รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ51 µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ++=24x9x 20桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š++=(4x 1)(x 2)0´a§¹¹ aé+=4x 1 0 ËÃo ื+ =x20¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹=−1x4 ËÃo ื=−x2æÅ e«µ¤íÒµoº¤o aื−−1 {, 2}416. ¶Ò¹¡æ¡µÇ»Ã ¡oºã¹ã¨e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁäÁä´ µo§ãªŒ ึaašíç‹ Œ ŒŒÊµÃÊÒeÃç¨ã¹¡ÒÃËÒ¤íÒµoº (¢o§ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§) ¤o Ùíaื−±−=2BB4ACx2AæÅ ¶Ò¾ºÇÒÀÒÂã¹ÃÙ·e»¹¨Ò¹Ç¹µ´Åº ãËÊÃu»ÇÒ桵aÇa Œ‹ŒšíiŒ‹»Ã ¡oºäÁä´ æÅ ÊÁ¡Òù¹äÁÁÕ¤íÒµoº·e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ a‹ Œaaé‹Õèší** ʵÃÊÒeÃ稹 㪡aºÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ã¹ÃÙ» ÙíÕéŒa++=2AxBx C0 (eÁèo äÁãªÈ¹Â) ä´·u¡ ÊÁ¡Òà ืA‹ ‹ÙŒæäÁÇÒ¨ e»¹ÊÁ¡Ò÷桵ǻà ¡oºã¹ã¨ä´ËÃoäÁä´¡çµÒÁ ‹ ‹ašÕèaaŒ ื‹ ŒµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ+−=2x3x 20桵ǻà ¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ¨§ãªÊµÃ aa‹íึ ŒÙ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 52 ä´e»¹ Œ š−±−−−±==2334(1)( 2)317x2(1)2´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−+− −317317{,}22ËÃo»Ã ÁÒ³¤Òä´e»¹ ืa‹ Œ š−{0.56, 3.56}µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−+=2x2x 30桵ǻà ¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ¨§ãªÊµÃ aa‹íึ ŒÙä´e»¹ Œ š−−±−−±−==2( 2)( 2)4(1)(3)28x2(1)2¾ºÇÒã¹ÃÙ·e»¹¤Òµ´Åº ¨§äÁÁÕ¤íÒµoº·e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ‹Œš ‹iึ ‹ÕèšíæÅ e«µ¤íÒµoº (ã¹Ã ºº¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) ¡ç¤o aaíื∅** ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒùÕéÁÕo æµe»¹¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ Ù ‹‹ šíŒ(ËÁÒ¶§ã¹ÃÙ·µ´Åº) Ëŧ¨Ò¡È¡ÉÒÇiªÒ¤³iµÈÒʵÃึŒiaึe¾ièÁeµÁ Á. æÅÇ e«µ¤íÒµoº¨ äÁãªe«µÇÒ§o¡µoä»! i5Œa‹ ‹‹Õ‹µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ++= 22x4x 1 0桵ǻà ¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ¨§ãªÊµÃ aa‹íึ ŒÙ

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ53 ä´e»¹ Œ š− ± −− ±==2444(2)(1)48x2(2)4− ±== − ± 42 22142´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−+− − 22{1,1}22ËÃo»Ã ÁÒ³¤Òä´e»¹ ืa‹ Œ š−− {0.29, 1.71}17. ¡ÅÒÇ ´ÂÊÃu» ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§Áa¡¨ ÁÕ ¤íÒµoº ‹oaa2 (¶ÒãªÊµÃ¨ ¾ºÇÒã¹ÃÙ·e»¹¨Ò¹Ç¹ºÇ¡) Œ ŒÙa‹Œší浺ҧ¤Ãa駤íÒµoº«éíÒ¡a¹¡ç¨ eËÅoæ¤ ¤íÒµoº ‹aื‹1 (¶ÒãªÊµÃ¨ ¾ºÇÒã¹ÃÙ·e»¹ ¾o´Õ) Œ ŒÙa‹Œš0ËÃoºÒ§¤Ãa駡çoÒ¨¨ äÁÁÕ¤íÒµoºeÅ ืa‹ (¶ÒãªÊµÃ¨ ¾ºÇÒã¹ÃÙ·e»¹¨Ò¹Ç¹µ´Åº) Œ ŒÙa‹ŒšíiµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−+=2x6x 90桵ǻà ¡oºä´ aaŒ−−=(x 3)(x 3)0ËÃo¹ÂÁe¢Õ¹e»¹ ืiš−=2(x 3)0´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื{3} (ÁÕe¾Õ§¤íÒµoºe´ÕÂÇ) ¶ÒËÒ¡ãªÊµÃ ¨ ä´e»¹ ŒŒÙaŒ š

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 54 ±−−±== = 26( 6)4(1)(9)60x32(1)2´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื{3} (ÁÕe¾Õ§¤íÒµoºe´ÕÂÇ) 18. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§o¡Çi¸Ë¹§¤o ¡Ò÷ÒãËe»¹ŒaÕÕึ ื “èíŒ š¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ e»¹Çi¸Õ·Õè·ÒãËäÁµo§æ¡µÇ»Ã ¡oºaُ” šíŒ ‹ ŒaaæÅ äÁµo§ãªÊµÃÊÒeÃç¨ a‹ ŒŒÙíµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−+= 2x6x 50ÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃe»¹ ŒŒš−=− 2x6x5·ÒãËe»¹¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ ´Â íŒ šaُo−+=−+2x6x 95 9¹¹¤o aèื−=2(x 3)4´a§¹¹ aé−=x32 ËÃo ื−= −x32¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹= x5 ËÃo ื= x1æÅ e«µ¤íÒµoº¤o aื{5,1}µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ++= 22x4x 1 0ÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃe»¹ ŒŒš+= − 22x4x1¹¹¤o aèื+= − 22(x2x)1·ÒãËe»¹¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ ´Â íŒ šaُo++=−+22(x2x 1)1 2

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ55 ** ½§«ÒÂeµÁ æµ½§¢ÇÒµo§eµÁ e¹o§¨Ò¡½§«Ò˜› Œi+1‹ ˜›Œi+2ื 蘛 ŒÁÕ ¤Ù³o·ǧeź´Ç 2Ù ‹Õè猨 ä´ aŒ+=22(x 1)1 ... ÂÒ ä»ËÒý§¢ÇÒe»¹ Œ2˜›š1/2´a§¹¹ aé+=1x12 ËÃo ื+= −1x12´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−+− − 11{1,1}22ËÃo·ÒÊǹäÁã˵´ÃÙ· ä´e»¹ ื틋 ŒiŒŒ š−+− − 22{1,1}22µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−+=2x2x 30ÂÒ¢ҧÊÁ¡ÒÃe»¹ ŒŒš−=− 2x2x3·ÒãËe»¹¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ ´Â íŒ šaُo−+=−+2x2x 13 1¹¹¤o aèื−=− 2(x 1)2«è§¾ºÇÒe»¹ä»äÁä´ã¹Ã ºº¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ึ‹ š‹ ŒaíæÅ e«µ¤íÒµoº (ã¹Ã ºº¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) ¡ç¤o aaíื∅19. oÊÁ¡Òà ¤o»Ã ¤·ÕèÁÕµÇæ»ÃæÅ ¡ÅÒǶ§¡ÒÃäÁืaoaa‹ึ‹e·Ò¡a¹ (ä´æ¡ ‹Œ ‹><>< ËÃo ) ื≠

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 56 ¡ÒÃæ¡oÊÁ¡Òà ¤o¡ÒÃËÒ¤Ò¢o§µÇæ»Ã·Õè·Òã˕Œื‹a팻à ¤¹¹e»¹¨Ãi§ ..oÒ¨¡ÅÒÇÇÒe»¹¡ÒÃËÒ e«µ¤íÒµoºaoa隋 ‹ š“¢o§oÊÁ¡Òà ¡çä´eª¹¡a¹ ”Œ ‹µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹−3x 20 >ÂÒ¢ҧä´e»¹ ŒŒŒ š3x2 > æÅ ¨ ä´ a aŒ2x3 >´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื{ xx2/3 }|>æÅ Ã ºu¤íÒµoºº¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´a§¹ a aŒíŒÕéµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹−− < 83x 1 11<¹Ò ºÇ¡ä´e»¹ í1Œ š−< 73x12<¨Ò¡¹¹ËÒôÇ ¨ ä´ aéŒ3aŒ−< 7/3x4<´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−< {x7/3x4 }|<æÅ Ã ºu¤íÒµoºº¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´a§¹ a aŒíŒÕé2/3 -7/3 4

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ57 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹+− x13 4x5<<ÁÕ ËÅÒµǨ§µo§æ¡¤i´e»¹ Êǹ ´a§¹ xaึ Œš2‹Õé+− x13 4x< æÅ a−34x5<5x2<− 24x<2x5 <−1x2<´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื{ xx2/5|<æÅa−1/2x } <«è§e·Ò¡aº ึ ‹− { x1/2x2/5}|<<20. ªÇ§ ¤oe«µª¹´Ë¹§«è§ÁÕÊÁÒª¡e»¹¤Ò·Õèµoe¹o§¡a¹ ‹ืiึ ึèiš ‹‹ื èoÒ¨e»¹ªÇ§e»´ ªÇ§»´ ËÃoªÇ§¤Ãè§e»´ š ‹‹ื ‹ึ o´Â¤íÒÇÒ e»´ ¤o¨´»ÅÒ¢o§ªÇ§äÁoÂã¹e«µ 㪋 “  ” ืu‹‹ ‹ÙŒÊ šɳe»¹Ç§eÅçº ¤§ a­ a šoŒ( )æÅ ¤íÒÇÒ »´ ¤o¨´»ÅÒ¢o§ªÇ§oÂã¹e«µ´Ç ãªa‹ “  ” ืu‹Ù ‹ŒŒÊ šɳe»¹Ç§eźeËÅÂÁ a­ a šçÕè[ ]** »ÅÒ¢o§eʹ¨Ò¹Ç¹·§Êo§´Ò¹¤o¤Ò æÅ ŒíaéŒื ‹∞a−∞«è§¨ µo§e»¹»ÅÒÂe»´eÊÁo e¾ÃÒ æÅ ึa Œša∞a−∞ ¹aé¹äÁä´oÂã¹e«µ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ‹ Œ ‹Ùí-1/2 2/5

