สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 301 ลิมติ และความตอเนือ่ ง แบบฝึกหัด 14.3 (14) ฟงั กช์ ันต่อไปน้ี มคี วามตอ่ เนอื่ งที่ x = 2 หรอื ไม่ (14.1) f (x) = x3−8 (14.2) f (x) = ⎧ x2−4 , x≠2 x−2 ⎪ x−2 x=2 ⎨ ⎪⎩ 4 , (15) ฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ีมีความตอ่ เน่อื งทจี่ ดุ ใดบ้าง (15.1) f (x) = ⎪⎧ x2−x , x≠0 (15.3) h (x) = ⎧⎪ x , x≠0 ⎨ x ⎨x ⎪⎩ 1 , x = 0 ⎪⎩ 2 , x = 0 (15.2) ⎧ x2−9 , x≠3 ⎪ x=3 g(x) = ⎨ x−3 ⎪⎩ 2 , (16) ฟังก์ชนั f (x) = x+1 ต่อเนือ่ งท่ี x = −1 หรอื ไม่ ⎧ −3/2 , x < −1 (17) [Ent’มี.ค.42] กาํ หนดให้ f (x) = ⎨⎪⎪⎪22x(2x++x1−)1 , −1 < x < 1 แลว้ ขอ้ ความใดถกู บ้าง ⎪ ⎪ 1− x , x>1 ⎪⎩ 1−x ก. f ตอ่ เนอ่ื งที่ x = −1 ข. f ตอ่ เนอื่ งที่ x = 1 ⎧ 1, 0<x<1 ⎪ 3x+1 ⎪⎪ x = 1 แล้ว ข้อความใดถูกบา้ ง (18) [Ent’ต.ค.41] กาํ หนดให้ f (x) = ⎨ 1, ⎪ 2− 5−x x>1 ⎪ , ⎩⎪ x−1 ก. lim f (x) = lim f (x) ข. f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนื่องท่ี x = 1 x → 1− x → 1+ ⎧3x+a , x = 2 (19) จงหาคา่ a ที่ทําให้ฟงั กช์ นั ⎪ มคี วามตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 2 f (x) = ⎨ x2−4 , x≠2 ⎩⎪ x−2 (20) จงหาค่า b ทที่ ําใหฟ้ ังกช์ ัน f (x) = ⎧ 1−x2 , x ∈ (−∞, 1) เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่อื ง ⎨ x+b , x ∈ [1, ∞) ⎩ ⎧ 2, x<1 ⎪ (21) จงหาค่า b ทีท่ ําให้ f (x) = ⎪ x−5 , 1< x <2 ตอ่ เน่อื งที่ x = 2 ⎨ x−2 −b ⎪ ⎩⎪ x2−5 , x>2 และถามว่า คา่ b ท่ไี ด้นี้ทําให้ f (x) ตอ่ เน่ืองท่ี x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด ⎧ ax , x < 1 (22) ถ้าฟังกช์ ัน ⎪ x=1 ต่อเนื่องทจ่ี ดุ ซ่ึง x = 1 แลว้ จงหาค่า a, b f (x) = ⎨ 4, ⎩⎪x+b , x > 1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 302 ลมิ ติ และความตอเนื่อง (23) จงหาค่า h, k ในแต่ละข้อ เมื่อฟังก์ชันท่ีกาํ หนดให้นม้ี ีความต่อเน่อื งบนชว่ ง [1, 3] ⎧(x−2)2 , x >2 ⎧ h, x=1 ⎪ x=2 (23.1) f (x) = ⎪ x2−4 (23.2) f (x) = ⎪⎪ x+1 , 1< x < 3 ⎨ ⎨ ⎪ h, ⎪ x2−4x ⎩⎪ 2x+k , x < 2 ⎩⎪ k , x=3 (24) [Ent’37] กําหนดให้ f (x) = x3−2x2−x+2 ถ้าตอ้ งการให้ f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนื่องบนเซตของ x2−1 จํานวนจรงิ แลว้ จะตอ้ งนยิ ามเพ่ิมเติมให้ f (−1) และ f (1) มีคา่ เท่าใด (25) [Ent’ต.ค.42] กาํ หนดให้ f เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอื่ ง โดยที่ f (x) = x3−x2−4x+4 เมอ่ื x ≠ ±2 4−x2 และ f (2) = a, f (−2) = b แล้ว a และ b มคี ่าเทา่ ใด เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1.1) –1, ไม่มี (9.4) 1/2a (10.1) 1/2 (15.2) ทกุ จุดยกเว้นท่ี x = 3 (1.2) 0, ไม่มี (2.1) 3 (2.2) 18 (10.2) –4 (10.3) 1/2 (15.3) ทุกจดุ ยกเว้นที่ x = 0 (3.1) –1 (3.2) 12 (10.4) 12 (10.5) 1/2 (16) ต่อเนอ่ื ง (3.3) หาคา่ ไมไ่ ด้ (4.1) ไม่มี (10.6) 1/4 2 (11) 1/2 (17) ก.ถกู และ ข.ถูก (4.2) ไม่มี (4.3) 3 (4.4) ไมม่ ี, 8 (5) 2x (12.1) 3/2 (12.2) 1/3 (18) ก.ถกู และ ข.ผดิ (6) –1, 1, ไม่มี (12.3) –2 (12.4) 3/4 (19) –2 (20) –1 (7) 0, ไมม่ ีลิมติ (13) 0 + (−2) = −2 (21) 3, ไมต่ ่อเนอื่ งที่ x = 1 (8) –4/3 (9.1) 4 เพราะลิมติ ซา้ ยไม่เท่ากับขวา (9.2) 4/5 (9.3) –2 (14.1) ไมต่ ่อเนือ่ ง เพราะไม่มี f (2) (22) 4, 3 (23.1) 0, –4 (23.2) –2/3, –4/3 (14.2) ตอ่ เนอ่ื ง (15.1) ทกุ จดุ ยกเว้นท่ี x = 0 (24) –3, –1 (25) –1, 3 เฉลยแบบฝกึ หัด (วธิ ีคดิ ) (1.1) พิจารณาจากกราฟ ท่ี x = −1 (2.2) lim f(x) = 8 + 8 + 2 = 18 x →2 กราฟผา่ นจดุ (−1, −1) ทงั้ ทางซา้ ยและขวา (3.1) 1 + 1 = −1 ดังนน้ั lim f(x) = −1 1− 3 x → −1 (3.2) 9 + 3 = 12 แต่ที่ x = 1 กราฟแยกกัน (3.3) 1 คอื หาคา่ ไมไ่ ด้ (∞) lim f(x) = −1 และ lim f(x) = 0 0 x → 1− x → 1+ (4) ในขอ้ นม้ี กี ารแยกกรณี จงึ ตอ้ งพจิ ารณาซา้ ยและ ดังนน้ั lim f(x) ไม่มคี า่ (ไม่มลี ิมติ ) ขวาแยกกนั x→1 (4.1) lim f(x) = 2 + 1 = 3 (1.2) lim f(x) = 0 แต่ lim f(x) ไมม่ ีคา่ x → 2− x → −1 x→1 แต่ lim f(x) = 2 ดงั นนั้ ไมม่ ลี มิ ติ (เนอ่ื งจาก lim f(x) = 2 และ lim f(x) = −2 ) x → 2+ x → 1− x → 1+ (4.2) lim f(x) = 3 − 5 = −2 (2) และ (3) สามารถแทนคา่ ไดเ้ ลย ไมม่ ปี ญั หา x → 3− เพราะฟงั ก์ชันเปน็ ฟงั กช์ ันเดียว (ไมแ่ ยกเง่อื นไข และ แต่ lim f(x) = 3 + 2 = 5 ดงั นน้ั ไมม่ ีลมิ ติ x → 3+ ไม่ติดคา่ สมั บูรณ)์ (2.1) lim f(x) = 1 + 2 = 3 x→2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 303 ลมิ ิตและความตอเนือ่ ง (4.3) lim f(x) = 8 − 5 = 3 (8) lim f(x2) พจิ ารณาวา่ x → 0 ทางซา้ ย x → 4− x → 0− และ lim f(x) = 4 + 5 = 3 ดังนนั้ x2 → 0 ทางขวา จงึ ตอ้ งเลอื กใชก้ รณกี ลาง x → 4+ มาคดิ (0 < x < 1) ได้เปน็ จงึ ตอบว่า lim f(x) = 3 lim f(x2) = lim (x2 − 1) = −1 x→4 x → 0− x → 0− (4.4) lim f(x) = 32 = 9 และเชน่ กนั lim ⎛ f(x − 1)⎞ ถ้า x→1 ทางขวา x → 3− ⎜⎝ x + 2 ⎠⎟ x → 1+ แต่ lim f(x) = 2(3) = 6 ดงั น้นั lim f(x) ไมม่ ี x → 3+ x→3 จะได้วา่ x − 1 → 0 ทางขวา จงึ ใชก้ รณกี ลาง ส่วน lim f(x) มี เทา่ กับ 2(4) = 8 x→4 เช่นเดิม ไดเ้ ปน็ (พิจารณาที่ x ใกล้ๆ 4 จงึ มองเพยี งกรณลี ่าง คอื lim ⎛ f(x − 1)⎞ = lim ⎝⎜⎛ x − 1 − 1⎠⎟⎞ = − 1 ⎝⎜ x + 2 ⎠⎟ x + 2 3 x > 3 เทา่ นนั้ ) x → 1+ x → 1+ (5) แทนคา่ ยงั ไมไ่ ดเ้ พราะเปน็ 0 ดังนน้ั ตอบ −1 − 1 = − 4 0 33 จงึ ควรกระจายกอ่ น (9.1) lim (x − 2)(x + 2) = lim(x + 2) = 4 ⎛ x2 + 2xh + h2 + 1− x2 − 1⎞ x →2 x −2 x→2 ⎝⎜ h ⎟⎠ lim (9.2) lim (x − 2)(x + 2) = lim ⎛ x + 2⎞ = 4 x → 2 (x − 2)(x + 3) ⎝⎜ x + 3 ⎠⎟ 5 h→0 x →2 = lim ⎛ 2xh + h2 ⎞ = lim(2x + h) = 2x (9.3) lim (x + 1)(x − 3) = −4 = −2 ⎝⎜ h ⎟⎠ x → −1 (x + 1)(x + 3) 2 h→0 h→0 (6) f(x) = (x − 2)2 = x − 2 (9.4) lim x − a = 1 x −2 x −2 x → a (x − a)(x + a) 2a หา lim f(x) โดยมองที่ x < 2 เลก็ นอ้ ย x → 2− (10.1) lim 1 − x = 1 = 1 x → 1 (1 − x)(1 + x) 1 + 1 2 จึงถอดคา่ สมั บรู ณอ์ อกได้ แตต่ อ้ งตดิ ลบ (เพราะ x − 2 < 0 ) หรืออีกวิธหี นง่ึ lim ⎛ 1− x ⎞ ⎛1 + x⎞ ⎝⎜ 1− x ⎠⎟ ⎜ + ⎟ → lim −(x − 2) = lim (−1) = −1 x→1 ⎝ 1 x ⎠ x → 2− x − 2 x → 2− = lim 1− x =1 และหา lim f(x) โดยมองท่ี x > 2 เลก็ นอ้ ย x → 1 (1 − x)(1 + x) 2 x → 2+ x−1 ⎛ 2 + x + 3 ⎞ จึงถอดคา่ สมั บูรณไ์ ด้เลยทนั ที (10.2) lim ⎜ ⎟ x → 1 (2 − x + 3) ⎝ 2 + x + 3 ⎠ (เพราะ x − 2 > 0 ) = lim (x − 1)(2 + x + 3) ดังนน้ั lim f(x) = −1 , lim f(x) = 1 , x→1 1 − x x → 2− x → 2+ และ lim f(x) ไมม่ ีคา่ = lim − (2 + x + 3) = −4 x →2 x→1 (7) lim f(x) แทนคา่ x = −3 ไดท้ นั ทไี มม่ ปี ญั หา (10.3) ⎛ x − 2 − 1⎞ ⎛ x − 2 + 1⎞ x → −3 lim ⎜ ⎟⎠ ⎜ ⎟ x→3 ⎝ x−3 ⎝ ไดเ้ ป็น 0 = 0 x − 2 + 1⎠ −6 = lim (x − 3) =1 แต่ lim f(x) แทนเลยไมไ่ ดเ้ พราะเปน็ 0 x → 3 (x − 3)( x − 2 + 1) 2 x→3 0 (10.4) ⎛ 2x ⎞ ⎛ x + 9 + 3⎞ ⎝⎜ +9 3 ⎠⎟ ⎜ จงึ ตอ้ งถอดคา่ สัมบรู ณ์ เพ่ือแยกตวั ประกอบมาตดั กัน lim x − ⎝ x + 9 + 3 ⎟ ⎠ x→0 lim f(x) = lim − (x2 − 9) = lim (2x)( x + 9 + 3) x → 3− x → 3− x − 3 x→0 x = lim − (x + 3) = −6 = lim 2( x + 9 + 3) = 12 x → 3− x→0 แต่ lim f(x) = lim (x2 − 9) = 6 (10.5) lim ⎛ x + 1 − 1⎞ ⎛ x + 1 + 1⎞ x → 3+ x → 3+ x − 3 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜ x + 1 + 1⎟⎠ x→0 x ⎝ ดงั นนั้ lim f(x) ไมม่ คี ่า x→3 = lim x = 1 x → 0 (x)( x + 1 + 1) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 304 ลิมิตและความตอเนือ่ ง (10.6) lim ⎛ x − 2⎞⎛ x+ 2⎞ (14.1) แมว้ า่ จะหา lim f(x) ไดโ้ ดยการแยกตวั ⎜ x2 ⎟⎜ x+ ⎟ x →2 x →2 ⎝ − 2x ⎠ ⎝ 2⎠ ประกอบ (ไดเ้ ปน็ 12) แตท่ ่ีจรงิ แล้ว f(2) ไมน่ ยิ าม = lim (x − 2) =1 ดังนนั้ ไมต่ อ่ เนื่อง ที่ x = 2 x →2 (x)(x − 2)( x + 2) (2)(2 2) (14.2) f(2) = 4 (กรณลี า่ ง) =1 หา lim f(x) โดยกรณีบน ได้เป็น 42 x →2 (11) ⎛ x2 + 3 − 2 ⎞ ⎛ x2 + 3 + 2 ⎞ lim(x + 2) = 4 ดังนัน้ ตอ่ เนอื่ ง ท่ี x = 2 lim ⎜ x−1 ⎟ ⎜⎜⎝ x2 + 3 + 2 ⎟⎟⎠ x→1 ⎝ ⎠ x →2 (x2 − 1) (15) ฟงั กช์ นั ท่ัวไปจะไม่ต่อเนอื่ งแค่เพียงบางจดุ การ = lim หาว่าตอ่ เนอื่ งทจี่ ดุ ใดบ้าง ควรหาในแง่กลับกนั วา่ “จุด x → 1 (x − 1)( x2 + 3 + 2) ใดไม่ตอ่ เน่ืองบ้าง” แล้วตอบวา่ “ตอ่ เนอื่ งทุกจดุ ยกเวน้ = lim (x + 1) = 2 = 1 ที่ ......” และจดุ ทีม่ ปี ญั หามักเปน็ จุดท่ีแยกกรณพี อดี x → 1 ( x2 + 3 + 2) 4 2 เชน่ ขอ้ (15.1) ควรพิจารณาเฉพาะทจ่ี ดุ x = 0 (12.1) lim (x − 1)(x2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 (15.1) f(0) = 1 x → 1 (x − 1)(x + 1) 1+ 1 และ lim f(x) = lim x(x − 1) = 0 − 1 = −1 =3 x→0 x→0 x 2 ดังนนั้ ตอบว่า ตอ่ เนอื่ งทุกจุด ยกเว้นทจ่ี ุดซง่ึ x = 0 ⎛ 1⎞ ⎛⎜⎜⎝ ((xx 1)2 / 3 1)1/ 3 ⎞ (12.2) lim ⎜ 3 x−1− ⎟ − 1)2 / 3 + (x − 1)1/ 3 + 1 ⎟⎠⎟ (15.2) g(3) = 2 x →2 ⎝ x −2 ⎠ − + (x − + 1 และ lim g(x) = lim (x − 3)(x + 3) = 6 (x − 2) x→3 x → 3 (x − 3) = lim − 2)((x − 1)2/ 3 +(x − 1)1/ 3 + 1) x → 2 (x ต่อเน่อื งทกุ จดุ ยกเวน้ จดุ ซงึ่ x = 3 = 1 =1 (15.3) h(x) = ⎨⎪⎧−11,, x>0 1+ 1+ 1 3 x<0 ⎪⎩ 2, x = 0 (12.3) แสดงว่าลิมติ ซา้ ย, ขวา, และคา่ ฟังกช์ นั ไม่เทา่ กนั เลย ⎛ 1 − x − 3 ⎞ ⎛ 1 − x + 3 ⎞ ⎛ 4 − 23 x + x2/ 3 ⎞ lim ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ จงึ ตอบวา่ ตอ่ เนอ่ื งทกุ จดุ ยกเว้นทจี่ ดุ ซง่ึ x = 0 ⎝x → −8 2+ 3 x ⎠⎝ 1− x + 3 ⎠ ⎝ 4 − 23 x + x2 / 3 ⎠ = lim (−x − 8)(4 − 23 x + x2/ 3) (16) f(−1) = 0 = 0 x → −8 (8 + x)( 1 − x + 3) lim f(x) = lim − (x + 1) = −0 = 0 x → −1− x → −1− = lim − ⎛ 4 − 23 x + x2/ 3 ⎞ และ lim f(x) = lim (x + 1) = 0 ⎜ ⎟ x → −1+ x → −1+ x → −8 ⎝ 1 − x + 3 ⎠ ดงั นน้ั ตอ่ เนื่อง ที่ x = −1 = − 4 + 4 + 4 = −2 3+3 (17) ก. พจิ ารณาท่ี x = −1 คอื กรณบี นกับกลาง (12.4) lim ⎛ 4 x − 1⎞ ⎛ 4 x + 1 ⋅ x + 1 ⎞ ⎛ x2/ 3 + x1/ 3 + 1 ⎞ (กรณบี น บอกลมิ ติ ซา้ ยและค่า f, ส่วนกรณีกลาง x→1 ⎝⎜ 3 x − 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 x + 1 x + 1 ⎟⎠ ⎜ x2 / 3 + x1/ 3 + ⎟ บอกลิมิตขวา) ⎝ 1⎠ lim f(x) = f(−1) = − 3 = lim (x − 1)(x2/ 3 + x1/ 3 + 1) x → −1− 2 (x − 1)(4 x + 1)( + 1) x→1 x และ lim f(x) = lim 2x2 + x − 1 = 1+ 1+ 1 = 3 x → −1+ x → −1+ 2(x + 1) (1 + 1)(1 + 1) 4 = lim (x + 1)(2x − 1) = − 3 ดังนนั้ ก. ถกู (13) lim f(x) = lim x − 1 = lim x−1 x → −1+ 2(x + 1) 2 x → 1− x → 1− 1 − x x → 1− 1− x ข. พจิ ารณาท่ี x = 1 คือ กรณกี ลางกบั ล่าง จะไดว้ ่า = lim −(1 − x) = lim − 1 − x = 0 x → 1− 1 − x x → 1− lim f(x) = f(1) = 2(1)2 + 1 − 1 = 1 และ lim f(x) = lim 1 − x = lim −(1 − x) x → 1− 2(1 + 1) 2 x → 1+ x → 1+ 1 − x x → 1+ 1 − x และ lim f(x) = lim ⎛1 − x⎞ = x → 1+ ⎜⎝ 1 − x ⎠⎟ = lim −(1 − x)(1 + x) = lim − (1 + x) x → 1+ x → 1+ 1− x x → 1+ lim 1 − x = 1 ดงั นน้ั ข. ถูก x → 1+ (1 − x)(1 + x) 2 = −2 ดงั นน้ั ตอบ 0 − 2 = −2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 305 ลมิ ติ และความตอเนือ่ ง (18) ก. ลิมติ ซา้ ยคอื กรณบี น (23.1) ต่อเนื่องบนช่วง [1,3] แสดงวา่ ตอ่ เนื่องทจี่ ดุ x = 2 ดว้ ย lim f(x) = 1 = 1 x → 1− 3(1) + 1 4 lim f(x) = f(2) ลมิ ิตขวาคอื กรณลี ่าง x → 2− lim f(x) = lim ⎛2 − 5− x ⎞ ⎛2 + 5− x⎞ ⎡ lim (x − 2)(x − 2) = 0 = 0⎥⎦⎤ = h ⎜⎝ x −1 + ⎣⎢ (x − 2)(x + 2) 4 x → 1+ x → 1+ ⎠⎟ ⎜ ⎟ x → 2− ⎝ ⎠ 2 5 − x → h=0 = lim (x − 1) = 1 ดงั นนั้ ก. ถูก และ lim f(x) = f(2) → 2(2) + k = 0 x → 2+ x → 1+ (x − 1)(2 + 5 − x) 4 ข. ผดิ เพราะ f(1) = 1 ไม่เทา่ กบั ลมิ ติ ในขอ้ ก. → k = −4 (จึงไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x = 1) (23.2) ต่อเนอ่ื งบนช่วง [1,3] แสดงวา่ (19) lim f(x) = f(2) ตอ่ เน่ืองทางขวาของ 1 และทางซา้ ยของ 3 ด้วย x→2 ดังนนั้ f(1) = lim f(x) → h = 1 + 1 = − 2 → ⎢⎣⎡xli→m2 (x − 2)(x + 2) = 4⎦⎤⎥ = 3(2) + a x → 1+ 1−4 3 x+2 และ f(3) = lim f(x) → k = 3 + 1 = − 4 → a = −2 x → 3− 9 − 12 3 (20) lim f(x) = f(1) → 1 − 12 = 1 + b (24) พจิ ารณา f(x) = (x2 − 1)(x − 2) = x −2 x → 1− (x2 − 1) → b = −1 เมอ่ื x ≠ 1, −1 (21) ต่อเนอ่ื งท่ี x = 2 แสดงว่า ต้องการให้ตอ่ เนอ่ื ง จงึ ตอ้ งนิยามให้ lim f(x) = f(2) → 2 − 5 = 22 − 5 f(−1) = lim f(x) = −1 − 2 = −3 x → 2− 2−2 −b x → −1 → 3 = −1 → b = 3 และให้ f(1) = lim f(x) = 1 − 2 = −1 −b x→1 และพจิ ารณาที่ x = 1 บ้าง ... f(1) = 2 และ (25) พิจารณา f(x) = (x2 − 4)(x − 1) = 1− x (4 − x2) lim f(x) = 1 − 5 = 4 = −2 x → 1+ 1−2 −3 1−3 เมอ่ื x ≠ 2, −2 แสดงว่า คา่ b = 3 ทาํ ให้ f(x) ไม่ตอ่ เน่ือง ที่ ถา้ ตอ้ งการใหต้ อ่ เนื่องจึงต้องนยิ ามให้ x = 1 เพราะ f(1) ≠ lim f(x) f(2) = a = lim f(x) = 1 − 2 = −1 x → 1+ x→2 (หรอื ตอบวา่ เพราะไม่มีลิมติ กไ็ ด้, เนอ่ื งจากลมิ ิต และให้ f(−2) = b = lim f(x) = 1 − (−2) = 3 x → −2 ซ้ายเป็น 2 ลิมิตขวาเปน็ -2) (22) lim f(x) = f(1) → a(1) = 4 → a = 4 x → 1− lim f(x) = f(1) → 1 + b = 4 → b = 3 x → 1+ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 306 ลมิ ิตและความตอเนือ่ ง eÃèo× §æ¶Á การคาํ นวณลมิ ิตในรูปแบบยังไมก่ าํ หนด ดว้ ยกฎของโลปีตาล.. (1) รปู แบบยงั ไมก่ ําหนด (Indeterminate Form) มี 7 แบบ ได้แก่ 0 ∞ 0 ⋅ ∞ ∞ − ∞ 00 ∞0 1∞ 0∞ เราจะพบสองรปู แบบแรกบอ่ ยในระดับมธั ยมศกึ ษา ซงึ่ การหาลิมติ รูปแบบ 0 และ ∞ นอกจากจะหา 0∞ โดยการจัดรปู แลว้ สามารถหาอยา่ งงา่ ยๆ ไดโ้ ดย กฎของโลปตี าล (L’Hôpital’s Rule) ซง่ึ จะตอ้ งอาศัย สูตรในการหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั จงึ ควรมีความรพู้ ื้นฐานของบทท่ี 15 (ในหวั ขอ้ 15.2) กอ่ น.. (2) กฎของโลปตี าลกลา่ วว่า lim f (x) = lim f′ (x) ... เมอื่ f (a) = g(a) = 0 หรือ f (a) = g(a) = ∞ x → a g (x) x → a g′ (x) เรานาํ ไปใชง้ านโดยเม่ือทดลองแทนคา่ พบวา่ ลมิ ติ ของฟังกช์ นั อยู่ในรูปแบบ 0 หรือ ∞ แลว้ เราสามารถหา 0∞ อนพุ ันธข์ องเศษและของสว่ น เพอื่ ให้ไดฟ้ งั ก์ชนั ใหม่ท่ียังคงมคี ่าลมิ ติ เทา่ เดมิ หากลองแทนคา่ แลว้ ยังเป็น 0 0 หรือ ∞ อยอู่ กี กใ็ หใ้ ชก้ ฎของโลปีตาล (คือหาอนพุ นั ธเ์ ศษและสว่ น) ซํา้ เรอ่ื ยๆ จนกวา่ จะไดค้ าํ ตอบ ∞ (3) ตัวอยา่ งเช่น ตอ้ งการหาคา่ ของ lim ⎛ x3− 3x +2 ⎞ ⎜⎜⎝ 2x3−3x2+1 ⎠⎟⎟ x→1 ลองแทน x ดว้ ย 1 แลว้ พบวา่ เปน็ รปู แบบ 0 จึงใชก้ ฎของโลปีตาลได้ ดงั น้ี 0 lim ⎛ x3− 3x +2 ⎞ = lim ⎛ 3x2 −3 ⎞ ⎜⎜⎝ 2x3−3x2+1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 6x2 − 6x ⎟⎠ x→1 x→1 จากน้ันลองแทน x ด้วย 1 แลว้ ยงั เปน็ 0 จงึ ใชก้ ฎโลปีตาลอกี ครง้ั เป็น 0 lim ⎛ 3x2 −3 ⎞ = lim ⎛ 6x 6 ⎞ = 6 = 1 ⎝⎜ 6x2 − 6x ⎠⎟ ⎜⎝ 12x − ⎟⎠ 6 x→1 x→1 ดงั นน้ั คา่ ของลิมติ เทา่ กับ 1 (4) ตัวอยา่ งตอ่ มา ตอ้ งการหาคา่ lim ⎛ x2−2x ⎞ ⎜⎝⎜ x− 2 ⎠⎟⎟ x→∞ ลองแทน x ด้วย ∞ พบวา่ เปน็ รูปแบบ ∞ จงึ ใช้กฎของโลปตี าลได้ ดงั น้ี ∞ lim ⎛ x2−2x ⎞ = lim ⎛ 2x − 2 ⎞ = lim [(4x − 4) x] ⎜⎜⎝ x− 2 ⎟⎟⎠ ⎜ ⎟ x→∞ x→∞ ⎜ 1 x−1/ 2 ⎟ x→∞ ⎝2 ⎠ จากนน้ั ลองแทน x ดว้ ย ∞ อีกครง้ั พบวา่ ได้ ∞ ... ดังนน้ั คาํ ตอบคอื หาคา่ ไมไ่ ด้ หมายเหตุ (1) โจทยท์ กุ ขอ้ ในแบบฝึกหดั 14.2 ทผี่ า่ นมา สามารถใชก้ ฎของโลปีตาลเพอื่ ใหค้ ํานวณไดง้ า่ ยข้ึน (ลองฝึกทาํ ดสู ิครบั ) แตใ่ นขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั มกั จะต้งั โจทยใ์ นรปู แบบทห่ี าอนพุ นั ธย์ าก กจ็ ําเปน็ ตอ้ งใช้ วธิ ีจดั รปู เช่นเดมิ (2) นําไปใชก้ ับลมิ ติ ของลาํ ดับไดด้ ้วย ถา้ พบวา่ อยใู่ นรปู แบบ ∞/∞ ** (3) ไมว่ ่ากรณีใดๆ ถ้าไม่ใชล่ มิ ิตรูปแบบ 0/0 หรอื ∞/∞ แตไ่ ปใช้กฎโลปตี าลคดิ จะไดค้ าํ ตอบทผี่ ดิ นะครบั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 307 อนพุ นั ธแ ละการอินทิเกรต calculus º··èÕ 15¡Òoùo¾u¹i ¹a·¸ei ¡æÃŵa หลักการของวิชาแคลคลู สั ที่จะไดศ้ กึ ษาในบทนี้ ไดแ้ ก่ การหาอนุพนั ธ์ และการอินทิเกรต ซงึ่ เปน็ การ กระทาํ กับฟังก์ชนั เพือ่ ให้ได้ฟงั กช์ นั ใหม่ไปใช้ประโยชน์ โดยอนุพนั ธค์ ือความชันของเส้นกราฟ และการอินทิ เกรตคือการกระทาํ ย้อนกลบั ของอนพุ นั ธ์ และเป็นการ หาพนื้ ทีใ่ ตก้ ราฟด้วย 15.1 อตั ราการเปลีย่ นแปลง ในฟงั กช์ ัน y = f (x) ใดๆ เราพจิ ารณาหา “อตั ราการเปลย่ี นแปลงของค่าฟงั ก์ชัน” ได้ดังน้ี ทจ่ี ดุ x = x1 จะได้ y = f (x1) ท่จี ดุ x = x2 = x1+h จะได้ y = f (x1+h) ดงั นั้น อัตราการเปล่ยี นแปลงโดยเฉลยี่ ของ y เทียบกบั x ในช่วง x1 ถงึ x1+h คือ Δy = f (x1+h) − f (x1) = f (x1+h) − f (x1) Δx (x1+h) − (x1) h หรือ “อัตราการเปลีย่ นแปลงโดยเฉล่ยี ของ y เทยี บกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)” คอื f (x+h) − f (x) หรือ Δy h Δx และเม่อื เราบบี ช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 กจ็ ะไดอ้ ัตราการเปล่ียนแปลง ณ จดุ x ทีก่ าํ หนด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 308 อนพุ ันธแ ละการอนิ ทิเกรต ฉะน้ัน “อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y (ทีจ่ ดุ x ใดๆ)” คือ lim f (x+h) − f (x) หรือ lim Δy h→0 h Δ x → 0 Δx (ไม่สามารถแทน h = 0 ลงไปตรงๆ ได้ เพราะจะเป็น 0 จงึ ตอ้ งใช้ลมิ ติ ช่วยในการคํานวณ) 0 • ตวั อยา ง ถา y = f (x) = 2x2+ 3x − 4 ใหห าอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกับ x ก. โดยเฉลี่ยในชว ง x = 1 ถึง 4 วิธีคดิ Δy = f (4) − f (1) = 40 − 1 = 13 Δx 4 − 1 4 − 1 (แปลวา ในชว งทีก่ าํ หนดนี้ เมื่อ x เพมิ่ ขน้ึ 1 หนวยแลว y จะเพิ่มขน้ึ ประมาณ 13 หนว ย) ข. ทีจ่ ุดซ่งึ x = 2 วิธีคิด lim Δy = lim f (2+h) − f (2) = lim [2(2+h)2 + 3 (2+h) − 4] − 10 Δx → 0 Δx h → 0 (2+h) − 2 h→0 h = lim 11h + h2 = lim (11 + h) = 11 h→0 h h→0 (คาํ นวณโดยตดิ คา x ใดๆ ไวก อ น จนไดผ ลเปน 4x + 3 แลว จงึ แทนคา x = 2 ลงไปกไ็ ด) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f (x) S ¨u´·è¼Õ i´º‹oÂ! S ท่จี ุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนพุ นั ธ์ eª¹‹ e´ÕÂÇ¡aºã¹º··æèÕ Ånj ¶ŒÒ¹oŒ §æ ¢éeÕ ¡ÂÕ ¨e¢ÂÕ ¹¤íÒÇ‹Ò lim (Derivative) h→0 สัญลกั ษณท์ ใี่ ชแ้ ทนอนุพนั ธข์ อง f (x) ¹Òí ˹ŒÒ测ÅaºÃ÷a´ã¹eÇÅÒ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·Òí oÒ¨Å×Áæ·¹ ¤Ò‹ h ´ÇŒ  0 æÅa¤Òí µoº¡ç¨a¼i´¹a¤Ãºa ไดแ้ ก่ f′(x) หรอื dy หรือ d f (x) หรือ y′ dx dx ส่วนสัญลักษณ์ท่ีใชเ้ จาะจงตาํ แหน่ง เชน่ อนพุ ันธท์ ่จี ดุ ซึ่ง x = 3 จะใช้ f′(3) หรือ dy dx x = 3 ฉะนนั้ อนพุ ันธข์ อง f (x) กค็ อื lim f (x+h) − f (x) = dy นนั่ เอง h→0 h dx นอกจากนน้ั เรียกว่าเปน็ ค่า ความชนั (Gradient) ของกราฟ y = f (x) ณ จุดน้ันๆ ด้วย แบบฝกึ หัด 15.1 (1) ให้ y = x2−x+1 จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงโดยเฉล่ียของ y เมอื่ เทียบกบั x ในชว่ ง x = 3 ถึง 5 (2) จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงของ y (2.1) y = 2x2+3x−4 เมือ่ x มคี า่ ใดๆ (2.2) y = 3x2+7x+1 ท่ีจดุ x = 2 (3) ให้ y = x2 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลง (3.1) โดยเฉลย่ี ของ y เมื่อเทยี บกับ x ในชว่ ง x = x1 ถึง x = x1+h (3.2) โดยเฉล่ียของ y เมอื่ เทียบกบั x ในช่วง x = 10 ถึง 13 (3.3) ของ y ทจ่ี ดุ x = x1 (3.4) ของ y ทจี่ ดุ x = 10 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 309 อนุพนั ธแ ละการอนิ ทิเกรต (4) ถ้า f (x) = 1 จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉล่ยี ของ f (x) เทียบกบั x x (4.1) ในชว่ ง x = 4 ถงึ x = 5 (4.2) ในชว่ ง x = 4 ถงึ x = 4.5 (4.3) ในช่วง x = 4 ถงึ x = 4.01 (4.4) ทจ่ี ดุ ซง่ึ x = 4 (5) จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงโดยเฉล่ียของปรมิ าตรทรงกลม เทียบกับรัศมี เม่อื รัศมีเปล่ยี นจาก 2 ถึง 3 หน่วย (6) จงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงของ (6.1) พื้นทีร่ ูปส่ีเหล่ยี มจตั ุรัสเทียบกบั ความยาวดา้ น ขณะทดี่ ้านยาว 5 ซม. (6.2) พ้ืนท่ีวงกลมเทยี บกบั รศั มี ขณะทีร่ ศั มยี าว 10 นว้ิ (7) ใหห้ าอตั ราการเปลีย่ นแปลงของปรมิ าตรกรวยกลมตรง (7.1) เทยี บกับรัศมีฐาน r เมอ่ื ส่วนสูง H คงตวั (7.2) เทียบกับส่วนสงู H เมือ่ รัศมีฐาน r คงตวั (8) ในการสูบนํ้าออกจากสระแห่งหนึ่ง หลังจากสบู ได้ t นาที จะมนี ้ําเหลอื อยใู่ นสระเป็นปริมาตร Q ลบ.ม. โดยท่ี Q = (12 − t )2 จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลง 10 (8.1) โดยเฉลย่ี ของปริมาตรนํ้าในสระ เทยี บกับเวลา ในชว่ ง t = 0 ถึง t = 10 นาที (8.2) ของปรมิ าตรน้ําในสระ เทียบกับเวลา ขณะที่ t = 10 นาที (9) จงหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั f (x) ทีจ่ ดุ x ใดๆ และท่จี ุด x = 2 (9.1) f (x) = 2x2 (9.2) f (x) = x2−2x+4 (9.3) f (x) = 3 (9.4) f (x) = 2−3t (10) ถา้ y = x−2x2 เป็นสมการเสน้ โค้ง จงหา (10.1) ความชนั ของเสน้ โค้งนี้ทจี่ ดุ (2, −6) (10.2) สมการเส้นสัมผัสโค้ง ณ จดุ เดยี วกนั น้ี (11) ใหห้ าสมการเสน้ สมั ผัสโค้ง y = x3 ณ จดุ (−1, −1) 15.2 สตู รในการหาอนพุ ันธ์ เนือ่ งจากการใช้ลมิ ิตคํานวณนั้นไม่สะดวก จึงได้มกี ารคดิ สูตรในการหาอนพุ นั ธไ์ วด้ ังน้ี 1. สตู รทัว่ ไป • dx=1 • dc=0 dx dx • d xn = n xn−1 • d c f (x) = c d f (x) dx dx dx 2. การบวกลบคณู หารฟังกช์ นั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 310 อนพุ ันธแ ละการอินทเิ กรต • d [f (x) ± g(x)] = f′ (x) ± g′ (x) dx • d [f (x) ⋅ g(x)] = f (x) g′ (x) + g(x) f′ (x) (หน้า ดฟิ หลงั + หลงั ดิฟหนา้ ) dx • d ⎡ f (x)⎤ = g (x) f′ (x) − f (x) g′ (x) ((ลา่ ง ดฟิ บน - บน ดฟิ ล่าง) ส่วน ล่างกาํ ลงั สอง) dx ⎢ (x)⎦⎥ ⎣ g [g (x)] 2 3. ฟังกช์ นั ประกอบ (กฎลกู โซ;่ Chain Rule) • d g (f (x)) = dg ⋅ df หรือเขยี นอีกแบบว่า (gD f)′(x) = g′(f (x)) ⋅ f′(x) dx df dx หมายเหตุ กฎลูกโซ่จะเขียนยาวกที่ อดกไ็ ด้ เชน่ dg = dg ⋅ dh ⋅ df ⋅ dx dt dh df dx dt • ตัวอยาง ใหหาคา lim ⎛(x + h)n − xn ⎞ ⎜ ⎟ h→0 ⎝ h ⎠ วิธีคิด ในขณะนีเ้ ราไมส ามารถกระจาย (x + h)n จึงไมม ีวิธีคดิ หาลิมติ แบบตรงๆ ได แตพบวาอยใู นรูปแบบนยิ ามของอนุพนั ธพ อดี ..ดงั น้ันคําตอบคือ อนุพนั ธข อง xn ตอบ n xn−1 • ตัวอยาง ใหห าความชนั ของเสน สัมผัสโคง y = 2x − 3x2+ x3 ทีจ่ ดุ (4, 24) วิธีคิด dy = 2 − 3(2x) + (3x2) ดงั นน้ั dy = 2 − 24 + 48 = 26 dx dx x = 4 • ตัวอยา ง ถา f (x) = (2x + 1)(3x2− 2) ใหหาคา f′(x) วธิ ีคดิ ใชส ตู รดฟิ ผลคณู ดังนี้ f′(x) = (2x + 1)(6x) + (3x2− 2)(2) = 18x2+ 6x − 4 • ตัวอยา ง ถา f (x) = (2x + 1)3/2 ใหหาคา f′(4) วธิ ีคดิ f′(x) = 3 (2x + 1)1/2 ⋅ 2 = 3 2x + 1 2 (การดฟิ ลกู โซ .. มอง 2x+1 เปนตวั แปรกอ นหนงึ่ เมือ่ ดฟิ แลว จะตอ งคูณกับดฟิ ของ 2x+1 ดวย) เพราะฉะน้ัน f′(4) = 3 2(4) + 1 = 9 • ตัวอยา ง ถา f (x) = (1 − 3x2)2 1 + 3x2 ใหหาอัตราการเปลีย่ นแปลงของ f (x) เทียบกบั x ขณะที่ x = 1 วิธีคิด อตั ราการเปลี่ยนแปลงทีก่ ลาวถงึ กค็ ือ f′(x) ... ขอ นี้ใชสตู รดิฟผลหาร ปนกบั ดฟิ ลูกโซ ดังนี้ f′(x) = (1 + 3x2) ⋅ 2 (1 − 3x2)(−6x) − (1 − 3x2)2 ⋅ (6x) จากนน้ั แทนคา x = 1 (1 + 3x2)2 จะได f′(1) = 4.5 ... จงึ ตอบวา อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) ขณะที่ x = 1 เทากบั 4.5 อนุพันธ์อนั ดับสูง สมมติ f (x) = y = x3−2x2+x+5 ดังนน้ั หาอนพุ นั ธ์ไดเ้ ป็น f′(x) = dy = 3x2−4x+1 dx หากเราหาอนุพันธ์ของ f′(x) ต่อไปอีก จะเรยี กวา่ เปน็ อนุพนั ธ์ อันดบั สงู (Higher Order) เช่น อนพุ ันธอ์ ันดบั สอง คือ f′′ (x) = d2y = 6x−4 dx2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 311 อนพุ ันธแ ละการอินทิเกรต อนุพันธอ์ ันดับสาม คอื f′′′ (x) = d3y = 6 dx3 อนพุ นั ธ์อนั ดับส่ี คือ f(4)(x) = d4y = 0 ... ฯลฯ dx4 การเขยี นสัญลกั ษณ์ อนุพันธอ์ ันดับที่ n จะเป็น dny หรือ f(n)(x) dx n แต่อนั ดับที่หนึง่ สอง และสาม นิยมใชเ้ ครือ่ งหมายขดี เปน็ f′(x), f′′(x), f′′′(x) ขอ้ สังเกต ตวั อยา่ งท่ยี กมาเปน็ พหุนามดกี รี 3 จะเห็นได้ว่า อนุพนั ธ์อนั ดบั ทีส่ ี่ขึ้นไปล้วนมคี ่าเป็น 0 • ตวั อยาง ถา f (x) = (2x + 1)3/2 ใหห าคา f′′(4) วิธีคิด จาก f′(x) = 3 (2x + 1)1/2 ⋅ 2 = 3(2x + 1)1/2 (ดิฟลูกโซ) 2 จะได f′′(x) = 3(1)(2x + 1)−1/2 ⋅ 2 = 3 (ดฟิ ลกู โซอีกครงั้ หนึง่ ) 2 2x + 1 เพราะฉะนน้ั f′′(4) = 3 = 1 2 (4) + 1 แบบฝึกหดั 15.2 (12) จงหาค่า f′(x) เมอ่ื กําหนด f (x) ใหด้ ังนี้ (12.7) f (x) = (3x3−4x2) + (7x2−5) (12.1) f (x) = 5 (12.8) f (x) = x5−x − 3 (12.2) f (x) = x (12.9) f (x) = 1/x (12.3) f (x) = −3x (12.10) f (x) = 2/x2 (12.4) f (x) = −3x2 (12.11) f (x) = 6 x (12.5) f (x) = x2+x (12.12) f (x) = 1 / 3x x (12.6) f (x) = 3x2−5x+1 (13) จงหาคา่ f′(x) เมือ่ กําหนด f (x) ใหด้ งั นี้ (13.1) f (x) = (6x2+4)(3x3+5) (13.2) f (x) = (2x4+1)(x2+x+1) (13.3) f (x) = 4x2+7x+1 3x2+8 (13.4) f (x) = x2+4x+7 3x−1 (14) จงหาคา่ f′(x) เม่ือกาํ หนด f (x) ให้ดงั นี้ (14.1) f (x) = (x+3)2 (14.2) f (x) = (x2+1)3 (14.3) f (x) = (x3−x2+2x+1)2 (14.4) f (x) = (1−4x)4/5 (15) ตรวจสอบคําตอบข้อ (2), (3.3), (3.4), (4.4), (6), (7), (8.2) โดยใช้สตู รในการหาอนุพนั ธ์ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 312 อนพุ ันธและการอนิ ทิเกรต (16) จงหาคา่ f′(x) เมอื่ กําหนด f (x) ใหด้ งั น้ี (16.1) f (x) = (2x+3)(3x−4) (16.2) f (x) = 4x5−10x3+6x−8 2x2 (16.3) f (x) = 1+3x 1−3x (16.4) f (x) = (3x−5)3 (17) จงหาค่าของ (17.1) dy เม่อื y = f (x) = (2x+1)2(3x−2)3 dx x = 1 (17.2) f′(1) เม่ือ f (x) = 2 3 x2−2x+3 (17.3) ความชันเสน้ สัมผสั โคง้ ณ จุดที่ x=1 เมื่อ f (x) = x2+8(x2−3)4 (17.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) ณ จดุ ที่ x=1 เมือ่ f (x) = x2−1 (18) ใหห้ าค่าอนุพันธอ์ นั ดบั สงู f′′(x), f′′′(x) และ f(4)(x) ของฟังก์ชันต่อไปน้ี (18.1) f (x) = x4+3x3+5x2 −7x−3 (18.2) f (x) = x5+3x4−4x3 +x−1 (19) จงหาค่า f (−3), f′ (−3), f′′ (−3) เม่อื f (x) = x2 +x−3 (20) หาคา่ (f′′+g′′)(1) เมื่อ f (x) = 2−x และ g(x) = (1−3x)2 (21) จงหา f(n)(x) เมื่อ f (x) = 1/x 15.3 ฟงั กช์ ันเพม่ิ ฟังกช์ นั ลด และค่าสุดขดี ความหมายของฟังก์ชนั เพ่มิ คอื เม่ือ x เพมิ่ ข้นึ แลว้ f (x) ก็จะเพิ่มข้ึนดว้ ย หรือกล่าววา่ ความชันเป็นบวก ส่วนฟังกช์ ันลดน้นั เมอื่ x เพ่มิ ข้นึ แล้ว f (x) กลับลดลง หรือกล่าววา่ ความชัน เป็นลบน่ันเอง ดังนั้นเมอ่ื พิจารณาถงึ อนพุ นั ธ์ f′(x) ซ่งึ เปน็ ค่าความชันของกราฟ จะได้กฎวา่ ชว่ งท่ี f′(x) > 0 เปน็ ฟังก์ชนั เพิ่ม และช่วงท่ี f′(x) < 0 เป็นฟังก์ชนั ลด และเนื่องจากตาํ แหนง่ ทีฟ่ งั ก์ชนั จะเปลย่ี นจากเพ่ิมไปลด หรือจากลดไปเพิม่ จะตอ้ งมีการวกกลับของ กราฟ ซ่งึ ทาํ ใหเ้ กิดจดุ ยอด (จดุ สดุ ขีด; Extreme Point) ข้ึน สามารถหาโดย f′(x) = 0 เราเรยี กคา่ x ณ ตําแหน่งท่ี f′(x) = 0 วา่ คา่ วกิ ฤต (Critical Value) จดุ สดุ ขีดมี 2 แบบคือจดุ สูงสุดและจดุ ต่ําสุด ถ้าความชันเปลยี่ นจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่ําสุด และ ถา้ ความชันเปลี่ยนจากเพมิ่ ไปลด ก็จะเกดิ จดุ สูงสุด หมายเหตุ 1. f′(x) = 0 ไมไ่ ดเ้ ป็นจดุ สงู สุดหรือตํา่ สดุ เสมอไป อาจเป็นจดุ เปลี่ยนความเวา้ เทา่ นั้น เราสามารถพิจารณาใหล้ ะเอียดไดจ้ าก อัตราการเปลีย่ นแปลงของความชัน หรอื f′′(x) หาก f′′(x) > 0 แสดงว่าความชนั มากข้นึ เร่ือยๆ (เปลี่ยนจากลบไปบวก) เกดิ จุดตํ่าสุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 313 อนพุ นั ธแ ละการอนิ ทเิ กรต หาก f′′(x) < 0 แสดงว่าความชันนอ้ ยลงเร่ือยๆ (เปลยี่ นจากบวกไปลบ) เกดิ จดุ สงู สุด หาก f′′(x) = 0 อาจเป็นจุดเปลีย่ นความเวา้ หรือจุดสูงสุด หรือจดุ ต่าํ สุดกไ็ ด้ 2. เราใชค้ วามรู้เรอ่ื งคา่ สูงสุดต่าํ สุด (Maximum & Minimum) ของฟังกช์ ัน ในการคํานวณโจทย์ ปญั หาทเ่ี ป็นเหตกุ ารณ์จรงิ เชน่ มฟี ังก์ชันกาํ ไร P(x) แลว้ หาค่า x ที่ทําให้ได้กําไรมากที่สุด พิจารณากราฟตอ่ ไปนี้ เพ่อื ทําความเข้าใจเร่ือง สมั พัทธ์ (Relative) และ สัมบรู ณ์ (Absolute) ฟงั กช์ ันหน่ึงๆ หากมีการวกกลบั ของกราฟ ณ จุดใด กจ็ ะเรียกจดุ นนั้ วา่ จดุ สุดขีดสัมพทั ธ์ (แปลวา่ เทียบกับจดุ ขา้ งเคยี ง จงึ มีได้หลายจุด) และหากจดุ ใดมีคา่ ฟงั ก์ชนั มากที่สดุ หรือน้อยที่สดุ ของ กราฟแล้ว จะเรียกจดุ น้ันวา่ จดุ สุดขีดสัมบรู ณ์ด้วย Cy de x (สงู สุดกบั ตํา่ สุด มไี ด้อย่างละ 1 จุด) A E จดุ สูงสุดสัมพทั ธ์ได้แก่ จดุ A, C, E B จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือจดุ C เท่านน้ั จุดตํ่าสดุ สัมพทั ธ์ได้แก่ จุด B, D ab c O จุดต่าํ สดุ สัมบรู ณ์ ไมม่ ี D • ตัวอยา ง f (x) เปน ฟง กชันพหุนามกาํ ลงั สาม ซึ่งหารดว ย x + 1 แลวเหลือเศษ 6 ... สมั ผสั กับ เสน ตรง 12x + y + 7 = 0 ณ จดุ ตดั แกน y ... และมีคา วิกฤตคาหนง่ึ เปน 1 ก. ใหห าฟงกชัน f (x) นี้ วิธีคิด โดยทั่วไปพหุนามกาํ ลงั สาม ตอ งมีลกั ษณะเปน Ax3+ Bx2+ Cx + D ซึง่ มีสมั ประสทิ ธ์ิ 4 ตวั เรา จึงใชค ําใบท ีโ่ จทยใ หม า 4 อยาง ในการสรา งระบบสมการเพือ่ หาสมั ประสทิ ธ์ิ 4 ตวั นี้ ... จากทฤษฎีเศษเหลือ (ในเนือ้ หาจํานวนจรงิ ) จะไดวา f (−1) = 6 หรือ −A + B − C + D = 6 .....(1) ตดั แกน y ที่จดุ เดียวกับ 12x + y + 7 = 0 คือจดุ (0, −7) จะไดวา f (0) = −7 หรือ A (0)3 + B(0)2 + C (0) + D = −7 = D .....(2) มีความชนั เทากบั เสน ตรง 12x + y + 7 = 0 ทีจ่ ุด (0, −7) จะไดวา f′(0) = −12 หรือ 3 A (0)2 + 2 B(0) + C = −12 = C .....(3) มีคาวิกฤตคาหนง่ึ เปน 1 (คาวิกฤตคือคา x ณ จุดทีค่ วามชันเปนศนู ย) จะไดว า f′(1) = 0 หรือ 3 A + 2 B + C = 0 .....