รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์251 O xaby µÇoÂÒ§ ãËËÒeʹµÃ§·ÕèÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹ŒŒa‹a- 3æÅa¼Ò¹¨´ ‹u( 2,4)-eʹµÃ§¤ÇÒÁª¹ ÂoÁe¢Õ¹ä´ã¹ÃÙ» Œa- 3‹Œy3x c=−+¨Ò¡¹¹eÃÒËÒ¤Ò ·Êo´¤Åo§¡º¨´ a é‹cÕèŒau( 2,4)- ä´ ´Â Œoæ·¹¨´ u( 2,4)- ŧä»ã¹ÊÁ¡Òà ¨aä´ Œ43( 2) cc2=− −+→=−´§¹¹ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§eʹ¹Õé¡ç¤o a a錌ืy3x 2=−−ËÁÒÂe˵u ¡Òäíҹdz´ÇÂÇi¸ã¹µÇoÂÒ§¹ ¨aªÇÂãËäÁŒÕa‹Õ鋌 ‹µo§¨Òʵà ŒíÙ11ym(x )−= −yx Ãٻ溺 (3)1ab+= xy(intercept-intercept)eÁèo ืa, b ¤o ÃaÂaµ´æ¡¹ æÅa µÒÁÅÒ´º ืaxyía( ´Â oa, b oÒ¨µ´Åº¡çä´ ¶ÒeʹµÃ§¹¹µ´æ¡¹·Õ轧ź) iŒ Œ Œa a阛

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 252 µÇoÂÒ§ ãËËÒeʹµÃ§·Õè¼Ò¹¨´ a‹ŒŒ‹u( 2,0)- æÅa (0,3)e¹o§¨Ò¡Êo§¨´· ¨·Â¡íÒ˹´ÁÒ¹¹e»¹ÃaÂaµ´æ¡¹ ื èuÕèoa éšaxæÅa桹 ¾o´Õ ¨§ÊÒÁÒöãªÊÁ¡ÒÃÃٻ溺¹ä´´Ç yึŒÕéŒ Œyxab1+= æ·¹¤Òä´e»¹ ‹Œ šyx231−+=¨´ÃÙ» ´Â¹Ò ¤Ù³ ¨aä´ÊÁ¡ÒÃe»¹ aoí- 6Œš3x2y6−=−(ËÃooÒ¨¨´ãËoÂã¹ÃÙ» ืaŒ ‹Ù32yx 3=+ ¡çä´) ŒËÁÒÂe˵u ¶ÒäÁµo§¡Òäíҹdz´ÇÂÇi¸Õ¹ ÊÒÁÒö¤i´ ´ÂŒ ‹ ŒŒÕéoËÒ¤ÇÒÁª¹ÃaËÇÒ§Êo§¨´¡o¹ æÅÇ·Òµo´ÇÂÇi¸¡ÒÃe´iÁ a‹u‹Œí‹ ŒÕ10. ÃÙ»·Ç仢o§ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§ (溺·e»¹Áҵðҹa èŒÕ蚨Ãi§ ) ä´æ¡ æŒ ‹ABC0++= xyµÇoÂÒ§ ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§ a‹Œy3x 2=−− ¨´ãËoÂã¹ÃÙ»aŒ ‹Ù·Çä»ä´e»¹ a èŒ š3x y 20++=µÇoÂÒ§ ÊÁ¡Òà a‹43 y1(x 2) −=− ¨´ãËoÂã¹ÃÙ»·Çä» aŒ ‹Ùa èä´´§¹.. ¹ÒÊǹ¤o ¤Ù³ ¨aä´ ŒaÕéí‹ื3Œ3(y 1)4(x 2)− = −¨Ò¡¹¹æ¨¡æ¨§ÊÁ»ÃaÊ·¸ æÅÇÂÒ½§ãˢҧ˹§e»¹ a éaiiìŒ Œ˜› Œ Œึ šè0¡ç¨aä´ÊÁ¡Ò÷ÕèÊÒeÃç¨e»¹ Œíš4x 3y 50−−=

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์253 eʹµÃ§ • ŒABC0++=xy ÁÕ¤ÇÒÁª¹ aABm=−(e»¹Çi¸¡Ò÷ÃÒº¤ÇÒÁª¹oÂÒ§ÃÇ´eÃçÇ æµ¶ÒäÁµo§¡ÒÃ¨Ò šÕa‹‹ Œ ‹ Œí¡çÊÒÁÒö¤i´ ´Â¨´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃãË¡ÅÒÂe»¹ oaŒšmc=+ yx) µÇoÂÒ§ eʹµÃ§«è§ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ a‹Œึš3x y 20++=¨aÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹a313−=−æÅaeʹµÃ§«è§ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ Œึš4x 3y 50−−=¨aÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹a44(3)3−−=µÇoÂÒ§ ãËËÒeʹµÃ§·ÕèÁÕ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡º a‹ŒŒa‹a- 3æÅa¼Ò¹¨´ ‹u( 2,4)- ´Âµoºe»¹ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ»·Çä» oša èeʹµÃ§ÁÕ¤ÇÒÁª¹ Œa- 3¶ÒeÃÒÁo§e»¹ Œš31 − (¹¹¤o a èืA3= æÅa B1 =) ÂoÁe¢Õ¹ä´ã¹ÃÙ» ‹Œ3x y C0++=¨Ò¡¹¹eÃÒËÒ¤Ò ·Êo´¤Åo§¡º¨´ a é‹CÕèŒau( 2,4)- ä´ ´Â Œoæ·¹¨´ u( 2,4)- ŧä»ã¹ÊÁ¡Òà ¨aä´ Œ3( 2) 4 C0C2−+ +=→=´§¹¹ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§eʹ¹Õé¡ç¤o a a錌ื3x y 20++=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 254 Ax+By+ =0 C 1Ax+By+ =0 C 2d 11. ÃaÂaËÒ§ÃaËÇÒ§eʹµÃ§¤Ù¢¹Ò¹Êo§eʹ ‹‹Œ‹Œ¨Ò¡ÃÙ» ¨aä´ Œ2122CCdAB −=+µÇoÂÒ§ ãËËÒÃaÂaÃaËÇÒ§ a‹Œ‹eʹµÃ§ Œ1L : 2x 3y 12 0 +−=¡ºeʹµÃ§ aŒ2L: 4x 6y 5 0 ++=µo§¨´ÊÁ¡Ò÷§Êo§ãËÁÕ¤Ò e·Ò¡¹ æÅa¤Ò e·Ò¡¹Œaa éŒ ‹A‹a‹B‹a¡o¹ ¹¹¤oe»Å¹ÊÁ¡Òà ãËe»¹ ‹a èืÕè1 LŒ š4x 6y 24 0+−=..´§¹¹ ÃaÂaËÒ§e·Ò¡º a a鋋a22(24) (5)2921346−− =+ ˹Ç ‹(¶ÒäÁÊÒÁÒö·ÒãË·§¤Ò æÅa¤Ò e·Ò¡¹¾ÃoÁ ¡¹ Œ‹íŒa é‹A‹B‹aŒæ a¡çæÊ´§ÇÒeʹµÃ§·§Êo§ÁÕ¤ÇÒÁª¹äÁe·Ò¡¹ äÁ¢¹Ò¹¡¹ ‹ Œa éa‹ ‹a‹a¨§äÁÊÒÁÒö¤i´ÃaÂaË񤊫 e¾ÃÒaÃaÂaËÒ§äÁ¤§·) ึ ‹‹Œ‹‹Õè

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์255 Ax+By+C=0 d P (x ,y ) 11µÇoÂÒ§ ãËËÒÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§·oÂËÒ§¨Ò¡eʹµÃ§ a‹ŒŒÕèً ‹ŒL :2x 3y 12 0 +−= e»¹ÃaÂa š13 ˹Ç ‹ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§·ä´ ¨aµo§¢¹Ò¹¡º ¨§¨a·ÒãˌÕ茌aLึíŒÃaÂaËÒ§¤§·ä´.. ´§¹¹¨§ãËÊÁ¡Ò÷Õèµo§¡ÒÃoÂã¹ÃÙ» ‹ÕèŒa aéึ ŒŒÙ ‹2x 3y C 0++= æÅÇËÒ¤Ò ·Õè¶Ù¡µo§´§¹.. Œ‹CŒaÕé¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃÃaÂaËÒ§ ¨aä´ ‹Œ2212 C1323−− =+ÂÒ¢ҧæÅa¶o´¤ÒÊÁºÃ³ ä´e»¹ ŒŒ‹aُŒ š1312 C±=−−¨aä´¤Ò Œ ‹C25=− ËÃo ืC1=´§¹¹ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§·Õèµo§¡Òäo a a錌ื2x 3y 250+−=ËÃo ื2x 3y 1 0++=12. ÃaÂaËÒ§ÃaËÇÒ§¨´¡ºeʹµÃ§ ‹‹uaŒ¨Ò¡ÃÙ» ¨aä´ Œ1122AxB yCdAB++=+

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 256 L: Ax+By+C=0Q P (x ,y ) 11L: Ax+By+C=0P (x ,y ) 111Q 1 P (x ,y ) 222Q 2 µÇoÂÒ§ ãËËÒÃaÂa·Ò§µ§©Ò¡ ¨Ò¡¨´ a‹Œa éuP( 1,4)− ä»Â§aeʹµÃ§ ŒL :2x 3y 12 0 +−=¨Ò¡ÊµÃ ¨aä´ÃaÂa·Ò§e·Ò¡º ٌ‹a222( 1) 3(4) 1221323−+−=+ ˹Ç ‹13. ÀÒ¾©Ò ( ¾Ãe¨¤ª¹) º¹eʹµÃ§ oaŒ¨Ò¡ÃÙ» ÀÒ¾©Ò¢o§¨´ º¹eʹµÃ§ ¤o¨´ uPŒLืuQÀÒ¾©Ò¢o§ 12 PP º¹eʹµÃ§ ¤o ŒLื12 QQ

