รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 201 18. à ººÊÁ¡ÒÃeªi§eʹ㴠¨ e¢Õ¹ãËoÂã¹ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃaŒæ aŒ ‹ÙeÁ·Ãi¡«ä´ ã¹ÃÙ»  ŒAXB=eÃÕ¡ ÇÒ eÁ·Ãi¡«ÊÁ»Ã Ê·¸, e»¹eÁ·Ãi¡«µÇæ»Ã, A‹aa iiìXšaæÅ e»¹eÁ·Ãi¡«¤Ò¤§·Õè aBš ‹(æŠʧ·eÃÒµo§¡ÒÃËÒ¡ç¤oeÁ·Ãi¡« ) a ièÕèŒืXµaÇoÂÒ§ à ººÊÁ¡Òà ‹a4x2yz0xy35x 3y2z 1 0+ ⎧−=⎫ ⎪⎪ − ⎨= ⎬ ⎪⎪ −++=⎩⎭ ¨ æ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«ä´ÇÒ aš Œ ‹421 x011 0y353 2z1− ⎤⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦«è§¶Ò·´Åo§¤Ù³eÁ·Ãi¡«¡a¹æÅÇ ¨ ä´Êǹ»Ã ¡oº·ึ ŒŒaŒ ‹aÕèeËÁo¹¡aº ÊÁ¡Òôaé§e´iÁ¹aè¹eo§ ื319. à ººÊÁ¡ÒÃeªi§eʹ·ÕèÁըҹǹÊÁ¡ÒÃe·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹µaÇaŒí‹íæ»Ã¾o´Õ (¨ ä´ e»¹eÁ·Ãi¡«¨aµuÃaÊ) ÁÕÇi¸Õæ¡´a§¹Õé aŒAšŒ æ¡ÊÁ¡Òà ´ÂÇi¸Õo¹eÇoÃÊ •Œoi¨Ò¡ÊÁ¡Òà AXB= ÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹1XA B −=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 202 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œax2y5−= æÅ a3x2y1+=− ´ÂÇi¸Õo¹eÇoÃÊ oiæ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«ä´e»¹ š Œ š12x532y1− ⎤⎡⎡ ⎤⎡⎤ =⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥−⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦¹¹¤o aèื1x125y3 21−− ⎤⎡⎤⎡⎡⎤=⋅ ⎢⎥⎢⎥⎢−⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦12 25131128⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤=⋅= ⎢ ⎥−⎢⎥ ⎢ −⎥ −⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦´a§¹¹¤íÒµoºä´æ¡ aéŒ ‹x1= æÅ ay2=−µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œa2x 3y z3++= , x2y z1++= , x4y2−+= −o´ÂÇi¸Õo¹eÇoÃÊ iæ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«ä´ š Œ23 1x312 1y114 0z2⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ =⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥−− ⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦¹¹¤o aèื1x2 3 13y1 2 11z1 4 02−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥ =⎢ ⎥ ⋅ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−− ⎣⎦⎣⎦⎣⎦

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 203 441321111105611 121− ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⋅==− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−−−⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ´a§¹¹¤íÒµoºä´æ¡ aéŒ ‹x2=, y0= æÅ az1=− æ¡ÊÁ¡Òà ´Â¡®¢o§¤ÃÒeÁoà •Œo¤Ò¢o§µÇæ»Ã ‹aiidet(A )xdet(A) =(eÁèo ¤o¹íÒ ÁÒæ·¹ËÅa¡·Õè ¢o§ ) ืi AืBiAµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œax2y5−= æÅ a3x2y1+=− ´Ç¡®¢o§¤ÃÒeÁoà Œæ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«ä´e»¹ š Œ š12x532y1− ⎤⎡⎡ ⎤⎡⎤ =⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥−⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦´a§¹¹ aé5212x8 81123 2−−=÷= ÷ =−æÅ a1512y( 16) 82313 2−=÷= −÷= −−(ã¹·Ò§»¯iºaµ eÁèo¤íÒ¹Ç³ä´¤Ò æÅÇ¡çÊÒÁÒö¹íÒä»iืŒ ‹xŒæ·¹¤Òã¹ÊÁ¡ÒÃã¹ ¨·Â e¾èoãË·ÃÒº¤Ò ) ‹o ืŒ‹y

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 204 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œa2x 3y z3++= , x2y z1++= , x4y2−+= −´Ç¡®¢o§¤ÃÒeÁoà Œæ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡«ä´ š Œ23 1x312 1y114 0z2⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ =⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥−− ⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦´a§¹¹ aé33 12 3 1x12 11 2 124 01 4 0=÷ −−( 10) ( 5)2=−÷ −=¨Ò¡¹¹¹Òä»æ·¹¤Òã¹ÊÁ¡Ò÷Õè ¨ ä´ aéí‹3aŒy0=æÅ ¹Ò¤Ò æÅ ä»æ·¹ã¹ÊÁ¡ÒÃo¹ ¨ ä´ a í‹xayื èaŒz1=−20. ÊÃu»Å¡É³ ¢o§Ã ººÊÁ¡ÒÃeªi§eʹ ´Â·Çä» aaaŒoaè¶ÒeÁ·Ãi¡«ÊÁ»Ã Ê·¸iì e»¹¨aµuÃaÊ Œaa iAš(¨Ò¹Ç¹µÇæ»Ãe·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹ÊÁ¡ÒÃ) ía‹í eÁèoeÁ·Ãi¡« e»¹eÁ·Ãi¡«äÁeo¡°Ò¹ (• ืAš ‹det äÁe»¹ ‹ š0) ÂoÁÁÕo¹eÇoÃÊ æÅ ¨ ÁÕ¤íÒµoº ª´µÒÁ»¡µi ‹ia a1u(´a§·ä´È¡ÉÒã¹ËÇ¢o·æÅÇ) ÕèŒ ึaŒÕèŒ

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 205 eÁèoeÁ·Ãi¡« e»¹eÁ·Ãi¡«eo¡°Ò¹ (• ืAšdet e»¹ ) š0 (¡Ã³Õ·Õè ) ¾ººÒ§ÊÁ¡Ò÷Õè¢a´æ§¡a¹ ¤oÊÁ»Ã Ê·¸1Œืaa iiìeËÁo¹¡a¹ 浤Ҥ§·ã¹½§¢ÇҡźÁÕ¤ÒµÒ§¡a¹.. ¡Ã³Õ¹ื‹ ‹Õ蘛a‹ ‹Õéà ººÊÁ¡Òè äÁÁÕ¤íÒµoº aa‹ (¡Ã³Õ·Õè ) ¾ººÒ§ÊÁ¡Ò÷Õè«éíÒ¡a¹ ¨ ÊÒÁÒöµa´2aÊÁ¡Ò÷§ä»ä´ ·Òã˨ҹǹÊÁ¡ÒÃŴŧeËÅo¹o¡ÇÒiéŒíŒíื Œ‹¨Ò¹Ç¹µÇæ»Ã.. ¡Ã³Õ¹Õé¨ ÁÕ¤íÒµoºä´ËÅÒª´ ¹ºäÁ¶Ç¹ íaaŒua‹ Œ(«è§¨ ä´æÊ´§Çi¸Õ¤i´ã¹ËÇ¢o¶a´ä») ึaŒaŒµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œa2x 3y z3++= , x2y z1 2x 4y 2z++= , 5++=¾ºÇÒÊÁ¡Ò÷Õè æÅ ¹¹¢a´æ§¡a¹ (¶Ò·ÒÊÁ»Ã Ê·¸‹2a3a錌íaa iiìãËe·Ò¡a¹æÅǹÒÁÒź¡a¹ ¨ e¡i´ÊÁ¡Ò÷e»¹e·¨¢é¹ ¤o Œ ‹ŒíaÕèšçึื03 =) ´a§¹¹Ã ººÊÁ¡ÒùäÁÁÕ¤íÒµoº aéaÕ鋵aÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œa2x 3y z3++= , x2y z1 2x 4y 2z++= , 2++=¾ºÇÒÊÁ¡Ò÷Õè æÅ e»¹ÊÁ¡ÒÃe´ÕÂÇ¡a¹ (e¾Õ§测2a3š‹¤Ù³´Ç e·Ò¹¹) ´a§¹¹Ã ººÊÁ¡ÒùŴeËÅoe¾Õ§ Œ2‹aéaéaÕéื2ÊÁ¡Òà «è§¨ ä´æÊ´§Çi¸Õ¤i´ã¹ËÇ¢o¶a´ä» ึaŒaŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 206 ËÁÒÂe˵u eÁ·Ãi¡«ÊÁ»Ã Ê·¸¢o§Ã ººÊÁ¡ÒÃã¹ aa iiìaµÇoÂÒ§ ¢o¹Õé ¤o a‹2Œื23 112124 2⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ «è§ÁÕ¤Ò ึ‹det e»¹ š021. ÊÃu»Å¡É³ ¢o§Ã ººÊÁ¡ÒÃeªi§eʹ aaaŒ¶ÒeÁ·Ãi¡«ÊÁ»Ã Ê·¸iì äÁe»¹¨aµuÃaÊ Œaa iA‹ š(¨Ò¹Ç¹µÇæ»ÃäÁe·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹ÊÁ¡ÒÃ) ía‹ ‹íµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡Ã ººÊÁ¡Òà ‹a2x 3y z3++= æÅ ax2y z1++=à ººÊÁ¡ÒùÕéÁÕo ÊÁ¡Òà æµÁÕ¶§ µÇæ»Ã aÙ ‹2‹ ึ3a¶Òæ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡« ¨ ä´ ŒšaŒx 23 13y 1211z⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤⎢⎥ =⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦ ⎣⎦¨ e˹ä´ÇÒeÁ·Ãi¡«ÊÁ»Ã Ê·¸äÁe»¹¨aµuÃaÊ açŒ ‹aa iiì‹ šµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡Ã ººÊÁ¡Òà ‹a2x 3y z3++= , x2y z1++= , x4y2−+= −, æÅ ax3y 3z5+−=à ººÊÁ¡ÒùÕéÁÕo ÊÁ¡Òà æµÁÕe¾Õ§ µÇæ»Ã aÙ ‹4‹3a

