รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 151 ¶ÒÁÕ • Œnab = ´Â e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù ¨ ä´e§o¹ä¢ÇÒ onší‹aŒ ืè‹a0> æÅ ab0 >µaÇoÂÒ§ ãËËÒ ´eÁ¹æÅ eù¨¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸µo仹Õé ‹Œoaa ‹r{(x,y)yx13}|== + +ËÒ ´eÁ¹ ¾i¨ÒóҨҡÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» oyx13=++¾ºÇÒÁÕÃÒ¡·Êo§ «è§ÀÒÂã¹e»¹ ‹Õèึšx1+´a§¹¹e§o¹ä¢¤o aéื èืx10+> ËÃoÂÒ¢ҧe»¹ ื ŒŒšx1− >´a§¹¹ aér D[ 1, )=− ∞(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ¤Ò ã¹ ¨·Â ËÒÁ¹o¡ÇÒ e´ç´¢Ò´) ‹ ‹xo ŒŒ‹- 1ËÒeù¨ Áo§ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» y3x1−=+¾ºÇÒÁÕÃÒ¡·Êo§ «è§o¡½§e»¹ ‹Õèึ՘› šy3−´a§¹¹e§o¹ä¢¤o aéื èืy30−> ËÃoÂÒ¢ҧe»¹ ื ŒŒšy3>¨ ä´ aŒr R[3, )=∞(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ¤Ò ã¹ ¨·ÂäÁÁÕ·Ò§¹o¡ÇÒ æ¹¹o¹) ‹ ‹yo ‹Œ‹3‹ ¶ÒÁÕ • Œnab= ´Â e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù ¨ ä´e§o¹ä¢ÇÒ onší‹aŒ ืè‹a0>µaÇoÂÒ§ ãËËÒ ´eÁ¹æÅ eù¨¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸µo仹Õé ‹Œoaa ‹2r{(x,y)yx2x 3 }|==−+

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 152 ËÒ ´eÁ¹ ¾i¨ÒóҨҡÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» o2yx2x 3=−+¾ºÇÒÁÕ¡¡íÒŧÊo§ æµ e»¹µÇ¶Ù¡Â¡¡íÒŧ ¨§äÁÁÕ¢o‹a‹xšaaึ ‹ ŒËÒÁã´ ·Õè ..´a§¹¹ Œæxaér D=R(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¡çä´) ‹xšíæŒËÒeù¨ ¤Çè´¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ e¾èoã˾i¨ÒóÒä´§Ò aaُ ืŒŒ ‹¨ ä´ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» aŒ2y2(x 1)− = −¾ºÇÒÁÕ¡¡íÒŧÊo§ «è§o¡½§e»¹ ‹aึ՘› šy2−´a§¹¹e§o¹ä¢¤o aéื èืy20−> ËÃoÂÒ¢ҧe»¹ ื ŒŒšy2>¨ ä´ aŒr R[2, )=∞(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ¤Ò ã¹ ¨·ÂäÁÁÕ·Ò§¹o¡ÇÒ æ¹¹o¹) ‹ ‹yo ‹Œ‹2‹** ¶Òe»¹ÃÒ¡·Õè¤Õè ËÃo¡¡íÒŧ¤Õè ¨ äÁÁÕe§o¹ä¢ã´ Œ šืaa‹ ืèæ ¶ÒÁÕ • Œab = ¨ ä´e§o¹ä¢ÇÒ aŒ ืè‹a0>µaÇoÂÒ§ ãËËÒ ´eÁ¹æÅ eù¨¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸µo仹Õé ‹Œoaa ‹r{(x,y)yx45 }|==−−ËÒ ´eÁ¹ ¾i¨ÒóҨҡÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» oyx45=−−¾ºÇÒÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ æµ e»¹µaÇ·ÕèoÂÙÀÒÂ㹤ÒÊaÁºÙó ‹‹aُ‹xš‹‹¨§äÁÁÕ¢oËÒÁã´ ·Õè ..´a§¹¹ ึ ‹ Œ Œæxaér D=R(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¡çä´) ‹xšíæŒ

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 153 ËÒeù¨ Áo§ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» y5x4+=−¾ºÇÒÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ «è§o¡½§e»¹ ‹‹aُ ึ՘› šy5+´a§¹¹e§o¹ä¢¤o aéื èืy50+> ËÃoÂÒ¢ҧe»¹ ื ŒŒšy5− >¨ ä´ aŒr R[ 5, )=− ∞(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ¤Ò äÁÁÕ·Ò§¹o¡ÇÒ æ¹¹o¹) ‹ ‹y‹Œ‹- 5‹9. ËÒ¡¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ã´ÁÕšɳ ´a§µo仹Õé´Ç ¨ eÃÕ¡ÇÒaaa‹Œa‹e»¹¿§¡ª¹ š ˜ a(f)“ÊÁÒª¡µÇ˹ÒæµÅ µÇ¢o§¤Ùo¹´aº ¨ ¨º¤Ù¡aºÊÁÒª¡µaÇiaŒ‹a a‹aa a‹iËŧe¾Õ§溺e´ÕÂÇe·Ò¹aé¹ ËÃo¡ÅÒÇÇÒ ÊÒËÃaº æµÅa‹”ื‹‹ “íx‹aµÇ ¨ ãË¤Ò ä´äÁe¡i¹ 溺e·Ò¹aé¹ aaŒ ‹yŒ ‹1‹” ¡ÒÃe»¹¿§¡ª¹¹¹ ÊÁÒªi¡µÇ˹Ңo§¤Ùo¹´aº¨ ·íҕš ˜ aaéaŒ‹aa˹ҷe»¹µÇæ»Ãµ¹ æÅ ÊÁÒª¡µÇËŧ¨ e»¹µÇæ»ÃµÒÁ ŒÕèšaŒaiaaaša(ËÃoeÃÕ¡ÇÒ¤Ò¢o§¿§¡ª¹) ´a§¹¹¤ÒµÇæ»Ãµ¹ æµื‹ ‹˜ aaé‹aŒ(x)‹Å ¤Ò äÁ¤Çè ãˤҢo§¿§¡ª¹ oo¡ÁÒËÅÒÂ¤Ò a ‹‹aŒ ‹˜ a(y)‹µaÇoÂÒ§ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸µo仹e»¹¿§¡ª¹ËÃoäÁ ‹a ‹Õéš ˜ aื‹1 r{(0,2),(1,3),(3,1),(2,2),(1,0)} =äÁe»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ ÁÕ·§ ‹ š ˜ aaaé(1,3) æÅ a(1,0)2 r{(0,2),(1,3),(3,1),(2,2),(4,3)} =e»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ äÁÁÕ ã´·Õè¤Ù¡aº ÁÒ¡¡ÇÒ˹§æºº š ˜ aa‹x‹y‹ึ è

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 154 r 3 e»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ äÁÁÕ ã´·Õè¤Ù¡aº ÁÒ¡¡ÇÒ˹觚 ˜ aa‹x‹y‹ึ溺 r 4 äÁe»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ ÁÕ·§ ‹ š ˜ aaaé(0,0) æÅ a(0,a)5 r{(x,y)y2x 3}|== − e»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ äÁÁÕ ã´·Õè¤Ù¡aº ÁÒ¡¡ÇÒ˹§æºº š ˜ aa‹x‹y‹ึ è(¶ÒËÒ¡e¢Õ¹¡ÃÒ¿¨ e»¹ÃÙ»eʹµÃ§e©Õ§¢é¹·Ò§¢ÇÒ) ŒašŒึ26 r{(x, y)yx 3 }|== − äÁe»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ ÁÕ «è§ãË¤Ò ä´e¡i¹Ë¹§æºº eª¹ ‹ š ˜ aaxึ Œ ‹yŒึ è‹(4,1) æÅ a(4, 1)−(¶ÒËÒ¡e¢Õ¹¡ÃÒ¿¨ e»¹ÃÙ»¾ÒÃÒ ºÅÒµ 椧, e»´¢ÇÒ) Œašoa** ¡ÒÃe»¹¿§¡ª¹¹¹ËÒÁãªÊÁÒª¡µÇ˹ҫéíÒ æµš ˜ aa錌iaŒ‹ÊÒÁÒöãªÊÁÒª¡µÇËŧ«éíÒä´ ŒiaaŒ10. eÁèoe¢Õ¹¡ÃÒ¿¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ¨ e˹ª´ÇÒe»¹ืaaça‹ š¿§¡ª¹ËÃoäÁ.. ¶ÒÅÒ¡eʹµÃ§ã¹æ¹Çµ§ ³ µÒæ˹§ ˜ aื‹ŒŒaéí‹x¤Òã´æÅǾºÇÒµ´¡ÃÒ¿e¡i¹ ¤Ãaé§ æÊ´§ÇÒäÁe»¹¿§¡ª¹ ‹Œ‹a1‹‹ š ˜ a1 2 3 r 30 a กr 40 กa ข4 3 2

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 155 äÁe»¹¿§¡ª¹ ‹ š ˜ a e»¹¿§¡ª¹ š ˜ aµaÇoÂÒ§ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸µo仹e»¹¿§¡ª¹ËÃoäÁ ‹a ‹Õéš ˜ aื‹r 7 äÁe»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ ÁÕ·§ ‹ š ˜ aaaé(9,1) æÅ a(9,8)r 8 äÁe»¹¿§¡ª¹ e¾ÃÒ ÊÒÁÒöÅÒ¡eʹµÃ§ã¹æ¹Çµ§ãˋ š ˜ aaŒa錵´¡ÃÒ¿e¡i¹Ë¹§¤Ãaé§ä´ aึ èŒ11. ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·e¢Õ¹ã¹ÃÙ» aÕèy...(x)...= ä´ ¨ e»¹Œaš¿§¡ª¹eÊÁo æÅ ¶Òe«µ e»¹¿§¡ª¹ Áa¡¨ e¢Õ¹淹 ˜ aa Œfš ˜ aay´Ç¤íÒÇÒ Œ‹f(x)y x O O y x y x O r7 1 4 5 98 5 1 y x O r8

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 156 ¤ÇÒÁËÁÒ¢o§¤íÒÇÒ •‹f(x) ¡ç¤o e»¹¤ÒµÇæ»Ãืxš ‹aµ¹ (·eÃÒãÊe¢Òä») æÅ e»¹¤Ò¢o§¿§¡ª¹ (ËÃo¤Ò ŒÕè‹ Œafš ‹˜ aื ‹y) ·ä´Ãaºoo¡ÁÒ eª¹ Õ茋f(2) ¤o¤Ò ·ä´eÁèo ื ‹yÕèŒ ืx2=µaÇoÂÒ§ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ‹a2f{(x, y)yx2x 4 }|== + −¶oe»¹¿§¡ª¹ ¨§ÊÒÁÒöe¢Õ¹溺Âoä´e»¹ ืš ˜ aึ‹Œ š2f(x)x2x 4=+−æÅ eÁèo¾i¨ÒóҷÕè aืx3= ( ´Âæ·¹ ·¡µÇ´Ç ) ¨oxuaŒ3aä´ Œ2f (3)(3)2(3) 411=+−=«è§»Ã ¤ ึaof(3)11= ¹ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ¶Ò Õ鋌x3= æÅnj¤Ò¢o§¿§¡ª¹ (ËÃo¤Ò ) ¨ e»¹ 抧ÊÃu»ä´´Ç‹˜ aื ‹yaš11a aŒ ŒÇÒ ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹¹Õé¨ ¼Ò¹¨´ ‹˜ aa ‹u(3,11)12. ¿§¡ª¹¤§µÇ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ ˜ aašf(x)c= (¡ÃÒ¿eʹµÃ§¹o¹) Œ ¤Ò ¤oà  µa´æ¡¹ • ‹cืa ayµaÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹ ‹˜ af(x)1=−æÅ ¿§¡ª¹ a˜ ag(x)2 = e»¹´a§¹Õé š

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 157 f D=R f R{ 1} =−g D=R g R{2} =13. ¿§¡ª¹eª§eʹ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ ˜ aiŒšf(x)mx c=+(¡ÃÒ¿eʹµÃ§e©Õ§) Œ ¤Ò ¤o¤ÇÒÁªa¹ ¶Òe»¹ºÇ¡¡ÃÒ¿e©Õ§¢é¹ ¶Òµi´• ‹m ืŒ šึŒÅº¡ÃÒ¿e©Õ§ŧ (¢¹Ò´¢o§ §ÁÒ¡eʹ¡Ãҿ§µ§¢é¹) m ièŒièaéึ ¤Ò ¤oà  µ´æ¡¹ • ‹cืa aay ¾ºã¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸Ã ËÇÒ§Êo§Ê§·e¾ièÁÅ´e»¹Ê´Êǹ•aa‹ièÕèša‹o´ÂµÃ§µo¡a¹ ‹µaÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿¢o§ ‹¿§¡ª¹ ˜ af(x)3x 2=+ æÅ ¿§¡ª¹ a˜ ag(x)6 2x= −e»¹´a§¹Õé š2 4 6-2 -4 -6 -82 4 6-2-4-6-8xyfg1 2 3-1 -2 -3 -412 3-1-2xyfg

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 158 ¡ÃÒ¿¢o§ ÁÕ¤ÇÒÁªa¹ æÅ µ´æ¡¹ ·Õè f3a ay2f D=R æÅ af R=R¡ÃÒ¿¢o§ ÁÕ¤ÇÒÁªa¹ æÅ µ´æ¡¹ ·Õè g- 2a ay6g D=R æÅ ag R=R14. ¿§¡ª¹¡íÒŧÊo§ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ ˜ aaš2f(x)axbx c=++(¡ÃÒ¿¾ÒÃÒ ºÅÒ) oËÃo¨´¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ä´e»¹ ืaaُ Œ š2f(x)a(x h)k=−+ ¶Ò¤Ò e»¹ºÇ¡¾ÒÃÒ ºÅÒ˧ÒÂ, ¶Òµ´Åº• Œ ‹ašoŒi¾ÒÃÒ ºÅÒ¨ ¤ÇèíÒ (¢¹Ò´¢o§ e»¹µÇºo¡¡Òô˴¢o§oaašaื¡ÃÒ¿ §ÁÒ¡ÃÙ»¾ÒÃÒ ºÅÒ¨ §椺) ièoa iè ¨´Âo´o·Õè¾i¡a´ •uÙ ‹(h,k) ´Â ohb/2a=−Êǹ¤Ò ÊÒÁÒöËÒä´ ´Âæ·¹¤Ò ¹Å§ä»ã¹¿§¡ª¹ ‹‹kŒo‹hÕé˜ a ¤Ò ¤oà  µ´æ¡¹ • ‹cืa aayµaÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹ ‹˜ a2f(x)x4x4=−−+æÅ ¿§¡ª¹ a˜ a2g(x) (x 3)1=− + e»¹´a§¹Õé š2 4 6-2 -4 -6 -84 8 12-4-8-12xy(-2,8)f(3,1)g

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 159 ¡ÃÒ¿¢o§ e»¹¾ÒÃÒ ºÅÒ¤ÇèíÒ (e¾ÃÒ µ´Åº) fšoaai¨´Âo´o·Õè uÙ ‹hb/2a( 4)/2( 1)2=−=−−− =−æ·¹¤Ò ‹x2=− ŧä»ã¹ÊÁ¡Òà ¨ ä´ aŒy8= æÊ´§Çҋ¨´Âo´¹¹¤o uaéื(h,k)( 2,8) =−f D=R æÅ af R(,8]=−∞¡ÃÒ¿¢o§ e»¹¾ÒÃÒ ºÅÒ˧Ò (e¾ÃÒ e»¹ºÇ¡) gšoaaš¨´Âo´o·Õè uÙ ‹(h,k)(3,1) =g D=R æÅ ag R[1, )=∞15. ¿§¡ª¹eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ ˜ ao՚xf(x)ab=(¡ÃÒ¿eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ¨Ò¡eÃèo§eŢ¡¡íÒŧ) oÕืa ¶Ò°Ò¹ ÁÒ¡¡ÇÒ ¡ÃÒ¿e©Õ§¢é¹, ¶Ò°Ò¹ o• Œb‹1ึŒbÙ ‹Ã ËÇÒ§ ¶§ ¡ÃÒ¿e©Õ§ŧ a‹0ึ1 ¶Ò¤Ò e»¹ºÇ¡¡ÃÒ¿¨ oÂe˹o桹 , ¶Òµ´Åº• Œ ‹ašaÙ ‹ืxŒi¡ÃÒ¿¨ oÂãµæ¡¹ aً Œx(¢¹Ò´¢o§ e»¹µÇºo¡¡Òô˴¢o§¡ÃÒ¿ §ÁÒ¡eʹašaืièŒo¤§¨ §ªa¹ ´Â¡ÃÒ¿¨ µ´æ¡¹ ·Õ訴 Œa ièoa ayu(0,a)) ¾ºã¹»ÃiÁҳʧµÒ§ ·e¾ièÁËÃoŴ溺·ÇÕ¤Ù³ eª¹ •iè‹æÕèื‹e§¹½Ò¡ ¨Ò¹Ç¹»Ã ªÒ¡Ã 溤·eÃÕ »ÃiÁÒ³Ãa§ÊÕ iíaÕ** ¡ÃÒ¿¢o§eo¡« ¾e¹¹eªÂÅäÁÊÁ¼Ê¡aºæ¡¹¹o¹ ´a§¹a鹏oՋaaeù¨¢o§¿§¡ª¹¹Õéµo§e»¹ªÇ§e»´ ˜ aŒš ‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 160 µaÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹ ‹˜ axf(x)2=æÅ ¿§¡ª¹ a˜ axg(x)3 =æÅ ¿§¡ª¹ a˜ axh(x) (1/2)=e»¹´a§¹Õé š¡ÃÒ¿¢o§ æÅ e©Â§¢é¹ (e¾ÃÒ °Ò¹ÁÒ¡¡ÇÒ ) fagÕึa‹1¼Ò¹¨´ ‹u(0,1) ´Â¡ÃÒ¿¢o§ ÁÕ¤ÇÒÁªa¹ÁÒ¡¡ÇÒ og‹fgDD== R æÅ afgRR(0, )==∞Êǹ¡ÃÒ¿¢o§ ¹aé¹e©Â§Å§ (e¾ÃÒ °Ò¹oÂÙà ËÇÒ§ ¶§ ‹hÕa‹a‹0ึ1) ´ÂÁÕ¤ÇÒÁÊÁÁҵáaº¡ÃÒ¿¢o§ e¾ÃÒ °Ò¹e»¹Êǹofaš ‹¡Åº¢o§¡a¹æÅ ¡a¹¾o´Õ æÅ ¡ÃÒ¿¼Ò¹¨´ aaa‹u(0,1) eª¹¡a¹ ‹h D=R æÅ ah R(0, )=∞16. ¿§¡ª¹¤ÒÊÁºÃ³ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ ˜ a‹aُšf(x)a x hk=−+ (¡ÃÒ¿ÃÙ»µÇÇÕ) a ¤ÅÒ¾ÒÃÒ ºÅÒ¤o ¶Ò¤Ò e»¹ºÇ¡¡ÃÒ¿¨ ˧ÒÂ, •ŒoืŒ ‹aša¶Òµ´Åº¡ÃÒ¿¨ ¤ÇèíÒ (¢¹Ò´¢o§ e»¹µÇºo¡¡Òô˴Œiaašaื¢o§¡ÃÒ¿ §ÁÒ¡ÃÙ»µÇÇÕ¨ §椺) ièaa iè1 2 3-1 -2 -312 3 4 5-1xyfgh

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 161 ¨´Âo´o·Õè¾i¡a´ •uÙ ‹(h,k)µaÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹ ‹˜ af(x)2 x 1=−æÅ ¿§¡ª¹ a˜ ag(x)x1=−−e»¹´a§¹Õé š¡ÃÒ¿¢o§ ˧Ò f(e¾ÃÒ e»¹ºÇ¡) aaš¨´Âo´o·Õè uÙ ‹(h,k)(1,0) =f D=R æÅ af R[0, )=∞¡ÃÒ¿¢o§ ¤ÇèíÒ (e¾ÃÒ µ´Åº) gaai¨´Âo´o·Õè uÙ ‹(h,k)(0, 1)=−g D=R æÅ ag R(, 1] =−∞ −17. ã¹ ¨·Â» ËÒe¡ÕèÂÇ¡aº¡ÒÃ㪧ҹ¿§¡ª¹ ¨ µo§ÃÙÇÒo ˜­Œ˜ aa ŒŒ ‹e»¹¿§¡ª¹Ãٻ溺㴠æŠ㪢oÁÙÅã¹ ¨·ÂËÒ¤Ò¤§·Õè š ˜ aaŒ Œo‹a, b, c, ËÃo ¢o§¿§¡ª¹ãˤú¡o¹.. eÁèo·ÃÒºÊÁ¡ÒÃืm˜ aŒ‹ื¢o§¿§¡ª¹¹¹æÅǨ§¨ ÊÒÁÒöµoº¤íÒ¶ÒÁä´ ˜ aaéŒ ึaŒxy1 2 3 4-1 -2 -3 -412 3 4-1-2fg

