สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 151 กาํ หนดการเชิงเสน P = 2x+3y Z = 3x+2y 2 x + 3 y < 30 (2.4) 2 x + 3 y < 12 (2.3) y − x < 5 2x+y < 8 x+y > 5 x > 0, y > 0 x > 10, y > 0 Z = 20 x + 30 y Z = 40 x + 35 y (2.5) 4 x + 2 y > 100 (2.6) 3 x + 5 y > 62 2x + 4 y > 140 5 x + y > 30 x < 60, y < 40 x > 0, y > 0 Z = x−2y+4 Z = 8x+5y x+y < 4 3x+y > 6 (2.7) x + 2 y > −2 (2.8) x + 5 y > 8 x − y > −2 x+y > 4 x<3 x > 0, y > 0 (3) บรเิ วณที่แรเงาเปน็ กราฟของระบบอสมการใด (3.2) y (3.1) y 15 5 x+y=3 x-y=2 O4 Ox 8 x (3.3) y 450 400 O 600 1200 x (4) โรงงานล้นิ จ่ีกระปอ๋ งและสับปะรดกระปอ๋ งแหง่ หนง่ึ ขายลนิ้ จไี่ ดก้ ําไรกระป๋องละ 4 บาท สับปะรดกําไรกระปอ๋ งละ 7 บาท โดยกรรมวธิ ีการผลิตมี 2 ข้ันตอน คือ - ปอกและตม้ ในนาํ้ เชอ่ื ม (เครื่องจกั รทํางานได้ไม่เกินครัง้ ละ 30 ชวั่ โมง) - บรรจุกระป๋อง (เคร่ืองจกั รทํางานไดไ้ มเ่ กนิ ครั้งละ 20 ชัว่ โมง) ลิ้นจี่ 1 กระปอ๋ งตอ้ งผ่านขนั้ ตอนแรก 3 นาที ขนั้ ตอนหลัง 1 นาที สับปะรด 1 กระป๋องตอ้ งผ่านขั้นตอนแรก 4 นาที ขน้ั ตอนหลัง 3 นาที การผลิตแต่ละคร้ังควรผลิตอยา่ งละก่กี ระป๋อง จึงจะไดก้ ําไรมากที่สดุ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 152 กําหนดการเชงิ เสน (5) โรงงานผลติ จานและชามพลาสติก มรี ายละเอยี ดการใชเ้ ครื่องจักร และกาํ ไรทไ่ี ด้ ดงั แสดงใน ตาราง ใหห้ าวา่ ควรผลิตอย่างละก่ีใบใน 1 วัน จึงจะได้กาํ ไรสงู สดุ เครือ่ งจักร A จาน 1 ใบ ชาม 1 ใบ เคร่อื งจักรทํางานได้ เครือ่ งจักร B 2 นาที 1 นาที ไมเ่ กินวนั ละ 3 ช.ม. กาํ ไร 1 นาที 3 นาที ไม่เกินวนั ละ 5 ช.ม. 1.00 บาท 1.20 บาท (6) โรงงานผลิตสนิ ค้าสองชนดิ แตล่ ะวนั จะใช้เหล็ก 250 กก. สนิ ค้าชนดิ ท่ีหนง่ึ ใช้เหลก็ ชน้ิ ละ 10 กก. ชนิดทส่ี องใชเ้ หล็กช้นิ ละ 25 กก. และสาํ หรบั เวลาท่ใี ชผ้ ลิตแตล่ ะวนั มี 260 นาที ทัง้ สองชนิดใช้ เวลาช้นิ ละ 20 นาทีเท่ากัน สว่ นการทาสมี ีเวลารวมวนั ละ 100 นาที ชนดิ แรกใช้เวลาทาสีชิ้นละ 10 นาที ชนิดทส่ี องชิน้ ละ 4 นาที ถ้าสินค้าชนดิ แรกกําไรช้ินละ 30 บาท ชนดิ ท่ีสองกําไรช้นิ ละ 25 บาท ควรจะผลิตอยา่ งละกีช่ ิ้นใน 1 วนั จงึ ได้กําไรสูงท่ีสดุ (7) โรงงานผลิตสินคา้ ทาํ สินค้าออกมาสองชนดิ คือ x กับ y โดยสนิ คา้ แต่ละอย่างตอ้ งผ่าน กระบวนการ 3 ข้นั ตอน ดังตาราง หากกําไรตอ่ ชิ้นของสินคา้ x เปน็ 5,000 บาท สินค้า y เป็น 3,500 บาท ควรจะผลิตอย่างละกชี่ ิ้นใน 1 วนั ข้นั ตอนท่ี 1 สินค้า x 1 ชิ้น สินค้า y 1 ช้ิน เคร่อื งจักรทํางานได้ ขั้นตอนที่ 2 3 ช.ม. 2 ช.ม. 24 ช.ม. ต่อวนั ขน้ั ตอนที่ 3 1 ช.ม. 2 ช.ม. 16 ช.ม. ตอ่ วัน 1 ช.ม. 1 ช.ม. 9 ช.ม. ตอ่ วัน (8) บรษิ ัทผลิตวทิ ยแุ ห่งหนึ่งผลิตวิทยุออกมา 2 ร่นุ คือรุ่น A กบั รุ่น B โดยท่ีรนุ่ A มกี าํ ไรเคร่ืองละ 250 บาท รุ่น B 300 บาท แต่ละวนั ตง้ั ใจจะผลติ รุน่ A ไมน่ ้อยกวา่ 80 เคร่ือง ร่นุ B ไม่นอ้ ยกว่า 100 เครื่อง แต่ผลติ ไดร้ วมกนั ไม่เกนิ วันละ 200 เคร่ือง ควรจะผลติ อย่างไรจงึ จะไดก้ ําไรสูงสุด และ กาํ ไรสูงสดุ น้ันเป็นเทา่ ใด (9) โรงงานเฟอรน์ ิเจอร์ทาํ ต้แู ละเตยี งซึ่งจะใชแ้ รงงานชา่ งไมก้ บั ชา่ งทาสี โดยตู้ 1 ใบชา่ งไม้ใช้เวลาทาํ 15 ช่ัวโมง ชา่ งทาสีอีก 12 ชวั่ โมง และเตยี ง 1 หลงั ช่างไมใ้ ชเ้ วลาทาํ 5 ชวั่ โมง ชา่ งทาสี 4 ชว่ั โมง ถา้ แตล่ ะวันช่างไมท้ กุ คนชว่ ยกนั ทาํ งานได้เวลารวมกันอยา่ งมาก 60 ชั่วโมง ช่างทาสีรวมกัน 40 ชวั่ โมง ส่วนกาํ ไรนั้นต้ใู บละ 500 บาท เตียงหลังละ 400 บาท ควรจะผลติ ตแู้ ละเตยี งอย่างละเท่าใด ตอ่ วนั (10) ผจู้ ดั การบรษิ ัทตอ้ งการซือ้ ต้เู กบ็ เอกสารใหมจ่ าํ นวนหนึง่ เขาสอบถามได้ข้อมลู ว่าตูย้ ่หี ้อ A ราคา ตลู้ ะ 400 บาท ใชพ้ น้ื ที่วาง 6 ตารางฟตุ จเุ อกสารได้ 8 ลูกบาศก์ฟตุ สว่ นตู้ย่ีห้อ B ราคาต้ลู ะ 800 บาท ใชพ้ ้ืนท่วี าง 8 ตารางฟตุ จุเอกสารได้ 12 ลูกบาศก์ฟุต หากเขามงี บไมเ่ กิน 5,600 บาท และมี พ้ืนทไ่ี ม่เกิน 72 ตารางฟตุ เขาควรจะซื้ออยา่ งละก่ตี ู้เพ่อื ให้เก็บเอกสารได้มากทสี่ ดุ และถามว่าเกบ็ เอกสารได้เทา่ ใด (11) ต้องการจ้างคนงานสองคนมาทําความสะอาดตู้ 5 ตู้ โตะ๊ 12 ตัว และหิ้งหนังสอื 18 ห้งิ โดย คนงานคนท่ีหนงึ่ สามารถทําความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตวั และห้ิงหนังสือ 3 หิ้งตอ่ ชวั่ โมง คนท่ี สองทําความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตวั และห้งิ หนงั สอื 6 หง้ิ ตอ่ ชัว่ โมง ค่าแรงคนทหี่ นงึ่ 25 บาทตอ่ ช่ัวโมง ค่าแรงคนทีส่ อง 22 บาทต่อช่ัวโมง ควรจะจา้ งคนงานทัง้ สองทาํ งานคนละกชี่ ่ัวโมงเพ่ือเสีย คา่ แรงนอ้ ยที่สุด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 153 กําหนดการเชิงเสน (12) ปุ๋ยเคมีสองชนิดมสี ่วนผสมดงั ตาราง หากต้องการปยุ๋ ทม่ี ฟี อสฟอรัสไม่ตํ่ากวา่ 9 หน่วย ไนโตรเจนไม่ต่ํากว่า 8 หนว่ ย และโพแทสเซยี มไมเ่ กิน 7 หน่วย จะเสียค่าใชจ้ ่ายในการซอื้ ปยุ๋ น้อย ท่สี ดุ เทา่ ใด ชนดิ ที่ 1 ฟอสฟอรัส ไนโตรเจน โพแทสเซยี ม ราคาต่อถุง ชนิดที่ 2 3 หน่วย 1 หน่วย 1 หน่วย 50 บาท 1 หนว่ ย 2 หนว่ ย 1 หน่วย 40 บาท (13) บรษิ ัทแห่งหน่งึ มีเหมอื งอยู่ 2 แหง่ ในแต่ละวนั เหมอื งแรกผลิตแร่เกรด A ได้ 1 ตัน เกรด B 3 ตัน และเกรด C 5 ตัน ส่วนเหมอื งทสี่ องผลิตแรท่ ัง้ สามเกรดได้เกรดละ 2 ตนั เทา่ กัน หากบรษิ ทั ต้องการผลิตแร่สง่ ลกู คา้ โดยเป็นแร่เกรด A 80 ตนั เกรด B 150 ตัน และเกรด C 200 ตัน ใหห้ า ว่าบริษทั ควรจะเปดิ เหมืองเพอื่ ผลิตแร่แหง่ ละก่ีวนั จงึ จะเสยี ค่าใชจ้ ่ายนอ้ ยที่สดุ (ค่าใช้จ่ายในการขดุ แร่ แต่ละเหมืองเป็น 6,000 บาทต่อวัน เท่ากัน) * (14) อาหารปลาชนิดแรกราคาถงุ ละ 6 บาท มีอัตราสว่ นระหวา่ งโปรตนี ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต เท่ากบั 1 : 2 : 2 ในขณะท่อี าหารปลาชนิดท่ีสองราคาถงุ ละ 4 บาท มอี ัตราส่วนเปน็ 1 : 1 : 5 ให้ หาอัตราส่วนระหว่างอาหารชนิดที่หน่ึงกบั ชนิดทีส่ องท่ผี ู้เลยี้ งปลาควรจะซื้อ ถ้าอตั ราส่วนระหวา่ ง โปรตีน ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต ทจี่ ําเป็นต้องใช้ ไมต่ ่ํากวา่ 3 : 4 : 10 เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1.1) (0,0), (0,4), (2,0), (14/5,6/5) (4) ลิ้นจ่ี 120 กระปอ๋ ง, สบั ปะรด 360 กระป๋อง (1.2) (0,0), (0,4), (2,0), (8/3,4/3) (5) จาน 48 ใบ, ชาม 84 ใบ (1.3) (0,2), (0,3), (4,0), (6,0) (6) ชนิดทหี่ น่ึง 8 ชน้ิ , ชนิดทส่ี อง 5 ชนิ้ (1.4) (2,1), (4,2), (2,-10/3), (4,-20/3) (7) สนิ คา้ x 6 ชนิ้ , สินคา้ y 3 ชิ้น (1.5) (0,0), (0,4), (1,0), (1,3), (7/4,3/4) (8) รนุ่ A 80 เครื่อง, รุน่ B 120 เครอ่ื ง, (2.1) 410 (2.2) 8 (2.3) 30 กาํ ไร 56,000 บาท (2.4) 13, 0 (2.5) 2400, 1100 (9) ผลติ เตยี ง 10 หลงั โดยไม่ผลติ ตเู้ ลย (2.6) หาคา่ ไม่ได,้ 434 (2.7) 12, -1 (10) ยหี่ อ้ A 8 ต,ู้ ยหี่ ้อ B 3 ต,ู้ เกบ็ ได้ 100 ลบ.ฟุต (2.8) หาคา่ ไมไ่ ด้, 23 (11) คนแรก 2 ช.ม., คนทีส่ อง 3 ช.ม. (3.1) x − y < 2 , x + y < 3 , x > 0 , y > 0 (12) 220 บาท (ชนิดท่ี 1 สองถงุ ชนดิ ท่ี 2 สามถงุ ) (13) เหมืองแรก 36 วนั เหมอื งท่ีสอง 22 วนั (3.2) 5x + 8y < 40 , 15x + 4y < 60 , หรอื เหมอื งแรก 34 วนั เหมอื งทสี่ อง 24 วนั กไ็ ด้ x>0, y>0 (14) 5 : 14 (3.3) 3x + 4y < 1800 , x + 3y < 1200 , x>0, y>0 เฉลยแบบฝกึ หัด (วธิ ีคดิ ) (1.1) y (1.2) y 4 3x-2y=6 4 2x-y=4 (14/5,6/5) (8/3,4/3) O 2 4 x O 2 4 x x+y=4 x+y=4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 154 กําหนดการเชิงเสน (1.3) y (2.4) y Zmax = 13 ทจี่ ุด (3, 2) Zmin = 0 ทจ่ี ดุ (0, 0) 3 4 (3,2) 2 2x+4y=12 O4 x O4 6x (2.5) y Zmax = 2,400 ท่จี ดุ (60, 40) Zmin = 1,100 ทีจ่ ดุ (10, 30) x+2y=4 (5,40) (60,40) (1.4) y x=2 x=4 x-2y=0 (2,1) (4,2) Ox (2,-10/3) (4,-20/3) (10,30) (60,5) x O4 5x+3y=0 Zmax หาคา่ ไมไ่ ด้ (2.6) y (1.5) y ทจี่ ดุ (0, 62) (0,62/5) 5 Zmin = 434 6 x-y=1 (4,10) 4 (1,3) O (7/4,3/4) (30,0) x O 1 2 4 x+y=4x (2.7) y 3x+y=6 (-2,0) (2.1) y O Zmax = 12 ทจ่ี ดุ (3, −2.5) Pmax เกดิ ที่ (70, 20) (1,3) Zmin = −1 ทจ่ี ดุ (1, 3) 90 (2.8) y Pmax = 5(70) + 3(20) 60 (50,40) (3,1) = 410 (0,6) x (70,20) (1,3) x 4 (3,-2.5) O 70 90 150 Zmax หาค่าไมไ่ ด้ (2.2) y Zmin = 23 ท่ีจดุ (1, 3) Cmin เกิดท่ี (4, 0) (2.5,5) O (3,1) (8,0) x Cmin = 2(4) + 3(0) 5 =8 x 4 (2.3) (3.1) x + y < 3 , x − y < 2 , O 45 x > 0, y > 0 y (3.2) ต้องสรา้ งสมการเสน้ ตรงดว้ ย intercept form Pmax เกดิ ที่ (10, 10) ( x + y = 1 ) ก่อน.. ไดเ้ ป็น 3 ab Pmax = 2(10) + 3(10) 10 x + y = 1 → 15x + 4y < 60 , 3 4 15 = 30 5 (10,10/3) x + y = 1 → 5x + 8y < 40 O 5 10 15 x 85 x > 0, y > 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 155 กาํ หนดการเชิงเสน (3.3) เช่นเดยี วกับขอ้ 3.2 (7) P = 5, 000x + 3, 500y x + y = 1 → 3x + 4y < 1,800 , 3x + 2y < 24 y 600 450 x + 2y < 16 x + y = 1 → x + 3y < 1,200 , x+y<9 1,200 400 x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 8 (2,7) (6,3) (4) P = 4x + 7y 3x + 4y < 1, 800 (นาท)ี O8 x x + 3y < 1, 200 (นาท)ี Pmax = 40,500 ที่จดุ (6, 3) x > 0, y > 0 ตอบ สินคา้ x 6 ชิ้น สินคา้ y 3 ชิ้น y (8) P = 250x + 300y 400 (120,360) x > 80 , y > 100 y x + y < 200 O 600 x (80,120) Pmax = 3,000 ทจี่ ดุ (120, 360) (80,100) (100,100) O x ตอบ ลน้ิ จี่ 120 กระป๋อง สบั ปะรด 360 กระปอ๋ ง (5) P = x + 1.2y 2x + y < 180 (นาท)ี Pmax = 56,000 ท่ีจดุ (80, 120) x + 3y < 300 (นาท)ี ตอบ รนุ่ A 80 เครอ่ื ง รุ่น B 120 เคร่อื ง x > 0, y > 0 y และกําไร 56,000 บาท (9) P = 500x + 400y 100 (48,84) 15x + 5y < 60 12x + 4y < 40 y x > 0, y > 0 O 90 x Pmax = 148.80 ทีจ่ ดุ (48, 84) 10 ตอบ จาน 48 ใบ ชาม 84 ใบ O 40/12 x (6) P = 30x + 25y 10x + 25y < 250 Pmax = 4,000 ท่จี ดุ (0, 10) 20x + 20y < 260 y ตอบ ผลติ เตียง 10 หลัง โดยไม่ผลติ ตู้ 10x + 4y < 100 (10) P = 8x + 12y x > 0, y > 0 400x + 800y < 5, 600 10 (5,8) 6x + 8y < 72 y (8,5) x > 0, y > 0 O 10 x x 7 (8,3) Pmax = 365 ที่จดุ (8, 5) ตอบ ชนดิ ทีห่ นึง่ 8 ชิน้ ชนดิ ทสี่ อง 5 ช้นิ O 12 Pmax = 100 ทีจ่ ดุ (8, 3) ตอบ ยห่ี อ้ A 8 ตู้ ยห่ี อ้ B 3 ตู้ และจุได้ 100 ลบ.ฟตุ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 156 กาํ หนดการเชิงเสน (11) C = 25x + 22y (13) C = 6, 000x + 6, 000y x+y>5 x + 2y > 80 3x + 2y > 12 y 3x + 2y > 150 3x + 6y > 18 5x + 2y > 200 x > 0 , y > 0 (0,6) x > 0 , y > 0 และ x, y ∈ I y (2,3) O (4,1) (6,0) x (0,100) Cmin = 116 ทจ่ี ดุ (2, 3) (25,37.5) (35,22.5) ตอบ คนทห่ี นึง่ 2 ช.ม. คนทส่ี อง 3 ช.ม. (80,0) x O (12) C = 50x + 40y 3x + y > 9 y Cmin = 345,000 ทจี่ ดุ (35, 22.5) x + 2y > 8 แต่ y ไม่เป็นจํานวนเตม็ จึงต้องเลอื กจุดขา้ งเคยี งแทน x+y<7 ก. ลด y สมมติ y = 22 จะได้ x = 36 x > 0, y > 0 (1,6) (หาคา่ x จาก x + 2y = 80 ) → C = 348,000 (2,3) (6,1) ข. เพิ่ม y สมมติ y = 23 จะได้ x = 34.67 O x ใช้ไมไ่ ด้! เปล่ยี นเปน็ y = 24 จะได้ x = 34 Cmin = 220 ทจ่ี ดุ (2, 3) (หาคา่ x จาก 3x + 2y = 150 ) → C = 348,000 ตอบ 220 บาท (14) C = 6x + 4y ปรากฏว่า C เทา่ กนั จงึ เลอื กตอบจดุ ใดก็ได้ x+y> 3 ตอบ (36 วัน, 22 วนั ) หรอื (34 วนั , 24 วนั ) 5 7 17 2x + y > 4 [หมายเหตุ ถา้ คา่ C ไม่เท่ากนั กใ็ ห้เลอื กตอบจดุ ทค่ี า่ 5 7 17 2x + 5y > 10 C น้อยกวา่ ] 5 7 17 x > 0, y > 0 y (0,28/17) (5/17,14/17) (25/17,0) x (25/51,28/51) O Cmin = 86 ท่จี ดุ ( 5 , 14) 17 17 ตอบ 5 : 14 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 157 ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ π =rˆig+ θn º··Õè 7 ¿˜§¡ª¹a µÃoÕ ¡³Áiµi ตรีโกณมติ ิ (Trigonometry) เปน็ วชิ าท่ี เกีย่ วกบั การวดั ส่วนประกอบของรูปสามเหลยี่ ม เช่น ความยาวดา้ น, ขนาดของมมุ , และขนาดพ้ืนท่ี โดยมี ฟังก์ชนั ทเี่ ก่ยี วข้องอยู่ 6 ฟังก์ชัน เรยี กวา่ ฟงั กช์ ัน ตรีโกณมิติ (Trigonometric Function) ได้แก่ ฟงั กช์ นั ไซน์ (Sine; sin) โคไซน์ (Cosine; cos) แทนเจนต์ (Tangent; tan) โคแทนเจนต์ (Cotangent; cot) ซีแคนต์ (Secant; sec) และโคซี แคนต์ (Cosecant; cosec หรอื csc) แตล่ ะฟงั ก์ชันมโี ดเมนเป็นขนาดของมมุ θ และค่าเรนจท์ ี่ได้ออกมานนั้ เปน็ จาํ นวนจรงิ ซ่งึ จะ พบวา่ หาก 0° < θ < 90° แล้ว คา่ ฟังก์ชันทไี่ ดค้ ือ “อตั ราส่วนระหว่าง 2 ด้านในรูปสามเหล่ียมมุม ฉาก ทม่ี ุมหนง่ึ มขี นาดเท่ากบั θ” sin θ = a cosec θ = 1 = c ca c sin θ a θ cos θ = b sec θ = 1 = c c cos θ b b tan θ = sin θ = a cot θ = 1 = cos θ = b cos θ b tan θ sin θ a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 158 ฟง กช นั ตรีโกณมติ ิ ค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ทิ ่ีควรทราบ θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ 0 1/2 1/ 2 3/2 1 1/ 2 1/2 0 cos θ 1 3/2 1 3 หาค่าไม่ได้ tan θ 0 1/ 3 เอกลักษณข์ องตรโี กณมติ ิ ทส่ี ําคญั ได้แก่ 1. sin2θ + cos2θ = 1 เป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งค่า sin และ cos ของมุมใดๆ ซง่ึ ไดม้ าจากทฤษฎีบทปีทาโกรสั ในรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ( a2+ b2= c2 ..