 4) + 2(y2 − 2y + 1) = −2 + 4 + 2 พิสจู น์ จาก adj(A) = A ⋅ A−1 → (x + 2)2 + 2(y − 1)2 = 4 → adjA = A n ⋅ A −1 = A n − 1 → (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1 → วงรตี ามแกน x 42 ∴ โจทย์ถาม 4 ⋅ adj(At) = ⎛ 4 ⎞3 adj(A) A ⎜⎝⎜ A ⎠⎟⎟ จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (−2, 1) ระยะโฟกสั c = 4 − 2 = 2 ตอบ= (−1)3 ⋅ (−4)3 − 1 = −16 ดังนนั้ จดุ โฟกสั ไดแ้ ก่ A(−2 − 2, 1), B(−2 + 2, 1) (15) ต่อไปหาจดุ ตดั แกน x; แทน y = 0 จะได้ (x + 2)2 + 2 = 4 → x = −2 ± 2 35 (10,30) แสดงว่าจดุ ตดั แกน x ไดแ้ ก่ C(−2 + 2, 0) D(−2 − 2, 0) ดงั รปู AB O 25 1 สมมติ (10, 30) เปน็ จดุ ทท่ี าํ ให้เกิด Pmax ∴ ABCD เป็น ผนื ผ้า, D 2 2 C ∴ 100 = a(10) + 2(30) → a = 4 พ้นื ท่ี = 2 2 ตร.หน่วย ตอบ ก. ถกู ข. ผิด ตรวจสอบคําตอบโดยลองแทนจดุ อน่ื ดู (12) สมการ L; (25, 0) → P = 100, (0, 35) → P = 70 y − 4 = 3 (x − 1) → 4y − 3x − 13 = 0 แสดงว่า Pmax = 100 เกิดทจ่ี ุด (10, 30) จรงิ ๆ 4 ∴ ตอบ a = 4 สัมผัสวงกลม C ท่ีมีศนู ยก์ ลางท่ี (1, 2) [หมายเหตุ ถ้าจดุ อนื่ ให้ P สูงกวา่ กต็ ้องคดิ ใหม่โดย ใหจ้ ุดทสี่ ูงกวา่ น้นั เป็นจดุ ทเี่ กิด Pmax จริง แลว้ หาคา่ a] แสดงวา่ รัศมี r = 4(2) − 3(1) − 13 = 8 42 + 32 5 (16) (a i + b j) ⋅ (5 i − 2 j) = 5a − 2b = 14 .....(1) ดูในตวั เลอื ก มี x = 1 กับ y = 2 u กับ i ทํามุมกนั (a,b) arccos 3 ดงั รปู 54 จะสังเกตว่าไมต่ อ้ งสรา้ งสมการวงกลมก็คดิ ได้ 5 1. (1, 2 − 8) = (1, 2) ถกู 55 2. θ 3. (1,2) 4. 2. (1, 2 + 8) = (1, 18) 3 55 แสดงว่า a = 3 → 4a = 3b .....(2) 3. (1 − 8 , 2) = (− 3 , 2) 1. b4 55 แกร้ ะบบสมการได้ a = 6, b = 8 ตอบ 14 4. (1 + 8 , 2) = (13 , 2) 55 ตอบ ข้อ 1. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 461 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.44 (˜O1C7)=ใช2ส้ ˜Oตู Bรก+าร1แ˜OบA่งเวกเตอร์ O B (23) 1 = [g′(x)] 1 = g′(1) − g′(0) 3 1 0 ∫ g′′(x) dx 0 = 2 (2 i + 5 j) + 1 (3 i − 2 j) C หาคา่ g′(1) กบั g′(0) จาก 33 และ2 (x4 = 7 i +8j 33 A g′(x) = + 1)(f′(x)) − (f(x))(4x3) (x4 + 1)2 → g′(1) = (2)(1) − (1)(4) = − 1 ˜→ 42 | OC |2 = ⎛ 7 ⎞2 + ⎛ 8 ⎞2 = 113 g′(0) = (1)(−2) − (−2)(0) = −2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9 1 (18) z3 = 1 + 3 i = 1∠ π 22 3 ตอบ − 1 − (−2) = 3 22 (24) ก. 5!5! ถกู แลว้ โจทย์ถาม z18 = ⎝⎛⎜ 1∠ π ⎞6 = 1∠2π 1 − z27 ⎠⎟ − 1∠3π ข. โตะ๊ วางติดกนั จงึ เหมอื นมีตาํ แหนง่ เกดิ ข้ึนภายใน 3 โต๊ะแลว้ จดั แตล่ ะโตะ๊ ได้เป็น 6!6! โตะ๊ ต่างกนั จึงคูณ 2! ขอ้ นจ้ี ึงตอ้ งเป็น 6!6!2! i − ⎛⎜⎝ 1∠ π ⎞⎠⎟9 i 3 = 1 = 1 = 1 − i ∴ ตอบ 1 − 1 = 0 ตอบ ก. ถกู ข. ผิด i − (−1) i + 1 2 22 (25) ก + ข = 2 (19) i9 + i10 + i11 + i12 = 0, i13 + i14 + i15 + i16 = 0 5 กขค ง ไปเรื่อยๆ ดงั นนั้ z = i125 + i126 = i1 + i2 = i − 1 ข+ค = 1 → 2z−1 = 2 = 2(−1 − i) = −1 − i ตอบ 3 i−1 2 ก + ค + ง = 13 ∴ ข = 1 − 13 = 2 (20) Sn = n (a1 + an) 15 15 15 2 ก + ข + ค = 2 + 1 − 2 = 3 ตอบ → 217 = n (7 + 7 + (n − 1)(8)) = n (8n + 6) 5 3 15 5 22 (26) คิด ก. กอ่ น → 4n2 + 3n − 217 = 0 → n = 7, − 31 → 1.3 = xก − 55 → xก = 68 คะแนน 4 10 ข. นอ้ ยกว่า ก. อยู่ 8, แตบ่ วกไปคนละ 5 ดว้ ย แต่ n ∈ I+ ∴ n = 7 เทา่ นน้ั โจทย์ถาม (27 + 28 + 29 + … + 214) ÷ 28 ดังนนั้ xรวม,ข = 68 − 8 + 5 = 65 = ⎡27(1 − 28)⎤ ÷ 28 = 27(28 − 1) = 28 − 1 คิดเปน็ คา่ มาตรฐาน → zรวม, ข = 65 − 60 = 0.5 ⎢ ⎥ 28 2 10 ⎣ 1−2 ⎦ [อย่าลืมวา่ ทกุ คนได้บวก 5 ทาํ ให้ X เปล่ียน] = 127.5 ตอบ ตอบ 65, 0.5 (21) f(1) = −2 และ f′(1) = 0 (27) ทาํ ให้ไดส้ มการวา่ a + b = −2 และ 3a + b = 0 0.3340 จะไดว้ า่ แก้ระบบสมการได้ a = 1, b = −3 0.4430 16.6% 5.7% zค = 1.58 และ → f(x) = x3 − 3x → g(x) = x3 + (3x2 − 3) วทิ ยา คณิต zว = −0.97 หาชว่ งทเ่ี ปน็ ฟังกช์ นั ลด g′(x) = 3x2 + 6x < 0 ตอบ (−2, 0) จากสตู รจะได้ 1.58 = xค − X , − 0.97 = xว − X (22) f′(1) = 5 และ f′′(0) = −12 ss ทําให้ไดส้ มการวา่ 3a + 2b + 2 = 5, 0 + 2b = −12 นาํ สองสมการมาลบกัน ไดเ้ ปน็ 2.55 = xค − xว ∴ b = −6, a = 5 s น่ันคอื f(x) = 5x3 − 6x2 + 2x − 2 ซึ่งโจทยบ์ อกวา่ xค − xว = 51 หาคา่ ∫ [f′(x) + f′′(x)] dx จะไดผ้ ลคลา้ ยๆ กบั f(x) + f′(x) แตต่ ดิ คา่ C1, C2 ∴ s = 51 = 20 คะแนน ตอบ ดงั นี้ (5x3 − 6x2 + 2x + C1) + (15x2 − 12x + C2) 2.55 = 5x3 + 9x2 − 10x + C ตอบ (28) ก. 11 × 100 = 84.62% ถูก 13 ข. เพ่มิ ขึ้น 12 − 11 × 100 = 9.09% ผดิ ตอบ 11 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 462 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.44 ¢oŒ Êoºe¢ÒŒ ÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.44 (i) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เปน็ ขอ้ สอบแบบอตั นยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = { f : A > A | f (x) < x + 1 ทุก x ∈ A } จาํ นวนฟงั ก์ชันท้ังหมดทเี่ ปน็ สมาชกิ ของ S เทา่ กบั เทา่ ใด 2. ให้ช่วงเปิด (a, b) เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ log (3x + 4) > log (x − 1) + 1 แล้ว a + b มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด 3. ถ้า ⎡ 1 0 −1⎤ และ แลว้ มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด ⎢⎣⎢23 −a2⎥⎥⎦ A = −1 C11(A) = 2 det (−3A−1) 5 4. ให้ z = −1 − 3 i แล้ว z6+ z 6 เทา่ กบั เท่าใด 5. ถ้า c เปน็ จํานวนจรงิ ซ่งึ lim 3cn3 − n2 + cn ∑= ∞ (−2)n−1 แลว้ c มคี ่าเท่าใด (2n + 1)3 n = 1 3n−2 n→∞ 6. ถา้ เส้นตรง x = a แบ่งครึ่งพน้ื ท่ที ่ปี ดิ ล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2x จาก x = 0 ถึง x = 8 แล้ว a3 มคี ่าเทา่ ใด 7. กาํ หนดความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ A, B และ A ∩ B ดงั นี้ P (A) = 0.5 , P (B) = 0.3 และ P (A ∩ B) = 0.1 แล้ว P (A ' ∪ B') มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด 8. ร้านคา้ แห่งหน่ึงขายพดั ลม 3 ขนาด ในการหาดชั นีราคาพัดลมทงั้ 3 ขนาด ถา้ ดัชนีราคาอยา่ งงา่ ย แบบใชร้ าคารวมของ พ.ศ. 2543 โดยใช้ พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2541 เป็นปฐี าน เทา่ กบั 80 และ 120 ตามลาํ ดบั แล้ว ราคาเฉลีย่ ของพดั ลมทั้ง 3 ขนาด ใน พ.ศ. 2542 เมือ่ หาโดยใช้ดชั นีราคาอยา่ ง งา่ ยแบบใชร้ าคารวม เพ่มิ ข้ึนจากราคาเฉลี่ยของพัดลมท้ัง 3 ขนาดในพ.ศ. 2541 ร้อยละเท่าใด ตอนท่ี 2 ข้อ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ขอ้ ละ 3 คะแนน 1. ให้ A, B, C เปน็ เซตท่มี สี มาชิก เซตละ 2 ตัว และ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C โดยท่ี A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d} ถา้ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ แล้ว พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. d ∈ A ข. B = C ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 463 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.44 2. ถ้า −2 < x < 2 และ 8 < y < 13 แลว้ ค่ามากที่สุดของ (1/2)x + 1 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ y+2 1. 1 2. 1/2 3. 1/3 4. 1/8 3. กําหนดให้ P (x) = x3 + ax2 + bx + 2 โดยท่ี a และ b เปน็ จํานวนจรงิ ถา้ x − 1 และ x + 3 ต่างกห็ าร P(x) แลว้ เหลือเศษ 5 ดงั น้ัน a + 2b มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −11 2. −1 3. 1 4. 9 4. พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี เมอ่ื เอกภพสมั พัทธค์ อื เซตของจาํ นวนจรงิ ก. ∃x [cot 2x − cot x = 0 ] ข. ∀x [sin4 x + cos4 x = 1 − 1 sin22x ] 2 ค่าความจรงิ ของขอ้ ความ ก. และขอ้ ความ ข. เป็นไปตามข้อใดต่อไปน้ี 1. ก. เปน็ จริง และ ข. เปน็ จริง 2. ก. เป็นจรงิ และ ข. เปน็ เทจ็ 3. ก. เป็นเท็จ และ ข. เปน็ จริง 4. ก. เปน็ เทจ็ และ ข. เปน็ เทจ็ 5. กําหนดให้ p, q, r เป็นประพจนท์ ่ีมคี า่ ความจริงเป็น จริง เทจ็ และเทจ็ ตามลําดบั ประพจนใ์ น ขอ้ ใดตอ่ ไปนม้ี ีค่าความจริงเหมือนกับประพจน์ (p → ~ q) ∨ (r ∧ ~ p) 1. (~ r → p) ∧ (q ∨ r) 2. (q ∧ ~ r) ↔ (~ p → ~ q) 3. (~ p ∨ r) → (q ∧ ~ r) 4. (p → q) ∨ (~ r ↔ q) 6. ถ้า r = {(x, y) ∈ R × R | 2x3 + 3xy2 − x2 + y2 = 0 } แล้ว เรนจข์ อง r −1 เทา่ กบั ข้อใด 1. (− 1 , 1] 2. [− 1 , 1) 32 23 3. (−∞, − 1) ∪ (− 1 , ∞) 4. (−∞, ∞) 33 7. กาํ หนดให้ f (x) = 4 − x2 และ g(x) = 1 9 − x2 จํานวนในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เปน็ สมาชกิ ของ Rgof 3. 1. 1 2. 1 1 4. 1 2 4 8 14 8. กาํ หนดให้ f (x + 1) = 3x + 2 + f (x) และ g(3x − 1) = 2x + 8 ถ้า f (0) = 1 แล้ว g−1(f (2)) เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 9. ถา้ sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แล้ว (x + y)2− 2xy เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 4 cos220° 2. 2 cos220° 3. 4 cos240° 4. 2 cos240° Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 464 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.44 10. ถา้ 0 < x < π แลว้ 4 เซตคําตอบของ log0.5(sin x) + log0.5(sin 2x) < log0.5(cos x) + log0.5(cos 2x) คือเซตในขอ้ ใดต่อไปน้ี 2. (0, π) 3. ( π , π) 4. (π , π) 64 1. ∅ 6 12 6 11. ให้ C เป็นวงกลมท่มี ีจุดศูนยก์ ลางอยู่ทจี่ ดุ ศนู ย์กลางของวงรี x2+ 2y2+ 4x − 4y + 2 = 0 และ ผา่ นจดุ โฟกสั ท้ังสองของวงรีน้ี ถ้าวงกลม C ตัดเส้นตรง y = −x ทจ่ี ุด A และ B แลว้ ระยะ AB ยาวเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 3 หนว่ ย 2. 5 หน่วย 3. 6 หน่วย 4. 8 หนว่ ย 12. กําหนดให้ P เป็นพาราโบลา y2− 2y − 8x − 7 = 0 ซึ่งมี L เปน็ เส้นไดเรกตรกิ ซ์ สมการ วงกลมซึง่ มจี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่จี ุดโฟกัสของ P และมี L เป็นเส้นสัมผสั คือขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. x2 + y2 + 2x − 2y − 14 = 0 2. x2 + y2 + 2x − 2y − 2 = 0 3. x2 + y2 + 2x + 2y − 2 = 0 4. x2 + y2 − 2x − 2y − 14 = 0 13. เซตคาํ ตอบของสมการ 4 ⋅ 32x + 9 ⋅ 22x = 13 ⋅ 6x เป็นสับเซตของเซตในขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. [−4, 0] 2. [−3, 1] 3. [−2, 2] 4. [1, 3] 14. ให้ ⎛ ⎡x2 −x 1⎤ ⎞ ถ้าชว่ ง เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ แล้ว ⎜ ⎢ 1 2⎥⎥ ⎟ f (x) > −2 f (x) = det ⎜ ⎢ 0 1 1⎦⎥ ⎟ [a, b] ⎝⎜ ⎠⎟ ⎣⎢ x a − b คอื ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 4 4. 5 3 33 3 15. ค่าของ x, y ทที่ ําให้ P = 2 x + 3 y มคี ่าสงู สดุ ตามเงอื่ นไขข้อจาํ กัดท่กี ําหนดให้ตอ่ ไปน้ี x + y > 4 , 3x + 2y < 10 , 2x − y < 1 , x > 0 และ y > 0 สอดคล้องกับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. x + y = 5 2. x + y = 4 3. x + y = 39 4. x + y = 33 8 8 16. กาํ หนดให้ u = 2 , u + v = 5 , u − v = 4 ถ้า θ เป็นมุมระหวา่ ง u และ v 2 แลว้ θ อยู่ในช่วงใดต่อไปน้ี 1. (0, π) 2. (π , π) 3. (π , π) 4. (π , π) 6 64 43 ||3˜˜AADB2|| 17. กําหนดจุด A (1, 1), B(4, 10), C (7, 9) และ D เปน็ จุดทอ่ี ยู่บนด้าน AB โดยท่ี = 2 ถ้า 3 θ คอื มมุ ระหว่าง ˜CA และ ˜DC แล้ว cos θ คอื คา่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. −2 2. −2 3. 2 4. 2 5 10 5 10 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 465 ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 18. ถ้า 3 + 39 เป็นคําตอบหนึง่ ของสมการ ax2 − 3x + c = 0 โดยท่ี a และ c เปน็ จํานวน i 44 จรงิ แลว้ เศษทเ่ี หลือจากการหาร ax2− 3x + c ด้วย x + 2 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 8 2. 12 3. 16 4. 20 ⎧1 ,x ≠ 1 19. กําหนดให้ ⎪ และ g(x) = x3 + x − 2 f (x) = ⎨ x − 1 ⎩⎪ 2 , x = 1 ถา้ h(x) = f (x) g(x) แล้ว ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูก 1. h ตอ่ เนือ่ งท่จี ดุ x = 1 และ lim h(x) = 0 x→1 2. h ตอ่ เนอื่ งทีจ่ ดุ x = 1 และ lim h(x) = 4 x→1 3. h ไม่ตอ่ เน่ืองทีจ่ ดุ x = 1 และ lim h(x) = 0 x→1 4. h ไมต่ ่อเน่อื งทีจ่ ุด x = 1 และ lim h(x) = 4 x→1 20. กําหนดให้ g เป็นฟังกช์ นั ซึ่งมีอนุพันธท์ ่ที กุ จดุ x > 0 และ g′(3) = 3 จาํ นวนเตม็ บวก n ที่ทําให้ g(xn+ 2x) = 4x3+ 6x2+ 31 คือจาํ นวนในข้อใดต่อไปนี้ 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 21. ให้ f เป็นฟังกช์ นั พหุนามกําลงั สาม ซึง่ มีค่าสงู สุดสมั พทั ธ์เท่ากับสามเทา่ ของคา่ ต่ําสุดสัมพัทธ์ และ f (0) = 2 ถ้า f มีคา่ สูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = − 1 และมีค่าต่ําสดุ สัมพัทธ์ท่ี x = 1 แล้ว f (4) เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −28 2. −24 3. 24 4. 28 22. กาํ หนดให้เสน้ โคง้ y = f (x) ผ่านจุด (1, 0) และมคี วามชันทจี่ ดุ (x, y) ใดๆ เป็น 3x2 − 4x + 2 ถา้ (a, b) เปน็ จดุ ตัดระหวา่ งเสน้ โค้งน้กี บั เส้นตรง x −2=0 แล้ว a+b มีค่า x2 เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 2 3. 