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 162 µaÇoÂÒ§ ¶Òo³ËÀÙÁie»¹o§ÈÒe«Åe«ÕÂÊ ‹Œuš(C) ¡aºo§ÈÒ¿Òeùäε ¹¹ÊÁ¾a¹¸¡a¹æººeʹµÃ§ æÅ ¨´eÂo¡æ¢ç§(F)aéaŒa uื¡aº¨´e´o´¢o§¹éíÒ ´Â»¡µi¨ o·Õè æÅ uืoaÙ ‹32a212 o§ÈÒ¿Òeùäε µÒÁÅÒ´aº æÅÇo³ËÀÙÁiÃÒ§¡Ò íŒu‹37.5 o§ÈÒe«Åe«ÕÂʨ e·Ò¡aº¡Õèo§ÈÒ¿Òeùäε a‹e¹o§¨Ò¡ ¡aº ÊÁ¾a¹¸¡a¹æºº¿§¡ª¹eʹµÃ§ ื èFCa˜ aŒ¨§ä´ÊÁ¡ÒÃÇÒ ึ Œ‹FmCc=+ eʹµÃ§¹¼Ò¹¨´ ŒÕé‹u(C,F) (0,32)= æÅ a(100,212)¨§æ·¹¤Òä´´a§¹Õé ึ‹Œ32m(0)cc32=+→=æÅ a212m(100)32m1.8=+→=´a§¹¹ ÊÁ¡ÒäÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ä´¤o aéaÕèŒ ืF1.8 C32=+e¾ÃÒ © ¹¹ o³ËÀÙÁi a aaéu37.5 o§ÈÒe«Åe«ÕÂÊ ¨ e·Ò¡aº a‹F1.8(37.5)3299.5=+= o§ÈÒ¿Òeùäε 18. ¨·Â» ËÒ·e»¹ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ Áa¡¨ e¡ÕèÂÇ¡aº o ˜­Õèšaa“ ‹¤ÒʧʴËÃoµÒÊ´¢o§¿§¡ª¹ (¤Ò ) e¹èo§¨Ò¡¡ÃÒ¿Ùuืèíu˜ a‹y” ืe»¹ÃÙ»¾ÒÃÒ ºÅÒ«è§ÁÕ¡ÒÃÇ¡¡Åº ³ ¨´Âo´ (¾ÒÃÒ ºÅҚoึauo˧ÒÂÂoÁe¡i´¨´µÒÊ´ ¾ÒÃÒ ºÅÒ¤ÇèíÒÂoÁe¡i´¨´Ê§Ê´) ‹uèíuo‹uÙu eÃÒµo§¡ÒÃËÒ¤ÒʧʴËÃoµÒÊ´¢o§Ê§ã´ ¡çãˤҹa鹕Œ‹ÙuืèíuièŒ ‹e»¹µÇæ»Ã æÅ ãËʧ·ÕèÁռŵo¡ÒÃe»Å¹æ»Å§¢o§ Á՚ayaŒiè‹Õèy¤Òe»¹µÇæ»Ã ‹ šax

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 163 µaÇoÂÒ§ ¶Ò¢ÒÂʹ¤Òª¹´Ë¹§ã¹¢³ ¹Õé¨ ä´ÃÒ¤Òªié¹Å ‹ŒiŒiึ èa aŒa300 ºÒ· æÅ ¶Òe¡çºäÇà  ˹§æÅǤo¹Òoo¡¢Ò ¨ ä´a ŒŒa aึ èŒ ‹íaŒÃÒ¤Ò·Õèʧ¢é¹oª¹Å ºÒ·µoà  eÇÅÒ˹§e´o¹ æµÙึÙ ‹iéa15‹a aึ ืè‹ÇҨҹǹʹ¤Ò·¢ÒÂä´¨ Ŵŧe´o¹Å ª¹´Ç ¶Ò‹íiŒÕèŒaืa1i錌¢³ ¹eÃÒÁÕʹ¤Òo ª¹ ¤Çè Ãoo¡¡Õèe´o¹¨§¨ ¢ÒÂa ÕéiŒÙ ‹50iéaÕืึaʹ¤Ò¾ÃoÁ¡a¹·§ËÁ´æÅÇä´ÃÒÂÃaºÁÒ¡·ÕèÊ´ æÅ ä´iŒŒa錌uaŒÃÒÂÃaº¡ÕèºÒ· ãË e»¹ÃÒÂÃaº·Õè¨ ä´ ¨Ò¡¡ÒâÒÂʹ¤Ò ³ eÇÅÒ¼Ò¹ŒyšaŒiŒ‹ä» e´o¹ xืy= (¨Ò¹Ç¹Ê¹¤Ò·¢ÒÂä´) (ÃÒ¤Òʹ¤Òã¹¢³ ¹¹) íiŒÕèŒ⋅iŒa aé¹¹¤o aèืy(50 x) (300 15x)=−⋅+«è§æ¨¡æ¨§ä´e»¹ ึŒ š2y15000 450 x 15 x=+−ÁÕ¡ÃÒ¿e»¹ÃÙ»¾ÒÃÒ ºÅÒ¤ÇèíÒ e¡i´¨´Ê§Ê´ šouÙu³ ¤Ò ‹b450x152a2( 15)=−=−=− e´o¹ ืæ·¹ ´Ç ã¹ÊÁ¡Òà xŒ15¨ ä´ aŒy(50 15) (300 15(15)) 18375=−⋅+ = ºÒ· ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ¨´Âo´ËÃo¨´Ê§Ê´¤o ‹uืuÙuื(15,18375)ÊÃu»ÇÒ ¤Çè Ãoo¡ e´o¹æÅǨ§¢ÒÂʹ¤Ò·§ËÁ´ ‹aÕ15ืŒ ึiŒaé¨ ·ÒãËä´ÃÒÂÃaºÁÒ¡·ÕèÊ´¤o a íŒ Œuื18,375 ºÒ·

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 164 19. ¨·Â» ËÒ·e»¹ÊÁ¡ÒÃeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ Áa¡¨o ˜­Õ蚏oÕae¡ÕèÂÇ¡aº¨Ò¹Ç¹Ê§ÁÕªÕÇiµ »ÃiÁÒ³e§¹ ËÃo»ÃiÁÒ³ÊÒà «è§íièiืึ¨ e»Å¹æ»Å§ ´Â¡Òäٳ´Ç¤Ҥ§·Õè«éíÒ ·¡ªÇ§eÇÅÒ·aÕèoŒ‹æu‹Õèæ¹¹o¹ (äÁÇÒ¨ e¾ièÁËÃoÅ´¡çµÒÁ) ‹‹ ‹aื ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» •xya b = µÇæ»ÃæµÅ µÇÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂa‹a a´a§¹.. ¤o»ÃiÁÒ³¢³ eÃièÁµ¹, ¤oÊ´Êǹ¡Òäٳã¹ÕéaืaŒbืa‹æµÅ ¤Ãaé§, ¤o¨Ò¹Ç¹¤Ãa駢o§¡Òäٳ, æÅ ¤o‹axืíayื»ÃiÁÒ³·e»¹¼Åž¸ ÕèšaµaÇoÂÒ§ ½Ò¡e§¹ ‹i500 ºÒ· ´Âä´Ãaº´o¡eºÂäµÃÁÒÊÅ oŒÕéa2% eÁèoeÇÅÒ¼Ò¹ä»Ë¹§»¤Ãè§ (Ãaº´o¡eºÂ ¤Ãaé§) ¨ ÁÕื‹ึ ‚ ึèÕé6ae§¹e·Ò¡aº i‹6y500(1.02)563.08== ºÒ· ** ¶Ò¤Ù³ãËe¾ièÁ¢é¹ µo§ÁÒ¡¡ÇÒ (eª¹¡ÒÃä´ÃaºŒŒึbŒ‹1‹Œ´o¡eºÂ, ¡ÒâÂÒ¨ҹǹ»Ã ªÒ¡Ã) 浶ҤٳãËŴŧ Õéía‹ ŒŒbµo§¹o¡ÇÒ (eª¹»ÃiÁÒ³ÊÒÃŴŧeÃèo ) ŒŒ‹1‹ืæµaÇoÂÒ§ ÊÒÃe¤ÁÕª¹´Ë¹§¨ ÊÅÒµÇoµÅo´eÇÅÒ ´Â‹iึ èaaÙ ‹o¤ÇÒÁe¢Á¢¹¢o§ÊÒè ŧ¡ÇÒe´iÁ Œ Œa‹10% ã¹·u¡ Ça¹ ¶ÒæŒËÒ¡eÇÅÒ¼Ò¹ä» Ça¹ÊÒÃÅ´¤ÇÒÁe¢Á¢¹Å§eËÅo ‹3Œ Œื50˹Ç æÅÇÊÒùÕéÁÕ¤ÇÒÁe¢Á¢¹¢³ eÃièÁµ¹e·Ò¡aº¡Õè˹Ç ‹ŒŒ ŒaŒ‹‹¨Ò¡ÊÁ¡Òà xya b = ..ã¹·Õè¹äÁ·ÃÒº¤Ò Õ鋋aæµ·ÃÒºÇÒ ‹‹b1 0.1 0.9=−= (ËÃo¤Ù³ ื90% ¹¹eo§) aè

พื้นฐาน บทท ฟังก์ชันี่ 1 165 æÅ ax3= Ça¹, y50= ˹Ç ‹¨§æ·¹¤Òä´ÇÒ.. ึ‹Œ ‹350a(0.9) =´a§¹¹ aé35050a68.6(0.9)0.729=== ˹Ç ‹æÊ´§ÇÒ ÊÒùÕéÁÕ¤ÇÒÁe¢Á¢¹¢³ eÃièÁµ¹ ‹Œ ŒaŒ68.6 ˹Ç ‹20. ¿§¡ª¹¢a鹺¹ä´ e»¹¿§¡ª¹·»Ã ¡oº¢é¹¨Ò¡Êǹ˜ aaš ˜ aÕèaึ‹¢o§eʹµÃ§ã¹æ¹Ç¹o¹ ËÅÒ eʹ (¹¹¤o¤Ò ¨ ÁՌæŒaèื ‹ya¤Ò¤§· 㹪ǧ æµÅ ªÇ§) ‹Õè‹x‹a ‹ ¾ºã¹oµÃÒ¤Ò¸ÃÃÁe¹ÂÁ¢o§ºÃi¡Òõҧ eª¹ •a‹Õ‹æ‹ä»ÃɳÕÂ, ö ´ÂÊÒûÃaºoÒ¡ÒÈ, öä¿, ö淡«Õè ÏÅÏ o«è§e»¹µÒÃÒ§·Õèà ºu¤Ò e»¹ªÇ§ æµ¤Ò e»¹¤Ò¤§·Õè ึ ša‹xš ‹æ‹ ‹yš ‹µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´µÒÃÒ§æÊ´§¤ÒºÃi¡ÒÃä»ÃɳÕ‹‹ÀÒÂ㹻à e·È (»Ã eÀ·Ê§µÕ¾iÁ¾) ´a§¹ aaièÕé¾i¡a´¹Ò˹¡ (¡ÃaÁ) éíaoµÃÒ (ºÒ·) aäÁe¡i¹ ¡ÃaÁ ‹50e¡i¹ æµäÁe¡i¹ 50‹ ‹100e¡i¹ 100 æµäÁe¡i¹ ‹ ‹250e¡i¹ 250 æµäÁe¡i¹ ‹ ‹500e¡i¹ 500 æµäÁe¡i¹ ‹ ‹1,000e¡i¹ 1,000 æµäÁe¡i¹ ‹ ‹2,0002 3 4 6 10 16

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 166 ¶ÒãË æ·¹¹Ò˹¡ æÅ æ·¹oaµÃÒ¤ÒºÃi¡Òà ŒŒxéíaay‹¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹¹Õé¨ ÁÕšɳ e»¹¢a鹺¹ä´ ´a§µo仹Õé ˜ aaaaša‹3691215xy20001000500250 10050