นาํ c2 หารทง้ั สองขา้ ง) นอกจากนี้ เม่อื นาํ sin2θ หารทั้งสองข้างของสมการอีก จะได้ 1 + cot2θ = cosec2θ หรอื ถ้านํา cos2θ หารทั้งสองข้างของสมการ กจ็ ะได้ tan2θ + 1 = sec2θ 2. sin θ = cos (90°−θ) เป็นความสัมพนั ธ์แบบ โค-ฟังก์ชัน (Co-function) ซ่งึ สังเกตได้ จากความสัมพันธใ์ นรปู สามเหลยี่ มมุมฉากเช่นกัน กลา่ ววา่ “ถ้ามุมสองมุมรวมกันได้ 90° แล้ว คา่ sin ของมมุ หนึ่งจะเท่ากบั ค่า cos ของอกี มุม” และนอกจากน้ียงั มีอีกสองคู่ คอื tan θ = cot (90°−θ) และ sec θ = cosec (90°−θ) 7.1 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ใิ นวงกลมหนง่ึ หน่วย จากความสมั พันธท์ ่วี า่ sin2θ + cos2θ = 1 เสมอ (ทกุ ๆ ค่า θ ) ถ้าให้ sin θ , cos θ เป็นแกน x, y แล้ว จะไดก้ ราฟเปน็ รูปวงกลมรัศมี 1 หนว่ ย โดยมีข้อตกลงที่ใช้เปน็ มาตรฐาน คือให้ “แกน x เปน็ cos θ และแกน y เป็น sin θ ” กาํ หนดแบบนี้กเ็ พื่อให้ θ เปน็ มุมทท่ี าํ กบั แกน x โดยเร่ิมวดั เปน็ 0° ในแนว +x และเพิ่มขึน้ ในทศิ ทวนเข็มนาฬกิ า เรยี งไปตามลาํ ดับควอดรนั ต์ (คือเป็น 90° ในทศิ +y, เปน็ 180° ในทิศ –x, ...) พอดี y sin 45° = 1/ 2 90° (0,1) ( 1 , 3) cos 60° = 1/2 sin 90° = 1 120° 60° 2 (2 cos 90° = 0 (− 1, 3 ) 3/2 45° 1 , 1 ) sin 120° = 3 /2 22 2/2 22 1/2 30° ( 3 , 1 ) 22 cos 120° = −1/2 180° O θ 0° (1,0)x sin 180° = 0 1 23 cos 180° = −1 (-1,0) sin 225° = −1/ 2 22 2 cos 225° = −1/ 2 225° 300° ( 1 , − 3 ) sin 300° = − 3 /2 270° (0,-1) 2 2 cos 300° = 1/2 (− 1 ,− 1 ) 22 หมายเหตุ 1° (องศา; degree) แบง่ เปน็ 60 ' (ลิปดา; minute) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 159 ฟงกช ันตรีโกณมติ ิ ประโยชนข์ อง วงกลมหนง่ึ หน่วย (Unit Circle) คือ เราสามารถหาค่าฟงั กช์ นั ของมุม θ ตา่ งๆ ไดง้ า่ ยข้ึน, สามารถขยายฟงั ก์ชนั ใหใ้ ชก้ ับ θ ใดๆ กไ็ ด้ ไม่วา่ จะเกนิ 90° หรอื จะเป็นคา่ ตดิ ลบ ก็ตาม (วัดตามเขม็ นาฬกิ า), และช่วยใหเ้ ห็นแนวโนม้ ของคา่ ฟงั ก์ชนั เม่ือ θ อยู่ในควอดรันตต์ ่างๆ ข้อสังเกต จากกราฟวงกลมนที้ าํ ให้เราได้ทราบว่า 1. sin θ , cos θ มีคา่ ได้ตงั้ แต่ –1 ถงึ 1 เท่านั้น 2. sin (−θ) = − sin θ ... เพราะ θ, −θ จะอยเู่ หนือแกนและใต้แกนตรงขา้ มกนั เสมอ และ cos (−θ) = cos θ ... เพราะ θ, −θ จะอยู่ซ้ายหรือขวาเทา่ ๆ กนั เสมอ ดังนั้น tan (−θ) = − tan θ ... ไดจ้ ากการนาํ sin (−θ) หารดว้ ย cos (−θ) แบบฝกึ หัด 7.1 (1) ให้หาค่าของ (1.1) sin x + sin 2x + sin 4x เมอ่ื x = 60° (1.2) cos 4x − cos 3x + cos x เม่อื x = 120° (2) จงหา sin θ + cos θ หากกําหนดเงื่อนไข θ ดงั แตล่ ะขอ้ (2.1) ปลายส่วนโคง้ θ อยบู่ นเส้นตรงซึ่งเชือ่ มจุด (0, 0) กบั (3, 4) (2.2) ปลายส่วนโค้ง θ อยู่บนเสน้ ตรง y = 2x−1 (3) ใหห้ าคา่ ของ (3.1) cos2 35° + sec2 70° − cosec247° + sin235° − tan270° + cot247° (3.2) 2 sec2 x + cot 2 x + cot 2 x sin2 x + sin2 x − cosec2 x + 2 ta n2 x (4) จงเขียนให้อยใู่ นรปู อย่างงา่ ย (4.1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 sin2θ cos 2θ sec 2θ cosec 2θ (4.2) 2 (sin6 x + cos6 x) − 3 (sin4 x + cos 4 x) + 1 [Hint: กระจาย (sin2x + cos2x)3 และ (sin2x + cos2x)2 กอ่ น] (5) ถ้า sin θ − cos θ = a แลว้ sin θ cos θ มีคา่ เทา่ ใด (6) ถ้า (sin θ − cos θ)2 = a2 แล้ว cosec θ − sec θ มีค่าเทา่ ใด (7) ถา้ ABC เปน็ สามเหลย่ี มมุมฉากซึ่งมี A เป็นมุมฉาก และ tan B = 3/4 แลว้ ใหห้ าค่าของ sec C cot B cosec A (8) กาํ หนดสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC มีมุม B เป็นมมุ ฉาก หากลาก BD A ต้งั ฉากกบั AC ท่ีจดุ D แล้วพบว่า AB = 10 , BD = 8 จงหาคา่ sin, cos ของมมุ A และขนาดของ BC , CD (9) จากภาพ หาก BC = 10 และพนื้ ท่ีสามเหลี่ยม ABC 120° เป็น 10 3 ตารางหนว่ ย ใหห้ าขนาดพน้ื ท่ีสามเหลย่ี ม ACD C DB E Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 160 ฟง กชันตรีโกณมิติ (10) ถา้ sin θ = 0.7310 และ 0 < θ < 90° ให้หาค่า θ นน้ั (ตารางระบคุ า่ cos 43° = 0.7314 และ cos 43° 10' = 0.7294 ) 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม นอกจากการวัดมุมในระบบ องศา (Degree; ° ) แลว้ ยังมอี ีกระบบหนึง่ ซ่งึ วัดจากความยาว สว่ นโค้ง (เส้นรอบวง) ของวงกลมหน่งึ หน่วย เรยี กวา่ เรเดยี น (Radian; rad) น่นั คือ 360° คิดเปน็ 2π เรเดยี น (ความยาวเส้นรอบวง) 180° คดิ เปน็ π เรเดียน 90° คิดเป็น π/2 เรเดยี น 60° คิดเป็น π/3 เรเดียน 45° คดิ เปน็ π/4 เรเดยี น 30° คิดเปน็ π/6 เรเดยี น การแปลงหนว่ ยระหว่างองศา กบั เรเดยี น S ¨u´·¼èÕ ´i º‹oÂ! S ใช้วิธเี ทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ์ ตามปกติ ¶§Ö æÁÁŒ Áu π eÃe´Õ¹ ¨ae·Õºe·‹Ò¡aº 180° 测Çҋ π ≠ 180 ¹a¤Ãºa ... y ˹Nj ÂeÃe´Õ¹¹Õé¤×o¤Ò‹ ¨Òí ¹Ç¹¨Ã§i (æ»ÅÇ‹Ò π §a ¤§Áդҋ 3.14.. eª‹¹e´iÁ) π/2 π/3 2π/3 π/4 a 3π/4 π/6 5π/6 π 0x θ 7π/6 11π/6 r 5π/4 7π/4 4π/3 5π/3 ความสัมพันธร์ ะหวา่ งมมุ θ (หนว่ ยเรเดยี น) 3π/2 กับความยาวสว่ นโค้ง a ในวงกลมรัศมี r ใดๆ คือ θ = a / r หมายเหตุ การวัดมุมเปน็ เรเดียน มักละหนว่ ยไว้ ไม่ตอ้ งเขยี นกาํ กับว่า rad กไ็ ด้ หากไมม่ สี ัญลักษณอ์ งศากาํ กับ แสดงว่าเปน็ มุมเรเดยี น เช่น sin 30 นั้นจะไม่เทา่ กับ 1/2 การลดรูปขนาดมมุ หากขนาดของมุมท่ีจะหาคา่ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตนิ ้นั มี nπ หรือ nπ/2 ไปบวกลบอยู่ เช่น sin(2π−θ) , cos(π+θ), sin(π/2−θ), ฯลฯ เราสามารถกาํ จดั คา่ คงทเ่ี หลา่ น้ที งิ้ ได้ ให้เหลือเพยี งมมุ θ เชน่ sin(θ±2π) = sin θ y cos (θ±2π) = cos θ θ+π/2 sin(θ±π) = − sin θ cos (θ±π) = − cos θ θ sin(θ±π/2) = ± cos θ x cos (θ±π/2) = ∓ sin θ ความสัมพันธ์เหล่าน้ี พจิ ารณาไดจ้ ากวงกลม θ+π หนง่ึ หนว่ ย θ-π θ-π/2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 161 ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ ขอ้ สังเกตคอื เม่ือตดั มมุ nπ ออก ฟังกช์ ันยงั คงเป็นชอ่ื เดิมไม่เปล่ยี น แตถ่ า้ ตัดมุม nπ/2 ออก ฟังก์ชันจะเปลย่ี นชอ่ื เป็นโคฟังก์ชนั เสมอ (แต่นอกจากนย้ี งั ต้องดเู ครือ่ งหมายบวกลบดว้ ย วา่ เปล่ียนหรือไม่) แบบฝกึ หัด 7.2 (11) วงกลมวงหน่งึ มีรศั มี 24 ซม. ให้หาความยาวสว่ นโค้งทรี่ องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางขนาด (11.1) 2/3 เรเดียน (11.2) 130° (12) มุมที่จุดศูนย์กลางวงกลมทร่ี ัศมยี าว 4 ซม. และส่วนโคง้ รองรับมุมน้ยี าว 8 ซม. จะมีขนาดเปน็ ก่เี รเดยี น (13) ใหห้ ารศั มีวงกลมซง่ึ มุมท่ีจุดศูนย์กลางมีขนาด 5 เรเดยี น และสว่ นโค้งท่ีรองรบั มุมนี้ ยาว 20 นิว้ (14) สามเหล่ียมหน้าจั่วมีมุมยอด 22.5° บรรจุอยู่ในวงกลม โดยจุดยอดอยู่ที่จดุ ศูนย์กลางของ วงกลม ถ้าส่วนโคง้ ของวงกลมทีถ่ ูกแบง่ ดว้ ยฐานของสามเหลี่ยม ยาว 4 ซม. ใหห้ าความยาวรศั มขี อง วงกลมนี้ (15) ให้หาค่าของ sin 2π − cos 4π − tan 5π cos3π + tan 33π + sin 7π3 346 (16) ถา้ f (θ) = cos ⎛⎝⎜ π− θ ⎠⎞⎟ แลว้ ค่าของ f (2π) − f (0) เปน็ เท่าใด 3 (17) ตอบคาํ ถามต่อไปน้ี (17.1) เม่อื 0 < θ < π/2 คา่ ของ θ กับ sin θ ค่าใดมากกว่ากัน (17.2) ถา้ θ มากข้นึ จาก π/2 ไปสู่ π แลว้ คา่ cosec θ เปน็ อย่างไร (18) ประโยคใดจริงหรือเทจ็ บ้าง (18.4) sin(−π/6) < 0 (18.1) sin 1° > sin 1 (18.5) sin(−11π/6) < 0 (18.6) tan(π/7) = tan(6π/7) (18.2) tan 1 < tan 2 (18.3) sin(1−π) = sin 1 (19) ใหห้ าค่าของ (19.1) sin(2π−θ) tan(π−θ) cot (3π−θ) cot (2π+θ) tan(π+θ) (19.2) [sin θ + sin(π − θ)]2 + [cos θ − cos (π − θ)]2 22 (20) ให้หาคา่ ของ cos 300° + sin 450° + tan 495° (21) ให้หาค่าของ sin2(−253°) + cos2(287°) − sin2(323°) 1 − sin2(217°) cos 2(37°) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 162 ฟง กช ันตรีโกณมติ ิ (22) ตอบคําถามต่อไปน้ี เมือ่ 0 < x < 2π (22.1) คา่ มากท่สี ุดของ 2 − cos 2x เปน็ เท่าใด เมอ่ื x เป็นเทา่ ใด (22.2) คา่ ต่ําสดุ ของกราฟ y = 3 sin (2x−π/2) เป็นเทา่ ใด เมอื่ x เป็นเท่าใด (23) [Ent’ต.ค.42] จงหาเซต {cos A | 0 < A < 4π/3 และ 5 − 3 sin 3A มีค่ามากท่ีสุด } 7.3 สมการตรีโกณมติ ิ หลักในการแกส้ มการที่เป็นฟังกช์ ันตรโี กณมิติ เช่น 4 sin2x + 11cos x − 1 = 0 หรือ 2ta n2θ − sec θ = 1 โดยรวมเป็นดังนี้ ขนั้ แรก ถา้ ในสมการ มีฟังกช์ นั อ่ืนๆ ท่ีไมใ่ ช่ sin กับ cos ให้แปลงเป็น sin กับ cos ก่อน ขัน้ ทสี่ อง เมอื่ ไดส้ มการท่ีมีเพียง sin กับ cos แล้ว - หากเหลือแค่ sin หรือ cos อย่างใดอยา่ งหนึง่ สามารถแยกตัวประกอบตอ่ ได้ทนั ที - แต่ถ้าเหลือทง้ั sin และ cos ปนกัน ... ใหใ้ ช้เอกลักษณ์ sin2θ + cos2θ = 1 มาเปน็ สมการช่วย มองเป็นระบบ 2 สมการ 2 ตวั แปร (คอื ตวั แปร sin กับ cos) จึงจะหาคาํ ตอบต่อได้ และต้องตรวจ คําตอบเสมอ เพราะมีการยกกําลังสองเกิดข้ึนอาจทาํ ใหไ้ ดค้ ําตอบเกนิ • ตัวอยา ง ใหห าเซตคําตอบของสมการ tan θ sin θ + tan θ = 0 ในชว ง 0 < θ < 2π วิธีคิด แปลงเปน sin กับ cos ไดด ังนี้ ... sin θ ⋅ sin θ + sin θ = 0 cos θ cos θ นํา cos θ คูณทงั้ สองขา งของสมการ ไดเ ปน sin2θ + sin θ = 0 แยกตัวประกอบ ... (sin θ)(sin θ + 1) = 0 ... จะได sin θ = 0, − 1 แตเ นื่องจากในโจทยม ีฟง กชัน tan (คือมี cos เปนตวั สว น) ดงั น้ัน sin θ = −1 ไมไ ด เพราะจะทําให cos θ = 0 ... สรุปวา sin θ = 0 เทา นนั้ และไดเซตคาํ ตอบเปน {0, π, 2π} หมายเหตุ ในขนั้ ตอนการแยกตวั ประกอบ อาจสมมติให sin θ = A เพือ่ ชวยใหม องงา ยขนึ้ • ตวั อยา ง กาํ หนดให 2 cosec x − 2 sin x = 2 cot x จะได cos x มีคาเทาใด วธิ ีคดิ แปลงเปน sin กบั cos ไดด งั นี้ ... 2 − 2 sin x = 2 cos x sin x sin x นํา sin x คูณทัง้ สองขา งของสมการ ไดเ ปน 2 − 2 sin2x = 2 cos x ________ (1) เนื่องจากมีทงั้ sin และ cos เราจงึ อาศัยเอกลกั ษณ sin2θ + cos2θ = 1 ______ (2) โดยแทนคา sin2θ = 1 − cos2θ ลงไปในสมการแรก กลายเปน 2 − 2(1 − cos2x) = 2 cos x → 2 cos2x − 2 cos x = 0 แยกตัวประกอบ ... ( 2 cos x) ( 2 cos x − 1) = 0 ... นน่ั คือ cos x = 0, 1/ 2 หมายเหตุ เนื่องจากในโจทยม ีตวั สว นเปน sin x แตในคําตอบไมม ีคา ใดที่ทาํ ให sin x = 0 ดังนัน้ จงึ ตรวจสอบคําตอบ (เนื่องจากมีการยกกําลงั สองเอง) พบวา ใชไดท้งั สองคําตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 163 ฟงกช นั ตรีโกณมิติ S ¡ÒÃæ¡ÊŒ Á¡ÒõÃoÕ ¡³Áµi Ái Õ¢Œo¤ÇÃÃaǧa ´a§¹éÕ 1. ¡Ò÷ÃÒº¤‹Ò¿˜§¡ªa¹¤Ò‹ ˹§Öè eª‹¹ ·ÃÒºÇ‹Ò sin θ = 1/2 ¨a§a äÁ‹ÊÒÁÒöÊÃu»ä´·Œ ¹a ·ÕÇҋ θ o‹µÙ Òí æ˹‹§ã´ e¾ÃÒa¨aÁÕ Êo§¤íÒµoºoÂã‹Ù ¹¤¹Åa¤Ço´Ãa¹µeÊÁo (eª¹‹ 㹡óչéÕ θ oÒ¨e»š¹µíÒæ˹§‹ 30° ËÃ×o 150° ) ´§a ¹¹aé eÃÒµoŒ §·ÃÒº e¾ièÁeµÁi ´ŒÇÂÇҋ ¤‹Ò θ ¹éoÕ Âã‹Ù ¹¤Ço´Ã¹a µã ´ o´Â»¡µieÃÒÊÒÁÒö·ÃÒº¤Ço´Ã¹a µä´¨Œ Ò¡e¤Ã×èo§ËÁÒ¢o§¤Ò‹ ¿§˜ ¡ª a¹o¹è× eª‹¹¶ŒÒ·ÃÒºe¾Áèi Çҋ cos θ > 0 ¡ç æÊ´§Ç‹Òe»¹š ¤Ço´Ãa¹µ 1 ¤×o 30° 浶‹ ŒÒ·ÃÒºÇ‹Ò cos θ < 0 ¡µç Œo§e»¹š ¤Ço´Ã¹a µ 2 ¤×o 150° æ¼¹ÀÒ¾µo‹ 仹eéÕ »š¹¡ÒÃÊÃu»e¤Ãoè× §ËÁÒ e¾èo× ¤ÇÒÁÊa´Ç¡ã¹¡ÒÃËÒ¤íÒµoº sin + ALL + Q1 e»¹š ºÇ¡·§éa 6 ¤Ò‹ tan + cos + Q2 ÁÕe©¾Òa sin æÅa cosec ·Õeè »š¹ºÇ¡ Q3 ÁÕe©¾Òa tan æÅa cot ·Õèe»¹š ºÇ¡ Q4 ÁÕe©¾Òa cos æÅa sec ·Õeè »¹š ºÇ¡ 2. ÊÁÁµÇi ‹ÒµŒo§¡Òä‹Ò θ 㹪‹Ç§ 0 < θ < 2π 测ÊÁ¡Ò÷èäÕ ´¹Œ ¹aé e»š¹¤‹Ò 2θ (eª¹‹ sin 2θ = 1/ 2 ) ¨aµoŒ §¢ÂÒ ª‹Ç§¤Òí µoºe»š¹ 0 < 2θ < 4π (æÅnj ¨§Ö ¹íÒ¤íÒµoº 2θ ·äÕè ´Œ·¡u ¤íÒµoºËÒôŒÇÂÊo§) ËÒ¡äÁ¢‹ ÂÒª‹Ç§ ¨a¡ÅÒÂe»¹š 0 < 2θ < 2π ¤íÒµoº·èäÕ ´¨Œ aäÁ‹¤Ãº 3. ¤Òí µoººÒ§¤Òí µoº (o´Âe©¾Òa·Õèoº‹Ù ¹æ¡¹ x ËÃ×o桹 y ) oÒ¨ãªäŒ Á‹ä´Œ 㹡ó·Õ ÊèÕ Á¡ÒÃÁÕ¤íÒÇ‹Ò tan , cosec , sec , cot e¾ÃÒa¤Ò‹ eËÅҋ ¹éÕÁÒ¨Ò¡¡ÒÃËÒáa¹¢o§ sin, cos µŒo§µÃǨÊoº´ŒÇÂÇҋ Á¤Õ íÒµoºã´ËÒ¤‹ÒeËŋҹéÕäÁ‹ä´Œ (¤×o µÇa ʋǹe»¹š 0 ) ËÃ×oäÁ‹ 4. ¶ŒÒo¨·Âä Á‹ä´ŒÃaºªu ‹Ç§¢o§¤Òí µoº ãˌµoºã¹ÃÙ»·Çaè 仫§Öè ¡ÒÃËÁ¹u ¢o§ θ e»¹š ¡ÃèÕ oº¡äç ´Œ eª¹‹ ¶ŒÒ㹪Nj § [0, 2π] (¡ÒÃËÁu¹Ãoºæá) ÁÕ¤Òí µoº 1 ¨´u ¤×o π/4 ã˵Œ oºÇ‹Ò π/4 ± 2nπ ËÁÒÂe˵u ËÒ¡ÁÕ¤íÒµoºËÅÒ¨u´ã¹¡ÒÃËÁ¹u Ãoºæá oҨŴÃٻŧeËÅ×o»Ãao¤e´ÕÂÇ䴌 eª‹¹ ¶ŒÒ¤Òí µoºe»¹š π/3, 2π/3 ¡çoÒ¨µoºÃ»Ù ·èÇa ä»o´Â嫅 ¨u´¡è§Ö ¡ÅÒ§ Ç‹Ò π/2 ± π/6 ± 2nπ แบบฝึกหัด 7.3 (24) เม่อื cos θ = 4/5 และ 0 < θ < π/2 แล้ว ให้หาค่าของ 5 tan θ + 4 sec2θ (25) เมอื่ sin θ = −3/5 และ tan θ > 0 ใหห้ าคา่ ของ tan θ − cos θ (26) เมอ่ื tan θ = 15/8 และ π < θ < 3π/2 ให้หาค่าของ sin θ + cos θ (27) เมอื่ sin x = 5/13 และ cos x < 0 ให้หาคา่ ของ sin(x−π) + cos (x−π) (28) กาํ หนดให้ sec θ = 5/3 และ 0 < θ < π แล้ว ใหห้ าค่าของ sin θ − cos θ tan θ − csc θ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 164 ฟง กชันตรีโกณมติ ิ (29) [Ent’ต.ค.43, ตอ้ งใชค้ วามรู้เร่ืองเมตรกิ ซ์ดว้ ย] ถา้ sin x = 3/5 และ tan x = −3/4 แลว้ จงหาคา่ ของ det ⎛ 2 ⎡cosec x sec x⎤ ⎞ ⎜ ⎣⎢ 1 x⎥⎦ ⎟ ⎝ cos ⎠ (30) ตอบคําถามตอ่ ไปนี้ เมอ่ื 0 < θ < 2π (30.1) ให้หาค่า θ ทท่ี ําให้ cos θ = 3/2 (30.2) ให้หาคา่ θ ที่ทาํ ให้ cos 2θ = 3/2 (31) เมอื่ tan x + sec x = 2 ให้หาค่าของ cos x (32) เมอ่ื cosec θ + cot θ = 5/3 แลว้ ให้หาค่าของ sin θ (33) เมื่อ 2 sin x = sec x ใหห้ าค่าของ sin4x + cos4x (34) เม่ือ 2 sin x = sec x ให้หาคา่ ของ 1 − sin2x − cos2x 1 + cot x 1 + tan x (35) เมื่อ sin θ + cos θ = 1/5 และ 0 < θ < π ใหห้ าคา่ ของ tan θ (36) เมื่อ 2 tan2θ − sec θ = 1 และ 0 < θ < π/2 แลว้ ให้หาคา่ ของ sec θ (37) เมื่อ 4 sin2x + 11 cos x − 1 = 0 และ π < x < 2π ให้หาคา่ ของ sin (−x) + cos (−x) + tan (−x) (38) [Ent’36] กําหนดให้ 4 sin2θ + 11 cos θ − 1 = 0 แล้ว cot2(θ+π/2) + sec(θ−3π) มคี ่าเทา่ ใด (39) ให้หาคา่ x จากสมการ cos22x + 3 sin 2x − 3 = 0 (40) [Ent’38] ใหห้ าเซตคําตอบของอสมการ 2 sin4x + 3 sin2x − 2 > 0 โดยท่ี 0 < x < 2π (41) [Ent’25] คา่ ของ 0 < θ < 2π ทที่ าํ ให้ sin θ + cos θ < 0 จะอยใู่ นช่วงใด (42) [Ent’35] สาํ หรับจํานวนจริง x ใดๆ ให้ Ax เปน็ เมตริกซ์ซึง่ Ax = ⎡ 2 sin x 2 sin2x⎤ ⎢ 2 cos2x ⎥ ⎣⎢ cos x ⎦⎥ ถามวา่ S = {x | −2π < x < 2π และ Ax เปน็ ซงิ กูลาร์เมตริกซ์ } มีจํานวนสมาชกิ กตี่ วั (43) จงหาผลบวกคําตอบทั้งหมดของสมการ x3− 9x2+ 23x − 15 = 0 เม่ือเอกภพสัมพัทธ์ U = { x ∈ A | cos (−x) > − cos x } และ A = [0, 2π] (44) [Ent’39] กาํ หนดให้ f (x) = cos2x + cos x แล้ว ข้อใดต่อไปน้ีถกู ก. ถา้ 0 < x < π แล้ว f (x) = 2 cos x ข. ถ้า π < x < 2π แลว้ f (x) = 2 cos x ค. ถ้า π/2 < x < 3π/2 แลว้ f (x) = 0 ง. ถ้า 3π/2 < x < 2π แล้ว f (x) = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 165 ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 7.