สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 201 ฟงกชนั เอกซโพเนนเชียลและลอการทิ มึ (11.8) ถา้ a > 1 → x2 + 7 < 8x − 8 (13.1) 49 ÷ 490.25 log 7 25 = 49 ÷ 250.25 log 7 49 → x2 − 8x + 15 < 0 → (x − 5)(x − 3) < 0 = 49 ÷ 250.5 = 49 / 5 → (3, 5) (13.2) (9 ⋅ 58 ⋅ 42 ⋅ 54) = 24 ⋅ 512 9 ถา้ 0 < a < 1 → x2 + 7 > 8x − 8 1 → x2 − 8x + 15 > 0 → R − [3, 5] (13.3) 3 −log212 26 2log3 32 − 22 = 32 ∴ ตอบ (3, 5) เม่อื a > 1 และ R − [3, 5] เมื่อ 0 < a < 1 = 3 −2 (12.1) log 10−2 + log2 2−2 + log5 5−2 + log50 50−2 (13.4) 25 ⋅ 64 ⋅ 36 ⋅ 16 = 144 = −2 − 2 − 2 − 2 = −8 42 22 22 52 (13.5) ⎛ 16 36 ⎞ 1 / 2 ⎜ ⎟ [หมายเหตุ 0.01 = 1 = 10−2, 0.25 = 1 = 2−2 ⎜ 32 ⋅ 32 ⎟ = 4⋅6 = 4.8 100 4 ⎜⎜⎝ 25 ⋅ 1 ⎟⎟⎠ 5 32 32 ]0.04 = 1 = 5−2, ... [หมายเหตุ ข้อ 13.1, 13.2, 13.4, 13.5 25 ใชก้ ฎที่วา่ Alogm B ]= Blogm A (12.2) log2(21) + 7 log3( 1) log4(21) 3 − log8(1) + (14) พิจารณา 1 = 1 = −1 + 7(−1 / 2) − 0 + (−1 / 2) = −5 1 + loga bc loga a + loga bc [หมายเหตุ log4(21) = log22(2−1) = − 1] = 1 = log a 2 loga abc log abc (12.3) log2−1 23 + log2−3 2 + log2 2−3 + log23 2−1 และเช่นกนั 1 = log b 1 + logb ac log abc = −3 − 1 − 3 − 1 = − 20 3 33 และ 1 = log c 1 + logc ab log abc (12.4) log 20 + 7 log 15 − 7 log 16 + 5 log 24 ดังนน้ั จะได้ log a + log b + log c = 1 − 5 log 25 + 3 log 80 − 3 log 81 log abc = (2 log 2 + log 5) + (7 log 3 + 7 log 5) (15.1) (gof)(2) = g(f(2)) = g(1) = 0 − (28 log 2) + (15 log 2 + 5 log 3) − (10 log 5) (15.2) g(2b) = log2b 2b2b = 2b + (12 log 2 + 3 log 5) − (12 log 3) (15.3) จาก pq = log8 3 ⋅ log3 5 = log 5 log 8 = log 2 + log 5 = log 10 = 1 (12.5) 2 log 5 + 2 + 2 log 2 ∴ log 5 = pq log 8 = pq(3 log 2) log 50 log 50 log 50 = pq(3(1 − log 5)) = 3pq − 3pq log 5 =4= 4 → (1 + 3pq) log 5 = 3pq → log 5 = 3pq log 50 1 + log 5 1 + 3pq (12.6) log2 24 log2 96 − log2 192 log2 12 (15.4) x = log 3 3−2 ⋅ 3−4 = log(3−2) = log2(23 ⋅ 3) log2(25⋅ 3) − log2(26 ⋅ 3) log2(22⋅ 3) y = 2 log 5 − 3 log 2 − 2 log 5 + 2 log 3 = (3 + log2 3)(5 + log2 3) − (6 + log2 3)(2 + log2 3) + 3 log 2 + log 3 − 2 log 3 = log 3 = 15 + 8 log2 3 + [log2 3]2 − 12 − 8 log2 3 − [log2 3]2 ∴ x + y = −2 log 3 + log 3 = − log 3 =3 (15.5) 3a + 2b (12.7) log2 1 = 0 → ∴ ตอบ 0 = log7(11 − 6 2)3 + log7(45 + 29 2)2 = log7[(11 − 6 2)3(45 + 29 2)2] (12.8) log 3 ⋅ log 4 ⋅ log 5 ⋅ ... ⋅ log 32 log 2 log 3 log 4 log 31 = log7[(3,707 − 2,610 2)(3,707 + 2,610 2)] = log 32 = 5 log 2 = log7(117,649) = log7(76) = 6 (12.9) log4(lloogg831) = log4 4 = 1 (15.6) จาก log a = log x และ log b = 10 log x (12.10) 52log 7 7 + 5 log2 2−6 − 2 log32 33 และ log c = 100 log x และ log d = 1000 log x นํามาบวกกนั จะได้ log abcd = 1111 log x = 52 + (−30) − 2(3 / 2) = 19 ∴ logabcd x = 1 / 1111 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 202 ฟง กช ันเอกซโพเนนเชียลและลอการทิ มึ (15.7) p = loga(logb a) (19.4) 32x − 3x ⋅ 2 = −1 → 32x − 2 ⋅ 3x + 1 = 0 → ap = aloga(logb a) = logb a → (3x − 1)2 = 0 → 3x = 1 → x = 0 (15.8) 2 log2 a − 3 log2 b = 4 .....(1) (19.5) log4 log3 log2(x2 + 2x) = 0 และ 3 log2 a − 4 log2 b = 6 .....(2) → log3 log2(x2 + 2x) = 40 = 1 แกร้ ะบบสมการได้ log2 a = 2 และ log2 b = 0 → log2(x2 + 2x) = 31 = 3 → x2 + 2x = 23 = 8 ตอบ∴ a = 4, b = 1 → (42 + log8 1)1 / 2 = 4 ดังนน้ั (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4 หรอื 2 (19.6) วิธีเดียวกบั ข้อทแ่ี ล้ว จะไดผ้ ลเปน็ (15.9) loga(x − m) = 2 loga x − 2 loga m → loga(x − m) = loga(mx )2 →x −m = ( x )2 x2 1 = 1 → x2 − x + 4 = 6 m −x+4 6 → xm2 − m3 = x2 → ∴ x2 − m2x + m3 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, −1 (16.1) โดเมน 2 − x > 0 → x < 2 (19.7) x2 − 1 = 5 − x → x2 + x − 6 = 0 D = (−∞, 2) และเรนจ์ R = R → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3, 2 (16.2) โดเมน −x > 0 → x < 0 D = (−∞, 0) = R− และเรนจ์ R = R ตรวจสอบคําตอบที่ได้ → พบวา่ x = −3 ไมไ่ ด้ เพราะจะเกิดฐานเปน็ 1 → ∴ x = 2 เทา่ นน้ั (16.3) โดเมน x > 0 D = (0, ∞) = R+ (20.1) (2x − 5)(x + 1) = (x2 − x + 3) และเรนจ์ R = [0, ∞) (เพราะมคี า่ สมั บรู ณ)์ → x2 − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0 (16.4) โดเมน |x − 3| > 0 → เป็นจริงเสมอ ดังนน้ั x = 4, −2 ตรวจสอบคําตอบ พบวา่ ยกเวน้ x = 3 ∴ D = R − {3} x = −2 ไมไ่ ด้ เพราะทาํ ให้เกดิ ติดลบใน log จึงได้ x = 4 เท่านนั้ และเรนจ์ R = R (20.2) (2x − 1)(x + 1) = x2 + 1 (16.5) โดเมน (3x2 − 2) > 0 → x2 + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0 → ( 3x − 2)( 3x + 2) > 0 → x = −2, 1 ตรวจสอบคาํ ตอบ พบวา่ x = −2 เขยี นเสน้ จํานวน ∴ D = R − [− 2, 2 ] ไมไ่ ด้ เชน่ เดียวกบั ขอ้ 20.1 ... ดงั นน้ั x = 1 33 เท่านน้ั (20.3) 2(4 − 5x − 6x2) = 2x − 1 และเรนจ์ R = R → 12x2 + 12x − 9 = 0 → 3(2x + 3)(2x − 1) = 0 (17.1) log 257 = log 2.57 + 2 ดังนนั้ x = −3/2, 1/2 ตรวจสอบคําตอบ พบวา่ ∴แมนทสิ ซา = log 2.57, แคเรกเทอรสิ ตกิ = 2 x = 1 / 2 ไม่ได้ (จะเกดิ log 0 ) ∴ x = −3 / 2 (17.2) log 0.024 = log 2.4 − 2 (20.4) (x2 − 2x) log2(x2 + 2x − 6) = x2 − 2x ∴แมนทสิ ซา = log 2.4, แคแรกเทอรสิ ตกิ = −2 → (x2 − 2x)(log2(x2 + 2x − 6) − 1) = 0 (17.3) 3.3010 = 3 + 0.3010 → x = 0 หรอื 2 หรอื log2(x2 + 2x − 6) = 1 ∴แมนทสิ ซา = 0.3010, แคเรกเทอรสิ ติก = 3 (17.4) −2.3010 = −3 + 0.6990 → (x2 + 2x − 6) = 2 → (x + 4)(x − 2) = 0 ∴แมนทสิ ซา = 0.6990, แคแรกเทอรสิ ตกิ = −3 (18) log(875)15 = 15 log 875 → x = −4 หรอื 2 = 15(2 + 0.9420) = 44.13 → ตรวจคาํ ตอบพบว่า x = 0 ใช้ไมไ่ ด้ (ตดิ ลบใน log) ∴ x = −4, 2 เทา่ นน้ั ดังนน้ั 87515 มี 45 หลกั (19.1) x + 8 = 8 → x = 0 (20.5) log2( x2 + 1 + x)+ log2( x2 + 1 − x) (19.2) (2/3)log x = (2/3) → log x = 1 → x = 10 = log16(4x + 1)− 0.5 (19.3) ใส่ log ทงั้ สองขา้ ง จะได้ → log2(x2 + 1 − x2) = log16(4x + 1) − 0.5 → 0 = log16(4x + 1) − 0.5 → log x3 log x = (1 / 3) log 10,000 → 0.5 = log16(4x + 1) → 4x + 1 = 4 → 3(log x)2 = 4 / 3 → x = 3 / 4 (ตรวจคาํ ตอบแล้วใช้ได)้ หรอื→ log x = ± 2/3 → x = 102 / 3 10−2 / 3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 203 ฟง กช ันเอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ (21.1) ให้ log x = A → A2 = 2A อินเตอรเ์ ซคกับเงอ่ื นไข ไดเ้ ปน็ (27 / 8, ∞) → A2 − 2A = 0 → A = 0 หรอื 2 และเงอ่ื นไข ใน log ตอ้ งมากกวา่ 0 → x = 1 , 100 24 − 6x > 0 → x < 4 (21.2) ให้ log x = A → A / 2 = A ∴ ตอบ (2, 3) ∪ (27 / 8, 4) (23.4) ให้ A = log5 a → A2 / 4 = A → A2 − 4A = 0 กรณแี รก 0 < a < 1 (ฟงั กช์ นั ลด) จะได้ 1/ A > A → 1/ A − A > 0 → A = 0 หรอื 4 → x = 1 , 104 นาํ A คณู → 1 − A2 < 0 (21.3) ให้ log2 x = A → A + 4/A = 5 → A2 − 5A + 4 = 0 → A = 1 หรอื 4 A2 − 1 > 0 ดงั นนั้ A > 1 , A < −1 → x = 2 , 16 นน่ั คอื a > 5 , a < 1 / 5 (21.4) ให้ log3 x = A → A+ 5 = 7 อินเตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไข ไดเ้ ปน็ (0, 1 / 5) 2A 2 กรณที ส่ี อง a > 1 (ฟังกช์ ันเพิ่ม) → 2A2 − 7A + 5 = 0 → A = 5 / 2 หรอื 1 จะได้ 1/A − A > 0 นํา A คูณ → x = 35 / 2, 3 → 1 − A2 > 0 → A2 − 1 < 0 (22.1) ให้ 3x + 7 = A → A2 − 6A + 8 = 0 ดังนนั้ −1 < A < 1 นน่ั คอื 1 / 5 < a < 5 อนิ เตอรเ์ ซคกบั เงอ่ื นไข ไดเ้ ปน็ (1, 5) → A = 2, 4 → 3x + 7 = 2 หรอื 4 ∴ ตอบ (0, 1 / 5) ∪ (1, 5) → x + 7 = log3 2 หรอื log3 4 (23.5) 1 log x < log 10 − log x + 15 → x = log3 2 − 7 หรอื 2 log3 2 − 7 2 (22.2) x log 5 + y log 4 = 0 ..... (1) → x1 / 2 < 10 → ยกกาํ ลงั สองได้ x log 4 + y log 5 = 2 log 4 − 2 log 5 ..... (2) x + 15 แก้ระบบสมการตามปกติ ไดผ้ ลเปน็ เพราะเป็นบวกทงั้ สองขา้ ง → x(x + 15) < 100 x = − log 4(2 log 4 − 2 log 5) (log 5)2 − (log 4)2 → x2 + 15x − 100 < 0 → (x + 20)(x − 5) < 0 = 2 log 4 = 4 log 2 จะได้ −20 < x < 5 ... ตรวจสอบเงอื่ นไข log และ log 5 + log 4 1 + log 2 เงอื่ นไขรทู้ → x > 0, x + 15 > 0 และ y = 2(log 2 − 1) ∴ คําตอบเปน็ (0, 5) เท่านนั้ 1 + log 2 (23.6) log x − 1(x4 − 8x2 − 2x + 1) > log x − 1( x − 1)4 (23.1) มี 2 กรณี ขนึ้ กบั ฐานวา่ เป็นฟงั ก์ชนั ลดหรอื กรณีแรก ถา้ 1 < x < 2 (ฟงั ก์ชนั ลด) เพมิ่ ... กรณีแรก 0 < x < 1 (ฟังก์ชนั ลด) จะได้ x4 − 8x2 − 2x + 1 < (x − 1)2 จะได้ 3x > x2 → x2 − 3x < 0 → x4 − 9x2 < 0 → x2(x2 − 9) < 0 → x (x − 3) < 0 → x ∈ (0, 3) → x2(x − 3)(x + 3) < 0 เขียนเสน้ จาํ นวนได้ อินเตอร์เซคกบั เงอื่ นไข ไดเ้ ปน็ (0, 1) กรณที ่สี อง x > 1 (ฟงั กช์ ันเพิม่ ) x ∈ (−3, 3) − {0} จะได้ 3x < x2 → x2 − 3x > 0 อินเตอร์เซคกับเงอ่ื นไขชว่ ง ไดเ้ ปน็ (1, 2) เทา่ น้ัน → x (x − 3) > 0 → x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, ∞) กรณที ี่สอง ถ้า x > 2 (ฟงั ก์ชันเพมิ่ ) จะได้ x4 − 8x2 − 2x + 1 > (x − 1)2 อนิ เตอรเ์ ซคกบั เงอ่ื นไข ได้เปน็ (3, ∞) → x2(x − 3)(x + 3) > 0 เขยี นเสน้ จาํ นวนได้ ∴ ตอบ (0, 1) ∪ (3, ∞) หรอื R − [1, 3] x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞) (23.2) 2x2 < 2x → x2 < x อนิ เตอรเ์ ซคกับเงอื่ นไขชว่ ง ได้เปน็ (3, ∞) เทา่ นน้ั → x2 − x < 0 → x(x − 1) < 0 ตอบ (0, 1) สรปุ ช่วงคาํ ตอบรวมคอื (1, 2) ∪ (3, ∞) ตรวจสอบกบั เงอื่ นไข log และรทู้ (23.3) กรณีแรก 2 < x < 3 (ฟงั กช์ ันลด) จะได้ 2x − 3 < 24 − 6x → x < 27 / 8 x4 − 8x2 − 2x + 1 > 0, x − 1 > 0 อินเตอรเ์ ซคกบั เงอื่ นไข ไดเ้ ปน็ (2, 3) กรณที ่ีสอง x > 3 (ฟังก์ชนั เพ่มิ ) พบว่าใช้ไดห้ มด ดังนนั้ ตอบ (1, 2) ∪ (3, ∞) จะได้ 2x − 3 > 24 − 6x → x > 27 / 8 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 204 ฟง กชนั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ eÃoè× §æ¶Á จาํ เปน็ ต้องตรวจคาํ ตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบา้ ง.. (1-บทท่ี 2) เมื่อในโจทย์มตี วั แปรอยทู่ ี่ส่วน (เศษส่วน) เช่น 1 = 2x ย้ายข้างคณู ไขวไ้ ด้ แตต่ อ้ งมเี ง่ือนไขตวั ส่วนหา้ มเป็นศูนยด์ ้วย x − 1 3x − 1 1 > 2x อสมการหา้ มคณู ไขว้ ใหย้ า้ ยมาลบกัน แล้วเมอื่ เขียนเสน้ จํานวนกต็ ้องระวัง x − 1 3x − 1 อยา่ แรเงาคา่ x ทท่ี าํ ใหส้ ว่ นเปน็ ศูนย์ (2-บทที่ 7) เมอ่ื ในโจทย์มีฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ทิ ่ีไมใ่ ช่ sin กบั cos เช่น 2 sin x = sec x มฟี ังกช์ นั sec จงึ ตอ้ งระวงั คาํ ตอบที่ทาํ ให้ cos x = 0 จะใชไ้ มไ่ ด้ cosec x + cot x > 5/3 มฟี งั กช์ นั cosec และ cot จงึ ตอ้ งระวงั คาํ ตอบทที่ าํ ให้ sin x = 0 จะใชไ้ ม่ได้ (3-บทที่ 7) เม่ือในโจทย์มฟี งั กช์ นั ตรโี กณมิตผิ กผนั (หมายถงึ arc- ต่างๆ) เช่น arcsin (2x+1) − arcsin (2x−1) = arccos (−1) แก้โดยใส่ cos หรอื sin ทงั้ สองขา้ งของสมการ แต่ตอ้ งระวงั วา่ คาํ ตอบท่ีไดอ้ าจไมอ่ ยู่ในช่วงโดเมนมาตรฐาน (เช่นถา้ ได้ x=1 จะใชไ้ ม่ได้ เพราะไม่มี arcsin3) และยงั ต้องตรวจวา่ คาํ ตอบท่ไี ดท้ าํ ให้สมการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ (4-บทที่ 8) เมอ่ื ในโจทย์มี log เชน่ log2(2x − 1) + log2(x + 3) = 2 ตอ้ งระวงั วา่ ภายในฟงั ก์ชนั log ตอ้ งมากกวา่ ศนู ย์เสมอ และยงั ต้องตรวจว่าคาํ ตอบทไี่ ดท้ าํ ให้สมการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ 2 log9x + logx9 = 3 มตี ัวแปรทง้ั ใน log และทฐ่ี านของ log จึงตอ้ งระวังทัง้ สองอย่างคอื ภายในฟงั กช์ นั log ตอ้ งมากกว่าศูนย์, ทฐ่ี านตอ้ งมากกวา่ ศนู ยแ์ ละไมเ่ ทา่ กับหนึ่ง และยงั ตอ้ งตรวจว่าคาํ ตอบทไ่ี ด้ทาํ ใหส้ มการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ (5-บทท่ี 8) เม่อื ในโจทยม์ รี ากท่ี n (หรือยกกาํ ลงั 1/n) เมือ่ n เปน็ จาํ นวนคู่ เชน่ 2x+1 − x−3 = 2 มรี ากทสี่ อง จึงใชว้ ธิ ียกกําลงั สองเพอื่ กาํ จดั เครื่องหมายรทู้ ต้องระวังคําตอบท่ไี ด้วา่ ภายในรทู้ ห้ามตดิ ลบ (แตถ่ า้ เปน็ รากทส่ี าม ในรทู้ ตดิ ลบได้) และยังต้องตรวจวา่ คาํ ตอบท่ไี ดท้ าํ ให้สมการเปน็ จรงิ หรอื ไม่ (6-บทท่ี 16) เมื่อในโจทยม์ ีแฟคทอเรยี ลของตวั แปร เช่น (x+3)! = 30(x+1)! คําตอบท่ีได้จะตอ้ งทาํ ใหห้ นา้ แฟคทอเรยี ลเปน็ จาํ นวนนบั หรอื ศนู ย์เทา่ นน้ั 2 Px,2 + 50 = P2x,2 เม่อื กระจายแลว้ จะมแี ฟคทอเรยี ลเชน่ กนั อยา่ ลืมตรวจคาํ ตอบด้วยนะ :] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 205 เมตริกซ [m t r x] º··Õè 9 eÁµÃi¡« เมตริกซ์ (Matrix) เปน็ กลุม่ ของจาํ นวนท่ีเรยี ง กันเปน็ รปู ส่ีเหล่ยี ม ภายในเครอื่ งหมายวงเลบ็ ( ) หรือ [ ] เรียกจาํ นวนแต่ละจํานวนที่อยู่ในเมตรกิ ซ์ว่า สมาชิก (Entry) เราศึกษาเรอื่ งเมตรกิ ซเ์ พ่อื ใช้ช่วยใน การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นหลายตัวแปร ซึง่ จะได้ อธบิ ายไว้ในหัวข้อสุดทา้ ยของบทน้ี ตัวอย่างเมตริกซ์ เช่น ⎛7 5⎞ −2 ⎦⎤ , ⎡3 4⎤ ⎜ ⎢⎣2 2⎦⎥ ⎝⎜⎜ 6 20⎠⎟⎟⎟ , ⎣⎡ 1 0 −5 ขนาดของเมตริกซ์ เรยี กวา่ มิติ (Dimension) (คดิ จากจํานวน แถว; row คณู หลัก; column) ในตัวอย่างเปน็ เมตริกซ์ทมี่ ีมิติ 3×2, 1×3, 2×2 ตามลาํ ดบั ... เมตริกซส์ องเมตริกซ์ จะเทา่ กันไดก้ ็ ตอ่ เมอ่ื “มมี ิติเดียวกัน” (แปลว่า ขนาดเทา่ กัน) และสมาชกิ ในตําแหนง่ เดียวกันตอ้ งมีคา่ เท่ากัน การเรียกช่อื เมตริกซน์ ยิ มใชต้ วั พิมพใ์ หญ่ เช่น A, B, C และอาจเขียนมิตกิ ํากบั เปน็ ตวั หอ้ ย ไว้ เช่น A3×2, B1×3, C2×2 โดยจะเรียกชอ่ื สมาชิกเป็นตวั พิมพเ์ ล็ก ทม่ี ีตัวห้อยบอกตาํ แหนง่ แถวและ หลัก ในรูป aij (แถวท่ี i และหลักท่ี j) เช่น A = ⎢⎡⎢aa2111 a12 ⎤ B = ⎣⎡ b11 b12 b13 ⎤⎦ จะได้ a11 = 7 a21 = 6 b13 = −2 a22 ⎥ ⎥ ⎢⎣a31 a32 ⎦⎥ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 206 เมตรกิ ซ หมายเหตุ เพื่อหลกี เลีย่ งการเขา้ ใจผดิ หากจาํ นวนแถวหรือจาํ นวนหลกั มากกวา่ 10 จะไมเ่ ขียน ตําแหนง่ เป็นตวั หอ้ ย ... แต่จะเขยี นคา่ i และ j กาํ กับไว้ดา้ นหลงั เช่น aij, i = 2, j = 11 ทรานสโพส (เมตริกซ์สลบั เปลย่ี น; Transpose) ของเมตริกซ์ A ใชส้ ัญลักษณ์ At หรือ AT คือการเปล่ยี นแถวเป็นหลกั (หรือเปลี่ยนหลักเปน็ แถว) ⎡ 7 5⎤ At = ⎡7 6 −5⎤ ⎢⎣5 0 2 ⎥⎦ เชน่ A = ⎢⎢⎣⎢−65 20⎥⎥⎥⎦ เมตริกซ์มิติ m × n เม่อื ทําการทรานสโพส จะกลายเปน็ มิติ n × m เมตรกิ ซ์ท่คี วรรู้จกั 1. เมตรกิ ซจ์ ัตรุ ัส (Square Matrix) คือเมตริกซท์ ่ีมจี าํ นวนแถว เทา่ กับจํานวนหลัก สมมติวา่ มี n หลัก และ n แถว (n × n) เรยี กสมาชกิ ในแนว 11, 22, 33, ..