(4) แกสีส่ มการรวมกนั ไดผลเปน A = 2 , B = 3 ... ดงั นน้ั f (x) = 2x3+ 3x2− 12x − 7 ข. ฟงกชันนี้มีคาสงู สุดสัมพัทธ และคา ตํ่าสดุ สมั พทั ธเ ปนเทาใด วธิ ีคดิ จาก f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7 จะได f′(x) = 6x2 + 6x − 12 หาก f′(x) = 0 จะได 6x2 + 6x − 12 = 0 → x = −2, 1 เนือ่ งจาก f (−2) = 13 และ f (1) = −14 ดังน้นั คาสูงสดุ สมั พทั ธเ ทากับ 13 และคา ตาํ่ สดุ สัมพทั ธเทา กับ −14 ค. ฟงกช นั นี้เปน ฟง กชนั ลดในชว งใดบา ง วิธีคิด จาก f′(x) = 6x2+ 6x − 12 คือความชนั และเราตอ งการความชนั ตดิ ลบ ก็คือ 6x2+ 6x − 12 < 0 → 6(x + 2)(x − 1) < 0 ... ไดค าํ ตอบเปน ชวงเปด (−2, 1) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 314 อนพุ นั ธแ ละการอนิ ทิเกรต • ตวั อยา ง ตองการสรางถังรูปทรงกระบอกเพือ่ เก็บนํ้ามนั ปรมิ าตร 16π ลกู บาศกเมตร โดยสนิ้ เปลือง วสั ดุกอ สรา ง (รวมฝาบนและลาง) ใหน อยทีส่ ุด ถังใบนีจ้ ะตองมีรศั มีหนา ตัดยาวเทา ใด วิธีคดิ ใหพืน้ ทีผ่ วิ เปน A และใหค วามสงู h , รศั มีหนา ตดั r จะไดฟ งกชัน A ในรปู ของ h, r ดงั นี้ ... A = 2πrh + 2(πr2) ในขอนีเ้ ราตอ งการหาคาต่ําสุดของ A (หาคา h, r ทีท่ าํ ใหคา A ตํา่ ทีส่ ดุ ) ... เนื่องจากโจทยกาํ หนดปรมิ าตรคงที่ 16π = πr2h → h = 16/r2 จงึ ไดฟ ง กชนั A = 2πr (16/r2) + 2(πr2) = 32π/r + 2πr2 = 2π(16/r + r2) จากนั้น dA = 2π(−16/r2 + 2r) = 0 → 2r = 16/r2 S e¾Áiè eµÁi ! S dr ¡ÒÃËÒ¤‹Òʧ٠Êu´ µÒèí Ê´u ¢o§¿§˜ ¡ª a¹ ´ŒÇÂo¹¾u a¹¸ µ‹Ò§¨Ò¡ → r = 2 แสดงวา A ทีต่ ํา่ ทีส่ ุดเกดิ เมือ่ r = 2 เมตร ตอบ º·eÃÕ¹eÃ×èo§¡íÒ˹´¡ÒÃeªi§eʌ¹ µÃ§·èÇÕ ‹Ò º·¹a¹é ÁÕµaÇ æ»ÃµŒ¹ 2 µaǤ×o x æÅa y e»¹š µaÇæ»ÃµŒ¹·§éa ¤Ù‹ æÅa x แบบฝึกหัด 15.3 ¡aº y ÁÕ¢Œo¨Òí ¡a´Ã‹ÇÁ¡¹a ºÒ§oÂҋ § (ã¹Ã»Ù oÊÁ¡Òà eʹŒ µÃ§) 测º·¹ÁéÕ ÕµaÇæ»Ãµ¹Œ e»¹š x e¾Õ§µÇa e´ÕÂÇ... (22) จากกราฟในหน้าท่ีแล้ว ให้หาชว่ งท่ีเป็น 1. µŒo§¡ÒÃËҤҋ ã´µÒíè Ê´u ËÃ×oʧ٠ʴu ãˌe¢Õ¹¤Ò‹ ¹a¹é ã¹ÃÙ» ฟังกช์ นั เพม่ิ และชว่ งท่เี ปน็ ฟังก์ชันลด ¿§˜ ¡ª a¹¢o§¤Ò‹ o×è¹æ (¤×oãˌe»š¹ y) æÅaµŒo§ÁÕµÇa æ»Ãµ¹Œ e¾Õ§oÂҋ §e´ÂÕ Ç eª¹‹ ¶ŒÒ x e»š¹µaÇæ»ÃµŒ¹ ¡çµoŒ §·Òí µaÇ (23) หาค่าสูงสุดและต่ําสุด ของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้ æ»Ão×è¹æ ãˌoÂã‹Ù ¹ÃÙ» x (23.1) f (x) = −x2−x (23.2) f (x) = x2−x−1 2. ËÒ¡ÁÕ¤‹ÒÇ¡i ĵËÅÒ¤ҋ ãËeŒ »ÃÕºe·ÕºÇҋ ¤Ò‹ ã´·è·Õ Òí ãˌ (23.3) f (x) = 3x+2 e¡i´¨u´µÒíè Ê´u ËÃ×oÊÙ§Êu´´§a ·Õµè Œo§¡Òà (24) จงหาคา่ สดุ ขีดทงั้ หมด และระบชุ ว่ งทเี่ ป็นฟงั กช์ นั เพิม่ ฟงั ก์ชนั ลด สําหรบั ฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี (24.1) f (x) = x2−4x+5 (24.2) f (x) = x3−3x (24.3) f (x) = 2x3+3x2 −12x−7 (24.4) f (x) = x4−3x3+3x2−x (24.5) f (x) = x3 (24.6) f (x) = x2−2x+1 ; x ∈ [−1, 2] (25) ใหห้ าค่าสูงสุดสัมพทั ธ์ และตา่ํ สดุ สัมพทั ธท์ ั้งหมดของฟังก์ชันต่อไปน้ี โดยไม่ตอ้ งวาดกราฟ (25.1) f (x) = 3−x2 (25.2) f (x) = x2+3x+4 (25.3) f (x) = x3−3x+3 (25.4) f (x) = x4−2x2 +3 (25.5) f (x) = x3+x2 −8x−1 (26) ให้เขยี นกราฟและบอกค่าสดุ ขีดสัมพัทธ์ของ y = 2x5−30x3 (27) วตั ถุเคล่ือนทีไ่ ด้ระยะทาง s = 3t2−2t+1 เมตร ในเวลา t วินาที จงหา (27.1) ความเร็ว v ของวตั ถุ ขณะเริ่มตน้ และขณะ t = 2 วนิ าที Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 315 อนุพันธและการอินทิเกรต (27.2) ระยะทางทไี่ กลท่ีสุดจากจดุ เร่ิมต้นทว่ี ตั ถุเคลอื่ นทไ่ี ปถึง (ก่อนจะวกกลบั ) (28) จงหาจํานวนเตม็ บวกสองจาํ นวนซง่ึ รวมกันได้ 8 โดยทีผ่ ลบวกของกาํ ลงั สามมคี า่ น้อยที่สดุ (29) ชาวสวนปลูกมะม่วง 22 ตน้ ต่อไร่ จะได้ตน้ ละ 500 ผล และเขาพบวา่ หากปลกู เพิ่มอีกไรล่ ะตน้ จะทาํ ใหผ้ ลลดลงตน้ ละ 10 ผล ดงั นนั้ แลว้ เขาควรจะปลูกไรล่ ะก่ีตน้ จงึ จะไดผ้ ลมากทส่ี ุด (30) จากภาพ บริษทั ก่อสร้างต้องการวางท่อจากจดุ P ไปยงั Q ตามแนว S Q PR และ RQ (โดยจดุ R อยู่ทใี่ ดก็ได้บนเสน้ TS) จงหาวา่ R อยู่ทีค่ ่า x R 5 km เปน็ เท่าใด จึงส้ินเปลอื งคา่ วางทอ่ นอ้ ยทส่ี ุด กาํ หนดให้ค่ากอ่ สร้าง (หน่วย เป็นล้านบาท) ระหว่าง P ถึง R เปน็ สองเทา่ ของกําลังสองของระยะทาง x และระหว่าง R ถงึ Q เปน็ สามเทา่ ของกําลังสองของระยะทาง P 3 km T 4 km (31) สามเหลย่ี มมุมฉากยาวด้านละ 90, 120, 150 หนว่ ย ให้หาวา่ จะ บรรจุสีเ่ หลีย่ มมุมฉากลงไปภายในสามเหลย่ี มน้ี (ให้มมี ุมฉากร่วมกัน ดงั ภาพ) ได้พ้ืนท่ีมากทสี่ ุดเท่าใด (32) ใหค้ าํ นวณคา่ ต่างๆ เม่ือตอ้ งการทําให้เกิดคา่ มากทส่ี ดุ ในแตล่ ะรปู ต่อไปนี้ (32.1) พืน้ ทส่ี ่ีเหลย่ี มมุมฉากมากท่ีสุด (32.4) ปริมาตรกล่องมากทส่ี ุดทีพ่ ับได้ บรรจใุ นสามเหลย่ี มมุมฉาก ใชม้ ุมฉากร่วมกนั เมอ่ื ตัดมุมกระดาษรปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรัสออก กว้างยาว = ________ x = _________ x พื้นที่ = ___________ x aa b a (32.2) พน้ื ที่สเี่ หล่ยี มมมุ ฉากมากที่สดุ (32.5) ปริมาตรกรวยกลม มากท่ีสุด บรรจุในวงกลมขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง d บรรจุในทรงกลมรศั มี r กวา้ งยาว = _______ ความสูงกรวย = ________ พ้นื ท่ี = __________ d หากเปน็ คร่งึ วงกลม จะได้พน้ื ที่ = _________ (32.6) ปรมิ าตรทรงกระบอกมากท่ีสุด บรรจุในกรวยกลมตรง สูง H (32.3) พ้ืนทสี่ ่ีเหล่ียมมุมฉากมากท่ีสุด ความสูงทรงกระบอก = _________ บรรจุในพาราโบลา โดยวางดา้ นหนึ่งบนโฟกสั BF = _______ VB F Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 316 อนพุ นั ธและการอนิ ทเิ กรต โจทยท์ บทวนเรื่องอนพุ ันธ์ (33) [Ent’38] กาํ หนดให้ f (x) = 3x+1 และ g(x) = 3x2 +1 อนุพันธข์ อง [f (x) + g(x)] ที่ 2x−1 x = 1 เท่ากบั เทา่ ใด (34) [Ent’38] สมการเส้นสัมผัสโคง้ y = 3 x2+2 ทีจ่ ดุ ซ่ึง x = 5 เปน็ สมการใด (35) [Ent’39] กําหนดให้ f (x) = 2x−a โดยท่ี a และ b เปน็ จํานวนจริงซึ่งไม่ใชศ่ นู ย์ ถ้า x+b f′(0) = 4 และ f′′(0) = −8 แล้ว ค่าของ f (0) เป็นเทา่ ใด (36) [Ent’38] กําหนดให้ f (x) = x3+bx2+cx เม่ือ b, c เปน็ จํานวนจรงิ ถา้ x = −2 เปน็ คา่ วิกฤตของฟงั กช์ ัน f และ f′′(−1) = 6 แล้ว ข้อใดถกู ก. f เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่มิ ข. f เป็นฟงั ก์ชนั ลด ค. x = −2 ใหค้ ่าสงู สุดสัมพัทธ์ ง. x = −1 ให้คา่ ตํา่ สดุ สมั พทั ธ์ (37) [Ent’40] กาํ หนดให้ f (x) = ax3+bx2+cx+d มี x−1 เป็นตัวประกอบหนึ่ง และ f (0) = 0 , f′(0) = 2 , f′′(0) + f′′′(0) = 1 ดงั น้นั f (2) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด (38) [Ent’37] ให้ f (x) = 3x−10 และ h(x) = (f D g)(x) = ax2+bx+c ถ้า h(0) = 1 และ h มี ค่าสงู สดุ สัมพทั ธ์ท่ี x = −2 คอื 5 แลว้ คา่ g(1) เป็นเท่าใด (39) [Ent’41] กําหนดให้ f (x) = (x2−1)3 โดยท่ี g(2) = f′(2) = 3 แล้ว จงหา g′(2) g (x) (40) [Ent’40] กาํ หนดให้ f (x) = (3x2+5x)g(x) ถา้ g เปน็ ฟังก์ชนั พหุนามท่ีมีคา่ สูงสดุ สัมพทั ธ์ เทา่ กับ 5 ท่จี ุดซ่ึง x = 1 แลว้ f′(1) มีคา่ เท่าใด (41) [Ent’39] กาํ หนดให้ g(x) เป็นพนุนามที่มีสัมประสทิ ธิ์เป็นจาํ นวนจริง และ f (x) = (x−1)2 g(x) ถ้า x−2 หาร f (x) เหลอื เศษ 3 และ x−2 หาร f′(x) เหลอื เศษ 4 แลว้ ค่าของ g′(2) เป็นเท่าใด (42) [Ent’36] ให้ f (x) = x + x แลว้ จงหาเซตของจาํ นวนจริง x ซง่ึ ทาํ ให้ f′(x) > 3 (43) [Ent’39] กาํ หนดให้ f (x) = x2/3(x2−16) จงหาเซต A = { x ∈ R | f′(x) > 0 } (44) [Ent’41] ถ้า f (x) = x+1 , g(x) = x และ F(x) = (f D g)(x) เมื่อ x > 1 แล้ว (F−1)′(2) มี ค่าเท่ากบั เท่าใด (45) [Ent’39] สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหน่ึงมีด้านทั้งสามยาว 3, 4, 5 นิ้ว ตามลาํ ดบั สี่เหลยี่ มผนื ผ้า ทีม่ พี ้นื ทม่ี ากทีส่ ุดท่สี ามารถบรรจลุ งในสามเหลี่ยมนี้ได้ จะมีพื้นที่ก่ตี ารางน้ิว (46) [Ent’38] สนิ ค้าชนดิ หนง่ึ ขายราคาช้ินละ 24 บาท ต้นทุนในการผลิต x ช้นิ เทา่ กบั 16+6x+0.2x3/2 บาท ถา้ N เป็นจํานวนช้นิ ของสินคา้ ทีผ่ ลิตเพื่อใหไ้ ด้กําไรสงู สุดแล้ว ข้อใดเป็นจริง ก. 1 < N < 2000 ข. 2000 < N < 4000 ค. 4000 < N < 6000 ง. 6000 < N < 8000 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 317 อนพุ นั ธและการอินทเิ กรต 15.4 สูตรในการอินทิเกรต การกระทาํ ทต่ี รงขา้ มกบั กระบวนการหาอนพุ นั ธ์ เราเรยี กว่า การอนิ ทิเกรต (Integration) นน่ั คอื ถ้า d F(x) = f (x) แล้ว (การหาอนพุ ันธ์) dx จะได้ว่า ∫ f (x) dx = F(x) (การอนิ ทิเกรต) สัญลกั ษณ์ ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรลั และเรียก f (x) ว่า ตวั ถกู อินทิเกรต (Integrand) ส่งิ ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ตรงตามคา่ ทีต่ ้องการ จะเรยี กวา่ ปฏิยานพุ นั ธ์ (Antiderivative) ทงั้ หมด ตัวอยา่ งเชน่ F1(x) = x2 , F2(x) = x2+1, F3(x) = x2+5 , F4(x) = x2−7 ต่างกเ็ ป็นปฏิยานพุ นั ธ์ของ f (x) = 2x เนอื่ งจากล้วนทาํ ให้ d F(x) = f (x) dx เราพบวา่ รูปท่ัวไปของปฏยิ านพุ นั ธ์ของ f (x) = 2x คอื x2+c เม่ือ c เปน็ คา่ คงท่ีใดๆ เรียก “รูปท่วั ไปของปฏยิ านพุ ันธ”์ น้วี ่า อินทิกรัลไม่จํากดั เขต (Indefinite Integral) ของ f (x) และเขียนสัญลักษณ์เป็น ∫ f (x)dx ดงั นนั้ อนิ ทกิ รลั ไม่จํากัดเขต ∫ f (x)dx = x2+c นน่ั เอง ขอ้ สังเกต ปฏยิ านุพันธ์มไี ดห้ ลากหลาย แตอ่ ินทกิ รัลไมจ่ ํากดั เขตมีแบบเดียวเสมอ บางตําราใชค้ ําวา่ ปริพนั ธ์ แทนคําว่าอนิ ทิกรลั สตู รในการหาอินทิกรัล 1. สตู รทัว่ ไป • ∫ x n dx = xn+1 + c • ∫ k dx = kx+c n+1 • ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx 2. การบวกลบฟังก์ชัน • ∫ [f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx • การคูณและหาร ไม่มีสูตร 3. ฟงั ก์ชันประกอบ อาศยั เทคนิคการอนิ ทิเกรตโดยเปลีย่ นตัวแปร (เทคนคิ การอนิ ทิเกรตเปน็ เรื่องท่เี กนิ หลกั สตู ร จึงไดอ้ ธบิ ายไวใ้ นหน้าแถม ทา้ ยบทน้)ี • ตวั อยา งเชน ∫ (x3 − 2x2 + 3) dx = x4 − 2x3 + 3x1 + C 4 3 1 ∫ (4t3 − 3t2 + 2t − 1) dt = 4t4 − 3t3 + 2t2 − 1t1 + C = t4− t3+ t2− t + C 4 321 ∫ (2x3+ 3x2+ 4) dx = ∫ (2x + 3 + 4x−2) dx = 2x2 + 3x1 + 4x−1 + C = x2+ 3x + 4 + C x2 2 1 −1 x ∫ 6(x + 2)(x − 1) dx = ∫ (6x2− 6x + 12) dx = 2x3− 3x2+ 12x + C หมายเหตุ สตู ร ∫ x n dx = xn+1 + c ใชไ้ ดเ้ มอ่ื n ≠ −1 เท่านนั้ n+1 ส่วน ∫ (x−1) dx จะไมม่ ีในหลกั สูตร ม.ปลาย ... (ผลลพั ธท์ ีไ่ ดเ้ ป็น ln x + C ) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 318 อนพุ ันธแ ละการอนิ ทเิ กรต • ตัวอยา ง ถา F′(x) = −2 − x และ F(−1) = 1 จะไดฟ งกช ัน F(x) เปนอยางไร x3 วิธีคิด F′(x) = −2x−3 − x−2 จะอนิ ทเิ กรตได F(x) = −2x−2 − x−1 + C = 1 + 1 + C −2 −1 x2 x โจทยใ หค า F (−1) = 1 จึงหาคา C ได ... 1 + 1 + C = 1 → C=1 (−1)2 (−1) ... ดงั น้ันตอบ F (x) = 1 + 1 + 1 x2 x แบบฝึกหดั 15.4 (47) จงหาค่า F(x) ท่ที ําให้ F′(x) = f (x) เม่อื กําหนดให้ (47.1) f (x) = x (47.5) f (x) = x3 (47.2) f (x) = 2x (47.6) f (x) = x x (47.3) f (x) = 7 (47.7) f (x) = 1 / x5 (47.4) f (x) = 3x2 (48) ให้หาคา่ ∫ f (x)dx เม่ือกําหนดให้ (48.4) f (x) = x3− 3 + 4 (48.1) f (x) = 5x4+3x2−2 x3 (48.2) f (x) = 2x − 1 (48.5) f (x) = x−2 x2 x3 (48.3) f (x) = x2(x−3) (48.6) f (x) = (4x2+1)(x−1) (49) f (x) = 3x2−3 และ F เปน็ ปฏิยานพุ ันธ์ของ f หาก F(0) = 4 แลว้ จงหาค่า F(1) (50) [Ent’41] ถา้ dy = 5x4+3x2−4x และ −y (1) = y (−1) แลว้ จงหาค่าของ y (0) dx (51) โค้ง C มีความชันทจ่ี ดุ ใดๆ เปน็ x2+2x−3 จงหาสมการโคง้ นั้น ถ้าโคง้ ผ่านจุด (0, 1) (52) [Ent’ต.ค.43] ถา้ เสน้ โคง้ y = f (x) ผา่ นจุด (0, 1) และ (4, c) เมอ่ื c เปน็ จํานวนจรงิ และ ความชันของเส้นโคง้ นี้ทจี่ ดุ (x, y) ใดๆ มีค่าเทา่ กับ x − 1 แล้ว c มีคา่ เท่าใด (53) [Ent’40] ถ้าเสน้ โค้ง y = f (x) มอี ตั ราการเปลี่ยนแปลงของความชนั ที่จดุ (x, y) ใดๆ บนโค้ง เปน็ 2x−1 และเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด (1, 2) ตั้งฉากกับเส้นตรง x+2y−1 = 0 แลว้ ความชนั ของโคง้ นที้ ่จี ดุ ซึ่ง x = 0 เทา่ กับเทา่ ใด (54) [Ent’30] จดุ ตัดระหวา่ งวงกลมทม่ี จี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (0, 1) รัศมี 2 หน่วย กับเส้นโคง้ ที่ผา่ น จดุ (3, 10) และมีความชันทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เปน็ 2x จะอยใู่ นจตภุ าคใด (55) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้ f เป็นฟงั ก์ชนั ซ่ึง f (2) = −1, f′(1) = −3 , และ f′′(x) = 3 ทกุ ๆ ค่า x แลว้ f (0) มีคา่ เท่าใด (56) ในเวลา t วนิ าที รถไฟว่ิงดว้ ยความเรง่ a ฟุตตอ่ วินาที2 โดย a = 12t2+6t+10 หากเม่ือเวลา เริ่มตน้ พบว่าระยะทางเปน็ 10 ฟุต และความเร็วเปน็ ศนู ย์ จงหาระยะทางเม่ือเวลาผ่านไป 5 วินาที Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 319 อนพุ ันธและการอินทิเกรต (57) [Ent’40] ถ้าวตั ถุชน้ิ หนึ่งเคลือ่ นทีด่ ว้ ยความเรง่ ขณะเวลา t ใดๆ เป็น 24t2 เมตร/วนิ าท2ี และ ขณะเวลาเปน็ t = 1 วินาที มคี วามเร็ว 16 เมตร/วินาที และเคลอื่ นท่ีได้ระยะทาง 8 เมตร แล้วเมอ่ื เวลา t = 2 วินาที วตั ถจุ ะเคลอ่ื นท่ีได้ระยะทางเท่าไร (58) [Ent’28] ถา้ กาํ ลงั คนของบรษิ ัทแหง่ หนง่ึ ท่ีมีในปจั จบุ นั ทาํ ให้ไดผ้ ลผลติ 3,000 ช้ินต่อวนั และ เม่อื คนเพิม่ x คน จะมีอัตราการเปลยี่ นแปลงผลผลติ 80 − 6 x ชน้ิ ตอ่ วัน ถามวา่ เมื่อเพิม่ คน 25 คน บริษทั แห่งนจ้ี ะได้ผลผลิตกี่ชิ้นต่อวัน 15.5 อินทกิ รัลจํากดั เขต และพ้ืนที่ใตโ้ คง้ อนิ ทิกรลั จํากัดเขต (Definite Integral) จะมีการระบุช่วงของ x ทเ่ี ครื่องหมายอินทิกรลั ดังสัญลักษณ์ a ∫b ∫โดยมีคา่ เปน็ a b = F (x) b = F (b) − F (a) f (x) dx a f (x) dx • ตวั อยา ง กาํ หนดให f (x) = x2− 1 จะได 0 ∫3 มีคาเทากบั เทาใด f (x) dx ∫วิธีคดิ0 3 = ⎡ x3 − x + ⎤ 3 = (6 + C) − (C) = 6 ... ตอบ ⎢⎣ 3 C⎦⎥ 0 f (x) dx (ขอสังเกตคือ การอนิ ทเิ กรตแบบจาํ กดั เขตไมต อ งเขียน + C กไ็ ด เพราะจะลบกันหมดเสมอ) • ตวั อยาง กําหนดฟงกช นั f (x) = x2 − 4x ใหห าคา a ทีท่ าํ ให ∫a = 18 f (x) dx -a วิธีคิด จาก ∫−a a ⎡ x3 − 2x2 ⎤ a = ⎛ a3 − 2a2 ⎞ − ⎛ a3 − 2a2 ⎞ = 2a3 ⎣⎢ 3 ⎦⎥ x = −a ⎠⎟ ⎝⎜ − ⎠⎟ 3 f (x) dx = ⎝⎜ 3 3 ดังนนั้ 2a3 = 18 → a3 = 27 → a = 3 ... ตอบ 3 ค่าของอินทกิ รัลจํากัดเขตทีค่ ํานวณได้ ก็คอื พื้นทีร่ ะหว่างโคง้ f (x) กับแกน x ต้งั แต่ x = a จนถงึ b โดยหากส่วนใดของโคง้ นน้ั อยู่ใต้แกนก็จะได้ผลเปน็ คา่ ติดลบ หากเราต้องการหาพน้ื ที่ระหวา่ งโคง้ f (x) กบั แกน x ท่แี ท้จรงิ จะต้องตรวจสอบวา่ มชี ว่ งใดของโค้งที่ อยู่ใตแ้ กน x กอ่ น เพื่อแยกชิน้ ส่วนในการคํานวณ ไมใ่ หพ้ ื้นที่บริเวณใดมีคา่ ตดิ ลบ ... เชน่ ในตวั อย่างทแี่ ล้ว f (x) = x2− 4x พบว่า −3 ∫3 = 18 แตเ่ นอ่ื งจากจดุ ตดั แกน x คอื 0 f (x) dx กบั 4, ซ่ึง 0 อยูภ่ ายในชว่ ง (−3, 3) แสดงว่าพนื้ ที่ไม่น่าจะเป็น 18 ตารางหนว่ ย จากกราฟทส่ี มมตขิ ้นึ น้ี จะคาํ นวณได้คา่ ∫3 f(x) 5 ตร.หนว่ ย f (x) dx = 5 1 และ 3 ∫4 = −2 และหากคํานวณพรอ้ มกันจะได้ 4 x f (x) dx O1 3 1 ∫4 = 3 ซึง่ ถา้ ต้องการหาพน้ื ทท่ี ี่แรเงาทแี่ ทจ้ รงิ จะต้องคดิ 2 ตร.หนว่ ย f (x) dx จาก 5 + 2 = 7 ตารางหน่วย (คืออนิ ทิเกรตทีละช้ินสว่ น ซึ่งจะมี บางส่วนทไี่ ด้ค่าตดิ ลบ แต่ให้คิดขนาดพนื้ ท่ีเป็นค่าบวกเสมอ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 320 อนพุ ันธและการอนิ ทเิ กรต • ตวั อยา ง จากตวั อยา งที่แลว f (x) = x2− 1 พื้นทีท่ ี่ปดลอมดว ยเสน โคง y = f (x) และแกน x ในชวง x = 0 ถงึ x = 3 มีขนาดเทาใด วิธีคดิ ถึงแม 0 ∫3 = 6 แตพ ื้นที่ปด ลอ มในชวง x=0 ถึง x=3 อาจไมเ ทากบั 6 f (x) dx เราตอ งตรวจสอบวามีจดุ ตัดแกน x อยภู ายในชว ง (0, 3) หรือไม หาจุดตัดแกน x จาก f (x) = x2− 1 = 0 → x = 1, −1 (มีสองจุด แตเ ราสนใจที่ x = 1 ) จึงทราบวาในชว ง (0, 1) กับชว ง (1, 3) นน้ั กราฟชว งหนึ่งอยเู หนือแกน อีกชว งอยใู ตแกน (ตองการทราบวา ชว งใดเหนือแกน ชว งใดใตแ กน ทําไดโดยลองหาคา f (x) บริเวณนน้ั ) ฉะน้นั อนิ ทิเกรตแยกชน้ิ ... 0 ∫1 = −2/ 3 (คา ทีไ่ ดตดิ ลบ บง บอกวา กราฟอยใู ตแ กน) f (x) dx และ 1 ∫3 (กราฟสว นนี้ตองอยเู หนือแกน) f (x) dx = 20/3 ... พื้นทีท่ ีไ่ ดคือ 2/3 + 20/3 = 22/3 ตารางหนวย ... ตอบ หมายเหตุ 1. ถา้ กราฟไมม่ ีจดุ ตดั แกน x ภายในช่วง (0, 3) จะตอบ 6 ตารางหน่วยไดท้ ันที 2. เน่อื งจาก ∫1 + ∫3 จะตอ้ งมีค่าเทา่ กบั 0 ∫3 พอด.ี . f (x) dx f (x) dx f (x) dx 01 ดังนน้ั ถา้ บังเอญิ เราคํานวณ ∫3 = 6 ไว้แล้ว และคํานวณ ∫1 f (x) dx f (x) dx = −2/3 00 เรากจ็ ะทราบว่า 1 ∫3 = 20/ 3 โดยไม่ตอ้ งแทนค่าอนิ ทเิ กรตอกี คร้ัง f (x) dx ⎧ x−3,x > 2 6 ∫• ตัวอยา ง กาํ หนด f (x) = ⎨ −1 ,x < 2 ใหห า f (x) dx ⎩ 0 วิธีคิด วธิ ีแรก อินทเิ กรตทีละชวงโดยตรง ∫ ∫2 2 2 f (x) dx = (−1) dx = [−x] = (−2) − (0) = −2 00 0 และ ∫ ∫6 6 6 = [x2/2 − 3x] 2 f (x) dx = (x − 3) dx = (0) − (−4) = 4 2 2 ∫ ∫ ∫6 2 6 ดังนน้ั f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = −2 + 4 = 2 ... ตอบ 0 02 วิธีคิด วิธีทีส่ อง คดิ จากพืน้ ทีใ่ นกราฟ (เนือ่ งจากเหน็ วา เปนสมการเสนตรง) กราฟตัดแกน x ที่ x = 3 และมีลกั ษณะดังรูป y 4.5 ตร.หน่วย 3 พื้นทีช่ นิ้ ลาง (สีเ่ หลี่ยมคางหมู) 2.5 ตารางหนวย O 23 6 x พื้นที่ชน้ิ บน (สามเหลี่ยม) 4.5 ตารางหนว ย -1 (คํานวณจากสตู รพืน้ ทีต่ ามปกต)ิ 2.5 ตร.หนว่ ย ดังนั้น 0 ∫6 = −2.5 + 4.5 = 2 ... ตอบ f (x) dx (โจทยไมไ ดถ ามพืน้ ที่ แตถ ามคา อนิ ทิเกรต ดงั นัน้ ชน้ิ สวนทีอ่ ยใู ตแ กนจะตองติดลบ แตถ าโจทยถ ามพื้นที่ คาํ ตอบจะกลายเปน 2.5 + 4.5 = 7 ตารางหนวย) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 321 อนุพนั ธและการอนิ ทเิ กรต แบบฝกึ หัด 15.5 (59) จงหาค่าของ ∫(59.1) 4 ∫(59.2) 2 (3−x) dx (2x−1) dx 0 −2 (59.3) พ้นื ท่ปี ดิ ล้อมด้วยเสน้ ตรง y = 3−x กับแกน x ในช่วง x = 0 ถึง 4 (59.4) พนื้ ทป่ี ิดล้อมดว้ ยเส้นตรง y = 2x−1 กบั แกน x ในชว่ ง x = −2 ถงึ 2 (60) จงหาคา่ ของ ∫(60.1) 2 ∫(60.3) 4 −1 −1 (3x2−2x) dx (6+x−x2) dx ∫(60.2) 3 −1 (x3−4x) dx (60.4) พื้นทปี่ ิดล้อมด้วยโคง้ y = 3x2−2x กับแกน x ในช่วง x = −1 ถงึ 2 (60.5) พืน้ ท่ีปิดลอ้ มดว้ ยโคง้ y = x3−4x กับแกน x ในชว่ ง x = −1 ถึง 3 (60.6) พ้ืนทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยโค้ง y = 6+x−x2 กบั แกน x ในชว่ ง x = −1 ถงึ 4 (61) จงหาพ้นื ทท่ี ่ลี อ้ มด้วยโคง้ f (x) = x2−1 กบั แกน x ในชว่ งทีก่ ําหนดใหต้ ่อไปนี้ (61.1) ในชว่ ง x = 1 ถึง 2 (61.2) ในช่วง x = −1 ถงึ 1 (61.3) ในชว่ ง x = −2 ถงึ 0 [Ent’40] คา่ ของ 2⎛ x4 + 1⎞ 1 เท่ากบั เทา่ ใด ⎝⎜ x2 ⎟⎠ ∫ ∫(62) 1 dx + (4 − x)2 dx 0 (63) [Ent’ต.