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ • การศกึ ษาเรื่องกราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ โดยเฉพาะฟงั ก์ชัน sin และ cos จะเป็นประโยชน์ใน การศกึ ษาเร่ืองอน่ื ๆ ได้ เช่น คลน่ื , เสียง, การเคลอ่ื นที่แบบเป็นคาบ (การแกว่ง), ไฟฟ้ากระแสสลบั y = sin x 1 2π x Dsin = R Oπ Rsin = [−1, 1] -1 period = 2π y = cos x amplitude = 1 1 2π Dcos = R Oπ x Rcos = [−1, 1] -1 period = 2π y = tan x amplitude = 1 1 Dtan = R − {π/2 ± nπ} Oπ 2 xπ Rtan = R -1 period = π y = cosec x 2 xπ Dcosec = R − {±nπ} 1 Rcosec = R − (−1, 1) Oπ period = 2π -1 y = sec x 2π x Dsec = R − {π/2 ± nπ} 1 Rsec = R − (−1, 1) Oπ period = 2π -1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 166 ฟงกชันตรีโกณมติ ิ y = cot x Dcot = R − {±nπ} 1 Rcot = R Oπ -1 period = π 2π x แบบฝึกหดั 7.4 (45) ให้ A = (−π/2, 0) ∪ (0, π/2) ฟังกช์ ันใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นฟงั ก์ชนั ลด บนเซต A ก. sin x ข. cos x ค. cosec x ง. sec x (46) กราฟของ y = sin x และ y = cos x เมอื่ 0 < x < 2π ตดั กันก่จี ุด และจุดใดบา้ ง 7.5 ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติของผลบวก และผลต่างมมุ โดยทวั่ ไปการคาํ นวณค่าตรีโกณมิติอาจเก่ยี วข้องกบั มมุ ทีเ่ กดิ จากการบวกกัน หรอื ลบกนั ดงั นน้ั ในหัวขอ้ น้ีจะเปน็ การสรุปสตู รทส่ี าํ คญั เพือ่ นาํ ไปใชป้ ระโยชน์ สูตรชุดทห่ี นึง่ .. สตู รเบือ้ งต้น เราสามารถพิสูจน์สตู รหลัก คือ cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β กอ่ น (วิธพี ิสจู น์ไม่ได้แสดงไว้ในทน่ี )้ี และจากน้นั ถา้ แทน β ด้วย −β จะไดส้ ตู ร cos (α+β) รวมทั้งได้สูตร sin (α+β) กบั sin (α−β) จาก sin (α+β) = cos (90° − (α+β)) (1) cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β ⎪⎪⎧tan (α+β) = tan α + tan β (2) cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ⎨ 1 − tan α tan β (3) sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ⎩⎪⎪tan (α−β) (4) sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β = tan α − tan β 1 + tan α tan β สตู รชุดทส่ี อง .. สตู รผลคณู เกดิ จากสมการท่ี (1) บวกลบกับ (2) … และสมการที่ (3) บวกลบกบั (4) (5) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) ... จาก (1)+(2) (6) −2 sin α sin β = cos (α+β) − cos (α−β) ... จาก (1)-(2) (7) 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) ... จาก (3)+(4) (8) 2 cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) ... จาก (3)-(4) สูตรชุดทส่ี าม .. สูตรผลบวก และผลลบ มีทม่ี าเดียวกับสูตรชุดทสี่ อง ... แต่กําหนดให้ A = α + β และ B = α − β (9) cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A − B) ... จาก (5) 22 (10) cos A − cos B = −2 sin (A + B) sin (A − B) ... จาก (6) 22 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 167 ฟง กช นั ตรีโกณมิติ (11) sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A − B) ... จาก (7) 22 ... จาก (8) (12) sin A − sin B = 2 cos (A + B) sin (A − B) 22 สูตรชุดท่สี ี่ .. สตู รมุมสองเท่า และมุมครง่ึ สตู รสําหรบั มมุ สองเท่าได้จากสมการชดุ ที่หนง่ึ เชน่ กัน คือใช้มมุ เปน็ α + α = 2α sin (2α) = 2 sin α cos α หรือcos (2α) = cos2α − sin2α cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 tan (2α) = 2 tan α 1 − tan2α สูตรสาํ หรบั มุมครง่ึ ได้จากการย้ายขา้ งสมการ cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 โดยมองวา่ α กลายเปน็ α/2 และ 2α กลายเปน็ α sin (α/2) = ± (1−cos α)/2 cos (α/2) = ± (1+cos α)/2 และ tan (α/2) = ± (1−cos α)/(1+cos α) นอกจากน้ียงั สามารถพิสจู น์สตู รมุมใดๆ ต่อไปอกี โดยอาศยั หลักการเดยี วกันกบั สชี่ ดุ ขา้ งตน้ เช่น อาจหาสตู รมุมสามเทา่ sin(3α), cos(3α), tan(3α) หรือใช้สตู รชุดทีห่ นึ่งช่วยในการลดรูปขนาด ของมมุ θ ± nπ , θ ± nπ/2 เปน็ ตน้ แบบฝึกหัด 7.5 (47) ให้หาค่าของ sin (75°), cos (5π/12), และ tan (π/12) (48) กาํ หนด cot A = 2.4 โดย A ∈ (π, 3π/2) และ sin B = 0.6 โดย B ∈ (π/2, π) (48.1) cos (A+B) และ sin (A+B) มคี า่ เท่าใด (48.2) มุม A+B อยูใ่ นควอดรนั ต์ใด (49) จงหา cos A เม่ือ sin (A+B) = 1/5 , cos (A−B) = 2/5 และ sin B = 3/5 (50) จงหา cos B เมอ่ื A + B = 5π/4 และ tan A = 1 โดยท่ี 0 < B < π (51) ให้หาคา่ ของ (51.1) 2 cos 75° cos 15° (51.2) 2 sin 25° cos 5° − sin 20° (51.3) 4 sin 75° cos 15° + 4 cos 15° cos 165° (51.4) sin 108° cos 42° + sin 42° cos 108° (51.5) cos 68° cos 78° + cos 22° cos 12° − cos 10° (51.6) 2 cos 35° cos 70° − cos 35° + cos 15° (52) ให้หาคา่ ของ (52.1) 2 cos 3θ sin 2θ − 2 cos 4θ sin θ − 2 cos 2θ sin θ (52.2) sin 3θ sin 6θ + sin θ sin 2θ − sin 4θ sin 5θ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 168 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ (53) ใหห้ าคา่ ของ (53.1) sin2A + sin2(60°+A) + sin2(60°−A) (53.2) [Ent’20] cos2A + cos2(60°+A) + cos2(60°−A) (54) ใหห้ าคา่ ของ (54.1) cos 10° + sin 40° sin 70° (54.2) sin 75° − sin 15° cos 75° + cos 15° (54.3) tan 178° − tan 108° เม่ือ tan 10° = B 1 + tan 178° tan 108° (54.4) ⎛ cot A ⎞ ⎛ cot B ⎞ เมอื่ A+B = 225° ⎜⎝⎜ 1+cot A ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ 1+cot B ⎟⎟⎠ (54.5) sin 3θ − cos 3θ sin θ cos θ (55) ให้หาค่าของ (55.1) sin 50° + sin 10° − cos 20° (55.2) sin 10° + cos 40° − cos 20° (55.3) cos 20° + cos 100° + cos 140° (55.4) cos 10° + cos 20° + cos 40° + cos 50° sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° (56) ใหห้ าค่าของ sin 40° + sin 20° ในรปู ของ sin 5° (57) ให้หาคา่ ของ (57.1) cos π cos 3π [Hint: นาํ 2 sin π คณู เศษและส่วน] 55 5 (57.2) cos π + cos 3π 55 (57.3) cos π cos 2π cos 4π 77 7 (57.4) sin 5π cos π 24 24 (57.5) [Ent’33] 8 sin 70° sin 50° sin 10° (58) ใหห้ าคา่ ของ tan 9° − tan 27° − tan 63° + tan 81° (59) กําหนด 4 sin2A + 3 cos 2B = −2 และ sin 2A sec A = sin B เม่อื A, B ∈ [0, π/2] ให้หา คา่ ของ 2 cos (A+B) (60) [Ent’38] ถา้ 3 cos 2A − 2 cos 2B = −3 และ sin A − 2 sin B = 0 เมื่อ A, B ∈ [0, π/2] แลว้ ใหห้ าคา่ ของ sin (A+B) (61) [Ent’37] กําหนด sin 3θ + sin θ = 1 − 4 sin3θ จงหาค่าของ sec 2θ + cos (3π/2 + θ) (62) [Ent’38] ถ้า cos (α+β) = 3 − 4 3 และ cos (α−β) = 3 + 4 3 แล้ว 10 10 จงหาคา่ sin 2α sin 2β Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 169 ฟงกช ันตรีโกณมติ ิ (63) ถ้า tan x = 2 แล้ว จงหาคา่ sin 2x 1 + cos 2x (64) จงหาค่า sin 4θ เมอ่ื tan θ = 1/3 และ 0 < θ < π/2 (65) ถา้ cos A = 5+1 จงหา sin(A+B) − sin(A−B) + sin(2A−B) − sin(2A+B) 4 (66) ข้อใดตอ่ ไปนี้ผดิ ก. cos (x+y) + cos (x−y) = 2 cos x cos y ข. sin(x+y) sin(x−y) = sin2x − sin2y ค. cos (x+y) cos (x−y) = cos2x − sin2y ง. cos 5x cos x + sin 5x sin x = cos 6x 7.6 ฟงั กช์ นั ผกผันของตรีโกณมิติ ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิทัง้ หกฟงั ก์ชนั (เชน่ y = sin x ) สามารถหาอินเวอร์สไดโ้ ดยสลับท่ี ระหวา่ งโดเมนและเรนจต์ ามปกติ (กลายเปน็ x = sin y ) แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านีไ้ ม่เป็นฟังก์ชนั เลย เน่อื งจาก x ค่าเดยี ว ให้คา่ y ได้หลายคา่ ไมส่ ้นิ สุด ดังนนั้ หากจะกําหนดอนิ เวอร์สใหเ้ ป็นฟังก์ชนั ดว้ ย เราจาํ เปน็ ตอ้ งจํากดั ช่วงของเรนจ์ และเราเรยี กชอ่ื ฟังก์ชนั ผกผนั เหล่าน้ีโดยใช้คาํ ว่า arc นาํ หนา้ (เชน่ อนิ เวอร์สของ y = sin x คือ y = arcsin x ) หรือบางตาํ ราใช้สัญลักษณ์ ,sin-1x ,cos-1x ,tan-1x … แทนคําว่า arc– ความหมายของ x = sin y ตา่ งจาก y = arcsin x เพราะเรนจ์ไม่เทา่ กัน y y = arcsin x π x = sin y π/2 x -1 1 -1 1 O O −π/2 −π ชว่ งของเรนจท์ ่ีใช้กนั เป็นมาตรฐานสาํ หรบั ฟงั ก์ชัน arcsin, arccos, arctan จะแสดงไวใ้ น กราฟตอ่ ไปน้ี โดยมวี งกลมหน่ึงหน่วยกาํ กบั เพื่อชว่ ยในการจํา สว่ นฟังกช์ นั arccosec, arcsec, arccot จะไมก่ ลา่ วถงึ เนื่องจากไมน่ ิยมใช้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 170 ฟง กช นั ตรีโกณมิติ y = arcsin x y = arctan x y = arccos x π π/2 x -1 1 x π/2 x -1 1 O -1 1 O O −π/2 −π/2 Darcsin = [−1, 1] Darccos = [−1, 1] Darctan = R Rarcsin = [−π/2, π/2] πRarccos = [0, ] Rarctan = (−π/2, π/2) 1 0 = cos π/2 ∞ π/2 0 = tan -1 1 0 = sin π0 −π/2 -1 −π/2 −∞ ข้อสังเกต ฟังกช์ ัน arcsin (กบั arctan) จะอยู่ในช่วงท่ี cos เปน็ บวกเสมอ สว่ นฟงั กช์ ัน arccos จะอยใู่ นชว่ งท่ี sin เปน็ บวกเสมอ ความสมั พนั ธท์ ่มี ปี ระโยชน์ในเรอ่ื งฟังก์ชนั ตรีโกณมิตผิ กผนั คอื arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy ซึ่งสามารถพิสจู นไ์ ดจ้ ากการใส่ฟงั กช์ ัน tan ทง้ั สองขา้ งของสมการ โดยความสัมพันธน์ ใ้ี ช้ไดเ้ มอ่ื arctan x + arctan y ยังอยใู่ นชว่ ง (−π/2, π/2) แบบฝึกหัด 7.6 (67) ให้หาคา่ ของ arcsin ( 3/2) และ arccos (−1/2) (68) ค่าของ 2 arcsin (− 3/2) + arccos (1/ 2) + arccos (−1) เปน็ เท่าใด (69) ใหห้ าคา่ ของ cos (arcsin (cos 2π) + 2π) 77 (70) ให้หาค่าของ (70.1) cos (arccos (4/5) + arccos (12/13)) (70.2) sin (arccos (3/5) + arcsin (−4/5)) (70.3) cos (2 arcsin (3/5)) (70.4) [Ent’39] tan (2 arcsin (−1/ 5)) (71) ให้หาคา่ ของ sin(π + 2 arctan( 2−1)) 2 และ cos (3π/2 − 2 arctan x) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 171 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ (72) ให้หาคา่ ของ A+2B เม่อื กําหนด tan A = 1/7 และ sin B = 1/ 10 โดยที่ 0 < A, B < π/2 (73) จงหาค่า 7 tan(π/4 + A) เม่อื กําหนดให้ sin A = 1/3 และ π/2 < A < π (74) กําหนดให้ tan A = 1/2 , tan B = 1/5 , tan C = 1/8 จงหาขนาด A + B + C ท่ีเป็นมุม แหลม (75) ให้แสดงว่า arccos (12/13) + arcsin (16/65) = arcsin (3/5) (76) ให้หาคา่ x จากสมการต่อไปนี้ S ¨u´·è¼Õ ´i ºo‹ Â! S (76.1) arccos (4/5) − arcsin (−3/5) = arccos x (76.2) arctan (x2/3 − x) = arcsin (7/25) + arccos (4/5) ¡ÒÃ桌ÊÁ¡Ò÷ÁèÕ Õ arc- eÁ×èo䴌 (76.3) arctan(1/7) + arctan(1/8) + arctan(1/18) = arccot x ¤Òí µoº («§èÖ e»¹š ¤Ò‹ ÁÁu ) oo¡ÁÒ (76.4) arctan (2x+1) + arctan (2x−1) = arccos (1/ 5) æÅnj ¨aµoŒ §µÃǨ¤Òí µoºeÊÁo (76.5) arctan x + 2 arctan 1 = 3π/4 e¾ÃÒaÁÁu ·äèÕ ´Œ¹oéÕ Ò¨äÁo‹ Âã‹Ù ¹ªÇ‹ § (76.6) [Ent’38] arctan (1+x) + arctan (1−x) = π/4 Áҵðҹ¢o§ arc- ËÃ×oÁÁu ·èÕ (76.7) arccos (−1/2) + (π/2) = arcsin x ä´¹Œ éoÕ Ò¨·Òí ãËʌ Á¡ÒÃe»¹š e·ç¨.. (77) หาค่าของ tan ⎛ arctan 3x + arctan x⎞ เมอื่ arctan 3x − arctan x = π/6 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ (78) ถ้า 4 cos2(arctan x) − 1 = 0 และ e 1/x < 1 จงหา x + tan(arctan(x/2)) 7.7 เอกลักษณต์ รโี กณมิติ สมการใดๆ ที่มีฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ปิ รากฏอยู่ จะเรียกวา่ สมการตรโี กณมติ ิ การแก้สมการ ตรโี กณมติ ินั้นมีขอ้ ควรระวงั ซึ่งได้กล่าวไปแล้วทั้งหมดในหัวข้อ 7.3 และหากสมการตรีโกณมิตินน้ั เป็นจรงิ เสมอสําหรับทกุ ๆ ค่า (ทีห่ าคา่ ฟังก์ชนั ได)้ จะเรียกวา่ เปน็ เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ เอกลกั ษณ์ของตรโี กณมิติทส่ี ําคัญมหี ลายชุด ได้ศกึ ษาผา่ นมาต้งั แต่ตน้ บทจนถงึ หัวข้อนี้ เช่น , , , ,sin2 θ + cos2 θ = 1 sin θ = cos (90°−θ) sin (−θ) = − sin θ cos (θ±π) = − cos θ , ,cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) sin (2α) = 2 sin α cos α ฯลฯ ซ่ึงนอกจากน้ยี ังมีเอกลกั ษณ์อีกมากมาย ดงั จะได้ฝึกพิสจู น์เอกลักษณ์ในแบบฝึกหดั ตอ่ ไปนี้ แบบฝกึ หัด 7.7 (79) ให้หาคําตอบของสมการต่อไปน้ี ภายในชว่ งทีก่ ําหนดให้ 0 < x < 2π (79.1) 1 − 1 = 4 0 < θ < 2π sin x + 1 sin x − 1 0 < θ < π/2 (79.2) sin 4θ + sin 2θ = 2 cos θ (79.3) 2 sin 2θ + 3 cot 2θ − 3 cosec 2θ = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 172 ฟง กชันตรีโกณมิติ (79.4) [Ent’31] cos4x − sin4x = 1 0 < x < 2π (79.5) [Ent’29] 4 sin2x − 6 tan x + 2 sec2 x = 0 0 < x < π/2 (79.6) 4 sin x cos x + 2 2 cos x + 2 sin x + 2 = 0 0 < x < 2π (79.7) sin x + 3 cos x = sec (x + π) 0 < x < 2π 3 0 < x < 2π 0 < x < 2π (79.8) [Ent’34] 2 sin2x + 1 = − sin x + 2 2 sin2x + sin x 0 < x < 2π (79.9) [Ent’30] sin x − sin 2x + sin 3x = 0 0 < x < 2π (80) ใหห้ าชว่ งคาํ ตอบของอสมการตอ่ ไปน้ี (80.1) [Ent’38] 2 sin4x + 3 sin2x − 2 > 0 (80.2) 3 sin x + cos x < 1 (81) [Ent’32] ใหห้ าคําตอบรูปทั่วไปของสมการ cos 2θ = sin θ (82) จงแสดงว่าเอกลกั ษณ์ต่อไปนเ้ี ปน็ จริง (82.1) tan (90° − A) = cot A (82.2) 1 − cos x = tan2 x 1 + cos x 2 (82.3) sin x + sin y = tan x + y cos x + cos y 2 (82.4) tan2x − sin2x = tan2x sin2x (82.5) ⎛ cos A − sin A ⎞2 = 1 − sin A ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ (83) ถา้ A, B, C เปน็ มุมในรูปสามเหล่ยี ม จงแสดงวา่ sin A + sin B = cot C cos A + cos B 2 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์ เป็นความสัมพันธ์ท่ใี ช้กับรปู สามเหลย่ี มใดๆ ทที่ ราบบาง ส่วนประกอบ (ความยาวด้าน และขนาดมมุ ) เพือ่ หาคา่ ของส่วนประกอบทเี่ หลือ มปี ระโยชน์กับ การศกึ ษาเรขาคณิตวิเคราะห์ และเวกเตอร์ 1. กฎของไซน์ (Law of Sine) B “อัตราสว่ นของคา่ ไซน์ของมุมๆ หน่ึง ต่อความยาวด้าน ตรงข้าม จะเท่ากันทั้งสามมมุ ” ca sin A = sin B = sin C A abc b โดยกฎของไซน์นพ้ี สิ ูจน์มาจาก พืน้ ท่ีสามเหลย่ี ม ( 1 bc sin A = 1 ca sin B = 1 ab sin C ) 2 22 C 2. กฎของโคไซน์ (Law of Cosine) “เราสามารถหาความยาวด้านทเี่ หลือ ได้จากความยาวด้านสองดา้ นและขนาดมุมตรงกลาง” a2 = b2+ c2− 2bc cos A (ถา้ มมุ ตรงกลางนัน้ เป็น A = 90° กฎนีจ้ ะกลายเป็นทฤษฎีบทปีทาโกรสั ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 173 ฟง กชันตรีโกณมิติ แบบฝึกหดั 7.8 (84) กาํ หนดสามเหลี่ยม ABC มีดา้ น a ยาว 10 หน่วย, b ยาว 10 3 หนว่ ย และ c ยาว 10 หนว่ ย ให้หาขนาดมุมทั้งสาม (85) ΔABC มีด้าน a = 2 5 , b = 4 5 และ c = 3 5 ใหห้ าค่า sin (B/2) (86) สามเหล่ียมรปู หนง่ึ มอี ัตราสว่ นความยาวด้านทัง้ สามเป็น a : b : c = 4 : 5 : 6 ใหแ้ สดงวา่ สามเหลยี่ มรูปนี้มมี ุมหนง่ึ ขนาดเป็นสองเท่าของอีกมุมหนึ่ง (87) ΔABC มมี ุม B = 65° , ดา้ น a = 4 , c = 8 ใหห้ าความยาวดา้ น b (กําหนด cos 65° = 0.422 ) (88) ΔABC มีด้าน c = 15 , a = 12 และ A = 27° , sin A = 0.454 จงหามุม C (89) ΔABC มมี มุ A ขนาด 45° และ a = 2 2 , b = 2 3 จงหาขนาดของมมุ ที่เหลือ (90) ΔABC มมี ุม B = 30° และดา้ น c = 150 , b = 50 3 ให้พิจารณาว่าสามเหล่ยี มนี้เปน็ สามเหลีย่ มชนดิ ใด (91) ΔABC มมี ุม A = 20° , B = 47° และดา้ น b = 12 หนว่ ย ใหห้ าความยาวดา้ น a (กําหนด )sin 20° = 0.342, sin 47° = 0.731 (92) สามเหล่ียม ABC มคี า่ (a + b + c)(b + c − a) = 3bc จงหาขนาดของมุม A (93) [Ent’38] สามเหลย่ี ม ABC มคี า่ (a + b + c)(a − b − c) = −3bc และ 4a2= 6b2 จงหาคา่ 1 + 2 sin2(3A−2B) (94) [Ent’25] ถา้ ความยาวดา้ นของรปู สามเหลยี่ มเป็น x, y, x2+xy+y2 ตามลาํ ดบั ให้บอก ลกั ษณะของสามเหลีย่ มนี้ (95) เครือ่ งบินขับไล่สองลําบินในแนวราบ ออกจากฐานทพั พรอ้ มกนั โดยทิศทางการวิ่งทํามมุ กัน 38° ถ้าเครอ่ื งบินมีความเร็ว 320 และ 380 ไมล์ต่อชั่วโมง ตามลําดบั จงหาระยะทางระหว่าง เครื่องบนิ สองลํานเ้ี ม่ือเวลาผ่านไปหนึง่ ช่วั โมง ( cos 38° = 0.788 ) 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง ในชวี ติ จริงการวัดระยะทางหรือความสงู ของสงิ่ ตา่ งๆ ไมส่ ามารถใชเ้ ครอ่ื งมอื วดั โดยตรงได้ เสมอไป เราจึงใชค้ วามรูเ้ รอื่ งตรีโกณมติ ิในรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากช่วยในการคํานวณ ศัพทท์ ี่ใช้เรียกมุมทเี่ กิดจากการสงั เกตนนั้ คอื มมุ ก้ม (Angle of Depression) และ มุม เงย (Angle of Elevation) โดยมุมก้มคอื มุมท่ีวัดลงไปจากแนวราบ (ระดบั สายตา) สว่ นมมุ เงยคอื มุมท่วี ัดขนึ้ จากแนวราบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 174 ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ แบบฝกึ หัด 7.9 (96) ชายคนหน่งึ อยู่ริมเขือ่ นซึ่งสูงเหนอื ระดบั นาํ้ ทะเล 300 เมตร มองเห็นเรือ A กบั B อยูใ่ น ระนาบเดยี วกนั เปน็ มุมกม้ 33° และ 20° ตามลําดบั เรอื สองลาํ นีอ้ ย่หู ่างกันเท่าใด (กาํ หนด sin 33° = 0.5446, cos 33° = 0.8387, sin 20° = 0.3430, cos 20° = 0.9397 ) (97) หากมองจากจดุ A ซึ่งอยู่ทางทศิ ใต้ของตึก จะเหน็ ยอดตกึ เป็นมมุ เงย 45° แต่หากมองจากจดุ B ซ่งึ อยู่ทางทศิ ตะวันออกของจุด A อกี 40 เมตร จะเหน็ ยอดตกึ เป็นมุมเงย 30° แสดงวา่ ความสูง ของตึกเป็นกี่เมตร * (98) สามเหลยี่ มมุมฉาก PQR และ PQS ซ้อนทับกนั โดยมมี ุม Q เปน็ มุมฉากรว่ มกัน และ QR : RS = 1 : 3 ใหห้ าค่า tan SPˆQ เมื่อกําหนด SPˆR = arctan 0.6 [Hint: ใชค้ วามสมั พันธ์ arctan x ± arctan y ] เฉลยแบบฝกึ หดั (คําตอบ) (1.1) 3/2 (1.2) –2 (33) 1/2 (34) 1/2 (56) 1 − 2 sin25° (2.1) 7/5 (2.2) 7/5 หรอื –1 (35) –4/3 (36) 3/2 (57.1) –1/4 (57.2) 1/2 (3.1) 1 (3.2) 1/2 (4.1) 2 (37) −(1+3 15)/4 (38) 19 (57.3) –1/8 (4.2) 0 (5) (1−a2)/2 (39) π/4 ± nπ (57.4) ( 2+1)/4 (6) ±2a/(1 − a2) (7) 20/9 (40) [π/4, 3π/4] ∪ [5π/4, 7π/4] (57.5) 1 (58) 4 (59) –1 (60) 1 (61) 39/28 (8) 4/5, 3/5, 13.33, 10.67 (41) [3π/4, 7π/4] (42) 9 (62) 12 3/25 (63) 2 (9) 8 3 ตารางหนว่ ย (43) 1+5=6 (44) ค. (45) ค. (64) 24/25 (65) sin B (10) 46°58 ' (11.1) 16 ซม. (46) 2 จดุ คอื (11.2) 52π/3 ซม. (66) ง. (67) 60° , 120° (π/4, 1/ 2),(5π/4, −1/ 2) (68) 7π/12 (69) 0 (12) 2 เรเดียน (13) 4 นิว้ (14) 32/π ซม. (47) ( 3+1) / 2 2 , (70.1) 33/65 (70.2) 0 ( 3 −1) / 2 2 , ( 3 −1) /( 3 +1) (70.3) 7/25 (70.4) –4/3 (15) −(3 3+1)/2 (16) 0 (48.1) 63/65, –16/65 (71) 1/ 2 , −2x/(1+x2) (17.1) θ (48.2) Q4 (49) 5/7 (72) π/4 (73) 9−4 2 (17.2) เพ่ิมขน้ึ จาก 1 ถงึ ∞ (50) ±1 (51.1) 1/2 (74) π/4 (75) ... (18) เทจ็ ทุกขอ้ ยกเว้น (18.4) จรงิ (51.2) 1/2 (51.3) 0 (19.1) − sin θ (19.2) 2 (51.4) 1/2 (51.5) 0 (76.1) 7/25 (76.2) -1, 4 (76.3) 3 (76.4) 1/2, –1 (20) 1/2 (21) 1 π/2, 3π/2 (51.6) 1/ 2 (52.1) 0 (76.5) 1 (76.6) ± 2 (22.1) เปน็ 3 เมื่อ (52.2) 0 3/2 (76.7) ไม่มีคาํ ตอบ (77) 1 x = (53.1) (78) −3 3/2 (22.2) เปน็ –3 เม่ือ x = π (53.2) 3/2 (54.1) 3 (79.1) π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 (23) {0, − 3/2} (24) 10 (54.2) 1/ 3 (79.2) π/6, π/2, 5π/6, 3π/2 (25) 31/20 (26) –23/17 (54.3) ( 3+B) /(1− 3B) (27) 7/13 (28) 12/5 (79.3) π/6 (79.4) 0, π, 2π (29) –1/3 (30.1) π/6, 11π/6 (54.4) 1/2 (54.5) 2 (55.1) 0 (55.2) 0 (30.2) π/12, 11π/12, 13π/12, 23π/12 (55.3) 0 (55.4) 3 (79.5) π/4 (79.6) 2π/3, 5π/4, 4π/3, 7π/4 (31) 4/5 (32) 15/17 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 175 ฟง กช นั ตรีโกณมิติ (79.7) 11π/12, 23π/12 (87) 7.28 (88) 34.6°, 145.4° (79.8) π/6, 5π/6, 3π/2 (89) 75°, 60° หรือ 15°, 120° (79.9) 0, π/3, π/2, π, 5π/3, 3π/2, 2π (90) สามเหล่ยี มมุมฉาก A = 90° หรือ (80.1) [π/4, 3π/4] ∪ [5π/4, 7π/4] สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั A = 30° (80.2) (2π/3, 2π) (91) 5.61 (92) 60° (93) 3 (81) π/6 ± 2nπ/3 (82,83) ... (94) สามเหลีย่ มมีมุมหน่งึ เปน็ มมุ ป้าน 120° (84) 30°, 120°, 30° (85) 5/8 (95) 234.86 ไมล์ (96) 359.9 เมตร (86) C = 2A เนอื่ งจาก cos C = 2 cos2A − 1 (97) 20 2 (98) 1 หรอื 4 เฉลยแบบฝึกหดั (วิธีคดิ ) (1.1) sin 60° + sin 120° + sin 240° (4.1) จาก 1 + 1 sin2 cosec2 = 3 + 3 + (− 3) = 3 1+ θ 1+ θ 22 22 = 1 + sin2 θ = 1+ sin2 θ = 1 (1.2) cos 480° − cos 360° + cos 120° sin2 θ sin2 θ + 1+ sin2 θ 1+ 1 = cos 120° − cos 0° + cos 120° และเช่นเดียวกนั 1 + 1 cos2 sec2 = (− 1) − 1 + (− 1) = −2 1 + θ 1 + θ 2 y2 = 1+ 1 + cos2 θ = 1+ cos2 θ = 1 cos2 θ cos2 θ + 1 1+ cos2 θ (2.1) (4,3) ∴ ตอบ 2 54 sin θ + cos θ (4.2) ให้ A = sin2 x และ B = cos2 x = 4+3 = 7 θ x จะได้วา่ A + B = 1 55 5 3 โจทย์ถาม 2(A3 + B3) − 3(A2 + B2) + 1 (2.2) แก้ระบบสมการ หาจดุ ตัดของเส้นตรง ลองกระจาย (A + B)3 = 13 y = 2x − 1 กับวงกลม x2 + y2 = 1 จะได้เป็น → A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = 1 x2 + (2x − 1)2 = 1 → → A3 + B3 = 1 − 3AB2 ..... (1) 5x2 − 4x = 0 → x = 0 หรอื 4 → และกระจาย (A + B)2 = 12 ถา้ x = 0 ได้ y = −1 5y → A2 + 2AB + B2 = 1 ถ้า x = 4 ได้ y = 3 (4/5,3/5) → A2 + B2 = 1 − 2AB ..... (2) 55 แทนคา่ สมการ (1),(2) ลงในโจทย์ จะได้ θx ∴ sin θ + cos θ = −1 2(1 − 3A2B − 3AB2) − 3(1 − 2AB) + 1 (0,-1) หรือ 7/5 = −6A2B − 6AB2 + 6AB (3.1) cos2 35° + sin2 35° = 1 = (−6AB)(A + B − 1) = 0 (เพราะ A + B = 1 ) sec2 70° − tan2 70° = 1 (5) ยกกาํ ลงั สองท้งั สองข้าง และ −cosec247° + cot2 47° = −1 sin2 θ − 2 sin θ cos θ + cos2 θ = a2 (เอกลักษณข์ องตรโี กณฯ) → 1 − 2 sin θ cos θ = a2 ∴ ตอบ 1 + 1 − 1 = 1 ∴ sin θ cos θ = 1 − a2 2 (3.2) sec2 x = sec2 x = 1, (6) cosec θ − sec θ = 1 − 1 2 + 2 tan2 x 2 sec2 x 2 sin θ cos θ cot2 x − cosec2 x = −1 และ = cos θ − sin θ = ±a = ± 2a sin θ cos θ (1 − a2) 1 − a2 cot2 x sin2 x + sin2 x = cos2 x + sin2 x = 1 2 ตอบ 1/2 − 1 + 1 = 1 / 2 หมายเหตุ sin θ cos θ = 1 − a2 มาจากขอ้ ที่แล้ว 2 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 176 ฟงกชันตรีโกณมติ ิ (7) sec C cot B cosec A B (15) [ 3 − (− 1) − (− 3)] ÷ [ 1 + (−1) + (− 1)] 4 = (5)(4)(1) = 20 A 22 22 33 9 5 C = (3 3 + 1) ÷ (−1) = − 3 3 + 1 * ค่า cosec A ดจู าก Δ ไมไ่ ด้ 22 เพราะ A = 90° ไม่ใชม่ ุมแหลม C 3 (16) f(2π) − f(0) = cos(− π) − cos(π) (8) จากปที าโกรสั 33 B จะได้ AD = 6 = cos π − cos π = 0 10 8 tan A = 8 = BC 33 6 10 (17.1) θ > sin θ ∴ BC = 13.33 AD เพราะ θ คือความยาวส่วนโค้งบนเสน้ รอบวง cos A = 6 = 10 ∴ AC = 16.67 แต่ sin θ คอื ความยาวเสน้ ตรงบนแกน y 10 AC (17.2) ค่า sin θ ลดลง จาก 1 ไปสู่ 0 ∴ คา่ cosec θ (ซง่ึ เปน็ สว่ นกลบั ของ sin) จะได้ CD = 10.67 จะเพิม่ ข้นึ จาก 1 ถงึ ∞ sin A = 8 = 4 , cos A = 6 = 3 10 5 10 5 π/2 ≈ 1.57 (18.1) sin 1° < sin 1 sin 1 1 (9) BC = 10 , พนื้ ที่ ΔABC = 10 3 ∴ ตอบ เทจ็ sin 1° 1° ∴ 10 3 = 1 ⋅ 10 ⋅ AD → AD = 2 3 (18.2) tan 2 ตดิ ลบ 2 tan 1 เปน็ บวก ABˆE = 120° → ABˆD = 60° → tan 60° = 3 = AD = 2 3 → 2 π/2 ≈ 1.57 DB DB 1 DB = 2 ∴ CD = 8 และ ∴ tan 1 > tan 2 พ้ืนที่ ΔACD = 1 ⋅ 8 ⋅ 2 3 = 8 3 ตร.หน่วย ขอ้ นี้ เทจ็ (10) 2 0.0020 0.7294 = cos 43°10’ x 10’ (18.3) sin(1 − π) = − sin 1 1 0.0016 0.7310 = cos .......... ∴ ข้อน้ี เทจ็ 0.7314 = cos 43°0’ เทยี บบญั ญัตไิ ตรยางศ์ (ประมาณคา่ แบบเสน้ ตรง) 1-π ได้วา่ 0.0016 = x → x = 8 ' (18.4) sin(− π) < 0 จรงิ (ควอดรนั ตท์ ี่ 4) 0.0020 10 ' 6 ดงั นนั้ 0.7310 คอื cos 43°2 ' (โดยประมาณ) (18.5) sin(− 11π) < 0 เท็จ (ควอดรนั ตท์ ่ี 1) และเทา่ กับ sin θ ดังนนั้ จากโค-ฟงั กช์ ัน 6 แสดงวา่ θ = 90° − 43°2 ' = 46°58 ' (18.6) sin π = sin 6π แต่ cos π = − cos 6π 77 77 (11.1) θ = a → 2 = a → a = 16 ซม. r 3 24 ∴ tan π = − tan 6π ข้อนี้ เทจ็ (11.2) ตอ้ งทาํ 130° เป็นเรเดยี น แลว้ จงึ คาํ นวณ 77 → 130( π ) = a → a = 13π ⋅ 24 (19.1) (− sin θ)(− tan θ)(− cot θ) = − sin θ 180 24 18 (cot θ)(tan θ) = 52π ซม. (19.2) (sin θ + cos θ)2 + (cos θ − sin θ)2 3 = (1 + 2 sin θ cos θ) + (1 − 2 sin θ cos θ) = 2 (12) θ = 8 = 2 เรเดยี น (20) cos 300° + sin 90° + tan 135° 4 = 1/2 + 1 + (−1) = 1 / 2 (13) 5 = 20 → r = 4 นว้ิ (21) ขอ้ นใี้ ชว้ งกลมหนึ่งหนว่ ย ชว่ ยลดขนาดมมุ ลง r sin2(107°) + cos2(73°) sin2(37°) (14) 22.5° คดิ เปน็ π เรเดียน 1 − sin2(143°) − cos2(37°) 8 sin2(73°) + cos2(73°) sin2(37°) → π=4→ r= 32 ซม. = 1 − sin2(37°) − cos2(37°) 8r π Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 177 ฟงกช นั ตรีโกณมิติ = 1 − sin2(37°) = cos2(37°) = 1 (29) sin + , tan − → Q2 cos2(37°) cos2(37°) cos2(37°) det ⎜⎛2 ⎡csc x sec x ⎤ ⎞ (22.1) 2 − cos 2x มากสดุ แสดงวา่ cos 2x นอ้ ย ⎝ ⎣⎢ 1 cos x⎥⎦ ⎠⎟ สุด → cos 2x = −1 (ตาํ่ สดุ ของ cos ) = 22(csc x cos x − sec x) ∴ 2 − cos 2x มากสดุ เทา่ กบั 3 = 4(5 ⋅ (− 4) − (− 5)) =−1 เม่ือ cos 2x = −1 → 2x = π, 3π 35 4 3 (* อย่าลืมขยายชว่ งเปน็ 0 < 2x < 4π ) (30.1) cos θ = 3 → θ = π , 11π 2 66 ∴ x = π , 3π (30.2) cos 2θ = 3 22 2 (22.2) ตาํ่ สดุ เปน็ −3 เม่อื → 2θ = π , 11π , 13π , 23π sin(2x − π) = −1 → 2x − π = 3π 66 6 6 2 22 (ขยายชว่ ง 0 < 2θ < 4π ) [* ขยายชว่ งเปน็ − π < 2x − π < 7π] θ = π , 11π , 13π , 23π 2 22 12 12 12 12 ∴x = π (31) นาํ cos x คูณสองขา้ ง (23) 5 − 3 sin 3A มีค่ามากทีส่ ดุ แสดงวา่ sin 3A = −1 → 3A = 3π , 7π sin x + 1 = 2 cos x ..... (1) 22 แต่ sin2 x + cos2 x = 1 ..... (2) แทน sin x จาก (1) ลงใน (2) [ ขยายชว่ งเปน็ 0 < A < 4π] ∴ A = π , 7π และจะได้ จะได้ cos x = 0 หรอื 4 26 5 {cos A |.....