Home Explore รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Published by t.kruyok004, 2022-08-06 18:20:12

Description: รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Read the Text Version

Pages:

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 301 ¶Ò e»¹eËµ¡ÒÃ³·äÁË§ÒÂ´Ò¹¡oÂeÅÂ EuÕè¨ ä´ aE{HHH} =æµ¶Ò e»¹eËµ¡ÒÃ³·Ë§ÒÂ´Ò¹¡oÂÁÒ¡¡ÇÒËÇ EuÕèa¡ç¨ ä´ÇÒ a E{HTT, THT,TTH,TTT} =6. ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹¢o§eËµ¡ÒÃ³ ãªÊ Å¡É³ auA aaP(A)(ºÒ§¤Ãaé§ãª¤íÒÇÒ o¡ÒÊ æ·¹¤íÒÇÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹) oa¨ ÁÕ¤ÒoÂã¹ªÇ§µ§æµ ¶§ e·Ò¹¹ (ËÃoªÇ§ ¶§ aÙ aé0ึ1aéื 0%ึ100%) ¤Ò¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹Â§ÁÒ¡æÊ´§ÇÒeËµ¡ÒÃ³¹¹ÁÕai èuaéoo¡ÒÊe¡´¢é¹ä´§ÒÂ iึ ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹¢o§eËµ¡ÒÃ³·e»¹ä»äÁä´eÅÂ auÕè ÁÕ¤Òe»¹ ... ¹¹¤o 0aèืP( )0 ∅= ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹¢o§eËµ¡ÒÃ³·Õèµo§e¡´¢é¹oÂÒ§au iึæ¹¹o¹ ÁÕ¤Òe»¹ (¡ç¤o 1ื100%) ... ¹¹¤o aèืP(S) 1=µaÇoÂÒ§ ¡ÒÃ·o´Å¡eµÒãËË§ÒÂæµÁe»¹¨Ò¹Ç¹¹º Ùíae»¹ä»ä´eÊÁo·¡¤Ãaé§ (e¡´¢é¹oÂÒ§æ¹¹o¹) ´a§¹¹ uiึaéP {æµÁ¨Ò¹Ç¹¹aº e·Ò¡aº í} 1ÊÇ¹¡ÒÃË§ÒÂæµÁ·Õè¹oÂ¡ÇÒ ¹¹e»¹ä»äÁä´ ´a§¹¹ 1aé aéP {æµÁ¹oÂ¡ÇÒ e·Ò¡aº 1}0¡ÒÃ·o´Å¡eµÒãËË§ÒÂæµÁeÅ¢¤Ù ÁÕ o¡ÒÊe¡´¢é¹ä´§ÒÂ¡ÇÒÙ oiึ Ë§ÒÂæµÁ·ËÒÃ´ÇÂ Å§µaÇ ´a§¹aé¹ Õè3P {æµÁeÅ¢¤Ù ÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ æµÁËÒÃ´ÇÂ Å§µaÇ }P {3}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 302 7. ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹¢o§eËµ¡ÒÃ³ ¤íÒ¹Ç³¤Òä´¨Ò¡ auA n(A) P(A)n(S) =eÁèo ืn(A) ¤o¨Ò¹Ç¹¼ÅÅ¾¸ã¹eËµ¡ÒÃ³ ืíauAæÅ an(S) ¤o¨Ò¹Ç¹¼ÅÅ¾¸·§ËÁ´·e»¹ä»ä´ ืíaaéÕè** P(A) ã¹º·¹ËÁÒÂ¶§¤Ò¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹¢o§eËµ¡ÒÃ³ Õéึ auA (ÁÕ¤Òe»¹¨Ò¹Ç¹) äÁãªe¾ÒeÇoÃe«µ¢o§ í AµaÇoÂÒ§ ¡ÒÃ·o´Å¡eµÒãËË§ÒÂæµÁe»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ¤Õè Ùía¨ ÁÕ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹e·Ò¡aº aaP {æµÁ¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ¤Õèía} P {3,5}=n{3,5}210.33n {1,2,3,4,5,6}63===≈ (ËÃo ื33%) µaÇoÂÒ§ ¡ÒÃ Â¹eËÃÕÂ ºÒ·ÊÒÁ¤Ãaé§ ãËË§ÒÂ´Ò¹¡oÂoÁÒ¡¡ÇÒËÇ ¨ ÁÕ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹e·Ò¡aº aaaP {¡oÂÁÒ¡¡ÇÒËaÇ }P {HTT, THT,TTH,TTT}=n {HTT, THT,TTH,TTT}n {HHH,HHT,HTH,...,TTT} =410.582=== (ËÃo ื50%)

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 303 µaÇoÂÒ§ ÁÕeÃoÇè§¢ÒÁ¿Ò¡ ÅÒ eÅo¡ ´ÂÊÒÃeÃoä»æÅืi3íืoืa¡Åaº ´Â¡ÒÃÊÁ ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·eÃoe·ÂÇä»æÅ ¡ÅºäÁ«éíÒou aÕèืÕèaaÅÒ¡a¹ e·Ò¡aºe·Òã´ íP {äÁ«éíÒÅÒ¡a¹ í}=¨Ó¹Ç¹Ç¸·èÕäÁ«ÓÅÓ¡¹iÕèéa¨Ó¹Ç¹Ç¸Õ·èe»ç¹ä»ä´·aé§ËÁ´iÕé3220.67333×==≈ × (ËÃo ื67%) µaÇoÂÒ§ ¹¡eÃÕÂ¹¡ÅÁË¹§»Ã ¡oº´ÇÂªÒÂ ¤¹ æÅau ึ èa5aË § ¤¹ ã¹¡ÒÃeÅo¡ËÇË¹ÒæÅ Ão§ËÇË¹ÒËo§oÂÒ§ i4ืaaa Å ¤¹¨Ò¡¹¡eÃÕÂ¹¡ÅÁ¹ ´Â¡ÒÃ¨ºÊÅÒ¡ ¤ÇÒÁ¹Ò¨a1au Õéoaae»¹·Õè¹¡eÃÕÂ¹·ä´ÃaºeÅo¡e»¹¤¹Å e¾È¡a¹ e·Ò¡aºe·Òã´ aÕèืaP {¤¹Å e¾È¡a¹ a}=¨Ó¹Ç¹Ç¸·èÕä´¤¹Å e¾È¡¹iÕéaa¨Ó¹Ç¹Ç¸Õ·èe»ç¹ä»ä´·aé§ËÁ´iÕé(54)(45)400.569872×+×== ≈ × (ËÃo ื56%) µaÇoÂÒ§ ¡ÒÃ¨´ÊÅº·ÕèµÇo¡ÉÃã¹¤íÒÇÒ aaaateaching ´Âo¡ÒÃÊÁ ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ÊÃ ¨ oÂµ´¡a¹·§ËÁ´ e·Ò¡aºu aÕèa aÙ iaée·Òã´

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 304 P {ÊÃ µ´¡a¹ËÁ´ a i}=¨Ó¹Ç¹Ç¸·èÕÊÃ µ´¡¹ËÁ´iÕa ia¨Ó¹Ç¹Ç¸Õ·èe»ç¹ä»ä´·aé§ËÁ´iÕé××===≈ ×6! 3!2 330.1078!7 828 (ËÃo ื10.7%) 8. Ç¸Õ¤íÒ¹Ç³æºº¹ãªä´e©¾Ò eËµ¡ÒÃ³·e»¹¡ÒÃiÕé auÕè·´Åo§ÊÁ «è§ÁÕ o¡ÒÊe¡´¼ÅÅ¾¸æµÅ æººe·Ò¡a¹e·Ò¹aé¹ u ึoia aµaÇoÂÒ§ ¡ÒÃæ¢§¿µºoÅæÅ Ê¹ã¨¼Å¡ÒÃæ¾ª¹ ¡ç¶oÇÒuaaื e»¹¡ÒÃ·´Åo§ÊÁeª¹¡a¹ e¾ÃÒ eÃÒ·ÃÒºæ«Áe»ÅÊe»« ¤o u aื{ª¹ eÊÁo æ¾a ,,}æµe¹o§¨Ò¡¼ÅÅ¾¸æµÅ æººÁÕ o¡ÒÊe¡´¢é¹äÁe·Ò¡a¹oÂÒ§ ืèa aoiึ æ¹¹o¹ eÃÒ¨§äÁÊÒÁÒÃ¶¹ÒÁÒ¤íÒ¹Ç³¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹´ÇÂึ ía Ç¸Õ in(A)/n(S)µaÇoÂÒ§ ¶ÒeÃÒÁo§æ«Áe»ÅÊe»«¢o§¼ÅºÇ¡æµÁÅ¡eµÒ Ù2Å¡ e»¹ Ù{2,3,4,5,...,12} ¨ äÁÊÒÁÒÃ¶¤íÒ¹Ç³¤ÇÒÁa¹Ò¨ e»¹´ÇÂÇ¸Õ a in(A)/n(S) e¾ÃÒ ¼ÅÅ¾¸æµÅ æººÁÕaa aoo¡ÒÊe¡´¢é¹äÁe·Ò¡a¹ (eª¹ ¼ÅºÇ¡e»¹ ËÃo ÂoÁiึ 2ื12e¡´¢é¹ä´ÂÒ¡¡ÇÒ¼ÅºÇ¡e»¹ ) iึ69. ¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹ ÊÒÁÒÃ¶ãªÇ¸Åºoo¡ä´ aiÕo´ÂãË¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹¢o§Ç¸Õ·§ËÁ´e·Ò¡aº aiaé1

