รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ401 ** eÇ¡eµ ÃÊ § ¹¨a¢¹Ò¹¡¹ ¡çµ eÁè o¤ä«¹æÊ´§o o oaa‹ ืo o·È·Ò§¢ § ¡º ·§ªu´Áդҵ硹 Ëà e»¹¤Òµi´iouava é‹aืoš ‹Åº¢ §¡¹ ... (æÅaeÇ¡eµ ÃÊ § ¹¨aµ§©Ò¡¡¹ ¡çµ eÁè o ao o oaa éa‹ ืo ouv0 ⋅= e·Ò¹¹) ‹a éµÇ ÂÒ§ ãËËÒo¤ä«¹æÊ´§·È·Ò§¢ § a o‹Œiou2 ij 3k=−+æÅa v4 i 2j 6 k=−+−æÅa¾i¨ÒóÒÇÒeÇ¡eµ ô§¡ÅÒÇ¢¹Ò¹¡¹Ëà äÁ ‹o a ‹aืo‹ÊÒËú .... íauu14 =211414cos, cos−∴ α= β = æÅa 314cosγ=ÊÒËú .... íavv2 14=4212141414cos, cos−−∴ α= = β =æÅa 314cos− γ=´§¹¹ ¡º ¢¹Ò¹¡¹ (o´ÂÁÕ·iȵ硹¢ÒÁ a aéuavaaŒe¹ §¨Ò¡o¤ä«¹æÊ´§·È·Ò§e»¹¤Òµ´Åº¢ §¡¹æÅa¡¹) ื èoiš ‹io aa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 402 uvuv ×vu × &24. ¡ÒäٳeÇ¡eµ Ã溺¤Ã Ê o oadbf ceij kbecd afa b ccfae bdd e f−⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥ =⎢⎥ ×⎢⎥− =⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥−⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦ ¼Åž¸·ä´¨Ò¡ •aÕèŒuv × ¨a µ§©Ò¡¡ºÃa¹Òº eÊÁ «è§ a éauvoึ¨aËҷȷҧ䴴Ç¡®Á ¢ÇÒ o´Â iŒ ŒืoÊÕè¹Ç¾u§ä»·Ò§ ¡íÒÁ e¢ÒËÒ ié‹uื Œov¼Åž¸ÁÕ·È·Ò§µÒÁ¹Ço»§·ÕèªÙ¢é¹ aiié‡ึ ¢¹Ò´¢ §eÇ¡eµ Þ¸ •oo a uvu v sin×= θ eÊÁ oµÇ ÂÒ§ ãËËÒ a o‹Œuv × æÅaeÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç·µ§©Ò¡o ึè‹Õèa 顺 æÅa ã¹æµÅa¢ auv‹Œo•u2 i 3j=− æÅa vi 5j =−¨aä´ Œij kuv23 00 i 0j 7k7k15 0× = − = + − =−−æÅaeÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç·Õ赧©Ò¡¡º æÅa o ึè‹a éauv¡ç¤ eÇ¡eµ ÷¢¹Ò¹¡º ืoo Õèauv × ¹¹e § a o訧䴤íÒµ ºe»¹ ึ Œošk± (¹Ò¢¹Ò´¤ ä»ËÒÃ) íืo7

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ403 •ui 2 j =− æÅa v3i k=+¨aä´ Œij kuv12 02ij 6k30 1× = − =− −+æÅaeÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç·Õèµ §¡Òä o ึ苌oืo141(2 ij 6k)±−−+•ui 3j =+ æÅa v2i 6 j=−−¨aä´ Œij kuv13 00 i 0j 0k026 0× == + + =− −( ¢¹Ò¹¡º ¨§·íÒãˤà ʡ¹e»¹eÇ¡eµ ÃÈÙ¹Â) uavึŒo ašo ´§¹¹ÁÕeÇ¡eµ Ã˹§Ë¹ÇµÒÁ·Õèµ §¡ÒÃÁÒ¡ÁÒ¹ºäÁ¶Ç¹ a aéo ึ苌oa‹ Œ25. ÊÁºµi¢ §¡ÒäٳeÇ¡eµ Ã溺¤Ã Ê a oo o(1) äÁÁÕÊÁºµ¡ÒÃÊź· æµÊÒÁÒöÊÃu»ä´ÇÒ ‹aiaÕ苌 ‹uv(v u)•×=−×(2) ÊÁºµ¡ÒÃ模樧 aiu(vw)u vu w•×+=×+ ×(3) ¡Òäٳ´ÇÂÊe¡ÅÒà Œa(uv)auv•×=×(4) ¡Òäٳ溺´ ·¼ÊÁ¡º¤Ã Ê oaou(v w)(u v) w•⋅× =×⋅

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 404 (5) ¡Òäà ʵÇe § ¨a䴼޸e»¹eÇ¡eµ Ãȹ o a oŒa šo Ùuu0•×= (6) ¡Òäà ʴÇÂeÇ¡eµ Ãȹ oŒo Ù0u0•×= (7) ¼Å¡Òäà Êe»¹ æÊ´§ÇÒeÇ¡eµ â¹Ò¹¡¹ oš0‹o auv0uv•×= ↔ &26. ¾é¹·ÊÒÁeËÅÂÁ·ÕèÁÕ´Ò¹»Ãaª´e»¹ ¡º ืÕèÕèŒišuavæÅaÁuÁÃaËÇÒ§eÇ¡eµ Ãe»¹ ¤ ‹o šθืo12uv sinθ..Ëà ¤i´¨Ò¡ ืo12uv × ¹¹e § a oè Êǹ¾é¹·ÊeËÅÂÁ´Ò¹¢¹Ò¹ ¨ae»¹Ê §e·Ò¢ §• ‹ืÕèÕèÕ茚o‹oÊÒÁeËÅÂÁ ¹¹¤ Õèa oèืuv sinθ ..Ëà ¤i´¨Ò¡ ืouv ×µÇ ÂÒ§ ãËËҾ鹷Õè¢ §ÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁ·ÕèÁÕ¨´Â ´´§¹ a o‹ŒืoÕèuo aÕéP(1,2,3), Q( 1,3,5)− æÅa R(3, 1,0)−ʵþ鹷ÙืÕè1122|PQ ||PR |sin|PQPR |Δ=θ =ט˜˜ ˜uvθ

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ405 e¹ §¨Ò¡ ื èoPQ2ij2k=−+ +˜ æÅa PR2 i3j3k=−−˜¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹ijkPQPR2 123i 2j 4 k233×=− =−+− −˜˜´§¹¹¾é¹·a aéืÕè22229122324Δ=⋅++= µÃ.˹Ç ‹ËÁÒÂe˵u ¨a㪌QPQRט˜Ëà ืoRPRQט˜¡çä´eª¹¡¹ Œ ‹aµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§·æÅÇ ¶ÒãËËҾ鹷ÕèÊeËÅÂÁ´Ò¹a o‹a o‹Õ茌 ŒืÕèÕ茢¹Ò¹·ÕèÁÕ´Ò¹»Ãa¡ ºe»¹ ŒošPQ ˜ ¡º aPR ˜¨aä´¤íÒµ ºe»¹ Œoš29 µÃ.˹Ç ‹ËÁÒÂe˵u ¨a㪌QPQRט˜Ëà ืoRPRQט˜¡çä´¢¹Ò´Œe·Ò¡¹ (¶§æÁ¨ae¡i´ÊeËÅÂÁ´Ò¹¢¹Ò¹¤¹ÅaµÒæ˹§¡¹) ‹aึŒÕèÕèŒí‹a27. »ÃiÁҵ÷çÊeËÅÂÁ˹Ң¹Ò¹ ·ÕèÁÕ´Ò¹»Ãaª´e»¹ÕèÕ茌išeÇ¡eµ à o u, v, w¤ ืo123123123uuuu(v w)vvvwww⋅× =(¤i´¤ÒÊÁºÃ³¢ § ‹aُodet, e¾ÃÒa»ÃiÁÒµÃäÁÁÕ·Ò§µ´Åº) ‹i

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 406 µÇ ÂÒ§ ãËËÒ»ÃiÁҵâ §ÃÙ»·Ã§ÊeËÅÂÁ˹Ң¹Ò¹ a o‹ŒoÕèÕ茷ÕèÁÕ´Ò¹»Ãaª´e»¹eÇ¡eµ ô§¹ Œišo a Õéui 2 j 3k , v =−+3i4j 2k=++ æÅa wi 4 j k =+−e¹ §¨Ò¡ ื èo12 3u(v w)3 422141−⋅× == −´§¹¹»ÃiÁҵ÷Õèµ §¡ÒÃe·Ò¡º a aéŒo‹a22 = ź.˹Ç ‹** 浶Ҥíҹdz»ÃiÁÒµÃä´e»¹ ¨aËÁÒ¤ÇÒÁÇÒÁՋ ŒŒ š0‹eÇ¡eµ úҧ¤Ù«è§¢¹Ò¹¡¹  ¨§äÁe¡i´ÃÙ»·Ã§ÊeËÅÂÁ¢é¹ o ‹ ึa oً ึ ‹ÕèÕèึ

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .5 เทอม 2 บทที่ 1สถิติและขอมูล1. ʶiµÈÒʵà ¤oÇiªÒe¡ÕèÂÇ¡aº¡ÒÃe¡çºÃǺÃÇÁ, Çie¤ÃÒ Ë, i ืa æÅ ¹Òeʹo¢oÁÙÅ a íŒ ¡ÒÃe¡çºÃǺÃÇÁµo§eÅo¡Çi¸ãËeËÁÒ ÊÁ eª¹ •ŒืՌa‹Å§· eºÂ¹, ÊÁÀÒɳ, Ça´¤Ò, ·´Åo§ aÕa‹2. »Ã eÀ·¢oÁÙÅ溧µÒÁæËŧ·ÁÒ aŒ‹‹Õè ¢oÁÙÅ»°ÁÀÙÁi ä´¨Ò¡¡ÒÃe¡çºÃǺÃÇÁeo§ «è§¨ ¡Ã ·íҕ ŒŒึa aä´ Ã ´aº¤ÇÒÁ¤Ãoº¤ÅuÁ ¤o.. Œ2aื - à ´aºµÇoÂÒ§ (eÃÕ¡ÇÒ¡ÒÃÊÒÃǨµÇoÂÒ§) aa‹‹ía‹e»¹¡ÒÃe¡çºÃǺÃÇÁ¨Ò¡ºÒ§Êǹ«è§e»¹µÇæ·¹¢o§Ê§·eÃҚ‹ึ šaièÕè¨ È¡ÉÒ a ึ - à ´aº»Ã ªÒ¡Ã (eÃÕ¡ÇÒ¡ÒÃÊÒÁ ¹) aa‹íaoe»¹¡ÒÃe¡çºÃǺÃÇÁʧ·eÃÒ¨ È¡ÉÒãˤú·§ËÁ´ šièÕèa ึŒaéµaÇoÂÒ§ µo§¡Ò÷ÃÒº¤ÇÒÁÂÒÇe©Å¢o§´i¹ÊoÊ㹡Åo§‹ŒÕèՋãºË¹§ ¶ÒeÃÒÇa´¤ÇÒÁÂÒÇãˤú·¡æ·§ ¨ eÃÕ¡ÇÒ¢oÁÙÅึ 茌u‹a‹ ŒÃ ´aº»Ã ªÒ¡Ã 浶ÒeÃÒÊÁeÅo¡ÁҺҧ淧e¾èoe»¹µÇæ·¹ aa‹ Œu‹ ื‹ ืša¨ eÃÕ¡ÇÒà ´aºµÇoÂÒ§ a‹aa‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 408 ** »Ã ªÒ¡Ãã¹ÇiªÒʶiµ äÁ¨Òe»¹µo§e»¹Á¹É ai‹íš ŒšuµaÇoÂÒ§ ºÃiÉa·æ˧˹§·Ò¡ÒÃÊÁÊÁÀÒɳ¼ºÃi À¤‹‹ึ èíu ‹a ŒÙoº ËÁÕè¡è§ÊÒeÃç¨ÃÙ»ã¹e¢µºÒ§Ãa¡ ¨Ò¹Ç¹ ¤¹ e¡ÕèÂÇ¡aºaึíí50¤ÇÒÁ¾oã¨ã¹Ê¹¤ÒÂÕèËoµÒ§ iŒŒ ‹æã¹·Õ蹻à ªÒ¡ÃËÁÒ¶§ ¼ºÃi À¤º ËÁÕè¡è§ÊÒeÃç¨ÃÙ»·¡¤¹ÕéaึÙ Œoaึíu㹺ҧÃa¡ æÅ µÇoÂÒ§ËÁÒ¶§ ¼ºÃi À¤º ËÁÕè¡è§ÊÒeÃç¨ÃÙ»a a‹ึÙ Œoaึí㹺ҧÃa¡¨Ò¹Ç¹ ¤¹«è§¶Ù¡eÅo¡ÁÒÊÁÀÒɳ í50ึืa ¢oÁÙÅ·uµÂÀÙÁi e»¹¢oÁÙÅ·ÕèÁÕ¼ÃǺÃÇÁäÇæÅÇ eª¹¢oÁÙŕ Œiš ŒÙ ŒŒ Œ‹ Œã¹eo¡ÊÒÃÃÒª¡Òà ÃÒ§ҹ ËÃo¹µÂÊÒõҧ .. ¡ÒÃãªืi‹æŒ§Ò¹¢oÁÙŻà eÀ·¹Õéµo§Ã Ça§ã¹eÃèo§¤ÇÒÁ¶Ù¡µo§æÅ ¤ÇÒÁŒaŒaืŒa·¹ÊÁa´Ç aŒ3. »Ã ª¹¢o§¡ÒÃÊÒÃǨµÇoÂÒ§¤o »Ã Ë´eÇÅÒ (æÅaoía‹ืaaa»Ã Ë´¤Ò㪨ÒÂ) æÅ ¡Ã ·ÒeÁèoäÁÊÒÁÒöÊÒÃǨ¢oÁÙÅaa‹ Œ ‹a aíื‹íŒãˤÃoº¤ÅÁ¶§Ã ´aº»Ã ªÒ¡Ãä´ ŒuึaaŒ..浡ÒÃÊÒÃǨµÇoÂÒ§¹aé¹ ¨ µo§eÅo¡µaÇoÂÒ§·Õèe»¹µaNjía‹a Œื‹šæ·¹·Õè´Õ e¾èoãË䴼šÒÃÇie¤ÃÒ Ë·ã¡Åe¤Õ§¤ÇÒÁe»¹¨Ãi§ ืŒ Œa Õ茚(¢o§Ã ´aº»Ã ªÒ¡Ã) ÁÒ¡·ÕèÊ´ aau

