รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ451 7. ÊÁºµ¢o§Ê§Â¤ aiau(1)zz = ¡çµoeÁèo e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§e·Ò¹¹ ‹ ืzší‹a é(2)zz = eÊÁo (3) 模樧e¢ÒÀÒÂã¹eŢ¡¡íÒÅ§ä´ ŒaŒ11(z ) (z)−− = æÅa nn(z ) (z)= eÁèo n e»¹¨Ò¹Ç¹¹º ืšía(4) 模樧e¢ÒÃaËÇÒ§¡ÒÃºÇ¡Åºä´ Œ‹Œ1212zzzz±=±(5) 模樧e¢ÒÃaËÇÒ§¡ÒäٳËÒÃä´ Œ‹Œ1212zzzz= æÅa 1212zzzz÷=÷µÇoÂÒ§ ʧ¤¢o§ a‹au(2 3i)( 1 i)(3i 2) (5i)+−− −+ ¤o ื(2 3i)( 1 i)(3i 2) (5i) −−+−− + −µÇoÂÒ§ ãËËÒa‹Œ12 z −eÁèo ื122zzzi−= æÅa1 z1 2i =+¨Ò¡ 122zzzi−= ..桵ǻÃa¡oºä´ aŒ21 z(z1)i− =¹¹¤o a èื21izz1=−ãÊʧ¤·§Êo§¢Ò§¢o§ÊÁ¡Òà ä´e»¹ ‹aua 錌 š21izz1 − =−´§¹¹ËÒo¹eÇoÃÊä´e»¹ a aéiŒ š112z12iz2ii−−=== −−−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 452 8. ¤ÒÊÁºÃ³¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§æÅa¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ã´ ‹aُííŒæ¤oÃaÂaËÒ§¨Ò¡¨´¹¹ä»¶§¨´¡íÒe¹´ ื‹ua éึui(0,0)´§¹¹ a aé22zabia b+==+µÇoÂÒ§ ¤ÒÊÁºÃ³¢o§ ¤o a‹‹aُ5ื5 (ÃaÂa·Ò§¨Ò¡¨´ u(5,0) ä»Â§¨´¡íÒe¹´) aui¤ÒÊÁºÃ³¢o§ ‹aُ3i− ¤o ื3 (ÃaÂa·Ò§¨Ò¡¨´ u(0, 3)- ä»Â§¨´¡íÒe¹´) auie¢Õ¹e»¹Ê šɳä´ÇÒ š ­a a Œ ‹55= æÅa 3i3−=µÇoÂÒ§ ¤ÒÊÁºÃ³¢o§ a‹‹aُ23i + ¤o ื222313+=(ÃaÂa·Ò§¨Ò¡¨´ u(2,3) ä»Â§¨´¡íÒe¹´) aui¤ÒÊÁºÃ³¢o§ ‹aُ34i − ¤o ื223( 4)5+−=(ÃaÂa·Ò§¨Ò¡¨´ u(3, 4)- ä»Â§¨´¡íÒe¹´) aui¤ÒÊÁºÃ³¢o§ ‹aُ1i −− ¤o ื22(1)(1)2−+− =(ÃaÂa·Ò§¨Ò¡¨´ u( 1, 1)- - ä»Â§¨´¡íÒe¹´) auie¢Õ¹e»¹Ê šɳä´ÇÒ š ­a a Œ ‹23i13 , 34 i+=5−=æÅa 1i2 −− =

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ453 9. ÊÁºµ¢o§¤ÒÊÁºÃ³ ai‹aُ(1)z0> eÊÁo (2)2zzz⋅= eÊÁo (ÁÕ¤Òe»¹ ‹ š22ab + eª¹e´ÕÂÇ¡¹) ‹a(3)zzz−== eÊÁo (ÁÕ¤Òe»¹ ‹ š22ab + eª¹e´ÕÂÇ¡¹) ‹a(4) 模樧e¢ÒÀÒÂã¹eŢ¡¡íÒŧ (æÅaoi¹eÇoÃÊ) ä´ ŒaŒ11zz−−= æÅa nnzz= eÁèo n e»¹¨Ò¹Ç¹¹º ืšía(5) 模樧e¢ÒÃaËÇÒ§¡ÒäٳËÒÃä´ Œ‹Œ1212zzz z = æÅa 1212zzzz÷=÷** ·ÕèÊÒ¤ ¤o¤ÒÊÁºÃ³æ¨¡æ¨§eÁèoÁÕ¡ÒúǡźäÁä´ ía­ ื ‹aُื‹ ŒµÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ a‹‹z eÁèo ื32(2 2 3 i)(3 4i)z(2 i) (1 i)−+ =−+¤i´ä´´§¹ ŒaÕé1/231/232222 3 i34 i(2 2 3 i)(3 4i)(2 i) (1 i)2i1 i− ++− =−+−+ 1/232(4) (5)25 2(5) (2)==

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 454 O z (a,b) re r θim a b µÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ a‹‹z eÁèo ื562i(13 i)(12 i)−+ +¤i´ä´´§¹Õé Œa55662i 13 i2i(13 i)(12 i)12 i−+−+=++56(2)(2)6481(3)== 10. ¡ÒÃoÒ§¶§¾i¡´ Œึa(a,b) ¢o§¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ oÒ¨¨a팡ÅÒÇä´o¡æººe»¹ ‹ŒÕš(r, )θ ´Â·Õè æ·¹ ÃaÂaËÒ§¨Ò¡or“‹¨´¡íÒe¹i´ æÅa æ·¹ ·È·Ò§ ËÃooÒáiÇeÁ¹µ u”θ“ iื”(ÁuÁÇ´·Ç¹e¢çÁ¨Ò¡æ¡¹ ) eÃÕ¡Ãٻ溺¹ÕéÇÒÃÙ»eª§¢éÇ a+x‹ia«è§¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸ÃaËÇÒ§Êo§Ãaºº¹e»¹´§¹ ึa a‹ÕéšaÕéar cos=θ22zrab=+=br sin=θbatanθ=

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ455 e¢Õ¹¨Ò¹Ç¹ •ízabi= + ã¹Ãٻ溺eªi§¢éÇä´ÇÒ aŒ ‹z(rcos ) (rsin )i=θ +θËÃo¨´ÃÙ»ä´e»¹ ืaŒ šzr(cosi sin )=θ +θ(«è§ÊÒÁÒö¡ÅÒÇÇÒ ึ‹ ‹rAbs (z) = æÅa Arg (z) θ= ä´) Œ** ºÒ§µÒÃÒãªÊ šɳ íŒ ­a azr=∠θ ËÃo ืzr cis=θ e¾èo¤ÇÒÁÊa´Ç¡ã¹¡ÒÃe¢Õ¹æÅa¤íҹdz ืµÇoÂÒ§ ãËe¢Õ¹¨Ò¹Ç¹µo仹ã¹ÃÙ»eª§¢éÇ a‹Œí‹Õéia•5e¹o§¨Ò¡¨Ò¹Ç¹ o·Õè¾i¡´ ื èí5Ù ‹a(5,0)¨§ä´ ึ Œr55== æÅaÁuÁ 0 θ= °..ÊÃu»ÇÒ ‹55(cos 0i sin0 )=° +° (ËÃoe¢Õ¹Âo ÇÒ ื‹æ‹50 ∠° ..ËÃo ื5cis 0°) •3i−e¹o§¨Ò¡¨Ò¹Ç¹ ื èí3i− o·Õè¾i¡´ Ù ‹a(0, 3)-¨§ä´ ึ Œr3i3=−= æÅaÁuÁ 270θ=°..ÊÃu»ÇÒ ‹3i3(cos 270i sin270 )−=° + °(ËÃoe¢Õ¹Âo ÇÒ ื‹æ‹3270 ∠° ..ËÃo ื3cis 270°) •22i +e¹o§¨Ò¡¨Ò¹Ç¹ ื èí22i + o·Õè¾i¡´ Ù ‹a(2,2)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 456 ¨aä´ Œ22r222 2=+= æÅa 22tan1θ==o´Â¨´¹oÂ㹤Ço´Ã¹µ·Õè ´§¹é¹ÁuÁ uÕéÙ ‹a1a a45 θ=°..ÊÃu»ÇÒ ‹22i2 2(cos 45i sin45 )+=° + °(ËÃoe¢Õ¹Âo ÇÒ ื‹æ‹2245∠ ° ..ËÃo ื22 cis 45°) •3i−+e¹o§¨Ò¡¨Ò¹Ç¹ ื èí3i−+ o·Õè¾i¡´ Ù ‹a(3,1) −¨aä´ Œ22r(3)12=− += æÅa 13tan− θ=o´Â¨´¹oÂ㹤Ço´Ã¹µ·Õè ´§¹é¹ÁuÁ uÕéÙ ‹a2a a150θ=°..ÊÃu»ÇÒ ‹3 i2(cos150i sin150 )−+=° + °(ËÃoe¢Õ¹Âo ÇÒ ื‹æ‹2150 ∠ ° ..ËÃo ื2cis 150°) µÇoÂÒ§ ãËe¢Õ¹¨Ò¹Ç¹µo仹ã¹ÃÙ» a‹Œí‹Õéabi+•5(cos 0i sin0 ) °+°æ·¹¤Ò¢o§ ‹cos æÅa ŧä».. ä´¼Åe»¹ sinŒš5(cos 0i sin0 )5(1 i (0))5°+° =+=•3(cos270i sin270 ) °+°æ·¹¤Ò¢o§ ‹cos æÅa ŧä».. ä´¼Åe»¹ sinŒš3(cos270i sin270 )3(0i ( 1))3i°+° =+−= −

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ457 •2 2(cos 45i sin45 ) °+°æ·¹¤Ò¢o§ ‹cos æÅa ŧä».. ä´¼Åe»¹ sinŒš11222 2(cos 45i sin45 )2 2(i ())°+° =+22i =+•2(cos150i sin150 ) °+°æ·¹¤Ò¢o§ ‹cos æÅa ŧä».. ä´¼Åe»¹ sinŒš31222(cos150i sin150 )2(i ( ))°+° =−+3i =−+11. ÃÙ»eª§¢éÇÊÒÁÒö¹ÒÁÒ㪻Ãa ª¹ã¹¡Òäٳ ËÒà ¡iaíŒo¡íÒŧ æÅa¶o´ÃÒ¡¢o§¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ ä´Êa´Ç¡ a파o´ÂÁÕ·Äɮմ§¹Õé a ¶Ò • Œ1111zr (cosi sin )=θ +θ æÅa 2222zr (cosi sin)=θ +θ æÅÇ Œ(1) ¡Òäٳ 1 21 21212z zrr (cos() i sin())=θ +θ +θ +θ(2) ¡ÒÃËÒà =θ − θ +θ − θ11121222zr( )(cos()i sin())zr(3) ¡Òá¡íÒŧ (eÃÕ¡ÇÒ ·Äɮպ·¢o§e´oÁÇ¿) a‹aŠnnzr (cos(n )i sin(n ))=θ +θ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 458 µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ1 z2 2 3 i =+ æÅa 2 z3 i =−+ãËoÒÈÂÃÙ»eª§¢éÇe¾èoËÒ¤Ò¢o§ Œaiaื‹12 zz æÅa 12zzæ»Å§ æÅa ãËoÂÙã¹ÃÙ»eªi§¢éÇä´´§¹Õé 1 z2 zŒ ‹aŒa221 z2(2 3)4=+ = æÅaÁÕÁuÁe·Ò¡º ‹a60°222 z( 3)12=+= æÅaÁÕÁuÁe·Ò¡º ‹a150°´§¹¹ a aé1 z4 60 =∠° æÅa 2 z2 150 =∠°¨aä´ Œ12 z z(4 2) (60150 )8 210=⋅∠ ° + °=∠ °¹¹¤o a èื8(cos 210isin210 )4 3 4 i°+° = −−æÅa¨aä´ Œ=∠° −°=∠−°1242z( ) (60150 )2 ( 90 )z«è§¡ç¤o ึื2i− (e¾ÃÒaÇÒÁuÁ ‹90− ° ¤o ืi−) µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œz3 i =−+ãËoÒÈÂÃÙ»eª§¢éÇe¾èoËÒ¤Ò¢o§ Œaiaื‹4zæ»Å§e»¹ÃÙ»eª§¢éÇä´ šiaŒz 2 150=∠°ãª·Äɮպ·¢o§e´oÁÇ¿ ä´e»¹ ŒaŠŒ š=∠ ° ⋅=∠ ° =∠ °44z2(150 4)16 60016 240¹¹¤o a èื16(cos240isin240 )8 8 3 i°+° = − −

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ459 430∠ °12. ¡Òöo´ÃÒ¡·Õè ¢o§ ¨aÁÕoÂÙ ¤íÒµoºeÊÁo nz‹ne¾ÃÒaÁÒ¨Ò¡ÊÁ¡Òà ÃÒ¡n()z = ¶Ò • Œzr(cosi sin )=θ +θ ¨aä´.. ŒÃÒ¡·Õè ¢o§ ¤íÒµoºæá¤o nzื+θθ nnnr(cos( )i sin( ))æÅa¤íÒµoº·eËÅo¨aÁÕ¢¹Ò´e»¹ Õèืšnr e·Ò¡¹ËÁ´ 浨a‹a‹o·ÕèÁuÁµÒ§¡¹ «è§ËÒ¤ÒÁuÁä´¨Ò¡¡ÒÃ溧ǧ¡ÅÁ Ù ‹‹aึ‹Œ‹360°oo¡e»¹ Êǹe·Ò ¡¹ ´ÂÁÕÁuÁ ¹Õée»¹¨u´ Ë¹è§ šn‹‹æ a on θšæึ㹺ÃôҤíÒµoº´Ç ŒµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œz64i= ãËËÒÃÒ¡·ÊÒÁ·§ËÁ´¢o§ ŒÕèa ézæ»Å§e»¹eª§¢éÇ ä´ šiaŒz64 90=∠°´§¹¹ÃÒ¡·ÊÒÁ (¤íÒµoºæá) a aéÕè¤o ื1/364(90 /3)4 30∠ ° =∠° ¹¹¤o a èื23 2i+o¡Êo§¤íÒµoºËÒä´ ´ÂºÇ¡ÁuÁe¢Òä» ÕŒoŒe¾èoãËe¡i´¡Òõ´æº§Ç§¡ÅÁ ืŒa‹(¢¹Ò´ÃÈÁÕ Ë¹ÇÂ) oo¡ a4‹e»¹ Êǹe·Ò ¡¹ š3‹‹æ a..¹¹¤o ÊǹÅa a èื‹120 o§ÈÒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 460 230∠ °´§¹¹¤íÒµoº·Êo§¤o a aéÕèื4(30120 )4150∠ ° + °=∠ °¹¹¤o a èื23 2i−+æÅa¤íÒµoº·ÊÒÁ¤o Õèื4 (150120 )4 270∠° +°=∠°¹¹¤o a èื4i−ÊÃu»ÃÒ¡·§ÊÒÁ ä´æ¡ a éŒ ‹23 2i , 23 2i , 4i+ −+ −µÇoÂÒ§ ãËËÒÃÒ¡·ÕèÊ·§ËÁ´¢o§ a‹ŒÕèa éz2 2 3 i =− +æ»Å§e»¹eª§¢éÇ ä´ šiaŒz4 120 =∠°´§¹¹ÃÒ¡·ÕèÊ (¤íÒµoºæá) a aéÕè¤o ื1/44(120 /4)2 30∠°=∠° ¹¹¤o a èื6222i+o¡ÊÒÁ¤íÒµoºËÒä´ ´ÂºÇ¡ÁuÁe¢Òä» ÕŒoŒe¾èoãËe¡i´¡Òõ´æº§Ç§¡ÅÁÃÈÁÕ ืŒa‹a2 ˹Ç oo¡e»¹ Êǹe·Ò ‹š4‹‹æ¡¹ ..¹¹¤o ÊǹÅa o§ÈÒ aa èื‹90´§¹¹¤íÒµoº·Êo§¤o a aéÕèื2 120 ∠ ° ¹¹¤o a èื6222i−+¤íÒµoº·ÊÒÁ¤o Õèื2210 ∠ ° ¹¹¤o a èื6222i−−æÅa¤íÒµoº·ÕèÊÕè¤o ื2300 ∠ ° ¹¹¤o a èื6222i−ÊÃu»ÃÒ¡·§Ê ä´æ¡ a éÕèŒ ‹()6222i ,±+ æÅa () 6222i±−

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ461 13. ÊÁ¡Òþ˹ÒÁ´Õ¡ÃÕ ¨aoÂã¹ÃÙ» unÙ ‹nn 1n 2nn 1n 20a x a xax... a0−−−− + + ++=æÅa¨aËÒ¤íÒµoºä´ ¤íÒµoºeÊÁo (¹º¤Ò·Õè«éíÒ¡¹´ÇÂ) Œna‹aŒ ã¹ ¤íÒµoº¹ oÒ¨e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§æÅa¨Ò¹Ç¹•nÕéšííeª§«o¹»¹¡¹o eÁèo桤íÒµoº·e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§oo¡¨¹iŒaً ืÕèšíeËÅoe¾Õ§´Õ¡ÃÕÊo§ æÅÇoÒÈÂʵà ืŒaÙ2BB4AC2Ax−±−= ¡ç¨aËÒ¤íÒµoº·eËÅo«è§e»¹¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹ä´ Õèื ึ šíŒŒµÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¢o§¤íÒµoº·§ËÁ´¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œa é2x4x 70++=桵ǻÃa¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ¨§ãªÊµÃ´§¹ a‹íึ ŒÙaÕé22444(1)(7)BB4AC4122A2(1)2x−±−−±−−± −=== 42 3223−±−== − ± − 23 i =− ±´§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o a aéื{ 23i, 23i}−+−−** ËÒ¡äÁµo§¡ÒÃãªÊµÃ ¨a¤i´ ´Â¡Òè´¡íÒŧÊo§‹ ŒŒÙoaaÊÁºÃ³¡çä´ eª¹ã¹¢o¹ ¨Ò¡ ُŒ ‹ŒÕé2x4x 70++=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 462 ¨aä´ Œ2x4x474++=−+¹¹¤o a èื2(x 2)3+= −¶o´ÃÒ¡·Êo§ä´e»¹ ÕèŒ šx23+= ± −´§¹¹ a aéx2323 i=− ± −=− ±µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¢o§¤íÒµoº·§ËÁ´¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œa é32x3x9x 130− ++=ãªÇi¸æ¡µÇ»Ãa¡oºã´ (eª¹ ¡ÒÃËÒÃʧe¤ÃÒaË) ŒÕaæ‹a¨aä´¼Åe»¹ Œš2(x 1)(x4x 13)0+−+=«è§Ç§eźËŧÁÕ´Õ¡ÃÕÊo§ æµæ¡µÇ»Ãa¡oºã¹ã¨äÁÊÒeÃç¨ ึça‹a‹í¨§ãªÊµÃä´ÇÒ ึ ŒÙŒ ‹24( 4)4(1)(13)2(1)x±−−=4364 6i2223i±−±=== ±´§¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒùÕé¤o a aéื−+ −{ 1, 2 3i, 2 3i} ¨Ò¡ÊµÃ •Ù2BB4AC2Ax−±−= ·ÒãË·ÃÒºÇÒ íŒ‹ã¹ÊÁ¡Ò÷ÕèÊÁ»ÃaÊ·¸·§ËÁ´e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ aiiìa éší¶Ò Œabi+ e»¹¤íÒµoºË¹§¢o§ÊÁ¡ÒÃæÅÇ ¨aµo§ÁÕ šึ 茌ʧ¤¤o auืabi− e»¹o¡¤íÒµoºË¹§´ÇÂeÊÁo šÕึ Œè

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ463 µÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¢o§¤íÒµoº·§ËÁ´¢o§ÊÁ¡Òà a‹Œa é432x3x6x6x 40−+−+=eÁèo·ÃÒºÇÒÁÕ ื‹1i + e»¹¤íÒµoºË¹§ šึ èÊÁ¡ÒÃã¹ ¨·Â¢o¹ ÁÕÊÁ»ÃaÊ·¸iì·§ËÁ´e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ o ŒÕéaia éší¡ÒÃÁÕ 1i + e»¹¤íÒµoºË¹§ ¨§·ÃÒºÇÒµo§ÁÕ šึ èึ‹ Œ1i − e»¹šo¡¤íÒµoº´ÇÂ.. ¹¹¤oÁÕ ÕŒa èื(x (1 i))(x (1 i))−+− − e»¹šµÇ»Ãa¡oº¢o§¾Ë¹ÒÁ auæÅae¹o§¨Ò¡ ื è(x (1 i))(x (1 i))(x 1 i)(x 1 i)−+− −=− −− +2x2x 2=− +¨§¹Ò ึí2x2x 2−+ ä»ËÒþ˹ÒÁã¹ ¨·Â e¾èo桵Çuo ืa»Ãa¡oº (ËÒà ´Â¡Òõ§ËÒÃÂÒÇ) ä´¼Åe»¹.. oa 錚22(x2x 2)(xx 2)0−+ −+=¨Ò¡¹¹ËÒÊo§¤íÒµoº·eËÅo䴨ҡʵà a éÕèืŒÙ21( 1)4(1)(2)17712(1)222xi±−−±−=== ±´§¹¹ e«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒùÕé¡ç¤o a aéื77112222{1 i, 1 i,i,i}+− + −

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 464 µÇoÂÒ§ ãËËҼźǡ¢o§¤ÒÊÁºÃ³¢o§ÃÒ¡ÊÁ¡Òà a‹Œ‹aُ54x3ix4x 12i0−+−=¨´¡ÅÁ¾Ë¹ÒÁ´§¹Õé au ‹ua54(x3ix ) (4x 12i)0−+−=¨aä´ Œ4x (x3i)4 (x3i)0−+ −= æÊ´§ÇÒ µÇ»Ãa¡oº¤o ‹aื4(x4)(x 3i)0+−=´§¹¹ a aéx3i= ËÃo ื4x4=−¤íÒµoº x3i= ÁÕ¤ÒÊÁºÃ³e·Ò¡º ‹aُ ‹a3Êǹo¡ ¤íÒµoº e»¹ÃÒ¡·ÕèÊ¢o§ ‹Õ4šÕè44 180− =∠ °·u¡ ¤íÒµoº¨§µo§ÁÕ¤ÒÊÁºÃ³e·Ò¡º æึ Œ‹aُ ‹a442 =´§¹¹¼ÅºÇ¡¤ÒÊÁºÃ³ a aé‹aُ32222=++++34 2 =+ËÁÒÂe˵u ÊÁ¡ÒùÕéÁÕ e»¹¤íÒµoº æµäÁÁÕʧ¤¤o 3iš‹ ‹auื3i− e»¹¤íÒµoº´ÇÂ.. ¡çe¾ÃÒaÇÒÊÁ»ÃaÊ·¸¢o§¾Ë¹ÒÁšŒ‹aiiìuäÁä´e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§·§ËÁ´ ‹ Œ šía é14. ·Äɮպ·eÈÉeËÅo æÅa·Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº (ËÒÃŧืaµÇ) ¢o§¾Ë¹ÒÁ ·e¤Âä´È¡ÉÒã¹eÃèo§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ §¤§auÕèŒ ึืíaãªä´¡º¨Ò¹Ç¹eªi§«o¹´Ç (¡ÒÃËÒÃʧe¤ÃÒaË¡ç§ãªä´Œ Œa파aaŒ Œeª¹¡¹) ‹a

เพิ่มเติม บทท จานวนเชงซ้อนี่ 1 ํิ465 µÇoÂÒ§ ¶Ò¾Ë¹ÒÁ a‹Œu32x(5 2i)x(7 10i)xk− − + − +ËÒôÇ Œx2i + ŧµÇ æÊ´§ÇÒ¤Ò e·Ò¡ºe·Òã´ a‹ ‹k‹a‹¨Ò¡·Äɮպ·µÇ»Ãa¡oº.. ¶Ò¾Ë¹ÒÁ aŒup(x) ËÒôÇ Œx2i + ŧµÇ ¡çæÊ´§ÇÒ a‹p( 2i)0−=¹¹¤o a èื32( 2i)(5 2i)( 2i)(7 10i)( 2i) k 0−−−−+− −+=¨aä´¤íÒµoºe»¹ Œšk14i=µÇoÂÒ§ ãË a‹Œp(x) e»¹¿§¡ª¹¾Ë¹ÒÁ¡íÒŧÊÒÁ «è§Á՚ ˜ auaึÊÁ»ÃaÊ·¸e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ æÅaÊÁ»ÃaÊ·¸¢o§ aiiìšíaiiì3x e»¹ š1 ¶Ò Œx2 − ËÒà p(x) eËÅoeÈÉ æÅa ื513 i + e»¹šÃҡ˹§¢o§ ึ èp(x) æÅÇ ÃÒ¡·e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§¢o§ ŒÕèšíp(x)ÁÕ¤Òe·Òã´ ‹ ‹¨Ò¡ ¨·Â ¨aä´Ãٻ溺 oŒ32p(x)xBxCxD=+ ++æÅae¹o§¨Ò¡ ื è13 i + e»¹ÃÒ¡¢o§ šp(x)¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹13 i − e»¹ÃÒ¡¢o§ šp(x) ´Ç ŒæÊ´§ÇÒ ‹p(x) (x 13 i)(x 13 i)(x c)=−− −+ −2(x2x4)(xc)=−+ −æµ ‹p(2)5= ..eÁèoæ·¹¤Òŧ仡ç¨aä´ ื‹Œ34c=´§¹¹ ÃÒ¡·e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§¢o§ a aéÕèšíp(x) ¡ç¤o ื34c=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 466 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

A B C D e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .5 เทอม 2 บทที่ 2ทฤษฎกราฟี1. ¡ÃÒ¿ ã¹·Õè¹ ËÁÒ¶§æ¼¹ÀÒ¾«è§»Ãa¡oº´Ç ¨u´“”ÕéึึŒ“ ”æÅa eʹ·eªoÁ¨u´ ¡ÒÃe¡i´e»¹¡ÃÒ¿ä´¨aµo§ÁÕ¨´oÂÒ§“ ŒÕèื 蔚ŒŒu‹¹oÂ˹§¨´ (浡ÃÒ¿oÒ¨äÁÁÕeʹeÅÂÊ¡eʹ¡çä´) Œึ èu‹‹ ŒaŒŒ e«µ¢o§¨´ (¨´Âo´) eÃÕ¡ÇÒ •uu‹V(G)æÅae«µ¢o§eʹ·eªoÁ¨´ (eʹeªoÁ) eÃÕ¡ÇÒ ŒÕèื èuŒื è‹E(G)µÇoÂÒ§ ÊÁÁµ¡ÃÒ¿ e»¹¡ÃÒ¿·ãªæ·¹eÁo§ eÁo§ a‹iGšÕèŒื4ื¤o ืA, B, C, D æÅaÁÕ¶¹¹eªoÁÃaËÇÒ§eÁo§ ื è‹ืA B, A C, ––B C, B D,–– æÅa C D– ¨ae¢Õ¹漹ÀÒ¾¢o§ ä´´§ÃÙ» GŒaã¹µÇoÂÒ§¡ÃÒ¿ ¹Õé ¨aä´ a‹GŒV(G){A,B,C,D}=æÅa E(G){AB,AC,BC,BD,CD} =ËÃooÒ¨e¢Õ¹e»¹ ืš12345E(G){e ,e ,e ,e ,e } =

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 468 A B C D e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 A B DCe 1 e 2 e 4 e 3 e 5 A B CDe 1 e 2 e 3 e 4 e 5 2. ¢oµ¡Å§ã¹¡ÒÃe¢Õ¹漹ÀÒ¾¢o§¡ÃÒ¿ ¤o ¨aÇÒ§¨u´ŒืÂo´¨´ã´äǵÒæ˹§ã´¡çä´ æÅa¨aÅÒ¡eʹeªoÁe»¹uŒí‹ŒŒื èšeʹµÃ§ËÃo ¤§¡çä´ (æµËÒ¡eʹeªoÁÊo§eʹ·ÅÒ¡¢é¹¹é¹ŒืoŒŒ‹Œื èŒÕèึaµ´¡¹ ¨´µ´·e¡i´¢é¹¨aäÁ¹ºe»¹¨´Âo´¢o§¡ÃÒ¿) a auaÕèึ‹ašuµÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿ ´§·Õè¡íÒ˹´ã¹¢o·æÅÇ oÒ¨e¢Õ¹a‹G aŒÕèŒæ¼¹ÀÒ¾e»¹æººoè¹ ä´ÁÒ¡ÁÒ eª¹ šื挋海u¡ æ¼¹ÀÒ¾eËÅÒ¹ ¨a¶oÇÒe»¹¡ÃÒ¿·eËÁo¹¡¹ ‹æ‹Õéื ‹ šÕèืaµÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ a‹V(G){w,x,y,z}= æÅa E(G){wx,wy,wz,xy,xz,yz} =ãËe¢Õ¹漹ÀҾ˹§æºº¢o§¡ÃÒ¿ Œึ èG

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี469 w x z y A B C D ¨aä´æ¼¹ÀÒ¾´§¹Õé Œa(e»¹e¾Õ§µÇoÂҧ˹§æºº ¤íÒµoº·Õè¶Ù¡ÊÒÁÒöe¢Õ¹䴚a‹ึ 茵ҧ¨Ò¡¹Õéo¡ÁÒ¡ÁÒ¹ºäÁ¶Ç¹) ‹Õa‹ ŒµÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ a‹V(G){A,B,C,D}=æÅa E(G){AB,AC,BC,DD} =æ¼¹ÀÒ¾¢o§¡ÃÒ¿ oÒ¨e¢Õ¹䴴§¹ GŒaÕé(e»¹e¾Õ§µÇoÂҧ˹§æºº ¤íÒµoº·Õè¶Ù¡ÊÒÁÒöe¢Õ¹䴚a‹ึ 茵ҧ¨Ò¡¹Õéo¡ÁÒ¡ÁÒ¹ºäÁ¶Ç¹) ‹Õa‹ Œ3. - eʹeªoÁ¢¹Ò¹ e»¹eʹ·eªoÁ¨´»ÅÒ¤Ùe´ÕÂÇ¡¹ “ Œื è” šŒÕèื èu‹a- ǧǹ e»¹eʹeªoÁ·ÕèÁÕ»ÅÒ·§Êo§e»¹¨u´ e´ÕÂÇ “” šŒื èa éšæ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 470 A B C D e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 µÇoÂÒ§ a‹¾i¨ÒóҡÃÒ¿ ¨a¡ÅÒÇä´ÇÒ.. ‹Œ ‹- eʹeªoÁ Œื è5 e æÅa e»¹eʹeªoÁ¢¹Ò¹ 6 eš Œื è- eʹeªoÁ Œื è7 e e»¹Ç§Ç¹ š** ¡ÃÒ¿¹ÕéÁÕeʹeªoÁ¢¹Ò¹ ¨§äÁÊÒÁÒö㪤íÒÇÒ Œื èึ ‹Œ‹CDe¢Õ¹淹·§ a é5 e ¡º ä´ ¨aµo§e¢Õ¹ a6 eŒŒ1234567E(G){e ,e ,e ,e ,e ,e ,e } = e·Ò¹¹ ‹a é4. - ¨´Âo´»Ãaªi´ ¤o¨´·ÕèÁÕeʹeªoÁÃaËÇÒ§¡¹ “ u” ืuŒื è‹a- eʹeªoÁ e¡i´¡º ¨´Âo´ eÁèo¨´Âo´e»¹»ÅÒ¢o§Œื è“a”uืušeʹeªoÁ¹¹ Œื èa éµÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÃÒ¿ã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ ¨a¡ÅÒÇä´ÇÒ.. a‹a‹Õ茋Œ ‹- ¨´Âo´ ¡º e»¹¨u´Âo´»Ãaªi´uAaBš- ¨´Âo´ ¡º e»¹¨´Âo´äÁ»Ãaª´ uAaDšu‹i- eʹeªoÁ e¡i´¡º¨´Âo´ Œื è1 eauA- æÅaeʹeªoÁ e¡i´¡º¨´Âo´ ´Ç Œื è1 eauBŒ

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี471 A B C D e 1 e 2 e 3 e 5 E e 4 5. ´Õ¡ÃÕ ¢o§¨´Âo´ ¤o¨Ò¹Ç¹¤Ã駷ÕèÁÕeʹeªoÁe¡i´¡º“”uืíaŒื èa¨´Âo´¹¹ ãªÊ šɳ ua éŒ ­a adeg eª¹ ‹deg A ¼ÅÃÇÁ´Õ¡ÃÕ¢o§¨´Âo´·§ËÁ´ã¹¡ÃÒ¿ ¨ae»¹ e·Ò•ua éš2‹¢o§¨Ò¹Ç¹eʹeªoÁ íŒื èµÇoÂÒ§ a‹¾i¨ÒóҡÃÒ¿ ¨aä´ Œdeg A2 , deg B =3 , deg C =2 , =deg D3 , = æÅa deg E0 =æÅa¾ºÇÒ ‹degÃÇÁ10= ¢³a·Õè¨Ò¹Ç¹eʹeªoÁíŒื è5=** Çi¸¡ÒÃËÒ´Õ¡ÃÕ¢o§¨´Âo´oÂÒ§§Ò ¤o Õu‹ ‹æืe¢Õ¹ǧ¡ÅÁ¢¹Ò´eÅç¡ ÅoÁÃoº¨´Âo´¹¹ ǧ¡ÅÁ¹Õéµ´æŒua éa¡ºeʹeªoÁ¡Õè¤Ãé§ ¨´Âo´¡ç¨aÁÕ´Õ¡ÃÕe·Ò¹é¹ aŒื èau‹aµÇoÂÒ§ e¾èo¹Ê¹·¡ÅÁ˹§«è§ÁÕ ¤¹ æµÅa¤¹ÁÕ¡ÒÃa‹ืiu ‹ึ ึè5‹¤u ·ÃȾ·ÃaËÇÒ§¡¹ã¹ÃoºÊ»´ÒË·Õè¼Ò¹ÁÒ e»¹¨Ò¹Ç¹ oa‹aa ‹ší2, 3, 3, 4, 4 ¤Ãé§ µÒÁÅÒ´º æÊ´§ÇÒÁÕ¡Òà ·ÃȾ·aía‹oae¡i´¢é¹ÃÇÁ·§ËÁ´¡Õè¤Ãé§ ึa éa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 472 ¶Òe¢Õ¹¡ÃÒ¿ ´Âã˨´Âo´æ·¹¤¹æµÅa¤¹ ŒoŒu‹æÅaeʹeªoÁ eʹ淹¡Òäu ·ÃȾ·¡¹ ¤Ãé§ Œื è1Œoaa1a¨aä´¡ÃÒ¿·ÕèÁÕ¨´Âo´ ¨´ Œu5uæµÅa¨´ÁÕ´Õ¡ÃÕ ‹u2, 3, 3, 4, 4 «è§ÃÇÁ´Õ¡ÃÕä´e»¹ ึŒ š16´§¹¹ ¨Ò¹Ç¹eʹeªoÁ¤o a aéíŒื èื16/2 = 8 eʹ Œ¹¹¤o ÁÕ¡Òà ·ÃȾ·e¡i´¢é¹ÃÇÁ·§ËÁ´ ¤Ãé§ a èืoaึa é8a6. ¨´Âo´·ÕèÁÕ´Õ¡ÃÕe»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù eÃÕ¡ÇÒ¨´Âo´¤Ù uší‹‹u‹æÅa¨´Âo´·ÕèÁÕ´Õ¡ÃÕe»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè eÃÕ¡ÇÒ¨´Âo´¤Õè uší‹u ¨Ò¹Ç¹¨´Âo´¤Õè¢o§¡ÃÒ¿ã´ ¨aµo§e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ù•íu挚í‹eÊÁo (Êǹ¨´Âo´¤Ù¨aÁÕ¡Õ訴¡çä´) ‹u‹uŒµÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÃÒ¿ã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ ÁÕ¨´Âo´¤Õè ¨u´a‹a‹ÕèŒu2ä´æ¡¨´ æÅa (Êǹ¨´Âo´¤Ùä´æ¡¨´ ) Œ ‹uBD‹u‹ Œ ‹uA, C, EµÇoÂÒ§ e˵¡Òóµo仹e»¹ä»ä´ËÃoäÁ a‹u ‹Õ隌 ื‹ ¡ÃÒ¿ ÁÕ¨u´Âo´·é§Êié¹ ¨u´ «è§æµÅa¨u´ÁÕ´Õ¡ÃՕGa4ึ‹e·Ò¡º ‹a1, 2, 3, æÅa 3¨´Âo´·ÕèÁÕ´Õ¡ÃÕ u1, 3, 3 e»¹¨´Âo´¤ÕèÊÒÁ¨´ šuue»¹ä»äÁä´ (¶ÒÅo§ÇÒ´¨a¾ºÇÒäÁÊÒÁÒöÇÒ´ä´) š‹ ŒŒ‹‹Œ ¨´¡ÒÃ梧¢¹ÃaËÇÒ§¹¡e·¹¹Ê ¤¹ ãË·¡¤¹Å§•a‹a‹ai15Œu梧¡ºã¤Ã¡çä´ã¹¡ÅÁ¹e»¹¨Ò¹Ç¹ ¤Ãé§ ‹aŒu ‹Õéší3a

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี473 D C B A E ¶Òe¢Õ¹¡ÃÒ¿ ´Âã˨´Âo´æ·¹¹¡e·¹¹ÊæµÅa¤¹ ŒoŒuai‹æÅaeʹeªoÁ eʹ淹¡ÒÃ梧¢¹¡¹ ¤Ãé§ Œื è1Œ‹a a1a¨aä´¡ÃÒ¿·ÕèÁÕ¨´Âo´ ¨´ æµÅa¨´ÁÕ´Õ¡ÃÕe·Ò¡º Œu15u‹u‹a3«è§e»¹ä»äÁä´ (e¾ÃÒae¡i´¨Ò¹Ç¹¨´Âo´¤Õèe»¹¨Ò¹Ç¹¤Õè) ึ š‹ Œíuší7. ÅÒ´º·»Ãa¡oº´Ç¨´Êź¡ºeʹ íaÕèŒua aŒ(eª¹ ‹753C,e ,B,e,A,e,D) ËÃoÅÒ´º·»Ãa¡oº´Ç¨´ (eª¹ ืíaÕèŒu‹C,B,A,D) ¨aeÃÕ¡ÇÒ æ¹Çe´i¹ (eª¹·¡ÅÒÇÁÒ¹Õé¤oæ¹Çe´i¹ ‹ “”‹Õè‹ืCD −) ËÒ¡·u¡ ¨´Âo´ã¹¡ÃÒ¿ÁÕæ¹Çe´i¹¶§¡¹ ¨aeÃÕ¡Çҕæuึa‹e»¹ ¡ÃÒ¿eªèoÁ § š “ืo”µÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÃÒ¿µo仹 ÁÕæ¹Çe´i¹¨Ò¡¨´ ä»Â§¨´ a‹‹ÕéuAauD «è§äÁ«éíÒeʹ·Ò§e´iÁ ·§ËÁ´¡Õè溺 ä´æ¡oaäúҧ ึ ‹Œa éŒ ‹Œ¤íÒµoº¤o 溺 ..ä´æ¡ ื5Œ ‹A,C,DA,B,C,DA,B,E,C,DA,C,B,E,C,D æÅa A,C,E,B,C,D

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 474 A B C D E F ** ËÒ¡¡ÃÒ¿ÁÕeʹeªoÁ¢¹Ò¹ ËÃoǧǹ ¨aµo§e¢Õ¹æ¹ÇŒื èืŒe´i¹´ÇÂÅÒ´º¢o§¨´Êźeʹe·Ò¹¹ (ãªÅÒ´º¢o§¨´Åǹ ŒíauaŒ‹a éŒíauŒæäÁä´ e¾ÃÒa¨aæ»Å¤ÇÒÁËÁÒÂä´ËÅÒÂ溺) ‹ ŒŒµÇoÂÒ§ ÊÒËúÃaººe¤Ão¢Ò¤oÁ¾iÇeµoë觻Ãa¡oº a‹íaื ‹ ึ´Ç¤oÁ¾iÇeµoà e¤Ãèo§ eªèoÁµoe¾èoúʧ¢oÁÙÅÃaËÇÒ§Œ6ืื‹ืa‹ Œ‹¡¹µÒÁÃÙ» a¤oÁ¾iÇeµoÃe¤Ãèo§·¤ÇÃe½ÒÃaǧäÁãËeÊÂËÒÂÁÒ¡·ÕèÊ´ ¤o ืÕè‡a‹ ŒÕuืe¤Ãèo§ e¾ÃÒa¶Òe¤Ãèo§ã´ ·äÁ㪠eÊÂä» e¤Ãèo§oè¹ ืBŒืæÕè‹ ‹BÕืืæ§ʧ¢oÁÙŶ§¡¹ä´o (ʧ¼Ò¹ËÅÒ·o´¡çä´) 浶Òa‹ ŒึaŒ ‹Ù‹ ‹Œ‹ Œe¤Ãèo§ eÊÕ ¡ÃÒ¿¨aäÁeªoÁ §¶§¡¹ ¨a浡e»¹Êo§ืB‹ ืèoึaš¡ÅÁ¤o u‹ ืA,F ¡º aC,D,E «è§Ê§¢oÁÙÅÃaËÇÒ§¡ÅÁäÁä´ ึ ‹ Œ‹u ‹‹ Œ8. - æ¹Çe´i¹«è§eÃièÁæÅa¨º·Õ訴e´ÕÂÇ¡¹ ´ÂäÁãªeʹeªoÁึua o‹ Œ Œื è«éíÒ¡¹eÅ eÃÕ¡ÇÒ Ç§¨Ã a‹ “”

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี475 A B D C B A C D E F - ¶Òǧ¨Ã¹¹¼Ò¹¨´Âo´æÅaeʹeªoÁ·§ËÁ´·ÕèÁÕ㹡ÃÒ¿ Œa é‹uŒื èa éeÃÕ¡ÇÒ Ç§¨ÃooÂeÅoà æÅaeÃÕ¡¡ÃÒ¿·ËÒǧ¨ÃooÂeÅoË “”Õèä´ ÇÒe»¹ ¡ÃÒ¿ooÂeÅoà Œ ‹ š “”µÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿µo仹e»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoÃËÃoäÁ ¶Òe»¹a‹‹Õ随 ื‹ Œ šãËe¢Õ¹ÅÒ´ºæÊ´§Ç§¨ÃooÂeÅoà 溺´Ç Œía1Œe»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoà še¾ÃÒaËÒǧ¨ÃooÂeÅoÃä´  Œeª¹ ‹C,D,C,B,D,A,C e»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoà š e¾ÃÒaËÒǧ¨ÃooÂeÅoÃä´ eª¹  Œ ‹B,C,F,E,D,F,B,D,A,BËÁÒÂe˵u Çi¸Õ¾i¨ÒóÒoÂÒ§§Ò ÇÒ¡ÃÒ¿æµÅaÃÙ»e»¹‹ ‹æ‹‹š¡ÃÒ¿ooÂeÅoÃËÃoäÁ oÂã¹ËÇ¢o¶´ä»  ื‹Ù ‹aŒa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 476 A B D C B A C D E F 9. ËÅ¡¡Òþi¨ÒóÒÇÒe»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoÃËÃoäÁ ¤o a‹ š ื‹ ื“¡ÃÒ¿ooÂeÅoèaµo§e»¹¡ÃÒ¿eªoÁ § æÅa·ÕèÊÒ¤ ¤oŒšื èoía­ ื¨´Âo´·u¡ ¨´ µo§e»¹¨´Âo´¤Ù uæuŒšu‹”µÇoÂÒ§ ã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ ·§Êo§¡ÃÒ¿¨´e»¹¡ÃÒ¿ooÂa‹a‹ÕèŒa éašeÅoà e¹o§¨Ò¡e»¹¡ÃÒ¿eªoÁ §æÅaäÁÁÕ¨´Âo´¤ÕèeÅ  ืèšื èo‹uµÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿µo仹äÁe»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoà e¹o§¨Ò¡ÁÕa‹‹Õé‹ š ื訴Âo´¤Õè u ¨´Âo´ æÅa uAB¨´Âo´ æÅa uDF e»¹¨´Âo´¤Õè šu e»¹¨´Âo´¤Õè šu ¨·Âã¹Å¡É³a ÊÒÁÒöÅÒ¡eʹÇÒ´ÃÙ» ´ÂäÁ¢Ò´•oa“Œo‹µo¹æÅaäÁ·ºeʹ·Ò§e´iÁ ä´ËÃoäÁ ÁÕËÅ¡¡Òþi¨ÒóҋaŒŒ ื‹”a¤íÒµoº´§¹Õé a(1) ¶Ò¨´eÃièÁµ¹æÅa¨´Ê¹Ê´ µo§e»¹¨´e´ÕÂÇ¡¹ ŒuŒuiéuŒšua

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี477 A B D C B A C D E F ¡ç¨aeËÁo¹¡Òþi¨ÒóҡÃÒ¿ooÂeÅoù¹eo§ ¤o¨a·Òä´ืa èืíŒeÁèo äÁÁÕ¨´Âo´¤ÕèeÅ ื‹u(2) ¶Ò¨´eÃièÁµ¹æÅa¨´Ê¹Ê´ µo§e»¹¤¹Åa¨´¡¹ ŒuŒuiéuŒšua¨a·Òä´eÁèo ÁÕ¨´Âo´¤Õè ¨u´ (æÅaÇi¸··Òä´¨aµo§ã˨u´íŒ ืu2ÕÕè파ŒÂo´¤Õ訴˹§e»¹¨´eÃièÁµ¹ o¡¨´Ë¹§e»¹¨´Ê¹Ê´) uึ šèuŒÕuึ šèuiéuµÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿ã¹¢o·æÅÇ ¶§æÁ¨aÅÒ¡eʹÇÒ´ÃÙ» ( ´Âa‹ŒÕèŒึŒŒoäÁ¢Ò´µo¹æÅaäÁ·ºeʹ·Ò§e´iÁ) ãËÁÕ¨´eÃièÁµ¹æÅa‹‹aŒŒuŒ¨´Ê¹Ê´e»¹¨´e´ÕÂÇ¡¹ ä´äÁÊÒeÃç¨ e¾ÃÒaäÁ㪡ÃÒ¿ooÂuiéušuaŒ ‹í‹ ‹eÅoà 浡çÊÒÁÒöÅÒ¡ãËÁÕ¨´eÃièÁµ¹æÅa¨´Ê¹Ê´e»¹¤¹‹ŒuŒuiéušÅa¨´¡¹ä´ e¾ÃÒaÁÕ¨´Âo´¤Õè ¨´¾o´Õ uaŒu2u ¨´Âo´ æÅa uAB¨´Âo´ æÅa uDF e»¹¨´Âo´¤Õè šu e»¹¨´Âo´¤Õè šu µÇoÂÒ§æ¹Çe´i¹eª¹ a‹‹µÇoÂÒ§æ¹Çe´i¹eª¹ a‹‹A,B,D,C,A,D,C,BD,A,B,C,F,E,D,B,F

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 478 e¡Òa Ae¡Òa Bæ¼¹´¹ ‹iC æ¼¹´¹ ‹iD123 4 5 6 7 A C D e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 B 10. » ËÒÊa¾Ò¹e¤o¹¡ÊæºÃ¡ ¶ÒÁÇÒe»¹ä»ä´äËÁ·eÃҘ­i‹ šŒÕè¨aeÃièÁµ¹¨Ò¡¨´Ë¹§º¹æ¼¹´i¹ æÅÇe´i¹¢ÒÁÊa¾Ò¹ãˌuึ 苌ŒŒ¤Ãº·¡o¹ã¹ÀÒ¾ ¨¹¡ÅºÁÒ§¨´eÃièÁµ¹ ´ÂäÁ«éíÒuaaauŒo‹Êa¾Ò¹e´iÁeÅ (æÊ´§ÇÒ ¤íÒµoº¨aä´¨Ò¡¡Òþi¨ÒóÒÇÒ ‹Œ‹“ še»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoÃËÃoäÁ ¹¹eo§)  ื‹”a è eÁèoæ»Å§» ËÒ¹e»¹¡ÃÒ¿ ´Âã˨´Âo´æ·¹• ื˜­ÕéšoŒuæ¼¹´i¹æÅae¡Òa æÅaãËeʹeªoÁæ·¹Êa¾Ò¹ ¨a䴋Œ Œื èŒæ¼¹ÀÒ¾¢o§¡ÃÒ¿e»¹´§¹ šaÕé©a¹¹¤íÒµoº¢o§» ËÒ a 阭Êa¾Ò¹e¤o¹¡ÊæºÃ¡ i¤o e»¹ä»äÁä´ e¾ÃÒa ื “ š‹ Œ”äÁe»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoà ‹ š(ÁÕ¨´Âo´¤Õè) u

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี479 ABCDEFG H O A B C D E F G H µÇoÂÒ§ ºÒ¹Ëŧ˹§ÁÕ溺æ»Å¹ªé¹ÅÒ§´§ÃÙ» e»¹ä»ä´a‹Œaึ èa‹ašŒËÃoäÁ·¨aoo¡e´i¹¨Ò¡¨u´ ˹§ ã˼ҹ¤Ãº·¡»ÃaµÙ ื‹Õèæึ èŒ ‹u»ÃaµÅa¤Ãé§e´ÕÂÇ æÅǡźÁÒ·Õ訴eÃièÁµ¹¾o´Õ ÙaŒauŒe¢Õ¹¡ÃÒ¿ ´Âã˨´Âo´æ·¹Ëo§ ( ¶§ ) ´ÂÁÕ¨´Âo´oŒuŒAึHouæ·¹ºÃiedz¹o¡µÇºÒ¹´Ç (¨´ ) æÅaãËeʹeªoÁæ·¹aŒŒuOŒ Œื è»Ãaµ e¾èoæ»Å§» ËÒãËe»¹¡ÃÒ¿«è§µo§¡ÒÃe´i¹¼Ò¹¤ÃºÙื˜­Œ šึ Œ‹·¡eʹ (·¡»Ãaµ) ´ÂäÁ«éíÒeʹe´iÁ (»Ãaµe´iÁ) uŒuÙo‹ŒÙ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 480 A B D E 13425C 2F 632¾ºÇÒÁÕ¨´Âo´¤Õèo ¨´ ¤o ¡º ´§¹¹¤íÒµoº¤o ‹uÙ ‹2uืO aDa aéื“ še»¹ä»äÁä´ e¾ÃÒaäÁä´e»¹¡ÃÒ¿ooÂeÅoà ‹ Œ”‹ Œ šËÁÒÂe˵u 浶Òe»Å¹e§o¹ä¢e»¹ äÁµo§¡ÅºÁÒ§‹ ŒÕèื èš “ ‹ Œaa¨´eÃièÁµ¹¡çä´ ¤íÒµoº¨a¡ÅÒÂe»¹ e»¹ä»ä´ ( ´ÂãËuŒŒ”š “ šŒ”oŒeÃièÁµ¹æÅaʹʴ·Õ訴 ¡º ) ŒiéuuO aD11. ¡ÃÒ¿¶Ç§¹Ò˹¡ ¤o¡ÃÒ¿·eʹeªoÁ·¡eʹÁՓ‹éía” ืÕèŒื èuŒ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ºÇ¡ e¢Õ¹¡íÒ¡ºäÇ e¾èoº§ºo¡ãË·ÃÒº¤ÇÒÁíaŒ ื ‹Œæµ¡µÒ§ÃaËÇÒ§æµÅaeʹ eÃÕ¡¨Ò¹Ç¹¹ÕéÇÒ ¤Ò¹Ò˹¡ ‹‹‹Œí‹ “ ‹éía”µÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿¶Ç§¹Ò˹¡ eª¹ a‹‹éía‹ ¤Ò¹Ò˹¡·oÂ㹡ÃÒ¿ oÒ¨ãªæ·¹ÃaÂa·Ò§ÃaËÇÒ§• ‹éíaÕèÙ ‹Œ‹¨´, ÃaÂaeÇÅÒ·ãªe´i¹·Ò§ÃaËÇÒ§¨´, ¤Ò㪨ÒÂ㹡ÒÃuÕ茋u‹ Œ ‹ÊÃÒ§eʹ·Ò§¹¹, ËÃooè¹ ŒŒa éื ืæ

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี481 X A B 82C 2Y 334512. ¡ÒÃËÒeʹ·Ò§Áu§ä»Â§¨´ËÁÒÂãËʹ·ÕèÊ´ Œ‹auŒa éu- Çi¶Õ ¤oæ¹Çe´i¹«è§äÁ«éíÒ¨´Âo´e´Á “ ” ืึ ‹ui- Çi¶Õ·Õèʹ·ÕèÊu´ ¤oæ¹Çe´i¹«è§äÁ«éíÒ¨´Âo´e´Á æÅaÁՓa é” ืึ ‹ui¼ÅÃÇÁ¤Ò¹Ò˹¡¹o·ÕèÊ´ ‹éíaŒuµÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÃÒ¿ã¹µÇoÂÒ§·æÅÇ a‹a‹ÕèŒ Çi¶Õ A F– ·Õèʹ·Ê´ ¤o a éÕèuืA, B, C, F«è§ÁÕ¤Ò¹Ò˹¡ÃÇÁ ึ‹éía12 36 ++ = Çi¶Õ D E– ·Õèʹ·ÕèÊ´ ¤o a éuืD, C, E«è§ÁÕ¤Ò¹Ò˹¡ÃÇÁ ึ‹éía527+= Çi¶Õ B D– ·Õèʹ·Ê´ ¤o a éÕèuืB, A, D ËÃo ืB, D ¡çä´ Œe¾ÃÒaÁÕ¤Ò¹Ò˹¡ÃÇÁe»¹ eËÁo¹¡¹ ‹éíaš4ืaµÇoÂÒ§ ¡ÃÒ¿µo仹 æÊ´§ÃaÂaeÇÅÒ (ªèÇ Á§) ·Õèµo§ãªa‹‹Õéa oŒŒã¹¡ÒÃe´i¹·Ò§ÃaËÇÒ§eÁo§ ãËËÒeʹ·Ò§ÃaËÇÒ§eÁo§ ‹ืŒŒ‹ืX –Y ·ãªeÇÅÒe´i¹·Ò§¹o·ʴ Õ茌ÕèuËÒÇi¶Õ X Y– ·Õèʹ·Ê´ ä´¤íÒµoºe»¹ a éÕèuŒšX, B, C, Y(«è§ÁÕ¹Ò˹¡ÃÇÁe·Ò¡º ึéía‹a52 310++ = ªèÇ Á§) a o

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 482 A B D E 13425C 2F 632** ¡ÒÃËÒÇi¶Õ·Õèʹ·ÕèÊ´µo§ãªÇi¸ºÇ¡eÅ¢ äÁ㪡a»ÃaÁÒ³a éuŒŒÕ‹ ‹¨Ò¡¤ÇÒÁÂÒÇ¢o§eʹeªoÁ·e˹´ÇÂÊÒÂµÒ Œื èÕèçŒ13. ¡ÒÃeÅo¡ÇÒ§eʹ·Ò§ãËeªoÁ·¡¨u´ ´Â»ÃaË´·ÕèÊ´ ืŒŒ ืèuoau- µ¹äÁæ¼·èÇ ¤o¡ÃÒ¿eªèoÁ §·äÁÁÕÃÙ»»´ æÅa㪨u´“ ŒŒ ‹ ” ืaืoÕ苁ŒÂo´¤Ãº·¡¨´ uu- µ¹äÁæ¼·Ç·Õè¹o·ÕèÊu´ ¤oµ¹äÁæ¼·Ç ·ÕèÁÕ¤Ò¹Ò˹¡“ ŒŒ ‹a 茔 ื ŒŒ ‹a è‹éíaÃÇÁ¹o·ÕèÊ´ Œu ËÅ¡¡ÒÃËÒµ¹äÁæ¼·Ç·Õè¹o·ʴ ¤oeÅo¡ãªeʹeªoÁ•aŒŒ ‹a èŒÕèuื ืŒ Œื è·Åaeʹ eÃÕ§¨Ò¡eʹ·Õè¤Ò¹Ò˹¡¹o·Õèʴ仹Ò˹¡ÕŒæŒ‹éíaŒuéíaÁÒ¡¢é¹ ´Â¨aäÁeÅo¡eʹ··ÒãËe¡i´ÃÙ»»´ ึæ o‹ ืŒÕè팁µÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÃÒ¿ã¹µÇoÂÒ§e´iÁ µ¹äÁæ¼·Ç·Õè¹o·ÕèÊu´a‹a‹ŒŒ ‹a èŒe»¹´§¹ šaÕé¢é¹µo¹ã¹¡ÒÃËÒ¤o eÅo¡eʹeªoÁeËÅÒ¹µÒÁÅÒ´º.. aืืŒ ืè‹Õéía(1) eÅo¡eʹ·ÕèÁÕ¹Ò˹¡¹o·ÕèÊ´ ¤o ¹Ò˹¡e»¹ ืŒéíaŒuืABéíaš1(2) eÅo¡eʹ·ÕèÁÕ¹Ò˹¡ÁÒ¡¢é¹e»¹ ä´æ¡ ืŒéíaึš2Œ ‹

เพิ่มเติม บทท ทฤษฎกราฟเบื้องต้นี่ 2 ี483 A E F B 30 40 20 50 60 10 20 C D 10 30 30 BC, CE, æÅa EF(3) eÅo¡eʹ·ÕèÁÕ¹Ò˹¡ÁÒ¡¢é¹e»¹ ä´æ¡ ืŒéíaึš3Œ ‹ADÊǹ eÅo¡äÁä´ e¾ÃÒa¨a·ÒãËe¡i´ÃÙ»»´‹CFื‹ ŒíŒ (CEF)(4) eÊÃç¨Ê¹¢é¹µo¹ e¾ÃÒa¾ºÇÒ¨´Âo´¶Ù¡ãª¤Ãº·¡¨u´iéa‹uŒuæÅÇ (µ¹äÁ¹Õé æ¼·èÇ æÅÇ) ŒŒŒ “ ‹ ”aŒ** µ¹äÁæ¼·Ç¢o§¡ÃÒ¿·ÕèÁÕ¨´Âo´ ¨´ ¨aÁÕeʹeªoÁ ŒŒ ‹a èunuŒื èn1 − eʹeÊÁo (eª¹ ¨Ò¡µÇoÂÒ§¾ºÇÒ ÁÕ¨´Âo´ ¨´ Œ‹a‹‹u6uæÅaµ¹äÁæ¼·ÇÁÕeʹeªoÁ eʹ) ŒŒ ‹a èŒื è5ŒµÇoÂÒ§ ãËËÒeʹ·Ò§¡ÒÃÇÒ§ÊÒ ·ÃȾ·ä»µÒÁ¶¹¹a‹ŒŒoae¾èoãËeªoÁµo¡¹ä´¤Ãº·¡ËÁÙºÒ¹ ´ÂeʤÒ㪨ÒÂã¹ืŒ ืè‹aŒu‹ ŒoՋ Œ ‹¡ÒÃÇÒ§ÊÒ¹o·ÕèÊ´ (¤Ò㪨ÒÂæ»Ã¼¹µÒÁÃaÂa·Ò§) Œu‹ Œ ‹aeÁèo¡íÒ˹´ã˶¹¹ÃaËÇÒ§ËÁÙºÒ¹ ÁÕÃaÂa·Ò§e»¹´§¹Õé ืŒ‹‹ ŒšaAB 30 , AF 40 , BC 10 , BE 50 , BF 20 , =====CD 20 , CE 30 , DE 10 , DF 30 ,==== æÅa EF 60= (˹ÇÂe»¹¡i ÅeÁµÃ) ‹šoe¢Õ¹漹ÀÒ¾¡ÃÒ¿ä´´§¹ ŒaÕé(¾ÂÒÂÒÁÇÒ§¨´æººäÁãË u‹ ŒÁÕeʹÅÒ¡ä¢Ç·º¡¹) ŒŒa a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 484 A E F B 30 40 20 50 60 10 20 C D 10 30 30 ËÒµ¹äÁæ¼·Ç·Õè¹o·ʴ ä´´§eʹ·ºã¹ÃÙ» ŒŒ ‹a èŒÕèuŒaŒ ึ(ÅÒ´ºã¹¡ÒÃeÅo¡¤o íaืืBC+DE, BF+CD, æÅa ABÊǹ ¡º ¹¹eÅo¡äÁä´ e¾ÃÒa¨a·ÒãËe¡i´ÃÙ»»´) ‹CEaDFa éื‹ ŒíŒ´§¹¹ ¨aµo§ÇÒ§ÊÒ ·ÃȾ·ä»µÒÁ¶¹¹ a aéŒoaAB, BC, BF, CD, æÅa ¨§eʤÒ㪨Ò¹o·ÕèÊ´ DEึՋ Œ ‹Œu

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .5 เทอม 2 บทที่ 3ความนาจะเปน1. ¨Ò¡··ÃÒºæÅÇÇÒ¶ÒÁÕʧ¢o§µÒ§ ¡a¹ ʧ ¨Ò¹Ç¹ ÕèŒ ‹ Œiè‹ænièí“Çi¸eÃÕ§ʺe»Å¹ ÕaÕè(P)” ¨ e·Ò¡aº 溺 a‹n!..浶ÒËÒ¡·Ò¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹e¾ÕÂ§æ¤ Ê§ ‹ ŒíaÕè‹riè¨ ÁըҹǹÇi¸Õ·§ËÁ´ aíaén!(n r)!− 溺 æÅ ãªÊ šɳe»¹ aŒ ­aa šn,r P ËÃo ืnr PµaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹7,37!P7652104!==××=¤Ò¢o§ ‹5,25!P5 4203!==×=µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ+= n,22n,22P50Pe¹o§¨Ò¡¤Ò¢o§ ื è‹n,2n!P(n)(n 1)(n 2)!==− −æÅ ¤Ò¢o§ a ‹2n,22n!P(2n)(2n 1)(2n 2)!==− −

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 486 ´a§¹¹ÊÁ¡ÒáÅÒÂe»¹ aéš2(n)(n 1) 50(2n)(2n 1)− + =−«è§æ¨¡æ¨§ä´´a§¹.. ึŒÕé222n2n 504n2n−+ = −¹¹¤o aèื22n50= ¨ ä´ aŒn5= ËÃo ื- 5æµ µo§e»¹¨Ò¹Ç¹¹ºe·Ò¹¹ ´a§¹¹¤íÒµoº¤o ‹nŒšía‹aéaéืn5=µaÇoÂÒ§ ÁÕ¸§ ¼¹ ¼¹Å ÊäÁ«éíÒ¡a¹ ¨ ÁÕÇi¸Õʧʋ5ืืa Ջa‹ ­­aÒ³o´ÂeÅo¡¸§ ¼¹ÁÒÇÒ§eÃÕ§ÅÒ´aº¡a¹ ä´·§ËÁ´¡Õè溺 ื3ืíŒaé¤i´æºº¡Òùºeºo§µ¹ ¨ ä´ aื éŒaŒ54360 ××= 溺 ËÃo¶Ò¤i´æººeÃÕ§ʺe»Å¹¡ç¤o ื ŒaÕèื== 5,35!P60 2! 溺 µaÇoÂÒ§ ¡Òè´¤¹ ¤¹ã˹eÃÕ§æ¶Çe»¹eʹµÃ§ ¨‹a4Œ ืšŒaÁÕÇi¸ÊźÅÒ´aº¡Òù䴷§ËÁ´¡Õè溺 ÕaíืŒaé¤i´æºº¡Òùºeºo§µ¹ ¨ ä´ aื éŒaŒ432 1 24×× × = 溺 ËÃo¶Ò¤i´æººeÃÕ§ʺe»Å¹¡ç¤o ื ŒaÕèื== 4,4 P4!24 溺 ** ¤Ò¢o§ ‹0! 1= eÊÁo (¡íÒ˹´eª¹¹e¾èoãËʵâo§ ‹ÕéืŒÙn,r P ãªä´¤Ãoº¤ÅÁ件§ Œ Œuึn,n Pn! = ´ÇÂ) Œ

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น487 2. ¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§·§ËÁ´ ʧ «è§ã¹¨Ò¹Ç¹¹aÕèièaénièึíÕéÁÕʧ¢o§eËÁo¹¡a¹e»¹ªu´ Êiè§ Êiè§ ... ièืšæ1 k, k2,¨ eÃÕ§䴷§ËÁ´ aŒaé12n!k ! k ! ...⋅⋅ 溺 µaÇoÂÒ§ ¡Òè´Êź·ÕèµÇo¡ÉÃ㹤íÒÇÒ ‹aaaa‹experience( ´ÂäÁ¤íÒ¹§¶§¤ÇÒÁËÁÒÂ) ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´¡Õè溺 o‹ึ ึíŒaéÁÕµÇo¡ÉÃo µÇ æµã¹¨Ò¹Ç¹¹ÕéÁյǷeËÁo¹¡a¹ (¤oaaÙ ‹10a‹íaÕèืืÊź·Õè¡a¹æÅǶoÇÒäÁe¡i´¤ÇÒÁe»Å¹æ»Å§) ¤o µÇ aŒ ื ‹‹Õèืe 4a¨§e»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§ ʧ «è§ÁÕ¢o§ึืaÕèiè10ièึ·eËÁo¹¡a¹oÂ˹§ªu´ e»¹¨Ò¹Ç¹ ʧ Õèืً ึèší4iè¨ ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´ aíŒaé10!1512004!= 溺 µaÇoÂÒ§ ¡Òè´Êź·ÕèµÇo¡ÉÃ㹤íÒÇÒ ‹aaaa‹receiver ( ´ÂoäÁ¤íÒ¹§¶§¤ÇÒÁËÁÒÂ) ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´¡Õè溺 ‹ึ ึíŒaéÁÕµÇo¡ÉÃo µaÇ æµã¹¨íҹǹ¹ÕéÁÕµaÇ·ÕèeËÁo¹¡a¹ ä´æ¡ aaÙ ‹8‹ืŒ ‹r 2 µÇ æÅ µÇ aae 3a¨§e»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§ ʧ «è§ÁÕ¢o§·ึืaÕèiè8ièึÕèeËÁo¹¡a¹oÂÊo§ªu´ ª´Å æŠʧ ืÙ ‹ua2a3iè¨ ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´ aíŒaé8!3360(2!)(3!)= 溺

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 488 A B N µaÇoÂÒ§ ÁÕËÅo´ä¿ ËÅo´ »Ã ¡oº´ÇÂËÅo´Ê¢ÒÇ ‹12aŒÕ3 ËÅo´ Êæ´§ ËÅo´ æÅ ÊÕ¹Òe§¹ ËÅo´ ¹íÒÕ3aéíi6ËÅo´ä¿·§ËÁ´ãÊŧ㹢aéÇËÅo´ «è§eÃÕ§¡a¹oÂã¹æ¹ÇµÃ§ aé‹ึÙ ‹¨ ÁÕÇi¸Êź䴷§ËÁ´¡Õè溺 aÕaŒaée»¹¡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§ ʧ «è§ÁÕ¢o§·eËÁo¹¡a¹šaÕèiè12ièึÕèืoª´Å Ù ‹ua3, 3, 6 ʧ iè¨ ÊÒÁÒö·Òä´·§ËÁ´ aíŒaé12!18480(3!)(3!)(6!)= 溺 µaÇoÂÒ§ ¶ÒãËe´i¹·Ò§ä´µÒÁeʹµÒÃÒ§·Õè¡íÒ˹´ æŋŒ ŒŒŒae´i¹·Ò§ä»ä´e©¾Ò ·Èe˹o ¡aº·Èµ Ça¹oo¡e·Ò¹¹ ¨ ÁՌa iืia‹aéaeʹ·Ò§¨Ò¡ ä» ã¹æººµÒ§ ¡a¹·§ËÁ´¡Õè溺 ŒAB‹æaé(eʹ˹Òã¹ÃÙ» e»¹µÇoÂÒ§eʹ·Ò§æººË¹§) Œša‹Œึ è¶ÒÅo§e¢Õ¹eʹ·Ò§¨Ò¡ ä» ËÅÒ 溺 eª¹ ŒŒABæ‹E-E-E-E-N-N-N, E-N-E-N-N-E-E, N-N-E-E-N-E-E, ÏÅÏ

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น489 A B F ..¨ ¾ºÇÒ ·u¡ 溺¨ µo§e´i¹·Ò§ä»·Ò§e˹o a‹æa Œื(N) e»¹š¨Ò¹Ç¹ ¤Ãaé§ æÅ ä»·Ò§µ Ça¹oo¡ e»¹¨Ò¹Ç¹ í3aa(E)ší4¤Ãaé§ eÊÁo ´a§¹¹Çi¸Õ·eÅo¡e´i¹·Ò§ä´ ¡çe»ÃÕºeÊÁo¹Çi¸Êź·aéÕèืŒืÕaÕèµÇo¡ÉÃ㹤íÒÇÒ aa‹EEEENNN ¹¹eo§ a訧䴨ҹǹeʹ·Ò§·§ËÁ´ ึ ŒíŒaé7!35(4!)(3!)= 溺 µaÇoÂÒ§ ´ÇÂe§o¹ä¢ã¹¢o ‹Œื 茷æÅÇ ËÒ¡eʹ·Ò§¨Ò¡ Õ茌Aä»Â§ ¶Ù¡ÊÁeÅo¡ÁÒ㪠aBu‹ ืŒãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·eʹ Œ‹ašÕ茷ҧ·eÅo¡ãª¹¹ ¼Ò¹ ÕèืŒa鋨´ ´Ç uFŒeʹ·Ò§¨Ò¡ ä»Âa§ e»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃÊÅaº·ÕèµaÇoa¡Éà ŒAFื㹤íÒÇÒ ‹EENN ¨§ä´eʹ·Ò§ ึ Œ Œ4!6(2!)(2!)= 溺 eʹ·Ò§¨Ò¡ ä»Â§ e»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃÊź·ÕèµÇo¡Éà ŒBaFืaaa㹤íÒÇÒ ‹EEN ¨§ä´eʹ·Ò§ ึ Œ Œ3!32!= 溺

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 490 ´a§¹¹¨Ò¹Ç¹eʹ·Ò§·§ËÁ´¨Ò¡ ä» ´Â¼Ò¹¨´ aéíŒaéAB o‹uFÁÕo ٠‹6318×= 溺 æÅ ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·eʹ·Ò§¨Ò¡ ä» ¨ ¼Ò¹¨´ a‹ašÕèŒABa ‹uF´Ç e·Ò¡aº Œ‹180.51435≈µaÇoÂÒ§ 㹡ÒÃÊźµÒæ˹§eÅ¢ ´´æµÅ ËÅ¡¢o§¨Ò¹Ç¹ ‹aí‹o‹aaí2120665652 ´Â¡ÒÃÊÁ ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·Õè¨ ä´eÅ¢ ou ‹Œ‹ašaŒ2 oµ´¡a¹·§ËÁ´ Ù ‹iaé- Çi¸Êź·§ËÁ´·e»¹ä»ä´ e·Ò¡aº ÕaaéÕ蚌 ‹10!(3!)(3!)(2!) 溺 - Çi¸Õ·Õèµo§¡Òäo oµ´¡a¹ ¨§¨º Œื2Ù ‹iึa“222” š e»¹eÅ¢ µÇe´ÕÂÇ¡a¹ ¨ Êź·ä´ aaaÕèŒ8!(3!)(2!) 溺 ´a§¹¹ ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·Õè¨ ä´eÅ¢ oÂÙµi´¡a¹·aé§ËÁ´ aé‹ašaŒ2‹e·Ò¡aº ‹() ()8!10!(3!)(2!)(3!)(3!)(2!)(8!)(3!)110!15==

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น491 ¢ ¡ ¤ § ¢ ¡ § ¤ ¤ § ¤ ¢ § ¡ § ¡ ¢ ¤ § ¡ ¢ ¡ ¤ ¢ ¡ 3. ¨Ò¹Ç¹Çi¸eÃÕ§ʺe»Å¹ʧ¢o§µÒ§ ¡a¹ Êiè§ e»¹íÕaÕèiè‹ænšÃٻǧ¡ÅÁ ãˤi´ÇÒʧæáo·ÕèµÒæ˹§ã´¡çä´ (e¾ÃҌ‹ièÙ ‹í‹Œaǧ¡ÅÁe»ÅÒ ¹¹¶oÇÒ·¡µÒæ˹§äÁµÒ§¡a¹) ¨Ò¡¹¹Ê§·‹æaéื ‹uí‹ ‹ ‹aéièÕèeËÅo¨§¨´Êź·æººeʹµÃ§»¡µ.. ¹¹¤o ื ึaaÕèŒiaèื(n 1)!− Çi¸Õ µaÇoÂÒ§ ÊÒÁÒö¨´Êź·¤¹ ¤¹ ¤o ¡, ¢, ¤, § ãˋaaÕè4ืŒ¹§ÅoÁe»¹Ãٻǧ¡ÅÁä´·§ËÁ´¡Õè溺 ãËæÊ´§Çi¸·§ËÁ´a茚ŒaéŒÕaé´Ç ŒÇÒ§¹Ò ¡ äÇ·ÕèµÒæ˹§ã´¡çä´ ¨Ò¡¹¹ Œí‹Œa餹·eËÅo¨ e»ÃÕºeÊÁo¹¡ÒÃÊź·ã¹ ÕèืaืaÕèæ¹ÇeʹµÃ§ Œ´a§¹¹¤íÒµoº¤o aéื3!6= 溺 ä´æ¡ Œ ‹ËÁÒÂe˵u ·¨Ãi§äÁ¨Òe»¹µo§eÃièÁ¨Ò¡¡ÒÃÇÒ§¹Ò ¡ Õè‹íš Œ¡o¹.. oÒ¨¨ e»¹¹Ò ¢ (ËÃo¤¹oè¹ ) ¡o¹e»¹o¹´aº‹ašืื拚aæá¡çä´ æµäÁÇÒoÂÒ§äÃ¡ç¨ ä´¤íÒµoºoo¡ÁÒeËÁo¹¡a¹ Œ‹ ‹ ‹‹aŒื

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 492 µaÇoÂÒ§ ÁÕ¡Ã ¶Ò§µ¹äÁ·ÕèµÒ§¡a¹o 㺠ãËËҨҹǹ‹aŒŒ ‹Ù ‹10ŒíÇi¸ÇÒ§¡Ã ¶Ò§ÅoÁe»¹Ç§¡ÅÁ ´ÂÁÕ ãºoµç¡ÅÒ§ ÕaŒšo1Ù ‹- ¢aé¹æá eÅo¡¡Ã ¶Ò§·Õè¨ ÇÒ§µÃ§¡ÅÒ§.. ä´ Çi¸Õ ืaaŒ10- µoÁÒ¹Ò¡Ã ¶Ò§·eËÅo 㺠Êźe»¹Ç§¡ÅÁ䴋íaÕèื9ašŒ8!Çi¸Õ ´a§¹¹ ¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ·§ËÁ´e·Ò¡aº aéíaé‹10 8!× æºº µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·æÅÇ ¶Ò㹨ҹǹ¡Ã ¶Ò§ 㺋a‹Õ茌ía10¹¹ ÁÕãºË¹§e»¹Êæ´§ æÅ o¡ãºË¹§e»¹Êe¢ÕÂÇ ãËËÒaéึ šèÕa Õึ šèՌ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ÕèÊÁÇÒ§¡Ã ¶Ò§µÒÁe§o¹ä¢æÅÇ ä´¡Ã ¶Ò§‹ašu ‹aื 茌aÊæ´§oµ´¡aºÊe¢ÕÂǾo´Õ ÕÙ ‹iÕ- Çi¸Õ·§ËÁ´·e»¹ä»ä´ (¨Ò¡¢o·æÅÇ) aéÕ蚌ŒÕèŒ10 8!× æºº - Çi¸Õ·Õèµo§¡Òà ¤i´ä´´a§¹ ŒŒÕé - ¢aé¹æá eÅo¡¡Ã ¶Ò§Ë¹§ãºä»ÇÒ§µÃ§¡Åҧǧ ืaึ è(ËÒÁeÅo¡¡Ã ¶Ò§Êæ´§ËÃoe¢ÕÂÇ) ¨ ä´ Çi¸ ŒืaÕืaŒ8Õ - ¢aé¹µoÁÒ eËÅo¡Ã ¶Ò§ 㺠Áo§¡Ã ¶Ò§Êæ´§¡aº‹ืa9aÕe¢ÕÂÇe»¹¡ÅÁe´ÕÂÇ¡a¹ (Áa´µ´¡a¹) ¨§eËÅoe¾Õ§ 8 ¡ÅÁ šu ‹iึืu ‹Êź·e»¹Ç§¡ÅÁä´ Çi¸Õ aÕ蚌7! - æÅ ã¹æµÅ Çi¸ §ÊÒÁÒöÊź·Õè¡a¹eo§ à ËÇÒ§a‹aÕaaa‹¡Ã ¶Ò§Êe¢ÕÂÇ¡aºÊ洧䴴ÇÂ.. ¤o Çi¸Õ aÕՌ Œื2!´a§¹¹ Çi¸Õ·µo§¡ÒÃe·Ò¡aº aéÕ茋87! 2! ×× æºº ¨§ä´¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹e·Ò¡aº ึ Œ‹aš‹87! 2!110 8!5×× =×

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น493 B A C D C A B D B A D C ËÒ¡¡Òè´e»¹Ç§¡ÅÁÊÒÁÒöÁo§ä´Êo§´Ò¹ eª¹ •ašŒŒ‹ÃoÂÁÒÅ ¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ¨ ŴŧeËÅo Œaíaื(n 1)!2 − Çi¸Õ µaÇoÂÒ§ ÊÒÁÒö¨´Å¡»´ Ê ÁÒÃoÂe»¹Ç§ä´·§ËÁ´¡Õè‹a٘4ՌšŒaé溺 ãËæÊ´§Çi¸Õ·§ËÁ´´Ç ŒaéŒe¹o§¨Ò¡¾Ç§ÁÒÅÂÅ¡»´ÊÒÁÒö¾Å¡´Ò¹ä´ ¨Ò¹Ç¹æºº· ื èa٘iŒŒíÕèe»¹ä»ä´¨§Å´Å§¤Ãè§Ë¹§ eËÅoe¾Õ§ šŒ ึึึ èื3!23 = 溺 ..¶ÒãËÊÕ·§ÊÕè¤o ŒŒaéืA, B, C, D æÅÇ Çi¸Õ·e»¹ä»ä´·§ ŒÕ蚌aé3溺 ä´æ¡ Œ ‹4. Çi¸Õ¨´ËÁÙ “a‹(C)” š e»¹Çi¸ã¹¡ÒÃ˺ʧ¢o§¨Ò¹Ç¹Ë¹è§Õiièíึoo¡ÁÒ¨Ò¡¡o§ ¨ µÒ§¨Ò¡eÃÕ§ʺe»Å¹µÃ§·äÁ¤íÒ¹§¶§a ‹aÕèÕè‹ึ ึÅÒ´aº¡o¹Ëŧ ËÃo¡ÒÃÊźµÒæ˹§ í‹aืa틵aÇoÂÒ§ ÊÁÁµiÁÕµÇo¡Éà µaÇ ¤o ‹aa3ืABC ¨ ä´ÇÒ.. aŒ ‹=3,2 P6 溺 ä´æ¡ Œ ‹AB, AC,BA,BC, CA, CBæµ ‹=3,2 C3 溺 ä´æ¡ Œ ‹AB, AC,BCAB ¡aº 㹡ÒÃeÃÕ§ʺe»Å¹¶oÇÒµÒ§¡a¹ æµÊÒËÃaºBAaÕèื ‹ ‹‹í¡Òè´ËÁÙ¶oÇÒe»¹Çi¸e´ÕÂÇ¡a¹ æÅ äÁä´¹º«éíÒ a‹ ื ‹ šÕa‹ Œa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 494 ¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ¨´ËÁÙʧ¢o§µÒ§ ¡a¹ ʧ •ía‹iè‹ænièo´Â·Õè¤a´oo¡ÁÒe¾Õ§ Êiè§ ¨ ÁÕ ran!(n r)! r! −⋅ Çi¸Õ ãªÊ šɳe»¹ Œ ­aa šn,r C ËÃo ืnr C ËÃo ืnr⎛⎞⎜⎟⎝⎠oÒ¹ÇÒ eÅo¡ ‹‹ “nืr ”µaÇoÂÒ§ ¤Ò¢o§ ‹‹7!7657353(4!)(3!)3 2××⎛⎞=== ⎜⎟×⎝⎠¤Ò¢o§ ‹5!5 45102(3!)(2!)2 ×⎛⎞=== ⎜⎟⎝⎠µaÇoÂÒ§ ãËËҨҹǹÇi¸eÅo¡¹¡eÃÕ¹ ¤¹ÁÒe»¹‹ŒíÕืa5š¡ÃÃÁ¡Òù¡eÃÕ¹ ¨Ò¡ÃÒªèo¼ÊÁa¤Ã·ÕèÁÕo ¤¹ aื ŒÙÙ ‹12¤íÒµoº¤o ื12!1279257! 5!⎛⎞ = ⎜= ⎟ ⋅⎝⎠ Çi¸Õ ** ¢oʧe¡µ Œa121257⎛⎞⎛⎞ = ⎜⎜⎟ ⎟⎝⎠⎝⎠ ËÃo ืnnrn r⎛⎞⎛⎞= ⎜⎜⎟⎟ −⎝⎠⎝⎠ eÊÁo