7 4. 4 22 23. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชายและหญิงจํานวนเท่ากัน โดยท่ีอตั ราสว่ นของจํานวนวิธีทชี่ ายและหญงิ ยืนสลับ ท่กี ันเป็นแถวตรง กับจาํ นวนวิธที ่ชี ายและหญงิ ยนื สลับทีก่ นั เปน็ วงกลม เทา่ กับ 10 : 1 จํานวนวธิ ีทจ่ี ะ เลอื กตวั แทน 2 คนจากคนกลุ่มนี้ โดยมชี ายอยา่ งนอ้ ย 1 คน เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 30 2. 35 3. 40 4. 45 24. ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่งจัดรายการสมนาคุณแกล่ กู คา้ โดยจะใหล้ ูกคา้ ทุกคนสมุ่ หยิบคูปอง ส่วนลดได้ 2 ใบ จากกล่องซ่ึงมคี ูปองทง้ั หมด 12 ใบ ซ่งึ มคี ูปองมลู คา่ 50 บาท 5 ใบ คปู องมูลค่า 100 บาท 3 ใบ คปู องมลู คา่ 200 บาท 3 ใบ และคูปองมูลคา่ 500 บาท 1 ใบ ความน่าจะเป็นที่ ลูกคา้ คนหน่งึ จะสมุ่ หยบิ คูปอง 2 ใบ และได้คูปองทม่ี ีมูลคา่ ส่วนลดรวมมากกว่า 300 บาท มคี ่า เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 11 2. 14 3. 20 4. 23 66 66 66 66 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 466 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.44 25. นักเรยี นอนุบาล 4 คน มอี ายุเปน็ x1, x2, x3, x4 ปี โดยมคี ่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายเุ ปน็ 5.5 ปี และ 4 = 141 ถ้ามนี ักเรยี นท่มี ีอายุ 3 ปี มาเพ่มิ อีก 1 คน แล้ว สัมประสทิ ธ์ิของการแปรผัน ∑ x2i i=1 ของอายุนกั เรียนทง้ั 5 คนน้ี เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 1 3. 2 5 4. 5 55 26. ถ้าตารางแจกแจงความถ่ขี องข้อมลู ชุดหนึ่ง ซงึ่ มคี วามกว้างของแตล่ ะอันตรภาคช้นั เท่ากนั เป็น ดังตอ่ ไปน้ี ช้นั ท่ี จุดก่ึงกลางของอนั ตรภาคชนั้ ความถี่สะสม 1 ... 8 2 ... 16 3 ... 36 4 25 40 5 30 50 ให้ x เปน็ คา่ เฉลี่ยเลขคณิต และ med เปน็ มัธยฐานของขอ้ มลู ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. x = 19 และ med = 19.75 2. x = 19 และ med = 17.5 3. x = 20 และ med = 19.75 4. x = 20 และ med = 17.5 27. ถ้าจากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจํานวนช่ัวโมงตอ่ สัปดาห์ทใี่ ช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ (แทน ดว้ ย X ) และผลการเรยี นเฉล่ีย หรือ GPA (แทนด้วย Y ) ได้สมการท่ีใช้ประมาณผลการเรยี น เฉลีย่ จากจํานวนช่วั โมงต่อสปั ดาหท์ ่ีใช้ในการทบทวนวิชาตา่ งๆ เป็นสมการเสน้ ตรงทีม่ ีความชัน เทา่ กบั 0.02 และระยะตัดแกน Y เทา่ กบั 2.7 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. ถ้าจํานวนช่ัวโมงทีใ่ ชใ้ นการทบทวนวชิ าต่างๆ เพิม่ ข้ึน 10 ชว่ั โมงตอ่ สปั ดาห์ ผลการเรยี น เฉลีย่ เพ่ิมขน้ึ 0.2 ข. ถา้ ผลการเรียนเฉล่ยี เทา่ กบั 3 ทํานายวา่ จํานวนชัว่ โมงที่ใชใ้ นการทบทวนวิชาตา่ งๆ เท่ากบั 15 ชัว่ โมงต่อสปั ดาห์ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจรงิ 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 28. พน้ื ทีใ่ ตเ้ ส้นโค้งปกติระหวา่ ง z = −1.2 ถงึ z = 0 เท่ากับ 0.3849 คะแนนสอบของนกั เรียน กลมุ่ หนง่ึ มีการแจกแจงแบบปกติโดยมคี ่าเฉลีย่ เลขคณิตและส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 50 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลําดบั ถ้านายคํานวณสอบไดใ้ นตําแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์เท่ากับ 88.49 แลว้ นายคํานวณสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 58 คะแนน 2. 60 คะแนน 3. 62 คะแนน 4. 65 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 467 ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 เฉลยคําตอบ ตอนท่ี 1 (1) 96 (2) 3 (3) 1.8 (4) 128 (5) 4.8 (6) 128 (7) 0.9 (8) 50 ตอนที่ 2 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 1 (10) 4 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 4 (15) 1 (16) 2 (17) 1 (18) 4 (19) 4 (20) 2 (21) 4 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 3 เฉลยวธิ ีคดิ ตอนท่ี 1 (6) (1) ตวั หนา้ (1, _) (2, _) (3, _) (4, _) จะได้วา่ a8 และตวั หลัง y < x + 1 ∫ y dx = ∫ y dx จะได้วา่ (1, _) เลอื กตวั หลงั ได้ 1,2 รวม 2 แบบ 0a (2, _) เลอื กตวั หลงั ได้ 1,2,3 รวม 3 แบบ (3, _) เลอื กตวั หลงั ได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ 0 a8 (4, _) เลอื กตวั หลงั ได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ → ⎡ 2x3 / 2 ⋅ 2⎤ a = ⎡ 2x3 / 2 ⋅ 2⎤ 8 ⎣⎢ 3 ⎥⎦ 0 ⎢⎣ 3 ⎦⎥ a รวม 2 × 3 × 4 × 4 = 96 แบบ ตอบ (2) log(3x + 4) > log(x − 1) + log 10 ตัดสมั ประสิทธิ์ 2 ⋅ 2 ทง้ั สองขา้ งของสมการ 3 33 33 33 → 3x + 4 > 10(x − 1) → 14 > 7x → x < 2 → a2 − 02 = 82 − a2 → 2a2 = 82 แตอ่ ยา่ ลืมเง่ือนไขของ log คอื 3x + 4 > 0 และ → 4a3 = 83 → a3 = 83 = 128 ตอบ 4 x − 1 > 0 จะได้ x > − 4 และ x > 1 3 (7) P(A ' ∪ B' ) = 1 − P(A ∩ B) ดงั นน้ั ได้ชว่ งคาํ ตอบ (1, 2) ตอบ 3 = 1 − 0.1 = 0.9 ตอบ (3) C11(A) = 2 → −1 −1 =2 → −a + 10 = 2 (8) I43 = 80, I42 = 120 5a เพม่ิ ขนึ้ 120 − 80 × 100 = รอ้ ยละ 50 ตอบ →a=8 80 ∴ A = −8 + 0 − 15 − 2 + 0 + 10 = −15 ตอนท่ี 2 → −3A−1 = (−3)3 = −27 = 1.8 ตอบ A −15 (1) A = {a, _} B = {b, _} C = {c, _} (4) z = 2∠ 4π , z = 2∠(− 4π) ซ่งึ ถา้ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ 33 แสดงวา่ A ∩ B = ∅ และ A ∩ C = ∅ → z6 + z6 = 26∠ 24π + 26∠(− 24π) ฉะนนั้ b และ c ตอ้ งไม่อยใู่ น A 33 จงึ สรุปวา่ A = {a, d} ก. ถูก = 26∠0 + 26∠0 = 64 + 64 = 128 ตอบ และ a กบั d ตอ้ งไม่อยูใ่ น B, C เลย (5) lim 3cn3 − n2 + cn ∴ B = {b, c} C = {c, b} ข. ถกู ตอบ n→∞ 8n3 + … + 1 (2) −2 < x < 2 → 1 < 2x < 4 3c − 1 + c 4 n + n2 = lim 1 = 3c → 1 < ⎛ 1 ⎞x < 4 → 5 < ⎛ 1 ⎞x + 1< 5 8+… n3 8 4 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 4 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ n→∞ และ ∑∞ (−2)n − 1 4 −8 และ 8 < y < 13 → 10 < y + 2 < 15 n = 1 3n − 2 3 9 = 3−2+ +… ดังนนั้ เมือ่ นํามาหารกนั ทลี ะคู่ ผลท่ไี ด้ = 3 2) = 9 เปน็ 5 = 1 , 5 = 1 , 5 = 1, 5 =1 1 − (− 5 40 8 60 12 10 2 15 3 3 ค่ามากทสี่ ุด = 1 ตอบ 2 ∴ 3c = 9 → c = 4.8 ตอบ 85 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 468 ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 (3) P(1) = 5 → 1 + a + b + 2 = 5 .....(1) (8) หา f(2) จาก f(0) โดยไล่ไปทลี ะตวั P(−3) = 5 → −27 + 9a − 3b + 2 = 5 .....(2) f(1) = 3(0) + 2 + f(0) → f(1) = 2 + 1 = 3 แกร้ ะบบสมการได้ a = 3 และ b = −1 ∴ f(2) = 3(1) + 2 + f(1) = 3 + 2 + 3 = 8 ∴ ตอบ 1 โจทย์ถาม g−1(8) (4) ก. cot 2x − cot x = 0 จาก g−1(2x + 8) = 3x − 1 ให้ 2x + 8 = 8 พบว่าตอ้ งใส่ x = 0 ดงั นัน้ g−1(8) = −1 ตอบ → cos 2x − cos x = 0 (9) (x + y)2 − 2xy = x2 + y2 sin 2x sin x = (sin 15° + sin 55°)2 + (cos 15° + cos 55°)2 → sin x cos 2x − cos x sin 2x = 0 sin 2x sin x = sin2 15° + 2 sin 15° sin 55° + sin2 55° + cos2 15° + 2 cos 15° cos 55° + cos2 55° → sin(−x) = 0 → −1 = 0 sin 2x sin x sin 2x = 2 + 2 sin 15° sin 55° + 2 cos 15° cos 55° เปน็ ไปไมไ่ ด้ ∴ ก. เทจ็ = 2 − (cos 70° − cos 40°) + (cos 70° + cos 40°) ข. sin4 x + cos4 x = [sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x] − 2 sin2 x cos2 x = 2 + 2 cos 40° = 2 + 2 (2 cos2 20° − 1) = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 4 cos2 20° ตอบ = 12 − (2 sin x cos x)2 = 1 − 1 sin2 2x ∴ ข. จรงิ (10) log0.5(sin x sin 2x) < log0.5(cos x cos 2x) 2 2 → sin x sin 2x > cos x cos 2x ตอบ ข้อ 3. (อยา่ ลืมกลบั เครอื่ งหมาย เพราะฐานเปน็ 0.5) (5) โจทย์ (p → ~ q) ∨ (r ∧ ~ p) → 0 > cos x cos 2x − sin x sin 2x ≡ (T → T) ∨ (F ∧ F) ≡ T ∨ F ≡ T → 0 > cos 3x ข้อทถี่ ูกคอื ขอ้ 3. (F ∨ F) → … ≡ T ขยายชว่ ง 0 < x < π เปน็ 0 < 3x < 3π ส่วนอีก 3 ข้อเปน็ เทจ็ ดังนี้ 44 เพอ่ื หาช่วงคาํ ตอบ 1. … ∧ (F ∨ F) ≡ F จากรูป ถา้ cos 3x < 0 จะได้ π < 3x < 3π 2. (F ∧ …) ↔ (F → …) ≡ F ↔ T ≡ F 24 4. (T → F) ∨ (T ↔ F) ≡ F ∨ F ≡ F → π <x< π ตอบ ขอ้ 3. (6) เรนจ์ของ r−1 ก็คอื โดเมนของ r; 64 จาก 2x3 + 3xy2 − x2 + y2 = 0 → y2 = x2 − 2x3 (อย่าลมื เชค็ เงอื่ นไข log ว่า sin x > 0, sin 2x > 0, 3x + 1 cos x > 0, cos 2x > 0 จริงๆ ดว้ ย) ตอบ ⎝⎛⎜ π , π ⎠⎟⎞ ดงั นนั้ 3x + 1 ≠ 0 → x ≠ − 1 3 6 4 และ x2 − 2x3 > 0 → x2(2x − 1) < 0 (11) จดั รปู วงร;ี 3x + 1 3x + 1 (x2 + 4x + 4) + 2(y2 − 2y + 1) = −2 + 4 + 2 เขียนเส้นจาํ นวนไดช้ ่วง (−1/3, 0] ∪ [0, 1/2] → (x + 2)2 + (y − 1)2 = 1 จดุ ศนู ย์กลาง (−2, 1) 42 รตี ามแกน x โดย ดังนนั้ ตอบ ⎛ − 1 , 1⎤ ระยะโฟกสั = 4 − 2 = 2 ⎝⎜ 3 2 ⎦⎥ วงกลมผา่ นจดุ โฟกสั (7) หา Rgof เรมิ่ คดิ จาก f; 2 x2 > 0 → 4 − x2 < 4 → 0 < 4 − x2 < 2 แสดงว่า รศั มีวงกลม = 2 ด้วย ∴ 0 < f(x) < 2 → 0 < [f(x)]2 < 4 ได้สมการวงกลมคอื (x + 2)2 + (y − 1)2 = 2 .....(1) → 5 < 9 − [f(x)]2 < 9 ตัดกับเส้นตรง y = −x .....(2) → 1< 1 < 1 แก้ระบบสมการ ได้จดุ ตัด 2 จุด คอื 9 9 − [f(x)]2 5 ∴ 1 < (gof)(x) < 1 ตอบ ข้อ 3. ⎛ −3 − 3 , 3+ 3⎞ กับ ⎛ −3 + 3 , 3− 3⎞ 95 ⎝⎜⎜ 2 2 ⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ 2 2 ⎟⎠⎟ [หมายเหตุ หา้ มนํา f ไปใสใ่ น g เป็น 1 ∴ ระยะหา่ ง ( 3)2 + ( 3)2 = 6 หน่วย ตอบ 9 − 4 + x2 แล้วคอ่ ยคดิ เพราะจะทาํ ให้ขอ้ จาํ กดั ใน f หายไป] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 469 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.44 (12) จัดรปู พาราโบลา; y2 − 2y + 1 = 8x + 7 + 1 โจทยบ์ อก u = 2 2 → (y − 1)2 = (4)(2)(x + 1) เปน็ พาราโบลาเปิดขวา 2 ⎞2 จดุ ยอดอยทู่ ี่ (−1, 1) → ระยะโฟกัส = 2 ⎛ 2 ⎟⎟⎠ + v2 = 41 →v= 20 ∴ ⎜⎝⎜ 2 ดังนน้ั จดุ โฟกัส (1, 1) ไดเรกตริกซ์ x = −3 F จะได้ u v cos θ = ⎛ 2 ⎞ ( 20) cos θ = 9 ⎝⎜⎜ 2 ⎟⎟⎠ 4 → cos θ = 9 ≈ 0.712 4 10 หาสมการวงกลมทมี่ จี ดุ ศูนยก์ ลางท่ี (1, 1) เราทราบวา่ cos π = 2 ≈ 0.707 และมีรศั มี = 2c = 4 42 นนั่ คอื (x − 1)2 + (y − 1)2 = 16 ดงั นนั้ θ < π เล็กนอ้ ย ตอบ ขอ้ 2. → x2 + y2 − 2x − 2y − 14 = 0 ตอบ 4 ˜(17) (13) มอง 3x = A และ 2x = B จะได้ CA = ⎡1− 7⎤ = ⎡−6⎤ C B ⎢⎣1 − 9⎦⎥ ⎢⎣−8⎥⎦ 1 ˜CB D 4A2 + 9B2 = 13AB → 4A2 − 13AB + 9B2 = 0 = ⎡ 4−7 ⎤ = ⎡−3⎤ ⎢⎣10 − 9⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎦⎥ → (4A − 9B)(A − B) = 0 → A = 9 หรอื 1 B4 ใ˜CชD้สตู =รก1า˜CรแAบ่ง+เว2ก˜เCตBอร=์ ⎡−4⎤ 2 3 ⎣⎢−2⎥⎦ A → ⎛ 3 ⎞x = 9 หรอื 1 → x =2 หรอื 0 ˜∴ DC ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 ⎡4⎤ ∴ ตอบ ขอ้ 3. = ⎣⎢2⎥⎦ (14) หามมุ ระหวา่ ง ⎡−6⎤ กับ ⎡4⎤ ใชว้ ธิ ีการดอท; ⎢⎣−8⎦⎥ ⎢⎣2⎥⎦ f(x) = x2 + 0 − 2x2 − x − 0 − 2x2 = −3x2 − x แกอ้ สมการ −3x2 − x > −2 → 3x2 + x − 2 < 0 (−6)(4) + (−8)(2) = (10) ⋅ ( 20) ⋅ cos θ → (3x − 2)(x + 1) < 0 ไดช้ ่วง [−1, 2/3] ย้ายขา้ ง → cos θ = − 2 ตอบ 5 ∴ a − b = −1 − 2 = 5 ตอบ 33 (18) แสดงวา่ มี 3 − 39 i เปน็ คาํ ตอบด้วย 44 (15) ดังนนั้ พหนุ ามคอื ⎛ 3 39 ⎞ ⎛ 3 39 ⎞ (0, 5) → P = 15 ⎜⎝⎜ x − 4 − 4 i ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ x − 4 + 4 i⎟⎟⎠ (5 , 7) → P = 31 ≈ 10.33 = x2 − 3 x + 9 + 39 = 0 33 3 2 16 16 (0, 4) → P = 12 นาํ 2 คณู เพอื่ ปรบั ให้ตรงตามโจทย์ (12 , 17) → P = 75 ≈ 10.7 → 2x2 − 3x + 6 = 0 77 7 ∴ Pmax เกิดทจ่ี ุด (0, 5) จะได้ เศษเหลอื คอื 2(−2)2 − 3 (−2) + 6 = 20 ตอบ ตอบ x + y = 5 (19) lim h(x) = lim ⎛ x3 +x− 2⎞ x→1 ⎜ x−1 ⎟ (16) จาก u + v = 5 จะได้ x→1 ⎝ ⎠ u 2 + v 2 + 2 u v cos θ = 25 .....(1) = lim (x2 + x + 2) = 4 และจาก u − v = 4 จะได้ x→1 และ h(1) = 2 ⋅ (13 + 1 − 2) = 0 u 2 + v 2 − 2 u v cos θ = 16 .....(2) ไม่เทา่ กนั ดังนน้ั ไม่ตอ่ เน่ืองท่ี x = 1 ตอบ ขอ้ 4. (20) กฎลกู โซ่ g′(f(x)) ⋅ f′(x) = (gof)′(x) สมการ (1) + (2) ได้ u 2 + v 2 = 41 22 จะได้ g′(xn + 2x) ⋅ (nxn − 1 + 2) = 12x2 + 12x และสมการ (1) − (2) ได้ u v cos θ = 9 → g′(xn + 2x) = 12x2 + 12x 44 nxn − 1 + 2 ต้องการคดิ ที่ g′(3) จะสงั เกตได้วา่ ควรแทน x = 1 → g′(3) = 12 + 12 = 3 → n = 6 ตอบ n+2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 470 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.44 (21) ให้ f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D (25) Σxเกา่ = (4)(5.5) = 22 f(0) = 2 → ได้ D = 2 → Σxใหม่ = 22 + 3 = 25 → Xใหม่ = 25 = 5 f′(−1) = 0 → 3A − 2B + C = 0 5 f′(−1) = 0 → 3A + 2B + C = 0 Σxเ2กา่ = 141 → Σx2ใหม่ = 141 + 32 = 150 แก้สองสมการนไ้ี ด้ B = 0 และ 3A + C = 0 .....(1) sใหม่ = 150 − 52 = 5 อกี คาํ ใบ้คอื f(−1) = 3 ⋅ f(1) 5 → −A + B − C + D = 3(A + B + C + D) สัมประสิทธก์ิ ารแปรผนั = s = 5 ตอบ แทน B = 0, D = 2 ไดเ้ ป็น A + C = −1.....