พื้นฐาน บทท สถิติและขอมูลี่ 1 ้409 µaÇoÂÒ§ ¡ÒÃÊÁµÇoÂҧʹ¤ÒÂÕèËo˹§ÁÒµÃǨÊoº‹u ‹a‹iŒŒึ è¤u³ÀÒ¾ ¤Çè ÊÁãˤÃoº¤ÅÁ·u¡ e¢µ¾é¹··ÕèÁÕʹ¤Òa u ‹ŒuæืÕèiŒÂÕèËo¹Õé¨Ò˹Ò äÁ¤ÇÃÊÁe¾Õ§㹾鹷ǧ椺 e¾ÃÒ oÒ¨·íҌ틋u ‹ืÕèaãËÇie¤ÃÒ Ë¼Å¤ÅÒ´e¤Åo¹ä»¨Ò¡¤ÇÒÁe»¹¨Ãi§ÁÒ¡ Œa ื èš4. ¢oÁÙÅ ·ÃǺÃÇÁÁÒä´¨ µo§¼Ò¹¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¡o¹ “ Œ”ÕèŒa Œ‹a ‹¨§¨ ¹Òä»ãª»Ã ª¹ã¹¡Òõ´Ê¹ã¨ËÃoÇҧ漹µoä´ ึa íŒaoaiื‹Œ«è§¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÙŹ¹ÁÕ Ã ´aº ä´æ¡ ึa Œaé2aŒ ‹ ¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢aé¹µ¹ eÃÕ¡ÇÒ Ê¶iµeª§¾Ãó¹Ò (eª¹ •a Œ‹ii‹¡ÒÃËÒ¤Ò¡ÅÒ§ ¤Ò¡Òáà ¨Ò ¡Òè´¡ÅÁ¢oÁÙÅe»¹‹‹aau‹ ŒšµÒÃÒ§ e»¹æ¼¹ÀÒ¾ ¡ÃÒ¿ ÏÅÏ) š ¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢aé¹Ê§ eÃÕ¡ÇÒ Ê¶iµeª§o¹ÁÒ¹ (eª¹ •a Ù‹iiu‹¡Ò÷ҹÒÂËÃo»Ã ÁÒ³¤Ò ¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eªi§íืa‹a a¿§¡ª¹ ÏÅÏ) ˜ a** ʧ·ä´¨Ò¡¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë eÃÕ¡ÇÒ ¢ÒÇÊÒà ËÃo ièÕèŒa ‹ “ ‹”ื“ÊÒÃʹe·È (eª¹¤Ò¡ÅÒ§ ¤Ò¡Òáà ¨Ò µÒÃҧ模”‹ ‹‹a樧¤ÇÒÁ¶Õè æ¼¹ÀÒ¾ ÊÁ¡ÒÃæÊ´§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ ÏÅÏ) a5. Åa¡É³ Ãٻ溺¢o§¢oÁÙÅ ä´æ¡¢oÁÙÅeªi§¤u³ÀÒ¾ ¡aºaŒŒ ‹ Œ¢oÁÙÅeª§»ÃiÁÒ³ Œi ¢oÁÙÅeª§¤u³ÀÒ¾ e»¹¤Ò·äÁä´º§ºo¡¶§¤ÇÒÁÁÒ¡• Œiš ‹Õè‹ Œ ‹ึ¹o æÅ e»ÃÕºe·Âº¡a¹äÁä´ eª¹ eÅ¢»Ã ¨ÒµÇ, e¾È, Ê, ŒaՋ Œ ‹a íaÕËÁÒÂeÅ¢ ·ÃȾ·, ÈÒʹҷÕ蹺¶o, ÏÅÏ oaaื

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 410 ¢oÁÙÅeª§»ÃiÁÒ³ e»¹¤Ò·Õ躧ºo¡¤ÇÒÁÁÒ¡¹o • Œiš ‹‹ŒÊÒÁÒöe»ÃÕºe·Âºä´ eª¹ oÒÂ, Êǹʧ, ¤ æ¹¹, Ռ ‹u‹Ùaà  eÇÅÒ ÏÅÏ a aµaÇoÂÒ§ ¢oÁÙŵo仹e»¹¢oÁÙÅeª§¤u³ÀÒ¾ËÃo»ÃiÁÒ³ ‹Œ‹Õéš Œiื- ¨Ò¹Ç¹¹¡eÃÕ¹㹠çeÃÕ¹ ... (»ÃiÁÒ³) íao- oÒ¢o§¹¡eÃÕ¹㹠çeÃÕ¹ ... (»ÃiÁÒ³) uao- e¾È¢o§¹¡eÃÕ¹㹠çeÃÕ¹ ... (¤u³ÀÒ¾) ao- ¨Ò¹Ç¹¹¡eÃÕ¹·e»¹e¾ÈªÒÂ㹠çeÃÕ¹ ... (»ÃiÁÒ³) íaÕèšo- ÃÒªèo¹¡eÃÕ¹ªaé¹ Á. ... (¤u³ÀÒ¾) ืa5- ¤ æ¹¹ÊoºÇiªÒe¤ÁÕ¢o§¹¡eÃÕ¹ Á. ... (»ÃiÁÒ³) aa5- ªèoÇiªÒ·ÕèÊÁªÒÂä´e¡i¹ ¤ æ¹¹ ... (¤u³ÀÒ¾) ืŒ80a- eÅ¢»Ã ¨ÒµÇ¢o§ÊÁªÒ ... (¤u³ÀÒ¾) a ía- ¨Ò¹Ç¹¤Ãa駷ÊÁªÒÂÊoºµ¡ ... (»ÃiÁÒ³) íÕè

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .5 เทอม 2 บทที่ 2การวิเคราะหขนตนั้1. ¡ÒÃ模樧¤ÇÒÁ¶Õè¢o§¢oÁÙÅ ¤o¡Òè´¢oÁÙÅ·ÕèÁÕoÂãˌืaŒÙ‹ Œe»¹¡ÅÁ e¾èo¤ÇÒÁÊ ´Ç¡ã¹¡ÒÃÇie¤ÃÒ ËæÅ ¨´e¡çº ´Âšu ‹æืaa a ao´íÒe¹¹¡Òôa§¹ iÕé 溧¤Ò¢oÁÙÅ·e»¹ä»ä´oo¡e»¹ªÇ§ µÒÁ·Õèµo§¡Òà •‹ ‹ ŒÕ蚌š ‹æŒ(eÃÕ¡¤Ò¢oÁÙÅæµÅ ªÇ§ÇÒ o¹µÃÀÒ¤ªaé¹ ) ‹ Œ‹a‹ ‹ “a” ¾i¨ÒóÒÇÒ¢oÁÙÅ·ÕèÁÕ¹¹ÁÕ¤ÒoÂã¹æµÅ ªÇ§e»¹•‹ Œaé‹Ù ‹‹a ‹š»ÃiÁÒ³e·Òã´ (eÃÕ¡»ÃiÁÒ³¢oÁÙÅæµÅ ªÇ§ÇÒ ¤ÇÒÁ¶Õè ) ‹Œ‹a‹ ‹ “”2. ¹ÂÁe¢Õ¹o¹µÃÀÒ¤ªaé¹æÅ ¤ÇÒÁ¶Õè¢o§æµÅ ª¹ã¹ÃÙ»iaa‹a aéµÒÃÒ§ ´Â¡íÒ˹´¤ÇÒÁ¡ÇÒ§æµÅ ª¹e·Ò ¡a¹ (æµo¹µÃoŒ‹a aé‹æ‹aÀÒ¤ªa鹺¹Ê´ËÃoÅҧʴoÒ¨e»¹ o¹µÃÀÒ¤ªaé¹e»´¡çä´ uื ‹ušaŒeª¹ ¹o¡ÇÒ ‹ “ Œ‹30” ËÃo ื “80 ¢é¹ä» ) ึ” ¤Ò¢oºÅÒ§ æÅ ¢oºº¹ ¤o¤Ò¡è§¡Åҧà ËÇÒ§Ãoµo• ‹‹aื ‹ ึa‹‹o¹µÃÀÒ¤ªaé¹ a ¤ÇÒÁ¡ÇÒ§o¹µÃÀÒ¤ªaé¹ ËÒä´¨Ò¡ ¼ÅµÒ§¢o§¢oº•ŒaŒ‹º¹æÅ ¢oºÅÒ§¢o§ªaé¹¹¹ a‹aé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 412 µaÇoÂÒ§ Êǹʧ («Á.) ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹ ä´æ¡ ‹‹Ùa40Œ ‹ 174 169 155 168 152 170 157 155 172 163 171 158 150 164 157 165 165 160 161 152 152 166 176 173 153 158 161 165 164 167 158 153 163 156 175 169 157 160 161 164 oÒ¨e¢Õ¹e»¹µÒÃҧ模樧¤ÇÒÁ¶Õèä´´a§¹ šŒÕé- ¤ÇÒÁ¡ÇÒ§¢o§æµÅ o¹µÃÀÒ¤ªaé¹ e·Ò¡aº Œ‹a a‹5- ¢oºº¹¢o§ªaé¹ 160-164 e·Ò¡aº ‹164.5(«è§e»¹¢oºÅÒ§¢o§ªaé¹ ึ š‹165-169 ´ÇÂ) Œ- ¢oºÅÒ§¢o§ªaé¹ ‹160-164 e·Ò¡aº ‹159.5(«è§e»¹¢oºº¹¢o§ª¹ ึ šaé155-159 ´ÇÂ) Œ3. ¤ÇÒÁ¶ÕèÊ ÊÁ ¤o ¼ÅÃÇÁ¤ÇÒÁ¶Õ誹¹¹ ¡aº¤ÇÒÁ¶Õèªaé¹aื “aéaé·ÕèÁÕ¤Ò¢o§¢oÁÙŵҡÇÒ·§ËÁ´ ‹Œèí‹aé”ÊǹÊÙ§ («Á.) ‹¨íҹǹ¹a¡eÃÕ¹ 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 6 9 10 8 5 2 ÃÇÁ 40