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 207 ¶Òæ»Å§e»¹ÊÁ¡ÒÃeÁ·Ãi¡« Œš¨ ä´ aŒ23 13x12 11y14 02z1335⎡⎤⎡ ⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ =⎢⎥⎢ ⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦ −⎣⎦⎣ ⎦¡ç¨ e˹ä´ÇÒeÁ·Ãi¡«ÊÁ»Ã Ê·¸äÁe»¹¨aµuÃaÊ açŒ ‹aa iiì‹ š ¶Ò¨Ò¹Ç¹ÊÁ¡Òùo¡ÇҨҹǹµÇæ»Ã ¨ ÁÕ¤íÒµoº• ŒíŒ‹íaaä´ËÅÒª´¹ºäÁ¶Ç¹ æµËÒ¡ÁÕºÒ§ÊÁ¡Òâa´æ§¡a¹ ¨ ·íҌua‹ Œ‹ŒaãËäÁÁÕ¤íÒµoº (eª¹e´ÕÂÇ¡aº·ä´o¸ºÒÂäÇã¹¢o·æÅÇ) Œ ‹‹ÕèŒiŒŒÕ茵aÇoÂÒ§ (¨Ò¡µÇoÂÒ§ã¹ËÇ¢o·æÅÇ) ‹a‹aŒÕèŒãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà Œa2x 3y z3++= æÅ ax2y z1++=eÁèo¹ÒÊo§ÊÁ¡ÒÃź¡a¹ ¨ ä´¼Åe»¹ ืíaŒšxy2+ =«è§¶ÒãË ึ ŒŒxc= (¤Ò¤§·ã´ ¤Ò˹§) ‹Õèæ‹ึ èÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹y2 c =− eÊÁo æÅ eÁèo¹Ò¤Ò ¡aº ¹ä»æ·¹ã¹ÊÁ¡ÒÃã´ ã¹ ¨·Â aืí‹xyÕéæo¨ ä´¼Åe»¹ aŒšzc 3 =− eÊÁo ´a§¹¹¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡ÒùÕéÁÕo¹ºäÁ¶Ç¹ ã¹Ãٻ溺 aéaÙ ‹a‹ Œ(x,y,z) (c, 2 c, c 3)=−− eÁèo e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ืcšíæ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 208 ..eª¹ ‹(x,y,z) (1,1, 2)=− ¡çä´, ŒËÃo ื(x,y,z) (3, 1,0)=− ¡çä´, ŒËÃo ื(x, y, z) ( 1/2, 5/2, 7/2)=−− ¡çä´, ÏÅÏ ŒËÁÒÂe˵u Ãٻ溺¢o§¤íÒµoºoÒ¨e¢Õ¹浡µÒ§ä»¨Ò¡¹ä´‹ÕéŒo¡ ¢é¹o¡aºÇÒeÃÒ¨ºµÇæ»ÃµÇã´ãËe»¹ ÕึÙ ‹‹aaaŒ šc..¹¹¤oÊÒÁÒöµoºã¹ÃÙ» aèื(x,y,z) (2 c, c, c 1)=− −−¡aºÃÙ» (x,y,z) (c 3, c 1, c)=+−− ä´´Ç «è§¡çÅǹŒ ŒึŒ¶Ù¡µo§·¡Ãٻ溺 ŒuµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œa+++=x2y z t3 æÅ a ++−=2x 4y 4z t0eÁèo·ÒãËÊÁ»Ã Ê·¸¢o§ e·Ò¡a¹ æÅ ¹ÒÊÁ¡ÒÃź¡a¹ ืíŒaa iiìx‹a í¨ ä´¼Åe»¹ aŒš2z 3t6−+ =«è§¶ÒãË ึ ŒŒzc= (¤Ò¤§·ã´ ¤Ò˹§) ‹Õèæ‹ึ èÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹t(2/3)c2=+ eÊÁo æÅ eÁèo¹Ò¤Ò ¡aº ¹ä»æ·¹ã¹ÊÁ¡ÒÃã´ ã¹ ¨·Â aืí‹ztÕéæo¨ ä´¼Åe»¹ aŒš+=− +x2y( 5/3)c 1 eÊÁo «è§¶ÒãË ึ ŒŒyk= (¤Ò¤§·ã´ ¤Ò˹§) ‹Õèæ‹ึ èÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹=−+ −x( 5/3)c 1 2k eÊÁo

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 209 ´a§¹¹¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡ÒùÕéÁÕo¹ºäÁ¶Ç¹ ã¹Ãٻ溺 aéaÙ ‹a‹ Œ=−+ −+(x, y, z, t)(( 5/3)c 1 2k, k, c,(2/3)c 2) eÁèo ืc æÅ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ µÒÁµo§¡Òà akšíæŒËÁÒÂe˵u Ãٻ溺¢o§¤íÒµoºoÒ¨e¢Õ¹浡µÒ§ä»¨Ò¡¹ä´‹ÕéŒËÅÒÂ溺 ¢é¹o¡aºÇÒeÃÒ¨ºµÇæ»ÃµÇã´ãËe»¹ ËÃo ึÙ ‹‹aaaŒ šcืk ¶Ò¨Ò¹Ç¹ÊÁ¡ÒÃÁÒ¡¡ÇҨҹǹµÇæ»Ã (æÁÇÒ¨ µa´• Œí‹íaŒ ‹aÊÁ¡Ò÷eËÁo¹¡a¹·§ä»æÅÇ¡çµÒÁ) ÕèืiéŒ (¡Ã³Õ·Õè ) eÁèo¤íÒµoº·ä´¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃã´ ·ÕèÁըҹǹ1ืÕèŒæíe·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹µÇæ»Ã¹¹ ã˼Åe»¹¨Ãi§¡aºÊÁ¡Ò÷eËÅo‹íaa錚Õèื´Ç ¨ ÁÕ¤íÒµoº ª´ Œa1u (¡Ã³Õ·Õè ) eÁèo¤íÒµoº·ä´¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃã´ ·ÕèÁըҹǹ2ืÕèŒæíe·Ò¡aº¨Ò¹Ç¹µÇæ»Ã¹¹ ¢a´æ§¡aºÊÁ¡Ò÷eËÅo ¨ äÁÁՋíaaéŒÕèืa‹¤íÒµoº µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡Ã ººÊÁ¡Òà ‹a2x 3y z3++= , x2y z1++= , x4y2−+= −, æÅ ax3y 3z5+−=¶Ò¹ÒÊÒÁÊÁ¡ÒÃæá令íҹdzËÒ¤íÒµoº ( ´ÂÇi¸ã´ ¡çŒíoÕæµÒÁ eª¹o¹eÇoÃÊ, ¡®¢o§¤ÃÒeÁoÃ, ´íÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç) ‹ii¨ ä´¤íÒµoº ª´ ¤o aŒ1uืx2=, y0= æÅ az1=−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 210 «è§eÁèoæ·¹¤Òŧã¹ÊÁ¡Ò÷ÕèÊæÅǾºÇÒÊÁ¡Òáçe»¹¨Ãi§ึ ื‹Õ茋š´Ç ´a§¹¹Ã ººÊÁ¡ÒùÕéÁÕ¤íÒµoºe»¹ Œaéašx2=, y0=æÅ az1=−(浶Òe»Å¹ ¨·Â ãËÊÁ¡Ò÷ÕèÊe»¹ ‹ ŒÕèoŒÕèšx3y 3z4+−=à ººÊÁ¡ÒùÕé¨ äÁÁÕ¤íÒµoº e¾ÃÒ ¤Ò aa‹a ‹x, y, z ·ä´¨Ò¡ÕèŒÊÒÁÊÁ¡ÒÃæá äÁä´Êo´¤Åo§¡aºÊÁ¡Ò÷ÕèÊÕè´ÇÂ) ‹ ŒŒŒ22. ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç i¤o¡Òáà ·Ò¡aºeÁ·Ãi¡«ã¹ šɳ ´a§µo仹Õé ืa í3aa‹ ¹Ò¤Ò¤§·Õè (·äÁ㪠) 令ٳäÇæ¶Çã´æ¶Ç˹§ •í‹kÕè‹ ‹0Œึ è(e¢Õ¹¡íÒ¡aºäÇ´ÇÂÃٻ溺 Œ Œc kR) ¹Ò¤Ò¤§·Õè 令ٳæ¶Çã´æ¶Ç˹§ æÅÇeoÒ仺ǡäǕí‹kึ 茌·æ¶Ço¹ (e¢Õ¹¡íÒ¡aºäÇ´ÇÂÃٻ溺 Õèื èŒ ŒcbRk R+) Êźæ¶Ç¡a¹ (e¢Õ¹¡íÒ¡aºäÇ´ÇÂÃٻ溺 •aŒ Œbc R) o´Â¨ ãªe¤Ãèo§ËÁÒ aŒ ื∼ æ·¹¡ÒôíÒe¹¹¡ÒÃæµÅi‹a¢aé¹µo¹ æÅ e¢Õ¹Çi¸·ãª´íÒe¹¹¡Òà ¡íÒ¡aºäÇ·¡¢aé¹µo¹ aÕÕèŒiŒu(¨ e¢Õ¹äÇãµe¤Ãèo§ËÁÒ aŒ Œื∼ ËÃoe¢Õ¹äÇ´Ò¹Ëŧ ืŒ ŒaeÁ·Ãi¡«·e»Å¹æ»Å§ä»æÅÇ¡çä´) ÕèÕ茌