(2) X5 แกร้ ะบบสมการ (1) กับ (2) อกี คร้ัง (26) หาขอบระหวา่ งชั้นที่ 4 กบั 5 สรปุ วา่ A = 1 , C = − 3 จากการเฉลี่ย 25 + 30 = 27.5 22 2 ความกวา้ งชน้ั คดิ จาก 30 − 25 = 5 ดงั นนั้ f(4) = 1 (64) + 0 − 3 (4) + 2 = 28 ตอบ ดงั นน้ั ขอบแตล่ ะช้นั คอื 27.5, 22.5, 17.5, … 22 (22) f′(x) = 3x2 − 4x + 2x−2 ดังตาราง ดังนน้ั f(x) = x3 − 2x2 − 2x−1 + C x CF f d โดยผา่ น (1, 0) จะไดว้ า่ 1 − 2 − 2 + C = 0 8 - 12 8 8 -2 13 - 17 16 8 -1 น่ันคอื C = 3 → f(x) = x3 − 2x2 − 2 + 3 18 - 22 36 20 0 x 23 - 27 40 4 1 28 - 32 50 10 2 ตัดกบั x = 2 แสดงว่าคา่ y คือ f(2) f(2) = 8 − 8 − 1 + 3 = 2 → (a, b) = (2, 2) ตอบ 4 X = a +ID = 20 + (5) ⎛ −16 − 8+4 + 20 ⎞ = 20 (23) สมมตมิ ชี าย n คน, หญงิ n คน ⎜⎝ 50 ⎟⎠ → เสน้ ตรง = n ! n! × 2 Med = L + I ⎛ N/2 − ΣfL ⎞ = 17.5 + (5) ⎛ 25 − 16 ⎞ วงกลม = n ! × (n − 1)! ⎜ fMed ⎟ ⎜⎝ 20 ⎠⎟ ⎝ ⎠ ∴ n ! n ! × 2 = 10 → 2n = 10 → n = 5 n !(n − 1)! = 19.75 ตอบ วิธีเลอื กให้มชี ายอยา่ งนอ้ ย 1 คน (27) m = 0.02, c = 2.7 → Yˆ = 0.02 X + 2.7 ก. Δx = 10 → ΔYˆ = mΔx = (0.02)(10) = 0.2 คิดจากวิธที ั้งหมด – วธิ ที ไี่ ดห้ ญงิ ล้วน ข. รู้ y ทาํ นาย Xˆ ไม่ได้ (ข้อมลู ไมเ่ พียงพอ) ตอบ ก. ถกู ข. ผิด = ⎜⎛⎝ 120⎠⎞⎟ − ⎛⎜⎝52⎠⎞⎟ = 35 ตอบ (28) P88.49 → A = 0.3849 ทางขวา (24) กรณี 500, → จาํ นวนวิธี 1 × 11 = 11 → z = 1.2 → 1.2 = x − 50 กรณี 200, 200 → จาํ นวนวิธี ⎜⎛⎝23⎠⎞⎟ = 3 10 ∴ x = 62 คะแนน ตอบ ดงั นน้ั ความน่าจะเปน็ = 11 + 3 = 14 ตอบ ⎜⎛⎝ 122⎠⎟⎞ 66 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 471 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.45 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅÂa Á.Õ ¤.45 (j) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 8 เป็นขอ้ สอบแบบอตั นัย ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ S = { n ∈ I+ | n < 1000 และ ห.ร.ม.ของ n และ 100 เท่ากับ 1} จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากบั เท่าใด 2. − sin2 1° + sin2 2° − sin2 3° + ... − sin2 89° + sin2 90° มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 3. x ท่สี อดคลอ้ งกบั สมการ log 2x + log3(x − 12) = log 3[ x( x+5 − x−5)] log 3 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด 4. กาํ หนดให้ n ⎛ 1 ⎞k − 1 และ ∞ ⎛ 1 ⎞k − 1 ⎝⎜ 10 ⎠⎟ ⎝⎜ 10 ⎠⎟ Sn = ∑ S = ∑ k=1 k=1 จํานวนเต็มบวก n ที่ทาํ ให้ S − Sn = 1 (10−5) เทา่ กบั เทา่ ใด 9 5. ถา้ a คือจาํ นวนจริงทีท่ าํ ให้พื้นท่ที ปี่ ดิ ลอ้ มด้วยโคง้ y = a2x2+ 4ax + 10 จาก x = 0 ถงึ x = 1 มคี ่าน้อยที่สุด แลว้ พ้นื ท่ีทไ่ี ด้เท่ากับเท่าใด 6. กลอ่ งใบหน่ึงบรรจุสลากสีแดงซง่ึ เขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไวส้ ลากละหนงึ่ หมายเลข รวมกับสลากสี เขยี วซงึ่ เขยี นหมายเลข 1, 2, 3 ไวส้ ลากละหนง่ึ หมายเลขเชน่ เดียวกัน ถ้าจบั สลากสองใบจากกล่อง โดยจับทลี ะใบแบบไม่ใสก่ ลับคนื ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไดส้ ลากสเี หมือนกัน หรือหมายเลขเดยี วกนั เทา่ กับเทา่ ใด 7. จากข้อมลู ความสูงของพ่อ และลกู (ซ่ึงมอี ายุ 10 ปี) กล่มุ หนง่ึ ปรากฏความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ ัน เปน็ y = 0.9 x + 54.8 เม่ือ y แทนความสูงของพ่อ และ x แทนความสงู ของลูก ปรากฏว่าความ สูงเฉลยี่ ของเด็กในกลุ่มน้ีเทา่ กบั 120 เซนตเิ มตร ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของความสูงของเด็ก เท่ากบั 8 เซนตเิ มตร ถา้ เด็กคนหนึ่งในกลุ่มนี้มีคา่ มาตรฐานของความสงู เท่ากับ −1.8 แลว้ เรา ประมาณความสูงของพอ่ ได้เทา่ กบั ก่ีเซนติเมตร 8. ตวั แทนจาํ หน่ายกระติกนาํ้ รอ้ นยี่หอ้ หนึง่ ขายกระติกน้ํารอ้ น 3 ขนาด ในปี 2543 และ 2544 ด้วยราคาดงั ต่อไปนี้ ขนาดของกระตกิ นา้ํ รอ้ น ราคา (บาท) ราคาสมั พทั ธ์ เล็ก 2543 2544 1.10 กลาง 1.25 ใหญ่ 600 660 b 800 1,000 1,000 a Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 472 ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 ถ้าดัชนีราคาอย่างงา่ ยแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เมื่อเทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากบั 120 แล้ว ราคาเฉลยี่ ของกระติกนํ้ารอ้ นท้งั 3 ขนาดใน พ.ศ. 2544 เม่ือหาโดยใช้ดชั นีราคาอยา่ งงา่ ยแบบใช้ ค่าเฉลย่ี ราคาสมั พัทธ์ เพ่ิมข้นึ จากราคาเฉล่ียของกระติกนา้ํ รอ้ นท้ัง 3 ขนาดนใี้ น พ.ศ. 2543 ร้อยละ เทา่ ใด ตอนที่ 2 ขอ้ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธ์คอื เซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปน็ เซตซึ่งมีเงื่อนไขว่า n(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = 2 ถา้ A ∪ B ∪ C = U แลว้ ข้อใดต่อไปนีผ้ ดิ 1. n(A ∪ B) = 4 2. n(A ∪ (B ∩ C)) = 3 3. n(A ∩ (B ∪ C)) = 2 4. n(A ∩ B ∩ C) = 1 2. กาํ หนดให้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ 12 + x − x2 < 0 และ B เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ 3 − x < 1 เซต A ∩ B เป็นสับเซตของช่วงใดตอ่ ไปน้ี 1. (−5, −3) 2. (−3, −1) 3. (1, 3) 4. (3, 5) 3. พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถา้ เอกภพสัมพัทธ์คือเซต U = (0, 1) ∪(2, ∞) แลว้ ประพจน์ ∀x [(x − 1)2 < 1 หรอื (x − 1)2 > 1 ] มคี า่ ความจริงเป็นจริง 24 ข. ถา้ p, q, r เปน็ ประพจน์ แลว้ p → (q ∧ r) สมมลู กบั (p → q) ∨ (p → r) ขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 4. ให้ p, q, r, s เปน็ ประพจน์ ถา้ [p →(q → r)] ↔ (s ∧ r) มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ และ ~ p ∨ s มี ค่าความจรงิ เป็นเทจ็ แล้วข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก 1. p → q มีค่าความจรงิ เป็นจริง 2. q → r มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ 3. r → s มีค่าความจริงเปน็ เท็จ 4. s → p มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ 5. กําหนดให้ r1 = {(x, y) | e x+y < 1} และ r2 = {(x, y) | ln (x−3y+5) > 0 } พืน้ ท่ขี องบรเิ วณทเ่ี ปน็ กราฟของ r1 ∩ r2 ซงึ่ อยู่เหนือแกน x เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 1.5 ตารางหน่วย 2. 2 ตารางหนว่ ย 3. 2.5 ตารางหนว่ ย 4. 3 ตารางหนว่ ย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 473 ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 6. กําหนดให้ I เป็นเซตของจํานวนเต็ม และให้ f, g เป็นฟังก์ชันจาก I ไป I ซงึ่ กําหนดโดย f (x) = 2x และ g(x) = ⎪⎧x/2 , x เปน็ จาํ นวนคู่ ⎨ , x เปน็ จาํ นวนคี่ ⎩⎪x แลว้ g f − f เป็นฟังกช์ ันจาก I ไป I ทีม่ สี มบตั ติ ามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. หนึ่งตอ่ หนึ่งและทวั่ ถึง 2. หนงึ่ ตอ่ หนง่ึ แตไ่ มท่ วั่ ถึง 3. ท่วั ถึงแตไ่ มห่ น่งึ ตอ่ หน่ึง 4. ไมห่ นง่ึ ตอ่ หนึ่งและไมท่ ่ัวถึง 7. กําหนดให้ f (x) = 5 − g(x) โดยท่ี g(x) = 5 + 2x ถา้ Dfog = [a, b] แล้ว 4(a + b) เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 8. กําหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชันทมี่ ีสมบตั ิวา่ f−1(g(x)) = x + 2 ทกุ x ∈ R พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. f (2x) = g(2(x−1)) ทกุ x ∈ R ข. g−1(f (x)) เปน็ ฟังกช์ ันเพิ่มใน R ข้อใดต่อไปนถี้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 9. กาํ หนดให้ 0 < θ < 2π เซตคําตอบของอสมการ cos2θ − cos θ < 0 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี sin θ − 1/2 1. (0, π) 2. (π , 5π) 3 36 3. (0, π) ∪ (5π , π) 4. (π , π) ∪ (3π , 3π) 46 62 42 10. วงกลมวงหนึง่ มจี ุดศูนย์กลาง (h, k) อย่บู นเสน้ ตรง 2x + 3y = 6 โดยท่ี h, k เปน็ จํานวนเตม็ ถ้าวงกลมวงนี้มีเส้นตรง 2x − y = 1 และเสน้ ตรง 2x + y = −3 เป็นเส้นสัมผสั แล้ว ความยาวรศั มขี อง วงกลมน้ีอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 1. [2, 4] 2. [4, 5] 3. [5, 6] 4. [6, 7] 11. กําหนดให้ F1 และ F1 เป็นจดุ โฟกัสของไฮเพอร์โบลา x2 + 6x − y2 − 14y − 41 = 0 ถา้ P1 (0, y1) และ P2 (0, y2) เป็นจุดสองจุดท่ีทาํ ให้พืน้ ท่ขี องรูปสามเหลย่ี ม P1F1F2 และพื้นทีข่ องรปู สามเหลย่ี ม P2F1F2 ตา่ งก็เทา่ กบั 2 2 ตารางหนว่ ยแล้ว y21 − y22 มีคา่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 28 2. 56 3. 84 4. 120 12. กําหนดให้ a > 0 เป็นคาํ ตอบของสมการ 4a − 9 ⋅ 2a−1+ 2 = 0 เซตคาํ ตอบของอสมการ 2 loga(x+2) − loga(x−1) < 4 เปน็ สับเซตของชว่ งใดต่อไปนี้ 1. (−3, 3) 2. (−2, 7) 3. (0, 8) 4. (1, 10) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 474 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 13. กําหนดให้ A = ⎡(tan 30°)x −1⎤ และ det (A) = 9 ⎢⎢⎣(cot 60°)x ⎥ 2 ⎥⎦ A−1 คือเมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้ 1. ⎡2/9 −1/ 3⎤ 2. ⎡ 2/9 1/ 3⎤ ⎣⎢ 1/9 1/3 ⎦⎥ ⎣⎢−1/9 1/ 3⎦⎥ 3. ⎡1/ 3 −1/ 3⎤ 4. ⎡ 2/9 1/9⎤ ⎣⎢1/9 2/9 ⎥⎦ ⎣⎢−1/ 3 1/ 3⎦⎥ 14. พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. ถ้า และ ⎛ ⎡x x x⎤ ⎞ แล้ว ⎜ ⎢ xx⎥⎥⎦ ⎟ x∈R det ⎜⎝⎜ ⎢ 1 x ⎠⎟⎟ = −4 x <2 ⎣ 1 1 ข. กาํ หนดให้ a, b ∈ R และ A = ⎡a 2⎤ ถ้า A = b adj A แลว้ a+b > 2 ⎣⎢2 b 3⎦⎥ 2. ก. ถกู และ ข. ผิด ขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ป็นจริง 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 15. นาํ้ มนั ดีเซล 100 ลติ ร ราคาตน้ ทนุ ลิตรละ 12 บาท และนํา้ มนั ปาล์ม 120 ลิตร ราคาต้นทุนลิตร ละ 8 บาท ถา้ จะผสมนา้ํ มนั สองชนิดนี้รวมกันใหม้ จี ํานวนไม่นอ้ ยกวา่ 150 ลิตร และขายนํ้ามนั ผสมน้ี ในราคาลติ รละ 11 บาท ให้ไดก้ าํ ไรมากที่สุดแล้ว กําไรที่ไดเ้ ท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 230 บาท 2. 260 บาท 3. 330 บาท 4. 460 บาท 16. กําหนดจดุ P (−1, 2) , R(3, 3), O(0, 0) และ Q เป็นจุดบนส่วนของเสน้ ตรง PR โดยที่ |˜PQ| = 1 |˜PR| ถ้า A (x, y) เปน็ จดุ ในควอดรันต์ท่ี 2 ทีท่ ําให้ ˜OA ต้งั ฉากกับ ˜OQ และ 3 |˜OA| = 5 หนว่ ยแล้ว x+y เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −6 2. −6 3. 6 4. 6 10 2 10 2 17. กาํ หนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มทีม่ สี มบัตวิ ่า 5|˜AB| = |˜BC| + |˜CA| ถ้า M และ N เป็น จดุ แบ่งครึง่ ดา้ น BC และ AC ตามลําดับแลว้ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. M˜N = 1 (˜BC − ˜AC) ข. ˜AM ⋅ ˜BN = 0 2 ข้อใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 18. กาํ หนดให้ ω = cos θ + i cos θ เมื่อ cos θ < 0 และ 2 cos2θ = 1 ถ้า z เป็นจาํ นวนเชงิ ซอ้ นมีสมบตั วิ า่ ωz = 2 และอาร์กิวเมนตข์ อง z เท่ากบั π แลว้ ω 4 z2+ z + 1 มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. −3 + 2 i 2. −3 − 2 i 3. 3 + 2 i 4. 3 − 2 i Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 475 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 19. กําหนดให้ จํานวนเชงิ ซ้อน z1, z2, z3 เป็นจดุ ยอดของรปู สามเหลีย่ มด้านเท่ารปู หน่ึง ถา้ , , , แลว้z3 − z1 = cos π + i sin π z2 − z1 3 3 z1z2 = 1 + i z2z3 = 2 + 2 i z3z1 = 3 + 4 i พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ก. z3 − z2 = cos π + i sin π ข. z21 + z22 + z23 = 6 + 7 i z1− z2 3 3 ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ ⎧(x − 4)( x + 2) a ,x > 4 ⎪ ⎪ x −2 โดยที่ a, b เปน็ จาํ นวนจริง 20. ให้ f (x) = ⎨ 1 ,x = 4 ⎪ ⎪ ⎩ x2 − b ,x < 4 ถ้า f ต่อเนือ่ งท่ีจดุ x = 4 แล้ว f ⎝⎛⎜ a + b ⎟⎞⎠ เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 16 1. −16 2. −14 3. 14 4. 16 21. กําหนดให้ f (x) = 3x + 1 ถ้า g เปน็ ฟังก์ชนั ซึ่ง (f g)(x) = x2+ 1 ทกุ x ∈ R แล้ว f′(1) + g′(1) มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 41 2. 35 3. 33 4. 39 12 12 4 4 22. กําหนดให้ g(x) = x2 f (x) ถ้า f′(x) = 2x + 3 และ g′′(1) = 0 แลว้ f (4) มีค่าเทา่ กับข้อใด ต่อไปนี้ 1. 0 2. 11 3. 13 4. 28 23. กําหนดให้กราฟของ y = f (x) เป็นเส้นโคง้ ที่อยู่เหนือแกน x และมีความชนั ของเส้นสัมผัสเส้น โค้งทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เทา่ กับ 6x + 2 b เมื่อ b เปน็ จํานวนจริง ถ้าพืน้ ทีท่ ่ีปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ น้จี าก x = 0 ถึง x = 2 เท่ากับสองเท่าของพืน้ ทที่ ปี่ ดิ ล้อมด้วยเส้นโค้งนี้จาก x = 0 ถงึ x = 1 แล้ว f มคี า่ ต่าํ สดุ สัมพัทธ์ท่ีจดุ x ในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. x = 2 2. x = 1 3. x = 0 4. x = −1 24. กําหนดจุด 10 จดุ บนแผ่นกระดาษ มี 4 จดุ อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั นอกนนั้ ไมม่ ี 3 จุดใดอยูบ่ น เสน้ ตรงเดยี วกัน จาํ นวนรูปสามเหลยี่ มท่ีเกิดจากการลากเสน้ ตรงเช่อื มจุดท่กี ําหนดให้ เทา่ กับขอ้ ใด ต่อไปนี้ 1. 80 2. 106 3. 116 4. 