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์257 LQ P(0,7) µÇoÂÒ§ ¾Ãe¨¤ª¹¢o§¨´ a‹oauP(5,7) º¹æ¡¹ ¤o¨´ xืu(5,0) æÅa ¾Ãe¨¤ª¹º¹æ¡¹ ¤o¨´ oayืu(0,7)o¾Ãe¨¤ª¹¢o§¨´ auP(5,7) º¹eʹµÃ§ Œx1 0−= ¤o¨´ ืu(1,7) æÅaº¹eʹµÃ§ Œy30 += ¤o¨´ ืu(5, 3)-o¾Ãe¨¤ª¹¢o§¨´ auQ( 5, 7)- - º¹eʹµÃ§ Œx1 0−= ¤o ื¨´ u( , 7)1 - æÅaº¹eʹµÃ§ Œy30 += ¤o¨´ ืu( 5, 3)- - ¡ÒäíҹdzËÒµÒæ˹§ÀÒ¾©Ò Çi¸Õ·Êa´Ç¡·ÕèÊ´¤o•í‹ÕèuืÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§·¼Ò¹¨´ æÅaµ§©Ò¡¡ºeʹµÃ§ ŒŒÕè‹uPa éaŒLæÅÇæ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃËÒ¨´µ´¢o§eʹµÃ§·§Êo§ ŒŒuaŒa éµÇoÂÒ§ ãËËÒ ¾Ãe¨¤ª¹¢o§¨´ a‹ŒoauP(0,7)º¹eʹµÃ§ ŒL : 4x 5y6−=e¹o§¨Ò¡ ื èL45m = ´§¹¹eʹµÃ§·Õ赧©Ò¡¡º æÅaa aéŒa éaL¼Ò¹¨´ ‹uP(0,7) ¨aÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹ š54y7(x 0) −= −− «è§¨´ÃÙ» ึaä´e»¹ Œ š5x 4y28+=æ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃe¾èoËÒ¨´µ´¢o§eʹµÃ§¹Õ顺 ä´¤íÒµoº ŒืuaŒaLŒe»¹ šQ(4,2) .. ´§¹é¹ ¾Ãe¨¤ª¹·Õèµo§¡Òáç¤o¨´ a a oaŒืu(4,2)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 258 14. ¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸·¾ººo ¹o¡¨Ò¡¨aÁÕ¡ÃÒ¿e»¹a aÕ苚eʹµÃ§æÅÇ Â§ÁÕ¡ÃÒ¿eʹ ¤§ ä´æ¡ ǧ¡ÅÁ ¾ÒÃÒ ºÅÒ ŒŒaŒoŒŒ ‹oǧÃÕ æÅaäÎe¾oà ºÅÒ´Ç ¡ÃÒ¿·§ÊÕèÃÙ»¹eÃÕ¡ÃÇÁ¡¹ÇÒ oŒa éÕéa‹ÀÒ¤µ´¡ÃÇ a ǧ¡ÅÁ ǧÃÕ ¾ÒÃÒ ºÅÒ äÎe¾oà ºÅÒ oo15. ¾é¹°Ò¹¡ÒÃe¢Õ¹¡ÃÒ¿ã´ (¡Òô´æ»Å§ÃÙ»¡ÃÒ¿) ืæa eÁèoÁÕ¤Ò¤§·ÁҺǡËÃoź • ื‹Õèื¨ae¡i´¡ÒÃeÅo¹æ¡¹·Ò§¢¹Ò¹ ื è..ËÒ¡e»Å¹ÃÙ»ÊÁ¡Òèҡ Õèf(x,y)0= ä»e»¹ šf(x h,y k)0−−= ¨´¡íÒe¹´¨a¶Ù¡eÅo¹ä»Â§¤Ùo¹´º uiื èa‹a a(h,k) æÅaÃÙ»¡ÃÒ¿·§ËÁ´¶Ù¡eÅo¹µÒÁä»´Ç a éื èŒy x O y = x 2y x y = (x 3) -2(3,0)

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์259 eÁèoÁÕ¤Ò¤§· (·e»¹ºÇ¡) ÁÒ¤Ù³ËÃoËÒà • ื‹ÕèÕèšื¨ae¡i´¡Òûú¢¹Ò´·Ò§æ¡¹¹¹ aa é..ËÒ¡e»Å¹ÃÙ»ÊÁ¡Òèҡ Õèyf (x) = ä»e»¹ šmyf (nx) = eÁèo ืm, n ÁÒ¡¡ÇÒ ¡ÃÒ¿ÃÙ»e´iÁ¨a¶Ù¡‹1ºº·Ò§æ¹Ç¹o¹ e·Ò æÅaºº·Ò§æ¹Çµ§ e·Ò Õn‹Õa ém ‹(Êǹ¡Ã³Õ·Õè ‹m, n ¹o¡ÇÒ ¨aÁo§ÇÒe»¹¡ÒÃËÒà Œ‹1‹ šæÅa¡ÃÒ¿¨a¶Ù¡¢ÂÒÂoo¡æ·¹) y x y+1 = x 2(0, 1) -y x y+1 = (x 3) -2(3, 1) -y x 3y = x 2y x y = (2x) 2y x y/4 = x 2¤ÇÒÁÊÙ§·u¡¨u´eËÅo 1 ã¹ 3 ื¤ÇÒÁ¡ÇÒ§·u¡¨u´eËÅo 1 ã¹ 2 ¤ÇÒÁÊÙ§·u¡¨u´e¾Áe»¹ 4 e·Ò Œืi蚋y x O y = x 2

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 260 ** ËÒ¡ÊÁ¡ÒÃÁÕ·§¡Òúǡź æÅa¡ÒäٳËÒÃ.. a é¨aµo§¨´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃã˺ǡźoÂã¹Ç§eź (¡Ãa·Ò¡ºµÇŒaŒÙ ‹çía aæ»Ã ´ÂµÃ§¡o¹) æÅǶ´ÁÒ¨§e»¹¡ÒäٳËÒÃo¹o¡o‹Œaึ šÙ ‹Ç§eź.. ç¹¹¤oãªæ¡¹ a èืŒh, k ·ä´¨Ò¡¡ÒÃeÅo¹æ¡¹¡o¹æÅÇ ä»e»¹ÕèŒื 苌šæ¡¹¡ÅÒ§ÊÒËúººËÃo¢ÂÒÂÃÙ»¡ÃÒ¿µoä» íaÕื‹ eÁèoÁÕ¤Ò¤§· (·e»¹Åº) ÁÒ¤Ù³ËÃoËÒà ¹o¡¨Ò¡¨a• ื‹ÕèÕèšืÁÕ¡ÒâÂÒÂËÃoººæÅÇ Â§e¡i´¡ÒþšÃÙ»¡ÃÒ¿ ´Âãªæ¡¹ ืՌaioŒh, k ¹e»¹æ¡¹ËÁu¹´Ç (ËÒ¡µÇæ»Ã ¶Ù¡¤Ù³´ÇÂź Õ隌axŒ¨a¾Å¡Êź«Ò¢ÇÒ, æÅaËÒ¡µÇæ»Ã ¶Ù¡¤Ù³´ÇÂź ¨aiaŒayŒ¾Å¡Êźº¹ÅÒ§) ia‹y x 2y = (x 3) 2 -2-¨´Ã»e»¹ aٚ2(y+1)=(x 3) -2eÅo¹æ¡¹ä»oÂÙ·Õèื è‹ (3, 1)- æÅa ¤ÇÒÁÊÙ§·u¡µíÒæ˹§eËÅo 1 ã¹ 2 ‹ื

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์261 16. ǧ¡ÅÁ ¤o e«µ¢o§¤Ùo¹´º·oÂËÒ§¨Ò¡¨´¤§·Õè¨u´ื “‹a aÕèً ‹u˹§ e»¹ÃaÂae·Ò ¡¹ ึ 蚋æ a”eÃÕ¡¨´¤§·Õ訴¹¹ÇÒ ¨´È¹Â¡ÅÒ§ uua é‹uُ(C) æÅaeÃÕ¡ÃaÂa·Ò§¹¹ÇÒÃÈÁÕ a é‹a(r) ÊÁ¡ÒÃǧ¡ÅÁ ·ÕèÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§o·Õè •uُ٠‹C(0,0) æÅaÃÈÁÕÂÒÇ Ë¹Ç ¤o ar‹ื222xyr+=C (h,k) r y x O y = x 2y x eÅo¹æ¡¹ä»oÂÙ·Õè ื è‹(3, 1)- æÅa¾Å¡Ã»¡ÃÒ¿ Êźº¹ÅÒ§ iÙa‹-(y+1) = (x 3) -2

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 262 ǧ¡ÅÁ 222(x h)(y k)r−+− = ¨´È¹Â¡ÅÒ§ uُC(h,k) ÃÈÁÕ Ë¹Ç ar‹ÃÙ»·Çä» a è22xyDx Ey F 0++ + +=µÇoÂÒ§ ãËÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃǧ¡ÅÁ·ÕèÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§o·Õè a‹Œ Œuُ٠‹(1, 2)− æÅaǧ¡ÅÁ¹Õé¼Ò¹¨´ ‹u(2,1)o´Âµoºã¹ÃÙ» 22xyDx Ey F 0++ + +=ËÒÃÈÁÕ¨Ò¡ÃaÂa·Ò§ÃaËÇÒ§ a‹(1, 2)− ¡º a(2,1)ä´e·Ò¡º Œ ‹a221310+= ˹Ç ‹..¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃǧ¡ÅÁ 222(x h)(y k)r−+− =æ·¹¤Ò¨´È¹Â¡ÅÒ§æÅaÃÈÁÕÅ§ä» ‹uُa¨aä´ Œ222(x 1)(y 2)( 10)−++ = «è§æ¨¡æ¨§ä´e»¹ ึŒ š22x2x 1 y4y 410−++++=´§¹¹ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ»·Çä»ä´æ¡ a aéa èŒ ‹22xy2x 4y 50+ − + −=µÇoÂÒ§ ãËËÒÊǹ»Ãa¡oºµÒ§ ¢o§Ãٻǧ¡ÅÁ·ÕèÁÕa‹Œ‹‹æÊÁ¡ÒÃe»¹ š22xy2x 4y 100++−−=¨´¡ÅÁ æÅa æ¡¡¹ æÅaÂÒµÇeÅ¢äǽ§¢ÇÒ au ‹xyaŒaŒ ˜›ä´e»¹ Œ š22(x2x) (y4y) 10++−=eµÁµÇeŢŧã¹Ç§eź·§Êo§ e¾èoãËe»¹¡íÒŧÊo§·ÊÁºÃ³ iaça éืŒ šaÕèُ

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์263 (oÂÒÅÁeµÁ·Ò§¢ÇÒ´ÇÂ) ‹ ืiŒä´e»¹ Œ š22(x2x1) (y4y4)101 4+++−+=++¹¹¤o a èื22(x 1) (y 2)15++ − =´§¹¹Êǹ»Ãa¡oº¢o§Ç§¡ÅÁÁÕ´§¹ a aé‹aÕ騴ȹ¡ÅÒ§o·Õè uُ٠‹(1,2) − æÅaÃÈÁÕÂÒÇ a15 ˹Ç ‹ eʹÊÁ¼Êǧ¡ÅÁ ¤oeʹµÃ§·Õè¼Ò¹¨´º¹Ç§¡ÅÁe¾Õ§• Œa aื Œ‹u¨´e´ÕÂÇe·Ò¹¹ (eÃÕ¡ÇÒ¨´ÊÁ¼Ê) u‹a é‹ua a eʹÊÁ¼Êǧ¡ÅÁ¨aµ§©Ò¡¡ºÃÈÁÕ (·eªoÁÃaËÇÒ§¨u´• Œa aa éa aÕèื è‹È¹Â¡ÅÒ§¡º¨´ÊÁ¼Ê¹¹) eÊÁo ُaua a aéµÇoÂÒ§ ãËËÒÊÁ¡Òâo§eʹµÃ§ «è§ÊÁ¼Êǧ¡ÅÁ a‹ŒŒึa a22xy8+= ·Õ訴 u(2,2)¤ÇÒÁª¹¢o§ÃÈÁÕ·ÅÒ¡ÁÒ§¨´ÊÁ¼Ê aaÕèaua a20201−−==eʹÊÁ¼Ê·µo§¡Òà ¨aµo§µ§©Ò¡¡ºÃÈÁÕeʹ¹ Œa aÕ茌a éa aŒÕé´§¹¹¤ÇÒÁª¹¢o§eʹÊÁ¼Êe·Ò¡º a aéaŒa a‹a-1 eʹÊÁ¼Ê¤oeʹµÃ§·ÕèÁÕ¤ÇÒÁª¹ æÅa¼Ò¹¨´ Œa aื Œa- 1‹u(2,2)¨§ÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃä´´§¹.. ึŒŒaÕéy21(x 2)−= −−¨´ãËoÂã¹ÃÙ»·Çä» ä´¤íÒµoºe»¹ aŒ ‹Ùa 茚xy 40+−=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 264 17. ¾ÒÃÒ ºÅÒ ¤o e«µ¢o§¤Ùo¹´º·ÕèÁÕÃaÂa件§¨´¤§·oื “‹a aึuÕ訴˹§ e·Ò¡ºÃaÂa件§eʹµÃ§eÊ¹Ë¹è§ eÃÕ¡¨´¤§·uึ è‹aึ ŒŒึ ”uÕ訴¹¹ÇÒ ¨u´ ¿¡Ê eÃÕ¡eʹµÃ§eʹ¹¹ÇÒä´eáµÃi¡« ua é‹o a(F)ŒŒa 鋏 ÊÁ¡ÒþÒÃÒ ºÅÒ ·ÕèÁÕ¨´Âo´o·Õè •ouÙ ‹V (0,0) æÅaÃaÂa ¿¡ÊÂÒÇ Ë¹Ç o ac‹¤o ื2x4 c y= (ooÁ桹 , ¡Ãҿ˧ÒÂeÁèo¤Ò e»¹Œyื ‹cšºÇ¡, ¡ÃÒ¿¤ÇèíÒeÁèo¤Ò µ´Åº) ื ‹ciËÃo ื2y4 c x= (ooÁ桹 , ¡ÃÒ¿e»´¢ÇÒeÁèo e»¹ŒxืcšºÇ¡, ¡ÃÒ¿e»´«ÒÂeÁèo µ´Åº)  Œืci eŵÊeáµÁ ¤oeʹæÊ´§¤ÇÒÁ¡ÇÒ§¢o§ÃÙ»¡ÃÒ¿ ³ •aaื ŒŒ¨u´ ¿¡Ê o a2c V(h,k) F (h,k+c) Directrix : y=k c -⎧⎨⎩ c ⎧⎨⎩ c Axis : x=h