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้413 ¤ÇÒÁ¶ÕèÊÁ¾a·¸ æÅ ¤ÇÒÁ¶ÕèÊ ÊÁÊÁ¾a·¸ ¤o•aaaa ืoµÃÒÊǹ¤ÇÒÁ¶ÕèËÃo¤ÇÒÁ¶ÕèÊ ÊÁ e·Âº¡aº¤ÇÒÁ¶ÕèÃÇÁ a‹ืaÕ( ) ´a§¹¹¤ÇÒÁ¶ÕèÊÁ¾a·¸ÃÇÁµo§ä´ eÊÁo æÅ ¤ÇÒÁ¶Õè NaéaŒŒ1aÊ ÊÁÊÁ¾a·¸¢o§ªaé¹Ê§Ê´¡çµo§e»¹ eª¹¡a¹ aaÙuŒš1‹ ºÒ§¤Ãaé§ãªe»¹Ë¹Ç ÃoÂÅ ´ÂæµÅ ª¹¤Ù³´Ç •Œ š‹“ Œa o”‹a aéŒ100 e¾èo»Ãaº¼ÅÃÇÁ¤ÇÒÁ¶Õè¨Ò¡ e»¹ ื1š100%µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÒÃÒ§e´iÁ ÊÒÁÒöe¢Õ¹¤ÇÒÁ¶ÕèÊ ÊÁ ‹a¤ÇÒÁ¶ÕèÊÁ¾a·¸ æÅ ¤ÇÒÁ¶ÕèÊ ÊÁÊÁ¾a·¸ä´´a§¹ aaaa ŒÕé4. ¡ÒùÒeʹo¢oÁÙÅ´ÇÂÃÙ»ÀÒ¾ ·e¤Â¾ºä´æ¡ 파ÕèŒ ‹ æ¼¹ÀÙÁiÃÙ»ÀÒ¾ •ãªÃÙ»ÀҾʧ¢o§æ·¹¡ÅÁ¡o¹¢o§¤ÇÒÁ¶Õè ÁÕ¢oeʤo¡Œièu‹ ŒŒÕืa¢¹Ò´ä´ÂÒ¡ ¨Òe»¹µo§ÁÕµÇeÅ¢¡íÒ¡aºäÇe¾èo¤ÇÒÁæÁ¹ÂÒ Œíš ŒaŒ ื‹í æ¼¹ÀÙÁiǧ¡ÅÁ (æ¼¹ÀÙÁi¡§) •¢oÁÙŌ¤ÇÒÁ¶Õè ¤ÇÒÁ¶Õè ¤ÇÒÁ¶Õè ¤ÇÒÁ¶ÕèÊ ÊÁÊ ÊÁ ÊaÁ¾a·¸ ÊaÁ¾a·¸ aa 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 6 9 10 8 5 2 6 15 25 33 38 40 0.150 0.225 0.250 0.200 0.125 0.050 0.150 0.375 0.625 0.825 0.950 1 ÃÇÁ 40 1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 414 f(¨Ò¹Ç¹¤¹)íx(«Á.)O 149.5 154.5 159.5 164.5 169.5 174.5 179.510 8 6 4 2 eËÁÒ ÊÒËÃaº¢oÁÙÅ·µo§¡ÒÃãËe˹¡ÒÃ溧ʴÊǹ æµÁÕa íŒÕ茌ç‹a‹‹¢oeʤoäÁÊÒÁÒöæÊ´§¢oÁÙÅËÅÒª´¾ÃoÁ ¡a¹ ŒÕื‹ŒuŒæ æ¼¹ÀÙÁiæ·§ •‹eËÁÒ ÊÒËÃaº¢oÁÙÅ·µo§¡ÒÃãËe˹¢¹Ò´ æÅ æ¹Ç ¹Á¡ÒÃa íŒÕ茌çaoŒe¾ièÁ¢é¹ËÃoŴŧ ÊÒÁÒöæÊ´§¢oÁÙÅËÅÒª´¾ÃoÁ¡a¹ä´ ึืŒuŒŒ æ¼¹ÀÙÁieª§eʹ (¡ÃÒ¿eʹ) •iŒŒeËÁÒ ÊÒËÃaº¢oÁÙÅ·µo§¡ÒÃãËe˹æ¹Ç ¹Áe·Âº¡aºeÇÅÒ a íŒÕ茌çoŒÕo´Âʹ㨤ҷe»ÅÂ¹ä» æµäÁʹ㨢¹Ò´¢oÁÙÅ ´ÂµÃ§ ‹ÕèÕè‹ ‹ŒoÊÒÁÒöæÊ´§¢oÁÙÅËÅÒª´¾ÃoÁ¡a¹ä´ ŒuŒŒ5. ÎiÊ ·æ¡ÃÁ ¤oæ¼¹ÀÙÁiæ·§eÃÕ§µ´¡a¹ «è§æ¡¹¹o¹oื‹iึæ·¹¤Ò¢oÁÙÅ (e¢Õ¹¡íÒ¡aº´Ç¢oºº¹¢oºÅÒ§¢o§ªaé¹ ‹ ŒxŒ‹ËÃo´Ç¨´¡è§¡ÅÒ§ªa鹡çä´) æŠ桹µ§æ·¹¤Ò¤ÇÒÁ¶Õè ื ŒuึŒaaé‹f¤ÇÒÁʧ¢o§æ·§ÊeËÅÂÁ¨ æ»ÃµÒÁ¤ÇÒÁ¶Õè¢o§ªaé¹¹aé¹ Ù‹ÕèÕèaæµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÒÃÒ§e´iÁÊÒÁÒöe¢Õ¹ÎiÊ ·æ¡ÃÁä´´a§¹Õé ‹oŒ

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้415 ** ÎiÊ ·æ¡ÃÁµÒ§¨Ò¡æ¼¹ÀÙÁiæ·§ µÃ§·ÕèÎÊ ·æ¡ÃÁ¹¹¤Òo‹‹ioa鋢oÁÙÅ ¨ e»¹¤Ò·Õèµoe¹o§ (e»¹ªÇ§) ¨§µo§ÇÒ´æ·§ãˌxaš ‹‹ื èš ‹ึ Œ‹Œª´µ´¡a¹e·Ò¹¹ ii‹aé6. æ¼¹ÀÒ¾µ¹-㺠㪨´¢oÁÙÅãËe»¹¡ÅÁe¾èoe˹šɳŒŒaŒŒ šu ‹ืçaa¤ÃÒÇ ä´´Õ¡ÇÒµÒÃÒ§æÅ ÎiÊ ·æ¡ÃÁ e¾ÃÒ ¢oÁÙÅ´iºæµÅ‹æŒ‹a oa Œ‹a¤ÒäÁÊ ËÒÂä» ‹‹ ­Ù Çi¸e¢Õ¹¤oµ´ËÅ¡¢oÁÙÅoo¡e»¹Êo§¡ÅÁ æÅǹҡÅÁ•ÕืaaŒšu ‹Œíu ‹Ë¹ÒÁÒeÃÕ§äÇe»¹ÅÒµ¹ã¹æ¹Çµ§ ¨Ò¡¹¹¨§¹ÒËÅ¡·eËÅoŒŒ šíŒaéaéึíaÕèืe¢Õ¹µo·ÒÂ㹺Ã÷´e´ÕÂÇ¡a¹ (e»¹ãº) ‹ ŒašµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¢oÁÙŪ´e´iÁ (Êǹʧ¢o§¹¡eÃÕ¹·§ ‹Œu‹Ùaaé40¤¹) ÊÒÁÒöe¢Õ¹漹ÀÒ¾µ¹-㺠䴴a§¹Õé ŒŒµ¹ 㺠Œ15 16 17 0 2 2 2 3 3 5 5 6 7 7 7 8 8 8 0 0 1 1 1 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 (e·Âºä´¡aºo¹µÃÀÒ¤ªaé¹ ÕŒa150-159, 160-169, 170-179) ËÃo¨´æº§ãËÁe¾èoãËÁըҹǹºÃ÷´¾oeËÁÒ ä´´a§¹ ืa‹‹ ืŒíaaŒÕé(o¹µÃÀÒ¤ªaé¹ a150-154, 155-159, 160-164, ...)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 416 µ¹ 㺠Œ15 15 16 16 17 17 0 2 2 2 3 3 5 5 6 7 7 7 8 8 8 0 0 1 1 1 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 ʧ·ÕèÇie¤ÃÒ Ëä´¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾µ¹-㺠eª¹ ªÇ§ã´ÁՕièa ŒŒ‹‹¤ÇÒÁ¶ÕèÁÒ¡·ÕèÊ´, ¢oÁÙÅ·ÕèµÒ·Ê´ ʧ·Ê´ æÅ µÃ§¡ÅÒ§uŒèíÕèuÙÕèuae»¹e·Òã´, æÅ ãªe»ÃÕºe·ÂºÃ ËÇÒ§¢oÁÙÅ ª´ä´´Ç š‹aŒÕa‹Œ2uŒ ŒµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾µ¹-㺠㹵ÇoÂÒ§·æÅÇ ÊÒÁÒö‹Œa‹ÕèŒÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÙÅä´´a§¹.. a ŒŒÕé- ¢oÁÙÅ·§ËÁ´ÁÕ ¨Ò¹Ç¹ Œaé40í- ¢oÁÙŤÒʧʴ¤o Œ‹Ùuื176 ¢oÁÙŤҵÒÊ´¤o Œ‹èíuื150- ¼ÅµÒ§Ã ËÇÒ§¢oÁÙŤÒʧʴ¡aº¤ÒµÒÊ´ e·Ò¡aº ‹a‹Œ‹Ùu‹èíu‹26- ¢oÁÙÅÊǹÁÒ¡oÂ㹪ǧ Œ‹Ù ‹‹155 ¶§ ึ169- ¤Òe©Å¢o§¢oÁÙÅ »Ã ÁÒ³ ‹ÕèŒa162- ¡ÒÃ模樧¢o§¢oÁÙÅÁÕšɳ eº¢ÇÒ ŒaaŒ(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ¢oÁÙÅÊǹÁÒ¡oÂ㹪ǧ¤Ò¹oÂ) ‹Œ‹Ù ‹‹‹ Œ

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้417 7. ¤Ò¡ÅÒ§¢o§¢oÁÙÅ e»¹¤Ò·ãªe»¹µÇæ·¹¢oÁÙÅ ‹Œš ‹ÕèŒ šaŒ123N x ,x ,x ,...,x ·§ËÁ´ ªÇÂ㹡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÙÅaé‹a Œeºo§µ¹ «è§¤Ò¡ÅÒ§·Õè¹ÂÁ㪠ÁÕ ª¹´ ä´æ¡ ¤Òe©ÅÕèÂื éŒึ ‹iŒ3iŒ ‹ ‹eÅ¢¤³iµ Áa¸Â°Ò¹ æÅ °Ò¹¹ÂÁ ai(¤Ò¡ÅÒ§·ä´¨ ÁÕ˹ÇÂe´ÕÂÇ¡aº¢oÁÙÅ æÅ ÁÕ¤ÒoÂà ËÇÒ§‹ÕèŒa‹Œa‹Ù ‹a‹¢oÁÙŵǷÕè¹o·ÕèÊ´¡aºÁÒ¡·Ê´eÊÁo) ŒaŒuÕèu8. ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµ ‹Õè( X) e»¹¤Ò¡ÅÒ§·ãˤÇÒÁÊÒ¤a ¡aº¤Ò¢o§¢oÁÙÅ ´ÂµÃ§ • š ‹ÕèŒí­‹Œo¨§eËÁÒ ¡aºªu´¢oÁÙÅ·ÕèÁÕ¤Òã¡Åe¤Õ§¡a¹·¡¤Ò äÁÁÕ¤Òã´ÊÙ§ึaŒ‹Œu‹‹ ‹ËÃoµÒ¼´»¡µä»¨Ò¡¤Òoè¹ (Ái© ¹¹¤Ò·ä´¨ äÁÁÕืèíii‹ ืæa aé‹ÕèŒa‹¤u³ÀÒ¾) ¢oÁÙÅ·Õè§äÁ模樧¤ÇÒÁ¶Õè • Œa‹xXN ∑=µaÇoÂÒ§ ¢oÁÙŪ´Ë¹§ÁÕ ¨íҹǹ ä´æ¡ ‹Œuึ è9Œ ‹2, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 0, 1-- -- ºÒ· e»¹¢oÁÙÅ·Õè§äÁä´æ¨¡æ¨§¤ÇÒÁ¶Õè ¨§¤íҹdz š Œa‹ Œึ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµä´¨Ò¡ ‹ÕèŒxXN ∑=¨ ä´aŒ2341 1 230 1X0.119+− + − −++ −==ºÒ·

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 418 µaÇoÂÒ§ Êǹʧ («Á.) ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹ ä´æ¡ ‹‹Ùa40Œ ‹ 174 169 155 168 152 170 157 155 172 163 171 158 150 164 157 165 165 160 161 152 152 166 176 173 153 158 161 165 164 167 158 153 163 156 175 169 157 160 161 164 e»¹¢oÁÙÅ·Õè§äÁä´æ¨¡æ¨§¤ÇÒÁ¶Õè š Œa‹ Œ¨§¤íҹdz¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµä´¨Ò¡ ึ‹ÕèŒxXN ∑=¨ ä´ aŒ174169 155168... 164X40+++++=162.225= «Á. µaÇoÂÒ§ ¶ÒÊÁªÒÂä´¤ æ¹¹¨Ò¡¡ÒÃÊoºÊ¤Ãaé§e»¹ ‹ŒŒaÕèš70, 63, 70, æÅ ¤ æ¹¹ µÒÁÅÒ´aº æÅ ä´¤ æ¹¹e©ÅÕèÂaxaíaŒae»¹ ¤ æ¹¹ æÊ´§ÇÒ e·Ò¡aº¤ æ¹¹ š68a‹x‹a¨Ò¡ 706370xX684+++== ¤ æ¹¹ aæ¡ÊÁ¡ÒÃä´ ŒŒx69= ¤ æ¹¹ a