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น495 µaÇoÂÒ§ ¡Åo§ãºË¹§ºÃèu´i¹ÊoÊÕ ËÅ ÊÕµÒ§ ¡a¹ ‹‹ึ è1 o‹æµo§¡ÒÃeÅo¡Ëº´i¹ÊoÊÕ æ·§oo¡ÁÒ¨Ò¡¡Åo§ µÒÁŒืi5‹‹e§o¹ä¢µo仹 ¨ ÁÕÇi¸eÅo¡ä´·§ËÁ´¡Õè溺 ื è‹ÕéaÕืŒaé æµÅ ¤Ãa駵o§ÁÕÊæ´§ •‹aŒÕËš㹡Òäi´¤o ˺´i¹ÊoÊæ´§oo¡ÁÒ æÅ ¾ÃoÁ¡a¹aืiÕaŒ¹¹ãËeÅo¡´i¹ÊoÊÕoè¹ ÁÒo¡ o¹´Ç aéŒ ืืæÕ4aŒ´a§¹¹¤íÒµoº¤o aéื11133014 ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 溺 æµÅ ¤Ãa駵o§äÁÁÕÊæ´§ •‹aŒ‹ÕËš㹡Òäi´¤o ãËeÅo¡¨Ò¡´i¹ÊoÊÕoè¹ ÁÒ o¹ aืŒ ืืæ5a´a§¹¹¤íÒµoº¤o aéื114625⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ 溺 ËÃo¤i´¨Ò¡ Çi¸Õ·§ËÁ´ ź´Ç Çi¸Õ·ÕèÁÕÊæ´§ ¡çä´ ื“a锌“Õ”Œ¹¹¤o aèื123304625⎛⎞ − ⎜= ⎟ ⎝⎠ 溺 µaÇoÂÒ§ ÁÕ¨´ ¨u´¡Ã ¨Ò¡a¹oÂÙº¹eʹÃoºÇ§¡ÅÁ ¨‹u6a‹ŒaÊÃÒ§ÊÒÁeËÅÂÁ·ÕèÁÕ¨´eËÅÒ¹e»¹¨´Âo´ ä´·§ËÁ´¡Õè溺 ŒÕèu‹ÕéšuŒaé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 496 ÊÒÁeËÅÂÁ˹§ÃÙ» e¡i´¨Ò¡¡ÒÃeÅo¡¨´ÁÒ ¨´ ´ÂäÁÕèึ èืu3uo‹¤íÒ¹§ÅÒ´aº (eª¹ ึí‹ABCΔ ¡aº BCAΔ ¡ç¶oÇÒe»¹ÃÙ»ื ‹ še´ÕÂÇ¡a¹) ´a§¹¹¨ ä´ÃÙ»ÊÒÁeËÅÂÁ·§ËÁ´ aéaŒÕèaé6203 ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ 溺 µaÇoÂÒ§ 㹡ÒÃÊÁ˺šºoÅ Å¡¾ÃoÁ ¡a¹ ¨Ò¡‹u ‹iÙ8ٌæ¶u§«è§ÀÒÂã¹ÁÕÅ¡ºoÅÊ¢ÒÇ Å¡ æÅ ÊÕ´íÒ Å¡ ( ´ÂึÙÕ6Ùa10ÙoÅ¡ºoÅ·¡Å¡¶oÇÒµÒ§¡a¹) ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ä´ÅÙ¡ÙuÙื ‹ ‹Œ‹ašÕ茺oÅÊ¢ÒÇoÂÒ§¹o š ՋŒ5Ù- Çi¸Õ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´ e·Ò¡aº Õ蚌aé‹16128708⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ Çi¸Õ - Çi¸Õ·Õèµo§¡ÒÃÁÕÊo§¡Ã³Õ ¤o Œื¡Ã³Õæá ä´Å¡ºoÅÊ¢ÒÇ Å¡ (ÊÕ´íÒo¡ Å¡) ŒÙÕ5ÙÕ3Ù¨ ä´e·Ò¡aº aŒ ‹61072053 ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ Çi¸Õ ¡Ã³Õ·Êo§ ä´Å¡ºoÅÊ¢ÒÇ Å¡ (ÊÕ´íÒo¡ Å¡) ÕèŒÙÕ6ÙÕ2Ù¨ ä´e·Ò¡aº aŒ ‹6104562 ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ Çi¸Õ ´a§¹¹ ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹e·Ò¡aº aé‹aš‹720450.059412870+≈(ËÃo ื5.94%)

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น497 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·æÅÇ ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·ä´ÅÙ¡‹a‹Õ茌‹ašÕ茺oÅÊ¢ÒÇÁÒ¡¡ÇÒ Å¡ Ջ1Ù¶Ò¤i´ ´ÂµÃ§¨ ÁÕ¶§ ¡Ã³Õ ¤o¡Ã³Õ·ä´Ê¢ÒÇ Œoaึ5ืÕèŒÕ2, 3, 4, 5, 6 Å¡ ¨§e»Å¹ÁÒ¤i´´ÇÂÇi¸Åºoo¡ ÙึÕèŒÕ¹¹¤o.. aèื1P { −¢ÒÇ ÅÙ¡1}P { −äÁä´¢ÒÇeÅ ‹ Œ}¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ·ä´Ê¢ÒÇ ÅÙ¡ e·Ò¡aº íÕèŒÕ1‹61072017 ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ Çi¸Õ ¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ·äÁä´Ê¢ÒÇeÅ e·Ò¡aº íÕè‹ ŒÕ‹10458⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ Çi¸Õ ´a§¹¹¤íÒµoº¤o aéื7204511287012870−− 1 0.05940.9406≈−= (ËÃo ื94.06%) ** ¤Ò¢o§ ‹( ) n2 ¡aº ( )( )nn 111 − ¹¹äÁe·Ò¡a¹ µo§ aé‹ ‹ŒeÅo¡ãªã˶١溺 ..¤ÇÒÁ浡µÒ§¤o ืŒ Œ‹ื( )( )nn 111 − ¹¹ÁÕ aéÅÒ´aºe¡i´¢é¹´Ç (ʧ·eÅo¡ÁÒä´ã¹æµÅ ¢aé¹µo¹¶oÇÒ íึ ŒièÕèืŒ‹aื ‹Êź¡a¹æÅǼÅž¸e»Å¹) æµ aŒaÕè‹( ) n2 ¹¹e»¹¡ÒÃeÅo¡ aéšื¾ÃoÁ ¡a¹ ´ÂäÁ¤íÒ¹§ÅÒ´aº¡o¹Ëŧ (Êo§ªié¹·eÅo¡ÁҌæo‹ึí‹aÕèืä´ ¶oÇÒÈ¡´iìÈÃÕe·Ò¡a¹) Œ ื ‹a‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 498 12 7 5 12 3 4 5 5. ¡®¡ÒÃ溧¡ÅÁ (溧¢o§·ÕèµÒ§¡a¹oo¡e»¹¡ÅÁÂo ) ‹u ‹‹‹šu‹ ‹æ ¨Ò¡¡ÒÃ˺¢o§ ª¹ oo¡¨Ò¡¡o§·ÕèÁÕ ª¹ ¡ç•i5ié12iéeËÁo¹¡ÒÃ溧¢o§oo¡e»¹Êo§¡ÅÁ ื‹šu ‹¡ÅÁÅ æÅ ª¹ ¨§ä´ÊµÃÇÒ ¡ÒÃ溧 u ‹a5a7iéึŒÙ‹‹¨ ä´·§ËÁ´ aŒaé12!(5!)(7!) 溺 ¢ÂÒ¼Åoo¡ä»¶§¡ÒÃ溧ÊÒÁ¡ÅÁ´a§¹Õé •ึ‹u ‹¨ ÁըҹǹÇi¸Õ·§ËÁ´e»¹ aíaéš12!(5!)(4!)(3!) 溺 (¾iʨ¹ä´¨Ò¡ ُ Œ1273543⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ) µaÇoÂÒ§ ¨Ò¹Ç¹Çi¸æº§¤¹ ¤¹ oo¡e»¹ÊÒÁ¡ÅÁ ‹íՋ10šu ‹¡ÅÁÅ u ‹a2, 3, 5 ¤¹ ¨ ÁÕ·§ËÁ´ aaé10!(2!)(3!)(5!) 溺 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¹Ç¹Çi¸æº§Ë¹§Êo eÅÁ (·ÕèµÒ§¡a¹) ‹íՋaื15‹‹oo¡e»¹Ê¡o§ ¡o§Å šÕèa2, 1, 7, 5 eÅÁ ‹¨ ÁÕ·§ËÁ´ aaé15!(2!)(1!)(7!)(5!) 溺

เพิ่มเติม บทที่ 3 ความน่าจะเป็น499 ¶ÒËÒ¡ÁÕ¡ÅÁã´·Õè¨Ò¹Ç¹e·Ò¡a¹ æÅ ¡ÒÃÊź·• Œu ‹í‹aaÕèà ËÇÒ§¡ÅÁäÁ¶oÇÒe¡i´¤ÇÒÁ浡µÒ§ ¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ¨ µo§a‹u ‹‹ ื ‹‹ía ŒÅ´Å§ ´Â¤i´eª¹e´ÕÂÇ¡aº¡ÒÃʺe»Å¹¢o§·Õè«éíÒ o‹aÕèeª¹ ¡ÒÃ溧 ‹‹ ¨ ä´ aŒ()312!(2!) 3! (1!)(5!) Çi¸Õ (e¹o§¨Ò¡ÁÕ ¡o§·ÕèÊÅaº¡a¹eo§æÅÇäÁe¡i´¼Å浡µÒ§ ื è3Œ‹‹¨Ò¹Ç¹Çi¸Õ·ä´¨§µo§Å´Å§ ´ÂËÒôÇ ) íÕèŒ ึ ŒoŒ3!µaÇoÂÒ§ ¨Ò¹Ç¹Çi¸æº§Ë¹§Êo eÅÁ (·ÕèµÒ§¡a¹) ‹íՋaื10‹‹oo¡e»¹¡o§ ¡o§Å šæa5, 3, 1, 1 eÅÁ ‹¨ ÁÕ·§ËÁ´ aaé() 210!(5!)(3!)(1!) 2! 溺 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¹Ç¹Çi¸æº§¤¹ ¤¹ oo¡e»¹¡ÅuÁ ‹íՋ12š‹æ¡ÅÁÅ u ‹a2, 2, 2, 3, 3 ¤¹ ¨ ÁÕ·§ËÁ´ aaé()()3212!(2!) 3! (3!) 2! 溺 12 2 2 2 1 5

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 2 500 µaÇoÂÒ§ ¹¡eÃÕ¹ ¤¹ä»e·ÂÇ· eÅ¡a¹ ´ÂÁÕËo§¾a¡o ‹a8ÕèaoŒÙ ‹3 Ëo§ «è§æµÅ Ëo§¾a¡ä´ Œึ‹a ŒŒ2, 3, 3 ¤¹ (æÅ ¶oÇÒËo§¹aé¹aื ‹ ŒµÒ§¡a¹) ¨ ÁÕÇi¸Õ¨´¤¹e¢ÒËo§ä´·§ËÁ´¡Õè溺 ‹aaŒ ŒŒaé- ¢aé¹æá ¨´æº§¹¡eÃÕ¹oo¡e»¹ÊÒÁ¡ÅÁ (µÒÁe§o¹ä¢) a‹ašu ‹ื èä´·§ËÁ´ Œaé() 2 8!280(2!)(3!) 2!= Çi¸Õ - ¢aé¹µoÁÒ ¹Ò¹¡eÃÕ¹æµÅ ¡ÅÁ·¨´äÇæÅÇ ÁÒ·Ò¡ÒËía‹au ‹ÕèaŒ ŒíÊźe¢ÒËo§ ..«è§¾ºÇÒ ¡ÅÁ ¤¹ ¨ µo§e¢ÒËo§¢¹Ò´ aŒ Œึ‹u ‹2a ŒŒ Œ2 ¤¹e·Ò¹¹ (Êź¡aº¡ÅÁo¹äÁä´ e¾ÃÒ ¨ ·ÒãË¢¹Ò´‹aéau‹ ืè‹ Œa aíŒËo§äÁŧµÇ) Êǹ¡ÅÁ ¤¹ ÊźËo§¡a¹ä´ Çi¸Õ Œ‹a‹u ‹3aŒŒ2!´a§¹¹ Çi¸Õ¨´¤¹e¢ÒËo§ÁÕ·§ËÁ´ aéaŒ Œaé280 2!560×= 溺 ËÁÒÂe˵u ¶Ò ¨·Âe»Å¹¢¹Ò´Ëo§e»¹ ŒoÕ茚3, 3, 3 ¤¹e·Ò¡a¹ËÁ´ ´Â§ÁÕ¹¡eÃÕ¹ ¤¹e·Òe´iÁ.. ã¹¢aé¹µo¹‹oaa8‹Êźe¢ÒËo§¨ ÊÒÁÒöÊź¡a¹ä´·¡¡ÅÁ ¹¹¤o Çi¸Õ aŒ ŒaaŒuu ‹aèื3!æÅ ¤íÒµoº¨ ¡ÅÒÂe»¹ aaš280 3! 1680 ×= 溺 µaÇoÂÒ§ 㹡Ò躩ÅÒ¡e¾èo¨´ªÒ ¤¹ Ë i§ ¤¹ ‹aืa5­3份¡§Ò¹ã¹ºÃiÉa· æ˧ «è§e»´Ãaº¨Ò¹Ç¹ ƒ3‹ึ í2, 3, 3 ¤¹µÒÁÅÒ´aº ãËËÒ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹·Õè¼Ë i§ ¤¹ä´½¡§Ò¹íŒ‹ašÙŒ ­3Œ ƒã¹ºÃiÉa·e´ÕÂÇ¡a¹