รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั351 ÊÃu»ÇÒ ‹sin0 θ= e·Ò¹¹ ‹a ée«µ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡ÒùÕ騧e»¹ o oึ š{0, ,2 }ππËÁÒÂe˵u 㹢鹵 ¹¡ÒÃ桵ǻÃa¡ º Ò¨ÊÁÁµãË a oao oiŒsinAθ= e¾è ªÇÂãËÁ §§ÒÂ¢é¹ ื ‹oŒo‹ึµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡ÊÁ¡Òà a o‹5(sincos ) 1θ−θ =㹪ǧ ‹02 θπ << ãËËÒ¤Ò Œ‹tanθÊÁ¡ÒÃe»¹ æÅa šsincos ÂæÅÇ æµe»¹¡íÒŧ˹§¨§äÁo ً Œ‹ šaึ ึ ‹èÊÒÁÒöæ»Å§e»¹ Ëà šsinืocos ÂÒ§e´ÕÂÇÅǹ ä´ o ‹ŒæŒeÃÒ¨§ãªe ¡Å¡É³ ึ Œo a22sincos1θ+θ = e¢ÒªÇ´§¹.. Œ ‹aÕé¨Ò¡o¨·Â ¨aä´ Œ15sincosθ=+θæ·¹¤Òŧä»ã¹e ¡Å¡É³ ‹o aä´e»¹ Œ š2215 (cos )cos1+θ+ θ =æ¨¡æ¨§ä´ Œ2125 25cos2cos1+θ +θ = ÂÒÂã˽§Ë¹§e»¹ æÅa¹Ò ŒŒ ˜›ึ šè0í25/2 ¤Ù³ ¨aä´ÊÁ¡ÒÃe»¹ Œš225cos5cos120θ+θ−=桵ǻÃa¡ ºä´ aoŒ(5cos4)(5cos3)0θ+θ −=´§¹¹ a aé45cosθ= − Ëà ืo35cosθ=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 352 ..¶Ò Œ45cosθ= − ¨aä´ Œ35sinθ= − e·Ò¹¹ ‹a éæÅa¶Ò Œ35cosθ= ¨aä´ Œ45sinθ= e·Ò¹¹ ‹a é´§¹¹¤íÒµ º¤ a aéo o ื34tanθ= Ëà ืo43µÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ã¹ªÇ§ a o‹Œ‹x‹0x 2π <<·Õè·ÒãË íŒ2cosec x2sin x2 cot x−=æ»Å§ÊÁ¡ÒÃãËe»¹ ¡º Œ šsinacos Åǹ ä´´§¹Õé ŒŒa2cos x2sin x2sin xsin x−= ¹Ò ísin x ¤Ù³ ä´e»¹ Œ š222sin x2 cos x−= ....(1) e¹ §¨Ò¡ÁÕ·§ æÅa ื èoa ésincos »¹¡¹ a¨§ ÒÈÂe ¡Å¡É³ ึo a o a22sin xcos x1+= .... (2)o´Âæ·¹¤Ò ‹22sin x1 cos x =− ŧä»ã¹ÊÁ¡Ò÷Õè (1)¡ÅÒÂe»¹ š222(1 cos x)2 cos x−− =¹¹¤ a oèื22cos x2 cos x0−= 桵ǻÃa¡ ºä´ aoŒ(2 cos x)(2 cos x 1)0− =æÊ´§ÇÒ ‹cos x0 = Ëà ืo12´§¹¹e«µ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡ÒùÕ騧e»¹ a aéo oึ š374422 {, ,,}ππ π π

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั353 ËÁÒÂe˵u æÁÇÒã¹o¨·ÂÁÕµÇÊǹe»¹ Œ ‹a‹šsin x æµã¹‹¤íÒµ ºäÁÁÕ¤Òã´·Õè·ÒãË o‹ ‹íŒsin x0 = ´§¹¹eÁè µÃÇ¨Ê ºa aéืoo¤íÒµ º¨§¾ºÇÒãªä´·§ËÁ´ oึ‹ Œ Œa é8. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃÁÕ¢ ¤ÇÃÃaǧ¤ ¶ÒÊÁ¡Ò÷䴹¹e»¹ŒŒoa o ืŒÕèŒa éš¤Ò ‹n θ Ëà ืoaθ+ ¨aµ §»ÃºªÇ§¤íÒµ ºãËÊ ´¤Å §Œoa‹oŒoŒo¡¹´Ç (ËÒ¡äÁ»ÃºªÇ§æÅÇ ¤íÒµ º·ä´¨aäÁ¤Ãº¶Ç¹) aŒ‹a‹ŒoÕ茋Œ..eª¹ µ §¡ÒÃ¤Ò ã¹ªÇ§ ‹Œo‹θ‹02 θπ << æµÊÁ¡Ò÷‹Õèä´ Âã¹ÃÙ» Œ ‹o Ù3 θ ¡ç¨aµ §¾i¨ÒóҷÕè Œo036 θπ<<µÇ ÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡Òà a o‹Œo o2cos 2x3sin 2x30+− = 㹪ǧ ‹0x2 π<<o a o aÒÈÂe ¡Å¡É³ 22sin 2xcos 2x1+= ¨§ä´ÊÁ¡ÒÃe»¹ ึ Œš2(1 sin 2x)3sin 2x30−+− =¹¹¤ a oèื2sin 2x3sin 2x20−+ = 桵ǻÃa¡ ºä´ aoŒ(sin2x2)(sin2x 1)0−− =´§¹¹ a aésin2x2= Ëà ืo1æµ ‹sin2x2= e»¹ä»äÁä´.. ¨§ä´ š‹ Œึ Œsin2x1= e·Ò¹¹ ‹a é¾i¨ÒóҷÕèªÇ§ ‹02x4 π<< ¨aä´ Œ5 222x,=π π¹¹¤ a oèื5 44x,=π π ..æÅae«µ¤íÒµ º¡ç¤ oืo5 44 {,}π π

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 354 9. ʵêu´·Õè ..¼ÅºÇ¡/¼ÅµÒ§ÁuÁ Ù1‹(1) cos ()cos cossin sinα+β =αβ −αβ(2) cos ()cos cossin sinα−β =αβ +αβ(3) sin ()sin coscos sinα+β =αβ +αβ(4) sin ()sin coscos sinα−β =αβ −αβµÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹osin75sin(4530 )°=°+°sin45cos30cos 45sin30=°° +°°13113 122222 2+=⋅+⋅=µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o54126coscos()=+πππ4466cos cossinsin=− ππ ππ13113122222 2−=⋅−⋅= ¹ ¡¨Ò¡¹¹ •oa étantantan ()1tan tanα+βα+β =−αβæÅa tantantan ()1tan tanα−βα−β =+αβ

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั355 µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o4126tantan()=−πππ 134614631tantan311tan tan311−−−=== +++ππ ππ10. ʵêu´·Õè ..¼Å¤Ù³¢ § Ù2osin, cos (ä´¨Ò¡ÊÁ¡Ò÷Õè Œ±(1) (2) æÅa (3) (4)±) (5) 2cos coscos ()cos ()αβ =α + β +α − β(6) 2sin sincos ()cos ()−αβ =α + β−α − β(7) 2sin cossin ()sin ()αβ= α + β+ α − β(8) 2cos sinsin ()sin ()αβ= α+ β− α− βµÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o2sin55 cos5sin50°° −°(sin (555 ) sin (555 )) sin50=° + ° +° − ° −°(sin60sin50 ) sin50=° +° −° 32sin60=° =µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹osin75 sin15°°cos(75 15 ) cos(75 15 )2°+° −°−°−=cos(90 ) cos(60 )0 (1/2)1422°−°−−−===

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 356 µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o2cos3 sin22cos 4 sin2cos2 sinθθ − θθ − θθ[sin5sin ] [sin5sin3 ] [sin3sin ]=θ −θ −θ −θ −θ −θ0=11. ʵêu´·Õè ..¼ÅºÇ¡/¼Åź¢ § Ù3osin, cos (ä´¨Ò¡ÊÁ¡Ò÷Õè Œ(5) (8)¶§ ึ o´Âe»Å¹µÇæ»Ã) Õèa(9) ABAB22cos AcosB2cos () cos ()+−+= (10) ABAB22cos AcosB2sin() sin()+−−= −(11) ABAB22sinAsinB2sin () cos ()+−+= (12) ABAB22sinAsinB2cos () sin()+−−=µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹osin75sin15cos 75cos15 °−°°+°2cos 45 sin301tan302cos 45 cos 303°°== ° = °°µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹osin10cos 40cos 20°+° −°sin10[cos 40cos20 ]=° +° −°sin102sin30 sin10=° − °°sin10sin100=° −°=

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั357 12. ʵÃÁuÁÊ §e·Ò æÅaÁuÁ¤Ãè§ Ùo‹ึ•sin (2 )2 sincosα=αα•22cos (2 )cossinα=α −α2212sin2cos1=−α =α −•22tantan (2 )1tanαα= −α µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹osin15 cos15 °° 2sin15 cos15sin301224°° °=== µÇ ÂÒ§ ¶Ò¤Ò¢ § a o‹Œ ‹ocos5a°=¨aä´ÇÒ¤Ò¢ § Œ ‹ ‹osin40sin20 °+°2sin30 cos10=°°22cos 102cos 512a1=° =° −=−µÇ ÂÒ§ ¶Ò a o‹Œsincosaθ−θ = ãËËÒ¤Ò¢ § Œ‹osin2θ¨Ò¡ sincosaθ−θ = ¡¡íÒÅ§Ê §·§Ê §¢Ò§ a o a oéŒä´e»¹ Œ š222sin2sin coscosaθ−θθ +θ =æµ ‹22sincos1θ+θ = eÊÁ o¨§ä´ÊÁ¡ÒáÅÒÂe»¹ ึ Œš212sin cosa−θθ =¹¹¤ a oèื21sin2a−θ =.. ´§¹¹ a aé2sin21 a θ= −