จนถึง nn ว่า เสน้ ทแยงมมุ หลัก (Main Diagonal) และสมาชิกตัวอนื่ ท่ีเหลือจะเรยี งเปน็ รูปสามเหลี่ยม เรยี กว่า สามเหลยี่ มบน (Upper Triangle) และ สามเหล่ียมลา่ ง (Lower Triangle) ⎣⎡ 5 ⎦⎤1× 1 ⎡ 2 0⎤ ⎡6 2 1 ⎤ ⎣⎢−1 1⎦⎥2×2 ⎢⎢3 1 −2⎥⎥ ⎣⎢3 0 1 ⎥⎦3× 3 2. เมตริกซ์ศนู ย์ (Zero Matrix; 0 ) คือเมตริกซท์ ส่ี มาชกิ ทกุ ตัวเป็นเลข 0 (จตั รุ สั หรือไม่ก็ได้) ⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎣⎢0⎦⎥ ⎢⎣0 0 0⎦⎥ ⎢⎣⎢⎢00 00⎥⎦⎥⎥ ⎣⎡ 0 ⎤⎦ 0 0 3. เมตริกซห์ นึ่งหน่วย (Unit Matrix; I) คือเมตริกซจ์ ัตุรสั ทีม่ สี มาชิกในแนวเส้นทแยงมมุ หลัก เปน็ 1 และสมาชกิ ตัวอน่ื ทเ่ี หลอื ทัง้ หมดเป็น 0 อาจเขยี นขนาดกํากับเปน็ ตัวห้อยเพียง 1 ตัว I1 = ⎡⎣ 1 ⎦⎤ I2 = ⎡1 0⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎢⎣0 1⎥⎦ I3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎣⎢0 0 1⎥⎦ 9.1 การบวก ลบ และคณู เมตริกซ์ 1. การบวกเมตรกิ ซ์คหู่ นงึ่ จะทาํ ไดก้ ็ตอ่ เม่ือ เมตรกิ ซท์ ัง้ สองมีมติ เิ ดียวกัน ผลบวกทไี่ ด้ จะมีมิตเิ ดิม และสมาชกิ ของผลลัพธ์เกิดจากสมาชิกตําแหนง่ เดียวกนั นนั้ บวกกนั (สาํ หรับการลบกเ็ ชน่ กนั ; สมาชกิ ผลลพั ธ์ เกดิ จากสมาชกิ ตาํ แหนง่ เดียวกนั ลบกัน) ⎡1 −2 3⎤ + ⎡0 2 −1⎤ = ⎡1 0 2⎤ ⎢⎣−4 5 6⎥⎦ ⎢⎣3 −2 4 ⎦⎥ ⎢⎣−1 3 10⎥⎦ ⎡1 −2 3⎤ − ⎡0 2 −1⎤ = ⎡1 −4 4⎤ ⎣⎢−4 5 6⎦⎥ ⎣⎢3 −2 4 ⎦⎥ ⎢⎣−7 7 2⎦⎥ เอกลักษณ์การบวกของเมตริกซ์ ก็คือ เมตรกิ ซ์ 0 2. การคูณเมตรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ไดจ้ ะเป็นการคณู สมาชิกทกุ ตัวด้วยสเกลารน์ ้ัน 2 ⎡1 2 3⎤ = ⎡2 4 6⎤ ⎢⎣0 −5 7⎦⎥ ⎣⎢0 −10 14⎥⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 207 เมตรกิ ซ 3. ส่วนการคณู เมตรกิ ซค์ ู่หน่ึงจะทําได้เม่ือ จํานวนหลักของตัวตั้งเทา่ กับจาํ นวนแถวของตัวคูณ และผลคูณทีไ่ ด้จะเป็นเมตรกิ ซ์ท่มี ีจาํ นวนแถวเทา่ ตวั ตงั้ จาํ นวนหลกั เท่าตวั คูณ หรือเขยี นง่ายๆ ไดด้ ังนี้ Am×n × Bn×r = Cm× r วธิ ีการหาสมาชกิ ของผลลัพธ์ ขอใหส้ ังเกตจากตวั อยา่ ง (ยึดแถวตัวต้ัง ยึดหลกั ตัวคูณ) A= ⎡2 3⎤ , B = ⎡0 1⎤ , C = ⎡1 3 2⎤ ⎣⎢−1 4⎦⎥ ⎣⎢3 2⎦⎥ ⎢⎣−1 0 −2⎦⎥ จะได้ AB = ⎡ 2⋅0+3⋅3 2⋅1+3⋅2 ⎤ = ⎡9 8⎤ ⎢⎣−1⋅0+4 ⋅3 −1⋅1+ 4 ⋅2⎥⎦ ⎣⎢12 7⎥⎦ BC = ⎡ 0⋅1+ 1⋅(−1) 0⋅3+1⋅0 0⋅2+1⋅(−2)⎤ = ⎡−1 0 −2⎤ ⎢⎣3⋅1+2⋅(−1) 3⋅3+2⋅0 3⋅2+2⋅(−2)⎥⎦ ⎢⎣ 1 9 2 ⎥⎦ เอกลักษณ์การคณู ของเมตรกิ ซ์ กค็ อื เมตริกซ์ I จะเรยี กวา่ เมตรกิ ซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) ก็ได้ สมบัติการบวกและการคณู การคูณดว้ ยเมตริกซ์ การบวกเมตริกซ์ • AB ไม่จาํ เปน็ ตอ้ งเท่ากบั BA • A+B =B+A • (AB) C = A (BC) • A (B + C) = AB + AC • (A + B) + C = A + (B + C) • (A + B) C = AC + BC • (AB)t = BtAt • At + Bt = (A + B)t • AI = IA = A • A+0=0+A = A • A + (−A) = 0 การคณู ด้วยสเกลาร์ • (kA)t = k ⋅ At • k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2) A • k(A + B) = kA + kB แบบฝกึ หัด 9.1 (1) A = ⎡2 3 −1⎤ , B= ⎡−3 2⎤ จงหาค่าของ a11 +b22 และ 2a12 −3b21 ⎢⎣4 0 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 4⎥⎦ (2) ให้เมตรกิ ซ์ A มีมติ ิ โดยที่ ⎪⎧i + j ,i > j ⎨ 1 3×3 aij = , i = j จงเขียนเมตริกซ์ A นนั้ ⎪⎩i − j , j > i (3) เมื่อ A = ⎡2 −4⎤ , B = ⎡cosec 30° log 10−4 ⎤ ถามวา่ A = B หรอื ไม่ ⎣⎢20+1 ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎦ ⎢⎣ 4 25 ⎦⎥ (4) ถา้ x2 − x + 1 = 0 และ A = ⎡x2 x − x2 ⎤ , B = ⎡x−1 1 ⎤ แลว้ A = B หรอื ไม่ ⎢ x ⎥ ⎢ x2+1⎥⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 (5) จงหาค่าของ (5.1) ⎡1 3 2⎤ + ⎡2 6 1⎤ ⎡ 2 1⎤ ⎣⎢0 1 5⎦⎥ ⎣⎢4 1 2⎥⎦ (5.3) 5 ⎢⎣⎢⎢−42 83⎥⎥⎦⎥ (5.2) ⎡6 2⎤ − ⎡1 5⎤ ⎢⎣8 4⎥⎦ ⎢⎣−1 3⎥⎦ (6) A = ⎡2 3⎤ , B= ⎡0 1⎤ จงหา A + B, At + Bt, (A + B)t, A + 0 ⎣⎢−1 4⎦⎥ ⎣⎢3 2⎦⎥ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 208 เมตริกซ (7) A = ⎡2 −1 4⎤ จงหา At, 2A, −A ⎣⎢3 0 1 ⎦⎥ (8) A = ⎡a11 a12 ⎤ , B = ⎡b11 b12 b13 ⎤ จงเขยี นเมตริกซ์ AB ⎢⎣a21 a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 b23 ⎥⎦ (9) จงหาคา่ x, y เมอ่ื กําหนดให้ (9.1) A2×5 × B5×3 = Cx× y (9.3) Ax ×2 × B2×5 = C7× y (9.2) A3×5 × Bx× y = C3× 4 (9.4) A2× x × By ×5 = C2×5 (10) A3×2, B2×4 จงหามติ ขิ อง AB และ BA (11) A = ⎡1 2⎤ , B = ⎡3 0⎤ จงหา AB, BA ⎣⎢−1 0⎦⎥ ⎢⎣ 1 1⎦⎥ S ¨u´·è¼Õ ´i ºo‹ Â! S (12) A = ⎡1 0⎤ , B = ⎡3 −4⎤ ⎣⎢4 2⎥⎦ ⎢⎣−1 5 ⎥⎦ e¹èo× §¨Ò¡ AB Áa¡äÁ‹e·‹Ò¡aº BA ´§a ¹é¹a (A +B)2 ≠ A2 +2AB+B2 ¹a¤Ãaº จงหา AB, BA, (A + B)2, A2 + 2AB + B2 æÅa¡Ëç ŒÒÁ桵aÇ»Ãa¡oºÊÁ¡ÒáíÒÅa§Êo§´ŒÇ eª¹‹ (A +2B)(3A +B) ≠ 3A2 + 7AB+2B2 (13) A = ⎡2 1⎤ , B = ⎡3 2⎤ จงหา At × (B × A) æµe‹ ¹èo× §¨Ò¡ AI e·Ò‹ ¡aº IA eÊÁo ⎣⎢0 3⎦⎥ ⎣⎢ 1 2⎥⎦ ´§a ¹é¹a (A +2I)(3A +I) = 3A2 + 7A +2I (14) ถ้า ⎡3 0 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0⎤ =C จงหาค่า c22 ⎢⎢⎣⎢21 −1 20⎥⎥⎦⎥ ⎢⎢⎢⎣21 −31⎥⎦⎥⎥ ⎣⎢ 4 2⎥⎦ 1 (15) A = ⎡2 1⎤ จงหา An ⎢⎣0 2⎦⎥ (16) [Ent’33] กาํ หนด A = ⎡x+y 2⎤ , B = ⎡2 y⎤ , C = ⎡1 a⎤ ถา้ AB = C จงหาค่า a ⎢⎣ 3 z ⎦⎥ ⎣⎢−2 y⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ (17) ⎡1 2 0⎤ ⎡3 x⎤ ⎡5 7⎤ ถา้ จงหาคา่ ⎣⎢1 0 2⎥⎦ ⎢ y1⎦⎥⎥⎥ , ⎢⎣7 5⎦⎥ A = , B = ⎢ 1 C = AB = C x+y−z ⎢⎣ z (18) ถา้ X = ⎡a 0⎤ และ X2 + 2X + I = 0 จงหา a, b ⎣⎢0 −b⎦⎥ (19) [Ent’30] A = ⎡a 4⎤ ถา้ A2 + 4 A − 5 I = 0 จงหา a, b ⎣⎢2 b⎦⎥ ⎡x −1 x2 ⎤ ⎡−2 0 4⎤ (20) A = ⎢⎢y2 ⎥ 2 24⎥⎦⎥⎥ ถ้า แลว้ x, y เป็นเท่าใด 1 3 ⎥ , B = ⎢ 0 4 At + A = B x2 ⎢ 4 ⎢ 3 y ⎥ ⎢⎣ ⎣ ⎦ (21) [Ent’39] A = ⎡3 7⎤ , B = ⎣⎡ x y ⎤⎦ เซตของจดุ (x, y) ซึ่งสอดคล้องกับสมการ ⎣⎢−7 −4⎥⎦ BABt = [12] เป็นกราฟรูปอะไร 9.2 ดเี ทอรม์ นิ ันต์ ดีเทอร์มนิ ันต์ (ตวั กาํ หนด; Determinant) เป็นคุณสมบตั ิของเมตรกิ ซจ์ ัตุรัสเทา่ นั้น และดีเทอร์มินันตม์ ีคา่ เปน็ ตวั เลข โดยเมตริกซ์หน่ึงๆ จะคํานวณดเี ทอร์มนิ ันต์ไดค้ ่าเดยี วเสมอ เครอ่ื งหมายแสดง “ดีเทอร์มนิ ันตข์ องเมตรกิ ซ์ A” คอื A หรอื det (A) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 209 เมตริกซ วธิ ีหาดีเทอร์มินันต์ เมตริกซ์ 2 × 2 เมตริกซ์ 1 × 1 ถา้ A = ⎡a b⎤ ถ้า A = ⎡⎣ a ⎤⎦ ⎣⎢c d⎦⎥ จะไดว้ า่ det (A) = a จะไดว้ า่ det (A) = ad − bc เมตรกิ ซ์ 3 × 3 ใช้หลกั ว่า “คณู เฉยี งลงรวมกัน” ลบด้วย “คณู เฉียงขึ้นรวมกัน” ถา้ ⎡a b c⎤ จะไดว้ า่ det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdc A = ⎢⎢⎣⎢gd ⎥ e f ⎥ h i ⎥⎦ สว่ นเมตรกิ ซ์ n × n ใดๆ จะใช้ วิธโี คแฟกเตอร์ (ใชไ้ ดก้ บั ทุกขนาด ตัง้ แต่ 2 × 2 ข้นึ ไป) det (A) = สมาชกิ 1 แนว คณู กับโคแฟกเตอร์ของแนวน้ัน (ตําแหน่งเดยี วกนั คณู กนั แล้วรวม) คําวา่ “แนว” ในทนี่ ี้ หมายถึงแถวหรอื หลกั ก็ได้ 1. ไมเนอร์ (Minor) ของเมตริกซ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณว์ ่า Mij (A) คือ คา่ det ของสบั เมตรกิ ซ์ (เมตรกิ ซย์ ่อย; Submatrix) ท่ีตําแหน่งน้ัน.. (ตดั แถว ตัดหลัก แลว้ หา det) 2. โคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบร่วมเกีย่ ว; Cofactor) ของเมตรกิ ซ์ A ใช้สญั ลกั ษณว์ ่า Cij (A) หรอื Cof (A) คอื ไมเนอร์ Mij (A) ทน่ี าํ มาใส่เครอื่ งหมาย บวกหรือลบ สลบั กันตามรูปแบบ Cij = (−1)i+j ⋅ Mij (ตําแหน่งแรกสดุ ใสบ่ วก, แลว้ เตมิ เครอื่ งหมายบวกลบสลับกันไป) ตวั อยา่ งเชน่ ตอ้ งการหาเมตริกซโ์ คแฟกเตอร์ของ ⎡2 1 −1⎤ A = ⎢⎣⎢⎢52 ⎥ 0 1 ⎥ 0 8 ⎦⎥ เริ่มจากหาค่าตวั เลขไมเนอร์ให้ครบทกุ ตาํ แหนง่ M11 = 01 = 0, M12 = 21 = 11, ..., M33 = 21 = −2 08 58 20 ⎡0 11 0 ⎤ ⎡+0 −11 +0 ⎤ ∴ M (A) = ⎢⎢8 21 −5⎥⎥ → C (A) = ⎢⎢−8 +21 −(−5)⎥⎥ ⎢⎣ 1 4 −2⎦⎥ ⎢⎣ +1 −4 +(−2)⎦⎥ จากเมตริกซโ์ คแฟกเตอรท์ ไ่ี ด้ ทําใหห้ าคา่ det (A) ได้ดังนี้ det (A) = 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−11) + (−1) ⋅ 0 = −11 (คดิ จากแถวท่ี 1) det (A) = 5 ⋅ 1 + 0 ⋅ (−4) + 8 ⋅ (−2) = −11 (คดิ จากแถวท่ี 3) det (A) = 1 ⋅ (−11) + 0 ⋅ 21 + 0 ⋅ (−4) = −11 (คดิ จากหลักท่ี 2) จะพบว่า ไม่วา่ จะคิดจากแถว หรือหลกั ใด ก็จะได้คา่ det (A) เทา่ เดิมเสมอ แต่โจทย์ข้อนคี้ ดิ จาก หลักที่ 2 จะงา่ ยทีส่ ุด เพราะพจนท์ ส่ี องกับสาม เป็น 0 ไม่จาํ เป็นต้องหาคา่ โคแฟกเตอร์ det (A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 = −a12M12 + a22 = 0M22 − a32 = 0M32 = −1 ⋅ 21 = −11 58 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 210 เมตริกซ สมบตั ิของดเี ทอร์มนิ ันต์ • det (I) = 1 • det (0) = 0 • det (AB) = det (A) ⋅ det (B) • det (At) = det (A) S ¨u´·¼èÕ i´ºo‹ Â! S • det (An) = (det (A))n เมอื่ n ∈ I • det (kA) = kn ⋅ det (A) เมอ่ื n = ขนาดของ A ¶§Ö æÁŒÊ­a Åa¡É³¢ o§ det ¨aeËÁ×o¹¤Ò‹ ÊaÁºÙó æÅaÊÁºaµ¡i ÒáÃa¨Ò¼Ťٳ เมตริกซท์ ีค่ า่ det เป็นศูนย์ เรียกวา่ เมตรกิ ซเ์ อกฐาน ¼ÅËÒáçeËÁ×o¹¡a¹.. 浨‹ u´·µèÕ ‹Ò§¡a¹¤×o (Singular Matrix) เชน่ เมตริกซ์ท่ีมีแนวใดแนวหนึง่ เปน็ 0 ทุกตวั 1. ¤Ò‹ det µi´Åºä´Œ eª¹‹ | -2 | = -2 หรือเมตรกิ ซ์ท่ีมี 2 แนวซํ้ากนั หรือเปน็ k เท่าของกันและกนั Á2.µi ¡´i Ònj ô§ÖeªÊ¹‹Áa »|Ã3aÊAi·|¸iìo=o¡3ÁnÒµ|oŒ §A¡|¡Òí ŧa เมตรกิ ซท์ มี่ ีสามเหล่ยี มล่างหรอื บน เป็น 0 ทกุ ตวั เรียกว่า เมตรกิ ซส์ ามเหลี่ยม (Triangular Matrix) จะมคี ่า det เป็น “ผลคณู ของสมาชกิ ในเสน้ ทแยงมมุ หลกั ” แบบฝกึ หดั 9.2 (22) A = ⎡⎣ 2 ⎦⎤ , B = ⎣⎡ −5 ⎤⎦ จงหา det (A), det (B), det (01) (23) A = ⎡2 −5⎤ , B = ⎡−2 −4⎤ จงหา det (A), det (B) ⎣⎢4 −6⎦⎥ ⎣⎢ 3 6 ⎥⎦ (24) A= ⎡1 −5⎤ , B = ⎡x x⎤ , C = ⎡5 0⎤ จงหาค่า x ที่ทําให้ det (A) < det (B) < det (C) ⎣⎢2 2 ⎥⎦ ⎣⎢−1 x⎦⎥ ⎢⎣0 4⎦⎥ ⎡ 3 −4 0 ⎤ (25) จงหาA = ⎢⎢−5 4 −3⎥⎥ det (A), M11(A), M32(A), C11(A), C32(A) ⎣⎢ 2 −2 1 ⎥⎦ (26) จงหา เมือ่ ⎡ 6 1 2⎤ โดยใช้วิธโี คแฟกเตอร์ ⎢⎢⎢⎣−73 51⎥⎦⎥⎥ det (A) A = 0 2 (27) ⎡5 3 −5⎤ จงหา โดยใชว้ ิธี nn คูณทแยง ⎢ 2 ⎥ A = ⎢ 4 −3 1 ⎥ det (A) ∑ ∑aijCij, aijCij, ⎢⎣−1 1 ⎦⎥ i=1 j=1 ⎡ x y 4⎤ โดยโคแฟกเตอรข์ อง คอื –6, โคแฟกเตอรข์ อง คอื (28) [Ent’40] ให้ A = ⎢⎢−3 ⎥ 8 0 ⎥ a21 a23 ⎣⎢ x −y −1⎥⎦ 4 แลว้ จงหาโคแฟกเตอร์ของ a33 ⎡a −1 0 ⎤ (29) [Ent’39] A = ⎢⎢b ⎥ ถา้ และ จงหาคา่ a 1 1 ⎥ C12 (A) = 1 det (A) = −5 ⎢⎣c 1 −1⎦⎥ ⎡−4 1 1 0 ⎤ ⎢ −13⎥⎥⎥ (30) A = ⎢ 2 0 1 จงหา C11 C21 ⎢ 0 0 2 C32 C44 ⎢⎣ 1 −1 3 2 ⎥⎦ (31) จงหาคา่ 2 0 4 −6 และ 1 a b+c และ n n+1 n+2 0 −4 0 0 1 b a+c n+1 n+2 n+3 5 −2 0 0 1 c a+b n+2 n+3 n+4 1 3 −1 −3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 211 เมตรกิ ซ (32) [Ent’36] ถา้ A = ⎡−1 1⎤ จงหาค่า det (−2 A3At(A + At)) ⎣⎢ 3 −1⎥⎦ (33) A = ⎡1 1⎤ จงหา det (−2 AnAt(A + At)) เมอื่ n ∈ I+ ⎣⎢0 1⎥⎦ (34) กําหนด A = ⎡2 0⎤ , B = ⎡0 5⎤ , C = ⎡3 4⎤ , D = ⎡−1 4⎤ ⎢⎣0 1⎦⎥ ⎢⎣ 1 0⎥⎦ ⎢⎣2 1⎥⎦ ⎣⎢ 3 −2⎦⎥ ถ้า AXB = CD จงหา X (35) จงหา เม่ือกาํ หนดให้ ⎡−2 0 0⎤ ⎡12 4 10⎤ ⎢ 0⎥⎥ X ⎢ ⎥ det (X) ⎢ 4 3 = ⎢ 0 −5 8 ⎥ 0 ⎣⎢ 2 1 5⎦⎥ ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ (36) [Ent’36] ให้ A, B เป็น non-singular matrix โดย A = 1,B = ⎡−2 −2⎤ และ 4 ⎢⎣ x y ⎦⎥ AB + 4A = 2I จะได้คา่ x + y เท่ากับเท่าใด (37) [Ent’31] กําหนดให้ A, B, C, I เปน็ เมตริกซ์มีมิติ 2 × 2 ถา้ det (−A3) = det (2 2 I), det (C−1) = 4 และ ABtC = ⎡−6 1⎤ แลว้ det (B) มีคา่ เทา่ ใด ⎣⎢ 4 −2⎦⎥ (38) A = ⎡ sin x 2 cos x⎤ จงหาค่า x ทที่ ําให้ A เป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน ⎢⎣−cos x 2 sin x ⎦⎥ ⎡ 1 0 −x2 ⎤ (39) [Ent’39] จงหาจํานวนจรงิ x ท้งั หมดท่ีทําให้ ⎢⎢2 1 ⎥ เปน็ เมตริกซ์เอกฐาน 0 ⎥ ⎣⎢x 3 5 ⎥⎦ (40) จงหาคา่ x ทีท่ าํ ให้ ⎡ 1 2 −1⎤ เปน็ เมตรกิ ซเ์ อกฐาน ⎢⎢⎢⎣−12 −12⎦⎥⎥⎥ x −2 (41) A = ⎡ log 2x −2x⎤ จงหาคา่ x ท่ที ําให้ A ไม่เป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน ⎢⎢⎣log 2x − 1 ⎥ x ⎥⎦ (42) [Ent’34] ข้อใดถกู หรือผิดบ้าง เมือ่ A เป็นเมตริกซจ์ ตั รุ ัส มติ ิ 2 × 2 ก. ถา้ A = −At แล้ว สมาชิกในแนวทแยงมุมบนซา้ ยถึงล่างขวาของ A เปน็ 0 หมด ข. ถ้า A2 = B และ B เป็นนอนซงิ กูลารเ์ มตริกซ์แล้ว A เปน็ นอนซิงกูลารด์ ้วย 9.3 อนิ เวอร์สการคณู เรือ่ งเมตรกิ ซไ์ ม่มีการหาร มีแต่การคณู ดว้ ย อินเวอร์ส (เมตริกซผ์ กผนั ; Inverse Matrix) และ อินเวอรส์ การคูณของเมตรกิ ซ์ A ใช้สญั ลักษณ์ A−1 โดยนยิ ามให้ A ⋅ A−1 = A−1⋅ A = I (เปรยี บเสมือน )A−1 = I A วิธหี าอินเวอรส์ การคูณ เมตริกซ์ 2 × 2 เมตรกิ ซ์ 1 × 1 ถา้ A = ⎡a b⎤ ถ้า A = ⎡⎣ a ⎤⎦ ⎢⎣c d⎦⎥ จะได้วา่ A−1 = ⎣⎡ 1/a ⎤⎦ จะได้วา่ A−1 1 ⎡d −b⎤ det (A) ⎣⎢−c a ⎥⎦ = ⋅ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 212 เมตรกิ ซ ส่วนเมตรกิ ซ์ n × n ใดๆ ตั้งแต่ 2 × 2 ข้ึนไป จะใช้ วิธโี คแฟกเตอร์ เช่นเดิม A−1 = (C (A))t det (A) เรยี ก (C(A))t ว่า เมตริกซผ์ ูกพนั (Adjoint Matrix) ของ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์เป็น adj A หรือ Adj(A) กไ็ ด้ สมบัติของอินเวอรส์ การคูณ • (A−1)n = (An)−1 = A−n • (A−1)−1 = A • (AB)−1 = B−1A−1 • (kA)−1 = 1 ⋅ A−1 k • A−1 = A −1 = 1 A เมตรกิ ซ์ทจี่ ะหาอนิ เวอรส์ การคูณได้ ตอ้ งเปน็ เมตรกิ ซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Matrix) คือ det ≠ 0 เท่านัน้ S ¡ÒÃæ¡ÊŒ Á¡ÒÃeÁµÃ¡i «Á Õ¢oŒ ¤ÇÃÃaÇa§´a§¹éÕ 1. eÁoè× ·Òí ¡ÒÌҢҌ §µaǤٳ ä»e»¹š o¹i eÇoÏÊoÂo‹Ù ¡Õ ½˜›§ µŒo§¤Òí ¹Ö§¶Ö§ÅíÒ´aº´ÇŒ  e¾ÃÒa¡ÒäٳäÁÁ‹ ÕÊÁºµa ¡i ÒÃÊÅaº·.èÕ . eª¹‹ AB = C ¡ÅÒÂe»¹š B = A−1C ä´.