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .4 เทอม 2 บทที่ 2ตรีโกณมิติ1. µÃÕo¡³Áiµ e»¹ÇiªÒ·e¡ÕèÂÇ¡aº¡ÒÃÇa´Êǹ»Ã ¡ º¢ §išÕè‹a o oÊÒÁeËÅÂÁ (¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹, ¢¹Ò´ÁuÁ, ¾é¹·) o´ÂÁÕÕèŒืÕ迧¡ª¹·e¡ÕèÂÇ¢ §  ª ä´æ¡ ¿§¡ª¹ä«¹ ˜ aÕèŒo oÙ ‹6ื èoŒ ‹ ˜ a(sin),o¤ä«¹ (cos), æ·¹e¨¹µ (tan), o¤æ·¹e¨¹µ (cot),«Õ椹µ (sec), æÅ o¤«Õ椹µ a(cosec Ëà ืocsc)2. ã¹ÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡ ´Ò¹·ÂÒÇ·ÕèÊ´ (´Ò¹µÃ§¢ÒÁÕèŒÕèuŒŒÁuÁ©Ò¡) eÃÕ¡Êaé¹ ÇÒ ©Ò¡ æ‹ “”Êǹ Õ¡ ´Ò¹ ´Ò¹ã´¨ eÃÕ¡ÇÒ ¢ÒÁ (´Ò¹µÃ§¢ÒÁ) ‹o2ŒŒa‹ “ Œ ”ŒŒËà ªi´ (´Ò¹»Ã ª´) ¨ ¢é¹ ¡aºÇÒÁ §ÁuÁæËÅÁÁuÁื “ ”oŒa ia oึÙ ‹‹oã´e»¹ËÅ¡ šaB A C B A C ©Ò¡©Ò¡¢ÒÁ Œ¢ÒÁ Œª´ iª´ i

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 168 3. ¤Ò¢ §¿§¡ª¹·§Ë¡ ¤ aµÃÒÊǹà ËÇÒ§ ´Ò¹ã¹‹o˜ aaéืoo‹a‹2ŒÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡ ·ÕèÁuÁ˹§ÁÕ¢¹Ò´e·Ò¡aº ´a§¹.. Õèึ è‹AÕé ¿§¡ª¹·e»¹¾é¹°Ò¹ ä´æ¡ (¢ÒÁ/©Ò¡), • ˜ aÕèš ืŒ ‹sinŒcos(ªi´/©Ò¡), æÅ atan (¢ÒÁ/ªi´ Ëà Œืosin/cos) a sin Ac =b cos Ac =sin Aatan Acos Ab== ¿§¡ª¹·e»¹Êǹ¡Åº¢ §ÊÒÁ¿§¡ª¹æá • ˜ aÕèš ‹ao˜ aä´æ¡ Œ ‹cosec sec cot, , µÒÁÅÒ´aº í1ccosec Asin Aa== 1csec Acos Ab== 1cos Abcot Atan Asin Aa===b c a A

พื้นฐาน บทท อตราส่วนตรีโกณมิติี่ 2 ั169 µaÇ ÂÒ§ ¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁ o ‹ÕèABC ã¹ÃÙ» ãËËÒ Œsin, cos, tan ¢ §ÁuÁ æÅ ÁuÁ oAaB3 sin A0.65== 4cos A0.85== 3tan A0.754==4 sin B0.85== , 3 cos B0.65== , æÅ a4 tan B1.333=≈µaÇ ÂÒ§ ¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁ o ‹ÕèDEF ã¹ÃÙ» ãËËÒ æÅ Œsinacos ¢ §ÁuÁ oF¨Ò¡·Äɮպ·¢ §»·Òo¡ÃaÊ o‚¨ ä´ aŒ222x23+= ¹¹¤ aèืo2x5x5=→ = æÊ´§ÇÒ ‹5sin F3 = æÅ a2 cos F3 =B A C 3 4 5 F D E 2 x 3

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 170 µaÇ ÂÒ§ ¶ÒÁuÁ e»¹ÁuÁæËÅÁ«è§ÁÕ¤Ò o ‹ŒAšึ‹sin A0.28 =æÅÇ Œcos A ¨ ÁÕ¤Òe·Òã´ a‹ ‹e¹ §¨Ò¡ ื èo287sin A0.2810025=== ¨§e¢Õ¹ʴÊǹ¢ §ÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁ·ÕèÁÕÁuÁ ึa‹oÕè ˹§e·Ò¡aº ä´´a§ÃÙ» æŠ㪷Äɮպ· ึ ‹èAŒaŒ ¢ §»·Òo¡ÃaÊ㹡ÒÃËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ o‚AC ä´´a§¹.. ŒÕé222AC725+= æÊ´§ÇÒ ‹AC6254924=−=´a§¹¹¤íÒµ º¤ aéo o ื24 cos A0.9625==4. Ëš㹡ÒÃæ¡o¨·Â¤ ã¹ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡·¡ÃÙ»«è§aŒ ื “oÕèuึÃÙ¢¹Ò´¢ §ÁuÁ ËÒ¡ÃÙ¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹ ´Ò¹æÅÇ ¨ŒoŒŒ1ŒŒa¤íҹdzËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹·eËÅ Õ¡ ´Ò¹ä´ o´ÂeÅ ¡ãª ŒÕèืoo2ŒŒ”ืoŒsin Ëà ืocos Ëà ืotan ãËeËÁÒ ÊÁ ŒaµaÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤ÇÒÁÂÒÇeʹà ºÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁã¹ÀÒ¾o ‹ŒŒoÕè(¡íÒ˹´ sin680.927 °=, cos 680.375 °=, æÅ atan682.475 °=) B C A 68° 7¹Ç iéA B C ?? 7 25

พื้นฐาน บทท อตราส่วนตรีโกณมิติี่ 2 ั171 ¾i¨ÒóҷÕèÁuÁ §ÈÒ ¨ ä´ÇÒ 68oaŒ ‹ABtan68AC °= ´a§¹¹ aéAB 2.4757 =¹¹¤ aèืoAB2.475 717.325=×= ¹Ç ié¾i¨ÒóҷÕèÁuÁ §ÈÒeª¹e´iÁ ¨ ä´ÇÒ 68o‹aŒ ‹ACcos 68BC °= ´a§¹¹ aé70.375BC =¹¹¤ aèืoBC70.375 18.67=÷ = ¹Ç ié¨ ä´eʹà ºÃÙ»e·Ò¡aº aŒ Œo‹717.32518.6743++= ¹Ç iéµaÇ ÂÒ§ ãËËҾ鹷Õè¢ §ÊÒÁeËÅÂÁ o ‹ŒืoÕèABC ã¹ÀÒ¾(¡íÒ˹´ sin200.34°=, cos 200.94 °=, æÅ atan 420.90 °=) ÃÙ»¹äÁãªÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡ ¨§ÅÒ¡eʹµÃ§¨Ò¡¨´ ŧÕé‹ ‹ÕèึŒuAÁÒµ§©Ò¡¡aº´Ò¹ ·Õ訴 e¾è ãËe¡i´ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁaéŒBCuDืoŒÕè©Ò¡ ÃÙ» «è§ÃÙÁuÁ´Ç (´a§ÀÒ¾) 2ึ ŒŒ10 20° A B C 42°

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 172 ËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ ä´¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁÃÙ»«Ò aŒÕ茴a§¹Õé acos 20a10 cos 209.410=° →= ° =æÅ ËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ ä´¨Ò¡ÊÒÁeËÅÕèÂÁÃÙ»¢ÇÒ abŒo´Âµ §·ÃҺà  ¡ ¹ ... (ËÒ ¨Ò¡ÃÙ»«ÒÂ) Œoa aAD‹oADŒADsin20AD 10 sin 203.410=° →= ° =´a§¹¹ ã¹ÃÙ»¢ÇÒ¨ ä´ aéaŒAD3.43.4tan 42b3.78bb0.90== °→= =ÊÃu»ÇÒ ‹= + = + =BCa b9.43.7813.18 ˹Ç ‹æÅ ¨ 䴾鹷ÊÒÁeËÅÂÁe·Ò¡aº a aŒ ืÕèÕè‹1BCAD2××¹¹¤ aèืo××= 113.18 3.422.4062 µÒÃҧ˹Ç ‹10 20° A B C 42° D b a

พื้นฐาน บทท อตราส่วนตรีโกณมิติี่ 2 ั173 5. ¤Ò¢ §¿§¡ª¹µÃÕo¡³Áiµi·¤Ç÷ÃÒº ‹o˜ aÕè¢ Ê§e¡µ·¤Ç÷ÃÒºe¾ièÁeµÁ Œo aÕèi ¤Ò æÅ • ‹sinacos äÁÁÕ·Ò§ÁÒ¡¡ÇÒ ‹‹1 ¤Ò • ‹tan ¹ ¡ÇÒËà e·Ò¡aºËà ÁÒ¡¡ÇÒ ¡çä´ Œo‹ื ‹oืo‹1Œ6. ã¹ÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡ã´ (ÊÁÁµiÇÒ e»¹ÁuÁÕèæ‹Cš©Ò¡) ÁuÁæËÅÁ ¡aº ¨ ÃÇÁ¡a¹ä´ §ÈÒeÊÁ ABaŒ90ooæÅ e¹ §¨Ò¡ÁuÁ·§Ê §¹ µç¢ÒÁ¡a¹ ¤Ò¿§¡ª¹¢ §Ê §a o ื èaéo o ÕéÙ ‹Œ‹ ˜ ao oÁuÁ¹Õé¨ e·Ò¡a¹e»¹¤Ù (eÃÕ¡ÇÒ o¤-¿§¡ª¹) a‹š ‹æ‹˜ a 䫹 •(sin) e·Ò¡aºo¤ä«¹ ‹(cos)eª¹ ‹sin20cos 70 °=° æ·¹e¨¹µ •(tan) e·Ò¡aºo¤æ·¹e¨¹µ ‹(cot)eª¹ ‹tan 20cot 70 °=° «Õ椹µ •(sec) e·Ò¡aºo¤«Õ椹µ ‹(cosec)eª¹ ‹sec 20cosec 70 °=°¢¹Ò´ÁuÁ Asin A cos A tan A ã¡Å Œæ0 °e¡ º ืo0e¡ º ืo1e¡ º ืo030°1/23/21/ 345°2/22/2160°3/21/23ã¡Å Œæ90°e¡ º ืo1e¡ º ืo0e¡ º ืo∞