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 58 µaÇoÂÒ§ oÊÁ¡Òà ‹2x3 > e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´a§¹Õé ŒíŒæÅ e¢Õ¹e»¹ªÇ§ä´e»¹ aš ‹Œ š∞[2/3, )oÒ¹ÇÒ ªÇ§»´ ‹‹ “ ‹2/3 ¶§ e»´o¹¿¹iµ ึi ” ÕéµaÇoÂÒ§ oÊÁ¡Òà ‹x1 < e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´a§¹Õé ŒíŒæÅ e¢Õ¹e»¹ªÇ§ä´e»¹ aš ‹Œ š−∞(,1]oÒ¹ÇÒ ªÇ§ e»´Åºo¹¿¹iµ ¶§»´ ‹‹ “ ‹iÕéึ 1 ”µaÇoÂÒ§ oÊÁ¡Òà ‹>−x1 æÅ oÊÁ¡Òà a< x2e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´a§¹ (µÒÁÅÒ´aº) ŒíŒÕéíæÅ e¢Õ¹e»¹ªÇ§ä´e»¹ aš ‹Œ š−∞(1, ) æÅ a−∞(,2)oÒ¹ÇÒ ªÇ§e»´ - ¶§o¹¿¹iµ æÅ ªÇ§e»´Åºo¹¿‹‹ “ ‹1ึi ” Õéa“ ‹i¹iµÕ鶧 (µÒÁÅÒ´aº) ึ2 ”í2/3 1 -1 2

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ59 µaÇoÂÒ§ oÊÁ¡Òà ‹−<1x2< e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹ä´´a§¹Õé ŒíŒæÅ e¢Õ¹e»¹ªÇ§ä´e»¹ aš ‹Œ š−(1,2]oÒ¹ÇÒ ªÇ§e»´ - ¶§»´ ‹‹ “ ‹1ึ 2 ”21. e¹o§¨Ò¡ ªÇ§ ¤oe«µª¹´Ë¹§ (e«µ·ÕèÁÕÊÁÒª¡e»¹ื è“ ‹ ” ืiึ èiš¨Ò¹Ç¹¨Ãi§æÅ ÁÕ¤Òµoe¹o§) ´a§¹¹ÊÒÁÒö¹ÒªÇ§Êo§ªÇ§ía‹ ‹ื èaé틋ÁÒÂe¹Â¹ o¹eµoÃe«¤ ËÃoź¡a¹¡çä´ æÅ ËÒ¤oÁ¾ÅÙÕiืŒaÕeÁ¹µ¢o§ªÇ§¡çä´ ´Â¹ÂÁ¾i¨ÒóҨҡeʹ¨Ò¹Ç¹ ‹ŒoiŒí** ªÇ§·ãË ·Ê´¤oe«µ ‹Õè­ ‹Õèuื=−∞ ∞(, )RæÅ ªÇ§·eÅ¡·Ê´¤o a ‹ÕèçÕèuื∅µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ ‹= A[1,4] æÅ a=−B( 2,3)ãËËÒ Œ∩AB æÅ a∪AB æÅ a∪(AB)'¨ ä´ aŒ∩ = AB [1,3) ´a§ÃÙ» -1 2 -2 1 3 4

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 60 æÅ ä´ aŒ∪ =−AB ( 2,4] ´a§ÃÙ» ´a§¹¹ aé∪=− ∞−∪∞(AB)'(, 2](4, )µaÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ ‹=− ∞A[ 2, ) æÅ a=−B( 2,3]ãËËÒ Œ− AB æÅ a−BA¨ ä´ aŒ− = ∪ ∞AB{2}(3, ) ´a§ÃÙ» æÅ ä´ aŒ−=∅ BA22. ¢o¤ÇÃà Ça§ã¹¡ÒÃæ¡oÊÁ¡ÒÃã´ ŒaŒæ ¡ÒúǡËÃoź·§Êo§¢Ò§ (ÂÒ¢ҧºÇ¡Åº) æÅ ¡ÒÕืa錌Œaµ´oo¡ÊÒËÃaº¡ÒúǡËÃoź ·Òä´eÊÁo aíืíŒ>→ ±>±aba cb c eÊÁo ± >± → >acb cab eÊÁo -2 1 3 4 -2 1 3 -2 1 3 4

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ61 ¡ÒäٳËÃoËÒ÷§Êo§¢Ò§ (ÂÒ¢ҧ¤Ù³ËÒÃ) •ืa錌Œ¨ µo§Ã Ça§eÃèo§¡ÒÃe»Å¹e¤Ãèo§ËÁÒ a ŒaืÕèื(¶ÒeÅ¢·ÕèÂÒÂe»¹¤Òµ´Åº µo§¾Å¡´Ò¹e¤Ãèo§ËÁÒÂ) ŒŒš ‹iŒiŒื>→ >aba cb c eÁèo ื>c0>→ <aba cb c eÁèo ื<c0>→>acb cab eÁèo ื>c0>→<acb cab eÁèo ื<c0 ¡Òá¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§ ·Òä´eÁèoÁaè¹ã¨ÇÒe»¹ºÇ¡•aaéŒíŒ ื‹ š·§Êo§¢Ò§ ËÃoµ´Åº·§Êo§¢Ò§e·Ò¹¹ aéŒืia錋aé( ´Â¡Ã³Õµ´Åºµo§¾Å¡´Ò¹e¤Ãèo§ËÁÒ´ÇÂ) oiŒiŒืŒ>→ >22abab eÁèo ื>a,b 0>→ <22abab eÁèo ื<a,b 0µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹−< −8 1 3x13<¹Ò źoo¡ ä´e»¹ í1Œ š−< −93x12<¨Ò¡¹¹ËÒôÇ ¨ ä´ aéŒ- 3aŒ>− 3x4 >** µo§¾Å¡e¤Ãèo§ËÁÒÂe¾ÃÒ ¤Ò·Õè¹ÒÁÒËÒÃe»¹¤Òµ´Åº Œiืa ‹íš ‹i´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−< {x4x3}|<ËÃoe¢Õ¹e»¹ªÇ§ ืš ‹−[4,3)23. ¡ÒÃæ¡ (ËÃoËÒ¤íÒµoº¢o§) oÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ e¾èoŒืaื¤ÇÒÁÊ ´Ç¡¤ÇÃãªe·¤¹¤´a§¹ aŒiÕé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 62 ¨´oÊÁ¡ÒÃã˽§Ë¹§e»¹ ´Â·ÒãËÊÁ»Ã Ê·¸•aŒ ˜›ึ šè0 oíŒaa iiìË¹Ò äÁµ´Åº (¶Òµ´ÅºãË¹Ò ¤Ù³ æÅ ¾Åi¡Œ2x‹iŒiŒí- 1a´Ò¹e¤Ãèo§ËÁÒ¡o¹) Œื‹ 桵ǻà ¡oº æÅÇ¡íÒ˹´¨´ ·Õè·ÒãËæµÅ ǧeÅ纕aaŒuxíŒ ‹ae»¹ ŧº¹eʹ¨Ò¹Ç¹ š0Œí ¶ÒoÊÁ¡ÒÃe»¹ • Œš> 0 ã˵oºªÇ§e»´ «ÒÂæÅ ¢ÇÒ, Œ‹Œa¶ÒoÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš< 0 ã˵oºªÇ§e»´ µÃ§¡ÅÒ§ Œ‹ æÅ ¶ÒoÊÁ¡ÒÃÁÕe¤Ãèo§ËÁÒ •a Œื= 0 ´Ç ¡çã˵oº¨u´ŒŒeËÅÒ¹¹´Ç (¡ÅÒÂe»¹ªÇ§»´) ‹a錚 ‹µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹−+>2x4x 30桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š−−>(x 3)(x 1)0¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ Œíื ‹−∞∪∞(,1)(3, )æµËÒ¡e»Å¹oÊÁ¡ÒÃe»¹ ‹Õèš−+ 2x4x 30>¨ ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§ aŒš ‹−∞∪∞(,1][3, ) 1 3 1 3

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ63 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹+−<2xx 60桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š+−<(x 3)(x 2)0¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ Œíื ‹−(3,2)æµËÒ¡e»Å¹oÊÁ¡ÒÃe»¹ ‹Õèš+−2xx 60 <¨ ä´e«µ¤íÒµoºe»¹ªÇ§ aŒš ‹−[3,2]µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡oÊÁ¡Òà ‹−−23x 2x0>¹Ò ¤Ù³æÅ eÃÕ§¡íÒŧãËÊǧÒÁ.. í- 1aaŒ+ − 22xx 30 <(Áo§ÇÒÂÒ¢ҧ·§ËÁ´ä»½§¢ÇÒ¡çä´) ‹ ŒŒa阛Œ¨Ò¡¹¹æ¡µÇ»Ã ¡oºä´e»¹ aéaaŒ š+−(2x 3)(x 1)0<¨Ò¡eʹ¨Ò¹Ç¹ e«µ¤íÒµoº¤oªÇ§ Œíื ‹−3 [,1]2µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§oÊÁ¡Òà ‹Œ++> 22x4x 1 0桵ǻà ¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ¨§ãªÊµÃ aa‹íึ ŒÙ-3 2 -3 2 -3/2 1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 64 ä´e»¹ Œ š− ± −− ±==2444(2)(1)48x2(2)4− ±== − ± 42 22142e¢Õ¹eʹ¨Ò¹Ç¹e¾èoËҪǧ¤íÒµoºä´´a§¹Õé Œíื‹ŒæÊ´§ÇÒe«µ¤íÒµoº¤o ‹ื−∞ − −∪ − +∞22(, 1)( 1, )22ËÃo»Ã ÁÒ³¤Òä´e»¹ ืa‹ Œ š−∞ −∪ −∞(, 1.71)( 0.29, )24. ¤ÒÊÁºÃ³¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ãªÊ šɳ “ ‹aُía” Œ ­aaa ¤ÇÒÁËÁÒÂeªi§eâҤ³iµº¹eʹ¨Ò¹Ç¹ •Œía ¤oà  Ëҧà ËÇÒ§¨´·æ·¹¨Ò¹Ç¹ ¡aº¨´ ืa a‹a‹uÕèíau0æÅ a−ab ¤oà  Ëҧà ËÇÒ§¨´·æ·¹¨Ò¹Ç¹ ¡aºืa a‹a‹uÕèía¨Ò¹Ç¹ íbµaÇoÂÒ§ ‹= 55 æÅ a−=55 eª¹¡a¹ ‹e¾ÃÒ ·§ æÅ µÒ§¡çoÂËÒ§¨Ò¡¨´ o ˹Ç a aé5a- 5‹Ù‹ ‹u0Ù ‹5‹−−212−+212