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 211 µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´eÁ·Ãi¡« ‹14221 0034− ⎤⎡ ⎢⎥ −⎢⎥ ⎣⎦¶Ò¹Ò 令ٳäÇæ¶Ç·Õè ¨ e¢Õ¹䴴a§¹Õé Œí- 2Œ3aŒ3 (2)R1421 4221 021 0034068−−− ⎤⎡ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−− ⎢⎥⎢⎥ −−⎣⎦⎣⎦ ∼¨Ò¡¹¹ ¶Ò¹Òæ¶Ç·Õè 仺ǡäÇ·Õèæ¶Ç·Õè ¨ e¢Õ¹䴴a§¹Õé aéŒí1Œ2aŒ+−− ⎤⎡ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−− ⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦ ∼21RR14214221 03 32068068¨Ò¡¹¹ ¶Ò¹Ò ¤Ù³æ¶Ç·Õè æÅÇ仺ǡäÇ·Õèæ¶Ç·Õè ¨aéŒí31ŒŒ3ae¢Õ¹䴴a§¹Õé Œ+−− ⎤⎡ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−− ⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦ ∼31R3R1421 423323 320683 614¨Ò¡¹¹ ¶ÒÊź·Õèà ËÇÒ§æ¶Ç·Õè æÅ ¨ e¢Õ¹䴴a§¹Õé aéŒaa‹2a3aŒ−− ⎤⎡ ⎡⎤⎢⎥ ⎢ −⎥ − ⎢⎥⎢⎥−− ⎣⎦⎣⎦ ∼23 R1421423323 6143614332

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 212 23. ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç ¹Òä»ãª»Ã ª¹ã¹¡ÒÃËÒiíŒaoo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ i1(A )− æÅ æ¡Ã ººÊÁ¡ÒÃeªi§eʹä´.. aŒaŒŒ ¡ÒÃËÒoi¹eÇoÃÊ¡Òäٳ •1AA −⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ ∼ II¾ÂÒÂÒÁËÒ¡Ã ºÇ¹¡Ò÷e»Å¹æ»Å§ ¨¹¡ÅÒÂe»¹ aÕèÕèAšIæÅÇ¡Ã ºÇ¹¡ÒÃe´ÕÂÇ¡a¹¹¹¨ ·Ò ãË¡ÅÒÂe»¹ Œaaéa íIŒš1 A − ä´ Œ** e·¤¹¤¡Ò÷ÒãËe»¹ ´ÂeÃçÇ·ÕèÊ´¤o ·ÒãˤÒe»¹ iíŒ šIouืíŒ ‹ š0 ·§ËÁ´·ÕÅ ÊÒÁeËÅÂÁ (ÅÒ§ËÃoº¹) aéaÕè‹ืµaÇoÂÒ§ ãËËÒo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§ ‹Œi42 A83⎡⎤ =⎢⎥−⎣⎦o´ÂoÒÈ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç ai42 1 0A83 0 1⎡⎤ ⎡⎤ =⎣⎦ ⎢⎥ −⎣⎦ I21R2R42 1 007 2 1+⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼2 1 R742100 1 2/7 1/7⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼−−⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼12R2R4 0 3/72/70 1 2/7 1/7

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 213 −⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼11R41 0 3/281/140 1 2/71/7-1A⎡⎤ =⎣⎦ IæÊ´§ÇÒ ‹−−⎡⎤ =⎢⎥ ⎣⎦ 13/281/14A2/71/7µaÇoÂÒ§ ãËËÒo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§ ‹Œi23 263003 1−⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥−⎣⎦o´ÂoÒÈ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç ai1232 RRRR23 21008021 1 0630 0 1 06 3 0 0 1 003 10 0 16 0 10 11 ++⎡⎤ ⎡⎤ −⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ −⎣⎦ ⎣⎦ ∼13R2R40011 26 300 1060 1 0 11−⎡ ⎤− − −⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼12(1/4)R(1/3)R1 0 01/4 1/4 1/221001/3060 1011−⎡⎤ −⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 214 2131R2R R6R10 01/4 1/4 1/201 0 1/21/6100 1 3/21/22−−⎡⎤ −⎢⎥ −−⎢⎥ −−⎣⎦ ∼æÊ´§ÇÒo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¤o ‹iื1/4 1/4 1/21/21/613/21/22− ⎡⎤ ⎢⎥ −−⎢⎥ −−⎣⎦ ¡ÒÃæ¡Ã ººÊÁ¡Òà •ŒaABX⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ∼I¾ÂÒÂÒÁËÒ¡Ã ºÇ¹¡Ò÷e»Å¹æ»Å§ ¨¹¡ÅÒÂe»¹ aÕèÕèAšIæÅÇ¡Ã ºÇ¹¡ÒÃe´ÕÂÇ¡a¹¹¹¨ ·Ò ãË¡ÅÒÂe»¹ ä´ Œaaéa íBŒšXŒµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§Ã ººÊÁ¡Òà ‹Œaxy z10++ =, 3x z13+=, 2x y z9+−=o´ÂoÒÈ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç ai3121RR RR11 1101 1 1 1030 1 1321 0 321193 2 0 19 +−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ −⎢⎥⎢⎥ −⎣⎦⎣⎦ ∼32R2R111 1021 0 3700 25 +⎡⎤ ⎢⎥ −⎢⎥ ⎣⎦ ∼

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 215 3 (1/7)R111 1021 0310 0 25/7⎡⎤ ⎢⎥ −⎢⎥ ⎣⎦ ∼13 R1 0 0 25/721 0311 1 10⎡⎤ ⎢⎥ −⎢⎥ ⎣⎦ ∼2131R2RRR1 0 0 25/701 029/70 1 1 45/7−−⎡⎤ ⎢⎥ −−⎢⎥ ⎣⎦ ∼322RRR1 0 0 25/70 1 0 29/700 1 16/7+−⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ∼´a§¹¹ aéx25/7=, y29/7=, æÅ az16/7=24. ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁæ¶Ç·§ÊÒÁ溺 ʧ¼Åµo¤Ò d t ia鋋 ‹e´a§¹.. (¡ÒôíÒe¹¹¡ÒõÒÁËÅ¡ ¡çã˼Åeª¹e´ÕÂÇ¡a¹ ÕéiaŒ‹e¹o§¨Ò¡ÊÁºaµi ื ètdet(A )det(A)=) ¶Ò¹Ò¤Ò¤§·Õè (·äÁ㪠) 令ٳæ¶Çã´æ¶Ç˹§.. • Œí‹kÕè‹ ‹0ึ è¨ ä´ aŒdetk det =⋅e¡Ò ‹ãËÁ‹(e»¹·ÁÒ¢o§ÊÁºaµi šÕèndet(kA)kdet(A)=⋅eÁèo ¤o¨Ò¹Ç¹æ¶Ç¢o§ ) ืnืíA

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 216 ¶Ò¹Ò¤Ò¤§· k 令ٳæ¶Çã´æ¶Ç˹§ æÅÇeoÒ仺ǡ • Œí‹Õèึ èŒäÇ·æ¶Ço¹.. ¨ ä´ ŒÕèื èaŒdetdet =e¡Ò ‹ãËÁ‹(Çi¸Õ¹Õé det äÁe»Å¹ ¨§e»¹Çi¸Õ·ÕèªÇÂ㹡ÒÃËÒ ‹Õèึ š‹det ä´) Œ ¶ÒÊźæ¶Ç¡a¹ ¤Ãaé§.. ¨ ä´ • Œa1aŒdetdet=−e¡Ò ‹ãËÁ‹µaÇoÂÒ§ ¤Ò ‹‹4a 8b 4cd2efg2hi−− − e·Ò¡aº¡Õèe·Ò¢o§ ‹‹ab cde fgh iÊÁÁµiÇÒ¤Ò¢o§ ‹ ‹ab cde fkgh i=¶Ò¹Ò ¤Ù³ ¨ ä´ Œí4R 1aŒ4a 4b 4cdef4kghi=¨Ò¡¹¹¹Ò ¤Ù³ ¨ ä´ aéí- 1R 3aŒ4a 4b 4cdef4kghi=−−− −æÅ ¹Ò ¤Ù³ ¨ ä´e»¹ a í2C 2aŒ š4a 8b 4cd2ef8kg2hi=−−− −´a§¹¹¤íÒµoº¤o e·Ò aéื- 8‹

เพิ่มเติม บทท ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ี่ 1 217 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œab cAd e fgh i⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦ , dg f i e hB2a2c2bgih− ⎡−−⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦o´Â·Õè det(A)5= ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹det(B) e·Ò¡aºe·ÒäÃ? ‹‹e¹o§¨Ò¡ ื èab cdet(A)d e f5gh i== Êź ¨ ä´ aR 12aŒde fab c5gh i=−¨Ò¡¹¹Êź ¨ ä´ aéaC 23aŒdf eac b( 5)5gi h=− −=µoÁÒ ¹Ò ¤Ù³ ä´e»¹ ‹í2R 2Œ šdfe2a 2c 2b2(5)10gih==æÅ Ê´·Ò a uŒR R1 -3 ä´e»¹ Œ šdg f i e h2a2c2b10gih−−− =´a§¹¹¤íÒµoº¤o aéืdet(B) 10=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 218 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .4 เทอม 2 บทที่ 2ฟงกชัน1. ¨Ò¡··ÃÒºæÅÇÇÒ¶Ò e»¹ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» ÕèŒ ‹ Œrš “aAB ” ¨ µo§µÃ§µÒÁe§o¹ä¢ÇÒ a Œื è‹r DA ⊂ æÅ ar RB⊂æµÊÒËÃaº¿§¡ª¹ ¨ ÁÕe§o¹ä¢·æµ¡µÒ§¡a¹oo¡ä»´a§¹ ‹í˜ aaื èÕè‹Õé ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» (• “ ˜ aAB ”f: AB>) ¤o¿§¡ª¹«è§ ื ˜ aึf DA= æÅ af RB⊂ ¿§¡ª¹¨Ò¡ 价Ƕ§ (• “ ˜ aAaèึB ”onto f: AB>) ¤o¿§¡ª¹«è§ ื ˜ aึf DA= æÅ af RB= ¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§¨Ò¡ ä» (• “ ˜ aึ ‹èึ èAB ”11f: A−B>) ¤o¿§¡ª¹·Õè ื ˜ af DA= æÅ af RB⊂æÅ ÊÒËÃaº æµÅ µÇ ¨ ¤Ù¡aº e¾Õ§µÇe´ÕÂÇ´Ç a íy‹a aa ‹xaŒ ¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§¨Ò¡ 价Ƕ§ • “ ˜ aึ ‹èึ èAaèึB ”(11onto f: A−B>) ¤o¿§¡ª¹·Õè ื ˜ af DA= æÅ af RB=æÅ ÊÒËÃaº æµÅ µÇ ¨ ¤Ù¡aº e¾Õ§µÇe´ÕÂÇ´Ç a íy‹a aa ‹xaŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 220 0 1 2 a b 1 r0 1 2 3a b c d 2 rABABa b c 3 rAB0 1 2 30 1 2 3a b c d 5 rAB0 1 2a b c d 4 rABµaÇoÂÒ§ ‹ e»¹¿§¡ªa¹ e»¹¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» š ˜ š ˜ aAB e»¹¿§¡ª¹¨Ò¡ 价Ƕ§ š ˜ aAaèึB e»¹¿§¡ª¹ š ˜ a1-1 ¨Ò¡ ä» AB e»¹¿§¡ª¹ š ˜ a1-1 ¨Ò¡ 价Ƕ§ AaèึB