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 174 µaÇ ÂÒ§ ã¹ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡ o ‹ÕèABC «è§ÁÕÁuÁ e»¹ÁuÁึAš©Ò¡ ¶ÒeÃÒ·ÃÒºÇÒ Œ‹sinB0.28= eÃÒ¡ç¨ ä´ aŒcos C0.28= eª¹¡a¹ e¹ §¨Ò¡ ‹ื èoBC90+= °(Ëà ¡ÅÒÇÇÒ ืo‹‹cos(90B)0.28°−= ¡çä´) ŒµaÇ ÂÒ§ ¶Òµ §¡Ò÷ÃÒº¤Ò o ‹Œ Œo‹sin75° æµã¹o¨·ÂãËÁҋ Œe¾Õ§¤Ò¿§¡ª¹ ‹ ˜ asin, cos, tan ¢ §ÁuÁ o15°eÃÒ¡ç¨ µ § ÒÈÂËÅ¡¡Ò÷ÕèÇÒ a o oŒaa‹sin75cos(9075 )cos15°=° −° =°æÅÇãª¤Ò Œ Œ ‹cos15° æ·¹ sin75° ¹¹e § aèo7. ¡ÒÃÇa´Ã  ·Ò§Ëà ¤ÇÒÁʧ¢ §Ê§µÒ§ ÁÕ¤íÒȾ··ãªa aืoÙoiè‹æaÕèŒeÃÕ¡ÁuÁ·e¡i´¨Ò¡¡ÒÃʧe¡µ´ÇÂÊÒÂµÒ ä´æ¡ ÁuÁ¡Á ÕèaŒŒ ‹ “Œ ”(ÁuÁ¡´) ¤ ÁuÁ·ÕèÇa´Å§ä»¨Ò¡æ¹ÇÃÒº (Ëà à ´aºÊÒµÒ) ืoืo aæÅ ÁuÁe§Â (ÁuÁ¡) ¤ ÁuÁ·ÕèÇa´¢é¹¨Ò¡æ¹ÇÃÒº a“”ืoึµaÇ ÂÒ§ ¹¡eÃÕ¹¤¹Ë¹§¹aè§ Âº¹µ¹äÁãË ÃiÁ¶¹¹ o ‹aึ èo Ù ‹ŒŒ ­‹Á §Å§ÁÒ§ö·Õè¨ ´ ¤a¹Ë¹è§ e»¹ÁuÁ¡Á §ÈÒ¾ ´Õ oao oÙ ‹ึšŒ30oo¶Òe¢Ò Âʧ¨Ò¡¾é¹ Œo Ù ‹Ùื5.5 eÁµÃ æÊ´§ÇÒe¢Ò ÂËÒ§¨Ò¡Ã¶‹o ً ‹¤a¹¹¹¡ÕèeÁµÃ aée¢Õ¹ÃÙ»»Ã ¡ ºä´´a§¹Õé a oŒ(ÁuÁ¡Á·o¨·ÂãËÁÒäÁä´ Â ŒÕè Œ‹ Œ ‹o Ùã¹ÊÒÁeËÅÂÁ ¨§µ §e»Å¹ Õèึ ŒoÕè60° 5.5 x 30°

พื้นฐาน บทท อตราส่วนตรีโกณมิติี่ 2 ั175 e»¹ÁuÁã¹ÊÒÁeËÅÂÁ¡ ¹ ¹¹¤ ÁuÁ §ÈÒ) šÕè‹oaèืo60o¨ ä´ aŒ5.51cos 60x5.5 211x2= ° =→=×=æÊ´§ÇÒe¢Ò ÂËÒ§¨Ò¡Ã¶¤a¹¹¹ eÁµÃ ‹o ً ‹aé11µaÇ ÂÒ§ eÊÒ¸§«è§ÁÕ¤ÇÒÁʧ eÁµÃ, ¹Ò , æÅ ¹Ò o ‹ึÙ9BaC Âã¹æ¹ÇeʹµÃ§e´ÕÂÇ¡a¹ ¶ÒÊ §¤¹¹Õé o Ù ‹ŒŒoÁ §ä»Â§Â ´eÊÒ¸§e»¹ÁuÁe§Â æÅ oaoš30a45 §ÈÒ¾ ´Õ ´a§ÀÒ¾ ¶ÒÁÇÒ oo‹Ê §¤¹¹Õé¹ËÒ§¡a¹¡ÕèeÁµÃ oื ‹(äÁ¤íÒ¹§¶§¤ÇÒÁʧ¤¹) ‹ึ ึÙËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ ä´¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁÃÙ»eÅ¡ CDŒÕèç(ACD)´a§¹Õé 9tan 451CD9CD=° =→= eÁµÃ æÅ ËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ ä´¨Ò¡ÊÒÁeËÅÕèÂÁÃÙ»ãË aBDŒ­ ‹(ABD)´a§¹Õé 91tan30BD9 3BD3=° =→= eÁµÃ e¾ÃÒ © ¹¹ a aaéBCBDCD9 39=−= −e·Ò¡aº ‹9( 3 1)− eÁµÃ Ëà Áդһà ÁÒ³ ืo‹a6.6 eÁµÃ ¨§ÊÃu»ÇÒ Ê §¤¹¹Õé¹ËÒ§¡a¹»Ã ÁÒ³ ึ‹oื ‹a6.6 eÁµÃ C A B D 45° 30° 9

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 176 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .4 เทอม 2 บทที่ 1เมทริกซ1. eÁ·Ãi¡« e»¹¡ÅÁ¢o§¨Ò¹Ç¹·eÃÕ§µÇ¡a¹e»¹ÊeËÅÂÁ  šu ‹íÕèašÕèÕèÀÒÂã¹e¤Ãèo§ËÁÒ ËÃo [ ] ื( )ื eÃÕ¡¨Ò¹Ç¹æµÅ ¨Ò¹Ç¹·oÂã¹eÁ·Ãi¡«ÇÒ ÊÁÒªi¡ •í‹a íÕèÙ ‹ ‹ ¢¹Ò´¢o§eÁ·Ãi¡« eÃÕ¡ÇÒ Áiµ •‹i(eÃÕ¡ ´Â¨Ò¹Ç¹æ¶Ç¤Ù³¨Ò¹Ç¹ËÅ¡) oíía eÁ·Ãi¡«Êo§eÁ·Ãi¡«¨ e·Ò¡a¹ä´¡çµoeÁèo ÁÕÁiµ•a‹Œ ‹ ื “ie´ÕÂÇ¡a¹ (æ»ÅÇÒ¢¹Ò´e·Ò¡a¹) æÅ ÊÁÒª¡ã¹µÒæ˹§”‹‹aií‹e´ÕÂÇ¡a¹µo§ÁÕ¤Òe·Ò¡a¹ ·u¡ ¤Ù Œ‹ ‹æ‹µaÇoÂÒ§ ‹756052⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ −⎣⎦ e»¹eÁ·Ãi¡«Áiµi š32 ×[]102− e»¹eÁ·Ãi¡«Áiµi š13 ×3422⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ e»¹eÁ·Ãi¡«Áiµi š22 ×

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 178 µaÇoÂÒ§ ¾i¨ÒóÒeÁ·Ãi¡« ‹0cos 6081102 5 °⎡⎤ ⎢⎥+⎣⎦ æÅ eÁ·Ãi¡« a40.5 317⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦¾ºÇÒÁÕÁiµe´ÕÂÇ¡a¹ (¤o ‹iื22 ×) æÅ ÊÁÒª¡ã¹µÒæ˹§e´ÕÂÇ¡a¹ÁÕ¤Òe·Ò¡a¹·u¡ ¤Ù ai틋 ‹æ‹¨§ÊÃu»ä´ÇÒÊo§eÁ·Ãi¡«¹Õé e·Ò¡a¹ ึŒ ‹ “ ‹”µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ757c602a 052b 1 2⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ =⎢⎥⎢⎥−+ ⎣⎦⎣⎦ æÅÇ ŒÂoÁÊÃu»ä´ÇÒ ‹Œ ‹a3=, b6=−, æÅ ac5= e·Ò¹¹ ‹aé2. ¡ÒÃeÃÕ¡ªèoeÁ·Ãi¡«¹ÂÁ㪵ǾiÁ¾ãË eª¹ ืiŒa ­ ‹‹A, B, Co´Â¨ eÃÕ¡ªèoÊÁÒªi¡e»¹µÇ¾iÁ¾eÅ¡ ·ÕèÁÕµÇËoºo¡aืšaçaŒµÒæ˹§æ¶ÇæÅ ËÅ¡ ã¹ÃÙ» (æ¶Ç·Õè æÅ ËÅa¡·Õè ) í‹aaij aiajµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ75 A6 052⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ −⎣⎦ ¨ ¡ÅÒÇä´ÇÒ a‹Œ ‹11 a7 =, 12 a5 a=, 216 =, 22 a0=, 31 a5=−, æÅ a32 a2 =

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 179 æÅ ¶Ò a Œ[]B1 02=− ¡ç¨ ¡ÅÒÇä´ÇÒ a‹Œ ‹11 b1 b=, 120=, æÅ a13 b2=−** ËÒ¡¨Ò¹Ç¹æ¶ÇËÃo¨Ò¹Ç¹ËÅ¡e·Ò¡aº ¢é¹ä» ¨íืía‹10ึaäÁe¢Õ¹µÒæ˹§e»¹µÇËo ...浨 e¢Õ¹¤Ò æÅ ‹í‹ šaŒ‹a‹iaj¡íÒ¡aºäÇ´Ò¹Ëŧ eª¹ Œ Œa‹ “ij a eÁèo ืi2, j 11 == ”3. ·ÃÒ¹Ê ¾Ê ËÃo eÁ·Ãi¡«Êźe»Å¹ ¢o§ ãªoื “aÕè”AŒÊ šɳe»¹ (ËÃo a­ a štAืTA) ¤o¡ÒþšeÁ·Ãi¡«ÊÅaºืiãËæ¶Ç¡ÅÒÂe»¹ËÅ¡ æÅ ËÅ¡¡ÅÒÂe»¹æ¶Ç Œšaaaš eÁ·Ãi¡«Áiµi •mn × eÁèo·Ò¡Ò÷ÃÒ¹Ê ¾Ê ¨ืíoa¡ÅÒÂe»¹Áiµi šnm ×µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ75 A6 052⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ −⎣⎦ «è§ÁÕÁiµi ึ32 ר ä´ÇÒ aŒ ‹t765A50 2 − ⎤⎡=⎢⎥ ⎣⎦ æÅ ¨ ÁÕÁiµi a a23 ×4. eÁ·Ãi¡«·¤ÇÃÃÙ¨¡ ÕèŒa eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊ ¤oeÁ·Ãi¡«·ÕèÁըҹǹæ¶Çe·Ò¡aº•ืí‹¨Ò¹Ç¹ËÅ¡ ía(n n )× ... eÃÕ¡æ¹Ç 11, 22, 33, ..ä»

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 180 ¨¹¶§ ÇÒ eʹ·æ§ÁuÁËÅa¡ æÅ µÒæ˹§·eËÅoึnn‹ “ Œ”a í‹ÕèืeÃÕ¡ÇÒ ÊÒÁeËÅÂÁº¹ ¡aº ÊÒÁeËÅÂÁÅÒ§ ‹ “Õ蔓Õè‹ ”µaÇoÂÒ§ eÁ·Ãi¡«µo仹Õé¶oe»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊ ‹ ‹ื š[ ]5 e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊÁiµi š11 ×ÊÁÒª¡ã¹æ¹Çeʹ·æ§ÁuÁËÅ¡ ¤o iŒaื5 æÅ äÁÁÕÊÒÁeËÅÂÁº¹ äÁÁÕÊÒÁeËÅÂÁÅÒ§ a‹Õè‹Õè‹2011⎡⎤ ⎢⎥−⎣⎦ e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊÁiµi š22 ×ÊÁÒª¡ã¹æ¹Çeʹ·æ§ÁuÁËÅ¡ ¤o æÅ iŒaื2a1ÊÁÒª¡ã¹ÊÒÁeËÅÂÁº¹ ¤o iÕèื0æÅ ÊÁÒª¡ã¹ÊÒÁeËÅÂÁÅÒ§ ¤o aiÕè‹ื-1 62 157230 4⎡⎤ ⎢⎥−⎢⎥ ⎣⎦ e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊÁiµi š33 ×ÊÁÒª¡ã¹æ¹Çeʹ·æ§ÁuÁËÅ¡ ¤o iŒaื6, 7, æÅ a4ÊÁÒª¡ã¹ÊÒÁeËÅÂÁº¹ ¤o iÕèื2, 1, æÅ a- 2æÅ ÊÁÒª¡ã¹ÊÒÁeËÅÂÁÅÒ§ ¤o aiÕè‹ื5, 3, æÅ a0