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 305 P(A') 1 P(A)=− æÅ aP(A)1 P(A') =−µaÇoÂÒ§ ¶Ò o¡ÒÊ·ÕèÇa¹¹½¹äÁµ¡ e·Ò¡aº oÕé0.3¡çæÊ´§ÇÒ o¡ÒÊ·ÕèÇa¹¹½¹¨ µ¡ e·Ò¡aº oÕéa10.30.7−=µaÇoÂÒ§ ã¹¶u§ÁÕºoÅ Å¡ e»¹Ê¢ÒÇ Å¡ ¹o¡¹aé¹8ÙÕ3Ùe»¹ÊÕoè¹ ÊÁËÂºÅ¡ºoÅoo¡ÁÒ·ÕÅ Å¡ ¤Ãaé§ ¤ÇÒÁืæu iÙa Ù4¹Ò¨ e»¹·ä´Ê¢ÒÇoÂÒ§¹oÂ ¤Ãaé§e·Ò¡aºe·Òã´ aÕèÕ1¤íÒ¹Ç³¨Ò¡ Ç¸Õ·§ËÁ´ Åº´ÇÂ Ç¸Õ·äÁä´Ê¢ÒÇeÅÂ iaé iÕè ÕP {ä´Ê¢ÒÇoÂÒ§¹oÂ ÅÙ¡ Õ1}1=− P {äÁä´Ê¢ÒÇeÅÂ Õ}1=−¨Ó¹Ç¹Ç¸·ÕèäÁä´ÊÕ¢ÒÇeÅÂiÕèé¨Ó¹Ç¹Ç¸·èe»¹ä»ä´·aé§ËÁ´iÕÕçé5435110.8287628× ×=−=− ≈× × (ËÃo ื82%) (ËÃooÒ¨¨ ¤íÒ¹Ç³ËÒ¨Ò¹Ç¹æºº·e»¹ä»ä´ æÅÇ¤oÂËÒÃืaíÕè ¡a¹ eª¹ã¹µÇoÂÒ§¹Õé¨ ä´e»¹ aa 276/3360.82 ≈) µaÇoÂÒ§ ¡ÒÃÊÃÒ§¨Ò¹Ç¹ ËÅ¡¨Ò¡eÅ¢ ´´ ¶§ í4ao0ึ9o´Â¡ÒÃÊÁ·ÕÅ ËÅ¡ (ËÅ¡¾a¹ËÒÁe»¹eÅ¢ ) ¤ÇÒÁ¹Ò¨u aaa0ae»¹·ÕèÁÕ¡ÒÃãªeÅ¢«éíÒ¡a¹ e·Ò¡aºe·Òã´ ¤íÒ¹Ç³¨Ò¡ Ç¸Õ·§ËÁ´ Åº´ÇÂ Ç¸Õ·äÁÁÕeÅ¢«éíÒeÅÂ iaé iÕè

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 306 P {ÁÕeÅ¢«éíÒ¡a¹ }1=− P {äÁÁÕeÅ¢«éíÒ¡a¹ }1=−¨Ó¹Ç¹Ç¸·èÕäÁÁeÅ¢«Ó¡¹eÅÂiÕèÕéa¨Ó¹Ç¹Ç¸·èe»¹ä»ä´é·é§ËÁ´iÕÕça×× ×= −= =××× 998 76210.49691010 10125 (49.6%) (ËÃooÒ¨¨ ¤íÒ¹Ç³ËÒ¨Ò¹Ç¹æºº·e»¹ä»ä´ æÅÇ¤oÂËÒÃืaíÕè ¡a¹ eª¹ã¹µÇoÂÒ§¹Õé¨ ä´e»¹ aa 4464/90000.496 =) 10. ¶Òµo§¹ºeËµ¡ÒÃ³·ÕèÁÕ¤íÒÇÒ ËÃo au ื ¤ÇÃãªËÅ¡¡ÒÃã¹eÃèo§Âe¹Â¹¢o§e«µ ¤o aืÙÕืe¡´ ËÃo ¤´¨Ò¡ e¡´ ºÇ¡´ÇÂ e¡´ iAืB iiA iB æÅ Åºoo¡´ÇÂ e¡´·§ æÅ aiaéAaB P(AB)P(A)P(B)P(AB)∪ = + − ∩(ËÒÁ¹Ò¤Ò¢o§ ¡aº ÁÒºÇ¡¡a¹æÅÇµoºeÅÂ·a¹·Õ íABe¾ÃÒ Áa¡¨ ÁÕ¡ÒÃ¹º«éíÒ«o¹e¡´¢é¹) aaaiึµaÇoÂÒ§ ä¾Ë¹§ÊÒÃaº»¡µ»Ã ¡oº´ÇÂ ª´ ( ¾´íÒ ¾ ึèíi a4uooæ´§ ¢ÒÇËÅÒÁµ´ æÅ ´o¡¨¡) ª´Å ãº (e»¹aaiua13ËÁÒÂeÅ¢ A, 2, 3, 4, ..., 10, J, Q, K) ÃÇÁ ãº 52ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ÕèÊÁËÂºä¾Ë¹§ãº¨Ò¡ÊÒÃaº¹ æÅÇä´au i ึèíÕéä¾·Õè ÁÕ´o¡ÊÕ´íÒ ËÃo ÁÕËÁÒÂeÅ¢e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ืía

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 307 ä¾·ÕèÁÕ´o¡ÊÕ´íÒ ÁÕ ãº (¤oªu´ ¾´íÒæÅ ª´´o¡¨¡) 26ืoa uiä¾·ÕèÁÕËÁÒÂeÅ¢e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ÁÕ ãº (¤oËÁÒÂeÅ¢ ía16ื2, 3, 5, 7 ¢o§æµÅ ª´) a uæµä¾·ÕèÁÕ´o¡ÊÕ´íÒæÅ ËÁÒÂeÅ¢e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ´ÇÂ ÁÕoÂ aía Ù 8 ãº ( ¾´íÒæÅ ´o¡¨¡ ËÁÒÂeÅ¢ oai2, 3, 5, 7) ´a§¹¹ ä¾·Õè ÁÕ´o¡ÊÕ´íÒ ËÃo ÁÕËÁÒÂeÅ¢e»¹¨Ò¹Ç¹aé ืíe©¾Ò ¨ ÁÕoÂ a aÙ 2616834+−= ãº (¤´¨Ò¡ in(AB)n(A)n(B)n(AB)∪ = + − ∩ ) ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·Õè¨ ÊÁËÂºä´ä¾eËÅÒ¹Õé aa u i 340.6552=≈ËÃo¶Ò¤íÒ¹Ç³´ÇÂÊµÃ ื ÙP(AB)P(A)P(B)P(AB)∪ = + − ∩¡ç¨ ä´.. ´o¡Ê´ÓËÃo ¨Ó¹Ç¹e©¾Ò aP{Õื}aP{}P{}=+´o¡Ê´ÓÕ¨Ó¹Ç¹e©¾Ò aP{ −´o¡Ê´ÓæÅ ¨Ó¹Ç¹e©¾Ò Õa}a=+−= ≈26168340.6552525252µaÇoÂÒ§ ÁÕeÊoÊ¢ÒÇ µaÇ ÊÕoè¹ µaÇ æÅ ÁÕ¡Ò§e¡§ÊÕื éÕ5ืæ4a¢ÒÇ µÇ ÊÕoè¹ µÇ ¶ÒÊÁËÂºeÊoæÅ ¡Ò§e¡§oÂÒ§Å2aืæ3a uiื éaaµÇæÅÇ ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ä´eÊoÊ¢ÒÇËÃo¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ aaÕè ืéÕืÕ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 308 P{ä´eÊoÊ¢ÒÇ ËÃo ä´¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ ืéÕืÕ}P{=ä´eÊoÊ¢ÒÇ ืéÕ}P { +ä´¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ Õ}P{ −ä´eÊoÊ¢ÒÇæÅ ä´¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ´ÇÂ ืéÕaÕ}×××=+−=≈××× 55925 2110.739595951511. e·¤¹¤¡ÒÃ¹ºe¾èÁeµÁ iaii ¡ÒÃ¹ºeËµ¡ÒÃ³·ÕèÁÕ¤íÒÇÒ ËÃo ÊÒÁÒÃ¶¤´æººau ื iÅºoo¡ä´´ÇÂ ¤o e¡´ ËÃo ¤´¨Ò¡ Ç¸Õ·aé§ËÁ´ ื iAืB iiÅº´ÇÂÊ§·µÃ§¡a¹¢ÒÁ¤o äÁe¡´·§ æÅ i èÕèื iaéAaB P(AB)1P(A'B')∪ =− ∩(æºº¹Õé¤´§ÒÂ¢é¹e¾ÃÒ e»¹¡ÒÃe»ÅÂ¹¤íÒÇÒ ËÃo ãËiึaÕè ื ¡ÅÒÂe»¹ æÅ ) aµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ÕèÊÁËÂºä¾Ë¹§ãº¨Ò¡au i ึèÊÒÃaº»¡µ æÅÇä´ä¾·Õè ÁÕ´o¡ÊÕ´íÒ ËÃo ÁÕËÁÒÂeÅ¢e»¹íi ื¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ía ¤´¨Ò¡ÊµÃ iÙP(AB)1P(A'B')∪ =− ∩¨ ä´ÇÒ ´o¡Ê´ÓËÃo ¨Ó¹Ç¹e©¾Ò a P{Õื}a1P {=−´o¡ÊäÁ´íÒ æÅ äÁãª¨Ò¹Ç¹e©¾Ò Õa ía }

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 309 (´o¡ÊäÁ´íÒ¡ç¤o ¾æ´§¡aº¢ÒÇËÅÒÁµ´, ËÁÒÂeÅ¢äÁãªÕืoa ¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ¡ç¤o íaืA, 4, 6, 8, 9, 10, J, Q, K) 183410.655252=−=≈µaÇoÂÒ§ ÁÕeÊoÊ¢ÒÇ µaÇ ÊÕoè¹ µaÇ æÅ ÁÕ¡Ò§e¡§ÊÕื éÕ5ืæ4a¢ÒÇ µÇ ÊÕoè¹ µÇ ¶ÒÊÁËÂºeÊoæÅ ¡Ò§e¡§oÂÒ§Å2aืæ3a uiื éaaµÇæÅÇ ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ä´eÊoÊ¢ÒÇËÃo¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ aaÕè ืéÕืÕP{ä´eÊoÊ¢ÒÇ ËÃo ä´¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ ืéÕืÕ}1P {=−äÁä´eÊoÊ¢ÒÇ æÅ äÁä´¡Ò§e¡§Ê¢ÒÇ ืéÕa Õ}×= −= ≈×431110.739515

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 310 (Ë¹ÒÇÒ§)