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้419 ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµæºº¶Ç§¹Ò˹¡ • ‹Õè‹éíawxXw ∑=∑µaÇoÂÒ§ ¼Å¡ÒÃeÃÕ¹¢o§ÊÁªÒ ¨Ò¹Ç¹ ÇiªÒe»¹´a§¹Õé ‹í4šÇiªÒÀÒÉÒä·Â ( ˹ÇÂ) ä´e¡Ã´ 2‹Œ4ÇiªÒÇi·ÂÒÈÒʵà (1.5 ˹ÇÂ) ä´e¡Ã´ ‹Œ2ÇiªÒ¤³iµÈÒʵà ( ˹ÇÂ) ä´e¡Ã´ 2‹Œ3æÅ ÇiªÒʢȡÉÒ (auึ0.5 ˹ÇÂ) ä´e¡Ã´ ‹Œ2ÊÁªÒ¨ ä´e¡Ã´e©ÅÕèÂe©¾Ò ÊÕèÇiªÒ¹e·Ò¡aºe·Òã´ aŒaÕ鋋¤i´¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµæºº¶Ç§¹Ò˹¡ ‹Õè‹éíawxXw ∑=∑ ¨ ä´ aŒ2(4)2(3) 1.5(2)0.5(2)18X3.00221.50.56++ +== = ++ +æÊ´§ÇÒe¡Ã´e©Å¢o§ÊÁªÒ e·Ò¡aº ‹Õè‹3.00 ¾o´Õ µaÇoÂÒ§ ¶ÒÊÁªÒÂä´¤ æ¹¹¨Ò¡¡ÒÃÊoºÊ¤Ãaé§e»¹ ‹ŒŒaÕèš70, 63, 70, æÅ ¤ æ¹¹ ´Â¡ÒÃÊoºæµÅ ¤Ãaé§ÁÕ¹Ò˹a¡axao‹aéíe»¹ š40%, 30%, 10%, æÅ a20% µÒÁÅÒ´aº æÅ ä´íaŒ¤ æ¹¹e©ÅÂe»¹ ¤ æ¹¹ æÊ´§ÇÒ e·Ò¡aº¤ æ¹¹ aÕèš68a‹x‹a¨Ò¡0.4(70) 0.3(63) 0.1(70) 0.2(x)X680.40.30.1 0.2+++== +++æ¡ÊÁ¡ÒÃä´ ŒŒx70.5= ¤ æ¹¹ a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 420 ¢oÁÙŷ模樧¤ÇÒÁ¶ÕèæÅÇ • ŒÕèŒfxfxXfN∑∑== ∑(ãË e»¹¤Ò¡è§¡ÅÒ§ªaé¹ æÅǤi´æºº¶Ç§¹éíÒ˹a¡ ´Â㪌xš ‹ ึŒ‹oŒ¤ÇÒÁ¶Õèe»¹¹Ò˹¡¹¹eo§) šéíaaèµaÇoÂÒ§ Êǹʧ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹«è§æ¨¡æ¨§¤ÇÒÁ¶Õ苋Ùa40ึæÅÇ e»¹´a§¹ ŒšÕé¤íҹdz¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµä´¨Ò¡ ‹ÕèŒfxfxXfN∑∑== ∑¨ ä´ aŒ6(152)9(157)10(162)...2(177)X6910...2++++=++++6495162.37540== «Á. (¤ÅÒ´e¤Åo¹ä»¨Ò¡¢oÁÙÅ·Õè§äÁ模樧¤ÇÒÁ¶Õè e¹o§¨Ò¡ื èŒa‹ื è¢oÁÙŷ模樧¤ÇÒÁ¶ÕèæÅǨ Ê eʤÇÒÁÅ eo´ä») ŒÕèŒa Ù­ ÕaÕÊǹÊÙ§ («Á.) ¨íҹǹ¹a¡eÃÕ¹ ‹150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 6 9 10 8 5 2

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้421 9. Áa¸Â°Ò¹ (Med) ¤o¤Ò·ÕèÁÕµÒæ˹§o¡觡ÅÒ§¢o§¢oÁÙÅ·§ËÁ´ (eÁèo• ื ‹í‹Ù‹ ึŒaéืeÃÕ§ÅÒ´aºÁÒ¡¹o¢o§¢oÁÙÅæÅÇ) 파Œ e»¹¤Ò¡ÅÒ§·ãˤÇÒÁÊÒ¤a ¡aºÅÒ´aº¢oÁÙÅ (ºo¡ÇÒÁՕ š ‹ÕèŒí­íŒ‹¢oÁÙÅ·ÕèÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ¹æÅ ¹o¡ÇÒ¹ oÂe»¹»ÃiÁÒ³Œ‹‹Õéa Œ‹Õéً še·Ò¡a¹) ¨§Â§¤§ãªä´´Õ¡aº¢oÁÙŪ´·ÕèÁÕºÒ§¤ÒʧËÃoµÒ¡ÇҋึaŒ ŒŒu‹Ùืè틤Òo¹oÂÒ§¼´»¡µi ‹ ืè‹i ¢oÁÙÅ·Õè§äÁ模樧¤ÇÒÁ¶Õè • Œa‹Med ¤o¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§·Õè ื Œí‹(N+1)/2(¢o¤ÇÃà Ça§¤o Œaื(N+1)/2 ¹¹e»¹e¾Õ§µÒæ˹§¢o§Áa¸Âaéší‹°Ò¹ 抧äÁ㪤Ңo§Áa¸Â°Ò¹) a a‹ ‹ ‹µaÇoÂÒ§ ¢oÁÙŪ´Ë¹§ÁÕ ¨Ò¹Ç¹ ä´æ¡ ‹Œuึ è9íŒ ‹2, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 0, 1-- -- ºÒ· eÃÕ§ÅÒ´aº¢oÁÙŨҡ¤Ò¹oÂä»ÁÒ¡ ä´´a§¹Õé 팋 ŒŒ- - - -4, 2, 1, 1, , 1, 2, 3, 3 0Áa¸Â°Ò¹oÂã¹µÒæ˹§·Õè Ù ‹í‹(9+1)/2 ¤oµÒæ˹§·Õè ืí‹5´a§¹¹ Áa¸Â°Ò¹e·Ò¡aº ºÒ· aé‹0µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡Êǹʧ («Á.) ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹ 㹋‹Ùa40µÇoÂÒ§e´iÁ eÃÕ§ÅÒ´aº¢oÁÙŨҡ¤Ò¹oÂä»ÁÒ¡ (æÊ´§ ´Âa‹íŒ‹ Œoæ¼¹ÀÒ¾µ¹-ãº) ä´´a§¹ ŒŒÕé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 422 µ¹ 㺠Œ15 15 16 16 17 17 0 2 2 2 3 3 5 5 6 7 7 7 8 8 8 0 0 1 1 1 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 Áa¸Â°Ò¹oÂã¹µÒæ˹§·Õè Ù ‹í‹(40+1)/2 ¤oµÒæ˹§·Õè ืí‹20.5e¹o§¨Ò¡ ¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§· ÁÕ¤Ò ื èŒí‹Õè20 ‹161 «Á. æÅ ¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§·Õè ÁÕ¤Ò a Œí‹21‹163 «Á. ´a§¹¹Áa¸Â°Ò¹¤o¤Ò¡è§¡Åҧà ËÇÒ§ aéื ‹ ึa‹161 ¡aº 163¹¹¤oÁa¸Â°Ò¹e·Ò¡aº aèื‹162 «Á. 10. °Ò¹¹ÂÁ i(Mo) ¤o¤Ò¢oÁÙŵǷ»ÃÒ¡¯ºo¤Ãa駷ÕèÊ´ (ÁÕ¤ÇÒÁ¶ÕèÊÙ§• ื ‹ ŒaÕè‹u·ÕèÊ´) ´Â·Ç仨 ÁÕ°Ò¹¹ÂÁÃÇÁ¡a¹ä´äÁe¡i¹ ¤Ò uoaèai‹Œ ‹2‹ e»¹¤Ò¡ÅÒ§·ãˤÇÒÁÊÒ¤a ¡aº¤ÇÒÁ¶Õè¢o§¢oÁÙÅ æŕ š ‹ÕèŒí­ŒaeËÁÒ ÊÁ¡aº¢oÁÙÅeª§¤u³ÀÒ¾ eª¹ ¡ÒÃeÅo¡µ§ aŒi‹ืaéµaÇoÂÒ§ ¢oÁÙŪ´Ë¹§ÁÕ ¨Ò¹Ç¹ ä´æ¡ ‹Œuึ è9íŒ ‹2, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 0, 1-- -- ºÒ· ´a§¹¹ °Ò¹¹ÂÁe·Ò¡aº æÅ ºÒ· aéi‹-1 a 3(ÁÕÊo§¤Ò e¾ÃÒ ÁÕ¤ÇÒÁ¶Õèʧ·ÕèÊ´e·Ò¡a¹¤o¤ÒÅ µaÇ) ‹aÙu‹ื ‹a2

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้423 µaÇoÂÒ§ Êǹʧ («Á.) ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹ æÊ´§´Ç‹‹Ùa40Œæ¼¹ÀÒ¾µ¹-㺠´a§¹ ŒÕéµ¹ 㺠Œ15 15 16 16 17 17 0 2 2 2 3 3 5 5 6 7 7 7 8 8 8 0 0 1 1 1 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 ¢oÁÙŪ´¹äÁÁÕ°Ò¹¹iÂÁ e¹èo§¨Ò¡¤Ò·ÕèÁÕ¤ÇÒÁ¶ÕèÊÙ§Êu´ ÁÕ¶§ ŒuÕé‹ื‹ึ6 ¤Ò¾ÃoÁ¡a¹ (¤o ‹Œื152, 157, 158, 161, 164, 165) 11. eʹ ¤§¢o§¤ÇÒÁ¶Õè e¡i´¨Ò¡¡ÒÃÅÒ¡eʹµÃ§eªèoÁ¨u´ŒoŒŒื¡è§¡ÅÒ§¢o§Âo´ÎiÊ ·æ¡ÃÁæµÅ æ·§ (¢aé¹µo¹¹eÃÕ¡ÇÒ ึo‹a‹Õé‹ÃÙ»ËÅÒÂeËÅÂÁ¢o§¤ÇÒÁ¶Õè) ¨Ò¡¹¹¨§»ÃaºãËe»¹eʹ ¤§ ÕèaéึŒ šŒoŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 424 f(¨íҹǹ¤¹)x(«Á.) O 152 157 162 167 172 177 10 8 6 4 2 ÃÙ»ËÅÒÂeËÅÂÁ Õèf(¨íҹǹ¤¹)x(«Á.) O 149.5 154.5 159.5 164.5 169.5 174.5 179.5 10 8 6 4 2 ÎiÊ ·æ¡ÃÁ oµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÒÃÒ§e´iÁ«è§e¢Õ¹ÎiÊ ·æ¡ÃÁäÇæÅÇ´a§¹ ‹ึoŒ ŒÕé¨ »Ãaºe»¹ÃÙ»ËÅÒÂeËÅÂÁ æÅ eʹ ¤§¢o§¤ÇÒÁ¶Õèä´´a§¹ ašÕèaŒoŒŒÕé

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้425 f(¨íҹǹ¤¹)x(«Á.) O 10 8 6 4 2 152 157 162 167 172 177 eʹ ¤§¢o§¤ÇÒÁ¶Õè ŒoŒ12. šɳ ¢o§eʹ ¤§¢o§¤ÇÒÁ¶Õè·ä´ ÁÕ æºº (µÒÁaaŒoŒÕèŒ3šɳ ¡ÒÃ模樧¢o§¢oÁÙÅ) ¤o ¤§»¡µ ( ¤§ÃÙ»aaŒืoŒioŒÃ ¦a§), ¤§eºÅÒ´·Ò§«ÒÂ, æÅ ¤§eºÅÒ´·Ò§¢ÇÒ aoŒ ŒŒaoŒ Œ ¤§æµÅ 溺 Êo¶§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸Ã ËÇÒ§¤Ò¡Åҧ䴕oŒ‹aื ึèaa‹‹Œ´a§ÃÙ» x O o¤§eº«Ò Œ Œ Œf x O o¤§eº¢ÇÒ Œ Œf x< M d < M eo M < M d <oexx O x= M d = M eoo¤§»¡µi Œf

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 426 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¢oÁÙÅÊǹʧ¢o§¹¡eÃÕ¹·§ ¤¹ 㹋Œ‹Ùaaé40µÇoÂÒ§e´iÁ eÁèoÊÃÒ§µÒÃҧ模樧¤ÇÒÁ¶Õè æÅ e¢Õ¹ÎiÊ ·a‹ืŒaoæ¡ÃÁ¤ÃÒÇ æÅÇ ¾ºÇÒÁÕ¡ÒÃ模樧溺eº¢ÇÒ ‹æŒ‹Œ..¨§ÊÒÁÒö·Ò¹ÒÂä´eÅÂÇÒ ÊÒËÃaº¢oÁÙŪ´¹ ¤Òe©ÅÂeÅ¢ึ팋íŒuÕé‹Õ褳iµÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒÁa¸Â°Ò¹ æÅ Áa¸Â°Ò¹ÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ°Ò¹‹‹a‹‹¹ÂÁ (¶ÒÁÕ) iŒ13. ¤Ò¡ÅÒ§æµÅ 溺 eËÁÒ ÊÁ¡aº¢oÁÙŵҧ ¡a¹ ´a§‹‹aaŒ‹æÊÃu»äÇã¹µÒÃÒ§µo仹 Œ‹ÕéµaÇoÂÒ§ ¢oÁÙŪ´Ë¹§ä´æ¡ ‹Œuึ Œ ‹è4, 27, 30, 32, 33, 33 ¾ºÇÒÁÕ¢oÁÙŵǷÕè¼´»¡µ (äÁe¡Ò ¡ÅÁ) ¤o ‹Œaii‹au ‹ื4´a§¹¹ ¤Ò¡ÅÒ§·eËÁÒ ÊÁ·Ê´¤o Áa¸Â°Ò¹ e·Ò¡aº aé‹ÕèaÕèuื‹31(ã¹¢o¹°Ò¹¹ÂÁäÁeËÁÒ ÊÁ e¾ÃÒ e»¹¤Ò·äÁo¡觡ÅÒ§) ŒÕéi‹aaš ‹Õè‹ ‹ ึÙÅa¡É³ ¢oÁÙÅ a Œ¤Òe©ÅÕè‹eÅ¢¤³iµ Áa¸Â°Ò¹ °Ò¹¹iÂÁ ¢oÁÅeª§¤³ÀÒ¾ŒÙiuxxxxãªä´´Õ Œ ŒÂ‹æ¨¡æ¨§ e¡Ò ¡ÅÁ¡¹»¡µi au ‹aºÒ§¤Ò¼i´»¡µi ‹ãªä´´Õ ¾oäËÇ ¾oäËÇ Œ Œxx ãªä´´Õ ¾oäËÇ Œ Œæ¨¡æ¨§æÅÇ Œ·u¡ª¹¡ÇÒ§e·Ò¡¹ a錋aÁÕo¹µÃÀÒ¤ª¹e»´ aa遺ҧª¹¡ÇÒ§äÁe·Ò¡¹ ¾oäËÇ ãªä´´Õ a錋 ‹aãªä´´Õ ¾oäËÇ ¾oäËÇ Œ Œxx ãªä´´Õ ¾oäËÇ Œ ŒŒ Œxx

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้427 14. ¡ÒÃÇa´µÒæ˹§¢o§¢oÁÙŠ틌 Áa¸Â°Ò¹ e»¹¤Ò¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§¡è§¡ÅÒ§eÁèo¶Ù¡•š ‹ Œí‹ ึืeÃÕ§ÅÒ´aºæÅÇ ºo¡ãË·ÃÒºÇÒÁÕ¢oÁÙÅ·Õè¤Òʧ¡ÇÒ¹ æÅ ¤Ò파‹Œ‹Ù‹Õéa ‹µÒ¡ÇÒ¹ oÂe»¹»ÃiÁÒ³e·Ò ¡a¹ (¤oe»¹¨´·æº§¢oÁÙÅèí‹Õéً š‹æืšuÕè‹ Œe»¹ Êǹe·Ò¡a¹¹¹eo§) š2‹‹aè ¶ÒeÃÒ溧¢oÁÙÅoo¡e»¹ Êǹe·Ò ¡a¹ ¨´æº§·§• Œ‹ Œš4‹‹æu‹aéÊÒÁ¨´¹¹¨ eÃÕ¡ÇÒ¤ÇoÃä·Å·Õè uaéa‹1 ( Q)1, ¤ÇoÃä·Å·Õè 2( Q)2, æÅ ¤ÇoÃä·Å·Õè a3 (Q)3 µÒÁÅÒ´aº ¤ÇÒÁËÁÒÂí¢o§¤ÇoÃä·Å·Õè ¤oÁÕ¢oÁÙÅ·ÕèµÒ¡ÇÒ¤Ò¹oÂe»¹»ÃiÁÒ³ 1ืŒèí‹ ‹Õéً š1/4 æÅ ÁÒ¡¡ÇÒ¤Ò¹oÂo¡ a‹ ‹ÕéÙ ‹Õ3/4 ´Â»Ã ÁÒ³ oa e´ä«Å •(D) æ·¹¡ÒÃ溧¢oÁÙÅe»¹ Êǹ æÅ ‹ Œš10‹ae»oÃe«ç¹ä·Å æ·¹¡ÒÃ溧¢oÁÙÅe»¹ (P)‹ Œš100 Êǹ ‹¡ÒäíҹdzËÒ¤Ò¤ÇoÃä·Å e´ä«Å æÅ e»oÃe«ç¹ä·Å·‹aÕèµo§¡Òà e»¹æººe´ÕÂÇ¡aº¡ÒäíҹdzËÒÁa¸Â°Ò¹ Œš ¢oÁÙÅ·Õè§äÁ模樧¤ÇÒÁ¶Õè • Œa‹Áa¸Â°Ò¹ ¤o¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§· ื Œí‹Õè1(N 1)2+r Q ¤o¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§· ื Œí‹Õèr(N 1)4+

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 428 r D ¤o¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§· ื Œí‹Õèr(N 1)10+r P ¤o¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§· ื Œí‹Õèr(N 1)100+µaÇoÂÒ§ ¢oÁÙŪ´Ë¹§ÁÕ ¨íҹǹ ä´æ¡ ‹Œuึ è9Œ ‹2, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 0, 1-- -- ºÒ· eÃÕ§ÅÒ´aº¢oÁÙŨҡ¤Ò¹oÂä»ÁÒ¡ ä´´a§¹Õé 팋 ŒŒ- - - -4, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 3 e´ä«Å·Õè oÂã¹µÒæ˹§·Õè 6Ù ‹í‹6(9 1)610+ =´a§¹¹ e´ä«Å·Õè e·Ò¡aº ºÒ· aé6‹1¤ÇoÃä·Å·Õè oÂã¹µÒæ˹§·Õè 1Ù ‹í‹1(9 1)2.54 + =´a§¹¹ ¤ÇoÃä·Å·Õè oÂ١觡Åҧà ËÇÒ§ æÅ a鏏1‹ ึa‹- 2a- 1¹¹¤o ¤ÇoÃä·Å·Õè e·Ò¡aº aèื1‹-1.5 ºÒ· e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè oÂÙã¹µíÒæ˹§·Õè 38‹‹38(9 1)3.8100+ =«è§¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§·Õè æÅ ÁÕ¤Òe·Ò¡a¹¤o ึ Œí‹3a4‹ ‹ื- 1´a§¹¹ e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè e·Ò¡aº ºÒ· a鏏38‹- 1

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้429 e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè oÂã¹µÒæ˹§·Õè 16Ù ‹í‹16(9 1) 1.6100+ =´a§¹¹ e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ÁÕ¤Òà ËÇÒ§ æÅ a鏏16‹a‹- 4a- 2æµäÁ㪤ҡ觡ÅÒ§ e¾ÃÒ µÒæ˹§e»¹ ‹ ‹ ‹ ‹ ึa í‹ š1.6 (äÁ㪠‹ ‹1.5) Çi¸Õ¤íҹdz¤o ºÇ¡¨Ò¡¢oÁÙŵǫÒÂä»ืŒaŒ 0.6 ¢o§Ã  ËÒ§ a a‹«è§eÃÒ·ÃÒºÇÒ æÅ ËÒ§¡a¹o ..´a§¹¹ ึ‹- 4a- 2‹Ù ‹2aée»oÃe«ç¹ä·Å·Õè e·Ò¡aº 38‹4(0.6 2)2.8−+×= − ºÒ· µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡Êǹʧ («Á.) ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹ 㹋‹Ùa40µÇoÂÒ§e´iÁ «è§eÃÕ§ÅÒ´aº¢oÁÙŨҡ¤Ò¹oÂä»ÁÒ¡ (æÊ´§a‹ึ팋 Œo´Âæ¼¹ÀÒ¾µ¹-ãº) äÇæÅÇ´a§¹ ŒŒ ŒÕéµ¹ 㺠Œ15 15 16 16 17 17 0 2 2 2 3 3 5 5 6 7 7 7 8 8 8 0 0 1 1 1 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè oµÒæ˹§·Õè 80Ù ‹í‹80(40 1)32.8100+ =«è§¢oÁÙÅã¹µÒæ˹§·Õè æÅ ÁÕ¤Òe·Ò¡a¹¤o ึ Œí‹32a33‹ ‹ื169´a§¹¹ e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè e·Ò¡aº a鏏80‹169 «Á.

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 430 ¤ÇoÃä·Å·Õè oÂã¹µÒæ˹§·Õè 3Ù ‹í‹3(40 1)30.754+ =´a§¹¹ ¤ÇoÃä·Å·Õè ÁÕ¤Òà ËÇÒ§ a鏏3‹a‹167 æÅ a168æµäÁ㪤ҡ觡ÅÒ§ e¾ÃÒ µÒæ˹§e»¹ ‹ ‹ ‹ ‹ ึa í‹ š30.75Çi¸Õ¤íҹdz¤o ºÇ¡¨Ò¡¢oÁÙŵǫÒÂืŒaŒ 0.75 ¢o§Ã  ËÒ§ a a‹«è§eÃÒ·ÃÒºÇÒ ึ‹167 æÅ a168 ËÒ§¡a¹o ..´a§¹¹ ‹Ù ‹1aé¤ÇoÃä·Å·Õè e·Ò¡aº 3‹167(0.75 1) 167.75+×= «Á. e´ä«Å·Õè 1.5 oÂã¹µÒæ˹§· Ù ‹í‹Õè1.5(40 1)6.1510+ =´a§¹¹ e´ä«Å·Õè aé1.5 ÁÕ¤Òà ËÇÒ§ ‹a‹153 æÅ a155æµäÁ㪤ҡ觡ÅÒ§ e¾ÃÒ µÒæ˹§e»¹ ‹ ‹ ‹ ‹ ึa í‹ š6.15Çi¸Õ¤íҹdz¤o ºÇ¡¨Ò¡¢oÁÙŵǫÒÂä»ืŒaŒ 0.15 ¢o§Ã  ËÒ§ a a‹«è§eÃÒ·ÃÒºÇÒ ึ‹153 æÅ a155 ËÒ§¡a¹o ..´a§¹¹ ‹Ù ‹2aée´ä«Å·Õè 1.5 e·Ò¡aº ‹153(0.152) 153.30+×= «Á. µaÇoÂÒ§ 㹡ÒÃÊoº¤Ãaé§Ë¹§ e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè e·Ò¡aº ‹ึ 菏70‹57 ¤ æ¹¹ æÅ ÁÕ¼Êoº·ä´ÁÒ¡¡ÇÒ ¤ æ¹¹o aaÙ ŒÕ茋57aÙ ‹45¤¹ æÊ´§ÇÒÁÕ¼e¢ÒÊoº¤Ãa駹Õé·§ËÁ´¡Õ褹 ‹ÙŒ Œaée»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ¤o¤Ò«è§æº§¢oÁÙÅe»¹Ê´Êǹ 70ื ‹ ึ‹ Œša‹70/100 (½§¹oÂ) ¡aº ˜› Œ30/100 (½§ÁÒ¡) ˜›o¨·Âºo¡ÇÒÁÕ¼·Êoºä´ÁÒ¡¡ÇÒ¤Ò¹o ¤¹ ‹Ù ŒÕ茋 ‹ÕéÙ ‹45

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้431 æÊ´§ÇÒ ‹3045100×=¨Ó¹Ç¹¤¹·a§ËÁ´é´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹¤¹ (¼e¢ÒÊoº) ·§ËÁ´e·Ò¡aº aéíٌ Œaé‹150 ¤¹ 15. ¤Ò¡Òáà ¨Ò¢o§¢oÁÙÅ (ÁÕ˹ÇÂeËÁo¹¡aº¢oÁÙÅ) ‹aŒ‹ืŒ e¹o§¨Ò¡¤Ò¡ÅÒ§äÁÊÒÁÒöºo¡Å¡É³ ¢oÁÙÅä´oÂÒ§• ื苋aa ŒŒ ‹ÊÁºÃ³ ¨§µo§ãª¤Ò¡Òáà ¨Ò¤Ǻ¤Ù¡a¹´Ç ¶Ò¤Ò¡ÒÃُ ึ ŒŒ ‹a‹ŒŒ ‹¡Ã ¨Ò§ÁÒ¡ ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ¤Ò¢oÁÙÅÁÕ¤ÇÒÁ浡µÒ§¡a¹ aiè‹ ‹ Œ‹äÁe¡Ò ¡ÅÁ¡a¹ ‹au ‹ ¤Ò¡Òáà ¨Ò¨ µo§e»¹ºÇ¡ËÃoȹÂeÊÁo äÁÁÕ·Ò§• ‹aa Œšืُ‹µ´Åº e¾ÃÒ ¤íҹdz¨Ò¡¼ÅµÒ§ (¤Ò¡Òáà ¨Ò¨ e»¹ia‹‹aašÈ¹ÂeÁèo¢oÁÙÅ·¡¤ÒeËÁo¹¡a¹ËÁ´) ُ ื Œu‹ืµaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´¢oÁÙÅÊo§ªu´«è§Áըҹǹ¢oÁÙÅæŋŒึíŒa¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµe·Ò¡a¹ (e·Ò¡aº ) ´a§¹Õé ‹Õ苋8ª´ ; uA 1, 2, 2, 8, 14, 14, 15 ª´ ; uB 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10 ¨ ¾ºÇÒ ¢oÁÙÅæµÅ µÇ¢o§ªu´ ¤o¹¢Ò§oÂËÒ§¨Ò¡a‹Œ‹a aA‹ŒÙ‹ ‹¤Òe©ÅÂÁÒ¡¡ÇÒ¢oÁÙŪ´ .. 溺¹eÃÒ¡ÅÒÇÇÒ ¢oÁÙŪ´ ‹Õè‹ ŒuBÕé‹ ‹ŒuA ÁÕ¤Ò¡Òáà ¨ÒÂÁÒ¡¡ÇÒª´ ‹a‹uB

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 432 16. ¾iÊ a e»¹¤Ò¡Òáà ¨Ò·ÕèÇa´ä´ÃÇ´eÃçÇ·ÕèÊ´ 浨 ¼´¾ÅÒ´• š ‹aŒu‹a iÁÒ¡ËÒ¡¢oÁÙźҧ¨Ò¹Ç¹ÁÕ¤ÒʧËÃoµÒ¼´»¡µ æÅ äÁŒí‹Ùืèíiia‹ÊÒÁÒöe·Âº¡Òáà ¨Ò¢o§¢oÁÙÅÊo§ªu´·ÕèÁÕ¾iÊÂe·Ò¡a¹ ÕaŒa‹ ¢oÁÙÅ·Õè§äÁ模樧¤ÇÒÁ¶Õè ... ¾iÊ • Œa‹a=−maxminxx¢oÁÙŷ模樧¤ÇÒÁ¶ÕèæÅÇ ... ¾iÊ ŒÕèŒamaxminUL=−µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´¢oÁÙÅÊo§ªu´ ´a§¹ ‹ŒÕ骴 ; uA 1, 2, 2, 8, 14, 14, 15 Ça¹ª´ ; uB 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10 Ça¹¾iÊ¢o§ªu´ e·Ò¡aº aA‹15 1 14−= Ça¹ ¾iÊ¢o§ªu´ e·Ò¡aº aB‹1064−= Ça¹ ´a§¹¹ eÁèo¾i¨ÒóҨҡ¾iÊÂæÅÇ ¾ºÇÒ¢oÁÙŪ´ ÁÕ¤ÒaéืaŒ‹ ŒuA‹¡Òáà ¨ÒÂÁÒ¡¡ÇÒª´ a‹uBµaÇoÂÒ§ Êǹʧ («Á.) ¢o§¹¡eÃÕ¹ ¤¹ æÊ´§´Ç‹‹Ùa40Œæ¼¹ÀÒ¾µ¹-㺠´a§¹ ŒÕéµ¹ 㺠Œ15 ... 17 0 2 2 2 3 3 ... 5 6 ¾iÊ¢o§¢oÁÙÅe·Ò¡aº aŒ‹17615026−= «Á.

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้433 µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´¢oÁÙÅÊo§ªu´ ´a§¹ ‹ŒÕ骴 ; uA 1, 2, 2, 8, 14, 14, 15 Ça¹ ª´ ; uB 1, 3, 6, 8, 10, 13, 15 Ça¹¨ e˹ÇÒ ¾iÊ¢o§ªu´ æÅ e·Ò¡a¹¤o aç‹aAaB‹ื15 1 14−=Ça¹.. 浤ÇÒÁ¨Ãi§æÅÇ¡Òáà ¨Ò¢o§¢oÁÙÅÊo§ªu´¹äÁ‹ŒaŒÕ鋹Ҩ e·Ò¡a¹ (¤oªu´ ¹Ò¨ ÁÕ¤Ò¡Òáà ¨ÒÂÁÒ¡¡ÇÒª´ ‹a‹ืA‹a‹a‹uB e¾ÃÒ ¢oÁÙÅæµÅ µÇoÂËÒ§¨Ò¡¤Òe©ÅÂÁÒ¡¡ÇÒ) a Œ‹a aً ‹‹Õè‹æÊ´§ãËe˹¢oeÊ¢o§¡Òäi´¡Òáà ¨Ò´Ç¾iÊ ŒçŒÕaŒa17. ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹ ‹Õè(SD ËÃo ืs) e»¹¤Ò¡Òáà ¨Ò·Õè¹ÂÁãªÁÒ¡·Ê´ e¹o§¨Ò¡ÁÕ¤ÇÒÁ• š ‹aiŒÕèuื èÅ eo´ eªo¶oä´ æÅ ¹Òä»ãªã¹¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÙÅ¢aé¹Ê§ä´ aÕื ืèŒaíŒa ŒÙŒ ¢oÁÙÅ·Õè§äÁ模樧¤ÇÒÁ¶Õè • Œa‹222(xX)xsXNN∑ −∑==−(eÅo¡ãªæººã´æººË¹§æÅÇ浤ÇÒÁÊ ´Ç¡ ä´¼Åe·Ò¡a¹) ืŒึ Œè‹aŒ‹ ¤Ò eÃÕ¡ÇÒ¤ÇÒÁæ»Ã»Ãǹ æÅ ÁÕ˹ÇÂeËÁo¹• ‹2s‹a‹ื¢oÁÙÅ¡¡íÒŧÊo§ (¤íҹdz´ÇÂʵà æµäÁµo§ãÊÃÙ·) ŒaŒÙs‹ ‹ Œ‹ ŒµaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´¢oÁÙÅÊo§ªu´ «è§ÁÕ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµ‹Œึ‹Õèe·Ò¡a¹ (¤o ) ´a§¹Õé ‹ื8ª´ ; uA 1, 2, 2, 8, 14, 14, 15 Ça¹ª´ ; uB 1, 3, 6, 8, 10, 13, 15 Ça¹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 434 ¤íҹdzÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹ¨Ò¡ ‹Õè2(xX)sN∑ −=¨ ä´ aŒ2222222A7660667s7++++++=34.575.88=≈ Ça¹æÅ ¨ ä´ a aŒ2222222B7520257s7++++++=22.284.72=≈ Ça¹´a§¹¹¢oÁÙŪ´ ÁÕ¤Ò¡Òáà ¨ÒÂÁÒ¡¡ÇÒª´ ¨Ãi§ aéŒuA‹a‹uBæ** ¡ÒÃe»ÃÕºe·Âº¡Òáà ¨Ò´ÇÂ¤Ò (´a§eª¹ã¹ÕaŒ‹s‹µÇoÂÒ§¹) ¨ ·Òä´eÁèo e·Ò¡a¹e·Ò¹¹.. æµ¶Ò äÁa‹Õéa íŒ ืX‹‹aé‹ ŒX‹e·Ò¡a¹ µo§e»ÃÕºe·Âº¡Òáà ¨Ò´Ç¼ÅËÒà ‹ŒÕaŒs/X(¤Ò ‹s/X ÁÕªoeÃÕ¡ÇÒ ÊÁ»Ã Ê·¸¡ÒÃæ»Ã¼a¹ ) ื è‹ “aa ii씵aÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡Òäíҹdz㹵ÇoÂÒ§·æÅÇ ¨ ä´ ‹a‹ÕèŒaŒ¤Ò¤ÇÒÁæ»Ã»Ãǹ¢o§¢oÁÙŪ´ e·Ò¡aº ‹ŒuA‹34.57 Ça¹ 2æÅ ¤Ò¤ÇÒÁæ»Ã»Ãǹ¢o§¢oÁÙŪ´ e·Ò¡aº a ‹ŒuB‹22.28 Ça¹ 2** ºÒ§µÒÃÒ¡ÅÒÇÇÒ ¤Ò¤ÇÒÁæ»Ã»ÃǹäÁÁÕ˹Ç 틋‹‹‹

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้435 18. ÊÁºaµ¢o§¤Ò¡ÅÒ§ æÅ ¤Ò¡Òáà ¨Ò i‹a ‹a ¶Ò¢oÁÙŪ´ ·u¡ µÇ ÊÁ¾a¹¸¡aº¢oÁÙŪ´ 浕 Œ ŒuYæaaŒuX‹Å µÇ µÒÁÊÁ¡Òà a aym xc=+ ¨ ä´.. aŒ(Y)m (X)c=+ ¤Ò¡ÅÒ§¢o§è¤Ò¡ÅÒ§¢o§è..eª¹ ‹Ym Xc=+ æÅ ¤èÒ¡Òáà ¨Ò¢o§a(Y)m (X)=a¤Ò¡Òáà ¨Ò¢o§èa..eª¹ ‹YXsm s =¡ÅÒÇ ´ÂÊÃu»¤o ¤Ò¡ÅÒ§¨ ¶Ù¡¡Ã ·º·§¡Òúǡź¤Ù³‹oื‹aaaéæÅ ËÒà 浤ҡÒáà ¨Ò¹¹¶Ù¡¡Ã ·ºe©¾Ò ¡Òäٳa‹ ‹aaéaaæÅ ËÒÃe·Ò¹¹ a‹aéµaÇoÂÒ§ ¶Ò¢oÁÙŪ´ ¤o ‹Œ ŒuXื2, 2, 2, 3, 4, 7, 8, 8, 9ÁÕ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµe·Ò¡aº æÅ ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹ‹Õè‹5a ‹Õèe·Ò¡aº ‹2.79 æÅÇ Œ¢oÁÙŪ´ «è§ä´æ¡ ŒuYึ Œ ‹3, 3, 3, 5, 7, 13, 15, 15, 17¨ ÁÕ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµæÅ ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹe»¹e·Òã´ a‹Õèa ‹Õ蚋ʧe¡µä´ÇÒ ¢oÁÙŪ´ e¡i´¨Ò¡¢oÁÙŪ´ ¶Ù¡¤Ù³´Ç aŒ ‹ŒuYŒuXŒ2 æÅÇź´Ç ... ¹¹¤oÃٻ溺 ŒŒ1 aèืy2 x1=−¨Ò¡ÊÁºaµ¢o§¤Ò¡ÅÒ§ ¨ ä´ÇÒ i‹aŒ ‹Y2 X1=− ´Ç Œ´a§¹¹ aéY2(5)1 9=−=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 436 æÅ ¨Ò¡ÊÁºaµ¢o§¤Ò¡Òáà ¨Ò ¨ ä´ÇÒ ai‹aaŒ ‹YXs2 s =(¡ÒúǡźäÁÁռŵo¤Ò¡Òáà ¨ÒÂ) ‹‹ ‹a´a§¹¹ aéY s2 (2.79)5.58==µaÇoÂÒ§ ¶Ò¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµ¢o§oÒÂu¹¡eÃÕ¹ã¹Ëo§ ³ ‹Œ ‹ÕèaŒeÇÅÒ¹e·Ò¡aº » æÅ ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹe·Ò¡aº Õé‹17‚a ‹Õè‹0.2 » ‚¨ ÊÃu»ä´ÇÒ ³ eÇÅÒo¡ »¢Ò§Ë¹Ò (¢oÁÙÅoÒÂu·¡¤¹aŒ ‹Õ3‚ ŒŒŒu¶Ù¡ºÇ¡´Ç ) ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµ¢o§oÒÂu¨ ¡ÅÒÂe»¹ Œ3‹Õèaš20» æµÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹ§¤§e·Òe´iÁ¤o ‚‹ ‹Õèa‹ื0.2 » ‚µaÇoÂÒ§ Çi¸ËÒ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµ¢o§¢oÁÙŪ´¹Õé ‹Õ‹ÕèŒu241, 247, 250, 243, 251, 245, 243, 242, 253 溺äÁoÒÈÂe¤Ãèo§¤i´eÅ¢ ‹aืÊÒÁÒö¤i´´ÇÂÇi¸Å´·o¹¢oÁÙÅŧ ´Âź´Ç¤Ҥ§·Õè¤ÒŒÕŒoŒ‹‹Ë¹§ eª¹Åº´Ç ึ 苌240 ¢oÁÙŨ ¡ÅÒÂe»¹ Œaš1, 7, 10, 3, 11, 5, 3, 2, 13 «è§¤íҹdz¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµä´§ÒÂ¢é¹ ึ‹ÕèŒ ‹ึæÅ ¤íҹdzä´e»¹ aŒ š1 710... 136.119++ + + =eÁèooÒÈÂÊÁºaµ¢o§¤Ò¡ÅÒ§ ¨§ÊÃu»ä´ÇÒ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµืai‹ึŒ ‹ ‹Õè¢o§¢oÁÙÅã¹ ¨·Â¤o Œo ื6.11 240246.11+= ¹¹eo§ aè

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้437 19. ¡® “95% Rule” ¡ÅÒÇÇÒ äÁÇÒ¢oÁÙÅÁÕ¡Òáà ¨Ò‹‹‹ ‹ Œa溺㴠(»¡µ, eº«ÒÂ, eº¢ÇÒ) »ÃiÁÒ³¢oÁÙÅÊǹãË iŒ ŒŒŒ‹­ ‹(»Ã ÁÒ³ a95%) ¨ ÁÕ¤ÒoÂ㹪ǧ a‹Ù ‹‹X2s ± eÊÁo ¡®¹ãª»Ã ª¹ã¹¡Òûà ÁÒ³¤Ò ¨Ò¡¾iÊ •ÕéŒaoa‹sao´Â»Ã ÁÒ³e»¹ ašs4 =¾ÊÂiaµaÇoÂÒ§ ¶Ò¢oÁÙŪ´Ë¹§ÁÕ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµe·Ò¡aº ‹Œ Œuึ è‹Õè‹20æÅ ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹe·Ò¡aº a ‹Õè‹3¨Ò¡¡® “95% Rule” ¨ ·Ò¹ÒÂä´ÇÒ ¢oÁÙÅÊǹãË ¨a íŒ ‹Œ‹­ ‹aÁÕ¤ÒoÂ㹪ǧ ‹Ù ‹‹202(3) ± ..¹¹¤oªÇ§ ¶§ aèื ‹14ึ26µaÇoÂÒ§ ¶Ò¢oÁÙŪ´Ë¹§ÁÕ¤Òʧʴe·Ò¡aº æÅ ¤Ò‹Œ Œuึ è‹Ùu‹26a ‹µÒÊ´e·Ò¡aº èíu‹14¨Ò¡¡® “95% Rule” ¨ »Ã ÁÒ³¤Ò ä´´a§¹Õé a a‹sŒ2614s344 −≈= = ¾iÊaÂ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 438 40 42 44 46 48 50 52 20. æ¼¹ÀÒ¾¡Åo§ ªÇÂãËÇie¤ÃÒ Ë¡Òáà ¨Ò¢o§¢oÁÙŋ‹Œa aŒã¹æµÅ ÊǹÂo æÅ ªÇÂãËe˹šɳ ¡ÒÃeºä´.. ‹a ‹‹æa ‹ŒçaaŒ Œ e¢Õ¹ ´ÂoÒÈ¢oÁÙŵÒÊ´, ¢oÁÙÅʧʴ, æÅ ¢oÁÙÅ㹕oaŒèíuŒÙua ŒµÒæ˹§¤ÇoÃä·Å·Õè 틏1, 2, 3 »Ã ¡oº¡a¹º¹eʹ¨Ò¹Ç¹ aŒí·ÒãËÇie¤ÃÒ Ëä´ÇÒ¢oÁÙÅ㹪ǧ㴠(㹺ÃÃ´Ò ªÇ§) ·ÕèÁÕíŒa Œ ‹ Œ‹4‹¡Òáà ¨ÒÂÁÒ¡¡ÇÒ¡a¹ a‹µaÇoÂÒ§ ÊÁÁµi ‹=min x40, 1 Q43.5 =, 2 Q46 =, 3 Q50.5=, æÅ a=max x52 ¨ ä´æ¼¹ÀÒ¾´a§ÃÙ» aŒ** eÃÕ¡ªÇ§ ‹12 (Q ,Q ) æÅ a23 (Q ,Q ) ÇÒ ¡Åo§ ‹‹eÃÕ¡ªÇ§ ‹min1(x,Q ) æÅ a3max (Q ,x) ÇÒ Ë¹Ç´ ‹µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾¡Åo§ã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ ÊÒÁÒö‹‹a‹ÕèŒÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÙÅä´´a§¹.. a ŒŒÕé- ¢oÁÙŵÒÊ´ÁÕ¤Òe·Ò¡aº , ÊÙ§Êu´ÁÕ¤Òe·Ò¡aº Œèíu‹ ‹40‹ ‹52(´a§¹¹¾iÊÂe·Ò¡aº ) aéa‹12- Áa¸Â°Ò¹ÁÕ¤Òe·Ò¡aº ‹ ‹46- ¤ÇoÃä·Å·Õè æÅ ÁÕ¤Ò 1a3‹43.5 æÅ a50.5

พื้นฐาน บทท การวิเคราะห์ขอมลเบื้องต้นี่ 2 ู้439 - ¢oÁÙÅ㹪ǧ Œ‹40–43.5, ªÇ§ ‹43.5-46, ªÇ§ ‹46–50.5, æÅ ªÇ§ a ‹50.5-52 Áըҹǹe·Ò¡a¹ (ªÇ§Å 틋a25%)- ¢oÁÙÅ㹪ǧ Œ‹43.5–50.5 Áըҹǹ¤Ãè§Ë¹§¢o§¢oÁÙÅíึึ 茷§ËÁ´ (㹪ǧ aé‹40-52) - ¢oÁÙÅ㹪ǧ Œ‹46–50.5 ÁÕ¡Òáà ¨ÒÂÁÒ¡·ÕèÊ´ æÅ ªÇ§ aua ‹50.5-52 ÁÕ¡Òáà ¨Ò¹o·ʴ aŒÕèu

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 440 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .5 เทอม 2 บทที่ 3การสารวจความเห็นํ1. »Ãaoª¹·ä´¨Ò¡¡ÒÃÊÒÃǨ¤ÇÒÁ¤i´e˹¤ ÕèŒíçืo ¹Ò任ú»Ãu§æ¡ä¢¡Òû¯iºµ ¡ÒôíÒe¹¹§Ò¹·•íaŒaiiÕèe»¹  ãËÁÕ»ÃaÊ·¸ÀҾ§¢é¹ šo Ù ‹Œiiièึ ¡íÒ˹´æ¼¹¡Òà ¹oºÒÂÊÒËú ¹Ò¤µ ãËÁՕía oŒ»ÃaÊ·¸ÀÒ¾ ii µ´Ê¹ã¨ÇÒ¨a´íÒe¹¹§Ò¹µ Ëà ¡eÅ¡o¤Ã§¡Òà •ai‹i‹oืoi2. ¡ÒÃÊÒÃǨ¤ÇÒÁ¤i´e˹ »Ãa¡ º´Ç ¢é¹µ ¹ íçoŒ4a o ¡íÒ˹´¢ ºe¢µ¢ §¡ÒÃÊÒÃǨ •ooí ¡íÒ˹´Çi¸eÅ ¡Ëà ÊÁµÇ ÂÒ§ •Õืoื ‹o ua o‹ ÊÃҧ溺ÊÒÃǨ æÅa´íÒe¹¹¡ÒÃÊÒÃǨ •Œíií »ÃaÁÇżÅæÅaÇie¤ÃÒaˤÇÒÁ¤i´e˹·ä´Ãº •çÕèŒa3. ¼Å¡ÒÃÊÒÃǨ¨aÁÕ¤ÇÒÁ浡µÒ§ËÅÒ¡ËÅÒ ¢é¹¡ºí‹ึaʶҹa¢ §¼µ º ´§¹¹¡ÒáíÒ˹´¢ ºe¢µ¢ §¡ÒÃÊÒÃǨ oÙ Œoa aéooíÁ¡¨aeÅ ¡´ÇšɳaµÒ§ ¢ §¡ÅÁ¼µ º eª¹ ÒÂu aืoŒa‹æ ou‹ ŒÙo‹ooÒª¾ Ãa´º¡ÒÃÈ¡ÉÒ ¾é¹·  ÒÈ Ëà Ãa´º¤ÇÒÁÕaึืÕèo o aÙ ‹ืoae¡ÕèÂÇ¢ §¡ºeÃè §·¨aÊÒÃǨ .. æÅa¡ÒÃÊÃu»¼Å¡ç¨a桵ÒÁŒo a oืÕèíšɳaµÒ§ ´§¡ÅÒÇ´ÇÂeª¹¡¹ a‹æ a‹Œ‹a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 442 4. ¡ÒÃeÅ ¡µÇ ÂÒ§ ¤ÇÃä´µÇ ÂÒ§·ÕèÁÕšɳa´§¹Õé ืo a o‹Œa o‹aa ¤Ã º¤ÅÁ·u¡ »ÃaeÀ·¢ §¡ÅÁµÇ ÂÒ§ ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁ•ouæou ‹a o‹e¡ÕèÂÇ¢ §¡ºeÃè §·ÕèÊÒÃǨ Œo a oืí ÁÕµÇ ÂÒ§æµÅa»ÃaeÀ·e»¹¨Ò¹Ç¹ÁÒ¡¾ æÅae»¹•a o‹‹šíošÊ´Êǹã¡Åe¤Õ§¤ÇÒÁe»¹¨Ãi§¢ §Ãa´º»ÃaªÒ¡Ã a‹Œšoa5. Çi¸¡ÒÃeÅ ¡µÇ ÂÒ§ ·Õè¹ÂÁãªä´æ¡ Õืo a o‹iŒ Œ ‹ ¡ÒÃeÅ ¡µÇ Âҧ溺ÊÁ (eÃÕ¡ÇÒ¡ÒÃÊÁµÇ ÂÒ§) •ืo a o‹u ‹‹u ‹a o‹eËÁÒa¡º¡Ã³Õ·eÃÒ·ÃÒº ¡Ã ºµÇ ÂÒ§ ª´e¨¹ (eª¹ÁÕaÕè“o a o‹ ”a‹ÃÒÂªè ·§ËÁ´ ÂæÅÇ) æÅa¢ ºe¢µäÁãË e¡i¹ä» ..o´Â¡ÒÃืo aéo ً Œo‹ ­‹ÊÁ Ò¨·Ò´ÇÂÇi¸Õ¨ºÊÅÒ¡, 㪵ÒÃÒ§eÅ¢ÊÁ, Ëà ÊÁ´ÇÂu ‹oíŒaŒu ‹ื ‹ Œo u¡®e¡³±·e»¹ÃaeºÂºµÒ嵂 (eª¹ eÅ ¡·u¡ ¤¹·Õè ) ÕèšÕa‹ืoæ5 ¡ÒÃeÅ ¡µÇ Âҧ溺ªé¹ÀÙÁi •ืo a o‹aeËÁÒa¡º¡Ã³Õ·eÃÒ·ÃÒº¡Ã ºµÇ ÂÒ§ª´e¨¹ æÅa¡Ã ºaÕèo a o‹aoµÇ Âҧ§ÊÒÁÒö溧e»¹¡ÅÁ  䴵ÒÁšɳaa o‹a‹ šu‹ ‹o æŒaºÒ§ ÂÒ§ ãËeÅ ¡µÇ ÂÒ§ÁÒe»¹µÇæ·¹ÊÒËú·u¡ ¡ÅÁo ‹Œ ืo a o‹šaíaæu ‹Â Âãˤú¶Ç¹ ..Çi¸Õ¹¨a·ÒãËä´µÇ ÂÒ§·Õè´Õ§¢é¹ ‹oŒŒÕéíŒ Œa o‹ièึ ¡ÒÃeÅ ¡µÇ Âҧ溺ËÅÒÂ¢é¹ •ืo a o‹a㹡óշ¡Ã ºµÇ ÂÒ§ÁÕ¡ÒèÒ湡»ÃaeÀ·Â  šŧä»Õèo a o‹í‹o æึËÅÒÂ¢é¹ äÁ¨Òe»¹µ §·ÃÒº¡Ã ºµÇ ÂÒ§ª´e¨¹·§ËÁ´ a‹íš Œoo a o‹aa ée¾Õ§eÅ ¡µÇ ÂÒ§¨Ò¡¡ÅÁ ·ÕèÅ¡·ÕèÊ´¢ §æµÅa»ÃaeÀ·ืo a o‹u‹ ‹oึuo‹

พื้นฐาน บทที่ 3 การสํารวจความคิดเห็น443 ÁÒºÒ§¡ç¾ ..¢ ´Õ¢ §Çi¸Õ¹Õé¤ ªÇ»ÃaË´eÇÅÒæÅaŒoŒo oื ‹oa¤Ò㪨Ò ‹ Œ ‹ ¡ÒÃeÅ ¡µÇ Âҧ溺¡íÒ˹´o¤ÇµÒ •ืo a o‹ãªÊÒËú¡Ã³Õ·eÃÒæ·º¨aäÁ·ÃÒº¡Ã ºµÇ ÂÒ§eÅ ãˌíaÕè‹o a o‹Œ¡íÒ˹´Å¡É³aæÅa¨Ò¹Ç¹¢ §µÇ ÂÒ§æµÅa¡ÅÁ¤ÃÒÇ aío a o‹‹u ‹‹ææÅÇ´íÒe¹¹¡ÒÃÊÒÃǨãË䴤úµÒÁ¨Ò¹Ç¹·Õ赧äÇ¡ç¾ æµŒiíŒ Œía éŒo‹·§¹Õéµ §¾ÂÒÂÒÁãËÁÕ¤ÇÒÁ¤Ã º¤ÅÁÁÒ¡·ÕèÊ´e·Ò·¨a·Òä´ a éŒoŒouu‹ÕèíŒ6. 溺ÊÒÃǨ¤ÇÒÁ¤i´e˹·Õè´Õ¤ÇÃÁÕšɳa´§¹ íçaaÕé e»¹æººÊÒÃǨ·Õè·ÒãËä´Ãº¢ ÁÙÅ ÊǹÊÒ¤• šííŒ Œa o Œ3‹ía­¤Ãº¶Ç¹ ä´æ¡ ŒŒ ‹- ¢ ÁÙÅe¡ÕèÂÇ¡º¼µ º (eª¹ e¾È ÒÂu Òª¾ ÏÅÏ) ·eË繌oaÙ Œo‹o oÕÕèÇÒÁռŵ ¡ÒèÒ湡¤ÇÒÁ¤i´e˹e»¹¡ÅÁ  ‹‹oíçšu‹ ‹o- ¤ÇÒÁ¤i´e˹¢ §¼µ º eª¹ Ãa´º¤ÇÒÁ¾§¾ 㨠çoÙ Œo‹aึo- ¢ eʹ æ¹ae¾ièÁeµÁ¢ §¼µ º Œo oioÙ Œo ¤íÒ¶ÒÁ·ãªÊÒÃǨ¨aµ §e»¹¡ÅÒ§ äÁ¾ÂÒÂÒÁª¡¹íҕÕèŒíŒoš‹a¼µ ºä»ã¹·Ò§ã´·Ò§Ë¹§o´ÂäÁÃÙµÇ Ù Œoึ è‹ Œa ¨Ò¹Ç¹¤íÒ¶ÒÁäÁÁÒ¡e¡i¹ä» e¾è ã˼µ ºÁÕ¤ÇÒÁe Ò㨕í‹ืoŒ ŒÙooãÊ æÅae¾è ãËäÁʹe»Å §eÇÅÒæÅa¤Ò㪨ÒÂe¡i¹ä» ‹ืoŒ ‹iéืo‹ Œ ‹7. eÁè ä´Ãº¤ÇÒÁ¤i´e˹ÁÒæÅÇ ¨aµ §»ÃaÁÇżÅæÅaืoŒa猌oÇie¤ÃÒa˼Šo´Â¡Ãa·Ò桵ÒÁšɳa¢ §¡ÅÁ¼µ º íaou‹ ŒÙo

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 444 e¾è ãËÇie¤ÃÒaËä´ÇÒ»¨¨Âã´·ÕèÁռŷÒãËe¡i´¤ÇÒÁe˹·ืoŒ Œ ‹ ˜aíŒçÕè浡µÒ§¡¹ ‹a8. eÁè Çie¤ÃÒa˼ÅæÅÇ¡ç¨aä´æ¹Ç·Ò§¡ÒôíÒe¹¹§Ò¹ËÃืoŒŒiืoÇҧ漹µ ä» «è§e¡³±ã¹¡Òõ´Ê¹ã¨ÁÕ Â Å¡É³a ‹oึaio Ù ‹2a e¡³±·µÒ嵂 e»¹Áҵðҹ¢é¹µÒ·Õè¹ÂÁ㪠•ÕèašaèíiŒeª¹ µ §ÁÕ¼µ ºµ¡Å§Ê¹ºÊ¹¹e§¹e¾Õ§¾ µ ¤Ò㪨Ò ‹ŒoÙ Œoauio o‹ ‹ Œ ‹¨§¨a´íÒe¹¹o¤Ã§¡Òõ ä»ä´ ึi‹oŒ e¡³±·Õ赧¢é¹ãËÁe § µÒÁ·Õè¼ÊÒÃǨe˹ÇÒeËÁÒaÊÁ •a éึ‹oÙ Œíç‹eª¹ µ §ÁÕ¼e˹´Ç ÂÒ§¹ Âà ÂÅae·Òã´ ¨§¨a´íÒe¹i¹‹ŒoÙ ŒçŒo ‹Œo o Œ‹ึo¤Ã§¡Òõ ä».. Ëà Ãa´º¤ÇÒÁ¾§¾ ã¨ÁÒ¡¹ Âe¾Õ§㴋oืoaึoŒo¨§¨a»Ãº»Ãu§¡ÒôíÒe¹¹§Ò¹ ÂÒ§äà ึaio ‹

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .5 เทอม 2 บทที่ 1จํานวนเชิงซอน1. ÁÕ¡ÒÃÊÁÁµi¨Ò¹Ç¹æººãËÁ¢é¹¹o¡e˹o¨Ò¡¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ í‹ ึืío´Â¹ÂÒÁãË iŒi1= − eÃÕ¡ÇÒ ¨Ò¹Ç¹¨¹µÀÒ¾ ‹ “íi” Ãaºº¨Ò¹Ç¹·ãË ·ÕèÊ´»Ãa¡oº¨Ò¡¨Ò¹Ç¹¨Ãi§æÅa•íÕè­ ‹uí¨Ò¹Ç¹¨¹µÀÒ¾ oÂã¹ÃÙ» íiÙ ‹abi+ ( ´Â æÅa e»¹oabš¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) eÃÕ¡ÇÒ ¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ (ËÃoe«µ ) í‹ “íŒ ”ืC«è§ÁÕ e»¹Êǹ¨Ãi§ æÅa e»¹Êǹ¨¹µÀÒ¾ ึaš ‹bš ‹i ¹ÂÁæ·¹µÇæ»Ã·e»¹¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹´Ç •iaÕèšíŒŒz æÅa¶Ò Œzabi= + ÊÒÁÒöe¢Õ¹ÇÒ ‹aRe (z) = æÅa bm(z) = I ä´ ŒµÇoÂÒ§ ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§·§ËÁ´¶oe»¹¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹´Ç a‹ía éืšíŒŒeª¹ ‹550i= +, 220i− =−+, 0i=+ππeËÅÒ¹ÕéÅǹe»¹¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ «è§ÁÕÊǹ¨¹µÀÒ¾e·Ò¡º ‹ŒšíŒึ‹i‹a0µÇoÂÒ§ µÇoÂÒ§¢o§¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ eª¹ a‹a‹íŒ‹34 i +, 2i −+, 2i −π, 3i− e»¹µ¹ š ŒÊǹ¨Ãi§¤o ‹ื3, 2, -π, 0 µÒÁÅÒ´º íaæÅaÊǹ¨¹µÀÒ¾¤o ‹iื4, 1, 2 , 3 −- µÒÁÅÒ´º ía

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 446 2. ÊÒÁÒö㪤Ùo¹´º Œ ‹a a(a,b) ËÃoeÇ¡eµo÷Õ誨ҡ¨u´ืÕé¡íÒe¹´ÁÒ§ ia(a,b) æ·¹¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ íŒzabi= + ä´ ŒæÅaæ¼¹ÀÒ¾¨ae»Å¹¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ã¹æ¡¹¹o¹ Áiµi ÕèŒí1¡ÅÒÂe»¹ Ãa¹Òºeªi§«o¹ Áiµ š “Œ ”2i(ÁÕ桹¨Ãi§¡ºæ¡¹¨¹µÀÒ¾) aiµÇoÂÒ§ ÃÙ»æÊ´§µÒæ˹§ a‹í‹¢o§¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ íŒ(3, 2)-ËÃo ื32i −3. 㹡ÒäíҹdzeÃÒ»¯iºµeËÁo¹¡º e»¹µÇæ»Ã˹è§aiืaišaึe¾Õ§e·Ò¹¹ (æµeÁèoã´·¾º ¨aµo§¡ÅÒÂe»¹ ) ‹a é‹ ืÕè2iŒš- 1 ¹ÂÒÁ¡ÒÃe·Ò¡¹ •i‹aabicdi+=+ ¡çµoeÁèo ‹ ืac = æÅa bd = ¹ÂÒÁ¡Òúǡ •i(abi) (cdi) (a c) (b d)i+++=+++ ¹ÂÒÁ¡Òäٳ (¤Ù³æ¨¡æ¨§ãˤú·¡¤Ù) •iŒu‹2(abi) (cdi)acadi bci bdi+×+=+++(ac bd) (ad bc)i=−++µÇoÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà a‹(x 4) (y 2)i3++− =e·ÂºÊÁ»ÃaÊ·¸¢o§Êǹ¨Ãi§ æÅa¢o§Êǹ¨¹µÀÒ¾ Õaii싋iä´e»¹ Œ šx43+ = æÅa y20 −=´§¹¹ a aéx1=− æÅa y2=im re O 3 (3, 2) --2

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ447 µÇoÂÒ§ ¶Ò¡íÒ˹´ a‹Œ1 z3 2i =− æÅa 2 z4 i= +¨aä´ Œ12zz(3 2i) (4 i)7 i+=− ++=−æÅa 12zz(3 2i) (4 i)1 3i−=− −+=−−æÅa 212 zz(3 2i) (4 i)12 3i 8i 2i=− ⋅+= +−− 14 5i=−** ã¹Ãaºº¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹¨aäÁÁÕ¡ÒÃe»ÃÕºe·Âº(1)팋ÕÁÒ¡¡ÇÒ, ¹o¡ÇÒ ‹Œ‹(2) ÊÁ¡Òà abab×= ¨aäÁe»¹¨Ãi§ ¶ÒËÒ¡ ‹ šŒa, b ÁÕ¤Òµ´Åº¾ÃoÁ¡¹·§Êo§¨Ò¹Ç¹ ‹iŒa aéí4. ÊÁºµ¢o§¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ eËÁo¹¡ºÊÁºµ¢o§¨Ò¹Ç¹aiíŒืaaií¨Ãi§·¡»Ãa¡Òà ¹¹¤oÊÁºµi»´, ¡ÒÃÊź·¡ÒúǡæÅaua èืaaÕè¤Ù³, ¡ÒÃe»Å¹¡ÅÁ¡ÒúǡæÅa¤Ù³, ¡ÒÃ模樧, æÅaÕèu ‹¡ÒÃÁÕeo¡Å¡É³¡ºo¹eÇoÃÊ aai eo¡Å¡É³¡Òúǡ¤o ËÃo •aื0ื00i + ËÃo ื(0,0)æÅaeo¡Å¡É³¡Òäٳ¤o ËÃo aื1ื10i + ËÃo ื(1,0)(eª¹e´ÕÂÇ¡ºÃaºº¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) ‹aí o¹eÇoÃÊ¡Òúǡ¢o§ •izabi= +¤o ืza bi −= −− o¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§ •izabi= +¤o ื111zabiz −+==

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 448 «è§ÊÒÁÒö¤íҹdz¤Òä´ ´Â ¹Ò ึ‹ Œoíabi − ¤Ù³·§eÈÉæÅa a éÊǹ ¨aä´ ‹Œ()()−+++ +==− 222222aabib1ababia ba biµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œz32i=− + ¨aä´ Œo¹eÇoÃÊ¡Òúǡ¢o§ ¤o izืz3 2i−=−æÅao¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§ ¤o izื111zz3 2i− == −+2232131313 2i3 2ii32i32i32⎛ ⎞ −−−−=⋅== −−⎜⎟ −+−−+⎝⎠µÇoÂÒ§ ¶Ò¡íÒ˹´ a‹Œ1 z3 2i =− æÅa 2 z4 i= +¨aä´ Œ12z3 2i3 2i4 iz4 i4 i4 i−−− ⎛⎞==⋅⎜⎟++− ⎝⎠ 221011171712 3i 8i 2i10 11ii16 4i 4i i17−−+−=== − −+−æÅa¨aä´ Œ21z4 i4 i3 2iz3 2i3 2i3 2i+++ ⎛⎞==⋅ ⎜⎟−−+ ⎝⎠ 2221011131312 8i 3i 2i10 11ii3213++++=== + +

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ449 ·Äɮպ··e¡ÕèÂÇ¢o§¡ºo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ •ÕèŒaiä´æ¡ Œ ‹1111212(z z )zz−−− = æÅa n11 nn(z )(z )z−−−==µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œz1 2i =− ãËËÒ¤Ò Œ‹25z−¨aä´ Œ222555zz(1 2i)−== −55(1 4)4i3 4 i== −− −− 34555( 34 i)i25−+== − +5. ¡íÒŧ¢o§ ÁÕe¾Õ§ 溺 ËÁu¹e»ÅÕ蹡¹ ai4a¤o ื1ii = ... 2i1=− ... 3ii=− ... 4i1=5ii = ... 6i1=− ... 7ii=− ... 8i1= ..ÏÅÏ (Å´·o¹eÅ¢ªÕé¡íÒŧŧ eËÅoe¾Õ§eÈɨҡ¡ÒÃËÒôÇ ) aืŒ4µÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ a‹‹262728iii++¨ae·Ò¡º ‹a234iii( 1) ( i) (1)i++=− +− += −µÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ a‹Œ‹1210 (1 i)(1 i)+−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 450 Çi¸Õ·Õè e¹o§¨Ò¡ 1ื è22(1 i)1 2i i2i+=++=æÅa 22(1 i)1 2i i2i−=−+=−´§¹¹ a aé12661055(1 i)(2i)64 i2i(1 i)( 2i)32 i+ === −−−− Çi¸Õ·Õè e¹èo§¨Ò¡ 2ื1i1i1 i2ii1 i1i1i2++ ⎞ + ⎛⎛ ⎞⎛⎞=⋅==⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠⎝⎠⎝⎠´§¹¹ a aé1012210 (1 i)1 i(1 i)(1 i)1 i++ ⎛⎞=+ ⎜ ⎟−− ⎝⎠ 1110(i) (2i)2i2i=== −(e¾ÃÒaÇÒ ‹==− 113iii) 6. ã¹eÈÉÊÇ¹Ë¹è§ eÁèoÁըҹǹeªi§«o¹ ‹ึæืíŒabi + e»¹µÇšaÊǹ ¨a¹Ò ʧÂu¤ ¢o§ ‹í“ a”abi + ¤o ืabi − ÁÒ¤Ù³·é§aeÈÉæÅaÊǹ e¾èoã˵ÇÊǹ¡ÅÒÂe»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ‹ืŒa‹ší22(a b ) + Ê Å¡É³·ãªæ·¹Ê§Â¤¢o§ ¤o • ­a aÕèŒauzืz¶Ò Œzabi= + æÅÇ ¨aä´ ŒŒzabi= −µÇoÂÒ§ ʧ¤¢o§ a‹au1 z2 3i= + ¤o ื1 z2 3i= −ʧ¤¢o§ au2 z1 i =− − ¤o ื2 z1 i =− +ʧ¤¢o§ au3 z3i 2=− ¤o ื3 z3i 2=−−ʧ¤¢o§ au4 z5= ¤o ื4 z5=ʧ¤¢o§ au5 z5i= ¤o ื5 z5i=−