120 25. ในการใส่จดหมาย 5 ฉบบั ท่ีเขยี นถงึ คน 5 คน คนละ 1 ฉบบั ลงในซองท่จี า่ หนา้ ไว้แล้ว 5 ซอง ซองละหน่งึ ฉบบั ความน่าจะเป็นทีใ่ ส่จดหมายลงในซองได้ตรงกบั ช่อื หนา้ ซองไม่เกนิ 3 ซอง และไม่ นอ้ ยกวา่ 1 ซอง เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. 75 2. 85 3. 90 4. 96 120 120 120 120 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 476 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 26. ถ้าตารางแจกแจงความถีข่ องคะแนนวิชาหนง่ึ ของนกั เรียน 20 คน ของโรงเรยี นแห่งหนง่ึ เปน็ ดงั นี้ คะแนน 31 – 39 40 – 48 49 – 57 58 – 66 67 – 75 76 – 84 85 – 93 จาํ นวนนกั เรยี น 2 3 5 4 3 2 1 พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. คา่ เฉลีย่ เลขคณิต มากกว่าฐานนิยม ข. คา่ การกระจายของคะแนน ท่วี ัดโดยส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ เทา่ กบั 10.5 คะแนน ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 27. ในการชง่ั นา้ํ หนกั กระเป๋าเดินทาง 4 ใบ ปรากฏว่าได้นํา้ หนักเปน็ 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2 กโิ ลกรัม ถา้ ชั่งน้ําหนักของกระเป๋าเดนิ ทาง 4 ใบน้ีรวมกบั กระเป๋าเดนิ ทางอีกใบหนง่ึ ไดค้ า่ เฉลย่ี เลข คณิตของนาํ้ หนกั ของกระเป๋า 5 ใบนเ้ี ปน็ 16 กิโลกรมั แล้ว คา่ มัธยฐาน และความแปรปรวนของ น้าํ หนักของกระเปา๋ เดนิ ทางทง้ั ห้าใบน้ีตามลาํ ดบั เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 15 , 4.58 2. 15.2 , 4.58 3. 15 , 4.116 4. 15.2 , 4.116 28. ถา้ ความสูงของนกั เรยี นหอ้ งหน่ึงมีการแจกแจงปกตทิ ่มี ีมธั ยฐานเท่ากับ 160 เซนติเมตร และมี นักเรียนทีส่ งู น้อยกวา่ 158 เซนติเมตรอยู่ 34.46% สมั ประสิทธ์กิ ารแปรผันของความสูงของ นักเรยี นหอ้ งน้ีเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ ตารางแสดงพืน้ ทใี่ ต้เส้นโค้งปกติ z 0.3 0.4 0.5 A 0.1179 0.1554 0.1915 1. 1.563% 2. 2.432% 3. 3.125% 4. 4.346% เฉลยคาํ ตอบ ตอนท่ี 1 (1) 400 (2) 0.5 (3) 13 (4) 6 (5) 7 (6) 0.6 (7) 149.84 (8) 19 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 1 (3) 2 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) (ตอบ 180) (8) 1 (9) 4 (10) 3 (11) 2 (12) 4 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 2 (19) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 1 (27) 4 (28) 3 เฉลยวิธคี ดิ ตอนท่ี 1 400 100 100 (1) หาจาํ นวนนบั n < 1,000 ซงึ่ หาร 2 ไม่ลงตวั n และหาร 5 ไมล่ งตวั ว่ามเี ทา่ ใด ∴ จะได้ n ท่ตี อ้ งการ หาร2 หาร5 หาร 2 ลงตัว มี 500 จํานวน, หาร 5 ลงตวั มี 200 จํานวน, = 1,000 − (500 + 200 − 100) หารทั้ง 2 และ 5 ลงตัว คอื หาร 10 ลงตวั มี 100 จาํ นวน = 400 จาํ นวน ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 477 ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 (2) − sin2 1° + sin2 2° − … + sin2 44° − sin2 45° (6) จบั ทลี ะใบไมใ่ สค่ ืน วธิ ที ้ังหมด = 6 × 5 + sin2 46° − … + sin2 88° − sin2 89° + sin2 90° ต้องการวธิ ที สี่ เี หมือนหรือเลขเหมอื น เปลยี่ น sin 46° เปน็ cos 44° คิดจาก วิธที ้ังหมด – วิธสี ตี า่ งและเลขตา่ ง เปลี่ยน sin 47° เปน็ cos 43° ฯลฯ ตอบ 1 − 6 × 2 = 0.6 ไปจนถงึ เปลย่ี น sin 89° เป็น cos 1° 6×5 และเนอื่ งจาก sin2 1° + cos2 1° = 1 (7) zลูก = −1.8 = xลกู − 120 และ − sin2 2° − cos2 2° = −1 กจ็ ะรวมกนั เปน็ ศนู ย์ 8 ซ่ึงคขู่ อง 3° กบั 4° กร็ วมกนั ไดศ้ นู ย์ → xลกู = 105.6 ซม. ไปเรอื่ ยๆ จนถึงค่ขู อง 43° กบั 44° กเ็ ชน่ กัน.. พอ่ สูง 0.9(105.6) + 54.8 = 149.84 ซม. ตอบ ดงั นน้ั เหลอื เพยี ง − sin2 45° + sin2 90° (8) 1.20 = 660 + 1,000 + a = − 1 + 1 = 0.5 ตอบ 600 + 800 + 1,000 2 → a = 1,220 บาท → b = 1,200 = 1.22 1,000 (3) ⎛ 1.10 + 1.25 + 1.22 ⎞ log3 2x + log3(x − 12) = 2 log3[ x( x + 5 − x − 5)] ดัชนี ISR = ⎝⎜ 3 ⎠⎟ × 100 = 119 → 2x(x − 12) = [ x( x + 5 − x − 5)]2 แสดงวา่ เพม่ิ ขน้ึ รอ้ ยละ 19 ตอบ → 2x(x − 12) = x(x + 5 − 2 x2 − 25 + x − 5) ตอนท่ี 2 → 2x(x − 12) = x(2x − 2 x2 − 25) (1) n(A ∪ B ∪ C) = n(U) = 5 แต่ x หา้ มเป็น 0 เพราะอยู่ใน log จึงสามารถ → 5 = 3 + 3 + 3 − 2 − 2 − 2 + n(A ∩ B ∩ C) นํา 2x หารสองขา้ งได้ กลายเปน็ ∴ n(A ∩ B ∩ C) = 2 A1 B x − 12 = x − x2 − 25 0 1 → 12 = x2 − 25 → x = 13 ตอบ 020 ( x > 0 เสมอ เพราะอยูใ่ น log) ขอ้ ที่ผดิ จงึ เปน็ ขอ้ 4. ตอบ 1C (4) S = 1 + 1 + 1 + … อนกุ รมเรขาคณติ 10 100 (2) A; x2 − x − 12 > 0 ∴ Sn = 1(1 − 0.1n) = 10 (1 − 0.1n) → (x − 4)(x + 3) > 0 → A = (−∞, 3) ∪ (4, ∞) 1 − 0.1 9 B; −1 < 3 − x < 1 → 2 < x < 4 และ 1= 10 S = S∞ = 1 − 0.1 9 B = (−4, −2) ∪ (2, 4) โจทยบ์ อกวา่ S − Sn = 10−5 ดังนนั้ A ∩ B = (−4, −3) ตอบ ขอ้ 1. 9 (3) ก. จาก (x − 1)2 − 1 < 0 → 10 − ⎛ 10 − 10 (0.1)n ⎞ = 10−5 24 9 ⎝⎜ 9 9 ⎟⎠ 9 → (x − 1 − 1)(x − 1 + 1) < 0 22 22 → 10 (0.1)n = 10−5 → 10(0.1)n = 10−5 → (x − 1)(x) < 0 ไดเ้ ปน็ ชว่ ง (0, 1) 99 → (0.1)n = 10−6 ∴ n = 6 ตอบ และ (x − 1)2 − 1 > 0 → (x − 1 − 1)(x − 1 + 1) > 0 (5) กราฟนไ้ี มต่ ดั แกน x (เพราะเมื่อให้ y=0 แลว้ → (x − 2)(x) > 0 ไดเ้ ปน็ ชว่ ง (−∞, 0) ∪ (2, ∞) ดังนน้ั ∀x [0 < x < 1 หรอื x < 0 หรอื x > 2] พบว่าไม่มีคาํ ตอบ; B2 − 4AC < 0 ) → พน้ื ทเ่ี ท่ากบั 1 + 4ax + 10) dx ซึ่งพบวา่ ทกุ ๆ คา่ ใน U ทาํ ใหเ้ ปน็ จรงิ ∴ ก. ถูก ข. p → (q ∧ r) ≡ ~ p ∨ (q ∧ r) ∫ (a2x2 ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) ข. ผดิ 0 ตอบ ขอ้ 2. = ⎛ a3x3 + 2ax2 + ⎞ 1 = a2 + 2a + 10 (4) ~ p ∨ s ≡ p → s เปน็ เทจ็ ⎜ 10x ⎟ 0 3 ⎝ 3 ⎠ ตอ้ งการคา่ a ทท่ี ําใหพ้ นื้ ทส่ี งู สุด ∴ หาอนพุ นั ธ์ dA = 2a + 2 = 0 → a = −3 แสดงว่า p จรงิ , s เทจ็ da 3 และจะได้ [T → (q → r)] ↔ (F ∧ r) เปน็ จรงิ พ้นื ท่ี A = 3 − 6 + 10 = 7 ตร.หนว่ ย ตอบ แสดงว่า q → r เปน็ เทจ็ ∴ q จริง, r เทจ็ ดงั นนั้ ตอบ ข้อ 1. p → q ≡ T → T ≡ T Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 478 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.45 (5) r1 ; ex + y < 1 → ex + y < e0 กรณที ่สี อง บน > 0 และลา่ ง < 0 → x+y<0 cos θ 5π/6 r2 ; ln(x − 3y + 5) > ln 1 → x − 3y + 5 > 1 01 sin θ → x − 3y > −4 เขียนกราฟไดด้ ังน้ี (-1,1) 1/2 3π/2 แกส้ มการหาจุดตดั ดังนนั้ ชว่ งคาํ ตอบคอื ⎛⎜⎝ π , π ⎟⎠⎞ ∪ ⎛ 5π , 3π ⎞ ได้ (−1, 1) -4 0 ⎜⎝ ⎟⎠ 2 6 6 2 ดังนน้ั พืน้ ที่ Δ = 1 (4)(1) = 2 ตร.หน่วย ตอบ ตอบ เป็นสบั เซตของขอ้ 4. 2 (10) สมมตจิ ุดศูนยก์ ลางเปน็ (h, k) = ⎛ h, 6 − 2h ⎞ (6) (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x) ⎜⎝ 3 ⎠⎟ ซึ่ง 2x ย่อมเปน็ จํานวนคเู่ สมอ จงึ ได้ (เพราะอยูบ่ นเสน้ ตรง 2x + 3y = 6 ) (gof)(x) = (2x) = x เมือ่ x ∈ I ระยะทางจากจดุ นี้ไปยังเสน้ ตรงทงั้ สอง เทา่ กนั 2 2h − ⎛ 6 − 2h ⎞ − 1 2h + ⎛ 6 − 2h ⎞ + 3 ∴ [(gof) − f](x) = x − 2x = −x ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ → = เนอ่ื งจากพบวา่ แต่ละคา่ ของ x ให้ผลออกมาแบบเดยี ว → 5 5 ไมซ่ าํ้ กนั และครอบคลมุ จาํ นวนเตม็ ทง้ั หมด ดงั นั้น เปน็ ฟงั ก์ชนั หนึง่ ตอ่ หนง่ึ และท่ัวถงึ ตอบ 8h−3 = 4h+5 33 (7) g(x) = 5 + 2x ถ้า 8 h − 3 = 4 h + 5 → h = 6 33 f(x) = 5 − g(x) = 5 − 5 + 2x และถา้ 8 h − 3 = − 4 h − 5 → h = − 1 ดังนน้ั (fog)(x) = 5 − 5 + 2 5 + 2x 33 2 (ใช้ไมไ่ ด้เพราะโจทย์บอกว่า h ∈ I ) หา Dfog; 5 + 2x > 0 → x > − 5 2 8 (6) − 3 3 และ 5 + 2 5 + 2x > 0 → จรงิ เสมอ ∴ รัศมี = = 13 = 169 = 33.8 (เมือ่ 5 + 2x > 0 ) 5 55 และ 5 − 5 + 2 5 + 2x > 0 ตอบ ขอ้ 3. → 5 + 2 5 + 2x < 5 (11) จัดรปู → 5 + 2 5 + 2x < 25 (x2 + 6x + 9) − (y2 + 14y + 49) = 41 + 9 − 49 → 5 + 2x < 10 → 5 + 2x < 100 → (x + 3)2 − (y + 7)2 = 1 เป็นไฮเพอรโ์ บลาออ้ มแกน x มจี ดุ ศนู ยก์ ลางที่ → x < 95 ดงั นน้ั Dfog = ⎡⎢⎣− 5 , 95 ⎤ (−3, −7) และระยะโฟกสั = 1 + 1 = 2 2 2 2 ⎦⎥ ∴ จุดโฟกสั คอื (−3 ± 2, −7) ทาํ ให้ 4(a + b) = 4 ⎛ 90 ⎞ = 180 (ไม่มีข้อถูก) ตอบ แสดงว่าฐาน Δ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ยาว 2c = 2 2 หนว่ ย จะไดส้ ว่ นสงู ของ Δ P1(0,-5) (8) จาก f−1(g(x)) = x + 2 → f(x + 2) = g(x) F1 F2 -7 จาก 1 ⋅ h ⋅ 2 2 = 2 2 → f(x) = g(x − 2) 2 P2(0,-9) ก. f(2x) = g(2x − 2) ข. g−1(f(x)) = x − 2 เปน็ ฟงั ก์ชนั เพ่ิมใน R →h=2 ตอบ ถูกท้ังสองขอ้ y1 กบั y2 คอื −7 ± 2 นนั่ เอง ดังรปู (9) แยกตวั ประกอบได้ (cos θ)(cos θ − 1) < 0 ตอบ 81 − 25 = 56 sin θ − 1/2 กรณแี รก บน < 0 และล่าง > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนแลว้ หาช่วงในวงกลม π/2 π/6 cos θ 01 sin θ 1/2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 479 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 (12) 22a − 9 ⋅ 2a + 2 = 0 มอง 2a = A จะไดว้ า่ (˜O1Q6)=ส2ูตร˜OแPบ่ง+เว1ก˜OเตRอร์ A P 1 Q2 R 2 3 A2 − 9A + 2 = 0 → 2A2 − 9A + 4 = 0 2 = 2 ⎡−1⎤ + 1 ⎡3⎤ = ⎡ 1/ 3 ⎤ O → (2A − 1)(A − 4) = 0 → A = 1 หรอื 4 3 ⎣⎢ 2 ⎥⎦ 3 ⎢⎣3⎦⎥ ⎣⎢7/ 3⎥⎦ 2 มีความชนั = 7 แสดงวา่ ความชัน OA คือ -1/7 ∴ a = −1 หรอื 2 ∴ ˜OA โจทยใ์ ห้ a > 0 ดงั นนั้ a = 2 เทา่ นั้น มีทศิ เดยี วกับ ⎡−7⎤ แต่ยาว 5 หน่วย ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ˜OA = 5 (−7 i + j) = − 7 i + 1 j ตอบ − 6 2 log2(x + 2) − log2(x − 1) < log2 16 → (x + 2)2 < 16 → (x2 + 4x + 4)− 16x + 16 < 0 จาก5˜M0 N ˜MC 2 ˜CN 2 2 + x−1 x−1 (17) ก. = C → x2 − 12x + 20 < 0 → (x − 10)(x − 2) < 0 = 1 ˜BC + 1 ˜CA M N x−1 x−1 B ได้ช่วง (−∞, 1) ∪ (2, 10) ˜ ˜2 2 ถกู A แตม่ เี งื่อนไข log วา่ x > −2 และ x > 1 = 1 (BC − AC) 2 ข. ˜AM ⋅ ˜BN = 1 (˜AC + ˜AB) ⋅ 1 (˜BA + ˜BC) ดังนน้ั x ∈ (2, 10) ตอบ ขอ้ 4. 22 (13) A = 9 = 2(tan 30°)x + (cot 60°)x ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜= 1 [(AC ⋅ BA) + (AC ⋅ BC) + (AB ⋅ BA) + (AB ⋅ BC)] 4 = 2 ⎛ 1 ⎞x + ⎛ 1 ⎞x = 3 ⎛ 1 ⎞x ⎜⎝ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 1 [bc cos(180°−A) + ab cos C − c2 + ac cos(180°−B)] → 9 = 3 ⎛ 1 ⎞x →x= −2 4 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ = 1 [−bc cos A + ab cos C − c2 − ac cos B] 1 ⎡d −b⎤ 1 ⎡ 2 1⎤ 4 A ⎣⎢−c a ⎦⎥ 9 ⎢⎣⎢− 1/ 3 ( ) ( )A−1 = = −2 1/ 3 −2 ⎥ = 1 [a2 −b2 −c2 + a2 +b2 −c2 − c2 + b2 −a2 −c2 ] ⎥⎦ 42 2 2 = 1 ⎡2 1⎤ = ⎡ 2/9 1/ 9⎤ ตอบ = 1 [a2 + b2 − 5c2] ≠ 0 ผิด ตอบ ขอ้ 2. 9 ⎢⎣−3 3⎦⎥ ⎣⎢−1/ 3 1/ 3⎦⎥ 8 (14) ก. det = −x2 − x2 − x2 + x3 + x2 + x = −4 (18) 2 cos2 θ = 1 → cos θ = − 1 2 → x3 − 2x2 + x + 4 = 0 → (x + 1)(x2 − 3x + 4) = 0 → ω = − 1 − 1 i = 1∠ 5π 22 4 → x = −1 เทา่ นนั้ ∴ ก. ถูก จาก ωz = ω ⋅ z = 2 → 1 ⋅ z = 2 → z =2 ข. adj A = ⎡3 −2⎤ และจาก ∠ z = ∠z − ∠ω = π → ∠z − 5π = π ⎢⎣−2b a ⎦⎥ ω 4 44 → A = b adj A จะไดว้ า่ ⎡a 2⎤ = ⎡ 3b −2b⎤ → ∠z = 3π ดังนั้น z = 2∠ 3π = −2i ⎣⎢2b 3⎥⎦ ⎢⎣−2b2 ab ⎥⎦ 2 2 → b = −1, a = −3 ∴ ข. ถกู ตอบ ขอ้ 1. จะได้ z2 + z + 1 = −4 − 2i + 1 = −3 − 2i ตอบ (15) นาํ้ มนั ดีเซล x ลิตร, นาํ้ มนั ปาล์ม y ลติ ร (19) ก. z3 − z2 = 1 − ⎛ z3 − z1 ⎞ จะไดส้ มการจุดประสงค์ z1 − z2 ⎜ z2 − z1 ⎟ P (กําไร) = 11(x + y) − 12x − 8y = 3y − x ⎝ ⎠ เงอื่ นไขคอื 0 < x < 100, 0 < y < 120 = 1 − ⎛ 1 + 3 ⎞ = 1 − 3i ดงั นน้ั ก. ผดิ ⎝⎜⎜ 2 2 i⎟⎠⎟ 2 2 และ x + y > 150 ข. z21 = z1z2 ⋅ z3z1 = (i + 1)(3 + 4i) = 3 + 2i วาดกราฟแลว้ พบว่า z2z3 2 + 2i 2 (100,120) (30, 120) → P = 330 (30,120) (100,50) z22 = z1z2 ⋅ z2z3 = (i + 1)(2 + 2i) = 16 + 12 i O z1z3 3 + 4i 25 25 (100, 120) → P = 260 z23 = z2z3 ⋅ z3z1 = (2 + 2i)(3 + 4i) = 6 + 8i (100, 0) → P = 50 z1z2 1+ i ตอบ Pmax = 330 บาท จะได้ z21 407 262 i 50 25 + z22 + z23 = + ดังนน้ั ข. ผดิ ตอบ ข้อ 4. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 480 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.45 (20) lim f(x) = 42 − b = 16 − b และ f(4) = 1 (26) ก. ลองรา่ งโคง้ ความถ่ี พบวา่ เปน็ โค้งเบข้ วา x → 4− ∴ X > Mode ก. ถูก หรือ จะคาํ นวณเอาก็ได้ และ lim f(x) = lim ( x − 2)( x + 2)2 a = 16a x → 4+ x → 4+ ( x − 2) ฟงั ก์ชนั นตี้ อ่ เนอื่ งท่ี x = 4 แปลวา่ สามค่านเ้ี ทา่ กนั x f d CF ∴ b = 15, a = 1 31 - 39 2 -3 2 16 40 - 48 3 -2 5 49 - 57 5 -1 10 จะได้ f ⎛1 + 15 ⎞ = f(1) = −14 ตอบ 58 - 66 4 0 14 ⎝⎜ 16 16 ⎟⎠ 67 - 75 3 1 17 76 - 84 2 2 19 (21) (fog)(x) = 3(g(x)) + 1 = x2 + 1 85 - 93 1 3 20 → g(x) = (x2 + 1)2 − 1 3 ดังนน้ั f′(x) = 1 ⋅ 3 → f′(1) = 3 X = a + ID = 62 + (9) ⎛ −6 − 6 − 5+ 3 + 4 + 3 ⎞ ⎜⎝ 20 ⎠⎟ 2 3x + 1 4 และ g′(x) = 2(x2 + 1) ⋅ (2x) → g′(1) = 4 (2) = 8 = 62 − 3.15 = 58.85 คะแนน 3 33 แต่ Mo อยใู่ นชนั้ 49-57 ..