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .5 เทอม 1 บทที่ 1เอกซโพ ลอการิทึม/1. ¡ÒÃËÒÃÒ¡·Êo§¢o§ ÕèM2 N±ãËËÒ¤Ò a, b ·Õè·ÒãË íMa b =+ æÅa Nab= ¡o¹ æÅÇ¨aä´ÇÒ.. ÃÒ¡·Êo§¢o§ ÕèM2 N + ¤o ื(ab)±+æÅaÃÒ¡·Êo§¢o§ ÕèM2 N − ¤o ื(ab)±−µÇoÂÒ§ ãËËÒÃÒ¡·Êo§¢o§ aÕè980 +e¹o§¨Ò¡ ื è980 + ¤o ื92 20+¨§ËÒ¤Ò ึa, b ·Õè·ÒãË íab9 += æÅa ab20=¹¹¤o a èืa, b5, 4 =¨§ä´¤íÒµoºe»¹ ึ 54 + æÅa 54−−..ËÃoe¢ÕÂ¹e»¹ ื52 + æÅa 52−−µÇoÂÒ§ ãËËÒÃÒ¡·Êo§¢o§ aÕè635 −e¹o§¨Ò¡ ื è635 − ¤o ื35462−ËÒä´¨Ò¡ ab6 += æÅa 354ab=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 312 ¹¹¤o a èื5 722 a, b,=¨§ä´¤íÒµoºe»¹ ึ 5722 − æÅa 5722 −µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ a7 2 107 2 10++−e¹o§¨Ò¡ ื è752= + æÅa 105 2 =⋅´§¹¹ a aé72 1052+=+æÅa 72 1052−=−(ä´e©¾Òa¤Ò·e»¹ºÇ¡e·Ò¹¹ e¾ÃÒae»¹e¤Ãèo§ËÁÒÂÃÙ·) Õèa éืe¾ÃÒa©a¹¹ ¤íÒµoº·Õèµo§¡ÒÃ¤o a éื7 2 107 2 10( 52) ( 52)++−=++− 25=2. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃ·ÕèÁÕ¡Ã³± ax b+ ºÇ¡Åº¡¹oÂaÙ ËÅÒÂ¾¨¹ ¤ÇÃÂÒÂ¢Ò§ãË¨Ò¹Ç¹¾¨¹e·Ò ¡¹ æÅaí æ aÊÁ»ÃaÊ·¸Ë¹Ò ÃÇÁã¡Åe¤ÕÂ§¡¹·ÕèÊ´ ¨Ò¡¹¹¨§Â¡aiiìxaua éึ¡íÒÅ§·§Êo§¢Ò§¨¹¡ÇÒe¤Ãèo§ËÁÒÂ¡Ã³±¨aËÁ´ä» a aéื** ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃ ´Â¡ÒÃÂ¡¡íÒÅ§ oÒ¨·ÒãËä´¤íÒµoºe¡i¹ oaí µo§µÃÇ¨¤íÒµoºeÊÁo

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี313 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ a2x 1x 32+−− =¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ 2x 12x3+=+−Â¡¡íÒÅ§Êo§ä´e»¹ a 2x 1 44 x3x3+=+−+−¹¹¤o a èืx4 x 3=−¨§Â¡¡íÒÅ§Êo§o¡¤Ãé§ ä´e»¹ ึaÕa 2x16(x3)=−æ¨¡æ¨§æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´´§¹Õé aa2x16x480(x 12)(x4)0−+=→− −=´§¹¹¤íÒµoº¤o a aéืx12= ËÃo ื4µÃÇ¨¤íÒµoºæÅÇ¾ºÇÒãªä´·§Êo§¤íÒµoº a é¨§ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ ึ {12,4}µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a3x 1x 3x 1+=+ +−Â¡¡íÒÅ§Êo§ä´e»¹ a 23x 1 x 3 2 x2x 3 x 1+=+ ++− + −¹¹¤o a èื2x1 2 x2x3−=+−¨§Â¡¡íÒÅ§Êo§o¡¤Ãé§ ึaÕaä´e»¹ 22x2x 1 4(x2x 3)−+= +−æ¨¡æ¨§æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´´§¹Õé aa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 314 23x10x 130(3x 13)(x 1)0+−=→ + −=´§¹¹¤íÒµoº¤o a aéื133x=− ËÃo ื1µÃÇ¨¤íÒµoºæÅÇ¾ºÇÒ¤Ò 133x=− ãªäÁä´ (e¹o§¨Ò¡·ÒãËã¹ÃÙ·µ´Åº) ..æµ¤Ò ื èíi x1= ¹¹ãªä´ a é ã¹¢o¹Õé¨§ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ ึ {1} e·Ò¹¹ a é ËÒ¡Ê§·oÂã¹e¤Ãèo§ËÁÒÂ¡Ã³±ÂÒÇÁÒ¡ oÒ¨ÊÁÁµièÕèÙ ืiÊ§¹¹e»¹µÇæ»Ã ¡o¹ æÅÇ·ÒµÇæ»Ã·eËÅoãËoÂã¹ÃÙ» ièa éaAíaÕèื ÙA ·§ËÁ´ e¾èoãË¤íÒ¹Ç³Êa´Ç¡¢é¹ a éืึµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ a22x7x125−+−=¶ÒÊÁÁµãË i2x7A− =ÊÁ¡ÒÃ¨a¡ÅÒÂe»¹ AA 55+−=ÂÒÂ¢Ò§ãËÁÕ¨Ò¹Ç¹¡Ã³±e·Ò¡¹ ¤o í aืA55A−=−¨Ò¡¹¹Â¡¡íÒÅ§Êo§·§Êo§¢Ò§ a éaa éä´e»¹ A525 10 AA−=−+¹¹¤o a èืA3 =Â¡¡íÒÅ§Êo§o¡¤Ãé§ ¨§ä´ÇÒ aÕaึ A9=µÃÇ¨Êoº¤íÒµoºã¹ AA 55+−= æÅÇ¾ºÇÒãªä´ ´§¹¹ a aé2x79− =

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี315 æ¡ÊÁ¡ÒÃµoä´e»¹ 2x16x4,4=→=− ÊÃu»e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¡ç¤o ื−{4, 4}µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a22(x 1)5( x2x 2 1)+= ++−¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ 22x2x 1 5 x2x 25++= ++−ÊÁÁµãË i2x2x 2A++=¨aä´ÊÁ¡ÒÃ¡ÅÒÂe»¹ 2A1 5A 5 −=−¹¹¤o a èื2A5A40−+=æÅa¨aä´ (A4)(A1)0A4−−=→= ËÃo ื1- ¶Ò A4 = ¨aä´ÇÒ 2x2x24++=¹¹¤o a èื2x2x216x115++=→=−±- æµ¶Ò A1= ¨aä´ÇÒ 2x2x21++=¹¹¤o a èื2x2x21x1++=→=− ´§¹¹.. ÊÃu»e«µ¤íÒµoº¤o a aéื{ 115, 115, 1}−+− −−3. ÊÁ¡ÒÃæÅaoÊÁ¡ÒÃeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ oÕ ¶ÒÁÕ¾¨¹eÅ¢Â¡¡íÒÅ§°Ò¹e´ÕÂÇ¡¹ ºÇ¡Åº¡¹oÂ eª¹ aaaÙ x2xa, a oÒ¨ÊÁÁµe»¹µÇæ»Ã ia2A, A e¾èoãË¤íÒ¹Ç³ืÊa´Ç¡¢é¹ ึ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 316 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ a2x 2x229 2+ + =⋅ÊÁ¡ÒÃ¹ÕéÁÕeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ°Ò¹ ÅÇ¹ oÕ2æ¹¹¤o a èื2xx42292⋅+=⋅¨§ÊÁÁµãË ึix2A=ÊÁ¡ÒÃ¨a¡ÅÒÂe»¹ 24A29A+ =ÂÒÂ½§ æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´ a(A2)(4A 1)0−−=æÊ´§ÇÒ A2= ËÃo ื1/4¹¹¤o a èืx22 = ËÃo ื1/4x1→ = ËÃo ื- 2´§¹¹e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¤o a aéื{1, 2}−µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ ax3x3x383 46 280−−− −⋅−⋅+ =ÊÁ¡ÒÃ¹ÕéÁÕeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ°Ò¹ ÅÇ¹ oÕ2æ¹¹¤o a èื3 x32 x3x323 26 280−−− −⋅−⋅+ =¨§ÊÁÁµãË ึix3 2A−=ÊÁ¡ÒÃ¨a¡ÅÒÂe»¹ 32A3A6A 80−−+=¨Ò¡¹¹æÂ¡µÇ»Ãa¡oº.. a éa(A 4)(A 1)(A 2)0−−+=æÊ´§ÇÒ A4 = ËÃo ËÃo ื1ื-2 ¹¹¤o a èืx3 24−= ËÃo ËÃo ื1ื-2 ¨aä´ x32−= ËÃo e·Ò¹¹ ื0a é

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี317 (ÊÒËÃº¡Ã³Õ íax3 22−=− e»¹ä»äÁä´.. e¾ÃÒaeo¡« o¾e¹¹eªÂÅµo§ÁÕ¤Òe»¹ºÇ¡eÊÁo) Õ ¶Ò x32−= ¨aä´ x7=æÅa¶Ò x30−= ¨aä´ x3=´§¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¤o a aéื{7,3}µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ axx 133(3( ) )8−=ãË x3A= ¨aä´ÊÁ¡ÒÃe»¹ 1A 3(A)8−=æÅae¹o§¨Ò¡ äÁÁÕ·Ò§e»¹ (e¾ÃÒae»¹¤Ò¢o§eo¡«ื èA0 o¾e¹¹eªÂÅ «è§e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ºÇ¡eÊÁo) ¨§¹Ò ¤Ù³.. Õึ íึíAä´e»¹ 23A8A 3 0−−=¨Ò¡¹¹æÂ¡µÇ»Ãa¡oº.. a éa(3A 1)(A 3) 0+−=¹¹¤o a èื13A=− ËÃo ื3æÊ´§ÇÒ x133=− (µ´Åº, e»¹ä»äÁä´) ËÃo i ืx33=ÊÃu»¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¤o ืx1= e·Ò¹¹ a éæÅae«µ¤íÒµoº¤o ื{1}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 318 ¶ÒÁÕ¾¨¹eÅ¢Â¡¡íÒÅ§ËÅÒÂ°Ò¹»¹¡¹oÂã¹ÊÁ¡ÒÃ ¨a aaÙ Áo§e»¹µÇæ»Ã e¾ièÁo¡o¹¡çä´ aBÕaµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a2xx2x6(3 ) 13(6 ) 6(2 )0−+= ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¤o ื2xxx2x6(3 ) 13(32 ) 6(2 )0−⋅+=´§¹¹¨§ãË a aéึxx3A, 2B== ÊÁ¡ÒÃ¨a¡ÅÒÂe»¹ 226A13AB 6B0−+=æÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´ a(2A 3B)(3A 2B)0−−=´§¹¹ a aé3AB2 = ËÃo ื23¹¹¤o a èืx 3322()= ËÃo ื23e¾ÃÒa©a¹¹ a éx1= ËÃoื -1æÅae«µ¤íÒµoº¡ç¤o ื{1, 1}− ÊÒËÃºoÊÁ¡ÒÃ µo§ãªÊÁºµ¢o§¿§¡ª¹e¾ièÁ/íaai a¿§¡ª¹Å´ ã¹¡ÒÃ¡íÒ¨´°Ò¹ aa¹¹¤o a èืMNaaMN>↔ > eÁèo ืa1> (¿§¡ª¹e¾ièÁ) aæÅa MNaaMN>↔ < eÁèo ื0a1< < (¿§¡ª¹Å´) aµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃ ax471−<

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี319 ·Ò°Ò¹ãËe»¹ ·§Êo§¢Ò§ ¨aä´ í 7a éx4077−<°Ò¹ÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ æÊ´§ÇÒe»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ ÊÒÁÒÃ¶µ´1 aa°Ò¹·§ä´eÅÂ·¹· ( ´ÂäÁµo§e»ÅÂ¹æ»Å§e¤Ãèo§ËÁÒÂ) iéaÕo Õèื´§¹¹ a aéx40−<æÊ´§ÇÒ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ ื (,4]−∞µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃ a2x5x5x(3 3)( 3)−− <·Ò°Ò¹ãËe»¹ í 3 ·§Êo§¢Ò§ a é¨aä´ 23(x 5)x5x(3)( 3)−− <°Ò¹ÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ æÊ´§ÇÒe»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ ÊÒÁÒÃ¶µ´1 aa°Ò¹·§ä´eÅÂ·¹· ( ´ÂäÁµo§e»ÅÂ¹æ»Å§e¤Ãèo§ËÁÒÂ) iéaÕo Õèื´§¹¹ a aé23(x 5)x5x−< −¾ºÇÒe»¹oÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅ§Êo§ a2x8x 150−+>¹¹¤o a èื(x 5)(x 3)0−−>æÊ´§ÇÒ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§e»´ ื (,3)(5, )−∞∪∞µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃ a2x5(sin 20 )(sin 20 )−°° >ã¹¢o¹°Ò¹·§Êo§¢Ò§e·Ò¡¹oÂæÅÇ «è§¤Ò¢o§ Õéa éaÙ ึ sin 20°e»¹¨Ò¹Ç¹ºÇ¡«è§ÁÕ¤Ò¹oÂ¡ÇÒ æ¹¹o¹.. æÊ´§ÇÒe»¹íึ 1 ¿§¡ª¹Å´ ¡ÒÃµ´°Ò¹·§µo§¾Å¡e¤Ãèo§ËÁÒÂ´ÇÂ aaiéiื

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 320 ¨§ÊÃu»ä´ÇÒ ึ 2x5−<¶o´¤ÒÊÁºÃ³ä´e»¹ aÙ 52 x5−−<<¹¹¤o a èื7x3−−<< ..æÅa¨aä´e»¹ 3x7−<<´§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o ªÇ§»´ a aéื[3,7] −4. ¤ÇÒÁe¡ÕèÂÇ¢o§ÃaËÇÒ§eo¡« ¾e¹¹eªÂÅæÅaÅo¡ÒÃi·Á oÕึ¤o ืyaxaylog x=↔=(ÊÒÁÒÃ¶æ»Å§ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ»eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ãËe»¹ÃÙ»oÕ Åo¡ÒÃi·Áä´eÊÁo æÅaã¹·Ò§¡Åº¡¹¡çeª¹e´ÕÂÇ¡¹) ึa aaµÇoÂÒ§ ãËe¢ÕÂ¹ÊÁ¡ÒÃµoä»¹ãËoÂã¹ÃÙ» aÕé Ùlog2164 =..¨aä´ 4log 162=015 =..¨aä´ 5log 1 0=1/328=..¨aä´ 813log 2=4 13 81 ( )−= ..¨aä´ 1/3 log814=−30.001 10−= ..¨aä´ 10log 0.0013=−1/255= ..¨aä´ 512log5=µÇoÂÒ§ ãËe¢ÕÂ¹ÊÁ¡ÒÃµoä»¹ãËoÂã¹ÃÙ»eÅ¢Â¡¡íÒÅ§ aÕé Ùa2log 83 =..¨aä´ 382=3log 32= ..¨aä´ 23( 3)=

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี321 1/2 log42=− ..¨aä´ 2 124( )−=5log 0.042=− ..¨aä´ 20.045 −=µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ·Êo´¤Åo§¡ºÊÁ¡ÒÃµoä»¹axÕèaÕé3log 9x =e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕéx93= ´§¹¹ a aéx2=( )515 logx =e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕéx155= ´§¹¹ a aéx1=−1/6 log6x =e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕé( )x 166= ´§¹¹ a aé12x=−2log x5=e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕé5x2= ´§¹¹ a aéx32=4log x3=−e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕé3x4 −= ´§¹¹ a aé164x=x12log 6=e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕé1/26x = ´§¹¹ a aéx36=xlog 72=−e¹o§¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ¹æ»ÅÇÒ ื èÕé27x −= ´§¹¹ a aé17x=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 322 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ a2xx27 2120−⋅+=ÊÁÁµãË ix2A= ÊÁ¡ÒÃ¨ae»¹ 2A7A120−+=ÂÒÂ½§æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oº ä´ a(A4)(A3)0−−=æÊ´§ÇÒ A4 = ËÃo ื3¶Ò xA24== ¨aä´ x2=¶Ò xA23== ¨aä´ 2xlog 3=´§¹¹e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¤o a aéื2{2, log 3}5. ¿§¡ª¹Åo¡ÒÃi·Á e¢ÕÂ¹ä´ã¹ÃÙ» aึaf(x)log x=e»¹o¹eÇoÃÊ¢o§¿§¡ª¹eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ i aoÕxf(x)a=´§¹¹¤Ò¢o§°Ò¹ oÂã¹ªÇ§ a aéaÙ (0,1) ËÃo ื(1, )∞e·Ò¹¹ æÅa¡ÃÒ¿¢o§ ¨aÁÕÅ¡É³a´§¹ a élogaaÕéaylog x=eÁèo ื> a1aylog x=eÁèo ื< < 0a1(1,0) x y (1,0) x y

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี323 log D+=R , log R=R ¡ÃÒ¿¼Ò¹¨´ u(1,0) eÊÁo æÊ´§ÇÒ alog 1 0=·u¡ ¤Ò ·e»¹°Ò¹ä´ æaÕè6. ¡®¢o§Åo¡ÒÃi·Á ึ(¡®eËÅÒ¹ãªä´ÊÒËÃº¤Ò·Êo´¤Åo§¡º¿§¡ª¹Åo¡ÒÃi·ÁÕé íaÕèa aึe·Ò¹¹ ¹¹¤o a éa èืa, b, c,m,n e»¹¨Ò¹Ç¹ºÇ¡ ´Â·Õè íoa, b, c1≠ æÅa p, q e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ) íæ e¹o§¨Ò¡ (1)ื è0a1= æÅa 1aa = eÊÁo ´§¹¹ a aéalog 1 0= æÅa alog a1= eÊÁo ¡ÒÃ Â¹¡íÒÅ§ÁÒe»¹ÊÁ»ÃaÊ·¸iì (2)oaaipqa(a )qplog(b )log b =µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§¨Ò¹Ç¹µoä»¹Õé ´ÂãªÇi¸ Â¹¡íÒÅ§ÁÒaíoÕoae»¹ÊÁ»ÃaÊ·¸ aiiì3log 9¨aä´e»¹ 233log (3 )2log 32==( )515 log¨aä´e»¹ 155log (5 )( 1)log 51−=−= −

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 324 ( )4164 log¨aä´e»¹ 344log (4 )( 3)log 43−=−= −8log 16¨aä´e»¹ 342(2 )4433log(2 )log 2==125 log5¨aä´e»¹ 315(5 )1133log(5 )log 5==1/6 log6¨aä´e»¹ 11/26(6 )121/2log(6 )()log 61−== − −3log 81¨aä´ 1/243(3)4log(3 )()log 381/2==** Åo¡ÒÃi·Á°Ò¹ eÃÕÂ¡ÇÒÅo¡ÒÃi·ÁÊÒÁ oÒ¨ÅaäÇึ10ึaäÁµo§e¢ÕÂ¹°Ò¹¡íÒ¡º ¤oe¢ÕÂ¹e¾ÕÂ§ aืlog x ¡çä´ µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§¨Ò¹Ç¹µoä»¹Õé ´ÂãªÇi¸ Â¹¡íÒÅ§ÁÒaíoÕoae»¹ÊÁ»ÃaÊ·¸ aiiìlog 10000¨aä´e»¹ 41010log (10 )4log 104== (ËÃoe¢ÕÂ¹e»¹ ื4log (10 )4log 104== ¡çä´)

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี325 log 0.01¨aä´e»¹ 21010log (10 )2log 102−=−=−(ËÃoe¢ÕÂ¹e»¹ ื2log (10 )2log 102−=−=− ¡çä´) 0.1log 0.001¨aä´e»¹ 131031log(10 )log 103−−−−== ¡ÒÃæ¨¡æ¨§ ¢o§¼Å¤Ù³æÅa¼ÅËÒÃ (3)logaaalog (mn)log m log n=+ æÅa ( )aaamn loglog m log n=−µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§¨Ò¹Ç¹µoä»¹ aíÕé2727log 9 log 81+¨aä´e»¹ 22727log (9 81)log (27 )2⋅= =55log 150 log 6−¨aä´e»¹ ( )25551506loglog 25log (5 )2=== µÇoÂÒ§ ¶Ò¤Ò»ÃaÁÒ³¢o§ a log 20.30 ≈æÅa log 30.48 ≈ ãËËÒ¤Ò¢o§¨Ò¹Ç¹µoä»¹Õé ílog 32¨aä´e»¹ 5log (2 )5log 25(0.30)1.50=≈≈