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ65 −=− 822 8 e¾ÃÒ µÒ§¡çãªæ·¹Ã  à ËÇÒ§ ¡aº a ‹Œa a a‹82 (¹¹¡ç¤o ˹ÇÂ) aèื6‹æÅ ¨Ò¡ËÅ¡¡Òù ¨§·ÃÒºÇÒ aaÕéึ‹−=− x33 x ´Ç Œ25. ¡Òöo´¤ÒÊÁºÃ³ÊÒËÃaºãª¤íҹdz ‹aُíŒ⎧⎪= ⎨−< ⎪ ⎩aa0aaa 0> eÁèo ืeÁèoืµaÇoÂÒ§ ‹= 55 (e¾ÃÒ ÁÒ¡¡ÇÒ ) a 5‹0æÅ a−=−−=5( 5)5 (e¾ÃÒ ¹o¡ÇÒ ) a- 5Œ‹0−=− x2x2 eÁèo ื−x20 > (¹¹¤o aèืx2>) −= −− x2(x 2) eÁèo ื− <x20 (¹¹¤o aèื< x2) +=+ x7x7 eÁèo ื+x70> (¹¹¤o aèื− x7 >) += −+ x7(x 7) eÁèo ื+ <x70 (¹¹¤oaèื x<−7) −=−ππ 33 e¾ÃÒ ÇÒ a ‹π3>æµ ‹−= −−ππ 4(4) e¾ÃÒ ÇÒ a ‹<π426. ·ÄɮշÕèªÇÂæ¡ÊÁ¡ÒÃæÅ oÊÁ¡Òà ·ÕèÁÕ¤ÒÊÁºÃ³ ‹Œa‹aُ(eÁèo e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ºÇ¡) ืbší ÊÁ¡Òà •= xb ¤o ื “= xb ËÃo ื=−xb ”

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 66 oÊÁ¡Òà •< xb ¤o ื “−<<bxb ”oÊÁ¡Òà > xb ¤o ื “> xb ËÃo ื<−xb ”µaÇoÂÒ§ ÊÁ¡Òà ‹= x4¨ ä´ aŒ= x4 ËÃo ื=−x4´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−{4, 4}µaÇoÂÒ§ ÊÁ¡Òà ‹−= 3x 24¨ ä´ aŒ− =3x 24 ËÃo ื− =− 3x 24¹¹¤o aèื= x2 ËÃo ื=−2x3´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−{2, 2/3}µaÇoÂÒ§ oÊÁ¡Òà ‹x4>¨ ä´ aŒx4 > ËÃo ื− x4 <´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o ªÇ§ aéื‹−∞ −∪∞(, 4][4, )µaÇoÂÒ§ oÊÁ¡Òà ‹−3x 24<¨ ä´ aŒ−− 43x 24<<¹¹¤o aèื− 2x23<<´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o ªÇ§»´ aéื‹−[ 2/3,2]

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .4 เทอม 1 บทที่ 4เลขยกกําลัง1. ¨Ò¹Ç¹·e»¹eŢ¡¡íÒŧ ¨ oÂã¹ÃÙ» íÕèšaaÙ ‹naeÃÕ¡ ÇÒ°Ò¹ æÅ eÃÕ¡ ÇÒeÅ¢ªÕé¡íÒŧ a‹an‹a¶Ò e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁæÅǨ ä´ÇÒ ŒnšíçŒaŒ ‹¤Ò ËÁÒ¶§ ¤Ù³¡a¹e»¹¨Ò¹Ç¹ µÇ ‹naึašína¤Ò ‹= 0a1 æÅ ¤Ò a ‹−= nn 1aaµaÇoÂÒ§ e¹o§¨Ò¡ ‹ื è= ⋅⋅⋅⋅ = 522222232´a§¹¹ aé− == 551122322. ·Äɮպ··e¡ÕèÂÇ¡aº eÅ¢ªÕé¡íÒÅa§ Õ蓔 eŢ¡¡íÒŧ·°Ò¹eËÁo¹¡a¹ÁÒ¤Ù³ËÃoËÒáa¹ •aÕèืื¼Åž¸¨ ä´ eÅ¢ªÕé¡íÒŧºÇ¡Åº¡a¹ aaŒ “a”+⋅= mnm naaa æÅ a−= mmnn aaa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 68 ¶Ò eÅ¢ªÕé¡íÒŧ¤Ù³¡a¹ ¨ e¡i´¨Ò¡¡Òá¡íÒŧ«o¹ • Œ “a”aaŒ= mnmn(a )a æµ¶Ò eÅ¢ªÕé¡íÒŧËÒáa¹ ¨ e¡i´¡Òöo´ÃÒ¡ •‹ Œ “a”a== mnmmnn(a)aa** µo§Ã Ça§¶Ò e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù ¤Ò ¨ ËÒÁµ´Åº ŒaŒnší‹ ‹aa Œi(e¾ÃÒ ¨ ·ÒãËã¹ÃÙ·µ´Åº äÁe»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) a a파i‹ šíæÅ ¶Ò µ´ÅºæÅÇ ¤Ò ¨ ËÒÁe»¹È¹Â a Œm iŒ‹aa ŒšÙ(e¾ÃÒ ¨ e¡i´Êǹe»¹È¹Â «è§äÁe»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§) a a‹šÙ ึ ‹ šíµaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹− 5 2 e·Ò¡aº ‹− ==0055 212232¤Ò¢o§ ‹102 e·Ò¡aº ‹+ =⋅= ⋅=555522232 32 1024ËÃo¤i´e»¹ ืš⋅===525 222(2 )(32)1024 ¡çä´eª¹¡a¹ Œ ‹¤Ò¢o§ ‹5/32 e·Ò¡aº ‹= 533(2)32µaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹−4/38e·Ò¡aº ‹=== 4/344311118216(8)

พื้นฐาน บทที่ 4 เลขยกกาลังํ69 ¤Ò¢o§ ‹−−⋅⋅23543333 e·Ò¡aº ‹−+ −+== 23 540331µaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹−1.5 9 e·Ò¡aº ‹+== ==⋅⋅1.51 0.51/2111111999 99 3273. ·Äɮպ··e¡ÕèÂÇ¡aº ¡Òáà ¨Ò¡íÒÅa§ Õè“a” eÅ¢ªÕé¡íÒŧ¡Ã ¨ÒÂä´ÊÒËÃaº¡ÒäٳæÅ ËÒà •aaŒía=⋅ nnn(ab)ab æÅ a= nnn(a/b)a /b ¡Ã³± (¡Òöo´ÃÒ¡) ¡Ã ¨ÒÂä´ÊÒËÃaº¡Òäٳ•aŒíæÅ ËÒÃeª¹¡a¹ a‹=⋅ nnnabab æÅ a=nnnaabb** ¶Òe»¹¡ÒúǡËÃoź ¨ ¡Ã ¨ÒÂã¹Å¡É³ ¹äÁä´ Œ šืa aaa Õé‹ ŒµaÇoÂÒ§ ‹⋅=⋅ 555(2 3)23 æµ ‹+≠+ 555(23)23⋅= ⋅ 2323 æµ ‹+≠ +2323

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 70 µaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹⎛⎞⎜⎟⎝⎠3 23 e·Ò¡aº ‹= 33 28327¤Ò¢o§ ‹3278 e·Ò¡aº ‹=3327328¤Ò¢o§ ‹79 63 e·Ò¡aº ‹⎛⎞= ⋅ ⎜⎟ ==⋅⎝⎠77772226612128333339µaÇoÂÒ§ ãËe¢Õ¹ ‹Œ+++⋅−⋅⋅+ + nn 1nn 1n 292523222 ã¹ÃÙ»oÂÒ§§Ò ‹ ‹¨ ä´ aŒ⋅−⋅⋅−⋅=⋅+⋅+⋅ ++nnnnnnn925222 (952)3 222242 (324)¹Ò ËÒáa¹ËÒÂä», ¨ ä´ ín2aŒ−⋅−=+ + 95 213249

พื้นฐาน บทที่ 4 เลขยกกาลังํ71 µaÇoÂÒ§ ãËe¢Õ¹ ‹Œ⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠1/nn2nn3n321684 ã¹ÃÙ»oÂÒ§§Ò ‹ ‹** ËÒÁ¡Ã ¨Ò Œa1/n e¢Òä»·¡¾¨¹ e¾ÃÒ ÁÕ¡ÒÃź¡a¹o ŒuaÙ ‹µo§¨´ÃÙ»ã¹Ç§eź¡o¹.. Œa狨 ä´ aŒ⎛⎞ ⎛ −⎞ − = ⎜⎜⎟ ⎟−− ⎝⎠⎝⎠ 1/n1/n5n8n5n3n3n6n3n3n222 (1 2 )222 (1 2 )ã¹Ç§eźeÅ¡ËÒáa¹ËÒÂä» ç稧eËÅoe¾Õ§ ึื⎛⎞ = ⎟==⎜ ⎝⎠ 1/n 5n523n32224224. ¿§¡ª¹eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ¤o¿§¡ª¹eŢ¡¡íÒŧ ˜ aoÕื ˜ aa¡íÒ˹´ÃÙ»·Çä»e»¹ aèš=xf(x)ao´Â¤Ò¢o§°Ò¹ oÂ㹪ǧ ‹aÙ ‹‹(0,1) ËÃo ื∞(1, ) e·Ò¹¹ ‹aé¹ÒÁÒe¢Õ¹¡ÃÒ¿ä´´a§¹ íŒÕé=xya eÁèo ื> a1=xya eÁèo ื< < 0a1(0,1) x y x y (0,1)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 72 ¾ºÇÒ¤Ò e»¹e·Òã´¡çä´ æµ¤Ò ¨ e»¹ºÇ¡eÊÁo •‹ ‹xš‹Œ‹ ‹yaš ¡ÃÒ¿¼Ò¹¨´ •‹u(0,1) eÊÁo (e¹o§¨Ò¡ ื è= 0a1 µÅo´·u¡ ¤Ò ·äÁãªÈ¹Â) æ‹aÕè‹ ‹Ù5. ÊÁ¡ÒÃeo¡« ¾e¹¹eªÕÂÅÃٻ溺oÂÒ§§Ò o‹ ‹=MPab¨ µo§æ»Å§°Ò¹·§Êo§¢Ò§ãËe·Ò¡a¹e¾èo¡íÒ¨´°Ò¹·§ä» a Œa錌 ‹ืaiéµÒÁÊÁºaµ·ÕèÇÒ¶Ò i‹ Œ=MNaa æÅǨ ä´ ŒaŒ= MNµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−= x471·Ò°Ò¹ãËe»¹ ·§Êo§¢Ò§ ¨ ä´ íŒ š7aéŒaŒ−= x4077´a§¹¹ aé− =x40æÊ´§ÇÒ e«µ¤íÒµoº¤o ‹ื{4}µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−− =2x5x5x82·Ò°Ò¹ãËe»¹ ·aé§Êo§¢Ò§ ¨ ä´ íŒ š2ŒaŒ−− =23(x 5)x5x22´a§¹¹ aé−= −23(x 5)x5x¹¹¤o aèื−=−23x 15x5xæ¡ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ Œa=−+ =− −20x8x 15(x 5)(x 3)æÊ´§ÇÒ e«µ¤íÒµoº¤o ‹ื{5,3}

พื้นฐาน บทที่ 4 เลขยกกาลังํ73 µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−= 42x5(3)9·Ò°Ò¹ãËe»¹ ·§Êo§¢Ò§ ¨ ä´ íŒ š3aéŒaŒ−= 42x 1/22 5(3 )(3 )´a§¹¹ aé−= 2x1033¹¹¤o aèื−=2x10æ¡ÊÁ¡ÒäÒÊÁºÃ³.. Œ‹aُ− =2x10 ËÃo ื− =− 2x10æÊ´§ÇÒ e«µ¤íÒµoº¤o ‹ื−{8,12}6. ¤íÒÇÒ ÃÒ¡·Êo§¢o§ x æÅ Ê Å¡É³ ‹ “Õè”a a­ a “x, 1/2x” ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒµҧ¡a¹ ‹ ÃÒ¡·Êo§¢o§ ä´æ¡ æÅ •Õè9Œ ‹3a- 3 æµÊ šɳ •‹ ­aa9 ËÃo ื1/29 ¨ ÁÕ¤Òe·Ò¡aº a‹ ‹3(e»¹¤ÒºÇ¡) e·Ò¹¹ š ‹‹aéµaÇoÂÒ§ ÃÒ¡·Êo§¢o§ ä´æ¡ ‹Õè5Œ ‹5 æÅ a−5æÅ ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà a= 2x5 ä´æ¡ Œ ‹5 æÅ a−57. ¡®e¡³±¾é¹°Ò¹e¡ÕèÂÇ¡aºÃÙ·  ืŒ ÃÒ¡·Õè ¤Ù³¡a¹ µÇ ÃÙ·¨ ËÒ •nnaŒaµaÇoÂÒ§ ‹⋅= 777 æÅ a ⋅⋅=3337777

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 74 ÃÒ¡·Õè ¢o§¨Ò¹Ç¹·æ¡µÇ»Ã ¡oºe»¹eÅ¢«éíÒ¡a¹ •níÕèaaš¶ÒÁÕ«éíÒª´Å µÇ ¨ ´§oo¡ÁÒo¹o¡ÃÙ·ä´e»¹ µÇ Œuanaa ึÙ ‹ŒŒ š1aµaÇoÂÒ§ ‹=⋅⋅⋅=402 2 2 52 10æÅ a= ⋅⋅⋅⋅ =1082 23 3 36 3æÅ a =⋅== 6319223238 3µaÇoÂÒ§ ‹=⋅⋅⋅=333402 2 2 52 5æÅ a=⋅⋅⋅⋅= 3331082 2 3 3 33 4æÅ a =⋅== 62 333319223234 3 ÃÙ·¤Òe·Ò¡a¹¨§¨ ºÇ¡ÅºÃÇÁ¡a¹ä´ 浶ÒÃÙ·¤¹Å ¤Ò• Œ ‹ ‹ึaŒ‹ Œ Œa ‹¨ ºÃÇÁ¡a¹äÁä´ ¹o¡¨Ò¡¨ ¤i´oo¡ÁÒe»¹·È¹ÂÁ¡o¹ a u‹ Œaši‹µaÇoÂÒ§ ‹−+=+ 3352324 22 24 2æÅ a+−+ 325 23 34 2 äÁÊÒÁÒö·ÒãËÊ¹Å§ä´ ‹íŒaéŒe¾ÃÒ e»¹ÃÙ··ÕèµÒ§¡a¹·§ËÁ´ aš Œ‹aé

พื้นฐาน บทที่ 4 เลขยกกาลังํ75 µaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹++ + 2(281832)e·Ò¡aº ‹+++ =22( 22 23242)(102)¹¹¤o aèื⋅=100 22008. Çi¸Õ·ÒÊǹäÁã˵´¡Ã³± (ÃÙ·) 틋 ŒiŒ Ãٻ溺 •ABCDãË¹Ò ŒíD ¤Ù³·§eÈÉæÅ Êǹ ¡ÅÒÂe»¹ aéa ‹šABC DDµaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹32 e·Ò¡aº ‹⋅= 323 2222¤Ò¢o§ ‹623 e·Ò¡aº ‹⋅==6236626333¤Ò¢o§ ‹+332 e·Ò¡aº ‹++ ⋅=(33)23 26222¤Ò¢o§ ‹− 862 e·Ò¡aº ‹−− == −(86) 242 32322

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 76 Ãٻ溺 •±ABCDEãË¹Ò Œí∓ DE ¤Ù³·§eÈÉæÅ Êǹ aéa ‹¡ÅÒÂe»¹ š−∓ ABC( DE)DEµaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹+ 652 e·Ò¡aº ‹−− ⋅==− −+− 6526( 52)2( 52)525252¤Ò¢o§ ‹− 131 e·Ò¡aº ‹++ ⋅==+ −−+ 1311( 3 1)1(3 1)3123131¤Ò¢o§ ‹−+ 3131 e·Ò¡aº ‹− − −−+⋅= −+− 31313331313131−== − 42 3232

พื้นฐาน บทที่ 4 เลขยกกาลังํ77 9. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕÃÙ· ¹ÂÁãªÇi¸Â¡¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§ ŒŒiŒÕaaéŒæµãËà Ça§ÇÒ¤íÒµoºoÒ¨¨ e¡i¹ÁÒä´ eÁèoãªÇi¸Õ¹Õé¨ µo§‹ Œa‹aŒ ืŒa ŒµÃǨ¤íÒµoºeÊÁo µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ+=+4x9x1¡¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§ ¨ ä´ aaéŒaŒ+ = + + 24x9x2x1¹¹¤o aèื=−−=− +20x2x8(x4)(x2)æÊ´§ÇÒ ‹= x4 ËÃo ื=−x2æµeÁèoæ·¹¤Òã¹ÊÁ¡ÒÃæÅÇ ¾ºÇÒ ãªä´ æµ ãª‹ ื‹Œ‹4Œ Œ‹- 2ŒäÁä´ ´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o ‹ Œaéื{4} e·Ò¹¹ ‹aéµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ+= ++2x3x1 1¡¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§.. aaéŒ+ = ++ ++2x3x1 2 x1 1¹¹¤o aèื+=+x1 2 x1¡¡íÒŧÊo§o¡¤Ãaé§ ¨ ä´ aÕaŒ++=+2x2x1 4x4¨´ÃÙ»ä´e»¹ aŒ š−−=→ − +=2x2x30(x3)(x1)0æÊ´§ÇÒ ‹= x3 ËÃo ื=−x1eÁèoæ·¹¤Òã¹ÊÁ¡Òà ¾ºÇÒãªä´·§Êo§¤íÒµoºื‹‹ Œ Œaé´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื−{1,3}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 78 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .4 เทอม 1 บทที่ 1ตรรกศาสตร1. »Ãao¤·¡»Ãao¤·ÕèÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§ e»¹¨Ãi§Ëà e»¹e·ç¨u‹šืošoÂҧ㴠Âҧ˹§ eÃÕ¡ÇÒ »Ãa¾¨¹ ‹o ‹ึ è‹ “” »Ãao¤¤íÒ¶ÒÁ ¤íÒʧ ¢ à § æÊ´§¤ÇÒÁ»ÃÒö¹Ò •a èo o Œ»Ãao¤ u·Ò¹ eËÅÒ¹äÁ㪻Ãa¾¨¹ o‹Õé‹ ‹ »Ãao¤º ¡eÅÒ »Ãao¤»¯ieʸ Á¡¨ae»¹»Ãa¾¨¹ •o‹aš·§¹Õéµ §¾i¨ÒóÒÇÒº ¡¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ Âҧ㴠Âҧ˹è§a éŒo‹o‹šo ‹o ‹ึä´Ëà äÁ Œ ืo‹µÇ ÂÒ§ ¢ ¤ÇÒÁµ 仹e»¹»Ãa¾¨¹ a o‹Œo‹oÕ随- ÊÁªÒ¡íÒŧ¹§Ãº»Ãa·Ò¹¢ÒÇe˹ÂÇ·eÃÕ¹ a a aèŒÕu(e»¹»Ãa¾¨¹e¾ÃÒaÊÒÁÒöº ¡ä´ÇÒ¨Ãi§Ëà e·¨) šoŒ ‹ืoç- ǹ·Ë¹§Á¡ÃÒ¤Á¢ §·¡»e»¹Ç¹Å ¡Ãa·§ aÕèึ èou‚ ša o(e»¹»Ãa¾¨¹ æÅaÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹e·¨) š‹šç- ·È¹ÂÁµÒæ˹§·ÕèËÒʺ¢ § i틌io3 ¤ ืo2(e»¹»Ãa¾¨¹e¾ÃÒaÊÒÁÒöº ¡ä´ÇÒ¨Ãi§Ëà e·¨ æÁÇҚoŒ ‹ืoçŒ ‹eÃÒ¨a§º ¡äÁä´ã¹·¹·Õ¡çµÒÁ) a o‹ Œa- −> 2x50 ÊÒËú¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ºÒ§¨Ò¹Ç¹ íaíxí(e»¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒaº ¡ä´ÇÒÁÕ¤Òe»¹¨Ãi§) šoŒ ‹‹ š

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 80 µÇ ÂÒ§ ¢ ¤ÇÒÁµ 仹äÁe»¹»Ãa¾¨¹ a o‹Œo‹oÕé‹ š- o Âà ¹¨§eÅÂ! ÂÒ¡ä»·aeŨ§, e¸ ¨a仡º©¹äËÁ o o a Œoaoa a(e»¹»Ãao¤ u·Ò¹, »Ãao¤æÊ´§¤ÇÒÁ»ÃÒö¹Ò, æÅašo»Ãao¤¤íÒ¶ÒÁ «è§ÅǹäÁÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§.. ´§¹¹äÁe»¹ึ Œ‹ ‹a aé‹ š»Ãa¾¨¹) - ÊÁË i§e»¹¹¡eÃÕ¹·Ë¹ÒµÒ´Õ·ÕèÊ´ã¹Ë § ­ šaÕèŒuŒo(eÃè §¤ÇÒÁ¹ÂÁªÁª ºe»¹eÃè §eª§¨µÇiÊ µÒ§¤¹µÒ§ืoiošืoiia‹‹¤ÇÒÁe˹ ¨§äÁÊÒÁÒöº ¡ä´ÇÒÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹¨Ãi§çึ ‹oŒ ‹‹šËà e·¨ ´§¹¹»Ãao¤¹äÁe»¹»Ãa¾¨¹) ืoça aéÕé‹ š- −> 2x50(äÁe»¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒa¨ae»¹¨Ãi§Ëà e·¨¢é¹ ·ÕèÇÒ ‹ ššืoçึo ً ‹ “ ”xæ·¹¨Ò¹Ç¹ aäÃ) ío- e¢Ò仵ա Å¿ÁÒeÁè ÇÒ¹¹ o ืoÕé(äÁe»¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒa¨ae»¹¨Ãi§Ëà e·¨¢é¹ ·ÕèÇÒ e¢Ò ‹ ššืoçึo ً ‹ “ ”ã¹·Õè¹ËÁÒ¶§ã¤Ã) Õéึ2. Ê Å¡É³·ãªæ·¹»Ãa¾¨¹µÒ§ e»¹µÇ ¡ÉÃeÅ¡ a a­Õ茏 ‹æša oaçeª¹ ‹p, q, r æµÅa»Ãa¾¨¹¨aÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§·e»¹ä»ä´ 溺 •‹‹Õ蚌2¤ e»¹¨Ãi§ Ëà e»¹e·¨ ืoš(T)ืošç(F) e¤Ãè §ËÁÒ eÃÕ¡ÇÒ¹eʸ ãªe¾è ¡Åº¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§•ืo~‹iŒ ืo a‹ãËe»¹µÃ§¡¹¢ÒÁ Œ šaŒ

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้81 3. µÒÃÒ§µ 仹 æÊ´§¼Å·ä´¨Ò¡¡ÒÃeªè Á»Ãa¾¨¹´Ç ‹oÕéÕèŒืo Œ“æÅa , Ëà , ¶Ò..æÅÇ , ¡çµ eÁè ” “ ื ” “ ŒoŒ ” “ ‹ ื ”o op q p æÅa q p(∧pq) ( Ëà ¶Ò æÅÇ ืoq ∨pq) (ŒpŒq p→pq) ( ¡çµ eÁ ‹ ืo o èq ↔pq) (äÁ ‹p ~p) T T T TTTFT F FTFFFF T FTTFTF F F F TTT¡ÒÃeªè Á´Ç æÅa ÁաóÕe´ÕÂÇ·e»¹¨Ãi§ ¤ ืoŒ “”Õèšืo∧TT¡ÒÃeªè Á´Ç Ëà ÁաóÕe´ÕÂÇ·e»¹e·¨ ¤ ืoŒ “ ื ”oÕèšçืo∨FF¡ÒÃeªè Á´Ç ¶Ò..æÅÇ ÁաóÕe´ÕÂÇ·e»¹e·¨¤ืoŒ “ ŒŒ ”Õèšçืo→TFÊǹ¡ÒÃeªè Á´Ç ¡çµ eÁè ¶Ò¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§eËÁ ¹¡¹¨a‹ืoŒ “ ‹ ื ” Œ ‹o oืo aã˼Åe»¹¨Ãi§ µÒ§¡¹¨aã˼Åe»¹e·¨ Œš‹aŒšç** µÇeª ÁeËÅÒ¹ÕéÁÕÊÁºµ¡ÒÃÊź· ¡eǹ ¶Ò..æÅÇ «è§a o ื è‹aiaÕèŒ “ ŒŒ ” ึäÁÊÒÁÒöÊź·ä´ ‹aÕèŒ4. µÒÃÒ§·æÊ´§Ãٻ溺¢ §¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§·e»¹ä»ä´¤ÃºÕèo‹Õ蚌·¡¡Ã³Õ (eª¹ã¹¢ ·æÅÇ) eÃÕ¡ÇÒ µÒÃÒ§¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§ u‹Œo Õ茋 “‹” ¶ÒÁÕ »Ãa¾¨¹¨ae»¹ä»ä´ ¡Ã³Õ, ¶ÒÁÕ • Œ1šŒ2Œ2»Ãa¾¨¹ ¨ae»¹ä»ä´ ¡Ã³Õ, ..Ëà ¶ÒÁÕ »Ãa¾¨¹ šŒ4ื Œon¨ae»¹ä»ä´ ¡Ã³Õ¹¹e § šŒ2 na oè

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 82 µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË»Ãa¾¨¹ a o‹Œp, r ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹¨Ãi§ ‹šæÅa»Ãa¾¨¹ ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁe»¹¨Ãi§e»¹e·¨ ãËËÒ¤Ò¤ÇÒÁq‹ššçŒ‹¨Ãi§¢ §Ãٻ溺»Ãa¾¨¹µ 仹Õé o ‹o•→ ∧↔[(qp) r]r¨aä´¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ Œ ‹š→ ∧ ↔[(FT) T]T¹¹¤ a oèื∧↔ [TT]T ¹¹¤ a oèื↔TT ¡ç¤ ืoT´§¹¹ Ãٻ溺»Ãa¾¨¹¹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ¨Ãi§ a a鏋š “”•∧ → → ∨ ↔[(p q)~r][(~p q)r]¨aä´¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ Œ ‹š∧ → → ∨ ↔[(T F)~T][(~ T F)T]¹¹¤ a oèื→ → ↔[FF][FT] ¹¹¤ a oèื→TF ¡ç¤ ืoF´§¹¹ Ãٻ溺»Ãa¾¨¹¹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ e·ç¨ a a鏋š “ ”5. eÁè ¤u¹e¤Â¡ºÅ¡É³a¢ §µÇeª Á·§ÊæÅÇ ¨a·ÒãËื Œoa ao a o aื èéÕèŒíŒÊÃu»¼Å¡Ã³Õ·Çä»ä´´§¹ (äÁÇÒ ¨ae»¹»Ãa¾¨¹ã´ ) a èŒaÕé‹ ‹pšæ e¤Ãè §ËÁÒ æÅa •ืo“”∧ ≡Tpp, ∧ ≡FpF pp, ∧ ≡ p, ∧≡p~pF e¤Ãè §ËÁÒ Ëà •ืo“ ื ”o∨ ≡TpT, ∨ ≡Fpp, ∨ ≡ppp, ∨≡p~pT

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้83 e¤Ãè §ËÁÒ ¶Ò-æÅÇ •ืo“ ŒŒ ”→≡Tpp, →≡FpT, → ≡ pTT, →≡pF ~p, →≡ppT, → ≡ p~p~p e¤Ãè §ËÁÒ ¡çµ eÁè •ืo“ ‹ ื ”o o↔≡Tp p, ↔≡Fp ~p p, ↔≡p T, ↔ ≡ p~p FµÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË»Ãa¾¨¹ ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹¨Ãi§ a o‹Œp‹šæÅa»Ãa¾¨¹ ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁe»¹¨Ãi§e»¹e·¨ ãËËÒ¤Ò¤ÇÒÁq‹ššçŒ‹¨Ãi§¢ §Ãٻ溺»Ãa¾¨¹µ 仹Õé o ‹o•→ ∨ ∨ ↔ ∧[(qs) r][(qs) t]¶§æÁäÁ·ÃÒº¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§¢ § ึŒ ‹‹or, s, t ¡ç§¤i´ä´ aŒe¾ÃÒaeÁè q e»¹e·¨¨aä´ ืošçŒ→(qs) e»¹¨Ãi§eÊÁ šo´§¹¹¨aä´¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ a aéŒ ‹š∨ ∨ ↔ ∧[T r][(qs) t]¨Ò¡¹¹¾i¨ÒóÒä´ÇÒ ¨Ãi§Ëà aäà  Áe»¹¨Ãi§eÊÁ a éŒ ‹ “ืoo” ‹ošo¨aä´ Œ∨↔∧[T][(qs) t] «è§¡ç¤ ¹¹e §.. ึืoT a oè´§¹¹Ãٻ溺㹢 ¹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ¨Ãi§ a aéŒo‹š “”• → ∨ → → ∧[q(s r)][p(q ~s)]¶§æÁäÁ·ÃÒº¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§¢ § ึŒ ‹‹or, s ¡ç§¤i´ä´ ´§¹Õé aŒa→→→∧[F(.....)][T(F ....)]¹¹¤ a oèื→ → [T][T(F)] ¹¹¤ a oèื→[T][F] ..e»¹ šF´§¹¹Ãٻ溺㹢 ¹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ e·ç¨ a aéŒo‹š “ ”

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 84 µÇ ÂÒ§ ¶Ò»Ãa¾¨¹ a o‹Œ↔ → ∨(pq)(r ~s) ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ‹¨Ãi§e»¹e·¨ ãËæÊ´§ÇÒ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§¢ §»Ãa¾¨¹Â  浚猋 ‹o ‹o æ‹Åa»Ãa¾¨¹e»¹ ÂÒ§äà æÅaÃٻ溺»Ãa¾¨¹  šo ‹∧ → ∨ [(~pr)(q~s)] ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ÂÒ§äà ‹šo ‹µÇeª ÁËÅ¡¤ ¶Ò-æÅÇ ã˼Åe»¹e·¨ a o ื èa oื “ ŒŒ ”ŒšçæÊ´§ÇÒe¡i´¨Ò¡Ãٻ溺 ‹→TF e·Ò¹¹ ¹¹¤ ‹a éa oèื↔(pq) ÁÕ¤Òe»¹¨Ãi§ æÅa ‹ š∨(r~s) ÁÕ¤Òe»¹e·¨ ‹ šç«è§ ึ↔(pq) ÁÕ¤Òe»¹¨Ãi§æÊ´§ÇÒ ¡º ÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ‹ š‹paq‹¨Ãi§e»¹ ÂÒ§äáçä´ æµµ §ÁÕ¤ÒeËÁ ¹¡¹.. šo ‹Œ‹ Œo‹ืo aÊǹ ‹∨(r~s) ÁÕ¤Òe»¹e·¨æÊ´§ÇÒ ¡º e»¹e·¨·é§‹ šç‹ra~sšça¤Ù.. ÊÃu»ÇÒ e»¹e·¨, e»¹¨Ãi§ ‹‹ršçsš¾i¨ÒóÒÃٻ溺 ∧ → ∨ (~p r)(q ~s)¨aÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ‹š∧ →(.... F)(....)¹¹¤ a oèื→F(....) e»¹ eÊÁ šTo´§¹¹Ãٻ溺¹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ¨Ãi§ a a鋚 “”6. Ãٻ溺»Ãa¾¨¹ Ãٻ溺㴠·ãˤҤÇÒÁ¨Ãi§2æÕèŒ ‹µÃ§¡¹·u¡ ¡Ã³Õ ¨a¡ÅÒÇÇÒ ÊÁÁÙÅ¡¹ (æ»ÅÇÒ a拋 “a”‹ÊÒÁÒöãªæ·¹¡¹ä´) ŒaŒ Ê Å¡É³·ãªæÊ´§¡ÒÃÊÁÁÙÅ¡¹ ¤ • ­a aÕèŒaืo≡

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้85 µÇ ÂÒ§ ¾i¨ÒóҤҤÇÒÁ¨Ãi§æµÅa¡Ã³Õ¢ §Ãٻ溺a o‹‹‹o»Ãa¾¨¹ →p~q æÅa ∧~(p q) o´ÂÊÃÒ§µÒÃÒ§¤ÒŒ‹¤ÇÒÁ¨Ãi§´§¹ aÕépq→p~q∧~(p q)TTFF TFTTFTTTFFTT¾ºÇÒ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§¢ §Ãٻ溺»Ãa¾¨¹ ‹ ‹o→p~q æÅa ∧~(p q) eËÁ ¹¡¹eÊÁ ·u¡ ¡Ã³Õ.. æÊ´§ÇÒÃٻ溺·é§ืo ao æ‹aÊ §¹Õé ÊÁÁÙÅ¡¹ o“a”7. Ãٻ溺»Ãa¾¨¹·ÊÁÁÙÅ¡¹ (溺¾é¹°Ò¹·¤Ç÷ÃÒº) ÕèaืÕè ¡ÒÃ模樧 •∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨p(qr)(p q) (p r)∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧p(qr)(p q) (p r) ¡ÒÃe»Å¹µÇeª Á •Õèa o ื è¶Ò-æÅÇ.. ŒŒ→ ≡ ∨ ≡ →pq~p q~q~p¡çµ eÁè .. ‹ ืo o↔ ≡ → ∧→pq(pq) (qp)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 86 ¡ÒÃeµÁ¹eʸ •iiæÅa.. ∧≡ ∨ ~(p q)~p ~qËà .. ืo∨≡ ∧ ~(p q)~p ~q¶Ò-æÅÇ.. ŒŒ→ ≡∧~(pq)p ~q¡çµ eÁè .. ‹ ืo o↔ ≡ ↔≡↔~(pq)~pqp~q** µÇeª Á æÅa ÁÕÊÁºµ¤ÅÒ i¹eµ Ãe«¤ª¹ a o ื è“ ”aiŒoo aµÇeª Á Ëà ÁÕÊÁºµ¤ÅÒÂÂe¹Â¹ a o ื è“ ื ”oaiŒÙÕ¹ ¡¨Ò¡¹¹ ¹eʸ ¡çÁÕÊÁºµ¤ÅÒ¤ Á¾ÅeÁ¹µ oa é“ i”aiŒoՏµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§·æÅÇ eÃÒÊÒÁÒö¾iʨ¹ÇÒÃٻ溺a o‹a o‹ÕèŒÙ ‹»Ãa¾¨¹ →p~q æÅa ∧~(p q) ÊÁÁÙÅ¡¹Ëà äÁ o´Âaืo‹äÁ¨Òe»¹µ §ÊÃÒ§µÒÃÒ§¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§ ´§¹ ‹íš ŒoŒ‹aÕéÃٻ溺 →p~q e»Å¹µÇeª Áä´e»¹ Õèa o ื èŒ š∨~p~qÃٻ溺 ∧~(p q) 模樧¹eʸä´e»¹ iŒ š∨~p~q¾ºÇÒä´¼Å溺e´ÕÂÇ¡¹ ´§¹¹Ãٻ溺»Ãa¾¨¹·§Ê §‹Œaa aéa oéÊÁÁÙÅ¡¹ aµÇ ÂÒ§ Ãٻ溺»Ãa¾¨¹µ 仹ÊÁÁÙÅ¡¹Ëà äÁ a o‹ ‹oÕéaืo‹• → → p(qr) ¡º a→ → q(pr)Ãٻ溺 → → p(qr) e»Å¹µÇeª Áä´e»¹ Õèa o ื èŒ š∨∨ ~p(~qr) «è§¡ç¤ ึืo ∨∨ ~p~qr

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้87 ÊǹÃٻ溺 ‹→ → q(pr) e»Å¹µÇeª Áä´e»¹ Õèa o ื èŒ š∨∨ ~q(~pr) «è§¡ç¤ ึืo ∨∨ ~q~pr¾ºÇҼŷ䴨ҡ¡Òè´ÃÙ»¹¹ÊÁÁÙÅ¡¹ ´§¹¹Ãٻ溺‹ÕèŒaa éaa aé»Ãa¾¨¹·§Ê §ã¹o¨·ÂÊÁÁÙÅ¡¹ a oéa• ∧ →(p q)r ¡º a→ ∧→(p~q) (pr)Ãٻ溺 ∧ →(p q)r e»Å¹µÇeª Áä´e»¹ Õèa o ื èŒ š∧∨~(p q)r 模樧¹eʸä´e»¹ iŒ š∨∨ ~p~qrÊǹÃٻ溺 ‹→ ∧→(p~q) (pr) e»Å¹µÇeª Áä´e»¹ Õèa o ื èŒ š∨∧∨(~p~q) (~ pr) ´§ ¡ä´µÒÁËÅ¡¡ÒÃ模ึ~pooŒa樧 ¨aä´ Œ∨∧~p (~q r)¾ºÇÒäÁÁÕ·Ò§¨´ÃÙ»»Ãa¾¨¹ãËeËÁ ¹¡¹ä´ ´§¹¹Ãٻ溺‹‹a Œืo aŒa aé»Ãa¾¨¹·§Ê §ã¹o¨·ÂäÁÊÁÁÙÅ¡¹ a oé ‹aµÇ ÂÒ§ ãËËÒ¹eʸ¢ § a o‹Œio ∧→(p ~q)~ræÅaãËËÒ¹eʸ¢ § ¶ÒÊÁªÒ¹ ¹äÁËźæÊ´§ÇÒe¢ÒËiÇ Œio“ Œo‹a‹”¾i¨ÒÃ³Ò ∧→(p ~q)~r µÇeª ÁËÅ¡¤ ¶Ò-æÅÇ a o ื èa oื “ ŒŒ ”´§¹¹¹eʸ·ä´¤ a aéiÕèŒ ืo∧∧(p ~q)~(~r)¨Ò¡¹¹æ¨¡æ¨§e¤Ãè §ËÁÒÂä´´§¹Õé a éืoŒa∧∧p~qr¾i¨ÒóһÃao¤ ¶ÒÊÁªÒ¹ ¹äÁËźæÊ´§ÇÒe¢ÒËiÇ “ Œo‹a‹”e¢Õ¹e»¹ÃÙ»Ê Å¡É³ä´e»¹ ša a­ Œ š→~pq

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 88 «è§ÁÕ¹eʸe»¹ ึiš∧ ~p~q..¹¹¤ ÊÁªÒ¹ ¹äÁËźæÅaäÁËiÇ a oèื “o‹a‹ ”8. ËÒ¡Ãٻ溺¢ §»Ãa¾¨¹ãˤÒe»¹¨Ãi§eÊÁ (ÊÃÒ§o Œ ‹ šoŒµÒÃÒ§¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§æÅǾºÇÒ¼Åe»¹¨Ãi§·¡Ã³Õ) ¨aeÃÕ¡‹Œ‹šuÃٻ溺¹¹ÇÒe»¹ ʨ¹iù´Ã a é‹ š “aa”µÇ ÂÒ§ ¾i¨ÒóҤҤÇÒÁ¨Ãi§æµÅa¡Ã³Õ¢ §Ãٻ溺a o‹‹‹o»Ãa¾¨¹ → ∧ → → →[(pq) (qr)](pr) o´ÂÊÃÒ§ŒµÒÃÒ§¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§´§¹ ‹aÕépqr→ ∧ → → →[(pq) (qr)](pr)TTTT TTFTTFTTTFFTFTTT FTFTFFTTFFFT¾ºÇÒ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§¢ §Ãٻ溺»Ãa¾¨¹¹e»¹¨Ãi§eÊÁ ·u¡ ‹ ‹oÕéšo æ¡Ã³Õ.. æÊ´§ÇÒÃٻ溺¹Õé e»¹Ê¨¹iù´Ã ‹“ šaa”

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้89 µÇ ÂÒ§ ¾i¨ÒóҤҤÇÒÁ¨Ãi§æµÅa¡Ã³Õ¢ §Ãٻ溺a o‹‹‹o»Ãa¾¨¹ ∧∨→(rp)(pr) o´ÂÊÃÒ§µÒÃÒ§¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§Œ‹´§¹Õé apr∧∨→(rp)(pr)TTTTFF FTTFFT¾ºÇÒÃٻ溺»Ãa¾¨¹¹ÕéÁաóշãˤÒe»¹e·¨ä´´Ç (¤‹ÕèŒ ‹ šçŒ ŒืoeÁè e»¹¨Ãi§æÅa e»¹e·ç¨) æÊ´§ÇÒÃٻ溺¹Õé äÁe»¹ ืopšrš‹“ ‹ šÊ¨¹iù´Ã aa” ¡ÒõÃÇ¨Ê ºÇÒe»¹Ê¨¹iù´ÃËà äÁ ÊÒÁÒö㪠•o‹ šaa ืo‹Œ“Çi¸¾ÂÒÂÒÁ·ÒãËe»¹e·¨ ¤ ËÒ¡¾ÂÒÂÒÁ·ÒãËÃٻ溺ÕíŒ šç” ืo팹¹e»¹e·¨äÁä´eÅ Ãٻ溺¹¹¡ç¨ae»¹Ê¨¹iù´Ã a éšç‹ Œa éšaa(浶ҷÒe»¹e·¨ä´æÁe¾Õ§¡Ã³Õe´ÕÂÇ Ãٻ溺¹¹Â ÁäÁ㪋 ŒíšçŒ Œa o鋋 ‹Ê¨¹iù´Ã) aaµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡ã¹µÇ ÂÒ§e´iÁ ¡Òþi¨ÒóÒÇÒÃٻ溺a o‹a o‹‹»Ãa¾¨¹ → ∧ → → →[(pq) (qr)](pr) æÅa ∨ → →(rp)(pr) e»¹Ê¨¹iù´ÃËà äÁ o´ÂäÁµ §ÊÃÒ§šaa ืo‹‹ ŒoŒµÒÃÒ§¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§ ÊÒÁÒö·Òä´´§¹.. ‹íŒaÕé(ã˾ÂÒÂÒÁËҡóշÕè·ÒãˤҤÇÒÁ¨Ãi§e»¹e·¨ãËä´) ŒíŒ ‹šçŒ Œ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 90 ..Ãٻ溺 → ∧ → → →[(pq) (qr)](pr)F TT F T F T F TF¾ºÇÒ¤Ò ¨a¢´æ§¡¹ äÁŧµÇ æÊ´§ÇÒäÁÊÒÁÒö·íҋ ‹qaŒa‹a‹‹ãËe»¹e·¨ä´eÅÂæÁ浡óÕe´ÕÂÇ.. ´§¹¹Ãٻ溺¹Õé e»¹Ê¨Œ šçŒŒ ‹a aé“ ša¹iù´Ã a”..Ãٻ溺 ∧∨→(rp)(pr)F F F F T T F ¾ºÇÒÊÒÁÒö·ÒãËe»¹e·¨ä´Å§µÇ¾ ´Õ.. ´§¹¹Ãٻ溺¹Õé ‹íŒ šçŒa oa aé“ ‹ šäÁe»¹Ê¨¹iù´Ã aa” Çi¸¾ÂÒÂÒÁ·ÒãËe»¹e·ç¨ ´§¡ÅÒÇeËÁÒaÊÒËú• “ÕíŒ š”a‹íaµÃÇ¨Ê ºÃٻ溺·ÕèÁÕµÇeª ÁËÅ¡e»¹ Ëà , ¶Ò-æÅÇ oa o ื èaš “ ื ” “ ŒoŒ ”..æµÊÒËúÃٻ溺 ‹ía↔ ,+ ¤ÇÃãªËÅ¡¡ÒÃÇÒ ¨ae»¹Œa‹šÊ¨¹iù´ÃeÁè aa ืo≡,+ e·Ò¹¹ ‹a éµÇ ÂÒ§ Ãٻ溺»Ãa¾¨¹ a o‹→ ↔∧~(p~q)(p q) æÅa → → ↔ → →[p(qr)][(pq)r]e»¹Ê¨¹iù´ÃËà äÁ šaa ืo‹