ดงั นนั้ X > Mode แน่ๆ ตอบ 3 + 8 = 41 4 3 12 ข. หา Q1 กบั Q3 (22) f(x) = ∫ (2x + 3) dx = x2 + 3x + C Q1 อยตู่ ําแหนง่ ที่ 1 × 20 =5 4 หาค่า C จาก g(x) = x2 ⋅ f(x) ∴ Q1 = 48.5 คะแนน (สดุ ทา้ ยของชน้ั พอด)ี g(x) = x4 + 3x3 + Cx2 Q3 อยตู่ าํ แหน่งท่ี 3 × 20 = 15 4 → g′(x) = 4x3 + 9x2 + 2Cx → g′′(x) = 12x2 + 18x + 2C → g′′(1) = 0 ∴ Q3 = 66.5 + 9 ⎛ 15 − 14 ⎞ = 69.5 คะแนน ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ∴ 12 + 18 + 2C = 0 → C = −15 จะได้ QD = 69.5 − 48.5 = 10.5 ข. ถกู จะได้ f(4) = 16 + 12 − 15 = 13 ตอบ 2 (23) f′(x) = 6x + 2b → f(x) = 3x2 + 2bx + C ตอบ ข้อ 1. พืน้ ท่ี 21 (27) 15.5 + 14.8 + 14.5 + 15.2 + x = 16 5 ∫= 2∫ → x = 20 กก. 00 เรียงขอ้ มูล; 14.5, 14.8, 15.2, 15.5, 20 → (x3 + bx2 + Cx) 2 = 2 (x3 + bx2 + Cx) 1 00 → 8 + 4b + 2C = 2(1 + b + C) → Med = 15.2 กก. ความแปรปรวน → b = −3 → f(x) = 3x2 − 6x + C จึงได้ว่า f′(x) = 6x − 6 = 0 เมอ่ื x = 1 เปน็ จดุ ตาํ่ สดุ s2 = (1.5)2 + (1.2)2 +(0.8)2 + (0.5)2 + 42 5 สมั พทั ธ์ ตอบ (24) รปู ทงั้ หมด - รูปทไ่ี ม่ใช่ Δ = 4.116 กก.2 ตอบ = ⎛⎝⎜ 10 ⎞⎠⎟ − ⎛⎝⎜ 43⎠⎟⎞ = 120 − 4 = 116 รปู (28) Med = X = 160 3 ท่ี x = 158 ซม. จะได้ (25) กรณแี รก ตรง 3 ซอง เลือกวา่ ใครจะไดต้ รง พ้ืนท่ี = 0.5 − 0.3446 0.1554 = 0.1554 ทางซา้ ย 0.3446 = ⎜⎛⎝53⎞⎟⎠ = 10 วธิ ี และอกี 2 ซองสลับให้ไมต่ รงได้ 1 วิธี กรณีทสี่ อง ตรง 2 ซอง เลอื กวา่ ใครตรง → z = −0.4 ∴ −0.4 = 158 − 160 ตอบ s ⎛⎝⎜52⎠⎟⎞ = 10 วธิ ี และอีก 3 ซองสลบั ใหไ้ มต่ รงได้ 2 วิธี (ไลเ่ ขยี นเพอื่ นับ) กรณที ีส่ าม ตรง 1 ซอง เลอื กว่า → s = 5 → s = 5 = 3.125% X 160 ใครตรง ⎝⎜⎛51⎞⎟⎠ = 5 วิธี และอีก 4 ซองสลับใหไ้ มต่ รง ได้ 9 วธิ ี (ไล่เขยี นเพอื่ นับ) ∴ ตอบ 10 × 1 + 10 × 2 + 5× 9 = 75 5 ! 120 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 481 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 ¢ŒoÊoºe¢ÒŒ ÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.45 (k) ตอนท่ี 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอตั นยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ f (x) = 1 36−4x2 3 ถ้า A = { x | x ∈ [−3, 3] และ f (x) ∈ {0, 1, 2, 3}} แล้ว จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กับเท่าใด 2. ถ้า a และ b เปน็ คาํ ตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยท่ี a ≠ 0 , b ≠ 0 และ a ≠ b แลว้ sin arctan(ab) เท่ากบั เทา่ ใด 3. กาํ หนดให้ log8(log4(log2 x)) = 2 ถา้ x = 4(2n) แล้ว n มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด 4. กําหนดให้ A = ⎡4 −2⎤ , I = ⎡1 0⎤ และ c เป็นจาํ นวนจริงทนี่ อ้ ยทส่ี ุดทที่ ําให้ ⎣⎢ 1 1 ⎦⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ det (A − c I) = 0 ถ้า B= ⎡1 c c⎤ แล้ว det (1 B) เท่ากับเท่าใด ⎢⎢⎣cc 1 c1⎥⎦⎥ 2 c 5. ให้ b เป็นจาํ นวนจรงิ และกําหนดให้ f (x) = ⎪⎧3x2 + 1 ,0 < x < b ⎨ ,x < 0 ⎩⎪ 1 ถา้ −2 ∫b = 12 แล้ว b มีคา่ เท่ากบั เท่าใด f (x) dx 6. ในการเรยี งสบั เปลย่ี นตัวเลขทงั้ 7 ตวั ในเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} จํานวนวิธีทเี่ รยี งได้เลข 7 หลกั ซง่ึ ผลบวกของเลขโดดในหลักหน่วยและหลักสิบมีค่าน้อยกวา่ 7 เท่ากบั เท่าใด 7. ข้อมลู ชดุ หนึ่งเรียงลาํ ดับจากนอ้ ยไปมากคือ a 4 5 6 b ซงึ่ มีค่าเฉลีย่ เลขคณติ และส่วน เบีย่ งเบนเฉล่ียเท่ากับ 6 และ 3 ตามลาํ ดบั สัมประสทิ ธ์ิของพิสัยของขอ้ มลู ชุดนเ้ี ทา่ กบั เทา่ ใด 8. ตวั แทนจาํ หน่ายโทรทัศนส์ ยี ี่ห้อหน่ึง ขายโทรทศั นส์ ี 3 ขนาด ในรอบปี 2542, 2543 และ 2544 ด้วยราคาดังตอ่ ไปนี้ ขนาดของ ราคา (บาท) ราคาสมั พทั ธ์ในการหาดัชนรี าคา โทรทัศน์สี ปี 2543 เมอื่ ใชป้ ี 2542 เป็นปีฐาน 2544 2542 20 นว้ิ 1.02 29 นวิ้ 9,639 9,000 1.03 34 นว้ิ 21,218 20,000 1.10 38,885 35,000 ดัชนรี าคาโทรทัศนส์ ที ง้ั 3 ขนาด อยา่ งงา่ ยแบบใช้คา่ เฉลย่ี ราคาสมั พัทธ์ของ พ.ศ. 2544 เมื่อใช้ พ.ศ. 2543 เปน็ ปฐี านเทา่ กบั เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 482 ขอ สอบเขาฯ ต.ค.45 ตอนท่ี 2 ข้อ 1 – 28 เปน็ ข้อสอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. สําหรบั เซต X ใดๆ ให้ P(X) แทนเพาเวอร์เซตของ X และ n(X) แทนจาํ นวนสมาชิกของ X ถ้า A และ B เปน็ เซตซงึ่ n(P (A∩B)) = 4 และ n((A∩B) × (A∪B)) = 12 แลว้ n(P (A∪B) − P ((A−B) ∪ (B−A))) เท่ากับขอ้ ใด 1. 16 2. 32 3. 48 4. 56 2. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3x −2 > 2 พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ x −1 ก. S = (−1, 0] ∪ (1, ∞) ข. ∃x [x ∈ S ∧ (x + 2)∉ S] ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. กาํ หนดให้ a , b เปน็ จํานวนเต็ม ซง่ึ a เปน็ ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให้ q1 , q2 เป็นจาํ นวนเต็มบวก โดยท่ี 216 = ,b q1 + 106 b = 106 q2 + 4 ถ้า f (x) = x3 + ax2+ bx − 36 แล้ว เม่ือหาร f (x) ด้วย x − a ไดเ้ ศษเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 192 2. 200 3. 236 4. 272 4. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ถา้ p , q เป็นประพจน์ โดยที่ p มีค่าความจริงเป็นจรงิ และ ~ q →(~ p ∨ q) เป็นสจั นริ ันดร์ แลว้ q มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ ข. นิเสธของข้อความ ∃x [(~ P (x)) ∧ Q (x) ∧ (~ R(x))] คอื ขอ้ ความ ∀x [Q (x) → (P (x) ∨ R(x))] ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 5. กําหนดให้ P (x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด โดยท่ี ∀x [P (x)] → ∃x [~ Q (x)] มีคา่ ความจริง เป็นเทจ็ เมอ่ื เอกภพสัมพทั ธ์คือเซตของจาํ นวนจรงิ ข้อใดตอ่ ไปน้ีมีค่าความจรงิ เป็นจรงิ 1. ∃x [P (x) ∧ ~ Q (x)] 2. ∃x [~ P (x) ∨ ~ Q (x)] 3. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 4. ∀x [P (x) → Q (x)] 6. กาํ หนดให้ k เป็นคา่ คงตวั และ r = {(x, y) ∈ R+× R+ | x + k x = y + k y } พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ถ้า k = 1 แลว้ r เปน็ ฟงั ก์ชัน ข. ถ้า k = −1 แล้ว r เป็นฟังก์ชัน ข้อใดต่อไปน้ีถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 483 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 ⎧ 2 , x < −1 ⎪ 7. กาํ หนดให้ f (x) = ⎨(x −1)2 , −1 < x < 2 และ g(x) = f (x) + 2 ⎪ x + 1 ,x > 2 ⎩ ถ้า k เป็นจํานวนเต็มท่ีนอ้ ยท่ีสุดทีท่ ําให้ g(k) > 5 แลว้ (gD f)(k) มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 8. กาํ หนดให้ f (x) = x เม่อื x>0 และ g (x) = ⎧x ,0 < x < 1 ⎩⎨x+1 ,1 < x พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. gD f−1 เปน็ ฟงั กช์ ันเพิ่มบน Rf ข. f D g−1 เปน็ ฟงั ก์ชนั เพ่ิมบน Rg ข้อใดตอ่ ไปนถี้ ูก 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 9. นายดาํ ยนื อยู่บนสนามแห่งหน่ึง มองเหน็ ยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60° แตเ่ มื่อเขาเดนิ ตรงเขา้ ไปหา เสาธงอกี 20 เมตร เขามองเหน็ ยอดเสาธงเปน็ มุมเงย 75° ในขณะท่เี ขามองเหน็ ยอดเสาธงเปน็ มุม เงย 60° นนั้ เขายนื อยหู่ า่ งจากเสาธงเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 10(2 + 3 3) เมตร 2. 10(2 + 1 3) เมตร 2 2 3. 10(2 + 2 3) เมตร 4. 10(2 + 3) เมตร 10. ถ้าไฮเพอรโ์ บลา H มีจุดศนู ยก์ ลางอย่ทู จ่ี ุดศนู ย์กลางของวงรี 4x2+ 9y2− 8x − 36y + 4 = 0 จดุ ยอดอย่ทู ี่จุดโฟกัสทัง้ สองจดุ ของวงรีน้ี และผ่านจุด (5, 5) แลว้ จุดโฟกสั ของไฮเพอร์โบลา H คือจุดในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. (1 − 7 , 2) และ (1 + 7 , 2) 2. (1 − 8 , 2) และ (1 + 8 , 2) 11 11 11 11 3. (1 − 9 , 2) และ (1 + 9 , 2) 4. (1 − 10 , 2) และ (1 + 10 , 2) 11 11 11 11 11. กําหนดให้ f1(x) = −x + 3 เม่อื x<1 และ f2(x) = 3x − 2 เมอื่ x>1 2 2 ถา้ P(a, b) เป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมยี าว 7/ 5 หน่วย และสัมผสั กราฟของ f1 และ f2 แลว้ a + b เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −2 2 2. 2 2 3. 6− 2 4. 6+ 2 12. ให้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ log16x + log4x + log2x < 7 และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 34x −3− 26(32x −3) > 1 แลว้ A − B คอื ช่วงในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. (0, 3) 2. [3 , 16) 3. (0, 3] 4. [3, 16) 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 484 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 13. ถา้ เปน็ เมตริกซ์ซึง่ ⎡1 2 0⎤ ⎢ −−21⎦⎥⎥ , A A−1 = ⎢ 3 1 x > 0 ⎣ x 0 และ det (2 adj A) = 1/18 แลว้ x เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. x < 5 2. 5 < x < 9 3. 9 < x < 13 4. x > 13 14. กําหนดให้สมการจุดประสงคค์ อื P = 2ax + 3ay โดยท่ี a > 0 อสมการข้อจํากัดคอื 2x + y < 1000 , x + 3y < 900 , x > 0 และ y > 0 ถ้าคา่ สูงสุดของ P คือ 33, 000 แลว้ a เปน็ จริงตามขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 10 < a < 20 2. 20 < a < 30 3. 30 < a < 40 4. 40 < a < 50 15. กาํ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยที่ |˜BC| = 1, |˜CA| = 2 ถ้า u = 1 (˜CA + 2 ˜CB), θ เปน็ มุมระหวา่ ง u และ ˜CB 3 และ cos BClA = 1 แล้ว cos θ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 4 1. 5 2. 5 3. 5 4. 5 4 2 42 22 16. กาํ หนดให้ =ABC13เปแน็ ลร้วปู ส˜AาBมเ⋅ห˜BลCยี่ ม+ โ˜BดCยท⋅ ˜Cี่ |A˜AB+|˜C=Ac⋅ ˜A, B|˜BCเท|า่ =กับaข,้อ|ใ˜CดAตอ่|ไ=ปนb้ี ถา้ a2 + b2 + c2 1. 13 2. − 13 3. 13 4. − 13 2 2 3 3 17. กําหนดให้ z1 , z2 , z3 เป็นจาํ นวนเชงิ ซ้อน ซง่ึ มีสมบตั วิ า่ z1 = z2 = z3 = 1 และ z1+ z2+ z3 = 0 และให้ Re(z) แทนสว่ นจรงิ ของจํานวนเชิงซ้อน z พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ก. Re (z1z2) = 1 ข. z1− z2 = 3 2 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ ข้อใดต่อไปนีถ้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 18. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชิงซอ้ น ถ้า −1 + 3 i เปน็ รากที่ 5 ของ z แล้ว รากที่ 2 ของ z คอื จาํ นวนในขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 2 2(− 3 − i), 2 2( 3 + i) 2. 2 2(−1− 3 i), 2 2(1+ 3 i) 3. 2 2(− 3 + i), 2 2( 3− i) 4. 2 2(−1+ 3 i), 2 2(1− 3 i) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 485 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.45 19. กาํ หนดให้ log x , log (x+2), log (x+16) เปน็ สามพจน์แรกทเ่ี รียงกันของลาํ ดับเลขคณติ ถา้ a10 เปน็ พจนท์ ี่ 10 และ S10 เปน็ ผลบวก 10 พจนแ์ รกของลาํ ดับนีแ้ ลว้ ข้อใดต่อไปน้ีถกู 1. ,a10 = 9 log 5 − 8 log 3 S10 = 5 [9 log 5 − 7 log 3] 2. ,a10 = 9 log 5 − 8 log 3 S10 = 5 [9 log 7 − 2 log 3] 3. ,a10 = 9 log 7 − log 3 S10 = 5 [9 log 5 − 7 log 3] 4. ,a10 = 9 log 7 − log 3 S10 = 5 [9 log 7 − 2 log 3] ⎧x ,x < a ⎪⎪ x+2 20. กาํ หนดให้ a > 0, f (x) = ⎨ และ g(x) = x2 ⎪ x+1 ,x > a ⎩⎪ x ถ้า xl→ima + (f D g)( x) − xl→ima − (g D f)(x) = 11 แลว้ a มคี ่าเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ a (a + 2) 1. 1 2. 3 3. 5 4. 9 21. กาํ หนดให้ f (x) = x2− 6x + c โดยที่ c เป็นจํานวนจรงิ ถา้ a และ b เปน็ รากของสมการ f (x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แลว้ f′(c) มคี ่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −38 2. −26 3. 26 4. 38 22. กําหนดให้ f (x) = x2 − 2 x และ g(x) = x2 + 1 (gD f)′(−3) + (f D g)′(3) เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 1. −132 2. −84 3. 84 4. 132 23. กาํ หนดให้ f′′(x) = ax เมือ่ a เปน็ ค่าคงตวั ถา้ เส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผสั กับกราฟของ f ทจี่ ุด (1, 4) และ f (0) = 8 แล้ว 0 ∫1 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี f (x) dx 1. 22 2. 23 3. 42 4. 43 4 4 4 4 24. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดขนาดเดยี วกนั เป็นสีแดง 24 เม็ด ท่เี หลอื เปน็ ลูกกวาดสขี าวและลกู กวาดสี เขียว ถา้ สุ่มหยิบลูกกวาดขนึ้ มา 1 เม็ด ความน่าจะเปน็ ท่ีไดล้ ูกกวาดสีขาวหรือสเี ขยี วเทา่ กับ 5/6 และความน่าจะเปน็ ทไี่ ด้ลูกกวาดสีเขยี วหรอื สีแดงเทา่ กบั 3/4 แล้ว จาํ นวนลูกกวาดสีเขยี วเทา่ กับข้อ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 36 2. 60 3. 72 4. 84 25. ชมรมกีฬาของโรงเรยี นแห่งหนึ่งมสี มาชกิ ทง้ั หมด 80 คน สมาชกิ ทุกคนต้องเลน่ กฬี าอยา่ งนอ้ ย หนึ่งอยา่ ง และมีสมาชิกเป็นนักฟุตบอล 49 คน นักบาสเกตบอล 40 คน นกั เทนนิส 33 คน นกั กีฬาท้ังสามอยา่ ง 5 คน นกั เทนนสิ อย่างเดียว 10 คน นกั บาสเกตบอลอย่างเดียว 13 คน นัก บาสเกตบอลและนักเทนนิส 13 คน ความน่าจะเปน็ ในการเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ของชมรมตําแหน่งละ 1 คน จากสมาชกิ ทงั้ หมด โดยท่ปี ระธานตอ้ งเปน็ นกั กฬี าท้งั สามอย่าง และรอง ประธานจะต้องเป็นนกั กีฬาอยา่ งน้อย 2 อยา่ ง เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 9 2. 