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 358 ʵÃÊÒËúÁuÁ¤Ãè§ ä´¨Ò¡¡ÒÃÂÒ¢ҧÊÁ¡Òà •ÙíaึŒŒŒ22cos (2 )1 2sin2cos1α= −α =α −¹¹¤ a oèื1cos22sin ( )α−α =±æÅa 1cos22cos ( ) α+α =±(e¤Ãè §ËÁÒºǡËà ź ¢é¹¡ºÇÒืoืoึa‹2 αoÂã¹¤Ç ´Ã¹µã´) Ù ‹o aµÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹osin75° Ò¨¤i´ Õ¡Çi¸Ë¹§ä´´§¹Õé ooÕึ Œèa¨Ò¡ 2cos (2 )1 2sin α= −α Áä´ÇÒ ‹oŒ ‹2cos 1501 2sin 75 °= −°´§¹¹ a aé21cos1502sin 75−° °=1 3/220.933+=≈ æÊ´§ÇÒ ‹sin 750.9330.966°≈≈(e»¹ºÇ¡e·Ò¹¹ e¾ÃÒaÁuÁ š‹a é75° Âã¹¤Ç ´Ã¹µ·Õè ) o Ù ‹o a113. ¿§¡ª¹ i¹eÇ ÃÊ¢ §µÃÕo¡³Áiµ¨a㪤íÒÇÒ ˜ a o ooiŒ‹arc-¹Ò˹Ҫ ¿§¡ª¹e´iÁ eª¹ íŒ ื ˜ èoa‹arcsin, arccos, …(ºÒ§µÒÃÒe¢Õ¹ã¹ÃÙ» í-1sin x , cos x , …-1 æ·¹¤íÒÇÒ ‹arc-)

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั359 π /2−π/20 = sin -1 1 0 π0 = cos 1 -1 π /2 0 = tan ∞−∞−π/2 ¶§æÁ¨ae»¹ i¹eÇ ÃÊ¢ §¿§¡ª¹ • ึŒšo oo˜ aysin x = ·§¤Ù a é‹æµÇÒ ‹ ‹xsin y = æÅa yarcsin x = ¡ç浡µÒ§¡¹·‹aÕèeù¨.. ¡ÅÒǤ ‹ืoxsin y = ¹¹äÁe»¹¿§¡ª¹ Êǹa é‹ š ˜ a‹¿§¡ª¹ ˜ aarc- ¨aÁÕ¡Òèҡ´ªÇ§¢ §ÁuÁ·ä´ (ªÇ§¢ §ía‹oÕ茋oeù¨) e¾è ãËä´ÁuÁ·e»¹¤íÒµ ºe¾Õ§¤Òe´ÕÂÇ ´§ÃÙ».. ืoŒ ŒÕèšo‹aarcsinarcsinD[ 1,1]R[/2, /2] =−=−π πarccosarccosD[ 1,1]R[0, ]=−=πarctanarctanDR(/2, /2)==−π π R

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 360 µÇ ÂÒ§ ¶§æÁÇÒ a o‹ึŒ ‹332sin= π æÅa 3232sin= π(æÅaÁuÁ è¹ Õ¡) 浤Ң § o æ oื‹ ‹o323arcsin=π e·Ò¹¹ ‹a 鶧æÁÇÒ ึŒ ‹3142cos=− π æÅa 5142cos=− π(æÅaÁuÁ è¹ Õ¡) æµ¤Ò o æ oื‹ ‹5142arccos ()−= π e·Ò¹¹ ‹a 鶧æÁÇÒ ึŒ ‹tan 00 = æÅa tan0 = π(æÅaÁuÁ è¹ Õ¡) 浤Ң § o æ oื‹ ‹oarctan 00 = e·Ò¹¹ ‹a é ¡ÒáíÒ˹´ªÇ§¢ §ÁuÁ´§¡ÅÒÇãªËÅ¡¡ÒÃÇÒ ¿§¡ª¹ •‹oa‹Œa‹˜ aarcsin (¡º aarctan) ¨a Â㹪ǧ·Õè¤Ò o Ù ‹‹‹cos e»¹ºÇ¡šeÊÁ Êǹ¿§¡ª¹ o‹˜ aarccos ¨a Â㹪ǧ·Õè¤Ò e»¹o Ù ‹‹‹sinšºÇ¡eÊÁ .. oµÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o4455sin(arcsin)−=−e¾ÃÒa¤íÒÇÒ ‹arcsin( 4/5)- ËÁÒ¤ÇÒÁ¶§ÁuÁ«è§ÁÕ¤Ò ึึ‹sine·Ò¡º -‹a4/5 ..´§¹¹¤Ò ¢ §ÁuÁ¹Õé¡çµ §e»¹ -a aé‹sinoŒoš4/5

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั361 µÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o3455 cos(arcsin )=e¾ÃÒa arcsin(4/5) ¡ç¤ ¢¹Ò´ÁuÁ«è§ÁÕ e·Ò¡º ืoึsin‹a4/5..æÁeÃÒäÁ·ÃÒºÇÒe»¹ÁuÁ¢¹Ò´¡Õè §ÈÒ æµ¡ç·ÃÒºÇÒ¤Ò Œ‹‹ šo‹‹ ‹cos ¢ §ÁuÁ¹e»¹ oÕéš3/5 æ¹¹ ¹.. ¤i´¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ‹oÕè©Ò¡ Ëà ¤i´¨Ò¡e ¡Å¡É³ ืoo a22sincos1θ+θ = ¡çä´ ŒµÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o3455cos(arcsin ())−= eª¹¡¹ ‹ae¾ÃÒaäÁÇÒ¨ae»¹ ‹ ‹šarcsin aäà  Áä´¤Ò o‹oŒ ‹cos e»¹ºÇ¡šeÊÁ (¿§¡ª¹ o˜ aarcsin ¹ÂÒÁ·ÕèÁuÁ«è§ iึcos e»¹ºÇ¡) šµÇ ÂÒ§ ¤Ò¢ § a o‹‹o4453tan(arcsin())−= −(µ´Åºe¾ÃÒaÁuÁ iarcsin µ´Åº¹¹e»¹ÁuÁã¹¤Ç ´Ã¹µ·Õè ia éšo a4 «è§¤Ò ึ ‹tan ¡çµ §µ´Åº´ÇÂ.. Êǹ¢¹Ò´¡ç¤i´¨Ò¡ÃÙ»ŒoiŒ‹ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡¹¹e §) Õèa oè** ÊÃu»§Ò ÇÒÊÒËúÁuÁ ‹æ‹íaarcsin æÅa arctan ã´ ¡çæµÒÁ ¤Ò ‹cos  Áe»¹ºÇ¡eÊÁ ‹ošo(Êǹ¤Ò ¡º¤Ò ‹‹sina‹tan ¨aÁÕe¤Ãè §ËÁÒµÒÁ¹¹) ืoa éæÅaÊÒËúÁuÁ íaarccos ã´ ¡çµÒÁ ¤Ò æÅa æ‹sintan Áe»¹ºÇ¡eÊÁ ‹ošo

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 362 µÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢ § a o‹Œ‹o23 cos (2arcsin )e¹ §¨Ò¡ ื èo2cos (2A) 1 2sin A=−´§¹¹¶ÒÁ § a aéŒo23Aarcsin= ¡ç¨aä´ÇÒ Œ ‹2221339cos (2arcsin ) 1 2( )=−=µÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢ § a o‹Œ‹o54513 sin (arccosarcsin())+−¶ÒãË ŒŒ513Aarccos= æÅa 45Barcsin()=− ¨aä´ÇÒ o¨·Â¶ÒÁ¤Ò¢ § Œ ‹‹osin(AB)+«è§ ึsin(AB)sin A cos B cos A sin B+=+æ·¹¤Òŧä»ä´e»¹ ‹Œ š351612455131365()( ) ()()+−=14. ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕ Œarc- ÁÕÇi¸¡Òà  溺 Õo Ù ‹2(1) ãÊ¿§¡ª¹ ‹ ˜ asin, cos, Ëà ืotan ·§Ê §¢Ò§ a oéŒ(2) ãªÊµÃ¢ § ŒÙoarctan ¤ ืoxy1xyarctan xarctan yarctan±±= ∓(浺ҧ¤Ã駨aãªÇi¸Õ ‹aŒarctan äÁä´ ¤ eÁè ÁÕ ‹ Œ ื ืo oarccos ¢ §o¤Òµ´Åº e¾ÃÒa¹ÂÒÁäǤ¹Åa¤Ç ´Ã¹µ¡¹¡º ‹iiŒo aa aarctan)