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้91 ¾i¨ÒóÒÃٻ溺 → ↔∧~(p~q)(p q)¨Ò¡ → ≡ ∨≡∧~(p~ q) ~(~p~ q)pqæÊ´§ÇÒ½§«ÒÂæÅa½§¢ÇÒÊÁÁÙÅ¡¹ ‹ ˜› Œ˜›a´§¹¹Ãٻ溺¹e»¹Ê¨¹iù´Ã a aéÕéšaa¾i¨ÒóÒÃٻ溺 → → ↔ → →[p(qr)][(pq)r]½§«Ò¤ ˜› Œืo ∨∨ ~p~ qræµ½§¢ÇÒ¤ ‹ ˜›ืo∨∨≡∧ ∨~(~pq)r(p ~ q)r¾ºÇÒ½§«ÒÂæÅa½§¢ÇÒäÁÊÁÁÙÅ¡¹ ‹ ˜› Œ˜›‹a´§¹¹Ãٻ溺¹äÁe»¹Ê¨¹iù´Ã a aéÕé‹ šaa9. ¡Òà ҧe˵¼Å ¤ ¡ÒáÅÒÇÇÒ¶ÒÁÕ e˵ e»¹o Œuืo‹ ‹ Œ“u” š¢ ¤ÇÒÁ Œo123n p , p,p,...,p ª´Ë¹§ æÅǨaÊÃu» ¼Å uึ 茓 ”e»¹¢ ¤ÇÒÁ˹§ä´.. 浡Òà ҧe˵¼Å¹¹¡çÁÕ·§æºº·š Œoึ Œè‹o Œua éa éÕèÊÁe˵ÊÁ¼Å æÅaäÁÊÁe˵ÊÁ¼Å u‹uµÇ ÂÒ§ šɳaµ 仹eÃÕ¡ÇÒ¡Òà ҧe˵¼Å a o‹a‹oÕé‹o Œue˵ ¶ÒÊÁªÒ¢¹æÅÇe¢Ò¨aÊ ºä´ u1.ŒaŒoŒ2. ¶ÒÊÁªÒÂäÁ¢Â¹æÅǾ æÁ¨aeÊÂ㨠Œ‹aŒ ‹o‹Õ3. ÊÁªÒÂÊ ºäÁä´ o‹ Œ¼Å ¾ æÁeÊÂ㨠‹o‹Õ(«è§¼ÅÊÃu»¹ Ò¨¨aÊÁe˵ÊÁ¼ÅËà äÁ¡çä´ o´ÂeÃÒÁÕึÕéouืo‹ŒÇi¸¡ÒõÃÇ¨Ê º¤ÇÒÁÊÁe˵ÊÁ¼Å ´§eª¹ã¹¢ ¶´ä») Õoua‹Œo a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 92 10. Çi¸µÃÇ¨Ê º¤ÇÒÁÊÁe˵ÊÁ¼Å ¢ §¡Òà ҧe˵¼Å Õouoo Œu ãªÇi¸µÃÇ¨Ê ºÊ¨¹iù´Ã ... o´Â¨aÊÁe˵ÊÁ¼Å¡ç• ŒÕo aauµ eÁè Ãٻ溺 ‹ ืo o“ ∧∧∧∧ →123n(ppp... p )¼Å e»¹” šÊ¨¹iù´Ã (¹¹¤ ¨aäÁÊÁe˵ÊÁ¼Åe¾Õ§¡Ã³Õe´ÕÂÇaaa oèื‹ue·Ò¹¹ ¤ e˵e»¹¨Ãi§·§ËÁ´ 浼šźe»¹e·¨) ‹a éืouša é‹ašçµÇ ÂÒ§ ¡Òà ҧe˵¼Åµ 仹ÊÁe˵ÊÁ¼ÅËà äÁ a o‹o Œu‹oÕéuืo‹e˵ ¶ÒÊÁªÒ¢¹æÅÇe¢Ò¨aÊ ºä´ u1.ŒaŒoŒ2. ¶ÒÊÁªÒÂäÁ¢Â¹æÅǾ æÁ¨aeÊÂ㨠Œ‹aŒ ‹o‹Õ3. ÊÁªÒÂÊ ºäÁä´ o‹ Œ¼Å ¾ æÁeÊÂ㨠‹o‹Õ¨Ò¡o¨·ÂeÃÒÊÒÁÒöæ»Å§e»¹ÃÙ»Ê Å¡É³ä´´§¹Õé ša a­ Œae˵ u1. p→ q2. ~p→ r3. ~q¼Å r¨Ò¡¹¹ ¾ÂÒÂÒÁ·ÒãËe˵u·¡¢ e»¹¨Ãi§æµ¼Åe»¹e·¨ a éíŒuŒoš‹šçµÒÁÃٻ溺[]→ ∧ → ∧ →(pq)(~ pr)(~ q)rF T T T F T T F TF

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้93 ¾ºÇÒ¤Ò ¨a¢´æ§¡¹ äÁÊÒÁÒö·ÒãËe»¹e·¨ä´.. ‹ ‹qaŒa‹íŒ šçŒ´§¹¹Ãٻ溺¹e»¹Ê¨¹iù´Ã ¨§ÊÃu»ä´ÇÒ¡Òà ҧe˵¼Åa aéÕéšaa ึŒ ‹o Œuã¹o¨·Â¹¹ ÊÁe˵ÊÁ¼Å a é“u” e·Âº¡ºÃٻ溺·¾ºº  •ÕaÕè‹o¡Òà ҧe˵¼Å·¡Ãٻ溺µ 仹ÊÁe˵ÊÁ¼Å o Œuu‹oÕéu(¡)û溺ÁҵðҹÙ(¢)e»Å¹µÇeª Áe»¹ ËÃÕèa o ื èš “ ื ”o→pqp(~q)q(~p)∨pq~p (~q)q(p)(¤)¶Ò· ´‹o(§)“æÅa æ¡䴔Œ(¨)eµiÁ Ëà 䴓 ื ” Œo→→→ pqqrpr∧pqp(q)∨ ppqµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§·æÅÇ ÊÒÁÒöµÃÇ¨Ê º¤ÇÒÁa o‹a o‹ÕèŒoÊÁe˵ÊÁ¼Åä´ Õ¡Çi¸o´Âe·Âº¡ºÃٻ溺·¾ºº  uŒoÕÕaÕè‹oe˵ u1. p→ q2. ~p→ r3. ~q¼Å r

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 94 e˵u ¡º ÃÇÁ¡¹ä´¼Åe»¹ 1.a3.aŒš~p [µÒÁËÅ¡¢ (¡)] a o Œ¨Ò¡¹¹¹Ò a éí~p ·ä´ä»ÃÇÁ¡º¢ ä´¼Åe»¹ [µÒÁÕèŒa o Œ2.ŒšrËÅ¡¢ (¡) eª¹¡¹] ..«è§¼Å·o¨·ÂãËÁÒ¡çe»¹ ¾ ´Õ a o Œ‹aึÕè Œšro´§¹¹¡Òà ҧe˵¼Å¹Õé ÊÁe˵ÊÁ¼Å a aéo Œu“u”µÇ ÂÒ§ ¡Òà ҧe˵¼Åµ 仹ÊÁe˵ÊÁ¼ÅËà äÁ a o‹o Œu‹oÕéuืo‹e˵ u1. p∨ q2. ~q3. r→~p¼Å →rqe˵u ¡º ÃÇÁ¡¹ä´¼Åe»¹ [µÒÁËÅ¡¢ (¢)] 1.a2.aŒšpa o Œ¨Ò¡¹¹¹íÒ ·ä´ä»ÃÇÁ¡º¢ ä´¼Åe»¹ a é pÕèŒa o Œ3.Œš~r [µÒÁËÅ¡¢ (¡)] ..«è§¼Å·o¨·ÂãËÁÒ¤ a o ŒึÕè Œืo∨ ~rq æÅaeÃÒ¡çÊÒÁÒöeµÁ Ëà 溺¹ä´ [µÒÁËÅ¡¢ (¨)] i“ ื ”oÕéŒa o Œ´§¹¹¡Òà ҧe˵¼Å¹Õé ÊÁe˵ÊÁ¼Å a aéo Œu“u”** ¶ÒµÃÇ¨Ê º´ÇÂÇi¸e·Âº¡ºÃٻ溺 æÅa¼Å·ä´äÁŒoŒÕÕaÕèŒ ‹eËÁ ¹¡º¼Å·ãËÁÒã¹o¨·Â ¨aÊÃu»ÇÒäÁÊÁe˵ÊÁ¼Åืo aÕ茏‹‹uã¹·¹·äÁä´ µ §¡Åºä»ãªÇi¸Õʨ¹iù´ÃµÃÇ¨Ê º¡ ¹ aՋ Œ ŒoaŒaao o ‹(e¾ÃÒaºÒ§Ê¶Ò¹¡Òó Ò¨¨aÊÁe˵ÊÁ¼Å¡çä´) ouŒ

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้95 11. »Ãao¤e»´ ¤ »Ãao¤·Õ觵´¤ÒµÇæ»Ã (eª¹ ืoai‹a‹x, y,e¢Ò) æÅaeÁè æ·¹¤ÒµÇæ»ÃæÅǨa¡ÅÒÂe»¹»Ãa¾¨¹ ืo‹aŒš Ê Å¡É³·ãªæ·¹»Ãao¤e»´ã´ («è§µ´¤ÒµÇæ»Ã • ­a aÕ茁æึi‹ax) ä´æ¡ Œ ‹P(x), Q (x), R(x) ÏÅÏ 12. µÇº§»ÃiÁÒ³ ¤ ¢ ¤ÇÒÁ·ãªº§º ¡¤ÇÒÁÁÒ¡¹ Âa‹ื Œo oÕèŒ ‹oŒo¢ §¤ÒµÇæ»Ã o‹ax µÇº§»ÃiÁÒ³ÁÕ æºº ä´æ¡ ÊÒËú ·¡µÇ •a‹2Œ ‹ “íaxua”(∀ x) æÅa ÁÕ ºÒ§µÇ (“xa”∃ x) eÁè 㪵Ǻ§»ÃiÁÒ³ÃÇÁ¡ºe ¡À¾ÊÁ¾·¸ ¨a·Òã˕ ืoŒa‹‹a oa aíŒ»Ãao¤e»´¡ÅÒÂe»¹»Ãa¾¨¹ æÅaº ¡¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§ä´ šo‹Œ(¶ÒäÁÁÕ¡ÒÃÃaºue ¡À¾ÊÁ¾·¸ ã˶ ÇÒe ¡À¾ÊÁ¾·¸¤Œ‹oa a Œ ื ‹o oa a ืoe«µ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ) íRµÇ ÂÒ§ ãË a o‹ŒP(x) æ·¹»Ãao¤e»´ ÁÒ¡¡ÇÒ  “x‹2 ”¨aä´ÇÒ Œ ‹∀x[P(x)] æ·¹»Ãao¤ ÊÒËú ·¡µÇ.. “ íaxuaxÁÒ¡¡ÇÒ ‹ ” 2æÅa ∃x[P(x)] æ·¹»Ãao¤ ÁÕ ºÒ§µÇ«è§·ÒãË.. “xaึíŒxÁÒ¡¡ÇÒ ‹2 ”¶Ò Œ={1,2,3}U ¨aä´ Œ∀x[P(x)] e»¹e·¨ æµ šç‹∃x[P(x)] e»¹¨Ãi§ š

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 96 ¶Ò Œ={3,4}U ¨aä´ Œ∀x[P(x)] e»¹¨Ãi§ æÅa š∃x[P(x)] ¡çe»¹¨Ãi§ šæµ¶Ò ‹ Œ={0}U ¨aä´ Œ∀x[P(x)] e»¹e·¨ æÅa šç∃x[P(x)] ¡çe»¹e·¨ šç** ¶Ò Œ∀x[...] e»¹¨Ãi§ š∃x [...]  Áe»¹¨Ãi§eÊÁ ‹ošoæÅa¶Ò Œ∃x [...] e»¹e·¨ šç∀x[...]  Áe»¹e·¨eÊÁ ‹ošço(æµã¹·Ò§¡Åº¡¹¹¹äÁ¨Òe»¹eÊÁ ä») ‹a a aé‹íšoµÇ ÂÒ§ ãË a o‹Œ=−{ 1,0,1,1.5,2}U¢ ¤ÇÒÁµ 仹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ÂÒ§äà Œo‹o‹šo ‹•∃x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa æÅa e»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè šíxší]e·¨ e¾ÃÒaäÁÁÕ ã´ µÃ§µÒÁe§ ¹ä¢eÅ ç‹xื èo•∃x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa Ëà e»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè šíืoxší]¨Ãi§ e¾ÃÒaÁÕ ·Õè·ÒãËã¹Ç§eźe»¹¨Ãi§ä´ (eª¹ ) xíŒçšŒ‹2•∀x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa Ëà e»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè šíืoxší]e·¨ e¾ÃÒaÁÕ ··ÒãËã¹Ç§eźe»¹e·ç¨  ¤ ¡ºçxÕèíŒçšo ً ืo0 a 1.5•∀ x[¶Ò e»¹¨Ò¹Ç¹¹º æÅÇ e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa ŒxšíaŒxší]e·¨ ¤ ¶Ò çื Œo= x1 ¨a·ÒãË»Ãao¤ã¹Ç§eźe»¹e·¨ íŒçšç•∃x[¶Ò e»¹¨Ò¹Ç¹¹º æÅÇ e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa ŒxšíaŒxší]¨Ãi§ ¤ ืo= x2 ¡ç¨a·ÒãË»Ãao¤ã¹Ç§eźe»¹¨Ãi§ä´ íŒçšŒ

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้97 •∀ x[¶Ò e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa æÅÇ e»¹¨Ò¹Ç¹¹º ŒxšíŒxšía]¨Ãi§ e¾ÃÒaÁըҹǹe©¾Òa¤ íืo= x2 椵Çe´ÕÂÇe·Ò¹¹ ‹a‹a é•∀x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ æÅa šíç> 2x0.5 ]e·¨ ¤ ¶Ò çื Œo= x1.5 ¨a·ÒãË»Ãao¤ã¹Ç§eźe»¹e·¨ íŒçšçËà ¶Ò ื Œo= x0 ¡ç¨a·ÒãË»Ãao¤ã¹Ç§eźe»¹e·¨eª¹¡¹ íŒçšç‹a•∀x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ Ëà šíçืo> 2x0.5 ]¨Ãi§ e¾ÃÒa ·¡¤ÒÅǹ·ÒãË»Ãao¤ã¹Ç§eźe»¹¨Ãi§ xu‹ ŒíŒçš(µÇeª Áe»¹ Ëà ¨§ÁÕo ¡ÒÊe»¹¨Ãi§ä´§Ò¢é¹) a o ื èš “ ื ” ึoošŒ ‹ึ13. ÊÒÁÒö模樧µÇº§»ÃiÁÒ³ä´e¾ÕÂ§Ê §Ãٻ溺¹a‹ŒoÕée·Ò¹¹ ‹a é∃∨≡ ∃∨ ∃ x [P(x) Q (x)]x [P(x)]x [Q (x)]∀∧≡ ∀∧ ∀ x[P(x) Q (x)]x [P(x)]x [Q (x)]µÇ ÂÒ§ ¨Ò¡»ÃaoÂ¤ã¹µÇ ÂÒ§·æÅÇ a o‹a o‹ÕèŒ∃x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa Ëà e»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè šíืoxší]ÊÒÁÒö桤i´e»¹æºº¹ä´ šÕéŒ∃x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òaší∨∃ ]x [ xe»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè ší]¨aãˤҤÇÒÁ¨Ãi§·eËÁ ¹¡¹eÊÁ Œ ‹Õèืo aoæµ»Ãao¤¹äÁÊÒÁÒöæÂ¡ä´ ‹Õ鋌∃x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾Òa æÅa e»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè šíxší]e¾ÃÒa Ò¨ãˤҤÇÒÁ¨Ãi§eËÁ ¹Ëà µÒ§ä»¨Ò¡e´iÁ¡çä´ oŒ ‹ืoื ‹oŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 98 æÅa»Ãao¤ ∀x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ æÅa šíç> 2x0.5 ]¡çÊÒÁÒö桤i´e»¹æºº¹ä´ šÕéŒ∀x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹eµçÁší∧∀> 2]x[ x0.5]¨aãˤҤÇÒÁ¨Ãi§·eËÁ ¹¡¹eÊÁ Œ ‹Õèืo aoæµ»Ãao¤¹äÁÊÒÁÒöæÂ¡ä´ ‹Õ鋌∀x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ Ëà šíçืo> 2x0.5 ]e¾ÃÒa Ò¨ãˤҤÇÒÁ¨Ãi§eËÁ ¹Ëà µÒ§ä»¨Ò¡e´iÁ¡çä´ oŒ ‹ืoื ‹oŒ14. »Ãao¤e»´·ÕèÁÕËÅÒµÇæ»Ã (ÁյǺ§»ÃiÁÒ³ËÅҁaa‹µÇ) ¡Òõ¤ÇÒÁËÁÒµ §¤íÒ¹§¶§ÅÒ´º¡ ¹Ëŧ e¾ÃÒaÁÕaՌoึ ึía o ‹a¼Åµ ¡ÒÃÊÃu»¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§.. ‹o‹ Ê Å¡É³ • ­a a∀∃x y[...] æ»ÅÇÒ ÊÒËú ·u¡ ‹ “íaxæµÇ ¨a㪠䴺ҧµÇ ... aŒyŒa”¨ae»¹¨Ãi§eÁè ·u¡ ¤Ò ¹¹ÁÕ ·ãª¤Ù¡¹´ÇÂä´ šืo æ‹xa éyÕèŒ ‹aŒŒ¨ae»¹e·¨eÁè ¾º µÇË¹è§ «è§äÁÁÕ ã´ãªä´eÅ šçืoxaึึ ‹yŒ Œ Ê Å¡É³ • ­a a∃∀y x[...] æ»ÅÇÒ ÁÕ ºÒ§µÇ ·ãª ‹ “yaÕèŒx 䴤ú·¡µÇ ... Œua”¨ae»¹¨Ãi§eÁè ¾º µÇ˹§ ·ãªä´¡º·u¡ ¤Ò šืoyaึ èÕèŒ Œaæ‹x¨ae»¹e·¨eÁè ¾ºÇÒäÁÁÕ ã´eÅ ·ÊÒÁÒö㪠䴤ú šçืo‹‹yÕèŒxŒ

เพิ่มเติม บทท ตรรกศาสตร์เบองต้นี่ 1 ื้99 µÇ ÂÒ§ ãË a o‹Œ=−{ 2,0,2}U¢ ¤ÇÒÁµ 仹ÕéÁÕ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§e»¹ ÂÒ§äà Œo‹o‹šo ‹•∃∃−= xy [ x y0 ]¨Ãi§ eª¹eÁè ‹ืo= x2 æÅa = y2•∃∀−= xy[ x y0 ]e·¨ e¾ÃÒaäÁÁÕ ã´eÅ ·ÊÒÁÒö㪠䴤ú ç‹xÕèŒyŒ•∀∃−= yx[ x y0 ]¨Ãi§ e¾ÃÒa·u¡ ¤Ò ¹¹µÒ§¡çÁÕ ·ãª¤Ù¡¹´ÇÂä´ æ‹ya é‹xÕèŒ ‹aŒŒ15. ¡ÒÃËÒ¹eʸ¢ §»Ãao¤e»´·ÕèÁյǺ§»ÃiÁÒ³ ioa‹µ §e»Å¹µÇº§»ÃiÁÒ³ ¨Ò¡ e»¹ æÅa¨Ò¡ ŒoÕèa‹∀š∃∃e»¹ (o´Âµ §äÁÊźÅÒ´ºe´iÁe´ç´¢Ò´) æÅaãʹeʸ·š∀Œo‹aía‹iÕè»Ãao¤e»´ «è§ ÂÀÒÂã¹e¤Ãè §ËÁÒÂǧeź´Ç ึo Ù ‹ืoçŒµÇ ÂÒ§ ¹eʸ¢ § a o‹io∀∃→x y[P(x)Q (x,y)]¤ ืo∃∀∧ xy[P(x)~Q (x,y)]µÇ ÂÒ§ ¹eʸ¢ § a o‹io∃x[ x e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù æÅa ší‹> x4 ]¤ ืo∀x[ x äÁe»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù Ëà ‹ ší‹ืox4 ] <

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 100 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