Œ . æµe‹ »š¹ B = CA−1 äÁä‹ ´Œ 2. µÃǨÊoºeÊÁoÇ‹Ò ÊÁ¡ÒÃÂa§e»¹š eÁµÃi¡«·é§a Êo§¢ÒŒ §ËÃo× äÁ‹ (ËҡŒÒ¢Ҍ §eÁµÃi¡« ä»e»š¹oi¹eÇoÃʏ ¨¹ËÁ´ o‹ÒÅ×ÁeËÅ×o eÁµÃi¡« I äÇ´Œ ŒÇÂ..) eª‹¹ ¨Ò¡ AB = 2C ËÒ¡ÂҌ ¢ŒÒ§e»š¹ ABC−1 = 2 溺¹é¼Õ i´ e¾ÃÒa½›§˜ ¢ÇÒ¡ÅÒÂe»¹š µaÇeÅ¢.. ·èÕ ¶Ù¡µŒo§e»š¹ ABC−1 = 2 I 3. [Ent’27] ÊÁ¡ÒÃeÁµÃ¡i «Ê ÒÁÒö¤Ù³e¢ŒÒ·§éa Êo§¢ŒÒ§ä´eŒ ÊÁo 测¡Òõa´oo¡·§éa Êo§¢ÒŒ §ºÒ§¤Ãaé§ãªäŒ Áä‹ ´Œ .. eª¹‹ A = ⎡1 1⎤ , B = ⎡6 2⎤ , C = ⎡1 8⎤ ¾ºÇ‹Ò AB = AC 测 B ≠ C ⎣⎢2 2⎥⎦ ⎢⎣0 9⎦⎥ ⎣⎢5 3⎥⎦ 4. ãÊe‹ ¤Ã×oè §ËÁÒ det ·é§a Êo§¢ŒÒ§ä´ŒeÊÁo 测¡Òõa´oo¡·é§a Êo§¢ŒÒ§¡Áç a¡¨aãªäŒ Á‹ä´Œ eª¹‹ A = ⎡1 2⎤ , B = ⎡2 3⎤ ¾ºÇҋ det (A) = det (B) 测 A ≠B ⎢⎣3 4⎦⎥ ⎢⎣4 5⎥⎦ 5. ¶ÒŒ AB = 0 æÅnj äÁ¨‹ Òí e»¹š ·èÕ A ËÃ×o B µŒo§e»š¹ 0 eª‹¹ A = ⎡2 −3⎤ , B = ⎡3 6⎤ ¡ç¾ºÇ‹Ò AB = 0 䴌eª‹¹¡a¹ ⎢⎣−2 3 ⎥⎦ ⎣⎢2 4⎥⎦ แบบฝึกหดั 9.3 (43) จงหาA = ⎡−3 −2⎤ , B = ⎡2 −3⎤ A−1, B−1, 02−1, I2−1 ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 −6⎥⎦ (44) A = ⎡4 3⎤ , B = ⎡2 3⎤ จงหา (AB)−1, B−1A−1 ⎣⎢2 2⎥⎦ ⎣⎢4 5⎦⎥ (45) จงหาอนิ เวอรส์ การคูณของ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 213 เมตรกิ ซ (45.1) ⎡1 2⎤ (45.3) ⎡2 4⎤ ⎣⎢2 3⎦⎥ ⎣⎢ 1 2⎥⎦ (45.2) ⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎣⎢−sin θ cos θ⎦⎥ (46) [Ent’41] A = ⎡1 −2⎤ , B = ⎡−1 1⎤ จงหา 2A−1Bt ⎢⎣−3 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 1⎥⎦ (47) A = 1 ⎡ −1 3⎤ และ B เป็นเมตริกซท์ ีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ BA−1 = At จงหา B ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢− 3 −1 ⎦⎥ (48) ⎡2 −5⎤ X + ⎡1 2⎤ = ⎡3 0⎤ จงหาเมตรกิ ซ์ X ⎢⎣ 1 −2⎥⎦ ⎢⎣2 4⎥⎦ ⎢⎣ 1 2⎦⎥ (49) ถา้ ⎡4 6⎤ A = ⎡1 2⎤ จงหา A ⎢⎣8 12⎥⎦ ⎢⎣3 4⎦⎥ (50) [Ent’20] ถา้ A ⎡4 16 ⎤ = ⎡4 0⎤ จงหา A−1 ⎣⎢36 64⎥⎦ ⎢⎣0 4⎦⎥ ⎡3 0 −1⎤ จงหา ⎡1⎤ (51) AB = I, B = ⎢⎢4 ⎥ A−1 ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ 2 0 ⎥ ⎣⎢3 −1 1 ⎦⎥ ⎢⎣1⎥⎦ (52) [Ent’40] กําหนด A= ⎡3 4⎤ , B = ⎡1 2⎤ , X = ⎡a b⎤ และ AX + B = A ⎢⎣2 3⎥⎦ ⎣⎢−1 3⎦⎥ ⎢⎣c d⎥⎦ จงหา b + c (53) [Ent’38] A = ⎡0 1⎤ , B = ⎡2 −1⎤ , C = ⎡−1 0⎤ ถ้า X = (B + C) A จงหา X−1 ⎢⎣ 1 2⎦⎥ ⎢⎣−1 3 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 −2⎦⎥ (54) [Ent’37] ถ้า ⎡1 2 −1⎤ ⎡0 2 −3⎤ และ AB − AC − 1 I = 0 จงหา B = ⎢⎢⎣⎢−32 0 ⎥ = ⎢⎢⎢⎣03 −1 ⎥ 2 1 1 ⎥ , C 2 2 ⎥ A−1 0 ⎥⎦ 1 ⎦⎥ ⎡2 1 −2⎤ จงหา * (55) A = ⎢⎢3 0 ⎥ 0 ⎥ adj A, A (adj A), (adj A) A, det (A), A−1 ⎢⎣4 6 −1⎥⎦ (56) จงหาอินเวอร์สการคณู ของเมตรกิ ซ์ A เมือ่ ⎡2 −3 2⎤ ⎢⎢⎢⎣60 01⎥⎥⎥⎦ A = 3 −3 (57) [Ent’41] A = ⎡3 4⎤ , C = ⎡30 18⎤ , B เป็นเมตริกซท์ ่ที าํ ให้ AB = C ขอ้ ใดถูก ⎣⎢ 1 2⎥⎦ ⎣⎢ 12 8 ⎦⎥ ก. det (B−1) = 12 ค. det (2 Bt) = 24 ข. det (B−1A−1) = 24 ง. det (A2B) = 48 (58) ⎡2 5 1⎤ จงหา ⎢⎣⎢⎢43 07⎥⎥⎥⎦ A−1 = 0 det (At)−1 −2 (59) 2A−1 = B และ det (A) ⋅ det (B) = 16 จงหามติ ิของเมตรกิ ซ์ B (60) A มมี ิติ 3 × 3 และ det (A) = 4 , ถา้ A2 − 3A + I = 0 และ B = 1 A−1 − 3 I 22 จงหา det (B) (61) [Ent’27] A = ⎡1 2⎤ , B = ⎡−1 1⎤ , C = 2AB−1 + B−1 จงหาค่า x เมื่อ det (C) = 1 ⎣⎢x 3⎦⎥ ⎣⎢ 2 1⎦⎥ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 214 เมตรกิ ซ (62) [Ent’32] A= ⎡c −1⎤ และ det (2A2) + (1−c2)3 det (A−1)t = 45 จงหา c ⎢⎣ 1 −c⎥⎦ (63) A = ⎡1 a 0⎤ จงหาค่า a ทท่ี ําให้ a det (A−1)t + 1 det (2A) + 4 =0 ⎢⎣⎢⎢1−1a −a 11⎦⎥⎥⎥ 4a 0 (64) [Ent’35] ข้อใดถกู ⎡5⎤ ⎡ 1 ⎤ ก. ถา้ เมตรกิ ซ์ U = ⎡⎣ 1 −1 −4 ⎦⎤ , X = ⎡⎣ 0 1 2 ⎤⎦ , V = ⎣⎢⎢⎢01⎥⎥⎦⎥ , Y = ⎢⎣⎢⎢−21⎦⎥⎥⎥ แล้ว เมตริกซ์ 3UV − 2XY = ⎣⎡ 3 ⎦⎤ ข. ถ้า ⎡2 1⎤ เปน็ ซงิ กลู ารเ์ มตริกซ์แล้ว a=2 ⎢⎣a2 a⎦⎥ ค. ถา้ A, B เป็นเมตริกซจ์ ัตุรัสท่มี มี ิตเิ ดยี วกัน และ det(AB) = 0 แลว้ det (A) = 0 หรอื det (B) = 0 ง. ถ้า A เป็นนอนซงิ กลู ารเ์ มตริกซม์ ิติ 2 × 2 แลว้ det ((2A)−1) = det (2A−1) (65) [Ent’41] A= ⎡2 −1⎤ , M = ⎡x −x ⎤ จงหาเซตจาํ นวนจริง x ท่ีทําให้ ⎣⎢ 1 3 ⎦⎥ ⎢⎣3/7 x+3⎦⎥ det (M) = det ((2A + At) A−1) (66) [Ent’36] กาํ หนด A, B เป็น non-singular matrix โดย det(A−1) = − 1 และ 2 B = ⎡−1 −2⎤ จงหา x+y ถ้า AB + 3A = 2I ⎣⎢ x y ⎥⎦ * (67) [Ent’39] ให้ ⎡ 1 2 −1⎤ ถา้ จงหาค่า ⎢ ⎥ A = ⎢ 2 1 1 ⎥ AB = BA =I det (adj B−1) ⎢⎣−1 1 0 ⎦⎥ * (68) [Ent’37] ถา้ ⎡ 1 1 −1⎤ และ จงหาเมตริกซผ์ กู พันของ B A = ⎢⎢⎢⎣21 ⎥ 1 3 ⎥ AB = BA = I 0 1 ⎥⎦ ก. 1 A ข. −3A ค. 1 At ง. −3At 3 3 * (69) [Ent’38] ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จตั รุ สั มีมิติ 4 × 4 โดย A (adj A) − BA = I ถ้า det (B) = 0 แลว้ det (A) มคี ่าเทา่ ใด หมายเหตุ จากขอ้ 55, 67, 68, 69 ซึ่งเป็นการคํานวณเกี่ยวกบั adj A นน้ั เราสามารถพิสูจน์ความสัมพนั ธ์ จากสมการ A−1 = adj A ก่อน เพอื่ ความสะดวกในการคํานวณ det (A) เช่น A ⋅ A−1 = A (adj A) → I = A (adj A) → det (A) ⋅ I = A (adj A) det (A) det (A) สว่ นความสัมพันธอ์ ่นื ก็หาไดจ้ าก A−1 = adj A เหมือนกัน เช่น adj A−1 = A , det (A) det (A) ฯลฯdet (adj A) = (det (A))n − 1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 215 เมตรกิ ซ 9.4 การดาํ เนินการตามแถว การดําเนนิ การตามแถว (Row Operation) ใชห้ าอนิ เวอร์สการคูณ (A−1) ได้ ซึง่ การดําเนนิ การตามแถวนั้น สามารถกระทาํ ได้ 3 ลกั ษณะ คือ a) นําค่าคงท่ี k (ที่ไมใ่ ช่ 0) ไปคูณไวแ้ ถวใดแถวหนง่ึ b) นําค่าคงท่ี k ไปคูณแถวใดแถวหนึง่ แล้วเอาไปบวกไวท้ แ่ี ถวอื่น c) สลบั แถวกัน 1 คร้ัง การหาอนิ เวอรส์ การคณู (A-1) โดยดาํ เนินการตามแถว มหี ลกั อยู่ว่า พยายามหาขัน้ ตอนทาํ A ให้กลายเปน็ I แลว้ วธิ ีเดียวกนั นนั้ จะทาํ I ใหก้ ลายเปน็ A−1 ได้ เขียนเปน็ สัญลกั ษณ์ไดว้ ่า ⎣⎡ A I ⎦⎤ ~ ⎣⎡ I A−1⎦⎤ ตัวอย่างเช่น ตอ้ งการหา A−1 เม่อื A = ⎡4 2⎤ ⎣⎢−8 3⎥⎦ เราจะเร่ิมจาก เขยี น A กบั I ไว้ในแถวเดียวกัน เรียกวา่ เมตริกซแ์ ต่งเติม (Augmented Matrix) แลว้ พยายามแปลง A ทางซ้ายมือ ใหเ้ ปน็ I ⎣⎡ A I ⎦⎤ = ⎡4 2 1 0⎤ ~ ⎡4 0 −3/7 −2/7⎤ ⎥ ⎣⎢−8 3 0 1⎥⎦ −2R2 + R1 ⎣⎢0 1 2/7 ⎦ 1/7 ~ ⎡4 2 1 0⎤ ~ ⎡ 1 0 −3/28 −1/14⎤ ⎥ 1 R1 ⎣⎢0 1 2/7 1/7 ⎦ 2R1 + R2 ⎢⎣0 7 2 1⎦⎥ 4 ~ ⎡4 2 1 0 ⎤ = ⎡⎣ I A-1⎤⎦ 1 R2 ⎣⎢0 1 2/7 1/7⎦⎥ 7 เม่อื แปลง A ทางซา้ ยมือ ให้เป็น I เรียบรอ้ ยแล้ว, I ทางขวามือจะกลายเป็น A−1 ดังน้นั A−1 = ⎡−3/28 −1/14⎤ ⎣⎢ 2/7 1/7 ⎦⎥ ขอ้ สังเกต 1. เราใชเ้ ครื่องหมาย ~ แทนการดาํ เนนิ การแต่ละขัน้ ตอน และเขยี นวธิ ีกาํ กบั ไว้ 2. นยิ มเขยี นแถวที่ถูกดาํ เนินการไว้ด้านหลัง เช่น 2R1+R2 แสดงวา่ R2 จะเปล่ียนไป 3. เทคนิคการทาํ ใหเ้ ป็น I โดยเรว็ ทีส่ ุดคือ ทําสมาชกิ เป็น 0 ให้ครบทีละสามเหลย่ี ม (ลา่ งหรือบน) 4. หากตอ้ งการสลับทรี่ ะหวา่ งแถว R1, R2 ก็จะใช้สญั ลกั ษณ์กํากับวา่ R12 การดาํ เนนิ การตามแถวทั้งสามแบบ ส่งผลตอ่ คา่ det ดงั นี้ a) นาํ คา่ คงท่ี k (ที่ไมใ่ ช่ 0) ไปคูณไวแ้ ถวใดแถวหน่ึง detnew = k ⋅ detold b) นาํ คา่ คงท่ี k ไปคูณแถวใดแถวหนึง่ แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่น detnew = detold (det ไม่เปลีย่ น จึงใช้วิธนี ช้ี ว่ ยในการคาํ นวณ det ได้ โดยปรับสมาชิกในเมตริกซใ์ หม้ ี 0 มากๆ) c) สลบั แถวกัน 1 คร้ัง detnew = − detold ท้ังน้ี การดําเนินการตามหลัก ก็ให้ผลเชน่ เดยี วกัน เนอื่ งจากสมบัติ det(At) = det(A) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 216 เมตริกซ แบบฝึกหัด 9.4 (70) ถ้า ⎡a b c⎤ , ⎡d f e⎤ ถามว่า เป็นกเี่ ทา่ ของ A = ⎣⎢⎢⎢gd ⎥ B = ⎣⎢⎢⎢2ga 2hb⎥⎦⎥⎥ e f ⎥ 2c B A h i ⎦⎥ i (71) ถา้ ⎡a b c⎤ ⎡4x 4y 4z⎤ ⎡p −a+x x⎤ จงหา ⎢⎣⎢⎢px zr ⎦⎥⎥⎥ , det (A) = 3, B = ⎢⎣⎢⎢2−pa 2−cr ⎥⎥⎦⎥ , C = ⎢⎢⎢⎣qr yz ⎥⎥⎥⎦ A= q 2b −b+y det (3B−1) y −q −c+z และ det (2C−1) (72) [Ent’38] ให้ A เปน็ เมตริกซ์จัตรุ ัส 4 × 4 และ M23(A) = 5 จงหา M32(2A)t (73) [จากข้อ 43,55,56] จงหาอนิ เวอร์สการคณู ของเมตรกิ ซ์ A, B, C, D โดยใช้วิธดี าํ เนินการ ตาม แถว เมื่อ A = ⎡−3 −2⎤ , B = ⎡2 −3⎤ , C = ⎡2 1 −2⎤ = ⎡2 −3 2⎤ ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 −6⎦⎥ ⎢⎢⎣⎢43 0 −01⎥⎥⎥⎦ , D ⎢⎢⎣⎢60 3 01⎥⎥⎦⎥ 6 −3 9.5 การใชเ้ มตรกิ ซแ์ กร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ ระบบสมการเชิงเส้น ที่มจี ํานวนตวั แปรเทา่ กบั จาํ นวนสมการ เราจะเขียนให้อยู่ในรปู สมการ เมตริกซ์ได้ เป็น AX = B (เรยี ก A ว่า เมตรกิ ซ์สัมประสทิ ธ์ิ, X เปน็ เมตริกซต์ ัวแปร, และ B เปน็ เมตริกซค์ า่ คงท่ี) ส่งิ ท่เี ราต้องการหาก็คือเมตริกซ์ X ⎧ 4x + 2y − z = 0 เช่น ระบบสมการ ⎪ มี 3 สมการ และมี 3 ตัวแปร ⎨ x − y = 3 ⎪ 5x − 3y + 2z + 1 = 0 ⎩ แปลงเป็นสมการเมตรกิ ซ์ ไดว้ า่ ⎡4 2 −1⎤ ⎡x⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢⎣⎢⎢51 ⎥ ⎢⎢⎢⎣yz ⎥⎥⎥⎦ ⎢⎣⎢⎢−31⎥⎦⎥⎥ AX = B −1 0 ⎥ = −3 2 ⎦⎥ วธิ แี ก้สมการเมตริกซน์ ี้ มี 3 แบบ 1. วิธีอนิ เวอรส์ AX = B → X = A−1B เป็นวธิ ที าํ แบบตรงๆ น่นั คือ ⎡x⎤ ⎡4 2 −1⎤−1 ⎡ 0 ⎤ กต็ ้องหาอินเวอร์สก่อน แลว้ คูณกันไดเ้ ป็นคําตอบ ⎢⎢⎢⎣yz ⎥⎥⎦⎥ ⎢⎢⎣⎢51 ⎥ ⎣⎢⎢⎢−31⎦⎥⎥⎥ = −1 0 ⎥ −3 2 ⎥⎦ 2. กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) xi = det (Ai) det (A) เมอื่ Ai คอื นาํ เมตริกซ์ B มาแทนลงในหลกั ที่ i ของเมตริกซ์ A เชน่ จากตวั อยา่ ง จะได้ x= 0 2 −1 y= 4 0 −1 z= 42 0 1 −1 3 3 −1 0 13 0 5 −3 −1 ,−1 −3 2 ,5 −1 2 4 2 −1 1 −1 0 4 2 −1 4 2 −1 5 −3 2 1 −1 0 1 −1 0 5 −3 2 5 −3 2 3. การดาํ เนนิ การตามแถว (Row Operation) ⎣⎡ A B ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I X ⎦⎤ มีหลกั อย่วู ่า พยายามหาข้ันตอนทํา A ให้กลายเป็น I แล้ววธิ ีเดียวกันนัน้ จะทํา B ให้กลายเป็น X ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 217 เมตรกิ ซ จากตัวอยา่ งกต็ อ้ งเร่ิมจาก ⎡4 2 −1 0 ⎤ แล้วทําให้เปน็ ⎡1 0 0 x⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎢0 1 0 y⎥⎥ ⎢ 1 −1 0 3 ⎥ ⎣⎢5 −3 2 −1⎥⎦ ⎣⎢0 0 1 z⎥⎦ แบบฝกึ หัด 9.5 (74) จงหาคาํ ตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยใช้วิธีอินเวอร์ส (74.1) x − 2y = 5 (74.2) 2x − 5y = 1 3x + 2y = −1 3x − 7y = 2 4x + 3y + 2z = 5 (75) จงหาคําตอบของระบบสมการ 3x − y − z = 6 โดยใชว้ ธิ ีอินเวอร์ส −x + 2y + z = 1 (76) จงหาคําตอบของระบบสมการ 3x + 2y = 6 โดยใช้กฎของคราเมอร์ −4x + y = 14 (77) จงหาคาํ ตอบระบบสมการน้ีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 2x + 3y + z = 3 x + 2y + 3z = −1 (77.1) x + 2y + z = 1 (77.3) 2x + y − 4z = 9 −x + 4y = −2 x − y + 2z = −2 2x + y + z = 1 (77.2) x − 2y − 3z = 1 3x + 2y + 4z = 5 2x + 4y + z = 1 (78) [Ent’38] กําหนดระบบสมการเชิงเสน้ x + 2y = −2 จงหาคา่ x −x − 3y + 2z = 3 (79) จงหาคําตอบระบบสมการต่อไปนี้ โดยการดาํ เนนิ การตามแถว x + y + z = 10 2x + y − z = 5 (79.1) 3x + z = 13 (79.2) 3x − 2y + 2z = −3 y + 2x − z − 9 = 0 x − 3y − 3z = −2 (80) จงหาคําตอบของระบบสมการ x − 2y − z = 1 x − 2y − z = 1 (80.2) 4x + 3y + 2z = −5 (80.1) 4x + 3y + 2z = −5 −2x + 4y + 2z = −2 −2x + 4y + 2z = −4 (81) จงหาคําตอบของระบบสมการ 2 + 1 = 0 2 +3 y +z = 3 x z x (81.1) [Ent’25] (81.2) 4 + 2 = 4 1 +2 y +z = 1 x y x 3 + 1 = 2 − 1 +4 y = −2 y z x ⎡ 1 0 2⎤−1 ⎡ 1⎤ ⎡x⎤ (82) [Ent’25] ให้ A = ⎢⎢2 −1 1⎥⎥ และ B = ⎢⎢2⎥⎥ จงหาคา่ y ทไ่ี ดจ้ ากสมการ A−1 ⎢⎢y⎥⎥ = B ⎢⎣5 1 2⎦⎥ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ (83) ให้หาคา่ x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ ถ้า s เป็นค่าคงท่ี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 218 เมตรกิ ซ s (x + y) − s = −x − 2y ___(1) s (x + y) − y = 0 _______(2) ⎡ 1 2 3⎤ ⎡p⎤ ⎡ 1⎤ (84) [Ent’40] ให้ A = ⎢⎢0 −1 0⎥⎥ และ X = ⎢⎢q⎥⎥ ถา้ A2(adj A) X = ⎢⎢6⎥⎥ จงหาคา่ p ⎣⎢2 1 0⎦⎥ ⎣⎢r ⎦⎥ ⎣⎢0⎥⎦ (85) [Ent’41] ให้ ⎡1 −1 2⎤ และ ⎡ 1⎤ จงหาค่าของ a ทีท่ ําให้ หาคําตอบได้ ⎢⎢1 1⎥⎥ ⎢ ⎥ A = ⎣⎢1 a a⎦⎥ B = ⎢ 0 ⎥ AX = B −1 ⎣⎢−1⎥⎦ (86) [Ent’40] ให้ ⎡ 1 2 a⎤ ⎡x⎤ และ ⎡ 1⎤ ถ้า และ A = ⎣⎢⎢⎢−21 bc⎥⎥⎦⎥ , X = ⎢⎢⎢⎣yz⎦⎥⎥⎥ B = ⎣⎢⎢⎢01⎥⎦⎥⎥ 3 AX = B 0 ⎡ 1 2 3⎤ ~A ⎢ −1 −1⎥⎥ R2−2 R1 แล้ว x มีค่าเท่าใด ⎢ 0 ⎢⎣−1 0 2 ⎦⎥ (87) (โจทยท์ บทวน) ประโยคต่อไปนี้ถูกหรอื ผดิ x (1) A + B ≠ B + A _____ (25) (A−1)n = (An)−1 _____ (2) At + Bt ≠ (A + B)t _____ (26) (A−1)−1 = A _____ (27) (3A)−1 = 3 A−1 _____ (3) AtBt ≠ (AB)t _____ (28) adj A = (C (A))t _____ (4) [Ent’27] A−1B−1 ≠ (AB)−1 det (A) _____ (5) A + 0 = A _____ (29) A ⋅ A−1 = adj A _____ (6) A × 1 = A _____ (30) [Ent’37] A = (adj A) ⋅ A _____ (7) A × I = A _____ (31) adj A = A n เม่อื A มมี ติ ิ n×n _____ (8) [Ent’21] AB = BA _____ (32) 2AtA−1 = 8 เม่อื A มีมิติ 3×3 _____ (9) k(A + B) ≠ kA + kB _____ (33) A−1AtBAt = 3 เมือ่ AB = I3 _____ (10) (A + B) C = AC + BC _____ (11) A (B + C) = AC + AB _____ (12) (AB) C = C (BA) _____ (34) cos θ ⋅ ⎡ 1 θ tan θ⎤ =1 _____ (13) I2 = I ⎣⎢− tan 1 ⎦⎥ _____ (14) AI = IA _____ (15) AB = A ⋅ B abc _____ (16) An = A n _____ (35) b c a = 0 _____ (17) A−1 = A −1 cab _____ (36) ถ้า AB = 0 แล้ว A = 0 หรอื B = 0 _____ (18) At = A t _____ (37) [Ent’30] ถา้ AB = 0 แล้ว _____ (19) [Ent’27] kA = k A A = 0 หรือ B = 0 _____ (20) I = 0 _____ (21) 0 = 0 _____ (22) 2 I = 2 _____ (23) A2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I) _____ (24) A2 + 5AB + 6B2 = (A + 2B)(A + 3B) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 219 เมตรกิ ซ เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1) 6 และ –9 (26) –34 (27) 60 (56) ⎡−1/4 1/4 1/2⎤ (28) 14 (29) 2 ⎢ ⎥ ⎡ 1 −1 −2⎤ ⎢ 1/2 −1/6 −1 ⎥ (2) ⎣⎢⎢⎢43 −11⎥⎥⎥⎦ (3) เท่ากัน ⎢⎣ 3/2 −1/2 −2 ⎦⎥ 1 (30) −7 0 = 28 5 51 −4 (57) ง. (58) -111 (4) เทา่ กนั (5.1) ⎡3 9 3⎤ (31) –360, 0, 0 (59) 4 × 4 (60) − 1 ⎣⎢4 2 7⎦⎥ (32) (−2)2(−2)4(−12) = −768 2 (5.2) ⎡5 −3⎤ (5.3) ⎡ 10 5 ⎤ (33) (−2)2(1)n(1)(3) = 12 ⎢⎣9 1 ⎥⎦ ⎢ 15 ⎥⎥ (61) 3 (62) 2 หรอื –2 ⎢ 20 (34) –5 (35) 2 (36) 4 (37) 16 (38) ไมม่ ี (63) ± 1 (64) ค. ⎣⎢−10 40⎦⎥ 2 (6) ⎡2 4⎤ , ⎡2 2⎤ , ⎡2 2⎤ , (39) ⎧⎪⎨1, 5±3 5 ⎫⎪ (40) 4 ⎢⎣2 6⎥⎦ ⎢⎣4 6⎥⎦ ⎢⎣4 6⎥⎦ ⎪⎩ 2 ⎬ { }(65) 11 , −5 (66) –4 ⎭⎪ 7 ⎡ 2 3⎤ (41) x ≠ 0, 2/3 (67) 36 (68) ก. ⎣⎢−1 4⎥⎦ (69) 1 (70) 2 (42) ก.ถูก, ข.ถกู (71) –9/8, 8/3 (72) 40 ⎡2 3⎤ (7) ⎢⎢−1 0⎥⎥ , ⎡4 −2 8⎤ , (43) ⎡1 1⎤ , ไมม่ ี, ไมม่ ,ี (73) ดูทขี่ อ้ 43, 55, 56 ⎢⎣ 4 1⎥⎦ ⎣⎢6 0 2⎥⎦ ⎣⎢−2 −3/2⎦⎥ (74.1) 1, –2 (74.2) 3, 1 ⎡−2 1 −4⎤ ⎡ 1 0⎤ (44) ⎡−4 27/ 4⎤ (75) 5/4, 9/2, –27/4 ⎢⎣−3 0 −1⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣⎢ 3 −5 ⎥⎦ (76) –2, 6 (8) ... (9.1) 2 และ 3 (45.1) ⎡−3 2⎤ (77.1) 2, 0, –1 (9.2) 5 และ 4 ⎣⎢ 2 −1⎥⎦ (77.2) 1, –3, 2 (9.3) 7 และ 5 (77.3) 13/9, 7/9, –4/3 (9.4) x = y และเปน็ จํานวนนบั (45.2) ⎡cos θ −sin θ⎤ (78) –20 ⎣⎢ sin θ cos θ ⎦⎥ (79.1) 25/7, 29/7, 16/7 (10) (AB)3×4, BA ไมม่ ี (79.2) 1, 2, –1 (45.3) ไม่มี (46) ⎡2 −10⎤ (80.1) ไมม่ คี าํ ตอบ ⎢⎣2 −7 ⎦⎥ ⎡5 2⎤ ⎡3 6⎤ (11) ⎢⎣−3 0⎥⎦ , ⎣⎢0 2⎥⎦ (47) ⎡1 0⎤ (48) ⎡−9 −6⎤ (80.2) มีคําตอบหลายชุด ⎣⎢0 1⎥⎦ ⎣⎢−4 −2⎥⎦ (81.1) 2, 1, –1 ⎡3 −4⎤ ⎡−13 −8⎤ (12) ⎣⎢10 −6⎦⎥ , ⎢⎣ 19 10 ⎥⎦ , (49) ไมม่ ี (50) ⎡1 4⎤ (81.2) 1/2, 0, –1 (82) 0 ⎣⎢9 16⎦⎥ (83) − s (s−1) , s2 ⎡4 −44⎤ ⎡20 −40⎤ ⎡2⎤ ⎣⎢33 37 ⎥⎦ , ⎣⎢24 21 ⎦⎥ (52) 6 + 5 = 11 2s + 1 2s + 1 (51) ⎢⎢6⎥⎥ (13) ⎡12 18 ⎤ (14) 2 (84) 1/2 (85) a ≠ −1, 2 ⎣⎢12 30⎦⎥ ⎢⎣3⎦⎥ (86) –2/3 (53) ⎡−2 −1⎤ ⎡⎢2n n ⎤ ⎣⎢ 1 1 ⎦⎥ (87) ขอ้ ทถี่ กู คอื (3), (4), (15) 2 ⋅ 2n ⎥ (16) 3 (6), (7), (10), (11), (13), 2n ⎥ ⎡2 0 4⎤ ⎢ 0 ⎦ 4 (54) ⎣⎢⎢⎢−04 −−22⎥⎦⎥⎥ (14), (15), (16), (17), (21), ⎣ 2 (23), (25), (26), (29), (32), −2 (34), (36) (17) 3 + 2 − 2 = 3 (18) –1 และ 1 ⎡ 0 −11 0 ⎤ (19) –1, –3 หรอื –3, –1 (55) ⎢⎣⎢⎢138 6 −−63⎥⎥⎥⎦ , −33 I , −8 (20) –1 และ 1 (21) กราฟไฮเพอรโ์ บลา 3x2 −4y2 =12 1 ⎡0 −11 0⎤ −33 ⎢⎢⎢⎣138 6 −−63⎥⎦⎥⎥ (22) 2, –5, 0 (23) 8, 0 −33 I , −33 , −8 (24) x ∈ (−5, −4)∪(3, 4) (25) –2, –2, –9, –2, 9 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 220 เมตริกซ เฉลยแบบฝึกหัด (วธิ ีคดิ ) (1) a11 + b22 = 2 + 4 = 6 , สังเกต โดยปกติ AB มกั จะไมเ่ ทา่ กับ BA จงึ ทาํ ให้ (A + B)2 ไมเ่ ท่ากับ A2 + 2AB + B2 ดว้ ย 2a12 − 3b21 = 2(3) − 3(5) = −9 เพราะ (A + B)2 = (A + B)(A + B) (2) ⎡ ○ ○○⎥⎤ i=j ⎢Δ Δ i>j = A2 + AB + BA + B2 ... ซงึ่ AB + BA ≠ 2AB ⎣⎢Δ Δ ⎥⎦ ○ j>i จะได้ ⎡ 1 1−2 1− 3⎤ = ⎡ 1 −1 −2⎤ (13) At(BA) = ⎡2 0⎤ ⎛ ⎡3 2⎤ ⎡2 1⎤ ⎞ ⎢2 + 1 1 2 − 3⎥ ⎢3 1 −1⎥ ⎣⎢ 1 3⎥⎦ ⎜⎝ ⎢⎣ 1 2⎥⎦ ⎢⎣0 3⎥⎦ ⎟⎠ ⎢⎣3 + 1 3 + 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣4 5 1 ⎥⎦ ⎡2 0⎤ ⎡6 9⎤ ⎡12 18⎤ (3) เทา่ กัน เพราะ 2 = cosec 30° , = ⎣⎢ 1 3⎦⎥ ⎣⎢2 7⎥⎦ = ⎣⎢12 30⎦⎥ ,−4 = log 10−4 20 + 1 = 4 และ 5 = 25 (14) ⎡3 0 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0⎤ ⎢2 −1 0⎥ ⎢1 −1⎥ ⎣⎢ 4 2⎥⎦ (4) เทา่ กนั ⎣⎢ 1 1 2⎥⎦ ⎣⎢2 3 ⎦⎥ (จากการยา้ ยขา้ งสมการ x2 − x + 1 = 0 จะไดว้ า่ ⎡ ⎤ ⎡−1 0⎤ ⎡ ⎤ =⎢ 1⎥ ⎣⎢ 4 2⎦⎥ ⎢ 2⎥ → x2 = x − 1 , x − x2 = 1 , x = x2 + 1) = ⎣⎢ ∴ c22 = 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎦⎥ (5.1) ⎡3 9 3⎤ (5.2) ⎡5 −3⎤ ⎢⎣4 2 7⎥⎦ ⎢⎣9 1 ⎦⎥ (เมื่อคนุ้ เคยแลว้ จะไมจ่ ําเป็นต้องหาผลคณู ใหค้ รบทกุ (5.3) ⎡ 10 5⎤ (6) ⎡2 4⎤ ตําแหนง่ กไ็ ด)้ ⎢ 20 15 ⎥ ⎢⎣2 6⎦⎥ ⎢⎣−10 40⎦⎥ A+B = (15) จาก A = ⎡2 1⎤ จะได้ ⎣⎢0 2⎥⎦ At + Bt = ⎡2 2⎤ = (A + B)t → A2 = ⎡2 1⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡4 4⎤ ⎢⎣4 6⎦⎥ ⎢⎣0 2⎥⎦ ⎢⎣0 2⎥⎦ ⎣⎢0 4⎥⎦ และ A+0 = ⎡ 2 3⎤ =A → A3 = ⎡4 4⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡8 12⎤ ⎣⎢−1 4⎦⎥ ⎢⎣0 4⎦⎥ ⎢⎣0 2⎥⎦ ⎣⎢0 8 ⎦⎥ (7) ⎡ 2 3⎤ 2A = ⎡4 −2 8⎤ , → A4 = ⎡8 12⎤ ⎡2 1⎤ = ⎡16 30⎤ ...ฯลฯ ... At = ⎢−1 0⎥ , ⎢⎣6 0 2⎥⎦ ⎢⎣0 8 ⎦⎥ ⎣⎢0 2⎥⎦ ⎣⎢ 0 16⎥⎦ ⎣⎢ 4 1⎦⎥ ดงั นนั้ รปู ทวั่ ไป An = ⎡⎢2n n ⋅ 2n ⎤ ⎣⎢ 0 22n ⎥ และ −A = ⎡−2 1 −4⎤ ⎥⎦ ⎣⎢−3 0 −1⎥⎦ (8) AB = ⎡ a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 ⎤ (16) ตําแหนง่ 11; 2(x + y) − 4 = 1 .....(1) ⎣⎢a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23 ⎥⎦ ตําแหนง่ 12; (x + y)(y) + 2y = a .....(2) (9.1) x = 2, y = 3 ตาํ แหนง่ 21; 6 − 2z = 0 → z = 3 .....(3) (9.2) x = 5, y = 4 ตาํ แหนง่ 22; 3y + zy = 1 .....(4) (9.3) x = 7, y = 5 แทน (3) ใน (4) ได้ y = 1 / 6 , (9.4) x = y และเปน็ จํานวนนับเทา่ นนั้ จาก (1) ได้ (x + y) = 5 / 2 (10) AB3×4 , สว่ น BA ไมม่ ี ดงั นน้ั จากสมการ (2) จะได้ (11) AB = ⎡ 1⋅3 + 2⋅1 1⋅0 + 2⋅1 ⎤ (5 / 2)(1 / 6) + 2(1 / 6) = a → a = 3 / 4 ⎢⎣−1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 −1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1⎦⎥ (17) ตาํ แหน่ง 21; 3 + 2z = 7 → z = 2 = ⎡5 2⎤ ⎣⎢−3 0⎦⎥ ตําแหนง่ 22; x + 2 = 5 → x = 3 BA = ⎡3 ⋅ 1 + 0 ⋅(−1) 3 ⋅2 + 0 ⋅ 0⎤ = ⎡3 6⎤ ตาํ แหนง่ 12; x + 2y = 7 ⎢⎣ 1⋅ 1 + 1⋅(−1) 1⋅2 + 1⋅ 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 2⎥⎦ แทน x = 3 ได้ y = 2 ∴ x + y − z = 3 (12) AB = ⎡3 −4⎤ , BA = ⎡−13 −8⎤ (18) X2 + 2X + I = 0 → (X + I)2 = 0 ⎣⎢10 −6⎥⎦ ⎣⎢ 19 10 ⎥⎦ (A + B)2 = ⎡4 −4⎤ ⎡4 −4⎤ = ⎡4 −44⎤ (ทาํ ได้เพราะ XI = IX ) ⎣⎢3 7 ⎥⎦ ⎣⎢3 7 ⎥⎦ ⎣⎢33 37 ⎥⎦ ⎡a + 1 0 ⎤2 ⎡0 0⎤ (ใชเ้ มตริกซค์ ณู กันนะ) A2 + 2AB + B2 = ⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ + ⎡6 −8 ⎤ → ⎢⎣ 0 −b + 1⎥⎦ = ⎣⎢0 0⎥⎦ ⎢⎣4 2⎥⎦ ⎣⎢4 2⎥⎦ ⎢⎣20 −12⎦⎥ ⎡(a + 1)2 0⎤ ⎡0 0⎤ + ⎡3 −4⎤ ⎡ 3 −4⎤ = ⎡20 −40⎤ → ⎣⎢ 0 (−b + 1)2 ⎦⎥ = ⎣⎢0 0⎥⎦ ∴ a = −1 , b = 1 ⎢⎣−1 5 ⎥⎦ ⎢⎣−1 5 ⎦⎥ ⎢⎣24 21 ⎥⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 221 เมตริกซ (19) A2 + 4A − 5I = 0 M32(A) = 30 = −9 −5 −3 ⎡ a2 + 8 4a + 4b⎤ ⎡4a 16⎤ ⎡5 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎣⎢2a + 2b 8 + b2 ⎥ + ⎣⎢ 4 4b⎦⎥ − ⎢⎣0 5⎥⎦ = ⎢⎣0 0⎦⎥ C11(A) = −2 , C32(A) = 9 ⎦ (26) เลอื กหลักที่ 2 แสดงวา่ a2 + 4a + 3 = 0 .....(1) → det(A) = a12c12 + a22c22 + a32c32 4a + 4b + 16 = 0 .....(2) −3 5 6 2 62 2a + 2b + 4 = 0 .....(3) = −(1) 7 1 + (0) 7 1 − (2) −3 5 และ b2 + 4b + 3 = 0 .....(4) = 38 − 72 = −34 → แก้ระบบสมการ ไดเ้ ปน็ a = −1, b = −3 (27) วธิ ี n (ตามหลกั ) เลอื กหลักที่ 1 (j = 1) ∑ aijcij หรอื a = −3, b = −1 ก็ได้ i=1 หมายเหตุ A2 + 4A − 5I = (A + 5I)(A − I) = 0 det(A) = a11c11 + a21c21 + a31c31 ใชไ้ ด้ เพราะ AI = IA = 5 2 1 − 4 3 −5 + (−1) 3 −5 แต่จะสรปุ ว่า A = −5 I, I ไมไ่ ด้ −3 1 −3 1 2 1 เพราะ Δ = 0 ไมไ่ ดแ้ ปลวา่ หรอื Δ = 0 = (5)(5) − (4)(−12) − (13) = 60 วิธี n (ตามแถว) เลอื กแถวที่ 2 Σ aijcij (i = 2) ⎡ x y2 3 ⎤ ⎡ x −1 x2 ⎤ j=1 (20) At + A = ⎢⎢⎢⎣x−21 1 x2 ⎥ + ⎢⎢y2 1 3 ⎥ det(A) = a21c21 + a22c22 + a23c23 3 ⎥ ⎣⎢ 3 x2 y ⎥ y ⎥⎦ ⎥⎦ 3 −5 5 −5 5 3 = −4 −3 1 +2 −1 1 − 1 −1 −3 ⎡ 2x y2 − 1 x2 + 3⎤ ⎡−2 0 4⎤ = (−4)(−12) + (2)(0) − (−12) = 60 ⎣⎢⎢⎢xy22+− 2 x2 + 3⎥⎥ ⎢0 2 4⎥ = 1 = B = ⎢⎣ 4 4 2⎥⎦ วธิ คี ณู ทแยง 3 x2 + 3 2y ⎦⎥ พิจารณาจากตาํ แหน่ง 11 กบั 33 det(A) = −10 − 12 + 15 + 10 − 3 + 60 = 60 กจ็ ะพบวา่ x = −1, y = 1 คณู ขน้ึ คูณลง ซึ่งตรวจสอบแลว้ จะใช้ไดก้ บั ตาํ แหนง่ อน่ื ๆ ท่ีเหลอื ดว้ ย (28) C21(A) = −6 = − y 4 −y −1 (21) ⎡3 7⎤ ⎡x⎤ [x y] ⎣⎢−7 −4⎦⎥ ⎢⎣y⎥⎦ = [12] → 6 = 3y → y = 2 → [3x−7y 7x − 4y ] ⎡x⎤ = [12] C23(A) = 4 = − xy → 4 = 2xy → ⎣⎢y⎦⎥ x −y → 3x2 − 7xy + 7xy − 4y2 = 12 ไฮเพอรโ์ บลา แทน y = 2 ได้ x = 1 (22) det(A) = 2 , det(B) = −5 , det([0]) = 0 ∴ C33(A) = xy = 12 = 8 + 6 = 14 [สงั เกต det(B) ใช้สญั ลกั ษณว์ ่า |B|=|− 5|= −5 −3 8 −3 8 ไม่ต้องตัดเครอื่ งหมายลบทง้ิ ไปแบบค่าสมั บรู ณน์ ะ!] (29) det(A) = −5 = (a)C11 + (−1)C12 + (0)C13 (23) 2 −5 แทนคา่ C11 = 11 = −2, C12 =1 4 −6 1 −1 det(A) = = (2)(−6) − (−5)(4) = 8 จะได้ a = 2 det(B) = −12 − (−12) = 0 (30) C11 = 0 1 −3 [แสดงว่า B เป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน] 02 1 (24) |A | < |B| < |C| → 12 < x2 + x < 20 −1 3 2 → x2 + x − 12 > 0 และ x2 + x − 20 < 0 = −6 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 = −7 → (x + 4)(x − 3) > 0 และ (x + 5)(x − 4) < 0 1 10 เขยี นเสน้ จํานวน เอาชว่ งคําตอบมาอนิ เตอรเ์ ซคกนั C21 = − 0 2 1 −1 3 2 ไดเ้ ปน็ (−5, −4) ∪ (3, 4) = −(0 + 0 − 3 + 4 + 0 − 1) = 0 −4 1 1 (25) det(A) = 3 −4 0 −5 4 −3 C44 = 2 0 1 2 −2 1 0 02 = 0 − 18 − 20 + 12 + 0 + 24 = −2 = 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 0 = −4 คณู ขน้ึ คณู ลง ∴ CC3121 CC4241 = −7 0 = 28 C32 −4 4 −3 M11(A) = −2 1 = −2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 222 เมตริกซ (31) 2 0 4 −6 2 4 −6 จาก ABtC = ⎡−6 1 ⎤ 0 −4 0 0 50 0 ⎣⎢ 4 −2⎥⎦ 5 −2 0 0 = (−4) 1 −1 −3 1 3 −1 −3 → A ⋅ B ⋅ C = −6 1 = 8 4 −2 = (−4) ⎛ −(5) 4 −6 ⎞ = (−4)(−5)(−18) = −360 → B = 8 = 16 ⎜⎝ −1 −3 ⎠⎟ (2)(1 / 4) ส่วนอีกสองเมตรกิ ซ์นนั้ det มีคา่ เปน็ 0 (38) det(A) = 2 sin2 x + 2 cos2 x = 2 เสมอ จะคิดโดยวธิ ีปกติ (คณู ทแยง) ก็ได้ แตใ่ นทน่ี ีจ้ ะแสดง (จากเอกลกั ษณข์ องตรีโกณมติ )ิ ดงั นน้ั det ไมม่ ที าง โดยใช้สมบัตทิ ีว่ ่า เป็น 0 ∴ ขอ้ น้ี ไม่มคี ําตอบ (1) นาํ หลกั บวกกนั ค่า det ไมเ่ ปลยี่ น 1 0 −x2 21 0 (2) ถ้ามี 2 หลกั เป็น k เทา่ ของกนั det = 0 (39) = x3 − 6x2 + 5 = 0 ... จากเมตริกซ์แรก นาํ หลกั 2 ไปบวกหลกั 3 x3 5 1 a a+b+c → (x − 1)(x2 − 5x − 5) = 0 → x = 1, 5 ± 3 5 = 1 b a+b+c = 0 2 1 c a+b+c (40) 12 −1 −2 x −2 = x + 4 − 4 + x − 4 − 4 (เพราะหลกั ที่ 3 เป็น a+b+c เท่าของหลกั ท่ี 1) 1 −2 1 ... จากเมตรกิ ซท์ ส่ี อง นาํ หลัก 1 ไปบวกหลกั 3 n n + 1 2n + 2 = 2x − 8 = 0 → x = 4 = n + 1 n + 2 2n + 4 = 0 [สงั เกต หลกั ท่ี 2 จะเปน็ −2 เทา่ ของหลักที่ 3] n + 2 n + 3 2n + 6 (เพราะหลกั ที่ 3 เป็น 2 เทา่ ของหลักท่ี 2) (41) log 2x −2x ≠0 (32) det(−2A3At(A + At)) log 2x − 1 x = (−2)2 ⋅ A 3 ⋅ A ⋅ A + At → x log 2x + 2x log 2x − 1 ≠ 0 −1 14 −2 4 → x2 log 2 + (2x2 − 2x) log 2 ≠ 0 3 −1 4 −2 = 4⋅ ⋅ → 3x2 − 2x ≠ 0 → x ≠ 0, 2 3 = 4 ⋅ (−2)4 ⋅ (−12) = −768 (42) ⎡a b⎤ = ⎡−a −c⎤ → (33) det(−2AnAt(A + At)) ⎢⎣c d⎦⎥ ⎢⎣−b −d⎥⎦ = (−2)2 ⋅ A n ⋅ A ⋅ A + At แสดงวา่ a กับ d เป็น 0 (ก. ถกู ) = 4⋅ 1 1 n+1 ⋅ 21 = 4 ⋅ (1)n + 1 ⋅ (3) = 12 A2 = B และ B ≠ 0 → แสดงว่า A ≠ 0 ดว้ ย 0 1 12 (A 2 = B) → ข. กถ็ กู (34) A ⋅ X ⋅ B = C ⋅ D (43) 1 ⎡2 2⎤ ⎡1 1 ⎤ A−1 2 ⎢⎣−4 −3⎥⎦ ⎣⎢⎢−2 3⎥ → X = C ⋅ D = (−5)(−10) = −5 = ⋅ = − 2 ⎥⎦ , A ⋅ B (2)(−5) (35) −2 0 0 12 4 10 B−1 = 1 ⋅ ⎡−6 3⎤ → หาไมไ่ ด้ เพราะ B =0 4 3 0 ⋅ X = 0 −5 8 0 ⎣⎢−4 2⎥⎦ 2 15 00 1 02−1 = 1 ⋅ ⎡0 0⎤ → หาไม่ได้ เพราะ 0 =0 → (−30) X = (−60) → X = 2 0 ⎢⎣0 0⎦⎥ สงั เกต ขอ้ นีเ้ ปน็ เมตรกิ ซส์ ามเหลยี่ ม จะหา det งา่ ย I2−1 = 1⋅ ⎡ 1 0⎤ = ⎡1 0⎤ = I2 (36) AB + 4A = 2I → A(B + 4I) = 2I 1 ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣⎢0 1⎦⎥ → A ⋅ B + 4I = 2I (44) (AB)−1 = ⎡20 27 ⎤ −1 ⎣⎢ 12 16⎦⎥ ⎛⎜⎝ 1 ⎠⎞⎟ 2 −2 → 4 ⋅ x y+4 = (2)2 = 1 ⎡ 16 −27⎤ = ⎡−4 27 / 4⎤ −4 ⎢⎣−12 20 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 −5 ⎦⎥ → 1 (2y + 8 + 2x) = 4 → x + y = 4 4 B−1A−1 = 1 ⎡5 −3⎤ ⋅ 1 ⎡2 −3⎤ −2 ⎣⎢−4 2 ⎦⎥ 2 ⎣⎢−2 4 ⎦⎥ (37) จาก −A3 = 2 2I → (−1)2 A 3 = (2 2)2 1 ⎡ 16 −27⎤ ⎡−4 27 / 4⎤ → A3 = 8 → A = 2 = −4 ⎢⎣−12 20 ⎦⎥ = ⎣⎢ 3 −5 ⎦⎥ จาก C−1 = 4 → 1 = 4 → C = 1 หมายเหตุ เสมอ(AB)−1 = B−1 ⋅ A−1 C4 (45.1) ⎡ 1 2⎤−1 = 1 ⎡ 3 −2⎤ = ⎡−3 2 ⎤ ⎣⎢2 3⎥⎦ −1 ⎣⎢−2 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 −1⎦⎥ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 223 เมตรกิ ซ (45.2) ⎡ cos θ sin θ ⎤ − 1 (55) ใชข้ ั้นตอน A det > M +, − > C t > adj ⎣⎢− sin θ cos θ⎦⎥ ⎡2 1 −2⎤ ⎡0 −3 18⎤ = 1 ⎡cos θ −sin θ⎤ = ⎡cos θ −sin θ⎤ จาก A = ⎢3 0 0⎥ → M(A) = ⎢11 6 8⎥ cos2 θ + ⎣⎢ sin θ cos θ ⎦⎥ ⎣⎢ sin θ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣4 6 −1⎦⎥ ⎣⎢0 6 −3⎥⎦ sin2 θ (45.3) 24 =0 ดงั นน้ั ไม่มคี าํ ตอบ ⎡ 0 3 18⎤ ⎡ 0 −11 0 ⎤ 12 → C(A) = ⎢−11 6 −8⎥ → adj(A) = ⎢ 3 6 −6⎥ ⎢⎣ 0 −6 −3⎥⎦ ⎣⎢18 −8 −3⎥⎦ (46) 2A−1Bt 1 ⎡4 2⎤ ⎡−1 2⎤ = 2⋅ −2 ⎣⎢3 1⎦⎥ ⋅ ⎢⎣ 1 1⎥⎦ โจทยถ์ าม A ⋅ adj(A) กบั adj(A) ⋅ A = − ⎡−2 10⎤ = ⎡2 −10⎤ ไดเ้ ปน็ ⎡−33 0 0⎤ ทง้ั สองอยา่ ง ⎣⎢−2 7 ⎥⎦ ⎢⎣2 −7 ⎦⎥ ⎢ 0 −33 0⎥ ⎢⎣ 0 0 −33⎥⎦ (47) BA−1 = At → B = At ⋅ A ⎡0 −11 0 ⎤ 1 ⎡ −1 − 3⎤ 1 ⎡ −1 3⎤ det(A) = −33 , A−1 = − 1 ⎢3 6 −6⎥ 2 ⎢ 3 2 ⎣⎢− 3 = ⎣ −1 ⎥ ⋅ −1 ⎥ 33 ⎣⎢18 −8 −3⎦⎥ ⎦ ⎦ = 1 ⎡4 0⎤ = ⎡1 0⎤ [หมายเหตุ A ⋅ adj(A) = adj(A) ⋅ A = A ⋅ I 4 ⎢⎣0 4⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ เสมอ → แสดงที่มาไว้ในเฉลยขอ้ 69] (48) ⎡2 −5⎤ ⎡3 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡ 2 −2⎤ ⎣⎢ 1 −2⎥⎦ X = ⎣⎢ 1 2⎦⎥ − ⎣⎢2 4⎥⎦ = ⎣⎢−1 −2⎦⎥ (56) จาก ⎡3 6 −18⎤ ⎢3 2 −6 ⎥ M(A) = ⎢⎣−6 −12 24 ⎥⎦ → X = ⎡2 −5⎤ −1 ⋅ ⎡2 −2⎤ ⎡ 3 −6 −18⎤ ⎣⎢ 1 −2⎦⎥ ⎣⎢−1 −2⎦⎥ → C(A) = ⎢−3 2 6 ⎥ = 1 ⎡−2 5⎤ ⎡2 −2⎤ = ⎡−9 −6⎤ ⎢⎣−6 12 24 ⎥⎦ 1 ⎢⎣ −1 2⎥⎦ ⎣⎢−1 −2⎦⎥ ⎣⎢−4 −2⎥⎦ → det(A) = (แถว2) 6(−3) + 3(2) = −12 (49) A = ⎡4 6 ⎤−1 ⋅ ⎡1 2⎤ ⇒ หาไม่ได้ ⎢⎣8 12⎦⎥ ⎢⎣3 4⎦⎥ ⎡3 −3 −6⎤ และ adj(A) = ⎢ −6 2 12⎥ ดังนนั้ เพราะ 4 6 ดงั นนั้ ขอ้ นี้ไมม่ คี าํ ตอบ ⎣⎢−18 6 24⎥⎦ 8 12 = 0 (50) จาก A ⋅ 4 ⎡1 4⎤ = 4I A−1 = − 1 ⎡3 −3 −6⎤ = ⎡−1/ 4 1/ 4 1/2⎤ ⎣⎢9 16⎦⎥ ⎢ −6 2 12⎥ ⎢ 1/2 −1/6 −1 ⎥ 12 ⎢⎣−18 6 24⎥⎦ ⎣⎢ 3/2 −1/2 −2 ⎥⎦ ⎡1 4⎤ ⎡1 4 ⎤ → ⎢⎣9 16⎥⎦ = A−1 ⋅I = A−1 ตอบ ⎢⎣9 16⎦⎥ (57) A = 2 , C = 24 → ∴ B = C ÷ A = 12 (51) AB = I แสดงวา่ A−1 = B ก. B−1 = 1 = 1 ขอ้ น้ีผดิ B 12 ⎡1⎤ ⎡3 0 −1⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ → A−1 ⋅ ⎢1⎥ = ⎢4 2 0 ⎥ ⎢1⎥ = ⎢6⎥ ข. B−1A−1 = 1 = 1 ขอ้ นผี้ ดิ B ⋅ A 24 ⎢⎣1⎥⎦ ⎣⎢3 −1 1 ⎦⎥ ⎢⎣1⎦⎥ ⎣⎢3⎦⎥ ค. 2Bt = 22 ⋅ B = 48 ขอ้ นผ้ี ดิ (52) AX + B = A → AX = A − B ง. A2B = A 2 ⋅ B = 48 ถูก (58) = (At)−1 = At −1 = A −1 = A−1 → X = A−1 ⋅ (A − B) (เลอื กแถว 2 ในการหา det) ∴ X = 1⎡3 −4⎤ ⋅ ⎡2 2⎤ = ⎡−6 6⎤ 1 ⎣⎢−2 3 ⎥⎦ ⎣⎢3 0⎥⎦ ⎢⎣ 5 −4⎦⎥ → b + c = 6 + 5 = 11 ตอบ −3 51 = −3(37) = −111 −2 7 (53) X−1 = A−1 ⋅ (B + C)−1 (59) 2A−1 = B → 2n = B = ⎡0 1⎤−1 ⋅ ⎡1 −1⎤ −1 = 1 ⎡ 2 −1⎤ ⋅ 1 ⎡1 1⎤ A ⎣⎢ 1 2⎥⎦ ⎢⎣0 1 ⎦⎥ −1 ⎣⎢−1 0 ⎦⎥ 1 ⎢⎣0 1⎦⎥ → 2n = 16 ∴ n = มิตขิ อง A และ B = 4 = ⎡−2 −1⎤ ⎢⎣ 1 1 ⎥⎦ ตอบ 4 × 4 (60) จาก A2 − 3A + I = 0 → I − 3A = − A2 (54) A(B − C) = 1 I → 2(B − C) = A−1 2 และ B = 1 A−1− 3 I → 2BA = I − 3A ⎡ 1 0 2⎤ ⎡2 0 4⎤ 22 → ∴ A−1 = 2 ⎢ 0 1 −1⎥ = ⎢ 0 2 −2⎥ (ได้จากการนาํ 2A คูณ) จากน้นั สมการทงั้ สอง ⎣⎢−2 −1 −1⎦⎥ ⎣⎢−4 −2 −2⎦⎥ เทา่ กัน จะได้ 2BA = −A2 23 ⋅ B ⋅ 4 = (−1)3(4)2 ∴ B = −1 / 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 224 เมตริกซ (61) C = (2A + I)(B−1) → C = 2A + I (67) เน่ืองจาก AB = BA = I แสดงวา่ B B−1 = A → โจทยถ์ าม det(adj A) ∴1= 3 4 ÷ −1 1 = 21 − 8x → x=3 พิสจู น์ จาก A−1 = adj(A) 2x 7 21 −3 A (62) A = 1 − c2 → จากสมการในโจทยจ์ ะได้ → A ⋅ A−1 = adj(A) → ใส่ det ทั้งสองขา้ ง 22 ⋅ A 2 + (1 − c2)3 ⋅ A −1 = 45 → A ⋅ A−1 = adj(A) → 4(1 − c2)2 + (1 − c2)2 = 45 → (1 − c2)2 = 9 ดังนนั้ adj(A) = A n ⋅ A −1 = A n − 1 โจทย์ขอ้ นี้ A = −6 ∴ adj(A) = (−6)3 − 1 = 36 → 1 − c2 = 3 หรอื −3 (68) โจทยใ์ หห้ า adj(B) กค็ อื adj(A−1) นัน่ คอื c2 = −2 (ใชไ้ มไ่ ด)้ หรือ 4 → c = ±2 พิสูจน์ จาก A−1 = adj(A) A (63) A = a2 − a → จากสมการในโจทยจ์ ะได้ → A ⋅ A−1 = adj(A) a ⋅ A −1 + 1 ⋅ (2)3 ⋅ A + 4 = 0 เปลีย่ น A เป็น A−1 → A−1 ⋅ A = adj(A−1) 4a ดังนน้ั adj(A−1) = A → 1 + 2(a − 1) + 4 = 0 A a−1 โจทยข์ อ้ น้ี A = 3 ดังนนั้ ตอบ ก. → 1 + 2(a − 1)2 + 4(a − 1) = 0 (69) พสิ ูจน์ จาก A−1 = adj(A) → 2a2 − 1 = 0 → a = ± 1 A 2 → A ⋅ A−1 = adj(A) → นํา A คูณท้ังสองขา้ ง (64) ก. 3 [1 −1 ⎡5⎤ 1 ⎡ 1⎤ − 4] ⎢0⎥ − 2 [0 2] ⎢−1⎥ ⎢⎣ 1⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ = 3 [1] − 2 [3] = [−3] ขอ้ นี้ผดิ → A ⋅ I = A ⋅ adj(A) ข. 21 = 2a − a2 = 0 → ดงั นน้ั โจทยจ์ ะกลายเป็น A I − BA = I a2 a → ( A − 1) I = BA → ( A − 1)4 = B ⋅ A a = 0 หรอื 2 → ขอ้ นีผ้ ดิ ค. AB = A ⋅ B = 0 → ซึ่ง det(B)=0 จงึ ได้ A − 1 = 0 → A = 1 A = 0 หรอื B = 0 ขอ้ นถ้ี ูก (70) จาก A = abc ง. 2A −1 = 1 = 1 de f 2A 4 A gh i แต่ 2A−1 = 4 → ขอ้ นีผ้ ดิ สลบั R12 ได้เปน็ de f =−A A abc gh i (65) M = x(x + 3) + x(3) = x2 + 24 x สลับ C23 ได้เปน็ dfe = − (− A ) = A 77 acb gih และ (2A + At)(A−1) = 6 −1 ÷ 2 −1 = 55 19 13 7 dfe นาํ 2 คณู R2 ได้เปน็ 2a 2c 2b ดงั นนั้ x2 + 24 x = 55 → 7x2 + 24x − 55 = 0 =2A = B 77 gih { }→ (7x − 11)(x + 5) = 0 ∴ x ∈ 11 , − 5 ดงั นน้ั ตอบ 2 เทา่ 7 (71) ก. A abc =3→ สลับ R12 แลว้ สลับ (66) A(B + 3I) = 2I → B + 3I = 2A−1 = pqr xyz → B + 3I = 22 ⋅ A−1 อีกครั้ง xyz (สลบั 2 ครง้ั det เทา่ abc 2 −2 ⎜⎝⎛ − 1 ⎠⎟⎞ R13 → pqr =3 x y+3 2 → = 4 ⋅ → 2y + 6 + 2x = −2 → x + y = −4 เดมิ ) จากนน้ั นาํ 4, 2, −1 คณู แตล่ ะแถว (ขอ้ 67 ถงึ 69 ควรศกึ ษาข้นั ตอนการพสิ จู น์ เพอ่ื 4x 4y 4z → 2a 2b 2c = 3 ⋅ (4)(2)(−1) = −24 = B นาํ ไปปรบั ใช้กับโจทยน์ อกเหนือจากน)ี้ −p −q −r → ∴ 3B−1 = 33 = − 9 −24 8 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 225 เมตริกซ ข. จาก A abc =3→ สลับ R12 → ~ ⎡ 1 0 0 −1/4 1/ 4 1/2⎤ = pqr ⎢2 1 0 0 1/ 3 0 ⎥ −(1/ 4)R1 ⎣⎢6 0 1 0 1 1 ⎥⎦ xyz (1/ 3)R2 ~p q r ⎡ 1 0 0 −1/ 4 1/ 4 1/2⎤ abc xyz = −3 → ทรานสโพส (det ไมเ่ ปล่ยี น) และ ⎢0 1 0 1/2 −1/6 −1 ⎥ −2R1 + R2 ⎢⎣0 0 1 3/2 −1/2 −2 ⎦⎥ −6R1 + R3 p −a x นํา -1 คณู หลกั ท่ี 2 → q −b y = −3 ⋅ (−1) = 3 (74.1) ⎡ 1 −2⎤ ⎡x⎤ = ⎡5⎤ ⎢⎣3 2 ⎥⎦ ⎣⎢y⎦⎥ ⎣⎢−1⎦⎥ r −c z หลักท่ี 3 บวกหลกั ที่ 2 จะได้ → ⎡x⎤ = ⎡1 −2⎤ −1 ⋅ ⎡5⎤ = 1 ⎡2 2⎤ ⎡5⎤ ⎣⎢y⎥⎦ ⎢⎣3 2 ⎥⎦ ⎣⎢−1⎦⎥ 8 ⎢⎣−3 1⎥⎦ ⎢⎣−1⎦⎥ p −a+x x ∴ 2C−1 = 23 = 8 q −b+y y = 3 = C C3 = ⎡ 1⎤ → ∴ x = 1, y = −2 r −c+z z ⎣⎢−2⎥⎦ (72) M23(A) = 5 → หาคา่ M32(2A)t (74.2) ⎡x⎤ = ⎡2 −5⎤ −1 ⋅ ⎡ 1⎤ ⎢⎣y⎥⎦ ⎢⎣3 −7 ⎥⎦ ⎣⎢2⎥⎦ = 23 ⋅ M32(A)t = 23 ⋅ M23(A) = 23 ⋅ 5 = 40 → ⎡x⎤ = 1 ⎡−7 5⎤ ⎡ 1⎤ = ⎡3⎤ หมายเหตุ ⎣⎢y⎥⎦ 1 ⎢⎣−3 2⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣ 1⎦⎥ 1. M32(A)t = M23(A) เพราะทรานสโพสแล้วค่า det เทา่ เดิม ∴ x = 3, y = 1 2. ค่า M คอื det ดงั นั้นจงึ ดงึ 2 ออกมาได้, แต่ ต้องกลายเปน็ 23 เพราะ M คือ det 3 × 3 (75) ⎡x⎤ = ⎡4 3 2 ⎤−1 ⎡5⎤ ⎢y⎥ ⎢3 −1 −1⎥ ⋅ ⎢6⎥ ⎣⎢z⎥⎦ ⎢⎣−1 2 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 1⎦⎥ (73) แต่ละเมตริกซ์ มวี ธิ ดี าํ เนินการไดห้ ลายแบบ หาอินเวอร์ส (ด้วยสตู ร adj A / det A ) ~หลายลาํ ดบั สน้ั ยาวตา่ งกนั ไปแลว้ แต่คนมอง ในเฉลย ไดเ้ ปน็ ⎡x⎤ 1 ⎡1 1 −1 ⎤ ⎡5⎤ ⎢y⎥ = ⎢−2 6 10 ⎥ ⎢6⎥ น้เี ป็นเพียงแบบหน่งึ เทา่ นัน้ ⎣⎢z⎥⎦ 8 ⎢⎣ 5 −11 −13⎦⎥ ⎢⎣ 1⎥⎦ ⎡−3 −2 1 0⎤ ⎡ 1 0 1 1⎤ A; ⎢⎣ 4 2 0 1⎥⎦ R2 + R1 ⎢⎣4 2 0 1⎥⎦ ⎡ 5/4 ⎤ = ⎢ 9/2 ⎥ ∴ x = 5 , y = 9 , z = − 27 ~ ~⎡ 1 0 1 1 ⎤ ⎡ 1 0 1 1 ⎤ ⎢⎣−27/ 4⎦⎥ 42 4 −4R1 + R2 ⎢⎣0 2 −4 −3⎦⎥ 1 R2 ⎢⎣0 1 −2 −3/2⎥⎦ (76) ⎡ 3 2⎤ ⎡x⎤ ⎡6⎤ 2 ⎣⎢−4 1⎦⎥ ⎢⎣y⎥⎦ ⎣⎢14⎥⎦ = B; แถว 1 กับแถว 2 เป็น 2 เทา่ ของกัน แสดงวา่ 62 32 −22 14 1 −4 1 11 B = 0 จึงไมส่ มารถหา B−1 ได้ → ไม่มคี ําตอบ → x = ÷ = = −2 (Row Operation จะเกดิ แถว 0 0 และทาํ ต่อไม่ได้) แทนลงสมการในโจทย์ ได้ y = 6 ~⎡2 1 −2 1 0 0⎤ ⎡3 0 0 0 1 0⎤ (77.1) x = 3 3 1 ÷ 2 31 = −10 =2 ⎢2 1 −2 1 0 0⎥ 1 2 1 1 21 C; ⎢3 0 0 0 1 0⎥ ⎣⎢4 6 −1 0 0 1⎥⎦ R12 ⎢⎣4 6 −1 0 0 1⎦⎥ −2 4 0 −1 4 0 −5 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤⎢⎣ แทนในสมการสดุ ทา้ ย ได้ y = 0 ⎢−6 −11 0 1 0 −2⎥ จากนนั้ แทน x และ y ในสมการใดสมการหนง่ึ ที่ (1/ 3)R1 4 6 −1 0 0 1 ⎦⎥ เหลอื ได้ z = −1 −2R3 + R2 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/3 0 ⎤ 11 1 21 1 = −9 = 1 ⎢0 −11 0 1 2 −2⎥ 1 −2 −3 ÷ 1 −2 −3 6R1 + R2 ⎣⎢0 6 −1 0 −4/ 3 1 ⎦⎥ (77.2) −4R1 + R3 x= 5 2 4 3 2 4 −9 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/3 0 ⎤ ⎢0 1 0 −1/ 11 −2/ 11 2/ 11⎥ 2 1 1 27 (−1/ 11)R2 ⎢⎣0 −6 1 0 4/ 3 −1 ⎦⎥ → y = 1 1 −3 ÷ (−9) = = −3 − R3 35 4 −9 ~ ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤ ⎢0 1 0 −1/ 11 −2/ 11 2/ 11⎥ แทน x และ y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z = 2 6R2 + R3 ⎢⎣0 0 1 −6/ 11 8/ 33 1/ 11⎥⎦ −1 2 3 12 3 = −39 = 13 ~⎡2 −3 2 1 0 0⎤ ⎡8 0 2 1 1 0⎤ (77.3) x= 91 −4 ÷ 2 1 −4 ⎢6 3 0 0 1 0⎥ −2 −1 2 1 −1 2 −27 9 D; ⎢6 3 0 0 1 0⎥ ⎢⎣6 0 0 1 1⎦⎥ ⎢⎣0 −3 1 00 1⎦⎥ R2 + R1 1 R2 + R3 1 −1 3 2 9 −4 −21 7 ~ ⎡−4 0 0 1 −1 −2⎤ → y = ÷ (−27) = = ⎢6 3 0 0 1 0⎥ −27 9 −2R3 + R1 ⎢⎣ 6 0 1 0 1 1 ⎥⎦ 1 −2 2 แทน x, y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z = −4 / 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 226 เมตรกิ ซ (78) ต้องการหาคา่ เฉพาะ x ควรใช้กฎคราเมอร์ (81.2) ⎡2 3 1⎤ ⎡1/ x⎤ ⎡3⎤ ⎢1 2 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢1⎥ 1 41 2 4 1 20 ⎢⎣−1 4 0⎥⎦ ⎣⎢ z ⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥ → x= −2 2 0 ÷ 1 2 0 = = −20 3 −3 2 −1 −3 2 −1 1= 3 3 1 2 3 1 −10 (79.1) [A | B] ~ [I | X] → 1 2 1 ÷ 1 2 1 = =2 x −2 4 0 −1 4 0 −5 ~⎡ 1 1 1 10⎤ ⎡ 1 1 1 10⎤ ∴ x = 1/2 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 0, z = −1 ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢3 0 1 13⎥ ⎢⎣2 1 −1 9 ⎦⎥ R1 + R3 ⎢⎣3 2 0 19⎥⎦ ⎡x⎤ ⎡ 1 0 2⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ ⎤ −R1 + R2 (82) ย้ายข้าง.. ⎢y⎥ = ⎢2 −1 1⎥ ⎢2⎥ = ⎢0⎥ ~ ~⎡ 1 1 1 10⎤ ⎡ 1 1 1 10 ⎤ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣5 1 2⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢2 −1 0 3 ⎥ 2R2 + R3 ⎢⎣7 0 0 25⎥⎦ (1/ 7)R3 ⎣⎢ 1 0 0 25/ 7⎦⎥ ∴y = 0 ~ ~⎡1 0 0 25/7⎤ ⎡ 1 0 0 25/7 ⎤ (83) (s + 1) x + (s + 2) y = s .....(1) ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢0 −1 0 −29/ 7⎥ R13 ⎣⎢ 1 1 1 10 ⎦⎥ −2R1 + R2 ⎢⎣0 1 1 45/7 ⎥⎦ sx + (s − 1) y = 0 .....(2) − R1 + R3 ⎡s+1 s+2⎤ ⎡x⎤ ⎡s⎤ ใช้กฎคราเมอรช์ ว่ ย ~ ⎡ 1 0 0 25/7⎤ x = 25/7 ⎣⎢ s s−1⎥⎦ ⎢⎣y⎥⎦ = ⎢⎣0⎥⎦ → ⎢0 1 0 29/ 7⎥ ∴ y = 29/7 R2 + R3 ⎢⎣0 0 1 16/ 7⎥⎦ s s+2 s+1 s+2 − R2 z = 16/7 x = 0 s−1 ÷ s s−1 ⎡2 1 −1 5⎤ ⎡ 2 1 −1 5 ⎤ ⎢3 −2 2 −3⎥ ⎢7 0 0 7 ⎥ ~(79.2) = s(s − 1) = − s(s − 1) ⎣⎢ 1 −3 −3 −2⎥⎦ 2R1 + R2 ⎢⎣−5 −6 0 −17⎥⎦ (s + 1)(s − 1) − s(s + 2) 2s + 1 −3R1 + R3 ~ ~⎡ 7 0 0 7 ⎤ ⎡1 0 0 1 ⎤ และ y = s+1 s ÷ s+1 s+2 ⎢−5 −6 0 −17⎥ ⎢−5 −6 0 −17⎥ s0 s s−1 สลับแถว....⎢⎣ 2 1 −1 5 ⎦⎥ (1/ 7)R1 ⎢⎣ 2 1 −1 5 ⎦⎥ = −s2 = s2 ~ ~⎡ 1 0 0 1 ⎤ ⎡1 0 0 1 ⎤ (s + 1)(s − 1) − s(s + 2) 2s + 1 ⎢0 −6 0 −12⎥ ⎢0 1 0 2 ⎥ 5R1 + R2 ⎢⎣0 1 −1 3 ⎦⎥ (−1/ 6)R2 ⎣⎢0 −1 1 −3⎦⎥ ⎡ 1⎤ −2R1 + R3 − R3 (84) A2(adj A) X = A ⋅ AX = ⎢6⎥ ~ ⎡1 0 0 1⎤ x=1 ⎣⎢0⎥⎦ ⎢0 1 0 2 ⎥ ∴ y =2 R2 + R3 ⎢⎣0 0 1 −1⎥⎦ หาค่า A ได้ 6 ดงั นนั้ z = −1 (80) เนอ่ื งจาก สมการท่ี (1) กบั (3) มสี มั ประสิทธิ์ ⎡ 1 2 3⎤ ⎡p⎤ ⎡1/6⎤ กฎคราเมอร์ เป็น −2 เทา่ ของกนั ..ดังนนั้ A = 0 ทาํ ใหห้ า ⎢0 −1 0⎥ ⎢q⎥ = ⎢ 1 ⎥ → ⎢⎣2 1 0⎥⎦ ⎢⎣r ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ คาํ ตอบทแ่ี น่นอนชุดหนึ่งไมไ่ ด้ (80.1) สมการ (1) กับ (3) ขดั แย้งกนั ไม่มีคาํ ตอบ p = 1/6 2 3 ÷ 123 = 3 = 1 (80.2) สมการ (1) กับ (3) เปน็ สมการเดียวกนั 1 −1 0 0 −1 0 (จงึ เหลือแค่ 2 สมการ) ... มคี ําตอบหลายชดุ 0 10 2 10 6 2 (85) หาคาํ ตอบไดเ้ สมอเม่อื A ≠ 0 (81.1) ⎡2 0 1⎤ ⎡1/ x⎤ ⎡0⎤ ∴ a2 − a − 2 ≠ 0 → (a − 2)(a + 1) ≠ 0 ⎢4 2 0⎥ ⎢1/ y⎥ ⎢4⎥ = → a ≠ 2, −1 ⎣⎢0 3 1⎥⎦ ⎣⎢1/ z⎦⎥ ⎣⎢2⎦⎥ ⎡1 2 a⎤ ⎡ 1 2 3⎤ ⎢2 3 b⎥ ⎢ 0 −1 −1⎥ → 1= 00 1 20 1 = 8 = 1 ~(86) 420 ÷ 420 ⎢⎣−1 0 c⎥⎦ −2R1 + R2 ⎣⎢−1 0 2 ⎦⎥ x 2 3 1 0 3 1 16 2 แสดงวา่ a = 3, b − 2a = − 1 → b = 5, ∴ x = 2 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 1, z = −1 c=2 ดังนนั้ จะไดส้ มการ ⎡1 2 3⎤ ⎡x⎤ ⎡ 1⎤ ⎢2 3 5⎥ ⎢y⎥ = ⎢ 1⎥ ⎣⎢−1 0 2⎥⎦ ⎣⎢z⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ และ x = 123 ÷ 1 23 = 2 = −2 / 3 1 35 2 35 0 0 2 −1 0 2 −3 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 227 เวกเตอร v ⋅cT˜R º··èÕ 10 eÇ¡eµoÏ ปริมาณในโลกมสี องชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantity) และปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity) โดยท่ีปรมิ าณสเกลาร์นนั้ ระบเุ ฉพาะขนาด เชน่ ระยะเวลา มวล ราคาส่งิ ของ แต่ปริมาณเวกเตอร์ นั้นจะระบทุ ั้งขนาดและทิศทาง เชน่ แรง ความเร็ว ความเรง่ โมเมนตัม บทเรียนเรอื่ งเวกเตอร์นเี้ ป็น พนื้ ฐานทส่ี าํ คญั ของวิชากลศาสตร์ ไฟฟา้ และอน่ื ๆ การเขยี นปริมาณเวกเตอร์จะใช้รปู ลกู ศร โดยใหค้ วามยาวลูกศรแทนขนาด และหวั ลูกศร ชี้บอกทศิ ทาง เชน่ จากภาพ เวกเตอร์มี “ขนาด” 4 หนว่ ย และมี “ทิศทาง” ทาํ มุม 45° กับแกน x ในทิศทวนเข็มนาฬิกา เขยี นชือ่ เวกเตอร์ ตามจุดเร่มิ และจุดสิ้นสุดของลกู ศร เช่น ˜AB B หรือใช้ตัวพมิ พ์เลก็ (ที่เตมิ ขีดด้านบน) ก็ได้ เช่น u, v, w u ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนเป็นสัญลกั ษณ์ว่า u D y x เวกเตอรส์ องอนั จะเทา่ กัน กต็ อ่ เมอ่ื มีขนาด B เทา่ กัน และมีทิศทางเดยี วกนั (ไมจ่ ําเป็นต้อง 45° ม˜AีจBุดเ=รม่ิ ˜CตD้นแกลไ็ะดจุ้ดถสา้ น้ิ มสีขุดนเาดดียเวทกา่ ันกันเชแ่นละทิศ A เดียวกนั ดงั ภาพ) A C Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 228 เวกเตอร 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ เวกเตอรบ์ วกกนั สามารถหาผลลัพธไ์ ดส้ องวธิ ี คอื หัวต่อหาง และหางต่อหาง 1. หัวต่อหาง ให้นําเวกเตอร์มาเขียนต่อกนั โดยเอาหางลกู ศรใหม่มาวางตอ่ ท่ีหวั ลูกศรเดิม เวกเตอรล์ พั ธ์ท่ีได้ คือเวกเตอร์ทีล่ ากจากหางแรกสุด ไปถึงหัวลกู ศรปลายสุด ˜AB + ˜BC = ˜AC ในสเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน ABCD v vw w uv u u+v u u+v+w 2. หางตอ่ หาง ให้นําหางเวกเตอรช์ นกัน แลว้ ต่อเตมิ รูปให้กลายเป็นสเ่ี หล่ียมด้านขนาน เวกเตอรล์ ัพธ์ที่ได้ คอื เวกเตอร์ทีล่ ากจากหางทช่ี นกัน ไปสุดแนวทแยงมมุ สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน ˜AB + ˜AD = ˜AC ในสเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน ABCD w u+v+w u+v uv u u+v vw การบวกเวกเตอร์ มีสมบัติเหมือนการบวกจาํ นวนจริงทกุ ประการ ไดแ้ ก่ สมบตั ปิ ดิ , สมบตั กิ ารสลับที่, สมบัติการเปลีย่ นกลุม่ , การมีเอกลักษณ์, และการมีอนิ เวอร์ส u+v = v+u (u+v) +w = u+ (v+w) เอกลกั ษณ์การบวกของเวกเตอร์ คอื เวกเตอร์ศูนย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ทม่ี ีขนาด 0 หน่วย u+0 = u u+(−u) = 0 “นเิ สธของ u ” หรอื อินเวอร์สการบวก เขียนสัญลักษณว์ า่ −u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากนั แต่ ทิศตรงขา้ มกบั u หรือกล่าวว่า − ˜AB = ˜BA น่นั เอง การลบเวกเตอร์ เป็นการบวกด้วยนเิ สธ u−v = u+(−v) ดงั นน้ั สามารถหาเวกเตอร์ลัพธไ์ ดจ้ ากวธิ กี ารบวก ทัง้ สองวธิ ี คอื หัวตอ่ หาง และหางต่อหาง −v uv u−v u u−v u −v หรอื หาได้จากวิธีหางตอ่ หางแบบใหม่ ให้เขยี นเวกเตอรต์ วั ต้งั และตัวลบแบบหางชนกนั เวกเตอร์ลพั ธ์ท่ไี ด้ จะลากจากปลายลกู ศรของตัวลบ มายงั ปลายลกู ศรของตวั ตง้ั ˜AB − ˜AD = ˜DB ในส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน ABCD Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 229 เวกเตอร uv u u−v v ขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ หาได้จากกฎของโคไซนใ์ นเรอื่ งตรโี กณมติ ิ ซงึ่ สรปุ ได้ดงั น้ี (และสามารถนําขนาดทไ่ี ด้ไปคาํ นวณหาทิศทาง โดยกฎของไซนก์ บั รปู สามเหล่ียม) u+v = u 2+ v 2+ 2 u v cos θ เมอื่ θ คอื มุมระหว่าง u กบั v u−v = u 2+ v 2− 2 u v cos θ S ¨u´·è¼Õ i´ºo‹ Â! S ÁÁu θ ÃaËNjҧ u ¡aº v ¨aµoŒ §Ç´a ¢³a¹Òí ËÒ§µ‹oËÒ§eÊÁo¹a¤Ãaº æÅaÁÕ¢¹Ò´äÁ‹e¡¹i 180 o§ÈÒ a a a2+ b2− 2 a b cos θ θ a2+ b2+ 2 a b cos θ θ bb แบบฝึกหัด 10.1 (1) กาํ หนดเวกเตอร์ u และ v ดงั ภาพ ให้วาดรูปหา u+v และ u−v โดยวิธหี วั ตอ่ หาง และหาง ต่อหาง (ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน) (2) ให้เขยี นเวกเตอรแ์ สดงการเคลื่อนท่ีดว้ ยความเรว็ 40 กม.ต่อ ชม. ไปทางทศิ ตะวันออก และ 60 กม.ต่อ ชม. ไปทางทิศตะวันตกเฉียงใต้ (3) ให้เขยี นเวกเตอรข์ นาด 10 หนว่ ย ทิศ 030 ° , เวกเตอร์ 12 หนว่ ย ทิศ 135 ° , และเวกเตอร์ 5 หนว่ ย ทิศ 330 ° หมายเหตุ การบอกมุมในระบบ 3 หลกั (Three Figure System) จะให้ทศิ เหนอื เปน็ 000 องศา และเพิม่ ข้ึนในทิศตามเข็มนาฬกิ า (เชน่ 090 องศา แทนทิศตะวนั ออก, 180 องศา แทนทศิ ใต้) (4) ถ้า u แทนระยะทาง 50 กม. ในทศิ 170 ° จะได้วา่ −u คืออะไร (5) นาย ก ออกเดนิ ทางไปในทิศ 030 ° เป็นระยะทาง 1,000 กม. แล้วเดนิ ทางตอ่ ในทศิ 150 ° เป็นระยะทาง 500 กม. จงหาวา่ เขาอยทู่ างทิศใดของจุดเร่ิมต้น และอยู่หา่ งเทา่ ใด (6) เคร่อื งบนิ ออกแรงบินไปทางทศิ เหนอื ด้วยความเร็ว 240 กม.ต่อ ชม. ในบรเิ วณที่มพี ายพุ ัดไปใน ทิศตะวนั ออกด้วยความเร็ว 180 กม.ต่อ ชม. ถามว่า ความเร็วของเคร่ืองบนิ จะเป็นเทา่ ใด (7) เคร่อื งบนิ ออกแรงบินด้วยความเรว็ 200 กม.ต่อ ชม. ไปในทศิ 030 ° ถา้ กระแสลมพดั ด้วย ความเร็ว 50 กม.ต่อ ชม. ไปในทศิ 330 ° จงหาอัตราเร็วของเคร่ืองบนิ ทแี่ ทจ้ ริง (8) ชายคนหน่ึงพายเรือในน้ํานง่ิ ไดอ้ ัตราเร็ว 4 กม.ต่อ ชม. ถา้ เขาตอ้ งการเดนิ ทางไปทางทศิ เหนอื ขณะท่ีกระแสน้ําไหลไปทางทิศตะวันตกดว้ ยอตั ราเรว็ 3 กม.ตอ่ ชม. แลว้ เขาต้องออกแรงพายเรือไป ในทศิ ใด ด้วยอัตราเร็วเทา่ ใด จงึ ได้อัตราเร็วเท่ากับการพายปกติในนา้ํ น่งิ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 230 เวกเตอร (ทu9าํ )ม=ุมเ˜วAกB6เ0ต+อ°ร˜A์กC˜ับAเBวแกลมเตะีขอนรvา์ ด˜=A6B˜ABหโดน−ย่วยม˜AีขCขนนาาดนเทแก่ากนนั xจโงดหยามขนที าศิ ดทแาลงไะปทใศิ นทแานงวที่เป+x็นไปแไลดะข้เวอกงเเตวกอเรต์ อ˜AรC์ (10) จงหา u+v เม่ือ u กับ v ทํามุมกัน 0 ° , 90 ° , 180 ° (11) จงหา u−v เมื่อ u กับ v ทํามุมกัน 0 ° , 90 ° , 180 ° (12) ถ้า u+v+w = 0 และ u = 2 , v = 4 , w = 2 จงหา u−v และ u+v (13) กาํ หนดให้ u = 1, v = 2 , w = 3 , w ต้ังฉากกบั v และมที ิศเดียวกบั u จงหาคา่ u+v+w (14) กาํ หนด u และ v เปน็ เวกเตอรใ์ นระนาบ ถ้า u = 4 , v = 3 , u−v = 25 + 12 3 จงหามมุ ระหว่าง u กบั v (15) ถา้ u = 10 , v = 5 , u+v = 12 จงหา u−v (16) [Ent’35] ถา้ u = 4 , v = 3 , u+v = 6 จงหา u−v (17) ถา้ u = 4 , v = 5 , และ u ตงั้ ฉากกบั v จงหา 2 u+v +3 u−v (18) ถ้า u = v จงหามุมระหว่าง u กบั v ที่ทําให้ u+v = 2 u−v (19) [Ent’37] เวกเตอร์ u , v , w มสี มบัติวา่ u = w และ u−v = v+w ถ้ามุมระหวา่ ง u กับ v เป็น π แล้ว มุมระหว่าง v กับ w เป็นเทา่ ใด 5 (20) กําหนด ABCDEF เปน็ รูปหกเหล่ยี มด้านเท่ามมุ เท่า มี O เปน็ จดุ กงึ่ กลาง และ |˜AB| = 2 ซม. เวกเตกอ. ร˜A์ใดDตอ่+ไ˜ปFDน้ยี าวกว่า 4 ซ˜AมB. ˜ED ค. ˜FO + ˜DO ง. ˜OD + ˜OB ข. + 10.2 การคูณเวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ ผลทไี่ ดจ้ ากการคณู เวกเตอร์ u ดว้ ยสเกลาร์ a เป็นดงั น้ี 1. ถ้า a = 0 จะได้ au = 0 2. ถา้ a > 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอรท์ ่ีมที ศิ เดียวกนั กับ u แตม่ ขี นาดเป็น a ⋅ u 3. ถา้ a < 0 จะได้ au เปน็ เวกเตอร์ท่ีมที ิศตรงข้ามกับ u และมีขนาดเปน็ a ⋅ u การคูณดว้ ยสเกลาร์ มีสมบัติการเปลยี่ นกลุ่ม และการแจกแจง เชน่ เดยี วกับจํานวนจรงิ นน่ั คอื a (bu) = (ab) u , (a+b) u = au + bu , และ a (u+v) = au + av ความสัมพันธ์ของ “การคูณดว้ ยสเกลาร์” และ “การขนานกนั ของเวกเตอร์” เมือ่ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะไดท้ ฎษฎีว่า 1. u จะขนานกบั v ก็ต่อเมือ่ มคี า่ a ≠ 0 ทีท่ าํ ให้ u = av 2. ถา้ u ไมข่ นานกบั v , หาก au + bv = 0 แสดงวา่ a = 0 และ b = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 231 เวกเตอร แบบฝกึ หดั 10.2 (21) กาํ หนดให้ u + 4v = 3v − 2w และ 3v − 4w = 2w + 5u ถ้า w = 12 จงหาคา่ u + v + w (22) u = 2v − w โดยท่ี v = w = 1 และมุมระหว่าง v กับ w เป็น 120 ° จงหามมุ θ ระหวา่ ง u กบั v (23) กาํ หนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u ขนานกับ v จงหาค่า x ที่ทาํ ให้ (x2+ 6x − 2) u − v = (x − 2x2) u + x v (24) กาํ หนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ (x2− 5) u − v = (1 − x) u − 3 v แลว้ u จะขนานกบั v เมอ่ื x มีค่าเทา่ ใด (25) กาํ หนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ (x2− 5) u − v = (1 − x) u − 3 v แลว้ u กบั v จะมที ิศทางเดียวกนั เมอื่ x มคี า่ เท่าใด (26) u กับ v มีทิศทางเดยี วกนั ถ้า 2 u + (6 − 3x2) v = 100 u + 2 v จงหาคา่ x 53 (27) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u ไม่ขนานกับ v จงหาคา่ x และ y ท่สี อดคลอ้ งกับสมการ xu + (x−8) v = (2+2y) u − yv (28) u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u กับ v ไม่ขนานกนั ถ้า 3u + 8v = a(3u + v) + b (u − 2v) จงหาค่า a และ b (29) ถา้ u ไม่ขนานกบั v และ w ,= (a+4b) u + (2a+b+1) v s = (b−2a+2) u + (2a−3b−1) v จงหาค่า a กบั b ท่ที าํ ให้ 3w = 2s 10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต เราสามารถใช้ความรู้เก่ียวกับเวกเตอร์ พสิ ูจนส์ ่วนประกอบของรปู เรขาคณติ หลายเหล่ียมได้ รวมทัง้ แก้โจทย์ปัญหาประเภท “เขียนเวกเตอร์ทกี่ าํ หนด ในรูปผลรวมเชงิ เสน้ ของเวกเตอรอ์ ่นื ” เทคนิคทใี่ ชใ้ นการแก้โจทยป์ ัญหาแบบน้ี คอื .. (ดูตัวอย่างประกอบ) 1. เขียนเวกเตอร์ทก่ี าํ หนด ในรูปผลรวมของเวกเตอรอ์ ืน่ แบบใดก็ได้ก่อน 2. พยายามเปลี่ยนเวกเตอร์ที่ไม่ต้องการ เป็นผลรวมของเวกเตอร์ทต่ี ้องการ ไปทีละขั้นๆ 3. เม่อื เหลือเพียงเวกเตอร์ที่ต้องการแลว้ ก็จดั เป็นรปู อยา่ งง่าย แล้วจงึ ตอบ 4. บางครัง้ เราต้องอาศยั สมการเวกเตอรอ์ น่ื เพื่อช่วยแปลงให้เป็นเวกเตอร์ท่ตี ้องการ ตัวอยา ง [Ent’35] สีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั ABCD มีจดุ M และ N อยทู ี่ก่ึงกลางดา น BC และ CD ตามลาํ ดบั จงหา ˜AB ในเทอมของ ˜AM กับ ˜AN วิธีคดิ วาดภาพตามโจทยไ ดด ังรปู Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 232 เวกเตอร • เร่มิ ตน เขียน ˜AB ในเทอมของเวกเตอรใดๆ กอน A B เชน ˜AB = ˜AM + M˜B ____________________ (1) จากนั้นพยายามเปลี่ยน M˜B ใหเ ปน ˜AM หรือ ˜AN ใหไ ด M • จากรูป เราเชือ่ ม M˜B กบั ˜AN ไดด ังนี้ ˜AB = ˜AN + ˜NC + ˜CB = ˜AN + 1 ˜AB + 2 M˜B DN C 2 หรือจดั รปู สมการไดวา M˜B = 1 ˜AB − 1 ˜AN _________________ (2) 42 เมื่อแทนคา จากสมการ (2) ลงใน (1) กจ็ ะไดค าํ ตอบ ˜AB = ˜AM + (1 ˜AB − 1 ˜AN) 42 = 4 ˜AM − 2 ˜AN ตอบ 33 แบบฝึกหัด 10.3 (30) [Ent’26] สQ่ีเBหล=่ยี ม3ด:้า5นขนถา้าน˜AABBC=Du มีจดุ P˜AเDป็น=จุดvทเี่ จสง้นหทาแย˜PงQมุมใตนัดรกูปันขอจงดุ uQ อยู่บนดา้ น AB โดย AQ : และ กบั v (31) จากภาพ |˜EF| : |˜FB| = 2 : 1 จงหา ˜AF ในรูปผลรวมของ a กับ b E 4a D D N F b O 2a a M A BC C B ขอ้ (31) A ข้อ (32) อ(3อ2ก)เปจ็นาสกาภมาสพ่วจนดุ เทB่าๆแบก่งันครถงึ่ ้าด้า˜AนBA=C , จดุ M ˜BแDบ่งค=รa่ึงด+า้ นb AใหD้ห,าแลM˜ะNจดุ ในNรูปกขบั อOง แบ่งด้าน DC และ a กบั b a (33) สามเหล่ยี ม ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มใดๆ ให้ ˜A˜DBO = a และ ˜AC =b ถา้ ˜AD , ˜BE , ˜CF คือมธั ยฐานของสามเหลย่ี ม ตดั กนั ทีจ่ ุด O จงเขียน ในรปู ของ a กบั b (34) ส่ีเหลยี่ ม ABCD เปน็ ส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน จุด E อยู่บน CB โดย ˜CE = 1 ˜CB , จุด F เปน็ 3 จุดตดั ของ ˜AC กับ ˜DE , หาก ˜EF = a ˜ED และ ˜CF = b ˜CA จงหาคา่ b a กบั (35) ให้ D เป็นจดุ แบง่ ด้าน AC ของสามเหล่ียม ABC โดยที่ |˜AD| : |˜DC| = m : n จงหา ˜BD ในเทอมของ ˜BA กบั ˜BC (36) สามเหล่ียม ABC มีจุด D กบั E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB กบั AC ตามลาํ ดับ ใหพ้ ิสูจน์ว่า (36.1) ˜DE ขนานกับ ˜BC (36.2) ˜DE = 1 ˜BC 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 233 เวกเตอร (37) ในส่ีเหลยี่ มคางหมรู ปู หนึ่ง จงพสิ จู น์วา่ ส่วนของเส้นตรงที่ลากเช่ือมจุดกึ่งกลางของด้านทไ่ี ม่ ขนานกนั นน้ั จะขนานกบั ฐาน และยาวเป็นคร่ึงหนึง่ ของผลบวกด้านคูข่ นาน 10.4 เวกเตอรใ์ นพิกัดฉาก และเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย เวกเตอรท์ ก่ี ลา่ วถงึ ท่ีผ่านมาทั้งหมด เป็นการมองในพกิ ดั เชิงขั้ว (Polar Coordinate หรือ r−θ ) คืออ้างถงึ เวกเตอร์ใดๆ ดว้ ยคา่ ขนาด (ความยาว) และทิศทาง (มมุ ทวี่ ัดทวนเขม็ นาฬกิ าจาก แกน +x) แต่นอกจากนนั้ เรายงั สามารถอ้างถึงเวกเตอร์เหล่านี้ในพกิ ัดฉาก (Cartesian Coordinate หรือ x−y ) ได้ ดว้ ยค่าทิศทางในแนวนอน (Δx) และแนวตั้ง (Δy) ดังภาพ B (x2,y2) P (3,4) u ˜AB O R (2,-2) u = ⎡3⎤ ⎣⎢4⎦⎥ ⎡Δx⎤ ⎡ x2−x1⎤ v = ⎣⎢Δy⎦⎥ = ⎢⎣ y2−y1⎥⎦ Q (-1,-6) A (x ,y )1 1 v = ⎡3⎤ ⎢⎣4⎥⎦ S e¾iÁè eµÁi ! S ความสัมพนั ธร์ ะหว่างพิกัดเชิงข้วั กับพิกัดฉาก ÃaÇa§oÂҋ e¼ÅoeoÒ y o‹ºÙ ¹ x o‹ÅÙ ‹Ò§! 溺¹¹éÕ a¤Ãaº ⎡ y2−y1 ⎤ Δx = r cos θ ⎣⎢ x2−x1 ⎥⎦ Δy = r sin θ (e»¹š e¾ÃÒaÇҋ e¤Âª¹i ¡aºÊÙµÃËÒ¤ÇÒÁª¹a ) r = (Δx)2 + (Δy)2 tan θ = (Δy/ Δx) = ความชัน เวกเตอรส์ องอนั จะเท่ากัน กต็ ่อเมอ่ื Δx เท่ากนั และ Δy เท่ากนั เช่น ในภาพ u = v เวกเตอรส์ องอันจะขนานกนั ( u & v ) กต็ อ่ เมอ่ื ความชนั เท่ากนั (การขนานกันนน้ั มีท้ังแบบทิศเดยี วกันและทิศตรงขา้ มกนั ) และเวกเตอร์สองอนั จะตง้ั ฉากกนั ( u ⊥ v ) ก็ต่อเมอื่ ความชนั คณู กันได้ –1 การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะไดผ้ ลเชน่ เดียวกับเมตริกซ์ น่นั คอื ⎡a⎤ + ⎡c⎤ = ⎡a+c⎤ k ⋅ ⎡a⎤ = ⎡ka⎤ ⎣⎢b⎥⎦ ⎣⎢d⎥⎦ ⎣⎢b+d⎦⎥ ⎢⎣b⎦⎥ ⎢⎣kb⎦⎥ หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎡⎣a , b⎤⎦ แทน ⎡a⎤ ⎢⎣b⎥⎦ เวกเตอร์หนึง่ หน่วย (Unit Vector) กค็ ือเวกเตอร์ทม่ี ีขนาดเท่ากบั 1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยท่สี ําคัญในระบบพกิ ดั ฉาก มีอยู่ 2 ตัว ไดแ้ ก่ i กับ j โดย i แทนเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยในทศิ ทาง +x และ j แทนเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยในทศิ ทาง +y น่ันคอื i = ⎡ 1⎤ และ j = ⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦ เราสามารถเขยี นเวกเตอร์ ⎡a⎤ ใดๆ ในรูป “ผลรวมเชิงเส้นของ i กบั j ” ได้เสมอ ⎣⎢b⎥⎦ ขหนรอืาดข⎡⎣⎢baอ⎦⎤⎥งส=่ว˜AนaBเวi กม+เาตbหอjารรห์ นน(ัน่ เ่งึ พเหอื่อนงทว่ ซํายใึ่งใหกน้ขาทนริศเาขทดยีาเนงหขใลอนอื งรเปูพ˜AแียบBงบ1ใดหaๆนi ่ว(+ยทb)ีไ่ มjเข่ใชนีย่ น้ัน0เกป)็เ็นปสสน็ าัญทมนี่ลาิยรกั ถมษสกณรวไ์้าา่ ดงไ้ว⎣⎡⎢ดา่ba้จ⎤⎥⎦|า˜˜กAAกBBา|รนํา Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 234 เวกเตอร แบบฝกึ หัด 10.4 (38) จงเขียน ˜PQ ให้อยู่ในระบบแกนฉาก เมอื่ กําหนดจดุ ดงั นี้ (38.1) P (2, 4), Q (3, 7) (38.2) P (−2, 3), Q (4, −5) (39) ถา้ ˜PQ = ⎡−3⎤ ใหห้ า ⎣⎢ 2 ⎥⎦ (39.1) จุดเร่ิมตน้ เมอ่ื ส้นิ สุดที่ Q(−2, −5) (39.2) จุดส้นิ สุด เม่อื เริ่มต้นท่ี P(4, −6) (40) ค่อู นั ดับ A (3, −4), B(6, 3), C (7, −1) จงหาเวกเตอร์ ˜AB, ˜AC, ˜BC พรอ้ มขนาด (41) u = ⎡3⎤ , v = ⎡2⎤ , w = ⎡−3⎤ จงหา 2u − 3v + w และ 2u − 3v + w ⎢⎣−4⎦⎥ ⎢⎣−2⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥ (42) เวกเตอร์ในแต่ละขอ้ ขนานกนั หรอื ไม่ ถา้ ขนานใหบ้ อกว่ามที ศิ เดียวกนั หรือตรงขา้ มกัน (42.1) ⎡0⎤ กับ ⎡0⎤ (42.2) ⎡−4⎤ กับ ⎡−2⎤ ⎢⎣4⎦⎥ ⎢⎣−2⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎥⎦ (42.3) ⎡0⎤ กับ ⎡−3⎤ (42.4) ⎡7⎤ กบั ⎡ 1⎤ ⎢⎣3⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎢⎣−14⎥⎦ ⎣⎢−2⎥⎦ (43) u = ⎡3⎤ , v = ⎡2⎤ , w = ⎡−1⎤ จงเขยี น w ในรปู ของ au + bv ⎢⎣4⎥⎦ ⎣⎢−1⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ (44) ให้เขยี นเวกเตอร์ w = ⎡6⎤ ในรูปผลรวมเชงิ เส้นของ u = ⎡4⎤ , v = ⎡ 1⎤ ⎢⎣9⎦⎥ ⎢⎣ 1⎥⎦ ⎢⎣4⎦⎥ (45) ส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน ABCD มี ˜AB = ⎡2⎤ , ˜AD = ⎡3⎤ จงหาผลบวกของกําลังสองของความ ⎢⎣−3⎥⎦ ⎣⎢4⎦⎥ ยาวเสน้ ทแยงมุมทงั้ สองเสน้ (46) กาํ หนดให้ u = ⎡3⎤ , v = ⎡−4⎤ , w = ⎡5⎤ จงเขยี นเวกเตอร์ต่อไปนใ้ี นรปู i กับ j ⎣⎢−2⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎣⎢−3⎦⎥ (46.1) u (46.2) v (46.3) w (46.4) u + v (46.5) 2u − w (47) กาํ ห(น47ด.ค1)ู่อนั 2ด˜Aบั BA−(3−1˜C, 2D), B (−4, −2), C (−3, 4), D (2, −16(/437).2จ)งห|2า˜AB ˜CD| j ในรปู i กบั − 3 (48) กาํ หนดให้ u = ⎡3⎤ , v = ⎡−2⎤ จงหา ⎢⎣−4⎦⎥ ⎢⎣ 8 ⎥⎦ (48.1) เวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ย ท่ีมที ศิ ทางเดยี วกับ u (48.2) เวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย ทม่ี ีทศิ ทางตรงข้ามกับ v (48.3) เวกเตอร์ขนาด 3 หน่วย ทีม่ ที ิศทางเดียวกับ u+v (48.4) เวกเตอรข์ นาดเทา่ กบั u−v และมีทศิ ทางเดยี วกบั u+v (49) ถ้า u = 3 i + 4 j ขนานกับ ˜PQ ซ่งึ มีขนาด 15 หน่วย, จดุ P คือ (2, 4) จงหาจดุ Q Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 235 เวกเตอร (50) กาํ หนดจุด P(c, d) และ Q(c+a, d+b) จงหาเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยทิศตรงขา้ มกบั ˜PQ (51) [Ent’30] จงหาเวกเตอร์ที่มคี วามยาวเท่ากบั 3 2 หนว่ ย ทาํ มมุ 45 ° กบั เวกเตอร์ j และ ตง้ั ฉากกบั เวกเตอร์ − 1 i + 1 j 22 10.5 ผลคณู เชงิ สเกลาร์ การคูณเวกเตอร์คหู่ น่งึ จะเกดิ ผลลพั ธ์ได้ 2 แบบ คือ 1. การคณู แบบดอท (Dot Product) u⋅v ให้ผลลพั ธ์เปน็ สเกลาร์ (ตวั เลข) หรอื เรียกวา่ ผลคณู เชงิ สเกลาร์ (Scalar Product) ก็ได้ 2. การคูณแบบครอส (Cross Product) u × v ยงั คงใหผ้ ลลัพธเ์ ป็นเวกเตอร์ หรือเรยี กวา่ ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ (Vector Product) ก็ได้ นยิ าม การคูณแบบดอท ในพิกดั ฉาก... ⎡a⎤ ⋅ ⎡c⎤ = (a i +b j) ⋅ (c i +d j) = ac + bd ⎢⎣b⎦⎥ ⎣⎢d⎥⎦ การคณู แบบดอท ในพิกดั เชงิ ข้ัว... u ⋅ v = u v cos θ เราสามารถใช้สมการทั้งสองร่วมกนั ในการคาํ นวณเก่ยี วกบั มุม θ ระหวา่ ง u กบั v ได้ ขอ้ สังเกต การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขยี นใหม่ได้ว่า u+v = u 2+ v 2+ 2 (u ⋅ v) เม่อื θ คือ มมุ ระหว่าง u กบั v u−v = u 2+ v 2− 2 (u ⋅ v) สมบตั ิของการคูณเวกเตอร์แบบดอท • u⋅u = u 2 • 0⋅u = 0 • u⋅v = v⋅u • u⋅v =0 ↔ u ⊥ v • u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w • a (u ⋅ v) = a u ⋅ v u สตู รในการหาพ้ืนที่สามเหล่ียม θ เมอื่ มดี ้านประชิดเป็นเวกเตอร์ u กับ v v และมุมระหวา่ งเวกเตอรเ์ ปน็ θ คอื 1 u v sin θ 2 พน้ื ทสี่ เี่ หล่ียมด้านขนาน คอื u v sin θ แบบฝึกหัด 10.5 (52) จงหา u ⋅ v เมือ่ (52.1) u = ⎡3⎤ , v = ⎡2⎤ (52.2) u = ⎡4⎤ , v = ⎡−2⎤ ⎢⎣−4⎦⎥ ⎢⎣−3⎦⎥ ⎢⎣−10⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ (52.3) u = 3 i −5 j , v = −4 i +2 j (52.4) u = 3 i −4 j , v = 2 i −5 j 45 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 236 เวกเตอร (53) กาํ หนดคู่อนั ดับ A˜BC(3, −2), B (−3, 5), C (2, 4) จงหา A˜B ⋅ (˜BC + ˜AC) (53.1) A˜B (53.2) ⋅ (54) จงหามมุ ระหวา่ ง u กับ v เมอ่ื กาํ หนด (54.1) u = 2 i −2 3 j , v = 3 i + j (54.2) u = 2 3 i +2 j , v = −3 3 i +3 j (54.3) u = 2 i +3 j , v = −3 i +2 j (55) จงแสดงว่าสามเหล่ยี ม ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก โดยอาศยั การคูณเวกเตอร์ เมื่อกําหนด คู่อันดับดงั น้ี A (2, 2), B (6, 4), C (10, −14) และให้บอกวา่ มุมใดเป็นมุมฉาก (56) u = − i + j และ v = 2 i +x j ถ้ามุมระหว่าง u กบั v เปน็ 135 ° จงหาคา่ ของ x (57) ถา้ u กับ v ทาํ มมุ กนั 60 ° และ u = 2 , v = 3 จงหามุมระหวา่ ง v−u กบั u (58) [Ent’38] กาํ หนด u = 3 i −4 j และ u (u−v) = 24 จงหา v cos θ เม่ือ θ คอื มมุ ระหวา่ ง u กับ v (59) ˜OP = 3 i −4j , ˜OQ = 12 i +5j ลากเวกเตอร์ ˜QR ต้งั ฉาก ˜OP ท่ีจดุ R จงหา ˜OR (60) กาํ หนดให้ A (1, 1), B (−1, −2), C (7, 3), D (6, 5) เป็นจุดยอดของส่เี หล่ยี ม ABCD ให้หา ขนาดของมุมแหลม ทีเ่ กดิ จากเส้นทแยงมุมตัดกัน (61) จงห(า6พ1้นื.1ท) สี่ สาามมเเหหลล่ยี ี่ยมมตาOมAทBก่ี ําเหมนื่อด˜OA = , ˜OB = (61.2) สามเหล่ียมมุมฉาก ABC เม่อื 2 i +2 j , 3˜Ai B+5=j 8˜AiC+2=j −3 i +3 j (61.3) สามเหล่ยี มทม่ี ี u+v กบั u−v เปน็ ด้านสองดา้ น เมื่อ u = 2 i − j , v = i + j (62) ABCD เปน็ สีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน มพี น้ื ท่ี 24 ตารางหน่วย และ ˜AB ⋅ ˜AD = 3 จงหาค่า tan(DAˆB) เมอ่ื Aˆ เป็นมุมแหลม (63) [Ent’36] u = ⎡2⎤ , v = ⎡ 1⎤ ถ้า u ⋅ w = −11 และ v⋅w =8 จงหา w−v ⎢⎣−5⎥⎦ ⎣⎢2⎥⎦ (64) กาํ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลีย่ ม ทีม่ ี ˜AB = u , ˜BC = v , ˜CA = w โดย u = 7 , w = 15 และ u ⋅ v = 28 จงหาคา่ w (v − 2u) (65) ใหน้ ยิ าม u ∗ v = (ac + bd) i − (bc − ad) j เมือ่ u = a i +b j , v = c i +d j ถา้ a = 3 i −4 j , b = 2 i −3 j , c = 3 i +2 j จงหา a ⋅ (b ∗ c) (66) ถา้ u+v+w = 0 , u = 2 , v = 3 , w = 4 จงหา u ⋅ v (67) [Ent’33] กําหนดเวกเตอร์ a = x i +y j , b = 4 i −3j และ c = −5 i +5j ถา้ a ⊥ b , a = 3 และ a ⋅ c > 0 จงหาคา่ x + y (68) u = 3 i −4 j , v = 2 i −3j ถา้ a เปน็ unit vector ทต่ี ัง้ ฉากกบั u จงหาคา่ v ⋅ a (69) เวกเตอร์ใดประกอบกนั เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 237 เวกเตอร ก. 3 i +2 j , i +5 j , 2 i +3 j ข. 3 i −2 j , i −5 j , 2 i +3 j ค. 3 i −2 j , − i −5 j , 2 i +3 j ง. 3 i −2 j , 2 i +3 j , −3 i +2 j (70) ข้อความตอ่ ไปน้ีถูกหรือผดิ ก. ถ้า cos2 θ = 1 โดย θ เปน็ มมุ ระหวา่ ง u กบั v แล้ว u & v ข. 2 i + j ตง้ั ฉากกบั − 6 i + 12 j 55 ค. (u+v) ⋅ (u+v) = u ⋅ u + 2 u ⋅ v + v ⋅ v ง. ถา้ u = 3 i −4 j, v = 2 i + j แลว้ มมุ ระหว่าง u กบั v เป็น arccos(2/5 5) (71) [Ent’32] จากภาพ จงหา ˜PQ ⋅ ˜RQ P 1 3Q O 60° R 10.6 เวกเตอรใ์ นพกิ ัดฉากสามมิติ ในเน้อื หาเรขาคณิตวเิ คราะหไ์ ด้กล่าวไปแล้ววา่ (1) ใน ระนาบ (Plane : R2 ) หนง่ึ ๆ เราจะอา้ งถงึ ตาํ แหน่งหรอื จุดใดๆ ได้ด้วยค่า พิกดั (Coordinate) โดยระบบทีน่ ยิ มใช้มากทสี่ ุดคือระบบ พิกัดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบดว้ ยแกนอา้ งองิ 2 แกนทีต่ ้งั ฉากกนั ณ จุดกําเนดิ (จุด O) เรียกช่ือแกนนอนและแกนตง้ั ว่า แกน x และ y ตามลําดบั (2) แกนทัง้ สองแบง่ พ้นื ที่ในระนาบ xy ออกเปน็ 4 สว่ น เรียกแต่ละส่วนวา่ จตภุ าค (Quadrant) (3) การอ้างถงึ พกิ ดั ในระบบพิกัดฉาก นิยมเขียนในรูป คูอ่ นั ดบั (Ordered Pair) ที่สมาชกิ ตัวแรก แทนระยะทางในแนว +x และตวั หลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คูอ่ ันดับ (2, 4) แตใ่ นความเป็นจริงจุดใดๆ ไมไ่ ด้อย่ใู นระนาบเดยี วกันเสมอไป แต่อยใู่ น ปริภูมิสามมติ ิ (3- Dimensional Space : R3 ) ดังน้ันเราจําเปน็ ต้องใชพ้ ิกัดฉาก 3 มติ ิ … ซ่งึ ประกอบด้วยแกน x, y, และ z ตง้ั ฉากกันทจี่ ดุ กําเนิด ... ระนาบ xy, yz, xz แบ่งปริภมู ิออกเปน็ 8 สว่ น เรยี กแต่ละสว่ นวา่ อฐั ภาค (Octant) โดยอัฐภาคท่ี 1-4 และ 5-8 จะมลี าํ ดบั เหมือนจตุภาคที่ 1-4 ดังรูป zz ระนาบ yz (x = 0) 3 2 ระนาบ xz (y = 0) O y4 1 6 y ระนาบ xy (z = 0) x 8x 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 238 เวกเตอร z z Q(2,0,1) 1 P(2,4,1) y2 4y xx R(2,4,0) หลกั ในการตง้ั ลาํ ดับแกนตามมาตรฐานคือ กฎมอื ขวา (Right Hand Rule) ... เม่อื แบมือ ขวาข้นึ ตรงๆ และแยกน้วิ โป้งใหต้ ง้ั ฉากกับน้ิวช้ี จะได้ว่าปลายนิ้วทง้ั สีช่ ไี้ ปในทิศ +x, ฝ่ามือหนั ไปในทิศ +y, และนว้ิ โปง้ ชไ้ี ปในทศิ +z ระบตุ าํ แหน่งสิ่งต่างๆ ด้วย สามส่ิงอนั ดบั (Ordered Triple) ที่สมาชกิ แต่ละตวั แทน ระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามลาํ ดับ เช่น สามสิ่งอนั ดับ (2, 4, 1) เวกเตอรใ์ นพกิ ัดฉากสามมติ ิ จะอ้างถึงด้วย Δx , Δy และ Δz ดงั รูป B (x2,y2,z2) P (3,4,-3) ˜ ⎡Δx⎤ ⎡x2−x1⎤ u ⎡3⎤ ⎢⎣⎢−43⎥⎥⎦ AB = ⎢⎢Δy⎥⎥ = ⎢⎢y2− y1 ⎥ O u = ⎡3⎤ ⎥ A (x1,y1,z1) ⎢⎣Δz ⎦⎥ ⎢⎣z2−z1 ⎦⎥ v R (2,-2,0) ⎡a⎤ Q (-1,-6,3) v = ⎣⎢⎢−43⎥⎦⎥ หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎣⎡a , b , c ⎤⎦ แทน ⎢⎣⎢⎢bc⎦⎥⎥⎥ การคํานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์สามมิติ 1. เวกเตอร์สองอันจะเทา่ กัน กต็ อ่ เม่ือ Δx เทา่ กัน, Δy เท่ากัน, และ Δz เทา่ กนั ⎡ 1⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ 2. เม่ือกาํ หนดเวกเตอร์หนึง่ หน่วยบนแตล่ ะแกนดงั น้ี i = ⎢⎢⎣⎢00⎥⎦⎥⎥ , j = ⎢⎢⎢⎣01⎥⎦⎥⎥ , และ k = ⎢⎢⎣⎢01⎥⎥⎥⎦ ⎡a⎤ กจ็ ะเขียนเวกเตอร์ ⎢⎢⎣⎢bc⎥⎥⎦⎥ ไดเ้ ปน็ a i + b j + c k 3. ขนาดของเวกเตอร์ r = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (ใช้เป็นสูตรระยะทางระหว่างจดุ สองจดุ คลา้ ยทฤษฎีบทปีทาโกรสั ใน 2 มิติ) 4. การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡a+d⎤ ⎡a⎤ ⎡ka⎤ ⎣⎢⎢bc⎥⎥⎦ + ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = ⎣⎢⎢⎢bc++ef ⎦⎥⎥⎥ k ⋅ ⎢⎢⎣bc⎥⎥⎦ = ⎣⎢⎢kkbc⎦⎥⎥ 5. การคูณแบบดอท ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎣⎢⎢bc⎥⎦⎥ ⎢⎢e⎥⎥ ⋅ ⎣⎢ f ⎦⎥ = (a i +b j +c k) ⋅ (d i +e j +f k) = ad + be + cf และ u ⋅ v = u v cos θ (ใชส้ มการทง้ั สองรว่ มกัน ในการคํานวณมุม θ ระหวา่ ง u กบั v ) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 239 เวกเตอร สังเกตไดว้ ่าการคาํ นวณเกี่ยวกับเวกเตอร์ในสามมิตินนั้ คลา้ ยคลึงกับเวกเตอรใ์ นสองมิติ และสมบตั ิของเวกเตอร์กเ็ ป็นเช่นเดียวกนั ท้ังหมด ... จะมีเพียงส่งิ เดยี วท่ตี ่างออกไป นนั่ คือ การบอก ทิศทางในสามมิติ จะไมก่ ลา่ วถึงความชนั แตจ่ ะวัดมุมท่เี วกเตอรก์ ระทาํ กับแกนท้ังสาม เรียกว่า มุม กาํ หนดทศิ ทาง (Direction Angle) ไดแ้ ก่ มมุ α (alpha), β (beta) และ γ (gamma) z มุม α คอื มมุ ทีเ่ วกเตอร์ทํากับแกน +x มุม β คอื มุมทเ่ี วกเตอรท์ ํากบั แกน +y มมุ γ คือมมุ ทเ่ี วกเตอร์ทาํ กบั แกน +z u y อาศยั ผลคณู แบบดอท (นาํ เวกเตอร์ u = a i + b j + ck γ มาดอทกับ i , j, k ทลี ะอนั ) จะได.้ . αO β cos α = a , cos β = b , และ cos γ = c x uu u เรยี กคา่ ทั้งสามนี้วา่ โคไซน์แสดงทศิ ทาง (Direction Cosine) มักกลา่ วถงึ ค่าเหล่านี้แทนมุม ขอ้ สังเกต cos2 α + cos2β + cos2 γ = 1 เวกเตอร์สองอนั จะขนานกัน ( u & v ) ก็ต่อเมือ่ โคไซน์แสดงทิศทางของ u กบั v ทงั้ ชดุ .. (1) มีค่าตรงกนั ... (แสดงวา่ u กับ v มที ิศทางเดียวกนั ) หรือ (2) เปน็ ค่าตดิ ลบของกัน ... (แสดงวา่ u กบั v มที ิศทางตรงข้ามกัน) และเวกเตอร์สองอนั จะตัง้ ฉากกนั ( u ⊥ v ) กต็ อ่ เม่อื u ⋅ v = 0 แบบฝึกหดั 10.6 (72) กาํ หนดพิกัดจดุ P (1, 2˜P,Q3) และ Q (−1, 3, 5) ใหห้ า (72.1) เวกเตอร์ ˜PQ (72.2) เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในทิศเดยี วกับ ˜QP (72.3) เวกเตอรข์ นาด 7 หน่วย ในทศิ เดยี วกับ (73) กําหนด u = i + 3 j และ v = −2 i − 2 j + 6k ใหห้ า (73.1) u+v (73.3) เวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทศิ v (73.2) u + v (73.4) ขนาดมุมระหวา่ ง u + v กับ v (74) ใหห้ า u ⋅ v และมุมระหว่าง u กับ v ในแต่ละขอ้ (74.1) u = − i − k และ v = 3 i + j (74.2) u = 2 i − j + k และ v = i + j + 2 k (75) กําหนด u = i − 2 j + 3 k , v = 3 i + 4 j + 2 k และ w = 2 i + 4 j + 2 k ใหพ้ ิจารณาว่าเวกเตอร์คใู่ ดบา้ งท่ตี ง้ั ฉากกัน (76) รูปสามเหลยี่ มทมี่ จี ดุ A (2, −1, 1), B(7, 0, −2) , และ C(3, 2, −1) เป็นจดุ ยอด เปน็ รปู สามเหล่ยี มมุมฉากหรือไม่ .. ถ้าเปน็ ให้ตอบดว้ ยวา่ มุมใดเป็นมมุ ฉาก (77) ใหห้ าโคไซนแ์ สดงทิศทางของ u = 2 i − j + 3k และ v = −4 i + 2j − 6k และพิจารณาวา่ เวกเตอรด์ ังกล่าวขนานกนั หรอื ไม่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 240 เวกเตอร 10.7 ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์แบบครอส เช่น u × v จะยังคงใหผ้ ลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์ มนี ยิ ามดงั น้ี ⎡a⎤ ⎡d⎤ ⎡bf−ce ⎤ i jk &u × v ⎣⎢⎢bc⎦⎥⎥ × ⎣⎢⎢⎢ef ⎦⎥⎥⎥ = ⎣⎢⎢aced−−badf ⎦⎥⎥ = abc u de f v v×u (มักจะอาศัย det ของเมตริกซช์ ่วยจาํ รปู แบบการครอส และหาผลลพั ธ์โดยวธิ โี คแฟกเตอร์ ตดั แถวตัดหลกั ) ** ผลลัพธท์ ไ่ี ด้ จะตง้ั ฉากกับระนาบ uv ... หาทิศทางได้ด้วยกฎมือขวา โดยสน่ี ิ้วพงุ่ ไปทาง u กํามอื เขา้ หา v ผลลพั ธม์ ที ศิ ทางตามนวิ้ โปง้ ทชี่ ขู ้ึน (ดงั นั้น i × j = k , j × k = i , k × i = j ) ขนาดของเวกเตอร์ลพั ธท์ ่ไี ด้ u × v = u v sin θ ช่วยคาํ นวณมมุ θ ระหว่าง u กับ v ได้ สมบตั ิของการคณู เวกเตอรแ์ บบครอส • u×u =0 • u × v = − (v × u) • 0×u = 0 • u × (v + w) = u × v + u × w • a (u × v) = a u × v • u× v = 0 ↔ u& v • u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w u สตู รในการหาพื้นทสี่ ามเหล่ียม เมอ่ื มีด้านประชดิ เปน็ u กบั v และมุมระหวา่ งเวกเตอร์เป็น θ คือ θ v 1 u v sin θ → 1 u × v 22 พ้นื ท่สี ่ีเหล่ียมด้านขนาน คือ u v sin θ → u × v ปรมิ าตรของ ทรงสี่เหลีย่ มหน้าขนาน (Parallelepiped) ท่ีมดี ้านประชดิ เป็นเวกเตอร์ u , v , w คอื ผลคณู เชิงสเกลารข์ องสามเวกเตอร์ มคี ่าเทา่ กับ u ⋅ (v × w) = u1 u2 u3 ลูกบาศก์หน่วย v1 v2 v3 w1 w2 w3 u (หากสลับลาํ ดบั เวกเตอรไ์ ม่ถูกต้อง ผลคณู ที่ไดอ้ าจตดิ ลบ w v จงึ ต้องใส่คา่ สัมบูรณ์กํากับไว้ด้วย) แบบฝกึ หดั 10.7 (78) ใหห้ า u × v และเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยทตี่ ั้งฉากกับ u และ v ในแต่ละข้อ (78.1) u = 2 i − 3 j และ v = i − 5 j (78.2) u = i − 2 j และ v = 3 i + k Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 241 เวกเตอร (78.3) u = i + 3 j และ v = −2 i − 6 j (79) [จากข้อ 74.2] กําหนด u = 2 i − j + k และ v = i + j + 2k (79.1) u × v (79.3) คา่ sin ของมมุ ระหว่าง u และ v (79.2) พน้ื ทขี่ องรปู ส่ีเหลีย่ มด้านขนานท่ีมีด้านประชดิ เปน็ u และ v (80) ใหห้ าพ้นื ทร่ี ูปสามเหล่ยี มทมี่ ีจดุ ยอดดังน้ี (80.1) P (1, 2, 3) , Q (−1, 3, 5) และ R (3, −1, 0) (80.2) A (2, 0, −3) , B(1, 4, 5) และ C (7, 2, 9) (81) ให้หาพนื้ ท่ีรูปสี่เหลีย่ มด้านขนาน ABCD เม่อื กําหนด (81.1) A˜A(B2, 0, −3) , B (1แ, 4ล,ะ5)˜DแAละ= C (7, 2, 9) (81.2) = 2j −i + j −2k 3i − (82) ให้หาปริมาตรของรูปทรงส่เี หลย่ี มหน้าขนาน ทม่ี ดี า้ นประชดิ เป็นเวกเตอรด์ งั นี้ (82.1) u = i − 2 j + 3 k , v = 3 i + 4 j + 2 k และ w = i + 4 j − k (82.2) u = −2 i − 6 j + k , v = 2 i + 4 j − k และ w = 4 i + 2 j − 2 k เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1) ถงึ (3) ดใู นเฉลยวธิ ีคดิ (25) −3 < x < 2 (44) w = u + 2v (4) 50 กม. ทศิ 350 ° (26) −4/3 < x < 4/3 (45) 50+26 = 76 (5) 500 3 กม. ทิศ 060 ° (27) x = 6 และ y = 2 (46.1) 3 i −2 j (6) 300 กม./ชม. ทิศ 037 ° (28) a = 2 และ b = −3 (46.2) −4 i + j (7) 50 21 กม./ชม. (29) a = 2 และ b = −1 (46.3) 5 i −3 j (8) 5 กม./ชม. ทศิ 037 ° (30) − 1 u − 1 v (31) a + 1 b (46.4) − i − j 82 3 (9) u มีขนาด 6 3 หนว่ ย (46.5) i − j ทิศ 060 ° หรอื 120 ° (32) a + 1 b (33) − 1 (a+b) (47.1) −21i +20 j และ v มีขนาด 6 หน่วย 66 ทศิ 030 ° หรอื 150 ° (34) a = b = 1/4 (47.2) 212 + 202 (10) u + v , ,u 2 + v 2 u−v (35) m ˜BC + n ˜BA (36-37) ... (48.1) 3i −4j m+n 5 5 (11) u − v , ,u 2 + v 2 u + v (38) ⎡ 1⎤ , ⎡6⎤ (39) P (1, −7) , (48.2) 1 (i −4 j) ⎣⎢3⎥⎦ ⎣⎢−8⎦⎥ , (12) 6, 2 (13) 20 17 (14) 150 ° (15) 106 Q (1, −4) (40) ⎡3⎤ → 58 ⎢⎣7⎦⎥ (48.3) 3 (i +4 j) (16) 14 (17) 5 41 ⎡4⎤ ⎡ 1⎤ 17 (18) กar.cเcพoรsาะ(3˜/A5D) (19) 4π/5 ⎢⎣3⎥⎦ → 5, ⎢⎣−4⎥⎦ → 17 (20) ยาว 4 (48.4) 13 (i +4 j) ซม. (41) 13 , 15 − 6 2 17 (21) 18+6+12 = 36 (42.1) ขนานกัน ทศิ ตรงขา้ ม (49) (11, 16) หรอื (−7, −8) (22) arcsin ( 3/2 7) (42.2) ขนานกนั ทิศเดียวกนั (50) −a i − b j หรือตอบในรปู arccos (−5/2 7) (42.3) ไม่ขนานกนั a2 + b2 (23) x ≠ −1, −2, 1/3 (42.4) ขนานกนั ทิศเดียวกัน (51) 3 i +3 j (24) x ≠ −3, 2 (43) 3 u − 10 v (52) 18, –28, –22, 11/2 11 11 (53) –37, 11 (54) 90 ° , 120 ° , 90 ° Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 242 เวกเตอร (55) ˜AB ⋅ ˜AC = 0 และ (72.3) 7 (2 i − j − 2 k) (78.1) −7 k และ ± k มมุ A เป็นมุมฉาก (56) 0 3 (78.2) −2 i − j + 6k และ (57) arccos (−1/2 7) หรอื (73.1) 38 (73.2) 10 + 44 ± 1 (−2 i − j + 6 k) 180 ° − arcsin (3 3 /2 7) 41 (73.3) 1 (−2 i − 5 j + 6 k) (58) 1/5 (59) 16 (3 i −4 j) (78.3) 0 และ ไมม่ ี 38 (79.1) −3 i − 3 j + 3 k 25 (73.4) arccos( 18 ) (79.2) 3 3 ตารางหนว่ ย (60) arccos (2/ 5) (79.3) 3/2 418 (61.1) 17 ตารางหนว่ ย (80.1) 29/2 ตารางหนว่ ย (61.2) 6 ตารางหนว่ ย (74.1) –3 และ arccos( −3 ) (61.3) 3 ตารางหนว่ ย (80.2) 9 13 ตารางหน่วย (62) 8 (63) 2 20 (81.1) 18 13 ตารางหนว่ ย (64) 6 (65) 52 (81.2) 53 ตารางหนว่ ย (66) 3/2 (67) 21/5 (74.2) 3 และ π/3 (82.1) 2 ลูกบาศกห์ น่วย (68) ± 1/5 (69) ข. (82.2) 0 ลกู บาศก์หน่วย (75) u ตงั้ ฉากกบั w (ไมเ่ กิดทรงสี่เหลยี่ ม) (70) ถูกทุกขอ้ (71) 1/4 (76) เป็นสามเหล่ียมมุมฉาก, (72.1) −2 i + j + 2k มมุ C เปน็ มมุ ฉาก (72.2) 1 (−2 i + j + 2 k) (77) ( 2 , −1 , 3 ) และ 3 14 14 14 ( −2 , 1 , −3 ) ดังนัน้ ขนานกนั 14 14 14 (ทิศตรงกนั ขา้ ม) เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) หัวตอ่ หาง v หางตอ่ หาง (5) B u+v v u+v 1,000 30˚ 30˚ 500 30˚ θ C u u A หัวตอ่ หาง หางตอ่ หาง ˜| AC | = 1,0002 + 5002 − 2(1,000)(500)(cos 60°) u v u−v = 500 3 กม. หาทศิ ดว้ ยกฎของ sin u−v −v u คือ sin θ = sin 60° → θ = 30° ∴ ทิศ 060° (2) 40 km/h (3) 10 500 500 3 5 (6) 180 60 km/h 12 240 (4) −u คอื ระยะทาง 50 กม. ทิศ 350° θ 2402 + 1802 = 300 กม./ชม. ทิศ ≈ 037° (เป็น Δ มมุ ฉาก อตั ราสว่ น 3:4:5) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 243 เวกเตอร (7) (12) ถ้า u+v+w = 0 แสดงวา่ หวั ชนหางกนั หมด พอดี เปน็ รปู Δ แตจ่ ากขนาดที่ใหม้ า 2, 4, 2 ไมเ่ ป็น Δ แต่เปน็ แค่เสน้ ตรงดงั รูป 200 uw 50 30˚30˚ v ∴ u−v = 2 + 4 = 6 , u+v = 4 − 2 = 2 ตอบ 502 + 2002 + 2(50)(200) cos 60° (13) = 50 21 กม./ชม. 2v u (8) w 1 4 พายจรงิ 3 θ ตอบ 5 กม./ชม. ทิศ ≈ 037° u+v+w = 22 + 42 = 20 3 (14) 25+12 3 = 42 + 32 − 2(4)(3) cos θuv (9) กรณที ่ี 1 C = 25 − 24 cos θuv 6v u ∴ cos θuv = − 3 /2 → θuv = 150° (15) 12 = 102 + 52 + 2(10)(5) cos θuv ∴ 2(10)(5) cos θuv = 19 60˚ B u−v = 102 + 52 − 2(10)(5) cos θuv A6 = 102 + 52 − 19 = 106 u = 62 + 62 + 2(6)(6) cos 60° = 6 3 หนว่ ย (16) 6 = 42 + 32 + → = 11 v = 62 + 62 − 2(6)(6) cos 60° = 6 หนว่ ย ∴ u−v = 42 + 32 − 11 = 14 ( Δ ด้านเทา่ ) (17) u ⊥ v ดงั นนั้ ทศิ u คอื 060° , ทศิ v คือ 150° u+v = u−v = 42 + 52 = 41 กรณที ่ี 2 A 6 B ตอบ 2 41 + 3 41 = 5 41 60˚ (18) ให้ u = v = a จะไดว้ า่ 6v u a2 + a2 + 2a2 cos θ = 2 a2 + a2 − 2a2 cos θ C 2a2(1 + cos θ) = 4(2a2)(1 − cos θ) ทิศ u คอื 120° , ทิศ v คอื 030° ∴ cos θ = 3 → θ = arccos 3 (10) 0° → u+v = u + v 55 90° → u+v = u 2 + v 2 (19) ให้ u = w = a จะได้ 180° → u+v = u − v a2 + v 2 − 2a v cos θuv = v 2 + a2 + 2 v a cos θvw (11) 0° → u−v = u − v → cos θuv = − cos θvw 90° → u−v = u 2 + v 2 เนือ่ งจาก θuv = π ดังนนั้ θvw = 4π 180° → u−v = u + v 5 5 (มองจากวงกลมหน่งึ หน่วยในเรื่องตรโี กณมิต)ิ [หมายเหตุ ขอ้ 10, 11 จะคดิ โดยวาดรปู หรือโดยใช้ กฎของ cos กไ็ ด]้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 244 เวกเตอร (20) F E (26) (6 − 3x2 − 2) v = (100 − 2) u 35 A O แสดงวา่ ยาว 2 ซม. ทกุ 2 D ส่วนเพราะประกอบจาก ทศิ เดียวกัน แสดงว่า สมั ประสิทธ์ิของ v เป็นบวกดว้ ย สามเหล่ียมดา้ นเท่า → − 3x2 + 16 > 0 → 9x2 − 16 < 0 แงคขเกพ..ล..ระ˜O˜˜˜าAAFะDOB˜DFแDค++++่B˜˜O˜˜˜DEAFยBDDODังช้ใื ยยยยนกาาาา็ยทวCวววาศิ เว2กต42นิ่อ4ซซซอมม4มซอ...กมซไพ.มปอแ.อดลกีถ้วี ูก 3 → −4 / 3 < x < 4 / 3 (27) u ไมข่ นาน v แสดงวา่ สัมประสิทธ์ิ = 0 ทกุ ตวั → x − 2 − 2y = 0 ..... (1) และ x − 8 + y = 0 ..... (2) ∴ x = 6, y = 2 (28) 3 − 3a − b = 0 .....(1) 8 − a + 2b = 0 .....(2) ∴ a = 2, b = −3 (21) u − 4v = 3v − 2w → 2w = −v − u (29) 3[(a+4b) u + (2a+b+1) v] และ 3v − 4w = 2w + 5u → 6w = 3v − 5u = 2[(b−2a+2) u + (2a−3b−1) v] ดงั นนั้ (จาก 2 สมการ) จะได้ → u ไมข่ นาน v ดงั นน้ั u = 3v → w = −2v u = 18 3(a+4b) − 2(b−2a+2) = 0 ..... (1) 3(2a+b+1) − 2(2a−3b−1) = 0 .....(2) ∴ ถ้า w = 12 → v = 6 → แก้ระบบสมการได้ a = 2, b = −1 ตอบ 18 + 6 + 12 = 36 (22) หาขนาดกอ่ น (30) A 3 Q 5 B u = 2v − w u w 120˚ v vv P u = 22 + 12 − 2(2)(1)(− 1) = 7 D C 2 ˜PQ = ˜PB + ˜BQ ก. หาคา่ θ โดยกฎ sin = 1 (u − v) + (− 5 u) = − 1 u − 1 v sin θ = sin 120° ∴ θ = arcsin( 3 ) 2 8 82 17 27 เ[หชน่มาขยอ้เหนตีอ้ ุาแจบเรบม่ิ ฝจึกาหกดั ˜นPQแ้ี ต่ล=ะ˜ขPอ้Aท+าํ ไ˜AดQห้ ลายวธิ ี หรือ ข. หาคา่ θ โดยกฎ cos เชน่ เดมิ กไ็ ด้ w = 2v − u → = − 1 (u + v) + 3 u = − 1 u − 1 v ] 2 8 82 w = 22 + 72 − 2(2)( 7) cos θ = 1 ∴ θ = arccos(− 5 ) (มคี า่ เทา่ กนั ) (31) ˜AจาFกร=ูป˜ใAนBโจ+ท˜ยB์ F = (2a) + 1 (a + b − 4a) 27 3 → (23) u // v → แสดงวา่ สมั ประสิทธิ์ ≠ 0 นนั่ คอื x2 + 6x − 2 − x + 2x2 ≠ 0 และ −1 − x ≠ 0 = a+ 1b 3 → 3x2 + 5x − 2 ≠ 0 → (3x − 1)(x + 2) ≠ 0 (32) D → x ≠ 1 / 3, − 2, − 1 N (24) u // v → x2 − 5 − 1 + x ≠ 0 MO → (x + 3)(x − 2) ≠ 0 → x ≠ −3, 2 a+b C a (25) จาก (x2 − 5 − 1 + x) u = −2v = a+ 1b u มที ิศเดยี วกับ v แสดงวา่ AB 6 สมั ประสิทธิ์ของ u จะตอ้ งตดิ ลบด้วย ˜MN = ˜MD + ˜DN = 1 ˜AD + 1 ˜DC x2 + x − 6 < 0 → (x + 3)(x − 2) < 0 23 → −3 < x < 2 = 1 (a + (a + b)) + 1 (a − (a + b)) 2˜AB ˜BD 3 ˜BC ˜BD Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 245 เวกเตอร (33) C (37) C D bO D E BF B ˜˜BAEF ˜˜˜BBACCB ˜˜˜BCBEDEA+++ ˜˜˜DDEEFE Aa = + .....(1) ˜ ˜DO = 1 DA = 1 (− 1 (a + b)) = − 1 (a + b) = + .....(2) 3 32 6 = + (34) D C (ด1งั )น-(น้ั 2);˜BE˜B=E ˜C−D˜A+F ˜A=F˜CD − ˜BE 3 F E 1 2 จาก Δ คล้าย B AFD กับ CFE 2 ⎡3 − 2⎤ A ˜EF = 1 ˜ED และ ˜CF = 1 ˜CA (38.1) ˜PQ = ⎣⎢7 − 4⎥⎦ = ⎡ 1⎤ ⎢⎣3⎥⎦ จะได้วา่ 44 ˜PQ ตอบ a = b = 1 / 4 (38.2) = ⎡6⎤ ⎣⎢−8⎦⎥ (35) จาก ˜BD ˜BC ˜CD B C (39.1) ⎡−3⎤ = ⎡−2 − x⎤ → P(x, y) = (1, −7) n ⎢⎣ 2 ⎦⎥ ⎣⎢−5 − y⎦⎥ = + = ˜BC + n ˜CA .....(1) D ⎡−3⎤ ⎡x − 4⎤ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ ⎣⎢y + 6⎦⎥ ˜ ˜(39.2) = → Q(x, y) = (1, −4) และ ˜BD m= +˜BnA + ˜AD m (40) AB = ⎡3⎤ , AB = 32 + 72 = 58 ⎣⎢7 ⎦⎥ = ˜BA − m ˜CA .....(2) A ˜ ˜BC ˜m + n = ⎡ 1⎤ , BC = 17 2 BD ˜BC + ˜BA + ˜CA ⎢⎣−4⎥⎦ (1)+(2); n − m ˜ ˜AC = m+n = ⎡4⎤ , AC =5 แทน ˜CA = ˜BA − ˜BC → ⎢⎣3⎥⎦ 2 ˜BD = ˜B=Cm+˜B˜BCA++n⎝⎜⎛˜BmnA−+mnต⎠⎟⎞อ(˜BบA − ˜BC) (41) 2u − 3v +w = ⎡6−6−3⎤ = ⎡−3⎤ → ˜BD ⎣⎢−8 + 6 + 4⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ m+n ∴ 2u − 3v + w = 32 + 22 = 13 [สงั เกต ผลท่ไี ดเ้ หมือนกบั สตู รจดุ แบง่ เส้นตรงเปน็ แต่ 2u − 3v + w = 2(5) − 3(2 2) + 5 = 15 − 6 2 [อย่าลืม!! u + v ≠ u + v ] อตั ราสว่ น m:n ในบทเรียนเรขาคณิตวเิ คราะห]์ (42.1) ขนานกนั ทิศตรงข้ามกนั (42.2) ขนานกนั ทศิ เดยี วกัน (36) A (42.3) ไมข่ นานกนั D (42.4) ขนานกนั (ความชัน = −2 ) ทิศเดยี วกัน E (ดทู ิศจากเครอื่ งหมายบวกลบที่ x, y ) B (43) ⎡−1⎤ ⎡3⎤ ⎡2⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎣⎢4⎦⎥ ⎢⎣−1⎦⎥ ˜˜BDCE ˜DCA ˜˜AACE = a + b ˜BA = + .....(1) .....(2) แสดงว่า −1 = 3a + 2b และ 2 = 4a − b = + = 2 ˜DA + 2 ˜AE ∴ a = 3 , b = − 10 ตอบ w = 3 u − 10 v เทยี บ (1) กบั (2) พบวา่ เป็น 2 เท่าของกันและกนั 11 11 11 11 (44) เหมอื นขอ้ ทแ่ี ล้ว คอื ดงั นน้ั ˜DE = 1 ˜BC และ ˜DE // ˜BC ดว้ ย 2 6 = 4a + b และ 9 = a + 4b ∴ a = 1, b = 2 (การพสิ จู น์วา่ ขนาน ตอ้ งพิสจู น์วา่ เป็น a เทา่ ของกนั ) ตอบ w = u + 2v Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 246 เวกเตอร (45) B C (51) ⎡2⎤ ⎡−1/ 2 ⎤ j 32 ⎣⎢−3⎥⎦ ⎢⎣ 1/ 2 ⎦⎥ 45˚ A ⎡3⎤ D เวกเตอรท์ ตี่ อ้ งการจะอยู่ใน Q1 ⎢⎣4⎦⎥ แยกเวกเตอร์ขนาด 3 2 ลงบนแกน x และ y เสน้ ทแยงมมุ คอื ˜A˜ACB +กบั˜AD˜BD= ⎡5⎤ จะไดด้ า้ นละ 3 หน่วย ดังนนั้ ตอบ 3i + 3j ⎣⎢ 1⎥⎦ หา ˜AC ไดจ้ าก (52.1) u ⋅ v = (3)(2) + (−4)(−3) = 18 (52.2) −8 − 20 = −28 หา ˜BD ได้จาก ˜AD − ˜AB = ⎡ 1⎤ (52.3) −12 − 10 = −22 26 , ˜ ⎢⎣7⎦⎥ และได้ ˜ = 50 (52.4) 3 + 4 = 11 BD = 22 AC ตอบ 26 + 50 = 76 (46.1) u = 3 i − 2 j (53.1) ˜ ˜ ˜ ˜⎡−6⎤⋅⎡5⎤ = −37 (53.2) ⎢⎣−1⎦⎥ (46.2) v = −4 i + j ⎢⎣ 7 ⎥⎦ (46.3) w = 5 i − 3 j AB ⋅ BC + AB ⋅ AC (46.4) u + v = − i − j = −37 + ⎡−6⎤ ⋅ ⎡−1⎤ = −37 + 48 = 11 ⎣⎢ 7 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 ⎥⎦ (46.5) 2u − w = i − j (54.1) u ⋅ v = u v cos θ ˜ ˜(47.1) 2 AB − 3 CD = 2 (−3 i − 4 j) − 3(5 i − 28 j) 3 → u ⋅ v = 2 3 − 2 3 = 0 → ∴ θ = 90° = −21i ˜+ 20 j 3 ˜CD|= (54.2) u ⋅ v = (2 3)(−3 3) + (2)(3) = −12 (47.2) |2 AB − 212 + 202 = 841 → − 12 = (4)(6) cos θ → ∴ θ = 120° (48.1) u = 3 i − 4 j (54.3) u ⋅ v = 0 → ∴ θ = 90° u5 5 ˜ ˜ ˜(55) ⎡4⎤ ⎡4⎤ (48.2) ใสล่ บเพราะตอ้ งการทิศตรงขา้ ม AB = ⎢⎣2⎥⎦ , AC = ⎡8⎤ , BC = ⎣⎢−18⎥⎦ ⎢⎣−16⎦⎥ −v = 2 i− 8 j = 1 i− 4 j พบว่า ˜AB ⋅ ˜AC = 0 ∴ มุม A = 90° v 68 68 17 17 (48.3) u+v = i + 4 j → ตอ้ งการ 3 หนว่ ย (56) u ⋅ v = u v cos θ คือ 3 (i + 4 j) → −2 + x = ( 2)( 4 + x2) cos 135° 17 → x − 2 = − 4 + x2 → x2 − 4x + 4 = 4 + x2 → x = 0 (48.4) u−v = 52 + 122 = 13 หน่วย ∴ ตอบ 13 (i + 4 j) (57) 17 v 3 v−u คิดได้ 2 แบบ 60˚ 2 θ ˜(49) PQ = ±15 (3 i + 4 j) = ±(9 i + 12 j) 55 [ถถบ้าา้ วก˜˜PPลQQบ เพราะ “ขนานกนั ” อาจเปน็ ทศิ ตรงขา้ มกไ็ ด]้ = 9 i + 12 j ได้ Q(11, 16) u sin ใน Δ; กอ่ น = −9 i − 12 j ได้ Q(−7, −8) แบบแรก กฎของ หาขนาด v − u (50) ˜PQ = a i + b j → ตอบ −a i − b j v − u = 32 + 22 − 2(3)(2) cos 60° = 7 a2 + b2 ใชก้ ฎของ sin → sin θ = sin 60° 37 ∴ θ = 180° − arcsin(3 3) 27 (สาเหตทุ ่ีมี 180° − arcsin เพราะตอ้ งการมุมปา้ น แตค่ า่ arcsin นยิ ามไปถึงเพยี ง 90˚) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 247 เวกเตอร แบบท่ีสอง ใช้การคูณเวกเตอร์ (62) B C (v − u) ⋅ u = v − u ⋅ u ⋅ cos θ ˜ ˜A D → v ⋅ u − u 2 = v − u ⋅ u ⋅ cos θ ˜ ˜AB AD sin θ = 24 → (3)(2)(cos 60°) − (2)2 = ( 7)(2) cos θ พ้นื ท่ี, = 3 ˜AB ⋅ ˜AD = AB AD cos θ = ∴ θ = arccos(− 1 ) 27 ∴ tan θ = 8 (หมายเหตุ 2 คาํ ตอบนม้ี คี า่ มุมเทา่ กัน) (63) ให้ w = ⎡a⎤ จะได้ 2a − 5b = −11 (58) u (u−v) = 24 → u 2 − u ⋅ v = 24 ⎢⎣b⎥⎦ → (5)2 − (5) v cos θ = 24 → v cos θ = 1 / 5 และ a + 2b = 8 ดงั นนั้ a = 2, b = 3 (59) Q หจาากมุม˜OQθ ⋅ก˜Oอ่ Pน ∴ w = ⎡2⎤ → w − v = ⎡1⎤ ⎣⎢3⎦⎥ ⎣⎢1⎥⎦ P Oθ R → w−v = 2 B = 36 − 20 = 16 = (5)(13) cos θ → cos θ = 16 ดังนน้ั ˜ ˜OR = OQ cos θ = 13 ⋅ 16 = 16 65 (64) u v u = 7 , u ⋅ v = 28 w = 15 u+v = −w C ˜OR = เวกเตอร์ 16 65 ˜OP 5 → u + v = 15 A w หนว่ ยในทิศ → 72 + v 2 + 2(28) = 15 ˜5 → v = 120 ∴ OR = 16 (3 i − 4 j) = 16 (3 i −4 j) 55 5 25 หา w (v − 2u) = (−u − v)(v − 2u) จ(6ะ0พ)บวลา่ องเสพน้ลทอ็ ตแยจุดงมลุมงบเปน็นแก˜AนCเพกอ่ื ับหาล˜Bาํ Dดับการเรยี ง = −u ⋅ v + 2 u 2 − v 2 + 2u ⋅ v ˜ ˜→ AC = ⎡6⎤ , BD = ⎡7⎤ = u ⋅ v + 2 u 2 − v 2 = 28 + 2(7)2 − 120 = 6 ⎣⎢2⎦⎥ ⎣⎢7⎥⎦ ˜AC ⋅ ˜BD (65) b ∗ c = [(2)(3) + (−3)(2)] i มุมระหวา่ งเสน้ ทแยงมุม คดิ จาก − [(−3)(3) − (2)(2)] j = 13 j → 42 + 14 = ( 40)( 98)(cos θ) ∴ a ⋅ (b ∗ c) = (3 i − 4 j) ⋅ (13 j) = −52 → a ⋅ (b ∗ c) = 52 → θ = arccos 2/ 5 ˜OA กับ ˜OB กอ่ น (66) (→61˜O.1A) ⋅ห˜OาBมมุ = θ ระหวา่ ง 34 ⋅ 68 cos θ ˜ ˜ uθ v 24 + 10 = OA OB 2 3 → θ = 45° ..พน้ื ท่ี ΔOAB = 1 sin θ u+v+w = 0 2 แสดงว่าเปน็ Δ ดงั รูป 4 หามมุ θ โดย = 1 ⋅ 34 ⋅ 68 ⋅ 1 = 17 ตร.หนว่ ย 2 2 w ˜AB ⋅ ˜AC 0 (61.2) = แสดงวา่ มมุ A = 90° 42 = 22 + 32 − 2(2)(3) cos θ ˜ พืน้ ท่ี Δ = 1 ˜AB → cos θ = −1 / 4 .... ∴ θ = arccos(−1 / 4) AC 2 ∴ มุมระหว่าง u กับ v จะต้องวดั ระหวา่ งหางกับ = 1 (2 2)(3 2) = 6 ตร.หนว่ ย หางเทา่ นนั้ คือ 180° − arccos(− 1) 2 4 (61.3) u+v = 3 i , u − v = i − 2 j → ดังนนั้ u ⋅ v = u v cos(180° − arccos(− 1)) 4 หามมุ θ 3 = (3)( 5) cos θ → cos θ = 1 5 = u v (− cos(arccos(− 1)) = (2)(3)( 1) = 3 4 42 ∴ sin θ = 2 → พน้ื ที่ Δ = 1 (3)( 5)( 2 ) 5 25 = 3 ตร.หนว่ ย Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 248 เวกเตอร (67) a ⊥ b → a ⋅ b = 0 → 4x − 3y = 0 ... (1) (72.1) ˜PQ = (−1 − 1)i + (3 − 2)j + (5 − 3) k a = 3 → x2 + y2 = 3 ..... (2) = −2 i + j + 2k ˜ แกร้ ะบบสมการได้ x = 9 / 5, y = 12 / 5 หรอื (72.2) เนอื่ งจาก PQ = 22 + 12 + 22 x = −9 / 5, y = −12 / 5 = 9 = 3 ดงั นนั้ ตอบ − 2 i + 1 j + 2 k โจทย์ให้ a ⋅ c > 0 ดังนน้ั a = 9 i + 12 j ˜QP − ˜PQ 3 3 3 55 = 2i − − 2k (72.3) = j และ x + y = 9 / 5 + 12 / 5 = 21 / 5 เทา่ นน้ั (68) ให้ a = x i +y j จะได้ 3x − 4y = 0 .....(1) ดังนน้ั ตอบ 7 ⋅ (2 i − j − 2k) 3 และ x2 + y2 = 1 .....(2) (73.1) u+v = − i + j + 6k ∴ ได้ x = 4 , y = 3 หรอื x = − 4 , y = − 3 = 12 + 12 + 62 = 38 55 55 (73.2) u + v = 12 + 32 + 22 + 22 + 62 v ⋅ a = 8 − 9 = − 1 หรอื − 8 + 9 = 1 55 5 55 5 = 10 + 44 (69) เวกเตอร์ 3 อนั จะประกอบเป็น Δ ได้ (73.3) เนอ่ื งจาก v = 38 ดงั นนั้ ตอบ 1 ⋅ (−2 i − 5 j + 6k) แสดงว่า ±a ± b ± c = 0 พอดี (บวกหรือลบกไ็ ด)้ 38 Δ น้เี ปน็ มมุ ฉากดว้ ย แสดงวา่ a 2 = b 2 + c 2 หรือมคี หู่ นงึ่ ซงึ่ ma ⋅ mb = −1 (73.4) u + v = − i + j + 6k , ก. m = 2/3, 5, 3/2 ไมถ่ กู v = −2 i − 2 j + 6k นาํ มาดอทกนั จะได้ (u + v) ⋅ v = 2 − 2 + 36 ข. m = −2/3, − 5, 3/2 ถกู และพบวา่ (3 i −2 j) − (i −5 j) − (2 i +3 j) = 0 ดว้ ย ตอบ ข. = u + v ⋅ v ⋅ cos θ = 38 ⋅ 44 cos θ ค. m = −2/3, 5, 3/2 ถกู แตไ่ มส่ ามารถบวกลบ ∴ cos θ = 36 = 18 กันใหเ้ ปน็ 0 ไดเ้ ลย ขอ้ ค. จงึ ยังไมใ่ ช่.. 38 ⋅ 44 418 ง. m = −2/3, 3/2, − 2/3 ไม่เป็น Δ → θ = arccos( 18 ) เพราะมคี หู่ น่ึงทขี่ นานกัน 418 (70) ก. cos θ = ±1 → θ = 0°, 180° ถูก (74.1) u ⋅ v = −3 + 0 + 0 = −3 ข. ดอทกนั ได้ 0 → ∴ตั้งฉาก ถกู u = 2 v = 10 ∴ θ = arccos −3 ค. ถูก เพราะ u ⋅ v = v ⋅ u 20 ง. ถูก จาก u ⋅ v = 6 − 4 = (5)( 5) cos θ (74.2) u ⋅ v = 2 − 1 + 2 = 3 (∴71θ)=˜PaQrcc⋅ ˜oRsQ(2/=5˜P5Q) ⋅ (˜RO + ˜OP + ˜PQ) u = 6 v = 6 ∴ θ = arccos 3 = π 63 (75) u ⋅ v = 3 − 8 + 6 = 1 →= ˜PQ˜PQ⋅ ˜R⋅O˜OP+ ˜PQ ⋅ ˜OP ˜+ | PQ |2 v ⋅ w = 6 + 16 + 4 = 26 = 0 เพราะตง้ั ฉากกนั หด|˜ังPานมQนัุ้ม|ร2ะ˜P=หQว12า่⋅ ง˜R=Q˜P1Q= และ (พ˜wA7บC6⋅ว)า่u= ˜A=˜Ai BC2+ −8+6 = 0 k˜BC ∴u ⊥ w = 5i + j − 3 = −4 i + 2 j ˜PQ ˜˜RROO ˜3 j − 2 k +k กับ ⋅ +1→ ⋅ BC = 0 ได้เปน็ 150° ดังนน้ั Δ ABC เป็น Δ มมุ ฉาก, มมุ C = 90° ดแลังภะาพ˜RO P 60˚ Q = 3 cos 60° 60˚ =3 OR 2 ∴ ตอบ (1)( 3)(cos 150°) + 1 = 1 24 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 249 เวกเตอร (77) สําหรับ u .... u = 14 (˜P8R0.1=)2˜Pi Q− = −2 i + j + 2k พน้ื ที่ Δ = 1 sin θ = ∴ cos α = 2 , cos β = −1 และ 3˜j −˜3 k 1 |˜PQ × ˜PR | 14 14 PQ PR cos γ = 3 22 14 จาก ˜PQ × ˜PR = i j k = 3i − 2j + 4k สาํ หรับ v .... v = 2 14 −2 1 2 2 −3 −3 ∴ cos α = −4 = −2 , cos β = 1 2 14 14 14 ∴ พน้ื ท่ี Δ = 1 ⋅ 32 + 22 + 42 = 29 ตร.หนว่ ย และ cos γ = −3 [ใช้ ˜QP × ˜QR2หรอื ˜RP × ˜RQ 2 14 (˜A8C0.2=)5˜Ai B+ ก็ได้เชน่ กัน] ดังนน้ั u กับ v ขนานกนั (โดยมที ศิ ตรงขา้ มกนั ) = −i + 4j + 8k i j k 2 j+ 12 k (78.1) เนอ่ื งจาก u×v = 2 −3 0 1 −5 0 ˜ ˜ i jk = 0 i + 0 j − 7k = −7k AB × AC = −1 4 8 = 32 i + 52 j − 22 k 5 2 12 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยทต่ี งั้ ฉากกบั u และ v กค็ อื เวกเตอรท์ ี่ขนานกับ u × v นน่ั เอง พ้นื ท่ี Δ = 1 322 + 522 + 222 = 9 13 ตร.หน่วย ∴ ตอบ ±k (นาํ ขนาดคือ 7 ไปหาร) (˜B8C1.1=)6˜Bi 2A− = i − 4j − 8k i jk 2j + 4k (78.2) u×v = 1 −2 0 = −2 i − j + 6k 30 1 ˜˜ ij k และเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย = ± 1 (−2 i − j + 6k) BA × BC = 1 −4 −8 = −32 i − 52 j + 22 k 41 6 −2 4 (78.3) u × v = i jk พื้นที่ , = 322 + 522 + 222 = 18 13 ตร.หนว่ ย 1 30 (81.2) ˜AB = 3 i − 2 j , ˜AD = i − j + 2k −2 −6 0 = 0 i + 0 j + 0k = 0 (เนอ่ื งจาก u // v นนั่ เอง) ˜ ˜ i jk และเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย ไมม่ ี ∴ AB × AD = 3 −2 0 = −4 i − 6 j − k 1 −1 2 (79.1) u×v = i jk = −3 i − 3j + 3k พนื้ ที่ , = 42 + 62 + 12 = 53 ตร.หน่วย 2 −1 1 1 12 (82.1) 1 −2 3 (79.2) พ้ืนที่ , = u v sin θ = u × v u ⋅ (v × w) = 34 2 1 4 −1 = 32 + 32 + 32 = 3 3 ตร.หนว่ ย = (1)(−12) − (−2)(−5) + (3)(8) = 2 ลบ.หนว่ ย (79.3) จาก u × v = u v sin θ จะได้ (หากคดิ ไดต้ ิดลบ ใหต้ อบเฉพาะขนาดนะ!) 3 3 = 6 ⋅ 6 ⋅ sin θ → sin θ = 3 (82.2) u ⋅ (v × w) = −2 −6 1 2 24 −1 4 2 −2 = 0 ลบ.หนว่ ย (แสดงวา่ ไม่เกดิ ทรงสเี่ หลีย่ ม เพราะ เวกเตอรท์ ง้ั สามอยู่ในระนาบเดียวกนั ) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 250 เวกเตอร eÃoè× §æ¶Á สิง่ ท่ีไมต่ อ้ งรกู้ ็ได้ : ลําดับการคดิ คน้ เนือ้ หาคณติ ศาสตร์.. เรอื่ ง ผคู้ ิดค้น (ประเทศ) ปี ค.ศ. ระบบจาํ นวน 60 และ 360 (เช่น มุม, เวลา) ชาวบาบโิ ลนและอียิปต์โบราณ -3000 แนวคิดเรอื่ งอัตราส่วน π ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในสามเหลย่ี มมมุ ฉาก Phythagoras of Samos (กรีก) -500 ข้นั ตอนวธิ ีในการหา ห.ร.ม. Euclid (กรกี ) -300 แนวคิดเรอ่ื งตรีโกณมติ ิ Hipparchus (กรีก) -140 ค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30° 45° 60° Ptolemy (กรีก) 200 Abu Ja'far Muhammad ibn แนวคดิ เร่ืองสมการกําลังสอง Musa al-Khwarizmi (แบกแดด) 830 John Napier (สกอ๊ ตแลนด์) ลอการิทมึ ธรรมชาติ (ฐาน e) หรอื ลอการทิ ึมเนเปียร์ Edmund Gunter (องั กฤษ) 1618 ชื่อฟังก์ชันไซน์ และสญั ลกั ษณ์ sin Thomas Harriot (อังกฤษ) 1624 หลกั การแยกตัวประกอบและแกส้ มการพหุนาม René Descartes (ฝรัง่ เศส) 1631 การเขียนกราฟ, คอู่ ันดบั , และผลคณู คารท์ ีเซียน Blaise Pascal (ฝรั่งเศส) 1637 ทฤษฎบี ททวนิ าม John Wallis (องั กฤษ) 1654 ใชส้ ญั ลักษณ์ ∞ แทนจํานวนทม่ี คี า่ มากจนไมส่ ิน้ สดุ Isaac Newton (อังกฤษ) 1655 และ Gottfried Leibniz (เยอรมัน) แคลคูลสั (อนุพนั ธ์และการอนิ ทิเกรต) Guillaume de L'Hôpital (ฝร่ังเศส) 1666 William Jones (องั กฤษ) กฎของโลปตี าลในการคาํ นวณลิมิต Leonhard Euler (สวสิ ) 1696 ใชส้ ัญลักษณ์ π แทนอตั ราส่วนเส้นรอบวงกลม Abraham de Miovre (ฝรัง่ เศส) 1706 สญั ลกั ษณ์ e, i (จาํ นวนจนิ ตภาพ), และ f(x) Leonhard Euler (สวิส) 1727 การกระจายแบบปกติ โคง้ รปู ระฆัง Gabriel Cramer (สวสิ ) 1733 แก้ปญั หาสะพานเคอนกิ สแ์ บร์ก Karl Friedrich Gauss (เยอรมนั ) 1736 กฎของคราเมอร์ (แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ ด้วย det) George Boole (องั กฤษ) 1750 หลกั การมีตวั ประกอบจํานวนเฉพาะชดุ เดียว John Venn (องั กฤษ) และ 1801 ตรรกศาสตร์แบบสญั ลักษณ์ Leonhard Euler (สวสิ ) 1847 Dénes König (ฮงั การี) แผนภาพของเซต John Wilder Tukey (อเมรกิ า) 186x Robert Nemiroff และ ทฤษฎกี ราฟ Jerry Bonnell (อเมริกา) 1936 แผนภาพลําต้น-ใบ และแผนภาพกลอ่ ง Yasumasa Kanada และ 1977 ค่าของ e จนถงึ ทศนิยมละเอียดทสี่ ดุ ทคี่ าํ นวณได้ Daisuke Takahashi (ญปี่ ุ่น) ความยาว 2 ลา้ นตําแหนง่ Curtis Cooper และ 1994 คา่ ของ π จนถึงทศนยิ มละเอียดทส่ี ุดที่คาํ นวณได้ Steven R. Boone (อเมรกิ า) ความยาว 2 แสนลา้ นตําแหน่ง 1999 จาํ นวนเฉพาะ ทมี่ ีคา่ สงู ท่ีสดุ ท่คี น้ พบ คือ 230402457 - 1 (มีอยู่ 9,152,052 หลกั ) 2005 หมายเหตุ นอกจากทเี่ ราเห็นชือ่ ผูค้ ดิ ค้นอยา่ งชัดเจน เชน่ ทฤษฎีบทปีทาโกรัส, กฎของโลปตี าล, กฎของคราเมอร,์ วิธีหา ห.ร.ม. ของยุคลดิ , แผนภาพเวนน์-ออยเลอร,์ สามเหลีย่ มปาสคาล ฯลฯ ยังมีอีกหลายชื่อทน่ี า่ สนใจครับ.. (1) คําว่า algebra (พชี คณติ ) และ algorithm (กระบวนการคิด) มาจากช่อื ของ al-Khwarizmi (2) คําวา่ cartesian มาจากชอ่ื ของ Descartes (3) สัญลักษณ์ e มาจากชอ่ื ย่อในลายเซน็ ของ Euler ซงึ่ เปน็ ผูป้ ระมาณคา่ ของ e และพสิ ูจนว์ ่าเปน็ จํานวนอตรรกยะ สว่ น Jones เลือกใช้อักษรกรกี π (pi) แทนอตั ราส่วน 3.14.. เพราะมีเสียงขน้ึ ตน้ เหมือน perimeter (เส้นรอบรปู ) และ Wallis เลอื กใชส้ ญั ลกั ษณ์ ∞ แทนค่ามากจนไม่สิน้ สดุ เพราะ ∞ เปน็ ตวั เลขในภาษากรกี แปลวา่ หนึ่งพัน (4) ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ บางครงั้ เรยี กตวั แปรค่าความจรงิ วา่ boolean มาจากช่อื ของ Boole (5) โคง้ ปกตริ ูประฆงั บางครงั้ เรียกว่า Gaussian distribution มาจากชื่อของ Gauss Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )