รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

เพิ่มเติม บทที่ 2 การแจกแจงปกติ551 ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ¢oÁÙÅe¡oº·¡¤Ò¨ oÂ㹪ǧ •‹Œืu‹aÙ ‹‹−+ (X 2s, X 2s) æÅ ·Òã˻à ÁÒ³ä´ÇÒ ¾iÊaÂa íŒaŒ ‹4s ≈(¹ÂÁ㪻à ª¹ã¹¡Òûà ÁÒ³¤Ò ¨Ò¡¾iÊÂ) iŒaoa‹sa5. e¹o§¨Ò¡¾é¹·ãµeʹ ¤§¢o§¤ÇÒÁ¶Õè ¨ e·Ò¡aº¤ÇÒÁ¶Õèื èืÕèŒ ŒoŒa‹ÃÇÁ¾o´Õ (e»¹¼Å·ä´¨Ò¡Å¡É³ ¡ÒÃÊÃÒ§ÎiÊ ·æ¡ÃÁ) šÕèŒaaŒo¨§¤íҹdze¡ÕèÂÇ¡aºµÒæ˹§ÊÁ¾a·¸¢o§¢oÁÙÅ (Áa¸Â°Ò¹, ึí‹aŒ¤ÇoÃä·Å, e´ä«Å, e»oÃe«ç¹ä·Å) ä´¨Ò¡¾é¹·ãµ ¤§ ŒืÕèŒ ŒoµaÇoÂÒ§ ¶Ò e»¹¤Ò¢oÁÙÅ·Õ赴溧¾é¹·ãµ ¤§ ·Ò§«Ò‹Œxš ‹ Œa‹ ืÕèŒ ŒoŒæÅ ¢ÇÒ oo¡e»¹Ê´Êǹ aša‹70 : 30 (´a§ÃÙ») ¡çËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ Áըҹǹ¢oÁÙÅ·ÕèÁÕ¤Ò¹o¡ÇÒ oÂÙÃoÂÅ ‹íŒ‹ Œ‹x‹ Œa70 ..¹¹¤o e»¹e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ¹¹eo§ aèืxš70aè ã¹Ã ´aºªaé¹¹Õé¨ È¡ÉÒe©¾Ò ¤§»¡µ æÅ oÒȵÒÃÒ§•aa ึaoŒiaa㹡ÒÃËҤҾ鹷㵠¤§ æµã¹µÒÃÒ§¨ à ºu¢oÁÙÅe»¹ ‹ ืÕèŒ Œo‹a aŒšze¾èoãË㪡aº¢oÁÙŪ´·ÕèÁÕ¤Ò ¡aº e»¹e·Òã´¡çä´.. ืŒ ŒŒu‹Xsš‹Œ(eÃÕ¡ ¤§»¡µi«è§æ¡¹¹o¹e»¹ ÇÒ ¤§»¡µÁҵðҹ ) oŒึšz‹ “ Œoi”x70% 30%

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 552 6. ʧÊÒ¤a ã¹µÒÃÒ§¤o ièí­ื ¾é¹·ãµ ¤§ÃÇÁ¡a¹·§ËÁ´ (¤ÇÒÁ¶ÕèÃÇÁ) ¨ ¶Ù¡»Ãaº• ืÕèŒ ŒoaéaãËe»¹ Œ š100% ËÃo ื1.00 ¾o´Õ e¾èoãËe·Âºe»¹e»oÃe«ç¹ืŒÕšä·Åä´§Ò  Œ ‹ ¤Ò·Õèà ºã¹µÒÃÒ§ æÊ´§¾é¹·ãµ ¤§·ÕèÇa´Ã ËÇÒ§• ‹a uืÕèŒ Œoa‹µÒæ˹§ í‹z0= (¡è§¡ÅÒ§ ¤§ µÃ§¡aºµÒæ˹§ ) ä»ึoŒí‹X¶§µÒæ˹§ 㴠㹫ա¢ÇÒ¢o§ ¤§ (¤o¤Ò e»¹ºÇ¡) ึí‹zæoŒื ‹zše·Ò¹¹ ‹aé Êǹ¾é¹·ã¹«Õ¡«Ò («è§ ÁÕ¤Òµ´Åº) ¨ ËÒä´ ´Â• ‹ืÕèŒึz‹iaŒooÒȤÇÒÁÊÁÁҵâo§ÃÙ»¡ÃÒ¿ aµaÇoÂÒ§ ÊÒÁÒöËÒÇÒe»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ÁÕ¤Òe·Òã´ ‹‹65‹ ‹¨Ò¡¡ÒÃe»´µÒÃÒ§·Õè¾é¹·Õè ื0.15«è§ã¹µÒÃҧà ºuÇÒ ึa‹z0.385=(¨Ò¡¹¹¡ç¹Ò令íҹdz¡Åºe»¹¤Ò¢oÁÙÅ ä´ ¶ÒËÒ¡aéíaš ‹ ŒxŒ Œ·ÃÒº¤Òe©ÅÂæÅ ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹ) ‹Õèa ‹Õèx z P65 0.385 A = 0.15

เพิ่มเติม บทที่ 2 การแจกแจงปกติ553 µaÇoÂÒ§ ã¹·Ò¹o§e´ÕÂÇ¡a¹ e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ‹í20ËÒä´¨Ò¡¡ÒÃe»´µÒÃÒ§·Õè¾é¹·Õè Œื0.3 ä´¤Ò Œ ‹z0.841=æµe¹o§¨Ò¡e»¹¾é¹··Ò§«Õ¡«Ò¢o§ ¤§ ‹ ืèš ืÕèŒoŒ¤Ò ·æ·¨Ãi§¨§µo§e»¹ ‹zÕèŒึ Œš-0.841 µaÇoÂÒ§ µÒÃÒ§µo仹æÊ´§¤Ò¾é¹·ãµ ¤§»¡µÁҵðҹ ‹‹Õé‹ ืÕèŒ Œoià ËÇÒ§ a‹z0= ¶§ ึzz =ãËËÒ¢¹Ò´¾é¹·ãµ ¤§ 㹪ǧ·ÕèÁÕ¤Ò µo仹Õé ŒืÕèŒ Œo‹‹z‹x z P X 20 0.841 0-A = 0.3zA0.00 1.00 1.29 2.00 0.0000 0.3413 0.4000 0.4773

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 554 •z0= ¶§ ึ1.29¾é¹·e·Ò¡aº ืÕè‹0.4•z0= ¶§ ึ- 2¾é¹·e·Ò¡aº ืÕè‹0.4773•z1.29=− ¶§ ึ2¾é¹·e·Ò¡aº ืÕè‹0.4 0.4773+•z1= ¶§ ึ2¾é¹·e·Ò¡aº ืÕè‹0.4773 0.3413-•z1.29<−¾é¹·e·Ò¡aº ืÕè‹0.5 0.4-

เพิ่มเติม บทที่ 2 การแจกแจงปกติ555 7. ÊÃu»¡Ã ºÇ¹¡ÒÃÊÒËÃaº ¨·Â» ËÒe¡ÕèÂÇ¡aº¾é¹·ãµ ¤§ aío ˜­ืÕèŒ Œo ãªÊٵà e»´µÒÃÒ§ e·ÕºÊa´Êǹ Œ‹xzAP,D,Q←⎯→←⎯→←⎯→µaÇoÂÒ§ ¼Å¡ÒÃÊoº¢o§¹¡eÃÕ¹¡ÅÁ˹§ÁÕ¡ÒÃ模樧‹au ‹ึ è溺»¡µ ¤Òe©ÅÂeÅ¢¤³iµ¢o§¤ æ¹¹Êoºe·Ò¡aº i‹Õèa‹65¤ æ¹¹ æÅ ÊǹeºÂ§eº¹Áҵðҹe·Ò¡aº ¤ æ¹¹ aa ‹Õè‹6a¡íÒ˹´¾é¹·ãµ ¤§»¡µÁҵðҹe»¹´a§µÒÃÒ§ ืÕèŒ Œoišz0.580.651.52.5A0.22000.24000.43300.4940 ¼·Êoºä´µÒæ˹§e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ¨ Êoºä´¡Õè• ŒÙÕèŒí‹74aŒ¤ æ¹¹ ae»oÃe«ç¹ä·Å·Õè æÊ´§ÇÒ 74‹o·ҧ«Õ¡¢ÇÒ¢o§ ¤§ Ù ‹oŒæÅ Áվ鹷æÃe§Òã¹ÃÙ» aืÕèe·Ò¡aº ‹0.24¨Ò¡µÒÃÒ§¨ ä´¤Ò aŒ ‹z0.65=´a§¹¹ ¨ ä´ aéaŒ74 P6560.65−=¹¹¤o aèื74 P68.9= ¤ æ¹¹ a0.24 P 6574x0.50

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 556 ¼·Êoºä´µÒæ˹§e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè ¨ Êoºä´¡Õè• ŒÙÕèŒí‹28aŒ¤ æ¹¹ ae»oÃe«ç¹ä·Å·Õè æÊ´§ÇÒ 28‹o·ҧ«Õ¡«Ò¢o§ ¤§ Ù ‹ŒoŒæÅ Áվ鹷æÃe§Òã¹ÃÙ» aืÕèe·Ò¡aº ‹0.22¨Ò¡µÒÃÒ§¨ ä´¤Ò aŒ ‹z0.58=æµe¹o§¨Ò¡e»¹«Õ¡«Ò¢o§ ¤§ ¤Ò ¨§µo§e»¹ ‹ ื蚌oŒ‹zึ Œš-0.58´a§¹¹ ¨ ä´ aéaŒ28 P6560.58−−= ¹¹¤o aèื28 P61.52= ¤ æ¹¹ aµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¢oÁÙÅã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ ‹Œa‹ÕèŒ ¼·Êoºä´ ¤ æ¹¹ ¨ oÂã¹µÒæ˹§e»oÃe«ç¹ä·Å• ŒÙÕèŒ74aaÙ ‹í‹·e·Òã´ Õ苤 æ¹¹ ÁÒ¡¡ÇÒ¤Òe©ÅÕè a74‹ ‹æÊ´§ÇÒo·ҧ«Õ¡¢ÇÒ¢o§ ¤§ ‹Ù ‹oŒ¤íҹdze»¹¤Ò š ‹74 656z1.5−== A 65 74 x 0.50 0.22 P 2865x0.28

เพิ่มเติม บทที่ 2 การแจกแจงปกติ557 ¨Ò¡µÒÃÒ§¨ ä´¤Ò aŒ ‹A0.4330=´a§¹¹¢oÁÙŹe»¹e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè aéŒÕ随93.3 ¼·Êoºä´ ¤ æ¹¹ ¨ oÂã¹µÒæ˹§e»oÃe«ç¹ä·Å• ŒÙÕèŒ50aaÙ ‹í‹·e·Òã´ Õ苤 æ¹¹ ¹o¡ÇÒ¤Òe©ÅÕè a50Œ‹ ‹æÊ´§ÇÒo·ҧ«Õ¡«Ò¢o§ ¤§ ‹Ù ‹ŒoŒ¤íҹdze»¹¤Ò š ‹50 656z2.5−== − ¨Ò¡µÒÃÒ§¨ ä´¤Ò aŒ ‹A0.4940=æÊ´§ÇҾ鹷Õè·eËÅo·Ò§«ÒÂÁo¢o§ e·Ò¡aº ‹ ืÕèืŒืA‹0.0060 ´a§¹¹¢oÁÙŹe»¹e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè aéŒÕ随0.6µaÇoÂÒ§ ¹Ò˹¡¢o§Ê¹¤Òª¹´Ë¹§ÁÕ¡ÒÃ模樧e»¹ ¤§‹éíaiŒiึ èšoŒ»¡µ Áըҹǹʹ¤Ò·Õè¹Ò˹¡¹o¡ÇÒ iíiŒéíaŒ‹340 ¡ÃaÁ o ٠‹15.87% æÅ ¹Ò˹¡ÁÒ¡¡ÇÒ a éía‹370 ¡ÃaÁ o ٠‹2.27% ãˌËÒÊÁ»Ã Ê·¸¡ÒÃæ»Ã¼¹¢o§¹Ò˹¡Ê¹¤Òª¹´¹Õé aa iiìaéíaiŒi¡íÒ˹´¾é¹·ãµ ¤§»¡µÁҵðҹe»¹´a§µÒÃÒ§ ืÕèŒ Œoišz0.060.401.002.00A0.02270.15870.34130.4773A 50 65x

สรปคณิตศาสตร ม เทอมุ์ .6 1 558 ¨Ò¡¢oÁÙÅã¹ ¨·Â ¨ae¢Â¹Ã»eʹ ¤§æÅaËҤҾ鹷Õèä´´§¹Õé ŒoÕٌoŒ‹ ืŒa¾i¨ÒóҷÕè 340 ¡ÃÁ ¾é¹·Õèe·Ò¡º aื‹a0.3413e»´µÒÃ񤊫 Œ340Xz1s−=− =.....(1)(¤Ò µo§µi´Åºe¾ÃÒaoÂÙ·Ò§«Õ¡«ÒÂ) ‹zŒ‹Œ¾i¨ÒóҷÕè 370 ¡ÃÁ ¾é¹·Õèe·Ò¡º aื‹a0.4773e»´µÒÃ񤊫 Œ370Xz2s−= =.....(2)æ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃä´ ´Â¹íÒÊo§ÊÁ¡ÒÃź¡¹ ŒŒoaä´¼Åe»¹ Œšs10= ¡ÃÁ æÅa aX350= ¡ÃÁ a´§¹é¹ ÊÁ»ÃaÊ·¸iì¡ÒÃæ»Ã¼¹ a aaia=≈103500.02860.3413 0.4773 340 370 x A = 0.1587A = 0.0227

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .6 เทอม 1 บทที่ 3ความสมพันธเชิงฟงกชันั1. ËÒ¡eÃÒÁÕ¤Ùo¹´aº ‹a(x,y) ¨Ò¹Ç¹Ë¹§ Ëŧ¨Ò¡ÊÃÒ§íึ èaŒæ¼¹ÀÒ¾¡Òáà ¨ÒÂe¾èo´Ùšɳ ¡ÃÒ¿æÅÇ eÃÒ¨ ËÒaืaaŒa¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸Ã ËÇÒ§ ¡aº ä´e»¹ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» aa‹xyŒ šyf(x) = e¾èo㪷ҹÒÂ¤Ò ³ ¨´ ·Õèµo§¡Òà “ ืŒí‹y ”uxŒµaÇoÂÒ§ 㹡Ò÷´Åo§¤Ãaé§Ë¹§e»¹¡ÒÃËÒ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸‹ึ šèaÃ ËÇÒ§ÁÇÅ æÅ eÇÅÒ ´Â¡ÒÃe»Å¹ÁÇÅãËÁÕ¤Òa‹(x)a(y)oÕèŒ ‹µÒ§ ¡a¹ æÅǺ¹·¡eÇÅÒ ä´¼Å´a§¹ ‹æŒaึŒÕéx12345y235710¨ ÊÃÒ§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§¿§¡ª¹Ã ËÇÒ§ æÅ ã¹aŒai˜ aa‹xayµÒÃÒ§¹ä´e»¹ ÕéŒ šlY2X 0.6=−(«è§Çi¸ËÒÊÁ¡Òè ä´¡ÅÒǶ§ã¹ËÇ¢o¶a´ä») ึÕaŒ ‹ึaŒæÅ ÊÒÁÒö·Ò¹ÒÂ¤Ò eÁèo ÁÕ¤ÒµÒ§ ä´ aí‹yืx‹ ‹æŒeª¹.. ¶Ò ‹Œx7= ¨ ä´ aŒy2(7) 0.613.4=−=ËÃo¶Ò ื Œx2.5= ¨ ä´ aŒy2(2.5) 0.64.4=−=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 560 Ê Å¡É³ ãªæ·¹¤Ò¨Ãi§ æÅ Ê Å¡É³ • ­ aaYŒ‹a a­ alY(oÒ¹ÇÒ ‹‹y-hat) ãªæ·¹¤Ò·ä´¨Ò¡¡Òûà ÁÒ³´ÇŒ‹ÕèŒaŒ¿§¡ª¹ ˜ aµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·æÅÇ ‹a‹Õ茾i¨ÒóҷÕè x2= ¨ ä´ aŒy2(2) 0.63.4=−=æµ·¨Ãi§¤Ò ã¹µÒÃÒ§¹¹ ‹Õè‹yaéy3=¨ e˹ä´ÇÒ¤Ò ·§Êo§æºº¹ÕéÁa¡äÁe·Ò¡a¹.. ¤Ò ¤oaçŒ ‹ ‹yaé‹ ‹‹yื¤Ò·e¡i´¢é¹¨Ãi§ Êǹ¤Ò e»¹e¾Õ§¤Ò»Ã ÁÒ³¢o§ ‹Õèึ‹‹yš‹ay** 㹿§¡ª¹·¨ 㪻à ÁÒ³¤Ò ¨ µo§e¢Õ¹e»¹ ˜ aÕèaŒa‹a ŒšlYeÊÁo Êǹ äÁµo§ÁÕ ‹X‹ Œhat e¾ÃÒ ¤Ò e»¹¤Ò¨Ãi§ a ‹Xš ‹äÁ㪤һà ÁÒ³ ‹ ‹ ‹a2. Ãٻ溺¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·¾º aÕèºo·ÕèÊ´ ¤o¿§¡ª¹eʹµÃ§ ‹uื ˜ aŒ«è§ÁÕÊÁ¡ÒÃÃÙ»·Çä»e»¹ ึaèšlYmXc=+ ËÒ¤Ò¤§·Õè ¡aº ä´ ´Âæ¡Ã ººÊÁ¡Òà •‹mcŒoŒaym xcN=+ΣΣ .....(1)2xym xc x=+ΣΣΣ .....(2)( ¤o¨Ò¹Ç¹¤Ùo¹´aº) Nืí‹ay x O

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้561 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§æá «è§ÁÕ¢oÁÙÅ´a§µÒÃÒ§ ‹a‹ึŒx12345y235710¨ ÊÃÒ§¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§¿§¡ª¹ (¤oÊÃÒ§ÊÁ¡Ò÷ãªaŒai˜ aืŒÕ茻à ÁÒ³¤Ò ) ä´ã¹Åa¡É³ ´a§¹Õé a‹yŒaeÁèo¾Åoµ¡ÃÒ¿¤ÃÒÇ ¾ºÇÒ¡ÒÃeÃÕ§µÇ¢o§¨´ ÁÕæ¹Ç ¹Áืç‹æ‹auoŒe»¹eʹµÃ§ ¨§ä´ÊÁ¡ÒÃÃÙ»·Çä»e»¹ šŒึ ŒaèšlYmXc=+ æÅ ÊÁ¡Ò÷ãªËÒ¤Ò ¡aº ä´æ¡ aÕ茋mcŒ ‹ym xcN=+ΣΣ .....(1)2xym xc x=+ΣΣΣ .....(2)¨§·Ò¡ÒÃËÒ¤ÒeËÅÒ¹Õé¡o¹.. ึ틋‹N5=, x1 2345 15= ++++ = Σ, 222222x1234555= + + + + =Σ, y2 3571027=+ + + +=Σ, æÅ axy(1)(2) (2)(3) (3)(5) (4)(7) (5)(10) 101=++++=Σ´a§¹¹Ã ººÊÁ¡Òè e»¹ aéaaš2715m 5c=+ .....(1)101 55m 15c =+ .....(2)æ¡Ã ººÊÁ¡ÒÃä´ ŒaŒm2 = æÅ ac0.6=−¨§ÊÃu»ä´ÇÒ ÊÁ¡Ò÷㪻à ÁÒ³¤Ò¤o ึŒ ‹ÕèŒa‹ ืlY2X 0.6=−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 562 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÒÃÊoº¶ÒÁÃÒ¨Ò¢o§ ¤Ãoº¤ÃaÇ㹋‹8ËÁٺҹ˹§ ä´¼ÅÊÁ¾a¹¸¡aºÃÒÂä´ ´a§µÒÃÒ§ ‹ Œึ èŒaŒ(¤Òã¹µÒÃÒ§ÁÕ˹ÇÂe»¹ ¾a¹ºÒ· ) ‹‹š “”ÃÒÂä´ Œ1346891114ÃÒ¨Ò ‹12445789ãËËÒ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª»Ã ÁÒ³ÃÒ¨Ò¨ҡÃÒÂä´ æÅ ¶ÒŒaÕèŒa‹Œa Œ¤Ãoº¤ÃaÇ˹§ã¹ËÁÙºÒ¹¹ÕéÁÕÃÒÂä´ ึ è‹ ŒŒ4,500 ºÒ· ¨ ÁÕaÃÒ¨ÒȈ ÁÒ³¡ÕèºÒ· ‹aµo§¡Ò÷ҹÒÂÃÒ¨Ò¨ҡÃÒÂä´ æÊ´§ÇÒã¹·Õè¹Õé ¤oŒí‹Œ‹YืÃÒ¨Ò æÅ ¤oÃÒÂä´ eÁèo¾Åoµ¨´æÅǨ ¾ºÇÒ ÁՋaXืŒ ืçuŒa‹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¡a¹æººeʹµÃ§ ´a§¹¹ÊÁ¡Ò÷ãªã¹¡ÒÃaŒaéÕ茻à ÁÒ³¤Ò ¤o a‹ืlYmXc=+´íÒe¹¹¡ÒÃËÒ¤Ò ¡aº ´ÂÊÁ¡Òà i‹mcoym xcN=+ΣΣ æÅ a2xym xc x=+ΣΣΣæ·¹¤Ò ‹y40 = Σ, x56= Σ, N8=, xy364 = Σ æÅ a2x524= Σ¨ ä´ aŒ4056m8c=+ æÅ a364524m56c=+ æ¡Ã ººÊÁ¡ÒÃä´¼Åe»¹ ŒaŒšm0.636 = æÅ ac0.545 =

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้563 ´a§¹¹ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª»Ã ÁÒ³ÃÒ¨Ò¨ҡÃÒÂä´ aéaÕèŒa‹Œ¤o ืlY0.636 X0.545=+eÁèo ¤oÃÒ¨Ò ´Â»Ã ÁÒ³ (˹Ǿa¹ºÒ·) ืlYื‹oa‹æÅ ¤oÃÒÂä´ (˹Ǿa¹ºÒ·) aXืŒ‹¨Ò¡¹¹¨§»Ã ÁÒ³¤ÒeÁèoÃÒÂä´e»¹ aéึa‹ ืŒ š4,500 ºÒ· o´Âæ·¹¤Ò ‹x4.5 = ¾a¹ºÒ· ¨ ä´ aŒy0.636(4.5)0.5453.407=+= ¾a¹ºÒ· ¹¹¤o ¤Ãoº¤ÃaÇ·ÕèÁÕÃÒÂä´ aèืŒ4,500 ºÒ· ¨ ÁÕÃÒ¨ÒÂa‹»Ã ÁÒ³ a3,407 ºÒ· ¡ÒÃËÒ¤Ò¤§·Õè ¡aº ´ÇÂÊÁ¡ÒÃeËÅÒ¹ eÃÕ¡ÇÒ •‹mcŒ‹Õ鋓à eºÂºÇi¸Õ¡íÒŧÊo§¹o·ÕèÊu´ e¾ÃÒ e»¹Çi¸Õ·Õè·ÒãË¤Ò aÕaŒ”ašíŒ ‹y·»Ã ÁÒ³ä´ ÁÕ¤ÇÒÁ¤ÅÒ´e¤Åo¹¡íÒŧÊo§ ÕèaŒื èa2ii(yy )−Σ¹o·ʴ ŒÕèuµaÇoÂÒ§ ¶Ò¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§¿§¡ª¹·ãª·Ò¹Ò¡íÒäà ‹Œai˜ aÕèŒí( : ¾a¹ºÒ·) ¨Ò¡µ¹·u¹ ( : Ãoºҷ) oÂÙã¹ÃÙ» yŒxŒ‹ymxc=+ ´ÂÁÕÊÁ¡Ò÷䴨ҡà eºÂºÇi¸Õ¡íÒŧÊo§oÕèŒaÕa¹o·ʴ ´a§¹ ŒÕèuÕé1930m 10 c=+ .....(1) æÅ a6.610m4c=+ .....(2) eÁèoµ¹·¹e»¹ • ื Œuš400 ºÒ· ¨ ·Ò¹Ò¡íÒäÃä´e»¹¡ÕèºÒ· a íŒ š

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 564 æ¡Ã ººÊÁ¡ÒÃä´ ŒaŒm0.5 = æÅ ac0.4 =æÊ´§ÇÒÊÁ¡Ò÷㪻à ÁÒ³¤Ò ¤o ‹ÕèŒa‹ืy0.5x0.4=+æÅ eÁèoµ¹·¹e»¹ aื Œuš400 ºÒ· (x 4)=¨ ä´ aŒy0.5(4) 0.42.4=+= ¾a¹ºÒ· ´a§¹¹¤íÒµoº¤o ¡íÒäà ´Â»Ã ÁÒ³e·Ò¡aº aéืoa‹2,400 ºÒ· eÁèo¡íÒäÃe»¹ • ืš400 ºÒ· ¡Ò÷Õè¨ ÊÒÁÒö·Ò¹ÒÂaíµ¹·¹ä´ ¨·Âµo§¡íÒ˹´¤Òã´e¾ièÁeµÁãË ŒuŒo Œ‹iŒ¨Ò¡ÊÁ¡Ò÷ ¨·ÂãËÁÒ ¤oÊÁ¡Òà Õèo Œืym xcN=+ΣΣ æÅ a2xym xc x=+ΣΣΣ «è§ãª·Ò¹ÒÂ¤Ò ¨Ò¡ ึ Œí‹yx浶ҵo§¡Ò÷ҹÒÂ¤Ò ¨Ò¡ µo§ãªÊÁ¡Òà ‹ Œ Œí‹xyŒŒxm ycN=+ΣΣ æÅ a2xym yc y=+ΣΣΣ«è§eÁèoe·Âº¡a¹æÅÇ Â§µo§·ÃÒºe¾ièÁo¡oÂҧ˹§¤o ึ ืՌaŒÕ‹ึ ืè2yΣ µ¹·¹e©Å • ŒuÕè(X) e·Ò¡aº¡ÕèºÒ· ‹¨Ò¡¢o·Õè¼Ò¹ÁÒ e·Âº¡aºÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕã¹ ¨·Â ä´ÇÒ Œ‹ÕoŒ ‹y6.6 = Σ, x10= Σ, N4 =, xy19= Σ, æÅ a2x30= Σ ... ´a§¹¹ aé104X2.5xN=== ∑ËÃoµ¹·¹e©ÅÂe·Ò¡aº ื ŒuÕè‹250 ºÒ·

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้565 3. ¢o¤ÇÃà Ça§¤o ÊÁ¡Òà Œaืyf(x)= ·ËÒä´ äÁÊÒÁÒöÕ茋·Ò¹ÒÂ¤Ò eÁèo·ÃÒº ä´ (äÁÇÒ¨ ÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃí‹xืyŒ‹ ‹a ŒŒoÂÒ§äáçµÒÁ) ‹ ¶Òµo§¡Ò÷ҹÒÂ¤Ò ¨Ò¡ ..¨ µo§e»Å¹仕 Œ Œí‹xya ŒÕèÁo§¿§¡ª¹e»¹ ˜ ašxf(y)= (¤oãË e»¹µÇæ»Ãµ¹) ืŒyšaŒµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·Õè¼Ò¹ÁÒ ¶Ò¤Ãoº¤ÃaÇ˹§ã¹ËÁÙºÒ¹‹a‹‹Œึ è‹ Œ¹ÕéÁÕÃÒ¨Ò ‹3,500 ºÒ· ¨ ÁÕÃÒÂä´ ´Â»Ã ÁÒ³¡ÕèºÒ· aŒoaµo§¡Ò÷ҹÒÂÃÒÂä´¨Ò¡ÃÒ¨Ò æÊ´§ÇÒËÒ¡eÃÒ¨ 㪠ŒíŒ‹‹aŒYe»¹ÃÒ¨Ò æÅ e»¹ÃÒÂä´eª¹e´iÁ ¡ç¨ µo§e»Å¹ÃÙ»š‹aXšŒ ‹a ŒÕèÊÁ¡ÒÃe»¹ šlXmYc=+´íÒe¹¹¡ÒÃËÒ¤Ò ¡aº ´ÂÊÁ¡Òà i‹mc oxm ycN=+ΣΣ æÅ a2xym yc y=+ΣΣΣæ·¹¤Ò ‹x56= Σ, y40 N8= Σ, =, xy364 = Σ æÅ a2y256 = Σ¨ ä´ aŒ5640m 8c=+ æÅ a364256m 40 c=+æ¡Ã ººÊÁ¡ÒÃä´¼Åe»¹ ŒaŒšm1.5 = æÅ ac0.5=−´a§¹¹ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª»Ã ÁÒ³ÃÒÂä´¨Ò¡ÃÒ¨Ò aéaÕèŒaŒ‹¤o ืlX1.5Y0.5=−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 566 eÁèo ¤oÃÒ¨Ò (˹Ǿa¹ºÒ·) ืYื‹‹æÅ ¤oÃÒÂä´ ´Â»Ã ÁÒ³ (˹Ǿa¹ºÒ·) alXืŒoa‹¨Ò¡¹¹æ·¹¤Ò aé‹y3.5= ¾a¹ºÒ· ¨ ä´ aŒx1.5(3.5) 0.54.75=−= ¾a¹ºÒ· ¹¹¤o ¤Ãoº¤ÃaÇ·ÕèÁÕÃÒ¨Ò aèื‹3,500 ºÒ· ¨ ÁÕÃÒÂä´aŒ»Ã ÁÒ³ a4,750 ºÒ· 4. ÊÒËÃaº¿§¡ª¹eʹµÃ§ ¶Ò¹ÒÊÁ¡ÒÃí˜ aŒŒí (1) ËÒôÇ ŒN¨ ¾ºÇҵçµÒÁÊÁºµ¢o§¤Òe©Å ¹¹¤o a‹ai‹ÕèaèืYmXc=+µaÇoÂÒ§ ¶ÒãËÊÁ¡ÒÃæ·¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§¿§¡ª¹·ãª‹Œ Œai˜ aÕ茻à ÁÒ³¹Ò˹¡ ( : ¡¡.) ¨Ò¡Êǹʧ ( : «Á.) aéíaW‹ÙH¢o§¹¡eÃÕ¹¡ÅÁ˹§ e»¹eʹµÃ§´a§¹.. au ‹ึ 蚌ÕéH Wa 3=−o´Â··ÃÒºÇÒ ¹Ò˹¡e©ÅÂæÅ Êǹʧe©Å e·Ò¡aº Õè‹éíaÕèa ‹ÙÕè‹52¡¡. æÅ a162 «Á. µÒÁÅÒ´aº ¹¡eÃÕ¹¤¹Ë¹§ã¹¡ÅÁ¹íaึ èu ‹Õé«è§Ê§ ึÙ159 «Á. ¨ ÁÕ¹Ò˹¡»Ã ÁÒ³e·Òã´ aéíaa‹¨Ò¡ÊÁ¡Òà H3Wa=− §·Ò¹Ò¹Ò˹¡äÁä´ã¹·¹· aíéía‹ ŒaÕe¾ÃÒ äÁ·ÃÒº¤Ò æµÊÒÁÒöËÒ¤Ò ä´¨Ò¡¢oÁÙÅ·ÕèÇÒ a‹‹a‹‹aŒŒ‹W52 = æÅ aH162 =

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้567 ¨Ò¡¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸ aH3Wa=−æ·¹¤Òä´e»¹ ‹Œ š162352a=− ... ¨ ä´ aŒa2 =´a§¹¹ ¹¡eÃÕ¹·Ê§ aéaÕèÙ159 «Á. ¨ ÁÕ¹Ò˹a¡ ´Â»Ã ÁÒ³ aéíoa=−= 1593ˆ w251 ¡¡. 5. ÊÒËÃaº¿§¡ª¹eʹµÃ§ ¡Ò÷ҹÒÂ¤Ò í˜ aŒí‹lYΔ ¨Ò¡ XΔãˤi´¨Ò¡ ŒlYmXΔ=⋅ Δ e·Ò¹¹ (äÁ¢é¹¡aº¤Ò ) ‹aé‹ ึ‹ce¾ÃÒ ã¹¡ÃÒ¿eʹµÃ§ Ê´Êǹ¡ÒÃe»Å¹æ»Å§¢o§ æÅ aŒa‹Õèyax ¨ e¡ÕèÂÇ¢o§¡aº¤Ò¤ÇÒÁªa¹ e·Ò¹¹ (Êǹ¤Ò ¨aŒ‹m ‹a鋋cae»¹e·Òã´ ¡çe¾Õ§·ÒãË¡ÃÒ¿eÅo¹¢é¹Å§) š‹íŒื èึµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·æÅÇ ËÒ¡¹¡eÃÕ¹¤¹Ë¹§Ê§¢é¹ ‹a‹ÕèŒaึ èÙึ12 «Á. ¹Ò˹¡¢o§e¢Ò¨ e¾ièÁ¢é¹»Ã ÁÒ³e·Òã´ éíaaึa‹¢o¹ÕéËÒÁ¤íҹdz¨Ò¡ ŒŒ1232− e´ç´¢Ò´! e¾ÃÒ ¡Ò÷Õè e¾ièÁ¢é¹ aHึ12 «Á. äÁä´æ»ÅÇÒ ‹ Œ‹H12 =..æµÇi¸Õ¤i´·Õè¶Ù¡¤o ‹ืΔΔ = H3ˆW e·Ò¹¹ ‹aé¤o ืΔ = = 123ˆ w4 ¡¡.

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 568 6. Ãٻ溺¿§¡ª¹oè¹ ·oÒ¨¾ºä´¹o¡¨Ò¡eʹµÃ§ ¤o˜ aืæÕ茌ื¿§¡ª¹¡íÒŧÊo§ (¾ÒÃÒ ºÅÒ) æÅ ¿§¡ª¹eo¡« ¾e¹¹˜ aaoa˜ aoeªÂÅ Õ ¿§¡ª¹¡íÒŧÊo§ • ˜ aaÁÕÊÁ¡ÒÃÃÙ»·Çä»e»¹ aèšl2Ya XbXc=++ ËÒ¤Ò¤§·Õè ‹a, b, c ä´ ´Â Œoæ¡Ã ººÊÁ¡Òà Œa2ya xb xcN=++ΣΣΣ .....(1) 32xya xb xc x=++ΣΣΣΣ .....(2)2432xya xb xc x=++ΣΣΣΣ .....(3)µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¢oÁÙÅà ËÇÒ§¨Ò¹Ç¹µ¹Á Áǧ·»Å¡µoäà ‹Œa‹íŒa ‹Õèً‹æÅ ¼Å¡íÒäÃ·ä´ ´a§µÒÃÒ§¹Õé aÕ茨ҹǹµ¹µoäà (Ãoµ¹) íŒ ‹ ‹ŒŒ123567¼Å¡Òä÷Õèä´ (¾a¹ºÒ·) íŒ1.2 3.0 4.5 4.0 2.8 0.5 ãËËÒ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª»Ã ÁÒ³¼Å¡íÒäèҡ¨Ò¹Ç¹µ¹ŒaÕèŒaíŒÁ Áǧ·»Å¡µoäà æÅ ãËËÒÇÒ¤Çè »Å¡Á Áǧ¡Õèµ¹µoäà a ‹Õèً‹aŒ‹aÙa ‹Œ ‹‹¨§¨ 䴼šíÒäà ´Â»Ã ÁÒ³ÁÒ¡·ÕèÊ´ æÅ ¼Å¡íÒä÷ÁÒ¡ึaŒoauaÕè·ÕèÊ´¹¹Áդһà ÁÒ³¡ÕèºÒ· uaé‹ay x O

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้569 µo§¡Ò÷ҹÒ¼šíÒäèҡ¨Ò¹Ç¹µ¹µoäà æÊ´§ÇÒã¹·Õè¹Õé ŒííŒ ‹‹‹Y ¤o¼Å¡íÒäà æÅ ¤o¨Ò¹Ç¹µ¹µoäà eÁèo¾Åoµ¨u´ืaXืíŒ ‹‹ ืçæÅǨ ¾ºÇÒ ÁÕ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¡a¹æºº¾ÒÃÒ ºÅÒ¤ÇèíÒ ´a§¹a鹌a‹aoÊÁ¡Ò÷ãªã¹¡Òûà ÁÒ³¤Ò ¤o ÕèŒa‹ืl2Ya XbXc=++´íÒe¹¹¡ÒÃËÒ¤Ò i‹a, b, æÅ ´ÂÊÁ¡Òà ac o2ya xb xcN=++ΣΣΣ .....(1) 32xya xb xc x=++ΣΣΣΣ .....(2)æÅ a2432xya xb xc x=++ΣΣΣΣ .....(3)¤íҹdz¤ÒµÒ§ ·»ÃÒ¡¯oÂã¹ÊÁ¡Òà æÅÇæ·¹¤ÒÅ§ä» ‹ ‹æÕèÙ ‹Œ‹ä´e»¹ Œ š16 124a 24b 6c =++ .....(1) 61 720a 124b24 c=++ .....(2)æÅ a2794420a 720b 124 c=++ .....(3)æ¡Ã ººÊÁ¡Òà (¤ÇÃãªeÁ·Ãi¡«ªÇÂ㹡ÒÃæ¡) ŒaŒ ‹Œä´¼Åe»¹ Œša0.42 b≈−, 3.28≈ æÅ ac1.70≈−´a§¹¹ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª·Ò¹Ò¼šíÒäèҡ¨Ò¹Ç¹µ¹µoaéaÕèŒííŒ ‹äà ¤o ‹ ืl2Y0.42X3.28X 1.70=−+−eÁèo ¤o¼Å¡íÒäà ´Â»Ã ÁÒ³ (˹Ǿa¹ºÒ·) ืlYืoa‹æÅ ¤o¨Ò¹Ç¹µ¹µoäà (˹ÇÂÃoµ¹) aXืíŒ ‹‹‹ŒŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 570 e¹o§¨Ò¡e»¹ÊÁ¡ÒþÒÃÒ ºÅÒ¤ÇèíÒ ..oÒȤÇÒÁÃÙ¨Ò¡eÃèo§ื èšoaŒื¿§¡ª¹¡íÒŧÊo§ (ã¹ÇiªÒ¤³iµÈÒʵþ鹰ҹ Á. ) ˜ aa ื4¨ ä´ÇÒ¨´Ê§Ê´e¡i´eÁèo aŒ ‹uÙuืb3.282a0.84x3.90=−≈= Ãoµ¹ ŒŒ¨Ò¡¹¹æ·¹¤Ò e¾èo»Ã ÁÒ³¤Ò ä´e»¹ aé‹xืa‹yŒ š2y0.42(3.90)3.28(3.90) 1.70=−+−4.704 ≈ ¾a¹ºÒ· æÊ´§ÇÒ¤ÇûšÁ Áǧ ‹Ùa ‹390 µ¹µoäà ¨§ä´¼Å¡íÒäÃÁÒ¡Œ ‹‹ ึ Œ·ÕèÊ´ æÅ ¼Å¡íÒä÷ÁÒ¡·ÕèÊ´Áդһà ÁÒ³ uaÕèu‹a4,704 ºÒ· ¿§¡ª¹eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ • ˜ aoÕÁÕÊÁ¡ÒÃÃÙ»·Çä» aèe»¹ šlXYab=æµ¹ÂÁe¢Õ¹ã¹ÃÙ» ‹illog Ylog aX log b=+ ËÒ¤Ò¤§·Õè ‹log a ¡aº log b ä´ ´Âæ¡Ã ººÊÁ¡Òà ŒoŒa=+ΣΣ(logy) Nlog a log bx .....(1) 2(x log y) log a xlog bx=+ΣΣΣ .....(2) y x O

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้571 µaÇoÂÒ§ µÒÃÒ§µo仹æÊ´§»ÃiÁÒ³ÊÒ깴˹§ 㹋‹Õéiึ èªÇ¢³ eÇÅÒµÒ§ (Ëŧ¨Ò¡eÃièÁ¨ºeÇÅÒ) aèa‹æaaeÇÅÒ (ªaèÇ Á§) o13567»ÃÁÒ³ÊÒà (¡ÃÁ) ia235710ãË·Ò¹ÒÂÇÒËŧ¨Ò¡eÃièÁ¨ºeÇÅÒä»æÅÇ ªaèÇ Á§ æÅ Œí‹aaŒ4oa8ªaèÇ Á§ ÊÒùÕé¨ ÁÕ»ÃiÁÒ³e·Ò¡aº¡Õè¡ÃaÁ oa‹µo§¡Ò÷ҹÒ»ÃiÁÒ³ÊÒèҡà  eÇÅÒ æÊ´§ÇÒã¹·Õè¹Õé Œía a‹Y¤o»ÃiÁÒ³ÊÒà æÅ ¤oà  eÇÅÒ eÁèo¾Åoµ¨´æÅǨืaXืa aืçuŒa¾ºÇÒÊÁ¾a¹¸¡a¹æººeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ´a§¹¹ÊÁ¡Ò÷ãªã¹‹aoÕaéÕ茡Òûà ÁÒ³¤Ò ¤o a‹ืllog Ylog aX log b=+´íÒe¹¹¡ÒÃËÒ¤Ò i‹a, b, æÅ ´ÂÊÁ¡Òà ac o(logy) Nlog a log bx=+ΣΣ .....(1) æÅ a2(x log y) log a xlog bx=+ΣΣΣ .....(2) ¤íҹdz¤ÒµÒ§ ·»ÃÒ¡¯oÂã¹ÊÁ¡Òà æÅÇæ·¹¤ÒÅ§ä» ‹ ‹æÕèÙ ‹Œ‹ä´e»¹ Œ š3.322 5 log a 22 log b =+ æÅ a17.29822 log a 120 log b=+æ¡Ã ººÊÁ¡Òà 䴼Åe»¹ ŒaŒšlog a0.156 ≈ æÅ alog b0.115 ≈

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 572 ´a§¹¹ ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª·Ò¹Ò»ÃiÁÒ³ÊÒèҡà  eÇÅÒ aéaÕèŒía a¤o ืllog Y0.156 0.115 X=+eÁèo ¤o»ÃiÁÒ³ÊÒà (¡ÃaÁ) æÅ ¤oà  eÇÅÒืlYืaXืa aËŧ¨Ò¡eÃièÁ¨ºeÇÅÒ (ªaèÇ Á§) aaoeÁèo¤i´·Õè ืx4 = ªaèÇ Á§ ¨ ä´ oaŒlog y0.156 0.115(4)0.616=+ =¹¹¤o aèื0.616y104.13== ¡ÃaÁ æÅ eÁèo¤i´·Õè aืx8= ªaèÇ Á§ ¨ ä´ oaŒlog y0.156 0.115(8)1.076=+ =¹¹¤o aèื1.076y1011.91== ¡ÃaÁ ´a§¹¹Ëŧ¨Ò¡eÃièÁ¨ºeÇÅÒä»æÅÇ ªaèÇ Á§ æÅ ªaèÇ Á§ aéaaŒ4oa8oÊÒùÕé¨ ÁÕ»ÃiÁÒ³ a4.13 æÅ a11.91 ¡ÃaÁ µÒÁÅÒ´aº í7. ÊÃu»ËÅ¡¡ÒÃe¢Õ¹à ººÊÁ¡Òà ¢o§¿§¡ª¹·¡æºº·aa˜ auÕè¡ÅÒÇÁÒ (ÊÁ¡ÒÃeËÅÒ¹eÃÕ¡ÇÒ ÊÁ¡Òû¡µ ) ‹‹Õé‹ “i”ËÒä´¨Ò¡¡Ã ºÇ¹¡ÒÃe´ÕÂÇ¡a¹¤o Œaื ÊÁ¡ÒÃ·Ë¹è§ ä´¨Ò¡¡ÒùíÒÊÁ¡ÒÃÃÙ»·aèÇä»ÁÒeµiÁ•ÕèึŒe¤Ãèo§ËÁÒ ·§Êo§¢Ò§ ืΣaéŒ ÊÁ¡Ò÷Êo§ ä´¨Ò¡¡ÒùÒÊÁ¡Ò÷˹§ÁÒeµÁµaǕÕèŒíÕèึ èiæ»Ãµ¹ (¤o ) äÇÀÒÂã¹ ·u¡ ¾¨¹ ŒืxŒΣæ

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้573 ËÒ¡¨Ò¹Ç¹ÊÁ¡Ò÷Õèµo§¡ÒçäÁe·Ò¨Ò¹Ç¹¤Ò¤§·Õ跕íŒa‹ ‹í‹Õè¨ ËÒ ãËe¾ièÁµÇæ»Ãµ¹ äÇÀÒÂã¹ ¢o§ÊÁ¡Ò÷Êo§aŒaŒxŒΣÕèo¡ ·ÕÅ µaÇ (·Ò«éíÒÇi¸e´ÕÂÇ¡aºÊÁ¡Ò÷Êo§¹¹eo§) Õa æíÕÕèa訹¡ÇÒ¨ 䴨ҹǹÊÁ¡ÒäúµÒÁµo§¡Òà ‹aŒíŒµaÇoÂÒ§ ¶Ò¤Ò¢o§µÇæ»Ã æÅ ¤o ‹Œ ‹axayืx - 101234y - 10272863æÅ ÊÁ¡Ò÷㪻à ÁÒ³¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸Ã ËÇÒ§Êo§µÇæ»Ã¹Õé aÕèŒaaa‹a·ä´¨Ò¡Ã eºÂºÇi¸Õ¡íÒŧÊo§¹o·ʴ ¤o ÕèŒaÕaŒÕèuืl3Yk X =ãËËÒ¤Ò Œ‹kÊÃÒ§ÊÁ¡Òà ´ÂeµÁ«i¡ÁÒ ä´e»¹ Œoi‹Œ š∑= ∑3ykx«è§¤íÒ¹Ç³ä´ ึŒ∑=y99 æÅ a∑ =3x99´a§¹¹ aé=99 k(99)æÅ ¤íÒµoº¡ç¤o aืk1=8. ËÒ¡¢oÁÙÅ ÁժǧËÒ§e·Ò ¡a¹ eª¹ » ¾.È. æÅÇ ŒX‹‹‹æ‹‚ŒeÃÒ¨ eÃÕ¡¢oÁÙÅ ÇÒe»¹¢oÁÙÅã¹ÃÙ» o¹¡ÃÁeÇÅÒ «è§aŒY‹ š Œ“u” ึ¨ ÊÒÁÒö淹¤Ò ´ÇµÇeÅ¢¤Ò¹o ä´e¾èoãËÊ ´Ç¡a‹XŒa‹ ŒæŒ ืŒa㹡Òäíҹdz

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 574 Çi¸Õ·Õè¹ÂÁ·Ê´¤o ãË¢oÁÙŵç¡ÅÒ§ÁÕ¤Ò •iÕèuืŒ Œ‹x0= æÅnj¹º¢é¹Å§e»¹ aึš1, 2±±... Çi¸Õ¹Õé¨ ·ÒãË a íŒx0 = Σ ¨§æ¡ึŒÃ ººÊÁ¡ÒÃËÒ am, c ä´§ÒÂ¢é¹ Œ ‹ึµaÇoÂÒ§ ÁÙŤÒoµÊÒË¡ÃÃÁʧ·oʧoo¡¢o§ºÃiÉa·æ˧‹‹ui苋˹§ã¹ªÇ§» ¾.È. ึ 苂2545 ¶§ ึ2549 e»¹´a§¹ šÕé¾.È. 2545 2546 2547 2548 2549 ÁÅ¤Ò (ÅÒ¹ºÒ·) ًŒ13459¶Ò·Ò¹Ò ´Â㪤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§eʹµÃ§ 溺¡íÒŧÊo§ŒíoŒaiŒa¹o·ʴ ãËËÒÁÙŤÒʧoo¡e©Å e´o¹æá¢o§» ŒÕèuŒ‹ ‹Õè6ื‚2550 ¢o§ºÃiÉa·æ˧¹Õé ‹ãË ¤oÁÙŤÒʧoo¡ (ÅÒ¹ºÒ·) æÅ e»¹ ŒYื‹ ‹ŒaXš2, 1, 0,1, 2− − æ·¹» ¾.È. ‚2545, 2546, …, 2549µÒÁÅÒ´aº í¨ ä´ aŒy22 = Σ, x0 N5= Σ, =, xy18= ΣæÅ a2x10= ΣÊÁ¡Ò÷ãªËÒ¤Ò ¡aº ä´æ¡ Õ茋mcŒ ‹ym xcN=+ΣΣ æÅ a2xym xc x=+ΣΣΣ¨§¡ÅÒÂe»¹ ึš225c= ... ¹¹¤o aèืc4.4 =æÅ a18 10m= ... ¹¹¤o aèืm1.8 =

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้575 æÊ´§ÇÒÊÁ¡Ò÷㪻à ÁÒ³¤o ‹ÕèŒaืlY1.8 X4.4=+¤i´» ‚2550 e·Âºe»¹¤Ò ä´e·Ò¡aº ՚ ‹XŒ ‹3;´a§¹¹ aé=+= ˆ y1.8(3) 4.49.8 ÅÒ¹ºÒ· Œæµµo§¡ÒÃÁÙŤÒe©Å e´o¹æá (¤o¤Ã觻) ‹ Œ‹Õè6ืืึ ‚¨§ä´e·Ò¡aº ึ Œ ‹9.824.9== ÅÒ¹ºÒ· ŒµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¢oÁÙÅ·ÕèÊÒÃǨ䴴a§µÒÃÒ§ ãËÊÃÒ§ÊÁ¡Òˌ파 ŒÊÒËÃaº·Ò¹Ò¨ҹǹ»Ã ªÒ¡Ãã¹·o§·æ˧¹ æÅ ¨Ò¡¹aé¹íííaŒÕè‹ÕéaãË·Ò¹Ò¨ҹǹ»Ã ªÒ¡Ãã¹» ¾.È.Œíía‚2550 ´Ç Œ¾.È. 2538 2540 2542 2544 2546 ¨Ò¹Ç¹»Ã ªÒ¡Ã ía(¾a¹¤¹) 0.80.91.11.42.0ãË ¤o¨Ò¹Ç¹»Ã ªÒ¡Ã æÅ e»¹ ŒYืíaaXš2, 1, 0,1, 2− −æ·¹» ¾.È. ‚2538, 2540, …, 2546 µÒÁÅÒ´aº íeÁèoÇÒ§¤Ùo¹´aºeËÅҹŧã¹æ¡¹¾i¡a´©Ò¡æÅǾºÇÒ ÁÕื‹a‹Õ錋¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸¡a¹æººeo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ´a§¹¹ÊÁ¡ÒÃãªã¹aoÕa錡Òûà ÁÒ³¤Ò¤o a‹ ืllog Ylog aX log b=+æÅ ¨ ËÒ¤Ò a a‹log a, log b ´ÂÊÁ¡Òõo仹.. o‹Õé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 576 (logy) Nlog a log bx=+ΣΣ æÅ a2(x log y) log a xlog bx=+ΣΣΣ æ·¹¤Ò ‹(logy) 0.345=Σ, x0 N5= Σ, =, (xlog y)0.988 =Σ æÅ a2x10= Σ¨ ä´.. aŒ0.345 5 loga= æÅ a0.988 10logb=¹¹¤o aèืlog a0.069 = æÅ alog b0.0988 =´a§¹¹¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸·ãª»Ã ÁÒ³¨Ò¹Ç¹»Ã ªÒ¡Ã aéaÕèŒaía¤o ืllog Y0.069 0.0988X=+ eÁèo ¤o¨Ò¹Ç¹ืlYืí»Ã ªÒ¡Ã (¾a¹¤¹) æÅ æ·¹» ¾.È. µÒÁ·Õè¡íÒ˹´äÇ aaX‚ŒæÅ e¹o§¨Ò¡» ¾.È. aื è‚2550 ÁÕ¤Ò ‹X4 =¨§ä´ ึ Œ=+ =ˆ y log0.069 0.0988(4)0.4642ËÃo ื=≈0.4642ˆ y102.912 ¾a¹¤¹ ´a§¹¹» ¾.È. aé‚2550 ¨ Áջà ªÒ¡Ã»Ã ÁÒ³ aaa2,912 ¤¹ ËÒ¡¨Ò¹Ç¹¢oÁÙÅe»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù (äÁÁÕ¨´µÃ§¡ÅÒ§) ¨•íŒší‹‹uaã˻à ËÇÒ§¡ÅÒ§¹¹e»¹ æÅ ¤Ù¶a´ä»e»¹ Œ ‚a‹aéš1±a ‹š3, 5±±ä»eÃèo (e¾èoÃa¡ÉÒà  ËÒ§ãËe·Ò¡a¹) 溺¹Õé¨ ªÇÂãË ืæืa a‹Œ ‹a ‹Œx0 = Σ ä´eª¹¡a¹ Œ ‹

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความสัมพันธ์ฯ ระหว่างขอมูล้577 µaÇoÂÒ§ ¶Ò¹Ò¨Ò¹Ç¹æ¼¹eʧ ·ÕèÃҹ˹§¢ÒÂä´ÃÒ‹Œíí‹Õ(y)Œึ 茻 µ§æµ» ¾.È.‚aé‹ ‚2540 ¶§» ¾.È.ึ ‚2549 ÁÒÊÃÒ§Œ¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§¿§¡ª¹¡aºªÇ§eÇÅÒ ´Â¡íÒ˹´ãË» ai˜ a‹(x)oŒ ‚¾.È. 2544 æÅ a2545 ÁÕ¤Ò ‹x1=− æÅ µÒÁÅÒ´aº a1íæÅÇ ¨ ä´¤ÇÒÁÊÁ¾a¹¸eª§¿§¡ª¹e»¹ ŒaŒai˜ ašyc 15.4 x =+æ¼¹ ´Â·Õè¨Ò¹Ç¹æ¼¹eʧµo»·ÕèÃÒ¹æ˧¹¢ÒÂä´ e©ÅÕè‹oí‹Õ‹ ‚ Œ‹ÕéŒã¹ªÇ§ »·Õè¡íÒ˹´ e·Ò¡aº ‹10‚‹421.5 æ¼¹ ‹ eÁèo·Ò¹ÒÂÊÒËÃaº» ¾.È.ืíí‚2550 ¨Ò¹Ç¹æ¼¹eʧ·í‹ÕÕèÃÒ¹æ˧¹Õé¨ ¢ÒÂä´ ´Â»Ã ÁÒ³ e·Ò¡aºe·Òã´ Œ‹aŒoa‹‹¨Ò¡· ¨·Âo¸ºÒ ¾ºÇÒ¡ÒáíÒ˹´¤Ò ¢o§æµÅ »Õèoi‹‹x‹a ‚e»¹ä»µÒÁ·Õè¹ÂÁ (¤oãË»µÃ§¡ÅÒ§e»¹ ) ´a§µÒÃÒ§ šiืŒ ‚š1±¾.È. 2540 2541 2542 2543 2544 2545 2546 2547 2548 2549 x-9-7-5-3-113579æµã¹¢o¹äÁä´¡íÒ˹´»ÃiÁÒ³ y ã¹æµÅ »ãË æµºo¡‹ŒÕé‹ Œ‹a‚ Œ‹ÊÁ¡ÒÃÊÒËÃaº·Ò¹ÒÂÁÒãËeÅ ¨§¤i´ä´´a§¹Õé ííŒึŒo¨·Â¡íÒ˹´ÇÒ ‹= Y421.5ã¹¢³ ·Õè a= X0¨Ò¡ÊÁ¡Òà lYc 15.4 X =+ ¨§æ·¹¤Òä´e»¹ ึ‹Œ š421.5c 15.4 (0)=+ ..¹¹¤o aèืc421.5 =

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 1 578 ´a§¹¹ ã¹» ¾.È.aé‚2550 (x11)=¨ ä´ aŒ=+ =ˆ y421.5 15.4 (11)590.9 æ¼¹ ‹æÊ´§ÇÒã¹» ‹‚2550 ¨ ¢ÒÂæ¼¹eʧ䴻à ÁÒ³ a‹ÕŒa591 æ¼¹ ‹

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .6 เทอม 2 บทที่ 1ลาดับและอนุกรมอนันตํ1. ã¹ÅÒ´aºo¹¹µÅÒ´aºË¹§¹¹ ¶Ò §ÁÕ¤ÒÁÒ¡¢é¹¨¹íaíึ èaéŒniè‹ึe¢Òã¡Å æÅÇ (e¢Õ¹e»¹Ê šɳ ŒŒ∞Œš ­ aan∞→) ¤Ò¢o§ ‹n a oÒ¨¨ §e¢Òã¡Å¨Ò¹Ç¹¨Ãi§¤Ò˹§ (eª¹ a i茌í‹ึ è‹n aL→) ¨ eÃÕ¡¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ( ) ¹¹ÇÒe»¹ ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº aíLaé‹ š “í” »Ã ¤ •ao“nnlim aL→∞=” ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ‹“ Œ¶Ò n e¢Òã¡Å æÅÇ ¨ e¢Òã¡Å ŒŒ∞Œn aaŒŒ ” LµaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº ‹í( )nn12a= ËÃo ื11 114 8 16 2, , ,,...¾ºÇÒ eÁèo ÁÒ¡¢é¹¨¹e¢Òã¡Å æÅÇ ¤Ò¢o§ ¨‹ืnึŒŒ∞Œ‹n aae¢Òã¡Å ..¨§¡ÅÒÇÇÒ ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº¹e·Ò¡aº ŒŒ0ึ‹‹ “íÕé‹0 ”æÅ e¢Õ¹e»¹Ê šɳ aš ­ aannlim a0→∞=µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº ‹ín2n 1n2 b++ =ËÃo ื5 79 11132001 200345 6781002 10031, , , ,,,...,,,...¾ºÇÒ eÁèo ÁÒ¡¢é¹¨¹e¢Òã¡Å æÅÇ ¤Ò¢o§ ¨‹ืnึŒŒ∞Œ‹n bae¢Òã¡Å ..¨§¡ÅÒÇÇÒ ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº¹e·Ò¡aº ŒŒ2ึ‹‹ “íÕé‹2 ”æÅ e¢Õ¹e»¹Ê šɳ aš ­ aannlim b2→∞=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 580 2. ÅÒ´aº·ËÒ¤ÒÅiÁiµä´ eÃÕ¡ÇÒ ÅÒ´aºÅe¢Ò íÕ苌‹ “íً Œ ”(convergent) ÅÒ´aº·äÁÁÕÅiÁiµ (¤Ò¢o§ äÁä´e¢Òã¡Å¨Ò¹Ç¹ã´•íÕ苋n a‹ Œ ŒŒí¨Ò¹Ç¹Ë¹§e»¹¾ieÈÉ) ËÃoÅÒ´aº·ÕèÅiÁiµËÒ¤ÒäÁä´ (¤Òíึ šèื틋 Œ‹¢o§ ¾u§oo¡Ê ) ¨ eÃÕ¡ÇÒ ÅÒ´aºÅoo¡ n a‹Ù ‹∞a‹ “íÙ ‹”(divergent) µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº ‹í( )nn12a= æÅ an2n 1n2 b++ =e»¹ÅÒ´aºÅe¢Ò e¾ÃÒ ÁÕÅiÁiµe»¹ æÅ µÒÁÅÒ´aº šíً Œaš0a2íæÅ ÊÒÁÒö¡ÅÒÇä´ÇÒ ÅÒ´aº¹ÕéÅe¢ÒÊ , ËÃoÅe¢ÒÊ a‹Œ ‹íً Œ ‹Ù0ื ‹ Œ ‹ÙÙ2eÁèoe¢Õ¹¡ÃÒ¿ ื¨ e˹¡ÒÃÅe¢Ò açً Œä´ª´e¨¹Â§¢é¹ Œaièึna n1 2 3 4 5 60.50nb n1 2 3 4 5 6201

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ581 µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº ‹ín an= ËÃo ื1,2,3,4,...¾ºÇÒ¶Ò ‹ Œn∞→ æÅÇ Œn a∞→ ´Ç ŒæÊ´§ÇÒ ‹nnlim a→∞ ËÒ¤ÒäÁä´ ‹‹ ŒÊǹÅÒ´aº ‹ín bcos n =πËÃo ืcos , cos 2 , cos 3 ,... πππ ¾ºÇÒÁÕ¤Òe»¹ ‹‹ š1,1, 1,1,...−− Êź¡a¹ä»µÅo´ aäÁä´e¢Òã¡Å¨Ò¹Ç¹ã´e»¹¾ieÈÉeÅ ‹ Œ ŒŒíšæÊ´§ÇÒ ‹nnlim b→∞ äÁÁÕ¤Ò ËÃo ÅÒ´aº¹äÁÁÕÅiÁiµ ‹ ‹ืíÕ鋷§ÅÒ´aº æÅ e»¹ÅÒ´aºÅoo¡ aéín aan bšíÙ ‹e¾ÃÒ äÁä´ÁÕÅiÁiµe»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ a‹ Œšína n1 2 3 4 5 68 6 4 20nb n011 2 3 4 5 6-1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 582 3. ¡ÒÃËÒ¤ÒÅiÁiµ ÊÒÁÒöãªÊÁºaµ¡Òáà ¨Ò 模樧‹Œiaä´·¡Ãٻ溺 ·§¡Òúǡ ź ¤Ù³ ËÒà ¡¡íÒŧ ËÃoŒuaéaื¶o´ÃÒ¡ (ËÅ¡¡Òùãªä´eÁèo ÅiÁiµ¡o¹æÅ Ëŧ¡ÒÃ模aÕéŒ Œ ื‹aa樧ËÒ¤Òä´·§ËÁ´ e·Ò¹¹) ‹Œaé‹aéµaÇoÂÒ§ ¶ÒÅÒ´aº ‹Œí( ) ()( )nn312n 14n2n 2a++=+¨ ä´ÇÒ aŒ ‹( )()( )nnnnnn312n 14n2n 2lim alimlimlim→∞→∞→∞→∞++=+⋅ 0(2) (0)0= + ⋅ =4. ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµæÅ eâҤ³iµ ía ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ .. ÅiÁiµËÒ¤ÒäÁä´eÊÁo •í‹ ‹ Œ(¹o¡¨Ò¡¡Ã³Õ·Õè d0 =) µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aºeËÅÒ¹e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ‹í‹Õéšín a8n5=− , n a4n =, n a83n= +, n a83n= −, n a2n= − , n4n 23a−=¨ ¾ºÇÒeÁèo n ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å æÅÇ ÅÒ´aº¨ ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å a‹ ื‹ ŒŒ∞Œía‹ ŒŒ∞ ËÃo ื−∞ ´Ç ´a§¹¹ÅÒ´aºeËÅÒ¹Õé ÅiÁiµËÒ¤ÒäÁä´ Œaé틓‹‹ Œ”æÅ e»¹ÅÒ´aºÅoo¡ ašíÙ ‹

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ583 ** ¹o¡¨Ò¡ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ «è§ÅiÁiµ¨ ËÒ¤ÒäÁä´eÊÁoæÅÇ íึa‹‹ ŒŒÅÒ´aº·ÕèÁÕÃÙ»·Çä»e»¹¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÁÒ¡¡ÇÒ ÅiÁiµ¡ç¨ ËÒíaèšu‹1a¤ÒäÁä´eª¹¡a¹ (eª¹ ‹‹ Œ ‹‹2n a5n7n 1=−+ e»¹µ¹) š Œ ÅÒ´aºeâҤ³iµ .. •ínnlim (r )→∞ eÁèo e»¹¤Ò¤§·Õè ืrš ‹¨ ÁÕä´ ¡Ã³Õ ¤o aŒ4ื(1) äÁÁÕÅiÁiµ ..eÁèo ‹ืr1−<r1<−r1=−(2) e»¹ ..eÁèo š 0ื1r1−< <1r0−< <0r1<<na nna nna nna n

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 584 r0 =(3) e»¹ ..eÁèo š1ืr1 =r1=(4) ËÒ¤ÒäÁä´ ..eÁèo ‹ ‹ Œืr1 >r1>na nna nna n

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ585 µaÇoÂÒ§ ãËËÒÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aºµo仹Õé ‹Œí‹•nn a3 =ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š3, 9, 27,81, 243, ...¨ ¾ºÇÒeÁèo n ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å æÅÇ ÅÒ´aº¨ ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å a‹ ื‹ ŒŒ∞Œía‹ ŒŒ∞ ´Ç ´a§¹¹ÅÒ´aº¹Õé ÅiÁiµËÒ¤ÒäÁä´ Œaé퓋‹ Œ”•nn a( 2) =−ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š2, 4, 8,16, 32,...−− −¨ ¾ºÇÒÅÒ´aºÁÕšɳ ¡Ça´æ¡Ç§ ¡ÇÒ§¢é¹eÃèo äÁä´Åa‹íaa‹Œึืæ‹ Œ ‹Ùe¢ÒËÒ¤Òã´e»¹¾ieÈÉ ´a§¹¹ÅÒ´aº¹Õé äÁÁÕÅiÁiµ Œ‹šaéí“ ‹”•nn a( 1) =−ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š1,1, 1,1, 1,...−−−¨ ¾ºÇÒÅÒ´aºÁÕšɳ ¡Ça´æ¡Ç§ Êź¡a¹oÂà ËÇÒ§ a‹íaa‹aÙ ‹a‹-1 ¡aº æÅ äÁä´Åe¢ÒËÒ¤Òã´e»¹¾ieÈÉ 1a‹ Œ ‹ ŒÙ‹š´a§¹¹ÅÒ´aº¹Õé äÁÁÕÅiÁiµ aéí“ ‹”•nn a1=ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š1,1,1,1,1,...¨ ¾ºÇÒÅÒ´aºÁÕ¤Òe»¹ eÊÁo (äÁÇÒ ¨ ÁÕ¤ÒÁÒ¡a‹í‹ š1‹ ‹na‹e¾Õ§ã´) ´a§¹¹ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº¹ e·Ò¡aº aéíÕé‹1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 586 •nn a(0.9) =ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š0.9000, 0.8100, 0.7290, 0.6561, 0.59049,...¨ ¾ºÇÒeÁèo n §ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ¤Ò¢o§ÅÒ´aº¨ §e¢Òa‹ ืiè‹ ŒŒ∞‹ía ièŒã¡Å ´a§¹¹ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº¹ e·Ò¡aº Œ0aéíÕé‹0•nn12a( ) =ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š11 1114 8 16 32 2, , ,,,...¨ ¾ºÇÒeÁèo n §ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ¤Ò¢o§ÅÒ´aº¨ §e¢Òa‹ ืiè‹ ŒŒ∞‹ía ièŒã¡Å ´a§¹¹ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº¹ e·Ò¡aº Œ0aéíÕé‹0•nn12a() =−ÅÒ´aº¹ÕéÁÕ¤Òe»¹ í‹ š111114 28 1632, ,,,,...−−−¶§æÁÇÒÅÒ´aº¹Õé¨ ÁÕšɳ ¡Ça´æ¡Ç§ æµ¾ºÇÒeÁèo n §ÁÕึŒ ‹íaaa‹‹‹ ืiè¤Òe¢Òã¡Å ¡ÒÃæ¡Ç§¨ Âiè§æ¤ºÅ§ æÅ ¤Ò¢o§ÅíÒ´aº¨‹ ŒŒ∞‹aa ‹a§e¢Òã¡Å ´a§¹¹ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº¹ e·Ò¡aº i茌0aéíÕé‹0 µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aºeâҤ³iµµo仹 ÁÕÅiÁiµe»¹ ‹í‹Õéš0nn a8 5−= ⋅, nn 5a2 =, nnn45( 2)a3 +⋅− =e¾ÃÒ ¤Ò (oaµÃÒÊǹÃÇÁ) ÁÕ¤ÒoÂÙà ËÇÒ§ ¡aº a ‹r‹‹‹‹a‹- 11

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ587 ËÃoæÊ´§Çi¸Õ¤íҹdz䴴a§¹ ืŒÕé−→∞→∞→∞⋅= ⋅ = =nnnnn1lim (8 5 )lim (8) lim ()(8)(0)05()( )( ) ( )+→∞→∞→∞⋅− =⋅−== nnn4nnn5( 2)552813813limlimlim(0)0µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aºeâҤ³iµµo仹 e»¹ÅÒ´aºÅoo¡ ‹í‹ÕéšíÙ ‹n1n a8 5−= ⋅, n2n a8 ( 5)+= ⋅−e¾ÃÒ ¤Ò (oµÃÒÊǹÃÇÁ) ÁÒ¡¡ÇÒ ËÃo¹o¡ÇÒ a ‹ra‹‹‹1ื Œ‹- 1ËÃoæÊ´§Çi¸Õ¤íҹdz䴴a§¹ ืŒÕén1nnnn8855lim (8 5 )lim ( ) lim (5 )( )( )−→∞→∞→∞⋅= ⋅ =∞ ËÒ¤ÒäÁä´ ‹‹ Œn2nnnnlim (8 ( 5))lim (200) lim ( 5)+→∞→∞→∞⋅−=⋅− nn200 lim ( 5)→∞=−äÁÁÕÅiÁiµ (e¾ÃÒ ¡Ça´æ¡Ç§æºº¡ÇÒ§oo¡) ‹a‹Œ5. ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº µÃá (¾Ë¹ÒÁËÒáa¹) í“a ”u Ãٻ溺 •nP(n)limQ(n) →∞ eÁèo æÅ e»¹¾Ë¹ÒÁ ืPaQšu¨ ÁÕä´ ¡Ã³Õ ¤o aŒ3ื

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 588 (1) e»¹ ..eÁèo´Õ¡ÃÕ¢o§ ¹o¡ÇÒ¢o§ š0ืPŒ‹Q(2) ÁÕ¤Òe»¹ÊÁ»Ã Ê·¸iìµÇæáËÒáa¹ ..eÁèo´Õ¡ÃÕ¢o§ ‹ šaa iaืPe·Ò¡aº¢o§ ‹Q(3) ËÒ¤ÒäÁä´ ..eÁèo´Õ¡ÃÕ¢o§ ÁÒ¡¡ÇÒ¢o§ ‹ ‹ ŒืP‹QµaÇoÂÒ§ ãËËÒÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aºµo仹Õé ‹Œí‹•3n245n 2n 1a7n 8n +−=−¨ ä´ aŒ3n24nn5n 2n 1lim alim7n 8n→∞→∞⎛⎞ +−=⎜⎟−⎝⎠¹Ò´Õ¡ÃÕʧʴ¤o ËÒ÷aé§eÈÉæÅ Êǹ ¨ ä´.. íÙuื4na ‹aŒ432n521nnn7n00 0lim080 8→∞⎛⎞ + −+−⎜⎟=== ⎜⎟ −−⎝⎠(ËÃoÊÃu»ÇÒe»¹ e¾ÃÒ ´Õ¡ÃÕ¢o§eÈɹo¡ÇÒ¢o§Êǹ) ื‹ š0aŒ‹‹•32n32n n 3 a5n n+− =−¨ ä´ aŒ32n3nn2n n 3lim alim5n n→∞→∞⎛⎞+−=⎜⎟−⎝⎠¹Ò´Õ¡ÃÕʧʴ¤o ËÒ÷aé§eÈÉæÅ Êǹ ¨ ä´.. íÙuื3na ‹aŒ

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ589 32n31nn1n22002lim55 05→∞⎛⎞ + −+−⎜⎟=== ⎜⎟ −− ⎝⎠ (ËÃoÊÃu»ÇÒe»¹ ื‹ š2/5 e¾ÃÒ ´Õ¡ÃÕ¢o§eÈÉe·Ò¡aº¢o§Êǹ a‹‹æÅ ÊÁ»Ã Ê·¸iì¹Ò¢o§eÈɤo ÊÁ»Ã Ê·¸iì¹Ò¢o§Êǹa aa iíื2aa i틤o ) ื5•5n512n 3na(3n 1)−− =+¨ ä´ aŒ5n5nn12n 3nlim alim(3n 1)→∞→∞⎛⎞ − −=⎜⎟+⎝⎠¹Ò´Õ¡ÃÕʧʴ¤o ËÒ÷aé§eÈÉæÅ Êǹ ¨ ä´.. íÙuื5na ‹aŒ5455n12nn1n331lim(3)(3)81→∞⎛⎞ −−−=⎜ ⎟ = = −⎜⎟+⎝⎠ (ËÃoÊÃu»ÇÒe»¹ ื‹ š-1/81 e¾ÃÒ ´Õ¡ÃÕ¢o§eÈÉe·Ò¡aº¢o§Êǹ a‹‹æÅ ÊÁ»Ã Ê·¸iì¹Ò¢o§eÈɤo ÊaÁ»Ã Êi·¸iì¹íÒ¢o§Êǹa aa iíื- 3a‹¤o ) ื3 56. µÇoÂÒ§e¾ièÁeµÁ a‹i ¡ÒÃËÒÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº·¤ÅÒ µÃá .. ¨ 㪕íÕèŒæaaŒËÅ¡¡ÒÃe´ÕÂÇ¡a¹¤o ¶Ò´Õ¡ÃÕ¢o§eÈÉäÁe·Ò¡aº¢o§Êǹ ¨aืŒ‹ ‹‹aµoºä´·¹· (e»¹ ËÃoËÒ¤ÒäÁä´ æÅÇ浡óÕ) 浶Ҍa՚0ื‹‹ ŒŒ‹‹ Œ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 590 ´Õ¡ÃÕe·Ò¡a¹ ã˹ҴաÃÕ¹¹ËÒ÷§eÈÉæÅ Êǹ e¾èo¨´ÃÙ»‹Œíaéaéa ‹ืaæÅǤíҹdzµo Œ‹µaÇoÂÒ§ ãËËÒÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº ‹Œín3n3a2n4 −=+¹Ò ín ËÒ÷§eÈÉæÅ Êǹ ¨ ä´ aéa ‹aŒnnnn3n4n33n3lim alimlim2n42→∞→∞→∞−−== ++ 303202−==+µaÇoÂÒ§ ãËËÒÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº ‹Œí2n3n2n 41a5n2n 1+−+= −+¹Ò («è§¡ç¤o ínึื2n ´ÇÂ) ËÒ÷§eÈÉæÅ Êǹ ¨ ä´ Œaéa ‹aŒ2nnn3n2n 41lim alim5n2n 1→∞→∞+−+=−+n22241nnn21nn3303lim5505 →∞+ − ++== =−−+

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ591 µaÇoÂÒ§ ãËËÒÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº ‹Œínn 1nn25 a59 +− =+¹Ò ËÒ÷aé§eÈÉæÅ Êǹ ¨ ä´ ín5a ‹aŒnn 1nnnn25lim alim59 +→∞→∞−=+nnn2595()505lim5101 →∞−−=== −++7. o¹¡ÃÁã´ ÊÒÁÒöe¢Õ¹ã¹ÃÙ»Ê Å¡É³æ·¹¡ÒÃuæa­ aºÇ¡ ¤o («i¡ÁÒ) ä´ æÅ ÁÕÊÁºaµioÂÙ ¢o ´a§¹Õé.. ื∑‹Œa‹3Œ(1) ¼ÅºÇ¡¢o§¤Ò¤§· e·Ò¡aº¡Òäٳ´Ç¨ҹǹ¤Ãaé§ ‹Õ苌íni1kn k==⋅ ∑(2) ÊÁ»Ã Ê·¸iì´§oo¡ÁÒä´ aa iึŒnniii1i1kaka===⋅∑∑(3) 模樧ä´ÊÒËÃaº¡Òúǡ æÅ ¡ÒÃź Œíannniiiii1i1i 1(a b )ab=== ±= ±∑∑∑

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 592 µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº ‹ín1na= ËÃo ื1114 231, , , ,...¨ e¢Õ¹e»¹o¹¡ÃÁä´ÇÒ ašuŒ ‹1114231...+++ +æÅ ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂe´ÕÂÇ¡a¹¡aºÊ šɳ aa­ a( )i11i∞=∑µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº ‹ín a3n 2=−eÁèoe¢Õ¹e»¹o¹¡ÃÁ ¨ ä´ ืšuaŒ1 4710...+ ++ +ËÃoe¢Õ¹´ÇÂÊ Å¡É³ä´ÇÒ ืŒa­ a Œ ‹i1(3i 2) ∞=−∑µaÇoÂÒ§ ãËe¢Õ¹¼ÅºÇ¡µo仹ã¹ÃÙ»«i¡ÁÒ ‹Œ‹Õ鋕1 223344 5 ... 50 51⋅+⋅+⋅+⋅++⋅¨ ä´e·Ò¡aº aŒ ‹50i1((i)(i 1))=+∑•1 3715...+++++¾¨¹· n ÕèÃÙ»·Ç仢o§ÅÒ´aº aèí1,3,7,15,… ¤o ืn21−´a§¹¹¤íÒµoº¢o¹Õé¤o aéŒืnii1(21)=−∑•1 4916... 400+++++ ÃÙ»·Ç仢o§ÅÒ´aº aèí1,4,9,16,… ¤o ื2n´a§¹¹¤íÒµoº¢o¹Õé¤o aéŒื202i1(i )=∑

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ593 8. ʵäíҹdz¼ÅºÇ¡¢o§¾Ë¹ÒÁ ¡íÒŧ ¶§ Ùua1ึ3•ni1in(n 1)2==+∑(¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹¡íÒŧ ¨ ãªÊÙµÃo¹u¡ÃÁeÅ¢¤³iµ¡çä´) Œaèša1aŒŒ•n2i1in(n 1)(2n 1)6==++∑•2n3i1in(n 1)2=⎛⎞ = ⎜ ⎟ ⎝⎠+∑µaÇoÂÒ§ ãËËҤҼźǡµo仹 ‹Œ‹‹Õé•1 2 34... 75+++++¼ÅºÇ¡¹ÕéÁÕ¤Òe·Ò¡aº ‹ ‹75i1i2850(75)(76)2=== ∑(ËÃoãªÊµÃo¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµ¡çä´) ืŒÙuŒ•1 4 916... 400 +++++¼ÅºÇ¡¹e¢Õ¹ä´ã¹ÃÙ» ÕéŒ222221234... 20+++++¨§ÁÕ¤Òe·Ò¡aº ึ‹ ‹202i1i2870(20)(21)(41)6=== ∑•333331234... 27+++++ ¼ÅºÇ¡¹ÕéÁÕ¤Òe·Ò¡aº ‹ ‹2273i1i142884(27)(28)2=⎛⎞== ⎜⎟ ⎝⎠ ∑

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 594 µaÇoÂÒ§ ãËËҤҼźǡµo仹 ‹Œ‹‹Õé ¼ÅºÇ¡ ¾¨¹æá¢o§o¹¡ÃÁ «è§ÁÕ¾¨¹·Çä»e»¹ •12uึaèš2n an2n 4=+ −¨ ä´ aŒ121212122212i1i1i1i1S(i2i 4)i2i4== = = =+−=+−∑∑ ∑ ∑ 1212122i1i1i1i2i4====+−∑∑∑(12)(13)(25)(12)(13)622(12) (4)=+− ⋅ 758=•1 2 23 344 5 ... 50 51⋅+⋅+⋅+⋅++⋅¨ ä´ aŒ5050250i1i 1S((i)(i 1))(ii)== =+=+∑∑ 50502i1i1(50)(51)(101)(50)(51)62ii===+= +∑∑ 44200 =•1 3 1 243 3 5 5 ... 202239⋅⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅⋅++⋅⋅¨ ä´ aŒ202032i1i1((i)(i 2)(2i 1))(2i3i2i)== +−=+−∑∑ () 2(20)(21)(20)(21)(41)(20)(21)262232=+− 96390=

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ595 9. ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁo¹¹µ ãªÊ šɳe»¹ ‹ua Œ ­aa šS ∞«è§ÁÕ·ÁÒ¨Ò¡ ึÕèinni1Salim S∞∞→∞=== ∑ ¹¹eo§ aè o¹¡ÃÁ·ËÒ¤Ò ä´ eÃÕ¡ÇÒo¹u¡ÃÁÅÙe¢Ò •uÕè‹S ∞Œ‹‹ Œ(convergent) æÅ o¹¡ÃÁ·ËÒ¤Ò äÁä´ eÃÕ¡ÇÒauÕè‹S ∞‹ Œ‹o¹¡ÃÁÅoo¡ uÙ ‹(divergent)** ÅÒ´aºÅe¢ÒËÃooo¡ ¾i¨ÒóҷÕè¤Ò íً Œื‹nnlim a→∞(ÅÒ´aºÅe¢Ò¤oËÒ¾¨¹o¹¹µä´) íً Œ ืa ŒÊǹo¹¡ÃÁÅe¢ÒËÃooo¡ ¾i¨ÒóҷÕè¤Ò ‹uً Œื‹nnlim S (S )→∞∞(o¹¡ÃÁÅe¢Ò¤oËҼźǡ¶§¾¨¹o¹¹µä´) uً Œ ืึa Œ o¹¡ÃÁ«è§Åe¢Ò (ËÒ¤Ò ä´) ¨ ÁÕšɳ ´a§¹Õé •uึ ‹ ŒÙ‹S ∞Œaaa(¶ÒäÁµÃ§µÒÁe§o¹ä¢¢oã´¢o˹§ o¹¡ÃÁ¨ Åoo¡·¹·) Œ‹ื 茌ึ èua Ù ‹aÕ(1)nnlim a0→∞= (ÅÒ´aºÅe¢ÒÊ ) íً Œ ‹Ù0æÅ a(2)nnlim r1 r→∞< ( ¤ooµÃÒÊǹ¢o§¾¨¹µ´¡a¹) ืa‹iµaÇoÂÒ§ o¹¡ÃÁµo仹e»¹o¹¡ÃÁÅoo¡ ‹u‹ÕéšuÙ ‹(äÁÊÒÁÒöËҼźǡ¶§¾¨¹·o¹¹µä´) ‹ึÕèa Œe¾ÃÒ ÅiÁiµ¢o§¾¨¹·Çä»äÁe»¹ aaè‹ š0 (lim ann0 )→∞≠•1 2 345 ... n ...+++++++•n1 2 4 8 16 ... 2...+++++++•1 4 7 10 ... (3n 2) ... + ++ + + − +

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 596 •1 2 23 344 5 ... n(n 1)...⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +++ +•35624n 1n14523......++++++ + +•223618 1127n24421024703n n ......+−++++++ +µaÇoÂÒ§ o¹¡ÃÁµo仹e»¹o¹¡ÃÁÅoo¡ (äÁÊÒÁÒöËҋu‹ÕéšuÙ ‹‹¼ÅºÇ¡¶§¾¨¹·o¹¹µä´) e¾ÃÒ oµÃÒÊǹ¢o§¾¨¹µ´¡a¹ึÕèa Œa a‹i·¾¨¹o¹¹µ äÁä´¹o¡ÇÒ Õèa‹ Œ Œ‹1 ( lim rnn1)→∞< /•1111145236...+ + ++ +(ÅÒ´aº ¤o ín rื3 45245 6 3,,, ,... ´a§¹¹ aénnlimr1→∞=) ** ¶Òo¹¡ÃÁÅe¢Ò æÊ´§ÇÒÅÒ´aºµo§Åe¢ÒÊ æ¹¹o¹ Œuً Œ‹íŒÙ‹ Œ ‹Ù0‹æµÅÒ´aº·ÕèÅe¢ÒÊ o¹¡ÃÁoÒ¨¨ Åoo¡¡çä´ ‹íً Œ ‹Ù0ua Ù ‹Œ10. o¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµæÅ eâҤ³iµo¹¹µ uaa o¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµ .. ËÒ¤ÒäÁä´eÊÁo •uS ∞‹‹ Œ(¡eǹo¹¡ÃÁ Œu0000 ...++++) o¹¡ÃÁeâҤ³iµ .. ËÒ¤Òä´¡çeÁèo •uS ∞‹Œ ื1r1−< <e·Ò¹¹ æÅ ¤Ò·ä´¤o ‹aéa ‹ÕèŒ ื1 aS1r ∞=−(¶Òo¹¡ÃÁÅoo¡ æµãªÊµÃ¹Õé¤íҹdz ¡ç¨ ä´µÇeÅ¢·Õè¼´) ŒuÙ ‹‹ ŒÙaŒai

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ597 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁeâҤ³iµµo仹 ‹Œ‹u‹Õé•n 311126182 3 ......⋅+ + + + +¨ ä´ aŒ1 a1/23S1r11/34∞== =−−•n1n (1)1114 282......+ −−+− + +¨ ä´ aŒ1 a1/21S1r1( 1/2)3∞== =−− −•8 4393 2...++ + +¨ ä´ aŒ1 a3S91 r1 2/3∞== =−−•334 2 6 3...−+−+¨ ä´ aŒ1 a6S41r1( 1/2)∞== =−− −•231110.9(0.9)(0.9)1...++ + +e»¹o¹¡ÃÁÅoo¡ e¾ÃÒ ¤Ò ÁÒ¡¡ÇÒ šuÙ ‹a ‹r‹1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 598 µaÇoÂÒ§ ãËæ»Å§·È¹ÂÁ ‹Œi2.6747474... e»¹eÈÉÊǹ š‹e¹o§¨Ò¡ ื è2.6747474...2.6 (0.074 0.00074 0.0000074 ...)=+ + + +ã¹Ç§eźe»¹o¹¡ÃÁeâҤ³iµo¹¹µ «è§ÁÕ¤Ò çšua ึ‹r0.01 =¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹0.07410.01 2.6747474... 2.6 ()−=+ 2613247410990495=+ =µaÇoÂÒ§ ªÒ¤¹Ë¹§e´i¹ÅÒ¡·o¹äÁ仵ÒÁæ¹ÇÃÒº ¡ÒNjึ 苌Œæáe¢Òe´i¹ä´Ã  ·Ò§ Œa a0.5 eÁµÃ æÅ ´Ç¤ÇÒÁÅÒ·ÒãËa ŒŒíŒ¡ÒǶa´ä»ä´Ã  ·Ò§e¾Õ§ ŒŒa a80% ¢o§¡ÒÇ¡o¹Ë¹ÒeÊÁo Œ‹ŒeÁèoe¢Òe´i¹¤Ãº ¡ÒÇ ¨ oÂËÒ§¨Ò¡¨´eÃièÁµ¹e·Òã´ ื10Œaً ‹uŒ‹æÅ ¶Ò»ÅoÂãËe´i¹ä»eÃèo ¨ ä´Ã  ·Ò§äÁe¡i¹e·Òã´ a Œ‹Œืæ aŒa a‹‹ÅÒ´aºæÊ´§Ã  ·Ò§æµÅ ¡ÒǤo ía a‹a Œื230.5, 0.5 0.8, 0.5 (0.8) , 0.5 (0.8) ,...×××e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ·ÕèÁÕ¤Ò e»¹ ší‹rš0.8¤íÒ¶ÒÁæá ¶ÒÁ¤Ò ‹10 S¨ ä´ aŒ1010110a(1 r )(0.5)(1 (0.8) )S1r1 0.8−− == −− 2.23≈ eÁµÃ

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ599 æÅ ¤íÒ¶ÒÁ·Êo§ ¶ÒÁ¤Ò aÕè‹S ∞¨ ä´ aŒ1 a0.5S2.51r1 0.8∞== =−− eÁµÃ ÊÃu»ÇÒeÁèoe¢Òe´i¹¤Ãº ¡ÒÇ ¨ oÂÙËÒ§¨Ò¡¨u´eÃièÁµ¹‹ ื10Œa‹ ‹Œ»Ã ÁÒ³ a2.23 eÁµÃ æÅ ¶Òe´i¹ä»eÃèo ¨ ä´Ã  ·Ò§a Œืæ aŒa aäÁe¡i¹ ‹2.5 eÁµÃ 11. ÊÃu»o¹¡ÃÁÃٻ溺µÒ§ e¡ÕèÂÇ¡aº eÅ¢¤³iµ u‹æ“” ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹¾Ë¹ÒÁ¡íÒŧ˹§ ¨ e»¹o¹¡ÃÁeÅ¢• Œaèšuaึ èašu¤³iµ (ãªÊµÃeÅ¢¤³iµ ËÃoʵà ¡íÒŧ˹§¡çä´) ŒÙืÙ∑aึ èŒ ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹ eÅ¢¤³iµ eÅ¢¤³iµ • Œaèš “ + ”¡ç§¤§e»¹o¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµeËÁo¹e´iÁ ašuื ¶ÒÃÙ»·Çä»e»¹¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ËÃoÊÒÁ ¨ oÂã¹ÃÙ» • ŒaèšuืaÙ ‹“eÅ¢¤³iµ eÅ¢¤³iµ (¤íҹdz ´ÂãªÊµÃ ¡íÒÅa§×”oŒÙ∑Êo§, ¡íÒŧÊÒÁ) aËÁÒÂe˵u ¶Ò¼ÅµÒ§¢o§¼ÅµÒ§ (ź¡a¹Êo§ªaé¹) e»¹Œ‹‹š¤Ò¤§· æÊ´§ÇÒe»¹¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ .. ¶Ò¼ÅµÒ§ ´Âź‹Õè‹ šuŒ‹o¡a¹ÊÒÁªaé¹e»¹¤Ò¤§· æÊ´§ÇÒe»¹¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊÒÁ .. š ‹Õè‹ šueËÅÒ¹ËÒÃÙ»·Çä»ä´ ´Âe¢Õ¹ÃÙ»·Ç仢o§¾Ë¹ÒÁ æÅÇ桋ÕéaèŒoaèuŒŒÃ ººÊÁ¡ÒÃe¾èoËÒÊÁ»Ã Ê·¸æµÅ µÇ aืaa iiì‹a a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 600 µaÇoÂÒ§ ãËËҼźǡ ¾¨¹æá¢o§o¹¡ÃÁµo仹Õé ‹Œ25u‹4 1120 3144 ... ++ ++ +o¹¡ÃÁ¹äÁ㪷§eÅ¢¤³iµæÅ eâҤ³iµ uÕé‹ ‹aéa·´Åo§ËҼŵҧ¤Ãaé§æáä´e»¹ ‹Œ š 7, 9, 11, 13, … «è§Áռŵҧªaé¹·Êo§e»¹ ึ‹Õèš2, 2, 2, …¾ºÇҼŵҧÊo§ªaé¹e»¹¤Ò¤§· æÊ´§ÇÒ o¹¡ÃÁ¹ÕéÁÕ¾¨¹‹‹š ‹Õè‹u·Çä»e»¹¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ ã¹ÃÙ» aèšu2n aAnBn C=++æ¡Ã ººÊÁ¡ÒÃËÒ¤Ò Œa‹A, B, Co´Âæ·¹¤Ò e»¹ ‹nš1, 2, 3 ´a§¹Õé 1 aA B C4= ++= ______ (1)2 a4A 2B C 11=++= ______ (2)3 a9A 3B C20=++= ______ (3)¨ ä´¼Åe»¹ aŒšA1 B=, 4 =, æÅ aC1=−æÊ´§ÇÒ¾¨¹·Ç令o ‹aèื2n an4n 1=+ −æÅ ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁ¹e·Ò¡aº a ‹uÕé‹252i1(i4 i 1)=+− ∑2525252i 1i1i1i4i1====+−∑∑∑(25)(26)(51)(25)(26)624(25)(1)=+− 6800=