11 3. 15 4. 23 316 316 632 632 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 486 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.45 26. ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันระหวา่ งตน้ ทุนการผลติ สินค้าตอ่ หนว่ ย ( y ) (หนว่ ยเป็นบาท) กับ จาํ นวนสินค้าท่ีผลิตได้ในแต่ละวัน ( x ) (หนว่ ยเป็นชนิ้ ) ของโรงงานแหง่ หนง่ึ ทไี่ ดจ้ ากการเกบ็ ข้อมูล ตัง้ แตว่ ันท่ี 1 – 30 กันยายน 2545 อย่ใู นรปู สมการ y = 8 − 0.5 x ถา้ จํานวนสนิ คา้ ท่ีโรงงานแหง่ นผ้ี ลติ ได้ในวันที่ 1 – 4 ตลุ าคม 2545 เป็น 4, 2, 8, 10 ชนิ้ ตามลาํ ดับ แล้ว ความแปรปรวนของตน้ ทุนการผลติ สินคา้ ตอ่ หน่วยทที่ าํ นายไดใ้ นชว่ งเวลาดังกลา่ ว เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 2.5 2. 10 3. 17.5 4. 22.5 27. ถา้ นา้ํ หนักของนักเรยี นช้นั อนบุ าลในโรงเรียนแหง่ หนงึ่ มกี ารแจกแจงปกติ โดยมีคา่ มธั ยฐานเปน็ สามเท่าของสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องนกั เรียนกลุม่ น้ีมนี ้าํ หนกั น้อยกว่า 15.7 กโิ ลกรมั แลว้ เปอร์เซ็นตข์ องนกั เรยี นกลุ่มน้ีที่มนี ํ้าหนักอยรู่ ะหวา่ ง 13 กโิ ลกรมั ถึง 18 กโิ ลกรัม เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ กาํ หนดตารางแสดงพนื้ ที่ใตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน ทอ่ี ยูร่ ะหวา่ ง 0 ถงึ z z 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7 พ้นื ที่ 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.2580 1. 30.51% 2. 33.73% 3. 38.12% 4. 41.34% 28. ในการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นห้องหนง่ึ ซ่ึงมคี ะแนนเตม็ 70 คะแนน มีสมั ประสิทธิ์ ของการแปรผันของคะแนนเทา่ กบั 2/7 ถ้านายบณั ฑิตสอบได้ 65 คะแนน ซ่งึ คดิ เปน็ คะแนน มาตรฐานเท่ากับ 3 และนางสาวบังอรสอบได้คะแนนซงึ่ คิดเปน็ คา่ มาตรฐานเทา่ กับ 1.9 แลว้ นางสาวบังอรสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 50 คะแนน 2. 52 คะแนน 3. 54 คะแนน 4. 56 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 487 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 เฉลยคาํ ตอบ ตอนที่ 1 (1) 5 (2) 0.6 (3) 127 (4) 0.625 (5) 2 (6) 1440 (7) 0.8 (8) 102.14 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 2 (3) 2 (4) 1 (5) 4 (6) 2 (7) 3 (8) 1 (9) 4 (10) 4 (11) 3 (12) 1 (13) 3 (14) 2 (15) 4 (16) 2 (17) 3 (18) 4 (19) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 4 (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 3 เฉลยวิธคี ดิ ตอนที่ 1 (4) A − cI = ⎡4−c −2 ⎤ ⎢⎣ 1 1−c⎦⎥ (1) y = 1 36 − 4x2 → 3y = 36 − 4x2 3 → A − cI = (4 − c)(1 − c) + 2 = 0 → 9y2 = 36 − 4x2 → 4x2 + 9y2 = 36 จะได้ 4 − 5c + c2 + 2 = 0 → x2 + y2 = 1 2 → (c − 3)(c − 2) = 0 → c ทน่ี อ้ ยทส่ี ดุ คอื 2 94 1 -3 หา 1B = ⎛ 1 ⎞3 122 โดยที่ y > 0 03 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 2 12 (เป็นรูปครง่ึ วงร)ี 22 1 จากกราฟพบวา่ = ⎛ 1 ⎞3 (−4 − 4 − 4 + 1 + 8 + 8) = 5 = 0.625 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 8 ถ้า y ∈ {0, 1, 2, 3} จะมี x อยู่ 5 ตัว ตอบ ตอบ (2) ให้ A = arcsin x จะไดว้ า่ [หมายเหตุ ขอ้ นคี้ าํ ตอบเปน็ ทศนยิ มเกิน 2 ตําแหน่ง, sin A = x, cos A = 1 − x2 จะตอบ 0.62 หรือ 0.63 ก็ได้ เนื่องจากในการ ดังนน้ั จากโจทย์ → sin(2A) = x ตรวจขอ้ สอบ ยนิ ยอมใหท้ ศนิยมตาํ แหนง่ ทส่ี อง → 2 sin A cos A = x → 2x 1 − x2 = x คลาดเคลื่อนได้ ±1 อยูแ่ ลว้ ] → x (2 1 − x2 − 1) = 0 (5) จะได้ x = 0 หรอื 1 − x2 = 1 → แตโ่ จทย์บอก 1 พน้ื ที่ซา้ ย = , = 2 2 -2 0 b ว่าคาํ ตอบไม่ใช่ 0 ดงั นัน้ 1 − x2 = 1 2 1 − x2 = 1 → x2 = 3 → x = ± 3 พื้นทีข่ วา = b = (x3 + x) b = b3 + b 44 2 0 (ตวั หนงึ่ เปน็ a และอกี ตวั เป็น b คูณกนั ได้ -3/4) ∫ (3x2 + 1) dx 0 ให้หาคา่ ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ ∴ b3 + b + 2 = 12 → b3 + b = 10 ⎜⎝ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎠⎟ sin arctan − → b = 2 ตอบ ถ้า tan = − 3 ยอ่ มไดว้ ่า sin = 3 = 0.6 ตอบ (6) เลือกเลขหลกั หนว่ ยและสิบ ได้ดงั น้ี 1, 2 1, 3 45 1, 4 1, 5 2, 3 2, 4 รวม 6 กรณี (3) log4(log2 x) = 82 = 64 แตล่ ะกรณสี ลบั ได้ 5! × 2! แบบ ตอบ วิธี→ log2 x = 464 = 2128 → x = 2(2128) = 4(2127) 6 × 5 ! × 2 ! = 1,440 ∴ n = 127 ตอบ (7) X = 6 = a + 4 + 5 + 6 + b 5 → a + b = 15 .....(1) MD = 3 = (6 − a) + 2 + 1 + 0 + (b − 6) 5 → b − a = 12 .....(2) สมั ประสิทธขิ์ องพิสัย = b − a = 12 = 0.8 ตอบ b + a 15 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 488 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.45 (8) หาราคา ปี 2543 โดยใช้ขอ้ มลู ช่องขวาทใ่ี หม้ า ส่วนค่า b ได้จากการพจิ ารณาสมการท่ี (1) x = 1.02 → x = 9,180 บาท คอื bq1 = 216 − 106 = 110 โดย q1 เปน็ จาํ นวน 9,000 นบั และ b > 106 (ตวั หารตอ้ งมากกว่าเศษ) ∴ b = 110 เทา่ นน้ั (q1 = 1) y = 1.03 → y = 20,600 บาท (ไมส่ ามารถเป็น 55 × 2 ได้ เพราะ 55 < 106 ) 20,000 ∴ f(x) = x3 + 2x2 + 110x − 36 หารดว้ ย x − 2 z = 1.10 → z = 38,500 บาท 35,000 ∴ ISR ปี 2544 เทยี บ 2543 ไดเ้ ศษ = f(2) = 8 + 8 + 220 − 36 = 200 ตอบ (4) ก. p เป็นจริง และ ~ q → (F ∨ q) เปน็ จรงิ = ⎛ 9,639 + 21,218 + 38,885 ⎞ × 100 ⎜⎝ 9,180 20,600 38,500 ⎟⎠ 3 แสดงว่า ~ q → q เปน็ จรงิ = (1.05 + 1.03 + 1.01) × 100 = 103 ตอบ ∴ q เปน็ จริงเทา่ นนั้ ก. ถูก 3 ข. นิเสธคอื ∀x ⎡⎣P(x) ∨ ~ Q(x) ∨ R(x)⎤⎦ ตอนท่ี 2 (1) n(P(A ∩ B)) = 4 = 22 แสดงวา่ ≡ ∀x ⎣⎡Q(x) → (P(x) ∨ R(x))⎤⎦ ข. ถกู ตอบ ขอ้ 1. n(A ∩ B) = 2 (5) ∀x [P(x)] → ∃x [~ Q(x)] เป็นเทจ็ แสดงวา่ ∀x [P(x)] เปน็ จรงิ จาก n((A ∩ B) × (A ∪ B)) = 12 = 2 × 6 และ ∃x [~ Q(x)] เป็นเท็จ (คอื ∀x [Q(x)] จรงิ ดว้ ย) แสดงวา่ n(A ∪ B) = 6 พจิ ารณาวา่ ตัวเลอื กในข้อใดเปน็ จริง ดังนน้ั n[(A − B) ∪ (B − A)] โดยยดึ ในใจวา่ ∀x [P(x)] จริง, ∀x [Q(x)] จรงิ 1. มบี าง x ซึ่ง P จริง และ Q เทจ็ ...ไมใ่ ช่ =6−2 = 4 2. มีบาง x ซึ่ง P เท็จ หรือ Q เท็จ ...กไ็ ม่ใช่ 3. ทุกๆ x ถา้ P จริง แลว้ Q เท็จ ...ไม่ใช่ โจทยถ์ าม n[P(A ∪ B) − P((A − B) ∪ (B − A))] 4. ทุกๆ x ถา้ P จรงิ แลว้ Q จริง ...ใช่ ตอบ ข้อ 4. (6) ก. x + x = y + y เน่ืองจาก (A − B) ∪ (B − A) เป็นสบั เซตของ → y + y − (x + x) = 0 A ∪ B เพาเวอรเ์ ซตจึงเป็นสับเซตของกนั ดว้ ย สามารถลบจาํ นวนได้เลยดงั นี้ 26 − 24 = 48 ตอบ → y = −1 ± 1 + 4(x + x) (2) แยกช่วงย่อยคิด 2 กรณีแรก ถา้ x < 0 จะได้สมการกลายเปน็ ∴ y = −1 ± 4x + 4 x + 1 3x − 2 > 2 → 3x − 2 < 2 2 −x−1 x+1 = −1 ± (2 x + 1) = x หรอื −1 − x → 3x − 2 − 2x − 2 < 0 → x − 4 < 0 2 x+1 x+1 แต่ y = −1 − x ไมไ่ ด้ เพราะติดลบ นั่นคอื (−1, 4] และนําไปอินเตอรเ์ ซคกับเงอ่ื นไข เหลอื แค่ (−1, 0) กรณที ่สี อง ถา้ x > 0 จะไดส้ มการกลายเป็น 3x − 2 > 2 → 3x − 2 − 2x + 2 > 0 ∴ y = x เทา่ นน้ั จึงเป็นฟงั กช์ นั x−1 x−1 ข. x − x = y − y → x > 0 นัน่ คือ (−∞, 0] ∪ (1, ∞) → y − y − (x − x) = 0 x−1 อนิ เตอรเ์ ซคกับเงอ่ื นไข เหลือแค่ {0} ∪ (1, ∞) → y = 1 ± 1 + 4(x − x) ดังนนั้ ก. S = (−1, 0] ∪ (1, ∞) ถกู 2 ข. มีบาง x ซึง่ x ∈ S และ (x + 2) ∉ S ไม่จริง ∴ y = 1 ± 4x − 4 x + 1 x 2 เพราะ S ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นไมว่ า่ x เป็นจํานวน เทา่ ใด (x + 2) ย่อม ∈ S เสมอ ผิด ตอบ ข้อ 2. = 1 ± (2 x − 1) = x หรอื 1 − 2 (3) การหา ห.ร.ม. ด้วยวิธขี องยคุ ลิด ซง่ึ เปน็ ไปไดท้ ัง้ 2 อยา่ ง จงึ ไม่เปน็ ฟังกช์ นั จาก 216 = b q1 + 106 .....(1) (เชน่ ถา้ x=1 จะได้ y=1 ก็ได,้ y=0 ก็ได้) และ b = 106 q2 + 4 .....(2) ตอบ ขอ้ 2. ทาํ ตอ่ ไป 106 = 4(26) + 2 และ 4 = 2 (2) ดังนน้ั ห.ร.ม. a = 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 489 ขอ สอบเขา ฯ ต.ค.45 (7) จาก g(k) > 5 → f(k) + 2 > 5 → f(k) > 3 ∴ ไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศนู ย์กลาง (1, 2) ออ้ มแกน x และ ⎪⎧ 2 1)2 , k < −1 และคา่ a = 5 → (x − 1)2 − (y − 2)2 =1 ⎨ (k − 1 5 b2 f(k) = ⎪⎩ k+ , −k1>< k < 2 , 2 ผ่านจดุ จะไดว้ า่ 16 9 ลองแทนคา่ จาํ นวนเต็ม k ไล่ไปเรอื่ ยๆ (5, 5) 5 − b2 =1 กรณบี น f(k)=2 เสมอ ไม่มากกวา่ 3 อยู่แลว้ b2 = 45 → ดงั นัน้ c = 5 + 45 = 10 11 11 11 กรณีกลาง ถา้ k = 0 ได้ f(0) = 1 , ถา้ k = 1 ได้ f(1) = 0 แสดงวา่ ไม่มี k ที่ใช้ไดเ้ ลย จุดโฟกสั คอื ⎛ 1 ± 10 , 2 ⎟⎠⎞ ตอบ กรณลี า่ ง ถ้า k = 2 ได้ f(2) = 3 , ⎜⎝ 11 ถ้า k = 3 ได้ f(3) = 4 (11) ระยะทางจากจดุ ศนู ยก์ ลาง P(a, b) ไปยัง ∴ จํานวนเต็ม k ท่นี อ้ ยทส่ี ุดทท่ี ําให้ f(k)>3 คอื 3 เสน้ ตรงท้ังสอง = 7 P f2 (gof)(3) = g(4) = f(4) + 2 = 7 ตอบ 5 f1 (8) ก. f−1(x) = x2 เม่อื x > 0 จากการวาดกราฟครา่ วๆ พบว่าวิธหี าจุด (a, b) 0 < x2 < 1 ∴ gof−1(x) = ⎧ x2 ; x2 > 1 อยา่ งง่ายคอื ขยบั เสน้ ตรง ⎨ x2 + 1; ⎩ f1 และ f2 ขน้ึ ไปจากเดิม 1 เป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ ในชว่ ง [0, ∞) จริง 7 หนว่ ย แลว้ จึงแกร้ ะบบสมการเพอื่ หาจดุ ตดั กนั ข. g−1(x) = ⎧ x; 0<x <1 (เง่ือนไขมาจาก Rg ) 5 ⎩⎨ x − 1; x>2 f1; y = − x + 3 → 2y + x − 3 = 0 ⎧ x2 ; 0< x < 1 22 ∴ fog−1(x) = ⎨⎩(x − 1)2 ; x>2 7 −3 − Cใหม่ เปน็ ฟงั ก์ชนั เพมิ่ ในช่วง [0, 1) ∪ [2, ∞) จริง ∴ 5 = 5 → Cใหม่ = −10 ∴ ตอบ ก. ถูก และ ข. ถูก ดังนนั้ f1 ใหม่ คอื 2y + x − 10 = 0 (9) f2; y = 3x − 2 → y − 3x + 2 = 0 = 2 − Cใหม่ h = a tan 75° .....(1) h∴ 7 10 → Cใหม่ = 2 − 7 2 h = (20 + a) tan 60° .....(2) 5 60° 75° ดงั นนั้ f2 ใหม่ คอื y − 3x + 2 − 7 2 = 0 20 a แกร้ ะบบสมการหาจดุ ตดั ได้ x = 2 − 2 2, y = 4 + 2 → ตอบ 6 − 2 แก้ระบบสมการ จะได้ a = 20 tan 60° tan 75° − tan 60° (12) A; 1 log2 x + 1 log2 x + log2 x < log2 (27) 4 2 หาค่า tan 75° จาก 7 7 1+ 1 → 4 log2 x < log2 (27) tan(45° + 30°) = → x4 < 27 1− 3 = 3 +1 = 2+ 3 1 1 3−1 → x4 < 2 → x < 16 3 แต่มเี ง่อื นไข log จงึ ได้เพียง 0 < x < 16 เทา่ น้นั ∴ a = 20( 3) = 10 3 (2 + 3) − 3 B; นาํ 33 = 27 คูณท้งั สองขา้ ง ตอบ 20 + 10 3 = 10 (2 + 3) เมตร → 34x − 26 ⋅ 32x > 27 (10) วงร;ี [มอง 32x = A ] จะได้วา่ 4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 − 4y + 4) = −4 + 4 + 36 A2 − 26A − 27 > 0 → (A − 27)(A + 1) > 0 → (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 นั่นคอื A < −1 หรือ A > 27 94 แต่ 32x < −1 ไมไ่ ด้ ∴ 32x > 27 → 2x > 3 จดุ ศนู ยก์ ลาง (1, 2) รตี ามแกน x x > 3/2 ตอบ A − B = (0, 3) ระยะโฟกสั c = 9 − 4 = 5 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 490 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 (13) [พสิ จู น์ จาก adjA = A ⋅ A−1 โจทย์ถาม ˜AB ⋅ ˜BC + ˜BC ⋅ ˜CA + ˜CA ⋅ ˜AB จะได้ adjA = A n ⋅ A −1 = ]A n − 1 = ca cos(180°− B) + ab cos(180°− C) + bc cos(180°− A) ดงั นนั้ 2adjA = 23 adjA = 8 A 2 = −ca cos B − ab cos C − bc cos A หา A จากในโจทยก์ ่อน จาก a2 + b2 + c2 = 13 ใช้กฎของ cos ใน Δ A−1 = 12 − 2 − 2x = 10 − 2x จะไดว้ า่ (b2 + c2 − 2bc cos A) + (a2 + c2 − 2ac cos B) ∴ A = 1 → จะไดว้ า่ 8 A 2 = 1 + (a2 + b2 − 2ab cos C) = 13 10 − 2x 18 แทนคา่ a2 + b2 + c2 = 13 ลงไป จะได้ → 8 = 1 → (10 − 2x)2 = 144 (10 − 2x)2 18 −2 bc cos A − 2 ac cos B − 2 bc cos A = − 13 → x = 11 ตอบ ข้อ 3. ดงั นน้ั ตอบ − 13 (14) 2 300 (420,180) (17) เนอื่ งจากขนาด z1 , z2 , z3 เปน็ 1 และรวมกนั เปน็ 0 แสดงวา่ z1 , z2 , z3 อย่บู น วงกลมหนงึ่ หน่วย และหา่ งเปน็ ระยะเท่าๆ กนั O 500 คือห่างกัน 120° ดงั นนั้ ถา้ ให้ z1 = 1∠θ จะได้ สมมตวิ า่ จดุ (420, 180) ทาํ ให้เกิด Pmax z2 = 1∠(θ+120°), z3 = 1∠(θ−120°) ∴ 33,000 = 2a (420) + 3a (180) ก. z2 = 1∠(−θ−120°) ดงั นน้ั ได้ a ≈ 23.91 ลองแทนคา่ จุดอ่นื หา P ดกู ่อน z1z2 = 1∠(θ + (−θ−120°)) = 1∠(−120°) (500, 0) ได้ P = 23,913 (0, 300) ได้ P = 21,519 ∴ Re(z1z2) = 1 cos(−120°) แสดงวา่ จดุ ท่ีเลอื ก เกดิ Pmax จริงๆ = cos 120° = − 1 เสมอ 2 ข. z1 − z2 ∴ ตอบ ขอ้ 2. A = (cos θ + i sin θ) − (cos(θ+120°) + i sin(θ+120°)) (15) arccos 1/4 = ⎡⎣cos θ − cos(θ+120°)⎤⎦ − i ⎡⎣sin θ − sin(θ+120°)⎦⎤ นํา u˜CBมาจดะอไทดม้ มุ θ 2 = (3 cos θ + 3 sin θ) + i (3 sin θ − 3 cos θ) กับ C 22 22 B1 = 3 ⎡⎣( 3 cos θ + sin θ) + i ( 3 sin θ − cos θ)⎤⎦ 2 ˜ ˜ ˜ ˜u ⋅ CB = 1 [CA ⋅ CB + 2| CB |2] 3 ∴ z1 − z2 = ˜ ˜ ˜ ˜u | CB | cos θ = 1 [| CA || CB | ( 1) + 2| CB |2] 3 3 cos2 θ + sin2 θ + 3 sin2 θ + cos2 θ 3 4 2 แทนคา่ |˜CA | 2, ˜| CB | = 1 = (พจนก์ ลางคอื 2 3 sin θ cos θ หักลา้ งกนั แล้ว) จะได้ u cos θ = 5 = 1 |˜CA + 2 ˜CB | = 3 4 cos2 θ + 4 sin2 θ = 3 หาขนาด u จาก 6 3 2 u ตอบ ข้อ ก. ผดิ , ข.