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั363 ** äÁÇÒ¨aæ¡´ÇÂÇi¸ã´ eÁè ä´¤íÒµ ºæÅǨaµ §µÃÇ¨Ê º‹ ‹Œ ŒÕืoŒoŒŒooeÊÁ e¾ÃÒa¤Ò·ä´ Ò¨äÁãªÁuÁ· Â㹪ǧÁҵðҹ¢ § o‹ÕèŒo‹ ‹Õèo Ù ‹‹oarc- Ëà Ҩ¨a·ÒãËÊÁ¡ÒÃe»¹e·¨¡çä´ ืooíŒšçŒµÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡Òà a o‹Œo o3455arccosarcsin ()arccos x−−= Çi¸Õ·Õè ãÊ 1‹cos ·§Ê §¢Ò§¢ §ÊÁ¡Òà a oéŒo¨aä´ Œ3455cos (arccosarcsin())x−−=(¨Ò¡¹¹ãª a éŒcos ()cos cossin sinα−β =αβ +αβ) ¹¹¤ a oèื33445555 ()x⋅+⋅− =´§¹¹¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡Òä a aéo oืo725x=Çi¸Õ·Õè æ»Å§e»¹ 2šarctan e¾è ãªÊµÃ ืoŒÙ¨aä´ Œ3344arctanarctan()arccos x−−=¹¹¤ a oèื33443344()()arctanarccos x1( )()⎛⎞−−⎜⎟=⎜⎟ +−⎝⎠ ¤i´eÅ¢ä´e»¹ Œ š247 arctanarccos x =´§¹¹ (¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡) ¨aä´¤íÒµ º a aéÕèŒo725x=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 364 µÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡Òà a o‹Œo o15arctan (2x 1) arctan (2x 1)arccos ( )++−=¢ ¹e»¹ Œo Õéšarctan ÂæÅǨ§ãªÊµÃä´·¹· o ً Œ ึ ŒÙŒaÕ(¨Ò¡ÊÒÁeËÅÂÁ·ÒãË·ÃÒºÇÒ Õè팋15 arccosarctan 2=) ¹¹¤ a oèื2(2x 1) (2x 1)1(4x1)arctanarctan 2++−−− =¤i´eÅ¢ä´e»¹ Œ š2 2x12x arctanarctan 2−=´§¹¹ a aé2 2x12x2−=.. æÅaæ¡ÊÁ¡ÒÃä´ ŒŒ12x= Ëà ืo- 1µÇ ÂÒ§ ãËËÒ¤íÒµ º¢ §ÊÁ¡Òà a o‹Œo o452arccos () ( )arcsin x−+ =π¢ ¹ÕéÁÕÁuÁ Œoarccos ¢ §µ´Åº ¨§æ»Å§e»¹ oiึšarctan äÁä´ ‹ Œ..¶ÒãªÇi¸ãÊ Œ ŒÕ‹sin ·§Ê §¢Ò§ ¨aä´e»¹ a o錌 š3455 ()(0) ()(1)x+−= ... ¹¹¤ a oèื45x=−æµ ‹45 arccos () − e»¹ÁuÁ· Âã¹¤Ç ´Ã¹µ·Õè šÕèo Ù ‹o a2¨§·ÒãË ึíŒ452arccos () ( )−+ π Âã¹¤Ç ´Ã¹µ·Õè o Ù ‹o a3

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั365 ã¹¢³a·Õè 45 arcsin () − e»¹ÁuÁ· Âã¹¤Ç ´Ã¹µ·Õè šÕèo Ù ‹o a4´§¹¹ÊÁ¡ÒÃã¹¢ ¹äÁÁÕ¤íÒµ º a aéŒo Õé‹o15. ¡ÃÒ¿¢ §¿§¡ª¹µÃÕo¡³Áiµ o˜ aisin D=R, Rsin[ 1,1] =−¤Òº2 ,=π æ Á¾Åi¨´ oÙ1=cos D=R, Rcos[ 1,1] =−¤Òº2 ,=π æ Á¾Åi¨´ oÙ1=y = sin x x 1 -1 Oπ2 πy = cos x x 1 -1 Oπ2 π

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 366 tan2D{n } , R=− ±ππRtan=R ¤Òº =πcosec D{ n } , R=−± πRcosec( 1,1)=−− R¤Òº2=πy = tan x x 1 -1 Oπ 2π y = cosec x x 1 -1 Oπ2 π

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั367 sec2D{n } , R=− ±ππRsec( 1,1)=−− R¤Òº2=πcot D{ n } , R=−± πRcot=R ¤Òº =π** Ëš㹡Òô´æ»Å§ÃÙ»¡ÃÒ¿eËÅÒ¹eÁè ÁÕ¤Ò¤§·ÁҺǡaa‹Õéืo‹Õèź¤Ù³ËÒà ¡çeËÁ ¹¡ºËÅ¡¡ÒÃe¢Õ¹¡ÃÒ¿·Çä» «è§ä´ืo aaa èึ Œ¡ÅÒÇÊÃu»äÇ㹺·eÃÕ¹ eâҤ³iµÇie¤ÃÒaË ª¹ Á. ‹Œ“”a é4y = sec x x 1 -1 Oπ2 πy = cot x 1 -1 x O π2 π

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 368 µÇ ÂÒ§ ãËe¢Õ¹¡ÃÒ¿¢ § a o‹Œoysin 2x =e¹ §¨Ò¡ÊÁ¡Òà ื èoysin 2x = ÁÕ ¤Ù³·Õè ¨§·ÒãË2xึíŒÃÙ»¡ÃÒ¿¶Ù¡ººãË˴ŧeËÅ ¤Ãè§Ë¹§ ·Ò§æ¡¹ Ռืoึึ èxµÇ ÂÒ§ ãËe¢Õ¹¡ÃÒ¿¢ § a o‹Œoy2sin x=e¹ §¨Ò¡ÊÁ¡Òà ื èoy2sin x= ¡ç¤ ืoy2sin x =ÁÕ ËÒ÷Õè ¨§·íÒãËÃÙ»¡ÃÒ¿¶Ù¡Â´ e·Ò·Ò§æ¡¹ 2yึŒื2‹yy x 1 -1 Oπ2 πy = sin x y = sin 2x x 1 -1 Oπ2 πy = sin x y = 2 sin x 2 y -2

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั369 µÇ ÂÒ§ ãËe¢Õ¹¡ÃÒ¿¢ § a o‹Œo4ycos (x)=+ πe¹ §¨Ò¡ÊÁ¡ÒùÕéÁÕ ºÇ¡ ÂÙ·Õè ื èo4 πo ‹x¨§·ÒãËÃÙ»¡ÃÒ¿¶Ù¡eÅ ¹ä»·Ò§«Ò ˹Ç ึíŒื èoŒ4 π‹16. ¡®¢ §ä«¹ .. µÃÒÊǹ¢ §¤Ò䫹¢ §ÁuÁ ˹§ o“ o a‹o‹oæึ èµ ¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹µÃ§¢ÒÁ ¨ae·Ò¡¹·§ÊÒÁÁuÁ ‹oŒŒ‹a aé”sin AsinBsinCabc==(¾iʨ¹ÁÒ¨Ò¡¢¹Ò´¾é¹·ÊÒÁeËÅÂÁ ¤ ُืÕèÕèืo12bc sinA) µÇ ÂÒ§ a o‹ABCΔ ÁÕÁuÁ B30=° æÅa´Ò¹ Œc15 , =b5 3= ÊÒÁeËÅÂÁ¹e»¹ÊÒÁeËÅÂÁª¹´ã´ ÕèÕéšÕèiy 1 -1 Oπ2 πy = cos x y = cos (x+ /4) π x

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 370 ¨Ò¡¡®¢ § ¤ osinืosin Csin Bcb =æ·¹¤Òä´ ‹Œsin Csin 301553°= ..¹¹¤ a oèื32sinC=´§¹¹ a aéC60=° ¹¹¤ a oèืA90=° (ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡) ÕèËà ืoC120=° ¹¹¤ a oèืA30=° (ÊÒÁeËÅÂÁ˹ҨÇ) ÕèŒa èÊÃu»ÇÒÊÒÁeËÅÂÁ¹e»¹ÊÒÁeËÅÂÁÁuÁ©Ò¡ Ëà ˹Ҩǡçä´ ‹ÕèÕéšÕèืoŒa èŒ** ¤Ò¢ §ÁuÁ·Õè¤i´¨Ò¡¡®¢ § (¶ÒäÁãªÁuÁ©Ò¡) ¨aÁՋoosinŒ‹ ‹Ê §¤íÒµ ºeÊÁ e»¹ÁuÁæËÅÁæÅaÁuÁ»Ò¹ ÂÒ§Åa˹§ÁuÁ oooš‡o ‹ึ èµÇ ÂÒ§ a o‹ABCΔ ÁÕÁuÁ ¢¹Ò´ A45° æÅa ¤ÇÒÁÂÒÇ a2 2 , b =2 = ãËËÒ¢¹Ò´¢ §ÁuÁ ŒoC¨Ò¡¡®¢ § ¤ osinืosin Bsin Aab=æ·¹¤Òä´ ‹ Œsin Bsin 45222°= ..¹¹¤ a oèื12sinB=´§¹¹ a aéB30=° Ëà ืoB150 =°¡Ã³Õ·Õè B30=° ¨aä´ ŒC75=°¡Ã³Õ·Õè B150 =° e»¹ä»äÁä´ (e¾ÃÒa š‹ ŒBA180+> ° ) ÊÃu»ÇÒ¢¹Ò´¢ §ÁuÁ e·Ò¡º ‹oC‹a75° e·Ò¹¹ ‹a é

เพิ่มเติม บทท ฟังก์ชนตรีโกณมิติี่ 2 ั371 17. ¡®¢ §o¤ä«¹ .. eÃÒÊÒÁÒöËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹·eËÅ o“ŒÕèืoä´¨Ò¡¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹Ê §´Ò¹æÅa¢¹Ò´ÁuÁµÃ§¡ÅÒ§ ŒŒoŒ”o´Â 222abc2bc cos A=+−(¶ÒÁuÁµÃ§¡ÅÒ§¹¹e»¹ Œa éšA90=° ¡®¹¨a¡ÅÒÂe»¹Õ隷Äɮպ·»·Òo¡ÃÊ) ‚aµÇ ÂÒ§ a o‹ABCΔ ÁÕÁuÁ B45=°, ¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹ Œa4 = ¹iéÇ , c5= ¹Ç ãËËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹ i錌b¨Ò¡¡®¢ § ocos ¤ ืo222bac2ac cos B=+−¨aä´ Œ22212b452(4)(5)()12.72=+−≈¹¹¤ a oèืb3.57≈´§¹¹¤ÇÒÁÂÒÇ´Ò¹ ÁÕ¤Ò»ÃaÁÒ³ a aéŒb‹3.57 ¹Ç iéµÇ ÂÒ§ a o‹ABCΔ ÁÕ´Ò¹ Œa2 , b =3= æÅa c4 = ˹Ç ãËËÒ¤Ò ‹Œ‹C2 sin ( )¨Ò¡¡®¢ § ocos ¤ ืo222cab2ab cos C=+−¨aä´ Œ2224232(2)(3) cos C=+−¹¹¤ a oèื14cos C=− (æÊ´§ÇÒ e»¹ÁuÁ»Ò¹) ‹Cš‡