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 221 ** ¾i¨ÒóҨҡ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹ ¨ ·ÃÒºÇÒe»¹¿§¡ª¹ ˜ aa‹ š ˜ a1-1 ËÃoäÁ ´ÂÅÒ¡eʹæ¹Ç¹o¹æÅ ´ÙÇÒ ·Õè æµÅ ¤Ò ื‹oŒa‹y‹a ‹eʹ¹Õéµo§µ´¡ÃÒ¿äÁe¡i¹Ë¹§¨´ ¨§¶oÇÒe»¹¿§¡ª¹ ŒŒa‹ึ èuึ ื ‹ š ˜ a1-1µaÇoÂÒ§ ‹ äÁe»¹¿§¡ª¹ e»¹¿§¡ª¹ æµäÁe»¹ ‹ š ˜ aš ˜ a‹ ‹ š1-1 e»¹¿§¡ª¹ š ˜ a1-1y x O O y x y x O

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 222 2. ¨Ò¹Ç¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸æÅ ¨Ò¹Ç¹¿§¡ª¹ íaa í˜ a ¨Ò¹Ç¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» •íaAB ¡ç¤o¨Ò¹Ç¹Êºe«µ·§ËÁ´¢o§e«µ ืíaaéAB ×¹¹¤o aèืn(A)n(B)2⋅ 溺 ¨Ò¹Ç¹¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» •í˜ aAB¤o¨Ò¹Ç¹æºº·§ËÁ´·ÊÁÒª¡æµÅ µÇã¹ ´eÁ¹¨ eÅo¡ืíaéÕèi‹a aoaืeù¨ÁÒµÇÅ ¤Ò aa1‹(ÊÁÒªi¡ã¹ æµÅ µÇ¨º¤ÙÊÁÒª¡ã¹ ä´ A‹a aa‹iBŒn(B) 溺) ¨Ò¹Ç¹¿§¡ª¹¨§e·Ò¡aº¡Òäٳ í˜ aึ ‹n(B) e»¹¨Ò¹Ç¹ šín(A)¤Ãaé§.. ¹¹¤o aèืn(A)(n(B)) 溺 ¨Ò¹Ç¹¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§¨Ò¡ ä» •í˜ aึ ‹èึ èAB¹o¡¨Ò¡e§o¹ä¢¢o§¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ã¹¢o·æÅÇ ื è˜ aABŒÕèŒÂ§µo§e¾ièÁe§o¹ä¢ÇÒ ÊÁÒªi¡ã¹ µo§äÁ¶Ù¡eÅo¡«éíÒ aŒื è‹BŒ‹ื(æÊ´§ÇÒe»¹ä»ä´eÁèo ‹ šŒ ืn(B) äÁ¹o¡ÇÒ ‹ Œ‹n(A) e·Ò¹¹) ‹aéä´¤íÒµoºe»¹ Œšn(B) (n(B) 1) (n(B) 2) ...n(A) ⋅−⋅−⋅ µÇ a 溺 µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ ‹A{1,2,3} =, B{2,3} =, æÅ aC{ 3,0,2,5} =− ¨ ä´ aŒ

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 223 - ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» ÁÕo aABÙ ‹32264×= 溺 - ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ÀÒÂã¹ (æ»ÅÇÒ¨Ò¡ ä» ) aA‹AAÁÕo ٠‹332512×= 溺 - ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ÁÕo ˜ aABÙ ‹22 28××= 溺 æÅ äÁÁÕ¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§¨Ò¡ ä» a‹ ˜ aึ ‹èึ èAB (e¾ÃÒ ¨Ò¹Ç¹ÊÁÒª¡¢o§ ÁÒ¡¡ÇÒ¢o§ ) a íiA‹B- ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ÁÕo ˜ aBCÙ ‹4416× = 溺 æÅ ¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§¨Ò¡ ä» ÁÕo a˜ aึ ‹èึ èBCÙ ‹43 12×=溺 - ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ÁÕo ˜ aACÙ ‹44464××= 溺 æÅ ¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§¨Ò¡ ä» ÁÕo a˜ aึ ‹èึ èACÙ ‹43 224 ×× = 溺 ¨Ò¹Ç¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» «è§º§¤aºÇÒ ´eÁ¹•íaABึa‹oe·Ò¡aº (æ»ÅÇÒµo§ãªÊÁÒª¡¢o§ ãˤú·¡µÇ) ‹A‹ ŒŒiAŒuaÊÁÒª¡ã¹ ´eÁ¹µÇ˹§ ÊÒÁÒö¨º¤Ù¡aºÊÁÒª¡¢o§ ¡Õèioaึ èa‹iBµÇ¡çä´ (æµäÁ¨ºeÅÂäÁä´) ÊÁÒª¡µÇ¹Õ騧eÅo¡¤Ùä´ aŒ‹ ‹a‹ Œiaึ ื‹ Œn(B)21− 溺.. æµµo§ãªÊÁÒª¡·¡µÇã¹ ãˤú ¨§‹ ŒŒiuaAŒึe¡i´¡Òäٳ¡a¹ n(A) ¤Ãaé§ ..¹¹¤o aèืn(B)n(A)(21)− 溺 ¿§¡ª¹¨Ò¡ 价Ƕ§ • ˜ aAaèึB㪨ҹǹ溺·§ËÁ´ ź´Ç¨ҹǹ溺·äÁ·Ç¶§ ŒíaéŒíÕè‹aèึ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 224 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·æÅÇ ‹a‹ÕèŒA{1,2,3} =, B{2,3} =, æÅ aC{ 3,0,2,5} =−- ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» ÁÕo aABÙ ‹32264×= 溺 æµ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¨Ò¡ ä» «è§ÁÕ ´eÁ¹e»¹ ‹aABึošAÁÕe¾Õ§ 33327 ×× = 溺 - ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ÀÒÂã¹ ÁÕo aAÙ ‹332512×= 溺 æµ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ÀÒÂã¹ «è§ÁÕ ´eÁ¹e»¹ ÁÕe¾Õ§ ‹aAึošA777343××= 溺 - ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ÁÕ ˜ aCB22 2216×× × = 溺 æµ ¿§¡ª¹¨Ò¡ 价Ƕ§ ÁÕ ‹ ˜ aCaèึB16 214− = 溺 (źoo¡ 溺 ¤o溺·eù¨e»¹ Åǹ ¡aº Åǹ) 2ืÕè š2Œ3Œ** ·§ËÁ´¹äÁ¤Ç÷o§¨Ò e¾ÃÒ äÁãªÊµÃ.. ¶Ò ¨·Âe¾ièÁaéÕ鋋ía‹ ‹ÙŒoe§o¹ä¢ãËæ»Å¡ä» ¡ç¨ ·ÒãËÇi¸¡Òäi´e»Å¹ä»ä´ ื èŒa íŒÕÕ茵aÇoÂÒ§ ¶Ò ‹ŒA{0,1,2,3} =, B{ 2, 1,0,1,2}=− −- ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ´Â·Õè ˜ aAB of(x)x < (æ»ÅÇÒµÇËŧ ‹aa< µÇ˹Ò) ¨ ÁÕo aŒaÙ ‹3 455300×× ×= 溺 - ¿§¡ª¹¨Ò¡ ä» ´Â· ¶Ò äÁe»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò˜ aAB oÕèŒx‹ šíaæÅÇ Œf(x) µo§e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ŒšíaÁÕo ٠‹22 5 5100××× = 溺

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 225 3. ¤ÇÒÁËÁÒ¢o§¿§¡ª¹e¾ièÁ æÅ ¿§¡ª¹Å´ ˜ aa˜ aÊÒËÃaº·u¡ íæ12 x, x[a,b]∈¿§¡ª¹ ¨ e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ㹪ǧ ˜ afaš ˜ a‹[a,b] ¡çµoeÁèo ‹ ื¶Ò Œ21xx > æÅÇ Œ21 f(x ) f(x )>æÅ ¿§¡ª¹ e»¹¿§¡ª¹Å´ã¹ªÇ§ a˜ afš ˜ a‹[a,b] ¡çµoeÁèo ‹ ื¶Ò Œ21xx > æÅÇ Œ21 f(x ) f(x )<** ¡ÒÃe¢Õ¹¡ÃÒ¿¢o§¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÁÒ¡¡ÇÒ æÅ ËҪǧu‹2a‹·e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁËÃoÅ´ ¨ µo§¤i´ ´Â¡ÒÃËÒo¹u¾a¹¸ «è§Õèš ˜ aืa Œo ึ¨ ä´È¡ÉÒ¨Ò¡º·eÃÕ¹ æ¤Å¤ÙÅÊeºo§µ¹ ã¹Ã ´aº Á. aŒ ึ“aื éŒ ”a64. šɳ ¡ÒÃe¢Õ¹¿§¡ª¹ã¹ÃÙ» aa˜ ayf(x) = ¡çe¾èoãËãªืŒ Œ»Ã ª¹ã¹¡ÒÃæ¡¿§¡ª¹ ´a§eª¹ã¹µÇoÂÒ§ aoŒ ˜ a‹a‹µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x)2x 3=− ãËËÒ Œf(3x 1)−e¹o§¨Ò¡ ื èf( )2( ) 3Δ=Δ − eÊÁo ¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹f(3x 1)2(3x 1) 36x 5− = −− = −µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(3x 1)6x 5− = − ãËËÒ Œf(x)ãË ŒA3x 1=− ¹¹¤o aèืA1 x3 + =