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 181 eÁ·Ãi¡«È¹Â •Ù( 0) ¤oeÁ·Ãi¡«·ÊÁÒª¡·¡µÇe»¹eÅ¢ ืÕèiuaš0 (¨ e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊËÃoäÁ¡çä´) ašื‹ŒµaÇoÂÒ§ eÁ·Ãi¡«µo仹Õé¶oe»¹eÁ·Ãi¡«È¹Â ‹ ‹ื šÙ[ ]0, 00 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 00 000 0⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ , 00 000 000 0⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ eÁ·Ãi¡«Ë¹§Ë¹Ç • ึè‹( ) I ¤oeÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊ ·ÕèÁÕÊÁÒªi¡ืã¹æ¹Çeʹ·æ§ÁuÁËÅ¡e»¹ æÅ ÊÁÒª¡µÇo¹·eËÅoŒaš1aiaื èÕèื·§ËÁ´ (ã¹ÊÒÁeËÅÂÁº¹æÅ ÅÒ§) e»¹ aéÕèa ‹š0µaÇoÂÒ§ eÁ·Ãi¡«µo仹e»¹eÁ·Ãi¡«Ë¹§Ë¹Ç ‹ ‹Õ随 ึè‹[ ] 11 = I e»¹eÁ·Ãi¡«Ë¹§Ë¹Ç ..Áiµi š ึè‹11 ×21001⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ I e»¹eÁ·Ãi¡«Ë¹§Ë¹Ç ..Áiµi š ึè‹22 ×310 001 000 1⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦ I e»¹eÁ·Ãi¡«Ë¹§Ë¹Ç ..Áiµi š ึè‹33 ×** µÇËo¢o§ ¤oµaÇeÅ¢·Õ躧ºo¡Áiµi (e¢Õ¹e»¹aŒIื‹š¨Ò¹Ç¹e´ÕÂÇ e¾ÃÒ e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊ ¨Ò¹Ç¹ËÅ¡¡aºíašía¨Ò¹Ç¹æ¶ÇÂoÁe·Ò¡a¹oÂæÅÇ) 틋ً Œ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 182 5. ¡ÒúǡeÁ·Ãi¡«¤Ù˹§ ¨ ·Òä´¡çµoeÁèoeÁ·Ãi¡«·§Êo§ ‹ ึèa íŒ ‹ ืaéÁÕÁiµe´ÕÂÇ¡a¹ ..¼Åž¸·ä´¨ ÁÕÁiµe´iÁ æÅ ÊÁÒª¡¢o§iaÕèŒaiai¼Åž¸e¡i´¨Ò¡¼ÅºÇ¡¢o§ÊÁÒªi¡µÒæ˹§e´ÕÂÇ¡a¹¹¹ aí‹aé(æÅ ÊÒËÃaº¡ÒÃź ÊÁÒªi¡¢o§¼Åž¸¡ç¨ e¡i´¨Ò¡¼Åźa íaa¢o§ÊÁÒªi¡µÒæ˹§e´ÕÂÇ¡a¹¹¹eo§) í‹aè eo¡Å¡É³¡Òúǡ¢o§eÁ·Ãi¡« ¡ç¤o eÁ·Ãi¡« •aื0e¾ÃÒ aA00 AA+ = + = eÊÁo µaÇoÂÒ§ ‹12 30 211 0 245 632 41 3 10−− ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤+=⎢ ⎥− ⎢⎥ ⎢ − ⎥ −⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦12 30 2114 445 632 47 7 2−−−⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤−=⎢ ⎥− ⎢⎥ ⎢ − ⎥−⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦6. ¡ÒäٳeÁ·Ãi¡«´Ç¨ҹǹ ¼Å·ä´¨ e»¹¡Òäٳ ŒíÕèŒašÊÁÒª¡·¡µÇ´Ç¨ҹǹ¹¹ iuaŒíaéµaÇoÂÒ§ ‹133412⎡⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥−⎢ ⎥ −⎣⎦⎣ ⎦−− − ⎡⎡⎤ ⎤−= ⎢ ⎥−⎢ ⎥ − − ⎣⎦ ⎣⎦12 35 1015(5)45 6202530

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 183 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ03 A32⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦ æÅ a11B40− ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦¨ ä´ aŒ063 3332A 3B6412 064− ⎡⎡⎤ ⎤⎡⎤−=−=⎢⎥⎢ −⎥⎢⎥ − − ⎣⎦⎣⎦⎣⎦7. ¡ÒäٳeÁ·Ãi¡«¤Ù˹§ ¨ ·Òä´eÁèo¨Ò¹Ç¹ËÅ¡¢o§µaǏ ‹ ึèa íŒ ืíaµ§e·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹æ¶Ç¢o§µÇ¤Ù³ aé‹íaæÅ ¼Å¤Ù³·ä´¨ Áըҹǹæ¶Çe·ÒµÇµ§ ¨Ò¹Ç¹ËÅ¡e·ÒµaÇaÕèŒaí‹aaéía‹¤Ù³ ... e¢Õ¹§Ò ä´e»¹Ãٻ溺 ‹æŒ šmnn rm rABC××××=µaÇoÂÒ§ ¶Ò¡íÒ˹´eÁ·Ãi¡« ÁÕÁiµi ‹ŒA13 × æÅ eÁ·Ãi¡« aB ÁÕÁiµi 32 × æÅÇ ¨ ÊÃu»ä´ÇÒ.. ŒaŒ ‹¼Å¤Ù³ ËÒä´ (e¾ÃÒ ¨Ò¹Ç¹ËÅ¡¢o§ e·Ò¡aºABŒa íaA‹¨Ò¹Ç¹æ¶Ç¢o§ ..¹¹¤o ) æÅ ¼Å·ä´¨ ÁÕÁiµi íBaèื3aÕèŒa12 ×Êǹ¼Å¤Ù³ ¹¹ËÒäÁä´ (e¾ÃÒ ¨Ò¹Ç¹ËÅ¡¢o§ äÁ‹BAaé‹ Œa íaB‹e·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹æ¶Ç¢o§ ) ‹íAµaÇoÂÒ§ ¶Ò¡íÒ˹´eÁ·Ãi¡« ÁÕÁiµi ‹ŒA23 × æÅ eÁ·Ãi¡« aB ÁÕÁiµi 32 × æÅÇ ¨ ÊÃu»ä´ÇÒ.. ŒaŒ ‹¼Å¤Ù³ ËÒä´æÅ ÁÕÁiµi ABŒa22 ×Êǹ¼Å¤Ù³ ¹¹¡çËÒä´æÅ ÁÕÁiµi ‹BAaéŒa33 ×8. Çi¸¡ÒÃËҼŤٳeÁ·Ãi¡« ¨ ´æ¶Ç¨Ò¡µÇµ§ 抴Տa ึaaéa ึËÅ¡¨Ò¡µÇ¤Ù³.. (¢oãËÈ¡ÉÒÇi¸Õ¤Ù³¨Ò¡ã¹µÇoÂÒ§) aaŒ ึa‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 184 µaÇoÂÒ§ ‹¶Ò Œ230 11 3 2A, B, C143 21 02⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤=== ⎢⎥−⎢⎥⎢⎥ −− ⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦¨ ä´ aŒ20 3321 329 8AB10 43 11 4212 7⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⎤⎡⎡ ⎤== ⎢⎥−⋅ + ⋅⎢⎥ −⋅ + ⋅⎣⎦ ⎣ ⎦ æÅ a01 1( 1) 0 3 10 0 2 1( 2)BC31 2( 1) 33 2 0 3 2 2( 2)⋅+ ⋅ −⋅ + ⋅⋅ + ⋅ −⎡⎤ =⎢⎥ ⋅+ ⋅ −⋅ + ⋅⋅ + ⋅ −⎣⎦ 10219 2− − ⎡ ⎤ =⎢⎥ ⎣⎦ µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ23 A14⎡⎤ = ⎢⎥−⎣⎦¨ ä´ aŒ223231 18A14146 13⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤== ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥ −⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦æÅ ¨ ä´ a aŒ31182316 75A6131 42534 −⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤== ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ −⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦ eo¡Å¡É³¡Òäٳ¢o§eÁ·Ãi¡« ¡ç¤o eÁ·Ãi¡« •aืIe¾ÃÒ aAAA== II eÊÁo (´a§¹¹¨§¹ÂÁeÃÕ¡ ÇÒ aéึiI‹eÁ·Ãi¡«eo¡Å¡É³ ..«è§ËÁÒ¤ÇÒÁ¶§eo¡Å¡É³¡Òäٳ) aึึa

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 185 9. ÊÁºaµ¡ÒúǡæÅ ¡Òäٳ ia¡ÒúǡeÁ·Ãi¡« tttAB(A B)•+=+ (模樧·ÃÒ¹Ê ¾Ê) oA BBA• + = + (ÁÕÊÁºaµÊź·) iaÕè(A B) CA (B C)• + +=++ (ÁÕÊÁºaµe»Å¹¡ÅÁ) iÕèu ‹A00AA•+=+= (ÁÕeo¡Å¡É³) aA( A)0•+−= (ÁÕo¹eÇoÃÊ) i¡Òäٳ´Ç¨ҹǹ Œítt(kA)k A•=⋅ 12211 2k (k A)k (k A) (k k ) A•== k(AB)kAkB•+=+¡ÒäٳeÁ·Ãi¡« ttt(AB)B A∗= (模樧·ÃÒ¹Ê ¾Êµo§Êź·eÊÁo) oŒaÕèAB ∗ äÁ¨Òe»¹µo§e·Ò¡aº (äÁÁÕÊÁºaµÊź·) ‹íš Œ‹BA‹iaÕè(AB)CA(BC)•= (ÁÕÊÁºaµe»Å¹¡ÅÁ) iÕèu ‹AAA•== II (ÁÕeo¡Å¡É³) a11AAA A−−•==I (ÁÕo¹eÇoÃÊ) i(Çi¸ËÒ Õ1 A − ¨ ä´È¡ÉÒã¹ËÇ¢o¶a´ 仨ҡ¹) aŒ ึaŒæÕéÊÁºaµ¡ÒÃ模樧 (æ¨¡æ¨§ä´ æµËÒÁÊź·¡Òäٳ) iŒ‹ ŒaÕèA(BC)ABAC•+=+ (AB)CAC BC•+=+