ถูก หมายเหตุ ข้อ ข. อาจพิสจู นแ์ บบเวกเตอร์ = 1 22 + 22 + 2(2)(2) (1/4) = 10 z1 − z2 = 12 + 12 − 2(1)(1) cos(120°) = 3 กไ็ ด้ (18) z = (−1 + 3 i)5 = (2∠120°)5 33 ∴ cos θ = 5 ÷ 10 = 5 ตอบ = 32∠600° = 32∠240° 6 3 22 C รากท่สี องของ z ได้แก่ 32∠120° กบั (16) B 32∠(120°+180°) a c นั่นคอื 32 (− 1 + 3 i) กบั 32 (1 − 3 i) 22 22 Ab ตอบ 2 2(−1 + 3i) และ 2 2(1 − 3i) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 491 ขอสอบเขา ฯ ต.ค.45 (19) log(x + 2) − log x = log(x + 16) − log(x + 2) ดังนน้ั 11 → x + 2 = x + 16 → x2 + 4x + 4 = x2 + 16x ∫ f(x) dx = ∫ (x3 − 5x + 8) dx x x+2 00 = ⎛ x4 − 5 x2 + 8x ⎞ 1 = 23 ตอบ ⎜ 2 ⎟ 0 4 →x= 1 ⎝ 4 ⎠ 3 (24) แดง 24 เมด็ , ขาว x เมด็ , เขยี ว y เมด็ = log( 1) และ d = log(7) − log( 1) = log(7) ∴ a1 3 33 ∴ 5 = x + y และ 3 = 24 + y → a10 = log( 1) + 9 log(7) = 9 log 7 − log 3 6 24 + x + y 4 24 + x + y 3 แก้ระบบสมการ จาก (1) ได้ และ S10 = 10 (log( 1) + (9 log 7 − log 3)) 5 (24 + x + y) = x + y → x + y = 120 23 6 = 5 (9 log 7 − 2 log 3) ตอบ ขอ้ 4. แทนใน (2) 3 = 24 + y ได้ y = 84 เม็ด ตอบ 4 144 (20) lim (fog)( x) = lim f(x) = a + 1 (25) จาํ นวนคน = 80 คน, x → a+ x → a+ a เปน็ นกั กฬี าครบทุกอย่าง = 5 คน lim (gof)(x) = lim g ⎛⎝⎜ x x ⎞ = ⎛ a ⎞2 + 2 ⎟⎠ ⎜⎝ a + 2 ⎠⎟ เปน็ นกั กีฬาสองอย่างข้ึนไป F 20 14 13 B x → a− x → a− (คดิ จากรปู ) = 37 คน จะได้ a + 1 − a = 11 ตอบ 5 × 36 × 78 = 9 10 5 8 a a + 2 a(a + 2) 80 × 79 × 78 316 10 T → (a + 1)(a + 2) − a2 = 11 → 3a + 2 = 11 → a = 3 ตอบ (21) x2 − 6x + c = (x − a)(x − b) (26) หา X = 4 + 2 + 8 + 10 = 6 4 แสดงว่า a + b = 6 .....(1) s2x ; จากโจทยบ์ อกเพมิ่ ว่า 3a + 2b = 20 .....(2) แก้ระบบสมการได้ a = 8 , b = −2 ∴ s2x = 22 + 42 + 22 + 42 = 10 4 ∴ f(x) = (x − 8)(x + 2) = x2 − 6x − 16 → c = −16 จาก Y = 8 − 0.5 X จะได้ sY = 0.5sx โจทย์ถาม f′(−16) = 2(−16) − 6 = −38 ตอบ ตอบ→ s2Y = (0.5)2s2x = (0.5)2 ⋅ 10 = 2.5 (22) ต้องถอดคา่ สัมบูรณอ์ อกกอ่ นจงึ ดิฟได้ ก. ที่ x = −3 (27) Med = X = 3s .....(1) และ x = 15.7 → พนื้ ที่ A = 0.557 ทางขวา → (gof)(x) = g(x2 + 2x) = (x2 + 2x)2 + 1 → (gof)′ (x) = 2(x2 + 2x)(2x + 2) → z = 0.14 = 15.7 − X .....(2) s → (gof)′(−3) = 2(9 − 6)(−4) = −24 แก้ระบบสมการได้ s = 5, X = 15 ข. ท่ี x = 3 ได้ g(3) = 10 ดงั นน้ั ดงั นนั้ z13 = 13 − 15 = −0.4 5 → (fog)(x) = f(x2 + 1) = (x2 + 1)2 − 2(x2 + 1) → (fog)′(x) = 2(x2 + 1)(2x) − 4x และ z18 = 18 − 15 = 0.6 5 → (fog)′(3) = 2(10)(6) − 12 = 108 ตอบ 84 (23) เส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผสั กราฟที่จดุ 0.1554 0.2258 (1, 4) แสดงวา่ f(1) = 4 และความชนั f′(1) = −2 จาก f′′(x) = ax → f′(x) = ax2 + b -0.4 0.6 z 2 ตอบ 15.54 + 22.58 = 38.12% จะได้ f′(1) = a + b = −2 .....(1) 2 (28) s = 2 , 3 = 65 − X X7 s จาก f(x) = ax3 + bx + c 6 แก้ระบบสมการได้ s = 10 และ X = 35 จะได้ f(1) = a + b + c = 4 .....(2) ดงั นน้ั 1.9 = xบงั อร − 35 ตอบ 6 10 และ f(0) = c = 8 → xบังอร = 54 คะแนน แกร้ ะบบสมการ ได้ a = 6, b = −5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 492 ขอ สอบเขา ฯ มี.ค.46 ¢oŒ Êoºe¢ŒÒÁËÒÇ·i ÂÒÅa Á.Õ ¤.46 (l) ตอนท่ี 1 ขอ้ 1 – 8 เป็นขอ้ สอบแบบอัตนยั ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x > x − 1 และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ x − 5 > 0 (x + 1)(x + 3) ถา้ A − B คือชว่ ง (a, b) แล้ว a + b มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด 2. ในรปู สามเหล่ียม ABC ถา้ A = 30° ดา้ น BC ยาว 2 เซนติเมตร และด้าน AC ยาว 3 เซนตเิ มตร แล้ว 4 sin 3B มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด 3. ถา้ ,log93 ,log9(3x − 2) log9(3x + 16) เป็นสามพจน์แรกทเ่ี รียงกนั ในอนกุ รมเลขคณติ และ S เปน็ ผลบวกของส่พี จน์แรกของอนกุ รมนี้ แล้ว 3S มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด 4. กําหนดให้ A และ B เปน็ เมตริกซข์ นาด 2 × 2 ถา้ A +2B = ⎡5 4⎤ และ A −B = ⎡2 1⎤ แล้ว det (2A−1B) มีคา่ เท่ากับเท่าใด ⎣⎢8 16⎦⎥ ⎢⎣−1 −5⎥⎦ 5. กําหนดสมการจุดประสงคค์ ือ P = 3x + 2y โดยมีอสมการข้อจาํ กัดคอื 0 < x < 4 และ 6 < x + y < 7 แลว้ คา่ สงู สุดของ P เท่ากบั เทา่ ใด 6. ถา้ u = 4 i + 3 j , v = u และ u + v = 8 แล้ว u ⋅ v มคี ่าเทา่ ใด 7. สลาก 11 ใบ มหี มายเลข 1 ถึง 11 กาํ กบั อยใู่ บละ 1 หมายเลข สุ่มหยิบสลากมา 4 ใบ ความ น่าจะเป็นท่ีสลากทห่ี ยิบมา มผี ลคูณของหมายเลขเป็นจาํ นวนคู่ แตผ่ ลบวกของหมายเลขเปน็ จํานวนคี่ มคี ่าเทา่ ใด (ตอบทศนยิ ม 2 ตําแหน่ง) 8. กําหนดตารางแจกแจงความถ่ขี องคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนักเรียนหอ้ งหนง่ึ ดังนี้ คะแนน ความถี่ 16 – 18 a 19 – 21 2 22 – 24 3 25 – 27 6 28 – 30 4 ถ้าควอร์ไทลท์ ห่ี นึง่ ( Q1 ) เท่ากับ 18.5 คะแนน แล้ว มธั ยฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของ นกั เรียนห้องนี้เทา่ กับเทา่ ใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 493 ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 ตอนท่ี 2 ขอ้ 1 – 28 เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั ข้อละ 3 คะแนน 1. กาํ หนดให้ A = { 1, 2 } , B = { 1, 2, 3, ..., 10 } เซต { f | f : A 1−1> B และมี x ∈ A ซ่ึง f (x) = x } มจี ํานวนสมาชกิ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 16 2. 17 3. 18 4. 19 2. ให้ p , q และ r เปน็ ประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถ้า [(p ∧ ~ r) ∧ q] → ~(p ∧ q) เป็นเทจ็ แล้ว (p ∨ q) → r เป็นจริง ข. ถา้ q ∨ ~ r เปน็ เท็จ แล้ว [p ∨ (q → r)] → ~ q เปน็ เท็จ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู 1. ก. ถกู และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 3. กาํ หนดให้ p , q , r และ s เปน็ ประพจน์ ในการอ้างเหตุผล ถา้ “เหตุ” คอื 1. (p ∨ q) →(r ∧ s) 2. r → ~ s แล้ว ประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้เี ปน็ “ผล” ท่ที ําให้การอา้ งเหตผุ ลมีความสมเหตสุ มผล 1. p 2. q 3. ~ p ∧ ~ q 4. ~ p ∧ q 4. ให้ A , B และ C เปน็ เซตซง่ึ n(A∪B) = 16 , n(A) = 8 , n(B) = 14 , n(C) = 5 และ n(A∩B∩C) = 2 คา่ สูงสดุ ของ n [(A∩B) × (C−A)] ทีเ่ ป็นไปได้ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 6 2. 12 3. 18 4. 24 5. กําหนดให้ I คือเซตของจาํ นวนเต็ม และ S = { x | x−1 − 1 ⋅ x−1 + 1 < 50 } จาํ นวน สมาชิกของเซต S ∩ I เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. 15 4. 16 1. 13 2. 14 6. กําหนดให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชนั ซง่ึ f (x) < 0 ทุก x ถา้ (g f)(x) = 2 [f (x)]2 + 2 f (x) − 4 และ g−1(x) = x + 1 แล้ว 3 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. g f เป็นฟังก์ชันคงตวั ข. f (100) + g(100) = 300 ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ กู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 494 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.46 7. กาํ หนดให้ f (x) = − (x−1)2 ทุก x < 1 และ g(x) = 1−x ทกุ x < 1 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. f−1(x) = 1 − x ทกุ x < 0 ข. (g−1 f−1)(− 1) = 3 ข้อใดต่อไปนถ้ี กู 44 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 8. กาํ หนดให้ r = {(x, y) | 0 < x, 0 < y < 5 และ x2 − y2 − 2x + 6y < 8 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. Dr = [0, 3] ข. ถา้ 0 < c และ (3, c) ∈ r แล้ว c = 5 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 9. ถา้ arccos x − arcsin x = π แลว้ arccos x − arctan 2x มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 6 1. π 2. 5π 3. 7π 4. 11π 12 12 12 12 10. ให้ E เปน็ วงรซี งึ่ ผลบวกของระยะทางจากจดุ ใดๆ บนวงรี E ไปยังจดุ (−3, 2) และ (5, 2) เท่ากบั 12 หนว่ ย ถา้ A และ B เป็นจดุ ยอดของวงรี E และวงรี E ตัดแกน y ท่ีจุด C และ D แล้ว พน้ื ที่ของรูปสี่เหล่ียม ABCD เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 10 5 ตารางหน่วย 2. 20 5 ตารางหน่วย 3. 10 7 ตารางหน่วย 4. 20 7 ตารางหนว่ ย 11. กําหนดให้ a เป็นจาํ นวนจริง และ A (a, 1) , B(−5, −4), C (1, −2), D (2, 3) เป็นจดุ ยอดของรปู สเี่ หลี่ยมด้านขนาน ABCD ถา้ L เป็นเส้นตรงที่ต้งั ฉากกับ AC และผ่านจดุ ก่งึ กลางของด้าน AC แลว้ สมการของเสน้ ตรง L คือสมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. 5x − 3y + 6 = 0 2. 5x − 3y − 6 = 0 3. 5x + 3y + 9 = 0 4. 5x + 3y − 9 = 0 12. เซตคําตอบของอสมการ (4x − 2) log(1 − x2) > 0 เป็นสบั เซตของเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. (−2, 1/2) 2. (−1/2, 2) 3. (0, 10) 4. (1/2, 20) 13. กาํ หนดให้ ⎡x+2 x x+1⎤ และ ⎡x x+1⎤ ⎢ x xx+1⎥⎦⎥ ⎣⎢2x 3 ⎥⎦ A = ⎢ 0 −1 B = ⎣ x+1 ถ้า x เป็นจาํ นวนจรงิ ทท่ี าํ ให้ det (A) = 0 แล้ว adj B คอื เมตริกซใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. ⎡3 −2⎤ 2. ⎡3 0⎤ ⎢⎣−2 1 ⎥⎦ ⎢⎣2 −1⎥⎦ 3. ⎡3 −3⎤ 4. ⎡3 1⎤ ⎢⎣−4 2 ⎦⎥ ⎣⎢4 −2⎦⎥ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 495 ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 14. ให้ |A˜C,BB| เปน็ จุดสองจุดบนเส้นตรง y = 2x ถ้าจุด C (−2, 1) ทาํ ให้ ˜CA ⋅ ˜CB = 0 และ |˜CA| = แลว้ รปู สามเหลยี่ ม ABC มพี ื้นที่เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 2 5 ตารางหน่วย 2. 10 ตารางหนว่ ย 3. 5 ตารางหน่วย 4. 10 ตารางหนว่ ย 15. กาํ หนดให้ z1 , z2 , z3 เป็นรากของสมการ (1−i) z3 = 2 โดยที่ z1 , z2 , z3 อยใู่ น ควอดรันตท์ ่ี 1 , 2 , 3 ตามลําดับ z1z3 + z22 มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. −2 i 2. 2 i 3. −2 4. 2 16. กาํ หนดให้ a , b เป็นจํานวนจรงิ และ f (x) = x4 − 6x3+ 15x2+ ax + b ถ้าจํานวนเชิงซอ้ น 1 + i และ 2 + i เปน็ รากของ f (x) แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. −10 2. −8 3. 8 4. 10 17. lim 1⎡ 1+x − 1−x − (1+x)(1−x2) + (1−x)(1−x2)⎤⎦ มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ x→0 x3 ⎣ 3. 1 4. 1 2. 1 1. 0 4 2 18. กาํ หนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนือ่ งท่จี ดุ x = 4 และ ⎧ f (x) ⎛ x−4 ⎞ ,x ≠ 4 ⎪ ⎜ ⎟ g (x) = ⎨⎝ x −2 ⎠ โดยที่ k เป็นคา่ คงตัว ⎪ 4 − kx2 ,x = 4 ⎩ ถา้ กราฟของ f ตัดเส้นตรง y = x + 1 ทจ่ี ุดซงึ่ x = 4 แลว้ k อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 1. (−3, − 1) 2. (−2, 0) 3. (−1, 1) 4. (0, 2) 19. กําหนดให้ f เปน็ ฟังก์ชันซงึ่ f′′(x) = 2x + 1 ถา้ คา่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ของ f เท่ากบั 1 ท่ี x = −1 2 แลว้ คา่ ตํา่ สดุ สัมพัทธ์ของ f เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. −1 2. − 1 3. 0 4. 1 3 3 20. ในการจดั ไปทัศนศกึ ษาครั้งหนง่ึ ผู้จัดคิดค่าบรกิ ารเปน็ เงอ่ื นไขดงั นี้ ถ้ามีผู้ร่วมเดนิ ทาง 50 คน ผจู้ ดั จะคดิ ค่าบรกิ ารอัตราหนง่ึ ถา้ มีผูร้ ว่ มเดนิ ทาง 51 คน คา่ บรกิ ารจะลดลงคนละ 2 บาท ถ้ามีผูร้ ว่ มเดินทาง 52 คน คา่ บริการจะลดลงคนละ 4 บาท ถา้ มีผูร้ ่วมเดนิ ทาง 53 คน คา่ บรกิ ารจะลดลงคนละ 6 บาท เปน็ เช่นนี้เรื่อยไป ปรากฏวา่ ถา้ มีผู้ร่วมเดนิ ทาง 90 คน แลว้ จะเก็บคา่ บรกิ ารได้มากที่สุด ถา้ มีผู้รว่ มเดินทาง 100 คน จะเกบ็ ค่าบรกิ ารได้ทัง้ หมดเป็นเงินเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 16,000 บาท 2. 16,200 บาท 3. 16,400 บาท 4. 16,600 บาท Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 496 ขอ สอบเขาฯ มี.ค.46 21. ถา้ ความชนั ของเส้นโคง้ y = f (x) ที่จดุ (x, y) ใดๆ เทา่ กับ x2− 3x + 2 และ 0 ∫2 f (x) dx = 4 แลว้ จดุ (x, y) ในขอ้ ใดต่อไปนอี้ ยบู่ นเสน้ โคง้ y = f (x) 1. (0, 4) 2. (0, − 4) 3. (1, 13) 4. (1, − 13) 3 3 4 4 22. กําหนดให้ A เปน็ บริเวณในระนาบ xy ซ่ึงปดิ ลอ้ มด้วยพาราโบลา y = x2− 7 และแกน x จาก x = 0 ถงึ x = a เมอื่ a เปน็ คา่ คงตวั ถา้ พืน้ ทขี่ องบริเวณ A สว่ นทอี่ ยูเ่ หนอื แกน x มากกวา่ พนื้ ทขี่ องบริเวณ A สว่ นที่อยู่ใตแ้ กน x เท่ากบั 2a ตารางหนว่ ย แล้ว a คอื จาํ นวนในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 2 3 2. 3 3 3. 5 4. 7 23. มคี นงานหญงิ 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซึ่งมนี ายดํารวมอยู่ด้วย ถ้าจะเลอื กคนงาน 4 คน ไปทาํ งานทตี่ ่างกนั 4 ประเภท โดยให้เป็นหญิง 2 คน เปน็ ชาย 2 คน และใหม้ ีนายดาํ อยู่ใน 4 คนน้ี ดว้ ย จํานวนวิธกี ารเลือกคนงานดงั กล่าวเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1920 วิธี 2. 2400 วิธี 3. 2520 วธิ ี 4. 