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 226 ¨ ä´ÇÒÊÁ¡Òà aŒ ‹f(3x 1)6x 5− = − ¡ÅÒÂe»¹ šA1 f(A)6() 52A 33 +=− =−´a§¹¹ eÁèoæ·¹·ÕèµÇæ»Ã ´ÇµaÇæ»Ã aéืaAŒxÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹f(x)2x 3=− µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(3x 1)6x 5− = − ãËËÒ Œf(2)ãË Œ23x 1=− ä´eÅ ..¹¹¤o Œaèืx1=æ·¹¤Ò ‹x1= ŧã¹ÊÁ¡Òà f(3x 1)6x 5− = −¡ç¨ ä´¼Åe»¹ aŒšf(2)6(1) 51=−=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x)2x 3=−ãËËÒ Œf(3x 1)− ã¹ÃÙ»¢o§ f(x)ËÒ f(3x 1)2(3x 1) 36x 5− = −−= − ¡o¹ ‹¨Ò¡¹¹e»Å¹ e»¹ aéÕèxšf(x)o´ÂeÃÒ·ÃÒºÇÒ ‹f(x) 3f(x)2x 3x2+=−→ =¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹f(x) 3f(3x 1)6() 53f(x) 42+− =− = +

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 227 5. o¹eÇoÃÊ¢o§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ãªÊ šɳ iarŒ ­aa1 r −o´ÂÁÕ¹ÂÒÁÇÒ i‹1 r{(y,x)|(x,y) r }−=∈ ËÃo¡ÅÒÇÇÒ ื‹‹1 r − e¡i´¨Ò¡¡ÒÃÊź·ÊÁÒª¡µÇ˹ÒæÅaÕèiaŒaËŧ¢o§¤Ùo¹´aºã¹ ¹¹eo§ a‹araè(ËÃo¶Òe»¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸æººe§o¹ä¢ÊÁ¡Òà ¨ e¡i´¨Ò¡ื Œ šaื èa¡ÒÃÊźµÒæ˹§Ã ËÇÒ§µÇæ»Ã æÅ ) aí‹a‹axayµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œr{(3,7),(4,8),(5,9),(6,7)} =¨ ËÒo¹eÇoÃÊä´ ´ÂÊź·ÊÁÒª¡ÀÒÂã¹æµÅ ¤Ùo¹´aº aiŒoaÕèi‹a ‹a¹¹¤o aèื1 r{(7,3),(8,4),(9,5),(7,6)}−=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œr{(x,y) y2x 3}|== −¨ ËÒo¹eÇoÃÊä´ ´ÂÊź·ÕèµÇæ»Ãã¹ÊÁ¡Òà aiŒoaa¹¹¤o aèื1 r{(x,y) x2y 3}|−== −ËÃoÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃãËoÂã¹ÃÙ»¢o§ y ä´e»¹ ื ŒŒŒ ‹ÙŒ š13122r{(x,y) yx}|−== + ËÃooÒ¨e¢Õ¹e»¹ ืš1 r{(x,y) y0.5 x 1.5}|−==+ ËÁÒÂe˵u ¶ÒµoºÇÒ Œ‹1 r{(y,x) y2x 3}|−== −(Êź·Õè ¡aº ¡a¹ã¹Êǹ˹Ңo§e«µ) ¡çã˼ŷÕè¶Ù¡µo§axy‹ŒŒŒeª¹¡a¹ æµäÁ¹ÂÁæÅ äÁ¤Çáà ·Ò e¾ÃÒ ¨ ʺʹ䴧Ò ‹‹ ‹ia‹a ía aaŒ ‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 228 6. 1rr DR −= æÅ a1rr RD −= eÊÁo (ÊÒËÃaº¿§¡ª¹o¹eÇoÃÊ ¡çe»¹æºº¹eª¹¡a¹) í˜ aišÕ鋵aÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œr{(3,7),(4,8),(5,9),(6,7)} =ãËËÒ Œ1 r D − æÅ a1 r R −e¹o§¨Ò¡ ื è1rr DR −= ´a§¹¹ aé1 r D{7,8,9}−=æÅ e¹o§¨Ò¡ aื è1rr RD −= ´a§¹¹ aé1 r R{3,4,5,6}−=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œr{(x,y) yx 2 }|== − ãËËÒ Œ1 r R −¨Ò¡ÊÁ¡ÒþºÇÒ ‹x2> e·Ò¹¹ ‹aéæÅ e¹o§¨Ò¡ aื è1rr RD −= ´a§¹¹ aé1 r R[2, )−=∞7. ¿§¡ª¹¼¡¼¹ (ËÃo¿§¡ª¹o¹eÇoÃÊ) (˜ aaื ˜ ai1 f−) o¹eÇoÃÊ¢o§¿§¡ª¹ ¨ e»¹¿§¡ª¹ ¡çµoeÁèo e»¹i˜ afaš ˜ a‹ ืfš¿§¡ª¹Ë¹§µo˹§e·Ò¹¹ ˜ aึ ‹èึ ‹èaé

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 229 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf{(3,7),(4,8),(5,9),(6,7)} =(¿§¡ª¹¹äÁe»¹ ˜ aÕé‹ š1-1 e¾ÃÒ ÁÕ·§ aaé(3,7) æÅ a(6,7)) ÊÒÁÒöËÒoi¹eÇoÃÊä´ ´ÂÊź·ÊÁÒª¡ÀÒÂ㹤Ùo¹´aº ŒoaÕèi‹a¹¹¤o aèื1 f{(7,3),(8,4),(9,5),(7,6)}−=æµo¹eÇoÃÊ·ä´¹ äÁe»¹¿§¡ªa¹ ‹iÕèŒÕé‹ š ˜ (e¾ÃÒ ÁÕ·§ aaé(7,3) æÅ a(7,6)) »Ã ¤µo仹e»¹ËÅ¡·ãªªÇÂ㹡ÒÃæ¡¿§¡ª¹ •ao‹ÕéšaÕèŒ ‹Œ ˜ a“1f( ) −=Δ , ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂe´ÕÂÇ¡aº f( )Δ=, ”µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x)2x 3=− ãËËÒ Œ1f(x) −¨Ò¡ f(x)2x 3=− ÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹1f(2x 3)x−−=¨Ò¡¹¹ãªe·¤¹¤¡ÒÃæ¡¿§¡ª¹µÒÁe´iÁ aéŒiŒ ˜ ao´ÂãË ŒA2x 3=− ¹¹¤o aèืA3x2 + =æ·¹¤Òŧ㹠‹1f(2x 3)x−−=¨ ä´ aŒ1A3f (A)0.5 A 1.52−+==+´a§¹¹ aé1f(x)0.5x 1.5− =+ËÁÒÂe˵u oÒ¨ãªÇi¸ËÒo¹eÇoÃÊeËÁo¹ã¹eÃèo§ŒÕiืื¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ¤oÊźµÇæ»Ã ¡aº ¡a¹ ¡çä´ ´a§¹.. a ืaaxyŒÕé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 230 ãË Œf(x)y2x 3== − ¨ ä´o¹eÇoÃÊe»¹ aŒišx2y 3=− ËÃoÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃä´ÇÒ ื ŒŒŒ ‹y0.5x 1.5=+´a§¹¹ aé1f(x)0.5x 1.5− =+ µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x)2x 3=− ãËËÒ Œ1f(5) −¨Ò¡ f(x)2x 3=− ÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹1f(2x 3)x−−=ãË Œ2x 35−= ¹¹¤o aèืx4 =´a§¹¹ æ·¹¤Ò ´Ç ŧ㹠aé‹xŒ41f(2x 3)x−−=¨ ä´ aŒ1f(5)4−=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x 1)4x 3− = − ãËËÒ Œ1f(x) −¨Ò¡ f(x 1)4x 3− = − ÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹1f(4x 3)x 1−−=−¨Ò¡¹¹ãªe·¤¹¤¡ÒÃæ¡¿§¡ª¹µÒÁe´iÁ aéŒiŒ ˜ ao´ÂãË ŒA4x 3=− ¹¹¤o aèืA3x4 + =æ·¹¤Òŧ㹠‹1f(4x 3)x 1−−=−¨ ä´ aŒ1A3f (A)10.25 A0.254−+=−=−´a§¹¹ aé1f(x)0.25 x 0.25−=−

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 231 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x 1)4x 3− = − ãËËÒ Œ1f(5) −¨Ò¡ f(x 1)4x 3− = − ÂoÁä´ÇÒ ‹Œ ‹1f(4x 3)x 1−−=−ãË Œ4x 35−= ¹¹¤o aèืx2=´a§¹¹ æ·¹¤Ò ´Ç ŧ㹠aé‹xŒ21f(4x 3)x 1−−=−¨ ä´ aŒ1f(5) 1 −= ÊÁºµ¢o§oi¹eÇoÃÊ ¤o •aiื11(f )f− − =8. ¡ÃÒ¿¢o§ 1 r − (ËÃo ื1 f −) ÊÒÁÒö¤i´¨Ò¡¡ÃÒ¿¢o§ r (ËÃo ) ä´ ´Â¡ÒÃËÁu¹¾Å¡¡ÃÒ¿ ãªeʹµÃ§ ืfŒoiŒ Œyx =e»¹æ¡¹¡Åҧ㹡Òþš ši(¼Å·ä´¨ e¡i´¡ÒÃÊź·È¡a¹Ã ËÇҧ桹 ¡aºæ¡¹ ) ÕèŒaaia‹xyµaÇoÂÒ§ ¶ÒeÃÒ·ÃÒºÇÒ¡ÃÒ¿¢o§ e»¹´a§ÃÙ»«Ò ¨ ËҋŒ‹ršŒa¡ÃÒ¿¢o§ 1 r − 䴼Ŵa§ÃÙ»¢ÇÒ ŒO y x y x r เสนตรง้r-1 (-3,-1) (-1,-3) y =x

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 232 µaÇoÂÒ§ ¶Ò¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ r ‹ŒaÁÕ¡ÃÒ¿e»¹´a§ÃÙ» ãËËÒ¢¹Ò´ šŒ¾é¹·¢o§¡ÃÒ¿ ืÕè1rr − ∩ËÒ¡ÃÒ¿¢o§ 1 r − ä´´a§ÃÙ» Œ¨§ä´¡ÃÒ¿ ึ Œ1rr − ∩ e»¹´a§ÃÙ» š¾é¹·e·Ò¡aº ã¹ ¢o§Ç§¡ÅÁ ืÕè‹14 219(3)44== ππ µÒÃҧ˹Ç ‹ËÁÒÂe˵u ¶Òµo§¡Òþ鹷Õè Œ Œื1rr − ∪ ¨ ä´ÃÙ»e»¹ ã¹ aŒš34 ¢o§Ç§¡ÅÁ ¹¹¤o¤íÒµoºe·Ò¡aº aèื‹274π µÒÃҧ˹Ç ‹O y x r 3 -3 O y x 3 -3 O y x r 3 -3 r-1 O y x 3 3

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 233 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABC f g 9. ¿§¡ª¹»Ã ¡oº (ËÃo¿§¡ª¹¤oÁ ¾Ê·) “ ˜ aa”ื ˜ aoi¤o¿§¡ª¹¢o§¿§¡ª¹ eª¹ ื ˜ a˜ a‹g(f(x)) ¨ e¢Õ¹淹´ÇÂaŒÊ šɳ a­ a(g f)(x)D ¿§¡ª¹ • ˜ agf D ¨ ËÒä´¡çeÁèo ÁÕÊÁÒª¡ºÒ§Êǹ¢o§ aŒืi‹f R ¡aº ÃÇÁ¡a¹ g D‹µaÇoÂÒ§ ãË æÅ e»¹¿§¡ª¹«è§ ‹Œfagš ˜ aึf{(0,3),(1,4),(2,6)} = æÅ ag{(3,7),(4,8),(5,9),(6,7)} =æÅ µo§¡ÒÃËÒ a Œgf D ¨ e¢Õ¹漹ÀҾ䴴a§¹Õé aŒ¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾ ¾ºÇÒÊÒÁÒöËÒ ‹gf D ä´ e¹o§¨Ò¡ÁՌ ืèÊÁÒª¡ºÒ§Êǹ¢o§ ¡aº i‹f Rg D ÃÇÁ¡a¹ (¤o ‹ื3, 4, 6) ¨ ä´ aŒg(f(0))g(3)7== , g(f(1))g(4)8== , æÅ ag(f(2))g(6)7==ËÃoe¢Õ¹e»¹ ืš(g f)(0)7=D, (g f)(1)8=D, æÅ a(g f)(2)7=DËÃoÊÃu»ÇÒ ื‹g f{(0,7),(1,8),(2,7)} = D ¹¹eo§ aè

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 234 ËÁÒÂe˵u äÁ¨Òe»¹µo§e¢Õ¹漹ÀÒ¾¡çä´ ã¹µÇoÂÒ§¹‹íš ŒŒa‹ÕéæÊ´§äÇe¾èoãËe¡i´¤ÇÒÁe¢Ò㨷Õ誴e¨¹Â§¢é¹e·Ò¹¹ Œ ืŒŒaièึ‹aéµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œf(x)2x 3=− æÅ ag(x)3x 4=+ãËËÒ Œ(g f)(x)D¨Ò¡ (g f)(x)g(f(x))g(2x 3)==−D¨§ä´¤íÒµoºe»¹ ึ Œš3(2x 3) 46x 5−+ = −µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ(g f)(x)6x 5=−D æÅ ag(x)3x 4=+ãËËÒ Œf(x)¨Ò¡ (g f)(x)g(f(x))3(f(x)) 4==+Dæµ ¨·Â¡íÒ˹´ ‹o(g f)(x)6x 5=−D´a§¹¹ aé3(f(x)) 46x 5+ = −ÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃä´¤íÒµoºe»¹ ŒŒŒšf(x)2x 3=−µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ(g f)(x)6x 5=−D æÅ ag(x)3x 4=+ãËËÒ¤Ò¢o§ Œ‹f(2)¨Ò¡ (g f)(2)g(f(2))3(f(2)) 4==+Dæµ ‹(g f)(2)6(2) 57=−=D ´Ç Œ´a§¹¹ aé3(f(2)) 47+ =ÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃä´¤íÒµoºe»¹ ŒŒŒšf(2)1=

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 235 µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ(g f)(x)6x 5=−D æÅ af(x)2x 3=−ãËËÒ Œg(x)¨Ò¡ (g f)(x)g(f(x))g(2x 3)==−Dæµ ¨·Â¡íÒ˹´ ‹o(g f)(x)6x 5=−D´a§¹¹ aég(2x 3)6x 5−= −ãªe·¤¹¤¡ÒÃæ¡¿§¡ª¹µÒÁe´iÁ (¤oãË ŒiŒ ˜ aืŒA2x 3=− ) ¨ ä´¼Åe»¹ aŒšg(x)3x 4=+µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ(g f)(x)6x 5=−D æÅ af(x)2x 3=−ãËËÒ Œg(1)¨Ò¡ (g f)(x)g(f(x))6x 5==− Dµo§¡Òà Œg(1) ¨§ãË ึ Œf(x) 1=«è§¨ ä´ ึaŒ2x 3 1x2−=→=æ·¹¤Ò ´Ç ŧ㹠‹xŒ2(g f)(x)g(f(x))6x 5==− D¨§ä´¤íÒµoºe»¹ ึ Œš(g f)(2)g(1)6(2) 57==−=D

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 236 10. ÊÁºaµi·e¡ÕèÂÇ¡aºo¹eÇoÃÊæÅ ¿§¡ª¹»Ã ¡oº Õèia˜ aa¤o ื111(f g)gf−−− =DD µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ3(g f)(x)x7=−DæÅ af(3x 1)x 2+ =− ãËËÒ¤Ò¢o§ Œ‹1(f g) ( 2)−−D¨Ò¡ÊÁºaµ ¨ ä´ iaŒ111(f g) ( 2) (gf )( 2)−− − −=−DD ¹¹¤oeÃÒµo§¡ÒÃËÒ¤Ò aèืŒ‹11(g (f ( 2)) −− −¨Ò¡ f(3x 1)x 2+ =− ¨ ä´ aŒ1f(x 2)3x 1− −= +eÁèoæ·¹¤Ò ´Ç ¡ç¨ ä´ ื‹xŒ0aŒ1f( 2)3(0) 11− − = + =æÊ´§ÇÒ ¤Ò·eÃÒµo§¡Òäo ‹‹ÕèŒื111(g (f ( 2))(g (1))−−−−=¨Ò¡ 3(g f)(x)g(f(x))x7==− D¨ ä´ aŒ13g(x7)f(x)− −=eÁèoæ·¹¤Ò ´Ç ¡ç¨ ä´ ื‹xŒ2aŒ1g(1)f(2)−=æÊ´§ÇÒ ¤Ò·eÃÒµo§¡Òäo ‹‹ÕèŒืf(2)¨Ò¡ f(3x 1)x 2+ =−eÁèoæ·¹¤Ò ´Ç ¡ç¨ ä´ ื‹xŒ13aŒ5133f(2)2= − =−´a§¹¹¤íÒµoº·Õèµo§¡ÒÃ.. aéŒ153(f g) ( 2)− −=−D

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 237 11. ¶Ò ŒfgRD⊂ ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹goffDD=æµ¶Ò ‹ ŒfgRD⊄ ¨ ä´ÇÒ aŒ ‹goffDD⊂ e·Ò¹¹ ‹aé Ëš㹡ÒÃËÒ ´eÁ¹æÅ eù¨¢o§ •aoa(g f)(x)D ÁÕ´a§¹ Õé(1) e¢Õ¹ ¢o§ gf(x) (ã˵´e»¹¤íÒÇÒ Œiš‹f(x) äÇ¡o¹ Âa§Œ ‹äÁµo§ãÊ Å§ä») æÅ ¨Ò¡¹¹.. ‹ Œ‹xaaé(2) ¶ÒËÒ Œgof D ã˾i¨ÒÃ³Ò Œg(f(x)) ·eÃÒe¢Õ¹ ÇÒÕè‹Ãٻ溺ÊÁ¡ÒùÕé f(x) ÊÒÁÒöe»¹¤Òe·Òã´ä´ºÒ§ æÅǨ§š ‹ ‹Œ ŒŒ ึ¹Ò¢oºe¢µ·ä´¹ÕéÂo¹ä»¤i´e»¹¤Ò («è§¡ç¤o ´eÁ¹) íÕèŒ Œš ‹xึืo(3) ¶ÒËÒ Œgof R ãËËÒeù¨¢o§¿§¡ª¹ ¡o¹ (ÇÒ Œ˜ af‹‹f(x)e»¹e·Òã´ä´ºÒ§) æÅǹÒÁÒãÊŧ㹠š‹Œ ŒŒí‹g(f(x)) ·e¢Õ¹äÇ ÕèŒe¾èoãË·ÃÒº¢oºe¢µ·e»¹ä»ä´¢o§¤Ò ืŒÕ蚌‹g(f(x)) («è§¡ç¤oึืeù¨) µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ ‹21g(x)1x =−æÅ a2f(x)4 x=− ãËËÒe«µ Œgof D æÅ agof ReÃièÁµ¹ e¢Õ¹ Œ21(g f)(x)1f(x) =−D ¡o¹ ‹ËÒ ´eÁ¹ ¾i¨ÒóÒe§o¹ä¢ ÁÕÃÙ·æÅ e»¹µÇÊǹ´Ç o;ื èŒaša‹Œ´a§¹¹ aé21f(x)0−>桵ǻà ¡oºæÅÇe¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ ¨ ä´ aaŒŒíaŒ1f(x) 1 −<<

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 238 ¨Ò¡¹¹¨§æ·¹ ŧä»ä´ÇÒ aéึxŒ ‹214 x1−<−<¹¹¤o aèื204 x1−< < e·Ò¹¹ ‹aé¹Ò ä»Åº æÅ ¤Ù³´Ç ¨ ä´e»¹ í4aŒ- 1aŒ š23x4<<´a§¹¹ ¤Ò ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´ ¨ oÂã¹ aé‹xÕ蚌aéaÙ ‹gof D[ 2,3) ( 3,2] =− −∪ËÒeù¨ eÃièÁ¨Ò¡ËÒeù¨¢o§ ;f(x) «è§oÒ¨Áo§ä´´a§¹Õé ึŒ¨Ò¡ 2xx0∈→ >R eÊÁo ´a§¹¹ aé24x4−< .. æÅ ¨ ä´ a aŒ204 x2−<<æÊ´§ÇÒ ‹f(x) ÁÕ¤Ò㹪ǧ ‹‹[0,2] ¨Ò¡¹¹¨§¹Ò¢oºe¢µ¢o§¤Ò ¹ä»ãÊŧ㹠µo aéึí‹fÕé‹g‹ä´e»¹ Œ š20f(x)20f(x)4→<<<<¹¹¤o aèื231 f(x)1−−<<´a§¹¹ aé201 f(x)1−<<æÅ ´a§¹¹.. aaé2111f(x)<∞−<æÊ´§ÇÒ ‹gof R[1, )=∞

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 239 ** äÁ¤Çäi´ ´ÂËÒ ‹ogf D oo¡ÁÒ¡o¹æÅǨ§ËÒ ´eÁ¹‹Œ ึoæÅ eù¨ e¾ÃÒ ¤íÒµoº·ä´oÒ¨¼´ e¹o§¨Ò¡ÁÕºÒ§¢aé¹µo¹aaÕèŒiื è·Õè·ÒãËe§o¹ä¢¢o§ ´eÁ¹æÅ eù¨ËÒÂä» íŒ ืèoaµaÇoÂÒ§ ÊÁÁµiÇÒ ‹‹2g(x)x6=+ æÅ a2f(x)3 x=− µo§¡ÒÃËÒ Œgof DËÒ¡¤i´ ´ÂËÒ ogf D ¡o¹ ‹¨ e»¹ aš()22(g f)(x)3 x6=−+D223x69 x=−+=−ÊÁÁµiÇÒËÒ ´eÁ¹¨Ò¡e§o¹ä¢ ‹oื è29x0−>¨ ä´¤íÒµoº¤o aŒืx[ 3,3]∈− æµe»¹¤íÒµoº·Õè¼´! ‹ šieª¹ eÁèoeÃÒ¾i¨ÒÃ³Ò¤Ò ‹ื‹(g f)(2)D ¨ ¾ºÇÒ a‹f(2) ¹aé¹äÁ¹ÂÒÁ.. ¿§¡ª¹ ‹i˜ agf D ¨§äÁ¤ÇÃÁÕ oÂã¹ ´eÁ¹ ึ ‹2Ù ‹oÊÒe˵u·Õè¤íÒµoº¼´¡çe¾ÃÒ ã¹¡ÒÃËÒ iagf D ¹¹ ÁÕ¢aé¹µo¹aé·e¤Ãèo§ËÁÒÂÃÙ·¶Ù¡Â¡¡íÒŧÊo§ãËËÒÂä» e§o¹ä¢¢o§ ÕèืŒaŒื èxÀÒÂã¹e¤Ãèo§ËÁÒÂÃÙ·o¹¹ ¨§ËÒÂä»´Ç ืŒaÕéึŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 240 12. ¾Õª¤³iµ¢o§¿§¡ª¹ ÁÕ¹ÂÒÁÇÒ ˜ ai‹(f g)(x)f(x) g(x)∗=∗o´Âe¤Ãèo§ËÁÒ ËÁÒ¤ÇÒÁ¶§ ื∗ึ,, ,+− × ÷µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ1xf(x)x2−=− æÅ a(f g)(x)x 2= +DãËËÒ Œ(f g)(2)+ æÅ a(fg)(2)ËÒ f(2) ´ÂeÃÒ·ÃÒºÇÒ o‹x f()xx2=−ãË Œx2x2= − ¨ ä´ aŒx4 =æ·¹¤Òŧä»ä´e»¹ ‹Œ šf(2)4 =µoÁÒËÒ ‹g(2) ¨Ò¡ = + (f g)(x)x2Dæ·¹ ´Ç ¨ ä´ xŒ2aŒf(g(2))4 =¹¹¤o aèื1f(4)g(2)−= (µÒÁËÅ¡¡Òâo§oi¹eÇoÃÊ) a´a§¹¹ aé4g(2)2 42==−ÊÃu»¤íÒµoº¤o ื(fg)(2)f(2) g(2)426+=+=+=æÅ a(fg)(2)f(2) g(2)4 28=⋅=⋅=

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชันี่ 2 241 13. ´eÁ¹¢o§¿§¡ª¹¾Õª¤³iµÃ ËÇÒ§ æÅ o˜ aa‹fagµo§¤i´¨Ò¡ ŒfgfgDDD∗=∩ e·Ò¹¹ ‹aéo´Âe¤Ãèo§ËÁÒ ËÁÒ¤ÇÒÁ¶§ ื∗ึ,, ,+− × ÷(«è§ã¹¡Ã³ÕËÒà ¨ µo§ÁÕe§o¹ä¢ÇÒ ึa Œื è‹g(x)0 ≠ ´ÇÂ) ŒµaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œx3 f(x)x1 − =+ æÅ a22x3x 2g(x)x9++ =−ãËËÒ Œfg De¹o§¨Ò¡ ื èf D{1}=−R æÅ ag D{3, 3}=−− R´a§¹¹ aéfgfgDDD{1,3, 3}=∩ =− − R** äÁ¤Çäi´ ´ÂËÒ oo¡ÁÒ¡o¹ e¾ÃÒ e§o¹ä¢oÒ¨‹ofg‹a ื èË¡ÅÒ§¡a¹ËÒÂä»ä´ .. eª¹ã¹µÇoÂÒ§¹ aŒŒ‹a‹Õé22x3x 2x3x 2(fg)(x)x1x9x 3++−+ =⋅ =+−+ ¶Ò¤i´eª¹¹Õé¨ ä´ ´eÁ¹e»¹ Œ‹a o Œš{3} −−R e·Ò¹¹ «è§¼´! ‹aéึiËÁÒÂe˵u ã¹µÇoÂÒ§¹Õé¶Òµo§¡ÒÃËÒ a‹Œ Œfg D + ¡aº fg D − ¡çä´¤íÒµoºeËÁo¹¡aº Œืfg D.. 浶ҵo§¡Òà ‹ Œ Œf/g D ¨ ÁÕae§o¹ä¢e¾ièÁeµÁÇÒ ื èi‹g(x)0 ≠ ´ÇÂ.. ¹¹¤o Œaèืx1, 2≠− −´a§¹¹ aéf/g D{1,3, 3, 1, 2}=− −−−R

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 242 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

O y x Q 1 (+,+) Q 2 ( ,+) -Q 3 ( , ) - -Q 4 (+, ) -คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .4 เทอม 2 บทที่ 3เรขาคณิตวิเคราะห1. Ãaºº¾i¡´©Ò¡ »Ãa¡oº´ÇÂ桹 桹·Õ赧©Ò¡¡¹ aŒ2a éa³ ¨´¡íÒe¹´ (¨´ ) eÃÕ¡ªèo桹¹o¹æÅa桹µ§ ÇÒuiuOืa é‹æ¡¹ æÅa桹 µÒÁÅÒ´º xyía 桹·§Êo§¹Õéµ´¡¹ •a éa a溧¾é¹·ã¹Ãa¹Òº ‹ ืÕèxyoo¡e»¹ Êǹ eÃÕ¡ š4‹æµÅaÊǹÇÒ¨µÀÒ¤ ‹‹‹u(ËÃo¤Ço´Ã¹µ) ´§ÃÙ» ืaa2. ¡ÒÃoÒ§¶§¾i¡´ã¹Ãaºº¾i¡´©Ò¡ ¨ae¢Õ¹ã¹ÃÙ»¤ÙŒึaa‹o¹´º a a(x,y) ÊÁÒªi¡µÇæá淹ÃaÂaã¹·È +x æÅaµÇaiaËŧ淹ÃaÂaã¹·È +y ai ¡ÒÃe¢Õ¹ªèo¨´¹ÂÁ㪵Ço¡ÉÃãË eª¹ ¨´ ¨´ •ืuiŒa a­ ‹‹uP,uQ æÅaoÒ¨e¢Õ¹¡íÒ¡º´Ç¤Ùo¹´º ã¹ÃÙ» aŒ‹a aP(x, y)µÇoÂÒ§ a‹P (2,4) ãªæ·¹¨´ «è§o·Õè¾i¡´ ŒuPึÙ ‹a(2,4)æÅa Q(a,0) ãªæ·¹¨´ «è§o·Õè¾i¡´ ŒuQึÙ ‹a(a,0) æÊ´§Çҋ¨´¹oº¹æ¡¹ æÅaÁÕÃaÂaµ´æ¡¹e·Ò¡º uÕéÙ ‹xa‹aa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 244 P (x ,y ) 11Q (x ,y ) 22P (x ,y ) 11Q (x ,y ) 221212xxyyR(,)22++3. ÃaÂaËÒ§ÃaËÇÒ§¨´ ¡º ãªÊ šɳ ‹‹uPaQŒ ­a aPQ222121PQ(xx )(yy )=−+−µÇoÂÒ§ ÃaÂaÃaËÇÒ§¨´ a‹‹uP(2,1) æÅa Q(5,5)e·Ò¡º ‹a22PQ(5 2)(5 1)=−+− 22345=+= ˹Ç ‹µÇoÂÒ§ ÃaÂaÃaËÇÒ§¨´ a‹‹uA(2, 1)- æÅa B( 3,4)-e·Ò¡º ‹a22AB(3 2)(4 (1))=−− +−−22555 27.07=+= ≈ ˹Ç ‹4. ¨´¡è§¡ÅÒ§ÃaËÇÒ§Êo§¨´ã´ uึ‹uæ

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์245 P (x ,y ) 11Q (x ,y ) 221212mx nxmynyR(,)mnm n++ ++ m n ¨´·æº§ÃaÂaËÒ§e»¹oµÃÒÊǹ •uÕ苋ša‹m :nµÇoÂÒ§ ¨´¡è§¡ÅÒ§ÃaËÇÒ§¨´ a‹uึ‹uP(2,1) æÅa Q(5,5)¨aÁÕ¾i¡´e»¹ aš25 1 57222(,)( ,3)(3.5,3)++ == æÅa¨´ ·Õè·íÒãË uRŒPR : RQ2 : 3 =¨aÁÕ¾i¡´e»¹ aš3(2) 2(5) 3(1) 2(5)16 13553232(,)(,)++ ++ =(3.2,2.6)=µÇoÂÒ§ eÁèo¡íÒ˹´ a‹ืA(2, 1)- æÅa B( 3,4)-¨aä´ÇÒ.. Œ ‹¨´¡è§¡ÅÒ§¢o§ uึAB (ËÃo¨´«è§æº§ ืuึ‹AB e»¹Êo§Êǹ š‹ã¹oµÃÒÊǹ a‹1 : 1 )ÁÕ¾i¡´e»¹ aš233141222 2(,)(, )( 0.5,1.5)−−+=−= −æÅa¨´«è§æº§ uึ‹AB e»¹Êo§Êǹ ã¹oµÃÒÊǹ š‹a‹1 : 2 ¤o ื2(2) 1( 3) 2( 1) 1(4)1221213 3(,)( , )+−− +++ =

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 246 P (x ,y ) 11Q (x ,y ) 22C R (x ,y ) 335. ¨´µ´¢o§eʹÁ¸Â°Ò¹¢o§ÊÒÁeËÅÂÁ uaŒaÕè(ËÃoeÃÕ¡ÇÒ ¨´e«¹·Ão´ ) ื‹ “u” eʹÁ¸Â°Ò¹ ¤oeʹµÃ§·eªoÁ¨´Âo´¨´Ë¹§ ¡º¨u´• Œaื ŒÕèื èuuึ èa¡è§¡ÅÒ§¢o§´Ò¹µÃ§¢ÒÁ (äÁ¨Òe»¹µo§µ§©Ò¡) ึŒŒ‹íš Œa é¾i¡´¢o§¨´µ´ã¹ÃÙ»¤o auaื123123xxxyyyC (,)33++ ++µÇoÂÒ§ eÁèo¡íÒ˹´ÊÒÁeËÅÂÁ a‹ืÕèABC «è§ÁÕ¨´Âo´o·Õè ึuÙ ‹A(2, 1), B( 3,4),-- æÅa C(7,0) ¨aä´¨´µ´¢o§eʹÁ¸Â°Ò¹¢o§ÊÒÁeËÅÂÁÃÙ»¹ ÁÕ¾i¡´e»¹ ŒuaŒaÕèÕéaš2371 4 033D(,)(2,1)−+− + += ¨´µ´¢o§eʹÁ¸Â°Ò¹ ¨aÁÕe¾Õ§¨´e´ÕÂÇeÊÁo æÅa¨a•uaŒau溧eʹÁ¸Â°Ò¹æµÅaeʹoo¡e»¹oµÃÒÊǹ ‹ Œa‹Œša‹1 : 2 eÊÁo

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์247 P (x ,y ) 11Q (x ,y ) 22θ µÇoÂÒ§ ã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ ¨´¡è§¡ÅÒ§¢o§ a‹a‹ÕèŒuึAB ¤o ืE( 0.5,1.5)- ´§¹¹eʹÁ¸Â°Ò¹eʹ˹§ÂoÁÁÕ¨´»ÅÒÂa aéŒaŒึ ‹èue»¹ šE( 0.5,1.5)- ¡º aC(7,0) ¨´µ´¢o§eʹÁ¸Â°Ò¹ «è§¤íҹdzäÇæÅǤo uaŒaึŒ Œ ืD (2,1)ÃaÂa 22DE(2.5)(0.5)6.52.55=+=≈ÃaÂa 22DC(5)(1)265.10=+=≈¨ae˹ä´ÇÒ¨´µ´¹æº§eʹÁ¸Â°Ò¹e»¹oµÃÒÊǹ çŒ ‹uaÕé‹ Œaša‹1 :26. ¹ÂÁµ§ªèo eʹµÃ§ ´ÇÂo¡Éà eª¹ eʹµÃ§ , ia éื “ Œ” ŒaL‹Œ1 LeʹµÃ§ æÅa Êǹ¢o§eʹµÃ§ ·eªoÁÃaËÇÒ§¨´ Œ2 L“ ‹Œ”Õèื è‹uP¡º ¨ae¢Õ¹淹´ÇÂÊ Å¡É³ aQŒa a­PQ7. ¤ÇÒÁª¹ a(m) ¢o§eʹµÃ§ ··ÃÒº¨´¼Ò¹Êo§¨´ ŒÕèu‹u2121yymtanxx −=θ = − eʹµÃ§Êo§eʹ¢¹Ò¹¡¹¡çµoeÁèo ÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡¹ • ŒŒa‹ ืa‹a eʹµÃ§Êo§eʹµ§©Ò¡¡¹¡çµoeÁèo ¤ÇÒÁª¹¤Ù³¡¹• ŒŒa éa‹ ืaaä´e·Ò¡º Œ ‹a- 1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 248 m P (x ,y ) 11µÇoÂÒ§ ¤ÇÒÁª¹¢o§eʹµÃ§·¼Ò¹¨´ a‹aŒÕè‹uP(2,1) æÅa Q(5,5) e·Ò¡º ‹aPQ514523m−−==´§¹¹eʹµÃ§·¢¹Ò¹¡º a aéŒÕèaPQ ¨aÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹a43æÅaeʹµÃ§·Õ赧©Ò¡¡º Œa éaPQ ¨aÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹a34 −µÇoÂÒ§ ¶Ò e»¹eʹµÃ§·Õè¼Ò¹¨u´ a‹Œ1 LšŒ‹A(2, 1)- æÅa B( 3,4)- ..¨aä´ Œ1 L4( 1)(3)2m1−−−−== −æÅa¶Ò e»¹eʹµÃ§·Õ赧©Ò¡¡º ¨aä´ Œ2 LšŒa éa1 LŒ2 L m1=8. ÊÁ¡Òâo§eʹµÃ§ Œ¡ÒÃÊÃÒ§eʹµÃ§·e¨Òa¨§ ¨ae¡i´ä´¨Ò¡ ¡Ã³Õ¹Õée·Ò¹é¹ ŒŒÕèŒ2‹a eÁèo·ÃÒº¨´¼Ò¹Ë¹§¨´ • ืu‹ึ èu11 (x , y ) æÅa¤ÇÒÁª¹ am ¨aä´ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§e»¹ ŒŒš11ym(x )−= −yx

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์249 P (x ,y ) 11Q (x ,y ) 22 eÁèo·ÃÒº¨´¼Ò¹Êo§¨´¤o • ืu‹uื11 (x , y ) æÅa 22 (x ,y )ãˤíҹdz¤Ò¤ÇÒÁª¹¨Ò¡Êo§¨´¹ æÅÇeÅo¡ãª¨´ã´¡ç䴌‹auÕéŒ ืŒuŒe¾Õ§˹§¨´ÁÒÊÃÒ§ÊÁ¡Òà ´Â ึ èuŒo11ym(x )−= −yxµÇoÂÒ§ eʹµÃ§·ÕèÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹Œa‹a- 3æÅa¼Ò¹¨´ ‹u( 2,4)- ¨aÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ šy4( 3)(x ( 2))− =− −− ..¹¹¤o a èืy3x 2=−−µÇoÂÒ§ e¹o§¨Ò¡¤ÇÒÁª¹¢o§eʹµÃ§·¼Ò¹¨´ a‹ื èaŒÕè‹uP(2,1) æÅa Q(5,5) e·Ò¡º ‹aPQ514523m−−==´§¹¹eʹµÃ§·Õè¼Ò¹¨´·§Êo§¹ ¨aÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ a a錋ua éÕéš43 y1(x 2) −=− ..¹¹¤o a èื5433yx=−ËÁÒÂe˵u ¨a¤i´¨Ò¡o¡¨´¡çä´ ÂoÁä´¤íÒµoºe·Ò¡¹eÊÁo ÕuŒ ‹Œ‹a..¨Ò¡ 43y5(x 5) −=− ¡ç¨aä´ Œ5433yx=− eª¹¡¹ ‹a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 250 m P (x ,y ) 11O xy 9. ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§ã¹Ãٻ溺e¨Òa¨§ ·Õè¹ÂÁ㪻Ãa ª¹ÁՌiŒoo Ãٻ溺 ä´æ¡.. Ù ‹3Œ ‹ Ãٻ溺 (1)11ym(x )−= −yx(slope-point)eÁèo ¤o¤ÇÒÁª¹ æÅa¡ÃÒ¿¼Ò¹¨´ ืm ืa‹u11 (x , y ) Ãٻ溺 (2)mc=+ yx(slope-intercept)eÁèo ¤o¤ÇÒÁª¹ æÅa ¤oÃaÂaµ´æ¡¹ ืm ืacืayO cy x m > 0 O cy x m < 0 y x O cm = 0