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 372 ¨Ò¡ÊµÃ Ù2C2cos C1 2sin ( ) =−¨aä´ÇÒ Œ ‹2C142 12sin ( )− =− ..¹¹¤ a oèื2C528sin ( )=´§¹¹¤íÒµ º¤ a aéo o ืC528sin ( )0.79=≈(µ §e»¹¤ÒºÇ¡e·Ò¹¹ e¾ÃÒaÁuÁ e»¹ÁuÁæËÅÁ) Œoš ‹‹a éC2š

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .5 เทอม 1 บทที่ 3เวกเตอรในสามมิติ1. »ÃiÁÒ³ã¹oÅ¡ÁÕÊ §ª¹´ ¤ »ÃiÁÒ³Êe¡ÅÒà (Ãaºoiืoue©¾Òa¢¹Ò´) æÅa»ÃiÁÒ³eÇ¡eµ à (Ãaºu·§¢¹Ò´æÅao a é·È·Ò§) i ¡ÒÃe¢Õ¹»ÃiÁÒ³eÇ¡eµ èaãªÅ¡Èà ãˤÇÒÁÂÒǕo ŒÙŒÅ¡ÈÃæ·¹¢¹Ò´ æÅaËÇÅ¡ÈêÕ麧º ¡·È·Ò§ Ùaًoi ª ¢ §eÇ¡eµ õ§µÒÁ¨´eÃièÁæÅa¨´Ê¹Ê´¢ §Å¡Èà • ืèo oo a éuuiéuoÙeª¹ ‹AB ˜ Ëà ¨a㪵ǾiÁ¾eÅ¡ (·eµÁ¢Õ´´Ò¹º¹) ¡çä´ ืoŒaçÕèiŒŒeª¹ ‹u, v, w ¢¹Ò´¢ §eÇ¡eµ à ¨ae¢Õ¹e»¹ •oo ušuµÇ ÂÒ§ eÇ¡eµ à «è§ÁÕ¢¹Ò´ a o‹o uึ5 ˹Ç æÅaÁÕ·È·Ò§·ÒÁuÁ ‹ií45°¡ºæ¡¹ 㹷ȷǹe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò a+xiæÅaeÇ¡eµ à «è§ÁÕ¢¹Ò´ ˹Ç o vึ3 ‹æÅaÁÕ·Èä»·Ò§ e»¹´§ÃÙ» i- yšaÊÒÁÒöeÃÕ¡ªè ÇÒ ืou‹AB ˜æÅaeÃÕ¡ ÇÒ v‹AC ˜ ¡çä´ ŒA y x uB 45°C v

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 374 ** ¡Òú ¡ÁuÁã¹Ãaºº ËÅ¡ o3a(Three Figure System) ¨aãË·Èe˹ e»¹ Œiืoš000 §ÈÒ æÅae¾ièÁ¢é¹ã¹·iÈoึµÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò (eª¹ ‹090 §ÈÒ æ·¹·Èµaǹ ¡, oia oo180o§ÈÒ æ·¹·Èãµ) iŒµÇ ÂÒ§ ¶ÒãË桹 y ªÕéä»·Ò§·Èe˹ ¨aä´ÇÒ eÇ¡eµ Ãa o‹Œ ŒiืoŒ ‹o ·Õè·ÒÁuÁ í60° ¡ºæ¡¹ +x 㹷ȷǹe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò ai(¹¹¤ µÒæ˹§ ã¹ÇiªÒµÃÕo¡³Áiµi Ëà µíÒæ˹§ a oèืí‹3 πืo‹1 ¹ÒÌi¡Òº¹Ë¹Ò»´) ¨aeÃÕ¡ÇÒe»¹ÁuÁ Œ ˜‹ š030 §ÈÒ o(e¹ §¨Ò¡·ÒÁuÁ §ÈÒµÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò¨Ò¡·Èe˹ ) ื èoí30oiืoÊǹeÇ¡eµ ÷Õè·ÒÁuÁ ‹o í150° ¡ºæ¡¹ +x (¹¹¤ µÒæ˹§ aa oèืí‹56 π ã¹ÇiªÒµÃÕo¡³Áiµ Ëà µÒæ˹§ ¹ÒÌi¡Òº¹ iืo í‹10˹һ´) ¨aeÃÕ¡ÇÒe»¹ÁuÁ Œ ˜‹ š300 §ÈÒ (e¹ §¨Ò¡·ÒÁuÁ oื èoí300 §ÈÒµÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò¨Ò¡·Èe˹ ) oiืo2. eÇ¡eµ ÃÊ § ¹¨ae·Ò¡¹¡çµ eÁè ÁÕ¢¹Ò´e·Ò¡¹ æÅaÁÕo o oa‹a‹ ืo o‹a·È·Ò§e´ÕÂÇ¡¹ (äÁ¨Òe»¹µ §ÁÕ¨´eÃièÁµ¹æÅa¨´Ê¹Êu´ia‹íš ŒouŒuiée´ÕÂÇ¡¹¡çä´ eª¹ aŒ ‹ABCD =˜˜ ¡çe»¹ä»ä´ ¶ÒËÒ¡¢¹Ò´šŒ Œe·Ò¡¹æÅaÁÕ·È·Ò§e´ÕÂÇ¡¹) ‹aia

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ375 3. eÇ¡eµ úǡ¡¹ ÊÒÁÒöËҼ޸ä´Ê §Çi¸ ¤ o aa ŒoÕืoËǵ ËÒ§ æÅaËÒ§µ ËÒ§ a o ‹‹o(1) Ëǵ ËÒ§ ã˹ÒeÇ¡eµ ÃÁÒe¢Õ¹µ ¡¹ o´Âe ÒËÒ§a o ‹Œío ‹o aoÅ¡ÈÃãËÁÁÒÇÒ§µ ·ÕèËÇÅ¡ÈÃe´iÁ .. eÇ¡eµ Þ¸·ä´ ¤Ù‹‹o aÙo a ÕèŒ ืoeÇ¡eµ ÷ÅÒ¡¨Ò¡ËÒ§æáʴ 件§ËÇÅ¡ÈûÅÒÂÊ´ o ÕèuึaÙu Ëà ¡ÅÒÇÇÒ ã¹ÊeËÅÂÁ´Ò¹¢¹Ò¹ •ืo‹‹ÕèÕèŒABCD¨aä´ ŒABBCAC+= ˜˜˜ ¹¹e § a oèµÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´eÇ¡eµ ô§ÃÙ» a o‹o a ¨ae¢Õ¹ÃÙ»e¾è ËҼźǡ ืouv + æÅa uvw+ +o´ÂÇi¸ÕËǵ ËÒ§ ä´´§¹ a o ‹ŒaÕéuvwuvuv +uvuvw ++w

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 376 (2) ËÒ§µ ËÒ§ ã˹ÒËÒ§eÇ¡eµ 깡¹ æÅǵ eµÁÃÙ»ãˋoŒío aŒ ‹oiŒ¡ÅÒÂe»¹ÊeËÅÂÁ´Ò¹¢¹Ò¹ .. eÇ¡eµ Þ¸·ä´ ¤šÕèÕèŒo a ÕèŒ ืoeÇ¡eµ ÷ÅÒ¡¨Ò¡ËÒ§·Õ誹¡¹ ä»Ê´æ¹Ç·æ§ÁuÁÊeËÅÂÁo ÕèauÕèÕè´Ò¹¢¹Ò¹ Œ Ëà ¡ÅÒÇÇÒ ã¹ÊeËÅÂÁ´Ò¹¢¹Ò¹ •ืo‹‹ÕèÕèŒABCD¨aä´ ŒABADAC+= ˜˜˜ ¹¹e § a oèµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§·æÅÇ ¨ae¢Õ¹ÃÙ»e¾è ËҼźǡo´Âa o‹a o‹ÕèŒืoÇi¸ËÒ§µ Ëҧ䴴§¹ ՋoŒaÕé4. ÊÁºµi¢ §¡ÒúǡeÇ¡eµ à eËÁ ¹¡Òúǡ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§a oo ืoí·¡»Ãa¡Òà ¹¹¤ ua oèื ÊÁºµi»´ •aeÇ¡eµ úǡ¡¹Â Á䴼޸e»¹eÇ¡eµ ÃeÊÁ o a o ‹Œa šo o ÊÁºµ¡ÒÃÊź· æÅaÊÁºµ¡ÒÃe»Å¹¡ÅÁ •aiaÕèaiÕèu ‹uvv u +=+ æÅa (u v) wu (v w)++=++ e ¡Å¡É³¡Òúǡ¢ §eÇ¡eµ à •o aoo ¤ eÇ¡eµ Ãȹ ืoo Ù( 0) «è§e»¹eÇ¡eµ ÷ÕèÁÕ¢¹Ò´ ˹Ç ึ šo 0‹u00 uu+= +=uvuv +wuv +uvw ++

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ377 i¹eÇ ÃÊ¡Òúǡ¢ § e¢ÕÂ¹Ê Å¡É³ÇÒ •o ooua a­ ‹u−ËÁÒ¶§ eÇ¡eµ â¹Ò´e·Ò¡¹æµ·ÈµÃ§¢ÒÁ¡º ึo ‹a‹iŒau(Ëà ¡ÅÒÇÇÒ ืo‹‹ABBA−= ˜˜ ¹¹e §) a oèu( u)0+−=5. ¡ÒÃźeÇ¡eµ à e»¹¡Òúǡ´Ç¹eʸ o šŒi¤ ¹ÂÒÁÇÒ ืo i‹uvu ( v)−=+ −´§¹¹ÊÒÁÒöËÒ¼Åźä´o´ÂÇi¸¡ÒúǡeÇ¡eµ à (¤a aéŒÕo ืoËǵ ËÒ§ Ëà ËÒ§µ ËÒ§¡çä´) a o ‹ืo‹oŒµÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´eÇ¡eµ ô§ÃÙ» a o‹o a ¨ae¢Õ¹ÃÙ»e¾è ËÒ¼Åź ืouv − ä´´§¹Õé ŒaÇi¸ÕËǵ ËÒ§a o ‹Çi¸ËÒ§µ ËÒ§ Ջouv−uv −uv−uv −uv

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 378 Çi¸ËÒ¼Åź·Õè¹ÂÁ¤ Çi¸ËÒ§µ ËÒ§(溺ãËÁ) o´Â•ÕiืoՋo‹e¢Õ¹eÇ¡eµ õǵ§æÅaµÇź溺ËÒ§ª¹¡¹ .. eÇ¡eµ Ão a aéaao Å¾¸·ä´ ¨aÅÒ¡¨Ò¡»ÅÒÂÅ¡Èâ §µÇź ÁÒ§»ÅÒÂaÕèŒÙo aaÅ¡Èâ §µÇµ§ Ùo a aéµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§·æÅÇ a o‹a o‹Õ茨ae¢Õ¹ÃÙ»e¾è ËÒ¼Åźo´ÂÇi¸ ืoÕËÒ§µ ËÒ§(溺ãËÁ) ä´´§¹ ‹o‹ŒaÕé** ¡ÅÒÇo´ÂÊÃu» Çi¸ËҼźǡæÅa¼Åź¢ §eÇ¡eµ à ·‹Õoo ÕèÊa´Ç¡·ÕèÊ´¤ e¢Õ¹ËÒ§ª¹¡¹æÅaeµÁÃÙ»ãËe»¹ÊeËÅÂÁuืoaiŒ šÕèÕè´Ò¹¢¹Ò¹ ¨aä´ÇÒeʹ·æ§ÁuÁeʹ˹§e»¹¼ÅºÇ¡ (¾u§ŒŒ ‹ ŒŒึ šè‹oo¡¨Ò¡ÁuÁ·ËÒ§ª¹¡¹) æÅaeʹ·æ§ÁuÁ Õ¡eʹe»¹¼Åź ÕèaŒoŒš(eª ÁÃaËÇÒ§ËÇÅ¡ÈÃ) ื èo‹aÙ6. ¢¹Ò´¢ §eÇ¡eµ Þ¸ËÒä´¨Ò¡¡®¢ §o¤ä«¹ ´§¹Õé oo a Œoa22uvuv2 u v cos+= + +θ22uvuv2 u v cos−= + −θeÁè ¤ ÁuÁÃaËÇÒ§ ¡º ืoθืo‹uav** ÁuÁ ÃaËÇÒ§ ¡º µ §Ç´ÃaËÇÒ§ËÒ§ª¹ËÒ§θ‹uavŒo a‹eÊÁ æÅaµ §ÁÕ¢¹Ò´äÁe¡i¹ oŒo‹180°uvuv −

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ379 µÇ ÂÒ§ ¶Ò a o‹Œu2 , v =5= æÅaeÇ¡eµ ÷§Ê §·íÒo a oéÁuÁ¡¹ a60° ¨aä´ÇÒ Œ ‹22u v252(2)(5)cos6039+= ++°=˹Ç ‹æÅa22u v252(2)(5)cos6019−= +−°=˹Ç ‹µÇ ÂÒ§ ¶Ò a o‹Œu4 , v =3 , = æÅa uv6+ =æÊ´§ÇÒeÇ¡eµ à ¡º ·ÒÁuÁ¡¹¡Õè §ÈÒ ‹o uavía o¨Ò¡ 22uvuv2 u v cos+= + +θ¨aä´ Œ226432(4)(3)cos=++ θæ¡ÊÁ¡ÒÃä´ ŒŒ1124cosθ=´§¹¹¢¹Ò´¢ §ÁuÁ a aéo1124 arccosθ=µÇ ÂÒ§ ¶Ò a o‹Œu4 , v =3 , = æÅa uv6+ =ãËËÒ¢¹Ò´¢ §eÇ¡eµ à Œoo uv −a 22ab2abcos+ +θ22ab2abcos+ −θθb

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 380 ¨Ò¡ 22uvuv2 u v cos+= + +θ¨aä´ Œ226432 u v cos=++ θ´§¹¹ a aé2u v cos11θ=æ·¹¤Òŧ㹠‹22uvuv2 u v cos−= + −θ¨aä´ Œ22uv43(11)14−= +− = ˹Ç ‹ ÊÒÁÒö¹Ò¢¹Ò´·ä´¨Ò¡¡®¢ §o¤ä«¹ 令íҹdzËҕíÕèŒo·È·Ò§o´Â¡®¢ §ä«¹ ioµÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§e´iÁ ¤ ¶Ò a o‹a o‹ื Œou2 , v =5=æÅaeÇ¡eµ ÷§Ê §·ÒÁuÁ¡¹ o a oéía60° ãËËÒÇÒeÇ¡eµ à Œ‹o uv + ·ÒÁuÁ¡ºeÇ¡eµ à e·Òã´ íao u‹¨Ò¡ 22u v252(2)(5)cos6039+= ++°=¨ae¢Õ¹Ãٻ䴴§¹.. ŒaÕé¾i¨ÒóÒÊÒÁeËÅÂÁÃÙ»ÅÒ§ Õ苨aä´ Œsinsin120539°= θ´§¹¹ a aé5 sin 1205392 13sin°θ==æÊ´§ÇÒeÇ¡eµ ÷ÒÁuÁ¡¹e»¹¢¹Ò´ ‹o íaš5213 arcsin5 60˚2 39θ120˚5

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ381 7. ¼Å·ä´¨Ò¡¡ÒäٳeÇ¡eµ à ´ÇÂÊe¡ÅÒà ÕèŒo uŒa ¶Ò • Œa0 = ¨aä´ÇÒ Œ ‹au0 = ¶Ò • Œa0 > ¨aä´ÇÒ Œ ‹au e»¹eÇ¡eµ ÷ÕèÁÕ·Èe´ÕÂÇ¡¹šo ia¡º æµÁÕ¢¹Ò´e»¹ au‹šau ⋅ ¶Ò • Œa0< ¨aä´ÇÒ Œ ‹au e»¹eÇ¡eµ ÷ÕèÁշȵç¢ÒÁšo iŒ¡º æÅaÁÕ¢¹Ò´e»¹ aušau ⋅µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´eÇ¡eµ à ´§ÃÙ» a o‹o ua¨aä´eÇ¡eµ à Œo 23u æÅa 2u− e»¹´§¹Õé ša·Èe´iÁ ¢¹Ò´Å´Å§eËÅ ã¹ iืo23·ÈµÃ§¢ÒÁe´iÁ ¢¹Ò´e»¹ e·Ò iŒš2‹ ¡Òäٳ´ÇÂÊe¡ÅÒùÕéÁÕÊÁºµ¡ÒÃe»Å¹¡ÅÁ æÅa¡ÒՌaiÕèu ‹æ¨¡æ¨§ eª¹e´ÕÂÇ¡º¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ¹¹¤‹aía oèืa(bu) (ab)u ,=(a b)uau bu ,+=+ æÅa a(u v)au av+= +u23u2u−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 382 8. ¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸ÃaËÇÒ§¡ÒäٳeÇ¡eµ ôÇÂÊe¡ÅÒà ¡ºa a‹o Œa¡Òâ¹Ò¹¡¹ .. eÁè aืou0≠ æÅa v0≠ ¨aä´ÇÒ Œ ‹ ¢¹Ò¹¡º ¡çµ eÁè •uav‹ ืo oÁÕ¤Ò ‹a0≠ ·Õè·ÒãË íŒuav = ¶Ò äÁ¢¹Ò¹¡º • Œu‹avËÒ¡ÁÕÊÁ¡Òà au bv0+= ¨aä´ Œa0= æÅa b0=µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË a o‹Œu0 , v ≠0≠ æÅa 2(x 5)uv(1 x)u3v −−=−−ãËËÒ¤Ò ·Õè·ÒãË ¢¹Ò¹¡º Œ‹xíŒuav¨Ò¡ÊÁ¡Òà 2(x 5)uv(1 x)u3v −−=−−¨aä´ÇÒ Œ ‹2(x 51x)u2v−− += −æµ ¢¹Ò¹¡º æÊ´§ÇÒ ‹uav‹2x51x0−− + ≠桵ǻÃa¡ ºä´e»¹ aoŒ š(x 3)(x 2)0+−≠´§¹¹ a aéx3≠− æÅa x2≠(¤Ò ·Õèe»¹¤íÒµ º¤ ¨íҹǹ¨Ãi§ã´ ¡eǹ ¡º ) ‹xšo o ืæŒ- 3a2µÇ ÂÒ§ ¨Ò¡µÇ ÂÒ§·æÅÇ ãËËÒ¤Ò ·Õè·ÒãË ÁÕa o‹a o‹Õ茌‹xíŒu·È·Ò§e´ÕÂÇ¡º iav¨Ò¡ 2(x 51x)u2v−− += −ÊÁ»ÃaÊ·¸Ë¹Ò e»¹¤Òµ´Åº ´§¹¹¶Ò ÁÕ·È·Ò§aiiìŒvš ‹ia aéŒuie´ÕÂÇ¡º ä´ ÊÁ»ÃaÊ·¸Ë¹Ò ¨aµ §µ´Åº´ÇÂ.. avŒaiiìŒuŒoiŒ

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ383 ¹¹¤ a oèื2x51x0−− + <桵ǻÃa¡ ºä´e»¹ aoŒ š(x 3)(x 2) 0 +−<´§¹¹ a aé3x2−<<(¤Ò ·e»¹¤íÒµ º¤ ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§· ÂÃaËÇÒ§ ¶§ ) ‹xÕèšo o ืíÕèo Ù ‹‹- 3ึ2ËÁÒÂe˵u ¶Òe»Å¹o¨·Âe»¹ ·È·Ò§µÃ§¡¹¢ÒÁ ¡çŒÕè š “iaŒ ”æÊ´§ÇÒÊÁ»ÃaÊ·¸Ë¹Ò ¨aµ §e»¹¤ÒºÇ¡ æÅa¨a䴋aiiìŒuŒoš ‹Œ¤íÒµ ºe»¹ ošx3<− Ëà ืox2>µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË a o‹Œu0 , v ≠0≠ æÅa äÁ¢¹Ò¹u‹¡º ãËËÒ¤Ò x æÅa y ··ÒãËÊÁ¡Òà avŒ‹ÕèíŒxu (x 8)v (2 2y)u yv+− =+ − e»¹¨Ãi§ š¨Ò¡ÊÁ¡Òà xu (x 8)v (2 2y)u yv+− =+ −¨aä´ÇÒ Œ ‹(x 2 2y) u (x 8 y) v0−−+− +=¶Ò äÁ¢¹Ò¹ ¡çæÊ´§ÇÒ ÊÁ»ÃaÊ·¸·¡µÇe»¹ Œu‹v‹aiiìuaš0 ¹¹¤ a oèืx2 2y0−−= ..... (1)æÅa x8 y0−+= ..... (2)æ¡ÃaººÊÁ¡Òà 䴤íÒµ ºe»¹ ŒŒošx6= æÅa y2=9. ¡ÒÃæ¡o¨·Â» ËÒ»ÃaeÀ· e¢Õ¹eÇ¡eµ ÷Õè¡íÒ˹´ Œ ˜­“o ã¹ÃÙ»¼ÅÃÇÁeªi§eʹ¢ §eÇ¡eµ Ã è¹ Œoo o ื ”(1) ãËe¢Õ¹eÇ¡eµ ÷Õè¡íÒ˹´ ã¹ÃÙ»¼ÅÃÇÁ¢ §eÇ¡eµ Ã è¹ Œo oo o ื溺㴡çä´¡ ¹ Œ ‹o

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 384 A B D N C M (2) ¾ÂÒÂÒÁe»Å¹eÇ¡eµ ÷äÁµ §¡Òà e»¹¼ÅÃÇÁ¢ §Õèo Õè‹ ŒošoeÇ¡eµ ÷Õèµ §¡Òà 价Åa¢é¹ o ŒoÕa æ(3) eÁè eËÅ e¾Õ§eÇ¡eµ ÷Õèµ §¡Òà ¡ç¨´e»¹ÃÙ» ÂÒ§§ÒÂืo o ืo Œoašo‹ ‹æÅǨ§µ º Œ ึoµÇ ÂÒ§ ÊeËÅÂÁ¨µuÃÊ a o‹ÕèÕèa aABCD ÁÕ¨´ æÅa ·uMN o Ù ‹Õè¡è§¡ÅÒ§´Ò¹ æÅa µÒÁÅÒ´º ึŒBCCDíaãËe¢Õ¹ ŒAB ˜ ã¹ÃÙ»¼ÅÃÇÁeªi§eʹ¢ § ŒoAM ˜ ¡º aAN ˜ÇÒ´ÀÒ¾µÒÁo¨·Âä´´§ÃÙ»..  ŒaeÃièÁo´Âe¢Õ¹AB ˜ã¹ÃÙ»eÇ¡eµ Ãã´ o æeª¹ ‹ABAMMB=+ ˜˜˜ ....(1) ¨Ò¡¹¹¾ÂÒÂÒÁe»Å¹ a éÕèMB ˜ ãËe»¹ Œ šAM ˜ Ëà ืoAN ˜«è§¨Ò¡ÃÙ» ÊÒÁÒöeª Á ึื èoMB ˜ ¡º aAN ˜ ä´´§¹Õé ŒaABANNCCB=++ ˜˜˜ ˜12ANAB2 MB=+ + ˜˜˜Ëà ¨´ÃÙ»ä´ÇÒ ืo aŒ ‹1142MBABAN=− ˜˜˜ ....(2) eÁè æ·¹¤Ò¨Ò¡ÊÁ¡Òà ŧ㹠¡ç¨aä´¤íÒµ º ืo‹(2)(1)Œo¹¹¤ a oèื1142ABAM( ABAN)=+ − ˜˜˜˜4233AMAN=−˜˜

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ385 A m B n Z C µÇ ÂÒ§ ¨Ò¡ÀÒ¾ ¶Ò a o‹ŒEF : FB2 :1|| || = ˜˜ãËe¢Õ¹eÇ¡eµ à Œo AF ˜ ã¹ÃÙ»¼ÅÃÇÁ¢ § ¡º oaab¨Ò¡ÃÙ» ¨aä´ ŒAFABBF=+ ˜˜ ˜13 ABBE=+˜˜=++− 13 (2a)(a b 4a)13 ab =+10. ʵÃ㹡ÒÃÊÃÒ§eÇ¡eµ ÃÀÒÂã¹ÊÒÁeËÅÂÁ ٌo Õè¨Ò¡ÃÙ» ¶Ò ŒBZ : ZCn:m=¨aä´ ŒmABn ACAZmn +=+˜˜ ˜(eËÁ ¹¡ÒÃËÒ¨´æº§eʹµÃ§ ã¹eÃè §eâҤ³iµÇie¤ÃÒaË) ืou‹ ŒืoE a2a4abD F A B C

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 386 A (x ,y ) 11B (x ,y ) 22O 3 A 2 B C µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´¨´ e»¹¨´«è§æº§Êǹ¢ §eʹµÃ§ a o‹uBšuึ‹ ‹oŒAC ¡e»¹ µÃÒÊǹ oošo a‹2:3 µÒÁÅÒ´º æÅa e»¹¨u´íaOšã´ «è§äÁ º¹ ãËe¢Õ¹eÇ¡eµ à æึ ‹ ‹o ÙACŒo OB ˜ ã¹ÃÙ»¢ § oOA ˜ ¡º aOC ˜¨Ò¡o¨·Â ¨ae¢Õ¹Ãٻ䴴§¹.. ŒaÕéæÅaeÁè ãªÊµÃ ¨aä´ ืoŒÙŒ3OA2 OCOB32 +=+ ˜˜˜¹¹¤ a oèื3255OBOAOC=+ ˜˜˜11. eÇ¡eµ Ãã¹Ãaººæ¡¹¾i¡´©Ò¡Ê §Áiµ o aoi ·¼Ò¹ÁÒ·§ËÁ´e»¹¡Òà ҧ¶§eÇ¡eµ Ãã¹¾i¡´eª§¢éÇ •Õè‹a éšo Œึo aiar−θ ¤ Ãaºu´Ç¢¹Ò´ æÅa·È·Ò§ ÁuÁืoŒ(r)i(θ·Õè·Ò¡ºía桹 ã¹·iȷǹe¢çÁÏ æµeÃÒÊÒÁÒö Ò§¶§eÇ¡eµ Ã+ x)‹oŒ ึo eËÅҹ㹾i¡´©Ò¡ ‹Õéaxy − ä´ ´ÇÂÊǹ»Ãa¡ ºã¹Œ Œ‹oæ¹Ç¹ ¹ o(x) Δ æÅaæ¹Çµ§ a é(y) Δ ´§ÃÙ» a2121xx xyy yABΔ− == Δ− ⎡⎤⎡ ⎤⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣ ⎦˜

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ387 P Q 1 3 B -12 5 A ¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸ÃaËÇÒ§¾i¡´eª§¢éÇ ¡º¾i¡´©Ò¡ •a a‹aiaaaxr cosyr sinΔ=θΔ=θ22r( x)( y)tan( y/ x)=Δ +Δ θ= ΔΔ=¤ÇÒÁª¹aµÇ ÂÒ§ ãËe¢Õ¹eÇ¡eµ õ 仹ã¹Ãٻ桹¾i¡´©Ò¡ ËÒa o‹Œo o  ‹Õéa¢¹Ò´¢ §eÇ¡eµ à æÅae¢Õ¹ÃÙ»»Ãa¡ º´Ç oo oŒ eÇ¡eµ ÷ÕèÁÕ¨´eÃièÁµ¹·Õè •o uŒP(2,5) æÅaʹʴ·Õè iéuQ(3,8)¨aä´ ŒQPQPxx321yy8 53PQ−−=−− ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎦⎣⎦⎣˜æÅa22PQ( x)( y)|| = Δ+Δ˜221310= +=˹Ç ‹ eÇ¡eµ ÷eÃièÁµ¹·Õè •o ÕèŒA( 2,5)- æÅaʹʴ·Õè iéuB(3, 7)-¨aä´ ŒBABAxx3 ( 2)5yy( 7) 512AB−− − = −− −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦˜æÅa22AB( x)( y)|| = Δ+Δ˜2251213= +=˹Ç ‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 388 µÇ ÂÒ§ ãËe¢Õ¹eÇ¡eµ õ 仹ã¹Ãٻ桹¾i¡´©Ò¡ a o‹Œo o  ‹Õéa eÇ¡eµ à ÁÕ¢¹Ò´ ˹Ç æÅa·ÒÁuÁ •o u5‹í45°¡ºæ¡¹ 㹷ȷǹe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò a+xir cos5 cos 455/ 2rsin5sin 455/ 2uθ° =θ°⎡ ⎤⎤⎡⎤⎡ ==⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦ eÇ¡eµ à ÁÕ¢¹Ò´ ˹Ç æÅaÁÕ·iÈ·Ò§e»¹ÁuÁ •o v3‹š300° ã¹Ãaºº ËÅ¡ 3a..e¹ §¨Ò¡ÁuÁ ื èo300° ã¹Ãaºº ËÅ¡ ·µÒæ˹§«è§ 3a oÙ ‹Õèí‹ ึ150θ=° (ã¹µÃÕo¡³Áiµ) ´§¹¹ ia aércos3cos1503 3/2r sin3sin1503/2vθ° −=θ°⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤==⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣ ⎦ ⎣⎦ eÇ¡eµ ÃÊ § ¹¨ae·Ò¡¹ ¡çµ eÁè ÁÕ¤Ò •o o oa‹a‹ ืo o‹xΔ e·Ò¡¹ ‹aæÅaÁÕ¤Ò ‹yΔ e·Ò¡¹ ‹a eÇ¡eµ ÃÊ § ¹¢¹Ò¹¡¹¡çµ eÁè ¤ÇÒÁª¹e·Ò¡¹ (ÁՕo o oaa‹ ืo oa‹a·§·Èe´ÕÂÇ¡¹æÅaµÃ§¢ÒÁ) æÅaeÇ¡eµ ÃÊ § ¹¨aµ§©Ò¡a éiaŒo o oaa 项¡çµ eÁè ¤ÇÒÁª¹¤Ù³¡¹ä´ a‹ ืo oaaŒ– 112. ¡ÒúǡźeÇ¡eµ à æÅa¡Òäٳ´ÇÂÊe¡ÅÒà ¨aä´¼Åo ŒŒeª¹e´ÕÂÇ¡ºeÁ·Ãi¡« ¹¹¤ ‹aa oèืaca cbdb d+ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡+= ⎢⎥⎢⎥⎢ +⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ æÅa akakbkb⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ389 µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË a o‹Œ323u, v, w424− ⎡⎡⎤ ⎡⎤⎤=== ⎢⎥− ⎢⎥− ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ãËËÒ¤Ò Œ‹2u 3vw−+ æÅa 2u3vw−+e¹ §¨Ò¡ ื èo66 332u 3vw8642−−− ⎡⎡⎤⎤−+==⎢ ⎥−+ +⎢ ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦´§¹¹ a aé222u 3v w3213−+ = + =æµe¹ §¨Ò¡ ‹ ืèo22u345=+=æÅa 22v222 2=+= æÅa 22w345=+=´§¹¹ a aé2u3vw2(5) 3(2 2) 5−+=− +=− 15 6 2µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË a o‹Œ321u, v, w412 − ⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤=== ⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ãËe¢Õ¹ ã¹ÃÙ» Œwau bv+¶ÒãË ŒŒwau bv=+ ¡ç¨aä´ Œ132ab241− ⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤=+ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥−⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦æÊ´§ÇÒ ‹13a 2b −=+ æÅa 24a b=−æ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃä´ ŒŒ311 a= æÅa 1011b=−´§¹¹¤íÒµ º¤ a aéo o ื3101111wuv=−

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 390 13. eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç ¤ eÇ¡eµ ÷ÕèÁÕ¢¹Ò´e·Ò¡º o ึè‹ืoo ‹a1 eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç·ÕèÊÒ¤ ã¹Ãaºº¾i¡´©Ò¡Ê §Áiµi •o ึè‹ía­aoÁÕ Â µÇ ä´æ¡ ¡º o Ù ‹2aŒ ‹iaj..o´Â æ·¹eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹ÇÂã¹·È·Ò§ +x io ึè‹iæÅa æ·¹eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹ÇÂã¹·È·Ò§ +y jo ึè‹i¹¹¤ a oèื1i0 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ æÅa 0j1 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ¨aä´ÇÒeÇ¡eµ à •Œ ‹o aaibjb ⎡⎤=+ ⎢⎥⎣⎦µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´¤Ù ¹´º a o‹‹o aaA( 1,2), B(5,3), C(6, 4), --æÅa D( 4,1)- ãËe¢Õ¹Œ3AB2 CD− ˜˜ã¹ÃÙ»i¡ºajæÅaËÒ¢¹Ò´´Ç Œe¹ §¨Ò¡ ื èo5( 1)6321AB6ij−−−⎡⎤⎡ ⎤===+⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣ ⎦˜æÅa (4) 6101( 4)5CD10 i 5j−−−−−⎡⎤⎡⎤=== −+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦˜´§¹¹ a aé3 AB 2 CD(18i3j) ( 20i10j)−=+− −+˜˜28i7 j=−æÅa 223 AB2 CD2877 17||−+ = =˜˜ ˹Ç ‹

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ391 14. eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹ÇÂã¹·È·Ò§¢ § o ึè‹ioAB ˜ ã´ (·äÁ㪠æÕè‹ ‹0) ÊÒÁÒöÊÃҧ䴨ҡ¡ÒùҢ¹Ò´¢ § ŒŒíoAB ˜ ÁÒËÒÃoo¡ (e¾è ·ÒãË¢¹Ò´eËÅ e¾Õ§ ˹ÇÂ) ืo íŒืo1‹Ëà e¢Õ¹e»¹Ê šɳä´ÇÒ ืoš ­a a Œ ‹ABAB||˜˜µÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´ a o‹u3i4 j=− æÅa vi4 j =− + eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç ·ÕèÁÕ·È·Ò§e´ÕÂÇ¡º •o ึè‹iau¤ ืo223455u3 i 4jiju34 −==− + eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Ç ·ÕèÁÕ·È·Ò§µÃ§¢ÒÁ¡º •o ึè‹iŒav¤ ืo22141717vi 4 jijv14 −+−= − = −+ eÇ¡eµ â¹Ò´ ˹Ç ·ÕèÁÕ·iÈ·Ò§e´ÕÂÇ¡º •o 3‹au2v +ËÒä´o´Â.. Œu2vi4 j+=+´§¹¹¤íÒµ º¤ a aéo o ื22317i4 j 3(i4j)14 +⋅=+ +

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 392 15. ¡ÒäٳeÇ¡eµ äÙ˹§ ¨ae¡i´¼Åž¸ä´ 溺 o ‹ ึèa Œ2¤ ¡Òäٳ溺´ · ืoo(u v)⋅ ã˼Åž¸e»¹Êe¡ÅÒà Œa š(µÇeÅ¢) Ò¨eÃÕ¡ÇҼŤٳeª§Êe¡ÅÒà æÅa¡Òäٳao‹iæºº¤Ã Ê o(u v)× Â§¤§ã˼Åž¸e»¹eÇ¡eµ à ҨaŒa šo o eÃÕ¡ÇҼŤٳeª§eÇ¡eµ à ‹io  ´ ·ã¹¾i¡´©Ò¡ •oaac(a i bj) (c i dj)ac bdbd ⎡⎤ ⎡ ⎤⋅=+⋅+=+⎢⎥ ⎢ ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦ ´ ·ã¹eªi§¢éÇ •oauvu v cos ⋅=θ..ãªÊÁ¡Ò÷§Ê §æººÃÇÁ¡¹ 㹡Òäíҹdze¡ÕèÂÇ¡ºÁuÁ Œa oé‹aaθ ÃaËÇÒ§ ¡º ‹uavµÇ ÂÒ§ ãËËҼŤٳ a o‹Œuv ⋅ ã¹æµÅa¢ ‹Œo•u3i4 j=− æÅa vi4 j =− +¨aä´ Œu vac bd(3)( 1) ( 4)(4)19⋅=+=− + −= − ÁÕ¢¹Ò´ ˹ÇÂæÅa ÁÕ¢¹Ò´ ˹Ç •u5‹v4‹o´Â·ÒÁuÁ¡¹ ía60°¨aä´ Œu vu v cos(5)(4)cos6010⋅=θ =° =

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ393 µÇ ÂÒ§ ãËËÒÁuÁÃaËÇÒ§ ¡º ã¹æµÅa¢ a o‹Œ‹uav‹Œo•32u−⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ æÅa 46v⎡⎤=⎢⎥⎣⎦¨Ò¡ uvu v cos ⋅=θ¨aæ·¹¤Òä´ ‹Œ(3)(4) ( 2)(6) ( 13)( 52)cos+−=θ¹¹¤ a oèื026 cos=θ ´§¹¹ a aécos0 θ= ..æÊ´§ÇÒ ‹90θ=°ÊÃu»ÇÒã¹¢ ¹Õé ¡º ·ÒÁuÁ¡¹ ‹Œouavía90°•u2 3 i 2j=+ æÅa v3 3 i 3j=−+¨Ò¡ uvu v cos ⋅=θ¨aæ·¹¤Òä´ ‹Œ(2 3)( 3 3) (2)(3)(4)(6)cos−+= θ¹¹¤ a oèื1224cos−= θ´§¹¹ a aé12cosθ= − ..æÊ´§ÇÒ ‹120θ=°ÊÃu»ÇÒã¹¢ ¹Õé ¡º ·íÒÁuÁ¡¹ ‹Œouava120°ËÁÒÂe˵u ºÒ§¤Ãé§ÁuÁ·ä´ Ò¨ Âã¹ÃÙ» aÕèŒo oÙ ‹arccos16. ¡ÒÃËÒ¢¹Ò´¼ÅÃÇÁeÇ¡eµ ôÇ¡®¢ §o¤ä«¹ Ò¨o Œooe¢Õ¹ãËÁä´ÇÒ ‹ Œ ‹22uvuv2(u v)+= + + ⋅ 22uvuv2(uv)−= + − ⋅eÁè ¤ ÁuÁÃaËÇÒ§ ¡º ืoθืo‹uav

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 394 17. ÊÁºµi¢ §¡ÒäٳeÇ¡eµ Ã溺´ · a oo o(1) ÊÁºµ¡ÒÃÊź· aiaÕèuvvu•⋅=⋅(2) ÊÁºµ¡ÒÃ模樧 aiu(vw)u vu w•⋅+ =⋅+⋅(3) ¡Òäٳ´ÇÂÊe¡ÅÒà Œa(u v)a u v•⋅=⋅ (4) ¡Òô ·µÇe § ¨a䴼޸e»¹¢¹Ò´Â¡¡íÒÅ§Ê § o a oŒa ša o2uuu•⋅= (5) ¡Òô ·´ÇÂeÇ¡eµ Ãȹ oŒo Ù0u0•⋅= (6) ¼Å¡Òô ·e»¹ æÊ´§ÇÒeÇ¡eµ õ§©Ò¡¡¹ oš0‹o a éauv0uv•⋅=↔ ⊥ µÇ ÂÒ§ ¶Ò a o‹Œu3i 4 j=− æÅa u(u v)24−=ãËËÒ Œvcosθ eÁè ¤ ÁuÁÃaËÇÒ§ ¡º ืoθืo‹uav¨Ò¡ u(u v)24−= ¨aä´ Œ2uu v24 −⋅ =æ·¹¤Òä´´§¹.. ‹ŒaÕé2(5)(5) v cos24−θ = e¾ÃÒa©a¹¹¤íÒµ º¤ a éo o ื15vcosθ=

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ395 µÇ ÂÒ§ ¶Ò a o‹Œu2 , v =5= æÅaeÇ¡eµ ÷§Ê §·íÒo a oéÁuÁ¡¹ a60° ãËËÒÇÒeÇ¡eµ à Œ‹o uv + ·ÒÁuÁ¡ºeÇ¡eµ à íao u e·Òã´ ‹ãË e»¹ÁuÁÃaËÇÒ§eÇ¡eµ à Œθš‹o uv + ¡º aue¹ §¨Ò¡ ื èo () uvuuvu cos+⋅=+⋅⋅θ模樧½§«ÒÂä´e»¹ ˜› ŒŒ š22uv u(2)(5)(2)(cos60 )9+⋅=+° =æÅa模樧½§¢ÇÒä´e»¹ ˜›Œ š22uv2(u v) u cos+ + ⋅⋅⋅ θ22252(2)(5)cos60 (2) cos=++° ⋅⋅θ239 cos=訧ä´ÊÁ¡Òô§¹.. ึ ŒaÕé92 39 cos=θ ¹¹¤ a oèื339239213arccosarccosθ==ËÁÒÂe˵u o¨·Â¢ ¹Â¡ÁÒ¨Ò¡µÇ ÂÒ§e´iÁ «è§¤íҹdzäÇ  Œo Õéa o‹ึŒ´Ç¡®¢ §ä«¹ ä´¤íÒµ ºe»¹ ŒoŒoš5213 arcsinθ=æÅaÁuÁÊ §ÁuÁ¹Õé·¨Ãi§¡ç¤ ÁuÁe´ÕÂÇ¡¹¹¹e § oÕèืoa a oè

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 396 z y x O z y x 1 2 3 4 5 6 8 Ãa¹Òºyz (x = 0)Ãa¹Òºxz (y = 0)Ãa¹Òºxy (z = 0) 18. 㹤ÇÒÁe»¹¨Ãi§¨´ã´ äÁä´ Âã¹Ãa¹Òºe´ÕÂÇ¡¹šuæ‹ Œ ‹o ÙaeÊÁ ä» æµ Âã¹»ÃiÀÙÁiÊÒÁÁiµ eÃÒ¨Òe»¹µ §ãª¾i¡´©Ò¡ o‹ ‹o Ùiíš ŒoŒa3 Áiµ «è§»Ãa¡ º´ÇÂ桹 iึoŒx, y, æÅa µ§©Ò¡¡¹·Õè¨u´za éa¡íÒe¹´ Ãa¹Òº ixy, yz, xz 溧»ÃiÀÙÁi ¡e»¹ Êǹ ‹ooš8‹eÃÕ¡æµÅaÊǹÇÒ °ÀÒ¤ (ÁÕÅÒ´ºeËÁ ¹¨µÀÒ¤ ´§ÃÙ») ‹‹‹o aíaืoua19. Ëš㹡Òõ§ÅÒ´ºæ¡¹¤ ¡®Á ¢ÇÒ aa éíaืoืoeÁè æºÁ ¢ÇҢ鹵ç æÅa桹Ço»§ã˵§©Ò¡¡º¹Çª ¨aืoืoึæié‡ Œa éaiéÕéä´ÇÒ»ÅÒ¹Ƿ§ÊÕèªä»ã¹·È +x, ½ÒÁ ˹ä»ã¹·È +y, Œ ‹iéa éÕéi† ืo aiæÅa¹Ço»§ªÕéä»ã¹·È +z ié‡i

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ397 z y x z x 2 4 1 P(2,4,1) Q (2,0,1) R(2,4,0) y 20. ÃaºuµÒæ˹§Ê§µÒ§ ´Ç ÊÒÁÊiè§ ¹´º ·ÊÁÒªi¡í‹iè‹æŒ“o aa”ÕèæµÅaµÇæ·¹ÃaÂa·Ò§ã¹æ¹Ç ‹a+x, æ¹Ç +y, æÅaæ¹Ç +z µÒÁÅÒ´º eª¹ ÊÒÁÊiè§ ¹´º ía‹o aa(2,4,1)µÇ ÂÒ§ ãËe¢Õ¹¡ÃÒ¿e¾è a o‹ŒืoæÊ´§¨´ u(2,0,1), (2,4,0), æÅa (2,4,1)** o¾Ãe¨¤ª¹¢ §¨´ a ou(2,4,1) º¹Ãa¹Òº ¤ ¨´ xzืo u(2,0,1) æÅao¾Ãe¨¤ª¹º¹Ãa¹Òº ¡ç¤ ¨´ axyืo u(2,4,0)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 398 A (x ,y ,z ) 111B (x ,y ,z ) 22221. eÇ¡eµ Ãã¹¾i¡´©Ò¡ÊÒÁÁiµ o ai eÁè ¡íÒ˹´eÇ¡eµ Ã˹§Ë¹Çº¹æµÅa桹´§¹ • ืoo ึ苋aÕé1i0 , j0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦01 ,0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦ æÅa 0k01⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦¡ç¨ae¢Õ¹eÇ¡eµ à o abc⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ä´e»¹ Œ šai bj ck++ ¨Ò¡ÃÙ» ¨aä´ •Œ212121xxxAByyyzz z== Δ− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢⎥⎢ ⎥Δ− ⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ −⎣⎦⎣ ⎦˜ ¢¹Ò´¢ §eÇ¡eµ à •oo 222r( x)( y)( z)=Δ+Δ+Δ(e»¹ÊµÃÃaÂa·Ò§ÃaËÇÒ§¨´Ê §¨´ã¹ Áiµ ¤ÅÒ¡ºšÙ‹uou3iŒa·Äɮպ·»·Òo¡ÃÊ·ãªËÒÃaÂa·Ò§ã¹ Áiµ) ‚aÕèŒ2iµÇ ÂÒ§ ¡íÒ˹´¨´ a o‹uP(1,2,3) æÅa Q( 1,3,5)- ãËËҌeÇ¡eµ à o PQ ˜ æÅaeÇ¡eµ â¹Ò´ ˹ÇÂã¹·Èe´ÕÂÇ¡º o 5‹iaPQ ˜

เพิ่มเติม บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ399 ¨aä´ ŒPQ( 1 1)i(32)j(5 3)k=− −+−+−˜2ij 2k=−+ +æÅae¹ §¨Ò¡ ื èo=++==222PQ21293|| ˜´§¹¹eÇ¡eµ â¹Ò´ ˹ÇÂã¹·Èe´ÕÂÇ¡º a aéo 5‹iaPQ ˜¡ç¤ ืo532ij 2k5( 2ij 2k)3−++⋅=−++22. ¡ÒúǡźeÇ¡eµ à æÅa¡Òäٳ´ÇÂÊe¡ÅÒà o Œada dbeb ecfc f+ ⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎢⎥ =⎢ +⎥⎢⎥ +⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ æÅa akakbkbckc⎡⎤⎡⎤⎢⎥ =⎢⎥⋅ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ¡Òäٳ溺´ · •oadbead be cfcf⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ =⎢⎥ ⋅++ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ æÅa uvu v cos ⋅=θµÇ ÂÒ§ ãËËÒ a o‹Œuv ⋅ æÅa¢¹Ò´¢ §ÁuÁÃaËÇÒ§ ¡º o‹uav ã¹æµÅa¢ ‹Œo•u2 ij k=−+ æÅa vij 2k =+ +¨aä´ Œu v(2)(1) ( 1)(1) (1)(2)3⋅=+ −+=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .5 1 400 æÅae¹ §¨Ò¡ ื èou6, v6== ¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹uv36 6 cos⋅==θ´§¹¹ a aé12cosθ= ..Ëà ืo60θ=° ¹¹e § a oè•ui k =− − æÅa v3ij=+¨aä´ Œu v( 1)(3) (0)(1) ( 1)(0)3⋅= −++ −= −æÅae¹ §¨Ò¡ ื èou2, v10== ¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹uv32 10 cos ⋅= − =θ´§¹¹ a aé325cos− θ= ..Ëà ืo325 arccos−θ= ¹¹e § a oè23. ÁuÁ·eÇ¡eµ áÃa·Ò¡ºæ¡¹·§ÊÒÁ eÃÕ¡ÇÒÁuÁ¡íÒ˹´Õèo íaa 鋷ȷҧ ä´æ¡ ÁuÁ , æÅa «è§e»¹ÁuÁ·ÕèeÇ¡eµ ÷íÒ iŒ ‹αβγึ šo ¡ºæ¡¹ ax+, 桹 y+ æÅa桹 z+ µÒÁÅÒ´º ía ËÒä´o´Â¹ÒeÇ¡eµ ô ·¡º •Œío o ai, j,k ·Åa ¹ ..¨aä´ Õo aŒacosu α=, bcosu β=, æÅa ccosu γ=eÃÕ¡¤Ò·§ÊÒÁ¹ÕéÇÒ o¤ä«¹æÊ´§·È·Ò§ æÅaÁ¡¡ÅÒǶ§¤Ò‹a 鋏ia‹ึ ‹eËÅҹ淹ÁuÁ (e¾ÃÒao´ÂÁÒ¡e»¹ÁuÁ·¢¹Ò´äÁŧµÇ) ‹ÕéšÕè‹a ¤Ò¢ § • ‹o222coscoscos1α+β +γ = eÊÁ o