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์265 ¾ÒÃÒ ºÅÒ (µé§) oa2(x h)4 c (y k)−= − ¨´Âo´ uV(h,k) ÃaÂa ¿¡Ê o ac ˹Ç ‹eŵÊeáµÁ ÂÒÇ aa4c ˹Ç ‹ÃÙ»·Çä» a è2xDx Ey F 0+++=¾ÒÃÒ ºÅÒ (µa椧) o2(y k)4 c (x h)−= − ¨´Âo´ uV(h,k) ÃaÂa ¿¡Ê o ac ˹Ç ‹eŵÊeáµÁ ÂÒÇ aa4c ˹Ç ‹ÃÙ»·Çä» a è2yDx Ey F 0+++=P V (h,k) F (h+c,k) Directrix : x=h c -2c ⎫⎬⎭ c Axis : y=k P c

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 266 µÇoÂÒ§ ãËÊÃÒ§ÊÁ¡ÒþÒÃÒ ºÅÒ·ÕèÁÕ¨´Âo´o·Õè a‹Œ ŒouÙ ‹(1, 2)− æÅa¼Ò¹¨´ ‹u(2,1) ´ÂÁÕ桹ÊÁÁÒµÃæ¹Çµ§ oa éæÅaµoºã¹ÃÙ» 22AxByDx Ey F 0++++= ´ÂoÊÁ»ÃaÊ·¸iì·¡µÇe»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ aiuašíç桹ÊÁÁÒµÃoÂã¹æ¹Çµ§ æÊ´§ÇÒÊÁ¡Òäo Ù ‹a é‹ื2(x h)4c(y k)−= −·ÃÒº¨´Âo´ u(h,k) (1, 2) =− ¨§æ·¹¤Òŧã¹ÊÁ¡Òà ึ‹ä´e»¹ Œ š2(x 1)4c(y 2)−= +¨Ò¡¹¹ËÒ¤Ò ·Õè¶Ù¡µo§ ´Âæ·¹¨´·¡ÃÒ¿¼Ò¹ a é‹cŒouÕ苤o ื(2,1) ŧ价Õè x,y ã¹ÊÁ¡Òà ¹¹¤o a èื2(2 1)4c(1 2)4 c1/3−= + → =æÊ´§ÇÒÊÁ¡ÒþÒÃÒ ºÅÒ¤o ‹oื213(x 1)(y 2)−= +«è§æ¨¡æ¨§ä´e»¹ ึŒ š23(x 2x 1)y 2−+=+´§¹¹ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ»·Çä»ä´æ¡ a aéa èŒ ‹23x 6x y 1 0−−+=ËÁÒÂe˵u ã¹µÇoÂÒ§æá¢o§eÃèo§Ç§¡ÅÁ¡çÊÒÁÒö¤i´´ÇÂa‹ืŒÇi¸Õ¹ä´ ¤oãʨ´È¹Â¡ÅÒ§ ÕéŒ ื‹uُ(h,k) ŧã¹ÊÁ¡ÒÃǧ¡ÅÁ¡o¹.. ¨Ò¡¹¹æ·¹¨´·¡ÃÒ¿¼Ò¹¤o ‹a éuÕè‹ื(2,1) Å§ä» e¾èoËÒื¤Ò ·Õè¶Ù¡µo§ ‹rŒ

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์267 µÇoÂÒ§ ãËËÒÊǹ»Ãa¡oºµÒ§ ¢o§ÃÙ»¾ÒÃÒ ºÅÒ·ÕèÁÕa‹Œ‹‹æoÊÁ¡ÒÃe»¹ š2x2x 2y 3 0−−−=ʧe¡µÇÒäÁÁÕ¾¨¹ a‹‹2y æÊ´§ÇÒe»¹¾ÒÃÒ ºÅÒ·ÕèooÁ桹‹ šoŒµ§ (¤oe»¹Ãٻ˧ÒÂËÃo¤ÇèíÒ) ¡Òè´ÃÙ»ÊÁ¡ÒþÒÃÒ ºÅÒa éืšืao溺¹ eÃÒ¨´¡ÅÁ äǽ§«Ò æÅaÂÒ ¡ºµÇeÅ¢oè¹ Õéau ‹xŒ ˜› ŒŒya aืæäǽ§¢ÇÒ.. ¹¹¤o Œ ˜›a èื2(x2x)2y 3−=+¨Ò¡¹¹eµÁ¨Ò¹Ç¹ãËe»¹¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³ a éiíŒ šaُä´e»¹ Œ š2(x2x 1) 2y 3 1−+=++¹¹¤o a èื2(x 1)2y 4−= + «è§¨´Ãٻ䴴§¹Õé ึaŒa2(x 1)2(y 2)−= +æÅa¡ÅÒÂe»¹ š2(x 1)4(0.5)(y 2)−=+´§¹¹¡ÃÒ¿ÃÙ»¹e»¹¾ÒÃÒ ºÅÒ˧Ò a aéÕéšoÁÕ¨´Âo´o·Õè uÙ ‹(1, 2)−¨u´ ¿¡Êo· o aÙ ‹Õè(1, 2 0.5) (1, 1.5)−+=−eŵÊeáµÁÂÒÇ Ë¹Ç aa2‹æÅaÊÁ¡ÒÃä´eáµÃi¡«¤o  ืy2 0.52.5=− −=−(ËÃooÒ¨e¢Õ¹ã¹ÃÙ»·Çä» ¤o ืa èื2y 50 += ¡çä´) ŒV(1,-2) F 1Directrix 0.5 0.5 1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 268 18. ǧÃÕ ¤o e«µ¢o§¤Ùo¹´º· ¼ÅÃÇÁ¢o§ÃaÂa·Ò§ä»¶§ื “‹a aÕèึ¨´¤§·Êo§¨´ ÁÕ¤Òe·Ò¡¹ uÕèu‹ ‹a”eÃÕ¡¨´¤§·Êo§¨´¹¹ÇÒ¨u´ ¿¡Ê uÕèua é‹o a( F,F )12 æÅaÃaÂa·Ò§ÃÇÁ¹¹e·Ò¡º¤ÇÒÁÂÒÇ桹eo¡ a é‹a(2a) ÊÁ¡ÒÃǧÃÕ·ÕèÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§o·Õè •uُ٠‹C(0,0) æÅa桹eo¡ÂÒÇ Ë¹Ç 桹 ·ÂÒÇ Ë¹Ç ¤o 2a‹o2b‹ื()( )22yxab1 (+= ÃÕµÒÁ桹 x)ËÃo ื( )( )22 yxab1 (+= ÃÕµÒÁ桹 y) ÊÒËúǧÃÕ¹¹ •íaa éab> eÊÁo ´§¹¹µÇeÅ¢ã´ÁÕ¤Òa a aé‹ÁÒ¡¡ÇÒ µÇ¹¹¡ç¨ae»¹ (e»¹æ¡¹eo¡) ‹a aéšašV F2 2 b ⎫⎬⎭a c F1 (h+c,k) (h+a,k) V1 C (h,k) B (h,k+b) 1B 2

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์269 ǧÃÕ (¹o¹) 2222(x h)(y k)ab1−− += ¨´È¹Â¡ÅÒ§ uُC(h,k) 桹eo¡ÂÒÇ æ¡¹ ·ÂÒÇ 2ao2bÃaÂa ¿¡Ê o a22cab=− ÃÙ»·Çä» a è22AxByDx Ey F 0++++=ǧÃÕ (µé§) a2222(y k)(x h)ab1−− += ¨´È¹Â¡ÅÒ§ uُC(h,k) 桹eo¡ÂÒÇ æ¡¹ ·ÂÒÇ 2ao2bÃaÂa ¿¡Ê o a22cab=− ÃÙ»·Çä» a è22AxByDx Ey F 0++++=V 2 F2 b ⎫⎬⎭a c F 1(h,k+c) V1(h,k+a)C(h,k) B (h+b,k) 1B 2⎧⎨⎩

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 270 µÇoÂÒ§ ãËÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃǧÃÕ·ÕèÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§o·Õè a‹Œ Œuُ٠‹(2,1)ÁÕ¨u´ ¿¡Êo·Õè o aÙ ‹(2,4) æÅa¨´Âo´o· uÙ ‹Õè(2, 4)−æÅaµoºã¹ÃÙ» 22AxByDx Ey F 0++++= ´ÂoÊÁ»ÃaÊ·¸iì·¡µÇe»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ aiuaší稴ȹ¡ÅÒ§ ¨u´ ¿¡Ê æÅa¨´Âo´ eÃÕ§ã¹æ¹Çe´ÕÂÇ¡¹ uُo auao´ÂÁÕ¤Ò e·Ò¡¹æÅa µÒ§¡¹ æÊ´§ÇÒe»¹Ç§ÃÕæ¹Çµ§ ‹x‹ay‹a‹ ša éæÅaÊÁ¡Òäo ื2222(y k)(x h)ab1−− += e¹o§¨Ò¡¤Ò ื è‹a( 4) (1)5=−−=æÅa¤Ò ‹c(4) (1)3=−= ..´§¹¹ a aé22b5 34=−=æ·¹¤Ò ‹(h,k) (2,1)= æÅa a,b ŧã¹ÊÁ¡Òà ä´ÊÁ¡ÒÃǧÃÕ·Õèµo§¡ÒÃe»¹ ŒŒš2222(y 1)(x 2)541−− += ¤Ù³e¾èoäÁãËÁÕeÈÉÊǹ.. ื‹ Œ‹2216(y 1)25(x 2)400−+ − =æÅaæ¨¡æ¨§ä´ Œ2216(y2y 1) 25(x4x 4) 400−++ − +=´§¹¹ ÊÁ¡ÒÃǧÃÕã¹ÃÙ»·Çä» ä´æ¡ a aéa èŒ ‹2225x 16y 100x 32y 2840+−−−=µÇoÂÒ§ ãËËÒÊǹ»Ãa¡oºµÒ§ ¢o§ÃٻǧÃÕ«è§ÁÕÊÁ¡ÒÃa‹Œ‹‹æึe»¹ š227x 16y28x 96y 600++−+=

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์271 ã¹¢o¹ÕéÊÁ»ÃaÊ·¸Ë¹Ò ŒaiiìŒ2x ¡º a2y äÁe»¹ ¨§µo§‹ š1ึ Œæ¡oo¡ÁÒ˹Òǧeź´Ç ´§¹Õé ŒçŒa¨Ò¡ 22(7x28x) (16y96y)60++−= −ä´e»¹ Œ š227(x4x) 16(y6y)60++ −= −¨Ò¡¹¹eµÁµÇeŢŧã¹Ç§eź·§Êo§ (æÅaeµÁ½§¢ÇÒ´ÇÂ) a éiaça éi˜›Œe¾èoãËe»¹¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³eª¹e´iÁ ืŒ šaُ ‹æµãËÃaǧe¹o§¨Ò¡ÁյǤٳoÂ˹Òǧeź·Ò§«Ò ·Òãˋ Œaื èaً ŒçŒíŒµÇeÅ¢·eµÁ·Ò§¢ÇÒe»Å¹ä».. 䴼Ŵ§¹Õé aÕèiÕèŒa227(x4x4) 16(y6y9)60 28 144+ ++ − +=−+ +(e¹o§¨Ò¡ ื è2874=× æÅa 144 16 9 =× ) ¹¹¤oÊÁ¡ÒáÅÒÂe»¹ a èืš227(x 2) 16(y 3)112++ − =¹ÒµÇeÅ¢·eËÅo·Ò§¢ÇÒ ¤o íaÕèืื112 ËÒà ¨aä´ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» Œ22(x 2)(y 3)7161+− +=´§¹¹¡ÃÒ¿ÃÙ»¹e»¹Ç§ÃÕ¹o¹ ÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§o·Õè a aéÕéšuُ٠‹(2,3) −æÅae¹o§¨Ò¡¤Ò ื è‹a4, b7==¨aä´ Œc16 7 3=−=´§¹¹¨´Âo´¤o a aéuื(2 4,3)−±¨u´ ¿¡Ê¤o o aื( 2 3,3)−±æÅa¨´»ÅÒÂ桹 ·¤o uoื(2,37)−± F2 3 4 7 F1 V1C(-2,3) B 1B 2V 2

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 272 19. äÎe¾oà ºÅÒ ¤o e«µ¢o§¤Ùo¹´º· ¼ÅµÒ§¢o§oื “‹a aÕè‹ÃaÂa·Ò§ä»¶§¨´¤§·Êo§¨´ ÁÕ¤Òe·Ò¡¹ eÃÕ¡¨´¤§·Êo§ึuÕèu‹ ‹a”uÕ訴¹¹ÇÒ¨u´ ¿¡Ê æÅa¼ÅµÒ§ÃaÂa·Ò§e·Ò¡º¤ÇÒÁÂÒÇ桹ua é‹o a‹‹aµÒÁ¢ÇÒ§ (2a) ÊÁ¡Òâo§äÎe¾oà ºÅÒ·ÕèÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§·Õè •ouُC(0,0)桹µÒÁ¢ÇÒ§ÂÒÇ æÅa桹ʧ¤ÂÒÇ ¤o 2aau2bื()( )22yxab1 (−= ooÁ桹 Œx)ËÃo ื( )( )22 yxab1 (−= ooÁ桹 Œy) ÊÒËúäÎe¾oà ºÅÒ äÁ¨Òe»¹µo§ÁÒ¡¡ÇÒ •íaoa‹íš Œ‹b(桹ã´e¤Ãèo§ËÁÒºǡ ¨aooÁ桹¹¹) ืŒa éF V2 2 b ⎫⎬⎭c a V 1(h+a,k)C (h,k) B (h,k+b) 1B 2F 1(h+c,k)Asymptote Asymptote a(y k)=b(x h) --

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์273 äÎe¾oà ºÅÒ (µa椧) o2222(x h)(y k)ab1−− −= ¨´È¹Â¡ÅÒ§ uُC(h,k) 桹µÒÁ¢ÇÒ§ÂÒÇ 2a桹ʧ¤ÂÒÇ ÃaÂa ¿¡Ê au2bo a22cab=+ÃÙ»·Çä» a è22AxByDx Ey F 0++++=äÎe¾oà ºÅÒ (µé§) oa2222(y k)(x h)ab1−− −= ¨´È¹Â¡ÅÒ§ uُC(h,k) 桹µÒÁ¢ÇÒ§ÂÒÇ 2a桹ʧ¤ÂÒÇ ÃaÂa ¿¡Ê au2bo a22cab=+ÃÙ»·Çä» a è22AxByDx Ey F 0++++=F 2 V2 b⎫⎬⎭c a V 1(h,k+a)C(h,k) B (h+b,k) 1B 2F 1(h,k+c)Asymptote Asymptote b(y k)=a(x h) --⎧⎪⎨⎪⎩

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 274 µÇoÂÒ§ ãËÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃäÎe¾oà ºÅÒ·ÕèÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§· a‹Œ ŒouُÕè(2,1) ÁÕ¨u´ ¿¡Ê·Õè o a(2, 4)− æÅa¨´Âo´·Õè u(2,4)æÅaµoºã¹ÃÙ» 22AxByDx Ey F 0++++= ´ÂoÊÁ»ÃaÊ·¸iì·¡µÇe»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ aiuaší稴ȹ¡ÅÒ§ ¨u´ ¿¡Ê æÅa¨´Âo´ eÃÕ§ã¹æ¹Çe´ÕÂÇ¡¹ uُo auao´Â¤Ò e·Ò¡¹æÅa µÒ§¡¹ ‹x‹ay‹aæÊ´§ÇÒe»¹äÎe¾oà ºÅÒooÁ桹µ§ ‹ šoŒa éæÅaÊÁ¡Òäo ื2222(y k)(x h)ab1−− −= e¹o§¨Ò¡¤Ò ื è‹a(4) (1)3=−= æÅa¤Ò ‹c( 4) (1)5=− −= ´§¹¹ a aé22b5 34=−=æ·¹¤Ò ‹(h,k) (2,1)= æÅa a,b Å§ä» ¨aä´ ŒÊÁ¡ÒÃäÎe¾oà ºÅÒ·Õèµo§¡Òà oŒ2222(y 1)(x 2)341−− −=¤Ù³e¾èoäÁãËÁÕeÈÉÊǹ.. ื‹ Œ‹2216(y 1)9(x 2)144−− − =æÅaæ¨¡æ¨§ä´ Œ2216(y2y 1) 9(x 4x 4) 144−+− −+=´§¹¹ ÊÁ¡ÒÃäÎe¾oà ºÅÒã¹ÃÙ»·Çä» ä´æ¡ a aéoa èŒ ‹2216y9x 32y 36x 1640−−+ − =(oÒ¨µoºãËoÂã¹ÃÙ»ÊÁ»ÃaÊ·¸¢o§ e»¹ºÇ¡¡çä´ ´ÂŒ ‹ÙaiiìxšŒo¤Ù³ ¡ÅÒÂe»¹ - 1š229x 16y36x 32y 1640−−++= )

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์275 µÇoÂÒ§ ãËËÒÊǹ»Ãa¡oºµÒ§ ¢o§ÃÙ»äÎe¾oà ºÅÒ·ÕèÁÕa‹Œ‹‹æoÊÁ¡ÒÃe»¹ š22x 5y 10y 25 0 −+−=¨´¡íÒŧÊo§ÊÁºÃ³eËÁo¹e´iÁ aaُื22x5(y2y) 25−−=(Ãaǧ¾ÅÒ´eÃèo§e¤Ãèo§ËÁÒÂź) aืืʧe¡µä´ÇÒäÁÁÕ¾¨¹ ¡íÒŧ˹§ æÊ´§Çҷ桹 äÁÁÕaŒ ‹‹xaึ è‹Õèx‹¡ÒÃeÅo¹æ¡¹ æÅaäÁµo§¨´ÃÙ» ื è‹ Œa¨§eµÁµÇeŢ䴴§¹.. ึiaŒaÕé22x5(y2y 1) 255−−+=−(Ãaǧ¾ÅÒ´eÃèo§e¤Ãèo§ËÁÒÂź) aืื¹¹¤oÊÁ¡ÒáÅÒÂe»¹ a èืš22x5(y 1)20−−=¹ÒµÇeÅ¢·eËÅo½§¢ÇÒ¤o ä»ËÒà íaÕèื ˜›ื20¨aä´ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» Œ22(x)(y 1)4201−−=´§¹¹¡ÃÒ¿ÃÙ»¹e»¹äÎe¾oà ºÅÒooÁ桹¹o¹ a aéÕ随oŒ«è§ÁÕ¨´È¹Â¡ÅÒ§o·Õè ึuُ٠‹(0,1)æÅae¹o§¨Ò¡¤Ò ื è‹a20, b 2==¨aä´ Œ=+= c20 424´§¹¹¨´Âo´¤o a aéuื(20,1) ± ¨u´ ¿¡Ê¤o o aื±(24,1)æÅa¨´»ÅÒÂ桹ʧ¤¤o uauื(0,1 2)± ¶Ò • Œab= eʹ¡íÒ¡º¨aµ§©Ò¡¡¹ eÃÕ¡äÎe¾oà ºÅҌaa éao¹¹ÇÒ äÎe¾oà ºÅÒÁuÁ©Ò¡ a 鋏o

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 276 20. ÊÒËúǧÃÕæÅaäÎe¾oà ºÅÒ ¤ÇÒÁeÂo§È¹Â¡ÅÒ§ íao“ื éُ”(Eccentricity; e) ¤o¤Ò·ºo¡ÇÒ¨u´ ¿¡ÊæÅa¨´Âo´ ื ‹Õè‹o auoÂËÒ§¨Ò¡¨´È¹Â¡ÅÒ§e»¹oµÃÒÊǹe·Ò㴠ً ‹uُša‹‹¹¹¤o a èืcae= ¤Ò ¢o§Ç§ÃÕ oÂÙÃaËÇÒ§ ¡º eÊÁo • ‹e‹‹0a1(¶Ò §ÁÒ¡¢é¹ ǧÃÕ¨a§椺ŧ) ŒeièึièæÅa¤Ò ¢o§äÎe¾oà ºÅÒ ÁÒ¡¡ÇÒ eÊÁo ‹eo‹1(¶Ò §ÁÒ¡¢é¹ ¡ÃÒ¿¨a§¡ÇÒ§¢é¹) ŒeièึièŒึ21. äÎe¾oà ºÅÒÁuÁ©Ò¡o¡Ãٻ溺˹§·¾ººo ä´æ¡oÕึ èÕ苌 ‹ÊÁ¡ÒÃã¹ÃÙ» xyk= eÁèo e»¹¤Ò¤§·Õè ืkš ‹(¨aÁÕ桹µ§æÅa桹¹o¹e»¹eʹ¡íÒ¡º) a 隌aC(0,0)F 2 F 1 V 2 V 1 Asymptote Asymptote

เพิ่มเติม บทที่ 3 เรขาคณิตวเคราะหิ์277 äÎe¾oà ºÅÒÁuÁ©Ò¡ (¤Ço´Ã¹µ·Õè 1 æÅa 3) oaxyk= eÁèo ืk0>¨´Âo´ u1V ( k, k) æÅa 2V (k,k)−−¨u´ ¿¡Ê o a1F( 2k, 2k) æÅa 2F(2k,2k)−−äÎe¾oà ºÅÒÁuÁ©Ò¡ (¤Ço´Ã¹µ·Õè 2 æÅa 4) oaxyk= eÁèo ืk0 <¨´Âo´ u1V (k, k) − æÅa 2V ( k,k) −¨u´ ¿¡Ê o a1F(2k, 2k) − æÅa 2F( 2k,2k) −C(0,0)F 2 F 1 V 2 V 1 Asymptote Asymptote