2880 วิธี 24. นายกวแี ละนายขจรไดร้ ับเชญิ ไปงานเลย้ี ง ซงึ่ มผี ไู้ ด้รับเชิญทงั้ หมด 20 คน เจา้ ภาพจัด (โดยสุ่ม) ให้ผรู้ ว่ มงานนง่ั โต๊ะกลม 2 โต๊ะ ๆ ละ 10 ที่น่ัง ความนา่ จะเป็นท่ีนายกวแี ละนายขจรจะไดน้ ง่ั ติดกนั ในโตะ๊ ตัวเดียวกันเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 2 4. 4 19 19 9 9 25. จากการศึกษาความสัมพันธร์ ะหวา่ งยอดขาย ( y ) (หนว่ ยเปน็ หม่ืนบาท) ของพนักงานขาย ประกันในบริษัทประกันภัยแหง่ หนง่ึ กับประสบการณ์การขาย ( x ) (หนว่ ยเปน็ ป)ี ของพนักงานขาย โดยเก็บข้อมลู จากพนกั งานขายประกัน 8 คน ได้ข้อมูลดังนี้ , , ,8 8 8 8 พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ∑ xi = 48 ∑ yi = 41 ∑ xiyi = 286 ∑ x2i = 348 i=1 i=1 i=1 i=1 ก. ถา้ พนกั งานขายประกนั คนหนึ่งมีประสบการณ์การขาย 6 ปี ยอดขายโดยประมาณของ พนกั งานคนนเี้ ทา่ กบั 51, 250 บาท ข. ประสบการณก์ ารขายเพ่มิ ขนึ้ 1 ปี ทําให้ยอดขายประกนั เพิ่มข้ึน 11, 250 บาท ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 26. ในการสอบครัง้ หน่ึง มีผู้เข้าสอบจํานวนหนึ่งซ่งึ มีนายคณิตและนายวทิ ยารวมอยู่ด้วย โดยที่ คา่ เฉล่ียเลขคณิตของผลการสอบเทา่ กบั 60 คะแนน และสัมประสิทธ์ิของการแปรผนั เทา่ กบั 0.25 นายคณิตสอบได้มากกวา่ นายวิทยา 9 คะแนน และผลบวกของค่ามาตรฐานของคะแนนของคนทง้ั สองเท่ากับ 1.5 ถา้ ให้ A = คา่ มาตรฐานของคะแนนของนายคณิต และ B = คะแนนของนายวทิ ยา แลว้ A และ B เป็นจริงตามข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. A = 0.45 , B = 65.75 คะแนน 2. A = 0.45 , B = 66 คะแนน 3. A = 1.05 , B = 66.75 คะแนน 4. A = 1.05 , B = 68 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 497 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.46 27. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลมุ่ หนึง่ เปน็ การแจกแจงปกติ ถ้านกั เรยี นทมี่ ีความสูงมากกว่า 149.4 เซนตเิ มตร มีอยู่ 3% และนกั เรียนท่ีมีความสูงน้อยกว่าฐานนิยมแตม่ ากกวา่ 136.5 เซนติเมตร มีอยู่ 25.8% แล้ว ขอ้ ใดต่อไปนค้ี อื ฐานนยิ ม และความแปรปรวนของความสูงของ นักเรียนกล่มุ นี้ตามลําดับ (หน่วยเปน็ เซนตเิ มตร) กําหนดตารางแสดงพื้นทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกตมิ าตรฐานท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 0 ถึง z z 0.3 0.7 1.49 1.88 พื้นท่ี 0.1179 0.2580 0.4139 0.4700 1. 144.4 , 5 2. 144.4 , 25 3. 140 , 5 4. 140 , 25 28. ร้านสขุ สวัสดจ์ิ ําหนา่ ยเส้อื นกั เรียนยีห่ ้อหน่งึ โดยทร่ี าคาของเส้ือนกั เรียนในปี 2544 และ 2545 เป็นดงั นี้ ขนาดเส้ือนกั เรยี น ราคา (บาท) 2544 2545 เล็ก 100 105 กลาง 115 125 ใหญ่ 125 130 ถ้าดัชนรี าคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เทียบกบั พ.ศ. 2543 เทา่ กับ 1.19 แล้ว ดชั นรี าคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2545 เทียบกบั พ.ศ. 2543 เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1. 1.06 2. 1.12 3. 1.16 4. 1.26 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 5.5 (2) 2.25 (3) 243 (4) 8 (5) 18 (6) 7 (7) 0.48 (8) 24.5 ตอนท่ี 2 (1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 1 (10) 4 (11) 1 (12) 1 (13) 4 (14) 3 (15) 1 (16) 2 (17) 3 (18) 2 (19) 4 (20) 1 (21) 1 (22) 2 (23) 3 (24) 2 (25) 2 (26) 3 (27) 4 (28) 4 เฉลยวธิ ีคิด ตอนที่ 1 = 2 sin B(1 − sin2 B) + (1 − 2 sin2 B)(sin B) (1) A; เนอื่ งจากเปน็ บวกแนน่ อนทง้ั สองขา้ ง จึงยก กาํ ลงั สองได้ เปน็ x2 > (x − 1)2 แลว้ ย้ายมาลบกัน = 3 sin B − 4 sin3 B ดังนน้ั ในข้อนถี้ าม 4 sin 3B x2 − (x − 1)2 > 0 → (x − x + 1)(x + x − 1) > 0 = 4 ⎣⎢⎡3 (3) − 4 (3)3 ⎤ = 9 = 2.25 ตอบ 4 4 ⎥⎦ 4 → 2x − 1 > 0 ∴ A = (1 , ∞) (3) อนกุ รมเลขคณติ ; 2 log9(3x − 2) − log9 3 = log9(3x + 16) − log9(3x − 2) B; เขยี นเสน้ จาํ นวนไดค้ ําตอบเปน็ (−3, −1) ∪ [5, ∞) 3x − 2 3x + 16 3 3x − 2 ดงั นน้ั A − B = (1 , 5) → 1 + 5 = 5.5 ตอบ ให้→ = → 3x = A 22 จะได้ (A − 2)2 = 3(A + 16) → A2 − 7A − 44 = 0 (2) กฎของ sine; sin B = sin 30° → sin B = 3 32 4 → (A − 11)(A + 4) = 0 → 3x = 11 เทา่ นน้ั พิสจู น์ sin 3B = sin(2B + B) ดงั นนั้ อนกุ รมนคี้ ือ log9 3 + log9 9 + log9 27 = sin 2B cos B + cos 2B sin B = 0.5 + 1 + 1.5 + … → ผลบวก 4 พจนแ์ รก = (2 sin B cos B)(cos B) + (1 − 2 sin2 B)(sin B) S = 0.5 + 1 + 1.5 + 2 = 5 → ตอบ 35 = 243 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 498 ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 (4) นาํ สองสมการมาลบกนั จะได้ (2) ก. (p ∧ ~ r) ∧ q เป็นจรงิ , 3B = ⎡3 3⎤ → B = ⎡1 1⎤ → B =7−3=4 (p ∧ q) เป็นจริง ดงั นน้ั p จริง, r เทจ็ , q จรงิ ⎣⎢9 21⎦⎥ ⎢⎣3 7⎦⎥ จะได้ (p ∨ q) → r ≡ T → F ≡ เทจ็ ∴ ก. ผดิ จาก ⎡2 1 ⎤ A −B = ⎢⎣−1 −5⎥⎦ ข. q ∨ ~ r เท็จ แสดงวา่ q เทจ็ , r จรงิ → A = ⎡2 1 ⎤ + ⎡1 1⎤ = ⎡3 2⎤ จะได้ […] → T ≡ T เสมอ ข. ผดิ ตอบ ขอ้ 4. ⎢⎣−1 −5⎥⎦ ⎣⎢3 7⎥⎦ ⎣⎢2 2⎥⎦ (3) 1. (~ p ∧ ~ q) ∨ (r ∧ s) → A =6−4 =2 2. r → ~ s ตอบ 22 ⋅ A −1 ⋅ B = 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 8 2 ให้เหตุเปน็ จรงิ ทกุ ขอ้ จะได้ p, q, r, s เป็นเท็จ (5) 7 ∴ ผลซึง่ สมเหตุสมผล คอื ขอ้ 3. ( ~ p ∧ ~ q เป็นจริง) ตอบ (0, 6) → P = 12 (4, 2) → P = 16 6 (4,3) (4) 16 = 8 + 14 − ◊ ∴ ◊ = 6 (4,2) (0, 7) → P = 14 O 4 ดงั นน้ั ได้ A ∩ B ∩ C' = 4 ดังรูป (4, 3) → P = 18 →u= 42 + 32 = 5 A2 4 B ∴ Pmax = 18 ตอบ 02 (6) u = 4 i + 3 j ∴ v =5 3C ดงั นน้ั u + v = 52 + 52 − 2u ⋅ v = 8 ตอ้ งการ n(A ∩ B) × n(C − A) มากทส่ี ุด แต่ n(A ∩ B) = 6 เทา่ นนั้ (เปล่ยี นไมไ่ ด)้ จะได้ u ⋅ v = 7 ตอบ แสดงวา่ ต้องพยายามจดั ให้ n(C − A) มากทีส่ ดุ (7) การท่ีผลคณู เปน็ จาํ นวนคู่ แสดงวา่ ตอ้ งมเี ลขคู่ ดงั นน้ั ถา้ n(C) = 5 ก็เอา 3 ไวใ้ นสว่ นท่แี รเงา อยา่ งนอ้ ย 1 ใบ ... การท่ีผลบวกเป็นจาํ นวนคี่ แสดง n(A) = 8 ก็เอา 2 ไวน้ อกสุด ดังรปู ว่า ต้องมีเลขคี่ 1 หรอื 3 ใบ จะได้ n(C − A) = 3 และ ตอบ 18 เพราะฉะนั้นมี 2 กรณคี อื คู่ 3 ค่ี 1 และ คู่ 1 คี่ 3 (5) x − 12 − 1 < 50 → −50 < x − 12 − 1 < 50 จะไดค้ วามนา่ จะเป็น ⎢⎡⎣⎝⎜⎛53⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛61⎠⎞⎟ + ⎝⎜⎛51⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛63⎠⎞⎟⎦⎥⎤ ÷ ⎝⎜⎛141⎠⎟⎞ = 60 + 100 ≈ 0.48 ตอบ → −49 < x − 12 < 51 → − 51 < x − 1 < 51 330 → 1 − 51 < x < 1 + 51 (8) Q1 = 18.5 = ขอบของชนั้ แสดงว่า a : (2 + 3 + 6 + 4) = 1 : 3 → −6 กวา่ < x < 8 กว่า ∴ S มจี ํานวนเต็มคือ -6, -5, -4,…, 6, 7, 8 → 3a = 2 + 3 + 6 + 4 → a = 5 รวม 15 จํานวน ตอบ มัธยฐานอยตู่ าํ แหน่งท่ี 20 = 10 เปน็ ขอบพอดี (6) จาก g−1(x) = x + 1 → g(x) = 3x − 1 2 3 เชน่ กัน ∴ Med = 24.5 คะแนน ตอบ → (gof)(x) = 3f(x) − 1 แต่โจทย์บอกวา่ ตอนท่ี 2 (gof)(x) = 2[(f(x)]2 + 2f(x) − 4 (1) คาํ ว่า “ม”ี x ซงึ่ f(x) = x ดังนนั้ 2[(f(x)]2 + 2f(x) − 4 = 3f(x) − 1 แสดงว่ามี f(1) = 1 หรอื f(2) = 2 ก็ได้ → (2f(x) − 3)(f(x) + 1) = 0 → f(x) = 3 , −1 นําจํานวนแบบมาบวกกนั เลยทนั ทไี มไ่ ด้ เพราะจะมี 2 บางแบบท่นี ับซา้ํ เราตอ้ งใช้วิธเี หมือนเรอื่ งเซต แตใ่ ห้ f(x) < 0 ดงั นน้ั f(x) = −1 เท่านน้ั ก. (gof)(x) = g(−1) = −4 เป็นฟงั กช์ นั คงตวั ถูก คิด f(1) = 1 ; มอี ยู่ 1 × 9 = 9 แบบ ข. f(100) + g(100) = (−1) + (300 − 1) = 298 ผิด ตอบ ขอ้ 2. คิด f(2) = 2 ; มีอยู่ 1 × 9 = 9 แบบ คดิ f(1) = 1 และ f(2) = 2 ; มีอยู่ 1 × 1 = 1 แบบ 81 8 f(1)=1 f(2)=2 ∴ ตอบ 9 + 9 − 1 = 17 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 499 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.46 (7) ก. จาก y = −(x − 1)2 เม่อื x < 1 → y < 0 (10) แสดงวา่ จดุ โฟกสั คอื (−3, 2) กับ (5, 2) จะไดอ้ นิ เวอรส์ เปน็ x = −(y − 1)2 → −x = (y − 1)2 จุดศนู ยก์ ลาง (h, k) = (1, 2) ระยะโฟกัส c = 4 , → ± −x = y − 1 วงรตี ามแกน x ...คาํ วา่ 12 หนว่ ย แสดงวา่ a = 6 แต่ y < 1 ทาํ ใหไ้ ด้ − −x เท่าน้นั ∴ จุดยอด A(−5, 2) B(7, 2) − −x = y − 1 → y = 1 − −x สมการวงรคี อื (x − 1)2 − (y − 2)2 = 1 62 62 − 42 ซง่ึ x < 0 เสมอ สามารถเขยี น −x เปน็ x ได้ หาจดุ ตดั แกน y; แทน x = 0 → f−1(x) = 1 − x ถูก → 1 − (y − 2)2 = 1 → (y − 2)2 = 175 ข. หา f−1(− 1) → − 1 = −(x − 1)2 36 20 9 44 → y =2±5 7 D → x − 1 = ± 1 → x = 1 เทา่ นน้ั 22 3 A (0,2) B ∴ f−1(− 1) = 1 C 42 ต่อมา หา g−1(1) → 1 = 1− x → x = 3 ถกู ∴ พนื้ ท่ี ABCD ซึ่งเปน็ รปู ว่าว 22 4 ตอบ ขอ้ 1. = 1 × ผลคณู เสน้ ทแยงมุม (8) x2 − y2 − 2x + 6y < 8 2 → (x2 − 2x + 1) − (y2 − 6y + 9) < 8 + 1 − 9 = 1 × 12 × 10 7 = 20 7 ตร.หนว่ ย 23 → (x − 1)2 − (y − 3)2 < 0 [หมายเหตุ ทจ่ี รงิ ต้องเรยี กว่า ACBD ] ด้านขวาเปน็ 0 จงึ ไม่ใชไ่ ฮเพอรโ์ บลา แตเ่ ปน็ เพยี ง เสน้ ตรงสองเสน้ ตง้ั ฉากกนั (11) mAB = mCD → 1 − (−4) = −2 − 3 คือ (x − 1 − y + 3)(x − 1 + y − 3) < 0 a − (−5) 1−2 → (x − y + 2)(x + y − 4) < 0 → a = −4 วาดกราฟแรเงาได้ดังภาพ x-y+2=0 mAC = 1 − (−2) = −3 ∴ Dr = [0, 4] ก. ผดิ −4 − 1 5 5 (3,5) และถา้ (3, c) ∈ r แลว้ 4 จดุ กง่ึ กลาง AC คอื (−4 + 1 , 1+(−2)) = (− 3 , − 1) c ไมจ่ ําเปน็ ตอ้ งเปน็ 5 2 (4,0) 22 22 ดังนน้ั ข. ผดิ ตอบ ข้อ 4. 3 x+y-4=0 O ดังนนั้ สมการ L คอื y+ 1 = 5 ⎛ x + 3⎞ 2 3 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ → 5x − 3y + 6 = 0 ตอบ (9) ให้ arccos x = A, arcsin x = B (12) กรณแี รก 4x − 2 > 0 และ log(1 − x2) > 0 จะได้ A − B = π → ใส่ sin สองขา้ ง; 4x > 2 1 − x2 > 1 6 x> 1 x2 < 0 2 sin A cos B − cos A sin B = 1 ซึง่ x2 < 0 น้ันเปน็ ไปไม่ได้ กรณีนไ้ี มม่ คี าํ ตอบ 2 กรณที ส่ี อง 4x − 2 < 0 และ log(1 − x2) < 0 → 1 − x2 ⋅ 1 − x2 − x ⋅ x = 1 2 4x < 2 1 − x2 < 1 → 1 − 2x2 = 1 → x2 = 1 → x = ± 1 x< 1 x2 > 0 24 2 2 ตรวจคาํ ตอบพบวา่ x = 1 เทา่ นั้น ถงึ จะถกู จะไดค้ าํ ตอบกรณนี ีเ้ ปน็ ชว่ ง (−∞, 1/2) − {0} 2 แต่อยา่ ลืมเง่อื นไข ภายใน log ตอ้ งมากกวา่ ศนู ย์ ∴ arccos 1 − arctan 1 = π − π = π ตอบ 2 3 4 12 → 1 − x2 > 0 ∴ −1 < x < 1 ตอบ (−1, 1) − {0} คือขอ้ 1. 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 500 ขอสอบเขา ฯ มี.ค.46 (13) (18) f ตดั เส้นตรง y = x + 1 ที่ x = 4 แสดงวา่ f(4) = 5 A = x2(x+2)+x(x+1)2 −x(x+1)2 +(x+2)(x+1) = 0 → g ตอ่ เนอ่ื งที่ x = 4 แสดงวา่ → x2(x + 2) + (x + 2)(x + 1) = 0 lim g(x) = g(4) → f(4) ⋅ ( 4 + 2) = 4 − k(4)2 → (x + 2)(x2 + x + 1) = 0 → x = −2 เทา่ นนั้ x→4 ∴ B = ⎡−2 −1⎤ → 5(4) = 4 − 16k → k = −1 ตอบ ขอ้ 2. ⎣⎢−4 3 ⎥⎦ (19) คา่ สูงสดุ คอื 1 ท่ี x = −1 และ → adj B = ⎡d −b⎤ = ⎡3 1 ⎤ ตอบ 2 ⎣⎢−c a ⎥⎦ ⎢⎣4 −2⎦⎥ แสดงว่า f(−1) = 1 และ f′(−1) = 0 (14) ขอ้ นีว้ าดรปู แล้วคดิ จากตรโี กณมติ จิ ะงา่ ย 2 เรมิ่ จากวาดเส้นตรง L; y = 2x y=2x → f′(x) = x2 + x + C1 แทนคา่ -1 พบว่า CO ต้ังฉากกบั L พอดี จะได้ 0 = 1 − 1 + C1 → C1 = 0 A แแโ(→จmสลทะCด|ยOโง˜จบ์Cว=ทา่อOยก−|˜บ์Cว=2อ่า1Aก,˜4Cmวตา่AL+้ัง|ฉ⋅=1˜C˜าC2ก=AB)ก|บั =5=0˜C|B˜CBC| → f′′(x) = x3 + x2 + C2 แทนคา่ -1 OAC 3 2 O B จะได้ 1 = − 1 + 1 + C2 → C2 = 1 2 3 2 3 แสดงว่า หาค่าตาํ่ สุด; f′(x) = 0 → x (x + 1) = 0 กดับังนOน้ั B|C˜OเAป|น็ =Δ|ห˜OนBา้ |จว่ั = มมุ , 45° , → x = 0, − 1 แตท่ ่ี -1 เป็นจดุ สูงสุดไปแล้ว 5 45° 90° ∴ จดุ ตา่ํ สดุ เกิดท่ี x = 0 และคา่ ตา่ํ สดุ เทา่ กบั จะได้ พน้ื ท่ี Δ ABC = 1 |˜CO ||˜AB | f(0) = C2 = 1 ตอบ 3 (20) สมมติเมอ่ื มี 50 คน คิดคนละ a บาท 2 = 1 ( 5)(2 5) = 5 ตร.หนว่ ย ตอบ และให้ y = ค่าบรกิ ารท่ไี ด้ เม่ือมคี น 50 + x คน 2 จะได้วา่ y = (50 + x)(a − 2x) (15) z3 = 2 = 2∠0 = 1∠(−315°) 1 − i 2∠315° ค่าสงู สดุ ของ y เกิดที่ 90 คน (x = 40) ดังนน้ั z = 1∠(−105°) ← Q3 → y′ = (50 + x)(−2) + (a − 2x)(1) = 0 1∠15° ← Q1 และ 1∠135° ← Q2 → −100 − 4x + a = 0 → แทน x ดว้ ย 40 จะได้ ∴ z1z3 + z22 = 1∠(−90°) + 1∠270° a = 260 บาท โจทย์ถามค่าบริการสําหรบั 100 คน คือ y = 100 (260 − 2 (50)) = 16,000 บาท ตอบ = − i − i = −2 i ตอบ (21) f′(x) = x2 − 3x + 2 (16) แสดงวา่ → f(x) = x3 − 3x2 + 2x + C f(x) = (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x − 2 − i)(x − 2 + i) 32 = (x2 − 2x + 2)(x2 − 4x + 5) 2 ⎛ x4 x3 ⎞ 2 2 Cx ⎟ 0 = x4 − 6x3 + 15x2 − 18x + 10 → ∫ f(x) dx = ⎜ 12 − + x2 + ⎝ ตอบ −18 + 10 = −8 0 ⎠ (17) มอง 1 + x = A, 1 − x = B จะได้ = 4 − 4 + 4 + 2C = 4 → C = 4 33 lim 1 (A − B − AAB + BBA) ∴ f(0) = 4 ตอบ ขอ้ 1. x3 3 x→0 = lim 1 [A (1 − AB) − B (1 − AB)] x3 x→0 = lim 1 (A − B)(1 − AB) x3 x→0 = lim 1 ⎛ A2 − B2 ⎞ ⎛ 1 − A2B2 ⎞ x3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ x→0 ⎝ A + B ⎠⎝ 1+ AB ⎠ = lim 1 ⎛ 2x ⎞ ⎛ x2 ⎞ x3 ⎝⎜ A B ⎟⎠ ⎜ ⎟ x→0 + ⎝ 1 + AB ⎠ = lim 2 = 2 = 1 ตอบ x → 0 (A + B)(1+ AB) (2)(2) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)