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 326 log 48¨aä´e»¹ log (16 3)log 16 log 3⋅= +4log 2log 34 log 2 log 3=+=+ 4(0.30) (0.48)1.68≈+≈log 5¨aä´e»¹ 102 log ()log 10 log 2=− 1 log 21 0.300.70=−≈−≈log 3.24¨aä´e»¹ 324100 log ()log 324 log 100=− 24log (2 3 ) 22log 24log32=⋅−=+−2(0.30)4(0.48) 20.52≈+−≈ ¡ÒÃe»ÅÂ¹°Ò¹¢o§ (4)Õèlogcacblog b1log blog alog a==µÇoÂÒ§ ¶Ò¤Ò»ÃaÁÒ³¢o§ a log 20.30 ≈æÅa log 30.48 ≈ ãËËÒ¤Ò¢o§¨Ò¹Ç¹µoä»¹Õé í2log 9¨aä´e»¹ log92log32(0.48)log2log2(0.30)3.2=≈≈

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี327 18log 12¨aä´e»¹ ⋅+ ⋅+==22log12log(2 3)2log2 log3log18log(2 3 )log2 2log32(0.30) 0.480.30 2(0.48)0.86++≈≈ µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ a23463log 3 log 4 log 5 ... log 64 ⋅⋅⋅⋅¨aä´ log3 log4 log5log64log2 log3 log4log63 ...⋅⋅⋅⋅ log646log2log2log26===(5) eÁèoÂ¡¡íÒÅ§´ÇÂ ืalog aalog nlog mmn= ´§¹¹ a aéalog nan=µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ a54 1log25−¨Ò¡ 55441loglog2525/25−=æÅae¹o§¨Ò¡ ื èalog nan=¨§ä´e»¹ ึ 554162loglog25/525/525/16==

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 328 µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ a7459loglog492+e¹o§¨Ò¡ ื èaalog nlog mmn=¨§ä´ÇÒ ึ 7775497loglog2log24955525====æÅa 24412922logloglog1/229993==== ´§¹¹ ¤íÒµoº¢o§¢o¹Õé¤o a aéื25 328+ =ËÁÒÂeËµu ãª alog nan= eËÁo¹µÇoÂÒ§·æÅÇ¡çä´ æµ¨aืaÕèÁÕ¢é¹µo¹·ÁÒ¡¡ÇÒ aÕè7. Åo¡ÒÃi·Á·ÕèÁÕ°Ò¹e»¹¤Ò¤§·Õè (ึ e2.718≈) ¨aeÃÕÂ¡ÇÒÅo¡ÒÃi·Á¸ÃÃÁªÒµ æÅa¹ÂÁãªÊ Å¡É³ ึii a aln xæ·¹ elog xµÇoÂÒ§ ¶Ò alog 20.30 ≈, log 30.48 ≈ æÅa ≈ log e0.434 ãËËÒ¤Ò»ÃaÁÒ³¢o§¨Ò¹Ç¹µoä»¹ íÕéln 9¨aä´e»¹ =≈≈log92 log32(0.48)logeloge(0.434)2.21ln 12¨aä´e»¹ 2log12log(2 3)2log2 log3logelogeloge⋅+== +≈≈2(0.30) 0.48(0.434)2.49

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี329 µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ·Êo´¤Åo§¡ºÊÁ¡ÒÃµoä»¹Õé axÕèaln x5 =e¹o§¨Ò¡ ื èeln xlog x=¨§ä´ ึ 55xe(2.718)148.33=≈ ≈ln x0 =¨aä´ 0xe1== ln x1=−¨aä´ 111e2.718xe0.368−==≈ ≈µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ ax3x2 x(e )2 (e )3 (e )+⋅=⋅ÊÁ¡ÒÃ¹ÕéÁÕeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ°Ò¹ ÅÇ¹ oÕeæ¹¹¤o a èื3x2xxe3 e2 e0−⋅+⋅=¨§ÊÁÁµãË ึixeA=ÊÁ¡ÒÃ¨a¡ÅÒÂe»¹ 32A3A2A0−+= ÂÒÂ½§ æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´ aA(A 1)(A2)0−−=æÊ´§ÇÒ A0= ËÃo ËÃo ื1ื2¶Ò xe0= ..e»¹ä»äÁä´ (eo¡« ¾Ï ÁÕ¤Òe»¹ºÇ¡eÊÁo) o ¶Ò xe1= ¨aä´ x0=¶Ò xe2= ¨aä´ xln 20.69=≈´§¹¹e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¤o a aéื{0,ln2}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 330 8. ¡ÒÃËÒ¤ÒÅo¡ÒÃi·ÁÊÒÁ (°Ò¹ ) ´ÂãªµÒÃÒ§ ึa10o..e¹o§¨Ò¡ã¹µÒÃÒ§Ãaºe¾ÕÂ§¤Ò ื èulog 1 ¨¹¶§ ึlog 9.99e·Ò¹¹ ¶ÒËÒ¡µo§¡ÒÃËÒ¤Ò a élog N ¨aµo§e¢ÕÂ¹¨Ò¹Ç¹ íN e»¹ÃÙ» ×na10 eÁèo ื<1a10< ¡o¹ æÅaãª¡®¢o§Åo¡ÒÃi·Á ÇÒ ึ=×=+ nlogN log(a 10 )loganµÇoÂÒ§ alog 345 ÁÕ¤Òe·Ò¡º a2log (3.45 10 )×ËÃo ืlog (3.45)2+¨Ò¡µÒÃÒ§¾ºÇÒ log (3.45)0.5378 ≈´§¹¹ a aélog 3452.5378 ≈ eÃÕÂ¡ n («è§e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁeÊÁo) ÇÒ æ¤æÃ¡e·oÃiึ íç Êµi¡ ¢o§ log N ..æÅaeÃÕÂ¡ log a («è§ÁÕ¤ÒÃaËÇÒ§ ึ0¶§ eÊÁo) ÇÒ æÁ¹·Ê«Ò ¢o§ ึ1 ilog N æ¤æÃ¡e·oÃiÊµ¡ãªº§ºo¡¨Ò¹Ç¹ËÅ¡¢o§ ä´.. i íaNe¾ÃÒa ¨aÁÕ¨Ò¹Ç¹ËÅ¡e»¹ æ¤æÃ¡e·oÃiÊµi¡ eÊÁo Nía+1µÇoÂÒ§ ¨Ò¡·Õè¤íÒ¹Ç³äÇÇÒ a log 3452.5378 ≈æ¤æÃ¡e·oÃiÊµ¡¢o§ ilog 345 ¡ç¤o ื2 (æÅa¨aeË¹ä´ÇÒ ç 345 ÁÕ 21 3+= ËÅ¡) aæÁ¹·Ê«Ò¢o§ ilog 345 ¡ç¤o ืlog 3.450.5378 ≈ ¶Ò log NM= eÃÒ¨a¡ÅÒÇ (æººÂo¹¡Åº) ä´ÇÒ a = antilog MN (µo§e»¹°Ò¹ e·Ò¹¹) 10a é

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี331 µÇoÂÒ§ ¤Ò ¢o§ alog345 ¤o ื2.5378 ´Â»ÃaÁÒ³ o¨§¡ÅÒÇä´ÇÒ ¤Ò ึ antilog ¢o§ 2.5378 ¤o ื345µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ·Õè·ÒãË aMílog M2.5378 =e¢ÕÂ¹ 2.5378 ãËoÂã¹ÃÙ»¼ÅºÇ¡¢o§æ¤æÃ¡e·oÃiÊµ¡¡º ÙiaæÁ¹·Ê«Ò¡o¹.. ¹¹¤o ia èื20.5378+¨Ò¡¹¹e»´µÒÃÒ§ä´e»¹ a é 2log 10log 3.45 +ËÃo ื2log (3.45 10 )× ´§¹¹ a aéM345 ≈ËÁÒÂeËµu µo§·ÒãËæÁ¹·Ê«Òe»¹¨Ò¹Ç¹ºÇ¡eÊÁo eª¹íií¶Ò log M1.4789=− äÁ¤ÇÃ·Òe»¹ í10.4789 −−æµµo§·Òe»¹ í20.5211 −+ e¾èoãË¤íÒ¹Ç³ä´Êa´Ç¡ ื9. ÊÁ¡ÒÃæÅaoÊÁ¡ÒÃ·ÕèÁÕÅo¡ÒÃi·Á ึ Á¡¨aæ¡» ËÒ ´Âãª¡®¢o§Åo¡ÒÃi·Á eª¹ ¡ÒÃ·íÒa oึãË°Ò¹e·Ò¡¹e¾èo¡íÒ¨´ ·ié§ä» aืalogµÒÁÊÁºµ·ÕèÇÒ aiaalog Mlog NMN=↔= ¶ÒÁÕ¾¨¹¤ÅÒÂ¡¹»ÃÒ¡¯oÂ oÒ¨ÊÁÁµe»¹µÇæ»Ã aÙ iaA e¾èoãË¤íÒ¹Ç³Êa´Ç¡¢é¹ ืึ** eÁèoä´¤íÒµoºæÅÇµo§µÃÇ¨ÊoºeÊÁo ( ´Âe©¾Òaื oe§o¹ä¢·ÕèÇÒ Ê§·oÂÀÒÂã¹ ื èièÕèÙ log µo§ÁÒ¡¡ÇÒÈ¹ÂeÊÁo) Ù

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 332 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a22log (2x 1) log (x 3)2− + + =ãªÊÁºµ¢o§ ailog e»ÅÂ¹¼ÅºÇ¡¡ÅÒÂe»¹ ¼Å¤Ù³ Õèlog¹¹¤o a èื2log [(2x 1)(x 3)]2−+=ÂÒÂ°Ò¹ ¢o§ 2log ·Ò§«ÒÂ ä»Â¡¡íÒÅ§·Ò§¢ÇÒ a¨aä´ 2(2x 1)(x 3)24−+==¨Ò¡¹¹æ¨¡æ¨§æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oº a éaä´´§¹Õé a22x5x 70(2x 7)(x 1)0+−= → + −=¹¹¤o a èืx3.5=− ËÃo ื1æµ x3.5=− äÁä´ e¾ÃÒa¨a·ÒãËÀÒÂã¹ ílog e»¹Åº ÊÇ¹ x1= ¹¹¾ºÇÒãªä´ a é ´§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o a aéื{1} e·Ò¹¹ a éµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a393log (2x) log (x)log (x)+=·Ò°Ò¹ãËe»¹ ·é§ËÁ´ ä´´§¹Õé í 3aa33312log (2x)log (x)2log (x)+= ¹¹¤o a èื2333log (2x) log ( x)log (x )+= ãªÊÁºµ¢o§ ailog e»ÅÂ¹¼ÅºÇ¡¡ÅÒÂe»¹ ¼Å¤Ù³ Õèlog

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี333 ¨aä´ 233log(2x x)log(x )=°Ò¹eËÁo¹¡¹·§Êo§¢Ò§ ¨§µ´ ืa aéึalog ·§ä´ iéä´ÊÁ¡ÒÃe»¹ 22x xx =æ¡ÊÁ¡ÒÃ ´ÂÂ¡¡íÒÅ§Êo§·§Êo§¢Ò§ oaa é¨aä´ 344xx = ¹¹¤o a èื43x4x0−= æÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´e»¹ a 3x(x 4)0−=¹¹¤o a èืx0= ËÃo ืx4 =æµ x0= ãªäÁä´ (e¾ÃÒa¨a·ÒãËã¹ ¨·ÂÁÕ íolog 0) ÊÇ¹ x4 = ãªä´.. ´§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o a aéื{4} e·Ò¹¹ a éµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a9x2log xlog 93+= ÊÁÁµãË i9log xA= ÊÁ¡ÒÃ¨a¡ÅÒÂe»¹ 1A 2A3+=¨Ò¡¹¹¹Ò ¤Ù³ ( ´ÂÁÕe§èo¹ä¢ÇÒ a éíAoืA0 ≠) æÅÇ¨´ÃÙ»ä´´§¹Õé aa222A1 3A2A3A 1 0+=→−+=æÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´e»¹ a (2A 1)(A 1)0−−=´§¹¹ a aé12A= ËÃo ..æÊ´§ÇÒ ื1912log x= ËÃo ื1 (µÃÇ¨¤íÒµoºæÅÇ¾ºÇÒãªä´·§Êo§æºº) a é¨§ä´¤íÒµoºe»¹ ึ 1/2x93== ËÃo ื1x99==æÅae«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¡ç¤o ื{3,9}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 334 ËÁÒÂeËµu ¢o¹Õé oÂã¹ xÙ log æÅaÂ§e»¹°Ò¹¢o§ alog´ÇÂ ¨§µo§ÃaÇ§e§o¹ä¢e»¹¾ieÈÉ ¤o ËÒÁµ´Åº, ËÒÁึ aื èืxie»¹ , æÅa¡çÂ§ËÒÁe»¹ ´ÇÂ 0a1µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ a2432log log log (x2x)0+=¤oÂ ¶o´ ælog oo¡·Åaª¹ eÃièÁµ§æµË¹ÒÊ´ Õa éa é u¨aä´ 2032log log (x2x)41+==¨Ò¡¹¹ a é212log (x2x) 33+==æÅaÊ´·ÒÂ¤o uื23x2x 28+==(«è§ ãªã¹ ึ8log ä´oÂæÅÇ ¢o¹Õé¨§äÁµo§µÃÇ¨¤íÒµoº) Ùึ ¨§ä´ÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅ§Êo§´§¹.. ึ aaÕé2x2x 80+−=æÂ¡µÇ»Ãa¡oºä´e»¹ a (x4)(x 2)0+−=¹¹¤o a èืx4=− ËÃo ื2´§¹¹e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃ¹Õé¤o a aéื{4,2} − oÊÁ¡ÒÃ ãËãªÊÁºµ¢o§¿§¡ª¹e¾ièÁ/¿§¡ª¹Å´ ã¹ ai a a¡ÒÃ¡íÒ¨´°Ò¹ ´§¹.. aaÕéaalog Mlog NMN>↔> eÁèo ืa1> (¿§¡ª¹e¾ièÁ) aæÅa aalog Mlog NMN>↔< eÁèo ื0a1< <(¿§¡ª¹Å´) a

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี335 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃ a2log (x 3)4−<·Ò°Ò¹¢o§ ílog ãËe»¹ ·§Êo§¢Ò§ 2a éä´e»¹ 22log (x 3)log (16)−<eÁèo°Ò¹e·Ò¡¹æÅÇ¨§µ´ ·§ä´.. ืa ึalogiéo´Â·°Ò¹ÁÒ¡¡ÇÒ ¨§äÁµo§e»ÅÂ¹æ»Å§e¤Ãèo§ËÁÒÂ Õè1ึ Õèื¨aä´ x316−< .. «è§¡ç¤o ึืx19<æµã¹ ¨·ÂÁÕ¤íÒÇÒ ¨§ÁÕe§o¹ä¢ÇÒ ologึื èx30 −> ´ÇÂ (ÀÒÂã¹ µo§e»¹ºÇ¡eÊÁo) ¹¹¤o loga èืx3>o¹eµoÃe«¤ä´ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃe»¹ i (3,19]ËÁÒÂeËµu ÂÒÂ°Ò¹ä»½§¢ÇÒ·¹·æºº¹Õé¡çä´ aÕ42log (x3)4x32−→− <<æµµo§äÁÅÁÊ§e¡µ°Ò¹´ÇÂ ÇÒµo§¾Å¡e¤Ãèo§ËÁÒÂËÃoäÁ ืa iืืeª¹¶Òe»ÅÂ¹ ¨·Âe»¹ Õèo 1/2log (x 3)4−<¨aÂÒÂä´e»¹ ( )4 12x3 −> (¾Å¡e¤Ãèo§ËÁÒÂ´ÇÂ) iืµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃ a22log (2x 1) log (x 3)2− + + >ãªÊÁºµ¢o§ ailog e»ÅÂ¹¼ÅºÇ¡¡ÅÒÂe»¹ ¼Å¤Ù³ Õèlog¹¹¤o a èื2log [(2x 1)(x 3)]2−+>

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 336 ÂÒÂ°Ò¹ ¢o§ 2log ·Ò§«ÒÂ ä»Â¡¡íÒÅ§·Ò§¢ÇÒ a¨aä´ (2x 1)(x 3)4−+>¨Ò¡¹¹æ¨¡æ¨§æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oº a éaä´´§¹Õé a22x5x 70(2x 7)(x 1)0+−> → + −>¹¹¤o oÂã¹ªÇ§ a èืxÙ (, 3.5)(1, )−∞ −∪∞æµe§o¹ä¢¢o§ ã¹ ¨·Â¡ç¤o ืèlogo ื122x 1 0x−>→> æÅa x30x3+>→> −o¹eµoÃe«¤ä´ªÇ§¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃe»¹ i (1, )∞ e·Ò¹¹ a éËÁÒÂeËµu ¶Òe»ÅÂ¹ ¨·Âe»¹ Õèo 22log (2x 1) log (x 3)2− + + <eÁèoæ¡µÒÁ¢é¹µo¹æÅaæÂ¡µÇ»Ãa¡oºeÊÃç¨æÅÇ ¨aä´e«µืaa¤íÒµoºe»¹ªÇ§ ( 3.5,1) −æµeÁèo¹ÒÁÒo¹eµoÃe«¤¡ºe§o¹ä¢ ืíiaื è12x> æÅa x3>−¡ç¨aä´e«µ¤íÒµoº·æ·¨Ãi§ ¤o Õèื12(,1)µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡ÒÃ axxlog (2x 5)log (11 x)+− >ã¹¢o¹eÃÒäÁ·ÃÒº°Ò¹·æ¹¹o¹ ÇÒe»¹¿§¡ª¹e¾ièÁËÃoÅ´ ÕéÕè aื´§¹¹¨§µo§æÂ¡¡Ã³Õ¤i´·§Êo§æººãËª´e¨¹ a aéึ a éa

เพิ่มเติม บทท เอกซ์โพเนนเชยลและลอการิทึมี่ 1 ี337 ¡Ã³ÕæÃ¡ 0x1<< (¿§¡ª¹Å´) a¨aä´ 2x 511 xx2+−→ <<o¹eµoÃe«¤¡ºe§o¹ä¢ ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§e»´ iaื è (0,1)¡Ã³Õ·Êo§ Õèx1> (¿§¡ª¹e¾ièÁ) a¨aä´ 2x 511 xx2+−→ >>o¹eµoÃe«¤¡ºe§o¹ä¢ ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§ iaื è [2, )∞Â§ÁÕe§o¹ä¢¨Ò¡ ¨·Â¤oã¹ aื èo ืlog µo§ÁÒ¡¡ÇÒ ´ÇÂ 0¹¹¤o a èื522x 50x+>→> −æÅa 11 x0x11− > → <ÊÃu»e«µ¤íÒµoº¤o ื(0,1)[2,11)∪

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 338 (Ë¹ÒÇÒ§)

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .5 เทอม 1 บทที่ 2ฟงกชนตรโกณมิตัีิ1. ¶ÒãËæ¡¹ e»¹ xcosθ æÅaæ¡¹ e»¹ ysinθ¨aÊÒÁÒÃ¶ËÒ¤Ò¿§¡ª¹µÃÕo¡³Áiµi a(sin, cos, tan, cosec, sec, cot) ¢ §ÁuÁ µÒ§ ä´¨Ò¡Ç§¡ÅÁË¹è§oθæึË¹ÇÂ ´§ÃÙ» aθ e»¹ÁuÁ·Õè·Ò¡ºæ¡¹ o´ÂeÃièÁÇ´e»¹ ã¹æ¹Ç íaxa0 °+x(ªÕéä»·Ò§¢ÇÒ) æÅa¢¹Ò´ÁuÁe¾ièÁ¢é¹ã¹·È·Ç¹e¢çÁ¹ÒÌi¡Ò ึieÃÕÂ§ä»µÒÁÅÒ´º¤Ç ´Ã¹µ íao a0 ˚( , ) 1 0θ90˚( , ) 0 1180˚( , ) -1 045˚ (12,12) 60˚( , 1232) 30˚ (32, ) 1232 120˚(− 12,32) 225˚(12 −,12 −) 330 ˚(32,12 −) 221232 22 12O 270˚( , ) 0 1 -sinθcosθ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 340 ËÁÒÂeËµu ¨Ò¡Ç§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂ·ÒãË·ÃÒºÇÒ ึ èísinθæÅa cosθ ÁÕ¤Òä´µ§æµ ¶§ e·Ò¹¹ a é 1ึ1a éµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡Ç§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂã¹Ë¹Ò·æÅÇ a oึ èÕèe¹ §¨Ò¡·Õè¾i¡´¢ §ÁuÁ ื èoa o45° ÁÕ¤Ò y e»¹ 1/ 2¨aÊÃu»ä´ÇÒ sin 451/ 2°=e¹ §¨Ò¡·Õè¾i¡´¢ §ÁuÁ ื èoa o60° ÁÕ¤Ò x e»¹ 1/2¨aÊÃu»ä´ÇÒ cos 601/2°=¹ ¡¨Ò¡¹¹Â§ËÒ¤Ò¿§¡ª¹ (¨Ò¡¾i¡´ ) ä´ Õ¡ÁÒ¡ oa aé aax,yoeª¹ sin 901°= æÅa cos 900 °=sin 1203/2 °= æÅa cos 1201/2°= −sin 1800 °=æÅa cos 1801°= −sin 2251/ 2°= − æÅa cos 2251/ 2°= −sin 3301/2°= − æÅa cos 3303/2 °= ã¹¡ÒÃãª§Ò¹¨Ãi§ eÃÒ¨aµ §·ÃÒº¤Ò æÅa osincos¢ §ÁuÁ o30°, 45°, æÅa 60° ¡ ¹ æÅÇ ÒÈÂ¤ÇÒÁoo aÊÁÁÒµÃ¢ §Ç§¡ÅÁe¾è ªÇÂËÒ¤Ò æÅa oื osincos ¢ §ÁuÁ è¹ oo ืµÇ ÂÒ§ ÊÁÁµiÇÒµ §¡ÒÃËÒ¤Ò a o osin 150°..¾i¨ÒÃ³Ò·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ í150° ¾ºÇÒ Â·Õè¤Ò Ãa´ºo Ù yae´ÕÂÇ¡ºÁuÁ a30° ..´§¹¹ a aésin 150sin 301/2°=°=

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั341 ÊÇ¹¤Ò tan ËÒä´o´Â¹Ò ÁÒËÒÃ´ÇÂ ísincos(ËÃ ¤Ò¢ § ื ooy/x .. ËÃ e»¹¤Ò¤ÇÒÁª¹¢ §eÊ¹ÃÈÁÕ·ืo a oaÕè¼Ò¹¨´¹¹¹¹e §) ua a oéèµÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤Ò a otan ¢ §ÁuÁµ ä»¹Õé oo120°, 180°, 225° æÅa 270°¤Ò tan ËÒä´o´Â¹Ò ÁÒËÒÃ´ÇÂ ísincos´§¹¹ a aé3/2tan 12031/2°== −−°== − 0tan 1800 11/ 2tan 22511/ 2 −°==−tan 270° ËÒ¤ÒäÁä´ (e¾ÃÒaÊÇ¹e»¹ ) 02. »ÃaoÂª¹¢ §Ç§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂ oึ è ªÇÂã¹¡ÒÃËÒ¤Ò¿§¡ª¹¢ §ÁuÁ µÒ§ ä´§ÒÂ¢é¹ a oθæ ึæÅaÊÒÁÒÃ¶¢ÂÒÂ¿§¡ª¹ãËãª¡º ã´ ¡çä´ äÁÇÒ¨a a aθæ e¡i¹ 90° ËÃ e»¹¤Òµ´Åº¡çµÒÁ (ÁuÁµ´ÅºæÊ´§ÇÒÇ´ืo iiaµÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 342 µÇ ÂÒ§ ÊÁÁµiÇÒµ §¡ÒÃËÒ¤Ò a o ocos 480°..¾i¨ÒÃ³Ò·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ í480° «è§e»¹ÁuÁ·ä´¨Ò¡¡ÒÃึ ÕèËÁu¹ã¹Ç§¡ÅÁe¡i¹Ã ºä» ¾ºÇÒ Â·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ oo Ù í120°«è§ÁÕ¤Ò e»¹ ึx1/2−.. ´§¹¹ a aécos 4801/2°= −µÇ ÂÒ§ ÊÁÁµiÇÒµ §¡ÒÃËÒ¤Ò a o osin ( 60 ) − °..¾i¨ÒÃ³Ò·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ í60− ° «è§ËÁÒÂ¶§Ç´µÒÁe¢çÁึึa¹ÒÌi¡Ò (Å§ä»·Ò§¤Ç ´Ã¹µ·Õè ) e»¹¢¹Ò´ o a460°¾ºÇÒ Â·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ o Ù í300° «è§ÁÕ¤Ò e»¹ ึy3/2 −´§¹¹ a aésin ( 60 )3/2− °=−µÇ ÂÒ§ ÊÁÁµiÇÒµ §¡ÒÃËÒ¤Ò a o ocos ( 270 ) −°..¾i¨ÒÃ³Ò·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ í270−° «è§ËÁÒÂ¶§Ç´µÒÁe¢çÁึึa¹ÒÌi¡Òe»¹¢¹Ò´ 270°¾ºÇÒ Â·ÕèµÒæË¹§ÁuÁ o Ù í90° «è§ÁÕ¤Ò e»¹ ึx0´§¹¹ a aécos ( 270 )0−°=** ¡ÒÃËÒ¤Ò¿§¡ª¹¢ §ÁuÁµ´Åº ¹ÂÁãªÊÁºµi´§¹ a oiia aÕésin ()sin−θ = −θ æÅa cos ()cos−θ =θ(´§¹¹¨§ä´ÇÒ a aéึ tan ()tan−θ = −θ ´ÇÂ) µÇ ÂÒ§ a osin ( 60 )sin 603/2− °=− °=−æÅa cos ( 270 )cos 2700−°= ° =æÅa tan ( 300 )tan 300(3)3−° =−° =−−=

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั343 ªÇÂãËeË¹æ¹Ço¹Á¢ §¤Ò¿§¡ª¹ (ÁÕ¤ÒÁÒ¡¢é¹ËÃ ço aึืo¹ ÂÅ§) eÁè Âã¹µÒæË¹§µÒ§ oืoθo Ù í æµÇ ÂÒ§ a o¶Ò 0180°< θ <° ¨a¾ºÇÒ¶Ò¤Ò Â§ÁÒ¡¢é¹ ¤Ò¢ § θièึocosθ ¨a¹ ÂÅ§eÃè Â (¨Ò¡ ä»¶§ ) oืo æ1ึ- 1ËÃ ¡ÅÒÇÇÒ ã¹ªÇ§¹Õé¿§¡ª¹ ืo acosθ e»¹¿§¡ª¹Å´ a¶Ò 090 °< θ <° ¨a¾ºÇÒ¶Ò¤Ò Â§ÁÒ¡¢é¹ ¤Ò¢ § θièึosinθ ¨aÁÒ¡¢é¹eÃè Â (¨Ò¡ ä»¶§ ) ึืo æ0ึ1ËÃ ¡ÅÒÇÇÒ ã¹ªÇ§¹Õé¿§¡ª¹ ืo asinθ e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ a3. e ¡Å¡É³¢ §µÃÕo¡³Áiµi·ÕèÊÒ¤ ä´æ¡ o aoía ¨Ò¡Ç§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂ ึ è22sincos1θ+θ = eÊÁ .. oeÁè ¹Ò ืo í2sinθ ËÒÃ ¨aä´ 221cotcosec+θ = θËÃ ¶Ò¹Ò ื oí2cosθ ËÒÃ ¨aä´ 22tan1 sec θ+ =θµÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢ § a oo2222cos 24sec 42sin 24tan 42°+° +°−°e¹ §¨Ò¡ ื èo22sin 24cos 241°+°=æÅa 22sec 42tan 421°−° =´§¹¹¤íÒµ º¢ §¢ ¹Õé¤ a aéo o o oื11 2+=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 344 µÇ ÂÒ§ ¶Ò a osincosaθ−θ = æÅÇ ãËËÒ¤Ò¢ § osin cos θθ æÅa¤Ò¢ § oseccosecθ−θ¨Ò¡ sincosaθ−θ = Â¡¡íÒÅ§Ê §·§Ê §¢Ò§ a o a oéä´e»¹ 222sin2sin coscosaθ−θθ +θ =æµ 22sincos1θ+θ = eÊÁ o¨§ä´ÊÁ¡ÒÃ¡ÅÒÂe»¹ ึ 212sin cosa−θθ =´§¹¹ a aé21a sin cos2 −θθ =µ ÁÒ¾i¨ÒÃ³Ò o11seccoseccossinθ−θ =−θθ() 221a2sincosa2acos sin1 a−θ−θ=== θθ− o¤-¿§¡ª¹.. asincos (90)θ=°−θ¹ ¡¨Ò¡¹ÕéÂ§ÁÕ Õ¡Ê §¤Ù ¤ oa o o ืotancot (90)θ=°−θæÅa seccosec (90)θ=°−θ4. ¹ ¡¨Ò¡¡ÒÃÇ´ÁuÁã¹Ãaºº §ÈÒæÅÇ Â§ÁÕ Õ¡Ãaºº«è§oaoa oึÇ´¨Ò¡¤ÇÒÁÂÒÇeÊ¹Ã ºÇ§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂ eÃÕÂ¡ÇÒ aoึ èeÃe´ÕÂ¹ (rad) ¹¹¤ ÁuÁ¢¹Ò´ a oèื180° ¨ae·Âºä´Õe·Ò¡º eÃe´ÕÂ¹ aπ

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั345 ÁuÁ·ãª§Ò¹º Âä´æ¡ Õèo 360°¤i´e»¹2 πeÃe´ÕÂ¹.. 180°¤i´e»¹πeÃe´ÕÂ¹ 90°¤i´e»¹/2πeÃe´ÕÂ¹.. 60°¤i´e»¹/3πeÃe´ÕÂ¹ 45°¤i´e»¹/4πeÃe´ÕÂ¹.. 30°¤i´e»¹/6πeÃe´ÕÂ¹ ** ¡ÒÃæ»Å§¤ÒÃaËÇÒ§ÁuÁ §ÈÒ¡ºÁuÁeÃe´ÕÂ¹ ãªÇi¸e·ÂºoaÕÕº a aµäµÃÂÒ§ÈµÒÁ»¡µi iµÇ ÂÒ§ a o2 sin1= πæÅa 2 cos0 = π23 sin3/2 = π æÅa 23 cos1/2=− πsin0 =πæÅa cos1=−π54 sin1/ 2=− π æÅa 54 cos1/ 2=− π116 sin1/2=− π æÅa 116 cos3/2 = π0 π/2 πy 3 /2 ππ /3 x π /4π /62 /3 π3 /4 π5 /6 π7 /6 π5 /4 π4 /3 π5 /3 π7 /4 π11 /6π

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 346 Ë¹ÇÂeÃe´ÕÂ¹¹ e»¹¤Ò¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ Õé í(ËÁÒÂ¤ÇÒÁÇÒ 3.1416... =π) ¡ÒÃÇ´ÁuÁe»¹eÃe´ÕÂ¹ Á¡ÅaË¹ÇÂäÇ äÁµ §e¢ÕÂ¹aa o¡íÒ¡ºÇÒ arad ¡çä´.. ´§¹¹eÁè ¨a¡ÅÒÇ¶§ÁuÁã¹Ãaºº §ÈÒ a aéืoึo¨aµ §e¢ÕÂ¹e¤Ãè §ËÁÒÂ §ÈÒ¡íÒ¡ºäÇeÊÁ oืooaoµÇ ÂÒ§ a osin 301/2°= æµ sin 301/2≠e¾ÃÒa¤Ò (eÃe´ÕÂ¹) ÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ 30192π æµäÁ¶§ ึ10π æÊ´§ÇÒ Âã¹¤Ç ´Ã¹µ·Õè ..¤Ò Â Áµ´Åº o Ù o a4sinoi(ËÃ ÒÈÂe¤Ãè §¤íÒ¹Ç³¡ç¨a·ÃÒºÇÒ ืoo aืosin 300.98≈−) 5. ËÒ¡¢¹Ò´¢ §ÁuÁ·¨aËÒ¤Ò¿§¡ª¹µÃÕo¡³Áiµi¹¹ ÁÕ oÕè aa én π ËÃ ืon/2 π ä»ºÇ¡Åº Â eÃÒÊÒÁÒÃ¶¡íÒ¨´¤Ò¤§·o Ù aÕèeËÅÒ¹Õé·§ä´ãËeËÅ e¾ÕÂ§ÁuÁ ié ืoθ(o´Â¾i¨ÒÃ³Ò¨Ò¡ Ç§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂ) ึ èy x θθ + πθ -π θ -π/2θ + π/2

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั347 µÇ ÂÒ§ e¹ §¨Ò¡Ë¹§Ã º¢ §Ç§¡ÅÁ¤i´e»¹ÁuÁ a oื èoึ èo o2 π´§¹¹¶ÒÁÕ a aé2 π (ËÃ ¨Ò¹Ç¹¤Ù¢ § ) ºÇ¡Åº Â·ÕèÁuÁ ืo íoπo Ù ÊÒÁÒÃ¶Å´· ¹Å§ä´ o´ÂÁuÁ¨aÂ§¤§ ÂµÒæË¹§e´iÁ.. oao Ù í¤ ืosin(2 )sinθ±=θπ æÅa cos(2 )cosθ±=θπµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡Ç§¡ÅÁË¹§Ë¹ÇÂ ¨aä´ÇÒ a oึ è sin()sinθ±= −θπ æÅa cos()cosθ±= −θπsin(/2)cosθ±= ±θπ æÅa cos(/2)sinθ±=θπ∓µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a oo2sin ()2sin2cos (/2)sin−θθ== − θ+−θππæÅa¤Ò¢ § ocos (3)cos1sin (3 /2)cos+θ−θ== θ+−θππ ¢ Ê§e¡µ¤ eÁè µ´ÁuÁ o aืo o aืn π ¡ ¿§¡ª¹Â§¤§e»¹oo a aª e´iÁäÁe»ÅÂ¹ æµ¶Òµ´ÁuÁ ื èoÕè an/2 π ¡ ¿§¡ª¹¨aoo ae»ÅÂ¹ªè e»¹o¤¿§¡ª¹eÊÁ (ÊÇ¹e¤Ãè §ËÁÒÂºÇ¡ÅºãËÕèื o aoืo¾i¨ÒÃ³Ò¨Ò¡¤Ç ´Ã¹µ) o a6. ¡ÒÃ·ÃÒº¤Ò¿§¡ª¹¤ÒË¹§ ¨aÂ§äÁÊÒÁÒÃ¶ÊÃu»ä´ aึ èa·¹·ÕÇÒ ÂµÒæË¹§ã´ e¾ÃÒa¨aÁÕÊ §¤íÒµ º Âã¹¤¹aθo Ù íoo oÙ Åa¤Ç ´Ã¹µeÊÁ eÃÒµ §·ÃÒºe¾ièÁeµÁ´ÇÂÇÒ ¤Ò ¹o aooiθÕéoÂã¹¤Ç ´Ã¹µã´ Ù o a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 348 a a ¤ÇÒÁª¹=aa µÇ ÂÒ§ ¾i¨ÒÃ³Ò·ÕèÁuÁã¹ªÇ§ ¶§ a o0ึ2 π¶Ò sina θ= (o´Â·Õè ÁÕ¤Ò aÃaËÇÒ§ ¶§ ) ¨aÁÕÁuÁ - 1ึ1θ·ÕèÊ ´¤Å § Â µÒæË¹§ Â oo oÙ 2ío Ù ã¹«Õ¡«ÒÂ æÅa«Õ¡¢ÇÒ ·Ãa´º Õèa¤ÇÒÁÊ§e´ÕÂÇ¡¹ Ùaeª¹¶Ò sin3/2 θ= ¨aä´ÇÒ 3 θ=π ËÃ ืo23 θ=π¶Ò cosa θ= (o´Â·Õè ÁÕ¤Ò aÃaËÇÒ§ ¶§ ) ¨aÁÕÁuÁ - 1ึ1θ·ÕèÊ ´¤Å § Â µÒæË¹§ Â oo oÙ 2ío Ù ã¹«Õ¡º¹ æÅa«Õ¡ÅÒ§ ã¹æ¹Ç´iè§ e´ÕÂÇ¡¹ aeª¹¶Ò cos1/ 2θ= − ¨aä´ 34 θ=π ËÃ ืo54 θ=π¶Ò tana θ= ¨aÁÕÁuÁ · θÕèÊ ´¤Å § Â µÒæË¹§ Âã¹ oo oÙ 2ío Ù æ¹ÇeÊ¹¼Ò¹È¹Â¡ÅÒ§eÊ¹e´ÕÂÇ¡¹ Ùaeª¹¶Ò tan1/ 3θ= ¨aä´ 6 θ=π ËÃ ืo76 θ=π

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั349 ¶Òo¨·ÂäÁÃaº¤Ç ´Ã¹µ ¨aµ §µ º¤Ò·e»¹ä»ä´·é§ uo ao oÕèaÊ §¤Ò æµ¶Òo¨·ÂÃaºe¤Ãè §ËÁÒÂ¢ §¿§¡ª¹ è¹ÁÒãËo uืoo a oืe¾ièÁeµÁ eÃÒ¡ç¨ae¨Òa¨§¤Ç ´Ã¹µä´.. io a ÃÙ»Ç§¡ÅÁ¹e»¹¡ÒÃÊÃu» Õée¤Ãè §ËÁÒÂ e¾è ¤ÇÒÁ ืoืoÊa´Ç¡ã¹¡ÒÃËÒ¤íÒµ º o1 Q e»¹ºÇ¡·§ ¤Ò a é62 Q e©¾Òa æÅa sincosec ·e»¹ºÇ¡ Õè3 Q e©¾Òa tan æÅa cot ·e»¹ºÇ¡ Õè4 Q e©¾Òa cos æÅa sec ·e»¹ºÇ¡ ÕèµÇ ÂÒ§ a o¶Ò sin3/2 θ= ¨aä´ÇÒ 3 θ=π ËÃ ืo23 θ=πæµ¶Òo¨·ÂÃaºe¾ièÁeµÁÇÒ uicos0θ<¡ç¨aÊÃu»ä´ÇÒ 23 θ=π e·Ò¹¹ a é¶Ò tan1/ 3θ= ¨aä´ 6 θ=π ËÃ ืo76 θ=πæµ¶Òo¨·ÂÃaºe¾ièÁeµÁÇÒ uicosec0 θ>¡ç¨aÊÃu»ä´ÇÒ 6 θ=π e·Ò¹¹ a é sin + ALL + tan + cos +

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 350 7. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃµÃÕo¡³Áiµ ¤ÇÃe»ÅÂ¹·¡¿§¡ª¹ãËe»¹ iÕèu a sin ¡º acos ÅÇ¹ æÅa¶Ò¨Òe»¹ãËãªe ¡Å¡É³ æí o a22sincos1θ+θ = e»¹ÊÁ¡ÒÃªÇÂ ** ¶ÒãªÊÁ¡ÒÃ¹ÕéªÇÂæ¡ ¨aµ §µÃÇ¨Ê º¤íÒµ ºeÊÁ ooooe¾ÃÒaÁÕ¡ÒÃÂ¡¡íÒÅ§Ê §e § ¨Ò¹Ç¹¤íÒµ º·ä´ Ò¨¨ae¡i¹ a o oíoÕèo ¤íÒµ ººÒ§¤íÒµ º (o´Âe©¾Òa· Âº¹æ¡¹ ËÃooÕèo Ù xืoæ¡¹ ) Ò¨ãªäÁä´ ã¹¡Ã³Õ·ÊÁ¡ÒÃÁÕ¤íÒÇÒ yo Õètan, cosec, sec, cot e¾ÃÒa¤ÒeËÅÒ¹ÁÒ¨Ò¡¡ÒÃËÒÃ¡¹¢ § Õéa osin, cos µ §µÃÇ¨Ê º´ÇÂÇÒÁÕ¤íÒµ ºã´··ÒãËËÒ¤ÒoooÕèíeËÅÒ¹äÁä´ (¤ µÇÊÇ¹e»¹ ) ËÃ äÁ Õé ืo a0ืoµÇ ÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡ÒÃ a oo otan sintan0θθ + θ = ã¹ªÇ§ 02 θπ <<æ»Å§ÊÁ¡ÒÃãËe»¹ ¡º sinacos ÅÇ¹ ä´´§¹Õé asinsinsin0coscosθθ ⋅θ+ =θθ ¹Ò ícosθ ¤Ù³ ä´e»¹ 2sinsin0θ+θ =æÂ¡µÇ»Ãa¡ ºä´ ao(sin )(sin1)0θθ +=æÊ´§ÇÒ sin0 θ= ËÃ ืo- 1æµe¹ §¨Ò¡ã¹o¨·ÂÁÕ¿§¡ª¹ ืèo atan (¤ ÁÕ ืocos e»¹ÊÇ¹) ¨§·ÒãË ึísin1θ= − äÁä´ (e¾ÃÒa¨ae¡i´ cos0 θ=)

Pages:

t.kruyok004

รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Create your own flipbook

TOP SEARCH

business design fashion music health life sports home marketing children

รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Description: รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Read the Text Version

t.kruyok004

TOP SEARCH

RELATED PUBLICATIONS