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 2 278 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .5 เทอม 1 บทที่ 1ลาดับและอนุกรมํ1. ÅÒ´aº ¤o¿§¡ª¹ã´æ «è§ ´eÁ¹e»¹e«µ¨Ò¹Ç¹¹º íื ˜ aึošía1,2,3,4,... Å ¹ÂÁ¹Ò¤Ò¢o§¿§¡ª¹ÁÒe¢Õ¹eÃÕ§¡a¹æ ai틘 ao´Â¤a蹴ǨÅÀÒ¤ (Å¡¹Ò) ã¹ÃÙ» ŒuÙéí1234a ,a,a,a ,... ¨§ ึÁÕšɳ ¢o§¡ÒÃe»¹ ÅÒ´aº aaš “í” eÃÕ¡ ÇÒ ¾¨¹·Õè ¢o§ÅÒ´aº, eÃÕ¡ Çҕ1 a‹1í2 a‹¾¨¹·Õè ¢o§ÅÒ´aº, ÏÅÏ 2í ¾¨¹·Õè ã´æ ¢o§ÅÒ´aº (¤o ) eÃÕ¡ÇÒ¾¨¹•níืn a‹·Çä» Å ¹ÂÁe¢Õ¹ Ê´§ÃÙ» ºº¢o§ÅÒ´aº´Ç ¹Õé aèæ aiææíŒn aµaÇoÂÒ§ ¿§¡ª¹ ‹˜ a2f(x)x1=− eÁèo¹ÒÁÒ »Å§e»¹ืíæšÅÒ´aº ¨ e¢Õ¹ä´ã¹ÃÙ» íaŒ2n an1=−(e»Å¹¨Ò¡µaÇ »Ãµ¹ e»¹ e¾èoãË·ÃÒºÇÒe»¹ÕèæŒxšnืŒ‹ š¨Ò¹Ç¹¹ºe·Ò¹¹, Å e»ÅÂ¹Ê Å¡É³¨Ò¡¿§¡ª¹ ía‹aéæ aÕèa­ a˜ af(x) e»¹ÅÒ´aº ) šín aËÃoe¢Õ¹ ¨¡ ¨§ÅÒ´aºä´e»¹ ืæ æíŒ š0,3,8,15,24,35,...( ·¹¤Ò ´Ç æ‹nŒ1,2,3,4,... µÒÁÅÒ´aº) í

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 280 ** ¤ÇÒÁ µ¡µÒ§Ã ËÇÒ§¿§¡ª¹¡aºÅÒ´aº¤o ¿§¡ª¹¨æ‹a‹˜ aíื˜ aa¹ÂÒÁ·Õè¤Ò e»¹ªÇ§µoe¹o§ (¡ÃÒ¿e»¹eʹ) µÅÒ´aºi‹xš ‹‹ื èšŒæ ‹í¨ ¹ÂÒÁ·Õè¤Ò e»¹¨Ò¹Ç¹¹ºe·Ò¹¹ (¡ÃÒ¿e»¹¨´ææ) a i‹nšía‹aéšuµaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§· ÅÇ ¤Ò¢o§ ‹a‹Õèæ Œ‹1f(1)a=, ¤Ò¢o§ ‹2f(2)a=, ¤Ò¢o§ ‹3f(3)a =, ÏÅÏ.. (e·Ò¡a¹eÊÁo·u¡‹¤Ò¢o§ ´eÁ¹·e»¹¨Ò¹Ç¹¹º) ‹oÕèšía浤Ңo§ ‹ ‹f(1.5) §ËÒä´ ã¹¢³ ·Õè¤Ò¢o§ aŒa‹1.5 a ¹¹äÁa鋹ÂÒÁ i ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹ ˜ a ¡ÃÒ¿¢o§ÅÒ´aº íµaÇoÂÒ§ ÅÒ´aº·ÕèÁÕÃÙ»·Çä»e»¹ ‹íaèšn a13 6n=− ¡ç¤oืÅÒ´aºe´ÕÂÇ¡aº í−− −7,1, 5, 11, 17, ...(ÊÒÁÒöe¢Õ¹ÅÒ´aºä´Êo§Å¡É³ ¤o ººe»¹ÊÁ¡Òà íŒaaืæšæ aæ æ æÅ ºº ¨¡ ¨§, µ¶Òe»¹¿§¡ª¹¨ ¨¡ ¨§äÁä´) æ‹ Œ š ˜ aaæ æ‹ Œxf(x)1 2 3 4-1 -2 -3 -42 4 6 8-2-4na n1 2 3 42 4 6 8-2-4

พื้นฐาน บทท ลาดับและอนุกรมี่ 1 ํ281 «è§¾¨¹·Õè ¢o§ÅÒ´aº ึ20ín a13 6n=−¡ç¤o ื20 a13 6(20)107=− =−2. ÅÒ´aº·ÕèÁըҹǹ¾¨¹· ¹¹o¹ eª¹ ¾¨¹, ¾¨¹ ííÕèæ ‹‹815(ËÃo ¾¨¹¡çä´) ¨ eÃÕ¡ÇÒ ÅÒ´aº¨Ò¡a´ ืnŒa‹ “íí”ÊǹÅÒ´aº·ÕèÁըҹǹ¾¨¹ÁÒ¡¨¹¹ºäÁä´ ¨ eÃÕ¡ÇÒ ‹íía‹ Œa‹“ÅÒ´aºo¹¹µ ía”µaÇoÂÒ§ ‹ÅÒ´aº í0,3,8,15,24 e»¹ÅÒ´aº¨Ò¡a´ (ÁÕ ¾¨¹) šíí5ÅÒ´aº í0,3,8,15,24,...,99 e»¹ÅÒ´aº¨Ò¡a´ (ÁÕ šíí10¾¨¹) ÅÒ´aº í20,3,8,15,24,...,n1− e»¹ÅÒ´aº¨Ò¡a´ (ÁÕ šíín¾¨¹) ÅÒ´aº í20,3,8,15,24,...,n1,...− e»¹ÅÒ´aºo¹¹µ šíaÅÒ´aº í0,3,8,15,24,... e»¹ÅÒ´aºo¹¹µ šía3. ÅÒ´aº·eÃÒ¾ººo ÁÕÊo§»Ã eÀ· ¤oÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ íÕè‹aืíæ aÅ ÅÒ´aºeâҤ³iµ í ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ¤oÅÒ´aº·Õè ¼ÅµÒ§¢o§¾¨¹µ´¡a¹•íื퓋ie»¹¤Ò¤§µaÇ eÃÕ¡¤Ò¹ÕéÇÒ ¼ÅµÒ§ÃÇÁ š ‹”‹‹‹‹d ÅÒ´aºeâҤ³iµ ¤oÅÒ´aº·Õè ¼ÅËÒâo§¾¨¹µ´¡a¹•íื퓏ie»¹¤Ò¤§µaÇ eÃÕ¡¤Ò¹ÕéÇÒ oµÃÒÊǹÃÇÁ š ‹”‹‹a‹‹r

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 282 µaÇoÂÒ§ ¶ÒÁÇÒÅÒ´aºµo仹e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµËÃo‹‹í‹ÕéšíืeâҤ³iµ Å ã˺o¡¤Ò ËÃo ´Ç æ aŒ‹dืrŒ2,6,10,14,... e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd4 =14,10,6,2,... e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd4=−2,6,18,54,... e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír3 =54,18,6,2,... e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír1/3 =5,3,1, 1,...− e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd2=−2.5, 1,0.5,2,...−− e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd1.5 =0.25,0.5,1,2,... e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír2 =0.25, 0.5,1, 2,...−− e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír2=−3, 6, 12, 24,...−−−− e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír2 =1513, ,3,,...333 e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ší4 d3 =89,6,4, ,...3 e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ ší2 r3 =211 1 , ,,,...336 12−− e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ ší1r2 =−** ¤Ò ¤i´¨Ò¡¾¨¹ËÅa§Åº´Ç¾¨¹·ÕèoÂÙ¡o¹Ë¹Ò ‹dŒ‹ ‹Œæ aÅ ¤Ò ¤i´¨Ò¡¾¨¹ËŧËÒôǾ¨¹·o¡o¹Ë¹Ò ‹raŒÕèً ‹Œ

พื้นฐาน บทท ลาดับและอนุกรมี่ 1 ํ283 4. ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ¨ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹¿§¡ª¹eʹµÃ§ ÁÕ¤ÇÒÁíaš ˜ aŒª¹e·Ò¡aº ... ÊǹÅÒ´aºeâҤ³iµ ¨ ÁÕÊÁ¡ÒÃe»¹a‹d‹íaš¿§¡ª¹eo¡« ¾e¹¹eªÂÅ ÁÕ°Ò¹e·Ò¡aº ˜ aoՋrµaÇoÂÒ§ ¶ÒÁÇÒÅÒ´aºµo仹e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµËÃo‹‹í‹ÕéšíืeâҤ³iµ Å ã˺o¡¤Ò ËÃo ´Ç æ aŒ‹dืrŒn a8n5=− e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd8=n a4n = e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd4 =n a83n= + e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd3=n a83n= − e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd3=−n a2n= − e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ šíd1=−n4n2a3 −= e»¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ší4 d3 =nn a5= e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír5 =n1n a8 5−= ⋅ e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír5 =n2n a8 ( 5)+= ⋅− e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ šír5=−nn a8 5−= ⋅ e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ ší11r55−==nn 5a2 = e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ ší1 r2 =nnn4 52 a3 + ⋅= e»¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ ší2 r3 =

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 284 5. ¾¨¹·Ç仢o§ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ¤o aèíืn1aa(n 1)d=+−µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¾¨¹·Ç仢o§ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ‹Œaèí2,5,8,11,14,...¤i´¨Ò¡ÊÁ¡Òà n1aa(n 1)d=+−¨ ä´ aŒn a(2) (n 1)(3)3n 1=+− =−µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¾¨¹·Õè Å ¾¨¹·Õè ¢o§ÅÒ´aºeÅ¢‹Œ6æ a23í¤³iµ 2,5,8,11,14,...ã¹·Õè¹Õé d3= ´a§¹¹¾¨¹·Õè e·Ò¡aº aé6‹14317+ =æ aÅ ¾¨¹·Õè ¤i´¨Ò¡ÊÁ¡Òà 23231aa22 d=+¨ ä´ aŒ23 a(2)22(3)68=+ =ËÃoËÒ¨Ò¡¾¨¹·Çä» («è§¤i´äÇã¹µÇoÂÒ§· ÅÇ) ¡çä´ ืaèึŒa‹Õèæ ŒŒo æ´Â ·¹¤Ò ‹23 a3(23) 168=−=µaÇoÂÒ§ ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ ‹í2,5,8,11,14,... ÁÕ¾¨¹·ÕèÁՏ¤Òe·Ò¡aº ËÃoäÁ ¶ÒÁÕã˵oº´ÇÂÇÒe»¹¾¨¹·e·Òã´ ‹ ‹68ื‹ ŒŒŒ‹ šÕè‹ËÒ¾¨¹·Çä»ä´ aèŒn a(2) (n 1)(3)3n 1=+− =−¶Ò¾¨¹¹¹ÁÕ¤Ò ¨ ä´ Œaé‹68aŒ3n 1 68n23−=→=æÊ´§ÇÒ¤Ò oÂã¹ÅÒ´aº¹Õé Å e»¹¾¨¹·Õè ‹ ‹68Ù ‹íæ aš23

พื้นฐาน บทท ลาดับและอนุกรมี่ 1 ํ285 (¶Ò¤íҹdz ÅÇä´ äÁ㪨ҹǹ¹º Ê´§ÇÒ¤Ò¹¹äÁä´ŒæŒ Œn‹ ‹íaæ‹ ‹aé‹ ŒoÂã¹ÅÒ´aº) Ù ‹íµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¾¨¹·Õè ¢o§ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ«è§ÁÕ¾¨¹·Õè ‹Œ20íึ11 e·Ò¡aº Å ¾¨¹·Õè e·Ò¡aº ‹22æ a18‹-6“¾¨¹·Õè e·Ò¡aº 11‹22” ¨ ä´ aŒ1 a10d22+=“¾¨¹·Õè e·Ò¡aº ¨ ä´ 18‹-6”aŒ1 a17 d6+= −æ a¡Ã ººÊÁ¡Òà ( ´Â¹ÒÊÁ¡ÒÃÁÒź¡a¹) Œoíä´ Œd4=− Å æ a1 a62 =´a§¹¹ ¾¨¹·Õè ÁÕÇi¸Õ¤i´ËÅÒ ºº aé20æeª¹ ‹2018aadd64414= ++=−−−=−ËÃo ื201aa19d6219( 4)14=+ = + −=−ËÃoËÒ¾¨¹·Çä».. ืaè= +−− = −n a62 (n 1)( 4)66 4n¨Ò¡¹¹¨§ ·¹¤Ò aéึæ‹20 a66 4(20)14=− =− ¡çä´ Œ6. ¾¨¹·Ç仢o§ÅÒ´aºeâҤ³iµ ¤o aèíื(n 1)n1aa r−=⋅µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¾¨¹·Ç仢o§ÅÒ´aºeâҤ³iµ ‹Œaèí5,10,20,40,...

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 286 ¤i´¨Ò¡ÊÁ¡Òà (n 1)n1aa r−=⋅¨ ä´ aŒ(n 1)nn5a(5) (2)2 2−=⋅ =⋅µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¾¨¹·Õè Å ¾¨¹·Õè ¢o§ÅíÒ´aº‹Œ6æ a11eâҤ³iµ 5,10,20,40,...ã¹·Õè¹Õé r2 = ´a§¹¹¾¨¹·Õè e·Ò¡aº aé6‹40280× =æ aÅ ¾¨¹·Õè ¤i´¨Ò¡ÊÁ¡Òà 1110111aa r=⋅¨ ä´ aŒ1011 a(5) (2)5120=⋅ =(ËÃoËÒ¨Ò¡¾¨¹·Çä» «è§¤i´äÇã¹µÇoÂÒ§· ÅÇ¡çä´) ืaèึŒa‹Õèæ ŒŒµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¾¨¹·Õè ¢o§ÅÒ´aºeâҤ³iµ«è§ÁÕ¾¨¹·Õè ‹Œ20íึ11 e·Ò¡aº ‹1/2 Å ¾¨¹·Õè e·Ò¡aº æ a18‹-64“¾¨¹·Õè e·Ò¡aº 11‹1/2” ¨ ä´ aŒ101ar1/2⋅=“¾¨¹·Õè e·Ò¡aº 18‹-64” ¨ ä´ aŒ171ar64⋅=−æ a¡Ã ººÊÁ¡Òà ( ´Â¹ÒÊÁ¡ÒÃÁÒËÒáa¹) Œoíä´ Œr2=− Å æ a111 a1/2=´a§¹¹ ¾¨¹·Õè ÁÕÇi¸Õ¤i´ËÅÒ ºº aé20æeª¹ ‹2018aar r64 (2)(2)256=⋅⋅= −⋅ −⋅ −= −ËÃo ื19198201111aa r( 2)22562=⋅ = ⋅− =−=−(ËÃoËÒ¾¨¹·Ç仡o¹ ¨Ò¡¹¹¨§ ·¹¤Ò ืaè‹aéึæ‹n20 = ¡çä´) Œ

พื้นฐาน บทท ลาดับและอนุกรมี่ 1 ํ287 7. o¹¡ÃÁ ¤o¼ÅºÇ¡¢o§ µÅ ¾¨¹ã¹ÅÒ´aº uืæ a ‹í(o¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµ ¤o¼ÅºÇ¡¢o§¾¨¹ã¹ÅÒ´aºeÅ¢¤³iµ uืío¹¡ÃÁeâҤ³iµ ¤o¼ÅºÇ¡¢o§¾¨¹ã¹ÅÒ´aºeâҤ³iµ) uืí Ê Å¡É³ 㪠·¹¼ÅºÇ¡ ¾¨¹ á¢o§• ­ aan SŒænæo¹¡ÃÁ.. ¹¹¤o uaèืn123nSaaa...a=++++µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ¢o§ÅÒ´aº«è§ÁÕ ‹Œ‹4 Síึ2n an1=−e¹o§¨Ò¡ ื è41234Saaaa=+++(ËÒ¤Ò ¶§ ä´¨Ò¡¾¨¹·Çä»· ¨·Â¡íÒ˹´) ‹1 aึ4 aŒaèÕèo¨§ä´ ึ Œ4 S0381526= + + + =µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ¢o§ÅÒ´aº«è§ÁÕ ‹Œ‹7 aíึ3n Sn2n 1=− +e¹o§¨Ò¡ ื è71237Saaa...a=++++æ aÅ 61236Saaa... a=++++¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹776aSS=−æ·¹¤Ò¨Ò¡· ¨·Â¡íÒ˹´ ¨ ä´ ‹ÕèoaŒ337 a[(7)2(7) 1] [(6)2(6) 1]=−+−−+330205125=−=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 288 8. ʵÃo¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµ Ùun1nnS(aa )2=+ËÃo ืn1nS(2a(n 1) d)2=+−æ aŠʵÃo¹¡ÃÁeâҤ³iµ Ùun1na(r1)Sr1 −=−ËÃo ืn1na(1 r )S1r −=−µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµµo仹Õé ‹Œ‹u‹•1 23...22+ + + +ÁÕ ¾¨¹ ´a§¹aé¹ 222212222S(aa )2=+¹¹¤o aèื2222S(1 22)2532=+=•201714... 16+++−ËҨҹǹ¾¨¹¨Ò¡ÃÙ»·Ç仢o§ÅÒ´aº íaèí¤o ื+−−=− 20 (n 1)( 3)16 ´a§¹¹ aé=n13¨ ä´ aŒ=+=−=131131313S(aa )(20 16)2622

พื้นฐาน บทท ลาดับและอนุกรมี่ 1 ํ289 •731 59...−−+ ++++¾¨¹·Õè 18ËÒ¾¨¹Ê´·Ò¨ҡÃÙ»·Ç仢o§ÅÒ´aº uŒaèí¤o ื18 a717(4)61=− +=¨ ä´ aŒ181181818S(aa )( 7 61)48622=+=− +=µaÇoÂÒ§ ¶Ò ‹Œ1 4710...+++ + +¾¨¹·Õè n425 =æÊ´§ÇÒo¹¡ÃÁeÅ¢¤³iµ¹ÕéÁÕ¡Õ辨¹ ‹uæ·¹¤Òã¹ÊµÃ ‹Ùn1nnS(aa )2=+¨ ä´ aŒn 425(1 [1 (n 1)(3)])2=++−æ¡ÊÁ¡Òà Œn 425(3n 1)850n(3n 1)2=−→=−æ 模 ¨§ ÅÇ Â¡µÇ»Ã ¡oºä´´a§¹Õé æ æ ŒaaŒ203nn 8500(3n 50)(n 17)=−− →=+ −æµe¹o§¨Ò¡ n µo§e»¹¨Ò¹Ç¹¹ºe·Ò¹¹ ‹ ื茚ía‹aéæÊ´§ÇҨҹǹ¾¨¹ e·Ò¡aº ‹í(n)‹17

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 290 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁeâҤ³iµµo仹 ‹Œ‹u‹Õé•361224...−+−+−+¾¨¹·Õè 10¨ ä´ aŒ1010110a(r1)3(( 2)1)S1023r1( 2)1−−−−===−− −•1131...381++++ËҨҹǹ¾¨¹¨Ò¡ÃÙ»·Ç仢o§ÅÒ´aº íaèí¤o ืn1 113( )381−⋅= ´a§¹¹ aén6 =¨ ä´ aŒ6616a (1 r )3(1 (1/3) )S1r1 (1/3)−−== −− 631364()(1)2/3381=−=

Ê 1Ê 2Ê 3¡ (Ê ,¡ ) 12 1¡ (Ê ,¡ )22 2 ¡ (Ê ,¡ )32 3 ¡ (Ê ,¡ )42 4 ¡ (Ê ,¡ ) 13 1¡ (Ê ,¡ )23 2 ¡ (Ê ,¡ )33 3 ¡ (Ê ,¡ )43 4 ¡ (Ê,¡ ) 11 1¡ (Ê ,¡ )21 2 ¡ (Ê ,¡ )31 3 ¡ (Ê ,¡ )41 4 คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .5 เทอม 1 บทที่ 2ความนาจะเปน1. ¡®¾é¹°Ò¹e¡ÕèÂÇ¡aº¡Òùº ¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾µ¹äÁ ·ÒãËืaŒŒíŒeÃÒ·ÃÒºÇÒ ã¹¡Ò÷ҧҹ ¢aé¹µo¹ ´Â·§Ò¹æµÅ‹íkoÕè‹a¢aé¹µo¹ÁÕ·Ò§eÅo¡·Òä´ n 溺 ¨ ÁըҹǹǸeÅo¡ืíŒiaíiÕื·Ò§Ò¹¨¹eÊÃç¨Ê¹ e·Ò¡aº íi é‹12knn... n××× Ç¸ (¹íÒiըҹǹ溺ÁÒ¤Ù³¡a¹) íµaÇoÂÒ§ ÁÕeÊo µÇ æÅ ¡Ò§e¡§ µÇ ¨ ÊÒÁÒö‹ื é3aa4aa¨´e»¹ª´¤Ù¡a¹ä´·§ËÁ´¡Õè溺 ašu‹Œaée¢Õ¹Ǹշe»¹ä»ä´·§ËÁ´ iÕ蚌aée»¹æ¼¹ÀÒ¾µ¹äÁä´´a§¹ šŒŒ ŒÕ龺ÇÒÁÕ¤Ùo¹´aº·æµ¡µÒ§ ‹‹aÕ苡a¹ä´·§ËÁ´ 溺 Œaé12ËÃo¤íҹdz¨Ò¡¡Òõ´Ê¹ã¨eÅo¡ ืaiืÊo§¢aé¹µo¹ ä´æ¡.. Œ ‹- ¢aé¹µo¹æá eÅo¡eÊo ä´ Ç¸ ืื éŒ3iÕ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 292 Ê 1Ê 2Ê 3¡ 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4¡ 1 ¡ 2 ¡ 3¡ 4 à 1 à 2 à 1 à 2 à 1 à 2 à 1 à 2 à 1 à 2 à 1 à 2 - ¢aé¹µo¹·Êo§ eÅo¡¡Ò§e¡§ ä´ Ç¸ ÕèืŒ4iըҹǹ溺·e»¹ä»ä´·§ËÁ´¤o íÕ蚌aéื3412×= 溺¹¹eo§ aèµaÇoÂÒ§ ÁÕeÊo µÇ ¡Ò§e¡§ µÇ æÅ Ão§e·Ò ¤Ù ‹ื é3a4aaŒ2‹¨ ÊÒÁÒö¨´e»¹ª´ (eÊo,¡Ò§e¡§,Ão§e·Ò) ·äÁ«éíÒ¡a¹ä´aašuื éŒÕ苌·§ËÁ´¡Õè溺 aé¤íҹdz¨Ò¡¡Òõ´Ê¹ã¨eÅo¡ÊÒÁ¢aé¹µo¹ ä´æ¡.. aiืŒ ‹- ¢aé¹µo¹æá eÅo¡eÊo ä´ Ç¸ ืื éŒ3iÕ- ¢aé¹µo¹·Êo§ eÅo¡¡Ò§e¡§ ä´ Ç¸ ÕèืŒ4iÕ- ¢aé¹µo¹·ÊÒÁ eÅo¡Ão§e·Ò ä´ Ç¸ ÕèืŒŒ2iÕ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹æºº·e»¹ä»ä´ aéíÕ蚌·§ËÁ´¤o aéื34224× ×= 溺 ËÃoe¢Õ¹漹ÀÒ¾µ¹äÁä´´a§¹Õé ืŒŒ Œ¨ ¾ºÇÒÁռ޸·æµ¡µÒ§¡a¹ a‹aÕè‹ä´·§ËÁ´ 溺 ¹a蹤o Œaé24ื(Ê ,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), (Ê,¡ ,à ), 1 1 11 1 21 2 11 2 2(Ê ,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), (Ê,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), 1 3 11 3 21 4 11 4 2(Ê ,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), (Ê ,¡ ,à ), ... 2 1 12 1 22 2 12 2 2eÃèoÂ仨¹¶§ (Ê ,¡ ,à ) ืึ3 4 2