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 186 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ23 A14⎡⎤ = ⎢⎥−⎣⎦ æÅ a01 B32⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦¨ ¾ºÇÒ a‹98 AB12 7⎡⎤ =⎢⎥ ⎣⎦ «è§äÁe·Ò¡aº ึ ‹ ‹14 BA417− ⎡⎤ =⎢⎥ ⎣⎦´a§¹¹ÊÒËÃaºeÁ·Ãi¡« æÅ ã¹µÇoÂÒ§¹Õé¨ äÁaéíAaBa‹a‹ÊÒÁÒö模樧ã¹Å¡É³ aa222(AB)A2AB B+=+ +ËÃo ื22(A B)(A B)AB−+=− ä´ Œ..e¹o§¨Ò¡ ื è222(A B)(A B)(A B)AAB BA B+=+ +=+++æÅ a22(A B)(A B)AAB BA B−+=+−−«è§ã¹·Õè¹Õé äÁe·Ò¡aº ¨§äÁÊÒÁÒöÃÇÁ¡a¹ËÃoźึAB‹ ‹BAึ ‹ื¡a¹ ´ÂµÃ§ä´·¹· oŒaÕµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ35A12⎡⎤ =⎢ ⎥−−⎣⎦ æÅ a410B26− ⎡− ⎤ =⎢⎥ ⎣⎦¨ ¾ºÇÒ a‹20 ABBA02− ⎡⎤== ⎢⎥−⎣⎦ ´ÇÂ.. Œ´a§¹¹ÊÒËÃaºeÁ·Ãi¡« æÅ ã¹µÇoÂÒ§¹Õé¨ ·ÒãËaéíAaBa‹a íŒÊÒÁÒö模樧ã¹Å¡É³ aa222(AB)A2AB B+=+ +ËÃo ื22(A B)(A B)AB−+=− ä´ Œ

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 187 10. ´Õe·oÃÁi¹¹µ ... e»¹¤u³ÊÁºaµ¢o§eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaʏašie·Ò¹¹ æÅ ´Õe·oÃÁi¹¹µÁÕ¤Òe»¹¨Ò¹Ç¹eÊÁo ‹aéaa ‹ šíe¤Ãèo§ËÁÒÂæÊ´§ ´Õe·oÃÁi¹¹µ¢o§eÁ·Ãi¡« ¤o ื“a ” ื AA ËÃo ืdet (A) eÁ·Ãi¡« •11 ×¶Ò Œ[ ] Aa = ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹det (A)a=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ[ ] A3 = ¨ ä´ aŒdet (A)3=æÅ ¶Ò a Œ[]B2=− ¨ ä´ aŒdet (B)2=− eÁ·Ãi¡« •22 ×¶Ò Œab Acd⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹det (A)ad bc=−µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ12 C34⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦¨ ä´ aŒdet (C) (1)(4) (2)(3)2=−= −ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืšC2=− ËÃo ื12234=− ¡çä´ ŒæÅ ¶Ò a Œ13D26 −⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 188 ¨ ä´ aŒdet (D) ( 1)(6) (3)( 2)0=−−−=ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืšD0 = ËÃo ื−=−13026 ¡çä´ Œ eÁ·Ãi¡« •33 × ãªËÅ¡ÇÒ Œa‹¤Ù³e©Â§¢é¹ãÊź ¤Ù³e©Â§Å§e¤Ãèo§ËÁÒÂe´iÁ æÅÇÃÇÁ¡a¹ Õึ‹ÕืŒ¶Ò Œab cAd e fgh i⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦ ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹det (A)gecahfbdi aei gbfhdc=−−−+++µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ143 E2 3 241 5⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦¨ ä´ aŒdet (E)(4)(3)(3) (1)(1)(2) (4)(2)(5)=−−−(1)(3)(5) (4)(4)(2) (1)(2)(3)+++36 2 401532 625=−−−+++=−ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืšE25=− ËÃo ื14 323 22541 5=− ¡çä´ Œ

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 189 æÅ ¶Ò a Œ20 1 F1 3214 0⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ −⎣⎦ ¨ ä´ aŒdet (F)( 1)(3)(1) (2)(4)( 2) (0)(1)(0) =− −−− −(2)(3)(0) ( 1)(0)( 2) (4)(1)(1)++ −− + 316 423=++=ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืšF23 = ËÃo ื20 11322314 0 − =− ¡çä´ Œ11. äÁe¹oâo§eÁ·Ãi¡« ãªÊa Åa¡É³ÇÒ AŒ ­ ‹ijM(A)¤o¤Ò ื ‹det ¢o§eÁ·Ãi¡«Âo·䴨ҡ¡Òõ´æ¶ÇæÅ ËÅa¡ ‹ÕèŒaa¹¹oo¡ aéo¤æ¿¡eµoâo§eÁ·Ãi¡« ãªÊ šɳÇÒ AŒ ­aa ‹ijC(A)¤oäÁe¹o÷Õè¶Ù¡ãÊe¤Ãèo§ËÁÒºǡËÃoźÊź¡a¹ µÒÁื‹ืืaÃٻ溺 ijijijC( 1)M +=−⋅ (µÒæ˹§æáʴãʺǡ, æÅÇí‹u‹ŒeµÁe¤Ãèo§ËÁÒºǡźÊź¡a¹ä») iืaµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ143 G2 3 241 5⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦¨ ä´¤Ò¢o§äÁe¹oÃã¹µÒæ˹§µÒ§ ´a§¹ aŒ ‹í‹ ‹æÕé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 190 1132 M(G)1315==1222 M(G)245==1323 M(G)1041== − 2143 M(G)1715==2213 M(G)745== − 2314 M(G)1541== −3143 M(G)132== − 3213 M(G)422== −3314 M(G)523== −æÊ´§ÇÒeÁ·Ãi¡«äÁe¹oâo§ ¤o ‹Gื13 210M(G)17715145−⎡⎤ ⎢⎥ =−−⎢⎥ − − −⎣⎦æÅ eÁ·Ãi¡« ¤æ¿¡eµoâo§ ¤o aoGื13(2)1013210C(G)(17)7( 15)177 151( 4)5145− ⎡− − ⎡−⎤⎤⎢⎥ ⎢⎥ =−−− −=−−⎢⎥ ⎢⎥ −−− − − −⎣⎦ ⎣⎦

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 191 eÁ·Ãi¡« •nn × ã´ ÊÒÁÒöËÒ ædet ä´ ´ÂoÒÈaŒoo¤æ¿¡eµoà (ãªä´¡aº·¡Áiµiµ§æµ Œ Œuaé‹22 × ¢é¹ä») ´a§¹.. ึÕédet (A)= ÊÁÒª¡ æ¹Ç (æ¶ÇËÃoËÅ¡¡çä´) ¤Ù³¡aºi1ืaŒo¤æ¿¡eµoÃã¹µÒæ˹§e´ÕÂÇ¡a¹¹¹ æÅÇÃÇÁ¡a¹ (e¢Õ¹e»¹ í‹aéŒšÊ Å¡É³ä´ÇÒ a­ a Œ ‹ijijiaC∑ ËÃo ืijijjaC∑) µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡eÁ·Ãi¡« ã¹µaÇoÂÒ§·ÕèæÅÇ «è§¤íҹdzËҋG‹Œึo¤æ¿¡eµoÃäÇeÃÕºÃo ¨ ËÒ¤Ò  ŒŒa‹det ä´´a§¹.. ŒÕé(ä´¤Òe·Ò¡a¹eÊÁoäÁÇÒ¨ ¤i´¨Ò¡æ¶Çã´ËÃoËÅ¡ã´) Œ ‹ ‹‹ ‹aืaeÅo¡¤i´¨Ò¡æ¶Ç·Õè ื1;11 1112121313det(G)g Cg Cg C=++(1)(13) (4)( 2) (3)( 10)25=+−+−= −eÅo¡¤i´¨Ò¡ËÅ¡·Õè ืa3;131323233333det(G)g CgCgC=++(3)( 10) (2)(15) (5)( 5)25=−+ +−= −µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ20 1 H1 3214 0⎡⎤ ⎢⎥ =− ⎢⎥ −⎣⎦ ¨ ËÒ adet ´ÂoÒÈa ¤æ¿¡eµoÃä´´a§¹ oo ŒÕé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 192 ÊÁÁµeÅo¡ËÅ¡·Õè iืa2;121222223232det(H)hCh ChC=++ 12 h =−01222223232Mh Mh M+− 212 1(3)(4)1012=− −−(3)(1) (4)( 5)23=−−= ÊÁÁµeÅo¡æ¶Ç·Õè iื3;01212 0det(H) ( 1)(4)(0)32121 3=−−+−−( 1)( 3) (4)( 5) (0)(6)23=− − − − +=12. eÁ·Ãi¡«·ÕèÁÕ¤Ò ‹det e»¹È¹Â eÃÕ¡ÇÒ eÁ·Ãi¡«eo¡šÙ‹ “°Ò¹ (ËÃo «i§¡ÙÅÒÃeÁ·Ãi¡« ) ”ื “”eª¹ eÁ·Ãi¡«·ÕèÁÕËÅ¡ËÃoæ¶Çã´·e»¹ ·¡µÇ, ‹aืÕèš0uaeÁ·Ãi¡«·ÕèÁÕ ËÅa¡ã´ËÃo æ¶Çã´«éíÒ¡a¹ ËÃoÁÕ¤Òe»¹ 2ื2ื‹ šk e·Ò¢o§¡a¹æÅ ¡a¹, ËÃo溺oè¹ ¡çoÒ¨e»¹ä»ä´ ‹aืื暌µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ13A412− ⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦¨ ä´ aŒdet (A) ( 1)( 12) (4)(3)0=−−−=æÊ´§ÇÒ e»¹eÁ·Ãi¡«eo¡°Ò¹ ‹Aš(ʧe¡µ; æ¶Ç æÅ æ¶Ç ÁÕ¤Òe»¹ e·Ò¢o§¡a¹) a1a2‹ š- 4‹

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 193 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ132 B1 4 225 4⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦¨ ʧe¡µä´ÇÒ ËÅ¡ æÅ ËÅa¡ ÁÕ¤Òe»¹ e·Ò¢o§¡a¹ a aŒ ‹a1a3‹ š2‹´a§¹¹¨ ä´ aéaŒdet (B)0= ¹¹¤o e»¹eÁ·Ãi¡«eo¡°Ò¹ aèืBš13. ÊÁºaµ¢o§´Õe·oÃÁi¹¹µ ia´Õe·oÃÁi¹¹µ¢o§eo¡Å¡É³ ¨ ÁÕ¤Òe·Òe´iÁeÊÁo aaa‹ ‹det( )1•=I æÅ adet(0)0 =¡Ã ¨ÒÂ¼Å¤Ù³ä´ aŒdet(AB)det(A) det(B)•=⋅¡Ò÷ÃÒ¹Ê ¾ÊäÁÁռŵo¤Ò o‹‹ ‹dettdet(A )det(A)•=¡Ã ¨ÒÂeÅ¢ªÕé¡íÒÅ§ä´ aaŒnndet(A ) (det(A))•= eÁèo e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ ืnšíç*¡Òô§¤Ò¤§·oo¡ÁÒ µo§Â¡¡íÒŧ´ÇÂÁiµeÊÁo ึ ‹ÕèŒaŒindet(kA)kdet(A)•= ⋅ eÁèo ¤o¨Ò¹Ç¹æ¶Ç¢o§ ืn ืíAµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ11A31− ⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦ æÅ a02 B34⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦ãËËÒ¤Ò Œ‹2det(A B)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 194 eÃÒÊÒÁÒöËÒ¤íÒµoºä´ ´ÂäÁµo§¤Ù³eÁ·Ãi¡« e¾Õ§oÒÈaŒo‹ ŒÊÁºaµ¢o§ idet ´a§¹ Õé222det(A B)det(A ) det(B) (det(A)) det(B)=⋅=⋅æÊ´§ÇÒ¤íÒµoº¤o ‹ื2(2) 624−⋅=µaÇoÂÒ§ ¶Ò e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊÁiµi ‹ŒAš33 × «è§ÁÕ¤Ò´Õึ‹e·oÃÁi¹¹µe·Ò¡aº æÅÇ ãËËÒ a ‹2ŒŒt4det( 2A A )−æÁäÁ·ÃÒºÊÁÒªi¡¢o§ 浡ç§oÒÈÂÊÁºµ¢o§ Œ ‹A‹aaaidetªÇÂ㹡Òäíҹdz䴴a§¹.. ‹ŒÕét43t4det( 2A A )( 2) det(A ) det(A )−= −⋅⋅ 34(2) det(A) (det(A)) =−⋅⋅5(8) (2)256=− ⋅= −14. eÁ·Ãi¡«äÁÁÕ¡ÒÃËÒáa¹ 浨 㪡Òäٳ´ÇÂo¹eÇoÃÊ  ‹‹aŒŒi«è§o¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§eÁ·Ãi¡« ãªÊ šɳ ึiAŒ ­aa1 A −(¹¹¤o aèื11AAAA−− ⋅=⋅= I eÊÁo) eÁ·Ãi¡« •11 ×¶Ò Œ[ ] Aa = ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹[]1 A1/a−=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ[ ] A3 = ¨ ä´ aŒ[]1 A1/3−=æÅ ¶Ò a Œ[]B2=− ¨ ä´ aŒ[]1B1/2−=−

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 195 eÁ·Ãi¡« •22 ×¶Ò Œab Acd⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹11dbAca det(A)−− ⎤⎡=⋅ ⎢⎥−⎣⎦µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ12 C34⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦¨ ä´ aŒ114221C311.50.52−− ⎡ − ⎤ ⎡ ⎤=⋅ =⎢ ⎥−⎢ ⎥ −− ⎣⎦⎣ ⎦** ¨Ò¡ÊµÃ¨ ¾ºÇÒ eÁ·Ãi¡«·Õè¨ ËÒo¹eÇoÃÊ¡ÒÃ¤Ù³ä´ Ùa‹aiŒµo§e»¹eÁ·Ãi¡«äÁeo¡°Ò¹ (Œš ‹det0 ≠) e·Ò¹¹ ‹aé(e¾èoäÁãËe¡i´¡ÒÃËÒôÇ ) ื‹ ŒŒ0µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ13D26 −⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦¨ ä´ aŒdet (D) ( 1)(6) (3)( 2)0=−−−=æÊ´§ÇÒeÁ·Ãi¡«¹äÁÁÕo¹eÇoÃÊ ‹Õé‹i(¤oäÁÁÕeÁ·Ãi¡«ã´ eÅ ·Õè¤Ù³¡aº æÅÇä´ ) ื‹æDŒŒI eÁ·Ãi¡« •nn × ã´ µ§æµ æaé‹22 × ¢é¹ä» ึ¨ oÒÈa ¤æ¿¡eµoÃ㹡Òäíҹdz ao«è§ÁÕʵäo ึÙื()t11ACof(A)det(A)−=⋅

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 196 æÅ eÃÕ¡ at(Cof(A)) ÇÒ ‹adj A ¡çä´ Œ(æo´¨o· ËÃoeÁ·Ãi¡«¼¡¾a¹¢o§ ) ืÙAµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡ã¹µÇoÂÒ§e´iÁ ¶Ò ‹a‹Œ143 G2 3 241 5⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦ËÒ ¤æ¿¡eµoÃäÇæÅǤo o Œ Œ ื13210C(G)177 15145−−⎡⎤ ⎢⎥ =−−⎢⎥ −−⎣⎦ æÅ eÅo¡¤i´ aืdet ¨Ò¡æ¶Ç·Õè 1;11 1112121313det(G)g Cg Cg C=++(1)(13) (4)( 2) (3)( 10)25=+−+−= − (ËÃo¤íҹdz ´ÂÇi¸Õ¤Ù³·æ§¡çä´) ืoŒ´a§¹¹¨ ä´ aéaŒ()t11GCof(G)det(G)−=⋅ 1317112742510 155− ⎡−⎤ ⎢⎥ ⋅= −− −⎢⎥ −−⎣⎦

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 197 15. ÊÁºaµ¢o§oi¹eÇoÃÊ¡Òäٳ io¹eÇoÃÊÊo§¤Ãaé§ ¨ ÁÕ¤Òe·Òe´iÁ ia‹ ‹11(A )A−−•=¤ÇÒÁËÁÒ¢o§Â¡¡íÒŧµ´Åº ai1nn1n(A )(A )A−−−•==*¡ÒÃ模樧o¹eÇoÃʼŤٳ ¨ µo§Êź·eÊÁo ia ŒaÕè111(AB)B A−−−•=o¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§¤Ò¤§· ¡ç¤oÊǹ¡Åº i‹Õèื ‹a111(kA)A k−−•=⋅´Õe·oÃÁi¹¹µ (eËÁo¹¡Òáà ¨ÒÂeÅ¢ªÕé¡íÒŧ) aืaa()111det(A )det(A)det(A)−−•==16. ¢o¤ÇÃà Ça§ã¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡« Œa eÁèo·Ò¡ÒÃÂÒ¢ҧµÇ¤Ù³ ä»e»¹o¹eÇoÃÊoÂo¡½§ • ื파ašiÙ ‹Õ˜›µo§¤íÒ¹§¶§ÅÒ´aº´Ç e¾ÃÒ ¡ÒäٳäÁÁÕÊÁºaµ¡ÒÃÊÅaºŒึ ึíŒa‹i·.. eª¹ Õè‹ABC= ¡ÅÒÂe»¹ š1BA C −= ä´.. æµe»¹ Œ‹ š1BCA−= äÁä´ ‹ ŒµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ251230X122 41 2− ⎤⎡ ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ãËËÒeÁ·Ãi¡« ŒX

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 198 ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«·ãËÁÒ ¨ ÂÒ¢ҧ䴴a§¹ ÕèŒa ŒŒŒÕé253012X121 22 4− ⎤⎡ ⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦¹¹¤o aèื2522X121 2−− ⎤⎡ ⎡⎤ =⎢⎥⎢ ⎥ −− −⎣⎦⎣⎦¨Ò¡¹¹ÂÒÂeÁ·Ãi¡«¢Ò§Ë¹Òä»e»¹o¹eÇoÃÊ·Õ轧¢ÇÒ a錏 ŒŒši˜›o´ÂeÁèoÂÒÂæÅǨ µo§ä»o¢ҧ˹ҴÇÂeª¹e´ÕÂÇ¡a¹.. ื ŒŒa ŒÙ‹ ŒŒ Œ‹12522X1212−−− ⎤⎡ ⎡⎤=⋅ ⎢⎥ ⎢ − ⎥ − −⎣⎦⎣⎦12 52296121 2421− − ⎡ − ⎡ − ⎤⎤ ⎡⎤=⋅= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ − ⎢ − ⎥ − −⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦ µÃǨÊoºeÊÁoÇÒ ÊÁ¡Òçe»¹eÁ·Ãi¡«·§Êo§¢Ò§•‹ašaéŒËÃoäÁ (ËÒ¡ÂÒ¢ҧeÁ·Ãi¡« ä»e»¹o¹eÇoÃʨ¹ËÁ´ ื‹ŒŒšiµo§¤§eËÅoeÁ·Ãi¡« äÇ´ÇÂ..) ŒืIŒ ŒµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà ‹AB2C= ËÒ¡ÂÒ¢ҧe»¹ ŒŒš1ABC2−= 溺¹Õé¨ ¼´ e¾ÃÒ ½§«ÒÂe»¹eÁÃi¡« æµ½§a ia˜› Œš‹ ˜›¢ÇÒ¡ÅÒÂe»¹µÇeÅ¢ («è§Êo§½§äÁÁÕ·Ò§e·Ò¡a¹æ¹¹o¹) šaึ˜› ‹‹‹..·Õè¶Ù¡¨ µo§e»¹ a Œš1ABC2−=I ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«ÊÒÁÒö¤Ù³e¢Ò·§Êo§¢Ò§ä´eÊÁo 浕Œa錌‹¡Òõ´oo¡·§Êo§¢Ò§ºÒ§¤Ãaé§ãªäÁä´ aa錌 ‹ Œ

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 199 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ116 21 8A, B, C220 953⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤=== ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦¨ ¾ºÇÒ a‹ABAC= æµ ‹BC≠ ãÊe¤Ãèo§ËÁÒ • ‹ืdet ·§Êo§¢Ò§ä´eÊÁo 浡Òõa´a錌‹oo¡·§Êo§¢Ò§¡çÁa¡¨ ãªäÁä´ aéŒaŒ ‹ ŒµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ122 3A,B3445⎡⎤ ⎡⎤== ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦¨ ¾ºÇÒ a‹det (A)det (B) = æµ ‹AB≠ ¶Ò • ŒAB0= æÅÇ ŒäÁ¨Òe»¹·Õè ËÃo µo§e»¹ ‹íšAืBŒš0µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ233 6A,B 232 4− ⎤⎡ ⎡⎤== ⎢⎥−⎢⎥⎣⎦⎣⎦¡ç¨ ¾ºÇÒ a‹AB0= ä´eª¹¡a¹ æÁäÁÁÕeÁ·Ãi¡«ã´e»¹ Œ ‹Œ ‹š017. ¡Òäíҹdz·e¡ÕèÂÇ¡aº Õèadj A ..e¾èoÅ´¤ÇÒÁ§ÂÒ¡ ืu ‹¤Çè ãªÇi¸Õ¾iʨ¹¨Ò¡ÊÁ¡Òà aŒÙ11Aadj Adet(A)−=⋅

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 200 ..eª¹ ‹det(A)A(adj A) ⋅= IËÃo ื11adj(A )Adet (A)−=⋅ ËÃo ืn1det(adj A)(det (A))−= ÏÅÏ µaÇoÂÒ§ ãË ‹Œ121A2 1 111 0 − ⎤⎡ ⎢⎥ =⎢⎥ −⎣⎦¶Ò ŒABBA== I ¨§ËÒ¤Ò ‹1det (adjB )−e¹o§¨Ò¡ ื èABBA== I æÊ´§ÇÒ ‹1BA−=¹¹¤o ¨·Â¶ÒÁ aèืodet (adj A)¾iʨ¹ ¨Ò¡ ُ11Aadj Adet(A)−=⋅¨ ä´ aŒ1det(A) Aadj A−⋅=ãÊ ‹det ·§Êo§¢Ò§..aéŒ1det (det(A) A )det (adj A)−⋅=´a§¹¹ aén1det (adj A)(det(A)) (det(A))−=⋅n1(det(A))−=eÁèo ¤oÁiµ (¨Ò¹Ç¹æ¶ÇËÃo¨Ò¹Ç¹ËÅ¡) ¢o§ ืnืiíืíaAã¹ ¨·Â·ãËÁÒ¤íÒ¹Ç³ä´ oÕ茌det (A)6=−´a§¹¹ aé31det (adj A)( 6)36−=−=