} = {cos π , cos 7π} = {0, − 3} แต่ cos x = 0 ไมไ่ ด้ เพราะในโจทย์มคี าํ วา่ tan x 26 2 กบั sec x ∴ ตอบ cos x = 4 5 (24) ควอดรนั ตท์ ี่ 1 (32) นํา sin x คูณสองขา้ ง 5 tan θ + 4 sec2 θ = 5(3) + 4(5)2 54 1 + cos x = 5 sin x ..... (1) 44 3 = 10 3 แก้สมการเชน่ เดยี วกับขอ้ ท่ีแล้ว จะได้ (25) sin − , tan + → Q3 -4 sin x = 0 หรอื 15 / 17 -3 5 แต่ sin x = 0 ไม่ได้ ดงั นนั้ ตอบ 15 / 17 tan θ − cos θ = (−3) − (− 4) = 31 (33) 2 sin x = sec x → 2 sin x cos x = 1 −4 5 20 โจทยถ์ าม sin4 x + cos4 x จงึ เริม่ จากกระจาย (sin2 x + cos2 x)2 = 12 → (26) sin θ + cos θ sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x = 1 → = (− 15) + (− 8 ) = − 23 -8 ∴ sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 17 17 17 -15 17 = 1 − 2( 1) = 1 42 (27) sin + , cos − → Q2 (34) จาก 1 − sin2 x − cos2 x 1 + cot x 1 + tan x sin(x − π) + cos(x − π) = 1− sin3 x − cos3 x sin x + cos x cos x + sin x = − sin x − cos x 5 13 = 1 − sin3 x + cos3 x = −( 5 ) − (− 12) = 7 -12 sin x + cos x 13 13 13 = 1 − (sin2 x − sin x cos x + cos2 x) (28) sec + , 0 < θ < π → Q1 = sin x cos x → ตอบ 1 (จากข้อ 33) 2 sin θ − cos θ = 4 / 5 − 3 / 5 = 12 tan θ − csc θ 4 / 3 − 5 / 4 5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 178 ฟงกชันตรีโกณมิติ (35) cos θ = 1 − sin θ ..... (1) ∴ sin 2x = 1 → 2x = π ± 2nπ 5 2 แต่ cos2 θ + sin2 θ = 1 ..... (2) → x = π ± nπ ∴ ( 1 − sin θ)2 + sin2 θ = 1 5 4 (40) 2 sin4 x + 3 sin2 x − 2 > 0 → → 25 sin2 θ − 5 sin θ + 12 = 0 (2 sin2 x − 1)(sin2 x + 2) > 0 (5 sin θ − 4)(5 sin θ + 3) = 0 ซึง่ พบวา่ sin2 x + 2 มากกว่า 0 เสมออยู่แลว้ sin θ = 4 หรอื − 3 ดงั นนั้ 2 sin2 x − 1 > 0 → sin2 x > 1 55 2 โจทย์กาํ หนด 0 < θ < π ดงั นน้ั sin θ = 4 sin x = 1 / 2 5 จาก (1) ได้ cos θ = − 3 ตอบ tan θ = − 4 sin x = − 1 / 2 53 (36) แทนค่า tan2 θ ด้วย sec2 θ − 1 (เอกลกั ษณ)์ จะได้ 2(sec2 θ − 1) − sec θ = 1 ตอบ [π , 3π] ∪ [5π , 7π] 44 44 → 2 sec2 θ − sec θ − 3 = 0 (41) sin θ + cos θ < 0 คอื y + x < 0 (2 sec θ − 3)(sec θ + 1) = 0 sec θ = 3 หรอื −1 ตอบ 3 (ควอดรนั ตท์ ่ี 1) ดงั นน้ั จากภาพ 22 ตอบ [3π , 7π] 44 (37) แทน sin2 x ด้วย 1 − cos2 x (เอกลักษณ)์ → 4(1 − cos2 x) + 11 cos x − 1 = 0 → y+x=0 4 cos2 x − 11 cos x − 3 = 0 → (42) Ax เปน็ ซงิ กลู ารเ์ มตรกิ ซ์ (4 cos x + 1)(cos x − 3) = 0 → แสดงว่า det(Ax) = 0 cos x = − 1 หรอื 3 → 2 sin x cos x − 2 2 sin2 x cos2 x = 0 4 → 2 sin x cos x (1 − 2 sin x cos x) = 0 แต่ cos x = 3 เป็นไปไมไ่ ด้ ∴ cos x = − 1 4 → sin x = 0 หรอื cos x = 0 โจทยใ์ หห้ าคา่ sin(−x) + cos(−x) + tan(−x) = − sin x + cos x − tan x หรือ sin x cos x = 1 → แก้สมการ = −(− 15) + (− 1) − ( 15) 2 44 sin x cos x = 1 ต่อ 2 = − 1 + 3 15 − 1−cos2 x ..ติดลบเพราะ Q3 ) sin x = 0 4 ... พบวา่ ไม่มีคําตอบ ดงั นนั้ ค่า x ในช่วง (หาคา่ sin x โดย [−2π, 2π] มี 9 ตวั ดังภาพ (38) จากขอ้ 37 พบวา่ cos θ = − 1 → cos x = 0 4 (43) x3 − 9x2 + 23x − 15 = 0 โจทยถ์ าม cot2(θ + π) + sec(θ − 3π) → 2 → (x − 1)(x − 3)(x − 5) = 0 cos2(θ + π) x = 1 หรอื 3 หรอื 5 2 − sec(θ − π) แต่ U = {x | cos(−x) > − cos x} หรือ cos x > − cos x → 2 cos x > 0 sin2(θ + π) 2 = sin2 θ + (− sec θ) = 15 / 16 + 4 = 19 → cos x > 0 (Q1, Q4) 1 cos2 θ 1 / 16 พบวา่ cos 1 > 0 , 3 (39) (1 − sin2 2x) + 3 sin 2x − 3 = 0 → sin2 2x − 3 sin 2x + 2 = 0 → cos 3 < 0 , cos 5 > 0 (sin 2x − 2)(sin 2x − 1) = 0 → ดังนนั้ ตอบ 1 + 5 = 6 5 sin 2x = 2 หรอื 1 [sin 2x = 2 เป็นไปไม่ได้ ] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 179 ฟง กชนั ตรีโกณมิติ (44) f(x) =|cos x| + cos x → (48.2) เน่อื งจาก cos(A + B) เป็นบวก และ ถ้า cos x > 0 (Q1, Q4) จะได้ f(x) = 2 cos x sin(A + B) เป็นลบ ดงั นนั้ A + B อยใู่ น Q4 แตถ่ า้ cos x < 0 (Q2, Q3) จะได้ f(x) = 0 (49) sin A cos B + cos A sin B = 1 ..... (1) ดงั นนั้ ขอ้ ค. ถกู 5 (45) พิจารณาคา่ จากกราฟ ตอบ ค. cosec x cos A cos B + sin A sin B = 2 ..... (2) 5 (ถ้ามี cot x ก็ถกู เชน่ กัน) โจทยใ์ ห้ sin B = 3 → มีสองกรณคี อื (46) หาจดุ ตดั ของ y = sin x และ y = cos x 5 โดยแก้ระบบสมการ sin x = cos x cos B = − 4 กบั cos B = 4 55 ก็คอื tan x = 1 → x = π หรอื 5π 44 ถ้า cos B = − 4 จะได้ 5 ∴ ตอบ 2 จดุ ได้แก่ (π , 1 ) กับ (5π , − 1 ) 42 42 (1) − 4 sin A + 3 cos A = 1 55 5 (ดูภาพประกอบ) sin x cos x และ (2) 3 sin A − 4 cos A = 2 55 5 Oπ 2π แกร้ ะบบสมการได้ cos A = − 11 ซงึ่ เปน็ ไปไมไ่ ด้ ... 7 (47) sin 75° = sin(45° + 30°) ดงั นน้ั cos B = 4 เทา่ นน้ั 5 = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° จะได้ (1) 4 sin A + 3 cos A = 1 55 5 = 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = 3+1 2 2 2 2 22 และ (2) 3 sin A + 4 cos A = 2 55 5 cos 5π = cos(π + π) แก้ระบบสมการได้ cos A = 5 ... ตอบ 7 12 4 6 = cos π cos π − sin π sin π (50) tan A = 1 → tan(5π − B) = 1 46 46 4 = 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 = 3−1 → tan 5π − tan B = 1→ 1 − tan B =1 2 2 2 2 22 1 + tan B 4 tan π − tan π 1 + tan 5π tan B 46 4 π tan(π π) tan = − = 1 + tan π tan π ∴ tan B = 0 → ถา้ 0 < B < π 12 4 6 แสดงวา่ B = 0 หรอื π ก็ได้ ... 46 1− 1 จงึ ตอบ cos B = 1 หรอื −1 = 3 = 3 −1 (51.1) 2 cos 75° cos 75° 1+ 1 3+1 = cos(75° + 15°) + cos(75° − 15°) 3 = cos 90° + cos 60° = 1 (48) จาก cot A = 2.4 = 12 และ A ∈ Q3 2 5 (51.2) 2 sin 25° cos 5° − sin 20° จะได้ sin A = − 5 , cos A = − 12 13 13 = (sin 30° + sin 20°) − sin 20° = 1 2 จาก sin B = 0.6 = 3 และ B ∈ Q2 5 (51.3) 2[sin 90° + sin 60°] + 2[cos 180° + cos 150°] จะได้ cos B = − 4 = 2[1 + 3 ] + 2[−1 − 3 ] = 0 5 22 (48.1) cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B (51.4) 1 1 [sin 150°+ sin 66°] + [sin 150°+ sin(−66°)] = (− 12)(− 4) − (− 5 )(3) = 63 22 13 5 13 5 65 = sin 150° = 1 / 2 sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B หรอื มองเป็นสตู ร sin A cos B + cos A sin B = (− 5 )(− 4) + (− 12)(3) = − 16 13 5 13 5 65 = sin(A + B) = sin 150° = 1 / 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 180 ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ (51.5) จึงกระจายว่า tan 70° = tan(60° + 10°) 11 = tan 60° + B = 3 + B [cos 146°+ cos 10°] + [cos 34°+ cos 10°] − cos 10° 1 − (tan 60°)(B) 1 − 3B 22 (54.4) จาก A + B = 225° จะได้ = 1 [cos 146° + cos 34°] tan B = tan(225° − A) = 1 − tan A 2 1 + tan A = 1 [2 cos(146° + 34°) cos(146° − 34°)] โจทยถ์ าม ( cot A )( cot B ) 22 2 1 + cot A 1 + cot B = cos 90° cos 56° = 0 (นาํ tan A , tan B คณู ทั้งเศษและสว่ น) หรือมองเปน็ “โค-ฟงั ก์ชนั ” กอ่ น จะไดว้ ่า [sin 22° sin 12° + cos 22° cos 12°] − cos 10° = ( 1 )( 1 ) tan A + 1 tan B + 1 = cos(22° − 12°) − cos 10° = 0 แทนคา่ tan B จะได้ (51.6) (cos 105° + cos 35°) − cos 35° + cos 15° = cos 105° + cos 15° = 2 cos 60° cos 45° = ( 1 + 1)((1 − 1 ) =2⋅ 1 ⋅ 1 = 1 tan A tan A) 1 + 22 2 1 + tan A (52.1) [sin 5θ − sin θ] − [sin 5θ − sin 3θ] = ( 1 )( 1 + tan A )= 1 −[sin 3θ − sin θ] = 0 tan A + 1 1 − tan A + 1 + tan A 2 (52.2) − 1 [cos 9θ − cos 3θ] (54.5) sin 3θ cos θ − cos 3θ sin θ 2 sin θ cos θ − 1 [cos 3θ − cos θ] + 1 [cos 9θ − cos θ] = 0 = sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 22 sin θ cos θ sin θ cos θ (53.1) จาก sin2 A = 1 − cos 2A จะได้ว่า (55.1) [sin 50° + sin 10°] − cos 20° 2 = 2 sin 30° cos 20° − cos 20° โจทยถ์ าม = cos 20° − cos 20° = 0 1 [1 − cos 2A + 1 − cos(120° + 2A) + 1 − cos(120° − 2A)] (55.2) sin 10° + [cos 40° − cos 20°] 2 = sin 10° − 2 sin 30° sin 10° = 1 [3 − cos 2A − 2 cos 120° cos 2A] = sin 10° − sin 10° = 0 2 (55.3) cos 20° + [cos 100° + cos 140°] = 1 [3 − cos 2A + cos 2A] = 3 22 = cos 20° + 2 cos 120° cos 20° = cos 20° − cos 20° = 0 (53.2) เชน่ เดยี วกบั ข้อทแี่ ลว้ คอื (55.4) (cos 10° + cos 50°) + (cos 20° + cos 40°) จาก cos2 A = 1 + cos 2A จะได้วา่ (sin 10° + sin 50°) + (sin 20° + sin 40°) 2 = 2 cos 30° cos 20° + 2 cos 30° cos 10° 1 2 sin 30° cos 20° + 2 sin 30° cos 10° [1 + cos 2A + 1 + cos(120° + 2A) + 1 + cos(120° − 2A)] = 2 cos 30°(cos 20° + cos 10°) 2 2 sin 30°(cos 20° + cos 10°) = 1 [3 + cos 2A + 2 cos 120° cos 2A] 2 = 1 [3 + cos 2A − cos 2A] = 3 = cot 30° = 3 2 2 (56) sin 40° + sin 20° = 2 sin 30° cos 10° (54.1) แปลง cos 10° เป็น sin 80° กอ่ น (โค- ฟงั กช์ นั ) (หรอื แปลง sin 40° เปน็ cos 50° ก็ได)้ = cos 10° = 1 − 2 sin2 5° จะได้ sin 80° + sin 40° (57.1) cos π cos 3π 2 sin π cos π cos 3π sin 70° 5 2 sin5π 5 55 = = 2 sin 60° cos 20° = 3 5 sin 70° = sin 2π cos 3π ⋅ 2 (เพราะ cos 20° = sin 70° ) 2 5 5 (54.2) 2 cos 45° sin 30° = tan 30° = 1 2 sin π 5 2 cos 45° cos 30° 3 sin π − sin π 0 − sin π (54.3) ตรงตามสตู ร tan(α − β) จึงได้เปน็ = = = −1 5 5 4 tan 70° → ต้องตอบในรูป tan 10° = B 4 sin π 4 sin π 55 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 181 ฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ (57.2) cos π + cos 3π = 2(2 cos 36° sin 18°) = 4 55 sin 54° sin 18° 2 sin π cos π + 2 sin π cos 3π (เพราะ cos 36° = sin 54° ) 55 5 5 (59) จาก 4 sin2 A + 3 cos 2B = −2 = 2 sin π 5 → 4 sin2 A + 3(1 − 2 sin2 B) = −2 sin 2π + sin 4π − sin 2π → 4 sin2 A − 6 sin2 B = −5 ..... (1) = 55 5 และจาก sin 2A sec A = sin B 2 sin π → 2 sin A cos A sec A = sin B 5 → 2 sin A = sin B ..... (2) sin 4π = = 1 (เพราะ sin 4π = sin π ) แกร้ ะบบสมการได้ sin B = 1, − 1 5 2 55 แต่ B ∈ [0, π] ดงั น้ัน B = π เทา่ น้ัน 2 sin π 22 5 (57.3) cos π cos 2π cos 4π และได้ sin A = 1 → A = π 77 7 26 2 sin π cos π cos 2π cos 4π โจทย์ถาม 2 cos(A + B) = 2 cos 2π = −1 7 7 7 7 3 = 2 sin π (60) 3 cos 2A − 2 cos 2B = −3 7 → 3(1 − 2 sin2 A) − 2(1 − 2 sin2 B) = −3 ....(1) sin 2π cos 2π cos 4π sin A = 2 sin B ..... (2) 77 7 แทน (2) ใน (1) จะได้ = 2 sin π 7 sin 4π cos 4π sin 8π −1 3 − 24 sin2 B − 2 + 4 sin2 B = −3 8 = 77 = 7 = → sin2 B = 1 → แต่ B อยใู่ น Q1 5 4 sin π 8 sin π 77 ∴ sin B = 1 เทา่ นนั้ และจะได้ cos B = 2 (เพราะ sin 8π = − sin π ) 55 77 →∴ sin A = 2 sin B = 2 , cos A = 1 (57.4) 2 sin 5π cos π = sin π + sin π 55 24 24 46 โจทยถ์ าม sin(A + B) 22 = 1 ( 2 + 1) = 2 + 1 = sin A cos B + cos A sin B 22 2 4 = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 =4+ 1 =1 (57.5) 8 sin 70° sin 50° sin 10° ⋅ cos 10° 5 5 5 5 55 cos 10° (61) หาคา่ sin 3θ → sin 3θ = sin(2θ + θ) = 4 sin 70° sin 50° sin 20° ⋅ cos 20° = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ cos 10° cos 20° = (2 sin θ cos θ) cos θ + (1 − 2 sin2 θ) sin θ ( sin 70° = cos 20° ) = 2 sin θ(1 − sin2 θ) + (1 − 2 sin2 θ) sin θ = 2 sin 50° sin 40° = −(cos 90° − cos 10°) = 1 = 3 sin θ − 4 sin3 θ → ดงั นนั้ แกส้ มการได้เปน็ cos 10° cos 10° (58) (tan 9° + tan 81°) − (tan 27° + tan 63°) 3 sin θ + sin θ = 1 → sin θ = 1 → 4 = (tan 9° + cot 9°) − (tan 27° + cot 27°) โจทยถ์ ามค่า sec 2θ + cos(3π + θ) = ( sin 9° + cos 9°) − ( sin 27° + cos 27°) 2 cos 9° sin 9° cos 27° sin 27° = 1 + sin θ = 1 + sin θ = sin2 9° + cos2 9° − sin2 27° + cos2 27° cos 2θ 1 − 2 sin2 θ sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° = 1 + 1 = 8 + 1 = 39 1− 2 4 7 4 28 = 1− 1 sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° 16 = 2 − 2 = 2(sin 54° − sin 18°) sin 18° sin 54° sin 54° sin 18° Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 182 ฟง กชันตรีโกณมิติ (62) cos α cos β − sin α sin β = 3 − 4 3 (67) arcsin( 3) = π 10 23 ..... (1) และ arccos(− 1) = 2π cos α cos β + sin α sin β = 3 + 4 3 ..... (2) 23 10 (1) + (2) → cos α cos β = 3 (68) 2(− π) + π + π = 7π 34 12 2 10 (69) cos(arcsin(cos 2π) + 2π) (2) − (1) → sin α sin β = 4 3 77 2 10 = cos((π − 2π) + 2π) = cos π = 0 ∴ sin 2α sin 2β = 4 sin α cos α sin β cos β 27 7 2 = 4( 3 )(4 3) = 12 3 (70.1) ให้ A = arccos 4 จะได้ cos A = 4 10 10 25 55 (63) sin 2x = 2 sin x cos x 1 และ sin A = 3 1 + cos 2x 1 + 2 cos2 x − 5 = sin x = tan x = 2 ให้ B = arccos 12 จะได้ cos B = 12 และ cos x 13 13 (64) tan θ = 1 → แสดงวา่ sin θ = 1 sin B = 5 3 10 13 และ cos θ = 3 (เพราะ อย่ใู น Q1 ) [ sin ของ arccos เปน็ บวกเสมอ] 10 θ โจทย์ถาม cos(A + B) ∴ sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ = cos A cos B − sin A sin B = 4 ⋅ 12 − 3 ⋅ 5 = 33 = 2(2 sin θ cos θ)(1 − 2 sin2 θ) 5 13 5 13 65 = 2(2)( 1 )( 3 )(1 − 2 ) = 96 = 24 10 10 10 100 25 (70.2) ให้ A = arccos 3 และ B = arcsin(− 4) 55 (65) [sin(A + B) − sin(A − B)] โจทย์ถาม sin(A + B) − [sin(2A + B) − sin(2A − B)] = sin A cos B + cos A sin B = 2 cos A sin B − 2 cos 2A sin B = 2 sin B (cos A − cos 2A) = 4 ⋅ 3 + 3 ⋅ (− 4) = 0 55 5 5 = 2 sin B ( 5 + 1 − 2( 5 + 1)2 + 1) 44 [ cos ของ arcsin กเ็ ปน็ บวกเสมอเชน่ กนั ] (70.3) cos(2A) = 1 − 2 sin2 A = 2 sin B ( 5 + 1 − 3 + 5 + 1) = sin B 44 = 1 − 2 (9/25) = 7 / 25 (66) ก. ถกู (ตรงตามสตู รชุดทสี่ อง) (70.4) tan(2A) = 2 tan A = 2 (−1 / 2) = −4 ข. −2 sin(x + y) sin(x − y) 1 − tan2 A 1− 1/ 4 3 −2 [หมายเหตุ sin A = − 1 , cos A = 2 = cos 2x − cos 2y 55 −2 ∴ tan A = − 1 ] = 1 − 2 sin2 x − 1 + 2 sin2 y 2 −2 (71) ก. sin(π + 2A) 2 = sin2 x − sin2 y ถกู = sin π cos 2A + cos π sin 2A = cos 2A ค. 2 cos(x + y) cos(x − y) 2 22 = cos 2x + cos 2y = 2 cos2 A − 1 → หาคา่ cos A โดยที่ 2 tan A = 2 − 1 กอ่ น ... = 2 cos2 x − 1 + 1 − 2 sin2 y แกร้ ะบบสมการ sin A = ( 2 − 1) cos A 2 กับ sin2 A + cos2 A = 1 ได้ cos2 A = 1 4−2 2 = cos2 x − sin2 y ถกู ง. ผดิ เพราะตอ้ งได้ cos(5x − x) = cos 4x ∴ ตอบ 2( 1 ) − 1 = 2 − 1 = 1 4−2 2 2− 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 183 ฟง กชันตรีโกณมติ ิ ข. cos(3π − 2A) วิธีท2ี่ ใชส้ ูตร arctan จะได้ 2 arctan 5 + arctan 16 = arctan 3 = cos 3π cos 2A + sin 3π sin 2A = − sin 2A 12 63 4 22 → arctan 5 / 12 + 16 / 63 = arctan 3 1− 5 ⋅ 16 4 = −2 sin A cos A → หาคา่ sin A กับ cos A 12 ⋅ 63 โดยท่ี tan A = x ... ได้เปน็ → arctan 3 = arctan 3 ..OK.. sin A = x , cos A = 1 44 1 + x2 1 + x2 (76) การแก้สมการในข้อน้ี ส่วนมากทาํ ได้ 2 วธิ ี ดังนน้ั ตอบ −2x (เช่นเดียวกับข้อทแี่ ล้ว) คือ 1. ใสฟ่ ังก์ชนั sin, cos, 1 + x2 หรอื tan ท้งั สองข้าง กบั 2. ใชส้ ูตร arctan (72) A + B = arctan 1 + 2 arcsin 1 7 10 แตบ่ างกรณจี ะทาํ เปน็ arctan ไม่ได้ คอื เมอ่ื เปน็ แปลงเปน็ arctan เพอ่ื ใชส้ ูตร ได้เปน็ arccos (-) [เพราะนยิ ามไว้คนละควอดรนั ต์กนั ] arctan 1 + 2 arctan 1 ...