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 293 A B C A (B,A) C (B,C)A (C,A) B (C,B)B (A,B) C (A,C)ä» ¡Åº ÊÃ»Ç¸Õ auiµaÇoÂÒ§ ÁÕeÃoÇ觢ÒÁ¿Ò¡ ÅÒ ¨ eÅo¡ ´ÂÊÒÃeÃoe·ÂNjืiŒ3íaืoืÕèä»æÅ e·Âǡź (ÅÒã´¡çä´) ä´·§ËÁ´¡Õè溺 aÕèa파aé- ¢aé¹µo¹æá eÅo¡eÃoÅÒ·Õè¨ ´ÂÊÒÃä» ä´ Ç¸Õ ืืíaoŒ3i- ¢aé¹·Êo§ eÅo¡eÃoÅÒ·Õè¨ ´ÂÊÒáź ¡çä´ Ç¸ ÕèืืíaoaŒ3iÕ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹æºº·e»¹ä»ä´·§ËÁ´¤o aéíÕ蚌aéื339× = 溺 µaÇoÂÒ§ ÁÕeÃoÇ觢ÒÁ¿Ò¡ ÅÒ ¨ eÅo¡ ´ÂÊÒÃeÃoä»æŋืiŒ3íaืoืa¡Åº ´Âe·ÂÇä»æÅ ¡ÅºäÁãË«éíÒÅÒ¡a¹ ä´·§ËÁ´¡Õè溺 aoÕèaa‹ ŒíŒaé- ¢aé¹µo¹æá eÅo¡eÃoÅÒ·Õè¨ ´ÂÊÒÃä» ä´ Ç¸Õ ืืíaoŒ3i- ¢aé¹·Êo§ eÅo¡eÃoÅÒ·Õè¨ ´ÂÊÒáź ..ã¹¢aé¹¹Õé¨ÕèืืíaoaaÊÒÁÒöeÅo¡ä´e¾Õ§ ǸeÊÁo (äÁÇÒ¨ ä»´ÇÂÅÒã´) ืŒ2iՋ ‹aŒí´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹æºº·e»¹ä»ä´·§ËÁ´¤o aéíÕ蚌aéื326× = 溺 ÊÁÁµÇÒeÃo·§ÊÒÁªoÇÒ i‹ ืaéื ‹èeÃo ืA, B, C µÒÁÅÒ´aº í¨ e¢Õ¹æÊ´§Ç¸Õ´Ç aiŒæ¼¹ÀÒ¾µ¹äÁä´´a§¹Õé ŒŒ Œ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 294 µaÇoÂÒ§ ¢oÊoº©ººË¹§e»¹æºº»Ã¹Â (¡.-¢.-¤.-§.) ‹Œaึ šèaÁÕ·§ËÁ´ ¢o ¨ ÁÕǸeÅo¡µoº¢oÊoºãˤú·¡¢oä´aé10Œa iÕืŒŒuŒŒ·§ËÁ´¡Õè溺 aéã¹Ê¶Ò¹¡Òó¹ÕéÁÕ¡Òõ´Ê¹ã¨eÅo¡·§ËÁ´ ¢aé¹µo¹ aiืaé10- ¢aé¹µo¹æá eÅo¡µÇeÅo¡·Õè¨ µoº¢o˹§ ä´ Ç¸ ืaืaŒึ èŒ4iÕ- ¢aé¹·Êo§ eÅo¡µÇeÅo¡·Õè¨ µoº¢oÊo§ ¡çä´ Ç¸ ÕèืaืaŒŒ4iÕ- ¢aé¹·ÊÒÁ eÅo¡µÇeÅo¡·Õè¨ µoº¢oÊÒÁ ¡çä´ Ç¸ ... ÕèืaืaŒŒ4iÕä»eÃèo ¨¹¶§¢aé¹µo¹Ê´·Ò eÅo¡µÇeÅo¡·Õè¨ µoºã¹ืæึuŒืaืa¢oʺ ¡çä´ Ç¸eª¹¡a¹ ŒiŒ4iՋ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹æºº·e»¹ä»ä´·§ËÁ´e·Ò¡aº aéíÕ蚌aé‹10444 ... 44× × × × = 溺 µaÇoÂÒ§ ¡Åo§ãºË¹§ÁÕÅ¡ºoŵҧÊÕ¡a¹oÂe»¹¨Ò¹Ç¹ ‹‹ึ èًً ší7Å¡ ÊÁ˺šºoÅoo¡ÁÒ ¤Ãaé§ ¤Ãaé§Å ˹§Å¡ ´ÂÙu ‹iÙ3aึ èÙo˺ÁÒ´ÙÊæÅÇãʡź¤¹ ¨ Áռŷe¡´¢é¹ä´·§ËÁ´¡Õè溺 iՌ ‹aืaÕèiึŒaéÁÕ¡Ò÷ҧҹÊÒÁ¢aé¹µo¹ ¤o íื- ¡ÒÃÊÁ˺¤Ãaé§æá Áռŷe»¹ä»ä´ Ç¸Õ u ‹iÕ蚌7i- ¡ÒÃÊÁ˺¤Ãa駷Êo§ Áռŷe»¹ä»ä´ Ç¸Õ u ‹iÕèÕ蚌7i- æÅ ¡ÒÃÊÁ˺¤Ãaé§Ê´·Ò ¡çe»¹ä»ä´ Ǹeª¹¡a¹ au ‹iuŒšŒ7iՋ´a§¹¹ ¨ e¡´¼Åä´·§ËÁ´ aéa iŒaé777343× × = 溺

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 295 µaÇoÂÒ§ ¡Åo§ãºË¹§ÁÕÅ¡ºoŵҧÊÕ¡a¹oÂe»¹¨Ò¹Ç¹ ‹‹ึ èًً ší7Å¡ ÊÁ˺šºoÅoo¡ÁÒ ¤Ãaé§ ¤Ãaé§Å ˹§Å¡ ´ÂäÁÙu ‹iÙ3aึ èÙo‹µo§ãʡź¤¹ ¨ Áռŷe¡´¢é¹ä´·§ËÁ´¡Õè溺 Œ‹aืaÕèiึŒaéÁÕ¡Ò÷ҧҹÊÒÁ¢aé¹µo¹ ¤o íื- ¡ÒÃÊÁ˺¤Ãaé§æá Áռŷe»¹ä»ä´ Ç¸Õ u ‹iÕ蚌7i- ¡ÒÃÊÁ˺¤Ãa駷Êo§ Áռŷe»¹ä»ä´e¾Õ§ Ǹ u ‹iÕèÕ蚌6iÕ- æÅ ¡ÒÃÊÁ˺¤Ãaé§Ê´·Ò ¨ e»¹ä»ä´e¾Õ§ Ǹ au ‹iuŒašŒ5iÕ´a§¹¹ ¨ e¡´¼Åä´·§ËÁ´ aéa iŒaé76 5210× ×= 溺 2. ¶Ò¡Òùº¨Òe»¹µo§æ¡¤´ËÅÒÂ¡Ã³Õ ¨ µo§¹Ò¼Å·Œaíš Œia ŒíÕèä´ã¹æµÅ ¡Ã³ÕÁҺǡ¡a¹ Œ‹aµaÇoÂÒ§ ¹¡eÃÕ¹¡ÅÁ˹§»Ã ¡oº´ÇªÒ ¤¹ æŋau ‹ึ èaŒ5aË § ¤¹ 㹡ÒÃeÅo¡ËÇ˹ÒæÅ Ão§ËÇ˹ÒËo§oÂÒ§­ i4ืaŒaaŒ Œ‹Å ¤¹¨Ò¡¹¡eÃÕ¹¡ÅÁ¹ ãËe»¹¤¹Å e¾È¡a¹ ¨ ÁÕǸa1au ‹ÕéŒ šaa iÕeÅo¡ä´¡Õè溺 ืŒe§o¹ä¢·ãËÁÒã¹ ¨·Â ¨ e¡´¢é¹ä´ ¡Ã³Õ ื èÕèŒoa iึŒ2¡Ã³Õæá ËÇ˹Òe»¹ªÒ Ão§ËÇ˹Òe»¹Ë § aŒ šaŒ š ­i¨ eÅo¡ä´ aืŒ5420× = 溺 ¡Ã³Õ·Êo§ ËÇ˹Òe»¹Ë § Ão§ËÇ˹Òe»¹ªÒ ÕèaŒ š ­iaŒ š¨ eÅo¡ä´ aืŒ4520 ×= 溺 ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹Ç¸Õ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´ aéíiÕ蚌aé202040+= 溺

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 296 µaÇoÂÒ§ ¡Åo§ãºË¹§ÁÕÅ¡ºoÅ Å¡ æµÅ Å¡e¢Õ¹‹‹ึ èÙ8ًa ÙËÁÒÂeÅ¢ ¶§ ¡íÒ¡aºäÇäÁ«éíÒ¡a¹eÅ ãËËҨҹǹ溺1ึ8Œ ‹Œí·e»¹ä»ä´ã¹¡ÒÃ˺ºoÅ Å¡oo¡ÁÒ¨Ò¡¡Åo§ãº¹ Õ蚌i2ًÕéo´ÂÁÕe§o¹ä¢ÇÒ ¶ÒºoÅÅ¡æáe»¹eÅ¢¤Õè¨ ãʡź¤¹¡o¹ื 苌ٚa‹aื ‹Ëºo¡Å¡ 浶Òe»¹eÅ¢¤Ù¨ ˺o¡Å¡eÅ ´ÂäÁãÊiÕً Œ š‹a iÕÙo‹ ‹¡Åº¤¹ aืe§o¹ä¢·ãËÁÒã¹ ¨·Â ¨ e¡´¢é¹ä´ ¡Ã³Õ ื èÕèŒoa iึŒ2¡Ã³Õæá ºoÅÅ¡æá˺ä´eÅ¢¤Õè ÙiŒ¨ e»¹ä»ä´ ašŒ4832× = 溺 ¡Ã³Õ·Êo§ ºoÅÅ¡æá˺ä´eÅ¢¤Ù ÕèÙiŒ‹¨ e»¹ä»ä´ ašŒ4728× = 溺 ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹Ç¸Õ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´ aéíiÕ蚌aé322860+= 溺 3. e¤Ãèo§ËÁÒ eÃÕ¡ÇÒ濤·oeÃÕÂÅ ÁÕ¹ÂÒÁÇÒ ื!‹i‹n!1 2 34 ... n= ××××× eÁèo e»¹¨Ò¹Ç¹¹º ืnšía ¨Ò¹Ç¹Ç¸eÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§µÒ§ ¡a¹ Êè§ •íiÕaÕèi è‹ænie·Ò¡aº Ǹ ‹n!iÕµaÇoÂÒ§ 㹡Òùe¢Òæ¶Ç«éoµÇªÁÀҾ¹µÃ Å¡¤Ò㹋ืŒืaëÙŒæ¶Ç«è§ÁÕ ¤¹ ¨ ÊÒÁÒöÊź·Õè¡a¹ä´·§ËÁ´¡ÕèÃٻ溺 ึ4aaŒaée»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§µÒ§ ¡a¹ ʧ ืaÕèi è‹æ4i 訧ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´ ึíŒaé4!1 23424=⋅ ⋅ ⋅= 溺

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 297 ËÃo¤´¨Ò¡¡®¾é¹°Ò¹ ´ÂµÃ§ä´´a§¹Õé ืiืoŒÁÕ¡Ò÷ҧҹÊÕè¢aé¹µo¹ ¤o íื- eÅo¡¤¹·Õè¨ Â¹ËÇæ¶Ç e»¹ä»ä´ Ç¸Õ ืa ืašŒ4i- ¨Ò¡¹¹eÅo¡¤¹·Õè¨ Â¹µÒæ˹§·Êo§ e»¹ä»ä´ Ç¸Õ aéืa ืí‹Õ蚌3i- ¨Ò¡¹¹eÅo¡¤¹·Õè¨ Â¹µÒæ˹§·ÊÒÁ e»¹ä»ä´ Ç¸Õ aéืa ืí‹Õ蚌2i- æÅ eÅo¡¤¹·Õè¨ Â¹µÒæ˹§Ê´·Ò e»¹ä»ä´ Ç¸Õ aืa ืí‹uŒšŒ1i´a§¹¹ ¨ e¡´¼Åä´·§ËÁ´ aéa iŒaé43 2124××× = 溺 µaÇoÂÒ§ ¡Òè´Êź·ÕèµÇo¡ÉÃ㹤íÒÇÒ ‹aaaa‹teaching ( ´ÂoäÁ¤íÒ¹§¶§¤ÇÒÁËÁÒÂ) ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´¡Õè溺 ‹ึ ึíŒaée»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§µÒ§ ¡a¹ ʧ ืaÕèi è‹æ8i è(ËÁÒ¶§ µÇo¡ÉÃ) ึ8aa¨§ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´ ึíŒaé8!40320 = 溺 ËÃo¤´¨Ò¡¡®¾é¹°Ò¹ ´ÂµÃ§¡çä´ (ÁÕ¡Ò÷ҧҹ ืiืoŒí8¢aé¹µo¹ ¤oeÅo¡µÇo¡ÉÃÇҧŧ㹪o§ÇÒ§·ÕÅ µaÇ ) ื ืaa‹‹a æµaÇoÂÒ§ ¡Òè´Êź·ÕèµÇo¡ÉÃ㹤íÒÇÒ ‹aaaa‹teaching ´Â·oÕè¾Â ª¹ oµÒæ˹§ã´¡çä´ æµÊà µo§oµ´¡a¹·§ËÁ´ a­aÙ ‹í‹Œ‹a ŒÙ ‹iaé¨ ÊÒÁÒö·Òä´¡Õè溺 aíŒã¹¤íÒ· ¨·ÂãËÁÒ ÁÕÊà ä´æ¡ Õèo ŒaŒ ‹e, a, i ..ÃÇÁ µÇ 3aæÅ ¾Â ª¹ ä´æ¡ aa­aŒ ‹t, c, h, n, g ..ÃÇÁ µÇ 5a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 298 ËÅ¡¡Òä´¤oÁo§Êà µÇ¶Ù¡Áa´µ´¡a¹e»¹Ê§¢o§ªé¹aiืa3aiši èie´ÕÂÇ Êǹ¾Â ª¹ æ¡¡a¹oÊà e»¹Ê§¢o§ ª¹ ‹a­ai aši è5i é- ¢aé¹µo¹æá eÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§µÒ§¡a¹ ª¹ ä´æ¡ aÕèi è‹6i éŒ ‹“ ”eai , t, c, h, n, g ¨ ·Òä´·§ËÁ´ a íŒaé6!720= 溺 - ¢aé¹·Êo§ äÁÇÒã¹¢aé¹æᨠe¡´¼Å溺㴠§ÊÒÁÒö¨a´Õè‹ ‹a iaÊź·Õèà ËÇÒ§Êà ÀÒÂ㹡ÅÁä´ aa‹au ‹Œ3!6= 溺 eÊÁo (¹¹¤o aèืeai, eia, iea, iae, aei, aie) ´a§¹¹ ¨ e¡´¼Åä´·§ËÁ´ aéa iŒaé72064320× = 溺 4. e·¤¹¤¡Òùº ia ºÒ§¤Ãa駶ҾºÇҨҹǹ¡Ã³ÕÁÕÁÒ¡ ¤ÇÃÅo§¤´ÁuÁ•Œ‹íi¡Åº ¤oãªÇ¸Õ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´Åº´ÇÂǸ·äÁµo§¡Òà aืŒiÕ蚌aéŒiÕÕè‹ Œ¡Òä´æºº¹oÒ¨ªÇÂãˤíҹdz§ÒÂ¢é¹ iÕ鋌‹ึµaÇoÂÒ§ 㹶u§ÁÕºoÅ Å¡ e»¹Ê¢ÒÇ Å¡ ¹o¡¹a鹋8ٚÕ3Ùe»¹ÊÕoè¹ µo§¡ÒÃ˺šºoÅoo¡ÁÒ·ÕÅ Å¡e»¹¨Ò¹Ç¹ šืæŒiÙa ٚí4 ¤Ãaé§ ãËä´Ê¢ÒÇoÂÒ§¹o ¤Ãaé§ ¨ e»¹ä»ä´¡Õè溺 Œ ŒÕ‹Œ1ašŒ¶Ò¤íҹdz ´ÂµÃ§ ¨ µo§æ¡¡Ã³ÕËÅÒ¡ËÅÒÂÁÒ¡ Œoa Œæ(¤o¡Ã³Õ·ä´Ê¢ÒǤÃaé§e´ÕÂÇ, ä´Ê¢ÒÇÊo§¤Ãaé§, æÅ ä´Ê¢ÒÇืÕèŒÕŒÕaŒÕÊÒÁ¤Ãaé§ ..«è§ã¹æµÅ ¡Ã³Õ§µo§æ¡ÂoÂä»o¡´ÇÂÇÒ ä´Êึ‹aaŒ‹ÕŒ‹ŒÕ¢ÒÇ㹤Ãa駷e·Òã´ºÒ§) Õ苌

พื้นฐาน บทท ความน่าจะเป็นี่ 2 299 ¨§¤íҹdz¨Ò¡ Ǹշ§ËÁ´ ź´Ç ǸշäÁä´Ê¢ÒÇeÅ ึ“ ia锌“ iÕè‹ ŒÕ”- Ǹշ§ËÁ´·e¡´¢é¹ä´ e·Ò¡aº iaéÕèiึŒ ‹876336××= 溺 - ǸշäÁä´Ê¢ÒÇeÅ ¤o˺e©¾Ò ÊÕo¹ e·Ò¹¹ iÕè‹ ŒÕืiaื èæ‹aée·Ò¡aº ‹54360× × = 溺 ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹Ç¸Õ·Õèµo§¡Òà (˺ä´Ê¢ÒÇoÂÒ§¹o aéíiŒiŒÕ‹Œ1¤Ãaé§) ¨ ÁÕo aÙ ‹33660276−= 溺 µaÇoÂÒ§ ¡ÒÃÊÃÒ§¨Ò¹Ç¹ ËÅ¡¨Ò¡eÅ¢ ´´ ¶§ ‹Œí4ao0ึ9o´ÂæµÅ ËÅ¡¨ µo§ÁÕ¡ÒÃ㪵ÇeÅ¢«éíÒ¡a¹ (¤o«éíÒ¡a¹ ‹aaa ŒŒaื2ËÅ¡¢é¹ä») ¨ ÊÃҧ䴷§ËÁ´¡Õè¨Ò¹Ç¹ aึaŒŒaéí¤íҹdz¨Ò¡ Ǹշ§ËÁ´ ź´Ç ǸշäÁÁÕeÅ¢«éíÒeÅ “ ia锌“ iÕ苔- Ǹշ§ËÁ´·e¡´¢é¹ä´ (ËÅ¡¾a¹µo§äÁe»¹eÅ¢ ) iaéÕèiึŒaŒ‹ š0e·Ò¡aº ‹91010109000×××= 溺 - ǸշäÁÁÕeÅ¢«éíÒeÅ e·Ò¡aº iÕ苋99 8 74536×××=溺 ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹Ç¸Õ·Õèµo§¡Òà (ÁÕ¡ÒÃ㪵ÇeÅ¢«éíÒ¡a¹) ¨ ÁÕo aéíiŒŒaaÙ ‹900045364464−= 溺 5. ¡Ò÷´Åo§ÊÁ ¤o¡Òáà ·Ò·eÃÒäÁÊÒÁÒöºo¡ä´“u‹ ” ืa íÕ苌ÇÒ¤Ãa駶a´ä»¨ e¡´¼Åž¸o äà æµÊÒÁÒöºo¡ä´ÇÒÁՋa iaa‹Œ ‹¼Åž¸o äúҧ·ÕèÁÕ o¡ÒÊe»¹ä»ä´ aaŒošŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 300 e«µ¢o§ ¼Åž¸·e»¹ä»ä´·§ËÁ´ eÃÕ¡ÇÒ »ÃÀÙÁ•“aÕ蚌a锋i iµÇoÂÒ§ ËÃoæ«Áe»ÅÊe»« æÅ e«µ¢o§ ¼Åž¸ã´ a‹ื(S)a“aæ·eÃÒʹ㨠eÃÕ¡ÇÒ e˵¡Òó Õ蔋u(E) µaÇoÂÒ§ ¡Ò÷o´Å¡eµÒ˹§Å¡Ë¹§¤Ãaé§ æŠʹã¨æµÁ·‹ÙŽึ èÙึ èaŒÕè˧Ò ¶oe»¹¡Ò÷´Åo§ÊÁ e¾ÃÒ eÃÒ·ÃÒºÇÒÁռ޸·ืšu ‹a‹aÕèe»¹ä»ä´ÀÒÂã¹æµÁ šŒŒ1, 2, 3, 4, 5, ËÃo e·Ò¹¹ æÅื6‹aéaäÁÊÒÁÒöe¨Ò ¨§ä´ÇÒ㹡Ò÷o´æµÅ ¤Ãa駨 oo¡æµÁã´ ‹aŒ ‹‹aaŒã¹¡Ò÷´Åo§ÊÁ¹ æ«Áe»ÅÊe»«¤o u ‹ÕéืS{1,2,3,4,5,6} =¶Ò e»¹e˵¡Òó·Ë§ÒÂæµÁ¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ¤Õè ŒEšuÕèŒía¨ ä´ aŒE{3,5} =æµ¶Ò e»¹e˵¡Òó·æµÁµÒ¡ÇÒ ¡ç¨ ä´ ‹ ŒEšuÕèŒèí‹1aŒE=∅** e«µ e»¹Êºe«µ¢o§ eÊÁo EšaSµaÇoÂÒ§ ¡Òà ¹eËÃÕ ºÒ·ÊÒÁ¤Ãaé§ æŠʹ㨴ҹ·‹o­aŒÕè˧Ò ¶oe»¹¡Ò÷´Åo§ÊÁ e¾ÃÒ eÃÒ·ÃÒºÇÒÁռ޸·ืšu ‹a‹aÕèe»¹ä»ä´ 溺e·Ò¹aé¹ ´Âe¢Õ¹æ«Áe»ÅÊe»«ä´´a§¹Õé šŒ8‹oŒ{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}æÅ eÃÒäÁÊÒÁÒöe¨Ò ¨§ä´ÇÒ ã¹¡Òà ¹æµÅ ¤Ãa駨 e¡´a‹aŒ ‹o‹aa i¼Åž¸æººã´¢é¹ aึ