ค.41] พน้ื ที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y = x2−3x+2 จาก x = 0 ถึง x = 2 เฉพาะส่วนทอี่ ยู่ เหนือแกน x เท่ากบั เทา่ ใด (64) [Ent’ต.ค.42] ให้ f (x) = x2−c โดย c เป็นค่าคงตัวซ่ึง c > 4 ถ้าพน้ื ท่ที ่ีปิดล้อมดว้ ย เสน้ โค้ง y = f (x) จาก x = −2 ถึง x = 1 เทา่ กับ 24 ตารางหน่วย แล้ว c มีค่าเท่าใด (65) กําหนดให้ f (x) มีกราฟเป็นครึ่งวงกลมดงั ภาพ y (2,7) (8,7) จงหาคา่ 5 ∫8 f (x) dx (66) [Ent’39] กาํ หนดฟังกช์ นั y = f (x) มีกราฟเป็นเสน้ ตรง x ตดั แกน x ท่ีจุด (−1, 0) และผ่านจดุ (3, 6) แล้วค่าของ −1 ∫3 เทา่ กบั เท่าใด f (x) dx (67) f (x) เป็นกราฟเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (3, 5) และ (−2, 2) จงหาค่า −2 ∫3 f (x) dx (68) [Ent’ม.ี ค.42] ถา้ θ ∈ R และ sin θ ∫1 = 0 แล้ว คา่ cos 2θ เปน็ เทา่ ใด (4x−3) dx (69) [Ent’40] ถา้ ∫ sin θ = −2 แลว้ 1 + sin θ + cos θ เท่ากับเทา่ ใด x2 dx 3 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 322 อนุพันธแ ละการอนิ ทิเกรต (70) [Ent’39] ถา้ ∫ (f D g)(x) dx = x2+5x+c โดยที่ c เปน็ ค่าคงตวั และ f (x) = 4x−3 แลว้ คา่ ของ 0 ∫1 เป็นเทา่ ใด g (x) dx (71) [Ent’41] ให้ b, c เป็นจาํ นวนจริง ถ้าเส้นโค้ง y = x2+bx+c มจี ดุ (−1, −4) เป็นจดุ ต่ําสุด สัมพทั ธแ์ ลว้ จงหาพน้ื ทท่ี ถ่ี กู ปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้งนแ้ี ละแกน x จาก x = −1 ถึง x = 1 เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1) 7 (2.1) 4x+3 (14.4) − 16 (15) ... (24.6) ตาํ่ สดุ สมั พัทธแ์ ละ สัมบูรณ์ 0 สูงสดุ สมั พัทธไ์ ม่มี (2.2) 19 (3.1) 2x1+h 5 5 1−4x (3.2) 23 (3.3) 2x1 (3.4) 20 (4.1) –1/20 (16.1) 12x+1 สูงสดุ สัมบูรณ์ 4 ฟงั ก์ชันลด (−1, 1) ฟังกช์ นั เพิ่ม (1, 2) (4.2) –1/18 (4.3) − 1 (16.2) 6x2−5− 3 + 8 x2 x3 (25.1) สงู สดุ 3 เม่อื x = 0 16.04 (16.3) 6 /(1−3x)2 (25.2) ตาํ่ สดุ 7 เม่ือ x = − 3 (4.4) –1/16 (5) 76π ลบ.หนว่ ย ตอ่ หนว่ ย (16.4) 9(3x−5)2 (17.1) 93 42 3 (17.2) 0 (17.3) –186.67 (25.3) ตา่ํ สดุ 1 เมื่อ x = 1 (17.4) หาคา่ ไม่ได้ และสูงสดุ 5 เมอ่ื x = −1 (6.1) 10 ตร.ซม. ตอ่ ซม. (18.1) 12x2+18x+10 , 24x+18 , (25.4) ตํ่าสุด 2 เมอื่ x = 1, −1 (6.2) 20π ตร.นว้ิ ตอ่ นว้ิ และสงู สดุ 3 เมอ่ื x = 0 (7.1) 2 πrH (7.2) 1 πr2 24 (18.2) 20x3+36x2−24x , (25.5) ตํ่าสดุ –203/27 33 60x2+72x−24 , 120x+72 เมอ่ื x = 4 / 3 (8.1) –2.3 ลบ.ม. ตอ่ นาที (19) 3, –5, 2 (20) 17 3 และสงู สดุ 11 เมอื่ x = −2 (8.2) –2.2 ลบ.ม. ต่อนาที (26) ตาํ่ สดุ –324 เม่อื x = 3 4 (9.1) 4x, 8 (9.2) 2x–2, 2 (21) (−1)n ⋅ n! และสงู สดุ 324 เมอ่ื x = −3 (9.3) 0, 0 (9.4) 0, 0 xn+1 โดยมจี ุดเปลย่ี นเว้าท่ี (0, 0) (10.1) –7 (10.2) y = −7x+8 (22) เพม่ิ (−∞, a) ∪ (b, c) ∪ (d, e) (27.1) -2 เมตร/วินาที และลด (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞) และ 10 เมตร/วนิ าที (11) y = 3x+2 (12.1) 0 (23.1) สูงสดุ 1/4 ต่าํ สดุ หาคา่ ไมไ่ ด้ (27.2) 2 เมตร (28) 4, 4 (12.2) 1 (12.3) –3 (23.2) สูงสุดหาค่าไมไ่ ด้ ตาํ่ สดุ -5/4 3 (12.4) –6x (12.5) 2x+1 (23.3) สูงสดุ และตํา่ สดุ หาค่าไม่ได้ (29) 36 ตน้ (30) 3 กม. (12.6) 6x−5 (12.7) 9x2+6x (24.1) ตาํ่ สดุ สัมพทั ธ์และสมั บรู ณ์ 1 (31) 2,700 ตร.หน่วย (12.8) 5x4+3x−4 (12.9) −1 / x2 สูงสดุ สัมพทั ธ์ไมม่ ี สูงสดุ สัมบูรณห์ า (32.1) a , b และ ab (12.10) −4 / x3 (12.11) 3 / x ค่าไม่ได้ ฟงั ก์ชนั ลด (−∞, 2) 22 4 (12.12) −1 / 2x2 x (13.1) 90x4+36x2+60x ฟงั ก์ชนั เพม่ิ (2, ∞) (32.2) d , d และ (13.2) 12x5+10x4+8x3+2x+1 (24.2) ตํา่ สดุ สมั พทั ธ์ –2 ตา่ํ สดุ 22 (13.3) −21x2+58x+56 สัมบรู ณห์ าค่าไมไ่ ด้ สงู สดุ สมั พทั ธ์ สูงสดุ สัมบูรณห์ าคา่ ไมไ่ ด้ 2 d2 และ d2 (32.3) 2 VF (3x2+8)2 ฟังก์ชนั ลด (−1, 1) ฟงั ก์ชันเพ่ิม 3 24 (13.4) 3x2−2x−25 (−∞, −1) ∪ (1, ∞) (32.4) a/6 (32.5) 4r/3 (3x−1)2 (24.3) ตาํ่ สดุ สมั พทั ธ์ –14 ต่ําสดุ สมั บูรณห์ าค่าไมไ่ ด้ สงู สดุ สมั พัทธ์ (32.6) H/3 (33) –7/2 (14.1) 2x+6 (14.2) 6x (x2+1)2 13 สูงสดุ สมั บรู ณ์หาคา่ ไมไ่ ด้ (14.3) 2(x3−x2+2x+1)(3x2−2x+2) ฟงั ก์ชนั ลด (−2, 1) ฟังกช์ ันเพิม่ (34) 10x−27y+31 = 0 (35) –2 (36) ก. (37) 1 (38) 2 (39) 11 (40) 55 (−∞, −2) ∪ (1, ∞) (41) –2 (42) (0, 1 ] 16 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 323 อนพุ ันธและการอนิ ทิเกรต (43) (−2, 0) ∪ (2, ∞) (44) 2 (45) 3 (59.1) 4 (59.2) –4 (59.3) 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หนว่ ย (46) ข. (47.1) x2 / 2 + c (47.2) x2+c (59.4) 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หนว่ ย (60.1) 6 (60.2) 4 (60.3) 95/6 (47.3) 7x+c (47.4) x3+c (47.5) x4 / 4 + c (60.4) 2 + 4 + 4 4 = 6 8 ตร.หนว่ ย (47.6) 2 x5/2 / 5 + c (47.7) −1 / 4x4 + c 27 27 27 (48.1) x5+x3−2x+c (48.2) x2+ 1/ x + c (60.5) 1 3 + 4 + 6 1 = 12 ตร.หนว่ ย 44 (48.3) x4 − x3+ c (48.4) x4 + 3 + 4x +c 4 2x2 (60.6) 112 + 17 = 21.5 ตร.หนว่ ย 4 66 (48.5) − 1 + 1 +c (48.6) x4− 4x3 + x2 −x+c (61) 4/3, 4/3, 2 ตร.หน่วย (62) 14 x x2 3 2 (63) 5 (64) 9 (65) 21 − 9π ≈ 7.07 (49) 2 (50) 2 (51) y = x3 +x2−3x+1 64 3 (66) พท.+ ได้ 12 (67) พท., ได้ 17.5 (68) –1 หรอื 1/2 (69) 0 (70) 2.25 (52) 7/3 (53) 2 (71) 16/3 (54) จดุ (±1, 2) → จตภุ าคที่ 1 และ 2 (55) 5 (56) 885 ฟตุ (57) 46 เมตร (58) 4,500 เฉลยแบบฝึกหดั (วิธคี ดิ ) (1) Δy = f(5) − f(3) = 21 − 7 = 7 (4.2) 1 −1 1 Δx 5 − 3 2 4.5 4 =− (2.1) lim Δy = lim f(x + h) − f(x) 4.5 − 4 18 Δx → 0 Δx h → 0 h 1 −1 1 = lim ⎣⎡2(x + h)2 + 3(x + h)− 4⎦⎤ − ⎡⎣2x2 + 3x − 4⎤⎦ (4.3) 4.01 4 = − 16.04 4.01 − 4 h→0 h (4.4) ดูแนวโนม้ จากข้อ 4.1 ถงึ 4.3 จะได้ − 1 = lim 4xh + 2h2 + 3h = lim(4x + 2h + 3) 16 h h→0 h→0 ⎡ 1 1⎤ + = 4x + 3 หรือคาํ นวณจาก ⎢ 4 h − 4 ⎥ กไ็ ด้ ⎢⎣ h ⎦⎥ (2.2) lim Δy = lim f(2 + h) − f(2) lim h→0 Δx → 0 Δx h → 0 h (5) V = 4 πr3 → Δv = V(3) − V(2) 3 Δr 3 − 2 = lim ⎣⎡3(2 + h)2 + 7(2 + h)+ 1⎦⎤ − ⎣⎡3(2)2 + 7(2)+ 1⎦⎤ h→0 h = 4 π33 − 4 π23 = 76 π ลบ.หน่วย/หน่วย = lim 12h + 3h2 + 7h = lim(19 + 3h) = 19 33 3 h→0 h h→0 (6.1) A = x2 → lim ΔA = lim (5 + h)2 − 52 [หรอื คิดเปน็ x กอ่ น แลว้ แทนคา่ x ด้วย 2 กไ็ ด]้ Δx → 0 Δx h → 0 h (3.1) Δy = f(x1 + h) − f(x1) = lim 10h + h2 = 10 ตร.ซม./ซม. Δx h h→0 h = (x1 + h)2 − (x1)2 = 2x1 + h (6.2) A = πr2 h → lim ΔA = lim π(10 + h)2 − π(10)2 (3.2) แทน x1 = 10, h = 3 → Δy = 23 Δr → 0 Δr h→0 h Δx = lim π(20h + h2) = 20π ตร.นิ้ว/นว้ิ (3.3) lim Δy = hli→m0(2x1 + h) = 2x1 h→0 h Δx → 0 Δx (7.1) V = 1 πr2H (3.4) แทน x1 = 10 → lim Δy = 20 3 Δx → 0 Δx 1 π(r + h)2H − 1 πr2H (4.1) 1− 1 1 → lim ΔV = lim 54 33 5−4 =− 20 Δr → 0 Δr h→0 h Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 324 อนุพันธแ ละการอินทเิ กรต = lim 1 π (2rh + h2)H = 2 πrH (10.2) y − y1 = m(x − x1) 3 → y + 6 = −7(x − 2) → y = −7x + 8 h→0 h 3 (7.2) ΔV = 1 πr2(H + h) − 1 πr2H (11) dy = lim (x + h)3 − x3 dx h → 0 h lim lim 33 ΔH → 0 ΔH h → 0 h = lim 3x2h + 3xh2 + h3 = 3x2 = 1 πr2 h→0 h 3 ความชนั หาจาก dy = 3 dx x = −1 (8.1) ΔQ = Q(t + h) − Q(t) Δt h สมการเสน้ สัมผสั คอื ⎜⎛⎝ 12 − t + h ⎞2 − ⎜⎝⎛ 12 − t ⎞2 y + 1 = 3(x + 1) → y = 3x + 2 10 ⎠⎟ 10 ⎠⎟ = (12.1) f′(x) = 0 h (12.2) f′(x) = 1x0 = 1 (12.3) f′(x) = −3x0 = −3 = − 12 + t + h (12.4) f′(x) = −6x 5 50 100 (12.5) f′(x) = 2x + 1 (12.6) f′(x) = 6x − 5 ∴ ที่ t = 0 ถึง 10 นาที จะได้ (12.7) f′(x) = 9x2 − 8x + 14x = 9x2 + 6x (12.8) f′(x) = 5x4 + 3x−4 → ΔQ = − 12 + 0 + 10 = −2.3 ลบ.ม./นาที Δt 5 50 100 (8.2) lim ΔQ = lim ⎛ − 12 + t + h⎞ Δt → 0 Δt ⎝⎜ 5 50 100 ⎠⎟ h→0 = − 12 + t (12.9) f(x) = x−1 → f′(x) = −x−2 = − 1 5 50 x2 ∴ ท่ี t = 10 นาที จะได้ → lim ΔQ = − 12 + 10 = −2.2 ลบ.ม./นาที (12.10) f(x) = 2x−2 → f′(x) = −4x−3 = − 4 Δt → 0 Δt 5 50 x3 (9.1) dy = lim 2(x + h)2 − 2x2 1 −1 3 dx h → 0 h (12.11) f(x) = 6x2 → f′(x) = 3x 2 = x = lim 4xh + 2h2 = 4x → dy =8 (12.12) 1 −3 1 −5 h→0 h dx x = 2 f(x) = → f′(x) = − x2 x2 32 (9.2) [ ] [ ]dy = lim (x + h)2 − 2(x + h) + 4 − x2 − 2x + 4 dx h → 0 h = − 1 2x2 x = lim 2xh + h2 − 2h = 2x − 2 h→0 h (13.1) f′(x) = (6x2 + 4)(9x2) + (3x3 + 5)(12x) และ dy = 2 = 90x4 + 36x2 + 60x dx x = 2 (13.2) f′(x) = (2x4 + 1)(2x + 1) + (x2 + x + 1)(8x3) (9.3) dy = lim 3 − 3 = lim 0 = 0 = 12x5 + 10x4 + 8x3 + 2x + 1 dx h → 0 h h→0 (13.3) f′(x) (3x2 + 8)(8x + 7) − (4x2 + 7x + 1)(6x) (3x2 + 8)2 และเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดังน้นั dy = 0 = dx x = 2 = −21x2 + 58x + 56 (9.4) dy = lim 2 − 3t − 2 − 3t = lim 0 = 0 (3x2 + 8)2 dx h → 0 h h→0 (13.4) (3x − 1)(2x + 4) − (x2 + 4x + 7)(3) (3x − 1)2 และเพราะไมม่ ี x ใน f(x) เลยดงั น้นั dy = 0 f′(x) = dx x = 2 3x2 − 2x − 25 (10.1) dy = lim ⎣⎡(x + h)− 2(x + h)2 ⎦⎤ − ⎣⎡x − 2x2 ⎤⎦ = (3x − 1)2 dx h → 0 h (14.1) f′(x) = 2(x + 3)(1) = 2x + 6 = lim h + 4xh − 2h2 = 1 − 4x (14.2) f′(x) = 3(x2 + 1)2(2x) = 6x(x2 + 1)2 h→0 h (14.3) f′(x) = 2(x3 − x2 + 2x + 1)(3x2 − 2x + 2) เป็นความชนั ณ x ใดๆ ดังนน้ั ความชนั ท่ีจดุ (2,-6) เทา่ กับ dy = −7 (14.4) f′(x) = 4 (1 − −1 = −16 dx x = 2 5 5 5 1 − 4x 4x) 5(−4) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 325 อนพุ ันธแ ละการอินทิเกรต (15) ..(2.1) dy = 4x + 3 (17.4) f′(x) = 1 (x2 − 1)−1/2(2x) dx 2 (2.2) dy = (6x + 7) x = 2 = 19 → f′(1) = 1 (0)−1/2(2) = 1 → หาคา่ ไม่ได้ dx 20 x=2 (18.1) f′(x) = 4x3 + 9x2 + 10x − 7 (3.3) dy = (2x) x = x1 = 2x1 dx → f′′(x) = 12x2 + 18x + 10 x = x1 (3.4) dy = (2x) x = 10 = 20 → f′′′(x) = 24x + 18 → f(4)(x) = 24 dx x = 10 (18.2) f′(x) = 5x4 + 12x3 − 12x2 + 1 (4.4) dy = ⎛⎜⎝ − 1⎞ =− 1 → f′′(x) = 20x3 + 36x2 − 24x (6.1) dx x2 ⎠⎟ 16 → f′′′(x) = 60x2 + 72x − 24 (6.2) x=4 x=4 → f(4)(x) = 120x + 72 dA = d(x2) = (2x) x =5 = 10 (19) f(−3) = (−3)2 + (−3) − 3 = 3 dx dx x =5 x =5 f′(−3) = (2x + 1) x = −3 = 2(−3) + 1 = −5 dA = d(πr2) = (2πr)r =10 = 20π dr r =10 dr r =10 (7.1) dV = d ⎛1 πr2H ⎞ = 2 πrH f′′(−3) = (2) x = −3 = 2 dr dr ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 (20) (f′′ + g′′)(1) = f′′(1) + g′′(1) (7.2) dV = d ⎝⎛⎜ 1 πr2H⎞⎟⎠ = 1 πr2 จาก f(x) = (2 − x)1/2 dH dH 3 3 → f′(x) = 1 (2 − x)−1/2(−1) = − 1 (2 − x)−1/2 (8.2) dQ = ⎣⎢⎡2 ⎜⎛⎝ 12 − t ⎞⎠⎟ ⎛ − 1 ⎞⎤ 22 dt 10 ⎜⎝ 10 ⎟⎠⎥⎦ t = 10 t = 10 1 −3 f′′(1) = − 1 ∴ f′′(x) = 4 1) ⎝⎛⎜ − 1 ⎞⎟⎠ 4 (2 − x) 2(−1) → 10 = 2(12 − = −2.2 จาก g(x) = (1 − 3x)2 (16.1) f′(x) = (2x + 3)(3) + (3x − 4)(2) = 12x + 1 → g′(x) = 2(1 − 3x)(−3) = −6 + 18x (16.2) f(x) = 2x3 − 5x + 3x−1 − 4x−2 ดังนน้ั g′′(x) = 18 → g′′(1) = 18 → f′(x) = 6x2 − 5 − 3 + 8 ตอบ − 1 + 18 = 17 3 x2 x3 44 (16.3) f′(x) = (1 − 3x)(3)−(1+ 3x)(−3) = 6 (21) f(x) = 1 → f′(x) = − 1 (1 − 3x)2 − 3x)2 x x2 (1 (16.4) f′(x) = 3(3x − 5)2(3) = 9(3x − 5)2 → f′′(x) = 2 → f′′′(x) = − 6 (17) คําถามท้งั สขี่ อ้ กค็ อื อยา่ งเดยี วกัน x3 x4 • dy จะไดว้ า่→ 24 f(n)(x) (−1)n ⋅ n ! dx x = 1 • f′(1) f(4)(x) = x5 ... = xn + 1 • ความชนั โคง้ ณ x = 1 (22) เป็นฟงั ก์ชนั เพ่มิ ในชว่ ง (−∞, a) ∪ (b, c) ∪ (d, e) • อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ f(x) ณ x = 1 และลดในช่วง (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞) (17.1) f′(x) = (2x + 1)2(3)(3x − 2)2(3) (23.1) f′(x) = −2x − 1 = 0 → x = 1/2 + (3x − 2)3(2)(2x + 1)(2) แสดงว่า มีการวกกลบั ที่ x = 1/2 หน่ึงครงั้ ∴ f′(1) = (9)(3)(1)(3) + (1)(2)(3)(2) = 93 แทนค่า f(1/2) ได้ 1/4 และลองแทน x คา่ อนื่ (17.2) f(x) = 2(x2 − 2x + 3)−1/ 3 เช่น x = 0 เพอื่ ดวู ่าเปน็ กราฟ (1/2,1/4) → f′(x) = − 2 (x2 − 2x + 3)−4/ 3(2x − 2) หงายหรือคว่าํ จะวาดได้ดงั ภาพ (ควาํ่ ) 3 ดังนน้ั คา่ สงู สดุ ของฟงั ก์ชนั =1/4 ∴ f′(1) = ⎛ − 2 ⎞ (2)−4 / 3(0) = 0 และค่าตาํ่ สดุ หาค่าไม่ได้ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ [หรอื จดั รปู สมการแบบภาคตดั กรวยกไ็ ด้(พาราโบลา)] (17.3) f′(x) = ( x2 + 8)(4)(x2 − 3)3(2x) (23.2) f′(x) = 2x − 1 = 0 → x = 1/2 + (x2 − 3)4(1)(x2 + 8)−1/2(2x) → f(1/2) = −5/4 วาดกราฟ 2 [แทน x = 0 ได้ y = −1 ∴ f′(1) = (3)(4)(−8)(2) + (16)(1/2)(1/3)(2) แสดงวา่ เป็นพาราโบลาหงาย] (1/2,-5/4) = −192 + 16/3 = −186.67 ตอบ คา่ สูงสดุ หาคา่ ไมไ่ ด้, ค่าตา่ํ สดุ -5/4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 326 อนพุ นั ธแ ละการอนิ ทิเกรต (23.3) f′(x) = 3 → เปน็ กราฟเส้นตรง ความชัน 3 (24.5) f′(x) = 3x2 = 0 → x = 0, 0 ไมม่ ีการวกกลับ m=3 (เปลีย่ นความเวา้ ) (0,0) ∴ คา่ สงู สุดและตา่ํ สดุ 2 หาค่าไม่ได้ f′(x) + - + เพม่ิ 0 0 เพิม่ (24.1) f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2 ตอบ สงู สุดและต่าํ สุดสัมพทั ธ์ ไมม่ ี, สมั บรู ณ์ หาคา่ ไมไ่ ด้ f(2) = 1 และทดลองคดิ f(0) = 5 และเปน็ ฟงั กช์ ันเพมิ่ ใน R (x ทกุ คา่ ) วาดกราฟได้ดงั รปู (24.6) f′(x) = 2x − 2 = 0 → x = 1 ตอบ สงู สดุ สัมพทั ธไ์ มม่ ี (2,1) ซึง่ f(1) = 0 , f(−1) = 4 , สูงสดุ (สัมบูรณ)์ หาคา่ ไม่ได้ และ f(2) = 1 (-1,4) (2,1) ตอบ สูงสุดสมั พทั ธ์ไมม่ ี (1,0) ต่ําสุดสัมพทั ธแ์ ละสัมบรู ณ์ = 1 ฟังกช์ นั เพ่ิมในช่วง (2, ∞) ลดในชว่ ง (−∞, 2) สูงสดุ สมั บูรณ์ 4 (24.2) f′(x) = 3x2 − 3 = 0 → x = −1, 1 ต่าํ สดุ สัมพทั ธแ์ ละสัมบูรณ์ 0 f(−1) = 2 , f(1) = −2 (-1,2) เป็นฟังกช์ นั เพ่มิ ในชว่ ง (1, 2) ลดในชว่ ง (−1, 1) (25.1) f′(x) = −2x = 0 → x = 0 ตอบ สงู สดุ สมั บรู ณ์และ f(0) = 3 → และเนื่องจาก f(1) = 2 ต่ําสุดสมั บูรณ์ หาคา่ ไม่ได้ แสดงวา่ เปน็ พาราโบลาควํ่า ดงั นน้ั สงู สดุ สัมพทั ธ์ = 3 , ตํา่ สดุ สัมพทั ธ์ ไมม่ ี สูงสดุ สัมพทั ธ์ = 2 (1,-2) (25.2) f′(x) = 2x + 3 = 0 → x = −3/2 ต่ําสดุ สมั พทั ธ์ = −2 f(−3/2) = 7/4 → และเนอ่ื งจาก f(0) = 4 ฟงั กช์ นั เพม่ิ ในชว่ ง (−∞, −1) ∪ (1, ∞) แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย สูงสดุ สมั พทั ธ์ ไมม่ ี , ตาํ่ สดุ สัมพทั ธ์ 7/4 ลดในชว่ ง (−1, 1) (25.3) f′(x) = 3x2 − 3 = 0 → x = 1, −1 (24.3) f′(x) = 6x2 + 6x − 12 = 0 → x = 1, −2 ซง่ึ f(1) = 1, f(−1) = 5 f(1) = −14 และ f(−2) = 13 ดังนน้ั สงู สดุ สมั พทั ธ์ 5 , ต่ําสดุ สมั พัทธ์ 1 (25.4) f′(x) = 4x3 − 4x = 0 → x = −1, 0, 1 ตอบ สงู สดุ สัมบูรณ์และ (-2,13) → f(−1) = f(1) = 2, f(0) = 3 ต่าํ สุดสมั บรู ณ์ หาคา่ ไม่ได้ ∴ สงู สดุ สมั พทั ธ์ 3 , ตาํ่ สุดสัมพทั ธ์ 2 สงู สดุ สัมพทั ธ์ = 13 (1,-14) (25.5) f′(x) = 3x2 + 2x − 8 = 0 ตํา่ สดุ สัมพทั ธ์ = −14 → (3x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4/ 3, −2 ฟงั กช์ นั เพม่ิ ในช่วง (−∞, −2) ∪ (1, ∞) ซ่งึ f(4/3) = −203/27, f(−2) = 11 ลดในชว่ ง (−2, 1) ดังนนั้ สงู สุดสัมพทั ธ์ 11 , ต่ําสดุ สัมพทั ธ์ −203/27 (24.4) f′(x) = 4x3 − 9x2 + 6x − 1 = 0 (4x − 1)(x − 1)2 = 0 ดงั น้ัน x = 1/4, 1, 1 ซึ่ง f( 1) = − 27 และ f(1) = 0 4 256 มีการวกกลับที่ x = 1 สองครัง้ ดงั นนั้ ที่ x = 1 เปน็ เพยี งจดุ เปลีย่ นความเวา้ ไมใ่ ชจ่ ดุ สงู สดุ ตาํ่ สุด (ดจู าก (26) dy = 10x4 − 90x2 = 0 dx เครอ่ื งหมายบนเส้นจํานวน) + -+ → 10x2(x2 − 9) = 0 → x = 0, 0, 3, −3 f′(x) - ลด 1/4 เพิ่ม 1 1 เพิ่ม ซงึ่ f(3) = −324, f(0) = 0, f(−3) = 324 ตอบ สูงสดุ สมั พทั ธไ์ ม่มี (ที่ x=0 เปน็ จุดเปลยี่ นความเวา้ ดังรูป) สูงสดุ สัมบรู ณ์ หาคา่ ไม่ได้ ตํ่าสุดสัมพทั ธแ์ ละสมั บูรณ์ (1,0) (-3,324) = −27 / 256 (1/4,-27/256) O (3,-324) ฟังกช์ นั เพมิ่ ในช่วง (1 , ∞) 4 ตอบ คา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์ 324, ค่าตา่ํ สดุ สมั พทั ธ์ -324 ลดในชว่ ง (−∞, 1) 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 327 อนุพนั ธแ ละการอนิ ทิเกรต (27) ความเรว็ คือ อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ (32.1) พจิ ารณา Δ คลา้ ย ระยะทาง เทยี บกบั เวลา (ทาํ เชน่ เดียวกบั ขอ้ 31) x a (27.1) v = dS = 6t − 2 m/s b−x = b →h=a− ax dt ha b h v(0) = −2 m/s และ v(2) = 10 m/s b (27.2) หา Smax → dS =0→ 6t − 2 = 0 พื้นที่ A = x ⎝⎜⎛ a − a x ⎟⎞⎠ = ax − a x2 dt b b ได้ t = 1 s. ดังนน้ั Smax = S ( 1) = 2 m. dA = a − 2a x = 0 → x = b และจะได้ h = a 3 3 3 dx b 2 2 (28) ให้จาํ นวนทต่ี อ้ งการเปน็ x กับ 8-x ∴ ตอบ กวา้ งยาว a , b พน้ื ที่ = ab 22 4 จะไดผ้ ลบวก y = x3 + (8 − x)3 → xd (32.2) h = d2 − x2 ymin หาจาก dy = 3x2 + 3(8 − x)2(−1) = 0 dx → A = x ⋅ d2 − x2 → 3(−64 + 16x) = 0 → x = 4 ดังนนั้ x = 4 เป็นค่าทท่ี าํ ให้เกดิ คา่ y ตา่ํ สดุ ตาม ต้องการ Amax คดิ จาก h ต้องการ ตอบ 4 กับ 4 (29) สมมติปลกู เพิ่ม ไร่ละ x ตน้ จะได้ ( )dA ⎛ 1 ⎞ ผล y = (22 + x)(500 − 10x) → ⎜⎜⎝ d2 − ⎟⎠⎟ dx ตอ้ งการ ymax จงึ คดิ จาก = (x) x2 (−2x) + d2 − x2 (1) = 0 dy = (22 + x)(−10) + (500 − 10x)(1) = 0 2 dx → − x2 + d2 − x2 = 0 → x = 14 ตน้ เปน็ คา่ ทท่ี ําใหเ้ กดิ ymax ตาม ตอ้ งการ ตอบ ปลูกไรล่ ะ 22+14 = 36 ต้น → x = d และจะได้ h = d (30) ค่ากอ่ สร้าง y = 2(32 + x2) + 3(42 + (5 − x)2) 22 ตอ้ งการ ymin คดิ จาก ตอบ กว้างยาว d , d พนื้ ท่ี d2 22 4 dy = 4x + 6(5 − x)(−1) = 0 → x = 3 dx (32.3) สมมตสิ มการ y2 = 4cx ดังนนั้ คา่ x ควรเปน็ 3 km จงึ เสยี เงนิ นอ้ ยสดุ จะไดว้ า่ พนื้ ท่ี A = (c − x)(2y) (x,y) (31) สมมตดิ ้านนอนเป็น x หน่วยดงั รูป → หา ความสงู h ในรูปของ x โดยพจิ ารณา Δ คลา้ ย = (c − y2 )(2y) x y 4c y = 2cy − y3 → c-x 2c ∴ dA = 2c − 3y2 = 0 → y = 2c dy 2c 3 120 − x = 120 x และจะได้ x = c → ∴ BF = 2 VF h 90 33 → h = 90 − 3 x 90 150 (32.4) ปรมิ าตร V = (a − 2x)2(x) h 4 = a2x − 4ax2 + 4x3 ∴ พนื้ ทสี่ เ่ี หลีย่ ม A = xh 120 ตอ้ งการ คดิ จาก dV = a2 − 8ax + 12x2 = 0 = x ⋅ ⎛⎜⎝ 90 − 3 x ⎟⎠⎞ = 90x − 3 x2 Vmax dx 4 4 → (a − 6x)(a − 2x) = 0 → x = a หรอื a ตอ้ งการ Amax คิดจาก 26 → dA = 90 − 3 x = 0 → x = 60 หนว่ ย แตถ่ า้ x=a จะได้ V = 0 (Vmin) dx 2 2 ∴ h = 90 − 3 (60) = 45 หนว่ ย ดังนน้ั คาํ ตอบคอื x = a 4 6 และ พืน้ ท่ี Amax = 60 ⋅ 45 = 2,700 ตร.หน่วย (32.5) ปรมิ าตรกรวย }r ∗ หมายเหตุ ขอ้ (27.2) ถงึ (31) เนอ่ื งจากไดค้ า่ V = 1 πx2(r − y) วิกฤต (x) เพยี งคา่ เดียวเท่าน้นั จงึ สรุปไดเ้ ลยวา่ เปน็ }y 3 คา่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการ (โดยไม่ตอ้ งตรวจสอบวา่ เปน็ x (x,y) จุดสูงสดุ หรอื ตา่ํ สดุ ) [ใช้ r-y เพราะคา่ y ติดลบ] แต่ x2 + y2 = r2 ดังนนั้ V = 1 π(r2 − y2)(r − y) 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 328 อนุพันธและการอนิ ทเิ กรต ต้องการ Vmax คดิ จาก (36) f′(x) = 3x2 + 2bx + c → f′(−2) = 0 dV = 1 π ⎣⎡(r2 − y2)(−1) + (r − y)(−2y)⎦⎤ = 0 ดงั นน้ั 12 − 4b + c = 0 .....(1) dy 3 f′′(x) = 6x + 2b → f′′(−1) = 6 ดงั น้ัน → 3y2 − 2ry − r2 = 0 → (3y + r)(y − r) = 0 −6 + 2b = 6 .....(2) → y = − r ,r ได้ b = 6, c = 12 3 ∴ f(x) = x3 + 6x2 + 12x แต่ y = r ไม่ได้ เพราะส่วนสงู จะกลายเป็น ถ้า f′(x) = 0 → 3x2 + 12x + 12 = 0 → r − y = r − r = 0 (Vmin) x = −2, −2f′(xแ)สดงวา่ +มีการเ-ปลย่ี น+เว้าท่ี x = −2 ∴ ตอบ y=−r คือ สว่ นสูง r − ⎛⎝⎜ − r ⎟⎠⎞ =4r 3 3 3 เพม่ิ -2 -2 เพ่ิม (32.6) พิจารณา Δ คลา้ ย ⎫ ดงั นน้ั ตอบ ก. f เป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ (ไม่มจี ดุ วกกลบั ) H−h = H → r =R−Rh r ⎪ H (37) หา a, b, c, d เชน่ เดิม โดยสมการ rR H ⎬ ดังนน้ั ปริมาตร V = πr2h h ⎭⎪ f(1) = 0, f(0) = 0, f′(0) = 2, และ f′′(0) + f′′′(0) = 1  จะได้ d = 0, c = 2, a = 5/4, b = −13/4 R ดังนน้ั f(2) = 1 = π ⎜⎝⎛R − R h ⎟⎠⎞2h = πR2 ⎛ − 2h2 + h3 ⎞ (38) หา a, b, c จากสมการ H ⎝⎜ h H H2 ⎠⎟ h(0) = 1, h(−2) = 5, h′(−2) = 0 ตอ้ งการ Vmax คดิ จาก dV = πR2 ⎛ 1 − 4 h + 3 h2 ⎞ = 0 ได้ c = 1, a = −1, b = −4 dh ⎝⎜ H H2 ⎟⎠ H2 − 4Hh + 3h2 = 0 → (H − 3h)(H − h) = 0 → h(x) = −x2 − 4x + 1 → h = H/3, H = (fog)(x) = 3(g(x)) − 10 แต่ h = H ไมไ่ ด้ เพราะ r = 0 → V = 0 (Vmin) ∴ g(x) = − x2 − 4x + 11 จะได้ g(1) = 2 ตอบ h = H / 3 3 33 (33) [f(x) + g(x)]′ = f′(x) + g′(x) (39) f′(2) = (g(2))(3)(22 − 1)2(2)(2) − (22 − 1)3 ⋅ g′(2) [g(2)]2 → f′(x) = (2x − 1)(3)−(3x + 1)(2) → f′(1) = −5 3 = (3 ⋅ 3 ⋅ 9 ⋅ 4) − (27)g′(2) ∴ g′(2) = 11 (2x − 1)2 9 g′(x) = 1 (3x2 + 1)−1/2(6x) (40) g(1) = 5, g′(1) = 0 2 → f′(1) = [3(1)2 + 5(1)] [g′(1)] + [g(1)] [6(1) + 5] 1 ⎛⎝⎜ 1 ⎞⎠⎟ 3 ตอบ −5 + 3 = − 7 → g′(1) = 2 2 (6) = 2 22 = 8 ⋅ 0 + 5 ⋅ 11 = 55 (34) ความชัน dy 1 (x2 −2 (41) f(2) = 3, f′(2) = 4 → หา g(2) โดย = + 2) 3(2x) f(2) = 3 = (2 − 1)2 ⋅ g(2) → g(2) = 3 dx x = 5 3 x=5 = 1 −2 = 10 → สรา้ งสมการ → f′(2) = (2 − 1)2 ⋅ g′(2) + g(2) ⋅ 2(2 − 1)(1) → 4 = g′(2) + 3 ⋅ 2 → ∴ g′(2) = −2 (27) 3(10) 3 27 ผา่ นจุด (5, 3) → y − 3 = 10 (x − 5) (42) f′(x) = 1 + 1 → 1 + 1 > 3 27 2x 2x → 10x − 27y + 31 = 0 → 1 >2→ x < 1 → 0< x< 1 2 x 4 16 (35) f′(x) = (x + b)(2) − (2x − a)(1) (x + b)2 ตอบ (0, 1 ] ... [เป็น 0 ไมไ่ ด้ เพราะเปน็ ตวั สว่ น] 16 = 2b + a → f′(0) = 4→ 2b + a = 4 .....(1) (x + b)2 b2 (43) f(x) = x8/ 3 − 16x2/ 3 f′′(x) = −2(2b + a) → f′′(0) = −8 → f′(x) = 8 x5/ 3 − 32 x−1/ 3 (x + b)3 33 → −2(2b + a) = −8 .....(2) จะได้→ f′(x) > 0 x5/ 3 − 4x−1/ 3 > 0 b3 นาํ x4/3 คณู ตลอด กลายเป็น x3 − 4x > 0 จะได้ b = 1, a = 2 → f(0) = −a = −2 ตอบ (−2, 0) ∪ (2, ∞) b Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 329 อนุพนั ธและการอินทิเกรต (44) F(x) = x + 1 → F−1(x) = (x − 1)2 (50) y = ∫ (5x4 + 3x2 − 4x) dx → (F−1)′ (x) = 2(x − 1)(1) = x5 + x3 − 2x2 + c ∴ (F−1)′ (2) = 2 โจทย์บอกใบ้ −y(1) = y(−1) (45) วิธคี ดิ เชน่ เดียวกับขอ้ (31) และ (32.1) จะ จะได้ −c = −4 + c ∴ c = 2 = y(0) ไดว้ ่า พนื้ ที่ , = 3 ⋅ 4 = 3 ตร.นว้ิ (51) ความชนั = dy = x2 + 2x − 3 22 dx (46) ต้องการกาํ ไรสงู สดุ ∴y = ∫ (x2 + 2x − 3) dx = x3 + x2 − 3x + c ∴ ให้ y = กาํ ไร = รายรบั - ตน้ ทนุ 3 โคง้ ผ่านจดุ (0, 1) ∴ c = 1 = 24x − (16 + 6x + 0.2x3/2) dy = 0 → 24 − 6 − 0.3x1/2 = 0 ตอบ y = x3 + x2 − 3x + 1 dx 3 → x1/2 = 60 → x = 3,600 ชิน้ (52) เช่นเดียวกบั ข้อ (51) คอื dy = x − 1 dx ∴ คา่ N = จาํ นวนชิน้ ทีไ่ ด้กาํ ไรสูงสดุ = 3,600 ชิ้น 2 x3/2 (47.1) ∫ f(x) dx = ∫ x dx = x2 +c → y = ∫( x − 1) dx = 3 −x+K 2 โค้งผ่านจดุ (0, 1) ∴ K = 1 (47.2) 2x2 + c = x2 + c ∫ f(x) dx = 2 → y = 2 x3/2 − x + 1 3 (47.3) ∫ f(x) dx = 7x + c โจทย์ถาม c = y(4) = 7 / 3 (47.4) ∫ f(x) dx = 3x3 + c = x3 + c 3 (53) อัตราการเปล่ียนแปลงความชนั คอื f′′(x) [เพราะความชนั คอื f′(x)] (47.5) ∫ f(x) dx = x4 +c 4 ∴ f′′(x) = 2x − 1 (47.6) 3 x5/ 2 + c = 2 5 +c → f′(x) = ∫ (2x − 1) dx = x2 − x + C1 5/2 ∫ x2 dx = 5 x2 หาค่า C1 โดยคําใบท้ ีว่ า่ ท่จี ดุ (1, 2) ความชนั ตงั้ ฉาก (47.7) ∫ x−5 dx = x−4 + c = − 1 +c กับ x + 2y − 1 = 0 ⎡⎣⎢m = − 1⎤ ดงั นน้ั −4 4x4 2 ⎥⎦ (48.1) ∫ f(x) dx = x5 + x3 − 2x + c f′(1) = 2 [เพราะความชนั คูณกนั ตอ้ งได้ -1] (48.2) ∫ (2x − x−2) dx = 2x2 − x−1 + c → ∴ C1 = 2 → f′(x) = x2 − x + 2 2 −1 โจทยถ์ ามความชนั ที่ x = 0 คอื f′(0) = 2 = x2 + 1 + c (54) สมการวงกลมคอื (x)2 + (y − 1)2 = 2 x และสมการโค้งคอื y = ∫ (2x) dx = x2 + c (48.3) ∫ (x3 − 3x2) dx = x4 − x3 + c (ผ่านจดุ (3, 10) ∴ c = 1 ) → y = x2 + 1 4 แกร้ ะบบสมการหาจดุ ตัดไดเ้ ปน็ (48.4) ∫ (x3 − 3x−3 + 4) dx = x4 − 3x−2 + 4x + c 4 −2 (y − 1)2 + (y − 1) − 2 = 0 x4 3 = 4 + 2x2 + 4x + c → (y − 1 + 2)(y − 1 − 1) = 0 (48.5) ∫ (x−2 − 2x−3) dx = x−1 − 2x−2 +c จะได้ y = −1 → x = เปน็ ไปไม่ได้ −1 −2 หรือ y = 2 → x = ±1 = − 1 + 1 + c ดงั นนั้ จดุ ตดั คอื (1,2), (-1,2) อยใู่ น Q1 และ Q2 x x2 (55) f′′(x) = 3 → f′(x) = 3x + C1 (48.6) ∫ (4x3 − 4x2 + x − 1) dx แต่ f′(1) = −3 ∴ C1 = −6 → f′(x) = 3x − 6 = x4 − 4 x3 + x2 − x + c → f(x) = 3x2 − 6x + C2 32 2 แต่ f(2) = −1 ∴ C2 = 5 → (49) F(x) = ∫ (3x2 − 3) dx = x3 − 3x + c f(0) = 5 → F(0) = 4 ∴c = 4 และจะได้ F(1) = 1 − 3 + 4 = 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 330 อนพุ ันธและการอนิ ทเิ กรต (56), (57) ต้องทราบวา่ ds = v, dv = a ∫(60.1) −1 2 − 2x) dx = (x3 − x2) 2 dt dt −1 (3x2 จึงจะแก้ปญั หาได้ = (8 − 4) − (−1 − 1) = 6 (56) a = 12t2 + 6t + 10 ∫(60.2) −1 3 ⎛ x4 2x2 ⎞ 3 ⎝⎜ 4 ⎠⎟ −1 → v = ∫ a dt = 4t3 + 3t2 + 10t + C1 (x3 − 4x) dx = − แต่ v(0) = 0 ∴ C1 = 0 = ⎝⎜⎛ 81 − 18⎟⎠⎞ − ⎝⎜⎛ 1 − 2 ⎠⎟⎞ = 4 4 4 S = ∫ v dt = t4 + t3 + 5t2 + C2 4 แต่ S(0) = 10 ∴ C2 = 10 ∫(60.3) −1 4 = ⎡ x2 − x3 ⎤ −1 ⎣⎢6x + 2 3 ⎦⎥ (6 + x − x2) dx → S = t4 + t3 + 5t2 + 10 64 1 1 95 3 2 3 6 จะได้ S(5) = 625 + 125 + 125 + 10 = 885 ฟตุ = ⎝⎛⎜24 + 8 − ⎠⎞⎟ − ⎝⎜⎛ −6 + + ⎟⎠⎞ = (57) a = 24t2 → v = 8t3 + C1 (60.4) y = 3x2 − 2x แต่ v(1) = 16 → C1 = 8 → S = 2t4 + 8t + C2 แต่ S(1) = 8 ∴ C2 = − 2 → S = 2t4 + 8t − 2 มีจดุ ตดั แกน x ที่ 2 4/27 → ∴ S(2) = 32 + 16 − 2 = 46 เมตร x = 0, 2/3 ดงั ภาพ (58) ให้ y แทนปรมิ าณผลผลติ ทไี่ ด้ -1 0 2/3 2 เมอ่ื เพิม่ x คน อตั ราการเปลยี่ นแปลงผลผลติ 4+4/27 80 − 6 x ชนิ้ ตอ่ วนั = dy การหาพนื้ ทปี่ ดิ ลอ้ ม ตอ้ งแยกคดิ ทีละช่วง dx เพราะชว่ ง 0 ถึง 2/3 จะไดต้ ดิ ลบ ∴ y = ∫ (80 − 6 x) dx = 80x − 4x3/2 +C (ตอ้ งเอาเครอื่ งหมายลบออก) แตโ่ จทย์ใบ้ว่า ถา้ ไม่เพม่ิ คนเลย (x = 0) จะได้ ∫ ∫ ∫0 2/3 2 3,000 ช้นิ ตอ่ วนั → C = 3,000 = f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx ตอบ y(25) = 80 ⋅ 25 − 4 ⋅ 125 + 3,000 −1 0 2 /3 = 4,500 ชนิ้ ตอ่ วัน (ใส่ลบตรงส่วนทอ่ี ยใู่ ต้แกน เพอื่ ให้คา่ กลายเปน็ บวก) = (x3 − x2) 0 − (x3 − x2) 2/ 3 + (x3 − x2) 2 −1 0 2/3 4 ⎡ x2 ⎤ 4 = 2 − ⎛⎝⎜ − 4 ⎠⎞⎟ + 44 = 68 ตร.หนว่ ย ⎢⎣3x 2 ⎥⎦ 0 27 27 27 ∫(59.1) (3 − x) dx = − 0 [เช็คขอ้ 60.1 จะได้ 2 − 4 + 4 4 = 6 ถูกต้อง] 27 27 = (12 − 8) − (0 − 0) = 4 (60.5) y = x3 − 4x ∫(59.2) 2 − 1) dx = [x2 − x] 2 มจี ุดตดั แกน x ที่ 0, 2, −2 −2 −2 (2x = (4 − 2) − (4 + 2) = −4 ดงั ภาพ 1+3/4 6+1/4 (59.3) y = 3 − x 4.5 ตร.หนว่ ย 4 มีจุดตดั แกน x (แทน y=0) 3 -2 -1 0 2 3 ทจี่ ดุ (3, 0) ดงั ภาพ O 34 -1 02 3 f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx พนื้ ที่ = 1 × 3 × 3 + 1 × 1 × 1 0.5 ตร.หน่วย ∫ ∫ ∫พื้นที่ = 22 −1 0 2 = 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หนว่ ย = 1 3 − (−4) + 6 1 = 12 ตร.หนว่ ย 44 [ขอ้ 59.1 คดิ จาก 4.5 − 0.5 = 4 ก็ได]้ [เช็คขอ้ 60.2 จะได้ 1 3 − 4 + 6 1 = 4 ถกู ต้อง] (59.4) y = 2x − 1 6.25 3 2.25 44 มจี ดุ ตดั แกน x ท่ี (1 , 0) -2 0.5 2 (60.6) y = 6 + x − x2 2 มจี ุดตดั แกน x ที่ 112/6 ดังภาพ x = −2, 3 ดงั ภาพ 4 พ้นื ท่ี = 1 × 2.5 × 5 + 1 × 1.5 × 3 -5 -2 -1 3 22 17/6 = 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หนว่ ย [ข้อ 59.2 คดิ จาก −6.25 + 2.25 = −4 กไ็ ด]้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 331 อนพุ ันธและการอินทเิ กรต 34 (65) f (x) dx − f (x) dx ∫ ∫พน้ื ท่ี = ∫8 −1 3 f (x) dx = พนื้ ท่ใี ตก้ ราฟ = 112 − ⎛ − 17 ⎞ = 21.5 ตร.หน่วย 5 7 6 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 3 = พนื้ ที่ , − 1 พนื้ ทว่ี งกลม [เช็คขอ้ 60.3 จะได้ 112 − 17 = 95 ถูกตอ้ ง] 4 (61) y = x2 − 1 666 = 7 × 3 − π32 = 21 − 9π ≈ 7.07 มีกราฟดงั ภาพ 4/3 44 4/3 4/3 (66) ไม่จําเปน็ ตอ้ งสรา้ ง สมการเสน้ ตรงเพ่อื อนิ ทเิ กรต 6 -2 1 1 2 เพราะเป็นรปู Δ -1 3 2 2 ∫3 ∫(61.1) ⎛ x3 ⎞ 1 4 ตร.น. (x2 − 1) dx ⎝⎜ 3 − x ⎠⎟ 3 → f (x) dx −1 1 = = = 1 × 4 × 6 = 12 2 ∫(61.2) − 1 = − ⎛ x3 ⎞ 1 4 ตร.น. 5 −1 ⎜⎝ 3 − x ⎠⎟ (67) เชน่ เดียวกบั ขอ้ (66) คอื 2 (x2 − 1) dx = 3 ∫3 −1 f (x) dx = พื้นที่ , คางหมู −1 0 −2 f (x) dx − f (x) dx ∫ ∫(61.3) = 1 × 5 × (2 + 5) = 17.5 -2 3 −2 −1 2 = 4 − ⎛⎜⎝ − 2 ⎟⎞⎠ =2 ตร.หนว่ ย (68) ∫sin θ 1 1 3 3 sin θ (4x − 3) dx = [2x2 − 3x] 2 x4 + 2 x2 1 dx ∫ ∫(62) 1 = (x2 + x−2) dx = −1 − 2 sin2 θ + 3 sin θ = 0 1 ⎡ x3 1⎤ 2 ⎝⎛⎜ 8 1 ⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 1 1⎠⎟⎞ 25 → (2 sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0 ⎣⎢ 3 x ⎦⎥ 1 3 2 3 6 = − = − − − = → sin θ = 1 , 1/2 → cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ ∫ ∫1 1 = −1 หรอื 1/2 (4 − x)2 dx = (16 − 8 x + x) dx (69) ∫1 sin θ ⎡ x3 ⎤ sin θ 00 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 1 x2 ⎡ 16 x2 ⎤ 1 ⎛ 16 1⎞ dx = ⎢⎣16x 3 2 ⎥⎦ 0 ⎝⎜ 3 2 ⎠⎟ = − x3/2 + = 16 − + = sin3 θ − 1 = − 2 → sin θ = −1 333 = 11 1 ตอบ 14 6 ∴ 1 + sin θ + cos θ = 1 − 1 + 0 = 0 (63) พจิ ารณากราฟ (70) (fog)(x) = 2x + 5, f(x) = 4x − 3 → พ้นื ทเี่ หนอื แกน x เทา่ กับ แกฟ้ งั กช์ ัน หา g(x) ได้เปน็ g(x) = x + 2 ∫1 2 (x2 − 3x + 2) dx 1 (x + 2) dx ⎛ x2 ⎞ 1 1 +2 0 2 ⎝⎜ 4 + 2x ⎠⎟ 0 4 = ⎡ x3 − 3x2 ⎤ 1 01 2 ∫∴ = = = 2.25 ⎢⎣ 3 2 + 2x⎥⎦ 0 0 = 1 − 3+2= 5 (71) หา b, c จาก f(−1) = −4, f′(−1) = 0 → 32 6 ได้ b = 2, c = −3 (64) y = x2 − c y = x2 + 2x − 3 -3 -1 1 ถา้ c > 4 แสดงวา่ วาดกราฟไดด้ งั รปู ตดั แกน x ท่ี ±c -2 1 เกนิ ±2 ดงั ภาพ 1 ∫ดังนนั้ 1 ∫พ้ืนที่ = − (x2 + 2x − 3) dx −1 −2 (x2 − c) dx = −24 → ⎛ x3 ⎞ 1 −24 = − ⎛ x3 + x2 − ⎞ 1 = 16 / 3 ⎜⎝ 3 − cx ⎠⎟ ⎝⎜ 3 3x ⎟⎠ −1 = −2 → ⎜⎝⎛ 1 − c ⎟⎞⎠ − ⎛ − 8 + 2c ⎞ = −24 → c = 9 3 ⎝⎜ 3 ⎟⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 332 อนุพันธแ ละการอนิ ทิเกรต eÃèo× §æ¶Á เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลยี่ นตวั แปร.. ฟังก์ชนั ประกอบทหี่ าอนพุ นั ธ์ไว้โดยใช้กฎลกู โซ่ (หรอื ดฟิ กอ้ น) เมอื่ เราต้องการจะอนิ ทเิ กรตกลับไปต้องอาศยั เทคนิค การเปล่ียนตัวแปร (Substitution) มิฉะนนั้ จะอนิ ทเิ กรตไมไ่ ด้ ตวั อยา่ งเช่น f (x) = (3x3 + 4)10 มอี นพุ ันธเ์ ปน็ f′ (x) = 10(3x3 + 4)9(9x2) = 90x2(3x3 + 4)9 ถ้าเราตอ้ งการหาค่า ∫ 90 x2(3x3+ 4)9 dx เราไมส่ ามารถกระจายฟังกช์ นั กาํ ลงั 9 ได้ จงึ ต้องใชเ้ ทคนคิ เปลี่ยนตัวแปร x ให้เปน็ u ที่เหมาะสม ... ในตวั อยา่ งน้ใี ห้ u = 3x3 + 4 จะได้ du = 9x2 นน่ั คอื dx = du (ยา้ ยขา้ งสมการ) dx 9x2 แทนค่าตวั แปรใหม่ลงไปใน ∫ 90 x2(3x3 + 4)9 dx ได้เปน็ ∫ 90 x2(u)9 du 9x2 เศษสว่ นหารกนั ได้ ∫ 10(u)9 du จะพบวา่ เหลอื ตัวแปร u ลว้ นๆ และอยู่ในรปู ทอ่ี นิ ทิเกรตได้ (แสดงวา่ เลือกตวั แปร u ได้ถกู ต้อง) ผลทีไ่ ดค้ อื u10 + C = (3x3 + 4)10 + C นน่ั เอง.. หลกั ในการเลอื กว่าใหก้ อ้ นใดเปน็ u กค็ อื ต้องเลอื กกอ้ นทเ่ี มอ่ื ดฟิ แลว้ ออกมาคลา้ ยสว่ นทเี่ หลอื (เพ่อื ใหส้ ามารถกําจดั x ทยี่ ังคงเหลอื ไปใหห้ มด) เช่น จาก ∫ t (1−2t2)8dt เราเลอื ก u = 1−2t2 เพราะเมอ่ื ดฟิ แลว้ ได้ −4t มาตัดกับ t ทเ่ี หลอื ไดพ้ อดี หรอื จาก ∫ x3(4−x2)3dx ถ้าเลอื ก u = x3 เม่ือดฟิ แลว้ จะได้ 3x2 ไม่สามารถไปตัดกบั 4 −x2 ได้ จึงตอ้ งเลือก u = 4 −x2 เม่ือดฟิ แลว้ ได้ −2x ตดั กบั x3 เหลอื x2 ซ่งึ สามารถเปล่ียนเปน็ x2 = 4 − u ได้ จาก ∫ x3(4−x2)3dx ให้ u = 4 − x2 → du = −2x จะได้ ∫ x3u3dx = ∫ x3u3 du dx −2x = − 1 ∫ x2u3du = − 1 ∫ (4 − u)u3 du = − 1 ∫ (4u3 − u4) du = − 1 ⎡⎣⎢u4 − u5 ⎤ + C 2 2 2 2 5 ⎥⎦ = − 1 ⎡ − x2)4 − (4 − x2)5 ⎤ + C 2 ⎣⎢(4 5 ⎥⎦ ทดลองทาํ ดนู ะครับ เฉลย ก. ∫ t (1−2t2)8dt ก. − u9 + c เมอ่ื u = 1−2t2 ข. ∫ (3x2+2) 2x3+4x+1 dx 36 ค. ∫ x+3 (x+1)2dx ข. 1 u3/2+ c เมอ่ื u = 2x3+4x+1 3 ค. 2 7 8 5 8 3 c เมอ่ื u = x+3 2x u2 − u2 + u2 + ง. (1−x)2/ 3 753 ∫ dx 1 4 ง. 3 c เม่อื u = 1−x −6u3 + u3+ จ. 18+12x 2 ∫ (4−9x−3x2)5 dx 1 จ. 2 u4 +c เมอ่ื u = 4−9x−3x2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 333 ความนาจะเปน Pr,o+ b! º··èÕ 16 ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨ae»š¹ ความน่าจะเปน็ และสถิติ เป็นวชิ าท่ีมีบทบาท สําคญั ทงั้ ในทางพาณชิ ยศาสตร์ วศิ วกรรมศาสตร์ รวม ไปถงึ การแพทยแ์ ละจติ วิทยาด้วย ทฤษฎมี ากมายใน ปัจจุบนั ถกู พัฒนาขึ้นจากหลักการของความนา่ จะเป็น นอกจากประโยชนด์ ังกลา่ วแล้ว เรายงั ปรับใช้ความ นา่ จะเป็นในชวี ิตประจําวันได้โดยอาจไมร่ ู้ตวั เชน่ การ นบั จาํ นวนแบบทีเ่ ป็นไปได้ การคาดคะเนโอกาสที่ เหตุการณห์ นึ่งๆ (หรอื หลายเหตุการณ)์ จะเกดิ ขนึ้ 16.1 หลักมลู ฐานเกยี่ วกบั การนับ ถ้าเราตอ้ งทาํ งาน k อยา่ ง โดยท่งี านอยา่ งแรกมีทางเลือกทําได้ n1 แบบ และในแตล่ ะแบบก็ เลอื กทาํ งานอย่างที่สองได้ n2 แบบ และในแต่ละแบบ... (ไปเรอ่ื ยๆ) จะมีจาํ นวนวิธเี ลือกทาํ งานจน ครบทกุ อยา่ ง เท่ากับ n1 × n2 × ... × nk วธิ ี เรยี กกฎน้ีว่า หลกั มลู ฐานเกี่ยวกับการนับ (Fundamental Principles of Counting) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 334 ความนา จะเปน ตวั อยา ง มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตวั ก1 (ส1,ก1) จะจดั เปนชุดที่ไมซ าํ้ กันเลยไดก ี่แบบ ตอบ 3 × 4 = 12 แบบ ส1 ก2 (ส1,ก2) เขียนเปนแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ไดด ังรูป ก3 (ส1,ก3) ตวั อยา ง มีเรือวง่ิ ขามฟาก 3 ลํา ก4 (ส1,ก4) จะนงั่ เรือไปและกลบั ไมใหซ ้ําลาํ กนั ไดก ี่วธิ ี ก1 (ส2,ก1) ตอบ 3 × 2 = 6 วธิ ี ส2 ก2 (ส2,ก2) ตวั อยา ง ทอดลกู เตา 2 ครงั้ จะมีผลออกมาไดก ี่แบบ ก3 (ส2,ก3) ตอบ 6 × 6 = 36 แบบ ก4 (ส2,ก4) ก1 (ส3,ก1) ส3 ก2 (ส3,ก2) ก3 (ส3,ก3) ก4 (ส3,ก4) แบบฝกึ หัด 16.1 (1) จากตาราง เรามีวธิ ีเดนิ ทางจาก การเดินทาง รถยนต์ เรอื รถไฟ เครอ่ื งบิน เมือง ก ไปเมือง ง โดยผ่านทกุ เมอื งไดก้ ี่วิธี ก→ข ได้ ไมไ่ ด้ ได้ ได้ ข→ค ได้ ได้ ไม่ได้ ไม่ได้ ค→ง ไม่ได้ ได้ ได้ ได้ (2) มีหีบ 5 ใบวางเรยี งกัน จะมีวธิ เี อาบอล 3 ลกู ใสใ่ นหบี ทลี ะลกู ๆ ท้งั หมดกว่ี ิธี (3) รา้ นฟาสต์ฟูด้ มีเบอร์เกอร์อยู่ 6 ชนิดและเคร่ืองด่ืม 4 ชนิด โดยเครือ่ งดม่ื แตล่ ะชนดิ น้ันมี 3 ขนาด จะมวี ิธีจดั ชุดอาหารกบั เครือ่ งดื่มคู่กนั กี่แบบ (4) นําอักษรจากคาํ วา่ SPECIAL มาสลบั เป็นคําไดท้ ั้งหมดก่ีแบบ (ไม่คาํ นึงถงึ ความหมาย) (5) มถี งุ 2 ใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 3 ลกู สีดํา 2 ลกู สขี าว 1 ลกู (ซ่งึ แตล่ ะลกู ถือว่าต่างกัน) ใบที่ สองมบี อลสีแดง 2 ลูก สดี ํา 2 ลูก สขี าว 2 ลูก หยิบลูกบอลจากใบแรกไปใส่ในใบท่สี อง 1 ลกู และ หยบิ จากใบทีส่ องออกมา 1 ลกู มกี ่ีวธิ ซี ง่ึ บอลที่หยิบจากใบแรกเปน็ สีแดง และบอลที่หยบิ ออกจากใบท่ี สองไมใ่ ชส่ ีขาว (6) ข้อสอบฉบับหนงึ่ ประกอบด้วย โจทย์ปญั หาแบบถกู -ผดิ 5 ขอ้ และปรนัย (ก,ข,ค,ง) อกี 7 ข้อ จะมีวิธเี ดาขอ้ สอบทไี่ ม่ซ้าํ กนั เลยไดก้ ีแ่ บบ S ¨´u ·è¼Õ ´i º‹oÂ! S (7) กลอ่ งใบหนึ่งบรรจสุ ลากเลข 0 ถึง 9 อย่างละใบ ถ้า o¨·Âº·¹éÇÕ ¸i ¤Õ i´Ê¹éa ÁÒ¡æ 测¡µç oº¼´i ä´§Œ ‹Ò หยบิ มา 2 ใบ (ทีละใบโดยไม่ใสค่ นื ) จะมกี ่ีวิธีที่ผลรวมเลข ¹Œo§æ ËÅÒ¤¹eËç¹µaÇeÅ¢ã¹o¨·Â¡Ëç ºi ÁÒ¤Ù³¡a¹ ËÃ×o¡¡Òí Åa§¡a¹´×éoæ eÅ 溺¹Õäé Á¤‹ ÇäÃaº Áa¹äÁä‹ ´Œ เปน็ จาํ นวนคี่ e»¹š 溺¹a¹é ·¡u ¢oŒ o·‹Ù èÊÕ ¶Ò¹¡Òóã¹o¨·Â´ŒÇÂ.. (8) [Ent’24] ใชต้ วั เลข 0 ถงึ 5 มาสรา้ งจํานวน 3 หลัก Çi¸Õ·è´Õ Õ·ÊèÕ u´¤×o¤‹oÂæ ¹¡Ö Çҋ ¢oŒ ¹ÁéÕ Õ¡Ò÷íÒ§Ò¹ จะสร้างไดก้ ีจ่ ํานวน ถา้ กําหนดให้ (8.1) แต่ละหลักไมซ่ ้ํากนั (ËÃ×o¡Òõa´Êi¹ã¨) ¡¢èÕ ¹éa µo¹ ¨aä´eŒ oÒ¨Òí ¹Ç¹·Ò§eÅ×o¡ (8.2) เป็นจาํ นวนคี่ และแต่ละหลกั ไม่ซํ้ากัน ã¹æµ‹Åa¢¹éa µo¹ÁÒ¤³Ù ¡a¹ä´Œ¶¡Ù µŒo§ (8.3) มีค่ามากกวา่ 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ํากัน ».Å. äÁ¤‹ Ç÷o‹ §ÊµÙ ÃÅ´a »ÃaeÀ·Ç‹Ò ʧiè ÁªÕ ÇÕ µi äÁÁ‹ Õ ªÕǵi ã¤ÃÁÒ¡¡Òí Åa§ã¤Ã ÏÅÏ e¾ÃÒaÁa¹¼i´§‹ÒÂæÅa㪌 (8.4) หาร 10 ลงตวั äÁ‹ä´ŒeÊÁo仹a¤Ãaº ¤´i µÃ§æ ªaÇÏʴu ! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 335 ความนา จะเปน (9) ตอ้ งการเลือกประธาน รองประธาน และเหรญั ญิก ตําแหน่งละ 1 คน โดยเลอื กจากนักเรยี น ชาย 5 คน หญงิ 4 คน จะเลอื กได้กี่ชดุ หากกาํ หนดวา่ ประธานและรองประธานเป็นเพศเดยี วกนั และคนละเพศกับเหรญั ญิก 16.2 วิธีเรยี งสับเปล่ียน จาํ นวน วธิ เี รยี งสบั เปลี่ยน (Permutation) ส่ิงของตา่ งๆ กนั n สิ่ง จะมี n! วธิ ี แตถ่ า้ เอามาเรยี งเพยี งแค่ r สงิ่ จะมี n! วธิ ี เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ Pn,r หรือ nPr (n−r)! เครอ่ื งหมาย ! เรียกวา่ แฟคทอเรยี ล (Factorial) มนี ยิ ามว่า n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 เมื่อ n เป็นจาํ นวนนับ และกาํ หนดให้ 0! = 1 เพ่อื ใหส้ อดคล้องกับสมการ Pn,n = n! ตวั อยา ง 3! = 3 × 2 × 1 = 6 8 ! = 8 × 7 × 6! = 56 6! 6! P7, 3 = 7! = 7×6×5 4! ตวั อยา ง จดั คน 3 คน ใหย ืนเรียงแถวเปน เสนตรง ไดก ี่วิธี ตอบ คิดแบบการนับ ได 3 × 2 × 1 = 6 วิธี หรือคดิ แบบเรียงสบั เปลีย่ น P3,3 = 3! = 6 วธิ ี ตวั อยาง มีธง 5 ผืน ผืนละสีไมซ ํา้ กัน จะมีวธิ ีสงสญั ญาณโดยเอาธง 3 ผืนมาวางเรียงกนั ไดก ีว่ ิธี ตอบ คิดแบบการนบั 5× 4× 3 = 60 วธิ ี หรือคดิ แบบเรียงสับเปลีย่ น P5,3 = 5! = 60 วิธี 2! จาํ นวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นสิ่งของทัง้ หมด n สง่ิ ทม่ี สี ิง่ ของซา้ํ กัน k1 สิง่ , k2 ส่ิง, ... จะเรียงได้ n! วิธี k1 ! ⋅ k2 ! ⋅ ... (แตถ่ ้าไมน่ าํ มาเรียงครบท้ัง n ส่ิง กจ็ ะต้องพิจารณาการซ้ํากนั น้นั แยกเป็นหลายๆ กรณ)ี จาํ นวนวิธีเรียงสับเปล่ียนส่ิงของตา่ งๆ กัน n สิ่ง เป็นรปู วงกลม (Circular Permutation) จะ ทาํ ใหไ้ มม่ หี ัวแถวหรือปลายแถว ดงั น้ันจาํ นวนวิธีจึงลดลง ให้คิดวา่ ระบุตําแหน่งเจาะจงกอ่ น 1 สง่ิ แลว้ ที่เหลอื จงึ จัดแบบเสน้ ตรงปกติ นัน่ คือ (n−1)! วิธี (แต่หากการจัดนส้ี ามารถมองได้สองด้าน จาํ นวนวิธจี ะลดลงอีก เหลือ (n−1)! วิธี) 2 แบบฝกึ หัด 16.2 (10) ใหห้ าค่าของ 10! , 6!3! , P4,3 , และ P7,3 7! 4!7! (11) ถ้า (n+3)! = 30 จงหาคา่ n (n+1)! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 336 ความนาจะเปน (12) ใหห้ าคา่ n ซึง่ ทาํ ให้ 2 Pn,2 + 50 = P2n,2 S ¨´u ·¼èÕ i´º‹oÂ! S (13) ของตา่ งๆ กนั 4 ช้นิ นํามาจดั เป็นแถวได้กี่วธิ ี ถา้ ÂÒíé oÕ¡·ÕÇҋ ÁÒ¶§Ö ËÂiºµaÇeÅ¢·èeÕ Ë¹ç 令ٳ ËÃ×o (13.1) ใชท้ กุ ชิ้นเท่านน้ั ¡¡Òí Åa§ ËÃ×oãÊæ‹ ¿¤·oeÃÕÂÅæËÅ¡eÅÂäÁ‹ä´¹Œ a (13.2) ใช้มากกว่า 1 ชิน้ ¤Ãaº µŒo§¤‹oÂæ ¤i´eËÁ×o¹ËaÇ¢oŒ ·èæÕ ÅŒÇ¡‹o¹.. æÅa ¶ŒÒºa§eoi­Áa¹ÁÕeÅ¢e´ÕÂÇ¡a¹¤Ù³¡a¹«Òíé æ Áa¹¡eç ¡i´ (14) นําอกั ษรจากคาํ ว่า STAND มาเรยี งเปน็ คําไดก้ แ่ี บบ ถา้ ¡Òá¡Òí Åa§¢é¹Ö eo§ ËÃ×o¶ŒÒ¤³Ù æÅnj eÅ¢¤‹oÂæ (14.1) ใช้ทกุ ตวั Ŵŧæ Áa¹¡eç ¡´i 濤·oeÃÕÂÅ¢éÖ¹eo§ (14.2) เลือกมาเพยี ง 3 ตัว ¤×o¡Òä´i µÃ§æ ÁÒ¡‹o¹ æÅnj e¢Õ¹¤Òí µoºãˌ (15) คําวา่ HONESTY สามารถนาํ อักษรมาเรียงเป็นคําได้กีค่ ํา ÊǧÒÁã¹Ã»Ù ¡¡Òí ŧa ËÃ×o濤·oeÃÕÂÅ¡¤ç o‹ ÂÇ‹Ò หาก (15.1) S และ T ต้องติดกนั เสมอ ¡a¹ËÅa§¨Ò¡¹a鹤Ãaº.. (15.2) S และ T ตอ้ งไมต่ ดิ กัน (16) มชี าย 3 คน หญงิ 2 คน จะจดั คนทัง้ 5 มายืนเรยี งแถว โดยผชู้ ายยนื ติดกนั และผหู้ ญิงยืน ตดิ กนั ไดก้ ีว่ ิธี และถา้ บังคบั ให้ยนื สลบั กนั จะได้กีว่ ธิ ี (17) จงหาจํานวนวธิ ที ี่จะจัดชาย 5 คน หญิง 4 คน น่ังบนเก้าอเี้ รียงยาว โดยต้องไมม่ ผี หู้ ญิงคนใดนง่ั ติดกนั (18) มชี าย 3 คน หญงิ 2 คน โดยใน 2 คนนีม้ ี ด.ญ.อ้อ รวมอยู่ดว้ ย จะจัดแถวได้ก่ีแบบ ถา้ ด.ญ. อ้อ ต้องยืนหวั แถวหรอื ทา้ ยแถวเสมอ (19) อกั ษรคําว่า TRIANGLE นํามาจดั เป็นคําไดก้ คี่ ํา หากต้องข้ึนต้นด้วย T และลงท้ายด้วย E (20) สลับท่ีตวั อักษรจากคาํ วา่ AMPLITUDE (โดยไม่คํานึงถงึ ความหมาย) ได้กคี่ ํา เม่ือ (20.1) สระไม่ติดกนั (20.2) พยญั ชนะไม่ตดิ กัน (20.3) ตอ้ งขน้ึ ตน้ ด้วยพยัญชนะ และสระตอ้ งไม่ติดกนั (20.4) ต้องขึน้ ตน้ ด้วยสระ และสระต้องไม่ติดกัน (21) นําอกั ษรในคําวา่ MISSISSIPPI มาเรียงสบั เปล่ียนได้กี่แบบ (22) นําอักษรในคําว่า TROTTING มาเรยี งสับเปลยี่ นไดก้ ีแ่ บบ ถ้าบังคบั ว่า ต้องขน้ึ ต้นดว้ ยสระ และ ลงท้ายดว้ ยตวั T (23) นําอกั ษรในคาํ ว่า ALGEBRA มาเรียงสับเปล่ียนได้กีแ่ บบ ถา้ ตอ้ งรกั ษาลําดบั ของสระและ พยัญชนะให้เป็นแบบเดิม B (24) มีวธิ ีเดนิ ทางจาก A ไป B ได้ก่แี บบ ถ้าเดินทางไดต้ าม N เสน้ ที่กําหนดเทา่ นั้น และเดนิ ทางได้เฉพาะทศิ เหนอื กบั ทศิ ตะวนั ออก (25) นําอักษรจากคําวา่ ARRANGE มา 3 ตวั เพอ่ื จัดเปน็ คํา A จะจดั ได้กี่แบบ (26) จัดคน 4 คน คอื ก, ข, ค, ง นั่งลอ้ มเปน็ วงกลมไดก้ ีว่ ิธี ใหต้ รวจสอบคําตอบโดยการเขยี นวธิ ี ทัง้ หมด (27) จดั ลกู ปัด 4 สี มารอ้ ยเป็นวงไดก้ ว่ี ิธี ใหต้ รวจสอบคาํ ตอบโดยการเขียนวิธีท้ังหมด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 337 ความนาจะเปน (28) มีชาย 3 คน หญิง 3 คน จะน่ังสลับชายหญิงรอบโตะ๊ อาหารวงกลมได้ก่ีแบบ (29) ชาย 6 คน หญิง 6 คน นงั่ รอบโตะ๊ กลม โดยชายหญงิ ตอ้ งสลับกนั ครั้งละ 2 คน จะมีวิธจี ัดก่ี แบบ (30) สามภี รรยาเชญิ แขกมารับประทานอาหาร 4 คน จะจัดท่นี ง่ั รอบโต๊ะกลมได้ก่ีแบบ หากสามี ภรรยาต้องน่งั ตดิ กนั เสมอ (31) มวี ธิ ีจดั ชาย 5 คน หญิง 4 คน นั่งรอบโต๊ะกลมไดก้ ี่วิธี ถ้าไมม่ หี ญิงคนใดนั่งติดกันเลย 16.3 วธิ จี ดั หมู่ และกฎการแบง่ กลมุ่ วิธีจัดหมู่ (Combination) ตา่ งจากเรยี งสบั เปล่ยี น ตรงทีจ่ ะไมค่ ํานึงถึงลาํ ดบั ก่อนหลัง เชน่ สมมติมีตัวอกั ษร 3 ตวั คอื ABC จะได้ว่า P3,2 = 6 ไดแ้ ก่ AB, AC, BA, BC, CA, CB แต่ C3,2 = 3 ไดแ้ ก่ AB, AC, BC AB กบั BA การเรยี งสบั เปลีย่ นถอื ว่าต่างกนั แต่การจดั หม่ถู ือวา่ เปน็ วธิ ีเดยี วกนั จาํ นวนวธิ จี ัดหมู่สิ่งของตา่ งๆ กัน n สง่ิ โดยทค่ี ดั ออกมา r สิ่ง จะมี n! วิธี (n−r)! ⋅ r ! เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ Cn,r หรอื n Cr และนยิ มเขียนเปน็ ⎛n⎞ อา่ นว่า “n เลอื ก(choose) r” ⎝⎜ r ⎠⎟ ข้อสังเกต สูตรการจดั หมู่ คดิ โดยนําการเรยี งสบั เปลยี่ นมาแล้วหารลาํ ดับท้งิ ไป คือ n Cr = nPr r! ตัวอยาง จงหาจํานวนวธิ ีที่จะหยบิ สลาก 5 ชนิ้ ออกมาจากกองทีม่ ีอยู 12 ชิน้ 12 ! 7!⋅ 5! ตอบ วธิ ี⎛12⎞= = 792 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ขอสังเกต หรือ⎛ 12 ⎞=⎛ 12 ⎞ ⎛n⎞ = ⎛n⎞ ⎜⎝ 7 ⎠⎟ ⎝⎜ r ⎠⎟ ⎝⎜n−r ⎠⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ตัวอยาง ดนิ สอสี 1 โหล มีสีตา งๆ กัน ตอ งการหยบิ 5 แทง ตามเงือ่ นไขตอไปนี้ จะไดกีว่ ิธี (ก) แตละคร้ังตอ งมีสีแดง ตอบ วธิ ี⎛1⎞ ⎛11⎞= 330 ⎝⎜ 1⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ (ข) แตละคร้ังตองไมมีสีแดง ตอบ ⎛ 11⎞ = 462 วิธี ⎜⎝ 5 ⎠⎟ หรือ คิดจาก จาํ นวนวธิ ีทั้งหมด ลบดวยจาํ นวนวธิ ีทีม่ ีสีแดง กไ็ ด ⎛ 12 ⎞ − 330 = 462 วิธี ⎜⎝ 5 ⎟⎠ จากการหยบิ ของ 5 ชิ้น ออกจากกองทมี่ ี 12 ช้ิน 12 5 กเ็ หมอื นการแบง่ แยกของออกเปน็ สองกลมุ่ กลมุ่ ละ 5 และ 7 ชนิ้ 7 ซึง่ แบง่ กลุม่ ได้ 12! วิธี เรียกวา่ กฎการแบ่งกลมุ่ (Partitioning Law) 5 5!⋅ 7! 4 12 ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ช้ิน เปน็ สามกอง ดังน้ี 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 338 ความนา จะเปน กจ็ ะมจี ํานวนวิธีเป็น 12! วธิ ี (พิสูจน์ไดจ้ าก )⎛12⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛3⎞ 2 5!⋅ 4!⋅ 3! ⎜⎝ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 4⎟⎠ ⎜⎝ 3⎠⎟ แต่ถา้ มีกองใดที่จาํ นวนเทา่ กัน ทถ่ี ือว่าไม่แตกต่างกัน จํานวนวธิ ีจะ 12 2 ลดลงโดยคิดเช่นเดียวกบั การสับเปลย่ี น เช่น จากแผนภาพด้านขวานี้ 2 1 จะแบ่งได้ 12! วธิ ี 5 (2 !)3 ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 ! 3! ที่เพ่มิ เขา้ มา เนอ่ื งจากมี 3 กองทสี่ ลับกันเองไมม่ ีความหมาย จาํ นวนวิธีจงึ ตอ้ งลดลง ตัวอยาง มีคน 4 คน จดั เปน สองกลุม กลมุ ละ 2 คน ไดก ีแ่ บบ ตอบ แบบ4 != 3 (2 !)2 ⋅ 2 ! ตัวอยา ง คน 12 คน แบงเปน 5 กลมุ ทีม่ ีจาํ นวน 2, 2, 2, 3, 3 คน ไมใ หซา้ํ แบบกันเลยไดก ีแ่ บบ 12 ! = 138, 600 3 ! ⋅ (3 !)2 ตอบ แบบ(2!)3 ⋅ ⋅ 2! แบบฝึกหดั 16.3 (32) ถ้า C18,r = C18,r +2 จงหาค่า r (33) [Ent’20] มีนวนยิ ายท่นี า่ อา่ นวางอยู่ 10 เล่ม ขอยมื ไปอ่าน 3 เลม่ จะมีวิธเี ลือกหนังสอื ก่วี ิธี (34) จุด 6 จุด กระจายกนั อยบู่ นเสน้ รอบวงกลม จะสร้างสามเหลยี่ มจากจดุ เหลา่ นี้ได้กีร่ ูป (35) หาจํานวนวิธีเลือกกรรมการชดุ ละ 8 คน จากนักเรยี นหญงิ 6 คน ชาย 10 คน โดย (35.1) ไม่มีเงอื่ นไขเพิ่มเตมิ (35.2) ตอ้ งมหี ญิง 2 คนเท่าน้ัน (35.3) ต้องมหี ญิงอยา่ งนอ้ ย 5 คน (35.4) ตอ้ งมีหญงิ มากกว่า 1 คน (36) ถุงใบหนง่ึ มบี อลสีขาว 6 ลูก สีดํา 5 ลูก จะมกี ่วี ิธที ี่หยิบบอลออกมา 4 ลูกพร้อมกัน และไดส้ ี ขาวกบั ดํา อย่างละ 2 ลกู (37) ในการประชุม มีนักธุรกจิ 3 คน นกั วชิ าการ 8 คน และอาชพี อืน่ ๆ 10 คน ตอ้ งการเลอื ก กรรมการ 4 คน โดยตอ้ งมีนักธรุ กจิ รวมอยู่อย่างน้อยคร่ึงหนง่ึ จะมวี ิธจี ัดกรรมการก่แี บบ (38) รถโรงเรยี น 2 คนั มี 6 และ 9 ทนี่ งั่ ตามลําดับ จะจดั S ¨´u ·è¼Õ i´ºo‹ Â! S นักเรยี น 13 คน ประจํารถได้ก่ีแบบ (มีท่ีวา่ ง 2 ท่)ี ( ) ( ) ( )¤Ò‹ ¢o§7¡aº7 6 äÁ‹e·‹Ò¡¹a ¹a¤Ãaº (39) มีอกั ษร A, B, C, m, p, q, r, s, a, e, o, u นาํ อกั ษร 2 1 1 ทง้ั หมดมาจดั เป็นคาํ โดยให้มอี กั ษรตวั พิมพ์ใหญ่ข้นึ ตน้ และ พยัญชนะตวั เล็ก 3 ตวั สระ 2 ตวั ไดก้ ี่คาํ eÃÒµŒo§eÅ×o¡ãªŒã˶Œ ١溺 ...