ในข้อ (76.1) จะแสดงไวท้ งั้ สองวิธี แตห่ ลงั จากนั้น 73 จะเลอื กแสดงเพยี งวิธที ส่ี นั้ กวา่ เพยี งวิธเี ดียวเทา่ นน้ั .. = arctan 1 + arctan 2 / 3 7 1− 1/ 9 (76.1) วธิ ที ่ี 1 cos(arccos 4 − arcsin(− 3)) = x 55 = arctan 1 + arctan 3 74 → 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 3) = x → x = 7 55 5 5 25 = arctan 1 / 7 + 3 / 4 = arctan 1 =π 1 − 3 / 28 วิธีท่ี 2 arctan 3 − arctan(− 3) = arccos x 4 44 (73) sin A = 1 → cos A = − 8 → arctan 3 / 4 + 3 / 4 = arccos x 33 1 − 9 / 16 (ติดลบ เพราะ A อยใู่ น Q2 ) → tan A = − 1 arctan 24 = arccos x → x = 7 8 7 25 และ 7 tan(π tan π + tan A (76.2) x2 − x = tan(arcsin 7 + arccos 4) 4 3 25 5 4 + A) = 7 ⋅ tan π 1 − 4 tan A → x2 − x = 7 / 24 + 3 / 4 = 4 = 7 ⋅ 1 − 1 / 8 = 7( 8 − 1) = 7( 8 − 1)2 3 1 − 7 / 32 3 1+ 1/ 8 8+1 7 → x2 − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0 =9−4 2 → x = 4, − 1 (74) A + B + C = arctan 1 + arctan 1 + arctan 1 (76.3) arctan 1 / 7 + 1 / 8 + arctan 1 = arccot x 258 1 − 1 / 56 18 = arctan 1 / 2 + 1 / 5 + arctan 1 → arctan 3 + arctan 1 = arccot x 1 − 1 / 10 8 11 18 = arctan 7 + arctan 1 = arctan 7 / 9 + 1 / 8 → arctan 3 / 11 + 1 / 18 = arccot x 98 1 − 7 / 72 1 − 1 / 66 = arctan 1 = π → arctan 1 = arccot x → x = 3 3 4 2x + 1 + 2x −1 1 (75) วธิ ีที1่ ใส่ sin ท้งั สองขา้ ง จะได้ (76.4) arctan 1 − (4x2 − 1) = arccos 5 sin(arccos 12 + arcsin 16) = 3 → arctan 1 2x = arccos 1 13 65 5 − 2x2 5 → 5 ⋅ 63 + 12 ⋅ 16 = 3 → 2x =2 (เพราะ arccos 1 )= arctan 2 13 65 13 65 5 1 − 2x2 5 → 315 + 192 = 3 → 3 = 3 ..OK.. → แกส้ มการได้ x = 1 , − 1 13 ⋅ 65 5 5 5 2 (76.5) arctan x + 2(π) = 3π 44 → arctan x = π → x = 1 4 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 184 ฟงกชันตรีโกณมติ ิ (76.6) ใส่ tan ทั้งสองขา้ ง ดงั นน้ั cos θ = 0 หรอื sin θ = 1 หรอื 2 → 1+ x + 1− x = 1 1 − (1 − x2) sin θ = −1 ... ∴ θ = π , π , 5π , 3π 62 6 2 → 2 = 1→ x = ± 2 x2 (79.3) 2 sin 2θ + 3 cos 2θ − 3 = 0 (76.7) ใส่ sin ทงั้ สองขา้ ง sin 2θ sin 2θ → 2 sin2 2θ + 3 cos 2θ − 3 = 0 → ( 3)(0) + (− 1)(1) = x → x = − 1 → 2 (1 − cos2 2θ) + 3 cos 2θ − 3 = 0 22 2 → 2 cos2 2θ − 3 cos 2θ + 1 = 0 แต่ arccos(− 1) + π = 2π + π = 7π 22 32 6 → (2 cos 2θ − 1)(cos 2θ − 1) = 0 ซ่งึ ไม่อยใู่ นช่วง arcsin (แม้วา่ sin 7π = − 1 → cos 2θ = 1 หรอื 1 / 2 62 แต่ cos 2θ = 1 ไมไ่ ด้ เพราะจะทาํ ให้ sin 2θ = 0 ดังนนั้ cos 2θ = 1 / 2 เทา่ นนั้ ก็ตาม ..แต่ arcsin(− 1) = − π ) ∴ ไม่มีคําตอบ 26 → 2θ = π → θ = π (77) จาก arctan 3x − arctan x = π 36 6 (79.4) (cos2 x − sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = 1 จะได้วา่ arctan 3x −x = π 1+ 3x2 → cos2 x − sin2 x = 1 → cos 2x = 1 6 → 2x = 0, 2π, 4π → x = 0, π, 2π → 2x = 1→ 3x2 − 2 3x + 1 = 0 1 + 3x2 3 → ( 3x − 1)2 = 0 → x = 1 (79.5) 4 sin2 x − 6 sin x + 2 =0 3 cos x cos2 x ดังนน้ั tan(arctan 3x + arctan x) → 4 sin2 x cos2 x − 6 sin x cos x + 2 = 0 2 → sin2 2x − 3 sin 2x + 2 = 0 = tan(arctan 3 + arctan(1 / 3)) → (sin 2x − 2)(sin 2x − 1) = 0 x= π 2 → sin 2x = 1 เทา่ นน้ั ∴ 2x = π → 4 = tan(π / 3 + π / 6) = tan π = 1 2 24 (79.6) (78) cos2(arctan x) = 1 (4 sin x cos x + 2 sin x) + (2 2 cos x + 2) = 0 4 → 2 sin x (2 cos x + 1) + 2 (2 cos x + 1) = 0 → cos(arctan x) = 1 หรอื − 1 22 → (2 sin x + 2)(2 cos x + 1) = 0 → x = 3 หรอื − 3 ดงั นนั้ sin x = − 1 หรอื cos x = − 1 22 แตโ่ จทยก์ าํ หนด 1 <1 ดงั นั้น x = − 3 เทา่ นั้น → x = 2π , 5π , 4π , 7π ex 3434 [e 3 > 1] ∴ x + tan(arctan x) = x + x = 3x = −3 3 (79.7) 2 [ 1 sin x + 3 cos x] = sec(x + π) 2 22 2 22 3 sin x − 1 − sin x − 1 (79.1) sin2 x − 1 = 4 → 2 [sin x cos π + cos x sin π] = sec(x + π) −2 1 333 − cos2 x 2 → = 4 → cos x = ± → 2 sin(x + π) = sec(x + π) → x = π , 3π , 5π , 7π 33 44 4 4 → 2 sin(x + π) cos(x + π) = 1 (79.2) จาก sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ 33 = 4 sin θ cos θ (1 − 2 sin2 θ) จะไดว้ ่า → sin(2x + 2π) = 1 3 โจทย์กลายเป็น → 2x + 2π = 5π , 9π → x = 11π , 23π 3 22 12 12 4 sin θ cos θ − 8 sin3 θ cos θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos θ → 2 cos θ (3 sin θ − 4 sin3 θ − 1) = 0 → 2 cos θ (2 sin θ − 1)2(sin θ + 1) = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 185 ฟง กชันตรีโกณมิติ (79.8) 2 sin2 x + sin x + 1 = 2 2 sin2 x + sin x (82.1) [โคฟังกช์ ัน] อาจพิสจู นจ์ ากสตู ร tan(α − β) ให้ 2 sin2 x + sin x = A จะได้วา่ คือ tan(90° − A) = tan 90° − tan A A + 1 = 2 A → A2 + 2A + 1 = 4A 1 + tan 90° tan A → A2 − 2A + 1 = 0 → A = 1 [ tan 90° = ∞ จงึ ตอ้ งนาํ ไปหารทง้ั เศษและสว่ น] ∴ 2 sin2 x + sin x = 1 = 1− tan A = 1−0 = cot A 1 tan 90° 0 + tan A → (2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0 + tan A → sin x = 1 หรอื −1 → x = π , 5π , 3π tan 90° 2 66 2 (82.2) จาก cos 2A = 1 − 2 sin2 A (79.9) ใช้ผลทคี่ ดิ ไวใ้ นขอ้ (61) คือ sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x ดงั นั้นโจทยก์ ลายเป็น → sin2 A = 1 − cos 2A ..... (1) 2 sin x − 2 sin x cos x + 3 sin x − 4 sin3 x = 0 → 2 sin x (2 − cos x − 2 sin2 x) = 0 และ cos 2A = 2 cos2 A − 1 → 2 sin x (2 − cos x − 2(1 − cos2 x)) = 0 → cos2 A = 1 + cos A ..... (2) 2 → 2 sin x (− cos x + 2 cos2 x) = 0 (1) ; tan2 A = 1 − cos 2A (2) 1 + cos 2A → 2 sin x (cos x)(2 cos x − 1) = 0 ถา้ ให้ A = x จะได้ tan2 x = 1 − cos x 2 2 1 + cos x → sin x = 0 หรอื cos x = 0 หรือ cos x = 1 2 (82.3) จาก ∴ x = 0, π , π , π, 3π , 5π , 2π (1) sin x + sin y = 2 sin(x + y) cos(x + y) 22 32 2 3 และ (2) cos x + cos y = 2 cos(x + y) cos(x + y) (80.1) (2 sin2 x − 1)(sin2 x + 2) > 0 → 22 หรอืsin2 x > 1 → sin x > 1 sin x < − 1 (1) ; sin x + sin y = tan(x + y) 22 2 (2) cos x + cos y 2 sin x = 1 / 2 (82.4) จาก 1 − cos2 x = sin2 x นาํ tan2 x คณู สองข้าง → tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x sin x = − 1 / 2 (82.5) (cos A − sin A)2 22 ตอบ [π , 3π] ∪ [5π , 7π] 44 44 = cos2 A − 2 sin A cos A + sin2 A 2 22 2 (80.2) 3 sin x + 1 cos x < 1 22 2 = 1 − sin A → cos π sin x + sin π cos x < 1 (83) ผลจากขอ้ (82.3) จะไดว้ า่ 6 62 sin A + sin B = tan(A + B) cos A + cos B 2 → sin(x + π) < 1 แต่ A + B = 180° − C 62 ∴ จะได้เป็น tan(180° − C) = tan(90° − C) 22 → x + π ∈ (5π , 13π) ตอบ x ∈ (2π , 2π) = cot C [โคฟงั กช์ ัน] 6 66 3 2 (81) 1 − 2 sin2 θ = sin θ (84) ใช้กฎของ cos หามมุ A ก่อน ... → (2 sin θ − 1)(sin θ + 1) = 0 102 = (10 3)2 + 102 − 2(10 3)(10) cos A → sin θ = 1 หรอื −1 → cos A = 3 ∴ A = 30° 2 2 ตอบ π ± 2π n จากนัน้ อาจใชก้ ฎของ cos หามุม B, C 63 หรือจะใช้กฎของ sin ก็ได้ แตจ่ ากการสงั เกตพบวา่ ΔABC เป็นสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั (เพราะ a = c ) เม่ือ n คอื จํานวนเต็ม ดงั นน้ั c = 30° ดว้ ย และ B = 180° − 30° − 30° = 120° Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 186 ฟง กชันตรีโกณมติ ิ (85) (4 5)2 = (2 5)2 + (3 5)2 − 2(2 5)(3 5) cos B (94) (x2 + xy + y2) = x2 + y2 − 2xy cos A → cos B = − 1 (แสดงวา่ B อยใู่ น Q2 ) จะได้ cos A = − 1 คอื เป็นสามเหลยี่ มมุมปา้ น 4 2 จาก cos B = 1 − 2 sin2 B (95) x = 3202 + 3802 − 2(320)(380)(0.788) 2 = 234.86 ไมล์ 320 x ∴ sin2 B = 5 → sin B = 5 28 28 38° (เปน็ บวกเทา่ นนั้ เพราะ B ตอ้ งอยใู่ น Q1 ) 2 (96) 380 (86) ให้ a = 4x, b = 5x, c = 6x จะไดว้ ่า h = tan A → x = h cot A AB x h (4x)2 = (5x)2 + (6x)2 − 2(5x)(6x) cos A h = tan B → y = h cot B y → cos A = 3 ... 4 ∴ y − x = h (cot B − cot A) AB x และด้วยวธิ เี ดียวกนั ได้ cos B = 9 , cos C = 1 ดังนน้ั เรอื อยูห่ า่ งกัน 16 8 y = 300 (0.9397 − 0.8387) พบวา่ 2 cos2 A − 1 = 2(3)2 − 1 = 1 = cos C 0.3430 0.5446 48 → ∴ C = 2A = 359.9 เมตร (87) b2 = 42 + 82 − 2(4)(8)(0.422) = 52.992 (97) h = tan 45° → AC = h cot 45° AC → b = 7.28 h = tan 30° → BC = h cot 30° (88) กฎของ sin → sin C = 0.454 ดงั นนั้ BC h 15 12 A 45° sin C = 0.5675 → C ≈ 34.6° หรอื 145.4° (89) sin B = sin 45° → sin B = 3 แต่ AC2 + 402 = BC2 40 30° C 23 22 2 B N ดงั นนั้ B = 60° → C = 75° ∴ h2 cot2 45° + 402 = h2 cot2 30° arctan 0.6 หรอื B = 120° → C = 15° → h= 40 (90) sin C = sin 30° → sin C = 3 cot2 30° − cot2 45° 150 50 3 2 = 40 = 20 2 เมตร 3−1 ดังนนั้ C = 60 → A = 90° สามเหลย่ี มมุมฉาก (98) ให้ PQ ยาว a P หรือ C = 120° → A = 30° สามเหล่ียมหนา้ จ่วั และ QS ยาว 4b (91) a = 12 → a = 5.61 a 0.342 0.731 b 3b S (92) กระจายแลว้ จดั ขา้ งเปน็ a2 = b2 + c2 − bc QR ∴ cos A = 1 → A = 60° จากความสมั พันธ์ SPˆR + RPˆQ = SPˆQ 2 จะได้ arctan 0.6 + arctan b = arctan 4b (93) กระจายแลว้ ได้ a2 = b2 + c2 − bc เช่นกัน aa ∴ cos A = 1 → A = 60° → arctan( 0.6 + b / a ) = arctan 4b 2 1 − 0.6 b / a a จาก 4a2 = 6b2 → a = 3/2 b → ใช้กฎของ sin ไดว้ า่ 3/2 b b → ตัด arctan ออกท้งั สองข้างแล้วจดั รปู สมการ ไดเ้ ป็น = sin 60° sin B → a2 − 5ab + 4b2 = 0 sin B = 1 → B = 45° หรอื 135° → (a − 4b)(a − b) = 0 2 → a = 4b หรอื a = b แต่ 135° + 60° > 180° ∴ B = 45° เทา่ นนั้ ∴ tan SPˆQ = 4b = 1 หรอื 4 → 1 + 2 sin2(3A − 2B) = 1 + 2(1)2 = 3 a Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 187 ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทมึ exp+ logar º··èÕ 8 ¿˜§¡ª¹a eo¡æ«Åoa¾Åeo¹¡¹Òeê·iÂÕ ÖÁÅ การเพม่ิ ข้ึนหรือลดลงของจํานวนประชากรตาม ธรรมชาติ ปริมาณรังสี หรือเงนิ ฝากในธนาคาร โดยท่ัวไปไม่ไดเ้ ปน็ สัดส่วนแบบเสน้ ตรง แต่เปน็ แบบ ทวคี ูณ (ยกกําลงั ) ทาํ ให้เราจาํ เปน็ ตอ้ งศึกษาเก่ยี วกับ เลขยกกาํ ลงั รวมท้ังฟงั ก์ชนั ที่เกีย่ วข้อง คอื ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล (Exponential Function) และ ฟงั กช์ นั ลอการทิ ึม (Logarithmic Function) 8.1 ฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกาํ ลัง เลขยกกาํ ลงั จะเขียนในรูป an เรียก a วา่ ฐาน และเรียก n วา่ เลขชก้ี าํ ลัง (Exponent) โดย an ใช้แทน a คูณกันเปน็ จํานวน n ตัว หรอื an = a ⋅ a⋅ a ⋅ ... ⋅ a 1 n ตัว an นยิ ามให้ a0 = 1, a−n = (โดยที่ a ≠ 0) และ a1/n = n a Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 188 ฟง กชนั เอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ ึม ทฤษฎีบทที่เกย่ี วกบั เลขยกกําลงั ไดแ้ ก่ ⎧ am ⋅ an = am + n ⎪⎧ (ab)n = an ⋅ bn ⎪ • ⎨ (a/b)n = an / bn • ⎨ am ⎪⎩ ⎩⎪ an = am − n (am)n amn ⎧ n ab = n a ⋅ n b ⎧ = ⎪⎪ ⎪ m • ⎨ na na • ⎨ ⎪ b = nb ⎪⎩ ⎪⎩ n am = a n โดย n เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ (ไม่จําเป็นต้องเปน็ จํานวนเตม็ ) และกรณีกรณฑ์ n ≠ 0 หมายเหตุ คําว่า รากที่สอง กบั เครือ่ งหมาย กรณฑ์ (radical : • หรือ •1/2 ) มคี วามหมายต่างกัน “รากท่ีสอง ของ 16” ได้แก่ 4 และ –4 แต่ “ 16 หรือ ”161/2 มคี า่ เท่ากบั 4 อยา่ งเดยี วเท่าน้ัน การหารากทส่ี องของ M ± N พิจารณา ( a + b)2 = (a+b) + 2 ab และ ( a − b)2 = (a+b) − 2 ab ดังน้นั ถ้าเราให้ a+b = M และ 4ab = N แล้วแก้ระบบสมการหาค่า a, b ก็จะได้คาํ ตอบ สรปุ รากทีส่ องของ M + N ไดแ้ ก่ ±( a+ b) รากทส่ี องของ M − N ได้แก่ ±( a− b) เมือ่ a+b = M และ 4ab = N เช่น รากที่สองของ 6 − 35 หาได้จาก a+b = 6 และ 4ab = 35 นนั่ คอื a, b = 3.5, 2.5 จงึ ได้คาํ ตอบว่า 3.5− 2.5 และ 2.5− 3.5 รากท่ีสองของ 72 + 40 หาไดจ้ าก a+b = 72 = 6 2 และ 4ab = 40 นัน่ คอื a, b = 5 2, 2 จงึ ไดค้ าํ ตอบวา่ 5 2 + 2 และ − 5 2 − 2 การแกส้ มการทีม่ ีเคร่อื งหมายกรณฑ์ (1) สมการทมี่ ี ax+b บวกลบกนั อยหู่ ลายพจน์ ควรยา้ ยขา้ งใหจ้ ํานวนพจน์เทา่ ๆ กนั และ สัมประสทิ ธิห์ น้า x รวมเท่าๆ กันทีส่ ดุ จากนัน้ จึงยกกาํ ลงั ทั้งสองข้างไปจนกวา่ เครื่องหมายกรณฑจ์ ะ หมดไป ... การยกกําลงั เช่นน้ี มกั ทาํ ให้ไดค้ ําตอบเกิน ดงั น้นั ต้องตรวจคาํ ตอบเสมอ (2) หากสิง่ ที่อยูใ่ นเครื่องหมายกรณฑ์น้นั ยาวมาก ใหส้ มมติส่ิงนั้นเปน็ ตัวแปร A ไปก่อน แล้วทําตวั แปรทเี่ หลอื ในสมการให้อยู่ในรูป A ท้ังหมด เพ่อื ให้สมการสั้นลงและคาํ นวณสะดวกขึ้น • ตัวอยาง ใหห าเซตคาํ ตอบของสมการตอ ไปนี้ ก. x + 1 = 4x + 9 วิธีคดิ ยกกาํ ลังสองทง้ั สองขาง จะได x2+ 2x + 1 = 4x + 9 → x2− 2x − 8 = 0 แยกตวั ประกอบไดเปน (x − 4)(x + 2) = 0 ... ดงั นนั้ คาํ ตอบนา จะเปน 4, −2 แตเมื่อลองแทนคา แลว พบวา 4 ทาํ ใหสมการเปน จริง แต −2 ใชไ มไ ด ... ดังนนั้ ตอบ {4} ข. x2 − 7 + x2 − 12 = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 189 ฟงกช ันเอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ มึ วธิ ีคดิ สมมติให x2− 7 = A เพือ่ ใหม องงายข้นึ ... กลายเปน A + A − 5 = 5 ยา ยขา งสมการใหม ีจํานวนกรณฑส องฝง เทาๆ กนั คือ A − 5 = 5 − A จากนัน้ ยกกาํ ลงั สองทงั้ สองขา ง ไดเ ปน A − 5 = 25 − 10 A + A → A = 3 ยกกําลงั สองอีกครงั้ ... A = 9 ... ตรวจสอบคาํ ตอบใน A + A − 5 = 5 แลว พบวาใชไ ด ดังนั้น x2 − 7 = 9 → x2 = 16 → x = 4, − 4 ... จงึ ตอบ {4, − 4} ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล คือฟังกช์ ันเลขยกกําลงั กําหนดรูปทว่ั ไปเปน็ f (x) = ax โดยค่าของฐาน a อยู่ในชว่ ง (0, 1) หรอื (1, ∞) เท่านน้ั นํามาเขยี นกราฟได้ดังนี้ y y (0,1) (0,1) Ox Ox y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 ฟงั ก์ชันเพม่ิ ฟงั กช์ ันลด ข้อสังเกต 1. ค่า x เปน็ อะไรกไ็ ด้ แต่คา่ y เป็นบวกเสมอ ... Dexp = R , Rexp = R+ 2. ในทีน่ ้ีกราฟผ่านจดุ (0, 1) เสมอ ... เนอื่ งจาก a0 = 1 ทุกๆ คา่ a ทไี่ ม่ใช่ศนู ย์ 3. จากการเลือ่ นแกนทางขนาน จะไดส้ มการเอกซโ์ พเนนเชยี ลเปน็ y−k = ax−h แบบฝึกหดั 8.1 (1) จงทําให้เปน็ รูปอย่างงา่ ย 1 (1.1) 327 ⋅ 4 − 17 (1.4) ⎛ 729n + 812n ⎞ n (1.2) (x−3y−2z0)−2 ⎜⎝ 27n + 243n ⎠⎟ (1.5) ⎛ 4n⋅ 9n + 1 + 32n⋅ 22n + 1 ⎞ ⎝⎜⎜ 9n⋅ 22n + 2 + 4n⋅ 32n + 1 ⎠⎟⎟ (1.3) ⎛ 4x−2 − 4x−1+ 1⎞ ⎜⎝⎜ 2x−2 − x−1 ⎟⎠⎟ (2) จงทําใหเ้ ป็นรปู อยา่ งง่าย (2.1) ⎛ 3a+ a− 75 a + 4a ⎞2 ⎜ 5 3 3 ⎟ ⎝ 3 ⎠ (2.2) ⎛ 2⎞ ⎜⎜⎝ x2 − x4 + 2x2 + 1 ⎠⎟⎟ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 190 ฟงกชนั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทึม (3) ใหห้ าคา่ ของ (3.1) ⎛1 + 1+ 1 + ... + 1⎞ ⎜ 2+ 3 3+ 4 ⎟ ⎝ 1 + 2 8+ 9 ⎠ (3.2) ⎛ 5− 2+ 5+ 2 ⎞ ⎜⎝⎜ 5+ 2 5− 2 ⎟⎟⎠ (3.3) ( 18 + )320 ( )(3.4) 10 + 84 − 10 − 84 (3.5) ⎛ 2+ 3− 5⎞ ⎝⎜⎜ 12 − 2 35 7 − 2 10 9 − 2 14 ⎟⎟⎠ (3.6) ⎛⎜(6 + 35)3 2 − (6 − 35)3 2 ⎞ ⎟ ⎝ 13 10 ⎠ (4) ตอบคําถามตอ่ ไปน้ี (4.1) [Ent’20] ใหห้ าคา่ ของ x2− 4xy + y2 เมื่อ x = 6 + 3 และ y = 6− 3 6− 3 6+ 3 (4.2) ให้เรยี งลําดบั จํานวนจากน้อยไปมาก ก. 3 25 3 ข. 5 20 3 ค. 7 15 3 ง. 9 10 3 (4.3) ถ้า 2.44 × 7.17 = 0.56 แล้ว ใหห้ าค่าของ 0.0244 × 71.7 3.9 × 8 390 × 0.008 (5) ขอ้ ความต่อไปนถี้ กู หรือผิด (5.1) ถา้ ax > 1 และ 0 < a < 1 แล้ว x > 0 (5.2) ถ้า x < 0 และ a > 1 แล้ว 0 < ax < 1 (5.3) 5 2 < 5 3 (5.4) (sin 1°) 3 < (sin 1°) 2 (5.5) (ta n 46°) 2 < (ta n 46°) 3 (6) ให้หาคาํ ตอบของสมการ S ¨u´·¼èÕ i´ºo‹ Â! S (6.1) [Ent’33] x 1/2 − x 1/4 − 6 = 0 (6.2) 2x+1 = x + 1 ãËˌ Ò¤‹Ò x ·Õè·Òí ãˌ 2x = 0 (6.3) [Ent’33] 2x+1 − x−3 = 2 ¹oŒ §æ ËÅÒ¤¹µoºÇҋ 0 ... 测·¨èÕ Ã§i ¤×o äÁ‹ÁÕ¤Òí µoº (6.4) 2x−3 + x+2 = 7x−5 1. 20 = 1 ¹a (6.5) x2 + 6 x2 −2x+5 = 11 + 2x 2. 2 ¡¡Òí ŧa ´ÇŒ ¨íҹǹ¨Ã§i ã´¡çäÁÁ‹ շҧ䴌 0 ¹a¤Ãºa æÅaäÁ‹Ç‹Ò¨ae»¹š eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅã´æ ¡äç ÁÁ‹ ·Õ ҧ䴌 0 (6.6) (x + 1) 2 = 5( x2 +2x+2 − 1) (´Ù¨Ò¡¡ÃÒ¿¡äç ´Œ¤Ãaº ¤Ò‹ y ·äèÕ ´ŒµŒo§e»¹š ºÇ¡eÊÁo) (6.7) x2 +3x+15 + x2 +3x+6 = 9 (6.8) 2x2 −6x−27 − x2 −6x−2 = x − 5 (6.9) 3 6(5x+6) − 3 5(6x−11) = 1 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 191 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการทิ ึม 8.2 การแก้สมการทเี่ ป็นเอกซ์โพเนนเชียล (1) สมการในรูป af(x) = bg(x) จะตอ้ งแปลงฐานทง้ั สองขา้ งใหเ้ ทา่ กนั เพ่อื กําจดั ฐานท้งิ ไป ตามสมบัตทิ ่วี า่ aM= aN ↔ M = N (2) ถา้ มีพจน์เลขยกกําลังฐานเดยี วกัน บวกลบกันอยู่ เช่น ax, a2x อาจสมมติเปน็ ตวั แปร A, A2 เพือ่ ให้คํานวณสะดวกข้ึนเช่นเดิม (ฐานมักจะเปน็ จาํ นวนเฉพาะ) แตถ่ า้ มฐี านอนื่ อยดู่ ว้ ย จะใช้ ตัวแปร B อีกอนั กไ็ ด้ และเมือ่ จดั กล่มุ เลขยกกาํ ลังเป็นพวกๆ แล้ว จึงทาํ การคํานวณตอ่ ไป (3) อสมการ ใช้สมบตั ิของฟังกช์ นั เพม่ิ /ฟังกช์ ันลด ในการกําจัดฐาน คอื aM> aN ↔ M > N เมอื่ a > 1 (ฟังก์ชนั เพิ่ม) และ aM> aN ↔ M < N เม่อื 0 < a < 1 (ฟังกช์ นั ลด) • ตัวอยาง ใหหาคําตอบของสมการตอไปนี้ ก. (0.1)x+2 = 10 x วิธีคดิ สมการอยูในรปู af(x) = bg(x) จึงทําฐานใหเ ทากนั เชน ทาํ เปนฐาน 0.1 จะได (0.1)x+2 = ((0.1)−1)x ... ดงั นั้น x + 2 = −x → 2x = −2 → x = −1 ข. 8x − 3 ⋅ 4x − 6 ⋅ 2x + 8 = 0 วธิ ีคิด สมการนีม้ ีเอกซโพเนนเชียลฐาน 2 ลว นๆ ดงั น้นั สมมติให 2x = A เพือ่ ใหม องงา ยขน้ึ จะได 23x − 3 ⋅ 22x − 6 ⋅ 2x + 8 = 0 → A3 − 3A2 − 6A + 8 = 0 แยกตวั ประกอบไดเ ปน (A − 4)(A − 1)(A + 2) = 0 ... ดงั นนั้ A = 4, 1, −2 นน่ั คือ 2x = 4, 1, −2 ... แสดงวา x = 2, 0 (สว นกรณี 2x = −2 นน้ั เปน ไปไมได เพราะเอกซโ พเนนเชียลตอ งมีคา เปน บวกเสมอ) แบบฝกึ หดั 8.2 (7) ให้หาคําตอบของสมการ (7.1) ⎜⎝⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞x + 3 (7.5) ⎛ 1⎞ x 4 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ = ⋅ 2 2x + 1 = 1 (7.2) 101+ x2 = 1002x (7.6) 18 8 − 4x = (54 2) 3x −2 (7.3) ⎜⎛⎝ 3 ⎠⎟⎞ 2x + 1 ⎛ 8 ⎞−4 (7.7) (5 + 2 6) x = 3 + 2 2 ⎜⎝ 27 ⎠⎟ = (7.4) ⎛ 4 ⎞x ⎝⎜⎛ 27 ⎞x − 1 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 8 ⎠⎟ = 1 (8) ใหห้ าคาํ ตอบของสมการ (8.1) 4 x + 1+ 64 = 2 x +5 (8.2) 4 x +2 − 2(4 x + 1) = 2 4x (8.3) 2 2x +2 − 9 ⋅ 2 x + 2 = 0 (8.4) [Ent’29,32] 2 2x + 1− 9 ⋅ 2 x −1+ 1 = 0 (8.5) 3 2x +2 − 3 x + 3 − 3 x + 3 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 192 ฟงกช นั เอกซโพเนนเชียลและลอการทิ ึม (8.6) 3 2x + 3 − 55 = 28 (3 x − 2) (8.7) [Ent’31,33] 6(2 5x) + 11(2 3x) − 3(2 x) = 2 5x + 1 (8.8) [Ent’34] 3 1+ x2 + x −2 + 9(3 − x2 + x −2) = 28 (9) ให้หาคําตอบของสมการ (9.1) 3(3 x + 3 − x) = 10 (9.3) ⎛⎜⎝ 4 ⎠⎞⎟ x ⎝⎛⎜ 3 ⎠⎟⎞ x 25 3 4 12 + = (9.2) 3(3 2x + 3 −2x) = 10 (9.4) [Ent’35] x + 1−x = 2 1 1−x x 6 (10) ให้หาคาํ ตอบของสมการ (10.1) 5 2x + 1− 25 x = 4 x +(1/2)+ 2 2x + 3 (10.2) 4 x − 3 x −(1/2)= 3 x +(1/2)− 2 2x − 1 (10.3) 6(3 2x) − 13(6 x) + 6(2 2x) = 0 (10.4) 25(16 x) − 40 (20 x) + 16(5 2x) = 0 (10.5) [Ent’39] 3 x2 +2x − 3 x2 + 1− 9 x + 1+ 27 = 0 (11) ใหห้ าชว่ งคาํ ตอบของอสมการ (11.5) (sin 1°)x +5 > (sin 1°)2 (11.1) 10 x + 1 < 1/10x + 1 (11.6) (cot 1°)x +5 < (cot 1°)2 (11.7) (cos 45°) x +2 < (sin 45°)5 (11.2) 2x2 −5 > 1/16 (11.8) a x2 + 7 < a8(x −1) (11.3) (0.5)x2 −3x < (0.5)x −3 (11.4) ⎝⎛⎜ 1 ⎠⎞⎟ x2 + 2x + 8 ⎛ 1 ⎞ x + 12 2 ⎝⎜ 4 ⎠⎟ < 8.3 ฟังกช์ ันลอการิทมึ และกฎของลอการิทมึ ฟงั ก์ชันลอการิทมึ เปน็ อินเวอรส์ ของเอกซ์โพเนนเชยี ล เขียนไดใ้ นรูป f (x) = logax ความสัมพนั ธ์ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทมึ คอื x = ay ↔ y = logax โดยค่าของฐาน a จะต้องอยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞) ซง่ึ นาํ มาเขยี นกราฟได้ดังน้ี yy O (1,0) x O (1,0) x y = loga x, a > 1 y = loga x, 0 < a < 1 ฟังกช์ นั เพ่มิ ฟงั กช์ นั ลด ขอ้ สังเกต 1. ค่า x ตอ้ งเป็นบวกเสมอ สว่ นคา่ y เปน็ อะไรก็ได้ ... Dlog = R+ , Rlog = R 2. ในทีน่ ีก้ ราฟผา่ นจุด (1, 0) เสมอ ... แสดงว่า loga1 = 0 ทกุ ๆ ค่า a ท่ีเป็นฐานได้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 193 ฟง กชนั เอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ มึ 3. จากการเล่อื นแกนทางขนาน จะได้สมการลอการิทมึ เป็น y−k = loga(x−h) 4. logax อา่ นว่า “ล็อก x ฐาน a” หรอื “ลอการทิ มึ x ฐาน a” กฎของลอการทิ มึ ไดแ้ ก่ ⎧ loga 1 =0 • logap b q = q loga b ⎨ loga a =1 p • ⎩ • ⎪⎧ mloga n = nloga m ⎧ loga(mn) = loga m + loga n ⎨ ⎪ = loga m − loga n ⎩⎪ aloga n = n • ⎨ loga ⎝⎜⎛ m ⎠⎟⎞ logc b 1 ⎪⎩ n logc a logb a • loga b = = หมายเหตุ a, b, c, m, n ∈ R+ โดยที่ a, b, c ≠ 1 และ p, q ∈ R หากลอการทิ ึมมฐี านเปน็ 10 เรยี กวา่ ลอการิทมึ สามญั (Common Logarithms) อาจละไว้ ไม่ตอ้ งเขียนฐานกาํ กบั คือเขียนเพียง log x ก็ได้ นอกจากน้นั ลอการทิ ึมทม่ี ฐี านเป็นค่าคงท่ที าง วิทยาศาสตร์ e ( ≈ 2.718 ) จะเรียกว่า ลอการทิ มึ ธรรมชาติ (Natural Logarithms หรอื Napierian Logarithms) และใชส้ ญั ลักษณ์ ln x แทน logex การหาคา่ ลอการิทมึ สามญั โดยใช้ตาราง เนือ่ งจากในตารางระบเุ พียงคา่ log 1 จนถึง log 9.99 เท่านัน้ หากต้องการหาค่า log N เราจะต้องเขียนจํานวน N เปน็ รูป N0× 10n เม่ือ 1 < N0< 10 และใช้กฎของลอการิทมึ วา่ log N = log (N0× 10n) = log N0 + n ตวั อยา่ งเชน่ log 1, 150 มีค่าเทา่ กบั log (1.15 × 103) หรอื log (1.15) + 3 จากตารางพบวา่ log (1.15) ≈ 0.0607 ดงั นนั้ log 1, 150 ≈ 3.0607 หมายเหตุ 1. หากคา่ N0 ในตารางไมล่ ะเอียดพอ จะตอ้ งใชว้ ิธีประมาณโดยเทียบสดั ส่วนระยะทาง 2. เราเรียก n (เปน็ จํานวนเต็มเสมอ) วา่ แคแรกเทอริสติก (Characteristic) ของ log N และเรยี ก log N0 (มคี า่ ระหว่าง 0 ถงึ 1 เสมอ) ว่า แมนทิสซา (Mantissa) ของ log N 3. ตารางทกี่ าํ หนดให้ เป็นคา่ ลอการทิ ึมสามัญ (ฐาน 10) เท่านั้น ถ้าต้องการหาคา่ ลอการทิ มึ ฐานอื่นๆ ตอ้ งอาศยั กฎของลอการทิ มึ ชว่ ยแปลงฐาน นน่ั คอื logab = log b ÷ log a และ ln b = log b ÷ log e ( log e ≈ 0.4343 ) การหาคา่ แอนตลิ อการิทึมโดยใชต้ าราง จากตัวอยา่ งท่แี ล้ว เราทราบวา่ คา่ log ของ 1,150 เป็น 3.0607 (โดยประมาณ) สามารถกล่าวแบบยอ้ นกลับไดว้ ่า ค่า antilog ของ 3.0607 เปน็ 1,150 ตัวอย่างเช่น ตอ้ งการหาค่า M ท่ีทําให้ log M = 3.0607 เราตอ้ งทํา 3.0607 ใหอ้ ยใู่ นรปู ผลบวก ของแคแรกเทอริสติกกบั แมนทิสซาก่อน นัน่ คอื 3 + 0.0607 จากนั้นเปิดตารางไดเ้ ป็น log 103 + log 1.15 หรือ log (1.15 × 103) ดงั น้นั M ≈ 1, 150 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 194 ฟง กชนั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทึม หมายเหตุ ตอ้ งทําใหแ้ มนทสิ ซาเปน็ บวกเสมอ เช่น log M = −3.0607 ไม่ควรทาํ เปน็ −3 − 0.0607 แตต่ ้องทําเป็น −4 + 0.9393 เพื่อให้คํานวณไดส้ ะดวก แบบฝึกหัด 8.3 (12) ใหห้ าคา่ ของ (12.1) log 0.01 + log20.25 + log50.04 + log500.0004 (12.2) log2 cos 60° + 7 log3 tan 30° − log8 sin 90° + log4 sin 30° (12.3) log1 8 + log 1 2 + log2 1 + log8 1 8 2 2 8 (12.4) log (20) + 7 log ⎜⎝⎛ 15 ⎞⎟⎠ + 5 log ⎜⎛⎝ 24 ⎟⎞⎠ + 3 log ⎛⎝⎜ 80 ⎞⎠⎟ 16 25 81 (12.5) 2 + 2 + 2 log550 log 50 log250 (12.6) log224 − log2192 log962 log122 (12.7) log21 ⋅ log32 ⋅ log4 3 ⋅ log45 (12.8) log2 3 ⋅ log3 4 ⋅ log45 ⋅ ... ⋅ logn(n+1) ⋅ log3132 (12.9) log4(log 81) − log4(log 3) (12.10) 7log7 52 + 5 log2 4−3 − 2 log9 33 (13) ให้หาค่าของ (13.1) 491−0.25 log7 25 (13.2) 81(21 + 8 log81 5 + log9 4 + log3 5) 9 / (13.3) 3log4096 64 − 2log3 9 (13.4) 251−log5 4 ⋅ 641−log8 2 ⋅ 361−log6 2 ⋅ 42 −log2 5 (13.5) ⎛ 161−log4 3 ⋅ 361− log6 3 ⎞ 1/2 ⎜⎝⎜ 251− log5 3 ⋅ 49− log7 3 ⎟⎟⎠ (14) ให้เขยี น 1 + 1 + 1 เป็นรูปอยา่ งงา่ ย 1 + logabc 1 + logb ca 1 + logc ab (15) ตอบคาํ ถามต่อไปน้ี (15.1) ใหห้ าคา่ (gD f)(2) เมอ่ื กําหนด g (x) = log3x และ f (x) = log2x (15.2) ให้หาคา่ g (2 b) เม่ือกําหนด g (x) = log2b xx (15.3) ให้หาคา่ log 5 เม่ือทราบว่า log83 = p และ log35 = q (15.4) [Ent’34] ถา้ x = log 3 (9−1)(27−4 / 3) และ y = log 25 − 2 log 5 + log 24 แล้ว 8 39 ใหห้ าคา่ ของ x + y (15.5) ถ้า log7(11−6 2) = a และ log7(45+29 2) = b แลว้ ให้หาค่าของ 3a + 2b (15.6) ถา้ loga x = 1 , logb x = 1/10 , logc x = 1/100 , logdx = 1/1000 แล้ว ให้หาคา่ ของ logabcd x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 195 ฟงกชนั เอกซโพเนนเชียลและลอการิทมึ (15.7) ถ้า p = logb(logb a) เม่ือ a, b > 1 แล้ว ใหห้ าค่าของ ap logb a (15.8) [Ent’33] ถ้า 2 log2a − 3 log2b = 4 และ 3 log2a − 4 log2b = 6 แล้ว ให้หาค่า ของ ( )a2b + log2ab 1/2 (15.9) ถ้า loga(x − m) = log a x − log a m แลว้ ใหห้ าค่าของ x2 − m2x + m3 (16) ให้หาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี (16.4) y = log2 x−3 (16.1) y = log6(2−x) (16.5) y = − log5(3x2 −2) (16.2) y = log1/3(−x) (16.3) y = log x (17) ให้หาแมนทสิ ซาและแคแรกเทอริสตกิ ของค่าตอ่ ไปน้ี (17.1) log 257 (17.3) 3.3010 (17.2) log 0.024 (17.4) −2.3010 (18) จํานวน 875 15 มกี ีห่ ลกั เม่ือกําหนดให้ log 8.75 = 0.9420 [Hint : ถ้า log N = characteristic + mantissa จะไดว้ ่า N น้นั มีจาํ นวน c+1 หลัก] 8.4 การแกส้ มการทเ่ี ป็นลอการทิ มึ (1) สมการเรอื่ งลอการทิ ึม มกั จะแกป้ ญั หาโดยใช้กฎของลอการิทมึ เช่น การทําให้ฐาน เท่ากนั เพอื่ กาํ จดั log ท้งิ ไป ตามสมบตั ทิ ว่ี า่ logaM = logaN ↔ M = N (2) ถ้ามีพจนค์ ลา้ ยกันปรากฏอยู่ อาจสมมติเป็นตัวแปร A เพอ่ื ให้คํานวณสะดวกขึน้ (3) เมื่อไดค้ าํ ตอบแลว้ ตอ้ งตรวจสอบว่าใช้ได้หรือไม่ (เช่น ภายใน log ตอ้ งไมต่ ิดลบ) (4) อสมการ ใชส้ มบตั ิของฟงั ก์ชันเพ่มิ /ฟงั ก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คือ logaM > logaN ↔ M > N เมือ่ a > 1 (ฟงั ก์ชนั เพ่มิ ) และ logaM > logaN ↔ M < N เม่อื 0 < a < 1 (ฟังกช์ ันลด) • ตัวอยา ง ใหหาคาํ ตอบของสมการตอไปนี้ ก. log2(2x − 1) + log2(x + 3) = 2 วิธีคดิ ใชส มบัตขิ อง log เปลี่ยนผลบวกกลายเปน log ผลคณู ... log2[(2x − 1)(x + 3)] = 2 ยายฐาน 2 ของ log ทางซา ย ไปยกกาํ ลังทางขวา จะได (2x − 1)(x + 3) = 4 กระจายพหุนามและแยกตัวประกอบ ... 2x2+ 5x − 7 = 0 → (2x + 7)(x − 1) = 0 นน่ั คือ x = −3.5, 1 ... แต x = −3.5 ไมไ ด เพราะจะทําใหภายใน log เปน ลบ ดงั นน้ั ตอบ x = 1 เทานั้น ข. 2 log9 x + logx9 = 3 วธิ ีคิด ให log9x = A เพือ่ ใหม องงายข้ึน สมการจะกลายเปน 2A + 1 = 3 A นาํ A คณู ทง้ั สมการ แลว จัดรปู ไดด งั นี้ ... 2A2+ 1 = 3A → 2A2− 3A + 1 = 0 แยกตัวประกอบ (2A − 1)(A − 1) = 0 ดงั นนั้ A = 1/2, 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 196 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทมึ เนือ่ งจาก log9x = 1/2, 1 ... จงึ ไดค าํ ตอบเปน x = 91/2, 91 น่ันคือ x = 3, 9 (หมายเหตุ ขอนี้ x อยใู น log และยังเปน ฐานของ log ดว ย จงึ ตองระวังเงือ่ นไขเปน พเิ ศษ คือ x หามติดลบ, หามเปน 0, และหามเปน 1) แบบฝึกหัด 8.4 (19) ใหห้ าคาํ ตอบของสมการ (19.1) x + 8 = 10log 8 (19.2) x log (2/3) = 2/3 (19.3) x 3 log x = 3 10, 000 (19.4) [Ent’38] 9x − 3x +log3 2 = −1 (19.5) log4 log3 log2 7log7(x2 +2x) = 0 (19.6) [Ent’33] log1 log1 log1 1 =0 x2 − x + 4 326 (19.7) logx + 4(x2−1) = logx + 4(5−x) (20) ให้หาคําตอบของสมการ (20.1) [Ent’32] log (2x−5) + log (x+1) = log (x2−x+3) (20.2) log (2x−1) + log (x+1) = 2 log x2+1 (20.3) log 2 + log (4−5x−6x2) = 3 log 3 2x−1 (20.4) x2 log2(x2+2x−6) − 2x log2(x2+2x−6) = x2−2x (20.5) 3 log8( x2+1+x) + log2( x2+1−x) = log16(4x+1) − 0.5 (21) ให้หาคําตอบของสมการ (21.1) (log x)2 = log x2 (21.2) log x = log x (21.3) [Ent’25] log2x + 4 logx2 = 5 (21.4) log3 x + 5 logx 3 = 7 2 2 (22) ให้หาคาํ ตอบของ (22.1) สมการ 3 2(x + 7) − 6(3 x + 7) + 8 = 0 (22.2) ระบบสมการ 5x = 4− y และ 52+ y = 42− x (23) ให้หาช่วงคาํ ตอบของอสมการ (23.4) loga5 > log5a (23.1) (x3)x < (x)x2 (23.5) log100 x < 1 − log x + 15 (23.2) [Ent’34] ex2 ln2 < 2x (23.6) log x − 1(x4−8x2−2x+1) > 4 (23.3) logx −2(2x−3) > logx −2(24−6x) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 197 ฟงกชนั เอกซโพเนนเชียลและลอการทิ ึม เฉลยแบบฝึกหดั (คาํ ตอบ) (1.1) 2 (1.2) x6y4 (11.1) (−∞, −1] (17.1) แมนทสิ ซา log 2.57 (1.3) 2 − x (1.4) 27 (11.2) R − [−1, 1] แคแรกเทอรสิ ตกิ 2 (1.5) 11/7 (2.1) 3a2 /5 (11.3) R − [1, 3] (17.2) แมนทสิ ซา log 2.4 (2.2) –2 (3.1) 2 (11.4) R − [−4, 4] แคแรกเทอรสิ ตกิ –2 (3.2) 14/3 (3.3) 10+ 8 (11.5) (−∞, −3) (11.6) (−∞, −3) (17.3) แมนทสิ ซา 0.3010 (3.4) 2 3 (3.5) 2 5 แคแรกเทอรสิ ติก 3 (3.6) 1 (4.1) 30 (11.7) R − [−7, 3] (11.8) (3, 5) (17.4) แมนทสิ ซา 0.6990 (4.2) ง-ก-ค-ข (4.3) 0.56 แคแรกเทอรสิ ติก –3 (5) ถูกทกุ ขอ้ ยกเว้น (5.1) ผดิ เมอ่ื a > 1 และ R − [3, 5] เมอ่ื (18) 45 (19.1) 0 (6.1) 81 (6.2) 0, 4 (6.3) 4, 12 (6.4) 2, 5/2 0 < a < 1 (12.1) –8 (19.2) 10 (19.3) 10±2/3 (6.5) 1 (6.6) −1, − 1± 15 (12.2) –5 (12.3) –20/3 (19.4) 0 (19.5) –4, 2 (12.4) 1 (12.5) 4 /(1 + log 5) (19.6) –1, 2 (19.7) 2 (6.7) –5, 2 (6.8) 9 (20.1) 4 (20.2) 1 (6.9) 6, − 161/30 (12.6) 3 (12.7) 0 (12.8) 5 (20.3) –3/2 (20.4) –4, 2 (12.9) 1 (12.10) 19 (13.1) 49/5 (13.2) 24 ⋅ 512 (13.3) 3 − 2 (13.4) 144 (20.5) 3/4 (21.1) 1, 100 (13.5) 4.8 (14) 1 (15.1) 0 (21.2) 1, 104 (21.3) 2, 16 (7.1) 3 (7.2) 2 ± 3 (7.3) 11/2, –13/2 (7.4) 3 (15.2) 2b (15.3) 3pq /(1+3pq) (21.4) 3, 35/2 (7.5) ไมม่ คี าํ ตอบ (7.6) 22/17 (15.4) − log 3 (15.5) 6 (7.7) 1/2 (8.1) 2 (22.1) 2 log32−7, log32−7 (8.2) 3/2 (8.3) –2, 1 (15.6) 1/1111 (15.7) logba (22.2) x = 4 log 2 /(1+log 2) (8.4) –2, 1 (8.5) –2, 1 (8.6) –3, 0 (8.7) –1 (15.8) 4 (15.9) 0 y = 2 (log 2−1) /(1+log 2) (8.8) –3, 2 (9.1) –1, 1 (16.1) (−∞, 2) กับ R (9.2) –1/2, 1/2 (9.3) –1, 1 (16.2) R− กับ R (23.1) R+ − [1, 3] (9.4) 4/13, 9/13 (10.1) 1/2 (16.3) R+ กับ [0, ∞) (23.2) (0, 1) (10.2) 3/2 (10.3) –1, 1 (16.4) R − {3} กบั R (23.3) (2, 3) ∪ (27/8, 4) (16.5) R − [− 2/3, 2/3] กบั R (23.4) (0, 1/5) ∪ (1, 5) (10.4) 1 (10.5) 1/2, ± 2 (23.5) (0, 5) (23.6) (1, 2) ∪ (3, ∞) เฉลยแบบฝกึ หดั (วิธีคดิ ) (1.1) (25)7 ⋅ (22)−17 = 235 − 34 = 2 (2.1) a2( 3 + 1 − 75 + 4 )2 (1.2) x6y4z0 = x6y4 533 3 (1.3) นํา x2 คณู ท้งั เศษและสว่ น = a2( 3 + 1 − 5 3 + 4 )2 533 3 4 − 4x + x2 = (2 − x)2 = 2 − x 2−x 2−x = a2( 3 + 1 − 5 + 4 )2 = a2( 3)2 = 3a2 5333 55 (1.4) (3363nn + 38n 1 36n(1 + 3322nn))]n1 + 35n = [ 33n(1 + (2.2) 2 = 2 )n (x2 + 1)2 x2 − | x2 + 1| 1 x2 − = (33n)n = 33 = 27 ซงึ่ x2 + 1 เป็นบวกเสมอ ถอดคา่ สมั บรู ณไ์ ด้เลย (1.5) 4n ⋅ 9n(9 + 2) = 11 → x2 2 + 1) = 2 = −2 4n ⋅ 9n(4 + 3) 7 − (x2 −1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 198 ฟงกชันเอกซโ พเนนเชียลและลอการทิ ึม (3.1) พิจารณา 1 ⋅ 1 − 2 = 1 − 2 (5.1) ax > a0 แต่ 0 < a < 1 (ฟงั ก์ชนั ลด) 1+ 2 1− 2 −1 ดงั นนั้ x < 0 ขอ้ น้ีผดิ และ 1 ⋅ 2 − 3 = 2 − 3 ... ฯลฯ (5.2) ถูก a > 1, x < 0 → 0 < ax < 1 2+ 3 2− 3 −1 อาจดจู ากกราฟ y จะไดว้ า่ โจทยก์ ลายเปน็ ในกรณีฟงั ก์ชันเพิม่ (1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + ... + 8 − 9) ซกี ซา้ ยของแกน y 1 −1 −1 −1 −1 x = 1− 9 = 2 O −1 (5.3) 5 มากกวา่ 1 → ฟงั กช์ นั เพม่ิ (3.2) ( 5 − 2)2 + ( 5 + 2)2 → 2 < 3 ถูก ( 5 + 2)( 5 − 2) (5.4) sin 1° นอ้ ยกวา่ 1 → ฟังก์ชนั ลด → 3 > 2 ถกู = 7 − 2 10 + 7 + 2 10 = 14 33 (3.3) 18 + 2 80 → บวกกนั ได้ 18 และคณู กนั (5.5) tan 46° มากกว่า 1 → ฟังกช์ นั เพิ่ม → 2 < 3 ถูก ได้ 80 คอื 10 กับ 8 ดงั นนั้ ตอบ 10 + 8 1 (3.4) 10 + 2 21 − 10 − 2 21 (6.1) ให้ x4 = A จะได้ A2 − A − 6 = 0 → (A − 3)(A + 2) = 0 → A = 3 หรอื −2 = ( 7 + 3) − ( 7 − 3) = 2 3 จึงสรุปวา่ 1 = 3 เทา่ นน้ั (รากทส่ี ่จี ะติดลบไมไ่ ด้) (3.5) 2 + 3 − 5 x4 7− 5 5− 2 7− 2 → x = 34 = 81 = ( 7 + 5) + ( 5 + 2) − ( 7 + 2) = 2 5 (6.2) ยกกําลงั สอง → 2x + 1 = x + 2 x + 1 (3.6) ใชส้ ตู ร A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2) โดยมอง A = 6 + 35 = 3.5 + 2.5 → x = 2 x → ยกกาํ ลงั สองอกี ครงั้ และ B = 6 − 35 = 3.5 − 2.5 จะได้โจทยก์ ลายเปน็ → x2 = 4x → x(x − 4) = 0 (2 2.5)(6 + 35 + 3.5 − 2.5 + 6 − 35) → x = 0 หรอื 4 ใช้ไดท้ ั้งสองคาํ ตอบ 13 10 ( ∗ เมือ่ มีการยกกาํ ลงั ต้องตรวจคาํ ตอบทกุ ครง้ั ∗ ) (6.3) 2x + 1 = 2 + x − 3 → ยกกําลงั สอง = (2 2.5)(13) = 1 13 10 → 2x + 1 = 4 + 4 x − 3 + x − 3 (4.1) x2 − 4xy + y2 = (x − y)2 − 2xy → → x = 4 x − 3 → ยกกาํ ลังสองอกี ครง้ั หาค่า x − y = ( 6 + 3)2 − ( 6 − 3)2 → x2 = 16(x − 3) → x2 − 16x + 48 = 0 6−3 → (x − 12)(x − 4) = 0 → x = 12 หรอื 4 (ตรวจคําตอบแลว้ พบวา่ ใชไ้ ดท้ ง้ั สองคาํ ตอบ) (6.4) ยกกําลังสอง = 9 + 2 18 − 9 + 2 18 = 4 2 → → 2x − 3 + 2 (2x − 3)(x + 2) + x + 2 = 7x − 5 6−3 → 2x2 + x − 6 = 2x − 2 ยกกาํ ลังสองอกี คร้ัง หาคา่ xy = 1 → ∴ (4 2)2 − 2(1) = 30 → 2x2 + x − 6 = 4x2 − 8x + 4 (4.2) ก. (35)5 3 = 2435 3 → 2x2 − 9x + 10 = 0 → (2x − 5)(x − 2) = 0 ข. (54)5 3 = 6255 3 ค. (73)5 3 = 3435 3 → x = 5 / 2 หรอื 2 (ใชไ้ ดท้ ัง้ สองคาํ ตอบ) ง. (92)5 3 = 815 3 ∴ ง < ก < ค < ข (6.5) x2 − 2x − 11 + 6 x2 − 2x + 5 = 0 (4.3) จาก 2.44 × 7.17 = 0.56 ให้ x2 − 2x + 5 = A จะได้ 3.9 × 8 (A2 − 16) + 6A = 0 → (A + 8)(A − 2) = 0 จะได้วา่ 2.44 × (10−2) × 7.17 × (10) 3.9 × (102) × 8 × (10−3) → A = −8 หรอื 2 แตร่ ทู้ ไมม่ ีทางตดิ ลบ ดงั นัน้ = 0.56 × (10−2 + 1− 2 + 3) = 0.56 x2 − 2x + 5 = 2 เทา่ นน้ั → ยกกาํ ลงั สอง → x2 − 2x + 5 = 4 → (x − 1)2 = 0 → x = 1 (ตรวจคําตอบแลว้ ใช้ได้) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 199 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทมึ (6.6) x2 + 2x + 1 = 5 x2 + 2x + 2 − 5 (7.2) 10(1+ x2) = 104x → 1 + x2 = 4x ให้ x2 + 2x + 2 = A จะได้ → x = 4 ± 16 − 4 = 2 ± 3 A2 − 1 = 5A − 5 → A2 − 5A + 4 = 0 2 → (A − 4)(A − 1) = 0 → A = 4 หรอื 1 (7.3) (3/2)|2x + 1| = [(3/2)−3]−4 → |2x + 1| = 12 → x = 11 / 2 หรอื −13 / 2 ถ้า A = 4 จะได้วา่ x2 + 2x + 2 = 4 (7.4) (2/3)2x = [(2/3)3]x − 1 → 2x = 3x − 3 → x2 + 2x + 2 = 16 → x = −1 ± 15 แตถ่ า้ A = 1 จะไดว้ า่ x2 + 2x + 2 = 1 → x=3 → x2 + 2x + 2 = 1 → x = −1 (7.5) (1/2) x = (1/2) 2x + 1 → x = 2x + 1 ∴ ตอบ −1, − 1 ± 15 → x = 2x + 1 → x = −1 ตรวจแล้วพบวา่ ใช้ไมไ่ ด้ (6.7) ให้ x2 + 3x + 15 = A เพราะทาํ ใหใ้ นรู้ทติดลบ ∴ ข้อนี้ ไมม่ คี าํ ตอบ (7.6) [(3 2)2]8 − 4x = [(3 2)3]3x −2 → A + A−9 =9 → A −9 = A−9 ยกกําลังสอง → A − 18 A + 81 = A − 9 → 16 − 8x = 9x − 6 → x = 22 / 17 → A = 5 → A = 25 (ใชไ้ ด้) → x2 + 3x + 15 = 25 ย้ายข้าง แยกตวั ประกอบ (7.7) เนือ่ งจาก ( 3 + 2)2 = 5 + 2 6 → (x + 5)(x − 2) = 0 ∴ x = 1/2 → x = −5 หรอื 2 อาจใชว้ ธิ ี ทดลองยกกาํ ลังสองดู กลายเปน็ (6.8) ข้อนจี้ ดั เปน็ A ลว้ นๆ ไมไ่ ด้ จงึ ตอ้ งใชว้ ธิ ียกกาํ ลงั สอง ตามปกติ (5 + 2 6)2x = 5 + 2 6 → 2x = 1 → x = 1 / 2 2x2 − 6x − 27 = x2 − 6x − 2 + x − 5 (8.1) 4 ⋅ 22x − 32 ⋅ 2x + 64 = 0 → → 2x2 − 6x − 27 = มอง 2x เป็น A จะได้ 4A2 − 32A + 64 = 0 → 4(A − 4)2 = 0 → A = 4 → 2x = 4 → x = 2 (8.2) ให้ 4x = A → 16A − 8A = A2 x2 − 6x − 2 + 2(x − 5) x2 − 6x − 2 + x2 − 10x + 25 → A2 − 8A = 0 → A(A − 8) = 0 → 5x − 25 = (x − 5) x2 − 6x − 2 → A = 0 หรอื 8 → 4x = 8 เทา่ นน้ั → 0 = (x − 5)( x2 − 6x − 2 − 5) (เพราะ 4x = 0 ไมม่ )ี → x = 3 / 2 → x = 5 หรอื x2 − 6x − 2 = 5 (8.3) ให้ 2x = A → 4A2 − 9A + 2 = 0 → x2 − 6x − 27 = 0 → (x − 9)(x + 3) = 0 → (A − 2)(4A − 1) = 0 → A = 2 หรอื 1 / 4 ดังนนั้ 2x = 2 หรอื 1 / 4 → x = 1 หรือ −2 x = −3 หรอื 9 ตรวจสอบคําตอบ พบว่า x = 5 และ −3 ใช้ไมไ่ ด้ (8.4) ให้ 2x = A → 2A2 − 9 A + 1 = 0 ∴ ตอบ x = 9 เทา่ น้นั 2 (6.9) 3 30x + 36 = 1 + 3 30x − 55 → 4A2 − 9A + 2 = 0 (สมการเหมอื นข้อที่แล้ว) ให้ 30x − 55 = A จะได้ 3 A + 91 = 1 + 3 A → x = 1 หรอื −2 ยกกาํ ลงั สาม A + 91 = 1 + 3A1 / 3 + 3A2 / 3 + A (8.5) ให้ 3x = A → 9A2 − 27A − A + 3 = 0 → 0 = A2 / 3 + A1 / 3 − 30 → 9A2 − 28A + 3 = 0 → (9A − 1)(A − 3) = 0 → (A1 / 3 + 6)(A1 / 3 − 5) = 0 → A = 1 / 9 หรอื 3 → 3x = 1 / 9 หรอื 3 → A1 / 3 = 5 หรอื −6 (รากทสี่ าม คา่ ตดิ ลบได)้ → x = −2 หรอื 1 ∴ A = 53 = 125 → 30x − 55 = 125 → x = 6 (8.6) ให้ 3x = A → 27A2 − 55 = 28A − 56 หรอื A = (−6)3 = − 216 → 30x − 55 = − 216 → 27A2 − 28A + 1 = 0 → (27A − 1)(A − 1) = 0 → x = −161 / 30 → A = 1 / 27 หรอื 1 → 3x = 1 / 27 หรอื 1 → x = −3 หรอื 0 (7.1) (1 / 2)2x = (1 / 2)x + 3 → 2x = x + 3 → x=3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 200 ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชียลและลอการิทึม (8.7) ให้ 2x = A → 6A5 + 11A3 − 3A = 2A5 (10.2) ให้ A = 4x, B = 3x → จะได้ → 4A5 + 11A3 − 3A = 0 → A (4A4 + 11A2 − 3) = 0 A − B = 3B − A → 3 A = 3B + B → A(4A2 − 1)(A2 + 3) = 0 3 22 3 → A = 0 หรอื A2 = 1 / 4 ( A2 = −3 ไมไ่ ด)้ → 3 3 A = 4B → A = 8 = 4 4 → 2x = 0 (ไม่ได้) หรือ 22x = 1 / 4 → x = −1 2 B 33 33 (8.8) ให้ 3 x2 + x −2 = A → 3A + 9 = 28 ∴ (4)x = 4 4 → x = 3 A 3 33 2 → 3A2 − 28A + 9 = 0 → (3A − 1)(A − 9) = 0 (10.3) ให้ 3x = A, 2x = B → A = 1 / 3 หรอื A = 9 → 6A2 − 13AB + 6B2 = 0 → x2 + x − 2 = −1 (ไม่ได้) → (2A − 3B)(3A − 2B) = 0 หรือ x2 + x − 2 = 2 ดงั นน้ั A = 3 หรอื 2 B2 3 → x2 + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → (3)x = 3 หรอื 2 → x = 1 หรือ −1 → x = −3 หรอื 2 22 3 (9.1) ให้ 3x = A → 3(A + 1/A) = 10 (10.4) ให้ 4x = A, 5x = B → 3A2 − 10A + 3 = 0 → (3A − 1)(A − 3) = 0 → 25A2 − 40AB + 16B2 = 0 → (5A − 4B)2 = 0 → A = 1 / 3 หรอื 3 → 3x = 1 / 3 หรอื 3 ดงั นนั้ A = 4 → x = 1 → x = −1 หรอื 1 B5 (9.2) ให้ 32x = A → 3(A + 1/A) = 10 (เหมือนข้อที่แลว้ ) → 32x = 1/3 หรอื 3 → (10.5) ให้ 3x2 = A, 32x = B x = −1 / 2 หรอื 1 / 2 → AB − 3A − 9B + 27 = 0 → A(B − 3) − 9(B − 3) = 0 → (A − 9)(B − 3) = 0 → A = 9 หรอื B = 3 (9.3) ให้ (4/ 3)x = A → A + 1 = 25 → 3x2 = 9 หรอื 32x = 3 A 12 → 12A2 − 25A + 12 = 0 → (4A − 3)(3A − 4) = 0 ดงั นน้ั x = ± 2 หรอื 1 / 2 → A = 3 หรอื 4 → (4)x = 3 หรือ 4 (11.1) 10x + 1 < 10−(x + 1) → ฟังกช์ นั เพ่มิ 43 34 3 → x + 1 < −(x + 1) → x < −1 ตอบ (−∞, −1] → x = −1 หรอื 1 (11.2) 2x2 −5 > 2−4 → ฟังกช์ นั เพมิ่ (9.4) ให้ x = A → A + 1 = 13 → x2 − 5 > −4 → x2 − 1 > 0 1− x A6 ตอบ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) หรอื R − [−1, 1] → 6A2 − 13A + 6 = 0 → (3A − 2)(2A − 3) = 0 (11.3) 0.5x2 − 3x < 0.5x − 3 → ฟังก์ชนั ลด → A = 2 หรอื 3 → x = 2 หรอื 3 → x2 − 3x > x − 3 → x2 − 4x + 3 > 0 3 2 1− x 3 2 ตอบ (−∞, 1) ∪ (3, ∞) → หรอื R − [1, 3] ถ้า x = 2 → x = 4 (11.4) (1 / 2)x2 + 2x + 8 < (1 / 2)2x + 24 1− x 3 1− x 9 → 9x = 4 − 4x → x = 4 / 13 → x2 + 2x + 8 > 2x + 24 → x2 − 16 > 0 หรือ ถ้า x = 3 → x = 9 ตอบ R − [−4, 4] 1− x 2 1− x 4 (11.5) ฟงั ก์ชนั ลด (เพราะ sin 1° < 1) → x + 5 < 2 → x < −3 ตอบ (−∞, −3) → 4x = 9 − 9x → x = 9 / 13 (11.6) ฟงั กช์ นั เพิ่ม (เพราะ cot 1° > 1 ) (10.1) ให้ A = 25x, B = 4x → → x + 5 < 2 → ตอบ (−∞, −3) จะได้ 5A − A = 2B + 8B → 4A = 10B → A = 5 → (25)x = 5 → x = 1 (11.7) ( 1 )|x +2| < ( 1 )5 → ฟงั กช์ นั ลด B2 4 2 2 22 → | x + 2 |> 5 → ตอบ (−∞, −7) ∪ (3, ∞) หรือ R − [−7, 3] Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ )