รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .4 เทอม 1 บทที่ 2ระบบจานวนจริงํ1. ·Äɮպ·eÈÉeËÅo ื“¡ÒÃËÒþ˹ÒÁ up(x) ´Ç Œ−(x c)¨aeËÅoeÈÉe·Ò¡º ื‹ap(c) eÊÁo ”µÇoÂÒ§ ¾Ë¹ÒÁ a‹u+− +322xx25x 12 ËÒôÇ Œ−x2 eËÅoeÈÉe·Òã´ ื‹eÈɨҡ¡ÒÃËÒáç¤o ื+− += −322(2)(2)25(2) 1218(ÊÒÁÒöµÃǨ¤íÒµoº ´Âµ§ËÒÃÂÒÇËÃoËÒÃʧe¤ÃÒaË) oa éืa** eÈÉ¢o§¡ÒÃËÒþ˹ÒÁoÒ¨e»¹¨Ò¹Ç¹µ´Åº¡çä´ ušíiŒ(·¨Ãi§æÅÇ·§¼ÅËÒÃæÅaeÈɨaµo§e»¹¾Ë¹ÒÁ 浡ÒÃËÒÃÕèŒa 錚u‹´Ç¾˹ÒÁ´Õ¡ÃÕ˹§ eÈÉÂoÁeËÅo´Õ¡ÃÕ ¹è¹¤oeËÅo浌uึ è‹ื0aืื‹¤Ò¤§·, äÁeËÅo eÅÂ) ‹Õè‹ ืxµÇoÂÒ§ ¾Ë¹ÒÁ a‹u+− +322xx25x 12 ËÒôÇ Œ+x1eËÅoeÈÉe·Òã´ ื‹eÈɨҡ¡ÒÃËÒäo ื−+−− −+ =322( 1)( 1)25( 1) 1236(ÊÒÁÒöµÃǨ¤íÒµoº ´Âµ§ËÒÃÂÒÇËÃoËÒÃʧe¤ÃÒaË) oa éืa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 102 µÇoÂÒ§ ¾Ë¹ÒÁ a‹u+− +322xx25x 12 ËÒôÇ ŒxeËÅoeÈÉe·Òã´ ื‹e¹o§¨Ò¡ ¤o ื èxื−x0 ´§¹¹ a aéeÈɨҡ¡ÒÃËÒáç¤o ื+− +=322(0)(0)25(0) 12 122. ·Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº a“−(x c) ¨ae»¹µÇ»Ãa¡oºË¹§¢o§¾Ë¹ÒÁ šaึ èup(x)¡çµoeÁèo ‹ ื=p(c)0 ”(e¾ÃÒa¡ÒÃËÒá¹Å§µÇ ¡ç¤oeËÅoeÈÉ ¹¹eo§) aaืื0a è ¶ÒeÃÒÊÁËÒ¤Ò ·Õè·ÒãË • Œu ‹‹kíŒ=p(k)0 ä´¾o´Õ ¡ç¨aŒ·ÃÒºÇÒÁյǻÃa¡oºe»¹ ‹aš−(x k) ¨Ò¡¹¹¹Ò a éí−(x k)·ä´ ä»ËÒÃoo¡¨Ò¡ ÕèŒp(x) e¾èoÅ´·o¹¡íÒŧ ŧ.. æÅaืan·Ò«éíÒ¨¹æ¡µÇ»Ãa¡oºä´¤Ãº íaŒµÇoÂÒ§ ãË桵ǻÃa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ a‹Œau+− +322xx25x 12e¹o§¨Ò¡¾ºÇÒ ื è‹=+−+=32p(3)2(3)(3)25(3) 120æÊ´§ÇÒ ‹−x3 e»¹µÇ»Ãa¡oºË¹§¢o§¾Ë¹ÒÁ¹Õé šaึ èueÁèo¹Ò ืí−x3 ä»ËÒÃoo¡¨Ò¡¾Ë¹ÒÁ ¨aä´¼Åe»¹ uŒš+− +=+−−3222xx25x 122x7x 4x3

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ103 «è§¡çËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ึ‹+− + = − + −3222xx25x 12 (x 3)(2x7x 4)桵ǻÃa¡oº¢o§Êǹ·e»¹¡íÒŧÊo§ µoä»ä´ a‹Õèša‹Œ+− + = − − +322xx25x 12 (x 3)(2x 1)(x 4)ÊÃu»ÇÒ µÇ»Ãa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ ‹au+− +322xx25x 12¤o ื−−+(x 3)(2x 1)(x 4)** äÁ¨Òe»¹µo§eÃÕ§ÅÒ´º¢o§µÇ»Ãa¡oºµÒÁã¹µÇoÂÒ§ ‹íš Œíaaa‹æµ¨aµo§ÁյǻÃa¡oº ǧeź¹o¤ú¶Ç¹ ‹Œa3çÕéÙ ‹Œ3. ·Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº¨Ò¹Ç¹µÃáÂa aí“ Œ¶Ò −(x (k m)) e»¹µÇ»Ãa¡oº¢o§ šap(x) ( ´Â ok/m e»¹eÈÉÊǹoÂÒ§µÒ) æÅÇ µo§e»¹µÇ»Ãa¡oºš‹‹èíŒkŒša¢o§ æÅa µo§e»¹µÇ»Ãa¡oº¢o§ 0 am Œšan a” ¡ÒÃËҵǻÃa¡oº •a−(x c) ¢o§ p(x) eÁèo e»¹ืcš¨Ò¹Ç¹µÃáÂa ¤o ¹Ò¤Ò ÁÒ¨Ò¡µÇ»Ãa¡oº¢o§ íืí‹ka0 aæÅa¹Ò¤Ò m ÁÒ¨Ò¡µÇ»Ãa¡oº¢o§ ... ¤Ò ·í‹an a‹cÕèe»¹ä»ä´¨aoÂ㹺ÃôÒeÈÉÊǹ šŒÙ ‹‹k/m eËÅÒ¹e·Ò¹¹ ‹Õé‹a é(¤Ò ‹k/m ÊÒÁÒöe»¹ä´·§¤ÒºÇ¡æÅa¤Òµ´Åº) šŒa 鋋iµÇoÂÒ§ ãË桵ǻÃa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ a‹Œau+− +322xx25x 12

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 104 e¹o§¨Ò¡µÇ»Ãa¡oº¢o§ ä´æ¡ ื èa12Œ ‹1, 2, 3, 4, 6, 12æÅaµÇ»Ãa¡oº¢o§ ä´æ¡ a2Œ ‹1, 2¨Ò¡·Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº¨Ò¹Ç¹µÃáÂa ¨a·ÃÒºÇÒ¤Ò aí‹ ‹c·e»¹µÇ»Ãa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁã¹ ¨·Â ·e»¹ä»ä´¤o¨Ò¹Ç¹ÕèšauoÕ蚌 ืíeËÅÒ¹e·Ò¹¹.. ‹Õé‹a é1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, -----12, 12, 1/2, 1/2, 3/2,-- ËÃo ื-3/2(ËÒÃãËe»¹eÈÉÊǹoÂÒ§µÒ æÅa¤i´·§¤ÒºÇ¡æÅaµ´Åº) Œ š‹‹èía é‹i¨Ò¡¹¹¨§·´Åo§¹Ò¤Ò eËÅҹ仵ÃǨÊoº´ÙÇÒ ¤Òã´·a éึí‹c‹Õ鋋Õè·ÒãË íŒ=p(c)0 ä´¾o´Õ ¤Ò¹¹¡ç¤oµÇ»Ãa¡oº.. Œ‹a éืaeª¹ ‹− = − +− − − + =32p( 4)2( 4)( 4)25( 4) 120 ¾o´Õ æÊ´§ÇÒ ‹−−⇒+x( 4)x 4 e»¹µÇ»Ãa¡oºË¹§¢o§¾Ëšaึ èu¹ÒÁ¹Õé eÁèo¹Ò ืí+x4 ä»ËÒÃoo¡¨Ò¡¾Ë¹ÒÁ ¨aä´¼Åe»¹ uŒš+− +=−++3222xx25x 122x7x 3x4ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ‹+− + = + − +3222xx25x 12 (x 4)(2x7x 3)桵ǻÃa¡oº¢o§Êǹ·e»¹¡íÒŧÊo§ µoä»ä´ a‹Õèša‹Œ+− + = + − −322xx25x 12 (x 4)(2x 1)(x 3)ÊÃu»ÇÒ µÇ»Ãa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ ‹au+− +322xx25x 12¤o ื+−−(x 4)(2x 1)(x 3)

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ105 ** ËÒ¡µÇ»Ãa¡oºäÁ㪨ҹǹµÃáÂa (¨Ò¹Ç¹eµÁËÃoa‹ ‹ííçืeÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ) ¨a㪷ÄɮչäÁä´ ‹íçŒÕé‹ ŒµÇoÂÒ§ ãË桵ǻÃa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ a‹Œau−2x3¶Ò㪷Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº¨Ò¹Ç¹µÃáÂa ¤Ò ·e»¹ä»Œ Œaí‹cÕèšä´¤o Œ ื1, 1, 3, -ËÃo e·Ò¹¹ æµeÁèoµÃǨÊoºæÅÇื- 3‹a é‹ ืŒ¡ÅºäÁÁÕ¤Òã´·Õè¶Ù¡µo§eÅ a‹ ‹Œ..o¹·¨Ãi§æÅÇ ¾Ë¹ÒÁ¹ÊÒÁÒö桵ǻÃa¡oºä´ aÕèŒuÕéaŒ(e¾ÕÂ§æµ¤Ò äÁ㪨ҹǹµÃáÂa) ‹ ‹c‹ ‹íæÅa¤íÒµoº¤o ื− = − +2x3(x3)(x3)4. 㹡ÒÃ桵ǻÃa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ ÁÕ¡ÃaºÇ¹¡Ò÷ÕèªÇÂau‹ãËËÒÃä´eÃçÇ¡ÇÒ¡Òõ§ËÒÃÂÒÇ ¹¹¤o ¡ÒÃËÒ̌‹a éa èื “ʧe¤ÃÒaË a”(ãªä´e©¾Òa¡ÒÃËÒôǾ˹ÒÁ´Õ¡ÃÕ˹§ ã¹ÃÙ» Œ ŒŒuึ è−xc) µÇoÂÒ§ ËҼŢo§¡ÒÃËÒþ˹ÒÁ a‹u−+−432x3x4x6´Ç Œ−x2 ´ÂoÒÈÂÇi¸¡ÒÃËÒÃʧe¤ÃÒaË oaÕa e¢Õ¹ÊÁ»ÃaÊ·¸¢o§¾Ë¹ÒÁ·e»¹µÇµ§eÃÕ§¡¹ã¹•aiiìuÕèša aéaºÃ÷´ ãˤú·¡µÇ (ã¹·Õè¹Õé¤o aŒuaื−−1, 3,4,0, 6) æÅaãÊ¤Ò ¨Ò¡µÇËÒà (ã¹·Õè¹Õé¤o ) ŧ㹪o§´Ò¹Ë¹ÒÊ´ ‹ ‹caื2‹ŒŒuo´ÂeǹºÃ÷´äÇã¹Å¡É³a´§¹Õé ŒaŒaa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 106 −− 213 4 06 eÃièÁËÒà ´Â¹Ò¤Òã¹ËÅ¡æáʴ (ã¹·Õè¹Õé¤o ) ŧÁҕoí‹auื1e¢Õ¹´Ò¹Åҧ㹪o§¼Åž¸ ... ¨Ò¡¹¹ãªµÇËÒà (¤o ) Œ‹‹aa éŒaื2¤Ù³¼Åž¸¹ ä»ãÊäÇãµËÅ¡¶´ä» aÕé‹ Œ Œa a−− ↓/2 213 4 0621 ¾i¨ÒóҷËÅ¡¶´ä» ã˺ǡeÅ¢e¢Ò´Ç¡¹ •Õèa aŒŒ Œa(−+= −321) ¹Òä»ãÊäǪo§¼Åž¸ æÅÇ㪵ÇËÒÃ í‹ Œ ‹aŒ Œa(¤o ) ¤Ù³¼Åž¸¹ ä»ãÊäÇãµËÅ¡¶´ä»o¡ ... ·Ò«éíÒื2aÕé‹ Œ Œa aÕíeÃèo ¨¹¤Ãº·¡ËÅ¡ ืæua−− +−−213 4 06224811242 㹺Ã÷´¼Åž¸·ä´ µÇeÅ¢ã¹ËÅ¡Ê´·Ò¡ç¤oeÈÉ •aaÕèŒaauŒืæÅaµÇeÅ¢´Ò¹Ë¹Ò·§ËÁ´¤oÊÁ»ÃaÊ·¸¢o§¼ÅËÒà («è§aŒŒa éืaiiìึ¨aÁÕ´Õ¡ÃÕŴŧ¨Ò¡µÇµ§oÂ˹§eÊÁo) a aéً ึèã¹µÇoÂÒ§¹¼ÅËÒáç¤o a‹Õéื−+ +32xx2x 4 æÅaeÈÉ 2

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ107 µÇoÂÒ§ ãË桵ǻÃa¡oº¢o§ a‹Œa+− +322xx25x 12¨Ò¡·Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº¨Ò¹Ç¹µÃáÂa ¨a·ÃÒºÇÒ¤Ò aí‹ ‹c·e»¹µÇ»Ãa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁã¹ ¨·Â ·e»¹ä»ä´¤o¨Ò¹Ç¹ÕèšauoÕ蚌 ืíeËÅÒ¹e·Ò¹¹.. ‹Õé‹a é1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, -----12, 12, 1/2, 1/2, 3/2,-- ËÃoื 3/2-¨Ò¡¹¹·´Åo§¹Ò¤Ò eËÅÒ¹Õéä»ËÒÃʧe¤ÃÒaË´ÙÇÒ ¤Òã´a éí‹c‹a ‹‹·Õè·ÒãËeÈÉe»¹ ä´¾o´Õ ¤Ò¹¹¡ç¤oµÇ»Ãa¡oº.. eª¹ 팚0Œ‹a éืa‹−−−3212512621122740æ»ÅÇÒ ‹−x3 e»¹µÇ»Ãa¡oºË¹§¢o§¾Ë¹ÒÁ¹Õé šaึ èuæÅa +− + = − + −3222xx25x 12 (x 3)(2x7x 4)¨Ò¡¹¹¨a桵ǻÃa¡oºµoä» ´Â¹¡æ¡ã¹ã¨ (e¾ÃÒaa éa‹oึe»¹¡íÒŧÊo§) ËÃo¨aËÒÃʧe¤ÃÒa˵oo¡·o´¡çä´ ´§¹ šaืa ‹ÕŒaÕé−−−−−−3212512621124274084210ÊÃu»ÇÒ µÇ»Ãa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ ‹au+− +322xx25x 12¤o ื−+ −(x 3)(x 4)(2x 1) ¹¹eo§ a è

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 108 5. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡Òþ˹ÒÁ ´Õ¡ÃÕÊo§¢é¹ä» ŒuึãªÊÁºµi·ÊÒ¤ ã¹Å¡É³ae´ÕÂÇ¡º¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ŒaÕèía­aaŒa¤o ËÒ¡ ื=a b c d... 0 æÅÇ ¨aä´ÇÒ ŒŒ ‹=a0 ËÃo ื=b0 ËÃo ื=c0 ËÃo ื=d0 ËÃo ... ืÊÁ¡Òþ˹ÒÁ´Õ¡ÃÕ eÁèo¨´ãËoÂÙã¹Å¡É³a unืaŒ ‹a−−++++=nn 1nn 110axa x... a x a0 æÅÇ Œ¤ÇÃ桵ǻÃa¡oºãËoÂã¹ÃÙ» aŒ ‹Ù−−−=123(x c )(x c )(x c )...0e¾èo¨aä´·ÃÒºÇÒ ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ ืŒ‹Œ ‹=1xc ËÃo ื=2xc ËÃo ื=3xc ËÃo ... ืµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œ−−= 3x7x 60桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−++=(x 3)(x 1)(x 2)0(ãªÇi¸ã´ã¹¡Òäi´¡çä´ µÒÁ·ä´¡ÅÒÇÁÒæÅǵ§æµµ¹º·) ŒÕŒÕèŒ ‹Œa é‹ Œ´§¹¹ a aé−=x30 ËÃo ื+=x1 0 ËÃo ื+ =x20¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹= x3 ËÃo ื=−x1 ËÃo ื=−x2æÅae«µ¤íÒµoº¤o ื−−{3,1,2}µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œ−− −=32xx5x 30

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ109 桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−++=(x 3)(x 1)(x 1)0ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืš−+=2(x 3)(x 1)0´§¹¹¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ a aéŒ ‹= x3 ËÃo ื=−x1æÅae«µ¤íÒµoº¤o ื−{3, 1}µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œ+−−=326x7xx 20桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š +−+=(x 1)(2x 1)(3x 2)0´§¹¹¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ a aéŒ ‹=−x1 ËÃo ื=1 x2 ËÃo ื=−2x3æÅae«µ¤íÒµoº¤o ื−−12 {1, ,}23µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œ−−=32x7x 20桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−++= 2(x 2)(2x4x 1)0æµÊǹ·e»¹¡íÒŧÊo§¹¹æ¡µÇ»Ãa¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ‹ ‹Õèšaa éa‹í¨§ãªÊµÃÊÒeÃ稤o ึ ŒÙíื−±−=2BB4ACx2A

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 110 ä´e»¹ Œ š− ± −− ±==2444(2)(1)48x2(2)4− ±== − ± 42 22142´§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o a aéื−+−− 22{2,1,1}22ËÃo»ÃaÁÒ³¤Òä´e»¹ ื‹ Œ š−− {2, 0.29, 1.71}µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œ−++=32xxx 30桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š+−+= 2(x 1)(x2x 3)0æµÊǹ·e»¹¡íÒŧÊo§¹¹æ¡µÇ»Ãa¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ‹ ‹Õèšaa éa‹í¨§ãªÊµÃä´e»¹ ึ ŒÙŒ š−−±−−±−==2( 2)( 2)4(1)(3)28x2(1)2¾ºÇÒã¹ÃÙ·e»¹¤Òµ´Åº ‹Œš ‹i¹¹¤oäÁÁըҹǹ¨Ãi§ã´·Õè·ÒãË a èื‹ííŒ−+ 2x2x 3 e·Ò¡º ‹a0´§¹¹ e«µ¤íÒµoºã¹Ãaºº¨Ò¹Ç¹¨Ãi§¤o a aéíื− {1} e·Ò¹¹ ‹a é

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ111 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œ+− −+=432x3x13x9x 300桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−+−= 2(x 2)(x 5)(x3)0¹¹¤o a èื−+− +=(x 2)(x 5)(x3)(x3)0´§¹¹e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òäo a aéื−−{2, 5, 3,3}6. ¡ÒÃæ¡ oÊÁ¡Òà ¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§¢é¹ä» ¤ÇÃ㪌 “”uึŒe·¤¹¤´§¹Õé ia ¨´oÊÁ¡ÒÃã˽§Ë¹§e»¹ ´Â·ÒãËÊÁ»ÃaÊ·¸•aŒ ˜›ึ šè0 oíŒaiiìË¹Ò ´Õ¡ÃÕʧʴäÁµ´Åº´Ç (ËÒ¡µ´Åºãˤٳ·§Êo§ŒxÙu‹iŒiŒa é¢Ò§¢o§oÊÁ¡ÒôÇ æÅaoÂÒÅÁ¾Å¡´Ò¹e¤Ãèo§ËÁÒÂ) ŒŒ- 1‹ ืiŒื 桵ǻÃa¡oº æÅÇ¡íÒ˹´¨´ ·Õè·ÒãËæµÅaǧeÅ纕aŒuxíŒ ‹e»¹ ŧº¹eʹ¨Ò¹Ç¹ š0Œí ãÊe¤Ãèo§ËÁÒ +, -, +, -, ... Êź¡¹ä» ´Âã˪ǧ• ‹ืa aoŒ ‹¢ÇÒÁoÊ´e»¹ºÇ¡ ¶ÒoÊÁ¡ÒÃe»¹ ã˵oºªÇ§ºÇ¡, ืušŒš> 0Œ‹¶Ò µoºªÇ§Åº Œ< 0‹ ¶ÒoÊÁ¡ÒÃÁÕe¤Ãèo§ËÁÒ ´Ç ã˵oº¨´eËÅҹ鹕 Œื=ŒŒu‹a´Ç (¡ÅÒÂe»¹ªÇ§»´) Œš ‹µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−−23x 2x0>¹Ò ¤Ù³æÅaeÃÕ§¡íÒŧãËÊǧÒÁ.. í-1aŒ+ − 22xx 30 <¨Ò¡¹¹æ¡µÇ»Ãa¡oºä´e»¹ a éaŒ š+−(2x 3)(x 1)0<

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 112 ¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ Œíื ‹−3 [,1]2µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−− 3x7x 60<桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−++(x 3)(x 1)(x 2)0<¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ Œíื ‹−∞ −∪ −(, 2][ 1,3]æµËÒ¡e»Å¹oÊÁ¡ÒÃe»¹ ‹Õèš−− 3x7x 60>¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ Œš−−∪∞[2, 1][3, )µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹+− −+<432x3x13x9x 300桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−+−< 2(x 2)(x 5)(x3)0¹¹¤o a èื−+− +<(x 2)(x 5)(x3)(x3)0-3/2 1 + + – -2 -1 3 + + –– -2 -1 3 + + ––

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ113 ¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ Œíื ‹−−∪( 5,3)( 3,2)æµËÒ¡e»Å¹e»¹ ‹Õèš+− −+>432x3x13x9x 300¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ Œš−∞ −∪ −∪∞(, 5)(3, 3)(2, )7. ¡ÒÃæ¡oÊÁ¡Òþ˹ÒÁ 㹡óշÕèÁÕÊǹ·æ¡µÇŒu‹Õèa»Ãa¡oºäÁä´ (ËÁÒ¶§ã¹ÃÙ·µ´Åº «è§¤íÒµoºäÁ㪋 ŒึŒiึ‹ ‹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) Êǹ¹¹ÊÒÁÒöÅa·§ä´·¹· äÁµo§e¢Õ¹ŧí‹a éiéŒaՋ Œº¹eʹ¨Ò¹Ç¹ æÅaäÁÁÕ¼Åã´ µoe«µ¤íÒµoº Œí‹æ‹µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−++32xxx 30<桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š+−+ 2(x 1)(x2x 3)0<æµÊǹ·e»¹¡íÒŧÊo§¹¹æ¡µÇ»Ãa¡oºäÁä´ eÁèoãªÊµÃ‹ ‹Õèšaa éa‹ Œ ืŒÙÊÒeÃç¨æÅǾºÇÒã¹ÃÙ·µ´Åº ¨§ÊÒÁÒöÅa·§ä´·¹· 팋ŒiึiéŒaÕoÊÁ¡Òèa¡ÅÒÂe»¹ š+x10< -5 3 −3 2 + + + –– -5 3 −3 2 + + + ––

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 114 ¨aä´e«µ¤íÒµoº Œ−∞ −(, 1](e»¹oÊÁ¡ÒáíÒŧ˹§ äÁ¨Òe»¹µo§e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹) šaึ è‹íš ŒŒí8. ¡ÒÃæ¡oÊÁ¡Òþ˹ÒÁ 㹡óշÕèÁյǻÃa¡oº«éíÒ Œua¨aµo§¡íÒ˹´¨´Å§º¹eʹ¨Ò¹Ç¹e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ãé§e·Ò¹é¹ŒuŒíšía‹a´ÇÂ.. ŒµÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−− −<32xx5x 30桵ǻÃa¡oºä´e»¹ aŒ š−++<(x 3)(x 1)(x 1)0ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืš−+<2(x 3)(x 1)0¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§e»´ Œš ‹−∞ − ∪ −(, 1)( 1,3)ËÃoe¢Õ¹ã¹ÃÙ» ื−∞− −(,3){ 1} ¡çä´ Œæµ¶ÒoÊÁ¡ÒÃe»Å¹e»¹ ‹ ŒÕèš−− −32xx5x 30<¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§ Œš ‹−∞(,3] -1 -1 3 + + –– -1 -1 3 + + ––

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ115 ËÃo¶ÒoÊÁ¡ÒÃe»Å¹e»¹ ื ŒÕèš−− −>32xx5x 30¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§e»´ Œš ‹∞(3, )ËÃo¶ÒoÊÁ¡ÒÃe»Å¹e»¹ ื ŒÕèš−− −32xx5x 30>¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ Œš− ∪ ∞ {1}[3, ) ¶ÒÁÕ¨´e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù eª¹ ¨´ ÊÒÁÒöãÊe¾Õ§ • Œuší‹ ‹4u‹2¨´¡çä´ æÅa¶ÒÁÕ¨´e»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè eª¹ ¨´ ÊÒÁÒöãÊuŒŒuší‹3u‹e¾Õ§¨´e´ÕÂÇ¡çä´.. ¼Åž¸¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹¨aäÁe»Å¹æ»Å§ uŒaŒí‹ÕèµÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹++ 345x(x 1) (x 2)0>¨ae¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´§¹Õé ŒíŒa¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ Œš−∞− ∪− ∪ ∞(, 2]{ 1}[0, )ËÃo¶Òe»Å¹oÊÁ¡ÒÃe»¹ ื ŒÕèš++>345x(x 1) (x 2)0 -2 -1 -1 0 + + + –– -1 -1 3 + + –– -2 -1 -1 0 + + + ––

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 116 ¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§e»´ Œš ‹−∞ −∪∞(, 2)(0, )ËÃo¶Òe»Å¹oÊÁ¡ÒÃe»¹ ื ŒÕèš++ 345x(x 1) (x 2)0<¨aä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§»´ Œš ‹−[2,0]9. ÊÁ¡ÒÃËÃooÊÁ¡Òþ˹ÒÁ·e»¹eÈÉÊǹ ืuÕ蚋 ÊÒËúÊÁ¡Òà ÊÒÁÒöÂÒ¢ҧ¤Ù³ä¢Çä´·¹· 浕íaŒŒŒ ŒaՋµo§¡íÒ¡ºe§o¹ä¢ÇÒµÇÊǹËÒÁe»¹ Œaื è‹a‹Œš0 æµÊÒËúoÊÁ¡Òà äÁ¤ÇÃÂÒ¢ҧ¤Ù³ä¢Çe¾ÃÒaoÒ¨•‹ía‹ŒŒŒ·Òã˵oº¼´ªÇ§ (e¹o§¨Ò¡e¤Ãèo§ËÁÒ¼´´Ò¹) ãËãªÇi¸íŒi‹ื èืiŒŒ ŒÕÂÒ¢ҧÁҺǡź¡¹ æÅÇÃÇÁeÈÉÊǹe¢Ò´Ç¡¹ ŒŒaŒ‹Œ Œa(e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ ´Â¹ÒæµÅa¤Ò ¢o§µÇ»Ãa¡oº¢o§Œío틋xaeÈÉæÅaÊǹÁÒe¢Õ¹´Ç¡¹ä´eÅ 浵o§ÃaǧoÂÒµoº¤Ò ‹ŒaŒ‹ Œa‹‹x ·Õè·ÒãËÊǹe»¹ ) íŒ ‹š0µÇoÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà a‹+− =−2x2x 194x4ÊÒÁÒöÂÒ¢ҧ¤Ù³ä´·¹·Õ ŒŒŒa( ´ÂÁÕe§o¹ä¢ÇÒ oื è‹−≠→≠x4 0x4) ¨aä´ Œ+−= −2x2x 194(x 4) -2 -1 -1 0 + + + ––

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ117 ¨Ò¡¹¹ÂÒ½§¢ÇÒÁÒź¡¹ ä´e»¹ a 錘›aŒ š−−= 2x2x 30桵ǻÃa¡oºä´ aŒ+−=(x 1)(x 3)0´§¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òäo a aéื−{1,3}µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹+− −2x2x 194x4<oÊÁ¡ÒùÕéÂÒ¢ҧ ŒŒ−x4 令ٳäÁä´ ‹ Œe¾ÃÒaäÁæ¹ã¨ÇÒµo§¡Åºe¤Ãèo§ËÁÒ ËÃoäÁ ‹ ‹ ‹ Œaื<ื‹´§¹¹¨§ãªÇi¸ÂÒÂeÅ¢ ·Ò§¢ÇÒÁÒź a aéึ ŒÕŒ4ä´e»¹ Œ š+− −−2x2x 1940x4<ÃÇÁ½§«ÒÂãËe»¹eÈÉÊǹe´ÕÂÇ ¹¹¤o ˜› ŒŒ š‹a èื+−− −−−→−− 22(x2x 19)4(x 4)x2x 300x4x4<<¨Ò¡¹¹æ¡µÇ»Ãa¡oºä´ a éaŒ+− −(x 1)(x 3)0x4<e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´§¹Õé ŒíŒa(= x4äÁe»¹¨´·º e¹o§¨Ò¡ÁÕeÈÉÊǹ, ËÒÁe»¹ ) ‹ šuึื è‹xŒš4æÅa¨aä´e«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš−∞ − ∪(, 1][3,4) -1 3 4 + + ––

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 118 µÇoÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà a‹=−− 12x13x 1ÊÒÁÒöÂÒ¢ҧ¤Ù³ä´·¹·Õ ŒŒŒa( ´ÂÁÕe§o¹ä¢ÇÒ oื è‹≠x1 æÅa ≠x1/3) ¨aä´ Œ−=−3x 1 2(x 1)¨Ò¡¹¹ÂÒ¢ҧÊÁ¡Òà ä´e»¹ a 錌Œ š=−x1´§¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òäo a aéื− {1}µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−− 12x13x 1 >ÂÒ½§¢ÇÒÁÒź ä´e»¹ Œ˜›Œ š−−− 120x13x 1>ÃÇÁãËe»¹eÈÉÊǹe´ÕÂǤo Œ š‹ื− − −−− (3x 1)2(x 1)0(x 1)(3x 1)>¹¹¤o a èื+−−x10(x 1)(3x 1)>e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´eÅ e¾ÃÒaoÂã¹ÃÙ»·æ¡µÇ»Ãa¡oºæÅÇ ŒíŒÙ ‹ÕèaŒ(·Õ訴 u= x1 æÅa 1/3äÁe»¹¨´·º e¹o§¨Ò¡ÁÕeÈÉÊǹ ‹ šuึื è‹«è§ ËÒÁe»¹Êo§¤Ò¹) ึxŒš‹Õé¨aä´e«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš−∪∞ [1,1/3)(1, ) -1 1/3 1 + + ––

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ119 µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−> +x12x2¨aä´ Œ−− − −> →>++ x1x 5200x2x2¹¹¤o a èื+< +x50x2 ..´§¹¹ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ a a錚−−(5, 2)10. ¤Ò¢oºe¢µº¹ (¢o§e«µ) ¤o¨Ò¹Ç¹·ÕèÁÕ¤ÒäÁ¹o“ ‹” ืí‹ ‹ Œ¡ÇÒÊÁÒª¡µÇã´ÀÒÂã¹e«µ¹¹eÅ ‹iaa é“ ‹¤Ò¢oºe¢µº¹¹oÂÊ´ (¢o§e«µ) ¤o¨Ò¹Ç¹·Õè¹o·ÕèÊ´ Œu” ืíŒu·ÕèÁÕ¤ÒäÁ¹o¡ÇÒÊÁÒª¡µÇã´ÀÒÂã¹e«µ¹¹eÅ ‹‹ Œ‹iaa é¤Ò¢oºe¢µº¹¹oÂÊ´¢o§ªÇ§ ‹Œu‹(a,b) æÅa (a,b] æÅa [a,b] ¤o ¤Ò ื‹b¤Ò¢oºe¢µº¹¹oÂÊ´¢o§ªÇ§ ‹Œu‹∞(a, ) æÅa ∞[a, ) æÅa −∞ ∞(, ) ËÒäÁä´ ‹ ŒµÇoÂÒ§ ¤Ò¢oºe¢µº¹¢o§e«µ a‹‹−−−{0, 1, 2, 3,...}¤o¤Ò ËÃo ËÃo ื ‹0ื3ื2.7 ËÃooè¹ e»¹ä»ä´ÁÒ¡ÁÒ ื ื暌e¾ÃÒaÁÕ¤ÒäÁ¹o¡ÇÒÊÁÒª¡ã´ ¢o§e«µ¹eÅ ‹ ‹ Œ‹iæÕé浤Ңoºe¢µº¹¹oÂÊ´¢o§e«µ¹ÕéÁÕe¾Õ§¤Òe´ÕÂÇ ¤o ‹ ‹Œu‹ื0

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 120 µÇoÂÒ§ ¤Ò¢oºe¢µº¹¢o§ªÇ§ a‹‹‹[2,5] ¤o¤Ò ËÃo ื ‹6ื8.1 ËÃo ื10.4 ËÃooè¹ e»¹ä»ä´ÁÒ¡ÁÒ e¾ÃÒaÁÕ¤Òื ื暌‹äÁ¹o¡ÇÒÊÁÒª¡ã´ ÀÒÂ㹪ǧ¹eÅ ‹ Œ‹iæ‹Õé浤Ңoºe¢µº¹¹oÂÊ´¢o§ªÇ§¹ÕéÁÕe¾Õ§¤Òe´ÕÂÇ ¤o ‹ ‹Œu‹‹ื5.. æÅa¶§æÁ¨ae»Å¹e»¹ªÇ§e»´ ึŒÕèš ‹(2,5) ¤Ò¢oºe¢µº¹‹¹oÂÊ´¢o§ªÇ§¹Õé¡ç§e»¹ eª¹e´iÁ Œu‹aš5‹µÇoÂÒ§ ¤Ò¢oºe¢µº¹¹oÂÊ´¢o§e«µ a‹‹Œu1 234{ , ,,,...}2 345 e·Ò¡º ‹a1e¾ÃÒaeÁèoe¢Õ¹ÊÁÒª¡ä»eÃèo ¨a§ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ืiืæiè‹ ŒŒ1æÅaäÁÁÕ·Ò§ÁÕ¤ÒÁÒ¡e¡i¹ ä»ä´ ‹‹1ŒµÇoÂÒ§ ¤Ò¢oºe¢µº¹¹oÂÊ´¢o§ªÇ§ a‹‹Œu‹∪(3,7)[2,5]¤o¤Ò e¾ÃÒa¤Ò«è§ÊÁÒª¡·ÁÒ¡·ÕèÊ´¢o§ªÇ§¹ÕéÁÕ¤Òื ‹7‹ ึiÕèu‹‹ã¡Åe¤Õ§ÁÒ¡ æÅaäÁÁÕ·Ò§ÁÕ¤ÒÁÒ¡e¡i¹¤Ò¹¹ä»ä´¡ç¤o Œæ‹‹‹a éŒ ื711. ¢oºe¢µ¢o§ eÁèo¡íÒ˹´ 2xื<<ax b ¶Ò • Œa0> æÅa b0 > ¨aä´¢oºe¢µe»¹ Œš22(a ,b ) ¶Ò • Œ< a0 æÅa < b0 ¨aä´¢oºe¢µe»¹ Œš22(b ,a ) ¶Ò • Œ< a0 ¢³a·Õè b0 > ¢oºe¢µ·ä´¨aÁÕ¤ÒµÒÊu´Õ茋èíe»¹ æÅae»¹ªÇ§¤Ã觻´ (e»¹ ä´) š0š ‹ึ š0Œ¤ÒʧʴãËeÅo¡ÃaËÇÒ§ ‹ÙuŒ ื‹2a ¡º ÇÒµÇã´ÁÒ¡¡ÇÒ¡¹ a2b‹a‹a

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ121 µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ∈x (2,5) ¤Ò ¨aoÂ㹪ǧ ‹2xÙ ‹‹(4,25)æÅa¶Ò Œ∈− −x ( 5, 2) ¤Ò ¡ç¨aoÂ㹪ǧ ‹2xÙ ‹‹(4,25)µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ∈−x( 2,5)¨ae˹ÇÒ ÁÕ¤Òµ§æµµ´Åºä»¨¹¶§ºÇ¡ æÊ´§ÇÒ¼Ò¹¤Òç‹x‹a é‹iึ‹ ‹‹¹o eª¹ Œæ‹−1,0,1 ÏÅÏ ´Ç ..eÁèo¹Òä»Â¡¡íÒŧÊo§ Œืía¤ÒµÒÊ´¨§µo§e»¹ ‹èíuึ Œš0Êǹ¤Òʧʴ eÅo¡¤Ò·ÁÒ¡¡ÇÒ¡¹ÃaËÇÒ§ æÅa ‹‹Ùuื‹Õè‹a‹425ÊÃu»ÇÒ¤Ò oÂ㹪ǧ ‹ ‹2xÙ ‹‹[0,25)æÅa¶Ò Œ∈−x ( 5,2) ¡çÂ§ä´¤Ò oÂ㹪ǧ aŒ ‹2xÙ ‹‹[0,25)** ¢oºe¢µ¢o§ x ¡ç¤i´ã¹Å¡É³ae´ÕÂÇ¡¹¡º aa a2xµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ∈x (2,5) ¤Ò ‹x ¨aoÂ㹪ǧ Ù ‹‹(2,5)¶Ò Œ∈− −x ( 5, 2) ¤Ò ‹x ¡çoÂ㹪ǧ Ù ‹‹(2,5) eª¹¡¹ ‹aæµ¶Ò ‹ Œ∈−x( 2,5) ¤Ò ‹x ¨aoÂ㹪ǧ Ù ‹‹[0,5)æÅa¶Ò Œ∈−x ( 5,2) ¤Ò ‹x ¡çoÂ㹪ǧ Ù ‹‹[0,5) eª¹¡¹ ‹a12. Ëš㹡Òäíҹdz (ºÇ¡Åº¤Ù³ËÒÃ) ÃaËÇÒ§ a‹2ªÇ§ ¤o ‹ื<<ax b æÅa <<cyd ¤Ò • ‹+xy ¨aÁÕ¢oºe¢µe»¹ š++(a c,b d) eÊÁo

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 122 (µÇ¹oÂÊ´ÂoÁe¡i´¨Ò¡¹oºǡ¹o æÅaµÇÁÒ¡Ê´ÂoÁaŒu‹ŒŒau‹e¡i´¨Ò¡ÁÒ¡ºÇ¡ÁÒ¡) ¤Ò • ‹−xy ¨aÁÕ¢oºe¢µe»¹ š−−(a d,b c) eÊÁo e¹o§¨Ò¡¡ÒùÒź¤Ù³ ¨a¡Åº´Ò¹e»¹ ื èíyaŒš−< − < −dyc ... æÅǨ§¹ÒÁҺǡ¡¹¡º Œ ึía ax Êǹ¤Ò • ‹‹xy ¡º¤Ò a‹x/y ¨aµo§¾i¨ÒóҴ§¹Õé Œa..ÊÁÁµiµo§¡Òâoºe¢µ¢o§¼Å¤Ù³ ŒxyãËËҼŤٳ Œac,ad, bc,bd ãˤú ŒæÅǾi¨ÒóÒÇÒ㹼Ťٳ·§ÊÕè·ä´ µÇã´ÁÕ¤ÒµÒÊ´æÅaµÇŒ‹a éÕèŒa‹èíuaã´Ê§Ê´ ... ¤Ò Ùu‹xy ¨aoÂ㹪ǧ¹¹ Ù ‹‹a é(ÊÒËú¢oºe¢µ¢o§¼ÅËÒà íax/y ¡ç¾i¨ÒóҨҡ¼ÅËÒ÷§Ê ã¹Å¡É³ae´ÕÂÇ¡¹ ..æµ¤Ò ¨aµo§äÁ¼Ò¹eÅ¢ ) a éÕèaa‹ ‹yŒ‹ ‹0µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ∈−x( 1,3) æÅa ∈y(2,4)¨aä´¢oºe¢µ´§¹.. ŒaÕé+ xy ÁÕ¤ÒoÂ㹪ǧ ‹Ù ‹‹−++=(( 1) 2,3 4) (1,7)− xy ÁÕ¤ÒoÂ㹪ǧ ‹Ù ‹‹−−−= −(( 1) 4,3 2)( 5,1)e¹o§¨Ò¡¼Å¤Ù³·§ÊÕè¤o ื èa éื−−2,4, 6, 12´§¹¹ a aéxy ÁÕ¤ÒoÂ㹪ǧ ‹Ù ‹‹−(4,12)æÅae¹o§¨Ò¡¼ÅËÒ÷§Êe»¹ ื èa éÕèš−−1/2, 1/4, 3/2, 3/4´§¹¹ a aéx/y ÁÕ¤ÒoÂ㹪ǧ ‹Ù ‹‹−( 1/2,3/2)

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ123 µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ−<2x3< æÅa −< 1y 5 <ãËËÒ¢oºe¢µ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´¢o§ ŒÕ蚌a é2xy¤Ò oÂ㹪ǧ ‹2xÙ ‹‹[0,9]¤Ò ‹2xy eÅo¡¨Ò¡¼Å¤Ù³ ื−0,0, 9,45´§¹¹¤Ò a aé‹2xy oÂ㹪ǧ Ù ‹‹−[9,45]æÅa¨aä´ÇÒ ¤Ò Œ ‹‹2xy oÂ㹪ǧ Ù ‹‹[0,45]13. ·ÄÉ®Õe¡ÕèÂÇ¡º¤ÒÊÁºÃ³ (ªÇÂ㹡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃ) a‹aُ‹Œ ¤ÒÊÁºÃ³µo§äÁ¹o¡ÇÒȹ • ‹aُ Œ‹ Œ‹Ùa0>eÊÁo ¤ÒÊÁºÃ³äÁ¤íÒ¹§¶§e¤Ãèo§ËÁÒÂź • ‹aُ ‹ึ ึื=− aa æÅa −=− abb a ¤ÒÊÁºÃ³¡Ãa¨ÒÂä´ ÊÒËú¡Òäٳ • ‹aُŒía= aba b æÅa =nnaa ¤ÒÊÁºÃ³¡Ãa¨ÒÂä´ ÊÒËú¡ÒÃËÒà • ‹aُŒía=aabb ´Â o≠ b0 ¡¡íÒŧ´ÇÂeÅ¢¤ÙäÁµo§ãʤÒÊÁºÃ³ •aŒ‹ ‹ Œ‹ ‹aُ==222aaa ¤ÒÊÁºÃ³¡Ãa¨ÒÂäÁä´ ÊÒËú¡Òúǡź • ‹aُ‹ Œía++ abab< æÅa −− abab>

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 124 ¹ÂÒÁ¡Òöo´ÃÒ¡·Õè ¢o§¡íÒŧ •inannnู a,aa,⎧⎪= ⎨⎪ ⎩ n = ¨Ò¹Ç¹¤í n = ¨Ò¹Ç¹¤Õèí14. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃËÃooÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ ´Â·Õèµ´µÇŒื‹aُoiaæ»Ã ·é§Êo§½§ xa˜› ÊÒËúÊÁ¡Òà ã¹Ãٻ溺 •ía= f(x)g(x)ËÃoÃٻ溺 ื= f(x)g(x)æÅaÊÒËúoÊÁ¡Òà ã¹Ãٻ溺 ía> f(x)g(x)ËÃoÃٻ溺 ื< f(x)g(x) ËÃoÃٻ溺 ื< f(x)g(x)..eËÅÒ¹ÕéÅǹÊÒÁÒö¡¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§ä´ (e¾ÃÒa‹Œaa 錌Áè¹ã¨ÇÒe»¹ºÇ¡·§Êo§¢Ò§) ¨Ò¡¹¹¤ÇÃÂÒ½§ÁÒź¡¹a‹ ša éŒa 錘›ae»¹¼ÅµÒ§¡íÒŧÊo§ (e¾èo¨aä´äÁµo§æ¡µÇ»Ãa¡oºeo§) š‹aืŒ ‹ Œa** eÁèoä´¤íÒµoºæÅǵo§µÃǨ¤íÒµoºeÊÁo ืŒŒ ŒµÇoÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà a‹− = + 2x 13x 2¨aä´ Œ−= + 22(2x 1)(3x 2)ÂÒÂÁÒź¡¹e»¹ Œaš−− + =22(2x 1)(3x 2)0¡Ãa¨Ò¼ŵҧ¡íÒŧÊo§ ä´´§¹ ‹aŒaÕé−−−−++=(2x1 3x 2)(2x1 3x 2)0¹¹¤o a èื−−+=(x 3)(5x 1)0´§¹¹ a aé=−x3 ËÃo ื=−x1/5

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ125 ... µÃǨ¤íÒµoºæÅǾºÇÒ Œ‹=−x3 ãªäÁä´ Œ ‹ ŒæÅa =−x1/5 ãªä´ Œ Œe¾ÃÒa©a¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òäo a éื−{1/5}浶Òe»Å¹ ¨·Âe»¹ ‹ ŒÕèo š− = +2x 13x 2¨aä´e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš−−{3, 1/5}(µÃǨ¤íÒµoº¾ºÇÒãªä´·§Êo§¤íÒµoº) ‹ Œ Œa éµÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹++ 3x 24x 1<¨aä´ Œ++ 22(3x 2)(4x 1)<ÂÒÂÁÒź¡¹e»¹ Œaš+−+ 22(3x 2)(4x 1)0 <¡Ãa¨Ò¼ŵҧ¡íÒŧÊo§ ä´´§¹ ‹aŒaÕé+−−+++(3x 2 4x 1)(3x 2 4x 1)0<¹¹¤o a èื−++(x 1)(7x 3)0<¹Ò ¤Ù³¡ÅÒÂe»¹ í- 1š−+(x 1)(7x 3)0>eÁèoe¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹æÅÇ ¨a䴪ǧ¤íÒµoºe»¹ ืŒíŒŒ ‹š−∞ −∪∞(, 3/7][1, )浨ҡoÊÁ¡ÒÃã¹ ¨·Â ÁÕe§o¹ä¢ÇÒ ‹oื è‹+4x 10> e·Ò¹¹ ‹a é¹¹¤o a èื− x1/4 > ..¹Òä»o¹eµoÃe«¤¡º¤íÒµoº·ä´ íiaÕ茴§¹¹ ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒùÕ騧e»¹ a aé‹ึ š∞[1, )** 浶Òe»Å¹ ¨·Âe»¹ ‹ ŒÕèo š++ 3x 24x 1 <¨aäÁÁÕe§o¹ä¢ã´e¡i´¢é¹eÅ ‹ ืèึ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 126 ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡Òè§e»¹ ‹ึ š−∞ −∪∞(, 3/7][1, ) ä´ Œ ÊÒËúoÊÁ¡Òà ã¹Ãٻ溺 •ía> f(x)g(x)¨aµo§æ¡¤i´Êo§¡Ã³Õ ¤o.. Œื¡Ã³Õ g(x)0> ¨aãªÇi¸Â¡¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§eª¹e´iÁ ŒÕaa 錋æÅao¡¡Ã³Õ¤o Õื<g(x)0 oÊÁ¡Òèae»¹¨Ãi§eÊÁo šã˹Òe«µ¤íÒµoº·ä´¨Ò¡·§Êo§¡Ã³ÕÁÒÂe¹Â¹¡¹ ŒíÕèŒa éÙÕaµÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−<−x1x 7µo§æ¡¤i´ ¡Ã³Õ ä´æ¡ Œ2Œ ‹¡Ã³Õæá.. −→ x10x1>>¨aä´ Œ−<− 22(x 1)(x 7)ÂÒÂÁÒź¡¹e»¹ Œaš−−− <22(x 1)(x 7)0¡Ãa¨Ò¼ŵҧ¡íÒŧÊo§ ä´´§¹ ‹aŒaÕé−− +− +−<(x 1 x 7)(x 1 x 7)0¹¹¤o a èื−< → <(6)(2x 8)0x4´§¹¹ªÇ§¤íÒµoº¢o§¡Ã³Õæá¹Õé¤o a aé‹ื[1,4)¡Ã³Õ·Êo§.. Õè−<→<x1 0x 1oÊÁ¡Òèae»¹¨Ãi§eÊÁo·u¡ ¤Ò šæ‹x(e¾ÃÒa¤ÒÊÁºÃ³ÂoÁÁÒ¡¡ÇҨҹǹµ´Åºæ¹¹o¹) ‹aُ ‹‹íi‹´§¹¹ªÇ§¤íÒµoº¢o§¡Ã³Õ·Êo§¹Õé¤o a aé‹Õèื−∞(,1) ·§ËÁ´ a éÊÃu»ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃã¹ ¨·Â¡ç¤o ‹o ื−∞(,4)

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ127 ** oÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕµÇÊǹe»¹¤ÒÊÁºÃ³ ÊÒÁÒöÂÒ½§¤Ù³a‹š ‹aُŒ˜›ä¢Çä´·¹· e¾ÃÒa¤ÒÊÁºÃ³ÂoÁäÁµ´ÅºoÂæÅÇ (æµÂ§Œ ŒaՋaُ ‹‹iً Œ‹aµo§Ãaǧ oÂÒµoº¤Ò·Õè·ÒãËÊǹe»¹ eª¹e¤Â) Œa‹‹íŒ ‹š0‹µÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹−−+− 22x5x 41xx 2>ÊÒÁÒöÂÒ¤ٳe»¹ Œš−− +−22x5x 4xx 2>¨aä´ Œ−− +−2222(x5x 4)(xx 2)>ÂÒÂÁÒź¡¹æÅa¡Ãa¨Ò¼ŵҧ¡íÒŧÊo§ ä´¼Åe»¹ Œa‹aŒš−− − − 2(6x 2)(2x4x 6)0>¨´ÃÙ»ä´e»¹ aŒ š+−− 24(3x 1)(x2x 3)0<桵ǻÃa¡oº.. a+−+4(3x 1)(x 3)(x 1)0<eÁèoe¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹æÅÇ ¨a䴪ǧ¤íÒµoºe»¹ ืŒíŒŒ ‹š−∞ − ∪ −(, 1][ 1/3,3]æµe¹o§¨Ò¡oÊÁ¡ÒÃã¹ ¨·Â¹¹ÁÕµÇÊǹ ‹ ืèoa éa‹¨§ÁÕe§o¹ä¢ÇÒ ึื è‹+ −≠ → + − ≠2xx 20(x 2)(x 1)0¹¹¤o a èื≠−x2 æÅa ≠ x1¹Òä»o¹eµoÃe«¤¡º¤íÒµoº·ä´.. íiaÕ茴§¹¹ ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒùÕ騧e»¹ a aé‹ึ š−∞ −∪ −−∪ −∪(, 2)( 2, 1][ 1/3,1)(1,3]ËÃo¨ae¢Õ¹e»¹ ืš−∞ − ∪ −− −(, 1][ 1/3,3]{ 2,1} ¡çä´ Œ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 128 15. ÊÁ¡ÒÃËÃooÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ ·Õ諺«o¹e¡i¹¡ÇÒื‹aُaŒ‹·¡Ãٻ溺·e¤Â¡ÅÒÇä»æÅÇ (eª¹ÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ºÇ¡Åº¡¹) uÕ苌‹‹aُa¨aµo§¤íҹdz ´Â㪹ÂÒÁ¢o§¤ÒÊÁºÃ³ ¤o桡óՌoŒi‹aُ ืe¾èo¶o´¤ÒÊÁºÃ³oo¡ ื‹aُ Çi¸¶o´¤ÒÊÁºÃ³oo¡¹ ãªä´¡º·¡ÊÁ¡ÒÃæÅa•Õ‹aُÕéŒ ŒauoÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ (ÃÇÁ¶§·u¡ Ãٻ溺·¡ÅÒÇä»æÅNjaُึæÕ苌´Ç ·§ã¹¤³iµÈÒʵþ鹰ҹæÅae¾ièÁeµÁ) Œa é ืiµÇoÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà a‹+= + 23x2 x3e¹o§¨Ò¡¤Ò ·Õè·ÒãËæµÅa¤ÒÊÁºÃ³e·Ò¡º ¤o ื è‹xíŒ ‹‹aُ ‹a0ื=−x2/3 æÅa = x0 ´§¹¹¡Òöo´¤ÒÊÁºÃ³a aé‹aُ¨aµo§æ¡¤i´e»¹ ¡Ã³Õ ä´æ¡.. Œš3Œ ‹¡Ã³Õæá eÁèo ืx0>¨a¶o´ä´e»¹ Œ š+= + (2 3x)2(x) 3¹¹¤o a èื= x1¡Ã³Õ·Êo§ eÁèo Õèื−< 2/3x0<¨a¶o´ä´e»¹ Œ š+=−+ (2 3x)2( x) 3¹¹¤o a èื= x1/5(æµ¤Ò ¹äÁä´oÂã¹e§o¹ä¢.. ¤íÒµoº¹Õ騧ãªäÁä´) ‹ ‹xÕé‹ Œ ‹Ùื èึ Œ ‹ Œ¡Ã³Õ·ÊÒÁ eÁèo Õèื<−x2/3¨a¶o´ä´e»¹ Œ š−−=−+(2 3x)2( x) 3

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ129 ¹¹¤o a èื=−x5´§¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒùÕé¤o a aéื−{1, 5}(¹Ò¼Å·ä´¢o§æµÅa¡Ã³ÕÁÒÂe¹Â¹¡¹) íÕ茋ÙÕaµÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹+− − x34x12>e¹o§¨Ò¡¤Ò ·Õè·íÒãˤÒÊÁºÙóe·Ò¡º ¤o ื è‹xŒ ‹a ‹a0ื= x1´§¹¹¡Òöo´¤ÒÊÁºÃ³¨aµo§æ¡¤i´e»¹ ¡Ã³Õ a aé‹aُŒš2ä´æ¡.. Œ ‹¡Ã³Õæá eÁèo ืx1>¨a¶o´ä´e»¹ Œ š++ →− −−−x3x 3440(x 1) 2x 3>>¹¹¤o a èื+−+ −x3 4x 120x3>¨aä´ Œ−+− →−− 3x 15x 500x3x3><e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´ªÇ§¤íÒµoºe»¹ ŒíŒ ‹š(3,5]¹Òä»o¹eµoÃe«¤¡ºe§o¹ä¢ §¤§ä´¤íÒµoºe»¹ íiaื èaŒš(3,5]¡Ã³Õ·Êo§ eÁèo Õèื< x1¨a¶o´ä´e»¹ Œ š++ →−−+−−−x3x3440(x 1) 2x 1>>

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 130 ¹¹¤o a èื+++−−x3 4x40x1>¨aä´ Œ++→−−+5x 75x 700x1x1><e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´ªÇ§¤íÒµoºe»¹ ŒíŒ ‹š−− [ 7/5, 1)¹Òä»o¹eµoÃe«¤¡ºe§o¹ä¢ ä´¤íÒµoºe»¹ íiaื 茚−− [ 7/5, 1)ÊÃu»ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡Òù ¡ç¤o ‹Õéื−−∪[ 7/5, 1)(3,5](¹Ò¼Å·ä´¢o§æµÅa¡Ã³ÕÁÒÂe¹Â¹¡¹) íÕ茋ÙÕaµÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà a‹− + − < −x1x 3x 5e¹o§¨Ò¡¤Ò ·Õè·íÒãËæµÅa¤ÒÊÁºÙóe·Ò¡º ¤o ื è‹xŒ ‹‹a ‹a0ื= x1,3,5 ´§¹¹¡Òöo´¤ÒÊÁºÃ³¨aµo§æ¡¤i´e»¹ a aé‹aُŒš4 ¡Ã³Õ ä´æ¡.. Œ ‹¡Ã³Õæá eÁèo ื< x1 ¨aä´oÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš−+ − + < −+→ − <x1 x 3x51 x¹¹¤oªÇ§¤íÒµoº a èื ‹−(1,1)¡Ã³Õ·Êo§ eÁèo Õèื<1x3< ¨aä´oÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš− −+< − +→<x 1 x3x5x3¹¹¤oªÇ§¤íÒµoº a èื ‹[1,3)¡Ã³Õ·ÊÒÁ eÁèo Õèื<3x5< ¨aä´oÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš

เพิ่มเติม บทท ระบบจานวนจริงี่ 2 ํ131 − +−< − +→<x1 x 3x 5x3¹¹¤oªÇ§¤íÒµoº a èื ‹∅¡Ã³Õ·ÕèÊ eÁèo Õèืx5> ¨aä´oÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš− +−<−→< −x 1 x3x5x1¹¹¤oªÇ§¤íÒµoº a èื ‹∅ÊÃu»æÅÇ (eÁèoÂe¹Â¹¡¹·¡¡Ã³Õ) ¨a䴪ǧ¤íÒµoº¢o§ŒืÙÕauŒ ‹oÊÁ¡ÒÃã¹¢o¹e»¹ ªÇ§e»´ ŒÕ隋−(1,3)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 132 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .4 เทอม 1 บทที่ 3ทฤษฎีจํานวน1. ·Äɮըҹǹe»¹ÊÒ¢Ò·ÕèÈ¡ÉÒe¡ÕèÂÇ¡aº¨Ò¹Ç¹eµÁ æÅíšึíçaÊÁºaµ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ æµã¹º·¹eÃÒ¨ È¡ÉÒe¡ÕèÂÇ¡aº¡ÒÃiíç‹Õéa ึËÒèҹǹeµÁ æÅ e¡ÕèÂÇ¡aº Ë.Ã.Á. æÅ ¤.Ã.¹. e·Ò¹¹ íçaa‹aé2. »Ã ¤ m ËÒôÇ n ŧµaÇ e¢Õ¹e»¹Ê šɳao“Œ”š ­ aaä´e»¹ Œ šnm (m ¤oµÇµ§, n ¤oµÇËÒÃ) ืaaéืa ¶Ò • Œnm æÅÇ ¨ ¡ÅÒÇä´ÇÒ Œa‹Œ ‹n e»¹µÇËÒâo§ m, æÅ m e»¹µÇ¾Ëu¤Ù³¢o§ n šaašaµaÇoÂÒ§ »Ã ¤ ËÒôÇ ŧµÇ ‹ao6Œ2ae¢Õ¹e»¹Ê šɳÇÒ š ­ aa ‹26oÒ¹ÇÒ ËÒà ŧµaÇ ‹‹ “26”(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ‹6/2 ÁÕ¤Òe»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ¹¹eo§) ‹ šíçaèæÅ ÊÒÁÒö¡ÅÒÇä´ÇÒ e»¹µÇËÒâo§ a‹Œ ‹2ša6æÅ e»¹¾Ëu¤Ù³¢o§ a6š2** ¤íÒÇÒ ËÒà ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂe´ÕÂÇ¡aº¤íÒÇÒ ‹ “nm ”‹“m ËÒôÇ ¹¹¤o e»¹µÇµ§ æÅ e»¹µÇËÒà Œn ”aèืmšaaéanša(¡ç¤o ืm/n ¹¹eo§) aè

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 134 3. º·¹ÂÒÁ¡ÒÃËÒÃŧµÇ ia..ÊÒËÃaº¨Ò¹Ç¹eµÁ ííçm, n ã´ ( ´Â· æ oÕèn0 ≠) ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹“nm ¡çµoeÁèo ÁըҹǹeµÁ ·Õè·ÒãË ‹ ืíçqíŒmn q =”(«è§ ã¹·Õè¹Õé¡ç¤o¼ÅËÒà ËÃo¤Ò¢o§ ึqืื ‹m/n ¹¹eo§) aèµaÇoÂÒ§ ‹26 e¾ÃÒ a62(3) =6( 24)− e¾ÃÒ a246( 4)−=−(4) (20) −− e¾ÃÒ a20( 4)(5)−=−30 e¾ÃÒ a03(0) =µaÇoÂÒ§ ‹5 12| (oÒ¹ÇÒ ËÒà äÁŧµÇ) ‹‹512‹ae¾ÃÒ äÁÁըҹǹeµÁ ã´··ÒãË a‹íçqÕèíŒ125(q) = ä´eÅ Œ4. ÊÁºaµe¡ÕèÂÇ¡aº¡ÒÃËÒÃŧµÇ ia(eÁèo ืa, b, c e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ·äÁ㪠) šíçÕè‹ ‹0 ÊÁºµ¡ÒöÒ·o´ •ai‹¶Ò Œab æÅ abc æÅÇ Œac ¡ÒÃËÒüÅÃÇÁeª§eʹŧµÇ •iŒa(eÁèo æÅ e»¹¨íҹǹeµçÁã´ ) ืxayšæ¶Ò Œab æÅ aac æÅÇ Œa(bx cy)± ¼Å¤Ù³ æÅ eŢ¡¡íÒŧ (eÁèo e»¹¨Ò¹Ç¹¹º) •aaืnšía¶Ò Œab æÅÇ Œabc..´a§¹¹¶Ò aéŒab æÅÇ Œnab¶Ò Œac b æÅÇ Œab æÅ acb..´a§¹¹¶Ò aéŒnab æÅÇ Œab

เพิ่มเติม บทที่ 3 ทฤษฎีจานวนเบื้องต้นํ135 µaÇoÂÒ§ ã˾iʨ¹ÇÒ ‹ŒÙ ‹¶Ò Œ4a (3x 2y)− æÅ aa(4x y)+ æÅÇ Œa22 xÇi¸Õ·Õè ..¾iʨ¹¨Ò¡ÊÁºaµ 1ُi¨Ò¡ÊÁºaµe¡ÕèÂÇ¡aºeŢ¡¡íÒŧ ia¶Ò Œ4a (3x 2y)− ÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹a (3x 2y)−¨Ò¡ÊÁºaµe¡ÕèÂÇ¡aº¼ÅÃÇÁeªi§eʹ iŒ¶Ò Œa (3x 2y)− æÅ aa(4x y)+ÂoÁä´ÇÒ.. ‹Œ ‹a ((3x 2y) 2(4x y))−+ +¹¹¤o aèืa11xæÅ ¨Ò¡ÊÁºaµe¡ÕèÂÇ¡aº¡Òäٳ ¨§ä´ aiึ Œa22 x ´Ç ŒÇi¸Õ·Õè ..¾iʨ¹¨Ò¡º·¹ÂÒÁ¡ÒÃËÒÃŧµaÇ 2ُi¨Ò¡ 4a (3x 2y)− æÊ´§ÇÒ ‹43x 2ya m−= ..... (1)(eÁèo m e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ¨Ò¹Ç¹Ë¹§) ืšíçíึ è¨Ò¡ a(4x y)+ æÊ´§ÇÒ ‹4xyan+ = ..... (2)(eÁèo n e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ¨Ò¹Ç¹Ë¹§) ืšíçíึ è¹ÒÊÁ¡Òà í(1)2 (2) ;+ר ä´ aŒ411xa m2an=+ ¹¹¤o aèื311xa (a m 2n)=+eÁèo¤Ù³ÊÁ¡ÒôÇ ¨ ä´ ืŒ2aŒ322 xa (2a m 4n)=+«è§¤Ò·oÂã¹Ç§eźÂoÁe»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ (oÒ§o§ÊÁºaµi»´) ึ ‹ÕèÙ ‹ç‹šíçŒi´a§¹¹¨ ¡ÅÒÇä´ÇÒ aéa‹Œ ‹a22 x

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 136 µaÇoÂÒ§ ¢o¤ÇÒÁµo仹Õé¶Ù¡ËÃo¼´ ‹Œ‹ืi ¶Ò • Œa(b c)+ æÅÇ Œab æÅ aac¼´.. eª¹ i‹2(3 5)+ æµÇÒ ËÒà ¡aº äÁŧµÇ ‹ ‹235‹a ¶Ò • Œabc æÅÇ Œab ËÃo ืac¼´.. eª¹ i‹6(2 3)× æµÇÒ ËÒà ¡aº äÁŧµÇ ‹ ‹623‹a ¶Ò • Œ2ab æÅÇ Œab¼´.. eª¹ i‹246 æµÇÒ ËÒà äÁŧµÇ ‹ ‹46‹a ¶Ò • Œab æÅ acb æÅÇ Œac b¼´.. eª¹ i‹26 æÅ a66æµÇÒ ‹ ‹(2 6)× ËÒà äÁŧµÇ 6‹a5. ·Äɮպ·ËÅ¡ÁÙÅeÅ¢¤³iµ a“¨Ò¹Ç¹eµÁã´ ·ÁÒ¡¡ÇÒ ÊÒÁÒöe¢Õ¹ã¹ÃÙ»¼Å¤Ù³íçæÕè‹1¢o§¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ºÇ¡ ä´e¾Õ§ªu´e´ÕÂÇe·Ò¹aé¹ íaŒ‹”µaÇoÂÒ§ ãËe¢Õ¹¨Ò¹Ç¹µo仹 ã¹ÃÙ»¼Å¤Ù³¢o§¨Ò¹Ç¹‹Œí‹Õéíe©¾Ò a•41622222= ×× × =•354233323=×××=ו= ××××=× × 3120222 3523 5•9102 5 7 13= ×× ×

เพิ่มเติม บทที่ 3 ทฤษฎีจานวนเบื้องต้นํ137 •25492549 =(¨Ò¹Ç¹«è§e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò oÂæÅÇ ¨ äÁÊÒÁÒö桵aÇíึ šíaً Œa‹»Ã ¡oºãËe»¹¼Å¤Ù³¢o§¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ·Õè¹oÂŧä´) aŒ šíaŒŒ•2254453 3 5 11 1135 11= ××× × = ××6. µÇËÒÃÃÇÁÁÒ¡ æÅ µÇ¤Ù³ÃÇÁ¹o a‹a a‹Œ Ë.Ã.Á. ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ ¡aº •íçab¤o¨Ò¹Ç¹eµÁºÇ¡·ÁÒ¡·ÕèÊ´«è§ä»ËÒ÷§ æŠŧµÇ ืíçÕèuึaéaabaÊ Å¡É³æ·¹ Ë.Ã.Á. ¢o§ ¡aº ¤o a­ aabื(a,b) ¤.Ã.¹. ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ ¡aº •íçab¤o¨Ò¹Ç¹eµÁºÇ¡·Õè¹o·ʴ«è§ËÒôÇ æŠŧµÇ ืíçŒÕèuึŒaabaÊ Å¡É³æ·¹ ¤.Ã.¹. ¢o§ ¡aº ¤o a­ aabื[a,b]µaÇoÂÒ§ ãËËÒ Ë.Ã.Á. æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ ‹Œa252 ¡aº 312e¹o§¨Ò¡ ื è25222337 =××××æÅ a3122 22 3 13=××××Áյǻà ¡oºÃÇÁ¡a¹ÁÒ¡·ÕèÊ´¤o aa‹uื22 312××=´a§¹¹ Ë.Ã.Á. ¢o§ aé252 ¡aº 312 e·Ò¡aº ‹12¤.Ã.¹. ¤i´ä´ ´Â¹ÒµÇ»Ã ¡oºæµÅ µÇÁÒe»¹¨Ò¹Ç¹¤Ãa駌oíaa‹a ašíÁÒ¡·ÕèÊ´.. ¹¹¤o uaèื22 23 3 7 136552××××××=´a§¹¹ ¤.Ã.¹. ¢o§ aé252 ¡aº 312 e·Ò¡aº ‹6552

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 138 7. ¡ÒÃËÒ Ë.Ã.Á. ËÃo ¤.Ã.¹. ¢o§¡ÅÁ¨Ò¹Ç¹·ÕèÁÕืu ‹íÁÒ¡¡ÇÒÊo§¨Ò¹Ç¹ ÊÒÁÒö¤íÒ¹Ç³ä´ ´Â.. ‹íŒo ËÒ Ë.Ã.Á. ËÃo ¤.Ã.¹. ¢o§Êo§¨Ò¹Ç¹ã´ ¡o¹ •ืíæ‹ ¹Ò¼Å·ä´ä»¤i´ËÒ Ë.Ã.Á. ËÃo ¤.Ã.¹. ÃÇÁ¡aº•íÕèŒื‹¨Ò¹Ç¹·eËÅoµo ä»·ÕÅ ¨Ò¹Ç¹ ¨¹ãª¤Ãº·¡µÇ íÕèื ‹æa íŒuaµaÇoÂÒ§ ãËËÒ Ë.Ã.Á. ¢o§ ‹Œ30, 42, æÅ a70e¹o§¨Ò¡ Ë.Ã.Á. ¢o§ ¡aº e·Ò¡aº ื è3042‹6æÅ Ë.Ã.Á. ¢o§ ¡aº e·Ò¡aº a670‹2´a§¹¹ Ë.Ã.Á. ¢o§ aé30, 42, æÅ e·Ò¡aº a70‹2ËÃo¾i¨ÒóҨҡµÇ»Ã ¡oº´a§¹Õé ืaae¹o§¨Ò¡ ื è30235 = ××æÅ a42237 = ××æÅ a70257 = ××Áյǻà ¡oºÃÇÁ¡a¹ÁÒ¡·ÕèÊ´¤o aa‹uื2´a§¹¹ Ë.Ã.Á. ¢o§ aé30, 42, æÅ e·Ò¡aº a70‹2µaÇoÂÒ§ ãËËÒ ¤.Ã.¹. ¢o§ ‹Œ30, 42, æÅ a70e¹o§¨Ò¡ ¤.Ã.¹. ¢o§ ¡aº e·Ò¡aº ื è3042‹210æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ a210 ¡aº e·Ò¡aº 70‹210´a§¹¹ ¤.Ã.¹. ¢o§ aé30, 42, æÅ e·Ò¡aº a70‹210

เพิ่มเติม บทที่ 3 ทฤษฎีจานวนเบื้องต้นํ139 ËÃo¾i¨ÒóҨҡµÇ»Ã ¡oº´a§¹Õé ืaae¹o§¨Ò¡ ื è30235 = ××æÅ a42237 = ××æÅ a70257 = ×׹ҵǻà ¡oºæµÅ µÇÁÒe»¹¨Ò¹Ç¹¤Ãaé§ÁÒ¡·ÕèÊ´ íaa‹a ašíu¹¹¤o aèื23 5 7210×× ×=´a§¹¹ ¤.Ã.¹. ¢o§ aé30, 42, æÅ e·Ò¡aº a70‹2108. ÊÁºaµ¢o§ Ë.Ã.Á. æÅ ¤.Ã.¹. ia ¼Å¤Ù³ Ë.Ã.Á. ¡aº ¤.Ã.¹. ¢o§Êo§¨Ò¹Ç¹ •í¨ ä´ aŒ(a,b) [a,b]a b×=× eÊÁo (eÁèo ¤Ù³¡aº 䴼޸e»¹¤ÒºÇ¡) ืabŒa š ‹ Ë.Ã.Á. ¢o§¼ÅËÒà •¶Ò Œ(a,b)d = æÅÇ Œ(a/d,b/d) 1=µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§e´iÁ eÃÒ·ÃÒºÇÒ ‹a‹‹Ë.Ã.Á. ¢o§ 252 ¡aº 312 e·Ò¡aº ‹12æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ a252 ¡aº 312 e·Ò¡aº ‹6552 ´a§¹¹ ÂoÁ¡ÅÒÇä´ÇÒ a鋋Œ ‹12 6552252 312×=× ¾o´Õ æÅ ¶Ò¹Ò Ë.Ã.Á. ¤o ä»ËÒà a Œíื12252 ¡aº 312¨ ¡ÅÒÂe»¹ ¡aº aš2126«è§¨ µo§¾ºÇÒ Ë.Ã.Á. ¢o§ ¡aº e·Ò¡aº ึa Œ‹2126 ‹1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 140 9. eÁèo æÅ e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁã´ ืmanšíçæ¶ÒËÒ¡ Œ(m,n) 1= æÅÇ ¨ eÃÕ¡ æÅ ÇÒe»¹ Œaman‹ š“¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ÊÁ¾a·¸ ía a”µaÇoÂÒ§ Ë.Ã.Á. ¢o§ ¡aº e·Ò¡aº ‹2126 ‹1æÊ´§ÇÒ ¡aº ¶oe»¹ ¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ÊÁ¾a·¸ ‹2126ืš “ía a”(ËÁÒ¶§ e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò eÁèoe»ÃÕºe·ÂºÃ ËÇÒ§¡a¹) ึšíaืÕa‹10. º·¹ÂÒÁ¢o§¡ÒÃËÒÃã´ iæ..ÊÒËÃaº¨Ò¹Ç¹eµÁ ííçm, n ã´ ( ´Â· æ oÕèn0 ≠) ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹“ÁըҹǹeµÁ æÅ ¨Ò¹Ç¹eµÁºÇ¡ oÂ˹§ªu´ ··ÒãË íçqa íçrً ึèÕèíŒmn qr=+ .. ´Â·Õè ÁÕ¤Ò¹o¡ÇÒ or‹ Œ‹n”(«è§ ã¹·Õè¹Õé¡ç¤oeÈɨҡ¡ÒÃËÒà ึrืm/n ¹¹eo§) aèµaÇoÂÒ§ ¶Ò¹Ò ËÒà ‹Œí517¨ e¢Õ¹䴴a§¹.. aŒÕé175(3)2=+ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ¤o¼ÅËÒÃ, æÅ ¤oeÈÉ ‹3ืa2ืµaÇoÂÒ§ ¶Ò¹Ò ËÒà ‹Œí5-17¨ e¢Õ¹䴴a§¹.. aŒÕé175( 4)3−=−+ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ¤o¼ÅËÒÃ, æÅ ¤oeÈÉ ‹- 4ืa3ื(eÈɨ µo§e»¹ ¨Ò¹Ç¹eµÁºÇ¡ eÊÁo æÅ ¹o¡ÇÒ ) a Œš “íç”a Œ‹5

เพิ่มเติม บทที่ 3 ทฤษฎีจานวนเบื้องต้นํ141 11. ¢aé¹µo¹¡ÒÃËÒ Ë.Ã.Á. ¢o§ ¡aº 溺¤Ŵ abui e¢Õ¹ ¡aº ã¹ÃÙ»º·¹ÂÒÁ¢o§¡ÒÃËÒà •abi ¹ÒeÈÉ·ä´ ä»ËÒÃoo¡¨Ò¡µÇËÒÃe´iÁ •íÕèŒa ·Ò«éíÒä»eÃèo ¨¹¡ÇÒ¨ ËÒÃŧµÇ ¨ ä´ÇÒ Ë.Ã.Á. •íืæ‹aaaŒ ‹¤oµÇËÒõÇÊ´·Ò (··ÒãË¡ÒÃËÒù¹Å§µÇ¾o´Õ) ืaauŒÕèíŒaéa** Çi¸¢o§Â¤Å´ãªËÒ Ë.Ã.Á. e·Ò¹¹ Êǹ ¤.Ã.¹. ÕuiŒ‹a鋨 µo§¤íҹdz ´ÂãªÊÁºµiÇÒ a ŒoŒa‹(a,b) [a,b]a b×=×..¹¹¤o ¤.Ã.¹. ¨ e·Ò¡aº aèืa‹ab ×Ë.Ã.Á. eÊÁo µaÇoÂÒ§ ãËËÒ Ë.Ã.Á. æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ ‹Œa252 ¡aº 312¨ ä´ aŒ312252(1)60=+ ¨Ò¡¹¹.. aé25260(4)12=+ ¨Ò¡¹¹.. aé6012(5)=¡ÒÃËÒÃŧµÇ¾o´Õ æÅ e»¹µaÇËÒõaÇÊu´·Ò aa12šŒæÊ´§ÇÒ Ë.Ã.Á. ¢o§ ‹252 ¡aº 312 e·Ò¡aº ‹12æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ a252 ¡aº 312 e·Ò¡aº ‹252 312655212 ×=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 142 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ Ë.Ã.Á. æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ ‹Œa-34 ¡aº 254¨ ä´ aŒ25434(8)18=−+¨Ò¡¹¹.. aé3418( 2)2−= −+¨Ò¡¹¹.. aé182(9) =¡ÒÃËÒÃŧµÇ¾o´Õ æÅ e»¹µÇËÒõÇÊ´·Ò aa2šaauŒæÊ´§ÇÒ Ë.Ã.Á. ¢o§ ‹-34 ¡aº 254 e·Ò¡aº ‹2æÅ ¤.Ã.¹. ¢o§ ¡aº a-34254 e·Ò¡aº ‹3425443182 ×=(Ë.Ã.Á. æÅ ¤.Ã.¹. ¨ µo§e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁºÇ¡eÊÁo) aa Œšíç12. ¨·Â» ËÒe¡ÕèÂÇ¡aº Ë.Ã.Á. Áa¡¨ e»¹¡ÒÃ溧¢o§o ˜­aš‹oo¡e»¹¡o§ ¨´¤¹e»¹¡ÅÁ µ´eʹÅÇ´e»¹·o¹ ´Â¡ÒÚašu ‹aŒš ‹o溧/¨´/µ´ ¹¹¨ µo§ä´Ê§¢o§·ÕèÁÕ»ÃiÁÒ³e·Ò¡a¹ ‹aaaéa ŒŒiè‹ ¨·Â» ËÒe¡ÕèÂÇ¡aº ¤.Ã.¹. Áa¡¨ e»¹¡ÒÃÃǺÃÇÁ•o ˜­ašÊ§¢o§ËÅÒ¡o§e¢Ò´Ç¡a¹ ¡ÒÃÃÇÁà  ·Ò§ËÅÒ¡ÒÇe¢ÒièŒ Œa aŒŒ´Ç¡a¹ ´Â¡ÒÃÃÇÁ¹¹¨ µo§ä´¼ÅÃÇÁ·ÕèÁÕ»ÃiÁÒ³e·Ò¡a¹ Œoaéa ŒŒ‹µaÇoÂÒ§ ÁÕ¹¡eÃÕ¹ªÒÂo ‹aً252 ¤¹ æÅ ¹¡eÃÕÂ¹Ë i§ a a­312 ¤¹ µo§¡ÒÃ溧¹¡eÃÕ¹ªÒÂe»¹¡ÅÁÂo æŠ溧Œ‹ašu‹ ‹æa‹

เพิ่มเติม บทที่ 3 ทฤษฎีจานวนเบื้องต้นํ143 ¹¡eÃÕÂ¹Ë i§e»¹¡ÅÁÂo ãËÁըҹǹ¤¹e·Ò¡a¹·¡¡ÅÁ a­ šu‹ ‹æŒí‹uu ‹¨ 溧¹¡eÃÕ¹e»¹¡ÅÁÂoÂä´¢¹Ò´ãË ·ÕèÊ´¡ÅÁÅ ¡Õ褹 a‹ašu‹ ‹Œ­ ‹uu ‹aµo§¡ÒÃËҨҹǹeµÁ·ÁÒ¡·ÕèÊ´ ·ËÒ÷§ ŒíçÕèuÕèaé252 æÅ a312ŧµÇ.. «è§¡ç¤o Ë.Ã.Á. ¢o§ aึื252 æÅ a312 ¹¹eo§ aèo´Â Ë.Ã.Á. ¢o§ 252 ¡aº 312 ¹¹e·Ò¡aº aé‹12¨§µoºÇÒ æº§¹¡eÃÕ¹䴢¹Ò´ãË ·Ê´¡ÅÁÅ ¤¹ ึ‹‹aŒ­ ‹Õèuu ‹a12µaÇoÂÒ§ ¡Åo§Ão§e·Òʧ¡Åo§Å «Á. æÅ ¡Ã »o§‹‹ŒÙ‹a15a a‰¹Òo´ÅÁʧ¡Ã »o§Å «Á. µo§¡ÒÃeÃÕ§«o¹¡Åo§éíaÙa ‰a12ŒŒ‹Ão§e·Òe¢Ò´Ç¡a¹ æÅ eÃÕ§«o¹¡Ã »o§¹Òo´ÅÁe¢ÒŒ Œ ŒaŒa ‰éíaŒ´Ç¡a¹ ãË·§Êo§æ¶ÇÁÕ¤ÇÒÁʧe·Ò¡a¹¾o´Õ ¤ÇÒÁʧ·Õè¹oŒŒaéًٌ·ÕèÊ´·e»¹ä»ä´e·Ò¡aº¡Õè «Á. uÕ蚌 ‹µo§¡ÒÃËҨҹǹeµÁ·Õè¹o·ÕèÊ´ ·ËÒôÇ æÅ ŒíçŒuÕèŒ15a12ŧµÇ.. «è§¡ç¤o ¤.Ã.¹. ¢o§ æÅ ¹¹eo§ aึื15a12aèo´Â ¤.Ã.¹. ¢o§ ¡aº 1512 ¹¹e·Ò¡aº aé‹60¨§µoºÇÒ ¤ÇÒÁʧ·Õè¹o·ÕèÊ´·e»¹ä»ä´e·Ò¡aº «Á. ึ‹ÙŒuÕ蚌 ‹60µaÇoÂÒ§ ãËËҨҹǹeµÁ·ÁÒ¡·ÕèÊ´«è§ËÒà ‹ŒíçÕèuึ159 eËÅoืeÈÉ , ËÒà 3238 eËÅoeÈÉ , æÅ ËÒà ื4a395 eËÅoeÈÉ ื5

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 144 ËÒà 159 eËÅoeÈÉ æ»ÅÇÒ ËÒà ื3‹156 ŧµÇ aËÒà 238 eËÅoeÈÉ æ»ÅÇÒ ËÒà ื4‹234 ŧµÇ aæÅ ËÒà a395 eËÅoeÈÉ æ»ÅÇÒ ËÒà ื5 ‹390 ŧµÇ aµo§¡ÒÃËҨҹǹeµÁ·ÁÒ¡·ÕèÊ´ «è§ËÒ÷§ ŒíçÕèuึaé156, 234, æÅ a390 ŧµÇ ¡ç¤o Ë.Ã.Á. ¢o§ÊÒÁ¨Ò¹Ç¹¹Õé¹¹eo§ aืíaèo´Â Ë.Ã.Á. ¢o§ 156, 234, æÅ a390 ¤o ื78 ´a§¹¹¨Ò¹Ç¹·Õèµo§¡Òäo aéíŒื78µaÇoÂÒ§ ãËËҨҹǹeµÁºÇ¡·Õè¹o·ʴ«è§ËÒôÇ ‹ŒíçŒÕèuึŒ6eËÅoeÈÉ æÅ ËÒôÇ eËÅoeÈÉ ื5aŒ13ื7 ÊÁÁµi¨Ò¹Ç¹¹¹¤o ¨ e¢Õ¹ã¹ÃÙ»¡ÒÃËÒÃä´´a§¹.. íaéืaaŒÕéËÒôÇ eËÅoeÈÉ ¨ ä´ Œ6ื5aŒa6(m)5=+æÅ ËÒôÇ eËÅoeÈÉ ¨ ä´ aŒ13ื7aŒa13(n)7 =+´a§¹¹.. aé13n26(m)513(n)7m6++ = + → =·´Åo§æ·¹¤Ò ´Ç¨íҹǹ ‹nŒ1, 2, 3, ... ä»eÃèo ¨ืæ a¾ºÇÒ¤Òæá·Õè·ÒãË e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ´Ç ¤o ‹ ‹íŒmšíçŒืn4 =¨§ÊÃu»ä´ÇÒ ¨Ò¹Ç¹¹¹¤o ึŒ ‹íaéืa13(4)759=+=

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .4 เทอม 2 บทที่ 1ฟงกชัน1. e«µ AB × ¤oe«µ¢o§¤Ùo¹´aº ·Õè¹ÒÊÁÒª¡µÇ˹ÒÁÒื‹aíiaŒ¨Ò¡e«µ æÅ ¹ÒÊÁÒª¡µÇËŧÁÒ¨Ò¡e«µ ´Âµo§Aa íiaaB oŒe¢Õ¹¨º¤ÙÊÁÒª¡ãˤú·¡¤Ùe·Ò¹¹ a‹iŒu‹ ‹a騧ÊÃu»ä´ÇÒ ึŒ ‹n(A B)n(A) n(B)×= ⋅ ´Ç ŒµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹ŒA{0,1,2} = æÅ aB{a,z} =¨ ä´aŒA B{(0,a),(0,z),(1,a),(1,z),(2,a),(2,z)} ×=«è§ ึn(A)3 , n(B) =2 = æÅ an(A B)3 26×=⋅=** e«µ AB × oÒ¹ÇÒ eo¤Ù³º ËÃo ‹‹ “Õ”ื“¼Å¤Ù³¤Ò÷e«Õ¹Õ (cartesian) ¢o§e«µ ¡aºe«µ AB ”2. ´Â·Çä»e«µ oaèAB × ¨ äÁe·Ò¡aº a‹ ‹BA ×(¹¹¤o aèืABB A ×≠ ×) æµÂ§ÁÕʧ·e·Ò¡a¹ ¤o ‹aièÕè‹ืn(A B)n(B A)×= × eÊÁo µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹ŒA{0,1,2} = æÅ aB{a,z} =¨ ä´aŒB A{(a,0),(a,1),(a,2),(z,0),(z,1),(z,2)}×=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 146 «è§¨ ¾ºÇÒ ึa‹ABB A ×≠ × e¾ÃÒ ÊÁÒª¡äÁeËÁo¹¡a¹ ai‹ืæµÇÒ ‹ ‹n(A B)n(B A)6×= × =** e«µ ABB A ×= × ¡çµoeÁèoe«µ ‹ ืAB=ËÃoÁÕoÂÒ§¹oÂe«µË¹§e»¹ ื‹Œึ šè∅(e¾ÃÒ ¼Å¤Ù³·ä´¨Ò¡e«µÇÒ§ ¨ e»¹e«µÇÒ§´ÇÂeÊÁo) aÕ茋aš‹Œ3. ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ¤oe«µ·ÕèÁÕÊÁÒª¡e»¹¤Ùo¹´aºÅǹ a(r)ืiš ‹aŒæËÃoäÁÁÕÊÁÒª¡¡çä´ (e«µÇÒ§¶oe»¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸æººื‹iŒ‹ื šaË¹§) ึ èµaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´e«µµÒ§ ´a§¹ ‹‹æÕéC{(1,0),(3,5),(3,a),(a,5),(0,1)} =D{ 0,1,(3,a),(a,5) } =E{ }== ∅ F{} =∅e«µ·e»¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ¤oe«µ (e¾ÃÒ ÊÁÒª¡·aé§ËÁ´Õèša ืCaie»¹¤Ùo¹´aº) æÅ e«µ (e¾ÃÒ e»¹e«µÇÒ§) š ‹aaEaš‹Êǹe«µ·äÁe»¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¤oe«µ (e¾ÃÒ ¡aº ‹Õè‹ ša ืDa01äÁ㪤Ùo¹´aº) æÅ e«µ (e¾ÃÒ ÁÕÊÁÒª¡e»¹ «è§‹ ‹ ‹aaFaiš∅ ึäÁ㪤Ùo¹´aº) ‹ ‹ ‹a4. Ê Å¡É³·ãªæ·¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ 溺ºo¡e§o¹ä¢ ¤o a­ aÕèŒaื èืr{(x,y)AB |=∈× e§o¹ä¢ ื è}

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 147 ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒÊÁÒª¡¢o§ ¨ oÂã¹ÃÙ»¤Ùo¹´aº ‹iraÙ ‹‹a(x,y)«è§¶Ù¡ËºÁÒ¨Ò¡e«µ ึiAB×(¹¹¤o aèืxA∈ æÅ ayB∈ e·Ò¹¹) ‹aéµaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË ‹ŒA{0,1,2} = æÅ aB{3,4,5,6,7,8,9}=¶Ò Œr{(x,y)A By2x 1}|=∈×=+¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r{(1,3),(2,5)} =¶Ò Œ=∈ ×=+r{(y,x) B A y2x 1}|¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r{(3,1),(5,2)} =¶Ò Œr{(x,y)A Bxy }|=∈×= ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r{(2,4)} =¶Ò Œ=∈×= −r{(x,y)A B y5x }|¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r=∅** ¶ÒäÁà ºe«µ ¡aº ÁÒãË ¨ ÁÕ¢oµ¡Å§ÇÒãË Œ‹a uABŒaŒ‹ŒxæÅ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ .. ¹¹¤o ayšíæaèื(x,y) ∈ × RR

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 148 5. ¹o¡¨Ò¡e¢Õ¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ã¹ÃÙ»¢o§e«µæÅÇ Â§e¢Õ¹aŒaä´o¡Êo§æºº¤o ¡ÃÒ¿ (¨´ËÃoeʹº¹æ¡¹ ŒÕืuื Œx, y) æÅaæ¼¹ÀÒ¾ §šÈà oÙµaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ‹ar{(1,2),(2,5),(3,8),(7,8) } =¨ e¢Õ¹¡ÃÒ¿æÅ æ¼¹ÀÒ¾ ¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ä´´a§¹Õé aaa Œ6. ´eÁ¹ ¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ¤oe«µ¢o§ÊÁÒªi¡µaǓ o(D)a” ื˹Ңo§¤Ùo¹´aº Œ‹a“eù¨ ËÃo¾iÊ ืa(R) ¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ¤oe«µ¢o§a” ืÊÁÒª¡µÇËŧ¢o§¤Ùo¹´aº iaa‹aµaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË ‹ŒA{ 3, 2,0,1,2}=− − æÅ aB{3,4,5,6,7,8,9}=y x O 1 2 3 7 r r AB2 5 8 1 2 3 7 8 5 2

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 149 ¶Ò Œr{(x,y)A By3x 2 }|=∈×=+¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r{(1,5),(2,8)} =´a§¹¹ aér D{1,2} = æÅ ar R{5,8} =¶Ò Œ2r{(x,y)A Byx }|=∈×= ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r{( 3,9),( 2,4),(2,4)}= − −´a§¹¹ aér D{ 3, 2,2}=− − æÅ ar R{4,9} =¶Ò Œ=∈×= −r{(x,y)A B y5x }|¨ ä´ÇÒ aŒ ‹r=∅ ´a§¹¹ aér D=∅ æÅ ar R=∅7. »Ã ¤ aor{(x,y)A B .....}|=∈× ÊÒÁÒö¡ÅÒNjÊaé¹ ä´ÇÒ e»¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» æŒ ‹ “ršaAB ”e¹o§¨Ò¡ ื èr DA ⊂ æÅ ar RB⊂8. ¡ÒÃËÒ ´eÁ¹æÅ eù¨¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸«è§ºo¡e»¹oaa ึše§o¹ä¢ (ºo¡e»¹ÊÁ¡ÒÃ) ื 蚡ÒÃËÒ ´eÁ¹ ¤Çþi¨ÒóÒã¹ÃÙ»ÊÁ¡Òà oy...(x)...=æÅ ¡ÒÃËÒeù¨ ¤Çè´ÃÙ»ãË¡ÅÒÂe»¹ aaŒšx...(y)...=¨Ò¡¹¹¨§¤o¾i¨ÒóÒʧeËÅÒ¹.. ¡ÒÃËÒÃ, ¡Òöo´ÃÒ¡aéึ ‹iè‹Õé·Õè¤Ù, ¡Òá¡íÒŧ¤Ù, æÅ ¤ÒÊÁºÃ³ e¾ÃÒ ¨ ÁÕe§o¹ä¢ ‹a‹a ‹aُa aื è(¢o¨Ò¡a´) e¡i´¢é¹¡aºµÇæ»Ã ¡ÅÒǤo.. Œíึa‹ื

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 150 ¶ÒÁÕ¡ÒÃËÒÃã¹ÃÙ» • Œb ac = ¨ ä´e§o¹ä¢ÇÒ aŒ ืè‹c0 ≠µaÇoÂÒ§ ãËËÒ ´eÁ¹æÅ eù¨¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸µo仹Õé ‹Œoaa ‹5r{(x,y)y3 }x2|==−−ËÒ ´eÁ¹ ¾i¨ÒóҨҡÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» o5y3x2=−−¾ºÇÒÁÕeÈÉÊǹ ´ÂµÇÊǹ¤o ‹‹oa‹ืx2−´a§¹¹¢o¨Ò¡a´·e¡i´¢é¹ä´æ¡ aéŒíÕèึŒ ‹x20− ≠.. ËÃo ืx2 ≠¨ ä´ aŒr D{2}=−R(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¡çä´ Â¡eǹeÅ¢ ) ‹xší挌2ËÒeù¨ ¨´ÊÁ¡ÒÃãËoÂã¹ÃÙ» aŒ ‹Ù5x2y3− = +¾ºÇÒÁÕeÈÉÊǹ ´ÂµÇÊǹ¤o ‹‹oa‹ืy3 +´a§¹¹¢o¨Ò¡a´·e¡i´¢é¹ä´æ¡ aéŒíÕèึŒ ‹y30+ ≠.. ËÃo ืy3≠−¨ ä´ aŒr R{ 3}=−− R(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¡çä´ Â¡eǹ ) ‹yší挌-3