¤ÇÒÁ浡µÒ‹ §¤×o (40) อักษรชุดหนงึ่ ไดแ้ ก่ a, a, a, b, b, c, c, d, d, e, f ( ) ( )76 ¹¹éa ÁÅÕ íÒ´ºa e¡´i ¢¹éÖ ´ÇŒ  (Êi觷eèÕ Å×o¡ÁÒ䴌 นํามาจดั เป็นคําท่ีมคี วามยาว 4 ตวั อกั ษร ได้กี่แบบ 1 1 ã¹æµÅ‹ a¢¹éa µo¹¶×oÇҋ Êźa ¡¹a æÅnj ¼ÅÅa¾¸e »ÅÂÕè ¹) ( )测7 ¹é¹a eÅ×o¡¾ÃŒoÁæ ¡a¹ o´ÂäÁ¤‹ Òí ¹Ö§ÅÒí ´aº 2 ¡‹o¹ËÅa§ (Êo§ª¹éi ·eèÕ Å×o¡ÁÒ¶×oNjÒÈa¡´ìiÈÃÕe·‹Ò¡a¹) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 339 ความนาจะเปน (41) การแขง่ ขันเทนนสิ มนี ักกีฬาเข้ารว่ มแขง่ ขัน 10 คน เปน็ การแขง่ แบบพบกนั หมด หากใน 1 วัน จัดแขง่ ได้ 4 คู่ จะต้องใช้เวลาทงั้ หมดกว่ี ัน (42) มคี น 9 คน แบง่ เป็น 3 กลุ่ม ตามเง่ือนไขตอ่ ไปน้ไี ดก้ ่ีวิธี (42.1) 4, 3, 2 คน (42.2) กลุ่มละ 3 คน (43) นักกีฬาเทนนิส 9 คน ถกู แบง่ เป็น 3 กลมุ่ กลมุ่ ละ 3 คน เพื่อไปแข่งทส่ี หรฐั อเมริกา, อังกฤษ , ฝรงั่ เศส จะแบง่ ไดก้ ว่ี ธิ ี (44) นักเรยี น 7 คน เข้าหอ้ งพัก 3 ห้อง ซ่ึงมขี นาด 3, 2, 2 คน แตล่ ะห้องถอื ว่าต่างกัน จะจัดไดก้ ี่ วธิ ี (ลองคิดแบบแบ่งกลมุ่ กอ่ น แลว้ ค่อยจัดเข้าหอ้ ง) 16.4 การนบั ในกรณอี นื่ ๆ การนับรูปเรขาคณิต 1. จํานวนเสน้ ตรง จุด 5 จดุ (ท่ีไมม่ ีสามจุดใดอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดียวกัน) สรา้ งเสน้ ตรงได้ ⎛5⎞ เสน้ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ แตถ่ า้ มี 3 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน สรา้ งเสน้ ตรงได้ ⎛5⎞ − ⎛3⎞ + 1 เส้น ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ หมายเหตุ การลบ ⎛3⎞ แล้วบวก 1 หมายความวา่ จุดสามจุดในแนวเดยี วกันทําใหจ้ ํานวนเส้นตรงท่ี ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ได้น้นั หายไปหมด เหลอื เพยี งเสน้ เดยี ว จึงลบเส้นตรงทเี่ กิดจากสามจุดนอ้ี อกใหห้ มด แลว้ บวกกลบั ไป เพียง 1 เสน้ 2. จาํ นวนสามเหลย่ี ม จดุ 5 จุด (ท่ไี มม่ ีสามจดุ ใดอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดียวกนั ) สรา้ งสามเหลีย่ มได้ ⎛5⎞ รปู ⎝⎜ 3⎠⎟ แต่ถ้ามี 3 จดุ อยู่ในแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั สรา้ งสามเหลีย่ มได้ ⎛5⎞ − ⎛3⎞ รูป ⎝⎜ 3⎠⎟ ⎜⎝ 3⎠⎟ 3. จํานวนจดุ ตดั ของเส้นตรง กบั วงกลม เสน้ ตรง 8 เสน้ จะมจี ุดตัดเกิดขนึ้ ไดม้ ากท่ีสุด ⎛8⎞ จุด ⎜⎝2 ⎠⎟ วงกลม 5 วง รัศมีตา่ งๆ กัน จะมีจดุ ตดั เกดิ ข้ึนมากทส่ี ดุ 2 ⋅ ⎛5⎞ จดุ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ เสน้ ตรง 8 เส้นกับวงกลม 5 วง ตดั กนั เกิดจุดตดั มากทสี่ ุด ⎛8⎞ + 2 ⋅ ⎛5⎞ + 2 ⋅ ⎛8⎞ ⎛5⎞ จดุ ⎝⎜2 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ 4. จาํ นวนส่เี หลี่ยม เสน้ ขนานสองชุด จาํ นวน 5 เส้น กับ 4 เส้น ดงั ภาพ จะเกดิ รูปสี่เหล่ียมขน้ึ ⎛5⎞ ⎛4⎞ รูป ⎜⎝2⎟⎠ ⎜⎝2 ⎟⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 340 ความนา จะเปน การจดั หมู่สงิ่ ของท่ีเหมือนกันหมด (Stars and Bars) กรณีทีส่ ิง่ ของท่เี ราจะจดั หมนู่ ัน้ เหมอื นกันหมด เชน่ การแจกลกู อมให้เด็กๆ และต้องการคดิ ว่าแบ่งเปน็ ปริมาณต่างๆ กันได้กีล่ กั ษณะ จะต้องใช้หลัก Stars and Bars ดงั ตวั อยา่ งน้ี ตัวอยาง มีลกู อมที่เหมือนกนั 9 เมด็ ตอ งการแบง ใหเ ด็ก 3 คน ตามเงือ่ นไขตอไปนี้ จะไดก ี่วิธี (ก) ทกุ คนตอ งไดรับ (อยางนอยคนละ 1 เมด็ ) วธิ ีคดิ นาํ ลกู อมมาวางเรียงแถวกนั 9 เมด็ จะเกิดชอ งวา ง 8 ชอ ง (เปรียบเทียบลกู อมเหมือน ดวงดาว) ใหเราเอาไม 2 อันไปวางกนั้ ในชองสองชองใดๆ ก็จะไดล กู อมเปน 3 กองพอดี นนั่ คือ ⎛8⎞ วธิ ี ⎜⎝2 ⎠⎟ (ข) บางคนอาจจะไมไ ดรบั (คือแบง อยา งไรกไ็ ด) วิธีคิด ใหเ พม่ิ ลกู อมเขาไปเทา จาํ นวนคนกอ น กลายเปน 12 เม็ด มีชอง 11 ชอ ง แบง ใหค นสาม คนตามหลกั Stars and Bars ในขอ (ก) ซ่งึ ทกุ คนจะไดอยางนอย 1 เมด็ แลวไมว าจะแบง วิธีใดก็เอาคืนมา จากเดก็ คนละเมด็ (เหลือ 9 เมด็ เทา เดมิ ) จะทําใหบางคนไมม ีลกู อมอยเู ลย ดังนนั้ แบง ได ⎛ 11⎞ วิธี ⎝⎜ 2 ⎠⎟ การแบง่ ของแบบ Stars and Bars นั้น ของแตล่ ะกลุม่ ท่ไี ด้ถือว่าต่างกนั (มีลาํ ดับเกดิ ขน้ึ ) เชน่ เปน็ การแบง่ ลูกอมใหเ้ ด็ก 3 คน ช่ือ ก, ข, ค ตามลําดบั .. แตห่ ากจะแบ่งลกู อมเปน็ กองๆ 3 กอง (ซงึ่ สลบั กันไม่มีความหมาย) จะใช้ Stars and Bars ไม่ได้ ต้องนบั เอาโดยตรง การนบั “จาํ นวนเต็มท่หี ารลงตวั ” เราสามารถนาํ การนบั เบ้ืองตน้ ผสมกบั การสงั เกต เพอื่ นบั จํานวนเก่ยี วกับการหารลงตัวได้ ดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี 8 = 23 มจี ํานวนเต็มบวกท่ีหารลงตัว 4 จํานวน คอื 20, 21, 22, 23 25 = 52 มีจาํ นวนเตม็ บวกทห่ี ารลงตัว 3 จํานวน คอื 50, 51, 52 120 = 23 × 31 × 51 มีจํานวนเตม็ บวกท่หี ารลงตวั 16 จาํ นวน (4x2x2) คอื | | |20 × 30 × 50 20 × 30 × 51 20 × 31 × 50 20 × 31 × 51 | | |21 × 30 × 50 21 × 30 × 51 21 × 31 × 50 21 × 31 × 51 | | …22 × 30 × 50 22 × 30 × 51 | 23 × 31 × 51 แบบฝึกหัด 16.4 (45) จดุ 6 จดุ ไมม่ ี 3 จุดใดที่อยู่ในแนวเดยี วกันเลย จะสร้างเส้นตรงไดก้ ี่เส้น และสรา้ งรปู เหลีย่ ม ใดๆ ไดก้ ี่รปู (46) จุด 7 จุด มี 4 จุดอยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั และอีก 3 จดุ ก็อย่ใู นแนวเสน้ ตรงเชน่ กัน จะ สามารถลากเส้นตรงไดก้ ่แี บบ และสร้างสามเหลย่ี มได้กรี่ ปู (47) รูปหกเหลยี่ ม มจี ุดยอด 6 จดุ จดุ กง่ึ กลางด้านอกี 6 จุด จะลากเสน้ เชือ่ มจุดไดก้ ่ีเสน้ (48) รปู 20 เหล่ียมด้านเทา่ มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น (49) เส้นตรง 5 เส้นไม่ขนานกัน กบั วงกลมรัศมตี า่ งๆ กนั 4 วง จะเกดิ จดุ ตัดมากที่สุดเท่าใด (50) เสน้ ขนานชดุ หน่งึ มี 6 เสน้ อกี ชดุ มี 3 เส้น ตดั กนั จะเกิดสี่เหลี่ยมด้านขนานกร่ี ูป Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 341 ความนา จะเปน (51) [พ้นื ฐานวศิ วะ '39] รปู ทก่ี าํ หนดให้น้ี มีรูปส่ีเหลีย่ มอยู่ทัง้ หมดกี่รปู (52) มบี อล 6 ลูกซง่ึ เหมือนกัน แบ่งให้ นาย ก และ ข จะแบ่งได้กวี่ ิธี หากกาํ หนดว่า (52.1) แต่ละคนต้องได้รับอยา่ งน้อย 1 ลกู (52.2) บางคนอาจไม่ได้รับ (53) มีบอล 6 ลกู ซึง่ เหมือนกัน แบ่งออกเป็น 2 กอง จะแบ่งได้ก่ีวธิ ี หากแต่ละกองตอ้ งมีอย่างน้อย 1 ลกู เทียบผลกับขอ้ (52.1) (54) ลกู อมแบบเดยี วกนั 7 เม็ด แบ่งใหเ้ ด็ก 4 คน ไดก้ ว่ี ิธี (54.1) แตล่ ะคนได้อยา่ งนอ้ ย 1 เมด็ (54.2) แบ่งอย่างไรกไ็ ด้ (55) ลกู อมแบบเดยี วกัน 7 เม็ด แบง่ เป็น 4 กอง ได้กว่ี ิธี ถ้าแตล่ ะกองตอ้ งมีอย่างนอ้ ย 1 เม็ด เทยี บผลกบั ขอ้ (54.1) (56) มจี าํ นวนเต็มบวกที่หาร 100,000 ลงตวั กจี่ ํานวน (57) มีจาํ นวนทห่ี าร 120 ลงตัว กีจ่ าํ นวน (จาํ นวนเตม็ บวก, เตม็ ลบ) (58) มีจํานวนท่หี าร xayb ลงตัวกจ่ี ํานวน ถ้า x, y เปน็ จาํ นวนเฉพาะ 16.5 ทฤษฎีบททวินาม (a + b)0 = 1 สามเหล่ียมของปาสคาล (a + b)1 = a + b 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 11 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 121 13 31 146 41 ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) คือ ทฤษฎที ่กี ล่าวถึงการกระจายทวนิ าม (a + b)n เม่อื a และ b เป็นจํานวนจริง, n และ r เปน็ จํานวนนบั โดย 0 < r < n จะได้ (a + b)n = ⎛ n⎞ anb0 + ⎛n⎞ an − 1b1 + ⎛n⎞ an − 2b2 + ... + ⎛n⎞ a0bn ⎝⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1⎠⎟ ⎝⎜2⎟⎠ ⎜⎝ n ⎠⎟ เรยี กพจน์ที่ r+1 เปน็ พจนท์ ่ัวไป Tr + 1 = ⎛n⎞ an − rbr และเรยี ก ⎛n⎞ ใดๆ วา่ สัมประสิทธิ์ทวินาม ⎝⎜ r ⎟⎠ ⎜⎝ r ⎟⎠ ข้อสังเกต 1. จํานวนพจน์ทัง้ หมดจะมี n+1 พจน์ คอื เริ่มจากสัมประสทิ ธ์ิ ⎛n⎞ ถงึ ⎛n⎞ ⎝⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ n ⎟⎠ กาํ ลงั ของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะทกี่ าํ ลงั ของ b เพ่ิมขึน้ และนาํ กาํ ลังมารวมกนั จะได้ n เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 342 ความนา จะเปน 2. สัมประสิทธิท์ วนิ ามอาจไม่ใช่สมั ประสิทธจ์ิ รงิ ๆ ของพจนน์ น้ั (หากใน a หรอื b มสี มั ประสทิ ธอ์ิ ยอู่ กี ) 3. ⎛ n⎞ + ⎛n⎞ + ⎛n⎞ + ... + ⎛n⎞ = 2n ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝2⎠⎟ ⎜⎝ n ⎠⎟ ดังเช่นเคยพบตอนที่หาจาํ นวนสับเซตท้งั หมด ของเซตที่มีสมาชกิ n ตวั แบบฝึกหัด 16.5 (59) จงกระจายโดยอาศยั ทฤษฎบี ททวนิ าม (59.1) (a + b)5 (59.2) (2x − 3y)4 (59.3) (1 − 2x + x2)4 (60) จากการกระจาย (3x + 1)8 จงหา y (60.1) พจน์ท่ี 4 (60.2) สัมประสิทธิท์ วินามของพจนท์ ี่ 6 (60.3) สมั ประสทิ ธิ์ทวนิ ามของพจน์ท่มี ี x6 (60.4) สัมประสทิ ธิ์ของพจน์กลาง (61) จากการกระจาย (x2 + 3 )12 จงหา x4 (61.1) พจน์ที่ 6 (61.2) สัมประสิทธ์ิทวินามของพจนท์ ่ี 6 (61.3) สัมประสทิ ธิข์ อง x6 (61.4) พจนท์ ีไ่ ม่มีตัวแปร x (62) จงหาคา่ โดยประมาณของ (2.001)7 โดยบอกทศนยิ ม 6 ตําแหนง่ [ Hint : (2 + ]0.001)7 * (63) จากการกระจาย (2x + 3y)7 จงหา (63.1) ผลบวกของสมั ประสิทธ์ิทวนิ ามของทุกพจน์ (63.2) ผลบวกของสัมประสิทธ์ิของทกุ พจน์ โจทย์ทบทวนเร่อื งเทคนคิ การนบั (64) หาจํานวนวธิ ใี นการแบ่งหนงั สือ 12 เล่มตา่ งๆ กนั ออกเปน็ กองๆ 3 กอง (64.1) กองละ 3, 4, 5 เล่ม (64.2) ทกุ กองจํานวนเทา่ กัน (65) หนังสือ 9 เลม่ แบง่ ให้นาย ก, ข, ค ได้กี่วธิ ี ถ้าหาก (65.1) คนหนง่ึ ได้ 2 เล่ม อกี คนได้ 3 เล่ม อีกคนได้ 4 เล่ม (65.2) คนหน่ึงได้ 5 เล่ม อกี 2 คนได้เทา่ กนั (65.3) หนงั สอื ทัง้ 9 เลม่ เหมือนกนั หมด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 343 ความนาจะเปน (66) เด็กคนหนึ่งมบี อลต่างๆ กัน 10 ลกู จะแบ่งเปน็ 5 กอง โดยมี 3 กองท่กี องละ 2 ลกู และอกี 2 กองมกี องละลูก ไดก้ ี่วธิ ี (67) เด็กคนหนง่ึ มบี อลต่างๆ กนั 10 ลกู จะแบง่ ใหเ้ พอื่ น 5 คน โดยมี 3 คนได้คนละ 2 ลกู และ อกี 2 คนได้คนละลูก ไดก้ ี่วิธี (68) แบ่งชาย 5 คน หญิง 3 คน เขา้ พักในหอ้ ง 3 ห้องที่มขี นาด 3, 3, 2 คน (หอ้ งต่างกนั ) จงหา จาํ นวนวธิ แี บ่ง เม่อื (68.1) ใครอยหู่ ้องไหนกไ็ ด้ (68.2) ผูห้ ญิง 3 คนต้องอย่ดู ว้ ยกัน (68.3) ผู้หญงิ 3 คนตอ้ งอยูค่ นละห้องกนั (69) จงหาจาํ นวนวธิ แี บง่ พนกั งาน 6 คนเปน็ 3 กลุ่ม (กลุ่มละกี่คนกไ็ ด้) เพ่ือไปทาํ งาน 3 อย่าง (69.1) ท่แี ตกตา่ งกัน (69.2) ทเ่ี หมือนกัน (70) ครมู ีหนังสือ 8 เล่มท่ตี า่ งกนั จะแบง่ ให้เด็ก 3 คน อย่างนอ้ ยคนละเลม่ ไดก้ วี่ ิธี (71) นกั เรียน 12 คน ในจํานวนนม้ี นี าย ก, ข, ค ด้วย แบ่งเป็น 3 กลุ่ม เท่าๆ กัน จะแบ่งไดก้ ่วี ธิ ี ถา้ (71.1) ไมม่ เี ง่อื นไขเพ่ิมเติม (71.2) นาย ก, ข, ค อยู่ดว้ ยกัน (71.3) นาย ก, ข, ค อยู่แยกกันหมด (72) เดก็ คนหนงึ่ มีลกู แก้วเหมือนกัน 12 ลกู ตอ้ งการแบ่งให้เพอ่ื น 3 คน จงหาจํานวนวธิ ี เมื่อ (72.1) แตล่ ะคนได้อย่างน้อย 1 ลกู (72.2) แตล่ ะคนไดอ้ ยา่ งน้อย 2 ลูก (72.3) อาจมบี างคนไมไ่ ดร้ ับเลย (73) จดหมายเหมือนกนั 9 ฉบบั ตอ้ งการใส่ตู้ไปรษณีย์ 5 ตู้ จะมีกีว่ ธิ ี เมื่อ (73.1) ทกุ ตตู้ ้องมีจดหมาย (73.2) ใส่เพยี ง 3 ตเู้ ทา่ น้นั (74) ชายคนหนงึ่ ประกอบรถยนต์จําหนา่ ย เขามีตวั ถงั รถ 4 ชนดิ เครอื่ งยนต์ 2 ชนดิ สีพ่นรถ 5 สี เขาจะผลิตรถยนตต์ า่ งๆ กนั ไดก้ แี่ บบ (75) ผตู้ รวจงานจะตอ้ งตรวจเครอ่ื งจักร 6 เครอ่ื งทุกวัน เขาพยายามเปล่ียนลาํ ดบั กอ่ นหลงั ในการ ตรวจ เพ่ือไม่ให้พนักงานรตู้ วั จงหาวธิ ที ัง้ หมดท่จี ะใชไ้ ด้ (76) สารเคมชี นดิ หนงึ่ เกิดจากสาร 5 ชนิดผสมกัน โดยเทสารผสมทลี ะอยา่ ง จงหาว่ามวี ธิ ีผสมกี่วธิ ี ถา้ สมมตวิ า่ เทสารใดกอ่ นหลงั ก็ได้ (77) ในการจดั แถวเด็กชาย 5 คน ซง่ึ มี ด.ช.บอย รวมอยู่ดว้ ย และมเี ด็กหญงิ อีก 5 คน จงคํานวณ วธิ จี ัด ถ้า (77.1) ด.ช.บอย ต้องยนื หวั แถวเสมอ (77.2) ด.ช.บอยยืนหวั แถว และสลบั ชายหญงิ (78) เซต A = { 3, 4, 5 } จงหาวา่ มเี ลขกจี่ ํานวนซง่ึ ประกอบด้วยเลขจากเซต A และ (78.1) มีค่านอ้ ยกวา่ 500 (78.2) มคี ่านอ้ ยกว่า 500 และเปน็ จํานวนคู่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 344 ความนา จะเปน (79) มีก่ีจํานวนทป่ี ระกอบจากเลข 2, 4, 6, 8 (ใชไ้ ด้เพยี งตัวละครง้ั ) แล้วมีค่ามากกวา่ 999 (80) นําอกั ษรในคาํ ว่า SPECTRUM มาเรยี งเป็นคาํ ทม่ี ี 4 อกั ษร โดยอกั ษรในคําไมซ่ ้าํ กนั (80.1) ได้ก่คี ํา (80.2) ถ้าตัวสุดท้ายเปน็ สระเสมอ ไดก้ ค่ี าํ (81) จงหาจาํ นวนวิธที งั้ หมดที่จะจดั นกั เรียน 6 คน นง่ั ล้อมรอบโต๊ะกลม โดยที่นาย ก และ ข ซงึ่ อยู่ ในจํานวน 6 คนนั้น จะตอ้ งนงั่ ตดิ กนั เสมอ (82) มจี ุด 10 จดุ บนเส้นรอบวงกลม จะสร้างหกเหล่ยี มไดก้ ่ีรูป (83) มีจาํ นวนบวก 6 จํานวน, จาํ นวนลบ 8 จํานวน, ถ้าเลอื กมา 4 จํานวนโดยการสุ่ม จงหาจํานวน วธิ ที เี่ ลข 4 จาํ นวนน้นั คูณกันแล้วไดผ้ ลลพั ธ์เป็นบวก (84) มีหนังสอื บนช้นั 12 เล่ม จงหาจาํ นวนวธิ ีแบง่ หนงั สอื ใหน้ าย ก 4 เล่ม และนาย ข 3 เลม่ (85) ตะกร้าใบหนง่ึ บรรจบุ อลสีแดง 5 ลูก ขาว 4 ลูก ถ้าหยบิ มา 3 ลกู จะมีก่วี ิธที ีบ่ อล 3 ลูกนัน้ มี สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก เมื่อ (85.1) หยบิ ออกมาทีละลกู โดยไม่ใส่คนื (85.2) หยิบพร้อมกันท้งั 3 ลกู (86) จงหาจาํ นวนวธิ ีเลอื กไพ่ 4 ใบจากไพ่สํารับหนึง่ แล้วได้ A, K, Q, J โดยที่ไพ่เหลา่ นี้ (86.1) มาจากชดุ ตา่ งกนั หมด (86.2) มาจากชุดเดยี วกันหมด (86.3) มาจากชุดใดกไ็ ด้ หมายเหตุ ชุดของไพ่ มี 4 ชดุ (ดอก) และ ชนิดของไพ่ มี 13 ชนดิ (เลข) (87) แจกไพ่ทลี ะ 5 ใบ จงหาจํานวนวิธที ั้งหมด ท่ไี พ่ในมือหน่ึงจะเป็นชุดเดยี วกนั ทั้ง 5 ใบ (88) หาวธิ ที ่ีไพ่ในมือหนึ่งมีโพดาํ 5 ใบ โพแดง 5 ใบ และ ข้าวหลามตดั 5 ใบ (89) หาวธิ ีท่ไี พใ่ นมือหนงึ่ ซ่งึ มี 5 ใบ จะมชี นดิ เดยี วกัน 3 ใบ และอีกชนิด 2 ใบ เช่น AAA22 (90) หาวิธีทไ่ี พ่ในมอื หน่งึ ซง่ึ มี 5 ใบ จะมีชนดิ เดยี วกัน 2 ใบ อีกชนิด 2 ใบ และอกี ชนิด 1 ใบ เช่น AA223 (91) ชาย 5 คน หญงิ 5 คน ถ่ายรูปรว่ มกนั โดยผูช้ ายยนื แถวหลงั ผู้หญงิ น่ังแถวหนา้ ไดก้ ีแ่ บบ (92) จงหาจํานวนผลลพั ธท์ เ่ี กิดข้ึนได้ จากการยิงปนื 10 นัดไปยงั เป้าทแี่ บง่ เปน็ 5 ส่วน (93) ทมี ฟตุ บอล 10 ทีม จดั ประกบคู่กัน 5 คู่ โดยแข่งวนั ละคู่ จะมกี ารจดั ทเ่ี ป็นไปไดก้ ีแ่ บบ (94) ระบายสี 6 สบี นลูกเต๋า ด้านละสี ไดก้ ี่แบบ (95) ระบายสี 5 สบี นลกู เต๋า ดา้ นละสี โดยไมใ่ ห้สีเดยี วกันอยู่ติดกนั ไดก้ แ่ี บบ (96) ระบายสีบนลูกบาศก์หนา้ เกล้ียง ดา้ นละสี ไดก้ ี่แบบ ถ้า (96.1) ระบาย 6 สี (96.2) ระบาย 5 สี โดยสีเดียวกนั ต้องไมอ่ ยตู่ ดิ กนั (96.3) ระบาย 4 สี โดยสเี ดยี วกนั ตอ้ งไมอ่ ยู่ตดิ กัน (97) นาย ก และ ข อย่ใู นหมู่ 7 คน จงหาวธิ จี ัด 7 คนนัง่ ลอ้ มวง โดยไม่ให้ 2 คนนี้อยู่ติดกนั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 345 ความนาจะเปน (98) จาํ นวนเตม็ บวกท่ีหาร 25,000,000 ลงตวั มีกจ่ี าํ นวน B (99) เสน้ ทางการเดนิ ทางจากเมอื ง A ไป B เปน็ ดังรูป ถา้ N ไปไดท้ างทิศเหนอื กบั ตะวนั ออกเท่านนั้ จะไปได้ก่เี ส้นทาง F และหากต้องแวะเตมิ นาํ้ มนั ทจ่ี ุด F ดว้ ย จะเหลือกี่เสน้ ทาง (100) คณะผู้แทนไทย 25 คนไปเยย่ี มประเทศจนี และมี A เจ้าภาพมาตอ้ นรับ 15 คน ถ้าผู้แทนทุกคนตอ้ งทกั ทาย เจ้าภาพใหค้ รบทกุ คนดว้ ย จะมกี ารทักทายเกดิ ขน้ึ ทงั้ หมดก่คี รงั้ (101) ในงานเลี้ยงศษิ ย์เกา่ มีผูไ้ ปงาน 150 คน ถ้าทกุ คนทกั ทายกนั และกัน จะมกี ารทักทายก่ีคร้งั (102) มกี ี่จาํ นวนที่สร้างจาก 0 0 1 1 2 3 3 แล้วมีค่าเกนิ 1 ล้าน (103) จดั คน 5 คน เขา้ พกั ในหอ้ ง 3 ห้องตา่ งๆ กัน ซง่ึ จหุ ้องละ 2 คน ได้ท้ังหมดก่ีวิธี (104) แบ่งนักเรยี น ชาย 3 คน หญิง 5 คน ออกเป็น 2 กลมุ่ เทา่ กนั เปน็ กลุ่ม A และ B โดยแต่ ละกลมุ่ ต้องมีผู้ชายอยดู่ ้วย ได้กแ่ี บบ (105) ชาย 5 คน หญิง 5 คน ยนื สลบั กนั ในแถวตรง โดยนาย ก กบั นางสาว ข ตอ้ งอยู่ตดิ กันเสมอ ได้กแ่ี บบ (106) นักเรยี น 10 คน เรียงแถวเปน็ วงกลม โดยมี 1 คนอย่กู ลางวง ได้กแ่ี บบ (107) แจกของเล่น 5 ชน้ิ ตา่ งๆ กัน ใหเ้ ดก็ 3 คน (ทกุ คนตอ้ งไดอ้ ยา่ งน้อย 1 ชิ้น) ไดก้ ่ีวิธี (108) แบง่ ทอฟฟ่ี 5 ชนดิ ชนิดละ 2 เม็ด ใหเ้ ด็ก 2 คน คนละ 5 เมด็ ได้กี่แบบ (109) บ้านพกั มี 5 ห้อง เป็นหอ้ งคู่ 3 หอ้ ง และห้องเดี่ยว 2 หอ้ ง สามารถจดั คน 8 คนเข้าพกั โดย ในจํานวนนีม้ สี ามีภรรยาคหู่ นึง่ ต้องพกั ดว้ ยกัน ได้ทัง้ หมดก่วี ธิ ี (110) ลูกเตา๋ 2 ลกู ทีต่ า่ งกัน นาํ มาวางประกบกนั ได้ทงั้ หมดกี่แบบ (111) นาย ก และนาย ข เข้าไปจอดรถในท่ีจอดซึ่งเปน็ แถวยาว จอดได้ n คัน โดย ก และ ข ต้อง จอดห่างกนั เว้น 1 ช่อง สามารถทาํ ได้กี่แบบ (ขณะนน้ั ไมม่ ีรถคนั อ่ืนอยู่เลย) * (112) กําหนด A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7} ถ้าให้ C = { E | E ⊂ A และ E ∩ B ≠ ∅ } จงหาจาํ นวนสมาชกิ ของเซต C * (113) A = {1, 2, 3, 4} (113.1) มคี วามสมั พนั ธ์ภายใน A ทงั้ หมดก่ีแบบ (113.2) มคี วามสัมพนั ธภ์ ายใน A ท่มี ี A เป็นโดเมน ทัง้ หมดก่แี บบ (113.3) มีฟังก์ชันจาก A ไป A ทงั้ หมดก่ีแบบ (113.4) มฟี ังกช์ ันหน่งึ ต่อหนึง่ จาก A ไปท่ัวถงึ A ทัง้ หมดกี่แบบ 16.6 ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือการกระทําทเี่ ราไมส่ ามารถบอกได้ว่าแตล่ ะครัง้ จะเกิด ผลลัพธ์ (Outcome) อะไร แต่สามารถบอกได้วา่ มผี ลลัพธ์อะไรบ้างท่ีเป็นไปได้ เซตของ “ผลลัพธ์ท่ีเป็นไปได้ทั้งหมด” เรียกวา่ ปรภิ ูมติ ัวอยา่ ง (Sample Space; S) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 346 ความนา จะเปน และเซตของ “ผลลัพธ์ใดๆ ทีเ่ ราสนใจ” เรยี กว่า เหตกุ ารณ์ (Event; E) ดงั นั้น E ⊂ S ตัวอยา ง การทดลองสมุ โยนเหรียญ 1 อนั 3 ครง้ั มีผลลพั ธท ี่เปน ไปไดตางๆ กนั 8 แบบ ดังนั้น ปริภมู ติ ัวอยา ง S = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT } มีเหตุการณ E ⊂ S ทีเ่ ปนไปได 28 = 256 แบบ เชน E1 = ออกหัวเกิน 1 คร้งั = { HHH, HHT, HTH, THH } S ¨´u ·¼èÕ i´º‹oÂ! S E2 = ออกอยา งใดอยางหนึ่งลวน = { HHH, TTT } E3 = ออกกอ ยในครงั้ ทีส่ อง = { HTH, HTT, TTH, TTT } ÃaÇa§ÊaºÊ¹ÃaËÇҋ §¤íÒÇ‹Ò “e˵¡u Òó” ¡aº¤Òí Ç‹Ò “¼ÅÅa¾¸” ¹a¤Ãaº µoŒ §¤i´ãËÌ oº¤oºÇ‹Òo¨·Â E4 = ออกหวั และกอ ยเทาๆ กัน = ∅ ¶ÒÁoaäà ความนา่ จะเปน็ (Probability) ของเหตกุ ารณท์ ่ีเราสนใจ จะหาไดเ้ ฉพาะเหตุการณท์ ่ีเป็นการทดลองสุ่มซ่ึงโอกาสเกดิ แต่ละผลลพั ธ์มคี ่าเท่าๆ กันเท่าน้นั โดยความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์ P(A) จะคํานวณได้จาก P(A) = n(A) n (S) เมื่อ n(A) คอื จาํ นวนผลลัพธ์ที่อย่ใู น A และ n(S) คือจํานวนผลลัพธท์ งั้ หมดทเ่ี ป็นไปได้ สมบัติของความน่าจะเป็น 1. ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณใ์ ดๆ มคี า่ อยใู่ นชว่ ง 0 ถงึ 1 เท่าน้นั 0 < P(A) < 1 โดยความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ท่ไี ม่มผี ลลัพธ์เลย มีค่าเป็น 0 P (∅) = 0 และความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ที่มผี ลลัพธไ์ ดท้ กุ แบบ มคี ่าเป็น 1 P(S) = 1 2. ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณท์ ่เี ราสนใจ รวมกับความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ทีเ่ หลอื (ที่เราไม่ สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P (A) = 1 − P (A ') 3. ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ หาได้จาก P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ซ่งึ จากสมบตั ิขอ้ 2 และ 3 ทาํ ใหเ้ ราสามารถใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ชว่ ยคํานวณได้ หมายเหตุ ความหมายของ A ∩ B ก็คอื เหตุการณ์ “A และ B” (เกิดขึน้ ครบทั้งสองอยา่ ง) ส่วน A ∪ B กค็ อื เหตกุ ารณ์ “A หรอื B” (เกิดขนึ้ อย่างใดอยา่ งหนง่ึ หรือทง้ั สองอยา่ งกไ็ ด้) หากเหตุการณ์สองเหตกุ ารณ์ มลี ักษณะดงั นี้ A ∩ B = ∅ เราจะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่าเปน็ เหตกุ ารณ์ทไ่ี ม่เกดิ ร่วมกัน (Mutually Exclusive) (หรือ Disjoint) และจะทาํ ให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) แต่หากเหตกุ ารณส์ องเหตุการณ์มีลักษณะดังนี้ P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) เราจะเรียกเหตกุ ารณ์ A และ B ว่าเปน็ เหตกุ ารณท์ ่ไี มข่ ้ึนต่อกัน หรือ อสิ ระจากกัน (Independent) และจะทาํ ให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) ⋅ P (B) แบบฝึกหดั 16.6 (114) โยนลกู เตา๋ 2 ลกู พร้อมกัน สนใจผลรวมแต้มของลูกเต๋า จงหาปริภมู ติ วั อยา่ ง (115) ผลลพั ธข์ องหน้าลกู เตา๋ สองลูก (ลูกเต๋าไม่ตา่ งกนั ) ทีโ่ ยนพร้อมๆ กัน มกี ี่แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 347 ความนาจะเปน (116) โยนเหรียญ 1 อนั และสนใจหน้าเหรยี ญทีห่ งายขนึ้ จะมีเหตกุ ารณ์กี่แบบ อะไรบ้าง (117) ถา้ P (A) = 0.48 , P (B) = 0.32 , และ P (A ∩ B) = 0.25 จงหา P (A ∪ B) , P (A − B), P (A ') , และ P (B ') (118) ถา้ P (A) = 0.4 , P (B) = 0.55 , และ P (A ∩ B) = 0.15 จงหาความนา่ จะเป็นของ (118.1) เหตุการณ์ A และ B (118.2) เหตุการณ์ A หรอื B (118.3) เหตุการณท์ ไี่ มใ่ ช่ท้งั A และ B (119) [Ent’39] ความน่าจะเปน็ ท่ีสมศกั ดิจ์ ะสอบผา่ นวิชาคณติ ศาสตร์ และเคมี เปน็ 2 และ 4 39 ตามลําดบั ถ้าความนา่ จะเป็นท่ีเขาจะสอบผ่านทั้งสองวชิ า เปน็ 1 จงหา 4 (119.1) P {ผ่านอย่างน้อย 1 วิชา} (119.2) P {ผา่ นเพยี งวชิ าเดยี ว} (119.3) P {ไม่ผา่ นทัง้ 2 วิชา} (120) [Ent’39] ลกู เตา๋ ลูกหนึ่ง ถกู ถ่วงน้าํ หนกั ให้แต้มคู่แตล่ ะหนา้ มีโอกาสเกิดเป็น 2 เทา่ ของแตม้ ค่ี จงหาความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ตอ่ ไปนี้ในการโยนแตล่ ะครง้ั (120.1) ไดแ้ ต้มคู่ (120.2) ได้แตม้ ค่ี (120.3) ได้จาํ นวนเฉพาะ (120.4) ไดแ้ ต้ม 1 หรือแต้มคู่ (121) โยนลกู เตา๋ ท่แี ตกต่างกนั 2 ลกู 1 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (121.1) ผลรวมแต้มได้ 8 (121.2) ผลรวมแตม้ เป็นจํานวนเฉพาะ (121.3) ผลรวมแตม้ เปน็ จํานวนคู่ (122) ถา้ สลับอักษรในคาํ วา่ STATISTICS อย่างสุ่ม จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีคาํ ทไี่ ด้น้ันจะ (122.1) มตี วั T ติดกัน 3 ตัว (122.2) มตี วั T ติดกัน 2 ตัว (123) กลอ่ งใส่ลกู บอลสองใบ ใบแรกมีบอลสแี ดง 2 ลูก สีขาว 3 ลูก และกลอ่ งท่สี องมีบอลสีแดง 3 ลกู สขี าว 4 ลูก ถา้ สุม่ หยบิ บอลอย่างสุ่มออกมากลอ่ งละ 2 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ (123.1) ไดส้ ีแดงทง้ั 4 ลูก (123.2) ได้สขี าวทั้ง 4 ลกู (123.3) ไดส้ ีแดงอยา่ งน้อย 1 ลูก (123.4) ไดส้ ีขาวอย่างน้อย 1 ลูก (123.5) ไดส้ ีละ 2 ลูก (124) [Ent’38] ในการประกวดร้องเพลงครัง้ หน่งึ มีผเู้ ขา้ รอบ 3 คน แต่ละคนตอ้ งส่มุ เลอื กเพลงทีจ่ ะ รอ้ ง 1 เพลง จากเพลงบังคบั ทมี่ อี ยู่ 5 เพลง จงหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ตอ่ ไปนี้ (124.1) เลือกร้องเพลงเดียวกันทั้ง 3 คน (124.2) เลอื กร้องเพลงเดียวกันเพยี ง 2 คน (124.3) มคี นร้องเพลงซํา้ กนั (124.4) ไม่มีคนร้องเพลงซํ้ากัน Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 348 ความนาจะเปน (125) [Ent’37] มเี ลข 9 จาํ นวน ซ่งึ เป็นบวก 6 จาํ นวน ลบ 2 จํานวน และศนู ย์ 1 จาํ นวน ใน จาํ นวนบวกมเี ลขคูก่ บั ค่เี ท่าๆ กนั ในจาํ นวนลบก็เชน่ กนั ถ้าสุ่มเลขดังกลา่ วมา 4 จาํ นวน จงหา (125.1) P {ผลคณู ของเลขสจ่ี าํ นวน เปน็ ศูนย}์ (125.2) P {ผลคูณของเลขสจ่ี ํานวน มากกว่าศูนย์} (125.3) P {ผลคูณของเลขสจ่ี ํานวน นอ้ ยกวา่ ศูนย์} (125.4) P {ผลคูณของเลขสจ่ี าํ นวน มากกวา่ ศนู ย์และเปน็ จํานวนค}ู่ (125.5) P {ผลคูณของเลขสีจ่ ํานวน นอ้ ยกว่าศูนยแ์ ละเป็นจํานวนค่ี} (126) นกั เรยี น ม.4, 5, 6 สง่ ตวั แทนชายหญงิ มาชน้ั ละคู่ หากสมุ่ เลอื กตัวแทนออกมา 2 คน ความ น่าจะเปน็ ทีจ่ ะได้ชายและหญิงท่มี าจากชนั้ ต่างกัน เปน็ เท่าใด (127) ครูมหี นังสอื เรียน 5 วิชา วชิ าละ 2 เล่ม (ทเ่ี หมอื นกนั ) นํามาแบ่งให้นักเรียน 2 คน คนละ 5 เล่มอยา่ งสุ่ม ให้หาความน่าจะเป็นท่นี ักเรียนแต่ละคนจะไดห้ นังสอื ครบทกุ วชิ า (128) จากการกระจาย (4a + 5b)8 ถ้าส่มุ หยบิ สมั ประสิทธ์ิทวินามออกมา 2 จํานวน ให้หาความ นา่ จะเป็นที่จาํ นวนท้งั สองจะมีคา่ ไม่เทา่ กัน (129) กล่องใบหน่ึงมสี ลากตัวเลขจํานวนเตม็ ท่ีไมซ่ า้ํ กนั ทุกใบเป็นจํานวนทหี่ ารดว้ ย 4 หรือ 6 ลงตวั และมคี ่ามากกว่า 10 แต่ไมเ่ กิน 100 หากส่มุ หยบิ สลากออกมา 1 ใบ ใหค้ ํานวณหาโอกาสที่ตวั เลข น้นั จะหารด้วย 4 ไมล่ งตัว หรอื หารดว้ ย 6 ไม่ลงตวั (130) กาํ หนดเมตรกิ ซ์ A = ⎡k −4 1⎤ และเซต B = { x ∈ I | x2 < 21x } สุ่มสมาชิกจาก B ⎣⎢ k k −6⎦⎥ มา 1 ตัว เพอ่ื แทนค่า k ในเมตรกิ ซ์ A จงหาโอกาสที่ A จะเปน็ นอนซงิ กลู ารเ์ มตริกซ์ (131) ตารางขนาด 12 ชอ่ งน้ี ถกู ทาสีลงไปตามลําดับทลี ะช่องอยา่ งสุ่ม B A C โดยการโยนเหรียญ คือถา้ เหรียญออกหวั จะทาสแี ดง และถา้ ออกกอ้ ยจะ D ทาสเี ขียว ทาํ เช่นนีจ้ นครบทกุ ชอ่ ง จงหาความนา่ จะเป็นทชี่ ่อง A, B, C, D จะเปน็ สแี ดงหมดทงั้ ส่ีช่อง (132) สลากเลข 1 ถงึ 4 อยู่ในกล่อง สุ่มหยิบขนึ้ มาทลี ะใบจนครบทุกใบ ให้หาความน่าจะเป็นท่ีจะได้ เลขเรยี งจากนอ้ ยไปมากพอดี (ลองคิดทัง้ แบบการนบั และแบบความนา่ จะเปน็ คณู กัน) (133) ในโรงพยาบาลมีผปู้ ว่ ยโรคหืดหรือหอบ 60% เป็นหืด 41% เปน็ หอบ 28% ถ้าสุ่มเลือกผ้ปู ่วย มา 1 คน ใหห้ าความนา่ จะเป็นทคี่ นไขค้ นนีจ้ ะเปน็ โรคหืดเพียงอยา่ งเดยี ว เฉลยแบบฝึกหัด (คาํ ตอบ) (15) 6!2! , 7 !− 6!2! (26) 3! (27) 3! (28) 2! 3! (16) 24, 12 (17) 5!× P6,4 2 (18) 4!× 2 (19) 6! (29) 2 × 5!6! (30) 2! 4! (31) 4!× P5,4 (32) 8 (1) 18 (2) 125 (3) 72 (4) 7 ! (5) 15 (6) 2547 (7) (5×5) + (5×5) (8) 100, 48, 43, 30 (9) 140 (10) 720, 1/28, 24, 210 ( ) ( ) ( )(11) 3 (12) 5 (13) 4!, P4,2+P4,3 +P4,4 = 60 (14) 5! , 5! 2! (20) 5! ×P6,4 , 4 !5!, 5! ×P5,4 , (33) 10 (34) 6 (35) 16 , 3 3 8 4×5 ! ×P5,3 (21) 11! ⎜⎝⎛ 62 ⎞⎠⎟ ⎛⎜⎝ 10 ⎞⎠⎟ , ⎝⎛⎜65⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛ 130⎟⎠⎞ + ⎜⎛⎝66⎟⎞⎠ ⎝⎜⎛ 120⎞⎟⎠ , 4!4!2! 6 (22) 2 × 6! × 1 (23) 3! 4! 2! 2! ⎜⎝⎛ 186⎟⎞⎠ − ⎜⎛⎝61 ⎞⎠⎟ ⎝⎜⎛ 170⎟⎞⎠ − ⎛⎝⎜ 180⎞⎟⎠ (24) 7! (25) (2×4× 3 !) + P5, 3 4!3! 2! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 349 ความนาจะเปน (36) ⎜⎝⎛62⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝52⎠⎟⎞ (37) ⎝⎛⎜23⎞⎠⎟ ⎝⎛⎜ 128⎞⎠⎟ + ⎝⎜⎛ 33⎞⎟⎠ ⎝⎜⎛ 18 ⎠⎞⎟ (74) 40 (75) 6! (76) 5! 1 (77) 9! , 5! 4! (78) 30, 10 (79) 4! (80) ,P8,4 7×6×5×2 (81) 2 ! 4 ! (38) ⎝⎜⎛ 163⎠⎞⎟ + ⎜⎝⎛ 13 ⎠⎞⎟ + ⎛⎜⎝ 143⎞⎠⎟ (39) ⎝⎜⎛31 ⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝53⎞⎟⎠ ⎜⎝⎛24⎟⎞⎠ 5! 5 (40) 20 + 36 + 480 + 360 (41) ⎜⎝⎛ 10 ⎟⎞⎠ ÷ 4 → 12 (82) ⎛⎜⎝ 10 ⎞⎟⎠ (83) ⎝⎛⎜ 64 ⎟⎞⎠ + ⎝⎜⎛62⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜82 ⎟⎠⎞ + ⎜⎛⎝ 8 ⎞⎟⎠ 2 6 4 (42.1) 9! (42.2) 9! (43) 9! (84) 12! (85.1) 9×8×7 − 5×4×3 4!3!2! (3 !)33 ! (3 !)3 3!4!5! (44) 7 ! (45) ⎝⎜⎛62⎞⎠⎟ , ⎛⎝⎜63⎠⎟⎞+⎝⎛⎜64⎠⎞⎟+⎝⎜⎛65⎟⎠⎞+⎛⎝⎜66⎟⎠⎞ (85.2) ⎝⎜⎛93⎞⎟⎠ − ⎜⎛⎝53⎞⎟⎠ (86) 4 ! , 4 , 44 3!2!2! (46) ⎝⎛⎜27⎞⎠⎟−⎜⎝⎛24⎟⎞⎠+1−⎝⎛⎜23⎞⎟⎠+1 , ⎛⎜⎝ 37 ⎟⎞⎠−⎝⎜⎛ 4 ⎞⎟⎠−⎜⎛⎝ 33 ⎠⎞⎟ (87) ⎛⎝⎜153⎞⎠⎟ × 4 (88) ⎜⎝⎛ 13 ⎠⎟⎞3 3 5 (47) ⎛⎜⎝ 122⎠⎞⎟−6 ⎛⎜⎝ 3 ⎠⎞⎟+6 (48) ⎝⎛⎜220⎟⎠⎞−20 (89) ⎛⎜⎝ 113 ⎞⎠⎟ ⎜⎝⎛ 4 ⎞⎠⎟ ⎛⎜⎝ 112⎟⎞⎠ ⎜⎛⎝ 24 ⎠⎞⎟ 2 3 (49) ⎛⎝⎜52⎟⎠⎞+2 ⎜⎛⎝24⎠⎟⎞+2 ⎛⎝⎜51⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 41 ⎠⎟⎞ (50) ⎛⎜⎝62 ⎟⎞⎠ ⎜⎝⎛ 3 ⎞⎠⎟ (90) ⎜⎛⎝ 123 ⎠⎞⎟ ⎜⎝⎛ 24 ⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝ 4 ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ 111⎟⎞⎠ ⎝⎛⎜ 41 ⎟⎞⎠ (91) 5!5! 2 2 (51) ⎛⎝⎜ 52 ⎠⎞⎟ ⎝⎛⎜ 23 ⎠⎟⎞ + ⎛⎝⎜ 3 ⎠⎞⎟ ⎜⎛⎝ 4 ⎟⎠⎞ −⎝⎛⎜ 23 ⎠⎞⎟ ⎝⎜⎛ 23 ⎟⎞⎠ (52) ⎜⎛⎝51 ⎠⎟⎞ , ⎜⎝⎛ 7 ⎞⎟⎠ (92) 610 (93) 10! (94) 6! 2 2 1 (2 !)5 (53) 3 (54) ⎜⎛⎝63⎞⎠⎟ , ⎝⎛⎜130⎟⎠⎞ (55) 3 (56) 36 (95) ⎜⎛⎝51 ⎞⎠⎟ ⎜⎛⎝ 3 ⎞⎠⎟ 4 ! (96) ⎝⎜⎛51 ⎟⎞⎠ 3 ! , ⎝⎛⎜51 ⎞⎠⎟ 3 ! ÷ 2 , (57) 32 (58) 2(a+1)(b+1) 1 (59.1) a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4 −56x3+b5 ⎝⎜⎛24⎞⎟⎠ (97) 6!− 2!5! (98) 63 (59.2) 16x4−96x3y+216x2y2−216xy3+81y4 (98) 10! , 4! × 6! (100) 25 × 15 (59.3) 1−8x+28x2 +70x4−56x5+28x6−8x7+x8 5!5! 2!2! 3!3! (60.1) ⎜⎝⎛ 8 ⎟⎠⎞ (3x)5( 1)3 (60.2) ⎝⎜⎛ 8 ⎞⎟⎠ (60.3) ⎛⎝⎜82⎟⎞⎠ (101) ⎝⎛⎜1520⎠⎟⎞ (102) 450 3 y 5 (103) 5! (104) 60 (60.4) ⎝⎛⎜ 8 ⎠⎟⎞ (61.1) ⎛⎜⎝ 12 ⎟⎞⎠ (x2)7(x34 1!(2 !)22 ! × 3 ! 4 5 (34) )5 (105) 9(4 ! 4 !) × 2 (106) 10 × 8! (61.2) ⎜⎝⎛ 12 ⎞⎟⎠ (61.3) พจนท์ ่ี 4 → ⎜⎛⎝ 12 ⎟⎠⎞ (33) (107) ⎛ 5! + 5! ⎞ 3! 5 3 ⎜⎝ 1!(2 !)22 ! (1!)22 ! 3 !⎟⎠ (61.4) พจนท์ ่ี 5 → ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟ (x2)8(x34 )4 (108) ⎛⎝⎜ 52 ⎞⎟⎠ ⎛⎝⎜ 3 ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝51 ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ 43⎞⎠⎟ 4 1 + + 1 (62) 128.448673 (63.1) 27 (63.2) 57 (109) 6! (110) ⎛⎝⎜61 ⎟⎞⎠ ⎛⎝⎜61 ⎞⎠⎟ × 4 (64) 12! , 12! (65) 9! 3! , (2 !)2(1!)2 × 3 3 ! 4 ! 5 ! (4 !)33 ! 2!3!4! (111) 2(n−2) (112) 26 − 23 5 9! ! 3 ! , ⎜⎝⎛82 ⎞⎟⎠ (66) ⎝⎜⎛ 10 ⎠⎞⎟ (2 !)3 8! ! (113) 216 , 154 , 44 , 4 ! !(2 !)22 8 3 !(1!)22 (67) ขอ้ ที่แล้ว × 5! (68) 8! , 5!2! , 5! 3! (114) S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (115) 21 แบบ (116) 4 แบบ 3! 3!2! 3!2! 1!2!2! (69.1) ⎛ 6! + 6! + 6! ⎞ × 3! คอื E1 = ∅ , E2 = {H} , E3 = { T} , ⎜⎝(1!)22 ! 4 ! 1!2! 3! (2 !)33 !⎠⎟ E4 = {H, T} (117) 0.55, 0.23, 0.52, 0.68 (69.2) เหมอื นขอ้ ทแ่ี ลว้ แต่ไมต่ อ้ งคณู 3! (118) 0.15, 0.8, 0.2 (70) ⎛ 8 ! + 8! + 8! + 8! + 8! ⎞ 3! (119) 31/36, 11/18, 5/36 1! 2 ! 5 ! 1! 3! 4! (2 !)22 ! 4 ! 2 !(3 !)22 ! ⎟⎠ (120) 2/3, 1/3, 4/9, 7/9 ⎝⎜ (1!)22 ! 6 ! (71) 12! , 9! , (3 9! ! 3 ! (121) 5/36, 15/36, 18/36 !)3 3 (122) 1/15, 7/15 (4 !)33 ! (4 !)22 ! 1! (72) ⎝⎜⎛ 121⎟⎠⎞ , ⎜⎛⎝ 8 ⎞⎠⎟ , ⎜⎝⎛ 124⎞⎟⎠ (73) ⎛⎝⎜84⎠⎟⎞ , ⎛⎝⎜53⎠⎟⎞ ⎛⎜⎝82⎟⎠⎞ (123) 1/70, 3/35, 32/35, 69/70, 29/70 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 350 ความนา จะเปน (124) 1/25, 12/25, 13/25, 12/25 (128) 8/9 (129) 1 – (8/30) (125) 4/9, 5/21, 20/63, 5/21, 1/126 (130) 9/10 (131) 1/16 (126) 2/5 (127) 1/51 (132) 1/24 (133) 32% เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธีคดิ ) (1) มกี ารเลือกอยู่ 3 ขนั้ ตอน (ก ไป ข, ข ไป ค, (8.3) • กรณหี ลกั ร้อยเป็น 3 ค ไป ง) จาํ นวนวิธีของขนั้ ตอนแรก คอื 3 วธิ ี หลักรอ้ ยได้ 1 วธิ ี คอื 3, หลกั สบิ ได้ 1 วธิ คี อื 5 ข้นั ตอนสอง คือ 2 วิธี และขั้นตอนสามคอื 3 วธิ ี หลักหน่วย 3 วิธี (ตอ้ งไม่เปน็ 0 เพราะจะได้ 350) จึงไดว้ า่ 3 × 2 × 3 = 18 วธิ ี จงึ ได้ 1 × 1 × 3 = 3 (2) มี 3 ขน้ั ตอน คอื • กรณีหลกั รอ้ ยเป็น 4 หรือ 5 - บอลลกู แรกใสห่ ีบไหนดี (5 วธิ )ี หลักร้อยเลอื กได้ 2 วธิ ,ี หลกั สบิ กบั หลกั หนว่ ยเปน็ - บอลลกู สองใสห่ ีบไหนดี (5 วิธ)ี อะไรก็ได้ จึงได้ 2 × 5 × 4 = 40 - บอลลกู สามใสห่ ีบไหนดี (5 วิธ)ี ∴ ตอบ 43 จาํ นวน (นาํ ผลแต่ละกรณมี าบวกกนั ) ตอบ 5 × 5 × 5 = 125 วิธี (8.4) ไมไ่ ด้บอกวา่ แตล่ ะหลกั หา้ มซาํ้ กนั ! (3) 6 × 4 × 3 = 72 แบบ หลกั หนว่ ย ได้ 1 วธิ ี คอื 0, หลกั รอ้ ยได้ 5 วธิ ี คอื 1 (4) เอาตวั ไหนมาวางหนา้ สดุ เลือกได้ 7 วธิ ี ถึง 5, หลักสบิ เป็นอะไรกไ็ ด้ คือ 6 วธิ ี ตวั ถดั มาเหลอื 6 วธิ ี เพราะหา้ มใชต้ ัวซา้ํ จงึ ได้ 1 × 5 × 6 = 30 ถดั มาก็เหลอื 5, 4, 3 ไปเรอ่ื ยๆ จนถงึ 1 (9) • กรณี ช ญ ช 5 × 4 × 4 = 80 ดงั นนั้ คาํ ตอบคอื 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 • กรณี ญ ช ญ 4 × 5 × 3 = 60 รวม 140 ชุด = 5,040 แบบ (10) 10 ! = 10 × 9 × 8 × 7 ! = 720 (5) หยิบสีแดงจากถงุ ใบแรก ได้ 3 วธิ ี 7! 7! หยบิ จากถุงใบสองได้ 5 วธิ ี (ถงุ ใบสองมสี ีแดง 3 ลกู 6!3! = 1 = 1 P4, 3 = 4! = 24 แล้ว และมสี ดี ํา 2 ลูก) ดงั นนั้ 3 × 5 = 15 วิธี 4 ! 7 ! 4 ⋅ 7 28 1! (6) มีการตดั สินใจเลอื กอยู่ 12 ครงั้ ดงั น้ี P7, 3 = 7! = 7×6×5 = 210 4! (11) (n + 3)(n + 2) = 30 → n2 + 5n − 24 = 0 2×2× 2 × 2 × 2 × 4×4×4 × 4 × ... × 4 ถูก-ผิด ก,ข,ค,ง → (n + 8)(n − 3) = 0 → n = 3 เทา่ นน้ั = 25 ⋅ 47 = 16,416 แบบ (เพราะถา้ n = − 8 จะทาํ ใหห้ นา้ แฟคทอเรยี ลตดิ ลบ) (7) คิดแบบแยกกรณี (12) 2 (n)(n − 1) + 50 = (2n)(2n − 1) • กรณแี รก คู่ + ค่ี = 5 × 5 = 25 → 50 = 2n2 → n = 5 เทา่ นนั้ (13.1) 4 × 3 × 2 × 1 ( = P4,4) = 24 วิธี • กรณสี อง ค่ี + คู่ = 5 × 5 = 25 รวม 50 วธิ ี (13.2) • ใช้ 2 ช้นิ 4 × 3 ( = P4,2) = 12 หรอื คิดแบบไมต่ อ้ งแยกกรณกี ็ได้ ดงั น้ี • ใช้ 3 ชน้ิ 4 × 3 × 2 ( = P4,3) = 24 ใบแรกเป็นใบไหนก็ได้ = 10 วธิ ี ไม่ว่าใบแรกจะเปน็ เลขใด ใบทส่ี องก็จะเลอื กได้ 5 วธิ ี จงึ ได้ 10 × 5 = 50 วธิ ี • ใช้ 4 ชนิ้ P4,4 = 24 ดงั นัน้ ได้ 60 วธิ ี (8.1) หลกั รอ้ ยห้ามเป็นเลข “0” จะเลอื กได้ 5 แบบ (14.1) P5,5 = 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 หลกั สบิ หา้ มซาํ้ กบั หลกั รอ้ ย จึงเหลอื ใหเ้ ลอื ก 5 แบบ (รวม 0 ดว้ ย, ใช้ 1 ถงึ 5 ไปแลว้ ในหลักรอ้ ย 1 ตวั ) (14.2) P5,3 = 5 × 4 × 3 = 60 หลกั หนว่ ย เหลอื ใหเ้ ลอื ก 4 แบบ จงึ ได้ 5 × 5 × 4 = 100 จํานวน (15.1) มอง S กับ T ติดกนั จะเหลอื อกั ษรเพยี ง 6 ตัว คอื H, O, N, E, ST, Y สลบั ได้ 6! แบบ (8.2) เลอื กหลักหนว่ ย ได้ 3 แบบ แตใ่ นทกุ แบบสามารถสลบั ภายใน ST ได้ 2! แบบ หลักรอ้ ย เหลอื 4 แบบ แล้วมาหลักสิบ ก็ 4 แบบ ด้วย (คอื ST, TS) ∴ ตอบ 6! × 2 ! = 1,440 คํา จงึ ได้ 3 × 4 × 4 = 48 จํานวน (15.2) ใชว้ ธิ ลี บออก ดงั นี้ (สังเกต ควรคดิ จากหลกั ทม่ี เี งื่อนไขมากๆ กอ่ น) ST ไมต่ ดิ กนั = วธิ ที ง้ั หมด - ST ตดิ กนั = 7 ! − 6 ! 2 ! = 3,600 คาํ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )